.З.ГЕРШУНИ иЕМ-ЖУХОВИЦКИ^
КОНВЕКТИВНАЯ
УСТОЙЧИВОСТЬ
НЕСЖИМАЕМОЙ
ЖИДКОСТИ

Г. 3. ГЕРШУНИ и Е. М. ЖУХОВИЦКИЙ
КОНВЕКТИВНАЯ
УСТОЙЧИВОСТЬ
НЕСЖИМАЕМОЙ
ЖИДКОСТИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972

532
Г 42
УДК 532.5
Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. Г е р ш у н и Г. 3.,
Жуховицкий Е. М., Главная редакция физико-математической литера-
литературы изд-ва «Наука», 1972 г., 392 стр.
Монография посвящена исследованию устойчивости равновесия нерав-
неравномерно нагретой жидкости и стационарного конвективного движения. Рас-
Рассматривается конвективная устойчивость вязкой несжимаемой жидкости в
полостях разной формы. Исследуется влияние на устойчивость различных
факторов — магнитного поля, вращения, неоднородности состава, модуляции
параметров, внутренних источников тепла, капиллярных эффектов и пр. Основ-
Основное внимание уделяется изучению спектров возмущений, определению
границ устойчивости и формы критических движений. Излагаются также
основные результаты нелинейных исследований конечно-амплитудных движе-
движений. Рассматривается устойчивость плоскопараллельных конвективных течений.
Книга рассчитана на специалистов, занимающихся гидродинамикой и во-
вопросами тепло-массообмена, а также на лиц, интересующихся различными
приложениями теории гидродинамической устойчивости.
Рис. 150, табл. 10, библ. ссылок 379.
Григорий Зиновьевич Гершуни, Ефим Михайлович Жуховицкий
Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости
М., 1972 г., 392 стр. с илл.
Редактор Я. И. Розалъская
Техн. редактор К- Ф. Брудно Корректор Я. Б. Мамулова
Сдано в набор 17/V 1972 г. Подписано к печати 1OCI 1972 г. Бумага 60X90'/,б, тип. № 1.
Физ. печ. л. 24,5. Условн. печ. л. 24,5. Уч.-изд. л. 24,80. Тираж 3000 экз. Т-16847.
Цена книги 2 р. 35 к. Заказ 188
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография №2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. Измайловский проспект, 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Общие положения 7
§ 1. Уравнения тепловой конвекции . 7
§ 2. Механическое равновесие • . 12
§ 3. Нормальные возмущения 17
§ 4. Критические градиенты температуры и критические движения 25
Глава II. Плоский горизонтальный слой 32
§ 5. Свободные границы (задача Рэлея) .......... 32
§ 6. Твердые границы . . 39
§ 7. Границы произвольной теплопроводности . 50
§ 8. Параллельные слои, связанные тепловым взаимодействием . . 57
§ 9. Деформируемая свободная поверхность 61
Глава III. Вертикальные каналы 67
§ 10. Основные уравнения 67
§ И. Цилиндр кругового сечения 71
§ 12. Плоский вертикальный слой 78
§ 13. Каналы эллиптического, прямоугольного и кольцевого сечений 84
§ 14. Связанные каналы . 93
§ 15. Возмущения, периодические вдоль вертикали . 99
§ 16. Периодические возмущения в наклонном канале 102
Глава IV. Замкнутые полости 109
§ 17. Шаровая полость 109
§ 18. Кубическая полость " ' ... 117
§ 19. Вертикальный цилиндр конечной высоты 122
§ 20. Бесконечный горизонтальный цилиндр . . 127
Глава V. Движения с конечной амплитудой 137
§ 21. Метод малого параметра .138
§ 22. Конвекция конечной амплитуды в горизонтальном слое ... 145
§ 23. Численные расчеты надкритических движений ... ... 159
Глава VI. Влияние магнитного поля и вращения на конвективную
устойчивость 169
§ 24. Уравнения возмущений 169
§ 25. Монотонная и колебательная неустойчивость (пример) ... 174
§ 26. Общие свойства спектра возмущений 180
§ 27. Плоский горизонтальный слой .189
§ 28. Другие задачи 199
§ 29. Устойчивость вращающейся жидкости 208

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VII. Бинарная смесь 217
§ 30. Уравнения возмущений 217
§ 31. Полость с непроницаемыми границами 222
§ 32. Общий случай. Монотонная и колебательная неустойчивость 226
Глава VIII. Модуляция параметра. . 4 237
§ 33. Амплитудные уравнения 238
§ 34. Области устойчивости и неустойчивости 242
§ 35. Вибрации высокой частоты 250
§ 36. Температурный скин-слой 255
§ 37. Надкритические колебания . 261
Глава IX. Разные вопросы 268
§ 38. Продольное течение в горизонтальном слое 268
§ 39. Слой с проницаемыми границами 273
§ 40. Внутренние источники тепла 279
§ 41. Термокапиллярный эффект 285
§ 42. Пористая среда 293
Глава X. Устойчивость конвективного движения 300
§ 43. Стационарное движение. Уравнения возмущений 301
§ 44. Движение с нечетным профилем скорости ........ 305
§ 45. Конвективное движение в вертикальном слое 315
§ 46. Конвективное движение в наклонном слое 325
§ 47. Пространственные возмущения . 332
§ 48. Влияние продольного градиента температуры и магнитного
поля на устойчивость движения 337
§ 49. Движение, вызванное внутренними источниками тепла . . . 347
§ 50. Вторичное конвективное течение ..... 351
§ 51. Конвективный пограничный слой 356
Литература 365
Дополнения при корректуре 382
Литература к дополнению 391

ПРЕДИСЛОВИЕ
В неравномерно нагретой жидкости, находящейся в ^
тяжести, при определенных условиях возможно механическое
равновесие. Если неоднородность температуры достаточно ве-
велика, то равновесие становится неустойчивым и в результате
развития возмущений сменяется конвективным движением.
В тех же условиях, когда равновесие невозможно, конвекция воз-
возникает при сколь угодно малой неоднородности температуры.
Однако и в этом случае увеличение разности температур при-
приводит к кризису, связанному с неустойчивостью самого конвек-
конвективного движения. Обе указанные ситуации представляют, собой
специфические частные случаи одного из наиболее интересных
явлений, изучаемых современной гидродинамикой, — явления
гидродинамической неустойчивости.
Началом систематического изучения конвективной неустой-
неустойчивости можно считать эксперименты Бенара A900 г.), наблю-
наблюдавшего возникновение регулярной пространственно-периодиче-
пространственно-периодической конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое
жидкости (ячейки Бенара). Рэлей A916 г.) теоретически ис-
исследовал устойчивость равновесия в горизонтальном слое и
определил порог конвекции для модельного случая слоя с обе-
обеими свободными границами. Дальнейшее развитие теории про-
продвигалось весьма медленно из-за значительных вычислительных
трудностей. В ряде работ рассматривались лишь некоторые
усложнения задачи о горизонтальном слое, связанные с раз-
различными условиями на ограничивающих плоскостях. В 1946 г.
Г. А. Остроумов теоретически и экспериментально исследовал
условия возникновения конвекции в вертикальном круговом ка-
канале. Вскоре после этого рядом авторов была изучена конвек-
конвективная неустойчивость равновесия в полостях разной формы,
а также были исследованы некоторые общие свойства спектра
характеристических возмущений.
Начиная с пятидесятых годов, исследования развивались
бурными темпами под влиянием необычайно возросшего инте-
интереса к проблемам гидродинамической неустойчивости, а также
в связи с многочисленными приложениями в области учения
о теплообмене, геофизике и астрофизике. Было подробно изу-
изучено влияние на конвективную устойчивость различных ослож-
осложняющих факторов — магнитного поля, вращения, диффузии,

б ПРЕДИСЛОВИЕ
модуляции параметров системы, внутренних источников тепла,
просачивания через проницаемые границы, капиллярных эффек-
эффектов и др. Известные успехи достигнуты в последнее время и
в нелинейном анализе конечных возмущений и структуры конеч-
конечно-амплитудных движений, возникающих в результате кризиса
равновесия. Существенные результаты получены в исследовании
устойчивости стационарных конвективных движений. Успехи по-
последних лет в значительной мере связаны с резко возросшими
вычислительными возможностями в связи с применением ЭВМ.
Значительный прогресс имеется также в экспериментальном изу-
изучении различных аспектов конвективной устойчивости.
К настоящему времени библиография по конвективной устой-
устойчивости насчитывает многие сотни названий. Оригинальные
работы рассеяны по большому числу журналов различных про-
профилей, что сильно осложняет ознакомление с проблемой. В вы-
вышедшей в 1961 г. книге С. Чандрасекара *) излагаются только
некоторые результаты, относящиеся к задаче о горизонтальном
слое и ее обобщениям на случай магнитного поля и вращения.
В данной книге делается попытка систематического изложе-
изложения современного состояния вопроса о конвективной устойчиво-
устойчивости. Предметом книги является- устойчивость равновесия и ста-
стационарного конвективного движения в лабораторных масшта-
масштабах, когда эффекты сжимаемости несущественны и ими можно
пренебречь. Основное внимание уделяется изложению теоретиче-
теоретических результатов, хотя везде, где это возможно, проводится срав-
сравнение с экспериментом. Мы не ставили перед собой цель соста-
составить полный обзор всей имеющейся литературы. В приводимой
библиографии отражены лишь работы, вышедшие до 1971 г., ко-
которые, с нашей точки зрения, являются наиболее существенными
для понимания вопроса. В книгу, естественно, включены резуль-
результаты исследований самих авторов.
Эта книга написана совместно обоими авторами. Наш интерес
к обсуждаемым вопросам возник под влиянием наших учителей
Г. А. Остроумова, В. С. Сорокина и И. Г. Шапошникова, кото-
которым мы выражаем искреннюю благодарность. Мы глубоко при-
признательны Л. Г. Лойцянскому, выдвинувшему идею написания
книги. Мы благодарим наших товарищей по работе Р. В. Бири-
ха, В. А. Брискмана, Г. И. Бурдэ, В. М. Зайцева, Р. Н. Руда-
Рудакова, Е. Л. Тарунина, Г. Ф. Шайдурова, Д. Л. Шварцблата и
М. И. Шлиомиса за неоценимую помощь и многочисленные по-
полезные дискуссии. Мы благодарны С. А. Региреру за критиче-
критические замечания, которые помогли нам в работе над рукописью.
Авторы
^Chandrasekhar S., Hydrodynamic and hydromagnetic stability,
Oxford, Clarendon Press, 1961,

ГЛАВА I
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В этой главе излагаются общие положения теории конвектив-
конвективной устойчивости, на основе которых в последующих главах про-
проводится решение конкретных задач. Сначала приводятся общие
уравнения, описывающие тепловую конвекцию несжимаемой
жидкости, и обсуждаются приближения Буссинеска, лежащие в
основе этих уравнений. Далее формулируются условия механи-
механического равновесия неравномерно нагретой жидкости. В третьем
параграфе содержится постановка задачи об устойчивости рав-
равновесия подогреваемой жидкости относительно малых нормаль-
нормальных возмущений, формулируется краевая задача для амплитуд
и выясняются некоторые общие свойства спектра возмущений.
В последнем параграфе этой главы речь идет о нахождении кри-
критических (нейтральных) возмущений и критических значений
числа Рэлея, определяющих границы устойчивости равновесия.
Здесь же обсуждаются варианты метода Бубнова — Галеркина,
позволяющего эффективно решать краевые задачи для характе-
характеристических возмущений:
§ 1. Уравнения тепловой конвекции
Макроскопические движения жидкости или газа описываются
общей системой уравнений гидродинамики. Эта система вклю-
включает в себя уравнение движения Навье — Стокса, общее уравне-
уравнение переноса тепла и уравнение непрерывности, выражающее
закон сохранения массы. Для реальной сжимаемой жидкости,
находящейся в поле тяжести, общая система уравнений гидро-
гидродинамики имеет вид [*]:
4J- + (*v)v]=- vp + л Дг; + (I + е) v div v + ее, (i.i)
D, A.2)
A.3)
Здесь v — скорость, р— давление, р — плотность, Т — абсо-
абсолютная температура, s —энтропия единицы массы жидкости;

8 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ (ГЛ. 1
g — ускорение силы тяжести; ц и ? —коэффициенты сдвиговой и
объемной вязкости, к — коэффициент теплопроводности (уравне-
(уравнения A.1), A.2) записаны в предположении постоянства коэффи-
коэффициентов г), ? и к); D — диссипативная функция:
D = T(dF + ^~?6/*divt;) +?(divt;J
(Si/i — символ Кронекера; по индексам /, k предполагается сум-
суммирование).
К уравнениям A.1) —A.3) необходимо добавить уравнение
состояния среды:
р). A.4)
С помощью уравнения состояния и термодинамических соот-
соотношений энтропию s можно выразить через какие-либо две тер-
термодинамические переменные, например, Тир.
Уравнения A.1) — A.4) обладают большой общностью и опи-
описывают широкий класс движений жидкости. В частности, эти
уравнения можно применить и для описания свободной тепло-
тепловой конвекции, т. е. такого движения жидкости, которое возни-
возникает в поле тяжести при наличии пространственной неоднород-
неоднородности плотности, вызванной неоднородностью температуры.
Во многих случаях представляет интерес исследование кон-
конвекции, протекающей в условиях, когда сжимаемость среды не-
несущественна. В этих случаях исходная система уравнений мо-
может быгь значительно упрощена. Соответствующие приближенные
уравнения обычно называют уравнениями конвекции в прибли-
приближении Буссинеска р]1). Анализ приближения Буссинеска про-
проведен в работах [4~в].
Приступая к выводу уравнений свободной конвекции, нач-
начнем с упрощения уравнения состояния A.4). Примем в каче-
качестве термодинамических переменных температуру и давление и
представим Т и р в биде Т = Т + Т\ р = Р -f Р\ где Т и Р —
некоторые постоянные средние значения, принимаемые в каче-
качестве начала отсчета. Добавки V и Рг будем предполагать ма-
малыми в том смысле, что обуславливаемые^ ими отклонения плот-
плотности р' от среднего значения ро = рG\ Р) малы по сравнению
с ро- Ограничиваясь линейными по V и Рг членами, запишем
уравнение состояния в виде
(^) рГ + аР')> A.5)
!) Еще раньше, впрочем, упрощенная система уравнений конвекции ис-
использовалась Обербеком [3].

§ i] УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ 9
где Р и а — соответственно коэффициенты теплового расшире-
расширения и изотермической сжимаемости:
Требование малости р' по сравнению с ро означает:
1РГ |< 1, . |аР'|< 1. A.7)
Будем, далее, предполагать, что изменения плотности из-за
неоднородности давления малы по сравнению с изменениями,
обусловленными неоднородностью температуры, т. е.
|аР'|«1РГ|. A.8)
Уравнение состояния A.5) тогда можно записать в виде
A.9)
Таким образом, пренебрегается зависимостью плотности от
давления; зависимостью же плотности от температуры, ра-
разумеется, пренебрегать нельзя, так как именно эта зависимость
и приводит к возникновению конвекции.
Условие A.8) означает, что давление вдоль жидкости не
должно существенно изменяться. Отсюда, в частности, следует,
что вертикальный масштаб области, в которой происходит кон-
конвекция, не должен быть слишком велик. Если обозначить ха-
характерный размер по вертикали /, то гидростатический перепад
давлений, очевидно, имеет порядок pog/. Условия A.7), A.8)
тогда можно переписать в виде
Ро#/а<рв< 1, A.10)
где G —характерная разность температур.
Условие малости относительных изменений плотности позво-
позволяет приближенно записать уравнение непрерывности A.3) в
такой форме, как оно записывается для несжимаемой жидкости:
divt> = 0. A.11)
Переходя к уравнению переноса тепла, запишем энтропию
в виде разложения по степеням малых отклонений V и Р'.
С точностью до линейных членов будем иметь
)^. (U2,
Учитывая термодинамические соотношения (см. [7])
\дт)р f \др)т ро' °р С"
ар0

10 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
(ср и cv — удельные теплоемкости), легко убедиться в том, что
отношение третьего слагаемого в правой части A.12) ко вто-
второму равно
аР' I. cv\
РГ I1 Ср)'
Поскольку 0<A— — )<1, то в силу A.8) это отношение
мало. Таким образом, можно пренебречь изменением энтропии
за счет давления и записать A.12) в виде
s = sQ + Zr. A.13)
Подставляя A.13) в A.2) и пренебрегая выделяющимся в
жидкости вследствие внутреннего трения диссипативным теп-
теплом D, которое в обычных условиях играет незначительную
роль, придем (в первом порядке по Т') к обычному уравнению
теплопроводности в движущейся жидкости:
^1 + гД7Г = хДГ AЛ4)
(здесь х = х/роСр — коэффициент температуропроводности; все
параметры среды считаются постоянными). В случае, если в
жидкости имеются источники тепла, к правой части A.14) дол-
должен быть добавлен член Q/pocp, где Q — мощность этих источ-
источников.
Приступим теперь к преобразованию уравнения Навье —
Стокса A.1). Подставляя A.9), получим с учетом A.11)
РоО-РП-ё"=-?р+ЧД|> + роA-рГ)*. 0-15)
где —г.— полное (субстанциальное) ускорение. Представим дав-
давление в виде р = р-\-р\ выделив гидростатическое давление р,
соответствующее равновесию при средней (постоянной) плот-
плотности ро- Давление р определяется уравнением Vp = pog". Пра-
Правая часть A.15) примет тогда вид
В левой же части пренебрежем членом, содержащим $Т'. По-
Поскольку в правой части член с рГ7 удерживается, такое прибли-
приближение будет оправдано, если только вертикальное ускорение
dvjdt (ось z направлена вертикально вверх) будет мало по
сравнению с ускорением силы тяжести g. При свободной кон-
конвекции это условие, как правило, выполняется.

§1] УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ Ц
Поделив на среднюю плотность р0, запишем уравнение дви-
движения в виде
L + (vV)v = -±4p + vbv + gfiT% A.16)
Здесь v = г|/р0 — коэффициент кинематической вязкости, a v~~~
единичный вектор, направленный по вертикали вверх.
Собирая A.11), A.14) и A.16), получим систему уравнений
тепловой конвекции в приближении Буссинеска:
*L + {vV) v = _ _L vp + v д„ + gprY, A.17)
%Г + *ЧТ = %ЫГ9 A.18)
divi> = 0. A.19)
Для краткости мы опустили штрихи у Г7 и р'. Будем по-
помнить, однако, что в уравнениях A.17), A.18) температура Т
отсчитывается от среднего постоянного значения 7\ а давление
р есть отклонение от гидростатического давления р, соответ-
соответствующего постоянной температуре Т (и, следовательно, плот-
плотности ро).
Возвращаясь к допущениям, сделанным при выводе уравне-
уравнений A.17) —A.19), отметим, что основным моментом в прибли-
приближении Буссинеска является предположение о том, что рассмат-
рассматривается в некотором смысле «слабая» конвекция: вызванные
неоднородностью температуры отклонения плотности от сред-
среднего значения предполагаются настолько малыми, что ими
можно пренебречь во всех уравнениях, кроме уравнения дви-
движения, где это отклонение учитывается лишь в члене с подъ-
подъемной силой. Разумеется, учет неоднородности плотности лишь
в уравнении движения означает некоторую непоследовательность
приближения Буссинеска. Однако сравнение результатов реше-
решения уравнений конвекции A.17) —A.19) с обширным экспери-
экспериментальным материалом с определенностью свидетельствует
о том, что эти уравнения достаточно хорошо отражают все важ-
важнейшие особенности тепловой конвекции в лабораторных мас-
масштабах.
Система уравнений (Л.17) — A.19) определяет поля скорости,
температуры и давления в жидкости, совершающей конвектив-
конвективное движение. Если жидкость заполняет полость, окруженную
твердым однородным теплопроводным массивом, то к системе
A.17) —A.19) необходимо добавить уравнение теплопроводно-
теплопроводности, определяющее- поле температуры в массиве:
Ц A.20)

12 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
где Тт — температура массива, а Хт —его температуропровод-
температуропроводность.
Сформулируем теперь граничные условия. На границе 5 жид-
жидкости с твердым массивом скорость обращается в нуль:
1> = 0, A.21)
а температура и нормальная составляющая теплового потока не-
непрерывны:
т = т и—= и дТт (\ 22^
Здесь /2 —нормаль к границе, ит —коэффициент теплопроводно-
теплопроводности массива. Кроме A.21) и A.22), следует еще поставить усло-
условие для Тт на внешней границе массива, определяемое усло-
условиями подогрева.
В-частных случаях температура или тепловой поток могут
быть заданы непосредственно на границах полости. При этом
уравнения и граничные условия будут содержать следующие пара-
параметры: характерную длину полости L, характерную разность тем-
температур в, время т, характеризующее нестационарность внешних
условий, и параметры жидкости v, % и g$. Из этих величин мож-
можно построить три независимые безразмерные комбинации:
A.23)
— так называемые числа Грасхофа, Прандтля и Фурье. Эти чи-
числа служат критериями подобия свободного конвективного дви-
движения.
Если движение происходит в полости, окруженной массивом,
то к A.23) добавляются новые критерии: отношения коэффи-
коэффициентов теплопроводности и температуропроводности и = х/ит и
Х = х/Хт, а также геометрический параметр L = LjLm (Lm — ха-
характерный линейный размер массива).
Конвективное движение может быть нестационарным даже в
том случае, когда внешние условия подогрева не изменяются со
временем (различные процессы установления, самопроизвольные
колебания жидкости и пр.). При этом характерное время т
(время релаксации или период колебаний), естественно, не яв-
является «свободным» параметром, а число Фурье есть функция
остальных параметров подобия.
§ 2. Механическое равновесие
В неравномерно нагретой жидкости, как правило, возникает
конвективное движение. Существуют, однако, такие весьма спе-
специальные условия подогрева жидкости, при которых она может
находиться в состоянии механического равновесия, т. е. оста-

§ 2] МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ 13
ваться неподвижной. Термодинамического равновесия при
этом, конечно, не будет: пространственная неоднородность тем-
температуры неизбежно приведет к возникновению теплового по-
потока.
Для выяснения условий, при которых возможно механиче-
механическое равновесие, обратимся к уравнениям конвекции A.17) —
A.19). Положим в этих уравнениях скорость равной нулю и
будем искать стационарные распределения температуры и да-
давления в равновесии. Обозначая равновесные распределения
температуры и давления через То и ро, получим из A.17), A.18)
уравнения для этих величин:
^ 0, B.1)
ЛГ0 = а B.2)
Применим к уравнению B.1) операцию rot. Пользуясь соот-
соотношением rot Vpo = 0, а также учитывая постоянство у» будем
иметь
B.3)
Если отбросить тривиальный случай VT0 = О, соответствую-
соответствующий однородному по пространству распределению температуры,
то из B.3) следует, что VT0 параллелен вектору у, т- е- имеет
вертикальное направление. Таким образом, горизонтальные ком-
компоненты градиента температуры равны нулю:
и
дх — ду
(оси х и у расположены горизонтально), и температура в рав-
равновесии зависит только от вертикальной координаты z:
T0=T0(z). , B.5)
Обращаясь теперь к уравнению теплопроводности B.2), по-
получим d2T0/dz2 = 0, откуда следует, что температура меняется
с высотой линейно:
T0 = -Az + B. B.6)
Здесь А и В — постоянные величины. Если ось z направлена
вверх, то А > 0 соответствует линейному убыванию, а А <0 —
линейному возрастанию температуры с высотой.
Итак, в состоянии механического равновесия температура
жидкости зависит лишь от вертикальной координаты, и притом
линейно. Равновесный градиент температуры, таким образом, во
всех точках жидкости вертикален и имеет постоянное значение:
УГ0 = -Лу. B.7)

14 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
Это условие равновесия в общем виде было сформулировано
В. С. Сорокиным [8].
Соотношение B.7) является необходимым, условием механи-
механического равновесия неравномерно нагретой жидкости. Если это
условие не выполнено, т. е. температура зависит не только от г,
но и от горизонтальных координат х и у, либо если зависимость
от z не является линейной, то механическое равновесие невоз-
невозможно1)'» в этом случае неизбежно будет происходить конвек-
конвекция. При выполнении условия B.7) равновесие возможно. При
этом, однако, оно может оказаться устойчивым или неустойчи-
неустойчивым. Если равновесие устойчиво относительно всех допустимых
возмущений, то конвекция отсутствует. Если же равновесие не-
неустойчиво по отношению* к каким-либо возмущениям, то в ре-
результате развития этих возмущений возникает конвекция.
Необходимое для равновесия линейное распределение темпе-
температуры B.6) легко, например, осуществить в плоском горизон-
горизонтальном слое жидкости. Для этого параллельные горизонталь-
горизонтальные плоскости, ограничивающие слой, должны поддерживаться
при постоянных, не меняющихся вдоль этих плоскостей темпера-
температурах. Градиент температуры в жидком слое будет тогда верти-
вертикальным, постоянным и равным по величине G/ft, где G — раз-
разность температур границ, a h — толщина слоя.
Если жидкость заполняет полость произвольной формы, то
равновесное распределение температуры в жидкости B.6)
можно создать, расположив специальным образом источники
тепла вдоль границ полости. Хотя, в принципе, это можно сде-
сделать всегда, при сложной форме полости подбор надлежащего
распределения источников тепла может оказаться непростой за-
задачей.
Остановимся теперь на случае, когда полость с жидкостью
окружена однородным твердым массивом, и условия подогрева
задаются не на границе полости, а в массиве на достаточно
большом удалении от полости. Пусть, например, в массиве на
бесконечно большом расстоянии от полости задан постоянный
вертикальный градиент температуры
(v71om)oo = -^mY. B.8)
Температура в массиве удовлетворяет однородному уравне-
уравнению теплопроводности
А71от = О. B.9)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее на бесконечно-
бесконечности условию B.8), должно на границе полости 5 сшиваться
*) Здесь речь идет о стационарном механическом равновесии; возможно
также и нестационарное равновесие, при котором температура зависит от
времени и нелинейно от вертикальной координаты — см. гл. VIII.

§ 2] МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ 15
с решением уравнения B.2) с помощью условий непрерывности
температуры и теплового потока:
О— У0т» *"}fa Хт"Ж"# \2-Щ
Решение этой задачи не будет, вообще говоря, давать линей-
линейного распределения температуры в жидкости B.6), и, стало
быть, необходимое условие равновесия не будет выполнено. По-
Поскольку, однако, нас интересует именно выяснение условий рав-
равновесия, то нужно указать такие случаи, когда краевая задача
B.2), B.8) —B.10) приводит к линейному по вертикали рас-
распределению температуры в жидкости B.6).
Прежде всего, должен быть назван тривиальный случай,
когда теплопроводности жидкости и массива одинаковы: к=хт.
В этом случае излома изотерм на границе жидкости с масси-
массивом не происходит. И в жидкости, и в массиве температура опи-
описывается единой функцией, линейно зависящей от вертикаль-
вертикальной координаты; градиенты А и Ат совпадают.
Если теплопроводности жидкости и массива различны, то
равновесное распределение температуры в жидкости B.6) при
условии задания постоянного вертикального градиента в мас-
массиве на бесконечности возможно лишь при специальных формах
полости. Так, если полость представляет собой бесконечный вер-
вертикальный цилиндр произвольного сечения, то краевая задача,
очевидно, имеет решение вида B.6), описывающее распределе-
распределение температуры во всем пространстве. Условие непрерывности
тепловых потоков выполняется тривиальным образом при про-
произвольных к и Km, поскольку температура не зависит от нор-
нормальной к границе координаты.
Переходя к замкнутым полостям в массиве с постоянным
градиентом температуры на бесконечности, отметим, прежде
всего, что задача об определении температурного поля в покоя-
покоящейся жидкости математически эквивалентна известной задаче
электростатики об определении поля в диэлектрическом образце,
помещенном в первоначально однородное электрическое поле.
Нас интересует случай, когда получающееся распределение тем-
температуры в жидкости оказывается равновесным (т. е. когда
градиент температуры в жидкости постоянен и вертикален). На
языке электростатики это означает, что поле в образце, поме-
помещенном в первоначально однородное поле, также должно быть
однородным. Как известно [9], это возможно лишь в случае до-
достаточно высокой симметрии образца. Такой симметрией обла-
обладает трехосный эллипсоид. Если эллипсоидальный образец
помещается в однородное поле, то поле внутри образца также бу-
будет однородным, хотя его направление при произвольной ориен-
ориентации эллипсоида не совпадает с направлением внешнего поля.

16 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
Возвращаясь к тепловой задаче, будем иметь в виду случай,
когда градиент температуры на бесконечности вертикален, а оси
эллипсоида совпадают по направлению с координатными осями
ху у, z. По аналогии с решением задачи для электростатиче-
электростатического потенциала [9], можно написать формулы для распреде-
распределения температуры в массиве на бесконечности (Т0т)оо и в жид-
жидкости Го (за начало отсчета принято значение температуры
в центре эллипсоида):
iB.11)
DC
Здесь а, 6, с — полуоси эллипсоида соответственно вдоль коор-
координатных осей х, у, z\ й = к1кт — отношение теплопроводностей
жидкости и массива; С — функция параметров а, 6, с:
оо
Из B.11) видно, что при заданном градиенте в массиве Ат
равновесный градиент в жидкости равен
А = г—4s . B.12)
Приведем для справок некоторые важные частные случаи
формулы B.12).
Эллипсоид вращения (сфероид). Если ось симмет-
симметрии вертикальна, то в формуле B.12) следует положить а = Ъ.
Эллиптический интеграл С в этом случае выражается через эле-
элементарные функции. Для вытянутого вдоль оси z сфероида
(с > а) и для сплюснутого сфероида (с < а) найдем
А =
1 + Л, (е - arctS e> (й - ')
• B.13)
Шар. В этом случае а = b = с = г (г — радиус шара);

§ 3] НОРМАЛЬНЫ!- ВОЗМУЩЕНИЯ 17
У о ризонтальный эллиптический цилиндр.
В общей формуле B.12) нужно сделать предельный переход
а —> оо (ось цилиндра совпадает с осью х). В пределе получаем
7(ГМ
л _ (& + с) Ат (9 - -.
В частности, для кругового горизонтального цилиндра
(Ь = с):
А = ^. B.16)
Вертикальный эллиптический цилиндр. Пола-
Полагая с->оо, находим сС->0,
Л = Лт B.17)
(как уже отмечалось выше, этот результат справедлив для
вертикального цилиндра произвольного сечения).
Плоский горизонтальный слой (а-* оо, Ь-> оо,
а6сС->2). Связь равновесных градиентов такова:
В заключение заметим, что в полости, имеющей форму трех-
трехосного эллипсоида, произвольно ориентированного в простран-
пространстве, также возможно равновесие. При этом, однако, градиент
температуры на бесконечности должен иметь определенное (не-
(невертикальное) направление, зависящее от ориентации полости.
§ 3. Нормальные возмущения
Как уже указывалось, механическое равновесие неравно-
неравномерно нагретой жидкости может оказаться устойчивым или не-
неустойчивым. Равновесие устойчиво, если все возмущения со вре-
временем затухают. Если же одно или несколько возмущений со
временем нарастают, то равновесие неустойчиво относительно
этих возмущений. Их развитие со временем приведет к тому, что
равновесие будет нарушено, и возникнет конвекция.
В реальных условиях неизбежно возникают самые различ.-
ные возмущения. Поэтому равновесие жидкости можно практи-
практически наблюдать лишь в том. случае, когда оно устойчиво. Не-
Неустойчивое же' равновесие быстро сменяется конвекцией, если,
разумеется, не приняты специальные меры, исключающие воз-
возникновение «опасных» возмущений.
Для суждения об устойчивости равновесия необходимо, та-
таким образом, исследовать поведение во времени всевозможных

18
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
возмущении. С этой целью рассмотрим поля температуры
и давления, отличающиеся от равновесных: То + Ти р0 + Ри
где Т\ и р\ — возмущения. Отклонения температуры и давления
от равновесных распределений То и р0 приводят к конвектив-
конвективному движению со скоростью V\. Возмущенные поля (v\, То + Ти
Ро-\-р\) должны удовлетворять уравнениям конвекции A.17) —
A.19). Отсюда можно получить уравнения для возмущений.
Будем рассматривать малые нестационарные возмущения
равновесия (линейная теория устойчивости). В уравнениях, ко-
которые получаются подстановкой (г>ь То+ Гь ро + Р\) в A.17) —
A.19), тогда можно пренебречь квадратичными по возмущениям
членами, что приводит, с учетом B.1), B.2), к линейным урав-
уравнениям:
dvit = |_
Ро
дТх .
dt
dt
divi>i = 0.
C.1)
Если полость окружена теплопроводным массивом, то к этой
системе нужно добавить уравнение для возмущения темпера-
температуры массива Тши которое следует из A.20):
дТ %тЬТт1. C.2)
и i
На границе жидкости и массива должны выполняться обыч-
обычные условия исчезновения скорости и непрерывности темпера-
температуры и теплового потока (см. A.22)). Кроме того, необходимо
потребовать затухания возмущений температуры в массиве
вдали от полости.
Запишем систему уравнений для возмущений C.1), C.2)
в безразмерном виде. Для этого выберем следующие единицы
измерения: расстояния — характерный линейный размер поло-
полости L, времени — L2/v, скорости — %/L, давления — pov%/L2, тем-
температуры— AL (А — равновесный градиент температуры, опре-
определяемый соотношением B.7)). Переходя при помощи указан-*
ных единиц к безразмерным переменным, получим систему урав-
уравнений для безразмерных возмущений:
C.3)
дТ
=Д71

§ з] НОРМАЛЬНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 19
Здесь теперь v, р, Г, Тт — безразмерные возмущения, а все
производные берутся по безразмерным времени и координатам.
В систему C.3) входят три безразмерных параметра: число
Прандтля Р = v/%, отношение температуропроводностей жидко-
жидкости и массива % = %1%т и число Рэлея R = — , связанное
с числами Грасхофа и Прандтля: R = GP (см. A.23)).
Таким образом, малые возмущения _равцовесия удовлетво-
удовлетворяют системе линейных однородных уравнений в частных про-
производных с постоянными коэффициентами. Эта система имеет
частные решения, зависящие от времени по экспоненциальному
закону (так называемые «нормальные» возмущения):
{*; р9 Г, fj-exp (-«)," C.4)
где X — декремент, определяющий временной ход возмущения.
Подставляя C.4) в C.3), получим систему амплитудных урав-
уравнений
_ Ли = - \р + Ли + R7Y C.5)
- ХРТ = ЛГ + И), C.6)
divi> = 0, C.7)
= bTm. C.8)
Здесь теперь и, р, Г и Тш — зависящие от координат ампли-
амплитуды.
Запишем граничные условия для безразмерных амплитуд.
На границе 5 жидкости-с массивом
(й = х/ищ — отношение теплопроводностей жидкости и мас-
массива). Вдали от полости возмущения температуры исчезают:
(rjo.-*0. ' C.10)
Линейная однородная краевая задача C.5) —C.10) есть за-
задача о собственных значениях. Собственными числами являются
декременты нормальных возмущений X (характеристические де-
декременты), а собственными функциями — соответствующие ам-
амплитуды. Таким образом, сформулированная краевая задача
определяет спектр нормальных возмущений равновесия жидко-
жидкости в полости определенной геометрии.
При данной форме полости спектр зависит от четырех пара-
параметров, входящих в уравнения и граничные условия: чисел Рэ-
Рэлея и Прандтля R и Р, а также отношений теплопроводностей
и температуропроводностей й и %. Эти параметры определяют
подобие задачи о нормальных возмущениях равновесия подо-
подогреваемой снизу жидкости.

?0 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
Зависимость нормальных возмущений от времени заключена
в экспоненциальном множителе ехр(—М). Если декремент Л
является вещественным, то возмущение изменяется со временем
монотонно: при X > 0 возмущение затухает, а при К < 0 — на-
нарастает. Если декремент оказывается комплексным, то его
можно представить в виде X = Kr + iX{. В этом' случае возму-
возмущения осциллируют с частотой, равной мнимой части декре-
декремента Х{. Затухание или нарастание этих осциллирующих воз-
возмущений определяется знаком вещественной части ir. Для
устойчивости равновесия необходимо, чтобы вещественные части
декрементов всех нормальных возмущений были положитель-
положительными. Если же в спектре найдется хотя бы одно возмущение
с отрицательным V, то это будет означать неустойчивость рав-
равновесия по отношению к данному возмущению.
В случае замкнутой полости спектр нормальных возмущений
оказывается дискретным, т. е. имеется счетная последователь-
последовательность характеристических декрементов и соответствующих воз-
возмущений !). Нахождение этого спектра для полости определен-
определенной формы сводится к решению краевой задачи C.5) —C.10).
Можно, однако, следуя В. С. Сорокину [8], установить некото-
некоторые важные общие свойства спектра, не зависящие от конкрет-
конкретной формы полости.
При рассмотрении общих свойств спектра мы для простоты
будем иметь в виду случай, когда теплопроводность массива
гораздо больше теплопроводности жидкости (й—>0). В этом
случае можно считать, что на стенках полости поддерживается
неизменное равновесное распределение температуры, а ее воз-
возмущение исчезает. Таким образом, вместо общих граничных ус-
условий C.9), на границе полости будем иметь
0 = 0, Г = 0, C.11)
и нужно следить лишь за поведением возмущений в жидкости.
Обратимся к амплитудным уравнениям C.5) — C.7) На-
Наряду с решением (Я; i>, Г, р) будем рассматривать комплексно-
сопряженное решение (А,*; и'*, Г*, /?*) (звездочками далее обо-
обозначаются комплексно-сопряженные величины). Умножим урав-
уравнения C.5) и C.6) соответственно на v* и Т* и проинтегрируем
по объему жидкости. Заменяя в нужных местах интегрирование
!) Дискретность спектра представляется физически очевидной в случае,
когда массив, окружающий полость, обладает бесконечной теплопроводностью,
и на границе полости возмущение температуры исчезает (граничные условия
C.11)). В случае же массива конечной теплопроводности дискретность свя-
связана с достаточно быстрым затуханием проникающим в массив температур-
температурных возмущений.

§ 3] НОРМАЛЬНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 21
по объему интегрированием по поверхности и пользуясь гранич-
граничными условиями C.11), получим
C.12)
Вычитая из этих равенств соответственно комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженные, будем иметь
-Я J|t>pdK = — J|roti>pdF + R J Tv*\dVy
-ЯР j\TfdV = — j\ \/TfdV + J r
(Я* - Я) J | о рdV = R J GVy - ГЧ
P (Я* ~ Я) J | T fdV = - J GVy - T*v\)dV.
Умножая второе из этих равенств на R и складывая с первым,
получим
(Я* - Я) J [| v P + RP| T ?]dV = 0. C.13)
Обращаясь снова к C.12), сложим каждое из равенств со-
соответственно с комплексно-сопряженным
(Я* + Я) J | v fdV = 2 J | rot v fdV - R J GVy + T*v\)dV,
P (Я* + Я) J | T \2dV = 2 J | V71 fdV - J GVy + Vv\)dV.
Отсюда находим
(Г + Я) J [| v f - RP| T f]dV = 2 J [| rot о |2 - R| УГ p]rfK. C.14)
Соотношения C.13), C.14) позволяют сделать определенные
заключения о вещественной и мнимой частях декрементов.
Пусть жидкость подогревается снизу. В этом случае число
Рэлея R положительно, поскольку равновесный градиент тем-
температуры А >0 (см. B.6)). При этом входящий в C.13) ин-
интеграл существенно положителен. Отсюда следует Я* — Я = 0,
т. е. Я* = Я. Таким образом, при подогреве снизу декременты
нормальных возмущений вещественны, и следовательно, все нор-
нормальные возмущения изменяются со временем — затухают или
нарастают — монотонно («принцип монотонности возмуще-
возмущений») *).
') Этот принцип был впервые получен для плоского горизонтального слоя
жидкости в работе [10]. Общее доказательство дано в [8]. В литературе часто
употребляется мало удачное, с нашей точки зрения, название «принцип смены
(или обращения) устойчивости».

22 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ*. I
Рассмотрим теперь случай подогрева сверху (А < 0 и R < б).
В этом случае следует обратиться к формуле C.14), определяю-
определяющей вещественную часть декремента
Интегралы, входящие в левую и правую части C.14), при R <0
существенно положительны, и потому Хг > 0. Таким образом, все
нормальные возмущения при подогреве сверху затухают, и рав-
равновесие устойчиво.
При отсутствии градиента температуры (R = 0) из C.13),
C.14) легко получается
\\votv\2dV
Я =±- C.15)
\\vfdV
— все декременты вещественны и положительны, т. е. возмуще-
возмущения монотонно затухают. Собственные числа К в этом случае
можно занумеровать в порядке их возрастания: h < А,2 <
< Хг < ... Соответствующие возмущения характеризуются
«временами жизни» 1ДП; «нижняя» мода с декрементом Xi
имеет наибольшее время жизни, т. е. наименьшую скорость за-
затухания.
При R ф 0 декременты зависят от R как от параметра. В об-
области положительных R все декременты Xn(R), как уже указы-
указывалось, вещественны, причем, очевидно, некоторые из них при
увеличении R становятся отрицательными, порождая неустой-
неустойчивость. При R < 0 всегда имеет место устойчивость (А,г > 0),
но в этом случае нельзя с определенностью утверждать, что за-
затухание возмущений происходит монотонно. В самом деле, ин-
интеграл, входящий в C.13), при R < 0 уже не является знако-
определенным, и потому сделать общий вывод о вещественности
декрементов нельзя. Необходимым условием появления ком-
комплексных декрементов (т. е. колебательных возмущений) яв-
является обращение в нуль интеграла в C.13). Расчеты, прове-
проведенные для плоского горизонтального слоя (см. гл. II) и шаро-
шаровой полости [п], показывают, что при подогреве сверху (R < 0)
по мере увеличения |R| в спектре действительно появляются
колебательные возмущения. Это связано со «слиянием» веще-
вещественных уровней спектра и порождением пар комплексно-со-
комплексно-сопряженных декрементов.
Типичная ситуация представлена на рис. 1, где изображены
два уровня спектра. Один из них — нижний — приводит к не-
неустойчивости при некотором критическом значении числа Рэлея.
Слияние уровней при R < 0 и возникновение комплексно-со-

§3]
НОРМАЛЬНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
23
пряженной пары означает появление, затухающих колебатель-
колебательных возмущений.
Различие в характере поведения возмущений при подогреве
снизу и сверху можно пояснить следующими наглядными рас-
рассуждениями. Представим себе, что элемент жидкости, подогре-
подогреваемой снизу, в результате случайного возмущения сместился
вверх. Охлаждаясь путем теплопроводности, он все-таки будет
иметь в новом положении более высокую температуру, чем ок-
окружающая жидкость. Поэтому
действующая на него конвектив-
конвективная сила будет направлена вверх,
и элемент будет продолжать
всплывать, преодолевая вязкое
сопротивление. Будет ли это
движение затухать или разви-
развиваться—зависит от соотношения
между градиентом температуры
и параметрами диссипации. Во
всяком случае, это возмущение
имеет монотонный характер из-
за отсутствия «возвращающей»
силы.
Иначе обстоит дело при подо-
подогреве сверху. В этом случае сме-
сместившийся вверх элемент будет
холоднее окружающей жидкости,
и на него будет действовать кон-
конвективная «возвращающая» си-
R* О
Вешественная и мнимая части
Ла, Направленная ВНИЗ: ЭТО При- PeHKc-e-MeHV0-"B зависимости от числа
Ведет К ТОМу, ЧТО ВСПЛЫВаНИе Рэлея. Rc-критическое чило Рэлея, со-
соответствующее неустойчивости при по-
подогреве снизу; R* — точка появления
колебательных возмущений при подо-
подогреве сверху.
у
элемента прекратится и он нач-
начнет тонуть. Если градиент темпе-
температуры достаточно велик, то на-
наличие «возвращающей» силы мо-
может привести к появлению колебаний. Напомним, однако, что
при подогреве сверху и монотонные и колебательные возмуще-
возмущения затухают.
Вещественность декрементов при подогреве снизу и появле-
появление (при определенных условиях) комплексных декрементов
при подогреве сверху связаны со свойствами краевой задачи
для амплитуд возмущений. При R > 0 задача является само-
самосопряженной, и потому собственные числа и собственные функ-
функции вещественны. В случае же R < 0 задача становится несамо-
несамосопряженной, и собственные числа могут быть комплексными.
Покажем теперь, что декременты и амплитуды возмущений
при подогреве снизу могут быть найдены из решения некоторой

24 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
вариационной задачи [8]. Рассмотрим функционалы
/ = J [(rot vJ + R (V71J - 2R71 И)] dV9
К=
где ииГ удовлетворяют граничным условиям C.11). Сформу-
Сформулируем задачу об отыскании стационарного значения функцио-
функционала /
/ = extr ' C.16)
при дополнительных условиях нормировки и соленоидальности
/С=1, C.17)
divi> = 0. C.18)
Нетрудно показать, что уравнения Эйлера для этой вариацион-
вариационной задачи совпадают с амплитудными уравнениями C.5),
C.6). В самом деле, вводя для дополнительных условий C.17)
и C.18) множители Лагранжа — X и —2/7, составим вариацион-
вариационное условие
б/ - Яб/С - J 2рб (div v) dV = 0.
Вычисляя все входящие сюда вариации, интегрируя по частям
с учетом граничных условий C.11) и приравнивая нулю выра-
выражения при независимых вариациях 6v и 6Г, придем к ампли-
амплитудным уравнениям C.5), C.6).
Функции ниГ, являющиеся решением вариационной задачи,
позволяют вычислить декременты по формуле
X=j, C.19)
причем нижний уровень спектра декрементов К\ соответствует
минимуму J/K.
Собственные функции, принадлежащие разным уровням
спектра (Хт\ vm, Tm) и (Яп; vn, Tn), удовлетворяют условиям
ортогональности, которые можно получить непосредственно из
краевой задачи. Записывая уравнения C.5), C.6) для m-го и
я-го уровней, умножая соответственно на (vn, Tn) и (vm, Tm) и
интегрируя, получим после простых преобразований
(К - К) J (vmvn + WTmTn) dV = 0.
При m Ф п отсюда следует условие ортогональности — равен-
равенство нулю входящего в это соотношение интеграла. С учетом

§ 4] КРИТИЧЕСКИЕ ГРАДИЕНТЫ ТЕМПЕРАТУРЫ 25
C.17) запишем условие ортогональности и нормировки в виде
J (vmvn + RPTmTn) dV = 6mn C.20)
Fmn — символ Кронекера).
Условия ортогональности позволяют применить вариацион-
вариационный метод для отыскания более высоких уровней спектра. Для
этого необходимо при нахождении собственного решения неко-
некоторого уровня использовать пробные функции, не только удо-
удовлетворяющие дополнительным условиям C.17), C.18), но и
ортогональные ко всем собственным функциям более низких
уровней.
Б заключение заметим, что все результаты, изложенные
в этом параграфе, можно распространить на случай более об-
общих граничных условий C.9), C.10), учитывающих проникно-
проникновение температурных возмущений в массив.
§ 4. Критические градиенты температуры
и критические движения
Физически совершенно ясно, что прц достаточно большой
разности температур равновесие подогреваемой снизу жидкости
становится неустойчивым. Это значит, что декременты X некото-
некоторых характеристических возмущений с увеличением числа Рэ-
лея становятся отрицательными, а сами эти возмущения, зату-
затухая со временем при малых R, начинают нарастать при боль-
больших R. Обращение в нуль декремента выделяет условия, при
которых возмущение «нейтрально» — не затухает и не нарас-
нарастает. Очевидно, эти условия как раз и определяют границу
устойчивости равновесия относительно данного возмущения.
Уравнения нейтральных возмущений получаются из C.5) —
C.8) при X = 0:
0, ' D.1)
D.2)
divi> = 0, D.3)
АГт = 0. - D.4)
Граничные условия остаются прежними: C.9), C.10).
Мы снова получили задачу о собственных значениях. Соб-
Собственными числами теперь являются критические значения
числа Рэлея R, а собственными функциями — соответствующие
критические (нейтральные) движения (v, T).
С чисто математической точки зрения доказательство не*
устойчивости равновесия сводится к доказательству существо-
существования решений краевой задачи для нейтоальных возмущений»

26 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
Существование собственных значений строго показано в работе
М. Р. Уховского и В. И. Юдовича [12]. Критические числа Рэлея
образуют счетную последовательность
0< R, < R2< ...,
а соответствующие собственные функции
(*ь Г,), (г>2, Г2), ...
составляют полную систему. Последнее обстоятельство позво-
позволяет использовать критические движения в качестве естествен-
естественного базиса, по которому разлагается любое конвективное дви-
движение в полости.
Итак, при подогреве снизу существует последовательность
критических чисел Рэлея (критических градиентов темпера-
температуры) и критических движений. При достижении критического
числа Rt- равновесие становится неустойчивым относительно со-
соответствующего критического возмущения (i^, 7\). Наибольший
интерес, разумеется, представляет «нижний» уровень спектра
неустойчивости — наименьшее критическое число Рэлея Ri и
связанное с ним критическое движение (v\,T\). Именно зна-
значение Ri определяет порог конвекции. Отыскание верхних уров-
уровней, однако, также представляет значительный интерес: если
каким-либо образом удастся «запереть» основное критическое
движение1), то порог будет определяться вторым уровнем не-
неустойчивости и т. д. Кроме того, как уже говорилось, все кри-
критические движения образуют полный базис, удобный для изоб-
изображения произвольного движения в полости.
Заметим, что краевая задача для нейтральных возмущений
содержит только два безразмерных параметра: критическое
число Рэлея R и отношение теплопроводностей й (при X = О
число Прандтля Р и отношение температуропроводностей % вы-
выпадают из числа определяющих параметров; см. C.6), C.8)).
Таким образом, критические числа Рэлея зависят от единствен-
единственного параметра — отношения теплопроводностей. В тех же слу-
случаях, когда условия для температуры задаются непосредственно
на границе полости (обращение в нуль возмущения темпера-
температуры Г|s = 0, либо условие тепловой изоляции -j- = 0J, кри-
критические числа Рэлея являются постоянными числами, значе-
значения которых -определяются только формой полости.
Критические движения удовлетворяют некоторым соотноше-
соотношениям ортогональности и могут быть найдены из вариационного
1) Практически это можно сделать, например, помещая в полости ре-
решетки, исключающие развитие возмущений, симметрия которых совпадает
с симметрией основного критического движения.

§ 4] КРИТИЧЕСКИЕ ГРАДИЕНТЫ ТЕМПЕРАТУРЫ 27
принципа [8]. Для простоты, как и в предыдущем параграфе, мы
не будем рассматривать проникновение тепловых возмущений
в массив (граничные условия C.11)). Для получения условий
ортогональности следует записать уравнения D.1) и D.2) для
/-го и k-ro критических движений, умножить соответственно на
(Vh> Ть.) и (и*, Т{) и проинтегрировать по объему. Из четырех
получающихся таким образом соотношений можно найти
J Ш TkdV=j fov) TtdV=0 (i Ф k)9 D.5)
т. е. вертикальная составляющая скорости одного критического
движения ортогональна температуре другого.
Если нормировать критические движения следующим обра-
образом ]):
j(viy)TidV=l9 D.6)
то условия ортогональности и нормировки можно записать так:
j(Vls)TkdV=6ik. D.7)
Отсюда с помощью уравнений D.1) и D.2) легко получить еще
два условия:
. J STt • VTk dV = 6ik9 J rot Vi • rot vk dV = Rt6ikt D.8)
т. е. градиенты температуры разных критических движений, так
же как и вихри скорости, ортогональны друг другу.
Сформулируем теперь вариационный принцип. С этой целью
запишем уравнения нейтральных возмущений в более симме-
симметричной форме, выбрав новую единицу температуры. Положим
D.9)
Уравнения D.1), D.2) тогда перепишутся в виде
- S/p + Ли + СТ\ = 0, ДГ + С (v\) = 0. D.10)
Здесь теперь С — новое собственное число, связанное с крити-
критическим числом Рэлея соотношением R = С2. Легко убедиться
в том, что эти уравнения являются уравнениями Эйлера для
следующей вариационной задачи:
F (v% Т) = ~ | [(rot г;J + (Vf J] dV = extr D.11)
!) Входящий в D.6) интеграл существенно положителен, так как в силу
D.1) и D.2):
J (v) hdV - if J (rot *<J dV=J
dV

28 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
при дополнительных условиях
(m)Tdv = \9 Di2)
div v = 0.
Действительно, вводя множители Лагранжа —С и —р и со-
составляя условие экстремума
6F — С б/С — J рб (div v) dV = 0,
получим, после варьирования функционалов, уравнения D.10).
Нижнее критическое значение Q равно минимуму функцио-
функционала
C, = min-?. D.13)
Все другие критические числа следует искать из условия экстре-
экстремума F/K, требуя ортогональности пробных движений ко всем
критическим движениям, соответствующим более низким уров-
уровням спектра.
Для отыскания критических чисел Рэлея и критических дви-
движений можно использовать прямые методы математической фи-
физики, в частности, методы Ритца и Бубнова — Галеркина. Осо-
Особенно широкое распространение в задачах конвективной устой-
устойчивости получил метод Бубнова — Галеркина ввиду его про-
простоты и универсальности (см. работы [13~16], а также ряд после-
последующих параграфов этой книги). Важное преимущество этого
метода состоит в том, что он может быть эффективно использо-
использован для решения задач, не связанных с вариационными пробле-
проблемами. К их числу относится, например, задача об устойчивости
конвективных движений, рассматриваемая в гл. X.
Основная идея метода Бубнова — Галеркина [17] состоит
в том, что приближенное решение однородной краевой задачи
ищется в виде линейной суперпозиции конечного числа некото-
некоторых базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям.
Коэффициенты разложения определяются из интегральных ус-
условий, выражающих ортогональность невязки к каждой базис-
базисной функции. Таким образом, задача сводится к решению си-
системы алгебраических уравнений для коэффициентов разложе-
разложения. В качестве базиса обычно выбираются первые функции
какой-либо полной системы. Успех в применении метода опре-
определяется выбором базисных функций и числом этих функций,
входящих в разложение. При удачном выборе базиса доста-
достаточно точные результаты получаются уже при аппроксимации
решения сравнительно небольшим числом функций.

§ 4] КРИТИЧЕСКИЕ ГРАДИЕНТЫ ТЕМПЕРАТУРЫ 29
Мы изложим здесь два варианта метода применительно к за-.
даче о критических движениях. Оба варианта широко исполь-
используются в дальнейшем изложении.
Первый вариант основан на разложении скорости и темпе-
температуры по независимым базисам. Пусть и\,и2, ... — некоторая
полная система векторных функций, удовлетворяющих условию
соленоидальности d\vui = 6 и обращающихся в нуль на гра-
границе полости. Пусть, далее, 0ь 02, ... — полная систем^ скаляр-
скалярных функций, удовлетворяющих, например, граничному условию
C.11) для возмущений температуры. Будем искать приближен-
приближенное решение уравнений D.1) — D.3) в виде разложений
v = alul + a2u2+ ... +aNuNt D.14)
Т = Ьх0{ + Ь2в2+ ... + Ьмвм. D.15)
Эти выражения, очевидно, удовлетворяют граничным усло-
условиям C.11), а распределение скорости D.14)—уравнению не-
непрерывности D.3). Для определения коэффициентов разложе-
разложений, следуя методу Бубнова — Галеркина, поступаем следую-
следующим образом. Подставим D.14) и D.15) в уравнения D.1) и
D.2), умножим первое из этих уравнений скалярно на uit а вто-
второе — на 0ь и проинтегрируем по объему. При этом все члены,
содержащие градиент давления, исчезают в силу граничных ус-
условий для скорости и уравнения непрерывности:
J щУр dV = J div (utp) dV = (j) рщ dS = 0.
После интегрирования получим систему N -\- М линейных одно-
однородных уравнений для коэффициентов ап и bm:
N М
2 Ainan + R 2 Cimbm = 0 (i=lt 2, ..., АО,
n=l tn—l
N M
пкап+ S Bkmbm = 0 (k = l, 2 M).
D.16)
Bkmbm = Q (k = \,2 M).
/1=1 m=l
Здесь для краткости введены обозначения:
cim = j
DЛ7)
причем, как легко убедиться, Ain = Ani и Bkm = Bmk.

30 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
Система D.16) имеет нетривиальное решение лишь в том
случае, когда ее определитель равен нулю:
AN2 . .
C2, .,
C22 .
. . CN2
RC
#21
r с Г R R R =0- <4Л8>
ull U21 • • • иЛП #11 #12 • • • #Ш
#22 • • • &2M
MM ^2M • • • ^NM В Ml Bm2 • • • BmM
получили характеристическое уравнение для нахожде-
нахождения критических чисел Рэлея. Степень уравнения равна К —
наименьшему из чисел N и М. Все корни характеристического
уравнения вещественны и положительны. Они дают приближен-
приближенные значения критических чисел Рэлея для К нижних уровней
спектра. Найдя критические R и определяя затем из системы
D.16) коэффициенты разложений, получим приближенно соот-
соответствующие критические движения. Разумеется, наиболее
точно определяется нижний уровень неустойчивости; с увеличе-
увеличением номера уровня погрешность, вообще говоря, возрастает.
Перейдем теперь ко второму варианту метода. В этом ва-
варианте, как и в предыдущем, скорость представляется в виде
линейной комбинации D.14). Эта аппроксимация подставляется
в уравнение теплопроводности D.2), которое затем решается
точно с надлежащими граничными условиями. Таким образом
находится распределение температуры, соответствующее приня-
принятой аппроксимации скорости.
Решение уравнения теплопроводности можно представить
в виде
T = alQi +а2в2+ ... +aNQN, D.19)
где а{ — те же коэффициенты, что и в D.14), а 0г-, в отличие
от первого варианта метода, не являются независимыми от щ
базисными функциями, а находятся из уравнения теплопровод-
теплопроводности
Де< = -М). D.20)
Подставляя D.14) и D.19) в D.1), умножая на иг- и инте-
интегрируя, получим алгебраическую систему
2 (Aik + RCik)ak = 0 (/=1, 2, ..., N). D.21)
k=\
Матричные элементы Aih и Cik определяются формулами D.17);
с помощью D.20) легко показать, что Cih = Сщ.

( 4] КРИТИЧЕСКИЕ ГРАДИЕНТЫ ТЕМПЕРАТУРЫ 3l
Условие разрешимости системы D.21) имеет вид
= 0. D.22)
Характеристическое уравнение D.22) представляет собой
уравнение N-и степени относительно R; его корни дают прибли-
приближение к N нижним уровням спектра.
Поскольку во втором варианте метода распределение темпе-
температуры не аппроксимируется, а находится путем точного реше-
решения уравнения теплопроводности, ясно, что при одной и той же
аппроксимации скорости второй вариант обеспечивает большую
по сравнению с первым вариантом точность.
Преимущество второго метода особенно отчетливо прояв-
проявляется в том случае, когда необходимо определить уровни
неустойчивости в полости, окруженной массивом конечной тепло-
теплопроводности. В этом случае трудно построить базис для пред-
представления возмущения температуры во всей области — в жидко-
жидкости и массиве. Второй метод при этом исключает всякий допол-
дополнительный произвол: функции 0* теперь следует искать во всей
области, сшивая решение уравнения D.20) с решением уравне-
уравнения теплопроводности в массиве Л6|т) = 0.
Эффективность метода может быть проиллюстрирована пу-
путем сравнения приближенного решения с точным на примере
тех немногих задач, для которых точное решение удается найти.
Так, в случае вертикального кругового цилиндра (см. §11) вто-
второе приближение метода (две базисные функции в аппрокси-
аппроксимации скорости) позволяет найти нижнее критическое число
Рэлея с точностью до долей процента во всем интервале изме-
изменения отношения теплопроводностей жидкости и массива. В слу-
случае же плоского горизонтального слоя еще более высокую точ-
точность дает первое приближение (см. § 7).
Как уже говорилось, успех метода во многом зависит от
выбора базиса. Поэтому в конкретных задачах при построении
базиса полезно в целях повышения точности учитывать допол-
дополнительные соображения, связанные с симметрией полости, доба-
добавочными граничными условиями, которые в ряде случаев могут
быть установлены с помощью уравнений, и пр.
Метод Бубнова — Галеркина может быть применен не толь-
только для определения критических чисел Рэлея и критических
движений, но и для решения полной задачи о характеристиче-
характеристических возмущениях (краевая задача C.5) —C.10)).

ГЛАВА II
ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
Систематическое исследование проблемы конвективной устой-
устойчивости было начато известными опытами Бенара f1»2], наблю-
наблюдавшего возникновение ячеистой конвекции в подогреваемом
снизу тонком слое спермацета. Спустя некоторое время Рэлей
[3] решил задачу об устойчивости равновесия слоя со свобод-
свободными границами, что послужило началом развития теории кон-
конвективной устойчивости. С тех пор горизонтальный слой жидко-
жидкости был и остается излюбленным объектом изучения конвектив-
конвективной устойчивости. Это связано, главным образом, с тем, что
область такой геометрии сравнительно легко реализуется в экс-
эксперименте и дает известные удобства в проведении тепловых и
оптических измерений. Плоский горизонтальный слой представ-
представляет также большой интерес в связи с приложениями теории
конвективной устойчивости в метеорологии, геофизике и астро-
астрофизике (см. об этом обзюры [32~34]).
Мы начинаем с рассмотрения спектра возмущений и устойчи-
устойчивости слоя со свободными плоскими изотермическими границами.
Хотя эти граничные условия, предложенные Рэлеем, являются
в известном смысле искусственными, они позволяют получить
простое точное решение спектральной краевой задачи, из кото-
которого отчетливо видны наиболее важные особенности проблемы.
Далее рассматривается физически более интересный случай
твердых границ. В последующих параграфах этой главы раз-
разбираются некоторые обобщения классической задачи Бенара—
Рэлея.
§ 5. Свободные границы (задача Рэлея)
Рассмотрим горизонтальный бесконечный слой жидкости,
ограниченный параллельными плоскостями z = 0 и z = А. Темпе-
Температура на границах слоя фиксирована, и в состоянии равновесия
градиент температуры в жидкости равен
где А = в/А, а 0 — разность температур между плоскостями.

§ 5] СВОБОДНЫЕ ГРАНИЦЫ (ЗАДАЧА РЭЛЕЯ) 33
Поведение малых возмущений равновесия описывается урав-
уравнениями C.3):
E.1)
4г F.2)
divi> = 0. E.3)
Единицы измерения всех величин указаны ранее (§ 3); за еди-
единицу расстояния выбрана толщина слоя А, входящая в качестве
характерной длины в число Рэлея R.
Из уравнений E.1) —E.3) можно исключить давление р и го-
горизонтальные компоненты скорости vx и vy. Для этого следует
к уравнению E.1) применить операцию rot rot и спроектировать
получившееся векторное уравнение на ось г. Тогда получим си-
систему двух уравнений для вертикальной компоненты скорости vz
и возмущения температуры Г:
-^^г = /±^г + Я^Т, E.4)
P-g—ДГ + о,. E.5)
Здесь Ai = д2/дх2 + д2/ду2 — плоский лапласиан.
Сформулируем теперь граничные условия. Следуя Рэлею [3],
будем считать, что границы слоя свободные; на этих границах
исчезают касательные напряжения. Эти границы предпола-
предполагаются, далее, плоскими, т. е. считается, что возникающие кон-
конвективные возмущения не приводят к искривлениям границы. Что
касается температуры, то, как уже указывалось, ее значения на
границах фиксированы, и, следовательно, возмущения темпера-
температуры на границах исчезают. Таким образом, получаем систему
граничных условий:
dvr dt)u
0 1 О ^ = 0, Г = 0. E.6)
Граничные условия для vx и vV9 вытекающие из требования
отсутствия касательных напряжений на границах, могут быть
с помощью уравнения непрерывности заменены условиями для
vz. Дифференцируя E.3) по г и пользуясь граничными усло-
условиями для скорости, найдем d2vz/dz2 = 0 при z=0; 1. Таким об-
образом, граничные условия к уравнениям E.4), E.5) для слоя со
свободными плоскими границами имеют вид:
приг = 0иг=*1 vz = 0y -^г = 0, Г = 0. E.7)
Поскольку коэффициенты уравнений E.4), E.5) и граничные
условия E.7) не зависят от времени и горизонтальных координат,
2 Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

34 плоский горизонтальный слой [t\rt. it
существуют частные решения, описывающие так называемые
«нормальные» возмущения, экспоненциально зависящие от вре-
времени и периодические в плоскости (х,у):
vz(x, у, г, f) = v{z)exp[—M + i(klx+ k2y)l
]. J
E*8)
Здесь К — декремент возмущений, k\ и k2— вещественные волно-
волновые числа, характеризующие периодичность возмущений вдоль
направлений х и г/, a v (г) и 0(г)—амплитуды возмущений. Под-
Подставляя E.8) в E.4), E.5), получим систему обыкновенных ли-
линейных однородных дифференциальных уравнений для ампли-
амплитуд:
- X (v" - k2v) = (t>IV - 2ft V + kAv) - R?29, E.9)
_ A,P9 = (e* - k2Q) + v. E.10)
Здесь штрих означает дифференцирование по г, и введено обо-
обозначение
Граничные условия вытекают из E.7):
при z = 0 и z = l t> = 0, t>" = 0, 0 = 0. E.11)
Нетривиальное решение задачи E.9) — E.11) существует
лишь при определенных значениях к, являющихся собственными
числами этой задачи; соответствующими собственными функ-
функциями являются амплитуды возмущений v (z) и 0(г). Таким об-
образом, краевая задача E.9) — E.11) определяет спектр характе-
характеристических возмущений равновесия.
Для граничных условий Рэлея E.11) решение задачи оказы-
оказывается элементарным. Собственные функции задачи имеют вид
простых гармоник
v = asinnnz, Q = bsir)rmz (n=l9 2, 3, ...). E.12)
Коэффициенты а и Ь находятся из однородной системы
= 0. J EЛЗ)
Число п определяет характерный масштаб возмущений по
вертикали и их четность. Значениям п = 1, 3, 5, ... соответ-
соответствуют собственные возмущения, у которых вертикальная со-
составляющая скорости и температура — четные функции относи-
относительно середины слоя z = 1/2\ при п = 2, 4, 6, ... получаются
соответственно нечетные возмущения.
Собственные числа К находятся из условия существования
нетривиального решения системы E.13). Приравнивая нулю оп-

§ 51 СВОБОДНЫЕ ГРАНИЦЫ (ЗАДАЧА РЭЛЕЯ) 35
ределитель этой системы, получим квадратное уравнение отно-
относительно X. Его корни дают значения декрементов в зависимо-
зависимости от параметров — чисел Рэлея и Прандтля и волнового
числа:
EЛ4>
Из этой формулы хорошо видны основные особенности
спектра декрементов. При R > 0 (подогрев снизу) выражение
под корнем всегда положительно, и, следовательно, определяе-
определяемые формулой значения X вещественны. Таким образом, в соот-
соответствии с общими результатами § 3, возмущения в слое, подо-
подогреваемом снизу, изменяются со временем монотонно. Из двух
корней, соответствующих данному п, один — Я„+) — всегда по-
положителен и растет с ростом R. Другой корень—Я^ — убы-
вает^с ростом R и при достаточно большом R становится от-
отрицательным, порождая неустойчивость.
При R < 0 (подогрев сверху) монотонность возмущений (ве-
(вещественность декрементов) имеет место лишь при малых R.
При увеличении |R| подкоренное выражение становится отри-
отрицательным, и формула E.14) дает в этом случае пару ком-
комплексно-сопряженных декрементов, соответствующих колеба-
колебательным возмущениям. Значение числа Рэлея R*, при котором
появляются комплексные корни, находится из условия обраще-
обращения в нуль подкоренного выражения
Таким образом, в случае подогрева сверху при R = R* воз-
возникают колебательные возмущения (в этой точке происходит
слияние вещественных ветвей Х<+) и Я<->). При |R|>|/?*| возму-
возмущения осциллируют. Частота колебаний равна мнимой части к
<о=±У -p73^bnw(R*-R) " E-16)
и растет по мере удаления от точки R* по корневому закону.
Из E.15) видно, что если коэффициенты кинематической вяз-
вязкости v и температуропроводности % равны (т. е. число Прандтля
Р равно единице; близкая ситуация имеет место во многих га-
газа*), то R* = 0, и следовательно, колебания при подогреве
сверху возникают при сколь угодно малой разности температур..
Вещественные части всех декрементов при R < 0, как можно
видеть из формулы E.14), положительны, т. е. при подогреве
сверху все возмущения затухают.

36
ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
[ГЛ. II
-г-ю
-г-ю*
-г-ю
Рис. 2. Декременты возмущений в слое со свободными
&2 й Пл
Нижние уровни
спектра декрементов
для фиксированной
значения волнового
числа и трех значений
числа Прандтля изо-
изображены на рис. 2. На
рисунках видны крити-
критические точки появления
неустойчивости при пе-
пересечении оси R ветвя-
ветвями №~\ а также точки
слияния ветвей Х(+) и
W"), в которых возни-
возникают колебания.
Полезная классифи-
классификация уровней спектра
получается из рассмот-
рассмотрения декрементов при
R = 0. Из системы
E.13) видно, что при
R = 0 и фиксирован-
фиксированном п возможны два
возмущения. Одно из
них соответствует ре-
решению а = 0, b Ф 0;
декремент этого возму-
возмущения будем обозна-
обозначать vn:
VfaV + A2)
Это — чисто тепловое
возмущение, не сопро-
сопровождающееся движени-
движением жидкости; его дек-
декремент пропорционален
1/Р, т. е. возрастает
вместе с температуро-
температуропроводностью жидко-
жидкости. Другое "возмуще-
"возмущение соответствует ре*
Ф 0 Ь 0
границами для k^2 и трех значений числа Прандтля: цтению CL Ф О Ъ Ф О С
рц д р рд
а) Р=7з; б) Р=1; в) Р«3. Сплошные линии соответ-
соответствуют гидродинамическим возмущениям, штрихо-
штрихоб
декрементом
22{ k2
\хп
вые — тепловым; штрихпунктирные линии изображают «2тт2 i A>2 С)тп оп-эмл/
вещественную часть пары комплексных декрементов, —'* и -Т ^ • ^*и оизму-

§ 5J СВОБОДНЫЕ ГРАНИЦЫ (ЗАДАЧА РЭЛЕЯ) 37
щение можно назвать гидродинамическим; скорость его затуха-
затухания определяется вязкостью1).
Хотя деление возмущений на тепловые и гидродинамические,
строго говоря, имеет смысл лишь при R = 0, можно сохранить
эту классификацию и в случае R Ф 0. Так, мы будем условно
называть возмущения тепловыми или гидродинамическими в за-
зависимости от того, в какое из двух значений (vn или \лп) пере-
переходит декремент Хп при R -> 0. Из общей формулы для декре-
декрементов E.14) следует, что гидродинамические возмущения при
Р < 1 соответствуют корню W~>, а при Р > 1 — корню А,<+>: Теп-
Тепловые возмущения, наоборот, соответствуют Х(+) при Р < 1 и Х^
при Р > 1.
Из сказанного вытекает, что неустойчивость при Р < 1 об-
обусловлена возмущениями гидродинамического типа, а при
Р > 1 — возмущениями теплового типа (при Р = 1 тип возму-
возмущения не выражен).
Критическое число Рэлея, при котором возникает неустойчи-
неустойчивость по отношению к возмущению с заданными п и k, опреде-
определяется из условия А,д"")==0. С помощью формулы E.14) нахо-
находим
R= <"'* + *>'. E.17)
Формула E.17) дает нейтральную кривую в плоскости (R,&),
разграничивающую области устойчивости и неустойчивости. При
любом п нейтральная кривая R(fe) имеет минимум. В области
коротковолновых возмущений (к » 1; длина волны возмущения
много меньше толщины слоя) критическое число Рэлея растет
с ростом k по закону R « k4. В противоположном предельном
случае k < 1 имеем R « ^рг-
При всех k наименьшее значение имеет число Рэлея для ос-
основной моды я=1. Возмущения более мелкой структуры по
вертикали (п > 1) соответствуют более высоким значениям
числа Рэлея.
Минимальное значение числа Рэлея Rm легко найти из
E.17):
Rm=^AZ4*4. E.18)
!) Напомним, что здесь речь идет о безразмерных декрементах. Если
возвратиться к размерной записи, то, учитывая, что в качестве единицы вре--
мени принята величина /i2/v, получим следующие выражения для размерных
декрементов v- и р,-возмущений:

38 ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ [ГЛ. I!
Оно достигается при значении волнового числа
Для основного возмущения (/г=1) имеем Rm = 657,511;
km =2,221. С увеличением /г критические числа быстро растут,
и минимум на нейтральных кривых смещается в сторону корот-
коротковолновых возмущений.
Возвратимся теперь к системе E.13) и найдем соотношение
между амплитудами скорости и температуры. Пользуясь E.14),
получим
^zl(«V + *»)±
k2
Отсюда видно, что при подогреве снизу (R > 0) вдоль ветвей
Я|Г) коэффициенты а и Ь имеют одинаковые знаки, и следова-
следовательно, произведение vQ положительно. Вдоль ветвей Я(п+)
знаки а и Ь различны, и vQ < 0. Произведение vQ есть, в сущ-
сущности, локальная плотность вертикального конвективного тепло-
теплового потока, обусловленного возмущениями. Поскольку равно-
равновесный (теплопроводный) поток тепла положителен, а неустой-
неустойчивость, как уже указывалось, связана с ветвями Х^\ ясно, что
неустойчивость порождается именно теми возмущениями, кото-
которые способны увеличивать вертикальный перенос тепла в слое.
Отметим важную особенность разобранной задачи. Она со-
состоит в том, что в амплитудную краевую задачу E.9) —E.11)
не входят отдельно волновые числа k\ и fe, определяющие пе-
риодизм возмущения вдоль горизонтальных осей х и у. Пара-
Параметром является квадрат модуля волнового вектора fe2 =
=fe?+&2. По этой причине декременты возмущений, критические
числа Рэлея и, в частности, минимальное число Rm также опре-
определяются параметром №\ соотношение же между kx и k2 оста-
остается произвольным. Таким образом, имеется вырождение: од-
одному и тому же критическому числу Рэлея соответствует бес-
бесконечное множество возмущений, для которых вертикальная
составляющая скорости, например, может быть (в веществен-
вещественной форме) записана так:
vz (*> У у z) = v (z) cos kxx • cos k2y (k\ + kl = k2). E.20)
Это решение описывает конвективные ячейки прямоугольной
формы со сторонами /1=-Д и /2 = -?. Из E.20), в частности,
получаются двумерные (плоские) движения в виде конвектив-
конвективных валов с осями, параллельными оси х (kx = 0, k2 = k) или

§ 6] ТВЁРДЫЕ ГРАНИЦЫ 39
оси у (k{ = fe, k2 = 0). При ki = k2 = 'Tr=" получается конвек-
конвективная ячейка квадратной формы.
Нормальные возмущения вида E.8) или E.20) представ-
представляют собой простейший вид периодических в горизонтальной
плоскости решений, допускающих разделение переменных в
уравнениях E.4), E.5). Для разделения переменных необхо-
необходимо выполнение условия Ai/==—k2fy где Ai — плоский лапла-
лапласиан, а / — скорость или температура. Этому условию удовле-
удовлетворяет широкий класс возмущений, частным случаем которых
являются прямоугольные ячейки E.20). Возможны структуры
и более сложного вида. Среди них наиболее интересны простран-
пространственные периодические структуры, при которых ячейки в виде
правильных многоугольников целиком заполняют слой. Кроме
уже названных квадратных ячеек, к ним относятся также треу-
треугольные и гексагональные структуры. Решение, описывающее
гексагональную ячейку, построено Кристоферсоном [4]. В этом
случае вертикальная компонента скорости имеет вид
vz(x, y,z) = v (z) [2 cos-^Lkx • cos jky + cos ky\ E.21)
(сторона шестиугольника / =_4я/ЗЛ, расстояние между цент-
центрами соседних ячеек ^ = 4я/}/3&). Ячейка треугольной формы
может быть получена из гексагональной. Более общие периоди-
периодические структуры обсуждались Бишопом [5].
Таким образом, линейная теория устойчивости позволяет
найти периодичность возникающих на границе устойчивости
движений (она определяется критическим волновым числом
km)9 но не позволяет определить их форму. Это обстоятельство
не связано с конкретным видом условий на границах слоя. Ре-
Решение проблемы отбора упорядоченных конвективных структур,
возникающих в результате неустойчивости, может быть полу-
получено лишь средствами нелинейной теории (см. об этом § 22).
§ 6. Твердые границы
Рассмотренная в предыдущем параграфе задача Рэлея об
устойчивости слоя со свободными границами имеет простое
точное решение, позволяющее понять характерные особенности
проблемы. С экспериментальной точки зрения, однако, значи-
значительно больший интерес представляет слой жидкости с двумя
твердыми границами, либо слой, одна из границ которого (ниж-
(нижняя) твердая, а другая (верхняя) — свободная.
В случае слоя с твердыми границами задача исследования
конвективной устойчивости сводится по-прежнему к решению

40 ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ (ГЛ. 11
системы уравнений E.9), E.10) для амплитуд возмущений
с другими, однако, граничными условиями.
На твердой границе исчезают все компоненты скорости:
vx = vy = vz = 0. С учетом уравнения непрерывности отсюда
следует, что на твердой границе —~- = 0. Переходя к амплиту-
амплитудам нормальных возмущений и считая по-прежнему, что воз-
возмущение температуры на границах обращается в нуль, полу-
получаем следующие граничные условия:
При 2 = 0 И 2=1 0 = 0' = 0, 9 = 0. F.1)
Эти граничные условия не позволяют найти решение в столь
элементарной форме, как в случае свободных границ. В част-
частности, не удается получить явную зависимость характеристиче-
характеристических декрементов К от параметров задачи. Нетрудно видеть,
однако, что общие свойства спектра декрементов, установлен-
установленные в § 3 применительно к замкнутой полости, остаются в силе
и для плоского слоя. Так, например, обращаясь к уравнениям
E.9), E.10) с граничными условиями F.1) и повторяя рассуж-
рассуждения § 3, придем ' к интегральному соотношению (аналог
C.13)) 1)
f (If'P-t k*lv?)dz + k2RP J|epdzl=O, F.2)
о о J
из которого видно, что при подогреве снизу (R > 0) декре-
декременты вещественны (возмущения меняются со временем моно-
монотонно), а при подогреве сверху (R < 0) возможны колебания.
Перейдем теперь к решению уравнений E.9), E.10) с гра-
граничными условиями F.1). Исключая неизвестную функцию 0,
получим уравнение шестого порядка для амплитуды v:
(ЯР + А) (Я + Д) До = - k2Rv, ' F.3)
где через Д обозначен оператор Д = d2/dz2 — k2.
Теперь необходимо поставить шесть граничных условий. К че-
четырем условиям для -0, содержащимся в F.1), добавим еще два,
вытекающих из граничных условий для 0 и уравнения E.9). Та*-
ким образом, на твердых границах имеем:
при 2 = 0 и 2=1 0 = 0' = (Я + Д)До = 0. F.4)
Ввиду симметрии уравнения F.3) и граничных условий
F.4) относительно середины слоя, ясно, что решения краевой
1) Это соотношение впервые было получено в работе Пеллью и Саут-
велла [6]. Оно справедливо также в случаях, когда обе границы свободные
или одна граница твердая, а другая — свободная.

§ 6] ТВЕРДЫЕ ГРАНИЦЫ 41
задачи обладают определенной четностью, т. е., как и в случае
слоя со свободными границами, возможны возмущения, четные
и нечетные относительно z = 1/2.
Четные решения можно искать в виде
--J-) + A3ohq3(z - у), F.5)
где <7г — корни характеристического уравнения
(ЯР + ф - k2) (l + q2- k2) (q2 -k2) = - k2R. F.6)
Граничные условия F.4) приводят к линейной однородной си-
системе уравнений для коэффициентов Ль Л2, А3. Условие суще-
существования нетривиального решения этой системы можно запи-
записать в виде
1 1 1
= 0.
F.7)
Нечетные решения можно записать так:
-|). F.8)
где q\ по-прежнему определяются из F.6), а условие существо-
существования нетривиального решения получается из F.7) заменой
th-^f- на cth^-.
Условия существования нетривиальных решений определяют
спектр характеристических декрементов для четных и нечетных
возмущений. Зависимость декрементов К от параметров G, Р,
k из этих трансцендентных соотношений может быть получена
численными методами. Расчет спектра декрементов на ЭВМ
был проведен в работе [7].
На рис. 3 изображены нижние уровни спектра по данным
работы [7]. Многие свойства спектра, отмеченные в предыдущем
параграфе, — вещественность в области R > 0, слияние веще-
вещественных ветвей с порождением колебательных возмущений при
R < 0, деление уровней на «гидродинамические» и «тепло-
«тепловые», — сохраняются и в случае слоя с твердыми границами1).
]) Тепловым уровням при R = 0 по-прежнему соответствуют декременты
\п = -р- (п2п2 + k2); декременты гидродинамических уровней при R = 0 опре-
определяются как собственные числа задачи ДДа = — цп^у с/@; 1)=а'@; 1) = 0

42
ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
[ГЛ. II
Детальная структура спектра, однако, оказывается более слож-
сложной. В частности, отсутствует вырождение тепловых и гидро-
гидродинамических уровней в точке R = 0 при Р = 1. Далее, в от-
отличие от слоя со свободными границами, теперь возможно
образование колебательных возмущений в результате слияния
вещественных уровней, соответствующих различным модам
(гидродинамические (х-уровни и тепловые v-уровни с разными
п; такие слияния отмечены в [7] для Р>1). Подчеркнем еще
одно существенное отли-
отличие: в случае слоя с твер-
твердыми границами при од-
-^ 100 - ^grt=rt=r^^^"" 2 ном и том же значении
параметра Р возможно
порождение неустойчиво-
неустойчивости как гидродинамиче-
гидродинамическими, так и тепловыми
.^.^ возмущениями. На рис.
t ~"^—^-.gy p 3 видно, например, что
^.щь ' J^ два нижних уровня не-
неустойчивости обусловле-
Лш? ны v-возмущениями, а
третий — и-возмущением.
Рис. 3. Декременты возмущений в слое с твер- г Уплинринр (& Ч\ г гпя
дыми границами для Р = 1 и /г=2. «Уравнение \v.O) С Гра-
ничными условиями F.4)
дает спектр характеристических возмущений при произвольных
R. Поскольку при подогреве снизу декременты X вещественны,
положив X = 0, мы получим краевую задачу для нейтральных
возмущений. Из амплитудных уравнений E.9), E.10) при
Я = 0 находим
- 2k2v"
- ?2R0 = 0,
F.9)
t> = o F.10)
с условиями на твердых границах
при 2 = 0 и z = l t> = t/ = O, 9 = 0. F.11)
Исключая 9 или непосредственно полагая Я=0 в F.3), F.4),
получим
tfv±-k2Rv\ F.12)
при z = 0 и 2=1 t> = t>' = A2t> = 0. F.13)
Собственными числами этой краевой задачи являются кри-
критические числа Рэлея R, а собственными функциями — ампли-
амплитуды критических возмущений. Полагая в F.6), F.7) Я = 0, по-
получим после преобразований трансцендентное уравнение, из ко-

§ 6] ТВЕРДЫЕ ГРАНИЦЫ 43
торого находятся критические числа Рэлея для четных возму-
возмущений:
F.14)
где теперь
Для нечетных возмущений имеем:
2iV 3 qx cth -&• _ C + i\f 3) <?2 cth -22- + C - *У 3) % cth -f - 0.
F.15)
Определение критических чисел из трансцендентных уравне-
уравнений F.14), F.15) требует громоздких вычислений, поэтому
в первых исследованиях устойчивости равновесия слоя с твер-
твердыми границами использовались приближенные методы реше-
решения краевой задачи для нейтральных возмущений. Впервые зна-
значения минимального критического числа Рэлея были найдены
Джефрисом с помощью метода конечных разностей [8], а затем,
более точно, — методом Фурье [9]. Исследование границы устой-
устойчивости на основе точных характеристических уравнений было
проведено Лоу [10] и особенно обстоятельно — в известной ра-
работе Пеллью и Саутвелла [6]!). В последней работе был также
предложен вариационный метод нахождения критических чи-
чисел Рэлея для плоского слоя. Дальнейшее развитие вариацион-
вариационный метод получил в работах Чандрасекара (см. [12]). Весьма
эффективным оказался также метод Галеркина (см. §§ 7 и 8).
Наиболее точное решение проблемы собственных значений
было получено с помощью машинной техники в работах Рейда
и Гарриса [13« и] и Каттона [15]. Найденные в работе [13] крити-
критические числа Рэлея в зависимости от волнового числа для ниж-
нижнего четного и нижнего нечетного уровней неустойчивости при-
приведены в табл. 1.
Минимальное критическое число Рэлея на основном уровне
неустойчивости,оказывается равным Rm= 1707,762 и достигается
при значении волнового числа &m=3,117. В работе [и] можно
найти также табулированные собственные функции — амплиту-
амплитуды критических возмущений.
Минимальные критические числа Рэлея Rm и соответствую-
соответствующие значения волнового числа km для нижних 10 уровней не-
неустойчивости, полученные в работе [1Б], представлены в табл. 2.
!) Ранние работы по теории конвективной устойчивости горизонтального
слоя собраны в книге Зальцмана [и].

44
ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
[ГЛ. П
Там же для сравнения приведены значения Rm и km для слоя
со свободными границами, вычисленные по формулам E.18),
E.19). Как видно, с возрастанием номера уровня различие
в критических числах уменьшается. Это и естественно: высо-
высоким уровням неустойчивости соответствуют мелкомасштабные
возмущения, а в этом случае, как известно, спектр краевой
задачи перестает зависеть от характера граничных условий.
Таблица 1
Критические числа Рэлея для двух нижних уровней
неустойчивости горизонтального слоя с твердыми границами
к
0,0
1,0
2,0
3,0
3,117
4.0
R
п - 1
оо
5854,48
2177,41
1711,28
1707,762
1879,26
/1 = 2
оо
163127,6
47005,6
26146,6
19684,6
к
50
5,365
6,0
7,0
8,0
оо
R
п = 1
2439,32
3417,98
4918,54
7084,51
оо
п -2
17731,5
17610,39
17933,0
1957f,S
22461,5
. оо
С увеличением п растет критическое волновое число kmy
т. е. уменьшается длина волны критического возмущения. Та-
Таким образом, при уменьшении линейного масштаба возмуще-
возмущений в направлении оси z соответственно уменьшается и харак-
характерный горизонтальный масштаб критических возмущений.
Таблица 2
Минимальные критические числа Рэлея горизонтального слоя
п
1
2
3
4
. 5
6
7
8
9
10
*) По-i
табличных
Твердые границы
km
3,116
5,36
7,58
9,80
12,02
14,24
16,46
18,69
21,00
23,24
видимому, в
*т
1707,762
17,6104-103
75,7098 • 103
219,885- 103
509,658 • 103
1202,51- 103*)
1843,58 - 103
3085,83 • 103
4870,12- 103
7334,78. 103
Свободные границы
km
2,221
4,44
6,66
8,89
11,11
13,33
15,55
17,77
19,99
22,21
*m
657,511
10,5202 • 103
53,2584- 103
168,323- 103
410,945-103
852,135-103
1578,68-103
2693,17- 103
4313,93-103
6575,11-103
вычисления вкралась ошибка. Из сопоставления
разностей видно, что значение Rm для п =
6 завышено.

§61
ТВЁРДЫЕ ГРАНИЦЫ
45
Обратимся теперь к горизонтальному слою жидкости с не-
несимметричными граничными условиями. Пусть одна из границ
(нижняя)—твердая, а другая (верхняя) — свободная. Этот
случай, как и разобранный выше, представляет значительный
интерес с точки зрения эксперимента: именно такие граничные
условия были осуществлены в первых опытах Бенара и в неко-
некоторых последующих экспериментах.
Для рассматриваемого случая имеем граничные условия:
при z = 0 v = v' = tfv=0\ 1
=1 v=v" = tfv=0. J ( ' '
при 2
Решение уравнения F.12) с этими граничными условиями
определяет критические числа Рэлея и возмущения.
Как было замечено в работе [6], нет необходимости решать
эту задачу отдельно: вся нужная информация может быть
получена из рассмотрения нечет- r
ного решения для случая обеих
твердых границ. В самом деле,
структура нечетных возмущений
в слое с симметричными гранич-
граничными условиями такова, что в
центре слоя обращаются в нуль
амплитуды возмущений верти-
вертикальной скорости и температуры,
а также касательное напряжение,
т. е. в центре слоя имеют место
как раз такие условия, какие
должны выполняться на свобод-
свободной поверхности. На нижней же
(твердой) границе сохраняются
условия F.13). Таким образом,
критические числа Рэлея для
слоя с одной твердой и одной
свободной границей можно по-
получить из критических чисел
нечетных возмущений для слоя с обеими твердыми гра*
ницами (таблица 1, п = 2). Необходимо только сделать
пересчет, связанный с тем, что в качестве единицы длины
выбрана полная толщина слоя жидкости. Для этого числа Рэ-
Рэлея из таблицы необходимо разделить на 16, а соответствующие
волновые числа — на 2. Минимальное критическое число Рэлея
в случае несимметричных граничных условий равно Rm~
= 1100,657 и достигается при критическом волновом числе
fem=2,682.
На рис. 4 для. сравнения приведены нейтральные кривые
нижних уровней неустойчивости для трех рассмотренных
\ \
\
\
V
V
V
-^
г/
/
'А
/ /
Рис. 4. Нейтральные кривые, / — обе
свободные границы, 2—твердая и сво-
свободная, 5 —обе твердые.

46 Плоский горизо^альный слой [ГЛ. il
случаев граничных условий. Повышение критических чисел
Рэлея при переходе от слоя со свободными границами к слою
с твердыми границами связано со стабилизирующим действием
вязких сил у твердой границы. Критические числа для коротко-
коротковолновых возмущений (&^> 1) перестают зависеть от характера
граничных условий, и потому нейтральные кривые при k -* оо
сближаются.
Экспериментальному изучению возникновения конвекции
в горизонтальном слое посвящено большое количество работ.
Первые опыты Бенара [1>2], в которых наблюдалось появление
ячеистой конвекции в тонких слоях вязких жидкостей (сперма-
(спермацет, парафин) со свободной верхней границей, не предназна-
предназначались для точного определения границы устойчивости. На сво-
свободной границе, как правило, трудно контролировать тепловые
граничные условия, что делает обстановку опыта не вполне
определенной. К тому же, как выяснилось позднее, в опытах
Бенара существенную роль играл термокапиллярный эффект
(см. §41).
Для поддержания условий, соответствующих плоский" изо-
изотермическим границам, необходимо проводить эксперименты со
слоями жидкости, находящимися между хорошо проводящими
(металлическими) пластинами. В этом случае, правда, затруд-
затрудняется визуальное наблюдение структуры возникающих дви-
движений, но зато значительно облегчаются тепловые измерения,
с помощью которых удается весьма четко фиксировать момент
появления неустойчивости. Идея такого метода определения
границы неустойчивости была предложена в работе Шмидта и
Мильвертона [16]. Она основана на том, что кризис равновесия
подогреваемого снизу слоя жидкости сопровождается кризисом
теплопередачи через слой. При возникновении неустойчивости
чисто теплопроводный режим переноса тепла нарушается, по-
появляется конвективная составляющая теплового потока, в ре-
результате чего зависимость теплового потока от разности темпе-
температур испытывает излом. Положение этого излома дает воз-
возможность с достаточной точностью определить критическую
разность температур и критическое яисло Рэлея.
Эта методика с успехом применялась в большом числе ис-
исследований. Особенно обстоятельные эксперименты с различ-
различными жидкостями были выполнены Сильвестоном [17]. Некото-
Некоторые из его результатов, относящиеся к области чисел Рэлея,
близких к критическому, воспроизведены на рис. 5. Хорошо
виден излом на графике зависимости безразмерного теплового
потока (числа Нуссельта N) от числа Рэлея. Критическое число
Рэлея по данным эксперимента оказывается равным R =
= 1700 ±51, что хорошо согласуется с теоретическим значе-
значением 1708 для твердых изотермических границ. Аналогичные

ТВЕРДЫЕ ГРАНИЦЫ
47
эксперименты проводились в ряде работ с другими жидкостями
и газами (см., например, поздние работы [18>19]). Их результаты
также находятся в хорошем согласии с теорией.
Для наблюдения структуры движения применяются различ-
различные варианты оптических методов. В этом случае верхняя гра-
граница слоя жидкости оставляется свободной или накрывается
пластиной из стекла или какого-либо другого прозрачного ма-
материала (при этом необходимо учитывать, что эта граница уже
1,5
¦ Силинонодое масло АН с
о Этиленгликоль
д Гептан
- о вода
*
о 0.Г
г
. 1
о
о
1,0-*г~*
0,9
по3
Рис. 5. Кризис теплового потока в горизонтальном слое ["].
Число Нуссельта N определено как отношение полного по-
потока тепла к потоку, обусловленному чистой теплопровод-
теплопроводностью.
не является строго изотермической, в результате чего устой-
устойчивость несколько понижается — см. об этом следующий па-
параграф). Для визуализации течения используются светорассеи-
вающие частицы, а распределение температуры может быть
прослежено с помощью шлир.ен-метода [16]. Примеры фотогра-
фотографий конвективных структур приведены на рис. 6 и 7. -
Укажем также на интересный эксперимент [20], в котором
определено начало конвекции жидкого слоя с обеими свобод-
свободными границами, т. е. для случая граничных условий Рэлея,
долгое время считавшихся нереализуемыми в лабораторных
условиях. Наблюдалась неустойчивость слоя силиконового мас-
масла, налитого на слой ртути и граничащего сверху со слоем
гелия. Поскольку вязкость силиконового масла гораздо больше
вязкости ртути и гелия, можно считать, что на обеих границах
слоя практически отсутствуют вязкие напряжения. Найденное
в эксперименте критическое число Рэлея хорошо согласуется
с теоретическим (с учетом конечной теплопроводности верх-
верхней границы слоя).
В заключение этого параграфа остановимся на вопросе о
влиянии температурной зависимости вязкости на конвективную

48
ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
[ГЛ. II
устойчивость горизонтального слоя.. Усложнение, связанное
с этим эффектом, состоит в более общем написании вязкой
Рис. 6. Фотографии из работы Сильвестона [I7J. Слой силиконового масла АК 350 толщи-
толщиной 7 мм. R= 1500— конвекция отсутствует; R= 1800 —видны конвективные ячейки.
Рис. 7. Гексагональные конвективные ячейки на свободной
поверхности силиконового масла (из* работы Кошмидера [2|]).
силы в уравнении движения. Вместо члена vAf в A.17) сле-
1 (dv, dv.\
дует написать—-Diva, где oik = t\ ^- +-^-^1— тензор вязких
р ^ axk oxi i
напряжений, причем коэффициент вязкости х\ является функ-

§ 6] ТВЕРДЫЕ ГРАНИЦЫ 49
цией температуры, а следовательно, и координат. В связи
с этим изменится уравнение A.17), которое теперь в проекции
на i-ю ось будет иметь вид
dv, dv. I dp d2v. dv (dvt dvh\
Условие равновесия B.7), очевидно, не меняется. При ли-
линеаризации уравнения F.17) около равновесного состояния
нужно учесть, что скорость имеет первый порядок малости, и
потому коэффициент кинематической вязкости v зависит лишь
от равновесной температуры, т. е. является известной функцией
вертикальной координаты. В работах Палма [22] и Йенсена [23]
эта функция аппроксимировалась следующим образом:
v = v0 A - y cos -f-) - vof (г), F.18)
где h — толщина слоя, vo — среднее значение вязкости, а у —
безразмерный параметр, характеризующий ее неоднородность;
у жидкостей y > 0 (вязкость убывает с температурой), а у га-
газов, вязкость которых с температурой растет, у < 0.
Уравнения для амплитуд малых нормальных возмущений
получаются обычным образом. После введения безразмерных
переменных вместо уравнения F.9) будем иметь
(vw - 2k2v" + k4v) + 2/' (v'" - k2v') + f" (v" + k2v) - ?2R9 = 0.
F.19)
Здесь штрихом обозначены производные по безразмерной вер-
вертикальной координате; число Рэлея определено по средней вяз-
вязкости vo. Уравнение F.9) получается из F.19) при f=l (по-
(постоянная вязкость). Второе амплитудное уравнение F.10) и
граничные условия остаются без изменений.
Для решения амплитудных уравнений в работах [22>23] при-
применялся метод Джефриса [9], основанный на разложении ам-
амплитуд v и 0 в ряды Фурье по вертикальной координате z
(именно этим и оправдывается выбор тригонометрической ап-
аппроксимации F.18)). Минимальное критическое число Рэлея Rw
и критическое волновое число km зависят от параметра неод-
неоднородности у- При малых у (слабая неоднородность) Rm и km
можно представить в виде разложений по степеням у. При
этом оказывается, что в симметричном случае (обе границы
свободные или обе твердые) эффект квадратичен:
Rm = R?> (I - af), km = k^{\- by"). F.20)

50 ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ - [ГЛ. II
Здесь R{m и fein — значения, соответствующие у=0, а коэффи-
коэффициенты а и Ь имеют значения:
а = 0,193; 6 = 0,024 (обе свободные границы);
а = 0,247; 6 = 0,049 (обе твердые границы).
Таким образом, независимо от знака у» критическое число
Рэлея при увеличении неоднородности вязкости убывает, а кри-
критическая длина волны растет.
В случае несимметричных условий (одна граница твердая,
а другая — свободная) эффект оказывается более заметным:
сдвиг критического числа Рэлея и критического волнового чис-
числа линейно зависит от у:
Rm = Rg?(l+0,362Y), *m = /40)(l+0,41Y), F.21)
и следовательно, может иметь место повышение или понижение
устойчивости в зависимости от знака температурного коэффи-
коэффициента вязкости.
Как показывают формулы F.20), F.21), влияние неодно-
неоднородности вязкости на границу конвективной устойчивости, в об-
общем, невелико. Однако температурная зависимость параметров
жидкости, в частности, вязкости, играет существенную роль
в определении формы надкритических движений (см. § 22).
§ 7. Границы произвольной теплопроводности
Разобранные в предыдущих параграфах задачи о равнове-
равновесии горизонтального слоя жидкости отличались граничными ус-
условиями для скорости. Граничные условия для температуры во
всех случаях были одинаковыми. Именно, предполагалось, что
температура на границах слоя фиксирована, и следовательно,
возмущения температуры исчезают. Эти условия, строго говоря,
соответствуют предельному случаю бесконечной теплопровод-
теплопроводности границ. В эксперименте близкие условия реализуются,
например, в случае слоя воды, ограниченного медными пласти-
пластинами. Отношение теплопроводностёй меди и воды весьма велико
(порядка 5-Ю2), и поэтому можно пренебречь проникновением
температурных возмущений в пластины.
Более общие граничные условия для температуры получают-
получаются в том случае, когда на границах слоя имеет место линейный
закон теплоотдачи Фурье (так называемое «условие третьего
рода»). Решение задачи об устойчивости с такими граничными
условиями проведено в работе Спэрроу, Голдстейна и Джон-
Джонсона [24], где амплитудные уравнения интегрировались методом
степенных рядов, и для некоторых частных случаев определены
критические числа Рэлея в зависимое™ от параметра теплоот-
теплоотдачи — числа Био.

§7)
ГРАНИЦЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
81
Другое обобщение граничных условий для температуры воз-
возникает при решении задачи об устойчивости равновесия жидко*
сти в горизонтальном слое, граничащем сверху и снизу с полу-
полубесконечными твердыми массивами, теплопроводность которых
отличается от теплопроводности жидкости. В этом случае тем-
температурные возмущения проникают в массивы, и при решении
задачи нужно исходить из условий непрерывности температуры
и теплового потока на границах слоя. В работе Харла, Джейк-
мана и Пайка [25] был рас-
рассмотрен симметричный слу-
случай массивов одинаковой
теплопроводности, отличной
от теплопроводности жидко-
жидкости. Мы рассмотрим далее,
следуя работе [2в], более об-
общий случай, когда тепло-
теплопроводности твердых масси-
массивов различны.
Пусть подогреваемый
снизу горизонтальный слой
жидкости ограничен плоско-
плоскостями z = 0 и z = 1 (тол-
(толщина слоя h принята за еди-
единицу расстояния). Снизу и сверху слой граничит с полубесконеч-
полубесконечными твердыми4 массивами, теплопроводности которых щ и хг
различны и отличаются от теплопроводности жидкости (рис. 8).
Легко показать (см. [26]), что в этом случае сохраняется
принцип монотонности возмущений, и поэтому для нахождения
границы устойчивости необходимо обратиться к краевой задаче
для амплитуд стационарных возмущений. К уравнениям воз-
возмущений в жидкости F.9), F.10)
Рис. 8. Слой жидкости, граничащий с тепло-
теплопроводными массивами.
viv _ 26 V + kAv =
е" - k2e = - v
G.1)
G.2)
следует добавить уравнения для возмущений температуры в мас-
массивах
Q'mi-k*Qmi = 0 A=1, 2) G.3)
(индексы 1 и 2 относятся соответственно к нижнему и верхнему
массивам).
Сформулируем теперь граничные условия. Обращение в нуль
скорости на твердых границах слоя дает по-прежнему условия
при
и z = l v = v' =
G.4)

& плоский горизонтальный слой (гл. и
Непрерывность температуры и теплового потока на границах
слоя приводит к условиям
при z = 0 9ml =9, 9^1= Й107;
при z = 1 е = ет2, й2е' = Эт2, '
где Й1 = х/и1 и К2 = х>/х>2 — отношения теплопроводности жидко-
сти к теплопроводностям массивов. Кроме того, возмущения
температуры в массивах вдали от слоя должны исчезать:
при z-^-oo eWI->0, |
при г->оо б/яг-*0. / .
Приближенное решение задачи будем искать при помощи
метода Бубнова — Галеркина. Имея в виду получить критиче-
критическое значение числа Рэлея для основного уровня неустойчи-
неустойчивости, примем для функции v(z) простейшую полиномиальную
аппроксимацию, четную относительно середины слоя и удовле-
удовлетворяющую граничным условиям G.4):
zJ G.7)
(амплитудный коэффициент а ввиду однородности задачи не
определяется; он может быть выбран из условия нормировки
и далее полагается равным единице).
Для нахождения температуры в соответствии со вторым ва-
вариантом метода (см. § 4) поступим следующим образом. Под-
Подставим распределение скорости G.7) в уравнение теплопровод-
теплопроводности G.2) и найдем общее решение этого уравнения
Q = Clshkz + C2chkz + -?tz2A-zJ +
+ -L-[6k2z(z-l) + (l2 + k2)]. G.8)
Решения уравнений теплопроводности в массивах G.3), убы-
убывающие по мере удаления от слоя жидкости, можно записать
в виде
ет1 = ЛеЧ Qm = Be~u*-4 G.9)
Формулы G.8), G.9) содержат четыре постоянные интегрирова-
интегрирования, которые находятся из граничных условий G.5). Приведем
коэффициенты С\ и С2, необходимые для вычисления критиче-
критического числа Рэлея:
г 2 A2 + k2) (ch k + х2 sh k — 1) + 12fe (щ chk + щк* sh k — щ)
L{~ k*[(\+ щк2) sh k + (x, + x2) ch k]
r 2 A2 + k2) (sh k + Щ ch k + Xi) + 12fex! (sh k + щ ch k + x2)
C2 Лв [A + xix2) sh Л + (xi + x2) ch Л1
G.10)

§7]
ГРАНИЦЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Подставляя аппроксимации скорости и температуры G.7) и
G.8) в уравнение G.1), умножая на v(z) и интегрируя по z
от 0 до 1, получим формулу для критического числа Рэлея:
GЛ1)
Здесь С! и С2 определены формулами G.10), a fi — функции
волнового числа k:
/, = k* (k* + 24k2 + 504), f2 = k* - 12?2 + 504,
/3 = A2 + k2) (ch k - 1) - 6k sh ft,
/4 = A2 + ft2) sh ft - 6? (ch k + 1).
G.12)
R
2000
Формула G.11) дает критическое число Рэлея основного
уровня неустойчивости в зависимо-
зависимости от трех параметров —волнового
числа ft и отношений теплопровод-
теплопроводности х\ и й2. Легко убедиться в
том, что критическое число R сим-
симметрично относительно щ и й2:
т. е., как и следовало ожидать, по-
порог устойчивости не меняется при
перестановке граничных массивов.
При фиксированных значениях
щ и й2 нейтральная кривая R(ft)
имеет минимум при ft = ftm. Соответ-
Соответствующее минимуму критическое
число Rm определяет границу устой-
устойчивости при данных щ и й2.
Выделим три наиболее интерес-
интересных частных случая.
1. Оба массива имеют одинако-
одинаковую теплопроводность, т. е. й1 =
= й2=й. Общую формулу G.11) для этого случая можно пе-
переписать в виде
500
Рис. 9. Нейтральные кривые для раз-
разных отношений теплопроводности.
(к + cth -j\ (k4 + 24k2 + 504) k*
+ cth $Л (kA - 12?2+504)
Uk ctg ~ \2-k2\
G.13)
Нейтральные кривые для нескольких значений й приведены на
рис. 9.

64
ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
[ГЛ. II
2. Один из массивов (например, первый) обладает беско-
бесконечной теплопроводностью, а теплопроводность другого — про-
произвольная. В общей формуле нужно в этом случае положить
#1=0, й2 = й.
3. Один из массивов (первый) — непроводящий, а другой
имеет произвольную теплопроводность: xi = oo, Й2 = к.
Во всех указанных случаях с увеличением й критическое
число Rm и соответствующее волновое число km монотонно
уменьшаются. Значения параметров Rm и к,щ приведены в табл. 3.
В общем случае массивов произвольной теплопроводности
критическое число Rm и критическое волновое число km зависят
от двух параметров Й1 и Й2. Изолинии постоянных значений Rm
и km на плоскости (йьЙ2) изображены на рис. 10.
Таблица 3
Критические значения F
й
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
- 0,9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
оо
lm и km горизонтального слоя
для различных теплопроводностей массивов
я,-я,
1708
1628
1562
1505
1457
1415
1379
1346
1317
1291
1269
1117
1038
989,2
955,3
930,3
911,0
895,5
882,8
872,2
816,9
720,0
-я
3,11
3,00
2,90
2,81
2,74
2,66
2,60
2,54
2,49
2,44
2,39
2,07
1,87
1,73
1,63
1,54
1,48
1,42
1,37
1,33
1,07
0,00
я.-о. я
Rm
1708
•1668
1636
1608
1585
1565
1547
1532
1518
1506
1496
1429
1396
1377
1365
1356
1349
1344
1340
1337
1321
1304
,-я
km
3,11
3,06
3,01
2,97
2,94
2,91
2,89
2,87
2,85
2,83
2,81
2,72
2,68
2,65
2,63
2,62
2,61
2,61
2,60
2,60
2,58
2,56
Я,-о, *2 = *
Rm
1304
1260
1222
1191
1163
1140
1118
1100
1083
1068
1054
964,8
917,4
887,6
866,8
851,4
839,5
829,9
822,0
815,4
780,9
720,0
2,56
2,46
2,38
2,31
2,25
2,19
2,14
2,09
2,04
2,00
1,97
,69
1,53
,41
1,32
,25
,19
,15
,11
,07
0,84
0,00
Из результатов расчета, приведенных на рис. 10 и в табл. 3,
видно, что учет конечной теплопроводности массивов приводит
к уменьшению критического числа Рэлея и критического вол-
волнового числа. Это обстоятельство может быть истолковано сле-
следующим образом: проникновение температурных возмущений

§7]
ГРАНИЦЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
55
р 300/
•
1000/^
two/
то/
то/Л
то/
\
\
ч
\
8L
/
<
—-—.
—
/
50
го
/о
5
/ 2
а)
50^100
в массивы увеличивает эффективные размеры области суще-
существования возмущений; относительно большая «свобода» раз-
развития возмущений и приводит к понижению устойчивости и
увеличению критической
длины волны.
Интересен предельный
случай Si-> оо, й2->оо,
соответствующий слою
жидкости, ограниченному
с обеих сторон идеально
теплопроводными масси-
массивами (например, слой
жидкого металла между
стеклянными пластина-
пластинами). В этом предельном
случае критическое число
Рэлея убывает до значе-
значения Rm = 720, а критиче-
критическое волновое число km
до нуля. Таким образом, /Щ< ,
по мере уменьшения от- ^^
носительной теплопровод-
теплопроводности массивов длина
волны критических возму-
возмущений неограниченно воз-
возрастает. При этом крити-
критическое движение оказыва-
оказывается почти горизонталь-
горизонтальным. Это представляется
естественным: при нали-
наличии нетеплопроводных
границ существование в
слое жидкости верти-
вертикальных движений и свя-
связанного с ними вертикаль-
вертикального конвективного пере~
носа тепла становится не
выгодным.
Изложенные результа-
результаты получены в первое /-
приближении метода Га-
леркина, содержавшем в
аппроксимации скорости
лишь одну базисную
функцию (формула G.7)). Точность результатов, однако, весьма
высока. Об этом можно судить, сравнивая полученные значения
0,2
OJ
Рис. 10. Изолинии критических значений: a) Rm, 6)km,

56
ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
[ГЛ. II
Rm с точными в тех частных случаях, для которых эти точные
значения известны. Так, для слоя с идеально теплопроводными
границами значение Rm = 1708 совпадает с точным значением
вплоть до четырех значащих цифр (см. § 6). Такую же точность
имеют значения Rm в симметричном случае двух одинаковых
массивов (для этого случая в работе [25], исходя из точного ха-
характеристического уравнения, были найдены значения Rm для
й = 0,5; 1; 2). Наибольшего расхождения можно было бы ожи-
ожидать в случае, когда асимметрия массивов максимальна (й\ = 0,
й2=оо), поскольку четная относительно середины слоя" аппро-
аппроксимация G.7) не отражает этой асимметрии. Однако и в этом
случае приближенное значение Rm = 1304 отличается от точного
Rm = 1296, найденного в работе [24], всего на 0,6%.
Приведем для справок критические значения Rw и km еще
для некоторых случаев граничных условий на ограничивающих
плоскостях (табл. 4).
Таблица 4
Критические значения Rm и km горизонтального слоя
для некоторых вариантов граничных условий
Нижняя граница
свободная
теплоизолированная
свободная
теплоизолированная
твердая
теплоизолированная
твердая
изотермическая
твердая
теплоизолированная
Верхняя граница
свободная
теплоизолированная
свободная
изотермическая
свободная
изотермическая
свободная
теплоизолированная
свободная
теплоизолированная
120
384,7
816,4
669,0
320
0
1,76
2,21
2,09
0
Автор
i2S]
[35]
I24]
п
В заключение заметим, что расчет устойчивости можно про-
провести и для случая, когда слой жидкости граничит не с полу-
полубесконечными массивами, а с теплопроводными пластинами
конечной толщины. При этом вместо G.6) следует поставить
условия на внешних границах пластин. Частный случай такого
расчета приведен в работе [27], где рассматривался слой жидко-
жидкости, ограниченный с одной стороны изотермической плоскостью,
а с другой — пластиной с внешней изотермической гра-
границей. С увеличением толщины пластины критическое число Рэ-
лея убывает, а критическая длина волны растет.

СЛОИ, СВЯЗАННЫЕ ТЕПЛОВЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
5?
V/////7///ZV//W/ZW^
Рис. 11. Параллельные слои,
§ 8. Параллельные слои,,
связанные тепловым взаимодействием [28]
В этом параграфе мы рассмотрим задачу о возникновении
конвекции в системе двух плоских бесконечных горизонтальных
слоев жидкости, разделенных твердой теплопроводной прослой-
прослойкой. Конечная теплопроводность прослойки обеспечивает тепло-
тепловое взаимодействие слоев
жидкости. Температурные
возмущения, возникшие в
одном из слоев, прони-
проникают в другой, и поэтому
эти слои образуют еди-
единую систему.
Будем предполагать,
что оба слоя жидкости
имеют одинаковую тол-
толщину h (рис. 11), а жид-
жидкости в обоих слоях оди-
одинаковы по своим физиче-
физическим параметрам. Предположим также, что теплопроводности
внешних массивов и твердой прослойки (толщина которой 2d)
одинаковы.
В состоянии равновесия внутри жидких слоев и массивов
температура меняется с высотой по линейному закону, но с раз-
разными градиентами. Из непрерывности вертикального потока
тепла следует связь между равновесными градиентами темпе-
температуры в жидкости А и массивах Ат:
кА = ктАт, (8.1)
где х и %т — теплопроводности жидкости и массивов.
Для амплитуд нормальных возмущений скорости и темпе-
температуры сохраняют силу уравнения G.1)— G.3), причем урав-
уравнения G.1) и G.2) следует записывать для каждого из слоев
жидкости, а уравнение теплопроводности G.3) — для верхнего
и нижнего внешних массивов и для разделяющей слои твердой
прослойки.
На границах жидких слоев с массивами и прослойкой ско-
скорость жидкости равна нулю и имеет место непрерывность тем-
температуры и тепловых потоков. Таким образом, имеем гранич-
граничные условия:
при
и 2 =
= v' = o, e = e
е/ = е^, (8.2)
где Zi и z2 — внутренняя и внешняя границы слоев. В качестве
единицы длины выбирается толщина слоя жидкости h\ поэтому
для верхнего слоя, например, z2 = z\ + l. Число Рэлея R,

: 58 ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ . [ГЛ. 11
входящее в уравнения возмущений, определено, таким образом,
через равновесный градиент температуры в слое жидкости А и
толщину слоя h.
, К условиям на границах разделов (8.2) должно быть доба-
добавлено условие затухания температурных возмущений во внеш-
внешних массивах вдали от слоев:
при z -> ± оо 9т -»0. (8.3)
Основному уровню неустойчивости, очевидно, соответствует
четное по z возмущение вертикальной скорости и температуры.
Поэтому при рассмотрении основного, уровня неустойчивости
достаточно ограничиться решением задачи в области z > 0,
считая возмущение температуры в твердой прослойке четной
функцией z.
Для решения задачи, как и в предыдущем параграфе, ап-
аппроксимируем скорость в верхнем слое полиномом
v = {z-zxJ{z-z2J (8.4)
(масштабный множитель принят равным единице).
Решение уравнения теплопроводности G.3) для внешнего
массива (z^z2), удовлетворяющее условию (8.3), имеет вид
ет2 = Л2е-Ч (8.5)
Четное решение уравнения G.3) для прослойки @^z<:zi)
запишем в виде
вт1 = Л,сЬ?2. (8.6)
Общее решение уравнения теплопроводности в слое жидкости
с принятой аппроксимацией скорости (8.4):
6 = С! <kku + C2sh ku + -gr [kAu2(l — иJ + 2k2Fu2 — 6и+1)+24].
(8.7)
Здесь обозначено u=z — Z\. Постоянные интегрирования A\t A%
Ci и Сг находятся из условий непрерывности температуры и
теплового потока на внутренней г=г\ и внешней z=z\ + 1
границах слоя жидкости.
Критическое число Рэлея, как и в предыдущем параграфе,
находится из интегрального условия метода Галеркина. После
вычислений получим
р _ (Si + Kg2) th kZX + Hg2 + %2gl /n m
* th kzx + *g4 + x2g5 # K }

СЛОИ, СВЯЗАННЫЕ ТЕПЛОВЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
59
Здесь gi — функции волнового числа ft:
g! = E04 +24ft2 + ft4) ft9,
g2 = E04 + 24ft2 + kA) ft9 cth ft,
g3 = E04 - 12ft2 + ft4) ft5 + 5040A2 + ft2) [6ft - A2 + ft2)th|],
gA = E04 - 12ft2 + ft4) ft5 cth ft + 2520 [ 12ft A2 -p ft2) csch ft -
-A44—12ft2 + ft4)],
g5 = E04 - 12ft2 + ft4) ft5 + 30240ft [6ftcth-| — A2 + ft2)].
Критическое число Рэлея, определяемое формулой (8.8), за-
зависит от трех параметров: волнового числа ft, отношения тепло-
проводностей жидкости и массивов р
к и геометрического параметра Zi
(полутолщина твердой прослойки в
единицах толщины слоя жидкости).
Прежде всего, из общей форму-
формулы (8.8) можно получить предель-
предельный случай, соответствующий оди-
одиночному горизонтальному слою жид-
жидкости, ограниченному сверху и сни-
снизу массивами одинаковой теплопро-
теплопроводности. Для этого в (8.8) нужно
произвести предельный переход
Zi-^oo. При увеличении толщины
твердой прослойки тепловое взаимо-
взаимодействие слоев жидкости ослабе-
ослабевает, и при бесконечном разведении
слои становятся независимыми.
Легко убедиться, что при Zi-^oo
формула (8.8) переходит в формулу Рис 12 Минимальное критичесКое
Предыдущего Параграфа G.13),ДаЮ- число Рэлея в зависимости от тол-
ц '-— Ш.Й Н Ы ПDOC7TOиКР! 1р НfiITT НИ(* МЯРРИRЫ
TTf т т Т/Л JT Т\ ? Л1*?Т IX ?\f* \7 /\ ?\ IT ? Л Л* ТТ/Ч ТЗ UTTAfl TTTTfl f *1 \ ^ *« О ^ ^ И О ЬН
щую кри! и Четкое число JrdJixzn дли конечной теплопроводности).
одиночного слоя.
При произвольных фиксированных значениях параметров z\
и й формула (8.8) дает зависимость R(ft) —нейтральную кри-
кривую устойчивости. Для всех Z\ и й получаются кривые с мини-
минимумом при некотором критическом волновом числе ftm.
Зависимость минимального критического числа Рэлея Rw от
Z\ для нескольких значений параметра й приведена на рис. 12.
Все семейство кривых располагается между горизонтальными
линиями Rm = 1708 и Rm = 720, соответствующими предель-
предельным случаям массива бесконечной теплопроводности (й = 0)
и нетеплопроводного массива (й = оо). В каждом из этих
1UUU
то
woo
№
^ ———
х-0
о,г
1708
720
0,5
1,0

60
ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
[ГЛ. II
предельных случаев минимальное критическое число Рэлея, есте-
естественно, не зависит от толщины прослойки. Для промежуточных
значений й критические числа Рэлея возрастают с увеличением
2Ь стремясь при Z\ —> оо к предельным значениям, зависящим
от й (критические числа Рэлея для одиночного слоя).
Итак, по мере увеличения расстояния между слоями
(с ослаблением тепловой связи), устойчивость равновесия повы-
повышается. Следует отметить, что с увеличением zx тепловое взаи-
взаимодействие слоев спадает весьма быстро, и критические числа
Rm достигают предельных значении, соответствующих невзаимо-
невзаимодействующим слоям жидкости, практически уже при Z\ > 0,5.
Таким образом, при толщине прослойки, равной толщине слоя
жидкости, тепловое взаимодействие слоев становится несуще-
несущественным.
С увеличением Z\ критическое волновое число km при дан-
данном й весьма медленно растет (горизонтальный размер ячейки
уменьшается). Так, для й=1 при увеличении Z\ от 0 до оо
волновое число km растет от
2,0 до 2,4.
Приведем также результаты,
относящиеся к случаю двух па-
параллельных слоев, разделен-
разделенных прослойкой произвольной
теплопроводности, а сверху и
снизу ограниченных идеально
теплопроводными плоскостями..
В этом случае на внешних
границах слоев жидкости воз-
возмущения температуры исчеза-
исчезают, а на границах слоев и про-
прослойки сохраняются условия
непрерывности температуры и
теплового потока. Вычисления дают в этом случае формулу
для критического числа Рэлея:
~ g, th kzx + %g2
О
Рис. 13. Минимальное критическое число
Рэлея в зависимости от толщины прослойки
(идеально теплопроводные внешние мас-
массивы).
th kzx
(8.9)
В этой формуле й — отношение теплопроводностей жидкости и
прослойки, a gi — определенные выше функции волнового чис-
числа k.
На рис. 13 изображена зависимость минимального критиче-
критического числа Rm от z\ для различных значений й. Как и в рас-
рассмотренном выше случае, наличие теплового взаимодействия
слоев приводит к понижению конвективной устойчивости си-
системы. Все кривые семейства при Zi = 0 выходят из одной точки
(при нулезой толщине прослойки ее теплопроводность несу-.

§ 9] ДЕФОРМИРУЕМАЯ СВОБОДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ 61
щественна). Предельные значения Rm при Z\ —> оо соответствуют
одиночному слою, ограниченному с одной стороны идеально
теплопроводной плоскостью, а с другой — массивом произволь-
произвольной теплопроводности (см. табл. 3 в предыдущем параграфе).
¦ § 9. Деформируемая свободная поверхность
При решении задачи о конвективной устойчивости горизон-
горизонтального слоя Рэлей предложил считать границы слоя плоски-
плоскими и свободными. Получающиеся при этом граничные условия
для скорости E.11) позволяют получить простое точное реше-
решение задачи. Эти граничные условия, однако, являются в извест-
известной степени искусственными. В действительности свободная по-
поверхность под действием возмущений деформируется. Поэтому
следует, строготоворя, учитывать, что возникновение конвек-
конвективных возмущений в жидкости приводит к искривлению сво-
свободной поверхности и появлению на ней гравитационно-капил-
гравитационно-капиллярных волн. Влияние деформаций свободной поверхности на
конвективную устойчивость горизонтального слоя жидкости
изучалось в работах В. X. Изаксона и В. И. Юдовича р9»30];
Следуя [29'30], рассмотрим горизонтальный слой со свобод-
свободной верхней поверхностью, ограниченный снизу твердой изо-
изотермической плоскостью. Общие уравнения возмущений, а так-
также амплитудные уравнения E.9), E.10) остаются в силе. На
нижней твердой изотермической границе обращаются в нуль все
компоненты скорости и возмущение температуры, что дает гра-
граничные условия:
при z = 0 v = v' = 0, 0 = 0. (9.1)
Сформулируем теперь условия на верхней свободной поверх-
поверхности. При составлении граничных условий для скорости бу-
будем исходить из общего соотношения, выражающего баланс
сил на границе раздела двух жидкостей [31]:
[р..) - р<2) _ „ (_»_ + _>_)] П{ = К, _ аB)) Пк. (9.2)
Здесь индексы 1 и 2 относятся к первой и второй средам; о^ —
тензор вязких напряжений, р — давление, R\ и /?2 — радиусы
кривизны поверхности раздела, а — коэффициент поверхност-
поверхностного натяжения *), п — единичный вектор по нормали к границе,
направленный внутрь первой среды. Будем считать слой жидко-
жидкости первой средой (индекс 1). Над жидкостью находится газ,
*) При написании условия (9.2) коэффициент поверхностного натяжение
предполагается не изменяющимся вдоль поверхности. По этой причине в пра-
правой части отсутствует член, пропорциональный градиенту а. Непостоянство а
вдоль границы приводит к новым эффектам, которые обсуждаются в § 41.

62 ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ [ГЛ. II
^плотность которого мала, и поэтому можно положить
fy|)=0 и р2 = 0 (постоянное давление над поверхностью при-
принято за начало отсчета).
При малых искривлениях поверхности капиллярное давле-
давление можно записать в виде
где ?(х, у, t)—вертикальное смещение поверхности из равно-
равновесного горизонтального положения. Давление в жидкости пред-
представим в виде
/Л (9.4)
где —pog? — гидростатическая часть, связанная с искривлением
поверхности, ар' — динамическая часть, обусловленная кон-
конвективным движением. Подставляя в (9.2) выражение для тен-
тензора ojy, а также (9.3) и (9.4), получим
(- РоЙ + Р' + oAiE) пй = л (^ + -J^) пк (9.5)
(здесь Ai — плоский оператор Лапласа в переменных х9 у).
С точностью до линейных по возмущениям членов условие (9.5)
можно записать не на искривленной, а на горизонтальной по-
поверхности г=Л (h — равновесная толщина слоя жидкости).
Проектируя на оси, будем иметь: •
¦ dvx dvu
при z = h -JL^-^f^O, (9.6)
- РоЙ + Р' + oAiS = 2т) ^ • (9.7)
К этим условиям следует добавить кинематическое соотно-
соотношение
Условия (9.6) с помощью уравнения непрерывности дают
при z = h 4& = 0. (9.9)
Исключим из граничных условий давление. Из уравнения
C.1) нетрудно получить

§ 9] ДЕФОРМИРУЕМАЯ СВОБОДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ 63
Применяя оператор Аг к (9.7) и подставляя (9.10), найдем
условие, связывающее вертикальную компоненту скорости с воз-
возмущением границы:
при z = h (Ро^-~т1Л-2лЛ1)-^ = (ро^аЛ1)А^ (9.11)
Составим теперь граничное условие для температуры. Будем
при этом считать, что деформированная поверхность поддержи-
поддерживается при постоянной температуре. Поэтому возмущение тем-
температуры на свободной поверхности исчезает. В первом порядке
по ? отсюда следует
где дТо/д,г = — А — невозмущенный (равновесный), градиент.
Таким образом,
при z = h Т = АЪ. (9.12)
Это условие позволяет исключить функцию ? из (9.8) и
(9.11) и получить граничные условия для vz и Т. Переходя
к безразмерной форме и вводя нормальные возмущения, запи-
запишем окончательно граничные условия для амплитуд на свобод-
свободной поверхности:
при z=l v = — ЯР0, и"=0, |
j (9ЛЗ)
Кроме числа Прандтля Р, эти условия, содержат еще два
безразмерных параметра: W==-^|— (аналог числа Вебера для
свободных колебаний поверхности; очевидно, W есть квадрат
отношения толщины слоя к капиллярному радиусу) и гравита-
гравитационный параметр |i=v%/g7i3.
Амплитудные уравнения E.9), E.10) вместе с граничными
условиями (9.1) и (9.13) образуют спектральную задачу, опре-
определяющую характеристические возмущения и их декременты К.
Из (9.13) видно, что граничные условия Рэлея, соответствую-
соответствующие свободной плоской поверхности, получаются как предель-
предельный случай при стремлении к нулю одного из параметров: W
или \х. Предельный переход W-+0 соответствует бесконечно
большому поверхностному натяжению, при котором искривле-
искривления свободной поверхности невозможны. Случай jx —> 0 озна-
означает, что толщина слоя очень велика, и потому влияние де-
деформаций поверхности пренебрежимо мало.
Входящий в динамическое условие (9.13) параметр &2/W
определяет природу поверхностных возмущений. Если &2/W^;l,
то деформации имеют гравитационную природу (гравитационные

ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
(ГЛ. II
волны на свободной поверхности тяжелой жидкости); случай
k2/W 3> 1 соответствует капиллярным волнам.
Физически очевидно, что благодаря наличию на свободной
поверхности «возвращающей силы» гравитационно-капиллярной
природы, в спектре возмущений горизонтального слоя имеются
колебательные ветви. Принцип монотонности возмущений в слу-
случае деформируемой границы заведомо не имеет места. Остается,
R
3000
2000
W00
\
\
от
\
\
\
к"
1ППС
/I'UJJUit
у*"
\
— —
0
Ч
S,
— ¦
шятттт
"я
1Ш
т
Ив 1J6
1
\
\
\
—
Рис. 14. Нейтральные кривые при
отсутствии поверхностного натяже-
натяжения Iм].
Рис. 15. Критическое число Rm
в зависимости от параметра |Л [a9J.
однако, открытым вопрос о том, могут ли осциллирующие воз-
возмущения приводить к неустойчивости. Далее речь будет идти
лишь о неустойчивости относительно монотонных возмущений,
которым соответствуют вещественные декременты %. В этом слу-
случае нейтральные возмущения сопровождаются образованием
стационарного волнового рельефа на свободной поверхности.
Полагая Я.=0, получим следующую краевую задачу для ней-
нейтральных возмущений !):
0" — k2Q=-v\
при z = 0 ^ = ^'=
при 2=1 у = у// =
0=0;
(9.14)
!) Подчеркнем, что речь идет о таких условиях, когда возмущение тем-
температуры на свободной поверхности отсутствует. Это соответствует предель-
предельному случаю большой теплоотдачи со свободной поверхности. Легко пока-
показать, что в противоположном предельном случае теплоизолированной поверх-
поверхности ее деформация не влияет на устойчивость относительно монотонных
возмущений.

«91
ДЕФОРМИРУЕМАЯ СВОБОДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Из этой краевой задачи определяются критические значения
числа Рэлея, зависящие от волнового числа k и параметров W
и |г, учитывающих влияние деформации поверхности. В работах
[29>30] критические числа R в зависимости от параметров най*
дены численно, исходя из точного характеристического соот*
ношения, соответствующего краевой задаче (9.14).
Как и следует ожидать, деформируемость свободной поверх*
ности приводит к понижению устойчивости. Эффект максима-
максимален в случае, когда поверхностное натяжение отсутствует
(W-*oo). Определяющим параметром в этом случае являет*
ся |г. Нейтральные кривые и минимальное значение Rm приве-
дены на рис. 14 и 15. При jjt=O получается известный случай
слоя с твердой нижней и плоской
свободной границами. Увеличение
\х приводит к монотонному пони-
понижению критических чисел Рэлея,
причем ось R не является более
асимптотой нейтральных кривых.
Точка k = О является экстремаль-
экстремальной; значение R при k = О дается
формулой
:=w- (9-15)
1500
1000
/
и «-
Щ.оо
к-
Рис. 16. Нейтральные кривые при ко-
конечном поверхностном натяжении.
р,в0,01 [8о].
Наличие конечного поверхно-
поверхностного натяжения приводит к
стабилизации (по сравнению со
случаем W-^oo): при фиксиро-
фиксированном \х с уменьшением W кри-
критические числа растут, оставаясь,
однако, меньшими, чем в случае недеформируемой границы.
Значение R при k = 0 не зависит от W (это видно из того, что
при & = 0 параметр W из краевой задачи (9.14) выпадает) и
определяется по-прежнему формулой (9.15).
Интересна форма нейтральных кривых (рис. 16). При ма-
малых W они имеют два минимума. Один из них находится
в районе минимальной точки в случае плоской (недеформируе-
(недеформируемой) поверхности, т.е. вблизи km=2J и Rm=1100 (§ 6). Дру-
Другой минимум достигается при &=0. При достаточно больших
\i абсолютному минимуму соответствуют длинноволновые воз-
возмущения с km=0.
Таким образом, деформируемость свободной поверхности мо-
может оказать влияние на границу устойчивости лишь при до-
достаточно больших (я. Если параметр \х мал, то независимо от
величины поверхностного натяжения нейтральная кривая прак-
практически не отличается от кривой, соответствующей случаю
3 Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

66 Млоский горизонтальный слой * ttvt ii
плоской поверхности. Так, для слоя воды толщиной в 1 см
и эффект отсутствует. Он может оказаться заметным лишь в
очень тонких слоях вязких жидкостей, во всяком случае, при
условии
-щГ<1100, т.е. jx> Ю-3.
Это условие выполнено, например, в слое глицерина толщиной
1 мм.
В этом случае
jx = 7-10 и Rm = 500 при km = 0,
следовательно, учет деформируемости свободной поверхности
приводит к двукратному понижению устойчивости.

ГЛАВА III
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
После работ Бёнара и Рэлея в течение длительного времени
изучалась теоретически и экспериментально лишь конвективная
неустойчивость плоского горизонтального слоя жидкости.
В 1946 г. работами Г. А. Остроумова было положено начало
систематическому исследованию явлений конвективной неустой-
неустойчивости в полостях других форм. Наиболее обстоятельно иссле-
исследованы конвективные явления, и, в частности, условия возник-
возникновения конвекции в вертикальных круговых каналах J1»2]. От-
Относящийся к этому вопросу обширный экспериментальный и
теоретический материал содержится в монографии Г. А. Остро-
Остроумова [3].
В последующие годы была исследована конвективная устой-
устойчивость в вертикальных каналах других сечений — в плоском
вертикальном слое, в каналах эллиптического, кольцевого и
прямоугольного сечения, а также в системе двух параллельных
связанных каналов.
В этой главе будут разобраны основные задачи теории кон-
конвективной устойчивости в длинных вертикальных каналах.
Основное внимание уделяется наиболее интересному случаю не-
неустойчивости по отношению к возмущениям, не зависящим от
вертикальной координаты (течения, параллельные оси канала).
В двух последних параграфах рассматриваются периодические
вдоль оси канала возмущения (ячеистые движения).
§ 10. Основные уравнения
Рассмотрим жидкость, заполняющую бесконечный верти-
вертикальный цилиндрический канал произвольного сечения, окру-
окруженный однородным теплопроводным массивом (рис. 17). Если
жидкость и массив подогреваются снизу, то при условии по-
постоянства и вертикальности градиента температуры в жидко-
жидкости А возможно равновесие:
vo = O, То = —Аг + const. A0.1)
Равновесная температура в массиве удовлетворяет уравне-
уравнению Лапласа B.9). Из условий непрерывности температуры
на границе канала и отсутствия (в равновесии) нормального

68
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
[ГЛ. III
к стенкам теплового потока следует, что температура в массиве
также является линейной функцией вертикальной координаты,
причем равновесные градиенты температуры в массиве и жидко-
жидкости совпадают (см. § 2).
Малые возмущения равновесия удовлетворяют общим урав-
уравнениям C.5) — C.8). Обсужденный в § 3 принцип монотонности
возмущений для замкнутой полости эле-
элементарно распространяется и на беско-
бесконечный канал. Поэтому критические дви-
движения удовлетворяют стационарным
уравнениям:
Дг> -f R^Y = V/7, div v = 0,
M = -v,, 4Г.-0. ) A02)
Рассмотрим критические движения,
цараллельные оси канала, и будем счи-
считать, что возмущение температуры не за-
зависит от координаты z\
vz = v(x,y);
Рис. 17. Вертикальный канал.
Оси координат.
— T(xttf)t
Проектируя уравнение движения на оси хну, находим р =
= p(z); проекция на ось z тогда дает
Ay + R7"=lr!
с,
A0.4)
где Д = д2/дх2 + д2/ду2 — плоский лапласиан, а С —постоянная
разделения переменных, определяющая продольный градиент
давления.
Таким образом, получаем систему уравнений для критиче-
критических движений:
Aa + Rr = C, (Ю.5)
дг + о = 0, A0.6)
ДГт = 0. A0.7)
На границе Г горизонтального сечения канала скорость об-
обращается в нуль, и выполняются условия непрерывности тем-
температуры и нормального теплового потока
дТт
дп
A0.80

§ 101 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 69
В массиве вдали от канала возмущение температуры исчезает:
Гтоо-0. A0.8")
Будем считать канал замкнутым. Это означает, что расход
жидкости через любое сечение равен нулю:
dS = O. A0.9)
Уравнения A0.5)—-A0,7) вместе с граничными условиями
A0.8) и условием замкнутости A0.9) позволяют найти неиз-
неизвестные величины, в число которых, наряду с v, Т и 7W, входиг
также постоянный градиент давления С. Однородная краевая
задача A0.5) — A0.9) определяет спектр критических -чисел Рэ-
лея R и стационарных критических движений. Наибольший ин-
интерес представляет, естественно, нижний критический уровень,
соответствующий возникновению конвекции.
Постоянство вертикального градиента давления дает воз-
возможность путем изменения начала отсчета температуры осво-.
бодиться от постоянной С в уравнении A0.5), Для-этого необ-
необходимо ввести новую температуру, равную Т — C/R. Разумеется,
новая температура в массиве вдали от канала будет стремиться
не к нулю, а к постоянному значению —C/R, соответствующему
новому началу отсчета. В дальнейшем мы йезде будем пола-
полагать в уравнении A0.5) правую часть равной нулю, заменяя
при этом A0.8") новым условием Tmoo = const,, причем эта по-
постоянная должна быть найдена из решения краевой задачи.
Как будет видно из дальнейшего, в широком классе критиче-
критических движений условие замкнутости A0.9) в силу свойств
симметрии потока выполняется автоматически и при этом про-
продольный градиент давления оказывается равным нулю.
Следует обратить внимание на важное обстоятельство, спе-
специфическое для достаточно длинных вертикальных каналов.
Именно, решение задачи A0.5) — A0.9) для стационарных воз-
возмущений является в то же время и решением полной нелиней-
нелинейной задачи о стационарной конвекции в вертикальном канале
с граничными условиями A0.8), A0.9) при условии, что ско-
скорость параллельна оси канала. В самом деле, если выполнены
условия A0.3), то нелинейные члены в уравнениях Навье —
Стокса и теплопроводности (vV)v и vS/T тождественно обра-
обращаются в нуль, и задача сводится к линейной, совпадающей
с A0.5) —A0.9).
Более того, можно показать (это было сделано в работе
Г. А. Бугаенко [4]), что предположения A0.3) не являются не-
независимыми: .из предположения о вертикальности скорости

70 ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ [ГЛ. III
следует, что полная температура G линейно зависит от верти-
вертикальной коордицаты, т. е. имеет вид
©(*> У у z) = — Az + T(x, у)\ А = const. A0.10)
Для доказательства запишем полные нелинейные уравнения
стационарной конвекции (в размерном виде):
i A0.11)
A0.12)
Полагая в этих уравнениях vx = vy = 0, из уравнения непре-
непрерывности сразу найдем vz = v(x,y) и потому (uV)i> = 0. Про-
Проектируя A0.11) на оси х и у, найдем 7==::~^' = 0, т. е. /7 =
5= p(z). Проекция на ось z дает:
Отсюда следует, что
6(*,у, *)-/(*) +<р(*. у). A0.13)
Подставляя A0.13) в уравнение теплопроводности, получим по-
после дифференцирования по г
v{x,y)-f"(z) = %f'"(z). A0.14)
Поскольку v (jc, у) Ф const, это соотношение может выполняться
лишь при f"(z) = 0, т. е. если температура линейно меняется с
высотой.
Итак, если происходит стационарное конвективное движе-
движение в бесконечнрм вертикальном канале со скоростями, парал-
параллельными оси, то распределение температуры имеет вид A0.10),
где первое слагаемое —Az дает равновесное распределение,
а Т(х,у) представляет собой искажение равновесного поля тем-
температуры, обусловленное конвекцией. Конвективное искажение
температуры Т(х,у), как и скорость конвекции v(x,у), вообще
говоря, не малы и определяются той же краевой задачей
A0.5) — A0.9), что и малые возмущения. Собственные числа R
этой краевой задачи являются, таким образом, не только кри-
критическими числами, определяющими порог устойчивости; они
в то же время являются характеристическими значениями па-
параметра R, при которых только и возможна стационарная кон-
конвекция в вертикальном канале со скоростями, параллельными
его оси.
Ввиду однородности краевой задачи ее решения опреде-
определяются с точностью до постоянного множителя. Таким обра-
образом, при характеристическом значении градиента температуры
в канале возможно вертикальное движение произвольной ам-
амплитуды. Отсюда, в частности, следует, что отсутствует одно-

$ Щ ЦИЛИНДР КРУГ060Г0 СЁЧЁНИЯ 71
згаачная зависимость между вертикальным градиентом темпе-
температуры и вертикальным конвективным тепловым потоком, рав-
равным
= pcp J vTdS
(v и Г —размерные скорость и температура). Иначе говоря,
при характеристическом значении градиента температуры ста-
стационарная конвекция может переносить вдоль канала произ-
произвольное количество тепла, которое, в конечном счете, опреде-
определяется мощностью подогрева. Эксперименты Г. А. Остроумова
[3] показывают, что лишь при больших мощностях подогрева
наступает отклонение градиента температуры от характеристи-
характеристического значения. Это отклонение связано с кризисом устойчи-
устойчивости самого стационарного движения; при этом параллель-
параллельность течения нарушается и развивается турбулентный (сверх-
(сверхкритический) режим.
§ 11. Цилиндр кругового сечения
Исследование конвективной устойчивости жидкости в .верти-
.вертикальных каналах мы начнем с рассмотрения канала кругового
сечения (задача Г. А. Остроумова [l~z]). Этот случай представ-
представляет, несомненно, наибольший интерес с точки зрения разнооб-
разнообразных приложений. Он важен также и потому, что система
уравнений нейтральных возмущений в этом случае решается
точно, и определяется весь спектр критических движений и кри-
критических градиентов температуры.
Введем цилиндрические координаты (г, ср, z), направив ось z
по оси цилиндра вверх. Очевидно, рассматриваемая задача
имеет частные решения, при которых скорость v, температура
жидкости Т и температура массива Тт зависят от угла ф по
гармоническому закону:
v (г, ф) = и (г) cos шр,
Т (г, ф)«в(г)созшр,
(ИЛ)
Tmir, Ф.) = 9т (г) cosmp,
где п принимает целочисленные значения я = 0, 1, 2, ,,¦
Подставляя A1.1) в A0.5) — A0.7), получим уравнения для
радиальных функций и, 0 и 0W:
u" + ~ru'-?u + W = 0, A1.2)
е" + ±е'-^1е + и = о, (п.З)
e? + fe;--?em = o. <п.4)

72 ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ [ГЛ. Ш
Входящее в систему число Рэлея R определено через радиус
цилиндра a: R = g$AaA/v%.
На границе канала и твердого массива скорость обращается
в нуль, а температура и тепловой поток непрерывны:
при r=\ u = 0, e = 0m, йе^Эт. A1.5)
К этим граничным условиям нужно добавить еще условие ко*
нечности и и 0 на оси и условие конечности возмущения темпе*
ратуры в массиве вдали от канала:
при г = 0 м и 9 конечны, 1
при r->oo 0m-> const. J у ' '
.Из уравнений A1.2), A1.3) можно исключить 9 и получить
уравнение, содержащее только скорость:
(ZJ-R)h = 0, (Ц.7)
где D обозначает оператор
п_ d* 1 d п>
Общее решение A1.7), остающееся конечным при Гг+0, имеет
вид
Здесь Jn и 1п — бесселевы функции 1-го рода; С\ и Сг — про-
произвольные постоянные, а
Y = R1/4. A1.8)
Подставляя общее решение для скорости в уравнение A1.2),
получим
Из уравнения A1.4) с учетом условия A1.6) находим
ft — ?±-
Граничные условия A1.5) приводят к однородной системе
для определения трех постоянных интегрирования:
A1.9)
Условие существования нетривиального решения этой системы со*
стоит в обращении в нуль ее определителя. Раскрывая опреде-
определитель, получим характеристическое соотношение, определяющее

§ II] ЦИЛИНДР КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ 73
спектр критических значений числа Рэлея:
My) + MY)~ y*# AMU)
Определяя постоянные Сь С2, С3 из системы A1.9), найдем
профили скорости и температуры, соответствующие критиче-
критическим движениям:
(у) in (у) m 1П
""P A1Л1)
D1.12)
A1.13)
Ввиду однородности задачи формулы A1.11) —A1.13) опре-
определяют скорость и температуру с точностью до постоянного
множителя. Легко видеть, что условие замкнутости потока
A0.9) для пФО выполняется тривиальным обр-азом из-за гар-
гармонической зависимости скорости от угла ф, а для п = 0 —
в силу характеристического соотношения (НЛОI).
Критические числа Рэлея R = у4 находятся как корни транс-
трансцендентного уравнения A1.10). При фиксированном номере п,
определяющем азимутальную структуру движения, уравнение
A1.10) имеет бесконечную последовательность корней yW, у&\
YJf> ..., занумерованных в порядке возрастания. Соответ-
ствующие движения отличаются радиальной структурой: более
высокому значению верхнего индекса отвечает большее число
узлов скорости и температуры. Таким образом, любое критиче-
критическое число Рэлея для движений рассматриваемого вида имеет
два индекса: R(,f = [y^]4-
Все критические значения RjJ> являются функциями отно-
отношения теплопроводностей жидкости и массива й. Исключения
составляют только критические числа с « = 0 (аксиально-сим-
(аксиально-симметричные движения). В этом случае правая часть A1.10) об-
обращается в нуль, и критические значения у§ не зависят от &.
Последнее обстоятельство легко понять, если найти производную
0' при г=1, определяющую радиальный тепловой поток на
границе канала. Из A1.12) с учетом характеристического со-
соотношения A1.10) имеем:
1) Заметим, что при п # 0, как видно из A1.13), 0ТО->О при г-»-оо, от-
откуда следует (см. стр. 69), что продольный градиент давления равен нулю.
При /1 = 0 возмущение температуры Эщ» конечно и равно 2/у , при этоа|
продольный градиент давления С =? —R0moo = —2у2.

74
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
[ГЛ. ИГ
Отсюда видно, что для аксиально-симметричных движений
(я = 0) радиальный тепловой поток на границе канала обра-
обращается в нуль, и поэтому тепловые свойства массива не влияют
на устойчивость. Критические числа Рэлея для таких движений
определяются из характеристического уравнения
/о (Y) h(y) . V '
Для всех движений с п Ф 0 критические числа R зависят от
одного параметра й. Рассмотрим прежде всего два предельных
случая *):
а) Теплопроводность массива гораздо боль-
больше теплопроводности жидкости: й— к/кт —> 0. В этом
случае характеристическое уравнение A1.10) упрощается:
/rt(Y) = 0; /г=Ь 2, 3, ... A1.15)
б) Теплопроводность массива гораздо меньше
теплопроводности жидкости: й = х/хт->оо. Критиче-
Критические числа R теперь находятся из трансцендентного уравнения:
Jn(y) ^ In(y)
• 0.
A1.16)
Таблица 5
Критические значения Y*
и RJ,' для вертикального кругового
цилиндра
п
0
0
1
Г
1
2
2
со оо
4
-
1
2
1
2
3
1
2
1
2
#1
*-0
4,611
7,799
3,832
7,016
10,173
5,136
8,417
6,380
9,761
7,588
452,0
3699
215,6
2422
10710
695,6
5020
1657
9078
3316
Й-оо
yd)
4,611
7,799
2,871
6,145
9,333
4,259
7,572
5,541
8,932
6,771
452,0
3699
67,95
1426
7586
329,1
3286
942,5
6365
2102
.1) Критические числа для некоторых частных случаев были найдены в [31]
связи с изучением конвекции в гейзерах.

§ ш
ЦИЛИНДР КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ
75
J3) s
' Численные значения \М и RJf для - предельных случаев
й-* О и й-*оо даны в табл. 5. На рис. 18 приведен спектр кри-
критических значений у}? для указанных предельных случаев и
схематически изображены со-
соответствующие критические
движения.
С увеличением параметра
й критические числа Рэлея
*уB) уменьшаются, т. е. устойчи-
3 вость понижается. Этот факт
может быть легко понят. В са-
самом деле, представим себе, что
в жидкости, находящейся в
равновесии, возникло темпе-
температурное возмущение. Очевид-
^L«w но, рассасывание этого возму-
* щения будет происходить за
_уB) счет передачи тепла соседним
-j-rs.
,т
•гТ
М)
—п
У,"
¦п
О)
500
w
ioo
о
¦ 452,0
215,6
5,6
ntfrv
Ч
k5
ш
х-0
0JJ2 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2
Рис. .8. Критические числа у«> и схема кри-
тических движений в вертикальном круго-
вом цилиндре. На схеме обозначены узло-
узловые линии, разделяющие, области восходя-
восходящих и нисходящих потоков.
гового цилиндра.
5 Ю 20
х
кр"
элементам жидкости и окружающему массиву. При относитель-
относительно высокой теплопроводности массива выравнивание темпера-
температуры происходит более интенсивно, и для возникновения конвек-
конвекции требуется более высокий градиент температуры. Таким об-
разомгнаименьшей устойчивостью обладает жидкость, окружен-
окруженная нетеплопроводными границами.
На рис. 19 приведены три нижних уровня спектра в за-
зависимости от й. Кйк видно, при всех значениях й наиболее

76 ЁЕРТИКАЛЬНЫЁ КАНАЛЫ (ГЛ. Ш
«опасным» является движение с п = 1 и I — 1 (диаметрально*
антисимметричное движение; цилиндр делится вертикальной пло-
плоскостью, проходящей через ось, на две части, в одной из кото-
которых жидкость поднимается, а в другой —опускается). Всем
остальным критическим движениям соответствуют более высо-
высокие числа Рэлея.
Экспериментальное исследование условий возникновения
конвекции в вертикальном круговом канале производилось в
ряде работ (см. t1'3'5"]). В экспериментальных установках ис-
использовались различные жидкости, а стенки каналов имели
разную теплопроводность. Отношение теплопроводностей й ме-
менялось в довольно широких пределах. Эксперименты показы-
показывают, что конвекция всегда возникает в форме основного (диа-
(диаметрально-антисимметричного) движения, причем положение
узловой плоскости, разделяющей встречные потоки, опреде-
определяется случайными обстоятельствами. Критические значения
числа Рэлея хорошо согласуются с приведенными выше теоре-
теоретическими значениями. Подробное описание экспериментальных
установок и методов исследования содержится в книге Г. А. Ост-
Остроумова [3] и цитированных статьях.
Остановимся теперь на определении нижних уровней спектра
конвективной неустойчивости с помощью метода Галеркина [8].
Сравнение приближенного решения с точным, приведенным
выше, позволяет оценить эффективность метода, который да-
далее широко используется для исследования устойчивости в ка-
каналах и областях более сложной геометрии.
Рассмотрим сначала диаметрально-антисимметричное дви-
движение (ns=l), определяющее начало конвекции. Аппроксими-
Аппроксимируем скорость следующим образом:
v(r, cp)
где базисные функции
vk =
обладают нужной симметрией и удовлетворяют граничным ус-
условиям. Ограничиваясь двумя базисными функциями, получим
v (г, ф) = A - г2) {схг + с2гг) cos ф. A1.17)
Подставляя эту аппроксимацию скорости в уравнение тепло-
теплопроводности A0.6) и решая его совместно с уравнением тепло-
теплопроводности в массиве A0.7) при соответствующих граничных
условиях, найдем распределение температуры в жидкости и
•массиве:
Т _ Bci + с2) й cosq>
Jm— 24A+*) * т
A1.18)

§ 111 ЦИЛИНДР КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ 77
Подставляя скорость A1.17) и температуру A1.18) в урав-
уравнение A0.5) и составляя интегральные соотношения Галеркина
для коэффициентов С\ и с2у найдем условие разрешимости
в виде
2
3 720A +й) * 3 2880A + й)
3 + 13й гс 4 17 + 87Й
К й) К
2880 A + й) К 15 40320 A + й)
= 0. A1.20)
В первом приближении, когда в аппроксимации A1.17)
удерживается лишь одна базисная функция, условие разреши-
разрешимости сводится к обращению в нуль левого верхнего элемента
определителя. Отсюда находим критическое значение R(x) в
первом приближении:
^. A1.21)
Из этой формулы получаем в предельных случаях: а) й = 0;
R = 240 (точное значение 215,6); б) й=оо; R = 68,57 (точное
значение 67,95).
Во втором приближении следует найти корни квадратного
уравнения A1.20). Нижний корень
R = 6A^7Й) 13 C3 + ЮЗй) - /3 B567 + 14794Й + 26927Й2)]
A1.22)
дает приближение к основному уровню Ri1)#, отличие прибли-
приближенного значения числа Рэлея от точного во всей области из-
изменения параметра й составляет доли процента (при й=0 из
-A1.22) имеем R = 215,9, а при й= оо R = 67,97). *
* Верхний корень квадратного уравнения"A1.20) не представ-
представляет особого интереса; он дает грубое приближение к «возбуж-
«возбужденному» уровню Ri .
Аналогичным образом можно получить приближенное ре-
решение для осесимметричного движения п = 0. В этом случае
может быть выбрана такая аппроксимация скорости:
v = с,о, + c2v2 = A - г2) [с, A - Зг2) + с2 (г2 - 2г%
Где базисные функции V\ и v2 удовлетворяют граничному усло-
условию на стенках канала и условию замкнутости потока A0.9),
Соответствующее этой скорости распределение температуры:
Критические числа Рэлея (не зависящие в осесиммет*
ричном случае от параметра й) теперь определяются из

78
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
(ГЛ. Ш
характеристического соотношения:
о
2
5
1
240
1
1680
R
R
2 •
5
1
5
1
1680
1
8960
R
R
= 0.
Нижний корень R = 452,6 является хорошим приближением
к точному значению R&1* = 452,0.
Таким образом, как и в случае плоского горизонтального
слоя (§ 7), даже первые приближения метода Галеркина ока-
оказываются достаточно эффективными для нахождения нижних
уровней спектра неустойчивости.
§ 12. Плоский вертикальный слой
Другим примером бесконечного вертикального канала, для
которого можно найти простое точное решение задачи об устой-
устойчивости равновесия, является слой жидкости, ограниченный
вертикальными параллельными бесконеч-
бесконечными плоскостями (рис. 20). Рассматривае-
Рассматриваемая область отличается особенно простой
геометрией, благодаря этому точное реше-
решение задачи об устойчивости равновесия мо-
может быть получено и в тех случаях, когда
имеются усложняющие факторы — магнит-
магнитное поле (§ 25), диффузия (§ 32) и др.
Задача об устойчивости равновесия пло-
плоского вертикального слоя решалась в ряде
работ. Плоские движения, при которых ско«
рость вертикальна и все величины не зави-
зависят от координаты у, рассматривали Ост-»
pax [9'10] и И Цзя-шунь [п]. Вертикальные
движения, периодические вдоль оси у, рас-
рассмотрены в работе Вудинга [12]. Заметим,
что спектр критических значений числа
Рэлея для плоских движений может быть получен из соотно-
соотношений, приведенных в книге Г. А. Остроумова [3].
1. Двумерные возмущения, периодически зависящие от гори-
горизонтальной координаты у. Считаем по-прежнему, что возмуще?
ния равновесия имеют следующую структуру:
vx = vy = 0, vz = v(x9y), T = T(x>y).
Ввиду неограниченной протяженности слоя в направлении оси у,
возможны решения, периодически зависящие от у:
v(x, y) = u
Рис. 20. Плоский верти-
вертикальный слой. Оси коор-
координат.

§ 12] ПЛОСКИЙ ВЕРТИКАЛЬНЫЙ СЛОЙ 79
где а — волновое число. Подставляя A2.1) в A0.5), A0.6),по-
A0.6),получим уравнения для амплитуд и(х) и Q(x):
(число Рэлея определено через полуширину слоя А).
Скорость жидкости на границах слоя должна исчезать:
при х= ± 1 ц = 0. A2.3)
Условие замкнутости потока для движений вида A2.1) выпол-
выполняется автоматически в силу периодичности движения вдоль
оси у и не приводит к дополнительному условию для ампли-
амплитуды скорости. Что касается граничных условий для температуры,
то они определяются тепловыми свойствами ограничивающих
плоскостей. Далее будут рассмотрены два случая: а) границы
бесконечной теплопроводности; б) теплоизолированные гра-
границы.
а) границы бесконечной теплопроводности.
В этом случае полная температура в любой точке границы
задана и линейно (с градиентом А) меняется по высоте. По-
Поэтому возмущения температуры на границах обращаются
в нуль:
при х=±1 9 = 0. A2.4)
Уравнения A2.2) с граничными условиями A2.3), A2.4)
решаются элементарно. При этом, как легко видеть, существуют
две группы решений: четные и нечётные относительно середины
слоя х=0. Четные решения имеют вид:
un = cos(n+ 1Lгх,
(Л = 0, 2, 4, ...) A2.5)
Для нечетных решений получаем:
«„ = sin(n + l)y*,
. («=!, 3, б, ...) A2.6)
Спектр критических чисел Рэлея R для четных и нечетных
решений определяется общей формулой
(п = 0, 1, 2, 3, ...). A2,7)

80
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
[ГЛ. Ш
Структура спектра A2.7) весьма проста. Минимальное зна-
значение Rn соответствует а=0, т.е. возмущениям с бесконечной
длиной волны вдоль оси г/. При увеличении а все критические
значения Rn монотонно возрастают. Минимальное критическое-
число Рэлея соответствует нижнему четному решению п = 0:
ROm = ^- = 6,088. A2.8)
Таким образом, в бесконечном плоском слое с идеально
проводящими границами первой неустойчивости соответствует
четное по х движение с п=0 и с бесконечной длиной волны.
Поскольку зависимость Ro от а при малых а очень слабая,
конвекция в реальных условиях, оче<
видно, может возникать и в виде
движения с достаточно малым вол-
волновым числом а (т. е. с длиной вол-»
ны вдоль г/, гораздо большей шири-
ширины канала). Такое движение Схема-
Схематически изображено на рис. 21.
б) теплоизолированные
границы. В. этом случае обра-
обращается в нуль нормальный к грани-
границе поток тепла:
при х=±\ 0' = 0.A2.9)
Четное решение уравнений A2.2)
имеет вид
и = Сх ch гхх + С2 cos r2xy
и С2 — постоянные интегрирования, и введены обо-
Рис. 21. Движение, соответствующее
нижнему четному уровню (,п=0).
— С2 cos г2х).
Здесь Cj
значения
A2.10)
Удовлетворяя граничным условиям A2.3) и A2.9), получим си-
систему однородных уравнений для определения С\ и С2, из усло-
условия разрешимости которой следует характеристическое соот-
соотношение
r1thr1-r2tgr2 = 0. A2.11)
Собственные функции и и 0 (с точностью до произвольного
множителя) имеют вид
и =
chri
cos r2x
COS Г2
chri
cos r2x
COSfj
A2.12)

§ 12] ПЛОСКИЙ ВЕРТИКАЛЬНЫЙ СЛОЙ 81
Нечетное относительно х решение выражается следующим
образом:
sh r\X sin г2х
*—Й7Г- sinr2 .
sh rxx , sin г2х
где Г\ и г2, определенные формулой A2.10), связаны теперь
характеристическим уравнением
rxcthrx + r2ctgr2 = 0. A2.14)
Таким образом, спектр критических чисел Рэлея находится
из уравнений A2.11) и A2.14) соответственно для четных и не-
нечетных решений.
Рассмотрим сначала спектр длинноволновых' возмущений*
(а—>О). В этом случае гх = г2=у и критические числа для чет-
четных и нечетных решений находятся из уравнений
thv = tgY, cthY = — ctgY- A2.15)
Корни уравнений A2.15) можно найти в [13]. Для четных ре-
решений имеем
Yo = O; Y2 = 3,927; Y4 = 7,069; ...
и, соответственно, критические числа Рэлея:
Ro = 0, R2==237,6; R4 = 2497; ... A2.16)
Для нечетных решений:
Yl = 2,365; Ya = 5,498; Ys = 8,639; ...
и критические числа
R, = 31,29; R3 = 913,8; R5 = 5570;... A2.17)
При а ф 0 критические числа Рэлея находятся из полных
уравнений A2.11) и A2.14). С ростом а, как и в случае идеаль-
идеально проводящих границ, критические числа для всех уровней
возрастают. В области малых а возрастание происходит по
квадратичному закону. Для четных уровней из A2.11) можно
получить:
(n-2f 4, 6, ...),
где уп — критические числа при сс=О,

82
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
[ГЛ. III
Для нечетных решений приближенные формулы при малых
а получаются из A2.14):
+;thib)'+ ... (n-1, 3, 5, ...).
12345012345
а) б) *
При больших а критические числа Рэлея для четных и не-
нечетных решений зависят от а по закону Rn « а4. Такой же
закон получается и в случае идеально проводящих границ (см.
A2.7)). Это совпадение вполне
понятно: спектр мелкомасштаб-
мелкомасштабных возмущений оказывается не
зависящим от граничных усло-
условий.
На рис. 22 представлена зави-
зависимость Rn(a) для двух разо-
разобранных случаев. В обоих случа-
случаях нижними критическими дви-
движениями, определяющими воз-
никновецие конвекции, являются
движения четного типа с п = О,
причем минимальному значению
критического числа Ro соответг
ствуют длинноволновые возмуще-
возмущения а = 0. Наиболее существен-
существенное отличие состоит в том, что в
случае идеально проводящих гра-
границ минимальное значение Ronpn
а->-0 оказывается конечным
A2.8), хотя и невысоким. В слу-
случае же теплоизолированных границ при а-^0 критическое чис-
число Ro стремится к нулю, т. е. имеет место длинноволновая
неустойчивость при сколь угодно малом градиенте темпе-
температуры.
2. Плоские возмущения. Рассмотрим теперь спектр плоских
возмущений, не зависящих от координаты г/, т. е.
v = v(x)9 T = T(x). A2.18)
Функции v и Т удовлетворяют уравнениям
v" + R71 = 0, T"+v = 0. A2.19)
Плоский случай требует отдельного рассмотрения, поскольку
соответствующий спектр неустойчивоети не получается, вообще
говоря, из спектра двумерных возмущений путем предельного
перехода а—*0. Это связано с тем обстоятельством, что в слу-
случае двумерных возмущений условие замкнутости потока, как
уже указывалось, выполняется из-за периодизма вдоль у при
ные границы. ч

§ 121
ПЛОСКИЙ ВЕРТИКАЛЬНЫЙ СЛОЙ
83
всех длинах волн — в том числе и для длинноволновых возму-
возмущений (а-*0). В плоском же случае требование замкнутости
потока накладывает дополнительное условие на скорость:
1
J v
-1
A2.20)
Амплитуды нечетных двумерных решений как в случае
идеально теплопроводных, так и в случае нетеплопроводных
границ, очевидно, удовлетворяют условию A2.20) при всех а.
Поэтому спектр плоских нечетных возмущений получается из
спектра соответствующих двумерных возмущений при а—>0.
Амплитуды четных двумерных возмущений A2.5) и A2.12)
не удовлетворяют условию замкнутости. Поэтому четные уров-
уровни плоских возмущений должны быть найдены отдельно.
Интегрируя второе из уравнений A2.19) по х в пределах
от — 1 до 1, получим, в силу A2.20):
тат 1
Так как функция Т(х) -чсптн, то отсюда следует
т. е. в случае четных плоских возмущений условие замкнутости
приводит к обращению в нуль поперечного теплового потока
на границах. Поэтому тепловые свойства.границ не влияют на
спектр, и он оказывается одинаковым в обоих случаях рассма-
рассматриваемых граничных условий для температуры.
Приведем окончательные формулы, описывающие спектр
;плоских возмущений.
И д? а л ь н о т ел л о п р о в одэа ш =е г р а н и ц ы. Нечетные
:рюмущвнии:
vn = sin упх,
n = \ sin ynx;
Четные возмущения:
:cli уж tos у.х
ch у cosy '
Y = 3,927;
j, :1 /ch
Y2 \ ch
7,069; 10,21;
-1. 3, 5,...).
.
A2.21)
C0SY /
A2 22)

84 ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ [ГЛ. IIV
Нетеплопроводные границы. Нечетные возмущения;
sin у* rp 1 / sh ух . sin ух \ \
sin у ' - Y2 \ sn Y sin у )' I f 19 23^
Y = 2,365; 5,498; 8,639;...; R = y4. J
Спектр четных возмущений совпадает с A2.22).
Другие варианты тепловых условий на границах рассматри-
рассматривались в работах [10> н].
§ 13. Каналы эллиптического, прямоугольного
и кольцевого сечений
В этом параграфе будет рассмотрено возникновение кон-
конвекции в каналах с более сложной формой сечения — эллипти-
эллиптического, прямоугольного и кольцевого.
1. Канал эллиптического сечения [1б]. Рассмотрим возникно-
возникновение конвекции в канале эллиптического сечения, окружен-
окруженном твердым теплопроводным массивом. Направим горизон-
горизонтальные оси координат по осям эллипса и выберем полуось а
в качестве единицы длины. Тогда уравнение границы области
будет
*2 + "f=l, A3.1)
где l=b/a — отношение полуосей эллипса.
Заранее ясно, что основному уровню спектра соответствует
антисимметричное движение, при котором жидкость в одной
половине канала поднимается, а в другой опускается, так что
узловая линия скорости совпадает с одной из осей эллипса (как
выяснится — с малой).
Для приближенного нахождения нижнего уровня спектра
неустойчивости воспользуемся методом Бубнова — Галеркина»
В первом приближении возьмем лишь одну базисную функцию,
удовлетворяющую граничному условию для скорости и описы-
описывающую движение, антисимметричное относительно оси х:
A3.2)
Температура жидкости, соответствующая этой скорости, на-
находится из уравнения теплопроводности
) A3.3)
В соответствии с видом правой части решение этого уравнения
будем искать в виде полинома пятой степени нужной сим-
симметрии:
г/. . A3.4)

§ IS) КАНАЛЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО, ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЙ 85
Из уравнения A3.3) следует» что шесть коэффициентов аг
должны быть связаны тремя соотношениями:
6а3 + 2а2 = 1, 20а5 + 2аб = - 1, 12а4 + 6а6 = - -^.
Распределение температуры A3.4) содержит, таким образом,
три независимые постоянные, которые должны быть определены
из граничных условий.
Введем эллиптические координаты (g, r\) (см. [22]):
x = cchl • cost], y = c sh| • sinyj,
где 2с — безразмерное .межфокусное расстояние. Распределение
температуры A3.4) в эллиптических координатах содержит три
нечетные гармоники угловой координаты г\:
r = --~
+ 2a4c5 sh g • ch4 g + 10a5c5 sh5 g + 2a6c5 sh3 g . ch2 g) sin 4 +
+ (— 4a2c3 sh g • ch2 g + 4a3c3 sh3 g - 3aAc5 sh g • ch4 g + 5a5c5 sh5 g —
- a6c5 sh3 g • ch2 g) sin Зт| + {aAc* sh g • ch4 g + a5c5 sh5 g -
— OeC5sh8g.ch2g)sin6T|]. A3.5)
Температура в массиве удовлетворяет уравнению Лапласа,
общее решение которого, стремящееся к нулю на бесконечности
(при g-> oo), имеет вид:
00
Тт = 2 (*„*""* sin пх\ + спе-«*> cos nr\). A3.6)
Коэффициенты Ьп и сп, а также оставшиеся неопределен-
неопределенными три постоянных в выражении для температуры жидкости
A3.4) должны быть найдены из условий непрерывности темпе-
температуры и теплового потока на границе ?=?о- Эти условия в эл-
эллиптических координатах запишутся следующим образом:
при 1 = |0 Т = Тп, й^—^s-, A3.7)
где go связано с отношением полуосей / и межфокусным рас*
стоянием 2с соотношениями
Из вида A3.5) ясно, что & разложении A3.6) все коэф-
коэффициенты сп равны нулю, а из коэффициентов Ьп отличны от
нуля только &ь &з, Ь5. Условия A3.7), записанные для каждой
из трех гармоник, дают как раз шесть соотношений для опре-
определения шести неизвестных коэффициентов.

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
(ГЛ. III
Имея приближенные формулы A3.2) и A3.5) для распреде-
распределений скорости и температуры жидкости, можно составить ин-
интегральное условие Галеркина, из которого определяется крити-
критическое' число Рэлея, зависящее от двух параметров — отноше-
отношения полуосей 1--=Ь\а и отношения теплопроводностей й=х/хтг
D __ (HZ, D
/>(*,/)
A3.8)
где
Q = 240 C +12) К'9 + 13/7 + 35/5 + 15/3) + й (9Z8 + 69/6 + 9Н4 +
+ 23/2) + х2 B3Z7 + 9Н5 + 69/3 + 91) + Й3A5^ + 35/4 + 13/2 + 1)],
р = A7Л1 + 158/9 + 8Н7) + й A8Я2 + 315/10 + 788Z8 + 287/6) +
+ Й2A42/П + 835/9 +. 927Р + 144/5)+Я3A89/10+472/8+217/6+18/4)
(напомним, что поскольку в качестве единицы длины выбрана
полуось а, в критическое число Рэлея входит а4).
При /= 1 эллипс вырождается в окружность. В этом случае
из формулы A3.8) нахо-
находим
п 480A +х)
Рис. 23. Два вида антисимметричных возмущений
(области восходящих потоков заштрихованы).
0i=&2, &i=a2. Отношение полуосей в первом случае
—i-s=/lS=/, во втором случае —2-як=/2=-7- (/ > 1).
а\ а I
х что, естественно, совпа-
совпадает с результатом пер-
первого приближения метода
Галеркина для кругового
канала A1.21).
Если / Ф 1, то прежде
всего можно показать, что
нижний критический гра-
градиент температуры соот-
соответствует такому анти-
антисимметричному движе-
движению, когда узловая линия скорости совпадает с малой осью
эллипса. Для этого сравним критические градиенты Ах и А2, со-
соответствующие движениям с узловыми линиями, изображенными
на рис. 23. Критические градиенты А\ и А2 для изображенных
на рисунке движений равны
где ч.ерез /7(/, й) обозначено отношение Q/P, входящее в фор-
формулу A3.8). Сравнивая А\ и Л2, получим

§ 13] КАНАЛЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО, ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИИ 87
После вычислений эту формулу можно привести к виду
500
400
/00
где f(l, й) > 0 при всех й и /. При /=1 получаем Л1=Л2, что
и должно быть, так как в случае, когда эллипс вырождается
в окружность, узловая линия скорости может совпадать с лю-
любым диаметром, и различие между двумя видами возмущений
исчезает. Если / > 1, то А\ < А2. Таким образом, независимо
от отношения теплопроводностей жидкости и массива, конвек-
конвекция возникает в виде антисимметричного течения с разбиением
канала на две половины вертикальной узловой плоскостью, про-
проходящей через малую р_
ось. Этот вывод находит-
находится в согласии с экспери-
экспериментальными результата-
результатами В. В. Славнова [16].
Формула A3.8) при
всех значениях параметра
й описывает монотонную
зависимость R от /. При
/ > 1 с ростом / критиче-
критическое число R быстро убы-
убывает (устойчивость пони-
понижается). При /-^0 крити-
критическое число R возрастает
по закону R ~ -jr, так что
произведение R/4 (которое
при / < 1 имеет смысл
числа Рэлея, определен-
определенного через длину малой
полуоси) стремится к конечному пределу, дающему приближен-
приближенное значение нижнего нечетного уровня неустойчивости в пло-
плоском бесконечном слое (см. предыдущий параграф). Формула
A3.8) получена в первом приближении метода Галеркина, и вряд
ли можно рассчитывать на то, что она будет давать достаточно
точные результаты в предельном случае сильно вытянутой об-
области. Действительно, при й=0 и й=оо из формулы A3.8).
при /->0 получаем соответственно R/4-> 133,3 и R/4 -> 40 (вместо
точных значений 97,4 и 31,3).
Наглядное представление о влиянии эллиптичности сечения
канала на устойчивость можно получить из рис. 24. На этом
рисунке изображена зависимость критического числа Рэлея Rs
от меры эллиптичности l=b/a при нескольких значениях пара-
Метра й. В отличие от цисда Рэлея R, входящего в A3.8),
X
\
\
X
j
/
— —¦
¦V
/
— —
1
¦
ш
Рис. 24. Зависимость критического числа Rs
от отношения полуосей эллиптического сечения
канала.

88 ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
Rs определено следующим образом:
1ГЛ. Ill
о
В качестве характерного размера в Rs входит ]/гab — среднее
геометрическое из полуосей эллипса. Если изменять отношение
полуосей / при постоянной площади эллипса, то величина \rab
не меняется; поэтому изменение Rs с / происходит только за
счет зависимости от / критического градиента
температуры Л. Из рис. 24 видно, что при любом
й (кроме предельного случая теплоизолирован*
ного канала й=.оо) кривая Rs(/) имеет мини-
минимум при некотором />1. При увеличении / от
1 сначала устойчивость понижается за счет
— сокращения границы встречных потоков; затем
х снова увеличивается — вследствие стабилизирую-
стабилизирующего влияния сближающихся границ области.
2. Канал прямоугольного сечения. Эта зада-
задача, естественно, во многом сходна с предыдущей.
В случае, когда стенки канала являются идеаль-
идеально теплопроводными (на стенках исчезают воз-
возмущения температуры), спектр критических дви-
движений находится элементарно.
Условие замкнутости потока будет выполнено,
если скорость является нечетной функцией хотя
бы одной из координат (рис. 25). Для определенности будем
считать, что скорость (а, следовательно, и температура) — нечет-
нечетная функция у. Тогда решения — четные и нечетные относитель-
относительно х — запишутся в виде:
vmn = cos(m + 1)? х • sin (л + !)¦?-
Рис. 25. Оси коор-
координат в сечении
прямоугольного
канала. Полуши-
Полуширина а выбрана в
качестве единицы
длины. l=bfa.
±x • sin(n
/т = 0, 2, 4, ...Д
)JLy; U=l. 3, 5, ... /
A3.9)
ftn= 1, 3, 5, ...,
1 • / 11\Л' *n/ i i\ Л \ yi = 13 5
УЯм 2 V ^ ; 2/ *
A3.10)
Критические числа Рэлея для обоих классов решений опре-
определяются общей формулой
\\2 12 [tTl = 0, 1,2,3, ... Л
14 U=1,3,5,... )-<13

§ 131 Каналы эллиптического, прямоугольного сечений 89
Минимальное критическое число соответствует движению
с т=0 и /г= 1 и равно
- 03.12)
Для канала квадратного сезения k= 1 и
При /=1, очевидно, имеет место вырождение: двум видам ан-
антисимметричного движения с узлами скорости по осям х и у
отвечают одинаковые критические градиенты температуры. По-
Поэтому при том же критическом градиенте возможны и другие
движения, являющиеся суперпозицией этих двух, например,
движения с узлами скорости на диагоналях квадрата.
При /—* оо и / —*0 прямоугольный канал переходит в беско-
бесконечный плоский слой, вытянутый соответственно вдоль осей у
и х. При этом критическое число Roi в пределе переходит
в критические числа для плоского слоя (§ 12). Так, при /-*оо
имеем Roi -> -yg- (основной уровень плоского слоя с узлом ско-
скорости по оси х). При Z-*0 получается Roi/4-*я4 (основнойуро-
(основнойуровень плоского слод. с узлом скорости вдоль слоя; RZ4 есть кри-
критическое число, определенное через полуширину слоя). Ана-
Аналогичным образом из общей формулы A3.11) в пределе
получаются все более высокие уровни спектра для бесконечного
плоского слоя.
Более сложным образом обстоит дело в случае прямоуголь-
прямоугольного канала с теплоизолированными границами. В этом случае
можно искать решение задачи в виде двойных рядов Фурье.
Такой путь приводит к характеристическому соотношению, со-
содержащему бесконечный определитель. Численный анализ это-
этого уравнения при произвольном отношении сторон / связан
с большими трудностями. Для / S> 1 Вудингом [12] получена
асимптотическая формула критического числа Рэлея основного
уровня неустойчивости
(/»1). A3.13)
х) Интересно сравнить это значение с критическим числом для канала
кругового сечения, которое в случае идеально проводящих границ равно 215,6.
Если об некритических числа пересчитать, введя в качестве характерного раз-
размера Vs, где S — площадь сечения, то значения, как и следовало ожидать,
оказываются довольно близкими: для кругового канала 2128 и для квадрат-
квадратного 2435. Несколько более высокое значение Rs для квадрата можно объяс-
объяснить стабилизирующим влиянием вязкости в углах "(по сравнению с кругом
уменьшается «эффективное» сечение),

90 ёертикальныё каналы • (гл. ш
Из этой формулы видно, что при / —* оо устойчивость пони-
понижается. Экспериментальное значение R для /=21,1, получен-
полученное Вудингом в цитированной работе, хорошо согласуется
с формулой A3.13). Для канала с / ~ 1 формула A3.13) не-
непригодна из-за медленной сходимости ряда.
Нижнее критическое число Рэлея для канала с теплоизоли-
теплоизолированными границами при конечном отношении сторон можно
получить приближенно. Аппроксимируем распределение скоро-
скорости для основного движения с узлом вдоль оси х в виде
t> = cos-yjt • sin— у. A3.14)
Далее следует найти соответствующее распределение темпера-
температуры. Точное решение уравнения теплопроводности для прямо-
прямоугольной области с теплоизолированными границами в замкну-
замкнутом виде получить не удается. Однако нетрудно решить
уравнение теплопроводности приближенно с помощью метода
Канторовича [18]. Температура, как и скорость, является нечет*
ной функцией у и удовлетворяет граничным условиям
дТ
при у=±1 ^" = 0.
Эти требования выполняются, если положить
T = f{x)s\n^y. A3.15)
Подставляя A3.14) и A3.15) в уравнение теплопроводности
A0.6), умножая на sin-—-*/ и интегрируя по у в пределах
(—/, /), получим обыкновенное дифференциальное уравнение
для функции f(x):
р„ я2 с 8
f ^
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям /'(±1) =
=0, таково:
*, , 32/2
Составляя теперь интегральное соотношение для уравнения
движения, найдем критическое число Рэлея:
р__ 9я°(/*+!)(/*+ 4) Г 4/з я]-'
V + я(/2+1) Ct" 2/J '

13]
КАНАЛЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО, ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЙ
91
Зависимость R(Z) представлена на рис. 26. При 1-+0 из A3.16)
следует R/4->33,8 (точное значение для нечетного уровня
в бесконечном плоском слое с теплоизолированными гра-
границами равно 31,3). При Z->oo R стремится к нулю по
закону I//2.
Решение задачи о возникновении конвекции в прямоуголь-
прямоугольном канале с более общими граничными условиями, соответ-
соответствующими произвольной теп- n 4
лоотдаче на границе, получено
в работе К. С. Болотиной [17]
на основе асимптотического
метода [19]. Приближенная фор-
формула, определяющая спектр 125
критических чисел Рэлея, по
виду совпадает с A3.11), куда,
однако, вместо целых чисел т wo
и п входят модифицирован-
модифицированные т* и я*, сами являющиеся 75
функциями параметра / и ко-
коэффициента теплоотдачи. Эти
значения т* и п* и критические 50
числа Рэлея в зависимости от /
для нескольких значений пара-
параметра теплоотдачи приведены
3. Канал кольцевого сече-
сечения. По аналогии с рассмот-
рассмотренной В § И Задачей Об рис> 26> КритичесКое число Рэлея в зави.
УСТОЙЧИВОСТИ раВНОВеСИЯ В симости от отношения сторон сечения
ВерТИКалЬНОМ КруГОВОМ Канале проводные границы ' (формула A3.12)),
МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ТОЧНОе реше- б-тепловзолированные^границы (форму-
ние и для кольцевого канала,
образованного двумя вертикальными круговыми коаксиальными
цилиндрами. Для случая теплоизолированных границ решение
этой задачи найдено в работе А. И. Сорокиной и А. А. Чуди-
нова [20].
Как и в случае кругового канала, имеет место разделение
переменных A1.1), причем для радиальных функций и (г) и
0(г) сохраняются уравнения A1.2), A1.3). За масштаб длины
примем внутренний радиус канала а\\ тогда число Рэлея R=
=g$AaAi/v%t а граничные условия на внутренней и внешней
границах запишутся следующим образом:
25
при г=\ и r = p v = 0, в7 = 0.
Здесь p=a2/ai— отношение радиусов цилиндров.
A3.17)

92
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
[ГЛ. III
Так как точка г=0 теперь не принадлежит рассматриваем
мои области, скорость и температура будут содержать бессе-
левы функции 1-го и 2-го рода:
и = CJn (уг) + С21п (уг) + СъУп (уг) + САКп (уг)9
A3Л8)
где y = R1/4.
Граничные условия A3.17) приводят к характеристическому
соотношению: 7
/»(y) in (у)
In (У) -Ш
= 0.
A3.19)
My) Кя(у)
My) -Кя(у)
In(yp) 1П(УР) Yn(yp) К
in(yp) -i'n(yp) Myp) -*
Это соотношение определяет критические значения у в зависи-
у мости от отношения радиусов р.
Как и в случае кругового ци-
цилиндра, минимальному критиче-
критическому числу Рэлея всегда соот-
соответствует диаметрально-антисим-
диаметрально-антисимметричное движение с п= 1. За
ним, в порядке возрастания кри-
критических чисел, следуют движе-
движения с п = 2,- п = 0, ... На рис.
27 представлена зависимость
V(p) для нижних уровней.
В предельном случае широкого
кольцевого зазора а2 ^> а\(р > 1)/
уравнение A3.19) может быть
упрощено с помощью асимптоти-
асимптотических разложений бесселевых
функций. При этом критиче-
критические числа у стремятся к нулю,
а произведения ур остаются ко-
конечными. Характеристическое со-
соотношение A3.19) в предельном случае р-*оо записывается в
\
\\\
\\
\
/
/7-/
^—
-—
Рис. 27. Критическое число Y в зависи-
зависимости от отношения радиусов цилинд-
цилиндров кольцевого канала.
виде:
(YP) ^ In (YP)
~ '
A3.20)
Это соотношение совпадает с характеристическим уравнением
A1.10) задачи Остроумова для кругового цилиндра с тепло-
теплоизолированными границами. Это и естественно: при р->оо

§ 14] СВЯЗАННЫЕ КАНАЛЫ 93
влияние внутреннего цилиндра становится пренебрежимо ма-
малым, и спектр критических чисел переходит в соответствующий
спектр для кругового цилиндра с радиусом а2 (входящее
в A3.20) произведение YP как раз связано с числом Рэлея,
определенным через внешний радиус: YP = \ -/ / •» Таким
образом, при больших р критические числа R убывают по за-
закону R~^r-
Другой предельный случай получается при а2 -* аи р -* 1
(тонкий зазор между цилиндрами). Кривизна в этом случае
несущественна, и область практически не отличается от вер-
вертикального плоского слоя толщины б = аг — п\ и длины 1 = 2ла,\.
Для основного движения (я=1) критическое число Рэлея,
определенное по ширине слоя б, стремится к нулю с умень-
уменьшением б по закону R6~F/aiJ (ср. A2.16)). Поэтому кри-
критическое число Рэлея R при р -> 1 возрастает по закону
§ 14. Связанные каналы [21]
В этом параграфе мы рассмотрим условия возникновения
конвекции в системе вертикальных каналов. Как и в случае
связанных горизонтальных слоев, разобранном в § 8, тепловые
возмущения, возникающие в одном из каналов, проникают
в другой. К этому добавляется новый эффект гидравлической
связи каналов, которые предполагаются сообщающимися. На-
Наличие гидравлической и тепловой связи каналов существенно
влияет на устойчивость. Вначале рассматривается простейший
случай двух плоских каналов одинаковой тожцины, разделен-
разделенных твердой теплопроводной прослойкой. В этом случае удается
получить точное решение и найти весь спектр конвективной
неустойчивости. Далее разбирается более сложный случай двух
каналов кругового сечения в теплопроводном массиве. С по-
помощью метода Галеркина находится основной уровень неустой-
неустойчивости, определяющий начало конзекции.
1. Плоские каналы. Два плоских вертикальных параллель-
параллельных слоя жидкости разделены однородной теплопроводной про-
прослойкой (рис. 28). Рассмотрим плоские возмущения равно-
равновесия:
vx = vy = 0y vz = v(x)K T = T(x), Tm = Tm(x). A4.1)
Здесь v — скорость, Ги Гт- возмущения температуры жидко-
жидкости и прослойки. Возмущения удовлетворяют уравнениям (см.
A2.19))
t;"-fRr = 0, г"+ t> = 0, Г? = 0. A4.2)

94
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
[ГЛ. Ш
Число Рэлея определим через полуширину канала А, которая
теперь выбрана за единицу расстояния.
На границах жидкости с теплопроводной прослойкой долж-
должна обращаться в нуль скорость и должны быть выполнены
условия непрерывности температуры и теплового потока. Внеш-
Внешние границы каналов будем для определенности считать нетеп-
"лопроводными. Таким образом, получаем граничные условия:
при х = хх t> = 0, Т = Тт, кТ' = Т'т, 1
при х = х2 v = 0, Г = 0, J A4#3)
где й=х/х7П —отношение теплопроводностей жидкости и про-
и х2 = ± —т внутренняя и внеш-
внешняя границы правого (знак
«плюс») и левого (знак «минус»)
каналов. Кроме того, в системе
двух каналов должно выполнять-
выполняться условие замкнутости по-
потока:
слойки; хх = ±
j v-dx+ j v+dx = 0,A4.4)
Рис.. 28. Связанные плоские каналы. Оси
координат.
где v+ и и-— скорости в правом
и левом каналах, а интегрирова-
интегрирование производится по соответст-
соответствующим сечениям. При этом
предполагается, что каналы гид-
гидравлически связаны: их .удален-
.удаленные концы сообщаются сверху и
снизу, и поэтому возможно такое
движение, при котором жидкость
в одном канале поднимается, а в другом — опускается («кон-
(«конвективная петля»). В этом случае, в отличие от одиночного ка-
канала, восходящий и нисходящий потоки оказываются разде-
разделенными (взаимодействуя, однако, тепловым путем через тепло-
теплопроводную прослойку). Условие замкнутости A4.4) при этом
выполняется «в целом», а в каждом из каналов расход отличен
от нуля. Как выяснится, именно такое движение соответствует
основному уровню неустойчивости.
Общее решение уравнений A4.2) имеет вид
v = A sin ух + В cos ух + С sh ух + D ch у*,
Т = -т (A sin ух + В cos ух — С sh ух — D ch ух),
адесь у - S4

J U\ 6ШАЙНЫЁ КАЙАЛЫ §g
Задача A4.2) — A4.4) имеет четные и нечетные относитель-
относительно х решения. Рассмотрим сначала решения нечетного типа.
В этом случае Л0=0, и граничные условия A4.3) приводят
к однородной системе для определения постоянных Л, Б, С, D
и Во (замкнутость потока A4.4) обеспечивается автоматически
нечетностью решения). Условие разрешимости этой системы
дает соотношение, из которого находятся критические значения
числа Рэлея:
tg 2y + th2y = й1*,1 A4 5)
Y(sec2v-sech2Y-1) Х1*П- V1^0'
Определяя постоянные интегрирования, найдем скорость и тем-
температуру:
X) = н- Г cos Y (*2 — х) ~ ch у (х2 — х) __ sinY(x2-^) + shY(^2 — *) 1
~ L cos y (*2 — *i) — ch у (*2 — *i) sin y (x2 — *i) + sh y (x2 — *i) J'
A4.6)
J- Г cos Y ^2 ^- ^) + ch Y (^2 — x) sin у (*2 — x) — sh y (*2 — *) 1
Y2 L cos y (*2 — *i) — ch y (*2 — *i) sin y (jc2 — ^i) + sh y (x2—xl) J'
A4.7)
т 2ft(l-cos2Y-ch2Y)*
w y (cos 2y — ch 2y) (sin 2y + sh
Знаки «плюс» и «минус» относятся соответственно к правому
и левому каналам.
В случае четного решения температура в прослойке по-
постоянна: 50=0. Постоянные интегрирования определяются из
граничных условий и условия замкнутости потока A4.4), кото-
которое теперь ввиду четности скорости должно выполняться в ка*
ждом канале отдельно. Определив постоянные интегрирования,
убеждаемся в том, что скорость и температура в жидкости
описываются формулами A4.6), A4.7) со знаком «плюс», об-
общим для обоих каналов, но с другими значениями критиче-
критического числа у. Они теперь находятся из характеристического
уравнения
tg2v-th2Y = 0. A4.9)
Температура в прослойке равна
2(ch2V-sin2y + sh2vcos2v) .
л (sin 2? |-:s1i2y) ' l '
Итак, уравнения A4.5) и A4.9) определяют спектр крити-
критических чисел Рэлея для движений четного и нечетного относи-
относительно х типа. Как видно из A4.5), критические числа у, соот-
соответствующие нечетным уровням, зависят от одного параметра
$c|#i|, характеризующего тепловую связь каналов. Большие
значения этого параметра соответствуют слабой тепловой связи

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ* КАНАЛЫ
1ГЛ: Щ
(большая толщина прослойки или малая ее теплопроводность).
Противоположный случай малых значений параметра u|*i| со-
соответствует сильной связи.
Критические числа в случае четного решения, как видно из
A4.9), не зависят от параметров прослойки. Это объясняется
тем, что температура в прослойке в этом случае постоянна и
в ней нет горизонтального потока
тепла, т. е. отсутствует тепловое
взаимодействие каналов. Гидрав-
Гидравлическая связь также отсутствует:
в каждом из каналов возникает^
«автономная» циркуляция с нуле-
нулевым расходом по сечению. Кри*
тические значения числа Рэлея,
естественно, совпадают со значе-
значениями, определяющими границу
устойчивости равновесия в оди-
одиночном плоском канале с тепло-
теплоизолированными границами. При
этом двум классам решений урав-
уравнения A4.9) tgv = ±th y отве-
отвечают движения четного и нечет-
нечетного типа относительно середины
канала (см. § 12; плоские возму-
возмущения).
На рис. 29 изображены ниж-
нижние уровни спектра критических
чисел в зависимости от парамет-
параметра п\х{\. Как видно, при
ft|Xi|~>oo «нечетные» критичес-
критические значения уменьшаются (по-
(понижается устойчивость). При h\xi\ ->оо, т. е. по мере ослабле-
ослабления связи между каналами, нижнее критическое число уи опре-
определяющее порог конвекции, стремится к нулю, и равновесие
становится абсолютно неустойчивым. Заметим, что при ослаб-
ослаблении связи (Й1АГ!|—> оо) движения нечетного типа также ста-
становятся практически «автономными» и поэтому сближаются чет-
четные и нечетные уровни, соответствующие движениям с одина-
одинаковым числом узлов скорости (Y3-*Y2> Y5~*Y4 и т.д.). При
сближении каналов в пределе k|*i|-*0 получается одиночный
канал ширины 4А. Поэтому критические числа нечетных уров-
уровней стремятся к соответствующим значениям для одиночного
канала (см. формулу A2.23); при сопоставлении необходимо,
разумеется, изменять вдвое масштаб расстояния).
Таким образом, ответственным за возникновение конвекции
в системе двух связанных каналов является нижний нечетный
^—.
У!
У*
Уз
Уг
Уг
„
.—.
Рис. 29. Спектр критических чисел у
для связанных плоских каналов.

§ 14) СВЯЗАННЫЕ КАНАЛЫ 97
уровень неустойчивости. Соответствующее движение схематиче-
схематически изображено на рис. 28.
2. Цилиндрические каналы. Рассмотрим теперь два верти-
вертикальных цилиндрических канала кругового сечения одинако-
одинаковых радиусов р с расстоя-
расстоянием между осями 2rf, окру-
окруженных ' теплопроводным
массивом (рис. 30). Ско-
Скорость и температура теперь
зависят от координат (х, у\
в плоскости сечений и удо-
удовлетворяют уравнениям рис 30. Круговые каналы. Оси координат.
A0.5) —A0.7); за единицу
расстояния принят радиус цилиндра р; через р определено и
число Рэлея.
Введем биполярные координаты (а, р) следующими соотно-
соотношениями (см. [22]):
a sha a sin ft
ch а + cos ft ' ^ ch а + cos ft
Ba— расстояние между полюсами). На границе жидкости
с массивом выполняются обычные условия:
приа=±а0 0 = 0, Т = Тт, *-? = -§f A4.11)
(считаем ао > 0; знаки «плюс» и «минус» соответствуют пра-
правому и левому каналам). Величина ао связана с геометриче-
геометрическими параметрами а и d соотношениями: a = shao, d = chao.
Предполагаются также выполненными условия конечности
возмущения температуры вдали от каналов и замкнутости потока.
Ограничимся нахождением приближенного решения, опреде-
определяющего нижний уровень неустойчивости. С этой целью
аппроксимируем скорость' простейшим полиномом, удовлетво-
удовлетворяющим граничным условиям
v = Vo[i—(x — df — у2]. A4.12)
Здесь v0 — произвольная (ввиду однородности задачи) ампли-
амплитуда движения, имеющая разные знаки для правого и левого
каналов.
Температура в массиве Тт является гармонической функ-
функцией, нечетной относительно х (т. е. и а), исчезающей на бес-
бесконечности (при а—>О) и периодической по 0:
-'... A4.13)
Температуру жидкости также аппроксимируем полиномом вида
T-=A-\-B{x~d)-\-C{x-df-\-Cy2. A4.14)
4 Г» 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

9ft
ЁЁ^ТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
[ГЛ. ttt
Входящие в A4.14) постоянные будут определены из гранич-
граничных условий и требования, чтобы температура приближенно (в
смысле метода Галеркина) удовлетворяла уравнению тепло-
йроводности:
J (Д71 + о) Г dS = О A4.15)
(интегрирование производится по сечению каналов). Разлагая
Т в ряд Фурье по переменной р и ограничиваясь в этом разло-
разложении, а также в A4.13), двумя первыми гармониками, полу-
получим из граничных условий A4.11)-для температуры и инте-
интегрального условия A4.15) пять соотношений для определения
постоянных Л, 5, С, с0 и с\. Таким путем находятся приближен-
приближенные выражения для температуры жидкости Т и массива Гт,
соответствующие аппроксимации
скорости A4.12).
Критическое число Рэлея най-
найдем обычным образом, составив
интегральное условие Галеркина
для уравнения A0.5). После вы-
вычислений получим:
Р 144A+2f) П416)
К— B + 3/J ' ^ло>
где f — известная функция ао и й
40
30
20
10
ч
х=О
"¦ —
1— —
-
—
2й
й(ао
Рис. 31. Критическое число Рэлея для
связанных круговых каналов в зависи-
зависимости от расстояния между осями ка-
каналов.
Формула A4.16) определяет кри-
критическое число Рэлея R как
функцию отношения теплопровод-
ностей жидкости и массива й и
расстояния между осями каналов
(в единицах радиуса) 2d =
= 2ch ao. Зависимость R от без-
безразмерного расстояния d для
нескольких значений й указана на рис. 31. Наиболее устойчи-
устойчивым оказывается равновесие при й = 0 (бесконечная теплопро-
теплопроводность массива). В этом случае критическое число Рэлея
максимально и не зависит от расстояния между каналами; его
значение получается из формулы A4.16) при f = 0 и равно 36.
(Напомним, что в случае одиночного канала, окруженного
идеально теплопроводным массивом, R = 215,6). С увеличением
й и d (т. е. с ослаблением тепловой связи между каналами)
критическое число R убывает.
Из формулы A4.16) видно, что в рассмотренном приближе-
приближении критическое число Рэлея определяется, в сущности, одним

% 15) ВОЗМУЩЕНИЯ, ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВДОЛЬ ВЕРТИКАЛИ 99
параметром f. Этому параметру можно придать наглядный
смысл, связав его с эффективным значением безразмерного
числа Био Ь, которое определим через усредненные по границе
канала тепловой поток и температуру:
Здесь знак ( ) означает усреднение по границе. Подставляя Г,
получим b = 2//. Таким образом, параметр / убывает с увели-
увеличением теплопередачи между жидкостью и массивом, т. е.
с увеличением связи между каналами. Эта величина является
аналогом параметра связи н\х\\ в случае плоских каналов.Для
больших (по сравнению с радиусом) расстояний между кана-
каналами (d»- 1,ао^> 1)
Приведенное решение относится к случаю каналов, взаимо-
взаимодействующих через твердый массив. Возможна также ситуация,
когда теплопроводный массив отсутствует, а на боковых грани-
границах связанных каналов выполняется линейный закон теплоот-
теплоотдачи. Расчет устойчивости для этого случая проведен в работе
Г. Ф. Шайдурова [23]. Там же обсуждаются результаты прове-
проведенных экспериментов. Отметим также работу А. Ф. Пшенич-
Пшеничникова и Г. Ф. Шайдурова [24], в которой изучалась конвектив-
конвективная устойчивость в связанных концентрических каналах.
§ 15. Возмущения, периодические вдоль вертикали
В предыдущих параграфах рассматривалась конвективная
устойчивость в каналах по отношению к осевым возмущениям,
не зависящим от вертикальной координаты. В уравнения для
возмущений координата z не входит, и потому возможны также
возмущения ячеистой структуры, периодически меняющиеся
вдоль вертикали. В бесконечно длинном канале возмущения
образуют непрерывный спектр по продольному волновому числу
к, а рассмотренные выше движения, при которых скорости вер-
вертикальны, соответствуют предельному случаю А->0 (бесконеч-
(бесконечная длина волны).
Для выяснения влияния продольного периодизма возмуще-
возмущений на границу устойчивости обратимся к случаю плоского ка-
канала. Будем рассматривать плоские возмущения, в которых
вектор скорости имеет компоненты vx и vz. Введем функцию
тока для возмущений скорости \|?(x, z) следующими соотноше-
соотношениями:
** H A5.1)

100
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
[ГЛ. III
Исключая давление и вводя в A0.2) функцию тока, полу-
получим
АГ-
дх
0.
A5.2)
Здесь А = д2/дх2 + д2/дг2 — оператор Лапласа в плоскости
(х,г).
Рассмотрим нормальные возмущения, периодически завися-
зависящие от z:
¦ (*, z) = y{x)eik\ T(xtz) = Q(x)eikz. A5.3)
Здесь k — вещественное волновое число, связанное с длиной
волны соотношением k = 2яД. Для амплитуд ф(х) и Q(x) из
A5.2) получаем систему линейных однородных уравнений
Особенно просто находится спектр критических чисел в мо-
модельной задаче о слое со свободными теплоизолированными
границами. В самом деле, граничные условия
при х=±\ ф = ср" = 0, 9' = 0
A5.5)
позволяют получить простые точные решения нечетного и чет-
четного типов:
/г=1, 3, 5, ...,
п = 2, 4, 6, ...
пп Г1 . / 2k \21 / пп \
= -г[1+Ы)\С05(— х)>.
ПП
пп
—
2k \21 . ( пп V
Критические числа Рэлея определяются для обоих типов ре-
решений общей формулой
Из этой формулы видно, что критические числа R для всех
уровней спектра монотонно возрастают с ростом волнового
числа возмущений, причем при малых k имеет место квадра-

*!51
ВОЗМУЩЕНИЯ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВДОЛЬ ВЕРТИКАЛИ
101
тичный рост R с k, а в предельном случае коротковолновых
возмущений (&.» 1) закон возрастания R ~ k6. Интересно за»
метить, что формула A5.6) дает пересечение уровней, соответ-
соответствующих модам с разными п. Так, при k = 3,2 происходит
пересечение первого и второго уровней спектра. Поэтому при
k < 3,2 наиболее опасно нечетное возмущение (я=1), а при
k > 3,2 — четное возмущение (п = 2).
В случае слоя с твердыми идеально теплопроводными гра*
ницами вместо граничных условий A5.5) будем иметь
при х — ± 1
<р' = 0, 9 = 0.
A5-7)
Краевая задача A5.4), A5.7) также может быть решена точно.
Однако получающееся при этом характеристическое уравнение
оказывается довольно сложным. л&
Поэтому для нахождения ниж-
нижних уровней спектра критических
чисел целесообразно в этом слу-
случае воспользоваться приближен-
приближенным методом Галеркина. В бо-
более общей постановке — для слоя
произвольной ориентации по от-
отношению к вертикали — эта
задача рассмотрена в работе
р5] и будет подробно разобрана
в следующем параграфе. Здесь
приведем лишь результаты рас-
расчета нижних уровней спектра
(рис. 32). При k = О получается
спектр плоской задачи (фор-
(формулы A2.21), A2.22)). С уве-
увеличением k все критические чис-
числа монотонно возрастают. Таким
образом, как и в разобранном *
выше модельном примере A5.6), l^lc^r^^LllXo^Z^^
Наиболее ОПаСНЫМИ ЯВЛЯЮТСЯ числа (четыре нижних уровня спектра).
осевые возмущения с k = 0.
Дробление потока по вертикали приводит к повышению крити*
ческого числа Рэлея. Этот результат сохраняется и для других
типов граничных условий [п> 12> и].
Рассмотрению аналогичной задачи об устойчивости равно*
весия в вертикальном круговом канале по отношению к ячеи-
ячеистым возмущениям посвящены работы Э. И. Славновой [26] и
В. И. Чернатынского, А. Н. Паршакова [27]. В [26] в первом при-
приближении метода Галеркина найдено критическое число Рэлея
для нижнего уровня спектра, соответствующего диаметральной
60
50
30
20
/О'
/
/
/
/
/
/

102
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
[ГЛ. IIJ-
антисимметрии движения в каждой ячейке. Критическое число
оказывается функцией двух параметров: волнового числа k и
отношения теплопроводностей жидкости и массива й. В [27]
точно найдены две осесимметричные моды для теплоизолиро-
теплоизолированных границ канала. Для всех мод критическое число R, как
и в обсужденном выше случае плоского канала, возрастает мо-
монотонно с увеличением k.
В работе [2в] сообщается также о наблюдавшихся в экспе-
эксперименте диаметрально-антисимметричных ячеистых структурах
в вертикальном канале. Измеренные критические градиенты
температуры и размеры ячеек соответствуют теоретическим ре-
результатам.
§ 16. Периодические возмущения в наклонном канале [25]
Из результатов предыдущего параграфа следует, что мини-
минимальное критическое число Рэлея в случае вертикального ка-
канала соответствует бесконечной длине
волны возмущения; разбиение на ячей-
ячейки вдоль оси приводит к повышению
устойчивости. В случае горизонталь-
горизонтальных каналов ситуация иная: в плоском
слое, например, минимум критического
числа Рэлея соответствует возмуще-
возмущениям определенной конечной длины
волны (гл. II), вследствие чего возни-
возникающая конвекция имеет ячеистую
структуру. Аналогичным образом об-
обстоит дело и в горизонтальном круго-
круговом канале, где, как будет показано в
§ 18, также предпочтительным являет-
является ячеистое возмущение с конечной
длиной волны.
Естественно, возникает вопрос о
том, как происходит смена формы неу-
неустойчивости при изменении угли наклона канала ж вертикали.
При этом, конечно, предполагается, что и в случае наклонного
канала возможно равновесие, т. е. условия подогрева обеспечи-
обеспечивают вертикальность и постоянство градиента температуры в
жидкости. Проще всего выяснить этот вопрос на при-
примере плоского слоя с идеально теплопроводными грани-
границами.
Рассмотрим плоский слой жидкости между двумя парал-
параллельными плоскостями, наклоненными под углом а к верти-
вертикали (рис. 33). Рассматривая, как и в предыдущем параграфе,
плоские нормальные возмущения, периодические вдоль оси г
Рис. 33. Плоский наклонный
слой. Оси координат.

§16) ПЕРИОДИЧЕСКИЕ 6ОЗМУЩЕНИЯ Ё НАКЛОННОМ КАНАЛЕ ЮЗ
(см. формулы A5.1), A5.3)), получим для амплитуд функции
тока ф(х) и температуры Э(х) вместо A5.4) более сложную си-
систему
<piv _ 2?2ф" + &4Ф = R (ik sin a . 6 + cos а • 0'), I
9" — k2Q = ik sina • ф + cosa • <p' / A6.1)
с граничными условиями
при х=±1 ф = ф/ = 0, 0 = 0. A6.2)
Здесь, как и прежде, число Рэлея определено через полуши-
полуширину слоя и равновесный вертикальный градиент температуры.
Решение краевой задачи A6.1), A6.2), а следовательно, и кри-
критические числа R теперь зависят от двух параметров —волно-
—волнового числа k и угла наклона а.
1. Критический угол. Прежде всего можно показать, что
смена формы неустойчивости — переход от плоскопараллельных
движений к ячеистым —происходит при некотором критическом
значении угла наклона. Для этого нужно рассмотреть решение
задачи в предельном случае длинноволновых возмущений, для
которых длина волны много больше ширины канала, а безраз-
безразмерное волновое число k мало и может быть принято в каче-
качестве малого параметра.
Следуя методу малого параметра, будем искать амплитуды
возмущений ф и 0 и критическое число R в виде разложений по
малому параметру ik:
+ (^)фП) + (^JфB)+ J
R = R^ + ^2) + ^4RD)+ .<< A6.4)
(разложение вещественной величины R содержит, естественно,
лишь четные степени ik).
Подставляя разложения A6.3), A6.4) в A6.1), можно по-
получить уравнения последовательных приближений. Нулевое
приближение определяет критические числа R<°> и амплитуды
ф(°) и 0<°) плоскопараллельных возмущений с k = 0. Для ам-
амплитуд более высоких приближений ф<г'\ 0<г") получаются неод-
неоднородные уравнения, из условий разрешимости которых нахо-
находятся поправки R<2>, R<4), ...
Отсылая за подробностями вычислений к работе р5], приве-
приведем здесь лишь результаты, касающиеся спектра критических
чисел R.
Собственные числа R(°> плоскопараллельных возмущений,
как оказывается, растут с увеличением угла наклона по закону
A6.30

104 вертикальные каналы ttn. iii
где значения у определяются разными формулами для уровней
разной четности. Для нечетных уровней
Y = (n+l)-y; n=l, 3, 5, ...
Для четных уровней значения у определяются как корни транс-
трансцендентного уравнения
Y = 3,927; 7,069; 10,21;...
Нечетные и четные уровни чередуются в порядке возрастания:
Yl-n; Y2 = 3,927; y3 - 2я; Y4=7,069; ... (см. A2.21), A2.22)).
Из условия разрешимости неоднородной системы уравнений
для амплитуд второго порядка ф<2), 0<2) находится квадратичная
поправка R<2). Для нечетных уровней
RB) - Jfc [l - т ^2 а Fy cth v -5)]• <16-4')
где у = я, 2я, Зя, t. .
Поведение нейтральных кривых R(k) при малых k зависит
от знака RB>, Если R<2) > 0, то в точке k = 0 на кривой устой'
чивости имеется минимум, и это означает, что наиболее опас-
опасными являются плоскопараллельные возмущения. Если R<2> < 0,
то точке k = 0 соответствует максимум на нейтральной кри-
кривой, а минимум следует искать в области k Ф 0 (ячеистые
возмущения). Таким образом, смене формы неустойчивости со-
соответствует изменение знака RB). Из формулы A6.4') видно, что
при малых а квадратичная поправка R<2> положительна. С уве«
личением а поправка монотонно убывает и меняет знак при
некотором значении угла наклона о&о. Из условия RB) = 0 по-
получим критический угол
B)'/. A6.5)
Для нижнего нечетного уровня, который определяет порог
конвекции, у —я и> следовательно, осо = 20°46/. Таким обра-
образом, в интервале углов 0 < а < осо минимальное число Рэлея
соответствует плоскопараллельным возмущениям с km = 0 и
равно (см, Об.З'))
При &>'оо минимум достигается при km*?0l). Аналогично
доведение кривых устойчивости R(&) при малых k для более
йысоких нечетных уровней спектра. Критические углы опреде-
*) Аналогичный расчет критического угла может 6brfb йройЗвеДен и дЛй
Слоя со свободными границами [28J. Критический угол для нижнего нечетного
уйойня «о3* 28°02'*

$ 16] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В НАКЛОННОМ КАНАЛЕ 105
ляются формулой A6.5) с соответствующими значениями у.
Для следующего нечетного уровня критический угол ао =*
= 13° 53'.
Для определения волнового числа kmy соответствующего ми-
минимуму на кривой R(k) вблизи критического угла ао, заметим,
что при а ~ ао из A6.4х) ,A6.-5) следует
R<2) = a(a0-a) (a > 0).
Разложение A6.4) с точностью до членов порядка kA имеет
вблизи критического угла ао вид
где а > 0 и R<4> > 0. Минимизация R по k дает
a-a0). A6.7)
«
Таким образом, при a ^ a0 критическое волновое число kM рас-
растет по корневому закону.
Квадратичная поправка RB) для всех четных уровней спек-
спектра оказывается положительной при всех а. Кривые R (k) для
четных уровней всегда имеют минимум при k = 0, и критиче-
критические углы отсутствуют. Смена формы неустойчивости происхо-'
дит и на четных уровнях, однако, как будет видно при обсу-
обсуждении численных результатов, этот переход имеет другой ха-
характер 1).
2. Численное решение для произвольных k. Для получения
спектра неустойчивости при конечных значениях волнового чи-
числа k следует обратиться к полной системе A6.1). Можно на-
написать общее решение этой линейной системы с постоянными
коэффициентами. Однако получающееся характеристическое со-
соотношение, из которого следует находить критические числа
Рэлея, оказывается очень сложным. Поэтому целесообразно
воспользоваться методом Галеркина.
Представим амплитуды ф(л:) и 8(лс) в виде разложений
М N
<p = 2ai<pi, е = 2*А. A6.8)
*=0 /=0
В качестве базисных функций ср* и 9/ примем собственные функ-
функции следующих краевых задач:
); Ф| (± 0 = фИ± 0 = 0; 1
9)
9" — ?20 — — v ft,; 9, (+ 1) = 0. I ^6*
х) Решения краевой задачи A6.1), A6.2) при произвольных k не обла-
обладают определенной четностью. Термины «четный» и «нечетный» уровни здесь
следует понимать условно, имея в виду свойство соответствующих решений
в пределе при k-*Q.

106
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ
[ГЛ. III
Эти базисные функции представляют собой амплитуды
мальных возмущений скорости и температуры в плоском слое
покоящейся жидкости при R = 0, а \)ц и vz — соответствующие
декременты этих возмущений. Явный вид базисных функций и
соотношения для определения собственных чисел \ii и v/ при-
приведены в [29]; см. также гл. X.
40°
*/т
/20
НО
90
А
"—
60*
90'
/
60*
90щ
Рис. 34. Нейтральные кривые основного Рис. 35. Критические параметры основного
уровня неустойчивости для разных углов уровня неустойчивости в зависимости от угла
наклона. наклона.
Интегральные соотношений метода Галеркина приводят
к линейной однородной системе для коэффициентов а^ bi. За-
Задача определения спектра критических чисел Рэлея сводится
к нахождению собственных значений соответствующей веще-
вещественной матрицы. Для диагонализации этой матрицы исполь-
использовался ортогонально-степенной метод [30]. Расчеты были прове-
проведены на ЭВМ в приближении М = N = 7. В этом приближении
матрица имеет 16-й порядок, и в результате ее диагонализации
получаются восемь уровней спектра критических чисел R. До-
Достаточной точностью, естественно, обладают лишь нижние
из них.
На рис. 34 представлены нейтральные кривые Ri(fe) ниж-
нижнего уровня неустойчивости для разных углов. При 0 < а < 21°
критическое число Ri монотонно возрастает с увеличением вол-
волнового числа k\ минимум соответствует km = 0. При а > 21°
минимум смещается в область km ф 0. Минимальное значение
R>w, определяющее границу устойчивости, изображено §

§16Т
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В НАКЛОННОМ КАНАЛЕ
107
симости от а на рис. 35, а. Устойчивость максимальна в обла-
области углов, близких к 35°. При а-*90° Riw-* 106,8 (первое кри-
критическое число задачи об устойчивости горизонтального слоя
с твердыми границами; это число нужно умножить на 16, чтобы
получить число Рэлея, определенное через полную ширину слоя
и разность температур границ; тогда получим значение 1709).
Рис. 36. ВДейтралыдазе жривые -второй) уровня
неустойчивоети.
Величина Rim довольно слабо зависит от угла наклона. Однако
при изменении а происходит смена формы неустойчивости. При
а < ао кризис равновесия обусловлен плоскопараллельными
движениями (km — Q)t а при а > а0 неустойчивость имеет
форму ячеек Бёнара, волновое число которых km монотонно
возрастает с ростом угла (рис. 35,6).
Нейтральные кривые R2(?) второго уровня спектра пред-
представлены на рис. 36. Как уже указывалось выше, в этом случае
при всех а имеется минимум при k = 0. Соответствующее ми-
минимальное значение R2m меняется с углом а по формуле A6.3'),
где у = 3,927 (кривая / на рис. 37). При увеличении а на кри-
кривых устойчивости сначала появляется точка перегиба, а при
а = 43° возникает второй минимум при km = 2,0. С ростом а
этот минимум смещается в сторону больших k. Зависимость

ЙЕРГИКАЛЫШЁ КАНАЛЫ
(ГЛ. 1П
минимального критического числа R2m (а) изображена на рис. 37,
кривая //. При а-*90° получается R2m = 1102— второй уро-
уровень спектра рэлеевской неустойчивости в горизонтальном слое;
Переход от плоскопараллельных движений к ячеистым проис-
то
#
У
¦"--¦
1
/¦¦
Риь. В7. :
ее
. в ;(;-1виоимос.тч
от угла наклона.
ходит при а = 63°, где пересекаются кривые 1 и II. В этой
точке km скачком изменяется от нуля до конечного значения.
^Поведение верхних уровней неустойчивости более сложно.
Нейтральные кривые R(k) имеют несколько экстремумов; число
их Зависит от угла и возрастает с ростом номера уровня.
В заключение заметим, что описанная смена формы неустой-
неустойчивости при изменении угла наклона, по-види_мому, типична
для длинных каналов произвольного сечения.

ГЛАВА IV
ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ
В этой главе мы рассмотрим различные задачи линейной
теории конвективной устойчивости для ограниченных объемов.
Критические движения в этих случаях имеют существенно
трехмерную структуру, и точное решение получить не удается.
Для приближенного решения задачи применяется метод Буб-
Бубнова — Галеркина, позволяющий с достаточной точностью опре-
определить несколько нижних уровней спектра неустойчивости.
§ 17. Шаровая полость [*]
1. Базисные функции. Рассмотрим, прежде всего, задачу
о конвективной устойчивости жидкости в шаровой полости,
окруженной однородным твердым массивом. Условия подогрева
таковы, что на большом расстоянии от полости в массиве задан
постоянный вертикальный градиент температуры —Ат\ (при
подогреве снизу Лт>0). В этих условиях (см. § 2) возможно
равновесие жидкости, причем равновесный градиент темпера-
температуры в ней А связан с градиентом в массиве Ат соотношением
где х = x/xm— отношение теплопроводностей.
Для решения задачи об устойчивости равновесия с помощью
метода Галеркина необходимо выбрать систему базисных функ-
функций. Векторные базисные функции для аппроксимации скоро-
скорости удобно искать в виде полиномов, обращающихся в нуль на
границе полости:
их — V1 г ) ±Л атпрх У z >
т, п, р
т, п, р
итпр* У * >
тип„р
uz = (i-n 2л стпрх"'у
т, п, р
A7.1)
Здесь г2 = х2 + У2 + ?2; я, У, z — декартовы координаты
(рис. 38); радиус шаровой полости а принят за единицу длины.
Потребуем, чтобы базисные функции для скорости удов-
удовлетворяли уравнению непрерывности. Подставляя A.7.1) в

по
ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ
[ГЛ. IV
,/i-2, р
, /г+Ьр + &т,/г+1, р-2
ст, /г, р + 1 + ^т-2, /г, р
я-2,
и,=
Ио =
уравнение непрерывности div v = О, получим систему соотноше-
соотношений, связывающих коэффициенты
A +m)[am-lirtiP — am+1>rt>p
Р]+
A7.2)
Ограничимся вначале полиномами четвертой степени (т +
+ п + р^2). В этом случае формулы A7.1) содержат 30 ко-
коэффициентов, а уравнения A7.2) связывают их 19 соотноше-
соотношениями. Имеется, таким образом, 11 независимых коэффициен-
коэффициентов, что позволяет построить 11 независимых базисных векторов
щ> удовлетворяющих уравнению непрерывности и обращающих-
обращающихся в нуль на границе полости. Удобно выбрать базисные векго-
ры следующим образом:
0
-2A -Г2), Щ:
У(\-г2)
о
ху{\-г2)
— ху{\—г\ и8 =
Х2A-Г2)
2X2A -Г2)
21/2A -Г2),
A-37-2 + 2г2)A-г2)
2ху{\ -г2)
«„= (i_3r2 + 2i/2)(l-r2). A7.3)
2yz(l-r2)
Эти базисные функции распадаются на четыре группы раз-
разной симметрии: (иь «2) и3); («4, «в); («в, «7, «в); («э, «ю, «и).
Функции, входящие в каждую группу, получаются одна из
другой преобразованием симметрии.
Критические движения можно представить в виде суперпо-
суперпозиции базисных движений A7.3):
» = 2ед. A7.4)
2A-
г2)
0 , «3 =
-хA-г2)
yz{\-r2)
0 , «6 =
-ху{\-г2)
ху{\-г2)
-уг{\-Г2)
«10 =
г2)
-у(\— г2)
хA-г2),
0
Х2A—Г2)
(х2-у2)A-г2)
A-Зг2 + 2х2)A-г2)
2xi/(l -г2)
2X2A —
г2)

§17]
ШАРОВАЯ ПОЛОСТЬ
111
Коэффициенты сг- будут определены далее с помощью метода
Галеркина.
В соответствии с процедурой, описанной в § 4 (второй ва-
вариант метода), нужно решить уравнение теплопроводности и
найти распределение температуры
в жидкости и массиве, соответст-
соответствующее аппроксимации скорости
A7.4)/ Безразмерные уравнения
теплопроводности в жидкости и мас-
массиве имеют вид
Подставляя в первое из этих урав-
уравнений аппроксимацию скорости
A7.4) и решая уравнения с усло-
условиями непрерывности температу-
температуры и теплового потока на границе
жидкость — массив, найдем 1)
Т = 2 ctTh Tm = S ctT
mi.
A7.5)
°си*ко"
Приведем лишь.нужные для дальнейшего функции Ть дающие
распределение температуры в жидкости:
Г, =
зт2ф,
Г3 = 0,
= 2/2(г)Р<2) соз2Ф>
-l-
Здесь введены обозначения для радиальных функций:
с t ч 1 /18 + 17х < А о , - А
(
1512 V, 3 + 2Й
') При решении уравнений теплопроводности оказывается полезным вы-
выражение для гармонической функции в сферических координатах:
cos m<p
sin Н
cos
fде Р^1 (cos 0) — присоединенное

112 ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ [ГЛ. IV
2. Нижние уровни спектра неустойчивости. Аппроксимация
скорости A7.4) и соответствующее распределение температуры
A7.5) позволяют составить систему уравнений метода Галер-
кина для нахождения коэффициентов сг-. Условие разрешимости
этой системы записывается в виде
det(a,*) = O. A7.6)
Отличные от нуля элементы определителя таковы:
__ _t 37 + 68x „ _1
an—022—1— 17325B + *) К' a33 —Y'
a44 = a55=1 — cR, a45 = a54 = --y + ^R,
4
^66 === 1 §" ^R> ^77 === ^88 == " — ^R>
%, 10 = «10. 7 = — а8, 11 = — «11,8 = — 2CR,
- 2D25 + 331х) ~ ол >i n
a99=1-15 315C + 2x)R> "Ю. 10 = 011,11 = 20-4cR>
где
\ 42 042C + 2х) *
Из уравнения A7.6) определяются критические числа Рэлея,
а из системы однородных уравнений метода Галеркина — соот-
соответствующие коэффициенты с{. Уравнение A7.6) имеет семь
конечных вещественных корней R — три двукратных и один про-
простой. Кроме того, имеются четыре бесконечных корня. Таким
образом, определяются четыре различных критических числа.
Рассмотрим критические числа Рэлея и соответствующие им
критические движения в порядке возрастания R при й=оо.
Первый двукратный корень равен
_ 17 325 B + х) '
Ка~~ 37 + 68Й
Этому корню соответствуют две собственные функции 1>а = Щ и
v'a = ur Они изображают движение жидкости по круговым
траекториям, лежащим в вертикальных плоскостях (рис. 39, а).
Траектории движения г>а лежат в плоскостях, параллельных ко-
координатной плоскости (г/, z); траектории v'a параллельны пло-
плоскости (*, z) и получаются из яа поворотом на 90° вокруг вер-
вертикальной оси.
Далее рассмотрим корень
_ 63 063C + 2х)
Кб— 2D7 +
Этот корень также является двукратным. Одно из соответствую-
соответствующих критических движений у$ = щ; другое движение

§ 17]
ШАРОВАЯ ПОЛОСТЬ
113
v6 = u4 — u5 отличается от vq лишь поворотом вокруг вертика-
вертикали на 45°. Это движение схематически изображено на рис. 39, б.
Затем следует простой корень
р 315 315C + 2й) (\7Q\
*¦** 2D25 + 331х) ^ \U* }
Соответствующее критическое движение vB = Ug аксиально-сим-
аксиально-симметрично (рис. 39, в).
Еще один двукратный корень равен
315 315C + 2х) ,]7 lf)v
Кг= 4D7 + 79х) * КИЛЮ)
Критические движения vT=l0u7 + Зи\0 и v[ = — Юа8 + 3ап от-
отличаются поворотом относительно оси z на 90°. Одно из них
изображено на рис. 39, г.
') д)
Рис 39. Критические движения в шаровой полости.
Наконец, укажем движения, соответствующие четырем бес-
бесконечным корням характеристического уравнения:
Щ, Щ + и5, ulQ — 2u7, ип+2щ.
Во всех этих случаях vz=0 — жидкость движется в горизон-
горизонтальных плоскостях.
Найденные критические числа Рэлея в зависимости от отно-
отношения теплопроводностей к приведены на рис. 40. Как видно,
все критические числа с ростом й убывают. Во всем интервале
изменения й наиболее опасным является движение типа а —
ему соответствует наименьшее критическое число Рэлея. В бо-
высоких уровнях спектра возможны пересечения,

114
ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ
[ГЛ. IV
с изменением формы неустойчивости. Так, уровни Re и RB пере^
секаются при й « 3.
Заметим, что структура трех нижних уровней спектра не-
неустойчивости вполне аналогична структуре спектра в верти-
вертикальном круговом цилиндре (см.
рис. 19). Движения типа а, б и в по
своей симметрии являются аналога-
аналогами движений с индексами (я=1,
/=1); (л = 2, /=1); (az = O, / =
= 1) в случае вертикального ци-
цилиндра. Движения типа г и д (пос-
(последнее будет рассмотрено ниже) не
имеют аналогов в спектре движений
бесконечного цилиндра.
Обсужденные уровни неустойчи-
неустойчивости получены с использованием
базисных функций, построенных из
полиномов не выше четвертой сте-
степени. Включение в A7.1) полино-
полиномов более высокого порядка приво-
приводит к значительному расширению
базиса. Таким путем можно уточ-
уточнить найденные нижние уровни
спектра и получить критические
числа и движения для более высо-
высоких уровней. Среди движений, опи-
описываемых полиномами пятой степе-
аксиально-симметричная мода (рис.
аппроксимируется базисной
Рис, 40. Критические числа Рэлея
для шаровой полости в зависимости
от отношения теплопроводностей.
ни, наиболее интересна
39,5). Распределение скорости
функцией
*[4z2-(l-
u=
—г2)
—г2),
+ (l-3r2)](l-r2)
а критическое число Рэлея оказывается равным
р _
_ 135 135 D + Щ
A7.11)
8 A7+ 16х)
При й=0,5 уровни Rr и RA пересекаются (рис. 40).
3. Уточнение основного уровня неустойчивости. Основной ин-
интерес представляет нижний уровень спектра неустойчивости,
определяющий начало конвекции в полостр. Найденное выше
значение критического числа Ra соответствует первому прибли-
приближению метода Галеркина, поскольку оно получено при помощи
единственной базисной функции щ или и2. Остальные использо-
использовавши базисные функции обладают ццои симметрией и ро-

§171
ШАРОВАЯ ПОЛОСТЬ
115
этому не приводят к уточнению нижнего уровня. Для уточне-
уточнения критического числа Ra необходимо использовать суперпо-
суперпозицию нескольких базисных функций одинаковой симметрии,
соответствующей основному уровню.
Аппроксимация, с помощью которой был найден основной
уровень неустойчивости в первом приближении, описывает пло-
плоские движения с круговыми траекториями. Добавление новых
функций той же симметрии искажает круговую форму траекто-
траекторий и делает их неплоскими. Можно думать, однако, что траек-
траектории основного критического движения в шаровой полости
близки к плоским. Поэтому при уточнении основного уровня [2]
мы будем считать, что отличны от нуля лишь компоненты ско-
скорости vx и vz, которые можно выразить через функцию тока
)
°*—?• °y> °*=-J7- <17Л2)
Исходя из трех базисных функций при аппроксимации ty(x,y,z)
A-r2J, (l-r2Jr2sin2e, (I- r2J г2 cos2 9,
получим подформулам A7.12) три базисных вектора
2A -Г2)
О , a<2> = J
•хA-г2)
0
*(l+2z2-3r2)(l-r2)
«C),
z(l-r2 + 2z2)(l-r2)
О
2л:г2A-г2).
Базисные векторы Ф\ и<2>, и<3> описывают движения в пло-
плоскостях, параллельных координатной плоскости (х, z). В пер-
первом приближении использовалась только одна функция Ф\
Решая уравнение теплопроводности, получим распределение
температуры в жидкости, соответствующее этому базису;
¦щ$(с2г - 189г3 + 243г5 - 91/-7) P\l) cos ф -
1 ' ¦¦¦8 —г^ + ЭгО/'У'созф,
^ (с4г - 27г5 + Иг7) Р',0 cos ф -
+ "Й85
1890

lie
где
Замкнутые г!олос1й
[ГЛ. IV
18 + 17x _ 74— Их _ 52 + 47й _ 26 + 37х
Характеристическое соотношение можно записать в виде
det (blk — Rcik) = 0. A7.13)
Элементы определителя равны:
, 125 , _. __&__ А_63
022 — —, ^23 — ^32— ц . ^33 — "gg" •
37 + 68Х
1925B
123 + 276х
-12 —-21— 385 B + х) •
_ _ 123 + 276х _ 13 396 + 61 205х 4
J — ^31 — 75 075 B4-х) ' °22 ~ 1 486 485 B 4- *) D 4- Зх) '
•74-435Й-М4 658Й*
Критические
числа Рэлея для
шаровой полости
Раскрывая определитель в A7.13), получим кубическое урав-
уравнение, наименьший корень которого дает уточненное значение
нижнего критического числа Ra1)- Критичес-
Таблица 6 кие числа ^а для некоторых значений отно-
отношения теплопроводностей жидкости и массива
приведены в табл. 6.
Как и следовало ожидать, уточненные зна*
чения Ra ниже значений, определяемых пер-
первым приближением (формула A7.7)). При
й = оо (теплоизолированные границы) по-
поправка мала и составляет 1,6%. С уменьше-
уменьшением й поправка монотонно возрастает, до-
достигая 21% при к —0 (идеально теплопро-
теплопроводные границы).
Дальнейшее утрчнение результатов тре«
бует включения в расчет большего числа ба*
зисных функций, построенных, например, на
основе полиномов более высокой степени.
Расширение базиса позволяет, в частности, учесть то обстоятель-
обстоятельство, что основное критическое движение не является, строго
говоря, плоским. Весьма аккуратный расчет Шермана [3], про-
проведенный для частного случая полости с идеально проводящей
я
0
0,2
0,5
1
2
5
оо
R
775,1
670,1
560,1
467,7
385,8
314,2
251,0
1) Два других корня дают грубое приближение к высоким уровням той же
симметрии и здесь не обсуждаются.

§ 18) КУБИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ 117
границей (й = 0), привел к значению критического числа Ra =
= 745,9 (отличие от значения 775,1, приведенного в табл. 6, ме-
менее 4%).
Экспериментальное исследование конвективной устойчиво-
устойчивости равновесия жидкости в шаровой полости было проведено
в работе А. П. Овчинникова и Г. Ф. Шайдурова [4]. Они на-
наблюдали кризис теплового потока и форму критического дви-
движения в шаровой полости, заполненной водой и окруженной
массивом из плексигласа. Эксперимент показал, что кризис
равновесия связан с движением типа а (см. рис. 39); опреде-
определенное в эксперименте критическое число Рэлея оказалось рав-
равным 350 ± 30 для отношения теплопроводностей воды и плекси-
плексигласа й=3,26. Соответствующее теоретическое значение, опреде-
определяемое уравнением A7.13), составляет Ra=340.
Заканчивая обсуждение вопроса об устойчивости равнове-
равновесия в шаровой полости, укажем на работу [5], в которой прове-
проведен расчет спектра декрементов нестационарных возмущений.
Рассматривались возмущения специального вида, для которых
радиальная компонента скорости vr мала и траектории частиц
жидкости расположены на соответствующих сферических по-
поверхностях (к числу таких движений принадлежит, в частности,
основное критическое) !). В работе [6] возмущения такого же
вида рассматривались в связи с определением границы устой-
устойчивости равновесия в шаровом слое.
Более сложный случай устойчивости равновесия в системе
двух несмешивающихся жидкостей, заполняющих шаровую по-
полость, изучался теоретически в работах [7»8] и экспериментально
в работе [9].
§ 18. Кубическая полость [10]
Кубическая полость интересна по той причине, что она ока-
оказалась весьма удобной для экспериментального исследования
конвективной неустойчивости [п»12]. Из-за наличия углов сни-
снимается цилиндрическая симметрия и основной уровень неустой-
неустойчивости оказывается менее вырожденным: плоскости траекто-
траекторий основного критического движения теперь могут распола-
располагаться лишь параллельно боковым граням куба, тогда как
в случае шара, например, все вертикальные плоскости, прохо-
проходящие через вертикальный диаметр, равноправны. По этой же
причине оказалось* возможным наблюдать в кубической полости
не только основное движение, но и движения, соответствующие
более высоким уровням спектра неустойчивости. Следует
') Можно показать, что решения, полученные в предположении vr = 0,
являются приближенными; см. по этому поводу [2].

118
ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ
1ГЛ. IV
отметить также, что плоские границы полости облегчают визуаль-
визуальное наблюдение и фотографирование движений.
На основании результатов исследования спектров неустой-
неустойчивости в бесконечном вертикальном цилиндре и, в особенности,
°) 6) в)
Рис. 41. Схема критических движений в кубической полости.
в шаровой полости можно заключить, что и в кубической по-
полости наиболее интересными являются уровни спектра, соот-
соответствующие движениям, изображенным схематически на
рис. 41. Эти движения совершенно аналогичны движениям типа
а, б, в в случае шаровой полости
(рис. 39).
Приведем результаты прибли-
приближенного расчета критических дви-
движений типа а, б и в для двух пре-
предельных случаев — бесконечно про-
проводящих и теплоизолированных гра-
У ниц. Расчет проводится методом Га-
леркина. Форма области не позво-
позволяет получить точное элементарное
решение уравнения теплопроводно-
теплопроводности; поэтому оно также будет ре-
п „ ж л шаться приближенно.
Рис. 42. Кубическая полость. Оси коор- -» п \ п* «
динат. 1. Движение типа а). Простей-
Простейшая базисная функция, удовлетво-
удовлетворяющая уравнению непрерывности и условиям на твердых гра-
границах куба, описывающая движение рассматриваемого типа,
имеет вид (оси координат указаны на рис. 42; в качестве едини-
единицы длины принята половина длины ребра куба)
*,-<>,
A8Л)
Возмущение температуры в случае идеально теплопровод-
теплопроводных границ обращается в нуль на поверхности полости. Сим-
Симметрия распределения температуры определяется видом компо-

§18} КУБИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ 119
ненты скорости vz. Простейшая аппроксимация, удовлетворяю-
удовлетворяющая этим требованиям, такова:
Г = а,Г,; Г! =лгA — л:2)A — i/2)(l — ^2). A8.2)
Коэффициент а\ находится из приближенного решения уравне-
уравнения теплопроводности по методу Галеркина и оказывается рав-
равным а\ =—12/217. Интегральное условие ортогональности, со-
составленное для уравнения движения, позволяет найти критиче-
критическое число
1^ = 514.
В случае теплоизолированных границ на поверхности по-
полости исчезает нормальная к границе составляющая градиента
температуры дТ/дп. При таких граничных условиях требуется
более сложная аппроксимация температуры:
, = *r/2C-*2)B-r/2), A8'3)
> = *z2C-*2)B-z2).
Вычисления дают значения коэффициентов а\ = —1093/33 390,
а2= 1/159, а3-= 1/106, и критическое число Рэлея
Ra=152.
2. Движение типа б). Это движение описывается базисной
функцией
vx = yz(\-x2J(\-y2)(\-z\
^ = л:^A — л:2)A -r/2J(l -z2), | A8.4)
vz = - 2ху A - х2) A - у2) A - z2J.
Температура аппроксимируется выражениями: в случае
идеально теплопроводных границ
ЗП-О-д^О-^О-*8)**: ai = -l&; A8.5)
в случае теплоизолированных границ
A8.6)
Г, = хуC- х2) C ^i/2), Т2 = хуг2 C-х2) C-у2) B - z2);
I3l_ _ 9
йх~ 15 113 * п2~ 2159 #
Соответствующие критические числа Рэлея:
R6 = 877 (идеально теплопроводные границы),
(теплоизолированные гранйдм)^

120
ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ
[ГЛ. IV
3. Движение типа в). Это движение аналогично осесиммет-
ричным движениям в вертикальном цилиндре и шаре. Аппрок-
Аппроксимация скорости такова:
A8.7)
vy = Ayz A - х2) A - г/2J A - z\
|
vz = [2~b (x2 + у2)] A - x2) A - y2) A - z2J. )
Для температуры имеем: в случае идеально теплопроводных
границ
= а{Гх+а2Т2\
Т2 = (х2 + у2) A - х2) A - у2) A - г2);
568 _108_.
•~ 707 '
а>\
4949 ' 2
в случае теплоизолированных границ
Т = а{Г\ -\- а2Г2 + о,$Тз -f- а4Г4',
A8.8)
B _ х2) + у2 B ^ у2), Т2 = z2B- г\
Г4 = z2 B - z2) [х2 B - х2) + у2 B - г/2)];
31_ 7_ _ 4
ai ~ 270 ' а2~ 135 ' аз~ 135 '
18
A8.9)
Числа Рэлея после вычислений оказываются равными:
RB = 574 (идеально теплопроводные границы),
rb = 549 (теплоизолированные границы).
Схема нижних уровней спектра для% двух рассмотренных
предельных случаев температурных граничных условий изобра-
изображена на рис. 43. Из сопоставления с рис. 18 и 40 видна общ-
общность структуры нижней части спектра для вертикального ци-
цилиндра, шара и кубической полости. В самом деле, движение
типа а является во всех случаях наиболее опасным; критиче-
критические числа движений типа бив пересекаются по параметру й,
причем RB слабо зависит от й (в случае вертикального ци-
цилиндра эта зависимость вообще отсутствует).
Экспериментальное определение критических чисел Рэлея
проводилось А. П. Овчинниковым [п]. Наблюдался кризис теп-
теплового потока через кубическую полость, заполненную водой
р окруженную массивом из плексигласа (отношение тещюпро-

lift
КУБИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ
-600
в
водностей й=3,26). Эксперименты говорят о том, что если не
принимать специальных мер, то всегда возникает движение
типа а. Найденное в опытах критическое число Ra=228±6
заключено между предельными расчетными значениями 514 и
152. При определенных условиях эксперимента удавалось воз-
возбудить также стационарное движение типа б. Соответствующее
экспериментальное значение критического числа R6 = 375±12,
что также находится внутри вычисленного интервала для дви-
движения этого типа (877 и 353). В некоторых опытах наблюда-
наблюдалось и движение типа в. Получить
критическое число Рэлея для этого
движения не удалось, так как оно
неустойчиво и обычно быстро пере-
перестраивается в движения типа а
или б.
В заключение этого параграфа
остановимся кратко на результатах
работы Дэвиса [13], в которой иссле-
исследовалась устойчивость равновесия в
полости в виде прямоугольного па-
параллелепипеда. Границы области
предполагались твердыми и идеаль-
идеально теплопроводными. Длина верти-
вертикального ребра принята за единицу
длины, а безразмерные длины гори-
горизонтальных ребер вдоль осей хну
равны hi и Л2. В работе рассмотре-
рассмотрены возмущения в виде «одноэтаж-
«одноэтажной» системы конечного числа кон-
конвективных валов, оси которых па-
параллельны одному из горизонталь-
горизонтальных ребер. Для определения границы устойчивости применяется
метод Галеркина с аппроксимирующими функциями, построен-
построенными из полиномов. Критическое число Рэлея зависит от пара-'
метров hi и Лг, а также от числа конвективных валов и ориен-
ориентации их осей. Расчет показывает, что во всех случаях наиболее
опасными являются возмущения в виде системы валов с осями,
параллельными короткому ребру основания параллелепипеда;
число этих валов зависит от соотношения между Л4 и fe и, в
общем, возрастает с увеличением этих параметров. Ре-
Результаты расчетов позволяют построить сводную .карту
(рис. 44), на которой изображены изолинии постоянных зна*
чений минимального критического числа Рэлея на плоскости
(Аь Л2), а также указаны границы зон, соответствующих кри*
тическим возмущениям определенной структуры. Карта сим-
симметрична относительно диагонали /ti=/t2; точкам плоскости.
гоо-
0J
Идеально щ
теплопроводны?
границы
Рис. 43. Критические числа Рэлея
для кубической полости.
•гоо
Ю
Тепло-

122
ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ
[ГЛ. IV
расположенным ниже диагонали, соответствуют наиболее опас-
опасные возмущения в виде системы валов, параллельных оси у;
О
Рис. 44. Диаграмма устойчивости для прямоугольного
параллелепипеда I18]. Сплошные линии — изолинии по-
постоянных значений минимального критического числа
Рэлея (числа Рэлея определены по полной высоте по-
полости). Штриховые линии— границы зон, соответствую-
соответствующих критическим возмущениям в виде системы конечного
числа валов, параллельных короткому ребру основания
(число валов указано цифрами).
в точках выше диагонали валы ориентированы параллельно
оси х. При увеличении /ti и h2 критические числа стремятся
к значению 1708, соответствующему бесконечному горизонталь-
горизонтальному слою.
§ 19. Вертикальный цилиндр конечной высоты [14]
Рассмотрим теперь задачу об устойчивости равновесия в
вертикальном круговом цилиндре конечной высоты 2/ (рис.45).
Силы вязкости вблизи дна и крышки, естественно, должны
приводить к повышению устойчивости по сравнению со случаем
бесконечного цилиндра. Геометрическим параметром, опреде-
определяющим устойчивость, является отношение h=l/a (a — радиус
цилиндра). При h-+oo рассматриваемая задача переходит в за-
задачу Остроумова для бесконечного вертикального цилиндра
(§ 11). В противоположном предельном случае А->0 получается

§ 19]
ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ЦИЛИНДР КОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ
123
задача Рэлея об устойчивости плоского горизонтального слоя
с твердыми границами (§6).
В цилиндре конечной высоты существенны трехмерные дви-
движения. Поэтому при аппроксимации скорости следует считать
все компоненты вектора v отличными от нуля. Рассматривая
периодические по ф движения и удовлетворяя условиям на твер-
твердых границах z = ±/t, можно записать аппроксимацию скорости
в виде:
vz = -j (А2 — z2J и (г) cos mp,
vr = z (A2 — z2) v (r) cos mp,
уф == z (A2 — z2) w (r) sin mp
(az = O, 1, 2, ...)•
A9.1)
Радиальные функции и, v, w должны обращаться в нуль на
твердой боковой поверхности цилиндра (при г= 1). Из уравне-
уравнения непрерывности вытекает соотношение, свя-
связывающее эти функции:
ttfW+t»-»-0'
Этим требованиям удается удовлетворить, по-
полагая
„ _ /«(kr) „
v= —
l
kin (k)
[J'n(kr)-Jn(k)r"+4
A9.2)
Рис. 45. Цилиндр ко-
конечной высоты. Оси
координат.
причем параметр k должен удовлетворять
уравнению
kJ'n(k) = (n+ l)J'n(k). A9.3)
Здесь и далее Jn — функция Бесселя п-го порядка от веще-
вещественного аргумента; штрих обозначает дифференцирование по
аргументу.
Аппроксимация скорости A9.1), A9.2) с учетом A9.3) точ-
точно удовлетворяет уравнению непрерывности и граничным ус-
условиям. В зависимости от значения п приведенные формулы
описывают движения разного вида. Значение п=0 соответ-
соответствует осесимметричным движениям; при /г=1 получается анти-
антисимметричное движение с границей раздела по вертикальной
плоскости, проходящей' через ось цилиндра, и т. д. Каждому
значению п соответствует спектр значений параметра k из

124 ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ [ГЛ. IV
уравнения A9.3). Эти различные значения отвечают движениям
разной радиальной структуры: с ростом k увеличивается число
радиальных узлов скорости. Как видно, классификация движе-
движений оказывается точно такой же, как и в случае бесконечного
цилиндра.
Для нахождения температуры необходимо решить уравнение
теплопроводности ДГ = — vz. Полагая Т = f (г, z)cos mp, получим
для / уравнение
-,*. (,9.4)
Будем считать, что торцевые поверхности — идеально тепло-
теплопроводные, т. е. на них исчезают возмущения температуры.
Учтем также дополнительные условия, вытекающие из A9.4) —
обращение в нуль второй производной d2f/dz2 на торцах. Таким
образом, имеем условия
при z=±h f = 0, -^ = 0. A9.5)
Эти условия позволяют выбрать следующую аппроксимацию:
f (г, z) = (А2 - z2) EA2 - z2) 9 (г). A9.6)
Для определения 0(г) применим метод Канторовича. Под-
Подставляя A9.6) в A9.4), умножая на зависящую от z часть
функции /(г, z) и интегрируя по z в пределах от —h до А, по-
получим уравнение
где
Рассмотрим сначала цилиндр с идеально теплопроводной
боковой границей. В этом случае нужно найти конечное при
г=0 решение уравнения A9.7), удовлетворяющее условию
0A) =0. Это решение имеет вид
Приближенные выражения для v и Т позволяют вычислить
критическое число Рэлея с помощью интегрального соотноше-
соотношения Галеркина:
Г v • Дг> dV
R = Lr ¦ A9.9)
J vzT dV

§ 19] ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ЦИЛИНДР КОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ 125
Общая формула для R выглядит весьма громоздко и здесь
не приводится. Приведем только критические числа для движе-
движений с ?i=-=Q, 1,2:
К
а 1.0 (а)
. . 2^4А;4 (fe4 + fe2 - 20) + Ш DkQ - k4 - 112fe2 + 64) + 21 D&4 + k2 - 104)
(A-.4 - 2k2 - 44) + a8 Bfc4 - k2 - 64) -
(а)
~ 80) + 48A2 (/^6 - 2/^4 - Ш2 + 96) +
% + 63 EkA - 8k2 - 496)] {16?4 (^2 - 24) + a2fc2 C/^4 — 16fc2 — 432) +
+ a4 {№ - 8/^2 - 336)--^y [(k2 + a2) /3 (aj-a2/, (a)]}"' f A9.10)
Значения параметра fe, входящего в формулы A9.10), как
указывалось, определяются из уравнения A9.3). Это уравнение
может быть решено численно; наименьшие корни таковы:
„ = 0, /^ = 5,1356; л=1, k = 2,8064; п = 2, k = 4,0863.
Формулы A9.10) определяют критические числа Рэлея в за-
зависимости от параметра ft. Графически эта зависимость пред-
представлена на рис. 46. Как видно, при h —> оо (практически уже
при h > 5) критические числа Рэлея не зависят от ft и пере-
переходят в предельные значения, соответствующие бесконечному
цилиндру. С уменьшением высоты цилиндра критические числа
монотонно возрастают (устойчивость повышается за счет ста-
стабилизирующего влияния торцов). При ft ^> 1 можно получить
приближенную зависимость
где Roo — значение критического числа для бесконечного ци-
цилиндра. Коэффициент с>0й для п = 1, например, равен 0,96.
При ft* = 0,74 происходит пересечение кривых R(ft) для п = 0
и /г=1. Это означает, что при ft > ft* неустойчивость в цилинд-
цилиндре конечной высоты связана с антисимметричным движением,
а при уменьшении'А (в точке ft=ft#) происходит смена формы

126
ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ
[ГЛ. IV
неустойчивости: наиболее опасным оказывается осесимметрич-
ное движение.
Такие смены форм неустойчивости, связанные с пересечением
уровней, надо полагать, происходят и при дальнейшем умень-
уменьшении ft, причем наиболее опасными становятся возмущения
все более мелкого масштаба (с более высокими п и более высо-
высокими значениями параметров k). В пределе, когда высота ци-
цилиндра становится гораздо меньше радиуса (ft—*0), наступает
R
Ю5
П'2
/7=/
цг
10
Рис. 46. Критические числа Рэлея в зависимости от параметра
h=l/a (идеально теплопроводная боковая поверхность).
переход к рэлеевскому случаю. При этом горизонтальные раз-
размеры области (радиус цилиндра) перестают играть определяю-
определяющую роль, а линейные размеры наиболее опасных возмущений
определяются высотой слоя. Этот предельный случай, в сущ-
сущности, также содержится в общей формуле A9.9). Для пере-
перехода к рэлеевскому спектру следует устремить ft к нулю, счи-
считая одновременно большими п и радиальное волновое число k:
k~Y (т. е. рассматривать возмущения, радиальная длина
волны которых порядка высоты слоя). При этих предположе-
предположениях из A9.9) получается
R = —Ц- F2fc2 + 153) Bfe4 + 12fe2 + 63). A9.11)
Здесь R = Rft4, k = kit — число Рэлея и безразмерное волновое
число, определенные теперь через полувысоту слоя (а не через
радиус цилиндра, как ранее).
Поскольку при ft-*0 и /г-*оо влияние боковых границ ис-
исчезает, можно считать спектр волновых чисел k непрерывным.
Поэтому для нахождения минимального критического числа Рэ-
Рэлея следует выражение R минимизировать по k. При этом по-
получаются критические параметры для плоского слоя с тверды-
твердыми границами: Rm = 107,3; km = 1,55. Переходя к параметрам,
определенным по полной высоте слоя, получим более привыч-
привычные значения: Rm=1717; km = 3,10 (ср. § 6),

201
БЁСкОНЁЧНЫЙ ГОРИЗОЬГГАЛЬНЫЙ ЦИЛИНДР
Приведенные результаты относятся к случаю конечного ци*
линдра с идеально теплопроводной боковой границей. Если бо-
боковая граница теплоизолирована, то для нахождения темпера-
температуры следует решить уравнение A9.7) с граничным условием
9/A)=0. Конечное в центре решение есть
11 \ oJn(kr) , k2(n2+a2)+2n(k2+a2) In (ar)
0
248а
al'n (a)
(fc2
A9.12)
Критическое число Рэлея определяется по-прежнему форму-
формулой A9.9) с новым распределением температуры. Для л=0; 1;2
Н
W5
ю2
/о
W
п=О
п*2
0,2
0,5
10
Рис. 47. Критические числа Рэлея в зависимости от пара-
параметра h—lla ^теплоизолированная боковая поверхность).
получаются формулы, аналогичные A9.10), которые-здесь для
краткости не приводятся. Графически зависимость R(/i) пред-
представлена на рис. 47. Как и в случае идеально теплопроводных
границ, при уменьшении h устойчивость повышается, и при
h=h+ наступает первая смена формы неустойчивости: вместо
антисимметричного движения предпочтительным становится осе-
симметричное. Согласно результатам расчета смена неустойчи-
неустойчивости, для теплоизолированной боковой границы происходит
при /i#=0,55. Предельный переход h —> 0 дает, как и прежде,
рэлеевский спектр A9.11). Это и естественно: при Л—>0 гра-
граничные условия на боковой поверхности становятся несуще-
несущественными.
§ 20. Бесконечный горизонтальный цилиндр
К рассмотренным в этой главе задачам об устойчивости
равновесия в шаровой и кубической полостях и в вертикаль-
вертикальном цилиндре конечной высоты непосредственно примыкает
также задача об устойчивости в бесконечном горизонтальном

SAMkHytbiE ftojiocfti
[Гл. iV
цилиндре. Хотя эта полость и не является замкнутой, ее раз-
размеры ограничены по вертикали, и поэтому картина возникно-
возникновения неустойчивости во многих чертах сходна с той, которая
имеет место в замкнутых полостях.
Бесконечная протяженность области в горизонтальном на-
направлении приводит к возможности существования возмущений
двух видов — плоских (однород-
(однородных вдоль горизонтальной коор-
координаты) и пространственных (пе-
(периодических вдоль горизонтали).
Рассмотрим эти случаи отдель-
отдельно, имея в виду цилиндр круго-
кругового сечения, окруженный одно-
однородным теплопроводным мас-
массивом.
1. Плоские возмущения [15].
Направим ось z вдоль горизон-
горизонтальной оси цилиндра и выберем оси х, у в плоскости сечения,
как указано на рис. 48. Вектор скорости плоских возмущений
расположен в плоскости (лг, у); возмущения скорости, темпе-
температуры и давления не зависят от продольной координаты г.
Введем безразмерную функцию тока ф соотношениями
С помощью функции тока уравнения плоских возмущений рав-
равновесия можно записать в виде
Рис. 48. Горизонтальный цилиндр. Оси
координат.
-о,
B0.1)
B0.2)
Здесь А=д2/дх2-^ д2/ду2\ число Рэлея определено через радиус
цилиндра а и равновесный градиент температуры в жидко-
жидкости Л, который связан с равновесным градиентом в массиве Ат
соотношением B.16)
На границе области, как обычно, должны быть непрерывны
Температура и тепловой поток, а условие исчезновения ско-
скорости приводит к следующим граничным условиям для функ-
функции тока
при г = 1
*=#=<>.
B0.3)

§ 20) БЕСКОНЕЧНЫЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ ЦИЛИНДР 129
В качестве системы базисных функций" для аппроксимации
функции тока выберем удовлетворяющие граничным условиям
B0.3) полиномы вида хтуп A — г2J. Ограничиваясь полино-
полиномами не выше шестой степени (т + я^2), будем иметь
б
¦ = 2 ctb = A - г2J^ + с2х + с3у + сАх2 + с5ху + с6у2). B0.4)
Соответствующее распределение температуры жидкости нахо-
находится путем точного решения уравнения теплопроводности
B0.2) совместно с уравнением для температуры в массиве
^7^=0 и имеет вид
б
Г—2
-jj A - г2K - U cos 2ф, Т4 = f8 sin Ф + f, sin 3Ф,
B0.5)
где
/.w
Здесь г, ф — полярные координаты в плоскости сечения (угол ф
отсчитывается от оси х).
Для нахождения коэффициентов сг составим систему инте-
интегральных условий метода Галеркина. Умножая B0.1) на г|э* и
интегрируя по сечению цилиндра, получим
O. B0.6)
Подставляя аппроксимацию функции тока B0.4) и соответ-
соответствующее распределение температуры B0.5), получим систему
шести однородных линейных уравнений для с*. Условие
5 Г, 3, Ге[)ШI1И, Е. М. ЖуховицкиЙ

130
ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ
(ГЛ. IV
разрешимости этой системы дает уравнение для нахождения
критических чисел Рэлея:
О О
О О
О О
а21
вы
0
0
О
«12
а22
а32
0
0
0
3
«23
«33
0
0
0
и
0
0
«4
0
0
0
«55
О а66
= 0,
B0.7)
где
= а3!
30A
= 4 +
75\ R» ai2 = а21 = 4 —
3+ 13х
а23 — а32 — "F
480A + х) *
17- 137Й
t> ^22 — -g
480A
31 +
нг R»
33600 A
R,
5 ' 67200 A+х
7 + 17х т
^зз :
5760 A+х)
Я55 = 4-
33 + 47х
28___ 51 + 149х
5 33600A +к)
31+41Й п
5760A
-бь —- 26880 A+х) хх'
Характеристическое уравнение B0.7) определяет шесть крити-
критических чисел Рэлея в зависимости от параметра й.
Нижнее критическое число Рэлея Ra находится как наи-
наименьший корень кубического уравнения, полу-
получающегося в результате приравнивания нулю
Критические минора третьего порядка в B0.7). Численные
^горизонтального11 значения Ra в зависимости от й приведены
цилиндра (плоские в табл. 7. Соответствующее критическое дви-
возмущения) жение описывается четной по х и у функцией
тока
Таблица 7
0
0,2
0,5
1
2
5
оо
R
408,2
311,3
248,8
206,2
175,7
152,9
135,2
ближение; ?4
критического
и изображено на рис. 49, а. Весовые коэффи-
коэффициенты Ck и Се зависят от й. Для й = 0, на*
пример, получается С\ = —0,6; с6 — —0,8 (для
нормировки положено й= 1). Во всем интер-
интервале значений й траектории частиц жидкости
близки к окружностям, точнее, они представ-
представляют собой овалы, слегка вытянутые вдоль
вертикали. Заметим, что если использовать
лишь одну базисную функцию (первое при-
при= Св = 0), то получается простая формула для
числа Ra. Эта формула следует из условия

§20]
БЕСКОНЕЧНЫЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ ЦИЛИНДР
131
ан = 0:
960A+S)
B0.8)
Получающиеся из этой формулы значения Ra несколько выше
приведенных в таблице. Вносимая учетом базисных функций г|?4
и \|?6 поправка существенна при р
малых й; так, при й = 0 она
составляет 14%, убывая при
й->оо до 1,4%. з-Ш3
2-Ю3
1-Ю3
\
V
R,
Rff
R.
Рис. 49. Плоские критические движения
в круговом горизонтальном цилиндре.
S м Ю
X
Рис. 50. Критические числа Рэлея в за-
зависимости от отношения теплопровод-
ностей (горизонтальный цилиндр; пло-
плоские возмущения).
Следующий в порядке возрастания корень уравнения B0.7)
получается из условия пьь = 0 и равен
р _ 23040 A+й)
Кб~~" 31+41* •
B0.9)
Соответствующее критическое движение описывается единствен-
единственной базисной функцией i^o = СзA — г2Jу и изображено на
рис. 49, б.
Далее следуют критические числа RB и Rr, получающиеся со-
соответственно как корни уравнений а^ = 0 и авв = 0:
р _
23040 A + х)
7 + 17х
_ 107520 A+ft)
— 33 + 47х
B0.10)
B0.11)

132
ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ
[ГЛ. IV
Этим критическим числам соответствуют собственные функции
(рис. 49, в, г)
б)
R=
Зависимость четырех нижних критических чисел Рэлея от
параметра й изображена на рис. 50. Как и в полостях других
форм, устойчивость понижается при увеличении относительной
теплопроводности жидкости.
Плоские возмущения в горизонтальном цилиндре исследо-
исследовались также в работах [16>17]. В обеих работах рассматривался
лишь нижний уровень неустойчивости. В [16] не были учтены
граничные условия для темпе-
температуры, и поэтому полученное
значение критического числа
Ra = 576 очень сильно завыше-
завышено. В работе [17] приведены ре-
результаты расчетов Ra для част-
частного случая цилиндра с идеаль-
идеально проводящими границами
(й = 0). Вариационный метод
привел автора к значению Ra =
= 406,9, что весьма близко к
результату приведенного выше
расчета (см. табл. 7I).
Заканчивая обсуждение во-
вопроса о плоских возмущениях,
заметим, что аналогичная ме-
методика может быть применена
для определения спектра не-
неустойчивости в горизонтальных
каналах некругового сечения.
В работе [18] проведен расчет
для канала квадратного сече-
сечения с идеально проводящими стенками. За основу принята сле-
следующая аппроксимация функции тока (аналог B0.4); начало
координат выбрано в центре квадрата):
<ф = A +cos2ju;)A -f cos2ny)[c{ +c2sinnx + c3sinny +
+ c4 cos 2kx + c5 sin nx • sin ny + c6cos 2я#].
Уравнение теплопроводности B0.2) решалось точно, а крити-
критические числа Рэлея определялись из интегральных условий
B0.6). Нижние критические числа Рэлея и схемы соответствую-
соответствующих критических движений представлены на рис. 51. Значение
1) По недоразумению автор работы [17] сопоставил свои результаты со
значением, следующим из формулы первого приближения B0.8), а не с уточ-
уточненным значением, приведенным в [15].
О
о
о
о
в)
е)
Рис. 51. Плоские критические движения
в горизонтальном цилиндре квадратного
сечения (число Рэлея определено по сто-
стороне квадрата).

§ 20] БЕСКОНЕЧНЫЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ ЦИЛИНДР 133
Ra согласуется с результатом расчета Велте [19]; найденное им
значение Ra = 5030. Приведем также для справок нижнее кри-
критическое число Рэлея для квадратного сечения с идеально тепло-
теплопроводными горизонтальными и теплоизолированными верти-
вертикальными границами [20]: Ra = 2586.
2. Пространственные возмущения [21]. В бесконечном гори-
горизонтальном цилиндре с однородными условиями на границе на-
наряду с разобранными выше плоскими возмущениями возможны
также и пространственные возмущения, периодические вдоль
оси г. Движения такого вида были обнаружены эксперимен-
экспериментально Г. Ф. Шайдуровым [22].
Для исследования устойчивости равновесия по отношению
к пространственным возмущениям построим прежде всего базис
для аппроксимации скорости. Положим
vx = f\ (*> У)k cos kz> vy = U (*» У)k cos kz> vz = h (*f У) sin kz.
B0.12)
Здесь k — волновое число возмущений; длина волны, характе-
характеризующая периодизм в направлении оси г, равна 2я/&. Функ-
Функции fi(xyy) будем искать в виде полиномов, обращающихся
в нуль на поверхности цилиндра:
т, п
Из уравнения непрерывности вытекает соотношение, связы-
связывающее коэффициенты полиномов с(тП* Если ограничиться по-
полиномами не выше 4-й степени (т + п ^ 2) и воспользоваться
методом, описанным в § 17, то можно построить систему пяти
независимых базисных функций:
у{\ -r2)kcoskz ( A — x2-5y2)(l-r2)kcoskz
— x(l—r2)kcoskz, u2 =
0 I 0
(l-r2Jfccos?z | 4*y(l -r2)kcoskz
lo
0
A — r2fk cos kz. B0.13)
— r2) sin kz
Базисные движения щ схематически изображены на рис. 52.

134
ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ
[ГЛ. IV
а„
0
0
0
0
0
^32
0
0
0
023
азз
0
0
0
0
0
а44
а
0
0
0
«45
Критические движения будем искать в виде суперпозиции
5
v = 2 с(щ.
Соответствующее распределение температуры в жидкости и
массиве находится интегрированием уравнения теплопроводно-
теплопроводности. Отсылая за деталями к работе
Р1], приведем характеристическое со-
соотношение, определяющее критиче*
ские числа Рэлея1)
= 0. B0.14)
Элементы определителя аг-ь выра-
выражаются весьма громоздко через вол-
волновое число k и отношение тепло-
проводностей й.
Из уравнения B0.14) определя-
определяются пять критических чисел Рэлея
как функции параметров k и й
(формулы можно найти в [21]). Один
из корней (его удобно обозначить
R2) определяется уравнением пц =
= 0. Соответствующее критическое
движение описывается единственной
базисной функцией: v2 = Ci#i- Эта
функция изображает движение с
круговыми траекториями, лежащи-
лежащими в плоскостях, перпендикулярных
к оси цилиндра. При смещении
вдоль оси z на расстояние полу-
волны n/k направление ДВИЖеНИЯ
сменяется на обратное (рис. 52).
В предельном случае бесконечной длины волны (fe-^О) это дви-
движение переходит в плоское, рассмотренное в п. 1, а для крити-
критического числа получается в пределе формула B0.8). С ростом
Рис. 52. Пространственные базис-
базисные движения в горизонтальном
цилиндре.
!) В качестве области интегрирования при составлении условий Галер-
кина выбран объем одной ячейки, т. е. интегрирование проводится по сече-
никх цилиндра и по «г в пределах от 0 до 2n/k.

БЕСКОНЕЧНЫЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ ЦИЛИНДР
135
k устойчивость монотонно повышается; при больших k R2«
« 2&4. Таким образом, для критических движений этого типа
минимальное число Рэлея соответствует плоским возмуще-
возмущениям.
Следующие два критических числа Ri и Из находятся как
корни квадратного уравнения а22Язз — Я23Я32 = 0. Нижний из
этих корней Ri имеет при k = 0 конеч-
конечное значение, совпадающее с Re (фор-
(формула B0.9)). С ростом k Ri проходит
через минимум и при больших k рас-
растет по закону Ri » 0,75&4. Критическое
число R3 также имеет минимум при
конечном k и при больших k изме-
изменяется по закону R3« 2,35&4, но, в от-
отличие от Ri, стремится к бесконеч-
бесконечности при k-+0. Критические дви-
движения i>i и 1>3 представляют собой
суперпозиции базисных движений иг
и и3:
/500
1000
= C2U2
C3U3.
500
\
'R,
к
/
Рис. 53. Критические числа Рэлея
в зависимости от волнового числа
(ft—3).
Весовые отношения c3fc2 и с'3/с'2 зави-
зависят от волнового числа. В области k~ 1
критическое движение V\ содержит в
основном базисную функцию щ с не-
небольшой примесью и2. При k-+0
весовое соотношение резко меняется и
V\ -> ^2^2. Критическое движение г>з,
напротив, состоит в основном из и% с
небольшой примесью и3, но при &->0
переходит в чистое движение и3 (в этом предельном случае
базисному движению и3 соответствуют горизонтальные траекто-
траектории и потому R3-*oo).
Наконец, еще два критических числа R4 и Rs находятся из
уравнения аААаъъ —аАЪаЪА = Ъ. Нижний из них R4, как и уровень
R2, зависит от k монотонно: при k-+0 критическое число R4 пере-
переходит в соответствующий уровень спектра плоских возмущений
RB (формула B0.10)). При увеличении k корень R4 монотонно
растет. Критическое движение и4 есть смесь и4 и и$. При k->0
i;4->c4tt4. Критическое движение v& содержит только базисную
функцию и5 с горизонтальными траекториями движения. По-
Поэтому критическое число Rs бесконечно велико.
На рис. 53 приведен спектр неустойчивости для отношения
теплопроводностей й = 3. Видно, что наиболее опасными для
срыва равновесия являются движения V\ и V2, которым

136
замкнутые полости
[ГЛ. IV
Таблица 8
Минимальные
критические числа
Рэлея для
горизонтального
цилиндра
(пространственные
возмущения)
соответствуют два нижних уровня спектра Ri и R* Минималь-
Минимальные значения Rim и R2m весьма близки. Эта близость имеет ме-
место и при других значениях параметра й (табл. 8). Следует, од-
однако, подчеркнуть, что с этими близкими
значениями критического числа связаны
разные по форме движения: значению
R2m соответствуют плоские возмущения,
тогда как числу Rim — периодические
вдоль оси z движения с конечной дли*
ной волны, аналогичные ячейкам Бенара
в плоском горизонтальном слое.
Экспериментально устойчивость рав-
равновесия в горизонтальном цилиндре ис*
следовалась Г. Ф. Шайдуровым Р2]. Он
наблюдал как плоские, так и простран-
пространственные критические движения. В слу-
случае плоских движений экспериментальное
значение R = 160 ± 19 (для й = 3,26)
хорошо согласуется с вычислениями
п. 1. Фотография пространственных дви-
движений приведена на рис. 54. Критическое
число Рэлея для пространственных возмущений в эксперименте
определить не удалось.
В заключение этой главы укажем на работы [23»24], в кото-
которых на основе результатов решения задач для горизонталь-
я
0
1
10
100
оо
260
210
134
102
96
R2m
480
213
147
138
137
Рис. 54Ф Пространственные конвективные ячейки в горизонтальном цилиндре [**]¦
ного слоя и вертикального цилиндра предлагаются экстремаль-
экстремальные оценки границы устойчивости для полостей более сложной
формы. Эти оценки, как показывает сопоставление с рассмот-
рассмотренными выше случаями, оказываются весьма грубыми (см.,
например, [13]).

ГЛАВА V
ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ
Линейная теория устойчивости исходит из предположения
о том, что возникающие возмущения основного состояния малы.
Эта теория позволяет определить границу устойчивости и про-
проследить за судьбой малых возмущений. В линейном приближе-
приближении возмущения равновесия в области неустойчивости нара-
стают со временем по экспоненциальному закону. Ясно, однако,
что в действительности неограниченного возрастания возмуще-
возмущений нет. Экспоненциальный рост имеет место лишь на началь-
начальном этапе; очень скоро возмущения перестают быть малыми и
не подчиняются более линейным уравнениям движения. Эволю-
Эволюция конечных возмущений, а также форма и амплитуда уста-
установившегося движения (если оно существует) могут быть опре-
определены лишь на основе полных нелинейных уравнений. Нели-
Нелинейная теория устойчивости находится в стадии интенсивного
развития и привлекает к себе внимание все более широкого
круга исследователей. Возникающие в этой области проблемы
связаны со значительными математическими трудностями. Хотя
до цх полного решения еще далеко, значительный прогресс, до-
достигнутый в последние годы, представляется несомненным.
В этой главе мы останавливаемся на некоторых вопросах
нелинейной теории. Прежде всего, рассматривается метод ма-
малого параметра, позволяющий исследовать стационарные над-
надкритические движения вблизи критического числа Рэлея. Этот
метод, предложенный В. С. Сорокиным [!], получил в настоя-
настоящее время широкое распространение в нелинейной теории гид-
гидродинамической устойчивости.
Далее излагаются основные результаты исследования конеч-
конечно-амплитудной конвекции в плоском горизонтальном слое. На-
Наличие непрерывного спектра движений, а также возможность
существования движений разной симметрии выдвигает здесь
важнейшую задачу нелинейной теории — определение «наибо-
«наиболее предпочтительной» моды. Решение этой задачи связано,
в частности, с необходимостью исследования устойчивости ко-
конечно-амплитудных движений разной структуры, развиваю-
развивающихся в надкритической области.
Аналитический подход к рассмотрению конвекции конеч-
конечной амплитуды по существу применяемых методов ограничен

138 ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ [ГЛ. V
областью малой надкритичности. Эффективное исследование раз-
развитой конвекции вдали от критической точки может быть осу-
осуществлено в настоящее время, по-видимому, лишь на основе
численных методов, из которых наиболее результативным ока-
оказался метод конечных разностей. В последнем параграфе этой
главы излагаются некоторые полученные таким путем резуль-
результаты.
§ 21. Метод малого параметра
. Если отсутствуют осложняющие обстоятельства * (магнитное
поле, вращение, диффузия), то неустойчивость равновесия по-
подогреваемой снизу жидкости связана с монотонными возмуще-
возмущениями. Можно думать поэтому, что в результате развития этих
возмущений устанавливается стационарная конвекция опреде-
определенной амплитуды. Вблизи порога амплитуда мала, и для опре-
определения стационарного движения можно применить асимптоти-
асимптотические методы нелинейной механики.
В работе В. С. Сорокина [!] был развит метод нахождения
стационарных нелинейных движений, возникающих в резуль-
результате неустойчивости равновесия, основанный на разложении ре-
решения по степеням малого параметра. Сущность метода наибо-
наиболее отчетливо видна в случае замкнутой полости, когда спектр
критических чисел Рэлея и 'критических движений является
дискретным. В этом параграфе мы изложим основные резуль-
результаты работы [1].
Запишем уравнения конечных (немалых) возмущений рав-
равновесия подогреваемой снизу жидкости. Эти уравнения, оче-
очевидно, отличаются от соответствующих уравнений малых
возмущений C.3) тем, что в них сохранены нелинейные по воз-
возмущениям члены (vV)v и vVT (напомним, что Тир отсчиты-
ваются от равновесных значений). Если сохранить единицы из-
измерения всех величин, введенные в § 3, то безразмерные урав-
уравнения конечных возмущений имеют вид*)
B1.1)
^ B1.2)
divi> = 0. B1.3)
1) Говоря о конечных возмущениях, мы по-прежнему имеем в виду такие
условия, при которых остаются справедливыми уравнения конвекции в при-
приближении Буссинеска (см. § 1). Возмущения предполагаются немалыми в
том смысле, что для их описания необходим учет нелинейных членов. В то же
время возмущение температуры предполагается достаточно малым в другом
смысле, а именно, считается, что обуславливаемая им неоднородность плот-
плотности мала по сравнению со средней плотностью.

§ 21] МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА 139
Чтобы избежать громоздких формул, мы будем иметь в виду
простейший случай граничных условий, когда на границе по-
полости 5 исчезают скорость и возмущение температуры
tF = Of Г = 0. B1.4)
Покажем, прежде всего, что в подкритической области рав-
равновесие устойчиво не только относительно малых возмущений,
но и относительно возмущений произвольной амплитуды. Для
этого умножим B1.1) скалярно на v, а B1.2)—на Т и проин-
проинтегрируем по объему полости. Учитывая, что при интегрирова-
интегрировании (с учетом B1.4)) нелинейные члены выпадают:
J v(vV)vdV = | div(-? v)dV = § ~- vn dS = 0,
V V S
T (vVT) dV = j div (-y- i>) dV = § Ц- vn dS = 0,
V
получим два интегральных соотношения:
J
Складывая эти соотношения, умножив предварительно вто-
второе из них на R, найдем
т ж J {xJ + Rpr) dV = ~ Il(rot vJ + R(vrJRr (t;vI dV-
B1.5)
Соотношение B1.5) можно записать короче, воспользовав*
шись введенными в § 3 функционалами / и К:
В силу сформулированного в § 3 варцационного принципа
\ - B1.7)
где Х\ — наименьший декремент малых нормальных возмуще-
возмущений. Из B1.6) и B1.7) тогда следует
или, после интегрирования,
M. B1.8)

140 ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ [ГЛ. V
Поскольку в подкритической области (R < Ri) декремент %\
положителен, из B1.8) получим
K(t)= J(t>2-|-RP712)dV-+0 при *->оо, B1.9)
и, следовательно, (v, Г)—*0 при /—*оо. Таким образом, произ-
произвольные возмущения при R < Ri затухают. Иначе говоря, в
подкритической области не существует никаких других стацио-
стационарных решений нелинейных уравнений, кроме равновесного.
Обратимся теперь к рассмотрению поведения возмущений
в области их нарастания. Вблизи порога, где амплитуда возму-
возмущений А мала, ее зависимость от времени определяется, со-
согласно линейной теории, экспоненциальным законом A (t) ~
~ ?-м# Это значит, что амплитуда удовлетворяет следующему
дифференциальному уравнению:
d\A\
dt
= -2^| А \\ B1.10)
Согласно феноменологической теории JL Д. Ландау [2>3],
правую часть B1.10) следует рассматривать как первый член
d \A I2
разложения —-—— в ряд по степеням квадрата малой ампли-
амплитуды. Если амплитуда растет,' то в B1.10) необходимо учесть
следующие члены разложения1):
= -2Я1|Л|2 + а|4|4+... f Bi.il)
где знаки а и коэффициентов старших членов определяются
конкретными свойствами системы.
В надкритической области %\ < 0, т. е. имеет место нарас-
нарастание линейного возмущения. Если ограничиться двумя чле-
членами в правой части B1.11), то при а < 0 со временем дости-
достигается стационарное значение амплитуды, определяемое усло-
d\A\2 л
вием —7t:=='
\А?т=~- B1.12)
В критической точке R = Ri декремент A,i меняет знак, и вблизи
Ri имеем
^--afR-R,) (a>0). B1.13)
J) В более общем случае гидродинамической неустойчивости, рассмотрен-
рассмотренном Л. Д. Ландау, уравнение B1.11) записывается для квадрата амплитуды,
усредненного по временам, большим по сравнению с периодом осцилляции
возмущения.

i 21]
МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА
141
Из B1.12) тогда находим
Ulm=]/—x(R-Ri). B1.14)
Таким образом, стационарная амплитуда непрерывно растет от
нуля с увеличением надкритичности («мягкая» неустойчивость,,
рис. 55,а). В подкритической области, как видно из B1.12) и
B1.13), | А\2т<0, т. е. стационарных движений нет.
Если система такова, что а > О, то ситуация меняется. При-
Приближение с двумя членами в правой части B1.11) теперь недо-
недостаточно для определения предельной амплитуды. Необходимо
\'ш
R R,
б)
Рис. 55. Стационарная амплитуда в зависимости от Rb слу-
случаях «мягкой» (а) и «жесткой» (б) неустойчивости.
добавить следующий член — Ь\А\6 (&>0). Тогда, считая спра-
справедливым приближение B1.13), получим
+ Кы <2U5>
Зависимость стационарной амплитуды от R изображена на
рис. 55,6. При достижении критического числа Ri равновесие
становится неустойчивым, и скачком возникает конвекция ко-
конечной амплитуды («жесткая» неустойчивость). В подкритйче-
ской области R < R < Ri, где R = Ri — -щ-, имеются два ста-
стационарных значения амплитуды, нижнее из которых, согласно
уравнению B1.11), неустойчиво. При уменьшении числа R ам-
амплитуда изменяется вдоль верхней ветви, и в точке R скачком
обращается в нуль. Таким образом, имеет место гистерезис,
связанный с возможностью возбуждения конечно-амплитудного
движения в подкритической области.
Как показано выше (см. B1.9)), в «чистом» случае конвек-
конвекции подкритические движения невозможны, что соответствует
отрицательному значению феноменологического параметра а.
Другой случай (а>0), однако, тоже представляет интерес
с точки зрения теории возникновения конвекции; подкритические

142
ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ
[ГЛ. V
движения возможны при наличии некоторых осложняющих фак-
факторов — магнитного поля, вращения, диффузии, температурной
зависимости параметров.
Итак, в «чистом» случае при критическом значении числа
Рэлея возникает «мягкая» неустойчивость; от равновесного ре-
решения ответвляется стационарное надкритическое решение, ам-
амплитуда которого вблизи порога с увеличением R растет по
корневому закону B1.14). Это дает основания искать стацио-
стационарное решение нелинейных уравнений в виде разложения по
степеням малого параметра надкритичности е, определяемого
соотношением
e2 = R-R,. ' B1.16)
В стационарном случае уравнения B1.1) — B1.3) принимают
вид
- Vp + At» + RfY = -р- (vV) v,
B1.17)
divi» = 0.
Будем искать решение этих уравнений в виде рядов
г» = erf1» + eV2> + е3г»<3> + ... ,
B1.18)
Подставляя эти разложения в B1.17), получим уравнения по-
последовательных приближений:
- Vp"> + Aw<
= О,
- Vp<2> +
B1.19)
B1.20)
= _ f (DY +
B1.21)

§ 21] МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА 143
Уравнения 1-го приближения B1.19) совпадают с уравне-
уравнениями, определяющими первое критическое движение. Ввиду
однородности, решение B1.19) можно записать в виде
B1.22)
где (vuTupi) — основное критическое движение, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию нормировки
a Pi — амплитудный множитель, подлежащий определению.
Для нахождения более высоких приближений приходится
рещать неоднородные системы B1.20), B1.21), ... Общий вид
системы /г-го приближения (уравнение непрерывности для крат-
краткости не выписывается):
Правые части Fn и Gn выражаются через предыдущие прибли-
приближения. Условие разрешимости системы B1.23) можно полу-
получить, умножая первое из уравнений на vu а второе — на RiTiy
интегрируя по объему полости и складывая. Учитывая, что vx
и Т\ удовлетворяют соответствующей однородной системе, най-
найдем
j = O (n«2, 3, ...). B1.24)
Решение неоднородной системы B1.23) можно искать в виде
B1.25)
где амплитудные множители рп должны определяться из усло-
условий B1.24).
Легко убедиться в том, что условие разрешимости системы
второго приближения B1.20) выполняется автоматически, и
поэтому амплитуда Pi остается пока неопределенной. Из вида
правых частей B1.20) ясно, что
где и2 и s2 уже не содержат Рь Амплитуда Pi находится из
условия разрешимости системы 3-го приближения B1.21).
Это условие (формула B1.24), п = 3) дает
AY' BL26)
Продвигаясь далее по системам последовательных при-
жй можно определить последовательно амплитудные

144 ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ [ГЛ. V
факторы; причем амплитуда Рп находится из условия разреши-
разрешимости порядка п + 2.
Явный вид решения неоднородной системы B1.23) можно
получить, разлагая это решение в ряд по критическим движе-
движениям:
где (Vk,Thiph) — критическое движение, соответствующее кри-
критическому числу Рэлея Rfc, а коэффициенты af?\ b^ и с^
находятся стандартным путем. В частности, для определения,
амплитуды Pi достаточно найти решение системы второго при-
приближения (функции щ и S2). После вычислений получим:
Здесь
,,dV, hk=\ T,
Поскольку Rfc > Ri, из формулы B1.27) видно, что р^ > О,
т. е. амплитуда Pi вещественна. Аналогичным путем могут быть
найдены более высокие приближения.
Таким образом, описанный метод позволяет построить ста-
стационарное решение нелинейных уравнений, описывающее над-
надкритическое движение вблизи порога. Это решение представ-
представляется в виде ряда по степеням параметра надкритичности е,
и амплитуда соответствующего надкритического движения воз-
возрастает с увеличением R вблизи порога по корневому закону.
Экспериментальные исследования надкритической конвекции,
проведенные А. П. Овчинниковым [4»5] (кубическая полость)
и А. П. Овчинниковым и Г. Ф. Шайдуровым [6] (шаровая по-
полость), подтверждают этот результат. Эксперименты показы-
показывают, что корневой закон справедлив в весьма широкой обла-
области — вплоть до R = 3Ri в кубической полости и до 5Ri —в ша-
шаровой.
Согласно B1.16) параметр е имеет два знака: e=±V^R — R1#
Поэтому метод, в сущности, определяет два стационарных ре-
решения:
Отсюда видно, что при малой надкритичности стационарные
движения по форме близки к первому критическому движению

§ 22] КОНВЕКЦИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ 145
(что также подтверждается упомянутыми выше эксперимент
тами).
Наличие двух надкритических движений физически понятно,
Если возмущение мало и описывается линейными уравнениями,
то имеет место естественное вырождение: наряду с некоторым
возмущением возможно и другое, отличающееся от него" зна-
знаком. Нелинейность приводит к тому, что это вырождение сни-
снимается; оба стационарных движения при увеличении надкри-
тичности начинают отличаться не только знаком (направлением
движения), но и формой, что описывается старшими членами
в разложениях B1.28). Если полость имеет достаточно высо-
высокую симметрию, то оба стационарных движения получаются
одно из другого некоторым преобразованием симметрии. По-
Поэтому оба движения обладают одинаковой интенсивностью и
приводят к одинаковому тепловому потоку через полость (соот-
(соответствующий пример будет обсужден в § 23). Если же полость
несимметрична, то стационарные движения могут существенно
различаться по своим характеристикам.
Математические аспекты затронутых в этом параграфе во-
вопросов рассматривались в работах [7-п]. В этих работах, в ча-
частности, доказано существование стационарных надкритиче-
надкритических решений'и исследован характер ветвления. В. И. Юдович
[10] установил, что в надкритической области возникают лишь
два стационарных решения B1.28); других нетривиальных ре-
решений нет. Им же [п] доказана устойчивость этих решений от-
относительно малых возмущений.
§ 22. Конвекция конечной амплитуды в горизонтальном слое
Конвективные движения в бесконечном горизонтальном слое
обладают характерными особенностями, связанными с высокой
симметрией области. Бесконечная протяженность слоя в гори-
горизонтальных направлениях и однородные условия подогрева на
ограничивающих плоскостях приводят к трансляционной сим-
симметрии; поэтому оказываются возможными периодические
структуры, волнов*ые числа которых образуют непрерывный
спектр. Другая особенность, связанная с поворотной симмет-
симметрией, состоит в том, что при одном и том же горизонтальном
масштабе периодической конвекции возможны движения раз-
разной формы — валы, прямоугольные и гексагональные ячейки
и пр.
Указанные особенности в значительной мере проявляются
уже в линейной теории устойчивости равновесия (см. гл. II).
При числе Рэлея, превосходящем критическое значение Rm, со-
соответствующее минимуму нейтральной кривой, имеется непре-
непрерывный интервал волновых чисел возмущений, амплитуды

146 ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ [ГЛ. V
которых экспоненциально нарастают со временем. Кроме того,
существует еще и вырождение по форме возмущений: ампли-
амплитудная краевая задача для малых нормальных возмущений
содержит лишь квадрат горизонтального волнового числа k2,
и потому из решения линейной задачи симметрия возмущения
не может быть определена.
Возникает сложная проблема определения реализующегося в
действительности горизонтального масштаба периодических
движений, а также их структуры. Эта проблема (упорядочен-
(упорядоченные структуры, возникающие в результате неустойчивости ос-
основного состояния) не составляет специфики только конвекции
в горизонтальном слое, подогреваемом снизу. Аналогичная за-
задача отбора надкритических движений возникает при исследо-
исследовании других ситуаций, среди которых назовем: устойчивость
плоскопараллельных потоков и кругового течения Куэтта ме-
между вращающимися цилиндрами; устойчивость поверхности
раздела, в частности, поляризующихся жидкостей во внешних
полях; устойчивость фронта пламени; различные виды поверх-
поверхностной турбулентности и т. д.
Ясно, что эта проблема находится вне компетенции линей-
линейной теории устойчивости. Действительно, в надкритической об-
области линейная теория позволяет сопоставить возмущения
лишь по скорости их нарастания; отсюда возникает возмож-
возможность выбрать возмущение, скорость роста которого макси-
максимальна. Однако нет никаких оснований, вообще говоря, ожи-
ожидать, что именно эта мода неустойчивости определит форму и
масштаб конечного состояния. В надкритической области, на-
наряду с этим возмущением, нарастают также и возмущения,
принадлежащие целому интервалу волновых чисел; их нели-
нелинейное взаимодействие существенно определяет как эволюцию
начального возмущения, так, следовательно, и предельное со-
состояние. Таким образом, проблема отбора является существенно
нелинейной.
Исследованию нелинейной конвекции в горизонтальном слое
посвящена обширная литература. Мы не ставим здесь задачу
составления полного обзора этой литературы. Ограничимся
лишь кратким очерком современного состояния одного из наи-
наиболее интересных вопросов — о форме надкритических дви-
движений.
В первых исследованиях нелинейной конвекции в слое ста-
ставилась цель отыскания стационарных движений определенного
вида. В работе Л. П. Горькова [12] рассматривались стационар-
стационарные периодические движения гексагональной симметрии в слое
со свободными границами. Малкус и Веронис [13] изучали кон-
конвективные структуры различной формы— двумерные валы, пря-
прямоугольные и гексагональные ячейки — при разных условиях

§ 22] КОНВЕКЦИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ 147
на границах слоя. В обеих работах использовались варианты
метода малого параметра, основанного на предположении о ма-
малости амплитуды конвективного движения вблизи порога; эти
варианты лишь в деталях отличаются от изложенного в пре-
предыдущем параграфе метода В. С. Сорокина. Дальнейшее раз-
развитие метода малого параметра (применительно к движениям
в виде двумерных конвективных валов), содержавшееся в ра-
работах [14, is, 48]^ показало, что с помощью высоких приближений
метода удается получить стационарные решения для достаточно
высоких значений надкритичности. Иной подход к описанию
двумерных надкритических движений развивался К}. П. Ива-
ншювым [16]. В этой работе использовались асимптотические
разложения для отыскания стационарных решений при боль-
больших значениях числа Прандтля.
Работы этого направления позволяют найти стационарное
решение нелинейной задачи в более или менее широкой обла-
области изменения числа Рэлея и других параметров. С помощью
этого решения можно определить важные нелинейные характе-
характеристики — интенсивность движения, тепловой поток и др. Од-
Однако расчет стационарного надкритического движения сам по
себе не дает ответа на вопрос о том, какое именно движение
реализуется в действительности. Во всех указанных, а также и
других работах этого направления структура вторичного дви-
движения предполагается заданной: нелинейный расчет проводится
для определенного горизонтального масштаба ячейки и ее
формы. Таким образом, выявившееся в линейной теории вы-
вырождение не снимается: любое линейное решение методом ма-
малого параметра или каким-либо другим методом может быть
«продолжено» в надкритическую область. Проблема «отбора»
истинного движения остается открытой.
Для решения этой проблемы необходимо, очевидно, рас-
рассматривать задачу о надкритических движениях в нестационар-
нестационарной постановке. При этом возможный развиваются в литературе
два близких по идее подхода. Один из них связан с рассмотрев
нием эволюции начального возмущения и требует решения не-
нелинейных нестационарных уравнений с начальными условиями.
Другой подход основан на исследовании устойчивости стацио-*
нарных надкритических движений.
Первый подход развивался в работах [47~21]. В этом подходе
предполагается, что нестационарное движение в надкритической
области может быть представлено, в основном, в виде супер-
суперпозиции некоторых первичных мод с амплитудами, зависящими
от времени. В процессе нелинейного взаимодействия появляются
вторичные и т. д. моды, так что нелинейный механизм, в прин-
принципе, может привести к определенной «селекции» —усилению
какой-либо одной моды и подавлению остальных. В ряде

148 Движения с конечной амплитудой [гл. v
упрощающих предположений относительно порядка амплитуд и
выбора совокупности мод, взаимное влияние которых наиболее
существенно в смысле эволюции, удается получить систему свя-
связанных уравнений для амплитуд конечных возмущений (обоб-
(обобщение амплитудного уравнения Ландау B1.11) на случай не-
нескольких взаимодействующих возмущений). Интегрирование
этой системы позволяет исследовать эволюцию конечных воз-
возмущений и определить предельные состояния и их устойчивость.
Таким путем были проведены расчеты для ряда случаев и была
непосредственно продемонстрирована возможность отбора ко-
конечного состояния в результате нелинейного взаимодействия.
В частности, была установлена замеченная ранее в экспери-
эксперименте связь между направлением циркуляции в конвективной
ячейке и знаком температурного коэффициента вязкости [18].
Обстоятельный обзор результатов, полученных на таком пути,
содержится в книге А. С. Монина и А. М. Яглома [23]; подроб-
подробную библиографию можно найти в обзоре Сиджела р].
Метод взаимодействующих мод привел, в целом, к извест-
известному прогрессу в понимании эволюции конечных возмущений.
В то же время нужно сказать, что и при выборе самих первич-
первичных мод и при отборе наиболее эффективных взаимодействий
широко применяются интуитивные модельные представления,
справедливость которых далеко не всегда очевидна. В ряде
случаев оказывается, что более полный учет взаимодействий
приводит к появлению новых стационарных состояний и меняет
выводы, касающиеся устойчивости. По этой причине многие ре-
результаты теории взаимодействующих мод подвергаются сомне-
сомнению (см. [24]). Дальнейшее развитие метода требует рассмотре-
рассмотрения всего континуума первичных возмущений и более полного
учета существенных взаимодействий. В этом плане представ-
представляют интерес работы [25] и [26]. В [25] рассмотрение ведется на
основе весьма общих феноменологических амплитудных урав-
уравнений, а в [26] задача об эволюции возмущений трактуется с по-
позиций теории случайных процессов.
Более результативным нам представляется второй подход,
связанный с исследованием устойчивости стационарных надкри-
надкритических движений. Этот подход был начат и существенно про-
продвинут работами Шлютера, Лорца и Буссэ [27~29]. В основе
этого подхода лежит рассмотрение малых возмущений вторич- .
ных стационарных движений в линейном приближении. При
этом, разумеется, теряется возможность проследить за эволю-
эволюцией конечного возмущения. Однако решение наиболее инте-
интересного вопроса об устойчивости ячеистых движений удается
провести гораздо более последовательно, чем в методе взаимо-
взаимодействующих мод: рассмотрение ведется на основе полных
уравнений конвекции, тогда как в методе взаимодействующих

§ 22] КОНВЕКЦИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ 149
мод и сами стационарные движения и их устойчивость изу-
изучаются при помощи амплитудных уравнений, получаемых не-
нередко из модельных представлений.
Остановимся подробнее на основных результатах исследова-
исследований Шлютера, Лорца и Буссэ.
Математическая трудность задачи очевидна: речь идет об
исследовании устойчивости вторичного стационарного движения
весьма сложной формы, которое, к тому же, само может быть
найдено лишь приближенно. Эта трудность обходится благо-
благодаря тому, что и стационарное движение и его устойчивость ис-
исследуются методом разложения по амплитуде. Таким образом,
метод Шлютера, Лорца и Буссэ следует рассматривать как
дальнейшее развитие метода малого параметра, изложенного
в предыдущем параграфе.
При отыскании стационарного надкритического движения
будем исходить из системы B1.17) (далее уравнение непрерыв-
непрерывности для краткости не выписывается):
J
= vS/T. [
Решение этой системы будем искать в виде разложений по
малому параметру
v=evM+e2v<2)+ . 1
B2'2)
В отличие от § 21, число Рэлея R, для которого ищется стацио-
стационарное решение, также представим в виде разложения
eRd) + e2RB) + _ B2.3)
разложение является, в сущности, определением параметра
е, поскольку число Рэлея задано.
Подставляя B2.2) и B2.3) в B2.1), получим системы по-
последовательных приближений. Первое приближение находится
из уравнений
= o J
B2'4)
с соответствующими граничными условиями. Как легко видеть,
B2.4) совпадает с системой, определяющей малые нейтраль-
нейтральные возмущения равновесия. Собственными функциями задачи
являются нейтральные амплитуды, а собственными числами —
критические числа Рэлея R(°). Для периодического в горизон-
горизонтальной плоскости решения, очевидно, Л = д2/дг2 — k2, где k —
волновое число. Собственное число R<°) в этом случае зависит

150 ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ [ГЛ. V
от параметра k («нейтральная кривая»). Вид зависимости
R(°)(&) определяется граничными условиями (в работе [29] рас-
рассматривались симметричные случаи обеих свободных и обеих
твердых границ слоя). При фиксированном k2 возможны ре-
решения разной формы — валы, прямоугольные и гексагональные
ячейки и пр. Все эти структуры можно представить в виде су-
суперпозиции двумерных гармоник, так что, например, вертикаль-
вертикальная составляющая скорости равна
N
v{z] = f(z) 2 Сяехр(«яг), B2.5)
n=—N '
О
где k\ = k2 и, кроме того, для вещественности необходимо
С-п = С*п и ?_„ = — kn. Простейший случай двумерных валов
соответствует N = \. Амплитуда движения в первом порядке
не определяется.
Второе и более высокие приближения приводят к неодно-
неоднородным системам для нахождения v(n\ ЛЧ Условия разреши-
разрешимости этих систем позволяют найти RW, R<2), .... Отсылая за
подробностями вычислений к работе [29], приведем основной ре-
результат: линейная поправка RW оказывается равной нулю,
а квадратичная R<2>— положительной, причем для нахождения
ее требуется знать решение системы второго приближения
(функции v<?\ ТЩ. Таким образом, с точностью до е2 разложе-
разложение B2.3) имеет вид
/R — R<°> V/i
откуда следует, что в этом порядке е = 1 ——1 , т. е. ам-
амплитудный параметр есть квадратный корень из надкритично-
сти (ср. B1.16)).
В результате установления стационарной конвекции появ-
появляется дополнительный (к теплопроводному) тепловой поток
через слой жидкости. Безразмерный вертикальный конвектив-
конвективный поток тепла равен Н = (vzT) (черта сверху означает усред-
усреднение по всему слою). Подставляя в эту формулу vz и Г, полу-
получим тепловой поток в виде разложения по параметру е, при-
причем, очевидно, разложение начинается с квадратичного члена:
... =a(R-R@))+ ..., B2.6)
т. е. добавочный тепловой поток в горизонтальном слое вблизи
порога растет линейно с увеличением надкритичности. Коэффи-
Коэффициент а есть функция числа Прандтля, зависящая от формы
ячеек и граничных условий.

. § 22] КОНВЕКЦИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ 151
Итак, стационарное ячеистое движение может быть найдено
в форме разложений B2.2), B2.3).
Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости стационар-
стационарного движения. Добавляя к стационарному движению (г>, Г, р)
малое возмущение (v, 7, р) и полагая это возмущение экспо-
экспоненциально зависящим от времени по закону ехр(—М), полу-
получим из исходной нестационарной системы B1.1) — B1.3) линей-
линейные однородные уравнения спектральной задачи для амплитуд
- to + -рг 1Ш * Л (W) Ъ] = - Vp + Д* + Rf Y,
B2.7)
- ХРТ - И) + vS/f + vS/T = №.
Если известно стационарное движение (и, Г), то, решая
B2.7) с соответствующими граничными условиями, можно
определить характеристические декременты X и получить всю
информацию об устойчивости конечно-амплитудного движения
относительно малых возмущений. То обстоятельство, что ста-
стационарное движение представлено в виде разложений B2.2),
B2.3), дает основание искать решение линейных уравнений
B2.7) также в виде разложений по степеням амплитудного па-
параметра е:
B2.8)
Эти уравнения по форме совпадают с амплитудными уравне-
уравнениями возмущений покоящейся жидкости, с той, однако, раз-
разницей, что вместо свободного параметра — числа Рэлея — в
уравнения входит теперь критическое число R<°>, зависящее от
волнового числа стационарного движения k. Линейные урав-
уравнения B2.9) не содержат коэффициентов, зависящих от гори-
горизонтальных координат х и у, и потому можно искать решения,
зависящие периодически от этих координат. Для таких возму-
возмущений оператор Лапласа Л = д2/дг2—k2, где волновое число
возмущения k, вообще говоря, отлично от волнового числа ста-
стационарного движения k. Собственное число краевой задачи Я<0)
зависит от двух параметров: Я@) = №(k, k). Выводы об устой*
чивости, получаемые в этом приближении, зависят от знака
функции Я@)(&, k). Этот знак определяется соотношением
Уравнения первого приближения имеют вид:
? ~ ^ R@)f (l)Yf

152 ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ [ГЛ. V
между k, k и волновым числом km, соответствующим минимуму
нейтральной кривой. Анализ показывает, что в первом порядке
стационарные движения с любым k неустойчивы, причем в об-
области k>km опасны возмущения с k < k (им соответствует
Л<0) < 0), а в области k < km — возмущения с k > k.
Теперь необходимо найти поправки к декременту АЯ, АЯ, ...,
позволяющие сделать выводы об устойчивости стационарных
движений малой, но конечной амплитуды. Эти поправки опре-
определяются из условий разрешимости неоднородных уравнений
последовательных приближений. В работе [29] проведен анализ
до квадратичного по е приближения. Поправка первого по-
порядка А/!) оказывается равной нулю; следующая поправка АЯ
отлична от нуля и вещественна. Таким образом, с точностью
до членов порядка е2 имеем
Я = Я<°> + е2Я<2>. B2.10)
Для суждения об устойчивости важен знак поправки АЯ.
Один из наиболее интересных результатов состоит в том, что
в случае пространственных движений (iV> 1 в формуле B2.5))
всегда находится возмущение, для которого АЯ < 0 (так, в ча-
частности, ведут себя возмущения ck = k). Таким образом, ста-
стационарные движения в виде прямоугольных, гексагональных и
других пространственных ячеек неустойчивы относительно ма-
малых возмущений.
Иначе обстоит дело в случае плоских стационарных движе-
движений (конвективные валы; N = 1 в формуле B2.5)). В этом слу-
случае в зависимости от соотношения между k, k и km знак квад-
квадратичной поправки АЯ может быть различным. Так, в области
k > km для возмущений с волновыми числами k < k, как ука-
указывалось, А/0) < 0; квадратичная же поправка в этом случае по-
положительна: АЯ > 0. Поэтому полный декремент % (разумеется,
в рамках применимости формулы B2.10)) с ростом амплитуды
е меняет знак. Условие А, = 0 определяет значение амплитуды
е, выше которого возмущения затухают, и следовательно, валы
устойчивы. Для возмущений же с k > k в области k > km №°)
и АЯ — положительны. В области k<.km, как показывает ана-
анализ, сохраняются выводы, полученные в первом приближении,
а именно, всегда находятся нарастающие возмущения, приво-
приводящие к неустойчивости конвективных валов.
Итак, анализ устойчивости надкритических движений, про-
проведенный методом малого параметра, показывает, что все трех-
трехмерные ячеистые движения неустойчивы. Что же касается
двумерных структур (валов), то для них существует интервал
волновых чисел вблизи km, внутри которого эти структуры устой-
устойчивы. Разумеется, интересно получить границу области устой-

§ 221 К0Н6ЕКЦИЯ S ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ 153
чивости конвективных валов на плоскости число Рэлея — вол-
волновое число. Метод малого параметра позволяет найти эту гра-
границу лишь вблизи нейтральной кривой равновесия.
Дополнительную информацию дает работа Буссэ [30], в ко-
которой для исследования стационарных движений и их устой-
устойчивости применялся метод Галеркина, применимость которого
не ограничена малой надкритичностью. В этой работе рассмат-
рассматривался случай обеих твердых границ слоя. Исследовалась
устойчивость лишь двумерных конвективных структур. Для
простоты автор ограничился предельным случаем достаточно
больших значений числа Прандтля, когда можно пренебречь
инерционными членами в уравнении Навье — Стокса (сохра-
(сохраняя, однако, нелинейные члены в уравнении теплопроводности).
Принимались следующие аппроксимации температуры стацио-
стационарного движения Т и возмущения Т;
п, m
f = ( 2 Kmeinkxsintnnz]exp[-M + i(kxx + k2y)\.
\n,m )
Соответствующие распределения скорости находятся из
уравнения Навье — Стокса, которое в принятых предположе-
предположениях оказывается линейным уравнением с постоянными коэф-
коэффициентами. Интегральные условия метода Галеркина, соста-
составленные для уравнения теплопроводности, позволяют определить
коэффициенты bnm и ЪПт, а также декременты малых нор-
нормальных возмущений A,=^(R, k,\k\t k2). Граница монотонной
устойчивости находится из условия Я=0. Наиболее опасными
оказываются возмущения с ?i=0 и k2 ф 0 (это означает, что
стационарные валы неустойчивы относительно трехмерных воз-
возмущений). На рис. 56 изображена нейтральная кривая устой-
устойчивости равновесия вместе с границей области устойчивости
конвективных валов (две ветви, ограничивающие область устой-
устойчивости валов, соответствуют критическим модам разной сим-
симметрии). Как видно из рисунка, зарождающаяся при критиче-
критическом числе Рэлея Rm область устойчивости валов оказывается
закрытой сверху.
Сформулируем теперь еще раз основные выводы, вытекаю-
вытекающие из исследования устойчивости стационарных надкритиче-
надкритических движений. Прежде всего, прямоугольные, гексагональные
и другие пространственные структуры оказываются неустойчи-
неустойчивыми. Далее, двумерные структуры (конвективные валы) имеют
интервал значений волнового числа, внутри которого они устой-
устойчивы. Ширина этого интервала зависит от числа Рэлея (рис.56).
Наконец, область устойчивости ограничена со стороны больших
значений числа Рэлея некоторым предельным R#: при R > R«

1S4
Движения с конечной амплитудой
[ГЛ. V
никаких устойчивых стационарных движений нет (согласно рас-
расчетам [30], R*=22 600 ± ЮО).
Таким образом, соображения устойчивости отчасти снимают
«вырождение», о котором говорилось в начале этого параграфа:
по соображениям устойчивости отбраковываются простран-
пространственные ячейки и более или менее значительно сужается воз-
возможный интервал волновых чи-
чисел для конвективных валов1).
Вопрос о существовании и ме-
механизме дальнейшего отбора
сложен и в настоящее время
едва ли может быть однознач^
но решен. В этой связи необхо^
димо в первую очередь упомя-
упомянуть так называемый принцип
Малкуса [32]. Согласно этому
принципу, среди множества
возможных стационарных ре-
режимов реализуется именно тот,
который обеспечивает макси-
максимальный тепловой поток. Хотя
г-ю*
5-Ю3
з-ю3
г-ю3
К/У
i i i
///
1 1,_
0/23
6 7
к
Рис. 56. Диаграмма устойчивости конвек- ЭТОТ ПрИНЦИП КЭЖеТСЯ фИЗИЧе-
тивных валов, / — нейтральная кривая nv\x
устойчивости равновесия; // и /// — ней- v~Rn
тральные кривые, ограничивающие область
устойчивости конвективных валов [80]
(область устойчивости заштрихована);
ДОВОЛЬНО
конкретные расчеты говорят о
том, что он выполняется дале-
IV- надкритические движения, наблюдав- vn мр дрргпя Г331 Нр
шиеся в эксперименте [*]: сплошная ли- К0 Не всегДа L J- пе
ния-валы, штриховая-пространственные что МехаНИЗМ Отбора
ячейки (вода, Р=6,7; толщина слоя г
h*=\,2cM). ственного предельного режи*
ма является стохастическим и
проявляется в ходе эволюции случайного начального состояния
(см. [2в]). С другой стороны, есть основания думать, что в зави*
симости от выбора начальных условий могут реально устанавли-
устанавливаться различные устойчивые стационарные движения (в пользу
этого свидетельствуют эксперименты [34]).
Вероятно, один из наиболее удивительных результатов не-
нелинейной теории состоит в том, что все пространственные ячей-
ячейки, в том числе и гексагональные, оказываются неустойчивыми.
Между тем, начиная с первых опытов Бенара, в течение мно-
многих лет в большом числе экспериментальных работ в подогре-
подогреваемом снизу плоском слое наблюдались гексагональные ячей-
ячейки. В результате сложилось убеждение, что гексагональная
1) Наличие подынтервала волновых чисел, соответствующих устойчивым
вторичным режимам, характерно и для других проблем гидродинамической
устойчивости (тороидальные вихри Тэйлора и др.). В работе [31] показано,
что это .обстоятельство связано с квадратичным характером нелинейности
уравнений гидродинамики.

§ 22] КОНВЕКЦИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОВ 155
форма ячеек является если не единственно возможной, то, во
всяком случае, наиболее предпочтительной. Объяснение этого
кажущегося противоречия состоит в том, что в теории, осно-
основанной на уравнениях конвекции в приближениях Буссинеска,
не учитывается влияние целого ряда осложняющих факторов,
неизбежно присутствующих в любом реальном эксперименте.
К ним относится, в частности, зависимость параметров жидко-
жидкости, в первую очередь, вязкости от температуры. Неоднородность
параметров, обусловленная их температурной зависимостью,
в общем, слабо влияет на устойчивость равновесия, приводя
лишь к сдвигу критического числа Рэлея (см. § 6). Влияние
же на устойчивость возникающих в надкритической области дви-
движений оказывается гораздо более значительным и в некоторых
случаях качественно меняет ситуацию.
Существенное влияние температурной зависимости вязкости
на бенаровскую конвекцию замечено давно. В экспериментах
было установлено [35], что направление конвективной цирку-
циркуляции внутри ячейки Бенара различно в жидкостях и газах.
В жидкостях в центре ячейки имеется восходящий поток, а в га-
газах — нисходящий. В работе [35] было предположено, что это
отличие связано с различным характером температурной зави-
зависимости вязкости у жидкостей и газов. Как известно, у жидко-
жидкостей вязкость с ростом температуры убывает, а у газов — ра-
растет. Обстоятельное исследование этого эффекта было проведе-
проведено в экспериментах Типпельскирха [36>37]. В работе [36] опыты
проводились с жидкой серой, интересной в том отношении, что
при температуре 153 °С имеется инверсия температурной зави-
зависимости вязкости: dr\/dT<.0 при Г<153°С и dr\/dT > 0 при
Г>153°С. Эксперименты показали, что при переходе через
точку инверсии действительно происходит смена направления
конвективной циркуляции. Аналогичный эффект замечен в ра-
работе {37], где в качестве рабочей среды использовалась смесь
паров воды и табачного дыма.
Первый успех теоретического описания надкритической кон-
конвекции с учетом температурной зависимости вязкости был до-
достигнут в работе Палма [18]. В этой работе была исследована
эволюция начального возмущения специального вида и пока-
показано, что в пределе устанавливается движение в форме гекса-
гексагональной ячейки с надлежащим направлением циркуляции.
Позднее результаты Палма были уточнены в работах' [19>21].
Систематическое исследование влияния температурной зави-
зависимости параметров жидкости на устойчивость надкритических
движений произведено в работе Буссэ [33]. В этой работе учи-
учитывалась зависимость от температуры коэффициентов кинема-
кинематической вязкости, теплопроводности и теплоемкости (в разло-
разложениях этих параметров по отклонению температуры от

156 ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ [ГЛ. V
среднего значения удерживались линейные члены); кроме того,
в зависимости плотности от температуры, кроме линейного члена,
учитывался также и квадратичный. С каждым из этих эффектов
связан соответствующий безразмерный параметр y*- Для нахо-
нахождения стационарного надкритического движения и исследова-
исследования его устойчивости применялся метод малого параметра;
в отличие от «чистого» случая [29], обсужденного выше, решения
представлялись в виде разложений не только по амплитуде е,
но и по всем параметрам температурной неоднородности уи
которые предполагались малыми. Как и в [30], для простоты
расчетов пренебрегалось инерционными членами в уравнении
движения. Расчет, проведенный в квадратичном по малым па-
раметрам приближении, приводит к следующим формулам для
разложений числа Рэлея и декремента малых возмущений ста-
стационарного движения:
^. B2.11)
X = Хт + г\т + е 2 ЫР, B2.12)
Г
2
Г
где коэффициенты разложений R<20), Щп\ Х{20\ х[п) определяют-
определяются из условий разрешимости неоднородных систем последова-
последовательных приближений (в этих
формулах не выписаны квадра-
квадратичные по y* члены, описываю-
описывающие сдвиг критического числа,
обусловленный температурной
зависимостью Параметров).
Коэффициенты разложений вы-
вычислены в [33] для трех типов
граничных условий: обе грани-
Рис. 57. Зависимость амлитуды стацио- цы ТВерДЫе ИЛИ СВОбоДНЫе, а
нарного движения от числа Рэлея для ва- « «
лов (/) и гексагональных ячеек (//). Сплош- ТаКЖе СМешаННЫИ Случай; ВОЛ
нй
() ) у;
ные линии-устойчивые состояния, штри- рпипр ииглп гтятшпняпнпгп
ховые- неустойчивые состояния. НОВОе ЧИСЛО СТаЦИОНарНОГО
движения принималось равным
kM (значение, соответствующее минимуму на нейтральной
кривой).
Как видно из формул B2.11), B2.12), эффекты температур-
температурной зависимости параметров являются аддитивными. Поэтому
далее для определенности мы будем говорить лишь о темпе-
температурной зависимости вязкости.
При отсутствии температурной зависимости вязкости, как
указывалось выше, в надкритической области устойчивы лишь
валы, а гексагональные ячейки неустойчивы. Учет температур-
температурной зависимости коренным образом меняет ситуацию. На
рис. 57 представлен основной результат работы [33]. На этом

§ 22] КОНВЕКЦИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ 157
рисунке качественно изображена зависимость амплитуды ста-
стационарного движения от числа Рэлея (формула B2.11)) и ука-
указаны границы устойчивости движения (определяемые знаком %
из B2.12)) для двумерных валов и гексагональных ячеек (речь
идет о гексагональных ячейках с «правильной» циркуляцией,
при которой направление движения на оси ячейки совпадает
с направлением возрастания вязкости; ячейки с «неправильной»
циркуляцией оказываются неустойчивыми). Как видно из ри-
рисунка, область устойчивости валов начинается с некоторого зна-
значения Re > R@0); на линии гексагональных ячеек участок
устойчивых режимов заключен между точками А и В. В обла-
области Re < R < Rb устойчивы, таким образом, обе формы кон-
конвективного движения, и реализуемое движение определяется
начальными условиями. Если постепенно увеличивать число Рэ-
Рэлея, то при критическом значении R(°°) «жестко» возбуждается
конвекция гексагональной структуры; при дальнейшем увели-
увеличении R гексагональные ячейки устойчивы вплоть до R=Rb.
При этом значении числа Рэлея происходит перестройка гекса-
гексагональных ячеек в валы, которые устойчивы при R > RB
(верхняя граница области устойчивости валов методом малого
параметра не определяется) !). Если теперь уменьшать число
Рэлея, то валы сохраняются до значения Re; в точке Rc насту-
наступает переход к гексагональной форме, которая далее при умень-
уменьшении R срывается в точке RA (цикл гистерезиса указан на
рисунке .стрелками). Интересно, что, согласно результатам рас-
расчета, невозможна стационарная конвекция с амплитудой, мень-
меньшей еа (при е < 8а, по-видимому, конвекция имерт характер
стационарных колебаний, см. [41]). Если безразмерный пара-
параметр неоднородности у стремится к нулю, то при этом пропор-
пропорционально у2 стремятся к нулю разности R<°°) — Ra, Rb — R@0)
и Rc — R@0). В пределе область устойчивости гексагональных
ячеек исчезает, а линия устойчивых валов начинается сразу
в критической точке.
Обсужденные результаты качественно согласуются с полу-
полученными ранее методом взаимодействующих мод в работе Сид-
жела [42].
Итак, в образовании гексагональных конвективных структур
существенную роль играет такой, на первый взгляд, второсте-
второстепенный фактор, как температурная зависимость параметров
жидкости. В этом плане значительный интерес представляет
эксперимент Чена и Уайтхеда t34], в котором принимались
1) Переход гексагональных структур в валы наблюдался в ряде экспе-
экспериментов, см. р8»89]. Интервал чисел Рэлея Rb — Ra, внутри которого устой-
устойчивы гексагональные ячейки, резко возрастает с уменьшением толщины слоя
жидкости [40].

158 движения с конечной амплитудой [гл. v
специальные меры для того, чтобы по возможности устранить
температурную зависимость вязкости. С этой целью в качестве
рабочей жидкости подбиралась смесь силиконовых масел с до-
достаточно малым температурным коэффициентом вязкости (из-
(изменение кинематической вязкости в пределах слоя не превы-
превышало 5%). Для создания возмущений контролируемой формы
в опытах использовались решетки, состоящие из параллельных
полос. Эти решетки накладывались на верхнюю границу слоя
и освещались источником инфракрасного излучения. Таким об-
образом, удавалось индуцировать возмущения в виде валов, вол-
волновое число которых можно было менять, варьируя .постоянную
решетки. Опыты показали, что при надкритичностях, достигав-
достигавших 2,5Rm, валы устойчивы, если их волновые числа близки
к значению km, соответствующему минимуму нейтральной кри-
кривой. Если волновое число задаваемых возмущений сильно
отличалось от km (в сторону больших или меньших значений),
то валы оказывались неустойчивыми: сначала возникала не-
неустойчивая промежуточная структура в виде трехмерных ячеек,
затем формировалась новая (устойчивая) система валов с вол-
волновым числом, попадавшим в некоторый интервал вблизи km. Эти
эксперименты, как и некоторые другие [39«43], говорят о том, что
если температурная зависимость вязкости мала, то устойчивой
формой надкритического движения являются конвективные
валы. Обсуждаемые эксперименты представляют интерес также
и в другом отношении: они могут служить качественным под-
подтверждением вывода работы Шлютера, Лорца и Буссэ о суще-
существовании (при фиксированном R) подынтервала волновых
чисел, соответствующих устойчивым конвективным валам.
Показательны также эксперименты Кришнамурти [39], в ко-
которых, как и в [34], исследовались стационарные надкритические
движения в условиях, когда температурная зависимость пара-
параметров несущественна. В этих экспериментах, однако, не навя-
навязывалась определенная структура надкритического движения,
а наблюдались движения, естественно возникающие при уве-
увеличении числа Рэлея. Как оказалось, в надкритической области
возникают устойчивые двумерные валы, длина волны которых
изменяется с увеличением R; одна из экспериментальных кри-
кривых представлена на рис. 56 вместе с диаграммой устойчивости
валов по Буссэ. При увеличении R наступает перестройка ва-
валов в устойчивые пространственные ячейки, причем значение R,
при котором происходит перестройка, удовлетворительно согла-
согласуется с границей устойчивости валов, найденной теоретически.
Существование устойчивых пространственных движений, на
первый взгляд, противоречит результатам Шлютера, Лорца и
Буссэ, согласно которым устойчивых пространственных движе-
движений нет. Следует, однако, иметь в виду, чго эти результаты

§ 231 ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ НАДКРИТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ [g9
получены методом малого параметра и потому ограничены ма-
малой надкритичностью; появление же в эксперименте устойчи-
устойчивых ячеек происходит при достаточно больших R. К тому же,
переход от валов к ячейкам, как показывает эксперимент, ха-
характеризуется гистерезисом. Это, по-видимому, свидетельствует
о том, что переход связан с конечными возмущениями; в тео-
теории же рассматривалась устойчивость валов относительно ма-
малых возмущений.
Заканчивая обсуждение этого вопроса, подчеркнем снова,
что структура надкритической конвекции в горизонтальном
слое весьма чувствительна к разного рода «малым парамет-
параметрам». Выше обсуждался эффект пространственной неоднород-
неоднородности физических параметров жидкости. Можно указать и дру-
другие факторы, качественно влияющие на форму движения. К их
числу следует отнести слабую нестационарность условий подо-
подогрева [44«45], наличие удаленных боковых границ слоя [46«47]; не
исключена также важная роль характера тепловых граничных
условий, наличия капиллярных эффектов на свободной поверх-
поверхности и т. п.
§ 23. Численные расчеты надкритических движений
В двух предыдущих параграфах обсуждались результаты,
полученные, в основном, методом малого параметра. При всех
очевидных преимуществах аналитического подхода к проблеме '
этот метод, однако, применим лишь в ограниченной области —
при малой надкритичности. Так, квадратичное по амплитуде
приближение, согласно оценке [33], дает хорошую точность при
значениях числа Рэлея, в 2—3 раза превосходящих критиче-
критическое значение Rm. Даже расчет стационарного движения в вось-
восьмом порядке по е, проведенный в работе [48] для двумерных
валов в слое со свободными границами, дает результаты,
справедливые лишь до R « 8Rm.
Развитие вычислительной техники открыло новые перспек-
перспективы решения нелинейных проблем гидродинамики и, в част-
частности, задач нелинейной теории конвективной устойчивости. Эти
перспективы связаны с применением метода конечных разно-
разностей. Одно из достоинств этого метода состоит в том, что он,
в принципе, не имеет ограничений по числу Рэлея и поэтому
может быть с успехом применен для исследования .стационар-
.стационарных и нестационарных надкритических движений вдали от кри-
критической точки. Даже сравнительно грубые сетки, применяе-
применяемые в настоящее время, позволяют продвинуться в расчетах
до значений числа Рэлея, в десятки раз превосходящих критиче-
критическое. Другое достоинство метода состоит в том, что с его по-
помощью можно реализовать- интересные с принципиальной точки

160
движения t конечной амплитудой
[ГЛ. V
зрения численные эксперименты, в частности, проследить за
эволюцией определенных возмущений в «чистых» условиях, ко-
когда исключены влияния многочисленных осложняющих факто-
факторов, неизбежно присутствующих в реальном физическом экспе-
эксперименте.
Далее мы приведем некоторые результаты исследования над-
надкритической конвекции, полученные методом конечных раз-*
ностей.
В дачестве первой задачи рассмотрим плоское конвективное
движение в квадратной области, по*
* догреваемой снизу [49~м]. Напомним
(см. § 20), что согласно линейной тео*
рии устойчивости, спектр критических
движений в этом случае дискретен,
причем двум нижним уровням этого
спектра соответствуют критические
числа Рэлея Ri = 5099 и R2 = 8495 и
движения, схематически изображенные
на рис. 51 а, б.
Для исследования надкритических
движений обратимся к нелинейным
уравнениям нестационарной конвек-
конвекции. В отличие от B1.1) —B1.3), эти
уравнения удобно записать, не выделяя из температуры и дав-
давления равновесные части:
Рис. 58. Квадратная область.
Оси координат.
-^ + -р- (VV) V - - Vp + Av + RfY,
divt»
B3.1)
(число Рэлея определено через сторону квадрата и разность
температур горизонтальных границ).
Выберем оси координат, как указано на рис. 58, и введем
функцию тока, описывающую плоское движение, при помощи
соотношений
В переменных (ф, Т) система B3.1) запишется в виде
B3.2)
l-AAO-R-g-.

§23] ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЁТЫ НАДКРИТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ NJ1
На границах квадратной области обращаются в нуль обе
компоненты скорости; температура на горизонтальных грани-
границах постоянна, а вдоль вертикальных — меняется по линейному
закону. Таким образом, имеем:
при у = 0 *
при у = \ ф
при х = 0 и * = 1 ф = 4т =
B3.3)
Задав некоторое начальное распределение, функции тока и
температуры, при помощи уравнений B3.2) и краевых условий
B3.3) можно проследить за эволюцией этого начального рас-
распределения, и, в частности, получить предельный стационарный
режим, если он существует.
Для численного решения задачи применим метод конечных
разностей. Введем пространственно-временную сетку
yk = kh) '.Л*0» I. 2,..., ЛГ; Л = Т:
(п = пт, л~0, 1,2, ...
и обозначим
Составим конечно-разностный аналог уравнений B3.2), пред-
предварительно введя новую переменную <р=—Дг|э (ф имеет смысл
проекции вихря скорости на направление, перпендикулярное
плоскости движения). Заменяя производные по времени одно-
односторонними разностями, а производные по координатам — цен-
центральными, получим
дф?. * +1 (Яи. * - TU, *) -
_ фя+д B3.5)
*)« ft+1 ;.,,)] } B3.6)
б Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

162 Д6ЙЖЁНЙЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ (ГЛ. V
Оператор Лапласа аппроксимируется следующим образом:
A/*,k = -}p (fi+uk + fi-uk + fi,k+\ + U, k-\ — 4/*,*).
Граничные условия в конечно-разностной форме имеют вид
(при составлении условия для вихря записывается разложение
в ряд функции тока в приграничной точке с точностью до
квадратичных членов, см. [52])
Фо. k = ^N, k = Ь, 0 = Ь, N=Q>
2 2
Фо, k = — -?Г Фь k> 4N>k = — -tf ^N-U k>
2 2
Ф*,0= —Ф Ф
B3.7)
Приведенная схема имеет погрешность аппроксимации по*
рядка О(т + Л2).
При проведении расчетов шаг по времени выбирался из
соображений устойчивости счета. Уравнение Пуассона B3.6)
решалось методом итераций Либмана. Основные вычислений
проведены на сетке 16 X 16; проверочные расчеты на более мел*
кой сетке 26 X 26 показали достаточную точность численного
решения.
Для исследования основного стационарного движений, боз*
никающего в первой критической точке, начальное возмуще*
ние задавалось обычно в виде локального вихря в центре
области. Далее (при фиксированном значении числа Рэлея) на-
наблюдалась эволюция этого начального возмущения. Как и сле-
следовало ожидать, в подкритической области все начальные
возмущения затухают, и предельным'режимом является равно-
равновесие с линейным по вертикали распределением температуры.
В надкритической области начальное возмущение развивается,
и после переходного процесса, продолжительность которого
зависит от надкритичности, устанавливается предельное стацио-
стационарное состояние. На рис. 59 изображены линии тока и изо-
изотермы стационарных движений для трех значений числа Рэлея
(число Прандтля в расчетах было фиксированным: Р=1).При
R=5300, т.е. вблизи порога, имеется медленное движение,
слабо искажающее равновесное распределение температуры
(изотермы почти горизонтальны). По форме движение близко
к первому критическому. С увеличением числа Рэлея движе-
движение становится более интенсивным, а форма его меняется:
овальные линии тока вытягиваются,- их большая ось наклоняет-

§23]
ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ НАДКРИТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
163
Рис, 59. Надкритические движения в квадратной области;
слева —линии тока, справа — изотермы,

164
ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ
[ГЛ. V
ся к вертикали1). Можно заметить также тенденцию к обра*
зованию температурного пограничного слоя вблизи горизонталь-
горизонтальных границ и почти изотермического ядра.
Интенсивность стационарного надкритического движения
удобно характеризовать величиной полного теплового потока
через полость, который определяется (в размерной форме) сле-
следующим образом:
Здесь дТ/дп — нормальная составляющая размерного градиен-
градиента температуры^ а интегрирование ведется по той части гра-
границы, на которой плотность теплового потока имеет один знак.
N Безразмерный тепловой
3\ I I I I | I поток (число Нуссельта)
определим следующим об-
образом: N = Q/xG. В под-
критической области, где
тепловой поток вертика-
вертикален и связан лишь с теп-
теплопроводным механиз-
механизмом, N = 1. В надкрити-
надкритической области, помимо
теплопроводного, имеется -
еще и конвективный пере-
перенос тепла, интенсивность
которого растет с увели-
увеличением надкритичности.
Величина N — 1 поэтому
служит мерой интенсивно-
интенсивности стационарного движения. Зависимость N(R) изображена на
рис. 60. Экстраполяция этой зависимости на N = 1 позволяет
определить критическое число, которое оказывается равным
Ri=5090±20, что хорошо согласуется со значением, найденным
по линейной теории. Вблизи порога зависимость N(R) следует
закону
/
У
/А
/
i
•У
w-ю*
Рис. 60. Зависимость числа Нуссельта от числа Рэ-
лея. Сплошная линия —основное надкритическое
движение; штриховая линия - метастабильное дви-
движение.
N = 1 + 0,01791/R — R,.
B3.8)
!) Изображенные на рисунках стационарные движения соответствуют на-
начальному вихрю с вращением против часовой стрелки. Если задать началь-
начальный вихрь другого знака, то в процессе установления возникает стационарное
движение с противоположным направлением циркуляции и с наклоном оси
овала в другую сторону. Таким образом, меняя знак начального вихря, удает-
удается получить два стационарных решения, рождающиеся в критической точке
(см. § 21).

§23]
ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ НАДКРИТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИИ
165
С точностью до 1% эта формула справедлива вплоть до R «
* l,5Ri.
Описанное стационарное движение удается получить лишь
до некоторого предельного значения числа Рэлея R#=64-103;
При R > R* переходный процесс развития начального возму-
возмущения приводит к режиму установившихся стационарных ко-
колебаний. При фиксированном R в этом режиме функция тока,
вихрь и температура в узлах сетки, а также интегральные ха-
характеристики— тепловой поток, максимальное значение функ-
функции тока и т. д. осциллируют со временем около средних значе-
значений с частотой, возрастающей с увеличением R — R*. Вопрос
о природе этих колебаний в настоящее время не может счи-
считаться решенным. Возможно, что их происхождение связано со
счетными эффектами. В то же время обстоятельные провероч-
проверочные вычисления Е. Л. Тарунина [51], проведенные на разных
Рис. 61. Линии тока и изотермы метастабильного движения.
сетках и при помощи нескольких конечно-разностных схем, по-
показали, что колебания неизбежно возникают при увеличении
числа Рэлея, причем их параметры слабо зависят от шага сет-
сетки, шага по времени, числа итераций уравнения Пуассона
и т. п. С другой стороны, имеются указания о том, что коле-
колебания в надкритической области наблюдаются и в экспери-г
менте [53]. Поэтому не исключено, что наблюдавшиеся в числен-;
ном эксперименте колебания имеют физическую природу.
Была предпринята попытка получить также движение, ро-.
ждающееся во второй критической точке R2. С этой целью зада*
валось возмущение в виде пары симметричных вихрей, по
форме напоминающих второе критическое движение (см.
рис. 51,6). Как правило, в результате развития этого на-
начального возмущения устанавливалось основное стационарное

166 ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ [ГЛ. V
движение. В интервале 14-103 < R < 28-103, однако, переходный
процесс приводил к нелинейному движению нужной симмет-
симметрии (рис. 61). В этом интервале чисел Рэлея такое движение
существует достаточно долго, — во всяком случае, в течение
промежутков времени, значительно больших времени переход-
переходного процесса. С течением времени, однако, один из вихрей
становится более интенсивным, и это движение постепенно рас-
распадается, переходя в основное (одновихревое). Таким образом,
движение, рождающееся во второй, критической точке, можно
трактовать как метастабильное. Интересно, что, как показал
Е. Л. Тарунин [50], это движение удается искусственно стаби-
стабилизировать, исключив возможность возникновения возмущений,
переводящих его в основное. Для этого можно задать условие
'зеркальной симметрии численного решения относительно вер-
вертикальной оси области. Такой прием позволяет стабилизировать
второе надкритическое движение в области R2 < R < 7R2
(штриховая линия на рис. 60). Численное определение критиче-
критической точки дает значение R2 = 8400 ± 200 (согласно линейной
теории, R2 = 8495).
Заметим, что в уже упоминавшихся экспериментах А. П. Ов-
Овчинникова [4»5], исследовавшего надкритические движения в ку-
кубической полости, наряду с основным движением наблюдалось
также и второе, выходящее из второй критической точки. Это
движение оказалось относительно менее устойчивым и часто
под действием возмущений переходило в первое.
Остановимся теперь на результатах решения другой задачи,
рассмотренной Д. Л. Шварцблатом [54>55]. По постановке и ме-
методу решения она не" отличается от разобранной выше. Отличие
заключается в условиях на вертикальных границах: теперь они
предполагаются свободными и теплоизолированными. Кроме
того, решение ищется не в квадратной, а в прямоугольной об-
области с отношением горизонтальной стороны к вертикальной,
равным /. Вместо последней строки B3.3) теперь имеем:
при х^0 и * = /ф=0 = О, ^ = 0. B3.9)
Рассматриваемое движение, по существу, моделирует плоскую
конвективную ячейку Бенара с длиной волны 2/1).
Как и в случае квадратной области с твердыми границами,
выше критического числа Рэлея (зависящего теперь от волно-
]) Строго говоря, боковые границы ячейки Бенара не являются верти-
вертикальными, и при численном решении следовало бы поставить вместо B3.9)
условие периодичности по горизонтали. Однако, как показывают результа-
результаты [46], невертикальность боковых границ даже при значительной надкритич-
ности весьма мала.

,23]
ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ НАДКРИТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
16?
вого числа k=n/l) из начальных возмущений развивается ста-^
ционарное движение, интенсивность которого растет с увеличе-
увеличением надкритичности. Безразмерный вертикальный тепловой
поток, как показывают расчеты, линейно зависит от надкритич-
надкритичности (см. B2.6)). Интересно заметить, что при новых условиях
на боковых границах колебания не наблюдались, и надкрити-
надкритическое движение оставалось стационарным во воем исследовай-
ном интервале чисел Рэлея вплоть до значений, в 50 раз пре-
превосходящих критическое (при /=1). В связи с образованием
пограничного слоя продвижение в область еще больших R огра-
ограничено шагом применявшейся сетки B1 Х21 при 1=1 и 33X1?
при/> 1).
Параллельно с формированием пограничного слоя образуе!*-
ся ядро течения в центральной части области. С увеличением
надкритичности безразмерный градиент температуры в ядре
(в единицах 0/а; а — высота слоя) стремится к нулю (рис.62).
Распределение же вихря скорости в
ядре становится почти однородным.
Таким образом, возникающий при
больших числах Рэлея конвективный
пограничный слой охватывает изотер-
изотермическое ядро, вращающееся с одно-
однородным вихрем скорости, что согла-
согласуется с известной гипотезой Батчело-
ра [56] (в отличие от случая подогрева
W
0,5
\
¦ 1
Р-/; И
'—¦ -
—
гою3 то3 60-ю3
Рис. 62. Безразмерный градиент температуры
в центре конвективной ячейки в зависимости
от числа Рэлея.
Рис. 63. Зависимость числа Нус-
сельта от волнового числа
в надкритической области. Штри-
Штрихами на оси к отмечены гра-
границы устойчивости, определяе-
определяемые линейной теорией.
сбоку, когда ядро неподвижно, а градиент температуры в нем
однороден, см. [57]).
При фиксированном R, превосходящем критическое зна-
значение Rm, согласно линейной теории существует интервал

168 ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ Ц\Л V
волновых чисел нарастающих возмущений. Границы этого интер-
интервала определяются нейтральной кривой. Меняя / (а следова-
следовательно, и волновое число k = я//) при заданном надкритиче-
надкритическом R, можно численно получить соответствующие нелинейные
движения. На рис. 63 представлена полученная в [54] зависимость
безразмерного теплового потока от волнового числа N(#) для
трех надкритических значений R. Как видно, для фиксирован-
фиксированного R существует движение с максимальным теплопотоком,
причем соответствующее волновое число медленно растет
с увеличением R. Интересно отметить, что длинноволновая
ветвь кривой N(R) в численном эксперименте не может быть
получена полностью: если задать начальное одновихревое воз-
возмущение с достаточно большим / (малое k), то это возмущение
в процессе развития перестраивается и приводит к двухвихрево-
му стационарному режиму (аналогичное дробление длинновол*
новых ячеек наблюдалось также в работах [58-59] и особенно от-
отчетливо в [4в]). Этот факт, очевидно, свидетельствует о неустой-
неустойчивости длинноволновых надкритических движений и согласует-
согласуется с результатами эксперимента t34], обсуждавшегося в преды-
предыдущем параграфе.
В заключение укажем еще на некоторые работы, в которых
численно исследовались надкритические движения [60-63]. По-
Попытка расчета методом сеток трехмерной конвективной ячейки
сделана в р1»64].

ГЛАВА VI
ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ
НА КОНВЕКТИВНУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
Движение жидкой или газообразной проводящей среды
(жидкий металл, электролит, плазма) в магнитном поле в зна-
значительной мере определяется взаимодействием между полем и
токами, индуцируемыми в движущейся среде. Это магнитогид-
родинамическое взаимодействие оказывает существенное влия-
влияние и на конвективное движение проводящей среды, в частно-
частности, на устойчивость равновесия среды, подогреваемой снизу.
Поскольку магнитное поле тормозит движение проводящей
среды, ясно, что его влияние на устойчивость равновесия
должно быть, вообще говоря, стабилизирующим. Однако толь-
только одной стабилизацией влияние поля не исчерпывается. При
наличии поля спектр возможных возмущений становится бо-
богаче. В частности, при подогреве снизу оказываются возможны-
возможными осциллирующие возмущения. Более того, при определенных
соотношениях -между параметрами осциллирующие возмущения
нарастают, порождая неустойчивость колебательного типа.
Впервые конвективная устойчивость равновесия проводящей
среды была исследована Томпсоном [1] и Чандрасекаром [2>%
рассмотревшими магнитогидродинамический аналог задачи Рэ-
лея • о равновесии горизонтального слоя. Позднее были полу-
получены решения для других областей, а также построена общая
теория спектров возмущений и конвективной устойчивости равно-
равновесия в магнитном поле. Эта теория излагается в § 26. Предвари-
Предварительно рассматривается простой пример (§ 25), позволяющий
увидеть основные особенности задачи, связанные с наличием
магнитного поля. Конкретные задачи разобраны в §§ 27 и 28.
В настоящей главе рассматривается также конвективная
устойчивость вращающейся жидкости (§ 29). Влияние враще-
вращения оказывается во многом сходным с влиянием магнитного
поля.
§ 24. Уравнения возмущений
Начнем с вывода уравнений, описывающих конвекцию про-
проводящей среды в магнитном поле. Будем предполагать, что со-
сохраняют силу все предположения, сделанные в § 1, т. е. будем
оставаться в пределах приближения Буссиреска. Р этом случае

170 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
уравнение непрерывности имеет вид divi> = 0, а в уравнении
Навье-— Стокса должна быть учтена сила, действующая со сто-
стороны магнитного поля на индуцированный в жидкости ток.
В расчете на единицу массы эта сила равна1) — (/Х#), где
/ — плотность тока,. Н — напряженность магнитного поля, с —
скорость света. Плотность тока связана с напряженностями
электрического и магнитного поля Е и Я законом Ома2)
) B4.1)
где а — электропроводность жидкости.
Поля и токи в жидкости подчиняются уравнениям Макс-
Максвелла. Запишем эти уравнения, пренебрегая током смещения и
полагая \л = 1:
¦**—
B4.2)
Здесь е — диэлектрическая постоянная, а ре — плотность возни-
возникающего в жидкости объемного заряда; для определения ре мо-
может быть использовано последнее из уравнений B4.2).
Применяя к обеим частям B4.1) операцию rot и пользуясь
уравнениями Максвелла, получим уравнение для магнитного
поля в движущейся проводящей среде:
О* + („у) н - (ЯУ) v = -^ ЛЯ. B4.3)
Входящий в правую часть этого уравнения коэффициент
V'_JL характеризует диффузию магнитного поля в проводя-
проводящей среде; его иногда называют коэффициентом магнитной
вязкости.
Система уравнений магнитной гидродинамики конвективного
движения состоит из уравнений Навье —Стокса, теплопровод-
1) Здесь и далее мы всюду полагаем магнитную проницаемость \х равной
единице и не делаем различия между магнитной напряженностью Н и индук-
индукцией В. Среды, которые могут представить интерес с точки зрения разбирае-
разбираемых вопросов, как правило, слабо магнитные, и отличие ц от единицы весьма
мало. В случае необходимости это отличие может быть легко1 учтено.
2) Мы не останавливаемся здесь на вопросе о границах применимости
?акона Ома в форме B4.1). См. об этом, например, в D>5].

$24]
УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
171
ности, непрерывности и уравнения для магнитного поля B4.3).
Эта система может быть записана в виде, содержащем, кроме
гидродинамических величин, лишь магнитную напряжен-
напряженность Я:
dt
<»*>•—?*(/>+•§¦)
При получении уравнения движения мы преобразовали элек-
электромагнитную силу, заменив плотность тока в соответствии
с законом Био — Савара:
Уравнение теплопроводности записано в такой же форме, как
и в случае конвекции при отсутствии поля. Тем самым мы пре-
пренебрегли, наряду с вязкой диссипацией, также и джоулевым
нагревом среды.
Если конвекция происходит в полости, окруженной твердым
массивом с конечными значениями коэффициентов температу-
температуропроводности %т и электропроводности ат, то к уравнениям
B4.4) следует добавить уравнения для температуры и поля
в массиве:
^ ^ ^ B4.5)
На границе жидкости и массива скорость обращается в нуль,
а температура и тепловой поток непрерывны:
^ Hm*bL. B4.6)
Условия для Н вытекают из обычных электродинамических ус-
условий на границе раздела сред (см. [4]). Напряженность поля
на границе раздела непрерывна (касательная составляющая
Ht непрерывна всегда, а непрерывность нормальной составляю-
составляющей Нп при отсутствии поверхностного тока связана с приня-
принятым допущением (я=1). Непрерывность касательной состав-
составляющей электрической напряженности Et вместе с уравнением
B4.1) приводит к непрерывности величины /Уст, т. е. (rot H) t/o.

172
ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ
(ГЛ. VI
Итак, на границе раздела имеем:
И = Ищу —]
B4.7)
Легко видеть, что из условия непрерывности Ht вытекает не-
непрерывность нормальной составляющей тока /п, т. е.
rotrt Я = rotn Hm. B4.8)
Рассмотрим равновесие проводящей жидкости, находящейся
во внешнем постоянном однородном магнитном поле Но = Ноа,
где а —единичный вектор в направлении внешнего поля.
Из B4.4) следует, что давление и температура в равнове*
сии удовлетворяют уравнениям
совпадающим с соответствующими уравнениями § 2. Таким об-
образом, как и при отсутствии поля, равновесие возможно лишь
в случае постоянного и вертикального градиента температуры
Рассмотрим теперь малое возмущение равновесия, характе-
характеризуемое скоростью v и возмущениями температуры, давления
и поля Г, р, Н. Подставляя возмущенные величины То + Т,
ро + р, Но + Н и v в исходную систему B4.4), получим линеа-
линеаризованную систему уравнений для малых возмущений:
B4.9)
= 0, divH = O.
Запишем эту систему в безразмерном виде, выбрав в каче-
качестве единиц расстояния, времени, скорости, температуры, давле*
ния и поля соответственно величины: L (характерный размер
полости), —, -j-, AL, -Ijr и
^ = _ V (р + МаЯ) + Лг> + R7-Y + М (cV) Я,
divt» = 0, сИуЯ=--0
B4.10)

$ 24] УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 173
В эти уравнения наряду с обычными безразмерными пара-
параметрами—числами Рэлея R и Прандтля Р —входят два но-
новых параметра, характеризующих влияние магнитного поля на
движение проводящей вязкой жидкости:
Параметр Рт = -т («магнитное число Прандтля») опреде-
определяется только физическими свойствами жидкости, а М (так на-
называемое число Гартмана) пропорционально внешнему полю
и характеризует соотношение между магнитной и вязкой си-
силами. Число Гартмана играет роль параметра магнитогидро-
динамического взаимодействия.
Полагая все возмущения пропорциональными ехр(—%t),
получим систему амплитудных уравнений.
B4.11)
div v = О, div Я = 0.
Для амплитуд безразмерных возмущений _во внешнем массиве
имеем уравнения
— №Тт — -^ Д71т, — ЯРтЯт = — ДЯт. B4.12)
На границе полости амплитуды удовлетворяют краевым
условиям:
0, T-Tmt иж =
Я = Ят, rot, Н = д rot/ Ят.
B4.13)
Кроме того, возмущения температуры и поля во внешнем мас-
массиве должны стремиться к нулю на больших расстояниях от
полости.
Мы получили, таким образом, краевую задачу, определяю-
определяющую спектр возможных возмущений (г>, Г, р, Я) и их декремен-
декрементов К. Существенная особенность этой краевой задачи, обуслов-
обусловленная проводимостью жидкости и наличием магнитного поля,
состоит в ее несамосопряженности. Это означает, в частности,
что собственные числа краевой задачи — декременты % — не
обязательно являются вещественными, и не исключено появле-
появление в спектре колебательных возмущений. Из системы

174 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
амплитудных уравнений можно получить1) интегральное соот-
соотношение (см. § 26)
(^ _ Я) J (т* + PR7T* - РтНН*) dV=0 B4.14)
v
(звездочкой отмечены комплексно-сопряженные величины).
Входящий в это соотношение интеграл не является знакоопре-
деленным; его знак зависит от соотношения между амплиту-
амплитудами возмущений скорости, температуры и поля. Поэтому из
B4.14) нельзя сделать каких-либо определенных заключений
относительно вещественности декрементов при подогреве снизу
(R>0). Как будет видно из дальнейшего изложения, возму-
возмущения (при R > 0) монотонны лишь при слабых полях. При
конечных полях в спектре появляются колебательные возмуще-
возмущения. Таким образом, принцип монотонности возмущений при
наличии магнитного поля, вообще говоря, не имеет места.
§ 25. Монотонная и колебательная неустойчивость (пример)
Прежде чем приступать к общему исследованию конвектив-
конвективных возмущений проводящей жидкости в магнитном поле, мы
рассмотрим простой пример — задачу о конвективной устойчи-
устойчивости жидкости в плоском бертикальном слое при наличии по-
поперечного магнитного поля [7] (магнитогидродинамическое об-
обобщение задачи, рассмотренной в § 12). Благодаря предельно
простой геометрии в этом случае находится элементарное точ-
точное решение уравнений возмущений. Анализ этого решения поз-
позволяет отчетливо увидеть те новые черты явления, которые свя-
связаны с действием магнитного поля.
Плоский вертикальный слой вязкой проводящей жидкости,
ограниченный плоскостями х = ±1 (х — безразмерная попе-
поперечная координата; расположение осей указано на рис. 20), на-
находится в равновесии при наличии постоянного однородного
поля #о, направленного перпендикулярно плоскостям: Н0(Н0,
0,0). Будем рассматривать плоскопараллельные возмущения,
в которых отлична от нуля только вертикальная составляю-
составляющая скорости vz = v(x), а возмущение температуры зависит
только от поперечной координаты: Т = Т(х). Относительно воз-
возмущения поля Я предполагаем, что отлична от нуля лишь ком-
компонента #2 = #(#); при этом индуцированный ток параллелен
оси у. В сделанных предположениях из B4.11) получим урав-
нения: - Xv = v" + RT + , |
B5.1)
m +
1) Соотношение B4.14) впервые было получено в [6].

§ 25] МОНОТОННАЯ И КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 175
На границах слоя поставим следующие граничные условия:
при jc=±1 0 = 0, Г = 0, //' = 0. B5.2)
Обращение в нуль возмущения температуры соответствует
идеально теплопроводным границам. Условие Н' = 0 означает,
что на границах исчезает тангенциальная компонента тока. Это
соответствует бесконечной электропроводности границ (так на-
называемое условие Ферми).
Поставленная задача имеет простое решение, описывающее
«нечетные» возмущения:
v = cli sinплх, Т = a2sinnnxy H = a3cosnnx. B5.3)
Подставляя B5.3) в B5.1), получим линейную однородную алге-
алгебраическую систему для определения амплитуд. Приравнивая
нулю определитель этой системы
Я — п2л2 R - пл!Л
1 ЯР — п2л2 0
плМ 0 ЯРт — п2л2
= 0, B5.4)
получим кубическое уравнение относительно Я, определяющее
(для каждого п) три характеристических декремента в зависи-
зависимости от параметров —чисел Рэлея и Гартмана R и М (опре-
(определенных через полуширину слоя h) и чисел Прандтля Р и
Рт. Раскрывая B5.4), найдем для п = 1 (основная мода):
X + s = Oy B5.5)
где обозначено
+Я2РМ2- PWR,
В зависимости от значений параметров уравнение B5.5)
дает либо три вещественных корня (монотонные возмущения),
либо один вещественный и два комплексно-сопряженных корня
(последние описывают колебательные возмущения). Полагая
Я, = б + '*<»), получим из B5.5) систему уравнений . для веще-
вещественной и мнимой частей декремента б и со:
р (б3 — Збсо2) + Я (б2 — со2) + rb + s = 0, B5.6)
© [р (Зб2 - со2) + 2 б? + г] = 0. B5.7)
Определим, прежде всего, границы устойчивости для моно-
монотонных и колебательных возмущений. На границе устойчивости

176 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
6 = 0, и из B5.6), B5.7) следует
- ^ + 5 = 0, B5.8)
со(-рсо2 + г) = О. B5.9)
Эти два уравнения определяют критическое значение числа Рэ-
лея и частоту возмущений со на границе устойчивости.
В случае монотонного возмущения со = 0 (нейтральное воз-
возмущение стационарно). Уравнение B5.9) при этом удовлетво-
удовлетворяется, а из B5.8) следует s = О, откуда находим критическое
число Рэлея для монотонной неустойчивости:
R1 = rt4 + *2M2. B5.10)
При М = 0 критическое значение Ri = я4 (основной «нечет-
«нечетный» урбвень неустойчивости, см. § 12). С увеличением поля
критическое число Рэлея возрастает квадратично с М. Повы-
Повышение устойчивости при наличии поля весьма значительно. Для
ртути, например, при комнатной температуре а = 0,945Х
X WiSсект*, ц = 1,55-10пуаз\ при толщине слоя 1 см и напря-
напряженности поля 1000 гс получаем М=13. При этих условиях
критическое число Рэлея в 18 раз больше соответствующего
значения при отсутствии поля.
В случае колебательного возмущения ыфО (возмущение
на границе устойчивости осциллирует с частотой со). В B5.9)
нужно приравнять нулю скобку —рсо2 + г = 0. Тогда из B5.8)
слеЯует qr—ps = 0 (условие Орландо для уравнения B5.5)).
Отсюда находим критическое число Рэлея для колебательной
неустойчивости
и частоту нейтральных колебаний
С02 =
Из B5.12) сразу следует, что колебательная неустойчивость
возможна лишь при таком соотношении, между параметрами
жидкости, когда Рт > Р. В самом деле, при Рт < Р получает-
получается со2 < 0, тогда как, по смыслу частота нейтральных колеба-
колебаний— вещественная' величина. Таким образом, при Рт < Р
значение R2, определяемое B5.11), не имеет смысла критиче-
критического числа Рэлея, и возможна лишь монотонная неустойчи-
неустойчивость, граница которой дается формулой B5.10).
Если Рт > Р, то колебательная неустойчивость возможна
при значениях М, превосходящих некоторое критическое М*>

§25]
МОНОТОННАЯ И КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
177
Значение М„ определяется из условия со2 = 0:
м
2 1+Р
B5.13)
Нейтральные линии монотонных и колебательных возмуще-
возмущений Ri(M2) и Rj>(M2) на плоскости (М2, R) изображаются пря-
прямыми (рис. 64). Пересечение этих прямых происходит как раз
в точке, абсцисса которой есть М2. Таким образом, при М2 > М2,
Рис. 64. Нейтральные линии и области существования колебательных возмущений. На
рис. б цифрами отмечены: /—область устойчивости (все возмущения монотонно затухают),
2 —область устойчивости (одно монотонное и два колебательных затухающих возмущения),
3 — область колебательной неустойчивости (одно монотонно затухающее и два растущих
колебательных возмущения), 4 —область монотонной неустойчивости (одно затухающее и
два растущих монотонных возмущения), 5 —область монотонной неустойчивости (одно
растущее и два затухающих монотонных возмущения).
уравнение B5.11) определяет нейтральную линию колебатель-
колебательных возмущений.
Итак, при Рт < Р возможна лишь монотонная неустойчи-
неустойчивость, граница которой есть Ri (линия Ri на рис. 64, а). При
Рт > Р возможна неустойчивость монотонного и колебатель-
колебательного вида (нейтральные линии Ri и R2 на рис. 64,6). В слабых
полях (М к^ М*) неустойчивость наступает на линии Ri и но-
носит монотонный характер. Если поле превосходит критическое
значение (М*>М*), то кризис равновесия наступает на ли-
линии R2, и он связан с колебательными возмущениями. Частота
нейтральных колебаний на линии R2 дается формулой B5.12),
которая с учетом B5.13) может быть переписана в виде
B5.14)
Таким образом, при увеличении поля в области М > М* часто-
частота нейтральных колебаний монотонно возрастает.

178 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
Уравнение B5.5) позволяет не только найти нейтральную
линию колебательной неустойчивости, но и установить, в ка-
какой области параметров вообще возможны колебательные воз-
возмущения. Для определения границы этой области следует при-
приравнять нулю дискриминант Д уравнения B5.5). Условие Д = 0
дает
27p2s2 - 18pqrs + 4<73s + 4/?r3 - q2r2 = 0.
На плоскости (М2, R) это уравнение описывает кривую третье-
третьего порядка, расположение которой зависит от параметров Р
и Рт. На рис.-64 дискриминантная кривая обозначена штрихо-
штриховой линией. В области левее кривой все три корня уравнения
B5.5) — вещественные; правее кривой имеется один веществен-
вещественный и два комплексно-сопряженных корня. Таким образом,
если при фиксированном R (R > 0, подогрев снизу) увеличивать
поле, то сначала (при слабых полях) возможны лишь монотон-
монотонные возмущения, а затем — по достижении критического поля,
определяемого линией Д = 0, возникают колебательные воз»
мущения.
Укажем положение некоторых характерных точек дискрими-
нантной кривой. Она пересекает оси М2 и R соответственно
3 точках
М ~~П 4Рт • К— * 4Р '
Значение М2 дает напряженность поля, при котором появляют-
появляются колебательные (затухающие) возмущения при отсутствии
подогрева (R = 0). Значение R дает границу колебательных воз-
возмущений при отсутствии поля и при подогреве сверху (оче-
(очевидно, R < 0), Касание осей М2 и R происходит в точках
М2 п2 (Pm-P)(l-P) p_ff4 (P-PmHl-Pm)
1*1 л , Д. П 2
Координаты точки возврата
- Рт) Г "" "Р^Г
R = я 27Р (Р
В случае Рт > Р дискриминантная кривая касается ней-
нейтральной прямой Ri в критической точке
М2 ^2 * +Р р 4 ^ + Рт
По указанным элементам легко представить себе положение
границы колебательных возмущений при произвольных значе-
значениях параметров Р и Pw.

§ 26]
МОНОТОННАЯ И КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
1?»
На рис. 65 для иллюстрации изображены спектры декремен-
декрементов X для фиксированных значений поля (соответствующие
разрезы на рис. 64 показаны вертикальными штриховыми ли-
линиями). В спектре хорошо видны характерные точки — границы
монотонной и колебательной неустойчивости, а также границы
областей существования колебательных возмущений.
Итак, рассмотренный пример свидетельствует о значитель-
значительном влиянии магнитного поля на конвективную устойчивость
проводящей жидкости. Наиболее существенные черты этого
влияния таковы: 1) Магнитное поле повышает устойчивость
равновесия; критические числа Рэлея, определяющие границу
устойчивости, возрастают с увеличением поля. 2) При наличии
Рис. 65. Спектры декрементов при фиксированных значениях поля,
Сплошные линии —вещественные декременты, штриховые линии —общая
вещественная часть комплексно-сопряженной пары.
магнитного поля в спектре возмущений равновесия подогре-
подогреваемой снизу жидкости существуют колебательные возмущения.
Эти возмущения возникают при конечном значении напряжен-
напряженности магнитного поля. 3) Если свойства проводящей среды
таковы, что Рт > Р, то в полях, превосходящих некоторое зна-
значение (М>М*), колебательные возмущения оказываются кри-
критическими: порогл конвекции в этих условиях связан с разви-
развитием колебательных возмущений.
Остановимся несколько подробнее на условии Pw > Р,
которое необходимо для существования колебательной неустой-
неустойчивости. Оно может быть записано в виде v' < x, где
с2
v/=-r коэффициент магнитной вязкости. Это условие не
содержит обычной вязкости и физически означает, что неодно-
неоднородности температуры в среде выравниваются быстрее, чем не-
неоднородности поля. В лабораторных условиях это, по-видимому,
неосуществимо из-за малой электропроводности жидкостей,
в том числе и жидких металлов. Для ртути, например, при

180 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Й ВРАЩЕНИЯ / [ГЛ. VI
нормальных условиях v' = 7,6-103 см2/сек, а % = 4,5-10~2 см2/сек>
т. е. -^-==-^- = 6 • 10~6 < 1, и колебательная неустойчивость
невозможна. Однако неравенство Рт > Р может оказаться вы-
выполненным в астрофизических условиях. Так, в конвективной
зоне солнечной фотосферы по оценке [8] -рг- » 2 • 105, т. е. в этих
условиях вполне возможна колебательная неустойчивость.
В заключение этого параграфа укажем на работы [9~п],
в которых изучалась монотонная неустойчивость плоского вер-
вертикального слоя в поперечном поле для некоторых других гра-
граничных условий и других видов возмущений.
§ 26. Общие свойства спектра возмущений
Разобранная в предыдущем параграфе задача с простой
геометрией позволяет понять некоторые характерные свойства
возмущений в магнитном поле. Можно провести и общее ис-
исследование некоторых свойств спектра, не делая специальных
предположений о форме полости. Такое исследование было про-
проделано в работах [12~14]. В. С. Сорокин и И. В. Сушкин [12] рас-
рассмотрели поведение декрементов при слабых полях и сформу-
сформулировали вариационный принцип для монотонных возмущений.
М. И. Шлиоми'с [13«14] в общем виде исследовал вопрос о воз-
возникновении колебательных возмущений в магнитном поле и
установил, что их появление связано со слиянием (при конеч-
конечных значениях напряженности поля) вещественных уровней
спектра. Мы изложим далее основные результаты этих иссле-
исследований.
1. Основная и сопряженная задачи. Далее для простоты
будем иметь в виду граничные условия, менее общие, чем
B4.13). Именно, будем считать, что возмущения скорости, тем-
температуры и поля на границах полости исчезают. Это дает воз-
возможность рассматривать возмущения лишь внутри жидкости.
Все поверхностные интегралы, которые будут появляться при
интегрировании по частям, обращаются в нуль, что значитель-
значительно упрощает анализ. Если возмущения температуры и поля
проникают в окружающий массив, то это, как оказывается, не
приводит к появлению качественно новых результатов. В этом
случае следует, исходя из условий для температуры и поля на
границе раздела, «сшить» внутреннее решение с внешним, и то-
тогда все встречающиеся ниже объемные интегралы от возмуще-
возмущений следует распространить на всю область — жидкость и
окружающий массив.
Итак, основная краевая задача для нормальных исчезаю-
исчезающих на границе возмущений записывается следующим образом

§ 26] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СПЕКТРА ВОЗМУЩЕНИЙ 181
(П=р + Ма// — полное давление):
\ + !A(aV)H, "
B6.1)
- К9тН = ЛЯ + М (eV) p,
B62>
Каждому решению основной задачи (Я; v, Г, Я) соответ-
соответствует решение сопряженной задачи (Я*; а, 0, А). Для получе-
получения сопряженной задачи следует уравнения, комплексно-сопря-
комплексно-сопряженные к B6.1), умножить соответственно на и, R9 yi ft, удо-
удовлетворяющие тем же граничным условиям, что и решение
основной задачи, а также условиям соленоидальности для а и А,
проинтегрировать по объему жидкости и сложить. Приравнивая
нулю коэффициенты в подынтегральном выражении при v*f T*
и Я*, получим:
- Х*и= - VQ + Аи + R9Y - M(aV) A,
B6.3)
К этим уравнениям нужно добавить условия соленоидальности
и граничные условия:
diva = 0, divA=0;
и \s = 9 \$ = h \$ = 0.
Как видно, уравнения сопряженной задачи B6.3) отличают-
отличаются от соответствующих уравнений основной задачи B6.1) лишь
знаком при членах, содержащих М. Это дает возможность про-
просто связать решения основной и сопряженной задач, соответ-
соответствующих одному и тому же собственному числу Я. В самом
деле, написав уравнения, комплексно-сопряженные к B6.3) и
сопоставив их с B6.1), получим
u* = vf е* = Г, А* = -Я. B6.5)
Итак, краевая задача для нормальных возмущений равнове-
равновесия проводящей жидкости в магнитном поле не является само-
самосопряженной. Поэтому определяемые ею собственные числа —
декременты возмущений Я — могут быть комплексными, а сами
возмущения, вообще говоря, не являются монотонными.
Можно получить необходимое условие появления в спектре
комплексных декрементов (и, следовательно, колебательных
возмущений). Для получения этого условия умножим B6.1)
соответственно на v*y T*9 Я* и проинтегрируем по полости.

182 БЛЙЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
Вычитая из получающихся таким путем интегральных соотноше-
соотношений соответственно комплексно-сопряженные, получим
(Я* - Я) J vv* dV = R J [T (i>*Y) - Г И)] dV -
- М J [Я (aV) v* - Я* (aV) i>] dF,
(Я* - Я) Р J ГГ dV = J [Г И) - Т (v*\)] dV,
(Я* — Я) Pm J HH* dV=M$[H* (aV) v - Я (aV) v*] dV.
Отсюда следует:
(Я* - Я) J [то* + PR7T* - РтЯЯ*] dV = 0. B6.6)
Входящий в это соотношение интеграл
/ = J [w* + PR7T* - РтЯЯ*] dV B6.7)
не является знакоопределенным. Как видно из B6.6), необхо-
необходимым условием появления колебательных возмущений (х*Фк)
является обращение в нуль интеграла /.
Получим теперь условие ортогональности, которому удовле-
удовлетворяют решения краевой задачи, принадлежащие разным соб-
собственным значениям Яг- и Хк- Написав уравнения основной за-
задачи для уровня i и уравнения сопряженной задачи для уров*
ня k, умножая уравнения этих задач соответственно на
(а^, Э^, h*k) и (г>., Тр Я,) и интегрируя по объему, получим
с учетом B6.5):
(Я* - Я,) J (*,** + PR7\r* -PmHtHk) dV = 0. B6.8)
Если i Ф k, то отсюда следует условие ортогональности
J (Vivh + PRTtTk - РтЯ,Я,) dV = 0. B6.9)
Нормировка характеристических возмущений определяется
интегралом
/ = J @2 + PR712 - PmH2) dV == const. B6.10)
Заметим, что если решение (г>, Г, Я) является вещественным, то
нормировочный интеграл / совпадает с интегралом /, опреде-
определенным выше B6.7).
2. Возмущения в слабых полях. Исследование возмущений
удобно начать с рассмотрения предельного случая слабых по-
полей. Прежде всего, из исходных уравнений B6.1), B6.2) видно,
что при отсутствии поля (М=0) задача распадается на две

§ 26] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СПЕКТРА ВОЗМУЩЕНИИ
независимые задачи:
183
B6.11)
-ЯРтЯ = ДЯ, 1
НуЯ = 0; Я|5 = 0. J
Первая задача определяет спектр возмущений скорости и
температуры жидкости в отсутствие магнитного поля; эти воз-
возмущения (при подогреве снизу) монотонно затухают или нара-
нарастают в зависимости от значения параметра — числа Рэлея.
Вторая задача дает спектр нормальных возмущений магнит-
магнитного поля в неподвижной проводящей жидкости; легко убе-
убедиться в том, что все эти возмущения монотонно затухают. При
отсутствии внешнего поля оба типа возмущений совершенно не-
независимы. Будем называть первые из этих возмущений «кон-
«конвективными», а вторые — «магнитными». Обе задачи являются
самосопряженными, и поэтому их решения могут быть выбраны
вещественными.
Для решения задачи при отличном от нуля, но достаточно
слабом внешнем поле применим метод малого параметра, осно-
основанный на разложении возмущений и декрементов в ряды по
степеням М. Можно построить разложения двух типов, пере-
переходящие при М-*0 соответственно в решения краевых задач
B6.11) и B6.12). При этом ясно, что в обоих случаях декре-
декременты будут разлагаться по четным степеням М, поскольку
изменение направления внешнего поля на обратное не должно
влиять на скорость затухания возмущений. Очевидно также, что
в разложениях первого типа при М-*0 возмущение поля долж-
должно исчезать, тогда как (и, 71, р) должны оставаться конечными.
В решениях же второго типа, напротив, при М-*0 должны
обращаться в нуль возмущения (и, Г, /?), а возмущение поля
должно оставаться конечным. Нетрудно также видеть, что раз-
разложения v, Т, р и Я содержат степени М определенной чет-
четности. После этих предварительных замечаний запишем два
типа разложений следующим образом:
Я = v@) + MV2) + MV4) + ...,
(v9 T, р)=
X =,!«» + МУ 2> + МУ 4> + ...,
(vf T, p) = M(i><]>, Р1)9 p^)
Я = Я<°> + М2Я<2> + М4Я<4>
B6.13)
B6.14)

184 влияние магнитного поля и вращения [гл, vi
При М Ф 0, как это видно из общих уравнений B6.1),
B6.2), имеет место магнитогидродинамическое взаимодействие
между возмущениями. Поэтому в сколь угодно слабом внеш-
внешнем поле вместе с возмущением равновесия возникает соответ-
соответствующее возмущение поля, и наоборот. По этой причине де-
деление возмущений на «конвективные» и «магнитные» стано-
становится, строго говоря, невозможным. Полезно, однако, сохранить
эту удобную классификацию, называя возмущения, описываю-
описывающиеся разложением B6.13), «конвективными», а возмущения
B6.14) —«магнитными».
Подставляя разложения B6.13) и B6.14) в исходную си-
систему B6.1), можно получить уравнения последовательных при-
приближений для коэффициентов разложений. Мы не будем
приводить здесь детали вычислений. Укажем лишь, что эти раз-
разложения могут быть построены, и они оказываются веществен-
вещественными !).
Вопрос о сходимости рядов по * степеням числа Гартмана
остается открытым. Ясно, однако, что до тех пор, пока эти
ряды сходятся, описываемые ими возмущения — как конвектив-
конвективные, так и магнитные — меняются со временем монотонно. По-
Появление в спектре осциллирующих возмущений возможно, та-
таким образом, лишь при конечном значении М.
Вещественность декрементов и возмущений при слабых по-
полях дает возможность сформулировать признак, с помощью
которого можно различать возмущения двух типов. Этот при-
признак связан со знаком нормировочного интеграла / (или сов-
совпадающего с ним в области вещественности интеграла /). Из
определения нормировочного интеграла B6.10) и вида разло-
разложений для конвективных возмущений B6.13) ясно, что при ма-
малых М
dV>Pm f H4V,
т. е. / > 0. Для магнитных возмущений имеет место обратное
неравенство / < 0. Таким образом, нормировочный интеграл
имеет разные знаки для возмущений разных типов. Если (по
мере увеличения М) возникают колебательные возмущения, то
нормировочный интеграл при этом обращается в нуль, и деле-
деление возмущений на конвективные и магнитные утрачивает
смысл.
3. Пересечение декрементов. Итак, при малых М декременты
вещественны, и возмущения монотонны. Колебательные возму-
возмущения могут появиться лишь при некотором критическом зна-
значении М*. При этом из вещественности уравнений ясно, что ко-
1) Разложения B6.13) исследованы в работе [12]; «магнитные» возмуще-
возмущения были введены в рассмотрение в [13].

§ 26] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СПЕКТРА ВОЗМУЩЕНИЙ 185
лебательные возмущения должны появляться в спектре пара-
парами: вместе с возмущением (К\ vy T, Н) непременно появляется
и возмущение (Я*; i>*, Г*, Я*). Можно думать, что рождение
пары комплексно-сопряженных уровней происходит в резуль-
результате пересечения двух вещественных уровней.
М. И. Шлиомис [и] исследовал пересечение уровней спектра
декрементов с помощью метода Л. Д. Ландау и Е. М. Лиф-
шица [15], применяемого в теории электронных термов молекул.
Пусть в некоторой точке Мо имеются два вещественных ре-
решения краевой задачи B6.1), B6.2) с близкими декрементами
h и Я2:
(Я»ь Vu Т{у Н{)> (Я,2; v29 Т29 Н2).
Рассмотрим решение в близкой точке Мо + ДМ (число Рэлея R
предполагается фиксированным). Решение в смещенной точке
можно построить в виде линейной комбинации:
(v, 7\ H) = cx{vu T» Hx) + c2(v2, T2t #2). B6.15)
Для определения коэффициентов разложения С\ и с2 следует
подставить B6.15) в исходную систему уравнений для возму-
возмущений, умножить на (vu Тх, Нх) и (v2, T2t H2) и проинтегриро-
проинтегрировать. Пользуясь уравнениями для первого и второго решений,
а также условием ортогональности этих решений B6.9), полу-
получим линейную однородную систему двух уравнений для сх и с2.
Равенство нулю определителя этой системы дает квадратное
уравнение для декремента в точке Мо + ДМ. Решение этого
уравнения можно записать в виде
± "/гK*i - ^2) - AM(Wu - W22)f + Wl2W2l (ДМJ. B6.16)
Здесь введены обозначения
Wik = 7Г; Vik = J [if, (aV) Hk + vk (aV) Ht] dV (I, ? = 1,2),
а /1 и /2 — нормировочные интегралы 1-го и 2-го решений.
Рассмотрим сначала случай, когда, оба решения, декре-
мейты которых близки в точке Мо, принадлежат одному типу
(оба конвективные или оба магнитные). В этом случае норми-
нормировочные интегралы 1Х и /2 имеют одинаковый знак. Из очевид-
очевидного свойства симметрии Kl2 — K2i тогда следует

18S ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛИ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. V!
Подкоренное выражение в B6.16) в этом случае есть сумма
квадратов, и потому оба декремента Я+ и Я- вещественны. Та-
Таким образом, два уровня одинакового типа не могут породить
пару колебательных уровней. Что же касается «простого пере-
пересечения», при котором оба декремента совпадают в некоторой
точке М* и вновь расходятся, оставаясь вещественными и пра-
правее этой точки, то для такого пересечения, очевидно, необхо-
необходимо выполнение двух условий:
в принципе эти условия могут быть удовлетворены за счет над-
надлежащего выбора R и ЛМ.
Перейдем теперь к случаю, когда оба решения в точке Мо
принадлежат к разным типам (одно из них конвективное, дру-
другое— магнитное). В этом случае hh < 0 и, следовательно,
^12^21^0. Если V^sssO (это может случиться, если оба ре-
решения обладают разной пространственной симметрией), то в
формуле B6.16) под корнем стоит полный квадрат, и воз-
возможно лишь простое пересечение вещественных уровней. Наибо-
Наиболее интересен случай, когда V\2 Ф 0 (разная симметрия). При
этом под корнем стоит разность квадратов, и подкоренное выра-
выражение с ростом ЛМ меняет знак, становясь отрицательным в не-
некоторой точке М* = Мо + ДМ*, где ДМ* определяется из усло-
условия обращения в нуль подкоренного выражения. В этом случае
в точке М* наступает слияние двух вещественных уровней и
рождается пара осциллирующих возмущений с комплексно-со-
комплексно-сопряженными декрементами. Нетрудно показать, что частоты
этих возмущений (мнимые части К и X*) при М^М# растут
как У Ж — М,.
Таким образом, становится понятным появление в спектре
колебательных возмущений: они возникают в результате слия-
слияния двух вещественных уровней разного типа, обладающих
одинаковой симметрией.
4. Монотонная неустойчивость. Как указывалось в предыду-
предыдущем параграфе, с точки зрения возникновения неустойчивости
в лабораторных условиях наиболее интересны монотонные воз-
возмущения. Этим возмущениям соответствуют вещественные де-
декременты, а граница устойчивости получается из условия % —
= 0. Краевая задача для критических возмущений в этом слу-
случае может быть получена из B6.1), B6.2). Запишем уравне-
уравнения, введя в целях симметризации новую единицу температуры:

§ 26] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СПЕКТРА ВОЗМУЩЕНИЙ 187
В переменных (и, Г,#) уравнения для критических возмуще-
возмущений запишутся следующим образом:
B6.17)
divi> = 0,
Вместе с однородными граничными условиями эти уравнения
составляют краевую задачу на собственные значения. Собствен-
Собственные числа С и соответствующие им решения определяют спектр
критических чисел Рэлея и критических движений1).
В работе В. С. Сорокина и И. В. Сушкина [12] показано, что
задача о критических возмущениях эквивалентна вариацион-
вариационному принципу
F {v, f, #) = у J [(rot t;J + (Vf J - (rot ЯJ -
- 2Mi> (aV) H] dV = extr B6.18)
при дополнительных условиях
K(v,f)=\f{vs)dV = const, (
В самом деле, легко убедиться в том, что, варьируя функцио-
функционал B6.18) при дополнительных условиях B6.19), мы придем
к уравнениям B6.17). Если функции (и, Т* Н) реализуют экс-
экстремум, то с их помощью определяется критическое значение
B6.20)
c
K(v,T)
Из этой формулы можно сделать определенные выводы
о зависимости критического числа Рэлея от поля. С этой целью
АС* "
найдем производную -^щ-. В правой части B6.20) следует диф-
дифференцировать лишь по М, явно входящему в функционал F
(дифференцирование по параметру М, входящему неявно через
(VyT.H), не дает вклада в силу уравнений B6.17)). После ин-
интегрирования йо частям найдем
!) Мы не останавливаемся здесь на строгом доказательстве существова-
существования собственных чисел поставленной задачи. Такое доказательство проведено
9 работе Ю. П. Иванилова и Г. Н. Яковлева [16]. . .

188 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
Пользуясь уравнениями B6.17), можно записать
м dC j (rot HJdV j (rot HJdV
^ aii I (VTJdV I l(rotvJ+(roiHJ]dV
откуда следует
М dC
С ЧК
Возвращаясь к числу Рэлея R = С2, будем иметь
°<<2
B6-21>
Отсюда видно, что критическое число Рэлея монотонно рас-
растет с ростом М; магнитное поле приводит к стабилизации рав-
равновесия. Знак равенства в B6.21) соответствует случаю
rot Я = 0, т. е. таким критическим возмущениям, при которых
не возникает индуцированный ток. Ясно, что этот вырожден-
вырожденный случай, при котором критическое число Рэлея не зависит
от поля, возможен лишь при весьма специальной форме поло-
полости и ориентации внешнего йоля.
Зависимость R(M) при слабых полях может быть опреде-
определена методом возмущений. Полагая при малых М
(v, f, p) = (v<«\ 74
G=C0 + AC,
подставляя эти разложения в исходные уравнения и ограничи-
ограничиваясь членами не старше М2, получим после умножения на
(г;@)э f{0)9 ДA)) и интегрирования поправку к критическому числу
Отсюда можно найти
J
AD f (rot НЫJ dV
** = М2 -L , B6.22)
0 (rotv^JdV
где Ro = Co-r- критическое число Рэлея в отсутствие поля. Из
B6.22) следует, что в слабых полях критическое число растет
с полем по квадратичному закону R = Ro + яМ2. Величина AR,
как видно из B6.22), пропорциональна джоулевой диссипации.

§ 27} ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ J89
Что же касается области сильных полей, то из B6.21) сле-
следует, что при М ^> 1 критическое число Рэлея растет не быст-
быстрее, чем М2.
Общие выводы о зависимости критического числа Рэлея от
поля в случае монотонных возмущений подтверждаются резуль-
результатами решения конкретных задач (см. формулу B5.10), а так-
также задачи, рассмотренные в двух следующих параграфах).
§ 27. Плоский горизонтальный слой
В этом параграфе мы рассмотрим конвективную устойчи-
устойчивость равновесия плоского горизонтального слоя проводящей
жидкости, помещенной в однородное магнитное поле. Как уже
указывалось, с-этой задачи началось исследование влияния поля
на конвективную устойчивость. Первой была работа Томп-
Томпсона [!], в которой рассматривался слой со свободными' грани-
границами. Томпсон исследовал .монотонную неустойчивость, а также
показал (на примере невязкой жидкости), что в присутствии
магнитного поля возможна и колебательная неустойчивость.
Вскоре Чандрасекар [2«3] независимо рассмотрел задачу о моно-
монотонной неустойчивости для случаев твердых и свободных границ
слоя, а также получил решение задачи о колебательной неустой-
неустойчивости слоя вязкой жидкости^хо свободными границами. Под-
Подробное изложение вопроса содержится в книге Чандрасекара [17].
Мы приведем здесь лишь основные результаты.
1. Амплитудные уравнения. Выберем начало координат на
нижней границе слоя и направим ось z вертикально вверх,
а оси х и у — горизонтально. Пусть внешнее поле Яо = Ноа на-
направлено под углом а к вертикали, а единичный вектор а лежит
в плоскости (дс, z) и имеет компоненты a (sin а, 0, cos а). Как и
в случае задачи без поля, удобно из системы уравнений для
возмущений исключить давление и горизонтальные компоненты
скорости. С этой целью, как обычно, применим к первому из
уравнений B4.11) операцию rot rot и спроектируем полученное
уравнение на ось z. Проектируя также на ось z уравнение для
возмущения поля, получим из B4.11) систему уравнений для vz>
T\tHz:
- XAt>2 = AAt>2 + R A^ + M(aV) A#2,
Здесь числа Рэлея R и Гартмана М определены через толщину
слоя h\ Ai — плоский оператор Лапласа в переменных (х, у).
Переходя к нормальным возмущениям, пропорциональным
ехр[—U_+_i(k\X + k2y)l получим для амплитуд скорости v(z),

190 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
возмущений температуры 0(г) и вертикального поля h(z) урав-
уравнения
B7.1)
— X (v" - k2v) = (t>IV - 2k2v"
+ M [ikx sin a • (ft" - k2h) + cos a • (ft'" - k2h%
— APmft = (ft" - k2h) + M (fife, sin a • v + cos a • v').
Здесь k2 = k\-\- &2.
Амплитудные уравнения B7.1) вместе с соответствующими
граничными условиями, которые будут обсуждены позже, опре-
определяют спектр характеристических возмущений.
2. Монотонная неустойчивость. Рассмотрим сначала монотон-
монотонные возмущения. В этом случае на границе устойчивости Я=0.
Амплитудные уравнения для нейтральных возмущений полу-
получаются из B7.1) (для краткости введен оператор k=d2/dz2— k2
и оператор дифференцирования в направлении поля д/dl =
= tkt sin a + cos a d/dz):
A2t> - ?2R0 + M -^ Aft = 0,
Д0 ~4~ v — 0 Aft ~4~ W[ — —— Q
Исключая h(z), получим систему
^ B7.2)
Эта система обобщает на случай проводящей жидкости в маг-
магнитном поле соответствующую систему амплитудных уравнений
F.9), F.10).
Как видно, уравнения нейтральных стационарных возмуще*
ний B7.2) не содержат параметров Р и Рт. Поэтому критиче-
критическое число Рэлея для монотонной неустойчивости зависит только
от трех параметров: волнового числа /г, числа Гартмана М и
угла а, характеризующего направление поля. Заметим также,
что исключение возмущения поля ft(z) не привело к повышению
порядка системы B7.2) по сравнению с системой F.9), F.10).
Это значит, что граница устойчивости (критическое число Рэ-
Рэлея), а также форма нейтральных возмущений скорости и тем-
температуры определяются независимо от граничных условий для
возмущений поля (эти граничные условия, разумеется, будут
необходимы для определения самого возмущения ft(z))#
Итак, определение границы монотонной устойчивости сво-
сводится к решению уравнений B7.2) с соответствующими гранич-

\*П
Москяй горизонтальный слой
191
= 0,1
' = 0. I
B7.3)
ными условиями для v и 0, зависящими от свойств ограничи-
ограничивающих плоскостей.
Если внешнее поле вертикально, то оператор д/dl упро-
Щается: д/dl = d/dz. Уравнения B7.2) принимают в этом слу-
случае вид
(yiv __ 2k2v" + k*v) — &2R0 — M?v" = 0,
@" - fe20) •
Элементарное точное решение задачи легко найти в случае сво-
свободных изотермических |я0
Границ слоя, когда
при 2 = 0 и 2=1
v = v" = 0, 9 = 0.
B7.4)
Как и в случае соответст-
соответствующей задачи без поля,
амплитуды и иО пропор-
пропорциональны sin nnz, где
п=1, 2, 3, ... —номер
уровня. Критическое чис-
число Рэлея Ri легко нахо-
находится и равно
D п2л2 + к2 и 2 2 .
Ki = ?г 1\Пгпг +
+ k2J + >г2я2М2]. B7.5)
:::c
Рис. 66. Критические значения Rm в зависимости
от числа Гартмана М для основного уровня моно-
монотонной неустойчивости, а —обе свободные гра-
границы; б —одна свободная граница, другая —твер-
—твердая; в —обе твердые границы.
При заданном п и фикси-
фиксированном значении числа
Гартмана М нейтральная кривая Ri(&) имеет минимум при не-
некотором значении km. Критическое волновое число km находится
из условия -~ = 0, что приводит к уравнению
(п2л2
- п2
п2л2) -
0.
Подставляя корень этого уравнения в B7.5), получим мини-
минимальное критическое число Рэлея Rm. С увеличением поля кри-
критические значения km и Rm монотонно возрастают (рис. 66, 67).
В предельном случае сильных полей (М ^> 1) будем иметь сле-
следующие асимптотические зависимости
Rm«ttVM2, km™(?^j!\ B7.6)
Если слой ограничен не свободными, а твердыми плоско-
плоскостями, то граничное условие v" = 0 следует заменить условием

192
ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. VI
v' = 0. Точное решение в этом случае приводит к громоздким
характеристическим соотношениям для определения критиче-
критического числа. Более целесообразно поэтому искать приближенное
решение. Такое решение было найдено Чандрасекаром [2] с по-
помощью вариационного метода. Как и в случае свободных гра-
границ, с увеличением поля критическое число Рэлея и критическое
волновое число монотонно возрастают. Численные результаты
Чандрасекара приведены на рис. 66 и 67. В сильных полях
л/77
W
¦
-
г
У
/
/
/ .
0,5
1,0
1,5
igM
числа Гартмана М для тех же случаев, что и на рис.
(М>> 1) критические значения R™ и km перестают зависеть от
типа границ. Это связано с тем, что в сильных полях движения
проводящей жидкости поперек поля затруднены; более выгод-
выгодными становятся ячеистые возмущения, горизонтальный мас-
масштаб которых мал (km монотонно растет с М). Такие мелкомас-
мелкомасштабные возмущения, очевидно, мало чувствительны к харак-
характеру граничных условий на горизонтальных плоскостях.
Вернемся теперь к системе B7.2), описывающей нейтраль-
нейтральные стационарные возмущения в случае произвольно ориенти-
ориентированного внешнего поля. Легко указать важный частный слу-
случай, для которого задача сводится,к уже разобранной задаче
об устойчивости в вертикальном поле. Рассмотрим плоские воз-
возмущения, зависящие только от координат у и г. Таким возму-
возмущениям соответствует k\ = 0, т. е. бесконечно большая длина
волны в направлении х (напомним, что вектор поля Яо распо-
расположен в плоскости (х, z)). Для таких возмущений, очевидно,
C/C/ = cos a*d/dz. В этом случае система B7.2) сводйтся<
к B7.3) с заменой *ft2 -+ k\ иМ2->М2 cos2 а. Все выводы отно-

§ 2П ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ 193
сительно устойчивости сохраняют силу; следует лишь везде за-
заменить внешнее поле Яо на его вертикальную составляющую
Но cos а. Что же касается пространственных возмущений, для
которых kx Ф 0 и k2 ф О, то расчет, проведенный Чандрасека-
ром, показал, что они приводят к более высоким критическим
числам Рэлея. Двумерные возмущения, следовательно, более
опасны.
Итак, если внешнее поле произвольно ориентировано относи-
относительно слоя, то критическое значение числа Рэлея определяется
лишь поперечной к слою (вертикальной) составляющей внеш-
внешнего поля. Отличие от случая чисто поперечного поля заклю-
заключено в форме критических возмущений. При поперечном поле
(как и в случае отсутствия поля) на границе устойчивости оп-
определено значение k2m= k\-\- k\, а не отдельно k\ и k% Таким
образом, при критическом значении числа Рэлея возможны
пространственные возмущения с различным соотношением k\
и k2. Наличие продольной (горизонтальной) составляющей маг-
магнитного поля снимает это вырождение: наиболее опасные кри-
критические возмущения имеют форму конвективных валов, оси ко-
которых параллельны продольной составляющей поля.
3. Колебательная неустойчивость. Для выяснения условий
колебательной неустойчивости следует обратиться к полной си-
системе амплитудных уравнений B7.1) (далее мы будем иметь
в виду только случай вертикального поля а = 0). Если % ф 0,
то исключить из этой системы возмущение поля А, не повышая
порядка остальных уравнений, нельзя. Поэтому для решения
задачи о HecfaunoHapHbix возмущениях нужно поставить гра-
граничные условия для Л, которые, естественно, зависят от элек-
электромагнитных свойств массива. В частности, если слой жидко-
жидкости ограничен идеально проводящими плоскостями, то на
границе должна исчезать нормальная составляющая напряжен-
напряженности магнитного поля, т. е. в этом случае
при z = 0 и 2=1 /г = 0. B7.7)
В другом предельном случае, когда слой проводящей жидкости
сверху и снизу граничит с идеальным диэлектриком, следует
рассмотреть проникновение возмущений магнитного поля в мас-
массив. Пользуясь уравнением для поля в диэлектрическом мас-
массиве h"m — &2Am = 0, а также условиями соленоидальности и не-
непрерывности полей, легко получить на границе с идеальным ди-
диэлектриком условия
при 2 = 0 и z = l h'= + kh. B7.8)
Уравнения для амплитуд B7.1) образуют линейную систему
с постоянными коэффициентами. Поэтому можно было бы пы-
пытаться найти точное решение задачи с граничными условиями
7 Г, 3. Гершуни, В. М, Жуховицкий

194 влияние магнитного поля и вращения IM. vi
для>поля B7.7) или {27.8). При этом получаются весьма гро-
громоздкие характеристические соотношения для определения де-
декрементов1). Для выяснения качественной стороны дела можно
рассмотреть решение, предложенное Чандрасекаром. Оно соот-
соответствует граничным условиям B7.4) для скорости и темпера-
температуры (свободные изотермические границы), а возмущение поля
удовлетворяет условию: ч
при 2 = 0 и 2=1 /г' = 0. B7.9)
Хотя граничные условия B7.4) и B7.9) весьма искусственны,
полученное с и& помощью частное решение полезно в том отно-
отношении, что оно позволяет элементарно исследовать основные за-
закономерности колебательной неустойчивости. Что же касается
количественных результатов, то в наиболее интересном случае
сильных полей они, как оказывается, слабо зависят от гранич-
граничных условий.
С условиями B7.4) и B7.9) система B7.1) при а = 0 имеет
решение вида
z, 0 = a2siruc2, /i = a3 cos jiz. B7.10)
Для декрементов получим уравнение третьей степени
рдз + qtf + гх + s = 0 B7.11)
с коэффициентами
Р = РРт, <? = -(
г = (Я2 + k*f A + Р + Рт) + я2РМ2 - -jp^p- PmR,
s = - (я2 + k2f - я2 (я2 + fc2)M2 + k2R.
Уравнение B7.11) лишь значением коэффициентов отли-
отличается от соответствующего уравнения B5.5) для случая верти-
вертикального слоя. Поэтому нет необходимости повторять анализ,
проведенный в § 25. Как и в случае вертикального слоя, воз-
возможны, вообще говоря, два вида неустойчивости — относительно
монотонных и колебательных возмущений. Границы устойчиво-
устойчивости определяются соответственно из условий s=0 и ps — qr=0.
Отсюда находятся критические числа Рэлея для монотонной и
колебательной неустойчивости:
Ri = -^н^ [(я2 + *2J + я2М2], B7.12)
R2 = -*!+-*! [а (я2 + ?2J + 6я2М2]; B7.13)
!) Предельный случай сильных полей рассматривался в работе Гиб-
сона [18J.

§ 27] ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ 195
здесь обозначено
(Р + Р«) A + Рт) с _.. Р2('+Рт)
PJ ' Й~Р^0+Р)'
На границе колебательной неустойчивости Я = ш\ частота
нейтральных колебаний со может быть представлена следующим
образом:
рТгГр? B7Л4)
где
^±^/^ B7.15)
Из формул B7.14), B7.15) видно, что, как и в случае верти-
вертикального слоя, необходимым условием колебательной неустой-
неустойчивости является Р m > Р. При этом колебательная неустойчи-
неустойчивость имеет место лишь в достаточно сильном поле: М > М*,
где М* определяет критическое (в смысле появления колеба-
колебательной неустойчивости) поле при данном значении волнового
числа k. Только при Рт > Р и М > М* определяемое форму-
формулой B7.13) значение R2 имеет смысл границы колебательной
неустойчивости.
При определении границы устойчивости следует учитывать
то обстоятельство, что формулы B7.12), B7.13) дают критиче-
критические числа при фиксированном значении волнового числа. Наи-
Наибольший интерес представляют минимальные значения Riw и
R2m и соответствующие критические волновые числа, которые
находятся из условий минимума Ri(&) и R2(&). Значения R\m
обсуждены выше; при определении R2m по формуле B7.13)
нужно помнить о дополнительном условии со2 > 0, которое,
вообще говоря, выполняется лишь на части нейтральной кри-
кривой R2(?).
Взаимное расположение нейтральных кривых Ri(&) и R2(&)
определяется значениями параметров М2, Р и Рт. Если Рт > Р,
то, как уже говорилось, при достаточно сильных полях воз-
возможна колебательная неустойчивость. В этом случае нейтраль-
нейтральные кривые R\(k) и R2(&) пересекаются при значении волно-
волнового числа &*, определяемом из условия Ri == R2:
С учетом этого соотношения можно переписать B7.14) в виде
о * г /
7*

196
ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. VI
Отсюда ясно, что линия R2(&) имеет смысл нейтральной кривой
лишь в области левее точки пересечения &*, так как правее этой
точки со2 < 0. Если при фиксированных параметрах Рт и Р
(Рт > Р) увеличивать поле, то при определенном его значении
на кривой R2(&) появляется минимум левее точки пересечения.
Это характерное значение числа Гартмана Мо находится из ус-
условий
дЯ2 _
дк
со2 =
и оказывается равным
/-
У
m°— 2(P + Pm)
соответствующее значение R2m
= ^_ CP^,-2P2K(P
(Рт-Р)» •
Ко
При дальнейшем увеличении поля минимальные значения
Rim и R2m становятся одинаковыми при некотором характерном
Рис. 68. Взаимное расположение нейтральных кривых
монотонной и колебательной неустойчивости R, {к) и
R2 (fe) в зависимости от поля; a) M<MQ, б) MQ < М < М^т,
)М>М
значении М^т, которое может быть легко определено численно
для заданных Рт и Р. В области М > М*т неустойчивость обус-
обусловлена колебательными возмущениями, так как в этой области
R2m < Rim (рис. 68). При достаточно сильных полях (М^М*т),
минимизируя B7.13), получим следующий закон возрастания
минимального критического числа Рэлея и соответствующего
волнового числа с полем:
р)(р + Рт)
B7.16)

27J
ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ
197
Зависимость Rim и R2m от поля изображена на рис. 69.
Таким образом, при Рт > Р и при достаточно сильных по-
полях неустойчивость горизонтального слоя жидкости имеет коле-
колебательный характер. Напомним, что полученные результаты от-
относятся к весьма искусствен-
искусственным граничным условиям
B7.4), B7.9). Гибсон [18] иссле-
исследовал колебательную неустой-
неустойчивость в сильных полях для
других граничных условий. Им
были рассмотрены свободные
и твердые границы, а также
идеально проводящий и диэ-
диэлектрический массивы (гранич-
(граничные условия B7.7) и B7.8)).
Анализ точных характеристи-
характеристических соотношений показал,
что для достаточно сильных
Рис. 69. Минимальные критические числа
Рэлея для монотонных и колебательных
возмущений в зависимости от поля. Ли-
Линия R2m соответствует значениям пара-
метров
2.
полей независимо от гранич-
ных условий сохраняется пер-
первая из формул B7.16), дающая границу колебательной неустой-
неустойчивости. Отличия касаются лишь второй формулы, определяю-
определяющей асимптотику критической длины волны. Так, в частности,
для случая твердого непроводящего массива
4. Сравнение с экспериментом. Как уже указывалось, прово-
проводящие жидкости, которые могут стать объектом лабораторного
эксперимента, имеют такие параметры, что Рт < Р. Поэтому
речь может идти об экспериментальной проверке выводов, ка-
касающихся лишь монотонной неустойчивости. Такая проверка
предпринята в серии работ Накагавы (основные работы [19>20]).
В этих работах изучалась граница конвективной устойчивости
горизонтального слоя ртути в поперечном магнитном поле. Кри-
Критическая разность температур фиксировалась по кризису тепло-
теплопередачи. Напряженность поля изменялась в пределах Но =
= 250^-8000 гс при значениях толщины слоя h = 3, 4, 5 и 6 см.
Таким образом, числа Гартмана были заключены в пределах
6,3 -^- 410. Экспериментальные значения критических чисел Рэ-
Рэлея в зависимости от поля приведены на рис. 70 вместе с теоре-
теоретической кривой Чандрасекара для случая обеих твердых гра-
границ (в опытах практически имел место именно этот случай, так
как на свободной поверхности из-за загрязнений возникала не-
неподвижная пленка).

198
ВЛИЯИИЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. VI
Экспериментально изучалась также зависимость критической
длины волны конвективных ячеек от поля. В опытах [20] наблю-
наблюдались преимущественно ячейки гексагональной формы. В ка-
качестве характеристики горизонтального масштаба этих ячеек
можно принять расстояние между центрами соседних ячеек d.
ю6
п
ю*
м
itK
Ю
'/ог
Рис. 70. Критическое число Рэлея в зависи-
зависимости от поля. Экспериментальные точки На-
кагавы (A — h=3 см; О~Л—4 см; D — Л=5сл*;
ф —/i=6 см). Штриховая линия—теория Чанд-
расекара.
Рис. 71. Горизонтальный размер
конвективных ячеек в зависимости
от поля (эксперимент Накагавы,
штриховая линия —теория Чандра-
секара).
Критическое значение dm связано с волновым числом km фор-
формулой
и — 4jt h
т~Пк
(h — толщина слоя, см. § 5). Экспериментальные значения dm
для разных полей вместе с теоретической кривой dm(M) пред-
представлены на рис. 71.
Данные, приведенные на рис. 70 и 71, свидетельствуют о том,
что выводы теории о повышении устойчивости под действием
магнитного поля и о сокращении горизонтальных масштабов
конвективных ячеек находятся в хорошем согласии с экспери-
экспериментом. Находит свое экспериментальное подтверждение также
и теоретический результат, согласно которому в случае наклон-
наклонного поля повышение устойчивости связано лишь с вертикаль-
вертикальной составляющей напряженности. Так, в работе Ленерта и
Литла [21] показано, что даже значительное горизонтальное поле
(~4500 ее) не влияет на устойчивость, но влияет на форму кри-
критических возмущений: конвекция в горизонтальном поле возни-
возникает в виде валов, вытянутых вдоль поля.

4 2$) ДРУГИЕ ЗАДАЛИ " 199
§ 28. Другие задачи
Перейдем теперь к рассмотрению задач конвективной устой*
чивости в магнитном поле для полостей более сложной геоме-
геометрии. Поскольку, как уже неоднократно указывалось выше,
в лабораторных условиях возможна только неустойчивость от*
носительно монотонных возмущений, далее будем иметь в виду
этот случай. Кроме того, будем интересоваться лишь границей
устойчивости, полагая вещественный декремент К равным нулю.
1. Вертикальный цилиндр в поперечном поле [6]. Эта задача
является обобщением рассмотренной в § 11 задачи Остроумова
на случай проводящей жидкости.
Будем считать, что стенки кругового цилиндра теплоизоли-
теплоизолированы и изготовлены из диэлектрического материала. Внешнее
однородное поле горизонтально и направлено вдоль оси х,
а возмущения скорости и поля предполагаем параллельными
оси цилиндра 1)
а A,0, 0); «@,0,о); Я@, 0, Я).
Из уравнений B4.11) получим тогда для критических возму-
возмущений:
J*L = \n j_dt im?(
B8.1)
(и, Ту Н зависят от координат в сечении цилиндра). На границе
г = 1 поставим условия 2)
о —0, 47 = 0, Я = 0. B8.2)
При отсутствии поля (§ 11) основной уровень неустойчиво-
неустойчивости связан с диаметрально-антисимметричным движением, при
котором возникают два встречных потока с границей раздела
по диаметру сечения цилиндра; положение этого диаметра про-
произвольно. При наличии поперечного поля возникает выделенное
направление в горизонтальной плоскости — направление внеш-
внешнего поля (ось х). По этой причине вырождение снимается.
Уравнения B8.1) не имеют (при М ф 0) частных решений вида
A1.1), и потому классификация критических движений, описан-
описанная в§ 11, теряет смысл. Однако из уравнений B8.1) и граничных
*) Внешнее поле, направленное вдоль оси цилиндра, как легко убедиться,
не действует на возмущения с продольными скоростями и потому не влияет
на устойчивость.
2) Условие для Н вытекает из требования обращения в нуль радиальной
компоненты тока /г.

200 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
условий B8.2) видно, что существуют решения двух типов —
нечетные и четные относительно полярного угла ф. Нечетные
решения соответствуют встречным движениям с границей
раздела по плоскости ф = 0 (т. е. у = 0), параллельной внеш-
внешнему полю. Основной уровень неустойчивости можно получить,
аппроксимируя скорость в первом приближении метода Галер-
кина следующим образом:
v (г, (p) = u(r)sin<p, B8.3)
где радиальная функция и(г) должна удовлетворять гранич-
граничному условию для скорости. Поскольку при больших значениях
числа Гартмана ожидается образование пограничного слоя, це-
целесообразно выбрать аппроксимацию
. - «<'>=¦? Iw-']-" ' B8-4)
Здесь С — постоянная, определяемая нормировкой, a k — ва-
вариационный параметр (при больших k формула B8.4) описы-
описывает распределение скорости с пограничным слоем у стенки;
толщина слоя б ~ In kjk).
Подставляя аппроксимацию B8.3), B8.4) в уравнения тепло-
теплопроводности и индуцированного поля, легко найти соответствую-
соответствующие распределения температуры и поля. Далее, составляя усло-
условие ортогональности, найдем критическое число Рэлея для не-
нечетных по ф возмущений:
R- 7® •
где,а, 6, с — функции вариационного параметра k:
b(k) = -
Значение параметра k, входящего в формулу B8.5), нахо-
находится из условия минимума R(k) при фиксированном значе-
значении М. Определяемое таким образом значение km есть функция
М. Подставляя km в B8.5), получим критическое число Рэлея
Rm в зависимости от числа Гартмана. Эта зависимость пред-
представлена на рис. 72. С увеличением магнитного поля устойчи-
устойчивость монотонно повышается. При слабых полях (М < 1), как

*28]
ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
201
можно видеть из B8.5), fem-*0, и критическое число Рэлея
растет с увеличением поля квадратично:
Rm = -n-A92 + M2) B8.6)
(при М = 0 из этой формулы получается Rm = 68,57 —хорошее
приближение к точному значению 67,95). В противоположном
250
200
150
/00
50
0 5 10 15 30 25 30
М
Рис. 72. Критическое число Рэлея в зависимости от поля
для вертикального кругового цилиндра,
предельном случае сильных полей (М > I; практически уже при
М > 25)
•
.B8.7)
Таким образом, в сильном поле критическое число Рэлея растет
с полем линейно, а в критическом движении образуется гарт-
мановский пограничный слой, толщина которого б ~ 1пМ/М,
В работе [6] рассмотрены также четные по <р возмущения,
Им соответствуют более высокие числа Рэлея. В предельном
случае сильных полей (М » I), в отличие от B8.7), рост Rm
квадратичен:
Устойчивость в вертикальном цилиндре прямоугольного се-
сечения рассмотрена в работе [22]. Для случая большой теплопро-
теплопроводности стенок, как и при отсутствии поля (см. § 13), удается
получить точное решение и определить критическое число в за-
зависимости от поля и отношения сторон прямоугольного сечения.
Зависимость R(M) для цилиндра квадратного сечения пред-
представлена на рис. 73. Для основного критического движения,
при котором граница раздела потоков параллельна полю, кри-
критическое число Рэлея при слабых полях возрастает квадратично;

202
ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. УГ
при больших полях зависимость становится линейной. Таким
образом, результаты вполне аналогичны приведенным выше для
кругового цилиндра.
Повышение устойчивости проводящей жидкости в вертикаль-
вертикальном круговом цилиндре в поперечном магнитном поле наблю-
наблюдалось экспериментально в ра-
работе А. Г. Смирнова [23].
2. Вертикальный цилиндр
в азимутальном поле [24]. Дру-
Другое магнитогидродинамическое
обобщение задачи Остроумова
было получено в работе
С. А. Регирера [24], рассмотрев-
рассмотревшего устойчивость проводящей
жидкости в азимутальном маг-
магнитном поле. Это поле создает-
создается однородным по сечению
продольным электрическим то-
током. Если не учитывать джоу-
лев разогрев жидкости, то по-
получается задача о конвектив-
конвективной устойчивости равновесия,
отличающаяся от рассмотрен-
рассмотренной в предыдущем пункте
структурой внешнего магнитно-
магнитного поля. В такой постановке
задача решалась в работе [25]. Более полная постановка [24] учи-
учитывает джоулев разогрев и возникающее в результате этого
разогрева осесимметричное движение.
Определим сначала структуру основного движения. Однород-
Однородный в сечении осевой ток с плотностью /0 создает азимутальное
магнитное поле
Рис. 73. Критическое число Рэлея в зави-
зависимости от поля для вертикального ци-
цилиндра квадратного сечения. Указано по-
положение границы раздела восходящего и
нисходящего потоков по отношению к на-
направлению поля. Числа R и М определены
через половину стороны квадрата.
(здесь пока все величины размерные). Плотность джоулева
тепла равна /g/a; таким образом, в жидкости имеются внутрен-
внутренние источники тепла, приводящие к неоднородности темпера-
температуры по сечению, а следовательно, и к возникновению замкнутого
осесимметричного движения. Считая скорость v0 вертикальной
и полагая То = —Az + 9о(г), получим из уравнений Навье —
Стокса и теплопроводности безразмерные уравнения
Ai>o + Reo = Co, Aeo+i>o=-N. . B8.8)
Здесь Со — постоянная разделения переменных, R — число Рэ-
лея, связанное с вертикальным градиентом температуры Л,

§ 28] ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 203
а N — новый безразмерный параметр, определяющий интенсив-
интенсивность джоулева разогрева (а — радиус цилиндра):
Заметим, что между азимутальным полем и продольной ско-
скоростью нет магнитогидродинамического взаимодействия; по-
поэтому в уравнении движения отсутствует магнитная сила.
Функции v0 и 9о подчиним следующим условиям:
0о 0) = 0, 80A) = 0, \vu{r)rdr = Q. B8.9)
о
Обращение в нуль температуры на границе соответствует слу-
случаю идеально теплопроводных стенок канала ').
Решение поставленной задачи имеет вид
°0— 6 у
K(v) , vi /0(у) I
L /о (Y) "*" 2 J /o(y) J'
/0(Y)
Здесь введены обозначения:
Формулы B8.10) определяют скорость и температуру при
заданных значениях параметров R и N (т. е. при заданных зна-
значениях продольного градиента температуры и плотности тока).
Как и следовало ожидать, интенсивность движения пропорцио-
пропорциональна N.
Интересно отметить, что амплитуда движения неограниченно
возрастает, если параметр у приближается к одному из значе-
значений, определяемых уравнением 6 = 0. Корни этого уравнения
как раз дают критические числа Рэлея, определяющие неустой-
неустойчивость равновесия при подогреве снизу относительно осесим-
метричных возмущений (см. § 11; нижнее из этих критических
значений R = 452). В этих критических точках стационарное
течение B8.10) разрушается, а вблизи этих точек его ампли-
амплитуда велика, и оно, по-видимому, становится гидродинамически
неустойчивым.
1) В работе [24] рассматривается более общий случай массива произволь-
произвольной теплопроводности.

204 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
Рассмотрим теперь конвективные возмущения основного дви-
движения. Ограничиваясь возмущениями следующей структуры:
tV = f<p = O, vz = v(r, ф); Т = Т(г, ф); p = p(z);
Яг = Я(р = 0, Яг = Я(г,ф),
получим однородную систему
и граничные условия
при r=\ v = T = H = Q. B8.12)
Здесь С — постоянная разделения переменных, а число Гарт-
мана М определено теперь через азимутальное поле, создавае-
создаваемое продольным током:
д» 2зт/оа2 -шГ сг
~ с2 V 1\ '
Исключая из B8.11) возмущение поля,, получим систему
уравнений для v и Г:
~~" B8.13)
Для осесймметричных возмущений член с электромагнитной
силой выпадает, и cncfeMa не отличается от соответствующей
системы задачи Остроумова: Характеристические числа Рэлея
находятся из уравнения
1*^ + i^W = о. B8.14)
/0 (y) *о (y)
Это условие совпадает с условием б = 0, т. е. осесимметричные
критические движения существуют как раз при тех значениях
числа Рэлея, при которых разрушается основное осесимметрич-
ное движение.
Обращаясь к движениям, не обладающим осевой симме-
симметрией, положим (vf T) ~ cos Пф (п = 1, 2, ...). Тогда для ра-
радиальных функций получается система A1.2), A1.3) с заме-
заменой R на R — п2М2. Характеристические числа Рэлея находятся
из уравнения
Таким образом, критические значения R возрастают квадратич-
квадратично с полем:
B8.15)

§ 28] ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 205
Для нижнего критического значения, соответствующего п = 1
(антисимметричное движение), имеем R = 215,6 + М2.
Итак, если при фиксированном продольном токе изменять
вертикальный градиент температуры, то в точках, определяемых
B8.14), разрушается основное движение и возникает осесим-
метричное возмущение. В точках же спектра R, определяемых
B8.15), на основное осесимметричное движение накладываются
неосесимметричные нейтральные возмущения.
Интересно отметить, что однородная задача для конвектив-
конвективных (продольных) возмущений не содержит параметров основ-
основного движения. По этой причине спектр критических чисел Рэ-
лея формально может быть найден из рассмотрения задачи
об устойчивости равновесия в пренебрежении джоулевым на-
нагревом и вызываемым этим нагревом осесимметричным движе-
движением1).
3. Связанные вертикальные каналы [27]. Рассмотренная в § 14
задача о конвективной устойчивости в системе двух параллель-
параллельных плоских вертикальных каналов, разделенных теплопровод-
теплопроводной прослойкой, может быть также обобщена на случай прово-
проводящей жидкости в поперечном однородном магнитном поле.
Предполагая, что возмущение поля, как и скорости, имеет
лишь вертикальную составляющую, придем к системе уравне-
уравнений B5.1), в которых для отыскания границы монотонной не-
неустойчивости следует положить декремент равным нулю. К ним
нужно добавить уравнения для возмущений поля и температуры
в твердой прослойке: 7^ = 0; Я^ = 0. На границе твердой про-
прослойки и жидкости (х — Х\) скорость обращается в нуль и
имеет место непрерывность температуры, теплового потока и
поля:
при х = х{ o = 0f Т = Тт, хТ' = Т'т, Н = Нт.
На внешней границе каналов полагаем
при х = х2 v = Q, Г = 0, # = 0.
Как и в случае отсутствия поля, задача имеет.решения двух
типов — «нечетные» и «четные». Решения 1-го типа описываются
нечетными относительно х скоростью и температурой и четной
функцией Н\ решениям 2-го типа соответствуют четные v и Т и
нечетное Я,
1) Задача об устойчивости в азимутальном поле в вертикальном цилиндре
кольцевого сечения рассмотрена в такой постановке в работе [26]. Критиче-
Критические числа получаются простым пересчетом соответствующих значений задачи
об устойчивости равновесия при отсутствии поля (см. § 13).

206 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
«Нечетные» решения имеют вид
v _ -ь Г cos Я (*2 — х) — ch р (х2 — х) __ ? sin q (x2—x) + р sh р (х2 — *) 1
"~ L cos ? (*2 ~ *i) ~ ch р (х2 — хх) q sin G (*2 — *i) + Р sh p (x2—*i)J '
г=±[
g-2 cos G (*2 — х) + I" ch p (x2 — x)
cos G (x2 — *i) — ch p (x2 — x{)
, h д,г<
q-1 sing(.y2 — x) — p~x sh p (x2 — x)
q sin G (jc
> — jc) — p~ sh p (x2 — x)
2 — *)]
sin г7 (x2 — x^ + pshp (x2 — xx) J '
cos ? (^2 — -у) — ch p (x2 — x)
sin ^ (x2 — xx) + p sh p (x2 — AT
Здесь введены обозначения:
Иг> . /М2\2ТЛ , М2 V/2 ' ГГп I / М2 \2]V2 М2
r 2pq A — cos 2g « ch 2p) + (p2 — q2) sin 2<y» sh 2p
pq (cos 2^7 — ch 2p) (q sin 2^ + p sh 2p)
В этих формулах знаки + и — относятся соответственно
к правому и левому каналам. Числа Рэлея и Гартмана вклю-
включают в качестве характерного размера полуширину канала.
Критические числа Рэлея для '«нечетных»' возмущений нахо-
находятся из характеристического соотношения
Р2 + Я2 Р sh 2р • cos 2g + ? sin 2q • ch 2р , , /ло lfi\
pq ' (р2 - q2) sin2G • sh 2p + 2pq A - cos 2? - ch 2p) ~X{ X{ l# ^Ot iO'
В случае «четных» решений поле в неэлектропроводной про-
прослойке отсутствует, а температура постоянна:
гг п. Т p2 + q2 q sin 2? ¦ ch 2р + р cos 2? * sh 2p
nm U, im— p2q2 • (cos 2G - ch 2p) (G sin 2^7 + p sh 2p) •
"Скорость, температура и поле в жидкости описываются теми
же формулами, что и в случае «нечетных» решений со знаком
-f, общим для обоих каналов. Спектр критических чисел Рэлея
определяется из уравнений
pth/? + <7tg<7 = 0, flfthp —ptgflf = a B8.17)
Эти уравнения отвечают возмущениям, в которых скорость и
температура — соответственно нечетные и четные функции отно-
относительно середины каждого канала.
Критические числа Рэлея в случае «нечетных» решений (фор-
(формула B8.16)) зависят от двух параметров — числа Гартмана
и параметра теплового взаимодействия каналов x|*i|. В случае
«четных» решений, как видно из B8.17), критические числа за-

г 281
ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
207
висят только от числа Гартмана; зависимость от x|*i| отсут-
отсутствует, поскольку в этом случае нет теплового взаимодействия
между конвективными потоками в каналах; в каждом из кана-
каналов происходит автономная циркуляция.
Нижнему уровню неустойчивости отвечает первое из решении
нечетного типа; ему соответствует такое движение, при котором
в одном из каналов возникает восходящий конвективный поток,
а в другом — нисходящий. Для —
этого основного уровня на рис. V
74 приведена зависимость R
от параметра x|a;i| для раз-
разных значений М. Как и при
отсутствии поля, с увеличением
х |*i| ^по мере ослабления
тепловой связи каналов) кри-
критическое число Рэлея умень-
уменьшается и при x|xi|->oo
стремится к нулю. Магнитное *
поле оказывает стабилизирую-
стабилизирующее действие: при фиксирован-
фиксированном х |a:i | критические чис-
числа растут с увеличением
поля.
Л. Г. Поддубная и
Г. Ф. Шайдуров [28] рассмотре-
рассмотрели ВОПРОС О КОНВеКТИВНОЙ уС- Рис. 74. Критическое число Рэлея для
rfm DKJllr ллт,ЛТТГТТ?ТЛл M/TiTT связанных плоских каналов в зависимости
ТОИЧИВОСТИ В ПрОВОДЯЩеИ ЖИД- от параметра теплового взаимодействия и
КОСТИ В СВЯЗаННЫХ вертикаль- магнитного поля.
ных каналах кругового сече-
ния, находящихся в поперечном магнитном поле. Пользуясь
приближенным методом, описанным в п. 1, они нашли критиче-
критическое число Рэлея в зависимости от поля и коэффициента тепло-
теплоотдачи на границах каналов со средой.
В заключение этого параграфа отметим еще работу Курц-
вега [29], в которой исследовалась устойчивость равновесия
в бесконечном горизонтальном цилиндре прямоугольного сече-
сечения. Рассматривались плоские возмущения для случая, когда
горизонтальные границы полости поддерживаются при постоян-
постоянной температуре,- а вертикальные — теплоизолированы; внешнее
поле направлено вертикально. В работе определены критиче-
критические числа Рэлея в зависимости от поля для нескольких ниж-
нижних мод неустойчивости,

208 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
§ 29. Устойчивость вращающейся жидкости
В этом параграфе мы рассмотрим возникновение конвекции
в жидкости, равномерно вращающейся вокруг вертикальной
оси. Влияние такого вращения на устойчивость во многих чер-
чертах оказывается сходным с обсуждавшимся в предыдущих па-
параграфах влиянием магнитного поля. Причина этого сходства
заключается в следующем. Прежде всего, возникающая во вра-
вращающейся жидкости кориолисова сила по своей структуое
близка к магнитной силе, действующей на движущуюся в поле
проводящую среду. Далее, имеется хорошо известная аналогия
между поведением вихря скорости и магнитного поля в прово-
проводящей среде. Если отсутствуют диссипативные процессы (беско-
(бесконечная электропроводность в магнитном случае или невязкая
жидкость — в случае вращения), то имеет место полная «вмо-
роженность» силовых линий магнитного поля или, соответствен-
соответственно, вихревых линий. Если проводимость конечна или вязкость
отлична от нуля, то имеет место лишь частичная «вморожен-
ность»; в этом случае происходит диффузия магнитного поля
(вихря). Указанное сходство ситуаций находит свое отражение
в том, что по математической постановке задачи об устойчиво-
устойчивости равновесия в магнитном поле и при вращении оказываются
весьма близкими. Во многом сходны также и результаты: и
в том и в другом случае имеет место повышение устойчивости,
и при определенных условиях появляется неустойчивость коле-
колебательного типа.
Пусть жидкость равномерно вращается с однородной угло-
угловой скоростью Й = Qy (у —единичный вектор по вертикали).
Уравнение движения запишем во вращающейся системе отсче-
отсчета. В этом случае, как известно, следует в это уравнение вклю-
включить силы инерции — кориолисову и центробежную. Обозначая
через v скорость жидкости относительно вращающейся системы,
будем иметь
= -~-
(здесь г — радиус-вектор элемента жидкости). В равновесии с
однородной плотностью ро и температурой Го давление р0 опре-
определяется уравнением
Полагая р = роA — |ЗГ), где Г— температура, отсчитываемая
от Го, считая неоднородность плотности малой (ср. § 1), полу-
получим
4p
+ prQX(QX). B9.1)

§ 29] УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ 209
Последний член в правой части дает конвективную силу, возни-
возникающую за счет неоднородности плотности в центробежном
поле. Отношение этой силы к конвективной силе в поле тяжести
определяется параметром Q2l/g, где / — горизонтальный мас-
масштаб. Если этот параметр велик, то влияние поля тяжести не-
несущественно и все определяется центробежной силой (центро-
(центробежная конвекция !)). Мы далее ограничиваемся рассмотрением
противоположного предельного случая Q2/ -С g, когда центро-
центробежной конвективной силой можно пренебречь. В этом случае,
как легко убедиться, сохраняется прежнее условие равновесия
подогреваемой жидкости: постоянство и вертикальность гра-
градиента температуры.
Уравнения возмущений получаются обычным образом. Для
возмущений скорости, температуры и давления из B9.1) по-
получим
-J-= --^Vp + vAt; + gprY - 2(Q X*)- B9.2)
Уравнения теплопроводности и непрерывности остаются без из-
изменений.
Выберем единицы длины, времени, скорости, температуры и
давления так же, как в § 3. Тогда уравнение B9.2) в безраз-
безразмерной форме примет вид
|*.= _Vp + AtF + R7-Y-D(YXt0. B9.3)
Здесь D = 2QL2/v — новый параметр, характеризующий враще-
вращение (в сущности, D есть число Рейнольдса). Из B9.3) можно
получить систему двух уравнений, содержащих вертикальные
составляющие скорости v.z и вихря Fz = rotz v. Для этого нужно
применить к B9.3) операции rot и rot rot и спроектировать по-
получающиеся равенства на ось z. Тогда получим
dt —~'г-Г" dz •
B9.4)
Далее будем рассматривать плоский горизонтальный слой
жидкости2) и введем нормальные возмущения, пропорциональ-
пропорциональные ехр[—U + i(k\X + k2y)]. Из B9.4) и уравнения теплопро-
1) Теоретическому и экспериментальному изучению конвективной неустой-
неустойчивости в центробежном поле посвящена работа [30].
2) Предположение Q2/ < g не позволяет, строго говоря, рассматривать
участки слоя, значительно удаленнее от оси вращения.

210 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
водности получим систему амплитудных уравнений — аналог си-
системы B7.1):
_ х (t," _ k2v) = {vw - 2k2v" + kAv) - ?2R9 - DF,
B9.5)
Граничные условия для v и 9 уже обсуждались ранее. Что
касается условий для Fy то поскольку
ясно, что на свободной границе, где исчезают касательные на-
dvx dvy
пряжения, —— = ——= 0 и, следовательно, F' = 0. На твердой
границе vx = vy = 0, т. е. F = 0. Итак, на свободной границе
v = v" = 09 F' = Q, 6=0, B9.6)
а на твердой границе
0 = ^ = 0, F = 0, 6 = 0 B9.7)
(во всех случаях граница предполагается изотермической).
Решение задачи было найдено Чандрасекаром [31»32»17] для
трех случаев: обе границы свободные; обе твердые; одна сво-
свободная, другая твердая. Как и в аналогичной задаче с магнит-
магнитным полем, проще всего исследуется случай обеих свободных гра-
границ. В этом случае (и, 8) ~ sin nnzy af^ cos nnz. Для собствен-
собственных чисел X получается кубическое уравнение вида B7.11) с
коэффициентами (для основной моды п = 1)
г = (я2 + ?2J B + Р) - ^^г (*2R - я2РТ),
5 = - (я2 + k2f + k2R - я2Т.
Здесь введено безразмерное число Тейлора
l u
Ситуация, таким образом, вполне аналогична описанной
в §§ 25 и 27 !). Граница монотонной неустойчивости получается
из условия 5 = 0:
i n2T]. B9.8)
1) Подробное исследование спектра декрементов см. в [33].

§29] УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ 211
Критическое число Рэлея колебательной неустойчивости нахо-
находим из условия ps — qr = 0:
B9.9)
Для частоты нейтральных колебаний имеем
ц2 я'Р-Р) (т т). _(*» +
00 — (я2 + *?)A + Р) U ^ А*~~ я2
Из B9.10) ясно, что если Р > 1, то колебательная неустой-
неустойчивость невозможна. В этом случае кризис равновесия связан
с монотонными возмущениями, и порог конвекции определяется
в зависимости от числа Тейлора формулой B9.8); критическое
число Рэлея при этом не зависит от числа Прандтля Р. Если
Р < 1, то, как видно, из формул, для заданного волнового
числа колебательная неустойчивость будет существовать при
достаточно большой скорости вращения, определяемой усло-
условием со2 > 0, т. е. при Т > Г*, причем в этом случае R2 < Ri.
Однако для выяснения характера конвективного движения, при-
приходящего на смену равновесию при увеличении'градиента тем-
температуры, необходимо еще рассмотреть соотношение между ми-
минимальными (по k) значениями критических чисел Рэлея Rim
и R2m.
Из формулы B9.8) легко получить закон возрастания мини-
минимального критического числа Rim и соответствующего волнового
числа k\m с увеличением скорости вращения в области Т» 1:
B9.11)
Минимизируя B9.9), получим для достаточно больших Т и
не очень малых Р (так, что Р2Т 3> 1) предельные формулы для
характеристик колебательной неустойчивости:
*. B9.12)-
Условие со2>0 определяет на линии R2m(T) те участки, ко-
которые имеют реальный смысл порога колебательной неустойчи-
неустойчивости. Из этого условия, как и в случае магнитного поля, опре-
определяется концевая (со стороны малых Т) точка с координатами
т 27я4A+РLA-РJ р _ 54я4A +РKA -РJ
1о B —ЗР2K ' ^° B —ЗР2J
/"Г
Значение числа Прандтля Р=|/ j =0,817, как видно из
этих формул, является в некотором смысле предельным: если
Р< у -jt то нейтральная кривая R2(?) имеет минимум при
со2 > 0.

212
ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. VI
Как и в случае магнитного поля (см. § 27, рис. 69), концевая
точка лежит выше кривой Rim. Поэтому для определения усло-
условия колебательной неустойчивости следует найти пересечение
линий Rim(T) и R2m(T). Точка пересечения Т*т легко находится
численно (рис. 75). Величина Т#т монотонно растет с Р, и
Т*тт->оо при некотором Р. Это предельное значение Р нахо-
находится из условия Rim = R2m при Т->оо.
Из сравнения асимптотических формул
B9.11) и B9.12) следует, что Р есть
корень уравнения 8Р4 = 1 + Р» откуда
находим Р = 0,677. Если Р > Р, то
R2m > Rim при всех значениях Т, и в
этом случае наиболее опасна монотонная
неустойчивость. Если Р < Р, то при Т >
> Т*т наступает колебательная неустой-
неустойчивость.
Итак, если Р ;> 1, т'о растущие коле-
колебательные возмущения невозможны ни
при каких значениях параметров Р, .Т и
k. В этом случае имеется лишь монотон-
монотонная неустойчивость, порог которой опре-
определяется значением Rim(T). Если
у <Р< 1, то возможны растущие
колебательные возмущения лишь для значений волнового числа,
удовлетворяющих условию со2 > 0; нейтральная кривая R2(&) в
этом случае не имеет минимума: При Р < Р < 1/ -j на кривой
R2(&) имеется минимум, но R2m > Rim при всех Т и потому кри-
кризис равновесия связан с монотонной неустойчивостью. Наконец,
при Р<Р в зависимости от скорости вращения возможны как
монотонная, так и колебательная неустойчивость. При малых
скоростях вращения (Т < T*w) неустойчивость обусловлена мо-
монотонными возмущениями, и на пороге неустойчивости возникает
стационарная конвекция. При достаточно больших скоростях
вращения (Т > Т*т) за неустойчивость ответственны колебатель-
колебательные возмущения; при увеличении разности температур на смену
равновесию приходит конвекция в виде стационарных колебаний.
Проведенный анализ относится к случаю слоя со свобод-
свободными границами. Для других граничных условий найти точное
решение краевой задачи для амплитуд возмущений не удается.
Чандрасекар с помощью вариационного метода нашел прибли-
приближенное решение для случаев, когда одна граница свободная,
а другая твердая, и для обеих твердых границ. Им были най-
Рис. 75. Число Тейлора T#Wf
при котором появляется ко-
колебательная неустойчивость
(слой со свободными грани-
границами).

§29]
УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
213
дены критические числа монотонной неустойчивости Rim(T), ко-
которые, очевидно, не зависят от Р. Расчет критических значений
числа Рэлея для колебательной неустойчивости произведен для
числа Прандтля Р = 0,025 (ртуть). Критические параметры
в зависимости от поля приведены на рис. 76 и 77. Как видно,
результаты для разных граничных условий качественно сходны.
В частности, при всех типах граничных условий для монотонной
10*
Ю5
to3
* ю* ю6 юв юю
Рис. 76. Критические числа Рэлея Rlm и
с
Ю6 10е 10ю
Рис.* 77. Критические волновые числа для
монотонной и колебательной неустойчи-
р п„о па,ны? Рпаннпныу vpnADHii d — монотонной и колеоательнои неустоичи-
Н2т для разных граничных условий. R - BQcm обозначения те же, что и на рис. 76.
монотонная неустойчивость; R2m —колеба-
—колебательная неустойчивость (Р=0,025); а —обе
свободные границы, в —свободная и твер-
твердая, с —обе твердые.
и колебательной 'неустойчивости сохраняется асимптотика
Rm ~ Т2/*, km ~ Т|/в при больших Т; отличие от формул B9.11),
B9.12) заключается лишь в численных факторах1). Для ртути
колебательная неустойчивость наступает при значениях числа
Тейлора Т*т ~ 103ч- 104 (в зависимости от характера границ).
В слое ртути толщиной 1 см значению Т = 104 соответ-
соответствует скорость вращения около 0,6 об/мин\ таким образом,
*) Асимптотические зависимости Rm и km для слоя с твердыми грани-
границами получены в [34»35]. Формула Rm ~ Т^3 в области больших Т приводит
к следующей зависимости критического градиента температуры от параметров:
g$A - const- -\ —
Таким образом, критический градиент возрастает с уменьшением кинемати-
кинематической вязкости v, и в пределе наступает полная стабилизация равновесия.
Этот результат, который может показаться неожиданным, на самом деле есть
прямое следствие «вмороженности» вихревых линий при v->0.

214 ВЛИЯНИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
колебательная неустойчивость наступает уже при сравнительно
медленном вращении.
Остановимся теперь кратко на результатах эксперименталь-
экспериментальных исследований конвективной неустойчивости вращающегося
горизонтального слоя жидкости.
Как уже говорилось выше, в случае проводящей жидкости
в магнитном поле в лабораторных условиях наблюдать колеба-
колебательную неустойчивость нельзя. В отличие от этого, в случае
вращения можно наблюдать как монотонную, так и колебатель-
колебательную неустойчивость; последняя требует для своей реализации
условия Р < Р, где Р ~ 1. Этому условию удовлетворяют жид-
Кие металлы, у которых числа Прандтля, как правило, малы
(у ртути, например, при комнатных температурах Р = 0,025).
Для экспериментальной "проверки выводов относительно мо-
монотонной неустойчивости Накагава и Френзен [36] использовали
воду (Р = 7 и потому колебательная неустойчивость невоз-
невозможна). Толщина слоя воды со свободной верхней границей
менялась от 2 до 18 сму а скорость вращения достигала
50 об /мин; -числа Тейлора изменялись в пределах 106 -f- 1010.
Наступление конвекции регистрировалось визуально и тепло-
тепловыми измерениями. Результаты говорят о согласии экспери-
эксперимента и теории.
Исследование колебательной неустойчивости проводилось
в опытах Фульца и Накагавы [37] на слоях ртути. Из-за возни-
возникающей на поверхности пленки верхняя граница слоя была
практически неподвижной. Толщина слоя достигала 8 см при
скорости вращения до 30 об/мин; числа Тейлора занимали ин-
интервал 108 -f- 1011. При этих условиях, согласно теории, должна
наблюдаться колебательная неустойчивость. Эксперимент под-
подтверждает это предсказание: в момент возникновения неустой-
неустойчивости на температурных записях появляются регулярные ко-
колебания, частоты которых удовлетворительно согласуются с тео-
теоретическими значениями частот нейтральных колебаний на
линии R2m- Критические числа Рэлея также согласуются с тео-
теоретическими значениями.
Согласно результатам линейной теории, в области больших
значений Т (Т > Т*т) при увеличении числа Рэлея сначала на-
наступает колебательная, а затем и монотонная неустойчивость
(подчеркнем, что переход к монотонной неустойчивости должен
происходить не на линии Rim, а при меньших значениях R — на
линии, где пара растущих колебательных возмущений превра-
превращается в пару растущих монотонных — см. § 25, рис. 64, линия
Д = 0). Практически наблюдение перехода от колебательной не-
неустойчивости к монотонной осложняется тем, что этот переход
происходит на фоне развитого колебательного движения. Од-
Однако переход от колебаний к стационарной конвекции сопра-

г 29]
УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
215
вождается повышением теплового потока и благодаря этому
может быть зарегистрирован. В опытах [38] и [39] действительно
наблюдалось изменение теплопередачи как раз при тех значе-
значениях параметров, при
которых ожидается пе-
переход к стационарной
конвекции.
Обстоятельное ис-
исследование неустойчи-
неустойчивости и надкритических
движений во вращаю-
вращающемся слое проведено
в недавних экспери- д
ментах Россби [40]. Как Ю
и в обсуждавшихся вы- L
ше работах, для на-
наблюдения монотонной и
колебательной неустой-
неустойчивости использовались
10s
ю7
Рис. 78. Критические числа Рэлея для монотонной
неустойчивости в слоях воды. Сплошная линия —тео-
—теория Чандрасекара, штриховая линия —эксперимент
Россби.
Ю* Ю*
Рис. 79. Критические числа Рэлея для монотонной и
колебательной неустойчивости в слоях ртути. Сплош-
Сплошные линии —теория Чандрасекара, штриховая линия-
эксперимент Россби.
слои воды и ртути r
разной толщины. Гра- ю6
ницы устойчивости в
зависимости от числа
Тейлора представлены
на рис. 78 и 79. Име-
Имеется очень хорошее сог-
согласие с теорией в слу-
случае монотонной неус-
неустойчивости в слоях во-
воды при Т < 5-Л О4 и в
случае колебательной
неустойчивости в слоях
ртути при Т>105. За
пределами указанных границ эксперимент дал заниженные по
сравнению с теорией критические числа Рэлея. Это обстоятель-
обстоятельство, по мнению автора, в случае слоев ртути может быть свя-
связано с конечно-амплитудными подкритическими движениями,
предсказываемыми нелинейной теорией. В случае монотонной
неустойчивости в слоях воды не исключена (при больших ско-
скоростях вращения) роль центробежных эффектов.
В заключение этого параграфа отметим еще исследования
конвективной устойчивости равновесия вращающейся жидкости
в полостях другой формы. Устойчивость в бесконечном верти-
вертикальном цилиндре, равномерно вращающемся вокруг оси, рас-
рассматривал И Цзя-шунь [41]. Если иметь в виду наиболее опасные
возмущения со скоростями, параллельными оси цилиндра, то,

216 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. VI
как легко видеть из B9.2), кориолисова сила отсутствует, и кри-
критическое число Рэлея не зависит от вращения; стабилизация
в этом случае не достигается, поскольку возможны возмущения,
при которых жидкость движется вдоль «вмороженных» вихре-
вихревых линий. Если же возмущения имеют периодическую струк-
структуру в направлении оси цилиндра, то на них, как и в случае
горизонтального слоя, действует кориолисова' сила. При этом
устойчивость равновесия повышается.
Стабилизация монотонной неустойчивости при вращении
воды в кубической полости наблюдалась экспериментально
А. П. Овчинниковым и Г. Ф. Шайдуровым [42].
Мы не останавливаемся здесь вовсе на рассмотрении устой-
устойчивости равновесия при наличии одновременно двух факторов —•
магнитного поля и вращения. Изложение этого вопроса содер-
содержится в книге Чандрасекара [17]; см. также более поздние ра-
работы [43>44],
В этой главе мы рассмотрели влияние магнитного поля и
вращения на возникновение конвекции в рамках линейной тео-
теории устойчивости. Нелинейные расчеты проводились в рабо-
работах [45^50]; относительно более подробно исследован случай вра-
вращения, которому посвящены работы Верониса [47~49] и Кюпперса
и Лорца [50].
Наиболее интересный результат нелинейных исследований
заключается в том, что при малых числах Прандтля (где, со-
согласно линейной теории, имеет место колебательная неустойчи-
неустойчивость) возможно «жесткое» возбуждение стационарного движе-
движения конечной амплитуды (см. рис. 55,6). Вывод о «жесткой»
неустойчивости и наличии стационарных подкритических дви-
движений был сделан уже в первой работе Верониса [47] на основе
метода малого параметра; далее [48>49] этот вывод был подтвер-
подтвержден численными расчетами методом Фурье для плоской кон-
конвекции во вращающемся горизонтальном слое со свободными
границами. Эти расчеты позволили определить нижнее критиче-
критическое число Рэлея R, и при этом оказалось, что для Р = 0,2
в определенном интервале значений числа Тейлора стационар-
стационарные подкритические движения возникают раньше, чем неустой-
неустойчивость колебательного типа. В численном расчете [49] иссле-
исследуются также колебательные возмущения конечной амплитуды;
подкритические колебательные движения, которые наблюдал
в эксперименте Россби [40], в расчете, однако, не получались.
Устойчивость стационарных движений конечной амплитуды
при наличии магнитного поля и вращения рассматривалась в ра-
работах [46> 50].

ГЛАВА VII
БИНАРНАЯ СМЕСЬ
В этой главе мы рассмотрим конвективную устойчивость би-
бинарной смеси, состоящей из нереагирующих компонент.
Если температура вдоль смеси не меняется, то единственной
причиной, вызывающей конвекцию, является неоднородность
концентрации. Этот случай не требует особого рассмотрения,
так как он полностью аналогичен обычной тепловой конвекции
однородной среды (роль теплопроводности играет диффузия).
Гораздо более интересен случай неизотермической смеси.
При этом имеются две причины появления конвективной
силы — неоднородности температуры и концентрации, а также
два диссипативных механизма — теплопроводность и диффузия.
Это приводит к появлению качественно новых эффектов. В от-
отличие от чистой среды, равновесие смеси может оказаться не-
неустойчивым относительно колебательных возмущений. Конку-
Конкуренция диффузии и теплопроводности приводит к неожиданному
результату: при определенных условиях оказываются конвек-
конвективно неустойчивыми такие состояния равновесия, при которых
градиент плотности направлен вниз (внизу среда более плот-
плотная). Явления сильно осложняются перекрестными кинетиче-
кинетическими эффектами — термодиффузией и диффузионной теплопро-
теплопроводностью.
Сначала мы рассматриваем относительно простой случай
монотонной неустойчивости в полости, границы которой непро-
непроницаемы для вещества (градиент концентрации при этом опре-
определяется градиентом температуры). Далее разбирается монотон-
монотонная и колебательная неустойчивость в более общем случае,
когда в равновесии отличны от нуля и независимы потоки тепла
и вещества.
§ 30. Уравнения возмущений
Состояние жидкой двухкомпонентной смеси можно описать,
задавая гидродинамическую скорость vf давление р и темпера-
температуру Т смеси, а также концентрацию С одной из компонент
(далее для определенности мы будем обозначать через С кон*
центрацию легкой компоненты).

21Й ЁИНАРНАЙ СМЕСЬ [ГЛ. Vlt
Запишем уравнения гидродинамики смеси [1]. Будем рассма-
рассматривать смесь как несжимаемую жидкость; уравнения Навье —
Стокса и непрерывности тогда будут иметь обычный вид
dt ' *•"'" p ^ ' '"" ' e> C0.1)
Здесь р и v — плотность и кинематическая вязкость смеси.
К C0.1) необходимо добавить еще два уравнения для опреде-
определения концентрации и температуры. Они получаются из законов
сохранения массы рассматриваемой компоненты и энергии.
Уравнение сохранения легкой компоненты имеет вид
C0.2)
где / — плотность диффузионного потока вещества легкой ком-
компоненты. Уравнение энергии для смеси в пренебрежении вязкой
диссипацией можно записать так:
рГ (-^- + vVs) = - div q + \i div /. C0.3)
Здесь s — энтропия единицы массы смеси, Т — абсолютная тем-
температура, ц — плотность молекулярного потока тепла, а \х — эф-
эффективный химический потенциал, связанный с химическими по-
потенциалами компонент \i\ и |хг соотношением
„=J?L_±i.
n mx т2%
где Ш\ и т2 — массы молекул соответственно легкой и тяжелой
компонент.
Входящие в уравнения C0.2), C0.3) плотности потоков j и q
выражаются в общем случае через градиенты температуры, кон-
концентрации и давления. Если в жидкости отсутствуют значитель-
значительные градиенты давления, то можно записать
C0.4)
В эти формулы входят три кинетических коэффициента: коэф-
коэффициенты теплопроводности к и диффузии D и термодиффузион-
термодиффузионное отношение kT. Формулы C0.4) удобно переписать в не-
несколько иной форме: .
—p/XVC + oVT), 1

§ 30] УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИИ 219
Здесь обозначено
Таким образом, диффузионный поток вещества возникает
в смеси не только при наличии градиента концентрации (диф-
(диффузия), но и при наличии градиента температуры (термодиф-
(термодиффузия). В свою очередь, тепловой поток обусловлен как гра-
градиентом температуры (теплопроводность), так и градиентом
концентрации (так называемая диффузионная теплопровод-
теплопроводность) *).
Уравнения C0.1) — C0.3) вместе с формулами для потоков
C0.5) дают полную систему уравнений гидродинамики бинар-
бинарной несжимаемой смеси.
Получим теперь, следуя И. Г. Шапошникову [2], уравнения
свободной конвекции смеси. В неоднородной жидкости конвек-
конвекция вызывается пространственными неоднородностями темпера-
температуры и концентрации. Будем считать, что температура и кон-
концентрация мало отличаются от. некоторых средних значений,
а плотность зависит от температуры и концентрации линейно:
р = роA — Pir —р2С). C0.6)
Здесь ро — плотность смеси, соответствующая средним значе-
значениям температуры и концентрации, а через Т и С теперь обозна-
обозначаются отклонения от этих средних значений. Коэффициент Pi
есть обычный коэффициент теплового расширения смеси, а р2 =
= {-дтп определяет зависимость плотности от концен-
трации. Напомним, что через С обозначена концентрация легкой
компоненты, и потому р2 > 0.
Подставляя C0.6) в уравнение Навье — Стокса, линеаризуя
по конвективным добавкам и считая, что неоднородность плот-
плотности существенна лишь в подъемной силе (приближение Бус-
синеска, см. § 1), получим уравнение движения
-g- + (VV) v = - -1- V/7 + v Av + g (Э,Г + p2C) Y. C0.7)
Здесь p — конвективное давление, отсчитываемое от гидроста-
гидростатического, соответствующего средней плотности ро.
Преобразуем теперь уравнения диффузии и теплопроводно-
теплопроводности. Подставим потоки C0.5) в уравнения C0.2), C0.3). При.
этом ввиду малого изменения температуры и концентрации
вдоль жидкости можно считать коэффициенты при VT и VC
1) В силу принципа симметрии Онзагера выражения для потоков содер-
содержат не четыре, а лишь три независимых коэффициента..

220 БИНАРНАЯ СМЕСЬ * [ГЛ. VII
в C0.5) постоянными. Пользуясь термодинамической формулой
изменения энтропии смеси
T,p T \дТ1с.р
получим
' = D ДС + aD ДГ,
C0.8)
Здесь х = х/роСр — коэффициент температуропроводности смеси, а
"~~[ср \дс)т,р\о
— термодинамический параметр (величины в квадратных скоб-
скобках берутся при средних'значениях температуры и концентра-
концентрации). Заметим, что поскольку (d\i/dC)T> v > 0 (см. [3]), пара-
параметр N всегда положителен.
Уравнения C0.7), C0.8) и уравнение непрерывности описы-
описывают конвекцию двухкомпонентной смеси.
Выясним условия равновесия смеси. Полагая в C0.7). ско-
скорость v равной нулю, и беря rot от обеих частей уравнения,
найдем
(PiVro + P2VCo)XY = O, C0.9)
или, в силу C0.6), Vp X у = 0- Переходя к уравнениям C0.8),
полагая в них v = 0, а также dT0/dt = dC0/dt = 0 (стационар-
(стационарное равновесие), получим
ДГ0 = 0, ДС0 = 0, C0.10)
т. е. равновесные температура То и концентрация Со являются
гармоническими функциями. Из C0.9), C0.10) следует, что
Р^о + РгСо есть линейная функция вертикальной координаты г.
Таким образом, необходимым условием равновесия, как и в слу-
случае чистой среды, является вертикальность и постоянство гра-
градиента плотности.
Необходимо заметить, что для равновесия смеси, вообще го-
говоря, не требуется постоянство и вертикальность отдельно гра-
градиентов температуры и концентрации. Легко представить себе,
в частности, такую равновесную конфигурацию, при которой
градиенты VT0 и VC0 постоянны, но наклонены к вертикали,
а вектор PiVr0 + P2VC0, как и требуется условием равновесия
C0.9), вертикален. Далее мы ограничимся рассмотрением наи-
наиболее типичного случая, когда не только градиент плотности,

§30]
УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
221
но и градиенты температуры и концентрации по отдельности по-
постоянны и вертикальны:
УГ0=-Лу, VCO=-SV. C0.11)
Равновесные значения градиентов А и В, вообще говоря, неза-
независимы и определяются граничными условиями для темпера-
температуры и концентрации !).
Рассмотрим теперь малые возмущения равновесия C0.11).
Подставляя возмущенные величины Го + Т\ Со + С, р0 + //,
а также малую скорость v в исходные уравнения, получим после
линеаризации
-~
дГ
dt
дС
dt
- A (v\) = (x + a2 DN) ДГ + aDN ДС,
div v = Q.
C0.12)
Введем следующие единицы: расстояния — характерный раз-
размер полости L, времени L2/v, скорости %/L, температуры AL,
концентрации BL%/D, давления / p0v%/L2. Считая, как обычно,
возмущения пропорциональными ехр(—М), получим систему
уравнений для безразмерных амплитуд возмущений (штрихи
далее опущены):
_ Xv = - Vp + Дг; + (RT + RdC)\,
XPdC - (vy) = ДС + Ь ДГ,
div г; = 0.
Здесь
C0.13)
2BL4
— обычное число Рэлея и его концентрационный аналог. В си-
систему входят, кроме того, обычное и диффузионное числа
Прандтля: Р = v/% и Ра = v/D (параметр Р<* обычно называют
числом Шмидта), а также еще два параметра, характеризую-
характеризующие термодиффузию и диффузионную теплопроводность:
a2ND
Ь =
а РА
1) Влияние горизонтальных составляющих градиентов на устойчивость
рассматривалось в работе [15].

222 БИНАРНАЯ СМЕСЬ [ГЛ. VII
Всего, таким образом, система C0.13) содержит шесть безраз-
безразмерных параметров.
Вместе с граничными условиями, которые будут обсуждаться
далее при решении конкретных задач, система уравнений
C0.13) определяет спектр нормальных возмущений равновесия
бинарной смеси.
§ 31. Полость с непроницаемыми границами
Механическое равновесие смеси C0.11) характеризуется
Двумя параметрами — равновесными вертикальными градиен-
градиентами температуры А и концентрации В. Эти параметры, вообще
говоря, независимы; они определяют равновесные значения по-
потоков тепла и вещества через полость. Если полость, заполнен-
заполненная смесью, имеет непроницаемые для вещества границы, то
равновесный поток вещества, очевидно, равен нулю: /о = 0; при
этом диффузионный и термодиффузионный потоки взаимно ком-
компенсируются. В силу первого из равенств C0.4) имеем
VC0 + aVr0 = 0. C1.1)
С учетом C0.11) отсюда следует
В + аЛ = 0, C1.2)
т. е. в рассматриваемом случае вертикальные градиенты темпе-
температуры и концентрации оказываются связанными. Если, напри-
например, в полости поддерживается постоянный градиент темпера-
температуры, то (при отсутствии переноса вещества) в силу эффекта
термодиффузии возникает соответствующий градиент концен-
концентрации.
Мы начнем с рассмотрения устойчивости равновесия смеси
в этом относительно простом случае. Будем пока рассматри-
рассматривать лишь монотонные возмущения, для которых декременты
вещественны, и следовательно, на границе устойчивости Я=0!).
Из общих уравнений C0.13) при этом получается
C1.3)
div г; = 0.
Следует иметь в виду, что диффузионное число Рэлея Rd те-
теперь не является независимым; оно связано с обычным числом
1) В полости с непроницаемыми границами возможна также и колеба-
колебательная неустойчивость; см. об этом в следующем параграфе,.

§ 31] ПОЛОСТЬ С НЕПРОНИЦАЕМЫМИ ГРАНИЦАМИ 223
Рэлея R. Эта связь может быть получена, если в C1.2) перейти
к безразмерным величинам:
Rrf=-^f6R, C1.4)
Здесь е — — aj52/pi (в случае нормальной 'гермодиффузйй
е>0). Кроме того, в силу C1.2) получаем также следующие
формулы для параметров а и 6, входящих в C1,3):
f 򗫦
Если полость окружена теплопроводным массивом, to
к C1.3) нужно добавить уравнение теплопроводности для воз-
возмущений температуры в массиве:
АГт-а C1.5)
На границе полости S выполняются обычные условия для ско-
скорости и температуры:
v и, 1 im, х дп дп . toi.Oj
Условие для концентрации получается из требования обраще-
обращения в нуль нормальной составляющей потока вещества на гра-
границе, т. е. (в размерной форме) адТ/дп + дС/дп = 0. Пере-
Переходя к безразмерным величинам, получим с учетом C1.2)
дп Ра дп \ • )
Задача C1.3) — C1.7) определяет критические числа Рэлея
и критические возмущения для данной полости.
В работе Б. А. Вертгейма [4] получено решение этой задачи
для вертикального кругового цилиндра. В предположении, что
скорость параллельна оси цилиндра, а возмущения темпера-
температуры и концентрации зависят лишь от координат в сечении, из
C1.3) и C1.5) следуют уравнения
C1.8)
где Ai — плоский лапласиан. Функции v, T и С ограничены на
оси цилиндра (при г->0) и удовлетворяют условиям C1.6),
C1.7) на боковой границе (при г= 1). Возмущение темпера-
температуры в массиве Тт стремится к нулю при г -> оо.

224 БИНАРНАЯ СМЕСЬ ГГЛ. VI!
Легко получить решение, описывающее основной уровень не-
неустойчивости (диаметрально-антисимметричная конвекция):
C1.9)
где обозначено
л —Ж
el
A+е)A+а2Л0 #
Входящий в формулы параметр y связан с числом Рэлея:
. C1.10)
Критическое значение параметра у> а следовательно, и кри-
критическое число Рэлея, находится из характеристического урав-
уравнения
, C11П
(Y) + /i (Y) J — * + (l+x)JT ^1Л1)
Как видно из C1.10), C1.11), параметром, определяющим
границу устойчивости, является модифицированное число Рэлея
R = Y4. Уравнение C1.11) дает зависимость R от двух пара-
параметров — отношения теплопроводностей й и параметра /С, свя-
связанного с коэффициентом термодиффузии. Зависимость R от й
и К представлена на рис. 80. Если эффект термодиффузии от-
отсутствует, то коэффициент а, а вместе с ним е и К равны нулю.
При этом квадратная скобка в C1.10) обращается в единицу,
Y4 совпадает с обычным числом Рэлея R, а C1.11) переходит
в характеристическое соотношение задачи Остроумова для слу-
случая однородной среды (A1.10); л= 1). При нормальной тер-
термодиффузии К > 0 и, как видно из рисунка, при любом фикси-
фиксированном отношении теплопроводностей R < Ro, где Ro — соот-
соответствующее критическое число для однородной среды с теми
же параметрами, что и у смеси. Поскольку в этом случае квад-
квадратная скобка в C1.10) больше единицы, тем более имеет место
неравенство R < Ro. Следовательно, наличие нормальной тер-

ПОЛОСТЬ С НЕПРОНИЦАЕМЫМИ ГРАНИЦАМИ
модйффузии приводит к уменьшению критического числа Рэлея^.
Это понижение устойчивости физически понятно: нормальный
термодиффузионный эффект вызывает увеличение концентрации
легкой компоненты в нагретой нижней части канала; тем са-
самым создается дополни- „
тельная неустойчивая
стратификация по плотно-
плотности. Аномальная термо-
термодиффузия, напротив, при-
приводит к стабилизации рав-
равновесия.
Заканчивая обсужде-
обсуждение устойчивости равнове-
равновесия в вертикальном ци-
цилиндре, заметим, что за-
зависимость критического
числа Рэлея от парамет-
параметров становится простой в
предельном случае тепло-
теплоизолированных границ. В
250-
200
150
60
I 050 **
^ж^—-
i i
А
1 |
\
1 1
ЩП ОМ 0t05 0J 0? 0,5 1 2 5.
Рис. 80. Модифицированное число Рэлея в зависи-
зависимости от параметров Я и /С.
самом деле, при *с^> оо
правая часть C1.11) стре-
стремится к нулю, и в этом
предельном случае критическое значение R не зависит от К
(все кривые на рис. 80 при й->оо имеют общую асимптоту):
При этом R = Ro или (см. C1.10))
R==
Ro
C1.12)
где теперь Ro — предельное (при й-*оо) значение числа Рэлея
для однородной среды; для кругового цилиндра Ro=67,95
(§ И).
Можно показать (это сделано С. Б. Накоряковой [5]), что
формула C1.12) сохраняется и в случае полости произвольной
формы с теплоизолированными непроницаемыми границами.
С этой целью обратимся к уравнениям для стационарных воз-
возмущений C1.3). Введем новую переменную Я, являющуюся ли-
линейной комбинацией возмущений температуры и концентрации:
# = ¦
(«+¦*+*.)
-Jc),
Комбинируя уравнения теплопроводности и диффузии, полуедм
8 Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицний

226 БИНАРНАЯ СМЕСЬ [ГЛ. VII
из C1.3) с учетом C1.4) систему трех уравнений для v\ p> H:
C1.13)
divv = 0,
где
R = R[l+aW + e(l+aW+?)] C1.14)
•»— модифицированное число Рэлея.
; Скорость v на стенках полости исчезает, а граничное усло-
условие для Я вытекает из требования обращения в нуль нормаль-
нормальных составляющих потоков тепла и вещества. Из формул C0.5)
следует, что в этом случае должны исчезать нормальные соста-
составляющие градиентов дТ/дп и дС/дп. Итак, на стенках полости
г> = 0, -gr = °- C1.15)
Краевая задача C1.13), C1.15) по виду совпадает с задачей
об устойчивости однородной жидкости в произвольной полости
с теплоизолированной границей. Отличие составляет лишь за-
замена R на R. Если из решения задачи для чистой жидкости
известно критическое число R, то критическое число R для
смеси находится простым пересчетом по формуле C1.14). Мы
снова приходим, таким образом, к формуле C1.12), но теперь
уже не для частного случая кругового вертикального цилиндра,
а для полости произвольной формы.
В заключение заметим, что понижение устойчивости вслед-,
ствие эффекта термодиффузии может оказаться весьма замет-
заметным. Так, для водородо-азотной газовой смеси при средней рав-
равновесной концентрации водорода 0,05 D2% водорода по объе-
объему), согласно оценке [5], ос2Л/г=0,18; е = 0,60; %Д)=1,1. При этих
значениях параметров из C1.12) следует R = R0/2,55, т.е. кри-
критическое число Рэлея понижается в два с половиной раза по
сравнению с тем значением, которое было бы в случае однород-
однородной среды.
. Влияние концентрационных и термодиффузионных явлений
на возникновение конвекции в вертикальном канале наблюда-
наблюдалось в опытах Э. И. Славновой [6].
§ 32. Общий случай. Монотонная и колебательная
неустойчивость
Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости смеси в бо-
более общем случае, когда в состоянии механического равновесия
отличны от нуля молекулярный поток тепла ц и диффузионный
поток вещества /. Оба потока вертикальны и в зависимости от

§ 32] МОНОТОННАЯ И КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 227
условий на границах могут быть направлены как вверх, так и
вниз. Равновесные градиенты температуры и концентрации А
и В, а вместе с ними и оба числа Рэлея R и Rd, входящие
в систему уравнений для возмущений C0.13), являются теперь
независимыми параметрами, которые могут иметь и положи-
положительные и отрицательные значения. Так, например, R > 0 и
Rd > 0 соответствуют (устойчивому или неустойчивому) равно-
равновесию, при котором градиенты УГ0 и VC0 направлены вниз, т. е.
внизу выше температура и выше концентрация легкой ком-
компоненты; при R > 0 и Rd < 0 внизу выше температура и ниже
концентрация легкой компоненты, и т. д. Таким образом, воз-
возникает задача исследования устойчивости равновесий при про-
извольных R и Rd.
Как и в случае проводящей среды в магнитном поле (§ 25),
характерные особенности явления отчетливо видны из рассмо-
рассмотрения задачи об устойчивости плоского вертикального слоя
смеси [7]. Пусть слой ограничен параллельными плоскостями
х=±\ (х — безразмерная поперечная координата в единицах
полуширины слоя Л; ось z направлена вертикально вверх). Рас-
Рассмотрим плоскопараллельные нормальные возмущения с ам-
амплитудами:
vx = vy = 0, vz = v{x)\ T = T(x); С = С{х).
Полагая градиент давления равным нулю, получим из C0.13)
амплитудные уравнения
а
- ХРТ - v = A + а) Г + jC,
C2.1)
Эта система имеет простое решение при следующих граничных
условиях: на границах слоя исчезают скорость и возмущения
температуры и концентрации (на плоскостях, ограничивающих
слой, поддерживаются равновесные значения температуры и кон-
концентрации):
прил:=±1 v = T = C = 0. C2.2)
Решение задачи C2.1), C2.2), соответствующее основному
уровню неустойчивости, имеет вид: (и, Г, С) ~ sin их. Для де-
декрементов получается кубическое уравнение (ср. B5.5))
k + s = Q C2.3)

228 БИНАРНАЯ СМЕСЬ [ГЛ. VII
с коэффициентами
(здесь е=—ap2/Pi)«
1. Предельный случай отсутствия «перекрестных» эффектов.
Если «перекрестные» эффекты — термодиффузия и диффузион-
диффузионная теплопроводность — несущественны, то характеристическое
уравнение C2.3) упрощается, поскольку в этом случае а=0 и,
следовательно, обращаются в нуль безразмерные параметры а,
ей а/г. Коэффициенты уравнения теперь будут
г = п4 A + Р + Pd) - (PR* + P,R),
Из сопоставления с формулами § 25 видно, что в рассматри-
рассматриваемом предельном случае задача полностью аналогична маг-
магнитной задаче; характеристическое уравнение получается из со-
соответствующего уравнения для проводящей жидкости формаль-
формальной заменой '*
. n2Af2->-R/, Pw->Prf. • C2.4)
В отличие от магнитного случая, где М2 > 0, теперь Ra может
быть как положительным, так и отрицательным.
Для определения условий устойчивости можно воспользо-
воспользоваться результатами анализа характеристического уравнения,
полученными в § 25.
Как и в магнитном случае, возможны два вида неустойчи-
неустойчивости — относительно монотонных и колебательных возмуще-
возмущений. Граница монотонной неустойчивости находится из условия
$'яяг 0, что дает
; R + R* = n4. C2.5)
Это..уравнение описывает на плоскости (R, R<*) прямую, разде-
разделяющую области затухающих и нарастающих монотонных воз-
возмущений. Если Rd=0 (однородная среда, градиент концентра-
концентрации отсутствует), то критическое число Рэлея R=ji4. Если
Rd > 0 (в нижней части полости концентрация легкой компо-
компоненты, выше), то с увеличением Rd критическое число R умень-
уменьшается; понижение устойчивости связано с тем, что гради'ент
концентрации создает дополнительную неустойчивую стратифи-.
кацию по плотности. В случае R=0 (изотермическая смесь)
крлзис равновесия наступает..при .Цл=пАл и обусловлен чисто

МОНОТОННАЯ И КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
229
концентрационной стратификацией. При Rd > я4 изотермиче-
изотермическая смесь неустойчива; для ее стабилизации требуется подо-
подогрев сверху (R < 0).
Граница колебательной неустойчивости находится из усло-
условия qr — ps=Q:
р2 ' р2
Т+Т*7 R + ТТР"Rd = я' (р + р*)- C2-6>
Это уравнение также описывает прямую на плоскости (R, Rd).
Прямые C2.5) и C2.6) пересекаются в точке с координатами.
1-1 р. 1 i p
R— -ж г •* и гл 4 i * /QO *7\
* — — л р~р;> Krf» = я р _ р . Fz.t)
Частота нейтральных колебаний определяется формулой
2 s
(О2 = — =
q
C2.8)
откуда видно, что со обращается в нуль при Rd=Rd#, т. е.
ке пересечения прямых C2.5) и C2.6), и вещественна на линии
К
Рис. 81. Области устойчивости и неустойчивости плоского вертикального слоя смеси.
Указаны нейтральные линии монотонных (/) и колебательных B) возмущений, а также!
линия нулевого градиента плотности (VP=0) и дискриминантная кривая (Д«=0).
C2.6) лишь по одну сторону от этой точки. Разумеется, прямая^
C2.6) имеет смысл нейтральной линии для колебательных воз-,
мущений лишь на том участке, где со2 > 0. .
Взаимное расположение линий устойчивости на плоскости.
(R, Rd) определяется отношением P/Pd=D/x, т. е. отношением
коэффициентов диффузии и температуропроводности смеси *)*
На рис. 81 изображены линии устойчивости для случаев Р < Р#,
p=pd, p> pd. Область устойчивости расположена под прямы--
ми / и 2.
х) Встречаются смеси с различным отношением P/Pd. Так, для газовых»
смесей обычно это отношение порядка единицы, причем для одних смёсёйГ
Р < Pd, а для других Р > Pd*, возможна даже смена знака неравенства при
изменении концентрации. Для жидких растворов обычно Pd > Р; в частно-
частности, в водных растворах Pd/P ~ Ю2. . -: . ,

230 БИНАРНАЯ СМЕСЬ [ГЛ. VII
При Р < Pd, как видно из C2.7), R» > 0 и Rd*'< 0, и со-
согласно C2.8), со2 > 0 при Rd < Rd*, т.е. линия 2 имеет смысл
нейтральной линии колебательного возмущения левее точки пе-
пересечения. В этой области колебательная неустойчивость воз-
возникает при меньших значениях R, чем монотонная. При Р > Pd,
очевидно, R* < 0, Rd* > 0, и линия 2 есть нейтральная линия
колебательных возмущений правее точки пересечения. В погра-
пограничном случае Р=Р<* (т.е. i=D) точка пересечения линий /
и 2 уходит в бесконечность. В этом случае колебательные воз-
возмущения всегда затухают, и имеет место лишь монотонная не-
неустойчивость — в области выше линии /.
На рис. 81 изображена также дискриминантная кривая Д=0
уравнения C2.3) *). В области ниже этой кривой уравнение
имеет два комплексно-сопряженных корня, описывающих коле-
колебательные возмущения. На линии 2 декремент колебательных
возмущений обращается в нуль; в области между линией 2 и
кривой Д=0 колебательные возмущения нарастают.
Наличие в спектре колебательных возмущений само по себе
не является неожиданным: колебательные возмущения суще-
существуют (при подогреве сверху) и в однородной среде. Отличие
от чистой среды состоит в том, что в смеси возможны нара-
нарастающие колебательные возмущения, т. е. колебательная не-
неустойчивость. Как показывает расчет, такая неустойчивость воз-
возникает при условии, что градиенты температуры и концентрации
имеют противоположное направление и достаточны по величине
(соответствующие критические значения определяются форму-
формулами C2.7)).
2. Парадокс устойчивости. В чистой среде причиной возник-
возникновения конвекции является неустойчивая стратификация по
плотности: конвекция возникает, если градиент плотности на-
направлен вверх (вверху расположены более плотные слои жидко-
жидкости) и по величине превосходит определенное критическое зна-
значение. Можно было бы думать, что в смеси все усложнения
связаны лишь с тем, что теперь имеются две. причины, обусла-
обуславливающие стратификацию, — неоднородность температуры и
неоднородность концентрации. Оказывается, однако, что это не
так. Значение градиента плотности само по себе еще не опреде-
определяет условий возникновения конвективной неустойчивости сме-
еи. Неустойчивость при определенных условиях может возник-
возникнуть, если плотность смеси везде одинакова и даже если гра-
градиент плотности направлен вниз.
•Для выяснения этого вопроса воспользуемся полученным
выше решением" задачи о конвективной устойчивости смеси
*v l) Характерные точки дискриминантной кривой — точка возврата и точки
касания осей R и Rd — могут быть получены из формул § 25 заменой C2.4).

$ 32] МОНОТОННАЯ И КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 231
в вертикальном слое. Каждому состоянию равновесия смеси,
изображаемому точкой на плоскости (R, Rd), соответствует
определенное значение градиента плотности. Размерный гра*
диент плотности в равновесии согласно C0.6) и C0.11) равен
Вводя вместо градиентов температуры и концентрации соответ-
соответствующие числа Рэлея R и Rd, получим
C2.9)
(Л — полуширина слоя). Отсюда легко найти уравнение линии
на плоскости (R, Rd), все точки которой изображают состоя-
состояния равновесия с равным нулю градиентом плотности:
0. C2.10)
Прямая C2.10) изображена пунктиром на рис. 81. Точкам
плоскости, расположенным ниже этой прямой, соответствуют
состояния равновесия смеси с градиентом плотности, направлен-
направленным вниз; в области выше прямой градиент плотности направ-
направлен вверх. Прямая C2.10) при всех соотношениях между Р
и Р^ (кроме случая точного равенства Р=Р<*) пересекает ней-
нейтральные линии монотонных и колебательных возмущений. При
заданных Р и Р<* имеются, таким образом, две области на
плоскости (R, Rd), где линия устойчивости расположена ниже ли-
линии Vp = 0 (одна из таких областей на рис. 81, а заштрихова-
заштрихована). Состояния равновесия, изображаемые точками внутри этих
областей, неустойчивы, хотя при этом внизу среда тяжелее.
Этот результат, кажущийся парадоксальным, объясняется
конкуренцией процессов диффузии и теплопроводности. Его
можно пояснить следующим образом. Рассмотрим, например,
заштрихованную на рис. 81, а область, где, согласно расчету,
имеет место неустойчивость монотонного вида при наличии
градиента плотности, направленного вниз. Этой области соответ-
соответствует градиент температуры, направленный вверх (R < 0,
подогрев сверху) и градиент концентрации, направленный вниз
(Rd > 0, внизу концентрация легкой компоненты выше). Пара-
Параметры смеси- удовлетворяют неравенству Р < Pd, т. е. % > D —
неоднородности температуры выравниваются быстрее, чем не-
неоднородности концентрации. В этих условиях элемент среды,
случайно сместившийся вверх, будет быстро нагреваться, но от-
относительно медленно терять избыточную концентрацию легкой
компоненты. В новом месте температура элемента будет, ко-
конечно, ниже температуры окружающей среды, зато он будет
богаче легкой компонентой. При подходящих значениях гра-
градиентов температуры и концентрации плотность сместившегося

232 БИНАРНАЯ CMECfe frJl. VI*
элемента может оказаться меньше плотности Ькружающей сре-
среды, и элемент будет продолжать всплывать; следовательно, воз-
возможна монотонная неустойчивость.
Описанная ситуация имеет место в стратифицированном
океане при наличии градиентов температуры и солености, на-
направленных вверх (в наших обозначениях R < О, R<* > 0). В ра-
работах [8'9] отмечалось, что в таких условиях возможно возник-
возникновение конвекции несмотря на то, что градиент плотности
направлен вдоль силы тяжести; это позволяет объяснить неко^
торые океанографические эффекты.
3. Влияние термодиффузии и диффузионной теплопровод-
теплопроводности. Учет этих эффектов не меняет качественно полученных
результатов. Нейтральные линии монотонной и колебательной
ч неустойчивости определяются теперь из общего уравнения
C2.3). Вместо C2.5) и C2.6) имеем для границ устойчивости
IJ^*4 C2.11)
{монотонная неустойчивость) и
Pd] C2.12)
(колебательная неустойчивость). Прямые C2.11) и C2.12) на
плоскости (R, Rd) пересекаются в точке с координатами
f [1 + Р + A + a) Pd] + [A + а) A + Pd + aPd) + аР]
R. = -«4i
Р A + в)-Р
Частота нейтральных колебаний
ОчеЁИДно, со2 > 0 лишь по одну сторону от точки пересечения
(R*Rd.).
Взаимное расположение нейтральных линий теперь опреде-
определяется четырьмя параметрами среды: Р, Р<ь а и е. В зависи*
мости от соотношений между ними могут представиться раз-
различные случаи; некоторые из них приведены на рис. 82 (начало
координат.R=0, Rd=0 всегда принадлежит области устойчи-

$32]
МОНОТОННАЯ И КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
233
вости). Из рис. 82, я, например, видно, что при достаточно боль-
большом термодиффузионном эффекте и при Rd=0 можно возбу»
дить стационарную конвекцию подогревом снизу и колебатель*
ную — подогревом сверху.
Если канал закрыт сверху и снизу пробками, непроницае*
мыми для вещества, то в равновесии поток вещества вдоль ка-
канала отсутствует (см. предыдущий параграф). Числа R<* и R
в)
Рис. 82. Нейтральные линии монотонной (/) и колебательной B) неустой*
Р.
чивости с учетом «перекрестных» эффектов: а) а=*0, е > ~- A +Р); б) а=0,
в этом, случае связаны соотношением C1.4): PRd — ePdR=0,
Формулы C2.11) и C2.12) тогда определяют критические числа
Рэлея в зависимости от параметров среды. Для монотонной не*
устойчивости
(эта формула вполне аналогична C1.12)). Разбираемый при-
пример показывает, что при отсутствии равновесного потока веще*
ства, как и в общем случае, возможна также и колебательная
неустойчивость (в предыдущем параграфе она не рассматрива-
рассматривалась вовсе). Для колебательной неустойчивости
D _ яМР + О + а) РЛ [A + Р)"(I + Prf) +'
В частном случае, когда эффектом диффузионной теплопро-
теплопроводности (обычно малым) можно пренебречь, т.е. когда а=0,
имеем
Зависимость Ri и Иг от термодиффузионного параметра е изо-
изображена на рис. 83. Как видно, при нормальной термодиффузии

234
БИНАРНАЯ СМЕСЬ
[ГЛ. VII
(ё > 0) возможна только монотонная неустойчивость, причем
с ростом е критическое число Рэлея падает (правая ветвь Ri).
При значительной аномальной термодиффузии возможна коле-
колебательная неустойчивость (ветвь R2) с частотой нейтральных
колебаний
«4
,-е); е. = -
Р A + Р)
Область значений параметра е, где существует колебатель-
колебательная неустойчивость, находится из требования со2 > 0, т. е.
1 4- Р
-- —- ~ При значительной аномальной термодиффузии
существует также монотонная неустойчивость
при подогреве сверху (ле-
(левая ветвь Ri).
4. Другие задачи. Хо-
Хотя общего исследования
конвективной устойчиво-
устойчивости смеси в полости про-
произвольной формы не про-
производилось, можно ду-
думать, однако, что полу-
полученные в этом параграфе
выводы для плоского вер-
вертикального слоя качест-
качественно справедливы и в об-
общем случае. Это подтвер-
подтверждается результатами исследования устойчивости в горизон-
горизонтальном плоском слое [9~12] и шаровой полости [13]. В указанных
работах не учитывались эффекты термодиффузии и диффузион-
диффузионной теплопроводности1).
Наиболее полное исследование устойчивости смеси в плоском
гориаонтальном слое проведено в работе Нилда [п]. Решение
для слоя со свободными плоскими границами, на которых исче-
исчезают возмущения температуры и концентрации, получается эле-
элементарно. -Границы устойчивости относительно монотонных и
колебательных возмущений на плоскости (R, R<*) с учетом
минимизации по волновому числу определяются двумя прямы-
прямыми (числа R и Rd определены через толщину слоя)
Рис. 83. Критические числа Рэлея монотонных и
колебательных возмущений в зависимости от пара-
параметра термодиффузии (замкнутый канал).
27
Pi
•Я*
R
27
Т
1) Учет термодиффузионных эффектов в задаче о горизонтальном слое
проведен недавно в работе [14]; там же учтена зависимость коэффициента
термодиффузии от концентрации.

,32}
МОНОТОННАЯ И КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
235
Эти соотношения отличаются от C2.5) и C2.6) лишь числен-
численным фактором 27/4. Более сложно обстоит дело, когда границы
слоя твердые и заданы другие граничные условия для темпе-
температуры и концентрации. Для некоторых случаев в работе [и]
построены решения методом Фурье и численно определены гра-
границы монотонной неустойчивости (рис. 84).
Устойчивость смеси в шаровой полости исследовали
Ю. К. Братухин и М. И. Шлиомис [13]. Для основного уровня
Рис. 84. Нейтральная линия мо-
монотонной неустойчивости смеси
в горизонтальном слое. Верхняя
граница - свободная, идеально
теплопроводная, непроницаемая;
нижняя граница —твердая,
идеально теплопроводная, не-
непроницаемая (а) или на ней под-
поддерживается постоянная кон-
концентрация (б).
\шГ
чаю
-то
Рис. 85. Нейтральная линия моно-
монотонной неустойчивости смеси в ша-
шаровой полости. Идеально теплопро-
теплопроводная граница; а—на границе под-
поддерживается постоянная концентра-
концентрация, б —непроницаемая граница.
неустойчивости, которому соответствуют траектории движения
частиц, близкие к круговым, найдено приближенное решение,
получающееся в предположении vr=0 (см. § 17). Границы
монотонной неустойчивости приведены на рис. 85. В работе рас-
рассмотрена также колебательная неустойчивость; выводы вполне
аналогичны полученным выше для вертикального слоя.
Укажем в заключение на экспериментальную работу Шерт-
клифа [16], в которой исследовалось возникновение конвекции
в плоском горизонтальном слое водного раствора сахара
(Pd>P). Слой подогревался снизу (R > 0), а концентрация
сахара уменьшалась с высотой (Rd<0). В опытах наблюда-
наблюдалось довольно сложное нелинейное распределение концентрации
по высоте. Однако в нижней части слоя устанавливался прибли-
приблизительно постоянный градиент концентрации, и именно в этой

236 БИНАРНАЯ СМЕСЬ [ГЛ. VfT
области при постепенном увеличении градиента температуры
возникала ячеистая колебательная конвекция. Эксперименталь-
Экспериментально найденная граница устойчивости на плоскости (R, R<*) ка-
качественно согласуется с теоретической. Количественное же срав-
сравнение затруднено из-за отличия равновесного распределения
концентрации от линейного и весьма неопределенных условий
на верхней границе конвективного слоя.
Исследование конечно-амплитудных возмущений в смеси про-
проведено в работах Верониса [17>18] и Сани [19]. В обеих работах
рассматривались плоские возмущения в горизонтальном слое со
свободными границами, на которых заданы температура и кон-
концентрация. Как и при наличии вращения или магнитного поля,
нелинейный анализ приводит к выводу о существовании (при
определенных значениях параметров) подкритических движе-
движений.

Г Л А НА Vfir
МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА
В этой главе мы рассмотрим вопрос о возникновении кон-
конвекции в условиях, когда один из параметров, характеризую-
характеризующих равновесие, зависит от времени. Такая ситуация возни-
возникает, например, если равновесная разность температур изменяется
со временем или если полость, заполненная жидкостью, совер-
совершает движение по вертикали с переменным ускорением.
Наиболее интересен случай периодической модуляции пара-
параметра—равновесного градиента температуры или ускорения
поля тяжести. Наличие модулируемого параметра, вообще го-
говоря, значительно влияет на устойчивость. Кроме того, при
определенных соотношениях между амплитудой и частотой мо-
модуляции появляются резонансные области динамической не-
неустойчивости, связанные с параметрическим возбуждением.
Модуляция равновесного градиента температуры или уско-
ускорения силы тяжести не исчерпывает всех возможностей пара-
параметрического воздействия на конвективную устойчивость. Од-
Однако эти два способа наиболее естественны с точки зрения
реализации в эксперименте. Основное их различие состоит
в том, что при вертикальных колебаниях полости с жидкостью
модулируемый параметр — ускорение поля тяжести — остается
однородным по объему. При колебаниях же температуры на
границах равновесный градиент температуры зависит не только
от времени, но и от координат; модуляции градиента в основ-
основном сосредоточены, в приграничном слое, толщина которого
уменьшается с увеличением частоты (температурный скин-эф-
скин-эффект). При низких частотах модуляции градиента это отличие
пропадает, и в этом случае оба способа параметрического" воз*
действия оказываются, в сущности, эквивалентными. Опреде-
Определение границ устойчивости при этом сводится к нахождению
периодических решений некоторой стандартной системы обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений, с периодическими ко-
коэффициентами (§ 33). Для «прямоугольного» закона модуля-
модуляции решение этих уравнений может быть получено точно; для
синусоидального закона области устойчивости и неустойчивости
определяются численно (§ 34). В предельном случае вертикаль-
вертикальных вибраций высокой частоты простые результаты получаются
с помощью метода усреднения (§ 35). В § 36 рассмотрена

238 МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА ttVI. VIII
задача об устойчивости для случая, когда существенную роль
играет пространственная неоднородность градиента температу-
температуры. В последнем параграфе приводятся некоторые результаты
нелинейных расчетов установившихся надкритических коле-
колебаний.
§ 33. Амплитудные уравнения
В этом параграфе будет сформулирована задача об устой-
устойчивости при периодической модуляции одного из параметров —
равновесного градиента температуры или ускорения силы тя-
тяжести [!' 2].
Рассмотрим сначала случай модуляции равновесного верти-
вертикального градиента температуры. Предположим, что условия
подогрева не являются стационарными, но допускают суще-
существование равновесия. При таком «нестационарном» равновесии
скорость равна нулю, а температура зависит от времени и вер-
вертикальной координаты г и удовлетворяет уравнению теплопро-
теплопроводности
Нас далее будет интересовать случай, когда температура на
границах, а вместе с ней и ее равновесный градиент, гармони-
гармонически модулируются со временем с частотой ооо. Ограничимся
рассмотрением низких частот модуляции, удовлетворяющих ус-
условию
соо<-$-. C3-2)
Здесь h — характерный размер по вертикали. Условие C3.2)
можно переписать в виде
где 6 —толщина температурного скин-слоя. При выполнении
этого условия можно пренебречь пространственной неоднород-
неоднородностью градиента температуры и считать, что равновесный гра-
градиент модулируется около постоянного среднего значения Ло
с частотой ооо и амплитудой а0:
УГ0= — (Л + aosin ©оО Y = — А>A + rjsin a>ot) y,
где Ti = aoA4o — относительная амплитуда модуляции.
Введем единицы: расстояния — характерный размер X, вре-
времени — L2lYvx> скорости — %/L, температуры — A0Ly давле-

§33]
АМПЛИТУДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
239
ния — pvx/L2. В этих единицах безразмерные уравнения возму*
щений нестационарного равновесия имеют вид
C3.3)
L2
Здесь Q = -7=-@o— безразмерная частота модуляции, R/
x
число Рэлея, определенное через средний градиент Ло.
Переходя к рассмотрению плоского горизонтального слоя,
исключим из C3.3) горизонтальные компоненты скорости и да-
давление и введем нормальные возмущения vz и Т:
. vz = v (г, t) exp i {kxx + k2y), T = 6 (г, t) exp / (kxx + k2y).
Для v (z, t) и 9B, /) получается система уравнений (штрихом
обозначены производные по г):
1
dt
+ k4v)-
Л,
C3.4)
Как и при отсутствии модуляции, наиболее прост для ана-
анализа случай свободных изотермических границ. В этом случае
переменные разделяются, и решение, соответствующее основ-
основному уровню неустойчивости, имеет вид
v(z,t) = a (t) sin яг, 6 (г, t) = b (t) sin яг. C3.5)
Амплитуды a(t) и b(t) удовлетворяют системе обыкновенных
уравнений
C3.6)
C3.7)
C3.8)
С помощью замены
где

$40 МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА [ГЛ. VIII
срстема C3.6) приводится к «каноническому» виду:
/2 Ч- —/2 =
п
C3.9)
Здесь точкой обозначена производная по новому безразмерному
времени т; со — новая безразмерная частота:
0. C3.10)
Кроме амплитуды и частоты модуляции г\ и со, система содер-
содержит еще два безразмерных параметра п и R. Параметр п играет
роль коэффициента трения, a R — «приведенное» число Рэлея:
n—к*» К — ^ , Ко — ?г • (oo.ll)
Здесь Ro — критическое число Рэлея при отсутствии модуляции.
В случае слоя с твердыми границами простое разделение
переменных оказывается невозможным. Для сведения задачи
к системе обыкновенных уравнений можно в этом случае при-
применить метод Канторовича, представив v и 9 в виде разложений
; v (г, t) = 2 a, (t) Ft (г), 6 (г, *) = 2 6* (О Ф* (г). C3.12)
где ЛB) и Фг(г) —системы базисных координатных функций,
удовлетворяющих граничным условиям. Подставляя C3.12)
в систему C3.4) и составляя условия ортогональности, полу-
получим систему уравнений первого порядка с периодическими
коэффициентами для амплитуд аг(/) и Ьг{г). Ограничиваясь
.первым приближением, положим
v (г, t) = a (t) F (г), 9 (г, /) = b (t)O B);
-z2). j
При выборе аппроксимации функции Ф(г) мы воспользовались
дополнительным гранитным условием 9^@) =9"A) =0, выте-
вытекающим из C3.4). Получающаяся по методу Канторовича си-
система уравнений для амплитуд a(t) и b(t) может быть сведена
р каноническому виду C3.9) заменой C3.7), где теперь
C3 14)

§33]
АМПЛИТУДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
241
Входящие в систему C3.9) параметры в случае слоя с твердыми
границами равны
31 E04 + 24&2 + i
Р;
C3.15)
Здесь Ro — приближенное значение критического числа Рэлея
для слоя с твердыми границами при отсутствии модуляции (ми-
(минимум на кривой устойчивости достигается при &т=3,12; ми-
минимальное значение Rm== 1719).
Перейдем теперь к рассмотрению другого способа парамет-
параметрического воздействия на конвективную устойчивость. Пусть по-
полость, заполненная жидкостью, совершает вертикальные гармо-
гармонические колебания с частотой соо и амплитудой смещения Ьо.
В уравнениях движения, записанных в системе отсчета, связанной
с полостью, необходимо ускорение силы тяжести g заменить на
gA + r\ sin (ооО, где теперь r\ = (o^60/g — безразмерный пара-
параметр модуляции.
Сохраняя выбранные выше единицы, запишем безразмерные
уравнения возмущений в виде
dv
dt
Rf A + л sin Ш)Ту,
C3.16)
Отличие этой системы от C3.3) состоит в том, что периодиче-
периодический множитель теперь входит не в уравнение теплопроводно-
теплопроводности, а в уравнение движения в виде коэффициента при подъем-
подъемной силе.
В случае горизонтального слоя со свободными граница-
границами, как и при модуляции градиента температуры, решение
имеет вид C3.5). Амплитуды a(t) и b(t) теперь удовлетворяют
системе, отличающейся от C3.6) лишь тем, что множитель
A + т] sin Ш) входит в виде коэффициента при R/.
Замена
<* = gu b = lg2i t = mx C3,17)
сводит эту систему к «каноническому» виду:
+ ngx = R
+ "p #2 = g
cot)
C3.18)

242 МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА [ГЛ. VIII
Все входящие в эту систему параметры, а именно: /, т, п, со, R
определены, как и при модуляции градиента температуры, фор-
формулами C3.8) и C3.10), C3.11).
В случае слоя с твердыми границами можно снова восполь-
воспользоваться методом Канторовича, сохранив аппроксимации
C3.13). Система уравнений для a(t) и b(t) тогда сводится
к виду C3.18) заменой C3.17) с параметрами, определенными
формулами C3.15).
Нетрудно видеть, что системы C3.9) и C3.18), в сущности,
эквивалентны. В самом деле, исключая из C3.9) /г или из
C3.18) gu придем к одному и тому же уравнению второго по-
порядка с периодическими коэффициентами:
f + 2ef + [l-R(l+Tisin(OT)]f = 0 ^2e = n+^j. C3.19)
Таким образом, задачи об устойчивости при модуляции поля
тяжести и при низкочастотной модуляции вертикального гра-
градиента температуры оказываются математически эквивалентны-
эквивалентными. Если известно решение одной из этих задач, то решение
другой получается простым пересчетом параметров.
Выше речь шла об устойчивости равновесия жидкости в го-
горизонтальном слое. Если жидкость заполняет полость произ-
произвольной формы, то задача с помощью метода Канторовича так-
также может быть сведена к интегрированию системы обыкновенных
уравнений первого порядка с периодическими коэффициентами
для амплитуд. В качестве базисных координатных функций
можно выбирать, например, точные или приближенные собствен-
собственные функции задачи об устойчивости при отсутствии модуляции.
При этом в первом приближении мы приходим к канонической
системе вида C3.18) (пример вертикального кругового цилинд-
цилиндра, совершающего гармонические колебания вдоль оси, рассмот-
рассмотрен в [2]).
§ 34. Области устойчивости и неустойчивости
В предыдущем параграфе было показано, что поведение
конвективных возмущений при периодической модуляции пара-
параметра определяется системами уравнений C3.9) или C3.18),
либо эквивалентным им уравнением второго порядка C3.19).
Эти уравнения содержат четыре независимых параметра:
R, п, со и г].
При произвольных значениях этих параметров решение си-
системы будет либо затухать, либо нарастать со временем. Пе-
Периодическое (нейтральное) поведение возмущений возможно
лишь при определенном соотношении между параметрами, ко-
которое и определяет границу устойчивости. Таким образом, на-
нахождение границ конвективной устойчивости сводится к оты-

г 341
ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
243
еканию условий существования периодических решений уравне*
ния C3.19).
Одна из особенностей динамической системы, описываемой
уравнением C3.19), состоит в большом затухании: параметр
затухания е имеет минимум при я=1, причем emin=l. Для па-
параметрического возбуждения при этом требуются, вообще го-
говоря, конечные амплитуды модуляции. По этой причине методы
малого параметра, основанные на разложениях по амплитуде,
оказываются мало при-
пригодными для решения за-
дачи.
С помощью ЭВМ мож-
можно получить эффективное
численное решение задачи
о поведении возмущений —
при произвольных значе-
значениях параметров, и в ча-
частности, отыскать грани- _
цы устойчивости. Далее
мы приведем результаты,
полученные численным
методом. Предварительно, однако, полезно рассмотреть случай,
когда модуляция происходит не по гармоническому, а по сту-
ступенчатому закону [*]. В этом случае удается найти точное ана-
аналитическое решение задачи и получить общий обзор условий
устойчивости. Качественные же выводы об устойчивости, как
оказывается, мало чувствительны к закону модуляции.
Будем искать периодические решения уравнения
f+ 2е/ + [1 — R —гФ (т)] / = 0. C4.1)
Это уравнение отличается от C3.19) заменой sin сот на «прямо-
«прямоугольную» ступенчатую периодическую функцию ф(т), изобра-
изображенную на рис. 86. Кроме того, вместо относительной ампли-
амплитуды модуляции г] в уравнение введена абсолютная амплитуда
r=Rri.
На каждом из полупериодов функция ф(т) имеет постоянное
значение <р=±1. На участках / и 2, отмеченных на рисунке,
общее решение уравнения C4.1) имеет вид
Рис. 86. График функции ф (т).
/B) = ?-е
где
a=/l-R + r-e2, р= 1^1 — R — г —е2.
Условия непрерывности на границе участков 1 и 2

'544 ¦ МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА ' . [ГЛ. VIII
вместе с условиями существования «нормального» решения
дают систему четырех линейных однородных уравнений для
постоянных С\9 С2, С3, С4. Приравнивая нулю определитель этой
системы, получим квадратное уравнение для фактора р:
+ е ~ = 0. C4.3)
Периодические решения получаются при р=±1. Значение
р=1 соответствует «целым» решениям, имеющим период, рав-
равный периоду модуляции. При р= — 1 получаются «полуцелые»
решения; их период вдвое больше периода модуляции. Подста-
Подставляя р = ±1 в C4.3), находим уравнение границ устойчивости
^^-4^Sinf-sin^=±ch^ C4.4)
(знаки + и — соответствуют «целым» и «полуцелым» реше-
решениям).
Это соотношение дает связь между числом Рэлея R, коэффи-
коэффициентом трения е, а также частотой и амплитудой модуля-
модуляции со и г. При фиксированных е и R на плоскости ампли-
амплитуда — частота можно построить границы областей устойчи-
устойчивости.
Как показывает .решение уравнения C4.4), целесообразно
выделить три области изменения «приведенного» числа Рэлея:
I) -оо < R < 1, 2) К R < 1 + е2, 3) R > 1 + е2'). Карты
1) Полезно подчеркнуть различие в определении R и г для случаев мо-
модуляции градиента температуры и поля тяжести. По определению R = R//Ro,
где Ro — статическое пороговое значение числа Рэлея, a R/ — число Рэлея при
наличии модуляции. Равенство R = 0 в случае модуляции градиента озна-
означает такую ситуацию, когда средний градиент температуры отсутствует
(Ао sss 0), и вся неоднородность температуры связана лишь с ее колебаниями
на границах. В случае модуляции поля тяжести значение R = 0 означает
отсутствие ускорения статического поля тяжести (g = 0); имеется лишь виб-
вибрационное ускорение со^0.
Что касается амплитуды модуляции г, то ее можно записать следующим
образом: г = r\R = r//Ro. В случае модуляции градиента температуры
г/ = gpao/i4/vx, т. е. г/ есть число Рэлея, определенное через амплитуду мо-
модуляции градиента (оно не зависит от среднего градиента). В случае же
модуляции поля тяжести rf = C02&ofM/i4/vx — число Рэлея, определенное че-
через вибрационное ускорение (не зависит от «среднего» ускорения g).

Рис. 87. Карты устойчивости на плоскости (г, 1/ю). Области
неустойчивости заштрихованы; сплошные линии — прямоуголь-
прямоугольная модуляция, штриховые линии —синусоидальная модуля
ция. а) - оо < R < 1; б) 1 < R < 1 + е2: в) R > 1 + г\

245 МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА * [ГЛ. VIII
устойчивости на плоскости амплитуда — период для этих трех
областей изображены на рис. 87, а — в.
В области —оо < R < 1 при отсутствии модуляции (г=0)
равновесие устойчиво; эти значения R соответствуют произволь-
произвольному подогреву сверху или подогреву снизу с докритическим
градиентом. При наличии модуляции (г Ф 0) появляются об-
области параметрической неустойчивости, изображенные на
рис. 87, а. При малых г равновесие устойчиво при любых ча-
частотах. Неустойчивость появляется при конечном пороговом
значении параметра возбуждения r = ri = 3e2—(R—1). При
г > Г! имеются интервалы частот, соответствующие устойчиво-
устойчивости и неустойчивости.
В области R > 1 в статических условиях равновесие неустой-
неустойчиво (градиент температуры превосходит критический). При
наличии модуляции появляются области стабилизации равно-
равновесия.
При 1 < R < 1 + е2 (рис. 87, б) кроме областей резонанс-
резонансного возбуждения появляется основная полоса неустойчивости,
прилегающая к оси г=0 (сама линия г=0 принадлежит об-
области неустойчивости). Верхняя граница этой области при
1/со —> оо определяется значением параметра r = r2 = 2eVrR — 1.
Над этой областью расположена полоса устойчивости, ширина
которой (при больших 1/со) равна п — г2. С ростом R полоса
устойчивости сужается, так как т\ уменьшается, а г2 растет. При
R —* 1 + е2 ширина полосы п — г2 стремится к нулю.
Форма областей неустойчивости для R > 1 + е2 видна из
рис. 87, в. В этом случае практически при всех амплитудах и
частотах возбуждения равновесие неустойчиво. Лишь при г>гз
имеются узкие резонансные интервалы частот параметрической
стабилизации системы. Значение гз определяется формулой гз=
= е2+ (R—1).
Как видно, имеется аналогия между рассматриваемой кон-
конвективной системой и маятником, точка подвеса которого со-
совершает вертикальные колебания. Как известно, устойчивое
нижнее положение маятника может быть сделано неустойчи-
неустойчивым, и наоборот, неустойчивое обращенное положение маятника
может быть стабилизировано при подходящих значениях пара-
параметров модуляции. В нашем случае модуляция параметра так-
также приводит к появлению областей неустойчивости при R < 1
и стабилизации равновесия при R > 1.
Перейдем теперь к рассмотрению условий устойчивости при
синусоидальном законе модуляции параметра. Как уже указы-
указывалось, в этом случае система амплитудных уравнений может
быть решена численно [2»8]. Для определенности мы будем
иметь в виду систему второго порядка C3.18).

§ 34] . ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ 247
Рассмотрим два частных решения этой системы (g\l\ g{2l)) и
(gf]> #22))' удовлетворяющие начальным условиям
g<*> = V C4.5)
Эти решения, очевидно, образуют фундаментальную систему:
определитель
D{x)=
отличен от нуля и удовлетворяет соотношениям:
D @) = 1; D (т) = D @) е~гх = е~*х
C4.6)
Общее решение системы C3.18) запишем в виде
gx = clg" + c2gf\ g2 = clgy + c2gf. C4.7)
Здесь C\t с2 — произвольные постоянные.
Согласно общей теории (см., например, [4]), для построения
периодических решений следует сначала найти «нормальные»
решения, удовлетворяющие условиям
* (Т) = pgx @), g2 (T) = pg2 @) C4.8)
(Г —период модуляции). Подставляя C4.7) в C4.8), придем
к однородной системе для С\ и с2. Приравнивая нулю ее опреде-
определитель, получим характеристическое уравнение для фактора р,
которое с учетом C4.6) можно записать в виде
Р2 - Р [g[l) (Т) + gf (Т)] + е-" = 0. C4.9)
Полагая р = ±1, найдем условия существования периодических
решений, или, что то же самое, уравнения границ областей
устойчивости (знаки + и — соответствуют «целым» и «полу-
«полуцелым» решениям):
± [g[l) (Т) + g22) (Т)] = 1 + е-*. C4.10)
Это уравнение является аналогом уравнения C4.4) в случае
прямоугольной модуляции.
Таким образом, для построения границ устойчивости нужно
знать фундаментальную систему, удовлетворяющую начальным
условиям C4.5), в точке т=7\ Сложность состоит в том, что
аналитически найти фундаментальную систему не удается. Од-
Однако для фиксированных значений параметров ее можно полу-
получить численно, интегрируя C3.18) с начальными условиями
C4.5) методом Рунге — Кутта. Варьируя параметры, входящие

248
МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА
[ГЛ. VIII
в C3.18), можно добиться выполнения (с заданной точностью)
равенства C4.10) и определить «нейтральные» значения пара*
метров. Перебор параметров и численное интегрирование про-
производятся на ЭВМ.
Очевидно, такой численный метод может быть применен и
для отыскания периодических решений систем более высокого
порядка.
Как показывают расчеты, качественные особенности струк-
структуры областей устойчивости, отмеченные выше при обсуждении
V]
к
J
г
\
s
(O'f
п-3,67
4*s
Рис. 88. Зависимость критического числа Рэлея от амплитуды модуляции.
прямоугольной модуляции, сохраняются и в случае гармониче-
гармонического закона модуляции. На рис. 87, а и б границы областей
неустойчивости для гармонической модуляции изображены
штриховыми линиями. Как и в случае прямоугольной модуля-
модуляции, при R < 1 имеются лишь области резонансного возбужде-
возбуждения,' а при R > 1 появляется также основная полоса неустойчи-
неустойчивости. Из рисунков видно в то же время, что имеются заметные
количественные отличия в положении резонансных областей.
Численный метод позволяет определить зависимость крити-
критического числа Рэлея от параметров модуляции. На рис. 88 пред-
представлен пример расчета, дающий зависимость критического зна-
значения приведенного числа Рэлея R от безразмерной амплитуды
модуляции т) при фиксированных со и п (со=1, п=3,67). В пре-
пределах основной полосы неустойчивости критическое число R
возрастает с увеличением ц, т. е. имеет место стабилизация. При
достаточно больших ц (для указанных значений со и п при
ц > 2,7) неустойчивость связана с резонансным параметриче-
параметрическим возбуждением.
Рис. 89, а и б относятся к горизонтальному слою с твердыми
границами, В этом случае при заданных параметрах слоя и

§34]
бйЛлсти устойчивости й Неустойчивости
?49
жидкости и при заданных частоте и амплитуде модуляции число
Рэлея R/ зависит от волнового числа k. Критическое значение
Rm должно определяться минимизацией R/ по k. Если фикси-
фиксированы частота модуляции щ и безразмерная амплитуда т|, то
Рис. 89. Критическое число Рэлея Ят и критическое э°лновов
число km в зависимости от амплитуды модуляции для горизон-
горизонтального слоя с твердыми границами (Р=«7).
число Рэлея R/ зависит от k через Ro, т и п (см. формулы
C3.14), C3.15)). Заметим, что при фиксированной частоте соо
безразмерная частота со, входящая в «каноническую» систему
C3.18), также зависит от волнового числа k (формула C3.10);
m=m(k)).

250 МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА [ГЛ. VIII
Кривые на рис. 89 изображают минимальное критическое
число Rm и критическое волновое число km в зависимости от
амплитуды ц для Р=7 (вода). Вдоль каждой кривой постоян*
h2
ное значение имеет безразмерная частота Q= , соо. Как
%
видно из рисунков, критическое значение Rm в основной полосе
неустойчивости увеличивается с ростом г\ и уменьшается с ро-
ростом п 1). Для каждого Q имеется предельное значение л*> опре-
определяющее край основной полосы неустойчивости. При л ~~* Л*
критическое число Rm стремится к бесконечности. Критическая
длина волны с увеличением г\ в пределах основной полосы ра-
растет и km —> 0 при л —* л*-
За пределами основной полосы (л > л*) минимальное кри-
критическое число Rm сложным образом зависит от л- Эта зависи-
зависимость определяется минимизацией по k пороговых значений R/
на границах резонансных полос неустойчивости. Расчеты пока-
показывают, что в области резонансных полос устойчивость с ро-
ростом л, в общем, понижается.
§ 35. Вибрации высокой частоты
Системы C3.9) и C3.18) или эквивалентное им уравнение
второго порядка C3.19) позволяют численно определить гра-
границы устойчивости при произвольных значениях параметров.
В предельном случае высоких частот с помощью метода усред-
усреднения удается получить простые аналитические формулы, выра^
' жающие зависимость критического числа Рэлея от параметров
модуляции. Заметим сразу, что здесь мы имеем в виду случай
параметрического воздействия посредством вертикальных коле-
колебаний высокой частоты; высокочастотная модуляция равновес-
равновесного градиента температуры приводит к образованию темпе-
температурного скин-слоя, который необходимо учитывать при рас-
рассмотрении устойчивости (см. следующий параграф).
Влияние вибраций высокой частоты на конвективную устой-
устойчивость выяснялось в работах [2»5»6]. Далее в изложении мы
следуем работе [2].
Обратимся к уравнению C3.19):
r)]f = 0. C5.1)
В отсутствие модуляции (л = 0) имеем
0. C5.2)
1) Нужно помнить, что в случае вертикальных колебаний слоя амплитуда
определена так: г\ =» (S?J>Jgt т. е. безразмерная амплитуда сама зависит от
частоты.

§ 35] . ВИБРАЦИИ ВЫСОКОЙ ЧАСТОТЫ 261
Это уравнение описывает возмущения, которые при подогреве
снизу изменяются со временем монотонно. Как легко видеть,
характерное время то моды, дающей неустойчивость, равно
1-1
Если период вибрации гораздо меньше то, т. е. частота вибрации
велика:
cD>Ke' + R-l-e,
то для нахождения границ устойчивости можно воспользоваться
методом усреднения [7].
Следуя этому методу, представим решение уравнения C5.1)
в виде суммы медленно изменяющейся со временем части fo
и быстро осциллирующей малой добавки g:
/(т) = /0(т)+Б(т). . C5.3)
Подставляя C5.3) в C5.1) и сохраняя главную часть в группе
быстро осциллирующих членов, получим уравнение для ?:
I = R Л/о sin ©т.
Интегрируя (в предположении /0=const), получим
g (т) = ——* f (T) sjn m% C6.4)
со
Возвращаясь теперь к исходному уравнению C5.1), подставим
в него C5.4) и усредним по периоду модуляции Г=2я/со. Мы
придем тогда к уравнению для f0:
"*"*' =0. C5.5)
Это уравнение отличается от соответствующего уравнения
при отсутствии модуляции C5.2) наличием последнего слагае-
слагаемого в скобке. Таким образом, можно сказать, что высокоча-
высокочастотная вибрация, в сущности, приводит к перенормировке ста-
статического поля тяжести.
Граница устойчивости находится из условия обращения
в нуль коэффициента при f0 в C5.5)
-—г — R + 1 = 0, C5.6)

252
МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА
[ГЛ. VIII
Отсюда видно, что в предельном случае высоких частот крити-
критическое значение числа Рэлея определяется единственным пара-
параметром — отношением г|/со !).
На рис. 90 изображены границы устойчивости на плоскости
(R, г\/со). Сплошная кривая соответствует асимптотической фор-
формуле C5.6). Штриховыми линиями изображены границы устой-
устойчивости, найденные путем численного решения общей систе-
системы C3.18) для различных значений со (напомним, что при
R
Ю
\\ \
\\ \
V
—*
\
\
\
N
п=3,67
Рис. 90. Критическое число R в зависимости от пара-
параметра т|/о). Сплошная линия —предельный случай вы-
высоких частот (формула C5.6)).
конечных со положение нейтральных линий определяется не
только отношением г|/со, но и отдельно параметрами со и я).
Как видно, при увеличении частоты граница основной области
неустойчивости довольно быстро сходится к предельной линии.
(.35.6). .Практически случай высоких частот реализуется уже
при со > 10. Отметим, однако, что кроме основной области не-
неустойчивости при конечных со имеются еще резонансные об-
области.
На рис. 90 изображена нижняя граница первой резонанс-
резонансной области («полуцелые» решения) для со = 5, 10, 20. С уве-
увеличением частоты эта граница повышается, вытесняясь на бес-
бесконечность, и в высокочастотном пределе остается лишь основ-
основная область неустойчивости.
1) В случае прямоугольной модуляции высокочастотный предел может
быть получен из общего характеристического соотношения C4.4). При малых
- " -я2г2
1/о) и г из C4.4) следует 2 — R + 1 =0. Вводя относительную амплитуду.
я 2,^2^2
модуляции г] = r/R, получим соотношение ¦ 12 2 — R + 1 = 0, отличаю»
щееся от C5.6) лишь численным фактором.
12 2

§351
ВИБРАЦИИ ВЫСОКОЙ ЧАСТОТЫ
253
Обращаясь к случаю, горизонтального плоского слоя, под-
подставим в C5.6) R = R//R0 H@ = y=Looc, где со0 — размерная
частота вибрации, а статическое пороговое число Ro и параметр
т определены формулами C3.8), C3.11) в случае свободных
границ, либо формулами C3.14), C3.15)—в случае твердых
границ. После подстановки по-
получим
C5.7)
Здесь а—безразмерный па-
параметр, определяющий влия-
влияние вибраций высокой частоты
на конвективную неустойчи-
неустойчивость;
C5.8)
(соо — частота, Ьо — амплитуда
смещения, h — толщина слоя).
Из формулы C5.7) видно,
что существует предельное зна-
значение параметра вибрации
п #ti/l/l? ппи ттпгтижрнии Рис- 91« Нейтральные кривые для гори-
горист— Щ V z> ПРИ ДОСТИЖеНИИ Зонтального слоя с/твердыми границами
КОТОРОГО Наступает абсолютная Для нескольких значений вибрационного
У J параметра.
стабилизация.
Зная зависимость т и Ro от волнового числа 6, по форму-
формуле C5.7) можно построить нейтральные кривые R/(/0 для
разных значений вибрационного параметра а. На рис. 91 пред-
представлено семейство нейтральных кривых для слоя с твердыми
границами. С увеличением а минимальное критическое число
Rm увеличивается (стабилизация), а критическое волновое
число km уменьшаетсяJ).
1) Влияние вибраций высокой частоты на устойчивость горизонтального
слоя также исследовалось в работах [б«6]. Операция усреднения была про-
произведена в исходных полных уравнениях конвекции. Для характеристики
влияния вибрации был введен параметр \х
градиент).
И C5
г
^
(А — равновесный
д) .
Из C5.6) можно найти зависимость критического числа Рэлея от пара-
параметра |л: Rf = Ro Н §Б"~# Минимальные критические числа Rw, получаю-
т Ко
щиеся из этой формулы, согласуются с приведенными в [6]. Однако, как нам
представляется, более целесообразно характеризовать влияние вибрации пара-
параметром а (формула C5.8)), так как, в отличие от \х, этот параметр не зави-
зависит от градиента, а определяется лишь свойствами жидкости и параметрами
вибоации. * ч - ...... .< ......

254
МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА
[ГЛ. VIII
Зависимость Rm(а) и km{a) представлена на рис. 92, а и б.
При а*=0,0347 наступает полная стабилизация: если а > а*,
равновесие устойчиво при любых значениях вертикального гра-
градиента. Подчеркнем, однако, что речь идет о предельном слу-
случае высоких частот; при конечных частотах имеются резонанс-
резонансные области неустойчивости и
при а > а* (см рис. 90).
Приведем численную оцен-
оценку вибрационного эффекта.
Для полной стабилизации тре-
требуется предельное значение
м
¦
у
1
/
Oftl № 0,03 Oftt
а) «
1
1
1
100
Ofil 0J2 0,03
б)
Рис. 92. Минимальное критическое
число Rm и .критическое волновое
число km в зависимости от вибрацион-
вибрационного параметра.
1
Ь-ооу/
-

/ 1
\
У/
—~~~?о
0,05
О,Ш
Рис. 93. Критическое число R*
в зависимости от а для вер-
вертикального кругового цилин
дра при разных значениях
числа Био Ь=/Са/х {К — коэф-
коэффициент теплоотдачи, и —
теплопроводность жидкости,
а —радиус цилиндра).
вибрационной скорости сво6о = аф Л— . Таким образом, для по-
получения заметного эффекта при разумных с точки зрения экспе-
эксперимента значениях вибрационной скорости следует работать
с тонкими^ слоями жидкости, имеющей возможно большее зна-
значение Vv%- Так> для слоя воды (Vv% = 0,0038 см2/сек) толщи-
толщиной 2 мм получается предельное значение соо&о = 360 см/сек. Это
значит, что при амплитуде Ьо = 2 мм стабилизация наступит при
частоте 250 ец. Эффект выражен значительно сильнее в жидко-
жидкостях с большим значением параметра /v/ (глицерин, олшзко*
вое масло, некоторые силиконовые жидкости).

$36] ТЕМПЕРАТУРНЫЙ СКИН-СЛОЙ 255
В заключение заметим, что формулы C5.6), C5.7) имеют
универсальный характер. С их помощью определяется граница
основной полосы неустойчивости в предельном случае высоких
частот для полости произвольной формы (разумеется, лишь
в рамках приближений, приводящих к уравнению C5.1)). Для
перехода к конкретному случаю следует лишь специализировать
параметры Ro и т, зависящие от формы полости и условий
подогрева.
Отсылая за деталями вычислений к работе [2], приведем ре-
результат для случая вертикального кругового цилиндра. На
рис. 93 изображена зависимость R/(a) (вибрационный пара-
параметр определен через радиус цилиндра) для разных значений
числа Био Ь, характеризующего теплоотдачу от цилиндра
к внешней среде. Как и в случае горизонтального слоя, с ро-
ростом а наступает стабилизация, причем эффект значительнее
при большой теплопроводности границ.
§ 36. Температурный скин-слой
При рассмотрении устойчивости равновесия в §§ 33 и 34
предполагалось, что частота модуляции равновесного градиента
температуры мала, и скин-эффектом можно пренебречь (нера-
(неравенство C3.2)). Если же частота настолько велика, что тол-
толщина скин-слоя соизмерима или меньше характерного размера,
то становится существенной пространственная неоднородность
градиента температуры. При решении задачи об устойчивости
в этом случае необходимо учитывать тепловую волну, распро-
распространяющуюся вглубь жидкости от границы, на которой пе-
периодически меняется температура.
Рассмотрим бесконечно глубокий бассейн, на горизонталь-
горизонтальной поверхности которого температура гармонически меняется
со временем:
ro = 0cosa>/ B = 0). C6.1)
Температуру на достаточно большой глубине примем за начало
отсчета:
Го-^О (z->oo) C6.2)
(ось г направлена вниз). Уравнение теплопроводности C3.1)
с граничными условиями C6.1), C6.2) дает невозмущенное
распределение температуры в виде тепловой волны, экспонен-
экспоненциально затухающей с глубиной:
Го (zf t) = ве-** cos (©* - кг); к = |/^-. C6.3)
При надлежащей фазе со/ — кг градиент температуры напра*
влен вниз (дТ0/дг > 0), и если этот градиент достаточно велик

Ш МОДУЛЯЦИЯ fiAPAMEtpA [Гл. Vili
(а его величинк определяется амплитудой и частотой колеба-
колебаний температуры поверхности), то нестационарное равновесие
с профилем температуры C6.3) может оказаться неустойчи-
неустойчивым [8> 9].
Для исследования устойчивости [9] поступаем точно так же*
как в случае слоя конечной толщины, т. е. из общих уравнений
для возмущений исключаем горизонтальные компоненты ско^
рости и давление и вводим нормальные возмущения. Введем
единицы: расстояния — 1/х (эта величина характеризует глу-
глубину проникновения тепловой волны), времени — 1/х2|Л%
температуры — 0, скорости — %х. Определим число Рэлея через
глубину проникновения: R=g-p0/vxx3 и запишем амплитудные
уравнения в безразмерной форме (аналог системы C3.4))
C6.4)
Здесь f(zyt) — безразмерный невозмущенный градиент темпера-
температуры, определяемый профилем C6.3):
f{zf f) = е-* [sin (^r - 2) - cos [^L - г)]. C6.5)
При г —* оо возмущения v и 9 стремятся к нулю. На поверх-
поверхности г=0 задана температура, и ее возмущение исчезает;
нормальная составляющая скорости исчезает вместе со своей
второй производной по 2 в случае свободной границы или с пер-
первой производной — в случае твердой границы.
Рассмотрим сначала случай свободной (плоской) поверх-
поверхности. Удобно исключить из системы C6.4) возмущение темпе-
температуры <и получить уравнение шестого порядка для v:
ii -л)л*=" wB> f) v- C6-6)
Из условия 8@) = 0 можно получить дополнительное граничное
условие d4v/dzA = 0 при 2 = 0.
Периодическое решение уравнения C6.6) будем искать по
методу Фурье. Основной области параметрического резонанса
соответствует, как известно, движение с частотой, равной поло-
половине частоты возбуждения. Поэтому «полуцелое» периодиче-
периодическое решение можно представить в виде разложения Фурье
V = VX B) COS -pL- + V2 B) Sin y=r + ... C6.7)

§ 36] ТЕМПЕРАТУРНЫЙ СКИН-СЛОЙ 25?
Здесь V\ и v2 — амплитуды основной гармоники частоты l/"|/P.
Старшие гармоники имеют частоты 3/|/Р, 5/V^P, ... Подста-
Подставляя C6.7) в C6.6) и сохраняя лишь основную гармонику, по-
получим систему уравнений для фурье-амплитуд vx и v2:
+ ~ ' \ C6.8)
пл и2 -f- A -f- Р) Л v{ — Ди2 = — k RP(9_^1 -f- ф, v\ J
где
Ф± = у e~z (cos z ± sin z).
Амплитуды удовлетворяют однородным условиям:
vu 2 = 0? 2 = у]у2 = 0 (z = 0); vu 2 -> 0 (z -> оо). C6.9)
Для приближенного решения амплитудной краевой задачи
можно применить интегральный метод, аналогичный методу
Кармана — Польгаузена в теории пограничного слоя (см. [10]).
Согласно этому методу, решение аппроксимируется с учетом
граничных условий и с последующим определением параметров
аппроксимаций из интегральных соотношений. В нашем случае
V\ и V2 удовлетворяют одинаковым граничным условиям, по-
поэтому в первом приближении, содержащем минимальное число
параметров, можно положить:
vx(z) = clF(z), v2(z) = c2F(z); j
F (Z) = Cz + 3az2 + a2z3) e~az. J ^b'1U)
Параметр а, связанный с глубиной проникновения возмущений,
остается пока не определенным.
Интегрируя C6.8) по z от 0 до оо и подставляя в получаю-
получающиеся интегральные соотношения аппроксимации C6.10), при-
придем к системе линейных однородных уравнений для си с2. Из
условия совместности этой системы вытекает соотношение ме-
между параметрами задачи на границе устойчивости. Это соотно-
соотношение можно разрешить относительно R:
FЬП)
Здесь 1\, /2, h, К — функции волнового числа и параметра а:
/, = а2 + 5/г2, /2 = а4 + 2А-2а2 + 5/г4,
/3 = 5а6 + 3k2a* + 3k V + 5k6,
Д = 2 [(а + IJ + 1J<
9 Г, 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

258 МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА [ГЛ. Vtll
Аналогичное соотношение можно получить и в случае твер-
твердой верхней границы бассейна. В этом случае удобнее пользо-
пользоваться системой C6.4). Фурье-разложение периодического «по-
«полуцелого» решения начинается с гармоник
C6.12)
Входящие сюда амплитуды удовлетворяют граничным условиям
при г==0 oIif-«,;i2=o. eli2=o;
C6.13)
при "
Простейшие аппроксимации таковы:
01 2 — °\ 2^(^)» 01 2==^1 2®(ZY> )
F;1 = Х-°* <t>(z) = lz + aJ)e-°* J C6Л4)
(учтено добавочное граничное условие 8"@) =0, вытекающее
из C6.4)).
Соотношение, аналогичное C6.11), имеет вид
R2 =
C6.15)
Формулы C6.11) и C6.15) дают связь между параметрами,
при выполнении которой существует «полуцелое» периодическое
решение. Иными словами, эти формулы определяют границу
устойчивости равновесия. Критические числа Рэлея, согласно
этим формулам, зависят от Р, k и а. Следует, однако, подчер-
подчеркнуть, что параметр а, в отличие от волнового числа &, не яв-
является свободным; он, в сущности, сам должен быть определен
всеми остальными параметрами задачи. Для определения а мож-
можно было бы составить еще одно интегральное соотношение, на-
например, уравнение моментов. Такой путь приводит к весьма гро-
громоздким соотношениям. Поэтому ограничимся нахождением ниж-
нижней границы области неустойчивости. С этой целью будем рас-
рассматривать параметр а как свободный и найдем минимум R(?, a)
по ft и а при фиксированном Р. Минимальное критическое число
Rm определяет нижнюю границу амплитуды 0, которая необхо-
необходима для параметрического возбуждения неустойчивости при
данной частоте. Значения же km и ат, соответствующие мини-
минимуму, вряд ли можно рассматривать как истинные значения кри-
критического волнового числа и параметра проникновения.

i 36]
ТЕМПЕРАТУРНЫЙ СКИН-СЛОЙ
259
Результаты расчетов представлены на рис. 94. Как и следо-
следовало ожидать, критические числа Rm в случае твердой границы
выше соответствующих значений для свободной границы
Для воды при 20 °С (Р=7) при свободной границе Rm=20,
и условие возникновения конвекции:
5гГ- <36Л6)
Так, при периоде колебаний 1 мин для возбуждения неустой-
неустойчивости требуется амплитуда 0 > 0,4 °С.
Разобранная задача обладает характерной особенностью,
связанной с бесконечной глубиной бассейна. Она состоит в том,
75
50
25
0,7
0,5
*¦——
II
- /
а)
б)
Рис. 94. Минимальное критическое число Ят и критическое волновое число km в зави-
зависимости от числа Прандтля; / — свободная поверхность, // — твердая верхняя граница.
что средний по времени невозмущенный градиент температуры
в любой точке равен нулю, т. е. отсутствует «средняя» стра-
стратификация. Конвекция возникает, таким образом, благодаря
тому, что неустойчиво стратифицированные слои образуются при
распространении тепловой волны.
В слое конечной толщины возможен, разумеется, случай, ко-
когда средний градиент отличен от нуля и создается средней раз-
разностью температур между ограничивающими плоскостями. Ко-
Колебания температуры на этих плоскостях модулируют градиент,
и можно исследовать влияние этих модуляций на устойчивость.
Низкочастотный случай был рассмотрен в §§ 33, 34. Влияние
модуляций произвольной (немалой) частоты изучалось в работе
Венециана [п]. При этом, однако, амплитуда модуляций пред-
предполагалась достаточно малой, что позволяло применить метод
возмущений.
В работе [и] задача решалась в следующей постановке. Рас-
Рассматривается плоский горизонтальный слой со свободными гра-
границами. Температура на границах гармонически меняется со
9*

260 МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА [ГЛ. VIII
временем^ причем возможны, например, такие существенно
отличающиеся друг от друга случаи:
а) колебания в противофазе:
при z = 0 Т = 0! + 02 cos (о/,
при z = h Г= —02cos(o/;
б) колебания в фазе:
при z = 0 Г = 01
при z = h r =
Здесь 0i — статическая разность температур (она обеспечивает
средний градиент ©i/Л); 02 — амплитуда колебаний на гра-
границах.
В случае а), очевидно, разность температур (и градиент)
со временем осциллируют около среднего значения. В случае б)
разность температур не меняется со временем, но градиент тем-
температуры внутри жидкости в силу скин-эффекта зависит от
времени и вертикальной координаты.
Для решения задачи об устойчивости применяется метод
малого параметра, основанный на разложении амплитуд нор-
нормальных возмущений и критического числа Рэлея в ряды по
степеням безразмерной амплитуды модуляции е = 202/0ь Из
симметрии ясно, что разложение критического числа Рэлея бу-
будет содержать лишь четные степени е:
Здесь R<°> — статическое значение, a R<2> — квадратичная по-
поправка, которая (при малых е) описывает влияние модуляции
на устойчивость. Поправка R<2) определяется стандартным ме-
методом возмущений. При этом оказывается, что с точностью до
членов порядка е2 модуляция не влияет на критическое волно-
волновое число. Поэтому для определения минимального критического
числа Rm нужно знать R*2) в точке k = km, соответствующей ми-
минимуму на нейтральной кривой в статическом случае.
Результаты расчетов представлены на рис. 95. Как видно,
в случае а) (колебания в противофазе) при всех частотах
RB> > 0, т. е. модуляция приводит к повышению устойчивости 1).
В случае б) (колебания в фазе) поправка R<2> как функция ча-
частоты меняет знак; при низких частотах имеется дестабилиза-
дестабилизация, а при высоких — стабилизация.
1) Следует подчеркнуть, что расчет справедлив при малых амплитудах
модуляции; поэтому речь идет лишь об основной полосе неустойчивости. Воз-
Возбуждение резонансных полос требует конечных амплитуд (§ 34).

§37}
НАДКРИТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
261
При высоких частотах, влияние модуляции сосредоточено
в тонком скин-слое, толщина которого стремится к нулю при
со —* оо. Эффект становится весьма слабым; поправка R<2> убы-
убывает как 1/со2. Кроме того, при высоких частотах пропадает
различие между случаями а) и б): в пределе образуются два
со
Рис. 95. Квадратичная поправка к критическому числу Рэлея в зависимости от частоты;
а) —колебания в противофазе, б) —колебания в фазе. Число Рэлея определено через сред-
среднюю разность температур и толщину слоя; безразмерная частота ю-в единицах Л2/х.
тонких неперекрывающихся скин-слоя вблизи верхней и нижней
плоскостей, и фазовые соотношения между температурными вол-
волнами в этом случае несущественны.
§ 37. Надкритические колебания
Если конвективная система подвергается параметрическому
воздействию, то в области неустойчивости в результате разви-
развития возмущений устанавливается периодическое во времени
конвективное движение конечной амплитуды. Исследование
надкритических колебаний возможно лишь на основе полных
нелинейных уравнений конвекции. Как и в статическом случае
(§ 23), здесь весьма эффективным оказывается численный ме-
метод сеток. В работах Г. И. Бурдэ [12~14] стационарные надкри-
надкритические колебания изучались этим методом на примере обла-
области квадратной формы. Решалась плоская нестационарная за-
задача конвекции в квадратной области с теплоизолированными
вертикальными границами. Рассмотрены оба вида параметриче-
параметрического воздействия, обсуждавшиеся в предыдущих параграфах,—
модуляции поля тяжести и периодические колебания темпера-
температуры на горизонтальных границах.
В случае модуляции поля тяжести возникающее плоское
конвективное движение описывается системой уравнений для
функции тока и температуры. Эта система получается из B3.2)
заменой R на R/(l + r\ sin Q/), где Q= — (o0—безразмерная

262
МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА
[ГЛ. VIII
Тис. 96. Карта устойчивости на плоскости
1/Q) для квадратной области.
частота, a r\ = (ulbo[g — относительная амплитуда модуляции
(а —сторона квадрата, Ьо — амплитуда смещения); число Рэлея
R/ определено через равно-
равновесный градиент температу-
температуры и сторону квадрата. От-
Отличие граничных условий от
B3.3) состоит в том, что
вместо линейного изменения,
температуры по высоте на
боковых границах теперь
ставится условие тепловой
изоляции: дТ/дх = 0 при "
х = 0 и х = 1.
Для решения задачи ис-
использовалась конечно-разно-
конечно-разностная схема, описанная в
§ 23. Расчеты проводились
на сетках 11 X И и 16 X 16
при фиксированном значе-
значении числа Прандтля Р = 1.
Метод позволяет числен-
численно найти границы устойчи-
устойчивости и определить формуй
характеристики надкритиче-
надкритического движения.
На рис. 96 в качестве
примера приведена карта
устойчивости в координатах
(т), 1/Q) для значения R/ =
= 3000 (напомним, что при
отсутствии модуляции кри-
критическое число Рэлея для
квадратной области с тепло-
теплоизолированными боковыми
границами Ro « 2600; см.
§ 20). Структура областей
неустойчивости оказывается
качественно такой же, как
и в случае горизонтального
слоя (ср. рис. 87, б) — име-
имеется основная полоса неус-
неустойчивости и области резонансного параметрического возбуж-
возбуждения. Стабилизирующее действие вибраций видно из рис. 97,
где изображена зависимость критического числа Рэлея от
амплитуды модуляции для разных частот (основная полоса не-
неустойчивости) .
9-6-
к
12/20]
Р/
/40
1
Рис. 97. Критическое число Рэлея в зависи-
зависимости от амплитуды модуляции при разных
частотах.

S37J
НАДКРИТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
263
В режиме установившихся надкритических колебаний все
локальные и интегральные характеристики течения осциллируют
со временем, причем' форма колебаний, средние значения и ам-
амплитуды определяются параметрами возбуждения. В работе [12]
в качестве интегральной характеристики движения принято
среднее по полости значение функции тока >фа = -^- ^ г|?/л
(tyih — значения функции тока в узлах сетки, N — полное число
Рис. 98. Форма надкритических колебаний.
узлов). При отсутствии конвективного движения, очевидно,
\|эа=0; если движение имеет одновихревую структуру, то вели-
величина \|)а отлична от нуля и может служить мерой интенсивности
этого движения. Зависимость г|?а от времени представлена на
рис. 98 для трёх точек в областях неустойчивости. В основной
полосе колебания близки по форме к синусоидальным и имеют
период, равный периоду модуляции. В резонансных областях
спектральный состав колебаний более сложен. В первой резо-
резонансной области (как и в других полуцелых областях) период
колебаний вдвое больше периода модуляции, причем колебания
в этих областях симметричны — среднее по периоду значение ф
функции. *М0 равно нулю. Во второй, как и в других целых
областях, период совпадает с периодом модуляции. Форма

264
МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА
[ГЛ. VIII
колебаний в этих областях несимметрична, и гр^ 0 (знак -ф
определяется направлением вращения начального возмущения).
Если изменять параметры, оставаясь внутри данной области
неустойчивости, то форма колебаний остается неизменной, но
0,75
Я50
0,25
0,5 1,0
1* ч
0/5
0J0
0,25
О
3900
0,5 /г0 1,5
г
Рис. 99. Характеристики надкритических колебаний в основной
полосе неустойчивости в зависимости от амплитуды модуляции
(Q=20); а) —среднее значение функции тока ф, б) —амплитуда
колебаний 6v|).
меняется среднее значениеф и амплитуда колебаний бф, опре-
определяемая как полуразность максимального и минимального зна-
значений фуНКЦИИ фа (О-
Измерение характеристик стационарных колебаний внутри
основной полосы неустойчивости изображено на рис. 99 (ча-
(частота модуляции фикси-
фиксирована). При ti->0 коле-
колебания непрерывно перехо-
дят в движения постоян-
ной интенсивности; ампли-
амплитуда бф обращается в
нуль, а средняя интенсив-
интенсивность ф стремится к ста-
стационарному значению,
соответствующему посто-
постоянной внешней силе. По
мере приближения к гра-
границе области неустойки*
вости обе характеристики
обращаются в нуль по
корневому закону.
Аналогичным образом можно проследить за нелинейными
характеристиками параметрических колебаний и в резонансных
областях неустойчивости. На рис. 100 представлены зависи-
зависимости ф и бф от частоты при фиксированных значениях R/ и tj,
соответствующих горизонтальному штриховому разрезу на
рис. 96 (две первые резонансные области).
/
1 /
Rf-SOOO
Tj'5
\
0,0/ 0,02 0,03
0,04
№ 0,06
//а
Рис. 100. Характеристики надкритических колеба-
колебаний в первой и второй резонансных областях.

37]
НАДКРИТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
265
Приведем теперь некоторые результаты расчетов, относя-
относящихся к периодическому изменению температуры на горизон-
горизонтальных границах. В работе [13] расчеты проведены для случая,
когда температура на нижней и верхней .границах квадратной
области меняется со временем по гармоническому закону около
одного и того же среднего значения. Таким образом, средняя
по времени стратификация отсутствует, и неустойчивость обу-
обусловлена лишь резонансным параметрическим возбуждением.
Положение областей неустойчивости и структура надкрити-
надкритических движений существенно зависят от фазового соотношения
Рис. 101. Карта устойчивости для случая модуляции темпе-
температуры в фазе.
между колебаниями температуры на верхней и нижней грани-
границах. Рассмотрены случай колебаний в пр.отивофазе (закон из-
менения температуры на границах ±-у sin©/) и в фазе (темпе-
ратура обеих границ меняется по закону -у sin сом К
В случае колебаний в противофазе структура областей не-
неустойчивости в общих чертах повторяет картину, соответствую-
соответствующую низкочастотным модуляциям градиента температуры
(рис. 87, а). Наличие скин-слоя сказывается лишь в повышении
границ высокочастотных областей.
Существенно иначе обстоит дело в случае, когда колеба-
колебания температуры на границах происходят в фазе. При этом
х) Следует подчеркнуть отличие в постановке обсуждаемой задачи от
задачи работы [и] (см. конец предыдущего параграфа). В [п] изучалось влия-
влияние слабых модуляций температуры на границу основной полосы неустойчи-
неустойчивости. Теперь же имеется в виду случай, когда средней разности температур
нет, и потому основная полоса неустойчивости отсутствует. Исследуются ре-
резонансные области; метод малого параметра, использованный в [п], в данном
случае неприменим.

266
МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА
[ГЛ. VIII
разность температур границ в любой момент времени равна нулю,
и неустойчивость связана лишь со стратификацией, возникаю-
возникающей у границ области вследствие скин-эффекта. Карта устой-
устойчивости для этого случая приведена на рис. 101 в координатах
(г, 1/Q), где г — число Рэ-
f
tfi
0,5
1,0
Qfi
г
I
N
лея, определенное через ам-
амплитуду модуляции в, a Q—
безразмерная частота. Име-
Имеется главная широкая об-
область неустойчивости, в ко-
которой частота движения сов-
совпадает с частотой модуля-
модуляции, а также узкие высоко-
высокочастотные области, которые
на рисунке не показаны.
Главная область по структу-
структуре установившихся движе-
движений неоднородна. Она состо-
состоит из двух зон, в нижней из
которых A) движение одно-
вихревое, а в верхней B) —
в зависимости от значения
г — двух- • или многовихре-
многовихревое.
На рис. 102 представле-
представлены нелинейные характери-
характеристики стационарных колебаний -ф и бг|? в главной области не-
неустойчивости. Значения г соответствуют горизонтальным штри-
штриховым разрезам на рис. 101. Разрыв на линии г = 45-103 связан
с выходом за пределы одновихревой зоны.
If
—-^w
1
0,05 0,Ю 0,/5
Ц20 .0,25
1/Q
Рис. 102. Характеристики надкритических коле-
колебаний в главной области неустойчивости для
случая модуляции температуры в фазе.
Мы рассмотрели вопрос о влиянии периодической модуляции
на конвективную устойчивость. Имеет смысл постановка за-
задачи об устойчивости и в случае апериодического изменения
параметра. Типичный пример такой ситуации — задача о «вклю-
«включении». Пусть, например, верхняя граница горизонтального слоя
жидкости поддерживается при фиксированной температуре,
а температура нижней границы монотонно растет со временем
по некоторому закону. Возникающее при этом нестационарное
распределение температуры (разумеется, при условии, что Го
зависит лишь от вертикальной координаты) соответствует рав-
равновесию, которое может оказаться неустойчивым. Аналогичные
ситуации возникают и при других условиях подогрева: задан-
заданный внезащю э начальный момент времени и поддерживаемый

§ 371 НАДКРИТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 26?
далее постоянным тепловой поток на нижней границе; парал-
параллельное изменение (возрастание или убывание) температуры
на обеих границах слоя по линейному закону; внезапно начи-
начинающееся охлаждение верхней свободной поверхности глубоко-
глубокого бассейна, вызванное, например, включением механизма ис-
испарения, и т. д.
Устойчивость нестационарных равновесий такого рода рас-
рассматривалась в ряде работ. В исследованиях были применены
два подхода. Первый из них можно назвать квазистатическим.
Он основан на предположении, что мгновенное распределение
температуры можно мысленно «заморозить» и исследовать
обычным образом устойчивость имеющейся в данный момент
стратификации, как если бы она была стационарной. При этом
удается определить критическое число Рэлея, характеризую-
характеризующее неустойчивость данного мгновенного распределения темпе-
температуры. Очевидно, такой подход оправдан лишь в случае,-когда
скорость изменения возмущений гораздо больше скорости из-
изменения нестационарного профиля. При другом подходе задача
считается существенно нестационарной. В этом случае численно
решается задача с начальными условиями и определяется эво-
эволюция возмущений. Нарастание или затухание возмущений,
скорость их роста и другие характеристики этой эволюции за-
зависят, разумеется, от момента внесения возмущений, их формы
и т.д.
Не останавливаясь на изложении этих исследований, ото-
отошлем читателя к работам [15~18], в которых наиболее полно пред-
представлены результаты, полученные с помощью обоих подходов,
дано их сопоставление и содержится подробная библиография.

ГЛАВА IX
РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ
В предыдущих трех главах мы рассмотрели влияние на кон-
конвективную устойчивость жидкости магнитного поля, вращения,
неоднородности состава и модуляции параметра. В последние
годы появляется большое число работ, в которых исследуется
устойчивость при наличии целого ряда других осложняющих
факторов. Некоторые из относящихся к этому кругу вопросов
обсуждаются в данной главе. Мы оставляем в стороне немного-
немногочисленные исследования конвективной устойчивости неньюто-
неньютоновских сред [55~58], а также поляризующихся жидкостей (жид-
(жидкий диэлектрик в электрическом поле [59] и ферромагнитная
жидкость в магнитном поле [60]), отсылая читателя к цитирован-
цитированным статьям. Мы не останавливаемся также на рассмотрении
эффектов сжимаемости [61~63]; эти эффекты в лабораторных ус-
условиях оказываются существенными вблизи критической точки-
жидкость — пар [64].
§ 38. Продольное течение в горизонтальном слое
В этом и следующем параграфах мы обсудим влияние дви-
движения, обусловленного какой-либо посторонней (неконвектив-
(неконвективной) причиной, на возникновение конвекции.
Обратимся сначала к случаю продольного течения жидкости
в горизонтальном слое. Такое течение может быть создано, на-
например, движением границ слоя, либо продольным градиентом
давления.
Пусть жидкость стационарно движется в направлении гори-
горизонтальной оси х со скоростью
где U — характерная скорость, i — единичный вектор вдоль оси
х, a f(z)—безразмерная функция вертикальной координаты,
описывающая профиль течения. Легко видеть, что при наличии
горизонтального течения невозмущенное состояние, как и в по-
покоящейся жидкости, характеризуется линейным по вертикали
распределением температуры с градиентом УГ0 = ^-Y,
G — разность температур границ слоя толщины h.

§ 38] ПРОДОЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ 269
Уравнения возмущений получаются обычным образом. При
их выводе следует учесть, что в невозмущенном состоянии жид-
жидкость не покоится, а стационарно движется со скоростью v0.
Вводя безразмерные переменные на основе обычных единиц из-
измерения (расстояния — Л, времени — A2/v, скорости — %/Л, тем-
температуры—в и давления — pvx/Л2), получим вместо E.1) —
E.3) уравнения возмущений:
4f + Re (f'v* + f ж) =*~ VP + &V+ R7Y
В эти уравнения, кроме чисел Рэлея R и Прандтля Р, входит
новый безразмерный параметр — число Рейнольдса Re = Uh/v,
пропорциональное характерной скорости горизонтального тече-
течения.
Вводя периодические в плоскости слоя нормальные возму-
возмущения скорости и температуры, зависящие от времени и гори-
горизонтальных координат по закону ехр [—М + i(kxx + k2y)]> полу-
получим амплитудные уравнения (v и 9 — амплитуды вертикальной
компоненты скорости и температуры; k2=k2-\-kl):
- Я (и" - k2v) + ikx Re J/ (v" - k2v) - f"v] =
= (t>IV - 2k2v" + k4v) - R?26, C8.2)
- ЯР6 + ik{ Re P/e = F" - ?26) + v.
Эти уравнения отличаются от E.9), E.10) наличием дополни-
дополнительных членов, содержащих скорость невозмущенного продоль-
продольного движения.
В случае твердых идеально проводящих границ сохраняются
обычные граничные условия для амплитуд возмущений:
при z = 0 и z=l v = v' = 0, 6 = 0. C8.3)
При наличии продольного движения жидкости направления х
и у перестают быть равноправными. Поэтому уравнения возму-
возмущений C8.2) несимметричны относительно волновых чисел k\
и &2, характеризующих периодичность возмущений вдоль осей х
и у (напомним, что уравнения возмущений покоящегося слоя
содержали в качестве параметра лишь k2 = k\+ kt). Декре-
Декременты возмущений и критические числа Рэлея, определяе-
определяемые краевой задачей C8.2), C8.3), зависят не только от

270 РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IX
параметра k2, но и отдельно от волнового числа h вдоль вы-
выделенного направления горизонтального течения.
Из уравнений C8.2) нетрудно видеть, что при k{ = 0 члены,
содержащие невозмущенную скорость, выпадают, и получается
обычная краевая задача для неподвижного слоя с твердыми
границами. Случай к\ = 0 означает, что нормальные возмуще-
возмущения не зависят от координаты х, вдоль которой движется жид-
жидкость, и представляют собой бесконечные валы, вытянутые
вдоль направления скорости v0 («лг-валы»); период этих возму-
возмущений вдоль направления оси у, перпендикулярного невозму-
невозмущенному движению, характеризуется волновым числом k^. Из
того факта, что при /^i = 0 невозмущенное движение выпадает
из уравнений для возмущений, следует, что критическое число
Рэлея, определяющее границу устойчивости по отношению к воз-
возмущениям типа «х-валов», не зависит от скорости продольного
течения и совпадает с критическим числом для неподвижного
слоя. Следует подчеркнуть, что этот вывод справедлив для лю-
любого профиля продольного течения.
Если k\ Ф 0, то амплитудные уравнения содержат члены, за-
зависящие от профиля течения. Декременты возмущений и крити-
критические числа Рэлея в этом случае зависят от числа Рейнольдса
Re, а также от параметров k, kx и Р. При определении границы
устойчивости, разумеется, важную роль играет форма профиля
продольного течения, характеризуемая функцией /(г). Наибо-
Наиболее интересны профили Куэтта (линейное распределение ско-
скорости, создаваемое движением верхней границы слоя; f(z)= z)
и Пуазейля (параболическое распределение, создаваемое про-
продольным градиентом давления; f(z)=z(l—z)). Расчеты для
этих случаев проведены в работах Галлахера и Мерсера [!],
Дирдорфа [2] и Гейджа и Рэйда [3].
В работах [1] и [2], в которых изучалось влияние течения
Куэтта на конвективную устойчивость, для решения амплитуд-
амплитудной краевой задачи использовались разные приближенные ме-
методы. В [1] амплитуды скорости и температуры разлагались по
полным системам базисных функций; в [2] уравнения решались
численно методом конечных разностей. Результаты обеих работ
полностью согласуются. Поскольку случай k\ = 0, как указы-
указывалось выше, не приводит к изменению критического числа Рэ-
Рэлея, основное внимание было уделено случаю kx ф 0, k2 = 0
(плоские возмущения, периодические в направлении невозму-
невозмущенного движения — «у-валы»). В этом случае нейтральное зна-
значение числа Рэлея зависит от k\\ R = R(&i). Минимизация этой
зависимости дает критическое число Rm как функцию осталь-
остальных параметров — чисел Рейнольдса и Прандтля. Основные ре-
результаты представлены на рис. 103. Как видно, для всех видов
возмущений, кроме «лг-валов» (k\ = 0), движение с профилем

> 38]
ПРОДОЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ
271
Куэтта приводит к стабилизации. Эффект резко увеличивается
с возрастанием числа Прандтля. Как показывают расчеты,
с увеличением скорости течения минимальное волновое число
km (в случае возмущений в виде «у-валов») уменьшается. Ней-
Нейтральные возмущения имеют фазовую скорость, равную поло-
половине скорости верхней границы.
Следует подчеркнуть, что основным (нижним) является уро-
уровень неустойчивости, связанный с возмущениями типа «л;-ва-
лов». Для этих возмущений Rm не зависит от Re (горизонталь-
(горизонтальная прямая на рис. 103). Таким образом, если размеры слоя
в направлении движения достаточно ~~
велики, то конвекция возникает
при критическом числе Rm = 1708,
не зависящем от скорости грани-
границы, в виде системы «лг-валов». Имен-
Именно это и наблюдалось в опытах
Ча ндр а [4].
Более сложно обстоит дело в
случае течения Пуазейля. Сущест-
Существенное отличие от течения Куэтта
состоит в следующем. Изотермиче-
Изотермическое течение Куэтта, как известно,
устойчиво относительно малых воз-
возмущений при любых скоростях по-
потока. Неустойчивость может насту-
наступить лишь при подогреве снизу и
имеет конвективную природу. В слу-
случае же течения Пуазейля кроме „ , о w
•%, v * Рис. 103. Минимальное критическое
КОНВеКТИВНОИ НеуСТОИЧИВОСТИ, ООу- число Рэлея в зависимости от
словленной подогревом снизу, при числа РейТи\АкУэт?аГЛьн°е ТеЧе'
достаточно большой скорости по-
потока наступает неустойчивость гидродинамической природы. При
произвольных значениях чисел Рэлея и Рейнольдса (т. е. при
произвольных значениях вертикального градиента температуры
и скорости продольного течения) имеет место взаимодействие
обоих механизмов неустойчивости—конвективного и гидроди-
гидродинамического.
Исследование устойчивости подогреваемого слоя, в котором
имеется течение с параболическим профилем, проведено в ра-
работе [3]. При нахождении критических чисел авторы использо-
использовали аналогию рассматриваемой задачи с задачей об устойчи-
устойчивости спирального течения между вращающимися цилиндрами,
которая была решена ранее асимптотическим методом [5].
- Основные результаты расчета представлены на рис. 104, где
изображена зависимость минимального критического числа Рэ-
Рэлея Rm от числа Рейнольдса для Р = 1. Кривые семейства
2000
200 300
На

272
РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. IX
соответствуют различным значениям параметра а=-
¦ 4
Кривая а = 0 (т. е. kx = 0) соответствует возмущениям в виде
валов, оси которых параллельны стационарному потоку («л;-ва-
лы»). Минимальное критическое число Рэлея для таких возму-
возмущений, как уже указывалось, не зависит от числа Рейнольдса
и равно 1708. Другая предельная кривая а= 1 (k2 = 0) соот-
соответствует плоским возмущениям в виде «у-валов», оси которых
перпендикулярны потоку. Точка пересечения этой кривой
Рис. 104 Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от числа Рейнольдса
(продольное течение Пуазейля; число Рейнольдса определено по максимальной скорости
течения и полной ширине канала).
с осью Re дает значение Re = 5400 — критическое число Рей-
Рейнольдса, соответствующее неустойчивости изотермического те-
течения Пуазейля относительно плоских возмущений. Кривые се-
семейства, отвечающие значениям параметра а в интервале
0 < а < 1, дают кривые устойчивости относительно трехмерных
возмущений с разным соотношением волновых чисел k\ и &2-
Все эти кривые начинаются в точке Rm = 1708 (при Re = 0
имеется известное вырождение критического числа Рэлея по
волновым числам) и пересекают ось Re при значениях Re >
> 5400. Последнее обстоятельство согласуется с известной тео-
теоремой Сквайра, согласно которой пространственные возмущения
изотермического течения Пуазейля приводят к более высоким
критическим числам Рейнольдса, чем плоские.
Кривые семейства ведут себя подобным образом: с ростом
скорости стационарного потока (при фиксированном значении
а) критическое число Рэлея вначале повышается (стабилизи-
(стабилизирующее влияние движения жидкости на тепловую неустойчи-
неустойчивость), а затем резко падает до нуля, когда на смену тепло-
тепловому механизму неустойчивости приходит гидродинамический.

f 39]
СЛОЙ С ПРОНИЦАЕМЫМИ ГРАНИЦАМИ
§ 39. Слой с проницаемыми границами
273
Существенное влияние на конвективную устойчивость оказы-
оказывает поперечное движение жидкости в слое, возникающее в ре-
результате просачивания через проницаемые границы. Далее бу-
будут рассмотрены два наиболее интересных случая — горизон-
горизонтальной и вертикальной ориентации слоя [6~10].
Пусть подогреваемый снизу горизонтальный слой жидкости
ограничен твердыми проницаемыми плоскостями. Через нижнюю
границу происходит однородное вдувание жидкости со ско-
скоростью i>o> а через верхнюю — однородное отсасывание с такой
же скоростью. Таким образом, в невозмущенном состоянии
в слое имеется поперечное течение с однородной вертикальной
скоростью v0.
Распределение температуры при наличии такого поперечного
течения отличается от линейного. Оно может быть найдено из
уравнения теплопроводности, которое в стационарном случае
запишется так: г/ь
Его решение, удовлетво-
удовлетворяющее граничным усло-
условиям Г0@)=в, Го (А) =0,
дает невозмущенный про-
профиль температуры
* аг
Т0 = ®еае71* • C9.1)
Рис. 105. Невозмущенные профили температуры
Здесь а = Votl/% — ЧИСЛО ПрИ НЗЛИЧИИ инородного поперечного просачива-
Пекле, связанное с чис-
числом Рейнольдса соотношением а = Re/P. При а->0 из C9.1)
получается линейное распределение, соответствующее неподвиж-
неподвижной жидкости. При увеличении а распределение температуры
все более отличается от линейного (рис. 105). При больших а
у верхней границы образуется пограничный слой, внутри кото-
которого сосредоточено основное изменение температуры. Толщина
пограничного слоя по порядку величины равна А/а.
Уравнения для безразмерных амплитуд возмущений верти-
вертикальной скорости и температуры запишутся в виде (единицы
выбраны так же, как в предыдущем параграфе)
k2v) + -? (u'"-?V) = (i>IV-2*V + k*v) -
- AP9 + 46' = (9" - ?29) - Tfo.
C9.2)

274 РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IX
Здесь То — безразмерный градиент стационарного распреде-
распределения температуры, равный
Для v и 8 сохраняются однородные граничные условия
C8.3).
Заметим, что уравнения C9.2), как и при отсутствии попе-
поперечного движения, симметричны относительно волновых чисел
k\ и k2; в уравнения входит лишь k2 = k\+ kl.
Краевая задача для амплитуд v и 9 в работе Д. Л. Шварц-
блата [6] решалась методом Бубнова — Галеркина: в качестве
базисных функций использовались системы нормальных возму-
возмущений скорости и температуры в неподвижном слое жидкости.
В результате расчета найдены характеристические значения де-
декрементов Я в зависимости от параметров задачи — чисел Рэ-
лея R, Прандтля Р, Пекле а и волнового числа k.
Основное отличие спектров возмущений при наличии проса-
просачивания от спектров неподвижного слоя, обсужденных в § 6,
состоит в том, что при подогреве снизу и а Ф 0 появляются ко-
колебательные возмущения; они возникают в результате слияния
(с увеличением R) вещественных уровней К. Неустойчивость,
тем не менее, как и в случае неподвижного слоя, обусловлена
вещественными ветвями спектра, т. е. имеет монотонный харак-
характер. Спектры декрементов и, в частности, критические значения
числа Рэлея, не изменяются при замене знака а на обратный,
т. е. при изменении направления вдувания.
Влияние вдувания на устойчивость иллюстрируется рис. 106,
на котором представлены зависимости минимального критиче-
критического числа Рэлея Rm основного уровня неустойчивости и кри-
критического волнового числа km от числа Пекле. Видно, что уве-
увеличение скорости вдувания приводит к значительной стабилиза-
стабилизации: критическое число Rm быстро растет с увеличением а1).
Длина волны наиболее опасных возмущений при этом умень-
уменьшается. Представление о величине эффекта стабилизации дает
следующая оценка: в слое воды толщиной 1 см вдувание со
скоростью 0,01 см/сек повышает устойчивость в четыре раза.
Повышение конвективной устойчивости и уменьшение длины
волны критических возмущений можно понять из следующих
соображений. С увеличением скорости вдувания образуется, как
указывалось выше, температурный пограничный слой у одной
из границ. В связи с этим уменьшается эффективная толщина
стратифицированного слоя жидкости, которая имеет (при до-
1) Как показано в [и], изотермический поперечный поток абсолютно
устойчив.

i 39]
СЛОЙ С ПРОНИЦАЕМЫМИ ГРАНИЦАМИ
275
статочно больших а) порядок ЛЭфф ~ hja. Характерная же раз-
разность температур 0 при этом остается фиксированной. Крити-
Критическая разность температур находится, очевидно, из условия
й"рвЛэфф^х=const. Поэтому критическое число Рэлея, определен-
определенное обычным образом по полной толщине слоя, имеет порядок
Rm~(Л/ЛэффK» т. е. растет с числом Пекле по закону Rm ~ а3.
Критическая длина волны, в свою очередь, по порядку вели-
величины равна ЛЭфф#, поэтому при больших числах Пекле km ~ а.
Численные результаты подтверждают эти оценки.
НО
гю*
1
У
7/
//
1
1
/?=Ю
12
16
P-tf/,
/у
/
6
12' 16
а
Рис. 106. Критическое число Рэлея Ят и волновое число km в зависимости
от числа Пекле.
Исследование стационарных надкритических движений в го-
горизонтальном слое с проницаемыми границами проведено в ра-
работах Д. Л. Шварцблата* [7»8] методом конечных разностей, опи-
описанным в § 23. На рис. 107 представлен пример структуры над-
надкритического движения для достаточно большого значения
числа Пекле и малой надкритичности. Хорошо видна асимме-
асимметрия течения, связанная со «сдуванием» конвективного возму-
возмущения поперечным потоком. С увеличением надкритичности кон-
конвективное движение становится преобладающим и асимметрия
уменьшается.
Перейдем теперь к случаю плоского слоя, ориентированного
вертикально [9»10]. Пусть слой ограничен параллельными верти-
вертикальными плоскостями х = ± Л, причем через левую плоскость
происходит однородное вдувание, а через правую — однородное
отсасывание. В этом случае в слое имеется горизонтальный

276
РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. IX
поперечный поток. При подогреве снизу с постоянным вертикаль-
вертикальным градиентом температуры этот поток параллелен равновес-
равновесным изотермам. По этой причине поперечное движение не иска-
искажает равновесного распределения температуры. В этом состоит
качественное отличие от случая горизонтальной ориентации
слоя, когда поперечный поток направлен перпендикулярно
равновесным изотермам, в результате чего невозмущенное тем-
температурное поле искажается (формула C9.1)). Это отличие,
100,60
Рис. 107. Линии тока (а), изотермы (б) и изолинии вихря (в) надкритического движения
(R=3200, а=4, Р = 1, /г=я; критическое значение числа Рэлея Rc=3020). Функция тока и
вихрь соответствуют конвективной части движения.
естественно, существенно отражается на характеристиках устой-
устойчивости.
Переходя к исследованию устойчивости, рассмотрим возму-
возмущенное движение следующей структуры:
vx = v0, vy^0, vz = v(x,t); I
T = — Az + Q(x,t); p = p(z, t). j
C9.3)
Таким образом, на однородный поперечный поток накладывает-
накладывается плоскопараллельное вертикальное конвективное возмущение
(г — вертикальная ось). Для нормальных возмущений, завися-
зависящих от времени по закону ехр(—М), получим амплитудные
уравнения
- Xv + -?¦ v' - vrr - R9 - С = 0,
- ЯР9 - v + ав' — 6" = 0.
C9.4)
Здесь С — постоянная разделения переменных. Числа Рэлея и
Пекле определены через полуширину канала /г. Функции v и 9

СЛОЙ С ПРОНИЦАЕМЫМИ ГРАНИЦАМИ
277
удовлетворяют однородным граничным условиям и условию
замкнутости
1
о(±1) = 0, 6(±1) =
C9.5)
-1
Для определения характеристических декрементов в работе
[10] применялся метод Бубнова — Галеркина. В качестве базиса
использовались критические движения, соответствующие задаче
об устойчивости равновесия вертикального плоского слоя с не-
непроницаемыми границами (собственные функции задачи, полу-
получающейся из C9.4) при А, = О и а — 0; явный вид базисных
а-!
а1 б)
Рис. 108. Декременты двух нижних мод спектра возмущений в вертикальном слое (Р = 1).
функций приведен в § 12, формулы A2.21), A2.22)); Поскольку
при а Ф 0 решение краевой задачи не обладает определенной
четностью, необходимо использовать для аппроксимации скоро-
скорости и температуры как четные, так и нечетные собственные
функции.
На рис. 108 приведен пример расчета спектра декрементов
двух нижних мод возмущений. Из рисунка видно, что в зависи-
зависимости от значения числа Пекле возможны два вида неустойчи-
неустойчивости — монотонная и колебательная. При малых значениях
числа Рэлея оба декремента вещественны и положительны, а со-1
ответствующие возмущения монотонно затухают. При увеличе-
увеличении числа Рэлея (точки а и е) происходит слияние веществен-
вещественных уровней с порождением пары колебательных возмущений
с комплексно-сопряженными декрементами. При дальнейшем
увеличении R (точки bug) пара комплексно-сопряженных

278
РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. IX
Z00
/00
декрементов вновь распадается на два вещественных уровня. Если
число Пекле невелико (рис. 108, а), то колебательные возмуще-
возмущения во всем интервале своего существования (а — Ь) затухают,
и неустойчивость связана с монотонными вбзмущениями (кри-
(критические точки с, d). При достаточно больших значениях числа
Пекле (рис. 108, б) колебательные возмущения затухают лишь
на участке (e — f). В точке / вещественная часть декрементов
обращается в нуль, и эта точка является нейтральной для ко-
колебательных возмущений. При соответствующем значении числа
Рэлея на основное поперечное
движение, вызванное просачи-
просачиванием через проницаемые
границы, накладывается пло-
плоскопараллельная конвекция в
виде стационарных колебаний,
частота которых определяется
мнимой частью декремента fa.
В интервале (f—g) колеба-
колебательные возмущения нараста-
нарастают, и в точке g появляются два
монотонно растущих возмуще-
возмущения.
Обработка спектров декре-
декрементов, построенных для раз-
разных значений числа Пекле,
приводит к карте устойчивости
(рис. 109). Точки на оси R со-
соответствуют критическим зна-
значениям числа Рэлея при отсут-
отсутствии просачивания (а = 0).
При увеличении а уровни монотонной неустойчивости изменяют-
изменяются (линии I и II), причем происходит их замыкание1). В точке
замыкания начинается область растущих колебательных возму-
возмущений. Нижняя граница области неустойчивости описывается
линиями / и ///. До точки замыкания (линия /) неустойчивость
имеет монотонный характер; правее точки замыкания (линия
///) неустойчивость связана с колебательными возмущениями.
Попарное замыкание соседних ветвей спектра неустойчиво-
неустойчивости происходит также на верхних уровнях. В работе [9] пока-
показано, что с увеличением числа Пекле происходит замыкание
уровней 3 и 4, 5 и 6 и т. д.
и 0,5 W /,5
а
Рис. 109. Карта устойчивости. Линии / и
/// — граница неустойчивости; пунктир —
граница области колебательных возмуще-
возмущений. Цифрами обозначены области: / — оба
возмущения монотонно затухают; 2 — оба
затухают, осциллируя; 3 — монотонно нара-
нарастает одно из возмущений; 4 — монотонно
нарастают оба возмущения; 5 —оба возму-
возмущения нарастают, осциллируя. Вертикаль-
Вертикальные штриховые линии соответствуют раз-
разрезам, для которых построены спектры на
рис. 108.
') Положение нейтральных' линий монотонных возмущений может быть
найдено путем точного решения краевой задачи C9.4), C9.5) при Х = 0 [9].
Значения критических чисел Рэлея, найденные приближенно методом Буб-
Бубнова — Галеркина, практически совпадают с точными.

§ 40] ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА 279
Замыкание соседних уровней монотонной неустойчивости яв-
является типичной особенностью, проявляющейся в случаях, когда
конвективная неустойчивость возникает на фоне движения жид-
жидкости, вызванного той или иной причиной. Такое замыкание, как
правило, сопровождается появлением колебательной неустойчи-
неустойчивости. С аналогичной особенностью спектра неустойчивости мы
встретимся далее в §§ 46 и 48.
Описанное замыкание монотонных уровней, разумеется, не
означает, что при больших значениях числа Пекле единственно
возможным режимом является колебательная конвекция. Под-
Подчеркнем, что речь шла только о плоских вертикальных движе-
движениях. Возможны, вообще говоря, также и другие моды неустой-
неустойчивости. Так, в § 12, при обсуждении устойчивости равновесия
в слое с непроницаемыми границами, были рассмотрены, наряду
с плоскими, пространственные вертикальные движения, перио-
периодические вдоль горизонтальной координаты у. Обобщение на
случай просачивания, проведенное в работе [9], показало, что
критические числа Рэлея для таких возмущений монотонно воз-
возрастают с увеличением числа Пекле, причем замыкание сосед-
соседних стационарных уровней отсутствует.
Некоторые особенности спектра нестационарных возмущений
при наличии просачивания через проницаемые границы обсуж-
обсуждались в работе [12].
§ 40. Внутренние источники тепла
Причиной возникновения конвекции может служить неодно-
неоднородность температуры, созданная не только внешними (по от-
отношению к жидкости), но и внутренними источниками тепла,
распределенными в самой жидкости. Природа этих внутренних
источников может быть различной, — тепло может выделяться
в результате протекающих в жидкости химических реакций,
радиоактивного распада, омического разогрева током прово-
проводящей жидкости и т. п. В этом параграфе мы рассмотрим
влияние внутренних источников тепла на конвективную устой-
устойчивость.
Остановимся прежде всего на условиях равновесия жидкости
при наличии внутренних источников тепла. Легко видеть, что
в этом случае сохраняется сделанный ранее (§ 2) вывод о том,
что в равновесии температура должна быть функцией только
вертикальной координаты: То = T0(z). Для выяснения этой за-
зависимости обратимся к уравнению теплопроводности. При нали-
наличии источников тепла будем иметь
= хДГ + <7, D0.1)

280
РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. IX
где q — количество тепла, выделяемое внутренними источни-
источниками в единице объема жидкости за единицу времени. В стацио-
стационарном равновесии v0 = 0; То = T0(z). Поэтому из D0.1) по-
получаем
±_
х
0 =
D0.2)
Отсюда ясно, что равновесие возможно лишь при условии, что
мощность источников тепла q Зависит только от вертикальной
координаты. Далее мы будем иметь в виду случай однородного
внутреннего разогрева: q = const. При этом, как видно из
D0.2), невозмущенная температура зависит от вертикальной
координаты по закону
Го = - Л. z2 + Cxz + C2. D0.3)
Обратимся теперь к исследованию устойчивости равновесия.
Характерные черты явления можно понять на примере задачи
об устойчивости плоского
горизонтального слоя
жидкости, рассмотренной
в работе Спэрроу, Голд-
стейна и Джонсона [13].
Будем считать, что го-
горизонтальный слой жид-
жидкости ограничен твердыми
изотермическими плоско-
плоскостями z = 0 и z = Л.
Температуру верхней гра-
границы выберем за начало
отсчета; температуру
нижней границы обозна-
обозначим в. С учетом этих граничных условий из D0.3) получим
равновесное распределение температуры:
Рис. 110. Равновеспшс профили температуры при
наличии внутренних источников тепла.
Здесь первый член дает линейное распределение, обусловленное
перепадом температуры в на границах слоя; второй член опи-
описывает симметричное относительно середины слоя распределе-
распределение, связанное с внутренним разогревом. Невозмущенные тем-
температурные профили для различных значений безразмерного
параметра Nq — #Л2/2хв приведены на рис. ПО. Видно, что вну-
внутренний разогрев приводит к увеличению эффективного гра-
градиента температуры. При Nq S> 1 (т. е. при большой мощности
источников) происходит сильный разогрев средней части слоя,
и з верхней половине возникает значительная неустойчивая

§ 40] ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА 281
стратификация. Отсюда ясно, что наличие внутренних источни-
источников тепла должно приводить к понижению устойчивости.
Поскольку условия подогрева и равновесное распределение
температуры D0.4) характеризуются двумя независимыми па-
параметрами Q и q> целесообразно ввести два безразмерных кри-
критерия подобия. Один из них — обычное число Рэлея R, опреде-
определяемое через разность температур в; другой — число Рэлея Rq,
пропорциональное мощности внутренних источников:
Уравнения малых возмущений равновесия получаются обыч-
обычным образом. Их отличие от соответствующих уравнений § 5
состоит в том, что равновесный градиент теперь не является по-
постоянным, а в соответствии с D0.4) линейно зависит от верти-
вертикальной координаты.
Будем считать, что, как и в более простом случае, когда от-
отсутствуют внутренние источники тепла, кризис равновесия об-
обусловлен монотонными возмущениями. Тогда для безразмерных
амплитуд нормальных возмущений на границе устойчивости по-
получим систему уравнений ;
! D0'5)
с условиями на твердых изотермических границах 1):
при z = 0 и 2=1 0 = i/ = O, 9 = 0. D0.6)
В уравнения входит равновесный вертикальный градиент тем*
пературы
где
1_
2x0
Решение краевой задачи D0.5), D0.6) получено в работе [13]
методом степенных рядов по вертикальной координате; числен-
численные расчеты проводились на ЭВМ. В результате вычислений
найдено характеристическое соотношение между параметрами
R, Rg, k. Нейтральные кривые R(k) минимизировались при
различных значениях Rg. Результаты представлены на рис. 111.
Кривая Rm(Rg) определяет границу устойчивости; область не-
неустойчивости расположена выше кривой.
') Решение для случая свободных изотермических границ можно найти
в работе [14].

282
РАЗНЫЕ ЁОПРОСЫ
[ГЛ. IX
2000
При Rg = 0 получается критическое число Рэлея, опреде-
определяющее границу устойчивости при отсутствии внутренних источ-
источников тепла: Rm = 1708. При увеличении Rg, как и следовало
ожидать, устойчивость понижается — критическое число Рэлея
уменьшается. При значении Rg = 18,66-103 число Рэлея Rm об-
Ът ращается в нуль; это значение Rg
определяет порог устойчивости в
случае, когда верхняя и нижняя гра-
границы слоя имеют одинаковую тем-
температуру, а неустойчивая стратифи-
стратификация обусловлена только внутрен-
внутренним выделением тепла.
Если мощность внутренних ис-
источников достаточно велика (Rg >
> 18,66-103; участок кривой, лежа-
лежащий в области Rm < 0), то неустой-
неустойчивыми оказываются состояния, при
которых верхняя граница слоя име-
имеет более высокую температуру, чем
нижняя (при этом, разумеется, в
верхней части слоя все-таки имеет
место неустойчивое распределение
температуры).
Критическое значение волнового
числа km с ростом Rg увеличивает-
увеличивается. Это обстоятельство связано
с тем, что при увеличении мощно-
мощности внутренйих источников умень-
чооо
\
\
\
\
\
\
б)
Рис. 111. Граница устойчивости и - *
критическое волновое число для гори- ШаеТСЯ ТОЛЩИНа СЛОЯ НеУСТОЙЧИВОЙ
зонтального слоя с внутренними *
источниками тепла. стратификации, а следовательно, и
характерный горизонтальный раз-
размер возникающих на границе устойчивости конвективных
ячеек1).
Другой случай граничных условий разобран в работе Ро-
бертса [15]. Рассматривался плоский горизонтальный слой с од-
1) Характерная особенность рассмотренной ситуации состоит в наличии
в слое двух областей, из которых одна (верхняя половина слоя) стратифи-
стратифицирована неустойчиво, а другая (нижняя) — устойчиво. Возмущения, возни-
возникающие в результате неустойчивости верхней половины, распространяются на
всю область. В таких случаях принято говорить о «проникающей» неустой-
неустойчивости. Впервые постановка вопроса о «проникающей» неустойчивости была
дана в работе В. Н. Грибова и Л. Э. Гуревича [17], исследовавших неустой-
неустойчивость в слое с постоянным градиентом, граничащем сверху и снизу с обла-
областями, в которых градиент меньше критического. Близкая по постановке за-
задача рассмотрена в [18].
Интересный пример «проникающей» неустойчивости представляет собой
слой воды, нижняя граница которого поддерживается при температуре 0°С,

§ 40] ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА 283
нородно . распределенными внутренними источниками тепла.
Верхняя твердая граница предполагалась изотермической
(Го = 0), а нижняя — теплоизолированной (dToldz = 0). При
таких граничных условиях из D0.3) получается равновесное
распределение температуры
В отличие от рассмотренной выше задачи, условия подогрева
теперь определяются только одним параметром — мощностью
источников q. Соответственно этому имеется лишь один безраз-
безразмерный параметр подобия — число Рэлея R9, определенное че-
через мощность источников. При составлении безразмерных урав-
уравнений' для амплитуд возмущений теперь удобно выбрать в ка-
качестве единицы температуры величину qh2/2n. Оставляя все
другие единицы прежними, получим уравнения нейтральных
возмущений, совпадающие с D0.5), с той, однако, разницей, что
вместо R теперь в систему войдет параметр Rq, а безразмерный
равновесный градиент Т'о на основании D0.7) и с учетом но-
нового выбора единицы температуры равен- Го = — 22. Граничные
условия для амплитуд возмущений отличаются от D0.6) только
в одном пункте — на нижней границе отсутствует тепловой по-
поток: 9' = 0 при г = 0. Решение краевой задачи дает нейтраль-
нейтральную кривую Rq(k) с минимумом, определяемым значениями
R,w= 1386,14; fcm = 2,63. D0.8)
Экспериментальное исследование конвекции, вызванной вну-
внутренними источниками тепла, проводилось в работе Триттона и
Заррага [16]. Условия опыта были близки к принятым в расчете
Робертса [15]. В качестве рабочей жидкости использовался элек-
электролит — пятипроцентный водный раствор сульфата цинка. Че-
Через раствор пропускался электрический ток, что приводило
к джоулеву разогреву жидкости. Эксперимент носил качествен-
качественный характер; критическое число Рэлея Rqm опытным путем не
было определено. Основная цель экспериментов — путем визуа-
визуализации течения проследить за изменением формы конвектив-
конвективных структур по мере увеличения числа Рэлея в надкритической
области.
а верхняя — выше 4 °С. Как известно, в окрестности 4 °С вода испытывает
инверсию теплового расширения; при температуре ниже 4 °С ее поведение
аномально: она расширяется при охлаждении. Если верхняя граница поддер-
поддерживается при температуре выше 4 °С, то нижний слой оказывается страти-
стратифицированным неустойчиво, и возникающие там возмущения захватывают и
верхний слой, где имеется устойчивая стратификация. В первой работе Веро-
ниса [19] исследована устойчивость в линейном приближении и методом ма-
малого параметра найдены нелинейные стационарные движения. Далее этому
вопросу был посвящен ряд статей; основные из них [2°-а2].

284 . РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IX
Согласно наблюдениям, при R9/R9m > 3 (при меньших зна-
значениях Rq визуальное исследование провести не удалось) дви-
движение имеет ячеистую структуру с преобладанием гексагональ-
гексагональной формы ячеек. Отмечены два существенных отличия от ячеи-
ячеистых структур, возникающих в слое воды, подогреваемом снизу:
1) в центре ячеек жидкость опускается, а на периферии — под-
поднимается (в обычном случае имеет место противоположное на-
направление циркуляции, связанное с тем, что вязкость воды
уменьшается с температурой; см. § 22); 2) с увеличением числа
Рэлея происходит аномальное «растяжение» ячеек. Их горизон-
горизонтальные размеры значительно увеличиваются: при Rq/Rqm « 15
характерная длина волны достигает величины ЮЛ (h — тол-
толщина слоя), тогда как в обычном случае горизонтальные раз-
размеры ячеек при всех числах Рэлея сопоставимы с толщиной
слоя. При дальнейшем увеличении Rq происходит перестройка
структуры течения: гексагональные ячейки сливаются, образуя
«сегментированные валы».
Теоретическое рассмотрение конвекции в надкритической об-
области было проведено в цитированной выше работе [15]. С по-
помощью вариационного метода исследовалась относительная
устойчивость разных конвективных мод — валов и гексагональ-
гексагональных ячеек с различным направлением циркуляции. Согласно ре-
результатам этой работы, при всех Rq > Rqm двумерные валы
устойчивы. При Rq/Rqm > 3 (в случае воды) устойчивыми- ста-
становятся также гексагональные ячейки определенных длин волн
с нисходящим движением по центру (ячейки с противополож-
противоположным направлением движения всегда неустойчивы). Эти выводы,
в .общем, не согласуются с экспериментальными данными [16].
Расхождение, возможно, обусловлено тем, что в нелинейном
расчете не учитывалась температурная зависимость параметров
жидкости, играющая существенную роль в определении предпо-
предпочтительной формы движения (см. § 22).
К рассмотренной в этом параграфе задаче примыкает за-
задача об устойчивости подогреваемого снизу плоского слоя
с учетом происходящего в нагретой среде лучистого теплооб-
теплообмена. Теплопередача излучением приводит к изменению невоз-
невозмущенного температурного профиля, который при достаточных
оптических толщинах слоя приобретает характер пограничного
слоя. Кроме того, излучейие увеличивает эффективную тепло-
теплопередачу, приводя к более быстрому выравниванию возмущений.
Оба указанных* фактора оказывают стабилизирующее дей-
действие.
Начало изучения эффекта лучистого теплопереноса было по-
положено работой Гуди [23]; наиболее полный расчет неустойчи-
неустойчивости плоского слоя с твердыми границами проведен недавно
Христофоридисом и Дэвисом [24].

§ 41] ТЕРМОКАПИЛЛЯРНЫЙ ЭФФЕКТ 285
Если внутренний лучистый теплообмен является фактором,
влияющим на устойчивость, то излучение, падающее извне, мо-
может само по себе привести к конвективной неустойчивости. По-
Поглощение плоской световой волны приводит к внутреннему ра-
разогреву и может создать неустойчивую стратификацию. При
этом возникающие возмущения оказывают обратное влияние на
распространение света. Этот интересный фотоабсорбционный
механизм неустойчивости был рассмотрен Б. М. Берковским и
Е. Ф. Ноготовым [25].
§ 41. Термокапиллярный эффект
В 1958 г. Пирсон [26] исследовал интересный механизм не-
неустойчивости подогреваемой снизу жидкости со свободной по-
поверхностью. Этот механизм качественно отличается от обычного
механизма конвективной неустойчивости, обусловленного подъ-
подъемной силой, и связан с температурной зависимостью
поверхностного натяжения !).
Сущность термокапиллярного механизма неустойчивости мо-
может быть понята из следующих рассуждений. Пусть подогре-
подогреваемая снизу жидкость имеет свободную верхнюю поверхность,
причем коэффициент поверхностного натяжения зависит от тем-
температуры (почти у всех жидкостей этот коэффициент с ростом
температуры уменьшается). Если по какой-либо причине вдоль
свободной границы меняется температура, а вместе с ней и по-
поверхностное натяжение, то в этом случае, как известно [28«29],
возникает тангенциальная сила, направленная вдоль градиента
поверхностного натяжения, т. е. в сторону убывания темпера-
температуры.
Представим себе теперь возмущение равновесия жидкости,
при котором ее нагретый элемент всплывает на свободную по-
поверхность. Возникающие при этом термокапиллярные силы бу-
будут направлены от всплывшего элемента и^. вызовут радиальное
растекание нагретой жидкости. Это приведет (в силу неразрыв-
неразрывности) к подъему из глубины новых — тоже нагретых — элемен-
элементов жидкости. Таким образом, термокапиллярные силы (при
подогреве снизу) приводят к развитию начального возмущения.
Разумеется, диссипативные эффекты (вязкость и теплопровод-
теплопроводность) препятствуют развитию движения, и поэтому для воз-
возникновения термокапиллярного движения требуется достаточ-
достаточный градиент поверхностного натяжения, т. е. должно существо-
существовать пороговое значение вертикального градиента температуры.
1) Следует заметить, что еще ранее Блок [27], анализируя собственные
наблюдения над неустойчивостью тонких слоев жидкости со свободной по-
поверхностью, а также известные опыты Бенара, пришел к заключению, что в
этих случаях существенную роль играет термокапиллярный механизм.

286 РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IX
Совершенно аналогичный эффект может иметь место в жид-
жидкости с вертикальным градиентом концентрации примеси при
условии, что коэффициент поверхностного натяжения зависит
от концентрации. Концентрационная неустойчивость на границе
раздела двух несмешивающихся жидкостей рассмотрена в ра-
работе [30].
Для количественного описания эффекта рассмотрим, следуя
[26], бесконечный горизонтальный слой жидкости со свободной
плоской поверхностью. Для простоты будем сначала пренебре-
пренебрегать объемной конвективной силой (как будет видно из даль-
дальнейшего, такое допущение справедливо в случае достаточно
тонких слоев жидкости).
Повторяя рассуждения § 5, придем к следующим уравнениям
для амплитуд нормальных периодических в плоскости слоя воз-
возмущений вертикальной скорости и температуры:
- Я (v" - k2v) = о™ - 2k2v" + k4v, 1
- ЯР9 = (9" - ?26) + v. J DM)
Эта система отличается от E.9), E.10) лишь тем, что в урав-
уравнении Навье — Стокса отсутствует член с подъемной конвектив-
конвективной силой. В уравнениях D1.1) все величины безразмерные.
Сформулируем теперь граничные условия. Нижняя граница
слоя z = 0 предполагается твердой; поэтому для амплитуды
вертикальной скорости имеем:
при 2 = 0 v = v' = 0. D1.2)
Что касается условий для температуры, то далее будут рассма-
рассматриваться два случая: а) нижняя плоскость — идеально прово-
проводящая и б) на нижней плоскости задан постоянный тепловой
поток. В случае а) на границе исчезает возмущение темпера-
температуры, а в случае б) — тепловой поток, связанный с возмуще-
возмущением. Таким образом:
при 2 = 0 а) 6 = 0; б) 9/ = 0. D1.3)
Перейдем к рассмотрению условий на верхней свободной
границе. Связанная с неоднородностью коэффициента поверх-
поверхностного натяжения а тангенциальная сила на единицу площади
плоской поверхности равна / = Va. Граничное условие на сво-
свободной поверхности с учетом термокапиллярной силы запи-
запишется следующим образом [28>29]:
-^-t D1.4)
где Oik — тензор вязких напряжений на границе, а я@, 0, 1) —
единичный вектор вдоль внешней нормали к свободной границе.

41] ТЕРМОКАПИЛЛЯРНЫЙ ЭФФЕКТ 287
Подставляя в D1.4) значение тензора aife = Л ("я~~^" + "я~^") и
К I
проектируя на горизонтальные оси х и у, получим с учетом того
обстоятельства, что на свободной границе vz = 0:
dvx да dvy да
Дифференцируя первое из этих соотношений по ху а второе —
по уу и складывая, получим, пользуясь уравнением непрерыв-
непрерывности:
Для простоты будем считать, что коэффициент поверхност-
поверхностного натяжения линейно зависит от температуры:
а(Г) = ао-а7\ D1.6)
где а — температурный коэффициент поверхностного натяжения;
в подавляющем большинстве случаев а > 0. С учетом D1.6)
граничное условие D1.5) перепишем в виде
Переходя к нормальным возмущениям и вводя безразмер-
безразмерные переменные, получим условие на свободной границе для
безразмерных амплитуд возмущений
при z=l i/' = -&2B8. D1.8)
Здесь В = — так называемое число Марангони — новый
безразмерный параметр, имеющий смысл отношения термока-
термокапиллярной силы к вязкой (А — градиент температуры).
Еще одно граничное условие вытекает из закона теплоотдачи
на свободной поверхности. Предполагается, что плотность теп-
теплового потока со свободной поверхности пропорциональна воз-
возмущению температуры, т. е.
где а — коэффициент теплоотдачи. В безразмерной форме это
условие после перехода к амплитуде возмущения температуры
запишется в виде
при z=l 9/ = —Ь9, D1.9)
где b = ah/к — безразмерный коэффициент теплоотдачи (число
Био).

288 РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ {ГЛ. IX
Итак, на свободной поверхности имеем граничные условия:
при z=l о = 0, v"=-k2BQ, е' = -Ь9. D1.10)
Предполагая, что, как и в случае обычной конвекции, не-
неустойчивость связана лишь с монотонными возмущениями, по-
положим в уравнениях D1.1) Я = 01). Тогда определение ней-
нейтральных возмущений сводится к решению уравнений
v\v _ 2jfeV + kAv = 0, 8" - k2Q = - v D1.11)
с граничными условиями D1.2), D1.3), D1.10). В работе [26]
найдено точное решение этой задачи. Приведем здесь лишь кри-
критические числа Марангони, определяющие границу термокапил-
термокапиллярной неустойчивости в случаях заданной температуры (а) и
заданного теплового потока (б) на нижней границе:
v р _ Sk (k ch k + b sh k) (sh k • ch k — k)
a) sh3fe-*3Ch, ;
^ . R _ 8k (k sh k + b ch k) (sh k • ch k - k)
0) tt ~ sh2 k • ch k - 2k sh * + k2 ch * - fc3 sh k
Определяемые формулами D1.12) критические числа В по-
положительны при всех значениях k и Ь. Это означает (в соответ-
соответствии с качественными соображениями, приведенными в начале
этого параграфа), что термокапиллярная неустойчивость в «нор-
«нормальной» жидкости (а > 0) возможна лишь при А > 0, т. е.
когда равновесная температура жидкости убывает в направле-
направлении к свободной поверхности.
Формулы D1.12) дают зависимость критического числа Ма-
Марангони от волнового числа k для различных значений коэффи-
коэффициента теплоотдачи b на свободной границе. Нейтральные кри-
кривые для случаев а) и б) приведены на рис. 112 для нескольких
значений b (напомним, что случай b = 0 соответствует тепло-
теплоизолированной свободной поверхности, а Ь = оо — изотермиче-
изотермической поверхности).
Кривые В F) имеют минимум при некотором критическом
значении km. С увеличением теплоотдачи минимальное критиче-
критическое число Марангони Вт возрастает, а минимум смещается
в сторону коротких волн. Возрастание Вт с b легко понять. Пре-
Предельный случай b —> оо означает переход к изотермической сво-
свободной границе. В этом случае отсутствует градиент поверхност-
поверхностного натяжения на границе, и следовательно, термокапиллярная
неустойчивость невозможна; критическое число Вт стремится
к бесконечности при b -* оо.
1) Доказать строго принцип монотонности возмущений для рассматри-
рассматриваемой задачи не удается. Численное исследование колебательных возмуще-
возмущений было проведено в работе [31]; показано, что в широком интервале изме-
изменения параметров задачи колебательной неустойчивости нет,

§41]
Термокапиллярный
Таким образом, термокапиллярный механизм наряду с обыч-
обычным механизмом, связанным с конвективной подъемной силой,
может служить причиной неустойчивости равновесия подогре-
подогреваемой жидкости. Для выяснения относительной роли обоих
механизмов в возникновении конвекции Нилдом [32] было пред-
предпринято исследование устойчивости равновесия плоского гори-
горизонтального слоя с учетом как термокапиллярных, так и подъем-
подъемных сил. В предположении монотонности (К = 0) дело сводится
к решению амплитудных уравнений для нейтральных возмуще-
возмущений при^ наличии конвективной силы (§ 6, уравнения F.9),
т
300
200
too
WO
12 3 4 5 6 к ° 12 3 4 5
а) б) * '
Рис. 112. Нейтральные кривые термокапиллярной неустойчивости.
F.10)), но с граничными условиями D1.2), D1.3), D1.10), учи-
учитывающими существование на свободной поверхности термока-
термокапиллярных сил. Хотя задача допускает точное решение, полу-
получающееся характеристическое соотношение для определения
границы устойчивости оказывается очень сложным. Поэтому
в работе [32] было получено приближенное решение задачи по
методу Фурье. В результате расчетов была численно найдена
связь между тремя параметрами — числами Рэлея R, Маран-
гони В и волновым числом k на границе устойчивости !). Мини-
Минимизация нейтральных кривых позволяет получить связь мини-
минимальных критических значений Rm и Вт, т. е. определить гра-
границу устойчивости равновесия при одновременном действии
обоих механизмов неустойчивости.
На рис. 113 представлена граница устойчивости в координа-
координатах (Rm, Bm) для случая горизонтального слоя с идеально
1) Форма нейтральных возмущений исследовалась в работе [33].
Ю Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

290
РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. IX
1000
500
-50
50
проводящей твердой нижней границей. Горизонтальная прямая
соответствует случаю b = оо (изотермическая свободная гра-
граница). В этом случае, естественно, термокапиллярный эффект
отсутствует, и неустойчивость связана лишь с конвективным
механизмом; соответствующее критическое число Рэлея не за-
зависит от В и равно Rm = 1101 (см. § 6).
Кривая b = 0 относится к случаю теплоизолированной сво-
свободной границы. Область неустойчивости расположена выше
кривой. Точки пересечения кривой
с осями координат дают значения
критических чисел Rm=669 и Вт=
=79,6 соответственно для случаев,
когда неустойчивость обусловлена
только гравитационным или только
термокапиллярным механизмом.
Критическое значение km вдоль кри-
кривой почти не меняется, оставаясь
практически равным km « 2.
Первый квадрант плоскости
(R > 0, В > 0) соответствует «нор-
«нормальной» жидкости (а > 0, р>0),
подогреваемой снизу. Как и следо-
следовало ожидать, в этом случае термо-
термокапиллярный эффект приводит к по-
понижению устойчивости.
С помощью кривой устойчивости
можно найти критический градиент
температуры Л, при котором наступает неустойчивость. По-
Поскольку числа Рэлея и Марангони пропорциональны Л, то при
фиксированных значениях физических параметров жидкости и
толщины слоя связь между безразмерными числами R и В'ли-
В'линейна:
R=J*M!B. D1.13)
Проведя на плоскости (R, В) прямую D1.13), проходящую че-
через начало координат, и определив точку пересечения этой пря-
прямой с нейтральной линией, найдем критические значения чисел
Рэлея Rm и Марангони Вт, а следовательно, и критический
градиент температуры, определяющий начало конвекции.
Из D1.13) видно, что если толщина слоя жидкости мала
-500
Рис. 113. Граница устойчивости го-
горизонтального слоя при наличии
термокапиллярного и термогравита-
термогравитационного механизмов неустойчи-
неустойчивости.
1, т. е.
hc
то прямая D1.13) почти горизонтальна, и граница устойчивости,
в сущности, определяется критическим значением числа Маран*

$ 41] ТЕРМОКАПИЛЛЯРИЫП ЭФФЕКТ 291
гони Вт, найденным Пирсоном без учета конвективного меха-
механизма. В противоположном предельном случае А 3> Ас- прямая
D1.13) почти вертикальна и начало конвекции определяется
критическим числом Рэлея Rm при В = 0.
Таким образом, природа неустойчивости подогреваемого
слоя жидкости со свободной границей зависит от толщины слоя.
В тонком слое (h ^ ht) кризис вызывается термокапиллярным
механизмом. В толстом слое (h S> hc) определяющую роль в
возникновении .конвекции играет подъемная сила. В проме-
промежуточной области конкурируют оба механизма неустойчи-
неустойчивости1).
После того, как был указан термокапиллярный механизм не-
неустойчивости, стало ясно, что во многих случаях, когда наблю-
наблюдались ячеистые движения в тонких слоях жидкости со свобод-
свободной границей, этот механизм играл существенную роль или
даже был основным фактором возникновения конвекции. Пере-
Переоценка проведенных ранее экспериментов коснулась даже из-
известных опытов Бенара, которые в свое время послужили
начальным толчком для создания теории конвективной устойчи-
устойчивости. В опытах Бенара наблюдалась ячеистая структура тече-
течения в подогреваемых снизу тонких слоях (А ~ 1 мм) расплав-
расплавленного спермацета. Численные оценки (см. [26> 32>37]) показы-
показывают, что в части этих опытов наблюдалось развитое движение
при настолько малых разностях температур, что подъемная
сила в этих условиях не смогла бы привести к неустойчивости.
Это обстоятельство определенно свидетельствует о термокапил-
термокапиллярной природе этих движений.
Следует подчеркнуть, что поскольку термокапиллярный эф-
эффект никак не связан с направлением силы тяжести, он может
служить причиной возникновения ячеистых движений в тонких
пленках, покрывающих произвольно ориентированные по отно-
отношению к силе тяжести поверхности; разность температур в та-
таких пленках может возникнуть, например, в результате испаре-
испарения жидкости. Термокапиллярная неустойчивость в слое жид-
жидкости на сферической поверхности изучалась в работе [34].
Остановимся теперь коротко на некоторых усложнениях за-
задачи Пирсона. Поскольку термокапиллярная неустойчивость
обусловлена действием поверхностных сил, этот эффект оказы-
оказывается весьма чувствительным к различным изменениям свойств
свободной поверхности. Наиболее существенное влияние на тер-
термокапиллярную неустойчивость оказывает наличие на свобод-
свободной поверхности адсорбированной пленки поверхностно-актив-
поверхностно-активного вещества.
1) Для многих жидкостей при нормальных условиях hQ порядка несколь-
нескольких миллиметров. '
10*

292 РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IX
Как известно, с увеличением концентрации адсорбированного
вещества коэффициент поверхностного натяжения уменьшается
(см. Р5]). Нетрудно представить себе поэтому влияние поверх-
поверхностно-активных добавок на термокапиллярный механизм не-
неустойчивости. В самом деле, если под влиянием возмущения
элемент жидкости всплывает на поверхность, то в данном месте
поверхности образуется участок с относительно меньшей кон-
концентрацией поверхностно-активной примеси, и, следовательно,
с большим поверхностным натяжением. Поэтому возникают
тангенциальные силы, направленные радиально к этому участку
поверхности. Эти силы, таким образом, направлены противопо-
противоположно термокапиллярным силам, обусловленным неоднород-
неоднородностью температуры поверхности. Следовательно, наличие ад-
адсорбированной пленки должно оказывать стабилизирующее
действие на возникновение термокапиллярной конвекции.
В расчете, проведенном в работе Берга и Акривоса [36], при
формулировке граничных условий на поверхности учтена допол.-
нительная тангенциальная сила, обусловленная неоднородно-
неоднородностью концентрации вещества в адсорбированной пленке. Как
оказывается, стабилизирующее действие поверхностно-активной
пленки очень велико. Так, для горизонтального слоя воды тол-
толщиной в 1 MMf покрытого газовым монослоем стеариновой кис-
кислоты с концентрацией, составляющей 0,01 от плотной упаковки,
критическое число Марангони увеличивается на три порядка.
В случае, когда концентрация в поверхностном монослое соот-
соответствует плотной упаковке, критическое число возрастает на
семь порядков, т. е. конвекция оказывается практически невоз-
невозможной.
Во всех цитированных работах свободная поверхность жид-
жидкости считалась плоской. Это ограничение было снято в рабо-
работах [37«38]. В первой из этих работ учитывались капиллярные
волны на границе раздела двух жидкостей, а во второй -—также
и гравитационные; в обеих работах принимался во внимание
лишь термокапиллярный механизм неустойчивости. Рассмотре-
Рассмотрение показывает, что, как и в случае термогравитационной кон-
конвекции (§ 9), учет деформируемости свободной поверхности
приводит, в общем, к понижению устойчивости, причем эффект
оказывается существенным в случае очень тонких слоев высоко-
высоковязких жидкостей.
Вопрос о влиянии магнитного поля на возникновение термо-
термокапиллярной конвекции в плоском горизонтальном слое прово-
проводящей жидкости рассматривался в работе Нилда [39]. Как и
в случае обычной гравитационной конвекции (см. § 27), влия-
влияние поперечного магнитного поля оказывается стабилизирую-
стабилизирующим. В работе получена зависимость критического числа Ма-
Марангони Вт от числа Гартмана М. При больших значениях М

§ 42J ПОРИСТАЯ СРЕДА 293
критическое число Вт для случая теплоизолированной свобод-
свободной границы возрастает по закону Вт « я2М2; критическая
длина волны с ростом М уменьшается. Магнитное поле стаби-
стабилизирует устойчивость равновесия и в том случае, когда одно-
одновременно действуют оба механизма конвекции — термогравита-
термогравитационный и термокапиллярный.
Стабилизирующее действие оказывает и вращение вокруг
оси, перпендикулярной к плоскости слоя. Как показано в ра-
работе [40], критическое число Марангони увеличивается с ростом
числа Тейлора, а критическая длина волны уменьшается. При
быстрых вращениях (Т» 1) в случае теплоизолированной сво-
свободной поверхности Bm « 4,42Tl/a, km « 0,5Т|/4. Зависимость
km ~ Т!/« хорошо подтверждается результатами экспериментов
[40]. При малых числах Прандтля в области Т ^> 1 возможна
неустойчивость колебательного типа [41]; Влияние вращения
в условиях, когда существенны оба механизма неустойчиво-
неустойчивости— термогравитационный и термокапиллярный, — рассмотре-
рассмотрено в работе [42].
Нелинейное исследование термокапиллярной неустойчивости
проводилось в работе [43].
§ 42. Пористая среда
Если пористая среда насыщена жидкостью или газом, то
при наличии разности температур возникает конвективное дви- '
жение (конвективная фильтрация). Как и в случае обычной
конвекции, при подогреве снизу возможно равновесие. Задача
исследования устойчивости этого равновесия представляет ин-
интерес, например, в связи с выяснением условий возникновения
конвекции в пластах пористых пород под действием геотерми-
геотермического градиента.
Запишем уравнения тепловой конвекции жидкости в пори-
пористой среде, В качестве характеристик движения примем, как это
обычно делается (см. [44]), макроскопическую скорость филь-
фильтрации м, определяемую как объемный расход жидкости через
единицу площади в пористой среде. Скорость фильтрации свя-
связана со средней скоростью частиц жидкости в порах v соотно-
соотношением и = &vf где е — пористость среды (отношение объема
пор ко всему объему выделенного элемента среды).
Предполагая жидкость несжимаемой, запишем уравнение
непрерывности
diva = 0. ' D2.1)
Уравнение движения получается путем усреднения уравне-
уравнения Навье — Стокса, описывающего истинное движение жидко-
жидкости в порах [44]. Поскольку скорость фильтрации обычно мала,

294 РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IX
можно пренебречь нелинейными членами в ускорении, и тогда
уравнение движения запишется в виде
Здесь р — плотность жидкости, a f — плотность силы сопротив-
сопротивления, связанная со скоростью фильтрации формулой Дарси:
/=-!«, D2.3)
где г\ — динамическая вязкость жидкости, а /С — коэффициент
проницаемости. Полагая, что плотность зависит от температуры
линейно р = роA — рГ), получим из D2.2), D2.3) в обычных
предположениях Буссинеска уравнение движения для конвек-.
тивной фильтрации
здесь р' — конвективная добавка к гидростатическому давле-
давлению. '
Для получения уравнения переноса тепла приравняем коли-
количество тепла, поглощенного в единице объема среды за еди-
единицу времени, потоку тепла через границы этого объема:
Wc-f—div*. D2.5)
Здесь (рсР)с — теплоемкость единицы объема насыщенной жид-
жидкостью среды, а ц — плотность теплового потока. Очевидно,
вектор ц слагается из теплопроводного потока в среде и кон-
конвективного потока, обусловленного фильтрацией жидкости
q^-KtVT + ipc^uT. . D2.6)
Здесь хс — эффективная теплопроводность среды, насыщенной
жидкостью, а (рср)т — теплоемкость единицы объема жидко-'
сти. Из D2.5) и D2.6) с учетом постоянства всех параметров
получим
Me ^f + (рср)ж uW = кс АГ. D2.7)
Уравнения D2.1), D2.4), D2.7) описывают конвективную
фильтрацию несжимаемой жидкости в пористой среде. Основное
отличие от обычных уравнений конвекции состоит в том, что
вместо ньютоновской силы вязкого трения теперь входит сила
сопротивления Дарси, пропорциональная скорости. Замена вяз-
вязкой силы силой Дарси приводит, в частности, к понижению по-
порядка системы дифференциальных уравнений. По этой причине
сокращается число необходимых граничных условий для скоро*.

§ 421 ПОРИСТАЯ СРЕДА 295
сти. Так, на границе раздела пористой среды с твердым непро-
непроницаемым массивом должна обращаться в нуль лишь нормаль-
нормальная компонента скорости фильтрации. Касательная же компо-
компонента, вообще говоря, отлична от нуля — вдоль границы может
происходить фильтрация.
Из уравнений движения видно, что при подогреве снизу воз-
возможно равновесие, при котором температура линейно меняется
с высотой: VT0 = —А\. Уравнения малых возмущений равнове-
равновесия получаются обычным образом. Запишем сразу уравнения
критических возмущений 1)
D2.8)
div a = 0.
Здесь % = Кс1(рср)т — эффективный коэффициент температуро-
температуропроводности. Перейдем к безразмерным переменным. С этой
целью выберем следующие единицы: расстояния — характерный
размер L, скорости — %/L, температуры — AL, давления —
pov%/K. Тогда получим
D2.9)
div и
Здесь
— новый безразмерный параметр, определяющий кризис равно-
равновесия в пористой среде (аналог числа Рэлея).
Рассмотрим сначала возникновение конвекции в плоском го-
горизонтальном слое пористой среды. Эта задача впервые реша-
решалась в работе Хортона и Роджерса [4б] и затем независимо в ра-
работах Лэпвуда [46] и П. П. Золотарева [47].
Исключая из D2.9) давление и горизонтальные компоненты
скорости и вводя нормальные возмущения, получим уравнений
для амплитуд .
,^-й,)+иу.-в j D2Ю)
1) Линейные уравнения возмущений имеют решения, пропорциональные
ехр(—Xt). Легко показать, что при подогреве снизу, как и в случае обычной
конвекции, все декременты К вещественны (монотонные возмущения). По-
Поэтому граница устойчивости определяется из условия Я = 0.

296 РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IX
Предполагая горизонтальные границы слоя непроницаемыми
и идеально теплопроводными, получим граничные условия (тол-
(толщина слоя h выбрана за единицу длины):
o. D2.и)
Решение задачи D2.10), D2.11) находится элементарно:
u = uosinnnzf 8= n2J°+k2 sinmtz (п= 1, 2, 3, ...). D2.12)
Критический параметр Rp связан с волновым числом k соотно-
соотношением
Rp=i^L+*!>l. D2ЛЗ)
'Минимальное значение достигается при km = tin и равно
Rpm = 4>i2n2. D2.14)
В частности, для основного уровня неустойчивости (п = 1)
имеем: km = я; Rpm = 4я2 = 39,5.
В работе [46] рассмотрен еще один случай граничных условий,
который получается, если поверх насыщенного жидкостью по-
пористого слоя налита свободная жидкость. В этом случае верх-
верхняя граница слоя проницаема для жидкости, а граничное усло-
условие получается из требования обращения в нуль горизонталь-
ногб градиента давления при г= 1. Отличие от разобранного
выше случая состоит лишь в том, что теперь на верхней границе
исчезает нормальная производная: и'(I) = 0. Вычисления дают
следующие значения критических параметров основного уровня
неустойчивости: km = 2,3; Rpm == 27,1. Как и следовало ожи-
ожидать, «ослабление» краевого условия для скорости приводит
к снижению критического значения Rpm и увеличению критиче-
критической длины волны.
Первое экспериментальное исследование возникновения кон-
конвекции в плоском пористом слое было предпринято в работе [48].
В опытах применялись слои из песка, насыщенного различными
жидкостями (вода, растворы глицерина, четыреххлористый уг-
углерод). Хотя предсказываемая теорией зависимость критиче-
критического градиента температуры от параметров качественно под-
подтвердилась, имелось значительное (на порядок) количественное
расхождение. Это расхождение, по-видимому, связано с суще-
существенной зависимостью параметров от температуры (разности
температур в слое были очень велики), а также с нестационар-
нестационарными условиями эксперимента и другими осложняющими об-
обстоятельствами. Попытки учесть в теории некоторые из этих
факторов (зависимость вязкости от температуры и нелинейность

г 421
ПОРИСТАЯ СРЕДА
297
профиля температуры) лишь несколько улучшили соответствие
эксперимента и теории [49«50].
Обстоятельное экспериментальное исследование устойчиво*
сти равновесия в слое проведено в работе Като и Масуока [б1].
В этой работе пористой средой, служила система шариков из
различных материалов- (стекло, сталь,
алюминий) определенного диаметра.
Поры насыщались сжатым азотом.
Меняя диаметр шариков и их мате-
материал, удавалось в широких пределах б\—
изменять проницаемость и соотноше-
соотношение тепловых характеристик скелета и
рабочей жидкости. Результаты можно
обработать таким образом, чтобы наи-
наиболее отчетливо проявлялась зависи- Ю3
мость критического градиента темпера-
температуры (последний определялся по кри-
кризису теплопередачи) от всех парамет-
параметров. С этой целью введем обычное
число Рэлея R, которое связано с па-
параметром Яр следующим образом:
v%
/г2
2L
А*
\
о
\
\
о
X
й
д
•
у
N
\
\
Если к тому же воспользоваться ио-
луэмпирической формулой Козени
(см. [52]) для коэффициента прони-
проницаемости
К =
150A -еJ
d2
а/Л
Рис. 114. Минимальное критиче-
критическое число Рэлея для горизон-
горизонтального слоя пористой среды.
Прямая линия — теория (фор-
(формула D2.15)). Экспериментальные
точки Като и Масуока [501 (О —
стеклянные шарики, # — сталь-
стальные, Л —алюминиевые).
(е — пористость, d — диаметр шариков), то формулу для крити-
критического числа Ярт можно переписать в виде
D2.15)
где для краткости введено обозначение
рр
* *т 150A — еJ •
На рис. 114 представлена зависимость R от отношения d/h
согласно формуле D2.15) вместе с экспериментальными дан-
данными Като и Масуока. Соответствие теории и эксперимента
следует признать хорошим.
Уравнения D2.9) позволяют найти границу конвективной
устойчивости в случае, когда насыщенная пористая среда

298 РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. IX
занимает область произвольной формы. Из-за простого вида
силы сопротивления и, соответственно, более простых граничных
условий для скорости задача оказывается проще, чем в случае
обычной конвекции. В частности, можно рассмотреть вопрос об
устойчивости равновесия в вертикальных каналах различных
сечений, и при этом легко получаются решения, аналогичные
разобранным в гл. III.
В качестве примера рассмотрим наиболее интересный случай
вертикального канала кругового сечения [б3]. Если считать, что
скорость параллельна оси канала: их = иу = 0, и2 = и(х, у),
а возмущение температуры зависит лишь от координат в сече-
сечении канала Т = Т(х, у), то из D2.9) получим
4L
D2.16)
Здесь Ai — плоский лапласиан в сечении канала, а С — постоян-
постоянная разделения переменных, которая может быть выбрана рав-
равной нулю (ср. § 10). Исключая из D2.16) скорость, получим
уравнение для возмущения температуры
Периодические по полярному углу ф решения этого уравне-
уравнения, конечные в центре области, имеют вид
Tn=CnJn(ar)cosnw a=/R7 (л = 0, 1, 2, .. .)•
Собственные числа задачи находятся из граничных условий для
температуры. Если, например, боковая поверхность теплоизоли-
теплоизолирована, то из условия (дТ/дг)Гж1 = 0 следует ])
/?(<*) = 0. D2.17)
Это уравнение определяет спектр критических чисел Rp. Наи-
Наименьшее критическое число соответствует п = 1 (диаметрально
антисимметричная фильтрация) и равно Rp = a2l — 3,390. Далее
в порядке возрастания следуют: Rp = 9,33 (п = 2); Rp = 14,68
(п = 0, осесимметричная фильтрация) и Rp = 17,65 (п = 3).
Таким образом, последовательность критических Rp оказывает-
оказывается такой же, как и в случае обычной конвекции (см. § 11, слу-
случай теплоизолированных границ).
Найденное решение элементарно обобщается на случай про-
произвольной теплопроводности окружающего канал массива. Из
1) Граничное условие для скорости ставить не'нужно, так как уравне-
уравнения D2.16) не содержат производных от и. Условие замкнутости потока вы-
выполняется автоматически для всех п Ф 0 ввиду перйодизма решения по ф,
а для п = 0 — в силу соотношения D2.17).

§ 42] ПОРИСТАЯ СРЕДА 299
условий непрерывности температуры и теплового потока при
этом для характеристических значений а получается уравнение
акК (a)+nJ n(a) = 0t
где й = Хс/ит — отношение теплопроводностей пористой среды
и окружающего массива.
Нижнее критическое число для случая теплоизолированных
границ (Rp = 3,39) было подтверждено экспериментально в ра-
работе [53].
В заключение укажем на работу Нилда [54], в которой ре-
решена задача о конвективной устойчивости бинарной смеси в по-
пористой среде.

ГЛАВА X
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
В этой главе речь пойдет об устойчивости стационарного
конвективного движения, возникающего при подогреве сбоку,
когда равновесие невозможно. Основноеv внимание уделяется
плоскопараллельному конвективному движению между парал-
параллельными плоскостями, нагретыми до разной температуры. По-
Постановка задачи об устойчивости такого течения была дана
в работах []-3], где на основе простейших приближений метода
Галеркина были найдены оценки критических чисел Грасхофа.
Наиболее полные и интересные результаты получены позднее,
после того как в результате появления ЭВМ оказалось возмож-
возможным использовать высокие приближения метода для исследова-
исследования спектра возмущений и надежного определения границ устой-
вости [5-15-16-24' 28>59].
Одна из особенностей замкнутых плоскопараллельных кон-
конвективных течений состоит в нечетности профилей скорости и
температуры. Это приводит к появлению характерных свойств
спектра возмущений, а также к тому обстоятельству, что не-
неустойчивость развивается в виде системы вихрей на границе
встречных конвективных потоков.
В § 44 исследуются свойства спектра возмущений и нахо-
находится граница устойчивости нечетного течения в чисто гидро-
гидродинамическом приближении, когда полностью пренебрегается
тепловыми факторами. Как показывает сравнение с результа-
результатами § 45, где задача решается в полной постановке, такой
подход оказывается достаточным для оценки критического числа
Грасхофа в случае вертикальной ориентации слоя жидкости при
малых и умеренных значениях числа Прандтля. Учет тепловых
факторов, однако, совершенно необходим при больших числах
Прандтля, а также в случае наклонного слоя (§ 46) и слоя
с продольным градиентом температуры (§ 48). При больших
числах Прандтля появляется новый вид неустойчивости, обус-
обусловленный нарастанием тепловых волн. В случае же наклонного
слоя и слоя с продольным градиентом наряду с гидродинамиче-
гидродинамическим механизмом неустойчивости действует конвективный меха-
механизм, связанный с неустойчивой стратификацией. Каждый из
механизмов является преобладающим в своей области парамет-
параметров. Смена механизмов неустойчивости при изменении угла на-
наклона слоя сопровождается изменением формы наиболее опас-
опасных возмущений (§ 47).

43]
СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
301
Влияние на устойчивость различных факторов, деформирую-
деформирующих стационарный профиль, обсуждается в § 48. В § 49 решена
задача об устойчивости течения, возникающего в плоском ка-
канале при внутреннем выделении тепла в жидкости. Нелинейный
расчет структуры вторичного течения, появляющегося в резуль-
результате неустойчивости, приведен в § 50. Последний параграф
главы содержит обзор основных результатов по устойчивости
конвективного пограничного слоя.
§ 43. Стационарное движение. Уравнения возмущений
Рассмотрим стационарное конвективное движение жидкости
в плоском вертикальном слое между параллельными изотерми-
изотермическими плоскостями, нагретыми до разной температуры
(рис. 115). При таких условиях подогре-
подогрева равновесие, очевидно, невозможно, и
при сколь угодно малой разности темпе-
температур возникает движение, интенсивность
которого растет с увеличением разности
температур. Будем считать, что полость
замкнута сверху и снизу; поэтому в ста-
стационарных условиях происходит конвек-
конвективная циркуляция—жидкость подни-
поднимается у нагретой стенки и опускается
у холодной. Течение, таким образом, со-
состоит из дбух встречных конвективных
потоков.
Для случая, когда слой имеет беско-
бесконечную протяженность в вертикальном
направлении, можно получить точное ре-
решение уравнений конвекции, описываю-
описывающее стационарное плоскопараллельное
движение (практически это решение бу-
будет пригодно в средней части слоя, высота которого гораздо
больше его толщины).
При плоскопараллельном движении отлична от нуля лишь
вертикальная составляющая скорости vz. Из уравнения непре-
непрерывности тогда следует, что vz = vo(x). Предполагая, что тем-
температура также зависит только от поперечной координаты Го=
= Т0(х), получим из полных уравнений конвекции A.17), A.18)
уравнения для скорости, температуры и давления в стационар-
стационарном движении
= С> | D3.1)
То = U J
(С — постоянная разделения переменных).
рис. ЦБ. Плоский вертикаль-
жения.
р

302 УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. X
Граничные условия для скорости и температуры таковы;
при x= — h vo = O, Го = 6;
при x = h 0О = О, Го= —(:
Bв — полная разность температур между плоскостями). Сле-
Следует иметь в виду также условие замкнутости потока, о кото-
котором говорилось выше. Это условие означает равенство нулю
расхода жидкости через любое поперечное сечение:
h
\ v0dx = 0. D3.3)
—h
Интегрируя уравнения D3.1) с условиями D3.2), D3.3), най-
найдем распределения температуры, скорости и давления
D3.4)
р0 = const
(постоянная С оказывается равной нулю).
Как видно из полученных формул, температура меняется по
сечению слоя линейно, т. е. так же, как в случае неподвижной
жидкости. Таким образом, в рассматриваемом режиме движе-
движения поперечный перенос тепла осуществляется чисто теплопро-
теплопроводным путем. Распределение скорости оказывается кубическим
(рис. 115). Интенсивность движения пропорциональна разности
температур, обратно пропорциональна вязкости и не зависит от
. теплопроводности жидкости. В рассматриваемом течении имеет
место конвективный перенос тепла вдоль слоя; поток тепла на-
направлен вверх и равен (на единицу длины вдоль оси у)
2
45v
-~h
С увеличением разности температур между плоскостями ско-
скорость возрастает, и стационарное движение становится не-
неустойчивым. При возникновении неустойчивости, очевидно, из-
изменяются и условия теплопередачи через жидкую прослойку,
т. е. наступает кризис теплопередачи.
Для исследования устойчивости стационарного конвектив-
конвективного движения применим метод малых возмущений. Рассмот-
Рассмотрим возмущенное движение vo + v, Го + Г, ро + Р> где (и, 7\/?) —
малое нестационарное возмущение. Подставляя возмущенные

i 43]
СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
303
величины в исходную систему A.17) — A.19) и линеаризуя по
V, Г, р, получим систему уравнений для возмущений
i>=- j Vp
divt; =
D3.5)
Введем безразмерные переменные. Примем в качестве еди-
единиц: расстояния — А, времени — A2/v, скорости — gpeA2/v, тем-
температуры— 0, давления — р#рвЛ. Стационарные профили ско-
скорости и температуры в безразмерных переменных запишутся
так:
ио = -1(л;3 — х), Т0 = — х9
а система D3.5) примет вид:
4f + Q [(vV) v0 + (v0V) v] = - Vp + At; + TY,
dt
divt; =
число Прандтля, a G
D3.6)
D3.7)
Здесь P = v/% — число Прандтля, a G = g$Qhz/v2 — число Грас-
хофа, определенное через полуразность температур границ слоя
и его полуширину.
Будем считать возмущения плоскими, т. е. предположим, что
^ = 0, a vXi vZi Г, р не зависят от координаты у1). Определим
функцию тока плоских возмущений соотношениями
Исключая давление и вводя функцию тока, получим из D3.7)
систему для *ф и Т:
д ДгЬ „ дгИ * * . . дТ
D3.8)
Здесь А — лапласиан в переменных х, г.
На границах слоя исчезают обе компоненты возмущения
скорости и возмущение температуры, т. е.
при*=±1 |1 = 4! = 0, Г = 0. D3.9)
1) Как оказывается, при вертикальной ориентации слоя плоские возму-
возмущения наиболее опасны (см. § 47).

304 УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. X
Система D3.8) имеет решения в виде нормальных возмуще-
возмущений:
t|> (*, z, t) = ф (х) ехр (— U + ikz), 1 '
)9 J D^Ш)
где ф(х) и 9 (л:) — амплитуды, X — декремент, k — вещественное
волновое число. Подставляя D3.10) в D3.8), получим систему
уравнений для амплитуд:
- 2ftV + ?4Ф) + ikG К'Ф - voW - кЩ + е' =
==_Я(ф"-*2ф), D3.11)
-р- (JB" - ?29) + ikG (Пф - v0Q) = - АД D3.12)
с граничными условиями, вытекающими из D3.9):
прил:=±1 <р = ф' = О, 9 = 0. D3.13)
Таким образом, амплитуды возмущений ф(л:) и 9(л:) опре-
определяются из системы обыкновенных линейных однородных урав-
уравнений с однородными граничными условиями. Краевая задача
D3.11) — D3.13) является характеристической; нетривиальное
решение существует лишь при определенных значениях пара-
параметра К. Декременты К находятся как собственные числа крае-
краевой задачи; соответствующие собственные функции ф и 9 опре-
определяют структуру характеристических возмущений скорости и
температуры. Собственные значения К зависят от параметров —
чисел Грасхофа G-и Прандтля Р, а также от волнового числа k.
Поставленная краевая задача является несамосопряженной, и
поэтому ее собственные числа К, вообще говоря, комплексны:
Х = Хг + iXi. Вещественная часть Х,г определяет скорость затуха-
затухания или нарастания возмущений. Мнимая часть К{ дает частоту
колебаний; при Ki ф 0 возмущения распространяются в потоке
в виде плоских волн с фазовой скоростью с — Ki/k.
Итак, исследование спектра характеристических возмуще-
возмущений стационарного конвективного движения сводится к нахож-
нахождению собственных чисел и собственных функций краевой
задачи D3.11) — D3.13). Эта задача является обобщением клас-
классической задачи теории гидродинамической устойчивости. Обоб-
Обобщение связано с учетом двух факторов: дополнительной (кон-
(конвективной) силы в уравнении движения и неизотермичности
основного потока и возмущений. Если в D3.11) положить 9 = 0,
то получается известное уравнение Орра — Зоммерфельда,
определяющее плоские возмущения в изотермическом плоско-
плоскопараллельном потоке,

§ 44] ДВИЖЕНИЕ С НЕЧЕТНЫМ ПРОФИЛЕМ СКОРОСТИ 305
Поскольку решение сформулированной задачи -связано со
значительными математическими трудностями, имеет смысл
вначале развить упрощенный подход к проблеме. Это можно
сделать, если рассмотреть задачу об устойчивости конвектив-
конвективного течения с кубическим профилем в чисто гидродинамиче-
гидродинамической постановке, полностью пренебрегая влиянием тепловых
факторов на развитие возмущений. Такой подход оправдан, во
всяком случае, при малых значениях числа Прандтля (высокая
теплопроводность жидкости). В этом случае возникающие тем-
температурные возмущения быстро рассасываются со временем на
фоне сравнительно медленно изменяющихся возмущений ско-
скорости. Поэтому развитие возмущений можно приближенно трак-
трактовать как изотермический процесс. При таком подходе сле-
следует пренебречь членом 8' в D3.11) и не рассматривать вовсе
уравнение , теплопроводности D3.12). Тогда задача сводится
к решению уравнения Орра — Зоммерфельда с заданным кон-
конвективным профилем скорости vo(x):
(<piv _ 2*V + *4Ф) + **G К'ср - v0 (q>"
= — Я(ф"-?2Ф) D3.14)
с граничными условиями
при х=±1 ф = ф/ = 0. D3.15)
Эта краевая задача будет рассмотрена в следующем пара-
параграфе.
§ 44. Движение с нечетным профилем скорости [4>5]
Исследованию гидродинамической устойчивости изотермиче-
изотермических плоскопараллельных стационарных течений посвящена об-
обширная литература (см. [6~8]). Обычно интерес исследователей
сосредоточен на выяснении вопроса' об устойчивости несколь-
нескольких изотермических течений — Куэтта, Пуазейля и течения, в
пограничном слое. Нас в дальнейшем будет интересовать за-
задача исследования спектра нормальных возмущений и опреде-
определения границы устойчивости конвективного течения. Специфи-
Специфическим свойством этого течения является нечетность профиля.
Это обстоятельство, как будет видно, приводит к появлению не-
некоторых характерных особенностей спектра возмущений. Не-
Неустойчивость-конвективного течения наступает при числах Рей-
нольдса, гораздо меньших, чем, например, в случае течения
Пуазейля. Это связано со структурой течения— наличием двух
встречных потоков, взаимодействие между которыми приводит
К потере устойчивости при сравнительно малых скоростях,

Зое устойчивость конвективного движения [гл. х
1. Основная и сопряженная задачи. Перепишем, прежде
всего, уравнение D3.14) в более удобном виде. Для этого вве-
введем вместо числа Грас.хофа число Рейнольдса соотношением
В качестве характерной скорости в число Рейнольдса входит
величина g$Qh2/6vy определяющая масштаб скорости конвек-
конвективного течения. Введем также обозначения для операторов
где /0 = jc3 — x — безразмерный профиль скорости. Тогда крае-
краевая задача Орра — Зоммерфельда может быть переписана в
виде
А2Ф - гЯФ = - Я АФ (г = ikR), 1
при *=±1 ф = ф' = 0. J ( Л)
Рассмотрим теперь сопряженную краевую задачу. Для на-
нахождения сопряженного оператора умножим уравнение, ком-
комплексно-сопряженное с D4.1), на функцию -ф, удовлетворяю-
удовлетворяющую граничным условиям
при х=±\ ф = г|/ = О, D4.2)
и проинтегрируем по х. После преобразований получим
1
+ rA (f0*) - rftt + V Аф] Ф* dx = 0
(знак * означает комплексное сопряжение; интегрирование
здесь и далее ведется в пределах от —1 до +1). Приравнивая
нулю множитель при ф*, найдем
Д2ф + г#-Ч = -Я*Дф, Я+ф = Д(/оф)--/2Ч, D4.3)
где символом Н+ обозначен оператор, сопряженный с Я. Урав-
Уравнение D4.3) с граничными условиями D4.2) определяет сопря-
сопряженную краевую задачу. Заметим, что при R = 0 рассматри-
рассматриваемая краевая задача становится самосопряженной.
Основная и сопряженная краевые задачи определяют бес-
бесконечные последовательности нормальных возмущений фг, *фг
с декрементами Я?, %\т Возмущения фг- и сопряженные возму-
возмущения i|)fc, принадлежащие разным декрементам Xt и Х*к, в
определенном смысле ортогональны. Для получения условия
ортогональности следует уравнение D4.1), написанное для /-го
уровня спектра, умножить на %> а уравнение, комплексно-со-

§ 441 ДВИЖЕНИЕ С НЕЧЕТНЫМ ПРОФИЛЕМ СКОРОСТИ * 307
пряженное с D4.3), записанное для &-го уровня, умножить на
<р* и проинтегрировать. Вычитая получившиеся равенства, най-
найдем
(Xt — Xk) J ф* Дф, dx = 0.
Для ХьфХк имеем условие ортогональности
;Дф^* = 0. D4.4)
2. Спектр возмущений при малых числах Рейнольдса.
Декременты нормальных возмущений, определяемые краевой
задачей D4.1), зависят от двух параметров — числа Рейнольд-
Рейнольдса и волнового числа. Для выяснения структуры спектра по-
полезно рассмотреть сначала предельный случай малых скоростей
течения, т. е. область малых значений числа Рейнольдса. В этой
области решение можно получить методом малого параметра,
разлагая собственные функции и собственные числа в ряды по
степеням г ikR
Подставляя ряды D4.5) в D4.1) и собирая члены при одина-
одинаковых степенях г, получим уравнения последовательных при-
приближений
Д2ф@)+Я@)Дф@)==0,
Д2фA) _|_ ДО» ДфA) = __ ДО) Дф@)
Д2фB) _|_ ^@) ДфB) = _ ^B) Дф@) _
D4.6)
Д2ф(п) _^_ ^@) Дф(п) = _ ^(п) Дф@) _ ^(п-1) ДфA) _
Все функции последовательных приближений удовлетворяют од-
однородным граничным условиям:
при ' х = ± 1 ф(п> = ф<л>' = 0. D4.7)
Из нулевого приближения находится спектр декрементов А,<°)
и соответствующих возмущений ф<°> в неподвижном слое жид-
жидкости (этот спектр уже встречался в §§ 6 и 16 при исследова-
исследовании возмущений равновесия). Возмущения ф^0) образуют две

308
устойчивость конвективного движений
(гл. х
подсистемы — четных и нечетных относительно х функций. Нор«
мированные четные собственные функции равны
chfex
С-0.2,4,...). D4.8)
7< °
Я<0)
Декременты четных возмущений находятся из трансцендент-
трансцендентного уравнения
- k2 • tg VJlf — k2 = -kthk. D4.9)
Для нечетных собственных функций и декрементов имеем
1 shb:
sin
0) -Л2 • ctg /^f - k2 = ^ cth Л. D4.11)
составляют полную ортонормированную си-
си-6ik. D4.12)
Функции
стему:
Декременты hf* зависят от волнового числа и при фиксиро-
фиксированном k образуют возрастающую последовательность ХоО), if\
А40), ...; все декременты М°> вещественны и положительны
(нормальные возмущения покоящегося слоя жидкости моно-
монотонно затухают).
Поправки к собственным функциям нулевого приближения
находятся из неоднородных уравнений вида:
дуя) + Я<°> Дф(») = fn (х)9 D4.13)
где fn(x) — известная функция, определяемая предыдущими
приближениями и содержащая №п\ Умножая D4.13) на ф^0) и
интегрируя, получим условие разрешимости неоднородного
уравнения
J = °> D4.14)

§ 44] ДВИЖЕНИЕ С НЕЧЕТНЫМ ПРОФИЛЕМ СКОРОСТИ 309
из которого находится поправка к декременту Wn>. Решая да-
далее неоднородное уравнение D4.13), найдем ф<п). Таким путем
можно последовательно определить коэффициенты разложений
D4.5).
Из условий разрешимости D4.14) находим последовательно
(с учетом условия нормировки)
ф@) дфA) dx _ J ф(о)#ф(П dx,
= ЯB) | ф@) ДфA) dx + ЯA) | ф@) ДфB) dx _ J ф
@)
D4.15)
В интересующем нас случае профиль скорости, а вместе с ним
и оператор Я, являются нечетными относительно х. Отсюда сле-
следует, что интегралы вида J ф(т) #ф(п) dx равны нулю, если ин-
индексы тип имеют одинаковую четность. Поэтому обращаются
в нуль все поправки нечетных порядков:
=ЯC)=ЯE)= ... =0.
Таким образом, разложение декрементов возмущений в слу-
случае нечетного профиля скорости оказывается вещественным
- ?2R2>1<2> + kW» - ... D4.16)
Отсюда следует, что при малых числах Рейнольдса (пока спра-
справедливы разложения по степеням R) возмущения потоков с не-
нечетным профилем монотонны; фазовые скорости нормальных
возмущений обращаются в нуль («стоячие» возмущения).
Переходя к обсуждению собственных функций при малых
числах Рейнольдса, заметим, прежде всего, что все ф(п>, опре-
определяемые уравнениями последовательных приближений D4.6),
вещественны. Поэтому, выделяя в разложении ф вещественную
и мнимую части, можно записать:
ф = (ф@) - &2R2(pB) -f &4RV4) — . . .) +
...). . D4.17)
Далее, из системы D4.6) видно, что в случае нечетного опера-
оператора Н поправки четных порядков ф<2>, ф<4>, ... имеют ту же чет-
четность, что и «невозмущенная» амплитуда ф<°>, а поправки не-
нечетных порядков ф^, ф<3>, ... имеют четность, противоположную
ф(°>. Из D4.17) тогда следует, что вещественная и мнимая части
амплитуды ф имеют разную четность, причем вещественная

3io устойчивость конвективного движения [гл.х
часть имеет ту же четность, что и ф<°), а мнимая часть —про-
—противоположную. Таким образом, амплитуды ф при R Ф 0 не об-
обладают определенной четностью. Так, например, разложение ф,
выходящее из четного уровня ф^ (/ = 0, 2, 4, ...), при малом
R имеет малую мнимую часть, нечетную по х. Несмотря на это
обстоятельство, удобно называть уровни спектра «четными»
для / = 0,2,4, ... и «нечетными» для /= 1,3,5, ..., поскольку
при R-*0 они переходят соответственно в четные и нечетные
уровни невозмущенного спектра.
Нетрудно видеть, что аналогичными свойствами обладают и
решения сопряженной задачи.
Последовательные приближения ф<п) и Мп> удобно находить
методом возмущений, разлагая ф<п) по базисной системе соб-
собственных функций невозмущенной задачи. Соответствующие
формулы для поправок 1-го и 2-го порядка получены в ра-
работе [4].
3. Колебательные возмущения. Из вещественности разложе-
разложения декрементов по степеням числа Рейнольдса следует вывод
о монотонности возмущений лишь при малых R. Ввиду несамо-
несамосопряженности краевой задачи декременты при конечных зна-
значениях параметра R могут стать комплексными, т. е. могут воз-
возникнуть колебательные возмущения. Имеется, таким образом,
полная аналогия с поведением возмущений равновесия в маг-
магнитном поле (§ 26).
Получим необходимое условие появления колебательных
возмущений. Для этого разобьем решение основной и сопря-
сопряженной задач на четную (индекс g) и нечетную (индекс и) ча-
части:
Умножая D4.1) поочередно на tyg и -фи, а D4.3) — на ф^ и фи
и интегрируя, получим четыре интегральных соотношения, из
которых с учетом свойств четности и определения операторов
ЯиЯ+ можно найти (аналог соотношения B6.6)):
(Г - Я) J (фв ДФа - % Аф^) dx = 0. D4.18)
Входящий в это соотношение интеграл обозначим /. В слу-
случае колебательных возмущений Я ф Я*, и потому необходимым
условием появления колебательных возмущений является обра-
обращение в нуль интеграла /.
Рассмотрим сначала значение интеграла / на разных уров-
уровнях спектра при R = 0. Так как в этом предельном случае крае-
краевая задача является самосопряженной, можно выбрать ампли-
амплитуды ф и г|? совпадающими. Значение интеграла / при этом
определяется четностью уровня. На четных уровнях фи = г|?и = 0,

§44] ДВИЖЕНИЕ С НЕЧЕТНЫМ ПРОФИЛЕМ СКОРОСТИ 311
и (в силу нормировки D4.12)) имеем /= 1. На нечетных уров-
уровнях соответственно Ф^ = г|?^ = О и/ = — 1. ,
Из непрерывности ясно, что при малых R интегралы на чет-
четных и нечетных уровнях отличны от нуля и сохраняют тот же
знак, что и при R = 0. Обращение интеграла / на каком-либо
уровне в нуль может поэтому произойти лишь при конечных R.
С этим обстоятельством и связано появление комплексных де-
декрементов (колебательных возмущений).
Для более подробного выяснения условий возникновения ко-
колебательных возмущений рассмотрим пересечение двух сосед-
соседних вещественных уровней спектра (такие уровни всегда обла-
обладают разной четностью). С этой целью воспользуемся методом,
уже применявшимся при исследовании возмущений равновесия
в магнитном поле (§ 26).
Пусть Ro — значение числа Рейнольдса, при котором два со-
соседних декремента Х\ и %2 вещественны и близки. Обозначим че-
через ф1 и фг соответствующие амплитуды, а через i|?i и -фг — со-
сопряженные амплитуды. Амплитуда в близкой точке Ro + 6R
находится из уравнения
Д2Ф - Ik (Ro + 6R) Яф = - Я Дф D4.19)
и может быть приближенно представлена в виде
<P = Ci<Pi+<VP2. D4.20)
Подставляя D4.20) в D4.19), умножая поочередно на -ф[ и -ф*
и интегрируя, пользуясь условием ортогональности D4.4), по-
получим систему линейных однородных уравнений для с\ и с2.
Приравнивая нулю определитель этой системы, получим фор-
формулу, определяющую декременты вблизи точки Ro:
Л[(Я
± ]/|K*i -**) + (Ум - V22) 6R]2 + Vl2V2l FRJ, D4.21)
где обозначено
mh(pmdx
Приступая к анализу формулы D4.21), напомним, что в об-
области вещественности декрементов, в которой справедливы раз-
разложения D4.5), амплитуды ф и -ф «четного» уровня имеют чет-
четную вещественную и нечетную мнимую части, а на «нечетном»
уровне — наоборот. Поэтому легко видеть, что матричные
Элементы Уц и У22 — вещественные, а УХ2 и У2{ — мнимые;

312 УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. X
выражение же, стоящее под корнем в D4.21), всегда веще-
вещественное.
Формула D4.21) определяет два декремента Я+ и Х-. Коор-
Координата точки пересечения этих декрементов (если такое пере-
пересечение возможно) есть R* = Ro + 6R, где 6R находится из
условия обращения в нуль подкоренного выражения. Легко ви-
видеть, прежде всего, что невозможно «простое пересечение», при
коГором оба декремента вещественны по обе стороны от точки
пересечения. В самом деле, для такого пересечения необхо-
необходимо, чтобы V12V21 равнялось нулю тождественно по Ro, что за-
заведомо не имеет места. Если же V12V21 ф 0, то ситуация опре-
определяется знаком этого произведения. При Vri2l/2i>0 подко-
подкоренное выражение существенно положительно при всех 6R и
пересечение вообще невозможно. Необходимым условием пере-
пересечения является V12V21 < 0; при этом в точке R* происходит
«слияние» вещественных декрементов (подкоренное выражение
обращается в нуль), а при R > R* декременты %+ и i- обра-
образуют комплексно-сопряженную пару (подкоренное выражение
становится отрицательным).
Решая систему уравнений для коэффициентов сх и с2,
можно найти амплитуды ф+ и ф_ и показать, что в точке R*
они совпадают; в этой точке обращаются в нуль оба интеграла
J+ и/_ (см. D4.18)).
Итак, соседние (и, следовательно, обладающие разной чет-
четностью) вещественные декременты либо вовсе не пересекаются,
либо сливаются в некоторой точке R*, образуя комплексно-со-
комплексно-сопряженную пару.
Подчеркнем, что выводы относительно структуры спектра,
содержащиеся в пп. 2 и 3, не связаны с конкретным видом про-
профиля скорости. Существенным является лишь свойство нечет-
нечетности этого профиля.
4. Численный расчет спектра. Для конкретного расчета
спектра и исследования устойчивости течения с кубическим
профилем скорости удобно воспользоваться методом Галеркина.
Расчет был выполнен Р. В. Бирихом [5»9].
В качестве системы базисных функций выберем амплитуды
нормальных возмущений покоящейся жидкости ф^, определен-
определенные соотношениями D4.8) — D4.12) *). Решение краевой задачи
D4.1) ищем в виде линейной комбинации N базисных функций
1) Этот базис был предложен Г. И. Петровым; им же доказана сходи-
сходимость метода Галеркина в применении к краевой задаче Орра — Зоммер-
фельда [10«п]. Базис ф^ применялся для расчета устойчивости течения
Пуазеиля [12] и спектра возмущений течения Куэтта [13].

§ 44] ДВИЖЕНИЕ С НЕЧЕТНЫМ ПРОФИЛЕМ СКОРОСТИ 313
Стандартная процедура метода Галеркина приводит к системе
линейных однородных алгебраических уравнений для коэффи-
коэффициентов сп
2 [(|1Я - Л) Ьтп - ikRHmn] cn = 0. D4.22)
/1=0
Здесь [in — декременты возмущений в покоящейся жидкости
(в пп. 2 и 3 обозначались Я^), а Нтп = J Ф^Яф^ dx — веще-
вещественные матричные элементы. Задача нахождения спектра де-
декрементов X сводится, таким образом, к отысканию корней ха-
характеристического уравнения, получающегося приравниванием
нулю определителя однородной системы D4.22)
det [(щ - X) 6тп - ikRHmn] = 0, D4.23)
т. е. к проблеме нахождения собственных значений матрицы
C=\\\int>mn-ikRHmn\\.
Ввиду нечетности профиля скорости матричные элементы Ншп
отличны от нуля лишь для индексов тип разной четности.
Это обстоятельство позволяет матрицу С унитарным преобра-
преобразованием привести к вещественной матрице
А = |nAm + (-l)m+I тНтп\- D4.24)
Из вещественности матрицы А следует, что ее собственные
числа (декременты X) либо вещественны, либо образуют ком-
комплексно-сопряженные пары (как было показано выше в п. 3,
комплексно-сопряженные пары возникают в результате слияния
вещественных уровней разной четности по мере увеличения-
числа Рейнольдса).
Для получения спектра декрементов в достаточно широкой
области значений параметра &R требуется использовать боль-
большое число базисных функций. Это приводит к необходимости
дйагонализировать матрицу высокого порядка, что- может быть
сделано лишь с помощью ЭВМ. В работах [5»9] применялся ор-
ортогонально-степенной метод [м]. Использовались приближения,
содержащие до 36 базисных функций. Сравнение результатов,
полученных с разным числом функций, показало, что этого при-
приближения достаточно для надежного определения десяти ниж-
нижних уровней спектра декрементов в области значений пара-
параметра Щ < 5000.
На рис. 116 приведены спектры декрементов для двух зна-
значений волнового числа k. Их вид 'вполне соответствует об-
общим представлениям о структуре спектров течений с нечетным

314
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
профилем. Видны попарные слияния вещественных уровней с
порождением колебательных возмущений. Образующиеся в ре-
результате слияний колебательные возмущения распространяются
в потоке в виде затухающих волн (Кг > 0) с фазовыми скоро-
скоростями c — Xi/k, также приведенными на .рисунках. (Заметим,
что двум комплексно-сопряженным-декрементам соответствуют
волны, бегущие в потоке в противоположные стороны с одина-
одинаковыми по величине фазовыми скоростями). При &=1 ниж-
нижний уровень спектра, оставаясь вещественным, пересекает ось
0,06
и
Л-7
' 8-5^
20
\^
46
Рис. 116. Декременты и фазовые скорости возмущений течения с кубическим профилем.
R. Правее точки пересечения декремент отрицателен, что соот-
соответствует монотонной неустойчивости. Критическое число Рей-
нольдса зависит от волнового числа k. Нейтральная кривая
имеет минимум при &т=1,3; минимальное критическое число
Рейнольдса Rm = 83. Со стороны больших k нейтральная кри-
кривая ограничена асимптотой к0 « 2; все мелкомасштабные воз-
возмущения с k>k0 затухают (см., например, рис. 116, k = 4;
для всех возмущений %г > 0).
Таким образом, течение с кубическим профилем скорости,
в отличие, например, от течения Пуазейля, становится неустой-
неустойчивым при сравнительно небольших числах Рейнольдса. Это',

§ 45] КОНВЕКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОВ 315
несомненно, связано с нестабильностью границы раздела ме-
между встречными потоками, что подтверждается анализом фор-
формы критических возмущений (более подробно об этом пойдет
речь в следующем.параграфе).
§ 45. Конвективное движение в вертикальном слое
Перейдем теперь к рассмотрению спектра возмущений и
устойчивости конвективного течения между вертикальными
плоскостями в полной постановке — с учетом тепловых факто-
факторов. Как уже указывалось, задача об устойчивости такого тече-
течения была поставлена в работах I1"8], где на основе первых при-
приближений метода Галеркина получена . оценка критических
чисел Грасхофа. Позднее подробное исследование спектров воз-
возмущений и устойчивости было проведено с помощью ЭВМ в ра-
работах Р..Н. Рудакова [15'16], а также в [59].
1. Возмущения при малых числах Грасхофа. Амплитуды
возмущений скорости и температуры в конвективном потоке
удовлетворяют уравнениям D3.11), D3.12) и граничным усло-
условиям D3.13). Ясно, что спектр возмущений, определяемых этой
краевой задачей, богаче рассмотренного в предыдущем пара-
параграфе спектра, получающегося в пренебрежении тепловыми
факторами, поскольку появляются дополнительные ветви, свя-
связанные с температурными возмущениями.
Номенклатура спектра может быть введена на основе рас-
рассмотрения предельного случая G = 0 (неподвижный слой жид-
жидкости между вертикальными плоскостями, поддерживаемыми
при одинаковых температурах). Полагая в D3.11), D3.12)
Q = 0, получим амплитудные уравнения
-~Де(о> + й(о)в(о) = О D5.2)
с граничными условиями:
при х=±1 ф(°> = ф<0>' = 0, 9@) = 0. D5.3)
Здесь Д = d2/dx2 — k2, a W°> — декременты возмущений в непо-
неподвижном слое жидкости.
Из D5.1) — D5.3) видно, что возможны два типа возмуще-
возмущений. Возмущения первого типа (их можно назвать «гидродина-
«гидродинамическими») получаются, если положить 8<°> = 0. При этом
уравнение D5.2) удовлетворяется, а амплитуды скорости на-
находятся как собственные функции задачи
ДУ°> + цДф@> = 0; Ф«» = ф«»' = 0 при *=±1, D5.4)
где.[х — декременты «гидродинамических» возмущений, .

316 УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. X
Возмущения другого типа соответствуют 8<°> Ф 0 («тепло-
(«тепловые» возмущения). Амплитуды тепловых возмущений 0(О) и их
декременты, которые мы далее будем обозначать v, опреде-
определяются как собственные функции и србственные значения за-
задачи:
^-Ae(o) + ve(o) = o, e(o) = o при x = ±i. D5.5)
Из-за наличия конвективной силы возникновение в жидкости
возмущения температуры 9<0) приводит к движению, которое
может быть найдено из уравнения D5.1), где теперь 9<0) и
А,(°) = v — известные решения задачи D5.5).
Спектр «гидродинамических» возмущений обсужден в пре-
предыдущем параграфе; собственные функции и декременты М°> =
= |i определены формулами D4.8) — D4.12). Спектр «тепло-
«тепловых» возмущений легко находится из D5.5):
D5.6)
Итак, в неподвижном слое жидкости возможны «гидроди-
«гидродинамические» и «тепловые» возмущения. Их декременты веще-
вещественны и положительны (возмущения монотонно затухают).
Декременты «гидродинамических» возмущении \х не зависят от
теплопроводности жидкости, а определяются лишь вязкостью и
масштабом возмущения. Декременты «тепловых» возмущений
v пропорциональны теплопроводности жидкости и не зависят
от вязкости (напомним, что за единицу времени выбрана вели-
величина A2/v). Положение ц-уровней не меняется с изменением
числа Прандтля Р, тогда как v-уровни при увеличении Р сгу-
сгущаются в нижней части спектра.
Если увеличивать разность температур между плоскостями
(при этом число Грасхофа G будет увеличиваться от нуля), то
уровни «гидродинамических» и «тепловых» возмущений будут
смещаться. Из непрерывности ясно, что при малых G эти сме-
смещения невелики. Поэтому можно (по крайней мере, при малых
G) условно говорить о |i- и v-ветвях спектра, сохраняя класси-
классификацию, справедливую, строго говоря, лишь при G = 0.
Чисто гидродинамический подход, развитый в предыдущем
параграфе, позволяет следить лишь за fx-ветзями спектра.
В полном же спектре присутствуют еще и v-ветви. Кроме того,
конечно, взаимодействие тепловых и гидродинамических воз-
возмущений при Gt^O приводит к существенному изменению гид*
COS р^0) X
sin p(j0) x
(/ = 1,
2,
3,
4,
5,
o,
1, 2,

§ 45] КОНВЕКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ 317
родинамических ветвей (оба типа возмущений независимы лишь
в предельном случае G = 0). .
Декременты возмущений и их амплитуды при малых раз-
разностях температур между плоскостями могут быть найдены
в виде разложений по малому параметру. В полной аналогии
с тем, как это описано в предыдущем параграфе, в рассматри-
рассматриваемой задаче можно искать решение в виде рядов по степе-
степеням g = ikG:
Ф = Ф@) + ?ФA) + ?2ФB)+ ...,
D5.7)
Нулевым приближением (ср<0>, 8<°\М°>) здееь является задача
D5.1) — D5.3) о возмущениях при нулевой разности темпера-
температур между плоскостями (g = 0); она дает «невозмущенный»
спектр амплитуд и декрементов. Поправки к амплитудам и де-
декрементам, возникающие при отличной от нуля (но достаточно
малой) разности температур, получаются путем решения урав-
уравнений последовательных приближений. В каждом порядке при-
приходится решать неоднородную задачу, условие разрешимости
которой дает* соответствующую поправку к декременту. Ампли-
Амплитуды ф<п), 9<п> удобно искать в виде разложений по невозму-
невозмущенным амплитудам. Стандартная техника теории возмущений
приводит к довольно громоздким формулам, позволяющим по-
получать поправки к амплитудам и декрементам [1б].
Важное свойство разложений D5.7) состоит в том, что, как
и в случае произвольного изотермического нечетного профиля
(см. предыдущий параграф), в интересующем нас случае кон-
конвективного движения обращаются в нуль все нечетные по-
поправки: АЯ> = W3> = ... = 0, и потому разложение декремента
по степеням числа Грасхофа оказывается чисто вещественным:
Таким образом, возмущения, возникающие в нечетном кон-
конвективном течении между вертикальными параллельными плос-
плоскостями при малых разностях температур, монотонны. Коле-
Колебательные возмущения могут возникнуть лишь при конечных
значениях числа Грасхофа1). Из приводимых ниже численных
результатов будет видно, что возникновение колебательных воз-
возмущений, как и в случае изотермического течения, связано со
1) Исключение составляют лишь случаи «вырождения» невозмущенного
спектра. Если при некоторых частных значениях параметров Р и k имеется
совпадение декрементов гидродинамического и теплового возмущений (\х = v),
то обычные формулы теории возмущений не верны. Численные расчеты [18]
показывают, что в этом случае возможно появление колебательных эозмуще,-
ний при сколь угодно малом значении параметра g.

318 УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. X
слиянием вещественных уровней и с порождением в точке слия-
слияния пары комплексно-сопряженных декрементов.
2. Численный расчет спектра и устойчивости. Описанный
выше метод, основанный на разложении амплитуд и декремен-
декрементов в ряды по числу Грасхофа, позволяет получить удобную
классификацию ветвей спектра и исследовать структуру воз-
возмущений при малых G. Для изучения спектра декрементов и
амплитуд при конечных значениях числа Грасхофа можно про-
провести расчет методом Галеркина.
В качестве базисных функций удобно выбрать амплитуды
ф(^о) и 0@) возмущений в слое жидкости при g = 0, т. е. соб-
собственные функции краевых задач D5.4) и D5.5). Амплитуды ф
и 8 представим в виде разложений
N-1 М-1
ф= 2 ад>„, в— 2 Mm D5.8)
/i=0 т=0
(здесь и далее мы для краткости опустим значок (°> у базисных
амплитуд). Подставляя эти разложения в исходные амплитуд-
амплитудные уравнения D3.11), D3.12) и составляя условия ортогональ-
ортогональности метода Галеркина, придем к следующей линейной одно-
однородной системе N + М уравнений для коэффициентов разложе-
разложений ап и Ьт:
ЛГ—1 М-1
2 [(\Ln-b)f>nr-ikGHrn\an- 2 Dmrbm = 0
0 0
D5.9)
(г = 0, 1, .
JV-1 М-1
S ikGCsnan+ 2 [(vm
/1=0 m«=0
(s = 0, 1, .... М-1).
Матричные элементы определяются следующим образом:
#r/i = "у" J Фг#Фи dx> Dmr = -J^ J втфг dxt
csn = J в*Фп dx, вш == J e joe, dx,
Jr = J фг Лфг dx\
Учитывая нечетность профиля конвективной скорости /0, я так-
также свойства четности базисных функций, легко показать, что
Матричные элементы Н, В и D отличны от нуля лишь в случав
индексов разной четности, а С — в случае одинаковой четности»

§ 45] КОНВЕКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ 319
Условие существования нетривиального решения системы
D5.9) состоит в требовании равенства нулю ее определителя.
Из этого условия определяется спектр характеристических де-
декрементов К. Задача сводится, таким образом, к определению
собственных значений соответствующей матрицы; унитарным
преобразованием она может быть приведена к вещественному
виду.
Определение собственных чисел и собственных векторов, как
и в случае нечетного изотермического профиля, проводилось
численно на ЭВМ с помощью ортогонально-степенного метода.
Использовались приближения, в которых разложения D5.8) со-
содержали одинаковое число членов N = М = 14. Путем сравне-
сравнения результатов, получающихся с меньшим числом базисных
функций, установлено, что указанное приближение дает доста-
достаточно точные значения декрементов нижних 9—14 уровней
спектра при значениях параметра /Ю<2500.
На рис. 117 приведены примеры спектров декрементов.
Видно, что при малых G декременты вещественны. С увеличе-
увеличением G происходит попарное слияние уровней с порождением
пары комплексно-сопряженных декрементов (возникновение
осциллирующих возмущений). Простые пересечений уровней,
как и- в случае спектров изотермических течений с нечетным
Профилем, отсутствуют. Интересно подчеркнуть особенность,
хорошо видную на рис. 117,6. Гидродинамический уровень \х\
и тепловой уровень vi при некотором конечном значении G сли-
сливаются, образуя комплексно-сопряженную пару. Далее, при
увеличении G снова наступает расщепление на две веществен-
вещественные ветви. Такая особенность видна также и на рис. 117, в
(пара уровней [xOf V6).
Структура спектра довольно существенно меняется при из-
изменении числа Прандтля. При малых Р нижнюю часть спектра
составляют гидродинамические уровни (при высокой теплопро-
теплопроводности тепловые возмущения быстро затухают и соответ-
соответствующие декременты относительно велики). Спектр нижних
гидродинамических уровней в предельном случае Р <С 1 полу-
получается в точности совпадающим со спектром изотермического
течения с кубическим профилем. При Р ~ 1 декременты теп-
тепловых и гидродинамических возмущений одного порядка вели-
величины, и fi- и v-уровни спектра чередуются. При увеличении Р
происходит «просачивание» тепловых уровней в нижнюю часть
спектра.
Изучение спектров позволяет получить информацию об
устойчивости течения. На рис. 117, а видно, что нижний гидро-
гидродинамический уровень |io, остающийся вещественным при всех
G, пересекает ось G в некоторой точке. Положение этой
точки дает критическое число Грасхофа, при котором теряется

320
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X

§45]
КОНВЕКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
321
устойчивость стационарного течения по отношению к монотон-
монотонному возмущению. С увеличением числа Прандтля в связи с
проникновением в нижнюю часть спектра v-уровней происходит
перестройка спектра, и при Р = 1, например, монотонная неустой-
неустойчивость порождается «смесью» уровней \ц и vi. При больших
Р неустойчивость снова перехо- G
дит к основному гидродинамиче- 2000
скому уровню |ло, к которому при-
примешивается один из верхних
тепловых уровней (ve при Р =
= 10).
Варьируя волновое число,
можно определить зависимость
критического числа Грасхофа от
k. На рис. 118 изображена нейт-
нейтральная кривая монотонной не-
устойчивости для Р = 1. Кривая
имеет асимптоту при k0» 2; ко-
коротковолновые возмущения с
k > ka Затухают ПРИ ВСеХ ЗНаче- вертикальными плоскостями. Штрихо'
' U ^ ~ ПЫМИ ПИНИЯМИ ПТМРИРНМ ПЯЯПЙЧЫ ПЛ«
ниях числа Грасхофа.
Интересно заметить, что хотя
при изменении Р происходит до-
довольно существенная перестройка спектра, граница монотон-
монотонной неустойчивости остается мало чувствительной к этим изме-
изменениям. Критическое значение km почти не меняется; km « 1,4
\
Рис. 118. Нейтральная кривая устойчи-
устойчивости конвективного движения между
выми линиями отмечены разрезы, для
которых в § 50 проведен расчет надкри-
надкритических движений.
200
1 -^—
/
- '
V
Рис. 119. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимо-
зависимости от числа Прандтля. /-монотонная неустойчивость; //— ко-
колебательная неустойчивость.
для Р в пределах 0,01 < Р < 15. Минимальное значение Gm
также слабо меняется с изменением Р в этих пределах
(рис. 119). При Р<1 минимальное критическое число Грас-
Грасхофа не зависит от Р и равно Gw = 495. Это значение, как и
1 Г, 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

322
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
следовало ожидать (см. предыдущий параграф), соответствует
критическому числу Рейнольдса, полученному при исследова-
исследовании устойчивости изотермического течения с кубическим про-
профилем (напомним, что числа Грасхофа и Рейнольдса связаны
соотношением R = G/6).
Тот факт, что при изменении числа Прандтля в широких
пределах граница монотонной неустойчивости изменяется весь-
весьма слабо, говорит о гидродинамической природе кризиса. При
всех значениях числа Прандтля описываемая неустойчивость
Рис. 120. Декременты нижних тепловых уровней и нейтраль-
нейтральные кривые колебательной неустойчивости.
связана с нижними гидродинамическими возмущениями, и
влияние на нее тепловых факторов незначительно.
Как показывают расчеты [59], кроме обсужденной выше мо-
монотонной неустойчивости, существует также колебательная не-
неустойчивость стационарного движения. Эта неустойчивость воз-
возникает при достаточно больших числах Прандтля, превосходя-
превосходящих некоторое значение Р*. Грубая оценка этого предельного
значения впервые была получена в работе [3] на основе первых
приближений метода Галеркина. Проведенные позднее расчеты
с большим числом базисных функций привели к значению
Р*=П,4.
В отличие от монотонной неустойчивости, колебательная не-
неустойчивость существенно связана с неизотермичностью тече-
течения. Как видно из приводимого на рис. 120 спектра, она вызы-
вызывается нижними тепловыми модами. Тепловые ветви vo и vi об-
образуют пару колебательных возмущений, общая вещественная
часть которых отрицательна в некоторой области чисел Грае-

§45)
КОНВЕКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
323
хофа. Таким, образом, колебательная неустойчивость порож-
порождается нарастающими в потоке тепловыми волнами1).
Нейтральные кривые колебательной неустойчивости пред-
представлены на рис. 120. При увеличении числа Прандтля крити-
критическое волновое число km растет, стремясь к предельному зна-
значению km = 1,25. Минимальное значение Gm с ростом Р умень-
уменьшается (см. рис. 119), и
при больших Р имеет ме- {% \г
сто асимптотическая зависи-
мость
470
D5.10)
«г
Из этой формулы следует,
что при больших Р критиче-
критическая разность температур
равна em = 470\6cv3/gPA3,
т. е. растет с вязкостью по
закону v3/a.
Поскольку колебатель-
колебательная неустойчивость порож-
порождается парой комплексно-со-
комплексно-сопряженных декрементов,
возможны тепловые волны,
распространяющиеся в пото-
потоке как вверх, так и вниз.
Фазовая скорость бегущих
нейтральных возмущений
весьма близка к максималь-
максимальной скорости невозмущенно-
невозмущенного потока.
Колебательная неустой-
неустойчивость при больших Р рас-
рассматривалась также в работе Гилла и Киркхэма [58], где исполь-
использовался асимптотический метод, основанный на разложении ре-
решения по степеням параметра Р/а. Полученная в этой работе
асимптотическая зависимость Gm(P) отличается ог D5.10)
лишь значением коэффициента E90 вместо 470).
Наряду с определением характеристических декрементов, ме-
метод Галеркина позволяет найти также и форму соответствую-
соответствующих возмущений. Относящиеся к этому вопросу численные ре-
результаты содержатся в статье Р. Н. Рудакова [19]. На рис. 121
приведены в качестве примера изолинии функции тока и
б)
Рис. 121. Форма монотонно растущего возмуще-
возмущения: а) линии тока; б) изотермы (параметры со-
соответствуют точке А на рис. 117,6).
1) Следует подчеркнуть, что для нарастания тепловых волн важную роль
играет их взаимодействие с гидродинамическими возмущениями. Чисто теп-
тепловые волны в потоке с кубическим профилем, как показано в [17], затухают

324
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
температуры монотонно растущего возмущения, с которым свя-
связан кризис основного течения при малых и умеренных числах
Прандтля. Суммарное движение, образующееся в результате
суперпозиции стационарного потока и возмущения, представ-
представлено на рис. 122 1). Как видно, монотонная неустойчивость раз-
развивается в виде неподвижных вихрей на границе раздела
встречных потоков.
0,8 0J5 0,4 0,2 О
о -о,г-о/1-ор-о,8
W
3j6
а) б)
Рис. 122. Линии тока и изотермы суммарного движения.
Значения функции тока, указанные на рисунке, увели-
увеличены в 100 раз.
Итак, конвективное течение между вертикальными парал-
параллельными плоскостями оказывается неустойчивым относительно
монотонных либо колебательных возмущений (см. рис. 119).
При значениях числа Прандтля Р < 12 кризис вызывается мо-
монотонными возмущениями типа неподвижных вихрей на гра-
х) Линейная теория устойчивости, разумеется, не позволяет определить
амплитуду вторичного движения. При построении суммарного движения на
рис. 122 возмущение было нормировано таким образом, что амплитуда возму-
возмущения скорости составляла 0,1 средней скорости основного потока (в поло-
половине канала). Амплитуда вторичного движения может быть найдена на ос-
основе решения задали в нелинейной постановке (см. § 50),

§46]
КОНВЕКТИВНОЕ Д6ИЖЁНИЕ 6 НАКЛОННОМ СЛОЕ
325
нице встречных потоков. При Р > 12 более, опасными стано-
становятся колебательные возмущения в виде бегущих тепловых волн.
Упомянем еще работу Гото и Сато [18], в которой с помощью
асимптотического метода было показано, что конвективное те-
течение становится неустойчивым также и относительно волн Тол-
мина — Шлихтинга. Эта неустойчивость, однако, возникает при
очень больших разностях температур (критическое число Gm «
«4,6-10е). Наблюдать эту неустойчивость, по-
видимому, практически невозможно, поскольку
уже при гораздо меньших4 G наступает кризис
по отношению к монотонным или колебатель-
колебательным возмущениям, рассмотренным выше (эти
типы неустойчивости в работе [18] не были об-
обнаружены).
В эксперименте неустойчивость стационар-
стационарного конвективного движения может быть за-
зарегистрирована тепловыми или оптическими
измерениями [20~23]. В одной из первых экспе-
экспериментальных работ Онзагера и Уатсона [20]
исследовалась конвекция газов (N2 и СОг) в
связи с изучением режима работы термодиф-
термодиффузионной колонны, и было обнаружено, что
по мере увеличения давления газа наступает
кризис теплопроводного режима, причем кри-
критическое число Грасхофа оказалось близким
к 580. Вест и Арпаци [23] исследовали неустой-
неустойчивость стационарной конвекции в воздухе, к
которому для визуализации течения добавлял-
добавлялся табачный дым. Авторы обнаружили, что
при числе Грасхофа 540 ± 10% возникают вто-
вторичные вихри в средней части слоя (рис. 123),
с волновым числом km = 1,37. Полученные в
экспериментах значения критических парамет-
параметров, а также найденная форма возмущений
хорошо согласуются с изложенными в этом
параграфе результатами.
§ 46. Конвективное движение в наклонном
слое [24]
Рис. 123. Вторичные
движения, возникаю-
возникающие в вертикальном
слое в результате
кризиса стационарно-
стационарного движения (фото из
работы р1]; воздух,
число Грасхофа пре-
превышает критическое
на 9н).
В этом параграфе мы рассмотрим задачу
об устойчивости стационарного конвективного
движения в плоском слое, произвольно ориен-
ориентированном относительно направления силы тяжести (рис. 124).
Обобщение задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе, на
случай наклонного слоя представляет интерес по следующей
11 Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

326
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ.
причине. В наклонном слое, границы которого поддерживаются
при различных температурах, градиент температуры при ста-
стационарном течении имеет вертикальную составляющую. Если
этот вертикальный градиент направлен вниз (нижняя из плоско-
плоскостей, ограничивающих слой, имеет более высокую температуру)
и достаточно велик, то неустойчивость
возникает даже в неподвижной жидко-
жидкости. При таком расположении плоско-
плоскостей, очевидно, кроме гидродинамическо-
гидродинамического механизма неустойчивости встречных
конвективных потоков появляется еще
один механизм неустойчивости — конвек-
конвективный, связанный с подогревом жидко-
жидкости снизу. Оба механизма — гидродина-
гидродинамический и конвективный — при опреде-
определенных ориентациях слоя действуют сов-
совместно и приводят к кризису стационар-
стационарного движения.
Прежде всего, найдем стационарное
движение в наклонном слое. Предпола-
Предполагая, как и в случае вертикального слоя, что скорость имеет толь-
только продольную составляющую, а температура зависит от попе-
поперечной координаты х, получим безразмерные уравнения:
Рис. 124.. Наклонный слой.
Оси координат.
— vo + 1 о cos а,
дх
= —rosina,
D6.1)
Здесь а — угол наклона слоя к вертикали» Граничные условия
таковы:
при *===— Г уо = О, Го= 1; 1
при *=1 ©0 — 0, Го— —1. / > '
Из D6.1), D6.2) находим распределения скорости, температуры
и давления в стационарном плоскопараллельном движении:
v0 = -g- (л:3 — л:) cos a =* f 0 (л:) cos a,
Т о== ху
р0 = ~ sin a + const.
D6.3)
Таким образом, как и в случае вертикального слоя, возникает
течение с линейным распределением температуры и кубическим
профилем скорости. Интенсивность движения зависит от ориен-
ориентации слоя. Наибольшая скорость движения имеет место при
вертикальном расположении (а=0°). При а-* ±90° скорость

$46]
КОНВЕКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ В НАКЛОННОМ СЛОЕ
327
стремится к нулю. Решение D6.3) в этих предельных случаях
описывает равновесие горизонтального слоя, подогреваемого
снизу (а = —90°) или сверху (а = 90°).
Запишем теперь уравнения малых возмущений стационар-
стационарного движения. Повторяя все рассуждения § 43, получим вме-
вместо D3.11), D3.12) систему уравнений для амплитуд возмуще-
возмущений функции тока и температуры:
cos a [ftq> -
-\-iksina • e + cosa • 6' = — X(<f" — k2y);
-p- F" - fe29) + ikQ G> - f0 cos a • G) = - XQ.
D6.4)
Для ф и 8 сохраняются прежние граничные условия D3.13).
Параметрами задачи, определяющими спектр возмущений, по-
прежнему являются числа Грасхофа Q, Прандтля Р, волновое
число kf и появляется новый параметр — угол наклона слоя
к вертикали а.
Как и в частном случае вертикальной ориентации слоя, ам-
амплитудную краевую задачу будем решать методом Галеркина.
Решение представляется в виде разложений D5.8). Система
уравнений для коэффициентов ап и Ьт теперь имеет вид (со-
(сохраняются все обозначения предыдущего параграфа)
JV-1
— Л) бпг — ikQ cos a • Нгп] ап —
М-1
D6.5)
(r = 0, 1, ,,., iV-1);
w-i м-\
ikQCman + 2 [(vm -1) Ьш + ikQ cos a • Bms] bm = 0
m=0
; = 0, 1, 2, ..., 7И-1).
Эта система при a = 0 переходит в D5.9).
Вычисления проводились для значений числа Прандтля
Р < 10, при которых кризис движения связан с монотонными
возмущениями. Использовались приближения, содержавшие
N — М = 8 -т-12 базисных функций.
На рис. 125 приведены нижние уровни спектра декрементов
для различных углов наклона (параметры k и Р фиксированы).
Рис. 125, а относится к горизонтальному слою, подогреваемому
снизу. В этом предельном случае (см. § 6) все декременты
вещественны (монотонные возмущения), и возможны лишь

328
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
простые пересечения уровней. Некоторые из декрементов с ростом
G становятся отрицательными, порождая монотонную неустой-
неустойчивость. Точки пересечения уровней спектра с осью G дают
последовательность критических чисел, определяющих границы
неустойчивости равновесия жидкости1).
40
30
20
Ю
О
50
40
30
- 20
/О
О
¦ III» 1^»-
—«мне
-^
ее—90"
_—-—
"""" '—
1.-»
s^—-
'—*-^.
—
—-^
\
^>— ~л
У
ч
,^
/г)
Рис. 125. Спектр Декрементов возмущений стационарного движения в на-
наклонном слое (Pel, fc=l). Обозначения ветвей те же, что на рис. 117.
При отклонении слоя от горизонтальной ориентации струк-
структура спектра изменяется (рис. 125,6 и последующие). При
сколь угодно малом наклоне к горизонтали простые пересече-
пересечения в спектре исчезают. Возникают слияния вещественных уров-
уровней в комплексно-сопряженные пары (колебательные возмуще-
х) Получающиеся в расчете значения критических чисел Рэлея для четы-
четырех нижних уровней совпадают с точностью до десятых долей процента со
значениями, полученными в работе [25] из точного характеристического урав-
уравнения. Это обстоятельство свидетельствует о высокой точности применяемого
метода.

§46]
КОНВЕКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ В НАКЛОННОМ СЛОЕ
329
ния), иногда с последующим расщеплением — при увеличении
G — вновь на два вещественных уровня.
С точки зрения устойчивости наибольший интерес представ-
представляет нижний вещественный уровень, пересекающий ось G. При
изменении наклона положение критической точки на оси G ме-
меняется. Кроме того, в результате «перецеплений» уровней спек-
спектра происходит смена мод, ответственных за кризис. Так, при
а = —90° неустойчивость порождается нижним тепловым уров-
уровнем vo, при а = —50° — уровнем v4, а при а = 0° критическую
1ЯЮ
$00
300
J
/
-90° -60* -30°
0°
30° 60*
Рис. 126. Минимальное критическое число Грасхофа
в зависимости от угла наклона.
точку дает «смесь» теплового и гидродинамического уровней
Vi И Ц1.
Обработка спектров декрементов, построенных для разных
значений 6, позволяет найти критические числа Грасхофа и по-
построить нейтральные кривые G(k). Минимум на кривой Q(k)
дает границу устойчивости стационарного течения.
Результаты расчета показывают, что критическое значение
волнового числа km практически не зависит от Р и мало ме-
меняется с изменением наклона слоя. При изменении а от —90°
до +60° волновое число кт монотонно падает от значения 1,56
до 1,30, т. е. при любых ориентациях слоя ответственными за
кризис являются возмущения с длинами волн порядка тол-
толщины слоя.
, Минимальные критические числа Грасхофа Gm в зависимо-
зависимости от угла наклона для тре_х значений числа Прандтля приве-
приведены на рис. 126 и в таблице 9.

330
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
Таблица 9
Минимальные критические
а
-90°
-80°
-70°
-60°
-50°
-40°
-30°
-20° •
-10°
0°
10°
20°
30°
40°
50° ^
60°
Р=0,2
Gm
533
528
513
489
465
448
440
440
450,
470
510
565
660
860
1065
1580
km
1,55
1,53
1,50
1,46
1,44
1,40
1,37
1,35
1,35
1,35
1,35
1,35
1,33
1,30
1,30
1,28
числа Грасхофа
в зависимости от
наклона слоя
р=1
Gm
106,8
112,4
131
407
475
470
462
462
471
497
532
590
682
827
1085
1583
,55
,54
,50
,45
1,45
1.45
1,43
1,43
1,42
1,42
1,40
1,40
1,38
1,35
1,33
1,32
Р-5
Gm
21,3
22,6
29,1
378
443
453
453
458
466
490
527
583
678
830
1087
1595
угла
1,55
1,54
1,52
1,48
1,43
1,42
1,42
1,42
1,40
1,40
1,38
1,37 '
1,36
1,35
1,34
1,32
Можно выделить две области углов. При ориентациях слоя,
близких к горизонтальной (—90° < а < —50°), критические
числа Gw существенно зависят от числа Прандтля. Произведе-
Произведение же Gm-P практически постоянно. Таким образом, в этой
области углов граница устойчивости определяется числом Рэ-
лея Rm = Gm-P, что характерно для конвективной неустойчи-
неустойчивости равновесия. Ясно, что кризис в этой области углов связан
с механизмом конвективной неустойчивости жидкости, подогре-
подогреваемой снизу. В самом деле, при а = —90° имеет место явле-
явление порога конвекции в чистом виде. При почти горизонталь-
горизонтальном расположении слоя кризис, очевидно, также имеет конвек-
конвективную природу, с той лишь разницей, что теперь неустойчивость
развивается не в покоящейся жидкости, а на фоне медленного
движения, обусловленного малым горизонтальным градиентом
температуры.
В области углов а > —50° картина иная. Конвективный ме-
механизм неустойчивости в этой области не является* основным,
а при а > 0° и вовсе отсутствует, так как при таких ориента-
ориентациях слоя нагретая плоскость расположена сверху, что соответ-
соответствует устойчивой стратификации. Кризис стационарного тече-
течения в этих условиях имеет гидродинамическую природу и воз-
возникает в результате взаимодействия встречных конвективных
потоков. Определяющим параметром теперь является число

46]
КОНВЕКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ В НАКЛОННОМ СЛОЕ
331
Грасхофа, практически не зависящее от числа Прандтля, —
в этом находит отражение слабое влияние тепловых факторов
на устойчивость движения.
Предельный случай а-*90° соответствует равновесию гори^
зонтального слоя, подогреваемого сверху. Такое равновесие
устойчиво, и потому Gm —>оо при а—> ЭО0.
Итак, при изменении угла наклона а от —90° до 90° в об*
ласти а ~ —60° происходит смена механизма неустойчивости
стационарного движения. Интересно отметить, что этот пере-
переход происходит без скачка: критическое число Грасхофа непре-
непрерывно меняется вдоль одной вет-
ветви неустойчивости.
Особого рассмотрения заслу-
заслуживает вопрос о поведении ко-
коротковолновых возмущений при
разных углах наклона.
В подогреваемом снизу гори-
горизонтальном слое жидкости корот-
коволновые возмущения со сколь
угодно большими волновыми чис-
лами приводят к неустойчивости
при достаточно больших ^ значе- Рис. 127. Карта устойчивости и неустой.
НИЯХ ЧИСЛа РЭЛеЯ. На НеИТраЛЬ- чивости коротковолновых возмущений.
ной кривой при больших k кри- ^Г
тические числа Рэлея монотонно
DaCTVT ПО ЗаКОНу К ~ &4
(см. §§ 5, 6). При вертикальной
же ориентации неустойчивость
порождают лишь возмущения с достаточно большой длиной
волны. Нейтральная кривая G(k) (рис. 118) имеет асимптоту
при k = fcOl и коротковолновые возмущения с k > k0 затухают
при всех G.
Рис. 127 дозволяет получить ответ на вопрос о поведений
возмущений с k > k0 в переходной области углов. На этом ри*
сунке изображена карта областей устойчивости и неустойчиво-
неустойчивости, порождаемых двумя нижними ветвями спектра (vo и ц0)-
На вертикальном разрезе а = — 81° отмечены характерные
точки. В области (а—б) имеет место монотонная неустойчи*
вость по отношению к vo-возмущению. В области (б—в) моно-
монотонно нарастают оба возмущения. В точке в происходит слия-
слияние цо- и vo-ветвей с образованием пары растущих колебатель-
колебательных возмущений; (в—г)—область колебательной неустойчиво-
неустойчивости. В области выше точки г оба колебательных возмущения
затухают.
Из рисунка видно, что с увеличением угла наклона к гори*
зонтали происходит «замыкание» соседних уровней конвективной
и 2-устойчивости, 3 и 4- монотонной

332 Устойчивость конвективного движения (гл. х
неустойчивости, и выше определенного значения угла на-
наклона коротковолновая неустойчивость исчезает. Для тех пара-
параметров, к которым относится рис. 127, предельный угол на-
наклона составляет 15°. Расчет показывает, что чем больше к,
тем быстрее исчезает неустойчивость при отклонении слоя от
горизонтали. Любопытно, что в определенной области парамет-
параметров (область 5 на рис. 127) существует колебательная неустой-
неустойчивость по отношению к коротковолновым возмущениям.
В заключение заметим, что, как показано в [24], аналогич-
аналогичным образом дело обстоит и с верхними уровнями конвектив-
конвективной неустойчивости. При небольшом отклонении слоя от гори-
горизонтали происходит «замыкание» верхних уровней, а основной
уровень конвективной неустойчивости непрерывно переходит в
единственный уровень монотонной неустойчивости движения.
§ 47. Пространственные возмущения [26]
В теории устойчивости плоскопараллельных изотермических
течений существует известное преобразование Сквайра [27«6],
сводящее задачу об устойчивости относительно пространствен-
пространственных возмущений к соответствующей задаче для плоских возму-
возмущений. Полученные Сквайром формулы преобразования числа
Рейнольдса и волнового числа позволяют получить всю инфор-
информацию об устойчивости из решения двумерной краевой задачи
Орра—Зоммерфельда. При этом оказывается, что плоские воз-
возмущения более опасны: им соответствуют наименьшие критиче-
критические числа Рейнольдса.
В этом параграфе мы рассмотрим пространственные возму-
возмущения стационарного конвективного движения в плоском на-
наклонном слое. В этом случае, как будет видно, также суще-
существуют преобразования, аналогичные преобразованиям Сквай-
.ра, с помощью которых можно свести пространственную задачу
к плоской. Благодаря этому все выводы об устойчивости отно-
относительно пространственных возмущений можно получить из ре-
результатов решения плоской задачи, изложенных в предыду-
предыдущем параграфе. Как оказывается, в отличие от изотермических
потоков, плоские возмущения отнюдь не всегда являются наи-
наиболее опасными.
Будем исходить из общих уравнений D3.7) и рассмотрим
пространственные нормальные возмущения, в которых отличны
от нуля все три компоненты скорости (vx,vy, vz) и все величины
периодически меняются вдоль осей у и ,г, параллельных грани-
границам слоя:
(t>*. »„, vX9 Г, р) ~ ехр [- М + i{kyy + kzz)\.
Здесь kv и kz — волновые числа по осям j/иг.

§471
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
333
Из D3.7) следуют амплитудные уравнения для простран-
ственных возмущений:
— Xvx + ikfi cos a • fovx = —p' + (v^ — k2vx) — sin а • 6,
- Kvy + ikfi cos а • fovy = - ikyp + {y"y - k2vy),
— Xvz + ikfi cos а • fovz + G cos а • f'Qvx =
= - ikzp + (i? - k2vz) + cos а • 6'
- Я9 + ikfi cos а • /09 + GT'Qvx = -p" (Q// -
D7.1)
Здесь теперь через k2 обозначено k2-\- k2z; все остальные обо-
обозначения— те же, что и в предыдущем параграфе.
Амплитуды возмущений удовлетворяют однородным гранич-
граничным условиям
при х = ± 1 vx = vy = vz = 0; 6 = 0. D7.2)
Соответствующая краевая задача для плоских возмущений
получается, если положить vy = 0, ky = 0 и
(vX9 vz, f, p) - exp (- it + ikz)
(далее мы будем отмечать чертой сверху все неизвестные функ-
функции и параметры, относящиеся к плоской задаче). Запишем
амплитудные уравнения для-плоских возмущений:
— Xvx + ikQ cos а • fovx = — р' + (ух — k2vx) — sin а • в,
— Xvz + ikG cos а • fovz + G cos а • f'ovx =
= - ikp + (€% - k2v2) + cos а • в, I D73)
— KQ + /ftGcosa • /0§4- GT'vx = -L-(Q" — fe2e),
и граничные условия
при х= ± 1
= vz = 0, б = 0.
D7.4)
Плоская задача D7.3), D7.4) полностью эквивалентна
D6.4); отличие состоит лишь в том, что теперь мы в качестве
неизвестных используем обе компоненты скорости, а не функ-
функцию тока.
Легко убедиться в том, что пространственная задача D7.1),
D7.2) может быть сведена к плоской D7.3), D7.4) при

334 УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ ' [ГЛ. X
помощи следующих преобразований неизвестных функций и па-
параметров:
sin a • 0 == sin d • 9, kz cos а • 9 = k cos d • 9;
kfi cos а = kQ cos d, G sin а = Q sin d,
D7.5)
Система условий D7.5) непротиворечива. Из нее, в частно-
частности, следуют формулы преобразования числа Грасхофа, волно-
волнового числа и угла йаклона слоя к вертикали:
sin2 d + (-?-Jcos2 d,
l kz ' D7.6)
Таким образом, критическое число Грасхофа G трехмерных
возмущений с волновыми числами ky и kz для слоя, ориентиро-
ориентированного под углом а к вертикали, можно определить _с по-
помощью формул D7.6), если известно критическое число G для
плоских возмущений с волновым числом k в слое, наклонен-
наклоненном под углом d (отличным от а).
Обсудим, прежде всего, два частных случая.
Если слой жидкости расположен горизонтально (а = ±90°),
то скорость стационарного движения обращается в нуль (см.
D6.3)), и получается задача об устойчивости равновесия. При
этом, как видно из D7.6), d = ±90° и G = G, т. е. имеет место
известное вырождение рэлеевской границы неустойчивости для
конвективных ячеек и валов (§ 5).
В случае вертикального слоя (а = 0) из D7.6) находим
Поскольку klkz ^ 1, то G ^ G, т. е., как и в случае изотермиче-
изотермического течения, трехмерным возмущениям соответствуют более
высокие критические числа Грасхофа, и следовательно, плоские
возмущения (ky = 0) наиболее опасны.
При произвольном а критические числа для пространствен-
пространственных возмущений могут быть получены путем пересчета крити-
критических параметров плоских возмущений по формулам D7.6).
При пересчете удобно считать фиксированным отношение а =
= kz/k. Этот параметр изменяется в пределах 0 ^ a <: 1. Зна-
Значение а = 1 получается при ky = 0 и соответствует плоским
возмущениям (валы с горизонтальными осями). Другой пре-

дельный случай а = 0, т. е. kz = О, соответствует возмущениям,
не зависящим от г и периодически зависящим от горизонталь-
горизонтальной координаты у (валы, оси которых параллельны скорости
основного движения).
Минимальные критические числа Gm пространственных воз-
возмущений в зависимости от угла наклона слоя для различных
значений параметра а при-
сл?_ в ; ведены на рис. 128.
Как видно из рис. 128, а,
относящегося к значению
числа Прандтля Р = 5, при
а ^ 0 (вертикальная ориен*
W
Рис. 128. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от угла наклона слоя
» для пространственных возмущений.
тация слоя, либо наклонная ориентация при условии, что верх*
няя плоскость имеет более высокую температуру) наиболее опас-
опасны плоские возмущения (а=1). Если же а < 0 (наклонный
слой, подогреваемый снизу), то в значительной области измене-
изменения а более опасны пространственные возмущения, причем аб*
ческого числа Gm(cc) в этом важном предельном случае можно
найти непосредственно из общей задачи для пространственных
возмущений D7.1), D7.2), полагая kz = 0. Для vx, vy и G при
этом получаются уравнения:

336 УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. X
Эти уравнения не содержат скорости основного движения и от-
отличаются от уравнений возмущений равновесия лишь заменой
g —> — gsina (g — ускорение силы тяжести). Граница устойчи-
устойчивости находится из условия К = 0 минимизацией G(ky). Решение
задачи известно: критическое число Рэлея для случая обеих твер-
твердых границ, равно 1708. В нашем случае в качестве единиц рас-
расстояния и температуры выбраны полуширина слоя и полураз-
полуразность температур. Поэтому
г- п • 1708
-GmPsina = -1g-,
и критическое число Грасхофа для возмущений с kz = 0 есть
D7.8)
Эта формула дает абсолютный минимум Gm в интервале уг-
углов —90° ^ a < а*, где значение а* определяется пересечением
кривых, соответствующих а = 0 и а= 1. Значение а* зависит
от числа Прандтля. Для Р = 5, например, а# = —2,5°. При
уменьшении Р точка пересечения а* сдвигается влево. Так, при
Р=1 имеем а* =—13°, а при достаточно малых значениях
числа Прандтля а*->— 90°. При Р = 0,2 (рис. 128,6) абсолют-
абсолютный минимум Gm для всех углов a > —90° переходит к плос-
плоским возмущениям с а = 1. Для a = —90° имеется вырождение,
о котором говорилось выше.
Итак, в отличие от изотермических потоков, для конвектив-
конвективного течения плоские возмущения отнюдь не всегда наиболее
опасны. Ситуация определяется двумя параметрами — числом
Прандтля и углом наклона. При достаточно больших значениях
числа Прандтля1) и a < а* наиболее опасны пространственные
возмущения. С изменением угла наклонд происходит смена
формы неустойчивости — от пространственных возмущений при
a < a# к плоским при a>*a* (рис. 129). Для достаточно боль-
больших Р критическое значение а* близко к нулю (в случае строго
вертикальной ориентации, однако, при всех Р наиболее опасны
плоские возмущения). С уменьшением Р расширяется область
углов, внутри которой главную опасность представляют плоские
возмущения. При малых Р (практически при Р < 0,25) плос-
плоские возмущения наиболее опасны при всех а.
В заключение заметим, что смена форм неустойчивости свя-
связана с наличием двух физически различных механизмов, о ко-
которых говорилось в предыдущем параграфе. В самом деле,
в рэлеевской области ответственными за неустойчивость яв-
являются пространственные возмущения; кризис этих возмущений
Здесь речь идет лишь о монотонной ветви неустойчивости (см. § 45).

$.48)
блйянйЕ продольного градиента температуры
337
связан лишь с неустойчивой температурной стратификацией и
яе зависит от стационарного движения жидкости (скорость этого
движения при углах, близких к —90°, мала, и само по себе это
движение гидродинамически устойчиво). В случае же верти-
вертикального расположения слоя и тем более при а > 0° причиной
кризиса служит гидродинамическая неустойчивость встречных
конвективных потоков; при этом наиболее опасны, как и в изо-
изотермических потоках, плоские возмущения.
Рис. 129. Схематическое изображение критических движений, а) пло-
плоские вихри на границе встречных потоков (оси вихрей горизонтальны;
a—I, a > ctj; б —пространственные спиральные движения (оси ва-
валов параллельны направлению основного потока; а=0; а < а*).
Если число Прандтля мало (малая вязкость), то уже не-
небольшое отклонение слоя от горизонтали (а ^ —90°) приводит
к достаточно интенсивному конвективному движению, и в этом
случае даже в рэлеевской области неустойчивость имеет гидро-
гидродинамическую природу и связана с развитием плоских возму-
возмущений.
§ 48. Влияние продольного градиента температуры
и магнитного поля на устойчивость движения
В этом параграфе мы рассмотрим обобщения задачи об
устойчивости движения в вертикальном слое, учитывающие на-
наличие одного из двух факторов — продольного градиента тем-
температуры или магнитного поля. Продольный градиент темпера-
температуры или поперечное магнитное поле (в случае проводящей
жидкости) существенно влияют на интенсивность движения и
профиль скорости, а также на развитие возмущений. Поэтому
эти факторы оказывают значительное влияние и на устойчи-
устойчивость движения.

338 Устойчивость конвективного движения (гл. х
1. Продольный градиент температуры. Рассмотрим сначала,
следуя работе [28], влияние продольного градиента температуры.
Будем считать, что кроме поперечной разности температур ме-
между плоскостями 2в, имеется еще и постоянный по высоте вер-
вертикальный градиент температуры А (А > 0 соответствует подо-
подогреву снизу). Граничные условия для температуры, заменяю-
заменяющие D3.2), теперь запишутся в виде
при x=Th T0=±Q — Az. D8.1)
Легко убедиться в том, что и в этом случае существует
плоскопараллельное стационарное движение, профили скорости
и температуры которого, в зависимости от направления про-
продольного градиента, удобно записать следующим образом (при-
(приняты те же, что и в § 43, единицы).
Подогрев сверху (А < 0):
1 / ch \хх• sin \ix sh \xx •cos \xx \
0 2\i2D \ ch \x • sin \x sh \i • cos \i )f
j, Ah , 1 /ch ц* ¦ sin ц* t sh ц* »cos ц;с\
Подогрев снизу (А >0):
_ 1 / sh y^ sin у* \
u°"~ 2y2 \ shy sinY Г
0
shyx
D8.3)
Здесь число Рэлея определено через продольный градиент
температуры: R = g$AhA/v%. При R-*0 формулы D8.2) и
D8.3) дают кубическое распределение скорости и линейное рас-
распределение температуры D3.6), соответствующие чисто боко-
боковому подогреву.
Профили D8.2) и D8.3) представлены на рис. 130 и 131.
В случае подогрева сверху (R < 0) с увеличением |R| течение
замедляется, особенно в центральной части слоя. При больших
значениях |R| у границ образуются пограничные слои, а в цен-
центральной части появляются слабые возвратные течения. Значи-
Значительно сложнее деформация профиля при подогреве снизу
(R>0). С ростом R в интервале 0 < R < я4 интенсивность
движения возрастает, и при R -> я4 скорость становится беско-
бесконечной. При переходе через значение я4 происходит «инверсия»
стационарного профиля. При дальнейшем увеличении R появ-
появляются новые узлы скорости, а в точках Й = BяL, (ЗяL, ...

§48]
ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ
339
скорость обращается в бесконечность. Эти значения как раз
совпадают с критическими числами Рэлея, соответствующими
кризису равновесия в вертикальном слое, подогреваемом снизу
(см. §12). У
Рис. 130. Профили скорости и температуры при наличии продоль-
продольного градиента (подогрев сверху).
Исследование устойчивости движений D8.2) и D8.3) отно-
относительно плоских нормальных возмущений приводит к ампли-
амплитудной задаче, отличающейся от D3.11) —D3.13) по виду лишь
Рис. 131. Профили скорости и температуры при наличии продольного
градиента (подогрев снизу).
тем, что в левой части уравнения теплопроводности D3.12)
присутствует дополнительный член (R/P)q/, описывающий влия-
влияние продольного градиента на возмущения. Разумеется, суще-
существенное отличие состоит также в том, что невозмущенные про-
профили v0 и То теперь сложным образом зависят от продольного

340
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
5Ю3
НО3
J/03
2-Ю3
t
1l
1
20
60
градиента. Приближенное решение амплитудной задачи полу-
получено в работе [28] методом Галеркина (§ 45); часть расчетов
выполнена методом Рунге — Кутта.
Приступая к изложению результатов, остановимся сначала
на случае подогрева сверху (А < 0; R<0). В этом случае
имеет место устойчивая стратификация плотности по высоте,
в результате чего стационарное движение стабилизируется.
Расчет показывает, что при
малых и умеренных числах
Прандтля кризис связан со
стоячими (монотонными)
возмущениями. Нейтральная
кривая на плоскости число
Грасхофа — волновое число
имеет минимум при крити-
критическом волновом числе km.
Минимальное критическое
число Грасхофа Gm моно-
монотонно возрастает при увели-
увеличении |R| (рис. 132), и при
некотором предельном
IRI = Roo достигается пол-
полная стабилизация (Gm-v
-voo). Для Р= 1 и Р = 0,2
предельные значейия R*,
соответственно равны 112 и
125 *). Длина волны наибо-
наиболее опасных возмущений монотонно растет с ростом |R|, и при
|R|-^Roo волновое число km стремится к нулю.
При больших числах Прандтля, как показано в [58], возможна
также и колебательная неустойчивость. В пределе при больших
Р справедлива формула Gm = S//P (ср. формулу D5.10)), где
коэффициент S растет с увеличением продольного градиента.
Случай подогрева сверху представляет интерес в связи
с проблемой устойчивости конвективного движения в верти-
вертикальном слое конечной высоты. Конвективное течение, обуслов-
обусловленное поперечной разностью температур, сопровождается про-
продольным конвективным переносом тепла вверх. Если канал за-
закрыт сверху и снизу пробками конечной теплопроводности, то
вверху накапливается тепло, и вследствие этого автоматически
устанавливается продольный градиент температуры, направлен-
направленный вверх. Этот градиент определяется значением поперечной
разности температур, отношением высоты слоя к ширине, а так-
') Чисто гидродинамический подход (без учета тепловых факторов) дает
сильно завышенное значение RTO = 374 [31].
80 tOO
1*1
Рис. 132. Минимальное критическое число
Грасхофа в зависимости от продольного
градиента (подогрев сверху).

§48)
ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ
341
же, вообще говоря, условиями теплоотдачи на концах слоя. Та-
Таким образом, профили скорости и температуры D8.2) модели-
моделируют конвективное течение в удаленной от концов части
вертикального слоя конечной высоты р9»23].
Исследование формы критических движений [23»30] показы-
показывает, что, как и в случае чисто бокового подогрева, неустойчи-
неустойчивость связана с образованием вихрей на
границе встречных потоков (см. фото ча
рис. 133).
Перейдем теперь к изложению резуль-
результатов, относящихся к случаю подогрева
снизу (А > 0 , R > 0). Продольный гра-
градиент температуры в этом случае создает
неустойчивую стратификацию, что, в общем,
способствует дестабилизации течения. Кро-
Кроме того, как и в обсужденном в § 46 слу-
случае наклонного слоя, теперь действуют два
механизма неустойчивости — гидродинами-
гидродинамический и конвективный.
Наличие этих механизмов иллюстрирует-
иллюстрируется картой устойчивости, представленной на
рис. 134. В случае чисто бокового подогре-
подогрева (R = 0) течение становится неустойчи-
неустойчивым при некотором критическом значении
числа Грасхофа (G = 575 для Р = 1 и
k= 1). Увеличение R приводит к возраста-
возрастанию скорости стационарного движения;
вследствие этого гидродинамическая устой-
устойчивость встречных конвективных потоков
понижается — критическое число Грасхофа
уменьшается (линия /). При R-> я4 ско-
скорость стремится к бесконечности, и течение
становитсянеустойчивым при сколь угодно
малом G. Переход» через критическую точку Рис 133. вторичное тече-
JT4 СОПрОВОЖДаеТСЯ «ИНВерСИеЙ» СКОрОСТИ, а ние^в слое силиконового
ИНТеНСИВНОСТЬ СТаЦИОНарНОГО ДВИЖеНИЯ дольного градиента тем-
уменьшается. При этом, естественно, повы- пер™?\?™р?л$Г°
шается гидродинамическая устойчивость
(линия 2). Между линиями / и 2 заключена
полоса гидродинамической неустойчивости, внутри которой воз-
возмущения монотонно нарастают.
Кроме полосы гидродинамической неустойчивости, имеются
еще области конвективной неустойчивости, примыкающие к оси
R. При отсутствии поперечной разности температур (G = 0)
два нижних критических числа Рэлея равны R = 132 и 319.
С увеличением G критические числа Рэлея изменяются (линии

342
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
3 и 4) и происходит характерное замыкание нейтральных ли-
линий монотонных возмущений, вполне аналогичное описанному
в § 46. Как и в случае наклонного слоя, замыкание монотонных
уровней сопровождается появлением области колебательной не-
неустойчивости.
Изображенная на рис. 134 карта устойчивости относится
к фиксированному значению волнового числа. Для определения
Рис. 134. Карта устойчивости (P=l, fc=l; области неустойчивости заштрихованы).
Линии / и 2 — границы полосы гидродинамической неустойчивости; 5 и 4 —два нижних
уровня монотонной конвективной неустойчивости; 5 и 6 - границы области колеба-
колебательной неустойчивости.
нижней границы области, неустойчивости нужно провести ми-
минимизацию зависимости G от k. В области 0 < R < я4 мини-
минимальное значение Gm монотонно убывает до нуля при R—>я4,
причем значения Gm(R) весьма слабо зависят от числа Пранд-
тля, что связано с гидродинамическим характером неустойчи-
неустойчивости в этой области. В области R > я4, очевидно, минимальное
значение Gm = 0 для всех Р. В самом деле, при любом R > я4
всегда найдется возмущение с таким волновым числом, для ко-
которого критическое число Грасхофа равно нулю. Это волновое
число определяется нейтральной линией R(k) основного уровня
неустойчивости равновесия подогреваемого снизу вертикального
слоя.
На рис. 135 и 136 представлены сводные результаты, даю-
дающие зависимости минимального числа Грасхофа и критического
волнового числа от R для случаев подогрева сверху и снизу.
Следует подчеркнуть, что хотя в случае подогрева снизу при
определенных значениях параметров возможна колебательная
неустойчивость, нижняя граница области неустойчивости, опре-

148]
ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ
343
деляемая минимизацией по k, связана с монотонными возму-
возмущениями. Таким образом, следует ожидать, что в результате
неустойчивости при всех R будут устанавливаться стационар-
стационарные вторичные движения.
2. Магнитное поле [32>33]. Рассмотрим теперь магнитогидроди-
намическое обобщение задачи. Будем считать, что разность тем-
1500
////Ш .
400 '50
50
/00
150
Рис. 135. Граница устойчивости движения в вер-
вертикальном слое при наличии продольного гра-
градиента.
-100 -50
Рис. 136. Критическое волновое число в зависимости от
продольного градиента.
ператур между вертикальными плоскостями вызывает конвек-
конвективное движение проводящей жидкости, на которую действует
внешнее однородное магнитное поле. Если поле направлено
перпендикулярно ограничивающим плоскостям, то оно суще-
существенно влияет на стационарное движение и на поведение

344
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ.
возмущений. Это приводит к сильной стабилизации течения. Еслич
же поле направлено вертикально, т. е. параллельно скорости
стационарного движения, то оно не влияет на плоскопарал-
плоскопараллельный поток; его роль сводится лишь к влиянию на воз-
возмущения. При этом также имеет место стабилизация течения,
хотя эффект значительно слабее, чем в случае поперечного поля.
Уравнения конвекции проводящей жидкости в магнитном
поле обсуждены в § 24. Запишем эти уравнения в безразмер-
безразмерной форме, выбрав те же единицы расстояния, времени, скоро-
скорости, температуры и давления, что и в § 43, и приняв за еди-
единицу поля напряженность внешнего однородного поля Но:
= 0, div# =
D8.4)
Параметры М и Pm определены в § 24; число Гартмана М в ка-
качестве характерного размера включает полуширину слоя Л.
Из уравнений D8.4) нетрудно получить распределение ско-
скорости, температуры и индуцированного магнитного поля при
плоскопараллельном стационарном движении. В случае продоль-
продольного поля магнитогидродинамическое взаимодействие между по-
полем и потоком отсутствует; в этом случае индуцированного поля
нет, и сохраняются профили скорости и температуры, получен-
полученные в § 43 (формулы D3.6)). В случае поперечного поля сохра-
сохраняется линейное распределение температуры, а профили ско-
скорости и индуцированного (продольного) магнитного поля имеют
вид
_ 1 / shM* \
Vo-№\ shM -*)'
PmG ( x2 - 1 ch M* - chM \
I j
M2
MshM
(при определении HOz считается, что индуцированное поле исче-
исчезает на границах слоя). Профили D8.5) представлены на
рис. 137. С увеличением числа Гартмана движение замедляется,
и вблизи границ образуется гартмановский пограничный слой,
толщина которого при больших М порядка 1/М.
Запишем теперь уравнения для амплитуд нормальных воз-
возмущений. С этой целью введем, кроме возмущений температуры
и скорости, возмущение поля в виде До + п, где Но — невозму-

\ 43]
ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ
345
щенное поле (включающее в себя, кроме внешнего поля, также
и индуцированное), а Я—малое возмущение. В случае плоских
М-Д
Рис. 137. Профиль скорости (а) и индуцированное поле (б) в случае
поперечного внешнего поля.
возмущений 1) удобно ввести функцию тока г|? и магнитный по-
потенциал Л, связанный с компонентами Н соотношениями:
и — -ЁА и — дА
п*~ дг ' г~ дх *
где А = а (х) ехр (—М + ikz).
Для амплитуд возмущений функции тока, температуры и по-
потенциала получается система линейных однородных уравнений:
- v0 (у" -
9'
[Н
ох
ШНог {а"""л2а)"
ikG G> - v0Q) = - Я9,
D8.6)
D8.7)
Если иметь в виду жидкие металлы, для которых параметр
Pw очень мал (для ртути, например, Рт~10~7), то систему
D8.6) — D8.8) можно упростить по аналогии с тем, как это
1) Здесь не рассматриваются пространственные возмущения. По опыту
исследования устойчивости изотермических течений (с*м. Р8]) можно думать,
что в сильных полях такие возмущения могут оказаться более опасными.

346
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
делается при исследовании устойчивости изотермических потоков
проводящей жидкости (см. [34»35]). При умеренных значениях чи-
числа Грасхофа можно воспользоваться малостью параметра PmG
(аналог известного приближения малых магнитных чисел Рей-
нольдса). В случае поперечного поля ЯОл:=1, а индуцирован-
индуцированное поле НОг мало; поэтому членами, содержащими HOzt в урав-
уравнении D8.6) можно пренебречь. В уравнении D8.8) также сле-
следует опустить член, содержащий HOz\ кроме того, ввиду малости
PmG следует удержать лишь главный из членов, содержащих
амплитуду магнитного потенциала а. Таким образом, D8.8) при-
приближенно записывается
Уравнение D8.6) тогда принимает вид
(у v _ 2&У + ?4Ф) + ikG [v'Jy - vQ (ф" - ?2ф)] + 6' — MV =
= — Я (ф" — /Ар). D8.9)
В случае продольного поля HOz = 1, Н0х = 0. Удерживая в
[D8.8) главные члены, получим
"a" —ft2a= —/*PwGq>.
После подстановки в D8.6) будем иметь
ikG [и^ф — ио(ф" — &2ф)] + 6' -
D8.10)
Таким образом, в принятом приближении как в случае попе-
поперечного, так и продольного поля амплитуда магнитного потен-
потенциала может быть исключена
из уравнений. Влияние поля
на возмущения описывается
при этом добавочными члена-
членами в уравнении движения,
причем эти члены выражаются
через амплитуду возмущения
функции тока. Уравнение теп-
теплопроводности D8.7) и гра-
граничные условия для амплитуд
Ф и 9 остаются без измене-
изменений.
В работе [33] амплитудная
краевая задача решалась ме-
методом Бубнова — Галеркина в
приближении, содержавшем по
две полиномиальные базисные функции в разложениях ф и 0.
Основной результат вычислений представлен на рис. 138, где
изображено минимальное критическое число Грасхофа в зависи-
О Ю 20 30 W 50 60 70
Рис. 138. Минимальное критическое число
Грасхофа в зависимости от числа Гартмана
(Р = 0,02). / — продольное поле, 2 —попереч-
—поперечное поле.

§ 49] ДВИЖЕНИЕ, ВЫЗВАННОЕ ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА 347
мости от числа Гартмана для монотонных возмущений1). Кри-
Критическое волновое число km с увеличением числа Гартмана мо-
монотонно уменьшается.
Как видно, магнитное поле существенно стабилизирует кон-
конвективное движение, причем поперечное поле, влияющее не
только на возмущения, но -и на стационарное движение, ока-
оказывает значительно большее стабилизирующее воздействие.
В заключение этого параграфа укажем на другие усложне-
усложнения задачи об устойчивости конвективного движения: эффект
температурной зависимости вязкости [36] и влияние движения
границ слоя [37].
§ 49. Движение, вызванное внутренними источниками тепла [39]
В предыдущих параграфах исследовалась устойчивость кон-
конвективного движения, возникающего при наличии разности тем-
температур между плоскостями. В этом параграфе мы рассмотрим
плоскопараллельное движение между вертикальными плоско-
плоскостями, вызванное другой причиной — однородно распределен-
распределенными в жидкости внутренними источниками тепла. Если канал,
ограниченный плоскостями, находящимися при одинаковой тем-
температуре, закрыт сверху и снизу, то внутренний разогрев при-
приводит к конвективному движению, имеющему, в отличие от раз-
разбиравшихся выше случаев, четные относительно оси профили
скорости и температуры. Скорость движения пропорциональна
мощности внутренних источников тепла, и при ее достаточно
большом значении движение становится неустойчивым.
Для нахождения стационарного плоскопараллельного дви-
движения при наличии однородно распределенных в жидкости вну-
внутренних источников тепла с объемной мощностью q следует об-
обратиться к уравнениям движения D3.1), переписав уравнение
теплопроводности в виде
Г?-—?". D9.1)
где q = const, x — коэффициент теплопроводности. Граничные
условия для скорости остаются прежними и состоят в обраще-
обращении в нуль скорости на границах и расхода жидкости через се-
сечение канала. Условия для температуры теперь однородны:
при x=±h Г0 = 0 D9.2)
(обе границы поддерживаются при постоянной одинаковой тем-
температуре, принятой за начало отсчета).
1) Результаты работы [33] относительно колебательной неустойчивости
требуют проверки на более полном базисе; они здесь не приводятся. Граница
монотонной неустойчивости, как следует из [16], с достаточной точностью оп-
определяется уже в первых приближениях метода.

348
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
Решая уравнения движения с соответствующими граничными
условиями, находим распределения скорости, температуры и
давления в стационарном плоскопараллельном движении:
D9.3)
Распределение скорости представлено на рис. 139. Стацио*
нарное течение состоит, как видно, из трех конвективных пото-
потоков: восходящего центрального и двух нисходящих возле сте-
стенок. Максимальная скорость на оси ка*
нала vm = g$qh4/120vk.
Переходя к исследованию устойчиво-
устойчивости, следует записать уравнения малых
нормальных возмущений. Введем следую-
следующие единицы: расстояния — Л, времени —
A2/v, скорости — g$qh4/2vn9 температу-
температуры— qh2/2yt и давления pg$qhz/2n. Тогда
невозмущенные профили скорости и тем-
температуры запишутся следующим образом:
- х\ D9.4)
а уравнения для возмущений и амплитуд-
амплитудные уравнения сохранят вид D3.7) и со-
соответственно D3.11), D3.12), где в число
Грасхофа теперь в качестве характерной
разности температур входит максималь-
максимальная температура на оси- канала qh2/2yct
так что G = g$qh5/2v2K. Таким образом,
дело сводится к решению краевой за-
задачи D3.11) — D3.13) с четными профилями скорости и темпе-
температуры D9.4).
В работе р9] задача решена в чисто гидродинамической по-
постановке. При таком подходе (см. § 43) необходимо решить
уравнение Орра — Зоммерфельда D3.14) с граничными услови-
условиями D3.15), причем профиль скорости vo(x) задан формулой
D9.4).
Решения краевой задачи Орра — Зоммерфельда при четном
профиле невозмущенной скорости распадаются на два клас-
класса— четных и нечетных решений. Для отыскания этих решений,
как и в случае кубического профиля (§ 44), использовался ме-
метод Бубнова — Галеркина, причем для построения четных и не-
Рис. 139. Течение, вызванное
внутренними источниками
тепла.

§ 49] ДВИЖЕНИЕ, ВЫЗВАННОЕ ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА 349
четных решений выбирались соответственно четная и нечетная
подсистемы базисных функций D4.8) — D4.12). Аппроксимации
содержали до 16 базисных функций четного или нечетного ти-
типов. Условия Галеркина приводят в рассматриваемом случае
к комплексной матрице, собственные значения которой находи-
находились с помощью Q/^-алгоритма (см. [14]).
G
5>Ю3
ИО3
3-Ю3
2-Ю3
НО3
\
1
1
1
1
1
1
1
у
i
i
АГО\
I
/
с
О
-0,4
/
2
а)
6
w-w3
МО3
12Ю3
Ю'Ю3
, 8 /О3
\
1
V 1
с
0,2
0,1
2 3
к
б)
2 3
к
Рис. 140. Нейтральные кривые и фазовые скорости нейтральных воз-
возмущений для четной (а) и нечетной (б) мод неустойчивости. Фазовая
60 К,
скорость равна с«=— • -~.
В случае четного профиля скорости декременты нормальных
возмущений при сколь угодно малых значениях числа Грасхофа
оказываются комплексными (бегущие возмущения); эти возму-
возмущения и приводят к неустойчивости.
Основные результаты расчета представлены на рис. 140, где
изображены нейтральные кривые и фазовые скорости нейтраль-
нейтральных возмущений. Как видно, наиболее опасны возмущения чет-
четного типа: минимальное критическое число Грасхофа для них
Gm = 1720 и достигается при критическом волновом числе
km= 2,05; для возмущений нечетного типа Gm=7180, &w=l,57.

350
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
Интересно заметить, что фазовая скорость основной (чет-
(четной) моды неустойчивости при изменении параметров вдоль
нейтральной кривой меняет знак. Длинноволновые нейтральные
возмущения имеют отрицательную фазовую скорость, т. е. сно-
сносятся вниз. Существует точка на нейтральной кривой (k = 2,65),
которой соответствует нейтральное стоячее возмущение с рав-
равной нулю фазовой скоростью. При k > 2,65 фазовая скорость
положительна, т. е. возму-
возмущения сносятся вверх. Су-
Существование стоячих возму-
возмущений, в том числе и нейт-
нейтрального (при &=2,65),
обусловлено, очевидно, тем,
что рассматриваемое ста-
стационарное течение, хотя и
имеет четный профиль, об-
обладает, однако, свойством
замкнутости (расход равен
нулю).
Различие между четной
и нечетной модами неустой-
неустойчивости отчетливо видно из
рис. 141, на котором изобра-
изображены линии тока суммарно-
суммарного (возмущенного) движе-
движения, соответствующего этим
модам. Как и в случае кон-
конвективного движения между
плоскостями, нагретыми до
разной температуры, неу-
неустойчивость развивается в
виде системы вихрей на гра-
границе раздела встречных кон-
конвективных потоков. В отли-
отличие, однако, от течения с
кубическим профилем, этих
границ раздела теперь две—
в правой и левой половинах
канала. Соответственно этому развиваются две цепочки вихрей,
могущие отличаться своим взаимным расположением. Нижней
моде неустойчивости соответствуют две цепочки вихрей, распо-
расположенных в шахматном порядке. На верхней моде эти цепочки
расположены зеркально-симметрично относительно середины
канала. Шахматное расположение отвечает более «плотной упа-
упаковке» вихрей, и потому оказывается более предпочтительным —
ему соответствует меньшее критическое число.
5,3
о)
I
-6)
Рис. 141. Структура вторичных движений в слу-
случае четной {а) и нечетной (б) мод неустойчи-
неустойчивости. Возмущение нормировано так, чтобы
максимальное значение функции тока состав-
составляло 0,1 от максимального значения функ-
функции тока невозмущенного движения.

§ 50] ВТОРИЧНОЕ КОНВЕКТИВНОЕ ТЕЧЕНИЕ 351
§ 50. Вторичное конвективное течение [40]
Изложенная в предыдущих параграфах линейная теория,
основанная на рассмотрении малых возмущений, позволяет
цайти границу устойчивости стационарного конвективного дви-
движения. Возмущения в надкритической области и, в частности,
предельные режимы, возникающие в результате развития конеч-
конечных возмущений, могут быть исследованы лишь на основе пол-
полных нелинейных уравнений конвекции. Мы изложим здесь ре-
результаты такого исследования для случая движения в вертикаль-
вертикальном слое.
Будем исходить из полных нелинейных уравнений плоского
конвективного движения, записанных для функции тока и тем-
температуры:
дТ , г (а* дТ дф дТ\_ 1
Ж "г u [IT' F ~" 7 ' Ж) — р
(все величины безразмерные; выбор единиц указан в § 43).
На вертикальных плоскостях должны выполняться следую-
следующие граничные условия:
при jc— —1 ф = -^Г = 0> Г==1;
при *=1 ^
Задача E0.1), E0.2) имеет решение, описывающее плоско-
плоскопараллельное стационарное движение с кубическим профилем
скорости. В этом движении (ср. D3.6))
Фо = ^-A-*2J, Го=-*. E0.3)
Как выяснено в § 45, это движение устойчиво лишь при зна-
значениях G, меньших критического. В надкритической области,
согласно линейной теории устойчивости, плоскопараллельное
движение становится неустойчивым. В широком интервале чи-
чисел Прандтля ответственными за кризис, как оказалось, яв-
являются монотонные возмущения. Это дает основание полагать,
что в результате нарастания возмущений в надкритической об-
области устанавливается вторичное движение конечной ампли-
амплитуды.
Для исследования вторичных течений используется метод
конечных разностей. Область, в которой происходит конвективное

352 устойчивость конвективного движения [гл. х
движение, имеет бесконечную протяженность вдоль оси г,
а граничные условия и коэффициенты уравнений не зависят
от z. Поэтому можно искать решение нелинейных уравнений,
периодическое вдоль оси z. Задача сводится тогда к числен-
численному интегрированию в ограниченной прямоугольной области
— 1-<х<1; 0<:2><2/, где 2/ —длина волны в единицах полу-
полуширины слоя (/ — отношение высоты прямоугольной области к
ширине).
Область интегрирования покрывалась прямоугольной сеткой
14X25. Как и при исследовании конвективных движений в по-
полости, подогреваемой снизу, вводилась конечно-разностная схе-
схема, совпадающая в общих чертах с описанной в § 23. Отличие
состоит лишь в условиях на горизонтальных границах. Для ап-
аппроксимации условия периодичности вдоль оси z на длине 2/ вво-
вводился дополнительный слой узлов с номером К + 1 и наклады-
накладывались требования
(/ — любая из переменных г|), ф, Г). Кроме того, при записи
условия для вихря на вертикальных границах в разложении
функции тока удерживались кубические по шагу сетки члены.
Отсылая за подробностями вычислений к работе [40], приве-
приведем некоторые результаты расчетов движения в надкритической
области.
Обсудим сначала результаты, полученные для фиксирован-
фиксированного значения / = 2 (длина волны периодического решения
вдвое больше полной толщины слоя); при этом безразмерное
волновое число k = я/2. Согласно результатам линейной теории
(см. § 45; нейтральная кривая на рис. 118) этому волновому
числу при Р = 1 соответствует критическое число Грасхофа
G = 512.
Численные расчеты показали,, что при G < 512, в полном со-
согласии с выводами линейной теории устойчивости, любое
начальное возмущение приводит в процессе установления к пло-
плоскопараллельному стационарному движению E0.3). При значе-
значениях G, превосходящих критическое, переходный процесс при-
приводит к стационарному движению иной структуры. Траектории
частиц жидкости в этом режиме не параллельны границам слоя,
а распределение температуры отличается от линейного (рис.
142). Структура вторичного движения хорошо согласуется с ре-
результатами линейной теории (рис. 122) и данными экспери-
эксперимента (рис. 123).
Кризис плоскопараллельного течения приводит к соответ-
соответствующему изменению в законе теплопередачи. Поперечный
тепловой поток через слой жидкости на участке, высота ко-
которого равна длине волны (на единицу длины вдоль оси у),

§ 50] ВТОРИЧНОЕ КОНВЕКТИВНОЕ ТЕЧЕНИЕ
определяется формулой
353
E0.4)
Здесь к— коэффициент теплопроводности, (dT/dx)w — размер-
размерный градиент температуры на стенке, a L = 2/Л— размерная
длина волны периодического решения. В невозмущенном пло-
плоскопараллельном движении температура То линейно меняется
00 0,6 0,4 0,20'0,2-0,^0,6-L
LLLLliLLl-lJ
7^15,2 22,8 22,815,2 7,6
_1L1 LLL.
Рис. 142. Изотермы (слева) и линии тока (справа) вторичного ста-
стационарного движения (G = 1250, Р=»1, /«2; указаны значения функ-
функции тока, умноженные на 10s).
по сечению слоя, и потому поперечный тепловой поток опреде-
определяется только молекулярной теплопроводностью: Qo = 2x0/.
Введем безразмерный тепловой поток — число Нуссельта
N — следующим образом: N = Q/Qo. В режиме плоскопарал-
плоскопараллельного течения N=1; отличие же N от единицы может слу-
служить мерой интенсивности поперечного конвективного переноса
тепла, связанного с возникновением вторичного движения.
На рис. 143 представлена зависимость числа Нуссельта от
числа Грасхофа, построенная по результатам расчетов. Экстра-
Экстраполяция зависимости N(G) на N = 1 позволяет определить
критическое число. Оно оказывается равным G = 550± 12, что
несколько выше значения, определяемого линейной теорией. От-
Отличие, по-видимому, связано с недостаточно мелким шагом ис
пользованной пространственной сетки.

354
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
р
бесконеч-
бесконечгоризонтального
жидкости — см.
Таким образом, в критической точке происходит кризис теп-
теплопередачи. Вблизи критической точки число Нуссельта линей-
Л но зависит от числа Грас-
хофа (линейная зависи-
зависимость N(G) имеет место
также и в случае кри-
кризиса равновесия подогре-
подогреваемого снизу
ного
слоя
B2.6)).
Интересной характери-
характеристикой течения является
максимальное значение
функции тока -фт. Эта ве-
величина определяет расход
жидкости через сечение
iJO ^ ж ~ одного из встречных по-
Рис. 143. Безразмерный поперечный тепловой к
поток в надкритической области (Р=1, 1=2). ТОКОВ на уровне Центра
вихря. В самом деле, ин-
интегрируя продольную скорость vz по сечению (а, 6), указанному
на рис. 142, будем иметь:
ь ъ
/,001
500
1500
2000
W-
J °«<**=*/4?<**=*(&)=*»•
В плоскопараллельном режиме движения функция тока за-
зависит только от поперечной координаты х, и ее максимальное
50
Р-/
is
500
1000
1500
2000
Рис. 144. Максимальное значение функции тока в зависи-
зависимости от числа Грасхофа (Р = 1, /=2).
значение, как видно из E0.3), равно г|?т = 1/24. Поскольку еди-
единицей функции тока служит g$®h3/v (см. § 43), ясно, что в этом
режиме размерный расход по сечению одного из встречных по-
потоков пропорционален разности температур в, т. е. числу Грае-

50]
ВТОРИЧНОЕ КОНВЕКТИВНОЕ ТЕЧЕНИЕ
355
хофа. На рис. 144 представлена зависимость от G величины
фт = Gif>m (очевидно, -фт представляет собой максимальное зна-
значение функции тока в единицах кинематической вязкости v).
Прямая / соответствует плоскопараллельному режиму, линия
// — режиму вторичного стационарного движения. Как видно,
возникновение в надкритической области вторичного конвектив-
конвективного движения приводит к снижению интенсивности продоль-
продольного течения по сравнению с не-
невозмущенным плоскопараллель-
ным режимом.
Обсужденные результаты от-
относились к фиксированному зна-
значению волнового числа k = я/2. jjs
Меняя вертикальный размер пря-
прямоугольной области 2/, можно
численным методом исследовать
нелинейные вторичные движе- /,/<?
ния с различными длинами
волн.
На рис. 145 для примерз при-
приведена зависимость безразмерно- W
го теплового потока от волнового
числа для двух фиксированных
значений числа Грасхофа в над-
надкритической области (горизон- lt0°0
тальные разрезы, указанные пунк-
1
ь
\
G -1250
\
\
V
рр у у ,
r r « 1о\ 1Л J Рис. 145. Безразмерный поперечный теп-
ТИрОМ На рИС. По). ИЗ резуЛЬТа- ловой поток в зависимости от волнового
tor тшнрйнпи трппии pttpttvpt UTO числа в надкритической области (Р=1).
ТОВ ЛИНЕЙНОЙ теории следуе!, 4TU Штрихи на оси к отмечают границы
ПОИ фиКСИООВаННОМ G > Gm Об- области неустойчивости согласно ли-
r T Г о нейной теории.
ласть неустойчивости, а следова-
следовательно, и область существования вторичных движений, занимает
определенный интервал значений волнового числа. Этот вывод
подтверждается результатами численного решения нелинейной
задачи. За пределами области неустойчивости реализуется лишь
плоскопараллельное стационарное течение. В области неустойчи-
неустойчивости устанавливаются вторичные стационарные течения. Число
Нуссельта достигает максимума при некотором значении волново-
волнового числа внутри интервала неустойчивости. С ростом G максимум
сдвигается в сторону меньших k (т. е. в сторону длинных волн).
Интересно отметить, что не удается построить всю длинно-
длинноволновую ветвь функции N(k) при G = 1250. При k < 1 в ре-
результате процесса установления формируется движение, содер-
содержащее на длине волны два вихря, хотя начальное возмущение
задается в виде единственного вихря в центре области. По-ви-
По-видимому, длинноволновые вторичные течения при больших G
сами по себе неустойчивы.

356
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
§ 51. Конвективный пограничный слой
В заключение этой главы рассмотрим устойчивость конвек-
конвективного течения, возникающего возле нагретой полубесконечной
вертикальной пластины. При достаточно большой разности тем-
температур пластины и жидкости формируется, как известно, поль-
гаузеновский конвективный пограничный слой.
Найдем сначала стационарное движение. Выберем начало
координат на нижней кромке пластины и направим ось х гори-
горизонтально, а ось z — вертикально вверх. Уравнения стационар-
стационарного движения в приближении пограничного слоя [41»42] тогда
запишутся в виде
4?+4?=о,
дТ
дТ
Vz dz
d2T
E1.1)
На пластине исчезают обе компоненты скорости, а темпера-
температура предполагается заданной и однородной вдоль пластины;
температура жидкости вдали от пластины принимается за на-
начало отсчета. Таким образом, имеем граничные условия:
при
при
х = 0
Х-+ оо
vx = vz = 0, Г=в;
E1.2)
Преобразование подобия позволяет свести задачу к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений. Введем безраз-
безразмерную независимую переменную ц = С -4ц- и запишем функ-
функцию тока гро и температуру Го стационарного движения в виде
^о = HCzuf (л), Го = вт (л), E1.3)
где
а функции 1(ц) и х(ц) характеризуют распределения скорости
и температуры в пограничном слое. Компоненты скорости vx и
vz выражаются через функцию f (ц) следующим образом (штрих
означает дифференцирование по ц):
0*= — ¦
dz
дх
E.1.4)

§51]
КОНВЕКТИВНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
Подставляя E1.3), E1.4) в исходные уравнения E1.1), по-
получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для
функций / и т:
т" + 3/т' =
E1.5)
(здесь Р —число Прандтля). Граничные условия для f ит вы-
вытекают из E1.2):
при г] = 0 f=f/ = O, т = 1;
при ti->oo f'->0, т->0.
E1.6)
Система E1.5) с граничными условиями E1.6) интегрирова-
интегрировалась численно в ряде работ. Результаты расчетов для различных
чисел Прандтля можно найти, например* в книге Г. Шлихтин-
га [41]. Профили скорости и температуры для Р = 1 изображены
на рис. 146. Из решения, в частности, можно найти максималь-
максимальную продольную скорость vm и толщину пограничного слоя Л
0,6
0,4
\
1
/
/
[
I
\
\
\
ч
\
f
\
\
0,16
0J2
0,0*
16
Рис. 146. Профили скорости и температуры
в пограничном слое у нагретой вертикальной
пластины.
(последняя определяется как расстояние от пластины, на кото-
котором продольная скорость составляет 0,01 vm). Из E1.4) находим
a—
E1.7)
Здесь fm —максимальное значение Пл)> а величина r\6t со-
согласно определению толщины пограничного слоя, находится из
уравнения f'(%)= 0,01/^. Из E1.7) видно, 4TQ толщина

358
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
пограничного слоя и скорость растут с высотой по закону
б ~ z\ vm ~ zxi>. Параметры решения fm и ц6 для некоторых
значений числа Прандтля приведены в таблице 10 [45].
С помощью vm и б можно ввести локальное число Рей-
нольдса
E1.8)
Таблица 10
Параметры
пограничного слоя возле
вертикальной
изотермической
пластины
Поскольку число Рейнольдса с высотой растет, следует ожи-
ожидать, что на достаточной большой высоте стационарное движе-
движение потеряет устойчивость.
При исследовании устойчивости пограничного слоя невозму-
невозмущенное стационарное течение обычно рассматривается как пло-
плоскопараллельное, т. е. пренебрегается
поперечным движением и зависимостью
параметров профиля от продольной ко-
координаты. Такое приближение, очевидно,
оправдано в случае, когда изменение
толщины слоя б на расстояниях поряд-
порядка длины волны X возмущений мало по
сравнению с самой величиной б:
¦§-*<*. E1.9)
Это условие накладывает ограничение на
длину волны возмущения. Поскольку,
однако, наиболее опасными (с точки зре-
зрения устойчивости) являются возмущения
с длинами волн порядка толщины слоя,
оценка E1.9) дает просто-^ < 1, что,
в сущности, совпадает с условием существования развитого по-
пограничного слоя.
Итак, в предположении плоскопараллельности дело сводится
к исследованию устойчивости течения с известным профилем
продольной скорости vz и соответствующим распределением
температуры Го. Продольная координата z рассматривается как
фиксированный параметр; это дает основание ввести, как обыч-
обычно при исследовании устойчивости плоскопараллельных движе-
движений, нормальные возмущения. Уравнения для амплитуд полу-'
чаются обычным образом из уравнений движения и теплопро-
теплопроводности. Эти уравнения, собственно, уже были получены в § 43
(уравнения D3.8)). Целесообразно лишь переписать их в не-
несколько иной форме.
В качестве единиц расстояния и скорости выберем соответ-
соответственно толщину пограничного слоя б и максимальную скорость
р
0,733
1
1,5
2
3,5
5
7
4
0,235
0,251
0,271
0,287
0,315
0.332
0,345
5,23
5,38
5,90
6,55
8,75
9,20
10,40

§ 51] КОНВЕКТИВНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 359
от, определяемые формулами E1.7) (единицей функции тока
тогда будет служить величина ит6); единицы времени и возму-
возмущения температуры таковы: 8/vm и vvm/g$62. Уравнения для
безразмерных возмущений в этих единицах принимают вид
дт
дТ jj дТ
dt + U
E1.10)
Здесь штрих обозначает дифференцирование по безразмерной
поперечной координате л:1); U — безразмерная скорость невоз-
невозмущенного течения, a f связано с невозмущенным профилем
температуры
В качестве критериев подобия приняты числа Прандтля Р и
Рейнольдса R (последнее определено формулой E1.8)).
Запишем нормальные возмущения функции тока и темпера-
температуры в виде
ф = ф (*)?><*<*-'<>, T = Q{x)eik(*-ct)t E1.11)
Здесь ф(л:) и 9 (л:)—амплитуды, k — безразмерное (в единицах
1/6) волновое число, а с — безразмерная (в единицах vm) ком-
комплексная фазовая скорости возмущений.
После подстановки E1.11) в E1.10) получим амплитудные
уравнения
7?r O'f E1.12)
(б из)
Граничные условия для амплитуд таковы:
при х = 0 ф = ф' = 0, 9 = 0; |
при х-> оо ф, ф7, 9->0. J
Поставленная краевая задача определяет характеристиче-
характеристические возмущения в конвективном пограничном слое и соответ-
соответствующие фазовые скорости с. Из условия обращения в нуль
мнимой части с может быть найдена граница устойчивости те-
течения (критическое число Рейнольдса).
1) Связь х с координатой подобия г) такова: х = г]/г]А.

360
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
В первых теоретических работах, посвященных исследованию
устойчивости конвективного пограничного слоя (основные из
этих работ [43~45]), применялся упрощенный подход, уже обсуж-
обсуждавшийся в § 43 в связи с проблемой устойчивости конвектив*
ного течения между плоскостями. Согласно этому чиста гидро-
гидродинамическому подходу, уравнение теплопроводности E1.13) не
рассматривается вовсе, а в уравнении дви-
движения E1.12) не учитывается член с возму-
возмущением температуры, описывающий влия-
влияние подъемной (конвективной) силы на
возмущение. Задача сводится, таким обра-
образом, к исследованию устойчивости заданного
профиля U(x) на основе уравнения Орра —
Зоммерфельда
E1.15)
Рис. 147. Нейтральная
кривая устойчивости по-
пограничного слоя у верти-
вертикальной изотермической
пластины. Сплошная ли-
линия—расчет [44]; штрихо-
штриховая линия — расчет [46]
с учетом тепловых фак-
факторов; точка в области
выше нейтральной кри-
кривой — неустойчивость, на-
наблюдавшаяся в экспери-
эксперименте [*7].
с граничными условиями для амплитуды
ф@) = q/@) =0; ф, ф'-^О при х-^оо.
В работе Шевчика [43] эта задача реша-
решалась асимптотическим методом Толмина —
Линя. Профиль скорости конвективного те-
течения U(x) обладает двумя критическими
точками, в которых сг=1) {сг— веществен-
вещественная часть фазовой скорости). Поскольку
(в отличие от течения Пуазенля) профиль
U(x) не является симметричным относи-
относительно точки максимума, разложения ам-
амплитуды в степенные ряды около критиче-
критических точек не эквивалентны. Критические
числа, определенные по разложениям около внутренней и внеш-
внешней критических точек,- оказываются сильно различными и плохо
согласуются с полученными в той же работе экспериментальны-
экспериментальными данными.
Значительно более- эффективным Сказался численный метод
решения задачи, примененный в работах Курца и Крэндалла
[44] и Спэрроу, Тсоу и Курца [45]. Уравнение E1.15) записыва-
записывалось в конечно-разностной форме и решалось на ЭВМ. В резуль-
результате вычислений определены характеристические возмущения
Ф и собственные числа краевой задачи — фазовые скорости с.
На рис. 147 приведена нейтральная кривая для числа Прандтля
Р = 0,733 (воздух) по данным работы [44]. Минимальное крити-
критическое число Рейнольдса оказывается равным Rm = 161 и соот-
соответствует волновому числу km = 2,2.

1511
конвективный пограничный слой
361
Приводимые в работе профили характеристических возму*
щений свидетельствуют о возникновении неустойчивости во вне-
внешнем критическом слое. Этот вывод согласуется с опытными на-
наблюдениями [43].
В работе [45] расчеты были продолжены для других значений
числа Прандтля (параметр Р входит в профиль скорости U ос-
основного движения). Результаты расчетов изображены на
рис. 148, где в зависимости от Р отложено критическое значение
локального числа Грасхофа, определенного через расстояние от
нижнего края пластины и разность температур
E1.16)
Сравнивая E1.8) и E1.16), найдем связь между числами Рей-
нольдса и Грасхофа:
ю
& ¦ ¦¦¦
8
7
f
/
/i
1
Из системы E1.5), определяющей стацио-
стационарное движение, видно, что при больших
значениях числа Прандтля можно прене-
пренебречь нелинейными членами в уравнении
Навье—Стокса. При этом решение системы
и, в частности, его характеристики fm и т]б,
входящие в E1.17), перестают зависеть от Р.
Поэтому в области больших Р критическое
число Грасхофа растет по закону G ~ Р3.
Как видно из рис. 148, эта асимптотическая
зависимость справедлива уже при Р > 5.
Обсужденные выше результаты, как ука-
указывалось, были получены в пренебрежении
влиянием подъемной силы на возмущения.
Решение проблемы в полной постановке
должно быть найдено на основе краевой за-
задачи E1.12) — E1.14). Численное решение
было проведено в работе Нахтсгейма [4в].
Нейтральная кривая для Р = 0,733 изображена штриховой ли-
линией на рис. 147. Как видно, влияние тепловых факторов сказы-
сказывается в области длинноволновых возмущений и приводит к по-
понижению устойчивости.
Аналогично рассмотренному выше случаю пограничного слоя
возле изотермической пластины может быть поставлена задача
об устойчивости движения в пограничном слое возле вертикаль-
Qj I 5 10
Р
Рис. 148. Минимальное
критическое число Грас-
Грасхофа в зависимости от
числа Прандтля; штрихо-
штриховая линия — асимптотика
при больших числах
Прандтля.
12 Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

362
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. X
ной пластины с заданным на ней однородным по высоте тепло-
тепловым потоком. Задача о стационарном движении в этом случае
также допускает преобразование подобия (см. [48]). Толщина по-
пограничного слоя и продольная скорость растут с высотой по за-
закону: б ~ 21/б, Vm ~ 23/б.
Задача об устойчивости течения вблизи пластины с однород-
однородным тепловым потоком решалась численно в работе Полимеро-
пулоса и Гебхарта [49] в упрощенной постановке (без учета
тепловых факторов) и в работе Ноулза и Гебхарта [50]—в полной
постановке. Использовался численный метод [46]. В [^предпо-
[^предполагалось, что возмущения температуры могут приводить к изме-
изменению теплового потока на стенке; поэтому для возмущений
температуры ставилось граничное условие в виде линейного за-
закона теплопередачи 8'@) = Ь8@), хотя основное движение со-
соответствовало заданному тепловому потоку на стенке. Коэффи-
Коэффициент b определяется относительной теплоемкостью жидкости
и стенки и поперечной теплопроводностью стенки. На рис. 149
6
wo
200 \
0,4 0,6
°>8н
Рис. 149. Нейтральная кривая устойчи-
устойчивости пограничного слоя у вертикаль-
вертикальной пластины с заданным тепловым
потоком. Сплошная линия —расчет [49J
(Р=0,72); штриховая линия — расчет [60J
(Р=0,733) с учетом тепловых факторов;
точки — эксперимент [5lJ.
представлены нейтральные кривые по результатам расчетов [49]
и р°] в координатах (G, k)> где
(q — плотность теплового потока, и — теплопроводность жидко-
жидкости), a k — безразмерное волновое число в единицах G/5z. Как
и в случае пограничного слоя на изотермической пластине, учет

§61]
КОНВЕКТИВНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
363
тепловых факторов приводит к понижению устойчивости в обла-
области длинноволновых возмущений.
Экспериментальное изучение устойчивости пограничного слоя
в газе (сжатый азот) у вертикальной пластинки с постоянным
тепловым потоком проводилось в работе Полимеропулоса и
Гебхарта [м]. Возмущения вносились искусственно, подобно
Рис. 150. Интерферограммы пограничного слоя в сжатом азоте возле вертикальной пла-
пластины [MJ; а) —растущие возмущения E=306, А5=0,35), б) —затухающие возмущения
C=306, k = 1,56).
тому, как это делалось при исследовании изотермического по-
пограничного слоя в известной работе Шубауэра и Скрэмстеда
[52]. Источником возмущений служила горизонтальная прово-
проволочка, расположенная в пограничном слое параллельно поверх-
поверхности пластины и совершавшая поперечные колебания заданной
частоты. На рис. 150 приведены полученные с помощью интер-
интерферометра Зендера — Маха фотографии затухающих и нара-
нарастающих возмущений. Экспериментальные значения нейтральных
характеристик G и k нанесены на рис. 149. Имеется удовлетво-
удовлетворительное согласие экспериментальных результатов с теорией,
12*

364 УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. X
учитывающей влияние тепловых факторов. Приведенная на
рис. 149 штриховая кривая, соответствующая граничному усло-
условию 9@) = 0 для возмущения температуры, правильно описывает
наблюдающееся в эксперименте понижение устойчивости в об-
области длинноволновых возмущений.
Теоретическое и экспериментальное изучение возмущений в
пограничном слое возле пластины с заданным тепловым пото-
потоком продолжено в работах р3»54].
Экспериментальное исследование устойчивости' конвектив-
конвективного пограничного слоя возле наклонной нагретой пластины
проводилось в работах [55»56]. В этих работах обнаружено, что
при наклоне пластины к вертикали на некоторый угол (порядка
15° в воде) происходит смена формы неустойчивости — от го-
горизонтальных валов (плоские волны Толмина — Шлихтинга) к
продольным валам (пространственные возмущения). Смена
формы неустойчивости, по-видимому, связана с появлением по-
поперечной неустойчивой стратификации и связанного с ней кон-
конвективного механизма неустойчивости (см. § 47).
Укажем также на работу [57], в которой исследовалась устой-
устойчивость пограничного слоя постоянной толщины возле беско-
бесконечной пластины, температура которой линейно растет с высотой.

ЛИТЕРАТУРА
К г л а в е I
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостехиз-
дат, Москва, 1953.
2. Boussinesq J., Theorie analytique de la chaleur, том 2, Paris, 1903.
3. Oberbeck A., Uber die Warmeleitung der Flussigkeiten bei der Beruch-
sichtigung der Stromungen infolge von Temperaturdifferenzen, Ann. der
Phys. und Chem., 1879, 7, 271.
4. Ш а п о ш н и к о в И. Г., О термоэлектрических и термомагнитных кон-
конвективных явлениях, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1954, 8, № 8, 81.
5. Spiegel E. A., Veronis G., On the Boussinesq approximation for a
compressible fluid,-Astrophys. J., 1960, 131, 442.
6. M i h a 1 j a n J. M., A rigorous exposition of the Boussinesq approximations
applicable to a thirr layer of fluid, Astrophys. J., 1962, 136, № 3, 1126.
7. Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, «Наука»,
Москва, 1964.
8. Сорокин В. С, Вариационный метод в теории конвекции, ПММ, 1953,
17, № 1, 39.
9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, Гос-
техиздат, Москва, 1957.
10. Ре Hew A., Southwell R. V., On maintained convective motion in a
fluid heated from below, Proc. Roy. Soc, 1940, A176, № 966, 312.
И. Б р а т у x и н Ю. К., Ш л и о м и с М. И., Об одном точном решении урав-
уравнений нестационарной конвекции, ПММ, 1964, 28, № 5, 959.
12. Уховский М. Р., Юдович В. И., Об уравнениях стационарной кон-
конвекции, ПММ, 1963, 27, К° 2, 295.
13. Жуховицкий Е. М., Применение метода Галёркина к'задаче об устой-
устойчивости неравномерно нагретой жидкости, ПММ, 1954, 18, № 2, 205.
14. D a v i s S. H., Convection in box: linear theory, J. Fluid Mech., 1967, 30,
№ 3, 465.
15. Sherman M., Toroidal and pqloidal field representation for convective
flow within a sphere, Phys. Fluids', 1968, 11, № 9, 1895.
16. F i n 1 а у s о n B. A., The Galerkin method applied to convective instability
problems, J. Fluid Mech., 1968, 33, № 1, 201.
17. Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего
анализа, Физматгиз, 1962.
К г л а в е II
1. Benard H., Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide, Revue ge-
nerale des Sciences, pures et appliquees, 1900, 12, 1261; 1309.
2. Benard H., Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide transpor-
tant de la chaleur par convection en regime permanent, Ann. Chim. Phys.,
1901 G), 23,62.

Збб ЛИТЕРАТУРА
3. R а у 1 е i g h, On convection currents in a horizontal layer of fluid, when
the higher temperature is on the under side, Phil. Mag., 1916, F),
32, 529.
4. Christopherson D. G., Note on the vibration of membranes, Quart.
J. Math., 1940, 11,63.
5. Bisshopp F. E., On two-dimensional cell patterns, Journ. Math. Analy-
Analysis and Appl., 1960, 1, 373.
6. P e 11 e w A., Southwell R. V., On maintained convective motion in
a fluid heated from below, Proc. Roy. Soc, 1940, A176, № 966, 312.
7. Б и р и x P. В., Рудаков Р. Н., Ill в а р ц б л а т Д. Л., Нестационарные
конвективные возмущения в горизонтальном слое жидкости, Уч. зап.
Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 89.
8. Jeffreys H., The stability of a layer of fluid heated bellow, Phil. Mag.,
1926, G), 2,833.
9. Jeffreys H., Some cases of instability in fluid motion, Proc. Roy. Soc,
1928, АП8, 195.
10. Low A. R., On the criterion for stability of a layer of viscous fluid heated
from below, Proc. Roy. Soc, 1929, A125, 180.
11. Saltzman В., Selected papers on the theory of thermal convection, Dover
Publications, Inc., New-York, 1962.
12. Chandrasekhar S., Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Ox-
Oxford, Clarendon Press, 1961.
13. Reid W. H., Harris D. L., Some further results on the Benard problem,
Phys. Fluids, 1958, 1, 102.
14. Rei d W. H., Ha rris D. L., Streamlines in Benard convection cells, Phys.
Fluids, 1959, 2, 716.
15. Cat ton I., Natural convection in horizontal liquid layers, Phys. Fluids,
1966, 9, № 12, 2521.
16. Schmidt R. J., Milverton S. W., On the instability of a fluid when
heated from below, Proc. Roy. Soc, 1935, A152, 586.
17. Silveston P. L, Warmedurchgang in waagerechten Flussigkeitsschichten,
Forsch. Ing. Wes., 1958, 24, 29; 59.
18. Rossby H. Т., A study of Benard convection with and without rotation,
J. Fluid Mech., 1969, 36, Mb 2, 309.
19. Thompson H. A., Sogin H. H., Experiments on the onset of thermal
convection in horizontal layers of gases, J. Fluid Mech., 1966, 24, № 3, 451.
20. Goldstein R. J., Graham D. J., Stability of a horizontal fluid layer
with zero shear boundaries, Phys. Fluids, 1969, 12, № 6, 1133.
21. Koschmieder E. L., On convection under an air surface, J. Fluid Mech.,
1967, 30, № 1, 9.
22. Palm E., On the tendency towards hexagonal cells in steady convection,
J. Fluid Mech., 1960, 8, № 2, 183.
23. Jenssen O., Note on the influence of variable viscosity on the critical
Rayleigh number, Acta polytechn. Scand. Phys. incl. Nucl. Ser., 1963,
№ 24.
24. S p а г г о w E. M., Goldstein R. J., J о n s s о n V. K., Thermal insta-
instability in a horizontal fluid layer: effect of boundary condition and non-
nonlinear temperature profile, J. Fluid Mech., 1964, 18, № 4, 513.
25. H u г 1 e D. T. J., J a k e m a n E., P i k e E. R., On the solution of the Benard
problem with boundaries of finite conductivity, Proc Roy. Soc, 1967, A296,
№ 1447, 469.
26. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Семакин И. Г., О конвек-
конвективной неустойчивости жидкости в горизонтальном слое, разделяющем
массивы разной теплопроводности, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1971, № 248,
Гидродинамика, вып. 3, 18.
27. N i e I d D. A., The Rayleigh — Jeffreys problem with boundary slab of finite
conductivity, J. Fluid Mech., 1968, 32, № 2, 393.

ЛИТЕРАТУРА 367
28. Г е р ш у н и Г. 3., Ж у х о в и ц к и й Е. М., О конвективной неустойчивости
горизонтальных слоев жидкости, связанных тепловым взаимодействием,
ПММ, 1968, 32, № 3, 478.
29. Из а к сон В. X., Юдович В. И., О возникновении конвекции в слое
жидкости со свободной границей, Изв. АН СССР, МЖГ, 1968,
№ 4, 23.
30. И з а к с о н В. X., О влиянии поверхностного натяжения на возникноре-
ние конвекции в слое жидкости со свободной поверхностью, ПМТФ, 1969,
№ 3, 89.
31. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостех-
издат, Москва, 1953.
32. Ш и ш к и н Н. С, Образование ячеистых структур в слоях жидкости или
газа, УФН, 1947, 31, № 4, 461.
33. N i e I d D. A., Geophysical and astrophysical applications of thermal insta-
instability theory, New Zealand Science Review, 1965, 23, № 6, 86.
34. Miner R. W., Convection patterns in the atmosphere and ocean, Annals
of the New-York Academy of Sciences, 1947, 48.
35. N i e 1 d D. A., The thermohaline Rayleigh — Jeffreys problem, J. Fluid
Mech., 1967, 29, № 3, 545.
К г л а в е III
1. Остроумов Г. А., Естественная конвективная теплопередача в замкну-
замкнутых вертикальных трубах, Изв. ЕНИ при Пермск. ун-те, 1947, 12, № 4,
ИЗ.
2. Остроумов Г. А., Математическая теория конвективного теплообмена
в замкнутых вертикальных скважинах, Изв. ЕНИ при Пермск. ун-те, 1949,
12, № 9, 385.
3. Остроумов Г. А., Свободная конвекция в условиях внутренней задачи,
Гостехиздат, Москва—Ленинград, 1952.
4. Б у г а е н к о Г. А., О свободной тепловой конвекции в вертикальных ци-
цилиндрах произвольного сечения, ПММ, 1953, 17, № 4, 496.
5. С л а в н о в В. В., Свободная тепловая конвекция в металлических вер-
вертикальных трубах круглого сечения, ЖТФ, 1956, 26, № 9, 2002.
6. Смирнов А. Г., Свободная тепловая конвекция ртути в замкнутых круг-
круглых трубах, ЖТФ, 1957, 27, № 10, 2373.
7. V е г h о е v e n J. D., Experimental study of thermal convection in a verti-
vertical cylinder of mercury heated from below, Phys. Fluids, 1969, 12, № 9,
1733.
8. Жуховицкий Е. М., Применение метода Галеркина к задаче об устой-
устойчивости неравномерно нагретой жидкости, ПММ, 1954, 18, № 2, 205.
9. Ostrach S., Unstable convection in vertical channels with heating from
below, including effects of heat sources and frictional heating, NACA TN
№ 3458, 1955.
10. Ostrach S., On the flow, heat transfer and stability of viscous fluids
subject to body forces and heated from below in vertical channels. В книге:
50 Jahre Grenzschichtforschung, Berlin, 1956, 226.
11. Yih C.-S., Thermal instability of viscous fluids, Quart. Appl. Math., 1959,
17, № 1, 25.
12. Wooding R. A., Instability of a viscous liquid of variable density in a
vertical Hele-Shaw cell, J. Fluid Mech., 1960, 7, № 4, 501.
13. Янке Е., Эмде Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы»
«Наука», Москва, 1968.
14. Edwards D. К., Suppression of cellular convection by lateral walls, Pa*
per. ASME, 1968, № WA/HT-6.

368 ЛИТЕРАТУРА
15. Ж у х о в и ц к и й Е. Мм Об устойчивости неравномерно нагретой жидко-
жидкости в вертикальном эллиптическом цилиндре, ПММ, 1955, 19, № 6, 751.
16. Славно в В. В., Кандидатская диссертация, Пермский ун-т, 1952.
17. Болотина К. С, Об условиях возникновения свободной конвекции в
канале прямоугольного сечения, Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и маш., 1962,
№ 1, 73.
18. Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего
анализа, Физматгиз, Москва, 1962.
19. Болотин В. В., Асимптотический метод исследования задач о собствен-
собственных значениях для прямоугольных областей, Сб. «Проблемы механики
сплошной среды», Изд. АН СССР, 1961.
20. С о р о к и н а А. И., Ч у д и н о в А. А., Свободная стационарная конвек-
конвекция между двумя вертикальными коаксиальными цилиндрами, Уч. зап.
Пермск. ун-та, 1955, 9, № 4, 49.
21. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Шайдуров Г. Ф., О кон-
конвективной неустойчивости жидкости в связанных вертикальных каналах,
ПММ, 1966, 30, № 4, 699.
22. Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, том II, ИЛ,
Москва, 1960.
23. S h a i d u г о v G. F., Convective liquid stability in closed circuits, Int. J.
Heat Mass Transfer, 1968, 11, 235.
24. Пшеничников А. Фм Шайдуров Г. Ф., Конвективная неустойчи-
неустойчивость жидкости в вертикальных коаксиальных трубах, Уч. зап. Пермск.
ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 3.
25. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Рудаков Р. Н., К теории
релеевской неустойчивости, ПММ, 1967, 31, № 5, 812.
26. С л а в н о в а Э. И., Об ячеистой структуре конвективного потока жидко-
жидкости в вертикальном цилиндре круглого сечения, Инж.-физ. журнал, 1961,
4, № 8, 80.
27. Ч е р н а т ы н с к и й В. И., П а р ш а к о в А. Н., О конвективной неустой-
неустойчивости равновесия жидкости в вертикальном цилиндре относительно воз-
возмущений ячеистой структуры, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидро-
Гидродинамика, вып. 2, 47.
28. Г е р ш у н и Г. 3., Жуховицкий Е. М., О релеевской неустойчивости
плоского слоя жидкости со свободными границами, Уч. зап. Пермск. ун-та,
1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 83.
29. Рудаков Р. Н., О малых возмущениях конвективного движения между
вертикальными плоскостями, ПММ, 1966, 30, № 2, 362.
30. В о е в о д и н В. В., Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы,
«Наука», Москва, 1966.
31. Hales A. L., Convection currents in geysers, Monthly Notices Roy. Astron.
Soc, Geophys. Suppl., 1937, 4, 122.
К главе IV
1. Жуховицкий Е. М., Об устойчивости неравномерно нагретой жидко-
жидкости в шаровой полости, ПММ, 1957, 21, № 5, 689.
2. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Шлиомис М. И., Об основ-
основном уровне конвективной неустойчивости равновесия жидкости в шаре и
горизонтальном цилиндре («круговые критические движения»), Уч. зап.
Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып. 2, 3.
3. Sherman M., Toroidal and poloidal field representation for convective
flow within a sphere, Phys. Fluids, 1968, 11, K° 9, 1895.
4. Овчинников А. П., Шайдуров Г. Ф., Конвективная устойчивость
однородной жидкости в шаровой полости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968,
№ 184, Гидродинамика, вып. 1, 3.

ЛИТЕРАТУРА' 369
б. Б р а т у х и н Ю. К., Ш л и о м и с М. И., Об одном точном решении урав-
уравнений нестационарной конвекции, ПММ, 1964, 28, № 5, 959.
6. Брату хин Ю. К., Об устойчивости неравномерно нагретой жидкости,
заполняющей шаровой слой, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидро-
Гидродинамика, вып. 2, 33.
7. Г е р ш у н и Г. 3., Ж у х о в и ц к и й Е. М., Конвективная неустойчивость
равновесия двух несмешивающихся жидкостей в шаровой полости, Уч.
зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, '57.
8. Ш л и о м и с М. И., Якушин В. И., Конвективная неустойчивость равно-
равновесия двух несмешивающихся жидкостей, заполняющих шаровую полость
в произвольном отношении, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидро-
Гидродинамика, вып. 2, 15. '
9. Поддубная Л. Г., Рудаков Ю. П., Ш а иду ров Г. Ф., Тепловая
неустойчивость двухслойной жидкости в шаровой полости, Уч. зап. Пермск.
ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 23.
10. Г е р ш у н и Г. 3., Ж у х о в и ц к и й Е. М., Овчинников А. П., Кон-
Конвективная устойчивость жидкости в кубической полости, Уч. зап. Пермск.
ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 49.
11. Овчинников А. П., Конвективная устойчивость жидкости в кубиче-
кубической полости, ПМТФ, 1967, № 3, 118.
12. Овчинников А. П., Конвективные возмущения жидкости в кубической
полости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 41.
13. Davis S. H., Convection in a box: linear theory, J. Fluid Mech., 1967, 30,
№ 3, 465.
14. Г е р ш у н и Г. 3., Ж у х о в и ц к и й Е. М., Конвективная неустойчивость
жидкости в вертикальном цилиндре конечной высоты, Уч. зап. Пермск.
ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып. 2, 39.
15. Ж у х о в и ц к и й Е. М., Применение метода Галеркина к задаче об устой-
устойчивости неравномерно нагретой жидкости, ПММ, 1954, 18, № 2, 205.
16. W e i n b a u m S., Natural convection in a horizontal circular cylinder, J.
Fluid Mech., 1964, 18, № 3, 409.
17. Sherman M., Onset of thermal instability in a horizontal circular cylin-
cylinder, Phys. Fluids, 1966, 9, № 11, 2095.
18. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. Мм Тарунин Е. Л., Численное
исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу, Изв. АН СССР,
МЖГ, 1966, № 6, 93.
19. Velte W., Stabilitatsverhalten und verzweigung stationarer 16sungen der
Navier — Stokesschen Gleichungen, Arch. Ration. Mech. Anal., 1964, 16, № 2,
97.
20. Kurzweg U. H., Convective instability of a hydromagnetic fluid within
a rectangular cavity, Int. J. Heat Mass Transfer, 1965, 8, 35.
21. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Устойчивость равновесия жид-
жидкости в горизонтальном цилиндре, подогреваемом снизу, ПММ, 1961, 25,
№ 6, 1035.
22. Ш а й д у р о в Г. Ф., Тепловая неустойчивость жидкости в горизонталь-
горизонтальном цилиндре, Инж.-физ. журнал, 1961, 4, № 11, 109.
23. Ostrach S., Pnueli D., The thermal instability of completely confined
fluids inside some particular configurations, Trans. ASME, 1963, C85, № 4,
346.
24. Pnueli D., Lower bounds to thermal instability criteria of completely con-
confined fluids inside cylinders of arbitrary cross section, Trans. ASME, 1964,
E31, № 3, 376.
К главе V
1. Сорокин В. См О стационарных движениях жидкости, подогреваемой
снизу, ПММ, 1954, 18, № 2, 197,

370 ЛИТЕРАТУРА
2. Л а н да у Л. Д., К проблеме турбулентности, ДАН СССР, 1944, 44, № 8,
339.
3. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Механика сплошных сред, Гостехиэ-
дат, Москва, 1953.
4. О в ч и н н и к о в А. П., Конвективная устойчивость жидкости в кубиче-
кубической полости, ПМТФ, 1967, № 3, 118.
5. Овчинников А. П., Конвективные возмущения жидкости в кубической
полости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 41.
6. О в ч и н н и к о в А. П., Ш а й д у р о в Г. Ф., Конвективная устойчивость
однородной жидкости в шаровой полости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968,
№ 184, Гидродинамика, вып. 1, 3.
7. Уховский М. Р., Юдович В. И., Об уравнениях стационарной кон-
конвекции, ПММ, 1963, 27, № 2, 295.
8. Velte W., Stabilitat und Verzweigung stationaren losungen der Navier —
Stokesschen Gleichungen, Arch. Ration. Mech. Anal., 1966, 22, 1.
9. Ю д о в и ч В. И.; О возникновении конвекции, ПММ, 1966, 30, № 6,
1000.
10. Юдович В. И., Свободная конвекция и ветвление, ПММ, 1967, 31, № 1,
101.
11. Юдович В. И., Устойчивость конвективных потоков, ПММ, 1967, 31,
№ 2, 272.
12. Горько в Л. П., Стационарная конвекция в плоском слое жидкости
вблизи критического режима теплопередачи, ЖЭТФ, 1957, 33, № 2, (8),
402.
13. Malkus W., Veronis G., Finite amplitude cellular convections, J. Fluid
Mech., 1958, 4, № 3, 225.
14. Kuo H., Platzman G., A normal mode nonlinear solution of the Ray-
leigh convection problem, Beitr. Phys. Atmosph., 1961, 33, № 3—4, 137.
15. Kuo H. L., Convection in conditionally unstable atmosphere, Tellus, 1961,
13, № 4, 441.
16. Иван ил ов Ю. П., Вторичные режимы в конвективных течениях, Изв.
АН СССР, МЖГ, 1966, № 3, 93.
17. Stuart J. Т., On the nonlinear mechanics of wave disturbances in stable
and unstable parallel flows, J. Fluid Mech., 1960, 9, № 3, 353.
18. Palm E., On the tendency towards hexagonal cells in steady convection,
J. Fluid Mech., 1960, 8, Mb 2, 183.
19. Segel L. A., Stuart J. Т., On the question of the preffered mode in
cellular thermal convection, J. Fluid Mech., 1962, 13, № 2, 289.
20. Segel L. A., The non-linear interaction of two disturbances in the thermal
convection problem, J. Fluid Mech., 1962, 14, № 1, 97.
21. Palm E., Qiann H., Contribution to the theory of cellular thermal con-
convection, J. Fluid Mech., 1964, 19, № 3, 353.
22. Segel L. A., Non-linear hydrodynamic stability theory and its applications
to thermal convection and curved flows. В / книге: «Non-equilibrium
thermodynamics, variational techniques and stability». Univ. Press, Chicago,
1966.
23. Монин А. С, Яглом А. М., Статистическая гидромеханика, часть 1,
«Наука», Москва, 1965.
24. Yih C.-S., Math. Rev., 1965, 29, Review 3078.
25. П о н о м а р е н к о Ю. Б., Процессы установления шестигранных конвек-
конвективных ячеек, ПММ, 1968, 32, № 2, 244.
26. N е w е 11 А. С, L a n g е С. G., A u с о i n P. J., Random convection,
J. Fluid Mech., 1970, 40, Mb 3, 513.
27. Lortz D., Instabilitaten der stationaren Konvektionsstromungen endlicher
Amplitude, диссертация, Universitat Munich, 1961.
28. Busse F., Das Stabilitatsverhalten der Zellularkonvektion bei endlicher
Amplitude, диссертация, Universitat Minich, 1962.

ЛИТЕРАТУРА 371
29. Schluter A., Lortz D., Busse F., On the stability of steady finite
amplitude convection, J. Fluid Mech., 1965, 23, № 1, 129.
30. Busse F. H., On the stability of two-dimensional convection in a layer
heated from below, J. Math, and Phys., 1967, 46, № 2, 140.
31. Kogelman S., Di Prima R. C, Stability of spatially periodic super-
supercritical flows in hydrodynamics, Phys. Fluids, 1970, 13, № 1, 1.
32. M a 1 к u s W. V. R., The heat transport and spectrum of thermal turbulence,
Proc. Roy. Soc, 1954, A225, Mb 1161, 196.
33. Busse F. H., The stability of finite amplitude cellular convection and its
relation to an extremum principle, J. Fluid Mech., 1967, 30, № 4, 625.
34. Chen M. M., Whitehead J. A., Evolution of two-dimensional periodic
Rayleigh convection cells of arbitrary wave-numbers, J. Fluid. Mech., 1968,
31, № 1, 1.
35. Graham A., Shear patterns in an unstable layer of air, Phil. Trans. Roy.
Soc, 1933, A232, 285.
36. T i p p e 1 s к i г с h H. Ober Konvektionszellen insbesondere im f lussigen
Schwefel, Beitr. Phys. Atmosph., 1956, 29, Mb 1, 37.
37. Tippelskirch H., Uber die Benard-Stromung in Aerosolen, Beitr. Phys.
Atmosph., 1957, 30, 219.
38. Silveston P. L., Warmedurchgang in waagerechten Flussigkeitsschich-
ten, Forsch. Ing. Wes., 1958, 24, 29; 59.
39. Krishna murti R., On the transition to turbulent convection, часть 1,
The transition from two- to three-dimensional flow, J. Fluid Mech., 1970,
42, Mb 2, 295.
40. P a 1 m E., E 111 n g s e n Т., G j e v i к В., On the occurence of cellular mo-
motion in Benard convection, J. Fluid Mech., 1967, 30, № 4, 651.
41. Busse F. H., Non-stationary finite amplitude convection, J. Fluid Mech.,
1967, 28, № 2, 223.
42. S e g e 1 L. A., The non-linear interaction of a finite number of distur-
disturbances to a layer of fluid heated from below, J. Fluid Mech., 1965, 21,
№ 2, 359.
43. К о s с h m i e d e г Е. L., On convection on a uniformely heated plane, Beitr.
Phys. Atmosph., 1966, 39, №-1, 1.
44. К r i s h n a m u г t i R., Finite amplitude convection with changing mean
temperature, часть 1, Theory, J. Fluid Mech., 1968, 33, № 3, 445.
45. К r I s h n a m u r t i R., Finite amplitude convection with changing mean
temperature, часть 2, An experimental test of the theory, J. Fluid Mech.,
1968, 33, № 3, 457.
46. Foster T. D., The effect of initial conditions and lateral boundaries on
convection, J. Fluid Mech., 1969, 37, № 1, 81.
47. S e g e 1 L. A., Distant side-walls cause slow amplitude modulation of cellu-
cellular convection, J. Fluid Mech., 1969, 38, №'l, 203.
48. К u о Н. L., Solution of the nonlinear equations of cellular convection and
heat transport, J. Fluid Mech., 1961, 10, № 4, 611.
49. Г ершу ни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Тарунин Е. Л., Численное
исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу, Изв. АН СССР,
МЖГ, 1966, № 6, 93.
50. Т а р у н и н Е. Л., О численном исследовании ветвлений при сво-
свободной конвекции в замкнутой полости, Изв. АН СССР, МЖГ, 1967,
№ 5, 72.
51. Тарунин Е, Л., Численное исследование свободной конвекции, Уч. зап.
Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 135.
52. Т о м А., Э и п л т К., Числовые расчеты полей в технике и физике,
Москва — Ленинград, «Энергия», 1964.
53. Willis G. E., D е а г d о г f f J. W., Measurements on the development of
thermal turbulence in air between horizontal plates, Phys. Fluids, 1965, 8,
№ 12, 2225.

372 ЛИТЕРАТУРА
54. Шварцблат Д. Л., О спектре возмущений и конвективной неустойчи-
неустойчивости плоского горизонтального слоя жидкости с проницаемыми граница-
границами, ПММ, 1968, 32, № 2, 276.
55. Шварцблат Д. Л., Численное исследование стационарного конвектив-
конвективного движения в плоском горизонтальном слое жидкости, Уч. зап. Пермск.
ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 97.
В а ' - - - ¦ ¦ - - -
56. В a t с h е 1 о г G. К., Heat transfer by free convection across a closed cavity
between vertical boundaries at different temperatures, Quart. Appl. Math.,
1954, 12, № 3, 209.
57. Гер шу ни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Тарунин Е. Л., Численное
исследование конвективного движения в замкнутой полости, Изв. АН
СССР, МЖГ, 1966, № 5, 56.
58. F г о m m J. E., Numerical solution of the nonlinear equations for a heated
fluid layer, Phys. Fluids, 1965, 8,№ 10, 1757.
59. Samuels M. R., Churchill S. W., Stability of a fluid in a rectangu-
rectangular region heated from below, AIChE Journal, 1967, 13, № 1, 77.
60. Schneck P., Veronis G., Comparison of some recent experimental
and numerical results in Benard convection, Phys. Fluids, 1967, 10,
Mb 5, 927.
61. Chorin A. J., A numerical method for solving incompressible viscous flow
problems, J. Comput. Phys., 1967, 2, № 1, 12.
62. Полежаев В. И., Течение и теплообмен при естественной конвекции
газа в замкнутой области после потери устойчивости гидростатического
равновесия, Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 5, 124.
63. Plows W. H., Some numerical results for two-dimensional steady laminar
Benard convection, Phys. Fluids, 1968, 11, № 8, 1593.
64. Aziz K., Heliums J. D., Numerical solution of the three-dimensional
equations of motion for laminar natural convection, Phys. Fluids, 1967, 10,
№ 2, 314.
К главе VI
1. Thompson W. В., Thermal convection in a magnetic field, Phil, Mag.,
1951, 42, № 335, 1417.
2. Ch a n d г a sekh a r S., On the inhibition of convection by a magnetic
field, I. Phil. Mag., 1952, 43, № 7, 501.
3. Cha ndra sekha г S., On the inhibition of convection by a magnetic
field, II, Phil. Mag., 1954, 45, № 370, 1177.
4. Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред,
Гостехиздат, Москва, 1957.
5. Ку л ик ов ск ий А. Г., Любимов Г. А., Магнитная гидродинамика,
Физматгиз, Москва, 1962.
6. Жуховицкий Е. М., Об устойчивости неравномерно нагретой электро-
электропроводящей жидкости в магнитном поле, ФММ, 1958, 6, № 3, 385.
7. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., О спектре конвективной не-
неустойчивости проводящей среды в магнитном поле, ЖЭТФ, 1962, 42, № 4,
1122.
8. D a n i е 1 s о n R. E., The structure of sunspot penumbras, Astrophys. J.,
1961, 134, 275.
9. P e г и р е р С. А., О конвективном движении проводящей жидкости между
параллельными вертикальными пластинами в магнитном поле, ЖЭТФ,
1959, 37, № 1 G), 212.
10. Dun woody N. Т., Instability of a viscous fluid of variable density in
a magnetic field, J. Fluid Mech., 1964, 20, № 1, 103.
11. Yih C.-S., Gravitational instability of a viscous fluid in a magnetic field,
J. Fluid Mech., 1965, 22, № 3, 579.

ЛИТЕРАТУРА 373
12. Сорокин В. С, С у ш к и н И. В., Устойчивость равновесия подогревае-
подогреваемой снизу проводящей жидкости в магнитном поле, ЖЭТФ, 1960, 38,
Ко 2, 612.
13. Шлиомис М. И., Осциллирующие возмущения в проводящей жидкости
в магнитном поле, ПММ, 1963, 27, № 3, 523.
14. Шлиомис М. И., О колебательной конвективной неустойчивости про-
проводящей жидкости в магнитном поле, ПММ, 1964, 28, № 4, 678.
15. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, Физматгиз,
Москва, 1963.
16. Иванилов Ю. П., Яковлев Г. Н, Стационарная конвекция при на-
наличии внешнего магнитного поля, ПММ, 1966, 30, № 6, 1140.
17. Chandrasechar S., Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Oxford,
Clarendon Press, 1961.
18. Gibson R. D., Overstability in the magnetohydrodynamic Benard problem
at large Hartmann numbers, Proc. Camb. Phil. Soc, 1966, 62, № 2, 287.
19. Nakagawa Y., Experiments on the inhibition of thermal convection by a
magnetic field, Proc. Roy. Soc, 1957, A240, № 1220, 108.
20. Nakagawa Y., Experiments on the instability of a layer of mercury
heated from below and subject to the simultaneous action of a magnetic
field and rotation, II. Proc. Roy. Soc, 1959, A249, № 1256, 138.
21. Lehnert В., Little N., Experiments on the effect of inhomogeneity and
obliquity of a magnetic field in inhibition convection, Tellus, 1957, 9,
№ 1, 97.
22. Y u С. Р., Thermal instability of a magnetofluid in a vertical rectangular
channel, Phys. Fluids, 1968, 11, № 4, 756.
23. С м и р н о в А. Г., Свободная тепловая конвекция ртути в замкнутой
круглой трубе в поперечном магнитном поле, ДАН СССР, 1957, 115, № 2,
284.
24. Р е г и р е р С. А., Стационарное конвективное движение вязкой электро-
электропроводящей жидкости в круглом вертикальном канале, ПМТФ, 1962,
№ 2, 14.
25. Y i h C.-S., Inhibition of hydrodynamic instability by an electric current,
Phys. Fluids, 1959, 2, № 2, 125.
26. Писарев Н. М., Конвекция проводящей жидкости в длинной верти-
вертикальной трубе кольцевого сечения, Магнитная гидродинамика, 1968,
№ 1, 109.
27. Г е р ш у н и Г(. 3., Ж У х о в и ц к и й Е. М., Свободная конвекция прово-
проводящей жидкости в связанных вертикальных каналах, ПМТФ, 1967,
№ 3, 31.
28. Поддубная Л. Г., Ша иду ров Г. Ф., Конвективная устойчивость
проводящей жидкости в замкнутом контуре, Магнитная гидродинамика,
1969, № 2, 63.
29. Kurzweg U. H., Convective instability of a hydromagnetic fluid within
a rectangular cavity, Int. J. Heat Mass Transfer, 1965, 8, 35.
30. Ш а й д у р о в Г. Ф., Шлиомис М. И., Ястребов Г. В., Конвектив*
ная неустойчивость вращающейся жидкости, Изв. АН СССР, МЖГ, 1969,
№ 6, 88.
31. Chandrasekhar S., The instability of a layer of fluid heated below
and subject to Coriolis forces, Proc. Roy. Soc, 1953, A217, № 1130, 306.
32. Chandrasekhar S., Elbert D., The instability of a layer of fluid
heated below and subject to Coriolis forces, II, Proc. Roy. Soc, 1955, A231,
№ 1185, 198.
33. Ш л и о м и с М. И., Об устойчивости вращающейся и подогреваемой
снизу жидкости относительно периодических по времени возмущений,
ПММ, 1962, 26, № 2, 267:
34. Niiler P. P., Bisshopp F. E., On the influence of Coriolis force on
onset of thermel convection, J. Fluid Mech., 1965, 22, № 4, 753.

374 ЛИТЕРАТУРА
35. F i n 1 а у s о n B. A., The Galerkin method applied to convective instability
problems, J. Fluid Mech., 1958, 33, № 1, 201.
36. Nakagawa Y., Frenzen P., A theoretical and experimental study of
cellular convection in rotating fluids, Tellus, 1955, 7, 1.
37. F u 11 z D., N а к a g a w a Y., Experiments on overstable thermal convec-
convection in mercury, Proc. Roy. Soc, 1955, A231, № 1185, 211.
38. D г о р к i n D., Globe S., Effect of spin on natural convection in mercury
heated from below, J. Appl. Phys., 1959, 30, № 1, 84.
39. G о г о f f I. K., An experiment on heat transfer by overstable and ordinary
convection, Proc. Roy. Soc, 1960, A254, № 1279, 537.
40. R 0 s s b у Н. Т., A study of Benard convection with and without rotation,
J. Fluid Mech., 1969, 36, № 2, 309.
41. Yih C.-S., Thermal instability of viscous fluids. Quart. Appl. Math., 1959,
17, № 1, 25.
42. О в ч ин н ик о в А. П., Шай Дуров Г. Ф., Стабилизация конвективной
устойчивости жидкости в кубической полости вращением, ПМТФ, 1968,
№ 6, 129.
43. Uberoi С, Gravitational instability of an infinitely extending layer of
finite thickness surrounded «by non-conducting material in the presence of
magnetic field and rotation, J. Indian Inst. Sci., 1964, 46, 11.
44. Ch a kr a b о г ty В. В., Stability of a gravitating fluid layer of uniform
thickness in the presence of Coriolis force and a magnetic field, Indian
J. Phys., 1964, 38, № 10, 490.
45. N a k a g a w a Y., Heat transport by convection in presence of an impressed
magnetic field, Phys. Fluids, 1960, 3, № 1, 87.
46. Lortz D., A stability criterion for steady finite amplitude convection with
an external magnetic field, J. Fluid Mech., 1965, 23, № 1, 113.
47. Veronis G., Cellular convection with finite amplitude in a rotating fluid,
J. Fluid Mech., 1959, 5, № 3, 401.
48. Veronis G., Motions at subcriUcal values of the Rayleigh number in a
rotating fluid, J. Fluid Mech., 1966, 24, Mb 3, 545.
49. Veronis G., Large amplitude Benard convection in a rotating fluid, J.
Fluid Mech., 1968, 31, № 1, 113.
50. К u p p e r s G., Lortz D., Transition from laminar convection to thermal
turbulence in a rotating fluid layer, J. Fluid Mech., 1969, 35, № 3, 609.
К главе VII
1 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостех-
издат, Москва, 1953.
2. Ш а п о ш н и к о в И. Г., К теории конвективных явлений в бинарной
смеси, ПММ, 1953, 17, № 5, 604.
З.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, «Наука»,
Москва, 1964.
4. Be рт гейм Б. А., Об условиях возникновения конвекции в бинарной
смеси, ПММ, 1955, 19, № 6, 745.
5. Накорякова С. Б., К вопросу об устойчивости механического равно-
равновесия неравномерно нагретой бинарной смеси, Сб. научн. тр. Пермск. по-
литехн. ин-та, 1963, № 13, 58.
6. С л а в н о в а Э. И., О свободной тепловой конвекции в водных растворах
солей, заполняющих вертикальную трубу круглого сечения, Инж.-физ.
журнал, 1963, 6, № 3, 106.
7. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., О конвективной неустойчиво-
неустойчивости двухкомпонентной смеси в поле тяжести, ПММ, 1963, 27, № 2, 301.
8. Stommel H., Arons А. В., Blanchard D., An oceanographical cu-
curiosity: the perpetual sals fountain, Deep Sea Res., 1956* 3, 152.

ЛИТЕРАТУРА 375
9-. Stern М. Ем The salt fountain and thermohaline convection, Tellus, 1960,
12, 172.
10. Walin G., Note on the stability of water stratified by both salt and heat,
Tellus, 1964, 16, № 3, 389.
11. Nield D. A., The thermohaline Rayleigh-Jeffreys problem, J. Fluid Mech.,
1967, 29, № 3, 545.
12. В a i n e s G., Gill A. E., On thermohaline convection with linear gradients,
J. Fluid Mech., 1969, 37, № 2, 289.
13. Б р а т у x и н Ю. K-, Шлиомис М. И., О конвективной неустойчивости
смеси в шаровой полости, Уч. зап. Пермского ун-та, 1968, № 184, Гидро-
Гидродинамика, вып. 1, 75.
14. Н и г 1 е D. Т. J., J a k e m a n E., Significance of the Soret effect in the
Rayleigh-Jeffrey's problem, Phys. Fluids, 1969, 12, № 12, часть 1, 2704.
15. Thorpe S. A., Hutt P. K-, Soulsby R., The effect of horizontal gra-
gradients on thermohaline convection, J. Fluid Mech., 1969, 38, № 2, 375.
16. Shirtcli ffe T. G. L, An experimental investigation of thermosolutal
convection at marginal stability, J. Fluid Mech., 1969, 35, № 4, 677.
17. Veronis G., On finite amplitude instability in thermohaline convection,
J. Marine Res., 1965, 23, № 1, 1.
18. Veronis G., Effect of a stabilizing gradient of solute on thermal con-
convection, J. Fluid Mech., 1968, 34, № 2, 315.
19. S a n i R., On finite amplitude roll cell disturbances in a fluid layer subjected
to heat and mass transfer, AIChE Journal, 1965, 11, № 6, 971.
КглавеУШ
1. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., О параметрическом возбужде-
возбуждении конвективной неустойчивости, ПММ, 1963, 27, № 5, 779.
2. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Юрков Ю. С, О конвектив-
конвективной устойчивости при наличии периодически меняющегося параметра,
ПММ, 1970, 34, № 3, 470.
3. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Юрков Ю. С, О численном
определении границ конвективной устойчивости в системе с периодически
меняющимся параметром, Уч. зап. Пермского ун-та, 1971, № 248, Гидро-
Гидродинамика, вып. 3, 29.
4. Коддингтон Э. А., Левинсон Нм Теория обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, ИЛ, Москва, 1958.
5. Зеньковская С. М., Симоненко И. Б., О влиянии вибрации вы-
высокой частоты на возникновение конвекции, Изв. АН СССР, МЖГ, 1966,
№ 5, 65.
6. 3 е н ь к о в с к а я С. М., Исследование конвекции в слое жидкости при
наличии вибрационных сил, Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 1, 55.
7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика, «Наука», Москва, 1965.
8. Сальников И. Е., К вопросу о протекании конвекции при распростра-
распространении температурных волн в жидкостях, Тр. Горьк. ин-та инж. водного
трансп., 1958, № 15, 136.
9. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., О конвективной неустойчиво-
неустойчивости теплового скин-слоя, ПМТФ, 1965, № 6, 55.
10. Л о й ц я н с к и й Л. Г., Ламинарный пограничный слой, Физматгиз, Моск-
Москва, 1962.
И. Venezian G., Effect of modulation on the onset of thermal convection,
J. Fluid Mech., 1969, 35, № 2, 243.
12. Бурдэ Г. И., Численное исследование конвекции, возникающей в
модулированном поле внешних сил, Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 2,
196.

376 ЛИТЕРАТУРА
13. Бурде Г. И., Численное исследование конвекции, возникающей при ко-
колебаниях температуры на горизонтальных границах, Изв. АН СССР,
МЖГ, 1971, № 1, 144.
14. Б у р д э Г. И., Численное исследование конвекции в условиях параметри-
параметрической модуляции внешней силы, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1971, К? 248, Гид-
Гидродинамика, вып. 3, 75.
15. С и г г i e I. G., The effect of heating rate on the stability of stationary fluids,
J. Fluid Mech., 1967, 29, K> 2, 337.
16. Mahler E. G., Schechter R. S., Wissler E. H., Stability of fluid
layer with time-dependent density gradients, Phys. Fluids, 1968, 11, № 9,
1901.
17. Foster T. D., Effect of boundary conditions on the onset of convection,
Phys. Fluids, 1968, 11, № 6, 1257.
18. Krishnamurti R., Finite amplitude convection with changing mean
temperature, часть 1, Theory, J. Fluid Mech., 1968, 33, № 3, 445.
К главе IX
1. Gallagher A. P., Mercer A. Me D., On the behaviour of small dis-
disturbances in plane Couette flow with a temperature gradient, Proc. Roy.
Soc, 1965, A286, № 1404, 117.
2. Deardorff J. W., Gravitational instability between horizontal plates
with shear, Phys. Fluids, 1965, 8, № 6, 1027.
3. Gage K. S., Reid W. H., The stability of thermally stratified plane Poi-
seuille flow, J. Fluid Mech., 1968, 33, K> 1, 21.
4. С h a n d г а K-, Instability of fluids heated from below, Proc. Roy. Soc,
1938, A164, 231.
5. Hughes T. H., Reid W. H., The stability of spiral flow between rotating
cylinders, Phil. Trans. Roy. Soc, 1968, A263, K> 1135, 57.
6. Шварцблат'Д. Л., О спектре возмущеций и конвективной неустойчи-
неустойчивости плоского горизонтального слоя жидкости с проницаемыми граница-
границами, ПММ, 1968, 32, № 2, 276.
7. Шварцблат Д. Л., Стационарные конвективные движения в плоском
горизонтальном слое жидкости с проницаемыми границами, Изв. АН
СССР, МЖГ, 1969, № 5, 84.
8. Шварцблат Д. Л., Численное исследование стационарного конвектив-
конвективного движения в плоском горизонтальном слое жидкости, Уч. зап. Пермск.
ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 97.
9. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Шварцблат Д. Л., Стацио-
Стационарная конвекция в вертикальном канале с проницаемыми границами,
ПММ, 1969, 33, № 3, 476.
f 0. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Шварцблат Д. Л., О спект-
спектре конвективной неустойчивости в вертикальном канале с проницаемыми
границами, ПММ, 1970, 34, К> 1, 150.
И. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Шварцблат Д. Л., Об
устойчивости поперечного течения жидкости между проницаемыми гра-
границами, ПММ, 1967, 31, № 1, 116.
12. Шварцблат Д. Л., Ш л и о м и с М. И., О спектре возмущений подо-
подогреваемой снизу жидкости в полости с проницаемыми границами, Уч. зап.
Пермского ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 38.
13. Sparrow E. M., G <Я d stein К. J., Jonsson V. К., Thermal instabi-
instability in a horizontal fluid layer: effect of boundary condition and non-linear
temperature profile, J. Fluid Mech., 1964, 18, №> 4, 513.
14. Watson P. M., Classical cellular convection with a spatial heat source,
J. Fluid Mech., 1968, 32, № 2, 399.
15. Roberts P. H., Convection in horizontal layers with internal heat gene-
generation. Theory, J. Fluid Mech., 1967, 30, № 1, 33.

ЛИТЕРАТУРА 377
16. Tritton D. J., Zarraga M. N.. Convection in horizontal layers with
internal heat generation. Experiments, J. Fluid Mech., 1967, 30,
№ 1, 21.
17. Грибов В. Н., Гуревич Л. Э., К теории устойчивости слоя, находя-
находящегося при сверхадиабатическом градиенте температуры в поле тяжести,
ЖЭТФ, 1956, 31, № 5 (И), 854.
18. Whitehead J. A., Chen M. M., Thermal instability and convection of
a thin fluid layer bounded by a stably stratified region, J. Fluid Mech., 1970,
40, № 3, 549.
19. Veronis G., Penetrative convection, Astrophys. J., 1963, 137, № 2, 647.
20. Musman S., Penetrative convection, J. Fluid Mech., 1968, 31,
№ 2, 343.
21. Boger D. V., West water J. W., Effect of buoyancy on the melting
and freezing process, Trans. ASME, 1967, C89, № 1, 81.
22. Fa lie г A. J., Kay lor R., Numerical studies of penetrative convective
instabilities, J. Geophys. Res., 1970, 75, № 3, 521.
23. Goody R. M., The influence of radiative transfer on cellular convection,
J. Fluid Mech., 1956, 1, № 4, 424.
24. С h г i s t о p h о г i d e s C, Davis S. H., Thermal instability with radiative
transfer, Phys. Fluids, 1970, 13, № 2, 222.
25. Б е р к о в с к и й Б. М., Н о г о т о в Е. Ф., Фотоабсорбционная конвекция
в полостях, Инж.-физ. журнал, 1970, 19, № 6, 1012.
26. Pearson J. К. A., On convection cells induced by surface tension, J. Fluid
Mech., 1958, 4, № 5, 489.
27. Block M., Surface tension as the cause of Benard cells and surface de-
deformation in a liquid film, Nature, 1956, 178, 650.
28. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Механика сплошных сред, Гостехиз-
дат, Москва, 1953.
29. Л е в и ч В. Г., Физико-химическая гидродинамика, Физматгиз, Москва,
1959.
30. S t е г n I i n g С. V., S с г i v e n L. E., Interfacial turbulence: hydrody-
namic instability and the Marangoni effect, AIChE Journal, 1959, 5,
№ 4, 514.
31. Vidal A., Acrivos A., Nature of the neutral state in surfacetension
driven convection, Phys. Fluids, 1966, 9, № 3, 615.
32. N i e 1 d D. A., Surface tension and buoyancy effects in cellular convection,
J. Fluid Mech., 1964, 19, 341.
33. N i e 1 d D. A., Streamlines in Benard convection cells induced by surface
tension and buoyancy, ZAMP, 1966, 17, № 2, 226.
34. Б а б с к и й В. Г., С к л о в с к а я И. Л., Гидродинамика в слабых сило-
силовых полях. Возникновение стационарной термокапиллярной конвекции в
шаровом слое жидкости в условиях невесомости, Изв. АН СССР, МЖГ,
1969, № 3, 92.
35. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Статистическая физика, «Наука»,
Москва, 1964.
36. Berg J. С, Acrivos A., The effect of surface active agents on convec-
convection cells induced by surface tension, Chem. Eng. Sci., 1965, 20, 737.
37. S с г i v e n L. E., S t e г n 1 i n g C. V., On cellular convection driven by
surface tension gradients: effect of mean surface tension and surface visco-
viscosity, J. Fluid Mech., 1964, 19, 321.
38. Smith K. A., On convective instability induced by surface-tension gradi-
gradients, J. Fluid Mech., 1966, 24, № 2, 401.
39. N i e 1 d D. A., Surface tension and buoyancy effects in the cellular con-
convection of an electrically conducting liquid in a magnetic field, ZAMP,
1966, 17, № 1, 131.
40. Vidal A., Acrivos A., The influence of Coriolis force on surface-tension-
driven convection, I Fluid Mech., 1966, 26, № 4, 807,

378 ЛИТЕРАТУРА
41. Me С о n a gh у G. A., F i n 1 а у s о п В. A., Surface tension driven oscil-
oscillatory instability in a rotating fluid layer, J. Fluid Mech., 1969, 39, № 1,49.
42. Namikawa Т., Takashima M., Matsushita S., The effect of
rotation on convective instability induced by surface tension and buoyancy,
J. Phys. Soc. Jap., 1970, 28, № 5, 1340.
43. Scan Ion J. W., Segel L. A., Finite amplitude cellular convection in-
induced by surface tension, J. Fluid Mech., 1967, 30, № 1, 149.
44. Полубаринова-Кочина П. Я., Теория движения грунтовых вод,
ГИТТЛ, Москва — Ленинград, 1952.
45. Н о г t о п С. W., Rogers F. Т., Convection currents in a porous medium,
J. Appl. Phys., 1945, 16, 367.
46. Lapwood E. R., Convection of a fluid in a porous medium, Proc. Camb..
Phil. Soc, 1948, 44, Mb 4, 508.
47. 3 о л о т а р е в П. П., Условия возникновения тепловой конвекции в по-
пористом пласте, Инж. журнал, 1965, 5, № 2, 236.
48. М о г та s о n H. L., Rogers F. Т., Н о г t о п С. W., Convection currents
in porous media, II. Observation of conditions at onset of convection, J.
Appl. Phys., 1949, 20, № 11, 1027.
49. Rogers F. Т., Morrison H. L., Convection currents in porous media,
III. Extended theory of the critical gradient, J. Appl. Phys., 1950, 21, № 11,
1177.
50. Rogers F. Т., Schilberg L. E., Morrison H. L., Convection cur-
currents in porous media, IV. Remarks on the theory, J. Appl. Phys., 1951, 22,
№ 12, 1476.
51. Katto Y., Masuoka Т., Criterion for the onset of convective flow in a
fluid in a porous medium, Int. J. Heat Mass Transfer, 1967, 10,
N° 3, 297.
52. Л е й б е н з о н Л. С, Движение природных жидкостей и газов в пори-
пористой среде, Гостехиздат, Москва — Ленинград, 1947.
53. Wooding R. A.,. The stability of a viscous liquid in a vertical tube con-
containing porous material, Proc. Roy. Soc, 1959, A252, 120.
54. N i e 1 d D. A., Onset of thermohaline convection in a porous medium. Watef
resources research, 1968, 4, № 3, 553.
55. Herbert D. M., On the stability of visco-elastic liquids in heated plane
Couette flow, J. Fluid Mech., 1963, 17, № 3, 353.
56. Green Т., Oscillating convection in an elasticoviscous liquid, Phys. Fluids,
1968, 11, № 7, 1410.
57. V e s t С. М., А г р а с i V. S., Overstability of a viscoelastic fluid layer
heated from below, J. Fluid Mech., 1969, 36, № 3, 613.
58. Tien Ch., T s u e i H. Sh., S u n Z. Sh., Thermal instability of a horizontal
layer of non-Newtonian fluid heated from below, Int. J. Heat Mass Trans-
Transfer, 1969, 12, №9, 1173.
59. T u г n b u 11 R. J., Effect of dielectrophoretic forces on the Benard instabi-
instability, Phys. Fluids, 1969, 12, № 9, 1809.
60. Fin la у son B. A., Convective instability of ferromagnetic fluids, J. Fluid
Mech., 1970, 40, № 4, 753.
61. S pie gel - E. A., Convective instability in a compressible atmosphere.
I, Astrophys. J., 1965, 141, № 3, 1068.
62. П о л е ж а е в В. И., Течение и теплообмен при естественной конвекции
газа в замкнутой области после потери устойчивости гидростатического
равновесия, Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 5, 124.
63. Г и т е р м а н М. Ш., Ш т е й н б е р г В. А., Критерии возникновения сво-
свободной конвекции в сжимаемой, вязкой и теплопроводной жидкости,
ПММ, 1970, 34, № 2, 325.
64. Г и т е р м а н М. Ш., Ш т е и н б е р г В. А., Критерии возникновения кон-
конвекции в жидкости, находящейся вблизи критической точки, Теплофизика
высоких температур, 1970, 8, № 4. 799.

ЛИТЕРАТУРА 379
К гл а ве X
1. Гершуни Г. 3., Об устойчивости плоского конвективного движения
жидкости, ЖТФ, 1953, № 10, 1838.
2. Г е р ш у н и Г. 3., К вопросу об устойчивости плоского конвективного
движения жидкости, ЖТФ, 1955, 25, № 2, 351.
3. Г е р ш у н и Г. 3., Ж у х о в и ц к и й Е. М., О двух типах неустойчивости
конвективного движения между параллельными вертикальными плоско-
плоскостями, Изв. вузов (физика), 1958, № 4, 43.
4. Бирих Р. В., Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., О спектре воз-
* мущений плоскопараллельных течений при малых числах Рейнольдса,
ПММ, 1965, 29, № 1, 88.
5. Бирих Р. В., О малых возмущениях плоскопараллельного течения с ку-
кубическим профилем скорости, ПММ, 1966, 30, № 2, 356.
6. Л и н ь Ц. Ц., Теория гидродинамической устойчивости, ИЛ, Москва,
1958.
7. Шлихтинг Г., Возникновение турбулентности, ИЛ, Москва, 1962.
8. Монин А. С, Яглом А. М., Статистическая гидромеханика, часть 1,
«Наука», Москва, 1965.
9. Бирих Р. В., Замечание к работам ..., ПММ, 1966, 30, № 2, 1147.
10. Петров Г. И., Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости
течения вязкой жидкости, ПММ, 1940, 4, № 3, 3.
И. Петров Г. И., Оценка точности приближенного вычисления собственно-
собственного значения методом Галеркина, ПММ, 1957, 21, № 2.
12. Dolph С. L., Lewis D. С, On the application of infinite systems of
ordinary differential equations to perturbations of plane Poiseuille flow,
Quart. Appl. Math., 1958, 16, Mb 2.
13. Бирих Р. В., О спектре малых возмущений плоскопараллельного тече-
течения Куэтта, ПММ, 1965, 29, № 4, 798.
14. Воеводин В. В., Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы,
«Наука», Москва, 1966.
15. Рудаков Р. Н., О малых возмущениях конвективного движения между
вертикальными плоскостями, ПММ, 1966, 30, № 2, 362.
16. Рудаков Р. Н., Спектр возмущений и устойчивость конвективного дви-
движения между вертикальными плоскостями, ПММ, 1967, 31, № 2, 349.
17. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Руда ков. Р. Н., О спектре
тепловых возмущений в потоках несжимаемой жидкости, ПММ, 1967, 31,
№ 3, 573.
18. Got oh К-, Satoh M., The stability of a natural convection between two
parallel vertical planes, J. Phys. Soc. Jap., 1966, 21, № 3, 542.
19. Рудаков Р. Н., О форме нормальных возмущений в конвективном по-
потоке между вертикальными плоскостями, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968,
№ 184, Гидродинамика, вып. 1, 105.
20. On sag er L., Watson W- W., Turbulence in convection in gases bet-
between concentric vertical cylinders, Phys. Fluids, 1939, 56, № 5, 474.
21. Сорокин М. П., Экспериментальное исследование устойчивости конвек-
конвективного движения жидкости в длинной вертикальной щели, Инж.-физ.
журнал, 1961, 4, № 2, 106.
22. Elder J. W., Laminar free convection in a vertical slot, J. Fluid Mech.,
1965, 23, № 1, 77.
23 Vest С. М., А г р а с i V. S., Stability of natural convection in a vertical
' slot, J. Fluid Mech., 1969, 36, № 1, 1.
24. Б и p и x P. В., Г e p ш у н и Г. 3., Ж у х о в и ц к и и Е. М., Р у д а к о в Р. Н.,
Гидродинамическая и тепловая неустойчивость стационарного конвектив-
конвективного движения, ПММ, 1968, 32, № 2, 256.
25 Catton I., Natural convection in horizontal liquid4 layers, Phys. Fluids.
1966, 9, № 12, 2521.

380 ЛИТЕРАТУРА
26. Г е р ш у н и Г. 3., Ж у х о в и ц к и й Е. М., Об устойчивости плоскопарал-
плоскопараллельного конвективного движения относительно пространственных возму-
возмущений, ПММ, 1969, 33, № 5, 855.
27. Squire H. В., On the stability for three-dimensional disturbances of vis-
viscous fluid flow between parallel walls, Proc. Roy. Soc, 1933, A142, № 847,
621.
28. Б и р и х Р. В., Г е р ш у н и Г. 3., Ж у х о в и ц к и й Е. М., Руда-
Рудаков Р. Н., Устойчивость стационарного конвективного движения жидко-
жидкости с продольным градиентом температуры, ПММ, 1969, 33, № 6, 958.
29. Зайцев В. М., Сорокин М. П., К вопросу об устойчивости теплового
конвективного движения жидкости в вертикальной щели, Уч. зап. Пермск.
ун-та, 1961, 19, №3, 29.
30. Б и р и х Р. В., Рудаков Р. Н., О форме неустойчивости плоскопарал-
плоскопараллельного конвективного движения с продольным* градиентом температуры,
Уч. зап. Пермск. ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 56.
31. Мызников В. М., Об устойчивости конвективного движения в пло-
плоском вертикальном слое при наличии продольного градиента температуры,
Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып. 2, 99.
32. Г е р ш у н и Г. 3., Ж у х о в и ц к и й Е. М., Стационарное конвективное
движение электропроводящей жидкости между параллельными плоско-
плоскостями в магнитном поле, ЖЭТФ, 1958, 34, № 3, 670.
33. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Об устойчивости стационар-
стационарного конвективного движения электропроводящей жидкости между па-
параллельными вертикальными плоскостями в магнитном поле, ЖЭТФ, 1958,
34, № 3, 675.
34. Stuart J. Т., On the stability of viscous flow between parallel planes in
the presence of a coplanar magnetic field, Proc. Roy. Soc, 1954, A221, 189.
35. Lock R. C, Stability of the flow of an electrically conducting fluid be-
between parallel planes under a transverse magnetic field, Proc. Roy. Soc,
1955, A233, 105.
36. Гершуни Г. З., К вопросу об устойчивости стационарного конвектив-
конвективного движения вязкой жидкости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1961, 19, № 3,25.
37. Б ир их Р. В., Рудаков Р. Н., О влиянии движения границ на устой-
устойчивость конвективного течения между вертикальными плоскостями, Уч.
зап. Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып. 2, 93.
38. Hunt J. С. R., On the stability of parallel flows with parallel magnetic
fields, Proc Roy. Soc, 1966, A293, 342.
39. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Якимов А. А., Об устойчи-
устойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними
источниками тепла, ПММ, 1970, 34, № 4, 700.
40. Гершуни Г. 3. Жуховицкий Е. М., Т а р у н и н Е. Л., Вторичные
стационарные конвективные движения в плоском вертикальном слое жид-
жидкости, Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 5, 130.
41. Шлих тин г Г., Теория пограничного слоя, «Наука», Москва, 1969.
42. Л о й ц я н с к и й Л. Г., Ламинарный пограничный слой, Физматгиз, Моск-
Москва, 1962.
43. S z e w с z у k A. A., Stability and transition of the free-convection boundary
layer along a vertical flat plate, Int. J. Heat Mass Transfer, 1962, 5, 903.
44. Kurtz E. F., Crandall S. H., Computer-aided analysis.of hydrodyna*
mic stability, J. Math, and Phys., 1962, 41, № 4, 262.
45. Sparrow E. M., Tsou F. K-, Kurtz E. F., Stability of laminar free
convective flow on a vertical plate, Phys. Fluids, 1965, 8, № 8, 1559.
46. N а с h t s h e i m P. R., Stability of free -convection boundary layer flows,
NASA TN D-2089, 1963.
47. Eckert E. R. G., Soehngen E. E., Interferometric studies on the
stability and transition to turbulence of a free convection boundary layer,
Proc General Discussion on Heat Transfer, 1951, 321.

ЛИТЕРАТУРА 381
48. S р а г г о w E. M., G г е g g J. L., Laminar free convection from a vertical
plate with a uniform surface heat flux. Am. Soc. Mech. Engrs., 1956, 79,
435.
49. Polymeropoulos C, Gebhart В., Stability of free convection flow
over a vertical uniform flux plate, AIAA Journal, 1966, 4, № 11, 2066.
50. Knowles С R., Gebhart В., The stability of the laminar convection
boundary layer, J. Fluid Mech., 1968, 34, № 4, 657.
51. Polymeropoulos С. Е., Gebhart В., Incipient instability in free
convection laminar boundary layers, J. Fluid Mech., 1967, 30, № 2, 225.
52. S с h u b a u e г G. В., Skramstad H. K., Laminar-boundary-layer oscilla-
oscillations and transition on a flat plate, NACA Report 909, 1948.
53. D г i n g R. P., Gebhart В., A theoretical investigation of disturbance
amplification in external laminar natural convection, J. Fluid Mech., 1968,
34, №3, 551.
54. Dring R. P., Gebhart В., An experimental investigation of disturbance
amplification in external laminar natural convection flow, J. Fluid Mech.,
1969, 36, Mb 3, 447.
55. Sparrow E. M., Husar R. В., Longitudinal vortices in natural convec-
convection flow on inclined plates, J. Fluid Mech., 1969, 37, № 2, 251.
56. Lloyd J. R., Sparrow E. M., On the instability of natural convection
flow on inclined plates, J. Fluid Mech., 1970, 42, № 3, 465.
57. Gill A. E., D a v e у A., Instabilities of a buoyancy-driven system, J. Fluid
Mech., 1969, 35, № 4, 775.
58. Gill A. E., Kirkham С. С, A note on the stability of convection in a
vertical slot, J. Fluid Mech., 1970, 42, № 1, 125.
59. Вир их Р. В., Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Руда-
Рудаков Р. Н., О колебательной неустойчивости плоскопараллельного конвек-
конвективного движения в вертикальном канале, ПММ, 1972, 36, № 4, 475.

ДОПОЛНЕНИЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
В последнее время появился ряд работ, посвященных конвек-
конвективной устойчивости. В приводимых ниже дополнениях затро-
затронуты наиболее интересные из полученных результатов.
К главе I
Новый аспект теории конвективной устойчивости развит в ра-
работе В. М. Зайцева и М. И. Шлиомиса [!], рассмотревших пове-
поведение гидродинамических флуктуации в подогреваемой снизу
жидкости. Наряду с другими факторами (толчки, неравномер-
неравномерности подогрева и т. д.) флуктуации служат постоянным источ-
источником возмущений, а поэтому их изучение представляет особый
интерес с точки зрения теории гидродинамической устойчивости.
Гидродинамические флуктуации, вообще говоря, малы; их энер-
энергия порядка кТ (T — абсолютная температура, к — постоянная
Больцмана). Однако вблизи границы устойчивости равновесия или
стационарного движения они становятся весьма значительными.
Для описания гидродинамических флуктуации в уравнения
движения вводятся дополнительные «сторонние» члены — тензор
сторонних напряжений в уравнение Навье —Стокса и вектор
стороннего теплового потока в уравнение переноса тепла. Кор-
Корреляционные соотношения для их компонент были получены
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем [2]. В работе f1] этот метод при-
применен для рассмотрения флуктуации равновесия (R <Ri) и ста-
стационарного конвективного движения (R > Ri) подогреваемой
снизу жидкости при числах Рэлея, близких к первому критиче-
критическому Ri.
В линейном приближении флуктуации скорости и темпера-
температуры описываются неоднородной системой уравнений, в которой
«сторонние» члены играют роль источников. Критическое чис-
число Ri является минимальным собственным значением соответ-
соответствующей однородной задачи. Решение неоднородной задачи,
очевидно, имеет особенность в точке Rb Отсюда ясен результат,
полученный в [1]: по мере приближения числа Рэлея к Ri интен-
интенсивность флуктуации нарастает,

ДОПОЛНЕНИЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ 383
При подходе к границе устойчивости как со стороны равно-
равновесия, так и со стороны установившегося надкритического дви-
движения время корреляции флуктуации хс растет по закону
|R — Ril. Если жидкость заполняет полость, все размеры кото-
которой одного порядка, то флуктуации оказываются скоррелиро-
ванными во всей полости. Для бесконечного горизонтального
слоя наряду с тс существует и радиус корреляции гс~ \Я—Ri|~I/a.
Полученные в [{] результаты имеют, по-видимому [3], более
общий характер: с некоторыми изменениями они справедливы,
вероятно, и для стационарных потоков вблизи критических чи-
чисел Рейнольдса.
К главе V
1. Описанная в § 22 картина надкритической конвекции в го-
горизонтальном слое получила в последнее время дополнительные
экспериментальные подтверждения. В работе Буссэ и Уайтхе-
да [4] продолжено исследование устойчивости двумерных конвек-
конвективных валов, начатое в [у-34]1)» Использовалось силиконовое
масло со слабой температурной зависимостью параметров (чис-
(число Прандтля Р= 100). Методика экспериментов в принципе не
отличалась от развитой в [v-34]. Новый результат заключается
в том, что искусственно возбуждая валы с различными началь-
начальными значениями волновых чисел, удалось не только продемон-
продемонстрировать их перестройку, .наступающую в результате неустой-
неустойчивости, но и количественно .определить саму границу устойчи-
устойчивости валов. При этом экспериментальные результаты подтвер-
подтверждают как наличие границы области устойчивости валов (см.
рис. 56; кривые Буссэ), так и тот факт, что на двух ветвях кри-
кривой неустойчивость связана с возмущениями разной структуры.
В связи с обсуждаемым вопросом представляет интерес так-
также результат численного эксперимента, проведенного в работе
' Огура [5]. В этой работе численно исследовались плоские началь-
начальные возмущения в горизонтальном слое со свободными грани-
границами с отношением длины слоя к высоте около 30. В процессе
установления наблюдалась перестройка начальных возмущений
и формирование стационарной периодической структуры с вол-
волновыми числами, соответствующими интервалу устойчивости ва-
валов. Можно сказать, что это исследование является численным
аналогом экспериментов [v-34].
Вопрос об устойчивости двумерных надкритических валов ока-
оказывается сложнее в случае малых значений числа Прандтля (на-
(напомним, что результаты работы [v-30] относятся к противополож-
противоположному предельному случаю больших Р). В работе Буссэ [6] рас-
1) В дополнениях римской цифрой в ссылках отмечается литература к
соответствующей главе основного текста.

384 ДОПОЛНЕНИЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
смотрена устойчивость валов в горизонтальном слое со свобод-
свободными границами в пределе малых Р. При решении задачи ампли-
амплитуда стационарных валов не предполагалась малой; для отыска-
отыскания декрементов нормальных возмущений применялся метод ма-
малого параметра, основанный на разложении по степеням волно-
волнового числа возмущений в направлении осей валов, а также ме-
метод Галеркина. Основной результат состоит в том, что в случае
малых чисел Прандтля валы достаточно большой амплитуды
(согласно оценке, при надкритичности (R — Rm)/Rm:>0,31 Р2)
оказываются неустойчивыми относительно трехмерных осцилли-
осциллирующих возмущений. Этот вывод ставится в связь с* колебания-
колебаниями, наблюдавшимися в экспериментах [V. 53, и. is, 7].
2. Как указывалось в § 22, температурная зависимость вязко-
вязкости существенно влияет на структуру и устойчивость надкрити-
надкритических движений. Так, согласно [v-33] трехмерные гексагональ-
гексагональные ячейки в плоском бесконечном слое при достаточной не-
неоднородности вязкости возбуждаются «жестко» (см. рис. 37),
причем устойчивым является лишь движение, при котором на
оси ячейки жидкость поднимается вверх (имеется в виду типич-
типичный для капельных жидкостей случай убывания вязкости с тем-
температурой). Движение с противоположной циркуляцией оказы-
оказывается неустойчивым. Как показано в работе Джозефа [8], это
обстоятельство специфично для бесконечного слоя, где границы
ячеек выделены условиями периодичности в горизонтальной пло-
плоскости. В замкнутой же области с твердыми границами ситуа-
ситуация иная: отличие в свойствах спектра линейной задачи приво-
приводит здесь к тому, что оказываются устойчивыми обе ветви, соот-
соответствующие двум возможным направлениям циркуляции, при-
причем движение с нисходящим осевым потоком возбуждается
«мягко», а движение с восходящим потоком — «жестко».
Отметим в этой связи проведенный недавно авторами со-
совместно с Е. Л. Таруниным расчет методом сеток вторичных кон-
конвективных движений в квадратной области. Неоднородность вяз-
вязкости приводит к асимметрии второго критического движения
(см. рис. 51) относительно изменения направления циркуляции.
В соответствии с результатами Джозефа, оба движения оказы-
оказываются устойчивыми, причем одно из них возбуждается «жест-
«жестко», и глубина области существования подкритических движений
растет с увеличением параметра неоднородности вязкости.
К главе VII
В дополнении к этой главе мы кратко остановимся на вопросе
о термоконцентрационной неустойчивости. В последнее время
благодаря ряду работ этот вопрос приобрел достаточную яс-
ясность,

ДОПОЛНЕНИЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ 385
Во многих экспериментальных работах (см., например, [9A0])
обнаружено, что в стратифицированной смеси при наличии в ней
градиентов температуры и концентрации при определенных усло-
условиях возникают своеобразные слоистые течения: в жидкости
образуются чередующиеся вдоль вертикали слои, в которых про-
происходит движение со скоростями, наклоненными на небольшой
угол к горизонтали. Из экспериментов следует, что возникнове-
возникновение слоистых течений связано с наступлением некоторых крити-
критических условий. Как будет пояснено ниже, это явление связано
с неустойчивостью равновесия смеси, при котором градиенты
температуры и концентрации наклонены к вертикали (так, од-
однако, что градиент плотности смеси вертикален; см. § 30).
Физическую картину этой неустойчивости можно наглядно
представить себе, используя те же рассуждения, что и приведен-
приведенные в § 32 («парадокс устойчивости»). Для простоты рассмо-
рассмотрим равновесное состояние, при котором градиенты темпера-
температуры и концентрации легкой компоненты горизонтальны и про-
противоположны по направлению. Пусть, далее, их величины АиВ
согласованы так, что градиент плотности равен нулю, т. е.
РИ + р25 = 0. Речь идет, таким образом, о состоянии равнове-
равновесия с одинаковой во всех точках плотностью смеси. Пусть для
определенности градиент температуры направлен влево, а гра-
градиент концентрации — вправо. Будем считать также, что выпол-
выполнено условие % > D, т. е. неоднородности температуры выравни-
выравниваются быстрее, чем неоднородности концентрации. Поскольку
температура и концентрация не зависят от вертикальной коор-
координаты, случайное смещение элемента среды вверх или вниз не
приводит к появлению подъемной силы — возмущения такого
типа гасятся вязкостью. Иная ситуация возникает при боковом
смещении. Если, например, элемент сместится влево, то в новом
месте, где температура окружающей среды выше, он будет бы-
быстро нагреваться, относительно медленно теряя легкую компо-
компоненту. Плотность элемента может оказаться меньше плотности
окружающей смеси, и в результате возникнет подъемная сила.
Таким образом, при определенном соотношении между градиен-
градиентами и параметрами жидкости боковое смещение может приве-
привести к монотонной неустойчивости. Элементы, случайно, сместив-
сместившиеся влево, будут всплывать, а элементы, сместившиеся впра-
вправо,— тонуть; в результате сформируется слоистое течение с
траекториями частиц, наклоненными к горизонтали.
Первый расчет неустойчивости такого типа был выполнен
в уже цитированной работе Торпа, Хатта и Солсби [VIL 15]. В этой
работе рассматривалась устойчивость равновесия смеси при на-
наличии горизонтальных градиентов температуры и концентрации
и вертикального градиента плотности. Авторы получили решение
краевой задачи для монотонных возмущений и подтвердили

386 ДОПОЛНЕНИЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
критический характер явления. Найденное ими соотношение
между критическими градиентами, несмотря на весьма искусст-
искусственный характер принятых граничных условий, удовлетвори-
удовлетворительно согласуется с результатами их же экспериментов.
Полная ясность внесена работой Харта [п]. В этой работе
исследуется устойчивость стационарного плоскопараллельного
движения между вертикальными плоскостями, нагретыми до раз-
разной температуры, при наличии направленного вверх вертикаль-
вертикального градиента концентрации легкой компоненты. При малом
градиенте концентрации профиль скорости близок к кубическому
(см. § 43); если же градиент достаточно велик, то движение
происходит лишь в тонких пограничных слоях вблизи плоско-
плоскостей; основная масса жидкости в центральной части слоя прак-
практически неподвижна, причем в ней автоматически устанавли-
устанавливается горизонтальный градиент концентрации В, связанный с
заданным градиентом температуры А соотношением рИ +
-(- р2В = 0. Поэтому при достаточно большом градиенте кон-
концентрации неустойчивость всей системы обусловлена, в сущ-
сущности, термоконцентрационным механизмом, обсужденным выше.
При большом вертикальном градиенте концентрации имеют
место следующие асимптотические зависимости для критиче-
критического числа Грасхофа (определенного по поперечной разности
температур) и вертикального волнового числа km:
Gm~(R<*M/6, km~(Rdyi*.
Здесь Rd — число Рэлея, определенное по вертикальному гра-
градиенту концентрации.
Таким образом, можно считать твердо установленным, что
слоистые течения, возникающие при боковом нагреве стратифи-
стратифицированной смеси, обязаны своим происхождением неустойчи-
неустойчивости равновесия при наличии горизонтальных градиентов тем-
температуры и концентрации.
К главе VIII
Изучение конвективной устойчивости и конечно-амплитудных
колебаний при наличии периодически модулированного пара-
параметра продолжено в недавних работах [12~15]. Г. И. Бурдэ [12]
провел численное исследование методом сеток случая, когда на
горизонтальных границах периодически меняется температура;
в отличие от постановки задачи, изложенной в § 37, имеет место
также средняя по времени неустойчивая стратификация. Он
же [13] применил метод малого параметра (разложение по ампли-
амплитуде движения) для выяснения структуры конвективных коле-
колебаний вблизи границ устойчивости (рассматривался горизонталь-
горизонтальный слой со свободными границами в модулированном поле тя-

ДОПОЛНЕНИЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ 387
жести). Расчет привел, в частности, к интересному выводу о воз-
возможности «жесткого» возбуждения неустойчивости на границах
резонансных областей при достаточно большой амплитуде моду-
модуляции. Этот вывод качественно согласуется с численными резуль-
результатами [VIIL 14],
Упомянем также работу Розенблата и Танаки [14], в которой
численно исследована устойчивость плоского слоя с твердыми
границами, верхняя из которых поддерживается при постоянной
температуре, а температура нижней меняется со временем гар-
гармонически. В отличие от уже цитированной работы Венециа-
Венециана [viii. и] здесь не предполагается малой амплитуда модуля*
ции. В работе Розенблата и Герберта [15] выясняются некоторые
особенности воздействия низкочастотной модуляции темпера-
температуры.
К главе IX
1. Развитие исследований конвективной неустойчивости, вы-
вызываемой внутренними источниками тепла, последнее время шло
по пути рассмотрения различных физических механизмов тепло-
тепловыделения.
А. В. Лыков, Б. М. Берковский и By Зуй Куанг [16] опреде-
определили устойчивость горизонтального слоя проводящей жидкости
с внутренним тепловыделением за счет джоулева тепла при про-
протекании высокочастотного тока. Скин-эффект приводит к неодно-
неоднородному по высоте распределению плотности источников тепла.
С ростом частоты критическое число Рэлея быстро возрастает.
В работе Э. А. Штесселя, К. В. Прибытковой и А. Г. Мержа-
Мержанова [17] методом сеток изучается конвекция в полости квадрат-
квадратного сечения с горизонтальными изотермическими и боковыми
теплоизолированными границами. В жидкости (число Прандтля
р = 20) распределены источники тепла, мощность которых экс-
экспоненциально возрастает с температурой (экзотермическая реак-
реакция). Открытое Д. А. Франк-Каменецким явление теплового
взрыва осложняется при этом свободной конвекцией. В то же
время параметр Франк-Каменецкого, определяющий скорость
тепловыделения, влияет на границу конвективной неустойчи-
неустойчивости.
В серии работ (ссылки см. в [18]) изучается неустойчивость
горизонтального слоя химически реагирующей смеси. Упомянем
также работы [19'20], в которых рассматривается конвективная
устойчивость в двухфазной системе с учетом выделения тепла
на границе раздела фаз.
Вопрос о структуре и устойчивости надкритических движений
при наличии внутренних источников продолжает оставаться от-
открытым. В работе [21] проведено исследование методом сеток

388 ДОПОЛНЕНИЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
плоских и пространственных движений в горизонтальном слое
х теми же граничными условиями, что и в работе Роберт-
са [1Х-15]. В численном эксперименте автор наблюдал переход
между разными формами ячеек по мере увеличения надкритич-
ности. Однако полученные данные в общем не согласуются с
аналитическими результатами [1Х- *5] и экспериментом [1Х-1в].
2. Среди новых исследований термокапиллярной неустойчи-
неустойчивости отметим [22~24]. Палмер и Берг [22] экспериментально изу-
изучали порог конвекции в горизонтальных слоях силиконовых ма-
масел со свободной поверхностью. Толщина слоя менялась в пре-
пределах от 0,24 до 10,3 мм, и при этом были существенны оба меха-
механизма неустойчивости —термогравитационный и термокапилляр-
термокапиллярный. Экспериментально найденная зависимость критического
числа Рэлея от параметра Марангони хорошо согласуется с тео-
теоретическим результатом Нилда [1Х-32]; см. рис. 113.
Расчет методом сеток нелинейной конвекции в плоской ячейке
с учетом подъемной и термркапиллярной сил произведен в ра-
работе [23]. В |24] для изучения надкритической термокапиллярной
конвекции применен метод малого параметра, аналогичный ме-
методу В. С. Сорокина (§ 21). Результаты используются для опи-
описания конвекции в слое металла и в слое шлака на поверхности
металла.
3. Остановимся теперь кратко на результатах проведенного
авторами исследования конвективной устойчивости жидкости
Бингама. Рассматривалась задача о возникновении плоско-
плоскопараллельной конвекции в вертикальном плоском канале. В слу-
случае одномерного течения касательное напряжение связано с гра-
градиентом скорости реологическим уравнением: т = tosign v' + \xv\
где то — предельное напряжение сдвига, \х — вязкость, v' — попе-
поперечный градиент скорости.
Из-за конечной величины начального напряжения равнове-
равновесие такой жидкости относительно малых возмущений оказы-
оказывается устойчивым при всех числах Рэлея. Рассмотрение плоско-
плоскопараллельных стационарных движений приводит к нелинейной
краевой задаче, которая решена точно для случая нечетного
течения, соответствующего основному уровню неустойчивости от-
относительно плоских возмущений. Решение этой задачи опреде-
определяет амплитуду скорости в зависимости от числа Рэлея и безраз-
безразмерного параметра пластичности. Это решение существует при
значениях числа Рэлея R > я4 (напомним, что R = я4 есть ниж-
нижний уровень неустойчивости для случая обычной ньютоновской
жидкости; см. § 12). Как показывает анализ, это решение ока-
оказывается неустойчивым относительно малых возмущений («сед-
ловой» режим). Амплитуда скорости Vo является пороговой:
возмущения равновесия с амплитудой, меньшей v0, затухают, а
с амплитудой, большей vOi неограниченно нарастают.

ДОПОЛНЕНИЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ 389
/
Таким образом, в среде Бингама, как и в ньютоновской
жидкости, критическим значением числа Рэлея остается R = я4.
Однако, в отличие от ньютоновской жидкости, при R > я4 не-
неустойчивость равновесия возникает лишь под действием конеч-
конечных возмущений скорости. Пороговая амплитуда v0 пропорцио-
пропорциональна начальному напряжению to и уменьшается с увеличе-
увеличением R в области R > я4. В пределе при то -> 0 имеем v0 -> 0, и
мы приходим к известному результату о неустойчивости равно-
равновесия ньютоновской жидкости при R > я4.
К главе X
В § 49 сформулирована задача об устойчивости плоскопарал-
плоскопараллельного конвективного движения, вызванного внутренними
источниками тепла. Приводимое в этом параграфе решение по-
получено в чисто гидродинамическом приближении. Недавно авто-
авторы совместно с А. А. Якимовым получили рещение задачи в пол-
полной постановке — с учетом конвективной силы и тепловых возму-
возмущений (краевая задача D3.11) —D3.13)). Применялся метод
Галеркина с базисными функциями, определенными формулами
D4.8) — D4.12), D5.6). Рассматривался нижний уровень неустой-
неустойчивости, соответствующий четным возмущениям функции тока и
нечетным возмущениям температуры.
Как оказалось, учет тепловых факторов весьма важен. Чисто
гидродинамический подход, как и следовало ожидать, справед-
справедлив в предельном случае малых чисел Прандтля. С увеличением
числа Прандтля минимальное критическое число Грасхофа
уменьшается и минимум на нейтральной кривой смещается в об-
область меньших &, т. е. в сторону длинноволновых возмущений.
При больших числах Прандтля справедлива асимптотическая
формула Gm = 488/"/Р, свидетельствующая о том, что неустой-
неустойчивость связана с нарастающими тепловыми волнами (ср. с фор-
формулой D5.10)).
Интересно отметить, что с ростом Р происходит не только по-
понижение критического числа Gm, но и значительная деформация
нейтральной кривой. При Р = 5,7 на кривой появляется точка
возврата, и при Р > 5,7 кривая состоит из двух ветвей, соеди-
соединяющихся друг с другом через замкнутую петлю. Две ветви ней-
нейтральной кривой описывают, в сущности, две моды неустойчи-
неустойчивости, проявляющиеся при разных значениях волнового числа.
Коротковолновая ветвь отвечает гидродинамической моде, мало
чувствительной к изменению числа Прандтля. Длинноволновая
ветвь соответствует возмущениям типа нарастающих тепловых
волн, фазовая скорость которых соизмерима со скоростью основ
ного потока.

390 ДОПОЛНЕНИЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
Аналогичные особенности — переход при увеличении числа
Прандтля к неустойчивости типа бегущих тепловых волн и фор-
формирование замкнутой петли на нейтральной кривой — обнару-
обнаружены Хибером и Гебха ртом [25>2в] при исследовании устойчивости
конвективного пограничного слоя возле вертикальной пластины
с однородным тепловым потоком.
Таким образом, переход по мере увеличения числа Прандтля
к неустойчивости типа нарастающих бегущих тепловых волн к
настоящему времени отчетливо прослежен на примере трех ста-
стационарных течений: конвективного течения между плоскостями,
нагретыми до разной температуры; течения, создаваемого вну-
внутренними источниками тепла; конвективного пограничного слоя
у нагретой пластины. Этот переход, несомненно, специфичен для
произвольных конвективных течений.
Среди появившихся в последнее время исследований отметим
работу [27], посвященную устойчивости течения в наклонном слое
с продольным градиентом температуры, а также работы, в кото-
которых исследуется влияние на устойчивость конвективного движе-
движения продольного градиента концентрации [28] и периодической
по высоте деформации границ слоя [29]. Уточнение асимпто-
асимптотического расчета волн Толмина — Шлихтинга в вертикальном
слое [х-18] можно найти в [30]. Новые экспериментальные данные
об устойчивости содержатся в [31-33].

ЛИТЕРАТУРА К ДОПОЛНЕНИЮ
[1] Зайцев В. М., Шлиомис М. И., Гидродинамические флуктуации
вблизи порога конвекции, ЖЭТФ, 1970, 59, № 5 A1), 1583.
[2] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., О гидродинамических флуктуациях,
ЖЭТФ, 1957, 32, 618.
[3] У лен бек Г. Е., Фундаментальные проблемы статистической механики,
УФН, 1971,103, № 2, 275.
[4] Busse F. H., Whitehead J. A., Instability of convection rolls in high
Prandtl number fluid, J. Fluid Mech., 1971, 47, № 2, 305.
[5] О g u r a Y., A numerical study of wavenumber selection in finite-amplitude
Rayleigh-convection, J. Atmos. Sci., 1971, 28, № 5, 709.
[6] Busse F. H., The oscillatory instability of convection rolls in a low
Prandtl number fluid, J. Fluid Mech., 1972, 52, № 1, 97.
[7] W i 11 i s G. E., D e а г d о г f f J. W., The oscillatory motions of Rayleigh
convection, J. Fluid Mech., 1970, 44, № 4, 661.
[8] J о s e p h D. D., Stability of convection in containers of arbitrary shape,
J. Fluid Mech., 1971, 47, № 2, 257.
[9] Г у б и н В. Е., X а з и е в Н. Н., О термоконцентрационной конвекции,
Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 3, 166.
[10] Chen С. F., Briggs Е>. G, Wirtz R. A., Stability of thermal con-
convection in a salinity gradient due to lateral heating., Int. J. Heat Mass
Transfer, 1971, 14, № 1, 57. .
[11] Hart J. E., On sideways diffusive instability, J. Fluid Mech., 1971, 47,
№ 2, 279.
[12] Бурдэ Г. И., Численное исследование нестационарной конвекции, воз-
возникающей в условиях модуляции температуры границ, Сб. «Численные
методы механики сплошной среды», Новосибирск, 2, № 4, 1971, 16.
[13] Бурдэ Г. И., Исследование нелинейных конвективных колебаний, воз-
возникающих в модулированном поле сил, Всесоюзн. коцф. «Соврем, проб-
проблемы тепловой гравитационной конвекции», Тезисы докладов, Минск, 1971.
[14] R о s e n b I a t S., T a n a k a G. A., Modulation of thermal convection in-
. stability, Phys. Fluids, 1971, 14, № 7, 1319.
[15] Rosenblat S., Herbert D. M., Low-freuquency modulation of ther-
thermal instability, J. Fluid Mech., 1970, 43, № 2, 385.
[16] Лыков А. В., Берковский Б. М., By Зуй Куанг, Сб. «Тепло- и
массоперенос», Минск, 1972 1, 321.
[17] Ш т е с с е л ь Э. А., П р и б ы т к о в а К. В., Мержанов А. Г., Чис-
Численное решение задачи о тепловом взрыве с учетом свободной конвекции,
Физика горения и взрыва, 1971, 7, № 2, 167.
[18] Bozil J., Frisch H. L., Chemical instabilities. YI. Hydrodynamic sta-
stability of the dissociating fluid A2 *± 2Л, Phys. Fluids, 1971, 14, № 9, 2048.
[19] Busse F. H., Schubert G., Convection in a fluid with two phases, J.
Fluid Mech., 1971, 46, № 4, 801.
[20] Л а д и к о в Ю. П., Т к а ч е н к о В. Ф., Влияние свободной конвекции
на неустойчивость плоского фронта кристаллизации, ПМТФ, 1971, № 6,
99.

392 ЛИТЕРАТУРА К ДОПОЛНЕНИЮ
[21] Thirl by R., Convection in an internally heated layer, J. Fluid Mech.,
1970, 44, № 4, 673.
[22] Palmer H., Berg J. C, Convective instability in liquid pools heated
from below, J. Fluid Mech., 1971, 47, № 4, 779.
[23] С a b e 11 i A., De V a h 1 D. G., A numerical study of the Benard cell,
J. Fluid Mech., 1971, 45, № 4, 805.
[24] Бродский С. С, Головин А. М., Термокапиллярная конвекция в
слое жидкости, ПМТФ, 1972, № 2, 49.
[25] Н i e b е г С. A., G e b h a r t В., Stability of vertical natural convection
boundary layers: some numerical solutions, J. Fluid Mech., 1971, 48, № 4,
625.
[26] H i e b e г С A., G e b h a r t В., Stability of vertical natural convection
boundary layvers: expansions at large Prandtl number, J. Fluid Mech., 1971,
49, №3,577.
[27] Hart J. E., Stability of the flow in a differentially heated inclined box,
J. Fluid Mech., 1971, 47, JNIb 3, 547.
[28JH иколаев Б. И., Тубии А^А., Об устойчивости конвективного те-
течения бинарной смеси в плоской термодиффузионной колонне. ПММ, 1971,
35, № 2, 248.
[29] Watson A., P о о t s G., The. effect of sinusoidal protrusion on laminar
free convection between vertical walls, J. Fluid Mech., 1971, 49, № 1, 33.
[30] G о t о h K., I k e d a N.; The stability of an unsteady convection between
two parallel vertical planes, J. Phys. Soc. Jap., 1971, 30, № 3, 864.
[31] О shim a Y., Experimental studies of free convection in a rectangular ca-
• vity, J. Phys. Soc. Jap., 1971, 30, № 3, 872.
[32] К и р д я ш к и н А. Г., Леонтьев А. И., Мухина Н. В.,, Устойчи-
Устойчивость ламинарного течения жидкости в вертикальных слоях при есте-
естественной конвекции, Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, № 5, 170.
[33] Малинов А. В., Экспериментальное исследование естественной кон-
конвекции в щелевых полостях различной ориентации, Изв. АН СССР, МЖГ,
1971, № 1; 150.