НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ
имени Семёна Алексеевича ЛАВОЧКИНА
является головным в ракетно-космической отрасли
По созданию автоматических космических комплексов
для фундаментальных научных исследований Вселенной,
в том чиок Солнечной системы и её планет.
 <
Для реализации этого направления предприятие
осуществляет разработку, испытания, производство,
дистанционное управление в полёте
космическими аппаратами
научного и прикладного назначения,
а также средств выведения
(космических межорбитальных буксиров,
головных обтекателей, переходных отсеков).
АО «НПО ЛАВОЧКИНА»
ул. Ленинградская, д. 24, город Химки,
Московская область, Российская Федерация, 141402
+7(495) 251-6744, факс: +7(495) 573-3595
NPOL@LASPACE.RU
НТТРУ/WWW. laspace.ru
ЕМЫ
комплекс научной аппаратуры разрабатывается в ИКИ РАН
на среднесрочную перспективу в НПО имени С.А. Лавочкина проектируется миссия
для исследования системы Юпитера
в состав входят две межпланетные станции (орбитальная и посадочная)
целью миссии является: .
•	дистанционное изучение Юпитера;
•	дистанционное и контактное исследованиеспутника Юпитера - Ганимеда;
•	посадка на поверхность Ганимеда посадочного аппарата с научной аппаратурой;
•	передача на Землю результатов научных наблюдений и изображений
поверхности Ганимеда
основные научные задачи связаны с исследованиями поверхности
Ганимеда, его обитаемостью и особенно поискам следов жизни
для реализации этого будут проводиться следующие исследования:
•	радиационные;
•	магнитные;
оптические;
•	радиолокационные;
•	радиофизические и другие

РОСКОСМОС
АО «НПО ЛАВОЧКА»
БАЛЛИСТИКО-
Л НАВИГАЦИОННОЕ
;= ОБЕСПЕЧЕНИЕ
А.В. ГРУШЕВСКИЙ
Г.С. ЗАСЛАВСКИЙ
М.В. ЗАХВАТКИН
В.В. КОРЯНОВ
С.М. ЛАВРЕНОВ
И.М. МОРСКОЙ
А.В. СИМОНОВ
В.А. СТЕПАНЬЯНЦ
А.Г. ТУЧИН
Д.А. ТУЧИН
В.С. ЯРОШЕВСКИЙ
ПОЛЁТОВ
АВТОМАТИЧЕСКИХ
КОСМИЧЕСКИХ
АППАРАТОВ
К ТЕ
Григорий Симонович
ЗАСЛАВСКИЙ
КАНДИДАТ ФИЗ.МАТ. НАУК, ЛАУРЕАТ
ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРЕМИИ
СССР, УЧАСТВОВАЛ В ПОДГОТОВКЕ
И РЕАЛИЗАЦИИ КРУПНЫХ
КОСМИЧЕСКИХ ПРОЕКТОВ, УЧАСТВУЕТ
В АСТРОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЕКТАХ И
В ПРОЕКТАХ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛУНЫ
Михаил Витальевич
ЗАХВАТКИН
КАНДИДАТ ФИЗ.МАТ. НАУК,
УЧАСТВУЕТ В ПРОЕКТАХ «СПЕКТР-Р»,
<Л1НА-ГЛЙБ» И «ЛУНА-РЕСУРС»,
«СПЕКТР-РГ», «ВЕНЕРА-Д», «ЛАПЛАС»,
«ИНТЕРГЕЛИОЗОНД»
ВЕЧНОЙ
Сергей Михайлович
ЛАВРЕНОВ
КАНДИДАТ ТЕХН. НАУК, ДОЦЕНТ,
УЧАСТВУЕТ В ПРОЕКТАХ «СПЕКТРР»,
«ЛУНА-ГЛОБ» И «ЛУНА-РЕСУРС»,
«СПЕКТР-РГ», «ВЕНЕРА-Д», «ЛАПЛАС»,
«ИНТЕРГЕЛИОЗОНД»
Геннадий Константинович
БОРОВИК
ДОКТОР ФИЗ.МАТ. НАУК,
ЗАСЛУЖЕННЫЙ ДЕЯТЕЛЬ НАУКИ РФ,-
УЧАСТВУЕТ В ПРОЕКТАХ «СПЕКТР-Р»,
«ЛУНА-ГЛОБ» И «ЛУНА-РЕСУРС»,
«СПЕКТР-РГ», «ВЕНЕРА-Д», «ЛАП ПАС»,
«ИНТЕРГЕЛИОЗОНД»
Игорь Михайлович
МОРСКОЙ
УЧАСТВОВАЛ В БАЛЛИСТИКО-
НАВИГАЦИОННОМ ОБЕСПЕЧЕНИИ
ПОЛЕТОВ КА К ЛУНЕ, ВЕНЕРЕ, МАРСУ,
ФОБОСУ, КОМЕТЕ ГАЛЛЕЯ, УЧАСТВУЕТ В
БАЛЛИСТИЧЕСКОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ
МИССИЙ «СПЕКТР-РГ», «ВЕНЕРА-Д»^
«ЛАПЛАС», «ИНТЕРГЕЛИОЗОНД»
Юрий Филиппович
ГОЛУБЕВ *
ДОКТОР ФИЗ.МАТ. НАУК, ПРОФЕССОР,
ЗАСЛУЖЕННЫЙ ПРОФЕССОР МГУ,
УЧАСТВУЕТ В ПРОЕКТАХ«СПЕКТР-Р»,
«ЛУНА-ГЛОБ» И «ЛУНА-РЕСУРС",
*СПЕКТР-PF», «ВЕНЕРА Д», «ЛАПЛАС»,
«ИНТЕРГЕЛИОЗОНД»
Александр Владимирович
СИМОНОВ
КАНДИДАТ ТЕХН. НАУК,
УЧАСТВУЕТ В БАЛЛИСТИЧЕСКОМ
ПРОЕКТИРОВАНИИ МИССИЙ
^СПЕКТР-РГ», «ВЕНЕРА-Д», «ЛАПЛАС»,
«ИНТЕРГЕЛИОЗОНД»
Алексей Васильевич
ГРУШЕВСКИЙ
ДОКТОР ФИЗ.МАТ. НАУК,
УЧАСТВУЕТ В ПРОЕКТАХ «СПЕКТР-Р»,
«ЛУНА-ГЛОБ» И «ЛУНА-РЕСУРС»,
«СПЕКТР-РГ», «ВЕНЕРА-Д», «ЛАПЛАС»,
«ИНТЕРГБЛИОЗОНД»
Виктор Аркадьевич
СТЕПАНЬЯНЦ
КАНДИДАТ ФИЗ. МАТ. НАУК,ЛАУРЕАТ
ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРЕМИИ
СССВ УЧАСТВОВАЛ В ПОДГОТОВКЕ
И РЕАЛИЗАЦИИ КРУПНЫХ
КОСМИЧЕСКИХ ПРОЕКТОВ, УЧАСТВУЕТ
В АСТРОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЕКТАХ
И В ПРОЕКТАХ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛУНЫ
Андрей Георгиевич
ТУЧИН
ДОКТОР ФИЗ.-МАТ. НАУК, ЛАУРЕАТ
ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРЕМИИ
СССР, УЧАСТВОВАЛ В ПОДГОТОВКЕ
И РЕАЛИЗАЦИИ КРУПНЫХ
КОСМИЧЕСКИХ ПРОЕКТОВ, УЧАСТВУЕТ
В АСТРОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЕКТАХ И
Денис Андреевич
ТУЧИН
КАНДИДАТ ФИЗ.-МАТ. НАУК,
УЧАСТВУЕТ В ПРОЕКТАХ «СПЕКТР-Р»,
«ЛУНА-ГЛОБ» И «ЛУНА-РЕСУРС»,
«СПЕКТР-РГ», «ВЕНЕРА-Д», «ЛАПЛАС»,
«ИНТЕРГЕЛИОЗОНД»
Виктор Владимирович
КОРЯНОВ
КАНДИДАТ ФИЗ.МАТ. НАУК,
УЧАСТВУЕТ В ПРОЕКТАХ «СПЕКТР-Р»,
«ЛУНА-ГЛОБ» И «ЛУНА-РЕСУРС»,
«СП ЕКТР-РГ», «ВЕНЕРА-Д», «ЛАПЛАС»,
«ИНТЕРГЕЛИОЗОНД»
Виктор Семенович
ЯРОШЕВСКИЙ
КАНДИДАТ ФИЗ.-МАТ. НАУК,
УЧАСТВУЕТ В ПРОЕКТАХ «СПЕКТР-Р»,
«ЛУНА-ГЛОБ» И «ЛУНА-РЕСУРС»,
«СПЕКТР-РГ», «ВЕНЕРА-Д», «ЛАПЛАС»,
«ИНТЕРГЕЛИОЗОНД»
В ПРОЕКТАХ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛУНЫ


РОСКОСМОС
АО «НПО Лавочкина»
БАЛЛИСТИКО-.
НАВИГАЦИОННОЕ
......обеспечение
ЗАСЛАВСКИЙ ПАП ETAD
ЗАХВАТКИН iIV/IL IUD
Г.К. БОРОВИК
Ю.Ф. ГОЛУБЕВ
А.В. ГРУШЕВСКИЙ
г.с.:
М.В. 
а= АВТОМАТИЧЕСКИХ
™ КОСМИЧЕСКИХ /
В^ЯРОШЕВСКИЙ АППАРАТОВ /
КТЕЛАМСОЛНЕЧНОЙ
СИСТЕМЫ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
ДОКТОРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК А.Г. ТУЧИНА
2018
ББК 39.62
УДК 629.78.015:52
Б83
Боровин Г.К., Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Заславский Г.С.,
Захваткин М.В., Коринов В.В., Лавренов С.М., Морской И.М., Симонов А.В.,
Степаньянц В.А., Тучин А.Г., Тучин Д.А., Ярошевский В.С.
Б(83 Баллистико-навигационное обеспечение полётов автоматических космических
аппаратов к телам Солнечной системы / Под ред. д.ф.-м.н. А.Г. Тучина. Химки:
Издатель АО «НПО Лавочкина», 2018. 336 с.: ил.
Киша посвящена ретроспективному обзору прикладных методов современной небесной ме-
ханики. использование которых позволило успешно реализовать за более чем шестидесятилетний
период целый ряд значительных отечественных и международных космических проектов - от пер-
вых космических аппаратов исследования Луны, Венеры и Марса до космического комплекса
«CncKip-Р». Книга отражает основные результаты многолетнего плодотворного сотрудничества
научных коллективов АО «НПО Лавочкина» и ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. Это сотрудничество
в обласш исследований Луны и Солнечной системы началось более полувека назад. Описывается
шкже использование методов баллистического проектирования перспективных проектов исследо-
вания Солнечной системы: «Спектр-РГ», «Интергелиозонд», «Венера-Д» и «Лаплас-П».
Книга сос'ЮИ! из трёх разделов. В первом разделе рассмотрены методы проектирования траек-
юрий перелётов. Рассмотрены перелёты между небесными телами, между Землёй и Луной, а также
нолё1ы КА для научного исследования Вселенной. Отдельно рассмотрены вопросы проектирова-
ния ipacKTopnn КА «Спектр-Р» для обеспечения работы наземно-космического интерферометра.
Значшслыюс место уделено описанию современных методов проектирования орбит в окрестно-
ст либрационных точек. Второй раздел посвящён проектированию перелётов с использованием
последовательностей гравитационных манёвров около естественных небесных тел, позволяющих
получи ib дополнительную характеристическую скорость космического аппарата, обеспечиваю-
щую реализацию траекторий, необходимых для выполнения научной задачи. Рассмотрены грави-
Iанионные манёвры для изменения орбитальной энергии и наклонения орбиты КА. Методам бал-
лис шко-навигационного обеспечения полётов КА посвящен третий раздел книги. В этом разделе
рассмотрены математические модели движения КА, включая гравитационные возмущения, аэро-
динамические силы, влияние давления солнечной радиации, воздействие тяги двигателя. В разделе
рассмоI репы методы определения параметров движения КА по результатам измерений, методы ре-
шения задач определения параметров целевого маневрирования КА и практических задач коррек-
ции ipacKTopnn полёта КА. Информация о современных методах баллистического проектирования
излагается в книге достаточно полно, доступным языком.
Книга будет полезной как для сложившихся ученых и инженеров, так и для аспирантов
и оудспюв.
рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор В.В. Сазонов
доктор физико-математических наук, профессор В.В. Ивашкин
издатель
автор идеи
художник
макет-верстка
АО «НПО Лавочкина»
В.В. Ефанов
В.М. Давыдов
А.Ю. Титова
ISBN 978-5-905646-12-6
9 785905 646126
ISSN 978-5-905646-12-6
© АО «НПО Лавочкина», 2018
БАЛЛИСТИКО-НАВИГАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПОЛЁТОВ
АВТОМАТИЧЕСКИХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
К ТЕЛАМ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
АВТОРЫ
Геннадий Константинович
Юрий Филиппович
Алексей Васильевич
Григорий Симонович
Михаил Витальевич
Виктор Владимирович
Сергей Михайлович
Игорь Михайлович
Александр Владимирович
Виктор Аркадьевич
Андрей Георгиевич
Денис Андреевич
Виктор Семенович
БОРОВИН
ГОЛУБЕВ
ГРУШЕВСКИЙ
ЗАСЛАВСКИЙ
ЗАХВАТКИН
КОРЯНОВ
ЛАВРЕНОВ
МОРСКОЙ
СИМОНОВ
СТЕПАНЬЯНЦ
ТУЧИН
ТУЧИН
ЯРОШЕВСКИЙ
Под редакцией
доктора физико-математических наук А.Г ТУЧИНА
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.1.5.
1.1.6.
1.2.1
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
1.3.1
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
2.1.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
БАЛЛИСТИКО-НАВИГАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПОЛЁТОВ АВТОМАТИЧЕСКИХ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ К ТЕЛАМ
СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
ОГЛАВЛЕНИЕ
СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ..................9
ПРЕДИСЛОВИЕ..............................11
ВВЕДЕНИЕ.................................13
‘ L 10ДЫ И АЛГОРИТМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
г ЛЕКТОРИЙ ПОЛЁТА КА.......................................17
Прямые перелёты между сферами действия небесных тел.........17
Метод сопряжённых конических сечений......................17
Задача Ламберта. Окна старта.............................21
Романовские перелёты......................................36
Картинная плоскость......................................51
Основные методы численной оптимизации в задачах
баллистического проектирования траекторий межпланетных КА .... 64
Расчёт затрат топлива и баллистическая оценка массы КА...71
Перелёты между Землёй и Луной...............................72
Краевая задача............................................74
Начальное приближение....................................75
Коррекция траектории перелёта.............................82
Выведение на орбиту искусственного спутника Луны..........85
Полёты КА для исследования Вселенной........................88
Методы проектирования орбит в окрестности
точки либрации............................................88
Перелёты между орбитами в окрестности точки либрации.....141
Перелёты между точками либрации..........................146
Орбиты космического аппарата «Спектр-Р»..................152
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПЕРЕЛЁТОВ
' f КАВИТАЦИОННЫМИ МАНЁВРАМИ...............................173
Геометрия гравитационного манёвра..........................173
Гравитационные манёвры для изменения
орбитальной энергии КА.....................................178
Первый в истории гравитационный манёвр,
совершённый отечественной АМС «Луна-3»...................178
Космические проекты с многократным использованием
гравитационных манёвров для увеличения
орбитальной энергии......................................178
Многократные разнотельные гравитационные манёвры...........183
Интеграл Якоби в ограниченной круговой задаче трёх тел...183
Изменение асимптотической скорости КА
около планеты-цели.......................................190
6
Г 2.41	Гравитационные манёвры для изменения наклонения
	орбиты КА	203
2.4.1.	Вариации наклонения орбиты КА при разовом пролёте крупных небесных тел	203
2.4.2. 2.4.3. 2.4.4.	Два варианта выполнения гравитационного манёвра	208 Максимум наклонения орбиты КА	212 Сферические координаты для описания пространственного гравитационного манёвра	216
2.4.5.	Подъём плоскости орбиты КА к максимальному наклонению за ограниченное время	219
2.4.6.	Подъём плоскости орбиты КА к максимальному наклонению за минимальное время	220
2.4.7.	Полёт КА для наблюдения приполярных областей Солнца из внеэклиптических положений	222
2.4.8.	Планирование изменения наклонений при гравитационном манёвре около Венеры	229
	Гравитационные манёвры на границе сферы действия небесного тела	231
	Использование «слабого гравитационного захвата» полем тяготения планеты-цели	238
	W?O.Oh? И АЛГОРИТМЫ В A i 1 й Й С Т И КО 44 А В И Г А Ц И ОЧНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПОЛЁТОВ КА	243
3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.1.5. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.3.1.	Математическое моделирование полётов КА	243 Дифференциальные уравнения движения	244 Гравитационные возмущения	244 Аэродинамические силы :	247 Воздействие давления солнечной радиации	247 Воздействие тяги двигателя	248 Системы координат и отсчёта времени	249 Системы отсчёта времени	249 Системы координат	251 Переход между системами координат	252 Выбор параметров орбит планетоцентрических участков	263 Выбор значения параметров орбит с учётом ограничений	263
3.3.2.	Методика прицеливания в картинной плоскости для последующего выхода на орбиту искусственного спутника	268
3.3.3.	Методика прицеливания в картинной плоскости для входа в атмосферу и последующей посадки	271
3.3.4.	Методика прицеливания в картинной плоскости для проведения гравитационного манёвра	272
3.4.1.	Определение и прогнозирование параметров движения КА	273 Статистический подход к решению задачи определения параметров движения КА	274
3.4.2.	Минимизация функционала путём решения нелинейной системы уравнений методом Ньютона	274
3.4.3.	Алгоритм решения задачи определения параметров движения КА. . . 276
7
3.4.4.	Формализация обработки измерений различных типов...........276
3.4.5.	Алгоритм совместной обработки траекторных
и бортовых измерений......................................278
3.4.6.	Уточнение возмущений, вызванных работой
двигательной установки....................................282
КБ Решение задач определения параметров
целевого маневрирования КА..........................................286
3.5.1.	Метод решения практических задач коррекции
траектории полёта КА......................................286
3.5.2.	Алгоритмы расчёта параметров манёвра
торможения КА с целью перелёта его на орбиту
спутника небесного тела...................................293
3.5.3.	Эффективный алгоритм формирования
траектории полёта в окрестности круговой орбиты
около небесного тела................................................295
3.6.
Определение баллистических условий функционирования КА . . . 306
3.6.1.	Расчёт условий освещённости КА.....................306
3.6.2.	Расчёт условий радиовидимости с наземных станций...318
3.6.3.	Расчёт времени баллистического существования КА....325
ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................329
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................330
8
3D-GAM
GAM
TID
AMC
БНО
БОКЗ
БССК
ВППК
ГМ
ГОГУ
ГТП
ДМВ
ДУ
EKA
3PT
ИСЗ
ИСЛ
ИСП
KA
KO
КП
KPT
ЛСК
НУ
HCC
HT
НСУ
O3TT
ОЗЧТ
ОИСЛ
ОИСНТ
00
OCK
ОЦК
ПЛ
РБ
PO
CK
СНУ
CCK
СфК
сю
тми
ТРИ
цм
эм
эмио
СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
three-dimensional gravity assist maneuver
(пространственный гравитационный манёвр)
Gravity assist maneuver (гравитационный манёвр)
Total ionizing dose (накопленная доза излучения)
автоматическая межпланетная станция
баллистико-навигационное обеспечение
блок определения координат звёзд
бортовая связанная система координат
выбор параметров проектируемой коррекции
гравитационный манёвр
главная оперативная группа управления
граф Тиссерана-Пуанкаре
декретное московское время
двигательная установка
Европейское космическое агентство
наземный радиотелескоп
искусственный спутник Земли
искусственный спутник Луны
искусственный спутник планеты
космический аппарат
космический объект
картинная плоскость
космический радиотелескоп
система координат, связанная с точкой либрации
начальные условия
наземная станция слежения
небесное тело
наземный сегмент управления
ограниченная задача трёх тел
ограниченная задача четырёх тел
орбита искусственного спутника Луны
орбита искусственного спутника небесного тела
опорная орбита
осевая система координат
оптимальная целевая коррекция
приближение Лабунского
разгонный блок
рабочая орбита
система координат
система нормальных уравнений
связанная система координат
сферический круг
система Юпитера
телеметрическая информация
траекторные измерения
центр масс
эфемеридная модель
электромеханические исполнительные органы
9
МАТРИЦЫ И ВЕКТОРЫ
Матрицы и векторы обозначены прямым полужирным шрифтом, например век-
юр г. Длина вектора обозначается как |г| или г. Сонаправленный с вектором г вектор
единичной длины снабжается верхним индексом 0, т.е. r°=i7r. Скалярное произведе-
ние векторов р и q обозначается как (p,q), а векторное произведение - pxq.
МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА
Пусть р и q - две прямоугольные системы координат в R3. Матрицей перехода от
системы координат р к системе координат q служит матрица направляющих косину-
сов Ср. Здесь нижний индекс обозначает систему координат, от которой происходит
переход, а верхний индекс - систему координат, к которой происходит переход. Пусть
вектор v выражен в системе координат р. Тогда вектор снабжается верхним индек-
сом р: vp. Чтобы получить представление этого вектора в системе координат q, нужно
умножить его слева на матрицу Ср, т.е. vL|= CpVp.
Важное свойство ортогональных матриц: Cj=(Cq) |=(С‘’)Т
ФУНКЦИЯ ATAN2
Пусть точка Р(х,у) задана своими декартовыми координатами на координатной
плоскости (х,у); требуется найти угол 0 для полярных координат (г,0) точки Р. Для
этого используется функция atan2(y,x).
Функция atan2(y,x) определяется следующим образом (\tan2. https://en.wikipedia.
org/wiki/Atan2):
arctg(y/x)
arctg(y/x) + л
atan2(j/,x) = <
arctg(<y/x)- n
л/2
-л/2
при x > 0
при x < 0,j^ > 0
при x < 0,j^ < 0
при x = 0, у > О
прих = 0,_у <0
не определено при х = 0, у - 0.
В отличие от функции arctg(7), которая возвращает значение угла на промежутке
71 71^
—; — I, функция atan2(y,x) возвращает значение угла на промежутке (-тг;л].
Необычный порядок аргументов ((у,х), а не (х,у)) подчеркивает, что первый аргу-
мент является ординатой точки Р, а второй - абсциссой точки Р.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
Масштабные математические исследования по практической ракетодинамике
и проектной механике конкретных космических полётов в нашей стране были ини-
циированы М.В. Келдышем в 1948 году и проводились сначала в Математическом
институте им. М.В. Стеклова, а затем в Институте прикладной математики АН СССР.
Сразу после запуска первого спутника начались работы по комплексному баллисти-
ческому проектированию межпланетных полетов космических аппаратов к Луне и
планетам Солнечной системы - Марсу и Венере. Были решены задачи достижения
Луны и исследования окололунного пространства. Следует отметить исследования
по выбору траектории облёта и фотографирования обратной стороны Луны. Основ-
ные исполнители этих работ, будущие академики Д.Е. Охоцимский и Т.М. Энеев,
члены-корреспонденты Э.Л. Аким и В.В. Белецкий, доктора физико-математических
наук В.А. Егоров, М.Л. Лидов, А.К. Платонов, были научными руководителями мно-
гих авторов предлагаемой вниманию читателя книги «Баллистико-навигационное
обеспечение полётов автоматических космических аппаратов к телам Солнечной
системы».
Книга написана коллективом авторов из ИПМ им. М.В. Келдыша РАН
и АО «НПО Лавочкина». Она содержит практически применяемые современные мето-
ды проектирования и баллистико-навигационного обеспечения полетов космических
аппаратов к планетам Солнечной системы. Многие из авторов непосредственно уча-
ствовали в баллистико-навигационном проектировании и оперативном обеспечении
полета автоматических межпланетных станций (АМС), направлявшихся в 80-х годах
прошлого столетия к Венере, спутнику Марса Фобосу, к комете «Галлея».
Сотрудничество коллективов НПО им. С.А. Лавочкина и ИПМ им. М.В. Келды-
ша РАИ в области исследований Луны и Солнечной системы началось в 1965 году,
когда правительственным распоряжением работы по лунно-планетным исследова-
ниям были переданы в НПО им. С.А. Лавочкина, а ГН. Бабакин был назначен Глав-
ным конструктором. Это позволило в кратчайшие сроки успешно завершить лунную
программу Е-6. В январе 1966 года АМС «Луна-9» осуществила мягкую посадку
на Луну, передав на Землю высококачественную панораму лунной поверхности
и определив механические свойства лунного грунта. В декабре того же года станция
«Луна-13» совершила мягкую посадку на Луну и передала на Землю несколько па-
норам лунной поверхности при различных высотах Солнца над местным лунным го-
ризонтом. Следующей вехой в изучении Луны стало создание и успешный запуск её
первого искусственного спутника (ИСЛ) - станции «Луна-10» и последующих трёх
ИСЛ «Луна-11, -12, -14». Траекторные измерения, полученные от ИСЛ, позволили
Э.Л. Акиму, И.К. Бажинову, В.П. Павлову, В.Н. Почукаеву впервые построить мо-
дель гравитационного поля Луны. Выполненные в ИПМ проектно-баллистические
исследования впервые дали возможность реализовать пионерские миссии по достав-
ке лунного грунта на Землю. Были выбраны схема полёта, бортовые и наземные
средства измерения и управления, обеспечивающие выведение аппарата на орбиту
ИСЛ, мягкую посадку на поверхность с точностями, необходимыми для возвраще-
ния этих аппаратов к Земле. Результаты этих исследований были с успехом исполь-
зованы при высадке на поверхность Луны автоматических самоходных аппаратов,
названных «Луноходами».
11
Один in наиболее успешных отечественных научных космических проектов, реа-
лизованных в XXI веке, - это проект «Радиоастрон» по изучению Вселенной. Основ-
ной задачей проекта с использованием комплекса научной аппаратуры Астрокосми-
ческого центра Физического института им. П.Н. Лебедева РАН является выполнение
радиоинтерферометрических наблюдений со сверхдлинными базами. Космический
аппарат «Спектр Р» создан в НПО им. С.А. Лавочкина на базе космической плат-
формы «Навигатор». Управление полётом осуществляет НПО им. С.А. Лавочкина,
а баллистико-навигационное обеспечение полётом — ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.
Коллективам АО «НПО им. С.А Лавочкина» и ИПМ им. М.В. Келдыша РАН пред-
стоят сложные и ответственные работы по баллистико-навигационному обеспечению
проектирования и реализации новых полётов автоматических космических аппаратов
в проектах исследования Луны, Солнечной системы и в астрофизических проектах.
Непрерывное и плодотворное сотрудничество этих коллективов в освоении косми-
ческого пространства, длящееся уже более полувека, вселяет уверенность, что пред-
стоящие работы по космической тематике ими будут успешно выполнены. В пред-
лагаемой книге собраны результаты многолетней творческой научной кооперации
совместного авторского коллектива в этом важнейшем процессе. Книга будет полез-
ной как для сложившихся ученых и инженеров, так и для аспирантов и студентов.
Научный руководитель ИПМ им. М.В.Келдыша РАН,
академик	Б.Н. Четверушкин
12
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, астродинамика - раздел небесной механики, изучающий движе-
ние искусственных небесных тел - автоматических и пилотируемых космических
летательных аппаратов: искусственных спутников Земли, искусственных спутни-
ков Луны, автоматических межпланетных станций и др. (Астродинамика, 1970;
Дубошин ГН., Охоцимский Д.Е., 1963). Специализацией представленной книги вы-
бран именно последний из вышеупомянутых подразделов современной астродина-
мики - описание баллистико-навигационного обеспечения полётов АМС. Получив
своё интенсивное развитие в связи с подготовкой и началом эры освоения космоса
более 60-ти лет назад (запуск в СССР первого искусственного спутника Земли, по-
лет первого человека в космос), астродинамика и в настоящее время подвержена
динамичной и разновекторной эволюции. Особенность нынешней эпохи для неё
заключается в том, что этот относительно новый, отдельно стоящий раздел небес-
ной механики порой и сам, фрагментарно становясь классикой, одновременно тре-
бует постоянного обновления и модернизации используемых подходов и методов,
повышения их точности. В результате и фундаментальные труды, и обстоятельные
учебники отечественных и зарубежных учёных по космической баллистике и на-
вигации (Херрик С., 1976; Battin R.H., 1999; Лоуден Д.Ф., 1966; Соловьев Ц.В., Та-
расов Е.В., 1973; Охоцимский Д.Е. и др., 1975; Иванов Н.М., Лысенко Л.Н., 2016;
Сихарулидзе Ю.Г, 2011; Проектирование..., 2012), и справочные руководства (Аба-
лакин В.К. и др., 1976; Суханов А.А., 2010) требуют своевременных дополнений
и «коррекций» в соответствии с новыми тенденциями расширения и увеличения
круга научных задач, ставящихся перед современными космическими аппарата-
ми, предназначенными для дистанционных и контактных исследований небесных
тел Солнечной системы, актуальными проектами отечественной и международ-
ной космонавтики: «Спектр-Р», «Интергелиозонд» и «Solar Orbiter», «Венера-Д»,
«Лаплас-П», «ЛЛСЕ»и др.
В представляемом аспекте баллистики и навигации межпланетных полётов отече-
ственных АМС краеугольным камнем заложено многолетнее плодотворное сотрудни-
чество научных коллективов АО «НПО Лавочкина» (НПОЛ) и ИПМ им. М.В. Келды-
ша РАН (ИПМ) (Боровин ГК. и др., 2017). Их сотрудничество в области исследований
Луны и Солнечной системы началось в 1965 году, когда правительственным распоря-
жением работы по лунно-планетным исследованиям были переданы из ОКБ, возглав-
ляемого С.П. Королёвым, в НПОЛ, а ГН. Бабакин был назначен Главным конструкто-
ром. Это позволило в кратчайшие сроки успешно завершить лунную программу Е-6.
В январе 1966 года АМС «Луна-9» осуществила мягкую посадку на Луну, передав
на Землю высококачественную панораму лунной поверхности и определив механи-
ческие свойства лунного грунта (Маров М.Я., 2014). В декабре того же года стан-
ция «Луна-13» совершила мягкую посадку на Луну и передала на Землю несколько
панорам лунной поверхности при различных высотах Солнца над местным лунным
горизонтом. Следующей вехой в изучении Луны стало создание и успешный запуск
её первого искусственного спутника - станции «Луна-10» и последующих трёх ИСЛ
«Луна-11,-12, -14».
Сотрудники ИПМ, имея опыт проведения работ по БНО проектирования и реа-
лизации полёта космических аппаратов, внесли большой вклад в осуществление по-
13
.icia всех упомянутых автоматических станций. Измеренные параметры траекторий
полена указанных четырёх ИСЛ в совокупности послужили основой для построения
высокоточной модели поля тяготения Луны при непосредственном определяющем
участии специалистов ИПМ (Лкш/ Э.Л. и др., 1984). Выполненные в ИПМ проек-
1но-баллистические исследования (Охоцимский Д.Е и др., 2010) позволили осуще-
ствить пионерские миссии по доставке лунного грунта на Землю. Был осуществлён
выбор схемы полёта, бортовых и наземных средств измерения и управления, обе-
спечивающих выведение аппарата на орбиту ИСЛ, мягкую посадку на поверхность
планеты с достаточно высокими точностями, необходимыми для возвращения этих
аппаратов к Земле при прямом вертикальном старте с поверхности Луны и посадке
в заданный район Земли. Результаты этих исследований были с успехом использова-
ны при высадке на поверхность Луны автоматических самоходных аппаратов, назван-
ных «Луноходами».
Первый «Луноход» на поверхность Луны был доставлен КА «Луна-17», запуск
которого состоялся в ноябре 1970 года. Баллистический центр ИПМ выполнил все
возложенные на него задачи в обеспечение полётов всех КА серии «Луна» (послед-
ний полёт этой серии совершил КА «Луна-24» в августе 1976 года).
Необходимо отметить КА «Венера-4», с борта которого впервые получены на Зем-
ле непосредственно измеренные параметры атмосферы другой планеты. Это прои-
зошло в октябре 1967 года. Ещё ряд АМС типа КА «Венера-4» совершили плавные
спуски в атмосфере Венеры над различными районами её поверхности. 17 августа
1970 года с космодрома Байконур была запущена АМС «Венера-7», в результате чего
15 декабря 1970 года впервые в мире была осуществлена передача данных после мяг-
кой посадки её спускаемого модуля на поверхность Венеры.
2 декабря 1971 года спускаемый аппарат АМС «Марс-3» совершил первую в мире
мягкую посадку на поверхность Марса. АМС «Марс-3», разработанная в НПОЛ, со-
стояла из орбитальной станции - искусственного спутника и спускаемого аппарата
с автоматической марсианской станцией.
15 и 21 декабря 1984 года с помощью ракеты «Протон» стартовали АМС «Вега-1»
и «Вега-2», которые, в конечном итоге, обеспечили точное приведение к ядру коме-
ты Галлея европейской межпланетной станции «Джотто» (международный проект
«Лоцман»). При конструировании КА «Вега» в основу была заложена конструк-
ция АМС «Венера-9». Каждый КА «Вега» состоял из -двух частей: модуль спуска
к Венере и основной модуль для исследования кометы. Модули спуска выполнили
своё предназначение в июне 1985 года, а основные модули совершили гравитацион-
ные манёвры у Венеры и достигли окрестностей кометы Галлея в марте 1986 года.
Один из наиболее успешных научных космических проектов, реализованных
в XXI веке, - это проект «Радиоастрон» по изучению Вселенной. Основной задачей
проекта с использованием комплекса научной аппаратуры Астрокосмического центра
Физического института им. П.Н. Лебедева РАН (АКЦ ФИАН) является выполнение
радиоинтерферометрических наблюдений со сверхдлинными базами. Космический
аппарат «Спектр Р» создан в НПОЛ на базе космической платформы «Навигатор»,
успешно отработанной на КА «Электро Л». Также в НПОЛ создан космический теле-
скоп уникальной конструкции (Автоматические..., 2010).
Управление космическим комплексом «Спектр Р» осуществляет главная опе-
ративная группа управления, созданная на базе НПОЛ, с участием специалистов
14
организаций-разработчиков бортовых систем, с привлечением наземного сегмента
управления и наземного научного комплекса. Расчёт целеуказаний, обработку ре-
зультатов измерений параметров орбиты, реконструкцию и прогнозирование орбиты
КА, расчёт баллистических параметров коррекции траектории полёта КА и монито-
ринг степени затенения КА Землёй и Луной обеспечивает БЦ ИПМ (Заславский ГС.
и др., 2016).
Коллективы НПОЛ и ИПМ работают над перспективными космическими про-
ектами, к которым относится проект исследования системы Юпитера «Лаплас-П»
(Голубев Ю.Ф. и др., 2015. С. 94-103). Одной из основных особенностей этого проекта
является использование нескольких гравитационных манёвров около естественных
небесных тел. Дополнительная характеристическая скорость полёта КА, получаемая
за счёт орбитальной энергии планет или их спутников, даёт возможность для совер-
шения космических экспедиций к планетам-гигантам, и в первую очередь к систе-
ме Юпитера. И если в первых космических миссиях подобного рода («Пионер-10»,
«Вояджер-1») выбранная мишень использовалась в качестве «катапульты» нового
разгона корабля, то в последующем были использованы более изощрённые сценарии,
использующие не только разгонные гравитационные манёвры, но и симметричные
им тормозные. В этих случаях, наряду с выбором окон старта от Земли, появилась
необходимость разработки комбинационного маневрирования с соответствующими
сценариями и схемами гравитационных манёвров. Проект «Лаплас-П» предусма-
тривает посадку на один из спутников Юпитера, которую при наличии ограничений
на расход топлива можно обеспечить только с помощью гравитационных манёвров
около крупных естественных спутников Юпитера: Ио, Европы, Ганимеда, Каллисто.
При этом ограниченные динамические возможности использования спутников Юпи-
тера требуют проведения десятков прохождений около них (Голубев ЮФ и др., 2015.
С. 97-103).
Согласно Федеральной космической программе на 2016-2025 гг. (Основные по-
ложения..., https://www.roscosmos.ru/22347/) космическая экспедиция «Луна-Глоб»
(«Луна-25») станет первой миссией в рамках российской лунной программы, которая
будет прологом к целой серии КА, обеспечивающих изучение Луны, с последователь-
ным увеличением объёма задач исследования. Основной задачей КА «Луна-Глоб» яв-
ляются отработка технологии полёта к Луне и проведение точной посадки в заданной
области южного полярного региона Луны (Казмерчук П.В. и др., 2016). В настоящее
время специалисты НПОЛ и ИПМ ведут разработку бортового программно-алгорит-
мического обеспечения управления движением КА на этапе посадки на поверхность
Луны (Жуков Б.И. и др., 2016).
Коллективам АО «НПО им. С.А Лавочкина» и ИПМ им. М.В. Келдыша РАН пред-
стоят сложные и ответственные работы по баллистико-навигационному обеспечению
проектирования и реализации полётов автоматических космических аппаратов в про-
ектах исследования Луны, Солнечной системы и в астрофизических проектах. Непре-
рывное и плодотворное сотрудничество этих коллективов в освоении космического
пространства, длящееся уже более полувека, вселяет уверенность, что предстоящие
работы по космической тематике ими будут успешно выполнены. Настоящая книга
является плодом творческой научной кооперации совместного авторского коллектива
в этом важнейшем процессе.
15
В написании книги принимали участие следующие авторы: Г.К. Боровин
(разд. 1.3.1-1.3.3), Ю.Ф. Голубев (разд. 2), А.В. Грушевский (разд. 1.1.1-1.1.4, 1.2,
1.3.1-1.3.3, 2), ГС. Заславский (разд. 1.3.4, 3.5, 3.6.1, 3.6.3), М.В. Захваткин (разд. 3.4,
3.6.2), В.В. Корянов (разд. 2), С.М. Лавренов (разд. 1.1.1-1.1.4, 1.2, 1.3.1-1.3.3, 2),
И.М. Морской (разд. 1.1.5-1.1.6, 3.1-3.3), А.В. Симонов (разд. 1.1.5-1.1.6, 3.1-3.3),
В.А. Степаньянц (разд. 3.2, 3.4, 3.6.2), А.Г. Тучин (разд. 1.1.1-1.1.4, 1.2, 1.3.1-1.3.3, 2),
Д.А. Тучин (разд. 1.1.1-1.1.4, 1.2, 1.3.1-1.3.3, 2), В.С. Ярошевский (разд. 1.2).
Авторы выражают благодарность А.Е. Ильину за помощь при подготовке книги.
16
1 МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТРАЕКТОРИЙ
ПОЛЁТА КА
Ш ПРЯМЫЕ ПЕРЕЛЁТЫ МЕЖДУ СФЕРАМИ ДЕЙСТВИЯ
НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
1.1.1.	Метод сопряжённых конических сечений
Задачи двух и многих тел. Для описания конфигурации Солнце-планета-КА бу-
дем применять классическую терминологию (Пуанкаре А., 1971; Себехей В., 1982)
модели ограниченной задачи трёх тел: Солнце - основное (центральное, «первое»)
тело, планета - малое («второе») тело, КА - лёгкое, «третье» тело (тело ничтожно
малой массы). Поэтому при старте с Земли естественным является разделение тра-
ектории на участки геоцентрического, гелиоцентрического и планетоцентрического
движения, на которых преобладающее воздействие на траекторию оказывают притя-
жение Земли, Солнца и планеты назначения соответственно.
Из анализа ограниченной круговой задачи трёх тел (Себехей В., 1982) следует, что
в зависимости от значения постоянной интеграла Якоби и положения КА пассивное
движение КА возможно либо в некоторой замкнутой области в окрестности одного
из притягивающих небесных тел, либо в неограниченной области на достаточном
удалении от обоих притягивающих небесных тел.
Для межпланетных перелётов в Солнечной системе, при использовании задачи трёх
тел для моделирования движения КА в окрестности планет, значение массового пара-
метра этой задачи является малой величиной, так как масса Солнца значительно больше
массы планет. В этом случае достаточно адекватным приближением является предель-
ный случай задачи трёх тел - задача Хилла (Себехей В., 1982). В рамках этой задачи
область ограниченного спутникового движения в окрестности тела меньшей массы
(планеты) представляет собой веретенообразную область - сферу Хилла, ограничен-
ную коллинеарными точками либрации L\ и Л2 системы Солнце - планета. Проекция
сферы Хилла на плоскость орбиты планеты представлена на рисунке 1.1.1. Характер-
ный размер (радиус) сферы Хилла определяется соотношением ЯСф. хилла=(р/3),/3Г|2, где
ц=/772/(/771+/772) - массовый параметр задачи трёх тел (отношение массы планеты к сумме
масс Солнца и планеты), /'12 - гелиоцентрическое удаление центра масс планеты.
Граница сферы Хилла является естественной поверхностью, отделяющей область
спутникового движения КА вокруг планеты от гелиоцентрического движения КА.
Однако традиционно в механике космического полёта для анализа межпланетных пе-
релётов используется понятие сферы действия (или гравитационной сферы) планеты.
Сферы действия небесных тел. Физический смысл понятия сферы действия
следует из уравнений пассивного движения КА в гравитационном поле двух притяги-
вающих центров - Солнца и планеты:
Г13	{Г23
ri3=-Ywi-T-Yw2 Л—Т =а|+фР
>1з	И'зЗ	гп)
Г23	f Г31	Г21	.г.
Г23 = -Y"l|	- Y™1	-т =а2+Ф2>
I Л,	Г„
17
1.1.
Рисунок 1.1.1. Проекция сферы Хилла на плоскость орбиты планеты
(т। - Солнце,	- планета, тонкими линиями показаны кривые нулевой скорости КА
с заданным значением постоянной Якоби)
где у - универсальная гравитационная постоянная; - масса Солнца; ггъ - масса пла-
неты; Tn - гелиоцентрический вектор положения КА; г23 - планетоцентрический вектор
положения КА; г2| - гелиоцентрический вектор положения планеты; r2i=r!2; Я| - грави-
тационное ускорение КА под действием притяжения Солнца в его гелиоцентрическом
движении; Ф1 - возмущающее ускорение от притяжения планеты при рассмотрении
гелиоцентрического движения КА; а2 - гравитационное ускорение КА под действием
притяжения планеты в его планетоцентрическом движении; Ф2 - возмущающее уско-
рение от притяжения Солнца при рассмотрении планетоцентрического движения КА.
Граница сферы действия планеты определяется уравнением
Ф1=Ф£
а2 а}
то есть внутри сферы действия планеты отношение ускорения от притяжения Солнца
к ускорению от притяжения планеты в планетоцентрическом движении КА меньше,
чем отношение ускорения от притяжения планеты к ускорению от притяжения Солн-
ца в гелиоцентрическом движении КА.
Геометрическое представление сферы действия планеты приведено на рисун-
ке 1.1.2. Можно показать {Мишин В.П., 2009), что сфера действия имеет форму
сплюснутого эллипсоида (|Л2?|/|С£>|~1.15).
В таблице 1.1.1 приведены радиусы сфер Хилла и сфер действия больших планет
Солнечной системы. Для планет земной группы радиус сферы действия составляет
доли процента от гелиоцентрического удаления планет, а для планет-гигантов - еди-
ницы процентов.
18
1.1.
Рисунок 1.1.2. Сфера действия (гравитационная сфера) планеты (mj - Солнце, пъ - планета)
Таблица 1.1.1. Радиусы сфер Хилла и сфер действия больших планет Солнечной системы
планета	большая полуось (я), млн км	радиус сферы Хилла, млн км	радиус сферы действия (7?сф.д.), млн км	•^сф.Д./@
Меркурий	57.910	0.2207	0.1124	0.00194
Венера	108.210	1.0112	0.61628	0.00570
Земля	149.600	1.4966	0.9247	0.00618
Марс	227.942	1.0841	0.5772	0.00253
Юпитер	778.309	53.1186	48.1852	0.06191
Сатурн	1429.41	65.2787	54.6440	0.03823
Уран	2875.08	70.1925	51.8403	0.01803
Нептун	4504.51	116.2014	86.7706	0.01926
Vkaoth2
планета прибы1ия
Vk».3th1
точки сты -човки планетоцент
еских
и гелиоцентрическогр-у-частка траектории
Рисунок 1.1.3. Схема траектории прямого межпланетного перелёта в рамках метода сфер
действия
19
1.1.
Метод сопряжённых конических сечений. Приближённый расчёт межпланет-
ных фаекюрий КА методом сфер действия заключается в разбиении всей траекто-
рии КА на участки планетоцентрического движения КА внутри сфер действия планет
и участок (участки) гелиоцентрического движения вне этих сфер (рисунок 1.1.3), при
этом вводится допущение, что на планетоцентрических участках движение КА про-
исходит только под действием силы притяжения планеты и тяги двигателя, а на гели-
оцентрических - только под действием силы притяжения Солнца и тяги двигателя.
Для обеспечения стыковки планетоцентрического и гелиоцентрического участ-
ков траектории при пересечении КА границы сферы действия - гелиоцентрическая
скорость КА вычисляется как векторная сумма планетоцентрической скорости КА и
гелиоцентрической скорости планеты (или планетоцентрическая скорость КА вычис-
ляется как векторная разность гелиоцентрических скоростей КА и планеты).
Дальнейшее широко используемое упрощение математической модели межпла-
нетной траектории сводится к использованию метода сопряжённых конических се-
чений (метода точечных сфер действия - гравитационных сфер нулевой протяжён-
ности). При использовании этого метода принимаются следующие дополнительные
допущения (Суханов А.А., 2010; Мишин В.П., 2009):
1)	Пренебрегаем протяжённостью сферы действия. Считается, что после выхода
из сферы действия планеты КА находится в точке, совпадающей с центром планеты,
а сама планета со своей сферой действия отсутствует. При подлёте к планете её сфера
действия также считается точкой, совпадающей с центром этой планеты, таким обра-
зом, гелиоцентрическая траектория перелёта между планетами начинается в центре
планеты отправления, а заканчивается в центре планеты прибытия.
2)	Время начала гелиоцентрического участка считаем равным времени отлёта
с промежуточной орбиты вокруг планеты отправления, время окончания гелиоцен-
трического участка - равным времени сближения КА с планетой прибытия на мини-
мальное расстояние.
3)	Считаем, что планетоцентрическая скорость КА в момент достижения грани-
цы сферы действия планеты прибытия равна гиперболическому избытку скорости
(скорости КА на бесконечном удалении от планеты при его движении по гиперболи-
ческой планетоцентрической траектории в центральном ньютоновском гравитацион-
ном поле планеты без учёта возмущающих ускорений).
Таким образом, в рамках метода точечных сфер действия планетоцентрические
участки определяют только граничные условия для гелиоцентрических участков
траектории.
Для комбинированной схемы межпланетного перелёта, когда требуется обеспечить
выведение КА с заданной планетоцентрической орбиты на отлётную гиперболиче-
скую траекторию с заданным гиперболическим избытком скорости К/0 в импульсном
приближении, требуемый отлётный импульс скорости можно определить из интегра-
ла энергии задачи двух тел. В частности, при отлёте с планетоцентрической орбиты
радиуса г» требуемый отлётный импульс скорости определяется соотношением
N ro N го
где ц/? - гравитационный параметр планеты. Аналогичным образом определяется и
требуемый тормозной импульс скорости для выведения КА с подлётной траектории
на заданную орбиту вокруг планеты.
20
1.1.
В таблице 1.1.2 приведены максимально возможные вариации скорости КА при
пролёте крупных небесных тел Солнечной системы.
Таблица 1.1.2. Максимально возможные вариации скорости КА при пролёте крупных
небесных тел Солнечной системы
небесное тело	вариация скорости ДГПК1Х, км/с	центральное тело
Меркурий	3.005	Солнце
Венера	7.326	Солнце
Земля	7.912	Солнце
Марс	3.557	Солнце
Церера	0.101	Солнце
Юпитер	42.57	Солнце
Сатурн	25.52	Солнце
Уран	15.12	Солнце
Нептун	16.67	Солнце
Плутон	0.85	Солнце
Хаумеа	1.16	Солнце
Макемаке	1.11	Солнце
Эрида	1.09	Солнце
Луна	1.680	Земля
Ио	1.809	Юпитер
Европа	1.433	Юпитер
Ганимед	1.949	Юпитер
Каллисто	1.725	Юпитер
Титан	1.867	Сатурн
1.1.2.	Задача Ламберта. Окна старта
Задача Ламберта. При получении оценки двухимпульсного перехода с орбиты 1
на орбиту 2 нужно рассмотреть множество орбит перехода, затем из этого множества
выбрать орбиту, для которой минимальны затраты характеристической скорости. Ка-
ждая орбита перехода строится по положениям на орбитах 1, 2 и моментам времени,
в которые орбиты проходят через эти положения. В рамках невозмущённого движе-
ния задача определения орбиты по двум положениям и времени перелёта между эти-
ми положениями является классической задачей Ламберта.
Сначала сформулируем теорему Эйлера - Ламберта.
Теорема. Если заданы два вектора гь г2 положения материальной точки в цен-
тральном поле тяготения и время перелёта А/ от положения Г] к положению г2,
то имеет место следующее равенство:
д/ц • А/ • а 3/2 = 8 - sin 8 + (8 - sin 8) + 2лп,	(1.1.1)
где а - большая полуось эллиптической орбиты перелёта;
р - гравитационный параметр;
и - число витков орбиты перелёта;
21
1.1.
W + N + h-rJ ^„2 5 _ k| + |r2|-|r2-Г,|
SIH —	• 0111
2 4a	2 4a
(1.1.2)
Если Ди=Дг)„+2/7Л, 0<Дп„<2л - дуга, проходимая точкой, то знак «-» в уравне-
нии (1.1.1) соответствует случаю, когда Ао„ не превосходит л, а знак «+» - когда зна-
чение Ди„ больше я.
Теорема Эйлера - Ламберта показывает, что время, в течение которого материаль-
ная точка переходит из одного положения в другое, зависит только от суммы радиусов
этих положений |ri|+|r2|, от величины хорды, их соединяющей |r2-rj, и от большой
полуоси орбиты а. Уравнение (1.1.1) называют также уравнением Эйлера - Ламберта.
Рассмотрим алгоритм определения перелётной траектории по заданным двум по-
ложением и времени перелёта при условии, что перелёт обеспечивается не более чем
за заданное число витков. Ищутся все решения уравнения (1.1.1), затем найденные
решения проверяются на соответствие схеме перелёта из точки Г| в точку г2 за интер-
вал времени Д/.
При построении алгоритма использованы следующие факты:
-	всегда выполняются неравенства sine/2>0, cos8/2>0;
( fl, 0 < Ди <я
-	знак sin8/2 определяется знаком cos До„/2, т.е. sign (jin —J = <!	<
-	cos е/2<0, когда второй фокус эллипса перелёта лежит в эллиптическом секторе,
соответствующем траектории перелёта.
Введём следующие обозначения:
sin8o = ЙЕЕЕЕНЫ
2	\ 4а
(1.1.3)
Рассмотрим возможные положения эллиптического сектора, соответствующего
траектории перелёта:
-	в эллиптическом секторе нет ни одного фокуса (случай А);
-	в эллиптическом секторе содержится только второй фокус (случай В);
-	в эллиптическом секторе содержится только первый фокус (случай С);
-	в эллиптическом секторе содержатся оба фокуса (случай D).
В случае А: 8=80, б=5().
В случае В: 8=2л-80, 5=50 либо 5=-50.
В случае С: 8=80, 5=50 либо 5=-50.
В случае D: 8=2л-80, 5=-50.
Таким образом, вместо уравнения (1.1.1) следует рассматривать четыре уравнения:
। з
Д^ = а1 (е0- sin 80- (80- sin 80) + 2тш);	(1-1.4)
1 -
\t = —r=a2 (2n-(e0-sine0)-(80
(1.1.5)
22
1.1.
Az = —^a2 (£0-sin£0 + (50-sin50) +271/?),	(1.1.6)
VM
!	3
Ar = —f= a2 (2л- (£0- sin £0) + (80- sin80) + 2лп\	(1.1.7)
VM
Среди решений этих уравнений найдутся такие, которые не будут соответствовать
перелётным траекториям, т.е. таким решениям не будут соответствовать траектории,
начинающиеся и кончающиеся в заданных точках. Будем поэтому называть эти че-
тыре уравнения расширением уравнения Эйлера - Ламберта. Решения расширен-
ного уравнения Эйлера - Ламберта следует проверять на соответствие траекториям
перелёта.
При выборе численного метода решения уравнений следует учесть характер функ-
циональной зависимости правых частей уравнений (1.1.4)-( 1.1.7) от а. Функции, обра-
зованные правыми частями уравнений (1.1.4) и (1.1.6), монотонно убывают с ростом а
при /7=0 и монотонно возрастают при /7=1,2,.... Функции, образованные правыми ча-
стями уравнений (1.1.5) и (1.1.7), возрастают при всех значениях 77=0,1,2,.... Поэтому
для решения уравнений (1.1.4)-(1.1.7) применим метод дихотомии и метод золотого
сечения.
Входная информация:
rsrc - исходное положение КА;
rllg - заданное положение КА;
АГ-длительность перелёта;
Атах - максимально допустимое число витков в ходе перелёта;
т| -пороговое значение для невязки (см. п. 19 алгоритма).
Выходная информация:
Мтм -количество полученных решений (количество записей в выходном массиве);
{Qa, h, £к, Рк, 6та,}, M<:lm - выходной массив, каждая запись которого со-
держит параметры переходной орбиты:
Оа - долгота восходящего узла;
/а - наклонение;
соа - аргумент перицентра;
ек - эксцентриситет;
рк - параметр эллиптической орбиты;
Ги.а - время пролёта перицентра.
Описание алгоритма:
1.	Если векторы rsrc и r(rg коллинеарны, то алгоритм завершает работу с отрица-
тельным кодом ответа.	г х г
2.	Вычисляется вектор ш°= (777?,/77°/77?) = |-^-
Кх^ё|
3.	Вычисляются два вектора: c0l=m°-sign(/77?) и с02=-с01.
Обнуляется индекс к по массиву результата.
Пункты 4-6 выполняются для каждого из векторов с01 и с02. В описании алгоритма
эти векторы будут обозначаться как с°1, 1=1,2, Вычисляемые с их использованием ве-
личины также будут иметь индекс t (греческая буква йота).
23
4.	Вычисляется наклонение: / =arccos(cfl), где с_-‘ - z-компонента вектора с°1.
5.	Долгота восходящего узла Ц находится из условий:
С01	с01
sinQj , cosQt = / .	(1.1.8)
sinzt	sinzt
6.	Вычисляется разность истинных аномалий До, двух заданных положений с ис-
пользованием значений sin До, и cos До,, вычисляемых по формулам:
(rsrc’rtrg) .	/о, о \ |rsrc Х rtrg |
cosAv)i=n—П—Г’ sin/4= c >m Г]—п—г-	(1-1.9)
ЫЫ	МЫ
Цикл по индексу t завершён. В результате получены два значения разности истин-
ных аномалий: ДО| и До2.
7.	Вычисляется длина 5 отрезка, соединяющего исходное rsre и заданное rlrg
положения:
Hrs,- rtIg|.	(1.1.10)
8.	С использованием алгоритма решения расширенного уравнения Ламберта на-
ходятся два массива решений:
{в\.к, £|.А, ЗцД, к=\,...,М ,LEO, {#2.Ь &2.А? $2.А } ,	1 -,М.££'бь	(1.1.11)
Первый массив соответствует значению разности истинных аномалий До,, а вто-
рой - До2.
9.	Вычисляется единичный вектор, соответствующий вектору rsrc:
г“С=(4^“е>4)Т=тЧ-	(1.1.12)
|Г»гс|
10.	В цикле по j=1,...,M,£ec?+M.££X) выполняются действия пп. 11-17.
11.	Формируется пятёрка значений:
ПрИ./<	£/? ^/}*	{^1>	^1./? £|./> ^1./} 5
При j >N\ 'LE(Q{i/,	<\}:= {b, ^2, ^2!/-V|.//.(/1, £2;/4VL//.(r I,	I } •
12.	Вычисляется аргумент широты
arccos (xs°rc cos Q. + j/s°rc sin Q ), если zs°rc > 0;
u = \ x	(1.1.13)
2rc-arccos(xs°rccosQy + ys°rcsinQj, ecnnzs°rc<0.
13.	Вычисляются параметры, связывающие вспомогательные углы 8 и 8 со значе-
ниями эксцентрической аномалии в исходной и целевой точках:
8,-6,
^2~^\ ~ ^2пЛ ~	’	(1.1.14)
ecosE2/;1 — есЕ2р} —	\ ы+кг ч	2ai >	1 cosEj,,,, ’	(1.1.15)
. р _	-1 esinE2 . — е Е1 . —	rsre|-r.rg	1	Е{+ Е2 .	, Ь2п\ ~	(1.1.16)
По значениям синуса и косинуса полусуммы эксцентрических аномалий вычис-
ляется значение этой полусуммы Е1р\. Для этого может быть использована функция
atan2 (см. подраздел «Сокращения и обозначения»).
24
1.1.
(1.1.17)
(1.1.18)
Значения эксцентрических аномалий в исходной Е\ и заданной Е2 точках вычис-
ляются по формулам
E{=E2r\- E2iii1;
E2=E2f)l+ E2iii1.
14.	Вычисляется значение эксцентриситета:
| I s,cl I 4 g |
е =___________2а________
Е.-Е,	Е.+Е,'
cos—------=- • cos—-=-
2	2
15.	Вычисляется значение истинной аномалии в исходной точке:
(1.1.19)
1 + е/ Е,
7T^tg^T-
е! 2)
16. Вычисляется значение аргумента перицентра:
со=г/-о.
17. Вычисляется время пролёта перицентра:
u = 2arctg
(1.1.20)
(1.1.21)
Z/7./ “
(1.1.22)
(1.1.23)
18.	Вычисляется параметр эллиптической орбиты:
/^/(1-е,2).
19.	С использованием найденных элементов вычисляются векторы состояния на
моменты времени /,=0 и t2=\t\ г,л и гЛ2. Вычисляется невязка: 6//=|rSI.c- гЛ||+|г(Гё- г/2|.
Если dt меньше заданного порога т|, решение сохраняется, если больше - отбрасыва-
ется. При сохранении решения выполняются следующие присваивания:
к:=к+\,	cda:= cd„ ek\=ehpk\=ph
20.	После завершения цикла по j индекс к используется для формирования длины
выходного массива: Nelm=/<-
Алгоритм решения расширенного уравнения Ламберта находит решения (1.1.1).
Результатом работы алгоритма является массив, содержащий значения полуоси и
вспомогательных углов 8 и 8. Истинные решения уравнения Ламберта, те. такие ре-
шения, которым соответствует перелётная орбита, содержатся среди элементов этого
массива. Для нахождения истинных решений требуется дополнительная проверка,
которая выполняется алгоритмом более высокого уровня.
Входная информация:
|rsrc| - модуль вектора, определяющего исходное положение КА,
|rtrg| - модуль вектора, определяющего заданное положение КА,
А/ - длительность перелёта,
АП1ах - максимально допустимое число витков в ходе перелёта,
До - разность истинных аномалий.
Выходная информация:
Aleq - количество элементов в массиве,
{ак, 8а, 8а, Nk}, k=\,...,NLEQ - найденные значения.
25
1.1,
Описание алгоритма.
Устанавливается начальное значение индекса к=0.
ПП. 1-3 выполняются в цикле по N от 0 до Afmax.
1.	Вычисляется минимально допустимое значение полуоси а =
траектории перелёта и угол 0<80<л, определяемый равенством
8
2
V 4а
(1.1.24)
Минимальное значение полуоси может достигаться только в случае граничного
эллиптического сектора. В этом случае отрезок, соединяющий концы радиус-векто-
ров г, и г2, проходит через второй фокус эллипса, угол £=л.
Если Ди< я, проверяется равенство
з
= а2 [тг - (80- sin80) + 2тгМ].	(1.1.25)
Если равенство выполняется с заданной точностью, в выходном массиве сохра-
няются значения: а, £=л, 8=80, N. Для этого значение индекса к увеличивается на 1
и выполняются присвоения: ак=а, £А=л, Ък=Ь^ Nk=N. После этого происходит переход
к началу цикла с новым значением N.
Если 71<Д&<2т1, проверяется равенство
- а2 [тг + (80- sin80) + 2л^.	(1.1.26)
Если равенство выполняется, осуществляются присвоения: к\=к+\, ак=а. гк=п,
8А:—8(), N:=Nk и происходит переход на начало цикла с новым значением N.
Если ни одно из указанных выше равенств не выполняется, происходит переход
к следующему пункту.
, „	Ы + |rJ + *
2.	На интервале от flmin =-1----+ аа до атах ищутся нули двух функции, вид
которых зависит от величины угла До. Здесь параметр <з(1 имеет значение порядка еди-
ниц метров, а flmax Атах не превосходит 30 тыс. км.
При До<71 ищутся нули функций:
2
°i(a) = VHAz-a2[eo-sineo-(5o-sin5o) + 27i;v]’	*	(1.1.27)
2
Ф2 (а) = д/цД/ - a2 [2ti - (е0- sin £0) - (80- sin80) + 2тг^.
При 71<До<271 ищутся нули функций:
2
Ф3(а) = д/цД/-а2 [s0- sine0 +(80- sin80)+ 2tlVJ,
3	(1.1.28)
Ф4 (а) = ТцД/ “ [2л - (с0- sin £0) + (80- sin 80) + 2tiN J,
где
sin— =
2
• 60
sin—=
2
(1.1.29)
Таким образом, на интервале [flmin,tfmax] алгоритмом дихотомического поиска на-
ходится значение аф=0, при котором значение какой-либо из функций ФА равно нулю.
26
1.1.
3.	Вычисляются углы 0<80<71, О<3()<71, определяемые равенствами
5,,= к|+К
2 V 4аф=0

(1.1.30)
В зависимости от к вычисляются углы 8 и 8:
при /<=! 8=8о, 5=5(); при /<=2 8=2тг -80, 8=8о;
при к=3 8=8о, 8=-80; при к=4 8=2ti -8(), 8=-8().
В выходном массиве сохраняются найденное значение полуоси аф-0 и соответству-
ющие значения 8, 8, N. Для этого выполняются присвоения: к\=к+1, ак:=аф=о9 8А:=8,
8а:=8, Nk:=N.
4.	После завершения цикла индекс к используется для формирования длины вы-
ходного массива: Nu<Q=k.
При проектировании траектории перелёта Земля - планета вначале решается
в импульсной постановке задача Ламберта, а затем выполняется расчёт программы
управления двигателем конечной или малой тяги, обеспечивающей реализацию пе-
релётной траектории до целевой планеты.
Перелётная траектория формирует вектор состояния КА на момент правого конца
импульсной задачи Ламберта. Различают случаи, в которых время достижения ми-
нимального расстояния фиксируется, и случаи, в которых время является свободным
параметром, и в первом приближении решается описанная выше задача Ламберта со
свободным правым концом. Но во всех случаях присутствие планеты на правом кон-
це задачи Ламберта вносит дополнительные обстоятельства в формирование требу-
емой перелётной траектории, связанные условиями сближения с планетой. Заметим,
что именно эти обстоятельства приводят к разделению задач анализа и построения
межпланетных траекторий на «внешние» задачи Ламберта, со сферой действия пла-
неты-цели, стянутой в точку, и на «внутренние» задачи гиперболического движения
относительно планеты внутри сферы действия её поля гравитации. В этом подразде-
ле описывается метод формирования условий сближения с планетой в форме, наибо-
лее удобной для решения краевых внешних задач траекторной оптимизации с учётом
обстоятельств решения внутренних задач требуемого движения КА в поле гравита-
ции планеты-цели.
В общем случае для реализации нужного движения внутри сферы действия пла-
неты должна быть найдена планетоцентрическая траектория, которая в заданное вре-
мя проходит через определённую точку окрестности планеты. Эти условия означа-
ют, что траектория должна пройти на фиксированном расстоянии от центра планеты
с заданным наклонением к плоскости её экватора. Требуемые параметры сближения
с планетой (далее коротко - параметры или условия «сближения») реализуются на
стадии проектирования полёта решением краевой терминальной задачи с начальны-
ми условиями на переходной орбите вблизи Земли с построением оптимальной про-
граммы управления тягой двигателя КА с учётом возможных отклонений номиналь-
ных значений вектора тяги двигателя Р(/), с необходимыми их исправлениями уже
в процессе полёта. Управление параметрами движения в процессе полёта к планете
для любого способа получения реактивной тяги определяется условием соответствия
прогнозируемых оскулирующих параметров траектории заданным значениям ус-
27
1.1.
ловип сближения с планетой. Иными словами, оскулирующая траектория, соответ-
ствующая текущему вектору состояния и программному закону управления тягой,
должна иметь заданное расстояние перицентра и заданное наклонение. Для этого
требуется определить долготу восходящего узла и компоненты вектора скорости КА
на траектории отлёта от Земли из условия пролёта у планеты на заданном расстоянии,
с заданным наклонением и, если требуется, с заданным моментом времени достиже-
ния минимального расстояния.
Для упрощения методов решения краевых задач, как при проектировании полёта
к планете-цели или к Луне, так и последующих задач управления траекторией КА
в процессе его полёта, важно найти удобный способ интерпретации 9-мерного векто-
ра состояния траектории перелёта в момент t
S(t)=
R(t)
V(t)
P(Z)
обеспечивающий принцип суперпозиции управляющих изменений тяги в условиях
сближения с планетой, получаемых в результате применяемого управления.
Окна старта. Расчёт окон старта для межпланетных перелётов достаточно
подробно изложен в современной литературе по астродинамике {Соловьев Ц.В.,
Тарасов Е.В., 1973; Сихарулидзе Ю.Г, 2011). Так как перелёт к планете требует
больших энергетических затрат, то при расчёте приоритетом считается миними-
зация характеристической скорости. Для первоначальной приближённой оценки
оптимальных дат старта делаются следующие исходные предположения: орбиты
планет предполагаются круговыми и компланарными, траектория перелёта имеет
гомановский тип.
Возможность перелёта к планете с минимальной потребной энергетикой пери-
одически повторяется. В первую очередь цикличность определяется синодическим
периодом Tsvn повторения конфигурации взаимного расположения двух планет, прак-
тически фиксированным относительно звёзд {Сихарулидзе ЮТ., 2011), который вы-
ражается через периоды обращения этих планет Т\ и Т2 как
Т . Т'Г>
" i^-^r
В классической астрономии противостояниями называют конфигурации располо-
жения Земли, на одной прямой с Солнцем и внешней планетой, при котором прямое
восхождение последних различается на 180 градусов. Промежуток времени между
двумя сближениями Земли и Марса до минимально возможного расстояния назы-
вают периодом их великих противостояний. В современной астродинамике {Сиха-
рулидзе Ю.Г., 2011)это понятие обобщается на общий случай двух планет, при этом
цикличность их взаимной конфигурации в гелиоцентрической системе координат
приближенно определяется как наименьшее общее кратное сидерических периодов
планет и их синодического периода.
В таблице 1.1.3 приведены синодические периоды Tsvn и периоды великих проти-
востояний Тса для Земли и планет Солнечной системы.
28
1.1.
Таблица 1.1.3. Синодические периоды и периоды великих противостояний Земли и планет
Солнечной системы (согласно (Сихарулидзе Ю.Г., 2011))
планеты	лет	Г(</, лет
Меркурий	0.317	1
Венера	1.599	8
Марс	2.135	17
Юпитер	1.092	12
Сатурн	1.035	29
Уран	1.012	84
Нептун	1.006	165
Плутон	1.004	248
При некотором увеличении запаса характеристической скорости КА, по сравне-
нию с минимально необходимым, появляется возможность полётов к планете в каж-
дый синодический период планет старта и назначения (Соловьев Ц.В., Тарасов Е.В.,
1973).
Получив оптимальные даты старта в этих предположениях, нужно решать задачу
в более реалистичной постановке, учитывая эксцентриситеты орбит планет и их не-
ком планарность. Для этого задаётся сетка значений дат отлёта и дат прилёта. Для этих
дат решают задачу Ламберта и получают векторы скорости отлёта и скорости прилё-
та. Сумма модулей этих скоростей даёт характеристическую скорость, необходимую
для перелёта. На основе расчёта строят изолинии характеристической скорости на
координатной плоскости. По оси абсцисс откладываются даты стартов в окрестности
даты, полученной на первом этапе, по оси ординат - длительности перелёта. Резуль-
таты таких расчётов для некоторых планет приведены ниже.
На заключительном этапе выбирается конкретная дата старта и задача решается
в импульсной постановке. Ищется перелёт с орбиты ИСЗ на траекторию, которая обе-
спечивает подлёт к планете с заданным расстоянием перицентра, с заданным накло-
нением и через заданное полушарие.
Приведём окна старта для эпохи 2020-2028 годов для наиболее важных случаев
межпланетных перелётов АМС: Земля - Венера, Земля - Марс и ?емля - Юпитер
(рисунки 1.1.4-1.1.15).
На каждом из рисунков приведены контурные графики - линии уровня характери-
стической скорости, затрачиваемой на перелёт. По оси абсцисс отложены даты старта
(в сутках). Начало оси соответствует дате 01 января года, указанного в подписи к ри-
сунку. Например, для рисунка 1.1.4 - это 01.01.2020. По оси ординат показано время
перелёта (в сутках). Справа от графика размещена легенда, где показано соответствие
цвета значению суммарной скорости. Светло-коричневый цвет означает, что скорость
превышает верхнее предельное значение, для рисунка 1.1.4 оно составляет 10.5 км/с.
Курсор (в форме крестика) поставлен в точку с минимальной суммарной характери-
стической скоростью (его значение указано рядом). Стороны крестика продолжены
до пересечения с осями координат. Рядом с этими пересечениями проставлены дата
и время отлёта (для оси абсцисс), дата и время прилёта (для оси ординат).
29
1.1.
Земля - Венера
Рисунок 1.1.4. Перелёт Земля - Венера. 2020-2024 гг. Суммарная характеристическая
скорость
Рисунок 1.1.5. Перелёт Земля - Венера. 2020-2024 гг. Отлётная асимптотическая скорость
30
1.1.
Рисунок 1.1.6. Перелёт Земля - Венера. Окно 2020 г. Отлётная асимптотическая скорость
Рисунок 1.1.7. Перелёт Земля - Венера. Окно 2020 г. Суммарная характеристическая скорость
хар скорость	хар. скорость
31
I
1.1.
Рисунок 1.1.8. Перелёт Земля - Венера. 2025-2028 гг. Суммарная характеристическая
скорость
80
0
200
1 180
1 160
! 140
] 120
1 100
400	600	800	1000	1200	1400
Рисунок 1.1.9. Перелёт Земля - Венера. 2025-2028 гг. Отлётная характеристическая скорость
32
1.1.
Земля - Марс
Рисунок 1.1.10. Перелёт Земля - Марс. 2020-2024 гг. Суммарная характеристическая скорость
500	1000	1500
Рисунок 1.1.11. Перелёт Земля - Марс. 2020-2024 гг. Отлётная характеристическая скорость
хар. скорость	хар. скорость
33
1.1.
Рисунок 1.1.12. Перелёт Земля - Марс. 2025-2028 гг. Суммарная характеристическая скорость
Рисунок 1.1.13. Перелёт Земля - Марс. 2025-2028 гг. Отлётная характеристическая скорость
34
1.1.
Земля - Юпитер (прямой перелёт)
Рисунок 1.1.14. Перелёт Земля - Юпитер. 2025-2028 гг. Отлётная характеристическая скорость
Рисунок 1.1.15. Перелёт Земля - Юпитер. 2025-2028 гг. Суммарная характеристическая скорость
35
1.1.
1.1.3. Романовские перелёты
Перелет между произвольными кеплеровыми орбитами теоретически всегда осу-
ществим с помощью двухимпульсного манёвра. Это следует из того простого факта,
что две произвольные точки пространства всегда можно соединить дугой некоторой
переходной кеплеровой орбиты - достаточно расположить эти точки на начальной
и конечной орбитах. Требуемые импульсы скорости определяются как векторная
разность между орбитальными скоростями КА на переходной и граничных орбитах
в точках их пересечения. Так как в качестве начальной точки может использоваться
произвольная точка на начальной орбите, в качестве конечной - произвольная точка
на конечной орбите, а через любую пару точек можно провести бесконечное множе-
ство кеплеровых орбит, то имеется бесконечное множество вариантов двухимпуль-
сных перелётов между заданными кеплеровыми орбитами.
В 1925 году Вальтер Гоман (Хоманн В., 2013) предложил использовать для перелё-
тов между расположенными в одной плоскости круговыми орбитами перелёт по эл-
липтической траектории, которая в перицентре касается одной круговой орбиты,
а в апоцентре - другой (рисунок 1.1.16). Такой тип перелёта называется гомановским.
Позднее было доказано, что гомановский перелёт между компланарными круговыми
орбитами является оптимальным (Лоуден Д.Ф., 1966), то есть он требует минималь-
ной суммы модулей импульсов среди всего множества возможных двухимпульсных
перелётов.
Рассмотрим перелёт с начальной круговой орбиты 1, имеющей радиус гь на ко-
нечную круговую орбиту 2, имеющую радиус г2. Скорость КА на орбите 1 равна
v, = д/в/г1 • Для реализации гомановского перелёта в некоторой точке Р начальной
орбиты космическому аппарату сообщается приращение скорости Av/> в направлении
вектора его орбитальной скорости vc!. Величина этого приращения скорости выби-
рается такой, чтобы КА перешёл на эллиптическую орбиту, касающуюся в апоцен-
тре конечной орбиты 2, то есть чтобы радиус апоцентра переходной эллиптической
орбиты равнялся г2- Радиус перицентра переходной орбиты равняется радиусу на-
чальной орбиты Г], поэтому, используя формулы кеплерового движения, можно найти
скорость КА в точке Р - перицентре переходной орбиты
v = I >2
\г|(г1+гг)
Требуемое приращение скорости КА в точке Р равно разности между этой величи-
ной и круговой скоростью КА на начальной орбите:
(1.1.31)
Аналогично, требуемое приращение скорости КА в точке А равно разности между
скоростью КА на конечной круговой орбите и скоростью КА в апоцентре переходно-
го эллипса:
Ду = Е- I
\г2 уг2(г,+г2)
(1.1.32)
36
1.1.
Рисунок 1.1.16. Романовский перелёт
Для осуществления плоского перелёта между круговыми орбитами по гоманов-
ской схеме приращение скорости КА равно сумме приращений скорости в точках
РиА:
Дуу=Дул+Ду/(.	(1.1.33)
Рассмотрим зависимость требуемых импульсов скорости при перелёте по гома-
новской схеме от соотношения радиусов начальной и конечной орбит. Для качествен-
ного анализа удобно использовать безразмерные единицы измерения, отнесённые
к начальной орбите КА. В качестве единицы длины будем использовать радиус на-
чальной орбиты Г|, а в качестве единицы скорости - круговую скорость на начальной
орбите ус1 = д/цД.
Выражение (1.1.31) для первого импульса скорости можно переписать в виде:
или в безразмерных величинах:
37
1.1.
nc	- безразмерный импульс скорости в точке Р; р=г2/г\ - безразмерный
Vm
радиус конечной орбиты (отношение радиусов конечной и начальной орбит).
Аналогично, для второго импульса скорости имеем
или в безразмерных переменных:
(1.1.35)
где Д^= —- безразмерный импульс скорости в точке А.
№
На рисунке 1.1.17 приведён график зависимости безразмерных импульсов скоро-
сти и их суммы	от соотношения радиусов конечной и начальной орбит р.
Рисунок 1.1.17. Зависимость импульсов скорости в гомановском перелёте от соотношения
радиусов конечной и начальной орбит
Очевидно, что при р=1 начальная и конечная орбиты совпадают, поэтому все им-
пульсы скорости - нулевые. Предел первого импульса скорости (1.1.34) при беско-
нечном увеличении р равен
limAvp = V2-l.	(1.1.36)
р —> оо
Предельный импульс скорости (1.1.36) соответствует переходу с начальной круго-
вой на параболическую орбиту.
Предел второго импульса скорости (1.1.35) при бесконечном увеличении р равен 0.
Так как и начальное значение (1.1.35) при р=1, и предельное значение (1.1.35) при
р-^ос равны 0, а производная от (1.1.35) по р при р=1 больше 0, должен существовать
38
1.1.
максимум второго импульса скорости. Этот максимум имеет место при р=5.879362,
при этом Avл=0.190046. Для типичного перелёта с околоземной круговой опорной ор-
биты высотой 200 км это значение р соответствует высоте конечной орбиты 32262 км.
Суммарный импульс скорости имеет максимум при р= 15.58172 (высота конечной ор-
биты -96000 км при высоте начальной орбиты 200 км), при этом Avz)=0.536258. Нали-
чие максимума величины суммарного импульса скорости при гомановском перелёте
между компланарными круговыми орбитами является хорошо известным нетриви-
альным результатом, из которого, в частности, следует, что перелёт с орбиты высотой
200 км на орбиту высотой, например, 400 тыс. км реализовать легче, чем перелёт на
орбиту высотой 100 тыс. км. Интересно отметить, что при р>3.304168 (высота конеч-
ной орбиты более -15340 км при высоте начальной орбиты 200 км) суммарный им-
пульс скорости на гомановском перелёте превышает импульс скорости, необходимый
для выведения КА на параболическую отлётную траекторию.
Для перелёта с наклонённой круговой орбиты на круговую экваториальную орби-
ту можно использовать схему перелёта, аналогичную гомановской схеме, если прира-
щения скорости КА реализовывать в узлах орбиты КА (рисунок 1.1.18).
Рисунок 1.1.18. Пространственный перелёт между круговыми орбитами
Пусть начальная круговая орбита КА имеет радиус гх и наклонена к экватору на
угол /. В точке Р, являющейся узловой точкой начальной круговой орбиты, а также
узловой точкой и точкой перицентра переходного эллипса, КА получает приращение
скорости Avzb обеспечивающее одновременно увеличение радиуса апоцентра до ра-
диуса конечной круговой орбиты г2 и поворот плоскости орбиты на некоторый угол
А/,, абсолютная величина которого не превосходит наклонения начальной орбиты i.
Абсолютная величина скорости на начальной круговой орбите, в том числе и в точ-
ке Р, равна
39
1.1.
Абсолшная величина скорости в точке перицентра Р на переходном эллипсе
_ I 2цг2
V'’ ГЯ'1+Г2)'
Угол между вектором скорости vci и вектором скорости V/> равен требуемому из-
менению наклонения Д/У С другой стороны, вектор требуемого приращения скоро-
сти КА в точке Р для перевода его с начальной орбиты на переходный эллипс равен
разности этих скоростей: /\np=np- vh. Векторы np, vh и Av^ образуют треугольник
скоростей, представленный на рисунке 1.1.19.
Рисунок 1.1.19. Треугольник скоростей для расчёта требуемого приращения скорости КА
в перицентре переходного эллипса
Из этого треугольника по теореме косинусов можно определить абсолютную ве-
личину требуемого приращения скорости в точке Р:
AvP= 7vci + Vp-2vclvpcosA/l.	(1.1.37)
В точке А можно построить аналогичный треугольник скоростей (рисунок 1.1.20),
составленный из вектора скорости КА на конечной круговой орбите vc2, вектора ско-
рости КА в точке апоцентра А переходного эллипса vz( и требуемого приращения ско-
рости КА Av.f, для того чтобы повысить радиус перицентра его орбиты до радиу-
са конечной орбиты и изменить наклонение плоскости орбиты на оставшийся угол
Az2=/— Az’i.
Рисунок 1.1.20. Треугольник скоростей для расчёта требуемого приращения скорости КА
в апоцентре переходного эллипса
40
1.1.
Для манёвра в точке А, аналогично рассмотренному манёвру в точке Р, имеем
V,= E у _ /	,
УГ2 Кг(Г1+Г2)
» /------------------------------
Лч, =	+ V2 - 2у£.2уя cos(z - Az,).	(1.1.38)
Величина изменения наклонения А/, в точке Р, вообще говоря, должна оптимизи-
роваться, то есть выбираться такой, чтобы требуемое суммарное приращение скоро-
сти КА Av/>+Avj было минимальным. Для перелёта с низкой круговой орбиты высо-
той 200 км с наклонением 51.6° на геостационарную орбиту оптимальное значение
А/, равно 2.8°, при этом требуемое суммарное приращение скорости равно 4848 м/с.
Следует отметить, что при нулевом Ац требуемое суммарное приращение скорости
больше всего на 39 м/с и составляет 4887 м/с. Однако если весь поворот плоскости
орбиты осуществлять в точке Р (Ай =51.6°), требуемое суммарное приращение ско-
рости составит 9642 м/с, что, конечно, приводит к неоправданным затратам топлива
на осуществление перелёта.
В общем случае, если плоскость начальной орбиты наклонена к плоскости конеч-
ной орбиты на угол /, расчётные формулы для определения характеристик манёвра
остаются прежними - (1.1.37) и (1.1.38). Однако в этом случае импульсы скорости
должны прилагаться не в узловых точках, а в точках орбит, лежащих на линии пере-
сечения плоскостей начальной и конечной орбиты.
Если начальная и конечная орбиты являются квазикруговыми, то есть имеют ма-
лый эксцентриситет, то алгоритм вычисления импульсов скорости некомпланарного
гомановского перелёта включает в себя следующие пункты.
1.	Вычисляется единичный вектор eN в направлении линии пересечения началь-
ной и конечной орбит как нормированное векторное произведение интегралов пло-
щадей этих орбит.
2.	Выбирается вариант начальной точки перелёта - в точке пересечения плоско-
сти конечной орбиты в направлении ev от притягивающего центра или в противопо-
ложном направлении.
3.	Вычисляются истинная аномалия точки приложения первого импульса скоро-
сти на начальной орбите как угол между векторной постоянной Лапласа этой орбиты
и направлением ±ev и истинная аномалия точки приложения второго импульса скоро-
сти на конечной орбите как угол между векторной постоянной Лапласа этой орбиты
и направлением =re;V.
4.	По известным элементам начальной и конечной орбит и известным истинным
аномалиям точек приложения импульсов вычисляются векторы орбитальной скоро-
сти на начальной орбите непосредственно перед исполнением первого импульса и на
конечной орбите непосредственно после исполнения второго импульса и величины
геоцентрических удалений точек приложения импульсов.
5.	По известным величинам геоцентрических удалений в точках приложения им-
пульсов вычисляются величины скорости КА сразу после исполнения первого им-
пульса и непосредственно перед исполнением второго импульса скорости.
6.	Для заданного изменения наклонения орбиты Ай вариации скорости вычисля-
ются по соотношениям:
Av,, =	+ vti + Vp -2vT1vpcosA/1,
Дуя = y]v2r2 + vj2 + v2a - 2ут2ул cos(z - Az,),
41
1.1.
uc v„. vr/ - радиальная и трансверсальная компоненты орбитальной скорости КА
в точках приложения импульса на начальной (/=1) и конечной (z=2) орбитах. Опти-
мальная величина Дц, как и ранее, должна выбираться из условия минимизации сум-
марного импульса скорости.
При решении задачи оптимизации параметров траекторного манёвра в классиче-
ском случае известны требуемые векторы состояния КА до и после манёвра. В балли-
стике существует обширный класс задач межорбитального движения, когда известны
орбита старта КА, его целевая орбита и требуется построить манёвры перелёта с од-
ной орбиты на другую. В теории управления КА такие задачи называются задачами
перехода на орбиту, или задачами встречи на орбите, или задачами стыковки, или
задачами посадки.
Наиболее востребованы оптимальные решения задач встречи и стыковки на орби-
те, когда заданы параметры целевой орбиты и задано положение КА на ней. В случае
импульсного маневрирования и невозмущённого движения это приводит к решениям
стандартной задачи Ламберта. Однако для оценки достоверности получаемых резуль-
татов полезно сравнить энергетические затраты, полученные из решения задачи Лам-
берта, со случаем орбитального перехода, в котором заданы лишь параметры целевой
орбиты и не задано положение на ней.
При управлении КА, когда нужно достичь в заданное время заданного положения
в пространстве, предварительно формируются и выполняются фазирующие манёвры
орбитального перехода. При этом выбираются моменты манёвров, которые обеспе-
чивают такие условия орбитального перехода, при которых энергетические затраты
манёвра на орбитальную встречу с заданным положением на целевой орбите не силь-
но отличаются от манёвра орбитального перехода с произвольным положением КА
на целевой орбите после манёвра перехода. Манёвры встречи на орбитах с таким
свойством близки к глобально оптимальным решениям задачи встречи. Важным по-
рогом при сравнении оптимальности манёвров КА являются энергозатраты последо-
вательности гомановских переходов между орбитами.
Таким образом, задача межорбитального перехода (в которой преобразуются лишь
параметры текущей орбиты, но не задано целевое положение на ней) является необ-
ходимым элементом решения всех других задач внешней баллистики из,упомянутого
класса задач построения межорбитального движения.
Представим задачу апсидального перехода с одной орбиты на другую согласно
(Kamensky S. etal., 2009). Для решения этой задачи используется алгоритм, описанный
в приложении к работе (Vallado D.A. et al., 2006), который заключается в следующем.
Рассмотрим семейство эллипсов, фокус которых находится в начале координат.
Это семейство эллипсов описывается параметрами:
/>0 - длина большой оси эллипса;
f- абсцисса второго фокуса.
Обычные параметры эллипса: с - половина расстояния между фокусами; а - по-
луось; е - эксцентриситет связаны с параметрами I wf следующими соотношениями:
Расстояние до КА и скорость КА в апоцентре га, и перицентре гл, Ил представ-
ляется через параметры / и/следующими формулами:
42
1.1.
(1.1.40)
где ц - гравитационный параметр центра притяжения.
Каждая орбита представляется точкой (//) на полуплоскости />0. При этом, если
/>0, то справа (в положительном направлении оси абсцисс) от начала координат в
фокусе эллипса с центром притяжения находится апоцентр, а если f<Q - перицентр.
Будем рассматривать энергетически оптимальные приложения импульсов изменения
скорости только в перицентре и апоцентре. Напомним, что энергетически оптималь-
ное изменение величины I (с сопутствующим вынужденным изменением величины
/) выполняется импульсом в перицентре, в то время как энергетически оптимальный
поворот вектора текущей скорости, нужный для реализации изменения /без измене-
ния / или для поворота направления линии апсид без изменения величин / и / реали-
зуется в апоцентре. Поэтому энергетически оптимальная реализация компланарных
изменений параметров эллиптических орбит достигается многократными манёврами
именно в апсидальных точках этих орбит. Это обстоятельство определяет нижнюю
грань требуемых энергетических затрат именно при реализации гомановского метода
преобразования орбит, что, в свою очередь, и определяет упомянутую целесообраз-
ность определения уровня гомановских энергозатрат для их использования в качестве
порога сравнения с энергозатратами, требуемыми для решения текущей баллистиче-
ской задачи.
Рассмотрим гомановский орбитальный переход из точки /,, / в точку /2, /2. Если
импульс манёвра прикладывается в апсидальной точке справа от фокуса эллипса с на-
чалом координат, то после манёвра орбитального перехода к новой орбите должно
сохраняться расстояние до этой точки. При />0,/>0 реализуется такой орбитальный
переход, при котором до и после приложения в правой полуплоскости апсидального
импульса апоцентр находится справа от начала координат и сохраняется исходное
расстояние апоцентра. Поэтому
./1 _ 4 + fi
2	2
(1.1.41)
Случай/>0, /2<0 соответствует орбитальному переходу, при котором после прило-
жения импульса справа от фокуса эллипса с центром притяжения должен находиться
перицентр получаемой орбиты. Это означает, что в результате требуемого апсидаль-
ного манёвра размер большой оси исходной орбиты увеличивается так, чтобы её апо-
гей стал перигеем новой орбиты. При этом после реализации импульса выполняется
условие сохранения величины суммы /+/:
f\ _^i~\fi \	+ fi	/] 1 42)
2	2	2'
Рассмотрев оставшиеся случаи /<0, /<0 и /<0,/2>0, увидим, что при приложении
импульса справа от начала координат исходная величина l+f также во всех случаях
сохраняется. Проведя аналогичные рассмотрения для случаев приложения импульса
слева от начала координат, увидим, что и в этих случаях сохраняется исходная вели-
чина /+/
43
1.1.
Геометрический смысл причины существования этого закона сохранения очеви-
ден: при апсидальных романовских орбитальных переходах все возможные измене-
ния орбит заключаются в их апсидальном растяжении-сжатии с соответствующими
изменениями их «полноты» (эксцентриситета) и с сохранением положения фокуса
относительно точки манёвра. Иными словами, при таких манёврах сохраняется как
апсидальность, так и величины радиус-векторов точек приложения трансверсаль-
ных импульсов суммарного манёвра для перехода на новую орбиту, т.е. сохраняются
величины
2<,M1,= a(l±e) = ^.
Заметим, что в общем случае любого компланарного импульса в любой точке ис-
ходной орбиты закон сохранения величины радиус-вектора точки импульса в орби-
тальных параметрах I и / новой орбиты выражается в виде
/ + /cos£’HMn = c°nSt = R
гу	ИМП"
где Е1|М11 - эксцентрическая аномалия точки манёвра.
Последовательность импульсных апсидально-гомановских орбитальных пере-
ходов изображается на полуплоскости l,f (/>0) некоторой ломаной линией. В силу
свойства сохранения в каждой её вершине величины суммы /+/ каждая планируемая
последовательность орбитальных переходов на полуплоскости /,/(/>0) изображается
на этой полуплоскости множеством отрезков с тангенсами их угла наклона, равными
или -1, или +1 (рисунок 1.1.21). Значение «-1» у тангенса угла наклона у отрезка
отображения орбитального перехода соответствует приложению импульса справа от
начала принятой орбитальной системы координат в фокусе эллипса с центром притя-
жения, а значение тангенса «+1» - слева.
Орбитальные скорости в апсидальных точках (в апоцентрах или перицентрах ор-
биты), обозначаемые: справа от начала орбитальных координат Vr и слева - И/, вычис-
ляются по формулам
Г= И, +	(1.1.43)
V /(/+/)	1 \ i(i-п
При орбитальном переходе из точки Ц,/ в точку /2,/2 требуемые величины им-
пульсов перехода ДИГ (при приложении импульса справа от фокуса в принятой си-
стеме координат) и А И/ (при приложении импульса слева от фокуса) вычисляются
по формулам:
дк= /Ш-Л) /2^(7,-Z)
' Ы+А) Ш+Л)’	(1144)
д(/ = /2ц(/2 + /2)	12^/,+f,)
' VAk-fJ Шг/Г
Рассмотрим гомановский перелёт с круговой орбиты радиуса /| на круговую ор-
биту радиуса /2 (рисунок 1.1.22). Промежуточная эллиптическая орбита в этом случае
имеет параметры
/ =£±£ у
3	О ’ •'З	о
44
1.1.
Рисунок 1.1.21. Изображение орбитальных переходов на полуплоскости /,/(/>0). В данном
примере при переходе из точки Д,/ в точку /2,/2 вертикальный импульс прикладывается
справа от начала координат, а при переходе из точки /2,/2 в точку /2,/2 - слева
Знак «+» соответствует приложению импульса слева от начала координат в фокусе
промежуточной орбиты, а знак «-» - справа.
Используя (1.1.44) при /2>/|, получим величину затрат характеристической скоро-
сти на требуемый романовский перелёт:
лг„^С(р),	<"-45’
где р=/2/1\.
Рисунок 1.1.22. Представление романовского перелёта на полуплоскости /,/ />0. Верхняя
ломаная линия соответствует приложению первого импульса слева от начала координат и
второго - справа, а нижняя - справа и слева
45
1.1.
Рассмотрим другой пример: трёхимпульсный биэллиптический перелёт с круго-
вой орбиты радиуса Ц на круговую орбиту радиуса /2, при котором переходный эл-
липс гомановской схемы полёта заменяется двумя последовательными эллипсами
(рисунок 1.1.23). Первый импульс прикладывается слева от начала координат так,
что полуось первой промежуточной орбиты увеличивается в араз, т.е //?i=a/h где а>1.
Параметры промежуточных орбит lp\,fp\, Ip^fpi связаны следующими соотношениями:
h _	~	+	+ Zp2 ^р2 ~ fpl _ /2	0 ]
22’2	2’22*	v * * 7
Рисунок 1.1.23.Трёхимпульсный биэллиптический перелёт с круговой орбиты радиуса
/i на круговую орбиту радиуса /2 на фоне двухимульсного романовского перелёта.
Трёхимпульсному биэллиптическому перелёту соответствует линия, проходящая через точки:
(/1,0Н(//я,Л.)^(/.2,42)^(/2,0).
Решая систему уравнений (1.1.46) относительно/,], lP2,fPi, получим искомые пара-
метры промежуточных орбит трёхимпульсного биэллиптического перелёта:
„	/ ч, ,	(2a —1)7. + L „	(2а-1)/.-/?
Л,=(а-1)/р 1Р2=~-fp2=~---------2^	(L,’47)
Размеры импульсов для формирования траекторий полёта на первом, втором и
третьем участках биэллиптического перелёта вычисляются по формулам
ДИ1= И ^--1^ ,
1 VjN a J
AIZ /2ц ГЛ ( I 2l2 ГГ|
^ = ^^T^(2a-l)/1+/2/a}	(LL48)
дк_ Hi-
ЧМ J’
46
1.1.
Суммарные затраты на трёхимпульсный биэллиптический перелёт вычисляются
но формуле
А Г-НА С, |+| А С2|+| А Г3|.	(1.1.49)
Введём безразмерные величины /ь /2 - отношения радиусов орбит к среднему ра-
диусу Земли. Для перехода к размерной величине затрат характеристической скоро-
сти её безразмерная величина должна быть умножена на значение первой космиче-
ской скорости 7.905365716 км/с.
При расчёте энергетических затрат на трёхимпульсный перелёт сначала выпол-
няется переход на эллипс с полуосью а/ь а затем - стандартный двухимпульсный
гомановский перелёт на целевую орбиту.
При a=(/i+/2)/2 биэллиптический трёхимпульсный перелёт вырождается в двухим-
пульсный гомановский перелёт, а значение суммарных затрат орбитального перехода
АКЗВ становится равным А Иц.
Сравним с помощью описанного метода затраты характеристической скорости
при трёхимпульсном биэллиптическом перелёте с затратами стандартного двухим-
пульсного гомановского перелёта. На рисунке 1.1.24 показана зависимость АКЗВ от а
при /1=1, /2=2 на фоне затрат характеристической скорости такого гомановского пере-
лёта (они показаны прямой линией, параллельной оси абсцисс). При а=1.5 трёхим-
пульсный перелёт вырождается в двухимпульсный гомановский перелёт, энергетиче-
ские затраты на который составляют 0.67884128 в безразмерных величинах. Видно,
что при а$1.5 затраты на трёхимпульсный перелёт больше, чем на оптимальный дву-
химпульсный гомановский вариант перелёта.
Рисунок 1.1.24. Сравнение затрат характеристической скорости трёхимпульсного
биэллиптического перелёта с затратами гомановского перелёта для значений радиусов
/i=l и /2=3 исходной и целевой орбит соответственно. По оси абсцисс отложено значение
a - отношение расстояние перицентра первой переходной орбиты к радиусу исходной орбиты,
по оси ординат - безразмерное значение величин затрат характеристической скорости. Прямая,
параллельная оси абсцисс, - характеристическая скорость гомановского перелёта
47
1.1.
Рисунок 1.1.25. Разность затрат характеристической скорости (в безразмерных величинах)
на реализацию трёхимпульсного биэллиптического и гомановского перелётов в зависимости
от /2 при /1=1 и а=1+/2
Положив а=1+/2, сравним затраты на трёхимпульсный и двухимпульсный гоманов-
ский переходы с круговой орбиты радиуса /1=1 на круговую орбиту радиуса /2. На ри-
сунке 1.1.25 показана зависимость разности между затратами характеристической
скорости на трёхимпульсный и двухимпульсный гомановский перелёты. На интервале
значений /2 от 13 до 14 разность между затратами безразмерной характеристической
скорости изменяется от 0.0029183931 до -0.0006411714, т.е. меняет знак. Таким об-
разом, при /2= 14 на биэллиптический трёхимпульсный перелёт требуются меньшие
затраты характеристической скорости, чем на двухимпульсный гомановский перелёт.
На рисунке 1.1.26 показана разность затрат характеристической скорости на трё-
химпульсный и гомановский двухимпульсный перелёты при 1< /|<1.1,5</2<20, а=/]+/2.
Приведённые примеры иллюстрируют известный из книги (Субботин М.Ф., 1968)
классический результат. При соотношении радиусов орбит l2H\<\ 1.94 затраты харак-
теристической скорости на двухимпульсный гомановский перелёт меньше, чем на
трёхимпульсный биэллиптический. При соотношении радиусов 11.94</2//|<15.58
существуют значения а, при которых затраты на реализацию трёхимпульсного го-
мановского перехода будут меньше, чем на реализацию стандартного двухимпуль-
сного гомановского варианта. При отношении радиусов орбит 12/1\> 15.58 затраты ха-
рактеристической скорости при трёхимпульсном перелёте всегда меньше, чем при
двухимпульсном гомановском, причём это так при любом значении а>1. Однако сле-
дует заметить, что получаемый выигрыш величины суммарной характеристической
скорости при использовании трёхимпульсного биэллиптического перелёта вместо
стандартного двухимпульсного гомановского не превышает 8%, а время перелёта при
этом увеличивается в несколько раз.
48
1.1.
AVSb-AUh
0.08
0.06
0.04
0.02
0
Рисунок 1.1.26. Разность затрат характеристической скорости (в безразмерных величинах)
на трёхимпульсный биэллиптический и гомановский перелёты в зависимости от 1\ и /2
при [1,1.1], /2е [5,20], а=1+/2.
Романовские траектории оптимальны с точки зрения минимума скорости, тре-
буемой для полёта между двумя орбитами в центральном поле сил. Это вытекает
из связи величины большой полуоси орбиты с соответствующим интегралом энергии
в задаче двух тел. Поэтому если движение происходит между двумя точками, лежа-
щими по разную сторону от центра притяжения и на отрезке прямой, содержащем
этот центр, то минимальную полуось (а, следовательно, и минимальный интеграл
энергии) имеет только та орбита, для которой этот отрезок является линией апсид,
и тогда точки отлёта и прилёта являются апсидальными.
Однако, если орбиты двух объектов перелёта и требуемой встречи (планет или
космических аппаратов) не компланарны, то единственным условием возможности
полёта между орбитами по оптимальной гомановской траектории является совпаде-
ние её линии апсид с линией узлов плоскостей орбит. Любая другая траектория по-
лёта с одной орбиты к точке другой орбиты, лежащей прямо за центром притяжения,
выходит из плоскости орбиты отлёта. Это следует из того, что плоскость такой траек-
тории обязана содержать треугольник с вершинами в центре притяжения и на концах
двух неколлинеарных радиус-векторов точек отлёта и прилёта.
Вторым условием возможности полёта по гомановской (и любой другой) траектории
между небесными объектами (даже с их компланарными орбитами) является требуемая
конфигурация взаимного положения планет относительно Солнца в момент старта (или
космических аппаратов относительно Земли, Луны или планеты). В момент старта тре-
буется та единственная конфигурация, при которой время полёта по гомановской или
другой траектории совпадает со временем движения объекта цели до узла её орбиты
с плоскостью траектории. Иными словами, в момент достижения орбиты цели этот це-
левой объект в своём орбитальном движении должен тоже прибыть в точку встречи.
49
1.1.
Таким образом, если точки отлёта и прилёта не лежат на линии узлов двух не-
компланарных орбит, то гомановский перелёт между этими орбитами при любом их
взаимном наклонении должен быть изменён на перелёт с угловой дальностью, от-
личной от 180°, и полуосью орбиты перелёта большей, чем у гомановской орбиты.
Искомая конфигурация взаимного положения планет в момент старта в общем случае
определяется численными методами решения задачи Ламберта. Решение двухпара-
метрической задачи Ламберта в ограничениях энергоресурсов манёвра перелёта (за-
паса характеристической скорости КА) позволяет найти «окно старта» на исходной
орбите с нужным временем перелёта.
Если требуемая конфигурация взаимного положения объекта-цели и КА в момент
старта найдена, то она должна повторяться примерно через синодический период
двух орбитальных объектов (например, Земли и планеты-цели). При рациональном
отношении синодического периода к году планеты старта (так называемом «орби-
тальном резонансе») моменты старта должны повторяться с хорошей точностью. Это
условие хорошо выполняется у орбиты Венеры, синодический период которой отно-
сительно Земли (584 дня) с хорошей точностью 5 раз укладывается в 8 земных лет.
Это означает, что на орбите Земли есть пять мест, в каждом из которых с перио-
дичностью в 8 лет удобно стартовать к Венере. При этом оказалось, что одно из таких
окон старта находится как раз вблизи линии узлов орбиты Венеры, и возможен почти
гомановский перелёт к Венере в плоскости орбиты Земли. Такой оптимальный вари-
ант повторяется каждые 8 лет.
Используя соотношение синодического периода к периоду орбиты старта, можно
показать, что у гомановских траекторий есть нетривиальное обязательное требова-
ние, которое сформулируем на примере гомановского полёта к Венере: Земля в мо-
мент прилёта космического аппарата к Венере должна находиться вблизи точки
пересечения земной орбиты с прямой линией Венера - Солнце в момент старта кос-
мического аппарата с Земли (это правило выполняется точно для круговых орбиталь-
ных движений).
Если рассматривать обстоятельства возвращения КА от планеты на Землю, то,
очевидно, требуемая угловая конфигурация планета - Земля в момент обратного стар-
та будет определена тем же временем прошлого траекторного движения космическо-
го аппарата к планете.
В настоящее время практически все полёты в дальний космос используют грави-
тационный манёвр около Венеры. Поэтому результат анализа возможных окон старта
к Венере годится и для оценки моментов и энергетических затрат наиболее оптималь-
ных полётов к другим планетам. При таких полётах Венера в момент прилёта КА
к планете-цели в случае его полёта по почти гомановской траектории после его грави-
тационного манёвра у Венеры, в соответствии с приведённым выше правилом долж-
на находиться в определённом месте своей орбиты. Это место должно быть местом
конфигурации соединения (на одной прямой с Солнцем) Венеры и той точки, где на-
ходилась планета в момент встречи космического аппарата с Венерой. При этом для
возможности реализации почти оптимального полёта к планете-цели месту встречи
космического аппарата с Венерой желательно быть в окрестности узла орбит Венеры
и Земли. Это правило достаточно точно определяет требуемые конфигурации Земли,
Венеры и планеты-цели, обеспечивающие возможность встречи КА с планетой после
его пролёта Венеры в пределах имеющегося запаса гравитационных изменений его
траектории.
50
1.1.
Поскольку существует пять окон старта полёта к Венере, то с периодом в 6.5 лет
время смены момента оптимального старта к внешним планетам не длится более
1/5 периода обращения этих планет вокруг Солнца.
Полёты до Венеры по почти гомановским траекториям (серия 2015 г. и далее)
длятся около 140 суток. Траектории всех остальных возможных полётов к Венере -
или более короткие (при попадании до перигелия траектории - на её «первом по-
лувитке» с угловой дальностью полёта меньше 180°), или более длинные (при по-
падании после перигелия «на втором полувитке траектории» с угловой дальностью
полёта больше 180°). Оптимальная энергетика таких траекторий является следствием
компромисса между необходимостью поворачивать плоскость траектории для попа-
дания в Венеру вне плоскости земной орбиты и (поскольку плоскость траектории,
наиболее близкой к гомановской, стремится быть ортогональной плоскости орбиты
Земли) увеличением затрат энергии при формировании «негомановских» траекторий.
По близости точки старта к линии узлов легко ранжировать оптимальность серий
полётов к Венере: 2015, 2013, 2009, 2010, 2012.
1.1.4. Картинная плоскость
Картинной плоскостью (КП) обычно называют плоскость, ортогональную векто-
ру наблюдения объекта. В механике космического полёта под КП и плоскость, ор-
тогональная вектору скорости наблюдаемого в самом конце полёта прямолинейного
приближения к центру видимого диска планеты. Иными словами, нормаль КП совпа-
дает с направлением относительной планетоцентрической скорости внешней зада-
чи, вектор которой, в свою очередь, совпадает с вектором асимптотической скорости
подлётной гиперболы vx из внутренней задачи. В силу ортогональности КП и вектора
скорости сближения с планетой в ней заметно снижается степень нелинейности ото-
бражения положения траектории относительно планеты, чем в любой другой связан-
ной с ней плоскостью.
Однако, в силу гиперболичности траекторий движения внутри сферы действия
гравитационного поля планеты одной ортогональности КП недостаточно для полу-
чения желаемой линейной связи её декартовых координат р («прицельных параме-
тров») с параметрами движения S(z) КА на более ранних этапах полёта.
Для широкой трубки траекторий, превышающей размеры линейной окрестности
центральной траектории, единственным способом линеаризации параметров ото-
бражения траектории КА в КП остаётся поиск такой нелинейной функции, которая
преобразует нелинейные околопланетные гиперболичности функции S(z) траекторий
в сфере действия планеты в линейные параметры вектора Ь(7) их «прицельной даль-
ности» в картинной плоскости в момент Т встречи КА с планетой. Оказалось, что для
гиперболических кеплеровых орбит такая функция («функция прицельной дально-
сти») существует. Эта функция имеет универсальное значение для операций прице-
ливания (формирования терминальных условий краевых задач) при проектировании
и реализации баллистики любых межпланетных полётов.
Основная идея метода прицельной дальности в картинной плоскости состоит
в том, что в качестве анализируемых координат на КП вместо подверженных нели-
нейным гравитационным возмущениям координат точки её пересечения фактической
траекторией КА, рассматривается координаты точки её пересечения такой прямоли-
нейной траекторией, которая была бы, если бы не было действия сил гравитации пла-
51
1.1.
исты. Координаты такой точки линейно связаны с параметрами движения КА, рас-
сматриваемыми в предыдущие моменты, которые, как было сказано, в районе границ
сферы действия для поля сил тяжести планеты сами находятся в линейной окрестно-
сти центральной траектории из области их возможного рассеивания.
Геометрия такого нелинейного преобразования нелинейной зависимости р(7)
и V0III г в их линейный образ показана на рисунке 1.1.27.
Рисунок 1.1.27. Картинная плоскость и параметры преобразования
в параметр прицельной дальности b множества точек гиперболической траектории,
проходящей через точки поля гравитации в окрестности планеты
Иными словами, в качестве вектора прицельной дальности Ь(Г) в выбранной си-
стеме координат картинной плоскости с её началом в центре планеты рассматривается
вектор точки пересечения асимптоты подлётной гиперболы с картинной плоскостью.
Причём достаточно очевидно, что в такой постановке для формирования краевых ус-
ловий внешней задачи КП можно перенести на границу со сферой действия.
В плоскости орбиты эта нелинейная функция зависимости величины прицельной
дальности /?(рЛ) от полярной координаты какой-либо из точек планетоцентрической
гиперболы (рисунок 1.1.27) имеет вид (р,- гравитационный параметр планеты)
b = — r-sinZ- 1±
2
1 Н----z----------
V, (l + cosl))
(1.1.50)
Эта функция выводится из равенства закона площадей
C=Vx/>=Vrcos0.
Её двузначность соответствует двум ветвям гиперболической траектории: через
заданную точку (гД) с заданным вектором Vx околопланетного пространства можно
пройти в гиперболическом движении двумя способами - до или после облёта плане-
ты (возможно, с требуемым для этого движением под поверхностью планеты).
Зависимость (1.1.50) эффективно используется на стадии проектирования полёта
для формирования в картинной плоскости границ областей получаемых траекторных
свойств при движении в разных местах окружения планеты (напомним, что каждая
точка картинной плоскости представляет гиперболическую траекторию с определён-
ным вектором скорости на бесконечности и с выбранной прицельной дальностью).
52
1.1.
Отметим, что для справедливости такого отображения свойств пучка рассеивания
пролётных траекторий необходимо выполнение предположения о постоянстве раз-
меров и направлений асимптотических векторов у всей трубки траекторий. Это
предположение обычно приближённо выполняется в силу описанных выше свойств
линейности внешних параметров сближения с планетой. Проверочные отображения
эллипсоида рассеивания параметров движения на величину и направления векторов
V, остаточной трубки траекторий, получаемой после всех актов траекторного управ-
ления, показали высокую стабильность компонент вектора Vx (наблюдались вариа-
ции лишь долей мм/с) - даже при достаточно заметных координатных отклонениях.
Наиболее просто в картинной плоскости отображается круг образа диска планеты,
определяющий границы области встречи (или невстречи) с ней, и концентрические
этому кругу окружности, определяющие точки прицеливания для пролёта планеты на
фиксированном перицентрическом расстоянии. Радиус bR образа планетного диска и
радиусы перицентрических окружностей bR для заданного минимального расстояния
R траектории от центра планеты могут быть определены по более простой формуле
b = — /у2 +—
" V. v " R’
следующей из соотношений для интегралов энергии (7?=V^) и интегралов площадей
(C=V,Z>) в точках КП.
Напомним, что из геометрических свойств гиперболы следует равенство величин
малой полуоси гиперболы b и модуля вектора прицельной дальности В=|В| (рису-
нок 1.1.28), являющегося вектором фокальной нормали к асимптоте гиперболы с её
углом у наклона к линии апсид гиперболы, равным половине угла раствора асимптот.
Если же требуется определить, в каких точках КП реализуются траектории с углом
входа в атмосферу планеты на радиусе 7?, то ответ содержится в аналогичном соотно-
шении, определяющем на КП окружность с радиусом,
Я cos О
fr0 = “vw\/v~+—•
0 vx V я
На рисунке 1.1.28 показана ситуация гравитационного манёвра, формируемого ги-
перболическим пролётом внутри сферы действия планеты.
В решении внутренней задачи поворота вектора скорости Vx на угол ср использу-
ется соотношение
ЬУ2
Ф = л — 2у = 2arctg—
В
Здесь 2у - величина угла между входящей и выходящей асимптотами гиперболиче-
ской планетоцентрической траектории. Отсюда следует, что множество точек прице-
ливания в КП, обеспечивающих после пролёта планеты поворот на угол (р вектора пла-
нетоцентрической относительной скорости Vx, также образует окружность с радиусом
, Ц Ф
Границы перечисленных выше параметров траекторий в окрестности планеты
в силу их центральной симметрии образуют концентрические окружности с центром
в центре образа диска планеты. С использованием (1.1.50) в КП могут быть постро-
ены любые области, связанные с реализаций нужных параметров движения как вну-
три, так и вне сферы действия планеты-цели.
53
1.1.
Рисунок 1.1.28. Картинная плоскость и околопланетная гиперболическая траектория
Отображение в картинной плоскости состояния движения на перелётной
траектории. Система координат в КП должна быть наиболее удобной для анализа
областей прицеливания и получаемых значений прогнозируемого движения. Это
приводит к необходимости разработки методов пересчёта векторных параметров
планетоцентрического движения (r,V), получаемых численными методами в любой
системе координат, в позиционные характеристики на КП.
Такой пересчёт выполняется путём вычисления трёх интегралов движения задачи
двух тел
C=rxV, h=V2-^-, f=VxC- —	(1.1.51)
Г	г
и затем определениями величины Vx и полуосей #>0 и b гиперболической траектории
\l = h, а = Ь = —
h’ V
ч
(1.1.52)
Далее нужно принять решение о выборе системы координат в КП. Очевидно, что
орт оси должен быть направлен по нормали к КП в сторону направления относи-
тельного движения. Выбор ортов и т|° менее очевиден, и он реализуется разным
образом в разных случаях использования карты областей в КП. Используются следу-
ющие системы.
- На стадии проектирования полёта, если расчёты выполняются в кеплеровом
приближении, наиболее удобно направлять ось £ по линии пересечения КП (нор-
мальной к оси £) с плоскостью траектории внешней задачи Ламберта. Если ось т|
54
1.1.
смотрит в Северное полушарие, то ось £ следует направить влево, чтобы система
О^г|£ была правой, если смотреть на КП в процессе полёта при сближении с ней.
- Выбор направления осей КП в процессе полёта для фиксирования результа-
тов траекторных определений связан с привязкой основной оси £ к нужному
направлению:
-	либо по проекции на КП направления Земля-планета (удобно для радиообмена):
т10=[г11 х V»]0’ ^°=[п0 х vj°;	(1.1.53)
-	либо по проекции на КП направления Земля - Солнце (при фотографировании):
n°= [rc х v„]°, ^[^xvj0	(1.1.54)
В процессе полёта КА после определения вектора его текущего состояния {R,V}
по полученным траекторным измерениям обычно реализуются прогнозирование и
анализ всех аспектов будущего движения КА вблизи планеты-цели. Среди параме-
тров анализа степени отклонения от номинальных значений параметров относитель-
ного движения у планеты важную роль играют прогнозируемые координаты р=(^,г|)1
прицельной дальности в картинной плоскости и отклонение времени прилёта к пла-
нете ДГ=^/У01||.
Все расчёты текущего состояния движения КА выполняются путём численного
интегрирования в небесной системе координат (как правило, расчёты ведутся в бари-
центрической или в геоцентрической системах координат на эпоху J2000). Таким об-
разом, возникает задача определения координат в картинной плоскости планеты-цели
по параметрам движения КА относительно планеты-цели, известным в некоторой си-
стеме координат, отличной от систем координат КП, используемых на стадии проек-
тирования полёта.
Прежде всего, нужно отметить, что в силу наблюдаемой стабильности векторов
относительной скорости сближения с планетой на границе сферы действия поля её
гравитации, оскулирующий параметр планетоцентрической гиперболы на всей
трубке траекторий их рассеивания можно считать постоянным. Это означает, что
построенную на стадии проектирования полёта карту областей прицеливания в КП
можно использовать и в процессе полёта, если только не произошло какого-либо экс-
траординарного отклонения траектории от номинала. И тогда декартовы значения
координат и скоростей желательно в наиболее поздний момент относительного дви-
жения КА отобразить в оскулирующие параметры задачи двух тел.
Для вычисления положения КП в принятой системе координат нужно вычислить
направления векторов гиперболической скорости на бесконечности и искомого векто-
ра прицельной дальности. Сначала вычисляется направление на перицентр гипербо-
лы с помощью интеграла Лапласа/ После этого с использованием полуосей а>0 и b
гиперболы и угла «гравитационного поворота» у (который равен истинной аномалии
точки пересечения КП оскулирующей гиперболой) вычисляются значения V*’ и Ь°:
а	b
smy=	cosy = -7==,
4а +Ь 4а +Ь
()	(1.1.55)
=siny-f°+cosy-[Cxf] ,
b°=cosy -f° -siny-fCxf]0.
Окончательно, точка прицельной дальности в КП определяется из скалярного
произведения векторов Ь° /? и р° из соотношений (1.1.53) или (1.1.54).
55
1.1.
Методика решения внешней краевой задачи. Если КА находится в некоторой
точке А на траектории перелёта и нужно для этой точки определить управляющее
воздействие вектора тяги, которое обеспечивает пролёт планеты на заданном рассто-
янии и с заданным наклонением к планете, то выполняется следующая итерационная
процедура. Вектор скорости в точке А относительно планеты рассматривается как vx,
и для этого вектора строится картинная плоскость Р. Вычисляются прицельные пара-
метры, соответствующие плоскости Р. На плоскости Р вычисленные параметры опре-
деляют прицельную точку В. Полученный вектор АВ задаёт новое приближенное
направление асимптотической скорости, для которого плоскость Р не будет картин-
ной плоскостью. По вектору АВ строится новая картинная плоскость, для неё снова
вычисляются параметры прицельной точки и т.д. Процедура выполняется до тех пор,
пока вычисленные параметры прицельной точки не совпадут с заданной точностью
с проекцией точки А на картинную плоскость. В итоге получится предельный вектор
АВ'. Описанная процедура напоминает реализацию метода простой итерации, надёж-
но и быстро сходится. Требуемый управляющий импульс определяется по формуле
( АВГ v.J
После этого вычисляются оскулирующие элементы подлётной гиперболы. Други-
ми словами, становятся известными вектор асимптотической скорости, долгота вос-
ходящего узла, расстояние перицентра, наклонение орбиты относительно планеты.
Для решения краевой задачи о месте приложения управляющего импульса ис-
пользуется матрица частных производных координат прицельной дальности в кар-
тинной плоскости планеты по компонентам вектора состояния на траектории перелё-
та от Земли к планете. Ниже приведён алгоритм расчёта этой матрицы.
Пусть q={/\,e,(D,z,Q,/n} - элементы орбиты. Расчёт текущего вектора состояния
X{r,v} и его производных по начальному вектору X0{r0,v0} и коэффициенту давления
солнечной радиации к осуществляется путём численного интегрирования уравнений
движения и уравнений в вариациях:
X=F(X),	(1.1.56)
dX_ 3F дХ
dQ~ дх' 3Q’
где Q={xo,^o, ^о, vj, vj, V6, к}.
Пусть е, =(e„v, env, e,j:)T - единичный вектор, направленный от центра планеты к её
Северному полюсу; Voc - вектор асимптотической скорости пролётной гиперболы КА.
Тогда орты осей (е^,еп) в картинной плоскости определяются соотношениями:
e,1=[e„xV0O]°, е.=е„хv“.
Параметрами в картинной плоскости называются координаты вектора прицель-
ной дальности В, вычисляемые как £=В-е^, т|=В-ел.
Иногда вместо вектора е„ используют вектор кинетического момента c=r><v (Охо-
цимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г ,1990). В зарубежной литературе, начиная с рабо-
ты (Kizner W.A. , 1959), вводят базисные векторы Т и R, определяемые формулами
T=[Vx><e„]0,R=VocxT. Нетрудно видеть, что так определяемые векторы Т и R противо-
положны векторам т]° и £°, определённым выше (Cho D.H., Chung Y, Bang И., 2012).
Разумеется, выбор системы координат в картинной плоскости не имеет принципиаль-
ного значения.
56
1.1.
d(^,r|)	d(£,r|)
Нашей целью является вычисление матрицы Якоби у Заметим, что \
является сокращенной записью матрицы	' ’ '	\	/
£1	£1	А	Л	Л?
С'1\	С1\	er.	CNX	dvt	dv.
er]	eq	ci]	ci]	di]	Эр
c/;	di\	dr.	dvx	dv}	dv
d(£,p)
Матрица частных производных от координат КА в картинной плоскости по
компонентам вектора состояния вычисляется по формуле:
d(5.n) = d(5,g) dg
d(r,v) dq d(r,v)’
dq
где ту c - матрица частных производных от элементов орбиты по координатам и
Г,¥	Э(^,т|) dq
вектору скорости КА. Алгоритмы расчёта матриц------- и —----г приведены ниже.
eq d(r,v)
Описанный итерационный процесс используется при расчёте коррекций. Для рас-
чёта траектории перелёта необходимо использовать более сложный алгоритм.
В качестве варьируемых параметров при расчёте траектории перелёта Зем-
ля - планета удобно использовать компоненты вектора асимптотической скорости.
Исходными параметрами для расчёта траектории перелёта являются наклонение
и расстояние перицентра траектории перелёта на момент начала траектории перелё-
та. Краевая задача определения компонент вектора асимптотической скорости, кото-
рый обеспечивает пролёт планеты на заданном расстоянии и заданном наклонении,
решается итерационно. Для расчёта поправок к вектору асимптотической скорости
используется матрица частных производных параметров КП по компонентам вектора
асимптотической скорости отлётной от Земли гиперболы v^_oul. Эта матрица вычис-
ляется по формуле
<Жп) д(5,Л) dq d(r,v) gqou,
dv,_	dq d(r,v) dqoul
Матрица частных производных от элементов орбиты по вектору состоя-
ния КА. Расчёт матрицы частных производных от элементов орбиты по компонентам
г/* A 5(r’V)
вектора состояния КА —---L выполняется по следующей схеме, предложенной в ра-
dq
боте {Аким, 1963). Сначала определяются:
вектор приведённого кинетического момента
c=(cx,c,,c-)r=rxv,
вектор Лапласа
f= (.А	)т=-1^7 + vxc,
а также интеграл энергии и параметры орбиты
,	2 2ц
г
57
1.1.
если с: > О,
л + arctg---------
cz
л
2’
если с: < О,
если с. = О.
Затем вычисляются параметры расположения орбиты в пространстве
cosQ = -
СУ
arcsin
если сх > О,
су < О,
2 ’
Q = <
2тг + arcsin
, если сх < О,
2
сг < О,
С
я - arcsin —, v , если с < О,
ОТТ?’
Ф2 =
-С., А
= е cos со,
а=у,е = 7ф|+(РЬ
h
со = 5
. ср,	Л
arcsin—, если ср, > 0, ф2 > О,
е
2л + arcsin—, если ср, < 0, ф2 > О,
е
. ф.	Л
л - arcsin—, если ф, > О, ф2 < О.
е
Вычисляются вспомогательные величины:
h
Vr “
, ^,=4> ^2=—,
Г3 2Ц/
58
1.1.
Вычисляются производные:
d/z пл
—	= 2л,г,
аг 1'
dh „
—	= 2v,
dv
где
^C0Sf _ у -2X7(vxc), — = 2X.X2r + 2X3(vxc),
dr ' 7V 7 dr 12 л 7
dcosi ж, /	\ de	,	.
-----= Y. -2A7(cxr), — = 2л2у + 2л3(схг),
dv---dv
(1.1.57)
Y = —,------SOk Yv —,0k
[ C C J [ c c J
dq
Матрица частных производных —------г от элементов орбиты q={z^,e,co,z,Q} по ко-
d(r,v)
ординатам и вектору скорости КА записывается в виде (1.1.57)
dr7t_p(l-e) dh de
dr h2 dr dr ’
— = 2XXr + 2X3 (v x c),
dr 1 2 3V 7
dr
d£
dr
dQ .
dr
dv	h2
— = 2X7v + 2X3(cxr
dv	2	3V
dv	V
di
dv sin i
dQ .
— Л, 3C,
Sv 13
где
w,. = {0,0,5
L dcosi .de .
“4|,v5^-----^6 — + Xizr-v.v + w I,
V dr dr	J
1 d cos i
sinz
dr
dh de
---a—,
dv dv
dcosi . de
dv 6 dv " J
dcosi
dv
Матрица частных производных по вектору состояния КА от координат при-
цельной дальности в картинной плоскости. Матрица частных производных от ко-
ординат КА г| в картинной плоскости вычисляется по следующей схеме.
Вычисляется вектор прицельной дальности, который может быть представлен че-
рез вектор Лапласа, а также через векторное произведение вектора асимптотической
скорости и вектора кинетического момента. Также вычисляется орт вектора асимпто-
тической скорости eoc=Vx:
59
1.1.
B = jGf и (cxflvs
./I VP ’) h
M^=4h,	(1.1.58)
ex= p-(lV»I(C X f ) + Mf ) = (<»<>C )T.
Введём величины к,= (e^e,,), к2= -^1 -	.
Координаты вектора прицельной дальности В в картинной плоскости вычисляют-
ся по формулам:
Нв.е1).-Ж>. л = (в.е.|) = -^.
V ' К2 V К1К2
При вычислении £ использовано представление вектора в виде
Сл-к.е^
к2
а также, что вектор прицельной дальности ортогонален вектору асимптотической
скорости. При вычислении г| вектор прицельной дальности представляется в виде
векторного произведения вектора асимптотической скорости и вектора кинетическо-
го момента с нормирующим коэффициентом (1.1.58). При преобразовании исполь-
зуется известная формула скалярного произведения двух векторных произведений:
(axb, cxd)=(a,c)(b,d)-(a,d)(b,c).
Вычисляются вспомогательные величины:
Ц Kj	с	(f
с к2 сх + cv	j )
К 4 n h (2,	ос 7	ГГ ( со	оо \
к8 =	, к9 = к4е. h, к|0 = к4л/й епх - ех ет).
б(£,Т))
Вычисляется матрица частных производных —*---от координат КА в 5-плоско-
Sq
сти {^,г|} по элементам орбиты q={rH,e,co,z,Q}:
— = кз^
дг.
5г)
^ = K6(5.-Voo-K^)sinz,
-к6(к9г|-с2) sinz,
= gAv-g<enr~K10^
3Q	к2
60
1.1.
dr|	1 сге„х-схе	]
3Q к Д	J
Алгоритм построения гиперболы по вектору асимптотической скорости, рас-
стоянию перицентра, наклонению и долготе восходящего узла. Входной инфор-
мацией алгоритма являются: вектор асимптотической скорости vx, расстояние в пери-
центре наклонение i и долгота восходящего узла Q.
Выходной информацией алгоритма является вектор состояния в перицентре под-
лётной гиперболы, плоскость которой определяется заданными наклонением i и дол-
готой восходящего узла Q. Расстояние в перицентре равно заданному значению гл,
модуль вектора асимптотической скорости равен Vx, а его направление совпадает
с проекцией вектора асимптотической скорости на плоскость орбиты.
Вычисления выполняются по следующей схеме. Сначала из интеграла энергии
находится модуль вектора скорости в перицентре:
2ц 2
Vn = J—+V.O-
Из условия ортогональности векторов положения гл и скорости vn в перицентре
находится модуль векторного интеграла площадей:
|C|=vnrn.
Далее находятся компоненты векторного интеграла площадей C=(Cv,Cr,C-)T
по формулам:
Сх = |C|sin i sin Q,
Cv=|C|sinzcosQ,
C=|C|cosz.
Параметр гиперболы р и её эксцентриситет е находятся по формулам:
|сг рУ2
p = U~, е=1 + ^-^.
В V в
Находится еХ|=(Хос, ух)т - проекция орта вектора асимптотической, скорости на
плоскость орбиты:
где
Ро =(cosQ, sinQ, 0)Т,
Q0=(-sinQ cosz, cosQ cosz, sinz)T.
Находится ex2=(^x, гк)т - орт вектора асимптотической скорости в плоскости £,г|
(ось £ направлена из фокуса F\ к фокусу /А):
, 1
е ' /’7'
Аргумент перицентра со находится как угол поворота вектора ех2 к вектору ехЬ
Компоненты векторов гл и vn вычисляются по формулам:
61
1.1.
x_ = гл (cosco cosQ- sin co sin Q cosz),
y_ = r (cos co sin Q + sin cd cos Q cosz),
z =r sin co sinz;
= v Д-sin co cos Q-cosco sin Q cosz),
jy = vrt(-sincosinQ + coscocosQ cosz),
i = v cos co sinz.
я я
(1.1.59)
(1.1.60)
Алгоритм расчёта вектора состояния в перицентре оскулирующей отлётной
от Земли гиперболы по вектору асимптотической скорости. Входной информаци-
ей алгоритма являются вектор асимптотической скорости отлётной от Земли гипербо-
лы Vx, а также расстояние перицентра и наклонение орбиты z.
Выходной информацией алгоритма является вектор состояния в перицентре от-
лётной гиперболы.
Сначала находится полуось отлётной от Земли гиперболы по формуле
vj
- гравитационный параметр Земли.
Эксцентриситет отлётной гиперболы
Так как вектор асимптотической скорости лежит в плоскости орбиты, долгота вос-
ходящего узла Q находится из решения уравнения
vvsinzsinQ + vvsinzcosQ + v.cosz = 0.	(1.1.61)
Уравнение (1.1.61) имеет два решения Qj и Q2: одно соответствует перелёту через
Северное полушарие, а другое - через Южное.
Пусть Vx=(vv,oo, v».x, vr,oo)T. Введём вспомогательные переменные A=vxxsinz,
L=NYrC sinz, М=\-xsinz.
Значения Ц, z=l,2 находятся из уравнений:
sinQ; = -
L^K^L2 + К2-М2) + MK2
(k2 + l2)l
/ = 1,2,
cosQ^
ml-Jk2(l2 + к2-м2)
l2 + k2
ml + Jk2(l2 + k2-m2
cos Q2 =-----------------------
2	L2 + K2
Для каждого значения долготы восходящего узла вычисляется соответствующее
значение аргумента перицентра. Для этого вычисляется орт вектора асимптотической
скорости в плоскости £,,т| (ось £ направлена из фокуса F} к фокусу F2):
^=--,	(1.1.62)
е v е
В дальнейшем будет использовано, что оси ^,г| направлены соответственно осям
орбитальной системы координат на момент прохождения перицентра.
Для каждого значения Ц,;=1,2 вычисляется матрица:
62
1.1.
cosQz
Cz = -coszsinQz
sin z sin Q.
sinQz
coszcosГУ
-sinzcosQz
0 "
sinz
cosz
Матрица Cz описывает переход в орбитальную систему координат для аргумента
широты, равного нулю. В результате умножения орта вектора асимптотической ско-
рости на матрицу Cz будет получен вектор dz с нулевой третьей компонентой. Обо-
значим ненулевые компоненты этого вектора dh\ и dj2. Если вектор dz повернуть на
угол, равный аргументу широты, то будет получен вектор асимптотической скорости
в орбитальной системе координат на момент прохождения перицентра. Компоненты
этого вектора определяются соотношением (1.1.62), поэтому справедливо
cosco^.^+^ri^ sinco/ = zZ/2^oo-zZ/1r|30.	(1.1.63)
Соотношения (1.1.62) позволяют определить два значения аргумента перицентра.
Далее выбирается решение, соответствующее заданному полушарию Земли. Если
траектория перелёта должна проходить над Северным полушарием, перицентр дол-
жен находиться в Южном полушарии и, наоборот.
Вектор состояния в перицентре вычисляется по формулам (1.1.59), (1.1.60).
Производные полуоси и эксцентриситета отлётной гиперболы по компонентам
вектора асимптотической скорости У^=(уЛу1;оо, у-.-л)т рассчитываются по формулам
да =ЦЕУЛ-ао да = Цеуьоо да = Цеу-,оо
Зу V3 ’ dv V3 ’ dv V3 ’
\,00	00	у,00	00	с,'00	00
де	де	rKvya>	де rnvzal
’ dv^	|iEV, ’	’
Производные долготы восходящего узла по компонентам вектора асимптотиче-
ской скорости вычисляются по следующим формулам
да lJk2(l2+ к2-м2) + мк2 .
---L =	------г sin i,
dvvоо ^K2(L2 +К2 -М2)(L2+К2)
[мь-у]к2(ь2 + к2-м2)\к
---L = V i	------~т sin Г
dvy,„ ^K2(L2 +K2 -M2) (z,2 + №)
К
да
----— =----- C*C\Q 1
dv:r_ y]K2(L2 +K2-M2)
da,	-lJk2(l2 + k2 -m2)+mk2 .
dvx.a ^K2(L2 + К2 -M2)(b2 + K2)
(ml + ^K\L2 + K2-M2)\k
--  = - )	=~,-- , sin i,
dvy,„ yjK2(L2 +K2 -M2) (l2 + K2)
da2 _________к________
5v_.„ ^K2(L2 +K2 -M2)
cosz.
63
1.1.
1.1.5.	Основные методы численной оптимизации
в задачах баллистического проектирования
траекторий межпланетных КА
Выбор критерия оптимизации. Современные тенденции расширения и увели-
чения круга научных задач, ставящихся перед космическими аппаратами, предназна-
ченными для дистанционных и контактных исследований небесных тел Солнечной
системы в целом и Марса и околомарсианского пространства - в частности, приводят
к требованиям по увеличению массы научной аппаратуры, устанавливаемой на аппа-
раты, предназначаемые для таких экспедиций.
Для оценки эффективности экспедиций межпланетных КА в литературе предлага-
ются различные виды критериев:
-	стоимость экспедиции,
-	надёжность выполнения экспедиции,
-	научная эффективность экспедиции,
-	продолжительность экспедиции.
На разных этапах исследований изучаемого небесного тела-цели экспедиции
(предварительный, основной и специальный этапы) приоритет между критериями
будет разным. Поэтому в функционал, оптимизируемый при разработке экспеди-
ции, в зависимости от этапа исследований они будут входить с разными весовыми
коэффициентами.
Однако при разработке баллистической схемы экспедиции эти критерии обычно
редуцируются до двух, зачастую противоположных - массы КА на завершающей
фазе полёта (как правило, на конечной орбите или после посадки на небесное те-
ло-цель экспедиции) и длительности полёта, от старта с Земли и до окончания полёта.
Научная эффективность и надёжность экспедиции, как правило, напрямую зависят
от массы КА - как через массу научной аппаратуры, так и через возможность ре-
зервирования служебных систем и их эффективность. Длительность полёта бывает
зачастую менее принципиальной, однако также влияет на надёжность, но с обратным
знаком. Нередко длительность экспедиции из оптимизируемого функционала выно-
сят и рассматривают в качестве ограничения.
Классическим вариантом является использование функционала в виде суммарной
характеристической скорости экспедиции Avz. Из формулы Циолковского следует,
что при применении реактивных двигателей расход рабочего тела (топлива) будет тем
больше, чем больше требуемое приращение скорости КА - характеристической ско-
рости манёвров. Это обстоятельство позволяет рассматривать в качестве оптимизиру-
емого функционала не конечную массу КА (или массу комплекса научной аппарату-
ры, доставляемой на необходимую орбиту вблизи небесного тела-цели экспедиции),
а суммарную характеристическую скорость миссии, уменьшение которой позволяет
уменьшить требуемые затраты топлива, а значит - увеличить массу научной аппара-
туры. Ведь приращения скорости КА реализуются с помощью его ДУ. При этом за-
трачивается определённое количество рабочего тела, а вследствие этого уменьшается
масса, отводимая на КА.
Также неоспоримой выгодой такого рассмотрения является возможность абстра-
гирования как от конкретных параметров самого КА, его массовых характеристик и
схемы деления, так и от массово-энергетических характеристик средств выведения,
осуществляющих доставку выводимого КА на опорную или отлётную орбиту.
64
1.1.
Формализация задачи. Общая математическая модель движения КА на А гелио-
центрических и планетоцентрических участках активного и пассивного полёта может
быть представлена как динамическая система вида
A- = <D,(x,.,u,.,p,.,q,r,.),	i = i,...,N,	(1.1.64)
atl	и -1
где х,(/,) - вектор состояния КА на z-м участке полёта; w, - функция управления; р, - ва-
рьируемые параметры, являющиеся внутренними факторами влияния на z-м участке
полёта; q - внешние факторы влияния, определяющие схему полёта КА и влияющие
на все участки траектории; t- время, независимая переменная.
Примерами внутренних факторов влияния являются параметры орбит плането-
центрических этапов полёта, внешних факторов влияния - гравитационные параме-
тры и геометрические размеры небесных тел, являющихся центральными для данно-
го участка траектории.
Моменты времени окончания полёта КА на z-м участке траектории определяют-
ся из условия
%(x,(^),q,/-)=0, i=l,...,N.	(1.1.65)
Это условие для случая окончания межпланетного перелёта, т.е. попадания КА
в «точечную» сферу действия планеты, определяется как совпадение вектора поло-
жения КА г с вектором положения планеты-цели R в момент tk
r(/A)-R(zA)=O.	(1.1.66)
В моменты времени происходит преобразование вектора состояния от одной
системы, описывающей движение на z-м участке полёта, к другой, моделирующей
движение КА на следующем, z+1-м, участке
i=\,...,N-\.	(1.1.67)
В большинстве случаев моменты времени характеризуются, как правило, из-
менением скорости КА вследствие работы его ДУ на величину Av,. Условие (1.1.67)
для такого изменения скорости при применении метода импульсной аппроксимации
может быть записано как
v,H(/’i)=v,(6+Av,(zb-	(1-1.68)
Как правило, при проведении проектных расчётов предполагается,' что КА в на-
чальный момент времени t\ находится на опорной круговой орбите Земли высотой
/?псз, отсчитанной от среднего радиуса Земли 7?3 и соответствующей скоростью vIIC3:
fr(/j) = /zHC3 + 7?3,	169)
[v(^l) - VHC3-
Постановка задачи оптимизации. С использованием сделанных выше обозна-
чений определим показатель энергетических затрат, представляющий собой суммар-
ную характеристическую скорость экспедиции, в виде следующего соотношения:
F=£Av =/(%,.,и,,(1.1.70)
/=1
где/- алгоритм расчёта значения энергетических затрат F; N - число участков рас-
сматриваемой схемы полёта.
Математическая постановка задачи может быть сформулирована следующим
образом:
65
1.1.
для множества рассматриваемых вариантов схемы полёта, определить схему по-
лёта и соответствующие ей такие параметры и* и р*, которые при условии выпол-
нения соотношений (1.1.64) - (1.1.69) обеспечат минимум энергетических затрат
(функционала (1.1.70)):
F(if, р*)—>min.	(1.1.71)
Рассмотрим методы оптимизации, используемые для решения задачи.
Метод дихотомии (деление отрезка пополам). Минимум функции Дх) ищется
внутри отрезка [а,Ь]. Разобьём его пополам и возьмём две симметричные относи-
я +	. a + b
тельно центра точки Xj = — -А, х7 = —-—I- А, где А - некоторое число в интервале .
Вычислим значения Дх,) и Дх2). Определим, в какой из них значение функции боль-
ше. Отбросим тот из концов изначального отрезка, к которому точка с большим зна-
чением функции оказалась ближе, т.е. если Дх|)>Дх2), то для дальнейшего поиска ми-
нимума функции берётся отрезок [xi,Z?], а отрезок ] отбрасывается. Или наоборот,
берётся зеркальный относительно середины отрезок [а^с2], а отбрасывается отрезок
[х2,Д|. Процедура повторяется, пока не будет достигнута заданная точность \а-/?|<8.
Метод Ньютона. Для функции одной переменной классический подход при поис-
ке значений х в точках экстремума функции Дх) состоит в решении уравнения
Лх)=о.
Если можно найти два значения а и b таких, что ДХ67) и/'(b) имеют противополож-
ные знаки, то тогда, в силу очевидных предположений о непрерывности функции, бу-
дет существовать корень уравнения г|, причём а<г\<Ь. Он определяется итерационно
по формуле
х =х_№1
М ‘
Итерации продолжают до тех пор, пока изменение шага по х или по Дх) не станет
меньше требуемой точности поиска
Ах = |х/+1 -х;.| < 8V,
^f = \f(x,+l)-f(x)\<Er
Метод наискорейшего спуска. Поиск минимума функции выполняется с шагом h
в направлении, определяемом косинусами d, такими, что
п
IX=1-
/=1
Изменение значения функции определяется соотношением
df = f{xx + SxpX, + 8х2,...,х„ + 8х„) - /(х|,х2,...,х„) =
_ df s df _ df s
- Sx, +	8x2+...+	8x„.
oxx ox2	dxn
Величина df достигает максимума, когда функция
<p(d,,d2,...,d) = h\ ~d. + ^—d2 +... +	J + k(d? + df +... + rf2 -1)
\dx dx	dx "	' 1	2	"	’
достигает максимума. Здесь X - множитель Лагранжа, определяемый соотношением
66
1.1.
<p(rf„4Z2,=df +	- 1).
Производная функции равна
ddf dxt
Она обращается в 0 при
' Zkdx,
Следовательно,
4,
dx„
tZi
dx} dx2
Тогда
dx,
и направление d параллельно направлению V/(x) в точке х.
Таким образом, следующая точка поиска минимума функции методом наискорей-
шего спуска определяется как
х,ч=х,-Х,7Дх,),
Здесь X, - значение X, минимизирующее функцию
Ф(Х)=./(х-ху/(х/)),
его можно найти любым из методов поиска нуля одномерной функции, например,
методом Ньютона.
Как и в других методах, итерации продолжают до тех пор, пока изменение шага
по /(х) не станет меньше требуемой точности поиска:
Алгоритм решения задачи межорбитального перехода на основе принципа
максимума Понтрягина. Необходимо перевести КА с некоторой начальной орбиты
с параметрами Ео на заданную конечную Ек по траектории, обеспечивающей ми-
нимум функционала, задающего суммарную характеристическую скорость участка
перелёта
N
(1.1.72)
/=i
Для решения поставленной задачи может быть использован принцип максимума
Л.С. Понтрягина (Понтрягин Л.С., 1983). Введём векторы сопряжённых перемен-
ных: р для г, s для N,pq для q. Тогда функция Гамильтона принимает вид
Н = (p,V) + | s,—у+ и —е | + р п—-
V г т ) т
(1.1.73)
Здесь - характерная тяговооружённость КА.
По правилу дифференцирования скаляра по вектору систему уравнений для со-
пряжённых переменных запишем в виде
67
1.1.
ф дН 1 , ч 3
-f = -—= s—-(s.r)—
di dr r r
ds _ dH _
~dt~~~dV~
dp^-dH-
dt dq
Исходные уравнения можно записать так
dr _dH
dt dp ’
dV _dH
dt ds
dq _dH
dt dpq
(1.1.74)
(1.1.75)
Управлением является либо вектор Т, либо вектор п. Оптимальное управление
находится из условия максимальности гамильтониана Н, откуда e||s. Введём функцию переключения S=s+pq. Тогда оптимальная величина Т или п определяется условием	(1.1.76) (1.1.77)
э>0, Т= vre[o,7]nax], 9 = 0,	(1.1.78)
О,	3<0,
или
o' о" о Л II V ООО X СЗ £ Si o' 1	1 Е «	. ^ £ > О н £	(1.1.79)
Когда управлением является Т, то (1.1.75) с учётом (1.1.77) можно записать в виде
Ф,	т е‘"с —- = -п	3. dt	m0 с	(1.1.80)
Если управлением является п, то Н не зависит от q и имеет место равенство
dp„
-^ = 0.
dt
Граничные условия определяются из условия трансверсальности:
[±&/ - H8t + (p,8r) + (s,8V) + pfo]* = 0.	(1.1.81)
Знак «+» перед полной вариацией 5J берётся в конечной точке, а знак «-» - в на-
чальной. Полные вариации, «вариации точки», 8/, 5г и 5V находятся с учётом за-
данных многообразий в начале и в конце траектории. 5J зависит, согласно (1.1.72),
от этих же вариаций.
Из (1.1.81) получаем для функционала (1.1.72) pqk=-\.
68
1.1.
Из принципа максимума имеем также, что:
1) векторы р, s и рч ни в одной точке траектории не должны одновременно обра-
щаться в нуль;
2) во всех точках траектории, включая точки разрыва управления, должны выпол-
няться условия Вейерштрасса - Эрдмана (Зеликин М.И., 2004) непрерывности сопря-
жённых переменных и функции Н\
p(Z-O) = p(Z + O)
V/ G ]
s(7 - 0) = s(7 + 0)
А, ('-0) = /?/' +°)
Я(/-0) = Я(/ + 0).
(1.1.82)
Кроме того, поскольку система (1.1.75) автономна, вдоль оптимальной траектории
существует первый интеграл
Я—const.	(1.1.83)
Из (1.1.82) и (1.1.83) получаем, что если функционал и конечное многообразие
не зависят от /0 и tK, а /0 и (или) tK не заданы, то для оптимальной траектории
V/e[/oA]H=O.
В соответствии с принципом максимума, при наличии на оптимальной траекто-
рии точек переключения управления фазовые и сопряжённые переменные вдоль тра-
ектории имеют кусочно-непрерывные первые производные. При этом точки разрыва
производных, очевидно, соответствуют моментам переключения управления, а сами
разрывы представляют собой разрывы первого рода («скачки») функций.
Однако для конкретных динамических систем степень гладкости фазовых и со-
пряжённых переменных может быть выше, чем в обычном случае. Степень гладкости
этих функций играет существенную роль при численном решении соответствующих
краевых задач. Кроме того, свойства гладкости фазовых и сопряжённых переменных
широко используются при приближённом построении решения вариационной задачи
с конечной величиной тяги по известному решению соответствующей вариационной
задачи в импульсной постановке.
Установим степень гладкости фазовых и сопряжённых переменных как функции
времени t вдоль оптимальной траектории. Так как движение рассматривается внутри
сферы действия определённого небесного тела, полагаем
|г|<гтач<оо.	(1.1.84)
Кроме того, при анализе гладкости сопряжённых переменных будем считать, что
|r|>/mm>0.	(1.1.85)
С учётом (1.1.84) и (1.1.85) из условий Вейерштрасса - Эрдмана (1.1.82) следует
ограниченность сопряжённых векторов р, s и сопряжённой переменной рч на отрезке
Р minimax] •
Если дополнительно к условиям Вейерштрасса - Эрдмана ввести ограниченность
р, s и рч при г—>оо, то приводимые ниже результаты будут справедливы и без предпо-
ложения (1.1.84) для всех re [rmin,oo).
Учитывая, что, согласно сказанному выше, функция T=T(t) кусочно-непрерывна,
получим
г(/)еС'|7(),/к], г” - кусочно-непрерывна;	(1.1.86)
69
1.1.
V(/)e C()[/0,/d, V' - кусочно-непрерывна;
(1.1.87)
<?(/)е C°|7(),6j, q' ~ кусочно-непрерывна.	(1.1.88)
Здесь и далее через СА[<7,/>] обозначен класс функций, непрерывных вместе
с А-й производной на отрезке Дифференцируя первое из уравнений сопряжён-
ной системы (1.1.74) по времени, получим
/2	о	Z
-7Т- = —(s(r,V) + r((s,V)-(p,r))+(s,r) V-5—(r,V) .	(1.1.89)
dr г г	у г	))
Отсюда, с учётом (1.1.86), (1.1.87), условий Вейерштрасса - Эрдмана (1.1.82)
и (1.1.74), следует:
р(/)еС2[/0М Р ~ кусочно-непрерывна;
(1.1.90)
s(/)g С3[/о,4], s(4) - кусочно-непрерывна.	(1.1.91)
Разрывы в производных г, V, q, р и s происходят в моменты начала /, и конца t~
/-го активного участка.
Если управлением является тяговооружённость п, то вдоль всей оптимальной
траектории
p6/=const=-l.	(1.1.92)
В этом случае, принимая во внимание (1.1.77) и (1.1.91), имеем
Л/еСД/()Л];	(1.1.93)
(1.1.95)
9(Г)е С3[/0Л], &(4) - кусочно-непрерывна.	(1.1.94)
Пусть теперь управлением является тяга Т с разрывами первого рода в моменты
t, и //, соответствующие началу и концу /-го активного участка. Перепишем третье
уравнение из системы (1.1.75) в виде
^i=nL.e^
dt т0
Поскольку на оптимальной траектории в моменты t± разрыва величины тяги Т
согласно (1.1.78) функция переключения
Ж)=0,	(1.1.96)
dPa
то правая часть (1.1.80) и —— непрерывны всюду на оптимальной траектории
dt
(1.1.97)
d§
Из (1.1.91) и (1.1.97) следует, что на оптимальной траектории производная
всегда непрерывна:
0(ОеС'[/оМ	(1.1.98)
Дифференцируя (1.1.80) по / на участках A=const, найдём с учётом (1.1.95)
т (e2,l/c Т n е"А rZS 'l
dt m0 с т0 с dt J
Поскольку в общем случае
а'(/П^о,
на основании (1.1.91) и (1.1.99) заключаем, что
(1.1.99)
(1.1.100)
70
1.1.
/^eC'l/oA']; Pq ~ кусочно-непрерывна;	(1.1.101)
9(/)gCi[/o,/a], 9"- кусочно-непрерывна.	(1.1.102)
Разрывы в соответствующих производныхрч и 9 обусловлены разрывами в Т. Если
рассматривать по отдельности каждый из участков траектории, то внутри каждого из
участков все фазовые и сопряжённые переменные и функцию переключения можно
считать функциями, дифференцируемыми произвольное число раз (при re [rminZmax]
и соответствующей дифференцируемости орта вектора тяги е(/)).
Допустим теперь, что V(Z) может иметь разрывы первого рода. Тогда из аналогич-
ных рассмотрений получаем:
г(/)е С°|7()Л], г - кусочно-непрерывна;	(1.1.103)
р(/)е С'|7(),бс], р"- кусочно-непрерывна;	(1.1.104)
s(/)g С°[/(),/а], s'" - кусочно-непрерывна.	(1.1.105)
Точно так же на участках между разрывами V(/) все фазовые и сопряжённые пе-
ременные можно считать непрерывно дифференцируемыми произвольное число раз
(при / G [/ nun,/ тах])«
Применение принципа максимума Л.С. Понтрягина сводит рассматриваемую ва-
риационную задачу к двухточечной краевой задаче. Из проведённых рассмотрений
видно, что краевые задачи, возникающие при оптимизации перелётов КА, в общем
случае имеют 14-й порядок - по числу фазовых г, V, q и сопряжённых р, s, pq пере-
менных. Для решения этих краевых задач можно использовать стандартные методы
и приёмы нелинейного программирования и методы решения систем трансцендент-
ных уравнений.
1.1.6. Расчёт затрат топлива и баллистическая оценка массы КА
Масса КА и затраты топлива на проведение манёвра на соответствующем этапе
могут быть рассчитаны согласно следующей методике.
I.	Конечная масса КА после реализации манёвра рассчитывается согласно фор-
муле Циолковского
( аП
тк= т0-ехр-----,
\ с )
где /7?к - масса КА после реализации манёвра, mQ - начальная масса КА; А И- скорость
разгона; с - скорость истечения газов из сопла двигателя КА, вычисляемая по фор-
муле с= Ру*А- g, где - удельный импульс ДУ КА, g - модельное ускорение свободного
падения, принимаемое во всех расчётах постоянным и равным 9.80665 м/с2.
2.	Масса топлива на реализацию манёвра представляет собой разность масс КА
до и после проведения включения ДУ, при этом она не должна превышать предель-
ную заправку топливом баков ДУ КА:
тТ =т0-т^ (т7 < т'11ах).
3.	Если между активными участками после отработки манёвра от КА отделяются
какие-либо элементы конструкции, то масса КА становится равной
ткл=тк-откл >
что представляет собой начальную массу КА на последующем этапе.
71
1.2.
ПЯ ПЕРЕЛЁТЫ МЕЖДУ ЗЕМЛЁЙ И ЛУНОЙ
Проблематика обеспечения перелётов между Землёй и Луной достаточно подроб-
но изложена в монографиях (Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г., 1990; Егоров В.А.,
Гусев Л.И., 1980; Проектирование автоматических..., 2012). Здесь приводится ма-
териал, касающийся ключевых аспектов баллистико-навигационного обеспечения
современных лунных АМС.
Схема полёта КА состоит из ряда этапов: выведение КА на траекторию полёта
к Луне, перелёт к Луне, торможение у Луны и выход на орбиту ИСЛ.
-	Выведение КА на траекторию полёта к Луне осуществлялось с помощью раке-
ты-носителя и разгонного блока. Три ступени ракеты-носителя обеспечивают вы-
ведение космической головной части, состоящей из разгонного блока и КА, на
околоземную опорную орбиту.
-	Затем с помощью одного включения двигательной установки разгонного блока,
которое выполнялось на первом витке опорной орбиты, КА переводится на тра-
екторию полёта к Луне.
-	Дата старта внутри выбранного месяца старта выбиралась из условия максимиза-
ции выводимой массы КА на орбиту спутника Луны.
-	Время полёта до Луны выбиралось из условия минимизации потребных импуль-
сов для перевода КА на траекторию полёта к Луне и для выхода на орбиту ИСЛ
и составляло примерно 4.5 суток.
-	Параметры траектории перелёта к Луне и момент старта выбирались из условия
обеспечения выведения КА на круговую орбиту спутника Луны с заданными вы-
сотой и наклонением в селенографической системе координат.
При отлёте от Земли КА движется по высокоэллиптической орбите. При подлёте
к Луне КА относительно Луны движется по гиперболической траектории с фокусом
в центре Луны.
Для характеристики прохождения КА в окрестностях Луны рассмотрим селено-
центрическую картинную плоскость, по определению ортогональную вектору Vx
асимптотической скорости КА относительно Луны. Введём в ней селеноцентриче-
скую декартову систему координат с ортами такими, что
i]o=exV(L
при этом лежит в плоскости подлётной гиперболической траектории, а е - единич-
ный вектор в направлении Земля - Луна.
Ожидаемое сближение КА с Луной без учёта её притяжения (для применения
линеаризации) можно охарактеризовать вектором прицельной дальности Ь, кото-
рый представляет собой перпендикуляр, опущенный из фокуса гиперболы на её
асимптоту.
При выборе начальных параметров траектории перелёта решалась трёхпараме-
трическая краевая задача, в которой варьируемыми параметрами являлись время
старта внутри выбранных суток старта, время включения двигателя разгонного бло-
ка и время его работы. Контролируемыми параметрами были две координаты г| и £
в картинной плоскости и время прилёта КА в картинную плоскость. При этом время
прилёта КА в картинную плоскость выбиралось из того условия, чтобы КА после
проведения торможения у Луны и выхода на орбиту ИСЛ оставался в зоне радиови-
димости основной наземной станции около двух часов.
72
1.2.
На участке перелёта к Луне планировалось проведение двух коррекций траектории
полёта. Первая коррекция выполнялась через 32-38 часов после старта на расстоянии
210-260 тыс. км от Земли и устраняла погрешности при выведении КА на траекто-
рию перелёта. При необходимости, в районе 80-го часа полёта могла быть проведена
вторая коррекция траектории полёта к Луне. Эта коррекция могла понадобиться для
ликвидации отклонений координат прицельной точки траектории перелёта в картин-
ной плоскости у Луны. Эти отклонения могут быть вызваны погрешностями испол-
нения первой коррекции и точностью прогнозирования параметров траектории полё-
та к Луне перед проведением первой коррекции.
После каждой коррекции проводилось несколько сеансов траекторных измерений
и уточнение параметров траектории полёта. По уточнённым значениям параметров
траектории полёта проводился расчёт командной информации, необходимой для вы-
полнения следующей коррекции.
При подлёте к Луне выполнялся манёвр торможения, в результате чего КА перево-
дился на околокруговую селеноцентрическую орбиту высотой около 100 км.
После выведения КА на орбиту ИСЛ начинается цикл научных исследований.
Баллистико-навигационное обеспечение управления полётом КА и обеспечения
научной программы исследования Луны состоит из следующих основных функцио-
нальных блоков:
-	первичная обработка траекторных измерений;
-	определение и прогнозирование параметров движения КА;
-	расчёт манёвров и коррекций.
В задачи первичной обработки входят:
-	приём и сохранение траекторных измерений;
-	небесно-механическая интерпретация траекторных измерений;
-	оценка качества траекторных измерений;
-	формирование нормальных мест;
-	предварительная оценка проведения манёвра или коррекции по доплеровским
измерениям;
-	проведение юстировок средств траекторных измерений перед началом миссии.
В задачи определения и прогнозирования параметров движения входят:
-	определение параметров движения КА на траектории перелёта и орбите Луны
по данным траекторных измерений;
-	определение импульса манёвра или коррекции по данным траекторных измере-
ний до и после импульса манёвра или коррекции;
-	прогнозирование параметров движения КА;
-	оценка точности определения параметров движения;
-	прогнозирование точности приведения КА к Луне на участке перелёта Земля - Луна.
В задачи расчёта манёвров и коррекций входят:
-	расчёт манёвра перехода с орбиты ИСЗ на траекторию перелёта Земля - Луна;
-	расчёт импульсов коррекций по результатам определения параметров перелётной
траектории;
-	расчёт манёвра перехода с перелётной траектории на орбиту ИСЛ.
Указанные выше функциональные блоки были реализованы в составе Баллисти-
ческого центра Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. Важное
место в работе Баллистического центра занимают вопросы автоматизации работы,
существенно влияющие на надёжность и оперативность проводимых расчётов.
73
1.2.
1.2.1.	Краевая задача
В литературе (Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. 1990) обобщён опыт решения
задач перелёта с околоземной орбиты на орбиту ИСЛ. Чтобы обеспечить оптималь-
ные условия перелёта к Луне, т.е. близкую к л угловую дальность в любой день меся-
ца, обычно используют промежуточную околоземную орбиту высотой около 200 км.
КА с последней ступенью ракеты-носителя предварительно выводится на орбиту
ИСЗ, плоскость которой проходит через заданную точку прицеливания. Затем с по-
мощью последней ступени КА переводится на траекторию перелёта к Луне. Разгон
начинается в тот момент, когда угловая дальность от текущей точки на орбите до
упреждённой точки близка к л. Если задан азимут выведения, то запуск через Север-
ное полушарие возможен только один раз в сутки. При ограниченной протяжённости
второго активного участка старт с орбиты должен произойти в то время, когда КА
перемещается в северном направлении. Примерно через половину суток появляется
возможность запуска по тому же азимуту, но с перелётом через Южное полушарие.
В этом случае старт с орбиты должен проводиться в то время, когда КА перемещается
в южном направлении.
Будем рассматривать двухимпульсные перелёты с околоземной орбиты на орбиту
ИСЛ в предположении, что оба манёвра выполняются в плоскости движения КА.
Если учесть эллиптичность орбиты Луны, то в зависимости от положения упреж-
дённой точки будет меняться геоцентрический радиус Луны и её орбитальная ско-
рость. Соответственно будет изменяться потребное приращение скорости для пере-
лёта к Луне. Потребное приращение скорости при старте с круговой орбиты ИСЗ
высотой 200 км исследовано в (Егоров В.А., Гусев Л.И., 1980). Величина затрат ха-
рактеристической скорости Wy у Земли зависит не только от времени перелёта, но и
от расстояния Земля - Луна. W, зависит от времени перелёта Т и скорости Луны
в момент встречи с ней КА KjW. С погрешностью менее 5 м/с можно считать величи-
ну Wy независящей от наклонения орбиты ИСЗ. Минимум достигается при временах
перелёта 4.4<Г<4.9 суток. При этих временах реализуются траектории с апогеями,
лежащими на орбите Луны. Разброс минимальных значений в зависимости от Г/
составляет ~15 м/с. Расчёты, выполненные по приведённой ниже методике, дают
следующие разбросы значений затрат характеристической скорости у Земли для
Ял=200 км: 3.124-3.135 км/с.
Результаты расчётов характеристической скорости, необходимые для проведения
манёвра у Луны в случае перелёта с околокруговой орбиты ИСЗ на околокруговую ор-
биту ИСЛ, приведены в книге (Егоров В.А., Гусев Л.И., 1980). В этом случае затраты
характеристической скорости зависят от времени перелёта Т, угла i наклонения пло-
скости траектории перелёта к плоскости лунной орбиты и параметра x=Kv/sinu4/, где
ИЛ/ - скорость Луны; - её оскулирующая истинная аномалия в момент /л/ манёвра
у Луны. Расчёты, выполненные для высоты перицентра Ня=200 км, наклонения 51°,
длительности перелёта 4.4<Г<4.9 суток, на интервале 28 суток, дают следующие зна-
чения диапазона разброса характеристической скорости у Луны: 0.835-0.875 км/с.
Разброс суммарных затрат характеристической скорости составляет 3.960^.002 км/с.
При расчёте номинальной траектории перелёта Земля - Луна задаются:
-	время достижения минимального расстояния КА до Луны,
-	значение минимального расстояния,
-	наклонение орбиты ИСЛ.
74
1.2.
Параметрами краевой задачи для достижения заданных параметров являются:
- время старта ракеты-носителя,
/(|) - время перехода с орбиты ИСЗ на траекторию перелёта Земля - Луна,
К, - начальная скорость перелётной траектории.
Основные алгоритмы расчёта:
-	определение начального приближения параметров краевой задачи /(|), Иу,
-	преобразование краевых условий с целью обеспечения их почти линейной зави-
симости от параметров краевой задачи /£Ъ /(0, Иу,
-	построение по текущей гиперболе такой гиперболы, параметры которой удовлет-
воряют заданным краевым условиям.
Решение краевой задачи производится итерационно. Сначала определяются на-
чальные значения параметров /п, /(0, Иу; затем численно выполняется прострел до
достижения минимального расстояния от КА до Луны; вычисляются параметры
картинной плоскости, полученной в результате прогноза гиперболической орбиты.
Полученная гипербола преобразуется к гиперболе, которая удовлетворяет заданным
краевым условиям, и для неё также вычисляются параметры картинной плоскости.
Далее решается краевая задача, обеспечивающая заданные параметры картинной
плоскости, и тем самым определяются уточнённые значения /£Ъ /(1), Иу. Происходит
переход к следующему шагу итерационного процесса.
1.2.2.	Начальное приближение
Приближенный расчёт номинальной траектории перелёта Земля - Луна выпол-
няется по методу долготной привязки Основы метода изложены в {Егоров В.А., Гу-
сев Л.И., 1980). Считаются заданными:
/1/- время достижения Луны;
ХЕ, Фь hE, - географическая долгота, широта и высота над поверхностью, опреде-
ляющие точку начала перелёта;
iE- наклонение перелётной траектории.
Задание /л/ фиксирует сферические координаты окололунного конца траектории,
и тем самым определяется км географическая долгота подспутниковой точки на этом
конце траектории. Благодаря тому, что долготы концов траектории фиксированы, вре-
мя перелёта между ними можно выразить «с точностью» до целого числа звёздных
суток через разность долгот концов траектории и проекцию угловой дальности пере-
лёта на плоскость экватора. Долгота, на которой находится КА в момент /, определя-
ется по формуле:
Щ)= Х£+Фэ(/)+со£(/-/£),	(1.2.1)
где со£- угловая скорость суточного вращения Земли;
Фэ(/) - проекция на плоскость экватора текущей угловой дальности Ф(/);
tE- момент начала траектории перелёта.
В конечный момент времени tM имеем
Х(/Л/)+2тгл7=Хл/,	(1.2.2)
где и - целое число периодов, которое необходимо прибавить к углу X(/zV/), чтобы при-
вести его к диапазону (-л,л).
Таким образом, время перелёта Т}= tlVf-tE вычисляется по формуле
75
1.2.
Y _ n \^м Ф ? (^Л/ )
Z "	271
(1.2.3)
2я
так как — = 1 - звездные сутки.
со/;
Рассмотрим угод 0 - проекцию аргумента широты на плоскость экватора. Этот
угол связан с аргументом широты и и широтой подспутниковой точки ср следующими
соотношениями:
Sinp^, cos|) = —.	(1.2.4)
tgZ/;	COS(p
Решение уравнений (1.2.4) при заданных ср и и обозначим как 0(w, ср).
По определению,
Фэ(4/)=Р0м, <p,w)-P(w£, (р£).	(1.2.5)
Аргументы широты иЕ и им определяются из соотношений:
sin ср,	71		'71
sm«/; =	 sin zE	2<	'UK<	" 2 ’
sin срм	71		
sinwM= sinz^	’ 2<	'um 	"T'
(1.2.6)
Используя (1.2.3), (1.2.4), (1.2.5) и (1.2.6), можно определить время перелёта. Та-
ким образом, известны положения КА на двух концах траектории и время перелёта.
Задача определения начального приближения траектории перелёта сведена к задаче
Ламберта. При этом траектория, найденная в результате решения задачи Ламберта,
будет иметь заданное наклонение iE.
Рассмотрим теперь особенности метода долготной привязки при расчёте запуска
КА к Луне с орбиты ИСЗ. Рассматривается следующая схема. Сначала КА выводится
на низкую орбиту ИСЗ (орбита выведения), плоскость которой содержит упреждён-
ную точку, а затем в результате второго активного участка - на перелётную траекто-
рию, принадлежащую той же геоцентрической плоскости.
Орбита выведения имеет фиксированные параметры в гринвичской системе коор-
динат, замороженной на момент старта. Пусть Qyr - долгота восходящего узла в этой
СК. Qy‘ связана с широтой ср/? и долготой точки старта следующим соотношением:
Q«r=Xs-ps, sin₽e=^.	(1.2.7)
tg'Y
Любую наперёд заданную долготу Qy узла орбиты ИСЗ в инерциальной геоцен-
трической экваториальной СК можно реализовать выбором момента запуска КА
внутри любой даты. Момент времени определяется из соотношения
o)c/n=Qy-50-Qyr,	(1.2.8)
где 50 - значение звёздного времени в ноль часов всемирного времени даты старта.
Долгота Qy восходящего узла орбиты ИСЗ задаётся такой, какой она получается
в ходе решения краевой задачи перелёта к Луне. Начальное приближение находится
методом долготной привязки.
При определении начального приближения траектории перелёта считаются
заданными:
76
1.2.
Xgr=(xgr,ysr, zgr, Vf, VgI, V_-')T - вектор состояния орбиты выведения в гринвичской
СК, фиксированной на момент старта;
t\/~ момент достижения Луны;
и - число суток перелёта.
Требуется определить время старта момент перехода на перелётную траекто-
рию и начальную скорость на перелётной траектории Vr
На первом шаге алгоритма определяются долгота восходящего узла Qy перелёт-
ной траектории и время старта Вначале рассчитываются приближенные значения
Йу и fo, которые затем уточняются. При определении приближенных значений по-
лагается, что наклонение орбиты zgr в гринвичской СК, фиксированной на момент
старта, приближённо равно наклонению zy в инерциальной СК. В соответствии
с определением
Пу=алХ^/)-₽м,	(К2.9)
где щ/С/) - прямое восхождение Луны в инерциальной СК (на момент /Л//); рЛ// - про-
екция аргумента широты перелётной траектории на плоскость экватора (на момент
достижения Луны).
Угол рА/находится с использованием (1.2.4) и (1.2.6) по формуле
|3v,=7t-arcsintg8t,^-w\	(1.2.10)
tgzBr
где 8\/(С/) - склонение Луны на момент tM в инерциальной СК.
С использованием числа суток перелёта и даты достижения Луны определяем
дату старта DE и звёздное время Sq(De) на ноль часов даты старта. Время старта
определим с учетом уравнения (1.2.8):
Используя найденные значения даты и времени старта, вычислим вектор состоя-
ния и элементы орбиты выведения в инерциальной СК. После этого последовательно
находим:
о	• *ё5л/(<и)
= л-arcsin-----—L - проекцию аргумента широты перелетной траектории
tg'r
на момент достижения Луны на экватор;
- уточнённую долготу восходящего узла перелётной траектории;
A Q-QY
AZ =------ - поправку к времени старта,
где /у - наклонение орбиты выведения в инерциальной СК, Qy - долгота восходящего
узла орбиты выведения в инерциальной СК.
Используя поправку, определяем дату (D£) и время старта (Zn).
На втором шаге алгоритма определяется /(|) - время перехода на перелётную траек-
торию. Момент ищется перебором от момента старта в пределах витка. По каждому
значению 1Ы с использованием (1.2.8) определяется время перелёта 7Д7И.) и решается
задача Ламберта. Левый конец определяется положением на орбите выведения в мо-
мент а правый - заданным положением Луны на момент tM. Выполняется поиск
такого момента /(0, при котором минимален модуль разности скоростей КА на орбите
выведения и на орбите перелёта.. Для околокруговой орбиты это достигается в точке,
77
1.2.
в которой вектор скорости орбиты перелёта ортогонален вектору геоцентрического
положения. Поиск момента /0) можно выполнять по следующей схеме: перебором с
большим шагом (например, ~30 мин) определить /(1), соответствующее минимальному
значению, а затем его уточнить методом хорд. Точность определения tM для начально-
го приближения ~1 минуту.
После того, как найдено время /(|) перехода на траекторию перелёта, начальная ско-
рость на перелётной траектории определяется по орбите перелёта.
Особенностью изложенного алгоритма определения момента /(|) является то, что
минимум достигается на углах, близких к л между векторами геоцентрического по-
ложения начальной и конечной точек траектории перелёта. Это вызывает сложности
при использовании классического алгоритма задачи Ламберта, так как плоскость ор-
биты определяется с использованием векторного произведения векторов положения
в начальной и конечной точках. В рассматриваемом случае плоскость орбиты заранее
известна, так как ортогональный ей орт вектора кинетического момента имеет ком-
поненты, которые выражаются через уже известные наклонение (/у) и долготу восхо-
дящего узла (Оу):
(sin/y sinQy, -sin/у sinQy, coszY)T.	(1.2.12)
Поэтому отмеченной сложности можно избежать, если использовать модифика-
цию алгоритма решения задачи Ламберта, при которой плоскость орбиты считается
известной.
В работе {Егоров В.А., Гусев Л.И., 1980) предложен другой алгоритм построения
начального приближения. Начальные параметры перелётной траектории определя-
ются итерационно. Параметром алгоритма является широта ф5 начала траектории
перелёта. Заданием фв определяются элементы перелётной траектории при условии,
что перелётная траектория начинается в перицентре. Тем самым определяется время
перелёта Гф(ф5). С другой стороны, методом долготной привязки определяется время
перелёта 7\(ф5). Выбором ф5 нужно добиться, чтобы /^(ф^ТКфД
Рассмотрим алгоритм расчёта Гф(ф5) и 71(фв) в предположении, что перелёт проис-
ходит через Северное полушарие.
1)	Находятся аргументы широты начальной ив и конечной им точек перелётной
траектории:
(1.2.13)
• . ’	— “м — п •
sinzy	2
2)	Определяются углы рд и рл/:
Находятся угловая дальность перелёта Ф и проекция угловой дальности на эква-
тор Фэ:
Ф—Щг~11 в-, Фэ~ Ра/—Рв-
(1.2.15)
78
1.2.
4)	Определяется долгота точки перехода на орбиту перелёта
МЗу'Ж.	(1.2.16)
5)	Рассчитывается время перелёта Л(ф/?) методом долготной привязки
?;.(<рй)=»+^~^+Фэ-	(1.2.17)
Z71
6)	Находится геоцентрическое расстояние гв и начальная скорость перелётной
траектории V\
'ls=rE+HB, VB=^(rB),	(1.2.18)
где ri: - радиус Земли;
Нв - высота над поверхностью в момент перехода на перелётную траекторию;
^(гв) =J~~ ~ местная параболическая скорость;
V гв
Ц/; — гравитационный параметр Земли.
р/; вычисляется по формуле, связывающей угловую дальность полёта с начальной
скоростью и углом вектора начальной скорости с трансверсалью
в 2 vcos20fi — cosG^ cos(d> + 0fi )’ rM'
где Од - угол вектора скорости с трансверсалью (в случае импульсного перехода точка
перехода на перелётную орбиту должна быть её перицентром и 0/?=О).
7)	Находятся р,а,е- элементы орбиты перелёта:
р = 2г„рд cos2 0„, а- —-,е=1-—.	(1.2.20)
вРв в 2(pfi-l) V а
8)	Находится истинная аномалия и5, иЛ7 в точках В и М при использовании
соотношений
1( р 1^1 . KsinO/? I р
cosu5 = — — — 1 , sin(1.2.21)
J	е
9)	Последовательно находятся Ев, /Гд,- эксцентрические аномалии, Мв, МЕ•- сред-
ние аномалии точек В, М и время перелёта Гф по формулам:
Er 11-е	Е,,	11-е	V,,
tgf=VT7;tgf’
Мв =ЕВ-esinEs, Мм = Ем -esinE„ ,	(1.2.22)
{Мм-Мв).
V Не
После того как найдена широта (рв, при которой Т^В)=ТФ($В\ и определены сред-
няя Мв и истинная аномалии, находятся элементы перелётной орбиты т, соу, Qy
по формулам _
z = tB-MBl , (а^ — ив — vB,	— Р^.	(1.2.23)
V Не
Время момента перехода с орбиты выведения на перелётную орбиту определяется
по формуле
E=t\г~ 7ф(ф/?)	(1.2.24)
79
1.2.
Следует отметить, что в предложенном методе расчёта никак не учитывается, что
КА, стартовавший в момент /п, должен, двигаясь по орбите выведения, в момент /(1)
оказаться в точке В.
Картинная плоскость. Задачи расчёта траекторий сближения с Луной являются
нелинейными. Расстояние рл селеноцентрической траектории от центра масс Луны
есть нелинейная функция модуля вектора прицельной дальности b (вектор, лежащий
в плоскости орбиты, направленный из фокуса ортогонально асимптоте гиперболы,
рисунок 1.2.1):
(bV\2
Ря =-----г- -- - - 2,	(1 -2.25)
где цЛ/- гравитационный параметр Луны, V, - скорость на бесконечности селеноцен-
трической гиперболы.
Плоскость, ортогональную вектору оскулирующей в периселении скорости на бес-
конечности, называют картинной плоскостью (КП) (Лидов М.Л., Охоцимский Д.Е.,
Тесленко Н.М., 1964). Вектор b принадлежит этой плоскости. Его координаты в КП
линейно зависят от начальных данных. Тем самым краевые задачи полёта к Луне мож-
но сводить к линеаризованным краевым задачам реализации координат КП, которые
соответствуют выполнению заданных у Луны условий. Сначала координаты КП вы-
числяются приближённо, а затем на каждой итерации происходит их перевычисление.
Рисунок 1.2.1. Селеноцентрическая гипербола. Радиус-вектор ря в периселении, вектор
прицельной дальности b и скорость «на бесконечности» V,
80
1.2.
Вместо координат КП можно использовать другие параметры, которые линейно
зависят от вариаций начальных данных. При решении задач проектирования пере-
лётных траекторий удобно за такие координаты HJR принять селеноцентрические ко-
и
ординаты вектора с направлением радиуса-вектора рл периселения и с модулем \|"5—
N Р м
в плоскости, проходящей через вектор рл ортогонально вектору Ул. Здесь р/И- радиус
Луны: Ул- вектор селеноцентрической скорости в периселении.
Орты Н° и R0 определим по формулам
Но = у°х£°(^), R0 = Н° х V°,	(1.2.26)
где - орт направления Луна - Земля в момент прохождения периселения
Положим по определению:
//= Р(н°,р“), R = H(R°,p°)-	(1.2.27)
V Рм	N Pm
При численном интегрировании расчёты целесообразно выполнять по следующей
схеме.
Определяют момент прохождения периселения из условия
Цэ+ПэПэ+^э = 0.	(1-2.28)
где ^э, т|э, - координаты КА в невращающейся селеноцентрической геоэквато-
риальной СК.
В момент /л находят элементы гиперболической орбиты: Q', р', е , со', т'. Ком-
поненты орта рл=(£л, г|л, £л)т находятся по формулам
= cos со' cos О! - sin со' sin Q! cos г',
т|° = cos со'sin Q' + sin со'cos ST cos/',	(1.2.29)
= sin co' sin i.
Компоненты орта вектора скорости Ул° =определяют по формулам
£л = - sin со' cos Q' - cos со' sin Q' cos i ,
f]° = -sin co'sin Q' + cos co' cosQ' cos z',	(1.2.30)
= cos co' sin i .
Алгоритм построения гиперболы по вектору скорости «на бесконечности»,
расстоянию перицентра, наклонению и долготе восходящего узла. Входной ин-
формацией являются:
V, - вектор скорости «на бесконечности»,
рл - расстояние в перицентре,
i - наклонение,
Q - долгота восходящего узла.
Алгоритм обеспечивает построение гиперболической орбиты, плоскость которой
определяется заданными лунным наклонением i и долготой восходящего узла Q; рас-
стояние в перицентре равно заданному рл, скорость на бесконечности равна К; на-
правление совпадает с проекцией вектора скорости «на бесконечности» на плоскость
орбиты.
81
1.2.
I)	Из интеграла энергии находится модуль вектора скорости в перицентре:
4=J— + V|	(1.2.31)
V Ря
2)	Из условия ортогональности векторов положения рл и скорости Ул в перицен-
тре определяется модуль векторного интеграла площадей
ICHVJIpJ	(1.2.32)
3)	Находятся компоненты векторного интеграла площадей С=(С\, Сг, С-)т по
формулам
Сх = |C|sinzsinQ,
Cv=|c|sinzcosQ,	(1.2.33)
С. = |С| cos i.
4)	Вычисляются параметр гиперболы р и эксцентриситет е:
p=£L, е = /1+PIV”I	(1.2.34)
Мл/ у Мл/
5)	Находится еи=(хУ,ух)т проекция орта вектора скорости «на бесконечности» на
плоскость орбиты по формулам:
x,=(Po,V°,),A-=(Qo,Vx),	(1.2.35)
где
Po=(cosQ, sinQ, 0)т;
Qo=(-sinQ cos/, cosQ cos/, sin/)1.
6)	Находится ez2=(^z, щ)т орт вектора скорости «на бесконечности» в плоскости £,г|
(ось £ направлена из фокуса F\ к фокусу F2) по формулам
^=--Пя=Д-	(1-2.36)
е V е
Аргумент перицентра со определяется как угол поворота вектора е,2 к вектору е,ь
8)	Вычисляются компоненты векторов рл и Ул по формулам:
хл - Ря (cos cocosQ-sin cosin Qcosz),
К = pn(coscosinQ + sincocosQcosz),
=	p sin cosin z,
(1.2.37)
=	|Vn |(-sin cocos Q -cos cosin Q cosz),
yy =|Vn|(-sincosinQ + coscocosQcosz),
=	|Уя |cos cosin z.
1	.2.3. Коррекция траектории перелёта
Как уже вкратце отмечалось выше, на участке перелёта к Луне планировалось
проведение двух коррекций траектории полёта. Первая коррекция выполнялась че-
рез 32-38 часов после старта на расстоянии 210-260 тысяч км от Земли и устраняла
погрешности при выведении КА на траекторию перелёта. Указанное время прове-
82
1.2.
дения первой коррекции определялось из условия проведения нескольких сеансов
траекторных измерений, на основании которых уточнялись параметры траектории
перелёта к Луне и вычислялись данные, необходимые для выполнения коррекции.
Эта информация в виде радиокоманд передавалась на борт КА и закладывалась в бор-
товую систему управления. После этого, в расчётное время КА разворачивался в про-
странстве для ориентации вектора импульса коррекции нужным образом, и включал-
ся двигатель коррекции.
При необходимости, в районе 80-го часа полёта могла быть проведена вторая
коррекция траектории полёта к Луне. Эта коррекция могла понадобиться для ликви-
дации отклонений координат прицельной точки траектории перелёта в КП у Луны.
Эти отклонения могут быть вызваны погрешностями исполнения первой коррекции
и точностью прогнозирования параметров траектории полёта к Луне перед проведе-
нием первой коррекции.
После каждой коррекции проводились несколько сеансов траекторных измерений
и уточнение параметров траектории полёта. По уточнённым значениям параметров
траектории полёта проводился расчёт командной информации, необходимой для вы-
полнения следующей коррекции.
При проведении измерений и определения орбиты АМС на участке перелёта и
ИСЛ для управления полётом и привязки научных измерений необходимо придержи-
ваться следующих рекомендаций {Проектирование автоматических ..., 2012).
1. Необходимо выполнить работу по оценке точности определения параметров
трёх промежуточных орбит и точности приведения КА на орбиту перелёта Земля -
Луна. Для оценки точности определения следует использовать ковариационный ана-
лиз. Необходимо учесть следующие источники ошибок:
-	случайная составляющая ошибок доплеровских измерений радиальной скорости,
- систематическое смещение величины радиальной скорости и наклонной дально-
сти за время сеанса измерений,
-	неопределённость знания положения фазового центра антенны наземного изме-
рительного пункта (НИП),
-	неопределённость знания параметров ионосферы и тропосферы в принятых мо-
делях измерений,
-	неопределённость параметров, характеризующих влияние солнечной радиации
на движение КА,
-	неопределённость параметров, характеризующих влияние атмосферного тормо-
жения на движение КА,
-	наличие негравитационных ускорений.
Для оценки точности приведения используется комбинированный метод, состо-
ящий из ковариационного анализа для учёта ошибок определения параметров дви-
жения и метода Монте-Карло для учёта ошибок исполнения манёвров. При анализе
манёвров, выполняемых на орбитах ИСЗ, учитывается, что каждый манёвр, кроме
выполнения целевой функции подъёма апоцентра, исправляет ошибки исполнения
предыдущего манёвра. В результате формируются оценки дополнительных затрат
характеристической скорости при выполнении всех четырёх манёвров, обеспечиваю-
щих выход на траекторию перелёта к Луне, обусловленные ошибками выведения PH,
ошибками исполнения манёвров КА и навигационными ошибками.
2.	При работе на трёх промежуточных эллиптических орбитах следует преду-
смотреть дополнительные сеансы траекторных измерений, обеспечивающие избы-
83
1.2.
точность измерений, с целью получения экспериментальных данных о точностях
измерений. Эти данные могут быть использованы в качестве априорных данных при
определении орбиты КА на перелёте и орбиты ИСЛ.
3.	С целью обеспечения оперативного контроля исполнения манёвра в число за-
дач оперативного навигационного обеспечения должна быть включена задача оценки
изменения (скачка) радиальной скорости между измеренными значениями до выпол-
нения манёвра и после его выполнения. Сравнение скачка, полученного по измере-
ниям, с расчётным значением скачка позволит оперативно оценить качество исполне-
ния манёвра. Для этой цели можно использовать 1-way измерения (в отечественной
технической литературе их называют беззапросными измерениями). Проведение та-
ких измерений может быть совмещено с передачей телеметрии. Надёжная работа по
1-way измерениям будет обеспечена, если заранее получена оценка значения частоты
бортового задающего генератора. Такая оценка может быть получена, если сразу по-
сле обычного сеанса измерений радиальной скорости (2-way) провести сеанс 1-way
измерений радиальной скорости,
4.	Количество планируемых сеансов траекторных измерений на траектории пере-
лёта определяется результатами априорной оценки точности прогнозирования. Этих
сеансов в зоне видимости должно быть не менее двух основных и одного резервного.
5.	Расчёт коррекций на траектории перелёта Земля - Луна и расчёт манёвра тор-
можения следует проводить по орбитальным данным, полученным с использованием
измерений не менее чем в двух соседних зонах видимости.
При расчёте первой коррекции целесообразно использовать такую технологию,
при которой основной расчёт производится по результатам всех сеансов измерений
после выведения на траекторию перелёта Земля - Луна, включая первый сеанс тра-
екторных измерений зоны видимости, в которой проводится коррекция; второй сеанс
траекторных измерений этой зоны видимости следует использовать для подтвержде-
ния правильности выполнения расчётов.
Решение о необходимости проведения второй коррекции следует принимать по-
сле проведения первого сеанса траекторных измерений в зоне видимости, в которой
намечено проведение коррекции, анализа результатов определения орбиты по этим
измерениям и прогноза в картинную плоскость. Если будет установлено, что вторая
коррекция необходима, эти орбитальные данные следует использовать для основного
расчёта. Второй сеанс траекторных измерений, выполняемый до коррекции, следует
использовать для контроля.
6.	В составе задач оперативного навигационного обеспечения следует иметь за-
дачу, которая позволяет по траекторным измерениям до и после манёвра определять
вектор состояния КА и параметры манёвра. Должна быть предусмотрена работа этой
задачи с использованием и без использования априорной информации. В качестве
априорной информации могут быть использованы номинальные значения параме-
тров манёвра или данные о манёвре, полученные по телеметрической информации.
Наличие такой задачи позволит достоверно оценить параметры движения КА после
проведения манёвра по небольшой мерной базе, что обеспечит увеличение интервала
времени на дальнейшее планирование.
7.	Выбор программы траекторных измерений на орбите ИСЛ должен опираться
на результаты анализа оценки точности прогнозирования. При планировании сеан-
сов траекторных измерений целесообразно учесть опыт работы КА «Луна-16» при
проведении коррекции траектории и опыт работы с КА «Луна-22» при обеспечении
научной программы.
84
1.2.
1.2.4. Выведение на орбиту искусственного спутника Луны
Рассмотрим задачу выведения КА на орбиту ИСЛ на примере полёта КА «Луна-17»
(«Луноход-1»). Три ступени ракеты-носителя обеспечивают выведение космической
головной части, состоящей из разгонного блока и КА, на околоземную орбиту с периге-
ем 187 км, апогеем 205 км и наклонением 51.6 градуса.
По сигналу бортового программно-временного устройства через 65 мин с момен-
та старта был включён двигатель последней ступени. После сообщения необходимой
скорости двигатель выключился, КА отделился от последней ступени ракеты-носите-
ля и перешёл на траекторию полёта к Луне. Наземные станции слежения осуществля-
ли телеметрический контроль бортовых систем и обеспечили измерения параметров
движения КА.
Обработка результатов траекторных измерений позволила определить параме-
тры фактической траектории движения. Их значения оказались достаточно близкими
к планируемым, однако для обеспечения выхода автоматической станции точно в за-
данный момент времени в расчётный район окололунного пространства 12 ноября
1970 года была намечена и осуществлена коррекция траектории движения КА.
Исходные данные для проведения коррекции траектории (величина и направление
корректирующего импульса, а также время включения двигателя) были рассчитаны
по результатам обработки траекторных измерений. Эти данные в виде специальных
групп радиокоманд были переданы на борт КА и заложены в блок памяти программ-
но-временного устройства.
В начале сеанса коррекции космический аппарат с помощью системы управления
и оптических приборов системы астроориентации был точно сориентирован в про-
странстве относительно Солнца и Земли в заданном направлении. После завершения
всех подготовительных операций по команде системы управления включился двига-
тель, сообщивший КА необходимый корректирующий импульс.
Проведённая коррекция предназначалась для ликвидации незначительных откло-
нений траектории движения КА от расчётной. В момент проведения коррекции КА
находился на расстоянии 223 тыс. км от Земли.
На участке движения КА после коррекции проводились траекторные измерения и
телеметрический контроль исполнения коррекции.
Для обеспечения условий посадки КА в заданную точку поверхности Луны 14 но-
ября 1970 года на расстоянии 356 тыс. км от Земли была проведена вторая коррекция
траектории полёта, энергетические затраты при этом были незначительны. Обработ-
ка результатов траекторных измерений, проведённых после выполнения второй кор-
рекции, подтвердила высокую точность исполнения коррекции.
Перед подлётом к Луне началась подготовка систем КА к переходу на орбиту ис-
кусственного спутника Луны. КА опять был сориентирован в пространстве по Солн-
цу и Земле и развернут в требуемое положение.
При достижении КА заданного района окололунного пространства была произве-
дена подготовка и осуществлено включение двигателя с целью уменьшения скорости
подлёта к Луне и перевода КА на орбиту спутника Луны. В результате проведённо-
го торможения КА «Луна-17» перешёл на селеноцентрическую орбиту ИСЛ со сле-
дующими параметрами: высота над поверхностью Луны 85 км, наклонение орбиты
к плоскости лунного экватора 141°, период обращения вокруг Луны 1 час 56 мин.
Последовательность операций во время полёта приведена в таблице 1.2.1.
85
1.2.
Таблица 1.2.1. Последовательность операций во время полёта
дата и время (ДМВ)	операция
10 ноября 17 час 44 мин	Старт КА «Луна-17» с пусковой установки космодрома Байконур. Выведение с помощью ракеты-носителя на промежуточную околоземную орбиту
18 час 56 мин	Конец работы последней ступени ракеты-носителя при выводе КА на траекторию перелёта Земля - Луна; отделение КА от последней ступени.
19 час 44 мин - 20 час 08 мин	Первый, на участке полёта к Луне, сеанс радиосвязи. Траекторные измерения (определение радиотехническими средствами дальности, скорости и топоцентрических координат: угла места и азимута) и передача телеметрических данных, содержащих сведения о состоянии и работе бортовых систем, температуре и давлении внутри различных отсеков КА
20 час 14 мин	Сеанс радиосвязи. Открытие панели солнечной батареи и ориентация её на Солнце с помощью грубых солнечных датчиков; придание вращения КА для обеспечения нормального теплового режима; приём телеметрической информации о состоянии и работе основных систем; траекторные измерения
23 час 24 мин // ноября 18 час 49 мин	Сеансы радиосвязи. Траекторные измерения и приём телеметрической информации о состоянии основных систем
23 час 54 мин 12 ноября 00 час 29 мин	Сеанс радиосвязи. Настройка бортовых систем для проведения первой коррекции траектории перелёта Земля - Луна. Контроль правильности ввода кодограмм в программно- временное устройство и настройка автоматов управления двигательной установкой. Приём телеметрической информации о состоянии основных систем
00 час 51 мин - 02 час 15 мин	Сеанс коррекции траектории. Измерение радиальной скорости. Закрытие панели солнечной батареи. Грубая, а затем точная солнечная ориентация, и ориентация на Землю. Подготовка системы управления; выставка продольной оси КА в заданном направлении. Работа двигательной установки в режиме коррекции. Автоматическое выключение двигателя. Контроль выполнения операций и состояния бортовой аппаратуры в течение всего сеанса коррекции по телеметрическим данным. Открытие солнечной батареи и ориентация на Солнце. Придание вращения КА относительно продольной оси для обеспечения нормального теплового режима
02 час 24 мин 13 ноября 19 час 23 мин	Сеансы радиосвязи. Траекторные измерения и приём телеметрической информации о состоянии основных бортовых систем
22 час 54 мин - 23 час 23 мин	Сеанс радиосвязи. Настройка бортовых систем для проведения второй коррекции траектории перелёта Земля - Луна. Контроль правильности ввода кодограмм в программно-временное устройство и настройка автоматов управления двигательной установкой. Приём телеметрической информации о состоянии основных систем
86
1.2.
дата и время (ДМВ)	операция
23 час 51 мин /4 ноября 01 час 21 мин	Сеанс второй коррекции траектории. Измерение радиальной скорости. Закрытие панели солнечной батареи. Грубая, а затем точная солнечная ориентация и ориентация на Землю. Подготовка системы управления; выставка продольной оси КА в заданном направлении. Работа двигательной установки в режиме коррекции. Автоматическое выключение двигателя. Контроль выполнения операций и состояния бортовой аппаратуры в течение всего сеанса коррекции по телеметрическим данным. Открытие солнечной батареи и ориентация на Солнце. Придание вращения КА относительно продольной оси для обеспечения нормального теплового режима
01 час 24 мин /5 ноября 00 час 10 мин	Сеансы радиосвязи. Траекторные измерения и приём телеметрической информации о состоянии основных бортовых систем
01 час 50 мин - 02 час 15 мин	Сеанс радиосвязи. Настройка бортовых систем для проведения торможения с целью перевода КА на орбиту ИСЛ. Контроль правильности ввода кодограмм в программно-временное устройство и настройка автоматов управления двигательной установкой. Приём телеметрической информации о состоянии основных систем
02 час 52 мин	Начало сеанса торможения. Измерение радиальной скорости. Закрытие панели солнечной батареи. Грубая, а затем точная солнечная ориентация, и ориентация на Землю. Подготовка системы управления: передача управления гироскопической системе. Контроль выполнения операций и состояния бортовой аппаратуры по телеметрическим данным
03 час 50 мин 17 сек	Конец приёма радиосигналов вследствие захода КА за Луну. Выставка продольной оси КА в заданном направлении. Включение двигательной установки в режиме торможения. Автоматическое выключение двигателя. Переход на орбиту искусственного спутника Луны. Открытие солнечной батареи и ориентация на Солнце
04 час 12 мин 20 сек - 04 час 37 мин	Начало приёма радиосигналов при выходе КА из-за Луны. Контроль выполнения операций и состояния бортовой аппаратуры по телеметрическим данным. Придание вращения КА относительно продольной оси для обеспечения нормального теплового режима. Проведение траекторных измерений
04 час 38 мин - 23 час 56 мин	Сеансы радиосвязи. Траекторные измерения и приём телеметрической информации о состоянии основных бортовых систем
Изложенные ключевые аспекты обеспечения БНО полёта КА к Луне (и, в частно-
сти, КА «Луна-17»/«Луноход-1») служат существенным обобщением опыта решения
задач перелёта с околоземной орбиты на орбиту ИСЛ и существенно используются
при создании БНО современных лунных АМС.
87
1.3.
ПИ ПОЛЁТЫ КА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
1.3.1. Методы проектирования орбит в окрестности
точки либрации
Первая работа, рассматривающая использование орбит в окрестности коллине-
арных точек либрации для размещения исследовательских КА, принадлежит Робер-
ту Фаркуару. В своей диссертации он изложил инженерную методику, позволяющую
удерживать КА на квазипериодической орбите в окрестности коллинеарных либра-
ционных точек системы Земля - Луна с целью обеспечения связи с Землёй (Содержа-
ние диссертации изложено в отчёте ASA {Farquhar ft. Ж, 1968)). Этот проект не был
реализован, однако предложенные методы описания динамики полёта в рамках огра-
ниченной круговой задачи трёх тел были использованы при проектировании траек-
тории KA«ISEE-3», ставшей первый миссией, отправленной в окрестности точки ли-
брации - в 1978 г. аппарат «ISEE-З» был выведен на траекторию перелёта к точке Lt
системы Солнце - Земля. В работах Фаркуара в рамках ограниченной задачи трёх тел
(ОЗТТ) была показана роль точек либрации, позволивших в данной миссии получить
достаточно сложную и эволюционирующую траекторию движения аппарата в системе
Солнце - Земля - Луна с минимальными затратами топлива. Во многом благодаря этой
пионерской миссии использование динамики движения КА в окрестности коллинеар-
ных точек либрации стало рассматриваться как реальная инженерная методика.
Траектория движения «ISEE-З» была такова, что гравитационные воздействия
Земли и Солнца на аппарат имеют одинаковый порядок, и описание движения в рам-
ках задачи двух тел с учётом возмущений от третьего тела невозможно. В этом случае
ограниченная задача трёх тел является приемлемой моделью для баллистического
Рисунок 1.3.1. Траектория перелёта космического аппарата «ISEE-З» на гало-орбиту
в окрестности точки либрации Lt системы Солнце - Земля
88
1.3.
проектирования миссии. В рамках данной модели была показана роль точек либра-
ции, позволяющих получать достаточно сложную и эволюционирующую траекторию
движения аппарата в системе Солнце - Земля - Луна с минимальными затратами
топлива. Во многом благодаря этой миссии использование динамики коллинеарных
точек либрации стало рассматриваться как реальная инженерная методика.
Аппарат для исследования комет и солнечного ветра «ISEE-З» вышел на траек-
торию прямого перелёта к точке L\ системы Солнце - Земля, совершил несколько
оборотов на гало-орбите в её окрестности, затем был переведён в окрестность точки
L2 (рисунок 1.3.1). После выполнения нескольких гравитационных манёвров у Луны
аппарат был направлен на сближение с кометой Якобини-Циннер. Гало-орбита
в окрестности точки L2 имела небольшой выход из плоскости эклиптики, составляв-
ший 1.2 тыс. км.
Следующая миссия, использовавшая гало-орбиту, космическая обсерватория
«SOHO», совместный проект ЕКА и НАСА, направленный на изучение Солнца. Ап-
парат был выведен на гало-орбиту в окрестности точки либрации системы Солн-
це-Земля, схожую с орбитой аппарата «ISEE-З». Период орбиты составил 178 суток.
Точное выведение на гало-орбиту привело к минимальным расходам топлива на кор-
рекции, что позволило в несколько раз (с 2 до 8 лет) продлить научную программу.
Большой интерес для анализа представляет траектория космического аппарата
«WIND», запущенного к точке Ц системы Солнце - Земля 1 ноября 1994 года для
изучения солнечного ветра и функционирующего по настоящее время. Первые три
года аппарат находился на высокоэллиптической геоцентрической орбите и совершал
гравитационные манёвры у Луны таким образом, что линия апсид его орбиты остава-
лась параллельной направлению от Земли на Солнце. Кроме того, в этот период был
сделан один виток вокруг точки L\ системы Солнце - Земля.
Первым аппаратом, использовавшим орбиту Лиссажу, стал КА НАСА «АСЕ», за-
пущенный к точке либрации Ц системы Солнце - Земля в 1997 году. Выведение на
орбиту и её поддержание потребовали коррекций, коррекции удержания необходимо
было производить с периодичностью 8 недель; коррекции, изменяющие геометрию
орбиты для поддержания угла КА - Солнце - Земля, - раз в 3-6 месяцев. Период ор-
биты составил 178 суток, аппарат функционирует по настоящее время.
В 2001 году на орбиту Лиссажу в окрестности точки £2 системы Солнце - Земля
была выведена космическая обсерватория НАСА - КА «WMAP». Перелёт был осу-
ществлён с использованием гравитационного манёвра у Луны. В том же году к точке
L\ системы Солнце - Земля был запущен КА «Genesis», также использовавший орби-
ту Лиссажу.
В 2009 году на высокоамплитудную орбиту Лиссажу в окрестности точки £2 си-
стемы Солнце - Земля были выведены КА «Herschel» и «Planck» Европейского Кос-
мического Агентства. После перехода на орбиту с траектории перелёта КА «Planck»
исполнил манёвр перехода на орбиту Лиссажу с меньшей амплитудой, в то время как
«Herschel» остался на высокоамплитудной орбите.
В декабре 2013 года с космодрома Куру, расположенного во Французской Гвиане,
с помощью российских ракеты-носителя «Союз» и разгонного блока «Фрегат» выве-
ден КА «Gaia» (космическая обсерватория ЕКА) на траекторию перелёта к точке Г2.
Запуск телескопа был намечен на 20 ноября 2013 года, но из-за технических проблем
состоялся 19 декабря 2013 года в 09:12:18 UTC. В 09:54 UTC космический аппарат
отделился от РБ «Фрегат». Научная миссия аппарата состоит в получении трёхмер-
89
1.3.
ной карты звёздного неба с максимальным возможным на сегодняшний день разре-
шением, а также в уточнении динамики, яркости и спектрального состава излучения
наблюдаемых звезд. Для выполнения этой научной программы аппарат выведен на
орбиту Лиссажу малого радиуса в окрестности точки L2 системы Солнце - Земля.
8 января 2014 года аппарат успешно достиг своей целевой орбиты вокруг точки L2.
Параметры орбиты - 263x707x370 тыс. км, полный оборот по орбите около 180 дней.
В последующие четыре месяца аппарат продолжил тестирование и калибровку бор-
товых приборов.
На орбите вокруг этой точки гравитационного равновесия, приблизительно на не-
изменном удалении от Земли и Солнца, телескоп находится в стабильных условиях,
недоступных на околоземной орбите.
Перелёт занял около 30 суток. Предусматривались две коррекции на траектории
перелёта для исправления ошибок выведения: первая коррекция запланирована на
второй день полёта, вторая на двенадцатый. Для выхода на орбиту Лиссажу малого
радиуса при подлёте к точке L2 (на расстоянии 1.5 млн км от Земли) был запланиро-
ван манёвр 180 м/с, через двое суток после выхода на орбиту Лиссажу проводилась
коррекция, обеспечивающая соответствие орбиты аппарата номинальной рабочей ор-
бите. Максимальное удаление номинальной орбиты Лиссажу от точки L2 как в пло-
скости эклиптики (плоскость XY вращающейся СК с центром в точке L2), так и в пло-
скости, ей ортогональной (плоскость XZ) составляет 100 тыс. км. Орбита выбрана
таким образом, что в течение первых шести лет работы аппарат не попадает в зону
земной тени. Для поддержания рабочей орбиты используются коррекции.
Удобство использования гало-орбит для размещения на них космических телеско-
пов и других аппаратов для астрофизических исследований обусловлено следующим
фактором: эти орбиты сохраняют свою пространственную ориентацию относительно
Солнца и Земли. Исследуемые в книге гало-орбиты располагаются в окрестности кол-
линеарной точки либрации L2, удалённой от Земли на расстояние порядка 1.5 млн км.
В этом случае пространственная конфигурация орбиты позволяет экранировать ан-
тенну от солнечного и отражённого от Земли излучения при условии поддержания
постоянной ориентации аппарата. В то же время, вращаясь вместе с Землёй вокруг
Солнца, аппарат за год совершает оборот на 360°, что позволяет наблюдать любые
объекты Вселенной, расположенные вблизи плоскости эклиптики.
Кроме того, гало-орбиты являются энергетически выгодными: возможен без-
ымпульсный переход на подобную орбиту с геоцентрической отлётной траектории,
а суммарные коррекции для поддержания орбиты также невелики.
Алгоритм баллистического проектирования траекторий перелёта КА с орбиты
ИСЗ на гало-орбиту позволяет промоделировать движение КА с момента старта с низ-
кой околоземной орбиты до времени окончания активной фазы существования КА
(завершения научной программы). Используемая для численного моделирования по-
лёта КА динамическая модель учитывает гравитационные воздействия Земли, Солн-
ца, Луны и планет Солнечной системы, нецентральность указанных гравитационных
полей, неравномерность вращения Земли, силу давления солнечной радиации, влия-
ние атмосферы Земли. Подробно алгоритм баллистического проектирования такого
класса траекторий рассмотрен в {Ильин И.С. и др. 2012, № 65; Ильин И. С. и др., 2012,
№ 66; Ильин И.С. и др., 2013).
Для учёта нецентральности гравитационного поля Земли применяется модель гра-
витационного потенциала Земли П390-2 размерности 36x36. При расчёте перелётов
с использованием гравитационных манёвров применяется модель гравитационного
90
1.3.
поля Луны JGL075D1 размерности 75x75. Учёт неравномерности вращения Земли
обеспечивается моделью IAU2000A, рекомендованной Международным астрономи-
ческим союзом. На участке отлёта от Земли используется модель верхней атмосферы
Земли ГОСТ Р 25645.166-2004.
Для определения положения Солнца и планет Солнечной системы используется
астрономический ежегодник DE421, разработанный в JPL NASA. В качестве основ-
ной рабочей системы координат выбрана инерциальная геоцентрическая прямоуголь-
ная система координат (СК) J2000, также используется геоцентрическая прямоуголь-
ная гринвичская СК П390-2. Моделирование работы двигателей КА не производится,
задача решается в импульсной постановке. Метод интегрирования, используемый
для численного прогноза, - метод Дормана - Принса. Наклонение орбиты выведения
полагается равным 51.4° относительно плоскости земного экватора (что соответству-
ет широте космодрома Байконур).
Баллистическое проектирование полёта КА «Спектр-РГ» выполнялось на основе
исходных данных, разработанных в НПО им С.А. Лавочкина. Траектории движения КА
рассчитываются в импульсной постановке задачи, моделирование работы ДУ согласно
полученным исходным данным при реализации данных траекторий описано ниже.
Проблематика баллистического проектирования полёта АМС к одной из колли-
неарных точек либрации L]2 и её удержания в окрестности этой точки расслаивается
естественным образом на три подкласса. Как указывается, например, (Данхэм Д. У
н др., 2013), для разработки подобных проектов необходим метод расчёта требуемых
траекторий космического аппарата во время перелёта к точке Лк2, перехода на орбиту
заданного размера и удержания на этой орбите. Кроме того, при необходимости непре-
рывного освещения солнечных батарей аппарата нужно периодически вносить строго
контролируемые изменения в параметры орбиты, чтобы избежать затмения аппарата
Землёй. Управление движением в окрестности Lk2 в общем случае осложняется неу-
стойчивостью проектной орбиты, а траектория перелёта ограничена возможностями
ракеты-носителя. Проблематика выбора «окон старта» для подобных перелётов, вы-
бор параметров орбиты для выводимой полезной нагрузки (который полностью опре-
деляется требованиями этой полезной нагрузки), включая дату и время выведения,
учёт влияния даты старта на гало-орбиту при фиксированном значении восходящего
узла, учёт влияния долготы восходящего узла на характеристики гало-орбиты доста-
точно подробно отражён в целом ряде исследований (Gomez et al. 2003; Данхэм Д. У.
и др., 2013). В работе сотрудников ИПМ им. М.В. Келдыша (Ильин И.С.и др., 2013)
рассмотрено баллистическое проектирование перелёта КА в окрестность точки L2
и последующий выход КА на гало-орбиту. Предложен метод расчёта траекторий од-
ноимпульсных перелётов Земля - гало-орбита с использованием и без использования
лунного гравитационного манёвра. Для этого применяется алгоритм построения на-
чальных приближений. Указанные приближения строятся путём расчёта и анализа
изолиний функции от двух переменных. В качестве такой функции рассматривается
высота перицентра отлётной орбиты над поверхностью Земли (Лидов М.Л. и др..,
1987). Аргументами функции являются специальные параметры, характеризующие
гало-орбиту. Указанный алгоритм позволяет получить гало-орбиты с заданными ге-
ометрическими характеристиками как в плоскости эклиптики, так и в плоскости, ей
ортогональной. Получены оценки затрат характеристической скорости на поддержа-
ние КА на выбранной гало-орбите. Описанная методика была использована для по-
иска рабочих орбит КА «Спектр-РГ» и «Миллиметрон».
91
1.3.
поэтому в этом подразделе приведём только их окончательный вид. Ограниченная за-
дача трёх тел состоит в том, что одна из материальных точек (т3) имеет исчезающе
малую массу и поэтому не оказывает влияния на движение двух других материаль-
ных точек с массами /И2 (Л/|>/И2). Точки М}, М2, которые носят название «основ-
ные тела» (в англоязычной литературе - primaries), движутся по кеплеровым орбитам
задачи двух тел. Движение удобно изучать во вращающейся (синодической) систе-
ме координат XYZ, центр которой расположен в барицентре системы основных тел.
Ось X направлена от тела большей массы к телу меньшей массы, ось Y расположена
в плоскости орбит основных тел, при этом кратчайший поворот от оси X к оси Y со-
впадает с направлением вращения тела М2 относительно тела М\, ось Zдополняет си-
стему координат до правой. Ось Z перпендикулярна плоскости орбит основных тел.
Пусть основные тела совершают движение по круговым орбитам. Тогда мы работа-
ем в рамках круговой ограниченной задачи трёх тел. (В англоязычной литературе эта
модель имеет обозначение CR3BP - circular restricted three-body problem). В плоскости
XY расположены пять точек, в которых гравитационные и центробежные силы, дей-
ствующие на уравновешивают друг друга (рисунок 1.3.2). Точки Lh L2, L3 называют-
ся коллинеарными точками либрации, а точки Л4, L5 - треугольными точками либрации.
После перехода к безразмерным величинам (угловую скорость вращающейся СК,
расстояние между Мь М2, сумму масс М\+М2 приравнивают единице) вводят пара-
метр ц, ре (0; 1/2], который равен массе меньшего из основных тел. Тогда точка М\
расположена на расстоянии ц от барицентра, а М2 - на расстоянии 1-ц. Уравнения
движения в нормализованной форме имеют вид
X-2Y-X = Ux =-^a + n)-^(X-l+lj),
/<1	а2
Y-2X-Y = Uy=-]—^Y-^-Y,	(1.3.1)
Y я,3 я3	v ’
z=c/z=-^z—Ц-z,
2	я,3 я3
Рисунок 1.3.2. Точки либрации и системы координат
93
1.3.
В настоящем разделе основное внимание уделено двум заключительным подклас-
сам (второму и третьему) баллистического проектирования полётов к коллинеарным
лагранжевым точкам на примере перспективной отечественной миссии «Спектр-РГ»,
реализующей полёт КА к точке £2 системы Солнце - Земля.
При проведении высокоточных баллистических расчётов на определённых этапах
полёта КА рассматривается движение его центра масс (ЦМ) относительно опорной
точки, которая является некоторым аналогом точки либрации £2 в ограниченной кру-
говой задаче трёх тел (Солнце - Земля - КА). Эта опорная точка в дальнейшем также
называется точкой либрации, и для неё сохраняется то же обозначение (А2).
Для определения положения и скорости точки Л2 в системе координат (СК) J2000
(Oxyz) вводится в рассмотрение так называемая средняя плоскость эклиптики, ко-
торой принадлежит ось Ох указанной СК и которая наклонена к опорной плоскости
Оху СК под фиксированным углом ie. Угол ie отсчитывается от опорной плоскости по
часовой стрелке, если смотреть вдоль положительного направления оси Ох СК J2000.
Положение и скорость точки L2 в СК J2000 в каждый текущий момент времени t
совпадают с положением и скоростью проекции на среднюю плоскость эклиптики
точки, лежащей на луче ЦМ Солнца - ЦМ Земли на расстоянии (от ЦМ Солнца),
равном (1+£7)г5, где kL - фиксированная положительная величина, a rs - расстояние
от ЦМ Земли до ЦМ Солнца.
Значения величин ie и kL для проведения баллистических расчётов регламентиру-
ются соответствующими проектными требованиями. На текущем этапе баллистиче-
ских расчётов полагается /<=23.4333333°, £/=0.01007800°.
Связанная с точкой L2 система координат. Для описания движения КА отно-
сительно точки L2 вводится в. рассмотрение связанная с точкой либрации СК (ЛСК)
Lq\q2q3. Начало ЛСК (точка L) в каждый текущий момент времени t совпадает с точ-
кой L2. В момент времени t её оси направлены следующим образом. Ось абсцисс (Lq\)
содержит проекцию луча ЦМ Солнца - ЦМ Земли на среднюю плоскость эклипти-
ки и направлена в сторону от Солнца; ось аппликат (Ь/З) перпендикулярна средней
плоскости эклиптики и направлена в сторону Северного полюса Мира, а ось ординат
(Lq2) дополняет СК до правой системы. С течением времени ЛСК изменяет в абсо-
лютном пространстве не только положение своей начальной точки, но и направле-
ния координатных осей Lq\ и Lq2. Неизменным остаётся направление координатной
оси Lq3. Аналогичную L2 центрическую вращающуюся СК, ось абсцисс X которой
направлена на Солнце, ось Z определяется так же, как ось Lq3, а ось Y дополняет си-
стему до правой, обозначим СК RFF.
Ортогональная квазипериодическая орбита КА. Пусть Mp(tQ) - множество тра-
екторий КА в ЛСК, двигаясь по которым КА от некоторого фиксированного момента
времени t() пересечения плоскости Lq\q3 делает относительно оси Lq3 полный обо-
рот и прилетает в точку на плоскости Lq\q3 с координатой q\, равной абсциссе дЮ
точки положения КА в момент времени /0. Это множество называется множеством
квазипериодических орбит по оси абсцисс. Множеству Мр(С) принадлежит квази-
периодическая орбита, двигаясь по которой, КА в момент времени /0 имеет в ЛСК
скорость, ортогональную плоскости Lq\q3. Такая орбита называется ортогональной
квазип ери одической орбитой. Конкретная ортогональная квазипериодическая орбита
определяется параметрами /0 и д10.
Линейное приближение. Напомним, что под задачей трёх тел понимается задача
изучения движения трёх материальных точек под действием взаимного гравитаци-
онного притяжения. Уравнения движения задачи трёх тел многократно описывались
в литературе (см., например, (Маркеев А.П., 1978, Себехей В., 1982, Маршал К, 2005)),
92
1.3.
где
С/ =	+ -ЬГ;
л, r2
R, =((Х + ц)2 + У2 + г2)2;	(1.3.2)
R2 =((X-l + n)2 + r2+Z2)2 ;
Ux, UY, Uz - частные производные потенциала
R\,R2- расстояния между и основными телами.
Можно ещё упростить уравнения движения, включив слагаемые, соответствую-
щие центробежному ускорению, в потенциал:
X-2Y = U*x,
Y + 2X = U*,	(1.3.3)
Z = t/z*,
где
[/’=t/ + |(x2 + r2).	(1.3.4)
Для нахождения расположения коллинеарных точек либрации Ц и £2 введём по-
ложительные величины у,, z=l,2. Эти величины соответствуют расстояниям точек ли-
брации от М2 (рисунок 1.3.3):
А • l\ =1“Ц —Yi’ ^11 =	“О’ '	(13 5)
Z2: %L2 = 1-ц + у2, YL2=0, ZL2=0.
Для нахождения yi и у2 нужно решить следующие уравнения 5-й степени (Марке-
евА.П., 1978):
Y|-(3-ц)У|+(3-2ц)У|-цу2 + 2цу|-ц = 0,
Yi + (3 - ц)Уз + (3 - 2ц)Уз - ИУз - 2УУг - Ц = 0.
Доказано, что каждое из этих уравнений имеет только один положительный
корень.
94
1.3.
В случае исследования движения в окрестности выбранной точки либрации (бу-
дем рассматривать лагранжеву точку А2) введём локальную систему координат xyz,
которая получается из системы XYZ параллельным переносом вдоль оси X на вели-
чину 1-ц+у2. Эта система координат показана на рисунке 1.3.2. Такая замена системы
координат не влияет на уравнения системы, а меняет (сдвигает) только х-координату
траектории /773.
Для того чтобы установить устойчивость точек либрации, нужно произвести ли-
неаризацию динамической системы в этих точках. Мы сразу рассмотрим общий слу-
чай, который полезен для изучения устойчивости периодических орбит.
Пусть вектор состояния qe R6 имеет вид
q=(X,y,Z,X,y,Z)T.	(1.3.7)
Тогда система первого порядка для круговой ограниченной задачи трёх тел будет
иметь вид
(1.3.8)
Пусть qrcl(/) - некоторая эталонная орбита (орбита, для которой определяется её
устойчивость). Рассмотрим движение КА q(z) в окрестности этой орбиты:
q(/)=qrel(/)+q(O-	(1-3.9)
Динамическую систему можно линеаризовать; результатом будет линейная одно-
родная и (возможно) нестационарная система вида
4(0 = A(0q(0-	(1.3.10)
Матрица А(/) вычисляется так:
6Ч=Ч.<0
0 Е
Т 2Q
Jq=qref
О - нулевая матрица 3x3,
Е - единичная матрица 3x3,
1 0
0 0
0 0
ихх
Ч>(Ч) = ^Т(Ч) =
U'XY
UXZ
и* U*
U XY U XZ
^YY YZ
^YZ Uzz
Двойной индекс при IT соответствует, как и ранее, частным производным по ука-
занным переменным:
95
1.3.
tr
ЛХ дх2
и'
Yr <ЭУ2
U’
ZZ dz2
и*
хг дХдУ
и^
Х7' dXdZ
U"w = -^- = 3^—^YZ + 3-^YZ.
dYdZ R2 R52
, l-ц Ц 1 —Ц	-2	,	,2
R2 R.I Л,5	Я25
= 1 - -Цг + 3^ Y2 + 3-Ц- У2;
Л23	/?, R2
---^—^--^ + 3^—^Z2+3-^Z2;
R2 R22 R2 R2
= 3^ (X + ц)У + 3-^(X -1 + ц)У;
= 3^(% + n)Z + 3-^(X -1 + n)Z;
Л]	л2
Л-Ц
(1.3.11)
Итак, переходная матрица системы в вариациях находится путём интегрирования
^ф(^°) = А(г)ф(<,0).
dt
В точке либрации эталонная орбита является постоянным вектором:
qreK0=q/.=[X„0,0,0,0,0]T, /=1,2.
Тогда линеаризованная система приобретает вид
х - 2у - (1 + 2с2)х = 0,
у + 2х-(1 -с2)у = 0,
z + c2z - 0,
где
с = 1~Н_ + ±_
2 (1±У,-)3 У,’
Верхний знак соответствует точке либрации L}, нижний - точке L2.
зованной системе уравнения для z и х, у независимы. Уравнение для z
гармонический осциллятор.
Запишем уравнения движения ограниченной круговой задачи трёх тел, линеари-
зованные в окрестности либрационной точки L2 системы Солнце - Земля, во вращаю-
щейся декартовой СК xyz с центром в точке L2 (обозначим данную систему координат
как СК RFF):
= yicos(co1Z + (p1) + CeXz +Z)e"Xz,
^2 =-^2^s^n(coi^+ (Pi) + ^i (CeXz	(1.3.16)
= I?cos(co2Z + (p2).
(1.3.12)
(1.3.13)
(1.3.14)
(1.3.15)
В линеари-
- обычный
Такая запись позволяет выделить в явном виде периодические колебания в пло-
скости XY- амплитуда задаётся коэффициентом А, частота — соi, фаза - фь и колеба-
ния в ортогональной плоскости с частотой со2, фазой ср2 и коэффициентом В, опреде-
ляющим амплитуду. Коэффициенты С и D соответствуют экспоненциальному уходу
от периодического решения в положительном и отрицательном времени. Посколь-
96
1.3.
ку собственные значения матрицы системы линеаризованных уравнений движения
ограниченной круговой задачи трёх тел в трёх коллинеарных точках либрации при-
нимают значения {±zcob ±zco2, wь ^>0, согласно теории устойчивости Ляпуно-
ва в линейном приближении это особые точки типа центрхцентрхседло. Седловая
компонента фазового потока исследуемой системы дифференциальных уравнений,
соответствующая положительному собственному значению X, сообщает окрестности
точек либрации динамику неустойчивого равновесия. В частности, для точек L\ и
Ь2 собственное значение X велико и наблюдается ярко выраженная неустойчивость,
вследствие чего невозможно представить фазовое пространство в окрестности этих
точек с помощью отображения Пуанкаре (сечения множества решений выбранной
плоскостью), построенного с использованием прямого численного моделирования.
Рассмотрим частные решения системы линеаризованных уравнений движения
(1.3.16), соответствующие действительным собственным значениям - векторы wb w2:
w,=C * V, w2=Z) 1 Vх'.	(1.3.17)
\Л/	\ ^17
Используя значения &b нетрудно вычислить направления данных векторов, опре-
деляющие направления ухода от периодических решений в положительном и от-
рицательном времени по экспоненциальному закону (рисунок 1.3.4). Направления
векторов wb w2 составляют углы ±28.6°с положительным направлением оси XL2 цен-
трической вращающейся СК (L2 RFF).
Рисунок 1.3.4. Единичные векторы, задающие направления экспоненциального ухода
от периодического решения в эклиптической СК с центром в точке £2
97
1.3.
Таким образом, квазипериодические орбиты являются неустойчивыми, так как
наследуют гиперболическую неустойчивость коллинеарной либрационной точки,
их порождающей. Кроме того, рассмотрение движения КА в численно-эфемеридной
модели приводит к необходимости парирования дополнительных возмущений, вы-
званных отличием ограниченной круговой задачи трёх тел, для которой построено
квазипериодическое приближение, от численной модели Солнечной системы. Для
поддержания квазипериодических орбит в окрестности коллинеарных точек либра-
ции требуется периодическое проведение коррекций траектории КА. Задачу расчёта
коррекций можно рассматривать как оптимизационную задачу с двумя оптимизи-
руемыми параметрами, в качестве которых выступают отклонения траектории КА
от номинальной орбиты и суммарные затраты характеристической скорости на под-
держание орбиты (сумма импульсов коррекций), а ограничением выступает мини-
мальный интервал между коррекциями, обусловленный необходимостью проведения
траекторных измерений для определения орбиты КА. Могут быть введены и другие
ограничения - например, ограничения на направления векторов импульсов коррек-
ций, связанные с конструктивными особенностями аппарата.
Существует два основных класса методов поддержания квазипериодических ор-
бит с помощью корректирующих манёвров. К первому классу методов относится
удержание траектории в некоторой окрестности номинального решения (данная стра-
тегия была применена в ходе полёта КА «ISEE-З»), к этому же классу принадлежит
метод поддержания номинальной траектории в контрольных точках. Второй класс
методов призван обеспечить удержание КА на центральном многообразии ограни-
ченной круговой задачи трёх тел, содержащем периодические и квазипериодические
орбиты. Впервые стратегия поддержания орбиты, относящаяся к данному классу ме-
тодов, была применена в ходе полёта КА «SOHO». Данная стратегия ставила своей
главной целью минимизацию неустойчивой компоненты решения системы линеари-
зованных уравнений движения (Siino С. et al., 1986), приводящей к экспоненциально-
му уходу из окрестности точки либрации. К этому же классу относятся также метод
поддержания квазипериодической орбиты в заданной окрестности точки либрации и
метод продолжения орбиты. Второй класс методов поддержания квазипериодических
орбит позволяет обеспечить поддержание периодической или квазипериодической
орбиты существенно меньшей суммой корректирующих импульсов. Все последую-
щие миссии к коллинеарным точкам либрации использовали различные методики
расчёта коррекций, реализующие варианты этой стратегии удержания КА на орбите
в окрестности точки либрации.
Минимизация неустойчивой компоненты решения, полученного в рамках огра-
ниченной задачи трёх тел, является необходимым, но не достаточным условием под-
держания квазипериодической орбиты - необходимо также парировать возмущения,
вызванные гравитационным воздействием планет Солнечной системы и избегать не-
желательной долгосрочной эволюции орбиты.
Учёт нелинейности и численный метод. Как уже отмечалось, периодические и
квазипериодические орбиты (гало-орбиты и орбиты Лиссажу) в окрестности колли-
неарных точек либрации неустойчивы, поэтому в литературе много внимания уделе-
но задаче поддержания орбиты. С точки зрения управления исследуются два подхода:
с использованием импульсного управления и непрерывного управления (на основе
двигателей малой тяги). Есть экзотические проекты применения солнечного паруса
(Farres A., Jorba А., 2007). В настоящем разделе будем рассматривать основной слу-
чай использования импульсного управления.
98
1.3.
В (FoltaD.C. etal., 2010), где предпринята попытка классификации стратегий под-
держания орбиты (применительно к миссии ARTEMIS - для точки либрации Л2 систе-
мы Земля - Луна), перечислены следующие подходы:
1.	Приведение вектора скорости к ортогональности плоскости XZ в момент её пе-
ресечения. Недостатком этого метода являются большие затраты характеристической
скорости (при реализации метода её минимизация не проводится).
2.	Поддержание номинальной орбиты в контрольных точках. Метод носит назва-
ние «метод контрольных точек» (Target Point), далее - TP-метод. Недостатком мето-
да является то, что выбор контрольных точек требует расчёта номинальной орбиты.
Метод может оказаться неоптимальным с точки зрения затрат характеристической
скорости.
3.	Гашение неустойчивой компоненты с использованием теории Флоке (Floquet
Mode), далее - FM-метод. Его недостаток - большие вычислительные затраты.
4.	Поддержание орбиты в заданной окрестности точки либрации. Недостатком яв-
ляется неконтролируемая эволюция орбиты в рамках заданной области пространства.
5.	Продолжение орбиты. Нужно привести скорость или энергию к значениям,
обеспечивающим несколько витков орбиты. Метод обеспечивает минимальные за-
траты характеристической скорости на продолжение орбиты. При его реализации
требуются сложный оптимизационный алгоритм и точное численное интегрирование
в эфемеридной модели.
В литературе чаще встречается обсуждение задачи поддержания орбиты для си-
стемы Земля - Луна. В этом случае задача сложнее, чем поддержание орбиты в систе-
ме Солнце - Земля, из-за гравитационного возмущения со стороны Солнца (Gomez G.,
Howell К., Masdemont J., Simo С., 1998).
Приведение вектора скорости к направлению, перпендикулярному плоско-
сти XZ в момент её пересечения траекторией КА. Метод излагается, в частности,
в статье (HowellК.С., 1984). Пусть в начальный момент времени вектор состояния КА
имеет вид qo=(xo,O,Zo,O,^o,O)T. Этот вектор ортогонален плоскости XZ А2-центрической
СК, ось X которой направлена на Солнце. Можно найти другое ортогональное пере-
сечение: спустя половину периода вектор состояния имеет вид q(772)=(x,0,z,0,y,0)'.
Тогда орбита будет периодической с периодом Т в силу её симметрии относительно
плоскости XZ. Для нахождения начального условия используется переходная матрица
в момент 772. Проводится интегрирование до тех пор, пока координата^ не сменит
знак. Затем уменьшается размер шага и вновь проводится интегрирование. Эта про-
цедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто выполнение неравенства
|у|<1СГ”. Время в момент этого события полагается равным половине периода 772.
Орбита считается «периодической», если |х|, |z|<l0 8 при 772. Если эти неравенства
не выполняются, то нужно скорректировать начальные условия, а затем повторить
интегрирование. Предположим, что |х|, |z| недостаточно малы. Скорректируем началь-
ный вектор состояния q0 на величину (5xo,O,5z(),O,5yo,O)T. Так как j/(T/2)~0, то 5х=х и
&=-z являются единственными желаемыми изменениями в конечных условиях. Кор-
рекцию можно вычислить, исходя из
5Ч«Ф(Г/2,О)5Чо+^6(772),	(1.3.18)
где
8у = 0 = Ф2|3хо + Ф2,5г0 + Ф258Л + >8(Г/2).	(1.3.19)
99
1.3.
Если желательно менять только z0 и у0, а х0 оставлять неизменным, то результатом
будет
М [Дф« Ф65>	jlw
(1.3.20)
Если же зафиксировать z0 и менять только х0 и у0, то
I^Sz J
,1ф6|
Ф45)
ф65)
1 f xY ,
- ••	Ф21 Ф25)
уоо
(1.3.21)
При использовании этого метода имеет место быстрая сходимость к периодиче-
ской орбите, и в большинстве случаев достаточно трёх или четырёх итераций. Заме-
тим, что нет необходимости вычислять вторую половину орбиты, т.к. орбита симме-
трична относительно плоскости XZ.
Метод контрольных точек (TP-метод). Метод контрольных точек (Target Point)
применительно к задаче поддержания орбиты вокруг точки либрации был введён в
статье (Howell К.С., Pernicka H.J., 1993), более подробно метод излагается в диссер-
тации (Keeter Т.М., 1994). Метод использовался для миссии «GENESIS» (Williams К.
et al., 2000), в процессе выполнения которой КА совершал орбитальное движение
вокруг коллинеарной точки либрации L\ системы Солнце - Земля.
При использовании TP-метода задаётся целевая (оптимизируемая) функция J,
в которую входят с назначенными весами вектор корректирующего манёвра Av и ряд
прогнозируемых отклонений от номинальной орбиты в шестимерном пространстве
состояний в заданные будущие моменты времени. Эти моменты времени и называют-
ся «контрольными точками».
Вычисление Av - многошаговый процесс. Переходная матрица системы имеет вид
(1.3.22)
где А/с, В/с, С/с, D/c - подматрицы размером 3><3; tc - текущий момент времени. Все
манёвры имеют импульсный характер и выполняются в момент tc, хотя дальнейшее
исследование может определить, что для манёвра может существовать некоторый
оптимальный момент где tc*>tc. Момент времени t, является некоторым «буду-
щим» моментом времени относительно /<., что соответствует контрольной точке /, для
которой предсказываются действительные состояния (положение и скорость) КА,
и изохронно сравнивается с состояниями на номинальной орбите. Контрольные мо-
менты времени фактически определяются через приращения времени А/,-, по отноше-
нию к моменту времени tc, так что
tj — tc+ At,	(1.3.23)
На рисунке 1.3.5 показаны текущее возмущённое состояние, корректиру-
ющий манёвр в момент tc* >tc и последующие контрольные точки, в которых мо-
гут быть оценены будущие отклонения по положению и скорости. В диссертации
(Keeter Т.М., 1994), а также в статье (Gomez G., Howell К., Masdemont J., Simo С.,
1998) изучен вариант с тремя контрольными точками (п=3). В основополагающей
статье (Howell К.С., Pernicka H.J., 1993) исследование ограничилось двумя кон-
трольными точками (п=2).
100
1.3.
Рисунок 1.3.5. Метод контрольных точек. Прогнозируемая орбита - сплошная линия,
номинальная орбита - пунктирная линия. Выбраны три контрольные точки
Вектор ошибки 5 имеет вид:
6(f) = (8гт(/), 8vT(0)T = (8r(Z), 8y(Z), 8z(0,8x(0,8j>(/), 8z(Z))T	(1.3.24)
Прогнозируемое отклонение положения 8rz в момент времени t, является функ-
цией вектора коррекции Av, вектора отклонения положения 8гс в момент времени tc
и вектора отклонения скорости 8vc. В 8г, включены ошибки по положению и скоро-
сти, т.к. чувствительность по положению и скорости в переходной матрице имеют
одинаковый порядок по величине (Per nicka H.J.J990). Аналогично, прогнозируемый
вектор отклонения по скорости 8v, также зависит от векторов Av, 8rc, 8vc.
Для прогноза ошибок по положению и скорости в будущие целевые моменты вре-
мени по состоянию в момент времени tc используется переходная матрица:
[М = К BY 8rt.
I^SvJ |^С/с DZcJ^8vc+Av
где /-I,...,/? - номера контрольных точек (здесь подразумевается, что моменты време-
ни te и совпадают). Целевая функция J как сумма взвешенных норм вектора коррек-
ции Av и каждого из отклонений 8г, и 8v, имеет вид
J = AvTQAv + ^8r,TR'8r + ^8v^R;8v,.	(1.3.26)
,=|	<=i
(1.3.25)
101
1.3.
Все весовые матрицы симметричны и имеют размер 3x3. Предполагается, что
матрица Q положительно определённая, а остальные весовые матрицы - неотрица-
тельно определённые. Элементы весовых матриц могут быть постоянными, а могут
и зависеть от времени.
Величина AvmiI1, минимизирующая функцию (1.3.26) с ограничениями (1.3.25), вы-
числяется путём подстановки в (1.3.26) выражений для каждого 5г, и 6v, (полученных
из (1.3.25)) и решения векторного уравнения
относительно Avmin. После преобразований получаем
(	”	Y1
Avmjn = - Q + £(BXBte +	) х
v	'='	>	(1.3.28)
xf E(bI.R,'A,, + D^RJC,.) 8rt. + £(ВХВ,, + dI.r;d,.)5vJ
k /=1	/=1	)
Реализация этого подхода состоит из нескольких шагов. Сначала составляется
полный список параметров. Из этого списка выделяется подмножество параметров
(методом проб и ошибок), посредством которых осуществляется эффективное управ-
ление КА вблизи номинальной орбиты. Подбираются значения параметров, обеспе-
чивающие наименьшие затраты топлива. Далее, это множество параметров подвер-
гается изучению с целью выяснить влияние каждого параметра на затраты топлива.
Перечислим параметры, влияющие на реализацию алгоритма:
-	дата начала миссии;
-	минимальная длина вектора отклонений по положению rmin, которая требуется
для реализации манёвра (манёвр не выполняется при меньших значениях длины
вектора отклонений);
-	минимальный промежуток времени между манёврами Zmin;
-	минимальная длина вектора Av для реализации манёвра vmin (при меньших значе-
ниях манёвр отменяется);
-	количество контрольных точек и промежутки между ними;
-	продолжительность миссии;
-	модели для ошибок перехода на орбиту, ошибок измерений и ошибок исполнения
манёвра;
-	величины элементов весовых матриц;
-	границы времени расчёта для численных процессов интегрирования (например,
вычисления переходной матрицы);
-	определение оптимального момента времени /с* для выполнения манёвра.
В таблице 1.3.1 перечислены номинальные значения параметров, найденные мето-
дом проб и ошибок.
Таблица 1.3.1. Номинальные значения параметров для ТР-метода
название параметра	номинальное значение
дата перехода на орбиту	01 июля 1995 г.
mm	0.0 км
An in	30 суток
V mm	2 см/с
102
1.3.
количество контрольных точек	3
6, 6, 6	35, 65, 90 суток
продолжительность миссии	4 года
интервал между измерениями	2 суток
ошибки слежения и перехода на орбиту Ох, О,, O-, О/, О,', о.--	1.5 км, 2.5 км, 15 км, 1 мм/с, 1 мм/с, 3 мм/с
ошибки исполнения манёвра Од.,,	<5д|_	2.5% от планируемого |Av|
Q (безразмерная)	diag(3.98-1010, 4.92 1014. 1 .ЗО Ю11)
R>'(l/c2)	diag(2.90, 2.80-10 2. 1.00-103)
R2(l/c2)	diag(4.4010 \ 1.00, 0.00)
RRl/c2)	diag(3.00-10 9.30 10 2. 1.00-10 ')
Ri, R2,R.i	0, 0,0
С выбранными параметрами было проведено 100 сеансов моделирования методом
Монте-Карло. В таблице 1.3.2 представлены результаты одного из моделирований.
В первом столбце показано время совершения манёвра с момента перехода на орбиту.
Во втором столбце представлено время между двумя последовательными манёвра-
ми. Столбцы с третьего по шестой содержат х-, у-, z-компоненты корректирующего
импульса и его величину. Седьмой столбец содержит информацию об ошибке ис-
полнения манёвра. Восьмой столбец содержит величину отклонения положения от-
носительно номинальной орбиты в момент совершения манёвра. В результате было
выполнено 26 манёвров, суммарное |Дv| составило 0.740 м/с, среднее время A/man, раз-
деляющее два манёвра, - 55.5 суток.
Таблица 1.3.2. Результаты моделирования ТР-метода
время (сутки)	А/ man (сутки)	Дух (м/с)	Дуу (м/с)	Ду/ (м/с)	|Av| (м/с)	ошибка исполнения манёвра (%)	|3г<| (км)
102	102	0.022	0.001	0.000	0.022	0.0059	26.66
134	32	0.028	0.002	0.000	0.028	0.5114	30.28
166	32	0.022	0.002	0.000	0.022	0.1180	28.95
226	60	0.022	-0.001	0.000	0.022	0.3316	47.05
268	42	-0.023	-0.001	0.000	0.023	0.2933	30.29
354	86	-0.023	0.000	0.000	0.022	0.2057	33.95
436	82	-0.021	-0.001	0.000	0.021	0.1980	15.41
466	30	0.034	0.001	0.000	0.034	0.5308	46.38
498	32	0.031	0.002	0.000	0.031	0.7098	42.98
530	32	0.020	0.002	0.000	0.021	0.1393	34.51
604	74	0.025	-0.001	0.000	0.025	0.1114	43.06
678	74	-0.021	0.001	0.000	0.021	0.1222	41.80
738	60	-0.022	0.000	0.000	0.022	0.3455	55.82
798	60	-0.021	-0.002	0.000	0.021	0.2111	29.24
828	30	0.036	0.001	0.000	0.036	0.0785	79.43
860	32	0.041	0.003	0.000	0.041	0.0258	61.18
892	32	0.020	0.003	0.000	0.021	0.1059	48.27
964	72	0.029	-0.002	0.000	0.030	0.8966	58.60
103
1.3.
время (сутки)	ДАпап (сутки)	Дух (м/с)	Дуу (м/с)	Дух (м/с)	|Av| (м/с)	ошибка исполнения манёвра (%)	|3г.| (км)
1044	80	0.031	0.003	0.000	0.031	0.1779	45.70
1148	104	-0.075	-0.004	0.000	0.075	0.6926	75.33
1180	32	0.021	-0.003	0.000	0.021	0.2504	65.42
1214	34	0.024	0.002	0.000	0.024	0.3534	130.39
1262	48	0.055	0.004	0.000	0.055	0.0056	36.62
1304	42	0.021	0.000	0.000	0.021	0.9109	97.25
1348	44	0.025	-0.002	0.000	0.026	0.8358	39.03
1396	48	0.023	0.002	0.000	0.023	0.6609	86.48
Представляют интерес итоговые результаты по всем сеансам моделирования.
Суммарное |Av| составило 0.707 м/с с дисперсией 0.004 м2/с2, среднее время А/П1а11,
разделяющее два манёвра, - 26.6 суток с дисперсией 3.63.
В диссертации (Keeter Т.М., 1994) рассмотрен также вариант, когда элементы ве-
совых матриц зависят от времени.
Метод гашения неустойчивой компоненты (FM-метод). FM-метод развивается
в основном так называемой «барселонской группой» по изучению динамических си-
стем и их применению к небесной механике. Сотрудникам этой группы принадлежит
ряд статей о задаче поддержания орбит вокруг точек либрации. Фактически весь пер-
вый том (Gomez G., 2001) их фундаментальной четырёхтомной монографии, посвя-
щённой точкам либрации, представляет собой изложение FM-метода. Сразу отметим,
что метод применяется в рамках CR3BP, когда гало-орбиты вокруг точки либрации
являются периодическими. Уравнения в вариациях для движения в окрестности но-
минальной орбиты являются линейными с периодическими коэффициентами
i(r)=A(0x(/).	(1.3.29)
Для них вводится переходная матрица
Ф(Г,ГО) = А(Г)Ф(Г,ГО).	(1.3.30)
Пусть Т- период гало-орбиты. Введём матрицу монодромии (при /0=0)
М=Ф(Т,0).	(1.3.31)
Таким образом, матрица М равна переходной матрице после одного витка по га-
ло-орбите. Поведение решения линейной системы определяется собственными зна-
чениями матрицы монодромии. Эта матрица имеет размер 6><6. Она имеет шесть соб-
ственных значений (мультипликаторов). Известно, что одно из собственных значений
(Xi) является действительным и превышает 1, другое (X2=l/Xi) также является дей-
ствительным и меньше 1. Четыре остальных (Х3, Х4, Х5, Х6) лежат на единичной окруж-
ности в комплексной плоскости. Два из этих элементов (Х3, Х4) действительны и рав-
ны 1 (Х3=Х4=1). Оставшиеся два элемента (Х5, Х6) - комплексно-сопряжённые (Хб=Х5).
Таким образом, X, является доминирующим собственным значением и отражает
неустойчивость коллинеарных точек либрации. Соответствующий собственный век-
тор ei(7) представляет неустойчивое поведение в окрестности гало-орбиты. Неустой-
чивое подпространство, обозначаемое как Е", определяется следующим образом:
E"=span(e!).	(1.3.32)
104
1.3.
Существует локальное неустойчивое многообразие (также имеющее размер-
ность 1), которое является касательным к Е" в фиксированной точке вдоль гало-орби-
ты. Для удержания КА возле номинальной орбиты нужно минимизировать влияние
неустойчивого многообразия посредством управляющих манёвров. Заметим, что Х2
относится к локальному устойчивому многообразию.
Показатели Пуанкаре связаны с собственными значениями матрицы монодромии
соотношениями со; = + jQi = — lnXz.
Для системы вводится множество собственных векторов, отвечающих теории
Флоке. Оно носит название «базис Флоке» {ё19...,ё6}. Заметим, что этот базис не яв-
ляется ортогональным. Например, для собственного значения Х| соответствующий
базисный вектор имеет вид ёД/) = e,(f)exp^-ylnX1^, где ei(7) - собственный вектор
переходной матрицы Ф(/).
Вектор ошибки имеет вид
6(0 = (5гт(0,8vT(0)T= (8х(0, 8у(Г), 8z(z), 8x(t), 5y(t), 8z(/))T.	(1.3.33)
Этот вектор представляется в базисе Флоке {е,}. Компоненты вектора получают
с помощью матриц проектирования 6,=РД где 	т е,е, Тогда выражение	(1.3.34) (1.3.35)
	(1.3.36)
даёт компоненту в неустойчивом направлении. Введём нормализованную систему векторов и,=6,° Тогда	(1.3.37)
8(/)=C|U|+...+C6u6.	(1.3.38)
Для подавления неустойчивой компоненты реализуется манёвр Av, для которого
5(z)+Av=A(Z),	(1.3.39)
где
А(/)=я2С2и2+.. .+a6C6u6.	(1.3.40)
Заметим, что в правой части (1.3.39) неустойчивая компонента удалена. Выраже-
ние для управления можно привести к более удобной форме посредством вычитания
компонент с u/? /=2,...,6 из обеих частей (1.3.39), так что
61+Д v=a262+.. .+а666,	(1.3.41)
где неизвестные элементы а, в правой части уравнения являются константами и опре-
деляются как
а,=(<7-1)0/.	(1.3.42)
Уравнение (1.3.41) может быть выражено посредством компонент вектора в про-
странстве состояний
105
1.3.
об" об" с<Г ч		+	' 0 > 0 0		Ю CO Ю 4		82j.	V	W a3 a4
5,,-		Avy		8k			
							a5
8„..		Ду,.		8,,			
ы				<8,	82: •	•• 86i,	
(1.3.43)
Три компоненты вектора Av определяются из уравнения (1.3.43). Это уравнение
имеет бесконечно много решений, поэтому возможны разные подходы к его решению.
Для управления по одной оси полагают Av#0, Avr=Avr=0. Более эффективный за-
кон управления получается для управления по всем трём осям (Keeter Т.М., 1994).
Перепишем уравнение (1.3.43)			так:		' a2 4	
	f32.v 83,	86v 0	0	(П	a3	
	82,	0	0	0	a4	
8.=	82- 82,	0 -1	0 0	0 0	a5 a6	(1.3.44)
	32,	0	-1	0	Avv	
		86; 0	0	-J	Av„	
т.е.					4Avy ?	
6,= EV.	(1.3.45)
Это система включает восемь неизвестных и только шесть уравнений. Для поиска
решения ставят задачу минимизации нормы решения с весовой матрицей Q:
min||a*||Q,	(1.3.46)
рассматривая уравнение (1.3.45) как ограничение. Воспользовавшись правилом мно-
жителей Лагранжа, получаем (Keeter Т.М., 1994)
а’= Q 'Ё’т (E’Q"'E’T8,.	(1.3.47)
Отсюда получаем компоненты вектора Av.
Для моделирования выбирались следующие значения параметров (таблица 1.3.3):
Таблица 1.3.3. Номинальные значения параметров для FM-метода
название параметра	номинальное значение
дата перехода на орбиту	01 июля 1995 г.
Аши	30 суток
Vmm	2 см/с
|31 |mm	1.74-10 4
количество контрольных точек	3
продолжительность миссии	4 года
интервал между измерениями	2 суток
ошибки слежения и перехода на орбиту	1.5 км, 2.5 км, 15 км, 1 мм/с, 1 мм/с, 3 мм/с
ошибки исполнения манёвра aAv>, oA).., аДг_	2.5% от планируемого |Av|
Q (безразмерная)	diag(l.81,1.81,1.15,1.81,1.81,0.12,30.1,356)
106
1.3.
Результаты одного сеанса моделирования представлены в таблице 1.3.4. В третьем
и четвёртом столбцах таблицы представлены длины вектора ошибок (относительно
номинальной орбиты) и неустойчивой компоненты вектора ошибок.
Таблица 1.3.4. Результаты моделирования FM-метода
время (сутки)	Д/пап (сутки)	|8|	|8.|	Дух (м/с)	Дуу (м/с)	Ду, (м/с)	|Av| (м/с)
104	104	2.07-10 4	2.01 • 10 4	0.029	0.000	0.000	0.029
164	60	2.27-10 4	1.78-10 4	0.029	0.001	0.000	0.029
230	66	2.07-10 4	1.77-10 4	0.020	0.004	0.000	0.021
260	30	3.87-10 4	3.42-10 4	-0.042	-0.001	0.000	0.042
290	30	2.03-10 4	1.89 10 4	-0.031	0.001	0.000	0.031
328	38	2.61 • 10 4	2.14-10 4	-0.030	-0.008	0.000	0.031
358	30	2.88-10 4	2.67-10 4	-0.038	0.001	0.000	0.038
402	44	2.08-10 4	1.87-10 4	-0.023	-0.001	0.000	0.023
452	50	2.08-10 4	1.89-10 4	0.026	0.000	0.000	0.026
544	92	1.93104	1.88-10 4	-0.027	0.002	0.000	0.027
600	56	2.24-10 4	1.79 -10 4	0.020	0.003	0.000	0.020
630	30	4.86-10 4	4.61 • 10 4	-0.063	-0.001	0.000	0.063
694	64	2.14 10 4	1.92-104	-0.028	-0.005	0.000	0.028
738	44	1.9010 4	1.77 10 4	-0.024	0.001	0.000	0.024
780	42	2.14-10 4	1.88-10 4	0.023	0.000	0.000	0.023
890	ПО	3.13-10 4	2.87-10 4	-0.042	-0.001	0.000	0.042
986	96	2.73-Ю 4	1.81 -10 4	-0.025	0.000	0.000	0.025
1054	68	2.38-10 4	1.78-10 4	-0.020	-0.003	0.000	0.020
1086	32	2.54-10 4	1.81  10 4	-0.025	0.002	0.000	0.025
1118	32	2.64-104	1.78-10 4	-0.021	-0.001	0.000	0.022
1148	30	4.51 • 10 4	3.82-10 4	-0.047	0.000	0.000	0.047
1178	30	4.18 -10 4	1.99 -10 4	-0.031	0.000	0.000	0.031
1208	30	5.58-10 4	4.04-10 4	-0.049	-0.007	0.000	0.049
1238	30	7.27-10 4	6.43-10 4	-0.027	-0.001	0.000	0.027
1268	30	1.83 10 4	1.80-10 4	-0.261	0.061	-0.002	0.268
1298	30	1.38-10 4	1.32-10 4	0.141	0.052	0.000	0.150
1328	30	2.37-10 4	2.04-10 4	-0.249	-0.009	0.001	0.250
1358	30	1.51 -10 4	1.24-10 4	-0.213	0.023	0.001	0.214
1410	52	1.02 10 4	2.28-10 4	-0.020	-0.003	0.000	0.020
1440	30	1.52-104	1.22-104	-0.168	0.009	0.000	0.169
Итоговые результаты: количество манёвров 35, суммарная характеристическая
скорость 1.209 м/с, среднее Azinan= 41.1 суток.
Итоговые результаты по всем сеансам моделирования: суммарное |Av| - 2.217 м/с
с дисперсией 2.393 м2/с2, среднее время А/та11, разделяющее два манёвра, - 35.6 суток
с дисперсией 15.1.
Сравнение ТР- и FM-методов проведено также в статье (Gomez G., Howell К.,
MasdemontJ., Simo, 1998), но применительно к точке либрации системы Земля - Луна.
107
1.3.
Учёт технических ограничений при проектировании миссии и работе с КА
в полёте. В штатных условиях при построении и поддержании траектории полёта
КА (например, в отечественном проекте «Спектр-РГ») на ориентацию аппарата в ходе
полёта по квазипериодической орбите в окрестности точки либрации накладываются
ограничения, связанные с необходимостью обеспечения теплового режима на борту
КА, ограничения системы энергоснабжения, ограничения на ориентацию звёздных
приборов относительно направления с КА на Солнце, а также ограничения ориен-
тации оптической оси бортовых телескопов «Е-Rosita» и «ART-ХС» относительно
направления на Солнце. Необходимо обеспечить поддержание квазипериодической
орбиты с учётом вышеописанных ограничений в условиях наличия жёсткой связи
между ориентацией КА и направлением вектора тяги корректирующих двигателей.
Ограничения на ориентацию КА, накладываемые бортовым радиокомплексом КА,
не учитывались, так как проведение сеансов связи НСУ с КА в момент проведения
коррекций не требуется.
Ориентация связанных осей КА и основных элементов конструкции показана на
рисунке 1.3.6. Базовая строительная ось X направлена перпендикулярно плоскости
стыка КА с переходной фермой. Оптическая ось космического рентгеновского те-
лескопа E-Rosita и телескопа ART-ХС принимается совпадающей с геометрической
осью +Х, которая при проведении сеанса научных наблюдений должна быть ориенти-
рована на исследуемый источник. Двигательная установка КА «Спектр-РГ» располо-
жена таким образом, что формируемый ею вектор тяги направлен вдоль оси -Xборто-
вой связанной системы координат. Таким образом, направление выдачи импульса для
поддержания квазипериодической орбиты КА однозначно определяет ориентацию
КА в пространстве, и, в частности, ориентацию оптической оси телескопов (направ-
ления +Л) относительно направления с КА на Солнце. На значения угла между осью
+Хи направлением с КА на Солнце накладываются следующие ограничения:
1.	Угол между осью +Х и направлением на центр диска Солнца должен быть в
диапазоне 40°... 165° в плоскости XOZ БССК.
2.	Выход вектора центра диска Солнца из плоскости XOZ БССК не должен пре-
вышать ±10°.
3.	Угол между направлением с КА на центр диска Солнца и нормалью к плоско-
сти панелей солнечной батареи не должен превышать 10°. Угол между направлением
на центр Солнца и осью +Х телескопов «Е-Rosita» и «ART-ХС» должен превышать
60° (в любом режиме работы КА).
Также ограничения накладываются на углы между оптической осью звёздных
приборов, используемых для определения ориентации КА в пространстве, и направ-
лением с КА на края Солнца, освещённые края Луны и Земли. Оптическая ось звёзд-
ных приборов сонаправлена оси +ХБССК, значения указанных углов должны состав-
лять не менее 36°, 25° и 25° (для звёздного датчика БОКЗ).
Анализ приведённых ограничений позволяет их обобщить и заключить следую-
щее: значение угла между направлением с КА на центр Солнца и осью +АБССК долж-
но лежать в диапазоне 60°...165° в плоскости XOZ БССК. Ограничения, указанные
в пунктах 2 и 3, соблюдаются при амплитудах колебаний КА в окрестности точки L2
системы Солнце - Земля, характерных для квази-гало-орбит, рассматриваемых в каче-
стве рабочих орбит КА «Спектр-РГ». Ограничения по ориентации звёздных приборов
относительно направления с КА на Солнце, Землю и Луну соблюдаются при выполне-
нии сформулированных выше обобщённых ограничений на ориентацию КА.
108
1.3.
Рисунок 1.3.6. Космический аппарат «Спектр-РГ», плоскость XZ БССК
Метод расчёта корректирующих импульсов, обеспечивающих поддержание
заданной квазипериодической орбиты с учётом ограничений, наложенных на
ориентацию КА. Конструкция КА «Спектр-РГ» предполагает жёсткую связь между
ориентацией КА и направлением вектора тяги двигательной установки и, как след-
ствие, вектора корректирующего импульса поддержания квазипериодической орби-
ты КА. Корректирующие импульсы, рассчитанные для поддержания номинальной
квазипериодической орбиты, не всегда удовлетворяют ограничениям, наложенным
на ориентацию КА. Для формирования стратегии маневрирования, позволяющей
109
1.3.
поддерживать квазипериодическую орбиту с учётом ограничений на ориентацию КА,
был предложен метод, предполагающий разложение векторов корректирующих им-
пульсов, не удовлетворяющих ограничениям на ориентацию КА, по базису из двух
импульсов, векторы которых удовлетворяют наложенным ограничениям. Данный
метод универсален для любой выбранной стратегии поддержания квазипериодиче-
ской орбиты - исходные корректирующие импульсы могут быть рассчитаны согласно
методам, описанным выше. Проведение двух удовлетворяющих ограничениям кор-
рекций предполагается последовательным, временной интервал между включениями
корректирующих двигателей определяется продолжительностью исполнения первой
коррекции и временем, затрачиваемым на переориентацию КА перед выполнением
второй коррекции. В рамках рассматриваемой небесно-механической задачи поддер-
жания квазипериодической орбиты в окрестности точки £2 системы Солнце - Земля
данный временной интервал полагается стремящимся к нулю, поэтому правомерно
рассмотрение задачи перерасчёта коррекции в импульсной постановке.
Рассмотрим предложенный метод разложения корректирующего импульса по ба-
зису из двух векторов, удовлетворяющих ограничениям, наложенным на ориентацию
КА. Идея предложенного метода отражена на рисунке 1.3.7. Красным цветом изобра-
жён вектор +Х БССК, задающий ориентацию КА в момент выполнения коррекции;
зелёным - исходный вектор корректирующего импульса AV0, направленный вдоль
оси -ХБССК; синим - векторы ориентации КА, удовлетворяющие наложенным огра-
ничениям и задающие базис еье2 для разложения исходного импульса; коричневым-
векторы импульсов AVh AV2, дающие в сумме исходный импульс AV0; фиолетовым -
направления, задающие диапазон разрешённых углов ориентации КА относительно
направления с КА на Солнце (60°... 165°).
Рисунок 1.3.7. Схематичное изображение конфигурации Солнце - Земля, КА, проекция
на плоскость AZ СК RFF.
110
1.3.
Векторы еье2 определяются как векторы, лежащие в плоскости, заданной единич-
ным вектором направления оси +Х БССК в СК RFF и вектором направления с КА на
Солнце Xscjo sun в момент проведения коррекции в СК RFF, и составляющие угол 2°
с векторами, задающими диапазон ограничений (-165°,-60°) или (60°, 165°) на ориен-
тацию вектора +ХБССК КА в указанной плоскости. Угол в 2° гарантирует соблюдение
ограничений по ориентации с учётом ошибок приведения КА к заданной ориентации.
Базисные векторы для разложения импульса AVo - векторы —в|,—е2, противоположные
векторам еье2, описанным выше.
Алгоритм перерасчёта вектора коррекции, имеющего запрещённое направление,
имеет следующую структуру.
1. Выполняется расчёт угла между вектором направления с КА на Солнце х5С_,о_Л„,
и направлением оси +Х БССК КА в СК RFF х5С_о/., заданным как вектор, противопо-
ложный вектору исходного импульса AV0:
9 = arccos(x°5C_,„_s„„,x°c
2. Если (р<60° или ф>165°, выполняется процедура разложения вектора AV0 по
базису AV], AV2. Направления базисных векторов задаются векторами -еь-е2. Данная
процедура реализуется следующим алгоритмом:
2.1.	Рассчитывается угол поворота вектора с КА на Солнце х5(-Jo0=62° при
(р<60° или же 0=163° при ф>165°. Поворот вектора х5С-J() Sun на указанные углы даёт
граничные разрешённые направления ориентации оси +ХКА - векторы еье2. Проти-
воположные им векторы -еь-е2 задают направление оси -ХБССК в граничных раз-
решённых направлениях и, таким образом, определяют направления векторов AVb
ДУ2, представляющих собой разложение исходного импульса AV0 по базису из двух
импульсов, не нарушающих ограничений на ориентацию КА.
2.2.	Поворот вектора xsc_/o_5„„ на угол ±0 выполняется в плоскости, заданной
векторами х5С_l()_Sll„ и xScЗдесь необходимо отметить, что поворот вектора х5С _Sll„
на угол ±0 эквивалентен повороту вектора х5С_ог в этой же плоскости на углы ф+2°
и 0-(р+2°. Для выполнения поворота вектора в плоскости на заданный угол задаётся
ось вращения
r(rb r2, r^=xSC to Slll
2.3.	Задаётся матрица поворота R вокруг оси г на углы ±0 для формирования век-
торов еье2
( cos 0 + (1 — cos 0)Г[2
R(r, 0) = (1 - cos 0)/2r\ + sin 0 • r3
(1 - cos 0)r3?j - sin 0 • r2
(1 - cos 0)г/2 - sin 0 • r3
cos 0 + (1 - cos 0)/22
(l-cos0)r2r3 +sin0-r;
(1 - cos 0)r/3 + sin 0 • r2 '
(l-cos0)r2r3 - sin 0 • r;
COS0 + (l-COS0)r32
2.4.	Формируются векторы ebe2, задающие граничные разрешённые направления
ориентации оси +ХБССК КА:
е,= R(r,0)-x5C_l() sun
е2= R(r,-0)-Xsc_/o _sun
2.5.	Находится разложение ненормированного вектора Xsc_<»(xSc <»-, ysc_<>r, zsc_<>>\
заданного как х5С_ог—AV0, по базису векторов е1(вц,в|2,в|з), е2(е2Ье22,е23) в форме
x.sc>r=tfei+/>e2. Тогда
а_ XSC or	Ь ’ е21	_ У5С ог'е\\	XSC or’e\2
е\\	в22 ' е\ \ ~ е21 ' е12
111
1.3.
2.6.	Находят разложение исходного вектора импульса AV0 по базису векторов, на-
правление которых задано векторами -ei,-е2, а длина - вектором AV0: (|х5С o,.|=|AV0|,
как указано выше) и получают векторы AVi=<7-(-ei), AV2=Zr(-e2).
Таким образом, найдены импульсы AVb AV2, удовлетворяющие ограничениям,
наложенным на ориентацию КА, и в сумме дающие исходный импульс AVo.
Предложенный метод разделения импульсов, не удовлетворяющих ограничени-
ям на ориентацию КА, применим вне зависимости от выбранной стратегии поддер-
жания квазипериодических орбит. В данном разделе приводятся результаты работы
предложенного метода перерасчёта импульсов в рамках стратегии поддержания ква-
зипериодических орбит. Красным цветом изображены точки проведения коррекций;
зелёным - векторы импульсов, удовлетворяющие ограничениям, наложенным на
ориентацию КА, и не подвергавшиеся процедуре разложения; красным - векторы,
не удовлетворяющие ограничениям на ориентацию КА; синим - пары векторов им-
пульсов, представляющие разложение каждого запрещённого импульса по базису
из двух векторов, удовлетворяющих ограничениям на ориентацию КА.
Графики, представленные на рисунках 1.3.8-1.3.19, построены для выборки из
14 решений с суммарными затратами характеристической скорости на поддержание
квазипериодической орбиты, не превышающими 15 м/с за период 7.5 лет. Графики,
представленные на рисунках 1.3.20-1.3.31, построены для множества из 14 решений
с суммарными затратами на поддержание орбиты, превышающими 15 м/с за период
7.5 лет.
Множество решений с низким значением суммарных затрат
характеристической скорости на поддержание квазипериодической орбиты
(14 решений)
Рисунок 1.3.8. Трёхмерная визуализация импульсов коррекций для 14 квазипериодических
орбит КА «Спектр-РГ» с учётом ограничений на ориентацию КА, СК RFF
112
1.3.
Рисунок 1.3.9. Проекция импульсов коррекций на плоскость XY СК RFF
для 14 квазипериодических орбит КА «Спектр-РГ» с учётом ограничений на ориентацию КА
Рисунок 1.3.10. Проекция импульсов коррекций на плоскость XZ СК RFF
для 14 квазипериодических орбит КА «Спектр-РГ» с учётом ограничений на ориентацию КА
113
1.3.
Рисунок 1.3.11. Проекция импульсов коррекций на плоскость FZ СК RFF
для 14 квазипериодических орбит КА «Спектр-РГ» с учётом ограничений на ориентацию КА
Рисунок 1.3.12. Трёхмерная визуализация импульсов коррекций для квазипериодической
орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160401-10) с учётом ограничений на ориентацию КА,
СК RFF
114
1.3.
Рисунок 1.3.13. Проекция импульсов коррекций на плоскость АУ СК RFF
для квазипериодической орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160401-10)
с учётом ограничений на ориентацию КА
Рисунок 1.3.14. Проекция импульсов коррекций на плоскость XZ СК RFF
для квазипериодической орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160401-10)
с учётом ограничений на ориентацию КА
115
1.3.
Рисунок 1.3.15. Проекция импульсов коррекций на плоскость YZ СК RFF
для квазипериодической орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160401-10) с учётом
ограничений на ориентацию КА
Рисунок 1.3.16. Трёхмерная визуализация импульсов коррекций для квазипериодической
орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160710-01) с учётом ограничений на ориентацию КА
116
1.3.
Рисунок 1.3.17. Проекция импульсов коррекций на плоскость АТ СК RFF
для квазипериодической орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160710-01) с учётом
ограничений на ориентацию КА
-1000
-500
-500
-0 Z
—500
500
X
1000
Рисунок 1.3.18. Проекция импульсов коррекций на плоскость XZ СК RFF
для квазипериодической орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160710-01) с учётом
ограничений на ориентацию КА
117
1.3.
Рисунок 1.3.19. Проекция импульсов коррекций на плоскость FZ СК RFF
для квазипериодической орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160710-01)
с учётом ограничений на ориентацию КА
Случайная выборка квазипериодических орбит (14 решений)
Рисунок 1.3.20. Трёхмерная визуализация импульсов коррекций для 14 квазипериодических
орбит КА «Спектр-РГ» с учётом ограничений на ориентацию КА, СК RFF
118
1.3.
Рисунок 1.3.21. Проекция импульсов коррекций на плоскость АТ СК RFF
для 14 квазипериодических орбит КА «Спектр-РГ» с учётом ограничений на ориентацию КА
Рисунок 1.3.22. Проекция импульсов коррекций на плоскость XZ СК RFF
для 14 квазипериодических орбит КА «Спектр-РГ» с учётом ограничений на ориентацию КА
119
1.3.
Рисунок 1.3.23. Проекция импульсов коррекций на плоскость FZ СК RFF
для I4 квазипериодических орбит КА «Спектр-РГ» с учётом ограничений на ориентацию КА
Рисунок 1.3.24. Трёхмерная визуализация импульсов коррекций для квазипериодической
орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160325-005) с учётом ограничений на ориентацию КА,
СК RFF
120
1.3.
Рисунок 1.3.25. Проекция импульсов коррекций на плоскость ХУ СК RFF
для квазипериодической орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160325-005) с учётом
ограничений на ориентацию КА
Рисунок 1.3.26. Проекция импульсов коррекций на плоскость XZ СК RFF
для квазипериодической орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160325-005) с учётом
ограничений на ориентацию КА
121
1.3.
Рисунок 1.3.27. Проекция импульсов коррекций на плоскость FZ СК RFF
для квазипериодической орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160325-005)
с учётом ограничений на ориентацию КА
1000
Рисунок 1.3.28. Трёхмерная визуализация импульсов коррекций для квазипериодической
орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160425-020) с учётом ограничений на ориентацию КА,
СК RFF
122
1.3.
Рисунок 1.3.29. Проекция импульсов коррекций на плоскость ХУ СК RFF
для квазипериодической орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160425-020)
с учётом ограничений на ориентацию КА
Рисунок 1.3.30. Проекция импульсов коррекций на плоскость XZ СК RFF
для квазипериодической орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160425-020)
с учётом ограничений на ориентацию КА
123
1.3.
1000
500
Z 0
-500
-1000
Рисунок 1.3.31. Проекция импульсов коррекций на плоскость KZ СК RFF
для квазипериодической орбиты КА «Спектр-РГ» (решение 20160425-020)
с учётом ограничений на ориентацию КА
Анализ представленных выше графиков позволяет сделать выводы об успешной
работе предложенного алгоритма. Наиболее информативны трёхмерные изображения
корректирующих векторов, а также их проекции на плоскости XY и XZ СК RFF. Вид-
но, что корректирующие векторы, имеющие угол менее 60° отклонения от оси -X,
не удовлетворяют наложенным ограничениям и подлежат разложению на последова-
тельность из двух импульсов, удовлетворяющих заданным ограничениям.
Сделаем несколько замечаний относительно применимости и оптимальности
предложенного метода перерасчёта корректирующих квазипериодическую орбиту
импульсов для удовлетворения ограничений, наложенных на ориентацию КА, при
применении аппарата в рамках стратегии поддержания квазипериодической орбиты
методом его удержания в заданной окрестности точки либрации.
Анализ векторов корректирующих импульсов, рассчитанных с помощью метода
поддержания квазипериодической орбиты в заданной окрестности точки L2, позво-
ляет сделать вывод о наличии некоторого превалирующего направления векторов
рассчитанных корректирующих импульсов, обусловленного динамическими особен-
ностями системы, составляющего угол 30°...40° с осью -X в плоскости XY СК RFF
и попадающего в диапазон запрещённых направлений для векторов коррекций вслед-
ствие ограничений, наложенных на ориентацию научной аппаратуры КА относи-
тельно направления КА - Солнце. Как видно из анализа корректирующих векторов,
возрастание суммарных затрат на поддержание квазипериодических орбит без учё-
та ограничений на ориентацию КА обусловлено ростом числа импульсов, призван-
ных парировать экспоненциальный уход от периодического решения в направлении,
противоположном направлению собственного вектора системы уравнений (1.3.16).
124
1.3.
Таким образом, возрастание суммарных затрат на поддержание квазипериодической
орбиты ведёт к росту числа импульсов, имеющих запрещённое направление. Одна-
ко угол между направлением парирования неустойчивой компоненты и граничным
разрешённым вектором импульса, удовлетворяющего ограничениям на ориентацию
КА, составляет от 20° до 30°, то есть косинус данного угла составляет не менее 0.85.
В этом случае рост затрат характеристической скорости при разложении запрещён-
ного вектора, имеющего данное направление, по базису из двух разрешённых коррек-
тирующих импульсов составит не более чем 15% в среднем относительно исходных
затрат. Если же число импульсов, имеющих большое значение модуля, призванных
парировать неустойчивую компоненту квазипериодического решения, невелико (речь
идёт о решениях, имеющих суммарные значения импульсов поддержания квазипе-
риодической орбиты не более 16 м/с), то число импульсов, имеющих запрещённое
направление, также снижается и составляет в среднем 4...8 из 60 импульсов. Рост
затрат, при наличии ограничений, в данном случае ограничивается 10% от их исход-
ного значения.
Альтернативным вариантом ликвидации импульсов поддержания квазипериоди-
ческих орбит, имеющих запрещённое направление, могло бы быть изменение точек
проведения коррекций. Однако анализ рассчитанных импульсов говорит об отсут-
ствии прямой зависимости между точкой проведения коррекции поддержания квази-
периодической орбиты и направлением вектора корректирующего импульса. Таким
образом, изменение точек проведения коррекций орбиты не приводит к существенно-
му изменению направления корректирующего импульса.
Рисунок 1.3.32. Гистограмма распределения отношения суммы импульсов поддержания
квазипериодической орбиты, рассчитанных без учёта ограничений на ориентацию КА,
к сумме импульсов поддержания квазипериодической орбиты, рассчитанных с учётом
ограничений на ориентацию КА. По оси абсцисс приведено отношение суммарных затрат
в двух случаях, по оси ординат - отношение числа реализаций в коридоре к общему числу
реализаций
125
1.3.
Рисунок 1.3.33. Гистограмма распределения значений угла между вектором -%БССК КА
в момент проведения коррекций, рассчитанных без учёта ограничений на ориентацию КА,
и направлением с КА на Солнце
Множественный расчёт, выполненный с использованием предложенного алго-
ритма разложения импульсов, имеющих запрещённое направление, для диапазона
дат старта с 15 марта по 31 июля 2016 года (рассчитано 1646 траекторий) позволил
получить интегральные характеристики реализованного метода поддержания ква-
зипериодических орбит заданной геометрии с учётом ограничений на направление
корректирующих импульсов. Средний процент импульсов, имеющих запрещённое
направление, составил 12% от общего числа импульсов коррекций поддержания ква-
зипериодической орбиты - в среднем 7 импульсов из 60 за период 7.5 лет, при выбран-
ной периодичности проведения коррекций 1 раз в 45 суток. В результате наложения
ограничений на направление корректирующих импульсов рост затрат характеристи-
ческой скорости составляет в среднем 14% относительно исходной суммы импульсов
коррекций поддержания орбиты. Более детальный анализ распределения значений
прироста затрат характеристической скорости, при учёте ограничений относительно
исходных затрат, представлен гистограммой, изображённой на рисунке 1.3.32.
Из представленного распределения следует, что в более чем 60% случаев рост
суммарного значения импульсов поддержания квазипериодической орбиты не пре-
вышает 15%.
Анализ распределения значения угла отклонения направления векторов им-
пульсов коррекций поддержания квазипериодической орбиты от направления с КА
на Солнце (рисунки 1.3.33, 1.3.34) позволяет сделать вывод о корректности работы
предложенного алгоритма разложения корректирующих импульсов, имеющих запре-
щённое направление, по базису из двух импульсов, имеющих направления, удовлет-
воряющие ограничениям на ориентацию КА. Исходные корректирующие импульсы,
126
1.3.
Рисунок 1.3.34. Гистограмма распределения значений угла между вектором -% БССК КА
в момент проведения коррекций, рассчитанных с учётом ограничений на ориентацию КА,
и направлением с КА на Солнце
рассчитанные без учёта ограничений на ориентацию КА, направлены практически
хаотично, что подтверждается распределением значения угла между вектором им-
пульса и направлением с КА на Солнце, близким к нормальному. После примене-
ния изложенного в данной главе алгоритма распределение значений указанного угла,
определяющего ориентацию вектора корректирующего импульса в пространстве, су-
щественно изменяется - отсутствуют импульсы, составляющие угол от 120° до 180°
с направлением с КА на Солнце, то есть предполагающие угол ±60° между осью +Х
БССК и направлением с КА на Солнце, а также импульсы, составляющие угол от 0°
до 15° с направлением с КА на Солнце, то есть предполагающие угол ±165° между
осью +Х БССК и направлением с КА на Солнце. В то же время формируется пик
плотности вероятности в диапазоне значений угла 117°... 118° между вектором им-
пульса и направлением с КА на Солнце, задающим граничное разрешённое направ-
ление выдачи корректирующего импульса, соответствующее ±62° между осью +Х
БССК и направлением с КА на Солнце.
Следует отметить, что предложенный алгоритм расчёта импульсов поддержания
квазипериодических орбит, с учётом наложенных на ориентацию КА ограничений, об-
ладает той же устойчивостью к ошибкам исполнения манёвров по модулю и по направ-
лению, что и алгоритм расчёта импульсов поддержания квазипериодических орбит без
учёта наложенных на ориентацию КА ограничений. С помощью результатов моделиро-
вания ошибок исполнения манёвров коррекций поддержания квазипериодической ор-
биты без учёта ограничений на направление корректирующих импульсов можно полу-
чить оценку затрат характеристической скорости на поддержание квазипериодической
орбиты КА с учётом ограничений на направление корректирующих импульсов.
127
1.3.
Допустимые манёвры КА при построении и поддержании траектории его по-
лёта. Описанные выше методы расчёта коррекций должны быть дополнены метода-
ми, позволяющими рассчитывать коррекции, обеспечивающие:
-	условия радиовидимости с наземных станций;
-	возврат на квазипериодическую орбиту в случае нештатного отклонения от неё;
-	увеличение интервала времени между коррекциями.
Опишем метод, позволяющий выполнять расчёт таких коррекций. Метод основан
на формировании геометрического образа номинальной квазипериодической орбиты
и расчёте коррекций, обеспечивающих максимальное сближение фактической ква-
зипериодической орбиты с геометрическим образом. Для формирования геометри-
ческого образа использовано понятие томографического решения в ограниченной
эллиптической задаче. При этом используются инерциальная и вращающаяся СК,
а также переменные Нехвила (Дубошин ГН., 1968). Геометрический образ форми-
руется в пространстве безразмерных переменных Нехвила. Трёхмерный вектор ге-
ометрического образа формируется в виде функции угла прямого восхождения. Для
сравнения вектора положения на фактической орбите с геометрическим образом вы-
полняются следующие действия. Вектор состояния пересчитывается в безразмерные
переменные Нехвила, и вычисляется угол прямого восхождения. По углу прямого
восхождения вычисляется вектор геометрического образа. Далее вычисляется мо-
дуль разности векторов положения на фактической орбите и геометрического образа.
Метод расчёта коррекций аналогичен методу контрольных точек, описанному выше.
Вводится понятие среднего расстояния между фактической орбитой и геометриче-
ским образом - среднее расстояний, вычисленных в точках на заданном интервале
с заданным шагом. Расчёт коррекции выполняется из условия минимизации среднего
расстояния.
Одним из способов построения геометрического образа номинальной квазипери-
одической орбиты является интегрирование уравнений движения в эллиптической
ограниченной задаче трёх тел. Уравнения движения этой задачи в размерных пере-
менных Нехвила имеют следующий вид:
^-2n'-p^ = v2p^L,
n" + 2^-pn = v2p^L,	(1.3.48)
дг|
lx Ц IX	2	6.R.1
Q +ep^cosu = v
где
v2=4=^,
С“ цо + Ц]
я,=—+—, ро=(^0)2 +п2 + С, р; =(^-^)2+п2 + С2,
Ро Р1
.	№1 г. m
4о	j 41	•
Ро+Р1 Po+Pi
Уравнения движения удобнее рассматривать в безразмерных переменных Нехви-
ла (^,Г|/„^,^;,Г|;„СДТ, которые связаны с размерными переменными Нехвила следую-
щими соотношениями:
128
1.3.
£ = Л,> П = РП„> ^ = Р^,„ К = рК„, п' = рп:„ С = /С	(1.3.49)
Уравнения движения в безразмерных переменных Нехвила имеют вид
^-2Л;,-р^=р^,
д^п
Л: + 21;:,-рП,,=ЛУ	(1.3.50)
^+ep^„cosu = p—
где
+ Ц. = -^.
Ро„ Р1„ Ро + Р|
Ро„ = (^, + р)2 + П* + <?„, Pb, = (£,. -1 + ц)2 +
Запишем в явном виде частные производные функции R[n(^n,v\n^\
Рои	Pbz
dRu, _ 1-Р„п _Ь_п
дп„ Ро„ Р1„
(1.3.51)
^|„ т 1-р„г _А.
or	з	3
д^>>1 Рол Рь,
Вычисление параметров геометрической модели. Для вычисления параметров ге-
ометрической модели требуется значение параметра ^L2n, который определяет положение
томографической точки L2 в безразмерных переменных Нехвила. Значение ^L2n вычисля-
ется по формуле ^Ul=l+xB-p.L, где хв - корень уравнения хв= Я----------г----7,
.. ...	p-2gL + (3-nL)xB + xB
_ Ре Рм
K"Ps + Pe+Pm*
Значения констант равны: pL=3.04042341 • 10 2, хв=1.007824-10 2, ^L2n=l .0100752.
Исходной информацией для вычисления параметров геометрической модели явля-
ется вектор положения КА в безразмерных переменных Нехвила rsc Nech nd=(4sc Neeh nd,
4sc Nech_nd, £sc_Ncch_nd)T- Сначала вычисляется положение КА относительно томографи-
ческой точки Л2:
rSC_Nech_nd_L2 (^SC_Ncchjul_L2,r|sC_Nccli_nd_L2,^SC_Ncch_nd_L2) (^SC Ncch nd ^L2n,r|sC_Necli_nd,^SC_Ncch_nd) •
Параметры геометрической модели: прямое восхождение agm, склонение 8gm и рас-
стояние rgm вычисляются по формулам
(Xgm=atan2(^sC_Nccli_nd L2, r|SC_Ncch_nd_L2)’
^SC Ncch nd L2
rSC_Ncch_nd_L2
Гgm=|rsc Ncch_nd_L2|-
8gm= arcsin
129
1.3.
Геометрический образ квазипериодической орбиты. Геометрический образ
квазипериодической орбиты - это последовательность троек {(aTGR./,8TGR,/ZTGR./)},
.Л таких, ЧТО |aTGR,l-aTGR,N|<8a С учётом 2л, |5TGR.1-8tGR,v|<£6, |rTGR,i- rTGR,/v|<£/-, где
8a, еб, 8r - заданные константы.
Геометрический образ квазипериодической орбиты строится на основе последо-
вательности векторов состояния в безразмерных переменных Нехвила. Эта после-
довательность может быть получена интегрированием уравнений движения полной
модели и последующим преобразованием векторов состояния в безразмерные пере-
менные Нехвила либо преобразованием исходного вектора состояния в безразмерные
переменные Нехвила и интегрированием системы уравнений эллиптической ограни-
ченной задачи трёх тел. Пример формирования геометрического образа показан на
рисунке 1.3.35.
Расчёт коррекции поддержания с использованием геометрического образа.
Образец траектории в форме зависимостей r(a) и 6(a), где a - прямое восхож-
дение. Положение точки образца в переменных Нехвила вычисляется по формулам
% = r(a) cos a cos 8(a),
г| = r(a)sinacos5(a),	(1.3.52)
Q = r(a)sin5(a).
Вычисление невязки между образцом и точкой на орбите {^scJ|sc,Csc} в перемен-
ных Нехвила:
-	вычисляется прямое восхождение aSc;
-	вычисляется точка образца {^trgJ|trg,Ctrg}, соответствующая asc;
-	вычисляется невязка по формуле
AR = "\/(^SC — ^TRG ) + (^Isc — ^ItRG ) + (^SC — ^TRG ) •
Для сравнения участка траектории и образца вычисляется средняя невязка на за-
данном множестве точек:
Задача расчёта коррекции
Исходные данные:
-	начальные условия: о, {^,г|,^',г|',£/},
-	образец (a,5(a),r(a)),
-	длительность интервала по истинной аномалии До,
-	число точек для вычисления средней невязки N,
-	предельное значение средней невязки Д7?тах.
Требуется найти такие значения Д£',Дт|',Д£', чтобы при начальных условиях
щ{^,р,^ЭД^\г|'+Дг|',^'+Д^'} среднее значение невязки Д7?тсап не превосходило Д7?тах.
Алгоритм:
1.	Значения Д^',Дт]',Д^' ищутся из условия минимизации средней невязки Д7?П1еап.
2.	Применяется градиентный метод минимизации функции с регулируемым ша-
гом. Допускаются только такие шаги, при которых уменьшается значение средней
невязки.
3.	Если Д7?1Псап> Д7?тах, применяется метод Соболя, а затем градиентный метод.
130
1.3.
проекция на плоскость т|Х
Рисунок 1.3.35. Пример формирования геометрического образа
131
1.3.
Примеры расчёта коррекции. Представим результаты расчёта коррекций. Для
сравнения приведены результаты расчёта коррекций с шагом 45 суток методом под-
держания квазипериодической орбиты с заданными геометрическими характеристи-
ками в заданном объёме. Далее представлены результаты расчёта коррекций методом
поддержания номинальной квазипериодической орбиты с различными шагами расчё-
та коррекций: 45, 90 и 30 суток.
Результаты представленных расчётов показывают, что оба метода поддержания
квазипериодической орбиты дают похожие результаты, за исключением затрат харак-
теристической скорости.
Дополнительно приведены результаты расчётов, которые демонстрируют расчёт
коррекции, обеспечивающей возврат на квазипериодическую орбиту в случае неш-
татного отклонения от неё. Интервал времени между коррекциями может быть уве-
личен до 90 суток.
Возможность приближения к геометрическому образу номинальной квазипериоди-
ческой орбиты за счёт сокращения интервалов времени между коррекциями показы-
вают результаты расчётов. Такие коррекции необходимо проводить для обеспечения
условий радиовидимости с наземных станций. Например, коррекции, расчёт которых
выполнен методом поддержания квазипериодической орбиты с заданными геометриче-
скими характеристиками в заданном объёме, не позволяют избежать отсутствия радио-
видимости в интервале с 26.05.2021 по 05.06.2021, а метод поддержания номинальной
квазипериодической орбиты позволяет обеспечить радиовидимость в этом интервале.
Результаты расчёта коррекций методом поддержания
квазипериодической орбиты с заданными геометрическими характеристиками
в заданном объёме с шагом 45 суток
Таблица 1.3.5. Параметры орбиты выведения
дата и время конца активного участка, ДМВ	01.03.2017 16:07:51.459
полуось, тыс. км	6.594055
эксцентриситет	0.002949
наклонение, град	51.673
период, мин	88.815454
высота перицентра, тыс. км	0.196475
высота апоцентра, тыс. км	0.235362
долгота восходящего узла, град	3.747
аргумент перицентра, град	65.299
Таблица 1.3.6. Параметры орбиты перелёта
дата и время перехода на траекторию перелета, ДМВ	2017/03/01 17:12:30.000
импульс перехода на траекторию перелета, км/с	3.193
полуось, тыс. км	662.002947
эксцентриситет	0.990044
наклонение, град	51.353
период, сут.	62.042191
высота перицентра, тыс. км	0.212837
высота апоцентра, тыс. км	1311.036785
долгота восходящего узла, град	3.863
аргумент перицентра, град	344.140
132
1.3.
Начальные условия орбиты перелёта содержат:
-	время привязки ДМВ;
-	кинематический вектор состояния в инерциальной СК J2000 с началом в центре
масс Земли, компоненты вектора положения в тыс. км, компоненты вектора ско-
рости в км/с;	м3
-	баллистический коэффициент в c2Rr;
-	коэффициент давления солнечной радиации, безразмерный.
Таблица 1.3.7. Начальные условия траектории перелёта
дата и время	01.03.2017 17:12:30.000
X	6.402418015
Y	-0.692642252
Z	-1.403648017
VX	2.543894
VY	6.777811
VZ	8.242645
баллистический коэффициент	3.000е-02
коэффициент давления солнечной радиации	5.000е-06
Результаты моделирования представлены на рисунках 1.3.36-1.3.50.
Рисунок 1.3.36. Проекция траектории перелёта и полёта по гало-орбите
на плоскость XY вращающейся СК. Начало координат в точке Л2. Размерность - тыс. км.
Расчёт коррекций с шагом 45 суток методом поддержания квазипериодической орбиты
сзаданными геометрическими характеристиками в заданном объёме
133
500
400-
зоо-
200-
100-
0-
-100-
-200-
-300-
-400--
-300	200	700	1200
Рисунок 1.3.37. Проекция траектории перелёта и полёта по гало-орбите
на плоскость XZ вращающейся СК. Начало координат в точке Л2. Размерность - тыс. км.
Расчёт коррекций с шагом 45 суток методом поддержания квазипериодической орбиты
с заданными геометрическими характеристиками в заданном объёме
Рисунок 1.3.38. Проекция траектории перелёта и полёта по гало-орбите
на плоскость KZ вращающейся СК. Начало координат в точке А2. Размерность - тыс. км.
Расчёт коррекций с шагом 45 суток методом поддержания квазипериодической орбиты
с заданными геометрическими характеристиками в заданном объёме
134
1.3.
Рисунок 1.3.39. Зависимость от времени параметров 0,( (красный цвет), 0Д (зелёный цвет)
и 0( (синий цвет). Расчёт коррекций с шагом 45 суток методом поддержания квази-
периодической орбиты с заданными геометрическими характеристиками в заданном объёме
Результаты расчёта коррекций методом поддержания номинальной
квазипериодической орбиты с шагом 45 суток
Рисунок 1.3.40. Проекция траектории перелёта и полёта по гало-орбите на плоскость ХУ
вращающейся СК. Начало координат в точке С2. Размерность - тыс. км. Расчёт коррекций
с шагом 45 суток методом поддержания номинальной квазипериодической орбиты
135
500-
Рисунок 1.3.41. Проекция траектории перелёта и полёта по гало-орбите на плоскость AZ
вращающейся СК. Начало координат в точке А2. Размерность - тыс. км. Расчёт коррекций
с шагом 45 суток методом поддержания номинальной квазипериодической орбиты
Рисунок 1.3.42. Проекция траектории перелёта и полёта по гало-орбите на плоскость XZ
вращающейся СК. Начало координат в точке А2. Размерность - тыс. км. Расчёт коррекций
с шагом 45 суток методом поддержания номинальной квазипериодической орбиты
136
1.3.
Рисунок 1.3.43. Зависимость от времени параметров 0Я (красный цвет), 0/? (зелёный цвет)
и 0с (синий цвет). Расчёт коррекций с шагом 45 суток методом поддержания номинальной
квазипериодической орбиты
Результаты расчёта коррекций методом поддержания номинальной
квазипериодической орбиты с шагом 90 суток
Рисунок 1.3.44. Проекция траектории перелёта и полёта по гало-орбите на плоскость ХУ
вращающейся СК. Начало координат в точке А?. Размерность - тыс. км. Расчёт коррекций
с шагом 90 суток методом поддержания номинальной квазипериодической орбиты
137
1.3.
Рисунок 1.3.45. Проекция траектории перелёта и полёта по гало-орбите на плоскость XZ
вращающейся СК. Начало координат в точке Л2. Размерность - тыс. км. Расчёт коррекций
с шагом 90 суток методом поддержания номинальной квазипериодической орбиты
Рисунок 1.3.46. Проекция траектории перелёта и полёта по гало-орбите на плоскость XZ
вращающейся СК. Начало координат в точке Л2. Размерность - тыс. км. Расчёт коррекций
с шагом 90 суток методом поддержания номинальной квазипериодической орбиты
138
1.3.
Результаты расчёта коррекций методом поддержания номинальной
квазипериодической орбиты с шагом 30 суток
900-I
—9004---
-300
400	100	300
Рисунок 1.3.47. Проекция траектории перелёта и полёта по гало-орбите на плоскость АТ
вращающейся СК. Начало координат в точке Л2. Размерность - тыс. км. Расчёт коррекций
с шагом 30 суток методом поддержания номинальной квазипериодической орбиты
Рисунок 1.3.48. Проекция траектории перелёта и полёта по гало-орбите на плоскость XZ
вращающейся СК. Начало координат в точке А2. Размерность - тыс. км. Расчёт коррекций
с шагом 30 суток методом поддержания номинальной квазипериодической орбиты
139
1.3.
Рисунок 1.3.49. Проекция траектории перелёта и полёта по гало-орбите на плоскость KZ
вращающейся СК. Начало координат в точке Л2. Размерность - тыс. км. Расчёт коррекций
с шагом 30 суток методом поддержания номинальной квазипериодической орбиты
Рисунок 1.3.50. Зависимость от времени параметров 0zl (красный цвет), 0д (зелёный цвет)
и Ос (синий цвет). Расчёт коррекций с шагом 30 суток методом поддержания номинальной
квазипериодической орбиты
140
1.3.
1.3.2. Перелёты между орбитами в окрестности точки либрации
В качестве базовой рассмотрим задачу перехода с одной гало-орбиты на другую
гало-орбиту одной и той же коллинеарной точки либрации. Эта задача представляет
интерес при проектировании миссии, т.к. такой переход, возможно, будет востребо-
ван с точки зрения научных задач миссии. Возможен также вариант, когда перелёт
на нужную гало-орбиту выполняется в два этапа: сначала перелёт от Земли с гра-
витационным манёвром у Луны и последующим переходом на гало-орбиту, а затем
переход на требуемую гало-орбиту с исходной. Эта задача подробно изучена в ста-
тье (Gomez G., Jorba A., Simo С., 1998), где в качестве примера рассматриваются га-
ло-орбиты в окрестности точки Л, системы Солнце - Земля + Луна, но при этом под-
чёркивается, что изложение носит универсальный характер и применимо к другим
системам; Здесь же отмечается, что предлагаемая методология при моделировании
оказывается эффективнее, чем подход, предложенный в (Hiday-Johnston L., Howell,
K.„1994) и (Howell К., Hiday-Johnston L., 1994) (см. также подробное изложение
в диссертации (Hiday L.Л., 1992).
В статье использовались следующие определения и значения параметров, пере-
численные в таблице 1.3.8. Под барицентром здесь понимается барицентр системы
Земля - Луна.
Таблица 1.3.8. Определения и значения параметров
массовый параметр ц		масса барицентра	= 3 04018792067404.10 6 масса барицентра и Солнца
безразмерная единица расстояния	расстояние от Солнца до барицентра = = 1.49597905818-108 км
безразмерная единица скорости	скорость барицентра относительно Солнца = =29784.7358 м/с
безразмерная единица времени	1/2тг лет
нормализованная единица расстояния	расстояние от барицентра до А, = 1.497610387-106 км
z-амплитуда	амплитуда первой гармоники разложения Фурье z-компоненты гало-орбиты, км
нормализованная z-амплитуда р	z-амплитуда нормализованная единица расстояния
Авторы статьи (Gomez G., Jorba A., Simo С., 1998) излагают теорию Флоке при-
менительно к CR3BP. Этот материал был представлен в предыдущем подразделе.
Напомним, что матрица монодромии имеет шесть собственных значений: одно из
собственных значений (Х|) является действительным и превышает 1, другое (Х2=1/Х,)
также является действительным и меньше 1, четыре остальных (Х3, Х4, Х5, Х6) лежат
на единичной окружности в комплексной плоскости. Два из этих элементов (Х3, Х4)
действительны и равны 1 (Х3=Х4= 1), оставшиеся два элемента (Х5, Х6) - комплексно-со-
пряжённые (Хб=Х5).
Вычисления показывают, что гало-орбиты являются неустойчивыми и эта не-
устойчивость уменьшается с увеличением z-амплитуды. Например, для гало-ор-
биты с Р=0.08 (zmax~120 ООО км) мы имеем 1727.96, в то время как для р=0.25
(zmax~375 ООО км) имеем Х,~1420.67.
141
1.3.
Для Xj собственный вектор ei(0) определяет направление неустойчивого движе-
ния. С помощью переходной матрицы мы можем получить образ этого вектора на
потоке, порождаемом уравнением в вариациях:
е,(0=Ф(Л0) е,(0).	(1.3.53)
Аналогично, для Х2 имеется собственный вектор е2(0), из которого можно получить
е2(/)=Ф(/,0) е2(0).	(1.3.54)
Для пары Х3=Х4= 1 имеется только один собственный вектор е3(/). Этот вектор яв-
ляется касательным к орбите. К этому вектору имеется ортогональный вектор, распо-
ложенный в двумерном пространстве, ассоциированном с (Х3, Х4). Этот вектор задаёт
касательное направление к семейству гало-орбит. Ограничение матрицы монодромии
на это двумерное пространство имеет жорданову форму
Г1 8^
1° 1
Величина 8 отлична от нуля. Это отражает тот факт, что период гало-орбиты вдоль
семейства изменяется (он очень медленно уменьшается при возрастании Р).
Пара (Х5, Х6) отвечает центральному многообразию орбиты (вместе с парой (Х3, Х4)).
Ограничение матрицы монодромии на это двумерное подпространство, порождённое
действительными и мнимыми частями (Х5, Х6), является матрицей поворота и имеет
жорданову форму
( cos Г sin Г А
у-sin Г cosTJ
Здесь Г - угол поворота.
Итак, в подходящем базисе матрица монодромии, ассоциированная с гало-орби-
той, может быть записана в форме
(1.3.55)
(1.3.56)
____v]
1	8
О 1
cos Г sin Г
ч	-sinf cosr?
(1.3.57)
Вместо системы векторов ez(/), /=1,...,6 удобнее ввести решения Флоке
(Floquetmodes) ё,(/), /=1,...,6, которые являются Г-периодическими функциями,
где Т- период гало-орбиты. Этот базис вводится следующим образом:
ё.(0 = e;(/)exp^-ylnX;.^, / = 1,2,
ё3(О = е3(О,
е4(/) = ё4(0 + 8(0ё3(0,
~ ч .
е5(0 = cosl — I е5 (0 - sin I 1е6(/),
е6(0 = sin I I е5 (Г) + cosl -у еД
(1.3.58)
142
1.3.
(1.3.59)
(1.3.60)
(1.3.61)
Здесь вектор ё4(/) выбирается ортогональным к вектору ё3(/) в двумерной плоско-
сти, заданной векторами е3(7) и е4(7).
Теперь определим проекционные множители (projectionfactors). Пусть на задан-
ную эпоху т состояние КА (в фазовом пространстве положений и скоростей) даётся
точкой St R6, которая близко расположена к некоторой гало-орбите. Сопоставим точ-
ке 5 точку на гало-орбите Ае R6, которую назовём номинальной точкой для S. Такую
точку можно выбрать в соответствии с разными критериями.
Разность
8(г) = 5 - N = (8x(r), 8y(t), &(t), 8x(t), 5y(t), 8z(r))T
можно выразить как линейную комбинацию решений Флоке:
S = ECAW-
/=!
Легко получить
С. = 71'(t)8x(Z) + 7l'2 (r)Sy(Z) + 71з(т)3г(г) +
+ л;(т)8х(/) + я'5(т)8>(0 + <(t)8z(Z) ,
где для заданной матрицы решений Флоке (ё!(т),...,ё6(т)) величина л/т) является ал-
гебраическим дополнением /-го элемента z-ro столбца, делённого на определитель
матрицы. Итак, с, вычисляется как скалярное произведение вектора ошибки 3 и про-
екционного МНОЖИТеЛЯ л'=(Я|(т),...Х(т)).
Для решения задачи о переходе с орбиты на орбиту представим семейство га-
ло-орбит в конфигурационном пространстве как часть конуса. Каждая гало-орбита
представляется как окружность с радиусом, равным z-амплитуде (рисунок 1.3.51).
Тогда задача сводится к переходу с одной окружности на другую.
Рисунок 1.3.51. Качественное представление семейства гало-орбит
143
1.3.
Предположим, КА находится в определённой точке S=(Sr,Sv) фазового простран-
ства. Вообще говоря, 5* не находится на семействе гало-орбит, но расположена близ-
ко к ним. Обозначим N„=(N'„„ Я)„) ближайшую точку семейства, учитывая при этом
только пространственные координаты (||M'„-Sr||—»min). Будем называть N,„ номиналь-
ной точкой для 5* на минимальном расстоянии. Обозначим Н,„ гало-орбиту, содержа-
щую Nm. Я„, является номинальной орбитой на минимальном расстоянии. Сопоставим
точке N,„ угол а,„ на орбите Нт.
Представляется естественным следующее. Если мы хотим перемещаться вдоль се-
мейства гало-орбит, мы должны совершать манёвр в направлении, касательном к се-
мейству гало-орбит. Имеются две равноправных стратегии для осуществления этого.
1. Рассмотрим вектор, направленный от точки Я(аг (tar - от англ, target - цель),
выбранной на целевой гало-орбите Я1аг и с тем же углом а„„ к точке 5* - текущему по-
ложению КА. Манёвр осуществляется таким образом, чтобы обнулить касательную
к семейству компоненту этого вектора.
2. Рассмотрим вектор, направленный от номинальной точки Nm к точке 5*. Этот
вектор является нулевым, если КА находится на гало-орбите. Манёвр должен осу-
ществляться так, чтобы этот вектор был касательным к семейству, касательным к ор-
бите и двум нейтральным компонентам. Сам импульс должен быть касательным к се-
мейству, так что компоненты Av пропорциональны скоростным компонентам вектора,
касательного к семейству.
При использовании первого метода вычисляются А,, Д2, А3 вдоль направлений х,у
и z соответственно. Они определяются таким образом, чтобы погасить касательную
к компоненту семейств, так чтобы результирующий вектор имел только компоненты
вдоль устойчивого направления ё2, касательного к орбите ё3, и две нейтральные ком-
поненты ё5, ё6:
^ + (° ° ° А'	0.3.62)
= а2ё2 СО + а3ё3 (т) + а5ё5 (т) + а6ё6 (т).
Векторы ё,(т),7=2,...,6 должны вычисляться для базовой орбиты Я1аг.
Если рассматривать начальное и конечное значения р как близкие (что эквива-
лентно близости z-амплитуд орбит Я„, и Я1а|), то можно использовать векторы ё, в точ-
ке N„, орбиты Я„,. Так как решения Флоке ё7(т) известны, то коэффициенты а2, а5, а6
вычисляются из первых трёх уравнений как функции от а3. Подставляя эти результа-
ты в последние три уравнения, получаем Аь А2, А3 как функции от а3. Добавим кри-
терий оптимальности
||а||2 = д/а^ + Аз + A3 min,	(1.3.63)
тогда фиксируется значение а3, можно вычислить А,, Д2, А3 и сохранить их для каждой
точки гало-орбиты.
Для эффективной реализации перелёта между двумя орбитами должна быть пред-
варительно вычислена сетка орбит. Для этой сетки сохраняем вычисленные значения
А, как разложения в ряд Фурье. Тогда для любой орбиты мы можем получить управ-
ление с помощью интерполяции.
При использовании второго метода мы осуществляем манёвр AvT такой, что
Sv + AvT
= а3ё3 (т) + а4ё4 (т) + а5ё5 (т) + а6ё6 (т).
(1.3.64)
UJ
144
1.3.
Векторы	вычисляются для орбиты Н„, в качестве базовой. Компонен-
ты вектора AvT пропорциональны скоростным компонентам вектора ё4(т), касательно-
го к семейству.
Как и прежде, у нас есть одна степень свободы при выборе компонент вектора AvT.
Её можно зафиксировать выбором величины манёвра ||AvT||.
В дополнение к манёвру AvT, «касательному к семейству» (tangent to the family
manoeuvre) на исходной орбите, нужно вычислить манёвр входа Av] (insertion manoeuvre)
в целевую гало-орбиту. Вместе они составляют переходный манёвр (jump manoeuvre).
Если в фазовом пространстве задана точка S, достаточно близкая к семейству га-
ло-орбит, мы присоединяем к ней номинальную точку Nw, которая находится на га-
ло-орбите Hw. Эта точка выбирается таким образом, чтобы при выполнении манёвра
КА вошёл в устойчивое многообразие гало-орбиты Hw. Для этого нужно только по-
требовать, чтобы для вектора ошибки 6W=5-7VW выполнялось соотношение
(8w),=X-(e2)z, / = 1,2,3	(1.3.65)
для некоторого действительного коэффициента X. Таким образом, мы ищем Nw такую,
что векторы ё2 и 5W параллельны в пространстве положений. Тогда, если мы модифи-
цируем скорость КА добавлением последних трёх компонент вектора Хё2-^у, полу-
чим, что новый вектор ошибок 6W пропорционален ё2. Таким образом, после выпол-
нения манёвра входа космический аппарат будет асимптотически стремиться к Hw.
Благодаря периодическому характеру гало-орбиты, параметризуются посредством
угла ае[0;360°]. Таким образом, точка на семействе гало-орбит идентифицируется
посредством угла и z-амплитуды (это полезно при практической реализации). В вы-
числениях предполагается, что угол нулевой при у=0, z>0 (и, следовательно, x=z=0).
Продемонстрируем результат применения первой из двух предложенных стратегий.
На рисунке 1.3.52 показана зависимость z-амплитуды (выраженной через коэффици-
ент Р) от времени после выполнения касательного манёвра. Видно, что после перехода
на орбиту с меньшим значением Р КА возвращается на прежнюю орбиту. Поэтому ну-
жен второй импульс (манёвр входа), для того чтобы остаться на целевой орбите.
time (adimensional units)
Рисунок 1.3.52. Зависимость z-амплитуды от времени после применения касательного
манёвра. Угол а=0, импульс принимает значения 10 м/с, 1 м/с, 0.1м/с
145
1.3.
(1.3.66)
В качестве критерия оптимальности для расчёта манёвра перехода рекомендуется
использовать критерий
AvT + Avj
Здесь АР - разность между амплитудой гало-орбиты, на которой осуществляется
касательным манёвр (импульс AvT), и амплитудой гало-орбиты Hw, к которой мы стре-
мимся, когда осуществляем манёвр входа (импульс Avi ).
Далее в статье (Gomez G., JorbaA., Simd С., 1998) приводятся результаты модели-
рования для 1 -го и 2-го подходов. При этом делается вывод, что ни один из подходов
не имеет ярко выраженных преимуществ перед другим.
1.3.3. Перелёты между точками либрации
Как известно, коллинеарные точки либрации в ОЗТТ обладают достаточно близ-
кими энергетическими уровнями эффективного потенциала (рисунок 1.3.53).
Этот факт служит фундаментальной предпосылкой для выявления (с инициацией
в модели ОЗТТ) траекторий-трансферов в численных эфемеридах, позволяющих ма-
лозатратно осуществлять перелёт с орбит в окрестности точки Ь2 на орбиты вокруг
точки Ц. Так например, в работе (Кооп W.S. et al., 2011) показывается существование
гетероклинических траекторий, соединяющих изоэнергетические ляпуновские ус-
ловно-периодические орбиты в окрестностях несовпадающих коллинеарных точек
либрации. Представим основные позиции указанного подхода.
Предварительно кратко опишем геометрию условно-периодических орбит локаль-
но в окрестности отдельной коллинеарной точки либрации на примере системы Солн-
це - Земля. Движение в окрестности коллинеарных точек либрации можно рассматри-
вать как совокупность двух колебаний - в плоскости орбиты меньшего тела вокруг
центрального и в плоскости, ей ортогональной, а также некоего «гиперболического»
Рисунок 1.3.53. Эффективный потенциал ОЗТТ (Marsden J., Ross S.,2006)]
146
1.3.
квазипериодическая гало-орбита
Г
Рисунок 1.3.54. Семейства периодических и квазипериодических орбит в окрестности точки
либрации системы Солнце - Земля
поведения. Последнее означает, что колебания неустойчивы и даже малые отклоне-
ния со временем приведут к уходу от периодической орбиты. Орбиты, описываемые
колебаниями в плоскости орбиты меньшего тела или же в плоскости, ей ортогональ-
ной, принято классифицировать как плоские, или же вертикальные орбиты Ляпунова.
Частоты этих колебаний изменяются в зависимости от амплитуды (поскольку задача
нелинейна) и при некоторых амплитудах становятся соизмеримыми - в этом случае
говорят о гало-орбите. Если частоты колебаний в различных плоскостях существен-
но отличаются, движение непериодическое, траектория движения называется орбитой
Лиссажу. Орбиты Лиссажу являются квазипериодическими. Подобные орбиты могут
существовать как в окрестности вертикальных периодических орбит, так и в окрестно-
сти гало-орбит. На рисунке 1.3.54 (Koleman Е. etal., 2007) изображены вышеописанные
классы орбит в окрестности точки либрации £2. Чёрным цветом обозначено положение
Земли и орбита Луны; синим - плоская орбита Ляпунова (лежит в плоскости эклипти-
ки) и вертикальная орбита Ляпунова, ортогональная плоскости эклиптики, вокруг неё
зелёным цветом - квазипериодическая орбита Лиссажу; красным цветом показана ква-
зипериодическая гало-орбита, лежащая в окрестности периодической гало-орбиты.
Здесь введена вращающаяся система координат LXYZ с центром в точке £2,
осьюХ, лежащей на прямой Солнце - Земля и направленной от Солнца, осью Z,
ортогональной плоскости эклиптики и направленной в сторону Северного полюса
мира, и осью У, дополняющей систему до правой. Визуализировать вышеописанное
многообразие орбит также позволяет применяемое в теории динамических систем
отображение Пуанкаре, которым в данном случае является пересечение исследуе-
мого семейства орбит с плоскостью XY введённой СК LXYZ (Z=0, рисунок 1.3.55)
(Canalias Е. et al., 2004).
147
1.3.
северные квази гало-орбиты
северные гало-орбиты
____________орбиты Лиссажу
Рисунок 1.3.55. Сечение плоскостью XY периодических траекторий в окрестности
коллинеарной точки либрации (отображение Пуанкаре)
область хаоса
В работе (Koon W.S.et al., 2011) представлена найденная численно гетероклиниче-
ская траектория между парой изоэнергетических условно-периодических орбит из Ц и
£2 для системы Солнце - Юпитер. Суперпозиция подобных гетероклинических траекто-
рий и ранее выявленных гомоклинических орбит для этих же точек образуют динамиче-
ские контуры, которые могут служить основой для описания механизма временного за-
хвата и быстрых резонансных переходов комет в системе Юпитера (например, Отерма).
х (nondimensional units, rotating frame)
Рисунок 1.3.56. Пересечение инвариантных многообразий в J-области (область Юпитера
фазового пространства) в соответствующей секции Пуанкаре
148
1.3.
Чтобы найти гетероклиническую траекторию между периодическими орбитами,
найдём пересечение их соответствующих инвариантных многообразий в ./-области
(область Юпитера фазового пространства) в соответствующе выбранной секции Пу-
анкаре (рисунок 1.3.56).
Так, для выявления гетероклинической орбиты, идущей от L।-периодической ор-
биты (при до /^-периодической орбиты (при /—>+оо), необходимо поступить
следующим образом.
Обозначим ветвь неустойчивого многообразия периодической орбиты которая
входит в ./-область, как о. На изоэнергетической поверхности имеется также и
периодическая орбита Л2, устойчивое многообразие которой в ./-области обозначим
W^Jpo- Срезы двумерных фазовых трубок в пространстве позиционных координат
показаны на рисунке 1.3.56.
Для определения их пересечения рассмотрим проекцию фазовых потоков на пло-
скость х=1-ц (рисунок 1.3.57).
Обозначим ^-пересечение множества о с плоскостью х=1-ц как Г^*^, и р-пе-
ресечение множества о - как Численные расчёты при малых p,q показы-
вают, что неустойчивое многообразие периодической орбиты Ц ^,Jpo и устойчивое
многообразие периодической орбиты L2 р о являются замкнутыми кривыми, пе-
ресекающимися трансверсально. Точка на плоскости х= 1-ц, принадлежащая пересе-
чению п Г^*^, называется (<7?р)-гетероклинической точкой, так как соответствует
гетероклинической орбите, идущей от орбиты Ляпунова L} к орбите Ляпунова L2.
На рисунке 1.3.57 показаны кривые	Для <7=1,2 и VspJ р для/?=1,2. Заметим, что
П/2 и пеРесекаются в Двух точках. Таким образом, минимум индексов q и р
Рисунок 1.3.57. Проекция фазовых потоков на плоскость х=1-р
149
1.3.
Рисунок 1.3.58. Гетероклинические траектории, соединяющие изоэнергетические
ляпуновскис условно-периодические орбиты в окрестностях точек L\ и £2
для гетероклинической точки для рассматриваемого значения интеграла Якоби С
равен с/=2 и р=2. Обе гетероклинические точки (2, 2) могут быть проинтегрированы
как в прямом, так и в обратном времени, и объединены друг с другом для получения
гетероклинических траекторий, идущих от орбиты Ляпунова L} к орбите Ляпунова £2-
Пример гетероклинической орбиты представлен на рисунке 1.3.58.
В качестве практического подтверждения этого постулата значительным фактом
стала реализация проекта космического аппарата «WIND», запущенного к точке Ц
системы Солнце - Земля 01 ноября 1994 года для изучения солнечного ветра и функ-
ционирующего по настоящее время (рисунки 1.3.59, 1.3.60). Первые три года аппарат
находился на высокоэллиптической геоцентрической орбите и совершал гравитаци-
онные манёвры у Луны таким образом, что линия апсид его орбиты оставалась па-
раллельной направлению от Земли на Солнце. Кроме того, в этот период был сделан
один виток вокруг точки £i системы Солнце - Земля. Далее, в рамках расширенной
миссии, КА «WIND» вышел на так называемые «лепестковые орбиты» - орбиты
с большим (более 1.5 млн км) удалением от Земли в направлении оси Z и эволю-
ционирующим наклонением относительно плоскости эклиптики. Также аппарат со-
вершил облёт точки L2. Данная орбита уникальна, она обеспечила проведение запла-
нированных научной программой измерений в широкой окрестности околоземного
пространства.
150
1.3.
Рисунок 1.3.59. Траектория движения КА «WIND» с 16.11.1994 по 15.11.1996 с облётом точки
либрации L\ системы Солнце - Земля
В 2001 году к точке Ц системы Солнце - Земля был запущен КА «Genesis», также
использовавший орбиту Лиссажу. Перелёт в окрестность точки либрации был осу-
ществлён по одноимпульсной схеме, однако при переходе на целевую квазиперио-
дическую орбиту потребовалось выполнение небольшого манёвра. Периодичность
выполнения манёвров поддержания орбиты КА в окрестности точки либрации также
составила около 90 суток. При проектировании траектории для этой миссии впервые
была применена теория динамических систем. Траектория КА «Genesis» приведена
на рисунке 1.3.61.
Nov2002-Aug 2004
Рисунок 1.3.60. Траектория движения КА «WIND»:
а-с П.2002 по 08.2004; б-с 15.12.2003 по 16.09.2006
151
1.3.
Рисунок 1.3.61 .Траектория КА «Genesis»
1.3.4. Орбиты космического аппарата «Спектр-Р»
Космический аппарат «Спектр-Р», в первую очередь предназначенный для обнару-
жения и исследования космических радиоисточников, был запущен 18 июля 2011 года
с космодрома Байконур и выведен с использованием разгонного блока «Фрегат-СБ»
на траекторию полёта с периодом обращения вокруг Земли более 8 суток. На началь-
ном витке полёта максимальное и минимальное расстояния (rmin и rmax) КА от Земли
составили {Кардашев Н.С.и др., 2014) около 333.5 тыс. км и 0.6 тыс. км соответствен-
но. На борту КА «Спектр-Р», непосредственно на многофункциональной космической
платформе «Навигатор» {Многофункциональная..., 2017), в качестве полезной нагруз-
ки установлен космический радиотелескоп (КРТ), который с наземным радиотелеско-
пом (ЗРТ) из определённой сети ЗРТ образует космический радиоинтерферометр про-
екта «РадиоАстрон» со сверхдлинными базами. Указанная космическая платформа
обеспечивает работу КРТ. Радиоинтерферометр при больших базах позволяет полу-
чать информацию от космических радиоисточников с угловым разрешением до 10 мкс
дуги (для самой короткой, из возможных, длины волны, равной 1.35 см). Для сравне-
ния: самые мощные наземные оптические системы имеют разрешающую способность
0.1 ...0.01 у гл. сек {Андреянов В.В., Кардашев Н.С., Хартов В.В., 2014).
Проектирование околоземной траектории полёта КА «Спектр-Р» для проведения
с помощью КРТ и ЗРТ качественных наблюдений космических радиоисточников
в диапазоне от малых до больших баз является сложной баллистической проблемой.
Дело в том, что такие траектории с течением времени сильно эволюционируют под
влиянием действующих сил и в первую очередь - под влиянием силы притяжения
Луны. Имеют место длительные периоды, порядка нескольких лет, в течение кото-
рых КА не только неоднократно сближается со сферой влияния Луны {Абалакин В.К.
и др., 1971), но и достаточно глубоко «погружается» в эту сферу {Заславский ГС.
и др.,2016; Заславский ГС. и др., 2017), радиус 7?inf которой в соответствии с {Абала-
кин В.К.и др., 1971) приблизительно равен 102 тыс. км.
152
1.3.
Особенности баллистического обеспечения полёта КА. Впервые на практике эле-
менты оскулирующей орбиты КА в разные моменты времени, принадлежащие одному
витку, заметно различны между собой и существенно различаются по прошествии ряда
витков. Другими словами, для рассматриваемого спутника Земли практически отсут-
ствует привычное понятие опорной орбиты (Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г., 1990;
Эльясберг П.Е., 1965), в окрестности которой совершается его многовитковое движе-
ние. Для примера на рисунках 1.3.62-1.3.67 представлены функции от времени полё-
та (на интервале, примерно равном одному околоземному витку) параметров текущих
оскулирующих орбит траектории движения КА в СК J2000, центр которой находится в
ЦМ Земли. Здесь и далее предполагается, что оси СК J2000 по направлению совпадают
с осями барицентрической СК ЕМЕ2000 (Степаньянц В.А., 2012). В качестве параме-
тров оскулирующей орбиты рассматриваются - высоты над поверхностью Земли
в перицентре и апоцентре соответственно и её элементы: - период, со - аргумент
широты перицентра, z - наклонение и Q - долгота восходящего узла. При расчёте высот
принимается, что Земля - шар с радиусом 6.378 тыс. км с центром в ЦМ Земли. Эле-
менты орбиты со и Q принимают значения из полуинтервала [0,2л), a i - из интервала
[О,л]. Расчёты показывают, что большие диапазоны изменения указанных параметров
в первую очередь обусловлены сближением (в течение одного околоземного витка)
КА с Землёй и Луной. На рисунке 1.3.68 представлены функции расстояний 7?ом и 7?Ое
от КА до ЦМ Луны и до ЦМ Земли соответственно.
Рисунок 1.3.62. Зависимость высоты перицентра околоземной оскулирующей орбиты КА
от времени его пассивного полёта
153
1.3.
323.6
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
время полёта КА от 00 ч 05 декабря 2017 г., сутки
Рисунок 1.3.63. Зависимость высоты перицентра околоземной оскулирующей орбиты КА
от времени его пассивного полёта
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
время полёта КА от 00 ч 05 декабря 2017 г., сутки
Рисунок 1.3.64. Зависимость периода околоземной оскулирующей орбиты КА от времени его
пассивного полёта
154
1.3.
время полёта КА от 00 ч 05 декабря 2017 г., сутки
Рисунок 1.3.65. Зависимость аргумента широты околоземной оскулирующей орбиты КА
от времени его пассивного полёта
Рисунок 1.3.66. Зависимость аргумента широты околоземной оскулирующей орбиты КА
от времени его пассивного полёта
155
1.3.
Q, град зоо.25 ;
300.20
300.15 
300.10
300.05
300.00
299.95
299.90
299.85
299.80
299.75
299.70
299.65
299.60
299.55
299.50
299.45
299.40
299.35
299.30
299.25
0.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
время полёта КА от 00 ч 05 декабря 2017 г., сутки
Rom, Roe,
Рисунок 1.3.67. Зависимость долготы восходящего узла околоземной оскулирующей орбиты
КА от времени его пассивного полёта
время полёта КА от 00 ч 05 декабря 2017 г., сутки
Рисунок 1.3.68. Зависимости расстояний КА - ЦМ Луны (7?Ом), КА - ЦМ Земли (7?Ое)
от времени пассивного полёта КА
156
1.3.
В указанных выше условиях полёта усложняются обычно применяемые на прак-
тике привычные методы и алгоритмы определения параметров выведения КА на так
называемую рабочую орбиту (РО) и становятся сложными расчёты баллистических
параметров, необходимых для реализации с помощью включений бортовой ДУ пред-
стоящей (в ходе полёта) коррекции траектории КА.
В рассматриваемом случае задача коррекции текущей траектории КА по суще-
ству, как и задача выведения КА на РО, является задачей проектирования дальней-
шего полёта КА. Так как методика и алгоритм решения задачи выведения представ-
лены достаточно подробно в {Кардашев Н.С., 2014) и КА успешно выведен на РО,
то в настоящем подразделе рассматривается задача коррекции траектории полёта КА
«Спектр-Р», которая может по необходимости неоднократно решаться в течение все-
го времени его многолетнего активного функционирования.
Коррекция траектории полёта КА «Спектр-Р» в первую очередь проводится с це-
лью устранения на предстоящее длительное время (годы) нежелательных по длитель-
ности интервалов заходов КА в тень от Земли или Луны (источником света является
Солнце) и увеличения времени баллистического существования КА. Такая коррекция
в дальнейшем обозначается как целевая коррекция.
1.	По определению, баллистическое существование КА в текущий момент вре-
мени t обеспечивается при полёте его над поверхностью Земли на высоте не ниже
заданной высоты Ллс.
2.	Вычисление момента времени /ск прекращения баллистического существова-
ния КА выполняется по алгоритму, представленному в разделе 3.6.3. Расчёты интер-
валов заходов КА в тень опираются на алгоритм расчёта затенения одного шара дру-
гим (непересекающимся с первым шаром) для наблюдателя в точке вне этих шаров,
независимо от положения в пространстве шаров и наблюдателя. Последний алгоритм
представлен в разделе 3.6.1.
3.	Каждый заход КА в тень от Земли (Луны) характеризуется (см. ниже) степе-
нью его затенения, длительностью нахождения КА в полной тени и частичной тени
(полутени).
4.	Коррекции движения КА по РО исполняются путём проведения специальных
сеансов (сеансов коррекции), в которых обеспечиваются необходимая ориентация
в пространстве вектора тяги ДУ, включение и выключение ДУ в заданные моменты
времени.
5.	Расчёт баллистических параметров для реализации целевой коррекции выпол-
няется с учётом технических характеристик бортовой аппаратуры.
Определения, предварительные замечания и допущения. Расчёты баллисти-
ческих параметров целевой коррекции траектории полёта КА исполняются при сле-
дующих допущениях.
1.	В каждый момент времени единичный вектор е тяги непрерывно работающей
ДУ на некотором отрезке времени [/Д11;/ДК] принадлежит прямой, проходящей через
ЦМ КА, и не изменяет на этом отрезке своего направления в инерциальном простран-
стве. Здесь и далее индекс д - двигатель, н - начало, к - конец (окончание).
2.	Значения тяги Р и удельного импульса /уд ДУ являются постоянными величи-
нами на всем отрезке времени её непрерывной работы. По завершении указанного
отрезка тяга ДУ обнуляется.
3.	Отключение тяги ДУ происходит по достижении длительности Д/д её непре-
рывной работы, А< =Г1К-/Д|1, которая определяется абсолютной величиной Кхар прира-
157
щения характеристической скорости и массой т КА в момент времени t}W включения
ДУ. Зависимость между величинами Д/д и Кхар устанавливается формулой Циолков-
ского (СихарулидзеЮ.Г., 2011).
4.	Из технических соображений приращение характеристической скорости долж-
но находиться в заданных пределах Кхар_min< Ихар< Ихар_П1ах.
5.	Предельная ошибка тяги ДУ эквивалентна величине кр относительной ошибки
в реализации приращения характеристической скорости Цхар, и в процессе полёта её
конкретное значение может уточняться. При проведении целевых коррекций до нача-
ла 2018 года было принято Zfz=0.09.
6.	Угол у между направлением тяги работающей ДУ и направлением от КА на
ЦМ Солнца должен принадлежать заданному диапазону [ymm; ymax], границы которого
в процессе полёта могут уточняться. С момента выведения КА на РО и до начала
2018 года они принимали значения ут1П=90° и ymax= 165°.
7.	Желательно проводить сеанс коррекции в зоне видимости определённых на-
земных измерительных пунктов для контроля его исполнения.
8.	Светотеневая обстановка на КА в любой фиксированный момент времени ха-
рактеризуется безразмерным коэффициентом КТ затенения Солнца Землёй (Луной),
если смотреть с ЦМ КА на Солнце. Коэффициент КТ затенения определяется как от-
ношение площади £т затенённой (скрытой Землёй или Луной) части видимого диска
Солнца к площади Sc всего этого диска Солнца в предположении отсутствия зате-
нения Солнца: Х’т=5'т/5'с- Принимается, что фигуры Солнца, Земли и Луны - шары
с заданными радиусами: /?s=696.000 тыс. км, 7?н=6.378 тыс. км и /?м= 1.738 тыс. км
соответственно. При /Ст=0 КА находится на свету (нет затенения Солнца Землёй или
Луной). При ЛГТ=1 аппарат находится в тени (наблюдается полное затмение Солнца,
если смотреть с КА). А при числовом значении коэффициента затенения, принад-
лежащем внутренним точкам отрезка [0;1], говорят, что КА находится в полутени
(наблюдается частичное затмение Солнца, если смотреть с КА).
9.	Весь отрезок времени затенения [C„Z{K], на котором, по определению, в каждый
момент t коэффициент КТ больше нуля, характеризуется коэффициентом КТ_тах степе-
ни затенения КТ m = max КТ (t).
Ч'шЛк]
10.	Продолжительность времени затенения КА (/3|1-/зк) не должна превышать за-
данной величины Д/т ~2.1 час, значение которой может уточняться в зависимости от
ожидаемого значения Л^Ттах.
11.	Отрезок времени [/1НН,/11)К], на котором в каждый момент времени t имеет место
равенство АГТ=1, называется отрезком времени полного затмения Солнца. Этот отре-
зок (при его наличии) является подмножеством соответствующего отрезка времени
затенения
12.	Прогнозирование светотеневой обстановки на КА после завершения расчёт-
ной коррекции его траектории движения сводится к определению набора отрезков
времени затенения и принадлежащих им отрезков времени полного затенения Солнца
при условии их наличия. Указанный искомый набор отрезков обусловлен параметра-
ми коррекции траектории КА и заданным промежутком времени Д/, прогнозирования
светотеневой обстановки на КА. Начальный момент tw каждого искомого отрезка вре-
мени затенения должен удовлетворять неравенствам /;1К</311</;1К+Д/3.
13.	При решении задач баллистического обеспечения управления полётом КА ма-
тематическое моделирование движения ЦМ КА выполняется с учётом сил притяже-
158
1.3.
ния Солнца, Луны, планет Солнечной системы, рассматриваемых как материальные
точки, и сил, учитывающих следующие возмущающие факторы:
-	нецентральность поля тяготения Земли (учитываются все гармоники разложения
соответствующего поля сил в ряд по сферическим функциям до гармоник поряд-
ка 8x8);
-	аэродинамическое сопротивление при движении КА в атмосфере Земли (исполь-
зуется динамическая модель атмосферы (Бажинов И.К. и др., 1985));
-	световое давление на КА.
Ускорение wa КА, вызванное влиянием атмосферы, рассчитывается по формуле
wa=5p|Va|Va, где р - плотность атмосферы в окрестности КА, Va - скорость КА отно-
сительно атмосферного потока, as- так называемый баллистический коэффициент.
Величина указанного коэффициента зависит от безразмерного аэродинамического
коэффициента сх, площади S миделя относительно атмосферного потока и массы т
с S
КА, 5 = —•—. Учитывая то, что полёт КА по РО проходит вне плотных слоёв атмос-
2 т
феры Земли и КА редко приближается к этим слоям, в баллистических расчётах 5
полагается постоянной величиной. При этом входные параметры модели атмосферы
(текущий уровень интенсивности солнечной радиации и др.) соответствуют завы-
шенной, по отношению к средней, плотности воздуха.
Сила светового давления характеризуется безразмерной, вообще говоря, перемен-
ной величиной Sc отношения абсолютного значения указанной силы к силе притя-
жения КА Солнцем. Однако в баллистических расчётах траекторий полёта КА для
каждой конкретной траектории полагается постоянной величиной, уточняемой по
траекторным измерениям (ТРИ) и данным телеметрической информации (ТМИ), т.е.
рассматривается как согласующий параметр, позволяющий в среднем учитывать при
прогнозировании движения ЦМ КА действующие на аппарат малые по величине не-
моделируемые силы.
14.	Траектория пассивного (без включения ДУ) полёта КА в каждый текущий
момент времени t характеризуется шестимерным вектором (x,y,z, Vx, VY, V:) кинемати-
ческих параметров движения. Первые три компоненты этого вектора - координаты
вектора положения r(r)=(x(r),y(r),z(r))T, а три последних - координаты вектора скорости
V(/)=(Р\(0,^-(0,^(0)т КА в СК J2000. Совокупность девяти величин {t,r(t)y(t),s,Sc}
называется начальными условиями (НУ) движения КА в момент времени t. Здесь и да-
лее используется Декретное Московское время (ДМВ). Предполагается, что текущая
перед включением ДУ траектория полёта КА задаётся НУ в момент времени z0, пред-
шествующий моменту времени <Ч11 включения ДУ: {t^,Y{)(t)y Q(t),s,Sc}.
15.	Известно значение массы т КА в момент времени <UI включения ДУ: т(1лц)=т0.
Целевые коррекции траектории полёта КА. К началу 2018 года исполнены всего
две целевые коррекции траектории полёта КА «Спектр-Р»: 01 марта 2012 года завер-
шена реализация первой коррекции (Заславский ГС и др., 2014), а 16 июля 2017 года
исполнена вторая коррекция. Описание методов и алгоритмов баллистического про-
ектирования коррекции траектории полёта КА излагается ниже на примере подготов-
ки и реализации второй из указанных коррекций. Первая коррекция характеризуется
только траекториями пассивного полёта КА как до, так и после её проведения.
Результаты уточнения параметров движения КА уже в конце 2016 года показа-
ли (Заславский Г.С.и др., 2016), что с вероятностью, близкой к единице, в январе
2018 года нарушается условие пребывания КА в тени от Земли, а в мае этого же года
159
1.3.
завершается его баллистическое существование. Поэтому возник вопрос о проек-
тировании второй коррекции траектории полёта КА, которую следовало провести
в 2017 году.
Проектирование указанной коррекции проводилось с учётом того, что КА, впер-
вые после его запуска, в течение нескольких лет, начиная с 2017 года, неоднократно
тесно сближается с Луной, глубоко входя в сферу её влияния (Заславский ГС. и др.,
2016). В (Заславский ГС. и др., 2017) представлены технически и организационно
удобные допустимые варианты коррекции траектории КА. В результате исполнения
любого из этих вариантов коррекции спутник может быть переведён на траекторию
полёта, на которой завершение баллистического существования и неприемлемый за-
ход в тень наступают не в 2018 году, а годами позже. Предложенные варианты второй
коррекции траектории полёта КА были исследованы специалистами Астрокосмиче-
ского центра Физического института им. П.Н. Лебедева РАН с точки зрения эффек-
тивности исполнения научной программы проекта «РадиоАстрон» после реализа-
ции расчётной коррекции. Решением Главной оперативной группы управления КА
(ГОГУ) к реализации был выбран (из предложенных вариантов) в качестве основного
вариант коррекции траектории полёта КА с включением ДУ в окрестности момента
времени достижения спутником расстояния rmax - 16 июля 2017 года.
Для удобства изложения дальнейшего материала введём в рассмотрение пронуме-
рованные в соответствии с таблицей 1.3.9 траектории полёта КА по РО, параметры
которых определялись по ТРИ с использованием ТМИ о работе бортовых систем КА.
Таблица 1.3.9. Номера траекторий между динамическими операциями на борту КА
номер траектории	момент уточнения траектории по ТРИ и ТМИ
0	по завершении около одного месяца после выведения КА на орбиту
I	несколько витков до реализации 1-й коррекции траектории КА
2	по прошествии около двух витков полёта КА после реализации 1-й коррекции траектории КА
3	несколько витков до реализации 2-й коррекции траектории КА
4	по прошествии около двух месяцев полёта КА после реализации 2-й коррекции траектории КА
Каждая из рассматриваемых траекторий в дальнейшем характеризуется последо-
вательностью (по виткам) моментов времени достижения минимального (Zmin) и мак-
симального (/1Пах) расстояний КА от ЦМ Земли и элементов в СК J2000 оскулирующих
(в моменты времени zmin) орбит: РОт - период, (оП1 - аргумент широты перицентра,
zm - наклонение и Цп - долгота восходящего узла. Кроме того, для каждой из пяти
обозначенных в таблице 1.3.9 траекторий расстояние (ЯОм) между КА и ЦМ Луны
будет представлено в виде функции от времени полёта.
Результаты расчётов величин rmin, rmax, POm, <om, zm и Qm изображаются на соответ-
ствующих рисунках в виде графиков, представляющих собой ломаные линии. По оси
160
1.3.
абсцисс всех графиков отложены моменты времени, отсчитываемые от определённо-
го московского времени. Абсциссами вершин ломаных линий для указанных величин
(за исключением г1Пах) являются моменты времени достижения спутником минималь-
ного (на витке) расстояния от ЦМ Земли, а для величины rmax - моменты времени
достижения им максимального (на витке) расстояния от ЦМ Земли. Ордината вер-
шины ломаной линии равняется рассчитанному значению обозначенного на рисунке
параметра.
Каждой траектории, здесь и далее по тексту, соответствует определённый цвет
графика: 0 - серый, 1 - синий, 2 - красный, 3 - чёрный и 4 - зелёный.
Первая целевая коррекция. В таблице 1.3.10 и на рисунках 1.3.69-1.3.75 пред-
ставлены характеристики траекторий полёта КА после выведения его на РО и по-
сле реализации первой целевой коррекции КА. Они позволяют прийти к следующим
выводам.
1. Уточнённые по ТРИ и ТМИ траектории после выведения КА на РО и перед
проведением первой коррекции различаются незначительно. Это говорит о том, что
используемая в баллистических расчётах модель движения КА является адекватной
реальному движению КА.
2. В первом квартале 2017 года КА впервые достигает расстояния 7?inf от ЦМ Луны
и на какое-то время погружается в сферу её влияния. Такие погружения происходят
неоднократно, что может в дальнейшем приводить к значительным отклонениям близ-
ких (до погружений) между собой траекторий. И, следовательно, множество (трубка)
возможных траекторий полёта КА в результате реализации первой коррекции после
начала указанного интервала может измениться (трубка расширится), и в ней может
иметь место траектория, для которой характеристики полёта КА заметно отличаются
от указанных в таблице 1.3.10 характеристик для расчётной траектории с номером 2.
Так, забегая вперёд, траектория 3, порождённая первой целевой коррекцией, не удов-
летворяет основным условиям полёта КА уже в январе 2018-го (см. таблицу 1.3.11),
а не в январе 2019 года (для траектории с номером 2).
Дополнительно следует отметить, что расчёты показали отсутствие (до заверше-
ния баллистического существования) неприемлемых заходов КА в тень от Луны на
траекториях его полёта с номерами 0, 1,2.
Таблица 1.3.10. Время баллистического существования и характеристики неприемлемого
затенения КА при его полёте по траекториям до и после первой коррекции
номер траектории	0	1	2
/ск	22.12.2013 09:07:46	22.12.2013 08:04:33	> 18.07.2021 12:00:00
	08.01.2013 22:38:01	08.01.2013 22:04:19	25.01.2019 04:38:41
часы	5.68	5.69	6.74
Анн	08.01.2013 23:39:26	08.01.2013 23:05:35	25.01.2019 22:39:01
5г1Н, часы	3.61	3.63	2.15
161
1.3.
260 3
240 3
220 3
200
180 J
160
140
120 3
время полёта КА от 00 ч 01 апреля 2013 г., сутки
Рисунок 1.3.69. Эволюция минимального и максимального расстояний КА от ЦМ Земли
на витке полёта по траектории до и после реализации первой коррекции
время полёта КА от 00 ч 01 апреля 2013 г., сутки
Рисунок 1.3.70. Эволюция периода орбиты КА до и после реализации первой коррекции
162
1.3.
время полёта КА от 00 ч 01 апреля 2013 г., сутки
Рисунок 1.3.71. Эволюция аргумента широты перигея орбиты КА
до и после реализации первой коррекции
время полёта КА от 00 ч 01 апреля 2013 г., сутки
Рисунок 1.3.72. Эволюция наклонения орбиты КА до и после реализации первой коррекции
163
1.3.
Рисунок 1.3.73. Эволюция долготы восходящего узла орбиты КА до и после реализации
первой коррекции
время полёт а КА от 00 ч 01 апреля 2013 г., сутки
время полёта КА от 00 ч 01 апреля 2013 г., сутки
Рисунок 1.3.74. Зависимость расстояния КА от ЦМ Луны при его движении по траектории
до и после реализации первой коррекции
164
1.3.
Рисунок 1.3.75. Зависимость расстояния КА от ЦМ Луны при его движении по траектории
после реализации первой коррекции
Вторая целевая коррекция. Баллистические параметры коррекции траектории
КА должны соответствовать представленным выше требованиям к техническим
характеристикам КА и удовлетворять так называемому основному требованию', по-
сле реализации коррекции, до проведения следующей целевой коррекции траекто-
рии, обеспечивается выполнение условий по баллистическому существованию КА
и по освещённости его Солнцем.
Расчёт баллистических параметров проектируемой коррекции траектории полёта
КА выполняется по алгоритмической схеме, аналогичной той, которая использует-
ся при выборе параметров сеанса коррекции непосредственно перед её реализацией.
В соответствии с этой схемой для каждого значения момента времени включения
ДУ из конечного множества Mtw возможных (согласованных ГОГУ) значений реша-
ется рассматриваемая ниже задача выбора параметров проектируемой коррекции
(ВППК) с фиксированным единичным вектором е направления тяги ДУ. Предпола-
гается, что вектор е по направлению мало отличается или от направления вектора
скорости КА в момент времени /Д11 (тяга на разгон), или от направления противопо-
ложного этому вектору скорости КА (тяга на торможение).
Множество Mtnil при проектировании второй коррекции в значительной степени
определяется планом реализации научной программы миссии «РадиоАстрон», а так-
же большими интервалами времени от запуска КА (около 6 лет) и от завершения
предыдущей коррекции (более 5 лет) до проектируемой коррекции. Последнее об-
стоятельство, вообще говоря, требует выполнения баллистических условий радиос-
165
1.3.
вязи по линии Земля-борт, обеспечивающих получение в реальном времени данных
о текущем техническом состоянии аппаратуры, участвующей в реализации коррек-
ции траектории полёта КА. Все учитываемые обстоятельства привели в случае про-
ектирования второй целевой коррекции к рассмотрению множества включений ДУ
из трёх элементов
Я {бшЬ 6т2, 6тЗ }
= {16.07.2017 09:00:00; 16.07.2017 13:00:00; 05.08.2017 09:00:00.}	(1.3.67)
Проведение целевой коррекции с включением ДУ в момент времени Л11|2 предпо-
лагается в случае, когда сеанс коррекции с включением ДУ в момент времени
не состоялся. Коррекция траектории полёта КА с включением ДУ в момент времени
ГЛ11з рассматривается в тех случаях, когда не состоялась принятая к реализации кор-
рекция с включением ДУ в момент времени /Д112, или когда одна из коррекций в июле
2017 года проходит не штатно. Следует заметить, что интервал времени [z;ui2, rlIl3] вы-
бран большим, чтобы успеть разобраться в ситуации и подготовиться к проведению
целевой коррекции в августе 2017 года.
Перед формулировкой задачи ВППК вводится в рассмотрение так называемый
коэффициент Cv допустимой вариации приращения характеристической скоро-
сти при коррекции. Пусть Ихар - некоторая величина этого приращения характе-
ристической скорости при коррекции, обеспечивающая выполнение основного
требования к траектории полёта КА после коррекции до некоторого момента вре-
мени zcon. Тогда коэффициент Сг>0 определяет максимальный по длине отрезок
/(=[( 1-Cj/)Kxap, (1+С,)Кхар] числовой оси, каждая точка которого, как значение при-
ращения характеристической скорости при коррекции, обеспечивает выполнение
указанного выше основного требования. Коэффициент Су, при фиксированном зна-
чении 4ОП, представляет собой максимальную величину относительных отклонений
приращения характеристической скорости при коррекции от значения Ихар, в преде-
лах которых обеспечивается выполнение основного требования к траектории полёта
КА после коррекции до момента времени /соп. Он в дальнейшем рассматривается как
функция двух переменных
Cf^Cj/(zC0I1,Kxap)	(1.3.68)
Практика работ в течение более пяти лет по баллистико-навигационному обеспече-
нию (БНО) полёта КА «Спектр-Р» показывает, что определяющий вклад в возможные
отклонения траектории движения КА после коррекции вносит ошибка в реализации
постоянной тяги ДУ, предельная величина которой может достигать определённого
значения кр (см. выше) от номинальной тяги. Поэтому на стадии проектирования схе-
мы коррекции траектории КА принимается во внимание только эта ошибка. И так
как отключение режима активной работы (выработки тяги) ДУ рассматриваемого КА
происходит по времени, то указанная ошибка практически напрямую трансформи-
руется в такую же ошибку в реализации абсолютной величины приращения харак-
теристической скорости КА. С учётом сказанного, если коррекцию траектории КА
планируется исполнить при некоторых значениях гсоп и Ихар, то при соответствующем
(1.3.68) коэффициенте Су допустимой вариации приращения характеристической
скорости при коррекции, не меньшем кр, основное требование к траектории после
коррекции выполняется с вероятностью, близкой к единице, и эта вероятность растёт
с увеличением коэффициента Су.
166
1.3.
Дополнительно напомним, что величина Кхар по техническим причинам должна
находиться в пределах заданного отрезка/Гхар на неотрицательной части числовой оси:
Кар IJ\ap=[ Kapjnm, Kap_max]	( 1 .3.69)
и искомой величиной, дающей баллистическую оценку прогнозируемой коррекции,
является максимум (С™х) функции (1.3.68) на множестве (1.3.69). Аргумент, достав-
ляющий этот максимум, обозначается т.е. С™х= С((С”рх). Поиск значения Кхарх
осуществляется приближённо на конечном множестве точек отрезка /Гхар (1.3.69),
которое определяется шагом а именно
К ap min, Кnapjnm''’^Кхар, • • • 5 Кop min^^/z Ичар, • • •, Ккар min(1-3.70)
причём q - минимальное неотрицательное целое число, при котором имеет место
неравенство Kw_min+(^+1 )h Кл> Гхар max.
Задача ВППК.
Задано:
/оЛ)^оЛоЛ-оЛо, s, iS’c - начальные условия (НУ) движения КА;
/??о - значение массы т КА в момент времени tw включения ДУ;
Р - номинальная тяга ДУ;
/уд - удельный импульс ДУ;
/Д|1 - момент времени включения ДУ в сеансе коррекции;
е - единичный вектор (в СК J2000) направления тяги ДУ при реализации
коррекции;
Кар min, Кар max - минимальное и максимальное допустимые значения величины
приращения характеристической скорости в результате работы ДУ (1.3.69);
h]; - шаг по величине приращения характеристической скорости, определяющий
(1.3.70) множество Mv^
hnt - допустимая снизу высота полёта КА, по достижении которой по опреде-
лению наступает момент времени tc прекращения баллистического существования
КА. Здесь и далее при расчёте высот полёта КА в качестве фигуры Земли рассматри-
вается шар с заданным радиусом 7?Е=6378 км;
htc - шаг (по времени) проверки баллистического существования КА (выполнения
условия h„(f)> h„);
twl - момент времени, до которого осуществляется проверка баллистического су-
ществования КА, tkK<tc< t3aд, где (дк - момент времени выключения ДУ.
Получить для каждого значения приращения характеристической скорости
(Цар е Mi-хар) параметры, характеризующие соответствующую коррекцию траектории
полёта КА:
{r4K,r(/lK),v(<и<)} - кинематические параметры движения КА в СК J2000 на момент
времени окончания работы ДУ;
- масса КА в момент времени завершения работы ДУ, рассчитываемая
в соответствии с формулой Циолковского (учитываются только потери массы КА из-
за расхода топлива при коррекции);
/ск - время завершения баллистического существования рабочей орбиты КА, при-
чём если баллистическое существование КА обеспечено до заданного момента вре-
мени zja;l, то полагается 4к=ЛаД;
167
1.3.
N- количество отрезков времени затенения КА (Заславский ГС. и др., 2014), при-
надлежащих интервалу [Лк,Лк] от выключения ДУ при реализации проектируемой
коррекции до завершения баллистического существования рабочей орбиты КА после
коррекции;
Лн/, Г/, Лз»/, Лзк„ A?Tmaxy - упорядоченная (по времени начала отрезков времени зате-
нения, Л111<Лн2<---Лпы) последовательность «пятёрок» чисел, каждая из которых харак-
теризует (после реализации коррекции): начало и конец отрезка времени затенения
([Лир Лк7]), начало и конец отрезка полного затмения Солнца ([Лзн/, Лис/]) и степень зате-
нения КА (коэффициент Л?Тп1ах/ нау-м отрезке времени затенения (все рассматривае-
мые отрезки принадлежат интервалу [Лк,Лк];
массив следующих параметров оскулирующей на момент времени Лк орбиты
КА, после коррекции, в СК J2000: hK - высота перицентра над поверхностью Земли;
ha - высота апоцентра над поверхностью Земли, со - аргумент широты перицентра;
i - наклонение; Q - долгота восходящего узла; Ро - период орбиты; Л - момент вре-
мени «прохождения» КА перицентра орбиты на предшествующем витке; fa - момент
времени «прохождения» КА начала текущего витка полёта.
Практика многочисленных решений задачи при подготовке и реализации полёта
КА «Спектр-Р» позволяет при проектировании задачи коррекции его траектории при-
нять /7лс=640 км, Л/с=10 с, Ихар min=0.01 м/с, Ихар тах= Ю.00 м/с, hVx = 0.01 м/с. При рас-
смотрении первой и второй целевых коррекций принималось Лад=18.07.201712:00:00
(десять лет от запуска КА на РО).
Решение задачи ВППК - трудоёмкий процесс, обусловленный тем, что многократ-
но приходится высокоточным численным методом интегрировать сложную систему
дифференциальных уравнений, описывающих движение КА по РО на длительных
(несколько лет) интервалах полёта. Но в результате решения этой задачи решение
задач более высокого уровня, каждая из которых при том или ином фиксированном
значении Лон определяет значения, соответствующие и С"1ах, сводится к перебору
уже полученных данных.
Необходимо обратить внимание, что КА в течение нескольких лет (после
2016 года) многократно сближается с Луной, погружается в сферу её гравитационно-
го влияния (Заславский ГС. и др., 2016; Заславский ГС. и др., 2017). Следовательно,
при проектировании коррекции на этом этапе расчёт эфемерид (компонентов векто-
ров положения и скорости ЦМ) Луны должны вычислять с высокой точностью.
Может иметь место случай, когда величина С"1ах, соответствующая желаемому
значению Г*кон величины Лон, меньше заданной величины кр. И, следовательно, про-
ектируемая коррекция заведомо не гарантирует выполнения основного требования
к траектории дальнейшего полёта КА до момента времени ЛК0|1. В этом случае предус-
матривается два следующих варианта проектирования предстоящей коррекции.
Вариант 1. Значение величины Лон уменьшается (от значения fK0II) до значения, при
котором начинает выполняться условие
С™>кр.	(1.3.71)
Если это значение является приемлемым с точки выполнения программы даль-
нейшего полёта КА, то целевая коррекция проводится с одним включением ДУ.
В противном случае рассматривается другой вариант проведения целевой коррекции.
168
1.3.
Вариант 2. Коррекция проводится посредством набора нескольких допустимых
включений ДУ. Причём каждое последующее включение ДУ в наборе происходит
приблизительно через один-два витка от предыдущего, что позволяет с необходи-
мой точностью определять по ТРИ и ТМИ параметры траектории полёта КА перед
расчётом баллистических параметров для реализации последующего включения ДУ
Общее число включений ДУ в коррекции минимизируется при обязательном выпол-
нении условий 4OII= fKOI1 и (1.3.71) для последнего включения ДУ.
Если для реализации первой целевой коррекции ДУ включалась дважды (Заслав-
ский ГС. и др., 2014), то вторая целевая коррекция исполнена посредством одного
включения ДУ в момент времени ГД|1|, см. (1.3.67). При проектировании второй це-
левой коррекции предполагалось ^он^Лон^О 1.01.202000:00:00. Решение задачи ВППК
было выполнено для траектории с номером 3 (см. таблицу 1.3.9). После обработки
результатов решения этой задачи были получены следующие основные характери-
стики целевой коррекции: К™х~1-67 м/с и С™х~0.14. Другими словами, проведение
второй целевой коррекции с номинальным приращением характеристической скоро-
сти 1.67 м/с обеспечивает выполнение основного требования к траектории дальней-
шего полёта КА до начала 2020 года момента времени коррекция с вероятностью
близкой к единице. Если говорить о трёх возможных вариантах целевых коррекций
с включениями ДУ в моменты времени гднЬ ГД1|2 и ГД1,3 соответственно то, с точки зрения
вероятности выполнения основного требования к траектории дальнейшего (после
коррекции) полёта КА до начала 2020 года, они идентичны.
В таблице 1.3.11 и на рисунках 1.3.76-1.3.80 приведены характеристики траек-
торий полёта КА до и после реализации второй целевой коррекции КА. Коррекция
с небольшим приращением характеристической скорости привела к существенному
изменению параметров дальнейшего движения КА. Она позволила с вероятностью,
близкой к единице, перенести нарушение основного требования к траектории полёта
КА с января 2018 года на несколько лет вперёд. Это объясняется прежде всего изме-
нением (за счет реализации коррекции траектории) характеристик погружений КА
в сферу влияния Луны, рисунок 1.3.81.
Успешный многолетний полёт КА «Спектр-Р» продемонстрировал эффектив-
ность приведённых методики и алгоритмов оперативного проектирования целевой
коррекции его высокоэллиптической (относительно Земли) траектории.
Таблица 1.3.11. Время баллистического существования и характеристики неприемлемого
затенения КА при его полёте по траекториям до и после второй коррекции
номер траектории	3	4
/ек	21.05.2018 04:21:44	21.07.2020 15:06:44
t ill	06.01.2018 04:54:32	нет
часы	6.31	нет
4i «1	06.01.2018 05:37:09	нет
5/1И, часы	4.77	нет
169
1.3.
Гmin/ Гmax# 360
тыс. км 34q
320
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
время полёта КА от 00 ч 01 октября 2017 г., сутки
Рисунок 1.3.76. Эволюция минимального и максимального расстояний КА от ЦМ Земли
на витке полёта по траектории до и после реализации второй коррекции
время полёта КА от 00 ч 01 октября 2017 г., сутки
Рисунок 1.3.77. Эволюция периода орбиты КА до и после реализации второй коррекции
170
1.3.
время полёта КА от 00 ч 01 октября 2017 г., сутки
Рисунок 1.3.78. Эволюция аргумента широты перигея орбиты КА до и после реализации
второй коррекции
время полёта КА от 00 ч 01 октября 2017 г., сутки
Рисунок 1.3.79. Эволюция наклонения орбиты КА до и после реализации второй коррекции
171
1.3.
время полёта КА от 00 ч 01 октября 2017 г., сутки
Рисунок 1.3.80. Эволюция долготы восходящего узла орбиты КА до и после реализации
второй коррекции
Rom, ТЫС. КМ
время полёта КА от 00 ч 01 октября 2017 г., сутки
Рисунок 1.3.81. Зависимость расстояния КА от ЦМ Луны при его движении по траектории
до и после реализации второй коррекции
172
2 ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПЕРЕЛЁТОВ
С ГРАВИТАЦИОННЫМИ МАНЁВРАМИ
Ш ГЕОМЕТРИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО МАНЁВРА
Метод сопряжённых конических сечений представляет траектории КА в виде ку-
сочно-кеплеровых гелиоцентрических орбит с точками склейки (изломами) в местах
проведения гравитационных манёвров около планеты (второго тела). Области про-
ведения манёвров (с момента t, входа в сферу действия второго тела до момента t2
выхода из неё) считаются пренебрежимо малыми по сравнению с участками кепле-
рова гелиоцентрического движения и заменяются точками склейки (рисунок 2.1.1).
На рисунке Vsc//, - вектор скорости КА относительно центрального тела до входа
в сферу действия второго тела, - соответствующий вектор скорости при вы-
ходе из сферы действия второго тела (после проведения гравитационного манёвра),
Npi - скорость планеты-партнёра.
Рисунок 2.1.1. Геометрия гравитационного манёвра - прохождения третьим телом сферы
действия малого тела
Для Солнечной системы - системы с одним массивным центральным телом
и многими малыми телами (планетами) - в ряде случаев эффективная модель это
суперпозиция из нескольких ОЗТТ с одновременно не накладывающимися друг на
друга сферами действия.
Изменение скорости КА относительно основного тела равно:
AV=V -V
‘-Л ’ Т SC.OUI ▼ ЛС.7П,
А К = |AV| = 2 Г.. sin — =
1	1	2 ц + r/j
где ц - гравитационный параметр пролётного тела; гр - расстояние от центра планеты
до перицентра пролётной гиперболы КА, которое не может быть меньше радиуса
173
2.1.
планеты-партнёра Rp/ (Barrabes E. et al., 2004). Максимальная добавка к гиперболи-
ческой скорости по модулю не может превышать первую космическую скорость для
планеты-партнёра АКах = /--. В таблице 2.1.1 представляющей собой расширенную
и уточненную согласно новейшим данным космических наблюдений (Голубев Ю.Ф.
и др., 2014. С. 159-177) таблицу 1.1.2, приведены ресурсы гравитационного маневри-
рования при пролётах сфер действия планет и крупных карликовых планет Солнеч-
ной системы. При переходе к модельным безразмерным величинам гравитационное
маневрирование КА около любого небесного тела будет определяться модельным ко-
эффициентом нормализованной скорости КА yj=VIVpt. Следовательно, интенсивность
любого гравитационного манёвра будет описываться безразмерным параметром
XJnOd=A VmJ Vph и чем он больше, тем большей становится возможная деформация пуч-
ка динамически допустимых траекторий КА на манёвре. Соответствующие значения
Xmod также приведены в таблице 2.1.1.
Таблица 2.1.1. Максимально возможные вариации скорости КА при пролёте крупных
небесных тел Солнечной системы
небесное тело	вариация скорости ДКтах, км/с	ДК У	_	max A/mod	тг	центральное тело
Меркурий	3.005	0.063	Солнце
Венера	7.326	0.209	Солнце
Земля	7.912	0.265	Солнце
Марс	3.557	0.147	Солнце
Церера	0.101	0.056	Солнце
Юпитер	42.57	3.257	Солнце
Сатурн	25.52	2.634	Солнце
Уран	15.12	2.22	Солнце
Нептун	16.67	3.07	Солнце
Плутон	0.85	0.18	Солнце
Хаумеа	1.16	0.26	Солнце
Макемаке	1.11	0.25	Солнце
Эрида	1.09	0.3	Солнце
Луна	1.680	1.6	Земля
Ио	1.809	0.1	Юпитер
Европа	1.433	0.1	Юпитер
Ганимед	1.949	0.17	Юпитер
Каллисто	1.725	0.21	Юпитер
Титан	1.867	0.3	Сатурн
При описании геометрии пространственного гравитационного манёвра (3D-GAM)
вводятся основные углы. Угол 5 поворота вектора гелиоцентрической скорости
КА V: Vi= Vsc//„ V2= Vsc>w// (рисунки 2.1.1, 2.1.2) определяется исходя из угла рас-
твора ф пролётной гиперболы относительно второго тела - «планеты-партнёра» -
174
2.1.
по гравитационному манёвру (модуль вектора асимптотической скорости КА отно-
сительно планеты-партнёра |VX||= К при этом не меняется, но сам вектор VX| пово-
рачивается на угол ф и переходит в Vx2 - рисунок 2.1.2 (Labunsky A.V.et al., 1998)).
Пусть Л>0 - минимальная высота пролёта КА над поверхностью планеты радиуса Rph
так что Rn=Rpl+h - расстояние перицентра пролётной гиперболы. Тогда для ф|пах - мак-
симального угла ф поворота вектора асимптотической скорости КА на однократном
GAM - справедливо соотношение (Labunsky A. V.et al., 1998):
sin ^max =___—______
2	ц + ^+А).^2’
где ц - гравитационный параметр планеты.
Рисунок 2.1.2. Поворот вектора асимптотической скорости в случае 3D-GAM согласно
(Labunsky A. V.et al., 1998)
Влияние пролёта сферы действия планеты в рамках модели сопряжённых ко-
нических сечений можно рассматривать как импульсное изменение скорости КА.
На достаточно большом расстоянии движение КА по отношению к рассматриваемой
планете происходит главным образом вдоль асимптоты гиперболы сближения-удале-
ния, и изменение скорости соответствует повороту вектора скорости по отношению
к планете.
Рассмотрим всевозможные образы определённой гиперболической траектории
с определённым вектором скорости на бесконечности и с выбранной прицельной
дальностью после гравитационного манёвра на поверхности Vy-сферы - сферы ра-
диуса К», построенной на конце планетоцентрического вектора скорости планеты V/?/
(рисунок 2.1.3).
175
2.1.
Рисунок 2.1.3. Voo-сфера
Рисунок 2.1.4. Voo-сфера и конусы виртуальных скоростей КА и его орбитальных нормалей
на выходе из GAM
176
2.1.
Общий смысл динамических ограничений для GAM сводится к тому, что конец
выходного вектора N^OIII при однократном GAM не выходит за пределы сфериче-
ской области («сферической шапочки»). Эта область представляет собой пересечение
УЛ-сферы и телесного угла, образованного конусом с углом раствора 2(р, осью кото-
рого является вектор входной (перед GAM) асимптотической скорости КА (ри-
сунок 2.1.4). Основанием указанной сферической области является круг А?ф радиуса
г = KoeSincp, ортогональный Уда//7.
Из геометрических соображений, можно понять, что плоскость круга А?ф долж-
на быть параллельна картинной плоскости планеты, соответствующей вектору Уоо.ш,
то есть перпендикулярна вектору У^,,,.
В таблице 2.1.2 представлены ресурсы углов поворота на элементарном GAM око-
ло планет Солнечной системы для различных космических миссий, различающихся
требуемой величиной наклонения орбиты КА.
Таблица 2.1.2. Максимально возможные вариации наклонения орбиты КА при однократном
пролёте крупных небесных тел Солнечной системы для различных миссий, различающихся
требуемой величиной наклонения орбиты
планета	первая космическая скорость ИГ.Р|, км/с	V,,/, км/с	фтах ДЛЯ /,,т=20°, град	фтах ДЛЯ /„,а.х=30°, град	фтах ДЛЯ / =45° »тах	, град
Меркурий	3.01	47.36	4.05	1.93	0.97
Венера	7.23	35.02	31.01	16.75	9.02
Земля	7.92	29.78	44.12	25.37	14.17
Марс	3.54	24.13	17.91	9.1	5.61
Юпитер	41.13	13.07	162.35	154.34	144.09
Сатурн	25.46	9.69	159.08	149.66	137.71
Уран	15.56	6.81	155.84	145.04	131.49
Нептун	16.97	5.43	162.35	154.34	144.09
Плутон	1.2	4.67	42.32	24.14	13.41
177
2.2.
Щ ГРАВИТАЦИОННЫЕ МАНЁВРЫ ДЛЯ ИЗМЕНЕНИЯ
ОРБИТАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ КА
2.2.1. Первый в истории гравитационный манёвр, совершённый
отечественной АМС «Луна-3»
Использование гравитационных манёвров около естественных небесных тел по-
зволяет значительно расширить область освоения Солнечной системы при существу-
ющем уровне развития космической техники. Впервые в мире гравитационный манёвр
осуществлён в 1959 году во время полёта КА «Луна-3» (Левантовский В.И., 1960),
передавшей первые изображения обратной стороны Луны. Изменение орбиты было
рассчитано так, чтобы аппарат при возвращении к Земле снова пролетел над Се-
верным полушарием, где были расположены советские наблюдательные станции
(рисунок 2.2.1).
Рисунок 2.2.1. Схема полёта АМС «Луна-3»
2.2.2. Космические проекты с многократным
использованием гравитационных манёвров
для увеличения орбитальной энергии
Использование гравитационных манёвров (ГМ, или GAM - Gravity Assist
Maneuver) около естественных небесных тел позволяет значительно расширить об-
ласть освоения Солнечной системы при существующем уровне развития космической
техники. Дополнительное приращение характеристической скорости, получаемое
практически безвозмездно - за счёт орбитальной энергии планет или их спутников -
создаёт возможность существенной экономии ресурсов для полётов к планетам-ги-
гантам, и, в первую очередь - к системе Юпитера (СЮ) (Minovitch М., 1963; 1972).
178
2.2.
В ранних космических миссиях подобного рода («Пионер-10» («Pioneer 10»),
«Вояджер-1»(«Voyager-1»)) выбранная планета-мишень использовалась в качестве
катапульты для нового разгона корабля.
В 1974 году гравитационный манёвр использовал КА «Маринер-10»
(«Mariner 10»): было произведено сближение с Венерой, после которого аппарат на-
правился к Меркурию.
АМС «Вояджер-1» стартовал 5 сентября 1977 года. Длительность миссии перво-
начально была определена в пять лет. Его близнец, зонд «Вояджер-2», был запущен
на 16 дней раньше, но он никогда не догонит «Вояджер-1». Основное отличие про-
граммы «Вояджер-1» — то, что для него была выбрана более короткая трасса, чем для
«Вояджера-2»: «Вояджер-1» должен был посетить только Юпитер и Сатурн. 17 фев-
раля 1998 года «Вояджер-1» на расстоянии около 10.4 млрд км от Земли обогнал
аппарат «Пионер-10», до того момента наиболее удалённый от неё КА.
19 января 2006 года в сторону Плутона стартовал аппарат «Новые горизонты»
(«New Horizons»). Несмотря на то, что КА «Новые горизонты» был запущен с Земли
с более высокой скоростью, чем оба «Вояджера», «Вояджер-1» имеет более высокую
скорость благодаря нескольким гравитационным манёврам. На 10 января 2012 года
скорость аппарата «Новые горизонты» относительно Солнца составляла 15.5 км/с,
а скорость «Вояджера-1» - 17.0 км/с.
За счёт гравитационных манёвров скорость «Вояджера-1» (-17 км/с) в марте
2011 года была выше, чем текущая скорость «Новых горизонтов» (-15.9 км/с), хотя
после старта с Земли скорость последнего была самой высокой для рукотворных объ-
ектов (16.21 км/с).
Сложную комбинацию гравитационных манёвров использовали АМС «Касси-
ни» («Cassini»):для разгона аппарат использовал гравитационное поле трёх планет -
Венеры (дважды), Земли и Юпитера (рисунки 2.2.2, 2.2.3).
179
2.2.
Рисунок 2.2.3. Изменение орбитальной энергии КА «Кассини» при проведении
гравитационных манёвров
Впоследствии были использованы более изощрённые сценарии, использующие
не только разгонные, но и симметричные им - тормозные, с целью «высадки» в вы-
бранную спутниковую систему с минимальной величиной тормозного импульса
(«Галилео» («Galileo»), «Кассини»). В этих случаях, наряду с выбором «окон стар-
та» от Земли, появилась необходимость комбинационного маневрирования с соот-
ветствующими сценариями и схемами гравитационных манёвров. Перспективные
космические миссии (проект Роскосмоса «Лаплас-П» при возможной кооперации
с проектом ESA «JUICE» (Boutonnet A., Schoenmaekers J., 2012; Ulivi P., Harland D.,
2015; Голубев Ю.Ф. и др., 2014. С. 159-177)), предусматривающие посадку на один из
спутников-лун Юпитера, требуют ещё более сложных схем комбинационного манев-
рирования. Это вызвано тем, что необходимые пролёт, облёт и посадка на спутник
предполагают многократное уменьшение скорости прибытия космического аппара-
та, которое, при наличии современных ограничений на расход топлива, можно обе-
спечить только с помощью гравитационных манёвров около галилеевых спутников
Юпитера: Ио, Европа, Ганимед, Каллисто. Для таких проектов необходимо обеспе-
чить стандартные требования-ограничения на продолжительность миссии, мини-
мизацию уровня суммарной полученной дозы радиации (TID - Total Ionizing Dose)
и бюджета характеристической скорости. Требования весьма очевидны, но трудно-
выполнимы при современном уровне развития космической техники и ограничениях
на расход ресурса в условиях гигантских расстояний до СЮ и предельно жёстко-
го уровня радиации в ней. Для указанных задач возможна и зачастую проводится
180
2.2.
оптимизация по одному-двум из отмеченных ограничений. Ситуация усложняется
жёсткостью требований к дате прибытия КА в СЮ, несовместимой с реальностью
значительных ошибок исполнения подлёта к ней КА (даже с применением малых
манёвров), и неточным знанием её эфемерид. При этом ограниченные динамические
возможности использования лун для гравитационных манёвров требуют проведения
десятков прохождений около них. Очевидна актуальность создания регулярной про-
цедуры построения оптимальных сценариев - расписаний прохождения соответству-
ющих небесных тел и выработки условий исполнения этих расписаний.
Каждая приемлемая цепочка гравитационных манёвров предполагает сохранение
темпа. При этом полёт КА от одного сближения к другому практически инерционен,
с минимальными затратами топлива, т.к. использует в качестве механизма нацелива-
ния характеристики вылета из предшествующего манёвра. Эта рекуррентная малая
энергозатратность регулярной синтезируемой цепочки может оборваться в случае
попадания «в тупик» при отсутствии хотя бы одной досягаемой цели на выходе из те-
кущего GAM. К корректно построенному сценарию предъявляется требование своев-
ременных поставок текущих целей для КА.
Технология обеспечения «поставок» последующих целей на начальной фазе пла-
нетарной миссии достаточно прозрачна, она состоит в решении стартовой задачи
Ламберта (Голубев Ю.Ф., 2015. С. 97-103) из условия последующего сближения КА
с Ганимедом после выполнения JOI (Jovian Orbit Insertion - переход на орбиту искус-
ственного спутника Юпитера) и реализации последующей серии решений задач Лам-
берта таких, чтобы орбитальный период КА на выходе из зоны очередного гравита-
ционного манёвра был кратен орбитальному периоду выбранного спутника-партнёра
маневрирования. Сформированная таким образом резонансность периодов обеспе-
чит новую встречу с партнёром через некоторое время в некоторой окрестности ис-
тинной аномалии последней встречи. Для этого непосредственно перед предстоя-
щим совершением заготовленного гравитационного манёвра достаточно проводить
малозатратную уточняющую коррекцию, регулирующую высоту пролёта над спут-
ником-мишенью. Проведение коррекций привязано обычно к окрестности одного из
заключительных перед сближением перийовиев орбиты.
Пошаговый алгоритм проектирования коррекции в эфемеридной модели. Эфе-
меридная модель (ЭМ) представляет траектории основных тел как таблицы координат
и скоростей или как интерполяционные формулы для получения таких таблиц. Эфе-
мериды можно взять, например, с сайта (NAIF: https://naif.jpl.nasa.gov/naif/index.html).
Перелёт между малыми телами (планетами, спутниками) можно проектировать с по-
мощью следующего пошагового алгоритма.
1.	Перед сближением со спутником-мишенью для осуществления текущего GAM
задаётся следующий GAM, исходя из выбора способа прохождения мишени.
2.	В перийовии, предшествующем текущему GAM, после выбора параметров по-
следующего GAM рассчитывается коррекция орбиты КА, обеспечивающая выполне-
ние текущего GAM с пролётом спутника-мишени на заданной высоте, вычисленной
с помощью решения задачи Ламберта - Эйлера.
3.	Проводится уточнение коррекции методом Ньютона (см. подраздел 1.1.5) со-
гласно ЭМ.
4.	Рассчитывается движение КА с учётом ЭМ до перийовия, предшествующего
следующему GAM.
181
2.2.
Для уточнения импульса коррекции из условия пролёта спутника-цели на заданной
высоте используется интегрирование уравнений движения КА в СЮ (Boutonnet А.,
Schoenmaekers J., 2012) с учётом гравитации его естественных спутников в ЭМ. По-
иск импульса коррекции осуществляется в три этапа.
На первом этапе импульс находится из условия минимизации функционала, пред-
ставляющего собой разность между заданным значением расстояния перицентра
пролётной гиперболы и реализуемым вследствие импульса его значением. Минимум
ищется комбинированным методом с использованием градиентного метода и метода
покоординатного спуска (Голубев и др., 2014. С. 39-41). Для этого при расчёте гради-
ента определяются разрешённые направления. Направление считается разрешённым,
если при вариации компоненты вектора скорости в данном направлении выполняется
условие по барицентру. Если все направления разрешены, используется градиентный
метод с регулируемым шагом. Если имеются запрещённые направления, выбирается
движение по наиболее эффективной координате.
На втором этапе назначается коэффициент кратности как минимальное целое
число, большее, чем отношение орбитального периода КА к орбитальному периоду
малого тела. Целевое значение периода КА после гравитационного манёвра полага-
ется равным произведению коэффициента кратности и орбитального периода мало-
го тела.
На третьем этапе импульс уточняется из условия минимизации функционала,
представляющего собой разность между целевым значением периода и его фактиче-
ским значением.
В случае проведения пространственных (3D) манёвров, необходимо дополнитель-
но ввести параметризацию по боковой дальности пролёта.
182
2.3.
ЯЯ МНОГОКРАТНЫЕ РАЗНОТЕЛЬНЫЕ
ГРАВИТАЦИОННЫЕ МАНЁВРЫ
2.3.1. Интеграл Якоби в ограниченной круговой задаче трёх тел
Выпишем безразмерный интеграл Якоби для ограниченной круговой задачи трёх
тел (центральное тело - «Юпитер» с гравитационным параметром ц,, малое тело -
его естественный спутник («луна») с гравитационным параметром p2<<:Pi и третье
тело бесконечно малой массы - КА). Для этого введём вращающуюся барицентриче-
скую систему координат BXYZ, где ось ВХ содержит основное и малое тело, ось BY -
орт к оси ВХ в плоскости орбиты малого тела, ось BZ дополняет их до положитель-
но ориентированного репера. Введём безразмерные величины И, 7?h R2: K=KBsc/Ksat,
KBsc - скорость KA в системе координат BXYZ, Ksal - средняя орбитальная скорость
естественного спутника Юпитера, Ksat =	+ ^2)/а^ где ^at - большая полуось ор-
биты этого спутника. Координаты КА X, Y, Z и расстояния от КА до Юпитера и его
спутника 7?।, Т?2 нормированы по asal. Тогда интеграл Якоби запишется как удвоенная
разность величин, представляющих потенциальную и кинетическую энергию U и
И72 рассматриваемой механической системы, делённых на массу КА {Campagnola S.,
Russell R.P., 2010. Р. 463-475; Campagnola S., Russell R.P, 2010. P. 476-486)
J=2U-V2 =(X2 + У2) + 2^^ + 2-^- + (1-|л)ц-И2;	(2.3.1)
|_i = —<1.	(2.3.2)
Ц1+Ц2
С учётом (2.3.1), (2.3.2) в инерциальной системе координат Oxyz, связанной с ос-
новным телом, будет выполнено
И2 = X2 + У2 + Z2 = v2 + (х2 + /) - 2/zcosz,
J = ((х-ц)2 + j/2) + 2-——+ 2— + (1-ц)ц- v2 -7?2 +2Acosz,
R2
где n=VJV^ Ksc - скорость КА в Oxyz, координаты КА х,у нормированы по а^ъ 1ие-
наклонение и эксцентриситет орбиты КА, h = д/(1 -ц)я(1 -е2), a=ajasin, asc - боль-
, тл	2 2(1-ц) 1-ц
шая полуось его орбиты. Используя соотношение для энергии v =-----------,
7?! а
из (2.3.3) можно получить интеграл Якоби в виде
J =	+ 2^/а(1-е2)(1-ц) cosz + 2-^- 2хц + ц2 + (1 - ц)ц.	(2.3.4)
a	R2
Параметр Тиссерана. При предельном переходе ц—>0, в предположении, что
R2 не является малым, получим локальную эквивалентность интеграла Якоби J
и параметра Тиссерана Т {Мюррей К., Дермотт С., 2009; Субботин М.Ф., 1968)
J ~ — + 2д/а(1 -е2) cosi - Т. Тиссеран использовал этот критерий, чтобы выяснить,
а
является ли вновь открытая комета уже известным объектом, элементы орбиты ко-
торого изменились после тесного сближения с планетой. Это приближение для ин-
теграла Якоби выведено в предположении, что орбита Юпитера является круговой.
183
2.3.
время, в годах
Рисунок 2.3.1. Изменение константы Тиссерана за время интегрирования 35 лет для двух
орбит комет в случаях нулевого и ненулевого эксцентриситета Юпитера
Однако параметр Тиссерана остаётся постоянным и для ненулевого эсцентриситета.
Это показано в {Мюррей К., Дермотт С., 2009. С. 90) с помощью численного инте-
грирования. На рисунке 2.3.1 нижняя кривая соответствует круговой орбите Юпите-
ра, а для верхней кривой использовано современное значение эксцентриситета 0.048.
Из рисунка видно, что при наибольшем сближении кометы с Юпитером приближение
не работает, но в целом значение константы Тиссерана меняется менее чем на 1%
в первом случае и менее чем на 2% - во втором.
Для орбиты с нулевым наклонением можно записать
г т _1 э Г7,—_	2 , э I2гл
J ~ Т — —h 2д/ а(1 — е ) —--h 2 /---,
а	Га+Гр
где га, гр - нормированные по asal апоцентр и перицентр орбиты КА.
Обратимся к конфигурации пролёта КА около спутника Юпитера («луны»).
В рамках метода конических сечений при гравитационном манёвре КА выполняет-
ся соотношение , где у - угол раствора пролётной гиперболы КА. В безразмерном
виде, нормализованном по Ksal,	это соотношение запишется как v2 =v2+l-
-j-2vcosycosz. Тогда с использованием соотношения -1/(2<7)=v2/2-1 можно получить
— = 2-+l-2Acosz, /7=vcosy, откуда немедленно следует связь константы Якоби и
Параметра Тиссерана с асимптотической скоростью: J~T=3(l-|i)-v2~ 3-vL
Таким образом, асимптотическая скорость КА относительно спутника-мишени
является вместе с интегралом Якоби инвариантом ОЗТТ.
Как известно, условие Тиссерана для системы «Солнце - Юпитер - малое тело»
записывается в единицах au (а.е.) (astronomical unit - астрономическая единица)
(1 аи=гоГ=149 597 870.7 км, где гоЕ - средний радиус орбиты Земли), как инвариант
кометы
184
2.3.
THJ = Г~ 7 1 X + °-1686О./(а/roE)(l-e2)cos/.	(2.3.5)
(a/roE)	v
Для системы Юпитера локальные модельные «инварианты кометы» в случае про-
лёта КА через сферы действия крупных спутников со средними радиусами орбит ro_sal
можно записать через размерное значение большой полуоси КА adim
Т ~ 7---7---Г + 27(adimA,-sat)(> -е2) cosz-	(2-3.6)
\^dim/ ^о-sat /
Их также удобно записать аналогами классического инварианта кометы в мест-
ных, «юпитерианских астрономических единицах» ю.а.е., приняв за 1 jau (Jovian
astronomical unit - юпитерианская астрономическая единица) величину среднего ра-
диуса орбиты третьего спутника Юпитера - Ганимеда: r()y (1 jau = г„у=1 070 400 км,
1 jau— 14.97 7?j, в средних радиусах Юпитера 7?j),
47 47dHn/roy,
Т^° = Г, ~ - + 8.09092^(1-е2) cosz - инвариант КА при пролёте Ио,
а
^d2T = Ге ~ — + 4.03053^(1-е2) cosz - для Европы,
а
7}d"” = Г ~ — + 2yla(\-e2) cosz - для Ганимеда,
а
y^dini _ р _ J_ + 0.85739д/а(1 -е2) cosz - для Каллисто.
а
Таким образом, при совершении КА гравитационного манёвра со спутником Юпи-
тера фиксируется «юпитерианский кометный инвариант» именно этого спутника.
Проектирование межпланетных миссий в последнее время использует ряд новых
подходов. В первую очередь это связано с методом использования диаграмм-гра-
фов Тиссерана - Пуанкаре. В англоязычной литературе для графов Тиссерана - Пу-
анкаре (ГТП) используется аббревиатура «Т-Р graphs» (Tisserand-Poincare graphs)
(Campagnola S., Russell R.P., 2010. P. 463-475; Campagnola S., Russell R.P., 2010.
P. 476-486).
В первоначальном варианте по оси ординат наносилась орбитальная высота пери-
центра КА, по оси абсцисс - величина его орбитального периода (Labunsky А. V. et al.,
1998). В силу описанной выше энергетической инвариантности, положение КА после
проведения произвольного гравитационного манёвра со спутником будет принадле-
жать некоторой кривой на ГТП. Эта кривая, в частности, будет являться изолинией
асимптотической скорости КА при пролёте этого спутника (будем называть её «изо-
инфиной»- от английского термина V-infinity). Характеристики орбиты КА будут изо-
бражаться на ГТП некоторой точкой (заметим, что наклонение орбиты близко к нулю,
долгота восходящего узла является неопределённым параметром, а аргумент пери-
центра определяется пролётной гиперболой). Можно проектировать цепочку грави-
тационных манёвров со спутником как последовательность точек на изоинфине. Она
строится по начальным условиям входа в систему Юпитера. Движение по изоинфине
позволяет снизить эксцентриситет орбиты КА и его орбитальный период, но не по-
зволяет «дойти» до самого спутника.
В последнее время применяются более наглядные модификации метода использо-
вания диаграмм Тиссерана - Пуанкаре. Связь орбитального периода с большой полу-
185
2.3.
осью позволяет преобразовать ГТП к следующему виду: по оси абсцисс - радиус апо-
центра, по оси ординат - радиус перицентра (Woolley R.C., 2010). В первую очередь,
этот вид ГТП позволяет более оперативно оценить радиационную опасность пролёта,
поскольку основная доза радиации на витке получается именно в перицентре (Голу-
бев Ю.Ф. и др., 2013; Голубев Ю.Ф. и др., 2014. С. 159-177).
Рассмотрим образ орбиты КА на ГТП в модификации, на которой по осям аб-
сцисс и ординат откладываются расстояния апоцентра и перицентра орбиты КА
соответственно.
«Изоинфина» - инвариантная при гравитационном маневрировании линия уровня
асимптотической скорости КА - на ГТП «промахивается» мимо «точки прицелива-
ния», имеющей в случае Ганимеда координаты (157?j, 157?j), рисунок 2.3.2.
Рисунок 2.3.2. Изоинфины на диаграммах Тиссерана - Пуанкаре для Ганимеда. По осям
абсцисс и ординат отложены Ra и Rp - расстояния апоцентра и перицентра орбиты КА
в радиусах Юпитера R]
Более того, скачкообразное перемещение фазового состояния КА по изоинфине
при проведении гравитационных манёвров понижает перицентр его орбиты и сме-
щает тур в зону повышенной радиации. В таком случае необходимы регулярные
коррекции подъёма перицентра, требующие существенных затрат топлива. В СЮ,
например, результатом является тот факт, что КА не сможет приблизиться к спутни-
ку-цели без значительных дополнительных затрат характеристической скорости. При
этом его параметрическое состояние неминуемо скатится по изолинии асимптоти-
ческой скорости на диаграмме Тиссерана (Labunsky A.V. et al., 1998) (рисунок 2.3.2)
в область с низкими перийовиями и запредельными уровнями радиации XR-зоны
(Extra Radiation Zone). На рисунке 2.3.2 представлена диаграмма Тиссерана для слу-
чая GAM с Ганимедом. Она вводится следующим образом. По оси абсцисс отложены
расстояние апоцентра орбиты КА, по оси ординат - расстояние перицентра (в ра-
диусах Юпитера). Нанесены изолинии асимптотической скорости КА относительно
Ганимеда.
186
2.3.
Решение задачи поиска цепочек гравитационных манёвров с определённым ма-
лым телом осуществляется в виде конъюнкций (рассчитанных с учётом ЭМ встреч
КА со спутником-мишенью G (например с Ганимедом), что формально можно запи-
сать в виде
S:{GiA...aG-v}_	(2.3.7)
В результате открывается возможность решать задачу синтеза цепочек гравитаци-
онных манёвров с использованием ЭМ, как специальную автоматическую селекцию
пучков траекторий КА в классе конъюнкций встреч со спутниками в соответствии
с формулой (2.3.7). С этой целью авторами разработана полуаналитическая методика
построения адаптивных сценариев (Голубев Ю.Ф. и др., 2013) на основе использова-
ния диаграмм Тиссерана - Пуанкаре, на которые наносятся результаты численного
поиска только структурно подходящих малобюджетных отражений траекторных пуч-
ков (в ЭМ-постановке).
Для уточнения импульса коррекции из условия пролёта планеты/спутника-цели
на заданной высоте используется интегрирование уравнений движения КА в Сол-
нечной системе с учётом гравитации её планет и в планетных системах (в первую
очередь - в СЮ) с учётом гравитации их естественных спутников. Поиск импульса
коррекции осуществляется в три этапа, описанных выше.
В случае проведения пространственных (3D) манёвров необходимо дополнитель-
но ввести параметризацию по боковой дальности пролёта. Двумерная параметриза-
ция высоты пролёта позволяет проектировать как разгонно-редукционные по скоро-
сти манёвры PGA («Pumping Gravity Assists»), так и манёвры по изменению наклона
орбиты КА CGA («Cranking Gravity Assists»).
На рисунке 2.3.3 представлена типовая траектория КА, синтезированная в процес-
се проведения сольных GAM (GAM, проводимых только с одним небесным телом)
в СЮ.
Рисунок 2.3.3. Первая фаза миссии в системе Юпитера («дебют»)
Ио
187
2.3.
Расчёт первой фазы Р1 («дебюта») выполняется для гибко заданных условий при-
бытия КА в систему Юпитера по уточнённым эфемеридам СЮ и Солнечной системы
JPL NASA, с использованием специального программного комплекса (рисунок 2.3.4).
Типовая реализованная последовательность понижающихся периодов КА записы-
вается в периодах Ганимеда как 6:1—>5:1—>4:1—>3:1—>5:2—>2:1.
Перийовии орбиты, хотя и локализованы по истинной аномалии, тем не менее,
дрейфуют от одного манёвра к другому. Если сначала зафиксировать положение ли-
нии апсид орбиты КА, что применяется при поиске сценариев миссий в ряде модель-
ных работ, это может привести к утере реального движения КА при попытке под-
ключить реально наблюдаемые эфемериды небесных тел системы Юпитера вместо
использования кеплеровых траекторий. Траектории разрушаются при малых вариа-
циях параметров. Аналогичная картина наблюдается при использовании метода скле-
енных конических сечений (Barrabes Е. etal., 2004; Woolley R.C., 2010), заменяющего
область гравитационного манёвра «точкой отражения», что является в этом смысле
характерным примером. Под «точкой отражения» подразумевается точка мгновенно-
го изменения направления вектора асимптотической скорости КА.
Рисунок 2.3.4. Семейства резонансных малозатратных гравитационных манёвров этапа 1.
По осям абсцисс и ординат отложены Ra и Rn - расстояния апоцентра и перицентра орбиты
КА, измеренныев радиусах Юпитера
На витке перед проведением GAM проводится малая коррекция орбиты КА.
Для максимально полного выявления её динамических возможностей задаётся мно-
гопараметрическая малая поправка к вектору скорости КА, выбираемая из равно-
мерно «засеянного» шара виртуальных добавок для каждой из достаточно плотно
распределённого множества точек орбиты КА. В результате вместо определённого
вектора скорости КА образуется острый конус виртуальных скоростей, а вместо
одной траектории образуется пучок траекторий - большое число динамически ре-
ализуемых с помощью малой одноимпульсной коррекции вариантов. При расчётах
188
2.3.
в рамках ОЗТТ после проведения GAM относительно какого-либо спутника точки
для новой орбиты КА не покидают изолинии соответствующего инварианта Тиссе-
рана. При расчётах с учётом ЭМ соответствующие точки пучка траекторий окажутся
вблизи изолинии. Для изучения многопараметрического семейства пучка траекторий,
подвергаемого гравитационному рассеиванию на GAM, необходимо большое число
траекторий в пучке. На рисунке 2.3.5 представлены синхронные ГТП для Ганимеда и
Каллисто, на которых цветом выделены области, ограниченные изоинфинами с фик-
сированными значениями асимптотической скорости.
Рисунок 2.3.5. Изоинфина на диаграммах Тиссерана - Пуанкаре для Каллисто. Высота
апоцентра и перицентра - в радиусах Юпитера 7?j
189
2.3.
2.3.2. Изменение асимптотической скорости КА
около планеты-цели
Как уже отмечалось, конструкция «сольного» гравитационного маневрирования с
одним малым телом не может эффективно репродуцироваться до бесконечности. Ос-
новная причина обусловлена свойствами траекторий ограниченной задачи трёх тел
(ОЗТТ). Они имеют в случае малобюджетных коррекций при совершении гравита-
ционных манёвров около спутника-мишени своим инвариантом величину интеграла
Якоби и параметра Тиссерана (в критерии Тиссерана) и соответственно инвариант-
ную величину вектора асимптотической скорости Vx (Campagnola S., Russell R.P.,
2010. P. 463^475; Campagnola S., Russell R.P., 2010. P. 476-486), которая сохраняется
при проведении серии любых резонансных GAM. В варианте 3D всевозможные зна-
чения вектора также не являются свободными и лежат на инвариантной поверхно-
сти - сфере «Vz-Globc» (Strange N.J. et al., 2007).
Возможность изменить асимптотическую скорость КА, тем не менее, имеет-
ся. Асимптотическая скорость КА относительно малого тела может измениться
при использовании другого малого тела при проведении «мультиобъектных GAM»
(UphoffC. et al.,1976; Boutonne A., Schoenmaekers J., 2012; Голубев Ю.Ф. и др., 2014.
С. 159-177; Голубев Ю.Ф. и др., 2015. № 64). Это свойство является динамической
особенностью модели ограниченной задачи четырёх тел (ОЗЧТ) и её усечённой моди-
фикации - двойной связки ограниченных задач трёх тел (2-ОЗТТ). В фиксированный
момент времени рассмотрим оскулирующую задачу 2-ОЗТТ для КА в СЮ, для кото-
рой существует как число Тиссерана Tv основного спутника-мишени (например для
Ганимеда), так и число Тиссерана вспомогательного малого тела Тк (например для
Каллисто) (Grushevskii A. et al., 2014. ISSFD; Grushevskii A. et al., 2014. COSPAR; Го-
лубев Ю.Ф. и др., 2015. С. 154-157; Голубев Ю.Ф. и др., 2015. С. 147-163). Каждое из
них становится доминирующим в случае входа в сферу действия соответствующего
спутника. Будем считать, что одновременно вход в обе сферы действия не происходит.
При проведении мультибъектных GAM в миссиях «Galileo» и «Cassini-Huygens», как
показывает анализ их баллистических сценариев, соответствующая редукция асим-
птотической скорости была осуществлена (UphoffC. et al., 1976). Описанный приём,
вдобавок, оказывается незаменимым и для поддержания формата малых затрат харак-
теристической скорости AV, практически «бесплатно» реализуя обязательный манёвр
подъёма перицентра (Boutonnet A., Schoenmaeker J., 2012; Голубев Ю.Ф. и др.,2015.
С. 154-157; Голубев Ю.Ф. и др.,2015. С. 147-163).
Таким образом, на фазе Р2, после фазы Р1 специальными манёврами коррекции
можно «подключить» другие малые тела из СЮ. Тем самым обеспечивается переход
на диаграмме Тиссерана - Пуанкаре на линию инварианта числа Тиссерана другой
ОЗТТ (Boutonnet A., Schoenmaekers J., 2012; Голубев Ю.Ф. и др., 2014. С 159-177;
Голубев Ю.Ф. и др., 2014. С. 39-41; Campagnola S., Russell R.P, 2010. Р. 463-475;
Campagnola S., Russell R.P., 2010. P. 476^486), рисунок 2.3.6. Он должен быть обеспе-
чен проведением разнотельных гравитационных манёвров, таких, что после отраже-
ния от сферы действия основного спутника-мишени G (например, Ганимеда), КА вы-
шел на сближение с другим спутником G («НЕ_Ганимед»). После этого необходимо
подобрать и сопряжённый манёвр - с обратной сменой участников. Таким образом,
с помощью перехода от поиска решений в простейшей модели ОЗТТ к более адекват-
ным для ЭМ моделям 2-ОЗТТ, ОЗЧТ можно преодолеть баллистический детерминизм
ОЗТТ, налагаемый критерием Тиссерана.
190
2.3.
Рисунок 2.3.6. Мультиплексная ГТП для спутников Юпитера Каллисто, Ганимед, Европа.
По оси абсцисс - расстояние Ra апоцентра орбиты КА, по оси ординат - расстояние
перицентра Rn (в радиусах Юпитера Rj). Цифрами обозначены значения асимптотической
скорости КА относительно спутников в км/с
Как уже отмечалось, решение задачи поиска цепочек гравитационных манёвров
для этапа сольного маневрирования осуществляется в виде конъюнкций (посчитан-
ных с учётом ЭМ встреч КА со спутником-мишенью G (например с Ганимедом), что
формально можно записать как
S:{G1a...aGw}.	(2.3.8)
Формализуем для проведения массового счёта (с использованием ЭМ моделиру-
ется несколько миллионов вариантов) инвариантную технику редукции асимптотиче-
ской скорости и подъёма перицентра для этапа Р2\
GiaGaG2.	(2.3.9)
Для усложнённой модификации получим формулу
GiA...aGa-aGwza...aGw+„aGa+/A...	(2.3.10)
В результате открывается возможность решать задачу синтеза цепочек гравитаци-
онных манёвров с использованием ЭМ как специальную автоматическую селекцию
пучков траекторий КА в классе конъюнкций встреч со спутниками в соответствии
с формулами (2.3.9) и (2.3.10). С этой целью разработана полуаналитическая методи-
ка построения адаптивных сценариев (Голубев Ю.Ф., 2014. С. 39—41; Голубев Ю.Ф.
и др., 2014; Голубев Ю.Ф. и др., 2015. № 64; Голубев Ю.Ф. и др., 2015. С. 147-163)
на основе использования диаграмм Тиссерана - Пуанкаре, на которые наносятся ре-
зультаты численного поиска только структурно подходящих малобюджетных отраже-
ний-переотражений траекторных пучков (в ЭМ-постановке).
На витке перед проведением GAM проводится малая коррекция орбиты КА.
Для максимально полного выявления её динамических возможностей задаётся мно-
гопараметрическая малая поправка к вектору скорости КА, выбираемая из равномер-
но «засеянного» шара виртуальных добавок для каждой из достаточно плотно рас-
пределённого множества точек орбиты КА.
Первоначально методика разрабатывалась специально под задачи отечественной
миссии «Лаплас-П» с посадкой на Ганимед. В ходе проверки миллионов вариантов от-
бираются только такие цепочки GAM, которые содержат на диаграмме Тиссерана - Пу-
анкаре замкнутые циклы пролётов Ганимеда при условии промежуточного прохожде-
ния Каллисто. Это сокращает анализ числа возможных вариантов GAM на три порядка.
191
2.3.
На рисунке 2.3.7 показано множество полученных вероятных вариантов GAM
около Ганимеда (первичных G-отражений), вторичные точки отмечены кружками.
Чтобы не пропустить искомое решение, их должно быть достаточно много - на ри-
сунке представлено порядка 3* 106 первичных вариантов.
На рисунке 2.3.8 показан результат селекции пучка первичных траекторных отра-
жений с использованием разнотельных GAM с привлечением Каллисто. Множество
полученных вариантов выражается числом около 2103. Видна ощутимая редукция
числа анализируемых вариантов.
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
60	70
Рисунок 2.3.7. Образ пучка траекторий КА, прошедших через сферу действия Ганимеда
(«первичных» G-отражений) на диаграмме Тиссерана - Пуанкаре
Рисунок 2.3.8. Образ пучка траекторий КА, прошедших через сферу действия Ганимеда после
применения формул GaGaG =>ГаАГаГ на диаграмме Тиссерана - Пуанкаре
192
2.3.
Важно определить критерий, по которому соответствующая формуле (2.3.10) тех-
ника должна быть введена в действие вместо техники сольных резонансных GAM.
Тем самым будет получен критерий выбора момента времени бифуркации TBif для
перестройки пучков траекторий регулярных сценариев сольных гравитационных ма-
нёвров (рисунок 2.3.9). Этот критерий является ключевым в алгоритме понижения
предельного уровня TID - при разумном увеличении времени миссии и затрат харак-
теристической скорости (Campagnola S., Russell R.P., 2010. Р. 463-475; Campagnola S.,
Russell R.P., 2010. P. 476^4-86). В зависимости от выбранного TBiJ синтезируемые туры
в СЮ могут иметь различные типы по времени проведения тура, затрат характери-
стической скорости и TID.
Рисунок 2.3.9. Диаграмма-граф Тиссерана - Пуанкаре (ГТП). По осям - расстояния апоцентра
и перицентра орбиты КА в радиусах Юпитера. Окружностью обведена бифуркационная точка
сольного маневрирования
Перспективные космические проекты дистанционного зондирования планет
и их спутников и посадки на их поверхность (Проект «Лаплас-П»). В АО «НПО
Лавочкина» проводятся работы по проекту «Лаплас-П».Предполагается запуск двух
КА в одно стартовое окно с интервалом примерно в одну неделю. Первый из КА -
орбитальный (Orbiter), а второй - посадочный (Lander). КА1 должен прилететь к Га-
нимеду примерно на месяц-два раньше КА2 и выбрать место посадки.
Схему полёта обоих КА можно условно разделить на четыре этапа:
1)	Старт из Байконура, выведение КА на отлётную траекторию с помощью PH
«Протон-М» и РБ «Бриз-М»;
2)	Межпланетный этап, с гравитационными манёврами у Венеры и Земли, закан-
чивающийся прилётом в сферу действия Юпитера;
3)	Тур в системе Юпитера, с GAM у Ганимеда и Каллисто, с последующим выхо-
дом на орбиту ИС Ганимеда;
4)	Полёт по орбитам ИС Ганимеда, посадка КА2.
Траектории КА1 и КА2 схожи и незначительно различаются датами проведения
GAM. Длительность йовицентрического этапа КА2 больше, это время использует-
ся для проведения дополнительных ГАМ, уменьшающих асимптотическую скорость
подлёта КА2 к Ганимеду.
193
2.3.
Предполагается, что первым на орбиту ИС Ганимеда выходит КА1. Он проводит
дистанционные исследования Ганимеда, и по этим данным выбирается место посад-
ки КА2, соответствующее заданным ограничениям.
Гелиоцентрический этап. Перелёт до Юпитера по маршруту Венера-Земля-Зем-
ля (VEEGA) занимает около 6 лет. Характеристики траекторий КА1 и КА2 приведены
в таблице 2.3.1, где используются следующие обозначения:
АС- характеристическая скорость манёвра, км/с;
- модуль вектора подлётной асимптотической скорости, км/с;
PC - модуль вектора отлётной асимптотической скорости, км/с;
ДГ- длительность участка, сутки;
Д7^ - суммарная длительность этапа, сутки (годы).
Таблица 2.3.1. Характеристики траекторий КА1 и КА2 при перелёте к Юпитеру
параметр	КА1	КА2
дата старта с земли	06.09.2026	28.08.2026
ДЕ	3.759	3.839
н.	3.468	3.727
дг	171	181
дата ГМ I (Венера)	25.02.2027	26.02.2027
V,= К	7.114	7.362
дг	310	307
дата ГМ2 (Земля)	01.01.2028	30.12.2028
Ех= Их	10.327	10.347
ДГ	731	730
дата ГМЗ (Земля)	01.01.2030	28.12.2029
Ех= г:.	10.327	10.347
ДГ	1025	1118
дата прилёта к Юпитеру	21.10.2032	30.09.2032
Их	5.911	5.916
дгЕ	2237	2225
На рисунке 2.3.10 приведена схема гелиоцентрического этапа полёта.
В первом приближении в юпитерианской системе координат гелиоцентрическая
траектория КА будет пролётной гиперболой (Barrabes E.et al., 2004). Для того чтобы
выйти на орбиту ИС Юпитера, необходим тормозной импульс. После него КА выхо-
дит на сильно вытянутую эллиптическую орбиту в СЮ. Тормозной импульс JOI может
быть осуществлён в перицентре пролётной гиперболы, как перед, так и после прове-
дения гравитационного манёвра около одного из спутников Юпитера. Проведение гра-
витационного манёвра непосредственно по прибытии с межпланетного участка хотя и
более экономично, но достаточно жёстко привязано к времени прибытия в СЮ.
Для обеспечения большей гибкости и устойчивости миссии предпочтительнее
проработка юпитерианских туров, начинающихся именно с JOI. Особенность выпол-
нения манёвра торможения JOI состоит в том, что он должен обеспечить последую-
щую встречу КА со спутником Юпитера (Ганимедом) и такой пролёт КА в его сфере
действия, при котором произойдёт уменьшение периода и орбитальной скорости КА.
194
2.3.
После выхода на сильно вытянутую эллиптическую орбиту ИС Юпитера должна
быть реализована схема выполнения гравитационных манёвров с использованием по-
лей тяготения галилеевых спутников, состоящая из двух этапов.
Первый этап (РУ) используется для уменьшения орбитальной энергии КА по от-
ношению к Юпитеру после JOI и создания условий для более частых встреч с есте-
ственными спутниками Юпитера путём понижения периода обращения КА до ве-
личин порядка нескольких орбитальных периодов спутника (так, период спутника
Ганимед составляет приблизительно 7.155 земных суток). Перед каждым пролётом
спутника Юпитера, с помощью которого осуществляется гравитационный манёвр,
предусматривается коррекция орбиты КА, которая должна обеспечить заданные па-
раметры пролёта этого спутника Юпитера, гарантирующие согласно эфемеридной
модели новую встречу с ним. Такие коррекции могут совмещаться с манёврами подъ-
ёма перийовия. Отметим, что существуют альтернативные варианты подъёмов пе-
рийовия, о которых будет сказано ниже.
195
2.3.
На втором этапе (Р2) должна быть использована «частая» серия GAM (с уже
уменьшенным периодом обращения КА) с целью сблизить орбитальные скорости КА
и спутника-мишени (Ганимеда), чтобы обеспечить условия, необходимые для форми-
рования предпосадочной орбиты. При этом приходится отказаться от техники резо-
нансных GAM с использованием только одного спутника-мишени, поскольку они не
позволяют уменьшить асимптотическую скорость КА относительно этого спутника
до нужной величины. Это обусловлено свойствами траекторий КА в ограниченной
задаче трёх тел. Они имеют в классе малобюджетных (квазиинерционных) гравита-
ционных манёвров около фиксированного спутника-мишени своими инвариантами
величину интеграла Якоби, параметра Тиссерана и величину асимптотической ско-
рости относительно спутника-мишени (Campagnola S., Russell R.P., 2010. Р. 463-475;
Campagnola S., Russell R.P., 2010. P. 476-486).
Резюмируя, выделим основные фазы юпитерианской части космической миссии,
реализующей посадку на спутник Юпитера.
1.	Выход КА с пролётной гиперболы на сильно вытянутую эллиптическую орби-
ту ИС Юпитера с помощью JOI.
2.	Фаза уменьшения периода обращения КА с помощью начальной серии долго-
периодических гравитационных манёвров.
3.	Фаза сближения со спутником Юпитера - мишенью (например, с Ганимедом).
Необходимо сблизить орбитальные скорости КА и мишени и, учитывая существен-
ную вытянутость участков движения КА между отражениями и близость орбиты
спутника-мишени к круговой, понизить эксцентриситет орбиты КА серией «частых»
GAM.
4.	Проведение фазирования КА со спутником-мишенью.
5.	Выполнение манёвра торможения GOI (Ganymede Orbit Insertion), обеспечива-
ющего выход на орбиту ИС Ганимеда.
6.	Выполнение серии манёвров, обеспечивающих формирование предпосадоч-
ной орбиты.
7.	Включение автономной системы посадки на Ганимед.
Краткий анализ возможных участников маневрирования в системе Юпитера.
Претендентами на партнёрство с КА по гравитационному маневрированию в системе
Юпитера являются четыре его наиболее крупных спутника - галилеевы луны: Ио,
Европа, Ганимед и Каллисто.
Ио. Миссия «Галилео» использовала для маневрирования все четыре луны Юпи-
тера, но была чрезвычайно радиационно неблагоприятной. При прохождении Ио
часть научной аппаратуры вышла из строя. Суммарная доза радиации превысила
к 2004 году величины порядка 650 Крад. Учитывая тот факт, что современные миссии
ESA и РКА, находящиеся в разработке, планируются в более щадящих радиационных
режимах (TID порядка 150-300 Крад), что допускает более лёгкую защиту корпуса
аппарата и исключает пролёты КА ниже орбиты Европы, Ио можно было бы исклю-
чить из стартового состава игроков. Однако специалистами NASA из Jet Propulsion
Laboratory прорабатываются, в частности, иные, более грубые подходы к решению
проблемы радиационной опасности около юпитерианских ближних лун. В частно-
сти, тур к Европе (Senske D. et al., 2013) строится жёстким образом, практически с от-
крытой датой прекращения миссии по факту выхода из строя научной аппаратуры,
при этом в планах миссии допускаются более низкие перийовии и, соответственно,
более высокие TID до 2.1 Мрад для защиты 2.5 мм А1 (защита, идентичная слою алю-
миния толщиной 2.5 мм).
196
2.3.
Европа. Актуальность сценариев пролёта спутника Юпитера Европы (BoutonnetA.,
Schoenmaekers J., 2012) и сближения с ней вплоть до выхода на орбиту около Европы
(и, в принципе, посадки на её поверхность) весьма высока. Именно Европа являет-
ся одной из наиболее притягательных для изучения целей (в первую очередь из-за
наличия у неё океана, покрытого льдом, который разогревается юпитерианскими
приливами). Европа, уступая по размерам Луне, является шестым по величине есте-
ственным спутником Солнечной системы. Соответственно, гравитационные манёвры
около Европы также теоретически достаточно эффективны. Однако, как и в случае
с Ио, высокий уровень радиационной опасности около Европы чрезвычайно услож-
няет реализацию подобных сценариев. Укажем, что миссия ESA«JUICE»(Jupiter Icy
Moon Explorer (JUICE) - автоматическая межпланетная станция Европейского косми-
ческого агентства, проектируемая для изучения системы Юпитера, главным образом
его галилеевых лун на предмет наличия у них подповерхностных океанов жидкой
воды) предполагает двукратный пролёт Европы, и получаемая только на этой фазе
TID составит величину порядка 200 Крад при защите корпуса КА 10 мм А1. Посадка
на Европу даёт величину радиации в разы больше и не может рассматриваться в бли-
жайшем будущем. При проектировании миссий с TID ниже 150-300 Крад и защитой
в пределах 10 мм А1 Европу также следует исключить из состава игроков, что значи-
тельно обедняет и усложняет синтез допустимых сценариев.
Ганимед. Спутник Юпитера Ганимед крупнейший спутник в Солнечной системе.
Интерес к исследованию этого гиганта чрезвычайно высок, как и в случае с Европой.
Разработка космических миссий, предусматривающих сближение с Ганимедом и по-
садку на его поверхность, является приоритетным направлением исследований ESA
и РКА. С одной стороны, посадка на Ганимед будет проходить в условиях умеренно
щадящей радиационной обстановки около него. С другой стороны, гравитационный
параметр Ганимеда 9887.8 км3/с2 делает посадку с орбиты более сложной, чем в слу-
чае Европы.
Каллисто. Гравитационное маневрирование около Каллисто весьма эффективно
как само по себе, так и в качестве альтернативы в случае невозможности проводить
манёвры около других спутников (исходя из фазовой конфигурации системы, ради-
ационной опасности и т.д.). Посадка на Каллисто также имеет перспективу. Щадя-
щие радиационные условия около неё позволили бы запустить к ней космический
корабль, облегчённый за счёт радиационной защиты корпуса (предельная допустимая
ТЮдо 100 Крад).
В качестве первого приближения условно принято, что для выполнения ограни-
чения по радиации КА не должен залетать внутрь орбиты Европы. Согласно теку-
щим представлениям о массах/заправках, оба КА миссии «Лаплас» могут суммарно
потратить примерно 3500 м/с характеристической скорости за весь полёт. Исходя из
этих предположений, была выбрана последовательность гравитационных манёвров
длительностью около двух лет. В перицентре подлётной гиперболы на расстоянии
700 тыс. км выполняется манёвр выхода на начальную эллиптическую орбиту ИС
Юпитера. Радиус апоцентра этой орбиты предварительно выбран равным около
21 млн км. Примерно через четыре месяца в районе апоцентра начальной орбиты
проводится манёвр, повышающий радиус апоцентра и создающий условия для совер-
шения первого гравитационного манёвра у Ганимеда. Далее у Ганимеда и Каллисто в
определённой последовательности совершается ещё девять GAM. Этап завершается
выходом КА на орбиту вокруг Ганимеда.
197
2.3.
Характеристики участков траектории КА приведены в таблице 2.3.2, в ней ис-
пользуются следующие обозначения:
АГ - длительность участка полёта до события, сутки;
-	подлётная асимптотическая скорость, км/с;
ЛК - характеристическая скорость манёвра, км/с;
у - угол поворота гелиоцентрической скорости КА при ГМ, градус;
гл - радиус перицентра орбиты при гравитационном манёвре у планеты, км;
-	отлётная асимптотическая скорость, км/с;
п/т - отношение количества витков спутника (Ганимеда или Каллисто) к количе-
ству витков КА;
Rn, Ra - радиусы перицентра и апоцентра орбиты КА в радиусах Юпитера;
Ml - манёвр выхода на начальную орбиту вокруг Юпитера;
М2 - манёвр в апоцентре начальной орбиты;
М3 - манёвр выхода на начальную орбиту вокруг Ганимеда.
Таблица 2.3.2. Характеристики участков траектории КА
манёвр	дата	АГ	Гх	АГ	У	Гл	к;	п/т	л.	R«
Ml	21.10.2032	-	5.911	1.207	-	-	-	-	9.8	293.7
М2	13.02.2033	115.5	-	0.192	-	-	-	-	14.9	293.9
ГМ1(Г)	15.06.2033	122.4	4.368	-	16.91	3006	4.368	12/1	14.6	142.4
ГМ2(Г)	09.09.2033	85.9	4.368	-	13.17	3999	4.368	6/1	14.6	142.4
ГМЗ(Г)	22.10.2033	42.9	4.368	-	16.38	3119	4.368	3/1	13.3	49.0
ГМ4(Г)	13.11.2033	21.5	4.368	-	10.09	5373	4.368	-	12.5	37.0
ГМ5(К)	09.12.2033	26.8	4.139	-	6.31	7199	4.139	4/5	11.0	34.4
ГМ6(К)	14.02.2034	66.8	4.139	-	13.20	4445	4.139	-	14.6	41.8
ГМ7(Г)	02.05.2034	77.1	2.788	-	21.58	5526	2.788	7/4	13.9	29.6
ГМ8(Г)	21.06.2034	50.1	2.788	-	8.50	15894	2.788	-	14.1	32.9
ГМ9(К)	30.07.2034	38.4	3.153	-	8.66	8843	3.153	1/1	16.4	36.3
ГМ10(К)	16.08.2034	16.7	3.153	0.054	4.55	23644	3.209	-	15.0	34.5
М3	18.11.2034	94.3	1.967	1.426	-	-	-	-	-	-
Йовицентрическая траектория КА1 в проекции на плоскость эклиптики приве-
дена на рисунках 2.3.11, 2.3.12. Для удобства восприятия она условно разделена на
две части. Первая часть (рисунок 2.3.11) соответствует этапу Р1, вторая часть (рису-
нок 2.3.12) - этапу Р2. Соответствующий вид представленного согласно таблице 2.3.2
тура на ГТП приведён на рисунке 2.3.13. Кружками отмечены фазовые перескоки на
GAM и указаны соответствующие номера GAM из таблицы 2.3.2. По осям абсцисс
и ординат отложены расстояния Яа, Rn апоцентра и перицентра орбиты КА в ради-
усах Юпитера 7?j. Цифры - значения асимптотической скорости КА относительно
спутников в км/с (чёрные - относительно Ганимеда, синие - относительно Калли-
сто). Найденная траектория для КА1 в целом удовлетворяет этим условиям (3000 м/с
на детерминированные манёвры и ещё 500 м/с на все коррекции). Далее КА2 должен
совершить посадку на поверхность Ганимеда, для чего нужно ещё примерно 1.8 км/с.
198
2.3.
Убэкл, тыс. км
Х5экл, тыс. км
Рисунок 2.3.11. Схема первой части йовицентрического этапа полёта КА
Рисунок 2.3.12. Схема второй части йовицентрического этапа полёта КА
199
2.3.
Результаты расчёта комфортабельной по суммарной полученной дозе ради-
ации траектории КА для миссии «Лаплас-П». В большинстве случаев при проекти-
ровании миссий к Юпитеру и другим планетам-гигантам, как и экспедиций к Солнцу,
особое значение при выборе из «лоции» приобретает комфортабельность сценария
по накопленной дозе радиации. Проектирование «жёстких» по накопленной дозе ра-
диации туров {Senske D. et al., 2013) упрощает процедуру выбора и, очевидно, расши-
ряет геометрию «лоции» до более близких к Юпитеру спутников, одновременно утя-
желяя её AV-бюджет. Зададимся, напротив, целью построить максимально щадяший
(комфортабельный) по TID сценарий тура к Ганимеду.
Рисунок 2.3.13. Сценарий типового тура в СЮ на ГТП согласно таблице 2.3.2
Изолинии накопленной дозы радиации («изорады»). Можно сказать, что при-
рост радиации на витке той или иной орбиты КА полностью определяется её коор-
динатами на ГТП. Для расчёта TID будем использовать плоскую модель «Galileo»
NASA {Divine N., Garrett H., 1983), зависящую от апоцентра и перицентра орбиты
КА. Имеются общие соображения относительно снижения радиационной опасности
для космических миссий класса «JUICE» (8 mmAl, TID < 300). А именно не следует
надолго понижать перицентр орбиты КА ниже «порога опасности» - зоны недопу-
стимой радиации XR{7?n<107?j} {Голубев Ю.Ф. а др., 2015. № 64; Голубев Ю.Ф. и др.,
2015. С. 97-103; Campagnola S., Russell R.P., 2010. Р. 463^475) (горизонтальная ли-
ния на ГТП, рисунок 2.3.13). Численное моделирование показывает {Голубев Ю.Ф.
и др., 2014. С. 159-177; Голубев Ю.Ф. и др., 2014. С. 39—41; Голубев Ю.Ф. и др., 2015.
С 154-157; ГолубевЮ.Ф. и др., 2015. С. Голубев Ю.Ф. и др., 2015. С. 147-163),
что на эллиптической орбите наибольшую дозу КА получает в перицентре практиче-
ски сингулярно, поскольку большую часть витка по свойству интеграла площадей он
проводит вне этой зоны.
На рисунке 2.3.14 представлен типовой график рассчитанной радиационной дозы,
получаемой КА в дебюте миссии к спутникам Юпитера. Расчёт выполнен с использо-
ванием модели {Divine N., Garret Н., 1983).
200
2.3.
0.27 g/cm2 shielding "—
1 g/cm2
2.2 g/cm2
5 g/cm2
Рисунок 2.3.14. Динамика накопления радиации в дебюте миссии к спутникам Юпитера.
По оси абсцисс - время в сутках
Представленный результат коррелирует с локализацией области XR на ГТП (Го-
лубев Ю.Ф. и др., 2015. С 154-157; Голубев Ю.Ф. и др., 2015. № 64; Campagnola S.,
Russell R.P., 2010. Р. 463^475; Campagnola S., Russell R.P., 2010. P. 476^486) для вы-
тянутых эллиптических орбит, характерных для начального этапа миссии в СЮ.
Однако, по мере уменьшения эксцентриситета орбиты КА в процессе редукции его
орбитальной энергии, возникают классы «почти круговых» орбит КА, для которых
отрезок получения максимальной дозы на витке начинает удлиняться. Именно для
этого необходимо вычислить и нанести как на ГТП более точно посчитанные «изо-
рады» - изолинии полученной радиации, численно проинтегрировав дозу радиации
на одном витке для всех орбит (Голубев Ю.Ф. и др., 2015. С 154-157; Голубев Ю.Ф.
и др., 2015. С. 147-163).
Проектирование туров в системе Юпитера, «комфортабельных» по накоплен-
ной дозе радиации. Перед совершением манёвра выхода на орбиту ИС Ганимеда
можно дополнительно понизить бюджет миссии путём применения слабого гравита-
ционного захвата гравитационным полем Ганимеда (Белбруно Э., 2011). Для его поиска
можно применять как прямое интегрирование траекторных пучков, так и интегрирова-
ние в обратном времени пучков траекторий, выпущенных от орбиты около Ганимеда.
Типовой фрагмент маневрирования КА перед посадкой на Ганимед, синтезиро-
ванный с его помощью, представлен на рисунке 2.3.15. На этом рисунке можно выде-
лить помеченную маркером-квадратом 1 начальную серию GAM с Ганимедом (место
проведения GAM указано квадратом 2) с почти неизменной линией апсид и уменьша-
ющимися размерами витковых больших полуосей. После проведения кросс-манёвра
с участием Каллисто (квадрат 3) КА выходит на новую «сжимающуюся» серию ква-
зирезонансных GAM с Ганимедом с повёрнутой линией апсид (квадрат 4). Квадра-
том 5 помечена серия высотных GAM с Ганимедом, медленно понижающих высоту
апоцентра орбиты КА, тем самым пододвигая орбиту КА к Ганимеду.
Соответствующий вид представленного тура на Т-Р-диаграмме приведён на ри-
сунке 2.3.16. Крестиками отмечены фазовые перескоки на GAM. Кружками обведены
номера ключевых этапов при проведении тура в СЮ. Таким образом, продемонстри-
рована возможность проведения «комфортабельных» (по радиации) полётов в систе-
ме КА с TID, не превышающей значений 70 Крад для стандартной защиты «Galileo»
8... 10 мм А1 (либо, как вариант, для «лёгких» КА с толщиной защитного корпуса
4...5 мм А1 при стандартных ограничениях наTID 200...300 крад).
201
2.3.
Рисунок 2.3.15. Типовой фрагмент найденного «комфортабельного» по накопленной дозе
радиации сценария сближения КА с Ганимедом
202
2.4.
ЯП ГРАВИТАЦИОННЫЕ МАНЁВРЫ ДЛЯ ИЗМЕНЕНИЯ
НАКЛОНЕНИЯ ОРБИТЫ КА
Для полноты описания эффективного использования гравитационных манёвров
для полётов АМС в дальнем космосе немедленно возникает необходимость рассмо-
трения и изучения расширенного класса задач, актуальность которого обусловлена
подготовкой и проведением сотрудниками NASA, ESA, JAXA и отечественными
специалистами большого числа космических миссий, предусматривающих повыше-
ние наклонения орбиты КА к эклиптике путём использования малозатратных GAM
около планет и их спутников, а также малых тел Солнечной системы. Необходимо ис-
следование пространственной архитектуры использования GAM, которое бы обеспе-
чивало такое повышение наклонения орбиты КА, что, в первую очередь, востребова-
но для создания актуальных баллистических сценариев космических миссий с целью
изучения внутренней гелиосферы из внеэклиптических положений (отечественная
миссия «Интергелиозонд», миссия ESA «Solar Orbiter»).
2.4.1. Вариации наклонения орбиты КА при разовом пролёте
крупных небесных тел
(2.4.1)
Напомним, что для (ртах - максимального угла ср поворота вектора асимптотиче-
ской скорости КА на однократном GAM справедливо соотношение:
sin =------------------,
2 ц + (Д/?/+Л)Х2
где ц - гравитационный параметр планеты.
Известна оценка (Labunsky А. V., 1998) изменения наклонения Az на одном GAM:
sinAz<sinAzmax=vxsin(pmax,	(2.4.2)
где (pmax - максимальный угол ср поворота вектора асимптотической скорости КА на
однократном GAM, для которого справедливо соотношение (2.4.1) при условии h=0.
Учитывая приоритеты авторства (Labunsky А. V, 1998. Р. 4), представленную оценку
(2.4.2) обоснованно можно называть приближением Лабу некого (ПЛ/
В (Голубев Ю.Ф. и др., 2015. С. 97-103) показано, что предельный переход в ПЛ
сохраняется для накопленного изменения наклонения при любой серии GAM. Оценка
ПЛ и соответствующие графики допустимых вариаций наклонения на однократном
GAM (Labunsky A.V., 1998) несколько отличаются от более точных расчётов (Голу-
бев Ю.Ф. и др., 2015. С. 97-103). Перепишем ПЛ в виде
V У (	Ц
sin Az < sinep = ——sin 2arcsin------------ .	(2.4.3)
V	V	\	ll + R V
y p!	y pl	у
В (Labunsky A. V., 1998) отмечается, что при условии
<PmOx>|	(2-4.4)
имеет место
sinA(max = ^.	(2.4.5)
pl
В (Голубев Ю.Ф.и др., 2015. №64; Голубев Ю.Ф.и др., 2016. №43; Голу-
бев Ю.Ф.и др., 2016. № 15; Голубев Ю.Ф. и др., 2017. С. 403^406; Голубев Ю.Ф. и др.,
203
2.4.
2017. С. 108-132) показано, что формула (2.4.5) верна при менее жёстких ограниче-
ниях, тогда как условие (2.4.4) требует корректировки.
В (Голубев Ю.Ф.и др., 2016. № 15) получено аналитическое выражение для макси-
мальной допустимой вариации наклонения Д/ИЛ на однократном GAM согласно ПЛ.
Для этого вводится безразмерный параметр ©/?/, характеризующий интенсивность
локального гравитационного воздействия центрального тела по отношению к гра-
витации планеты и равный отношению орбитальной скорости планеты и её первой
космической скорости VFp/:
<2-4-6’
Утверждение. Максимальное Д/ПЛ реализуется, как оказывается, при
/д/17 _ 1
ю = v*r = 0“} J—-—«1.249621-0“} для случая относительной малости VFph когда
'“} >	—0.898255, и составляет величину (Голубев Ю.Ф. и др. 2015.
С. 154-157; Голубев Ю. Ф. и др., 2016. №43)

= arcsin
Иными словами, для величины ^*=v*x0/?/ верно соотношение:
х/Г7 — 1
—«1.561553.	(2.4.7)
Доказательство. Запишем ПЛ (2.4.3) с учётом (2.4.1) в виде
1 I 1	/£2+ 2
sinA/raax=/(^) = 2v0O — 1------- =2^^—,.	(2.4.8)
1 + гЦ (1 + ^2)	®р/(1 + ^2)
Учитывая тот факт, что должно выполняться £>0 и
2S,	^4 + ^2-4
(2.4.9)
получаем, что правым концом интервала возрастания ДД) на правой полуоси служит
наибольший из двух корней биквадратного уравнения ^4+ £,2^4=0:
= J—--------«1.249621.
V 2
(2.4.10)
Утверждение доказано.
Утверждение. Пусть для планеты ©/;/ >0.898255. Тогда максимальное значение
изменения наклонения орбиты КА ДГ на однократном GAM определяется величиной
...	. V102V17-214	. 0.898255	,,.ш
Д/ = arcsin------------« arcsin-------.	(2.4.11)
16-0,,,	@pl
Доказательство. Подставляя в (2.4.8) вместо Д выражение (2.4.10), после не-
сложных преобразований получим требуемое соотношение.
Утверждение. Для величины размерной асимптотической скорости, соответ-
ствующей vx, будет выполнено
204
2.4.
*	Г	h/17-1
Ко -	Vpl = VFpl-1.249621 • VFpl.	(2.4.12)
Следствие. При совершении GAM с планетой с 0/?/<О. 898255 выход КА на поляр-
71
ную орбиту i происходит при асимптотической скорости КА va, меньшей теоре-
тического оптимального по наклонению параметра из (2.4.12).
Результаты расчётов с использованием полученных аналитических оценок вариа-
ции наклонений на элементарном GAM около планет и крупных спутников Солнеч-
ной системы приведены в таблице 2.4.1. При анализе таблицы можно, в частности,
отметить то не вполне очевидное обстоятельство, что ресурс изменения наклонения
для карликовых планет Хаумеа и Эрида при совершении GAM сопоставимы с воз-
можными изменениями наклонения для Венеры и Земли.
Таблица 2.4.1. Максимально возможные вариации наклонения орбиты КА при разовом
пролёте крупных небесных тел Солнечной системы
планета, спутник	Е/./;/, км/с	И, км/с	V,*/		ДГ, град	центр, тело
Меркурий	3.01	3.87	0.081	0.063	3.37	Солнце
Венера	7.23	9.037	0.258	0.209	10.70	Солнце
Земля	7.92	9.87	0.331	0.266	13.82	Солнце
Марс	3.54	4.427	0.183	0.147	7.58	Солнце
Юпитер	41.13	*	*	3.257	>90	Солнце
Сатурн	25.46	*	*	2.634	>90	Солнце
Уран	15.56	*	*	2.22	>90	Солнце
Нептун	16.97	*	*	3.07	>90	Солнце
Плутон	1.2	1.5	0.321	0.18	13.35	Солнце
Хаумеа	0.593	0.74	0.165	0.132	11.56	Солнце
Макемаке	0.563	0.7	0.158	0.127	6.55	Солнце
Эрида	0.978	1.22	0.356	0.285	14.83	Солнце
Луна	1.68	*	*	1.642	>90	Земля
Ио	1.8	2.25	0.11	0.1	5.15	Юпитер
Европа	1.43	1.79	0.11	0.1	5.15	Юпитер
Ганимед	1.94	2.42	0.212	0.17	8.78	Юпитер
Каллисто	1.73	2.16	0.262	0.21	10.87	Юпитер
Титан	1.86	2.29	0.412	0.33	17.2	Сатурн
Уточняющий анализ приближения Лабунского. Формулы (2.4.2) - (2.4.5) в виде
модификаций общеупотребительны в современных исследованиях по астродинамике
(Barrabes Е. et al., 2004, Janin G., 2004). Представим максимальные изменения на-
клонения орбиты КА при совершении гравитационного манёвра с планетами Земной
группы и группы внешних планет, вычисленные авторами с помощью приближения
Лабунского, в зависимости от величины асимптотической скорости КА относительно
планеты (рисунки 2.4.1, 2.4.2). Для сравнения одновременно представим графики не-
посредственно из (Labunsky А. V., Papkov О. V, Sukhanov K.G., 1998) для максимальных
изменений наклонений орбиты КА в зависимости от величины асимптотической ско-
рости КА относительно планет при совершении однократного GAM, также вычисляе-
мые с помощью приближения Лабунского. Сопоставление представленных авторами
205
2.4.
графиков с графиками {Labunsky А. V., Papkov О. V, Sukhanov K.G., 1998) показывает,
помимо их сходства «в целом», на некоторое их расхождение. В первую очередь, это
завышение максимальных оценок Azmax для Земли, Венеры (рисунок 2.4.2) и для Юпи-
тера со сдвигом точки экстремума вправо, во вторую очередь, это принципиальная
разница поведения кривых для Плутона (рисунок 2.4.2).
Сотрудниками ESA-ESOC в рамках проекта «SolarOrbiter» также производилось
независимое уточнение потенциала вариаций наклонения {Janin G., 2004) соглас-
но ПЛ {Labunsky А. V., Papkov О. И. Sukhanov K.G., 1998). Его сопоставление с резуль-
татами расчётов авторов настоящей работы показывает практически полное их совпа-
дение {Голубев Ю.Ф. и др., 2016. С 37-45).
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Рисунок 2.4.1. Максимальные изменения наклонений при совершении GAM с планетами
Земной группы, уточнённые авторами в {Голубев Ю.Ф., 2016. № 15) по приближению
Лабунского и непосредственно из книги {Labunsky А. V., Papkov О. V., Sukhanov K.G., 1998):
1 - Меркурий; 2 - Венера; 3 - Земля; 4 - Марс
206
2.4.
Юпитер ----------- Нептун
Сатурн ----------- Плутон
Уран
Рисунок 2.4.2. Максимальные изменения наклонений при совершении GAM для группы
внешних планет, уточнённые авторами в (Голубев Ю.Ф., 2016. № 15) по приближению
Лабунского и непосредственно из книги (Labunsky А. V., Popkov О. V, Sukhanov K.G., 1998):
1 - Юпитер; 2 - Сатурн; 3 - Уран; 4 - Нептун; 5 - Плутон
207
2.4.
2.4.2.	Два варианта выполнения гравитационного манёвра
Геометрия гравитационного манёвра в значительной степени определяется тем.
пересекает ли вектор скорости планеты V/?/ сферу всевозможных виртуальных асим-
птотических скоростей Vocout космического аппарата относительно планеты, постро-
енную на конце вектора V/?/, или весь вектор V/?/ лежит внутри этой сферы (рисунок
2.4.3, случаи 5,, S2 соответственно), то есть выполнением условия
v^KJK/?/<l,	(2.4.13)
где F^c=|Vac,oul|. Указанную сферу будем называть V^-сферой вслед за термином
Vz-globe {Strange N.J., RussellR., Buffington В., 2007). В случае больших, окологипер-
болических, значений асимптотической скорости КА V^>Vpl реализуются, очевидно,
любые наклонения орбиты КА на одном пролёте.
В дальнейшем будем считать условие (2.4.13) выполненным.
Рисунок 2.4.3. Два различающихся класса топологии GAM: случай Si - вектор V,,/ пересекает
сферу, случай S2 - вектор V,,/ лежит внутри сферы
Воспользовавшись рисунком 2.4.3 и формулами (2.4.2-2.4.3), введём сферические
координаты: радиус и углы р и у. Угол р - это угол между вектором VTOJH//, по-
лученным после гравитационного манёвра, и его проекцией на плоскость орбиты,
а угол \|/ - угол между этой проекцией и вектором скорости планеты V/?/.
Как известно {Голубев Ю. Ф. и др. 2015. № 64; Голубев Ю. Ф. и др., 2016, № 15), огра-
ничения на изменение наклонения i орбиты КА при совершении GAM с избранной пла-
нетой («сольных» GAM) можно интерпретировать как геометрические и динамические.
208
2.4.
Геометрические ограничения определяют максимальную величину i для любого
числа сольных GAM, которая для случая (2.4.13) задаётся безразмерной асимптоти-
ческой скоростью КА vr< (Голубев Ю.Ф. и др. 2015. № 64; Гэлубев Ю.Ф. и др., 2016,
№ 15;Kawakatsu Y.V., 2009):
Sin/max = ~= V«.'	(2.4.14)
max Г Z 00	v	z
rpl
Нетрудно видеть, что из (2.4.13), (2.4.14) следует ограничение
71
(2-4.15)
Динамические ограничения на изменение наклонения орбиты КА определяются
величиной гравитационного поля планеты и минимальным допустимым расстоянием
пролёта около неё. Для угла разворота (р вектора асимптотической скорости КА после
однократного GAM верна формула (2.4.1).
Положение «полюса наклонения» - точки TPoic экстремума z=zmax на V^-сфере - схе-
матически изображено на рисунке 2.4.4. Последовательность любых сольных GAM
с целью увеличения наклонения орбиты КА (будем называть их повышающими це-
почками') должна максимально приближаться к точке TPoie.
Рисунок 2.4.4. Положение «полюса наклонения» - ТРо|С экстремума z=zmax на Vz-сфсрс -
в случае sin\)/=0
Общий смысл динамических ограничений для GAM сводится к тому, что конец
выходного вектора ¥ЮДН1| при однократном GAM не выходит за пределы сферической
области («сферической шапочки»). Эта область представляет собой пересечение
\А-сферы и телесного угла, образованного конусом с углом раствора 2(р, осью кото-
рого является вектор входной (перед GAM) асимптотической скорости КА Vx in (ри-
сунок 2.4.5). Основанием указанной сферической области является круг Л(р радиуса
гЛ= JZsincp, ортогональный V^in.
209
2.4.
Рисунок 2.4.5. Voo-сфера и конусы виртуальных скоростей КА и его орбитальных нормалей
на выходе из GAM
Замечание. Из геометрических соображений можно понять, что плоскость круга
Л?ф должна быть параллельна картинной плоскости планеты, соответствующей векто-
ру Voo^.
В (Голубев Ю.Ф. и др. 2016. №43; Голубев Ю.Ф. и др., 2016. № 15) было про-
ведено описание GAM для случая круговой орбиты планеты и эллиптической ор-
биты КА. Было показано, что вектор нормали к плоскости орбиты КА после GAM
nSc=rPixVSc,oUt будет всегда находиться в линейной оболочке векторов Vp! и нормали
к орбите планеты n=rpixVpb где символом гр! обозначен гелиоцентрический ради-
ус-вектор планеты. Поскольку Vsc.ou^Vpi+V^t, для наклонения орбиты КА - угла
между нормалями n, nsc можно записать:
. П’П («•plXVp.)-(«-plX(Vp.+Voo,OU.))
СПС / =-----—--=---------------------------—
H-kll H-KII
(2.4.16)
Используя известные формулы векторной алгебры, можно получить (Голу-
бев Ю.Ф. и др., 2016. № 43; Голубев Ю.Ф. и др., 2016. № 13)
(ГР/ XVp/)•(«₽/ X(VP/ +V«.0U.)) = r₽X/ -(Vpl + V~.out) = r₽/(r₽/ +^XC0SP-C0Sv)>
К,/+ К» cosy-cos р
COS 1 -	,
yfa + K, COS V • cosp)2 + rj sin2p
и, проведя соответствующие преобразования, выписать формулу для наклонения ор-
биты КА при однократном GAM около планеты в виде
210
2.4.
асимптотическая скорость относительно Венеры, км/с
асимптотическая скорость относительно Земли, км/с
Рисунок 2.4.6. Максимальные возможные вариации наклонения на однократном GAM
для \|/=0 (красный), л/2 (синий), л (зеленый) в сравнении с ПЛ около Венеры и Земли
211
2.4.
z = arctg-----.	(2.4.17)
Kpl + Vx cosp cos у
Учитывая (2.4.1), выражение (2.4.17) для однократного GAM и первоначально
плоской задачи в случае р=фтах, V=7r можно записать как
v sin3	А 1ПЧ
i = Az = arctg—,	(2.4.18)
1 - cos3
где vx=Vx/Kp/; ® , = Г- Г	,; & = 2arcsin-—J 2  Указанная формула мо-
/М	1 + ®^
жет рассматриваться как исправление ПЛ-формулы (2.4.3).
Для «слабого» однократного GAM (K0Csin(pmax<(Kz?/-K00)sinz*max функция (2.4.17) мо-
нотонна по р, её максимальное значение достигается при выходе на динамические
ограничения р=ф1Пах и может быть вычислено с учётом формулы (2.4.6) с заменой
cos\|/=-1 в знаменателе.
В случае «сильного» однократного GAM (Кх81пфт.1х>(К/;/-Гх)81пГтах (Юпитер, Са-
турн и др.) максимум наклонения i достигается при выходе на геометрические огра-
ничения р=фУфтах и вычисляется по формуле (2.4.16), при этом
ф* = — - i = — - arcsin vx;	(2.4.19)
т 2 max	00 ’	v	'
Ф*=агссо8 vx.	(2.4.20)
Утверждение. Функция приращения наклонения Az на однократном GAM (2.4.18)
для ф= л является монотонно возрастающей по аргументу vx.
Графики изменения наклонения при совершении однократного GAM для
планет Венера и Земля, вычисленные согласно (2.4.17), (2.4.18), представлены
на рисунке 2.4.6.
Графики изменения наклонения при совершении однократного GAM для осталь-
ных планет Солнечной системы, вычисленные согласно (2.4.18), можно найти в (Го-
лубев Ю.Ф. и др. 2016. № 43; Голубев Ю.Ф. и др., 2016, № 15).
2.4.3.	Максимум наклонения орбиты КА
В (Голубев Ю. Ф. и др. 2016. № 43) получено обобщение результатов (Голубев Ю. Ф.
и др., 2016, № 15) на случай эллиптичности орбит планеты и КА. Запишем в сфери-
ческих координатах (X^Z^KcCOsp cosy, Kcosp sinvp, Kxsinp) выражения для n, nsc
и используем затем следующую формулу для тангенса искомого угла наклона z между
двумя плоскостями с нормалями n, nsc при условии (2.4.15):
Пусть у - угол наклона траектории планеты (угол между вектором скорости пла-
неты и «виртуальным» вектором круговой орбитальной скорости этой планеты в той
же точке). Для круговой орбиты у=0. Для векторов Vр/=(Гр/,0,0), Vx=(Kxcosp cosy,
Kxcosp sinvp, ICsinp), rpj=(rpl siny, r/?/cosy, 0) можно получить:
nxnsc=r/?/(r/;/-(V/;/xVx))=-r/?/-r/?/K/,/ Kxzcosy.	(2.4.22)
В итоге доказывается следующее:
212
2.4.
Утверждение. Вектор нормали nsc к орбите КА после GAM будет всегда ортого-
нален радиус-вектору планеты г/;/, то есть при любом GAM nsc всегда остаётся в пло-
скости, ортогональной ly
Доказательство. Вектор nsc ортогонален векторному произведению nxnsc, и поэ-
тому, согласно (2.4.22), он ортогонален г/?/.
Утверждение. Для круговой орбиты имеет место более сильное утверждение:
вектор нормали к плоскости абсолютной орбиты КА после GAM nsc всегда находится
в линейной оболочке векторов V/?/ и п (Голубев Ю.Ф. и др. 2016. № 43. С. 10).
Доказательство. Для случая круговой орбиты планеты все три вектора nsc, V,,/, п
лежат в одной плоскости, ортогональной г/;/. Первый из этой тройки вектор ортого-
нален г/?/. Вектор её орбитальной скорости Ур1 будет также находиться в этой плоско-
сти на круговой орбите г/?/. Вектор п также находится в плоскости, ортогональной г/;/
по построению (рисунок 2.4.7).
Выражение (2.4.21) можно представить в координатном виде (Голубев Ю.Ф. и др.
2016. №43):
Ко,
(2.4.23)
tgz =
KpiCOsy+K^cosY-K^siny
Воспользовавшись представлением (2.4.8) для компонент вектора V*, получим
Ко sin р
(2.4.24)
tgz =
Кр1 cosy + Vx cospcos(y + \|/)
Полученную формулу (2.4.24) можно рассматривать как функциональную зависи-
мость tg i (р,\р), являющуюся обобщением (2.4.17) на случай эллиптической орбиты
планеты.
Отметим, что параметр у, как параметр орбиты планеты, зависит только от точки
проведения GAM. Из (2.4.24) и (2.4.23) следует, что максимум функции tg i достига-
ется при таком для которого:
cos (у+\|/*)=-1,
(2.4.25)
то есть
у*= л-у.	(2.4.26)
Для случая круговой орбиты планеты п.
Напомним, что согласно (Голубев Ю.Ф. и др. 2015. С. 97-103; Голубев Ю.Ф. и др.
2016. №43) /<тг/2. Зафиксируем значение Воспользуемся монотонностью функ-
ции tg / на промежутке /е [0, л/2). Приравняв нулю производную по р от выраже-
ния (2.4.24), получим уравнение относительно угла р*, обеспечивающего экстремум
наклонения /П1ах орбиты КА:
д	Ko(K»cos(v’+y)+K>/cosY'COsp’)
—(tgz) = --------------- --------------/ = 0;	(2.4.27)
Ypi C0SY + Kc cosp* -cos(у* + y)j
_ cosp* - cosy
vPi cos(y + v’)'
С использованием (2.4.17) получим
v cos(y + V‘) V /V,
cos p’ = —-----i= ”/	(2.4.28)
V f	cosy cosy
213
2.4.
Рисунок 2.4.7. Вариации наклонения орбиты КА - отклонение нормали к орбите КА nsc
от нормали к орбите планеты п в зависимости от положения вектора Vx. для общего случая
эллиптической орбиты планеты
Подставляя (2.4.17) в (2.4.24), найдём формулу, определяющую /тах
tg 'max
7cos2y-vf
(2.4.29)
отсюда следует, что
cosy cosy
Из (2.4.25), (2.4.28), (2.4.30) следует
Утверждение. При максимуме наклонения орбиты КА имеют место равенства
(2.4.30)
у* = я-у
V
cos р = cos р* =---—
F^cosy
Sln'max =^^ = —^ = COSP .
cosy cosy
(2.4.31)
Из (2.4.28), (2.4.37) и рисунка 2.4.2 вытекает, что векторы Vsc,oui и Voc, обеспечиваю-
щие максимальное наклонение орбиты КА, ортогональны. Величина максимального
наклонения /тах в случае круговой орбиты планеты удовлетворяет соотношению:
sin/max=^.	(2.4.32)
ypl
Представленная оценка (2.4.32) является точной верхней гранью множества си-
нусов наклонений орбиты КА при совершении GAM, а результаты совпадают с фор-
214
2.4.
мулой (2.4.16), выведенной для случая круговой орбиты планеты другими способами
в (Голубев Ю.Ф. и др. 2015. С. 97-103).
Оценка (2.4.32), в отличие от (2.4.31), известна в западной литературе, но требу-
ет некоторых комментариев. Так, например, в (Campagnola S., Kawakatsu Y, 2012),
Г
где в соответствующую формулу (3) вкралась опечатка: вместо arcsin—- стоит
Ге	VP!
arccos'^-.
pi
В последнее время, в связи с подготовкой и проведением космических миссий
с использованием 3D-GAM около планет и их спутников, а также малых тел Солнеч-
ной системы, сотрудниками NASA, ESA, JAXA активно анализируются построения
пространственных GAM . При этом задействованы «штатные» переменные NASA и
ESA- углы к, a (cranking, pumpin gangles) (Strange N.J., Russell R., Buffington B., 2007),
рисунок 2.4.8.
Для наклонения при совершении GAM в (Strange N.J., RussellR., Buffington B. 2007.
P. 20) найдено следующее выражение:
V sin a-sin к
tg z(a, к) =--------------s--------------------------.	(2.4.33)
sin oc • cos к • sin у - Kpl cos у - Vx cos oc • cos у
Выведенная нами формула (2.4.24) для tg z(p,\|/) согласуется с этими результатами.
Для того чтобы в этом убедиться, достаточно произвести замену переменных р,\|/ на
к, а с помощью соотношений, следующих из формул сферической геометрии:
sinp=-sinK-since, cosp-cos\/=cosa	(2.4.34)
2007)
215
2.4.
Замечание о ПЛ. Сопоставление эквивалентных формул (2.4.24), (2.4.33) с прибли-
жёнными формулами ПЛ, полученными в (Labunsky А. V., Papkov О. V., Sukhanov K.G..
1998), не показывает их полной тождественности (Голубев Ю.Ф. и др., 2016. №43).
Остановимся на этом подробнее. Рассмотрим треугольник АОВ на рисунке 2.4.4. Ис-
пользуя для него теорему синусов, можно получить для одного GAM
V .
sln/ = K^sln(Pmax-
(2.4.35)
Сравнение (2.4.35) и рисунка .2.4.4 с формулой (1.2.10) из (Labunsky A.V.,
Papkov O.V., Sukhanov K.G., 1998) показывает, что в (Labunsky A.V., Papkov O.V,
Sukhanov K.G., 1998) значение Ksc,out приближённо заменяется в знаменателе величи-
ной С/?/, так что
. . .
sinz^-^-sin(pmax.
Г „/
(2.4.36)
Выражение (2.4.36) в ряде случаев, при не очень больших значениях vx, может
служить удовлетворительной аппроксимацией (Голубев Ю.Ф. и др., 2016. № 43).
Отметим, что формула для tg z(p,\|/) (2.4.24) имеет всё же более компактный и
геометрически понятный вид по сравнению с вариантом NASA-ESA (Strange N.J.,
Russell R., Buffington В., 2007). Причина, очевидно, заключается в выборе пе-
ременных. Переменные cranking, pumping angles а, к (Strange N.J., Russell R.,
Buffington В., 2007; Wolf A., 2002) удобны, главным образом, для анализа проведения
GAM только с одной планетой (при изменении а меняется орбитальный период КА,
не меняется наклонение орбиты КА; при изменении к меняется наклонение орбиты
КА, орбитальный период не меняется). Однако полный подбор цепочек GAM мо-
жет оказаться более сложным и изощрённым по выбору текущего резонанса и даже
текущей планеты-партнёра (Голубев Ю.Ф. и др., 2015. С. 97-103; Konstantinov М.,
Petukhov V., Thein М., 2014).
2.4.4.	Сферические координаты для описания пространственного
гравитационного манёвра
Связь переменных р,<|/ в формуле (2.4.24) с переменной ср угла разворота вектора
асимптотической скорости КА относительно планеты Vx в значительной мере зави-
сит от выбора «способа подъёма» A/oul - текущей позиции точки выхода конца век-
тора Voo,oul на Voo-сферу (рисунок 2.4.2), полученной после проведения GAM-после-
довательности, к «полюсу» ТРо|С - точке экстремального наклонения, определяемой
условиями (2.4.31), (2.4.14).
В модельном случае подъёма с помощью последовательности GAM наУх-сфс-
ре строго по меридиану, плоскость которого ортогональна радиус-вектору планеты,
угол р «накапливает» углы Фа,а=1,...,лу р=ро+ф1+ф2+---+ф/уу, а итоговое наклонение опре-
деляется по формуле
( У
^sinl Ро+^ф*.
N.' А
(2.4.37)
216
2.4.
Сопоставим зависимость максимального угла разворота вектора асимптотической
скорости КА (р и геометрически допустимое наклонение формируемой орбиты КА
(2.4.16) для планет Солнечной системы. Графики зависимости фтах от величины
для планет земной группы и Юпитера представлены на рисунке 2.4.9. Они показыва-
ют, что максимальные углы разворота достигаются на значениях К», близких к нулю.
Однако и величина zmax при этом, согласно (2.4.14), близка к нулю. «Эффективность»
GAM появляется только при увеличении У^ до значений, обеспечивающих требуе-
мую для космической миссии величину /тах, но одновременно понижается значение
Фтах, что демонстрируется на этом графике. Жирной чертой обозначено модельное
значение востребованного проектного угла наклонения /тах=30о. Вертикаль, опущен-
ная из точки пересечения жирной черты с графиком функции максимального накло-
нения планеты, показывает соответствующее значение угла сртах поворота вектора
асимптотической скорости на одном GAM.
Рисунок 2.4.9. Зависимости <ртах и /тах от величины К» для планет Земной группы и Юпитера.
По оси абсцисс отложена величина У„ в км/с, по оси ординат - планетарные углы (ртах и /тах
в град
Таким образом, можно вычислить характерный размер «рабочего» телесного угла
области элементарного GAM на поверхности Voo-сферы.
Опишем основной алгоритм проектирования космических миссий к внеэклипти-
ческим положениям (Голубев Ю.Ф. и др., 2016. № 43) с использованием архитектуры
основных углов 3D-GAM (рисунок 2.4.10).
217
2.4.
1.	Выбираем требуемое значение 1тм=1гсчм.
2.	Находим для него соответствующее значение vrz согласно (2.4.14).
3.	Определяем координату (p*=cppoic полюса наклонения по (2.4.19), (2.4.20).
4.	Вычисляем фтах по согласно (2.4.1) и максимальное приращение А/ на одно-
кратном GAM согласно (2.4.18).
5.	В случае Az<zmax и фтах< <ppoic вычисляем минимальное количество GAM для ре-
ализации миссии Ny как округлённое вверх отношение фро)с и сртах:
М [фРсйе/фтах]-!-! •>
1
—arccosv^
arcsin
(2.4.38)
(2.4.39)
Рисунок 2.4.10. Базовые углы в зависимости от величины на примере планеты Венера.
По оси абсцисс отложена величина Уж относительно Венеры в км/с, по оси ординат - углы
(ртах, (ppoie, /’max и А/ в град. Приведена оценка изменения наклонения А7НЛ, посчитанная
по формуле Лабунского (1.2.10) из (Labunsky А. V., Papkov О. V., Sukhanov K.G., 1998).
Точка пересечения А/ и /тах имеет ту же абсциссу, что и точка пересечения (ртах и (рро)е.
Это соответствует выходу на полюс наклонения ((ррО1С#л/2) за один GAM
218
2.4.
2.4.5.	Подъём плоскости орбиты КА к максимальному наклонению
за ограниченное время
Существование связного пути к любой точке на Уу-сфере с геометрически до-
пустимым наклонением гарантируется теоремой «О поясе Венеры» (Голубев Ю.Ф.
и др., 2015. С. 154-157). Она гласит, что такой путь всегда возможен на ограниченном
временном отрезке. Фактически в ней эксплуатируется факт «плотности всюду» мно-
жества рациональных чисел на модельном отрезке действительной оси.
Покрытие Ух-сферы проводится с использованием одинаковых элементов - сфе-
рических кругов, которые, очевидно, будут пересекаться. Будем обозначать сфериче-
ский круг с радиусом основания KcSintp как СКФ. Такой радиус основания, очевидно,
соответствует телесному углу, образованному прямым конусом с углом раствора 2ср.
При анализе полного покрытия УЛ-сферы локальными сферическими кругами GAM
полезно учитывать соотношение между углом раствора конуса 2(рП1ах и его телесным
углом: Q=2n(l-cos(pmax).
В ряде случаев можно аппроксимировать сферические круги описанными около
них правильными сферическими многоугольниками, а саму Ух-сферу - правильным
многогранником. В таком случае трек последовательности GAM будет однозначно
представляться в виде последовательности прохождений нескольких граней правиль-
ного многогранника, каждая из которых ортогональна вектору асимптотической ско-
рости, т.е. является картинной плоскостью текущего GAM.
Цепочка GAM в случае их сольного проведения может быть представима как
группа автоморфизмов УЛ-сферы. Необходим подъём по Ух-сфере к точке-цели, близ-
кой к полюсу её наклонения Гр0|С. Достижение 7ф0|е будет обозначать реализацию вы-
хода на геометрически максимально возможное (2.4.14) наклонение орбиты КА. Для
миссий с vx=l/2 полюс Гр0|е будет находиться на пересечении широты р=тг/3 и про-
дольной плоскости \|/=0 (рисунок 2.4.11). Следуя (ГолубевЮ.Ф и др., 2015. С. 97-103;
Голубев Ю.Ф и др., 2016. № 15), будем называть миссии с vx=l/2 классом МИГ. (Это
сокращение берёт своё начало в работах по баллистическому проектированию Мис-
сии «ИнтерГелиозонд», предназначенной для исследования приполярных областей
Солнца из внеэклиптических положений с наклонением орбиты ~30°.) Для миссий
с произвольным проектным наклонением /max=4cquircd полюс наклонения ТРо\с находится
на широте р*=л/2- Zrequ.rcd-
Предельным (наиболее экономичным способом решения поставленной задачи)
является совместный анализ связки сопряжённых задач (Голубев Ю.Ф и др., 2016.
№ 15):
-	нахождение максимальной плотности заполнения Ух-сферы конгруэнтными эле-
ментами СК(р, при котором их совокупность может образовать односвязную об-
ласть, содержащую точку входа Ао, и точку-цель 7V0|C;
-	построение минимального покрытия Ух-сферы картами СКФ, при котором пол-
ный атлас совокупных СКФ заведомо содержит и точку входа Ао, и точку-цель 7VO|C.
Для соответствующих плотностей расположения на Ух-сфере п>3 сферических
кругов D\ 2 верна оценка (2.4.17)
П 71
’	=—7’7
п-2 6
(2.4.40)
219
2.4.
Рисунок 2.4.11. Для миссий класса ZmaX=/rcquircd полюс наклонения ГРо|С будет находиться на
широте р=л/2- /rcqiiired и долготе g=tl. Нанесены изолинии резонансных соотношений периодов
обращения КА и планеты следующих типов: 1:2, 3:4, 1:1 (синяя линия), 5:4, 4:3, 3:2, 2:1, 3:1
2.4.6.	Подъём плоскости орбиты КА к максимальному наклонению
за минимальное время
Современные космические миссии по исследованию внутренней гелиосферы из
внеэклиптических положений («Solar Orbiter» ESA (Perez J.M.S., 2012), «Интергели-
озонд») требуют предельно сжатых сроков их проведения (пять - семь лет). Поэтому
из маршрута по сфере Vr/ должны быть исключены резонансы более высокого поряд-
ка: 1:2, 5:4, 3:2, 2:1, 3:1, так как они приводят к превышению ограничения на время
проведения миссии. Остаются только главные резонансы вида 3:4, 1:1, 4:3.
Обязательное условие односвязной «быстрой» проводки по наклонению состоит
в том, что каждая карта СКф,/? /=1,...,А-1 содержит хотя бы две «резонансных» точки
А/j, Ауд главных резонансов; последняя карта СКф,7у содержит хотя бы одну А№Ь Под
«резонансной» точкой главных резонансов A/V мы понимаем такую точку, для которой
величина Кс,ои1(Л/?/)=|УР|+\\ои1 (Лл/)| обеспечивает орбитальный период КА с отноше-
нием к периоду обращения планеты в пропорциях 3:4, 1:1 или 4:3 (рисунок 2.4.12).
Как указывалось выше, каждая элементарная карта в случае представления с её
помощью однократного GAM - это «сферическая шапочка» (Spherical Сар) - сфе-
рический круг СКФ„- с радиусом основания Кда8тфтах, образованный пересечением
сферы и телесного угла - центрального конуса с углом раствора 2ср111ах (рисун-
ки 2.4.12, 2.4.13). При составлении сценариев проведения GAM осуществляется
поиск повышающих цепочек одинаковых карт СфКф на V^-сфере. Карты должны
перекрываться и соединять точку входа при первом GAM Ао и точку-цель ТРо|С (ри-
сунок 2.4.13). Каждая СфКф должна содержать резонансные точки пересечения оси
текущего «конуса GAM» (находится в центре сферической шапочки) и точки оси «ко-
нуса GAM», следующего за ним. Значения сртах рассчитываются для каждой планеты
согласно (2.4.1) и приведены в таблице 2.1.1.
220
2.4.
Рисунок 2.4.12. Резонансные изолинии на поверхности Voo-сферы для соизмеримостей между
периодами обращения КА и планеты вида 3:4, 1:1,4:3
Для упрощения формализма можно решать задачу синтеза цепочек двойственным
способом: рассматривая покрытие Voo-сферы сферическими кругами СфКф/2, выде-
лять из него такие цепочки касающихся элементов, каждый из которых содержит хотя
бы одну точку одной из линий главных резонансов (рисунок 2.4.14).
Рисунок 2.4.13. Односвязный маршрут, состоящий из пересекающихся локальных карт,
содержащих стартовую точку первого GAM и полюс наклонения ТРо|е. Нанесены изолинии
резонансных соотношений периодов обращения КА и планеты следующих типов: 1:2, 3:4, 1:1
(синяя линия), 5:4,4:3, 3:2, 2:1, 3:1
221
2.4.
Рисунок 2.4.14. Односвязный маршрут, состоящий из касающихся карт СК(р/2, содержащих
хотя бы одну резонансную точку. Нанесены изолинии главных резонансных соотношений
периодов обращения КА и планеты 3:4, 1:1, 4:3
2.4.7.	Полёт КА для наблюдения приполярных областей Солнца
из внеэклиптических положений
Баллистическое конструирование с использованием GAM первичного этапа раз-
гона КА до востребованной величины уда относительно планеты, формирующей на-
клонение орбиты КА, целесообразно проводить методом использования плоского
графа Тиссерана - Пуанкаре, поскольку первоначально задача остаётся близкой к
компланарной (Perez 2012; Konstantinov М., Petukhov V., Thein М., 2014). Одна-
ко дальнейшее баллистическое конструирование требует уже использования специ-
альных 3D-конструкций ГТП. Финальное фазовое состояние КА «поднимается» над
базовой плоскостью ГТП /=0.
Общий сценарий миссии класса МИГ («Интергелиозонд», «SolarOrbiter»), должен
содержать два этапа.
1.	Разгон КА до требуемой величины ^>17.5 км/с относительно Венеры с помо-
щью серии вспомогательных разгонных GAM не около Венеры (и, возможно, с пер-
воначальным применением разгонного блока либо малой тяги) с целью выхода на ра-
бочую орбиту.
2.	Проведение эффективных повышающих GAM около Венеры с целью повыше-
ния наклонения («качества») рабочих орбит.
Необходимость применения первого этапа вытекает из существования интегра-
ла Якоби J и параметра Тиссерана Т в модели ограниченной задачи трёх тел, кото-
рая описывает в первом приближении систему «Солнце - Венера - КА», поскольку
J- Т- 3(1 — pi) —	- 3- v^. Они не изменяются как на гелиоцентрических дугах,
так и при проведении GAM около Венеры. Из этого немедленно следует невозмож-
ность изменить асимптотическую скорость КА относительно планеты-партнёра по
гравитационному маневрированию (Венеры). Однако временная «смена партнёра»
по GAM позволяет сместить значение в требуемую сторону (Голубев Ю. Ф. и др.,
2015. С. 154-157; Grushevskii A. et al., 2016; Grushevskii A. et al., 2017).
222
2.4.
Данное обстоятельство удобно проиллюстрировать с помощью метода использо-
вания плоского мультипланетного графа (диаграммы) Тиссерана - Пуанкаре (Голу-
бев Ю.Ф. и др., 2015. С. 154-157). На нём на плоскости (/?а,/?л) (высота апогея орбиты
КА - высота перигея орбиты КА в астрономических единицах а.е.) нанесены изо-
линии параметров Тиссерана орбиты КА относительно Венеры (голубые) и относи-
тельно Земли (красные) в квазикомпланарном случае. Точка, отвечающая фазовому
состоянию КА, при проведении GAM около планеты не сходит с соответствующей
изолинии (рисунок 2.4.15).
Для полноценных исследований необходимо использование эфемеридных мо-
делей планет и спутников Солнечной системы, для чего может быть востребовано
применение пучков траекторий, состоящих из десятков миллионов вариантов (Го-
лубев Ю.Ф. и др. 2015. С. 97-103); Grushevskii A. et al., 2017). Поэтому важна фор-
мализация представленного пучкового многошагового алгоритма поиска. Поиск
цепочек - баллистических сценариев миссий класса МИГ - можно производить с ис-
пользованием следующей, наиболее короткой, «формулы сближений» (Голубев Ю.Ф.
и др., 2015. С. 154-157):
5: 5lU52=5l{M^nJ,...J}U52{K,...,n={^inZ..TT,...,n	(2.4.41)
Здесь
A/gain - участок (участки) первичного манёвра разгона межпланетной траектории
КА с использованием РБ и малой тяги;
Г,...,Е - разгонные GAM не с Венерой;
К,...,К- каскад повышающих GAM с Венерой. _	_
Отметим, что последовательность «НЕВенера») Г,..., Г может содержать Г-встав-
и_не обязана быть «резонансной», то есть допускает разнотельные манёвры типа
Г,К,Г, однако каскад рабочих орбит второго этапа И,..., И обязан содержать только
резонансные GAM (за исключением последнего GAM) с целью обеспечения новых
встреч с Венерой.
Баллистическое проектирование заключительного сегмента цепочки S2:
требует использования архитектуры 3D-конструкций. Фазовое состояние КА выхо-
дит в расслоение от базовой плоскости ГТП (Z=0°). В этих случаях (например, для
проектирования миссии ESA «Solar Orbiter») вводятся так называемые V-infinity Maps
(Perez J.M.S., 2012; Kawakatsu Y.V., 2009). Тем не менее, как альтернатива, остаётся
возможность моделировать, оценивать и динамически перенаправлять пучки «под-
нявшихся» треков виртуальных траекторий КА по их резонансным проекциям («ре-
зонансным магистралям») на плоскость классического 2О-ГТП. Поверхность уровня
интеграла Якоби J (и параметра Тиссерана Т), инвариантная при проведении GAM,
проектируется сверху на координатную плоскость (/?а,/?л), на которую одновременно
наносится сетка главных резонансов и изолиний наклонений. Сетка главных резонан-
сов может рассматриваться как 3D-конструкция магистральных ветвей, отслаиваю-
щихся от плоскости ГТП в точках с нулевым наклонением.
Для выполнения требований миссии класса МИГ значение интеграла Яко-
би ограниченной задачи трёх тел Jc и соответствующий параметр Тиссерана
Г =Т\12=Ъ—уу='1П5.
Инвариантную при проведении GAM поверхность наклонений i(Ra,Rn,T) формаль-
но можно рассматривать как поверхность уровня параметра Тиссерана, определённую
на 2И-графе классического ГТП (Campagnola S., Kawakatsu Y, 2012; Голубев Ю.Ф.
и др., 2015. №64; Голубев Ю.Ф. и др., 2016. № 15) при фиксированном значении
223
2.4.
Рисунок 2.4.15. Плоский мультипликативный ГТП. Задействованы манёвр разгона М^а-т
с помощью разгонного блока и малой тяги (оранжевый вектор), GAME1 около планеты
Земля (бордовый вектор), первый резонансный GAM V1 около Венеры (зелёный вектор)
Следуя ГТП, по изоинфинам Земли можно подобраться к высокой асимптотической скорости
КА относительно Венеры. Оранжевая изоинфина соответствует асимптотической скорости
КА относительно Венеры 17.5 км/с. Наклонные прямые отвечают изолиниям резонансных
с Венерой периодов обращения КА, соотносящихся как 3:4, 1:1, 4:4
интеграла Якоби и параметра Тиссерана (рисунок 2.4.16). Вслед за (Campagnola S.,
Kawakatsu К, 2012) выпишем уравнения поверхности наклонений, попутно исправив
опечатки в формуле (2) из (Campagnola S., Kawakatsu Y, 2012) (Ra,Rn заданы в безраз-
мерном виде):
Ъ(л«+^)/(2ад)
Ка + Кп J
(2.4.42)
или, для нашего случая при 7J/2 =
i = arccos —--------!---|j(7? +7? )/(27? 7? )
(2.4.43)
Движение фазового состояния КА при проведении «повышающих» GAM по ГТП
должно состоять из «перескоков» с одной области с центром-точкой на некоторой ре-
зонансной линии поверхности на другую область с центром-точкой, покрывающей-
ся первой областью (не обязательно той же резонансной линии). Согласно теореме
«О поясе Венеры» (Голубев Ю.Ф. и др., 2015. С. 97-103) при достаточно большом
ограничении на время существования миссии резонансные кривые будут достаточно
плотно покрывать поверхность уровня параметра Тиссерана и такая ломаная «цепоч-
ка» должна существовать.
Однако космические миссии МИГ жёстко ограничены по времени и требуют связ-
ности «пояса» из областей GAM на поверхности параметра Тиссерана для Венеры,
224
2.4.
Рисунок 2.4.16. Множество i(Ra,Rn4T) является инвариантной поверхностью при проведении
GAM. На плоскости основания отложены расстояния перицентра и апоцентра орбиты КА
(а.е.), по вертикали - наклонение в град
состоящего только из основных резонансов с орбитальными периодами, не превосхо-
дящими пять-семь лет. В результате из цепочек - наборов из основных резонансов -
для дальнейшего рассмотрения остаются цепочки, состоящие из двухкомпонентных
комбинаций элементов {1:1} и {4:3}, но способные завершаться произвольным тре-
тьим элементом {Л} (нерезонансным гравитационным манёвром), который, вообще
говоря, при отсутствии ограничений на период может обеспечить даже большую ве-
личину финального наклонения рабочей орбиты (рисунок 2.4.17).
В дальнейшем осуществляется поиск согласно выявленной формализованной
структуре (2.4.49) на множестве траекторных пучков, построенных с учётом ЭМ.
При определённом выборе малых импульсов можно реализовать соответствующий
набор возможных продольной и боковой высот пролёта планеты-мишени. Метод мо-
дельной протяжки такого набора с использованием ЭМ до выхода из сферы действия
планеты-мишени приводит к формированию траекторного пучка. Отбираются только
те траектории, которые в ЭМ вторично «переотражаются» на какую-либо резонансную
линию ГТП (рисунки 2.4.15, 2.4.18, 2.4.19). Для потребностей миссии класса МИГ
(«Интергелиозонд») может быть востребовано до десятков миллионов вариантов.
225
2.4.
0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2
Рисунок 2.4.17. Проекция 3 D-поверхности уровня параметра Тиссерана на плоскость
классического ГТП (Ra,Rn). Проведение повышающих GAM показано цепочкой оранжевых
векторов. Области, схематически показанные овалами, соответствуют возможным орбитам
КА после GAM
226
2.4.
Рисунок 2.4.18. «Точные» области пучка виртуальных орбит КА на 3 D-поверхности уровня
параметра Тиссерана до и после проведения GAM около линии отношения орбитальных
периодов КА и Венеры (3:4), спроектированные на плоскость (7?а,7?л) (а.е.)
227
2.4.
Рисунок 2.4.19. ЗЭ-ГТП для Т=\ 1/4 (МИГ). На 3D-поверхность нанесены резонансы 3:4,
1:1, 5:4, 4:3, 3:2, 5:3 (слева направо) и линии уровня наклонения с шагом 5°. На плоскости
основания отложены расстояния афелия и перигелия орбиты КА (а.е.), по вертикали -
наклонение (градусы)
Рисунок 2.4.20. Трек предварительной рабочей траектории «Интергелиозонд» (10) в проекции
на (/?аЛд) показан голубой ломаной. Нанесены линии уровня (прямые) соизмеримостей
орбитальных периодов КА и Венеры 3:4, 1:1, 5:4, 4:3, 3:2, 5:3 (слева направо). Розовые
линии - изолинии наклонений с шагом 5°
228
2.4.
Разберём типовой предварительный вариант миссии «Интергелиозонд» из
(Konstantinov М., Petukhov V., Thein М., 2014) с точки зрения построенной в (Голу-
бев Ю.Ф. и др., 2015. № 64; Голубев Ю.Ф. и др., 2016. № 15) формальной структуры
проектирования баллистических сценариев GAM. Спроецируем параметры получен-
ной в (Konstantinov М., Petukhov V., Thein М., 2014) орбиты КА «Интергелиозонд»
на базовую плоскость ГТП с изолиниями резонансных периодов и наклонений (ри-
сунок 2.4.20). Из рисунка видно, что отчётливо различаются этапы (пронумерованы
чёрным и белым: разгон - 1; разгонный GAM около Земли - 2; разгонный GAM около
Венеры с целью выхода на резонанс (3:4) - 3; разгонный GAM около Венеры с целью
выхода на резонанс (1:1) - 4; повышающий GAM около Венеры вдоль резонанса (1:1)
с целью повышения наклонения - 5,6). Очевидно хорошее совпадение результатов
разработанной методики с результатами других подходов.
2.4.8.	Планирование изменения наклонений
при гравитационном манёвре около Венеры
Представим рассчитанную по точным эфемеридам лоцию изменения наклонений
для космических миссий класса МИГ (миссии, для которых по определению ¥*,=1/2)
для GAM около планеты Венера. По ней можно оперативно составлять требуемые
маршруты для достижения TPoie, рисунок 2.4.21. Здесь нанесены изолинии резонанс-
ных соотношений периодов обращения КА и планеты следующих типов: 1:2, 3:4,
1:1, 5:4, 4:3, 3:2, 2:1, 3:1; красными точками А2 показаны начало и конец первого
GAM около Венеры для типовой траектории, взятой из (Konstantinov М., Petukhov V.,
Thein М,2014).
Рисунок 2.4.21. Рассчитанная по реальным эфемеридам система покрытия Voo-сферы Венеры
фрагментами картинных плоскостей при GAM с Венерой для космических миссий класса
МИГ (Voo=l/2). Нанесены изолинии резонансных соотношений периодов обращения КА
и планеты следующих типов: 1:2, 3:4, 1:1 (синяя линия), 5:4, 4:3, 3:2, 2:1, 3:1. Красными
точками Л|, А2 показаны начало и конец первого GAM около Венеры для типовой траектории
(Konstantinov М., Petukhov V., Thein М., 2014)
229
2.4.
Согласно (2.4.19) для произвольных миссий с наклонением zmax=z* полюс наклоне-
ния Тр0|С будет находиться на широте р=л/2-Л Координаты р*, о* стационарной точки,
отвечающие экстремуму угла наклонения, приведены для конкретных основных ре-
зонансов в таблице 2.4.2.	z	ч
1	3
Координаты ТРо|Спри vx=l/2 записываются в виде Ида,0, ~Ко •
Для главного резонанса 1:1 любой космической миссии с vy<l величина р* может
быть вычислена аналитически. Действительно, из третьего закона Кеплера и интегра-
ла энергии следует, что |VP||=|Vpi+Vx,oul|. Поэтому треугольник АОВ на рисунке 2.4.4
является равнобедренным, его медиана из вершины А к стороне ОВ одновременно
будет и высотой, следовательно,
cosp^jv^.
1
Для класса МИГ, очевидно, р* = р^иг = arccos— « 75.52°.
(2.4.44)
Таблица 2.4.2. Координаты р*, о* стационарной точки ТРо|е
резонанс	р*, град	о*, град
1:1	75.5	-180
3:4	62.7	-180
4-1	85.8	1S0
5:4	83.6	-180
3:2	89.3	-180
1:2	34.0	-180
2:1	83.0	0
3:1	75.5	0
Отметим одно интересное обстоятельство, демонстрируемое на рисун-
ках 2.4.11, 2.4.12, что лобовая часть Ух-сферы не применяется при формировании
изолиний. Причина состоит в том, что в этой области после совершения GAM ско-
рость Kscoul разгоняется до гиперболических значений для гелиоцентрического дви-
жения КА. В случае > л/2 -1« 0.41421 область Ух-сферы, используемая для по-
строения изолиний,должна быть усечена со стороны направления движения планеты.
Радиус основания граг отсекаемой соответствующей сферической шапочки находится
из условия
=	(2.4.45)
ир| 2
Таким образом, для миссий класса МИГ (vx= 1 /2) эффект усечения Уу-сферы будет
иметь место при достаточно больших периодах обращения КА и от Уу-сферы отсека-
ется сферическая шапочка с радиусом основания граг = — Кр1 « 0.33072 • Ир1.
8
230
2.5.
ИИ ГРАВИТАЦИОННЫЕ МАНЁВРЫ НА ГРАНИЦЕ
СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ НЕБЕСНОГО ТЕЛА
Рассмотрим использование гравитационных манёвров КА на границе сферы
действия малого небесного тела на примере системы Юпитера и его галилеевых
спутников.
Сценарии выхода АМС на околоспутниковую орбиту и посадки на спутник (Гани-
мед) могут существенно различаться. На орбитах, расположенных ниже орбиты вто-
рого малого тела (Каллисто), гравитационные манёвры с этим партнёром становятся
нерациональными. Одновременно и стандартные гравитационные манёвры с Гани-
медом теряют свою эффективность. Хотя при этом большую часть «избыточной» для
сближения с Ганимедом асимптотической скорости КА уже удается погасить, однако
попытки дальше провести полноценные GAM приводят к резкому уходу (падению)
перицентра орбиты КА от значений, близких Ганимеду.
Как уже отмечалось {Мюрреи К., Дермотт С., 2009), инвариантность параметра
Тиссерана носит приближённый характер и может приводить к дополнительным эф-
фектам при совершении GAM на границе сферы малого тела.
Современные методы баллистического проектирования {Boutonnet A., Schoen-
maekers J., 2012) предполагают применение на этой стадии техники «высотных»
гравитационных манёвров, использующих свойства соответствующих решений огра-
ниченных задач трёх тел и ЭМ для этой фазы. Такие манёвры должны выполняться
на границе и выше сферы действия малого тела за счёт влияния большого тела, что,
при определённых условиях, понижает апоцентр орбиты КА, не уменьшая при этом
высоту его перицентра (рисунок 2.5.1) {Ross S., Scheeres D., 2007). Формально это
выражается в пролётах Ганимеда на значительных, порядка 20...55 тыс. км высотах.
На ГТП такому движению соответствует граница «верхней секции», отмеченная го-
ризонтальной прямой, на которую необходимо попасть с помощью регулярных GAM
(рисунок 2.5.2). В обозначенной области выполнено соотношение для интеграла Яко-
би J~3-v2~3 и, естественно, для неё характерны хаотические движения.
Внутри указанной области необходимо продвигать позицию КА в сторону пози-
ции Ганимеда (координаты (157?а, 157?л)) с применением вышеуказанных специально
построенных методик синтеза траекторных пучков с высотными пролётами малого
тела.
Отметим следующие обстоятельсва:
1. Предельная минимальная высота пролёта Ганимеда ограничена 20 000 км, но
поиск расширен до высоты 60 000 км, формально превосходящей радиус сферы дей-
ствия Ганимеда.
2. Ищутся классы высотных пролётов Ганимеда «по отскоку» таких, что после
следующей «высотной» встречи с Ганимедом траекторного пучка есть ещё одна
встреча с ним. Тем самым проводится существенная фильтрация исходного пучка
траекторий.
Выполнение этих требований позволяет выявить в ОЗТТ и ЭМ-постановке ре-
жимы пролёта малого тела траекторными пучками, позволяющие за счёт действия
Юпитера предельно близко продвинуться к Ганимеду, уменьшая высоту апоцен-
тра, но практически не «роняя» высоту перицентра орбиты КА {Boutonnet А.,
Schoenmaekers J., 2012; Ross S., Scheeres D., 2007).
231
2.5.
Рисунок 2.5.1. Геометрия малозатратных «высотных» гравитационных манёвров
(Ross S., Scheeres D., 2007)
Рисунок 2.5.2. ГТП с изолиниями накопленной на витке дозы радиации с шагом 2 Крад
232
2.5.
Для их численного выявления и прохождения в процессе численного моделирова-
ния разработаны и используются ряд новых методик: (Голубев Ю.Ф. w др. 2013; Голу-
бев Ю.Ф. ц др. 2014. С. 159-177; Голубев Ю.Ф. и др., 2014. С. 39-41; Grushevskii А. V.,
2014. ISSFD; Grushevskii А. V., 2014. COSPAR).
Метод селекции («усечения роя») позволяет заменить просчёт миллионов раз-
ветвлённых вариантов гораздо меньшим числом, реальным для исполнения (десят-
ки-сотни тысяч), он сводится к использованию только таких сегментов синтезиро-
ванного отражённого фазового пучка, которые отвечают сформулированным выше
критериям Г-координатного представления (рисунок 2.5.3). Метод использует сорти-
ровку многомерных матриц моделируемых фазовых потоков.
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Рисунок 2.5.3. Метод селекции («усечения роя») на ГТП позволяет заменить просчёт
большого числа вариантов (вверху) гораздо меньшим числом, реальным для исполнения
(внизу)
233
2.5.
Метод фокусировки «Zoom» заново моделирует усечённый пучок фазовых траек-
торий, узко сфокусированный около вычисленных значений импульсов «коррекций
доставки», соответствующих кластерам селекции («усечённым роям»), полученным
предыдущим методом. Импульсы коррекции принимаются опорными, и около них
запускаются фазовые потоки «повышенного разрешения» (рисунок 2.5.4). В отличие
от метода последовательных приближений (который должен сходиться к одному ре-
шению), такая методика выявляет топологическое расслоение решений по динамиче-
ским параметрам и фазовым характеристикам на несколько групп, каждую из кото-
рых также в дальнейшем можно использовать для селекции. Такую процедуру можно
повторять итерационно, несколько раз.
Рисунок 2.5.4. Локализация «перспективных» фазовых пучков. Результат работы метода
фокусировки фазового пучка для продвижения по «верхнему коридору»
Описываемые методы показали эффективность при реализации востребованных
стратегий выхода на верхнюю секцию ГТП и его прохождения. Ниже их работа де-
монстрируется для поиска одного из глобальных семейств целевых сценариев - по-
строения туров для посадки на спутник Юпитера Ганимед, «комфортабельных»
по накопленной дозе радиации (рисунки 2.5.5-2.5.8).
Типовой фрагмент маневрирования КА перед посадкой на Ганимед, синтезиро-
ванный с его помощью, представлен на рисунке 2.5.9. На этом рисунке можно выде-
лить помеченную маркером-квадратом 1 начальную серию GAM с Ганимедом (место
проведения GAM указано квадратом 2) с почти неизменной линией апсид и уменьша-
ющимися размерами витковых больших полуосей. После проведения кросс-манёвра
с участием Каллисто (квадрат 3) КА выходит на новую «сжимающуюся» серию ква-
зирезонансных GAMc Ганимедом с повёрнутой линией апсид (квадрат 4). Квадра-
том 5 помечена серия высотных GAM с Ганимедом, медленно понижающих высоту
апоцентра орбиты КА, тем самым пододвигая орбиту КА к Ганимеду.
Соответствующий вид представленного тура на ГТП приведён на рисунке 2.5.10.
Крестиками отмечены фазовые перескоки на GAM. Кружками обведены номера клю-
чевых этапов при проведении тура в СЮ. Таким образом, продемонстрирована воз-
можность проведения «комфортабельных» (по радиации) полётов в системе КА с TID,
не превышающей значений 70 крад для стандартной защиты «Galileo» 8... 10 мм А1
(либо, как вариант, для «лёгких» КА с толщиной защитного корпуса 4-5 мм А1 при
стандартных ограничениях на TID 200...300 крад).
234
2.5.
10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Рисунок 2.5.5. Двойное применение метода фокусировки фазового пучка для продвижения по
«верхнему коридору» ГТП
Рисунок 2.5.6. Последовательное применение метода фокусировки фазового пучка для
продвижения по «верхнему коридору» ГТП
235
2.5.
Рисунок 2.5.7. Иллюстрация совместного применения методов селекции и фокусировки
фазового пучка для продвижения КА по ГТП при подходе к Ганимеду
10	20	30	40	50	60	70	80	90 ЮС
Рисунок 2.5.8. «Эндшпиль»: иллюстрация совместного применения методов селекции
и фокусировки фазового пучка для продвижения КА по ГТП при подходе к Ганимеду.
Заключительная стадия выхода на орбиту Ганимеда
236
2.5.
Рисунок 2.5.9. Типовой фрагмент найденного «комфортабельного» по накопленной дозе
радиации сценария сближения КА с Ганимедом
20
18
16
15
14
8
Ю 20	30	40	50	60	70	80	90	100
Рисунок 2.5.10. «Комфортабельный» по TID тур в СЮ на ГТП
237
2.6.
ЯЯ.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ «СЛАБОГО ГРАВИТАЦИОННОГО
ЗАХВАТА» ПОЛЕМ ТЯГОТЕНИЯ ПЛАНЕТЫ-ЦЕЛИ
Современные походы к баллистическому проектированию эффективных межпла-
нетных космических миссий используют новейшие результаты в теории динамиче-
ских систем и хаоса. В некотором смысле указанный приём является естественным
выходом на границу области использования регулярных, классических гравитацион-
ных манёвров (хотя несколько десятилетий назад сам прецедент использования GAM
являлся новаторским в баллистическом проектировании), как и регулярной и хаоти-
ческой небесной механики в целом. В основном можно выделить два направления
использования «слабого гравитационного захвата» с целью уменьшить бюджет кос-
мических миссий и, как следствие, расширить её область достижимости: перелёты
к Луне и маневрирование КА в системе Юпитера с целью выхода на орбиту искус-
ственного спутника одной из галилеевых лун (Европа, Ганимед). Второе направление
не в последнюю очередь обусловлено вероятностью высокой частоты встреч с юпи-
терианскими лунами ( периоды их обращения составляют 3.55 сут. и 7.15 сут.), что
делает возможным проведение десятков «подготовительных» GAM для реализации
«слабого гравитационного захвата», первое направление является важнейшим в силу
своей «магистральности», но манёвры сближения с Луной являются более редкие и
приводят к значительному увеличению длительности космической миссии. В каче-
стве модельного рассмотрим первый случай.
Основные практические работы по проектированию низкоэнергетических тра-
екторий перелёта к Луне с баллистическим захватом были выполнены Э. Белбруно
(Belbruno Е., 1994; Белбруно Э., 2011). Рассмотрим их результаты.
Баллистический захват космического аппарата Луной обеспечивается при ско-
рости КА, близкой к скорости движения Луны, и положении аппарата, обеспечи-
вающем баланс гравитационного притяжения КА Луной и Землёй. Эти условия
удобнее всего соблюсти при рассмотрении задачи в рамках теории динамических
систем, описывая движение КА на так называемых многообразиях - множествах
траекторий, инвариантных относительно временного сдвига. Выделим область
хаотического движения - границу слабой устойчивости, в которой силы притя-
жения Луны и Земли близки к равенству - малые возмущающие воздействия на
КА приведут к существенному изменению траектории, а именно к устойчивому
движению в направлении одного из небесных тел. Двигаясь в этой области, КА
может быть захвачен сферой действия Луны - в таком случае говорят о слабом,
или баллистическом, захвате. Границы слабой устойчивости представляют собой
множество трёхмерных поверхностей неправильной формы вокруг Луны, отвеча-
ющих различным скоростям КА. Если скорость КА относительно Луны и Земли
равна нулю, области слабой устойчивости представляют собой пять точек Лагран-
жа L\-L5 (рисунок 2.6.1). Частица, помещённая в эти точки, будет покоиться во вра-
щающейся системе координат (связанной с вектором Земля - Луна). Коллинеарные
точки либрации системы Солнце - Земля L\, L2 нашли практическое применение
в космонавтике. Квазипериодические орбиты, формируемые в окрестности этих
положений равновесия, удобны для размещения научных космических аппаратов
и космических телескопов, направленных на исследование Солнца и Вселенной
(Ильин И.С., 2015).
238
2.6.
Рисунок 2.6.1. Точки либрации в ОЗТТ
Рассмотрим подлёт КА к Луне. Если КА находится в сфере действия Луны, то при
сближении с ней гравитационное поле Луны искривляет траекторию движения КА,
меняя вектор его скорости - данный процесс известен как пертурбационный манёвр
КА в окрестности планеты и широко применяется при проектировании траекторий
межпланетных миссий. С уменьшением скорости КА его время пролёта увеличива-
ется, приводя к более продолжительному воздействию гравитационного поля пла-
неты, и, соответственно, к более существенному искривлению траектории КА. При
достижении некоторого значения подлётной скорости в результате пертурбационно-
го манёвра траектория КА замыкается вокруг притягивающего тела и происходит
баллистический захват КА. В результате баллистического захвата формируется не-
устойчивая, хаотическая орбита, однако небольшой манёвр позволяет сформировать
устойчивую высокоэллиптическую орбиту. Вышеизложенные свойства баллистиче-
ского захвата делают этот метод очень удобным для практической реализации при
выведении КА на окололунные орбиты.
Однако задача попадания на заданную границу слабой устойчивости с заданной
скоростью при перелёте от Земли требует очень высокой точности приложения им-
пульса. Один из подходов к преодолению данной трудности - построение траектории
в обратном направлении (и в обратном времени). Вектор состояния КА, принадле-
жащий траектории баллистического захвата около Луны (точка В), интегрируется в
обратном времени до достижения некоторой точки А в окрестности Земли. Затем для
перехода из этой точки на низкую околоземную орбиту выполняется небольшая кор-
рекция скорости КА в точке А (рисунок 2.6.2).
239
2.6.
Луна
Рисунок 2.6.2. Траектория перелёта к Луне с малой тягой методом баллистического захвата
Точка А для задачи баллистического захвата траектории КА Луной расположена
на достаточно большом расстоянии от Земли - примерно в 100 000 км. Для достиже-
ния этой точки КА должен набрать необходимую скорость - аппараты с двигателями
малой тяги обычно движутся по спиралевидной траектории, совершая множество
витков вокруг Земли и постепенно ускоряясь, прежде чем выходят на траекторию
перелёта. В случае перелёта к Луне КА совершает около 3000 витков в течение по-
лутора лет. В точке А двигатели выключаются, и КА по инерции движется к точке В
(для рассматриваемой задачи участок пассивного движения занимает около 14 дней).
В точке В двигатели включаются, и КА движется по спирали до достижения требуе-
мой высоты лунной орбиты (4 месяца для достижения высоты орбиты около 100 км
над поверхностью Луны). Таким образом, общее время перелёта при применении
баллистического захвата составляет около двух лет. Такой тип перелёта к Луне с ис-
пользованием малой тяги и баллистического захвата называется внутренним. Опи-
санная траектория была спроектирована Эдвардом Белбруно (Белбруно Э., 2011)
в 1986 году и реализована КА «SMART-1», запущенным Европейским Космическим
Агентством к Луне в 2003 году.
Впервые перелёт к Луне с малой тягой согласно предложенному Белбруно методу
баллистического захвата был осуществлён японским КА «Hiten» (Belbruno Е., 1994).
Первоначально Японское космическое агентство планировало традиционный гома-
новский перелёт к Луне. Система из двух КА была выведена на околоземную орбиту,
затем КА «Muses-В» был выведен на траекторию перелёта к Луне, однако при сбли-
жении с Луной связь с ним была потеряна. Совместными усилиями Японского кос-
мического агентства и специалистов НАСА удалось спасти миссию: КА «Muses-А»,
предназначенный для ретрансляции сигнала КА «Muses-В» с околоземной орбиты
на Землю, был переименован в «Hiten» и выведен на траекторию перелёта к Луне
с малой тягой.
Траектория перелёта КА «Hiten» к Луне была сформирована следующим образом.
Представим, что аппарат уже находится на границе слабой устойчивости в окрест-
240
2.6.
ности Луны (точка В на рисунке 2.6.3). Проинтегрировав вектор состояния аппа-
рата в обратном времени, получаем точку С, расположенную на расстоянии около
1.5 млн км от системы Земля - Луна. Гравитационное воздействие Солнца привело
к существенному удалению КА от системы Земля - Луна, приблизив его к границе
слабой устойчивости данной системы, в область неустойчивой динамики. Продолжая
интегрирование в обратном времени, видим, что вектор состояния возвращается в
окрестность Земли, однако оказывается достаточно далеко от реальной эллиптиче-
ской орбиты, на которой находился КА «Hiten». Проблема стыковки траекторий была
решена следующим образом: допустив небольшие изменения в векторах скорости
КА в точках С и А - точке перехода с реальной эллиптической орбиты КА «Hiten» на
траекторию перелёта к Луне - можно найти решение краевой задачи, удовлетворя-
ющее ограничениям на координаты КА на обоих концах траектории. Малость вели-
чины ДК, требуемой для перехода с дуги перелёта от Земли на дугу перелёта к Луне
241
2.6.
в точке С, обусловлена сильной неустойчивостью данной области, характеризующей-
ся близким значением гравитационных сил системы Земля - Луна и Солнца. Участок
траектории А-С имел продолжительность 45 суток, участок С-В - около 100 суток,
то есть продолжительность перелёта по сравнению со схемой раскручивания от Зем-
ли по спирали была существенно снижена. Суммарное значение ДИ для проведения
манёвров в точке А и С составило 48 м/с (АИ|~14 м/с, ДИ|~30 м/с). Для сравнения,
традиционный романовский перелёт требовал суммарного ДИ около 250 м/с. Такой
тип перелёта к Луне с баллистическим захватом называется внешним - траектория
КА выходит на границу сферы действия системы Земля - Луна.
В результате успешной реализации описанной траектории КА «Hiten» был приве-
дён в область баллистического захвата Луны, затем, так как на борту КА осталось до-
статочно топлива, миссия была расширена - был выполнен облёт треугольных точек
либрации Л4 и L5 системы Солнце - Земля, затем КА был вновь приведён в область
баллистического захвата Луны и помещён на окололунную орбиту, на которой нахо-
дился в течение года. Миссия была завершена 10 апреля 1993 года запланированным
столкновением КА «Hiten» с поверхностью Луны.
Перелёт к Луне с малой тягой позволяет в два раза увеличить массу полезной на-
грузки, выводимой на круговую окололунную орбиту, по отношению к общей массе
КА по сравнению с гомановским перелётом.
На момент реализации миссии «Hiten» баллистический захват моделировался чис-
ленно; не было разработано теории, позволяющей выполнить однозначный аналити-
ческий расчёт описанных результатов - траектория баллистического захвата исполь-
зует сложную динамику задачи четырёх тел. Одним из способов преодолеть трудность
аналитического описания движения в рамках задачи четырёх тел является её разбие-
ние на две задачи трёх тел - систему Земля - Луна - КА в области, где rES<1.368rEM
(где гЕМ - среднее расстояние между Землёй и Луной, rES - удаление КА от Земли),
и систему Солнце - барицентр Земля - Луна - КА в области, где rES>1.368rEM. Далее,
динамику КА удобно описывать с помощью задачи Хилла, так как значения константы
Якоби вдоль траектории позволяют классифицировать движение КА по принадлежно-
сти к одной из областей Хилла {Белбруно Э., 2011; Conley С.С. et al., 1968). Исполь-
зуя современную теорию динамических систем {Кооп WS., Lo М., Marsden J.E., 2000;
Belbruno Е., 1994), можно показать, что движение в окрестности точки С принадлежит
устойчивому и неустойчивому Wlt многообразиям орбиты Ляпунова в окрестности
коллинеарных точек либрации Д2 системы Солнце - Земля. В современной науч-
ной литературе содержится немало результатов, посвящённых проектированию низ-
коэнергетических межпланетных траекторий с использованием инвариантных мно-
гообразий в рамках теории динамических систем. Однако практическое применение
результатов этих исследований в полётах к Луне по-прежнему не слишком популярно,
в частности из-за длительности перелёта.
242
3 МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ
БАЛЛИСТИКО-НАВИГАЦИОННОГО
ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПОЛЁТОВ КА
НИ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЁТОВ КА
Сколь угодно сложный полёт КА в дальнем космическом пространстве, в част-
ности, включающий многократные активные и пассивные гравитационные манёвры
у различных планет Солнечной системы и многие длительные участки движения КА
с двигателями большой и малой тяги, может быть смоделирован с помощью динами-
ческой системы.
Общая математическая модель движения КА на N гелиоцентрических и плането-
центрических участках активного и пассивного полёта может быть представлена как
динамическая система вида
где х,(/,) - вектор состояния КА на /-м участке полёта; и, - функция управления; р, -
варьируемые параметры, являющиеся внутренними факторами влияния на /-м участ-
ке полёта, q - внешние факторы влияния, определяющие схему полёта КА и влияю-
щие на все участки траектории; t, - время, независимая переменная.
При переходе от одного участка траектории (например, активного с номером /) к
другому (например, пассивному с номером /+1) должна выполняться их «стыковка»:
=с
где t, - момент окончания z-го участка полёта,
। - момент начала /+1-го участка,
х,(/,А) - вектор состояния объекта в момент времени /А,
х,ч(/-н) - вектор состояния объекта в момент времени
Моменты времени окончания полёта КА на /-м участке траектории /А определяют-
ся из условия
л,(х,(сА),ч/)=о, /=1,...Л
Это условие для случая окончания межпланетного перелёта, т.е. попадания КА
в «точечную» сферу действия планеты, определяется как равенство координат КА г
и планеты прилёта R в момент tK\
r(ZA)-R(ZA)=O.
В моменты времени t\ происходит преобразование вектора состояния от одной
системы, описывающей движение на /-м участке полёта, к другой, моделирующей
движение КА на следующем, /+1-м, участке:
х,н(/?,|) = Х,(х,(ЛА),Ч/),/=1,...Л-1.
Моменты времени tKt характеризуются, как правило, изменением скорости КА
вследствие работы его ДУ на величину ДУ,. Тогда условие для такого изменения ско-
рости при применении метода импульсной аппроксимации может быть записано как
V,+1(/?+1) =У,(/,А)+ДУ,(/,А).
243
3.1.
3.1.1.	Дифференциальные уравнения движения
Система дифференциальных уравнений движения КА на пассивных участках по-
лёта записывается следующим образом:
^y = v ^ = v
dt х' dt к’ dt z’
dVX	X 77
—- =	t + F
dt P R3 
dVy _ у „
dt
(3.1.1)
dV7
4 dt
~ p3 + ^z’
к
где Ц/э - гравитационный параметр планеты;
x,y,z,Kx,Kr,Kz - текущие значения координат и скоростей центра масс объекта в
инерциальной системе координат с началом в центре Земли;
R - модуль радиус-вектора центра масс объекта, R - ^х2 + у2 + z2;
Fx.FY.Fz - проекции вектора суммарного возмущающего ускорения на оси основ-
ной системы координат.
В число суммарного возмущающего ускорения должны входить соответствующие
виды возмущений, определяемые конкретным типом орбит. На участке полёта КА в
большинстве случаев достаточно учитывать следующие виды возмущений:
-	возмущения, вызванные нецентральностью гравитационного поля Земли;
-	возмущения, вызванные притяжением Солнца;
-	возмущения, вызванные притяжением Луны;
-	возмущения, вызванные влиянием атмосферы;
-	возмущения, вызванные световым давлением.
При расчётах, связанных с полётами по межпланетным траекториям (например,
к Марсу или Венере), может потребоваться также учёт возмущений от притяжения
других планет Солнечной системы.
Если полёт происходит вблизи какого-либо другого небесного тела, а не Земли,
то вместо гравитационного параметра Земли в системе уравнений (3.1.1 Необходимо
использовать соответствующую величину для этого небесного тела.
3.1.2.	Гравитационные возмущения
Расчёт возмущений, обусловленных нецентральностью гравитационного
поля Земли. Отклонение гравитационного поля Земли от центрального характеризу-
ется возмущающей функцией следующего вида
Я=(/(г,фЛ)-£/0,
где £/(г,фД) - гравитационный потенциал Земли как реального физического тела;
UQ= — - ньютоновский потенциал;
г,ф,Х - сферические координаты точки: соответственно радиус-вектор, широта и
долгота в гринвичской СК.
244
3.1.
Разложение гравитационного потенциала Земли по полиномам Лежандра имеет
вид
R I
— (C„„. coswX + £>„„, sinwX) (sinф) .
Здесь 7?э - средний экваториальный радиус Земли;
CM,Cnm,Dnm - безразмерные коэффициенты, характеризующие фигуру Земли;
P,z0(sin(|)) - полином Лежандра я-го порядка;
P„„,(sin(|)) - присоединённая функция Лежандра.
Члены разложения потенциала Р,,о с индексами /77=0 называются зональны-
ми гармониками, члены с т=п - секториальными гармониками, все остальные
- тессеральными.
Общее выражение для вектора возмущающего гравитационного ускорения, обу-
словленного нецентральностью гравитационного поля Земли, имеет вид
" А ( fl	fl \
ас =щ-УЯ*У Ctl—uh + S.—Vkl .
с 3 S М дг 1	1 dr J)
Здесь /?э - средний экваториальный радиус Земли;
СА/, Sk/ - сферические гармоники;
UKj, Vk, - вещественные сферические функции рекуррентного алгоритма
Каннингема в обработке В.А. Брумберга (Brumberg V.A., 1995).
Рекуррентный процесс для вычисления значений вещественных сферических
функций UKl, Vk/ и их производных по координатам x,y,z описывается следующей
группой однотипных формул:
^о<> =“> Г>о=О, Ukl=Vkl=Q n\M j>k
^А+1,А+1	2А + 1	X'	~^к,'	+ у-	Tul
V у А+1.А+1	г2				ик.к J
_ 2А + 1 Z ^k.i k + j 1 Uk-\,j
vM4 ]= A-y+1'7'15. ]“k-j+1  7
+ 0.5-(A-j+2)-(A - j +1) •
В правых частях для производных при j=Q делается замена:
(А + 2)(А + 1)
Необходимые для их определения значения U, V рассчитываются до (w+1) порядка
включительно.
245
3.1.
Сферические гармоники СА/, Sk/- для ряда моделей с целью простоты сравнения
коэффициентов принято выражать в нормированном виде СА., Sk Связь между нор-
мированными коэффициентами и ненормированными осуществляется формулой
Q/=rkj  Q/ > $kj ~ rki ’ $к/ •>
где rK/ - коэффициент нормировки, вычисляемый по формуле
г = /еД2А: + 1)(^-7)! е* = 1 при у = О,
Г</ у (k + j)\	’ ек=2 при/^0.
Динамическая часть геопотенциала, связанная с приливными деформациями, не
учитывается.
Расчёт возмущений, обусловленных притяжением Солнца. Проекции возму-
щающего ускорения, обусловленного притяжением Солнца, на оси основной систе-
мы координат определяются по следующим соотношениям:
( xs - х xs
Dl
(3±2)
\ Dl ^1)
Здесь ps - гравитационный параметр Солнца;
xs,ys,zs - координаты Солнца в основной системе координат;
x,y,z - координаты объекта в основной системе координат;
Rs ~ радиус-вектор Солнца;
Ds -расстояние от Солнца до объекта,
А=7(Л5-Л)2 +(Л->”)2 +(ZS-Z)2-
Координаты Солнца и объекта в формулах (3.1.2) должны быть приведены к одной
и той же основной системе координат.
Расчёт возмущений, обусловленных притяжением Луны. Проекции возмуща-
ющего ускорения, обусловленного притяжением Луны, на оси основной системы ко-
ординат определяются по следующим соотношениям:
Здесь цм - гравитационный параметр Луны;
xM,yM,zM - координаты Луны в основной системе координат;
7?м - радиус-вектор Луны;
DM - расстояние от Луны до объекта,
246
3.1.
3.1.3.	Аэродинамические силы
Влияние атмосферы планеты на движение центра масс КА описывается аэро-
динамической силой, направление которой противоположно вектору относитель-
ной скорости. Ускорение, вызываемое аэродинамической силой, рассчитывается по
формуле
аА =~Р^
А 2 М
где р - плотность атмосферы;
V- скорость КА относительно атмосферы;
Ср - аэродинамический коэффициент лобового сопротивления;
S - площадь поперечного миделевого сечения;
М- масса КА.
Если средняя длина свободного пробега молекул значительно превосходит геоме-
трические размеры аппарата, то коэффициент СР близок к 2, иначе СР мало отличает-
ся от единицы. Средняя длина свободного пробега молекул на высотах свыше 160 км
составляет около 50 м. Поэтому для большинства спутников можно принять СР~2.
Опыт показывает, что с ошибкой, не превосходящей 5%, можно принять, что среднее
значение СР равно 2.2.
Площадь поперечного сечения S для несферических спутников является величи-
ной переменной. Поэтому для точного построения модели его поступательного дви-
жения необходимо знать также и параметры его вращательного движения. Однако
если предположить, что при вращении КА вокруг центра масс различные его поло-
жения равновероятны, то для S можно взять среднее значение, равное 0.25 площади
внешней поверхности аппарата.
Таким образом, значение величин S и СР обычно известны с невысокой точностью.
Однако для прогнозирования траектории обычно используют уточняемый в процессе
полёта коэффициент, равный произведению S и СР.
3.1.4.	Воздействие давления солнечной радиации
Ускорение, обуславливающее световое давление, определяется формулой (Абала-
кин В.К. и др., 1976)
_/р 5PV
а^п ki^	,
SR ° М\Р)
где Р(} - сила солнечного давления на расстоянии в 1 а.е., равная 4.567х 10 9Н/м2;
S- площадь поперечного миделевого сечения;
М-масса КА;
к - коэффициент отражения, равный 1 при полном поглощении и 1.44 - при пол-
ном рассеивании;
А - среднее расстояние от Земли до Солнца;
D - расстояние от КА до Солнца.
В отличие от силы притяжения, сила светового давления не является непрерывной
функцией, и при расчётах необходимо учитывать попадание КА в тень Земли или
других планет.
247
3.1.
3.1.5.	Воздействие тяги двигателя
Для моделирования активных участков, на которых работает ДУ КА, систему
дифференциальных уравнений движения КА необходимо дополнить слагаемыми,
учитывающими ускорение, создаваемое тягой двигателей. Также необходимо учесть
уменьшение массы КА за счёт затрат топлива. С учётом этого итоговая система урав-
нений записывается следующим образом:
— =v dy_ = v —=v
dt	dt r’ dt z’
dPT	x	_	n
dt	ЕЛ3	x	x
dt	E R3	r	Y
dVz _	z . p ,	p
dt	eR3	z	z
dm
----= -mp,
dt--p
dVs=P-ga,
dt	m
(3.1.3)
где pE - гравитационный параметр Земли;
x,j/,z, Vx, VY, Vz - текущие значения координат и скоростей центра масс объекта;
R - модуль радиус-вектора центра масс объекта, R = yjx2 + у2 + z2;
Fx,Fy,Fz - проекции вектора суммарного возмущающего ускорения на оси основ-
ной системы координат;
Px,Py,Pz ~ проекции вектора тяги двигателя на оси основной системы координат;
т - текущая масса объекта;
тр - секундный расход массы топлива, необходимого для проведения манёвра
с помощью ДУ;
Vs ~ характеристическая скорость;
Р - тяга ДУ;
go - стандартное значение ускорения свободного падения, равное 9.80665 м/с2.
Вектор тяги, как правило, задают не в основной системе координат, а в некоторой
дополнительной. При проведении проектных расчётов в качестве такой дополнитель-
ной системы координат используют, например, орбитальную. Тогда положение про-
дольной оси КА, вдоль которой, как правило, направлен вектор тяги ДУ, может быть
описано системой уравнений
Рг = Р cos ср cos у,
< р - Psincpcosip,
Ph = -Psin\|/,
где ф - угол тангажа; у - угол рыскания.
248
3.2.
ЕИ системы координат и отсчёта времени
Измерения текущих навигационных параметров, эфемериды планет, параметры
вращения Земли и другие данные, используемые для БНО полёта КА к телам Солнеч-
ной системы, привязаны к различным шкалам времени. Поэтому при построении ма-
тематической модели прогнозирования используются алгоритмы, обеспечивающие
переход между различными шкалами и формами представления времени.
Интегрирование уравнений движения, расчёт влияния Луны, Солнца и планет,
влияние давления солнечной радиации, влияние эффектов общей теории относитель-
ности проводится в инерциальной системе координат, связанной с экватором и рав-
ноденствием Земли эпохи J2000. С другой стороны, координаты наземных станций
слежения задаются в гринвичской системе координат (ГСК). При полёте КА вблизи
Земли часть возмущающих факторов (нецентральность гравитационного поля и вли-
яние атмосферы) также рассчитывается в ГСК. На траектории искусственного спут-
ника планеты и на участках сближения КА с планетой для вычисления возмущающих
ускорений используется планетографическая система координат.
В нижеследующих разделах описываются основные шкалы времени (Жаров В.Е.
2006) и системы координат (Степаньянц В.А., 2012), используемые при БНО полёта.
3.2.1.	Системы отсчёта времени
Используются следующие основные системы отсчёта времени:
-	всемирное координированное время (UTC);
-	среднее солнечное время на меридиане Гринвича (UT1);
-	атомное время (TAI);
-	динамическое время (TDB);
-	юлианские даты (JD);
-	григорианский календарь.
Всемирное координированное время (UTC) используется для формирования про-
граммы сигналов точного времени, которая введена с целью поддержания синхрон-
ности часов ведущих служб времени. К шкале времени UTC привязаны радиотехни-
ческие и оптические измерения.
Базой для поддержания шкалы времени UTC является атомное время (TAI). Шка-
ла UTC связана TAI линейной зависимостью
иТС-ТА1=у(/-/0)+/?.
Параметры этого соотношения изменяют так, чтобы обеспечить совпадение шка-
лы UTC с точностью до одной секунды со шкалой времени UT1, определяемой вра-
щением Земли.
С января 1961 года (начало использования UTC) до января 1972 года эти изме-
нения затрагивали как накопившийся временной сдвиг Ь, так и масштаб 5 единицы
измерения времени. Начиная с 1 января 1972 года продолжительность секунды шка-
лы UTC установлена равной продолжительности атомной секунды, в соответствии
с этим значение 5 установлено равным 0, а величина b изменяется на целое число
секунд.
Всемирное время UT1 определяется путём вычислений по местному времени, по-
лученному из астрономических наблюдений. Шкала времени UT1 связана с изменяю-
249
3.2.
щейся скоростью вращения Земли и не является равномерной. Время UT1 использу-
ется как аргумент в формулах при определении положения Гринвичского меридиана
в инерциальном пространстве.
Шкала равномерного атомного времени TAI формируется Международным бюро
времени по данным высокоточных атомных шкал отдельных служб времени.
Динамическое время TDB - теоретическое абсолютно равномерное время, осво-
бождённое от влияния релятивистских поправок, связанных с движением Земли и
гравитационными полями Солнца и планет. Оно используется как аргумент эфемерид
планет и других небесных тел, а также как аргумент дифференциальных уравнений
движения. До появления атомных эталонов времени (1961 г.) наилучшим приближе-
нием шкалы динамического времени служило эфемеридное время ЕТ, построенное
по наблюдениям за движением Луны. В настоящее время практически для всех задач
динамики космического полёта достаточно точным приближением TDB может слу-
жить шкала атомного времени. Шкала времени TDB связана со шкалой атомного вре-
мени соотношением TDB=TAI + 32.184 с +[релятивистские члены (а) + уход атомных
часов (Р)].
На рисунке 3.2.1 графически представлена схема зависимости различных шкал
времени. Источниками измерений времени (два блока, расположенные наверху схе-
мы) являются атомные эталоны частоты, на которых базируется шкала времени TAI,
и данные обсерваторий, обеспечивающие высокоточное определение шкалы времени
UT1. На основе этих источников строятся: шкала времени ТТ, наиболее точно при-
ближающая равномерную шкалу собственного времени наблюдателя; шкала динами-
ческого времени, ассоциированная с временем наблюдателя, расположенного в инер-
циальной системе координат (центр масс Солнечной системы); шкала времени UTC.
Три блока, расположенные в нижней части схемы, указывают на области применения
шкал времени TDB, UTC, UT1.
Рисунок 3.2.1. Схема зависимости различных шкал времени
250
3.2.
3.2.2.	Системы координат
Основными рабочими системами координат при моделировании траекторий полё-
та космических объектов являются:
-	геоцентрические, с началом координат в центре масс Земли;
-	объектоцентрические, с началом координат в центре масс объекта.
Геоцентрические системы координат разделяются на вращающиеся и инерциаль-
ные, сохраняющие неизменное положение осей в пространстве.
Для выполнения БНО полёта КА к телам Солнечной системы используются сле-
дующие основные системы координат (СК):
-	инерциальная система координат (ИСК), оси которой неподвижны относительно
звёзд;
-	гринвичская система координат (ГСК);
-	топоцентрическая система координат (ТСК), связанная с пунктом на поверхности
Земли;
-	планетографическая система координат (ИСК), оси которой жёстко связаны с по-
верхностью планеты.
В таблице 3.2.1 содержится описание перечисленных систем координат. Первый
столбец устанавливает сокращённое обозначение системы координат (английская аб-
бревиатура далее будет использоваться при записи формул). Вторая и третья строки
определяют направление осей. При этом подразумевается, что ось Z ТСК направлена
в зенит, а в остальных случаях в сторону Северного полюса. Ось Y всегда дополняет
систему координат до правой.
Таблица 3.2.1. Описание систем координат ’
сокращённое обозначение	положение плоскости XY	направление оси X	область применения
ГСК, GCS	истинный экватор Земли	Гринвичский меридиан	учёт влияния нецентрального гравитационного поля Земли; определение координат станций слежения
ИСК, ICS	средний экватор Земли	средняя точка весеннего равноденствия	интегрирование уравнений движения, учёт влияния Луны, Солнца, планет и давления солнечной радиации
ТСК, TCS	плоскость местного горизонта	направление на север	определение азимута и угла места направления на КА
ИСК, PCS	истинный экватор планеты	нулевой меридиан	учёт влияния нецентрального гравитационного поля планеты
Инерциальная система координат стандартной эпохи J2000.0. Начало СК
OXjYjZj совпадает с центром масс Земли. Ось Zj направлена по нормали к плоскости
экватора стандартной эпохи в сторону Северного полюса мира. Ось Х( лежит в пло-
скости экватора стандартной эпохи и направлена в точку весеннего равноденствия
стандартной эпохи, ось Yj дополняет СК до правой. Стандартной эпохе J2000 (январь
1.5, 2000 г.) соответствует юлианская дата JD 2451545.0.
В этой СК интегрируются уравнения движения КА, определяется вектор состоя-
ния КА по результатам ВТИ, а также эфемериды Луны, Солнца и планет, вычисляе-
мые по теориям DE/LE (200, 403, 405, 417, 421,423, 430, 432).
251
3.2.
Гринвичская система координат. Начало СК совпадает с центром масс Земли.
Основной плоскостью является плоскость экватора. Ось ZG параллельна оси враще-
ния земного эллипсоида и направлена в сторону Северного полюса. Ось XG лежит
в плоскости гринвичского меридиана и определяет положение нуль-пункта системы
отсчёта долгот. Ось YG дополняет СК до правой.
Данная СК - вращающаяся. В этой СК определены поле тяготения Земли и коор-
динаты измерительных пунктов.
Орбитальная система координат. Начало СК совпадает с центром масс объекта.
Ось е,. параллельна орту радиуса-вектора г КА, ось ел параллельна орту кинетического
момента орбитального движения КА, ось е„ дополняет СК до правой:
e,-r°, e/;=[rxv]°, е„=елхе,..
СК ОгоПоЬо применяется в задачах определения ориентации объекта при соверше-
нии манёвров, а также оценивания области рассеивания прогнозируемых параметров
траектории объекта.
3.2.3.	Переход между системами координат
Для перевода какого-либо вектора, заданного в одной системе координат, в дру-
гую необходимо его умножить на матрицу перехода из первой системы координат во
вторую:
СК2 _ рСК2 СК1
V	— VCK1V •>
где vCK2 - вектор во второй (новой) системе координат;
^ск1 _ матрица перехода из первой во вторую систему координат;
vCKI - вектор в первой (старой) системе координат.
Как правило, используются два метода определения матрицы перехода:
-	через углы Эйлера;
-	через два вектора, первый из которых задаёт какое-либо направление, являющее-
ся одной из осей новой системы координат, а второй - плоскость, к которой при-
надлежат оба вектора.
Переход к новой СК через последовательность вращений. Для каждой ко-
ординатной оси можно выписать матрицу поворота на некоторый угол вокруг этой
оси.
Матрица поворота на угол у вокруг оси X записывается в виде
	Э	0	0
R =	0	cosy	siny
		-siny	cosy?
Матрица поворота на угол р вокруг оси Y записывается в виде
	( cosp	0	-sinp^
Rr =	0	1	0
	4sinp	0	cosp ?
Матрица поворота на угол а вокруг оси Z записывается в виде
252
3.2.
	cos а	sin а	0
Rz =	-since	cos а	0
	0	0	1
Тогда, например, последовательность поворотов RA), R}2, Rz3 называют последова-
тельностью «Х-Y-Z» или «1-2-3» по номерам осей поворотов.
Для получения итоговой матрицы суммарного разворота требуется перемножить
матрицы, представляющие элементарные развороты, в нужной последовательности.
Например, последовательность 3-1-3 соответствует так называемым углам Эйлера.
Последовательность 1-2-3 соответствует углам Крылова - Булгакова (Журавлев В.Ф.,
2008).
Переход к новой СК по двум заданным ортам. Для построения новой СК доста-
точно задаться двумя ортами, тж. третий орт определяется ими однозначно. Первый
из них задаёт какую-либо ось (Х2, Y? или Z2) новой системы координат. Второй орт
вместе с первым задают плоскость, в которой лежит какая-либо из двух оставших-
ся осей новой системы координат. Третья ось новой системы координат строится по
правилу правой тройки векторов, т.е. через векторное произведение двух исходных
ортов.
В качестве примера построим орбитальную СК. Она определяется через два век-
тора г и v. Ось е,. определяется ортом радиус-вектора г:
Вектор v задаёт плоскость орбиты, в которой лежит ось е„. В общем случае, за
исключением идеальной круговой орбиты или апсидальных точек, вектор скорости
не будет перпендикулярен радиус-вектору v. Поэтому сначала через векторное произ-
ведение этих векторов определяют орт кинетического момента, перпендикулярного
плоскости орбиты:
После этого можно рассчитать направление оси е„:
e/z=e/,xer.
Переходы между основными системами координат. На рисунке 3.2.2 схемати-
чески представлен порядок выполнения преобразований между описанными выше
системами координат. Стрелками указаны допустимые переходы от одной СК к дру-
гой. Соответствующие алгоритмы описываются ниже. Используя прямые и обратные
преобразования, можно осуществить переход из любой заданной системы координат
в любую другую путём последовательного применения преобразований.
Если положение объекта в системе координат CSi определяется вектором гь то его
положение г2 в CS2 выражается формулой
I* = г -|- Ccs?r
i2 *12 ' ^CSj Р
Рисунок 3.2.2. Схема преобразований между системами координат
253
3.2.
где Г|2 - вектор, направленный от начала системы координат CSj к началу системы
координат CS2,
- матрица перехода от CS। к CS2.
В этом подразделе приводятся алгоритмы вычисления матриц перехода между си-
стемами координат ИСК, ГСК, ТСК, ИСК
Переход от ИСК к ГСК. Направление осей инерциальной системы координат опре-
деляется плоскостью среднего экватора Земли и направлением на среднюю точку ве-
сеннего равноденствия, отнесёнными к заданной эпохе. В литературе геоцентриче-
скую инерциальную систему координат, связанную с эпохой J2000, часто обозначают
ЕМЕ2000 (Earth Mean Equator and Equinox). Земля, как твёрдое тело, движется отно-
сительно своего центра масс по сложному закону. Для перехода от инерциальной СК
к СК, связанной с поверхностью Земли, необходимо учитывать прецессию и нутацию
оси её вращения, нерегулярные изменения скорости вращения Земли и движение по-
люса, которые определяются в результате обработки наблюдений и распространяют-
ся Международной службой вращения Земли (IERS) в виде таблиц разности шкал
времени UT1 - UTC и координат полюса.
Матрица C^css перехода от ИСК к ГСК вычисляется как произведение четырёх
матриц:
C°css=MSNP,
где Р - матрица прецессии, определяющая переход от среднего экватора и равноден-
ствия фундаментальной эпохи J2000 к среднему экватору и равноденствию текущей
эпохи JD;
N - матрица нутации в эпоху JD;
S - матрица поворота системы координат в плоскости истинного экватора на
угол 5, определяющий гринвичское звёздное время в эпоху JD;
М - матрица, учитывающая смещение положения мгновенного полюса Земли от-
носительно международного условного начала.
Элементы матрицы Р вычисляются по формулам:
Pi, = cos Q cos z cos 0 - sin sin z,
pn --sin(^coszcos0-cos^sinz,
pu = -coszsinO,
p2X - cossin zcos0 + sinQcosz,
p22 - _sinsinzcos0 + coscosz,
p23 =-sinzsin0,
p2[ = cos sin 0,
p22 = -sin Q sin 0,
p33 = COS0,
где
Q = (2306’2181 + 1’396567; -O’.OOO139Го2)Гд+(О".ЗО 188-О"ООО344Го)7д+О".О17998ГД3;
z = (2306’2181 + Г.39656Г0 -O’.OOO 1397;2)Гд+(1".09468+0".000066Т;| ) 7^+070182037,;
0 = (2004’3109-0". 8533O7o -0’000217Г02)Гд+(-О"42665-О’.ООО217Го)Гд-О’.О418337д3;
Т„,Т& - интервалы времени, выраженные в юлианских столетиях;
254
3.2.
т = JDslart-J2000.
0	36525
_ JPend ~ J^slan .
л 36525	’
JDs(art - фиксированная эпоха, соответствующая начальному времени;
JDend - эпоха, соответствующая текущему времени;
J2000 - базовая эпоха.
Если JDs(ail соответствует базовой эпохе J2000, то формулы приобретают вид (раз-
мерность углов - радианы):
С = 0.0111 80860?;db +1.464 • 10"6 Гт2 + 8.7 • 10"8 Г’ ,
2 = 0.011180860Гтсв + 5.308 • 10 6T^21JB + 8.9 • 1О'8ГТ3ОВ ,
0 = 0.00971717372св - 2.068 • 10’6Г2 - 2.02 -10 7 Г’ ,
где Гтов - число юлианских столетий от базовой эпохи J2000 в системе барицентри-
ческого динамического времени (TDB).
Элементы матрицы N вычисляются по формулам
пп = cosAy,
и12 = -sin A\|/COS£0,
и13 = -sin А\|/ sin £0,
и21 = sin A\|/COS£,
n22 - cosA\|/cos£cos£0 +sin£sin£0,
n23 = COS A\|/COS£sin£0 -sin£COS£0,
и31 = sin A\|/sin£,
n32 = cos Ay sin £ COS £0 -COS£Sin£0,
n33 = COS A\|/ sin £ sin £0 + COS £ COS £0,
где А\|/ - нутация в долготе;
£0 - средний наклон эклиптики к экватору,
е0 = 0.4090928042 - 0.2269655 • 10’37;db - 2.86 • 10’9Т;2ОВ + 8.80 • 10-9 T^3DB;
£ - истинный наклон эклиптики к экватору, вычисляемый по формуле из теории
нутации, обозначаемой IAU1980 {Dennis D. Me Carthy, 1996),
£=£()+А£,
Ав - нутация в наклоне.
Нутация в долготе и нутация в наклоне находятся из разложений
А\|/ — ^( Д + Д^ТОВ )sin(ai/7H/	S +	^4/^.S a5i^L )’
iol'	(3.2.1)
A£ =	+ ^/^TDB )C0S(fll/^Z. + S + a3iUL + a4iDs + a5i^L )’
/=1
где ML - средняя аномалия Луны,
7Ил=2.355548394+(1325-2т1+3.470890873)Гтов+1.517952-10”4rT2DB+3.103-10-77"T3DB;
Ms - средняя аномалия Солнца,
Ms= 6.24003594 + (99 • 2к + 6.2666106) Гтов- 2.7974 -10~6ГТ2ОВ-5.82 - 10“87^T3DB;
uL - средний аргумент широты Луны,
255
3.2.
uL= 1.627901934+(1342-2тг+1.431476084)Гтов-6.42717-10 5Г,20В+5.34-10 8ГТВВ;
Ds - разность средних долгот Луны и Солнца,
Ds= 5.198469514 +(1236-2л+5.36010650)Гтов-3.34086-10‘5Гт2ов+9.22-10"Хв;
£lL - долгота восходящего узла средней лунной орбиты,
QA= 2.182438624 - (5 • 2п + 2.341119397)ГТОВ+ 3.61429 • 10’5ГТ2ОВ + 3.88 • 10“Хв-
В таблице 3.2.2 приведены значения коэффициентов Ah Bh С„ D„ a2i,
для разложения (3.2.1) (The I AU Resolutions..., 1981).
Таблица 3.2.2. Коэффициенты нутации в теории IAU 1980, эпоха J2000 (величины А„ В„ С„ D,
даются в десятитысячных долях угловой секунды)
/		a2l	<73,	Ф/	<75,	А,	в,	с,	D,
1	0	0	0	0	1	-171996	-174.2	92025	8.9
2	0	0	2	-2	2	-13187	-1.6	5736	-3.1
3	0	0	2	0	2	-2274	-0.2	977	-0.5
4	0	0	0	0	2	2062	0.2	-895	0.5
5	0	1	0	0	0	1426	-3.4	54	-0.1
6	1	0	0	0	0	712	0.1	-7	0
7	0	1	2	-2	2	-517	1.2	224	-0.6
8	0	0	2	0	1	-386	-0.4	200	0
9	1	0	2	0	2	-301	0	129	-0.1
10	0	-1	2	-2	2	217	-0.5	-95	0.3
11	1	0	0	-2	0	-158	0	-1	0
12	0	0	2	-2	1	129	0.1	-70	0
13	-1	0	2	0	2	123	0	-53	0
14	1	0	0	0	1	63	0.1	-33	0
15	0	0	0	2	0	63	0	-2	0
16	-1	0	2	2	2	-59	0	26	0
17	-1	0	0	0	1	-58	-0.1	32	0
18	1	0	2	0	1	-51	0	27	0
19	2	0	0	-2	0	48	0	1	0
20	-2	0	2	0	1	46	0	-24	0
21	0	0	2	2	2	-38	0	16	0
22	2	0	2	0	2	-31	0	13	0
23	2	0	0	0	0	29	0	-1	0
24	1	0	2	-2	2	29	0	-12	0
25	0	0	2	0	0	26	0	-1	0
26	0	0	2	-2	0	-22	0	0	0
27	-1	0	2	0	1	21	0	-10	0
28	0	2	0	0	0	17	-0.1	0	0
29	0	2	2	-2	2	-16	0.1	7	0
30	-1	0	0	2	1	16	0	-8	0
31	0	1	0	0	1	-15	0	9	0
32	1	0	0	-2	1	-13	0	7	0
33	0	-1	0	0	1	-12	0	6	0
256
3.2.
i	671/			&4i	6Z5/	A,	B,	c,	D,
34	2	0	-2	0	0	11	0	0	0
35	-1	0	2	2	1	-10	0	5	0
36	1	0	2	2	2	-8	0	3	0
37	0	-1	2	0	2	-7	0	3	0
38	0	0	2	2	1	-7	0	3	0
39	1	1	0	-2	0	-7	0	0	0
40	0	1	2	0	2	7	0	-3	0
41	-2	0	0	2	1	-6	0	3	0
42	0	0	0	2	1	-6	0	3	0
43	2	0	2	-2	2	6	0	-3	0
44	1	0	0	2	0	6	0	0	0
45	1	0	2	-2	1	6	0	-3	0
46	0	0	0	-2	1	-5	0	3	0
47	0	-1	2	-2	1	-5	0	3	0
48	2	0	2	0	1	-5	0	3	0
49	1	-1	0	0	0	5	0	0	0
50	1	0	0	-1	0	-4	0	0	0
51	0	0	0	1	0	-4	0	0	0
52	0	1	0	-2	0	-4	0	0	0
53	1	0	-2	0	•0	4	0	0	0
54	2	0	0	-2	1	4	0	-2	0
55	0	1	2	-2	1	4	0	-2	0
56	1	1	0	0	0	-3	0	0	0
57	1	-1	0	-1	0	-3	0	0	0
58	-1	-1	2	2	2	-3	0	1	0
59	0	-1	2	2	2	-3	0	1	0
60	1	-1	2	0	2	-3	0	1	0
61	3	0	2	0	2	-3	0	1	0
62	-2	0	2	0	2	-3	0	1	0
63	1	0	2	0	0	3	0	0	0
64	-1	0	2	4	2	-2	0	1	0
65	1	0	0	0	2	-2	0	1	0
66	-1	0	2	-2	1	-2	0	1	0
67	0	-2	2	-2	1	-2	0	1	0
68	-2	0	0	0	1	-2	0	1	0
69	2	0	0	0	1	2	0	-1	0
70	3	0	0	0	0	2	0	0	0
71	1	1	2	0	2	2	0	-1	0
72	0	0	2	1	2	2	0	-1	0
73	1	0	0	2	1	-1	0	0	0
74	1	0	2	2	1	-1	0	1	0
257
3.2.
/	а\,	СЬ,	аз,	а4,	а5,	А,	в,	с,	D,
75	1	1	0	-2	1	-1	0	0	0
76	0	1	0	2	0	-1	0	0	0
77	0	1	2	-2	0	-1	0	0	0
78	0	1	-2	2	0	-1	0	0	0
79	1	0	-2	2	0	-1	0	0	0
80	1	0	-2	-2	0	-1	0	0	0
81	1	0	2	-2	0	-1	0	0	0
82	1	0	0	-4	0	-1	0	0	0
83	2	0	0		0	-1	0	0	0
84	0	0	2	4	2	-1	0	0	0
85	0	0	2	-1	2	-1	0	0	0
86	-2	0	2	4	2	-1	0	1	0
87	2	0	2	2	2	-1	0	0	0
88	0	-1	2	0	1	-1	0	0	0
89	0	0	-2	0	1	-1	0	0	0
90	0	0	4	-2	2	1	0	0	0
91	0	1	0	0	2	1	0	0	0
92	1	1	2	-2	2	1	0	-1	0
93	3	0	2	-2	2	1	0	0	0
94	-2	0	2	2	2	1	0	-1	0
95	-1	0	0	0	2	1	0	-1	0
96	0	0	-2	2	1	1	0	0	0
97	0	1	2	0	1	1	0	0	0
98	-1	0	4	0	2	1	0	0	0
99	2	1	0	-2	0	1	0	0	0
100	2	0	0	2	0	1	0	0	0
101	2	0	2	-2	1	1	0	-1	0
102	2	0	-2	0	1	1	0	0	0
103	1	-1	0	-2	0	1	0	0	0
104	-1	0	0	1	1	1	0	0	0
105	-1	-1	0	2	1	1	0	0	0
106	0	1	0	1	0	1	0	0	0
Мат / S = \ где Sa - юлианс Гри1	рица поворота S имеет вид cosS; sinS^ 0^ -sin5a cosS; 0 , 0	0	1, значение гринвичского истинного звёздного времени в эпоху, определённую кой датой JD, S’.nean+AV COS8. явичское среднее звёздное время вычисляется по формуле								
258
3.2.
5mca„=l.7533685592+628.33197068897^^+6.7707139-10	4.50876-10 l07’’UT1+
+ 1.OO27379O935O795-2tt(JDuti-JDo),
где JDUT1=JD-(32.184+Д UTC-AUTI )/86400,
AUTC - разница между шкалами времени UTC и TDB;
AUT1 - поправка на переход от всемирного координированного времени UTC
к универсальному времени UT1
= JDUTI-2451545.0
UT1 36525
Матрица M имеет вид
cosx^
sinxpsin.yp
-sinx cos у
0
М =
cos^
sinv
sinx/?
-cosxp sin ур
cosxpcosyp ?
гдех/; иур - координаты Северного полюса Земли, зависящие от времени и вычисляе-
мые с использованием таблиц, которые распространяются Международной службой
вращения Земли (IERS).
Ниже в качестве примера приводятся результаты расчёта матрицы C^s перехода
от инерциальной системы координат ЕМЕ2000 к гринвичской системе координат СК,
а также промежуточных матриц P,N,S,M, учитывающие соответственно прецессию,
нутацию, поворот системы координат в плоскости экватора и движение полюсов.
Исходные данные: Дата (UTC) 01.02.2018, Время (UTC) 17:00:00.000
Результаты расчёта
(0.999990276 -0.004044579 -0.001757387^
P = 0.004044579 0.999991821 -0.000003554
1^0.001757387 -0.000003554 0.999998456 )
( 0.999999999	0.000047302 0.000020506^
N = -0.000047303 0.999999998 0.000031825
1^-0.000020504 -0.000031826 0.999999999J
<0.447824148 -0.894121654 0.000000000^
S = 0.894121654 0.447824148	0.000000000
^0.000000000 0.000000000	1.000000000)
	'1.000000000	0.000000000	0.000000069 А
м =	0.000000000	1.000000000	-0.000001406
	^-0.000000069	0.000001406	1.000000000 ?
C°css = MSNP =
<0.444245793
0.895903262
0.001737984
-0.895904588
0.444246518
-0.000034610
-0.00080310Г
-0.001541692
0.999998489 ,
Переход от ГСК к ТСК. При построении топоцентрической системы координат,
начало которой определяется вектором, заданным в гринвичской системе координат,
модель поверхности Земли представляется эллипсоидом вращения.
259
3.2.
На рисунке 3.2.3 схематически изображена поверхность Земли, модель которой
представляется эллипсоидом вращения. Начало топоцентрической системы коорди-
нат расположено на станции слежения и определяется вектором rs7. Система коор-
динат ТСК определяется тремя единичными векторами е^, е£, е7, направленными на
Север, Восток и в Зенит соответственно.
Матрица С^| вычисляется с использованием следующего алгоритма.
1. Вычисляются вспомогательные величины
с = г-С r's, = ^l+yl + c4zl, f = ylx*+yl,
1 — ос
где а - величина полярного сжатия, которая должна соответствовать системе коорди-
нат, в которой заданы компоненты вектора rv/.
Рисунок 3.2.3. Переход от ГСК к ТСК
2. Вычисляются единичные векторы осей ТСК
3. Формируется матрица перехода из ГСК в ТСК
е‘
pTCS _
VGCS —
ez,
el
el\


Переход от ИСК к ПСК. Системы координат, жёстко связанные с поверхностью
Луны, планет и других небесных тел, определяются относительно направления сред-
ней оси вращения и положения нулевого меридиана, зависящего от особенностей по-
верхности небесного тела.
260
3.2.
Пусть IV - угол между плоскостью нулевого меридиана и линией пересечения
плоскости экватора небесного тела с плоскостью АТ ИСК (рисунок 3.2.4).
Рисунок 3.2.4. Определение ориентации небесного тела относительно ИСК
экватор
небесного тела
Если в момент времени t известны угловые координаты Северного полюса не-
бесного тела - прямое восхождение а0(/), склонение 80(/) - и угол W(t), то матрицу
перехода C^SS можно представить как произведение двух матриц:
Cfcc/(/) = R0)Q(r)
где
-sinao(O
R(z) = cosa0(/)sin80(£)
4cosa0(/)cos80(Z)
cosa0(Z)	0
-sina0(/)sin80(£) cos80(Z)
sin a0 (/) cos 80 (/) sin 80 (t) ?
^cosFK(/) sinJE(£) (Г
Q(0= -sin^(Z) cosJK(Z) 0
0	0	1J
Рекомендованные параметры, определяющие изменение во времени величин а0,80
и W для различных небесных тел, содержатся в (Seidelmann Р.К., Abalakin VK. et aL,
20020). Ниже приводятся эти значения для некоторых небесных тел, интересных
с точки зрения баллистического проектирования полётов КА. Т обозначает интервал
времени, выраженный в юлианских столетиях (36525 суток) от стандартной эпохи
JD=2451545.0, d- интервал, выраженный в сутках от той же эпохи.
261
3.2.
	а0	So	W
Солнце	286°.13	63°.87	84°. 10+14°. 18440006/
Меркурий	281°.01-0°.033Г	61 °.45-0°.005 Т	329°.548+6°. 1385025(7
Венера	272°.76	67°.16	160°.20-1 °.4813688(7
Марс	317°.6814-0°. 1061Т	52°. 8865-0°.06097"	176°.753+350°.89198226 б/
Юпитер	268°.05-0°.0097"	64°.49+0°.003 Т	284°.95+870°.5366420(7
Сатурн	40°.589-0°.036 Т	83°.537-0°.004 Т	38°.90+810°.7939024(7
Уран	257°.ЗН.	-15°.175	203°.81-501°. 1600928 d
Нептун	299°.36+0°.70 sin N	43°.46-0°.51 cos Т	253°. 18+536°.3128492<7-0.48sin N
Плутон	313°.02	9°.09	236°.77-56°.3623195 d
Луна
ос0 = 269°.9949 + О°.ООЗ\Т - 3°.8787sin El - 0°. 1204sin El + 0°.0700sin E3 -
-0°.0172 sin E4 +0°.0072sin E6 - 0°.0052sin E10 + 0°.0043sin El 3;
80 = 66°.5392 + 0°.0130E + l°.5419cosEl + 0°.0239cosE2 - 0°.0278cosE3 +
+0°.0068 cos E4 -0°.0029 cos E6 + 0°.0009 cos E7 + 0°.0008 cos El 0 - 0°.0009 cos El 3;
^=38°.3213+ 13°.17635815(7-l°.44O-12(72+ 3°.5610sin El+ 0°.1208sinE2-
-	0°.0642 sin E3 + 0°.0158 sin E4 + 0°.0252sin E5 - 0°.0066sin E6 -
-	0°.0047 sin E7 - 0°.0046sin E8 + 0°.0028sin E9 + 0°.0052sin El 0 +
+ 0°.0040sin El 1 + 0°.0019 sin El 2 - 0°.0044sin El 3.
Фобос
oc0 = 317°.68 - 0°. 10871 + l°.79sin ЛЛ;
8o=52°.9O-O°.O61T-1 °.08cosMl;
1F=35°.06+1128°.8445850(7+8°.864T2-! °.42sinMl-0°.78sinM2.
Деймос
a0=316°.65-0°. 108 r+2°.98sinA/3;
50=53°.52-0°.061 r-l°.78cosA/3;
^=79°.41 +285°. 1618970(7-0°.5207^-2°.58sinA73+0°. 19cosM3.
Здесь
7V=357°.85+52°.316 T;
E7=125°.045 - 0°.0529921(7,
E2=25O°.O89 - 0°.1059842<7,
E3=260°.008+13°.0120009(7,
E4= 176°.625+13°.34071546/,
E5=357°.529+0o.9856003<7,
E6=311 °.589+26°.4057084(7,
E7=134°.963+13o.0649930<7,
ЛЛ=169°. 51-0°.4357640(7,
M2= 192°.93+1128°.4096700(7+8°.864 T2,
ЛЛ=53°.47-0°.0181510<7.
E£=276°.617+0°.3287146(7,
E9=34°.226+1 °.7484877(7,
El 0=15°. 134-0°. 15897636/,
El 1 = 119°.743+0 .0036096(7,
E12=239°.961+0 .1643573(7,
E13=25°.053+12°.9590088(7.
262
3.3.
ИИ ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ОРБИТ
ПЛАНЕТОЦЕНТРИЧЕСКИХ УЧАСТКОВ
3.3.1.	Выбор значений параметров орбит с учётом ограничений
Определение параметров отлётной орбиты. Траекторию полёта отточки старта
до момента, когда вектор отлётной скорости КА приобретает нужный модуль и на-
правление, называют участком выведения. Назначение участка выведения - обеспе-
чить движение КА при выходе из сферы притяжения планеты с вектором скорости,
равным асимптотической скорости v^, необходимого для реализации перелёта.
Определим геометрические параметры участка выведения и их взаимосвязи, учи-
тывая, что большая полуось и направление асимптоты отлётной орбиты определены
через вектор vx. Для решения задачи параллельности асимптоты отлётной скорости
единичному вектору vt необходимо, чтобы он находился в её плоскости:
(N,v(L)=0,
где N - нормаль к плоскости отлётной орбиты.
Соотношение между наклонением орбиты и склонением вектора асимптоти-
ческой скорости. Пусть вектор отлётной асимптотической скорости v.z определяет-
ся модулем и двумя углами - прямым восхождением а и склонением 5, где 0<а<2л,
— <о<—. Тогда
2	2
= cos а cos 8,
ООЛ	“
О	“	С
<	удаГ = sinacoso,
v°z =sin8.
Решение векторного уравнения плоскости относительно ДА, ДА и Az можно пред-
ставить в виде:
х r	-cos i sin 8 sin a ± cos a (1 - sin28 - cos2z)1/2
M, =-------------------------------------—,
cos 5
<	kt _ ДА sin a cos8 +cosz sin8
x ~	ё •>	(3.3.1)
cos a cos 8
Nz = cosz.
Следовательно, положение плоскости отлётной орбиты должно удовлетворять
неравенству
cos2z<cos28,	(3.3.2)
которое сводится к условию при запуске:
-	в северо-восточном направлении (0</<л/2)
/>|5|,
-	в юго-восточном направлении (7i/2<z<7i)
n-i >|8|.
Таким образом, положение плоскости отлётной орбиты должно быть таким, что-
бы её наклонение / удовлетворяло неравенству
|8|</<я-|8|.	(3.3.3)
263
3.3.
Соотношение между наклонением орбиты и широтой точки старта. Энерго-
затраты на выведение будут меньше, если активный участок, переводящий КА на
отлётную траекторию, будет находиться в её плоскости. Пусть - единичный ради-
ус-вектор точки старта, а срс - широта точки старта. Тогда этому требованию отвечает
векторное уравнение
(N,r°c)=0,
решение которого возможно при удовлетворении неравенства
COS2Z<COS2(pc,
сводимого к условию при запуске:
-	в северо-восточном направлении (0</<л/2)
i >Ы,
-	в юго-восточном направлении (л/2</<71)
71-Z >|фс|.
Таким образом, наклонение отлётной орбиты должно удовлетворять ограничениям:
|(рс|</<л-|срс|-	(3.3.4)
При решении задачи выбора угла наклонения z плоскости опорной орбиты склоне-
ние отлётной асимптотической скорости 5 и географическая широта точки старта <рс
являются заранее заданными величинами. В соответствии с этими значениями и сле-
дует определять границы возможных значений z согласно условиям (3.3.3) и (3.3.4).
Если широта точки старта больше склонения вектора отлётной скорости или равна
ему, то выбор величины наклонения Определяется неравенством (3.3.4) и не зависит
от 5. Если же склонение отлётной скорости больше широты точки старта или равно
ей, то выбор величины наклонения определяется неравенством (3.3.3) и не зависит от
широты точки старта.
Оптимизация наклонения из условия наименьших энергозатрат. Соотношения
(3.3.3) и (3.3.4) дают некоторую свободу в выборе значения наклонения плоскости
траектории выведения к экватору. Однако этот угол определённым образом влияет
на энергозатраты активного участка. Поэтому желательно путём соответствующего
выбора величины наклонения уменьшить энергозатраты на выведение. Основой для
этого является правильное использование энергии вращения Земли. Будем предпо-
лагать импульсное изменение скорости. Тогда энергозатраты выведения на опорную
орбиту выражаются характеристической скоростью, равной
Av = v к - vr cos (v к, vr) = v к - со37?3 cos <рс cos (л/2 - А),
где \к - круговая скорость головного блока на опорной орбите; со3 - угловая скорость
вращения Земли; R3 - радиус Земли; vr - скорость вращения Земли в точке старта; А -
азимут запуска (угол между меридиональной плоскостью точки старта и плоскостью
траектории выведения, отсчитываемый от направления на север в восточном направ-
лении). Этот угол определяется выражением
• . ±cosz
sm Л =-------,	(3.3.5)
COS(pc
где знак «минус» соответствует случаю я/2</<71.
Отсюда получим
Av=va— со3 7?3(±cosz).
264
3.3.
Таким образом, энергетические затраты при выведении ракетой-носителем голов-
ного блока на опорную орбиту будут наименьшими при максимально возможных зна-
чениях (±cos/). Теперь в зависимости от соотношения углов 5 и фс можно определять
оптимальные значения наклонения /.
Если фс>8, то при запуске:
-	в северо-восточном направлении
/=фс',
-	в юго-восточном направлении
/=7Г—|фс’|-
Если фс<(5, то при запуске:
-	в северо-восточном направлении
/=8,
-	в юго-восточном направлении
/=л-16|.
Ограничения на выбор азимута запуска. Влияние азимута запуска сказывается
на геометрии участка выведения через наклонение. При изменении азимута запуска
плоскость траектории выведения поворачивается относительно радиус-вектора точки
старта. Однако такое вращение может происходить только при определённых ограни-
чениях, поскольку в плоскости траектории выведения должен находиться вектор от-
лётной асимптотической скорости. Воспользовавшись условием (3.3.2) и уравнением
(3.3.5), запишем
. ,	cos 6
sin А <-----.
COS(pc
Следовательно, если склонение вектора отлётной скорости больше широты точки
старта (фс<8), то существует диапазон азимутов запуска (симметричный относитель-
но направления на восток):
. cos 6	,	. cos 6
arcsin------= Д < А < А2 = к - arcsin-----,
СО8фс	СО8фс
в котором невозможно осуществить запуск из заданной точки старта. Если же склоне-
ние вектора отлётной асимптотической скорости меньше широты точки старта ((рс>8)
или равно ей, то запуск можно осуществить при всех допустимых (внутри пределов
безопасности) азимутах.
Определение времени старта. В основу решения задачи определения времени
старта можно положить существующую строгую зависимость между азимутом за-
пуска и временем старта. Так, если время запуска в течение суток задано заранее,
то азимут запуска должен выбираться так, чтобы плоскость траектории выведения
содержала вектор отлётной скорости vx. С другой стороны, если азимут запуска фик-
сирован заранее, то запуск должен быть осуществлён в момент времени, когда точка
старта пересекает плоскость траектории выведения.
Пусть (cosaccos8c, sinaccos8c, sin8c)T.
В момент совмещения точки старта с фиксированной в пространстве плоскостью
траектории выведения должны удовлетворяться следующие уравнения:
(N,r°c)=0,
([Nxrc],k)=sini.
265
3.3.
Решая данные уравнения относительно прямого восхождения точки старта а(,
получим
Nv cos i sin + NY sin i
cosac =------------—---------,
sin i cos8r	o
<	(3.3.6)
Nv cos i sin	- Ny sin i
sin ac =---L-------—----------.
sin i cos8c
Выражения (3.3.6) с учётом (3.3.1) позволяют определить значение прямого вос-
хождения точки старта ас в зависимости от азимута запуска. Кроме того, прямое вос-
хождение точки старта связано со временем старта tc, отсчитываемым от полуночи
суток запуска, следующим соотношением:
tc-,	(3.3.7)
или
tc = — (ас - 80 - Хс),	(3.3.8)
со3
где So - гринвичский часовой угол в полночь суток запуска; - географическая дол-
гота точки старта.
Зависимости (3.3.7) и (3.3.8) позволяют при выбранном азимуте запуска и задан-
ных значениях склонения вектора отлётной асимптотической скорости и широты точ-
ки старта, используя соотношения (3.3.1) и (3.3.6), определить время запуска в тече-
ние суток известной даты запуска.
Таким образом, получено аналитическое решение задачи выведения, позволяю-
щее при заданном и неизменном векторе vx рассчитать геометрические характеристи-
ки участка выведения и определить время старта в течение суток.
Расчёт энергетических затрат манёвров на планетоцентрических этапах полёта.
При проектно-баллистическом анализе схем полёта АМС к планетам существенным
является вопрос о манёврах КА в гравитационных сферах планет. Приближенная за-
дача обычно рассматривается в импульсной постановке, что вполне достаточно на
этом этапе исследований.
Ниже рассмотрены основные виды манёвров, применяемых в различных схемах
полёта АМС.
Перицентральный переход между компланарными эллиптическими и гипер-
болическими орбитами. Манёвр перехода между компланарной эллиптической и
гиперболической орбитами в основном используется для торможения КА и после-
дующего выхода на орбиту искусственного спутника планеты (ПСП) или старта с
неё на отлётную траекторию, например при возврате к Земле. Требуемое прира-
щение характеристической скорости для перехода между орбитами определяется
соотношением
Ду=улГ-улЭ,
где ______________
улЛ= дМ +	_ скорость в перицентре гиперболы с гиперболическим избытком
(асимптотической скоростью) vx;
fp"
vK =— - круговая скорость, соответствующая радиусу перицентра гл точки пере-
V7;
хода, отсчитанного от центра масс планеты с гравитационным параметром ц;
266
3.3.
21 -
улЭ= ц---------- скорость в перицентре эллиптическом орбиты;
V I а)
а =	- большая полуось эллипса с эксцентриситетом е = *	*
Тогда
Av= г+у> -
V Л	V л
Если в качестве опорной принята круговая орбита радиуса г^=гп, то предыдущая
формула упрощается:
л 2Ч 2
Av = — + v“
Неперицентральный переход между компланарными эллиптической и гипер-
болической орбитами. Этот переход может быть использован при формировании
орбиты ИСП в заданной точке совершения манёвра. Пусть эллиптическая орбита за-
дана радиусами перицентра гл и апоцентра га, а гиперболическая - модулем асимпто-
тической скорости v^. Точка перехода Ммежду орбитами определена через истинную
аномалию 1)3 на эллиптической орбите.
Через точку /И при заданном модуле можно провести семейство гипербол. В ка-
честве параметра этого семейства выберем радиус перицентра гиперболы . Необхо-
димо найти такое значение глЛ, которое обеспечит минимум модуля вектора импульса
перехода между рассматриваемыми орбитами:
Av= V/— v3.
Модуль этой скорости можно определить через нормальные и радиальные состав-
ляющие её компонент:
Av?
где
Av,,=v„/—v„3- нормальные составляющие скоростей манёвра, гиперболы и эллипса;
Av,.=vr/-vr3- радиальные составляющие скоростей манёвра, гиперболы и эллипса.
Эти составляющие скорости в точке М на эллиптической орбите:
J— (l + ^cosUj);
V Рэ
ц
v,o =—e3sinu3.
\Рэ
Перейдём к безразмерным переменным. Для этого рассмотрим отношение ско-
рости к величине vK= —. Введём безразмерную переменную: гю=—. В результате
V Гп э
l + eqcostu ~ e.sintu
получим: упЭ=----где еэ=~— _ безразмерный параметр и
>]Рэ	У1Рэ	Гаэ+1
эксцентриситет эллиптической орбиты.
267
3.3.
e,.sin3,.	~	~ /
= —-------* L, где pr = ar(ei
п	я	l + ercos9,
Составляющие относительной скорости в точке м гиперболы v„r =-------4=—
у]Рг
к*	I
,ч, / v ,	f£1 = l + vX-. «/-= —
yJPr	аг	v»
Истинная аномалия гиперболы в точке М найдётся из условия гг =гэ, или
Рг _ Рэ
l + ercosur 1 + еэсо8иэ*
Отсюда
cosur =— ^(1 + e3cosu3)-l .
еЛРэ	)
Предельное значение радиуса перицентра гиперболы, обеспечивающее пересече-
ние с эллипсом в заданной точке, равно радиальному расстоянию на эллиптической
орбите в этой точке. Расчёты показывают, что в основном оптимальные значения глГ,
обеспечивающие минимум Av, соответствуют предельным. При малых значениях
эксцентриситета эллипса и малых 1)э оптимальные величины гл/ несколько больше
предельных. Однако из-за пологости этого оптимума значения Av, соответствующие
предельным глГ, мало отличаются от минимальных.
Угол между осью апсид эллипса и асимптотой гиперболы выражается формулой
1
(p=ow), cos а = —, где 1)=1)э-1)/.
ег
Поворот плоскости орбиты. Этот манёвр может использоваться при изменении
наклонения орбиты ИСП. Такой поворот на угол % с минимальными энергозатрата-
ми должен производиться путём поворота вектора скорости на угол % в апоцентре
орбиты, где орбитальная скорость минимальна. В этом случае требуемый импульс
скорости рассчитывается по формуле
Av = vo ^2(1-cos/) = 2 vo впД.
Скорость в апоцентре эллиптической орбиты можно определить из соотношения
2 Г 2 1"|
U а)
Из представленных формул видно, что энергозатраты для поворота плоскости эл-
липтической орбиты существенно снижаются при увеличении радиуса апоцентра г„.
3.3.2. Методика прицеливания в картинной плоскости для
последующего выхода на орбиту искусственного спутника
Под картинной плоскостью понимают плоскость, проходящую через центр пла-
неты, и ортогональную вектору асимптотической скорости подлётной гиперболы vx.
Она определяется двумя осями £ и т|, проходящими через центр планеты. Орты осей
определяются по формулам
n°=[RnxVJ0,
где Rn - радиус-вектор Солнце - планета на момент пролёта КА на минимальном
расстоянии от её центра;
268
3.3.
Voc - вектор асимптотической скорости подлёта оскулирующей гиперболы, опре-
делённой на это же время.
Пример картинной плоскости показан на рисунке 3.3.1.
Рисунок 3.3.1. Система координат картинной плоскости на примере Марса
В англоязычной литературе используется понятие, аналогичное «картинной пло-
скости» - «В-plane», или body plane. Для расчёта используются следующие величины:
В - вектор, направленный из центра масс небесного тела в точку пересечения
асимптоты подлётной гиперболы с картинной плоскостью. Он называется также при-
цельной дальностью и обозначается как dz;
S - орт, параллельный вектору подлётной асимптотической скорости Vc/?;
Т - орт, параллельный плоскости эклиптики или другой базовой плоскости систе-
мы координат, в которой выполняются расчёты, и перпендикулярный орту S;
R - орт, дополняющий систему до правой, т.е. R=SxT;
h - орт, перпендикулярный плоскости орбиты.
Вектор В часто представляют через две проекции В/? и В7 на оси R и Т соответ-
ственно или через его модуль В и угол 0, измеряемый от Т в сторону R.
Вид и основные обозначения варианта картинной плоскости «В-р1апе»показаны
на рисунке 3.3.2.
Вектор состояния и связанные с ним параметры орбиты на момент пролёта мини-
мального расстояния определяются через модуль вектора асимптотической скорости
подлёта его прямое восхождение и склонение 5Л. Координаты в картинной пло-
скости определяются через прицельную дальность В и угол 0. При этом используются
следующие соотношения:
By=5cos0, /?/?=Z?sin0, В =	+ г2 = г 1 +
/	’ к	v К2	v г V2
269
3.3.
Рисунок 3.3.2. Система координат картинной плоскости «В-Р1апе»
cos0 = C°S* , sin 0 = -yj] - cos2 0, 0=atan2(sin0,cos0).
cos 6^
Орт вектора подлётной асимптоты S определяется через его прямое восхождение
и склонение:
S^cosSoo cosctco, cos5z since,, sinax)T.
Важно отметить, что выбираемое значение наклонения i должно быть не меньше
величины склонения подлётной асимптоты
/>|84
Орт вектора кинетического момента h рассчитывается как
h=Tsin0-Rcos0.
Предельное значение истинной аномалии на подлётной гиперболе определяется
по формулам
М • Гл 2
cosu, = —77----,sinuoo=5/l-cos и„.
Орт направления на перицентр подлётной гиперболической орбиты
r^Scoso^- (hxSjsinOoo.
Соответственно, компоненты радиус-вектора рассчитываются через его модуль и
направление
I* =р j*0
1 л ' л 1 л-
270
3.3.
Модуль скорости в перицентре орбиты рассчитывается по формуле
V =
Орт скорости в перицентре
V>hxr(>.
В свою очередь, компоненты вектора скорости в перицентре также рассчитывают-
ся через модуль и орт:
v =v V0
’ л г л т л*
Параметры орбиты далее определяются через полученный вектор состояния в пе-
рицентре орбиты.
3.3.3. Методика прицеливания в картинной плоскости для входа
в атмосферу и последующей посадки
Данная методика, за небольшим изменением, схожа с методикой определения век-
тора состояния в перицентре орбиты. В расчётах также участвует угол входа в атмос-
феру dj, заданный для определённого радиуса входа гА.
Прицельная дальность для входа в атмосферу с заданным углом рассчитывается
по формуле
о	[l
в = гч1+—;fcosc^-
V
Модуль абсолютной скорости входа
^=J—+r2-
Вход в атмосферу происходит при величине истинной аномалии
(р/гл -П
= -arccos	.
\ е )
Здесь р - фокальный параметр орбиты, рассчитываемый по формуле
p=r\ K;cos2 dj/p;
е - эксцентриситет орбиты,
e=J— + 1,
V а
где а - большая полуось орбиты,
-4-
По формулам ранее изложенной методики определяем вектор состояния в пери-
центре подлётной орбиты, используя формулу для прицельной дальности, учитыва-
ющей радиус и угол входа в атмосферу. По этому вектору состояния рассчитываем
координаты и скорости на момент входа в атмосферу. Так как в расчётах не учиты-
вается модель движения в атмосфере, перицентр подлётной орбиты называют услов-
ным перицентром.
271
3.3.
3.3.4.	Методика прицеливания в картинной плоскости
для проведения гравитационного манёвра
Модуль асимптотической скорости определяет угол между векторами под-
лётной и отлётной асимптотической скорости через радиус пролёта гл и гравитацион-
ный параметр планеты ц в случае пассивного пролёта:
\|/=л-2у,
где у - половина угла между асимптотами, определяемого по формуле
Ц
Векторы подлётной Ухи отлётной У'z асимптотических скоростей известны. Они
одинаковы по модулю, т.к. при гравитационном манёвре вектор скорости изменяет
только направление. Орт S=(VX)° параллелен вектору подлётной асимптотической
скорости. Единичный вектор h, перпендикулярный плоскости орбиты, рассчитывает-
ся по векторам подлётной и отлётной асимптотических скоростей:
ь=[УххК]°.
Орт В определяется как принадлежащий плоскости орбиты, перпендикулярной
картинной плоскости:
B=Sxh.
Пусть орт к параллелен.направлению оси Z системы координат, в которой произ-
водится расчёт (эклиптической, J2000 или какой-либо другой), т.е. имеет компоненты
(0,0,1)т. Тогда орт Т, перпендикулярный как основной плоскости системы координат
(к), так и картинной плоскости (S), рассчитывается через векторное произведение
этих векторов
T=[Sxk]°.
Орт R определяется следующим образом:
R=SxT
Угол между векторами Т и В рассчитывается через их скалярное произведение:
0=arccos(T,B).
При этом надо учитывать, что при (B,R)<0, 0=2л- arccos(T,B).
Угол поворота вектора асимптотической скорости
\|/=arccos(yz,yz).
Радиус перицентра может быть рассчитан как
Г = ——
"	J/2
- 4cos((Tt-y)/2)	/
Модуль вектора В определяется через радиус перицентра по формуле
1/2
272
3.4.
ЕИ определение и прогнозирование
ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ КА
В условиях ограничения суммарной характеристической скорости, необходи-
мой для проведения динамических операций, успешное выполнение задач, связан-
ных с полётом космических аппаратов к телам Солнечной системы, в значительной
степени зависит от точности приведения аппарата в заданную точку пространства
с заданной скоростью. Отклонение фактических параметров движения от заданных
значений определяется ошибками навигации и ошибками исполнения манёвров и
коррекцией траектории. Определение орбитальных параметров КА осуществляется
путём сравнения измерений текущих навигационных параметров с расчётными зна-
чениями, полученными с использованием принятых моделей движения КА и прове-
дения измерений. В соответствии с этим ошибки определения параметров движения
возникают в результате наличия ошибок измерений, неточности используемой моде-
ли измерений и отличия принятой динамической модели от реального движения КА.
В данном разделе рассматриваются проблемы, возникающие в ходе определения и
прогнозирования параметров движения КА, и описываются методы их решения.
В момент времени t вектор состояния КА х может быть вычислен по набору пара-
метров q'{<?[,..., q'm'} в соответствии с принятой моделью движения
x=x(/,q'),
где x{r,v}, г- координаты, v - скорости КА.
В простейшем случае в качестве q' используется 6-мерный вектор состояния КА
q =x0 или элементы его орбиты q =p0, отнесённые к начальному моменту времени.
В более сложных случаях в набор параметров модели могут быть включены: коэф-
фициент светового давления, гравитационный параметр небесного тела и другие
величины, влияющие на движение КА. Параметры модели движения q' мы будем
называть динамическими, поскольку их изменение приводит к изменению вектора
состояния КА в момент времени t. Этим они отличаются от параметров q , описыва-
ющих расчётную модель измерения, которые не влияют на движение КА. Расчётное
значение измерения, проведённого в момент времени /, связано функциональной за-
висимостью i|/(x(7,q'),q") с вектором состояния КА и набором нединамических пара-
метров q"{^;',..., <?"••}, таких как положение измерительного пункта, параметры среды
распространения радиосигнала (тропосферы, ионосферы), задержки сигнала в про-
водящих кабелях и т.п.
На рисунке 3.4.1 представлена схема получения разности измерений.
Рисунок 3.4.1. Сравнение измерений с расчётными значениями
273
3.4.
3.4.1. Статистический подход к решению задачи определения
параметров движения КА
Как правило, количество измерений, применяемых для определения орбиты КА,
значительно превышает количество уточняемых параметров. Статистические ме-
тоды позволяют, используя избыточное количество измерений, уменьшить ошибку
определения орбитальных параметров, вызванную случайной составляющей ошибок
измерений. Для решения задач навигационного обеспечения полёта КА наибольшее
распространение получил метод максимума апостериорной вероятности (другое на-
звание - метод максимального правдоподобия). Этот метод заключается в выборе
в качестве оценки уточняемых параметров, вектора Cv, вероятность реализации кото-
рого максимальна при условии получения вектора измерений A=4/0-4/c(q).
Предположим, что имеется набор изАизмерений Траспределённых
в соответствии с многомерным нормальным законом
7 /о
(2л)

где
Су
cov(\|/l;Vi) cov(yPv2) cov^,^)'
cov(\|/2,Vi) cov(\|/2,y2)	cov(v|/2,v„)
cov(\|/„,v|/,) cov(\|/„,V|/2) ' ... cov(vA,,\|/w)
ковариационная матрица ошибок измерений.
Минимизация функционала
Ф(Ч) = (т° - (q))T С-; (т° - (q))
даёт оценку вектора параметров Cv.
(3.4.1)
3.4.2. Минимизация функционала путём решения нелинейной
системы уравнений методом Ньютона
Необходимое условие экстремума - равенство нулю производных по всем пара-
метрам:
—(т°- тс )т р(т°-тс)=о,
5q/	'	’
Р=С,/ - весовая матрица измерений.
Отметим, что если CV(/ - блочно-диагональная матрица, то и Р также является блоч-
но-диагональной матрицей с блоками того же размера на том же месте.
Дифференцирование выражения
—(т°-	р(т°-= - 21^5—1 р(т°-тс1
aq/ '	> (aqj V >
приводит к системе т уравнений с т неизвестными

P(T’-Tc(q)) = Om,
(3.4.2)
274
3.4.
где 0,„ - нулевой вектор размерности т.
Это нелинейная система уравнений относительно параметров q, которые связаны
с текущим вектором состояния X дифференциальными уравнениями или аналитиче-
ской теорией, реализующими модель движения КА. Зависимость расчётных значений
от текущего вектора состояния выражается через моделирование измерительных си-
стем. Для решения этого уравнения большинство авторов рекомендуют использовать
итерационный метод Ньютона с теми или иными модификациями. В общем случае
решение системы нелинейных уравнений
f(q)=O,„
методом Ньютона осуществляется по следующей схеме:
1.	Устанавливается начальное приближение
(3.4.3)
2.	На очередной к-й итерации:
-	вычисляется вектор невязок
b*=f(q*),
-	формируется матрица частных производных
А=Л
dq*
-	решается система линейных уравнений
АДф =Ь
относительно вектора поправок AqA,
-	устанавливается новое значение вектора q:
qA4=qA+AqA.
3.	Оценивается величина поправок AqA. Если они достаточно малы, то итераци-
онный процесс завершается. В качестве решения уравнения (3.4.2) устанавливается
вектор q=qA i. В противном случае выполняется следующая итерация (п. 2).
df
вычислении матрицы частных производных для системы уравнений
формулах появляются вторые производные
д f(dYc>|
При
(3.4.3) в
df _
<9q dq [ <9q ?
т
т
Т

'dY^
. aq,
Р£'г
dq
(dq2 J
от измеряемых функций по уточняемым параметрам q. Выполнить это второе диф-
ференцирование очень сложно, в то же время при хорошем начальном приближении
разница между измеренными и расчётными значениями мала, поэтому повсеместно
слагаемое, в которое они входят, отбрасывают. В результате матрицу и правые части
системы линейных уравнений (3.4.3) можно записать в форме
. fdYcVdYc
А = I--- Р-----,
dq J dq
/ \Т
( dYc )
b = -— PAY.
I 5q J
Если множество измерений Y представить как объединение некоррелированных
между собой подмножеств
275
3.4.

то матрица Cv разделится на блоки, расположенные на диагонали, а квадратичная
форма превратится в сумму. Тогда функционал, матрица системы линейных уравне-
ний и её правые части записывается в форме:
ф(ч)=£('•'*_ v* )т с;' (v* - v*),
к=\
р
гк
5q

где РА=СА 1 - весовая матрица ошибок k-й группы некоррелированных измерений
(к=!,...,«).
3.4.3.	Алгоритм решения задачи определения параметров
движения КА
На рисунке 3.4.2 представлена графическая схема решения задачи определения
орбитальных параметров итерационным методом Ньютона. Сначала выполняются
подготовительные операции. Формируются необходимые исходные данные: началь-
ное приближение, эфемериды Луны и Солнца, параметры атмосферы и т.п. Далее
выполняется очередная итерация, она начинается с установки нулевых значений
функционала, матрицы и правых частей системы нормальных уравнений. Далее вы-
полняется цикл формирования нормальной системы уравнений. Он включает: вы-
борку очередного измерения; вычисление расчётного значения и его производных по
текущему вектору состояния; вычисление производных от расчётного значения по
уточняемым параметрам; расчёт добавок к системе нормальных уравнений (СНУ),
полученных в результате обработки очередного измерения; сложение полученных до-
бавок с матрицей и правыми частями СНУ. Если на данной итерации все измерения
обработаны, то решается СНУ и определяются поправки. Поправки прибавляются
к уточняемым параметрам, и начинается новая итерация. Этот итерационный про-
цесс продолжается до сходимости.
При кажущейся простоте схемы задача определения орбитальных параметров
довольно сложна. Она включает численное интегрирование системы дифференци-
альных уравнений движения, реализующих сложную модель движения КА, и урав-
нений в вариациях КА, необходимые для расчёта частных производных от текущего
вектора состояния по вектору определяемых параметров. Кроме того, задача содер-
жит программные блоки, реализующие различные виды измерений, участвующих
в обработке.
3.4.4.	Формализация обработки измерений различных типов
Процесс формирования системы нормальных уравнений (рисунок 3.4.2) пред-
ставляет собой последовательную обработку измерений различных типов, сопрово-
ждающуюся формированием матрицы А, вектора b и расчётом функционала Ф(д).
276
3.4.
Рисунок 3.4.2. Алгоритм определения параметров движения КА
Для того чтобы такое накопление стало возможным, необходимо для каждого очеред-
ного измерения иметь следующую информацию:
номер типа измерений;
-	размерность вектора измеряемого параметра т (т=\ для скалярных измерений);
-	измеренный вектор i|/° (в частном случае скаляр);
-	весовую матрицу (в частном случае вес), характеризующую ошибку данного
измерения;
-	расчётный вектор ц/е и матрицу его производных —— по вектору определяемых
параметров.	4
Для каждого вида измерения разрабатывается специальный программный модуль,
обеспечивающий вычисление вектора его расчётного значения ц/с и матрицы произ-
Л|/с
водных по текущему вектору кинематических параметров КО Такая формали-
зация позволяет подключать к задаче определения орбиты возможность обработки
новых типов измерений, не внося изменений в остальные её части.
Как было указано выше, множество уточняемых параметров q{q',q"} может со-
держать динамические q' и нединамические q' параметры, поэтому зависимость рас-
чётного значения от уточняемых параметров можно выразить формулой
ус(чЛ= 4/c(X(q',/),q").
277
3.4.
dv|/c
Соответственно вычисление матрицы производных осуществляется по
формуле
6к|/с _ рк|/с Ж . 6к|/с
dq [дХ dq' dq"
дХ
Матрица ‘7^7 производных от текущего вектора состояния космического объекта
(КО) по вектору уточняемых параметров, вычисляется вместе с вектором кинемати-
ческих параметров движения X в ходе интегрирования уравнений движения КО и
уравнений в вариациях. В самом общем виде систему уравнений движения и уравне-
ний в вариациях можно представить в форме
dX
dt
d (ах
dt dq'
аг ax
ax aq''
3.4.5.	Алгоритм совместной обработки траекторных
и бортовых измерений
Определение параметров движения межпланетных КА, особенно в случаях, когда
высокая точность навигации является критически важной для выполнения миссии,
сопряжено с одновременной обработкой и использованием различных видов измери-
тельной информации.
Математически задача статистического определения орбиты формулируется с ис-
пользованием совокупного набора измеренных величин Т° таким образом, что ис-
комая оптимальная оценка параметров Q доставляет максимум условной плотности
вероятности p(T0|Q)—^-^max, или, точнее, функции правдоподобия, аргументом
которой является набор параметров Q. На практике отдельные измерения, форми-
рующие Т°, часто описываются независимыми случайными величинами, поэтому
плотность вероятности условного распределения распадается на множители, каждый
из которых зависит только от параметров условного распределения одномомент-
ного измерения {i|/”|Q}. Подавляющее большинство оптимальных оценок параме-
тров Q определяется путём минимизации функционала взвешенной суммы квадратов
рассогласований
Ф = E(v- - V-(Q))Tс;1 (v° - V‘(Q))-> min,	(3.4.4)
/=1
в записи которого использованы обозначения vpXQ) математического ожидания /-го
независимого измерения, также называемого расчётным значением при заданных
параметрах модели Q, и ковариационной матрицы его ошибок С,. Минимум данно-
го функционала достигается одновременно с максимумом функции правдоподобия
в случае если ошибки измерений распределены по нормальному закону. Помимо это-
го, для линейных задач минимизация функционала заданного вида позволяет опре-
делить оценку вектора параметров Q, которая имеет наименьший второй момент из
всех возможных несмещённых линейных оценок вне зависимости от характера рас-
пределения ошибок измерений (Tapley В.D., Schutz В.Е., Born G.H., 2004).
278
3.4.
Стандартные модели движения, характеризующие движение КА минимальным
набором параметров и не учитывающие особенности динамики аппарата, обуслов-
ленные его конструктивными особенностями, значительно ограничивают возможно-
сти определения и прогнозирования движения КА дальнего космоса. Использование
таких моделей позволяет получить оценки параметров Q, близкие к оптимальным,
лишь на коротких мерных интервалах, где ошибки расчётного движения из-за неточ-
ности модели остаются малыми. В большинстве случаев состав имеющихся траек-
торных измерений не позволяет использовать короткие дуги для определения орби-
ты КА из-за низкой чувствительности традиционных радиотехнических измерений
дальности и радиальной скорости к орбитальным ошибкам, ортогональным линии
визирования.
Повышение точности навигации КА достигается за счет совершенствования мо-
дели движения: использования более точных моделей негравитационных возмуще-
ний, отражающих особенности КА, дополнительной параметризации имеющихся
моделей для устранения возможных неточностей, а также учёта в модели движения
возмущений, вызванных работой бортовых систем КА. Более достоверные модели
возмущений движения КА, как правило, не основываются исключительно на априор-
ных данных, а допускает некоторую степень неопределённости, выражающуюся во
введении дополнительных уточняемых параметров в состав вектора Q.
Чрезмерная параметризация задачи определения орбиты при сохранении состава
измерительной информации приводит к плохой обусловленности и возникновению
корреляции между уточняемыми параметрами. Повышение числа уточняемых пара-
метров задачи определения орбиты компенсируется тем, что совместно с траектор-
ными измерениями в обработке используются другие источники информации: апри-
орные данные о величинах, зависящих от уточняемых параметров, а также бортовые
измерения, расчётные величины которых также зависят от параметров движения цен-
тра масс КА.
Если расчётное значение бортового измерения имеет ненулевую частную произ-
водную хотя бы по одной из компонент вектора Q, то само измерение может быть
использовано при уточнении орбиты КА. При этом функционал (3.4.4), который не-
обходимо минимизировать, получает добавку
ф = E(v,° - V • (Q))T с:1 (V,° - v‘(Q)) +
Z=1	(3.4.5)
т	т	v 7
+ £« - Vc/b(Q)) С’1« -<(Q)) min
/=1
в виде взвешенной суммы квадратов рассогласований бортовых измерений. Мини-
мизация (3.4.5) может быть выполнена стандартными методами. Таким образом, ис-
пользование бортовых измерений формально не отличается от включения в задачу
дополнительных траекторных данных. Отличие, как правило, состоит лишь в упро-
щённой зависимости расчётных значений бортовых измерений от вектора уточняе-
мых параметров Q.
К бортовым измерениям, использование которых позволяет уточнить движение
центра масс КА, относятся измерения акселерометров, измерения параметров движе-
ния КА вокруг центра масс, а также некоторая командно-программная информация
в составе телеметрии КА. Формально эта информация не является измерением, од-
нако позволяет получать априорные оценки возмущений движения центра масс КА.
279
3.4.
Примером такой информации являются команды системы ориентации и стабилиза-
ции КА, передаваемые двигателям стабилизации и позволяющие оценить прираще-
ние скорости КА в результате переориентации или разгрузки накопившегося кинети-
ческого момента.
Параметры ориентации и движения КА вокруг центра масс могут быть исполь-
зованы для уточнения параметров негравитационных возмущений, обусловленных
световым давлением, тепловым переизлучением или сопротивлением встречного по-
тока частиц. Такие возмущения всегда зависят от ориентации КА в пространстве,
а в некоторых случаях позволяют установить связь между движениями центра масс
и вокруг центра масс КА.
Получение дополнительной информации о негравитационном возмущении воз-
можно благодаря тому, что возмущение, создающее ускорение центра масс КА, также
производит возмущающий момент относительно центра масс. При этом бортовыми
средствами гораздо проще измерить параметры вращения КА или его частей, нежели
непосредственно измерить малое ускорение КА.
Пусть параметрами модели интересующего возмущения является вектор qeQ,
а сама модель позволяет описать возмущающее ускорение и возмущающий момент
с помощью этих параметров:
^pert-apcrt(X,q), MpCrt—Mperl(X,q).
Вращательное движение КА с электромеханическими исполнительными органа-
ми (ЭМИО) в связанных осях описывается уравнением Эйлера:
К+ Кас+ сох К+сох Кас= М,	(3.4.6)
где К - кинетический момент КА с неподвижными ЭМИО,
Кас - кинетический момент ЭМИО, рассчитанный в связанных осях,
со - мгновенная угловая скорость КА в проекциях на оси ССК,
М - внешний возмущающий момент.
Измеренные значения параметров вращения КА и ЭМИО позволяют получить
значение левой части (3.4.6) и, следовательно, значение возмущающего момента в
правой части. Зависимость расчётного значения момента от q дает возможность ис-
пользовать эти измерения в задаче определения параметров движения.
Проиллюстрируем использование измерений возмущающего момента на частном
примере, соответствующем работе космической обсерватории «Спектр-Р». Пусть КА
находится вдали от гравитирующих тел и большую часть времени его ориентация
стабилизирована относительно осей инерциальной системы координат (со=О, К=0).
Внешний возмущающий момент целиком обусловлен световым давлением и тепло-
вым переизлучением с поверхности КА. Параметры этих возмущений необходимо
уточнить. Поскольку КА не вращается, уравнение (3.4.6) принимает более простой
вид:
£а/Д=М,
/=1
где п - число маховиков ЭМИО;
а, - направляющие косинусы оси z-ro маховика;
I, - момент инерции z-ro маховика;
О, - скорость вращения z-ro маховика.
Таким образом, кинетический момент ЭМИО напрямую изменяется под действи-
ем внешнего момента. Пусть между моментами времени 6 и t2 ориентация КА, а вме-
280
3.4.
сте с ней и искомые негравитационные возмущения остаются постоянными. Введём
обозначение
1	"
Мп =------^a,7,.(Q,.(r2)-Q,.(O)	(3.4.7)
G _ Ч /=i
для измеренного значения внешнего момента. Расчётное значение момента зависит
от искомых параметров негравитационных возмущений Mc=Mc(X,q).
Выразим ковариационную матрицу М£1, используя предположение, что все махо-
вики имеют одинаковый момент инерции относительно собственной оси вращения
1=1,	Кинетический момент ЭМИО можно представить в виде
Кас=/А£2,
где A=(ai,...,a„) - матрица направляющих косинусов; fl=(Q|,...,Q„)r - вектор измеряе-
мых скоростей вращения маховиков. Ошибки определения Ц не имеют между собой
корреляции и равны с>£2. В этом случае ковариационная матрица измеренного кинети-
ческого момента ЭМИО равна
К^ААТ.
Ковариационная матрица ошибок измерения возмущающего момента преобразу-
ется к виду
э
k-=77T7v;2ct«aaT-
V2 Ч /
Включение каждого измерения внешнего возмущающего момента в задачу опре-
деления параметров движения приводит к следующей добавке к функционалу (3.4.5):
ДФ = (м° -Mc(X,q))T Рм (м° - Mc(X,q)),
где М° описывается выражением (3.4.7), а Рм=Км'.
Оценка негравитационных возмущений. Любая динамическая модель, а в осо-
бенности модель сложных по форме и конструкции КА, содержит систематические
неточности и отклонения случайной природы. Отличие реального движения от мо-
дели приводит к систематическим отклонениям в рассогласованиях функционала
(3.4.5), а на достаточно больших мерных интервалах и вовсе не позволяет согласовать
траекторные измерения в соответствии с их внутренней точностью. При отсутствии
возможности совершенствования динамической модели КА компенсация её неточ-
ности может быть произведена с помощью параметризации немоделируемых уско-
рений и уточнения соответствующих параметров наряду с остальными параметрами
движения КА.
Без привлечения дополнительной измерительной информации компенсация оши-
бок динамической модели для КА дальнего космоса не приводит к эффективному
увеличению точности определения орбиты из-за низкой информативности стандарт-
ных траекторных измерений. В качестве такой информации могут быть использова-
ны измерения акселерометров.
Чувствительность современных акселерометров позволяет измерять не только
существенные эффекты от работы ДУ, но и более тонкие негравитационные возму-
щения вплоть до величин порядка 10 8 м/с2 и менее. Приборы такой точности ис-
пользуются на геодезических низкоорбитальных КА для наилучшей реконструкции
орбитальной динамики. Тем не менее, установка высокоточных акселерометров пла-
нируется и на перспективных КА дальнего космоса.
281
3.4.
Опишем концепцию использования измерений таких акселерометров при реше-
нии навигационных задач. Истинное движение КА можно записать в виде уравнения
Г = ав (Q, 0 + ang (Q, о + arcs (Z),
где ag и ang - гравитационные и негравитационные ускорения рассчитанные в со-
ответствии с динамической моделью; ares - остаточное немоделируемое ускорение,
обусловленное, с одной стороны ошибками динамической модели, а с другой - не-
которым случайным процессом с нулевым средним значением. Для компенсации
немоделируемых ускорений мерный интервал разбивается на и равных частей, на
каждой из которых задается постоянное ускорение az, z=l,...,Л7. Эти значения исполь-
зуются для задания немоделируемого ускорения в кусочно-постоянной форме:
aICs(0= */,
Значения ускорений а, добавляются в число уточняемых параметров с априорной
информацией а,=0.
В качестве измеренного значения немоделируемого ускорения на интервале (/,,Z„i)
используется среднее значение разности откалиброванных показаний акселерометра
и модели негравитационного ускорения:
3,=-^—J(acal-ang(Q,Z))A
S+1	/(
Число уточняемых параметров включает значения немоделируемых ускорений,
а также параметры калибровки акселерометра
Q={X,...,a,,...,a„AAA, ЛАА},
а функционал, минимум которого ищется, получает поправку:
ДФ = ^L(az - а. )Т Р,- (а,. - а,).
Z = 1
Весовые матрицы Р, определяются характеристиками акселерометра. Таким обра-
зом, в рамках задачи уточнения параметров движения ищутся не минимальные значе-
ния немоделируемых ускорений, а наиболее близкие к средним измеренным значениям.
3.4.6. Уточнение возмущений, вызванных работой двигательной
установки
Предположим, что на интервале уточнения параметров движения произошло т
краткосрочных включений двигателей в результате каждого из которых центр масс
КА получал приращение скорости Av„	в известные моменты времени
К причинам подобных возмущений можно отнести малые коррекции орбиты, измене-
ние ориентации КА с помощью двигателей стабилизации или разгрузки кинетическо-
го момента, накопленного ЭМИО, ответственными за ориентацию и стабилизацию
движения вокруг центра масс КА.
В этом случае вектор уточняемых параметров Q дополняется неизвестными зна-
чениями приращений скорости
Q={X0,..., Av,,...,Av,„}.
Измерения, характеризующие приращения Av„ основываются на знании ориента-
ции КА, которая определяет направление приращения, и данных, характеризующих
величину приращения. Рассмотрим два случая получения оценок величин прираще-
ний скорости.
282
3.4.
В первом случае оценка величины приращения скорости производится с помощью
данных о длительности работы, расходе топлива и номинальной тяге двигателя в ходе
каждого включения, сформировавшего Av,. Как правило, эти данные извлекаются из
командной информации системы ориентации и стабилизации. Таким образом, значе-
ния оценок Av, являются априорной информацией, а не измерениями. Оценка величи-
ны приращения скорости КА в результате /-го включения описывается выражением
Ду _
iJ м
где Ат,, - расход топлива;
- номинальная удельная тяга двигателя;
т,:/ - длительность работы двигателя;
g - ускорение свободного падения;
М- текущая масса аппарата.
Априорное значение приращение скорости КА
Av/=Zv../e,’	(3-4-8)
/=1
где е, - известное направление тяги двигателя в ходе/-го включения, определяемое из
номинального направления в ССК и известной ориентации КА.
Поскольку различные включения двигателей можно считать независимыми, ко-
вариационная матрица ошибок приведенного выше измерения будет складываться
из ковариационных матриц слагаемых v^-e, суммы (3.4.8). Отдельно отметим распро-
страненный случай, в котором ошибки определения направления е, малы и зависят
только от угла отклонения от номинала. Тогда ковариационную матрицу ошибок v/7ez
можно представить в виде
К=о</(Е-е/ ej)+c>ve/ ej,
где ov - стандартное отклонение оценок v,s/; ot/- стандартное отклонение оценки ско-
рости в ортогональном направлении, зависящее от ошибок ez; Е - единичная матри-
ца. В самом простом случае, когда направления тяги всех включений идентичны или
было произведено только одно включение, весовая матрица имеет следующий вид:
Рд.=4(Е-е;<) + ^еХ,
где о,/ и <jD - суммарные ошибки измерения приращения скорости в продольном и
поперечном направлениях.
Во втором случае измерение приращения скорости производится с помощью аксе-
лерометров. Акселерометры измеряют негравитационные возмущения, будучи жест-
ко закрепленными на небольшом расстоянии от центра масс КА. В контексте работы
ДУ акселерометры позволяют измерить приращение скорости центра масс при от-
сутствии вращательного движения аппарата. Измеренное значение Av,,acc получается
в результате интегрирования данных акселерометра внутри устройства, ему соответ-
ствует известная ковариационная матрица ошибок измерения К,асс.
Измеренные величины приращения скорости не могут быть использованы в чи-
стом виде и требуют калибровки. Измеренные значения ускорений содержат ошиб-
ки масштабирования и смещения нуля. Таким образом, откалиброванное измерение
ускорения имеет вид
Яса1—S  aobs+B,
283
3.4.
где S=diag(<S,v,<S,v,<S'-) - диагональная матрица, элементы которой отвечают за масштаби-
рование измерений акселерометра; В=(ВХ,В„В:У - вектор поправок, корректирующий
положение нуля акселерометра. Следовательно, откалиброванное значение прира-
щения скорости, полученное интегрированием ускорения в течение времени работы
ДУ 8/, можно представить в виде
Avca|= SAVobs+ВЗ/,
где Avo/n - измеренное акселерометром приращение скорости; 8/ - длительность ра-
боты ДУ
Параметры калибровки S и В, как правило, сохраняют свои значения на длитель-
ном интервале времени. Для повышения точности измерений эти параметры могут
уточняться наряду с параметрами движения
Q={X(),..., Avi,...,Av/„,5’a,5’v,5’-,5v,5,.,5-}.
Для повышения обусловленности в задачу уточнения параметров движения мо-
жет быть введена априорная информация о параметрах калибровки. При отсутствии
данных о систематических ошибках акселерометра используется информация, соот-
ветствующая отсутствию ошибок
S()=E, Во=О.
Как было показано выше, при решении задачи уточнения параметров движения
к функционалу (3.4.5), который необходимо минимизировать, производятся добавка
вида
ДФ = Х(л< - Av')Т Р, д (Av° - Av'),	(3.4.9)
/=1
где Av" - измеренное значение /-го приращения скорости, полученное либо из пара-
метров включения ДУ, либо из измерений акселерометра.
Av  - расчётное значение /-го приращения скорости, входящее в вектор параме-
тров Q и определяющее расчётное движение КА,
Р, д - весовая матрица измерения, равная обращённой ковариационной матрице.
Для нахождения минимума функционала (3.4.5) необходимо знание частных
производных расчётных значений, входящих в функционал, по уточняемым параме-
трам Q. Опишем только получение значений aX/aAv,, поскольку частные произво-
дные слагаемых (3.4.9) по Av, рассчитываются тривиально. Для нахождения искомых
значений нет необходимости в интегрировании дополнительных уравнений в вариа-
циях, так как частная производная по мгновенному приращению скорости совпадает
с частной производной по скорости КА в момент приращения
ах _ ах
aAvz av(r.)’
а частная производная от вектора состояния по скорости аппарата в момент времени t,
(последние три столбца матрицы аХ/аХ(/,)) может быть получена из частных произ-
водных по начальному вектору состояния, которые рассчитываются независимо:
/ V1
ах _ ах ах0 _ ах ах
ах(О ах0’ах(<.) ахДах0,,'
284
3.4.
Для этого необходимо знать частные производные по начальному вектору состо-
яния в текущий момент и момент времени t,. Приращение скорости в момент време-
ни t, не оказывает влияние на вектор состояния КА в предыдущие моменты времени,
поэтому конечное выражение для частных производных вектора состояния по прира-
щению скорости выглядит так:
ах(р _ 5Avz	дХ ах0 0		дХ ах0	X	-1 Ё	при t > t при t < t
где						
			Л0	0	0	1 0 0"
ё=(о3;	Ез) =		0	0	0	0 1 0
			<0	0	0	0 0
285
3.5.
ЕИ решение задач определения параметров
ЦЕЛЕВОГО МАНЕВРИРОВАНИЯ КА
3.5.1.	Методика решения практических задач коррекции
траектории полёта КА
Предварительные замечания и обозначения. Движение КА с реактивной ДУ
в прямоугольной инерциальной системе координат (СК) Oxyz описывается системой
обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система уравнений позволяет од-
нозначно определять параметры движения в произвольный момент времени te [/0,4]
при заданных параметрах движения (начальных условиях) в момент времени /0, мо-
ментах времени включения ДУ, характеристиках ДУ и параметрах, задающих работу
ДУ при каждом её включении. Предполагается, что момент времени tk задан и насту-
пает после реализации последнего включения ДУ.
В качестве параметров движения КА принимаются следующие величины:
-	компоненты вектора г(/) положения КА и вектора его скорости v(Z) в СК Охуг,
-	левая и правая границы каждого /-го (/=1,2,...,и) интервала [Сп/Лк/] непрерывной
работы ДУ, эти интервалы не пересекаются;
-	единичный вектор е, направления тяги ДУ на интервале [/Д|1ДДК/] её непрерывной
работы.
При известном значении момента времени /Д11/ включения ДУ и заданных для неё
зависимостей тяги Р, и удельного импульса I, от времени т непрерывной работы,
момент времени tAKi выключения ДУ однозначно определяется величиной W,
приращения характеристической скорости {Гаврилов В.П. и др., 1975). Для этого,
в соответствии с {Машиностроение, 2012), используется система двух дифференци-
альных уравнений относительно приращения характеристической скорости W и мас-
сы т КА:
dW = Pi(x)dm_ />(т)	51)
т(т)’	g0<(T)
В качестве начальных условий для этой системы уравнений принимаются 1К(0)=0
и т(0)=т(/Д1|/). Здесь и далее полагается известным значение т0 массы КА в момент
времени tQ. Кроме того, полагается, что потери массы КА на пассивных участках его
полёта (ДУ не работает) пренебрежимо малы и в дальнейшем принимаются равными
нулю. Входящие в систему уравнений (3.5.1) параметры имеют следующие размер-
ности: т - [с], т - [кг], Pi - [Н], I, - [с]. Величина ускорения КА из-за силы земного
притяжения принимается равной g0=9.80665 м/с2.
Пусть W/ - вектор, коллинеарный вектору е, направления тяги ДУ при её /-м вклю-
чении для реализации целевой коррекции траектории полёта КА,
W=^e,	(3.5.2)
и ro=r(/o), v0=v(/0). Тогда, при заданной начальной массе т0 КА и заданных характери-
стиках ДУ, значения
/o,ro,Vo,<UI/,W„ /=1,2,...л	(3.5.3)
однозначно определяют, начиная с момента времени /0, векторные функции r(z), V(z),
т.е. траекторию полёта КА. Вектор, определяемый соотношением (3.5.2), в дальней-
шем называется вектором приращения характеристической скорости для /-го мо-
мента времени включения ДУ.
286
3.5.
Общая задача коррекции траектории полёта КА. При рассмотрении задач ма-
неврирования КА /-й момент времени включения ДУ может задаваться в неявном
виде. А именно в момент времени /Д|1/ должно выполняться заданное соотношение
между компонентами векторов г(/Д1|/) положения КА и вектора его скорости v(/;il„).
Другими словами, в момент времени /Д1|/ определённая функция /(/,r(/),v(/)) должна
принимать нулевое значение. Например, для КА, находящегося на орбите искус-
ственного спутника Земли (ИСЗ), значение /Д||, удобно задавать, ввиду геометрической
наглядности, как момент достижения им заданной угловой дальности и, полёта от
момента времени пересечения некоторого фиксированного А-го пересечения спут-
ником экваториальной плоскости Земли (А- порядковый номер витка) при переходе
его из Южного полушария Земли в её Северное полушарие. При этом угловая даль-
ность и полёта КА в каждый момент времени t представляет собой функцию от век-
торов г(7) и v(7). И, следовательно, в этом случае указанная функция / принимает
вид: /(/,r(/),v(/))=w(/,r(/),v(/))-wz. В случае когда момент времени /-го включения ДУ
задаётся непосредственно, функция / имеет простейший вид: f=t-twi.
Пусть у=(у 1 и ^=(^|,...Д)Т - векторы, компонентами которых являются не-
которые специальные параметры, однозначно определяемые на траектории полёта
КА в момент времени tk. Тогда любая компонента этих векторов рассматривается как
функция Гдн/, W/? tk.
На основании практического опыта баллистического обеспечения подготовки, ре-
ализации и анализа реальных полётов КА на протяжении многих десятилетий ниже
будет рассмотрена общая задача оптимальной целевой коррекции (ОЦК) траектории
движения КА.
Пусть Ys=(y.si,---,Y.s/)t и ^=(^si,...,£S6/)t - векторы, характеризующие в момент вре-
мени tk требуемую траекторию дальнейшего полёта КА. Пусть искомая расчётная
коррекция траектории полёта КА должна обеспечивать выполнение так называемых
терминальных условий полёта
(3.5.4)
с заданной точностью, определяемой вектором £=(8i,82,...,8(/)t с положительными ком-
понентами. Тогда указанная задача формулируется следующим образом.
Задача ОЦК.
Задано'.
-	значения /0, r0, Vo, m0, п, уЛ, /, , q, £;
-	функции/(/,£(/),¥(/)), определяющие моменты времени ^дн/ включения ДУ для ре-
ализации целевой коррекции /=1,2,.
-	множество пар функций{Р, (т), /,(т)}, /=1,2,...,и, где первая и вторая функции
/-й пары определяют соответственно зависимости тяги и удельного импульса ДУ
от времени её работы после /-го включения;
-	функция /(/,r(7),V(7)), определяющая момент времени tk, на который определён-
ным образом по текущим кинематическим параметрам движения КА вычисляют-
ся компоненты векторов у и
Найти значения компонентов векторов W, (/=1,2,...,/?), при которых заданная
функция А достигает своего минимума,
F(Y,Yv,Wi,W2,...,W,,)^min,	(3.5.5)
287
3.5.
при ограничениях:
М<е, (/'=1,2,(3.5.6)
^„.WhUWz,..., G„,„W„)>0, v=l,2,...,m.	(3.5.7)
В дальнейшем компоненты векторов у и называются корректируемыми пара-
метрами, величины и компоненты векторов W, (/=1,2,...,/?) - корректирующими
параметрами или параметрами! коррекции, а функция F - функционалом задачи кор-
рекции траектории движения КА.
Схема решения задачи коррекции траектории КА. Сформулированная выше
задача ОЦК, называемая точной задачей коррекции, сама по себе является трудно
разрешимой математической задачей в первую очередь из-за того, что движение КА с
учётом действующих на него реально значимых сил описывается сложной системой
дифференциальных уравнений. Поэтому указанная задача решается приближённо
путём решения такой же задачи в рамках более упрощённой модели движения КА.
Последняя задача называется приближённой задачей коррекции. Процедура поиска
приближённого решения точной задачи коррекции представляет собой итерацион-
ный процесс.
В конце каждой о-й итерации, после получения на ней значений корректируемых
параметров <Ui/,AVz (/=1,2,...,/?), доставляющих решение приближённой задачи, путём
численного интегрирования системы дифференциальных уравнений с учётом ука-
занных параметров рассчитываются компоненты вектора корректируемых пара-
метров. Затем проверяется выполнение условий (3.5.6), т.е. проверяется выполнение
неравенств
\^\<^,l=\,2,...,q,	(3.5.8)
где - компонента с номером / вектора 8^°=^°-^s; 8/ - константа, характеризующая
установленную до полёта КА точность выполнения /-го условия из условий (3.5.8).
Если все эти условия удовлетворены, то считается, что процесс расчёта вектора
корректирующих параметров завершён: компоненты вектора принимаются равны-
ми корректирующим параметрам, полученным на этой о-й итерации. В противном
случае осуществляется переход к очередной (о+1)-й итерации. В начале этой итера-
ции для приближённой задачи в качестве прицельного вектора вычисляется вектор
На первой итерации (о=1) полагается
Превышение (^-^z), l=\,2,...,q, параметра $ над заданным значением являет-
ся результатом различия моделей движения КА в точной и приближённой задачах
коррекции его траектории. Чем ближе указанные модели между собой, тем меньше
требуется итераций для получения приемлемого решения задачи ОЦК. Каждая новая
итерация улучшает представление об искомых параметрах манёвра. После очередной
итерации процесс вычислений можно оборвать, если, например, становится ясно, что
решение задачи не приемлемо для практической реализации манёвра. Использование
такой возможности, предоставляемой рассматриваемой схемой решения задачи кор-
рекции, повышает оперативность и надёжность расчётов параметров коррекции, что
особенно важно при баллистическом обеспечении управления полётом КА.
Следует подчеркнуть, что представленный итерационный процесс обеспечивает
выполнение терминальных условий задачи ОЦК с заданной точностью, что крайне
важно с точки зрения исполнения дальнейшего (после момента времени /А) полёта
288
3.5.
КА. В то же время за точность минимизации функционала (3.5.5) и выполнения усло-
вий (3.5.7) «ответственной» является приближённая задача коррекции.
Конкретная задача коррекции траектории КА. В практической баллистике при
реализации перелёта КА от одного небесного тела к другому гравитирующему не-
бесному телу необходимо выполнить путём проведения коррекции траектории по-
лёта определённые требования к подлёту его ко второму из указанных тел. Не нару-
шая общности, рассматривается задача коррекции траектории перелёта КА от Земли
к Луне.
Предусмотрена возможность проведения нескольких отдельных (несвязанных)
коррекций траектории. Коррекция траектории перелёта КА от Земли к Луне прово-
дится путём включения ДУ (с заданными техническими характеристиками) в некото-
рый фиксированный момент времени /Л11.
Текущая траектория полёта КА задаётся шестимерным вектором
(xo,^o,Z(),Цо,Ко,Ко)=(го,Уо) кинематических параметров движения КА (x(/),y(0,zW,
^{0,^(0, ^W)=(rW,V(0) в некоторый момент времени Векторы г(/) и V(z) явля-
ются векторами положения и скорости КА в момент времени t в правой прямоуголь-
ной абсолютной системе координат (СК) J2000. Они рассчитываются с учётом гра-
витационных сил Солнца, Земли и Луны и с учётом силы давления на КА солнечной
радиации. Вектор ускорения КА, обусловленный последней силой, в любой текущий
момент времени t полагается совпадающим с вектором , где г и гс - текущие векторы
положения КА и Солнца в СК J2000; цс - гравитационный параметр Солнца; за-
данный безразмерный коэффициент.
Начало СК J2000 совпадает с центром масс Земли. Опорная плоскость XY СК па-
раллельна плоскости среднего экватора Земли. Ось У направлена вдоль вектора поло-
жения средней точки весеннего равноденствия эпохи J2000.
В качестве корректируемых параметров траектории рассматриваются:
/pmin - момент времени достижения КА минимально удалённой от ЦМ Луны точки
подлётной (к Луне) траектории КА;
г| — координаты прицельной дальности подлётной гиперболы, в которой лежит
ЦМ Луны.
По определению, картинная плоскость ортогональна вектору V* скорости «на бес-
конечности» подлёта КА к Луне. Она замечательна тем, что, при любых выбранных
координатных осях в этой плоскости, зависимость координат прицельной дальности
от импульса коррекции на перелёте от Земли к Луне близка к линейной зависимости.
В качестве СК в картинной плоскости принимается правая прямоугольная селено-
центрическая СК Омфъ ось ординат которой полагается направленной по проекции
на картинную плоскость угловой скорости сом вращения Луны вокруг своей оси в
момент времени rPmm.
Таким образом, единичные векторы т]0 и направления осей ординат и абсцисс
СК (9„£г| определяются соотношениями:
^=[V,XO)M(/Pm|n)]», П()=^ХУ°.	(3.5.9)
Заданные значения параметров /Pmjn, т| целевой траектории обозначаются /Pmi|?,
£s, r|s соответственно.
Так как направление вектора сом слабо изменяется на интервале в несколько суток,
в соотношении (3.5.9) будем полагать
юм(ГРт1П)=сом(^тЬ?).	(3.5.10)
289
3.5.
В качестве характеристик ДУ здесь и далее рассматриваются заданные функцио-
нальные зависимости величины тяги Рд и удельного импульса /д ДУ от времени т, от-
считываемого от момента времени /Д|1 её включения. Пары (Рд(т),/д(т)) функций Рд(т) и
/д(т) имеют ступенчатый вид (три ступеньки) - на каждом из трёх интервалов [0,тК)),
[тК1,т, J, (т1К,т1К+Л/1111Д] указанные пары имеют постоянные значения (ЛЛ), (Ро/о), (ЛЛ)
соответственно. Здесь тк =А/К{ - фиксированный промежуток времени «выхода» ДУ
на рабочий режим; т|К - момент времени реализации главной команды ДУ, значение
которого может изменяться от манёвра к манёвру; Д/И|1д - фиксированная длитель-
ность импульса последействия. При каждом очередном включении ДУ требуется вы-
полнение следующего условия:
Имеют место все три интервала (из представленной
последовательности интервалов), причём, если
1-й и 3-й интервалы имеют заданную длительность,
то длительность Д/р рабочего режима (2-й интервал) -
переменная величина, Д/р>0.
(условие тяги)
(3.5.11)
В процессе работы ДУ единичный вектор ед тяги ДУ сохраняет своё направле-
ние в СК J2000 на всем интервале времени [/к-Д/К1,/К1+(т1К-тК1)+Д/Н|1 Д]=[/Д11, /дк], где
tKi - момент времени «выхода» ДУ на рабочий режим. Здесь и далее, по определе-
нию, /Д11 -момент времени включения ДУ; /дк - момент времени выключения ДУ.
В результате работы ДУ при реализации коррекции КА приобретает некоторое при-
ращение РКд характеристической скорости, которое обычно называется характери-
стической скоростью коррекции. Коррекция проводится в случае, когда расчётное
значение величины Wk обеспечивает выполнение приведённого выше условия тяги.
Параметры Wk и ед находятся при фиксированном значении времени tKi и извест-
ной массе M(t) КА в момент времени /=/Д1, включения ДУ, М;ц =Л/(/Д11). Решается зада-
ча коррекции (задача КП) траектории перелёта от Земли к Луне в нижеследующей
постановке.
Задача КП.
Задано'.
/о, г0, Vo - начальные условия (НУ) движения КА в СК J2000;
% - коэффициент, характеризующий влияние солнечного давления;
M:w - начальная (в момент времени /=/д„) масса КА,
ГРп1п?, £s, r|s - параметры целевой траектории в картинной плоскости;
е=(81,82,£з)т - вектор с положительными компонентами, задающий точность вы-
полнения терминальных условий после реализации искомой коррекции параметры
целевой траектории;
tKl - момент времени «выхода» ДУ на рабочий режим; без нарушения общности,
предполагается /0<4з;
A/KJ, Д/„нд - интервалы времени «выхода» ДУ на рабочий режим и отработки им-
пульса последействия;
(Р,,,/,,), (Ро/о), (РКЛ) ~ последовательность пар величин (тяга, удельный им-
пульс), каждая из которых относится к конкретному участку непрерывной работы ДУ
(«выход» ДУ на рабочий режим, рабочий режим работы ДУ и отработка импульса
последействия).
290
3.5.
Получить:
Ip - индикатор решения задачи, при /7 =0 задача решена, при /7#0 задача не решена
(не выполняется условие тяги (3.5.11);
Wk, ед - характеристическая скорость коррекции и единичный вектор направления
тяги ДУ, при которых обеспечивается выполнение (после коррекции) терминальных
условий на параметры траектории КА в картинной плоскости,
kpmi|-^mins|<£|, £s|<£2, |Г|-Т|л|<£з,	(3.5. 12)
а также получить на момент времени завершения работы ДУ при коррекции значения
/дк, r(/u<),V(/4K) - НУ движения КА в СК J2000, обеспечивающие выполнение тер-
минальных условий (3.5.12), и
MAK=M(tAK) - масса КА.
Для удобства описания алгоритма решения задачи КП вводится в рассмотрение
вектор
WA=^e;l.	(3.5.13)
Приращения характеристической скорости и параметры траектории КА в картин-
ной плоскости рассматриваются как функции от вектора WA. Кроме того, вводятся
в рассмотрение векторы
) = (^, (wA. )Л2 (w4 )Л (w4 ))Т = (/р (w4 ),^(w	))Т,	(3.5.14)
^ = (^,Л„2Л.,3)Т=(^ .Д„Ц,)Т	(3.5.15)
и, следовательно, условия (3.5.12) на параметры траектории КА в картинной плоско-
сти записываются в виде
«WH.	(3.5.16)
Параметры ^„j= 1,2,3, называются корректируемыми параметрами, а компоненты
вектора WA называются корректирующими параметрами.
Задача КП принадлежит классу представленных ранее задач ОЦК, и она решается
с использованием итерационной процедуры для этих задач.
В рамках указанной итерационной схемы работа ДУ моделируется приближённо.
А именно полагается:
1)	отсутствует импульс последействия (Л/||11Д=0);
2)	ДУ может (по набору приращения WA характеристической скорости) завер-
шать работу (выработку тяги), не дожидаясь выхода на режим.
После расчёта вектора WA приращения характеристической скорости (условия
(3.5.8) выполняются) вычисляется значение индикатора 1Р и, если 1р=0, вычисляются
значения всех остальных выходных (в задаче КП) величин. В этих расчётах работа
ДУ моделируется с учётом требований (3.5.11).
При математическом моделировании работы ДУ использовались соотношения,
вытекающие из формулы Циолковского для реактивного движения с переменной
массой.
Соотношения, используемые при моделировании работы ДУ. Пусть:
/° - момент времени начала работы ДУ с заданными значениями тяги Р и удель-
ного импульса /;
Р - тяга ДУ, Н;
/-удельный импульс ДУ, с;
M(t) - текущая масса КА, кг;
291
3.5.
А/ - интервал времени с, в течение которого (от момента времени г°) непрерывно
работает ДУ с заданными характеристиками его работы;
W-приращение характеристической скорости м/с вследствие работы ДУ;
ед - единичный вектор направления тяги ДУ;
Гд(Д/) - вектор ускорения м/с2 КА вследствие непрерывной (от момента времени /)
работы ДУ с заданными характеристиками;
go - постоянная величина, ускорение сйлы тяжести на поверхности Земли м/с2.
Тогда имеют место соотношения:
М=~—;	(3.5.17)
fF(A/) = Zgoln--------;	(3.5.18)
( /у 'О
Д/(^) =------v 1-ехр ;	(3.5.19)
'.(") =------—"	‘	<3.5.20)
7 <50
Рассмотрим ещё одно соотношение, используемое при моделировании работы
ДУ КА. Пусть Рь/1 - тяга и удельный импульс на некотором интервале [/|,/|+Д/|];
P2J2 ~ тяга и удельный импульс на примыкающем интервале [Г|+Д/|,6+ДГ|+Дл]. Дли-
тельность Д/2 второго интервала фиксирована. Заданы масса	и величина W
приращения характеристической скорости вследствие работы ДУ на обоих интер-
валах. Требуется найти длительность Д/| первого интервала работы ДУ. Используя
соотношения (3.5.17) и (3.5.18), можно записать уравнение относительно искомой
величины Д/i
W
1
7, In-----------+ /21п
1-------1-ДА 1--------7------2----г--Д/, g"
7 2 \ 1V1 1 j	<5 0
I !\-g« J
Положение корня Д/i локализуется шаговым методом (шаг равен 1 с), а затем для
вычисления корня может применяться метод «золотого сечения».
Приближённая задача коррекции. В этой задаче результат работы ДУ моделиру-
ется мгновенным изменением в заданный момент времени tKi вектора скорости КА.
При этом искомый вектор WA. приращения скорости КА должен обеспечить выполне-
ние условия (3.5.16) при замене зависимости £(WA)= £1ад её линейным приближением
av^)Wi+^=^”
(3.5.21)
где матрица производных ) РазмеРн0СТИ Зх3 и трёхмерный вектор ^() параме-
тров траектории КА в картинной плоскости рассчитываются для случая пассивного
(без включения ДУ) полёта КА. Расчёт указанных матрицы и вектора выполняется
292
3.5.
один раз путём численного интегрирования уравнений движения КА с заданными
НУ. Матрица производных вычисляется разностным методом. Система уравнений
(3.5.21) позволяет по конечным формулам вычислить компоненты вектора WA.
3.5.2.	Алгоритмы расчёта параметров манёвра торможения КА
с целью перелёта его на орбиту спутника небесного тела
Перевод КА с подлётной гиперболы относительно притягивающего небесного
тела на орбиту искусственного спутника этого тела осуществляется путём проведе-
ния манёвра торможения. Не нарушая общности, в настоящем разделе рассматри-
вается решение задачи расчёта баллистических параметров для реализации манёвра
торможения КА у Луны с целью перевода его с перелётной траектории от Земли на
орбиту искусственного спутника Луны (ИСЛ).
Манёвр торможения КА (торможение КА) реализуется путём одного включения
ДУ в некоторый момент времени /ди.
Включение ДУ на торможение происходит в районе перицентра подлётной
(к Луне) гиперболы, который при пассивном (без включения ДУ) полёте по подлёт-
ной траектории достигается в некоторый момент времени /Ртт.
В результате маневрирования КА должен осуществлять полёт по эллиптической
ОИСЛ с заданным периодом Т и расстоянием в периселении не ниже заданной
величины гл ,
ПП11П’
г„ .	(3.5.22)
71—	Л1П1П	v	7
Текущая траектория полёта КА в сфере действия Луны задаётся шестимерным
вектором (X(),^o,zo, Kv0, Ко, Ko)=(ro,Vo) кинематических параметров движения КА
(x(r),j^(/),z(/),Kv(/),Kl.(/),Kz(0)=(r(0^(z)) в некоторый момент времени t=to. Векторы г(/)
и ¥(/) являются векторами положения и скорости КА в момент времени t в абсолют-
ной селеноцентрической СК MJ2000, оси которой направлены по одноименным осям
СК J2000. Указанные векторы рассчитываются с учётом центральных гравитацион-
ных сил Солнца, Земли и Луны, действующих на КА, и силы, обусловленной нецен-
тральностью поля тяготения Луны.
Здесь и далее при рассмотрении манёвра торможения учитывается эволюция орби-
ты ИСЛ (ОИСЛ) из-за нецентральное™ поля тяготения Луны. Под периодом орбиты
понимается интервал времени между двумя соседними моментами времени «прохож-
дения» КА перицентра ОИСЛ, первый из которых наступает после момента времени
/дк завершения работы ДУ в манёвре торможения и является ближайшим к нему.
Заданное значение параметра Т целевой окололунной орбиты обозначается Дад.
Манёвр торможения рассматривается с учётом ограничений на положение в про-
странстве тяги ДУ (единичного вектора ед тяги) на интервале [/дн,Ск] её непрерывной
работы:
А) вектор тяги ДУ параллелен плоскости П оскулирующей
(на момент времени /дп) орбиты КА относительно Луны на всем
интервале времени [/Д|1,/ДК] и в момент времени /дн направлен
против скорости КА.	(условие тяги)
Б) вектор тяги ДУ разворачивается на заданном интервале (3.5.23)
[4ii,4k] с фиксированной угловой скоростью сос относительно
вектора кинетического момента указанной орбиты.
В) [/е1.Лк]с[С,,Лк]-
293
3.5.
Следует заметить, что манёвр торможения может исполняться без разворота век-
тора тяги ДУ (без склонения). В этом случае полагается сос=0. При указанных огра-
ничениях (3.5.22) КА в результате исполнения манёвра торможения КА переводится
на ОИСЛ практически без изменения плоскости траектории полёта КА относительно
Луны.
Манёвр торможения выполняется с помощью ДУ, для которой характер функ-
циональной зависимости тяги Рл и удельного импульса /д от времени т (отсчи-
тываемого от момента времени /Л1| её включения), аналогичен такой зависимости
для ДУ, применяемой при коррекции траектории перелёта КА от Земли к Луне.
При этом следует подчеркнуть, что в отличие от коррекции траектории КА рас-
чётное приращение ИА характеристической скорости торможения заведомо обе-
спечивает выход ДУ на его рабочий режим. Значение величины ИА зависит от
момента времени /ди включения ДУ и, следовательно, можно найти значение
/дН=/*Д11, при котором ИА принимает минимальное значение ИА .
Поиск параметров торможения выполняется при заданном значении массы КА
MAtl в момент времени /дн. Решается задача торможения (задача Т) в нижеследующей
постановке.
Задача Т
Задано:
tQ, г0, Vo - начальные условия (НУ) движения КА в сфере действия Луны в СК
MJ2000;
Мо - начальная (перед торможением) масса КА, МЛ1=М(};
Тыд - период целевой ОИСЛ;
rjtmin “ минимальное допустимое расстояние КА в перицентре ОИСЛ после
торможения;
Д/К1, А/|1||Д - интервалы времени «выхода» ДУ на рабочий режим и отработки им-
пульса последействия;
(Рн,/ц), (РоЛ), (РкЛ) - последовательность пар величин (тяга, удельный импульс),
каждая из которых относится к конкретному участку непрерывной работы ДУ
(«выход» ДУ на рабочий режим, рабочий режим работы ДУ и отработка импульса
последействия);
сос - скорость склонения тяги при реализации манёвра;
Д/С11 - интервал времени от включения ДУ до начала склонения тяги (т.е. до момен-
та, когда вектор тяги меняет своё направление), A/CII=/CII-/4H;
Д/ск - интервал времени от конца склонения тяги до конца работы ДУ, Д/С1 <=/дк-С<-
Получить:
-	оптимальный момент времени включения ДУ /*Д|„ ПРИ котором период целе-
вой ОИСЛ достигает значения Тыд за счёт оптимального (минимального) приращения
характеристической скорости ИАт1П при выполнении условия;
ИА , ед - оптимальное приращение характеристической скорости и единичный
вектор направления тяги в момент времени /Д|1 (см. выше), а также получить на мо-
мент времени завершения работы ДУ при манёвре торможения значения величин
/дк, г(/дк), У(/дк) - НУ движения КА в СК MJ2000,
MA=M(tA^ - масса КА,
-	расстояние перицентра оскулирующей на момент времени /дк. окололунной
орбиты после торможения.
294
3.5.
Решение задачи торможения. Учитывая, что целью манёвра торможения являет-
ся переход на ОИСЛ заданного периода Т{ад первого витка после манёвра, и, принимая
во внимание, что в течение одного оборота спутника его период мало отличается от
периода оскулирующей орбиты, при решении задачи торможения в качестве периода
первого витка рассматривается период оскулирующей в момент /дк орбиты ИСЛ.
Поиск решения задачи торможения реализуется путём перебора значений момен-
тов времени включения ДУ /дн на некотором интервале [/Д|||,Л1112] с некоторым неболь-
шим шагом ht:w.
Для каждого фиксированного момента времени /Д,1Ь путём последовательного
(по времени) перебора с небольшим шагом htK(- моментов времени tKr завершения
допустимой (по условию (3.5.23)) работы ДУ, находится допустимый (по условию
(3.5.22)) искомый момент времени завершения работы ДУ, при котором КА выводит-
ся на ОИСЛ с периодом наиболее близким к заданному периоду Т{ад.
Предварительные расчёты показывают, что в штатном варианте полёта КА «Лу-
на-Глоб» поиск баллистических параметров рассматриваемого манёвра торможения
допустимо проводить при следующих значениях параметров: [/дн,Ск]=[/Рт1П- 900 с,
/р + 900 с],/7/и=5 с,/7/1К=2 с.
3.5.3.	Эффективный алгоритм формирования траектории полёта
в окрестности круговой орбиты около небесного тела
В большинстве случаев современный космический аппарат выводится (перево-
дится) на близкую к круговой орбиту искусственного спутника небесного тела ша-
ровидной формы. При формировании орбит указанных КА требуется с помощью
коррекций траекторий полёта получить не только заданные их геометрические харак-
теристики, но и обеспечить заданное так называемое фазирование (положение КА на
орбите в некоторый момент времени /).
В настоящем разделе приводятся математическая постановка баллистических
задач целевой коррекции траектории движения КА в предположении двукратного
включения бортовой двигательной установки. Эти параметры необходимы для реа-
лизации перевода КА на заданную орбиту (без фазирования и с фазированием).
Прежде чем сформулировать задачи коррекции орбиты искусственного спутни-
ка небесного тела (ОИСНТ), введем следующие обозначения и дадим некоторые
пояснения.
Обозначения и пояснения. Оборотам (виткам) спутника небесного тела (НТ)
присваиваются порядковые номера. Номер витка спутника увеличивается на едини-
цу в момент времени «прохождения» им восходящего узла в некоторой прямоуголь-
ной правой системе координат с центром в центре масс НТ, которая в дальнейшем
называется ST. Каждая ось этой СК сохраняет своё направление в инерциальном
пространстве.
Не нарушая общности, будем считать, что:
- в начале Ан оборота задаются начальные условия движения КА в СК ST: /|1у, г||у,
V
т ну,
-	А, - номер витка коррекции, от начала которого отсчитываются аргумент широ-
ты и, точки возможного z-го включения ДУ на коррекцию, z=l ,2, при этом допу-
скается £/,<();
295
3.5.
-	Jj=[ii'h и"] - отрезок аргументов широты точек орбиты, в которых допускается
z-e включение ДУ на коррекцию, z= 1,2;
-	М - номер оборота, на котором задаются параметры целевой (после реализации
коррекции) орбиты.
Параметры целевой орбиты назначаются на некотором витке (с номером АД, ис-
ходя из условий реализации программы дальнейшего (после исполнения коррекции)
полёта КА. Например, если НТ - Луна и необходимо сформировать так называемую
предпосадочную орбиту КА, с которой он должен выполнить манёвр посадки на
поверхность Луны вблизи заданной точки, то, учитывая малую скорость вращения
Луны вокруг своей оси, назначаемая точка посадки на некоторых витках практически
окажется в плоскости орбиты КА. Один из таких витков (с номером Ад) выбирается
в качестве витка, на котором задаются параметры целевой орбиты. Небольшим из-
менением периода орбиты полёта КА (на витках, предшествующих Ад-му витку) без
изменения плоскости текущей орбиты точку посадки на Луну можно «ввести» в пло-
скость полёта КА на Ад-м витке.
Величины А„ и, и и" выбираются из условий обеспечения видимости КА, работы
бортовой аппаратуры, видимости КА с наземных пунктов наблюдения и других тех-
нических и организационных требований к полёту КА при реализации коррекции его
движения.
С целью обеспечения безопасности полёта следует учитывать то, что высота полё-
та КА над поверхностью НТ не должна быть меньше допустимого значения /?д.
С учётом изложенного в качестве параметров целевой орбиты в начала Ад-го
витка рассматриваются tk - момент времени прохождения спутником начала витка;
гА, Vk - модули радиус-вектора и вектора скорости спутника в момент времени tk,
0д - угол между радиус-вектором и вектором скорости спутника в момент времени tk.
Единичный вектор ед/ направления тяги ДУ в СК ST при z-м включении ДУ на
коррекцию определяется углом а, между вектором трансверсальной скорости КА и
вектором тяги:
ед/= r-sina/+([r, xV^xr^cosa,.	(3.5.24)
Здесь г,, V, - векторы положения и скорости КА в СК ST в момент времени t,wl
включения ДУ.
Заданные значения величин tk, rk, Vk, 0д, которые следует получить в результате
исполнения расчётной коррекции ОИСНТ, в дальнейшем обозначаются /{ад, г{ад, И{ал,
0);1Д соответственно.
При проведении коррекции ОИСНТ затраты топлива на её реализацию не должны
превосходить заданных допустимых затрат. Другими словами, если W\ и ИЛ - прира-
щения характеристической скорости при первом и втором включениях ДУ, то величи-
на +ИЛ, пропорциональная затратам топлива на коррекцию, не должна превос-
ходить заданного допустимого значения
Теперь можно дать формулировку задач коррекции, которые необходимо уметь ре-
шать при формировании в ходе полёта КА орбиты относительно ЦМ небесного тела.
Баллистические задачи расчёта параметров коррекций движения КА по ОИСНТ.
Рассматривается несколько задач коррекции ОИСНТ. Для каждой из задач предпола-
гаются заданными:
Ан - виток, в первой точке которого задаются начальные условия (НУ) движения
КА по ОИСНТ до коррекции;
296
3.5.
ZIly, rIiy, Vlly - начальные условия в СК ST;
Mq - начальная (перед первым включением ДУ) масса КА,
(PIIZ,/I1Z), (PO/,/oz), (Л/Л/) - последовательность пар величин (тяга, удельный импульс)
для /-го (Z=l ,2) включения ДУ, каждая из которых относится к конкретному участку
непрерывной работы ДУ («выход» ДУ на рабочий режим, рабочий режим работы ДУ
и отработка импульса последействия).
При решении каждой рассматриваемой задачи коррекции требуется получить па-
раметры коррекции орбиты	/-1,2), а также получить соответствующие им
значения величин:
-	/дк-1, г(/ДК1), V(/ lK|), M(t u<i) - НУ движения КА в СК ST и масса КА после окончания
работы ДУ при первом его включении;
-	/дк2, г(/дк2), У(/дк2), М(/дк2) - НУ движения в СК ST и масса КА после окончания
работы ДУ при втором его включении.
С учётом этих обстоятельств краткие формулировки трёх представляющих прак-
тический интерес задач коррекции ОИСНТ имеют следующий вид.
Задача К2О1
Определить такие (tAlll,Whe:ll, z= 1,2), что
PF—>min	(3.5.25)
при условиях:
u,eJ,, (/=1,2),	(3.5.26)
п=г{ад, кА=к,ад,еА=е,ад.
Здесь и далее запись F—>min заменяет фразу «функционал принимает минималь-
ное значение».
Задача К2О2
Определить такие (ГД||/,	/=1,2), что
W—>min,
при условиях:
u,eJ„ (/=1,2),
Л Лад, ^к /Лад, Кд Кзад, Од 9шд,
/7,>//д.	(3.5.27)
Здесь и далее h\ - высота полёта КА между включениями ДУ.
Задача К2ОЗ
Определить такие (/Д11/, ^,ед/, /=1,2), что
|Л-ЛадНтш,	(3.5.28)
при условиях:
u,eJh (/=1,2),
Гк=г^	9д=91ад,
h\>hA,
W<Wd.	(3.5.29)
Если задача К203 решается неоднозначно, то среди решений выбирается такое,
для которого W—>min.
297
3.5.
Решение баллистических задач коррекции движения КА по ОИСНТ. Методо-
логически решение каждой из трёх рассматриваемых задач представляет собой ите-
рационный процесс, который по структуре близок к процессу решения задач коррек-
ции, представленному в разделе 3.5.1.
Очередное/-е приближение формируется путём решения приближённой задачи кор-
рекции. В этой задаче движение КА предполагается невозмущённым и описывается ли-
нейным приближением к движению по круговой орбите относительно ЦМ НТ. Резуль-
тат работы ДУ моделируется мгновенным изменением вектора скорости (импульсом).
По результатам (/<'?, W}1} а;(/), / = 1,2) решения приближённой задачи коррекции
на у-й итерации путём численного интегрирования дифференциальных уравнений
движения КА с учётом соотношения (3.5.24) и «точного» моделирования работы ДУ
определяются параметры tk\ гк\ У^\ 0^. Если эти параметры не удовлетворяют тер-
минальным условиям (условиям заданным в виде равенств) задачи с требуемой точ-
ностью, то для следующей (/+1)-й итерации, с целью уменьшения рассогласования
между приближенной и «точной» задачами, формируются новые исходные данные
4»д+ )’ гзад ^зад+ )’ ^зад ° Для приближённой задачи. Для первой итерации полагается
С *зац > 4д = ^зад > Гзад Гзад > С’ = 0зац’
Алгоритм решения приближенной задачи разбивается на две процедуры:
-	получение решения задачи при фиксированных значениях u}e ibEj2\
-	поиск (путём перебора щ и i/2) лучших решений в смысле минимизации функци-
онала задачи.
Алгоритм обеспечивает выполнение терминальных условий с заданной точно-
стью. За минимизацию функционала и выполнение наложенных ограничений «от-
ветственной» является приближённая задача коррекции.
Приближенные формулы движения КА по ОИСНТ. Орбитальное движение КА
происходит в окрестности кругового невозмущённого движения некоторой матери-
альной точки О. Параметры гипотетической орбиты точки О (опорной орбиты) вы-
бираются следующим образом. Радиус гкр опорной орбиты (00) полагается равным
значению большой полуоси орбиты спутника с параметрами г=г}ад,
„ _ ^зад
(3.5.30)
kP
ц - гравитационный параметр НТ.
Значения долготы восходящего узла О.о и наклонения io 00 в СК ST полагаются
равными значениям соответствующих элементов оскулирующей (на момент време-
ни /11у) орбиты спутника.
Положение точки О в текущий момент времени t определяется углом у:
где соА/? - угловая скорость движения по 00, <як =
Пусть А(\/) = (Аг(\/), АК (у), АК (у), Аг(\/))Т - вектор отклонения некоторых па-
раметров движения КА от движения точки О в текущий момент времени. Компо-
ненты этого вектора можно рассчитать по формулам Дг=(г-гб;,г°)~г-гА/„ AK,=(V,n0)-
~KA/;=(V,[rxV]°xr())-Ц/;, AK,.=(V,r°), А/ = —---— , где г°, п()-единичные векторы,
И[гх V]° х —
298
3.5.
направленные по радиус-вектору и по трансверсали 00; iy> - радиус-вектор точки 0\
Vkp - линейная скорость точки О, Vkp=
тором уклонений.
В дальнейшем вектор А называется век-
Начальным условиям /11у, г||у, Vliy движения КА соответствует \|/=0 и вектор
уклонений
А„у=(г1|у- Га;„(У„у,г“у), (Vlly,[r„yxVlly]°xr"y) -ИА/„О)Т.
(3.5.32)
В приближённом рассмотрении задач коррекции ОИСНТ предполагается, что
движение КА относительно ЦМ НТ происходит по невозмущённой орбите. Тогда
в линейном приближении на пассивном участке полёта КА для произвольных углов
\|/' и у" справедливо (Эльясберг П.Е., 1965; Гаврилов В.П., 1975) соотношение
А(у>А(у>'')А(\|/'),	(3.5.33)
где А - так называемая матрица влияния (здесь для краткости введено обозначение
Ay=\|/"-v'),
	2 - cos Д\|/	sin Д\|/	2(1 -cosA\|/)	0	
	co^sinAv	cos Д\|/	2 sin Д\|/	0	(3.5.34)
	-co^(l-cosA\|/)	— sin Д\|/	2 cos Д\|/ -1	0	
	ЗД\|/ — 2 sin Д\|/	2(1 - cos Ду)	3Д\|/ - 2 sin Д\|/	1	
	1 к	Ч-Д,		)	
Местоположение на орбите точек включения ДУ задается углами уi и \|/2, и, следо-
вательно, векторы уклонения Az/ =(Arni,AAVnllh на моменты времени вклю-
чения ДУ (при пассивном полёте) при известном векторе уклонения Ану вычисляются
по формулам
А^ ,= A(O,\|/Z)A „у.	(3.5.35)
Приближенное рассмотрение задач коррекции проводится в импульсной по-
становке, т.е. при каждом включении ДУ изменение вектора скорости происходит
мгновенно.
Обозначим W/^O,^,.,,	0), где Wri и W„, - проекции вектора изменения скоро-
сти движения КА (при z-м включении ДУ) соответственно на направления г°, п°. При
известных \|/„ Wz, A/Zi вектор уклонения Д/л после первого включения ДУ определя-
ется формулой
А^ЧлМ	(3.5.36)
а вектор уклонения после второго включения ДУ формулой
\П2= A(^i,^2)A;/1+W;.	(3.5.37)
Компоненты векторов А/л и А//2 обозначаются А^ =(ДгД.,А^//,А^*///,А//*//).
Подставляя в (3.5.36) выражение для AZZ1 из (3.5.35) и принимая во внимание, что
А(\|/|,\|/2)А(0,\|/|)=А(0,\|/2), соотношение (3.5.37) можно записать следующим образом:
А/> А( у,, \|/2)	W>A//2.	(3.5.38)
Если ввести обозначения W*T=(РКГ|,W72,JK„2), у,i> то> учитывая (3.5.33),
(3.5.38), получаем
А//2= A.W*+A//2,	(3.5.39)
299
3.5.
где
	sin\|/12	2(1 — cos \|/12)	0	0
А, =	cos\|/l2	2sin \|/12	1	0
	- sin \|/12	2cos\|/,2 -1	0	1
	2(1 — cos \|/]2)	3\|/12 - 4sin\|/12	0	0
(3.5.40)
(3.5.41)
В дальнейшем вектор W* называется вектором коррекции.
Зная Д//2, нетрудно вычислить вектор уклонения ЛА на начало М-го витка (с учётом
двух включений ДУ):
Ла=Л(У2,Уа)А//2,
где \|/а-=27г(М-М).
Для компонентов вектора ЛА вводятся обозначения: ЛА =(ДгА,ДИ,.А.,ДИ„А.,Д/А) .
Таким образом, при заданных параметрах /|1у, rliy, VHy начальной орбиты и величи-
нах riad, V)a(h при известном векторе коррекции W* и углах \|/i и \|/2, формулы (3.5.30),
(3.5.31), (3.5.32), (3.5.35), (3.5.39), (3.5.41) позволяют вычислить вектор уклонения
в начале М-го витка.
Приближенная формула для высоты перицентра над поверхностью НТ. Вы-
соту hn перицентра орбиты можно выразить через компоненты вектора уклонений.
Известно (Элъясберг П.Е., 1965), что в линейном приближении большая полуось а
орбиты связана с компонентами вектора уклонений соотношением
(	ДИ,Л
а=гкр+2 Дг+ —— ,
I	^кр
(3.5.42)
а эксцентриситет е орбиты - формулой
1 ,
е=---J Дг+2——
гкр	^кр
^кр
2
+
I ^кр
(3.5.43)
С той же степенью приближения перигейное расстояние определяется формулой:
г=^(1-е).	(3.5.44)
Предполагая, что поверхность НТ является сферой радиуса R/n с центром в ЦМ
этого небесного тела, имеем hn=rn-RM и, следовательно, учитывая соотношения
(3.5.42) - (3.5.44), с точностью до членов первого порядка малости относительно ком-
понентов вектора уклонений имеем:
дг
h^r,\Vr,\Vn) = rkp-RM+2 Дг + —
Дг + 2^
A7r
\2
(3.5.45)
2
Приближенные задачи коррекции ОИСНТ. В этом подразделе формулируются
приближённые задачи коррекции при фиксированных углах \|/| и \|/2, характеризую-
щих местоположение точек приложения импульсов коррекции. При этом широко ис-
пользуются приведённые в предыдущих разделах соотношения.
Вводятся в рассмотрение следующие параметры:
300
3.5.
Wi - модуль вектора изменения скорости движения КА при i-м включении ДУ,
7=1,2;
W =И/1+И/2 - суммарный импульс при двух включениях ДУ;
/?* - высота перицентра орбиты после первого включения ДУ;
8/д - отличие момента времени прохождения КА начала М-го витка, после прове-
дения коррекции, от заданного момента времени /{ад.
В приближенной задаче вектор изменения скорости КА, при каждом включении
ДУ, является параллельным плоскости 00 и поэтому	(И7*)2+(W*,)2.
Точка О, движущаяся по 00, проходит начало Аа-го оборота в момент времени
о МЛ
Л = Лу + 77~- За счёт отклонения начальной орбиты КА от 00 и двух включений ДУ
у ^кР
при коррекции КА проходит начало этого оборота в момент времени
(3.5.46)
Тем самым 5//v определяется соотношением
(3.5.47)
Вводится в рассмотрение вектор уклонений А. заданной конечной орбиты в начале
Л^-го оборота. Обозначим компоненты этого вектора: А =(Д/-„ ДИ,.„ ДИШ,ДЛ)Т. Задан-
ная конечная орбита в начале Nrro оборота спутника задаётся параметрами гзад, И1ал,
0{;и и /ки. Поэтому первые три компоненты вектора А; определяются по формулам:
AK.,= r,;ucos0,a.„ AK,(=r„usin0,a.-rit/„ А/,/?.
С учётом изложенного выше материала решение задач К201, К2О2 и К2ОЗ сво-
дится к решению соответствующих приближённых задач 1,2 и 3 при фиксированных
углах \|/| и \|/2. При этом полагается, что между углами \|/, (7=1,2) и аргументами ши-
роты и, приложения импульсов коррекции имеют место зависимости \|//=2л(А,—Aw)+wz.
Задача 1. Определить такой вектор коррекции W*, что W*-^min при условиях:
ДГ;=Д/-„ ДКч=АГ,.„ A^=AK„,	(3.5.48)
Задача 2. Определить такой вектор коррекции W", для которого выполняется
условие
А>А,	(3.5.49)
Если для вектора коррекции, удовлетворяющего условию (3.5.49), не выполняется
соотношение h*n>hp, то считается, что задача 2 не имеет решения.
Задача 3. Определить такой вектор коррекции W*, что
|5/AHmin	(3.5.50)
при ограничениях (3.5.48):
Лп=Дг„ А И>Д Г,„ Д Г>Д Г,„,	(3.5.51)
W*<WA.
Решение приближенных задач коррекции ОИСНТ. Решение задач 1,2 и 3 может
быть сведено {Гаврилов В.17. и др., 1975) к расчётам по конечным соотношениям.
Алгоритм решения задачи 1.
В случае пассивного полёта вектору уклонений А, при \|/=\|/А соответствуют векто-
ры уклонений А;=(Д/^, ДИ,.,,-, ДИш/,Д/;/)т при \|/=\|/z, 7=1,2, определяемые формулой
Д;,=А(\|/а,\|/,)Д,.	(3.5.52)
301
3.5.
Из вида матрицы А (3.5.34) следует, что первые три компоненты вектора А;, не за-
висят от Ас Поэтому условия (3.5.48) задачи 1 можно заменить эквивалентными
условиями:
Дг^2=Дг;2, Д^„,=ДГ„2, ДС2=ДК„2.	(3.5.53)
Вводится в рассмотрение вектор 6, отклонения параметров заданной конечной ор-
биты от соответствующих параметров начальной орбиты в точке /-го (/=1,2) включе-
ния ДУ. Он определяется формулой
б=А,М//Н^ЖЖ,,адт.	(3.5.54)
Тогда, с учётом соотношений (3.5.39), (3.5.40), условия (3.5.53) (а следовательно,
и условия (3.5.48)) можно записать следующим образом:
A2W=(waA2,5K.2,5K/2) т,	(3.5.55)
где	
siny12 2(l-cosy12) 0 (Г	
А2 = cosy12	2siny12	1 0	
^-siny12 2cosy12-l 0	
Система линейных уравнений (3.5.55) относительно компонентов вектора W* по-
зволяет в случае cosyi#l выразить его три компоненты (^ь	H^2) через четвёр-
тую компоненту х=И^2,
И^а+х, W*n\=b-cx, W*n2=d+cx,	(3.5.56)
где
sim|/]2
а= ------------со^5г2-5Кг2,
1- COS\|/i2
cosu/p	simi/]2
b=-----------— co^r2+--------------5 K-2,
2( 1- cosy 12)	2(l-cosyi2)
sim|/]2
c=-------------,
2(1 -cosy 12)
(3.5.57)
2-cosyi2
d= —----------
2(l-cosyi2)
sinyi2
2(l-cosy12)
bVr2+bVn2.
В случае cos\|/|2=l рекомендуется прервать решение приближенных задач и пола-
гать, что для рассматриваемой пары углов у, и у2 приближённые задачи коррекции
с двумя включениями ДУ не имеют решения и следует перейти к другой близкой паре
этих углов.
Суммарный импульс W* при двух включениях ДУ является функцией величины х:
1Г(х)=^(а+хУ+(Ь-сх)2 + x2+(d+cx)2.	(3.5.58)
Из уравнения
dW*
~Г=0
dx
(3.5.59)
определяется аргумент х=х{°, при котором функция И7* принимает минимальное зна-
чение
302
3.5.
После несложных, но трудоёмких преобразований уравнение (3.5.36) записывает-
ся в виде квадратного уравнения
SoX2+2S\x+S2=Q,	(3.5.60)
где 50=[(^+^)W-](l+c2), S}=(bc-a)cP-^cd(b+ac)2, 32=[(Ь^ас)2-Ь2-а2]сГ-.
—5*i± S1 —SoS2
Из двух корней уравнения (3.5.60) xh2=------------------в качестве искомого х(1)
So
выбирается тот корень, которому соответствует наименьшее значение функции И7*.
Следует заметить, что при вычислении корней уравнения (3.5.60) неприемле-
мым является тот случай, когда имеет место равенство (Ь+ас)2-сР=0. В этом случае
рекомендации по дальнейшему решению приближенных задач аналогичны случаю
COS\|/|2=1.
Алгоритм решения задачи 2. Условие (3.5.49) равенства векторов уклонений ор-
биты КА после коррекции и заданной конечной орбиты в начале М-го оборота можно
заменить эквивалентным условием равенства векторов уклонений указанных орбит в
точке второго включения ДУ (\|/=\|/2):
А//2=Ау2,	(3.5.61)
где А;2 определяется по формуле (3.5.52).
С учетом соотношений (3.5.39), (3.5.54) условие (3.5.61) записывается в следую-
щем виде:
A,W=62.	(3.5.62)
Условия (3.5.62) и, следовательно, условия (3.5.49) однозначно определяют вектор
коррекции: W(2)=Ai’ б2.
Высота /7*=/7л(Дг/*/1,ДК*//1,ДК1!7//|) рассчитывается по формуле (3.5.45), для кото-
рой первые три компоненты вектора уклонений при W*=W(2) находятся по формуле
(3.5.36).
Алгоритм решения задачи 3. Согласно анализу задачи 1 терминальные усло-
вия (3.5.51) будут выполнены, если компоненты вектора W* удовлетворяют условию
(3.5.56) при любом х.
При заданном х можно вычислить Л*, см. (3.5.56), (3.5.36), (3.5.47), и W\ см.
(3.5.58). Если Хц/- множество значений х, при которых W*<WA, аХ/} - множество зна-
чений х, при которых h*n>hA, то задача 3 имеет решение в том и только в том случае,
если пересечение Xwh множеств Xw и Xh не пусто, т.е. при условии
Х№1=Х№^Х„*0.	(3.5.63)
Если сумма И710 модулей импульсов коррекции, доставляющих решение задачи 1,
не превосходит допустимого значения (И710^^), то множество - непусто. В про-
тивном случае, множество - пусто и задача 3 не имеет решения.
Пусть Х/г - непустое множество. Можно показать, что W*(x) - выпуклая функция
и, следовательно, множество Х1У- отрезок вещественной оси:
А'„=[хГ',х2"].	(3.5.64)
Границы отрезка ХП/являются корнями уравнения W*(x)=WA.
Принимая во внимание соотношение (3.5.58), это уравнение записывается в сле-
дующем виде:
303
3.5.
у](а + х)2 + (Z> - сх)2 + д/х2 + (б/ + сх)2 = Wa-	(3.5.65)
После элементарных преобразований, уравнение (3.5.65) приводится к уравнению
второго порядка:
^a-bc-cd)2-W2( 1 +с2)]х2+4[(я2+6 W)(<7-^-c^-^(^c+c^]x+^-
-2 И:2 (€72+/>2+^)+(€72+/>2-б/2)2=О.
Рассмотрим множество Xh. Очевидно, для выполнения условия h>hд необходимо,
чтобы высота И, КА в точке z-ro (/=1,2) включения ДУ удовлетворяла условию
/7>ЛД.	(3.5.66)
Высоты И\ и Л2 определяются формулами:
h 1 —га, —R /V/+Аг //„
h2=rkp-RM+\ri2.
Пусть условия (3.5.66) выполняются. Можно показать, что h*n(x) - вогнутая функ-
ция и, следовательно, множество А), - отрезок вещественной оси:
X,=[xi>2]	(3.5.67)
Границы отрезка А), являются корнями уравнения h^(x')=hl'. С учетом соотношений
(3.5.36), (3.5.45), (3.5.56), это уравнение преобразуется к виду
х2+2 [(с । -Ь1 d\ )+b । (а |-(о^,Аг)]х+с ? +d]-(a ।—соА/, Ar)2=0,
где
(71=2(о)а/Дг//|+АИ/,//|+/?), b]=2c, d\=($kpkrii\+2&Vnii\+2b, Ci=a+AVr//i,
а Агл - первая компонента вектора уклонений в точках орбиты, для которых высота
равна /?д. Значение Агд определяется по формуле /\r=hA+RM~rkp.
Если отрезки (3.5.64) и (3.5.67) имеют общие точки, то выполняется условие
(3.5.63) и задача 3 имеет решение. В противном случае эта задача не имеет решения.
Пусть условие (3.5.63) выполняется. Общую часть отрезков (3.5.64) и (3.5.67)
обозначим
Xwh=[xbx^	(3.5.68)
Для решения задачи 3 необходимо минимизировать функционал (3.5.50) на мно-
жестве векторов коррекции W*, соответствующих точкам х, которые принадлежат
отрезку (3.5.68). Очевидно, что при векторе коррекции, удовлетворяющем условию
AZ>AZ„	(3.5.69)
функционал задачи 3 достигает своего безусловного минимума, равного нулю. Сле-
довательно, если существует такой вектор коррекции W*, для которого выполняется
условие (3.5.69) и соответствующая ему точка х принадлежит отрезку Xwh, то этот
вектор - решение задачи 3.
Условие (3.5.69) и терминальные условия (3.5.51) однозначно определяют вектор
коррекции, который находится путём решения системы линейных уравнений (3.5.62).
Обозначим этот вектор W**.
Пусть х=х* соответствует вектору коррекции W**. Это значение х может быть най-
дено по одной из формул (3.5.56), в которых полагается W*=W**. Тогда, если x*gXwh,
то 8/Л=0 и вектор коррекции W** является решением задачи 3, т.е. W(3)=W**.
304
3.5.
Рассмотрим случай, когда х*еХп. Из соотношений (3.5.39), (3.5.41), (3.5.46),
(3.5.47) следует, что величина б£ линейно зависит от х. Поэтому точка х(3), соответ-
ствующая вектору W(3), решающему задачу 3, должна совпадать с одной из точек х, и
х2, ближайшей к точке х*. Таким образом,
(3)_ U при X <х}
х ~ ] *
(х2 при х <х2
Полагая х=х(3), по формулам (3.5.56) находится искомый вектор коррекции
W*= W(3). Для этого вектора по формулам (3.5.39), (3.5.41), (3.5.47) определяется ми-
нимальное значение функционала задачи 3.
Определение приближенных параметров коррекции ОИСНТ. Путём конечного
перебора углов щ и w2(w/GJ,), используя однозначную взаимозависимость этих углов
с соответствующими углами у, и \|/2, решение каждой из представленных ранее задач
К2О£ (£=1,2,3) сводится к решению рассмотренной задачи £.
Пусть при решении задачи К2О£, в результате указанного выше перебора, выбра-
ны углы щ и иъ которым соответствуют вектор коррекции W(/) и W,(L) - i-й импульс
коррекции. Тогда полагается W=W,(L\ а углы а„ характеризующие направление тяги
ДУ, находятся из соотношений sin а,
",ч; cosa =—7-г, где W\L\ Wy’ - компоненты
вектора WU). Значение момента z-ro времени включения ДУ определяется формулой
^//Л = ^М+—Ч где	- момент времени прохождения КА начала М-го оборота при
®кР
движении по начальной орбите, tN2 - момент времени прохождения КА начала М-го
оборота при движении по орбите, полученной после первого включения ДУ. Момен-
ты времени /;Vi и tN2 получаются путём интегрирования дифференциальных уравне-
ний, описывающих движение КА по ОИСНТ.
305
3.6.
НЕЯ ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ
ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ КА
3.6.1. Расчёт условий освещённости КА
В ходе полёта КА, как правило, необходимо рассчитывать степень освещённости
аппарата Солнцем в те или иные моменты времени. Степень К освещённости КА
в фиксированный момент времени характеризуется отношением площади видимой
с КА части диска Солнца к площади всего этого диска в предположении отсутствия
затеняющего Солнце небесного тела. Расчёт значения величины К выполняется при
допущении, что каждое тело (Солнце и затеняющее небесное тело) имеет форму
шара определённого радиуса. Обычно, даже при этом допущении, расчёт степени
освещённости КА Солнцем производится приближённо, в предположении, что КА
находится от Солнца намного дальше (в «бесконечности»), чем от небесного тела.
В настоящем подразделе предлагается алгоритм расчёта степени Кт затенения КА от
солнечного света, который свободен от указанного предположения. Этот алгоритм
успешно на протяжении многих лет используется на этапах подготовки и реализа-
ции полёта КА «Спектр-Р» при вычислениях показателя Кт затенения КА Землёй или
Луной (Заславский ГС. и др., 2014; Заславский ГС. и др., 2016; Заславский ГС. и др.,
2017). Заметим, что К=\- Кт.
В дальнейшем задача рассматривается в несколько более общем виде.
В трёхмерном пространстве ведётся наблюдение шара В(} из некоторой точки О.
Помехой для обозрения этого шара из точки О может быть шар В\. Предполагается,
что оба шара являются непрозрачными непересекающимися фигурами и точка О на-
ходится вне этих шаров. Степень видимости шара Во характеризуется показателем,
который определяется как отношение площади видимой части диска шара Д>к гипо-
тетической (при отсутствии шара В\) видимой площади этого диска. Далее подробно
представлен разработанный алгоритм вычисления указанного показателя.
Определения. 1. Прямой односторонний круговой конус (далее - конус) - геоме-
трическое множество лучей, исходящих из точки (вершины конуса) под одним и тем
же острым углом (углом раствора конуса) к определённому направлению (оси кону-
са), исходящему из той же точки.
2.	Секущая плоскость - такая плоскость, которая не проходит через вершину пря-
мого одностороннего кругового конуса и имеет с ним общие точки.
3.	Сечение прямого одностороннего кругового конуса (далее коническое сечение,
или сечение конуса) - линия, принадлежащая и конусу, и секущей плоскости. В рас-
сматриваемом случае сечение конуса может представлять собой плоскую кривую
второго порядка: эллипс, параболу и ветвь гиперболы. Далее из семейства эллипсов
выделяется (удаляется) семейство окружностей, которое рассматривается как само-
стоятельное семейство фигур.
4.	Характеристики сечения конуса - это те величины, которые при заданных по-
ложениях в абсолютном пространстве вершины, направления оси конуса и секущей
его плоскости, а также при заданном значении угла раствора конуса однозначно опре-
деляют размеры конического сечения и его положение в пространстве.
Системы координат. В дальнейшем вводится в рассмотрение прямоугольная пра-
вая СК Oxyz, положение центра (точка О) и осей которой в абсолютном пространстве
определяется положением в этом пространстве конуса и секущей плоскости:
306
3.6.
-	точка О - вершина конуса;
-	ось Оу направлена по оси конуса;
-	ось Oz лежит на прямой, параллельной секущей плоскости и, для определённо-
сти, полагается направленной так, что точка пересечения соответствующей оси
Ох с секущей плоскостью принадлежит положительной части этой оси (в случае,
когда секущая плоскость ортогональна оси конуса, выбор направления оси и Oz
произвольный).
После введения СК Oxyz фиксируется прямоугольная правая СК О'ЗД, начало
которой (точка О') является проекцией вершины конуса (точки О) на секущую пло-
скость. Координатная плоскость О'ф] СК совпадает с секущей плоскостью. Ось <9'т|
направлена по оси Oz. Ось О'^ направлена по направлению от точки О к точке О'.
Указанные оси однозначно определяют направление оси О'^.
Характеристики сечения конуса. В качестве характеристик сечения конуса в за-
висимости от вида (семейства) сечения рассматриваются нижеследующие параметры.
Характеристика сечения в виде окружности - радиус гкр окружности.
Характеристики сечения в виде эллипса:
-	большая полуось а. эллипса, лежащая на оси (9'^,
-	малая полуось эллипса, которая принадлежит прямой, проходящей через его
центр и направленной параллельно оси О'г|,
-	абсцисса центра эллипса в СК О'^г^... (другие две координаты центра эллипса
в СК Овсегда равны нулю).
Характеристики сечения в виде параболы:
-	фокальный параметр рп параболы,
-	абсцисса ^В|1 вершины параболы- в СК (9^г|^ (другие две координаты вершины
параболы в этой СК всегда равны нулю).
Характеристики сечения в виде ветви гиперболы:
-	действительная полуось аг гиперболы,
-	мнимая полуось Ь{ гиперболы,
-	абсцисса ^Ц| центра гиперболы в СК О'^г|^ (другие две координаты центра гипер-
болы в этой СК всегда равны нулю).
Свойства характеристик сечения конуса. Положение секущей плоскости в аб-
солютном пространстве может задаваться к ней ортогональным единичным векто-
ром е„ с началом в вершине конуса (в точке О) и расстоянием гп до рассматриваемой
плоскости.
Пусть р - угол склонения секущей плоскости (далее - угол склонения), который
определяется как угол между вектором е„ и осью конуса,
0<Р<71.	(3.6.1)
Тогда, принимая во внимание вышеизложенное, можно сделать следующее за-
ключение. При любых векторах е„, для которых угол р имеет одну и ту же величину,
и фиксированном значении расстояния г„ вид и характеристики сечений конуса соот-
ветствующими плоскостями совпадают. Другими словами, вид и характеристики се-
чения конуса конкретной плоскостью, задаваемой вектором е„ и величиной гп, можно
найти как вид и характеристики сечения конуса любой плоскостью с углом склонения
Р, удовлетворяющим соотношению (3.6.1), и величиной расстояния гп от вершины
конуса до секущей плоскости.
Таким образом, множество пар величин р и гп (р удовлетворяет соотношению
(3.6.1), а /;,>0) определяет множество сечений конуса. Причём каждой паре, при за-
307
3.6.
данной величине угла а раствора конуса, однозначно соответствует определённый
вид и характеристики сечения конуса.
Простой геометрический анализ взаимного положения прямого одностороннего
кругового конуса с углом раствора а,
а<л/2,	(3.6.2)
и плоскости из множества, определяемого парой (0,/;,), показывает следующее:
-	плоскость и конус пересекаются тогда и только тогда, когда выполняется
неравенство
P-a<7i/2;	(3.6.3)
-	в зависимости от значений углов аир при выполнении условия (3.6.2) в сечении
конуса имеем:
окружность	при 0=0,
эллипс	при р+а<л:/2,
парабола	при 0+а=л/2, V • •	/
гипербола	при 0+а>я/2.
Алгоритм расчёта характеристик сечения конуса плоскостью. Для каждого
вида сечения конуса плоскостью, определяемого соотношениями (3.6.4), рассчитыва-
ются введённые выше характеристики.
Если сечение конуса - окружность, то характеристика сечения рассчитывается
просто:
sin a
ГкР=Гп-----
cos a
(3.6.5)
В случае p>0, когда сечением конуса может быть эллипс или парабола или гипер-
бола, расчёт введённых выше характеристик сечения более сложен. В этом случае
используется СК Oxyz (см. выше), где уравнение конуса записывается в виде
(x2+z2)cos2a=y2sin2a, y>Q.	(3.6.6)
В дальнейшем допустимо рассматривать сечение конуса плоскостью Пс, ортого-
нальной координатной плоскости Оху. При этом плоскость угла 0 совпадает с коор-
динатной плоскостью Оху. Плоскость Пс пересекает плоскость Оху по прямой линии
на которой лежит ось О'^. Координаты точки О' в СК Oxyz
x0 =rn'sinp, w=/vcos0, za=0,	(3.6.7)
а уравнение прямой линии в СК Оху двумерного пространства представляется
уравнением:
x-sinp+y-cosp=r/,.	(3.6.8)
Независимо от вида сечения (эллипс, парабола, гипербола) для удобства описания
расчёта его характеристик вводится понятие вершины сечения. Точки сечения конуса,
принадлежащие прямой (3.6.8), и, следовательно, лежащие на оси (9 называются
вершинами сечения конуса. В каждом из трёх видов сечений имеется, по крайней
мере, одна вершина, обозначаемая В случае, когда сечением конуса являются па-
рабола или гипербола, вершина всего одна. В случае, когда сечением конуса являются
эллипс, имеют место две вершины V\ и V2. При этом абсцисса точки меньше
абсциссы точки V2:
(3.6.9)
308
3.6.
Вершины И|(Х1,^|,0) и И2(х2гу2,0) сечения конуса находятся как точки пересечения
образующих конуса, принадлежащих плоскости Оху с прямой линией (3.6.8). При-
чём рассматриваются только те точки, у которых ординаты имеют положительные
значения, уьу2>0. Прямые, на которых лежат указанные образующие конуса, обозна-
чаются L\ и L2. Прямой L\ принадлежит точка а прямой L2 принадлежит (в случае
наличия) точка У2. Исходя из (3.6.6), уравнения прямых имеют вид:
(прямая Lx)
cos а
sin а
cos а
(прямая Л2).
(3.6.10)
sin а
Следует заметить, что для выбранного нами положения секущей плоскости в про-
странстве ветви сечения конуса, исходящие из вершины «смотрят» по направле-
нию оси О'^.
Соотношения (3.6.8) и (3.6.10) позволяют записать выражения для точек пересече-
ния линии Ц с линиями и Ly.
sin а
X] =----------/
cos(P-a)
sin ci
x2 =----------
COS(P + Cl)
Выражения для координат вершин У} и У2 имеют вид
_ sin(P-oi) _ sin(P + oi)
1 cos(P-oi) 2 cos(P + a)
cos а
Ti =т--------7
cos(p-a)
cos а
Vi =----------
cos(P + а)
(3.6.11)
(3.6.12)
Из соотношений (3.6.3), (3.6.11) и (3.6.12) непосредственно следует, что коорди-
наты вершины У\ беспрепятственно вычисляются по соответствующим формулам
(3.6.11) и (3.6.12), а координаты вершины У2 имеют смысл тогда, когда p+a<7i/2, что
полностью отвечает соотношениям (3.6.4).
Представленные соотношения позволяют для любого вида сечения (эллипс, пара-
бола и гипербола) найти его характеристики.
Сечение - эллипс. Абсцисса центра эллипса в СК равна ^ц.=(^,+^2)/2. Сле-
довательно, если воспользоваться соотношениями (3.6.12), после простых преобразо-
ваний получаем искомую расчётную формулу
_ sinp-cosp
cos(P - а) • cos(P + а)
(3.6.13)
Большая полуось эллипса равна а,=(^2-^|)/2. Подставляя в это выражение соотно-
шения (3.6.12), получаем для неё расчётную формулу:
sin а • cos а	г
а.у =------------------------г.	(3.6.14)
cos(P - а) • cos(P + а)
Чтобы найти формулу для вычисления малой полуоси Ь3 эллипса, воспользуем-
ся уравнением (3.6.6) для конуса и соотношениями (3.6.11). Пусть хц, уц - абсцисса
и ордината центра эллипса в СК Oxyz, xlt=(xi+x2)/2, Уи=(у\^У1)/2. Тогда из соотноше-
ния (3.6.6) следует
309
3.6.
,	/ 2 sin2 a 2
ЫЛ--------2--Xu
V cos a
Воспользовавшись (3.6.11) и (3.6.15), после простых преобразований получаем
искомую расчётную формулу:
sin a
(3.6.15)
(3.6.16)
(3.6.17)
= Гп ' I
д/созф - a) • cos(p + a)
Сечение - парабола. Вершина параболы (точка KJ лежит на оси О'^, и в со-
ответствии с соотношениями (3.6.4) и (3.6.12) искомая абсцисса вершины параболы
вычисляется по формуле
_ 1 ( sinр cosp
2 у cosp sinp
Чтобы найти формулу для вычисления фокального параметра р„, воспользуемся
уравнением параболы (сечения конуса) в координатной плоскости
П2=2ЛО..)-	(3-6.18)
Из этого уравнения непосредственно следует то, что для вычисления параметра
параболы достаточно знать в СК О'^\ координаты хотя бы одной принадлежащей ей
точки G;*,r|*), отличной от вершины параболы. Если такая точка известна, то в соот-
ветствии с (3.6.18) расчётная формула для параметра параболы имеет вид
п:
(3.6.19)
(3.6.20)
(3.6.21)
Р"
В качестве точки (^*,ц*) в СК (2'^т| назначается точка пересечения параболы с ко-
ординатной плоскостью Oyz СК Oxyz. При таком выборе точки имеем: - абсцисса
точки пересечения оси конуса и прямой а ц* совпадает с аппликатой точки пересе-
чения параболы с координатной плоскостью Oyz. Исходя из этого, воспользовавшись
соотношениями (3.6.4), (3.6.6) и (3.6.8), получаем следующие соотношения:
к sinB	1
£>• =--г>‘ = —а Г"'
cosp	Sinp
Соотношения (3.6.19) и (3.6.20) позволяют получить расчётную формулу для па-
раметра параболы в окончательном виде:
cosp
Рп=—
Sinp
Сечение - гипербола. Характеристики рассматриваемого сечения конуса опреде-
ляются координатами трёх различных точек Я/Ц.y\R^j= 1,2,3, в координатной плоско-
сти О'^г|, принадлежащих конусу. В дальнейшем такие точки называются рабочими.
Предлагается в качестве рабочих точек выбрать точки, абсциссы которых удовлет-
воряют условиям
(3.6.22)
где - абсцисса вершины гиперболы (точки KJ; <5^ - фиксированная положитель-
ная величина. Очевидно, что при таком выборе точек в качестве рабочих точка 7?|
совпадает с точкой и, следовательно, Ц/?, =0. Ординаты и точек Я2 и 7?3 по из-
вестным значениям абсцисс (3.6.22) находятся, если воспользоваться соотношениями
(3.6.6), (3.6.8), (3.6.11) и для определённости принять, что эти ординаты имеют поло-
жительные значения.
310
3.6.
Действительно, уравнение (3.6.8) прямой L- в СК Оху позволяет найти в СК Oxyz
единичный вектор ег=(е^,вег,в£.-)т, лежащий на этой прямой и составляющий острый
угол с осью Оу указанной СК:
ee=(-cosp,sinP,0)T.	(3.6.23)
Зная координаты вершины V\ в СК Oxyz (вычисляются с использованием (3.6.11)),
единичный вектор (3.6.23) и значение величины 8£, определяют абсциссу xR и орди-
нату yR. для каждойу-й рабочей точки, j= 1,2,3,
Уи\=У^
xR2=x 1 +8^ • , yR2=y, + 8£ - е4г,
(3.6.24)
x/?3=x1+28^e^, yR2=yi+2&yetv.
И, наконец, с использованием уравнения (3.6.6) для точек конуса определяются
аппликаты zR2 и zR. рабочих точек R2 и 7?3 в СК Oxyz, значения которых согласно опре-
делению СК Осовпадают со значениями соответствующих искомых ординатг|/?2
и ц^. Поэтому расчёт ординат и г|/?3 выполняется (после вычислений по формулам
(3.6.24)) с использованием соотношений
2 _ sin а 2	2	. _
Л Я 2 'Уй. Хку J ^,3-
7 cos а 7
(3.6.25)
Для определения характеристик сечения конуса используется уравнение этого се-
чения, имеющее вид
_]£ = 1.	(3.6.26)
a,2	62
Подставляя последовательно в уравнение (3.6.26) координаты (3.6.24) трёх рабо-
чих точек, получаем систему трёх уравнений для определения искомых трёх харак-
теристик сечения:
(^Я,~^цг)	1
2	1
(3.6.27)
(ц-^.,г) _п^=1
I «,2	*,2
После несложных, но трудоёмких преобразований указанная система и соотноше-
ние (3.6.22) позволяют получить расчётную формулу для характеристики £Ц1 сечения
конуса:
<3-6-28)
4Пя,-2Пл,
И, далее, используя все ту же систему уравнений (3.6.27) и соотношения (3.6.22)
и (3.6.18), получаем расчётные формулы для других двух характеристик рассматри-
ваемого сечения:
а ’Л/?
ь<= •
V8^(2ar+§^)
(3.6.29)
311
3.6.
Расчёт площади области пересечения фигуры, ограниченной коническим
сечением, с кругом
Определения. 1. Фигура 2-го порядка (далее - фигура) - односвязная область
плоскости, границей которой является одна из кривых линий: окружность, эллипс,
парабола и ветвь гиперболы. Такие области (фигуры) называются соответственно
круг, эллипс, парабола и гипербола.
2.	Секущий круг - круг в плоскости фигуры 2-го порядка, центр которого распо-
ложен на оси симметрии этой фигуры.
3.	Пересечение фигуры кругом (далее - пересечение) - общая часть фигуры и се-
кущего круга.
4.	Площадь пересечения фигуры кругом (далее - площадь пересечения) - площадь
общей части фигуры и секущего круга, обозначается S.
5.	Точка пересечения границы фигуры - общая точка границы фигуры и окружно-
сти, являющейся границей секущего круга.
6.	Индикатор пересечения фигуры кругом (далее - индикатор) - целое число /,
качественно (по топологии) характеризующее пересечение фигуры кругом:
/=0 - пересечения нет,
/=1 - пересечение совпадает с секущим кругом,
1=2 - пересечение совпадает с фигурой,
1=3 - имеет место пересечение, которое не совпадает с секущим кругом и с фигу-
рой, причём границы этого круга и фигуры пересекаются только в двух точках,
1=4 - имеет место пересечение, не совпадающее с секущим кругом и с фигурой,
причём границы этого круга и фигуры пересекаются в четырёх точках.
7.	Осевая система координат (ОСК) (2^г| - прямоугольная правая система ко-
ординат, начало (точка О) которой совмещается с центром секущего круга, а ось
направлена по оси симметрии фигуры 2-го порядка. В случае, когда границей фигу-
ры является эллипс или окружность, не нарушая общности, полагается, что ось
направлена к геометрическому центру фигуры. Если же границей фигуры является
парабола или гипербола, для определённости полагается, что ось направлена в ту
же сторону, что и ветвь указанной кривой (параболы или гиперболы).
Алгоритм расчёта площади пересечения фигуры с кругом. Расчёт площади
пересечения зависит от топологии пересечения фигуры секущим кругом. Каждому
виду фигуры соответствует свой алгоритм расчёта площади пересечения её с секу-
щим кругом, радиус которого далее обозначается г0.
Фигура - круг. Размеры и положение фигуры задаются величинами: rkp - радиус
фигуры и ^./? - абсцисса геометрического центра фигуры (круга) в ОСК.
Могут иметь место следующие случаи:
(условие 1кр) и, следовательно, /=0, 5=0.
(условие 2кр) и, следовательно, 1=2, S=nrkp.
rkl-E>kp>rQ (условие Зкр) и, следовательно, I=\, S=nr~Q.
Не выполняются предыдущие условия 1 кр, 2кр и Зкр, и, следовательно, пересе-
чение не совпадает с секущим кругом и с фигурой. В этом случае для вычисления
площади 5 предварительно вычисляются координаты точки (^,Ль) в ОСК, которая
является точкой пересечения границы фигуры. Таких точек всего две, и они симме-
тричны относительно оси абсцисс ОСК. Для определённости рассматривается точка
с положительным значением ординаты, гц>0. Координаты точки пересечения грани-
цы фигуры должны удовлетворять системе уравнений:
312
3.6.
£.1 +nl = 'о2
(^-^)2+ni=nt-
Из этой системы следует формула
л (	1	2 А
р -1 F . г° ~г*
S.V — ~ Чкр	г. ’
2 к	^р J
(3.6.30)
(3.6.31)
которой можно воспользоваться при ненулевом значении величины ^А/?. Поэтому
в дальнейшем, когда величина ^А/? меньше некоторой малой величины 8, полагается
^А/ =0 и решение задачи (получение значений величин I и S) сводится к рассмотрению
указанных выше случаев. Если же ^/?>8, то используется формула (3.6.31).
При этом следует заметить, что величина должна удовлетворять неравенствам
-г()<^/?<Г(). Используя соотношение (3.6.31), можно показать, что указанные неравен-
ства имеют место при выполнении неравенств
rA/-r()<^/?<rA/,+ro, если Г()<гА/,
и неравенств
г()-гкр<^кр<гкр+г^ если г»>гкр.
После вычисления по формуле (3.6.31), воспользовавшись первым уравнением
системы (3.6.30), имеем вычислительную формулу
(3-6.32)
И, наконец, выполнив вычисления по формулам (3.6.31), (3.6.32) и воспользовав-
шись формулой для вычисления площади сегмента круга, получим
5 = r02 arccos— + г2 arccos——— -^А п5.	(3.6.33)
ro	г
При этом принимается 1=3.
Фигура - эллипс. Размеры и положение фигуры задаются величинами: а. - полу-
ось эллипса, лежащая на оси абсцисс ОСК; Ь.. - полуось эллипса, параллельная оси
ординат ОСК; £Ц) - абсцисса геометрического центра фигуры (эллипса) в ОСК.
Может иметь место случай:
a,+r()<^ (условие 1э) и, следовательно, /=0, 5=0.
При невыполнении условия 1э для разделения вариантов пересечения фигуры с
секущим кругом предварительно вычисляются координаты точек fe,r|s) в ОСК, кото-
рые (в случае существования) являются точками пересечения границы фигуры. Ука-
занных точек может не быть совсем или может быть одна или две пары. В каждой
паре точки симметричны относительно оси абсцисс ОСК. С учётом этого обстоятель-
ства для определённости в качестве точек пересечения границы фигуры рассматрива-
ются точки с положительным значением ординаты, r|s>0.
Координаты точки пересечения границы фигуры должны удовлетворять системе
уравнений:
St + nt =
< (t ? )2	2	(3.6.34)
a; bl
313
3.6.
Система уравнений (3.6.34) позволяет записать квадратное уравнение относитель-
но абсцисс искомых точек пересечения
(b\-a^-2^^^	(3.6.35)
Число представляющих интерес действительных корней уравнения (3.6.35) опре-
деляется знаком его дискриминанта, равного D=Aa}D„ где
D=a^-b2^b\b\ -ГоЧнО-	(3-6.36)
Очевидно, что знак дискриминанта D совпадает со знаком величины D>. При
этом могут иметь место варианты по количеству действительных корней уравнения
(3.6.35):
1)	два действительных корня и ^52, если Z),>0,
предполагается, что ^<£52;
2)	один действительный корень если £>,=0,
(3.6.38)
3)	не имеет действительных корней, если £),<0.
При наличии варианта 1, используя первое уравнением системы (3.6.34), для ве-
личин и £<2 определяют соответствующие значения т|5| и т|52 по формуле
^51(2) = д/Г0 _^S1(2)-	(3.6.39)
При наличии варианта 2 по формуле, аналогичной (3.6.32), по найденному зна-
чению (3.6.38) вычисляют число r|s. Если щ является действительным числом, то
в качестве точки пересечения границы фигуры в ОСК принимается точка с координа-
тами (£$,T|s)= Если т|5 является комплексным числом, то пересечения границы
рассматриваемой фигуры с секущим кругом нет.
Таким образом, когда условие 1э (см. выше) не выполняется, возможны следую-
щие случаи:
-	Нет точек пересечения границы фигуры, и справедливо неравенство г(}<а,. Тогда
7=1, S=nrl
-	Нет точек пересечения границы фигуры, и справедливо соотношение rQ>a,. Тогда
1=2, S=7ia.,b y.
-	Имеется только одна точка (^,т|5) пересечения границы фигуры, для которой
т|5>0 (всего - две точки пересечения границы фигуры) и, следовательно, /=3,
а площадь S пересечения, если воспользоваться известными формулами для вы-
числения площадей сегментов круга и эллипса, вычисляется по формуле
S = r02 arccos— + a3b3 arccos——— - ^цэг|5.	(3.6.40)
-	Имеются две точки пересечения границы фигуры, (^shH^i) и (^2,^52), ординаты
которых - положительные величины (всего - четыре точки пересечения границы
фигуры), и, следовательно, /=4, а площадь S пересечения, если воспользоваться
известными формулами для вычисления площадей сегментов круга и эллипса,
вычисляется по формуле
314
3.6.
I t	£ ]
S’ = r02 arccos— - arccos-2^- +
I ro	ro J
+ ayb.y | л + arccos——— - arccos——— j - £ (r|?1 - rjS2).
V	аз	аэ )
(3.6.41)
Фигура - парабола. Размеры и положение фигуры задаются величинами: р„ - фо-
кальный параметр параболы; £вп - абсцисса вершины параболы в ОСК (ордината вер-
шины параболы в этой СК всегда равна нулю).
Может иметь место случай:
Г()<£Ш1 (условие 1п) и, следовательно, 7=0, 5=0.
При невыполнении условия 1 п для разделения вариантов пересечения фигуры с
секущим кругом предварительно вычисляются координаты точек fe,r|s) в ОСК, ко-
торые (в случае существования) являются точками пересечения границы фигуры.
Указанных точек может не быть совсем или может быть одна или две пары точек.
В каждой паре точки симметричны относительно оси абсцисс ОСК. С учётом этого
обстоятельства для определённости в качестве точек пересечения границы фигуры
рассматриваются точки с положительным значением ординаты, r]s>0.
Координаты точки пересечения границы фигуры должны удовлетворять системе
уравнений
te+nl^o2	(3.6.42)
Система уравнений (3.6.42) позволяет записать квадратное уравнение относитель-
но абсцисс искомых точек пересечения:
Й+2А^-(2рЛ.1+П))=0.	(3.6.43)
Число представляющих интерес действительных корней уравнения (3.6.43) опре-
деляется знаком его дискриминанта, который совпадает со знаком величины
О„=р2+2/7„^,(3.6.44)
При этом могут иметь место варианты по количеству действительных корней
уравнения (3.6.43):
1)	два действительных корня и ^-2, если £)„>0,
и>=-Л±^ я А	(3-6.45)
предполагается, что ^<^2;
2)	один действительный корень если D=0,
(3.6.46)
3)	не имеет действительных корней, если Dn<§.
При наличии варианта 1, используя первое уравнение системы (3.6.42), для ве-
личин и ^52 определяют соответствующие неотрицательные значения r|s1 и г|52 по
формуле (3.6.39). Пары чисел fei,r|si) и (ЬзЖ) являются в ОСК координатами точек
пересечения границы фигуры. Очевидно, что таких пар может быть одна или две,
а может и не быть вовсе.
При наличии варианта 2, по формуле, аналогичной формуле (3.6.39) по найденно-
му значению (см. (3.6.46)) вычисляют число г|5. Если r|s является действительным
числом, то в качестве точки пересечения границы фигуры в ОСК принимается точка
315
3.6.
с координатами (^$,r|s)= fe,r|s). Если т|5 является комплексным числом, то нет пересе-
чения границы рассматриваемой фигуры с секущим кругом.
Таким образом, когда условие 1п (см. выше) не выполняется, могут иметь место
следующие случаи:
-	Нет точек пересечения границы фигуры, и справедливо неравенство ^В|1<-г0. Тог-
да 1= 1, S=7iro.
-	Имеется только одна точка (^5,т|5) пересечения границы фигуры, для которой г|Л >0
(всего две точки пересечения границы фигуры) и, следовательно, 7=3, а площадь
5 пересечения, если воспользоваться известными формулами для вычисления
площадей сегментов круга и параболы, вычисляется по формуле
S = r2 arccos— + ^4^ -4£вл).	(3.6.47)
г0 3
-	Имеются две точки пересечения границы фигуры, fei,r|.S’i) и (^ъЛ^), с положи-
тельными абсциссами (всего четыре точки пересечения границы фигуры) и,
следовательно, 1=4, а площадь S' пересечения, если воспользоваться известными
формулами для вычисления площадей сегментов круга и параболы, вычисляется
по формуле
5 = г02 л - arccos-^- + arccos-^ -|(^slr)si - ^S2rls2) + 4^., (п.я ~ П52 )•	(3.6.48)
V	7 о	ro 7 3	3
Фигура - гипербола. Размеры и положение фигуры задаются величинами:
<7, - продольная полуось гиперболы, лежащая на оси абсцисс ОСК; bt - поперечная
полуось гиперболы, параллельная оси ординат ОСК; £Ц1 - абсцисса центра (точка пе-
ресечения осей) гиперболы в ОСК.
Может иметь место случай:
r0<^m+<7r (условие 1г) и, следовательно, /=0, 5=0.
При невыполнении условия 1г для разделения вариантов пересечения фигуры
с секущим кругом предварительно вычисляются координаты точек (§5,г|л) в ОСК,
которые (в случае существования) являются точками пересечения границы фигуры.
Указанных точек может не быть совсем или может быть одна или две пары. Точки в
каждой паре симметричны относительно оси абсцисс ОСК. С учётом этого обстоя-
тельства для определённости в качестве точек пересечения границы фигуры рассма-
триваются точки с положительным значением ординаты, r|s >0.
Координаты точки пересечения границы фигуры должны удовлетворять системе
уравнений
'^+ns=r02
V Г|2	(3.6.49)
Ъцг/ 4.8- _ 1
аг
Система уравнений (3.6.49) позволяет, после элементарных преобразований, за-
писать квадратное уравнение относительно абсцисс искомых точек пересечения:
(«; + Ь2)£ - 2ЬХЛ +	- «>,2 = 0.	(3.6.50)
Число представляющих интерес действительных корней уравнения (3.6.50) опре-
деляется знаком его дискриминанта, равного D=4a{ D{, где
316
3.6.
(3.6.52)
(3.6.53)
(3.6.51)
Очевидно, что знак дискриминанта D совпадает со знаком величины £>,. При
этом могут иметь место варианты по количеству действительных корней уравнения
(3.6.50):
1)	два действительных корня и ^$2, если Д>0,
г ь^щ±а^
^'2	а2+Л,2	’
предполагается, что ^52;
2)	один действительный корень если D=0,
£ .
~	2,72’
3)	не имеет действительных корней, если Д<0.
При наличии варианта 1, используя первое уравнением системы (3.6.49), для
величин ^si и £$2 определяют соответствующие неотрицательные значения гщ и щ2
по формуле (3.6.39). Пары чисел fei,r|5i) и (^ж) являются в ОСК координатами то-
чек пересечения границы фигуры. Очевидно, что таких пар может быть одна или две,
а может и не быть вовсе.
При наличии варианта 2 по формуле, аналогичной (3.6.39), по найденному значе-
нию (3.6.53) вычисляется число щ. Если щ является действительным числом, то в
качестве точки пересечения границы фигуры в ОСК принимается точка с координата-
ми fe,r|s)=feT|s)- Если г|5 является комплексным числом с ненулевой мнимой частью,
то нет пересечения границы рассматриваемой фигуры с секущим кругом.
Таким образом, когда условие 1г (см. выше) не выполняется, могут иметь место
следующие случаи.
-	Нет точек пересечения границы фигуры, и справедливо неравенство
Тогда /=1,
-	Имеется только одна точка (^,щ) пересечения границы фигуры, для которой г|5>0
(всего две точки пересечения границы фигуры) и, следовательно, 1=3, а площадь S
пересечения, если воспользоваться известными формулами для вычисления пло-
щадей сегментов круга и гиперболы, рассчитывается по формуле
S = r02 arccos — - агЬг In | ——— + — | - £ %,
'о	I аг bv J
-	Имеются две точки пересечения границы фигуры, (^|,гщ) и (^2,Л^), с положи-
тельными абсциссами (всего четыре точки пересечения границы фигуры) и,
следовательно, /=4, а площадь S пересечения, если воспользоваться известными
формулами для вычисления площадей сегментов круга и гиперболы, вычисляет-
ся по формуле:
(3.6.54)
S= r02 (л-arccos— + arccos^-1+аД In 1	+ £Iir61si“ (3.6.55)
Справедливость каждого из представленных соотношений от (3.6.30) по (3.6.55)
подтверждена многолетним успешным полётом КА «Спектр-Р», в баллистико-нави-
гационном обеспечении которого они регулярно используются.
317
3.6.
3.6.2.	Расчёт условий радиовидимости с наземных станций
Интервалы времени радиовидимости КА необходимы для планирования группой
управления связи с бортом КА, выдачи команд управления движением и работой бор-
товой аппаратуры, а также для организации работы наземных станций слежения по
выдаче команд на борт КА, проведению сеансов траекторных измерений и приёма
телеметрической информации.
В ходе полёта КА к телам Солнечной системы условия радиовидимости характе-
ризуются моментами времени прекращения и возобновления радиосвязи наземной
станции с аппаратом. Отсутствие радиосвязи наземных станций с КА может быть
вызвано:
-	заходом КА за линию местного горизонта;
-	влиянием Солнца на близком угловом расстоянии от направлении на КА;
-	планетами или другими небесными телами, расположенными на пути радиолуча.
Определение моментов времени достижения границ радиовидимости. Алго-
ритм определения времени достижения границ радиовидимости опирается на расчёт-
ную процедуру, позволяющую на заданный момент времени t вычислять вектор со-
стояния КА Х(Г) в геоцентрической системе координат системе координат ЕМЕ2000
(Earth Mean Equinox), оси которой параллельны осям инерциальной системы коорди-
нат эпохи J2000. Как правило, в качестве такой процедуры используется численное
интегрирование уравнений движения. Однако в ряде случаев для повышения быст-
родействия расчёт вектора Х(/) проводится с применением аналитических теорий,
интерполяции предварительно подготовленных таблиц или других методов. Условие
достижения границы радиовидимости записывается в форме функционального урав-
нения относительно неизвестного времени t таким образом, чтобы граница радиови-
димости достигалась при выполнении условия
<p(O=<p(x(O,rf )=о,
где Х(г) - вектор состояния КА в СК ЕМЕ2000;
if - координаты станции в гринвичской системе координат.
Предполагается, что (р(/) - непрерывная функция, имеющая непрерывную огра-
ниченную производную. Наличие радиовидимости соответствует положительным
значениям ср(/), а отсутствие - отрицательным. Определение интервалов радиовиди-
мости осуществляется путём пошагового вычисления функции (р(Л), &=1,2,...,М Схе-
ма работы соответствующего алгоритма представлена на рисунке 3.6.1. Необходимая
для его работы входная информация включает:
-	времена начала zbegin и конца Cui интервала, на котором необходимо получить ре-
зультат - зоны радиовидимости КА с наземных станций;
-	начальные условия /0, X0.st, необходимые для интегрирования системы дифферен-
циальных уравнений, или таблицы, содержащие набор векторов состояния КА,
покрывающих интересующий интервал [Cegin,Cui]-
Работа алгоритма начинается с подготовительных операций: инициализации про-
цедуры численного интегрирования уравнений движения, преобразования моментов
времени Го, Ccg.n, Cui во внутреннее представление программы, установки номинально-
го шага hnom для расчёта функции cp(Z) и др.
318
3.6.
Рисунок 3.6.1. Схема работы алгоритма определения интервалов радиовидимости
Далее выполняется цикл, в ходе которого последовательно вычисляются значе-
ния функции (р1,(р2,---,фл', на моменты времени /|,Л,...,/Уу На очередном к-м шаге цикла
в памяти ЭВМ наряду с текущим значением времени tk и функции (рА сохраняются
значения /А_„ cpA._,j=0,1 в предшествующих узлах. Таким образом, обеспечивается
возможность интерполяции функции (р(7) на любой момент времени, принадлежащий
интервалу [tkЕсли все (рА „,,ук „и1,...,(рА имеют одинаковый знак, то осуществля-
ется переход к следующему шагу и цикл продолжается. Одновременное присутствие
положительных и отрицательных значений в последовательности {(рА. Д означает, что
на отрезке [гА_,„,гА] функция ср(7) имеет нулевое значение хотя бы в один момент вре-
мени С: (р(С)=0. Узловые моменты времени tk должны располагаться таким образом,
чтобы при прохождении нулевого значения величины (рА |,...,(рА образовывали
монотонную последовательность:
фА ш<Фа^1<.-<Фа ИЛИ фА ,„>фА_,.>фА.
Это достигается выбором шага hk для вычисления очередного момента времени
^АН~6Л/?А-
Если знак фА-|=ф(Л+|) не совпадает со знаком фА и не выполняется условие
Фал<Фа<Фач или Фа-1>Фа>Фач,
319
3.6.
то шаг hk делится на 2, а значение (рА^| пересчитывается
hk
h+\ ~ h +
Если произведение фА_„,фА<0, то на отрезке [ZA. „,,/А.] функция <р(7) изменяет знак толь-
ко один раз и принимает нулевое значение в единственной точке t'. Значение t', со-
ответствующее времени достижения границы радиовидимости, определяется путём
интерполяцией функции Г(ф), обратной к функции <р(Г), по формуле Лагранжа
,п СП
гг..............-•
М 'У Фа-,-ф*-/
Полученное время t' является началом радиовидимости, если фА т<ук, и её завер-
шением - если фА ,„>фА.
После достижения границы радиовидимости значение текущего шага устанавли-
вается равным номинальному шагу Лпот.
Цикл продолжается до завершения расчёта определения всех интервалов радио-
видимости в интервале [/begin,/end]-
Расчёт угловых координат КА относительно осей топоцентрической системы
координат. Направление на КА (вектор гКА) в топоцентрической системе координат
определяется азимутом Az и углом места у (рисунок 3.6.2). Азимут - это угол между
проекцией вектора гКА на плоскость местного горизонта и направлением на север.
Азимут отсчитывается от направления на север по часовой стрелке в диапазоне от 0°
до 360°. Угол места отсчитывается от плоскости местного горизонта до направления
на КА в диапазоне от -90° до 90°. Возможность радиосвязи наземной станции с бор-
том КА зависит от величины угла между направлением на КА и плоскостью местного
горизонта (угол места у).
Направление местной вертикали и положение плоскости местного горизонта
определяются в соответствии с общепринятой моделью представления земной по-
верхности в форме двуосного эллипсоида вращения. В идеальном случае прямая ви-
димость КА возможна при у>0. Однако наличие радиосвязи зависит от состояния
атмосферы и рельефа местности в окрестности станции слежения, поскольку вблизи
станции могут располагаться объекты, препятствующие видимости в определённых
направлениях. Поэтому для расчёта интервалов радиовидимости значения угла места
ymin устанавливаются, как правило, в диапазоне 5°...7° так, чтобы иметь возможность
наблюдения КА при любых азимутах. В соответствии с этим для определения грани-
цы радиовидимости используется функция
ф(0=у(х(0,^г)-ут1п-
При необходимости учёта местных особенностей, препятствующих радиосвязи
с КА, для расчёта интервалов радиовидимости для различных азимутов устанавли-
ваются различные значения угла места. В этих случаях формируется так называемая
маска горизонта - таблица, устанавливающая соответствие углов места yminJ, /<=/,...,я
угловым интервалам, ограниченным направлениями азимутов Az\, Az2,..., Az„. В сово-
купности угловые интервалы [Az^Az/^],	должны покрывать весь диапазон
углов от 0° до 360°. Расчёт интервалов радиовидимости проводится для всего набора
углов места у1П1П<А,	При достижении в некоторый момент времени f одного из
значений ymin.A вычисляется значение азимута Az(t'\ Время f принимается в качестве
границы зоны радиовидимости, если азимут Az(t') попадает в диапазон [Azk,Azk^}],
соответствующий углу места уП1|П,А- в таблице, описывающей маску горизонта.
320
3.6.
Рисунок 3.6.2. Азимут и угол места в топоцентрической системе координат
Ниже приводится алгоритм расчёта значений азимута и угла места. Исходными
данными для работы алгоритма являются:
-	текущий момент времени t,
-	вектор состояния КА в СК ЕМЕ2000 Х{г,у), где г - положение, у - скорость КА.
1.	Определяется вектор состояния КА Xgr{rgr,vgr} в гринвичской СК, фиксирован-
ной на момент времени г.
Гё (7) = С^ме2ООо(ОГ’
Vs (7) = C|ME2000(/)v,
где С|гМЕ2000 - матрица перехода от СК ЕМЕ2000 к гринвичской СК.
2.	Определяются векторы положения pgl и скорости рёГ КА относительно станции
слежения в гринвичской СК:
рё = гё- if,
рё = уё‘- уёг.
3.	Определяется вектор видимого положения КА относительно станции слежения
с учётом времени распространения радиосигнала
p'gr=pgr_£^gr
где р - расстояние от станции слежения до КА;
с=299792.458 км/с - скорость света.
4.	Вектор p'gr переводится в местную топоцентрическую систему координат
где Cgrs - матрица перехода от гринвичской к топоцентрической СК (Север-Восток-
Зенит).
321
3.6.
5. Вычисляются величины:
с'ат Яху
6. Вычисляется азимут
J arccos Саап	прир'1“>0,
Az — <
[2л - arccos Cazm в остальных случаях.
7. Вычисляется угол места
Y=arcsinSy.
Расчёт углового расстояния между направлениями на КА и Солнце. На близ-
ком угловом расстоянии между направлениями с наземной станции слежения на КА и
на Солнце связь с КА невозможна из-за помех, вызванных влиянием солнечного излу-
чения. На рисунке 3.6.3 изображено взаимное расположение Солнца, КА и наземной
станции слежения (НСС).
Функция для определения интервалов радиосвязи записывается в следующем
виде:
<p(/)=e(x(/),xSun(/),rf)-omn„
где Х(7) и XSun(0 _ векторы состояния КА и Солнца в СК ЕМЕ2000 в текущий момент
времени /;
0 - текущее значение угла Солнце - НСС - КА;
0min - заданное минимальное значение угла Солнце - НСС - КА.
Положительные значения ср(7) соответствуют наличию радиосвязи, отрицатель-
ные - её отсутствию.
Исходными данными для работы алгоритма определения угла 0 являются:
-	текущий момент времени /;
-	вектор состояния КА в СК ЕМЕ2000 X{r,v}, где г - вектор положения; v - вектор
скорости КА,
-	вектор состояния Солнца в СК ЕМЕ2000 XSun{rSlln,Vsun}, где rSun - вектор положе-
ния; vSun - вектор скорости КА;
-	rst - координаты станции в гринвичской СК.
Работа алгоритма включает в себя следующие шаги.
1.	Определяются векторы состояния КА Xgr{rgr,vgr} и Солнца Xfan |гёигп, v^n|
в гринвичской системе координат, фиксированной на момент времени t
гё (7) = СёМЕ2000(/)г,
уё (0 — СеМЕ2000(Ov,
rSun = С|мЕ2000 (0rSun,
VSun = ^EME2OOo(OVSun*
Здесь СЕМЕ2000 - матрица перехода от СК ЕМЕ2000 к гринвичской СК.
322
3.6.
Рисунок 3.6.3. Взаимное расположение Солнца, КА и наземной станции слежения
2.	Определяются векторы положения р и скорости р КА и Солнца pSun и pSun отно-
сительно станции слежения в гринвичской системе координат:
p = rgr-if,
Р = Vs -
о — гёГ — гёГ
HSun *Sun *st ’
о = vgr — vgr
г Sun Sun st *
3.	Определяется вектор видимого положения КА и Солнца относительно станции
слежения с учётом времени распространения радиосигнала:
Р' = Р “Р, Psun= Psun-^Psun’
где р =	+ р2 + р? - расстояние от станции слежения до КА;
pSun = р|ип v + Psun + Psun - “ расстояние от станции слежения до Солнца;
4.	Определяется угол 0 между направлениями с наземной станции на КА и на
Солнце:
0	= arccos (PSun|P ).
|Psun||P'|
Определение момента времени прекращения радиовидимости, вызванного
экранированием планетой или другим небесным телом. Прекращение радиосвязи
с КА может быть вызвано экранированием радиосигнала, если на линии НСС - КА
оказывается небесное тело (НТ, body). В основном такие события происходят, когда
КА находится на орбите Луны или планеты, но могут возникнуть на участках тра-
ектории подлёта к исследуемой планете или астероиду. Мы будем предполагать, что
экранирующее НТ имеет сферическую форму известного радиуса 7?body-
На рисунке 3.6.4 схематически представлено взаимное расположение НСС, КА и НТ.
Для того чтобы КА попал в область радиотени, необходимо выполнение двух условий:
323
3.6.
Рисунок 3.6.4. Взаимное расположение НСС, КА и НТ при определении границ входа радиотень
- угол КА - НСС - НТ должен быть меньше видимого со станции углового радиуса
небесного тела при наблюдении с наземной станции,
- экранирующее НТ должно располагаться между НСС и КА.
Соответственно условие достижения граница радиотени можно записать в виде
<р(0 =
6(x(0,xbody(/),rf) - 0body(r) при р > pbody
|0(O-0body(O|	npHp<pbody
где X(Z), Xbody(r) - векторы состояния КА и небесного тела в СК ЕМЕ2000 в текущий
момент времени /;
0(0 - угол КА - НСС - НТ;
Obody(0 - угловой радиус НТ при наблюдении с НСС;
p(r), pbody(0 - расстояние от НСС до КА и небесного тела; соответственно.
Такая форма представления функции ср(г) обеспечивает её непрерывность, тре-
буемую для работы алгоритма поиска границ радиовидимости, и выполнение обоих
упомянутых выше условий.
С учётом того, что удалённость экранирующего тела от НСС многократно превы-
шает его радиус, угловой размер НТ, выраженный в радианах, можно приближённо
записать в виде
А (А - ^body
“у( ) Pbody ’
Угол КА - НСС - НТ вычисляется по формуле
0 = arccos
(Pbody’Р )
|pbody||p'| ’
где
f Р • f	Р body •
Р “ Р~ ~Р’ Pbody” Pbody Pbody’
р - положение КА относительно НСС,
р - вектор скорости координаты КА относительно НСС,
Pbody - координаты небесного тела относительно НСС,
Pbody - компоненты вектора скорости координаты НТ относительно НСС.
324
3.6.
3.6.3. Расчёт времени баллистического существования КА
В ходе пассивного полёта КА необходимо на заданном отрезке времени [г0,С]
оценивать время его баллистического существования с учётом точности траектории
движения центра масс КА в момент времени t(} и параметров модели действующих
на него сил. Считается, что баллистическое существование КА имеет место в теку-
щий момент времени t, если для каждой траектории из множества («трубки») воз-
можных траекторий ЦМ КА обеспечивается баллистическое существование КА. При
этом предполагается, что ЦМ КА, движущийся по конкретной траектории (из труб-
ки), прекращает своё баллистическое существование в момент времени достижения
им поверхности шара с радиусом R, центр которого совпадает с ЦМ относительно
определённого небесного тела. Самый ранний момент времени из моментов времени
прекращения баллистического существования для траекторий указанной трубки на-
зывается моментом времени прекращения гарантированного баллистического суще-
ствования КА и обозначается как ta. Без нарушения общности, полагается, что в мо-
мент времени /0 имеет место гарантированное баллистическое существование КА.
Таким образом, проблема оценки баллистического существования КА (задача С)
состоит в расчёте указанного выше момента времени ta при фиксированном значении
величины R и заданных вероятных характеристиках движения ЦМ КА в момент вре-
мени Го и модели действующих на КА сил. При этом для определённости, в случае
отсутствия на отрезке [г0,4] искомого момента времени, полагается t=te.
Ниже представлена применяемая на практике (при подготовке и реализации полё-
та КА) методика решения задачи С.
Определения, допущения, обозначения и алгоритмы вычислений. Вводится
в рассмотрение прямоугольная правая инерциальная система координат (СК) Oxyz
с началом (точка О) в ЦМ упомянутого НТ. Пассивное движение КА на отрезке вре-
мени [/о,С] в этой СК описывается системой шести обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений относительно компонентов вектора q кинематических параметров
движения КА:
^ = f(/,q,H),	(3.6.56)
at
где ji m-мерный вектор - так называемый вектор модели, компонентами которого яв-
ляется та часть параметров, определяющих модель сил, действующих на КА, которые
рассматриваются не как детерминированные величины, а как величины с заданными
погрешностями. Для определённости здесь и далее полагается q=(rT,VT)T, где г и V -
трёхмерные вектор-столбцы положения и скорости ЦМ КА в СК Oxyz.
Система уравнений (3.6.56) позволяет однозначно определять кинематические па-
раметры движения ЦМ КА в произвольный момент времени tE [/0,С] ПРИ фиксирован-
ных векторах модели и кинематических параметров указанного движения в момент
времени /0.
Согласно работе (ЗаславскийГ.С., 1991), принимается, что каждый из случайных
векторов q(/0) и ц распределён по своему нормальному закону. Математические ожи-
дания и ковариационные матрицы этих векторов обозначаются а(/(Г0), К/Го) и аи, Ки
соответственно. При решении задачи С они предполагаются заданными.
Кроме того, предполагается допустимой линейная зависимость между случайны-
ми векторами отклонений 5q(/o)=q(/o)-a6/(/o), 5q(/)=q(Z)-a6/(0 и 5ц=ц-ам, а именно
5q(r)=Bw(r)-5q(ro)+Bw(O-SH.	(3.6.57)
325
3.6.
Матрицы В (7) = В (/) = имеют размерности 6><6 и 6*т соот-
dq(/0)	дн
ветственно, по аналогии с (Платонов А.К., 1966), называются матрицами влияния
в момент времени t. Они могут быть получены разностным методом или методом
численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений,
в состав которой входит набор уравнений (3.6.56) и уравнений относительно членов
указанных матриц влияния:
^в,, _ » с afE
dt dq qq ’ dt dq 74 dji
(3.6.58)
Здесь
df df
dq, dg ~ матРицы производных в текущий момент времени t, которые могут
быть рассчитаны при известных векторах q(r) и ц.
Совместная система уравнений (3.6.56) и (3.6.58) решается при следующих на-
чальных условиях (в момент времени /0)’ q(^o)=a(/(Zo), Н=ам, BW(/O)=E и Вб/м(/о)=О. Здесь
Е, 0 - единичная и нулевая матрицы, она позволяет на любой фиксированный момент
времени t вычислять не только матрицы влияния, но и математическое ожидание а7
случайного вектора q.
Исходя из соотношений (3.6.57), ковариационная матрица в текущий момент вре-
мени t в соответствии (ЗаславскийГ.С., 1991) вычисляется по формуле
К/(О=В./К/(А))-В;/+В</И-КИ-В;1	(3.6.59)
Представленные выше материалы позволяют непосредственно приступить к опи-
санию решения поставленной задачи.
Методика решения задачи С. Поиск значения момента времени ta осуществля-
ется приближённо на конечном упорядоченном множестве Ма точек отрезка [t(hte],
которое определяется шагом Л/5 а именно
MHWi=^o+^,...^=zo+/A,---> t =t0+sh,},	(3.6.60)
причём л - минимальное неотрицательное целое число, при котором Z0+(s+1 )h^>tcВе-
личина шага ht выбирается из условия точности определения моментом времени ta
прекращения гарантированного баллистического существования КА. При поиске мо-
мента времени ta последовательно, начиная с момента времени t^+hh рассматривают-
ся точки множества (3.6.60). В случае достижении момента времени, при котором не
гарантируется (с вероятностью, близкой к единице) баллистическое существование
для трубки возможных траекторий, исследование точек множества Ма обрывается и
в качестве искомого момента времени ta принимается непосредственно предшеству-
ющий момент времени из множества (3.6.60).
Пусть t] - один из моментов времени из множества Ma,j>®. Для этого момента
времени рассчитываются (с использованием представленных выше соотношений)
компоненты вектора ае/ и члены ковариационной матрицы К7. Первые три компонен-
ты вектора а(/ являются вектором a/.=(av,ar,a-)T математического ожидания случайно-
го вектора r=(x,y,z)T положения КА в СК Oxyz в рассматриваемый момент времени.
Ковариационная матрица Кг случайного вектора г является квадратной подматрицей
третьего порядка матрицы Кб/. Матрица Кг расположена в левом верхнем углу ма-
трицы К7.
Вектор ае/ и матрица К7 характеризуют эллипсоид рассеивания случайного векто-
ра г. В практической баллистике используется следующий эллипсоид рассеивания:
326
3.6.
(r-aJT|Kr'-(r-a,)^1-	(3.6.61)
Опираясь на (Линник Ю.В., 1962) и опыт баллистико-навигационного обеспече-
ния полётов реальных КА, можно утверждать, что с вероятностью, практически мало
отличающейся от единицы, случайный вектор г находится в пределах указанного
эллипсоида.
С учётом изложенного решение задачи С сводится к рассмотрению положения
ЦМ НТ (точки относительно эллипсоида (3.6.61), называемого эллипсоидом Ed. Да-
лее представлен соответствующий алгоритм.
В первую очередь вычисляется величина левой части соотношения (3.6.61) в точ-
ке О (г - нулевой вектор). Если она является отрицательной величиной, то считается,
что к рассматриваемому моменту времени t, завершено баллистическое существова-
ние КА и полагается t=t, h В противном случае выполняется расчёт расстояния RKE
от ЦМ КА до эллипсоида Е(/.
В том случае, когда расстояние RKE оказывается больше заданной величины R,
полагается, что к моменту времени t, не завершается баллистическое существование
КА, и для исследования выбирается следующий момент времени (если он имеется в
пределах множества ЛТД-
Расчёт расстояния от заданной точки до заданного эллипсоида, даже в трёхмерном
пространстве в предположении, что точка находится вне эллипсоида, является непро-
стой задачей. Далее рассматривается опробованный при проведении практических
расчётов метод её решения.
Пусть в декартовой СК заданы эллипсоид
fxU9=(U9A(U9t-i<o	(3-6.62)
(А - положительно определённая матрица размерности 3><3) и точка (^о,т|оЛ()) вне эл-
липсоида. Требуется вычислить расстояние р от точки до эллипсоида.
Сформулированная задача может быть решена путём нахождения точки (^*,г|+Х*),
доставляющей минимум по переменным р, £ функции
F(^1u)4^-^of+(n-no)2+^-^r + Ftfe^)+£,.	(3.6.63)
Малые положительные величины £ и s' (при £'«£) выбираются эмпирически, ис-
ходя из принятых размерностей величин в соотношении (3.6.63) и допустимой точно-
сти получения расстояния от заданной точки до эллипсоида.
Для минимизации функции (3.6.63) может быть использован метод сопряжённых
градиентов (Зангвилл У.И., 1973).
Функция (3.6.63) имеет несколько экстремальных точек. Поэтому, чтобы найти
искомую точку (^*,р*,^*), необходимо выбрать соответствующее начальное (нулевое)
приближение, с которого стартует её поиск методом сопряжённых градиентов. В ка-
честве такого приближения может быть использована точка (^/,,р/„^/,), определяемая
как точка пересечения луча, исходящего из начала СК С^рё, (центра эллипсоида)
строго по направлению к точке (£(),ро,£о).
Пусть е - единичный вектор-строка направления из центра СК О^р^ на точку
(^о,р(),^о), е= .-1	(^0,г|0,^0). Тогда можно получить соотношение для иско-
327
3.6.
мого нулевого приближения: (th,v\h,^h) = J—Ц
V еАе
• е. При этом важно отметить, что это
соотношение не имеет особенностей в силу того, что матрица А является положи-
тельно определённой.
Представленная методика расчёта момента времени прекращения баллистическо-
го существования КА успешно использовалась при баллистическом обеспечении по-
лёта спутника Земли по программе «РадиоАстрон». В качестве компоненты вектора
модели ji всегда присутствовал коэффициент светового давления (Машиностроение,
2012), ошибка знания которого составляла несколько десятков процентов от его абсо-
лютного значения.
328
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Монография представляет собой обобщенный опыт работы коллективов
НПО им. С.А. Лавочкина и ИПМ им. М.В. Келдыша РАН за более чем шестидесяти-
летний период по обеспечению полётов автоматических межпланетных станций - от
первых космических аппаратов исследования Луны, Венеры и Марса до космического
комплекса «Спектр-Р» и разрабатываемых проектов исследования Солнечной системы:
«Спектр-РГ», «Интергелиозонд», «Венера-Д» и «Лаплас-П».
За плечами коллективов специалистов, известных в России и за рубежом, - эффек-
тивное сотрудничество в области исследований Луны и Солнечной системы, начатое
в 1965 году с правительственного распоряжения о передаче в НПО им. С.А. Лавоч-
кина проектов исследования Луны. Тесное сотрудничество и работа позволили уже
в 1966 году осуществить мягкую посадку на Луну станции «Луна-9», реализовать
успешный запуск первого искусственного спутника Луны «Луна-10», осуществить
посадку первого «Лунохода» в 1970 году. Реализация программ исследования Вене-
ры позволила получить измеренные параметры атмосферы планеты и осуществить
мягкую посадку на её поверхность. Выполнена первая в мире мягкая посадка на по-
верхность Марса спускаемого аппарата «Марс-3». Станции «Вега-1» и «Вега-2» обе-
спечили точное выведение к ядру кометы Галлея.
Современный проект «Радиоастрон» - один из наиболее успешных научных
международных космических проектов по изучению Вселенной, реализованных
в XXI веке. Управление космическим комплексом «Спектр Р» осуществляет главная
оперативная группа управления НПО им. С.А. Лавочкина с привлечением наземного
сегмента управления и наземного научного комплекса. Обработку результатов изме-
рений параметров движения космического комплекса, реконструкцию и прогнози-
рование орбиты КА, расчёт параметров коррекции траектории полёта обеспечивает
Баллистический центр ИПМ им. М.В. Келдыша.
В книге приведены современные подходы небесной механики в области балли-
стического проектирования межпланетных полётов автоматических межпланетных
станций. Эффективность реализации сложных космических проектов требует посто-
янного обновления и модернизации используемых подходов и методов и повышения
их точности.
Коллективам НПО им. С.А Лавочкина и ИПМ им. М.В. Келдыша предстоят слож-
ные и ответственные работы по проектированию и реализации полётов автомати-
ческих космических аппаратов в проектах исследования Луны, Солнечной системы
и в астрофизических проектах. Непрерывное и плодотворное сотрудничество этих
коллективов в освоении космического пространства вселяет уверенность в успешное
их выполнение.
Настоящая монография является плодом творческой научной кооперации. Авторы
надеются, что книга поможет специалистам по механике космического полёта в реа-
лизации сложных отечественных и международных проектов исследования космиче-
ского пространства.
329
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное руководство по не-
бесной механике и астродинамике / Под ред. ГН. Дубошина. М.: Наука, 1971. 864 с.
Автоматические космические аппараты для фундаментальных и прикладных научных ис-
следований / Под ред. ГМ. Полищука и К.М. Пичхадзе. М.: МАИ-Принт, 2010. 660 с.
Аким Э.Л., Энеев Т.М. Определение параметров движения космического летательного ап-
парата по данным траекторных измерений // Космические исследования. 1963. Т. 1. Вып. 1.
С. 5-50.
Аким Э.Л., Бажинов И.К., Павлов В.П., Почукаев В.Н. Поле тяготения Луны и движение ее
искусственных спутников. М.: Машиностроение, 1984. 288 с.
Андреянов В.В., Кардашев Н.С., Хартов В.В. Наземно-космический радиоинтерферометр
«РАДИОАСТРОН» // Космические исследования. 2014. Т.52. Вып. 5. С. 353-359.
Астродинамика // Большая советская энциклопедия. 3-е изд. М.: Советская энциклопедия,
1970. Т. 2. Стлб. 1009-1013.
Бажинов И.К., Гаврилов В.П., Ястребов В.Д. и др. Навигационное обеспечение полета ор-
битального комплекса «Салют-6» - «Союз» - «Прогресс». М.: Наука, 1985. 376 с.
Белбруно Э. Динамика захвата и хаотические движения в небесной механике с приложени-
ями к конструированию малоэнергетических перелётов. Ижевск: Ижевский институт компью-
терных исследований, 2011. 264 с.
Боровин ГК., Заславский Г.С., Степаньянц В.А., Тучин А.Г. Непрерывному плодотворному
сотрудничеству НПО имени С.А. Лавочкина и ИПМ имени М.В. Келдыша РАН в освоении
космоса - более полувека // Вестник НПО им. С.А. Лавочкина. 2017, № 2 (36). С. 67-74.
Гаврилов В.П., Заславский ГС., Обухов Е.В., Скопцов П.П. Алгоритм решения некоторых задач
двухимпульсной коррекции // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1975. № 125. 34 с.
Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин А.Г. Построение туров в системе Юпи-
тера с использованием гравитационных маневров около галилеевых лун // Сб. II Международ-
ная конференция «Высокопроизводительные вычисления - математические модели и алгорит-
мы». Калининград: Балт. фед. ун-т им. И. Канта, 2013. С. 173-174.
Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин А.Г. Гравитационные маневры кос-
мического аппарата в системе Юпитера // Известия РАН. Теория и системы управления. 2014.
№3. С. 159-177.
Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин А.Г. Синтез сценариев космических
миссий в системе Юпитера с использованием гравитационных маневров. // Доклады Академии
наук. 2014. Т. 456, № 1. С. 39-41.
Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин А.Г., Тучин Д.А. Точки бифуркации при
проведении гравитационных маневров в системе Юпитера // Доклады Академии Наук. 2015.
Т. 462, №2. С. 154-157.
Гэлубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин А.Г, Тучин Д.А. Методика формирова-
ния больших наклонений орбиты КА с использованием гравитационных манёвров // Препринт
ИПМ им. М.В. Келдыша. 2015. № 64.
Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин Д.А., Морской И.М., Симонов А.В., До-
бровольский В.С. Основные методы синтеза траекторий для сценариев космических миссий
с гравитационными манёврами в системе Юпитера и посадкой на один из его спутников //
Вестник НПО им. С.А. Лавочкина. 2015. № 4(30). С. 97-103 и 2016. № 1(31). С. 37-45.
Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин А.Г, Тучин Д.А. Формирование мало-
затратных полетов в системе Юпитера с использованием тиссерановых координат // Известия
РАН. Теория и системы управления. 2015. № 5. С. 147-163.
Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин А.Г, Тучин Д.А. Синтез последователь-
ности гравитационных манёвров КА для достижения орбит с высоким наклонением к эклипти-
ке // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. 2016. № 43.
Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин А.Г, Тучин Д.А. О вариации наклонения
орбит небесных тел при совершении гравитационного манёвра в Солнечной системе // Пре-
принты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2016. № 15.
Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин А.Г, Тучин Д.А. Методика формиро-
вания больших наклонений орбит космических аппаратов с использованием гравитационных
маневров // Доклады АН, 2017. Том: 472, № 4. С. 403-406.doi: 10.7868/S0869565217040090
330
Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Коряиов В.В., Тучин А.Г, Тучин Д.А. Формирование орбит
космического аппарата с большим наклонением к эклиптике посредством многократных гра-
витационных маневров // Известия РАН. Теория и системы управления. 2017. № 2. С. 108-132.
doi: 10.7868/S0002338817020081
Данхэм Д.У., Назиров Р.Р., Фаркуар Р, Чумаченко Е.Н., Эйсмонт Н.А., Симонов А.В. Кос-
мические миссии и планетарная защита. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. 276 с.
Дубошин ГН., Охоцимский Д.Е. Некоторые проблемы астродинамики и небесной механи-
ки // Космические исследования. 1963. Т. 1, Вып. 2. С. 195-208.
Дубошин ГН. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: 1968. 800 с.
Егоров В.А., Гусев Л.И. Динамика перелётов между Землёй и Луной. М.: Наука, 1980. 543 с.
Жаров В.Е. Сферическая астрономия. Фрязино: Век 2, 2006. 480 с.
Жуков Б.И., Лихачев В.Н., Сихарулидзе Ю.Г, Тучин А.Г, Тучин Д.А., Федотов В.П. Управ-
ление на этапе основного торможения при посадке на Луну космического аппарата с комбини-
рованной двигательной установкой // Известия РАН. Теория и системы управления. 2016. № 2.
С. 104-114.
Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 304 с.
Запгвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход. М.: Советское радио, 1973.
312с.
Заславский ГС. Алгоритм расчета вероятности выполнения ограничений на движение кос-
мического аппарата относительно небесного тела // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН
СССР, 1991. №2. 29 с.
Заславский Г.С., Степанъянц В.А., Тучин А.Г., Погодин А.В., Филиппова Е.Н., Шейхет А.И.
Коррекция траектории движения космического аппарата СПЕКТР-Р // Космические исследо-
вания. 2014. Т. 52. Вып. 5. С. 387-398.
Заславский Г.С., Тучин А.Г, Захваткин М.В., Шишов В.А., Степанъянц В.А. Баллистико-на-
вигационное обеспечение управления полётом КА и выполнения научной программы проекта
«Радиоастрон». Пять лет полёта // Вестник НПО им. С.А. Лавочкина. 2016. № 3(33). С. 25-37.
Заславский ЕС., Захваткин М.В., Кардашев Н.С., Ковалев Ю.Ю., Михайлов Е.А., По-
пов М.В., Соколовский К.В., Степанъянц В.А., Тучин А.Г. Проектирование коррекции траекто-
рии космического аппарата СПЕКТР-Р при наличии погружений его в сферу влияния Луны //
Космические исследования. 2017. Т.55. Вып. 4. С. 305-320.
Зеликин М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. М.: Едиториал УРСС,
2004. 160 с.
Иванов Н.М., Лысенко Л.Н. Баллистика и навигация космических аппаратов. М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 528 с.
Ильин И.С., Сазонов В.В., Тучин А.Г. Траектории перелёта с низкой околоземной орбиты на
многообразие ограниченных орбит в окрестности точки либрации системы Солнце - Земля // Пре-
принт ИПМ им. М.В. Келдыша. 2012. № 66. URL: http://keldysh.ru/papers/2012/prep2012_66.pdf
Ильин И. С., Сазонов В.В., Тучин А.Г. Построение ограниченных орбит в окрестности точки
либрации системы Солнце - Земля // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. 2012. №65. URL:
http://keldysh.ru/papers/2012/prep2012_65.pdf
Ильин И. С., Заславский Г.С., Лавренов С.М., Сазонов В.В., Степанъянц В.А., Тучин А.Г., Ту-
чин Д. А., Ярошевский В.С. Баллистическое проектирование траекторий перелёта с орбиты ис-
кусственного спутника Земли на гало-орбиту в окрестности точки системы Солнце - Земля. //
Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. 2013. № 6. URL: http://keldysh.ru/papers/2013/prep2013_6.pdf
Ильин И.С. Квазипериодические орбиты в окрестности точки либрации Е> системы Солн-
це - Земля и траектории перелёта к ним в российских космических проектах: дис. канд. физ.-
мат. наук, 01.02.01. М., 2015. 153 с.
Казмерчук П.В., Мартынов М.Б., Москатинъев И.В., Сысоев В.К., Юдин АД. Космический
аппарат «Луна-25» - основа новых исследований Луны // Вестник НПО им.С.А. Лавочкина.
2016. №4 (34). С. 9-19.
Кардашев Н.С., Крейсман Б.Б., Погодин А.В., Пономарев Ю.Н., Филиппова Е.Н.,
Шейхет А.И. Проектирование орбиты космического аппарата СПЕКТР-Р для наземно-косми-
ческого интерферометра // Космические исследования. 2014. Т.52. Вып. 5. С. 366-375.
Левантовский В.И. Ракетой к Луне. М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1960. 380 с.
Машиностроение. Энциклопедия. Ракетно-космическая техника. / Под ред. В.П. Легостае-
ва. М.: Машиностроение, Т. IV-22. Кн. 1. 2012. 925 с.
331
Лидов М.Л., Охоцимский Д.Е., Тесленко Н.М. Исследование одного класса траекторий огра-
ниченной задачи трёх тел // Космические исследования. 1964. Т. 2, вып. 6. С. 843-852.
Лидов М.Л., Ляхова В.А., Тесленко Н.М. Одноимпульсный перелёт на условно-периодиче-
скую орбиту в окрестности точки L2 системы Земля - Солнце // Космические исследования.
1987. Т. 25, №2. С. 163-185.
Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории
обработки наблюдений. М.: Физматгиз, 1962. 352 с.
Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М.: Мир, 1966. 152 с.
Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.
Маров М.Я. О Георгии Николаевиче Бабакине// Вестник НПО им. С.А. Лавочкина. 2014.
№4(25). С. 10-13.
Маршал К. Задача трех тел. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. 640 с.
Мишин В.П. Механика космического полёта. М.: Машиностроение, 1989, 408 с.
Многофункциональная космическая платформа «Навигатор» / Авт. сост. В.В. Ефанов; Под
ред. С.А. Лемешевского. Химки: Издатель «НПО им. С.А. Лавочкина», 2017. 360 с.
Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 588 с.
Основные положения Федеральной космической программы 2016-2025 URL: https://
www.roscosmos.ru/22347/
Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф., Сихарулидзе Ю.Г. Алгоритмы управления космическим
аппаратом при входе в атмосферу. М.: Наука, 1975. 400 с.
Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полёта. М.: Наука,
1990. 448 с.
Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М., Аким Э.Л., Сарычев В.А. Прикладная небесная механика и управ-
ление движением // Прикладная небесная механика и управление движением. Сб. статей, посвящён-
ный 90-летию со дня рождения Д.Е. Охоцимского. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2010. С. 328-367.
Платонов А.К. Исследование свойств корректирующих маневров в межпланетных поле-
тах // Космические исследования. 1966. Т. 4. № 5. С. 671-693.
Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г, Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория
оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с.
Проектирование автоматических космических аппаратов для фундаментальных научных
исследований / Сост. В.В. Ефанов, И.Л. Шевалев; Под ред. В.В. Ефанова, К.М. Пичхадзе. Т. 1.
М.: Изд-во МАИ, 2012. 526 с.
Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды: В 3 т. Т. 1. М.: Наука,
1971.772 с.
Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трёх тел. М.: Наука, 1982. 656 с.
Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов. М.: БИНОМ. Лаборато-
рия знаний, 2011.407 с.
Сихарулидзе Ю.Г. Атмосфера Земли // Машиностроение. Энциклопедия. Ред совет:
К.В. Фролов (пред.) и др. М.: Машиностроение. Ракетно- космическая техника, 2012. 925 с.
Т. IV-22. Кн. 1. С. 33-36.
Соловьев Ц.В., Тарасов Е.В. Прогнозирование межпланетных полетов. М.: Машинострое-
ние, 1973. 400 с.
Степаньянц В.А. Время и системы координат // Машиностроение. Энциклопедия. Ред. со-
вет: К.В. Фролов (пред.) и др. М.: Машиностроение. Ракетно-космическая техника, 2012. 925 с.
Т. IV-22. Кн. 1.С. 15-26.
Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.
Суханов А.А. Астродинамика. М.: Ин-т космических исследований РАН, 2010. 204 с.
Херрик С. Астродинамика. М.: Мир, 1976. Т. 1.320 с.; Т. 2., 1977. 264 с.; Т. 3., 1978. 360 с.
Хоманн В. Достижимость небесных тел: Исследования проблемы космонавтики. М. Ижевск:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2013. 188 с.
Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственного спутника Земли.
М.: Наука, 1965. 540 с.
Atan2. https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2
Barrabes Е., Gomez G., Rodriguez-Canabal J. Notes for the gravitational assisted trajectories //
Advanced topics in astrodynamics. Summer course. Barcelona, July 2004. URL: www.ieec.fcr.es/
astro04/notes/gravity.pdf.
332
Battin R.H An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamis.
(AIAAEducationSeries). - Reston: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1999. -
xxxii p. + 800 p.
Belbruno E. The dynamical mechanism of ballistic lunar capture transfers in the four-body
problem from the perspective of invariant manifolds and Hill’s regions. CRM Research Report, 270,
Centre de RecercaMatematica, Institute d’Estudis Catalans, Barcelona, 1994.
Boutonnet A., Schoenmaekers J. JUICE: Consolidated Report on Mission Analysis (CReMA) //
ESA, 2012, Reference WP-578. Issue 1, 2012-05-29.86 p.
Brumberg V.A. Analytical Techniques of Celestial Mechanics - Berlin, Heidelberg: Springer-
Verlag, 1995.-VIII p. + 236 p.
Campagnola S., Russell R.P. Endgame Problem. Part 1: V-Infinity Leveraging Technique and
Leveraging Graph // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2010. Vol. 33, No. 2. P. 463-475.
Campagnola S., Russell R.P. Endgame Problem. Part 2: Multi-Body Technique and TP Graph //
Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2010. Vol. 33, No. 2. P. 476-486.
Campagnola S., Kawakatsu Y. Jupiter Magnetospheric Orbiter: Trajectory Design in the Jovian
System // J. Spacecraft and Rockets. 2012. V. 49, No. 2. P. 318-324.
Canalias E., Gomez G., Marcote M., Masdemont J. J. Assessment of Mission Design Including
Utilization of Libration Points and Weak Stability Boundaries [R]. ESOC Contract 18142/04/NL/
MV,Final Report.2004. - 173 p. URL: https://pdfs.semanticscholar.org/lbb5/lalcc954aldlfa02ef40
03ba4c61e50f29c8.pdf
Cho D.H., Chung Y., Bang H. Trajectory correction maneuver design using an improved B-plane
targeting method // ActaAstronautica, 72. 2012, P. 47-61.
Conley C.C. Low Energy Transit Orbits in the Restricted Three-Body Problem // SIAM J. Appl.
Math. 1968. Vol. 16. N 4. P. 732-746.
Dennis D. Me Carthy (ed.): IERS Conventions (1996). (IERS Technical Note 21) - Paris: Central
Bureau of IERS - Observatoire de Paris, 1996. - [ii] + ii p. + 97 p. URL: https://www.iers.org/SharedDocs/
Publikationen/EN/IERS/Publications/tn/TechnNote21/tn21 .pdf?___blob=publicationFilc&v=l
Divine N., Garrett H. Charged Particle Distribution in Jupiter’s Magnetosphere // J. Geophysical
Research, 1983, V. 88, No. A9. P. 6889-6903.
Farquhar R.W. The Control and Use of Libration Point Satellites / NASA-CR-95948,
SUDAAR-350. July 1968. - X p. + 204 p. URL: https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.
govZ19680021946.pdf.
Farres A., Jorba A. Station Keeping Close to Unstable Equilibrium Points with a Solar Sail / AAS
07-347 URL: http://www.maia.ub.es/dsg/2007/0710farres.pdf
Folta D.C., PavlakT.A., Howell K.C, Woodard M.A., Woodfork D.W. Stationkeeping of Lissajous
Trajectories in the Earth-Moon System with Applications to ARTEMIS // AAS 10-113, 2010. URL:
https.7/engineering.purdue.edu/people/kathleen.howell.l/Publications/Conferences/2010_AAS_
FolPavHowWooWoo.pdf
Genesis. Search for Origin. URL:http://genesismission.jpl.nasa.gov/gm2/mission/halo.htm
Gomez G., Howell K, Masdemont J., Simd C. Station-Keeping Strategies for Translunar
Libration Point Orbits (AAS 98-168) URL: https://engineering.purdue.edU/peoplc/kathleen.howell.l/
Publications/Conferences/1998_AAS_GomHowMasSim.pdf
Gomez G., Jorba A., Simd C. Study of the Transfer Between Halo Orbits // Acta Astronautica,
Vol. 43, No. 9-10, 1998, pp. 493-520.
Gomez G. et al. Proceedings of the Libration Point Orbits and Application, Aiguablava, Spain,
10-14 June 2002. / World Scientific Publishing Co. Pte. LTD. 2003.xvi p. + 676 p.
Gomez G., Llibre J., Martinez R., Simd C. Dynamics and Mission Design near Libration Points.
Vol. 1. Fundamentals: The Case of Collinear Libration Points. World Scientific Publishing Co. Pte.
Ltd., 2001. XVII p.+ 443 p.
Grushevskii A., Golubev Yu., Koryanov Id, Tuchin A. To the Adaptive Multibody Gravity Assist
Tours Design in Jovian System for the Ganymede Landing // 24th International Symposium on
Space Flight Dynamics (ISSFD), Laurel, Maryland, Johns Hopkins University APL, May, 2014.
URL: https://dnnpro.outer.jhuapl.edu/Portals/35/ ISSFD24_Paper_Release/ISSFD24_Paper_S15 4_
Grushevskii.pdf (2014). Accessed 1 July 2014
Grushevskii A.V, GolubevYu.F., Koryanov V.V., Tuchin A.G. Designing of Multibody Gravity
Assist Tours in Jovian System for the Satellite Landing // 40th COSPAR Scientific Assembly. Space
333
Studies of the Earth-Moon System, Planets, and Small Bodies of the Solar System: Outer Solar
System: New Data - Future Prospects (B0.3-0020-14), 2014. URL: http://www.cospar-assembly.org/
admin/scssion_cospar.php?scssion=389
Grushevskii A., Golubev Yu., Koryanov V., Tuchin A. Advanced methods of low cost mission
design for outer planets moons’ orbiters and landers // Proc. 67th International Astronautical Congress
(I AC-2016), Guadalajara, Mexico, 26-30 September 2016. Manuscript I AC-16,C 1,4,11 ,x32264. 15 p.
Grushevskii A., Golubev Yu., Koryanov И, Tuchin A., Tuchin D. Advanced methods of low cost
mission design for Jovian moons exploration // 26th International Symposium on Space Flight
Dynamics - 26th ISSFD, Matsuyama, Japan, 2017; 3-9 June.
Hiday L.A. Optimal Transfers between Libration-Point Orbits in the Elliptic Restricted Three-
Body Problem / A Thesis submitted to the Faculty of Purdue University, 1992. XV p. + 231 p. URL:
https://engineering.purdue.edU/people/kathleen.howell.l/Publications/Dissertations/1992_Hiday.pdf
Hiday-Johnston 1994 Hiday-Johnston L, Howell, K. “Transfers Between Libration-Point
Orbits in the Elliptic Restricted Problem // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Vol. 58,
1994, pp.317-337. URL: https://engineering.purdue.edU/people/kathleen.howell.l/Publications/
Journals/1994_CMDA_HidHow.pdf
Howell K.C. Three Dimensional, Periodic, ‘Halo’ Orbits // Celestial Mechanics, Vol.32, 1984,
P. 53-71.
Howell K.C., Pernicka H.J. Station-keeping method for libration point trajectories // Journal of
Guidance, Control, and Dynamics, Vol.6, No. 1, 1993, P. 151-159.
Howell K, Hiday-Johnston L. Time-Free Transfers Between Libration-Point Orbits in the Elliptic
Restricted Problem // Acta Astronautica, Vol. 32, No. 4, 1994, pp. 245-254.
Janin G. Trajectory design for the Solar Orbiter mission // Monografias de la Real Academia
de Ciencias de Zaragoza, 25, 2004. P. 177-218. (ESA-ESOC). URL: http://www.unavarra.es/vijtmc/
Bertiz_Def/l 77Janin.pdf
Kamensky S., Tuchin A., Stepanyants F., Alfriend K.T. Algorithm of Automatic Detection and
Analysis of Non-evolutionary Changes in Orbital Motion of Geocentric Objects. AAS 09-103, 34 p.
URL: http://www.kiam 1 .rssi.ru/pubs/AAS_09-103.pdf
The IA U Resolutions on Astronomical Constants, Time Scales, and the Fundamental Reference
Frame. USNO Circular No. 163 / U.S. Naval Observatory. Edited by G.H. Kaplan. Washington D.C.,
1981. 36 p. URL: https://propertibazar.com/article/usno-circular-163-pdf-astronomical-applications-
department_5a2d8b94d64ab27ccf37c2bd.html
Kawakatsu Y. E inf Direction Diagram and its Application to Swingby Design // 21 st International
Symposium on Space Flight Dynamics, September 28 - October 2 2009, Toulouse, France. URL:
http://issfd.org/ISSFD_2009/InterMissionDesignI/Kawakatsu.pdf.
Keeter T.M. Station-Keeping Strategies for Libration Point Orbits: Target Point and Floquet Mode
Approaches. / A Thesis submitted to the Faculty of Purdue University, 1994. XV p. + 143 p. URL:
https://engineering.purdue.edu/people/kathlcen.howell. 1/Publications/Masters/ 1994_Keeter.pdf
Kizner W.A. Method of Describing Miss Distances for Lunar and Interplanetary Trajectories.
JPL External Publication 674, August 1959. URL: http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.
gov/19650073410_l 965073410.pdf
Koleman E., Kasdin N.J., Gurfil P. Quasi-Periodic Orbits of the Restricted Three-Body Problem
Made Easy// New Trends in Astrodynamics and Application III, American Institute of Physics
Conference Series. February 2007. v. 886, Iss. 1. P. 68-77. URL: https://www.princeton.edu/~hcil/
papers/kolemen-kasdin-gurfil_-_quasi_periodic_orbits_of_RTBP_made_easy.pdf
Konstantinov M., Petukhov F, Thein M. Optimization spacecraft insertion into the system of
heliocentric orbits for Sun exploration // 65th I AC, Toronto, Canada, 2014. IAC-14-C1.9.4
Koon W.S., Lo M., Marsden J.E., Ross S. Heteroclinic connections between periodic orbits and
resonance transitions in celestial mechanics // Chaos. 2000. V. 10(2). P. 427-469.
Koon W.S., Lo M.W., Marsden J.E., Ross S.D. Dynamical Systems, the Three-Body Problem and
Space Mission Design.- Pasadena, 2011. - xii p. + 315p. URL: http://www2.esm.vt.edu/~sdross/
books/
LabunskyA. F., Papkov O. F., Sukhanov K.G. Multiple Gravity Assist Interplanetary Trajectories. -
Earth Space Institute Book Series, Gordon and Breach Publishers, London, 1998. vi p. + 285 p.
334
Marsden J., Ross S. New methods in celestial mechanics and mission design.// Bulletin of the
American Mathematical Society v.43, No.l. 2006. P. 43-73. URL: https://www.researchgate.net/
publication/30764945_New_methods_in_celestial_mechanics_and_mission_design
Minovitch M. The Determination and Characteristics of Ballistic Interplanetary Trajectories under
the Influence of Multiple Planetary Attractions // Jet Propulsion Lab., Pasadena, Calif., 1963, Tech.
R 32-464. 40 p.
Minovitch M. Gravity thrust Jupiter Orbiter Trajectories generated by encountering the Galilean
satellites // J. of Spacecraft and Rockets, 1972, v. 9. P. 751-756.
NAIF NASA’s Navigationand Ancillary Information Facility. URL: https://naif.jpl.nasa.gov/naif/
index.html
Perez J.M.S. Trajectory Design of Solar Orbiter URL: http://www.issfd.org/ISSFD_2012/
ISSFD23_IMDl_3.pdf
Pernicka H.J. The Numerical Determination of Nominal Libration Point Trajectories and
Development of a Station-Keeping Strategy. / A Thesis submitted to the Faculty of Purdue University,
1990. XIII p. + 168 p. URL: https://engineering.purdue.edu/people/kathleen.howell. 1/Publications/
Dissertations/1990_Pernicka.pdf
Ross S., Scheeres D. Multiple Gravity Assists, Capture, and Escape in the Restricted Three-Body
Problem // SIAM J. Applied Dynamical Systems, 2007, V. 6. No. 3. P. 576-596.
Seidelmann P.K., Abalakin V.K. et al. Report of the I AU / I AG Working Group on cartographic
coordinates and rotational elements of the planets and satellites: 2000 // Celestial Mechanics and
Dynamical Astronomy. 2002. v.82, Iss.l. P. 83-110.
Senske D. et al. Exploring the Habitability of Europa // International Colloquium and Workshop
Ganymede Lander: scientific goals and experiments, Moscow, 2013. URL: http://glcw2013.cosmos,
ru/presentations.
Simo C., Gomez G., Llibre J., Martinez R. Station Keeping of a Quasiperiodic Halo Orbit Using
Invariant Manifolds // Second International Symposium on Spacecraft Flight Dynamics ESA 1986,
SP-255.P. 61-70.
Strange 2007 Strange N.J., Russell R., Buffington B. Mapping the V-infinity Globe // AIAA/AAS
Space Flight Mechanics Meeting, AAS Paper 07-277, 2007, 24 p. URL: http://russell.ae.utexas.edu/
Final Publications/Conference PapersZ07Aug_AAS-07-277.pdf
Tapley B.D., Schutz B.E., Born G.H Statistical Orbit Determination. Amsterdam et al.: Elsevier,
2004. XV p. + 547 p.
Ulivi P, HarlandD. Robotic Exploration of the Solar System. Part 4: The Modern Era 2004-2013.
Series: Springer Praxis Books. Subseries: Space Exploration XII. 2015. - 567 p.
Uphoff C., Roberts P, Friedman L. Orbit Design Concepts for Jupiter Orbiter Missions // J. of
Spacecraft and Rockets, 1976, v. 13, № 6.P. 348-355.
Vallado D.A., Crawford P, Hujsak R., Kelso T.S. Revisiting spacetrack report #3. AIAA 2006-
6753. 88 p. URL: http://celestrak.com/publications/AIAA/2006-6753/AIAA-2006-6753.pdf
Williams K., Barden B., Howell K., Lo M., Wilson R. GENESIS Halo Orbit Station Keeping Design.
URL:	https://engineering.purdue.edu/pcople/kathleen.howell. 1 /Publications/Conferences/2000_
ISSFD_WilBarHowLoWil.pdf.
Wolf A. Touring the Saturnian system // Space Science Reviews. 2002. V. 104, Iss. 1. P. 101-128.
Woolley R.C. Endgame Strategies for Planetary Moon Orbiters. Ph. D. thesis.
University of Colorado, 2010. XXI p. + 148 p. URL: https://www.researchgate.net/
publication/252726285_Endgame_strategies_for_planetary_moon_orbiters
335
ISBN 978-5-905646-12-6
научное издание
монография
Боровин Гэннадий Константинович, Гэлубев Юрий Филиппович,
Грушевский Алексей Васильевич, Заславский Гоигорий Симонович,
Захваткин Михаил Витальевич, Корянов Виктор Владимирович,
Лавренов Сергей Михайлович, Морской Игорь Михайлович,
Симонов Александр Владимирович, Степаньянц Виктор Аркадьевич,
Тучин Андрей Гэоргиевич, Тучин Денис Андреевич,
Ярошевский Виктор Семенович
БАЛЛИСТИКО-НАВИГАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПОЛЁТОВ
АВТОМАТИЧЕСКИХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
К ТЕЛАМ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
подписано в печать 25.09.18
бумага мелованная
формат 70х 100 1/16
печать офсетная
усл. печ. л. 21
тираж 500 экз.
издатель - АО «НПО Лавочкина»
отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ООО «СИНТЕРИЯ»
109316, город Москва, проспект Волгоградский, д. 43, корп. 3