/
Author: Гершуни Г.З. Жуховицкий Е.М. Непомнящий А.А.
Tags: движение жидкостей гидродинамика механика монография издательство наука главная редакция физико математической литературы плоскопараллельные течения гидродинамическая устойчивость
ISBN: 5-02-014004-Х
Year: 1989
Text
стоичивость
КОНВЕКТИВНЫХ
ТЕЧЕНИИ
П 3. ГЕРШУНИ
ЕМ.ЖУХОВИЦКИЙ
А. А. НЕПОМНЯЩИЙ
Г 3. ГЕРШУНИ
Е.М.ЖУХОВИиКИЙ_
А. А. НЕПОМНЯЩИЙ
устойчивость
конвективных
ТЕЧЕНИИ
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 89
ББК 22.253.3
Г42
УДК 532.5
Гершуни Г.З., Жу хо в ицкий Е.М., Непомнящий А.А.
Устойчивость конвективных течений. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
лит., 1989. - 320 с. ISBN 5-02-014004-Х.
Монография посвящена устойчивости стационарных конвективных тече-
течений. Основное внимание уделяется плоскопараллельным течениям, на примере
которых исследуются механизмы неустойчивости, свойства спектра возмуще-
возмущений, анализируется воздействие осложняющих факторов - стратификации,
температурной зависимости вязкости, тепловых свойств границ и пр. Изучает-
Изучается устойчивость конвективных течений бинарной смеси, проводящей, диэлект-
диэлектрической и неньютоновской жидкостей, среды с примесью и т.д. Обсуждаются
течения, вызванные внутренним тепловыделением различной природы, адвек-
адвективные, виброконвективные и комбинированные течения. Рассматривается
устойчивость конвективных пограничных слоев, замкнутых течений, а также
вторичных режимов.
Для специалистов в области конвекции и гидродинамической устойчивости.
Табл. 6. Ил. 175. Библиогр. 528 назв.
Рецензент
кандидат физико-математических наук СЯ. Герценштейн
1603040100-054
Г 61-89 © Издательство "Наука".
053 @2) -89 Главная редакция
физико-математической литературы,
ISBN 5-02-014004-Х 1989
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
Глава!. КОНВЕКТИВНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ 7
§ 1. Основное стационарное течение. Уравнения возмущений. ........ 7
§ 2 Некоторые свойства спектра возмущений 13
§ 3. Численные методы решения спектральной амплитудной задачи 20
§ 4. Спектр возмущений и границы устойчивости 26
§ 5. Конечно-амплитудные режимы 3 7
Глава II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ 4 7
§ 6. Наклонный слой. Плоские возмущения . . . . , 47
§ 7. Наклонный слой. Пространственные возмущения , . . 55
§ 8 Течение с продольным градиентом температуры 64
§ 9. Температурная неоднородность вязкости \. 74
§ 10. Влияние кривизны границ &0
§ 11. Влияние тепловых свойств границ 84
§ 12 Течение в слое с проницаемой перегородкой 86
Глава III КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ 90
§ 13. Течение в слое при наличии градиента давления 90
§ 14. Слой с движущимися границами 97
§ 15. Слой с проницаемыми границами 104
§ 16. Течение при наличии вибрации 109
Глава IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ 118
§ 17 Проводящая жидкость в магнитном поле 118
§ 18. Жидкий диэлектрик в электрическом поле 124
§ 19. Бинарная смесь Устойчивая вертикальная стратификация 126
§ 20. Бинарная смесь при наличии термодиффузии 137
§ 21 Среда с примесью твердых частиц 143
§ 22. Вода вблизи точки инверсии теплового расширения 148
§ 23. Неньютоновские жидкости 152
§ 24. Пористая среда 157
Глава К ЖИДКОСТИ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА 166
§ 25 Однородные источники тепла. Вертикальный слой. 166
§ 26. Однородные источники тепла. Наклонный слой 175
§ 27 Неоднородность тепловыделения и эффект проницаемости границ. . . 180
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 28. Химически активная жидкость. „ . . в 188
§ 29 Излучающая среда . . . 195
Глава VI КОНВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ 202
§ 30. Адвективные течения в горизонтальном слое. ... о 202
§ 31. Вибрационно-конвективное течение в невесомости 213
§ 32. Конвективные пограничные слои 217
Глава VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ 228
§ 33. Метод амплитудных функций 228
§ 34. Вторичные течения вблизи порога и их устойчивость 239
§ 35. Вторичные конвективные течения в вертикальном слое 253
§ 36. Пространственно-периодические течения в горизонтальном слое . ... 261
§ 37. Волнистость и пространственно-периодическая модуляция темпера-
температуры границ .о 271
§ 38. Течения в замкнутых полостях 280
ДОПОЛНЕНИЯ 288
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 293
ПРЕДИСЛОВИЕ
Конвективные течения возникают в жидкостях и газах в поле тяжести
при наличии пространственной неоднородности плотности, создаваемой
неоднородностью температуры или какой-либо другой причиной. С увели-
увеличением разности температур интенсивность конвективного течения возрас-
возрастает и оно становится неустойчивым; при этом гидродинамический кризис
сопровождается кризисом теплопередачи. Образующееся при потере устой-
устойчивости вторичное течение в свою очередь тоже может стать неустойчивым;
последовательность кризисов устойчивости приводит в конце концов к
турбулентности.
Обладая более богатым по сравнению с изотермическими течениями
спектром характеристических возмущений, конвективные течения обнару-
обнаруживают разнообразие механизмов неустойчивости. Наличие различных по
своей физической природе механизмов развития возмущений делает кон-
конвективные течения чувствительными к воздействию всякого рода внешних
и внутренних факторов. Изучение механизмов и характеристик неустойчи-
неустойчивости в разных ситуациях интересно не только с точки зрения фундамен-
фундаментальных представлений современной гидродинамики, но и в связи с практи-
практически важной задачей управления устойчивостью.
Проблема устойчивости конвективных течений была поставлена в пяти-
пятидесятых годах и интенсивно разрабатывалась в течение двух последних
десятилетий. Исследовалось влияние на устойчивость различных осложняю-
осложняющих факторов, включая внешние воздействия и всякого рода особенности,
обусловленные внутренними свойствами жидкостей, изучалась устойчи-
устойчивость новых типов конвективных течений. В имеющихся монографиях по
гидродинамической устойчивости [1-9] конвективные течения практи-
практически не рассматриваются. Изданная в 1972 г. книга [10] посвящена в ос-
основном конвективной устойчивости механического равновесия; вопросам
устойчивости течений посвящена лишь одна глава, естественно, не отражаю-
отражающая современного состояния проблемы.
Авторы данной книги ставят перед собой цель систематически изложить
результаты изучения устойчивости конвективных течений, происходящих
6 ПРЕДИСЛОВИЕ
в лабораторных масштабах при умеренных перепадах температуры, т.е.
в условиях, когда эффекты сжимаемости несущественны. Приводимая к
каждой главе библиография является довольно полной, но, разумеется,
не исчерпывающей.
Главы I—VI' написаны совместно Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицким,
глава VII - А.А. Непомнящим.
Авторы признательны Л.Г. Лойцянскому, по совету и при поддержке
которого написана эта книга. Многие результаты исследования устойчи-
устойчивости конвективных течений получены авторами книги и их товарищами
по работе. Всем им и прежде всего Р.В. Бириху, Л.П. Возовому, О.Н. Де-
Дементьеву, Е.А. Еремину, В.Г. Козлову, Н.И. Лобову, Д.В. Любимову,
В. М. Мызников у, Р.Н.Рудакову, И.Г. Семакину, Л.Е.Сорокину, Е.Л. Тару-
нину, А.Н. Шарифулину, В.М. Шихову, А.А. Якимову, В.И. Якушину вы-
выражаем искреннюю благодарность за постоянную помощь и полезные
обсуждения. Благодарим также С.Я. Герценштеина за полезные замечания.
ГЛАВА 1
КОНВЕКТИВНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
Приступая к исследованию устойчивости конвективных течений, начнем
с рассмотрения плоскопараллельного течения в плоском бесконечном вер-
вертикальном слое, границы которого поддерживаются при постоянных раз-
разных температурах. Задача устойчивости этого течения играет в определен-
определенном смысле базовую роль. На ее примере анализируются особенности
спектра нормальных возмущений, обсуждаются основные механизмы не-
неустойчивости, находятся критические параметры и форма возмущений.
Кратко излагаются основные методы решения линейной задачи устойчи-
устойчивости, получившие широкое распространение. Представлены также резуль-
результаты численного моделирования конечно-амплитудных режимов, развиваю-
развивающихся после потери устойчивости основного течения.
Постановка задачи устойчивости такого течения была дана в работах
[1, 2]; там же при помощи простейших приближений метода Галеркина
найдены оценки границ устойчивости. Наиболее полные и интересные ре-
результаты были получены позднее на основе использования современной
вычислительной техники.
§ 1. Основное стационарное течение. Уравнения возмущений
1. Уравнения тепловой конвекции. При исследовании конвективных те-
течений и их устойчивости мы будем исходить из уравнений тепловой кон-
конвекции в приближении Буссинеска. Вывод этих уравнений из общих урав-
уравнений гидродинамики, а также анализ приближений Буссинеска содержится
в ряде работ (см. [3-8]). Основным пунктом в указанном приближении
является предположение о том, что рассматривается в некотором смысле
"слабая" конвекция. Считается, что неоднородности плотности, вызванные
неоднородностью давления, малы и ими можно пренебречь. Что же касает-
касается неоднородностей плотности, вызванных неоднородностями температуры
(тепловое расширение), то ими, разумеется, полностью пренебрегать нель-
нельзя, так как именно эти неоднородности и приводят к возникновению кон-
конвекции. Они, однако, предполагаются малыми по сравнению со средней
плотностью р. Уравнение состояния записывается в простейшем виде:
00
8 ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
где 0 - объемный коэффициент теплового расширения, а Т - температура,
отсчитываемая от некоторого среднего значения. Условие "слабости" кон-
конвекции означает, что р мало отклоняется от ~р, т.е. 00 < 1, где 0 - харак-
характерная разность температур.
При записи уравнений конвекции в приближении Буссинеска неодно-
родностями плотности пренебрегается во всех уравнениях, кроме
уравнения движения, где они учитываются лишь в члене с подъемной силой.
Таким образом, имеем уравнения [9] 1)
dv 1
+ (vV)v = Vp + 1>Ду+?0!Гу, A.2)
bt р -'
ЪТ
— + vVr=xA^, A.3)
bt
divv = 0. A.4)
Здесь v — скорость жидкости; р — конвективная добавка к гидростати-
гидростатическому давлению, соответствующему средним температуре и плотности;
р - средняя плотность (для краткости мы опустили черту над р); g -
ускорение силы тяжести; v и х — коэффициенты кинематической вязкости
и температуропроводности, предполагаемые постоянными; у - единичный
вектор, направленный по вертикали вверх.
Учет неоднородности плотности лишь в уравнении движения означает
некоторую непоследовательность приближения Буссинеска. Однако срав-
сравнение многочисленных результатов решения уравнений A.2) —A.4) как
с обширным экспериментальным материалом, так и с решениями конвек-
конвективных задач на основе более полных уравнений свидетельствует о том,
что уравнения Буссинеска достаточно хорошо отражают важнейшие особен-
особенности тепловой конвекции, по крайней мере в лабораторных масштабах.
Относительно заметных отклонений от приближений Буссинеска можно
ожидать при описании конвективных течений в газах, ввиду их значитель-
значительной сжимаемости и большого значения коэффициента теплового расшире-
расширения. Более общие уравнения, учитывающие названные особенности, были
получены в работах [11, 12] для случая газа, подчиняющегося уравнению
состояния Менделеева - Клапейрона.
2. Основное стационарное течение. Рассмотрим стационарное конвектив-
конвективное течение жидкости в плоском вертикальном слое между параллельными
изотермическими плоскостями, нагретыми до разной температуры (рис. 1).
При таких условиях подогрева механическое равновесие, очевидно, невоз-
невозможно, и при сколь угодно малой разности температур возникает движение,
интенсивность которого растет с увеличением разности температур. Бу-
Будем считать, что слой замкнут сверху и снизу (закрыт непроницаемы-
непроницаемыми торцевыми перегородками). Поэтому происходит конвективная цир-
циркуляция - жидкость поднимается у нагретой стенки и опускается у хо-
холодной. Течение, таким образом, состоит из двух встречных потоков.
*") Упрощенная система уравнений конвекции использовалась еще раньше Обербе-
ком [10].
§ i. ОСНОВНОЕ ТЕЧЕНИЕ. ВОЗМУЩЕНИЯ
Рис. L Плоский вертикальный слой. Оси
координат и профиль скорости основ-
основного течения
Для случая, когда слой имеет бесконечную протяженность в верти-
вертикальном и горизонтальном направлениях (вдоль осей z и у), можно по-
получить точное решение уравнений конвекции, описывающее стационар-
стационарное плоскопараллельное течение.
При плоскопараллельном течении отлична от нуля лишь вертикальная
составляющая скорости vz. Из уравнения непрерывности тогда следует,
что vz = v0(x). Предполагая, что температура также зависит только от
поперечной координаты Т=Т0(х), получим из полных уравнений A.2),
A.3) уравнения для скорости, температуры и давления в стационарном
плоскопараллельном течении
A.5)
Эх р bz
(С — постоянная разделения переменных).
На ограничивающих слой жидкости твердых плоскостях ставятся ус-
условия прилипания и изотермичности. Отсюда следуют граничные условия
x~ + h: uo = O, Го=±0 A.6)
B0 - полная разность температур между плоскостями). Нужно иметь
в виду также условие замкнутости течения, о котором говорилось выше.
Это условие означает равенство нулю расхода:
-h
A.7)
Интегрируя уравнения A.5) с условиями A.6), A.7), найдем распре-
распределения температуры, скорости и давления
Го = - 0 — ,
h
6v
—) -(—)!. Po=const.
A.8)
Как видно из полученных формул, температура меняется по сечению
слоя линейно, т.е. так же, как в случае неподвижной жидкости. Таким
образом, в рассматриваемом плоско параллельном режиме течения по-
поперечный перенос тепла осуществляется чисто теплопроводным путем.
Распределение скорости оказывается кубическим (рис. 1). Интенсивность
Движения пропорциональна разности температур. Экстремальное значение
10 ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
у/3 h2 ,_
скорости ит= ?00— и достигается в точках je = ±/z/v3. Течение
27 v
сопровождается конвективным переносом тепла вдоль слоя; поток теп-
тепла направлен вверх и равен (на единицу длины вдоль оси у)
Q = pcp f voTodx= p— . A.9)
45
3. Уравнения возмущений. Задача устойчивости. С увеличением разности
температур между плоскостями скорость течения возрастает и оно мо-
может стать неустойчивым. При возникновении неустойчивости, очевидно,
изменится закон теплопередачи. Регистрация этого кризиса может слу-
служить одним из способов экспериментального обнаружения неустойчи-
неустойчивости.
Для исследования устойчивости стационарного плоскопараллельного
конвективного течения применим метод малых возмущений. Рассмотрим
возмущенное течение v0 + v, To + Т, р0 +р, где v, T, р — малое нестацио-
нестационарное возмущение. Подставляя возмущенные поля в исходную систему
A.2)-A.4) и линеаризуя по \,Т,р, получим систему уравнений для
возмущений
Ь\ 1
— + (W)v0 + (v0V)v = Vp+vA\ +#/377, A-Ю)
bt p -
+ vV70 +v0Vr
bt
divv = 0. A.12)
Введем безразмерные переменные. Примем в качестве единиц: расстоя-
расстояния - полутолщину слоя h, времени h2/v, скорости gj30/z2/^, температу-
температуры 0, давления pgpOh. Профили скорости и температуры основного тече-
течения в безразмерных переменных запишутся так:
ио=— (х3-х), Го=-*, A.13)
6
а система A.10)—A.12) примет вид
3v
— + Gr[(vV)v0 +(v0V)v] = -Vp + Av + Гт, A14)
дТ 1
+ Gr[vVr0 +v0Vrj = — AT, A.15)
bt Pr
divv = 0. A.16)
На твердых границах слоя возмущения скорости обращаются в нуль.
Кроме того, будем считать, что ограничивающие слой пластины являются
идеально теплопроводными; практически это означает, что теплопровод-
теплопроводность материала, из которого изготовлены пластины, много больше тепло-
§ 1. ОСНОВНОЕ ТЕЧЕНИЕ. ВОЗМУЩЕНИЯ 11
проводности жидкости. Отсюда следует, что на пластинах исчезают возму-
возмущения температуры. Имеем, таким образом, граничные условия для
возмущений
х = ±1: v = 0, Г=0. A.17)
Задача A.14)-A.17) содержит два безразмерных параметра, определяю-
определяющих подобие конвективных течений, — числа Грасгофа и Прандтля:
g(S®h3 _ v
v2 ' X '
Будем считать возмущения плоскими, т.е. предположим, что vy = 0, а
их, vz, Тир не зависят от координаты >> *). Определим функцию тока плос-
плоских возмущений соотношениями
Ъф Ъф
и* = —г-, »* = —• а-19)
oz ох
Исключая давление и вводя функцию тока, получим из A.14), A.15) сис-
систему уравнений для ф и Т:
Ъ ( ЪАф Ъф\ ЪТ
— Аф +Gr(i;0 vo )=ААф + , A.20)
Эг \ Ъг Ъг/ Ъх
ЪТ / ЪТ . Э
(
V
bt ~V" az ^ ъг ' - ~" °*21)
Здесь Д - лапласиан в переменных х, z; ¦ штрих означает дифференцирова-
дифференцирование под:.
Граничные условия вытекают из A.17), A.19) :
Ъф Ъф
* = ±1: — = — = 0, Г=0. A.22)
а^ az
Задача A.20)—A.22) имеет решения в виде так называемых нормаль-
нормальных возмущений:
ф(х, z, t) = кр{х) ехр(- Xr + ikz), T(x, z,t) = 6 (x) exp(- \t + /A:z), A.23)
где <^(лг) и 0(х) - амплитуды, X - декремент, к ~ вещественное волновое
число. Подставляя A.23) в A.20), A.21), получим систему уравнений
Для амплитуд
Д «? + ik Gr (i>oV ~ vo Д^) + ^' = — X Д^, A.24)
Д0 +*Сг(Го^М)-Х0 A.25)
(A = d2/dx2 -к2)
^ Как оказывается, при вертикальной ориентации слоя плоские возмущения на-
наиболее опасны (см. § 7).
12 ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
с граничными условиями
* = ± 1: «p=V = 0, 0=0. A.26)
Краевая задача A.24) —A.26) является характеристической: нетривиаль-
нетривиальное решение существует лишь при определенных значениях спектрального
параметра X. Декременты X находятся как собственные числа краевой за-
задачи; соответствующие собственные функции <р и в определяют структуру
характеристических возмущений скорости и температуры. Собственные
значения X зависят от чисел Грасгофа Gr и Прандтля Рг, а также от волно-
волнового числа к.
Зависимость нормальных возмущений от времени заключена в экспо-
экспоненциальном множителе ехр(—X/)- Поставленная краевая задача является
несамосопряженной и потому ее собственные числа X могут быть как ве-
вещественными, так и комплексными. Если декремент X оказывается вещест-
вещественным, то возмущение изменяется со временем монотонно: при X > О
возмущение затухает, а при X < 0 - нарастает. Условие X(Gr, Рг, к) = О
определяет в этом случае границу устойчивости основного течения относи-
относительно монотонных возмущений. Если декремент оказывается комплекс-
комплексным, то его можно представить в виде X = Хг + /X/. В этом случае возмуще-
возмущения осциллируют с частотой Хг-; эти возмущения распространяются в пото-
потоке в виде волн с фазовой скоростью с = \tlk. Затухание или нарастание
возмущений определяется знаком вещественной части Хг; граница устой-
устойчивости относительно колебательных возмущений находится из условия
Xr(Gr, Рг, А;) = 0.
Итак, исследование спектра нормальных возмущений стационарного
плоскопараллельного конвективного течения сводится к нахождению соб-
собственных чисел и собственных функций краевой задачи A.24) —A.26).
Эта задача является обобщением классической задачи теории гидродинами-
гидродинамической устойчивости. Обобщение связано с учетом двух весьма важных
факторов: дополнительной (конвективной) силы в уравнении движения
и неизотермичности основного течения и возмущений. Если в A.24) поло-
положить в = 0, то получится известное уравнение Орра — Зоммерфельда, опре-
определяющее плоские возмущения в изотермическом плоскопараллельном
потоке.
Решение сформулированной задачи в полной постановке связано со зна-
значительными математическими трудностями. В связи с этим возможны и
целесообразны различные асимптотические подходы. Один из них связан
с рассмотрением задачи устойчивости в чисто гидродинамической постанов-
постановке, когда полностью пренебрегается влиянием тепловых факторов на
развитие возмущений. Такой подход оправдан, во всяком случае, при ма-
малых значениях числа Прандтля, когда возникающие температурные возму-
возмущения быстро рассасываются со временем на фоне сравнительно медленно
изменяющихся возмущений скорости (такая ситуация, например, имеет
место в жидких металлах, которые при "нормальной" вязкости обладают
очень высокой температуропроводностью). Поэтому развитие возмущений
можно приближенно трактовать как изотермический процесс. При таком
подходе следует пренебречь членом с подъемной силой в A.24) и не рас-
§ 2. СВОЙСТВА СПЕКТРА ВОЗМУЩЕНИЙ 13
сматривать вовсе уравнение переноса тепла A.25) (при Рг -> 0 его
решением служит в -* 0). Тогда получается задача Орра — Зоммерфельда
с заданным конвективным профилем скорости vo(x):
А2# + ИсОг(и'^-и0Ау)^-\Ау; jt = ±l: <р=<// = 0. A.27)
Поставленная в этом параграфе задача устойчивости относится к одно-
однородному по z основному плоско параллельному течению A.13). Оно может
быть реализовано в средней (удаленной от торцов) части достаточно протя-
протяженного в вертикальном направлении слоя. Для получения оценки условия
реализации этого течения можно воспользоваться соображениями Бэтчело-
ра [13]. Представим себе слой конечной высоты ILL и толщины 2/г. Вдоль
нагретой (левой) стенки, начиная с ее нижней кромки, развивается восхо-
восходящий конвективный пограничный слой, толщина которого растет с высо-
высотой z по закону z1/4 (см. § 32). Аналогичным образом вдоль холодной
(правой) стенки развивается нисходящий слой. "Смыкание" этих слоев
в среднем по высоте сечении означает, в сущности, появление начального
участка плоскопараллельного течения. Искомым необходимым условием
/4
является, таким образом, неравенство 5 > 2/г, где 5 = ( —~— ) т?б -
V #3© /
толщина пограничного слоя в среднем сечении (т?6 - некоторая функция
числа Прандтля). Отсюда находим
L 4
— > —г- Gr Рг.
Таким образом, при фиксированном числе Грасгофа появления участка
плоскопараллельного течения можно добиться за счет увеличения относи-
относительной высоты слоя. С другой стороны, в слое заданной конечной высоты
имеется ограничение сверху на число Грасгофа (при слишком высоких
Gr течение состоит из невзаимодействующих пограничных слоев).
§ 2. Некоторые свойства спектра возмущений
Найденные в предыдущем параграфе распределения скорости и темпера-
температуры в основном плоскопараллельном течении A.8) описываются нечет-
нечетными профилями. Это свойство симметрии приводит к появлению некото-
некоторых характерных особенностей спектра возмущений, рассмотрению кото-
которых посвящен данный параграф. Сначала обсуждаются свойства спектра
в чисто гидродинамической постановке, полученные в [14]. Затем мы
возвращаемся к задаче в полной постановке [15].
1. Основная и сопряженная задачи. Введем оператор Н = v0 А — иЦ и °бо-
значим g = ik Gr. Тогда основная краевая задача Орра - Зоммерфельда
перепишется в виде
2 * = ±1: <p=<p' = O. B.1)
14 ГЛ. 1. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
Краевая задача, сопряженная с B.1), имеет вид:
A2 + '
B.2)
Заметим, что при Gr = 0 краевая задача становится самосопряженной.
Основная и сопряженная задачи определяют бесконечные последователь-
последовательности нормальных возмущений </>р ф{ с декрементами X/, Xz* l). Возмуще-
Возмущения </>f и сопряженные возмущения фк, принадлежащие разным декремен-
декрементам X; и \к, в определенном смысле ортогональны:
1
/ ф*к Д</?. dx = 0 (/ Фк) . B.3)
2, Спектр гидродинамических возмущений при малых числах Грасгофа.
Декременты нормальных возмущений, определяемые краевой задачей
B.1), зависят от двух параметров - числа Грасгофа и волнового числа.
Для выяснения структуры спектра полезно рассмотреть сначала предель-
предельный случай малых скоростей основного течения, т.е. малых значений числа
Грасгофа. В этой области можно получить решение методом малого пара-
параметра, разлагая собственные функции и собственные числа в ряды по
степеням g = ik Gr:
Подставляя ряды B.4) в B.1) и собирая члены при одинаковых степе-
степенях g, получим уравнения последовательных приближений
. . . -ХA)А^-1} +Я^("}; /2 = 0, 1,2,. . . B.5)
Все функции последовательных приближений удовлетворяют однородным
граничным условиям ^п\± 1) = </>("* (± 1) = 0.
Из нулевого приближения получается спектр декрементов Х^о) и соот-
соответствующих возмущений <^°) в неподвижном слое жидкости. Возмуще-
Возмущения у. ' образуют две подсистемы — четных и нечетных относительно л:
функций. Нормированные четные собственные функции имеют вид
1 \chkx cos\A/0) - к2 х ,
1 ' 4 = 0,2,4,.. .),
chk
X(o)
Декременты четных возмущений находятся из трансцендентного урав-
уравнения
к2 tg ч/^0) - к2 = - к th к. B.7)
!) Звездочкой отмечаются комплексно-сопряженные величины
2. СВОЙСТВА СПЕКТРА ВОЗМУЩКНИИ 15
Для нечетных собственных функций и декрементов имеем
shkx sin >/Х/0) - к*
х
л<0)
B-8)
\<0) - A:2 ctg Vx,<0) - fc2 = * cth k.
Функции ^°^ составляют полную ортонормированную систему:
f ^O)^iO)dx = -bik B.9)
Eд - символ Кронекера). Все декременты Х^0 вещественны и положи-
положительны. Это значит, что возмущения покоящегося слоя жидкости моно-
монотонно затухают. Декременты Х^о) зависят от волнового числа и при фик-
сированном к образуют возрастающую последовательность Ло , Ai ,
>@)
Поправки к собственным функциям нулевого приближения находятся
из неоднородных уравнений вида
aV?) + Л(о) V'?) =/„(*) (w = 1, 2, . . . ) , B.10)
где fn(x) - известная функция, определяемая предыдущими приближе-
приближениями и содержащая Х^пК Умножая B.10) на ^@^ и интегрируя, полу-
получим условие разрешимости неоднородного уравнения
)dx = 0, B.11)
- 1
из которого находятся поправки к декременту Л^. Решая далее B.10),
найдем у(п\ Таким образом, можно последовательно определить коэффи-
коэффициенты разложений B.4).
В интересующем нас случае профиль скорости, а вместе с ним опера-
оператор Н, являются нечетными относительно х. Отсюда следует, что обращают-
обращаются в нуль все поправки нечетных порядков ХA^ = Л^3) = А^ = . . . = 0,
и разложение декрементов оказывается вещественным:
X = Х(о) - *2Gr2XB) + *4Gr4XD) - . . . B.12)
Итак, при малых числах Грасгофа (пока справедливы разложения по сте-
степеням g) возмущения течения с нечетным профилем скорости монотонны:
фазовые скорости нормальных возмущений равны нулю.
Переходя к обсуждению собственных функций при малых числах Грас-
Грасф заметим прежде всего, что все у(п\ определяемые уравнениями
последовательных приближений B.5), вещественны. Поэтому, выделяя
16 ГЛ.1. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
в разложении \р вещественную и мнимую части, запишем:
* = (^°> - к2 Gr2 ^ + к4 Gr V4) -...) +
+ /fc Gr(/!) - *2Gr V3) +^4 GrV5)- . . . )• B.13)
Далее, из системы B.5) видно, что в силу нечетности оператора Я поправ-
поправки четных порядков /2^,^4^.. имеют ту же четность, что и "невозму-
"невозмущенная" амплитуда <^°\ а поправки нечетных порядков ^^1\ <р^3\ , . .
имеют четность, противоположную <^0^. Из B.13) тогда следует, что ве-
вещественная и мнимая части амплитуды <р имеют разную четность, причем
вещественная часть имеет ту же четность, что и ^°), а мнимая - противо-
противоположную. Таким образом, амплитуды <р при Gr Ф 0 не обладают опреде-
определенной четностью. Так, разложение <р, выходящее из четного уровня <^°)
(/ = 0, 2, 4,. .. ), при малом Gr имеет малую мнимую часть, нечетную по х.
Несмотря на это обстоятельство, удобно называть уровни спектра "четны-
"четными" и "нечетными" соответственно для / = 0,2,4,... и /=1,3,5,...
Нетрудно видеть, что аналогичными свойствами обладают и решения
сопряженной задачи.
Последовательные приближения кр^п^ и Х^ удобно находите, разлагая
<^л* по базисной системе собственных функций невозмущенной задачи.
Соответствующие формулы для поправок 1-го и 2-го порядков приведе-
приведены в [14].
3. Колебательные возмущения. Из вещественности разложения декре-
декрементов по степеням числа Грасгофа следует вывод о монотонности возму-
возмущений лишь при малых Gr. Ввиду несамосопряженности краевой задачи
декременты при конечных значениях параметра Gr могут стать комплекс-
комплексными, т.е. в спектре могут появиться колебательные возмущения.
Получим необходимое условие появления колебательных возмущений.
Для этого разобьем решение основной и сопряженной задач на четную (ин-
(индекс g) и нечетную (индекс и) части: <р = \р + <ри, ф = ф + фи. Умножая
B.1) поочередно на ф и фи, а B.2) — на <р и $и и интегрируя, получим
четыре интегральных соотношения, из которых с учетом свойств четности
и определения операторов Н и Н+ можно найти
(Л* -Х)ЛфиА^и-~ф§А^)с!х = О. B.14)
Входящий в это соотношение интеграл обозначим/. В случае колебатель-
колебательных возмущений X Ф X , и потому необходимым условием появления
колебательных возмущений является обращение в нуль интеграла/.
Рассмотрим сначала значение интеграла / на разных уровнях спектра
при Gr = 0. Так как в этом предельном случае краевая задача является
самосопряженной, можно выбрать амплитуды кр и ф совпадающими. Зна-
Значение интеграла / при этом определяется четностью уровня. На четных
уровнях s0 = фи = 0 и (в силу нормировки B.9)) имеем/ = 1. На нечетных
уровнях соответственно 1^ = ^ = 0 и /=-1.
§ 2. СВОЙСТВА СПЕКТРА ВОЗМУЩЕНИЙ 17
Интегралы /, надо полагать, непрерьюно зависят от числа Грасгофа;
поэтому при малых Gr они на четных уровнях отличны от нуля и сохраняют
тот же знак, что и при Gr = 0. Обращение интеграла/ на каком-либо уров-
уровне в нуль может поэтому произойти лишь при конечных Gr. С этим обстоя-
обстоятельством и связано появление комплексных декрементов (колебательных
возмущений).
Для более подробного выяснения условий возникновения колебатель-
колебательных возмущений рассмотрим пересечение двух соседних вещественных
уровней спектра (такие уровни всегда обладают разной четностью) . С этой
целью воспользуемся методом Л.Д.Ландау и Е.М. Лифшица [16], приме-
применявшимся в теории электронных термов молекул; М.И. Шлиомис ([17];
см. [8], § 26) использовал этот метод при исследовании пересечений уров-
уровней спектра возмущений равновесия неравномерно нагретой проводящей
жидкости в магнитном поле.
Пусть Gr0 — значение числа Грасгофа, при котором два соседних декре-
декремента Xi и Х2 вещественны и близки. Обозначим через $х и $2 соответ-
соответствующие амплитуды, а через фх и ф2 — сопряженные амплитуды. Ампли-
Амплитуда в близкой точке Gr0 + б Gr находится из уравнения
A2ip-ik(Gr0 +6 Gr)#^=-XA^ BЛ5)
и может быть приближенно представлена в виде суперпозиции
0 = ^101 + ^2- B.16)
Подставляя B.16) в B.15), умножая поочередно на ф*х иф1 и интегрируя,
пользуясь условием ортогональности B.3), получим систему линейных
однородных уравнений для С\ и с2. Приравнивая нулю определитель этой
системы, найдем декременты вблизи точки Gr0:
]
| [(Xi - Ха) + (^п - V22)b Gr]2 + Vl2 V2l(8 GrJ, B.17)
4
где обозначено
V упП lK
В области вещественности декрементов, в которой справедливы разло-
разложения B,4), матричные элементы VXi и V22 — вещественные, a Vi2 и
V2 х — мнимые; величина же, стоящая под корнем в B.17), всегда вещест-
вещественная.
Формула B.17) определяет два декремента Х+ и Х_. Координата точки
пересечения этих декрементов (если такое пересечение возможно) есть
Gr* = Gr0 + 5 Gr, где 5 Gr находится из условия обращения в нуль подко-
подкоренного выражения. Легко видеть прежде всего, что невозможно "простое
пересечение", при котором оба декремента вещественны по обе стороны
от точки пересечения. В самом деле, для такого пересечения необходимо,
18 ГЛ.1. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
чтобы V12 Vi1 равнялось нулк тождественно по Gr0, что заведомо не имеет
места. Если же V \2 V21 ^ 0, то ситуация определяется знаком этого произ-
произведения. При V\iV<i\ > 0 подкоренное выражение существенно положи-
положительно при всех 5 Gr и пересечение вообще невозможно. Необходимым
условием пересечения является Vi2 V21 < 0; при этом в точке Gr* проис-
происходит "слияние" вещественных декрементов (подкоренное выражение об-
обращается в нуль), а при Gr > Gr* декременты А+ и А_ образуют комп-
комплексно-сопряженную пару.
Решая систему уравнений для коэффициентов сг и с2, можно найти ам-
амплитуды tp+ и <?_ и показать, что в точке Gr* они совпадают; в этой точке
обращаются в нуль оба интеграла У+ и/__ (см. B.14)).
Итак, соседние вещественные декременты либо вовсе не пересекаются,
либо сливаются в некоторой точке Gr*, образуя комплексно-сопряженную
пару.
Подчеркнем, что выводы относительно структуры спектра, содержащие-
содержащиеся в пп. 2 и 3, не связаны с конкретным видом профиля скорости основно-
основного течения. Существенным является лишь свойство нечетности этого
профиля.
4. Полный спектр возмущений при малых числах Грасгофа. Вернемся
теперь к задаче о возмущениях основного течения в полной постановке,
учитывающей влияние тепловых факторов, A.24)-A.26). Ясно, что
спектр возмущений, определяемый полной краевой задачей, богаче рас-
рассмотренного в предыдущих пунктах, поскольку появляются дополни-
дополнительные ветви, связанные с температурными возмущениями.
Классификация спектра может быть введена на основе рассмотрения
предельного случая Gr = 0. Полагая в A.24), A.25) Gr = 0, получим
амплитудную задачу:
Рг
х = ±1: /°> = ^°>' = 0, 0<°>=О. BЛ8)
Из B.18) видно, что возможны два типа возмущений. Возмущения
первого типа ("гидродинамические") получаются, если положить 0^ = 0.
При этом амплитуды скорости находятся как собственные функции
задачи
Д2<р@)+мД^@)=0; * = ± 1: ^°> = /°>'=0, B.19)
где \1 — декременты "гидродинамических" возмущений (собственные чис-
числа задачи B.19)).
Возмущениям второго типа соответствует 0^°* Ф0 ("тепловые" возму-
возмущения) . Амплитуды тепловых возмущений в^0^ и их декременты, которые
мы далее будем обозначать v, определяются как собственные функции и
собственные числа задачи:
— Ав@) +^@) = 0; jc = ±1. 0(O)=O. B.20)
Рг
§ 2. СВОЙСТВА СПЕКТРА ВОЗМУЩЕНИЙ 19
Спектр "гидродинамических" возмущений обсужден в пп. 1 и 2; соб-
собственные функции и декременты Л*°) =/i определены формулами B.6)-
B.9). Спектр "тепловых" возмущений находится из B.20) :
(о) ( cosx/Pr^/- k2x (/ = 0,2,4,...),
di [ sinx/Pr^-fc2* (/=1,3,5,...), п?п
1 Г тг2 , 1 ^
*/= — I— O'+lJ +
Итак, в неподвижном слое жидкости возможны "гидродинамические"
и "тепловые" возмущения. Их декременты вещественны и положительны.
Положение д-уровней не меняется с изменением числа Прандтля Рг, тог-
тогда как у-уровни при увеличении Рг сгущаются в нижней части спектра.
Если увеличивать разность температур между плоскостями (при этом
число Грасгофа будет увеличиваться от нуля), то уровни "гидродинами-
"гидродинамических" и "тепловых" возмущений будут смещаться. Ясно, что при ма-
малых Gr эти смещения невелики. Поэтому можно (по крайней мере при
малых Gr) условно говорить о д- и ^-ветвях спектра, сохраняя класси-
классификацию, справедливую, строго говоря, лишь при Gr = 0.
Чисто гидродинамический подход, развитый в предыдущих пунктах,
позволяет следить лишь за д-ветвями спектра. В полном же спектре при-
присутствуют еще и v-ветви. Оба типа возмущений, разумеется, независимы
лишь в предельном случае Gr = 0.
Декременты возмущений и их амплитуды при малых разностях тем-
температур между плоскостями могут быть найдены в виде разложений по
малому параметру g = ik Gr. Нулевым приближением является задача
B.18) о возмущениях при нулевой разности температур; она дает "невоз-
"невозмущенный" спектр амплитуд и декрементов. Поправки к амплитудам и
декрементам, возникающие при отличной от нуля (но достаточно ма-
малой) разности температур, получаются путем решения уравнений последо-
последовательных приближений. Стандартная техника теории возмущений приво-
приводит к довольно громоздким формулам для этих поправок [15]. Важное
свойство разложений состоит в том, что, как и в случае произвольного
изотермического течения с нечетным профилем, обращаются в нуль все
нечетные поправки к декрементам и потому разложение декремента
оказывается чисто вещественным.
Таким образом, как гидродинамические, так и тепловые возмущения
основного конвективного течения при малых разностях температур мо-
монотонны. Колебательные возмущения могут появиться лишь при конеч-
конечных значениях числа Грасгофа 1). Из приводимых в § 4 численных ре-
1 > Исключение составляют лишь случаи "вырождения" невозмущенного спектра.
?сли при некоторых частных значениях параметров Рг и к имеется совпадение
Декрементов гидродинамического и теплового возм>щений (д = v при Gr = 0),To
обычные формулы теории возмущений не верны. Численные расчеты [15] пока-
показывают, что в этом случае возможно появление колебательных возмущений при
скольугодно малом значении параметра Gr.
20 ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
зультатов будет видно, что в полной задаче устойчивости возникнове-
возникновение колебательных возмущений, как и в случае упрощенного чисто гид-
гидродинамического подхода, связано со слиянием вещественных уровней
и с порождением в точке слияния пары комплексно-сопряженных декре-
декрементов.
§ 3.Численные методы решения
спектральной амплитудной задачи
Как показано в § 1, исследование спектра малых нормальных возмуще-
возмущений основного конвективного течения A.13) и его линейной устойчивости
сводится к решению спектральной амплитудной задачи A.24) —A.26).
Задача на собственные значения для системы высокого порядка с перемен-
переменными коэффициентами и малыми параметрами при старших производных
достаточно сложна, и возможности ее аналитического решения предельно
ограничены. Достигнутые в последнее время успехи, как, впрочем, и в слу-
случае более простой задачи устойчивости изотермических течений, связаны
с применением различных численных методов, реализуемых на ЭВМ. В этом
параграфе кратко описываются три получивших наиболее широкое распро-
распространение численных метода. При этом мы ни в коей мере не претендуем
на освещение вопросов математического обоснования методов и на изло-
изложение деталей соответствующих численных алгоритмов.
1. Метод Галеркика. Широкое распространение в задачах устойчивости-
конвективных течений получил метод Галеркина ввиду его простоты и
универсальности. Основная идея этого метода (см. [18]) состоит в том, что
приближенное решение амплитудной задачи ищется в виде линейной супер-
суперпозиции конечного числа некоторых базисных функций, удовлетворяющих
граничным условиям. Коэффициенты разложения определяются из интег-
интегральных условий, выражающих ортогональность невязки к каждой базис-
базисной функции. Задача сводится, таким образом, к решению системы ал-
алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. В качестве базиса
обычно выбираются первые функции какой-либо полной системы. Успех
в применении метода определяется выбором базисных функций и их
числом.
При аппроксимации амплитуд возмущений функции тока <р и темпера-
температуры в примем в качестве систем базисных функций соответствующие
амплитуды нормальных возмущений в покоящемся слое жидкости. Крае-
Краевые задачи, определяющие эти функции, и их явный вид приведены в
предыдущем параграфе (см, B.6)-B.9) и B.21)). В соответствии с идеей
метода Галеркина представим искомые амплитуды в виде разложений 1)
N-1 М~\
= 2 а* 9= 2 Ьтвт C.1)
т=0
1) Базис <рп был предложен Г.И. Петровым; им же доказана сходимость метода Га-
Галеркина в применении к краевой задаче Орра - Зоммерфельда [19, 20]. Этот базис
применялся для расчета устойчивости плоского течения Пуазейля [21] и спектра воз-
возмущений течения Куэтта [22].
§ 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 21
(здесь и далее для краткости опустим индекс ^ у базисных функций).
Подставляя разложения C.1) в исходные уравнения A.24), A.25) и со-
составляя условия ортогональности метода Галеркина, придем к следующей
линейной однородной системе N+M уравнений для коэффициентов раз-
разложений ап и Ьт:
N-l M-1
2 [(/*„-ХNЛГ+ft СгЯгя]дя+ Z/)A=0 (r = O,l,...,JV-l),
N-l M-1
2 ik Gr Csnan + 2 [{vm - \)bms + ik Gr Bms] bm = 0 C.2)
n=0 m=0
E = 0, 1, ... ,Af- 1).
Матричные элементы определены следующим образом (интегрирование
проводится в пределах от -1 до 1) :
Hrn = fvrH*pn dxy Dmr = /Or dx>
Csn =fesVn dx, Bms = fdmvoes dx.
Учитывая нечетность профиля скорости основного течения vOi а также
свойства четности базисных функций, легко видеть, что матричные элемен-
элементы Я, В и D отличны от нуля лишь в случае индексов разной четности,
а С — в случае одинаковой четности.
Условие существования нетривиального решения системы однородных
уравнений C.2) состоит в равенстве нулю ее определителя:
Det(/4-X?) = 0. C.3)
Здесь ii-единичная матрица, А - комплексная матрица ранга N + M,
составленная из коэффициентов системы C.2). Спектр декрементов X
находится из уравнения C.3), а решение системы C.2) дает коэффициен-
коэффициенты разложений C.1), т.е. характеристические возмущения.
Таким образом, задача сводится к решению проблемы собственных
значений для матрицы, соответствующей системе C.2). В расчетах, свя-
связанных с высокими приближениями метода Галеркина,предпочтительны-
Галеркина,предпочтительными являются итерационные способы нахождения собственных значений,
удобные для реализации на ЭВМ.
Процедуру диагонализации можно проводить с матрицей Аи получаю-
получающейся из исходной унитарным преобразованием: Ах = (JAW1 (U- матри-
матрица перехода). При этом в силу свойств четности профиля и базисных функ-
функций можно выбрать U таким образом, что матрица у^ оказывается вещест-
вещественной. Ее собственные числа поэтому либо вещественны, либо образуют
комплексно-со пряже иные пары.
Заметим, что в расчетах по методу Галеркина могут применяться, разу-
разумеется, и другие базисы. Преимущество выбранного базиса состоит в
том, что он дает точный спектр в пределе Gr ->0 и приводит к сравнитель-
сравнительно простой структуре системы C.2).
2. Метод пошагового интегрирования с ортогонализацией. Для решения
спектральной амплитудной задачи A.24)—A.26) можно применить метод
непосредственного численного интегрирования. С этой целью необходимо
22 ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
прежде всего свести краевую задачу к задаче Коши с начальными усло-
условиями.
Введем обозначения
y\=V, У2=Ф, Д'з =V, Ул = ф"\ Уб=0, у6=0' C.4)
и запишем исходную систему шестого порядка A.24), A.25) в виде систе-
системы шести уравнений первого порядка:
У\ =У2, Уг = Уъ> Уъ =Уа,
у а, = 2к2у3 -к4уг -у6 -ikGr[v>Qyl -vo(y3 - ?2j'i)] - М.Уз -k2yt),
У5=Ув, у'в=к2у5 -ikGi?r(Toy{ -voys)-\?vy5. C.5)
Для постановки задачи с начальными условиями в левой точке области
интегрирования х = — 1 должны быть поставлены шесть условий для функ-
функций уг Три из них определяются граничными условиями задачи:
х=-1: ух =у2 =У$ =0. C.6)
Недостающие три условия должны быть "перенесены" с правого конца
области х = 1. Следуя стандартному приему сведения к одноточечной за-
задаче, рассмотрим три линейно независимых частных решения системы C.5),
которые удовлетворяют условиям
Л2Ч42)=/52) = 0, /32) = 0, у[2)-1,. /62)=0; C.7)
C) C) C) C) _ C)_п C) _
У\ ^Уг =)'s =0, Уз ~Ул -0, уь -1.
Здесь верхний индекс указывает номер частного решения. С помощью этих
частных решений можно построить общее решение, удовлетворяющее гра-
граничным условиям для возмущений скорости и температуры на левом
конце:
У,(х) = С1У}1\х) + СгУ<2\Х) + С3у}3\х), i=l,2,....6. C.8)
Постоянные С\% С2, Съ определяются из граничных условий на правом
конце области интегрирования:
*=1: ух =у2 =У5 =0. C.9)
Отсюда получается система трех однородных алгебраических уравнений
для коэффициентов :
dy\x\\) + Сгу\2\\) + C3yf\\) = 0, /=1,2,5. C.10)
Условие существования нетривиального решения системы состоит в ра-
равенстве нулю ее определителя; запишем это условие, возвратившись к ис-
исходным обозначениям функций (см. C.4)):
= 0. C.11)
§ 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 23
Комплексный определитель D зависит от параметров задачи Gr, Pr, к, X.
Характеристическое уравнение C.11) Z)(Gr, Pr, /с, X) = 0 определяет спектр
комплексных декрементов X.
Таким образом, для определения спектра декрементов (и, стало быгь,
всех характеристик линейной устойчивости) нужно построить три линейно
независимых решения, удовлетворяющих условиям C.7), и вычислить
с достаточной точностью элементы определителя D. Интегрирование урав-
уравнений C.5) проводится численно; удобно пользоваться, например, мето-
методом Рунге - Кутта - Мерсона (см. [23]), который позволяет проводить
расчеты с автоматическим выбором шага при контролируемой точности.
При интегрировании системы C.5) могут возникнуть трудности, связан-
связанные с наличием малых параметров (/с Gr) и (ZcGrPr) при старших
производных. Среди решений могут появиться осциллирующие и быстро
растущие. Начальные условия C.7) обеспечивают линейную независимость
трех частных решений лишь на начальном участке интегрирования. В даль-
дальнейшем, однако, из-за наличия быстро растущего решения и ошибок округ-
округления линейная независимость частных решений теряется, — они становятся
близкими независимо от начальных условий на левом конце. Это приводит
к тому, что система C.10) оказывается плохо обусловленной и условие
C.11) не позволяет определить характеристические декременты.
Для преодоления такого рода трудностей С.К. Годуновым [24] предло-
предложен метод ортогонализации. Суть метода состоит в том, что в процессе
численного интегрирования (например, на каждом шаге) делаются оста-
остановки, при которых восстанавливается линейная независимость решений.
Существует несколько вариантов реализации этого метода. В применении
к задачам гидродинамической устойчивости они обсуждаются в книге
Р. Бетчова и В. Криминале [25]. Р.В. Бирих и Р.Н.Рудаков [26] развили
методику ортогонализации применительно к задаче устойчивости конвек-
конвективного течения. Изложим здесь процедуру, следуя [26].
Пусть после некоторого шага интегрирования мы получили три решения
)'У\ У^2\ У^3^ 0 = 1*2 6). Построим трилинейных комбинации этих
решений
yj2>=a}2yi)+a?y2)+ai2)y<3\ C.12)
^3) = .Ы'^43Ч;2)+43М3) (/=1.2 6).
Потребуем, чтобы преобразованные функции (^1 * , ^1) , 0(*) ), (<р*2* ,
^B) 0B) ^ и (^C) ^ ^(з) ^ 0<з) ^ в новой точке имели те же значения,
что и исходные функции в начальной точке интегрирования х = -1, т.е.
Ч/) _ (/) A) , (/) B) , (/) (з)
Уз -tfi Уз +«2 Уз +«з Уз =б/,,
Ч/) (/) A) . (/) B) , (/) C) ппч
i'4 =«1 У А + ^2 >'4 +«3 Г 4 =5/2» C.13)
У 6 =ai У в + а2 У в +^з >'б =б/з-
24 ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
Здесь / - номер преобразованного частного решения (/ = 1, 2, 3), Ьц - сим-
символ Кронекера. Из неоднородной алгебраической системы C.13) находят-
находятся коэффициенты аг} , a2J , аъ для каждого из трех преобразованных
решений. Функции Уз , Ул и У в определяют начальные условия для на-
нахождения решения на следующем шаге; начальные условия для у\ , у2
и y5J вычисляются с помощью соотношений C.12). При проведении этой
процедуры на каждом шаге удается сохранить линейную независимость
решений вплоть до конечной точки области интегрирования. Если рассмат-
рассматривать функции уъ , Ул , У в как компоненты трех векторов, то можно
сказать, что процедура состоит в поддержании ортогональности этих
векторов.
Производимые при ортогонализации линейные преобразования, естест-
естественно, меняют вклад каждого частного решения в общее решение C.8).
Это не отражается на собственных значениях спектральной задачи, но тре-
требует некоторых "восстановительных" операций для построения собствен-
собственных функций; соответствующий алгоритм описан в [27].
3. Метод дифференциальной прогонки. В этом пункте мы остановимся
еще на одном методе численного интегрирования, который позволяет избе-
избежать трудностей, связанных с появлением быстро растущих решений. Идея
метода (см. [28]) состоит в переходе от исходной амплитудной краевой
задачи к некоторой специальным образом конструируемой нелинейной
задаче с начальными условиями.
Запишем исходные амплитудные уравнения A.24), A.25) в виде
^IV =aip"+bip-6', e" = cip+dd. C.14)
Здесь введены обозначения для комплексных коэффициентов
a = ikGiv0 + 2к2 - X, Ъ = - ik Gx(v'Q' + k2v0) - к4 +к2\,
c = ~ik Gr Pr To, d = ik Gi Pr v0 + k2 - Pr X.
Разобьем переменные C.4) на две группы. К первой группе отнесем
функции кр, кр и 0, значения которых на левом конце области заданы усло-
условиями C.6). Во вторую группу входят остальные функции: у", <pfn и #'.
Линейную связь между функциями той и другой групп в произвольной
точке области интегрирования запишем в виде
<// = А2 \$" + А22^'" + А236', C.15)
в = АЪ1у"
где Aik(x) — комплексные функции координаты х. Для функций
можно сформулировать задачу с начальными условиями. С этой целью
прежде всего продифференцируем C.15) по х. В получившихся формулах
выразим функции первой группы через функции второй, пользуясь
C.14) и C.15). Эти соотношения должны тождественно выполняться при
любом х. Поэтому нужно приравнять коэффициенты в обеих частях при
§ 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 25
у", у'" и в*. Таким образом, придем к нелинейной системе девяти уравне-
уравнений первого порядка для элементов прогоночной матрицы Aik:
Л\\ = А21 - аА12 - ЬАцА12 - сАцА13 - dA3iAl3,
А\г ~Мг -Лц - bAl2Al2 - cAl2Al3 - dA32Al3,
А[з=А23+А12 - ЬА1ЪА12 - сА1ЪА13 - dA33Al3,
A'2i =1 -аА22 -ЬАцА22 - сАцА23 - dA3lA23,
А22 = - А2 1 - ЬАХ2А22 ~ cAi2A23 - dA32A23, C.16)
А23=А22 - ЬА13А22 - сА1ЪА23 - dAbbA23,
Af3i=- aA32 - ЬАцА32 - сАцА33 - dA3iA35,
А32 = -A3i - ЬА12А32 - сА12Аъъ - dA32A33,
А33 = 1 +АЪ2 - ЪАХЗА32 - cAl3A33 - dA33A33.
Сформулируем начальные условия к этой системе. На левом конце долж-
должны быть выполнены условия ^ = у = в = 0. Из C.15) видно, что этим ус-
условиям можно удовлетворить, положив
* = -1: Aik = 0 (/,* = 1,2,3). C.17)
Интегрируя систему C.16) с начальными условиями C.17), можно оп-
определить все прогоночные коэффициенты Aik во всей области интегрирова-
интегрирования и, в частности, на ее правом конце х = 1.
Удовлетворим теперь граничным условиям для функций ^, t/ и в на пра-
правом конце. Записывая условия связей C.15) в точке х = 1, из условия
нетривиальной разрешимости системы для ^"A), </>'"( 1) и 0'A) будем
иметь
DetAik(l) = 0. C.18)
Уравнение C.18) представляет собой искомое дисперсионное соотно-
соотношение, из которого находятся характеристические декременты.
Таким образом, интегрирование по х в направлении от х = -1 к х = 1
(прямая прогонка) позволяет определить спектр собственных значений
задачи. Одновременно находятся значения функций </', <//" и в' на правом
конце. Имея все шесть условий на правом конце и зная собственные числа,
можно интегрированием системы C.5) в обратном направлении либо, если
потребуется, применением процедуры обратной прогонки найти и собствен-
собственные функции.
Приведенные в этом параграфе численные методы, разумеется, не ис-
исчерпывают всех способов приближенного решения амплитудной задачи.
Тем не менее они являются наиболее употребительными. Каждый из
этих методов обладает своими достоинствами и недостатками. Метод
Галеркина позволяет получить общий обзор спектра характеристических
возмущений или по крайней мере его нижних ветвей. Он, однако, гро-
громоздок в реализации и требует значительных затрат машинного времени.
Методы пошагового интегрирования значительно более экономичны и
дают весьма точные результаты, но более приспособлены для анализа
26 ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
отдельных ветвей спектра. По-видимому, оптимальной (особенно в слож-
сложных задачах - см., например, § 19, 20) является такая тактика. Вначале с
помощью метода Галеркина проводится исследование общей структуры
спектра с выделением его наиболее опасных мод и анализом механиз-
механизмов неустойчивости. Далее с помощью методов пошагового интегриро-
интегрирования детально определяются характеристические декременты выделен-
выделенных мод и критические параметры неустойчивости.
§ 4. Спектр возмущений и границы устойчивости
В этом параграфе мы изложим результаты исследования структуры
спектров возмущений, границ устойчивости и характеристик критических
возмущений плоскопараллельного конвективного течения в вертикальном
слое с границами разной температуры. Большинство результатов полу-
получаются путем численного решения спектральной задачи A.24) —A.26).
1. Предельный случай малых чисел Прандтля. Мы начнем с рассмотре-
рассмотрения задачи устойчивости в чисто гидродинамической постановке, т.е. без
учета влияния тепловых факторов на развитие возмущений. Как уже гово-
говорилось в § 1, такой подход оправдан в пределе очень малых чисел Прандт-
Прандтля и приводит к задаче Орра — Зоммерфельда A.27) с конвективным про-
профилем скорости.
Решение этой задачи на основе современных численных методов было
впервые получено Р.В. Бирихом [29, 30]. Использовался метод Галеркина
с базисными функциями {рп, которые являются амплитудами возмуще-
возмущений функции тока в неподвижном слое жидкости (см. § 2,3). Для получе-
получения спектров декрементов и характеристических возмущений в достаточно
широкой области значений параметров Gr и к требуется использовать в
аппроксимации большое число базисных функций. В расчетах [29, 30]
их число достигало 36. Сравнение результатов, полученных с разным чис-
числом базисных функций, показало, что такого приближения достаточно
для надежного определения десяти нижних уровней спектра в области
fcGr<30-103.
На рис. 2 приведен пример спектра декрементов. Его вид вполне соот-
соответствует общим представлениям о структуре спектров возмущений тече-
течений с нечетным профилем скорости, изложенным в § 2. При малых Gr
все декременты вещественны и положительны, что соответствует монотон-
монотонному затуханию возмущений скорости. Видны попарные слияния вещест-
вещественных уровней с порождением колебательных возмущений. Образующие-
Образующиеся в результате слияний пары колебательных возмущений распространяют-
распространяются в потоке в виде затухающих волн (Хг > 0) с фазовыми скоростями
с = Xj/k. Двум комплексно-сопряженным декрементам соответствуют
волны, бегущие в потоке в противоположные стороны с одинаковыми по
величине фазовыми скоростями ("вырождение" волновых возмущений).
Как видно из рис. 2, при к = 1 нижний четный уровень спектра д0, оста-
оставаясь вещественным, пересекает ось Gr. Правее точки пересечения декре-
декремент отрицателен, что отвечает монотонной неустойчивости течения. Кри-
Критическое число Грасгофа, определяемое из условия Хг = 0, зависит от вол-
§ 4. ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ
27
Рис. 2. Декременты и фазовые ско-
роста возмущений изотермического
течения с кубическим профилем ско-
скорости
нового числа. Анализ подобного
рода спектров позволяет пост-
построить нейтральную кривую устой-
устойчивости на плоскости (A,Gr).
Она имеет минимум прик=кт\
соответствующее минимальное
критическое число Грасгофа Gr=
= Gvm - Значение Grm определяет
порог неустойчивости течения.
При Gr < Grm нормальные воз-
возмущения с любым волновым
числом затухают, — основное те-
течение устойчиво. При превыше-
превышении критического числа Grm
появляется интервал волновых
чисел нарастающих возмущений
Соответствующее минимуму вол-
волновое число кт определяет дли-
длину волны 2тг/кт наиболее опас-
опасного возмущения. Со стороны
больших к нейтральная кривая
ограничена асимптотой к=ко\
все возмущения мелкомасштаб-
мелкомасштабной структуры с к > к о затухают вследствие вязкой диссипации.
Согласно данным расчета [29] критические параметры таковы: Grm =
= 498, кт = 1,3. Позднее к этой задаче обращались многие авторы. По-ви-
По-видимому, наиболее точными являются значения, полученные в работе Рута
[31]: Grm =495, 628, кт = 1,344.
Таким образом, течение с кубическим профилем скорости, в отличие,
например, от течения Пуазейля, становится неустойчивым при сравнитедь-
но небольших скоростях. Это обусловлено невязкой природой неустойчи-
неустойчивости, связанной с наличием точки перегиба на профиле скорости. Кризис
течения вызывается нестабильностью границы раздела между встречными
конвективными потоками, что подтверждается анализом формы крити-
критических возмущений (см. ниже).
2. Монотонная гидродинамическая мода неустойчивости. Перейдем те-
теперь к результатам решения задачи устойчивости в полной постановке
(спектральная задача A.24)-A.26)). Монотонная неустойчивость, имею-
имеющая место в пределе Рг -» 0, естественно, продолжается в область конечных
значений Рг, причем ее характеристики, вообще говоря, зависят от числа
Прандтля. Численный расчет этой моды неустойчивости проведен в работах
Р.Н. Рудакова [15, 32] с помощью метода Галеркина. Использовались
U,U6
Ofl4
с2
i
/ У
2-Г"
10-11Л
20
28
ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
20
а
1400
1000-
200
Рис. 3. Декременты и фазовые скорости возмуще-
возмущений конвективного течения для двух значений
числа Прандтля. Сплошные линии - гидродина-
гидродинамические ветви, штриховые линии - тепловые
ветви, штрихпунктиром изображены веществен-
вещественные части комплексно-сопряженных пар
Рис. 4. Нейтральная кривая конвективного тече-
течения. Штриховыми прямыми отмечены разрезы,
для которых в § 5 проведен расчет вторичных
течений
§ 4. ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ 29
аппроксимации (см, § 3), содержавшие в разложениях амплитуд возмуще-
возмущений функции тока и температуры одинаковое число членов N = М - 14.
Установлено, что указанное приближение дает достаточно точные значения
декрементов нижних 9-14 уровней спектра в области параметра kGr <
< 2500.
На рис. 3 приведены примеры спектров декрементов. Видно, что при
малых Gr декременты как гидродинамических (д), так и тепловых (у)
уровней вещественны. С увеличением Gr происходит попарное слияние с
порождением комплексно-сопряженных декрементов (возникновение
колебательных возмущений). Простые пересечения уровней, как и в случае
спектров изотермических течений, отсутствуют. Интересно отметить осо-
особенность, хорошо видную на рис. 3, б. Гидродинамический уровень /ij и
тепловой уровень vx при некотором значении Gr сливаются, образуя
комплексно-сопряженную пару; далее, при увеличении Gr, снова наступает
расщепление на две вещественные ветви.
Структура спектра существенно меняется при изменении числа Прандт-
ля. При малых Рг нижнюю часть спектра составляют гидродинамические
уровни (при высокой теплопроводности жидкости тепловые возмущения
быстро затухают и соответствующие декременты относительно велики).
Спектр нижних гидродинамических уровней в предельном случае Рг < 1,
как и можно было ожидать, в точности совпадает со спектром изотерми-
изотермического течения с кубическим профилем. При Рг ~ 1 декременты гидроди-
гидродинамических и тепловых возмущений — одного порядка величины; д- и
^-уровни спектра чередуются. При увеличении Рг происходит "просачива-
"просачивание" тепловых уровней в нижнюю часть спектра.
Анализ спектров позволяет получить информацию об устойчивости
течения. На рис. 3, а видно, что при малых Рг неустойчивость имеет моно-
монотонный характер и вызывается вещественным гидродинамическим уров-
уровнем До • С увеличением числа Прандтля в связи с проникновением в ниж-
нижнюю часть спектра тепловых уровней происходит перестройка спектра,
и при Рг = 1, например, монотонная неустойчивость порождается "смесью"
уровней fii и рг. При больших Рг монотонная неустойчивость снова пере-
передается к основному гидродинамическому уровню д0, к которому примеши-
примешивается один из верхних тепловых уровней (v6 при Рг = 10).
На рис. 4 изображена нейтральная кривая монотонной неустойчивости
для Рг = 1; положение асимптоты к0 = 2,275 не зависит от Рг. Варьируя
число Прандтля, можно определить зависимость минимального критичес-
критического числа Грасгофа Gvm и критического волнового числа кт от Рг. Важно
заметить, что хотя при изменении Рг происходит существенная перестройка
спектра, граница монотонной неустойчивости остается мало чувствительной
к этим изменениям. Минимальное критическое число Грасгофа во всей
области изменения числа Прандтля слабо зависит от этого пара-
параметра. Этот факт, несомненно, связан с гидродинамической природой
кризиса.
Монотонная мода неустойчивости исследовалась позже в ряде работ;
назовем из них [33, 34, 31]. Данные этих работ хорошо согласуются с ре-
результатами Р.Н. Рудакова [32]. Приведем для справок критические пара-
30 ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
Таблица 1. Критические параметры монотонной неустойчивости
Рг
0
0,0001
0,001
0,01
0,05
0,10
0,15
0,30
0,50
0,70
Grm
495,628
495,546
494,808
487,966
467,658
459,345
463,2
493,537
505,858
502,589
km
1,344
1,344
1,344
1,347
1,354
1,353
1,35
1,365
1,394
1,405
Pr
1
2
3
5
7
10
12
20
35
оо
49.6,265
490,628
490,780
491,496
491,777
491,90
492,042
492,2
492,3
492,5
km
1,404
1,390
1,386
1,384
1,384
1,384
1,383
1,38
1,38
1,38
метры монотонной неустойчивости течения по данным разных авторов
(табл.1).
Для определения формы характеристических возмущений необходимо
найти собственные функции спектральной задачи A.24) —A.26). Расчеты
с помощью методов Галеркина и пошаговой ортогонализации проведены
в работах [35, 27]. Суммарное течение, образующееся в результате супер-
суперпозиции основного плоскопараллельного течения и возмущения, представ-
представлено на рис. 51). Как видно, монотонная неустойчивость развивается в
виде неподвижных вихрей на границе раздела встречных потоков.
3. Волновая мода неустойчивости. Как показывают расчеты [36], кроме
обсужденной выше монотонной гидродинамической моды неустойчивости,
существует также колебательная (волновая) мода. Эта мода, в отличие от
монотонной, существенно связана с неизотермичностью течения.
За появлением волновой моды неустойчивости легко проследить, ана-
анализируя изменение структуры спектров декрементов с увеличением числа
Прандтля. При малых и умеренных Рг в спектре имеются затухающие коле-
колебательные моды. При достаточно больших Рг колебательные возмущения
оказываются нарастающими в некотором интервале чисел Грасгофа. Ситуа-
Ситуация иллюстрируется рис. 6, на котором изображена нижняя часть спектра
при значениях параметров Рг = 15, к = 0,5. Имеются три нейтральные точки.
Одна из них (верхняя) дает монотонную неустойчивость (смесь ветвей v6
и До)- Две другие выделяют область значений Gr, внутри которой общая
вещественная часть декрементов пары v0 — V\ отрицательна, т.е. нарастают
два возмущения колебательного типа.
Таким образом, при достаточных числах Прандтля появляется новый
тип неустойчивости, связанный с нарастанием в потоке температурных
О Линейная теория устойчивости, разумеется, не позволяет определить амплитуду
вторичного течения При его построении на рис. 5 возмущение нормировано таким
образом, что амплитуда возмущения скорости составляет 0,1 от средней скорости
основного потока в половине канала Амплитуда вторичного течения может быть
найдена на основе решения задачи в нелинейной постановке (см. § 5 и гл. VII ) .
§ 4. ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОС1 И
31
волн. Поскольку инкременты этих волн комплексно-сопряжены, их фазо-
фазовые скорости отличаются только знаком. Возможны, следовательно, две
тепловые волны, одна из которых распространяется вверх, другая — вниз.
С точки зрения устойчивости обе волны равноправны — им соответствуют
одинаковые критические числа Грасгофа. Это "вырождение" объясняется
свойствами симметрии задачи — нечетностью профилей скорости и темпе-
температуры основного течения. Возникающие колебательные возмущения сно-
сносятся восходящим и нисходящим потоками и, соответственно, локализо-
локализованы преимущественно в одном из потоков.
Важно подчеркнуть, что нарастание температурных волн существенно
обусловлено их взаимодействием с гидродинамическими возмущениями.
Решение задачи о распространении чисто температурных волн в потоке
без учета взаимодействия тепловых и гидродинамических возмущений
[37], естественно, приводит к выводу о затухании тепловых волн при лю-
любой скорости течения.
Колебательная неустойчивость имеет место при числах Прандтля, пре-
превосходящих некоторое пороговое значение Рг*. Величина Рг* определя-
определялась в ряде работ; наиболее точное значение Рг* = 11,562 [38]. Нейтральные
Рис. 5. Линии тока (а) и изотермы (б) вторичного течения. Значения функции тока,
Указанные на рисунке, увеличены в 100 раз. Параметры соответствуют точке А на
Рис. 3,6
Рис 6. Декременты возмущений (к появлению колебательной неустойчивости)
32
ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
кривые колебательной неустойчивости изображены на рис. 7. Каждая ней-
нейтральная кривая имеет нижнюю и верхнюю ветви: при данном волновом
числе имеется интервал неустойчивости по Gr. На обеих ветвях нейтраль-
нейтральных кривых в области к -*0 имеет место асимптотика Gr ~ 1/к [26]. При
Рг, близких к Рг*, характеристики нейтральных кривых - критическое
число Грасгофа и критическая фазовая скорость с = Xf/k, согласно расче-
расчетам [38], описываются на нижней и верхней ветвях соответственно фор-
формулами
Gr = A78,3 - 3S99b)lk, с = A0,56 - 2,37Ь)/Аг;
Gr = A78,3 + 46,7Ь)/к, с = A0,56 + 2,47b)/fc,
где b =
В области Рг > Рг* минимальное критическое число Грасгофа Grw моно-
монотонно убывает с ростом Рг (рис. 8, ветвь 2) ; при Рг -*°° имеет место асимп-
Gr
1000?
О 0,5 1,0 к
Рис. 7. Нейтральные кривые колебательной неустойчивости для разных чисел Прандтля.
Для сравнения штриховой линией изображена нейтральная кривая гидродинамической
моды для Рг =0. Вертикальная штриховая прямая -разрез, для которого в § 5 прове-
проведен расчет вторичных течений
10
Рг W2
Рис. 8. Минимальное критическое число Грасгофа в зависимости от числа Прандтля-
/ - гидродинамическая мода, 2 - волновая
§ 4. ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ
33
1,0
0,5
i\
-=s=-—-
10 0,2
5 0,1
1
/
/
— —
80
Pr 0
80
Pr
Рис. 9. Волновое число и частота критического волнового возмущения в зависимости
от числа Прандтля
Рис. 10. Максимальный инкремент в зависимости от числа Прандтля
тотика Grm = Aj\f Pr (A = const). Это означает, что критическая разность
температур 0W = А у/ v3xl(g$h3) растет с вязкостью по закону ~р3/2.
В случае же монотонной неустойчивости, когда Grw практически не зави-
зависит от Рг, критическая разность температур 0W ~ v2l(g($h3).
Критическое волновое число кт колебательной моды растет с Рг, стре-
стремясь к предельному значению кт = 1,25 при Рг ->°°. За исключением узкой
области вблизи Рг*, критическое волновое число — порядка единицы
(рис. 9), т.е., как и в случае монотонной неустойчивости, характерный
масштаб критических возмущений порядка толщины слоя.
Частота критических колебательных возмущений (в единицах v/h2)
в точке минимума нейтральной кривой характеризуется мнимой частью
декремента \irn. Зависимость \im от Рг монотонна (рис. 9); при Рг =
= Рг* имеем Xim = 10,560. Критическая фазовая скорость, измеренная в
тех же единицах, что и скорость течения (т.е. в единицах g($Sh2/v), есть
ит = ^im/(^mGrw). Эта величина слабо зависит от Рг, возрастая при изме-
изменении Рг от Рг+ до °° от 0,059 до 0,068. Напомним, что максимальное зна-
значение скорости основного течения vQm =0,0641; таким образом, во всей
области волновой неустойчивости нейтральные тепловые волны распростра-
распространяются со скоростью, близкой к максимальной скорости основного те-
течения.
Скорость роста колебательных возмущений в области неустойчивости
может быть охарактеризована максимальным по Gr значением инкремен-
инкремента | \гт | вдоль разреза к = кт. Это значение приведено в зависимости от
Рг на рис. 10. Колебательные возмущения по сравнению с монотонными
(при сопоставимых надкритичностях) обладают весьма малой скоростью
роста.
Характеристики колебательной неустойчивости изучались в ряде работ
[34, 26, 38, 39]; полученные данные подтверждают результаты [36]. Кри-
Критические параметры волновой неустойчивости при разных числах Прандтля
по данным разных авторов приведены в табл. 2.
34
ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
Таблица 2. Критические параметры волновой неустойчивости
Рг
Рг
К'г,
11,562
11,7
11,8
12
12,5
13
15
оо
1267,6
962,5
707,196
479,594
384,9
243,6
0
0,140
0Л82
0,245
0,350
0,418
0,608
10,56
10,48
10,42
10,30
10,02
9,77
8,94
20
50
100
300
1000
10000
150,864
69,291
46,852
27,32
15,7
5,33
0,821
1,110
1,210
1,245
7,630
4,932
3,705
2,35
1,39
Итак, конвективное течение между вертикальными плоскостями, нагре-
нагретыми до разной температуры, обнаруживает неустойчивость относительно
монотонных и колебательных возмущений (рис. 8). При значениях числа
Прандтля Рг < Рг* = 11,562 неустойчивость вызывается монотонными воз-
возмущениями гидродинамической (невязкой) природы. При Рг > Рг* появ-
появляется еще одна мода неустойчивости, связанная с распространением в
потоках нарастающих температурных волн. При Рг > 12,45 волновая мода
становится более опасной - ей соответствуют меньшие критические числа
Грасгофа1).
4. Предельный случай больших чисел Прандтля. Поведение волновой
моды неустойчивости в предельном случае Рг -> °° может быть исследовано
при помощи асимптотического метода, основанного на введении малого
параметра е = 1/\/Рг.
Будем рассматривать нейтральный режим волновых возмущений (\ =
= 0) и представим амплитуды у и в, декремент X = X,- и критическое число
Грасгофа Gr в виде разложений
DЛ)
X = еХ0 + е3Х2 + .. . , Gr =
e2G2
Подставляя D.1) в уравнения A.24), A.25), получим в нулевом поряд-
порядке систему для $0 и 0О. Исключая 0О, будем иметь амплитудную задачу
()
=0, u = \0/(ikGl),
D.2)
1) Наличие двух мод неустойчивости конвективного течения впервые было обна-
обнаружено в уже цитированной работе [2 j Для определения границ устойчивости в этой
работе использовались первые приближения метода Галеркина, содержавшие в разло-
разложениях амплитуд возмущений функции тока и температуры по две базисные функ-
функции. Это приближение описывает гидродинамическую моду с погрешностью не более
20%. Качественно правильно описывается и поведение волновой моды (включая
асимптотику Grm ~1/\/ Рг при Рг -*<»). Количественные результаты для волновой
моды, однако, оказываются грубыми; так, для Рг* получается значение Рг# = 1,8.
§ 4. ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ 35
Собственным числом этой задачи является фазовая скорость и.
Сопряженная задача получается из D.2) обычным путем и имеет вид
= 0, ^0(±1) = *о'(±1) =0. D.3)
и - v0
Амплитуды у0 и ф0 и собственное число и могут быть найдены числен-
численным интегрированием краевых задач D.2) и D.3) методом Рунге - Кутта.
Система уравнений для амплитуд первого порядка приводит к неодно-
неоднородному уравнению для ^ :
—V ) = Т7Г I )
\и - v0/ ikG1 \u-Vq/
D.4)
Условие разрешимости задачи состоит в ортогональности правой части
уравнения D.4) сопряженной амплитуде нулевого порядка ф0. Из этого
условия определяется коэффициент разложения G1 и, тем самым, граница
устойчивости в первом порядке по е. После преобразований получим
М2
D.5)
\к J7 /
где
1 Г Л
- 1 [ (И - U0 ) (U - Vo) (U - U0)
l
Таким образом, для нахождения границы устойчивости в первом поряд-
порядке по б необходимо знать решение основной и сопряженной задач нулевого
порядка.
Минимизация функции Gx{k) приводит к значениям Glm = 590 и кт =
= 1,25; фазовая скорость и = 0,068. Итак, при Рг -*°° имеет место следую-
следующая асимптотика минимального' критического числа Грасгофа для волно-
волновой моды неустойчивости:
590
Grm = Glme = —— . D.6)
Этот результат впервые получен в работе Гилла и Киркхэма [40]. Сопо-
Сопоставление D.6) с результатами, полученными путем численного интегри-
интегрирования полной амплитудной задачи A.24) —A.26), показывает, что выход
на асимптотику происходит немонотонно и наступает при весьма больших
Рг(- Ю6).
Заметим, что в предельном случае Рг -» °° малый параметр е= 1/>/Рг
входит в уравнение переноса тепла в качестве коэффициента при старшей
36
ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
производной. Таким образом, возникает за-
задача о сингулярных возмущениях. При
исключении 0ОИ#1 из систем нулевого и
первого порядков получаются уравнения для
V?o и if 1 с нужным числом граничных условий.
Условия же для температуры не ставятся
("внешнее разложение"). Корректное реше-
решение задачи требует построения также и
"внутреннего разложения" и процедуры
сращивания. Поскольку, однако, граница
устойчивости в первом порядке по €
определяется интегральным соотношением
разрешимости, учет 'внутреннего разложе-
разложения" дает лишь малые добавки порядка тол-
толщины пограничного слоя. По этой же при-
причине коэффициент Gi и определяемая им
граница устойчивости в первом порядке по
е не зависят от граничных условий для воз-
возмущений температуры.
5. Экспериментальные результаты. При
экспериментальном исследовании неустой-
неустойчивость конвективного течения может быть
зарегистрирована либо по появлению вих-
вихревых элементов, нарушающих плоско-
параллельную структуру основного потока,
либо по кризису теплопередачи через слой.
В имеющихся работах [41—47] использова-
использовались оптические и тепловые методы.
В одной из первых экспериментальных
работ Онзагер и Уатсон [41] исследовали
конвекцию смеси газов N2 и СО2 в связи
с изучением режима работы термодиффу-
термодиффузионной колонны. В этом случае, согласно
теории, ожидается неустойчивость гидро-
гидродинамического типа. Действительно, в экс-
экспериментах было обнаружено, что при уве-
увеличении давления газа (при этом растет
плотность, а с ней и число Грасгофа) на-
ступгет кризис теплопроводного режима,
причем критическое число Грасгофа оказа-
оказалось близким к 580.
Вест и Арпаци [45] исследовали неустой-
неустойчивость воздуха, к которому для визуали-
Рис. 11. Вторичное течение в вертикальном слое
(фотография из работы [45]; воздух» число Грас-
Грасгофа превышает критическое на 9%)
§ 5. КОНЕЧНО-АМПЛИТУДНЫЕ РЕЖИМЫ 37
зации добавлялся табачный дым. Авторы обнаружили, что при числе
Грасгофа 540 ±10% возникает периодическая по вертикали система
вихрей на границе встречных потоков (рис. 11) с волновым числом кт =
= 1,37. Данные [41, 45], таким образом, хорошо согласуются с изложен-
изложенными в этом параграфе результатами, относящимися к гидродинамической
моде неустойчивости.
Что касается колебательной неустойчивости, то для ее эксперименталь-
экспериментального наблюдения особое значение приобретает требование достаточно боль-
большой длины канала. В коротком замкнутом канале, очевидно, бегущая
тепловая волна невозможна. Еще одно ограничение снизу на длину канала
связано с относительно медленным ростом колебательных возмущений
в области неустойчивости, о чем говорилось в п. 3. Для развития колеба-
колебательной неустойчивости необходимо, чтобы характерное время нарастания
возмущений (оно имеет порядок l/(Xrm)max, где (Vm)max - максималь-
максимальный инкремент — см. рис. 10) было меньше времени прохождения волны
по длине канала L/c (L - длина канала, с — фазовая скорость). Так, для
значений параметров Рг = 40, к = 1, Gr = 160 оценка дает L/h > 70. Близкая
оценка получается из решения задачи устойчивости с учетом концевых
эффектов [48].
Колебательная неустойчивость наблюдалась и изучалась эксперименталь-
экспериментально в [44, 46, 47], а также в некоторых других работах. В согласии с при-
приведенными в п. 3 тео^ тическими результатами волновая неустойчивость
появляется при достато -ных числах Прандтля и при большой длине канала.
Количественное сопоставление, к сожалению, затруднено, так как экспери-
эксперименты проводились в условиях, когда наряду с поперечной разностью
температур существовал продольный градиент, соответствующий устой-
устойчивой стратификации. Наличие же такого градиента сильно влияет как на
само основное течение, так и на его устойчивость (см. об этом § 8).
§ 5. Конечно-амплитудные режимы
Изложенная в предыдущих параграфах линейная теория, основанная
на рассмотрении малых возмущений, позволяет найти границу устойчи-
устойчивости основного плоскопараллельного конвективного течения. Поведение
возмущений конечной амплитуды в надкритической области и вторичные
течения, развивающиеся в результате потери устойчивости основного те-
течения, могут быть исследованы лишь на основе полных нелинейных урав-
уравнений конвекции. Вторичные режимы по своей структуре оказываются
весьма разнообразными. Подробное их исследование, включающее анализ
устойчивости, проводится в гл. VII. Здесь мы ограничимся изложением
результатов прямого численного моделирования плоских пространствен-
пространственно-периодических вторичных режимов, возникающих при потере устой-
устойчивости основного течения в вертикальном слое относительно гидродина-
гидродинамических и волновых возмущений.
Будем исходить из полных нелинейных уравнений конвекции A.2) —
A-4). Запишем эти уравнения в безразмерном виде, пользуясь единицами,
выбранными в § 1, и будем рассматривать плоские течения, характеризуе-
Ъф ЪТ Ъф ЪТ \ 1
Gr( — — )= — AT
\ Эх bz Ъг Эх / Рг
38 ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
мые безразмерной функцией тока: vx = -Ъф/Ъг, vz = дф/дх (единицей ф
служит величина gC(dh3/v). Полная система уравнений в переменных
функция тока ^-температура Т имеет вид
ЪАф ( Ъф ЪАф Ъф ЪАф\ ЪТ
+ Gr ( ) = ААф + ,
Эг \ Эх Ъг Ъг Эх / Эх
ЪТ /Ы ЪТ Ы ЪТ \ 1 EЛ)
Ъг
Здесь А = З21 Эх2 + Э2/ 3z2 - плоский лапласиан.
На вертикальных границах слоя должны выполняться условия обраще-
обращения в нуль скорости и задания температуры
Ъф
х = +1: ф = — =0, Т=±\. E.2)
Эх
Область, в которой происходит конвективное течение, имеет бесконечную
протяженность вдоль оси z, а коэффициенты уравнений и граничные усло-
условия не зависят от z. Поэтому можно искать решение нелинейных уравнений,
периодическое вдоль оси z:
/(x,z+2/,r) = f(x,z, г), E3)
где / — любая из функций, характеризующих течение, а 2/ — длина волны.
Задача сводится, таким образом, к нахождению решения системы E.1)
в прямоугольной области -l<x<l,0<z<2/ с условиями E.2) на
вертикальных границах и E.3) - на горизонтальных.
Для решения нелинейной задачи E.1) —E.3) может быть эффективно
применен метод конечных разностей. В работах [49—52], результаты ко-
которых излагаются ниже, использовались явная схема, а также неявная схе-
схема продольно-поперечной прогонки. Детали процедуры решения можно
найти в цитированных работах. Для нахождения предельных режимов ре-
решалась задача с начальными данными; при надкритическом значении числа
Грасгофа в области интегрирования задавалось некоторое начальное возму-
возмущение, например, в виде локального вихря на фоне линейного распределе-
распределения температуры, и далее прослеживалась эволюция возмущения. Переход-
Переходный процесс приводил к установлению некоторого конечно-амплитудного
вторичного режима.
1. Стационарное вторичное течение [49,50]. Обсудим сначала результа-
результаты расчетов в области малых и умеренных чисел Прандтля, когда, соглас-
согласно линейной теории, неустойчивость основного течения обусловлена моно-
монотонно растущими возмущениями гидродинамического типа. В результате
развития этих возмущений устанавливается вторичный стационарный
режим в виде периодической по z системы вихрей.
Предельный стационарный режим определяется параметрами Gr, Рги /.
Рассмотрим случай фиксированных значений Рг = 1, /= 2 (длина волны
периодического решения вдвое больше толщины слоя). При этом безраз-
безразмерное волновое число к = я/2. Согласно результатам линейной теории
5. КОНЬЧНО-АМПЛИТУДНЫЕ РЕЖИМЫ
39
(рис. 4) этому волновому числу соответствует критическое число Грас-
гофавг = 512.
Расчеты, проведенные на равномерной прямоугольной сетке 14 X 26,
показали, что при Gr < 512 в полном соответствии с линейной теорией
устойчивости любое начальное возмущение приводит в процессе установле-
установления к плоскопараллельному течению. При значениях Gr, превосходящих
критическое, в результате переходного процесса устанавливается стацио-
стационарное течение иной структуры — с образованием на длине волны одного
вихря (рис. 12),- интенсивность которого возрастает с надкритичностью.
форма вторичного течения хорошо согласуется с результатами линейной
теории (рис. 5) и данными эксперимента (рис. 11). Формирование вторич-
вторичного режима приводит к существенному изменению профилей продольной
скорости и температуры. При рассматриваемой довольно высокой надкри-
тичности интенсивность продольного течения понижается: в области, заня-
занятой вихрем, образуется зона пониженного поперечного градиента темпе-
температуры.
Наступление неустойчивости плоскопараллельного течения сопровож-
сопровождается кризисом теплопередачи. Величина поперечного теплового потока
через слой жидкости на участке, высота которого равна длине волны (на
единицу длины вдоль оси у), определяется формулой
Q± = к / (—) dz. E.4)
О \ОХ /w
Здесь к — коэффициент теплопроводности жидкости, (dT/dx)w — размер-
размерный градиент температуры на стенке, a L = 21 h - размерная длина волны.
-0,2-0^-0,6-0,8
б
"uc 12 Линии тока (а) и изотермы (б) вторичного стационарного течения (Рг=1,
=2. Gr =1250; значения функции тока умножены на 103, вертикальный размер ячейки
Несколько сжат)
40
ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
В плоскопараллельном течении температура линейно меняется с попереч-
поперечной координатой и поперечный тепловой поток определяется только моле-
молекулярной теплопроводностью: Qo = 2к0/. Введем безразмерный тепловой
поток - число Нуссельта Nu следующим образом: Nu = Q± /Qo. В режиме
плоскопараллельного течения Nu = 1; отличие же Nu от единицы может
служить мерой интенсивности поперечного конвективного переноса тепла,
связанного с появлением в режиме вторичного течения поперечной компо-
компоненты скорости.
На рис. 13 представлена зависимость числа Нуссельта от числа Грасгофа,
построенная по результатам расчетов (вертикальный разрез нейтраль-
нейтральной кривой на рис. 4). Экстраполяция зависимости Nu(Gr) на значение
Nu = 1 позволяет определить критическое число Gr = 550 ± 12, что несколь-
несколько выше значения, определяемого линейной теорией. Отличие связано с
Nu
1,20 \
1,10
1,00
500
1000
1500
Gr
Рис. 13. Безразмерный поперечный тепловой поток в надкритической области (Рг =1,
1=2)
100
50
Рг = /
0 500 1000 1500
Рис. 14. Максимальное значение функции тока в зависимости от числа Грасгофа (Рг =1,
§ 5. КОНЕЧНО-АМПЛИТУДНЫЕ РЕЖИМЫ 41
недостаточно мелким шагом использованной пространственной сетки.
Вблизи критической точки число Нуссельта линейно зависит от числа Грас-
гофа, что согласуется с результатами теории ветвления (см. § 35). Таким
образом, при указанных значениях параметров вторичный режим возбуж-
возбуждается "мягко".
Интересной характеристикой течения является максимальное значение
функции тока фт, достигаемое в центре вихря. Эта величина определяет
расход жидкости через сечение одного из встречных потоков на уровне
центра вихря. В плоскопараллельном течении фт = 1/24. Поскольку едини-
единицей измерения функции тока служит gfi®h6lv, ясно, что в этом режиме
размерный расход по сечению одного из встречных потоков пропорциона-
пропорционален разности температур 0, т.е. числу Грасгофа. На рис. 14 представлена
зависимость от Gr величины фт = Gr фт (очевидно, ^фт представляет собой
максимальное значение функции тока в единицах v). Прямая / соответст-
соответствует штоскопараллельному течению, линия // - режиму вторичного тече-
течения, точки - результат расчета. Вблизи критической точки имеет место
некоторое увеличение интенсивности продольного течения; в области же
достаточной надкритичности интенсивность продольного течения снижается
по сравнению с основным режимом.
Характеристикой амплитуды нелинейного возмущения поля скорости
может служить величина 8ф, определяемая как разность максимального и
минимального значений функции тока на осевой линии х = 0: 8ф =
= -тах ф@, z) — min i//@, z). При плоскопараллельном течении, очевидно,
5ф = 0. Отличие дф от нуля связано с изменением рельефа функции ф за счет
появления вихрей. Зависимость (дфJ от числа Грасгофа представлена^на
рис. 15. В околокритической области справедлив корневой закон: дф ~
- Grc, где Grc - критическое число, слабо зависящее от числа
Прандтля. При фиксированном Gr с ростом Рг интенсивность вторичного
течения уменьшается.
Обсужденные результаты относились к фиксированному значению
волнового числа к = тг/2. Меняя вертикальный размер области 2/, можно
исследовать вторичные течения с различными длинами волн. На рис. 16
для примера приведена зависимость безразмерного теплового потока от
волнового числа для двух фиксированных чисел Грасгофа в надкритичес-
надкритической области (горизонтальные штриховые разрезы на рис. 4). Из линей-
линейной теории следует, что при Gr > Grm область неустойчивости занимает
определенный интервал волновых чисел вблизи кт. Численное моделиро-
моделирование поведения конечных возмущений показывает, что за пределами
области неустойчивости реализуется лишь плоскопараллельное течение.
В области неустойчивости устанавливаются вторичные стационарные тече-
течения. Число Нуссельта достигает максимума при некотором значении волно-
волнового числа внутри интервала неустойчивости. С ростом Gr этот максимум
сдвигается в сторону меньших к, т.е. в сторону длинных волн. Всю длин-
длинноволновую ветвь функции Nu(fc) при Gr = 1250 построить не удается. При
^ < 1 в результате переходного процесса формируется течение, содержащее
на длине волны два вихря (хотя начальное возмущение задается в виде
42
~ 2
150
100
50
ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
Nu
Рг=О
0,5
л
/У
/
/
1,18
1,06
1,00
Gr=1250
О 500 WOO 1500 Gr ' 0 f 2 к
Рис. 15. Амплитуда возмущения функции тока в надкритической области (/ =2)
Рис. 16. Безразмерный поперечный тепловой поток в зависимости от волнового числа
(Рг=1). Штрихи на оси к отмечают границы областей неустойчивости согласно линей-
линейной теории
единственного вихря в центре области). Численный эксперимент, таким
образом, свидетельствует о том, что длинноволновое вторичное течение
при больших Gr неустойчиво. Впрочем, вопрос об устойчивости вторичных
течений требует специального рассмотрения (см. гл. VII).
2. Волновые вторичные течения [51, 52]. В § 4 было показано, что если
число Прандтля Рг > 12,45, то кризис основного течения вызывается
колебательными возмущениями типа бегущих тепловых волн. Обсудим
результаты численного исследования поведения конечных возмущений в
этой области чисел Прандтля.
Безразмерные параметры в расчетах изменялись в пределах: 16 <Рг <
< 50; 125 < Gr < 312; / = 3, 4, 6. Использовались равномерные сетки
12X36,20X36.12X70.
Начнем с результатов, относящихся к одному типичному разрезу Рг =
= 20, / = 4 (волновое число к = тг/4; этот разрез показан вертикальной штри-
штриховой прямой на рис. 7). Согласно линейной теории, при этих значениях
параметров основное течение неустойчиво относительно волновых возму-
возмущений внутри области Gr! < Gr < Gr2, где Grj = 159, Gr2 = 288.
Численные результаты свидетельствуют о колебательном поведении
возмущений; за пределами области неустойчивости они затухают, а внутри
этой области переходный процесс приводит к режиму установившихся ко-
колебаний с определенными амплитудой и периодом. Многочисленные расче-
расчеты показали, что начальные условия влияют лишь на переходный процесс,
но не на* характеристики установившихся колебаний. Следует заметить,
что в численных экспериментах проявилась весьма большая длительность
§ 5. КОНЕЧНО-АМПЛИТУДНЫЕ РЕЖИМЫ 43
процесса установления предельного автоколебательного режима. Это об-
обстоятельство связано с малой величиной инкремента возмущений в об-
области неустойчивости (см. § 4, рис. 10).
По данным линейной теории, волновая неустойчивость связана с ростом
пары возмущений, отличающихся знаком фазовой скорости. Критические
возмущения, вообще говоря, являются суперпозицией этих волн; их от-
относительные веса, естественно, не могут быть определены из линейной тео-
теории. Численные же эксперименты, о которых идет речь, с определенностью
1111-
Рис. 17. Линии тока и изотермы мгновенных полей установившихся конечно-ампли-
конечно-амплитудных колебаний (Рг= 20, / =4,Gr=219). Кадры а, б, в, г построены для моментов
времени, отстоящих на четверть периода. На картах функции тока указаны значения
величины ф =Gn//
44
ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
свидетельствуют о том, что независимо от формы и локализации началь-
начального возмущения, переходный процесс всегда приводит к симметричной
суперпозиции встречных волн.
На границе встречных конвективных потоков, как и в случае вторичных
стационарных течений, образуется периодическая вдоль слоя система вих-
вихрей. Эти вихри, однако, теперь не являются стационарными; их интенсив-
интенсивность периодически меняется со временем. На длине волны формируют-
формируются два пульсирующих вихря, осцилляции которых происходят в противо-
фазе. Центры вихрей расположены на осевой линии и остаются неподвижны-
неподвижными. Таким образом, в результате сложения встречных волн с одинако-
одинаковыми на осевой линии амплитудами образуется стоячая (на оси) волна.
В точках, отстоящих от оси на некоторое расстояние, амплитуды встречных
волн различны, и потому вдоль восходящего и нисходящего потоков рас-
распространяются волны с периодически модулированной по времени ско-
скоростью и пространственно модулированные по амплитуде. Иллюстрацией
могут служить кадры, представленные на рис. 17, где изображены линии
тока и изотермы для последовательных моментов времени. По меткам на
картах изотерм отчетливо видно, что в обеих половинах канала фаза волно-
волнового процесса перемещается вдоль по потоку. Колебания функции тока
наиболее интенсивны на осевой линии, тогда как колебания температуры
имеют наибольшую амплитуду в тех точках, где достигаются экстремумы
скорости основного течения. Последнее обстоятельство качественно согла-
согласуется с данными экспериментов [46].
Об амплитудах установившихся колебаний внутри области неустойчи-
неустойчивости можно судить по результатам, представленным на рис. 18. Изображе-
Изображены максимальные по х амплитуды колебаний функции тока Л~ и темпе-
температуры АТт в зависимости от числа Грасгофа. Интенсивность конечно-
амплитудных колебаний максимальна в середине области неустойчивости
и убывает по мере приближения к ее границам. На верхней границе воз-
возбуждение колебаний происходит "мягко". Что же касается нижней грани-
границы, то здесь имеется заметное расхождение между положениями критичес-
0,12
0,08
0,0k
0
-
-
f/
1/
1
\
Gr2 1
-0,6
0/i
0,2
150
200
250
Gr
Рис. 18. Максимальные амплитуды колебаний функции тока А фт и температуры A fm
в зависимости от числа Грасгофа (Рг=2О, / =4). Штрихи на оси Gr отмечают границы
области неустойчивости согласно линейной теории
§ 5. КОНЕЧНО-АМПЛИТУДНЫЕ РЕЖИМЫ
Ht
2,0
1,0
45
О
У
yS
1
100
200
300 Gr
Рис. 19. Частота колебаний в зависимости от числа Грасгофа (г - безразмерный пе-
период; Рг=2О,/=4)
кой точки, определяемыми численно й по линейной теории устойчивости.
Не исключено, что это расхождение свидетельствует о наличии вблизи
нижней границы подкритических движений.
Частота установившихся колебаний растет линейно с ростом числа Грас-
Грасгофа (рис. 19). Эта зависимость сохраняется и за пределами области не-
неустойчивости, где колебания становятся затухающими. Определяемая чис-
численно частота на границах области устойчивости Gri и Gr2 хорошо согла-
согласуется со значениями частоты нейтральных колебаний по данным линей-
линейной теории.
В режиме установившихся колебаний функция тока и температура в
каждой точке осциллируют со временем около средних значений, которые,
вообще говоря, отличаются от значений, соответствующих плоскопарал-
плоскопараллельному течению. Это отличие служит мерой нелинейного воздействия
конечно-амплитудных колебаний на осредненное течение. При значениях
Рис. 20. Осредненный поперечный тепло-
тепловой поток в зависимости от числа Прандт-
ля (/=4, Gr = 219)
Рг
параметров Рг = 20, / =4 область неустойчивости занимает сравнительно
узкий интервал чисел Грасгофа (см. рис. 7). Поэтому при любом Gr в об-
области неустойчивости "эффективная надкритичность" (расстояние до бли-
ближайшей границы устойчивости) мала, и потому нелинейные эффекты вы-
выражены слабо. С увеличением числа Прандтля, однако, область неустойчи-
неустойчивости расширяется и нелинейные эффекты становятся значительнее. В
частности, с увеличением Рг растет осредненный по времени безразмерный
тепловой поток (рис. 20).
46 ГЛ. I. ТЕЧЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
Выше были описаны численные эксперименты, цель которых состояла в
моделировании вторичных течений, обладающих свойством периодичности
вдоль оси слоя. Физически такая постановка задачи соответствует очень
длинному слою, когда концевыми эффектами можно пренебречь. Возмо-
Возможен, однако, и другой подход, при котором рассматривается течение в слое
конечной высоты; при этом неизбежно учитываются возникающий про-
продольный градиент температуры, направленный вверх, а также более или
менее заметные концевые эффекты. Численные расчеты (см. [53—58,61])
показывают, что в зависимости от параметров (число Прандтля, относитель-
относительная высота слоя) в таких условиях с увеличением числа Грасгофа также
может наступить переход к вторичным течениям с образованием стационар-
стационарных или волновых вихревых структур.
По мере увеличения поперечной разности температур происходит турбу-
лизация конвективно го.течения. В работах В.И. Полежаева с сотрудниками
[57—60] на основе метода конечных разностей в применении к нестацио-
нестационарным уравнениям конвекции прослежены закономерности переходного
и турьулентного режимов конвективного течения в вертикальных слоях.
Прямое моделирование конвективной турбулентности с последующим
расчетом осредненных характеристик течения и теплопереноса приводит к
результатам, согласующимся с экспериментальными данными.
ГЛАВА II
ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
В этой главе рассматриваются обобщения базовой задачи устойчивости,
связанные с учетом некоторых осложняющих факторов. Один из них (стра-
(стратификация) вводит в действие новые механизмы неустойчивости. Дейст-
Действие другого фактора (температурной зависимости вязкости) обусловлено
преимущественно деформацией профиля скорости основного течения.
Группа факторов связана с модификацией граничных условий (кривизна
стенок, их тепловые свойства, наличие проницаемой перегородки). По-
Поскольку перечисленные факторы оказывают более или менее существен-
существенное влияние на развитие возмущений основного потока, их изучение пред-
представляет значительный практический интерес с точки зрения проблемы
управления устойчивостью конвективных течений.
§ 6. Наклонный слой. Плоские возмущения
В этом и следующем параграфах обсуждается влияние rta устойчивость
конвективного течения вертикальной стратификации, создаваемой на-
наклоном слоя. В наклонном слое, границы которого поддерживаются при
разных температурах, градиент температуры имеет вертикальную состав-
составляющую. Если нагретая плоскость расположена сверху, то возникает потен-
потенциально устойчивая стратификация, оказывающая, в общем, стабилизирую-
стабилизирующее действие. Если же более высокую температуру имеет нижняя плос-
плоскость, то создается потенциально неустойчивая стратификация. Поэтому,
кроме двух механизмов неустойчивости, рассмотренных в § 4, при доста-
достаточно большом градиенте температуры появляется еще один — конвектив-
конвективный (рэлеевский) механизм, обусловленный подогревом снизу. При этом
имеет место существенное взаимовлияние механизмов неустойчивости:
наличие температурной стратификации меняет условия развития гидродина-
гидродинамических возмущений и тепловых волн; в то же время на фоне движу-
движущейся жидкости конвективная неустойчивость развивается не так, как
в равновесии.
1. Стационарное течение. Уравнения возмущений. Рассмотрим плоский
слой жидкости, ограниченный плоскостями х = ±/г, наклоненными к верти-
вертикали на угол а (рис. 21). Твердые границы поддерживаются при постоян-
постоянных температурах +0. Как и в случае вертикальной ориентации слоя,
48
ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
возможно замкнутое стационарное плоскопараллельное течение. Распре-
Распределения безразмерных скорости, температуры и давления в этом режиме
течения таковы:
ь>о = ~ С*3 ~ *)cosa = /0(x)cosa,
6 j F.1)
То - -х, р0 = — х2 sin a + const.
Таким образом, как и в вертикальном слое, температура меняется с
поперечной координатой линейно и сохраняется кубический профиль
У Рис. 21. Наклонный слой; оси координат
скорости. Наклон слоя влияет лишь на величину скорости: течение
наиболее интенсивно при вертикальной ориентации (а = 0°) и пере-
переходит в равновесие горизонтального слоя, подогреваемого снизу
(а = -90°) или сверху (а = 90°).
Рассмотрим сначала поведение малых плоских возмущений основного
течения. Наклон слоя приводит к усложнению спектральной задачи для
амплитуд нормальных возмущений функции тока и температуры, которая
теперь имеет вид
А2у + ik Gr cos a (fo'ip-foAy) + ik sin a • в +cosa • в' = -
— Ав + zfc Gr
Рг
х = +1: у =
-/0 cos л • 0) = -Х0;
= 0, 0=0.
F.2)
Задача устойчивости течения в наклонном слое была поставлена в рабо-
работе [1], где на основе простейших приближений метода Галеркина получе-
получена грубая оценка границы устойчивости. Исследование спектров возмуще-
возмущений и границ устойчивости на основе достаточно полных аппроксимаций
в методе Галеркина проведено в [2] ; расчеты выполнены во всей области
углов наклона для чисел Прандтля Рг = 0,2; 1 и 5. Решение для Рг = 0,7
и 6,7 (воздух и вода) получено в [3]. Дальнейшие расчеты границы моно-
монотонной неустойчивости в случае потенциально неустойчивой стратификации
проведены в [4] и особенно подробно в [5]. Неустойчивость течения от-
относительно волновых возмущений рассматривалась в [4, 6]. В дальнейшем
изложении мы следуем в основном работам [2, 5,6].
§ 6. НАКЛОННЫЙ СЛОЙ
49
Таблица 3. Критические параметры монотонной неустойчивости в зависимости
от угла наклона слоя
О!
-90°
-80°
-70°
-60°
-50°
-40°
-30°
-20°
-10°
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
Рг
Grm
534
528
513
489
465
448
440
440
450
470
510
565
660
815
1065
1580
= 0,2
km
]
]
]
]
L,56
1,53
L,49
1,45
1,44
1,40
,37
,35
,35
,35
,35
,35
,33
,30
,30
,28
Pr= 1
Grm
km
106,7
112,4
138 ]
407 ]
475 ]
470 ]
462 J
462 ]
471 ]
496 1
532 1
590 1
682 1
827 1
L,56
L,55
L,51
L,45
1,45
1,45
1,43
,43
,42
,41
,40
,40
,38
,35
1085 1,33
1583 1,32
Pr
Grm
21,3
22,6
29.1
378
443
453
453
458
466
491
527
583
678
830
1087
1595
= 5
*m
1,56
1,55
1,52
1,48
1,43
1,42
1,42
]
]
]
]
]
U42
1,40
1,40
1,38
1,37
1,36
L,35
L,34
L,32
2. Монотонная неустойчивость. Начнем с рассмотрения области малых и
умеренных чисел Прандтля, когда отсутствует механизм волновой неустой-
неустойчивости.
Результаты расчетов характеристик устойчивости в зависимости от
угла наклона для трех значений числа Прандтля приведены в табл. 3.
Критическое значение волнового числа кт слабо зависит от Рг и мало
меняется с изменением наклона слоя. При любых ориентациях слоя ответ-
ответственными за неустойчивость являются возмущения с длинами волн по-
порядка толщины слоя.
Минимальные критические числа Грасгофа в зависимости от угла
наклона для разных чисел Прандтля изображены на рис. 22. При ориента-
ориентациях слоя, близких к горизонтальной (а ^ —90°), критические числа
Grw существенно зависят от числа Прандтля. Однако произведение
Grm • Рг практически постоянно. Таким образом, в этой области углов
граница устойчивости определяется числом Рэлея Ram = Grm • Рг. Это
обстоятельство характерно для конвективной неустойчивости равновесия
подогреваемой снизу жидкости (см, [7] ). Таким образом, в рассматривае-
рассматриваемой области углов кризис связан с механизмом конвективной неустой-
неустойчивости равновесия жидкости при подогреве снизу. При а = -90° имеет
место явление порога конвекции в чистом виде. При почти горизонтальном
расположении слоя неустойчивость имеет ту же (рэлеевскую) природу,
с той лишь разницей, что она развивается не в покоящейся жидкости,
а на фоне медленного течения, обусловленного малым горизонтальным
градиентом температуры.
50
ГЛ. И. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
Рис. 22. Минимальное критическое число Грасгофа в зависимости от угла наклона
(по данным [ 2, 5 ])
При ориентациях слоя, близких к вертикальной (а ~ 0°), картина су-
существенно иная. В этой области критическое число Грасгофа Grw слабо
зависит от числа Прандтля, что свидетельствует о гидродинамической
природе неустойчивости. При а > 0° (более нагретой является верхняя
граница) неустойчивость также имеет гидродинамическую природу; по-
потенциально устойчивая стратификация играет при этом стабилизирую-
стабилизирующую роль.
Итак, при увеличении угла наклона к горизонтали происходит смена
механизма неустойчивости течения - от конвективного (стратификацион-
(стратификационного) к гидродинамическому. Этот переход происходит непрерывно вдоль
единой кривой Grw(o:). Важно подчеркнуть, что при малых числах Прандт-
Прандтля переход к гидродинамической моде неустойчивости наступает уже при
малых отклонениях слоя от горизонтальной ориентации. Предельная кри-
кривая Рг = 0 семейства, изображенного на рис. 22, соответствует полному
отсутствию стратификационного фактора. Эта кривая, естественно, сим-
симметрична относительно оси Grw и получается из решения уравнения Орра —
Зоммерфельда с профилем скорости F.1). Повышение устойчивости при
увеличении | а \ на кривой Рг = 0 целиком обусловлено уменьшением
скорости основного течения по мере увеличения наклона слоя к верти-
вертикали.
3. Коротковолновые возмущения. Особого рассмотрения заслужива-
заслуживает вопрос о поведении коротковолновых возмущений при разных углах
наклона.
В подогреваемом снизу горизонтальном слое коротковолновые возмуще-
возмущения со сколь угодно большими волновыми числами приводят к неустой-
неустойчивости при достаточно больших числах Рэлея. На нейтральной кривой
§ 6. НАКЛОННЫЙ СЛОЙ 51
критическое число Рэлея при больших к растет по закону Ra ~ к4 (см.
[7]). При вертикальной же ориентации коротковолновые возмущения
затухают: нейтральная кривая Gr(fc) имеет асимптоту при к = к0 (§ 4).
Рис. 23 позволяет получить ответ на вопрос о поведении коротковолно-
коротковолновых возмущений с к > к0 в переходной области углов. На этом рисунке
изображена карта областей устойчивости и неустойчивости, порождаемых
двумя нижними ветвями спектра v0 и д0 при Рг = 1 и к = 2,5. На верти-
вертикальном разрезе а = -81° отмечены характерные точки. В области (а - б)
имеет место монотонная неустойчивость по отношению к vQ-возмущению.
В области {б - в) монотонно нарастают оба возмущения. В точке в про-
происходит слияние До- и ^о-ветвей спектра декрементов с образованием
пары нарастающих колебательных возмущений; (в - г) - область коле-
колебательной неустойчивости. Выше точки г оба колебательных возмущения
затухают. Из рисунка видно, что с увеличением угла наклона к горизонтали
происходит "замыкание" соседних уровней конвективной неустойчиво-
неустойчивости, и выше определенного значения угла наклона (для параметров рис. 23
этот угол равен 15°) коротковолновая неустойчивость исчезает. Любо-
Любопытно, что в некоторой области параметров (заштрихованный клин на
рис. 23) существует колебательная коротковолновая неустойчивость.
Аналогичное "замыкание" происходит и на верхних уровнях конвек-
конвективной неустойчивости (см. [2]). Таким образом, уже при небольшом
отклонении слоя от горизонтального положения (при Рг = 1 и к - 1, на-
например, это отклонение составляет всего 3°) наступает вырождение
рэлеевского спектра неустойчивости с сохранением лишь одного (ниж-
(нижнего) монотонного уровня.
4. Тепловые волны в наклонном слое. При вертикальной ориентации
слоя (а = 0°), когда Рг > 12,45, становится существенным механизм
неустойчивости, связанный с нарастанием тепловых волн. Ниже приводят-
приводятся некоторые результаты расчетов, относящиеся к волновому механизму
неустойчивости в наклонном слое [6].
При больших числах Прандтля в нижней части спектра декрементов
происходит сгущение тепловых уровней vn (см. § 4). Сильное взаимодейст-
взаимодействие возмущений приводит к сложной структуре спектра и ее быстрой
перестройке по мере изменения угла наклона. Обработка спектров дает
Рис. 23. Карта устойчивости для корот-
коротковолновых возмущений; / и // -
нейтральные линии монотонных возму-
возмущений, штриховая линия - граница
области колебательных возмущений.
Цифрами обозначены области: 1 и 2 -
Устойчивости, 3 и 4 - монотонной неус-
неустойчивости, 5 - колебательной неустой-
неустойчивости
kGr
60
40
20
I
-90" -86"
3
1
-82"
г
a
-81°
-78"
2
1
i
-74° cc
52
ГЛ. И. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
Gr
/к -0,5
Монотонная
неустойчивость
(X
Рис 24. Сводная карта устойчивости (к =0,5). Указаны границы колебательной неустой-
неустойчивости для Рг = 15, 11 и 10- Штрихпунктирная линия - зависимость минимального
дляРг = 15
карту устойчивости на плоскости (a, Gr), представленную на рис. 24. При
ориентациях, близких к горизонтальной, неустойчивость вызывается
монотонными возмущениями (рэлеевская неустойчивость в слабо накло-
наклоненном к горизонтали слое). При наклоне к горизонтали на угол а. « 15°
(Рг = 15) неустойчивость переходит к колебательным возмущениям. При
вертикальной ориентации имеется интервал чисел Грасгофа, внутри кото-
которого нарастают колебательные возмущения. Выше этого интервала рас-
расположена ограниченная сверху область устойчивости, а при Gr >, 1000
имеется неустойчивость монотонного (гидродинамического) типа. Видно
также, что область колебательной неустойчивости ограничена со стороны
положительных а: при наклоне к вертикали на угол а « 15° (нагрев
сверху) колебательная неустойчивость исчезает.
С уменьшением Рг область колебательной неустойчивости сокращает-
сокращается. Путем экстраполяции можно определить, что для возмущений с волно-
волновым числом к = 0,5 колебательная неустойчивость исчезает при Prm = 9,5.
Результаты такой экстраполяции для разных к представлены на рис. 25.
Как видно, при Рг < 9 для всех а и к колебательная неустойчивость от-
отсутствует.
Граница устойчивости относительно произвольных плоских волновых
возмущений находится путем минимизации Gr(&), Результат представлен
на рис. 24 для Рг = 15. Скачок на кривой Grm (а) связан с переходом от
§ 6. НАКЛОННЫЙ СЛОЙ 53
монотонной неустойчивости рэлеевского типа к колебательной неустой-
неустойчивости типа нарастающих тепловых волн.
5. Конечно-амплитудные режимы. В предыдущих пунктах рассматри-
рассматривалась линейная устойчивость течения в наклонном слое. Эволюция ко-
конечных возмущений, а также структура вторичных конечно-амплитудных
режимов исследованы на основе полных нелинейных уравнений в работах
Рис. 25. Предельное число Прандтля
Prw в зависимости от волнового
числа
[8, 9]. Изложим основные результаты расчетов плоских вторичных тече-
течений, выполненных в той области чисел Прандтля, где неустойчивость основ-
основного течения связана с развитием конвективных ячеек либо вихрей на
границе встречных потоков.
Численно решались безразмерные уравнения плоского конвективного
течения в наклонном слое в переменных функция тока — температура;
решение задачи находилось методом конечных разностей. Как и в случае
вертикального слоя (§ 5), отыскивалось решение, описывающее периоди-
периодическую в направлении оси слоя конвекцию. Численное решение строилось
в прямоугольной области — 1 <л: < 1, 0 <z <2/ с условиями периодич-
периодичности по z. Обсудим некоторые результаты, относящиеся к фиксирован-
фиксированным значениям параметров Рг = 1, / = 2,2 (это значение пространственно-
пространственного периода соответствует волновому числу к = 2тг/B/) = 1,43, близкому
к минимуму нейтральной кривой). Использовалась неявная конечно-раз-
конечно-разностная схема; основные расчеты проводились на сетке 15 X 29.
Естественно ожидать, что при ориентациях, близких к горизонтальной,
конечно-амплитудные режимы будут иметь структуру типа плоских ячеек
Бенара. При ориентациях же, близких к вертикальной, в надкритической
области должны устанавливаться конечно-амплитудные вихри на границе
встречных потоков. Наиболее цнтересный результат расчетов состоит в
том, что в промежуточной области углов возможны и устойчивы оба
типа названных движений, причем структура предельного режима зависит
от начальных условий. Пример, иллюстрирующий сказанное, представлен
на рис. 26. Для режима я^еек характерно отсутствие (при достаточной
надкритичности) сквозного'течения вдоль слоя, причем соседние ячейки,
различающиеся по протяженности и интенсивности течения, имеют противо-
противоположные направления циркуляции. Режим граничных вихрей сопровожда-
сопровождается сквозным течением вблизи стенок, а все вихри имеют одинаковое
направление циркуляции.
54
ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
Рис. 26. Линии тока для ячеистого (а) и вихревого (б) режимов (Рг = 1, к = l,43,Gr = 1250,
а =-64°)
1000-
-70° -60° -50° ОС
-70° -60° -50° -40° а,
Рис. 27. Карта плоских режимов в наклонном слое (Рг=1; к =1,43). Точка С соот-
соответствует параметрам се и Gr, для которых на рис. 26 изображены сосуществующие
режимы
Рис. 28. Безразмерный тепловой поток в зависимости от угла наклона: a) Gr=625,
б) Gr = 1250; соответствующие разрезы отмечены на рис. 27. Стрелками показаны
гистерезисные переходы между режимами
§ 7. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 55
Сводная карта плоских режимов в переходной области углов представ-
представлена на рис. 27. Кривая 1 дает границу устойчивости, определяемую ли-
линейной теорией. В точках Л и В, согласно расчетам, ответвляются кри-
кривые 2 и 3. Кривые 1, 2 и 3 разбивают плоскость (a, Gr) на пять областей.
В области / имеется единственный режим течения — плоскопараллель-
плоскопараллельный. Область // соответствует режиму конвективных ячеек; этот режим
по мере увеличения Gr мягко ответвляется от плоскопараллельного на
участке кривой 1. В области /// конечно-амплитудный режим отвечает
граничным вихрям; этот режим также ответвляется мягко на участке
кривой 1. В области IV имеются два устойчивых режима — плоскопарал-
плоскопараллельный и ячеистый, жестко возбуждаемый на нижней границе области.
Наконец, в области V, ограниченной кривыми 1, 2 и 3, реализуются (в за-
зависимости от начальных условий) как ячейки, так и вихри.
На участке кривой 1 между точками Л и В, как показывают расчеты
и анализ ветвления [8], имеет место обратная бифуркация. На остальном
участке верхней границы области IV происходит прямая бифуркация;
между тем в подкритической области за счет конечных возмущений
жестко возбуждаются ячеистые течения.
В области V, где сосуществуют два устойчивых конечно-амплитудных
режима, тепловой поток через слой, естественно, зависит от типа реализую-
реализующегося режима течения. Зависимость числа Нуссельта от угла наклона
представлена на рис. 28 для двух надкритических значений числа Грасго-
фа. Как видно, эта зависимость неоднозначна. Верхние сплошные кривые
соответствуют ячеистому режиму, нижние - вихревому; штриховые
линии изображают неустойчивые (седловые) состояния. Переход между
двумя сосуществующими режимами по мере изменения угла наклона
имеет гистерезисный характер. Оба режима приводят к увеличению тепло-
потока по сравнению с молекулярным, соответствующим плоскопарал-
плоскопараллельному течению. Ячеистый режим, как видно, обеспечивает значительно
более интенсивный теплоперенос, чем вихревой. Это объясняется более
высокой скоростью поперечного течения в ячеистом режиме.
Таким образом, хотя вдоль границы линейной устойчивости переход
от рэлеевской моды к вихревой по мере изменения угла наклона проис-
происходит непрерывным образом (п. 2), в надкритической области соответ-
соответствующая перестройка имеет скачкообразный характер и сопровождает-
сопровождается явлением гистерезиса.
§ 7. Наклонный слой. Пространственные возмущения
Изложенные в § 4 и 6 результаты дают ответ на вопрос о структуре
спектра возмущений и границах устойчивости конвективного течения в
вертикальном и наклонном слоях жидкости относительно плоских возму-
возмущений. В этом параграфе будет рассмотрен вопрос о поведении пространст-
пространственных возмущений.
В теории гидродинамической устойчивости плоскопараллельных изо-
изотермических течений существует извеетное преобразование Сквайра [10],
сводящее задачу устойчивости относительно пространственных нормаль-
56 ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
ных возмущений к соответствующей задаче для плоских возмущений.
При этом оказывается, что плоские возмущения более опасны (это
утверждение обычно называют теоремой Сквайра).
Как будет видно из приводимых ниже результатов, полученных в [11],
в случае стационарного конвективного течения между параллельными
плоскостями также могут быть получены преобразования, аналогичные
преобразованиям Сквайра. Они показывают, что в определенной области
параметров — числа Прандтля и угла наклона слоя — кризис течения
вызывается растущими пространственными возмущениями.
Сформулируем прежде всего амплитудную задачу для пространствен-
пространственных возмущений. Будем исходить из общей линеаризованной системы
уравнений A.14)—A.16), определяющей поведение малых возмущений
плоскопараллельного конвективного течения. Считаем, что отличны от
нуля все три компоненты скорости vx, vy, vz ; кроме того, все возмущения
полагаем зависящими от координаты у.
Будем рассматривать нормальные возмущения, периодические вдоль
осей у и z, параллельных границам слоя:
(vx,vyivz,T,p) - exp[-\t + i(kyy+kzz)]. G.1)
Здесь к у и kz - волновые числа. Из A.14) —A.16) после подстанов-
подстановки G.1) получаются амплитудные уравнения для пространственных воз-
возмущений:
— Xvx + ikz Gr cos a- fovx = —p + (vx - k2vx) — sin a • 0, G.2)
-\vy +ikz Gr cos OL-fovу = -ikyp + (v"y - k2vy), G.3)
-\vz +ikz Gr cos a • fovz + Gr cos a- /qVx =
= -ikzp + (vz - k2vz) + cos a • в, G.4)
-X0 +ikz Grcosa-/0<9 + Gr T'Qvx = — {в" - к2в\ G.5)
Pr
vx +i(kyvy +kzvz)= 0. G.6)
Здесь штрихи означают производные по поперечной координате и введено
обозначение к2 ~к2у +к\.
Амплитуды удовлетворяют однородным граничным условиям:
х = ±1. vx = vy = vz = 0, 6 = 0. G.7)
Краевая задача G.2)—G.7) определяет пространственные возмуще-
возмущения и их декременты X, которые теперь зависят от параметров Gr, Pr,
a, к у и kz .
Соответствующая краевая задача для плоских возмущений получает-
получается, если положить vy = 0, ку = 0 и
(п*» "u"z» Т, ~р) ~ ехр (— X f + / fc z)
(далее мы будем отмечать чертой сверху все неизвестные функции и пара-
параметры, относящиеся к плоской задаче).
§ 7. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 57
Запишем амплитудные уравнения и граничные условия для плоских
возмущений:
-\UX+i~kGi cos a-fol)x = -р' + (гГх - ^2п*) - sin a • 0", G.8)
— X vz + /Л" Gr cos ос ' foVz + Gr cos a • /0' u* =
• J9 G.9)
-Л0 + / ArGrcosa • fo6 + Gr Tfovx = -=- @" - к2 0 ), G.10)
Pr
"J7; + i~kvz *= 0; G.11)
jc = ±1: F* = Uz = 0, fl"= 0. G.12)
Плоская задача G.8)-G.12) полностью эквивалентна F.2); отличие
состоит в том, что теперь в качестве неизвестных используются компо-
компоненты скорости, а не функция тока.
Покажем теперь, что можно найти преобразования, сводящие пространст-
пространственную задачу G.2)-G.7) к плоской G.8)-G.12).
Уравнение непрерывности G.6) принимает вид G.11), если положить
vx = п*> kyVy+kzvz = Jc'Ug. G.13)
Чтобы уравнение G.2) перешло в G.8), нужно к G.13) добавить пре-
преобразования
X = X, kz Gr cos a = к Gr cos ~Ы; р = ~р\
G.14)
sin a • в = sin a • в; к2 = kl + к\ = к2.
Умножая G.3) и G.4) соответственно на ку и kz и складывая, получим
G.9) при условии
kz cos а- в - к cos ~Ы • в. G.15)
Наконец, при отождествлении уравнений переноса тепла G.5) и G.10)
возникают еще два требования:
sina-Gr = sin "a • Gr, Pr ="Pr~. G.16)
Очевидно, функции Ъх, Uz, в, определяемые приведенными соотноше-
соотношениями, удовлетворяют нужным граничным условиям.
С помощью полученных соотношений производится сведение трехмер-
трехмерной задачи к плоской. Следует заметить, что при этом теряется ветвь
спектра, соответствующая у^-возмущениям. Легко убедиться на основа-
основании уравнения G.3), что, как и в случае изотермических течений, эти
возмущения затухают независимо от вида основного профиля скорости.
Из G.13)-G.16) следует, что число Прандтля и декремент не изменя-
изменяются, а число Грасгофа, волновое число и угол наклона преобразуются
58 ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
следующим образом:
Gr =~Gr~yjsm2~oi + (~k/kzJ cos2 a:,
к = >Aj + fc| = k, tg a = (fcz/ A;) tg "a.
Таким образом, критическое число Грасгофа Gr трехмерных возмуще-
возмущений с волновыми числами ку и kz для слоя, ориентированного под углом a
к вертикали, можно определить с помощью формул G.17), если извест-
известно критическое число Gr для плоских возмущений с волновым числом к
в слое, наклоненном к вертикали на угол а, отличный от a x).
Рассмотрим прежде всего два предельных случая. Пусть слой расположен
вертикально (а = 0°). Тогда из G.17) следует а = 0, Gr = Gr(k/kz). По-
Поскольку k/kz > 1, имеем Gr > Gr, т.е. трехмерным возмущениям соот-
соответствуют более высокие критические числа Грасгофа, и, следовательно,
как и в случае изотермического течения, плоские возмущения (ку = 0)
наиболее опасны.
Если слой расположен горизонтально (а. - ±90°), то скорость основного
течения равна нулю и получается задача о возмущениях равновесия при
подогреве снизу или сверху. Из соотношений G.17) следует a = ±90°,
Gr = Gr. Таким образом, в случае горизонтального слоя критические
числа Грасгофа для плоских и пространственных возмущений совпадают.
Задача для амплитуд пространственных возмущений G.2)—G.7) при
а = -90° не содержит. отдельно волновых чисел ку и kz, а лишь их ком-
комбинацию к2 =ку + к\. Декременты возмущений X и критические числа
Грасгофа Gr поэтому не зависят от направления волнового вектора
к(ку, kz), а определяются лишь его величиной. Спектр критических
чисел Грасгофа оказывается поэтому вырожденным: нейтральной точке
соответствуют возмущения различных форм — конвективные валы,
пространственные ячейки разной симметрии и др. О выборе предпочтитель-
предпочтительной формы движения см. § 36.
Рассмотрим теперь случай произвольной ориентации слоя. Для ха-
характеристики пространственных возмущений удобно ввести параметр а:
а =
К К
чЭтот параметр меняется в пределах 0 <а < 1. Значение а = 1 соответствует
плоским возмущениям: ку = 0; они рассматривались в предыдущих пара-
параграфах. Противоположный предельный случай а - 0 соответствует воз-
возмущениям с kz - 0, не зависящим от продольной координаты z и периоди-
периодическим вдоль у% Поскольку при этом компонента скорости vz отлична
от нуля, возмущения не являются плоскими. Траектории жидких частиц
в стационарном режиме представляют собой винтовые линии с осями,
^Как показано в работе [8], преобразования перехода сохраняют силу и в случае
возмущений конечной амплитуды.
§ 7, ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
59
Рис. 29. Минимальное критичес-
критическое число Грасгофа в зависи-
зависимости от угла наклона слоя для
пространственных возмущений
(малые и умеренные числа
Прандтля)
параллельными направле-
направлению основного течения
("спиральные возмуще-
возмущения").
При пересчете характе-
характеристик пространственных
возмущений по результа-
результатам решения плоской зада-
задачи параметр а удобно счи-
считать фиксированным.
Обратимся к результа-
результатам расчетов минимальных
критических чисел Грасгофа
Grw пространственных воз-
возмущений.
Рассмотрим область ма-
малых и умеренных чисел
Прандтля, когда при всех
ориентациях слоя наиболее
опасны возмущения моно-
монотонного типа. При Рг = 0,2
(рис. 29, а) абсолютный
минимум Grw для всех
углов а > —90° соответст-
соответствует плоским возмущени-
возмущениям (а = 1). При а = -90° /
имеет место вырождение,
о котором говорилось вы-
выше. Ситуация изменяется
с ростом числа. Прандтля. Так,
ной области изменения а
600
400
200
/
11
1
7/ 1
Qfi0,6№
I
/
/
0,2 П
}J
Г/
/
1
Рг=5
-90° -60°
'30°
30°
(X
при Рг = 5 (рис. 29,6) в значитель-
более опасными являются пространствен-
пространственные возмущения, причем абсолютный минимум Grw достигается при а = 0
(спиральные возмущения). Плоские же возмущения наиболее опасны при
ориентациях, близких к вертикальной, и при наклоне, соответствующем
нагреву сверху (а > 0°). Таким образом, при изменении угла наклона
происходит переход от плоской формы неустойчивости к спиральной. Угол
перехода а^ находится из пересечения кривых, соответствующих а = 0 и
а = 1. Так, при Рг = 5 и 1 имеем соответственно 0:^= —2,5° и —13°. Ана-
Аналогичные расчеты, проведенные в работе Харта [3] для воды (Рг = 6,7)
и воздуха (Рг = 0,71), дали значения а# = —1,7° и —19°. С уменьшением
числа Прандтля угол перехода смещается в сторону горизонтальной ориен-
ориентации, и при Рг-*0,24 имеем а, -> -90° [11].
60 ГЛ. И. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
Значение критического числа Grw (а) в важном предельном случае
спиральных возмущений можно найти непосредственно из G.2)-G.7),
полагая kz = 0. Для vx,vy,6 и р при этом получается задача:
-Xvx = —р + (рх - klvx) — sin a • в,
G 18)
-Xvy - -ikyp + (v'y- kyVy),
-Хв +Gr T'ovx = — @" - к2ув), vx +ikyvy = 0;
x = ±1. vx = vy = 0, 0 = 0.
Эта задача не содержит скорости основного течения (отсутствует взаимо-
взаимодействие спиральных возмущений с основным потоком). Отличие от задачи
о возмущениях равновесия в горизонтальном слое состоит в замене
g -* — g sin ос (g — ускорение силы тяжести). Решение задачи известно
(см. [7]). Граница устойчивости находится из условия X = 0 (нейтраль-
(нейтральные возмущения монотонного типа), а критическое число Грасгофа опре-
определяется путем минимизации нейтральной кривой Gr(ky), В случае неус-
неустойчивости равновесия кризис определяется числом Рэлея; для горизон-
горизонтального слоя с твердыми изотермическими границами Raw = Grm Pr ~
= 1708. В нашем случае в качестве единиц расстояния и температуры
выбраны полутолщина слоя и полуразность температур, поэтому
-GrwPrsina = 1708/16, и критическое число Грасгофа для спиральных
возмущений есть
106,7
Grw = — . G.19)
- Pr sin a
Эта формула описывает линии семейств, соответствующие а = 0, на рис. 29.
Итак, в отличие от изотермических потоков, для конвективного тече-
течения плоские возмущения отнюдь не всегда наиболее опасны. Ситуация
определяется двумя параметрами — числом Прандтля и углом наклона
слоя. При достаточно больших значениях числа Прандтля1) и а < а^ наи-
наиболее опасны пространственные спиральные возмущения. С изменением
угла наклона происходит смена формы неустойчивости — от спиральных
возмущений при ос < а^к плоским - при ос > а^ (рис. 30). Для доста-
достаточно больших Рг критический угол а# мал (в случае строго верти-
вертикальной ориентации, однако, при всех Рг наиболее опасны плоские воз-
возмущения). С уменьшением Рг расширяется область углов, внутри кото-
которой главную опасность представляют плоские возмущения.
Смена формы неустойчивости тесно связана с наличием физически различ-
различных механизмов, о которых говорилось в предыдущем параграфе. В рэ-
леевской области ответственными за неустойчивость являются пространст-
пространственные возмущения; кризис этих возмущений связан с неустойчивой
температурной стратификацией и не зависит от основного течения жидко-
' Здесь пока речь идет лишь о монотонной ветви неустойчивости.
§ 7. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
61
Рис. 30. Схематическое изображение
критических движений: а) плоские
вихри на границе встречных потоков
{а - 1, а > а*); б) пространственные
спиральные движения (а =0, а < а^
Рис. 3L Минимальное критическое чис-
число Грасгофа в зависимости от угла
наклона слоя для пространственных
возмущений
-90°
-60
62 ГЛ. И. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
сти; скорость этого течения при углах, близких к —90°, мала, и само по
себе это течение гидродинамически устойчиво. В случае же вертикального
расположения и тем более при а > 0° причиной кризиса уже не является
вертикальная стратификация — ее нет при а = 0° и она потенциально устой-
устойчива при а > 0°. В этом случае монотонная неустойчивость связана с раз-
развитием плоских гидродинамических возмущений в виде вихрей на границе
раздела встречных потоков.
При малых числах Прандтля (Рг < 0,24) уже небольшое отклонение
слоя от горизонтали приводит к достаточно интенсивному конвективному
течению. При этом даже в рэлеевской области углов неустойчивость имеет
гидродинамическую природу и связана с развитием плоских возмущений.
Если число Прандтля велико (Рг > 12,45), так что в случае вертикаль-
вертикальной ориентации неустойчивость связана с нарастающими температурными
волнами, то по мере изменения угла наклона тоже происходит смена фор-
формы неустойчивости. На рис. 31 приведены границы устойчивости для раз-
разных значений параметра пространственных возмущений а при Рг = 15.
Видно, что почти во всей области отрицательных а (подогрев снизу) не-
неустойчивость обусловлена спиральными возмущениями, т.е. имеет рэлеев-
скую природу. При а > а# = —1,75° имеет место волновая неустойчи-
неустойчивость.
Зависимость угла перехода а^ к волновой неустойчивости от числа
Прандтля может быть получена из следующих соображений. Этот угол
определяется пересечением кривой Grm (а, Рг) для спиральных возмуще-
возмущений (см. G.19)) с кривой Grm (а, Рг) для плоских возмущений типа тепло-
тепловых волн. Отсюда следует
106,7
sin а+ = — .
-PrGrm(a,,Pr)
Учитывая, что угол перехода мал, в этой формуле можно сделать при-
приближенную замену Grm (a^, Pr) ^ Grm @, Рг), где последняя величина
определена решением задачи о волновой неустойчивости в вертикальном
слое (§4). Таким образом, заменяя также sin а+ на а+, имеем
106,7
а* = . G.20)
-PrGrm(O,Pr)
При Рг -> °° с учетом асимптотики Grm @, Рг) (см. D.6)) получаем
0,181
G.21)
На рис. 32 приведены сводные данные о зависимости угла перехода
а* от lg Pr. Ветвь а относится к области малых и умеренных Рг, в которой
по мере увеличения угла наклона к горизонтали происходит переход от
рэлеевской моды к гидродинамической. Ветвь б соответствует области
§ 7. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
63
-ос.
Рис. 32 Угол перехода в зависимости от
числа Прандтля. Ветвь а - по данным
[11, 3, 4J; ветвь б - по формуле G.23);
штриховая линия - асимптотика больших
Рг (формула G.21))
Рис. 33. Граница устойчивости течения в
наклонном слое воздуха (Рг=О,72). Сплош-
Сплошные кривые — теория. / - продольные
валы, // - плоские вихри. Точки - экспе-
эксперимент [ 4 ] (отношение длины к толщине
Hjh =33): 1 - основное течение, 2 - про-
продольные валы, 3 - плоские вихри
200-
-60°
-30°
ос
Рг > 12,45, т.е. переходу к волновой моде. Наличие максимума при Рг = 27
объясняется тем, что согласно G.20) угол а# есть произведение убываю-
убывающей и растущей функций Рг.
Экспериментальное изучение смены формы неустойчивости по мере
изменения угла наклона слоя проводилось в ряде работ, начиная с [3];
библиографию можно найти в более поздних работах [12, 13]. Во всех
экспериментах при малых углах наклона к горизонтали (рэлеевская об-
область) отмечается неустойчивость типа продольных валов с переходом
по мере увеличения наклона к плоским движениям. Что касается коли-
количественного сопоставления угла перехода с теоретическими данными, то
оно сильно затруднено из-за наличия в условиях экспериментов продоль-
продольного градиента температуры. В цитированной работе Харта [3] проведен
расчет устойчивости основного течения с учетом продольного градиента,
величина которого эмпирически связывалась с длиной слоя, углом наклона
и числом Рэлея. Таким путем удается добиться удовлетворительного соот-
соответствия эксперимента и теории для слоя воды (Рг = 6,7) .
Наглядной демонстрацией смены формы неустойчивости с изменением
ориентации слоя может служить диаграмма, полученная в работе Кор-
Корпела [4], рис. 33. Сравнительно хорошее соответствие эксперимента и
теории, относящейся к бесконечному слою, можно объяснить тем, что в
64 ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
случае воздуха (Рг = 0,72) влияние продольного градиента температуры
на устойчивость и угол перехода незначительно.
В заключение этого параграфа сошлемся на некоторые эксперименталь-
экспериментальные [12-16] и численные [17, 18] исследования, посвященные структуре
течения и теплопереносу в надкритическом режиме в наклонных слоях.
Устойчивости конечно-амплитудного режима типа продольных валов посвя-
посвящены работы [19-21].
§ 8. Течение с продольным градиентом температуры
В этом параграфе будет рассмотрена устойчивость стационарного кон-
конвективного течения в вертикальном слое при наличии, кроме поперечной
разности температур, еще и продольного температурного градиента. Так
же, как и наклон слоя к вертикали, продольный градиент создает страти-
стратификацию, устойчивую или неустойчивую в зависимости от его направле-
направления. Следует, однако, отметить существенное отличие в двух способах
создания стратификации. В случае наклонного слоя стратификация не влия-
влияет на профиль скорости. Наличие же продольного градиента не только
создает стратификацию, но и существенно изменяет форму и интенсив-
интенсивность основного течения, что, в свою очередь, сильно влияет на устойчи-
устойчивость.
1. Стационарное течение. Уравнения возмущений. Пусть температуры
на вертикальных границах слоя заданы и меняются с высотой вдоль каждой
из границ по линейному закону с градиентом А:
х = +h: Т = -Az±&. (8.1)
В любом сечении слоя имеется постоянная разность температур границ 20.
Плоскопараллельное течение имеет структуру
vx = vy = 0, vz = vo(x), To = -Az + то(х), р = po(z), (8.2)
где vQ(x)y to(x) и po(z) определяются системой уравнений
1 dp о
w0 +*0ro = + g&Az = С,
Р dz (8.3)
ХТо +Av0 = 0.
Здесь С — постоянная разделения переменных.
Используя обычные единицы, запишем систему (8.3) в безразмерном
виде (из нечетности профилей v0 и т0 следует С= 0) :
dpa Ah
vo +т0 =0, то +Rau0 = 0, = z. (8.4)
dz @
Здесь Ra = gfiAh*/ (v\) - число Рэлея, определенное через вертикальный
градиент температуры. Функции v0 и т0 удовлетворяют граничным усло-
условиям:
х = ± 1: v0 = 0, т0 = + 1. (8.5)
8. ПРОДОЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТ ТЕМПЕРАТУРЫ
65
150
Рис. 34. Профили скорости и температуры при наличии продольного градиента (подо-
(подогрев снизу)
Рассмотрим сначала случай потенциально неустойчивой стратификации
(подогрев снизу; А > Q, Ra > 0). Из (8.4), (8.5) находим профили скоро-
скорости и температуры
1 / sh ух sin ух \ _ 1 / sh ух sin у х \
Ц) = —г [ ; ) ? т"о ~ Т" ( J + ) • (8.6)
2 7 \ sli 7 sin 7 / 2 \ sh 7 sin у /
Здесь 7 = Ra1/4 — параметр стратификации. С изменением параметра Ra
профили скорости и температуры деформируются сложным образом
(рис. 34). При Ra = 0 получаются,естественно, кубический профиль ско-
скорости и линейный профиль температуры. С ростом Ra в интервале 0 < Ra <
< я4 интенсивность течения возрастает и при у -> я (Ra -» я4) скорость
становится бесконечной. При переходе через значение Ra = я4 происходит
смена знака ("инверсия" стационарных профилей). Далее при увеличе-
увеличении Ra появляются новые узлы в распределении скорости, а в точках
Ra = BяL, (ЗяL, . . . скорость обращается в бесконечность. Значения
Ra = (ляL как раз соответствуют критическим числам Рэлея, характе-
характеризующим устойчивость механического равновесия в вертикальном слое,
подогреваемом снизу (см. [7]). Очевидно, что в окрестностях этих крити-
критических точек основное течение гидродинамически неустойчиво.
В случае потенциально устойчивой стратификации (нагрев сверху;
А < 0, Ra < 0) решение задачи запишем в виде
= 2м2/) \
-И
ch fi x • sin ц x
ch fi • sin fi
ch fix • sin fix
sh fi • cos fi
sh fix
sh [л ' cos fj.
) '
sh fix • cos fix \
• ).
chfi- sin fi /
(8.7)
66
ГЛ. IL ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
Здесь D = th д • ctg д + cth д • tg д, д4 = — Ы Ra.
Как видно из рис. 35, с увеличением | Ra | течение заметно замедляет-
замедляется, особенно в центральной части слоя. При достаточно большом | Ra | об-
образуются пограничные слои; их безразмерная толщина - порядка 1/д и
убывает с ростом | Ra |. В центральной части канала образуется застойная
зона с устойчивой стратификацией.
Рассмотрим теперь малые возмущения основного течения. Уравнения
для возмущений имеют вид
3v
+ Gr [(v0V)v + (vV)v0] = -Vp+Ду + Гт,
dt
dt
— + Gr
dt
(vt) = — Д7\
Рг - Pr
div v = 0.
Второе уравнение этой системы отличается от A.15) наличием дополни-
Ra
тельного члена - — (у)), описывающего взаимодействие возмущения
Рг -
скорости с полем продольного градиента температуры. Кроме того, профи-
профили основного течения и0 и т0 отличаются от простейших конвективных
профилей A.13).
Вводя плоские нормальные возмущения, получим для амплитуд возму-
возмущений функции тока и температуры спектральную задачу
1 . Ra .
= -Х0; (8.9)
— Ав
Рг
= ±1: ^ = ^' =
Рг
0=0.
/ -/оо\
|y\v
W^oooy^
1 -0,5 О
1 -°>02
-0,04
-0,06
0,04
0,02
0,5
Рис. 35. Профили скорости и температуры при наличии продольного градиента (по-
(подогрев сверху)
§ 8. ПРОДОЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТ ТЕМПЕРАТУРЫ 67
Из этой спектральной задачи при Ra = 0 получается задача A.24) —
A.26) для плоских возмущений течения в вертикальном слое при отсутст-
отсутствии продольного градиента. В другом предельном случае Gj = 0 (отсутст-
(отсутствует поперечная разность температур) ; при этом краевая задача дает спектр
возмущений механического равновесия плоского вертикального слоя,
подогреваемого снизу (Ra > 0) или сверху (Ra < 0). При нагреве сверху
механическое равновесие устойчиво, а при подогреве снизу имеет место
неустойчивость относительно монотонных возмущений.
2. Подогрев снизу. Рассмотрим сначала случай потенциально неустойчи-
неустойчивой стратификации (Ra > 0). Исследование устойчивости течения относи-
относительно плоских возмущений проведено в работе [22]. Для решения зада-
задачи в области малых и умеренных чисел Прандтля (Рг < 5) использовались
методы Галеркина и Рунге - Кутта.
Неустойчивая стратификация, в общем, способствует дестабилизации
течения. Как и в обсужденном в § 6 случае наклонного слоя, действуют
два механизма неустойчивости - гидродинамический и конвективный
(стратификационный).
Обратимся сначала к обсуждению изображенной на рис.36 карты устой-
устойчивости, относящейся к фиксированным значениям числа Прандтля и вол-
волнового числа.
При Ra = 0, когда отсутствует продольный градиент, течение становится
неустойчивым при некотором критическом значении числа Грасгофа (Gr =
= 575 для указанных Рг и к). При увеличении Ra скорость конвективного
течения возрастает, и вследствие этого гидродинамическая устойчивость
встречных потоков понижается - критическое число Грасгофа уменьшает-
уменьшается (линия 1). При Ra -* я4 скорость основного течения стремится к бес-
бесконечности и оно становится неустойчивым при сколь угодно малом Gr.
При переходе через точку "инверсии" интенсивность течения уменьшается,
что приводит к повышению устойчивости (линия 2). Между линиями 1 и 2
заключена область гидродинамической неустойчивости, внутри которой
возмущения монотонно нарастают.
Кроме описанной области неустойчивости, имеются также области кон-
конвективной неустойчивости, примыкающие к оси Ra. При отсутствии попе-
поперечной разности температур (Gr = 0) критические числа Рэлея, опреде-
определяющие границы устойчивости равновесия, образуют дискретный спектр.
Два нижних критических числа равны Ra = 132 и Ra = 319. На рис 36
эти значения соответствуют точкам пересечения оси Ra линиями 3 и 4.
При увеличении Gr эти критические числа изменяются (линии 3 и 4) и про-
происходит характерное "замыкание" нейтральных линий монотонных возму-
возмущений (ср. рис. 23). Как и в § 6, здесь речь идет о влиянии движения,
создаваемого поперечной разностью температур, на конвективную устой-
устойчивость равновесия, причем "замыкание" уровней сопровождается появле-
появлением области колебательной неустойчивости; на рисунке 36 эта область
ограничена линиями 5 и 6.
Для определения границы устойчивости ошосигельно наиболее опасных
возмущений нужно произвести минимизацию зависимости Gr(k) В области
изменения Ra от нуля до я4 минимальное значение Grmмонотонно убывает
68
ГЛ. И. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
200-
Рис. 36. Карта устойчивости (Рг=1у к =1).
Простая штриховка - области монотонной
неустойчивости; двойная штриховка - об-
область колебательной неустойчивости
Рис. 37. Карта устойчивости на плоскости
(у, Grm). Кривые для разных Рг - границы
устойчивости относительно плоских гидро-
гидродинамических возмущений; вертикальная пря-
прямая 7 =7г/2 - граница устойчивости относитель-
относительно конвективных ''перевальных" возмущений.
Область неустойчивости отмечена штриховкой
до нуля при Ra -* тг4, причем значение Grm весьма слабо зависит от числа
Прандтля, что связано с гидродинамическим характером неустойчивости.
Длина волны наиболее опасных возмущений с ростом Ra несколько умень-
уменьшается, при увеличении Ra от нуля до тг4 критическое волновое число кт
растет от 1,4 до 1,8 (Рг = 1). При рассмотрении наиболее опасных возму-
возмущений конвективной моды неустойчивости необходимо иметь в виду,
что нейтральная кривая Ra(fc) этой моды имеет при Gr = 0 минимум в точ-
точке к = 0; соответствующее значение Raw = тг4, т.е. как раз совпадает с точ-
точкой инверсии- Поэтому на карте Grm(Ra) область Ra > тг4 соответствует
неустойчивости конвективной природы. Границы устойчивости на плос-
плоскости G, Grm) приведены на рис. 37.
§ 8. ПРОДОЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТ ТЕМПЕРАТУРЫ 69
Описанные результаты дают картину устойчивости относительно плос-
плоских возмущений. Потенциально неустойчивая стратификация делает необ-
необходимым исследование пространственных возмущений. Зависимость фор-
формы профиля основного течения от Ra и наличие в уравнении переноса
тепла дополнительного члена, учитывающего продольный градиент, делают
невозможным сведение пространственной задачи к плоской. Между тем
есть основания думать, что, как и в случае наклонного слоя, при опреде-
определенных условиях (преобладающая роль стратификационного механизма
неустойчивости) пространственные возмущения могут стать наиболее
опасными. Действительно, как показано в [23], важную роль играют
пространственные возмущения некоторого специального вида ("переваль-
("перевальные возмущения"; см. [7], § 12). Эти возмущения имеют структуру:
vx = vy = 0, (vz, Т, р) ~ exp(—Xt + iky у). Как можно видеть из уравне-
уравнений (8.8), такие возмущения не взаимодействуют с основным потоком.
Амплитудная задача не содержит скорости и температуры основного тече-
течения. Решение, соответствующее нейтральному монотонному возмущению
(нижний четный уровень), таково:
77 _ Л /Я2 V
— х, Т = %/Ra cos — х; Ra=(— + ку J .
(8.10)
Как видно, наиболее гласными являются длинноволновые перевальные
возмущения с ку = 0. Соответствующее критическое число Raw = я4/16
не зависит от числа Прандтля. Таким образом, при Ra > Ram неустойчи-
неустойчивость течения вызывается стратификационным механизмом и связана
с возмущениями перевальной структуры. Сводная карта устойчивости
приведена на рис. 37.
Заметим, что в работе [23] рассмотрены также плоские гидродинами-
гидродинамические возмущения для чисел Прандтля 0; 0,75 и 7,5; численные резуль-
результаты близки к приведенным на рис. 37.
3. Нагрев сверху. Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда про-
продольный градиент температуры направлен вверх, т.е. соответствует по-
потенциально устойчивой стратификации. Этот случай представляет особый
интерес в связи с проблемой устойчивости конвективного течения в верти-
вертикальном слое конечной высоты. Течение, обусловленное поперечной раз-
разностью температур, сопровождается конвективным переносом тепла вверх
(см. § 1). Если канал закрыт сверху и снизу пробками конечной тепло-
теплопроводности, то вверху накапливается тепло, и вследствие этого автомати-
автоматически устанавливается градиент температуры, направленный вверх. Этот
градиент определяется поперечной разностью температур, отношением вы-
высоты слоя к толщине, а также условиями теплоотдачи на концах слоя.
Исследование устойчивости относительно плоских возмущений сводит-
сводится к решению амплитудной задачи (8.9) с профилями скорости и темпера-
температуры (8.7). Эга задача решалась в ряде работ.
В первой работе В.М. Зайцева и М.П. Сорокина [24] была предпринята
попытка оценить влияние стратификации на границу устойчивости на осно-
основе простейшей аппроксимации в методе Галеркина. Вест и Арпаци [25]
использовали достаточно представительный базис, однако ими допущена
ошибка в формулировке амплитудной задачи: во втором уравнении систе-
70
ГЛ. И. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
Ra ,
мы (8.9) пропущен член — кр . Это означает, что учитывается влияние
продольного градиента лишь на основное течение, но не на поведение воз-
возмущений. Расчет по методу Галеркина с использованием* высоких прибли-
приближений и численное интегрирование амплитудной задачи проведены в [22].
Исследована гидродинамическая мода неустойчивости в области чисел
Прандтля Рг < 5. Сделанный в этой работе вывод о стабилизации гидроди-
гидродинамической моды с увеличением параметра стратификации позже был
подтвержден в работе [26], где проведен расчет для Рг = 7,5, а также в дру-
других исследованиях, о которых будет идти речь ниже.
В предельном случае больших чисел Прандтля, как показано в рабо-
работах [27, 28], имеется волновая мода неустойчивости, связанная с растущи-
растущими температурными волнами. Расчет границы волновой неустойчивости
для стратифицированного слоя воды проведен в работе Харта [3]. Серия
исследований устойчивости течения в слое с продольным градиентом темпе-
температуры выполнена в Институте теплофизики СО АН СССР (см. обзор [29])
А.А. Предтеченский, А.Г. Кирдяшкин и B.C. Бердников [30], а также
А.Г. Кирдяшкин и А.А. Предтеченский [31] провели расчеты в широкой
области изменения числа Прандтля и параметра стратификации и обнаружи-
обнаружили, наряду с гидродинамической и волновой модами, также и Стационар-
Стационарную тепловую моду. Позже количественные данные о характеристиках
устойчивости были пересмотрены и уточнены [32] в связи с обнаруженной
вычислительной ошибкой. Расчет волновой моды для Рг = 7,5 проведен
в [33], однако эта работа была подвергнута критике в [34]. Расчеты для
Рг = 0,71; 6,7 и 1000 выполнены в [35]. Наиболее обстоятельное исследо-
исследование границ устойчивости для всех трех мод проведено в работе Берг-
хольца [34]. Полученные им результаты подтверждают данные, относящие-
относящиеся к гидродинамической моде [22] и к двум тепловым модам [32].
Остановимся теперь на результатах расчетов устойчивости. Рис. 38 ил-
иллюстрирует стабилизирующее влияние устойчивой продольной стратифи-
стратификации на гидродинамическую моду. Минимальное критическое число
Грасгофа Grm монотонно возрастает с увеличением |Ra|. Стабилизация
4-1 О3
3-103
2-10ъ
/•/О'
Grm
w
/Pr=Q2
80 |RQ|
Рис. 38. Минимальное критическое чис-
число Грасгофа в зависимости от продоль-
продольного градиента (гидродинамическая
мода [22])
8. ПРОДОЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТ ТЕМПЕРАТУРЫ
71
J
2
1
J
/
л *
/\
-——-^ \«?
—^ш
^^
Рг
i i
I
1
\
1 \
J ч
\3
у
= 1000
I
opz ^'"
Pr=20
'\\'*o „r
'' ~~*ioo
j
v ^*
i
у
'woo
I I
0 г 4 6 jll
Puc. 39. Границы неустойчивости для разных мод [34]. Сплошная кривая — гидроди-
гидродинамическая мода (Рг=5; кривые для других Рг в масштабах рисунка практически
совпадают с приведенной); штриховые линии - волновая мода; штрихпунктирные
линии - монотонная тепловая мода
гидродинамической моды связана, во-первых, с уменьшением скорости
основного течения и, во-вторых, с образованием по мере увеличения | Ra |
"разомкнутых" пограничных слоев, т.е. с ослаблением взаимодействия
встречных потоков. К тому же в центральной части поюка образуется
застойная зона устойчивой стратификации, где подавляется развитие гидро-
гидродинамических возмущений. Согласно [22] при некотором предельном
I Ra I = Ra^ наступает полная стабилизация обсуждаемой моды: Grm ->
-* °° Для Рг = 1 и Рг = 0,2 соответственно Ra» = 112 и 125 ]). Длина вол-
волны наиболее опасных возмущений растет с ростом I Ra |, и при | Ra | ->
-* Raoo ролновое число кт стремится к нулю.
Исследование формы критических движений [37] показывает, что,
как и в случае чисто бокового подогрева, неустойчивость гидродинами-
гидродинамического типа связана с образованием неподвижных вихрей на границе
встречных потоков.
1 ) Расчс1 на основе уравнения Орра - Зоммерфельда даст сильно завышенное
значение Ra«, - см [36]
72
ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
По мере увеличения числа Прандтля и параметра стратификации на сме-
смену гидродинамической моде неустойчивости приходят тепловые моды.
Наличие устойчивой стратификации повышает упругие свойства конвектив-
конвективной системы, что, естественно, приводит к уменьшению предельных значе-
значений числа Прандтля Рг+, соответствующих появлению волновой неустойчи-
неустойчивости. Согласно расчетам [34] при значениях параметра стратификации
[х = 1,5; 2 и 2,5 волновая мода становится опаснее гидродинамической
соответственно при Рг = 10,4; 7,2 и 3,5. Границы волновой неустойчи-
неустойчивости в зависимости от параметра стратификации изображены на рис. 39
штриховыми линиями. При малых и умеренных числах Прандтля волно-
волновая неустойчивость сменяет гидродинамическую по достижении некоторо-
некоторого предельного значения параметра стратификации д. Если Рг > 12,45,
неустойчивость связана с волновой модой, по крайней мере в области
малых и умеренных д. Асимптотика волновой моды при Рг -» °° рассмат-
рассматривалась в уже цитированной работе Гилла и Киркхэма [28]. При боль-
больших Рг справедлива, как и в отсутствие стратификации (см. § 4), форму-
формула Grm = S/x/Pr, где теперь коэффициент S является возрастающей функ-
функцией продольного градиента. При д = 0; 2 и 4 соответственно S = 590;
625 и 2,1 103; при /л > 5 справедлива формула S = 30,0jj3.
Интересно, что в области больших Рг и | Ra | появляется еще одна моно-
монотонная мода неустойчивости, впервые, как уже указывалось, обнаружен-
обнаруженная в [30, 32]. В отличие от гидродинамической моды, она связана с тепло-
тепловыми возмущениями. Соответствующие границы устойчивости изображе-
изображены на рис. 39 штрихпунктирными линиями. Эта мода имеется уже при
Рг = 20, однако наиболее опасной во всей области изменения ц еще являет-
J
2 -
1 -
-
- Pr=5
WOO
7o
1
/! y
1
10
#U /
! i 1
!l L i
1 Pr=20
3
i i
У
s' Pr=O 13
i i
О 2 4 6 /г
Рис 40. Критические волновые числа в зависимости от параметра стратификации
Обозначения кривых соответствуют рис. 39
§ 8. ПРОДОЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТ ТЕМПЕРАТУРЫ 73
ся волновая мода. При Рг > 50 имеется интервал значений параметра стра-
стратификации, где монотонная тепловая мода является наиболее опасной.
При Рг -* °°, согласно расчетам [34], асимптотика такова: Grm = G/Pr;
коэффициент Q зависит от параметра стратификации jjl.
Критические волновые числа в зависимости от д изображены на рис. 40.
На гидродинамической моде увеличение /i приводит к увеличению дли-
длины волны критических возмущений, а на тепловых модах, напротив, —
к уменьшению. Разрыв на кривой Рг = 0,73 связан с тем, что при этом зна-
значении числа Прандтля нейтральная кривая Gr(fc) волновой моды имеет два
минимума и при изменении параметра стратификации неустойчивость пе-
передается от одного минимума к друго-
другому. !-
Приведенные выше результаты от- у'-
носятся к характеристикам устойчи-
устойчивости относительно плоских возмуще-
возмущений. В работе [38] произведен непос- ,
редственный расчет характеристик "
критических трехмерных возмущений
при числе Прандтля Рг = 5 для двух
значений параметра стратификации \i =
= 0,5 и 2,5. Расчеты показали, что
наиболее опасными являются плоские
возмущения гидродинамической (/л =
=0,5) или волновой (jjl =2,5) природы.
Экспериментальные исследования
устойчивости конвективных течений в
вертикальных слоях конечной высоты
подтверждают теоретические выводы
о наличии трех мод неустойчивости.
Вест и Арпаци [25] в экспериментах
с воздухом (Рг = 0,71; /х = 1,1) пока-
зали наличие слабого стабилизирующе-
го влияния стратификации на гидроди-
намическую моду. Волновую моду
наблюдали и исследовали Харт [3] и
Ошима [39] в слоях воды (Рг = 6,7),
А.Г.Кирдяшкин, А.И. Леонтьев,Н.В.Му- ч
хина [40] (этиловый спирт, Рг = 14;
трансформаторное масло, Рг~102),
А.А. Предтеченский [41] (этиловый
спирт). v
Рис. 41. Вторичное течение в слое силиконо-
силиконового масла при наличии продольного гра-
градиента температуры, направленного вверх
(фото из [25])
74 ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
Эксперименты с определенностью свидетельствуют о том, что волновая
мода развивается в жидкостях с достаточным числом Прандтля в
относительно высоких слоях. При больших числах Прандтля и боль-
больших значениях параметра стратификации, в соответствии с теорией,
наблюдается неустойчивость, связанная с развитием стационарных тепло-
тепловых возмущений. Вторичные структуры такого типа наблюдались в экспе-
экспериментах Элдера [42] (силиконовое масло, Рг = 1000), а также в уже ци-
цитированных исследованиях [25] (силиконовое масло, Рг = 900; см. рис. 41)
и [40] (трансформаторное масло, этиловый спирт). Вторичные много-
многоячеистые структуры, развивающиеся в результате неустойчивости относи-
относительно стоячих тепловых возмущений, наблюдались также в численном
эксперименте [43].
Определяемые в экспериментах критические числа Грасгофа в общем
согласуются с теоретическими. В то же время при количественном сопо-
сопоставлении результатов нужна осторожность. Дело в том, что в эксперимен-
эксперименте, как правило, условия подогрева соответствуют изотермичности верти-
вертикальных границ, а градиент температуры автоматически возникает в цент-
центральной части слоя вследствие накопления тепла вверху. Приведенное же
выше решение задачи линейной устойчивости плоскопараллельного тече-
течения относится к случаю, когда постоянный вертикальный градиент темпе-
температуры задан не только в центральной части сечения слоя, но и на боковых
границах.
В этом и предыдущем параграфах рассмотрены два способа создания
вертикальной стратификации, обусловленные наклоном слоя либо зада-
заданием продольного градиента. Возможна также ситуация, когда оба фактора
действуют совместно (наклонный слой с продольным градиентом). Не ос-
останавливаясь на обсуждении исследований устойчивости в такой поста-
постановке, сошлемся лишь на работы [3, Зи].
§ 9. Температурная неоднородность вязкости
При постановке задачи устойчивости конвективного течения (§ 1)
предполагалось, что физические параметры жидкости являются постоян-
постоянными величинами. В действительности эти коэффициенты зависят от тем-
температуры и давления. Наиболее существенным эффектом является темпе-
температурная зависимость вязкости. Практически интересные разности темпе-
температур часто соответствуют изменению вязкости в несколько раз, а иногда
и по порядку величины. Учет температурной зависимости вязкости особен-
особенно важен при описании конвективной устойчивости высоковязких жид-
жидкостей, поскольку в таких жидкостях интенсивная конвекция и
неустойчивость возникают при достаточно больших разностях тем-
температур.
Уравнения конвекции с учетом температурной зависимости вязкости
отличаются от обычных уравнений Буссинеска заменой плотности вязкой
силы r}Av; на doik/dxk, где oik - тензор вязких напряжений, т? - динами-
§ 9. НЕОДНОРОДНОСТЬ ВЯЗКОСТИ 75
ческая вязкость,
>Ъхк
С учетом этой замены уравнение движения приобретает вид
dv
+ (W)v =
dt
- V
р -'
Входящий в это уравнение градиент кинематической вязкости связан
dp
с градиентом температуры: V^ = —VT. Зависимость v(T) далее для
dT
простоты будем считать линейной:
v = vo(l-aT). (9.2)
Здесь v0 - значение вязкости при температуре условного нуля (Т = 0),
а а - температурный коэффициент; у капельных жидкостей обычно а > 0.
Запишем уравнение движения (9.1) с учетом (9.2) в безразмерной фор-
форме, причем в качестве характерной вязкости примем v0. Тогда получим
Эу
— + Gr(vV)v =
= -Vp +A -кТ)А\ -2k(VFV)v ~k(VFX rotv) + 7V (9-3)
Здесь теперь число Грасгофа определено по вязкости v0; к = а0 — новый
безразмерный параметр, характеризующий степень температурной неод-
неоднородности вязкости @ — полуразность температур границ слоя).
Уравнения переноса тепла и непрерывности сохраняют свой вид.
В плоском вертикальном слое толщиной 2h с разностью температур
границ 20 возможно основное плоскопараллельное течение, в котором
сохраняется обычное линейное распределение температуры, но наступает
деформация профиля скорости [44]:
То = —х, v0 =Ах2 + Вх + С1пA + кх) +Z); (9.4)
1 а 1
А = —, в= , С= ,
4к 6Bк-а) 3Bк-а)
За-бк +2к1пA -к2) 1 +к
D= -; а = \п
\2кBк-а) 1-к
Изменение профиля скорости, обусловленное температурной неодно-
неоднородностью вязкости, иллюстрируется рис. 42. Как видно, температурная
неоднородность вязкости приводит в общем к повышению интенсивности
конвективного течения и асимметричному искажению профиля. Оба этих
фактора, естественно, играют дестабилизирующую роль.
76
ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
fx
z
щ
2/7
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч _
"УУУУУУУУУУУУУУУ/
ч
woo
о
Рис. 42. Профи ль скор ости при десятикратном отношении вяз костей (« -A +к)/A —к)-
= 10, к = 9/11)- Штриховая кривая соответствует постоянной (средней) вязкости
(к = 0)
Рис. 43. Нейтральные кривые для возмущений гидродинамического типа. Штриховая
кривая - постоянная вязкость (к =0); сплошные кривые - двукратное (к =1/3) и
десятикратное (к =9/11) отношения вязкостей
Переходя к рассмотрению устойчивости течения (9.4), отметим прежде
всего, что наиболее опасными, как можно показать, являются плоские
возмущения. Спектральная задача для амплитуд возмущений функции
тока и температуры отличается от A.24) —A.26) видом первого урав-
уравнения :
A -кТ0)А2у - 2кТо Ay' -K(viв" + 2uif0' +
+ v'0"e + k2v0 в) + *Gr(uiV - ^0 Лф) + в' = -X Ду?.
(9.5)
Невозмущенные профили определяются формулами (9.4) .
Первая попытка решения сформулированной задачи была предпринята
в работе [45], где применялся метод Галеркина с простейшими аппрокси-
аппроксимациями амплитуд. Полученная оценка приводит к качественно верному
выводу о понижении устойчивости. Решение задачи методом пошаговой
ортогонализации, обеспечивающим достаточную точность в определении
характеристик устойчивости, проведено в работе [46], к изложению ре-
результатов которой мы переходим.
Напомним прежде всего, что в случае постоянной вязкости природа
кризиса основного течения зависит от числа Прандтля1). При Рг < 12,45
кризис связан со "стоячими" возмущениями. При больших Рг неустой-
1) В эгом параграфе Рг = ио/х-
§ 9. НЕОДНОРОДНОСТЬ ВЯЗКОСТИ
77
чивость обусловлена возмущениями типа нарастающих тепловых волн.
При этом возможны две волны, распространяющиеся соответственно в вос-
восходящем и нисходящем потоках; эти волны обладают одинаковой по вели-
величине фазовой скоростью и приводят к неустойчивости при одинаковых
критических числах Грасгофа.
Эти особенности спектра (см. § 2) существенно связаны с нечетностью
профилей скорости и температуры основного течения. Температурная
зависимость вязкости приводит к асимметричному искажению профиля
скорости. Поэтому "стоячие" возмущения оказываются невозможными:
гидродинамическая мода связана теперь с возмущениями, медленно дрей-
дрейфующими вверх. Оказывается также, что асимметрия профиля скорости
приводит к снятию "вырождения" тепловых волн: они распространяются
теперь с разными по величине фазовыми скоростями* и им соответствуют
разные критические числа Грасгофа.
На рис. 43 приведены нейтральные кривые для Рг = 2 (при этом значе-
значении Рг кризис имеет гидродинамическую природу). Неоднородность вяз-
вязкости приводит к понижению устойчивости. Согласно расчетам фазовая
о
с
0,04
О
-0,04
-0,08
Рис. 44. Пример спектра декрементов для Рг - 15, к =1/3,к =0,5: а) вещественные час-
части декрементов (штриховые линии - постоянная вязкость); б) фазовые скорости
с = \z/(?Gr), v^i и Vm~ максимальные скорости восходящего и нисходящего потоков
/
J
X
ч
^—=
1
**¦—
.——
2
V
V °"
о VSF
78
ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
скорость дрейфа положительна (возмущения сносятся восходящим пото-
потоком) и относительно невелика — порядка разности максимальных скорос-
скоростей восходящего и нисходящего потоков.
Как и в случае постоянной вязкости, неустойчивость гидродинамичес-
гидродинамического типа имеется при всех значениях числа Прандтля, причем параметры
критических возмущений Grw и кт слабо зависят от Рг (см. ниже сводные
результаты на рис. 46).
Перейдем теперь к неустойчивости волнового типа; она появляется, если
число Прандтля превосходит предельное значение Рг+, которое теперь зави-
зависит от параметра неоднородности к и от направления распространения теп-
тепловой волны.
Пример спектра декрементов представлен на рис. 44. Основное отличие
от случая однородной вязкости заключается в том, что теперь отсутствуют
слияния вещественных ветвей. Асимметрия профиля приводит к появле-
появлению мнимой части X,- уже при сколь угодно малых Gr. Тепловые волны,
распространяющиеся вверх и вниз, перестают быть равноправными. В част-
частности, различными оказываются и границы устойчивости по отношению
Рис. 45. Нейтральные кривые для вол-
волновых возмущений (Рг= 20; к =1/3).
с > 0 - волна в восходящем потоке,
спп\ и\ \ \ \ с < 0 - волна в нисходящем* потоке.
' *** \ v \ Штриховая кривая - случай постоян-
постоянной вязкости
250
С>0
0,5
1,0
Рис. 46. Границы устойчивости для
возмущений гидродинамического (а)
и волнового (б) типов; штриховые
линии - случай постоянной вязкости
Ш
200
а
-^^ К = // и
9/ff
с>0
\
\
\
\\
5
/J
\
V \\\
с <О
-2
-1
igPr
§ 9- НЕОДНОРОДНОСТЬ ВЯЗКОСТИ 79
к образованию той и другой волны. Так, на рис. 44, а видно, что волна v0,
бегущая вниз, затухает при всех Gr, тогда как волна v{, бегущая вверх,
в определенном интервале чисел Грасгофа нарастает.
На рис. 45 приведены нейтральные кривые для обеих тепловых волн
(Рг = 20, к = 1/3). Как видно, более опасными являются возмущения
с положительной фазовой скоростью. Как и в случае неустойчивости гидро-
гидродинамического типа, неоднородность вязкости приводит к дестабилизации.
Волна с отрицательной фазовой скоростью также приводит к неустойчи-
неустойчивости, однако соответствующее критическое число Грасгофа значительно
выше.
Приведем теперь сводные данные о границе устойчивости в зависимости
от числа Прандтля (рис. 46). Температурная зависимость вязкости приво-
приводит к понижению устойчивости на обеих ветвях спектра. Вдоль гидродина-
гидродинамической ветви Grm слабо зависит от Рг. На тепловых ветвях, напротив,
Grm быстро убывает с ростом Рг. В интервале значений Рг, для которых
были проведены расчеты, более опасными являются "восходящие" тепло-
тепловые волны. Эта ситуация сохраняется вплоть до Рг ~ 104. При еще бо-
более высоких Рг, как показывает асимптотический анализ, более опасной
становится "нисходящая" волна.
Из рис. 46 следует, что температурная зависимость вязкости понижает
предельное значение Рг„, при котором появляется волновая неустойчи-
неустойчивость. Если при к = 0 Рг^ = 11,56, то для двукратного и десятикратного
отношений вязкости имеем соответственно Рг* = 9,0 и 6,8 (имеется в виду
волна с положительной фазовой скоростью).
Случай экспоненциальной зависимости вязкости от температуры рас-
рассматривался в [47]. Результаты этой работы представляются ошибочными;
в частности, при стремлении к нулю параметра неоднородности не происхо-
происходит перехода к известному решению задачи с постоянной вязкостью.
Как и при постоянной вязкости (см. § 4), в предельном случае Рг -> °°
возможен асимптотический подход к решению амплитудной задачи, осно-
основанный на введении малого параметра е = 1/\/Рт~. Проведенный в рабо-
работе [48] анализ показывает, что при больших числах Прандтля имеет место
асимптотическая зависимость Grw = A/y/W, где теперь коэффициент А
зависит от параметра неоднородности к и направления распространения
тепловой волны. В табл. 4 для восходящей (с > 0) и нисходящей (с < 0)
волн и для трех значений к приведены коэффициенты А, определяющие
Таблица 4 Характеристики устойчивости в пределе Рг -* °°
0
1/3
9/11
Л
590
575
386
с > 0
1
1
!
1
1,25
1.17
0,95
Л
590
550
380
с < 0
1 кт
!
1.25
1,30
1,40
80 ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
минимальное критическое число Грасгофа, и волновые числа наиболее
опасных возмущений. При к = 0 обе тепловые волны равноправны в смыс-
смысле устойчивости; значения А и кт в этом случае совпадают с найденны-
найденными в работе [28]. При к Ф 0 в пределе Рг -> °° более опасной становится
нисходящая тепловая волна.
§ 10. Влияние кривизны границ
Существенным фактором, влияющим на устойчивость конвективного
течения, является отклонение формы границ слоя от плоской. Одним
из характерных примеров может служить течение жидкости в слое между
вертикальными коаксиальными цилиндрами, нагретыми до разной тем-
температуры.
Обозначим через Rx и R2 соответственно радиусы внутреннего и внеш-
внешнего цилиндров. Пусть внутренний цилиндр поддерживается при более
высокой температуре А Г; температуру внешнего цилиндра примем за на-
начало отсчета. Обозначим толщину цилиндрического слоя d = R2 — R\ и вве-
введем безразмерные переменные на основе характерной длины d и характер-
характерной разности температур AT. Безразмерные уравнения конвекции тогда
будут содержать число Грасгофа Gr, определенное через полную, разность
температур AT и толщину слоя d\ дополнительным геометрическим пара-
параметром является отношение радиусов 5 = R i /R2 •
Задача допускает решение, описывающее параллельное вертикальное
течение; распределения температуры и скорости имеют вид [49] *
If Ing
С«21)+ (СЧ2)\ (ЮЛ)
In5 16A -8)
Здесь обозначено ? = A — 5)г,
A -52)A -362)-4§41п6 A -б4)
С1 ~~ С
1
-52J +A -54Iп5 " A - §2) + A +52Iп5
В отличие от случая плоского слоя, профиль скорости не является
антисимметричным относительно середины слоя. Восходящий поток около
внутреннего цилиндра обладает большей скоростью; асимметрия возрас-
возрастает с уменьшением параметра 5.
Рассмотрим малые возмущения скорости vr, v^, vz (используются ци-
цилиндрические координаты), температуры Т и давления р. Введем нормаль-
нормальные возмущения, периодические по осевой и азимутальной координатам
z и ^:
(vr, Vy, и2, Т,р) = (u, v, w, O,q)exp[-\t + i(kz +тф)\ A0.2)
Здесь и, v, w, в и q — зависящие от радиальной координаты амплитуды
возмущений; т - 0, 1, 2, . . . — азимутальное волновое число. Из A.14) —
§ 10. КРИВИЗНА ГРАНИЦ
A.17) следует амплитудная задача:
—\и + ikGr wou =—q1 + Du — — —
81
2im
im
im
ikGrwov= — — q + Dv —
r r
v,
2im
A0.3)
—Xw + i
-\6 +ikGrwod
wow + Grw'ou = —ikq +Dw + в,
1
и im
+— + — v + ikw = 0;
r r
Pr
DO,
1
r =
T —
1 -5
Здесь введено обозначение оператора
D =
и = v = w = 0,
= 0.
dr2
+
Обратимся сначала к случаю осесимметричных возмущений (т - О,
ц = 0). Этот случай исследован в работах [50, 51]; для решения задачи
применялся метод Галеркина. Основные результаты представлены на
рис. 47 и 48.
На рис. 47 изображено минимальное критическое число Грасгофа в за-
зависимости от параметра кривизны 5. Как и в случае плоского слоя, не-
неустойчивость при малых Рг имеет гидродинамическую природу. Она свя-
г -
; рг-ет
WOO
100
X
\
I I I
0
\
0,2 0,4 0,6 0,8 & 0,2 Ofi 0,6 0,3 б
Рис. 47. Критическое число Грасгофа в зависимости от параметра кривизны для раз-
разных чисел Прандтля
Рис. 48. Критическое волновое число в зависимости от параметра кривизны для раз-
разных чисел Прандтля
82 ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
зана с развитием на границе раздела встречных потоков тороидальных вих-
вихревых колец, причем в силу уже упоминавшейся выше асимметрии встреч-
встречных потоков эта системя вихрей медленно дрейфует вдоль границы раз-
раздела вверх. Граница устойчивости при малых Рг относительно слабо за-
зависит от Рг и повышается с ростом кривизны.
При больших Рг неустойчивость обусловлена нарастающими тепловы-
тепловыми волнами, распространяющимися в более быстром (восходящем) по-
потоке. С ростом Рг (при фиксированном 5) граница волновой неустой-
неустойчивости понижается (ср. § 4). В отличие от неустойчивости гидродина-
гидродинамического типа, с ростом кривизны критическое число Грасгофа меняет-
меняется в общем слабо. При Рг > 100 кривизна практически не влияет на грани-
границу неустойчивости.
Интересно поведение границы устойчивости при промежуточном зна-
значении Рг = 5,6. Немонотонный характер зависимости GrmE) здесь свя-
связан с переходом по мере увеличения 5 от волновой моды неустойчивости к
гидродинамической. Таким образом, наличие кривизны границ приводит
к уменьшению порогового числа Прандтля Рг*, при котором появляется
волновая мода (напомним, что для плоского слоя Рг* = 11,56). Скорости
волновых возмущений близки к максимальной скорости основного вос-
восходящего течения и возрастают с увеличением кривизны.
Критические волновые числа, как видно из рис. 48, с увеличением кри-
кривизны возрастают на волновой моде и уменьшаются на гидродинамической.
Скачок на кривой Рг = 5,6 связан с переходом от волновой моды к гидро-
гидродинамической.
Предельный случай 5 -М отвечает переходу к плоскому слою. Все ре-
результаты для цилиндрического слоя при этом, естественно, переходят в
соответствующие результаты для плоского слоя (при надлежащем пере-
пересчете единиц расстояния и температуры).
Численному моделированию конечно-амплитудных возмущений гидро-
гидродинамического типа в цилиндрическом слое конечной высоты с тепло-
теплоизолированными торцами посвящена работа [52]. Уравнения осесиммет-
ричной конвекции решались методом конечных разностей для чисел
Прандтля Рг = 0 и 0,71 при различных отношениях радиусов б и отношениях
высоты слоя к толщине Я Расчеты показывают, что при достаточно боль-
больших И (для Рг = 0,71 и 5 = 0,8, например,Н> 13) формируется многових-
многовихревая структура, причем система кольцевых вихрей медленно дрейфует
вверх. Критические параметры возмущений согласуются с результата-
результатами линейной теории.
В работе [50] экспериментально наблюдалась неустойчивость течения
воздуха в высоком цилиндрическом слое с отношением радиусов 5 =
= 0,68. Ожидаемое согласно линейной теории критическое число Grm ~
~ 8300. Визуальные наблюдения и температурные измерения показали,
что при Gr = 7400 еще происходит параллельное течение с режимом тепло-
теплопроводности, а при Gr = 9100 имеет место многоячеистая осесимметрич-
ная структура в виде системы кольцевых вихрей. Скорость дрейфа и дли-
длина волны удовлетворительно согласуются с результатами линейной теории
устойчивости. Волновая неустойчивость в цилиндрических слоях водных
10. КРИВИЗНА ГРАНИЦ
63
растворов глицерина (Рг = 15—150) при отношении радиусов 5 = 0,62
наблюдалась в работе [53]. В условиях эксперимента существенную роль
играл стабилизирующий вертикальный градиент температуры. Отмечают-
Отмечаются различия характеристик волновых возмущений, распространяющихся
около внутреннего и внешнего цилиндров.
Выше речь шла о возникновении неустойчивости относительно осе-
симметричных возмущений. Рассмотрение возмущений более общего
вида проведено в работе [54], где спектральная задача A0.3) решена
численно для случая антисимметричных возмущений (т = 1). Расчеты
проведены для Рг = 0; 0,71 и 3,5 (вода при 50 °С). На рис. 49 приведе-
приведены результаты для Рг = 0,71, когда неустойчивость имеет гидродинами-
гидродинамическую природу. Как видно, в той области, где кривизна существенна
E < 0,44), антисимметричные возмущения более опасны, чем осесим-
метричные. Ситуация более сложна при Рг = 3,5, когда дополнительно
появляется волновая осесимметричная мода. Как показывают расчеты,
при малых 5 E < 0,03), а также в интервале 0,16 < 5 ^ 0,4 наиболее
опасны антисимметричные возмущения гидродинамического типа; в
области 0,3 < 5 < 0,16 — осесимметричные волновые; наконец, при
0,4 ^ 5 < 1 кризис связан с осесимметричной гидродинамической
модой.
Таким образом, антисимметричные возмущения наиболее опасны при
малых Рг и малых 5.
В интересной постановке, связанной с проблемой выращивания крис-
кристаллов, рассматривается задача устойчивости конвективного течения в
цилиндрическом слое в работе [55]. Внутренний цилиндр (нагреватель)
поддерживается при температуре, более высокой, чем температура плав-
плавления окружающего расплава. Внешней поверхностью цилиндрического
слоя расплава служит поверхность фронта кристаллизации. Отличие от
U 5
Рис 49. Критическое число Грасгофа в
зависимости от параметра кривизны
Для осесимметричных (т =0) и анти-
антисимметричных (т=1) возмущений
(Рг = 0,71)
10
\
\
\
\
\
\
\
\
Рг
ч
I
= 0,71
т =
т =
1
0
Ofi
0,8
84 ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
стандартной постановки задачи составляют граничные условия на этой
поверхности. Касательные компоненты скорости по-прежнему обращают-
обращаются в нуль, а нормальная компонента определяется скоростью движения
поверхности фазового перехода. На этой поверхности имеет место ска-
скачок теплового потока, величина которого определяется удельной тепло-
теплотой плавления; температура на поверхности непрерывна и равна локаль-
локальной температуре плавления, которая зависит от кривизны поверхности
в силу соотношения Гиббса—Томсона [56]. Эти усложненные граничные
условия не меняют структуры основного течения, однако существенно
влияют на поведение возмущений. В частности, появляется качест-
качественно новый (морфологический) механизм неустойчивости, связан-
связанный с образованием подвижного рельефа на поверхности фазового пере-
перехода.
Расчеты в работе [55] проведены для конкретной системы — распла-
расплава нитрила янтарной кислоты с числом Прандтля Рг = 22,8; отношение
радиусов 5 = 0,02. Расчеты показали, что имеется осесимметричная не-
неустойчивость волновой природы при критическом числе Грасгофа Grm =
= 2150. Эта мода почти не вызывает искажения поверхности фазового
перехода. Из-за специфики граничных условий, однако, появляются две
морфологические моды - осесимметричная (т = 0) и антисимметрич-
антисимметричная (т = 1) с критическими числами Grm = 460 и 180. Наиболее опас-
опасной, таким образом, является антисимметричная мода. Она связана с
образованием на поверхности фазового перехода винтового рельефа,
медленно дрейфующего вверх с фазовой скоростью, которая на два по-
порядка меньше скорости основного течения. Эксперимент, по мотивам
которого построена теория, показал наличие морфологической неустойчи-
неустойчивости при критическом числе Grm « 200.
Упомянем здесь также работу Яназе [57], в которой рассматривалась
устойчивость конвективного течения в вертикальном цилиндрическом
слое при наличии, кроме радиального, еще v осевого градиента темпе-
температуры, направленного вниз. Расчеты проведены для Рг = 7,5. Взаимо-
Взаимодействие различных механизмов неустойчивости приводит к результатам,
которые аналогичны описанным в § 8 для плоского слоя.
В этом параграфе мы рассмотрели устойчивость конвективного тече-
течения в вертикальном цилиндрическом слое, т.е., в сущности, речь шла об
эффекте "поперечной" кривизны. Значительный интерес представляет
также случай, когда имеется "продольная" кривизна; такая ситуация
реализуется в вертикальном слое, ограниченном волнистыми вдоль вер-
вертикали плоскостями. В этом случае основное течение не является плоско-
параллельным. Устойчивость такого типа течений обсуждается в § 37.
§11. Влияние тепловых свойств границ
Условие изотермичности границ слоя, согласно которому на стенках
обращается в нуль возмущение температуры, физически соответствует
ситуации, когда теплопроводность материала стенок гораздо больше теп-
теплопроводности жидкости. Если теплопроводности жидкости и гранича-
§ 11. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ГРАНИЦ
85
щих с ней твердых массивов соизмеримы, то задача устойчивости требу-
требует сопряженной постановки, при которой учитывается проникновение
тепловых возмущений в массив и ставятся условия непрерывности тем-
температуры и теплового потока. Заранее ясно, что гидродинамический ме-
механизм неустойчивости мало чувствителен к тепловым свойствам мас-
массивов. Что же касается волновой неустойчивости, то, поскольку она
связана с нарастающими тепловыми волнами, можно ожидать зна-
значительного влияния свойств массивов на критические параметры этой
моды.
Для выяснения влияния тепловых свойств границ рассмотрим предель-
предельный случай, противоположный тому, который обычно имеется в виду, а
именно будем считать, что теплопроводность жидкости гораздо больше теп-
теплопроводности границ. В этом предельном случае для возмущений темпе-
температуры следует поставить условие теплоизоляции. Это условие фактически
означает, чго тепловой поток через границы поддерживается постоянным
и не меняется при возникновении возмущений. Спектральная задача для
амплитуд возмущений отличается от A.24) —A.26) граничным условием
для 9, которое теперь имеет вид в' (±1) =0. Задача в такой постановке
решалась в работах [58—60].
Во всех цитированных работах показано, что, как и ожидалось, грани-
граница гидродинамической моды неустойчивости слабо зависит от числа
Прандтля и близка к соответствующей границе в случае изотермических
стенок. Граница волновой неустойчивости по данным работы А.Т. Лип-
чина и Н.И. Лобова [60] приведена на рис. 50 (использовался метод диф-
дифференциальной прогонки). Как видно, переход к теплоизолированному
случаю приводит к существенному уменьшению порогового числа Прандт-
Прандтля, при котором появляется волновая мода (Рг# = 0,89). Кроме того,
зависимость Grm(Pr) оказывается немонотонной. При Рг « 3,6 имеется
глубокий минимум, причем в этой области волновые возмущения более
опасны, чем гидродинамические (для которых Grm ^ 500). При Рг -» °°
расчеты дают общую с изотермическим случаем асимптотику (критиче-
Рис. 50. Минимальное критическое число
Грасгофа в зависимости от числа Прандт-
Прандтля для волновой моды: сплошная кри-
кривая - теплоизолированные границы,
штриховая — изотермические
1000-
500-
1 1
\\
i
10
20
Рг
86 ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
ские параметры не зависят от тепловых свойств стенок; см. § 4). Силь-
Сильное понижение границы волновой неустойчивости в области Pr ^ 3,6, по-
видимому, связано с резонансными свойствами системы, природа кото-
которых остается неясной ).
Интересны результаты работы [60], относящиеся к асимметричному
случаю, при котором одна из границ слоя является идеально проводя-
проводящей, а другая - теплоизолированной. Такие граничные условия нару-
нарушают симметрию задачи и связанные с ней свойства спектра неустой-
неустойчивости.
Так, гидродинамическая мода теперь сопровождается очень медленным
дрейфом системы вихрей вдоль границы раздела потоков (скорость дрей-
дрейфа на два порядка меньше экстремальной скорости основного течения).
Асимметрия граничных условий для возмущений температуры приво-
приводит также к снятию вырождения двух тепловых волн: волновые возму-
возмущения, распространяющиеся вверх и вниз, теперь оказываются неравно-
неравноправными с точки зрения устойчивости. При этом расчеты показывают,
что характеристики неустойчивости для волны, распространяющейся воз-
возле одной из границ, практически не зависят от тепловых условий на дру-
другой границе (это, несомненно, связано с локализацией волнового воз-
возмущения в одном из потоков - факт, обнаруженный уже в работе [61]
при решении симметричной задачи). Таким образом, в случае асимметрич-
асимметричных условий в области 0,89 < Рг < 13,7 более опасна волна, распространяю-
распространяющаяся вдоль теплоизолированной границы, а при Рг > 13,7 - вдоль изо-
изотермической (точка Рг = 13,7 соответствует пересечению кривых на
рис.50).
Влияние тепловых условий на стенках на устойчивость течения в на-
наклонном слое воздуха (Рг = 0,72) рассматривалось в [59, 62]. В заклю-
заключение укажем на работу [63], в которой проводилось численное моде-
моделирование конвекции в вертикальном слое конечной высоты с разны-
разными тепловыми условиями на границах.
§ 12. Течение в слое с проницаемой перегородкой
В этом параграфе, следуя работам Р.В. Бириха и Р.Н. Рудакова [64,
65], мы рассмотрим влияние на устойчивость плоскопараллельного кон-
конвективного течения в плоском вертикальном слое разделяющей прони-
проницаемой перегородки, расположенной параллельно границам слоя на оди-
одинаковом удалении от этих границ. Предполагается, что касательная сос-
1) В работе [58] максимум на кривой Grw(Pr) был истолкован как выход на
асимптоту, а ветвь кривой левее максимума не была замечена. В [59] было уста-
установлено понижение порогового числа Прандтля (Рг* ^ 0,95), однако зависимость
Grm(Pr) существенно отличается от приведенной на рис. 50 - она соответствует
монотонному убыванию Grm с ростом Рг. Данные этой работы представляются в
общем ошибочными- в расчетах по методу Галеркина использовался базис для ап-
аппроксимации температуры, не содержавший основной моды ^в случае условия
в' (± 1) = 0 ею является константа).
§ 12. СЛОЙ С ПРОНИЦАЕМОЙ ПЕРЕГОРОДКОЙ 87
тавляющая скорости обращается на проницаемой перегородке в нуль,
а нормальная компонента непрерывна, причем ее значение пропорцио-
пропорционально скачку давления; кроме того, выполняются условия непрерыв-
непрерывности температуры и теплового потока. Обозначая индексами 1 и 2 поля
скорости, температуры и давления соответственно в левой (более нагре-
нагретой) и правой частях канала, будем иметь (пока в размерной форме)
следующие условия сшивания:
л: = 0: ulz = 0, v2z = 0,
vix = V2x = -(Pi ~Pi)\ A2.1)
a
ЭГ, дТ2
т — т i — _
' 1 ~~ ¦* 2 > ~ .
дх Ъх
Здесь а — феноменологический параметр, характеризующий сопротивле-
сопротивление перегородки поперечному перетеканию жидкости1).
Нетрудно понять, что наличие в центральной плоскости дополнительных
условий A2.1) не влияет на основной (плоскопараллельный) режим
течения. Перегородка, однако, существенно влияет на поведение воз-
возмущений.
Вводя плоские нормальные возмущения и переходя к безразмерной
форме, получим следующие условия сшивания для амплитуд возмущений
функции тока и температуры (условие для скачка давления переработано в
соответствующее условие для скачка у" с помощью проекции уравне-
уравнения движения на ось z):
х = 0: ^i = 0,
01 = 02, 0'l = 02-
A2.2)
Здесь а = ah\r\ - безразмерный параметр сопротивления (rj — динамическая
вязкость).
Амплитудные уравнения в обеих половинах канала совпадают с A.24),
A.25); сохраняются также условия на границах слоя A.26). Получаю-
1) Условия прилипания предполагают, что проницаемая перегородка обладает
значительным "касательным" сопротивлением Возможна и более общая трактов-
трактовка свойств перегородки на основе введения, кроме а, еще одного феноменологи-
феноменологического параметра, описывающего эффект "проскальзывания" жидкости (т е ко-
конечной величины касательного сопротивления). Такой подход реализован в рабо-
работе [66] применительно к задаче конвективной устойчивости равновесия
88
ГЛ. II. ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
V
1,2
0,8
igG
J
Z
1
к
\
X
ос = 1000
50
100
ос 0 2 4 tg Рг
Рис 51. Критическое число Грасгофа и критическое волновое число в зависимости от
параметра сопротивления (гидродинамическая мода; Рг = О,О1)
Рис. 52 Критическое число Грасгофа для волновой неустойчивости в зависимости от
числа Прандтля. Штриховая кривая — течение без перегородки
щаяся таким образом амплитудная задача в работах [64, 65] интегриро-
интегрировалась численно методом Рунге—Кутта с ортогонализацией.
На рис. 51 показано влияние параметра сопротивления на характери-
характеристики гидродинамической моды неустойчивости. Заметим, что при ос = О
(нулевое сопротивление поперечному перетеканию) задача не сводится
к соответствующей задаче без перегородки в силу условия прилипания.
Критическое число Грасгофа при а= 0 равно Grm = 1680, т.е. более чем
втрое превосходит значение Grm в отсутствие перегородки. Этот эффект
можно объяснить следующим образом. Гидродинамическая мода неустой-
неустойчивости связана с возникновением на границе раздела потоков стационар-
стационарных вихрей, наклоненных к вертикали на некоторый угол (см. рис. 5).
Условие исчезновения касательной компоненты скорости, на проницае-
проницаемой перегородке делает невозможным развитие возмущений такой фор-
формы, что и приводит к повышению границы устойчивости. Как видно из
рис. 51, с ростом параметра сопротивления критическое число Грасгофа
растет но закону, близкому к линейному. При этом растет длина волны
критических возмущений.
Граница устойчивости относительно волновых возмущений изображе-
изображена в зависимости от числа Прандтля на рис. 52. Любопытно отметить, что
в случае а - 0 устойчивость несколько ниже, чем в отсутствие перегород-
перегородки. Понижается гакже предельное число Рг*, при котором возникает вол-
волновая мода: Рг* = 8 и практически не зависит от ос. При больших а имеет
место сильный эффект стабилизации. Зависимости критических волно-
волновых чисел кт от-числа Прандтля подобны изображенным на рис: 51; в слу-
§ 12. СЛОЙ С ПРОНИЦАЕМОЙ ПЕРЕГОРОДКОЙ 89
чае большого параметра сопротивления обнаруживается увеличение (на
порядок) критической длины волны. Фазовая скорость волновых воз-
возмущений практически не зависит от а. В области Рг > Рг* фазовая ско-
скорость с = X/m/(^w^rw) монотонно растет с Рг от нуля до предельного
значения с = 0,0678.
При больших числах Прандтля критические параметры волновой не-
неустойчивости определяются асимптотическим методом (см. § 4). Рас-
Расчет приводит к зависимости Grm = A(a)/\/Pr, где А (а) монотонно уве-
увеличивается с ростом а: при а = 0 А = 575, а при а > 100 имеем асимпто-
асимптотику А = 268у/~а.
ГЛАВА III
КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
В этой главе продолжено исследование влияния осложняющих факто-
факторов на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое. Рас-
Рассматривается воздействие внешних вынуждающих течений разного типа —
продольного течения, обусловленного градиентом давления или движением
границ, поперечного течения за счет вдувания и отсасывания через прони-
проницаемые границы, а также высокочастотной вибрации слоя с жидкостью.
Кроме существенного влияния на границы устойчивости и характеристики
критических возмущений, некоторые из названных факторов (продольная
прокачка, движение границ, вибрация) приводят к появлению новых ме-
механизмов неустойчивости.
§ 13. Течение в слое при наличии градиента давления
Рассмотрение устойчивости комбинированных течений мы начнем с за-
задачи о суперпозиции конвективного течения, создаваемого в вертикальном
слое поперечной разностью температур, и вынужденного течения, обуслов-
обусловленного внешним продольным градиентом давления. Обе компоненты те-
течения — свободноконвективная и вынужденная — сами по себе при больших
скоростях становятся неустойчивыми за счет различных механизмов. В не-
неустойчивости комбинированного течения сложным образом проявляется
взаимодействие этих механизмов. Исследование устойчивости проведено
в работах Н.И. Лобова [1-3].
Для нахождения скорости и температуры в режиме плоскопараллель-
плоскопараллельного течения имеем прежние уравнения A.5). Сохраняются обычные усло-
условия прилипания и задания температуры на стенках канала A.6).
Вместо условия замкнутости потока теперь задается определенный
расход:
и
Q. A3.1)
Решение задачи приводит к обычному линейному распределению тем-
температуры и профилю скорости, описывающему суперпозицию конвектив-
1 3. СЛОЙ С ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ
91
но го течения и течения Пуазейля:
X
= -0-,
h
Pih2
6v
Если воспользоваться выбранными ранее (§1) единицами, то в безраз-
безразмерной форме профили запишутся так:
1 , 3 Re
Т —; у. ,, — ^V V^ 4- (Л V^ Л (Л 'Х ^Х\
6 4 Gr }
где Gr =gC®h3lv2 - число Грасгофа, a Re = Qjv - число Рейнольдса.
При Re = 0 имеем кубический профиль скорости, соответствующий
свободной конвекции. С ростом Re интенсивность течения увеличивается
и происходит деформация формы профиля. Эта форма определяется со-
соотношением параметров Gr и Re. Если Re < 2/9Gr, то течение состоит из
двух встречных потоков — более интенсивного возле нагретой границы
и менее интенсивного - возле холодной (при Q > 0). В интервале
2/9Gr < Re < 2/3Gr течение представляет собой единственный восходя-
восходящий поток с профилем, имеющим точку перегиба. Наконец, при Re > 2/3Gr
точка перегиба отсутствует и течение описьюается искаженным профилем
Пуазейля (рис. 53).
Для решения вопроса об устойчивости комбинированного течения сле-
следует обратиться к спектральной задаче A.24)—A.26) для амплитуд пло-
плоских возмущений, которые в рассматриваемом случае наиболее опасны.
20 Re-W~3
Рис. 53. Примеры профилей скорости комбинированного течения- 1 - Re/Gr = 1/15;
2-Re/Gr = l/4; 3- Re/Gr = 5/6
Рис. 54. Границы устойчивости на плоскости (Re, Gr); гидродинамические моды
(Рг =0). Штриховая линия - граница устойчивости для к = 1
92 ГЛ. III. КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
В амплитудные уравнения теперь входит новый профиль скорости A3.3).
В работах [1-3] задача решалась численно методами пошаговой ортогона-
лизации и дифференциальной прогонки.
При изложении результатов мы далее для определенности будем считать,
что Gr > 0 и Re > 0; нетрудно видеть, что изменение знака Gr или Re не при-
приводит к физически новым ситуациям.
Обсудим сначала результаты расчета устойчивости в чисто гидродина-
гидродинамическом приближении (Рг -> 0; задача A.27) с профилем скорости
A3.3)).
Обратимся к рис. 54, на котором представлена карта устойчивости на
плоскости (Re, Gr) (область устойчивости расположена со стороны малых
Re и Gr). Для определения границы устойчивости относительно наиболее
опасных возмущений необходим перебор по параметру к\ граница опре-
определяется экстремумами зависимости Gr(&) при фиксированных Re или
Re(fc) при фиксированных Gr. Таким образом находится искомая гра-
граница, изображенная на рис. 54 сплошной кривой. Как видно, эта граница
состоит из двух пересекающихся ветвей.
Ветвь 1 описывает влияние продольной прокачки на устойчивость сво-
бодноконвективного течения. В отсутствие прокачки (Re = 0) критическое
число Grm = 495,6 и достигается при критическом волновом числе кт = 1,35
(§4). Прокачка приводит к повышению устойчивости, причем при малых'
Re имеет место квадратичная зависимость Grm = 495,6 + 0,02Re2 . С ростом
Re достигается очень высокая стабилизация. Так, при Re = 13,3 • 103 имеет
место почти 60-кратное повышение устойчивости.
Ветвь 2 описьюает влияние свободной конвекции на устойчивость пло-
плоского течения Пуазейля. При Gr = 0 получаются критические параметры
неустойчивости чистого течения Пуазейля Rem = 7696, кт - 1,02, хорошо
согласующиеся с известными данными (см. [4]). Несколько неожиданным
представляется стабилизирующее влияние поперечной разности темпера-
температур — с ростом числа Грасгофа на кривой 2 происходит увеличение крити-
критического числа Рейнольдса. Таким образом, суперпозиция р^ух потенциально
неустойчивых течений приводит к их взаимной стабилизации.
В целом гидродинамический кризис рассматриваемого течения обуслов-
обусловлен взаимодействием двух разных механизмов. На кривой 1 (по крайней
мере на ее начальном участке) неустойчивость имеет невязкую природу
и связана с наличием точки перегиба на профиле скорости основного тече-
течения. Ветвь 2 может быть отождествлена с вязким механизмом неустойчи-
неустойчивости типа волн Толмина - Шлихтинга.
Заканчивая обсуждение устойчивости течения в гидродинамическом
пределе, приведем нейтральные кривые на плоскости (к, Gr) для трех
типичных значений числа Рейнольдса (рис. 55); соответствующие разрезы
карты устойчивости указаны на рис. 54 вертикальными штриховыми пря-
прямыми. Рис. 55, а относится к значению Re < Re0, где Re0 — критическое
число Рейнольдса для чистого течения Пуазейля. В этой области зависи-
зависимость Gr(Re) однозначна. По мере повышения числа Грасгофа устойчи-
устойчивость теряется на нейтральной кривой, связанной с возмущениями невяз-
13. СЛОЙ С ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ
Gr
93
0,7 0,9 1,1 к 0,7 0,9 1,1
15
Рис. 55. Нейтральные кривые гидродинамических мод неустойчивости (Рг =0): a) Re
= 6000,6) Re= 12314,в) Re = 15 000. Области неустойчивости заштрихованы
3500\
2500
1500
500
0,02
Рис. 56. Нейтральные кривые для неустойчивости типа нарастающих тепловых волн
(Re = 100)
кого типа. На рис. 55,6, относящемся к области, где зависимость Gr(Re)
двузначна, видно появление новой области неустойчивости, примыкаю-
примыкающей к оси к\ эта область связана с волнами Толмина — Шлихтинга. Нако-
Наконец, рис. 55, в (разрез правее точки пересечения кривых 1 и 2 на рис. 54)
Демонстрирует слияние областей неустойчивости, обусловленное сильным
взаимодействием обоих механизмов.
94 ГЛ. III КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Обсудим теперь результаты решения задачи для произвольных чисел
Прандтля. Отметим прежде всего, что тепловые факторы практически
не влияют на количественные характеристики гидродинамической моды
неустойчивости. С увеличением числа Прандтля положение ветвей 1 и 2
на рис. 54 меняется слабо.
С ростом Рг, однако, появляется и становится более опасной неустой-
неустойчивость типа нарастающих тепловых волн. Возникновение этой моды в
случае комбинированного течения обладает своеобразием по сравнению
со случаем чисто конвективного течения (см. § 4). С увеличением числа
Прандтля при некотором Рг = Рга на плоскости (к, Gr) появляется и да-
далее увеличивается в размерах замкнутая область волновой неустойчи-
неустойчивости (рис. 56) . Значение Рга зависит от числа Рейнольдса Re и при всех Re
меньше предельного значения Рг* = 11,56 в чисто конвективном случае.
При достижении числом Прандтля значения Рг = Рг* замкнутая область
неустойчивости разрывается при бесконечно больших Gr, и при Рг > Ргд
нейтральные кривые приобретают типичную форму мешков (ср. с нейт-
нейтральными кривыми на рис. 7). Таким образом, значение Рг* является
характерным и в задаче устойчивости комбинированного течения.
Наличие вынужденного течения, естественно, снимает вырождение
волновых мод, распространяющихся во встречных потоках: 'эти моды
теперь не являются равноправными с точки зрения устойчивости. Наибо-
Наиболее опасной всегда является "спутная" волна, распространяющаяся вдоль
направления прокачки; "встречная" волна при Рг > Рг* менее опасна,
а при Рг < Рг* затухает при всех Re и Gr.
Характеристики волновой неустойчивости в зависимости от параметров
приведены на рис. 57. При небольших Re A0 и 20) прокачка приводит к
дестабилизации волновой моды во всей области изменения числа Прандтля.
Для больших Re E0 и 100) кривые Grm(Pr) пересекают соответствующую
кривую для Re = 0; таким образом, левее точки пересечения имеет место
дестабилизация, а правее — стабилизация. Наличие прокачки, как уже гово-
говорилось, приводит к уменьшению числа Прандтля, при котором появляется
волновая мода. Предельное число Рга с ростом Re уменьшается, и при
Re ->°° имеем Рга = 9,723. Таким образом, наличие вынужденного течения
расширяет область волновой неустойчивости. Заметим, что и при Re Ф 0
вертикальная прямая Рг = Рг* является общей асимптотой кривых Grm (Pr),
к которой они теперь приближаются со стороны меньших Рг (положение
асимптоты определяется поведением кривых при Gr->°°, когда пуазейлева
составляющая основного течения пренебрежимо мала) .
Границы волновой неустойчивости на плоскости (Re, Grm) представле-
представлены на рис. 58. Неустойчивость зарождается при Рг = 9,723. При Рг > Рг*
имеет место дестабилизация волновой моды в области малых Re и стаби-
стабилизация — при больших Re.
Волновая неустойчивость в предельном случае больших Re изучена в
работе [3] методом малого параметра, в качестве которого принималась
величина е = I/Re. Асимптотика такова:
Grm = Л (Рг) Re, кт = В (Pr)/Re. A3.4)
§ 13. СЛОЙ С ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ
95
2000
1000
Рг
Рис. 57. Критическое число Грасгофа (а) и кри- '
тическое волновое число (б) волновой моды в
зависимости от Рг для разных чисел Рейнольдса.
Штриховые линии относятся к менее опасным
1 "встречным"тепловым волнам
1000
JOO
Рис. 58. Критическое число Грасгофа волновой
Неустойчивости в зависимости от числа Рей-
Рейнольдса; штриховые линии - "встречные"
волны
I /
1U/
КУ98у
/Ю у
/ /10,5/
/ /11,562/
~^^ Рг=100
50
Re 100
96
ГЛ. III. КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Зависимости А (Рг) и В (Рг) приведены в работе [3]. Асимптотика хорошо
согласуется с результатами расчета критических параметров, полученными
путем численного решения полной амплитудной задачи.
Взаимное расположение границ устойчивости относительно гидродина-
гидродинамических и тепловой мод иллюстрируется рис. 59. Изображены линии 1 и 2,
относящиеся к невязкому и вязкому гидродинамическим механизмам,
а также границы неустойчивости типа тепловых волн. Видно, что при Рг = 10
волновая неустойчивость возможна, но она во всем интервале изменения
параметров менее опасна. При Рг = 15 и 100 эта неустойчивость в определен-
определенном интервале Re становится наиболее опасной.
Экспериментальное исследование устойчивости комбинированного кон-
конвективного течения воздуха проводилось в работе [5]. Момент возникно-
возникновения неустойчивости течения и критические параметры возмущений
определялись визуально и путем фотографирования. Измерения проводи-
600
550
500
/
/
I
г
Re
Рис. 59. Границы устойчивости относительно
гидродинамических и тепловой мод; штрихо-
штриховые линии - "встречные" волны
50
100
Рис. 60. Критическое число Грасгофа в зависи-
зависимости от числа Рейнольдса. Сплошная кривая -
линейная теория (Рг = 0,7); точки - экспери-
эксперимент [ 5 ]
§ 14. СЛОЙ С ДВИЖУЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ 97
лись в области малых чисел Рейнольдса Re < 100; в этой области неустой-
неустойчивость имеет гидродинамическую природу. Для этой же области Re и для
фиксированного числа Прандтля Рг = 0,7 в работе проведен расчет границы
устойчивости и критических параметров возмущений; данные расчета согла-
согласуются с обсуждавшимися выше результатами. Экспериментальные точки
представлены на рис. 60. Как видно, имеется хорошее соответствие экспе-
эксперимента и теории; это относится и к другим характеристикам — критиче-
критическому волновому числу и фазовой скорости критических возмущений.
§ 14. Слой с движущимися границами
Рассмотрим теперь другой тип комбинированного течения, а именно
будем считать, что вынужденное течение создается за счет движения границ
слоя "в себе" по вертикали с одинаковыми по величине и противополож-
противоположными по направлению скоростями. Получающееся при этом течение есть
суперпозиция конвекции, создаваемой поперечной разностью температур,
и сдвигового течения Куэтта, обусловленного увлечением жидкости дви-
движущимися границами. Качественное отличие от задачи предыдущего па-
параграфа состоит в том, что теперь вынужденная компонента течения (по-
(поток Куэтта) сама по себе является устойчивой. Можно поэтому ожидать,
что добавление "устойчивой компоненты приведет к стабилизации конвек-
конвективного течения. Этот эффект в общем действительно проявляется на
гидродинамической моде неустойчивости. Что же касается тепловой моды,
то здесь ситуация оказывается значительно более сложной. В зависимости
от соотношения параметров возможна как стабилизация, так и дестабили-
дестабилизация течения; более того, при определенных условиях появляется и ста-
становится наиболее опасным новый тип неустойчивости, связанный с раз-
развитием монотонных (стоячих) тепловых возмущений.
Распределения скорости и температуры в режиме плоскопараллельного
течения находятся из уравнений A.5). Условия для температуры на грани-
границах сохраняются; для скорости имеем условия прилипания на движущихся
границах и замкнутости потока
и
vo(±h) = +U, f vodx = 0. A4.1)
-h
Для температуры сохраняется обычное линейное распределение; про-
профиль скорости имеет вид
6v»
В безразмерной форме (с сохранением обычных единиц) имеем
1 , Re
v0 = - (jc3 - х) х, То = -jt, A4.3)
6 Gr
где Gr — число Грасгофа, a Re = Uhjv — число Рейнольдса, характеризую-
характеризующее интенсивность куэттовой составляющей течения.
98 ГЛ. III. КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Далее для определенности будем считать Gr > 0 (более нагретой явля-
является левая граница). В отличие от случая продольной прокачки, теперь
возможны две физически разные ситуации. При Re > 0 нагретая (левая)
граница движется вверх, а холодная (правая) - вниз, т.е. вынужденное
течение имеет то же направление, что и свободноконвективное; при
Re < 0 имеет место противоположная ситуация: вынужденное течение
направлено навстречу свободноконвективному.
Структура течения определяется параметром Re/Gr. При Re/Gr = О
куэттова составляющая отсутствует. В области 0 < Re/Gr < 1/3 имеются
два встречных потока с экстремумами внутри слоя. При Re/Gr > 1/3 также
реализуются два встречных потока, однако максимальные по модулю
значения скорости достигаются на границах. В интервале — 1/6 < Re/Gr <
< 0 течение состоит из четырех встречных потоков. Наконец, при Re/Gr <
< -1/6 преобладает куэттова составляющая: в течении имеются два встреч-
встречных потока, причем возле нагретой стенки жидкость увлекается стенкой
вниз, а возле холодной — вверх. Примеры профилей приведены на рис. 61.
Подчеркнем, что при всех значениях Re/Gr на нечетном профиле имеется
единственная точка перегиба при х = 0.
Исследование линейной устойчивости проведено в работе Р.В. Бириха
и Р.Н. Рудакова [6] в гидродинамическом пределе (Рг = 0) и в работах
Н.И. Лобова и А.И. Никитина [7, 8] — в полной постановке для произволь-
произвольных Рг.
Профили температуры и скорости A4.3) являются нечетными функ-
функциями поперечной координаты, и потому сохраняют силу свойства сим-
симметрии спектра возмущений чисто конвективного течения: гидродинами-
гидродинамическая мода развивается в виде неподвижной цепочки вихрей на границе
раздела потоков, а две температурные волны с точки зрения устойчивости
равноправны (напомним, что продольный градиент давления это вырожде-
вырождение снимает).
На рис. 62 изображены параметры гидродинамической моды неустой-
неустойчивости. Граница устойчивости асимметрична относительно оси Re = 0.
Движение границ в сторону, противоположную свободной конвекции
(Re < 0), оказывает значительно более сильное стабилизирующее дейст-
действие, чем их движение вдоль направления свободной конвекции (Re > 0) .
В последнем случае имеется даже некоторое понижение устойчивости в
области малых Re. При изменении числа Прандтля граница устойчивости
практически не смещается.
Перейдем теперь к обсуждению тепловых мод неустойчивости. Относи-
Относительно просто обстоит дело в случае "попутного" движения границ (Re > 0).
Как и в слое с неподвижными границами, волновая неустойчивость появ-
появляется при числах Прандтля, превышающих значение Рг*= 11,56. Нейтраль-
Нейтральные кривые имеют характерную петлеобразную форму и их эволюция
по мере увеличения Рг вполне аналогична обсужденной в § 4 (рис. 7).
Движение границ приводит к сильной стабилизации. Минимальное крити-
критическое число Грасгофа монотонно растет с увеличением числа Рейнольдса,
и при больших Re наступает линейная асимптотика Grm ~ Re.
§ 14. СЛОЙ С ДВИЖУЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ
4
II
L.
—- —
1
1
\
\
i
I
i i
i —г
А
1
V
I
1
1
VsX\N^V^\^X\\\V\\\\\
100 ГЛ. IH. КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Значительно сложнее ситуация при "встречном" движении границ
(Re < 0). Примером служит рис. 63. По мере увеличения числа Прандтля
от нуля при Рг = Рга « 4,36 на плоскости (к, Gr) зарождается небольшая
замкнутая область неустойчивости, размеры которой увеличиваются с
ростом числа Прандтля. При Рг > Рг* нейтральные кривые имеют петле-
петлеобразную форму. Как и в случае течения при наличии продольной прокач-
прокачки, волновая неустойчивость появляется при меньших значениях Рг, чем
при чисто конвективном течении.
Картина, однако, осложняется тем обстоятельством, что при Рг = Frb ^
<С 2,4 на плоскости (к, Gr) зарождается еще одна замкнутая область неус-
неустойчивости, расположенная в нижней части плоскости и потому являющая-
являющаяся наиболее опасной. Эта специфическая неустойчивость имеет стационар-
стационарный характер и связана с монотонным нарастанием нижних тепловых мод
спектра возмущений *). С увеличением Рг эта область охватывает более
широкий интервал волновых чисел, а минимум на нижней границе смеща-
смещается в сторону длинноволновых возмущений.
Дальнейший рост числа Прандтля приводит к слиянию двух областей
тепловой неустойчивости — монотонной и волновой. Это происходит сле-
следующим образом. При Рг <^ 30 на верхней границе монотонной области
появляется волновая зона (на рис. 63 заштрихована). Быстро увеличи-
увеличиваясь в размерах с ростом Рг, эта зона сливается с расположенной выше
областью волновой неустойчивости, так что, например, при Рг = 50 можно
говорить о единой области тепловой неустойчивости, состоящей из двух
подобластей - монотонной (нижней) и волновой (верхней) .
Характерные числа Прандтля Рга и Ргь, определяющие зарождение
волновой и монотонной тепловых волн, убывают с числом Рейнольдса.
При|Яе| ->оо имеем Ргь ->2,14 и Рга ->3,98.
Сводные данные, относящиеся к границам тепловой неустойчивости,
представлены на рис. 64 и 65. Как и в случае течения с продольной прокач-
прокачкой, вертикаль Рг = Рг* (рис. 64) служит общей асимптотой ветвей
Grm(Pr) волновой неустойчивости при всех Re. При Re > 0 имеет место
стабилизация, причем все ветви расположены в области Рг > Рг*. При
Re < 0 имеется волновая неустойчивость и в области Рг < Рг*; кроме
того, появляются относительно более опасные области монотонной тепло-
тепловой неустойчивости.
На плоскости (Re, Grm) при умеренных числах Прандтля (например,
Рг = 4,5 и 15) волновая и монотонная моды разграничены (штриховкой
показана область тепловой монотонной неустойчивости для Рг = 4,5). При
больших Рг C0 и 100) имеется единая граница двух объединившихся
областей тепловой неустойчивости.
Асимптотическое поведение границ тепловой неустойчивости при боль-
больших | Re | может быть выяснено на основе решения упрощенной ампли-
амплитудной краевой задачи. При этом сохраняется асимптотика A3.4); коэф-
1) С такого рода неустойчивостью мы уже встречались в задаче о конвекции в слое
с продольным градиентом температуры (§ 8).
wool
о
1000
500
-5
v
V50
^ц
I
\Re = 5
V\
Re=-5'L
0
Pr*
25
Pr 50
Рис. 63. Нейтральные кривые тепловых мод неустойчивости для Re = -50
Рис. 64. Границы неустойчивости для тепловых мод в зависимости от числа Прандтля. Штриховкой отмечены
области монотонной неустойчивости
о
о
и
со
<
Е
о
X
S
>
102
ГЛ. III. КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
500
-100
Рис. 65. Границы неустойчивости для тепловых мод в зависимости от числа Реинолвдса.
Штриховая линия - граница гидродинамической неустойчивости (Рг = 1)
1,00
300
350
400
Рис. 66. Безразмерный тепловой поток в зависимости от числа Грасгофа. Точки а и б
границы области неустойчивости по линейной теории
фициенты А и В имеют разные значения на разных ветвях волновой и
монотонной мод и зависят от числа Прандтля.
Численное моделирование конечно-амплитудных режимов проводи-
проводилось в работах [9, 10]. Применялся метод конечных разностей для расчета
вторичных течений, периодических по вертикали. В [9] изучались вторич-
вторичные режимы в предельном случае Рг = 0, когда неустойчивость называется
гидродинамическим механизмом. Расчеты свидетельствуют о том, что при
использованных значениях параметров возбуждение вторичных течений
имеет "мягкий" характер.
Авторы [10] моделировали вторичные стационарные режимы, возни-
возникающие в результате потери устойчивости относительно монотонных тепло-
тепловых возмущений. На рис. 66 приведена зависимость безразмерного пара-
§ 14. СЛОЙ С ДВИЖУЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ
103
woo
-100
0
Рис. 67 Область длинноволновой неустойчи-
неустойчивости (заштрихована) в слое с движущимися
теплоизолированными Границами
метра теплопередачи — числа Нуссельта
от числа Грасгофа при фиксированных
Рг = 10 и Re = -50; длина волны перио-
периодической по z структуры соответствует
? = 1,05 (разрез изображен на рис. 64
штриховой вертикальной прямой). От-
Ответвление вторичного течения в точке а
происходит мягким образом, причем
порог хорошо согласуется с критичес-
критическим числом линейной теории. Вблизи
порога зависимость Nu(Gr) линейная. На
верхней границе области неустойчивости
отмечается гистерезис, что может свиде-
свидетельствовать о жестком характере воз-
возбуждения.
В заключение приведем некоторые результаты решения задачи устой-
устойчивости конвективного течения в слое с движущимися теплоизолирован-
теплоизолированными границами. На границах теперь следует поставить условие тепловой
изоляции для возмущений 0 ' (± 1) =0. Можно ожидать, что в этом случае
решающую роль будут играть длинноволновые возмущения. В работе [11]
для решения задачи использован метод малого параметра, в качестве кото-
которого принято безразмерное волновое число к (подробнее об этом методе
см. § 19,20).
Граница длинноволновой неустойчивости, которая является аналогом
монотонной тепловой моды в случае изотермических границ, определяется
уравнением:
4 Ra2 + 81 Ре Ra + 378 Ре2 + 2835 = 0.
Как видно, характерными параметрами оказываются число Рэлея Ra =
= Gr Рг и число Пекле Ре = Re Рг. Граница устойчивости приведена на рис. 67.
Неустойчивость такого типа существует только при отрицательных числах
Пекле ("встречное" движение границ), превосходящих по модулю опреде-
определенное значение Ре < Ре* = — 9,403. При больших |Ре| критические числа
Рэлея возрастают пропорционально I Ре | , причем на нижней границе обла-
области неустойчивости Ra = — 7,294 Ре, а на верхней Ra = - 12,96 Ре. Анализ
показывает, что (по крайней мере среди длинноволновых возмущений)
наиболее опасной является мода с к = 0.
В работе [И] исследование длинноволновой неустойчивости в слое
с теплоизолированными движущимися границами проведено в более общей
постановке, учитывающей наклон слоя и наличие продольной прокачки.
104 ГЛ. III. КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
§ 15. Слой с проницаемыми границами
В данном параграфе рассматривается еще один тип комбинированной
конвекции - суперпозиция свободного конвективного течения с попереч-
поперечным однородным потоком, создаваемым за счет вдувания и отсасывания
через проницаемые границы канала. Как и в случае движущихся границ
слоя, вынужденное течение само по себе устойчиво [12]. На этом основании
можно ожидать, что наличие такого вынужденного течения, во всяком
случае при его достаточной интенсивности, будет оказывать стабилизирую-
стабилизирующее действие. Об этом же говорит опыт изучения устойчивости изотерми-
изотермических течений [13, 14], а также конвективной устойчивости механическо-
механического равновесия [15, 16] .
Исследование устойчивости конвективного течения в вертикальном слое
с границами разной температуры при наличии поперечного продува прове-
проведено в работах В.М. Шихова [17-19], а также позднее в [20].
Рассматривается течение в вертикальном слое между параллельными
плоскостями* = ± h с температурами Т = +0. Границы слоя проницаемы;
через левую границу производится отсасывание с постоянной скоростью и0,
а через правую — вдувание с такой же скоростью. При решении обычных
уравнений конвекции к условиям прилипания для вертикальной компо-
компоненты скорости, задания температуры на границах слоя и замкнутости
потока добавляется условие для нормальной компоненты скорости, кото-
которое в безразмерной форме имеет вид:
_
где Ре = uoh /x — число Пекле (безразмерный параметр вдувания) .
Задача имеет стационарное решение, в котором поперечная скорость
однородна VOx = - Pe/(Gr Pr), а продольная скорость VQz = vo(x), темпе-
температура Т0(х) и давление po{z) находятся из уравнений
v'o+ — Vo + To = -^-= const, To+?eTo=0 A5.2)
Pr dz
с соответствующими граничными условиями. Профили продольной скоро-
скорости и температуры таковы:
+ x shPe-chPe)-
\ Wr Mr /
A5.3)
*0
где
sh
Pe2
Pe2
Pe
A
A
Pr
-Pr)
1
-Pr)
shPe
shPe
:h Pe),
PechPe-
Pe Pe
sh
Pr Pr
sh
ch
Pe
Pe
Pr
§ 15. СЛОЙ С ПРОНИЦАЕМЫМИ ГРАНИЦАМИ
105
т
Рис. 68. Профили продольной скорости (Рг = 2) и температуры для разных значений
числа Пекле
При наличии вдувания появляется поперечная скорость и происходит
существенная деформация профилей продольной скорости и температуры
(рис. 68). Температура перестает быть линейной функцией поперечной
координаты. При достаточно больших Ре возле левой границы формируется
температурный пограничный слой, безразмерная толщина которого-поряд-
ка 1/Ре. При этом меняется распределение по сечению подъемной силы,
что является одной из причин искажения профиля продольной скорости.
Другая причина связана с гидродинамическим взаимодействием конвек-
конвективного течения с поперечным потоком ("сдувание" конвективного тече-
течения) . Обе причины приводят к формированию в профиле продольной
скорости пограничных слоев, причем с первой причиной связан слой толщи-
толщины ~ 1/Ре, а со второй ~ Pr/Ре (заметим, что отношение Re = Ре/Рг = uoh \v
есть число Рейнольдса, определенное по скорости вдувания). Подчеркнем,
что основное течение не является плоскопараллельным.
Рассуждения, аналогичные проведенным в § 7, приводят к выводу, что
наиболее опасными являются плоские возмущения. Запишем спектральную
задачу для амплитуд возмущений функции тока и температуры:
Ре '+ '-
Рг
1
— АО + i
Рг
Ре ,
,_уо0)+ _0'=_Х0;
Рг
), 9 = 0
A5.4)
(возмущения не меняют нормальной компоненты скорости на границах).
106 ГЛ. III. КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Сформулированная задача отличается от соответствующей задачи для
слоя с непроницаемыми границами не только иными невозмущенными
профилями v0 и Го, но и наличием в уравнениях дополнительных членов,
содержащих Ре/Pr и описывающих снос возмущений скорости и темпера-
температуры поперечным потоком.
Для решения задачи в работах [17-19] применялся метод Рунге -Кутта
с ортогонализацией, а в [20] - метод Галеркина.
Искажение профилей скорости и температуры за счет поперечного проду-
продува, а также появление дополнительных членов в амплитудных уравнениях
A5.4) приводят к тому, что свойства симметрии решений, обсуждавшиеся
в § 2, теперь нарушаются. Как и в других такого рода ситуациях (§ 9, 10,
13), гидродинамическая мода теперь проявляется в виде системы вихрей,
дрейфующих вдоль границы раздела потоков;кроме того,снимается вырож-
вырождение температурных волн.
Прежде чем рассматривать результаты решения общей краевой задачи
A5.4), полезно обсудить чисто гидродинамический подход [17]. Этот
подход соответствует случаю высокой теплопроводности жидкости,
когда температурные возмущения быстро рассасываются. В этом предель-
предельном случае, очевидно, Рг -* 0 и Ре -> 0, тогда как их отношение Re = Ре/Pr
остается конечным. В этих предположениях из A5.3) получаются профили
e~Rex +xshRe-chRe 1
Т0 = -х, уо= + (рс2-\). A5.5)
3(shRe-RechRe) 2 Re
При Рг -^ 0 возмущение температуры в также стремится к нулю; поэто-
поэтому в первом уравнении системы A5.4) исчезает член 0', описывающий
подъемную силу, действующую на возмущение. Мы приходим, таким
образом, к модифицированной задаче Орра — Зоммерфельда с профилем
скорости A5.5) :
Re Ay' = -ХД(/);
A5.6)
x= ± 1: ф = ч>' = 0.
Эта задача определяет критическое число Грасгофа в зависимости от
числа Рейнольдса поперечного потока. Естественно, что продув приводит
к сильной стабилизации гидродинамической моды (рис. 69). Нейтральные
возмущения медленно сносятся восходящим потоком; с ростом Re проис-
происходит слабое увеличение критической длины волны. При малых Re имеем:
Grm = Gr0 + К Re2; К «= 28. Отсюда критическая разность температур
® m ~ ®о = К и%1 (g&h ) • Таким образом, в обсуждаемом предельном случае
сдвиг критической разности температур за счет продува пропорционален и%
и не зависит от вязкости и температуропроводности.
При конечных Ре и Рг необходимо решать полную амплитудную задачу
A5.4). На рис. 70 представлены результаты, демонстрирующие сильную
стабилизацию гидродинамической моды неустойчивости с ростом числа
Пекле. Как и в случае чисто гидродинамического предела, фазовая скорость
критических возмущений мала - порядка разности максимальных скоро-
скоростей в восходящем и нисходящем потоках.
§ 15. СЛОЙ С ПРОНИЦАЕМЫМИ ГРАНИЦАМИ
107
2000
1500
W00
500
0 2 4 Re
Рис. 69. Зависимость критического числа Грасгофа, от числа Рейнолвдса (гидродина-
(гидродинамический подход)
Рис. 70. Критическое число Грасгофа в зависимости от числа Пекле для разных Рг
(гидродинамическая мода; [ 18 ])
2Ш
1600
800
т
. -"
/
/А
•
//
Рг=/0
//
Ре
При увеличении числа Прандтля появляется, как обычно, волновая мода
неустойчивости. В силу асимметрии профилей фиксированным значениям
Ре и Рг соответствуют две нарастающие волны, причем, как оказывается,
наиболее опасной является волна, связанная с восходящим потоком (ситуа-
(ситуация вполне аналогична рассмотренной в § 9, рис. 45). В отличие от гидро-
гидродинамической моды, влияние поперечного потока на волновую моду носит
немонотонный характер (рис. 71). С ростом Ре вначале имеет место деста-
дестабилизация; дальнейшее увеличение скорости поперечного течения оказы-
оказывает достаточно сильное стабилизирующее действие. Фазовая скорость
близка к максимальной скорости восходящего потока.
Приведем теперь данные о границах устойчивости течения на плоскости
(Рг, Grm) для двух значений Параметра Пекле (рис. 72). С ростом Ре
стабилизация гидродинамической моды имеет место при всех числах
Прандтля. Сильный рост Grm в области малых Рг связан с тем обстоятель-
обстоятельством, что в этой области параметром,определяющим устойчивость,служит,
в сущности, не число Пекле, а число Рейнольдса Re = Ре/Pr. Формулу сдвига
критического числа перепишем в виде Grw = Gr0 + A"(Pe/PrJ. При фиксиро-
фиксированном Ре с уменьшением Рг критическое число Gr m растет по закону
Grm ~~ 1/Рг2. В области больших Рг параметром, определяющим границу
устойчивости, становится число Пекле Ре, и при фиксированном значении
этого параметра критическое число Грасгофа Grw для гидродинамической
моды практически не зависит от Рг. При значениях Ре = 1 и 3 имеет место
Дестабилизация волновой моды, сопровождаемая понижением предельного
108
ГЛ. 111. КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
600
300
\ Рг=5
lj\ У
•^
//
/ у
//
100^
Рис. 71. Критическое число Грасгофа в зависимости от числа Пекле для разных Рг
(волновая мода). Сплошные кривые - волны в восходящем потоке; штриховые -
в нисходящем (Рг = 8,15, 30- поданным [18], Рг = 5 и 100 - [20])
2000
moo
г
\ Pe=J
Л
- Vr
¦— Pe = j
17Г
1
1
t
\
0
Рис. 72. Критическое число Грасгофа в зависимости от числа Прандтля для Ре = 1 и 3
[ 18 ]: / - гидродинамическая мода, // - волновая. Штриховые линии - случай непро-
непроницаемых границ (Ре = 0)
значения Рг#, при котором эта мода появляется (поданным [20] волновая
мода дл^Ре « 2 имеется уже при Рг = 0,72). При больших значениях числа
Пекле, впрочем, имеет место сильная стабилизация и для волновой моды.
На гидродинамической и волновой модах при сильном вдуве имеет место
асимптотика Grm ^ Ре2.
В заключение заметим, что с увеличением параметров Рг и Ре происходит
сложная перестройка нейтральных кривых. В частности, в отличие от случая
§ 16. ТЕЧЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВИБРАЦИИ 109
слоя с непроницаемыми границами, гидродинамическая и тепловая моды
реализуются на единой непрерывной нейтральной кривой. Обобщение задачи
устойчивости на случай наклонного слоя проведено в [32].
§ 16. Течение при наличии вибрации
В этом параграфе мы рассмотрим устойчивость конвективного течения
в плоском вертикальном слое при наличии вибрации.
Линейные гармонические колебания полости вместе с жидкостью при-
приводят к модуляции ускорения массовой (конвективной) силы. Если жид-
жидкость находится в неоднородном температурном поле, то возникающее
при этом конвективное течение состоит из двух компонент — конвектив-
конвективных колебаний с частотой вибрации и осредненного течения. Параметри-
Параметрический характер вибрационного воздействия, а также нелинейность урав-
уравнений конвекции служат причиной того, что осредненное течение, вообще
говоря, отличается от соответствующего течения без вибрации. Это отли-
отличие особенно отчетливо проявляется в предельном случае отсутствия стати-
статического поля тяжести (невесомость), когда одна лишь вибрация вызывает
регулярное осредненное течение (так называемая вибрационная конвек-
конвекция, см. [21]). Конвекция, состоящая из о ере дненной и колебательной
компонент, может условно рассматриваться как комбинированное тече-
течение, в котором колебательная компонента играет роль вынужденного
течения.
Начнем с вывода уравнений конвекции при наличии вибрации. При этом
будем иметь в виду предельный случай высоких частот, когда период
вибрации много меньше всех характерных гидродинамических времен.
При таких условиях можно воспользоваться методом осреднения (см. [22]),
который позволяет получить замкнутую систему уравнений для осреднен-
ной компоненты течения.
Пусть полость вместе с неизотермической жидкостью совершает гармо-
гармонические колебания в поле тяжести с амплитудой смещения Ъ и круговой
частотой 12 в направлении, характеризуемом единичным вектором п. Вве-
Введем неинерциальную систему отсчета, связанную с полостью. В этой систе-
системе уравнения конвекции получаются из обычных уравнений Буссинеска
A.2)-A.4) путем добавления к статическому ускорению силы тяжести
переносного (вибрационного) ускорения
g -+g +bU2 cos Ш п.
В соответствии с основной идеей метода усреднения представим ско-
скорость, температуру и давление в виде сумм медленно меняющихся со вре-
временем слагаемых (осредненное течение) и быстро осциллирующих малых
добавок (пульсационная компонента течения) :
v = "V +v, Т=Т + Т\
A6.1)
Р=р+р
110 ГЛ. III. КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Подставляя эти выражения в исходные уравнения, выделяя пульсацион-
ные члены и сохраняя лишь главные из них, получим
p posut- Тп,
dt p
ЭГ _ A6.2)
+ v'VT = 0, div v' =0 .
dt
Разложим векторное поле Тп на соленоидальную и безвихревую части
Тп = и; + Vip, divw =0. A6.3)
Подставляя это разложение в первое из уравнений A6.2), получим после
выделения соленойдалъных частей
3vf
— = 0Ш2 cosut- w. A6.4)
dt
Интегрируя по "быстрому" времени, найдем, учитывая, что w — мед-
медленная функция времени:
w. A6.5)
Пульсационная составляющая температуры находится интегрированием
второго из уравнений A6.2) после подстановки в него v' (VT — медленная
функция времени):
Т' = Pbcosut- (wVf). A6.6)
Возвращаясь к полной системе уравнений, подставляя в нее пульсацион-
ные части у'иГ'и производя осреднение по "быстрому" времени, получим
систему уравнений для осредненных полей (черту над осредненными вели-
величинами далее опустим):
3v 1
— + (vV) v = - — Vp + у Av + gpTy + e(w V) (Tn - w),
Ы Р " A6.7)
ЪТ
— + vVT= хАГ, div v = 0, div w = 0, rot w = VT X n.
dt
Здесь e= 1l2(fib?lJ — единственный размерный параметр, определяю-
определяющий высокочастотное вибрационное воздействие на осредненное конвек-
конвективное течение. Как видно, замкнутая система для осредненных полей со-
содержит дополнительную (вибрационную) силу и соответственно дополни-
дополнительное неизвестное векторное поле w (из формулы A6.5) следует, что w
есть, в сущности, амплитуда пульсационной компоненты скорости).
Система A6.7) должна решаться при обычных граничных условиях для
скорости и температуры. Что же касается вектора н>, то, имея в виду "не-
"невязкий" характер пульсационного течения (см. первое из уравнений
A6.2)), следует поставить условие обращения в нуль нормальной компо-
компоненты wn на границе полости.
§ 16. ТЕЧЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВИБРАЦИИ щ
Применимость метода осреднения, естественно, ограничена областью
высоких частот. Имеется также ограничение по частоте сверху, обусловлен-
обусловленное использованием модели несжимаемой жидкости: длина звуковой вол-
волны должна быть много больше характерного размера. Таким образом,
период вибрации должен удовлетворять неравенствам
L/c < г < min(L2/v, L2 /х).
Здесь с — скорость звука, L — характерный размер (масштаб полости,
толщина пограничного слоя и т.д.) . Оценки показывают, что имеется весьма
широкий интервал практически интересных частот, удовлетворяющих ука-
указанным ограничениям.
Использование метода осреднения в гидродинамике вязкой жидкости
восходит к известной работе Ц.Ц. Линя, посвященной осциллирующему
пограничному слою (см. [23]). В теории конвекции метод осреднения
применен впервые в работе СМ. Зеньковской и И.Б. Симоненко [24] и
далее применялся в ряде работ СМ. Зеньковской и других авторов для
изучения влияния высокочастотной вибрации на устойчивость механи-
механического равновесия горизонтального слоя жидкости. Исследования вибра-
вибрационной конвекции в невесомости отражены в обзоре [21].
Запишем уравнения осредненного течения в безразмерной форме. Все
единицы выбираются обычным образом (§ 1) ; единица w совпадает с еди-
единицей температуры. Эти уравнения таковы:
3v Ray
— +Gr(vV)v = -Vp + Av + Ту + {wV)(Tn-w),
dt - СГРГ ' A6.8)
ЪТ 1
— +GrvVr= AT, div v =0, div w = 0, rot w = VTXn.
dt Pr
Система содержит новый безразмерный параметр, характеризующий
высокочастотный вибрационный эффект: Ray = (@bQ,QhJ/ Bvx) — вибра-
вибрационный аналог числа Рэлея.
Рассмотрим конвекцию в вертикальном слое с границами х = ±1, под-
поддерживаемыми при температурах Т = +1 Ось вибрации п имеет произволь-
произвольное направление: п (пх, пу, nz).
Задача имеет стационарное решение, описывающее плоскопараллельное
течение, в котором сохраняются линейное распределение осредненной тем-
температуры и кубический профиль осредненной скорости; вектор и>0 при
этом имеет компоненты:
wox = 0, wOy = -пух, wOz= ~nzx. A6.9)
При определении вектора wQ использовано условие замкнутости пульса-
ционной компоненты потока.
Введем нормальные пространственные возмущения вида
(v, Г, р, w) - exp [~Xt + Цкуу + kzz)\
112 ГЛ. III. КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
и запишем систему амплитудных уравнений:
-Xvx + ikz Grvovx =-pr + (v"x -k2vx) +
@nx - wx) + nxT0'wx]
Gr Pr
-Xvy + ikz Gr vovy = —ikyp + (v"y ~ k2vy)
Ra,,
ikzwOz){Bny -wy),
—Xvz + /
= -ifczp + (uz - k2vz)
Gr Fr
-\в + ikz Grvoe + СгГоЧ = — (В" -k2B\ A6.10)
Pr
yi + /(^у^ + kzvz) ~ 05 wi +i(kywy+kzwz) = Q,
w'y — ikywx = пув' - ikynx0, wz — ikzwx = nz0f - ikznx0,
Vy — llxyvvx 'tyv — tn>Vflx 5 Z — tr*'ZvvX — rizu — ll\>znx\.
kywz - kzwy = kynz0 - kzny8 (k2 -k2y + k2).
На границах слоя выполняются условия:
jc = ±1: vx = vy - vz - 0, 6=0, wx = 0. A6.11)
Ограничимся рассмотрением трех случаев: а) вертикальной вибрации,
б) горизонтальной вибрации в плоскости слоя, в) горизонтальной попе-
поперечной вибрации.
Случай а). При вертикальной вибрации (пх - пу - 0, nz - 1), как ока-
оказывается, наиболее опасными являются плоские возмущения: vy = 0,
ку - 0, kz = к, wy = 0. Спектральную амплитудную задачу для этого случая
запишем в терминах амплитуд ^ и / возмущений функций тока плоских
полей v и w.
GrPr
Д/ = в';
/') = ХД
A6.12)
Д0 +
jc = ±1: <p=V = 0, 0 =0, /=0.
Задача A6.12) решалась в работах А.Н. Шарифулина [25,261 методом
пошагового интегрирования с ортогонализацией. Сводные результаты пред-
представлены на рис. 73.
§ 16. ТЕЧЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВИБРАЦИИ
113
о
20
Рис. 73. Границы устойчивости на плоскости (\/Ra^, Gr) для разных чисел Прандтля
после минимизации по волновому числу. Сплошные линии - монотонная неустойчи-
неустойчивость; штриховая - волновая неустойчивость (Рг = 20)
При Ray = 0 (отсутствие вибрации) получается обычная задача устойчи-
устойчивости течения в вертикальном слое. Противоположный предельный случай
Gr = 0 соответствует отсутствию статического поля тяжести (невесомость).
Основное состояние в этом случае представляет собой "квазиравновесие",
т.е. такое состояние, при котором имеются лишь высокочастотные конвек-
конвективные колебания, но отсутствует осредненное течение. Устойчивость тако-
такого равновесия изучалась в работах [27, 28], где было показано, что при
достижении вибрационным числом Рэлея критического значения Ra^ =
= 2129/16 = 133,1 возникает периодическая вдоль оси z структура вибра-
вибрационной конвекции типа валов с осями, параллельными оси р; критичес-
критическое волновое число при этом кт = 3,23/2 = 1,61х).
Кривые устойчивости на рис. 73 (область устойчивости прилегает к на-
началу координат) описывают взаимодействие различных механизмов неус-
неустойчивости - гидродинамического и волнового, с одной стороны, и стати-
статического вибрационного — с другой. Наличие вибрации при всех числах Рг
приводит к дестабилизации конвективного течения. Влияние же конвек-
конвективного течения на статическую вибрационную неустойчивость оказывает-
оказывается различным в зависимости от Рг. При малых числах Прандтля (Рг < 0,27)
конвективное течение дестабилизирует механическое "квазиравновесие".
*) Пересчетные множители связаны с выбором в [27, 28] в качестве единиц
расстояния и температуры полной толщины слоя и полной разности температур гра-
границ.
114 ГЛ. III. КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Если Рг > 0,27, то при малых Gr (т.е. малой интенсивности конвективно-
конвективного течения) имеется повышение порога вибрационной неустойчивости;
при больших Gr наступает дестабилизация, связанная с преобладанием
механизмов неустойчивости собственно течения.
При малых и умеренных Рг неустойчивость имеет монотонный характер.
При больших Рг появляется и становится (при немалых Gr) наиболее опас-
опасной волновая мода.
Анализ краевой задачи A6.12), а также численные результаты показы-
показывают, что при достаточно малых числах Прандтля происходит насыщение
зависимости Gr(Rav) — влияние числа Прандтля исчезает. Можно убедить-
убедиться также в том, что при больших Рг зависимость Gr от аргумента Ra^/Pr
также насыщается по Рг, исключая область малых Gr ~~ 1/Рг.
Критические волновые числа кт стационарной моды неустойчивости
сравнительно слабо зависят от параметров. На волновой моде неустой-
неустойчивости критическое кт быстро уменьшается с ростом Gr, начиная со зна-
значения в точке ответвления волновой моды от стационарной. Фазовая ско-
скорость критических волновых возмущений при этом быстро растет с уве-
увеличением Gr, приближаясь к максимальной скорости невозмущенного
потока.
Взаимодействие различных механизмов неустойчивости отчетливо про-
проявляется в структуре нейтральных кривых. Пример, представленный на
рис. 74, интересен наличием волновой неустойчивости. Верхние области
соответствуют обычной волновой моде (нарастающие температурные вол-
волны), дестабилизированной влиянием вибрации, нижние области — моно-
монотонной вибрационно-статической моде. При Rau = 1040 на верхней границе
статической области зарождается еще одна зона волновой неустойчивости
(на рисунке заштрихована), расширяющаяся с ростом Ray. Слияние верх-
верхней и нижней волновых зон наступает при Rav = 1740. Картина, таким об-
образом, весьма сходна с описанной в § 14 (см. рис. 63).
Случай б). Перейдем теперь к обсуждению горизонтальной вибрации
в плоскости слоя (пх = nz = 0, пу - 1). Общая картина устойчивости тече-
течения может быть понята из рассмотрения двух предельных случаев, а имен-
именно — плоских и спиральных возмущений.
В классе плоских возмущений i?^ = 0, ку - 0, kz = к; компонента wy
отлична от нуля, однако в силу определения вектора w A6.3) в — wy = 0.
Из системы A6.10) видно, что задача определения амплитуд возмущений
скорости, температуры и давления не содержит вибрационной силы. Таким
образом, критическое число Грасгофа Gr не зависит от Ray и определяет-
определяется обычной задачей устойчивости течения в вертикальном слое без вибрации.
Другой предельный случай - спиральные возмущения; kz = 0, ку = к.
Из A6.10), A6.11) тогда выделяется спектральная задача для амплитуд
горизонтальных компонент векторов v и w, а также р и 0. Эта задача не со-
содержит скорости основного течения и совпадает с задачей устойчивости
механического квазиравновесия в невесомости при наличии поперечной
разности температур и вибрации в плоскости слоя. Как уже говорилось
выше, это равновесие теряет устойчивость при критическом числе Рэлея
Rau = 133,1. Таким образом, спиральная мода пространственной задачи
§ 16. ТЕЧЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВИБРАЦИИ
Gr
150
115
100
50
\
Рг=20
\\\ 1000
\ 150L
200п\
уооо
15ооУ2ооо
ТШ-^ 1ьоо"
' 1000
О 0,5 1,0 к
Рис. 74. Нейтральные кривые (Рг = 20)
15
10
»-ch
100
200
Рис. 75. Граница устойчивости относительно вибрационно-статической моды (экспери
мент [29 ])
116 ГЛ. III. КОМБИНИРОВАННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
устойчивости течения при наличии горизонтальной вибрации имеет вибра-
ционно-статическую природу и соответствующая граница устойчивости
не зависит от Gr.
Итак, в случае горизонтальной вибрации в плоскости слоя граница об-
области неустойчивости течения на плоскости (Ra^, Gr) (аналог кривых на
рис. 73) образована двумя прямыми: горизонтальной прямой Gr =Gr(Pr)
(граница устойчивости течения без вибрации) и вертикальной прямой
Ray = 133,1 (граница вибрационно-статической устойчивости равновесия
р невесомости). Если Ray < 133,1, то неустойчивость течения возбужда-
возбуждается при увеличении числа Грасгофа по достижении критического значе-
значения Gr(Pr); при этом неустойчивость связана с плоскими возмущениями,
имеющими в зависимости от Рг гидродинамическую либо волновую при-
природу. Если же Gr < Gr(Pr), то неустойчивость появляется при увеличении
Ray до значения 133,1, причем ответственными за кризис являются спи-
спиральные возмущения (валы с вертикальными осями). Именно такой тип
неустойчивости изучен экспериментально в работе [29], где в качестве
рабочей жидкости использовался этиловый спирт (Рг = 16,1). Граница
устойчивости течения при этом определяется волновой модой, и соответ-
соответствующее критическое число Грасгофа Grw = 210. В эксперименте авторы
работали в области малых значений Gr. При фиксированных Gr увеличе-.
ние вибрационного числа Рэлея приводило к неустойчивости. Измеренное
критическое число Rav = 1,3 • 102 хорошо согласуется с теоретическим
значением; по достижении критического числа Rav на фоне плоскопарал-
плоскопараллельного течения формировалась система вертикальных валов (рис. 75).
Таким образом, авторам эксперимента [29] удалось выделить в чистом
виде действие вибрационно-статического механизма неустойчивости.
Мы не останавливаемся здесь на результатах анализа устойчивости
течения с произвольным направлением оси вибрации в плоскости слоя
/i@, пу, nz) относительно произвольных пространственных возмущений
[33]. В этом случае удается получить преобразования, сводящие эту зада-
задачу к плоской задаче для вертикальных вибраций (случай а).
Случай в). Обратимся, наконец, к рассмотрению вибрации, направле-
направление которой перпендикулярно плоскости слоя (пх = 1, пу = nz = 0). Крае-
Краевая задача для плоских возмущений (vy = 0, ку = 0, kz = k,wy = 0) может
быть записана в виде
А2у + ikGr (vl<p - v0Ay) + в'
Г0/
Gr
— АО + ikGi(T'oy~- vo0) = -Х0, А/= - ikB; A6,13)
Рг
х = ±1: ?> = </ = 0, 0 = 0, /=0.
При поперечной вибрации, в отличие от обсуждавшихся выше случаев а)
и б), статический механизм неустойчивости не работает и потому целесо-
целесообразно характеризовать вибрационное воздействие параметром Gxv =
Rav
= — вибрационным аналогом числа Грасгофа.
§ 16. ТЕЧЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВИБРАЦИИ 117
Расчеты показывают [34], что поперечная вибрация оказывает стаби-
стабилизирующее воздействие на обе моды неустойчивости — гидродинами-
гидродинамическую и волновую. С увеличением Gry критическое число Grw монотон-
монотонно возрастает. При больших Gr^ на гидродинамической моде имеет место
асимптотика Grw = 107Gr^4, не зависящая от числа Прандтля. На волно-
волновой моде также справедлив асимптотический закон Grw ~ Gr*/4 с коэф-
коэффициентом, зависящим от Рг (для Рг = 15, 20, 50 и 100 этот коэффициент
соответственно равен 41,9; 35,8; 26,5 и 22,2). Пороговое значение числа
Прандтля Рг*, при котором появляется волновая мода, практически не за-
зависит от Grut Критическая длина волны растет с ростом Grv; при больших
Grv на обеих модах неустойчивости кт ~~ Gr/4.
Рассмотрение пространственных возмущений показывает, что в случае
поперечной вибрации при всех Рг плоские возмущения наиболее опасны.
Выше речь шла о влиянии на устойчивость конвективного течения виб-
вибраций высокой частоты. Если частота вибрации конечна, а направление вер-
вертикально, то основное плоскопараллельное течение содержит осциллирую-
осциллирующую часть (см. [30]), и задача устойчивости приводит к системе амплитуд-
амплитудных уравнений с периодически меняющимися со временем коэффициента-
коэффициентами. При этом, в отличие от высокочастотного предела, амплитуда и частота
выступают в качестве независимых параметров. Задача устойчивости в та-
такой постановке решалась в работе [31] методом Галеркина — Канторови-
Канторовича. Полученные количественные результаты относятся к весьма узкой об-
области изменения параметров вибрации и показывают, что в зависимости
от амплитуды и частоты возможна как стабилизация, так и дестабилиза-
дестабилизация основного течения. Эффекты в обследованной области параметров
весьма малы (сдвиг критического числа Грасгофа не превосходит 1,3%).
ГЛАВА IV
ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
В используемых в современной технике тепло- и массообменных аппа-
аппаратах рабочими средами часто служат жидкости с особыми свойствами.
Эти свойства обусловлены разными причинами — от взаимодействия с
электромагнитными полями до неоднородности состава и специфики рео-
реологического поведения. Разнообразие свойств жидкостей, естественно,
проявляется и в свойствах устойчивости конвективных течений. Обсуж-
Обсуждению этих вопросов посвящена данная глава.
§ 17. Проводящая жидкость в магнитном поле
Если жидкость является электропроводной (жидкий металл, электро-
электролит, плазма), то на ее течение существенное влияние оказывает магнитное
поле. Это влияние обусловлено магнитогидродинамическим взаимодей-
взаимодействием магнитного поля и электрических токов, индуцируемых в движу-
движущейся жидкости. МГД-механизм, естественно, воздействует и на конвек-
конвективное течение проводящей жидкости, а также на его устойчивость. Наличие
внешнего магнитного поля приводит, в общем, к стабилизации течения.
1. Основные уравнения. Будем исходить из обычных уравнений конвек-
конвекции в приближении Буссинеска. В уравнении движения теперь должна
быть учтена пондеромоторная сила, действующая на индуцируемый в жид-
жидкости ток со стороны магнитного поля. В расчете на единицу массы эта
1
сила равна —/ ХЯ, где / - плотность тока, Я - напряженность магнитно-
рс
го поля, с — скорость света в вакууме; здесь и далее мы полагаем магнит-
магнитную проницаемость среды ц равной единице (имеются в виду слабо маг-
магнитные жидкости).
В движущейся среде ток складывается из омической и конвективной
составляющих; закон Ома запишем в виде
1 \
j=o(E+ - уХЯ), A7.1)
V с /
где Е — напряженность электрического поля, о — коэффициент электро-
электропроводности (о границах применимости закона Ома см. [1] ),
§ 17. ПРОВОДЯЩАЯ ЖИДКОСТЬ 119
Поля и токи подчиняются системе уравнений Максвелла. Из этой сис-
системы с учетом закона Ома A7.1) ив пренебрежении током смещения мож-
можно получить уравнение для магнитного поля в движущейся проводящей
среде (уравнение индукции):
ЪН с2
— + rot (НХ\) = АН. A7,2)
bt 4тто
Система уравнений конвекция проводящей жидкости в магнитном поле
состоит из уравнений движения (с учетом магнитной силы), переноса теп-
тепла и индукции, а также уравнений непрерывности для векторов v и Н.
В безразмерной форме (единицей поля служит величина напряженности
внешнего поля Но) эти уравнения имеют вид
На2
(#V)#,
A7.3)
3v
bt
ЪТ
bt
ЪН
bt
\
1
+ Gr(vVr)= —
Pr
+ Grrot(//X v) =
AT,
1
Ha2
GrPrw
АЯ,
Xa
2 / V
Ha2
' Tl~l GrPrw
divv = O, div#=O.
Hoh ПГ
Новыми параметрами являются число Гартмана На = у/— (пара-
с рр
метр магнитогидродинамического взаимодействия, определяющий отно-
отношение магнитной и вязкой сил) и магнитное число Прандтля (число Бэт-
челора) Prm = 4ттор/с2 , определяющее соотношение кинематической вяз-
вязкости v и магнитной вязкости Рт = с2/Dтто). Заметим, что в уравнении
переноса тепла мы пренебрегли, наряду с вязкой диссипацией, также и
джоулевым разогревом среды.
2. Основное течение [2]. Рассмотрим сначала стационарное плоскопа-
плоскопараллельное течение в плоском вертикальном слое, границы которого под-
поддерживаются при постоянных разных температурах, при наличии внеш-
внешнего постоянного и однородного магнитного поля, направленного перпен-
перпендикулярно слою. Нетрудно убедиться, что в этом случае существует точ-
точное решение системы A7.3), описывающее течение следующей структуры:
^Ojc = Voy = 0> vOz = v0 (х) ; Го = Го (х) ; р0 = р0 (z) ; НОх = 1, НОу = 0, HQz =
= HOz (x). Профили скорости, температуры и индуцированного поля имеют
вид
1 /sh На х
Ha^shHa .
_GrPrw/;c2-l chHax-chHa4
°z~ На2 \ 2 ~~ Hash На
120
ГЛ. IV ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
(При определении HOz считается, что индуцированное поле исчезает на гра-
границах слоя.)
Профили скорости представлены на рис. 76, а. При На -> 0 в пределе
получается обычный кубический профиль. С увеличением числа Гартмана
движение замедляется, а вблизи границ образуется гартмановский пог-
пограничный слой, безразмерная толщина которого при больших На имеет по-
порядок 1/На. Распределение индуцированного поля представлено на
рис. 76, б.
В случае продольного внешнего магнитного поля магнитогидродинами-
ческое взаимодействие между полем и плоскопараллельным течением от-
отсутствует. Индуцированного поля в этом случае нет, и распределения ско-
скорости и температуры имеют тот же вид, что и при отсутствии поля.
3. Уравнения возмущений. Получим теперь уравнения малых возмуще-
возмущений основного плоскопараллельного течения. Кроме возмущений скорос-
скорости, температуры и давления, введем также возмущения магнитного поля:
Но + Я, где #0 ~ невозмущенное поле, состоящее из внешнего и индуци-
индуцированного полей, а Н — малое возмущение. Будем рассматривать сначала
плоские возмущения. В этом случае введем, наряду с функцией тока ф
возмущения скорости, магнитный потенциал А для возмущения поля,
связанный с компонентами вектора Я:
ЪА
—
0Z
ЪА
Hz=—
дх
Для амплитуд нормальных возмущений функции тока у(х), темпе-
температуры в (х) и магнитного потенциала f (x) получается система линейных
-0,06-
Рис 76 Профили скорости (а) и индуцированного магнитного поля (б) основного
течения
§ 17. ПРОВОДЯЩАЯ ЖИДКОСТЬ 121
однородных уравнений
А2 у + ikGi (и'о Ч> - ^0 А^) + в' +
На2
+ —— (Яо* АГ + ikHOz Af - /fctf'^ f) = - ХА^ A7.5)
GrPrm
1
— Ав +ikGi(Toy~-voe) = ~\e, A7.6)
Af + Gr[i* (Я02 ^ - uof) + HOx <p'] = - Xf. A7.7)
В дальнейшем будем иметь в виду случай жидких металлов, у которых
параметр Prm очень мал (у ртути, например, Prm ~ 10"). Систему ампли-
амплитудных уравнений A7.5)-A7.7) при этом можно упростить по аналогии
с тем, как это делалось при исследовании устойчивости изотермических
течений проводящей жидкости [3,4].
В случае поперечного поля НОх = 1, а индуцированное поле HOz мало;
поэтому членами, содержащими HQz в уравнениях A7.5), A7.7), можно
пренебречь. В уравнении A7.7), кроме того, ввиду малости GrPrm (чис-
(число Gr предполагается умеренным) следует удержать лишь главные члены,
содержащие амплитуду магнитного потенциала f. Таким образом, урав-
уравнение A7.7) приближенно записывается в виде
Это позволяет исключить из системы f и записать уравнение A7.5) следую-
следующим образом:
А2у + ikGr (v'o у - v0 Д<р) + в' - НаV = - *А<р. A7.8)
Уравнения A7.6) и A7.8) вместе с соответствующими граничными усло-
условиями для кр и в, которые остаются прежними, образуют спектральную
задачу для амплитуд возмущений в поперечном поле. В использованном
приближении амплитуда возмущения магнитного потенциала оказывает-
оказывается исключенной из системы без повышения порядка; при этом, разумеет-
разумеется, из рассмотрения исключаются ветви спектра, связанные с магнитными
возмущениями. Влияние поперечного магнитного поля на устойчивость
обусловлено его подавляющим воздействием на основное течение и воз-
возмущения скорости.
В случае продольного магнитного поля HOz = 1, а индуцированное маг-
магнитное поле НОх отсутствует. Удерживая в A7.7) главные члены, получим
что снова позволяет исключить из уравнения A7.5) амплитуду f :
А2 у + ik Gr (vo у-ь0Ау) + в' + к2№2$=- \Ау. A7.9)
Уравнения A7.6), A7.9) с соответствующими граничными условиями
определяют поведение возмущений в продольном поле. Поскольку, как
уже говорилось, продольное поле не изменяет основного течения, его влия-
122
ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
ние на устойчивость обусловлено лишь воздействием на возмущения ско-
скорости.
4. Границы устойчивости. Амплитудные краевые задачи, определяющие
декременты возмущений и границы устойчивости, решались численно
[5, 6\. В случае поперечного поля в области относительно слабых полей
(На < 4) достаточную точность обеспечивало применение метода Галер-
кина с базисом, содержавшим 16 функций. В области больших значений
числа Гартмана сходимость метода Галеркина заметно ухудшается в связи
с образованием в течении гартмановского пограничного слоя. Поэтому
при На > 4 решение находилось путем численного интегрирования мето-
методом Рунге — Кутта с пошаговой ортогонализацией. В случае продольного
поля гартмановский пограничный слой отсутствует и потому имеется до-
достаточно быстрая сходимость метода Галеркина; так, при На < 102 доста-
достаточную точность дает приближение, содержащее 8 базисных функций.
Результаты расчета границы устойчивости для числа Прандтля Рг = 0,01
представлены на рис. 77, а. С увеличением поперечного поля имеет место
сильная стабилизация течения. Величина эффекта иллюстрируется следую-
следующим примером: поперечное поле, соответствующее На = 10, приводит к уве-
увеличению Grw на четыре порядка по сравнению со случаем На = 0. Эффект
стабилизации в продольном поле, естественно, выражен значительно сла-
слабее. В пределе сильных продольных полей численные результаты приводят
к асимптотической зависимости Grm = 115 На.
/О 15 20 Ни
a
1,5
1
0,5
0
Рг= 0,01
10
15
20 На
Рис. 77. Критическое число Грасгофа (а) и критическое волновое число (б) в зави-
зависимости от числа Гартмана: 1 - поперечное поле, 2 - продольное поле
§ 17. ПРОВОДЯЩАЯ ЖИДКОСТЬ 123
6000
5000
ШО
2700
2400
2100
Рис. 78. Критическое число Грасгофа в зависимости от числа Прандтля: а) На = 4,
поперечное поле; б) На = 20, продольное поле
Независимо от ориентации поля, с ростом его величины возрастает дли-
длина волны наиболее опасных возмущений (рис. 77, б). Расчеты показыва-
показывают, что, как и в случае отсутствия поля, зависимость Grw (Pr), в общем,
слабая. Примеры зависимостей Grw (Pr) приведены на рис. 78.
Результаты, представленные на рис. 77 и 78, относятся к гидродинами-
гидродинамической моде неустойчивости. Что касается волновой моды, то, как пока-
показывают расчеты, действие магнитного поля приводит к уменьшению поро-
порогового числа Прандтля Рг*, при котором эта мода появляется. Однако в
области Pr ~ 10~2, характерной для жидких металлов, волновая неустой-
неустойчивость отсутствует.
В случае продольного поля удается ответить на вопрос о поведении
пространственных нормальных возмущений и, следуя методу, изложен-
изложенному в § 7, получить преобразования, сводящие пространственную зада-
задачу к плоской:
Gr" Tla _ kz
Gr = —, Ha= —, k = y/k2y+k2z, a = — . A7.10)
Таким образом, критическое число Gr для пространственных возмуще-
возмущений с волновыми числами ку и kz в поле На определяется через критичес-
критическое число Gr для плоских возмущений с волновым числом 1с в поле На.
Преобразования A7.10) аналогичны известным преобразованиям Хан-
та [7] в теории устойчивости плоскопараллельных изотермических тече-
течений. Результаты пересчета границы усюйчивости показывают, что наиболее
опасными являются плоские возмущения (а = 1).
124 ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
§ 18. Жидкий диэлектрик в электрическом поле
В предыдущем параграфе было рассмотрено влияние магнитного поля
на устойчивость конвективного течения проводящей жидкости. Если жид-
жидкость является диэлектрической, то определенное воздействие на характер
ее течения может оказывать электрическое поле. Один из возможных ме-
механизмов электрогидродинамического воздействия на устойчивость кон-
конвективного течения обсужден в работе [8], которой мы следуем в даль-
дальнейшем изложении.
Пусть плоский слой жидкого диэлектрика заключен между параллель-
параллельными твердыми плоскостями, на которых поддерживаются разные темпе-
температуры ±0 и разные значения электрического потенциала ±Ф0, В слое
возникает течение жидкости в поперечном электрическом поле. Плотность
пондеромоторной силы, действующей на жидкость, определяется выраже-
выражением [9]
fe =PeE--E2Ve+- v(p — Е2). A8.1)
2 2 \ Эр /
Здесь ре — плотность свободного заряда, Е — напряженность электрическо-
электрического поля, е — диэлектрическая постоянная, которая, по предположению,
линейно зависит от температуры
<*Г), A8.2)
где ос - температурный коэффициент.
Последняя (стрикционная) составляющая силы, очевидно, приводит
лишь к переопределению давления. Первая (кулоновская) составляющая
силы не будет учитываться. Физически это соответствует такой ситуации,
когда электрическое поле переменно и его период мал по сравнению со
временем релаксации заряда. Для большинства диэлектрических жидкос-
жидкостей это время достаточно велико (десятки секунд), и сформулированное
условие не накладывает жестких ограничений на частоту переменного по-
поля. Этим обстоятельством можно воспользоваться в эксперименте для мо-
моделирования ситуации, при которой свободный заряд в жидкости не успе-
успевает возникать, а электрическое поле может считаться постоянным.
Существенна лишь вторая (диэлектрофоретическая) составляющая
силы, обусловленная неоднородностью диэлектрической постоянной е
за счет ее температурной зависимости. Эта сила, как видно, действует
в основном течении поперек слоя и потому не приводит к изменению
распределений скорости и температуры.
Напряженность поля и потенциал в основном течении находятся из урав-
уравнений Максвелла, которые с учетом сделанных замечаний запишутся в виде
div (€?•) = 0, rot#=0. A8.3)
Электрическое поле Ео направлено вдоль поперечной оси х. В случае малос-
малости параметра а0 неоднородностью поля можно пренебречь; в этом преде-
пределе из A8.2), A8.3) следует Ео = Фо/Л, ?о =~Еох.
§ 18. ЖИДКИЙ ДИЭЛЕКТРИК
125
Уравнения для возмущений скорости v, температуры Г, давления р и
поля Е получаются путем линеаризации системы уравнений конвекции
и уравнений Максвелла около основного течения. В размерной форме эти
уравнения имеют вид
Эу
dt
1
Р
^ г*г2
i>Av+gPTy+ —- [E2OVT+2(EOE)VTO],
дТ
—
dt
rot/T=0.
divv = 0,
- a(VT0E + E0VT) = 0,
A8.4)
Введем плоские нормальные возмущения с амплитудами функций тока,
температуры и электрического потенциала, соответственно </?, в и f. При оп-
определении безразмерных переменных будем пользоваться обычными едини-
единицами расстояния, времени, скорости и температуры; в качестве единицы
поля примем aSE0- Запишем спектральную задачу для безразмерных амп-
амплитуд, упростив ее в предположении слабой температурной неоднороднос-
Рис. 79. Границы устойчивости на плоскости (Ra^, Gr) для разных чисел Прандтля
после минимизации по волновому числу: сплошные кривые - стационарная мода,
штриховые - волновая
126 ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
ти е, а именно аЭ <€ 1 ¦
ikRaE
А2# + ikGi(voV- v0Ay) + в' - — @ + ? ) = - ХД^,
GrPr
i A8.5)
— Д0 + ikGx{T'0<p - vo0) = - Х0, Д? + 0' = 0.
Pr
Граничные условия для ^ и 0 остаются обычными; условия для f выте-
вытекают из эквипотенциальности ограничивающих плоскостей. Таким образом,
имеем
х = ±1: </> = </ = 0, 0 = 0, f=0. A8.6)
Система содержит дополнительный безразмерный параметр, характери-
характеризующий ЭГД-взаимодействие — электрический аналог числа Рэлея Ra# =
Спектральная задача A8.5), A8.6), получившаяся в результате указан-
указанных упрощений, полностью эквивалентна обсуждавшейся в § 16 задаче о
неустойчивости вертикального конвективного течения при наличии про-
продольной высокочастотной вибрации. Для отождествления требуется за-
замена /-> — f и Rau -+R&E. Таким образом, рассматриваемый ЭГД-механизм
с точки зрения воздействия на устойчивость аналогичен вибрационному ста-
статическому механизму. Задача A8.5), A8.6) описывает (при произволь-
произвольных Gr и Ra^) взаимодействие ЭГД- и конвективных механизмов неустой-
неустойчивости. Численные результаты решения этой задачи, полученные в работе
[8] методом степенных рядов (рис. 79), согласуются с результатами
решения соответствующей вибрационной задачи (рис. 73).
§ 19. Бинарная смесь. Устойчивая
вертикальная стратификация
В этом и следующем параграфах мы рассмотрим устойчивость конвек-
конвективных течений бинарной смеси, состоящей из нереагируюших компонент.
Неоднородность состава жидкости приводит к появлению дополнительной
конвективной силы, обусловленной неоднородностью концентрации;
возникает также дополнительный (диффузионный) диссипативный меха-
механизм. Это, в свою очередь, приводит к качественно новым механизмам
неустойчивости. Кроме гидродинамической моды и нарастающих темпера-
температурных волн, теперь оказываются возможными концентрационные волны,
а также специфический для смеси "двойной диффузионный" (термокон-
(термоконцентрационный) механизм. Наличие нескольких механизмов и их взаимо-
взаимодействие делают общую картину потери устойчивости течений смеси весьма
сложной.
Заметим, что задача устойчивости конвективного течения смеси
представляет интерес, в частности, в связи с анализом работы термодиффу-
термодиффузионной колонны для разделения изотопов.
1. Уравнения конвекции бинарной смеси. Будем исходить из уравнений
конвекции бинарной смеси в приближении Буссинеска [10]; эти уравне-
уравнения могут быть получены из общих уравнений гидродинамики несжимае-
§ 19. БИНАРНАЯ СМЕСЬ 127
мой смеси [11J. Мы здесь не будем подробно повторять вывод уравнений,
отсылая читателя к работе [10] и книге [12].
Предполагается, что плотность смеси линейно зависит от температуры и
концентрации легкой компоненты:
р = рA - &ХТ - 02С). A9.1)
Здесь р — плотность смеси при средних значениях температуры и концен-
концентрации, а Т и С — отклонения от средних значений, которые предполагают-
предполагаются малыми; jSj — коэффициент теплового расширения смеси, а /32 — кон-
концентрационный коэффициент плотности (j32 > 0, так как С ~ концентрация
легкой компоненты).
Уравнения конвективного движения смеси в приближении Буссинеска
с учетом перекрестных эффектов — термодиффузии и диффузионной теп-
теплопроводности — имеют вид
—- + (vV)v = - 4 V/j + i/Av+s^r + foOT,
dtp ~
ЪТ
— + \VT - (x + a DN)AT+aDNAC,
dt A9.2)
ЭС
— + vVC = DAC + aDAT,
dt
div v = 0.
Здесь v и х - коэффициенты кинематической вязкости и температуро-
температуропроводности смеси; D — коэффициент диффузии; а — параметр термодиф-
термодиффузии; TV — термодинамический параметр, определяющий эффект диффу-
диффузионной теплопроводности. Все характеристики среды предполагаются
постоянными, соответствующими средним температуре и концентрации.
2. Основное течение. Далее будут рассматриваться конвективные течения
бинарной смеси в плоском вертикальном канале. Даже в этом случае,
отличающемся сравнительно простой геометрией, возможны различные
постановки задач в зависимости от условий нагрева и способов создания
пространственной неоднородности концентрации.
Обсудим сначала течение смеси в слое между вертикальными параллель-
параллельными плоскостями, непроницаемыми для вещества и поддерживаемыми
при постоянных разных температурах; в жидкости задан постоянный на-
направленный вертикально вверх градиент концентрации легкой компоненты,
создающий потенциально устойчивую продольную стратификацию.
Перекрестными эффектами термодиффузии и диффузионной теплопровод-
теплопроводности будем пренебрегать. В такой постановке задача устойчивости течения
рассматривалась впервые в работе Харта [13]. Однако, как показано
в [14], количественные данные, полученные Хартом, ошибочны. Далее
в изложении мы следуем работе [14].
128 гл. iv. жидкости с особыми свойствами
Итак, на границах слоя выполняются условия
х = ±h: v = О, Т = + 0, дС/дх = 0. A9.3)
Кроме того, предполагаются замкнутость потока и постоянство среднего
вертикального градиента концентрации
h 1 L ЪС
/ vzdx = 0, lim / dz = В. A9.4)
_h l->oo 2/, _L dz
При записи уравнений и граничных условий в безразмерной форме со-
сохраним принятые в § 1 единицы; в качестве единицы концентрации при-
примем величину /?! 0//32. Тогда будем иметь
8v
+ Gr(vV)v = -Vp + Av + (T + С) 7,
Э f ~
ЭГ 1
- + GrvVT= — AT,
bt Pr
A9.5)
ЪС 1
+ GrvVC = AC,
Эг Р
div v = 0;
x = ± 1: v = 0, Г = + 1, ЭС/Эх = 0,
1 'ЭС
} vzdx = 0, lim — f
2/
_j / 2/ _y 8z Gr ?id
Здесь введены четыре безразмерных параметра - число Грасгофа
Gr = gfixSh3Iv2, определенное по поперечной разности температур; кон-
концентрационное число Рэлея Ra^ =gj32#/*4/ iy.D), характеризующее продоль-
продольный градиент концентрации; обычное число Прандтля Рг = v\\ и диффу-
диффузионное число Прандтля (число Шмидта) Pr^ -v/D.
Задача A9.5), A9.6) допускает решение, описывающее плоскопарал-
плоскопараллельное стационарное течение:
1 / ch rx • sin rx sh rx • cos rx\
—I ; ), То=~Х,
ch г- sin a* sh г- cos а* /
Raw I /ch rx • sin rx sh a\x . cos rx\
Co= z+c0, co=x ( + );
GrPitf A-A\ shr- cos a* chA-.sinA- /
(); A9.7)
A-A\ shr- cos a* hAiA- /
/A
r=( ) ; A = tgf + ctgr - thr + cthr.
\ 4 /
§ 19. БИНАРНАЯ СМЕСЬ 129
Как видно, температура является линейной функцией поперечной коор-
координаты; профиль скорости подобен профилю в случае продольного стаби-
стабилизирующего градиента температуры (§8). На рис.80 представлены про-
профили скорости и поперечного градиента концентрации. С ростом параметра
продольной стратификации г скорость уменьшается и течение приобретает
характер разомкнутых пограничных слоев, разделенных практически
неподвижным ядром. Образование пограничных слоев отчетливо видно
также и в профилях поперечного градиента концентрации. При больших г
градиент в ядре почти постоянен: дс0 / дх -* 1. Это означает, в соответствии
с уравнением состояния A9.1), что в ядре отсутствует горизонтальный
градиент плотности, обусловленный градиентами температуры и кон-
концентрации.
3. Исследование устойчивости. Спектральная задача для амплитуд функ-
функции тока <р(х), температуры в (х) и концентрации ?(*) малых плоских
нормальных возмущений имеет вид
ikGi(v'0'<p -
О9-8)
A9.9)
Для численного решения задачи A9.8), A9.9) применялись методы Га-
Галеркина, Рунге — Кутта с пошаговой ортогонализацией и дифференциальной
прогонки. В методе Галеркина базисы для аппроксимации амплитуд функ-
функции тока и температуры совпадали с описанными в § 2, а в качестве базиса
для амплитуды концентрации использовались собственные функции
краевой задачи
1
Рг
1-
X =
Ав + ik*
± 1: \р =
G,(«, -
<р - U,
М) =
Prd
Все применявшиеся методы в обследованной области параметров давали
совпадающие результаты.
На рис. 81 представлены зависимости минимального критического числа
Грасгофа Grm от концентрационного числа Рэлея Rad для четырех комби-
комбинаций параметров Рг иРг^: 7-Рг=6,7иРг^= 676,7 (типичный пример
жидкой бинарной смеси-водного раствора соли); 2-Рг =6,7 и Рг^ = 100;
3 ~ Рг = 6,7 и Рг^ = 30; 4 - Рг = 0,7 и Vxd = 1,3 (пример бинарной газо-
газовой смеси).
В разных областях изменения параметра стратификации Ra^ течение
обнаруживает неустойчивость, обусловленную разными механизмами.
130
ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
-0,06b
Рис. 80. Профили скорости (а) и поперечного градиента концентрации (б) для разных
значений параметра стратификации
-/ о
Рис. 81. Критическое число Грасгофа в" зависимости от параметра стратификации. Ти-
Типы неустойчивости: а - гидродинамическая, б - концентрационно-волновая,в - длин-
длинноволновая термоконцентрационная, г — ячеистая термоконцентрационная; точки
на кривых разделяют области длинноволновой и ячеистой неустойчив остей
§ 19. БИНАРНАЯ СМЕСЬ 131
Обсудим для примера границы устойчивости в случае Рг = 6,7; Рг^ =
= 676,7. При малых Ra^ @ < Ra^ < 13; кривая 1 а) , как и в однородной
жидкости (Ra^ = 0) , неустойчивость имеет чисто гидродинамическую при-
природу и связана с образованием неподвижных вихрей на границе встречных
потоков. Увеличение параметра стратификации приводит в этой области
к некоторому стабилизирующему действию. Вследствие гидродинамиче-
гидродинамической природы кризиса граница устойчивости слабо зависит от Рг и Рг^,
участки кривых 1а — 4а с точностью графика совпадают.
В сравнительно узкой области 13 < Ra^ <C 30 (кривая 16) наиболее
опасной является волновая мода, связанная с нарастающими колебательны-
колебательными возмущениями концентрационного типа. Имеются две равноправные
волны, распространяющиеся в восходящем и нисходящем потоках с фазо-
фазовыми скоростями, близкими к максимальной скорости невозмущенного
потока 1).
При Ra^ > Raj* % 30 неустойчивость имеет термоконцентрационную
природу. В интервале Ra^* < Ra^ < Rad0 (для обсуждаемых значений
параметров Ra^o = 399) неустойчивость связана со стационарными длинно-
длинноволновыми возмущениями (минимальное волновое число кт = 0; участок
кривой 1в), которые являются наиболее опасными. Термоконцентрацион-
Термоконцентрационный механизм приводит в этой области к существенной дестабилизации
течения, которая особенно сильно выражена при больших Рг^ (жидкие
растворы). Так, на кривой 1в критическое число Grw на три порядка ни-
ниже, чем в области действия гидродинамической моды. При Ra^ > Ra^0
(участок 1г) неустойчивость также имеет термоконцентрационную приро-
природу, однако здесь наиболее опасными становятся ячеистые возмущения
с кт Ф 0. С ростом Ra^ граница устойчивости в этой области повышается,
а длина волны критических возмущений убывает. При больших Ra^ основ-
основное течение, как уже говорилось, приобретает структуру тонких разомкну-
разомкнутых пограничных слоев возле границ слоя и практически неподвижного
ядра. Существующий в ядре горизонтальный градиент температуры и
автоматически устанавливающийся горизонтальный градиент концентрации
приводят к практически полной компенсации горизонтального градиента
плотности. Таким образом, при больших Rad, в сущности, получается
задача устойчивости равновесия вертикального слоя смеси с продольной
стратификацией. Эта задача решалась в работе [16], в которой показано,
что неустойчивость имеет форму коротковолновой конвекции в виде
слоистых течений. Параметры неустойчивости при больших Ra^ имеют
следующую асимптотику:
5/6
3,72 Rad i/6
G * ]03 R
I Pid - Рг |
с которой хорошо согласуются численные результаты рис. 81.
1) Подробному изучению характеристик волновой неустойчивости посвящена ра-
работа Л.Е.Сорокина [15]. В этой же работе показано, что при больших числах
Прандтля появляется мода, связанная с нарастающими температурными волнами
132
ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
В случае газовой смеси (кривые 4) в представленной на рис. 81 области
изменения параметра Ra^ имеют место лишь две моды — гидродинамиче-
гидродинамическая и длинноволновая термоконцентрационная.
На рис. 82 изображены зависимости критических волновых чисел кт
от Rarf в разных областях неустойчивости.
Значение Rad0, при котором наступает переход от длинноволновой
к ячеистой термоконцентрационной неустойчивости, по данным расчетов
определяется отношением S = Pr^/Pr = x/D\ соответствующая зависи-
зависимость изображена на рис. 83.
Наиболее примечательный результат состоит в наличии резкого пониже-
понижения устойчивости в области, где ответственными за кризис являются длин-
длинноволновые термоконцентрационные возмущения (область в на рис.81).
Существенная роль длинноволновых возмущений обусловлена отсутствием
потока вещества через границы слоя. Именно это обстоятельство приводит
к тому, что развивающиеся в пристеночном слое концентрационные возму-
возмущения имеют большой характерный масштаб в продольном направлении.
Для выяснения структуры спектра в этом предельном случае можно приме-
применить метод малого параметра.
6'
3
0
*т
fa-4a
2
16
I
/
/A
7
/
-1
Рис. 82. Критическое волновое число в зависи-
зависимости от параметра стратификации. Обозначения
те же, что на рис. 81
Рис. 83. Параметр Ra^ в зависимости от S
§ 19. БИНАРНАЯ СМЕСЬ 133
При к = 0 спектральная задача A9.8), A9.9) принимает вид
^iv + 0' + {' = -X/'; в" = -ХРг0; ?" - Rad / = -X ?id ?.
A9.10)
Граничные условия совпадают с A9.9) и далее не выписываются.
Нетрудно видеть, что все определяемые этой задачей возмущения зату-
затухают, за исключением единственного уровня спектра концентрационного
типа, который является нейтральным:
X = 0; (/7 = 0=0, f = const A9.11)
(далее принимается нормировка const = 1) .
Возмущение, соответствующее этому уровню, будучи нейтральным при
к = 0, может оказаться нарастающим при малых к. Для определения этого
длинноволнового возмущения представим решение задачи в виде разложе-
разложения по степеням малого параметра к:
X = Xtk + \2к2 + . . . , у = <ргк + <р2к2 + ... ,
6=6^ + в2к2 + . ., 5 = 1 +%хк + Ь*:2 + ...
В первом порядке по к имеем неоднородную систему:
<рГ + в[ + ?| = 0, 0Г = 0, $Г - Raj^l = -Ax Prd + i Gr Prdu0. A9.13)
Условие разрешимости дает Хх =0. Явный вид амплитуд первого поряд-
порядка можно найти в статье [14].
Уравнения второго приближения имеют вид
# & 'G 0W UoVi), 0" = -/Gr Pr
A9.14)
Условие разрешимости этой системы состоит в обращении в нуль интег-
интеграла от правой части последнего уравнения. Отсюда определяется поправка
к декременту:
1 / Gr2\ F(r)
*2 = — ( 1 ~ —у); Gr, = -^ . A9.15)
Функция F(r) зависит только от параметра стратификации. При
Gr < Grc декремент X «* Х2к2 положителен при к Ф 0, т.е. возмущения
затухают. При Gr > Grc в области малых к декремент X < 0, т.е. имеет
место длинноволновая неустойчивость. Граница устойчивости определяется
значением Grc. Как видно, критическим параметром служит произве-
произведение GrcPrd, зависящее от параметра продольной стратификации
134 ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
г - (Ra^/4I/4. Обсуждаемая длинноволновая мода существует в области
/*>/** = 1,673, т.е. при Ra^ > Ra^* =31,3- Минимальная устойчивость от-
отвечает значению Ra^m = 62,6. Критическое число Грасгофа Grc =
= 196,12/Рг^. Это полностью согласуется с численными результатами в об-
области в на рис.81. С увеличением параметра Ra^ длинноволновая мода
неустойчивости уступает место ячеистой.
Как уже указывалось, рассмотренная задача решалась в работе Харта
[13]. Для численного определения границ устойчивости применялся метод
Галеркина. Расчеты проведены для Рг = 6,7; Рг^ = 676,7. Поведение границ
устойчивости при малых и больших Ra^ согласуется с данными рис.81.
В работе установлено также понижение устойчивости термоконцентрацион-
термоконцентрационного происхождения. Однако количественные результаты, относящиеся
к этой наиболее интересной области, ошибочны. Прежде всего следует от-
отметить, что в [13] не обнаружена длинноволновая мода термоконцентра-
термоконцентрационной неустойчивости: дестабилизация при конечных Ra^, согласно
[13], связана с ячеистыми возмущениями. Имеются также значительные
количественные расхождения в области минимума кривой Grm(Rarf).
Так, при указанных Рг и Рг^, согласно [13], наименьшее значение
Grm = 2,1 и достигается при Ra^ = 333, тогда как по A9.15) ц численным
результатам (рис. 81, кривая 1в) имеем Grw = 0,29 при Ra^ = 62,6.
Поскольку наличие длинноволновой моды и соответствующая граница
устойчивости установлены в излагаемой работе [14] как аналитически, так
и разными численными методами, ошибочность результатов [13] не вызы-
вызывает сомнений. Заметим, что в [13] не обнаружена и концентрационно-
волновая мода неустойчивости (область б) .
Ошибочность результатов Харта [13] связана с неполнотой базиса, ис-
использованного для разложения амплитуды концентрации. В соответствии
с граничным условием непроницаемости ?f(+l) = 0, и разложение ?
должно начинаться с константы. В разложении [13] эта первая базисная
функция отсутствует; между тем, как видно из проведенного выше анали-
аналитического рассмотрения длинноволновой неустойчивости, в области термо-
термоконцентрационной дестабилизации эта базисная функция играет ведущую
роль 1).
Возвратимся к области больших значений параметра стратификации Ra^ ,
где неустойчивость обусловлена ячеистым термоконцентрационным меха-
механизмом. В этой области неустойчивость развивается на фоне практически
равновесного состояния и обусловлена различием времен релаксации тем-
температуры и концентрации, которое приводит к возникновению подъемной
силы при горизонтальном смещении элемента жидкости. В самом деле,
1) Критика результатов Харта содержится также в [17], где показано, что получен-
полученные Хартом критические числа Grw и кт завышены. Однако расчеты в наиболее ин-
интересной области длинноволновой неустойчивости в [17J не были проведены
Результаты, представленные на рис. 81 и 82, в общих чертах подтверждаются более
поздними расчетами [18]; поведение кривой Grw(Ra^) в области минимума, тем
не менее, отличается от истинного.
§ 19. БИНАРНАЯ СМЕСЬ
135
рассмотрим для простоты случай, когда вертикальный градиент концентра-
концентрации отсутствует. Градиент температуры направлен влево, а градиент кон-
концентрации легкой компоненты — вправо. Положим для определенности
что х > D, т.е. неоднородности температуры выравниваются быстрее, чем
неоднородности концентрации. Поскольку температура и концентрация
не зависят от вертикальной координаты, случайное смещение элемента
вверх или вниз не приводит к появлению подъемной силы, — возмущения
такого типа гасятся вязкостью. Иная ситуация возникает при горизонталь-
горизонтальном смещении. Если, например, элемент сместится влево, то в новом месте
он будет быстро нагреваться, относительно медленно теряя легкую компо-
компоненту. При этом плотность элемента может оказаться меньше плотности
окружающей смеси, и возникнет подъемная сила. Таким образом, при опре-
определенном соотношении между градиентами и параметрами смеси горизон-
горизонтальное смещение может привести к монотонной неустойчивости.
Элементы, сместившиеся влево, будут всплывать, а сместившиеся вправо -
тонуть; это приведет к формированию слоистых течений с траекториями
частиц, наклоненными к горизонтали. Вертикальный градиент концентра-
концентрации, естественно, действует стабилизирующим образом.
Термоконцентрационный механизм служит причиной образования
слоистых течений в жидких и газовых смесях. Эти течения интенсивно
изучаются, в частности, в связи с разнообразными геофизическими прило-
приложениями (см. [19-22] ).
Экспериментальные исследования устойчивости течений бинарной смеси
проводились в ряде работ. В качестве рабочих жидкостей использовались
водные растворы поваренной соли [16, 23] и сахара (Рг = 6,7; Prd = 556)
[24, 25]. Эксперименты велись в области больших Ra^. Измеренные кри-
критические числа Grw хорошо согласуются с теоретическими. Упомянем
также работу [26], в которой изучалась неустойчивость в водных раство-
растворах NaCl, НС1 hCuSO4 в условиях заданного бокового потока тепла.
3,2
3,0
8
\
i
\А
#^ — '"" 3
ч
о-/
х-2
'—¦
ч
I
Ofi
О
-90° -60е
-30'
30'
60 е
Рис 84 Критическое число Грасгофа (сплошная кривая) и критическое волновое
число (штриховая) в зависимости от угла наклона(Rad =1,878 • 10*; отрицательные
а соответствуют подогреву снизу); кривые - теория [17], точки - эксперимент [23]
136
ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
mt,:
кттт
V
Влияние наклона слоя на устойчивость конвективно-
конвективного течения смеси (при сохранении вертикальности гра-
градиента концентрации) изучалось экспериментально и тео-
теоретически в работах [17,23]. Наклон слоя к вер-
вертикали приводит к дополнительной стратификации. Дан-
Данные теории и эксперимента удовлетворительно согласуют-
согласуются (рис. 84). Интересно, что кривая устойчивости несим-
несимметрична относительно оси а = 0, причем в случае подогре-
подогрева снизу (ос < 0), вопреки интуитивным ожиданиям,
устойчивость выше, чем в случае нагрева сверху (а>0).
Структура развитых термоконцентрационных вторич-
вторичных течений должна быть найдена на основе нелинейного
анализа. В работе [24] для расчета вторичных режимов
в области предельно больших Ra^ был использован метод
малого параметра. Модельное амплитудное уравнение
позволило заключить, что в некотором интервале зна-
значений волнового числа возможно жесткое возбуждение
неустойчивости. Эволюция течения в надкритической об-
области изучалась в работе [27] с помощью метода Галер-
кина - Канторовича. Расчеты проводились для водного
раствора соли при фиксированном Ra^ = 1,878 • 106 (пара-
(параметры соответствуют работам [17,23]). При заданных
к = 11,25 и Gr = 1231 (пятипроцентная надкритичность)
изучалось развитие со временем начального возмущения.
Расчеты показали, что в течение небольшого промежутка
времени возникающие на границе устойчивости ячейки
с противоположным направлением вращения смежных
вихрей трансформируются в систему слоистых ячеистых
течений с одинаковым направлением вращения. Анало-
Аналогичные результаты были получены ранее [28] с по-
помощью метода конечных разностей; они хорошо согла-
согласуются с экспериментом [23, 25]. Пример фотогра-
фотографии слоистой структуры приведен на рис. 85.
Явления типа "двойной диффузионной" конвектив-
конвективной неустойчивости наблюдаются также в трехкомпо-
нентных изотермических системах (пример - водный
раствор поваренной соли и сахара), в которых присут-
присутствуют две примеси, характеризуемые различными коэф-
коэффициентами диффузии, и, следовательно, различными
временами рассасывания неоднородностей. Не останав-
останавливаясь на обсуждении такого рода явлений, отошлем
читателя к статьям [22, 29-31].
Рис. 85. Пример слоистой структуры (раствор поваренной соли;
фотография из работы [23])
§ 20. БИНАРНАЯ СМЕСЬ С ТЕР МО ДИФФУЗИЕЙ 137
§ 20. Бинарная смесь при наличии термодиффузии
Рассмотрим теперь задачу устойчивости конвективного течения бинарной
смеси в другой постановке f32]. В отличие от задачи предыдущего пара-
параграфа, вертикальный градиент концентрации теперь отсутствует, но имеется
горизонтальный градиент, обусловленный эффектом термо диффузии;
эффектом диффузионной теплопроводности будем пренебрегать.
В случае нормальной термодиффузии поток легкой компоненты направлен
в сторону нагретой границы, что приводит к увеличению подъемной силы.
В случае же аномальной термодиффузии легкая компонента диффундирует
в сторону холодной границы, что уменьшает подъемную силу; при опреде-
определенном значении параметра термодиффузии возможно механическое
равновесие.
Запишем уравнения конвекции смеси и граничные условия с учетом
термо диффузии в безразмерном виде:
д\
— + Gr(vV)v = -Vp + А\ + (Г + С) у ,
Э t —
дТ 1
— + GrvVT = — AT,
dt Рг
ЪС 1
— + GrvVC = (АС - еДГ),
div v = 0;
х = ± 1: v = 0, Т = + 1,
ЪС/Ъх - еЪТ/Ъх = 0; B0.2)
1
/ vzdx = 0.
-1
Задача содержит новый безразмерный параметр, характеризующий эф-
эффект термодиффузии е = — ск/32 //3i - В случае нормальной термодиффузии
а< 0, т.е. б > 0; при аномальном эффекте а > 0 и € < 0.
В плоскопараллельном режиме течения профили скорости, температуры
и концентрации таковы:
v0 = -jr(l +е)(х3 -х), То = -х, Со = -ex. B0.3)
о
138
ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
Как и в случае однородной среды, сохраняется кубический профиль ско-
скорости. Его амплитуда, однако, содержит множитель 1 + е, т.е. скорость уве-
увеличивается или уменьшается соответственно при е > 0 и е < 0, при е = — 1
имеет место механическое равновесие.
Поведение малых плоских нормальных возмущений определяется спект-
спектральной задачей:
B0.4)
B0.5)
— Ав + ikGr(Toip - иов) = -Х0,
Рг
= -Xfc
х = + 1: ip = <р = 0, 0=0, %' - ев' = 0.
Задача решалась методом дифференциальной прогонки. Расчеты показы-
показывают, что в обследованной области параметров Рг, Рг</ и е неустойчивость
обусловлена одним из трех механизмов, уже обсуждавшихся в предыду-
предыдущем параграфе, — гидродинамическим, волновым и термоконцентра-
термоконцентрационным.
Сводная диаграмма устойчивости представлена на рис. 86; результаты
относятся к типичному для жидких смесей значению числа Прандтля
Рг = 6,7. Кривая а соответствует границе устойчивости гидродинамическо-
гидродинамического типа. При 6=0 градиент концентрации отсутствует и смесь ведет себя
как однородная среда; критическое число Грасгофа Grm0 = 492. С измене-
igi
3
2
/
2\
\
Z\
-1
f
1 \
V A
—¦Vv-*.
,
—
15
45
?
-10 12
Рис. 86. Критическое число Грасгофа в зависимости от параметра термодиффузии.
Типы неустойчивости- а - гидродинамическая, б и б' - концентрационно-волновая,
в - длинноволновая термоконцентрационная, г - ячеистая термоконцентрационная
§ 20. БИНАРНАЯ СМЕСЬ С ТЕРМОДИФФУЗИЕЙ 139
нием е, согласно B0.3), амплитуда скорости основного течения меняется
по закону 1 + е, что приводит к понижению границы устойчивости в нор-
нормальной области (е > 0) и повышению — в аномальной (е < 0), вплоть до
абсолютной стабилизации при е -* — 1. Положение этой границы слабо зави-
зависит от Рг и ?rd и с точностью графика описывается формулой Grm =
= Grm0/(l+€).
Семейство кривых 16 - 46 описьюает границы устойчивости относитель-
относительно волновых возмущений; кривые соответствуют значениям параметра
?id\ 1 - 30; 2 - 100; 3 - 200; 4 - 676,7. При Рг = 6,7 и перечисленных
Рг^ волны имеют концентрационную природу. Как видно, в широком ин-
интервале е > 0 волновая мода оказывается более опасной. С увеличением
Prrf критическое число Grm уменьшается. В случае аномальной термодиф-
термодиффузии также имеется область значений параметра е, в которой наиболее
опасны концентрационные волны. Соответствующие границы устойчивости
изображены семейством кривых 6V (] и 2 - Prd = 30; 3 — Prd = 200;
4 - ?xd = 676,7). Зависимость Grm(?xd) немонотонна; при Prrf = 30
имеются две пересекающиеся моды 1 и 2, порождаемые разными ветвями
спектра концентрационных волн.
Перейдем к обсуждению третьего из названных выше механизмов
неустойчивости — термоконцентрационного. Этот механизм действует в об-
области значительной аномальной термодиффузии и связан с развитием
длинноволновых возмущений с кт =0. Границы устойчивости 7в, 2в, Зв
соответствуют значениям Рг^ = 30, 200 и 676,7. При больших Рг^,что ха-
характерно для жидких смесей, критическое число Грасгофа мало, -
имеет место сильная дестабилизация течения.
Появление в области аномальной термодиффузии термоконцентрацион-
термоконцентрационного механизма неустойчивости представляется естественным. При е « -1
горизонтальный градиент плотности смеси практически равен нулю;
при этом имеются, однако, противоположно направленные горизонталь-
горизонтальные градиенты температуры и концентрации легкой компоненты.
Как говорилось в предыдущем параграфе, в этой ситуации развязывается
термоконцентрационный механизм. При поставленных граничных условиях
(обращение в нуль потока вещества на стенках) особую роль играют длин-
длинноволновые возмущения.
Как и в случае смеси с продольным градиентом концентрации, при к = 0
спектральная задача имеет решение, соответствующее нейтральному уровню
концентрационного типа (см. A9.11)). При малых к решение можно пред-
представить в виде разложений A9.12). Системы уравнений первого и второго
порядков имеют вид
*iV+0i+fi=O, 0" = O, B0.6)
?i - ев " = - Xi ?rd + /GrPrd vQ ;
IV nf . u' л " i • /"-> / И tr \
$2 +02 +Ь = -*!</>! +lGr(uo<Pi -l>0<Pl),
62^-\l?xel +/GrPr(uo0i +<Pi), B0.7)
140 ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
(граничные условия во всех порядках совпадают с B0.5)) .
Условие разрешимости системы B0.6) дает Хх = 0. Из разрешимости
B0.7) следует
(GrPrdJ(l + е) A + 2е).
На границе устойчивости Х2 =0, откуда находится критическое число
Грасгофа
9 Г 70 I1/2
9 Г 70 I
Grc Prd = . B0.8)
2L A+е)A+2е) J V '
Таким образом, критическим параметром служит произведение GrcPrd,
зависящее только от е. Неустойчивость существует в интервале — 1 < е <
< —1/2. Зависимость B0.8) полностью согласуется с численными резуль-
результатами (кривые в на рис. 86). Расчеты показывают, кроме того, что почти
во всем указанном интервале значений е минимальное значение числа Грас-
Грасгофа достигается при кт = 0. Тем не менее при е<_0,97 наиболее опасными
становятся ячеистые возмущения. Соответствующие границы устойчивости
на рис. 86 показаны штриховыми линиями г1) .
На рис. 87 представлено волновое число кт в зависимости от е. В облас-
области е > 0 критические волновые возмущения имеют фазовую скорость,
близкую к экстремальной скорости основного течения; при е < 0 волно-
волновые возмущения отстают от основного потока.
Жидкие смеси могут существенно различаться по значениям числа
Прандтля. Влияние параметра Рг на границу волновой неустойчивости
при фиксированном Рг^ = 676,7 иллюстрируется рис. 88. Термодиффузия
приводит к понижению устойчивости относительно волновых возмущений.
Критическое число Грасгофа уменьшается с ростом Рг. В зависимости от
значений Рг и Prd волновая мода имеет тепловую, концентрационную
или смешанную природу.
Остановимся теперь на случае бинарной газовой смеси. В этом случае
Рг ~ Prrf ~ 1 и волновые моды неустойчивости отсутствуют. На диаграмме
Grm(e) для таких систем остаются только кривые а, в и г (см. рис. 86),
причем граница неустойчивости гидродинамического типа слабо зависит от
Рг и Рг^, а граница термоконцентрационной длинноволновой неустойчи-
неустойчивости (кривые в) описывается формулой B0.8) и вовсе не зависит от Рг.
Таким образом, в области нормальной и умеренной аномальной термо-
термодиффузии неустойчивость течения газовой смеси всегда обусловлена гидро-
гидродинамическим механизмом, а в области значительной аномальной термо-
термодиффузии (б < -1/2) наиболее опасен термоконцентрационный механизм.
1 ) Положение точки перехода от длинноволновой к ячеистой неустойчивости
можно получить аналитически методом малого параметра; для этого требуются
разложения по к до четвертого порядка. Соответствующие расчеты проведены в [33];
положение точки перехода е = — 0,974 хорошо согласуется с определенным численно.
§ 20. БИНАРНАЯ СМЕСЬ С ТЕРМО ДИФФУЗИЕЙ
141
I ^
\г
i
i
a
1
У
iff
\\l
-yrz.
-
— ¦
...
'
?
0,5
О
-10 12
Рис. 87. Критическое волновое число в зависимости от параметра термодиффузии.
Обозначения те же, что на рис. 86
10 20 30 Рг
Рис. 88. Зависимость критического числа Грасгофа волновой моды неустойчивости
от числа Прандтля для разных значений параметра термодиффузии (Pi^ = 676,7)
Рассмотрение пространственных нормальных возмущений приводит
к выводу, что они менее опасны (аналог теоремы Сквайра) .
Расчету конечно-амплитудных режимов посвящены работы Л.Е.Сороки-
Л.Е.Сорокина [34, 35]. С помощью метода сеток решались полные нелинейные урав-
уравнения конвекции смеси с учетом термодиффузии. Численно строились плос-
плоские решения, обладающие периодичностью вдоль вертикали. Для случая
нормальной термодиффузии (е = 0,5) при Рг = 6,7 и Рг^ = 100 произведен
расчет структуры конечно-амплитудных волн, ответвляющихся от основ-
основного плоскопараллельного режима на линии 26, рис, 86. Как и в случае
однокомпонентной жидкости (см. § 5), взаимодействие встречных (в
данном случае концентрационных) волн приводит к образованию осцилли-
осциллирующих вихрей.
В области аномальной термо диффузии бьши проведены расчеты вторич-
вторичных длинноволновых термо концентрационных режимов для Рг = 6,7 и
Prd = 30. Эти режимы ответвляются от основного течения на линии 1в,
142
ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
рис. 86. Для моделирования длинноволновых режимов выбирались значе-
значения волнового числа к в интервале от 0,05 до 2. По данным расчетов, во
всей области существования термоконцентрационной неустойчивости вто-
вторичные режимы имеют одноячеистую форму и возбуждаются жестко, при-
причем наиболее опасными (из рассмотренных) оказываются возмущения с
к = 0,05. На рис. 89 представлен пример амплитудных кривых, демонстри-
демонстрирующий жесткий характер возбуждения. Неустойчивость по отношению к
конечным возмущениями появляется при числах Грасгофа, меньших кри-
критического, определяемого линейной теорией (нижняя критическая точка
Gr*). На рис. 90 изображены на плоскости (е, Gr) границы устойчивости
течения относительно малых возмущений и возмущений конечной ампли-
амплитуды. При е < -0,75 глубина области подкритичности достигает вполне
заметной величины.
В заключение в обзорном порядке коснемся еще некоторых работ, пос-
посвященных изучению устойчивости конвективных течений бинарной смеси.
В работе Б.И. Николаева и А.А. Тубина [36] рассматривалась устой-
устойчивость конвективного течения бинарной смеси в вертикальном слое при
наличии вертикальной стратификации и с учетом термодиффузии. Приме-
Применялся метод Галеркина; расчеты проделаны для двух значений параметра
нормальной термодиффузии в интервале чисел Прандтля и Шмидта от
0,01 до 10. В этой области неустойчивость связана с гидродинамической
модой.
Л.Е. Сорокин [37] провел в аналогичной постановке расчеты в более
широком интервале изменения параметров для случая нормальной термо-
термодиффузии. Параметры Рг и Рг^ изменялись в том же интервале, что и в
[14]. (см. предыдущий параграф). Кроме гидродинамической, были об-
обнаружены волновая и термоконцентрационная моды неустойчивости.
work—77л 1 ~7 I Gr
SO
АтЧ03
у
(
\
ч
ч
I
\
\
\
1
3,5
-1,0
-0,8
-0,6
Рис. 89 Примеры амплитудных кривых для двух значений волнового числа (е —0,85,
Рг = 6,7, Рг^ = 30) \ Af — амплитуда возмущения температуры в центре вихря Штри-
Штриховые линии — неустойчивые участки амплитудных кривых
Рис 90. Границы устойчивости течения относительно малых возмущений G) и возму-
возмущений конечной амплитуды B); Pr=6,7,Prj= 30T
§2 1. ПРИМЕСЬ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ 14з
Наконец, упомянем работу [38], в которой рассматривалась устойчи-
устойчивость течения в вертикальном слое с границами, поддерживаемыми при
разных температурах и концентрациях, при отсутствии продольной страти-
стратификации и без учета термодиффузии. Применялся метод Галеркина. Расче-
Расчеты для газовых смесей выявили гидродинамическую моду. В случае жид-
жидких смесей обнаружены два вида неустойчивости — гидродинамическая
и концентрационно-волновая. Термоконцентрационная мода в работе не
была обнаружена.
§ 21. Среда с примесью твердых частиц
В этом параграфе мы рассмотрим устойчивость конвективного течения
неоднородной среды, состоящей из несущей жидкости (газа) с небольшой
примесью твердых частиц. Интерес к такого рода неоднородным системам
обусловлен их весьма широким распространением. Мелкие частицы
(алюминиевая пудра, частицы табачного дыма и др.) часто применяются
для визуализации течения; возникает, естественно, вопрос о влиянии этих
добавок на характеристики течений, в частности, на устойчивость.
В основу рассмотрения будет положена модель, согласно которой имеют-
имеются две взаимопроникающие и обменивающиеся движением и теплом сплош-
сплошные среды — несущая жидкость и облако частиц. Модели такого типа разно-
разного уровня сложности используются при решении вопросов гидродинамики
неоднородных сред [39-^И]. Задачи устойчивости изотермических течений
жидкости, содержащей твердую примесь, впервые рассматривались в
[42-45]; более совершенная модель использовалась в [46] .Устойчивость
конвективного течения жидкости с твердой примесью исследована на ос-
основе простейшей модели в работах О.Н. Дементьева [47—49], которым
мы далее следуем.
Сформулируем прежде всего систему основных уравнений неизотер-
неизотермического движения двух взаимопроникающих сред. Основным является
предположение о малости объемной концентрации примеси; будем считать,
что можно не учитывать вязкость и теплопроводность в системе частиц,
а также пренебрегать давлением в этой системе и архимедовой подъем-
подъемной силой. Частицы (шарики одинакового радиуса г и массы т) не участ-
участвуют в броуновском движении. Для простоты предполагается, что взаимо-
взаимодействие частиц с жидкостью описьюается законом Стокса, а теплообмен -
законом Фурье.
Состояние системы характеризуется скоростями несущей жидкости v
и облака частиц vp, их температурами Т и Гр, а также давлением жидкости
р. Систему уравнений образуют уравнения движения жидкости и облака
частиц, переноса тепла и непрерывности (для жидкости) :
Эу
bt
dt
+ (vV)v I --V
+ (vp V)vp J
у
ppg
— V
• 1)
Vp-V
-Pp,
144 ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
Г ЪТ 1 Тр-Т
рс
ot J тт
Тр-Т
+ \р V Тр = , div v = 0.
\р V Тр
bt Тт
Здесь р и рр - плотности жидкости и облака частиц, сх - теплоемкость
материала частиц, tv и тт — времена релаксации, соответствующие законам
Стоксаи Фурье: rv =m/Fnrri),TT = mex/ Dттгк).
Получим теперь уравнения конвекции жидкости с твердой примесью.
Следуя обычным соображениям, используемым в приближении Буссинес-
ка, будем считать, что температуры и плотности жидкости и облака частиц,
а также давление жидкости мало отличаются от соответствующих значений
в исходном состоянии. В качестве такового примем состояние, в котором
жидкость и частицы имеют однородную постоянную температуру Г, плот-
плотности жидкости и облака частиц — соответственно постоянные: р~и ~рр О.
Жидкость в исходном состоянии покоится (v = 0), а частицы оседают с
постоянной скоростью \s = Tvg> определяемой законом Стокса; такое
оседание частиц не вызывает движения жидкости, а приводит лишь к пере-
перенормировке гидростатического давления: Vp = (р"+ ~рр) g.
Пусть теперь температура и давление мало отличаются от Г и р. Уравне-
Уравнения состояния жидкости и облака частиц примем следующими:
B1.2)
где Т — отклонение температуры от Г, а 0 — коэффициент теплового расши-
расширения (изменение плотности облака частиц обусловлено температурным
расширением несущей жидкости). Подставляя B1.2) в уравнения движе-
движения, выделяя конвективную часть скорости облака частиц ир, отсчитывае-
отсчитываемую от постоянной скорости оседания \s, и пользуясь обычными приближе-
приближениями Буссинеска, получим следующую систему уравнений "слабой" кон-
конвекции:
0\
dt
дир
dt
дТ
dt
+ (v V) v -
l
P
Up
ab
AT + -—(TP-
TT
- V
n
jr-i Up~y
B1.3)
ЪТР 1
—— + (v, + up) V Tp = (Tp - Г), div v = 0.
Ot Тт
l) Заметим, что для обеспечения состояния с постоянным и однородным распре-
распределением плотности частиц в условиях их оседания под действием силы тяжести
должны быть приняты специальные меры - требуется, чтобы в верхнюю часть полости
непрерывно поступали частицы в количестве, компенсирующем уменьшение их числа
за счет оседания.
§21. ПРИМЕСЬ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ 145
Здесь а = р/рр - массовая концентрация частиц (черта над р и рр опущена) ,
Ъ-С\\с~ отношение теплоемкостей материала частиц и жидкости.
В режиме плоскопараллельного течения в вертикальном слое с граница-
границами х =± Л, поддерживаемыми при температурах Г=+0, имеем распре-
распределения скоростей и температур:
A +a)gC®h2
ви w hj B14)
_ 0
То ~ Tpq —х .
Конвективная скорость облака частиц совпадает со скоростью жидкости,
а температура — с температурой жидкости. Наличие частиц, как видно, не
меняет профиля скорости. Меняется лишь интенсивность течения пропор-
пропорционально множителю A +а) за счет изменения средней плотности среды.
Обратимся теперь к исследованию устойчивости течения. Введем малые
возмущения плоскопараллельного течения B1.4). Запишем уравнения
возмущений в безразмерной форме, используя для скорости и давления
единицы A +a)gPQh2/v и pg($®h(l +a):
о\ a
—- + Gr[(vV)vo+(voV)v] =- Vp + Av + Ty+— (up - v),
ot
ЪТ 1 ab
-— + Gr(vVro+voVr) = ДГ+-т-(Гр-Г), B1.5)
or Pr тт
—*- + Gr(Mp V To + v0 V Tp) - Ga • t'v (y VTp) = 7-(Tp- T),
Ot Tj1
div v = 0.
Система содержит следующие безразмерные параметры: числа Грас-
гофа Gr = A +а) gCQ h3\v2, Прандтля Рг = ^/хи Галилея Ga = gh3 \v2
(параметр, учитывающий оседание частиц); безразмерные вязкое и тепло-
тепловое времена релаксации r'v -m\(бттгк2р) = 2/9 (r/hJ (pi/p) и т'т =
= mciv/D7rrK h2) = (b Pr/3) (r/h) 2 (pi/p) (здесь рх - плотность материала
частиц); кроме того, в систему входят еще два безразмерных параметра,
которые были определены выше, - массовая концентрация частиц а и от-
отношение теплоемкостей Ь.
Введем плоские нормальные возмущения. Амплитудные уравнения
можно свести к системе для амплитуд возмущений функции тока жид-
жидкости кр (х) и температуры в (х); остальные амплитуды исключаются без
146 гл. iv. жидкости с особыми свойствами
повышения порядка системы:
ikGrvo* 2k2Gi2Trv(vo?v'
+
1-At'v [ * 1-At'v A-At'vJ J
(zl.bj
1 , ab / ikGrTof\
— АО + ikGr(Toy-vod)+ ( Ав + —- )=-\6.
Pr 1 +Лгг \ 1 - Atv /
Здесь Л= X - ikGx v0 + ik Ga r 'v; u0 и To - безразмерные профили.
На стенках выполняются обычные граничные условия прилипания и
изотермичности.
Сформулированная спектральная задача интегрировалась численно ме-
методом Рунге — Кутта — Мерсона с пошаговой ортогонализацией. Ниже
приводятся некоторые результаты.
Рассмотрим пример двухфазной среды — воздух с частицами древесной
пыли. В этом случае Рг = 0,73, Pi/p = 415, Ь =2,7. Для слоя толщиной 2 см
(h = 1 см) число Галилея Ga = 43,6 • 103. При таких условиях критичес-
критическое число Грасгофа Grw определяется двумя независимыми параметра-
параметрами системы — массовой концентрацией примеси а и относительным радиу-
радиусом частиц г /h.
Обсудим сначала результаты, относящиеся к влиянию массовой кон-
концентрации. Рассмотрим два конкретных случая: 1) rjh =0,0073; при этом
t'v =0,0049 и т'т = 0,0145; 2) r/h =0,005, t'v =0,0023, т'^ = 0,0068. Зави-
Зависимость минимального критического числа Грасгофа от параметра массо-
массовой концентрации представлена на рис. 91,а. Повышение устойчивости
связано, в общем, с увеличением диссипации в системе за счет трения при
относительном движении частиц и жидкости. Зависимость Grm (а) близка
к линейной. Эффект выражен сильнее в случае примеси более крупных час-
частиц (случай 1). Рост параметра а приводит к увеличению длины волны и
фазовой скорости критических возмущений (рис. 91 ,б).
Перейдем теперь к обсуждению влияния дисперсности примеси. Варьи-
Варьируемыми параметрами теперь являются относительный радиус частицы
г/h, а с ним и времена релаксации t'v и т'т. Результаты расчета критичес-
критических параметров представлены на рис. 92. Обращает на себя внимание от-
отчетливо выраженный резонансный характер зависимости параметров неус-
неустойчивости от степени дисперсности твердой примеси. В резонансной об-
области достигается повышение устойчивости в 2-2,5 раза. Дополнительная
диссипация и связанное с ней повышение устойчивости, по-видимому, могут
быть объяснены тем обстоятельством, что в резонансной области эффек-
эффективно работает стоксов релаксационный механизм обмена движением
между частицами и несущей средой.
Обсужденные выше результаты для системы воздух - частицы древес-
древесной пыли относятся к случаю, когда ответственным за неустойчивость те-
течения является гидродинамический механизм. Наличие оседающей приме-
примеси приводит к эффекту увлечения вихрей: гидродинамическая мода теперь
§ 21. ПРИМЕСЬ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ
147
1000
800
600
400
/ 2
/
-——¦
а
1,5
1,3
U
О79
V
\
/
/.
1//
\
а
12
О
О
0,8
0 Ofi 0,8
а ^
Рис. 91 Критические параметры в зависимости от массовой концентрации примеси:
а) критическое число Грасгофа, б) критическое волновое число (сплошные кривые)
и фазовая скорость crm - ^im/km (штриховые)
то
800
400
Gr 1
Л
2
\
Л
-J
-2
-1
0,8
1
iq(rlh)
-J
-2
-1
Рис. 92. Критическое число Грасгофа (а) и волновое число (б) в зависимости от сте-
степени дисперсности частиц. 1 - а =0,1; 2 - а - 0,05; 2' - а =0,05 (без учета оседания
частиц)
имеет форму системы вихрей, дрейфующих вниз с фазовой скоростью,
примерно на порядок меньшей скорости оседания частиц.
По мере увеличения числа Прандтля, как и в случае чистой жидкости,
появляется неустойчивость, обусловленная нарастающими температурны-
температурными волнами. При этом из-за эффекта оседания частиц снимается вырожде-
вырождение волн, бегущих в восходящем и нисходящем потоках.
Некоторые результаты расчетов, иллюстрирующие влияние числа Прандт-
Прандтля на устойчивость, представлены на рис. 93. Кривые 1 и 2 отвечают грани-
границам гидродинамической устойчивости при двух разных значениях r'v.
Кривая 2, соответствующая более мелким частицам, практически совпа-
совпадает с кривой для чистой жидкости. Влияние числа Прандтля на гидроди-
гидродинамическую моду является весьма слабым. Кривые 3 и ^отвечают волно-
волновой неустойчивости. В области Рг < 40 более опасными являются темпе-
148
ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
800
600
400
200
0
?_!
I
\
-•
I
Рис. 93. Критическое число Грасгофа в зависи-
зависимости от числа Прандтля (Ga = 43,6-103;
Р,/Р = 415; Ъ =2,7; а =0,05) : 1 - т'„ =0,0049;
2 - т'у = 0,00083; 3 - r'v =0,00021 (волна,
бегущая вниз); 4 - r'v = 0,00021 (волна,
бегущая вверх)
-2-1 О 1 igPr
ратурные волны, бегущие вверх; при этом имеется некоторый сдвиг (по
сравнению с чистой жидкостью) порогового числа Прандтля Рг* в сторону
его уменьшения (Рг * « 11). При Рг > 40 наиболее опасной становится вол-
волна, бегущая вниз.
В заключение заметим, что все приведенные выше результаты относятся
к плоским возмущениям. Можно показать, что, как и в случае чистой жид-
жидкости, эти возмущения являются наиболее опасными.
§ 22. Вода вблизи точки инверсии теплового расширения
Известно, что при температурах, близких к Tt «4°С,.вода обнаружи-
обнаруживает аномалию теплового расширения, В области 0 °С < Т< Т( плотность
воды растет с увеличением температуры, достигая максимального значения
в точке Tf\ при Т> 7/ имеет место нормальное поведение —плотность
уменьшается с ростом температуры. Такая температурная зависимость
плотности приводит к своеобразию конвективных явлений в воде в этой
области температур. Аналогичное аномальное поведение плотности обна-
обнаруживают также некоторые другие жидкости.
Вопрос о конвективной устойчивости механического равновесия при
наличии аномалии теплового расширения рассматривался в большом числе
работ (см. [50, 51]). В данном параграфе обсуждается устойчивость кон-
конвективного течения воды в области температур, близких к точке инвер-
инверсии [52].
В интервале температур 0°С<Г<8°С плотность воды как функция
температуры с достаточной точностью аппроксимируется параболическим
законом р = рт [1 - а (Г- Г,-J], где рт - максимальное значение плот-
плотности, достигаемое в точке инверсии Tt =3,98 °С, а а = 8 • 10 град -
температурный коэффициент. Поскольку а Г.2 < 1, формула для плотное-
§22. ИНВЕРСИЯ ТЕПЛОВОГО РАСШИРЕНИЯ 149
ти может быть переписана в следующем виде:
р = ро[1+аГBГ/-Г)]) B2.1)
где р0 — плотность при Г = 0°С, а температура отсчитывается от О °С.
Рассмотрим вертикальный слой воды, ограниченный плоскостью х = 0
(поддерживаемой при температуре Г = 0°С) и плоскостью x = d, темпе-
температура которой Т = 0.
Для описания конвективного течения запишем уравнения конвекции,
сохраняя обычные приближения Буссинеска и заменяя линейный закон
изменения плотности квадратичным законом B2.1) :
3v 1
— +(vV)v = - — V
Ы P° " B2.2)
ЪТ V
+vVr=xAT, divv = 0
Ы
(параметры a, v и х не зависят от температуры).
Запишем систему B2.2) в безразмерном виде, выбрав единицами дли-
длины, времени, скорости, температуры и давления соответственно d^d2\v,
ga@2d2\v, 0 и pga@2d. Тогда получим
Ъ\
— + Gr(vV)v = -Vp+Av- ТBт'1 - Г)%
bt ~~
B2.3)
ЪТ 1
+GrvVT=— АГ, divv = 0.
Ы Рг
Система содержит три безразмерных параметра — модифицированное
число Грасгофа Gr =ga@2d3/v2, число Прандтля Рг = ^/хи безразмерный
параметр, характеризующий распределение плотности в слое жидкости
т =0/Г/. Если г > 1 (т.е. 0> Г/), то точка инверсии находится внутри слоя;
при г < 1 плотность как функция поперечной координаты х монотонно
возрастает, причем во всем слое имеет место аномальное тепловое расши-
расширение. Как уже отмечалось, квадратичная аппроксимация B2.1) доста-
достаточно точна в пределах от 0 до 8 °С; это соответствует интервалу измене-
изменения параметра 0 < г < 2. При 0 > 8 °С следует пользоваться более точной
аппроксимацией плотности.
Уравнения B2.3) имеют решение, описывающее замкнутое плоско-
плоскопараллельное конвективное течение со следующими профилями скорости
и температуры [53] :
v0 =— jcA -x)[5x2 +5A _4t)jc-2B -5т)], То =х. B2,4)
ои
Независимо от значения г имеет место линейное распределение темпе-
температуры. Профиль безразмерной скорости существенно зависит от т. При
малых т (т < 5/3) течение состоит из двух встречных потоков — нисходя-
нисходящего у правой (нагретой) стенки и восходящего — у холодной. При г =
= 5/3 появляется и развивается с ростом г восходящий поток у нагретой
150 ГЛ IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
стенки; течение, таким образом, состоит из трех потоков — центрального
нисходящего и двух восходящих возле границ. В симметричном случае
т = 2 (@ =8°С) профиль является четным относительно середины слоя;
он подобен профилю в слое с однородными внутренними источниками
тепла (см. ниже § 25). При дальнейшем увеличении г (в области т>2,5)
течение снова состоит из двух встречных потоков — восходящего у нагре-
нагретой стенки и нисходящего у холодной (эта перестройка, впрочем, наступает
в той области, где квадратичная аппроксимация плотности B2.1) уже не
обладает достаточной точностью).
Для исследования устойчивости течения B2.4) рассмотрим малые
плоские нормальные возмущения. Амплитуды возмущений определяются
краевой задачей:
2 2(Г0 - г) в' + 2Т'ов = -
— А9 +ikGi(T'ov- vod) = -\e; B2.5)
jc = 0; 1: </>=V = 0, 0=0.
Отличие от соответствующей спектральной задачи, описывающей воз-
возмущения в конвективном течении с "нормальной" температурной зави-
зависимостью плотности, состоит в иной форме профиля скорости и более слож-
сложной структуре подъемной силы.
Для численного решения задачи применялся метод Рунге — Кутта — Мер-
сона с пошаговой ортогонализацией. Число Прандтля было выбрано равным
Рг = 11,2, что соответствует воде при температуре 5 °С.
На рис. 94 представлены нейтральные кривые Gr (к). Рис. 94, а относится
к значению г = 1, принадлежащему области г < 5/3. При таком значении
параметра течение состоит из двух встречных потоков. Как и следует ожи-
ожидать, результаты исследования устойчивости в этом случае близки к соот-
соответствующим результатам для течения с кубическим профилем скорости.
Имеются две моды неустойчивости. Одна из них (кривая 1) связана с раз-
развитием гидродинамических возмущений. Поскольку в обсуждаемом случае
профиль скорости не является строго нечетным, вихри медленно дрейфуют
вдоль границы раздела потоков вверх, причем соответствующая фазовая
скорость'мала по сравнению со скоростью основного течения. Кривая 2 со-
соответствует неустойчивости типа нарастающих тепловых волн, распростра-
распространяющихся в восходящем потоке с фазовой скоростью, близкой к макси-
максимальной скорости этого потока. Волновая мода является более опасной.
Увеличение г приводит к появлению в основном течении еще одного
восходящего потока. При т = 1,818 (рис. 94, б) интенсивность этого потока
еще мала; поэтому присутствуют обсужденные выше два механизма неус-
неустойчивости, которым соответствуют две ветви единой нейтральной кривой.
Вблизи симметричного случая г = 2 происходит быстрая перестройка ней-
нейтральных кривых по мере изменения т. Эта перестройка сопровождается
образованием замкнутой области неустойчивости с последующим отделе-
отделением еще одной ветви волновой моды. При т = 2 в спектре неустойчивости
§ 22. ИНВЕРСИЯ ТЕПЛОВОГО РАСШИРЕНИЯ
151
\5-Ш
0,5-Ю5
Gr
I
к
Рис 94. Перестройка нейтральных кривых по мере изменения параметра распределе-
распределения плотности г
5,0
О
О
0,5 1,0 1,5 2,0
Рис. 95. Критическое число Грасгофа и критическое волновое число в зависимости от г
152 ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
представлены три моды - гидродинамическая 1 и две волновые - 2 и 3
(рис. 94, в).
Таким образом, во всем рассмотренном интервале 0 <т <2 наиболее
опасной является волновая мода 2. Для этой моды на рис. 95 изображены
в зависимости от г критические параметры.
В заключение заметим, что расчет устойчивости конвективного течения
жидкости с нелинейной зависимостью плотности от температуры проводил-
проводился также в работах [54—56]. В работе [54] использовался квадратичный
закон зависимости р(Т). В [55. 56] принята кубическая зависимость, опи-
описывающая свойства воды в более широком интервале температур. Расчеты
проводились методом Галеркина при различных специально выбранных
соотношениях температур границ слоя. В работе [56] содержатся допол-
дополнительные данные, расширяющие информацию об устойчивости в сторону
больших значений параметра т. Как оказалось, в более широкой области
изменения разности температур сохраняется вывод об определяющей роли
волновой моды.
§ 23. Неньютоновские жидкости
Интерес к задачам свободноконвективного теплообмена и, в частности,
конвективной устойчивости сред с неньютоновскими свойствами обуслов-
обусловлен, в первую очередь, разнообразными практическими приложениями
(производство и переработка полимерных материалов, хранение и транс-
транспорт нефти и нефтепродуктов, процессы химической технологии и др.;
см. [57]). Влияние неньютоновских свойств на структуру конвективного
течения и его устойчивость, разумеется, существенно определяется реоло-
реологией среды. В данном параграфе рассматриваются конвективные течения
нелинейно-вязких и вязкоупругих жидкостей,
1. Нелинейно-вязкие жидкости. В этих жидкостях мгновенные внутрен-
внутренние напряжения однозначно определяются мгновенными скоростями де-
деформации, но, в отличие от ньютоновской жидкости, связь соответствую-
соответствующих тензоров не является линейной. Весьма употребительной для описания
нелинейно-вязкого поведения является простейшая степенная модель Ос-
Освальда, согласно которой связь касательного напряжения т и градиента
скорости 7 в одномерном случае имеет вид т -К \ у I "~~1 7> гДе К — кон-
систентность, п - показатель неньютоновости; случаи п > 1 и п < 1 отвечают
соответственно дилатантному и псевдопластическому поведению. Извест-
Известные несовершенства степенной модели (см. [57]) обнаруживаются, в част-
частности, и при исследовании на основе этой модели устойчивости течений
жидкости. Неаналитичность модели приводит к тому, что стандартный
подход на основе линеаризации, используемый в методе малых возмуще-
возмущений, оказывается неприменимым, что связано с наличием экстремальных
точек на профиле скорости.
В работах И.Г. Семакина [58, 59] рассмотрена устойчивость конвектив-
конвективного течения нелинейно-вязкой жидкости на основе трехпараметрической
§ 2 3. НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ 153
модели:
т = т?A +я iTl)" 7. B3.1)
Согласно этой модели при малых значениях 7, в соответствии с эксперимен-
экспериментальным поведением многих сред, имеет место линейная связь т и у; па-
параметр ?7 играет роль начальной динамической вязкости. С ростом у модель
B3.1) асимптотически переходит в степенную, причем при больших у соот-
соотношение B3.1) может рассматриваться как регуляризация степенной моде-
модели. Переход к ньютоновскому случаю наступает при п = 1 или а = 0.
В случае пространственного течения обобщение модели B3.1) дает
следующую связь между тензором напряжений тц и тензором скоростей
деформации е^:
Ц- = т?A +я | sfh I)"-' ё„, ёц= — + —^- . B3.2)
OXj ОХ(
Здесь /2 = Vi e ime im - второй инвариант тензора ez/-. В уравнении движе-
движения вместо обычной вязкой силы v Av теперь будет фигурировать нели-
1
нейно-вязкая сила — Div т.
Р
В плоском вертикальном слое с границами разной температуры в режи-
режиме плоскопараллельного течения сохраняется обычный линейный профиль
температуры, а распределение скорости находится из безразмерного урав-
уравнения (все единицы выбраны на основе начальной кинематической вязкос-
вязкости v =т?/р):
[(l+Jlui l)"^]'^, uo(±0 = 0. B3.3)
Здесь штрихом обозначено дифференцирование по поперечной координате
х; a =ag($Gh/v —безразмерный параметр регуляризации.
На рис. 96 представлены профили скорости основного течения. При ди-
латантном поведении (и>1) профили скорости имеют более острые экст-
экстремумы, чем в случае ньютоновской жидкости (« = 1), а в случае псевдо-
псевдопластического поведения («< 1) на профилях скорости формируются
характерные плато.
Линеаризация полных уравнений около основного течения и введение
плоских нормальных возмущений приводят к спектральной амплитудной
задаче (числа Грасгофа и Прандтля определены по начальной вязкости)
+ (L + Д)V + к2 Ф) + ikGr(vSv - v0 Аф) + в' =
0(oVM) = -X0; B3-4)
Pr
x = ±l: <p = <p' = O, 9=0.
Здесь введены следующие обозначения:
Л = 1+?1иЛ R=a(n-l)(An-2)f \v'o I, L=2{An'l)\
M = An~l +a(n-l)An-2\v\> I, N = An~l - a(n - l)An'2\ v'o I.
154
ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
п = 1,6
1,2
1,1
W
300
Рис. 96. Распределения скорости основ-
основного течения для разных значений пока-
показателя п {а = 10)
Рис. 97. Минимальное критическое число
Грасгофа стационарной моды в зависи-
зависимости от реологических параметров
(Рг =1)
Рис. 98. Нейтральные кривые волновой
моды неустойчивости (Рг = 20); штри-
штриховая линия - ньютоновская жидкость
§ 2 3. НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ 155
Для решения задачи на собственные значения в работах [58, 59] приме-
применялся метод Рунге — Кутта — Мерсона с пошаговой ортогонализацией.
Как и в случае ньютоновской жидкости, в зависимости от значения чис-
числа Прандтля обнаруживаются две моды неустойчивости — стационарная
и волновая. Границы устойчивости относительно стационарной моды слабо
зависят от Рг. На рис. 97 представлены минимальные критические числа
Грасгофа Grm(a). В случае п < 1 устойчивость основного течения пони-
понижается по сравнению с ньютоновской жидкостью, что объясняется уве-
увеличением интенсивности основного течения за счет псевдопластичности
(см. рис. 96). При дилатантном поведении (п > 1), напротив, скорость
течения уменьшается и имеет место стабилизация. Критическое волновое
число кт слабо зависит от реологических параметров.
Представление о влиянии нелинейной вязкости на волновую моду не-
неустойчивости дает семейство нейтральных кривых на рис. 98, относящих-
относящихся к Рг = 20 (в этом случае волновая мода является наиболее опасной).
Как видно, качественно сохраняются закономерности, названные выше
в связи с обсуждением стационарной моды. Проведенный в [59] анализ
показывает, что в предельном случае больших чисел Прандтля имеет мес-
место характерная для тепловых волн асимптотика Grw = S/y/Pr (ср. § 4),
где коэффициент S зависит от реологических параметров п и ?. В случае
ньютоновской жидкости S = 590; при п > 1 этот коэффициент монотон-
монотонно возрастает с увеличением иид,а при п < 1 убывает.
В случае чисто степенной модели, как уже говорилось, метод линеариза-
линеаризации оказывается неприменимым. В работе И.Г. Семакина [60] развит
приближенный подход, основанный на введении понятия эффективной
вязкости. Согласно этому подходу рассматривается истинное (неньюто-
(неньютоновское) распределение скорости основного течения [61], а уравнения
возмущений записываются в том же виде, что и для обычной ньютонов-
ньютоновской жидкости с заменой вязкости на "эффективную", определяемую по
расходу в одном из встречных потоков. Приведенные выше результаты
решения задачи устойчивости на основе регуляризованнои модели при боль-
больших ? удовлетворительно согласуются с результатами, найденными в при-
приближении эффективной вязкости.
В работе [62] методом конечных разностей изучались конечно-ампли-
конечно-амплитудные движения степенной жидкости, развивающиеся после потери устой-
устойчивости основного течения; роль регуляризующего степенную модель
фактора выполняет при этом дискретный шаг пространственной сетки.
2. Вязкоупругие жидкости. Эти среды обладают наряду с вязкой те-
текучестью также и упругостью. Таким образом, мгновенные напряжения
определяются не только мгновенными скоростями деформации, но
и предысторией процесса деформирования.
В работе [63] для выяснения влияния вязкоупругости на устойчивость
конвективного течения в плоском вертикальном слое используется про-
простейшая реологическая модель Максвелла:
ot
B3.5)
156
ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
где t0 — максвелловское время релаксации, а 8/8t — материальная произ-
производная по Яуманну, удовлетворяющая требованию тензорной инвариант-
инвариантности (см., например, [64]). При медленном изменении напряжений за-
закон B3.5) переходит в обычную связь тц с ёц для вязкой ньютоновской
жидкости; при быстром деформировании обнаруживается упругость с мо-
модулем r}/t0.
Запишем реологическое уравнение B3.5) в безразмерной форме (едини-
(единицей напряжения служит pgfiOh). Раскрывая яуманновскую производную,
будем иметь
bt
GrN vk——
\ Ъхк
т1к
Ъхк
ткП
Эх,
Эх,-
B3.6)
Здесь к - индекс суммирования, Г = t0v/h2 — параметр упругости (без-
(безразмерное время релаксации).
Легко видеть, что в режиме плоскопараллельного течения сохраняют-
сохраняются обычные профили скорости и температуры A.13). Эффект упругости
приводит лишь к появлению компоненты тензора напряжений т^0^ =
Уравнения малых возмущений получаются методом линеаризации око-
около основного плоскопараллельного течения с учетом реологического
соотношения B3.6). Если ограничиться рассмотрением сред со слабо вы-
выраженными упругими свойствами (Г < 1 и Gr Г < 1), то для амплитуды
возмущения функции тока получается уравнение
B3.7)
300
0,02 0,05 0,1 0,2
10 20 50 100 200
Рис. 99. Критическое число Грасгофа в зависимости от параметра упругости (Рг = 12) :
/ — стационарная мода, 2 — волновая
Рис. 100. Эффект дестабилизации волновой моды для разных чисел Прандтля (Grw-
критическое число Грасгофа, Gr0 - критическое число для ньютоновской жидкости)
24. ПОРИСТАЯ СРЕДА
3
157
200
Рис. 101. Эксперимент с водным раствором Сепарана АР-30: 1 - основное течение,
2 - волновой режим; горизонтальная линия - теоретическое значение для бесконеч-
бесконечного слоя
Уравнение для амплитуды возмущения температуры и граничные усло-
условия остаются прежними.
Спектральная задача решалась в работе [63] методом Галеркина. Ос-
Основные результаты представлены на рис. 99,100. Рис. 99 относится к зна-
значению числа Прандтля, близкому к порогу появления волновой моды в
ньютоновском случае. По мере возрастания параметра упругости Г имеет
место слабая стабилизация стационарной моды и заметная дестабилиза-
дестабилизация волновой. При достаточном Г волновая мода становится более опас-
опасной. Эффект упругости приводит к уменьшению порогового числа Рг*,
при котором появляется волновая неустойчивость. Эффект дестабилиза-
дестабилизации волновой моды прослеживается по результатам рис. 100. Критическое
волновое число для волновой моды практически не зависит от Г.
В работе [63] приводятся также результаты экспериментального опре-
определения порога устойчивости конвективного течения слабого водного рас-
раствора Сепарана АР-30 (Рг = 30). Измерения критического числа Грасгофа
проведены в слоях с разным отношением Н высоты к толщине, вплоть
до Н - 105. По мере увеличения Н экспериментальные значения Grw в об-
общем убывают, приближаясь к теоретическому значению, соответствую-
соответствующему слою бесконечной высоты (рис. 101).
В заключение укажем на работы [65-67], в которых рассматривалась
устойчивость конвективного течения микрополярной жидкости.
§ 24. Пористая среда
В заключение этой главы рассмотрим вопрос об устойчивости конвек-
конвективной фильтрации жидкости, насыщающей пористую среду. Этот вопрос
представляет интерес, в частности, в связи с изучением режима работы
элементов теплоизоляции из пористых материалов, которые широко при-
применяются в современной технике.
158 ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
1. Основные уравнения. Система уравнений конвективной фильтра-
фильтрации несжимаемой жидкости в пористой среде записывается в перемен-
переменных: скорость фильтрации и, определяемая как объемный расход че-
через единицу площади в пористой среде; температура Т, отсчитываемая
от некоторого среднего значения; отклонение давления от гидростати-
гидростатического, соответствующего средней температуре. Вывод уравнений в обыч-
обычных предположениях Буссинеска можно найти в [12]. Система имеет вид
1 v
--Vp -—и + gpTy = 0, divw = О,
р К
ЪТ
Ъ— + uVT = х&Т. B4.1)
bt
В уравнении движения обычная вязкая сила заменена силой сопротив-
сопротивления Дарси, а также, в силу малости фильтрационной скорости, пренебре-
жено всеми инерционными членами. В системе B4.1) р — плотность, соот-
соответствующая средней температуре, v — кинематическая вязкость жид-
жидкости, К — коэффициент проницаемости, \ = кс1 (Рср)ж ~~ эффективный
коэффициент температуропроводности среды (кс - эффективная тепло-
теплопроводность среды, насыщенной жидкостью; (рср)ж — теплоемкость
единицы объема жидкости), Ъ = (рср)с/ (рср)ж — отношение теплоемко-
стей среды и жидкости.
Система B4.1) имеет более низкий порядок, чем соответствующая
система уравнений конвекции вязкой жидкости. Поэтому на границе раз-
раздела пористой среды с непроницаемым твердым телом обращается в нуль
лишь нормальная компонента скорости фильтрации; на касательную же
компоненту ограничений не накладывается.
2. Устойчивость фильтрации в вертикальном слое. Рассмотрим плоский
бесконечный вертикальный слой пористой среды, насыщенной жидкостью.
Непроницаемые границы слоя х = ±h поддерживаются при постоянных
разных температурах +0. В режиме замкнутого плоскопараллельного
фильтрационного течения имеем
g$ 0
ы0 = —х, То = -—х. B4.2)
vh h
Как видно, скорость и температура линейно зависят от поперечной коор-
координаты.
Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости режима B4.2). Пред-
Предварительно запишем уравнения B4.1) в безразмерной форме. В качестве
единиц расстояния, времени, скорости, температуры и давления примем
соответственно h, bh2/x, g&@K/v, 0 и pgfiQh. Тогда уравнения принима-
принимают вид
ЪТ
-Vp - и + Ту = 0, + RawVT = AT, divw = 0. B4.3)
— bt
§24. ПОРИСТАЯ СРЬДА 159
Уравнения содержат единственный безразмерный параметр Ra =
= gPBKh/(vx) - фильтрационное число Рэлея.
Как и в случае конвективного течения вязкой жидкости в вертикальном
слое (см. § 7), можно показать, что пространственные возмущения менее
опасны, чем плоские. Для амплитуд нормальных возмущений функции то-
тока \р(х) и температуры в (х) стандартным путем получается следующая
спектральная задача:
А*р - в' = О, Д0 + 1кКг(Т^~иов) = -Х0;
х = ±1: у? = 0, 0 = 0.
Здесь и0 = -х иТ0 = -х - безразмерные профили.
Эволюция возмущений определяется, вообще говоря, комплексным
декрементом X = А,. + /X/. Из вида спектральной задачи B4.4) можно
заключить, что все определяемые ею нормальные возмущения затуха-
затухают [68]. Для доказательства этого утверждения исключим из системы
B4.4) кр (х) и получим уравнение для в (х) :
А2в + /A:Ra[jcA0+0'] = -ХД0 B4.5)
с граничными условиями в (±1) = 0 и дополнительными условиями 0" (±1) =
= 0, вытекающими из B4.4). Умножая обе части B4.5) на комплексно-
сопряженную амплитуду 0* и интегрируя по х в пределах от —1 до 1, после
преобразований получим
/ (|0"|2 + 2к2\в'\2 + k4\e\2)dx -i*Ra / x(|0'i2 + k2\d\2)dx =
-l -l
= (X, + /X,0 / A0'I2 +k2\d\2)dx. B4.6)
-l
Отделяя вещественные части, будем иметь
X, / (|0'|2 +k2\e\2)dx = f (|0" I2 +2*2|0'|2 +fc4|0 \2)dx. B4.7)
-l -l
Оба интеграла, входящие в B4.7), существенно положительны; отсюда
следует X,. > 0, т.е. нормальные возмущения затухают при всех Ra. Этот
результат, полученный Гиллом [68], означает, что в случае конвекции в
вертикальном слое пористой среды обычные механизмы неустойчивости
(гидродинамический и волновой) не работают, что обусловлено отсут-
отсутствием инерционных членов в уравнении движения 1).
Волански [70] рассмотрел поведение конечных возмущений плоско-
плоскопараллельного режима. С помощью интегральных оценок им был уста-
установлен достаточный критерий затухания: Ra < л2.
1) Как показано в работе [69], рассмотрение на основе более общей модели, учи-
учитывающей квадратичный член в силе сопротивления, а также обычную вязкую силу,
приводит к выводу о неустойчивости
160 ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
Имеющиеся теоретические и экспериментальные работы, посвящен-
посвященные изучению конвективной фильтрации и теплопереноса в вертикаль-
вертикальных пористых прослойках разной длины в широком диапазоне чисел Рэ-
лея (см. [71, 72]), показали, что фильтрация имеет структуру замкну-
замкнутого одновихревого течения; неустойчивости и связанного с ней перехо-
перехода к много ячеистому режиму не наблюдалось.
Итак, обычные механизмы потери устойчивости в случае вертикально-
вертикального пористого слоя отсутствуют. Неустойчивость конвективной фильтрации
может, тем не менее, иметь место, если ситуация усложняется и появля-
появляются дополнительные механизмы развития возмущений. В последующих
пунктах рассматриваются две такие ситуации - наклон слоя к вертикали
(если нагретая граница расположена снизу, то вступает в действие рэлеев-
ский механизм) и неоднородность состава насыщающей жидкости (в этом
случае включается дополнительный термоконцентрационный механизм,
обсужденный в § 19).
3. Наклонный слой. В наклонном слое пористой среды при наличии
разных температур на границах (расположение осей координат и отсчет
угла наклона ос соответствуют рис. 21) профили скорости фильтрации
и температуры в основном режиме имеют вид
и0 = -xcosa, То = -х. B4.8)
Для амплитуд нормальных пространственных возмущений получает-
получается система урвнений (аналог системы G.2) —G.6) для вязкого течения)
р + их + sin а • в = 0, ikyp + иу = 0, ikzp + uz - cos a • в = 0,
-\в + Ra{ikzu06 + Т'оих) = Д0, B4.9)
их + i(kyUy t kzuz) = 0
с соответствующими граничными условиями.
Область а > 0 (нагретая граница расположена выше) не представляет
интереса: основное течение в этой области, очевидно, устойчиво. В обла-
области же -90° < а < 0° следует ожидать неустойчивости стратификацион-
стратификационной природы, поскольку нагретая граница расположена снизу.
Предельными случаями пространственных возмущений являются:
а) плоские возмущения (иу = 0, ку = 0, kz = к) и б) спиральные возму-
возмущения (kz = 0, ку = к) .
В случае плоских монотонных (X = 0) возмущений для амплитуд функ-
функции тока и температуры получается краевая задача
0/>" - кгФ) - (cos а • 0' + ikz sin a • в) = 0,
{в" -к\в) + ikzRa(Toy-uoe) = 0; B4.10)
jc = ±1: у = 0, 0 = 0.
Предельный случай ос = —90° соответствует устойчивости механического
равновесия пористого слоя, подогреваемого снизу; критические пара-
параметры известны ([73]; см. [12]): Raw = я2; кт = тг/2. Для случая малого
наклона слоя к горизонтали Вебер [74] провел асимптотический анализ,
§ 24. ПОРИСТАЯ СРЕДА
161
основанный на методе малого параметра. Для произвольных углов накло-
наклона решение задачи B4.10), полученное численно методом Рунге — Кутта,
позволяет найти критические параметры плоских возмущений. При этом
оказывается, что в узкой области изменения угла а образуются замкну-
замкнутые нейтральные кривые.
По опыту исследования устойчивости конвективного вязкого течения
в наклонном слое (§ 6 и 7) можно ожидать, что в пористом наклонном
слое в области действия рэлеевского механизма ведущую роль играют
пространственные спиральные возмущения. Для амплитуд монотонных
спиральных возмущений получается краевая задача, которая не содер-
содержит профиля скорости основного течения. Как и в случае вязкого течения,
замена — Rasina -> Ra приводит к задаче устойчивости равновесия в по-
подогреваемом снизу слое. Таким образом, граница устойчивости течения
в наклонном слое относительно спиральных возмущений находится по
формуле
Raw =
—:—. B4.li)
— sin a
На рис. 102 эта граница приведена вместе с соответствующей границей
для плоских возмущений. Во всей интересующей нас области наиболее
опасными являются спиральные возмущения.
Экспериментальные исследования устойчивости течения в наклонном
пористом слое проводились в ряде работ [71, 75, 76]. Борье и Камбарну
[71] изучали систему, состоящую из дегазированной воды и стеклянных
шариков определенного диаметра (порядка нескольких миллиметров).
Данные по неустойчивости хорошо согласуются с теоретической зави-
зависимостью B4.11) (см. рис. 102). В работе [76] изучались системы, сос-
состоящие из этанола или гептана с кремниевыми частицами. Эксперимен-
Эксперименты показали, что по мере увеличения наклона слоя к горизонтали устой-
устойчивость основного течения повышается и кризис приводит к течениям
типа продольных валов. В цитированных работах содержатся данные по
теплопереносу в надкритической области.
Упомянем здесь также работу [77], в которой численно моделирова-
моделировалось установление двумерных и трехмерных конвективных структур в
наклонном слое конечной длины в надкритической области.
Рис. 102. Критическое число Рэлея,
отнесенное к его значению при
а =-90° (Ra(^}= тг2), в зави-
зависимости от угла наклона слоя.
Сплошная кривая - спиральные
возмущения; штриховая - плос-
плоские возмущения (в области неод-
неоднозначности верхняя ветвь соот-
соответствует верхней границе замк-
замкнутой области неустойчивости);
точки - эксперимент [71 ]
.—-1
и
/
f
ОС
-90'
-60°
-30"
0°
162 ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
4. Термоконцентрационная неустойчивость. Рассмотрим теперь устой-
устойчивость конвективного фильтрационного течения в плоском вертикаль-
вертикальном слое пористой среды, насыщенной бинарной смесью [78]. Постанов-
Постановка задачи вполне аналогична описанной в § 19.
Вертикальный плоский слой нагревается сбоку и насыщен стратифи-
стратифицированной бинарной смесью; градиент концентрации легкой компонен-
компоненты В направлен вверх. В уравнении движения нужно добавить концентра-
концентрационную подъемную силу g($2Cy, где ]32 — концентрационный коэффи-
коэффициент плотности, а к системе B4Л) — уравнение конвективной диффузии
ЪС 1
— + -wVC = DAC,
dt e
где е - пористость, a D — эффективный коэффициент диффузии. На гра-
границах слоя ставится условие непроницаемости для примеси.
В безразмерной форме уравнения и дополнительные условия запишут-
запишутся следующим образом (в качестве единицы концентрации принята ве-
величина $x<d(gBh2KI(реВр2)I^2, где В — вертикальный градиент концент-
концентрации) :
~Vp - и + (Г + rQy = 0, divM = О,
ЪТ ЪС
— + Rai/VT = AT, P— + RaNuVC = AC;
dt dt
B4.12)
x = ±1: ux = 0, T = +1, дС/bx = 0;
i I J ЪС г
J uzdx =0; lim — / — dz .
-l /->« 2/ -/ 3z RaN
Кроме уже введенного ранее фильтрационного числа Рэлея Ra, задача
содержит еще три безразмерных параметра: концентрационное число Рэлея
Rad = г2 = g($2BKh2 lievD) , которое служит мерой вертикальной стратифи-
стратификации, и два параметра, характеризующие среду: N = х/(еД) и Р = Xl(bD)-
В режиме плоскопараллельной фильтрации из B4.12) получаются рас-
распределения :
shrx r х shrx
и0 = — — , Го = —х, Со = —¦ — z + с0, с0 = — - ——; .
г ch r RaN r r chr
B4.13)
Профили скорости и поперечного градиента концентрации изображены
на рис. 103. С увеличением стратификационного параметра течение замед-
замедляется и приобретает характер разомкнутых пограничных слоев. В цент-
центральной части слоя при больших Ra^ формируется практически равновес-
равновесное ядро без суммарного горизонтального градиента плотности и с потен-
потенциально устойчивой вертикальной стратификацией.
§ 24. ПОРИСТАЯ СРЕДА
163
/юо ^~—
-ojs
5
0 0J Щ
Рис. 103. Профили скорости фильтрации (а) и поперечного градиента концентрации
(б) для разных значений параметра стратификации
Для амплитуд нормальных возмущений функции тока ^, температуры
О и концентрации ? получается следующая задача (обобщение B4.4) на
случай смеси):
Аф — @' +>*?') = 0, A0+/fcRa(roV ~ ио@) = —^,
Д? + ik RaN(cof$ — w0?) — r«pf - —\P%; B4.14)
x =±l: </? = 0, в = 0, ?' = 0.
По аналогии со случаем вязкой смеси в описываемой ситуации можно
ожидать термоконцентрационной длинноволновой неустойчивости. Эта
неустойчивость исследовалась в работе [78] методом малого параметра
(разложение по степеням волнового числа к). Рассуждения вполне анало-
аналогичны описанным в § 19 и приводят к формуле для критического числа
Рэлея:
1-1/2
+ 4r-9thH . B4.15)
Rac =
N
2r2
ch2 r
Согласно этой формуле длинноволновая термоконцентрационная не-
неустойчивость имеет место при Ra^ > Ra^* = 2,4863; значение Ra^He зави-
зависит от параметров среды. Зависимость Rac от Ra^ описывается кривой с
минимумом, достигаемым в точке Ra^m = 4,96; минимальное значение
Rucm - 14,365/N. При стремлении Ra^ к Ra^ * справа Rac стремится к бес-
бесконечности по закону Rac = const/ [N(Rad - Ra^J l/2].
В области больших Ra^ наиболее опасными являются не длинноволно-
длинноволновые, а ячеистые возмущения. Как уже говорилось, в этой области дело сво-
сводится к исследованию устойчивости равновесия устойчиво стратифициро-
стратифицированной смеси при наличии горизонтальных градиентов температуры и кон-
концентрации, так что суммарный горизонтальный градиент плотности отсут-
отсутствует. Такая задача решалась в [79]; согласно результатам этой работы
164 ГЛ. IV. ЖИДКОСТИ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ
в области больших Ra^ имеет место следующая асимптотика:
Raw = {2 R*l/4, кт = У- Raj/4. B4.16)
Прямое численное интегрирование спектральной задачи B4.14) с приме-
применением пошаговой ортогонализации показывает, что переход от длинно-
длинноволновой к ячеистой неустойчивости происходит при некотором значении
Ra<fO> зависящем от параметров среды.
На рис. 104 приведена итоговая зависимость критических параметров
Ram и кт от параметра стратификации для N = Р = 100 (типичный пример
жидкой бинарной смеси). При этих значениях параметров смена длинно-
длинноволновой неустойчивости ячеистой наступает при Ra^o « 52. Как видно,
Rar
i
i
i
1
и
I
1
II
к
f/fi
1 It
ill
ill
l/t
if/
0 1 s 2 3
Puc. 104. Критическое число Рэлея (а) и критическое волновое число {б) в зависи-
зависимости от параметра стратификации. Штриховая кривая 1 - длинноволновая мода
(формула B4.15)); штриховые кривые 2 - асимптотика больших Ra^ (формулы
B4.16) ); сплошные кривые - численное решение
§ 24. ПОРИСТАЯ СРЕДА 165
численные результаты хорошо согласуются с асимптотическими формула-
формулами B4.15) в области кт = 0 и с B4.16) - в области Rad > 1.
Итак, плоскопараллельная конвективная фильтрация бинарной смеси
обнаруживает термоконцентрационную неустойчивость, которая в области
Ra^ ¦ < Racf < Ra^ 0 и R^ > R*d о развивается соответственно в виде длин-
длинноволновой либо ячеистой моды.
В случае бинарной газовой смеси, для которой Р ~ N ~~ 1, возможна
колебательная неустойчивость; в работе [79] показано, что такая неустой-
неустойчивость существует при определенных соотношениях между параметрами N
и Р в предельном случае Ra^ -*°°.
Изложенные в этом пункте результаты получены в работе [78]. Несколь-
Несколько позднее задача в той же постановке независимо решена в [80] методом
Галеркина. Результаты качественно согласуются; имеющиеся количест-
количественные отличия связаны с различием параметров сред, для которых прово-
проводились расчеты (в [80] имелась в виду конкретная система: морская во-
вода - частички стекла).
В заключение заметим, что задача о термоконцентрационной неустой-
неустойчивости в пористой среде представляет интерес в связи с некоторыми
вопросами геофизики [81].
ГЛАВА V
ЖИДКОСТИ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА
В предыдущих главах рассматривались конвективные течения, созда-
создававшиеся разностью температур границ слоя. Специфические течения возни-
возникают в результате происходящего в жидкости по какой-либо причине
внутреннего тепловыделения. Простейшее течение соответствует однород-
однородному тепловыделению; характерная его особенность - четные профили ско-
скорости и температуры, с чем связаны новые особенности спектра декремен-
декрементов и устойчивости. В данной главе обсуждается эта задача, а также ее неко-
некоторые усложнения. Рассматривается также примыкающая к проблеме зада-
задача устойчивости конвективного течения излучающей среды.
§ 25. Однородные источники тепла. Вертикальный слой
В этом и следующем параграфах обсуждается задача устойчивости кон-
конвективного течения в вертикальном и наклонном слоях жидкости с одно-
однородно распределенными по объему внутренними источниками тепла.
Если вертикальный замкнутый канал ограничен плоскостями, поддер-
поддерживаемыми при постоянных одинаковых температурах, то внутренний
разогрев приводит к конвективному течению, имеющему четные относи-
относительно оси профили скорости и температуры. Скорость течения пропорцио-
пропорциональна мощности тепловыделения, и при ее достаточно большом значении
течение становится неустойчивым.
Уравнение переноса тепла при наличии внутреннего тепловыделения
имеет вид
ЪТ Q
— + W71 = х&Т + , B5.1)
bt pcp
где Q — количество тепла, выделяемого внутренними источниками в еди-
единице объема жидкости за единицу времени (здесь предполагается, что Q
не зависит от координат и времени), р — средняя плотность, ср — теплоем-
теплоемкость на единицу массы. Уравнения движения и непрерывности сохраняют
прежний вид A.2), A.4). Твердые границы слоя х = ±h поддерживаются
при одинаковой температуре, принимаемой за начало отсчета; предпола-
предполагается также отсутствие расхода через любое поперечное сечение.
§ 25. ВЕРТИКАЛЬНЫЙ СЛОЙ 167
В режиме основного плоскопараллельного течения распределения ско-
скорости, температуры и давления имеют вид
Vo =
2к [ \hj \ dz 5к
B5.2)
(к - коэффициент теплопроводности).
Стационарное течение (рис. 105) состоит из трех конвективных пото-
потоков — восходящего центрального и двух нисходящих возле границ канала.
Максимальная скорость на оси канала vm =gCQh4l(\20vк).
Запишем уравнения в безразмерной форме, выбрав следующие единицы:
расстояния /г, времени h2/v, скорости gfiQh4/ Bvk) , температуры Qh2/ Bк),
давления pgCQh3/ Bк). Тогда получим
+ Ту,
B5.3)
dv
_1_
ot
ЪТ
bt
div v
v(±l)
Gr(vV)v =
+ GrvVF =
= 0;
= 0, Г(±1)
-Vp + i
1
— AT ¦+
Pr
l
= 0; /
2
Pr
vzd
dx =0 B5.4)
-i
с безразмерными профилями скорости и температуры
Vo = — A - 6х2 + 5х4), Го = 1 - х2. B5.5)
60
Число Грасгофа выражается теперь через мощность тепловыделения Gr =
= g0QhslBv2K).
Для исследования устойчивости введем малые нормальные возмущения
основного течения. Как будет видно в следующем параграфе, в случае
вертикальной ориентации слоя наиболее опасны плоские возмущения.
Спектральная задача для амплитуд возмущений функции тока и темпера-
температуры совпадает с A.24) —A.26), где теперь число Грасгофа выражается
через <2> а профили v0 и То определяются формулами B5.5).
Исследованию спектров возмущений и границ устойчивости обсуждае-
обсуждаемого течения посвящены работы [1, 2]. Для решения задачи применялся
метод Галеркина с базисными функциями, описанными в § 2. В отличие
от течения с нечетными профилями скорости и температуры, возникающи-
возникающими в слое с разными температурами границ, в данном случае профили
являются четными, и потому решения амплитудной задачи распадаются на
Два класса - четных и нечетных решений. Для аппроксимации амплитуд в
каждом из классов используются системы базисных функций соответ-
соответствующей четности. Условия Галеркина приводят теперь к комплексной
168
ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
fl
,1
\-5,3
Рис. 105. Профиль скорости основного течения
Рис. 106. Структура вторичных движений для четной (а) и нечетной (б) мод неустой-
неустойчивости. Нормировка произведена так, чтобы максимальное значение функции тока
возмущения составляло 0,1 от максимального значения функции тока невозмущен-
невозмущенного течения
матрице, собственные значения которой находились с помощью QK-алго-
ритма.
Остановимся сначала на результатах, относящихся к предельному случаю
Рг = 0, когда дело сводится к решению задачи Орра - Зоммерфельда A.27)
с соответствующим профилем скорости. Расчеты обнаруживают два уровня
неустойчивости. Наиболее опасному (нижнему) уровню отвечают возму-
возмущения четного типа (амплитуда кр — четная функция поперечной координа-
координаты). Минимальное критическое число Грасгофа для этой моды Grm = 1720
и достигается при критическом волновом числе кт = 2,05. Вторая (нечет-
(нечетная) мода неустойчивости имеет критические параметры Grm = 7180,
На рис. 106 изображены линии тока возмущенного течения, соответст-
соответствующего этим модам. Как и в случае конвективного течения между плос-
плоскостями, нагретыми до разной температуры, обсуждаемый гидродинами-
гидродинамический тип неустойчивости развивается в виде системы вихрей на границах
раздела встречных потоков. Этих границ теперь две — в правой и левой
половинах сечения канала. Это обстоятельство приводит к появлению двух
"степеней свободы" для развития вихрей. Соответственно этому могут раз-
§ 25. ВЕРТИКАЛЬНЫЙ СЛОЙ
169
виваться две цепочки вихрей, отличающиеся взаимным расположением.
Нижней моде отвечают цепочки, расположенные в шахматном порядке.
Такое расположение отвечает более "плотной упаковке" вихрей и потому
оказывается предпочтительным.
Декременты нормальных возмущений течения с четным профилем ско-
скорости оказываются комплексными при сколь угодно малых значениях
числа Грасгофа; это, в частности, означает, что гидродинамическая мода
обусловлена бегущими возмущениями. Наиболее опасные возмущения
связаны с шахматной системой вихрей, медленно дрейфующих вниз со
Рис. 10 7. Семейств о нейтральных
кривых для различных значений
числа Прандтля
Рис. 108. Фазовые скорости вдоль
нейтральных кривых (в единицах
скорости основного течения на
оси канала: с = 60\//(?Gr))
jooo
2000
1000
Gr
Pr=5
\?r=0
- S
L
i
к
-1
с
к
170
ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
скоростью с = —0,16 (в единицах максимальной скорости основного
потока).
Перейдем теперь к обсуждению результатов решения задачи в полной
постановке — с учетом тепловых факторов (произвольные числа Прандт-
ля). Далее речь будет идти о наиболее опасном - четном уровне неустой-
неустойчивости, которому отвечает четная по х амплитуда функции тока ^> и нечет-
нечетная амплитуда температуры 0.
Расчеты показывают, что влияние тепловых факторов достаточно суще-
существенно уже при Рг ~ 1. При дальнейшем увеличении Рг тепловые факто-
факторы становятся определяющими: происходит смена формы неустойчиво-
неустойчивости — от гидродинамической неустойчивости встречных потоков к неустой-
неустойчивости типа нарастающих температурных волн.
На рис. 107 показана деформация нейтральных кривых, происходящая
по мере увеличения числа Прандтля. С увеличением Рг минимальное
критическое число Грасгофа монотонно уменьшается, а минимум на ней-
нейтральной кривой смещается в сторону меньших к, т.е. в сторону длинно-
длинноволновых возмущений. Фазовые скорости вдоль нейтральных кривых
изображены на рис. 108. Как видно, фазовая скорость наиболее опасных
возмущений ст с увеличением Рг монотонно растет по модулю.
Так, при Рг =2 она уже превосходит максимальную скорость невозмущен-
невозмущенного потока. Сводные данные о критических параметрах неустойчивости
приведены в табл. 5.
По мере увеличения числа Прандтля происходит не только понижение
минимума, но и наступают качественные изменения формы нейтральной
кривой. При Рг =5,7 появляется точка возврата (ее координаты Gr =
Таблица 5. Критические параметры неустойчивости вертикального слоя с внут-
внутренними источниками тепла
Рг
Рг
0
0,4
1
2
3
1720
1219
744
470
359
2,05
1,65
1,38
1,35
1,35
-0,16
-0,52
-0,87
-1,04
-1Д2
5
10
20
50
100
259
171
115
69,0
48,8
1,35
1,38
1,40
1,40
1,40
-1,21
-1,29
-1,36
-1,42
-1,44
= 1900, к = 1,7), а при Рг > 5,7 возникает замкнутая петля (рис. 109).
Таким образом, при больших Рг кривая Gr(A:) состоит, в сущности,
из двух нейтральных кривых, непрерывно переходящих одна в другую.
На ней имеются два минимума, и можно говорить о двух типах неустой-
неустойчивости. Одна из ветвей (коротковолновая) близка к соответствующей
кривой для чисто гидродинамических возмущений (Рг = 0). Другая —
длинноволновая, возникающая при достаточных значениях Рг, существенно
; 25. ВЕРТИКАЛЬНЫЙ СЛОЙ
Gr
171
2000
1000
О
1
1
1
4
А
\ о о
\
А — 1
о -2
л - 3
у
г7
14
х-
/
Рис. 7G9. Кривая устойчивости (Рг = 10). Точки - эксперимент [7]: 1 - пределы
спектра волновых чисел к, 2 - средние к, 3 - наиболее часто реализующиеся к
определяется тепловыми факторами. Вдоль этой ветви фазовая скорость
сравнительно велика, а возмущения приооретают характер бегущих тепло-
тепловых волн (волновая мода). При больших Рг абсолютный минимум реали-
реализуется на длинноволновой ветви.
Таким образом, как и течение между плоскостями, нагретыми до разной
температуры, рассматриваемое течение при больших Рг оказьюается
неустойчивым относительно волновых возмущений. Отличие состоит в том,
что в случае течения с нечетными профилями обоим типам неустойчи-
неустойчивости - гидродинамическому и волновому - соответствуют различные
нейтральные кривые (факторизация дисперсионного соотношения, вызван-
вызванная нечетностью профилей основного течения), причем волновая ветвь
появляется, начиная с некоторого значения числа Прандтля Рг*. В случае
же течения, вызванного внутренними источниками тепла, волновая мода
развивается путем непрерывной деформации единой нейтральной кривой
по мере увеличения Рг.
Для исследования устойчивости в предельном случае Рг -* оо может быть
применен асимптотический метод ([3], см. § 4). В этом случае критиче-
критическое число Grm = 472/ \ЛРг; волновое число кт = 1,42; фазовая скорость
ст 1,44. Зависимость Gr,
Рг
-1/2
подтверждает вывод о волновой
природе неустойчивости при больших Рг .
Отметим некоторые особенности спектра возмущений. Формирование
петли связано со взаимодействием двух нижних тепловых уровней спектра
7777*77
***7
7777
777
777
77
77
7*7
7*7
777
7*7
7*7
7**
777
7**
7**
15399
19399
19999
19399
19559
15555
15555
15355
1555
1959
1999
1939
1399
1533
1555
1593
1555
1555
15555
13999
19995
19599
19995
19999
19335
1333Э
135355
153553
I 55553
1555555 53555
1555555 35335
I 9555355555555^
I 553^555355555^
I 5 9 5 J 5 5 5 3 3 5 5 3 5 9
I 5355^55993555*.
33K3333
7**** 5555
**77 55«5
**** ?555
9» **7 5555
99999999 777 3535
9999»9999« 777 5553
9999«9999999 777 59999
99999 99999 777
999 9999 777
999 999 777
999 «999 77
999 9999 7?
499 9999 **
<)999 999 7*7
9999 9999 7**
99999*» 999999 77*
7*7
*77
777
777?
7777?
95995
999«9*»»»9» 777 39959
9999*99999 777 3555
9999999 777 3355
7777 539
777 3599
7777 339 3K3
9955J
9495 j
5M3]
999951
93995!
999991
9995551
9999951
599999999999991
999999999999551
5995999939995*1
553999999999931
599939599995991
99999999995951j
959999 9994931
59999
J 1
I ЗЗЧ5553555ОЗ*.
15599*9 995995
1955533
I 55959
155953
133559
I 559?
15355
1 9995
19539
15555
15555
7?7?77*7777777 555 333))K3
777777777*7 333 333K3333K
*7*7*"»*7 3533 ))K3 K)K33
7 3533 )))) ))))
5335 )))) 3)))
5535 ))) ii 33)
M->5 K3 11111111 33)
33) llllllllll 3)
I 111 111Ц 1 11 3)
11111 Hill )))
1111 HI )))
111 111 )))
1111 111 )))
1111 111 K)
1111 111 )))
111 П11 )))
111 1 1111 )))
ОзЯ 333 11 11 1 1 НИ I 1 )))
33533 33^ 111111111111 )))
5*35 З3) llllllllll K3
'535 3K ИЩИ )))
353 333) )K
5355 33) 3)))
7*"»? 353 ?33) 33333
*7*"»77?7 5*. 33KK333K333
7777-»>"»7777 355 3333K33333
7777777 77777 35M 333K333
л))
3939531
ЗЯ»? j
993951
999951
99951
993?,
9935!
99931
59551
9935 1
955? 1
95531
99551
9955 J
955<-
999;|
59531
9935,
55
35
39
995J
55
99
5 5
59951
11
П
П
HI
HI
ll
H
ll
H
11 33
11 33
11 33
11
333 35 7777777777777777**
333 39 777777777777777*7*
333 95 777777777777?77777
33K 35 777777777777777777
333) , 59 7777777777777777777
333> 53 777777777777777777
777777 7777777777?
77777777T7777777
77777777777 77777
7777777777777777
7777777777 7, 7777
7777777777777??
77777777***?***
7777777 77777777
77?7??7?j777777
777777777*****
333333 535
33333) 35
3333 355
33 • 355
355
3955 55355
55555555*355
5555555555333
355555559535
33
11 33
1 )
1 3 55535555555
3 5555
3) 559
33 999
3) 395
777777777777777
777777777777777
777777777777777
777777777777***
35
55
55
5
5
5
5
9
3»
35
55
5 3
5 3
55 3
55 33
53 33
35 3
55 3
55 33
55
55
55
55
35
53
777777777777777 535 33 П
77777777777777? 55 3З Ц
77777777777777777 55 3* 11
7*777777777777777 93 333
777*77777777777777 35 333
777777777777777777 55
777777*77777777777 33
7???'77*7777777777 3*
3
53
55
3
3
3 33
33 95
3) 35
3 55
) 55
11 )) 55
11 3) 555
ih 3) 55
)) 95
77 ?7 71
777771
77???1
777771
?7 *' 7
?7*'71
77'
771
771
771
77
77
7 77777
'77 77' 7
'7 77777
777777
'7 7 7 777
'7 7777 7
7777
77?
77
7
7
7
77777777?7777?7
77?7?777*М**77
7 7 ? *» ? 7 7 7 * 7 7 7 7 7 7
7?77777?7777777
7?77777?7777777
777777*^777777
?77'77*'7777777
7?7?7*77??77777
77'7 »*7777777?'
333
33)
3333
3333
K33
333333
333333
3333
33
55
55
555
35
353
555
555
М955
5Э5555959939
•» 9 9 9 9 5 9 9 3 9 9 9 5
995599993339
939>55953595
39555355535
5535
5935
11
11
11
11
ll
111
111
11
11
11
11
зз и
33 II
зз и
зз и
53 ||
3
3
3
33*
3ЗЗ
"»777>777777?777
7 7*7 7777 7 7777"»777
7*777777777?f7777
* '777 7777777 7777 77
555
955
335
59
55
5
33
33
33
3
3 1
3 1
3 1
Рис. ПО. Мгновенные поля функции тока (а) и температуры {б) вторичного течения (Рг = 10,Gr = 500, к = 1,7).
Машинная выдача: символы и пробелы - области между соседними изолиниями
§ 25. ВЕРТИКАЛЬНЫЙ СЛОЙ
173
v 1 и v3. На нейтральной кривой имеется точка Мг разграничивающая две ее
ветви. На длинноволновом участке неустойчивость порождается модой vx,
а на коротковолновом — модой v3; область внутри петли соответствует
неустойчивости относительно обеих мод. Интересная новая особенность
спектров возмущений состоит в возникновении при определенных значе-
значениях параметров (внутри петли) "полного пересечения" комплексных
декрементов, при котором совпадают как вещественные, так и мнимые
части двух "пересекающихся" декрементов (подробности см. в [2] ).
Заметим, что задача устойчивости обсуждаемого конвективного течения
значительно позднее, чем в [1, 2], рассматривалась в работе Такашимы
[4]. На основе решения амплитудной спектральной задачи методом степен-
степенных рядов автор вычислил характеристики критических возмущений для
некоторых значений числа Прандтля; результаты согласуются с дан-
данными табл.5.
Структура и характеристики нелинейных конвекшвных течений, разви-
развивающихся после потери устойчивости .изучались А.А.Якимовым [5] мето-
методом конечных разностей. На основе полных нелинейных ура-внений изуча-
изучались двумерные конечно-амплитудные режимы, обладающие периодично-
периодичностью вдоль вертикального направления. Расчеты дня малой надкритичности
приводят к результатам, хорошо согласующимся с полученными при иссле-
исследовании формы критических возмущений на основе линейной теории устой-
устойчивости [6]. Имеется согласие с линейной теорией и по характеристикам
критических возмущений. По мере увеличения надкритичности все более
существенными становятся нелинейные искажения. Пример, относящийся
к почти двукратной надкритичности, приведен на рис. 110. Данные расчетов
400
200
\
V
д ьт—¦
*~
д-/
о -2
0 12 24 Рг
Рис. 111. Минимальное критическое число Грасгофа в зависимости от числа Прандтля.
Сплошная кривая - линейная теория. Точки — эксперимент [ 7]: 7 — измерения в слое
толщиной 2h = 10 мм, 2 - 2/г = 12,5 мм
свидетельствуют о мягком возбуждении вторичного режима (при указан-
указанных значениях параметров).
Экспериментальное исследование устойчивости конвективного течения
в плоском слое жидкости с однородным тепловыделением проведено
В.Г.Козловым [7]. В качестве рабочей жидкости использовались двух-
двухпроцентные растворы медного купороса в воде и в о до глицериновых сме-
смесях. Внутреннее тепловыделение достигалось за счет джоулева разогрева
174
ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
V
электролита при пропускании электрического тока. Путем изменения
средней температуры раствора и взаимной концентрации воды и глицерина
удавалось изменять число Прандтля в интерва-
интервале от 5 до 30. Визуальные наблюдения показа-
показали, что неустойчивость проявляется в виде
движущейся шахматной системы вихрей. Кри-
Критическое число Грасгофа определялось систе-
системой температурных датчиков по возникнове-
возникновению бегущих температурных волн. Как видно
из рис. 111, имеется хорошее согласие экспе-
экспериментальных и теоретических значений крити-
критического числа Грасгофа в широком интервале
изменения числа Прандтля. Для Рг = 10 было
проведено наблюдение спектра длин волн бе-
бегущих возмущений, что позволило получить
в эксперименте диаграмму устойчивости, удов-
удовлетворительно согласующуюся с результата-
результатами линейной теории в области наиболее опас-
опасной (волновой) моды (см. рис. 109) .
Конвективное течение электролита в кру-
круговом вертикальном канале (водный раствор
соляной кислоты, разогреваемый электричес-
электрическим током) экспериментально изучалось в ра-
работе [8]. Количественное исследование устой-
устойчивости в работе специально не проводилось;
тем не менее отмечено наличие значительных
возмущений на границе встречных потоков.
Подробное экспериментальное исследование
устойчивости течения в круговом канале
проведено в работе В.Г. Козлова и Н.Г. По-
Поляковой [9] на основе методики, аналогичной
[7]. Эксперименты показали, что как и в плос-
плоском вертикальном слое, критическое число
Грасгофа монотонно уменьшается с ростом
числа Прандтля. Интересна форма критических
возмущений. Они представляют собой спираль-
спиральный вихрь, возникающий на границе встреч-
встречных потоков и перемещающий вниз со значи-
значительной фазовой скоростью. Фотография кар-
картины вторичного течения в осевой плоскости
приведена на рис. 112.
Интересное проявление неустойчивости кон-
конвективного течения с четными профилями ско-
Рис. 112. Вторичное течение в канале кругового сече-
сечения (Рг = 7) . Фотография из работы [9 ]
§ 2 6. НАКЛОННЫЙ СЛОЙ 175
рости и температуры обнаружилось при численном моделировании про-
процесса затвердевания металлической отливки [10, И). Жидкий металл
заливается в прямоугольную форму, вытянутую по вертикали. В резуль-
результате теплоотдачи на границах полости в жидком ядре формируется
профиль температуры, близкий к параболическому, и соответствующий
профиль скорости, состоящий из восходящего потока в центре и двух
нисходящих по бокам. Неустойчивость приводит к образованию двух
цепочек вихрей, расположенных в шахматном порядке. Авторы названных
работ считают образование вихрей одной из причин неоднородности закри-
закристаллизовавшегося слитка.
§ 26. Однородные источники тепла. Наклонный слой
Обсудим теперь устойчивость конвективного течения жидкости с одно-
однородными внутренними источниками тепла в плоском слое, наклоненном к
вертикали на угол а [12]. Наклон слоя создает в жидкости потенциально
неустойчивую вертикальную стратификацию, что, в свою очередь, приводит
в действие рэлеевский механизм неустойчивости.
В наклонном слое распределения скорости и температуры основного
плоскопараллельного течения сохраняют вид B5.5) с тем лишь отличием,
что в формуле скорости появляется амплитудный фактор cos a:
cos a
v0 = A - 6х2 + 5х4).
60
При наклоне слоя на угол а = ±90° (горизонтальная ориентация) ско-
скорость основного течения обращается в нуль — мы приходим к задаче о рав-
равновесии горизонтального слоя с однородным тепловыделением и, соответ-
соответственно, параболическим профилем температуры B5.5) .
Нет необходимости приводить здесь уравнения малых возмущений и
спектральные амплитудные задачи для плоских и пространственных возму-
возмущений конвективного течения в наклонном слое - они по виду совпадают
с соответствующими задачами, приведенными в § 6 и 7, разумеется,
с надлежащей заменой профилей скорости и температуры основного тече-
течения и с введенным в предыдущем параграфе определением числа Грасгофа.
Остаются в силе также полученные в § 7 преобразования, связывающие
характеристики пространственных и плоских возмущений, в частности,
пересчетные формулы G.17).
Приступим к обсуждению результатов решения задачи устойчивости тече-
течения. Отметим прежде всего, что теперь имеет место симметрия относитель-
относительно угла а: наклоны слоя на углы а или —а соответствуют физически
совпадающим ситуациям. Ввиду четности профиля температуры в обоих
случаях примыкающая к верхней границе часть слоя оказывается стратифи-
стратифицированной неустойчиво, а примыкающая к нижней — устойчиво.
Остановимся сначала на результатах решения задачи устойчивости отно-
относительно плоских возмущений.
176
ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
210*
НО3
— ¦¦¦
\
/\
0 30° 60° 90°
Рис. 113. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от угла наклона
Граница устойчивости в зависимости от угла а изображена на рис. 113
в координатах (a, Raw), где Raw = GrwPr - минимизированное по к
число Рэлея. Смена законов Raw (ос) для Рг = 1 и 10 (она наступает соответ-
соответственно при углах а = 49° и 41°) связана с тем обстоятельством, что при
этих значениях Рг нейтральные кривые имеют два минимума и по мере
изменения а происходит переход абсолютного минимума от одной ветви
к другой. Этот переход сопровождается скачком критических параметров
кт и ст (рис. 114 и 115). При Рг = ОД критическое число Рэлея монотон-
монотонно растет с ростом угла наклона.
При ос = 90° критическое число Рэлея не зависит от Рг: этот предельный
случай соответствует равновесию горизонтального слоя жидкости с твер-
твердыми изотермическими границами при наличии поперечной стратификации
за счет однородного тепловыделения. Задача устойчивости такого равнове-
равновесия решена в работе [13]; параметры неустойчивости таковы: Raw =584,
кт = 2,00. Результаты решения задачи устойчивости течения в наклонном
слое при а -> 90° согласуются с этими данными. Фазовая скорость при
ос -> 90° стремится к нулю: кризис равновесия связан со стационарными
возмущениями (неподвижные конвективные ячейки).
Перейдем теперь к рассмотрению пространственных возмущений.
Как уже говорилось, вся информация об устойчивости относительно прост-
пространственных возмущений может быть получена при помощи преобразова-
преобразований G.17), если известны результаты решения соответствующей плоской
задачи. Найденные таким путем минимальные критические числа Грасгофа
Grw при Рг = ОД; 1 и 10 для разных значений параметра пространствен-
§ 26. НАКЛОННЫЙ СЛОЙ
2J5
177
Щ i i i 1
' ПО -г ПО
Рис. 114. Критическое волновое число в зависимости от угла наклона
Рис. 115. Фазовая скорость критических возмущений ст =60\i/(kmGrm) в зависи-
зависимости от угла наклона
ных возмущений а = kz / \fk2y + к\ приведены на рис. 116. Напомним
(см. § 7), что предельный случай а = 1 соответствует плоским возмуще-
возмущениям, а случай а = 0 — пространственным спиральным возмущениям.
При малых числах Прандтля во всей области углов наклона наиболее
опасны плоские возмущения. Иная ситуация имеет место при немалых Рг:
плоские возмущения более опасны, если угол наклона к вертикали меньше
некоторого а*. При а > а# абсолютный минимум критического числа
Grw переходит к пространственным возмущениям. С увеличением Рг
178
ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
f-/0J -
0,5'Ю3
90°
Рис. 116. Критическое число Грасгофа для пространственных возмущений в зависи-
зависимости от угла наклона: а) Рг = 0,1; б) Рг = 1. Штриховая линия - Рг =10
§26. НАКЛОННЫЙ СЛОЙ
179
Рис. 117. Граница устойчивости в &rm
зависимости от угла наклона
(Рг = 10). Сплошные линии - рас-
расчет по линейной теории устойчи- 200
вости. Точки - эксперимент [7]:
; - появление бегущих тепловых
волн, 2 — переход от тепловых
волн к спиральным возмущениям,
3 - появление спиральных возму-
возмущений 100
О
601
SOC
критический угол а* уменьшается: при Рг = 1 и 10 соответственно
#* = 37° и 18°. При больших Рг ответственными за неустойчивость
плоскопараллельного течения в широком интервале углов являются, таким
образом, спиральные возмущения. Подчеркнем, однако, что в случае строго
вертикальной ориентации слоя неустойчивость при всех Рг связана с плос-
плоскими возмущениями (ср. § 7).
Как и в случае слоя с границами разной температуры, пространственная
ветвь может быть непосредственно найдена из задачи о возмущениях равно-
равновесия слоя жидкости с параболическим профилем температуры. Граница
устойчивости находится по формуле Ram = Ra0/sino:, где Ra0 = 584 —
критическое число Рэлея для горизонтального слоя.
Существует в некотором смысле граничное число Прандтля Рг (согласно
расчетам, Рг ^ 0,6). Если Рг < Рг, то при всех углах наклона неустойчи-
неустойчивость стационарного течения имеет гидродинамическую природу и связана
с плоскими возмущениями. При Рг > Рг плоские возмущения приводят
к неустойчивости (волнового типа) при а < а*. При ос > ос ^ неустойчи-
неустойчивость вызывается спиральными возмущениями, фазовая скорость которых
равна нулю; неустойчивость в этой области углов имеет статическую
(рэлеевскую) природу и обусловлена стратификацией жидкости.
Экспериментальное исследование устойчивости конвективного течения
в наклонном слое жидкости с тепловыделением проведено в уже цитиро-
цитированной работе В.Г.Козлова [7]. Результат представлен на рис.117.
При малых отклонениях слоя от вертикали устойчивость теряется за счет
возмущений типа бегущих тепловых волн, а при а > 18° на границе устой-
устойчивости возникают неподвижные продольные валы (спиральная структу-
структура). Как видно, имеет место хорошее соответствие экспериментальных и
теоретических результатов.
180 ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
§ 27. Неоднородность тепловыделения
и эффект проницаемости границ
Этот параграф посвящен обобщениям задачи устойчивости течения жид-
жидкости с тепловыделением в вертикальном слое, учитывающим некоторые
осложняющие факторы.
1. Неоднородные источники тепла. В ряде случаев мощность тепловыде-
тепловыделения может оказаться неоднородной по сечению слоя, что существенно
влияет на структуру основного течения и его устойчивость. Интересный
пример неоднородного тепловыделения рассмотрен в работах В.М.Шихова
и В.И.Якушина [14, 15]. Ими изучено конвективное течение в плоском
вертикальном слое, границы которого поддерживаются при одинаковых
температурах, а плотность источников тепла убьюает по мере удаления от
границы по экспоненциальному закону. Такое распределение может воз-
возникнуть, например, при прохождении поперек слоя светового потока,
поглощение которого в жидкости происходит по закону Бугера, и вся
поглощенная энергия выделяется в виде тепла.
При решении задачи удобно выбрать начало координат на левой стенке
канала, толщина которого d. Мощность тепловыделения запишем следую-
следующим образом:
Q = Qoe-ax, B7.1)
где Qo — максимальная мощность при х = 0, а а — коэффициент затухания.
Уравнение переноса тепла имеет вид B5.1), где Q определяется форму-
формулой B7.1).
Безразмерные переменные выберем на основе следующих единиц
расстояния, времени, скорости, температуры и давления: d, d2jv,
8$Qod*l (У&) , Qod2JK, pgfiQod3/к. Уравнения отличаются от B5.3) лишь
последним слагаемым в правой части уравнения переноса тепла, которое
теперь имеет вид -5— e~Nx\ сохраняются условия прилипания, обращения
в нуль температуры на границах слоя и замкнутости потока. Число Грас-
гофа Gr теперь определено через максимальную объемную плотность
тепловыделения Qo и полную толщину слоя d: Gr = g($Qods/\v2к).
Кроме того, задача содержит новый безразмерный параметр N = ad, харак-
характеризующий пространственную неоднородность тепловыделения (для по-
поглощающей среды он имеет смысл оптической толщины) .
В режиме плоскопараллельного течения распределения скорости, темпе-
температуры и давления таковы:
1
~N2 L ' У dz
•2 | ' "V " / |> j_ * • B7.2)
§ 27. НЕОДНОРОДНОСТЬ. ПРОНИЦАЕМОСТЬ ГРАНИЦ
181
Здесь введены обозначения:
6 1
i /1
1 — а" Т" v —
12 1
-N
12>\
Профили скорости и температуры изображены на рис. 118. В предель-
предельном случае N -> 0 имеем четные профили, соответствующие однородному
тепловыделению с плотностью Qo. При N Ф О профили теряют свойство
четности, однако при сравнительно небольших N течение по-прежнему
состоит из трех встречных потоков. При увеличении N исчезает левое
нисходящее колено профиля и он состоит из двух встречных потоков.
При N ->оо в пределе получается нечетный кубический профиль скорости;
профиль температуры при этом в основной части сечения канала (за исклю-
исключением тонкого пограничного слоя вблизи левой стенки, где сосредоточено
тепловыделение) становится линейным. В этом предельном случае ампли-
амплитудные значения скорости и температуры стремятся к нулю. Таким обра-
образом, при увеличении N от нуля до бесконечности происходит непрерывная
деформация профилей основного течения от четных, соответствующих
однородному тепловыделению, до нечетных, соответствующих слою с гра-
границами разной температуры. Аналогичные переходы при N -> 0 и 7V-> «>,
естественно, обнаруживаются и в результатах решения задачи устой-
устойчивости [14, 15] (в этих работах амплитудная задача решалась методом
Рунге - Кутта - Мерсона с пошаговой ортогонализацией).
Рис. 118. Профили скорости и температуры (неоднородные источники тепла)
182
ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ I ЕПЛА
При сопоставлении характеристик устойчивости в предельных случаях
N -> О и N -+ с» следует иметь в виду различный выбор единиц измерения и
различные определения числа Грасгофа. В случае N -+ 0 число Грасгофа
Grq di определенное по мощности <2о и полной толщине слоя d, связано
с числом Грасгофа GiQfh, введенным в §25, соотношением Gtqqfd =
= 64 Gr Qt h. При N -+ с» в основной части сечения канала поперечный гра-
градиент температуры постоянен и равен по величине (в размерной форме)
Qod/(N2K). В случае канала с разными температурами границ мы обычно
пользуемся числом Грасгофа, определенным через полуразность темпера-
температур границ в и полутолщину слоя h. Связь чисел Грасгофа в случае
такова:
Переход между указанными предельными случаями по мере увеличения
N иллюстрирует рис. 119. При больших N наступает асимптотика B7.3),
соответствующая слою с границами разной температуры.
По мере увеличения N происходит в общем весьма сложная перестройка
спектров возмущений и нейтральных кривых (за подробностями отсылаем
к [14, 15] ) . Особенно сложна деформация нейтральных кривых в области
100^
i i
А
1 1
0,1 0,2 0,5 1
W
Рис. 119. Минимальное критическое число Грасгофа в зависимости от параметра неод-
неоднородности тепловыделения (поданным [14,16]). Горизонтальные асимптоты - одно-
однородное тепловыделение; асимптоты при больших N— формула B7.3)
27. НЕОДНОРОДНОСТЬ. ПРОНИЦАЕМОСТЬ ГРАНИЦ
24
18
12
183
1
а
\
{
\
N =0,7
v\
У
0 3 6
Рис. 120. Нейтральная кривая (Рг = 10,7V = 0,7)
больших чисел Прандтля, когда наряду с гидродинамическим действует
еще и волновой механизм неустойчивости. Иллюстрацией может служить
нейтральная кривая на рис. 120, состоящая из трех ветвей. Каждый локаль-
локальный минимум связан с определенной модой неустойчивости. Коротковол-
Коротковолновая ветвь (с — d) отвечает гидродинамической моде и характеризуется
сравнительно малой величиной фазовой скорости. Ветви (а — Ь) и (Ь - с)
отвечают нарастающим тепловым волнам, распространяющимся в нисходя-
нисходящих потоках соответственно возле правой и левой границ слоя. Какая из
названных мод является наиболее опасной — зависит от параметров Рг и N.
Обсужденная задача позднее решалась в работе [16], где проведен расчет
границы устойчивости для некоторых чисел Прандтля. Результаты согла-
согласуются с приведенными выше. Обобщение задачи на случай, когда учиты-
учитываются отражательные свойства границ, проведено в [17].
Еще один пример течения с неоднородным тепловыделением рассмотрел
В.М.Шихов [18]. Он исследовал устойчивость конвективного течения,
создаваемого тепловыделением, мощность которого является линейной
функцией координаты, нечетной относительно середины сечения. Профили
скорости и температуры описываются нечетными полиномами пятого и
третьего порядков, причем имеются два встречных потока, а профиль тем-
температуры характеризуется наличием двух экстремумов. Задача имеет много
общего с подробно обсужденной в гл. I. При малых Рг неустойчивость
связана с гидродинамическим механизмов (стационарные вихри).
При Рг > Рг+ =37 появляется волновая мода, развитие которой сильно
затруднено по сравнению со случаем линейного распределения температу-
температуры. По-видимому, стабилизация волновой моды связана с тем, что в обсуж-
обсуждаемом случае она развивается в той части сечения канала, где поперечный
184 ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
градиент температуры мал (вблизи экстремумов функции Т0(х)). Заме-
Заметим в этой связи, что в чисто изотермических потоках температурные вол-
волны всегда затухают (см. §4). Возможно, это же обстоятельство служит
причиной отсутствия нарастающей тепловой волны в восходящем централь-
центральном потоке течения, вызванного однородными источниками тепла (§ 25).
2. Проницаемые границы. Другим фактором, влияющим на устойчивость
течения, вызванного внутренними источниками тепла, может служить
вдувание и отсасывание через проницаемые границы. Как и в случае течения
между плоскостями, нагретыми до разной температуры (§ 15), этот фак-
фактор является весьма существенным.
Постановка задачи такова [19]. Вертикальный слой жидкости с одно-
однородным тепловыделением ограничен плоскостями х = ±/г, на которых под-
поддерживаются постоянные одинаковые температуры. Границы слоя являют-
являются проницаемыми, причем через левую границу происходит однородное
отсасывание со скоростью, w0, а через правую — вдувание с той же скоро-
скоростью. Уравнения движения, записанные в безразмерной форме, с тем же
выбором единиц, что ив § 25, сохраняют вид B5.3) . Меняются лишь гра-
граничные условия — нормальная компонента скорости на границе слоя теперь
отлична от нуля и определяется скоростью отсасьшания (вдувания):
Ре 1
x = ±\:vx= 5 Vy = Vz = Q9 7=0; / vzdx = 0. B7.4)
GrPr
Здесь число Грасгофа Gr определено так же, как ив § 25; наличие вдува-
вдувания и отсасывания приводит к появлению нового безразмерного парамет-
параметра - числа Пекле Ре = uoh/\.
В режиме основного течения (которое, как и в задаче § 15, не является
плоскопараллельным) поперечная скорость постоянна, VOx = -Pfe/(GrPr),
а продольная скорость VOz = vo(x), температура Т0(х) и давление po(z)
находятся из уравнений
v'o + —6 vo + Го = —— = const, Го' + Ре Го + 2 = 0 B7.5)
Pr dz
с условиями B7.4) . Для профилей имеем формулы
Ц) = С1! (е~?ех + х sh Ре - ch Ре) +
?± х ре Ре \ Рг
е Рг +xsh ch— +—~(х2-\), B7.6)
Рг Рг /Ре2
Го = (chPe - е~Рех - xshPe).
Ре sh Ре }
§ 27. НЕОДНОРОДНОСТЬ. ПРОНИЦАЕМОСТЬ ГРАНИЦ
185
Здесь
2Рг
Pe3(Pr - l)shPe '
2 3(PechPe-shPe) + Pe2(Pr- l)shPe
2 ~3Pe3(Pr-l)shPe* ?e Ve ?~e '
sh ch —
Pr Pr Pr
В предельном случае Ре -^ 0 из B7.6) получаются формулы B5.5), соот-
соответствующие течению в слое с однородными источниками тепла и непрони-
непроницаемыми границами. По поводу профилей B5.6) можно повторить назван-
названные в § 15 причины, вызывающие их деформацию с увеличением интенсив-
интенсивности поперечного потока.
Распределения продольной скорости и температуры приведены на
рис. 121. С увеличением Ре температурный профиль в основной части сече-
сечения становится линейным с пограничным слоем толщины ~1/Ре возле
левой границы. Распределение продольной скорости при этом деформирует-
деформируется: на смену течению с тремя встречными потоками приходит течение
с двумя потоками, как и должно быть при течении с массовой силой,
обусловленной линейным распределением температуры. При больших Ре
уменьшается градиент температуры в основной части слоя и соответствен-
соответственно падает интенсивность течения. Как и в случае течения между проницае-
проницаемыми границами разной температуры, это обстоятельство должно приво-
приводить к сильной стабилизации.
Заметим, что описанные деформации профилей скорости и температуры
с увеличением параметра вдувания Ре подобны тем, о которых говорилось
Ре = 0,5
Рис. 121. Профили скорости и температуры (влияние вдувания и отсасывания через
проницаемые границы)
186
ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
выше в связи с задачей о течении в слое с экспоненциально распределенны-
распределенными источниками тепла. Названные задачи, однако, не являются эквивалент-
эквивалентными, поскольку в случае вдувания имеется еще один существенный фак-
фактор стабилизации - снос основного течения и возмущений поперечным
потоком.
Амплитудная задача для плоских нормальных возмущений совпадает
с A5.4); отличие заключается в виде профилей основного течения vQ и
То, а также в определении числа Грасгофа. Приведем некоторые результаты
расчетов характеристик устойчивости.
На рис. 122 изображено семейство нейтральных кривых для Рг = 2.
При отсутствии вдувания (Ре = 0) на нейтральной кривой имеется один ми-
минимум, соответствующий неустойчивости волновой природы (см. § 25).
При малых Ре на кривой появляются два минимума, из которых один
(длинноволновый) наследует волновую моду неустойчивости; этот мини-
минимум исчезает в интервале изменения Ре от 1,5 до 2. Второй минимум, соот-
соответствующий малой фазовой скорости, связан с гидродинамической мо-
модой; именно этому минимуму передается неустойчивость. С ростом Ре
критическое число Grm резко возрастает. При Рг = 10 деформация
нейтральной кривой сложнее. Тем не менее в общем сохраняется та же
ситуация, что и при Рг =2: по мере увеличения Ре имеет место стабилиза-
стабилизация с передачей неустойчивости от волновой моды к гидродинамической
(заметим, что при больших Ре течение состоит из двух встречных потоков,
а в этом случае, как известно, при Рг = 10 имеется лишь гидродинамиче-
3000
2000
1000
О 0,75 1,5 2,25
Рис. 122. Нейтральные кривые (Рг =2)
§ 27. НЕОДНОРОДНОСТЬ. ПРОНИЦАЕМОСТЬ ГРАНИЦ
3-W3
2-10"
10*
187
Ьг=2
/у
Лг=10
Ре
12
Рис. 123. Минимальное критическое число Грасгофа в зависимости от параметра вдува-
вдувания: 1 - волновая мода, 2 - гидродинамическая
екая мода неустойчивости). Итоговая зависимость Grm от Ре для двух
указанных значений Рг приведена на рис. 123.
Заканчивая обсуждение влияния осложняющих факторов на устойчи-
устойчивость конвективного течения жидкости с внутренними источниками тепла,
укажем на работы [20,21]. В [20] рассматривалась задача устойчивости
течения в слое с однородными источниками тепла при наличии разности
температур границ и с учетом температурной зависимости вязкости. Рас-
Рассмотрение ограничено гидродинамическим пределом (Рг = 0). Для опреде-
определения границ устойчивости применен вариационный метод локального
потенциала с простейшими аппроксимациями амплитуд. Как и в случае
течения, создаваемого только поперечной разностью температур (§9),
учет температурной зависимости вязкости приводит к понижению устойчи-
устойчивости. В работе [21] та же методика применена для расчета устойчивости
течения проводящей жидкости с внутренним тепловыделением при наличии
разности температур границ и внешнего магнитного поля. Сделанный в ра-
работе вывод о стабилизирующем действии поля сомнений не вызывает.
Что касается количественных результатов, то они представляются грубы-
грубыми, поскольку с ростом поля формируются гартмановские пограничные
слои, не учтенные в использованных аппроксимациях (см. по этому по-
поводу § 17).
188 ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
§ 28. Химически активная жидкость
Химическая реакция, протекающая в жидкости или газе, приводит к вы-
выделению (поглощению) тепла и к образованию продукта, плотность кото-
которого отличается от плотности реагента. Неоднородности плотности, созда-
создаваемые за счет температуры и концентрации, приводят к появлению кон-
конвекции реагирующей среды. Такого рода ситуации интересны с разных то-
точек зрения, в частности, в связи с выяснением влияния, которое могут
оказать конвективные течения на скорость протекания реакций.
Химическая активность среды может служить как основной причиной
неустойчивости, так и сильно осложняющим фактором. При этом воз-
возможны различные постановки задач соответственно типу реакций,
относительной роли теплового эффекта и пр. В данном параграфе обсуж-
обсуждаются две задачи такого рода.
1. Экзотермическая реакция нулевого порядка [22- 24]. Если тепловой
эффект реакции достаточно велик, то можно пренебречь зависимостью
тепловыделения от концентрации реагента. В этом случае конвекция
создается за счет внутреннего тепловыделения, причем плотность внутрен-
внутренних источников тепла можно считать экспоненциальной функцией темпера-
температуры и согласно закону Аррениуса
е_
Q = Qokoe RT . B8.1)
Здесь Т — абсолютная температура, R — газовая постоянная, Qo, к0 и Е —
параметры реакции (тепловой эффект, предэкспоненциальный множитель
и энергия активации).
Пусть реагирующая среда заполняет плоский вертикальный слой, грани-
границы которого х = ± h поддерживаются при постоянных одинаковых значе-
значениях абсолютной температуры 0. Тепловыделение в объеме жидкости и
теплоотдача через стенки канала приводят к неоднородности температуры и
возникновению конвекции. Уравнения конвекции запишем в безразмерной
форме, выбрав в качестве единиц расстояния И, времени h2jv, скорости
g$h2R Э2 / (vE), температуры RQ2/E, давления pgphRS2/E. Обозна-
Обозначив через Г4 отклонение температуры жидкости от температуры границ,
запишем безразмерные уравнения конвекции в виде
Эу
— + Gr(vV)v = -Vp + Ду+Гт, divv = 0,
Ъ t
Ъ t
1 F Г Tf
+ GrvVT' = — AT' + — exp
bt Pr Pr
Задача содержит четыре безразмерных параметра - числа Прандтля
Рг =^/х, Грасгофа Gr = g($RQ2h3 \{y2E) (характеризует эффект подъем-
подъемной силы) , Франк-Каменецкого F = (Q0k0Eh2/(nR 02))exp(-?/(/? 0))
(интенсивность тепловыделения за счет реакции) и параметр Ъ =R Э/Е.
§ 28. ХИМИЧЕСКИ АКТИВНАЯ ЖИДКОСТЬ
189
В режиме плоскопараллельного течения профили скорости и температу-
температуры определяются уравнениями и условиями
0,
Го' + Fexp
7о(±1) = 0, / vodx = 0.
B8.3)
B8.4)
Нелинейное уравнение теплопроводности B8.3) совпадает с уравнением
известной задачи Франк-Каменецкого о тепловом взрыве в плоском слое
неподвижной реагирующей среды [25]. При произвольном параметре Ъ
уравнение Франк-Каменецкого с условиями То(± 1) =0 имеет, вообще го-
говоря, три решения. При 0 < Ь < 0,246 существует интервал значений F
от нуля до некоторого предельного F*, в котором имеются три решения;
при Ъ = 0 имеются два ограниченных решения; наконец, при Ъ > 0,246
существует лишь одно решение, причем при Ъ -> «э формально происходит
переход к случаю однородного тепловыделения (подробный анализ
см. [22,26]).
Практически обычно реализуются малые значения параметра Ъ. Далее
мы ограничимся в основном рассмотрением случая Ъ = 0. В каждом из двух
имеющихся режимов распределение температуры (оно может быть найдено
численно) является четной функцией поперечной координаты с максималь-
максимальным значением T§m на оси (рис. 124,я). Оба решения, будучи качественно
подобными, различаются по амплитуде Т§т. Они существуют в интервале
/
/
/A I ^^
| -0,5
' U5
1
0,5
0
\То
>
X
\
гч \
0,5 х
^"с. 124. Профили температуры (а) и скорости (б) основного течения в низкотемпера-
низкотемпературном G) и высокотемпературном B) режимах (F =0,8)
190
ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
значений параметра Франк-Каменецкого 0 < F < F + =0,8785. Значения
ТОт в зависимости от F изображены на рис. 125, где нижняя ветвь соответ-
соответствует низкотемпературному режиму, а верхняя — высокотемпературному.
При F > F* стационарных решений нет: теплоотдача через границы слоя
не может компенсировать экспоненциально растущее с температурой
объемное тепловыделение - происходит тепловой взрыв.
Профили скорости, соответствующие указанным стационарным распре-
распределениям температуры, изображены на рис. 124,6: высокотемпературному
режиму отвечает течение с большей интенсивностью.
Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости стационарных режимов.
Вводя малые плоские нормальные возмущения, придем к спектральной за-
задаче для амплитуд:
— Ав + ikGi(T'ov
Рг
Рг A
х = ± 1 :
ехр
B8.5)
в = -Х0;
= у = 0,
= 0.
Предельным случаем служит задача устойчивости стационарных режимов
теплопереноса в неподвижной жидкости. Задача о поведении возмущений
&гп
Рис. 125. Температура в центре слоя в теплопроводном режиме в зависимости от пара-
параметра Франк-Каменецкого
Рис. 126. Граница устойчивости низкотемпературного режима плоскопараллельного
течения в зависимости от параметра Франк-Каменецкого для разных чисел Праядтля.
Сплошные кривые - Ь - 0; штриховые - Ь =0,1. Штриховые вертикальные прямые -
границы области существования стационарного режима
§ 28. ХИМИЧЕСКИ АКТИВНАЯ ЖИДКОСТЬ 191
температуры в этом случае получается из второго уравнения системы B8.5)
вычеркиванием конвективного члена (Gr =0) при однородных условиях
0(± 1) = 0. Подробный анализ спектра возмущений и устойчивости режи-
режимов в такой постановке (см. [27—29] ) показывает, что высокотемператур-
высокотемпературный режим абсолютно неустойчив, причем наиболее опасными являются
одномерные температурные возмущения (к = 0). Низкотемпературный ре-
режим, напротив, устойчив во всей области его существования @ < F < F + ).
Эти выводы согласуются с качественным анализом на основе диаграмм
Н.Н.Семенова [25].
В общей конвективной постановке задача B8.5) решалась в работах
Е.А.Еремина [22, 23] методом дифференциальной прогонки. Как оказа-
оказалось, высокотемпературный режим теряет устойчивость относительно гид-
гидродинамической моды при некотором критическом числе Грасгофа,
однако эта граница не представляет особого интереса, поскольку уже
при Gr = 0 этот режим неустойчив относительно температурных возмуще-
возмущений. По этой причине далее будет идти речь о наиболее интересном —
низкотемпературном режиме.
Результаты исследования устойчивости приведены на рис. 126. С увели-
увеличением числа Франк-Каменецкого F (т.е. с ростом интенсивности тепло-
тепловыделения) граница устойчивости понижается. При F > F+ стационарных
режимов плоскопараллельного течения нет, и потому постановка линейной
задачи устойчивости теряет смысл. С увеличением числа Прандтля устойчи-
устойчивость понижается в связи с вступлением в игру дестабилизирующих тепло-
тепловых факторов (ср. § 25). Как и в случае однородных источников тепла,
неустойчивость развивается в виде дрейфующих вниз цепочек вихрей,
расположенных в шахматном порядке на границах встречных потоков.
Остановимся теперь на некоторых результатах нелинейного расчета ко-
конечно-амплитудных режимов. Как уже указывалось, в области F > F*
стационарный плоскопараллельный режим течения невозможен. Однако
в этой области могут в принципе существовать другие режимы, приводящие
к увеличению теплоотвода. Вопрос этот может быть решен лишь на основе
полных нелинейных уравнений B8.2). Двумерное периодическое по z ре-
решение этих уравнений находилось численно методом конечных разностей
в работе [24]. Расчеты проделаны для Рг = 1 (реагирующий газ).
Фиксировались параметр Ъ - 0 и волновое число периодической структу-
структуры к = 1,4 в районе минимума нейтральной кривой (критическое значе-
значение кт слабо зависит от параметров задачи). В численных экспериментах
при некоторых значениях Gr и F задавалось малое начальное возмущение
и наблюдалась его эволюция со временем. Таким путем удается получить
предельные установившиеся режимы, разумеется, в тех случаях, когда
они существуют.
На рис. 127 изображена карта режимов на плоскости параметров (F, Gr).
В области 1 устанавливается стационарное плоскопараллельное течение,
соответствующее низкотемпературному режиму. В области 2 развивается
конечно-амплитудный вторичный режим, аналогичный изображенному
На рис. ПО. Граница областей 1 и 2 практически совпадает с определяемой
192
ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
по линейной теории. Наконец, в области 3 имеет место неограниченный
рост начального возмущения (тепловой взрыв). Интересно, что конечно-
амплитудное вторичное течение, создавая дополнительный поперечный
перенос тепла, существенно сдвигает порог теплового взрыва в сторону
более высоких значений параметра Франк-Каме не цкого F (граница об-
областей 2 и 3) *).
2. Концентрационные источники тепла. Рассмотрим теперь другой тип
реагирующей среды с выделением тепла. Пусть жидкость представляет со-
собой двухкомпонентную смесь, причем одна из компонент (будем называть
О
0,5 F* 1,0 F
Рис. 127 Карта режимов на плоскости (F , Gr) для Рг = 1, к = 1,4, Ь - О
ее активной) является тепловыделяющей; мощность тепловыделения про-
пропорциональна локальной концентрации этой компоненты: Q = КС,
где К — коэффициент теплового эффекта. Типичным примером такой
ситуации может служить среда с радиоактивной примесью (так, в част-
частности, обстоит дело в астеносферном слое мантии Земли [32}). Источники
такого рода могут также возникнуть при распространении излучения
в смеси, одна из компонент которой обладает высоким селективным
поглощением [33]. Наконец, модель смеси с концентрационными источ-
источниками тепла может описывать среду с экзотермической реакцией,
идущей с большим тепловым эффектом в сильно разбавленном реагенте.
Характерная особенность этих процессов состоит в том, что наряду
с теплопроводностью в теплопереносе принимает участие диффузия актив-
активной примеси.
Обсуждению вопросов конвективной устойчивости механического рав-
равновесия сред такого типа на основе уравнений B8.6) посвящены работы
[34-36]. Далее, следуя [37], мы обсудим результаты /исследования
устойчивости конвективного течения жидкости с концентрационными
источниками тепла в плоском вертикальном слое. Постановка задачи тако-
такова. Границы плоского вертикального слоя смеси х = 0 и х = d поддержи-
*) Аналогичная диаграмма режимов получена в работах [30, 31] в связи с исследо-
исследованием конечно-амплитудных режимов конвекции реагирующей среды, возникающих
в результате потери устойчивости механического равновесия при подогреве снизу.
§ 28. ХИМИЧЕСКИ АКТИВНАЯ ЖИДКОСТЬ 193
ваются при одинаковых температурах Т = 0 и разных концентрациях актив-
активной примеси, соответственно С = 0 и С = С. Как обычно, слой предполагает-
предполагается замкнутым.
Обратимся к обычным уравнениям конвекции бинарной смеси (§ 19),
добавив в уравнении переноса тепла источник концентрационного типа;
эффектами термодиффузии и диффузионной теплопроводности будем
пренебрегать. Выберем следующие единицы: расстояния d, времени d2 \v,
скорости g PiKCd4/(v к), температуры KCd2/K, концентрации С,
давления pg faKCd3/к. Безразмерные уравнения и граничные условия
имеют вид
— + Gr(vV)v = —Vp + Av +
bt
ЪТ 1С B8.6)
— + GrvVT = — АГ + — ,
bt Pr Pr
ЪС ' 1
— + GrvVC = AC,
bt ?id
divv = 0;
l
x=0;l: v=0, Г=0, C=0;l; / vzdx = 0.
о
Система содержит числа Прандтля, Шмидта и еще два безразмерных пара-
параметра - число Грасгофа Gr = g fix К С d5 /(к v2), определенное по мощности
тепловыделения, и концентрационное число Грасгофа Gxd = gf$2Cd3\v2,
определенное по перепаду концентрации. Отношение Grd/Gr =
= P2Kl(Kf$id2) характеризует соотношение подъемных сил,обусловленных
концентрационным и температурным изменениями плотности. По определе-
определению это отношение может быть как положительным (]32 > 0; активная
компонента является менее плотной), так и отрицательным (j32 < 0;
активная компонента — более плотная); при этом имеется в виду случай
нормального теплового расширения, т.е. j3x > 0.
Профили основного плоскопараллельного течения таковы:
v0 = (~2х + 9х2 - IOjc3 + Зх5) -
360
тГ" (jc _ зх2 + 2х3), B8.7)
12 Gr
= ~{х - х3), Со = х.
194
ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
1-10-
Рис. 128. Граница устойчивости на плоскости
^, Gr) в предельном случае Рг = 0, Рг^ = О
-10-Ю3 -5-fO3 0 5-W3 10-fO3
-24'О3
Скорость основного течения состоит
из двух компонент; одна из них обус-
обусловлена неоднородностью температуры
за счет концентрационного тепловы-
тепловыделения, другая - неоднородностью
концентрации, также дающей вклад в
подъемную силу. При изменении па-
параметра Gr^/Gr структура профиля
скорости существенно меняется. При
больших по модулю значениях Gr^/Gr
основной вклад в подъемную силу дает неоднородность концентра-
концентрации, приводящая к практически линейному профилю плотности. Те-
Течение в этом случае описывается кубическим профилем и состоит из двух
встречных потоков; при Grd/Gr > 0 жидкость поднимается возле правой
стенки и опускается возле левой, а при Gr^/Gr < 0 — наоборот. В интер-
интервале — 1/30 < Gr^/Gr < 1/15 течение состоит из трех потоков — восхо-
восходящего центрального и двух нисходящих возле границ.
Для решения спектральной задачи для амплитуд плоских нормальных
возмущений в работах [37, 38] применялись методы ортогонализации и
дифференциальной прогонки.
Остановимся на результатах расчетов, полученных на основе чисто гидро-
гидродинамического подхода (Рг -> 0 и ?xd ->0) [37]. При этом получается за-
задача Орра — Зоммерфельда с комбинированным профилем B8.7).
Граница устойчивости течения на плоскости (Gr^? Gr) (результат мини-
минимизации по волновому числу) изображена на рис. 128.
Случай Gr^ = 0 соответствует, например, такой ситуации, когда концен-
концентрация активной примеси мала, а тепловой эффект велик. При этом кон-
конвективное течение создается только за счет одной причины — внутреннего
тепловыделения, обусловленного заданным линейным распределением
концентрации активной примеси; наличие же самой этой примеси не дает
заметного вклада в подъемную силу.
Случай Gr =0 соответствует в известном смысле обратной ситуации:
тепловой эффект мал и течение создается только за счет линейного рас-
распределения плотности, вызванного линейным распределением концентра-
концентрации. Этот случай полностью эквивалентен течению в слое с заданной раз-
разностью температур границ. Неустойчивость при этом определяется крити-
критическим значением концентрационного числа Грасгофа Gr^ = g&2Cd3[v2 =
= 16-495 (множитель 16 появляется из-за того, что в критерий входит пол-
полная разность концентраций и полная толщина слоя).
В полной постановке с учетом воздействия на устойчивость тепловых и
концентрационных факторов (конечные Рг и Prd) задача решалась
§ 29. ИЗЛУЧАЮЩАЯ СРЕДА 195
в работе [38J. Учет температурных и концентрационных факторов приво-
приводит к подключению новых механизмов неустойчивости и потому сопро-
сопровождается существенной дестабилизацией течения.
§ 29. Излучающая среда
Радиационные процессы могут вносить существенный вклад в общий
теплоперенос и, в частности, влиять на структуру и устойчивость конвек-
конвективных течений. Роль радиационных механизмов особенно велика при вы-
высоких температурах, например, в астрофизических ситуациях. В данном
параграфе рассматривается влияние процессов переноса излучения на ус-
устойчивость конвективного течения в плоском слое. Случай вертикального
слоя с границами разной температуры изучался в работе [39]; обобщение
на случай наклонного слоя с более общими граничными условиями для
температуры проведено в [40]. Ниже мы следуем в основном этим
работам.
1. Основные уравнения. Начнем с вывода уравнений конвекции для из-
излучающей и поглощающей среды. Если пренебречь весьма малым вкладом
радиационных поправок к тензору внутренних напряжений, то уравнение
движения сохраняет свой обычный вид; сохраняется также уравнение
непрерывности. Основная роль излучения сводится к появлению в среде
тепловыделения лучистой природы. В уравнении переноса тепла B5.1)
мощность источников тепла может быть выражена в виде
Q = -div<7r, B9.1)
где qr — плотность потока тепла, связанного с излучением. Для получения
замкнутой системы уравнений необходимо связать вектор qr с ин-
интенсивностью излучения и воспользоваться уравнением переноса излу-
излучения.
При осредненном (не спек тральном) подходе к описанию излучения
вводится интегральная интенсивность /, связанная с плотностью энергии
излучения U соотношением / = (c/h)U, где с/п - скорость света в
среде (с — скорость света в вакууме, п — показатель преломления
среды).
Интегральная интенсивность может быть представлена в виде
J = J Ida, B9.2)
где Ida — интенсивность излучения, распространяющегося в элементе те-
телесного угла da, направление которого задается единичным вектором /.
Плотность потока энергии излучения есть
Яг = fllda. B9.3)
Запишем теперь уравнение переноса излучения (см. [41]). Для начала
будем иметь в виду случай серой среды, радиационные характеристики ко-
которой не зависят от частоты излучения.
196 ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
Изменение интенсивности / вдоль направления / обусловлено простран-
пространственным затуханием и наличием излучения среды:
dl B9.4)
- = -«0/ + в.
Интегрируя обе части этого уравнения по углам, получим (в предположе-
предположении локальной изотропности е)
= divqr = -oloJ + 4тте.
Такимобразом, член с источником в уравнении B5.1) приобретает вид
div<srr = (oq/ - 4тге), B9.5)
РС
где первое слагаемое описьюает нагрев среды за счет поглощения излуче-
излучения, а второе — потери тепла средой вследствие излучения. Функция излуче-
излучения е, в соответствии с принципом локального термодинамического равно-
равновесия, определяется законом Стефана — Больцмана:
е = —° а Г4, B9.6)
где а — постоянная Стефана — Больцмана, Т — абсолютная температура.
Еще одно уравнение может быть получено из соотношения для первого
момента уравнения переноса B9.4) :
/ (V//)/rfn = -aQqr. B9.7)
При вычислении интеграла в левой части производится аппроксимация
Эддингтона, позволяющая приближенно получить дифференциальное
уравнение для интенсивности. Согласно этой аппроксимации делаются
некоторые упрощающие допущения об угловом распределении интенсив-
интенсивности, а именно производится замена 1A к ^ т^/fc (&ik ~ символ Кронеке-
ра). Тогда из B9.7) следует
VJ=-3aoqr. B9.8)
Связь / и qr B9.8) позволяет замкнуть искомую систему уравнений.
Переход к более общей и более сложной модели несерой среды связан
с учетом дисперсии радиационных характеристик. Однако, как показано
в работе [42], можно реализовать сравнительно простой феноменологи-
феноменологический подход, учитывающий в среднем эффект несерости путем введения
двух разных средних коэффициентов поглощения — по Планку аР и по
Росселанду aR. При этом в общем сохраняются приведенные выше соотно-
соотношения, однако в B9.4) и B9.6) фигурирует постоянная осР , а в B9.8) aR.
§ 29. ИЗЛУЧАЮЩАЯ СРЕДА 197
Таким образом, в случае несерой среды имеем
4aPoT4, ^J = -3aRqr. B9.9)
Подстановка div qr в уравнение переноса тепла B5.1) и исключение qr
из системы B9.9) дают два уравнения для температуры и интенсивности
излучения:
— + vVT = Х&Т + А/,
bt 3PcpaR B9Ш)
Д/ - 3CLpOLRJ = — 12 QLpOLROT* .
Будем далее рассматривать конвективное течение в плоском вертикаль-
вертикальном слое излучающей и поглощающей несерой среды (конкретно речь
будет идти о газе, поскольку в жидкостях радиационные эффекты, как
правило, мало существенны). Границы слоя х = ±h поддерживаются при
постоянных разных температурах Т + Э, где Т — средняя абсолютная тем-
температура.
Кроме обычных граничных условий для скорости и температуры, необ-
необходимо иметь также условия для новой характеристики системы —
интегральной интенсивности /. Эти условия получаются из соотношений
энергетического баланса на стенке с учетом ее излучательных, поглоща-
тельных и отражательных свойств и имеют вид (см. [43] )
1 b,J
х = ±h: / = 4аГ4+ , B9.11)
З? Ъх
где ? = б/ [2 B — е)] - параметр, характеризующий степень черноты стен-
стенки: если стенка излучает как абсолютно черное тело, то б = 1 и f = 1/2;
если стенка зеркальна, то е = 0и^=0.
Введем безразмерные переменные. В качестве единицы интенсивности
примем величину 12 оТ3Э. Будем, как обычно, считать, что отклонение
температуры от среднего значения Т мало; поэтому можно линеаризовать
члены, описывающие излучение Стефана — Больцмана. С учетом этого заме-
замечания запишем уравнения B9.8) и условие B9.9) в безразмерной форме
(Т- средняя температура; Т- температура, отсчитываемая от средней):
ЭГ 1 / s \
— + GrvVT = ( AT + - А/M
<>t Pr \ П /
А/ - 3 N2J = -Л^2( Т + 4 Г); B9.12)
f 1/ s Ы\
= ±1: / = - + i-D + ).
3 3 \ N{ эх/
х =
198 ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
Полная задача получается добавлением к B9.12) уравнений движения и
непрерьшности, а также обычных граничных условий для скорости и темпе-
температуры и условия замкнутости потока.
Кроме чисел Грасгофа и Прандтля, задача включает в себя еще четыре
безразмерных параметра, описывающих лучистые свойства среды и ограни-
ограничивающих плоскостей: параметр Планка П = к V &P&R /D оТ3) (мера отно-
отношения теплопроводного потока к лучистому, Т — средняя размерная абсо-
абсолютная температура); оптическую толщину слоя газа N = V otpOiR h; s =
= V olpIolr - параметр несерости среды; наконец, параметр черноты сте-
стенок f.
Переход к обычному случаю конвекции в среде без эффектов излучения
достигается, очевидно, при П -> оо (исчезает лучистая составляющая тепло-
переноса) , либо N^ 0 (излучение поглощается в очень толстом слое и прак-
практически не вызывает объемного тепловыделения) .
2. Основное течение и его устойчивость. Профили скорости, температуры
и интенсивности излучения в режиме основного плоскопараллельного тече-
течения имеют вид
1 С
v0 = - A + Csh6)(x3 — х) + — (xsh5 -sh5x),
Го = -A + Csh5)x + Csh5x, B9.13)
Jo = | +Csh5)x Csh5x,
3 6 s
где обозначено
s
__ 4
с- "-
Ns П/
sh 5 + 3 5 ch 5
Примеры профилей скорости и температуры приведены на рис. 129.
Влияние параметров излучения на форму профиля скорости сравнительно
мало — существенно меняется лишь интенсивность течения. Выраженные по-
пограничные слои отсутствуют, поскольку при больших 5 уменьшается роль
радиационных поправок. Общее представление о зависимости скорости
основного течения от параметров излучения дают графики максимальной
скорости vm на рис. 130. При всех значениях радиационных параметров
эффекты излучения приводят к уменьшению скорости (и, можно думать,
к повышению устойчивости). Уменьшается скорость и по мере увеличения
параметра несерости s. Если этот параметр растет, то увеличивается поток
29. ИЗЛУЧАЮЩАЯ СРЕДА
199
Рис 129 Примеры профилей скорости и температуры (П =0,l,iV= 1). Штрихпунктир-
ные кривые - без излучения. На этом и последующих рисунках: сплошные кривые -
черные границы, штриховые - зеркальные границы
0,0 75
0,050
0,025
\
_
/
^ -"¦*
'"*
/:
2:
f
^--
s=/
/T= /
Л =0,2
Л =0,1
N
О 12 3 4 5
Рис. 130. Максимальная скорость основного течения в зависимости от параметров
излучения: серый газ (s = 1)
тепла от нагретых областей к холодным, что сглаживает температурную
неоднородность в центре слоя.
Зависимость скорости vm от параметра оптической толщины TV немоно-
немонотонна: имеется минимум в области iV порядка единицы. При больших TV
(как и при малых) в пределе наступает переход к кубическому профилю
скоросш и линейному профилю температуры, т.е. радиационные эффекты
исчезают.
При рассмотрении устойчивости основного течения B9.13) будем инте-
интересоваться только плоскими возмущениями, которые, как показано
в [39], наиболее опасны. Краевая задача для амплитуд нормальных
возмущений функции тока <р, температуры в и интенсивности излуче-
200
ния / имеет вид
1 / s \
— (Д0 + -А/)
Рг Ч П /
ГЛ. V. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
А/ - 3N2j + AN2 в = 0;
- М) = -?
B9.14)
=0,
Для решения задачи в работе [39] применялся метод Галеркина.
Вычисления проведены для газа с числом Прандтля Рг = 0,7. При этом зна-
значении Рг неустойчивость в отсутствие эффектов излучения связана с гидро-
гидродинамической модой. Расчеты показали, что при учете эффектов излучения
эта ситуация сохраняется — в обследованной области параметров волновая
неустойчивость отсутствует.
Результаты расчетов для серого газа представлены на рис. 131. Положе-
Положение границы устойчивости, как и следовало ожидать, коррелирует с дан-
данными относительно скорости основного течения на рис. 130: при всех значе-
значениях радиационных параметров устойчивость выше, чем при отсутствии
излучения. С уменьшением числа Планка П и увеличением параметра
несерости s устойчивость возрастает. В области N — 1, как видно, радиа-
радиационные эффекты весьма значительны и могут в несколько раз повысить
критическое число Грасгофа.
Завершая обсуждение вопроса об устойчивости течения в вертикальном
слое, упомянем работу [44], в которой численно (методом сеток) модели-
моделировались вторичные двумерные течения с учетом излучения в вертикальном
слое серого газа.
X хч
* ч
1
1
\
Nn4J
2-
3:
*^ ******
Л
и
л
1
= /
= 0,2
N
Рис. 131. Повышение устойчивости течения в зависимости от параметров излучения;
серый газ (s = 1) . Grw - критическое число Грасгофа, GrWo - критическое число
без излучения
§29. ИЗЛУЧАЮЩАЯ СРЕДА
10
5-Ю* "
201
2-10* -
-Я
Рис. 132. Критическое число Грасгофа в зависимости от угла наклона (Рг = 0,72,
П = 1); серый газ, черные границы. Сплошные кривые - плоские возмущения, штри-
штриховые - спиральные
Обобщение задачи линейной устойчивости течения с учетом излучения на
случай наклонного слоя произведено в работе [40]. Если слой наклонен
к вертикали на угол а < 0 (нагретая граница расположена снизу, см. § 7),
имеет место, как и в отсутствие эффектов излучения, взаимодействие
двух механизмов неустойчивости - гидродинамического и рэлеевского.
При а# < а < 0, где а* зависит от числа Прандтля и всех параметров излу-
излучения, как и в случае вертикальной ориентации слоя, более опасны
плоские возмущения. Если же угол наклона превосходит | а* |, то наибо-
наиболее опасными становятся спиральные возмущения.
Результаты расчета границы устойчивости в зависимости от угла наклона
для фиксированных температур ограничивающих плоскостей представлены
на рис. 132. Обращает на себя внимание сильная зависимость критического
угла а* от параметров излучения: с увеличением N расширяется область
углов, где неустойчивость связана с плоскими возмущениями гидродинами-
гидродинамического типа. Так, при П = 1 по мере увеличения оптической толщины N
от 0 до оо критический угол а* меняется от —18° до —51°. При П = ОД
этот сдвиг происходит еще быстрее, так что при N > 0,5 во всей области
углов (кроме точки а = —90°, где имеет место вырождение) наиболее
опасны плоские возмущения. Это связано с более сильным стабилизирую-
стабилизирующим влиянием излучения на рэлеевский механизм неустойчивости.
В работе [45] рассматривалась задача устойчивости конвективного тече-
течения излучающей среды в вертикальном слое с учетом продольного гра-
градиента температуры и асимметрии лучистых характеристик стенок канала;
приводятся также некоторые результаты численного моделирования
конечно-амплитудного режима.
ГЛАВА VI
КОНВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ
В этой главе заканчивается анализ устойчивости плоскопараллельных
(и близких к ним) конвективных течений. Рассматривается течение в гори-
горизонтальном слое под действием продольного градиента температуры;
его специфика состоит в том, что скорость основного течения перпендику-
перпендикулярна подъемной силе. Далее изучается своеобразное течение, возникающее
в плоском слое в условиях невесомости под действием термовибрацион-
термовибрационного механизма. Наконец, обсуждается устойчивость конвективдых течений
погранслойного типа.
§ 30. Адвективные течения в горизонтальном слое
Своеобразное течение возникает в плоском горизонтальном слое жидко-
жидкости при наличии продольного градиента температуры. Интерес к такого ро-
рода течениям связан с рядом геофизических и технологических приложений.
К ним относятся, в частности, атмосферная циркуляция Хэдли, некоторые
типы движений в океане, коре и мантии Земли, процессы переноса
в мелких водоемах, движение расплава в установках для получения
кристаллов в горизонтальном варианте метода направленной кристаллиза-
кристаллизации (по поводу последней важной проблемы см. [1,2]).
В данном параграфе мы рассмотрим устойчивость плоскопараллельного
адвективного течения для некоторых вариантов условий на горизонталь-
горизонтальных границах слоя.
1. Горизонтальный слой с обеими твердыми границами. Рассмотрим
плоский бесконечный горизонтальный слой жидкости, ограниченный снизу
и сверху твердыми параллельными плоскостями х = ± h. На обеих плоско-
плоскостях задана температура, линейно изменяющаяся с продольной (горизон-
(горизонтальной) координатой z:
х = ±h\ Т = Az. C0.1)
В этом случае возможно стационарное плоскопараллельное течение:
vx = vy = 0, vz=vo(x), To=Az + to(x), po=po(x,z). C0.2)
Из общих уравнений конвекции A.2) —A.4) получим уравнения для рас-
30. АДВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 203
пределений скорости, температуры и давления в режиме C0.2) :
1 Эоп 1 дРа
г0 = Л у0. C0.3)
р дх Р bz
К этим уравнениям добавляются условия прилипания, задания темпера-
температуры на границах, а также замкнутости потока:
н
х = ±h: v0 = 0, т0 = 0; / и0 <** = 0. C0.4)
-Л
Решение задачи C0.3), C0.4) имеет вид [3]
g{tA*hs -Ю(-) +7(—)|, C0.5)
Ро =
Распределение скорости оказывается кубическим, т.е. таким же, как и
в вертикальном слое между нагретыми до разной температуры плоскостя-
плоскостями. Распределение температуры описьюается нечетным полиномом пятой
степени. Хотя в любом вертикальном сечении поперечная разность темпера-
температур между плоскостями отсутствует, само течение приводит к формирова-
формированию возле верхней и нижней границ слоев, внутри которых имеется
потенциально неустойчивая вертикальная стратификация. Течение C0.2),
C0.5) может быть реализовано в средней части протяженного в горизон-
горизонтальном направлении слоя, торцы которого имеют разную температуру,
а горизонтальные границы обладают высокой теплопроводностью.
Следует ожидать, что рассматриваемое течение при больших скоростях
обнаружит неустойчивость гидродинамического типа, связанную с взаимо-
взаимодействием встречных потоков. В то же время наличие вертикальной раз-
разности температур в слоях неустойчивой стратификации (эта разность
пропорциональна А2) может привести к возникновению неустойчивости
рэлеевскоготипа.
В безразмерной форме уравнения возмущений сохраняют вид A.14) -
A-16), где теперь число Грасгофа определено через продольный градиент
температуры Gj = g$Ah*\v2\ единицы выбираются так же, как и в § 1,
с заменой характерной разности температур 0 на Ah. Безразмерные про-
профили запишутся следующим образом:
360
204 ГЛ. VI. ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ
В обсуждаемой проблеме из-за наличия продольного градиента темпера-
температуры не удается получить преобразования, сводящие задачу о простран-
пространственных возмущениях к соответствующей плоской задаче. Поэтому далее
будут рассмотрены два предельных случая — плоские возмущения в виде
валов с осями, перпендикулярными направлению основного потока, и
пространственные спиральные возмущения в виде валов с осями, парал-
параллельными основному потоку.
В общем случае пространственных возмущений все величины пропорцио-
пропорциональны ехр [—Л/ + i{kyy + kzz)]. Для плоских возмущений ку = 0, vy = 0,
kz Ф 0 , и спектральная амплитудная задача принимает вид
(/v - 2 kW + kU) + ikz Gr
- ikz6 = -\<У -
l . C0.7)
— @" - к*в) + ikz Gr (Gr Pr т'#р - vo6) - Gr/ = -X0;
Pr
x = ± 1: ^ = <p' = 0, 6 = 0.
Отличие от амплитудной задачи для течения в вертикальном слое с грани-
границами разной температуры ( § 1) состоит в наличии дополнительного слагае-
слагаемого в уравнении переноса тепла (это слагаемое описывает конвективный
перенос в поле продольного невозмущенного градиента; ср. § 8), а также в
другой структуре подъемной силы, которая теперь перпендикулярна слою.
Кроме того, более сложный вид имеет невозмущенный температурный
профиль.
Для пространственных спиральных возмущений kz - 0, ку Ф 0 и после
исключения vy и р получаем амплитудную задачу:
(vz-k2yvz) -
i C0.8)
(ky6)Gr2?iToVx - Givz = -X0;
x = ±l: vx = v'x = 0, vz = 0, 0 = 0.
Важное отличие этой задачи от амплитудных задач для наклонного слоя
(§7) и вертикального слоя с продольным градиентом (§8) состоит
в том, что теперь присутствуют члены, описывающие взаимодействие спи-
спиральных возмущений с основным потоком. Ввиду нечетности профилей
1>о и г0 задача C0.8) имеет решения двух типов - четные и нечетные пол:.
30. АДВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
205
10
Рис. 133. Критические числа Грасгофа в зависимости от числа Прандтля для разных
мод возмущений (обе твердые границы): 1 - гидродинамическая мода, 2 - плоские
рэлеевские моды, 3 - спиральные рэлеевские моды ( сплошная линия - четная мода,
штриховая - нечетная). Щтрихпунктирная линия - спиральная колебательная мода
поданным [ 83]
Задачи C0.7) и C0.8) решались в работах [4, 5] методом Галеркина.
Основные результаты расчетов представлены на рис. 133.
При малых числах Прандтля неустойчивость обусловлена гидродинами-
гидродинамическим механизмом (неподвижные вихри на границе встречных потоков).
При Рг = 0 критическое число Грасгофа Grm = 495, что, естественно,
совпадает с точкой потери устойчивости изотермического течения с куби-
кубическим профилем. С ростом числа Прандтля имеет место сильная стабилиза-
стабилизация гидродинамической моды, физический механизм которой понятен:
при конечных Рг в области образования вихрей имеется устойчивая темпе-
температурная стратификация, затрудняющая их развитие.
Качественно иную природу имеет неустойчивость, наступающая при уме-
умеренных и больших числах Прандтля. В этой области природа неустойчи-
неустойчивости — рэлеевская; она связана с наличием в потоке потенциально
неустойчивых зон распределения температуры. Формирующиеся в этих зо-
зонах плоские ячеистые возмущения сносятся основным потоком;
возникают две волновые моды, вырожденные по критическому числу.
Одна из них возбуждается в верхней четверти сечения канала и сносится
нагретым потоком влево, другая возбуждается в нижней четверти сечения
и сносится холодным потоком в противоположную сторону. При больших
числах Прандтля критическое число Грасгофа для рэлеевских волновых
М°Д подчиняется асимптотической зависимости Grw = 964/Pr. Критиче-
Критическим параметром, таким образом, является число Рэлея GrmPr, что под-
подтверждает стратификационную природу неустойчивости.
206 ГЛ. VI. ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ 1ИПОВ
Плоские рэлеевские моды, однако, ни при каких Рг не становятся
наиболее опасными. В широкой области чисел Прандтля (Рг > 0,24) наибо-
наиболее опасными среди всех рассмотренных типов возмущений являются
монотонные спиральные возмущения. Спиральные моды, как и плоские вол-
волновые, имеют рэлеевскую природу. Критические числа Грасгофа четной и
нечетной мод близки. При Рг < 2,7 более опасны возмущения четного ти-
типа, при Рг > 2,7 - нечетного. При больших Рг справедлива характерная
для рэлеевского механизма асимптотика Grm = д/Рг; для четной и нечет-
нечетной мод соответственно а = 886 и 879. Заметим, что при Рг -* <х> амплитуд-
амплитудная задача C0.8) может быть упрощена. На границе устойчивости (X = 0)
из двух первых уравнений системы C0.8) следует vx ~ 0, vz ~ Gr vx.
Тогда из третьего уравнения видно, что Gr ~ 1/Рг, и последнее слагаемое
в левой части этого уравнения мало. Система, таким образом, содержит
в качестве параметра устойчивости число Рэлея Ra = Gr Pr, а стабилизи-
стабилизирующее влияние основного течения на спиральную моду исчезает.
Плоские волновые моды, как уже говорилось, также имеют рэлеевскую
природу, однако, в отличие от спиральных мод, основной поток оказывает
на них стабилизирующее действие при всех Рг. С этой точки зрения по-
понятно, почему спиральные возмущения оказываются более опасными.
Анализу спектров декрементов посвящена работа [6].
Остановимся теперь на характеристиках критических возмущений для
разных мод неустойчивости. Собственные функции линейной задачи изуча-
изучались в работе В. М.Мызникова [7].
На гидродинамической моде суммарное движение, образующееся в ре-
результате суперпозиции основного течения и возмущения, имеет, как и
в вертикальном слое (см. § 4), структуру периодической вдоль оси систе-
системы неподвижных вихрей на границе встречных потоков. Критическое вол-
волновое число монотонно уменьшается с ростом числа Прандтля.
Плоские рэлеевские моды характеризуются возмущениями ячеистой
структуры, практически локализованными в верхней или нижней части
слоя. В результате суперпозиции этих возмущений с основным потоком
образуются две встречные волны. Волна с отрицательной фазовой скоро-
скоростью распространяется вдоль верхнего потока; нижний поток практически
не возмущен. Для волны с положительной фазовой скоростью ситуация
обратная. В широкой области чисел Прандтля (от 1,5 до 50) критическое
волновое число кт « 4; соответствующий размер конвективной ячейки
порядка толщины неустойчиво стратифицированного слоя. Фазовая ско-
скорость волновых мод слабо зависит от числа Прандтля: при увеличении
Рг от 0,6 до 50 она монотонно возрастает от 0,67 до 0,86 (в единицах мак-
максимальной скорости основного потока).
На спиральной моде неустойчивости нечетные возмущения имеют струк-
структуру двух расположенных друг над другом вихрей в плоскости (х, у) с
противоположным направлением циркуляции. В случае же четного возму-
возмущения основные вихри имеют одинаковые направления циркуляции, а меж-
между ними образуется слабый согласующий вихрь противоположной цирку-
циркуляции. Центры основных вихрей расположены в зонах неустойчивой стра-
к 30. АДВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 207
тйфикации. В широкой области изменения числа Прандтля критическое
волновое число кт « 4.
Структура вторичных течений изучалась в работе [8] с помощью метода
сеток. Расчеты проведены для чисел Прандтля ОД и 1; моделировались
все три моды неустойчивости. Расчеты подтверждают критические значения
числа Грасгофа, найденные в линейной теории, а также форму критических
возмущений. Вблизи минимумов нейтральных кривых происходит мягкое
ответвление вторичного режима, причем его амплитуда вблизи порога рас-
растет с надкритичностью по корневому закону, а конвективная состав-
составляющая поперечного теплового потока - по линейному закону (ср.
§ 5).
Обсужденную выше задачу ранее решал Харт [9]. Данные о гидродина-
гидродинамической моде неустойчивости при малых числах Прандтля в общем согла-
согласуются с кривой 1 на рис. 133. Что касается границ устойчивости, связан-
связанных с рэлеевскими модами, то здесь имеются качественные различия. По-
видимому, в работе [9] содержатся ошибки. Так, в частности, совершенно
неправдоподобен вывод о том, что при всех Рг наиболее опасны плоские
возмущения, — этот вывод представляется удивительным и самому автору
[9]. В работе [83], появившейся значительно позже, чем [4, 5] обсуждае-
обсуждаемая в этом пункте задача вновь подверглась пересмотру. Результаты, отно-
относящиеся к гидродинамической и рэлеевским модам, полностью подтверж-
подтверждают данные [4, 5], представленные на рис. 133. Кроме того, в [83] обна-
обнаружена еще одна — спиральная колебательная мода неустойчивости с волно-
волновым числом кт % 1. По своей физической природе она связана с возбужде-
возбуждением (за счет энергии основного потока) внутренних волн в слое устойчи-
устойчивой стратификации; волны распространяются в направлениях, перпенди-
перпендикулярных осям спиральных возмущений (т.е. вдоль направлений ±у).
Эта мода наиболее опасна в сравнительно узкой области чисел Прандтля —
от 0,14 до 0,45 (см. рис. 133).
2. Слой со свободной верхней границей. Пусть горизонтальный слой
жидкости имеет нижнюю твердую границу, а верхнюю - свободную; сво-
свободная граница будет считаться плоской. В случае термогравитационной
конвекции учет искривления свободной поверхности вносит в решение
конвективной задачи поправки порядка 00 @ — характерная разность
температур), которые в рамках приближения Буссинеска малы; если же
существенную роль играет термокапиллярный механизм конвекции, то
ситуация становится более сложной и необходим дополнительный ана-
анализ - см. [11,12].
Для нахождения плоскопараллельного течения нужно решать уравнения
C0.3). Условия на нижней (твердой) границе и условие замкнутости
сохраняются. На верхней (свободной) границе задано линейное распреде-
распределение температуры (ЗОЛ) и потому rQ(h) = 0. Пр# записи условия для ско-
скорости учтем наличие на поверхности касательной термокапиллярной силы
Марангони, обусловленной температурной зависимостью коэффициента
поверхностного натяжения о(Т). У большинства жидкостей с ростом тем-
температуры о уменьшается; тангенциальная поверхностная сила направлена
в сторону убывания температуры. Баланс вязкой и термокапиллярной
208 ГЛ. VI. ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ
сил приводит к соотношению
dv0
41ST
do dT0 dTQ
— • —-; —- =А, C0.9)
dT dz dz
где do/dT — постоянный температурный коэффициент.
Выпишем безразмерные профили скорости и температуры плоскопа-
плоскопараллельного течения [3] :
"о = — [Dл:3 - Зх2 - 6х + 1) - 3WCa*2 + 2л: - 1)],
24
го = [Dл*5 - 5л*4 - 20л*3 + Юл*2 + \6х - 5) - C0.10)
- 5\?Cл*4 + 4л*3 - 6л*2 - 4л* + 3)].
Здесь W = (-do/dT)/(pgfih2). Формулы C0.10) описьюают суперпози-
суперпозицию термогравитационного и термокапиллярного течений. Их соотношение
определяется безразмерным параметром W, который может быть записан
в виде W = Mn/Ra, где Mn = (-do/dT)Ah2/(i?x) - число Марангони, Ra =
= g$Ah4/(vx) - число Рэлея. Если W < 1, то преобладает термогравита-
термогравитационная составляющая конвекции; при W > 1 — термокапиллярная. При
0 < W < 1 распределение скорости имеет точку перегиба; положение этой
точки с ростом W смещается в сторону свободной границы и при W > 1
точка перегиба отсутствует.
При исследовании устойчивости относительно плоских возмущений
сохраняются амплитудные уравнения C0.7); остаются неизменными
также условия на нижней границе. На свободной границе поддерживается
линейное распределение температуры; поэтому отсутствует возмущение
термокапиллярной силы и, следовательно, при х = 1: <р = </'= 0, в = 0.
Амплитудные уравнения для спиральных возмущений C0.8) не меняются,
как и условия на нижней границе. На свободной границе при х = 1 имеем
»х = v'x = v'z = 0 = 0.
Задача решалась в работах В.М. Мызникова [13, 14] методами Галерки-
на и Рунге - Кутта с ортогонализацией. Основные результаты представле-
представлены на рис. 134. При W = 0,1, когда преобладает термогравитационная ком-
компонента конвекции, кризис вызывается либо плоской гидродинамической
модой (Рг < 0,075), либо спиральной рэлеевской модой (Рг > 0,075).
Как и в случае обеих твердых границ, гидродинамическая мода с ростом
числа Прандтля стабилизируется. Поскольку, однако, в обсуждаемом слу-
случае распределение скорости не имеет определенной четности, эта мода
не является стоячей - система вихрей дрейфует вместе с верхним потоком
с фазовой скоростью около 0,3 от максимальной скорости на свободной
границе. Гидродинамическая мода имеет относительно длинноволновый
характер: при увеличении Рг от 0,01 до 0,15 критическое волновое число
кт уменьшается от 0,5 до 0,3. При Рг > 0,075 неустойчивость вызывается
монотонной спиральной модой. Эта мода локализована в области неустой-
неустойчивой стратификации вблизи нижней границы.
§ 30. АДВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
рис. 134. Критические числа Грасго- Qr
фа в зависимости от числа Прандт- т
ля для разных мод (нижняя-твер-
(нижняя-твердая , верхняя -свободная границы).
Сплошная линия - гидродинами-
гидродинамическая мода, штриховые линии -
спиральная мода ^з
209
10'
10
Pr
10"
10"
10
С увеличением параметра W наступает стабилизация гидродинамической
моды. При W = 1 она отсутствует при всех Рг (напомним, что эта мода име-
имеет невязкую природу, а при W > 1 на профиле скорости нет точки пере-
перегиба). При W = 1 и 10 при всех Рг неустойчивость вызывается спиральной
модой. При Рг ->°° наступает рэлеевская асимптотика: Grw = я/Pr, где ко-
коэффициент а равен 204, 154 и 49,4 соответственно для W = ОД; 1 и 10.
Критическое волновое число кт вдоль всех кривых спиральной неустой-
неустойчивости слабо меняется с Рг и примерно равно 3,5.
В цитированных работах [13, 14] определены также границы устойчи-
устойчивости относительно плоских рэлеевских возмущений и спиральных воз-
возмущений, развивающихся в верхней неустойчиво стратифицированной
зоне. Эти возмущения являются менее опасными при всех Рг.
Расчет конечно-амплитудных спиральных режимов проведен в [15].
С помощью метода конечных разностей находились решения полных не-
нелинейных уравнений, обладающие периодичностью вдоль оси у с волно-
волновым числом, близким к минимуму нейтральной кривой. Расчеты показа-
показали, что при критическом значении числа Грасгофа от основного течения
мягко ответвляется вторичный режим. По достижении второго .крити-
.критического числа, соответствующего возникновению неустойчивости в верх-
верхнем неустойчиво стратифицированном слое, происходит жесткая пере-
перестройка структуры течения и закона теплопереноса, сопровождающаяся
гистерезисными явлениями.
Заканчивая обсуждение результатов исследования устойчивости адвек-
адвективного течения в слое со свободной верхней границей, заметим, что пре-
предельный случай W -* °° соответствует переходу к термокапиллярному те-
течению, которое в чистом виде может быть реализовано в невесомости;
в земных условиях существенное преобладание термокапиллярной ком-
компоненты конвекции над термогравитационной может иметь место в доста-
210 ГЛ. VI. ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ
точно тонких слоях - см. [3]. В этом предельном случае течение устой-
устойчиво (подчеркнем, что имеется в виду такая ситуация, когда на свободной
границе поддерживается линейное распределение температуры). В самом
деле, гидродинамическая мода отсутствует, поскольку профиль скорости
в этом пределе не имеет точки перегиба; рэлеевской же моды нет из-за
отсутствия термогравитационной силы.
Возможна, однако, более общая постановка задачи устойчивости термо-
термокапиллярного течения, при которой возмущение температуры на поверх-
поверхности отлично от нуля. Такая постановка соответствует теплоотдаче с по-
поверхности по закону Ньютона. При этом для амплитуды возмущения тем-
температуры имеем в' = —Bi# при х = 1. Здесь Bi = dh/к — число Био, d —
коэффициент теплоотдачи (заданной на поверхности температуре отвечает
Bi -> °°). В такой постановке задача устойчивости решалась в работе
Смита и Дэвиса [16]; нижняя твердая граница считалась теплоизо-
теплоизолированной.
"Ослабление" граничного условия для температуры на свободной по-
поверхности вызывает к жизни новый специфический термокапиллярный
механизм неустойчивости. Его природа связана с появлением дополнитель-
дополнительной силы Марангони, обусловленной возмущением температуры на свобод-
свободной поверхности.
Как показывают расчеты [16], в предельном случае Bi = 0 (теплоизо-
(теплоизолированная свободная поверхность) неустойчивость при всех числах
Прандтля вызьшается осциллирующими пространственными возмущения-
возмущениями с конечными значениями волновых чисел kz и ку. Критическое число
Марангони монотонно увеличивается с ростом числа Прандтля (рис. 135);
при Pr -> °° Mnm -> 99,6. Критические возмущения представляют собой
две волны, распространяющиеся под углами ±а к оси z. Угол а зависит от
числа Прандтля. При Рг < 1 возмущения имеют спиральную структуру:
волны распространяются в направлении, перпендикулярном основному
потоку (угол а близок к 90°) . При Рг ->°° возмущения близки к плоским
(а -> 8°). По мере увеличения числа Био устойчивость повышается вплоть
до полной стабилизации при Bi ->о°.
Рассмотрению устойчивости термокапиллярного течения с учетом дефор-
деформации свободной поверхности посвящены работы [17, 18].
3. Другие варианты граничных условий. Еще один вариант задачи рас-
рассмотрен в работе Харта [19], в которой исследовалась устойчивость тече-
течения в горизонтальном слое с теплоизолированными границами; этот слу-
случай представляет особый интерес применительно к адвективным течениям
жидких металлов, обладающих высокой теплопроводностью. Если обе
границы твердые, то следует искать плоскопараллельное течение из урав-
уравнений C0.3), заменив условие для температуры в C0.4) условием тепло-
теплоизоляции го (±Л) = 0. Получающийся при этом профиль скорости совпа-
совпадает с C0.6) , а профиль т0 имеет вид
т0 = (Зх5 - 10х3 + 15х) C0.11)
360
30. АДВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
211
0
Рг
рис. 135, Критическое число Ма-
рангони и угол а в зависимости
от числа Прандтля (термокапил-
(термокапиллярное течение; Bi =0)
Этот профиль существен-
существенно отличается от C0.6) и
C0.10) отсутствием зон по-
потенциально неустойчивой стра-
стратификации (см. рис. 136).
Тем самым, очевидно, исклю-
исключаются моды рэлеевской при-
природы.
Линейная задача устойчи-
устойчивости решалась в работе [19]
методом Галеркина. Нижние уровни неустойчивости изображены на
рис. 136; они соответствуют плоской монотонной гидродинамической
моде и спиральной колебательной моде, которая для слоя с твердыми
границами при числах Прандтля от 0,015 до 0,27 является наиболее опас-
опасной. Эта мода развивается на фоне устойчивой стратификации и связа-
связана с возбуждением внутренних волн.
Для возникновения спиральной колебательной моды неустойчивости
требуется наличие в слое достаточно выраженной зоны устойчивой страти-
стратификации, в которой могли бы развиваться внутренние волны. При этом
факторы подавления, в частности, влияние вязкости у границ, не должны
быть слишком сильными. С этой точки зрения можно ожидать, что разви-
развитию обсуждаемой моды способствуют свободные границы слоя. В самом
деле, в работе Гилла [20] на основе асимптотического анализа амплитуд-
амплитудной задачи в предельном случае малых чисел Прандтля для слоя с обеими
Рис. 136. Критические числа Грас-
гофа в зависимости от числа
Прандтля (слой с обеими тепло-
теплоизолированными границами) : / и
2 - гидродинамическая и спираль-
спиральная колебательная моды для слоя
с обеими твердыми границами,
штриховая линия -
колебательная мода
с нижней твердой
свободной границами
спиральная
для слоя
и верхней
10
212 ГЛ. VI. ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ
свободными идеально теплопроводными границами сделан вьшод о наличии
такого типа неустойчивости.
Колебательный режим возмущений при адвективном течении жидкого
металла наблюдался в экспериментах [21] с жидким галлием и в [19] со
ртутью. В последнем случае специально создавалась установка с достаточ-
достаточной протяженностью слоя вдоль оси у, чтобы сделать возможным распро-
распространение в этом направлении внутренних волн.
Если горизонтальный слой жидкости с заданным продольным градиен-
градиентом температуры подогревается еще и снизу, то появляется дополнитель-
дополнительный фактор неустойчивой стратификации. Вебер [22] рассмотрел предель-
предельный случай малого продольного градиента. В более поздней работе [10]
задача решалась для произвольных значений продольного градиента. Рас-
Рассматривались случаи обеих твердых или свободных границ с заданным
распределением температуры. В зависимости от соотношения параметров
неустойчивость вызывается различными модами, уже обсуждавшимися
в задачах этого параграфа. Из результатов расчетов следует, что в частном
случае отсутствия поперечной разности температур для воды (Рг = 6,7)
наиболее опасными являются пространственные спиральные возмущения.
Этот результат полностью согласуется с данными, приведенными на
рис. 133, и противоречит работе Харта [9].
Подчеркнем, что все рассмотренные в этом параграфе задачи относились
к плоскопараллельным адвективным течениям в бесконечном горизонталь-
горизонтальном слое. В последнее время в связи с проблемой выращивания кристал-
кристаллов (см. [2]) возник большой интерес к исследованию течений в горизон-
горизонтальных слоях конечной длины. Обсуждавшиеся выше плоскопараллель-
плоскопараллельные течения, очевидно, могут реализоваться в средней (удаленной от тор-
торцов) части достаточно длинного слоя. Оценка условий, при которых это
имеет место, может быть получена из требования, чтобы вертикальный
перепад температуры, создаваемый течением, был, скажем, на порядок
меньше заданного продольного перепада (см. [9, 23]). В частности, для
слоя с твердыми теплоизолированными границами на основании C0.11)
можно получить оценку
GrPre<9/2, C0.12)
где е = 2h/L - отношение толщины слоя к его длине. Если критическое
число Грасгофа, определяемое теорией устойчивости для бесконечного
слоя, удовлетворяет требованию C0.12), то результаты этой теории при-
применимы для оценки критерия устойчивости в средней части слоя конечной
длины. Разумеется, следует иметь в виду также, что неустойчивость может
иметь пространственную структуру, и поэтому для ее развития необходи-
необходимо, чтобы слой имел достаточную протяженность в направлений оси у.
Условие C0.12) для своего выполнения при заданном Gr требует длинных
слоев (малое б) и малых чисел Прандтля.
Если условие C0.12) нарушено, то структура течения отличается от
плоскопараллельной; при фиксированном е по мере увеличения числа
Рэлея GrPr течение в слое конечной длины постепенно приобретает характер
замкнутого пограничного слоя, охватывающего малоподвижное ядро с
§ 31. ВИБРАЦИОННОЕ ТЕЧЕНИЕ В НЕВЕСОМОСТИ 213
устойчивой температурной стратификацией. Теоретических исследований
устойчивости такого режима, насколько нам известно, не проводилось.
Эксперименты и численное моделирование (основные результаты и биб-
библиографию можно найти в работах [2, 24—27]) свидетельствуют о том, что
погранслойные течения в обследованной области параметров устойчивы.
В то же время в расчете Харта [28], относящемся к случаю малого числа
Прандтля, моделировалась плоская гидродинамическая мода, а в уже упо-
упоминавшемся эксперименте с ртутью [19] наблюдалась спиральная волно-
волновая неустойчивость.
§ 31. Вибрационно-конвективное течение в невесомости
Как уже указывалось в § 16, в неизотермической жидкости, совершаю-
совершающей вибрации вместе с полостью, действует специфический вибрационный
механизм конвекции. Этот механизм приводит, вообще говоря, к возник-
возникновению осре дне иных течений даже в условиях полной невесомости. При
больших скоростях вибрационно-конвективное течение может потерять
устойчивость. В данном параграфе рассматривается пример такой ситуации.
Бесконечный плоский слой жидкости ограничен твердыми плоскостями
х = ±h. Границы слоя поддерживаются при определенных температурах,
причем имеется как постоянная поперечная разность температур 20, так
и постоянный продольный градиент В вдоль оси z на каждой из ограничи-
ограничивающих пластин:
x = ±h: r=+0+?z. C1.1)
Вся система (пластины и жидкость в слое) совершает высокочастотные
гармонические вибрации в направлении оси z с амплитудой смещения Ъ
и круговой частотой ?2.
Уравнения осредненного вибрационно-конвективного течения в невесо-
невесомости в собственной системе отсчета получаются из соответствующих урав-
уравнений § 16 при отсутствии статического поля тяжести, т.е. при g = 0. Запи-
Запишем эти уравнения и граничные условия в безразмерном виде, приняв
следующие единицы: расстояния /г, времени h2lv, температуры 0, ско-
скорости 0 yfexJv, давления р0 \/ exv/h. Тогда будем иметь
, Эу
' — + Gry(vV)v = -Vp + Av + GryPr(wV) (Tn - и>),
ot
ЪТ 1
—- + GrvvVr = —AT, Tn = w + Vip,
ot Pr
divv = 0, divw = 0; C1.2)
2r2
* = ±1: v = 0, Г=+1+ z, Wv = 0;
Gr.Pr
i l
/ vzdx = 0, f wzdx = 0.
-1 -l
214
ГЛ. VI. ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ
2,254
Рис. 137. Профили скорости (а) и температуры {б) основного течения для разных
значений параметра г
Задача C1.2) содержит следующие безразмерные параметры: вибраци-
вибрационное число Грасгофа Grv *), число Прандтля Рг и параметр продольной
стратификации г\
1/4
= &h
6*.
3
Рг =
_ /eB2h
~ \ 4иХ
Задача допускает стационарное решение, описывающее основной плос-
плоскопараллельный режим вибрационной конвекции [29, 30]. Полагая vx =
= vy=0, vz=v0(x); To = [2r2/(GrwPr)]z+e0(*);
y
= 0, wz = wo(x), получим для функций vо,в0, w0 и ро уравнения:
^+22 ^22
dz
vv0 =
с граничными условиями vo(±l) = О, 9О(±1) =0и условиями замкнутости
для vо и w0. Распределения скорости, температуры и функции w0 таковы:
' chrx • sinrx shrx • cosrx\ В
C1.3)
chr-sinr shr-cosr / \B
chrx • sinrx shrx • cosrx
shr • cosr
A = tgr • cthr + ctgr . thr.
chr • sinr
Профили v0 и 6о представлены на рис. 137. Вблизи нагретой стенки
скорость направлена в сторону продольного градиента температуры. При
') Это определение числа Грасгофа отличается от данного в § 16.
§ 31. ВИБРАЦИОННОЕ ТЕЧЕНИЕ В НЕВЕСОМОСТИ 215
г = 0 имеет место механическое равновесие: v0 = 0. При больших г тече-
течение приобретает характер встречных разомкнутых пограничных слоев.
Максимальная интенсивность течения достигается при г = 2,254.
Перейдем к рассмотрению устойчивости основного течения [31]. Можно
показать, что возмущения спирального типа затухают; поэтому есть осно-
основания думать, что наиболее опасной модой являются плоские возмущения,
у которых vy = 0 и wy = 0. Введем функции тока полей v и w. Для ампли-
амплитуд нормальных возмущений ip, 0, / получим спектральную задачу
A2V + ikGrv(voV-voAy) + 2r2f" +ikGrv?re'0(e -f) = -ХД^,
1 , 2r2
— A6+ikGrv@'Qip-voe) /=-Л0,
Pr Pr
V-»': <3'4)
jc = ±1: <p = v>' = 0, в = 0, /=0.
Задача решалась численно методом Рунге - Кутта - Мерсона с пошаго-
пошаговой ортогонализацией. Предельный счучай г = 0 (отсутствует продольный
градиент температуры) соответствует, как уже говорилось, равновесной
ситуации в плоском слое с поперечной разностью температур и продольной
осью вибрации. Устойчивость такого механического квазиравновесия уже
обсуждалась в § 16. Это равновесие теряет устойчивость при критическом
значении вибрационного числа Рэлея Rav = Gi^Pr; при этом возникает
вибрационная конвекция в виде периодической системы конвективных ва-
валов. На основном уровне неустойчивости критические параметры таковы:
Gruw = 11,54/Рг — минимизированное по к критическое число Грасгофа;
кт = 1,61 - критическое волновое число.
В предельном случае малых г неустойчивость сохраняет статическую
природу; слабое движение жидкости приводит лишь к незначительному
сдвигу критических параметров. По мере увеличения г, однако, происхо-
происходят смены форм неустойчивости в связи q развитием новых механизмов —
гидродинамического, обусловленного образованием вихрей на границе
встречных потоков, и волнового, связанного с нарастанием температурных
волн. При этом происходит сложная перестройка спектров возмущений
и структуры нейтральных кривых; существенную роль в этом процессе
играет значение числа Прандтля.
Итоговая зависимость минимального числа Грасгофа от г для малых
чисел Прандтля приведена на рис. 138. В области малых г имеется рас-
расслоение кривых семейства по параметру Рг. Это связано с тем, что при
малых г имеет место, собственно, неустойчивость равновесия и парамет-
параметром, определяющим границу устойчивости, служит число Рэлея Ra^, т.е.
^Yvm ~ 1/Рг. В области "умеренных" г ~ 1— 2 кривые семейства сбли-
сближаются, т.е. определяющим параметром становится Gruw, что отражает
гидродинамическую природу неустойчивости. В области г ~ 2,3—2,4
наступает резкая стабилизация монотонной гидродинамической моды и,
наконец, при больших г неустойчивость связана с волновой модой.
216
ГЛ. VI. ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ
1500
WOO
500
1
w
\ \
\ \
\1
\l
\l
\l
\\
\ \\
\ w
\ w
\ \\
^ \
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
i
i
\
V
I
\
\
\
\
\
Oi
r
Рис. 138. Границы устойчивости для стационарной моды (сплошные кривые) и волно-
волновой моды (штриховая кривая) при малых числах Прандтля
16
—
/
I
А
/
/
/
/
/
/
/
/
/
РГ-*оо
~Vr=10
Рис. 139. Границы стационарной и волновой неустойчивости при больших числах
Прандтля
§ 32. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 217
Результаты аналогичных расчетов для Рг = 10 представлены на рис. 139.
Интересно отметить, что при больших Рг определяющим параметром снова
становится число Рэлея, т.е. имеет место асимптотика вида Gruw ~ 1/Рг.
В этой предельной области исходная амплитудная задача C1.4) может
быть упрощена. Положим Рг -> °°, GryPr = const и введем перенормиро-
перенормированный (конечный) декремент \ = ХРг. Отбрасывая в первом из уравне-
уравнений малые члены, придем к асимптотической амплитудной задаче
Д/=0'
с прежними граничными условиями. Как видно, определяющим парамет-
параметром становится Rav.
Зависимость минимального критического числа Рэлея Raym от продоль-
продольного градиента для наиболее опасных возмущений представлена на рис. 139.
Как и при малых числах Прандтля, по мере увеличения г наблюдается пе-
переход от монотонной моды, резко стабилизирующейся при г « 2, к вол-
волновой. Фазовая скорость критических волновых возмущений близка к
максимальной скорости основного (пристенного) течения, что характерно
для неустойчивости типа нарастающих температурных волн.
§ 32. Конвективные пограничные слои
В заключение этой главы рассмотрим устойчивость конвективных тече-
течений погранслойного типа. Обратимся прежде всего к течению возле верти-
вертикальной полубесконечной изотермической пластины. При достаточно боль-
большой разности температур пластины и жидкости, как известно, формиру-
формируется польгаузеновский пограничный слой.
Найдем сначала основное стационарное течение. Выберем начало коор-
координат на нижней кромке пластины и направим ось z вдоль пластины верти-
вертикально вверх, а ось х — по нормали к пластине. Уравнения плоского кон-
конвективного течения в приближении пограничного слоя [32, 33] тогда за-
запишутся так:
bvz bvz b2vz dvx bvz
vx — + vz = v—r- + g&T, —^ + —- = 0,
Эх z dz Ъх2 Эх bz
ЪТ ЬТ Ь2Т C2Л)
На пластине исчезают обе компоненты скорости, а температура предпо-
предполагается заданной и однородной; вдали от пластины жидкость покоится
и поддерживается при однородной температуре, принимаемой за начало
отсчета. Таким образом, имеем
* = 0: п =п =0, Г=0;
* C2.2)
*-»«>: v^0 Г>0
218
ГЛ. VI. ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ
Преобразование подобия позволяет свести задачу к системе обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений. Введем безразмерную переменную
подобия т] = Cx/zll* и запишем функцию тока ф0 и температуру То основ-
основного течения в виде
ф0 = 4XCz3/4/(t?), Го = 0т(т?) , C2.3)
где С =
, а функции /(??) и т (rf) характеризуют распределения
скорости и температуры. Компоненты скорости выражаются через /(т?)
следующим образом (штрих означает дифференцирование по т?) :
-_ ^1
V°x " bz
Ъфо
Ъх
Подставляя C2.3) и C2.4) в исходные уравнения C2.1), получим
систему обыкновенных нелинейных уравнений для функций /иг:
—
Рг
Граничные условия вытекают из C2.2) :
т? = 0: / = /' = 0, т=1;
т?-^00: /'-^0, г->0.
C2.5)
C2.6)
Система C2.5) с граничными условиями C2.6) интегрировалась при
помощи различных приближенных методов и численно в ряде работ. Про-
Профили скорости и температуры изображены на рис. 140. Из решения, в част-
частности, можно найти максимальную продольную скорость vm и толщину
пограничного слоя 5 (последняя определяется как расстояние от пластины.
f
016
one
ко
0,6
0,2
0
\
/
/
/
/
1
f
\
\
\
\
f
\
\
\
* —
- —
0,8
2,4
3,2
Рис. 140. Профили скорости и температуры в пограничном слое у вертикальной изо-
изотермической пластины (Рг = 1)
32. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
219
Таблица 6. Параметры пограничного слоя возле вертикальной изотермической
пластины
Рг
од
0,3
0,733
1
1,5
fm
0,137
0,190
0,235
0,251
0,271
У
6,65 2
5,57 3,5
5,22 5
5,40 7
5,90 10
fm
0,287
0,315
0,332
0,34а
0,364
6,49
8,11
9,46
11,01
12,85
на котором продольная скорость составляет 0,01 vm). Из C2.4) находим
_ AvC2f' 7ll2 fi = — 71 7 Х/4 С\1 1Л
Здесь /^ - максимальное значение /Ч7?) » а ^6» согласно определению тол-
толщины пограничного слоя, находится из условия /'' (щ) =O,Qlf'm. Из C2.7)
видно, что толщина пограничного слоя и скорость растут с высотой по
законам 5 ~ z1/4
Параметры решения /^ и т?§ для некото-
некоторых значений числа Прандтля приведены в табл. 6 1) .
В качестве характеристики интенсивности основного течения можно
ввести число Грасгофа Gr§ = gfiSd3/v2 = DСт?§/Рг)г3/'4. Поскольку число
Грасгофа растет с вертикальной координатой, можно ожидать, что на
достаточно большой высоте основное течение потеряет устойчивость.
Приступая к постановке задачи устойчивости и полагая, что в случае
пограничного слоя на вертикальной пластине наиболее опасны плоские
возмущения, запишем уравнения малых возмущений в переменных функ-
функция тока - температура. При этом необходимо учесть два обстоятельства.
Прежде всего основное течение не является плоскопараллельным: попереч-
поперечная компонента скорости vOx отлична от нуля и обе компоненты невозму-
невозмущенной скорости, а также невозмущенная температура зависят от продоль-
продольной координаты z.
Далее, рассматривая устойчивость пограничного слоя, мы записываем
Уравнения возмущений в общем виде, не предполагая заранее погранслой-
ной структуры возмущений. После линеаризации около основного реше-
решения получим (ср. с системой A.20), A.21) для возмущений плоскопа-
плоскопараллельного течения):
ЪАф
Эг
= ^AAi// +
: Ъх
ЪТ
Ъх
ЪТ
ЪАф
Ъх2
Ъф
Ъх
Ъх2
Ъф
Ъх
C2.8)
ЪТ ЪТ0 Ъф ЪТ0 Ъф
Ъх
Ъг
Ъх Ъг
Ъх Ъг Ъх Ъг
Здесь Д - лапласиан в переменных (jc, z)
Ъг Ъх
*' Таблица содержит уточненные значения работы [34] и дополнительные данные
тя Других Рг.
220 ГЛ. VI. ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ
Поскольку коэффициенты системы C2.8) зависят от продольной коор-
координаты, обычный метод нормальных возмущений, гармонически завися-
зависящих от z, не может быть применен. Однако для устойчивости пограничного
слоя характерно, что длины волн наиболее опасных возмущений имеют по-
порядок толщины пограничного слоя, и, стало быть, малы по сравнению с ха-
характерным масштабом, на протяжении которого существенно меняются
скорость и температура основного течения. Это дает основание применить
процедуру "замораживания" — считать продольную координату z, входя-
входящую в профили скорости и температуры основного течения, медленно
меняющимся параметром. При таком подходе можно рассматривать "ква-
"квазинормальные" возмущения в виде локально-плоских волн. Система C2.8)
тогда приводит к амплитудной задаче, коэффициенты которой содержат
"медленную" продольную координату z в качестве параметра.
Запишем амплитудные уравнения в безразмерном виде:
fl'+ —
Pr
г(р/) {(/?/) ?У} =-Х0 C2.9)
Pr Pr
Здесь Gr = ^Gi^/Pr3I^4, где Grz = gf5@z3/v2 - локальное число
Грасгофа, определенное через перепад температур 0 и расстояние z от
нижнего края пластины. Единицами функции тока, температуры, волно-
волнового числа и декремента служат соответственно величины: pGt, 0,
GrPr/Dz) = щ/д и (GrPr/4H>/z2) = vliylb2). Штрихи обозначают диф-
дифференцирование по координате подобия т?. К амплитудным уравнениям
C2.9) добавляются обычные граничные условия:
4 = 0:W-о, * = о; C2
77-х»: (ф9у , 0)->О.
В первых теоретических работах по устойчивости конвективного погра-
пограничного слоя (основные из них [34—36]) применялся упрощенный под-
подход. Прежде всего использовалось так называемое "параллельное" прибли-
приближение, согласно которому задача устойчивости ставится так же, как в слу-
случае плоскопараллельного течения, т.е. полностью пренебрегается лопереч-
ной составляющей скорости основного течения vQx. Кроме того, в цитиро-
цитированных работах задача решается в чисто гидродинамической постановке,
при которой, как уже неоднократно говорилось, не учитывается слагаемое
с возмущением температуры в уравнении движения, а уравнение переноса
тепла не рассматривается вовсе.
В работе Шевчика [35] была сделана попытка решить задачу асимпто-
асимптотическим методом Толлмина - Линя. Значительно более эффективным
32. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
221
оказался численный метод, примененный в работах Курца и Крэндалла
ГЗб] и Спэрроу, Тсоу и Курца [34]. Уравнение Орра — Зоммерфельда
интегрировалось численно при помощи метода конечных разностей. В ито-
итоге определены параметры неустойчивости и форма критических возму-
тцений. По данным работы [36] дня Рг = 0,733 минимальное критическое
число Грасгофа оказалось равным Gxzm = 1,93 • 106; критическое волно-
волновое число кт = 0,42. Продолжение расчетов для других чисел Прандтля
[34] показало, что с ростом Рг критическое число Grzw возрастает.
Учет тепловых факторов в рамках "параллельного" приближения был
проведен в работе Нахтсгейма [37]. Численно (методом конечных раз-
разностей) решалась спектральная задача для амплитуд возмущений функции
тока и температуры при числах Прандтля Рг = 0,733 (воздух) и 6,7 (вода) .
Амплитудные уравнения получаются из C2.9) отбрасыванием в обоих
уравнениях членов в фигурных скобках. Расчет показал, что уже при Рг =
= 0,733 учет тепловых факторов оказывается существенным в области
длинноволновых возмущений и приводит к понижению устойчивости
(рис. 141, а; ср. § 25).
Приближенный учет непараллельности основного течения впервые про-
проведен в работах Хааланда и Спэрроу [38, 39]. В этих работах получены
амплитудные уравнения C2.9), соответствующие "непараллельному"
приближению, и проведены расчеты методом пошагового интегрирования.
Нейтральные кривые, полученные в разных подходах, изображены на
рис. 141. Как видно, учет непараллельности основного течения приводит
к значительному увеличению минимального критического числа Грасгофа
Grzm (почти в пять раз для Рг = 0,733) .
Соотношение между "параллельным" и "непараллельным" приближе-
приближениями можно понять из сравнения поперечной и продольной скоростей
п 5
ис- 141. Нейтральные кривые устойчивости пограничного слоя у вертикальной изо-
изотермической пластины: а) Рг = 0,733, б) Рг = 6,7. Штрихпунктирная линия - гидроди-
амический подход, "параллельное" приближение [36]; штриховые линии - "парал-
ельное" приближение с учетом тепловых факторов [ 37 ]; сплошные линии - "непарал-
ельное" приближение с учетом тепловых факторов [ 39 ]
222 ГЛ. VI. ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ
в пограничном слое. Как видно из C2.4), vOxlvOz ~ (PrG^)/4. Отсюда
ясно, что эффекты непараллельности несущественны при больших Рг и Grz ,
т.е., например, на ветвях нейтральных кривых в области больших Grz ;
вблизи минимума различие может оказаться (и, как показывают расчеты,
действительно оказывается) весьма существенным.
Подробные теоретические результаты получены в задаче устойчивости
пограничного слоя на пол у бесконечной изотермической пластине, накло-
наклоненной к вертикали на произвольный угол а (имеется в виду случай, когда
холодная жидкость находится над нагретой пластиной) .
При определении основного течения в наклонном конвективном погра-
пограничном слое важно учесть наличие поперечной составляющей подъемной
силы, которая приводит к появлению продольного градиента давления.
Течение, таким образом, вызывается как продольной компонентой подъем-
подъемной силы, так и продольным градиентом давления, вследствие чего при
произвольном угле наклона автомодельное решение уравнений погранич-
пограничного слоя отсутствует. В предельном случае горизонтальной ориентации
пластины (а = 90°) подъемная сила перпендикулярна слою и течение вы-
вызывается только одной причиной — продольным градиентом давления
В этом случае имеется автомодельное решение (см. [40, 41]) для погранич-
пограничного слоя, структура которого отличается от описываемой' формулами
C2.3), C2.4), а именно, в этом слое продольная компонента скорости
и толщина слоя возрастают с увеличением продольной координаты по зако-
законам v Oz ~z1/'5, б ~ z2/5, а поперечная компонента убывает: vOx ~ z~2//5.
Исследование устойчивости наклонного пограничного слоя производи-
производилось в ряде работ. Последовательное решение задачи об основном течении
и его устойчивости для произвольных углов наклона на основе "непарал-
"непараллельного" подхода Хааланда и Спэрроу получено в работах Чженя и Цуу
[42] и Цуу, Чженя и Армали [43]. Как и в случае течения в наклонном
слое между нагретыми до разной температуры границами (§7), можно
думать, что форма неустойчивости в наклонном пограничном слое опре-
определяется конкуренцией двух мод — плоской и спиральной. Именно эти
моды и исследовались в цитированных работах. Уравнения основного те-
течения решались методом конечных разностей, а амплитудные уравнения —
методом Рунге - Кутта с ортогонализацией. Результаты представлены на
рис. 142. Наклон слоя к вертикали существенно дестабилизирует течение.
Так, при изменении а от 0° до 90° критическое число Грасгофа Grzm пло-
плоской моды уменьшается от 1,245 • 106 до 510 (Рг = 0,7) и от 8,02 • 104
до 24 (Рг = 7). Критическое число Gvzm спиральной моды уменьшается
с ростом а от бесконечности; при а. = 90° имеем Grzm = 340 и 22 для Рг =
= 0,7 и 7. Столь сильная дестабилизация обусловлена действием-стратифи-
действием-стратификационного механизма. Заметим, что, в отличие от слоя между двумя твер-
твердыми плоскостями, предел а ->• 90° соответствует не равновесию, а течению
в пограничном слое на горизонтальной пластине. При малых углах наклона
к вертикали наиболее опасна плоская мода; с ростом угла происходит пе-
переход к спиральной моде. Для Рг = 0,7 критический угол а* = 22°; для
Рг = 7 имеем а* = 50° (в последнем случае в области ос> а* границы устой-
устойчивости обеих мод близки и в масштабе рисунка неразличимы) .
§
32. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
223
Эксперименты по наблюдению неустойчивости течения воды около
нагретой наклонной пластины [44, 45] подтверждают качественный вывод
теории относительно смены формы неустойчивости по мере увеличения
угла наклона. Количественного согласия результатов линейной теории и
эксперимента нет. Так, согласно экспериментам, переход наступает при
угле наклона в пределах от 14° до 17°, тогда как теоретическое значение
а =50°. Критические числа Грасгофа, определяемые в эксперименте,
на 2-3 порядка выше теоретических. Нет удовлетворительного согласия
и для воздуха (эксперименты описаны в работах [46, 47]). Возможно,
значительное отличие связано с тем обстоятельством, что в экспериментах
фиксируется возмущение, уже развившееся до амплитуды некоторого ко-
конечного уровня (см. [41]).
Выше рассматривался пограничный слой возле изотермической пласти-
пластины. Аналогично может быть поставлена задача устойчивости пограничного
слоя возле вертикальной пластины с заданным на ней однородным тепло-
тепловым потоком. Задача о стационарном течении в этом случае допускает
преобразование подобия (см. [48]). Толщина пограничного слоя, про дол ь-
ная и поперечная скорости и температура на стенке изменяются с высотой:
5 1/5 s>^ т 3 / 5 . ^^ _ — 1/5 гг1 ^^ г+1 / Ь
/00 -
60
Рис. 142. Минимальное критическое число Грасгофа в зависимости от угла наклона
Пластины. Сплошные линии - плоские возмущения, штриховые линии - спиральные
^с- 143. Нейтральная кривая пограничного слоя у вертикальной пластины с заданным
тепловым потоком. Штрихпунктирная линия - гидродинамический подход ([49],
Рг = 0,72); штриховая линия -расчете учетом тепловых факторов ([50]; Рг =0,733,
в @) = о); точки - эксперимент [53 ]
224 ГЛ. VI. ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ТИПОВ
Задача устойчивости такого пограничного слоя решалась численно в
работе Полимеропулоса и Гебхарта [49] в гидродинамической постановке
и в работе Ноулза и Гебхарта [50] — с учетом тепловых факторов, но в
рамках "параллельного" приближения. Использовался численный метод
[37] .В [50] предполагалось, что возмущения температуры могут приво-
приводить к изменению теплового потока на стенке; поэтому для возмущений
температуры ставилось граничное условие в виде линейного закона тепло-
передачи в*@) = Ь0(О), хотя основное течение соответствовало заданному
теплопотоку на пластине. Коэффициент Ъ определяется относительной
теплоемкостью жидкости и пластины и поперечной теплопроводностью
пластины. На рис. 143 представлены нейтральные кривые по результатам
расчетов [49, 50] в координатах (к*, Gr*), где Gr* = 5(g$qz*lEKv2^)lls
(q - плотность теплового потока, к - теплопроводность жидкости) , а к* -
безразмерное волновое число в единицах Gr*/Ez). Как и в случае изо-
изотермической пластины, учет тепловых факторов приводит к понижению
устойчивости в области длинноволновых возмущений.
Систематические расчеты в широкой области значений числа Прандтля
(от 0,01 до 100) в рамках "параллельного" приближения проведены в
работе [51]. С увеличением числа Прандтля на нейтральной кривой обра-
образуется замкнутая петля и можно с определенностью говорить о наличии
двух мод неустойчивости — гидродинамической и температурно-волновой,
причем последняя становится наиболее опасной (ситуация аналогична
описанной в § 25). В случае граничного условия 0@) =0 (это условие
отвечает очень большой теплоемкости пластины) минимальное критиче-
критическое число Грасгофа Gr^ зависит от Рг немонотонно: с ростом Рг оно
сначала медленно уменьшается, достигая минимума при Рг « 25, а затем
увеличивается. При больших Рг, как показывает анализ [52], имеет место
асимптотика Gr^ « 65Pr3^10, не зависящая от параметра относительной
теплоемкости Ъ.
Экспериментальное изучение устойчивости пограничного слоя в газе
(сжатый азот) у вертикальной пластины с постоянным теплопотоком про-
проводилось в [53]. Возмущения вносились искусственно по методике Шу-
бауэра и Скрэмстеда. Источником возмущений служила горизонтальная
узкая лента, расположенная в пограничном слое параллельно поверхности
пластины и совершавшая поперечные колебания заданной частоты. На
рис. 144 приведены интерферограммы затухающих и нарастающих вниз
по потоку возмущений1). Экспериментальные значения нейтральных ха-
характеристик нанесены на рис. 143. Имеется удовлетворительное согласие
экспериментальных результатов с теорией, учитывающей влияние тепло-
тепловых факторов в рамках "параллельного" приближения.
1) Экспериментальная методика связана с наблюдением пространственного зату-
затухания или нарастания возмущений заданной частоты. Поэтому при формулировке ли-
линейной задачи устойчивости удобнее считать декремент чисто мнимым, \ = fu>, где о> -
частота, а волновое число - комплексным, к - kr + ikf. Нейтральный режим тогда
определяется условием к{ = 0, а нейтральная кривая может быть представлена в коор-
координатах (to, Gr*) или (kr, Gr*). Нейтральные кривые на рис. 143 соответствуют
второму способу представления.
32. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
225
Рис. 144. Интерферограммы пограничного слоя в сжатом азоте возле вертикальной
пластины [53]: а) растущие возмущения (Gr* = 306, A:* = 0,35), б) затухающие возму-
возмущения (Gr*= 306, ?*= 1,56)
Теоретическое и экспериментальное изучение возмущений в погранич-
пограничном слое возле пластины с заданным теплопотоком продолжено в ряде
работ (см. обзорные статьи Гебхарта [54, 55]). Расчет границы устойчи-
устойчивости конвективного пограничного слоя возле пластины с произвольным
углом наклона к вертикали и заданным тепловым потоком проведен в
рамках "непараллельного" подхода в работе [84]; результаты в общем
аналогичны полученным в [42,43] для изотермической пластины.
Проблема устойчивости возникает не только в случае пограничного
слоя вблизи поверхности теплообмена. Неустойчивость обнаруживают
также свободные восходящие конвективные струи над источниками тепла;
если мощность тепловыделения достаточно велика, то такие течения также
имеют погранслойный характер.
Относителтзно более подробно изучена устойчивость двумерной свобод-
ноконвективной струи над горизонтальным линейным источником тепла
(горизонтальная нагретая нить). Исследование основного течения восхо-
восходит к работе Я .Б. Зельдовича [56], указавшего в этой задаче автомодель-
автомодельное преобразование. Согласно этому преобразованию продольная и попе-
поперечная компоненты скорости, толщина струи и температура на оси изме-
изменяются с вертикальной координатой следующим образом: vOz ^z1^5,
v0x ~* z~~2f5, д ~ z2/5, Too ~ z~~3fs (температура вдали от струи прини-
принимается за начало отсчета). Численное интегрирование обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений, определяющих структуру автомодельной струи,
проводилось в ряде работ (см. [57, 58]).
^Для характеристики интенсивности течения можно ввести параметр
Gr = F4GrzI^4, где Grz =gpTooz3/v2 - локальное число Грасгофа. После
226 ГЛ. VI. ТЕЧЕНИЯ ДРУГИХ ГИПОВ
подстановки Тоо получим
\IPtkv2 *
Здесь Q — линейная мощность тепловыделения, / — постоянная, определяе-
определяемая решением автомодельных уравнений (/ = 1,245 для Рг = 0,7).
Первое исследование устойчивости проведено в работе Пера и Гебхар-
та [59] на основе "параллельного" приближения. Вычислительные труд-
трудности не позволили авторам получить длинноволновую ветвь нейтральной
кривой и определить положение минимума на ней. Эти трудности не уда-
удалось вполне преодолеть и в более поздней работе [60], где, однако, были
построены ветви изолиний постоянного усиления и затухания нормальных
возмущений. Положение этих линий свидетельствует о том, "то минимум
нейтральной кривой находится в области малых Gr и к, где отмечается
плохая сходимость численного метода. Данные работы [60J позволяют,
тем не менее, оценить критическое число Grm ^3 для Рг = 0,7.
В работе Хааланда и Спэрроу [38] устойчивость плоской конвективной
струи была исследована на основе "непараллельного" приближения. Расче-
Расчеты, проведенные для Рг = 0,7 и 6,7, позволили получить^нейтральные кри-
кривые с минимумом; минимальное критическое число Grm - 12. Низкое
значение числа Грасгофа заставляет с осторожностью относиться к описа-
описанию основного течения при помощи уравнений пограничного слоя. По этой
причине Хибер и Нэш [61] провели исследование устойчивости с учетом
"непараллельности" в более высоком приближении теории пограничного
слоя. Расчет для Рг = 0,7 привел к увеличению Grm примерно в полтора
раза по сравнению с результатами [38].
Надежные экспериментальные определения критического числа Грас-
Грасгофа для плоской струи отсутствуют; одна из причин состоит в малости
коэффициента усиления возмущений вблизи порога. Поэтому в экспери-
экспериментах (см. [41, 60, 62, 63]) обычно изучаются свойства возмущений -
их форма, частотные характеристики и пр. — в области более или менее
развитой неустойчивости, а также закономерности перехода к турбулент-
турбулентности.
Мы не останавливаемся здесь на обсуждении влияния различных ослож-
осложняющих факторов на устойчивость конвективных течений погранслойно-
го типа. Ограничимся лишь перечислением некоторых из этих факторов и
указанием основных работ, в которых можно найти библиографию. Ис-
Исследованию устойчивости течений при наличии вертикальной стратифика-
стратификации жидкости посвящены работы [64—66]. Неустойчивость комбиниро-
комбинированных (свободных и вынужденных) течений изучалась в [67—69]. Влия-
Влияние кривизны вертикальной поверхности рассматривалось в [70] на приме-
примере конвективного пограничного слоя на вертикальном цилиндре. Эффекты
неоднородности состава (бинарная смесь) обсуждались в [71]. Особеннос-
Особенности возникновения неустойчивости течения воды с учетом инверсии тепло-
теплового расширения послужили предметом рассмотрения в работе [72]. В
[73] изучалась устойчивость пограничного слоя конвективной фильтра-
о 32. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 227
ции в пористой среде. Наконец, укажем на работы, посвященные устойчи-
устойчивости плоской пристенной конвективной струи [74] и осесимметричной
струи над точечным источником тепла [75, 76].
Выше речь шла об устойчивости конвективных погранслойных тече-
течений в неограниченном объеме. Особую (и притом значительно более слож-
сложную) проблему составляет задача устойчивости замкнутого конвективно-
конвективного пограничного слоя, который возникает в полости при больших разнос-
разностях температур. Как показывает эксперимент [77, 78] и численное моде-
моделирование [79], при больших числах Грасгофа конвективное течение при-
приобретает асимптотический характер: образуется замкнутый пограничный
слой возле границ, охватывающий практически неподвижное устойчиво
стратифицированное ядро. Сведения об устойчивости такого пограничного
слоя и ядра к настоящему времени получены экспериментальными или чис-
численными методами.
Г.Ф. Шайдуров [77, 78] и В.Д. Зимин [80] с помощью оптических мето-
методов исследовали устойчивость замкнутого пограничного слоя в горизон-
горизонтальном цилиндре и обнаружили, что при наступлении неустойчивости воз-
возникают бегущие вдоль слоя волновые возмущения.
В работе [79] при численном решении нелинейных уравнений плоского
конвективного течения в полости квадратного сечения, подогреваемого
сбоку, обнаружены при числах Грасгофа Gr ^ 4 • 105 (Рг = 1; число Грас-
Грасгофа определено по разности температур границ и стороне квадрата) перио-
периодически возникающие и распространяющиеся вдоль пограничного слоя
волны. Параллельное экспериментальное и численное исследование устой-
устойчивости замкнутого пограничного слоя в квадратной полости, заполненной
воздухом (Рг = 0,70), при боковом нагреве проведено в [81]. Расчеты
дали критическое значение Gr = 2,7 • 106; физический эксперимент при-
привел к значению 3,6 • 106. Согласие следует признать удовлетворительным.
В.Д. Зимин и В.Г. Шайдуров [82] в экспериментах с водой в прямо-
прямоугольной полости изучали неустойчивость конвективного пограничного
слоя и ядра при комбинированном боковом и вертикальном нагреве В
обследованной области параметров выделены три режима — устойчивый
стационарный, волновые возмущения в замкнутом пограничном слое и
режим турбулизованного ядра, обусловленный неустойчивой стратифи-
стратификацией.
ГЛАВА VII
ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Неустойчивость стационарных плоскопараллельных течений, изучав-
изучавшаяся в предыдущих главах, приводит к формированию вторичных ре-
режимов, характерной чертой которых является неединственность, обус-
обусловленная нелинейностью задачи. Отбор физически реализуемых движений,
а также изучение дальнейших этапов ламинарно-турбулентного перехо-
перехода требуют исследования устойчивости вторичных течений.
В настоящей главе анализируются общие свойства вторичных течений
в припороговой области, изучение которых существенно облегчается при-
применением метода амплитудных функций [1, 2]. Далее рассмотрены конк-
конкретные вторичные конвективные течения, развивающиеся в вертикаль-
вертикальном и горизонтальном плоских слоях. Изучается воздействие простран-
пространственно-периодической неоднородности граничных условий на структуру
и устойчивость вторичных движений. Последний параграф содержит об-
обзор результатов исследований устойчивости конвективных течений в замк-
замкнутых полостях.
§ 33. Метод амплитудных функций
1. Конвекция в цилиндрических полостях. Начнем с задачи о конвек-
конвекции в бесконечной цилиндрической полости (рис. 145). Единичные векторы
осей х, у, z обозначим ех, еу, ez; у = sin а • ех + cos о: • ez. Ha твердой гра-
границе полости Г задано распределение температуры Т = 0ГГ (х, у) - Az
@ — характерная неоднородность температуры). Допускается возмож-
возможность тепловыделения, мощность которого qff(x, у) не зависит от z. Поля
температуры и давления в жидкости запишем в виде
— _/cosa „ \
T=T'-Az, p=p' + pgPA( z2 - sin a- xz j ; C3.1)
в дальнейшем штрихи опускаем. В качестве единиц длины, времени, ско-
скорости, температуры и давления в этом параграфе выберем соответственно
h, h2/v, v/h, 0, pv2/h2, где h — характерный поперечный размер цилиндра.
В безразмерных переменных с учетом C3.1) получим краевую
« 33. МЕТОД АМПЛИТУДНЫХ ФУНКЦИЙ
риС 145. Цилиндрическая полость.
Оси координат
229
задачу:
—1 +(vV)v = —Vp + Av +
dt
+ Gr Гу + Gr Л sin о: • xez,
дТ 1
— +vVT= —АГ + Ли2 + <?/,
ЭГ Pr
divv = 0; C3.2)
наГ: v = 0, T=Tr(x,y). C3.3)
Здесь q = qh2/(pcpv®), Gr =
(Gr — число Грасгофа, определенное по поперечной разности темпера-
температуры, А — безразмерный продольный градиент). При z -*• ±°° ставится ус-
условие ограниченности функций v, Г, Vp; предполагается заданным
потоком жидкости вдочь цилиндра: Re = fvz(x, y)dxdy, где S — сече-
s
ние, Re — число Рейнольдса.
Поскольку z не входит явно в задачу, она может обладать однородным
по z решением Uo = (v0, То,р0) вида
v0 = wo(xt y)ez + v10 (x, у), v10 ez = 0;
C3.4)
В общем случае все компоненты скорости отличны от нуля (спираль-
(спиральное течение). Параллельное течение (v10 = 0) может реализоваться в вер-
вертикальном цилиндре, а также при специальном способе подогрева, обеспе-
обеспечивающем выполнение условия То = То (х) во всей области. В горизон-
горизонтальном цилиндре при А = Re = 0 имеет место двумерное течение в плос-
плоскости (х, у). Механическое равновесие возможно при q = Re = 0, если пол-
полный градиент температуры вертикален.
Уравнения возмущений получаются путем линеаризации задачи вблизи
^ = Uo. Введем нормальные возмущения
U = и (х, у) ехр (- Xf + ikz\ C3.5)
где и = (у, Г, р ); X = Хг + /X,-. При fc 9^ 0 получаем:
(Ах- к2 - ikw0 _
(AL~ к2 - fkwQ -
+Grfcoso:- ikp = 0,
C3.6)
230
ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Pr
(AL-k2)- ikw0 -
-ikw = Q;
на Г: \L = w=f=O. C3.7)
Для возмущений с к = О, сохраняющих однородность движения по z,
слагаемое —ikp в первом уравнении следует заменить на константу С,
описывающую возмущение продольного градиента давления; эта конс-
константа находится из условия постоянства расхода
fwdxdv = 0. C3.8)
S
Условие \г(к) = О определяет границу устойчивости течения Uo. В об-
общем случае при к Ф О неустойчивая мода является колебательной и невы-
невырожденной. Поскольку комплексно-сопряженная функция и* удовлет-
удовлетворяет системе C3.6), в которой произведена замена к -* -кч\-*\*, при
к = 0 неустойчивая мода либо монотонная, либо колебательная, двукрат-
двукратно вырожденная по Хг. Нейтральная кривая Gr(fc) при фиксированных Рг,
A, q, Re может иметь минимум Gr = Grw при к = кт Ф О (рис. 146, а) ли-
либо при кт = 0 (рис. 146, б). При превышении критического числа Grw
нарастают возмущения с волновыми числами, лежащими внутри некото-
некоторого интервала кх < к < к2 или 0 < к < кг.
Предельные нелинейные режимы, определяемые задачей C3.2), C3.3),
могут быть достаточно разнообразными. Исследование устойчивости дает
один из решающих критериев отбора режимов.
2. Уравнение для амплитудной функции в случае коротковолновой неус-
неустойчивости. В этом и следующем пунктах мы будем предполагать, что кри-
критическое волновое число кт ф 0; такую неустойчивость будем условно
называть коротковолновой. Случай длинноволновой неустойчивости (кт =
= 0) обсуждается в п. 4.
Ключевым моментом в описании вторичных течений в припороговой
области является то обстоятельство, что при небольшом превышении кри-
Gr>Grm ——\-
Рис. 146. Формы нейтральных кривых в случаях: а) ктФ 0, б) кт = 0. Заштрихована
область устойчивости вторичных течений ( см. § 34)
s 33. МЕТОД АМПЛИТУДНЫХ ФУНКЦИЙ
231
тического числа Грасгофа основное течение становится неустойчивым толь-
только по отношению к медленно нарастающим возмущениям с волновыми
числами, лежащими в узком интервале вблизи кт. С этим обстоятельством
связана относительно простая форма вторичных течений, которые удает-
удается описать с помощью единственной медленно меняющейся в простран-
пространстве и во времени комплексной функции, называемой амплитудной функ-
функцией. В низшем пордяке по малому параметру надкритичности (Gr —
— Grm) ^2 амплитудная функция, независимо от физической природы рас-
рассматриваемой неустойчивости, подчиняется некоторому универсальному
уравнению, причем от параметров конкретной задачи зависят лишь чис-
численные значения небольшого числа коэффициентов.
Опишем принципиальную схему вывода амплитудного уравнения, ос-
основанного на применении метода многих масштабов, для случая невырож-
невырожденной колебательной неустойчивости. Для краткости представим урав-
уравнения C3.2) в матричной форме:
ъи
S— =
1
- N(U, U),
2
C3.9)
где S — диагональная матрица, у которой отличны от нуля только элемен-
элементы Sx i = S22 = S33 = S44 = 1;
U =
M =
0 0 0
д/дх д/Ьу d/dz 0
l
\v1
\0
232 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Вводя U' = U - Uo, получаем
S =FU + -N(U,U );
bt 2 V J
FU'=MU' +N(UOiU');
наГ: v' = r' = 0; C3.10)
fv'zdxdy = 0.
s
Поскольку вблизи порога вторичное течение близко к основному, ес-
естественно искать решение задачи C3.10) в виде ряда
оо
U'= 2 enU{n) C3.11)
п= 1
по малому параметру е = e(Gr), смысл которого будет уточнен ниже.
Зависимость между 6 и Gr также представим в виде ряда
оо
Gr-Grm = 2 enG{n). C3.12)
п= 1
Вторичные течения в припороговой области характеризуются наличием
сильно различающихся временных и пространственных масштабов. Так, ха-
характерное время нарастания колебательных возмущений, вызывающих
неустойчивость основного течения (это время определяется вещественной
частью инкремента), велико по сравнению с периодом колебаний, а также
с характерными временами затухания других мод. Пространственный
масштаб огибающей волнового пакета, составленного из возмущений с
волновыми числами в узком интервале неустойчивости, много больше
длины волны критического возмущения. Это обстоятельство позволяет
применить метод многих масштабов. Именно, будем считать, что функции
U^ зависят от набора аргументов z; = el z, tt = el t, I =0, 1, 2,. . . При этом
в выражениях для дифференциальных операторов производится замена
э °° э э °° э
— = 2 е1—, — = 2 е1—. C3.13)
bz /=o bzt bt i=o bti
Кроме того, определенный в C3Л0) оператор F разложим в ряд по сте-
степеням Gr - Grm :
Э \ • 1 / Э 2 Э
3z ' /~/,и = о /!w! V3Z! +€ 3z^+' У v~ '"" " \bz0/
C3.14)
Будем обозначать через F^l'n^ оператор F^lyfl\ в котором произведе-
произведена замена 3/3z0 на ipkm, а через NifP - билинейный оператор N, в кото-
33. МЕТОД АМПЛИТУДНЫХ ФУНКЦИЙ 233
пом Э/Эг0 заменяется на Икт, если он действует на первую функцию,
я на /pfc», - если на вторую.
В первом порядке по е получаем однородную краевую задачу
ЭГ0
= 0; на Г:
совпадающую с линеаризованной задачей для возмущений основного
движения при Gr = Grm. Ее решение может быть представлено в виде
C3.15)
Здесь функция и[1^ (х, у) - решение линеаризованной задачи C3.6),
C3.7) (в п. 1 этого параграфа оно обозначалось и ) при к = кт, Gr = Grm;
и>т ~ ^г(^т) ~~ частота нейтрального возмущения; и_^ =м}1^*; w^1^ —
вектор, у которого отлична от нуля (и равна 1) только одна компонен-
компонента, соответствующая возмущениям давления; a^(zb..., fb...),
^^ (zi» • • • > t\,. . .) — медленно меняющиеся в пространстве и во вре-
времени функции. Первые два слагаемых в C3.15) представляют собой су-
суперпозицию возмущений с волновыми числами в интервале шириной по-
порядка б вблизи кт. Функция д(°) играет роль огибающей системы волн.
Последнее слагаемое в C3.15) отражает возможность медленного изме-
изменения давления вдоль цилиндра.
Решение во втором порядке по е имеет вид
С/B)= 2 y/B>(jc,^z1,...,r1,...)expi7(*mzo-cjm.ro),
/=-2 '
где функции v^ определяются из уравнений:
~ /г<1
C3.16)
C3-17)
_(F(o,o)
C3.18)
и^^р)*, „B) = „(*)•. C3.19)
Уравнение C3.17) решается при условии сохранения потока, что од-
однозначно определяет изменение давления вдоль цилиндра db^ /bzi, про-
пропорциональное |я@) |2.
234 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Из условия разрешимости неоднородного уравнения C3.16) находим
=-GA)Xoa(o)-X, ; C3.20)
bti dzi
_ (uc,F{0''>«!<*>) _/ ЭХ\
Xo= (И«лр)) Ч^у' C321)
ЭХ
) <33-22>
(мс — решение сопряженной задачи, \j — групповая скорость волн). Ус-
Установившиеся вторичные режимы возможны при G^ = 0; при этом
Зависимость я'°) от t\ может быть исключена переходом в систему от-
отсчета, движущуюся вдоль zx с групповой скоростью волн. Решения урав-
уравнений C3.16)-C3.18) имеют вид
v\2) = -i( j
V& = | fl@) |2ИB) + UA)M(D> UaB) = fl@J И2B)в
Здесь а^г\ b ^ — некоторые функции медленных переменных.
В третьем порядке получаем уравнение, решение которого
/=-3
Из условия разрешимости задачи для v^ и требования ограниченности
а^ при ty ->°° получаем уравнение для амплитудной функции:
Э2я@)
Х2 — -к\а^0)\2а@\ C3.23)
ot2 bz\
Здесь
1 /Э2Х
Характеризующий нелинейность коэффициент к называется константой
Ландау.
Помимо вторичных течений в гидродинамике [1, 2], уравнение 'C3.23)
(обобщенное уравнение Гинзбурга — Ландау) описывает возникновение
пространственно-неоднородных диссипативных структур в задачах различ-
различной физической природы.
Входящая в C3.23) величина G^ зависит от определения параметра е.
Можно его определить так: е2 = Gr — Grw; тогда GB^ = 1, а остальные
Q(n) =o. Возможны другие способы определения; например, в качестве
33. МЕТОД АМПЛИТУДНЫХ ФУНКЦИЙ
235
е можно выбрать ширину интервала волновых чисел нарастающих возму-
возмущений, амплитуду вторичного пространственно-периодического движения
с волновым числом кт и т.д. Параметр е можно исключить из рассмот-
рассмотрения, если ввести а = еа^ + е2а^ и объединить C3.20) и C3.23).
Тогда будем иметь
да Эя Ъ2 а
UJL =_-(Gr-Grw)Xo0- Xj — -Х2—Т -к\а\2а C3.25)
bt dz bz
или
JL =_(\(km - i— ,Gr ) -X(A:w,Grw) а- к\а |2д, C3.26)
bt L \ bz / J
где x _ оператор, получаемый заменой i (k - km) на bjbz в разложении
декремента X по степеням к —кт.
Для инверсионно-симметричных течений можно показать, что функция
\(к, Gr) либо вещественная, либо имеет две ветви с равными веществен-
вещественными и противоположными по знаку мнимыми частями. При обращении
\г в нуль в первом случае имеет место монотонная неустойчивость; во
втором случае в надкритической области нарастают два типа возмуще-
возмущений iii (х> У) и (х, у) = и * (— х, —у) с инкрементами X и X*. Для мо-
монотонной неустойчивости вследствие свойства четности решений констан-
константа к вещественна. В случае вырожденной колебательной неустойчивости
решение задается амплитудами ах и а2 обеих неустойчивых мод, для кото-
которых получается система
*' =-(Gr-Grw)Xo0i
(GrGrw)Xo0i Xi X2
bt bz 2 bz2
-Oii^i I2 +k2 |д2 I2)*i>
= - (Gr - Gxm)\la2 + X, — - - X!
b 2
(Gr Gxm)\la2 + X, X!
ot bz 2 bz1
~(K*i\a2\2+K*2\al\2)a2.
Здесь Klt k2 - комплексные константы Ландау, определяемые по форму-
формулам, аналогичным C3.24).
3. Конвекция в плоских слоях. Перейдем теперь к рассмотрению кон-
конвекции в плоских слоях. Пусть течение происходит в слое между параллель-
параллельными наклонными плоскостями х = ± 1 (см. рис. 21), на которых зада-
задано распределение температуры Т = + 1 — Az. Объемная мощность тепловы-
тепловыделения qf(x) зависит только от поперечной координаты. После примене-
применения преобразования, аналогичного C3.1), получаем систему C3.2) с гра-
граничными условиями
* = ±1: у = 0, Т=+ 1; y,z-+±°°: \ v |, | Т |, | Vp |<°°. C3.28)
В отличие от течений в цилиндре, из уравнения непрерывности теперь
Не следует постоянства потока жидкости вдоль слоя; имеет место лишь
236
ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
равенство
by
bz
l
= 0; Qy= f vydx,
-l
z = f vzdx.
-l
C3.29)
Задача обладает однородными по у и z решениями с vx = 0, для кото-
которых величины Qy и Qz постоянны и могут быть заданы как внешние пара-
параметры: Qy = Rey, Qz = Rez.
Устойчивость однородного течения Uo - @, vOy, vOz, Го, Ро) определя-
определяется на основе системы уравнений для малых возмущений. Отличие от слу-
случая конвекции в цилиндре состоит в том.^что вследствие однородности
задачи по z и у нормальные возмущения U характеризуются двумерным
волновым вектором:
U=u(x)exp[~Xt + i(kyy +kzz)].
Граница устойчивости определяется нейтральной поверхностью
Gr (ky, kz). Считаем для простоты, что минимум Gr = Grw реализуется
при kz = km, к у =0 (в противном случае следует выполнить поворот осей
в плоскости у, z). Рассмотрение вырожденного случая конвекции в гори-
горизонтальном слое при отсутствии продольного градиента температуры и
прокачки (А = Re у = Rez =0), для которого Gr = Gr(\k\), отложим до
§ 36. При Gr > Grw нарастают возмущения с компонентами волнового
вектора, лежащими внутри некоторой области на плоскости (ку, kz) (на
рис. 147 заштрихована).
Рассмотрим сначала частный класс вторичных течений, для которых ве-
величина U1 - U - UQ не зависит от у. Можно повторить процедуру вывода
амплитудных уравнений и прийти к C3.25) либо C3.27). Отличие состоит
в том, что функции uffi зависят теперь только от координаты х, а интег-
интегрирование по сечению цилиндра заменяется интегрированием по л: в пре-
пределах от - 1 до 1.
В общем случае функция а, описывающая амплитуду неустойчивости
моды, зависит, помимо переменных Z/ = elz, t\ - elt, также от набора
Ух = е1у, / = 1, 2, ... В линейном операторе, входящем в амплитудное урав-
уравнение C3.26), появляются дополнительные слагаемые, содержащие опе-
Рис. 147. Нейтральная поверхность в пространст-
пространстве (ку, kz, Gr)
к 33. МЕТОД АМПЛИТУДНЫХ ФУНКЦИЙ 237
ратор дифференцирования по у. Другое отличие двумерных амплитудных
уравнений, как впервые показано в [3], связано с тем, что локальный по-
поток жидкости имеет две компоненты, зависящие от координат и времени
(см. C3.29)). По этой причине во втором порядке по е функция Ь^
остается произвольной, а средние профили скорости могут быть представ-
представлены в виде
' 1 oz \
Здесь V&2* и W$2' — некоторые функции xs определяемые из уравнений
типа C3.17).
В третьем порядке из C3.29) следует уравнение, которое после пере-
переобозначения а~еа(°) ,Ъ- eb ^ приводится к виду
Ъ2Ь Ъ2Ь 3 / Ъ\а\2 Ъ\а\2
Q Q
х C3.31)
~ —1 w —1
Амплитудное уравнение (аналог C3.26)) принимает вид
да Гл/ Э Э \
- — Л1 кт — г , — г , иг, ке-у, ке2 /—
Эг L V bz Ъу /
- X (кт у 0, Gr. Re^,, Re2) a -
3 г/ ЭХ \ ЪЪ / ЭХ \ ЭЬ
-Kjlfll2^. C3.32)
Константа Ландау /сх определяется формулой C3.24), в которой в качест-
качестве компонент функции ы^ взяты VJ; ^ и Wo^ .
4. Длинноволновые неустойчивости. Перейдем теперь к случаю, когда
основное течение теряет устойчивость по отношению к длинноволновым
возмущениям с кт =0. Рассмотрим движение в цилиндре и двумерные
движения в плоских слоях; при этом возмущения характеризуются един-
единственным волновым числом кz -к.
Необходимо различать два типа длинноволновой неустойчивости. Воз-
Возможна ситуация, когда при переходе Gr через критическое значение Grm
вещественная часть декремента Хг @, Gr) меняет знак.К числу неустойчивос-
неустойчивости данного типа относятся длинноволновые неустойчивости равновесия
в вертикальном и наклонном плоских слоях и в горизонтальном цилиндре
(см. [4]). Как отмечалось в п. 1, при к = 0 невырожденной может быть
только монотонная мода (X/ @, Gr) = 0). Можно показать, что при этом
Функция Х;. (к) является четной, а X,- (к) - нечетной. Вблизи порога к = 0,
238 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Gr = Grw декремент можно представить в виде
\(к, Gr) = Xo(Gr - Grw) + Xxik - \2k2 + . . . , C3.33)
причем коэффициенты Х„ - вещественные.
Другой тип длинноволновой неустойчивости обнаруживается в тех слу-
случаях, когда вследствие симметрии задачи существует мода, для которой
Л@, Gr) = 0 при всех Gr. Неустойчивость при этом связана с изменением
знака производной Ь2Х/Ьк2 при к - 0. В качестве примеров можно назвать
неустойчивость равновесия горизонтального слоя с теплоизолированными
границами [4] или конвективного течения в слое с движущимися тепло-
теплоизолированными границами (§ 14). Разложение декремента в обсуждае-
обсуждаемом случае имеет вид
\(k,Gr)^\lik-\2(Gr-Grm)k2 - X3ik3 + Х4А:4 + • • . C3.34)
(все коэффициенты вещественны).
В обеих ситуациях при малых надкритичностях интервал неустойчи-
неустойчивости по волновому числу узок, а инкремент нарастания мал, что позволяет
применить метод многих масштабов и вывести амплитудное уравнение.
При невырожденной неустойчивости основного движения аналогом пред-
представления C3.15) является ?/A) =я@)ыA) + 6@) w0A), где w0A) имеет
тот же смысл, что и в п. 2; и^1^ — собственная функция линейной задачи
при к - 0, Gr = Grm; e'°) , b^ — вещественные функции медленных пе-
переменных.
Как и при коротковолновой неустойчивости, амплитудное уравнение
имеет структуру
— = -La+N(a), C3.35)
dt
Л А / Э \
где L - X ( -/ , Gr ) - Л@, Grm) - линейный оператор, отражающий
A dz /
поведение декремента \(к, Gr) в окрестности точки @, Grw), a N(a) —
нелинейный член. Двум указанным выше типам длинноволновой неустой-
неустойчивости соответствуют операторы
Z=X0(Gr-Grw) + X1— +X2 — , C3.36)
dz dz2
Э Э2 Э3 *4
—- + X2(Gr-Grw)—у- + Х3 — . ^
dz dz2 dz3 dz4
При коротковолновой неустойчивости, как было видно, нелинейный
член универсален. В длинноволновом случае, напротив, имеет место разно-
разнообразие типов нелинейности.
Для первого типа длинноволновой неустойчивости можно показать,
что нелинейный член в амплитудном уравнении имеет вид N(a) = — ка3,
если нелинейные члены (v V) v и vVT оказывают влияние на рост одно-
однородного по координате z возмущения. Это имеет место, например, в задаче
L = Xj — + Х2 (Gr - Grw) -^-5- + Х3 — + Х4 — . C3.37)
с 34. ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ПОРОГА 239
0 возникновении длинноволновой конвекции в горизонтальном цилиндре,
подогреваемом снизу (см. [4], § 20). При потере же устойчивости равно-
равновесия в вертикальном цилиндре или плоском слое возмущение, описываю-
описывающее неустойчивость, имеет только z-компоненту скорости и нелинейные
члены тождественно обращаются в нуль (см. [4], § 11). В последнем слу-
случае нелинейное слагаемое низшего порядка имеет вид N(a) = [i(a2)z
(индекс z означает дифференцирование по координате z). Коэффициент
ц может обратиться в нуль вследствие симметрии задачи; тогда на первый
план выступают нелинейности более высоких порядков малости (см. [5]).
Для длинноволновой неустойчивости второго типа кубический член за-
заведомо отсутствует, так как в силу симметрии задачи однородное по z
возмущение является нейтральным независимо от амплитуды. Допустимым
нелинейным членом наиболее низкого порядка малости является jj(a2)z.
Данный тип нелинейности реализуется, в частности, для течений с деформи-
деформируемой границей [6] .
Для течений в слоях с теплоизолированными границами (см. § 14, а
также [4], § 7) амплитуда а описывает однородное поперек слоя возму-
возмущение температуры; эволюция течения не может зависеть от величины а,
а определяется только ее градиентом. Поэтому член низшего порядка
имеет вид N(a) = ц{а\)z (этот случай реализуется для течения в наклон-
наклонном слое с движущимися теплоизолированными границами). В горизон-
горизонтальном слое с теплоизолированными границами задача имеет дополни-
дополнительную симметрию: она инвариантна по отношению к замене z -* — z;
при этом [7] N(a) =Д! {а\) z - д2 {а\) z г.
§ 34. Вторичные течения вблизи порога и их устойчивость
В настоящем параграфе на основе амплитудных уравнений изучаются
вторичные течения и их устойчивость. Основное внимание уделяется корот-
коротковолновым течениям (кт Ф 0), описываемым уравнением C3.25) . В кон-
конце параграфа дается обзор результатов, относящихся к длинноволновым
вторичным течениям (кт = 0) .
Уравнение C3.25), определяющее нелинейную эволюцию возмущений
в припороговой области, имеет универсальный вид. Конкретные физичес-
физические задачи различаются только значениями коэффициентов Хо, Xi и Х2,
определяемых из решения линейной задачи, и константы Ландау к, вычис-
вычисляемой по формуле C3.24). Поясним смысл различных коэффициентов
в уравнении C3.25). Величина Хо = ХОг + i\oi характеризует изменение де-
декремента и частоты возмущения с ростом Gr. Вещественная величина
^i = (д\{/дк)т - групповая скорость возмущений. Параметр Х2г опи-
описывает зависимость декремента от волнового числа, а величина Х2/ связана
с Дисперсией скорости возмущений. Вещественная часть константы Ландау
Кг ответственна за нелинейное ограничение роста возмущений, а мнимая
часть Kt определяет нелинейный сдвиг частоты.
В дальнейшем мы будем рассматривать надкритическую область (Gr >
Grm) и предполагать, что константа Ландау имеет положительную ве-
вещественную часть: кг > 0 ("мягкая неустойчивость"). Только в этом слу-
240 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
чае уравнение C3.25) адекватно описьюает припороговые явления. Если
кг < 0, в надкритической области амплитуда обращается в бесконечность
за конечное время., что свидетельствует о неприменимости уравнения.
Уравнение C3.25) содержит 8 вещественных параметров Gr — Gr^,
^or> Хо,, ^i» ^2r> ^2/» Kr-> Ki~ С помощью масштабного преобразования пе-
переменных число параметров может быть сокращено до двух. Перейдем в
систему отсчета, движущуюся с групповой скоростью (ЭХ//ЭА:) m, положим
(напомним, что \xi = О, ХОг < 0, Х2г < 0) :
T = CTt, Z = Czz, а = СаАеШг, C4.1)
где
CT = -(Gr-Grw)Xor/costf/, С| = СГ/1Х2|,
С2а = СТ1\ к I, ?2 = - sin ф - cos ф - Хо/Аог, C4.2)
<p = arg(-X2), i// = arg к.
Тогда амплитудное уравнение C3.25) приводится к виду
AT = ei*Azz + ei}l'A(l-\A\2) C4.3)
(индекс означает дифференцирование по соответствующей переменной).
В общем случае соотношение Х2г < 0 обусловливает неравенство
cos кр > 0; требование мягкой неустойчивости кг > 0 приводит к условию
cos ф > 0. Величина sin у определяет дисперсию фазовой скорости возму-
возмущений, a sin ф -нелинейный сдвиг частоты.
Аналогичное масштабное преобразование может быть применено к
системе C3.27), которая приводится к виду
Al,T = -cAl>z+ei*AliZZ+ei*A1(l-\Al\2)-aeixA1\A2\2,
А2,т=~сА2,г + е-'*А2,2г+е-^А2A -\А2\2)-ае~(*А2\Л1\\ C4.4)
где с =X1Cz/C'r,<p = arg(—Х2), ф= argKl5ae/x = к2\кх. Отметим, что условие
мягкой неустойчивости требует выполнения неравенств к1г > 0 к1г + к2г >
> 0, что дает cos ф >0,cos i/z+acosx > 0.
1. Стационарные вторичные течения. В этом пункте мы рассмотрим слу-
случай кр = ф = 0, соответствующий монотонной неустойчивости равновесия или
инверсионно-симметричного течения (в частности, плоского течения с не-
нечетными профилями). Предельные режимы системы при этом стационарны
и описываются решениями уравнения
Azz+A(l -\A |2) = 0, A=Ar+iAr C4.5)
Введем вещественные переменные г и в — амплитуду и фазу вторичного
движения:
A=reie, C4.6)
Тогда из C4.5) получаем
2 0, (/-20z)z = O. C4.7)
34. ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ПОРОГА
Vei
0,6-
241
Рмс. 148. "Эффективный потенциал" в зависимости от "координаты" для различных
значений М
Отметим, что величина 6Z пропорциональна отклонению локального волно-
волнового числа вторичного движения от кт.
Задача C4.7) формально эквивалентна задаче о движении частицы
единичной массы в аксиально-симметричном поле V = г2/2 — г4/4 [8]
(роль времени играет координата Z) и имеет два интеграла движения:
"момент импульса" М = r2dz и "энергию" Е =r|/2 + Ve(r); Ve{r) =r2/2 -
- г4/4 + М2/Bг2). Решения ограничены при 0 < \М\ <М* = 2/C у/3) для
некоторого интервала Е_ (М) <Е<Е+(М) (рис. 148).
Наибольший интерес представляют решения с Е = Е± (М), которым
соответствуют "круговые орбиты" {rz = 0) :
\KO\<1,
C4.8)
где в о ~ произвольная константа (фаза). Данный класс решений отвечает
пространственно-периодическим вторичным движениям с волновым чис-
числом
+АГ0Д,
C4.9)
где Д — полуширина интервала волновых чисел нарастающих возмущений
основного течения. Для этих решений М = КоA - Kq),E = A - Ко) A +
+ 3Kq) /4. Значения 0 < | Kq \ < А'* = 1/\/з" отвечают максимуму "потенциа-
"потенциала" (Е = Е+),аК*< \Ко\< 1 ;-минимуму (Е=Е_).
242 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
При Е__ < Е <Е+ решение задачи имеет вид
r\Z) = г2_ + (г2 - ri) sn2a(Z - Zo), a2 = 1 - г2_ - г\\2; C4.10)
e(z) = eQ+MfdU(r2@l C4.il)
о
где sn — эллиптическая функция Якоби, Zo, в 0 — произвольные константы,
г_,г+ - корни уравнения Vе(г) =Е; модуль эллиптической функции Яко-
Якоби определяется равенством s = (г2. — r2_)j Ba2). Поскольку приращение
фазы в за период функции г (Z), равный / = 23f(s)ja (C??(s) - полный
эллиптический интеграл 1-го рода), не обязательно кратен 2тг, решение А =
= г ехр/0 при МФО является квазипериодическим. В нашем случае этому
отвечает квазипериодическое вторичное течение, модулированное по ам-
амплитуде и фазе.
При Е = Е+ решение C4.10) , C4.11) переходит в "солитонное", двояко-
асимптотическое (npnZ ->± °°) к решению C4.8) с | Ко | < ?*= 1/\/з":
г2=A -К20)-A -3K20)ch-2a(Z-Z0),
О<К2о<1/3, сс2=A-ЗК2о)/2. C4Л2)
Функция в (Z) определяется формулой C4.11). Этому типу решений
соответствует вторичное течение, имеющее периодическую структуру
при Z -> ± °°, но содержащее в окрестности точки Zo локализованный
"дефект".
При М = 0 решение является периодическим и может быть записано в
виде
A =A0(Z)ew°, Ao =r+ sn a(Z-Zo),
0<г+<1, а2 = \~гЦ2.
Этому классу решений отвечают модулированные по амплитуде вторич-
вторичные течения с волновым числом k = km.
Таким образом, выделяются четыре класса стационарных вторичных
течений: пространственно-периодические течения C4.8), течения с модуля-
модуляцией амплитуды C4.13), течения с локализованным дефектом структуры
C4.12) и квазипериодические течения с модуляцией амплитуды и фазы
C4.10), C4.11).
На рис. 149 представлены области существования решений в переменных
rmin ~ minr2(Z), r^ax = max r2(Zj. Периодическим решениям C4.8)
соответствует линия ОА; периодическим решениям C4.13) — линия ОС;
"солитонным" решениям — линия ВС; квазипериодическим решениям
соответствует заштрихованная область.
Перейдем теперь к исследованию устойчивости стационарных вторич-
вторичных течений. Для малого возмущения амплитуды A ~Ar + iA\ получаем
задачу
AT=AZZ + A -2 \А \2)А-А2А*\ Z->±oo. | Л | < ~>. C4.14)
Будем рассматривать нормальные возмущения, зависящие от времени
по закону е~от (далее мы обозначаем через а декременты возмущений
34. ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ПОРОГА
243
рис. 149. К определению областей существо-
вания стационарных режимов
Рис. 150. Спектр декрементов возмущений
пространственно-периодических движений:
аH< \К6 \ <К*,б) К*< \К0 |< 1
К
вторичных течений, в отличие от декрементов X возмущений основного
течения).
Для периодических по Z течений типа C4.8) нормальные возмущения
имеют вид
где К — вещественное число. Зависимость о(К) для стационарного движе-
движения с волновым числом А^о дается формулой
о±(К;К0) = A -Kl +?2)±VA ~Klf +4K20K2. C4.15)
В зависимости от значения Ко возможны два варианта спектра декре-
декрементов (рис. 150) . При | Ко | < К* = 1/х/З (участок ЛВ на рис. 149) вторич-
вторичное течение устойчиво, а при \ Ко\> К* (участок ОБ) монотонно неустой-
неустойчиво по отношению к возмущениям со значениями К в интервале 0 <
<1*|<*„,где
К2п =2CК20 -1). C4.16)
При малых К нарастающие возмущения представляют собой длинноволно-
длинноволновую модуляцию фазы в (Z) вторичного течения, сопровождаемую слабой
модуляцией амплитуды г (Z). Возмущения с К = 0, отвечающие однород-
однородному по Z изменению фазы, являются нейтральными вследствие трансля-
трансляционной симметрии задачи.
244 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Описанный тип неустойчивости пространственно-периодических вторич-
вторичных течений обнаружен в [9] и носит название неустойчивости Экхауза.
Учитывая C4,9), находим, что устойчивыми являются вторичные тече-
течения с волновыми числами
\к-кт\<*А/уД C4.17)
(область устойчивости на рис. 146 заштрихована) .
Остальные типы стационарных решений, соответствующие течениям
с модуляцией амплитуды, с локализованными дефектами и квазипериоди-
квазипериодическим течениям, оказываются неустойчивыми [9, 10].
Таким образом, рассмотрение всех типов стационарных надкритических
течений приводит к выводу, что устойчивыми из них являются только
пространственно-периодические вторичные течения с волновыми числами
в интервале C4.17). Это означает, что хотя начальное возмущение основ-
основного течения может содержать произвольный спектр волновых чисел, в
результате переходного процесса во всей области устанавливается прост-
пространственно-периодическое течение с единым волновым числом, определяе-
определяемым начальным возмущением.
Следует отметить5что неоднозначность волнового числа устойчивого вто-
вторичного течения приводит к тому, что в различных частях области, где
совершается движение жидкости, на промежуточном этапе процесса уста-
установления могут сформироваться течения с различными волновыми числа»
ми. Можно показать, что если функция K(Z) = вf (Z) .характеризующая
отклонение локального волнового числа от кт, нигде не превосходит по
модулю АТ*=1/\/3,то процесс установления един ого вол нов ого числа описы-
описывается нелинейным уравнением диффузии и заключается в выравнивании
неоднородностей распределения K(Z) при сохранении среднего значения
волнового числа. В противном случае в ходе нелинейной эволюции проис-
происходят процессы с изменением среднего волнового числа (числа вихревых
структур вторичного течения).
В заключение данного пункта обсудим влияние торцов полости на вто-
вторичные стационарные движения. На границах области должны быть постав-
поставлены некоторые условия для амплитудной функции; эти условия опреде-
определяются спецификой задачи. Например, в случае конвекции в горизонталь-
горизонтальном слое, подогреваемом снизу, на твердых теплоизолированных боковых
границах Z = 0 и L становится условие А = 0 [11]. При этом допустимы толь-
только решения C4.13) с М = 0, Zo = 0; параметр г+ принимает дискретный
набор значений, определяемый условием "квантования" L = 2nX(s)la.
(/1 = 1,2,...)- Условием устойчивости является знакопосгоянство функции
Ао« которое выполняется только для решения с п = 1, В рассматриваемом
случае условие на границах однозначно определяет волновое число вторич-
вторичного движения: К = 0, т.е. к = кт при любых L. От величины L, однако,
зависит время, необходимое для того, чтобы любые другие структуры,
которые могут установиться в центральной части области, были вытеснены
формирующимся вблизи границы движением с к = кт.
§ 34. ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ПОРОГА 245
Иная ситуация реализуется в случае замкнутого основного течения,
для которого вблизи торцов имеет место сильная неоднородность по Z.
Эта неоднородность может условно рассматриваться как возмущение,
величина которого существенно превышает значения амплитудной функции
в центральной части области. При этом ставится условие lim IA (Z) | =
= со (см. [12]). Ограничимся обсуждением случая L > 1, когда окрестность
каждого из торцов можно рассматривать как полубесконечную область.
Для левой границы условия имеют вид: Z = 0: \A\=QQ\Z-+OO:\A (Z) I <
< ©о. Используя механическую интерпретацию уравнений C4.7), легко убе-
убедиться, что рассматриваемому движению отвечает траектория частицы
с Е = Е+(М) (см. рис. 148), приходящей из бесконечности и асимптоти-
асимптотически приближающейся справа к максимуму функции Ve (r). Очевидно,
что при Z -> °° всегда осуществляется устойчивое по Зкхаузу периодичес-
периодическое движение с | К \ < К*. Таким образом, сохраняется тот же, что и для
бесконечного слоя, критерий отбора C4.17), однако теперь меняется его
смысл: вторичные периодические режимы, лежащие за пределами интерва-
интервала, не отбраковьюаются по принципу их неустойчивости, а просто не су-
существуют, так как не в состоянии удовлетворить граничным условиям
на торцах.
Промежуточный случай, когда на торцах амплитуда отлична от нуля и
конечна (соответствующий, например, горизонтальному слою со слабо
теплопроводными боковыми стенками) , подробно рассмотрен в [13].
2. Волновые вторичные течения. Перейдем к рассмотрению вторичных
режимов, возникающих в результате колебательной неустойчивости основ-
основного течения. Они описьюаются уравнением C4.3) с параметрами у и ф,
отличными от нуля. На нелинейную эволюцию возмущений оказывает
существенное влияние зависимость фазовой скорости от волнового числа
(дисперсия) и от амплитуды (нелинейный сдвиг частоты). Предельные ре-
режимы могут быть гораздо разнообразнее, чем в случае стационарных тече-
течений. Тем не менее, уравнение обладает семейством пространственно-перио-
пространственно-периодических решений типа монохроматической волны:
A{Z, r;^o) = K^o)e'[K»z
1/2 sin(i//-ip)
1, C4.18)
\Ko\<(-
cos ф / cos ф
cos ф
\ COS (/5
Эти решения соответствуют волновым пространственно-периодическим
вторичным движениям с волновым числом к, связанным с параметром
^о соотношением
к-кт
( ) =
\ cos ф / А
246 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
где А — полуширина интервала волновых чисел нарастающих колебатель-
колебательных возмущений основного течения.
Исследуем устойчивость течений C4.18). Для малого возмущения ам-
амплитуды А имеем
Ат = е1* AZZ + е**{А -2\А\2А- А2 А*). C4.19)
Решение ищем в виде
где Aif A 2 — постоянные. Комплексный декремент а находится из диспер-
дисперсионного соотношения
о2 -2a(r2cos ф +K2cosif + 2iK0Ksirnp) + KA +
+ 2К2[г2со$(ф -ф)-2К20) ~А1К0Кг2ът{ф -<р) = 0. C4.20)
Соотношение определяет две ветви спектра о± (К; Ко); одна из них (с
меньшим значением ог) может быть источником неустойчивости вторич-
вторичного течения. _
Рассмотрим сначала возмущения с малыми К, описывающие длинно-
длинноволновую модуляцию исходной монохроматической волны. При малых К
для опасной моды имеем:
or=D(K0)K2 +O(^4), C4.21)
где
cos(i// —
cos i// г(К0)согф
C4.22)
Отсюда следует, что для пространственно-периодических волновых дви-
движений существует область устойчивости по волновому числу (относитель-
(относительно рассматриваемого типа возмущений), только если cos(\// — ip) > 0 (т.е.
\ф — у | < тг/2) ; эта область описьюается неравенством
cos ф F cos (ф — ф) cos ф
К2 — < ; F= ^—— ~. C4.23)
cos ф 2 + F cos ф
При ф = ф = 0 критерий C4.23) переходит в условие К20 < 1/3, полученное
в предыдущем пункте. Если же
cos 0// -ф)<0, C4.24)
то все пространственно-периодические волновые движения^неустойчивы.
Неустойчивость по отношению к возмущениям с малыми К, аналогичная
рассмотренной в предыдущем пункте неустойчивости Экхауза, проявляет-
проявляется как автомодуляция пространственно-периодической волны; она носит
название модуляционной. Критерий C4.24) представляет собой обобщение
аналогичного критерия, известного для недиссипативных волновых систем
[14] . Для пространственно-периодических волн, развивающихся в резуль-
результате неустойчивости пространственноюднородного движения, этот крите-
критерий был впервые получен в рамках модельной системы уравнений Ю.Б. По-
s
34. ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ПОРОГА 247
номаренко [15] и на основе исследования устойчивости решений уравне-
уравнения C4.3) в [16] (см. также [17]) . В более ранних работах [9, 18] на слу-
случай нестационарных вторичных движений ошибочно распространялся кри-
критерий Экхауза C4.17).
Анализ дисперсионного уравнения C4.20) показывает, что возмущения
с немалыми К могут оказаться наиболее опасными для волновых вторич-
вторичных движений с А'о Ф 0. Это приводит к сужению интервала волновых чи-
чисел устойчивых вторичных движений по сравнению с C4.23). Соответ-
Соответствующий критерий приведен в [15] .
Аналогично может быть рассмотрен случай вырожденной колебательной
неустойчивости, описываемый системой C4.4) . Система обладает двумя
классами решений с пространственно-периодическими амплитудами Ах,
А2 (см. также [19]):
1) решения с одной бегущей волной:
^*zn(*)l A2=0;
cos у sin(ii/ — ф)
0п = СКKl
r\K0)=\-K20
, 0
cos ф cos ф
и аналогичные решения сАх = 0, но А2 Ф0',
2) решения с двумя бегущими волнами :
. cos ф cos <p(Kl cos ф — a.K% cos
r\ (K±) =
cos ф + a cos x (cos i// + a cos x) (cos ф — a cos x)
Г2± = — A -r+) sin ф + ar~ sin x + #±sin <p + Ctf+.
Рассмотрим сначала движение первого типа, для которого малые возму-
возмущения амплитуд Ах и А2 эволюционируют независимо. Пусть для опреде-
определенности Ах Ф О, А2 = 0. Исследование устойчивости по отношению к воз-
возмущению Ах приводит к тем же критериям, что и в случае невырожденной
колебательной неустойчивости, в частности, интервал устойчивости по вол-
волновому числу существует только при cos(^ - ^) > 0. Устойчивость же по
отношению к возмущениям А2 возможна только в случае cos ф < ос cosx.
При этом критерий устойчивости имеет вид
2 cos <р cos ф
к0 ^ I _
cos ф a cos х
Для решений второго типа область устойчивости существует, если
cos (ф — ^) > 0, cos ф > a cos Х- По отношению к длинноволновым возму-
возмущениям эта область на плоскости (К+, К_) описывается неравенствами
(учтено соотношение | С \ ~ е > 1) :
Возвращаясь к случаю невырожденной колебательной неустойчивости
основного движения, обсудим процесс установления волновых простран-
248 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
ственно-периодических вторичных движений. Этот процесс имеет опреде-
определенные отличия от установления стационарных движений (п. 1). Пусть па-
параметры v? и ф таковы, что интервал устойчивости по волновому числу
существует. Помимо решений, описывающих "вытеснение" основного
движения вторичным (примеры таких решений приведены в [20]), вслед-
вследствие дисперсии волн (при <р Ф ф) уравнение C4.3) обладает решениями
вида бегущего с некоторой скоростью фронта постоянной формы, разде-
разделяющего области с различными волновыми числами. Решения такого типа
получены в [21]. Численные эксперименты [20] показывают, что в ходе
процесса установления действительно формируются зоны с различными
волновыми числами, разделенные движущейся переходной границей.
3. Автомодулированные течения. Перейдем теперь к рассмотрению
нелинейного развития модуляционной неустойчивости. Представим ам-
амплитуду Л в виде C4.6) и запишем C4.2) в виде уравнений для г и К =
rT = cos y(rzz - К2 г) — sin <pBrzK + rKz) + cos ф(г - г3 ),
Кт = [cos <pBKrz/r + Kz) + sin v(rzz/r - K2) — sin ф • r2 ] z.
2, C4.25)
Начнем со случая, когда критерий устойчивости cos (<р — ф) > 0 слабо
нарушен, т.е. ^ — ф по модулю близко к тг/2. Интервал волновых чисел К,
в котором проявляется модуляционная неустойчивость для вторичных
движений с малыми Ко, узок, а инкремент мал, так что естественно приме-
применить метод многих масштабов. Считая для определенности у > 0, ф < 0
(противоположный случай может быть рассмотрен аналогично), получаем
уравнение для отклонения Q локального волнового числа от волнового
числа Ко основного движения. Это уравнение в надлежащей системе отсче-
отсчета имеет вид
Bcos2^-A^o\ 2cos^-A^0
a sin </> + — 1 Qzz + — Qzzz +
1 2 / тг\
- Qzzzz + —— QQz = 0 (а = <р-ф--). C4.26)
Развитие автомодуляционной неустойчивости согласно C4.26) определяет-
определяется процессами возбуждения, дисперсии, диссипации и нелинейными эффек-
эффектами.
Рассмотрим более подробно развитие модуляционной неустойчивости
сА^о = 0, т.е. k = km. Для этого течения дисперсия волн отсутствует. Посред-
Посредством масштабного преобразования уравнение C4.26) приводится к виду
2 + GIV +Q" +2QQ' = 0, C4.27)
где точкой и штрихом обозначены производные по масштабированным
времени и продольной координате.
Помимо модулированных вторичных конвективных течений, для кото-
которых уравнение C4.27) было выведено в [16], это уравнение описывает
волны в стекающей пленке [6], а также волновые процессы в задачах хими-
§ 34. ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ПОРОГА 249
ческой кинетики [22] и искривления фронта горения [23]. Численное ис-
исследование предельных режимов производилось, в частности, в работах
[6, 22, 24—27]. Для стационарных периодических решений установлено
существование интервала устойчивости по масштабированному волновому
числу — от 0,768 до 0,837 [6]. Вместе с тем численное моделирование об-
обнаружило существование длинноволновых нестационарных предельных ре-
режимов, обладающих свойствами как временной, так и пространственной
стохастичности. Хаотические решения уравнения C4.27) изучались с
помощью ренорм-группового анализа в [28]. Возникновение временной
стохастичности при уменьшении волнового числа прослежено в [27].
В общем случае К0Ф 0 масштабное преобразование приводит к уравне-
уравнению, учитывающему дисперсию волн:
Q + Qlv + mQ'" + Q" + 2QQ' = 0, C4.28)
где т - некоторая постоянная. Уравнение вида C4.28) также встречалось
в задаче о волнах в пленке жидкости [29]. Дисперсия существенно влияет
на поведение нелинейных волн, нарушая симметрию по отношению к пре-
преобразованию Z -*-Z, Q-+ — Q. Численные эксперименты [29] свидетель-
свидетельствуют о том, что пространственная структура движения становится менее
хаотической, чем в случае т = 0, и напоминает случайную последователь-
последовательность солитонов.
Рассмотрим теперь случай, когда у и ф произвольны, т.е. инкремент
нарастания модуляционной неустойчивости не мал. Этот случай описывает-
описывается полным уравнением C4.3). Непосредственное численное моделирование
в длинной области [30] показало хаотический характер движения. Соглас-
Согласно численным эксперимегтам, в которых изучалось развитие локализован-
локализованного начального возмущения, наложенного на основное течение [20], в
расчетной области формируются разделенные переходными фронтами три
зоны, в которых течение является невозмущенным, регулярным простран-
пространственно-периодическим и хаотическим во времени и в пространстве. Вслед-
Вследствие различия скоростей движения переходных фронтов с течением време-
времени увеличивается протяженность как хаотической, так и регулярной зон.
При сильной модуляционной неустойчивости происходит прямой переход
от невозмущенного к хаотическому движению.
Пути возникновения временного хаоса могут быть прослежены на моде-
моделях, в которых движение совершается в ограниченной области, когда
спектр возмущений дискретен, и хаотизация наступает поэтапно. Бифур-
Бифуркационные переходы на классе периодических функций изучались в ра-
работах [31, 32]; в [33] задача решалась с граничным условием dA/dZ = 0
на концах расчетной области. В [31] указаны два пути появления хаоса
в системе: разрушение трехмерного тора и субгармоническая бифуркация
Двумерного тора. В [33] обнаружен новый механизм возникновения
хаоса, детальный анализ которого в применении к другой задаче дан в
работе [34]. Упомянем здесь также исследования бифуркационных пере-
переходов (в том числе между странными аттракторами различной раз-
размерности) , проведенные для конечно-разностного аналога уравнения
C4.3) [35].
250 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Таким образом, в случае модуляционной неустойчивости в области
достаточной протяженности возможны движения, хаотические в пространст-
пространстве и во времени. Подчеркнем, что хаотизация наступает сразу после потери
устойчивости основного течения. Следует отметить, однако, что хаотизи-
руется только амплитудная функция (огибающая системы волн), так что
движение представляет собой суперпозицию вполне определенных прост-
пространственных структур со случайными отклонениями амплитуды и фазы.
4. Трехмерные неустойчивости. Перейдем к изучению устойчивости вто-
вторичных течений в плоских слоях, для которых в предыдущем параграфе
выведена система амплитудных уравнений C3.31), C3.32). Ограничимся
случаем, когда основное течение является плоскопараллельным (прокачка
жидкости вдоль координаты у отсутствует), а его наиболее опасные возму-
возмущения — плоские: kzm- km, кут = 0. Вследствие симметрии задачи по от-
отношению к преобразованию у -*-у и четности функции X (ку), в уравнении
C3.32)отсутствуют члены с нечетными производными по у и Qv = 0.
Следуя [3], введем новую переменную с, характеризующую влияние
трехмерности движения на продольный градиент давления. Положим
ЪЬ 3
bz 2 W
Тогда получаем следующую систему амплитудных уравнений:
да / ЭХ \ /ЭХ \ да 1 /Э2Х\ д2а
(Gr-Grm)fl+/ 1 +— —-) —- +
dt \дСг/тУ т) \Ък2/„ bz 2 \bk\Jm bz2
1 /Э2Х\ Ъ
( ]
Ъ2а , 2 / ЭХ \
Э/ 3 \dRezJ
2 ^Ъку'т Ъу и vwl4Vz'w C4.29)
Ъ2с Ъ2с 3 Э2 /ЭХ
Переход в систему отсчета, движущуюся с групповой скоростью, и
масштабное преобразование, аналогичное C4.1), приводят систему C4.29)
к виду
-е^А{\ - \А \2)-henCA,
C4.30)
где
eei4> = - *-
|э2х/э*2,т
Из свойств декремента линейной задачи устойчивости основного течения
вытекает cos <р > 0, cos $ > 0; требование ограниченности решений при
t -> оо ("мягкая неустойчивость") дает два условия cos ф > 0, cos ф +
+ h cos ? > 0, которые предполагаются выполненными.
Ограничимся рассмотрением устойчивости двумерных пространственно-
периодических вторичных течений, не зависящих от координаты Y. Для
§ 34. ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ПОРОГА
251
этих течений С = О, а функция А описывается формулой C4.18). Малые
возмущения А, С удовлетворяют системе уравнений
Ат = e^Azz + gei{p>AYY + eixjj(A -2\A\2A- A2A*) - he*АС,
~ ~ ~ C4 31)
Cyy + Czz = (A*A + AA*)yy.
Ищем решение в виде нормальных возмущений
-i{KzZ + KYY)-o*T
Квадратное дисперсионное уравнение определяет две ветви спектра де-
декрементов o±(Kz, KY\ Ко).
Приведем сводку результатов, относящихся к возможности исчезнове-
исчезновения интервала устойчивости по волновому числу для двумерных волновых
вторичных движений. Неустойчивость вызывают три типа длинноволновых
возмущений; соответствующие им искажения пространственной структуры
течения схематически показаны на рис. 151. Первый из них (рис. 151, а)
связан с двумерной модуляционной неустойчивостью Экхауза, обусловлен-
обусловленной ростом возмущений с К у = О, Kz =? 0. Этот тип возмущений приводит
к неустойчивости всех пространственно-периодических движений, если вы-
выполнено неравенство C4.24). Другой тип опасных возмущений (рис.151, б)
Рис. 151. К структуре неустойчивости пространственно-периодических движений;
изображены линии постоянной фазы. Моды неустойчивости: а) Экхауза,^ зигзаго-
вая, в) типа косых уширений
соответствует Kz - 0, К Y Ф 0. Область устойчивости пространственно-пе-
пространственно-периодических волн исчезает, если
cos(i// -<//) + Л cos (^ - у) < 0. C4.32)
Эту моду по аналогии с неустойчивостью конвективных валов в горизон-
горизонтальном слое (см. § 36) можно назвать зигзаговой. Наконец, если ни одно
из условий C4.24) и C4.32) не выполнено, все пространственно-периоди-
пространственно-периодические движения могут, тем не менее, оказаться неустойчивыми из-за на-
растания возмущений с Ку Ф 0, Kz Ф 0 (рис. 151, в). Это имеет место,
252 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
если
,[cos(?-^_ cos(S-g') 1 f Г cos(^-^) У12 ^
[ COS \p COS l// J I [ COS if
+gl/
COS \jj
Аналогичная неустойчивость также была обнаружена для течений в гори-
горизонтальном слое [36] и получила название "косой варикозной" (неустой-
(неустойчивость типа косых уширений).
Для вторичных движений, развивающихся в результате монотонной не-
неустойчивости плоскопараллельного течения с нечетными профилями
скорости и температуры, кр = \// = Л = 0, и из дисперсионного уравнения мож-
можно получить
О ул\ Z , Л у^, Л о J — U ^Л 2, U, Л о J ' 6 *^ у •
Отсюда следует, что трехмерные возмущения плоского вторичного течения
в этом случае менее опасны, чем двумерные, и их учет не изменяед условия
устойчивости C4.17) (напомним, что речь идет о такой ситуации, когда
и для основного плоскопараллельного течения наиболее опасны плоские
возмущения).
5. Длинноволновые вторичные течения. В предыдущем параграфе мы
привели ряд примеров амплитудных уравнений, отличающихся от обобщен-
обобщенного уравнения Гинзбурга — Ландау. Анализ устойчивости проведен лишь
для некоторых из них.
Вещественное уравнение с линейным оператором C3.36) при Хх = О
и с кубической нелинейностью, описывающее длинноволновую неустойчи-
неустойчивость равновесия в подогреваемом снизу горизонтальном цилиндре,
масштабным преобразованием C4.1) приводится к виду
Ограниченные стационарные решения даются формулой C4.13) с 0О = О
или я. В бесконечной области устойчивыми явлляются однородные решения
А - ± 1 и "солитоны" А = ± th[(Z - Zo)/\/2]. В области конечных разме-
размеров с граничными условиями А@) = A(L) =0 условие устойчивости отби-
отбирает решения cL-2 JC(s)/ot.
Для двумерной конвекции в горизонтальном слое между твердыми
теплоизолированными границами имеем уравнение C3.35), которое над-
надлежащим масштабным преобразованием приводится к виду
Лт +AZZZZ +AZZ - (A3)zz = 0.
Стационарные решения задачи
/ 2s2 Z-Zo
А = V sn , ,
§ 35. ТЕЧЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ 253
где модуль эллиптической функции изменяется в пределах 0 < s < 1, не-
неустойчивы при любых s [37]. Численные эксперименты свидетельствуют
о неустойчивости стационарных решений для амплитудных уравнений с
более общим видом нелинейности [7].
§ 35. Вторичные конвективные течения в вертикальном слое
Для движений за пределами припороговой области провести общее
рассмотрение не удается; устойчивость каждого конкретного течения
необходимо исследовать отдельно. Эта задача является весьма трудоем-
трудоемкой. Даже в наиболее простом случае, когда в надкритической области
реализуются двумерные стационарные пространственно-периодические вто-
вторичные течения, исследованию их устойчивости должен предшествовать
численный расчет вторичных течений, зависящих от длины волны как от
параметра. В настоящем параграфе мы рассмотрим задачу устойчивости
стационарных пространственно-периодических течений в вертикальном
слое жидкости, на границах которого поддерживаются постоянные раз-
разные температуры.
1. Ветвление пропранственно-периодических решений. Двумерная кон-
конвекция в замкнутом вертикальном слое описывается следующей крае-
краевой задачей (единицы указаны в § 33) :
C5.1)
ЬАф
bt
ЬТ
bt
х = ±
z-+±
Здесь
D(f,
D(x,
¦ + -
D(x
D(x, z)
1:
°°:
g)
z)
r= +
iri,
Эх
At
.z)
1,
1*
bg
dz
+
1
A T-
Pr
ф = дф1дх =
Э/ dg
dz Эх
бТ
ГГ Эх'
0:
Э2
А~Эх2
Э2
9z2
C5.2)
Будем рассматривать область Pr < Pr* ^12, где плоскопараллельное те-
течение с ростом Gr теряет устойчивость по отношению к монотонно на-
нарастающим возмущениям.
В надкритической области течения, описываемые задачей C5.1),
C5.2), могут быть весьма разнообразными. Ограничимся расчетом и
исследованием устойчивости только периодических течений, для которых
Условие ограниченности при z -+ ± °° заменено на условие периодичности
U(x9 z + 2п/к) = U(x, z); U = (ф, Т). C5.3)
254 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Обсудим прежде всего ветвление пространственно-периодических дви-
движений вблизи нейтральной кривой Gr = G^°\k) плоскопараллельного те-
течения UQ. Аналогично тому, как в § 33 было выведено уравнение для
возмущений с волновыми числами вблизи кт при Gr ^ Grw, можно полу-
получить нелинейное эволюционное уравнение для возмущения с произвольным
волновым числом к при Gr, близком к О(°\к), Для этого введем U' =
- U — UOt U' - (ф', Т') и запишем задачу для U' в матричном виде
ъи' , i
bt 2
ф' = Ъф'1Ъх=Т' = О\ C5.4)
В переменных ф\ Тт выражения для операторов *S, F, N отличаются от вве-
введенных в § 33, а именно
.' / Э „ Э \ Gr —
Д 0\ / Д2 +Gi ( -и0—Д + ио~) Эх
, F = \ \ dz bz/
0 1/ 1 Э 1 Э
1Л — Vjrl Vq
Pr bz,
D(z, x) D(z, x)
Введем разложения
I e"U{n\ Gr-G@)(^)= S e"G(n) C5.5)
п=1 п-\
~ е
и набор времен t}~ еЧ, / = 01,..., так что
bt / = o ЭГ/
Условие существования ненулевого решения уравнений в первом поряд-
порядке по б определяет G^°\k)\ само решение имеет вид
(О . (О fl(i)v (О (О*
Будем нормировать решение условием <рх @) = 1. Можно показать
[38], что при некотором выборе начала отсчета координаты z стационарное
вторичное течение обладает следующими свойствами инверсионной
§ 35. ТЕЧЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
255
симметрии:
ф(- х, -z) = ф(х, z), T(-x,-z)= - Т(х, z) . C5.6)
Повторяя процедуру, описанную в § 33, получим в третьем порядке
по е обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение
da
(о)
эх
х , ~~ к\к>) \ а \ а , ^jj./j
Jr2 Э Gr
отличающееся от C3.23) отсутствием зависимости амплитудной функции
^(o) от "медленной" координаты.
Определим параметр е в разложениях C5.5) как стационарную ампли-
амплитуду неплоскопараллельной составляющей вторичного движения; это оз-
означает, что стационарному пространственно-периодическому решению урав-
уравнения C5.7) отвечает cf0^ = 1. Тогда
ЭХ/Э Gr
При G^2' > 0 вторичное движение ответвляется в надкритическую область,
а при 6^2) < 0 - в подкритическую; в первом случае, как можно видеть
из C5 7), оно устойчиво (на классе функций, удовлетворяющих условию
периодичности) , а во втором — неустойчиво.
Результаты расчетов характеристик вторичных течений вблизи нейтраль-
нейтральной кривой приведены в [38]. График G^2\k) изображен на рис. 152.
При любом числе Прандтля функция G^2\k) испытывает разрыв в неко-
некоторой точке k =ks, определяемой условием G^0\ks)=G^°\2ks); G^2\k) >
> 0 при к > ks (в том числе при к = кп1) и GB \k) < 0 при к <ks. Жесткий
VI
Рис. 152. Коэффициент ветвления G^ ' (к) для Рг = О
Рис. 153. Режимы течения в окрестности точки к = ks, Gr
(ks)
256
ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
характер неустойчивости для к < ks объясняется тем, что при наличии
возмущения с волновым числом к в подкритической области Gr < G^°\k)
нелинейные члены в уравнениях генерируют возмущение с волновым чис-
числом 2к, попадающим в интервал неустойчивости.
Ветвление пространственно-периодических решений вблизи к = kSi
Gr = G^°\ks) требует особого рассмотрения [39, 40]. Введем обозначения
для декрементов возмущений плоскопараллельного течения: Xi = \(k),
Х2 = ХBк). Если Xj > 0, Х2 > 0, то единственным стационарным режимом
является плоскопараллельное течение. В области Xi > 0, Х2 < 0 (т.е.
G^°\2k) < Gr < G^°\k), что возможно при к < ks) существуют следую-
следующие устойчивые режимы течения: 1) двухвихревое инверсионно-симметрич-
инверсионно-симметричное стационарное движение с периодом тг/к (область / на рис. 153) ; 2) ин-
инверсионно-симметричное стационарное движение с периодом 2п/к (об-
(область //); 3) инверсионно-симметричные стоячие колебания, при которых
интенсивность соседних вихрей периодически меняется во времени в проти-
вофазе (область III); 4) колебательный процесс с нарастающим периодом
(область IV). Фазовые траектории для области IV показаны на рис. 154.
Здесь ах = аХг + ialh а2 = а2г - амплитуды возмущений с волновыми
числами к и 2к\ точки А и В отвечают движениям с периодом тт/к и связаны
сепаратрисами, которые обозначены сплошными и штриховыми линиями.
Система длительное время находится в окрестности седловых точек (| ах \ <
< 1), т.е. реализуется движение, близкое к двухвихревому. Время от вре-
времени, однако, происходят переходы между окрестностями точек А и В.
В отсутствие в системе шума интервалы между перестройками неограничен-
неограниченно нарастают с течением времени (рис. 155). При наличии шума перестрой-
перестройки происходят через примерно равные промежутки времени, определяемые
уровнем шума. Существование сепаратрисного контура связано с инвер-
инверсионной симметрией задачи; сколь угодно слабое нарушение этой симмет-
а2г
Л
л
л
/ У
г
J
у i
\ 10
\
-5
-10
Рис. 154. Притягивающий сепаратрисный контур
Рис. 155. Амплитуда одновихревой составляющей движения в зависимости от времени
в отсутствие шума (Рг = 0, Gr = 800, к =0,84; расчет по методу Галеркина [ 42])
§ 35. ТЕЧЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ 257
рии приводит к исчезновению сепаратрисного контура и возникновению
предельного цикла (регулярных колебаний с большим периодом). При
Хх < 0 (Gr >G^°\k)) возможно инверсионно-симметричное стационарное
движение (область V) и два движения в виде волн стационарной формы,
не имеющих инверсионно-симметричного характера и бегущих соответ-
соответственно вверх и вниз (область VI).
При немалых Хх и\2 возможна еще одна разновидность вторичных дви-
движений [40]: бегущие волны с периодически меняющейся формой, соот-
соответствующие фазовым траекториям в виде обмотки тора.
Расчеты пространственно-периодических движений на основе метода Га-
леркина [41] и метода сеток [42] подтвердили существование всех опи-
описанных выше типов пространственно-периодических движений. При этом
было установлено, что области существования стационарных движений
с к < ks, соответствующих структуре с чередующейся интенсивностью
вихрей, инверсионно-симметричных колебательных движений и бегущих
волн переменной формы, на плоскости (к, Gr) относительно невелики.
Основными являются инверсионно-симметричные движения с периодом
2тт/к при к > ks и периодом чт/к при к < kSi инверсионно-асимметричные
движения в форме бегущих волн и колебания с неограниченно нарастаю-
нарастающим периодом.
2. Устойчивость стационарных пространственно-периодических движений
(произвольные двумерные возмущения). Учтем теперь возможность малых
возмущений, нарушающих условие периодичности. Пусть 11{фу T) — стацио-
стационарное решение задачи C5.1), C5.2) с периодом 2тт/к, и начало координат
выбрано так, что выполняются условия симметрии C5.6). Для малого
нормального возмущения Ue~ot = (ф, T)e~ot имеем линейную краевую
задачу
дТ О(ф,Аф) О(ф,Аф)
оАф+ААф+Gv = 0,
дх D(x, z) D(x, z)
1 О(ф, T) О(ф, T)
GT+—AT —— -!—-L =0; C5.8)
Pr D(x,z) D(x,z)
z ~>± о©: | ф |, | T | <°°.
В качестве коэффициентов в уравнения входят функции, периодические
по z с периодом 2п/к] поэтому ограниченные решения имеют вид функций
Флоке — Блоха:
U(x, z) = u(x, z)exp(*z), и = (ф, в);
u(xz)
Вещественный параметр к ("квазиволновое" число возмущения) определен
с точностью до целого кратного к и может быть выбран в пределах зоны
Бриллюэна \к\<к/2.
258 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Подставляя C5.9) в C5.8), получаем краевую задачу на собственные
значения для определения декремента а:
г7 + г Ъв D^'
) ф +Gr
ik
Эх D(x, z) D(x,z) Эх
ЬАф ~
Эх
~ 1 ~ йСф, Т) ?>О//,0) ~ Ъф ~ ~ ЭГ ~
а0+—2H —— ^——-ik—- в +ik ^ = 0,
Pr D(x,z) D(x,z) Эх Эх
2) =A + 2/i 5t2; C5.10)
bz
х = ± 1: ^ = !)
^(х, z + 2яД) = ф(х, z), в{х, z + 2п/к) = 0(х, z).
Задача определяет набор собственных функций ып(х, z) и собственных
значений оП9 зависящих от волнового числа основного движения к и от
квазиволнового числа возмущения к. Будем нумеровать величины оп в
порядке возрастания вещественных частей оГ) г <ori2 ^ • • • Можно пока-
показать, что либо о вещественно, либо существуют две моды с комплексно-
сопряженными декрементами. Для суждения об устойчивости достаточно
провести расчет нижней ветви спектра декрементов ох. Применим следую-
следующую численную методику.
Рассмотрим нестационарную задачу, получаемую из C5.10) заменой
-а -* Э/Эг. Будем предполагать, что произвольное начальное возмущение
ы(х, z, 0) может быть представлено в виде разложения
сю ^
й{х, z,0)= 2 anun(x,z),
п = 1
а эволюция возмущения со временем определяется формулой
u(x,z,t)= ? anun(x,z)e~°nt. C5.11)
A2 = l
Асимптотика решения C5.11) при t -> °° для вещественного невырож-
невырожденного ох такова:
и(х, z, t)^
для комплексного аг имеем
й(х, z, t)^axux(x, z)e~O1 f +02riwi(x, z)e~°*f\
П?1 =(^(-x,-z), -e\(~x,-z)).
Декременты в первом и втором случаях могут быть найдены соответствен-
35. ТЕЧЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
259
но по формулам
пл (к) = - lim
dt r
1 d * ~ ^^
ox r(k) = lim —\п\фгфг-ф;\9
2 f-> oo (jt
C5.12)
C5.13)
где точка означает дифференцирование по Г, а функция фг =Яеф вычис-
вычисляется в произвольной точке расчетной области.
Описанный способ расчета о1зГ(к) был реализован в [43]. Как основное
движение, так и эволюция возмущений рассчитывались методом сеток.
Подробное описание методики приведено в [44].
Перейдем к изложению численных результатов. Сводная карта устойчи-
устойчивости стационарных пространственно-периодических движений приведена
на рис. 156.
При небольшой надкритичности характерна неустойчивость Экхауза;
граница интервала устойчивости (линия 1) определяется условием
(92ai/3fc2)~_ = 0. Изображена также граница C4.17), определяемая
асимптотическим методом (линия 1!).
Правая граница области устойчивости определяется модой экхаузовско-
го типа. На левой границе с ростом Gr происходит смена различных типов
2000
1900
Рис. 156. Границы области устой-
устойчивости пространственно-перио-
пространственно-периодических вторичных течений
(Рг = 1); штриховая линия -
граница устойчивости плоскопа-
плоскопараллельного течения (расчет ме-
методом сеток)
Рис. 157. Границы области устой-
устойчивости пространственно-перио-
пространственно-периодических вторичных течений
(Рг = 0; область устойчивости
заштрихована) [ 451 Штриховая
линия - граница устойчивости
плоскопараллельного течения
600
Gr
550
500
\\
- ^V
Щ
1 Г
г Pf
too
t,50
260 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
неустойчивости. Уже при сравнительно небольших Gr — Grm с уменьшением
к прежде всего начинают нарастать возмущения с некоторым конечным
к - к* (линия 2) ; при дальнейшем уменьшении к интервал неустойчивости
по квазиволновому числу расширяется, достигая точки к-к\2 на линии
3, С ростом числа Грасгофа к* возрастает вплоть до значения к/2 при Gr ^
» 800; выше этого Gr линия 3 определяет границу области устойчивости
Линия 4 соответствует колебательной неустойчивости с квазиволновым
числом к = к/2. Линия 5 соответствует моде неустойчивости, приводящей к
появлению инверсионно-асимметричных бегущих волк; эти возмущения,
однако, не являются наиболее опасными.
3. Трехмерная неустойчивость. Как было показано в § 34, для стационар-
стационарных инверсионно-симметричных вторичных движений в припороговой
области трехмерные возмущения менее опасны, чем двумерные, и их учет
не изменяет условия устойчивости C4.17). Вопрос о поведении трехмер-
трехмерных возмущений конечно-амплитудных вторичных движений требует осо-
особого рассмотрения. Такое рассмотрение было проведено в работе Нагаты
и Буссе [45] с помощью метода Галеркина в рамках чисто гидродинами-
гидродинамического подхода (Рг = 0). Результаты расчетов представлены на рис. 157.
Помимо двумерной неустойчивости Экхауза (линия i), уже'при неболь-
небольшом превышении критического числа Грасгофа появляются две моды
трехмерной неустойчивости. Граница, обозначенная линией 2, отвечает мо-
монотонной, а расположенная выше линия 3 - колебательной моде. Таким
образом, учет трехмерных возмущений приводит к существенному сокра-
сокращению области устойчивости двумерных вторичных движений, по край-
крайней мере при Рг = 0.
Следует заметить, что полученное численно пересечение линии 2 с
нейтральной кривой плоскопараллельного течения при fc ^ 1, 6, которое
может быть интерпретировано как неустойчивость плоскопараллельного
течения по отношению к трехмерным возмущениям, противоречит резуль-
результатам линейной теории устойчивости плоскопараллельного течения (§7)
и свидетельствует, по-видимому, о недостаточной точности расчетов.
При сопоставлении результатов исследования устойчивости пространст-
пространственно-периодических течений относительно плоских возмущений (рис. 156)
и трехмерных возмущений (рис. 157) нужно иметь в виду, что расчеты от-
относятся к разным значениям числа Прандтля Рг. Зависимость же резуль-
результатов от Рг может оказаться весьма существенной, - именно так обстоит
дело в случае пространственно-периодических течений в горизонтальном
слое (см. § 36).
Монотонная трехмерная неустойчивость приводит к развитию трехмер-
трехмерных (третичных) стационарных движений. В [45] приведены результаты
расчета (методом Галеркина) трехмерного движения, периодического по z
и по у с периодами 2ir/kZ9 2irlky (kz = 0,65; ку = 1). При Gr ~ 690 трех-
трехмерное течение становится неустойчивым по отношению к колебательным
возмущениям.
§ 36. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ 261
§ 36. Пространственно-периодические течения
в горизонтальном слое
Конвекция в горизонтальном слое, подогреваемом снизу, является
объектом изучения в течение длительного времени (см. монографии [4,
46]). Результаты последних теоретических и экспериментальных исследо-
исследований приведены в обзорах [36, 47]. Ограничимся обсуждением некото-
некоторых принципиальных особенностей задачи.
В простейшем случае, когда физические параметры жидкости предпо-
предполагаются постоянными, система уравнений, описывающих конвективное
течение в горизонтальном слое, может быть записана в виде
3v 1
— + (vV) v = - Vp + Av + Ra Гу,
bt Рг
ЪТ
Pr — + vVr~v7=Ar, divv = 0, C6.1)
bt
где Ra - g@Ad4/(р\) -число Рэлея (А - равновесный градиент температу-
температуры, d - толщина слоя) . Температура Т отсчитывается от равновесного
распределения, соответствующего градиенту А. Условия на твердых изо-
изотермических границах:
z = 0, I: v = 0, Г = 0. C6.2)
Решение v = 0, Г=0, соответствующее механическому равновесию, те-
теряет устойчивость по отношению к монотонным возмущениям, когда
число Рэлея превосходит критическое значение Ram.
Отличительной чертой задачи C6.1), C6.2) является инвариантность
относительно вращений в горизонтальной плоскости, вследствие которой
декременты нормальных возмущений равновесия \(к) не зависят от на-
направления волнового вектора к. В результате нарастания возмущений с
различными направлениями волнового вектора могут формироваться
пространственно-периодические движения разной структуры (конвектив-
(конвективные валы, прямоугольные и гексагональные ячейки), а также движения,
содержащие разного рода структурные дефекты.
1. Пространственная структура движений. Поскольку в горизонтальном
слое имеет место бесконечное вырождение декремента по направлению вол-
волнового вектора к, описание движений требует, вообще говоря, введения
бесконечного числа амплитуд. Задача существенно упрощается в случае,
когда конвективное движение в нужном порядке по некоторому малому
параметру € может быть представлено в виде суперпозиции дискретного
набора плоских волн с волновыми векторами ± кг (/ = 1, 2, ..., N). Такая
ситуация имеет место для пространственно-периодических движений в фор-
форме валов (N= 1), прямоугольных (N= 2) и гексагональных (N=3) ячеек.
Используя обозначения § 33, запишем решение нелинейной задачи C6.1),
C62) в первом порядке по малому параметру е:
4%) 2 (e}0)e*'r + ^0)V*'r). C6.3)
/= 1
262 ГЛ. VII, ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Здесь U^1^ = (И1', ГA\ р^), г - радиус-вектор в горизонтальной
плоскости (х, у). Для простоты полагаем, что при всех / значения*| kl \
одинаковы и равны критическому волновому числу кт.
Вывод уравнений для амплитуд аналогичен приведенному в § 33. Систе-
Система амплитудных уравнений, получаемая из условий разрешимости в
третьем порядке по малому параметру, приводится к виду (ср. C3.27)):
dat N
—-=-X(A:w,Ra)^- S Kz/lfl/14 (/= 1,2,. . . ,7V). C6.4)
at / = l
Здесь X(fcm, Ra) - декремент, определяемый линейной задачей устойчи-
устойчивости равновесия; к1}- - симметричная матрица коэффициентов, завися-
зависящих только от угла между векторами kt и kj (см. [48]). Диагональные
элементы кп в силу изотропности задачи в плоскости (х, у) равны между
собой; мягкий характер возбуждения, устанавливаемый с помощью ва-
вариационного принципа (см. [4]),обусловливает неравенство кп = к > 0.
Введем масштабные преобразования (полагаем Ra > Raw): r =
= -X(km, Ra)f, At = (- к/АI l2at и обозначим r{ - \ А{ |2, B(J = к^\к. Тогда
система C6.4) запишется так:
drx *
=2г,A - Z Blfrf), /=1,2,.. .,7V C6.5)
dr / = i
(диагональные элементы 5// = 1). Предельными состояниями системы при
t -* °° могут быть только стационарные режимы. В работе Шлютера, Лортца
и Буссе [48] было показано, что матрица Вц обладает свойством
Вif > 1, / */, C6.6)
и установлено, что в этом случае устойчивыми являются лишь те стацио-
стационарные режимы, для которых отлична от нуля только одна из величин гх.
Таким образом, в горизонтальном слое с твердыми изотермическими гра-
границами единственной устойчивой формой пространственно-периодической
конвекции в припороговои области являются двумерные валы.
При определенных модификациях задачи (к ним относится, например,
случай слабой теплопроводности границ слоя) соотношение C6.6) может
нарушиться для некоторых значений угла между векторами к{ и к}\ тогда
устойчивыми могут оказаться стационарные движения более сложной
пространственной структуры (см., например, [49]).
Упомянем также своеобразную ситуацию, которая имеет место для
конвекции в горизонтальном слое, вращающемся вокруг вертикальной
оси. Коэффициенты Вц в этом случае определяются не только углом между
к{ и kj, но и направлением вращения от кг к kj\ поэтому матрица Bjj не
симметрична. При достаточно больших скоростях вращения для некоторого
интервала углов между к{ и kj имеют место соотношения Bjj < 1, Вц > 1.
В этом случае в системе происходят перестройки ориентации системы ва-
валов, причем интервал времени между последовательными перестройками
возрастает [36] (это связано с наличием у динамической системы C6.5)
36. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
263
притягивающего сепаратрисного контура). С подобной ситуацией мы уже
сталкивались в § 35, рис. 155.
Существенное влияние на пространственную структуру конвективных
движений в припороговой области оказывают такие осложняющие факто-
факторы, как зависимость физических параметров жидкости от температуры
[50], нарушение линейности равновесного профиля температуры [51],
термокапиллярный эффект [52] и др. При наличии какого-либо из пере-
перечисленных факторов система амплитудных уравнений требует модифика-
модификации для движения с гексагональной пространственно-периодической струк-
структурой (N = 3), волновые векторы которого расположены друг к другу
под углами 120°. Для этого движения уже во втором порядке по е вместо
набора линейных уравнений типа C3.20) получается нелинейная система
амплитудных уравнений, одно из которых имеет вид
da\
(о)
ЭХ
@) , р @)* @)*
a i + Га2 а3
dtx V3Ra/m
а остальные два получаются циклической перестановкой индексов у ам-
амплитуд.
Нетрудно убедиться, что при Г Ф 0 полученная система уравнений обла-
обладает решениями, обращающимися в бесконечность за конечное время;
это свидетельствует о неприменимости такого подхода. Если, однако,
коэффициент Г мал, то связанные с ним квадратичные нелинейные члены
могут быть включены в систему амплитудных уравнений C6.4), которая
после применения масштабного преобразования г = (Г2 /к)Г, Ах = (к/Г)я/
принимает вид
dAx
dr
+ В\АЪ\2)А,
C6.7)
пропорционален надкритичности.
циклической перестановкой ин-
где В = к\2/к, а параметр 7 = -Хк/Г2
Остальные два уравнения получаются
дексов.
Рассмотрим случай В > 1, когда в отсутствие квадратичного члена
единственной устойчивой формой движения являются валы. На рис. 158
изображены амплитудные кривые для различных типов стационарных
режимов. Линия 1 соответствует движениям в форме конвективных валов
Рис. 158. Зависимость амплитуды от параметра
надкритичности для валов и гексагонов (сплош-
(сплошные линии - устойчивые состояния, штрихо-
штриховые - Неустойчивые)
i
у, о
Ъ Уз
264 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
(Аг Ф О, А2 = Аъ = 0), 2-4 — правильным гексагональным ячейкам
(\АХ | = | А2\ = Мз1)> 5 - гексагональным ячейкам неправильной формы
(I А! | =? | А2 I = I i431). Характерные точки таковы:
1 1 _ В+2
71 ~~ 4B5 + 1) ' Т2 ~ (Я-1J ' У*~ (В-If
В интервале 7з < 7 < Тз устойчивы как правильные гексагональные ячей-
ячейки, так и валы. При изменении параметра надкритичности смена режимов
сопровождается гистерезисными явлениями. Если появление квадратич-
квадратичного члена в амплитудном уравнении обусловлено температурной зависи-
зависимостью вязкости, то в случае, когда вязкость убывает с температурой,
линиям 2 и 3 соответствуют ячейки с восходящим движением на оси, а 4 -
с нисходящим; при возрастании вязкости ситуация противоположна.
2. Устойчивость пространственно-периодических движений. В преды-
предыдущем пункте изучалась устойчивость пространственно-периодических
вторичных движений по отношению к возмущениям той же структуры.
Такая упрощенная постановка задачи оказалась достаточной, чтобы отбра-
отбраковать заведомо неустойчивые пространственные структуры. В настоящем
пункте рассматривается устойчивость по отношению к произвольным
малым возмущениям.
Рассмотрим сначала припороговую область. Повторяя вывод амплитуд-
амплитудных уравнений C6.4) с сохранением зависимости амплитудных функций
от "медленных" пространственных переменных, можно прийти к системе,
аналогичной C3.26):
Э#/ л .
— = - \?ктя, - /V, Ra)fl7 - Z KVI aj\2ab C6.8)
bt j
л
Здесь rij = ki/km — единичный вектор, а оператор X/ имеет вид
Э2Х\ / Э / Э2 V / ЭХ \
) () () (Ra-Raw);
Х/ (т) (;) (
1 2\Ък2 Jm\ дх, 2кт Ъу]) V Э Ra
*/ = rni > Уi = rli > Li ~ единичный вектор в плоскости (х, у), перпендику-
'лярный к Л/. Масштабным преобразованием система C6.8) приводится
к виду [1J
Э2 V
/=1,2,... ,N. C6.9)
Выше отмечалось, что устойчивыми могут быть только движения в фор-
форме двумерных валов. Такие движения можно охарактеризовать единствен-
единственной отличной от нуля амплитудной функцией:
Ах{Х1уКо) = Ф -К%е*К*х*+1в\ \К0\<1 C6.10)
(связь между параметром А^о и волновым числом к описывается форму-
формулой C4.9) ).
§ 36. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ 265
Исследуем устойчивость движений C6.10). Рассмотрим сначала возму-
возмущения А1 амплитудной функции Al9 которые соответствуют длинноволно-
длинноволновой пространственной модуляции исходной периодической структуры
и описываются уравнением
all / э 1 э2 \ ~ ~
Ът \дХг 2 ЪУ\)
Нормальные возмущения имеют вид
Декремент при малых Кх, Ку определяется формулой
_ \-3Kl ~2 ~2
а-—- -у Кх +К0Ку.
1 —А о
Можно видеть, что существуют два типа длинноволновых неустойчивостей,
ограничивающих интервал волновых чисел вторичных движений. При
Ко > 1/3 имеет место неустойчивость Экхауза (Кх Ф 0, Ку = 0; см.
рис. 151, а). При ^Го < 0 (т.е. k < km) возникает загзаговая неустойчи-
неустойчивость (Кх = 0, Ку Ф0; см. рис. 151,6),
Рассмотрим теперь возмущения А2 с волновым вектором к2, составляю-
составляющим с кх угол \р. Его амплитуда удовлетворяет уравнению
ЪА2 / Э i Э2 \2~
[ г ) А2 + [1 -^i2(^)Mil Й2.
2 ЭГ2/ ^
[
Эт \Э*2 2
Нормальные возмущения имеют вид А2 = Сехр[/ (КХХ2 + KyY2) —or].
Наиболее опасная мода нарастает при Kq > 1
Используя свойства функции Bi2(v), вычисленной в [48], можно уста-
установить [36], что при умеренных и больших числах Прандтля наиболее
опасным типом возмущений, ограничивающих область устойчивости движе-
движений по волновому числу справа, являются возмущения с <р = я/2 (неустой-
(неустойчивость типа поперечных валов), а при достаточно малых Рг правую гра-
границу области устойчивости определяют возмущения Экхауза. Левая гра-
граница интервала устойчивости всегда связана с зигзаговой неустойчивостью.
Уточнение системы C6.9) в следующем порядке по е [53] делает не-
необходимым введение дополнительной амплитудной функции, описываю-
описывающей горизонтальное ("дрейфовое") течение жидкости. С этой компонен-
компонентой связано появление при малых Рг неустойчивости типа косых уши-
рений (см. рис. 151, в), которая характеризуется конечным отношением
Ку1Кх при \К\~>0.
Перейдем теперь к изложению результатов исследования устойчивости
конечно-амплитудных конвективных валов, которое было предпринято в
^рии работ Буссе и соавторов [54-57]; см. также обзор [36]. При
расчете основного течения и устойчивости применялся метод Галеркина.
266
ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Численные расчеты подтвердили, что при значениях числа Прандтля
Pr^l существенна неустойчивость Экхауза. Монотонная зигзаговая не-
неустойчивость оказалась важной и была обнаружена экспериментально
[58] (см. рис. 159, а) только при достаточно больших Рг. Ее нелинейное
развитие приводит к установлению валов с другим волновым вектором.
При Pr<C t граница зигзаговой неустойчивости быстро смещается в об-
область длинных волн. В этом случае, однако, существенным становится
нестационарный вариант зигзаговой моды (колебательная неустойчивость).
Пороговое значение числа Рэлея колебательной моды снижается с умень-
уменьшением Рг, что подтверждается экспериментом [59].
В области умеренных значений числа Прандтля важную роль играет
неустойчивость типа косых уширений. С этой неустойчивостью связано
экспериментально наблюдаемое уменьшение волнового числа конвектив-
конвективного движения с ростом числа Рэлея [60].
В отличие от перечисленных выше мод, которые вызывают длинно-
длинноволновую модуляцию исходной периодической картины течения, неустой-
неустойчивость типа поперечных валов связана с развитием новой системы валов,
перпендикулярных к исходным (рис. 159, б); волновое число наиболее
', ~ "*?* \
а
Рис. 159. Неустойчивости стационарных конвективных валов: а) зигзаговая, б) типа
поперечных валов (фото из работы [58]; силиконовое масло, Рг » 1О0)
Рис. 160. Предельные структуры неустойчивости конвективных валов: а) бимодальная
(фотография из работы [58]; силиконовое масло, Рг « 100), б) "сщщевидная" (фо-
(фотография из [56]; метиловый спирт, Рг « 7)
§ 36. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
267
опасных возмущений данного типа больше или порядка кт. При небольшой
надкритичности эта неустойчивость приводит к установлению новой систе-
системы валов с другим волновым числом. В случае достаточно больших крити-
критических Ra неустойчивость типа поперечных валов приводит к развитию
трехмерной бимодальной конвекции (рис. 160, а). При малых и умеренных
значениях числа Прандтля с ростом Ra волновое число критических возму-
возмущений типа поперечных валов существенно уменьшается. Длинноволновая
форма этой моды получила название узелковой неустойчивости; она при-
приводит к развитию трехмерных "спицевидных" структур (рис. 160, б). При
промежуточных значениях числа Прандтля проявляются еще две трехмер-
трехмерные колебательные моды неустойчивости, получившие название "капель-
"капельных".
Области устойчивости двумерных валов ("области Буссе") для разных
чисел Прандтля представлены на рис. 161.
Ra
to"
w3
' 5
I I I I
^ *
to"
ffl3
\
I \
- 9§§
i
Pr =0,71
V
1 1 1 1
6
2 3 4k
"uc. 161. Диаграммы устойчивости конвективных валов для разных чисел Прандтля
[54, 56]. Области устойчивости заштрихованы. Штриховые линии - нейтральные кри-
кривые устойчивости равновесия. Обозначения мод: Э - Экхауза, 3 - зигзаговая, ПВ -
поперечных валов, У - узелковая,КУ - косых уширений,А* — колебательная
268 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Следующие из теории Буссе зависимости критических чисел Рэлея от
Рг для различных типов неустойчивости подтверждены экспериментами
[60], в которых производилось варьирование числа Прандтля от 2 до 20
(вода и этанол при разных средних температурах).
Вследствие ограниченности области Буссе, с ростом числа Рэлея неизбеж-
неизбежно происходит переход от движений в форме двумерных стационарных
валов к движениям более сложной пространственной структуры — бимо-
бимодальным, спицевидным или нестационарным - в зависимости от числа
Прандтля. Изучение дальнейшей эволюции картины конвекции при увели-
увеличении Ra требует исследования устойчивости подобных движений, которое
в настоящее время только начинается (см., например, работу [61], где
изучалась устойчивость бимодальных структур).
Предприняты попытки проследить этапы перехода от ламинарной кон-
конвекции к турбулентной в подогреваемом снизу горизонтальном слое с по-
помощью так называемых маломодовых моделей (наиболее известной из них
является модель Лоренца [62]), использующих аппроксимацию течения
небольшим числом галеркинских функций. Однако минимальное число
функций, требуемое даже для качественного описания последовательности
переходов между движениями различной структуры, по-видимому, доволь-
довольно значительно (см. [63, 64]). Задача исследования ламинарно-хурбулент-
ного перехода для конвективных течений в горизонтальном слое усложня:
ется также вследствие необходимости учета гармоник с несоизмеримыми
волновыми числами, важная роль которых впервые была установлена в
работах С.Я. Герценштейна с сотрудниками (см. [65, 66]).
В заключение данного пункта остановимся на некоторых результатах,
относящихся к модификациям рассматриваемой задачи. Слабые эффекты
типа зависимости параметров жидкости от температуры, порождающие
квадратичные члены в амплитудных уравнениях, приводят к конкуренции
двух форм конвективных движений - валов и гексагональных ячеек. Для
валов, помимо перечисленных ранее типов возмущений, становятся сущест-
существенными резонансно взаимодействующие возмущения с волновыми векто-
векторами, составляющими углы 60° и 120° по отношению к волновому вектору
основного течения ("гексагональная" неустойчивость). С этими возмуще-
возмущениями связано появление новой границы неустойчивости, что приводит к
сокращению области Буссе для двумерных валов (рис. 162). Область устой-
устойчивости правильных гексагональных ячеек (| кх | = | к21 = I к3\ = к) лежит
внутри замкнутой кривой; максимальное и минимальное значения числа
Рэлея соответствуют к = кт. Упомянем здесь также работы, посвященные
исследованию устойчивости конвективных движений в горизонтальном
слое с внутренними источниками тепла [67] и при наличии термокапил-
термокапиллярного эффекта [68].
Хотя амплитудные уравнения C6.9) были предложены в [1] для кон-
конвекции в слое с обеими свободными границами, в действительности этот
случай (кроме предела Рг -* °°) системой C6.9) не описывается. Дело в
том, что условия на свободных границах допускают двумерное движение
vz = 0, vx = vx(x, у), vу = vy(x, у) с профилем скорости, не зависящим от
§ 36. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
269
Рис. 162. Области устойчивости валов ( верти-
вертикальная штриховака) и гексагонов (горизонталь-
(горизонтальная штриховка) в случае температурной зависи-
зависимости параметров жидкости; большие числа
Прандтля G - параметр надкритичности, см.
рис 158). Штриховая линия - нейтральная кривая
устойчивости равновесия, Г - граница гексаго-
гексагональной неустойчивости
координаты z. Для его описания требуется введение еше одной амплитуд-
амплитудной функции. Анализ устойчивости проведен в [69—71]. Неожиданный
результат состоит в том, что выводы качественно отличаются от приведен-
приведенных выше для слоя с твердыми границами. Появляются новые моды не-
неустойчивости, сутцественно меняющие форму областей Буссе. В частности,
оказывается, что в некотором интервале значений числа Прандтля область
устойчивости валов вообще отсутствует.
К настоящему времени анализ устойчивости конечно-амплитудных валов
выполнен еще для целого ряда модификаций задачи. Назовем, в частности,
конвекцию в наклонном слое [72], в слое с движущимися границами [73],
МГД-конвекцию при наличии вертикального [74] и горизонтального [75]
магнитного поля, конвективную фильтрацию в пористой среде [76];
отметим также исследование устойчивости конвективных течений в ячейке
Хеле - Шоу [77].
3. Влияние боковых границ и дефекты структуры. В предыдущем пункте
рассматривалась устойчивость пространственно-периодических структур в
бесконечно протяженном горизонтальном слое. В реальной ситуации, одна-
однако, всегда присутствуют боковые границы. В § 33 цитировалась работа
[13], согласно которой при определенных условиях на боковых границах
интервал допустимых волновых чисел значительно сужается. К аналогич-
аналогичным результатам привели численные эксперименты [78]. В этих работах,
однако, рассматривалась ситуация, когда валы расположены параллельно
боковым стенкам. Между тем эксперименты свидетельствуют о том, что
конвективные валы, как правило, стремятся ориентироваться перпенди-
перпендикулярно боковым стенкам. Это обстоятельство может быть объяснено тем,
что система валов, параллельная боковым стенкам, оказывается неустой-
неустойчивой по отношению к возмущениям с перпендикулярным направлением
волнового вектора [79].
Условие перпендикулярности валов к границам приводит к искажениям
пространственной структуры течения. Движения, для которых в централь-
центральной части слоя реализуется пространственно-периодическая система валов,
наиболее естественным образом возникают при прямоугольной конфигу-
конфигурации боковых границ; при этом валы ориентируются перпендикулярно
270 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
длинной стороне прямоугольника. Вблизи короткой боковой границы
структура искажается: имеет место искривление валов или наложение
системы валов другой ориентации.
При естественном возникновении конвекции, когда не используются
специальные приемы формирования регулярных течений, как правило,
имеют место различные дефекты структуры. Распространенным типом
дефектов являются дислокации. При небольших надкритичностях они
обычно вытесняются из объема жидкости, полностью исчезая или
сохраняясь вблизи боковой границы. Возникновение и движение дислока-
дислокаций является одним из типичных механизмов, посредством которых
осуществляется изменение волнового числа при изменении числа
Рэлея [80].
Наиболее сложные картины движения, содержащие многочисленные дис-
дислокации и границы между системами валов с различной ориентацией,
наблюдаются в процессе установления при естественном возбуждении
конвекции в слоях с цилиндрической границей. Процесс установления
стационарного состояния оказывается весьма длительным. В некоторых
экспериментах вообще не удавалось получить стационарное движение [81].
Следует отметить, однако, что с помощью искусственно накладываемого
граничного возмущения в эксперименте удается сформировать регулярное
движение в виде системы концентрических валов. При не' слишком
большом отношении радиуса цилиндра к высоте осесимметричная
структура сохраняется после снятия граничного возмущения. Интересно,
что условие замкнутости радиального потока однозначно определяет волно-
волновое число осесимметричного движения в цилиндрической полости [82].
Прямое численное моделирование конвекции в полостях с большим от-
отношением горизонтального размера к вертикальному на основе системы
C6.1), C6.2) сильно затруднено вследствие трехмерного характера движе-
движения. Исследование нестационарной эволюции слабых искажений системы
параллельных валов, описываемых единственной амплитудной функцией,
производилось в [83]; сравнение различных типов движений (текстур)
на основе расчета функционала Ляпунова - в [84].
В ряде работ моделирование процесса формирования конвективных
структур с учетом боковых границ и дефектов осуществляется на основе
модельных уравнений. Примером может служить модель Свифта - Хоэн-
берга [85]:
где ф — вещественная функция, связанная с амплитудами а}, введен-
введенными в п. 2:
Уравнение C6,11) адекватно аппроксимирует линейный рост возмущений,
но существенно упрощает характер нелинейного взаимодействия компо-
компонент с различными волновыми векторами. Это уравнение справедливо толь-
§ 37. ВОЛНИСТОСТЬ И МОДУЛЯЦИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ 271
ко для системы слабо искривленных валов в припороговой области [84],
где оно эквивалентно C6.9). Как показано в [86], наиболее существен-
существенным недостатком моделей, использующих единственную амплитудную
функцию, является невозможность учета возникающего при искривлении
валов крупномасштабного горизонтального (дрейфового) течения, кото-
которое требует для своего описания дополнительной амплитудной функции.
В [86] предложены модели, свободные от этого недостатка. Тем не менее
теории, количественно описывающей данный круг явлений, в настоящее
время не существует.
§ 37. Волнистость и пространственно-периодическая модуляция
температуры границ
В настоящем параграфе изучается конвекция в условиях стационарно-
стационарного пространственно-периодического внешнего воздействия. Рассмотрение
ведется преимущественно на примере конвекции в вертикальном слое с
периодически искривленными границами; эта задача решалась в работах
Л.П. Возового [87-89], а также в [90-93]. Обсуждается также влияние
на устойчивость периодической пространственной модуляции граничной
температуры.
1. Стационарная свободная конвекция в вертикальном слое с волнисты-
волнистыми границами. Рассмотрим плоское конвективное течение в вертикальном
слое, границы которого искривлены в противофазе по закону х =
= ±A +77 cos koz) и поддерживаются при постоянных различных темпера-
температурах. Как ив § 35, ограничимся обсуждением области Рг < Рг* , когда
в слое с плоскими границами неустойчивость имеет гидродинамическую
природу.
Применяя преобразование координат
х = jc/A +?7COsA:oz), z = z, C7.1)
спрямляющее границы слоя, получим систему дифференциальных урав-
уравнений в частных производных с коэффициентами, периодически зави-
зависящими от z:
bU 1
= MU + - N(U, U). C7.2)
D(z\x) ' D{z',x)
272 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Э2 дх1 Э2 Г/Эх' У /Ъх' \2 1 Э2
А = 7"^ + 2~Г~ Т~^~ +("^) + (^) ~~~ +
oz oz Ъх dz 1\ ох / \ oz / \ Ъх
Ъ2х' Ъ
3z2 Эл:'
Граничные условия:
х = ± 1: i// = З^/Зл:' = 0, Т = + 1;
.'-±«: Ш1ГК-. C?-3)
Рассмотрим стационарные решения задачи. Предположим сначала,
что параметр г? мал (слабая кривизна границ). Тогда операторы М, TV могут
быть представлены в форме
М = Мо + 2 г?иЛ/и, ЛГ = Л^о + S rinNn C7.4)
и = 1 и = 1
(Мо, Л/о не зависят от координаты z'), а решение естественно искать в
виде разложения
I- S т?"?/(и). C7.5)
и = 1
В качестве функции нулевого приближения U^ следует взять одно
из стационарных решений, описывающее конвекцию в слое с плоскими
границами. Функции U^ определяются последовательностью линейных
краевых задач:
/= l L 2 p = о
= ±
:' = Г(и) = 0; C7.6)
Выберем сначала в качестве G^°^ решение, соответствующее плоско-
плоскопараллельному течению, граница устойчивости которого определяется
критическим числом Грасгофа Gr = G^(k). Можно показать [90], что
в этом случае последовательность задач C7.6) разрешима, если ни при
каком целом / декремент ХAк0) для возмущений плоскопараллельного
течения не равен нулю, т.е. Gr Ф G^°\lk0). При этом функция (/явля-
(/является периодической по z с периодом 2тг/к0.
В точках Gr = G^°\lk0) система C7.6) неразрешима (расходимость
разложений C7.5) на нейтральных кривых была отмечена в [94]). При-
Причина этого состоит в том, чго при переходе числа Грасгофа через порого-
пороговое значение G^°\lk0) происходит непрерывный переход от течения,
близкого к основному, к течению, близкому к вторичному с волновым
§ 37. ВОЛНИСТОСТЬ И МОДУЛЯЦИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
273
числом 1к0, реализующемуся в слое с плоскими границами. При этом
амплитуда составляющей с волновым числом 1к0 существенно возрастает
и перестает быть пропорциональной г). Ситуация аналогична развитию
конвекции при переходе через критическое число Рэлея в замкнутой по-
полости при не строго вертикальном градиенте температуры (см. [95]).
Используя разложения по малому параметру (Gr - G^0^1^2, можно
установить [90], что фурье-компонента течения с волновым числом 1к0
вблизи Gr = G^°\lk0) может быть представлена в виде аи^(х'), где
^A) _ собственная функция линейной задачи для возмущений в плоском
слое при к - 1к0, а стационарная амплитуда а удовлетворяет уравнению
-(Gr-G<°>) а - к \a\2a+d = 0; C7.7)
Э Gr
величины 3X/3Gr и к описаны в § 35, а вещественный коэффициент d про-
пропорционален Г}1.
В отсутствие искривления границ (d = 0) уравнение C7.7) при Gr >
> G^ обладает множеством решений вида а = | а \ ехр(/0) с произволь-
произвольной фазой в, отвечающих вторичным стационарным течениям с произволь-
произвольным положением центра вихря. Искривление границ, нарушающее одно-
однородность задачи по z, приводит к снятию вырождения. При d Ф 0 уравне-
уравнение* C7.7) имеет только вещественные решения (рис. 163). Как будет по-
показано ниже, устойчивы только решения, соответствующие ветви 7, для
которой с ростом числа Грасгофа происходит резкое увеличение амплиту-
амплитуды вблизи G ^°^.
Выводы асимптотической теории согласуются с результатами расчетов
с помощью метода сеток [87, 88]. Искривление границ делает невозмож-
с. 163. Амплитудные кривые для слоя с волнистыми границами. Штриховая линия -
плоский слой, 1 - устойчивая ветвь, 2 и 3 - неустойчивые
с. 164. Конвективные течения с периодом 4тг/&0 (г? = ОД, к0 = 2кт, Рг = 1): a) Gr = 625,
Gr=1250
274
ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
ным плоскопараллельное течение и формирует пространственно-периоди-
пространственно-периодическое течение с периодом волнистости. При / = 1 устойчивой ветви соот-
соответствует расположение центра вихря в широкой области слоя; при / = 2
один из вихрей расположен в широкой области, а другой — в узкой. Все
величины, характеризующие течение, в обоих случаях непрерывно изменя-
изменяются при переходе через точку G ^ ^
Перейдем теперь к обсуждению влияния искривления границ на вторич-
вторичные течения, Возьмем в качестве функции U^ в разложении C7.5) ре-
решение невозмущенной задачи, соответствующее пространственно-периоди-
пространственно-периодическому вторичному течению с периодом 2тт/к (Gr > G^°\k)). Вследст-
Вследствие трансляционной инвариантности эти решения образуют семейство
вида ?/(°) = U^°\x', z — z0), где z0 — произвольная константа.
Пусть сначала волновое число к соизмеримо с к0: 1к0 = пк, где / и п —
целые числа. Вследствие того, что для вторичного течения U^ всегда
существует возмущение U = dU^ /dzr с нулевым декрементом, зада-
задача C7.6) в /-м порядке по г\ оказывается разрешимой лишь для некото-
некоторых дискретных значений параметра z0, т.е. волнистость границ фиксиру-
фиксирует положение системы вихрей.
На рис. 164 изображены два типа движений с периодом 4тг/А:0, получен-
полученные численно в [88]; стационарные движения с промежуточным распо-
расположением вихрей отсутствуют. Интересно, что при изменении Gr проис-
происходят переходы между обеими формами движения, сопровождающиеся
явлением гистерезиса (рис. 165).
Nil
1,08
,/
0
11 1
1
/
/
Ш
I
400
600
800
Gr
Рис. 165. Число Нуссельта в зависимости от числа Грасгофа (г? =0,1, к0 - %кт, Рг = 1)
/ — основное течение, 2 и 3 — вторичные течения, соответствующие рис. 164, а, б
Рис. 166. Карта режимов на плоскости число Грасгофа — амплитуда модуляции: / -
сквозные течения,//— ячеистые течения, /// — область перекрытия
§ 37. ВОЛНИСТОСТЬ И МОДУЛЯЦИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ 275
При несоизмеримых к и к0 решение задачи C7.6) описывает квази-
квазипериодическое течение.
Сходные результаты получены Л.П. Возовым [96, 97] в задаче кон-
конвекции в вертикальном плоском слое с пространственно-модулированной
температурой плоских границ. В этой задаче (в случае модуляции в
противофазе) обнаружена интересная возможность сосуществования
двух форм движения — сквозного течения с вихрями на границе встреч-
встречных потоков и конвективных ячеек. Карта режимов представлена на
рис. 166.
Непрерывное изменение течения при переходе через критическое значе-
значение параметра (числа Рэлея) установлено также для течений в горизонталь-
горизонтальном слое с модулированной граничной температурой [98, 99].
2. Устойчивость стационарных течений [90]. Исследуем устойчивость
стационарных течений с периодом, равным периоду волнистости 2тт/к0,
при малых г?. Для нормальных возмущений Ue~ot получаем задачу на
собственные значения:
(M + oS)U + N(U,U) = 0, ?/=/
\Т
х = ±1: ^ = дф/Ьх' =Т = 0; C7.8)
Z'-*±oo; \ф\9 |f| < оо.
Будем использовать разложения C7.4) , C7.5), а также
S = f r)nSni I/ = f vn U^n\ о = ! t?Vw).
п = 0 п = 0 п = О
В нулевом порядке по г? получаем задачу устойчивости плоскопарал-
плоскопараллельного течения в плоском слое, решение которой имеет вид
= u(xf)eikz>- ow(k) = Х(к). C7.9)
В следующих порядках получаем последовательность краевых задач, ко-
которая разрешима, если для любых целых / выполнено неравенство
Цк) Ф Х(к±1к0). C7.10)
Коэффициенты о^, определяемые из условий разрешимости, отличны
от нуля только при четных п. Можно показать, что квазиволновое число
наиболее опасного возмущения близко к кт: к = кт + (9(?72), а смещение
критического числа Грасгофа
дB)
Gr-Grw = ~ т?2. C7.11)
CX/dGr)m
График функции [°^ ] *^3 показан на рис. 167. В зависимости от периода
волнистости возможна как стабилизация (ей соответствует о^ > 0,
Gr > Grm), так и дестабилизация (а^2^ < 0, Gr < Grm).
276
200
100
Г
/
г
\
I
ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
8
-100 _ _
,,ч 1/3 0 t/i/T 1 2
Puc. 167. Функция [ oJh ' (k0)]' , характеризующая смещение критического числа
Грасгофа вследствие волнистости границ (Рг = 1)
Рис 168. Область устойчивости пространственно-периодических движений с периодом
2ir/k0 в слое с волнистыми границами (заштрихована)
Величины о^1^ расходятся при к0 = кт/1 вследствие нарушения усло-
условия Gr ф G (°'Aк0). При к0 = 2кт/1 (I — нечетное) , а также к0 ->0 расходи-
расходимость связана с нарушением условия C7.10) для к = кт. Эти случаи
должны быть рассмотрены особо.
При к0 <^ 1, как показывает анализ амплитудного уравнения, сдвиг
критического числа определяется формулой Gr ^ Grm(l — Зт?) ; возмуще-
возмущения локализованы в широкой части слоя. При к0 = 2кт имеет место умень-
уменьшение порогового числа Gr на величину порядка т?; неустойчивость при-
приводит к развитию течения с периодом 4п/к0 (см. рис. 164, а). При к0 =
= 2кт/1 (I - нечетное число) смещение критического'числа Gr во втором
порядке т? описывается формулой C7.11); в высших порядках, однако,
отличной от нуля становится величина о^1\
При к0 я* кт в окрестности точки Gr = Grw течения описываются ампли-
амплитудным уравнением с неоднородным членом
АТ = AZZ+AA-\A \2)+8eiKoz. C7.12)
Здесь К0 = (к0 — кт)/А (А — полуширина интервала неустойчивости по
волновому числу для течения в плоском канале), а
_
Пространственно-периодические решения с периодом 2тг/к0 описывают-
описываются амплитудной функцией
A ^reiK*zy r3 -(l-K2G)r--b =0. C7.13)
Решения с г < 0, соответствующие ветвям 2 и 3 на рис. 163, оказываются
§ 37. ВОЛНИСТОСТЬ И МОДУЛЯЦИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
277
неустойчивыми. Решения с г > О (ветвь 1) устойчивы внутри интервала
волновых чисел | Ко | < К^C). Зависимость между К^ и 5 определяется
формулами
5 = г(г2 - 1 +К1), г2 = 4К1 - 2К, J4KI-1, К, > Цу/ъ.
Величина К* монотонно растет с увеличением 5 (рис. 168). Таким образом,
с увеличением параметра волнистости 5 область устойчивости пространст-
пространственно-периодических течений расширяется.
Движения при Ко ^km/l также описываются уравнением C7.12), одна-
однако в этом случае d - O(r\l) (см. п. 1).
Общая структура области устойчивости течений с периодом, равным
периоду волнистости границ, показана на рис. 169.
Анализ устойчивости двумерных пространственно-периодических тече-
течений в горизонтальном слое при модуляции граничной температуры
[98—101] привел к результатам, во многом сходным с изложенными
выше. Для таких течений, однако, как и в случае однородных условий
нагрева, определяющими оказываются трехмерные возмущения.
3. Комбинированная конвекция в слое с волнистыми границами. Рас-
Рассмотрим теперь более общий случай, когда присутствует вынужденная
составляющая течения. Пусть имеется поток жидкости с расходом Q
вдоль слоя. Течение описывается уравнениями C7.2) с граничными усло-
условиями (Re = Qjv — число Рейнольдса) :
х = -1: ф = дф/дх' = 0, Т = 1;
х = 1: ф = Re, дф/дх' = 0, Т = -1.
Неустойчивость комбинированного течения в плоском слое, изученная
в § 13, имеет колебательный характер (дрейф вихрей). Волнистость
границ, которая стремится удержать вихри в широкой части слоя, оказы-
оказывает при этом существенное влияние на устойчивость.
Пусть сначала параметры волнистости т? и расхода Re малы. Рассмотрим
пространственно-периодические течения с периодом 2к!к0 при Gr «
Gr-Grm
oly
O(rj)
169. Область устойчивости пространственно-периодических движений с периодом
0 (заштрихована) . Резонансные области с к0 « kmjn (n > 3) не показаны
278
ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
. Задача описывается амплитудным уравнением
dA
= G- i)A - \А \2А + 6.
dr
C7.14)
Здесь у = —Хг/\( — параметр надкритичности, 5 = d(\? /кI/2 — пара-
параметр волнистости границ; Хг = (ЭХ/Э Gr) (Gr - G*°* ), /X,- = ReCX/3 Re)
(производные берутся при Re = 0).
Положим А = rexp(/0); модуль амплитуды г характеризует интен-
интенсивность периодической составляющей течения, а фаза в — положение
центра вихря (в = 0 означает, что центр вихря расположен в широкой
части слоя, а в = тг - в узкой).
Предельные режимы динамической системы C7.14) и их устойчивость
изучены в работе [91]. Стационарным течениям соответствуют решения-
у = r2 ±y/82/r2-l, tgfl = {у-г2)'1.
Характерные амплитудные кривые изображены на рис. 170. При 5 < дх =
= 1,24 стационарное течение единственно при всех у и устойчиво (по от-
отношению к возмущениям, сохраняющим период течения) при 7< То(^)
Зависимость 7о от 5 дается уравнением 52 = 7оGо + 4)/8; при 7 ^ То
течение колебательно неустойчиво. Если 6 > 5i, система имеет три стацио-
стационарных решения в некоторой области у_(Ь) < у < у+(Ь). Им соответ-
соответствуют течения с различной амплитудой и положением вихря. Течение
с максимальной амплитудой всегда устойчиво, с промежуточной —
неустойчиво, а с минимальной — имеет интервал устойчивости у-(Ь) <
< У < 7оE),если 5 < 52 = 1,41.
Сводная карта режимов на плоскости G, 5) схематически изображе-
изображена на рис. 171. Область существования трех стационарных режимов рас-
расположена между линиями 7 и 2. Линия 3 соответствует границе колеба-
колебательной неустойчивости. Нестационарные режимы существуют в заштрихо-
заштрихованной области. Этим режимам отвечает цикл, возникающий на линии 3\
У У
Рис. 170. Амплитудные кривые для стационарных движений
Рис 171. Карта режимов на плоскости G, 5)
§ 37. ВОЛНИСТОСТЬ И МОДУЛЯЦИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
279
1500
WOO
500
\
1 ¦
/
I
Re
12
50
100
О
^
л
1
1 Ш
8=3,1бЛ
Рис 172. Сводная диаграмма режимов на плоскости (Re, Gr): / - стационарные тече-
течения,//- простые колебания,///- двухтактные колебания
ти пространственно-периодических течений в слое с волнио
П 11/2
тыми границами при продольном прокачивании; Ко = (k0 - Д^) _ (a2 Xrldk2 )m/\(
I - область устойчивости стационарных течений, // - устойчивости нестационарных
течений, Ш — неустойчивости пространственно-периодических течений
на линии 4 он превращается в сепаратрису седловой точки, а на линии 2 —
в сепаратрису седлоузла. Существуют два типа нестационарных течений:
колебания вихрей вблизи некоторого среднего положения (левее линии 5)
и сквозное движение вихрей вдоль слоя (правее линии 5). Переход между
этими типами движений не связан с бифуркацией, а обусловлен изменением
положения фазовой траектории относительно точки г = 0.
Расчеты течений при конечных значениях т? и Re на основе полных дву-
двумерных уравнений конвекции выполнены методом сеток в работе [89].
Наряду с упоминавшимися выше типами течений (стационарные течения,
колебания вихрей и их сквозное движение), обнаружены двухтактные
колебательные движения, возникающие в результате бифуркации удвое-
удвоения периода; диаграмма режимов показана на рис. 172. При высокой над-
критичности обнаружены сложные колебания с большим периодом, кото-
которым соответствуют резонансные циклы на двумерном торе.
В работах [92, 93] на основе соответствующего амплитудного уравне-
уравнения изучалась устойчивость стационарных и нестационарных пространст-
пространственно-периодических движений с волновым числом к0 ~ кт по отношению
к возмущениям, нарушающим периодичность движения. Пример области
устойчивости приведен на рис. 173.
280 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Назовем также работу [ 102], в которой рассматривались режимы ком-
комбинированной конвекции с удвоенным периодом 4тт/к0, резонансно воз-
возбуждаемые в области Gr ^ G^°\ko/2).
4. Длинноволновая конвекция в горизонтальном цилиндре при про-
пространственной модуляции температуры границ. В заключение кратко
обсудим результаты исследования длинноволновых конвективных тече-
течений в горизонтальном цилиндре инверсионно-симметричного сечения, на
границе которого задано распределение температуры
Tr(x,z) = -хA + т? cos koz)
(х - вертикальная, z - горизонтальная продольная координата).
При Т7 = 0 (модуляция температуры отсутствует) возможно механи-
механическое равновесие, устойчивость которого по отношению к длинноволно-
длинноволновым возмущениям теряется при критическом числе Рэлея Ram ( [4], § 20).
Можно показать, что вблизи порога длинноволновые движения описыва-
описываются амплитудным уравнением
Лт = Azz +A +5 cosK0Z)A -A3-,
Z-±~. |Л|<~. <37Л5>
Здесь 5 ~ T?/(Ra - Ram) - параметр модуляции, Ко = kolkx, где кх - шири-
ширина интервала неустойчивости равновесия по волновому числу (рис. 146,5).
Уравнение для стационарных движений формально эквивалентно урав-
уравнению параметрически возбуждаемого нелинейного осциллятора и облада-
обладает следующими типами финитных решений: периодические решения с
периодом, равным или соизмеримым с 2тт/К0; квазипериодические ре-
решения; решения, асимптотически приближающиеся к периодическим при
Z -> ±°°; хаотические решения. При этом устойчивыми оказываются:
1) периодические течения с периодом 2тт/К0 и постоянным знаком ампли-
амплитуды А (этот знак определяет направление вращения жидкости в попереч-
поперечном сечении цилиндра); 2) движения с единственной сменой знака А
("доменной стенкой"), которая имеет место в одной из точек
Z = Zn = Bп + Оя/А'о, п = 0, ± 1, . . . ; C7.16)
3) пространственные структуры, содержащие бесконечные (регулярные
или хаотические) или конечные последовательности "доменных стенок"
в окрестностях точек C7.16) на расстояниях друг от друга, больших
некоторого Z/Дб) ~ |1п5|. Квазипериодические течения неустойчивы.
§ 38. Течения в замкнутых полостях
1. Припороговые течения. Рассматривавшиеся в предыдущих парагра-
параграфах течения в цилиндрических областях и плоских слоях при любом пре-
превышении порогового числа Грасгофа Grm неустойчивы относительно воз-
возмущений, волновые числа которых принимают бесконечное множество
значений из некоторого интервала. Вследствие этого для расчета вторичных
течений и исследования их устойчивости уже в припороговой области
§ 38. ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ
281
приходится пользоваться амплитудными уравнениями в частных произ-
производных. В замкнутых полостях из-за дискретности спектра при неболь-
небольшой надкритичности нарастает только одно или несколько (в случае вы-
вырождения основной моды) возмущений. Переходы между режимами кон-
конвекции в замкнутых полостях отвечают бифуркациям, характерным для
систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [103]).
Так, в случае невырожденной колебательной неустойчивости течения
изменение комплексной амплитуды неустойчивой моды в припороговой
области описывается уравнением Ландау
da
dt
= - \а - к
\а\2а.
C8.1)
В зависимости от знака кг имеет место мягкое или жесткое возбуждение
автоколебаний (прямая или обратная бифуркации Ландау—Хопфа).
Обращение в нуль декремента невырожденной монотонной моды
в случае, когда основное движение и возмущение не обладают различными
свойствами симметрии, означает исчезновение устойчивого стационарного
решения вследствие его слияния с неустойчивым (рис. 174, я); при этом
в системе могут возникать колебания конечной амплитуды с большим
периодом (бифуркация рождения цикла из сепаратрисы седлоузла), либо
происходит переход на какой-либо иной устойчивый режим. В задачах
конвекции распространена ситуация, когда в результате монотонной
неустойчивости развивается новое стационарное движение, не обладающее
симметрией исходного. Прежнее движение при этом продолжает сущест-
существовать как неустойчивое. В частности, эта ситуация имеет место при по-
потере устойчивости равновесия в полости, подогреваемой снизу. Если пара-
параметры жидкости являются постоянными, то амплитуда в припороговой
области описывается вещественным аналогом уравнения C8.1); при
этом имеет место бифуркация типа "вилки" (рис. 174, б). При нарушении
¦IF
а 5 в
Рис. 174. Амплитудные кривые для разных типов ветвления
самосопряженности линейной задачи устойчивости либо при наличии в
уравнениях движения дополнительных нелинейностей (например, в случае
зависимости параметров жидкости от температуры) в амплитудном урав-
уравнении появляется квадратичный член, что приводит к подкритической ко-
конечно-амплитудной неустойчивости ("двусторонняя" бифуркация,
рис. 174, в).
Если полость обладает определенными свойствами симметрии, то не-
неустойчивая мода может оказаться вырожденной; в этом случае припорого-
282 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
вая конвекция описывается системой нескольких амплитудных уравне-
уравнений. В качестве примера назовем конвекцию после потери устойчивости
равновесия в кубической полости, подогреваемой снизу [104], которая
описывается вещественным аналогом системы C6.4) с N ~ 2. Амплиту-
Амплитуды пх и а2 соответствуют горизонтальным валам с осями, ориентирован-
ориентированными вдоль различных боковых граней куба. Расчеты показывают, что
при малых Рг устойчивы движения с аг Ф 0, а2 = 0 и ах = 0, а2 Ф 0 (ста-
(стационарные валы ориентированы вдоль граней куба). Напротив, при боль-
больших Рг устойчивы движения с | ах | = | а2 I (валы с осью вдоль диагонали).
Выводы асимптотического анализа подтверждены экспериментом [104].
Различные возможности, которые могут реализоваться в случае двукрат-
двукратно вырожденной колебательной моды, анализировались в [105].
Особая ситуация имеет место для двумерных конвективных течений
в пористой среде, заполняющей подогреваемый снизу горизонтальный
цилиндр с идеально теплопроводными непроницаемыми границами [106].
При любой форме поперечного сечения цилиндра критическая мода дву-
двукратно вырождена, причем вырождение не снимается и в случае конечно-
амплитудных движений. В надкритической области существует беско-
бесконечное множество ("веер") возможных режимов движения. Этот вывод
подтвержден экспериментально [107].
2. Конечно-амплитудные движения. С ростом числа Грасгофа в замкну-
замкнутых полостях происходят последовательные перестройки движения с
усложнением пространственно-временной структуры. Расчеты развитых
конвективных движений требуют применения численных методов. Наибо-
Наиболее употребительными являются методы сеток и Галеркина — Канторо-
Канторовича. При использовании метода Галеркина — Канторовича исходная систе-
система уравнений в частных производных заменяется системой обыкновенных
дифференциальных уравнений, иногда сравнительно невысокого порядка,
моделирующей наиболее существенные свойства исходной системы. Дан-
Данный подход развит для решения нелинейных задач гидродинамики в ра-
работах A.M. Обухова с сотрудниками, построивших общую теорию нели-
нелинейных систем гидродинамического типа [108, 109]. В области примени-
применимости маломодовых моделей использование аппарата качественной теории
дифференциальных уравнений позволяет получить обширную информацию
о типах движений, их устойчивости и взаимных переходах. Следует под-
подчеркнуть, однако, что маломодовые модели могут оказаться недостаточны-
недостаточными для описания реальных явлений (см. [63, 64]).
К настоящему времени выполнено довольно много расчетов конечно-
амплитудной конвекции в полостях. Однако лишь в сравнительно не-
немногих случаях удалось продвинуться в область значений числа Грасгофа,
при которых течение перестает быть регулярным и приобретает признаки,
характерные для турбулентности. Начнем обсуждение с двух примеров,
когда движение можно приближенно рассматривать как одномерное или
двумерное.
Конвективная петля. Рассмотрим конвекцию в замкнутой тороидаль-
тороидальной трубке с радиусами осевой линии R и сечения р {р ^ R). Трубка рас-
расположена в вертикальной плоскости и подогревается снизу. Течениям в
§ 38. ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ 283
такой системе, получившей название конвективной петли или термоси-
термосифона, посвящено много работ (библиографию см. в [НО]; о некоторых
технических приложениях задачи см. [111]). Ограничимся простейшим
случаем; будем считать, что на стенках трубки задано распределение тем-
температуры Tw - 0 cos у (угол {р отсчитывается от нижней точки). Пред-
Предполагая, что скорость имеет только ^-составляющую, будем характеризо-
характеризовать течение потоком жидкости вдоль трубки q(t) и средней по сечению
температурой !Г(<р, t). Уравнения для q и Г запишем в "гидравлическом"
приближении. При этом силу трения F и теплопоток Q на единицу длины
трубки определим соотношениями
F(t) = - с —2 q{t\ Qfa 0 = кк [Т„(ф) - Т(<р, 0], C8.2)
где с и к - безразмерные феноменологические коэффициенты, т? и к -
вязкость и теплопроводность жидкости. Выбрав в качестве единиц вре-
времени пр2/(кх), потока k\R и температуры 2vxRckl (я р2 g&}, получим
безразмерные уравнения
dq Г I 27Г
— = о - /
dt L я о
ьт ьт <38-3>
— +,—
где а = (р/х) (сп/Dк)) - параметр, пропорциональный числу Прандтля,
а г =gP@7rp4l BvxRck) — эффективное число Рэлея.
Разлагая температуру в ряд Фурье
T{#,t) = co(t) + f [^„(Ocosw^ + ^COsinw^]
n = 1
и обозначая х - q, у ~ dx, z - r — cx, получаем так называемую систему
Лоренца
dx dy dz
— = o(y-x), — = ~y +rx - xz, — = -z+xy. C8.4)
dt dt dt
Из уравнений для фурье-компонент следует, что при t -> °° с0 стремится
к постоянному значению, acn,dn при п > 1 затухают.
Система C8.4) — пример маломодовой динамической системы, обна-
обнаруживающей стохастические свойства [62]; важное значение для понима-
понимания стохастического поведения этой системы имела работа [112]. Систе-
Системе Лоренца посвящена обширная литература (см. [113]). Не вдаваясь в
подробности, перечислим основные режимы течения, описываемые систе-
системой C8.4) при умеренных значениях параметра а > 2 и не слишком боль-
больших г.
Состояние равновесия @, 0, 0) теряет устойчивость при г = 1. В над-
надкритической области появляются два решения (± у/г — 1, ± у/г — 1, г — 1),
отвечающие стационарной циркуляции жидкости против или по часовой
284 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
стрелке. Когда г достигает некоторого критического значения г1(о), в
системе возникают хаотические переходные режимы (метастабильный
хаос или "предтурбулентность"), завершающиеся установлением стацио-
стационарного режима. При превышении другого характерного значения
гг(°) > ri(°) B зависимости от начальных условий либо происходит выход
на стационарный режим, либо развиваются незатухающие хаотические
колебания, в ходе которых нерегулярно изменяется направление цир-
циркуляции; фазовая траектория системы в последнем случае при-
притягивается к так называемому "странному аттрактору". При г > гъ =
= о (о + 4)/ (а — 2) стационарное движение становится колебательно неустой-
неустойчивым, и стохастический режим является единственно возможным.
Описанная последовательность переходов наблюдалась в эксперименте
[114]. Таким образом, система Лоренца по крайней мере качественно
отражает экспериментальную ситуацию. Отщепление системы для трех
переменных не удается осуществить при более реалистических законах
сопротивления и теплоотдачи; в этом случае приходится использовать
существенно большее (до 40 в работе [115]) число базисных функ-
функций. Эти модели, тем не менее, дают сходную с описанной картину из-
изменений течения с ростом числа Рэлея.
Ячейка Хеле - Шоу. Другой удачный пример применения сравнитель-
сравнительно маломодовой модели для описания экспериментально реализуемой
ситуации предложен в работах Д.В. Любимова, Г.Ф. Путина и В.И. Черна-
тынского [116, 117], которые изучили конвекцию в подогреваемом снизу
прямоугольном параллелепипеде 0 <х <Ld, —d<у <<2, 0 <z <Hd, шири-
ширина которого 2d много меньше длины Ld и высоты Hd (вертикальная
ячейка Хеле — Шоу). Геометрия области позволяет пренебречь >>-составляю-
щей скорости и использовать для описания квазидвум^рного течения
функцию тока ф, зависящую от всех трех координат. Предполагается,
что широкие грани ячейки идеально теплопроводные и на них поддержи-
поддерживается постоянный вертикальный градиент температуры. Для простоты
узкие грани предполагаются свободными, причем вертикальные — тепло-
теплоизолированными, а горизонтальные — изотермическими. Это позволяет
использовать следующие разложения:
«> лтт ттг тт
Ф = 2 фпгп (Г) sin — х • sin — z • cos — у,
n.m = i Ld Hd Id
°° П7Г ГПП 7Г
T = 2 Tnm (t) cos — x ¦ sin z - cos — y.
n = o, m = i Ld Hd Id
Метод Галеркика — Канторовича приводит к системе обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений для коэффициентов, явный вид которой при-
приведен в [117]. Расчеты проведены для Я = 20, L = 10 с использованием
12-мерного базиса, учитывающего амплитуды мод (пш) = A1), B1),
C1), A2), B2), @1) и @2). При превышении критического числа Рэ-
Рэлея равновесие теряет устойчивость и развивается стационарное однових-
ревое движение с отличными от нуля амплитудами Фц.Тц и Т02 • Система
нестационарных уравнений для этих амплитуд приводится к обсуждавше-
§ 38. ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ 285
муся выше триплету Лоренца. Движение, однако, теряет стационарный
характер при существенно меньших числах Рэлея, чем в случае системы
Лоренца, за счет неустойчивости по отношению к возмущениям, содержа-
содержащим гармоники ф22> Т22, ^зь Тзх, Эта неустойчивость имеет мягкий
характер и приводит к развитию регулярных колебаний, в которых прини-
принимают участие перечисленные выше 7 гармоник; остальные моды, не обла-
обладающие инверсионной симметрией, затухают. Развивающееся течение явля-
является четырехвихревым. При дальнейшем увеличении числа Рэлея колеба-
колебания приобретают нерегулярный характер, сходный со стохастическими
колебаниями в системе Лоренца. Описанная последовательность переходов
воспроизведена методом сеток в [118]. Расчеты регулярных колебатель-
колебательных движений в ячейке Хеле — Шоу производились позднее в [119].
Экспериментальное исследование конвекции в ячейке Хеле — Шоу
проведено в работах [116, 117, 120]. Результаты находятся в соответст-
соответствии с данными расчетов (рис. 175). Помимо описанных выше режимов,
в экспериментах наблюдались стационарные двухъячеистые движения,
инверсионно^асимметричные двухвихревые колебания, режимы биений,
а также переходы с удвоением периода. Детальное исследование чередо-
чередования нестационарных режимов выполнено позднее в [121]. Отметим
также экспериментальное исследование режимов конвекции в верти-
вертикальной круговой ячейке Хеле — Шоу [122].
Прямоугольный параллелепипед. Экспериментальные исследования вы-
выявили целый ряд возможных путей ("сценариев") возникновения хаоти-
хаотической конвекции жидкости в подогреваемом снизу прямоугольном па-
параллелепипеде с вертикальными и горизонтальными гранями (см. [123,
124]), Среди них наиболее распространенными являются следующие:
1) последовательность переходов с удвоением периода (каскад Фейген-
баума); этой последовательности в некоторых случаях предшествует
Рис. 175. Фазы автоколебаний в ячейке Хеле - Шоу [116]
286 ГЛ. VII. ВТОРИЧНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
возникновение квазипериодического движения с двумя несоизмеримыми
частотами и синхронизация этих частот; 2) хаотизация квазипериодиче-
квазипериодического движения, во многих случаях наступающая после синхронизации
частот; 3) появление "перемежаемости", при которой длительные периоды
почти регулярного поведения чередуются с кратковременными вспышка-
вспышками хаоса. Возможны и более сложные варианты: возникновение квази-
квазипериодических колебаний с тремя и более несоизмеримыми частотами,
прерывание каскада удвоений увеличением периода в нечетное число раз
и др. Перечисленные переходы к хаосу обнаружены также в простых ди-
динамических моделях, описываемых одно- и двумерными отображения-
отображениями [124, 125].
Попытка описания переходов к хаосу на основе численного моделиро-
моделирования предпринята в 1126]; использовался базис из 48 переменных.
Выявлена существенная роль слабых эффектов, нарушающих симметрию
задачи (нелинейная зависимость плотности от температуры и температур-
температурная зависимость вязкости). Если эти эффекты отсутствуют, то моды раз-
разной четности осциллируют с разными частотами; это приводит к развитию
квазипериодического движения, разрушающегося с ростом числа Рэлея.
Нелинейные эффекты асимметрии приводят к синхронизации частот, пред-
предшествующей переходу к хаосу. Оказывается, что если эти эффекты малы
(малые числа Прандтля), то типичным механизмом хаотизации является
каскад удвоения периода; если же они велики (большие числа Прандтля),
имеют место вспышки перемежаемости.
Сходные явления имеют место при конвекции в вертикальном цилиндре
с малым и умеренным отношением радиуса цилиндра к высоте [ 126].
Эллипсоид. Стационарные и автоколебательные конвективные движения
в полости эллипсоидальной формы (в том числе вращающейся) подробно
исследовались в работах Ф.В. Должанского с сотрудниками. В [127] по-
казано, что конвекция идеальной жидкости в эллипсоиде с пространствен-
пространственно-линейными полями скорости и температуры описывается шестимодовои
системой уравнений движения тяжелого волчка. Для конвекции вязкой
и теплопроводной жидкости предложены и изучены модели, в которых
диссипативные эффекты учитывались феноменологически [128]. Непо-
Непосредственный вывод шестимодовои модели из уравнений Буссинеска
проведен в работе М.А. Закса [129]. Предложенная модель описывает
до 13 различных стационарных режимов, обменивающихся устойчивостью
при изменении числа Рэлея. Хаотический режим существует на интервалах
значений числа Рэлея, ограниченных сверху и снизу последовательностя-
последовательностями бифуркаций типа удвоения периода.
Экспериментальное исследование стационарных и автоколебательных
режимов конвекции в воздухе, заполняющем подогреваемый снизу эл-
эллипсоид с вертикальной длинной осью, производилось в работе [130].
Прослежены перестройки течения в области числа Рэлея примерно до
20-кратной надкритичности. Обнаружено, в частности, существование
режимов периодических колебаний со сложной фазовой траекторией,
развивающихся в результате нескольких переходов с удвоением периода.
При одних и тех же значениях числа Рэлея возможны различные периоди-
§ 38. ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ 287
ческие режимы автоколебаний с кратным периодом, между которыми
происходят самопроизвольные переходы через состояния метастабильно-
го хаоса. При дальнейшем увеличении числа Рэлея жестко возбуждаются
незатухающие апериодические колебания.
Сфера и сферический слой. Конвекция в сфере и сферических слоях
рассматривается в литературе при двух различных постановках задач, когда
гравитационное поле: а) вертикально и однородно и б) радиально и неодно-
неоднородно (последняя постановка задачи связана с геофизическими и астро-
астрофизическими применениями), К настоящему времени выполнены нели-
нелинейные расчеты конвекции, в том числе при наличии вращения, относящие-
относящиеся к стационарным, колебательным и хаотическим режимам движения;
подробный анализ работ в данной области содержится в обзоре И.М. Явор-
Яворской и Ю.Н. Беляева [47].
ДОПОЛНЕНИЯ
В приводимых дополнениях отражены наиболее существенные результаты по
устойчивости конвективных течений, полученные в последнее время.
К главе II
1 Как говорилось в § 8, при больших числах Прандтля в слое с продольным стаби-
стабилизирующим градиентом температуры наиболее опасной является стационарная
тепловая мода неустойчивости. В работе Дэниельса [1] условия появления такой
моды получены при помощи асимптотического анализа конвективного течения в
вертикальном слое толщины 2/г и конечной высоты L (L> h). Вертикальные грани-
границы слоя предполагаются изотермическими, горизонтальные торцы — теплоизоли-
' рованными. При Рг -* <*> течение состоит из замкнутого пограничного слоя разной
структуры на вертикальных и горизонтальных участках и малоподвижного ядра,
в котором автоматически устанавливается вертикальный стабилизирующий градиент
температуры С увеличением числа Грасгофа (те. поперечной разности температур)
зарождается многовихревая структура. Условие ее появления можно сформулиро-
сформулировать в виде Gr Рг • Bh/L) > 915, что хорошо согласуется с имеющимися экспери-
экспериментальными и численными результатами.
2. В конце § 10 речь шла о работе [II. 55] (здесь и далее римской цифрой в скоб-
скобках отмечается литература к соответствующей главе). В ней обсуждается устойчи-
устойчивость конвективного течения в вертикальном цилиндрическом слое при наличии
фазового перехода (кристаллизации) на его внешней границе. Наиболее опасной
(в обсуждаемой ситуации) является азимутально-антисимметричная мода морфо-
морфологической природы, связанная с образованием винтового подвижного рельефа на гра-
границе перехода. Эти исследования продолжены в [2], где приводятся подробные экспе-
экспериментальные данные и результаты линейной теории устойчивости.
К главе IV
1 Новая по постановке задача решена в работе [3]. Здесь рассматривается конвек-
конвективное течение бинарной смеси в вертикальном слое при наличии продольных гра-
градиентов — стабилизирующего температурного и дестабилизирующего концентрацион-
концентрационного. Вертикальные границы слоя непроницаемы для вещества и на них поддержи-
поддерживается вертикальный градиент температуры; задана также постоянная поперечная
разность температур. Расчеты устойчивости проведены для фиксированных чисел
Прандтля и Шмидта Рг = 7 и Рг^ = 700 (соленая вода) При отсутствии продольного
градиента температуры получается задача, аналогичная рассмотренной в § 8, п 2,
неустойчивость здесь определяется гидродинамической модой, а также рэлеевской
(статической), обусловленной наличием дестабилизирующей концентрационной стра-
стратификации Как и в задаче § 8, здесь имеется точка "инверсии", положение которой
теперь зависит от градиента температуры В противоположном предельном случае
отсутствия градиента концентрации получается задача, рассмотренная в § 8, п 3
ДОПОЛНЕНИЯ 289
При произвольном соотношении градиентов и поперечной разности температур про-
происходит взаимодействие разных мод неустойчивости При малых градиентах темпе-
температуры и концентрации неустойчивость связана с монотонкой гидродинамической
модой; при большом градиенте концентрации кризис обусловлен статической кон-
концентрационной модой; при умеренных градиентах неустойчивость вызывается вол-
волновыми возмущениями.
2. В работе [4] экспериментально изучалась устойчивость конвективного течения
в вертикальном слое пористой среды (стеклянные шарики диаметром 3 мм в дис-
дистиллированной воде; толщина слоя 2 см). Обнаруженный кризис поперечного тепло-
потока позволил определить критическое число Грасгофа. Поскольку, согласно ре-
результату Гилла (§ 24), конвективная фильтрация в вертикальном слое устойчива,
авторы пытаются понять их экспериментальный результат, усложняя уравнения дви-
движения: наряду с силой сопротивления Дарси учитывается обычная вязкая сила (сила
Бринкмана), а также температурная зависимость вязкости. Расчет по линейной теории
устойчивости приводит, однако, к значениям критического числа Грасгофа, весьма
далеким от найденного в эксперименте.
К главе V
1. Одно из интересных обобщений задачи устойчивости конвективного течения в
вертикальном слое с однородными источниками тепла изучено в работе [5]. В этой
работе рассматривается случай, когда вертикальные границы слоя поддерживаются
при разных постоянных температурах. Основное течение представляет собой, таким
образом, суперпозицию симметричного течения, обусловленного однородным тепло-
тепловыделением B5.5), и антисимметричного, создаваемого разностью температур гра-
границ A.13). Спектральная амплитудная задача решалась методом степенных рядов.
Расчеты проведены в интервале чисел Прандтля от 0,01 до 1000 Расчеты показыва-
показывают, что взаимодействие двух компонент течения оказывается сравнительно простым
и приводит к взаимной дестабилизации. В зависимости от числа Прандтля потеря
устойчивости связана с гидродинамической либо волновой модами, причем на обеих
ветвях фазовые ckopqcth отрицательны и могут значительно отличаться по величине.
2. Подробное исследование влияния на устойчивость течения в вертикальном
слое радиационных эффектов и продольного стабилизирующего градиента темпе-
температуры проведено в работе [6]. Рассматривалась излучающая и поглощающая, несе-
несерая и нерассеивающая среда (газ; Рг = 0,7) в слое между изотермическими грани-
границами разной температуры с учетом их радиационных свойств. Определена зависи-
зависимость критического числа Грасгофа и параметров критических возмущений от чис-
числа Планка, оптической толщины слоя, параметров несерости среды и черноты сте-
стенок в широком диапазоне изменения безразмерного продольного градиента тем-
температуры. Приводятся также результаты численных расчетов двумерных конвектив-
конвективных структур в слоях конечной высоты; эти результаты демонстрируют образование
системы вихрей при потере устойчивости основного течения.
К главе VI
- 1. В § 30, п. 1 рассматривалась устойчивость адвективного течения в горизон-
горизонтальном слое с твердыми теплопроводными границами. Как показал анализ, про-
проведенный в [VI. 4, 5], течение в зависимости от числа Прандтля обнаруживает не-
неустойчивость, связанную с гидродинамической, плоской и спиральными рэлеевски-
ми модами (рис. 133). В работе [VI. 83] было показано, что существует еще одна -
спиральная колебательная мода неустойчивости, которая наиболее опасна в области
0,14 < Рг < 0,45. Недавно В.М. Мызников провел подробные вычисления по мето-
методу Галеркина с большим числом (до 80) базисных функций и также обнаружил
спиральную колебательную моду, наиболее опасную в указанном выше интервале Рг.
B.C. Бердников и А.Г. Забродин [7] провели экспериментальное исследование
устойчивости адвективного течения. В качестве рабочей жидкости использовался
этиловый спирт (Рг = 16,1). В случае слоя с твердыми теплопроводными граница-
границами, согласно [VI. 5], неустойчивость вызывается спиральной нечетной модой при
290 ДОПОЛНЕНИЯ
критическом числе Грасгофа Grm - 55. В эксперименте в области 54 < Gr < 72 на-
наблюдался кризис, связанный с образованием спиральных возмущений, волновые
числа которых лежат в промежутке от 2,9 до 4,3 (теоретическое значение кт «4).
Согласие с теорией можно считать вполне удовлетворительным.
2. Случай слоя с твердыми теплоизолированными границами (§ 30, п. 3) рас-
рассматривался в работе Харта [VI. 19]; его результаты представлены на рис. 136. Эти
результаты недавно подвергнуты ревизии в [8]. Согласно результатам этой работы,
данные относительно гидродинамической и спирально-волновой мод качественно
подтверждаются. Имеются, однако, значительные количественные отличия. Грани-
Границы 1 и 2 на рис. 136 занижены. Гидродинамическая мода резко стабилизируется
при Рг » 0,12, а спирально-волновая - при Рг *» 0,2. Кроме того, обнаружена еще
спиральная монотонная мода. В области Рг < 0,033 наиболее опасна гидродинами-
гидродинамическая мода; при 0,033 < Рг < 0,2 - спирально-волновая, а при Рг > 0,2 - спиральная
монотонная. Результаты линейного анализа устойчивости согласуются с подробными
численными расчетами конечно-амплитудных структур, соответствующих разным мо-
модам неустойчивости [9].
3. Анализ устойчивости плоскопараллельного термокапиллярного течения (§ 30,
п. 2) продолжен в работе Смита [10]. в которой приводятся дополнительные резуль-
результаты расчета границы устойчивости и параметров критических возмущений во всей
области изменения числа Прандтля Рг при числе Био Bi = 1. Кроме того, проведен
слабонелинейный анализ на основе системы амплитудыных уравнений типа обоб-
обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау (см. гл. VII). Как показано, эволюция ли-
линейных возмущений, представляющих собой две волны, распространяющиеся под
углами ±а против основного потока, при всех Рг и малых Bi приводит к формиро-
формированию какой-либо одной из конечно-амплитудных волн; при малых Рг и больших
Bi развивается симметричная суперпозиция обеих волн.
4. Назовем появившиеся в последнее время новые работы по устойчивости кон-
конвективного пограничного слоя при наличии продольного вынужденного течения
для вертикальной [11], наклонной [12] и горизонтальной [13] поверхности, а так-
также зависимости вязкости и коэффициента теплового расширения от температуры
[14,15].
5. В последнее время значительный прогресс достигнут в исследовании устойчи-
устойчивости замкнутого пограничного слоя, возникающего в полости при боковом подо-
подогреве (см. § 32). В появившихся работах [16, 17] решается в строгой постановке
задача устойчивости течения в квадратной области, подогреваемой сбоку. В [16]
горизонтальные границы предполагаются теплопроводными; расчеты проведены
для Рг = 0,7; в [17] рассматриваются случаи обеих теплопроводных и обеих тепло-
теплоизолированных границ (расчеты проведены во всей области изменения Рг). В обеих
работах численно (в [16] методом конечных элементов, в [17] - методом Галер-
кина) решались уравнения основного стационарного течения и уравнения малых
возмущений. Такой подход позволяет определить критическое число Грасгофа и
форму критических возмущений. Потеря устойчивости связана с бифуркацией Хоп-
фа и проявляется физически в возникновении волн, распространяющихся вдоль
замкнутого пограничного слоя. В [17] показано, что изменение числа Прандтля со-
сопровождается последовательными сменами критических мод со скачкообразными
изменениями фазовых скоростей волн. В [16] обнаружено несколько уровней спект
ра неустойчивости, что автор связывает с явлением резонанса волн в пограничном
слое и внутренних волн в устойчиво стратифицированном ядре. Теоретические зна-
значения критического числа удовлетворительно согласуются с экспериментом [VI. 81]
Аналогичный поход реализован в [81] для случая проводящей жидкости '(жидкий
металл; Рг = 0,02) при наличии вертикального или горизонтального внешнего маг-
магнитного поля. МГД-воздействие приводит к сильной стабилизации основного течения.
К главе VII
1. В § 36 отмечалось, что при определенных соотношениях между коэффициента-
коэффициентами нелинейного взаимодействия устойчивой формой движения в горизонтальном слое
могут оказаться структуры, отличные от валов. Подробный анализ устойчивости раз-
ДОПОЛНЕНИЕ 291
личных пространственно-периодических и квазипериодических конвективных дви-
движений, развивающихся в результате монотонной неустойчивости равновесия, вы-
выполнен в [19, 20]. Ветвление конвективных режимов, обусловленных колебатель-
колебательной неустойчивостью равновесия (примером может служить конвекция в бинарных
средах), в предположении о гексагональной симметрии задачи изучалось в [21].
Установлена возможность реализации одиннадцати качественно различных конвек-
конвективных структур.
В задаче о волновых конвективных движениях в бинарных средах накоплен ин-
интересный экспериментальный материал. Для этих движений, по-видимому, реали-
реализуется обсуждавшаяся в § 34 модуляционная неустойчивость [22] Обратим особое
рнимание на обнаруженную в экспериментах необычную пространственно-модули-
пространственно-модулированную структуру [23], - характеризующуюся сосуществованием областей, в
которых осуществляется конвективное движение, и областей, в которых конвек-
конвекция полностью отсутствует; области разделены неподвижными доменными стенками.
2. В последнее время усилился интерес к экспериментальному изучению спон-
спонтанного возбуждения конвекции в горизонтальных слоях, для которого характерно
формирование структур, содержащих большое число дефектов. Помимо обсуждав-
обсуждавшихся в § 36, п. 3 дислокаций,, движение которых исследовалось, например, в [24],
реализуются доменные границы между областями, занятыми структурами различно-
различного типа [25—29]* границы "валы - валы", "гексагоны - равновесие" и "гексагоны -
валы". Движение доменных границ имеет много общего с распространением фрон-
фронта фазового перехода; роль свободной энергии играет функционал Ляпунова Домен-
Доменные границы "гексагоны — валы" неизбежно возникают вблизи боковых границ
слоя, занятого гексагональной структурой, и оказывают существенное влияние на
процесс перехода от гексагональной структуры к структуре типа валов при возра-
возрастании числа Рэлея [29] (см. § 36, п. 1). В результате переход осуществляется не в
точке т = 73 потери устойчивости гексагональной структуры, а уже при 7 = 7* < 73-
Сосуществование областей, занятых гексагонами и валами, возможно только в экспо-
экспоненциально узком интервале значений у вблизи 7*-
3. В дополнение к § 37 отметим работы [30, 31], в которых установлена возмож-
возможность формирования устойчивых пространственно-модулированных структур под
действием слабого пространственно-периодического внешнего воздействия. При
увеличении амплитуды воздействия эти структуры разрушаются, и становится воз-
возможным только периодическое движение с навязанным волновым числом [29].
В [32] построена математическая модель, объясняющая упоминавшийся в § 37,
п 3 переход от стационарной конвекции к двухчастотным колебаниям. Влияние
пространственно-периодического внешнего воздействия на конвекцию в слое со
слабо теплопроводными границами изучалось в [ 33 ].
4. Назовем некоторые наиболее примечательные работы, посвященные численно-
численному моделированию вторичных конвективных движений. Расчет стационарных нели-
нелинейных режимов конвекции в бесконечном вертикальном слое для значений пара-
параметров Рг = 0, Gr < 5000 произведен в [34]. Установленный жесткий характер
неустойчивости плоскопараллельного течения по отношению к возмущениям
с волновыми числами к > 1,9. В ряде работ содержатся попытки моделиро-
моделирования последовательности переходов между режимами конвекции с ростом числа
Рэлея на основе численного решения трехмерных уравнений конвекции В предпо-
предположении пространственной периодичности движения нестационарные трехмерные
режимы конвекции в горизонтальном слое изучались в [35]. В реальной ситуации,
однако, даже удаленные боковые границы оказывают существенное влияние на струк-
структуру и смену режимов конвекции. Отметим работу [36], в которой, в полной трех-
трехмерной постановке методом сеток выполнены расчеты конвективных движений в
параллелепипеде с большим отношением сторон A1,5 : 16 : 1). В численном экспе-
эксперименте наблюдались развитие различных типов неустойчивости системы параллель-
параллельных валов, зарождение и распространенение дислокаций, возникновение простран-
пространственно-временной перемежаемости. Обстоятельное численное и экспериментальное
исследование режимов конвекции в горизонтальных и наклонных прямоугольных по-
полостях с умеренным отношением сторон проведено в [37].
292 ДОПОЛНЕНИЯ
,5. В заключение отметим работу [38], посвященную анализу структуры бифурка-
бифуркационной диаграммы для динамических систем, содержащих седловое состояние рав-
равновесия, неустойчивое многообразие которого состоит из двух симметричных одно-
одномерных сепаратрис. Примером может служить система галеркинских уравнений,
описывающая режимы тепловой конвекции в поле вибрации при слабом нарушении
инверсионной симметрии. Рассмотрена ситуация, когда возникающие в системе го-
моклинные петли являются притягивающими. В области регулярного поведения
обнаружены, помимо периодических, квазипериодические режимы, которым соответ-
соответствуют инвариантные множества канторотора Граница области хаоса оказывает-
оказывается фрактальной.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
К предисловию
1. Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости. - М.: ИЛ, 1958. - 194 с.
2. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости.- М.: Мир,
1971. - 350 с.
3. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. -
Новосибирск: Наука, 1977. - 366 с.
А. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. - М.: Мир, 1981, - 638 с.
5. DrazinP.G., Reid W.R Hydrodynamic stability. - Cambridge: Univ. Press, 1982.-525p.
6. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. - М.: ИЛ, 1962. - 201 с.
7. Басин A.M., Короткий А И., Козлов Л.Ф. Управление пограничным слоем судна. -
Л.: Судостроение, 1968- - 492 с.
8. Шкадов В.Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчи-
устойчивости // Научные труды Ин-та мех. МГУ. - М.: МГУ, 1973. - № 25. - 192 с.
9. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Возникновение турбулентности в
пограничном слое. - Новосибирск: Наука, 1982. - 151 с.
10. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жид-
жидкости. - М.: Наука, 1972. - 392 с
К главе!
1. Гершуни Г.3. Об устойчивости плоского конвективного движения жидкости//
ЖТФ. - 1953. - Т 23, № 10. ~ С 1838-1844.
2. Гершуни Г.3., Жуховицкий Е.М. О двух типах неустойчивости конвективного
движения между параллельными вертикальными плоскостями // Изв. вузов.
Физика. - 1958. - № 4. - С 43-47.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика. 3-е
изд,,перераб.- М.: Наука, 1986. - 733 с.
4. Шапошников И.Г. О термоэлектрических и термомагнитных конвективных явле-
явлениях // Уч. зап. Перм. ун-та. - 1954. - Т. 8, № 8. - С. 81 -86.
5. Spiegel E.A., Veronis G. On the Boussinesq approximation for a compressible fluid //
Astrophys. J. - 1960. - V. 131, No 2. - P. 442-447.
6. Mihaljan J.M. A rigorous exposition of the Boussinesq approximations applicable to a
thin layer of fluid // Astrophys. J.- 1962. V. 136, No 3. - P. 1126-1133.
7. Gray D.D., Giorgini A. The validity of the Boussinesq approximation for liquids and ga-
gases // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1976. - V. 19, No 5. - P. 545-551.
8. Гершуни r.3.t Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жид-
жидкости. - М.: На^ка, 1972. - 392 с.
9. Boussinesq /. Theorie analytique de la chaleur. T. 2. - Paris: Gauthier-Villars, 1903, -
625 p.
294 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
10. Oberbeck A. Uber die Warmeleitung der Flussigkeiten bei der Berucksichtigung der
Stromungen infolge von Temperaturdifferenzen// Annal. Phys. Chem. - 1879. - Bd. 7,
No 6. -S. 271-292.
11. Никулин Д.А., Потехин ГС, Стрелец М.Х. Приближенная система уравнений для
описания нестационарной естественной конвекции в бинарных газовых смесях //
Изв. АН СССР. МЖГ. - 1980. - № 5. - С. 57-59.
М.Лапин Ю.В., Нехамкина О.А., Поспелов В.А., Стрелец М.Х., Шур М.Л. Численное
моделирование внутренних течений вязких химически реагирующих газовых
смесей // Механика жидкости и газа. Т. 19. - М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техни-
техники), 1985. - С. 86-185.
13. Batchelor G.K. Heat transfer by free convection across a closed cavity between vertical
boundaries at different temperatures//Quart. AppL Math. - 1954. - V. 12, No 3. -
P. 209-233.
14. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О спектре возмущений плоскопа-
плоскопараллельных течений при малых числах Рейнольдса//ПММ. - 1965 - Т. 29,
вып. 1. - С 88-98.
15. Рудаков Р.Н. О малых возмущениях конвективного движения между вертикаль-
вертикальными плоскостями // ПММ.-1966. - Т. 30, вып. 2. - С 362-368.
16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том III. Квантовая механика
Нерелятивистская теория. - 3-е изд , перераб. и доп. при участии Л.П. Питаевско-
го.- М.: Наука, 1974. - 752 с.
17. Шлиомис М.И. О колебательной конвективной неустойчивости проводящей жид-
жидкости в магнитном поле // ПММ. - 1964. - Т 28, вып. 4- С. 678-683.
18. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. - М;
Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с
19. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения
вязкой жидкости // ПММ.- 1940. - Т. 4, вып. 3. - С. 3-12.
20 Петров Г.И. Оценка точности приближенного вычисления собственного значения
методом Галеркина // ПММ. - 1957 - Т. 21, вып. 2. - С. 184-188
21. Dolph C.L, Lewis D.C On the application of infinite systems of ordinary differential
equations to perturbations of plane Poiseuille flow // Quart. Appl. Math. - 1958. -
V. 16, No 2. - P. 97-110.
22. Бирих P.B. О спектре малых возмущений плоскопараллельноТо течения Куэтта//
ПММ. - 1965. - Т. 29, вып. 4. - С. 798-800.
23. Ланс Д.Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. -
М.:ИЛ, 1962.- 208 с.
24. Годунов СК. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений// УМН.-1961.-Т.16,вып.З, - СЛ 71 - 174.
25. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. - М.: Мир,
1971.- 350 с.
26. Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. Применение метода ортогонализации в пошаговом
интегрировании при исследовании устойчивости конвективных течений // Гидро-
Гидродинамика, вып. 5. - Пермь: Перм. ун-т, 1974 - С. 149-158.
21. Бирих Р.В., Рудаков PH., Семакин КГ. Применение метода ортогонализации в
пошаговом интегрировании при исследовании устойчивости конвективных тече-
течений. Часть II. Расчет формы возмущений // Конвективные течения. Пермь: Перм.
пед. ин-т, 1979. - С. 58-60.
28. Гольдштик М.А., Штерн В.Н Гидродинамическая устойчивость и турбулент-
турбулентность. - Новосибирск: Наука, 1977, - 366 с.
29 Бирих Р.В. О малых возмущениях плоскопараллельного течения с кубическим
профилем скорости // ПММ - 1966. - Т 30, вып. 2. - С. 356-361.
30. Бирих РВ. Замечание к работам... // ПММ. - 1966. - Т. 30, вып 6. - С. 1147.
31. Ruth D.W. On the transition to transverse rolls in an infinite vertical fluid layer - a
power series solution// Int. J. Heat Mass Transfer, -1979. - V. 22, No 8. - P. 1199—
1208.
32 Рудаков Р.Н. Спектр возмущений и устойчивость конвективного движения
между вертикальными плоскостями // ПММ. -1967. - Т 31, вып. 2 -
С 349-355
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 295
33. Gotoh К., Ikeda N. Asymptotic solution of the instability problem of channel flows
with antisymmetric velocity profile//J. Phys. Soc. Japan. - 1972. - V. 32, No 3.-
P. 845-850.
34. Korpela S.A., Gb'zum D., Baxi CB. On the stability of the conduction regime of natural
convection in a vertical slot // Int. J. Heat Mass Transfer. - 197 3. - V. 16, No 9. -
P. 1683-1690.
35. Рудаков Р.Н. О форме нормальных возмущений в конвективном потоке между
вертикальными плоскостями // Гидродинамика, вып 1. -Пермь: Перм. ун-т,
1968. - С 105-115
36. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ., Рудаков Р.Н. О колебательной неус-
неустойчивости плоскопараллельного конвективного движения в вертикальном кана-
канале // ПММ. - 1972. - Т. 36, вып. 4. - С 745-748.
37 Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ., Рудаков Р.Н. О спектре тепловых возмущений в
потоках несжимаемой жидкости // ПММ. - 1967 - Т. 31, вып. 3 - С. 573-577.
38. Лобов НИ. Неустойчивость комбинированного конвективного течения в верти-
вертикальном слое // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1982. - № 3. - С 3-9.
39. Takashima М., Hamabata H The stability of natural convection in a vertical layer of
dielectric fluid in the presence of a horizontal ac electric field // J. Phys. Soc. Japan. -
1984. - V. 53, No 5. - P.1728-1736.
40. Gill A.E., Kirkham C.C. A note on the stability of convection in a vertical slot // J. Fluid
Mech. - 1970. - V. 42, No 1. - P. 125-127.
41. Onsager L, Watson W.W. Turbulence in convection in gases between concentric vertical
cylinders // Phys. Rev. - 1939. - V. 56, No 5. - P. 474-477.
42. Сорокин М.П. Экспериментальное исследование устойчивости конвективного
движения жидкости в длинной вертикальной щели // Инж.-физ. журнал. - 1961 -
Т. 4, №2. - С. 106-108.
43. Elder J.W. Laminar free convection in a vertical slot//J. Fluid Mech.-1965.-V.23,
No. 1.-P. 77-98.
44. Кирдяшкин А.Г., Леонтьев А.И. Исследование гидродинамики и теплообмена в
вертикальных слоях жидкости при свободной конвекции // Теплофиз. высоких
темп. - 1969 - Т. 7, № 5. - С. 940-945.
45. Vest СМ., Arpaci V.S., Stability of natural convection in a vertical slot// J. Fluid
Mech. - 1969. - V. 36, No. 1. - P. 1-15.
46. Кирдяшкин А.Г., Леонтьев А.И., Мухина Н.В. Устойчивость ламинарного течения
жидкости в вертикальных слоях при естественной конвекции // Изв. АН СССР,
МЖГ. - 1971. -№5. - С 170-174.
47. Hart J.E. Stability of the flow in a differentially heated inclined box // J. Fluid Mech. -
197 i. _ v. 47, No 3. - P. 547-576.
48. Daniels P.G. Transition to the convective regime in a vertical slot. // Int. J. Heat Mass
Transfer. - 1985. - V. 28, No 11. - P. 207 1-2077.
49. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин Е.Л. Вторичные стационарные конвек-
конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости // Изв. АН СССР.
МЖГ.- 1968.- №5.- С 130-136.
50. Тарунин Е.Л. О вторичных стационарных конвективных течениях в вертикаль-
вертикальном слое // Гидродинамика, вып. 4. - Пермь: Перм ун-т, 1972. - С. 3-13.
51. Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ., Сорокин Л.Е., Тарунин Е.Л. Вторичные колеба-
колебательные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости // Изв.
АН СССР, МЖГ. - 1974,- № 1. - С 94-101.
52 Сорокин Л.Е. О нелинейном конвективном движении в плоском вертикальном
слое жидкости в области колебательной неустойчивости // Гидродинамика, вып.
5. - Пермь: Перм. ун-т, 1974 - С 127-137.
5 3. Elder J. W. Numerical experiments with free convection in a vertical slot // J. Fluid Mech.-
1966. - V. 24, No 4. - P. 823-843.
54. Seki N., Fukusako S., Inaba H. Visual observation of natural convective flow in a narrow
vertical cavity // J. Fluid Mech. - 1978. - V. 84, No 4. - P. 695-704.
55. Bontoux P., Gilly В., Roux B. Natural convection in cavities for high Rayleigh numbers//
Notes Numer. Fluid Mech. - 1980. - V. 2. - P. 22-35.
296 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
56. Lee Y., Korpela S.A. Multicellular natural convection in a slot // J. Fluid Mech.-1983.-
V. 126. -P. 91-121.
57'. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. Исследование структуры-пере-
структуры-переходного и турбулентного режимов конвекции в вертикальном слое // Изв. АН
СССР. МЖГ. - 1978. - № 6. - С 66- 75.
58. Polezhaev V.I., Випе А. V., Griaznov V.L. Structure, characteristics of transition and of
turbulence in the thermal convection given by direct numerical modelling // Laminar-
Turbulent Transition ШТАМ Symp. Novosibirsk, 1984. - Berlin, Heidelberg: Springer,
1985. -P. 741-747.
59. Грязное В.Л., Полежаев В.И. Численное моделирование турбулентного режима
конвекции в вертикальном слое // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1977. - № 5. - С. 8-15.
60. Грязное В.Л., Полежаев В.И. Численное решение нестационарных уравнений
Навье-Стокса для турбулентного режима естественной конвекции. - Препринт/
ИПМАНСССР.-М.:1977. -№81. -56 с.
61. Chenoweth D.R., Paolucci S. Natural convection in an enclosed vertical air layer with
large horizontal temperature differences// J. Fluid Mech. - 1986. - V. 169. - P. 173-
210.
К главе II
1. Гершуни ГЗ* К вопросу об устойчивости плоского конвективного движения
жидкости // ЖТФ.- 1955. - Т. 25, № 2. - С 351-357.
2. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков РН. Гидродинамическая
и тепловая неустойчивость стационарного конвективного движения//ПММ. -
1968 - Т. 32, вып. 2. - С. 256-263.
3. Hart J.E. Stability of the flow in a differentially heated inclined box// J. Fluid Mech.-
197 1. - V. 47, No 3. - P. 547-576.
4. Korpela S.A. A study on the effect of Prandtl number on the stability of the conduction
regime of natural convection in an inclined slot // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1974. -
V. 17, No 2. - P. 215-222.
5. Ruth D.W. On the transition to transverse rolls in inclined infinite fluid layers - steady
solutions // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1980. - V. 23, No 5. - P. 7 33-7 37.
6. Бирих РВ., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Р}>даков Р.Н. О колебательной
неустойчивости стационарного конвективного движения в плоском наклон-
наклонном слое // Гидродинамика, вып. 5. - Пермь: Ьерм. ун-т, 1974. - С. 139-148.
7. Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ. Конвективная устойчивость несжимаемой жид-
жидкости. - М : Наука, 1972. - 392 с.
8. Непомнящий А.А. О вторичных конвективных движениях в плоском наклон-
наклонном слое // Изв. АН СССР МЖГ. - 1977. - № 3. - С. 3-9.
9. Непомнящий А.А. Вторичные конвективные движения в наклонном слое // Гид-
Гидродинамика, вып. 10. - Пермь: Перм. пед. ин-т, 1976. - С. 94-102.
10. Squire H.B. On the stability for three-dimensional disturbances of viscous fluid flow be-
between parallel walls // Proc. Roy. Soc. - 1933. - V. A 142, No 847. - P. 621-628.
11. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Об устойчивости плоскопараллельного конвек-
конвективного движения относительно пространственных возмущений // ПММ. - 1969.—
Т. 33, вып. 5, -С 855-860.
12. Inaba Я Experimental study of natural convection in an inclined air layer // Int. J.
Heat Mass Transfer. - 1984. - V. 27, No 8. - P. 1127-1139.
13. Goldstein R.J., Wang Q.-J. An interf его metric study of the natural convection in an
inclined water layer// Int. J. Heat Mass Transfer. - 1984. - V. 27, No. 9.- P. 1445-
145 3.
XA.Ozoe H, Sayama H, Churchill S.W. Natural convection in an inclined rectangular
channel at various aspect ratios and angles — experimental measurements // Int. J.
Heat Mass Transfer. - 1975. - V. 18, No. 12. - P. 1425-1431.
15. Linthorst S.J.M., Schinkel W.M.M., Hoogendoorn C.J. Flow structure with natural con-
convection in inclined air-filled enclosures // J. Heat Transfer. - 1981. - V. 103, No 3. -
P. 5 35-5 39.- Рус. пер.: Структура течения при свободной конвекции в замкну-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 297
тых полостях, заполненных воздухом // Теплопередача. - 1981. - Т. 103, № 3.—
С. 157-162.
16. El-Sherbiny S.M., Raithby G.D., Hollands K.C .Т. Heat transfer by natural convection ac-
across vertical and inclined air layers // J. Hea'. Transfer. - 1982. - V. 104, No 1. - E.96-
102. - Рус. пер.: Свободно ко нвективнь.^ теплообмен в вертикальных и наклон-
наклонных воздушных слоях // Теплопередача. - 1982. - Т. 104, № 1. - С. 104-110.
17. Roux В., Grondin J.-C, Labrosse G. Sur les perturbations transverses du regime con-
ductif de la convection naturelle dans une couche fluide inclinee // Comptes Rend.
Acad. Sci - 1978. - Т. В 286, No 1. - P. 9-12.
18. Ozoe Я, Fufii K., Lior N., Churchill S. W. Long rolls generated by natural convection in
an inclined rectangular enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1983. - V. 26, No 10.-
P. H27-1438.
19. Clever R.M., Busse F.H. Instabilities of longitudinal convection rolls in an inclined layer//
J. Fluid Mech. - 1977. - V. 81, No 1. - P. 107-127.
20. Ruth D., Hollands K.G.T., Raithby G.D. On free convection experiments in inclined
air layers heated from below // J. Fluid Mech. - 1980. - V. 96, No 3. - P. 461-479.
21. Ruth D.W., Raithby G.D., Hollands K.G.T. On the secondary instability in inclined air
layers // J. Fluid Mech. - 1980. - V. 96, No 3. - P, 481- 492.
22. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. Устойчивость ста-
стационарного конвективного движения жидкости с продольным градиентом тем-
температуры // ПММ. - 1969. - Т. 33, вып. 6. - С. 958-968.
23. Gotoh К., Yanase S., Mizushima J. The instability of natural convection in a vertical
fluid layer in the presence of an adverse temperature gradient // J. Phys. Soc. Japan. -
1977. - V. 43, No 5. - P. 1773-1782.
24. Зайцев В.М., Сорокин М.П. К вопросу об устойчивости теплового конвективного
движения жидкости в вертикальной щели // Уч. зап. Перм. ун-та, - 1961. - Т. 19,
№ 3. - С. 29-32.
25. Vest СМ., Arpaci V.S. Stability of natural convection in a vertical slot // J. Fluid
Mech. - 1969. - V. 36, No 1. - P. 1-15.
26. Gotoh K., Mizushima J. The stability of convection between two parallel vertical walls //
J. Phys. Soc. Japan. - 1973. - V. 34, No 5.- P. 1408-1413.
27. Gill AE, Davey A. Instabilities of a buoyancy-driven system // J. Fluid Mech.- 1969. -
V. 35, No 4. - P. 775-798.
28. Gill AE., Kirkham CC A note on the stability of convection in a vertical slot // J. Fluid
Mech. - 1970. - V. 42, No 1. - P. 125-127.
29. Kutateladze S.S., Berdnikov V.S. Structure of thermogravitational convection in flat
variously oriented layers of liquid and on a vertical wall // Int. J. Heat Mass Transfer. -
1984. - V. 27, No 9. - P. 1595-1611.
30. Предтеченский A.A., Кирдяшкин А.Г., Бердников B.C. Устойчивость свободно-
конвективного течения жидкости в плоском наклонном слое // Современные4
проблемы тепловой гравитационной конвекции. - Минск: ИТМО АН БССР,
1974.- С. 12-18.
31. Кирдяшкин А.Г., Предтеченский А.А. Устойчивость режима пограничного слоя
при свободной конвекции в плоской вертикальной щели // Проблемы теплофизи-
теплофизики и физической гидродинамики. - Новосибирск: Наука, 1974 -С. 111-119.
32. Предтеченский А.А. Устойчивость тепловой конвекции в вертикальном слое. -
Препринт/ИТФ СО АН СССР. - Новосибирск, 1977. - № 19. - 17 с.
33. Mizushima J., Gotoh К. The stability of natural convection in a vertical fluid layer // J.
Fluid Mech. - 1976. - V. 7 3, No. 1. - P. 65-75.
34. Bergholz R.F. Instability of steady natural convection in a vertical fluid layer // J. Fluid
Mech. - 1978. - V. 8,4, No 4. -P. 743-768.
35. Brenier В., Roux B. Etude des regiim s d'instabilite dans une enceinte verticale soumise a
un gradient thermique horizontal // Comptes Rend. Acad. Sci - 1986. - T. 302, ser.II,
No 2. -P. 57-62.
36. Мызников В.М. Об устойчивости конвективного движения в плоском вертикаль-
вертикальном слое при наличии продольного градиента температуры // Гидродинамика,
вып. 2. - Пермь: Перм ун-т, 1970. - С. 99-107.
298 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Ъ1.Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. О форме неустойчивости плоскопараллельного кон-
конвективного движения с продольным градиентом температуры // Гидродинамика,
вып. 3. - Пермь: Перм. ун-т, 1971. - С. 56-63.
38. Nielsen H.B., True Н Numerical investigation of the 3-dimensional stability of a convec-
tive flow in a slot // Boundary am* Inter. Layers Comput. - Asymptot. Metlu Dublin.
Proc. BAIL 1 Conf., 1980. - P. 381-386.
39. Oshima Y. Experimental studies of free convection in a rectangular cavity // J. Phys. So с
Japan. - 1971. - V. 30, No 3. - P. 872-882.
40. Кирдяшкин А.Г., Леонтьев А.И., Мухина H.B. Устойчивость ламинарного течения
жидкости в вертикальных слоях при естественной конвекции // Изв. АН СССР.
МЖГ. - 1971. -№5. -С 170-174
41. Предтеченский А.А. Самовозбуждение термоконвективных волн в подогревае-
подогреваемом сбоку вертикальном слое жидкости // Теплофизические исследования. -
Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1977. - С. 29-34.
42. Elder J. W. Laminar free convection in a vertical slot // J. Fluid Mech. - 1965. - V. 23,
No 1, - P. 77-98.
43. Vahl Davis G. de, Mallinson G.D. A note on natural convection in a vertical slot //
J. Fluid Mech. - 1975. - V. 72, No 1. - P. 87-93.
44 Гершуни Г.З., Герасимова СБ. Об одном случае решения конвективной задачи
с учетом зависимости коэффициента вязкости от температуры // Уч. зап. Перм.
ун-та, - 1954 - Т. 6, № 8. - С.87 -90.
45. Гершуни ГЗ. К вопросу об устойчивости стационарного конвективного движения
вязкой жидкости // Уч зап. Перм. ун-та, - 1961. - Т. 19, № 3. - С 25-2,8.
46. Гершуни ГЗ., Жуховицкий Е.М., Шихов В.М. Об устойчивости конвективного
течения жидкости с вязкостью , зависящей о г температуры // Теплофиз. высоких
темп. - 1975. -Т. 13, №4, -С 111-11&.
47 .Thangam S., Chen С.F. Stability analysis of the convection of a variable viscosity
fluid in an infinite vertical slot // Phys. Fluids. - 1986. - V. 29, No 5. -
P. 1367-1372.
48. Бирих Р.В., Гершуни ГЗ., Жуховицкий Е.М., Рудаков PH., Шихов В.М. Об устой-
устойчивости стационарных конвективных движений при больших числах Прандтля //
Гидродинамика, вып. 6. - Пермь: Перм. ун-т, 1975. - С. 63-72.
49. Гершуни ГЗ. О свободной тепловой конвекции в пространстве между вертикаль-
вертикальными коаксиальными цилиндрами //Докл. АН СССР. - 1952. - Т. 86, №4 -
С.697-698.
50. Choi I.G., Korpela S.A. Stability of the conduction regime of natural convection in a
tall vertical annulus // J. Fluid Mech. - 1980. - V. 99, No 4. - P. 725-738.
51. Shaaban A.H., Ozisik M.N. Effect of curvature on the thermal stability of a fluid be-
between two long vertical coaxial cylinders // VII Int. Heat Transfer Conf., Munich, 1982,
V. 2. - P. 281-286.
52. Lee Y., Korpela S.A., Horn R.N. Structure of multicellular natural convection in a tall
vertical annulus// VII Int. Heat Transfer Conf., Munich, 1982, V. 2. - P.221-226.
5 3. Weidman P.D., Mehrdadtehranfar G. Instability of natural convection in a tall vertical
annulus // Phys. Fluids. - 1985. - V. 28, No 3. - P. 776-787.
54. McFadden G.B., Coriell S.R., Boisvert R.F., Glicksman M.E. Asymmetric instabilities in
buoyancy-driven flow in a tall vertical annulus// Phys. Fluids. - 1984. - V. 27, No 6.-
P. 1359-1361.
55. Coriell S.R., Boisvert R.F., Mickalonis J.I., Glicksman M.E. Morphological an4 convec-
tive instabilities during solidification //Adv. Space Res. - 1983. - V. 3, No 5. - P. 95-
101.
56 Русанов А.И. Фазовые равновесия и поверхностные явления - Л.. Химия, 1967 -
388 с.
57. Yanase S. The instability of natural convection in a fluid layer between coaxial cylin-
cylinders // J. Phys. Soc. Japan. - 1980. - V. 48, No 3. - P. 998-1008.
58. Гершуни ГЗ., Дементьев О.Н., Жуховицкий Е.М. О влиянии тепловых свойств
границ на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое // Инж -
физ журнал, 1977 - Т 32, № 6, - С 1062-1064
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 299
59. Ozisik M.N., Hassab М.А. Effects of convective boundary conditions on the stability of
conduction regime in an inclined slender slot // Numer. Heat Transfer. - 1979. - V. 2.-
P. 251-260.
60. Липчин А. Т., Лобов Н.И. Влияние тепловых свойств границ на устойчивость кон-
конвективного течения в подогреваемом сбоку вертикальном слое // Конвективные
течения. - Пермь: Перм. пед. ин-т, 1987. -С. 11-18.
61. Рудаков Р.Н. О форме нормальных возмущений в конвективном потоке между
вертикальными плоскостями // Гидродинамика, вып. 1. — Пермь: Перм. ун-т,
1968. -С 105—115.
62. Hassab M.A., Ozisik M.N. Effects of thermal wall resistance on the stability of conduc-
conduction regime in an inclined narrow slot//Int. J. Heat Mass Transfer. -1981.-V. 24,
No 4. -P. 739-747.
63. Marballi V.M., Korpela S.A., Lee Y., Nakamura S. Heat transfer through a vertical
enclosure with convective boundary conditions // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1984. —
V. 27, No 12. - P. 2431-2434.
64 Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. Влияние проницаемой перегородки на устойчивость те-
течения, возникающего под действием линейной массовой силы // Гидродинамика,
вып. 8. - Пермь: Перм. ун-т, 1976. - С 79-83.
65. Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. Стабилизация конвективного течения в вертикальном
слое с помощью проницаемой перегородки // ПМТФ. - 1978. - № 4. - С. 143 —
146
66. Бирих Р.В.у Рудаков Р.Н Конвективная неустойчивость горизонтального слоя
жидкости между проницаемыми перегородками // Изв АН СССР. МЖГ. - 1985. -
№4. - С 171-173.
К главе III
{.Лобов Н.И. Об устойчивости смешанного конвективного течения в плоском вер-
вертикальном слое // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1979 - № 6. - С 1 30-132.
2. Лобов НИ. Устойчивость комбинированного течения в вертикальном слое //
Исследование тепловой конвекции и теплопередачи. - Свердловск: УНЦ АН
СССР, 1981 -С. 9-11
3. Лобов НИ Неустойчивость комбинированного конвективного течения в верти-
вертикальном слое // Изв АН СССР. МЖГ. - 1982, № 3 - С 3-9
4 Гольдштик М.А., Штерн В.И. Гидродинамическая устойчивость и турбулент-
турбулентность. - Новосибирск: Наука, 1977. - 366 с.
5. Fukui К., Nakajima M., Veda H, Mizushina T. Flow instability and transport phenomena
in combined free and forced convection between vertical parallel plates // J. Chem. Eng.
Japan. - 1982. - V. 15, No 3. - P. 172-180.
6. Бирих P.B., Рудаков Р.Н. О влиянии движения границ на устойчивость конвек-
конвективного течения между вертикальными плоскостями // Гидродинамика, вып
2.- Пермь: Перм ун-т, 1970. - С. 93-98.
7 Лобов НИ, Никитин А.И Влияние движения границ на устойчивость конвек-
конвективного течения в вертикальном слое // Исследование тепловой конвекции и
теплопередачи Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981 -С 12-15
8 Лобов НИ, Никитин А.И. О механизмах неустойчивости комбинированного кон-
конвективного течения//Конвективные течения. — Пермь: Перм. пед. ин-т. 1981. —
С 41-51
9 Тарунин Е.Л. Вторичное конвективное движение жидкости в вертикальном слое
с подвижными границами// Гидродинамика, вып. 5. - Пермь: Перм. ун-т, 1974.-
С 115-126
10 Лобов Н.И, Тарунин Е.Л. Надкритический режим конвекции в вертикальном
слое с движущимися границами // Изв АН СССР МЖГ - 1984 - № 5. - С 10-
14.
11 Лобов Н.И, Любимов Д.В. Длинноволновая неустойчивость плоскопараллельного
конвективного течения в условиях фиксированного теплового потока // Конвек-
Конвективные течения - Пермь Перм пед ин-г, 1983 - С 77-85
300 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
12. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шварцблат Д.Л. Об устойчивости поперечного
течения жидкости между проницаемыми границами//ПММ - 1967 - Т 31,
вып. 1.- С 116-119.
13. Алексеев Ю.Н., Короткий А.И. Влияние поперечной скорости потока в несжимае-
несжимаемом пограничном слое на устойчивость ламинарной формы движения // Изв
АН СССР МЖГ. - 1966. - № 1 - С. 32-36
14. Варапаев В.Н., Ягодкин В,К Об устойчивости некоторых непараллельных течений
вязкой несжимаемой жидкости в канале // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1970. - № 4 -
С 125-129.
15. Шварцблат Д.Л. О спектре возмущений и конвективной неустойчивости плоского
горизонтального слоя жидкости с проницаемыми границами//ПММ. — 1968. -
Т. 32, вып. 2.- С. 276-281.
16. Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ., Шварцблат Д.Л. О спектре конвективной неус-
неустойчивости в вертикальном канале с проницаемыми границами // ПММ. - 1970. -
Т. 34, вып. 1.- С 150-152
П.Шихов В.М. Об устойчивости конвективного движения в вертикальном слое с
проницаемыми границами // Гидродинамика, вып. 7. - Пермь: Перм. пед ин-т,
1974 - С 17-24.
18. Шихов В.М. Устойчивость конвективного движения в плоском вертикальном слое
жидкости с проницаемыми границами // ПМТФ. - 1976. - № 1. - С 9,4-101.
19. Шихов В.М. Спектры возмущений и устойчивость конвективного движения в
вертикальном канале с проницаемыми границами"// Гидродинамика, вып. 8 -
Пермь: Перм ун-т, 1976. - С 69-78.
20. Sorour М.М., Hassab М.А., Elewa F.A. Stability of combined natural and f6rced cross
flow in avertical slot// Int. J. Heat Mass Transfer. -1985. - V. 28, No 5. - P. 987-993.
21 Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ. Вибрационная тепловая конвекция в невесомос-
невесомости // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости. - Свердловск: УНЦ АН
СССР, 1983. -С. 86-105.
22. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Теоретическая физика. Том I. Механика — Изд. 4-е,
испр и доп. - М: Наука, 1988. - 215 с.
23. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1969. - 742 с.
24. Зеньковская СМ, Симоненко И.Б. О влиянии вибрации высокой частоты на
возникновение конвекции // Изв. АН СССР МЖГ. - 1966. - № 5. - С. 51-55.
25. Шарифулин А.Н. Устойчивость конвективного движения в вертикальном слое
при наличии продольных вибраций//Изв. АН СССР. МЖГ. - i983. - № 2. -
С 186-188.
26. Шарифулин А.Н. Волновая неустойчивость ев об одно конвективно го движения
в вибрационном поле // Нестационарные процессы в жидкостях и твердых телах.-
Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. - С. 58-62.
27. Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ. О свободной тепловой конвекции в вибрацион-
вибрационном поле в условиях невесомости // Докл. АН СССР. - 1979 - Т. 249, № 3. -
С 580 -584.
28. Гершуни Г 3., Жуховицкий ЕМ. О конвективной неустойчивости жидкости в виб-
вибрационном поле в невесомости // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1981 - № 4. - С 12-
19.
29. Заварыкин М.П., Зорин СВ., Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование вибра-
вибрационной конвекции // Докл АН СССР. - 1985 - Т. 281, № 4. - С 815-816.
30. Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ. Нестационарная плоскопараллельная конвек-
конвекция в вертикальном канале при наличии модуляции подъемной силы // Гидро-
Гидродинамика, вып. 4. - Пермь: Перм ун-т, 1972 - С. 119-126
31. Baxi C.B., Arpaci V.S., Vest CM. Stability of natural convection in an oscillating vertical
slot // Proc. ]974 Heat Transfer and Fluid Mech. Inst., Corvailis, Ore. - Stanford,Calif.'
Univ. Press, 1974. - P. 171-183.
32 Hassab M.A., Sorour MM., Elewa F.A. Stability of combined natural and forced cross
flow in an inclined slot // 8th Int. Heat Transf. Conf. - San Francisco, Calif. - 1986. -
V. 3.- P. 1383-1388.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 301
33. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Об устойчивости конвективного течения в
вибрационном поле относительно пространственных возмущений // Изв. АН
СССР. МЖГ. - 1988. - № 2. - С. 116-122.
34. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шихов В.М. Устойчивость конвективного тече-
течения в вертикальном слое при наличии поперечной вибрации // Конвективные
течения. - Пермь: Перм. пед. ин-т, 1987. - С 18-24
К главе IV
1 Куликовский А.Г., Любимов ГА. Магнитная гидродинамика. — М.. Физматгиз,
1962. - 246 с.
2 Гершуни ГЗ., Жуховицкий ЕМ. Стационарное конвективное движение электро-
электропроводящей жидкости между параллельными плоскостями в магнитном поле //
ЖЭТФ - 1958. - Т. 34, вып. 3. - С. 670-674
3. Stuart J.T. On the stability of viscous flow between parallel planes in the presence of a
coplanar magnetic field // Proc. Roy. Soc. - 1954. - V. A 221. - P. 189- 206.
A. Lock R.C. The stability of flow of an electrically conducting fluid between parallel
planes under a transverse magnetic field//Proc. Roy. Soc. - 1955. — V. A233. -
P. 105-125.
5. Гершуни Г.З.. Жуховицкий Е.М. Об устойчивости стационарного конвективного
движения электропроводящей жидкости между параллельными вертикаль-
вертикальными плоскостями в магнитном поле // ЖЭТФ. - 1958. - Т. 34, вып. 3. -
С. 675-683.
6. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. Об устойчивости
конвективного течения проводящей жидкости в магнитном поле // Магнитная
гидродинамика. - 1978. - № 1. - С 30-36.
7. Hunt J.C.R. On the stability of parallel flow with parallel magnetic fields // Proc. Roy.
Soc. - 1966. - V. A293, No 1434. - P. 342-358.
8. Takashima M., Hamabata H. The stability of natural convection in a vertical layer of
dielectric fluid in the presence of a horizontal ac electric field // J. Phys. Soc. Japan. -
1984. ~ V. 53, No 5. -P. 1728-17 36.
9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том VIII. Электродинамика
сплошных сред. - Изд. 2-е, перераб. и доп. Е.М. Лифшицем и Л.П. Питаевским -
М.: Наука, 1982. - 620 с.
Ю.Шапошников И.Г К теории конвективных явлений в бинарной смеси // ПММ. -
1953. - Т. 17, вып. 5. - С. 604-606.
11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М, Теоретическая физика. Том VI, Гидродинамика.-
Изд. 3-е, перераб. - М.: Наука, 1986. - 733 с.
12. Гершуни ГЗ., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жид-
жидкости. - М.: Наука, 1972.- 392 с.
13. Hart J.E. On sideways diffusive instability // J. Fluid Mech. - 197 1. - V. 49, No 2. -
P. 279-288.
14. Гершуни ГЗ., Жуховицкий E.M., Сорокин Л.Е. Об устойчивости плоскопараллель-
плоскопараллельного конвективного течения бинарной смеси // ПММ, - 1980. - Т. 44, вып. 5. -
С 823-830.
15. Сорокин Л.Е. О колебательной неустойчивости плоскопараллельного конвек-
конвективного течения бинарной смеси // Конвективные течения. - Пермь: Перм. пед.
ин-т, 1981.- С. 69-75.
16. Thorpe S.A., Hutt Р.К., Soulsby R. The effect of horizontal gradients on thermohaline
convection // J. Fluid Mech. - 1969. - V. 38, No 2. - P. 375-400.
17. Paliwal R.C., Chen C.F. Double-diffusive instability in an inclined fluid layer. Part 2.
Stability analysis // J. Fluid Mech.- 1980. - V. 98, No 4. - P. 769-785.
18. Thangam S., Zebib A, Chen C.F. Transition from shear to sideways diffusive instability
in avertical slot // J. Fluid Mech. - 1981. - V. 112. - P. 151-160.
19. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях - М.: Мир, 1977 - 431 с.
20. Huppert HE., Turner J.S. Double diffusive convection // J. Fluid Mech. - 1981. -
V. 106. - P. 299-329.
302 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
21 Чашечкин Ю.Д., Попов В.А. Методы лабораторного моделирования конвективных
процессов в неоднородных системах© условиях нормальной и пониженной грави-
гравитации // Гидромеханика ж тенлэмассообмен в невесомости.. - М Наука, 1982 -
С 119- 146.
22. Turner J.S. Multicomponent convection// Annual Rev. Fluid Mech. - 1985. - V. 17.
Palo Alto, Calif. - P. 11-44.
23. Paliwal R.C, Chen C.F Double-diffusive instability in an inclined fluid layer. Part 1.
Experimental investigation // J. Fluid Mech, - 1980. - V. 98, No 4. - P. 755-768.
24. Hart J.E. Finite amplitude sideways diffusive convection//J. Fluid Meek - 197 3. -
V. 59, No L -P. 47-64
25. Wirtz Я.АЛ Reddy C.S. Experiments on convective layer formation and merging in a
differentially heated slot // X Fluid Mech.- 1979. - V, 91, No 3. - P. 451-464.
26. Narusawa U., Svtzukawa Y. Experimental study of d«ouble-diffusive cellular convection
due to a uniform lateral heat flux // J. Fluid Mech. - 1981. - V. 113. - P. 387- 405.
27. Thangam S., Zebib A, Chen CF. Double-diffusive convection in an inclined fluid layer//
J. Fluid Medx. - 1982. - V. 116. - P 363-378.
28. Reddy CS, Cell merging and its effect on heat transfer in thermosolutal convection //
J. Heat Transfer. - 1980. - V. 102, No 1. - P. 172- 174. - Рус пер.: Слияние кон-
конвективных ячеек и его влияние на теплообмен при конвективном тепло- и массо-
переносе // Теплопередача. - 1980. - Т. 102, № L - С 195- 197.
29. Chen CF. Double-diffusive convection in an inclined slot // J. Fluid Mech. - 1975, -
V. 72, No 4.- P. 721-729,
30. Chen CF,, Sandford R.D. Stability of time-dependent double-diffusive convection in an
inclined slot // J. Fluid Mech. - 1977. - V. 83, No. 1. - P. 83-95.
31. McDougall >TJ. Double-diffusive convection caused by coupled molecular diffusion //
J. Fluid Mech. - 1983. - V. 126. - P. 379-397.
32. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин Л.Е. Об устойчивости конвективного
течения бинарной смеси с термодиффузией //ПММ. - 1982 - Т. 46, вып. 1 -
С 66-71
33. Сорокин Л.Е. Устойчивость конвективного течения бинарной смеси с термодиф-
термодиффузией относительно длинноволновых возмущений // Конвективные течения -
Пермь: Перм.пед. ин-т, 1983 -С 72-76
34. Сорокин Л.Е. О нелинейном конвективном движении бинарной смеси с термо-
термодиффузией // Гидродинамическая и конвективная устойчивость несжимаемой
жидкости. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984 - С 19-26
35. Сорокин ЛЕ. Подкритическое конвективное движение бинарной смеси с термо-
термодиффузией//Неизотермические течения вязкой жидкости. - Свердловск: УНЦ
АН СССР, 1985. - С. 19-23.
36 Николаев Б.И., Тубин А.А. Об устойчивости конвективного течения бинарной
смеси в плоской термодиффузионной колонне // ПММ. - 1971. - Т. 35, вып. 2.-
С 248-254
37 Сорокин Л.Е. Устойчивость конвективного течения бинарной смеси при наличии
термодиффузии и вертикального градиента концентрации // Конвективные те-
течения. - Пермь: Перм. пед ин-т, 1983. - С. 63-71.
38. Bayazitoglu Y., Bayazitoglu Y.O. The stability of conduction regime of combined
buoyancy mode driven flow in a slot // Lett. Appl. and Eng. Sci. - 1977. — V. 5,
No 4.- P. 259-272.
39. Слезкин НА. Дифференциальные уравнения движения пульпы // Докл. АН
СССР. - 1952. -Т. 86, №2. -С 235-237.
40 Coy С. Гидродинамика многофазных систем. - М.. Мир, 1971 - 536 с
41. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред - М. • Наука, 1978 -
336 с.
М.Гупало ЮЛ. Об устойчивости ламинарного движения жидкости с тяжелой
примесью / Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и машиностр. - 1960. -№ 6. -
С 38-46.
43. Saffman Р G. On the stability of laminar flow of a dusty gas // J. Fluid Mech. - 1962.-
V. 13, No 1. -P. 120-128.
СПИСОК ЛИТЕРА IУРЫ 303
44. Michael D.H. The stability oi plane Poiseuille flow of a dusty gas// j. Fluid Mech. -
1964. - V. 18, No 1. - P. 19-32.
45 Желтухин ИД. Устойчивость ламинарного пограничного слоя в несжимаемом
газе, несущем твердую примесь // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1971. -- № 2 - С 103-
110.
46 Нармуратов Ч.Б., Соловьев А.С. О влиянии взвешенных частиц на устойчивость
плоского течения Пуазейля // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1986. - № 1. - С 46-5 3.
41. Дементьев ОН. Устойчивость конвективного движения среды, несущей твердую
примесь // Гидродинамика, вып 7. - Пермь: Перм. нед. ин-т, 1974 - С 3-15
48 Дементьев ОН. Об устойчивости конвекшвного движения запыленного газа//
Гидродинамика, выи. 9. — Пермь: Перм пед. ин-т, 1976. — С 71 -76
49. Дементьев О.Н. Конвективная устойчивость среды, содержащей тяжелую твердую
примесь//ПМТФ - 1976. - № 3. - С. 105-115
50 Гершуни Г.З^ЖуховицкийЕ.М.Конъ^ктившш устойчивость // Механика жидкости
и газа, т. 11. - М • ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1978 - С. 66-154.
5 1. Hwang L.-T, Lu W.-F., Mollendorf J.C. The effects of the density extremum and boun-
boundary conditions on the stability of a horizontally confined water layer // Int. J. Heat
Mass Transfer. - 1984. - V. 27, No 4. - P. 497-510.
52 Гершуни Г.З., ЖуховицкийЕ.М., ШиховВ.М. Неустойчивость конвективного тече-
течения воды вблизи 4 °С//Изв. АН СССР МЖГ.-1979 -№2.~ С 189-J92
53 Пшеничников А.Ф. Свободная конвекция воды между вертикальными плоскос-
плоскостями при температурах, близких к 4 ° С// Гидродинамика, вып. 3. - Пермь:
Перм. ун-т, 1971 - С 169-172
54. Sorour М.М. On the thermal and hydrodynamic stability of a fluid in a vertical slot //
J. Mech. Eng. Sci. - 1982.- V. 24, No 4. - P. 199-203.
55. Hassab M.A., Sorour M.M Onset of convection in a melting ice layer between vertical pla-
plates //Int. J. Heat.Mass Transfer. - 1982. - V. 25, No 7. - P. 909-916.
56. Shaaban A H, Ozisik M.N. The effect of nonlinear density stratification on the sta-
stability of a vertical water layer in the conduction regime // J. Heat Transfer. - 1983. -
V. 105, No 1 - P. 130-137.- Рус пер. Влияние нелинейной стратификации плот-
плотности на устойчивость вертикального слоя воды в режиме теплопроводности//
Теплопередача.- 1983. -Т 105, № 1 - С 115-122.
5 7 Шульман 3 П., Байков В.И., Зальцгендлер Э.А. Тепло-и массообмен при свободной
конвекции в неньююновских жидкостях. - Минск. Наука и техника, 1975 —
134 с
58 Семакин И.Г. Гидродинамическая устойчивость конвективного течения не-
неньютоновской жидкости в вертикальном слое//Инж.-физ журнал - 1977 -
Т. 32, №6 - С 1065- 1070.
59 Семакин ИГ. Колебательная неустойчивость стационарной конвекции ненью-
юновской жидкости // Инж -физ. журнал - 1978 - Т. 35, № 2 - С 320-325
60. Семакин И.Г. Неустойчивость стационарного конвективного движения нснью-
гоновской жидкости в вертикальном слое // Гидродинамика, вып. 7 - Пермь
Перм. пед ин-г, 1974 - С 25-32.
61. Семакин И.Г. Стационарная конвекция неньютоновской жидкости в вертикаль-
вертикальном слое//Изв АН СССР МЖГ- 1972. - № 4 -С 137-139.
62. Семакин И.Г Вторичные конвективные движения неньютоновской жидкости в
вертикальном слое // Гидродинамика, вып 9. — Пермь: Перм пед. ин-т, 1976 —
С 60-70
63. Goziim D., Arpaci V.S. Natural convection of viscoelastic fluids in a vertical slot // J.
Fluid Mech. - 1974 - V. 64, No 3. - P. 439-448.
64 Седов Л.И. Механика сплошной среды Том I. Изд. 4-е, испр и доп - М.. Наука,
1983 - 528 с
65 Листров А.Т., Рубежанский В И. Об устойчивости плоского конвективного дви-
движения микрополярной жидкости // Тр НИИ матем Воронежск ун-та -1974 -
Вып. 16.-С 44-51
66. Listrov A T, Rubezhansky V.I. On three-dimensional disturbances of convective micro-
fluid flows// Lett Appl. and Eng. Sci. - 1975. - V. 3, No. 2. - P. 119-124.
304
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
67 Коржов Е.Н., Рубежапский В.И. О теореме Сквайра в гравитационной конвекции
микроструктурных "жидкостей // Научи, тр ф-та прикл. матем. и мех. Воронежск.
ун-та. - 1971 - Вып. 2 - С 18-22.
68. Gill А.К A proof that convection ш porous vertical slab is stable // J. Fluid Mech. -
1969. - V. 35, No 3. - P. 545-547.
69. Rees D.A.S. The stability of Prandtl — Darcy convection in a vertical porous layer //
Int. J. Meat Mass Transfer. - 1988.-V. 31. No 7 . - P. 1529-15 34.
70. Wolanski E.I Convection in a vertical porous slab//Phys. Fluids. - 1973. - V. 16,
No П. -Р 2014-2016.
71. Bories S.A., Combarnous M.A. Natural convection in a sloping porous layer // J. Fluid
Mech. - 197 3. - V. 57, No L - P. 63-79.
72. Власюк MM., Полежаев В.И. Естественная конвекция и перенос тепла в проницае-
проницаемых пористых материалах. - Препринт/ИПМ АН СССР. - М., 1975 - № 77 -
78 с.
7 3. Norton С W., Rogers F.T. Convection currents in a porous medium // J. AppL Phys. —
1945. - V. 16, No 5. - P. 367-370.
74. Weber J.E. Thermal convection in a tilted porous layer // Int. J. Heat Mass Transfer. -
1975. - V. 18, No 3. - P. 474-475. ;
75. Jaffrennou J. Y. Convection naturelle dans une couche poreuse inclinee. Influence des
effects d'extremites sur les conditions de stabilite// Comptes Rend. Acad. Scl - 1974.-
T. A278, No 1. -P. 51-54.
76. Kaneko Т., Mohtadi M.F., Aziz K. An experimental study of natural convection in in-
inclined porous media//Int. J. Heat Mass Transfer. - 1974. - V. 17, No 4. - P. 485-
496.
77. Caltagirone J.P., Bories S. Solutions and stability criteria of natural convective flow
in an inclined porous layer // J. Fluid Mech. - 1985. - V. 155. - P. 267-287.
78 Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Любимов Д.В. Об устойчивости стационар-
стационарной конвективной фильтрации смеси в вертикальном пористом слое // Изв
АН СССР. МЖГ. - 1980. -№ 1.- С 150-157.
79. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Любимов Д.В. О термоконцентрационной неус-
неустойчивости смеси в пористой среде // Докл. АН СССР. - 1976 - Т. 229, № 3. -
С 575-578
80. Khan A. A. , Zebib A Double-diffusive instability in a vertical layer of a porous me-
medium//J. Heat Transfer. - 1981.-V. 103, No 1.- P. 179-181.
81. Turner J.S., Gustafson LB. The flow of hot saline solutions from vents in the sea floor-
some implications for exhalative massive sulfide and other ore deposits // Econ. GeoL -
1978. -V. 73. -P. 1082-1100.
К главе V
1 Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Якимов А.А. Об устойчивости стационарного
конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла // ПММ.-
1970. - Т 34, вып. 4. - С 700-705
2 Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Якимов А.А. О двух типах неустойчивости ста-
стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками
тепла // ПММ. - 1973. - Т. 37, вып. 3. - С. 546-568.
3. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ., Рудаков PH., Шихов В.М. Об устой-
устойчивости стационарных конвективных движений при больших числах Прандтля //
Гидродинамика, вып. 6 - Пермь. Перм. ун-т, 1975 - С 63-72.
4. Takashima М. The stability of natural convection in a vertical fluid layer with internal
heat generation // J. Phys. Soc. Japan. - 1983. - V. 52, No 7. - P. 2364-2370.
5 Якимов А.А. Вторичные конвективные движения в плоском вертикальном слое
жидкости с внутренними источниками тепла // Гидродинамика, вып. 7. — Пермь-
Перм пед. ин-т, 1974 - С 53-64.
6 Якимов А.А. О форме неустойчивости стационарного конвективного движения,
вызванного внутренними источниками тепла // Гидродинамика, вып. 4. - Пермь
Перм. ун-т, 1972 - С 37-42
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 305
7. Козлов В.Г. Экспериментальное исследование устойчивости конвективного дви-
движения жидкости, вызванного внутренними источниками тепла // Изв АН СССР.
МЖГ - 1978. - № 4 - С 23-27
&.Murgatroyd W., Watson A. An experimental investigation of the natural convection
of a heat generating fluid within a closed vertical cylinder // J. Mech. Eng. ScL - 1970.-
V. 12, No 5.- P. 354-363.
9. Козлов В.Г^ Полякова Н.Г. Устойчивость конвективного движения, вызванного
внутренними источниками тепла в вертикальном круглом канале // Конвектив-
Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. - Свердловск: УНЦ АН СССР,
1979. - С 24-28.
10. Самойловж Ю.А., Ясницкий ЛИ. Неустойчивость тепловой гравитационной кон-
конвекции в жидком ядре затвердевающей отливки // Теплофиз высоких темп -
1982.- Т. 20, №5.- С 1002-1004.
11. Самойлович Ю.А, Ясницкий Л.Н., Кабаков З.К. Исследование термогравита-
термогравитационной конвекции при затвердевании жидкой стали методом математи-
математического моделирования // Инж.-физ. журн. - 1983. - Т. 44, № 3. -
С. 465-473.
12. Gershuni G.Z., Zhukhovitsky E.M., Yakimov A. A On stability of plane-parallel convec-
tive motion due to internal heat sources // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1974. -
V. 17, No 7. -P. 717-726.
13. Sparrow E.M., Goldstein K.J., Jonsson V.K. Thermal instability in a horizontal fluid
layer: effect of boundary conditions and non-linear temperature profile // J. Fluid
Mech. - 1964. - V. 18, No 4. - P. 513-528.
14. Шихов В.М., Якушин В.И. Об устойчивости конвективных движений, вызванных
неоднородно распределенными внутренними источниками тепла // Изв. АН СССР,
МЖГ. - 1977. - № 3 - С 140-144.
15. Шихов В.М., Якушин В.И. О спектре малых возмущений конвективных движений
жидкости, обусловленных неоднородно распределенными внугренними источни-
источниками тепла//Гидродинамика, вып. 10. - Пермь: Перм. пед. ин-т, 1976. - С.
85-93.
16. Shaaban A.H., Ozisik M.N. Thermal stability of a vertical fluid layer with volumetric
energy source // J. Heat Transfer. - 1985. - V. 107, No 3. - P. 589-595.
17. Hassab M.A. The stability of steady corrective motion in a vertical slender slot with
non-uniform volumetric energy sources and unequal surface temperatures /7 Int. J.
Heat Mass Transfer. - 1985. - V. 28, No 2, - P. 351-360.
18. Шихов В.М. О гидродинамической и тепловой неустойчивости конвективного
течения с кубическим профилем температуры // Конвективные течения. - Пермь:
Перм. пед. ин-т, 1981. - С. 62-68.
19. Шихов В.М. Об устойчивости конвективного движения, вызванного внутренними
источниками тепла в вертикальном слое с проницаемыми границами // Конвек-
Конвективные течения. - Пермь: Перм. пед. ин-т, 1985. - С. 36—44.
20. Горлеп В.В., Шендеровский В.А. Исследование устойчивости конвективного тече-
течения вязкой жидкости методом локального потенциала // Инж -физ. журнал -
1981. - Т. 40, № 4. - С. 673-677.
21. Лопушанская А.К, Горлей В.В. Гидродинамическая неустойчивость стационар-
стационарного движения проводящей жидкости в вертикальном канале // Магнитная гидро-
гидродинамика. -1980. -№ 3. - С 131-133.
22. Еремин Е.А. О гидродинамической устойчивости стационарного плоскопараллель-
плоскопараллельного конвективного движения реагирующей жидкости// Конвективные течения. —
Пермь: Перм. пед ин-т, 1981 - С. 52-61.
23. Еремин Е.А. Об устойчивости стационарного плоскопараллельного конвектив-
конвективного движения химически активной среды//Изв. АН СССР. МЖГ. - 1983 -
№3. - С. 123-127.
24. Еремин Е.А. О режимах конвекции и теплопереноса в вертикальном слое реаги-
реагирующей среды // Физика горения и взрыва. - 1984. - № 4. - С 65-69
25. Франк-КаменецкийД.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике —
М.: Наука, 1967. - 490 с
306 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
26. Gill W., Donaldson A.B. The Frank-Kamenetskii problem revisited. Part 1. Boundary
conditions of first kind // Combustion and Flame. - 1979. - V. 36, No 3. - P. 217 —
232.
27. Истратов А.Г., Либрович В.Б. Об устойчивости решений в стационарной теории
теплового взрыва // ПММ - 1963 - Т. 27, вып 2. - С. 343 -347
28 Каганов С.А Об устойчивости стационарных решений в теории теплового взрыва//
ПММ - 1967. - Т 31, выи. 6. - С 1081 -1085
29. Колесников А.К Об устойчивости стационарных режимов тепломассопереноса в
химически активных средах // Гидродинамика, вып 10 - Пермь: П^рм. пед
ин-т, 1977 - С 66-75
30 Штессель Э.А., Прибыткова К.В., Мержанов А.Г. Численное решение задачи о теп-
тепловом взрыве с учетом свободной конвекции // Физика горения и взрыва. -
1971. -Т 7, №2.- С 167-178.
31 Еремин Е.А. Численное исследование конечно-амплитудных движений и режи-
режимов теплопереноса в горизонтальном слое реагирующей жидкости // Конвектив-
Конвективные течения - Пермь: Перм. пед ин-т, 1985. - С 3-10.
32. Булашевич Ю.П., Хачай Ю.В. Конвективная устойчивость земных недр с радиоак-
радиоактивными источниками тепла // Изв АН СССР. Физика Земли. - 1975 — № 12. -
С. 13-19.
33. Gray W.M., Frank W.M., Corrin M.L., Stokes C.A. Weather modification by carbon dust
absorption of solar energy // J. Appl. Meteorol. - 1976. - V. 15, No 4. - P. 355-386.
34. Колесников А.К. Якушин В.И. О конвективной неустойчивости смеси с кон-
концентрационными источниками тепла//Инж.-физ. журнал. - 1979 - Т 36, №4, -
С 708-714.
35. Колесников А.К, Якушин В.И. О возникновении конвекции в смесях с концент-
концентрационными источниками тепла // Изв АН СССР. МЖГ. - 1980, - № 6. - С. 21 -
27
36 Колесников А.К, Якушин В.И. Конечно-амплитудная конвекция в смесях с кон-
концентрационными источниками тепла//Изв АН СССР. МЖГ. - 1982. - № 6 -
С 10-16.
31. Еремин Е.А., Шихов В.М., Якушин В.И. Об устойчивости конвективных течений
смеси с концентрационными источниками тепла // Конвективные течения -
Пермь: Перм. пед ин-т, 1983. - С. 53-62.
38 Еремин Е.А., Шихов В.М., Якушин В И. О типах неустойчивости конвективного
течения бинарной смеси с концентрационными источниками тепла // Изв. АН
СССР. МЖГ. - 1987.-№ 2. -С 15-19.
39. Arpaci V.S., Bayazitoglu Y. Thermal stability of radiating fluids: asymmetric slot prob-
problem // Phys. Fluids. - 1973. -V. 16, No 5. - P. 589- 593.
40. Hassab M.A., Ozisik M.N. Effects of radiation and convective boundary conditions on
the stability of fluid in an inclined slender slot // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1979. -
V. 22, No 7. - P. 1095-1105.
41 Оцисик M.H. Сложный теплообмен - M : Мир, 1976. - 616 с
42. Traugott S.C. Radiative heat-flux potential for a nongray gas // AIAA Journal. - 1966.—
V. 4. -P. 541-542.
43. Arpaci V.S, Gozilm D. Thermal stability of radiating fluids, the Benard problem // Phys.
Fluids. - 197 3. - V. 16, No 5. - P. 581- 588.
44. Lauriat G. Combined radiation-convection in gray fluids enclosed in vertical cavities//
J. Heat Transfer. - 1982. - V. 104, No 4. - P. 609-615. - Рус. пер • Совместный ра-
диационно-конвективный теплообмен в серых газах в вертикальной полости //
Теплопередача - 1982 - Т 104, №4 - С 32-38
45. Lauriat G., Desrayaud G. Influences of the boundary conditions and linearization on
the stability of a radiating fluid in a vertical layer // Int J. Heat Mass Transfer. -
1985. - V. 28, No 8. - P. 1613-1617.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 307
К главе VI
1. Авдуееский B.C., Бармин И.В., Гришин С.Д., Лесков Л.В., Петров А П., Поле-
Полежаев В.И., Савичев В.В. Проблемы космического нроизводсгва. — М Машино-
Машиностроение, 1980. - 222 с
2 Полежаев В.И. Гидродинамика, тепло- и массообмен при росте кристаллов // Ме-
Механика жидкости и газа, т. 18 - М. ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1984 -
С 198-269.
3 Бирих Р.В. О тер мо капилляр ной конвекции в горизонтальном слое жидкости//
ПМТФ -1966 -№3 -С 67-72
4 Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Об устойчивости плоскопарал-
плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое // ПМТФ -
1974.- №1 - С 95-100.
5. Гершуни Г.З-, Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Устойчивость шюскопараллсль-
ж?го конвективного течения жидкости в горизонтальном слое относительно
пространственных возмущений // ПМТФ - 1974 -№5 -С. 145-147
6 Мызников В.М. О спектре декрементов возмущений стационарного адвектив-
адвективного движения вязкой жидкости, вызываемого продольным градиентом темпе-
температуры // Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. - Сверд-
Свердловск- УНЦ АН СССР, 1979. - С 29-35.
1. Мызников ВМ. О форме возмущений нлоскопараллельного конвективного
движения в горизонтальном слое // Гидродинамика, вып 7 - Пермь. Перм.
пед. ин-т, 1974 - С 33-42.
8. Мызников В.М. Конечно-амплитудные конвективные движения жидкости в го-
горизонтальном слое с продольным градиентом температуры // Мат. модели те-
течений жидкости. Тр. VI Всесоюзн семинара по числ методам мех вязкой жид-
жидкости - Новосибирск. ИТПМ СО АН СССР, 1978 С 176-186.
9. Hart J.E. Stability of thin non-rotating Hadley circulations // J. Atmos. ScL - 1972. -
V. 29, No 5 - P. 687-697.
10. Weber JE. On the stability of thermally driven shear flow heated from below // J. Fluid
Mech. - 1978. - V. 87, No 1. - P. 65-84.
11 Непомнящий А А О длинноволновой конвективной неустойчивости в горизон-
горизонтальных слоях с деформируемой границей // Конвективные течения — Пермь:
Перм пед ин-т, 1983 - С 25-31.
12. Пшеничников А.Ф., Токменина ГА. Деформация свободной поверхности жид-
жидкости термокапиллярным движением//Изв АН СССР, МЖГ. - 1983. - № 3. -
С 150-153
13. Мызников В.М. Об устойчивости стационарного адвективного движения жидкос-
жидкости в плоском горизонтальном слое со свободной границей // Конвективные те-
течения. - Пермь. Перм пед. ин-т, 1979 -С 52-57
14 Мызников В.М. Об устойчивости стационарного адвективного движения в го-
горизонтальном слое со свободной границей относительно пространственных возму-
возмущений//Конвективные течения. - Пермь: Перм пед. ин-г, 1981 -С 76-82.
15 Мызников В.М. Конечно-амплитудные пространственные возмущения адвектив-
адвективного движения в горизонтальном слое со свободной границей // Конвективные
течения.- Пермь-Перм пед. ин-т, 1981 - С 83-88.
16. Smith М.К, Davis S.H Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Part 1.
Convective instabilities//J. fluid Mech.- 1983. -V. 132. -P. 119-144.
17. Гончаренко Б.Н, Уринцев А.Л. Об устойчивости движения жидкости, вызванного
термо капиллярным и силами // ПМТФ -1971. - № 6 - С 94-98
18. Smith М.К., Davis S.H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers.
Part 2. Surface-wave instabilities // J. Fluid Mech. - 1983. - V. 132. -
P. 145-162.
19. Hart J A note on the stability of low-Prandtl-number Hadley circulations//J. Fluid
Mech. - 1983. - V. 132. - P. 271-281
20. Gill A.E A theory of thermal oscillations in liquid metals// J Fluid Mech. - 1974. -
V 64, No 3 - P. 577- 588
308 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
21. Hurle D.TJ, Jakeman E., Johnson C.P. Convective temperature oscillations in molten
gallium // J. Fluid Mech. - 1974. - V. 64, No 3. - P. 565-576.
22. Weber J.E. On thermal convection between non-uniformly heated planes//Int. J.
Hest Mass Transfer. - 197 3. - V. 16, No 5. - P. 961-970.
23. BejanA., Tien C.L Laminar natural convection heat transfer in a horizontal cavity
with different end temperatures// J. Heat Transfer. - 1978. - V. 100, No 4. - P. 641-
647. — Рус пер.. Теплообмен при ламинарной свободной конвекции в горизон-
горизонтальной замкнутой полости с различна нагретыми торцевыми стенками //Тепло-
//Теплопередача -1978. -Т 100, №4 - С 87-94.
24 Кирдяшкин А.Г Структура тепловых гравитационных и термокапиллярных тече-
течений в горизонтальном слое жидкости в условиях горизонтального градиента
температуры- - Перпринт/ИТФ СО АН СССР. - Новосибирск, 1982. - № 79. -
34 с
25 Кирдяшкин А.Г., Полежаев В.И., Федюшкин А.И Тепловая конвекция в горизон-
горизонтальном слое при боковом подводе тепла // ПМТФ. - 1983. - № 6. - С 122-128.
26. Kirdyashkin AG. Thermogravitational and thermocapillary flows in a horizontal liquid
layer under the conditions of a horizontal temperature gradient // Int. J. Heat Mass
Transfer. - 1984. ~ V. 27, No 8. - P. 1205-1218.
27. Кирдяшкин А.Г., Полежаев В.И., Федюшкин A.M. Тепловая конвекция в горизон-
горизонтальном слое при боковом подводе тепла // Гидроаэромеханика и космические
исследования. М.: Наука, 1985. -С. 170-187.
28. Hart J.E. Low Prandtl number convection between differentially heated end wails//
Int. J. Heat Mass Transfer. - 1983. - V. 26, No 7. - P. 1069- 1074.
29 Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ. О свободной тепловой конвекции в вибрацион-
вибрационном поле в условиях невесомости //Докл. АН СССР. - 1979. - Т. 249, №'3 -
С. 580-584
30 Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Юрков Ю.С. О вибрационной тепловой конвек-
конвекции в условиях невесомости // Гидромеханика и тепломассообмен в невесо-
невесомости. - М.: Наука, 1982 - С 90-98.
31 Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шихов В.М. Устойчивое*ь вибрационно-конвек-
тивного течения жидкости в плоском слое // Изв. АН СССР. Сер. физ. - 1985. -
Т. 49, №4. - С 643-648
32. Шлихтинг Г Теория пограничного слоя - М.: Наука, 1969. - 742 с.
33. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. - М.: Физматгиз, 1962. - 479 с.
34. Sparrow E.M., Tsou F.K., Kurtz E.F. Stability of laminar free-convective flow on a
vertical plate // Phys. Fluids. - 1965. - V. 8, No 8. - P. 1559-1561. *
35. Szewczyk A.A. Stability and transition of the free-convection boundary layer along
a vertical flat plate // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1962. - V. 5, No 10. - P. 903-914.
36. Kurtz E.F., Crandall S.H. Computer-aided analysis of hydrodynamic stability // J. Math,
and Phys. - 1962. - V. 41, No 4 - P. 262-279.
37. Nachtsheim P.R. Stability of free convection boundary layer flows // NASA Techn.
Note. - 1963. - NoD-2089.
38. Haaland S.E., Sparrow EM. Stability of buoyant boundary layers and plumes, taking ac-
account of nonparallelism of the basic flows // J. Heat Transfer. - 1973. - V. 95, No 3. -
P 295-301 -Рус. пер.: Анализ устойчивости пограничных слоев и струй в поле
силы тяжести с учетом непараллельности основных течений//Теплопередача. -
1973. - Т 95, № 3 - С 7-14.
39. Haaland S.E., Sparrow EM Wave instability of natural convection on inclined surfaces
accounting for nonparallelism of the basic flow//J. Heat Transfer. - 1973. - V. 95,
No 3. - P. 405-407. - Рус. пер Волновая неустойчивость естественной конвек-
конвекции на наклонных поверхностях с учетом непараллельности линий iока основного
течения//Теплопередача. - 1973 -Т 95, № 3. -С. 123-124
40. Pera L, Gebhart В. On the stability of natural convection boundary layer flow over
horizontal and slightly inclined surfaces// Int. J Heat Mass Transfer. — 1973. - V. 16,
No 6. - P.I 147-1163
41 Джалурия Й. Естественная конвекция -М Мир, 1983 399 с
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 309
42 Chen T.S, Tzuoo K L. Vortex instability of free convection flow over horizontal and in-
inclined surfaces // J. Heat Transfer. - 1982. - V. 104. No 4. - P.637-643 -
Рус. пер • Вихревая неустойчивость свободноконвективного течения окоио гори-
горизонтальных и наклонных поверхностей // Теплопередача. - 1982. - Т 104, № 4 -
С. 61-68
43. Tzuoo K.L., Chen T.S., Armalv B.F Wave instability of natural convection flow on
inclined surfaces // J. Heat transfer. - 1985 - V. 107, No 1. - P 107-111. -
Рус. пер. Волновая неустойчивость свободно конвективных течений на наклонных
поверхностях // Теплопередача. - 1985. - Т 107, № 1 - С 105-110.
44. Sparrow E.M., Husar R.B. Longitudinal vortices in natural convection How on inclined
plates // J. Fluid Mech. - 1969. - V. 37. No 2 - P. 25 1-255.
45. Lloyd J.R., Sparrow EM. On the instability of natural convection flow on inclined
plates// J. Fluid Mech. - 1970. - V. 42, No 3. - P. 465-470
46. Tritton D.J. Transition to turbulence in the free convection boundary layers on an in-
inclined heated plate // J. Fluid Mech. - 1963. - V. 16, No 3. - P. 417-435.
47. Lock G.S.H., Gort C, Pond G.R. A study of instability in free convection from an
inclined plate // Appl. Sci. Res. - 1967. - V. 18, No 3. - P. 17 1-182.
48. Sparrow E.M., Gregg J.L Laminar free convection from a vertical plate with a uniform
surface heat flux // J. Heat Transfer. - 1956. - V 78, No 2. - P. 435-440,
49. Polymeropoulos C, Gebhart B. Stability of free convection flow over a vertical uniform
flux plate// AIAA Journal. - 1966, - V. 4, No 11. - P. 2066-2068.
50. Knowles СР., Gebhart B. The stability of the laminar natural convection boundary
layer // J. Fluid Mech. - 1968. - V. 34. No 4. - P. 657-686.
51. Hieber С.Л., Gebhart B. Stability of vertical natural convection boundary layers: some
. numerical solutions //J. Fluid Mech.- 1971. - V. 48, No 4. - P. 625-646.
52. Hieber CA , Gebhart B. Stability of vertical natural convection boundary layers, ex-
expansions at large Prandtl numbers// J. Fluid Mech. - 1971.- V. 49. No 3. - P. 577-
591.
53. Polymeropoulos C.E, Gebhart B. Incipient instability in free convection laminar boun-
boundary layers// J. Fluid Mech. - 1967. - V. 30, No 2. - P. 225-239.
54. Gebhart B. Natural convection flows and stability // Adv. Heat Transfer. - V. 9. - New
York-London. - 197 3. - P. 27 3-348.
55. Gebhart B. Instability, transition and turbulence in buoyancy-induced flows // Annual
Rev. Fluid Mech. - V. 5. - Polo Alto. Calif. - 197 3. - P. 213-246.
56. Зельдович Я.Б. Предельные законы свободное о сходящих конвективных пото-
потоков // ЖЭТФ. - 1937 - Т. 7, вып. 12. - С 1463-1465
57. Gebhart В., Pera L , Schorr A. W Steady laminar natural convection plume above a hori-
horizontal line heat source // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1970. - V. 13, No 1. - P. 161-
171.
58. Fujii Т., Morioka L, Uehara H. Buoyant plume above a horizontal line heat source // Int.
J. Heat Mass Transfer. - 197 3. - V. 16, No 4. - P. 755-768.
59. Pera L, Gebhart B. On the stability of laminar plumes: some numerical solutions and
experiments// Int. J. Heat Mass Transfer. - 1971. - V. 14. No 7. - P. 975-984.
60. Wakitani S, Yosinobu H Stability characteristics of a natural convection flow above
a horizontal line heat source // J. Phys, Soc. Japan. - 1984. - V. 5 3, No 4. - P. 1291-
1300.
61. Hieber С A, Nash EJ. Natural convection above a line heat source, higher-order effects
and stability//Int. J. Heat Mass Transfer. - 1975. - V. 18. No 12. - P. 147 3-1479.
62. Bill R.G.. Gebhart B. The transition of plane plumes// Int. J. Heat Mass Transfer. -
1975. _ v. 18, No 4. - P. 513-526.
63. Yosinobu H., Onishi Y., Amano S., Enyo S., Wakitani S. Experimental study on instabi-
instability of natural convection flow above a horizontal line heat source //J. Phys. Soc.
Japan - 1979. - V 47, No 1. - P. 312-319.
64. Gill A.E, Davey A. Instabilities of a buoyancy-driven system // J Fluid Mech. - 1969.-
V. 35, No 4. -P 775-798.
65. Jaluria Y., Gebhart B. Stability and transition of buoyancy — induced flows in a strati-
stratified medium // J. Fluid Mech. - 1974 - V. 66, No 3. - P. 593-612.
310 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
66. Iyer P. A, Kellv R.E. Supercritical solutions for the buoyancy boundary layer // J Heat
Transfer. - 1978. - V. 100, No 4 - P 648-652 - Рус. пер. Решение задачи о
свободноконвективном пограничном слое при сверхкритическич числах Рей-
нольдса//Теплопередача. - 1978 -Т 100, №4 -С 95-100
61. Chen T.S., Moutsoglou A., Armaly B.F. Thermal instability of mixed convection
flows over inclined surfaces // Numer. Heat Transfer. - 1982. — V. 5, No 3. —
P. 343-352.
6S. Carey Van P., Gebhart B. The stability and disturbance-amplification characteri-
characteristics of vertical mixed convection flow// J. Fluid Mech. - 1983. - V. 127. -
P. 185-201.
69 Ерошенко В.М., Зайчик ЛИ, Першуков В А. Устойчивость свободно конвектив-
конвективного пограничного слоя на вертикальной проницаемой пластине // Инж -физ
журнал - 1985 - Т. 48, № 3 - С 382-387
70. Achara C.N., Sat сыпана than S., Unny ТЕ Stability of laminar natural convection
flow along an isothermal vertical cylinder // Lett. Heat Mass Transfer. - 1977. - V.4,
No 5. - P. 367-380.
71. Chen T.S., Tzuoo K.L, Moutsoglou A. Vortex instability of horizontal and inclined na-
natural convection flows from simultaneous thermal and mass diffusion // J. Heat Trans-
Transfer. - 1983. - V. 105, No 4. - P. 774-781. - Рус пер.- Вихревая неустойчивость
свободно конвективно го течения около горизонтальной и наклонной пластин при
одновременно протекающих процессах диффузии тепла и массы // Теплопере-
Теплопередача - 1983 - Т 105, № 4 - С 90-98.
72. Higgim JМ, Gebhart В. The stability of vertical buoyancy-induced flow in cold water//
J. Heat Transfer. - 1983. - V. 105, No 4. - P. 767-773. - Рус пер.. Устойчивость
вертикального свободноконвсктивного 1ечения в холодной воде // Теплопереда-
Теплопередача - 1983 - Т 105. №4 -С 82 90
7 3. Hsu CT, Cheng P. The onset of longitudinal vortices in mixed convective flow over an
inclined surface in a porous medium//J. Heat Transfer. - 1980. - V. 102. No 3. -
P. 544-549. - Рус. пер Возникновение продольных вихрей при смешанной кон-
конвекции около наклонной поверхности в пористой среде // Теплопередача
1980. - Т 102, № 3 -С 175 18]
74. Wakitani S. Instability of a two-dimensional wall plume // J Phys. Soc. Japan. - 1984.—
V. 53, Nol. - P. 148-155.
IS.Kimura S., Be/an A. Mechanism tor transition to turbulence in buoyant plume flow //
Int. J. Heat Mass Transfer. - 1983. - V. 26. No 10 - P. 1515-1532.
76. Rile у D.S, Tveitereid M. On the stability of an axisymmetric plume in a uniform
stream// J. Fluid Mech. - 1984. - V. 142. — P. 171-186.
11. Шайдуров ГФ. Устойчивость конвективного пофаничного слоя в жидкоаи.
заполняющей горизонтальный цилиндр//Инж - физ журнал - 1959 - Т. 2,
№ 12 -С 68-72
78. Shaidurov GF Convective heat transfer in horizontal cylinder//Int J. Heat Mass
Transfer. - 1961. - V. 2. No 4. - P. 280- 282.
79. Гершуни ГЗ., Жуховицкий Е.М., Тарунин Е.Л Численное исследование конвек-
тиьного движения в замкнутой полости // Изв АН СССР МЖГ - 1966 - № 5 -
С 56-62
80 Зимин В.Д Рсюственная конвекция внутри горизонтальною кругового цилинд-
цилиндра // Изв АН СССР МЖГ - 197 1 - № 2 - С 1 72- 1 75.
81 Тарунин Е.Л, Шайдуров В.Г., Шарифулин А Н. Эксперимстальное и численное
исследование устойчивости замкнутого конвективного пофаничного слоя //
Конвективные течения и гидродинамическая усюйчивочь - Свердловск УНЦ
АН СССР, 1979 - С 3-16
82 Зимин ВД, Шайдуров В.Г. Неустойчивоеib конвекшвного пофаничного слоя
в замкнутой прямоугольной полости//Изв АН СССР МЖГ 1975 - № 5
С 188 -190
83 Кио HP, Korpela S.A , Chait A, Marcus RS. Stability of natural convection in a shal-
shallow cavity//8th Int. Heat Transfer Conf.. San Trancisco. Calif- 1986 - V 3 -
P. 1539-1544.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 311
84. Tien НС, Chen TS., Armalv В F Wave instability of natural convection flow on in-
inclined flat plates with uniform surface heat flux // Numcr. Heat Transfer. - 1986. -
V. 10. No 2. - P. 179-193.
К главе VII
1. Newell AC, Whitehead J A. I inite bandwidth finite amplitude convection// J. I luid
Mech. - 1969. - V. 38. No 2. - P. 279-304.
2 Stewartson К , Stuart J T A non-linear instability theory for a wave system in plane
Poiseuille flow //J. Muid Mech. - 1971 - V. 48. No 3 -P 529-546
3. Davey A, Hocking LM, Stewartson K. On the nonlinear evolution ot three-dimen-
three-dimensional disturbances in plane Poiseuille flow // J. Fluid Mech. - 1974. - V. 63. No 3 -
P 529 536.
4 Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Конвективная усюйчивоиь несжимаемой жид-
жидкости - М Наука, 1972 392 с
5. Nonnand С Nonlinear convection in high vertical channels// J I luid Mech. - 1984.—
V 143. - P. 223-242
6. Непомнящий А.А Усюйчивоиь волновых режимов в пленке, стекающей по
наклонной плоскосш//Изв АН СССР МЖГ 1974 -№3 С 28-34
7. Chapman C.J., ftoctor М R.E Nonlinear Raylcigh-Benard convection between poorly
conducting boundaries// J. I luid Mech - 1980. - V. 101. No 4 - P. 759-782.
8 Василенко ЮГ. Кузнецов ЕА , Львов B.C. и др О зарождении вихрей Тейлора
в течении Кхапа //ПМТФ 1980 -№2 -С 58-64
9 Eckhaus W Studies in non-linear stability theory. - Berlin Springer. 1965 - 117 p.
10. Buttiker M, Thomas H Bifurcation and stability of families of waves in uniformly
driven spatially extended systems// Phys. Rev. - 1981 - V. A24. No 5. - P. 2635-
2648.
11. Daniels P G The effect ot distant sidewalls on the transition to finite amplitude Benard
convection// Pro с Roy Soc. - 1977 - V A358. No 1693. - P. 173-197.
12. Ciaham R, Domaradzki J.A Local amplitude equation of Taylor vortices and its
boundary condition // Phys. Rev - 1982. - V. A26. No 3. - P 1572-1579.
13. Zaleski S Cellular patterns with boundary forcing // J Muid Mech. - 1984. -V. 149.-
P. 101-126
14 Бенджамен Т.Б. Неустойчивость периодических цуюв волн в нелинейных сис-
1емах с дисперсией // Нелинейная юо'рия распросгрансния волн - М. Мир,
1970 С 83-104
15 Пономаренко ЮБ Об устойчивости пространственно-периодических движений
в шдродинамикс//ПММ -1973 -Т 37, вып 6 -С 1044-1048
16 Непомнящий А А. Движения типа модчлироваиных волн, возникающие в резуль-
iaie нсусюйчивости просфансгвенно-псриодических вторичных движений //
Гидродинамика, вып 5 Пермь-Перм ун-г, 1974 -С 105-113
17. Kuramoto Y, Tsuzuki T. Persistent propagation of concentration waves in dissipative
media fax from thermal equilibrium // Progr. Theor. Phys. - 1976. - V. 55, No 2. -
P. 356-369.
18. Kogelman S., DiPrima R.C. Stability of spatially periodic supercritical How in hydro-
hydrodynamics// Phys. Fluids. - 1970. - V. 13. No 1. - P. 1-11.
19. Моршнева И.В., Юдович В.И. Возникновение автоколебаний в динамических сис-
системах с симметрией и конвекция в вертикальном слое жидкости // Проблемы
динамики вязкой жидкости - Новосибирск- ИТПМ СО АН СССР, 1985 -
С 209-212
20.Nozaki К., Bekki N. Pattern selection and spatiotemporal transition to chaos in
the Ginzburg-Landau equation // Phys. Rev. Lett. - 1983. - V.51,No24.-
P. 2717-2174.
21. Malomed B.A. Nonsteady waves in distributed dynamical systems// Physica. - 1983. -
V. D8,No 3. - P. 353-359.
22. Yamada Т., Kuramoto Y A reduced model showing chemical turbulence // Progr. Theor.
Phys. - 1976. - V. 56, No 2. - P 681-683.
312 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
23. Sivashinsky G.I. Nonlinear analysis of hydrodynamic instability in laminar flames.
1. Derivation of basic equations// Acta Astronautica. - 1977. - V. 4, No 11-12. -
P. 1177-1206.
24. Непомнящий А.А. Устойчивость волновых движений в слое вязкой жидкости на
наклонной плоскости // Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах.—
Новосибирск- ИТФСО АН СССР, 1977. - С 181-190
25 Цвелодуб О.Ю. Стационарные бегущие волны на пленке, стекающей по наклон-
наклонной плоскости // Изв АН СССР. МЖГ. - 1980. - № 4 - С. 142-146.
26 Демехин Е.А., Шкадов В.Я. О нестационарных волнах в слое вязкой жидкости //
Изв. АН СССР МЖГ.- 1981. - № 3. -С. 151-154.
27. Непомнящий А.А. О нестационарных волновых движениях в пленке жидкости,
стекающей по наклонной плоскости // Процессы тепло- и массопереноса вязкой
жидкости. - Свердловск. УНЦ АН СССР, 1986. - С. 25-31.
28. Yakhot V. Large-scale properties of unstable systems governed by the Kuramoto-Si-
vashinski equation // Phys. Rev. - 1981. - V. A24, No 1. - P. 642-644.
29 Иванский А.П. О нелинейных волнах на вертикальной пленке жидкости. //
ПМТФ. - 1980. - № 2. - С 52-58.
30. Kuramoto У., Yamada Т. Turbulent state in chemical reaction // Progr. Theor. Phys.—
1976. - V. 56, No 2. - P. 679-681.
31. Moon H.T., Huerre P., Redekopp L.G. Transitions to chaos in the Ginzburg-Landau
equation// Physica. - 1983. - V. D7, No 1-3. - P. 135-150.
32. Ахромеева Т.С, Курдюмов СП., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. О классифи-
классификации двух компонентных систем в окрестности точки бифуркации // Докл.
АН СССР - 1984. - Т. 279, № 3. - С. 591-595.
33. Kuramoto Y., Koga S. Anomalous period-doubling bifurcation leading to chemical tur-
turbulence // Phys. Letters. - 1982. - V. A92, No 1. - P. 1-4.
34. Lyubimov D. V., Zaks M.A. Two mechanisms of the transition to chaos in finite-dimen-
finite-dimensional models of convection // Physica. - 1983.- V. D9, No 1-2. - P. 59-64.
35. Арансон И.С, Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Развитие хаоса в ансамблях
динамических структур // ЖЭТФ - 1985 - Т 89, вып 1. - С 92-105
36. Буссе Ф.Г. Переход к турбулентности в конвекции Релея-Бенара//Гидродина-
Релея-Бенара//Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. - М.:Мир, 1984. - С. 124—
168
37 Непомнящий А.А. Об устойчивости пространственно-периодических конвектив-
конвективных движений в горизонтальном слое с теплоизолированными границами // Гид-
Гидродинамика, вып. 9. - Пермь: Перм пед. ин-т, 1976. - С. 5 3-59.
38 Непомнящий А.А. О вторичных конвективных движениях в плоском вертикаль-
вертикальном слое // Изв АН СССР. МЖГ. - 1975 - № 4 - С 3-11.
39 Непомнящий А.А. О типах неустойчивости вторичных конвективных движений в
вертикальном слое // Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость.—
Свердловск УНЦ АН СССР, 1979 - С. 17-23
40. Возовой Л.П., Непомнящий А А. Модель нелинейного взаимодействия воз-
возмущений с кратными волновыми числами для конвективного течения в
вертикальном слое // Конвективные течения - Пермь: Перм пед. ин-т,
1981. -С. 89-97.
41 Непомнящий А.А. О нестационарных вторичных конвективных движениях в вер-
вертикальном плоском слое // Конвективные течения. - Пермь: Перм. пед. ин-т,
1979. -С 61-66
42. Возовой Л.П., Непомнящий АЛ. Нестационарные конвективные движения в плос-
плоском вертикальном слое // Изв. АН СССР МЖГ - 1981. - № 5 - С 54-62.
43 Возовой Л.П., Непомнящий А.А. Устойчивость стационарных пространственно-
периодических конвективных движений в плоском вертикальном слое//ПМТФ -
1982. -№4 -С 54-60
44 Возовой Л.П, Непомнящий А.А. Применение метода сеток для исследования
устойчивости пространственно-период-ческих движений//Численные методы
динамики вязкой жидкости - НовосиСирск ИТПМ СО АН СССР, 1979 - С.57-
71
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 313
AS.NagataM., Busse F.H. Three-dimensional tertiary motions in a plane shear layer// J.
Fluid Mech. - 1983. - V. 135. - P. 1-26.
46. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. - Oxford: Clarendon
Press, 1961. - 652p.
47. Яворская И.М., Беляев Ю.Н. Конвективные течения во вращающихся слоях //
Механика жидкости и газа, Т. 17-М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1982.-
С 3-85.
48. Schlu'ter A., Lortz D., Busse F. On the stability of steady finite amplitude convection//
J. Fluid Mech. - 1965. - V. 23, No 1. - P. 129-144.
49. Jenkins D.R., Proctor M.R.E. The transition from roll to square-cell solutions in Ray-
leigh-Benaid convection // J. Fluid Mech. - 1984. - V. 139. - P. 461-471.
50. Busse F.H The stability of finite amplitude cellular convection and its relation to an
extiemum principle // J. Fluid Mech. - 1967. - V. 30, No 4. - P. 625-649.
51. Krishnamurti R. Finite amplitude convection with changing mean temperature.
1. Theory // J. Fluid Mech. - 1968. - V. 33, No 3. - P. 445-456.
52. Кузнецов Е.А., Спектор М.Д. О слабонадкритической конвекции//ПМТФ. -
1980. -№2. -С. 76-86.
53. Cross М.С. Phase dynamics of convective rolls// Phys. Rev. - 1983. - V. A27, No 1.-
P. 490-498.
54. Busse F.H. On the stability of two-dimensional convection in a layer heated from be-
below // 3. Math. Phys. - 1967. - V. 46, No 2. - P. 140-150.
55. Clever R.M., Busse F.H. Transition to time-dependent convection // J. Fluid Mech. -
1974. - V. 65, No 4. - P. 625-645.
56. Busse F.H, Clever R.M. Instabilities of convection rolls in a fluid of moderate Prandtl
number // J. Fluid Mech. - 1979. - V. 91, No 2. - P. 319-335.
Sl.Bolton E.W., Busse F.H, Clever R.M. Oscillatory instabilities of convection rolls at
intermediate Prandtl numbers // J. Fluid Mech. - 1986. - V. 164. - P. 469-485.
58. Busse F.H, Whitehead J.A Instabilities of convection rolls in a high Prandtl number
convection // J. Fluid Mech. - 1971. - V. 47. No 2. - P. 305-320.
59. Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection. Part 2. The transition to
time-dependent flow // J. Fluid Mech. - 1970. - V. 42, No 2. - P. 309-320.
60. Kolodner P., Walden R.W., Passner A., Surko CM. Rayleigh-Benard convection in an
intermediate-aspect-ratio rectangular container // J. Fluid Mech. - 1986. ~ V. 163. —
P. 195-226.
61. Frick H, Busse F.H, Clever R.M. Steady three-dimensional convection at high Prandtl
numbers// J. Fluid Mech. - 1983. - V. 127. - P. 141-153.
62. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. ScL - 1963. - V. 20. No 3. -
P. 130-141.
63. Curry J.H., Herring J.R.,Loncaric /., Orszag S.A. Order and disorder in two- and three-
dimensional Be'nard convection // J. Fluid Mech. - 1984. - V. 147. - P. 1-38.
64. Петровская Н.В. О применении метода Галеркина к исследованию переходов
в задаче рэлеевской конвекции //Изв. АН СССР. МЖГ. - 1984. - № 2. -
С. 22-27.
65. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. Нелинейное развитие и взаимодействие возмуще-
возмущений конечной амплитуды при конвективной неустойчивости вращающегося плос-
плоского слоя // Докл. АН СССР. - 1975. - Т. 225, № 1. - С 59-62.
66. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. Нелинейное взаимодействие волновых движений
и возникновение турбулентности во вращающемся горизонтальном слое жидкос-
жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1977. - № 2. - С. 9-15.
67. Tveitereid M.t Palm E. Convection due to internal heat sources//J. Fluid Mech. -
1976. - V. 76, No 3. - P. 481-499.
68. Cloot A., Lebon G. A nonlinear stability analysis of the Benard-Marangoni problem//
J. Fluid Mech. - 1984. - V. 145. - P. 447-469.
69. Zippelius A., Siggia ED. Disappearance of stable convection between free-slip boun-
boundaries // Phys. Rev. - 1982. - V. A26, No 3. - P. 1788-1790.
70. Busse F.H, Bolton E.W. Instabilities of convection rolls with stress-free boundaries
near threshold // J. Fluid Mech. - 1984. - V. 146. - P. 115-125.
314 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
71. Bolton E.W., Busse F.H. Stability of convection rolls in a layer with stress-free boun-
boundaries// J. Fluid Mech. - 1985. - V. 150. - P. 487-498.
72. Clever R.M., Busse F.H. Instabilities of longitudinal convection rolls in an inclined
layer // J. Fluid Mech. - 1977. - V. 81, No 1. - P. 107-127.
7 3. Clever R.M., Busse F.H., Kelly R.E. Instabilities of longitudinal convection rolls in
Couette flow // J. Appi Math. Phys. (ZAMP). - 1977, - V. 28. No 5. - P. 771-783.
74. Busse F.H., Clever R.M. Stability of convection rolls in the presence of vertical magnetic
field // Phys. Fluids. - 1982. - V. 25, No 6. - P. 931-935.
75. Busse F.H., Clever R.M Stability of convection rolls in the presence of horizon-
horizontal magnetic field // J. mec. theor. et appl. - 1983. - V. 2, No4. -
P. 495-502.
76. Straus J.M. Large amplitude convection rolls in porous media // J. Fluid Mech. - 1974.-
V. 64, No 1. -P. 51-63.
77. Kvernvold O. On the stability of non-linear convection in a Hele-Shaw cell // Int. J.
Heat Mass Transfer. - 1979. - V. 22, No 3. - P. 395-400.
IS. Daniels EG. Roll-pattern evolution in finite-amplitude Rayleign-Benard convection in
a two-dimensional fluid layer bounded by distant sidewalls //" J. Fluid Mech. - 1984. -
V. 143.-P. 125-152.
79. Pomeau Y., Zaleski S. Wavelength selection in one-dimensional cellular structures//
J. Phys. (Paris). - 1981. - V. 42, No 4. - P. 515-528.
80. Croquette V., Pocheau A. Wavenumber selection in Rayleigh-Benard convective struc-
structure// Lect. Notes Phys. - 1984. - V. 210. - P. 104-126.
81. Ahlers G., Walden R.W. Turbulence near onset of convection // Phys. Rev. Lett.-
1980. - V. 44, No 7. - P. 445-448.
82. Buell J.C., Catton I. Wavenumber selection in large-amplitude axisymmetric convection//
Phys. Fluids. - 1986. - V. 22, No 1. - P. 23-30.
83. Siggia E.D., Zippelius A. Dynamics of defects in Rayleigh-Benard convection // Phys.
Rev. - 1981. - V. A24, No 2. - P. 1036-1049.
84. Cross M.C. Ingredients of a theory of convective textures close to onset. // Phys. Rev. -
1982. - V. A25, No 2. - P. 1065-1076.
85. Swift J., Hohenberg P.C. Hydrodynamic fluctuations at the convective instability // Phys.
Rev. - 1977. - V. A15, No 1. - P. 319-328.
86. Cross M.C, Newell AC Convection patterns in large aspect ratio systems // Physica. -
1984. - V. D10, No 3. — P. 299-328.
87. Возовой Л.П. Конвекция в вертикальном слое с волнистыми границами // Изв.
АН СССР. МЖГ. - 1976. -№ 2. - С 31-35.
88. Возовой Л.П. Численное исследование конвекции в вертикальном слое с гармо-
гармонически искривленными границами // Гидродинамика, вып. Ю.Пермь- Перм. пед
ин-т, 1976.-С 103- ИЗ.
89. Возовой Л.П. Конечно-амплитудные режимы смешанной конвекции в вертикаль-
вертикальном слое с волнистыми границами // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1987. - № 1 - С.16-
20.
90 Возовой ЛИ, Непомнящий А.А. Об устойчивости пространственно-периодических
конвективных течений в вертикальном слое с волнистыми границами // ПММ. -
1979. - Т. 43, вып. 6. - С. 998-1007.
91 Левина Г.В., Непомнящий А.А. О режимах смешанной конвекции в вертикальном
слое с нестационарно деформируемыми границами//ПММ - 1983. - Т. 47,
вып. 3. - С 402-410.
92. Возовой Л.И, Непомнящий А.А. Устойчивость пространственно-периодических
конвективных движений в вертикальном слое с волнистыми границами при на-
наличии прокачивания жидкости // Конвективные течения. Пермь: Перм пед ин-т,
1983. -С 86-96.
93. Возовой Л.П., Непомнящий А.А. Об устойчивости смешанно-конвективных дви-
движений в вертикальном слое с волнистыми границами //ПММ. - 1984, - Т. 48,
вып. 6 - С 935-941.
94. Watson A, Poots G. The effect of sinusoidal protrusions on laminar free convection be-
between vertical walls // J. Fluid Mech. - 1971. - V. 49, No 1. - P. 33-48.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 315
95. Чернатынский В.И., Шлиомис М.И. Конвекция вблизи критических чисел Релея
при почти вертикальном градиенте температуры // Изв. АН СССР, МЖГ. - 1973. -
№1.-С 64-70.
96. Возовой Л.П. Конвективные течения в вертикальном слое с пространственно-мо-
пространственно-модулированным распределением температуры на границах // Изв. АН СССР,
МЖГ. - 1978. - № 5. - С. 20-25.
97. Возовой Л.П. О режимах конвекции в вертикальном слое при наличии простран-
пространственно-периодического распределения температуры границ // Конвективные те-
течения. - Пермь: Перм. пед. ин-т, 1979 - С. 67-72.
98. Возовой Л.П., Непомнящий А.А. Конвекция в горизонтальном слое при наличии
пространственной модуляции температуры на границах // Гидродинамика, вып.7. -
Пермь: Перм. пед. ин-т, 1974. - С. 105-117.
99. Kelly R.E., Pal D. Thermal convection with spatially periodic boundary conditions: re-
resonant wavelength excitation // J. Fluid Mech. - 1978. - V. 86, No 3. - P. 433-456.
100. Kelly R.E., Pal D. Three-dimensional thermal convection produced by two-dimensional
thermal forcing // ASME publ. - 1979. - 79-HT-109. - 8 p.
101. Батищев В.А., Колесов В.В., Слитинская С.К., Юдович В.И. Влияние пространствен-
пространственной модуляции температурного поля на устойчивость двумерного стационарного
течения в горизонтальном слое жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1983. - № 3.-
С 128-132.
102. Левина Г.В., Непомнящий А.А. Резонансное возбуждение неустойчивости конвек-
конвективного течения в вертикальном слое при нестационарной деформации границ//
Нестационарные процессы в жидкостях и твердых телах. — Свердловск: УНЦ
АН СССР, 1983. - С 63-69.
103. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. - М.: Наука, 1978. - 304 с.
104. Любимов Д.В., Путин Г.Ф. Надкритические движения в кубической полости //
Гидродинамика, вып. 10. - Пермь: Перм. пед. ин-т, 1977. - С. 15-26.
105. Моршнева И.В., Юдович В.И. Об ответвлении циклов от равновесий инверсионно-
и вращательно-симметричных динамических систем // Сибирский мат. журнал.—
1985. - Т. 26, № 1. - С. 124-133.
106. Любимов Д.В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой
снизу // ПМТФ. - 1975. - № 2. - С. 131-137.
107. Глухое А.Ф., Любимов Д.В., Путин Г.Ф. Конвективные движения в пористой сре-
среде вблизи порога неустойчивости равновесия // Докл. АН СССР, - 1978. - Т. 238,
№3. - С. 549-551.
108. Должанский Ф.В., Кляцкин В.И, Обухов А.М, Чусов М.А. Нелинейные системы
гидродинамического типа. - М.: Наука, 1974. - 170 С
109. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M. Системы гидродинамического типа
и их применение. - М.: Наука, 1981. - 368 с.
ПО. Zvirin Y. The instability associated with the onset of motion in a thermosyphon //
Int. J. Heat Mass Transfer. - 1985. - V. 28, No 11. - P. 2105-2111.
111. Митенков Ф.М., Моторов Б.И., Моторова Э.А. Устойчивость естественного тепло-
массопереноса. — М. • Атомиздат, 1976. — 94 с.
112. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре ат-
аттрактора Лоренца // Докл. АН СССР. - 1977. - Т. 234, № 2 - С. 336-339.
113. Sparrow С. The Lorenz equations: bifurcations, chaos and strange attractors//AppL
Math, and Sci. - V. 41. New York: Springer, 1982. - 269 p.
114. Gorman M., Widmann P.J., Robbins K.A. Chaotic flow regimes in convection loop//
Phys. Rev. Lett. - 1984. - V. 52, No 25. - P. 2241-2244.
115. Hart J.E. A note on the loop thermosyphon with mixed boundary conditions//Int.
J. Heat Mass Transfer. - 1985. - V. 28, No П.- Р 2105-2111.
116. Любимов ДВ., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И О конвективных движениях в
ячейке Хеле-Шоу // Докл АН СССР. - 1977. - Т. 235, № 3. - С. 554-557.
117. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. Конвекция в ячейке Хеле-Шоу при
подогреве снизу//Гидродинамика, вып. 10 — Пермь: Перм. пед. ин-т, 1977 —
С. 3-14.
316 К ДОПОЛНЕНИЯМ
118. Мызникова Б.И. Численное исследование надкритических режимов тепловой
конвекции в ячейке Хеле-Шоу при подогреве снизу// Исследование тепловой
конвекции и теплопередачи. - Свердловск: УНЦ АН СССР. 1981. - С. 23-31.
119. Frick Я, Mutter U. Oscillatory Hele-Shaw convection // J. Fluid Mech. - 1983. -
V. 126.-P. 521-5 32.
120 Путин Г.Ф., Ткачева ЕЛ. Экспериментальное исследование надкритических
конвективных движений в ячейке Хеле-Шоу//Изв. АН СССР. МЖГ. - 1979. -
№ 1. - С. 3-9
121. Koster J.N., Muller U. Oscillatory convection in vertical slots // J. Fluid Mech. - 1984.-
V. 139.-P 363-390.
122. Богатырев Г.П., Гилев В.Г. Надкритические конвективные движения в корот-
коротком горизонтальном цилиндре // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1980. - № 4. - С. 137 —
142
123. Gollub J.P., Benson S.V. Many routes to turbulent convection//J. Fluid Mech. -
1980. - V. 100, No 3. - P. 449-470.
124. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М.:
Наука, 1984. - 432 с.
125. Arneodo A., Coullet P., Tresser С et al. On the observation of an uncompleted cascade
in a Rayleigh-Be'nard experiment // Physica. - 1983. - V. D6. No 3. - P. 385-392.
126. Yahata H. Onset of chaos in the Rayleigh-Benard convection // Progr. Theor. Phys.
SuppL - 1984. - No 79. - P. 26-74.
127 Должанский Ф.В. О гидродинамической интерпретации уравнений движения тя-
тяжелого волчка // Изв. АН СССР. ФАО. - 1977. - Т. 13, № 2. - С. 201 -203.
128. Должанский Ф.В., Плешанова Л.А. Автоколебания и явления неустойчивости
в простейшей модели конвекции // Изв АН СССР. ФАО. - 1979. - Т. 15, № 1.-
С 17-28.
129. Закс МЛ. Конечномерная модель конвекции в эллипсоидальной полости // Дина-
Динамика вязкой жидкости. - Свердловск: Уральское отд, АН СССР, 1988. - С. 59-67.
130. ОгородниковаН.П., Путин Г.Ф. Периодические и нерегулярные конвективные
автоколебания в эллипсоиде // Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 269, № 5. - С 1065-
1068.
К ДОПОЛНЕНИЯМ
1. Daniels P.G. Convection in a vertical slot // J. Fluid Mech. - 1987. - V. 176. - P. 419 -
441.
2. Fang Q.T., Glicksman M.E., Coriell S.R., McFadden G.B., Boisvert R.F. Convective in-
influence on the stability of a cylindrical solidliquid interface // J. Fluid Mech. - 1985. -
V. 151.-P. 121-140.
3. Yanase S., Kohno K. The effect of a salinity gradient on the instability of natural con-
convection in a vertical fluid layer // J. Phys. Soc. Japan. - 1985. - V. 54, No 10. -
P. 3747-3756.
4. Kwok L.P., Chen C.F. Stability of thermal convection in a vertical porous layer // J.
Heat Transfer. - 1987. - V. 109, No 4. - P. 889-894.
5. Takashima M., Hamabata H. The stability of natural convection in a vertical fluid layer
having side walls of different temperatures and internal heat generation // J. Phys. Soc.
Japan. - 1985. - V. 54, No 5. - P. 1782-1788.
6. Desrayaud G., Lauriat G. Radiative influence on the stability of fluids enclosed in ver-
vertical cavities // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1988. - V. 31, No 5. - P. 1035-1048.
7. Бердников B.C., Забродин А.Г. Экспериментальные исследования структуры теп-
тепловой гравитационной и гравитационно-капиллярной конвекции на модели метода
К ДОПОЛНЕНИЯМ 317
горизонтальной направленной кристаллизации // Теплофизические процессы при
кристаллизации веществ. - Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1987. - С. 67-99.
8. Кио Н.Р., Korpela S.A, Stability and finite amplitude natural convection in a shallow
cavity with insulated top and bottom and heated from a side // Phys. Fluids. - 1988. -
V. 31, No 1. -P. 33-42.
9. Drummond I.E., Korpela S.A. Natural convection in a shallow cavity // J. Fluid Mech. -
1987. - V. 182. -P. 543-564.
10. Smith M.K. The nonlinear stability of dinamic t her mo ka pillar у liquid layers // J. Fluid
Mech. - 1988. - V. 1984. - P. 391-415.
11. Lee S.L, Chen T.S., Armaly B.F. Wave instability characteristics for the entire regime
of mixed convection flow along vertical fiat plates // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1987.-
V. 30, No 8. - P. 1743-1751.
12. Lee S.L., Chen T.S., Armaly B.F. Non-parallel wave instability of mixed convection flow
on inclined flat plates // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1988. - V. 31, No 7. - P. 1385-
1398.
13. Yoo J.Y., Park P., Choi C.K., Ro S.T. An analysis on the thermal instability of forced
convection flow over isothermal horizontal flat plate // Int. J. Heat Mass Transfer. -
1987. - V. 30, No 5. - P. 927-935.
14. Sabhapathy P., Cheng K.C. The effects of temperature-dependent viscosity and coeffi-
coefficient of thermal expansion on the stability of laminar natural convective flow along
an isothermal vertical surface // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1986. - V. 29, No 10. -
P. 1525-1529.
15. Cheng K.C, Sabhapathy P. The effects of maximum density and temperature-depen-
temperature-dependent viscosity on the stability of laminar free convection along a vertical isothermal
plate // 8th Int. Heat Transf. Conf. - San Francisco, Calif. - 1986. - V. 3. -
P. 1371-1376.
16. Winters KM. Hopf bifurcation in the double-glazing problem with conducting bounda-
boundaries // J. Heat Transfer. - 1987. - V. 109, No 4. - P. 894-900.
П. Гельфгат А.Ю., Мартузан Б.Я, Устойчивость и колебательные режимы естествен-
естественной конвекции в нагреваемой сбоку прямоугольной полости // Прикладные зада-
задачи математической физики, - Рига: Латв. ун-т, 1988. - С. 31-40.
18. Гельфгат А,Ю. Влияние величины и направления магнитного поля на колебатель-
колебательные режимы термогравитационной конвекции в прямоугольной полости // Маг-
Магнитная гидродинамика. - 1988. - № 3. - С. 70-75.
19. Маломед Б.А., Трибельский М.И, Об устойчивости стационарных периодических
структур при слабонадкритической конвекции и в родственных задачах // ЖЭТФ.-
1987, - Т. 92, вып. 2. - С. 539-548.
20. Мал ом ед Б.А., Непомнящий А.А., Трибельский М.И. Двумерная диссипативная
структура с симметрией квазикристалла // Письма в ЖТФ. - 1987. - Т. 13, № 19. -
С, 1165-1167.
21. Roberts M., Swift J,W., Wagner D.H. The Hopf bifurcation on a hexagonal lattice //
Contemp. Math. - 1986. - V. 56. - P. 283-318.
22. Brand H.R., Lomdahl P.S., Newell A.C Benjamin-Feir turbulence in convecting binary
fluid mixtures // Physica. - 1986. - V. D 23, No 1-3. - P. 345-361.
23. Kolodner P., Bensimon D., Surko CM. Traveling-wave convection in an annulus // Phys.
Rev. Lett. - 1988. - V. 60, No 17. - P. 1723-1726.
24. Tesauro G., Gross M.C Climbing of dislocations in nonequihbrium patterns // Phys.
Rev. - 1986. - V. A 34, No 2. - P. 1363-1376.
25. Pomeau Y. Front motion, metastability and subcritical bifurcation in hydrodynamics//
Physica. - 1986.- V. D 23, No 1-3.- P. 3-11.
26. Gross M.C, Tesauro G., Greenside H.S. Wavenumber selection and persistent dynamics
in model of convection// Physica. - 1986. - V. D 23, No 1-3. - P. 12-18.
27. Bestehorn M., Perez-Garcia С Coexistence of patterns with different symmetries in
Benard-Marangoni convection//Europhys. Lett. _ 1987. - V. 4, No 12. - P. 1365-1370.
28. Gaponov-Grekhov A. V., Lomov A S., Osipov G. V., Rabinovich M.I. Pattern formation
and dynamics of two-dimensional structures in nonequihbrium dissipative media. -
Препринт / ИПФ АН СССР. - Горький, 1988. - № 199. - 33 с.
318 К ДОПОЛНЕНИЯМ
29. Непомнящий А.А. Дефекты в конвективных структурах. — Препринт / ИМСС
УрО АН СССР. - Свердловск, 1988. - 60 с.
30. Coullet P. Commensurate-incommensurate transition in nonequilibrium systems // Phys.
Rev. Lett. - 1986. - V. 56, No 7. - P. 724-727.
31. Непомнящий АЛ. О пространственно-модулированных конвективных движе-
движениях в вертикальном слое с искривленными границами // ПММ. — 1988. — Т. 52,
вып. 5. - С. 863-867
32. Афраймович B.C., Возовой Л.П. О механизме возникновения двумерного тора при
потере устойчивости состояния равновесия // Докл. АН СССР. - 1988. - Т. 302,
№ч. -С. 823-826.
33. Pistnen L.M. Bifurcation of quasiperiodic and nonstationary patterns under external
forcing // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V. 59, No 24. - P. 2740-2743.
34. Mizushima J., Saito Y. Equilibrium characteristics of the natural convection in a verti-
vertical fluid layer between two flat plates // J. Japan Soc. Fluid Mech. - 1987. - V. 6,
No 1. - P. 40-48.
35. Qever R.M., Busse F.H. Nonlinear oscillatory convection // J. Fluid Mech. - 1987. -
V. 176. - P. 403-417.
36. Arter W., Newell A.C. Numerical simulation of Rayleigh-Benard convection in shallow-
tanks// Phys. Fluids. - 1987. - V. 31, No 9. - P. 2474-2485.
37. Kirchartz K.R., Oertel H. jr. Three-dimensional thermal cellular convection in rectangu-
rectangular boxes // J. Fluid Mech. - 1988. - V. 192. - P. 249-286.
3&. Зеке MA., Любимов Д.В., Пиковский А.С. Универсальные сценарии перехода к
хаосу через гомоклинные бифуркации. - Препринт / ИМСС УрО АН СССР. -
Свердловск, 1987. - 74 с.
SYNOPSIS
STABILITY OF CONVECTIVE FLOWS
By G.Z. Gershuni, EM. Zhukhovitsky and A A. Nepomnjashchy
CONTENTS
Introduction
Chapter I. Convective flow in a vertical layer
§ 1. Base stationary flow. Equations for disturbances
§ 2. Some properties of disturbances spectra
§ 3. Numerical methods of solving the spectral amplitude problem
§ 4. Distuibances spectra and instability boundaries
§ 5. Finite-amplitude regimes
Chapter II. The influence of complications
§ 6. Inclined layer. Two-dimensional disturbances
§ 7. Inclined layer. Three-dimensional disturbances
§ 8. Flow with longitudinal temperature gradient
§ 9. Temperature dependence of viscosity
§ 10. Effect of boundaries curvature
§11. Effect of thermal properties of boundaries
§ 12. Flow in the layer with permeable partition
Chapter III. Combined flows
§ 13. Flow in the layer with pressure gradient
§ 14. Layer with mooving boundaries
§ 15. Layer with porous boundaries
§ 16. Flow in the presence of vibration
Chapter IV. Liquids with special properties
§ 17. Electrically conducting fluid in a magnetic field
§ 18. Liquid dielectric in an electric field
§ 19. Binary mixture. Stable vertical stratification
§ 20. Binary mixture with the effect of thermodiffusion
§ 21. Media containing solid particles
§ 22. Water near the point of inversion of thermal expansion
§ 23. Non-Newtonian fluids
§ 24. Porous media
Chapter V. Fluids with internal heat sources
§ 25. Uniform heat sources. Vertical layer
§ 26. Uniform heat sources. Inclined layer
§ 27. Non-uniform heat generation and effect of boundary permeability
§ 28. Chemically reacting fluid
§ 29. Radiating media
Chapter VI. Another convection flow types
§ 30. Advective flow in a horizontal layer
§ 31. Vibrational convective flow in non-gravity
§ 32. Convective boundary layers
Chapter VII. Secondary and closed flows
§ 33. Method of amplitude functions
§ 34. Secondary flows near threshold and their stability
Научное издание
ГЕРШУНИ Григории Зеликович
ЖУХОВИЦКИЙ Ефим Михайлович
НЕПОМНЯЩИЙ Александр Абовт
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Заведующий редакцией Л.А. Русаков
Редактор Н.П. Рябенькая
Художественный редактор Т.Н. Кольченко
Технические редакторы СВ. Геворкян, СМ. Баронина
Корректоры О.А. Бутусова, Т. В. Обод, ИМ. Круглова, ТА. Печко
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ № 1295S
Сдано в набор 03.10.88. Подписано к печати 14.02.89
Формат 60 X 90/16. Бумага офсетная
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная
Усл. печ. л. 20,0. Усл. кр.-отт. 20,0. Уч. -изд.л. 22,24
Тираж 2170 экз. Тип. зак. 4 65 . Цена 4 р. 80 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства "Наука"
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25