/
Text
МАТЕМАТИКА
НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ
РЕДАНТОРЫ СЕРИИ А Н НОЛМ0Г0Р0В, С П НОВИНОВ
ИОНСТРУИТИВНАЯ
ТЕОРИЯ
ПОЛЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО 'МИР МОСКВА
МАТЕМАТИКА
НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ
РЕДАКТОРЫ СЕРИИ; А.Н.КОЛМОГОРОВ- С.П.НОВИКОВ
КОНСТРУКТИВНАЯ
ТЕОРИЯ
ПОЛЯ
Сборник статей
Перевод с английского
И. В. ВОЛОВИЧА и
Ю. М. ЗИНОВЬЕВА
Под редакцией
В. Н. СУШКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1977
УДК 630.145
Конструктивная теория поля оформилась как самостоя-
самостоятельное направление в 60-е гиды, а в последнее десятилетие в
ней получены значительные результаты. В основу предлагае-
предлагаемого сборника положены лекции, прочитанные в Международ-
Международной школе по математической физике. Среди авторов статей
известные специалисты, активно работающие в данной обла-
области, — Дж. Глимм, А. Джаффе, Э. Нельсои и др.
Сборник рассчитай иа физиков-теоретиков и математиков,
интересующихся проблемами физики.
Редакция литературы по математическим наукам
20203-017 G 7? ^ Перевод на русский изык. «Мир», 1977
041@1)-77
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемый вниманию читателя сборник содержит лек-
лекции, посвященные тому интенсивно развивающемуся в по-
последние годы направлению теории квантованных полей, за
которым уже успело закрепиться специальное название —
конструктивная квантовая теория поля (ККТП). И если ка-
какой-либо определенный момент зарождения нового направле-
направления указать невозможно, то дату его оформления в самостоя-
самостоятельный раздел квантовой теории поля (КТП) можно свя-
связать (конечно, условно) со временем появления (июль 1964 г.)
каргезских лекций Вайтмана [Wig 3], где достаточно подробно
обсуждались как основные задачи ККТП, так и возможные
принципы отыскания их решений. В качестве Главной Проб-
Проблемы теории Вайтман выдвинул задачу строго математиче-
математического обоснования результатов, получаемых в эвристической
квантовой теории поля, где уже в течение многих лет «из-
«известны многочисленные примеры нетривиальных моделей, для
которых можно доказать существование решений в том смыс-
смысле, что можно выписать формальные (преимущественно рас-
расходящиеся) ряды по константе связи, удовлетворяющие урав-
уравнениям движения» [Wig 3; стр. 9]. Иначе говоря, задача
ККТП в отличие от аксиоматической теории поля, изучающей
общие свойства релятивистских квантовых систем, состоит в
том, чтобы для той или иной конкретной квантовополевой мо-
модели 1) доказать существование квантованного поля как ясно
определенного математического объекта, удовлетворяющего
ряду физических требований; 2) провести реальное построе-
построение такого поля или величин, тесно с ним связанных; 3) ис-
еледовать математические свойства построенных величин и,
наконец, 4) выявить физическое содержание изучаемой кон-
конкретной модели. В неформальной постановке такая задача,
конечно, не нова для КТП, а скорее традиционна. Новым
здесь прежде всего являются требования к математической
обоснованности результатов: методы, которыми эти резуль-
результаты получаются, должны быть логически последовательными
и удовлетворять всем современным критериям математиче-
математической строгости. В итоге можно сказать, что ККТП стремится
6 Предисловие редактора перевода
сочетать строгость аксиоматической КТП с конкретностью
эвристической КТП, в частности теории перенормировок, от-
откуда она черпает многие из своих руководящих идей.
Подобно аксиоматической теории в ККТП, в качестве ма-
математического образа релятивистских квантованных полей
принято выбирать операторные обобщенные функции (ООФ),
удовлетворяющие аксиомам Вайтмана. Эти аксиомы, в сущ-
сущности, выражают на языке ООФ такие общие физические
требования, как пуанкаре-инвариантность, положительность
энергии, микропричинность и т. п. (подробнее см. [BLT, Str,
Wig, Jo]). Как показывает теорема реконструкции, доказан-
доказанная Вайтманом еще в 1956 г., существование полей, понимае-
понимаемых описанным выше образом, эквивалентно существованию
цепочки {Wn(xu ..., хп)} функций Вайтмана Wn, являю-
являющихся граничными значениями функций Fn, голоморфных в
так называемых симметризованных трубчатых областях Zn-
По этой причине задачу построения нетривиальных кванто-
квантованных полей можно переформулировать как задачу построе-
построения нетривиальных (отличных от свободных) функций Вайт-
Вайтмана Wn(xi хп).
Наиболее прямой способ решения этой задачи мог бы
состоять в прямом вычислении функций Вайтмана
я> xn)Q0, Qo), (*)
определяемых с помощью гайзенберговых полей, которые за-
задаются (в простейшем случае одного скалярного поля) соот-
соотношением
<р(*, х) = exp {UH [я, ф]}ф(л:)ехр{— ИН[я, ф]},
где ф(х)—начальное «значение» поля, Н[я, ф] = Но[я, ф] -j-
-f ЯЛя.ф] — гамильтониан системы, я — канонически сопря-
сопряженный к ф импульс, Qo — основное состояние гамильто-
гамильтониана.
Однако непосредственная реализация такой программы на-
наталкивается на ряд серьезных препятствий, порожденных пре-
прежде всего весьма сингулярной природой основного объекта
исследований — квантованного поля ф(л:). Наиболее яркое
свидетельство этого — появление объемных, ультрафиолето-
ультрафиолетовых (УФ) и многочастичных расходимостей в рядах теории
возмущений, применяемой в практических расчетах. Суще-
Существенно, что, хотя смысл и характер таких расходимостей
наиболее отчетливо может быть продемонстрирован на языке
Предисловие редактора переводи
теории возмущений, физические причины объемных и УФ-рас-
ходимостей значительно глубже. Фактически они обусловле-
обусловлены тем, что релятивистские поля — это физические системы
с бесконечным числом степеней свободы (бесконечные си-
системы), удовлетворяющие требованиям пуанкаре-инвариант-
ности и локальности. Точнее говоря, требование трансляцион-
трансляционной инвариантности при условии существования эффекта по-
поляризации вакуума, неизбежно возникающего при любом
нетривиальном взаимодействии Я/[л, <р], совместимом с тре-
требованием релятивистской инвариантности, неотвратимо ведет
к объемным расходимостям (подробнее см. [Wig 2; § 6] и
[Не 2; гл. О, гл. V]). УФ-расходимости обусловлены тем, что
при современном понимании микропричинности (равнознач-
(равнозначной локальности) теория не может исключить взаимодействия
частиц с как угодно большими импульсами и энергиями (по-
(подробнее см. [Wig3; § 7], [Не 2; гл. О, гл. III, гл. IV, гл. VI]).
По этой причине доказательство существования полей
или функций Вайтмана в ККТП обычно начинается с иссле-
исследования вспомогательных систем, получаемых путем введения
тех или иных обрезаний. Обычно используют объемное обреза-
обрезание Л и УФ-обрезание а. Объемное обрезание делает конечной
пространственную область взаимодействия частиц, описывае-
описываемых полями, что нарушает трансляционную инвариантность
теории, а УФ-обрезание ограничивает величины импульсов и
энергий, участвующих во взаимодействии частиц, что нару-
нарушает локальность. В результате, обрезания совместно приво-
приводят к тому, что функции Вайтмана вспомогательных систем
Wn(ti, хй ...; tn, х„\А, а) оказываются свободными от объ-
объемных и УФ-расходимостей. Вопрос, таким образом, сводится
к вопросу о существовании предела у последовательности
{Ц7п("|Л,0)} при снятии обрезаний (Л—»-оо; а—»-оо). Правда,
сами по себе функции Wn(-\A, о) предела иметь не могут,
поскольку при Л—»оо, о—»оо в них возникают расходимости,
присущие исходным необрезанным величинам. Выход из
этого тупика подсказывается теорией перенормировок: для
ликвидации расходимостей в предельных функциях Вайтмана
в исходное формальное выражение для гамильтониана (или
лагранжиана) надо ввести не только обрезания Л и о, но и
добавочные члены специальной структуры — контрчлены пе-
перенормировки,— которые в пределе Л—>оо, а—>оо компенси-
компенсируют возможные расходимости. Изучение последовательности
перенормированных, т. е. построенных с учетом контрчленов,
обрезанных функций Вайтмана №*(-|Л, о) и главным об-
образом ее поведения при снятии обрезаний и составляет основ-
основной предмет ККТП.
Предисловие редактора Перевода
Структура контрчленов весьма существенным образом за-
зависит от конкретной природы рассматриваемых квантовополе-
вых моделей. Наиболее простые контрчлены возникают в так
называемых суперперенормируемых моделях, описывающих
взаимодействия полей в пространстве-времени размерности s,
меньшей 4. Именно с изучения таких взаимодействий и нача-
началась история развития ККТП.
Первый этап ее развития, а точнее этап ее становления,
нашел свое достаточно полное отражение в уже цитирован-
цитированных выше лекциях Вайтмана [Wig3], к которым мы настоя-
настоятельно рекомендуем обратиться каждому, кто хочет позна-
познакомиться с предметом и методами ККТП.
Второй этап, связанный в основном с именами Глимма и
Джаффе, состоял в изучении простейших суперперенормируе-
суперперенормируемых взаимодействий вида (<p4h, ^п(фЬ, (^^фЬ, где.верхний
индекс — степень взаимодействия, а нижний — размерность
пространства-времени. Именно на этом этапе анализа был
построен первый нетривиальный пример релятивистского ло-
локального квантованного поля. С математической точки зрения
работы этого времени интересны использованием весьма изо-
изощренной техники операторных оценок, развитых специально
для исследования изучаемых моделей. Достаточно полное
представление о результатах и использованной в этот период
технике дает книга Хеппа [Не 2] и статья Глимма и Джаффе
«Бозонные квантовополевые модели», помещенная в настоя-
настоящем сборнике, где дано мастерски написанное изложение ре-
результатов, полученных при исследовании /)п(фJ-взаимодей-
ствия.
Наконец, несколько лет назад начался новый период раз-
развития теории, характеризуемый интенсивным использованием
методов евклидовой- теории поля. Суть этого метода состоит
в следующем. Как уже отмечалось выше, функции
Wn{tiXu ...; tn, хп), удовлетворяющие аксиомам Вайтмана,
являются граничными значениями функций ^n{z°i> zp •••
..., гРп, zn), голоморфных в ?*. В область ?* попадают
так называемые евклидовы точки z{, для которых Re z\ = 0,
Im zi = 0. Сужения Fn на множество евклидовых точек <§
приводят к функциям Швингера
5n(^i, Х\\ •••; ta, xn) = Fn{iti, Xj, ..., itn, xn),
объектам более удобным с математической точки зрения,
чем функции Вайтмана. Соотношение между Sn и Wn, грубо
говоря, аналогично соотношению между функциями Грина
Предисловие редактора перевода
уравнения Шредингера и уравнения диффузии. Хорошо из-
известно, что в то время как представление функции Грина
уравнения Шредингера в виде фейнмановского континуаль-
континуального интеграла по путям не имеет достаточно ясного обосно-
обоснования в рамках теории меры, представление функции Грина
уравнения диффузии, получаемое с помощью перехода к «мни-
«мнимому» времени it, имеет четкий математический смысл в тер-
терминах интеграла по мере Винера. Подобным же образом пе-
переход к «мнимому» времени в функциях Вайтмана приводит
к функциям Швингера Sn, для которых могут быть написаны
интегральные представления, которым очень часто можно
придать точное значение в терминах вероятностных мер, ас-
ассоциируемых с теми или иными случайными процессами, чего
до сих пор не удалось сделать для континуального интеграла
Фейнмана. По этой причине удобство перехода от Wn к 5„
сомнения не вызывает, да никогда и не вызывало: фактиче-
фактически такой переход делался на самых ранних этапах развития
КТП. Главный вопрос состоял в том, насколько знание функ-
функций Швингера позволяет однозначно восстановить функции
Вайтмана. Иди, иначе говоря, каким условиям должны удов-
удовлетворять функции Sn, для того чтобы с помощью их анали-
аналитического продолжения можно было получить функции Wn,
удовлетворяющие аксиомам Вайтмана.
Исчерпывающий ответ на этот вопрос получили Остерваль-
дер и Шрадер, которые нашли условия, необходимые и доста-
достаточные для эквивалентности теорий, основанных на функциях
Wn и &п соответственно. Изложению этого фундаментального
результата посвящены лекции Остервальдера, помещенные в
настоящем сборнике1). Основываясь на этом результате, про-
проблему построения релятивистской квантовой теории теперь
можно переформулировать как проблему построения функций
Швингера, удовлетворяющих условиям Остервальдера —
Шрадера (О. Ш.). С общей точки зрения преимущества та-
такой переформулировки связаны с двумя обстоятельст-
обстоятельствами.
Во-первых, переход к функциям Швингера позволяет при-
привлечь к решению проблем теории поля мощные и хорошо
развитые теоретико-вероятностные методы. Дело в том, что,
подобно тому как функции Вайтмана можно задать в виде
') Первоначальная формулировка этих условий, данная в работе
[Os Sch 3], была неточной из-за ошибки, содержащейся в доказательстве
одной технической леммы. Исправленная формулировка с соответствую-
соответствующими доказательствами дана в [Os Sch 4]. В лекциях Остервальдера,
включенных в настоящий сборник, содержится предварительная версия
»той формулировки и доказательства.
10 Предисловие редактора перевода
средних от «произведения» релятивистских квантованных по-
полей (см. *), функции Швингера можно отождествить со сред-
средними от произведения специальных обобщенных случайных
процессов (евклидовых полей):
Sn{tlt xlt .... tn, xn) = E[G>(tl, xt) ... ФD, *«)],
где Е[а] — среднее от случайной величины а, заданной на
вероятностном пространстве (Q, 2,ц), лежащем в основе опре-
определения процесса Ф(-). Сразу же возникает вопрос о том,
каким требованиям нужно подчинить случайный процесс Ф(-)
для того, чтобы получаемые с его помощью функции Sn{-)
удовлетворяли условиям О. Ш. Ответ на этот вопрос содер-
содержится в лекциях Э. Нельсона «Теория вероятностей и евкли-
евклидова теория поля», где дано общее определение евклидова
поля как евклидово-коварнантного марковского случайного
поля, удовлетворяющего определенным дополнительным усло-
условиям, и показано (теорема 2), что эти условия гарантируют
выполнение условий О. Ш. Вместе с краткими, но очень со-
содержательными лекциями М. Рида лекции Э. Нельсона мо-
могут служить превосходным введением в круг вопросов, свя-
связанных с теоретико-вероятностными методами евклидовой
теории поля.
Во-вторых, как уже упоминалось выше, переход от функ-
функций Wn к функциям Швингера позволяет при изучении во-
вопросов, связанных со снятием обрезаний, использовать вполне
корректные интегральные представления для 5П(-|Л, а) н
разнообразные результаты классической статистической фи-
физики, поскольку с помощью интегральных представлений мно-
многие вопросы евклидовой теории поля превращаются в про-
проблемы классической статистической физики.
Важнейшие интегральные представления для S%(- |Л, а)
вытекают нз формулы Фейнмана — Каца — Нельсона. Они
выражают Sn(* |Л, а) через моменты определенных вероят-
вероятностных мер. В простейших случаях это представление имеет
следующий вид:
$Ж *>; ••¦; '.. Ьг\А> °) = WRn(it;, Ь; ...; itn, xn\A, а)^
ив <ф (*,) ехр {- (if, - U) HR (Л, а)} <р (х2) ...
... ехр { - (tn - *„..,) Н* (Л, a)} Qo, Qo> =
= Шп
Гехр | - \ V* (т |Л, a) dx \V\ E Uo(*„ *,) ..,
Предисловие редактора перевода II
...Ф0(*П|хя)ехр|- \
где #Н(Л, а)—обрезанный перенормированный гамильтони-
гамильтониан, задающий рассматриваемую модель; Vll(A, a)—обрезан-
a)—обрезанный перенормированный евклидов «потенциал» взаимодей-
взаимодействия; Фо(^, х) —гауссов обобщенный случайный процесс
(свободное евклидово поле), отвечающий свободному ре-
релятивистскому полю фо(^, х) = ехр { -j- itfi0[я, ф]}ф(#) X
X ехр{—ННо[я, <р]}; ?{•] — среднее на вероятностном про-
пространстве, где определено евклидово поле Фо(^, х), d\ix 0 =
= ( \ e~vR (Л> о) rfjij ехр {—Vя (Л, о)} d\i0; d\i0 —¦ гауссова мера,
отвечающая гауссовому обобщенному случайному процессу
Фо(-)- Представления, подобные только что выписанному
(а сейчас уже получены представления для функций Швинге-
ра в теориях не только с бозонными, но и с фермионными по-
полями), открывают возможность для следующей процедуры
построения перенормированных функций Вайтмана без обре-
обрезаний: изучаем обрезанные перенормированные функции Вайт-
Вайтмана при «мнимом» времени ^(гтр х_х; ...; ixn, xa\A, а)==
^5^(т,, х^; ...; %п, дс„|Л, а), с помощью интегрального
представления доказываем существование предельной меры
rfM'oo.a» по мере d^^^ строим функции Sf(-|oo, oo), для
которых проверяем условия О. Ш. Именно таким способом
было существенно упрощено доказательство существова-
существования функций Вайтмана в Р(ф)г-модели и впервые было дока-
доказано их существование в значительно более сложной (ф4)з-
модели').
Конечно, не следует думать, что описанный метод по-
построения Wn применим ко всем квантовополевым моделям.
Скорее наоборот — существуют сильные сомнения в возмож-
возможности непосредственного доказательства существования пре-
') Существование функций Вайтмаиа в (ф4)з-модели было доказано
в [FeOs, MaSe], где кроме того было доказано существование щели в
спектре масс. Обсуждение этих результатов и описание методов их по-
получения можно найти в лекциях Я. Парка «Construction of (kq>4—Оф2—цф)з
quantum field models» в Ada Physica Austriaca, Suppl., XV, 271—321
A976). Применение методов евклидовой теории поля для анализа Р(фЬ-
модели подробно описано в недавно изданных на русском языке лекциях
Б. Саймона [Si 3].
12 Предисловие редактора перевода
дельной меры с1цх,» для взаимодействий, отличных от супер-
перенормируемых. Но по сравнению с методами, применяв-
применявшимися на первых этапах развития ККТП, евклидовы методы
без сомнения эффективнее и позволяют решать целый ряд
более глубоких и интересных для приложений физических
проблем, чем проблемы существования поля. К их числу от-
относятся и проблема существования связанных состояний, и во-
вопрос о фазовых переходах в КТП, и проблема нарушения
симметрии и т. п. То как все эти проблемы формулируются
и решаются в ККТП, излагается в большой программной ра-
работе Глимма, Джаффе, Спенсера. Ее изучение, с одной сто-
стороны, познакомит читателя с наиболее актуальными задача-
задачами ККТП, а с другой — снабдит его рядом конкретных техни-
технических идей решения этих задач.
Хочется надеяться, что этот сборник найдет своего чи-
читателя как среди математиков, интересующихся КТП, так и
физиков, тяготеющих к строгим математическим методам ана-
анализа физических проблем, и займет место рядом с уже пе-
переведенными на русский язык работами по конструктивной
теории поля.
В. Н. Сушко
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ »)
Майкл Рид
Принстонский университет
Уже много лет в квантовой механике и квантовой теории
поля применяются стандартные методы функционального ана-
анализа. В самом деле, основные понятия функционального ана-
анализа— гильбертово и банахово пространства, ограниченные и
неограниченные операторы — являются теми математически-
математическими объектами, из которых строятся квантовые модели. Под
«стандартными методами» я подразумеваю спектральную
теорему, теорему Стоуна и различные методы доказательства
самосопряженности и исследования свойств конкретных опе-
операторов. Я не вижу необходимости в чтении лекций по этим
вопросам, так как многие из вас уже знакомы с ними или
же могут обратиться к учебникам по функциональному ана-
анализу, а также к отдельным вводным курсам, предназначен-
предназначенным специально для физиков (см., например, [МСР] или
[StM]).
Большинство из вас уже хорощо знакомо с квантовой
теорией поля и знает, что попытки понять и решить трудные
математические проблемы, возникающие в этой области фи-
физики, привели к использованию таких разделов математики,
как представления групп, теория обобщенных функций, тео-
теория функций многих комплексных переменных и теория ба-
банаховых алгебр. Вероятно, поэтому вы не были слишком
удивлены, узнав, что в квантовой теории поля теперь стала
применяться еще одна область анализа: теория вероятностей
и случайные процессы. Привлечение этих методов объяс-
объясняется двумя фактами. Во-первых, замечено, что некоторые
задачи теории поля аналогичны задачам статистической ме-
механики; во-вторых, как это часто подчеркивали Ирвинг Сигал
и Эдвард Нельсон, методы теории вероятностей не только
являются средством решения наших задач, они отвечают са-
самой сути изучаемой проблемы, т. е. задачи теории поля в
определенной степени являются задачами теории вероятно-
вероятностей.
') М. С. Reed, Functional analysis and probability theory, Constructive
Quantum Field Theory, Lecture Notes in Physics, 25, Springer-Verlag,
Berlin, Heidelberg, New York, 1973.
© by Springer-Verlag, 1973
и м. Рид
Поэтому я собираюсь в этих лекциях рассказать об основ-
основных методах и понятиях теории вероятностей, которые будут
использоваться далее. Мы начнем с азов, и вы не должны
сердиться, если я буду рассказывать известные вам вещи
(хотя я допускаю, что некоторые из вас, быть может, и про-
проявят нетерпение).
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Начнем с основных определений. Вероятностное простран-
пространство— это тройка (Й, 2, ц), где Й — множество, 2— задан-
заданная а-алгебра подмножеств множества Q и ц — положитель-
положительная мера единичной массы на (Q, Е). Вещественная случай-
случайная величина — это измеримая вещественная функция на Q.
Если х — случайная величина на Q, то распределение вели-
величины х — это вероятностная мера цх на вещественной оси,
которая на борелевых множествах А в R принимает следую-
следующие значения:
цх {А} = ц {х-1 [А]} = ц {<о е= Q | х (ш) е= А).
Мы определяем среднее Е(х) и дисперсию Var(x) вели-
величины х как интегралы следующего вида (при условии, что по-
последние существуют):
R
Если f —измеримая функция на R, то f (x) — также случай-
случайная величина на (Q, 2, ц) и
Е (/ (*)) = \ f (х (ю)) dn (ш) = J f (Я) rf^, (Я).
a R
Заметим, что для функции xgI2(Q,
? {х) = (х, H)L, (Q_ d)l) =
И
Var (x) = (x - ? (x), x - E (x))L1 @> rf|l) = J (^ - ? (x)) dц (ш).
Пример 1а. Рассмотрим эксперимент, который состоит
в iV-кратном бросании монеты. Обозначим результат броса-
бросания через 0, если выпадет герб, и через 1, если выпадет ре-
решетка; тогда множество Q всех исходов может быть запи-
записано следующим образом: Q = {<» = (л,)^,, | nt ==¦ 0 или Г}.
Функциональный анализ и теория вероятностей 15
Каждая точка ш представляет возможный исход последова-
последовательности N бросаний и имеет меру l/2'v. Пусть дс< — случай-
случайная величина на Й, заданная следующим образом:
( 1, если п{— 1,
*' ^ i 0, если nt = 0.
Тогда распределение величины xt равно fiX(. = -^ б (Я,) +
-|--g-6(A,— 1), ее среднее ? (xt) = -j, дисперсия Var (л;г) = -j-.
Вернемся теперь к нашим общим определениям.
Пусть Xi, / = 1, ..,, k, — случайные величины на вероят-
вероятностном пространстве (Q, S, ц). Тогда векторнозначная функ-
функция х(<а) = (хг(ш), ..., Xk(®)) определяет меру цх на R6, кото-
которая на борелевых множествах А в R6 принимает значения
И* (A) = ii {х-1 [А]} = ц {ю | (х, (ш), .... *6 (©)) г А}.
Мера ]ix называется совместным распределением величин xit
Обычно независимость случайных величин определяется
в терминах совместных распределений, но мы будем поль-
пользоваться определением в терминах а-алгебр. Пусть Т — кно-
жество индексов. Семейство измеримых множеств {At)te.T,
At ci Q, называется независимым, если
для любого конечного подсемейства {?J с Т. Говорят, что
семейство а-алгебр {2*}is7. с 2* с S независимо, если каждое
семейство {At} множеств At s Бг независимо. Наконец, семей-
семейство случайных величин {xt}t(sT независимо, если семейство
а-алгебр{^t)t^T независимо; здесь Ег — это с-алгебра, порож-
порожденная случайной величиной xt (т. е. наименьшая а-алгебра
на Й, относительно которой функция Xt измерима). Из этого
определения следует, что если случайные величины хи х2, ...
.,., Xh независимы, то их совместное распределение цх есть
в точности прямое произведение мер ц* = (R) ц*. в Rft,
а это совпадает с обычным определением независимости.
Если А, В е 2 и \к{В) Ф 0, мы вводим
16 М. Рид
и называем Р(А\В) условной вероятностью события А при
заданном В. Если Л и В — измеримые множества в R и х,
у — случайные величины с ^{дг-^В]} ФО, мы полагаем
и называем Р(у^А\х^В) условной вероятностью того,
что у лежит в А, если х лежит в В.
Пример 1Ь. Вернемся к примеру 1а и рассмотрим мно-
множества S* = {©e Q|rt/ = i} при i = 0, 1 и / = 1, 2, ..., п.
Пусть Sj является а-алгеброй, порожденной S{ и So (т. е.
она состоит в точности из четырех множеств 0, Q, S{ и So).
Легко проверить, что 0-алгебры 2j независимы (это, конечно,
является следствием нашего выбора меры); таким образом,
и случайные величины х* независимы. Если с (а) — случайная
величина, которая каждому <а ставит в соответствие целое
число, равное номеру бросания, при котором решетка появ-
появляется впервые, или число N -}- 1, если решетка не появляется
ни при каком бросании, то распределение этой случайной ве-
величины равно
и с не зависит ни от одного из Xi. На этом примере можно
проверить, что введенные выше понятия условной вероятно-
вероятности соответствуют обычному интуитивному представлению об
этих величинах.
Прежде чем закончить рассмотрение этого элементарного
примера, давайте несколько изменим точку зрения и зададим
вопрос, в каком смысле распределения случайных величин xt
определяют |г. Пусть 2<# является а-алгеброй, порожденной
множествами Si, S2, ..., 2j. Тогда распределение величины х\
определяет ц на 2<1>, совместное распределение величин х\
и х2 определяет ц на 2<2> и т. д. Совместное распределение
величин хи .... xN определяет у. полностью, так как 2W —
это и есть алгебра всех подмножеств множества Q. Заметим,
что в этом частном случае вследствие независимости xt мы
можем вычислить любое совместное распределение, исполь-
используя индивидуальные распределения. Таким образом, мы
имеем семейство расширяющихся а-алгебр 2<'> с: 2<2> с:...
... сг 2<№), порождаемых все большими и большими семей-
семействами случайных величин. Сужение ц на отдельную алгебру
из указанного выше семейства определяется совместными
распределениями случайных величин, которые порождают всю
Функциональный анализ и теория вероятностей 17
алгебру. Такая переформулировка этого тривиального при-
примера будет способствовать интуитивному пониманию после-
последующих более сложных построений.
Переходя к обсуждению другого примера, дадим еще одно
определение. Если хи i = 1, ..., N,— случайные величины,
то матрица
называется корреляционной матрицей величин Х{. Заметим,
что
N
и потому корреляционная матрица положительно определена.
Кроме того, если хг и Xj имеют нулевые средние значения, то
Пример 2 (гауссовы случайные величины). Случайная
величина х называется гауссовой, если ее распределение цх
задано следующим образом:
afi*W=ffy~e ак
для некоторых о>0 и meR. Легко проверить, что о и т
являются соответственно дисперсией и средним значением
величины х. Конечный набор случайных величин х\, ..., xN
называется гауссовым, если существуют симметричная по-
положительно определенная матрица Q на RN и такие веще-
с?венные числа т\, ..., tnN, что совместное распределение
величин хи ..., xN равно
/in iDet (Q))'/j -"Г(Q (t""I)l ^-"и л*
С помощью интегрирования по «лишним» переменным можно
доказать, что совместное распределение любого подмножества
или любой линейной комбинации хг опять является гауссо-
гауссовым; в частности, сами х* являются гауссовыми случайными
величинами. Далее, простые факты из линейной алгебры и
прямое вычисление показывают, что ?(x,) = mj и что кор-
корреляционная матрица величин хи ..., xN равна Q~l. Следова-
Следовательно, если Х\, ..., xN — гауссово семейство, то их совмест-
совместное распределение полностью определяется их средними зна-
значениями и корреляционной матрицей. В частности, если кор-
корреляционная матрица диагональна (т. е. если х\ — т\, ..,
18 М. Рид
..., Xn — rriN взаимно ортогональны в L2(Q, d\x)), то совмест-
совместное распределение является произведением одномерных рас-
распределений. Иначе говоря, для гауссова семейства случайных
величин с нулевыми средними значениями (xh xj)L,(Q rf|i, =0
тогда и только тогда, когда Xi и Х] независимы. Таким обра-
образом, поскольку конечная линейная комбинация хг снова яв-
является гауссовой случайной величиной с нулевым средним
значением, мы можем (при помощи процесса ортогонализа-
ции Грама — Шмидта) найти такое множество ?ь ..., ?лг не-
независимых гауссовых случайных величин с нулевыми сред-
средними значениями и единичными дисперсиями (а это озна-
означает, что II ?* 111»(a d|i) = 1), что каждая величина хг будет ли-
линейной комбинацией ?*.
Наконец, если Х\, ..., xN — случайные величины, то функ-
функция
С (а,, ..., ая) = \eiS а<*/<«» dp (a) = $ е 2 а^ d^ (к)
называется характеристической функцией переменных хи...,-%.
Заметим, что если с?ц>(Я) задано формулой A.1) (т. е.
xiy ..., % —гауссово семейство), то
A.2) С (а, а„) = в ' '•/ ч",
где Г = Q есть корреляционная матрица. Обратно, если С
задано в виде A.2), то из единственности преобразования
Фурье следует, что совместное распределение величин Хи ...
..-., лглг задается соотношением A.1), где Q = Г, так что
хи ..., xN образуют гауссову систему.
Отметим, что мы рассматривали вещественные случайные
величины. Иногда мы будем использовать комплексные слу-
случайные величины; в этом случае распределения случайных
величин являются мерами на С. В общей ситуации случай-
случайная величина является измеримым отображением из (Q, 2)
в другое измеримое пространство (Qi, Si).
На этом я заканчиваю обещанное элементарное введе-
введение. Чтобы оценить огромное богатство приложений этих эле-
элементарных понятий, следует прочитать книги Феллера [Fel].
§ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Случайный процесс — это семейство {xt}t<=T занумерован-
занумерованных множеством Т случайных величин на вероятностном про-
пространстве (Q, 2, ц). Пусть вначале Т—интервал @, оо), так
Функциональный анализ и теория вероятностей
19
что случайный процесс — это отображение *(.)(•) произведе-
произведения @, оо)х Й в R, обладающее тем свойством, что для каж-
каждого t е @, оо) функция Xt(-) измерима на Q. Заметим, что
для каждого фиксированного шей отображение t~*xt((o) —
вещественная функция на @, оо). О числах xt(a) следует ду-
думать как о значениях некоторой наблюдаемой величины в
момент времени t: например, как о скорости частиц, влетаю-
влетающих в счетчик или как о положении частицы при броуновском
движении на оси х. Иначе говоря, каждое фиксированное ш
соответствует возможной истории изменения определенного
параметра i от нуля до бесконечности. Другое o>i e Q будет
соответствовать другой траектории, так как, вообще говоря,
функции Х(.)(а>) и x(.)(u>t) различны.
В сущности мера ц на Q показывает, какое множество
траекторий более, а какое менее вероятно. Например,
в
ц{ш|а<хи(ш)<р} = \ d\iXf
а
есть вероятность того, что при наблюдении в момент време-
времени t0 значение определенного параметра будет не меньше а
и не больше р. Аналогично, вероятность того, что а0
и al^xt <Ip,, равна
01 Во
= J
о, at
где \it t — совместное распределение величин хи(-) и xt(-).
Мы получим другой пример, положив Мт (©) = sup xt (a>).
t e @, Т)
Предположим, что функция Мт{-) измерима (см. ниже). То-
Тогда ц{й>|Мт(й>) ^ Р} дает нам вероятность того, что до мо-
момента времени Т длина пути не превышает р. Основное здесь
то, что динамика, лежащая в основе явления, отражена в
свойствах меры ц, которая позволяет нам приписывать ве-
20 М. Рид
роятности некоторым особенно нас интересующим подмноже'
ствам множества всех путей. Конечно, для любой заданной
динамики мера ц априори неизвестна и должна быть постро-
построена некоторым способом на основе физических соображений,
отвечающих изучаемой проблеме. Другими словами, дина-
динамика, лежащая в основе задачи, должна подсказать нам, ка-
каким образом явно построить меру ц на множестве траекторий,
ибо именно такая мера дает ответы на вероятностные во-
вопросы о динамике. Мы попытаемся сейчас провести такое
построение для случая броуновского движения частицы на
вещественной оси.
Сделаем три предположения:
1. Частица начинает движение в начале координат в мо-
момент t = 0.
2. Вероятность того, что во время t > s частица находится
в множестве BcR, если в момент времени s она находилась
в точке X, равна
1 , - С g-F-WBl
t-s\ J
Для удобства мы полагаем Р(%, g, t) = —p=e-^~xm2i\
"\2nt
3 (условие. Маркова). Для частицы, находящейся в мо-
момент времени s в множестве Л, будущая история зависит от
Л и не зависит от истории, предшествующей моменту s.
Первое условие говорит о том, что мы интересуемся лишь
теми путями, которые начинаются в начале координат, и по-
потому мы считаем, что наше пространство Q = {все такие ве-
вещественные функции / на [0, оо], что /@) = 0}. Фиксируем
значение нашего случайного процесса в момент времени t
условием xt(f) = f(t), где каждая / рассматривается (апри-
(априори) как возможная траектория, а /(/)-^как положение в
момент t. Так как мы хотим, чтобы функция xt(-) для каж-
каждого t была измеримой на Q, будем считать измеримыми все
множества вида {f\xt(f)^ А} для любого t и любого боре-
лева множества Л в к. Любая 0-алгебра, содержащая эти
множества, содержит также все множества вида
где U < h < ... < tn и А с: R™. Эти множества называются
цилиндрическими множествами. Обозначим множество цилин-
цилиндрических множеств через So. Посмотрим, как условия 2 и 3
определяют меру, которую мы хотим построить на So.
Функциональный анализ и теория вероятностей 21
Если в условии 2 положить s = 0, то мы увидим, что рас-
распределение xt задается следующим способом:
= Я(О, X, t)dX.
Пусть \ifit обозначает совместное распределение величин xt
и xt, t{ < t2, и пусть А и В будут борелевыми множествами
в R. Вероятность того, что xt лежит в маленьком интер-
интервале АЯр равна Р@, А,,, ^)ДА.,, а если дано, что xtt = Xlt то
вероятность того, что х1г лежит в маленьком интервале ДЯ2,
равна Р(Х{, Х2, \t2 — U |)ДЯ2. Таким образом, вероятность того,
что x(i лежит в ДЯ, и x(j лежит в ДЯ2, равна произведению
B.1) Р@, Яь
Следовательно,
B.2) ц,А(Л
Р@,
Итак, условие 2 определяет совместные распределения любой
пары хи и xt.
Для того чтобы определить совместное распределение трех
или более хи нам необходимо условие 3. Пусть t{ < t < t3.
Тогда вероятность того, что xti принимает значение в ДЯ.^
xti — в ДЯ,2 и xtt лежит в ДЯ,3, есть величина B.1), умножен-
умноженная на условную вероятность того, что xt e ДЯ.3 при задан-
заданных х( е ДЯ,, и xt s ДЛ2. Но, согласно условию 3, эта услов-
условная вероятность равна условной вероятности того, что ^ еДЯ,3
при заданном xt e ДЯ,2. Таким образом, вероятность того,
что x^t^kK^ xt^M2 и х^еДЯ,8, равна
B.3) Р(О, Я,, *,)Р(Хи X2,\t2-ti\)P(Хъ Х3, \tz-t2\)ЬХг ДЯ2ДЯ3.
Используя B.3), мы можем теперь без труда написать инте-
интегральное выражение, аналогичное B.2), для ц((^(АУ.ВУ,С),
совместного распределения величин xti, xt% и хи. Другие сов-
совместные распределения строятся точно таким же способом, и
мы видим, что условия 1 — 3 определяют меру ц на 2о. Такая
мера по очевидным соображениям называется мерой цилин-
цилиндрических множеств.
Это приводит нас к первой серьезной математической за-
задаче: So является алгеброй множеств, но не а-алгеброй, а для
22 М. Рид
того чтобы рассматривать различные случайные величины
(скажем, у(и>)), являющиеся пределами комбинаций Х({,
важно расширить ц, на наименьшую о-алгебру S, содержа-
содержащую So, поскольку для таких функций множества вида
{ш|а ^ г/(ш)^ р} будут лежать в S, но, вообще говоря, не
будут лежать в So. Задача состоит в продолжении ц таким
способом, чтобы оно было счетно аддитивным. Существует
общая теорема (см. [Roy]), в которой утверждается, что это
можно сделать, и притом единственным способом, если оказа-
оказалось, что ц счетно аддитивна уже на So. Точнее говоря, если
{Ап} — последовательность непересекающихся множеств в So
и А = U An <= So, то
Это равносильно тому, что если Е\ гэ Е2 ^> ... =э Еп гэ ...
лежат в So и П Еп = 0, то ц(Еп)-+0. Используя соображе-
соображения, связанные с компактностью, это условие можно прове-
проверить в нашем случае (доказательство см., например, в [Lo]
или [Va]).
Теорема (А. Н. Колмогоров). Конечно-согласованная
мера цилиндрических множеств на YL R может быть про-
[0 °о)
должена до единственной счетно аддитивной меры на мини-
минимальной а-алгебре, содержащей цилиндрические множества.
Слово «согласованная» означает, что мера цилиндриче-
цилиндрических множеств обладает тем свойством, что щ _ t получа-
получается из ц$ s интегрированием по лишним переменным, ка-
каковы бы ни были {*ь ..., tn} cr {su ..., sm).
Теперь возникает вторая математическая проблема, кото-
которая формулируется так: где сосредоточен носитель меры fi?
По построению [i является мерой на множестве всех веще-
вещественных функций на [0, оо), подчиненных условию /@) = 0.
Однако если наша модель действительно отражает реальные
черты броуновского движения, то носителем меры должен
быть гораздо более узкий класс функций, как, например,
класс непрерывных функций, поскольку интуитивно мы пред-
представляем себе броуновские траектории непрерывными. Итак,
рассмотрение аналитических свойств броуновских траекторий
является первой причиной, побуждающей нас исследовать
свойства носителя меры. Другая причина, хотя и носит техни-
технический характер, но также является очень важной. Предпо-
Предположим, что Мт{®)= sup {xt{а)}. Ранее мы объясняли, по-
<@, Т).
Функциональный анализ и теория вероятностей 23
чему Мт(-) может интересовать нас как случайная величина.
Однако у нас нет оснований считать функцию Мт{-) измери-
измеримой, поскольку она является верхней гранью несчетного
множества случайных величин, а элементарная теория меры
гарантирует измеримость верхней грани лишь счетного мно-
множества измеримых функций. С другой стороны, пусть Мт(ю)=
{xf (©)}, где {/„} — счетное плотное в @, оо) множество.
Тогда функция Мт{-) измерима и совпадает с Мт на непре-
непрерывных функциях. Следовательно, если Со(О, оо) = {/|/ не-
непрерывна и /@) = 0} является множеством полной меры, то
его можно взять в качестве пространства траекторий, а тогда
верхняя грань по всем траекториям совпадает с Мт и будет
измеримой.
Каково же условие, обеспечивающее непрерывность траек-
траекторий? Грубо говоря, такое условие должно гарантировать
сосредоточенность распределения величины xt — xs вблизи
нуля при малых значениях |^ — s\. Примером такого доста-
достаточного условия является неравенство
B.4) E(\xt-xsf)^M\t-s\a
с некоторыми а, р > 0. (Подробное доказательство см. в
[Va].) В нашем случае совместное распределение величин xt и
xs равно
— s |
Вводя новые переменные | = (A,i + Я,г)/2 и х\ = Я,2 — Xi и инте-
интегрируя по |, получаем распределение xt — xs, равное
У2я 11 — s |
Таким образом,
E(\xt-xs\4) =
2п ]_
— ОО
следовательно, условие B.4) выполнено и почти все траекто-
траектории непрерывны. В действительности о броуновских траекто-
траекториях известно гораздо больше. Например, почти все они
нигде недифференцируемы. Доказательство этого и других
фактов о степени непрерывности траекторий можно найти
в [It Mck] или [Va].
Случайный процесс, который мы использовали в качестве
примера, носит весьма специальный характер по многим при-
24 М. Рид
чинам. Прежде всего это гауссов процесс, т. е. все совместные
распределения конечного множества величин Xtl xfm
гауссовы. Во-вторых, это марковский процесс, так как выпол-
выполнено условие 3. (Более точная аналитическая формулировка
этого условия будет дана в § 3.) Наконец, мы рассматривали
броуновскую частицу, начинающую движение в начале коор-
координат. В более общей ситуации можно рассматривать либо
частицу, выходящую из точки Ко, и в этом случае распределе-
распределение величины xt равно Р(Ко, X, t)dX, либо частицу, относи-
относительно которой известно лишь начальное распределение
d() координаты хо, и тогда распределение xt равно
Построение мер. цилиндрических множеств в этих случаях
аналогично приведенному выше, а продолжить их можно, как
и раньше, с помощью теоремы Колмогорова. Конечно, полу-
полученные меры ц на множестве траекторий будут различными
при различных начальных распределениях.
На этом простом примере мы убедились, что при рассмо-
рассмотрении случайных процессов сразу же возникают две нетри-
нетривиальные математические задачи: 1) построения мер на мно-
множествах траекторий и 2) изучения свойств носителей этих
мер.
§ 3. УСЛОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ
Броуновское движение, рассмотренное в предыдущем
параграфе, было некоторой разновидностью случайного про-
процесса, точнее марковским процессом. Марковский характер
процесса обусловливался специальным предположением 3,
которое мы использовали при вычислении меры цилиндриче-
цилиндрических множеств. Для того чтобы дать точное определение мар-
марковского процесса, необходимо ввести понятие условного
математического ожидания и изучить некоторые его свойства.
Пусть (Q, 2, ц) — вероятностное пространство, и пусть
а-подалгебра 20с:2. Пусть fel^Q, 2, ц). Для каждого
В е Ёо определим
Тогда S(B) — ограниченная неположительная мера на So, аб-
абсолютно непрерывная по отношению к ограничению ц на So
(мы обозначим это ограничение снова через ц). Из теоремы
Радона — Никодима следует, что существует единственная
функция (точнее класс функций, отличающихся на множе-
Функциональный анализ и теория вероятностей 25
ствах меры нуль) E(f\ 20), принадлежащая L'(Q, 20, ц)> та-
такая, что
S(B)= J
в
для всех В <= 20, т. е.
в в
Существенно здесь то, что ?(/|2о) (со) измерима относнтёльно
Ео, в то время как /(со) может и не быть измеримой, по-
поскольку Ео — это подалгебра 2. Величина ?(/|20)(<о) назы-
называется условным математическим ожиданием f относительно
So.
Пример 1. Пусть Q = R2, 2 — борелевы множества
в R2. Предположим (для простоты), что d\i, = u(x,y)dxdy,
где и(х, у)>0 для всех (х, a) e R2. Пусть 20 со-
состоит из всех множеств вида fix R, где В— борелево мно-
множество в R. Тогда ограничение и(х, y)dxdy на 2о совпадает
с мерой на R, определенной следующим образом:
(\и{х, y)dy\dx,
а условное математическое ожидание функции /eZ,'(R2,2, ц)
равно
у(х, у) и (х,у) dy
^ и {х, у) dy
к
Пример 2. Пусть Q = R и 2 — совокупность всех боре-
левых множеств. Предположим, что ц — это какая-либо веро-
вероятностная мера на R. Пусть 2; состоит из всех борелевых
подмножеств отрезка [— t, t], а также дополнения к отрезку
[— tt t] и самого R. Ограничение ц на 2< каждому борелеву
подмножеству В с[—t, t] ставит в соответствие число ц(В),
а дополнению [—t, t]—число \ d\i(x). Если функция fe
\x\>t
е V (R, 2, d\i), то
f {x), если | х
-^ , если \x\>t.
28 М. Рид
Заметим, что функция E(f\T,t)(x) постоянна при |*|>/, как
это и должно быть, если функция E(f\Ht) измерима относи-
относительно 2*.
Условные математические ожидания обладают следую-
следующими элементарными свойствами:
Предложение. 1. Если f^O, то (f
2. Если 2оО является а-подалгеброй 2о, to
3. Если ge L°°(Q, Sq, \i), то
4. Если Л'— такая а-подалгебра 2, что о-алгебры 2о и 2'
независимы, то для f e V (Q, 2/, ц)
т. е. функция Е (f \ Sq) постоянна.
Доказательство. Свойство 1 очевидно, а свойство 2
следует из определения условного математического ожида-
ожидания, так как
для всех В е 200. Предположим, что В е 2^ тогда по опре-
определению
Аналогично, если Вге20, г==1, ..., ЛГ, то
N N
f Y, с^вь Ф = J ? (/1 so)
Согласно теореме о мажорированной сходимости, имеем
C.1)
для любой функции geZ,°°(Q, 2o, ц). В частности, если
Ве=2о, то
[
в
Поэтому Е (fg |20) = gE (f 120) в силу утверждения о един-
единственности теоремы Радона — Никбдима. Тем самым дока*
Функциональный анализ и теория вероятностей 27
зано свойство 3. Наконец, предположим, что а-алгебры 2'
и 2q независимы и А е 2', a BeSj. Тогда ц(Л (]В) = \-' ^¦¦'D^
следовательно,
в
Таким образом, если Л;еЕ', г = 1, ..., N, то
S Е с/Ха« ^ ^ (Ес^ (Лг)) ^ (в>-
в
Следовательно, опять используя теорему о мажорированной
сходимости, получаем
для любой функции feZ,'(Q, 2', ц), откуда следует свой-
свойство 4
При заданной а-подалгебре 2осг2 условное математиче-
математическое ожидание является отображением
пространства 2-измеримых функций в пространство 2о-изме-
римых функций. Ясно, что Еъ, линейно и обладает следую-
следующими важными дополнительными свойствами:
Предложение. 5. Для любого 1 ^ р ^ оо отображе-
отображение Еъа является сжимающим отображением пространства
Lp(Q, 2, ц) в пространство Lp(Q, 2о, ц).
6. Отображение Ех, является ортогональным проектиро-
проектированием L2(Q, 2, ц) на L2{Q, 20, ц).
Доказательство. Если f ^ L1 (Q, 2, ц) и f ^ 0, то
==$Mh = II/Hi-
Для произвольной функции f мы имеем f = f+ — f_, где /+,
f_^0, и носители f+ и /_ не пересекаются. Тогда
IIV1. < IIV+II. + IIV- II.=II /+ L + II /- II.=«/ II..
и, следовательно, Es, является сжимающим отображением
на V. Если f<=Lm(Q, 2, ц), то для любого ВеЕ„
28 М. Рид
¦а потому
-IIf ILЦ(S)< S Ezjdp<|| f iU V(B),
вследствие чего II ?sof IL ^ II f IL- Значит, 5s, — сжимающее
отображение и на L°°. Теперь свойство 5 вытекает нз тео-
теоремы М. Рисса о выпуклости.
Для доказательства свойства 6 заметим, что L2 (Q, So, \i) —
замкнутое подпространство в L2(Q, S, \i), Е% = Es0 и Ran?so =
= L2(Q, So, \i). Таким образом, E-z, — это проектирование на
Z,2(Q, So, ц). Если h, f2eL2(Q, S, ц), то
следовательно, ?so = ?s, и ?s, — ортогональное проектиро-
проектирование.
Обычно условные математические ожидания возникают
при рассмотрении а-алгебры So, порожденной набором {лса}ае/
случайных величин, где / — некоторое множество индек-
индексов. В такой ситуации Е(х\'2о) часто обозначают через
E(x\{xa}asiy Рассмотрим подробнее случай /={1,2,...
..., N}, когда мы должны иметь дело с алгеброй So, порож-
порожденной конечным семейством случайных величин х\, х^, ...
,.., jcjv. Если х — случайная величина, то E(x\{xi}l^=]J— из-
измеримая относительно So функция на Q. Следовательно, су-
существует такая.борелева функция <р на RN, чтоЕ(х \ {}f)()
=*= ф to (ю), .... xN (ю)). Поэтому, если В е RN, то
x~l (В)
где ц„ „ — совместное распределение величин хи ..., xN.
*\, ¦••> *jv
Условное математическое, ожидание имеет особенно простой
вид, когда х, Xi, ..., xN — гауссово семейство.
Предложение. Пусть х, х\, ...-, xN — гауссово семей-
семейство случайных величин со средними значениями, равными
нулю, и пусть х\, .... xN ортонормированы. Тогда
Функциональный анализ и теория вероятностей 29
Доказательство. Поскольку величины х, хи ..., xN
гауссовы, все онн принадлежат L2(Q, 2, ц). Далее, функция
х — X (х, xt) X{ ортогональна каждой Хи а потому случайная
величина х — ? (х, х{) х{ не зависит от х{, поскольку все эти
/-1
случайные величины гауссовы (см. § 1). Используя свойство
4, получаем
х - Е (х, xt)xi | {*,}?.,J = ? (^ - Z (*,
= ?(*)-Е (*,*,)№) = 0.
Следовательно,
^(х\ Ш^) = e(Z (х, х,) xt | {х, }f
Введем теперь условные вероятности. Пусть у — случай-
случайная величина, а Л —борелево множество в R. Положим
х=хи~1(Д)> гДе Xs всегда обозначает характеристическую
функцию множества S (xs(w)= 1 для oeS, 5Cs(<o)=0, если
^S). Обозначим величину ^С^у-*(л\{хЦ^ )(ю) через
ЛI {х^1? Л и назовем ее условной вероятностью того, что
у лежит в А при заданных х\, ..., xN. Соответствующую вели-
величину ф(Яь ..., XN) (см. выше) обозначим через P(yeA\xi =
= ku ;.., xN = ijv) и назовем условной вероятностью того,
что у s Л, если ^i = Яь ..., лс# = Я^.
Теперь мы можем дать точное определение марковского
процесса. Пусть {xt} — случайный процесс, причем 0^/< оо.
Обозначим через 2< (<п cr-алгебру, порожденную величинами
#*,, •••> ^<„» а через 2<а,« обозначим cr-алгебру, порожденную
величинами xt, a<t <b. Обозначим соответствующие услов-
условные математические ожидания через Etx t и Е(а,ь)- Семей-
Семейство {xt}te=[0>OO) называется марковским процессом, если для
любого s > 0 и любой случайной величины у е L1 (Q, 2(S> во), ц)
C.2) ?fo, 8]у = Esy,
Т. е. Ею, s] У измерима относительно 2,. Для заданного мо-
момента времени s алгебра 2(8, «,> отвечает будущим событиям,
и, таким образом, в интуитивном смысле марковское условие
можно понимать как условие того, что математическое ожи-
ожидание некоторого события в будущем, вычисленное на основе
30 М. Рид
информации о настоящем и прошлом, совпадает с математи-
математическим ожиданием этого события, вычисленным на основе
данных, относящихся к настоящему, моменту времени. Пока-
Покажем, что приведенное ранее сложное определение является
лишь строгой формулировкой этой интуитивной идеи. Для
этого вернемся к броуновскому движению, рассмотренному
в § 2. Пусть r<s<(n Д В, С— борелевы множества в R.
Тогда
Prob {xt <= A, xs e В, хгеС} =
х~1 (С) xjl (В)
=5 5
с в
где ф(?, т|) —это функция ? у -i,.,t записанная в коорди-
Г, S Х^ \А)
тах лг и jcs; \in s — совместное
xs. С другой стороны, в § 2 мы
Prob{xt 6ij,e В, хг е С} ==
натах яг и ^s; цг>, — совместное расцределение величин хг
и xs. С другой стороны, в § 2 мы получили, что
с в \Д
Значит, функция ф (g, tj) = \ в-^-^'/г (<-s> ^ зависит лишь от tj,
А
и потому ? Х'-1/.1 измерима относительно S., т. е.
/*, s х^ (л)
?г, А (Л) ^ ^s^x-1 (Л)
Такие же рассуждения показывают, что
При ГХ < Г2 < ... < Г„ < S < t{ < ^ < ... < ?m И Лг d R.
Теперь, используя теорему о мажорированной сходимости и
обычные для теории меры рассуждения, получаем, что усло-
условие C.2) выполнено.
Функциональный анализ а теория вероятностей 31
Обратимся теперь к общему случаю и определим для мар-
марковского процесса {xt} переходную функцию P(s, t, X, А),
полагая
P(s, t, К, /D
или, иначе,
P(s, t,xt(<i>), Л) = ?А_1(Л).
Для любых s, t и А, величина P(s, t, k, •) является вероят-
вероятностной мерой на R, а для любых s, t и А отображение
%-+P(s, t, X, А)—положительная борелева функция на R.
Так же как в случае броуновского движения, мы можем запи-
записать совместные распределения в терминах переходных функ-
функций и начального распределения; например,
^P(s, t,i\,A)P{Q,s,t,
В R
Пусть г < s <t, тогда
C.3) ц{xt GA,*(e R, xreB} =
P(s, t,i\, A)P(r,s,t,
В R
Однако
C.3) = }i {xt е^,х,ЁЙ}=|р (r, /, |, A) dy,r Ц),
в
а потому, используя единственность условного математиче-
математического ожидания, мы получаем
C.4) Р (г, t, I, А) = \ Р (s, t, t|, A) P (г, s, I, dn)
к
почти всюду относительно цг. Уравнение C.4) называется
уравнением Чепмена — Колмогорова. Оно справедливо, по-
поскольку при заданной мере ц на (Q, 2) семейство совместных
распределений должно удовлетворять условию согласованно-
согласованности. Обратно, пусть заданы переходные функции, тождествен-
тождественно удовлетворяющие C.4); тогда, используя конструкцию
Колмогорова точно так же, как это было сделано в случае
броуновского движения, можно построить марковский про-
процесс с заданными переходными функциями.
§ 4. ПОЛУГРУППЫ
В предыдущем параграфе мы видели, что изучение мар-
марковских процессов может быть в определенном смысле све-
сведено к изучению переходных функций, удовлетворяющих
уравнениям Чепмена — Колмогорова. Система переходных
82
М. Рид
функций называется стационарной, а соответствующий мар-
марковский процесс — однородным, если P(s, t, X, А) зависит
лишь от \t — s\. Иначе говоря, для каждого t мы имеем функ-
функцию P{t, К, А), которая для фиксированного К является веро-
вероятностной мерой по А, а для фиксированного А является бо-
релевой функцией от X, так что переходные функции опреде-
определяются следующим образом:
P(s,t,K, A) = P(t-s,X,A).
В этом случае уравнения Чепмена — Колмогорова имеют вид
D.1)
Р(t-f s, Я,
(t, ri,A)P(s, X,
Положим, по определению,
D.2)
Тогда 7у. If-^L™, ll
дует полугрупповое свойство:
а из уравнения D.1) сле-
слеТаким образом, изучение марковских процессов со стационар-
стационарными переходными функциями естественно приводит нас к
исследованию ассоциативной полугруппы сжимающих опера-
операторов.
В следующих далее лекциях Нельсона полугруппы на про-
пространстве L°°(Q, Eo, ц) возникают непосредственно из услов-
условных математических ожиданий. Поэтому мы здесь проведем
аналогичное построение. Любую функцию HeZ,co(Q, Бо, ц)
можно однозначно представить в виде и(со) = /(хо(ш)), где
f — ограниченная борелева функция на supp-jioczR. В дей-
действительности отображение u-*f изометрически отображает
пространство L°°(Q, So, ц) в Z.°°(suppno. V-o). Для любой
функции MeZ.°°(Q, Бо, и-) мы определим Tt следующим об-
образом:
—> E(f(xt(u>))\z0)
Очевидно, что ft является линейным сжимающим отображе-
отображением на L°°(Q, So, ц). Докажем полугрупповое свойство.
Функциональный анализ и теория вероятностей 33
Пусть А — борелево подмножество supp цо> тогда
Tt+Ял (*о («)) = Ео%а (xt+s («>)) =
-^8 (А) = Е9Е\0, sV^xf+s (A) =
= E0Esxx-i ,Д) (марковское свойство)
t+s
= E0P(s, t + s, *,(©), Л) =
= EoP(t, xs(<?>), А) (стационарность переходных функций)
= fsP(t, хо(<*), А) = Т$Е0%хтЧд) =
= TsEoxA (xt (со)) = ffttA {x0 (to)).
Поскольку линейные комбинации функций %А(хо((а)) плотны
в L°°(Q, So, \i), а операторы Tt ограничены, полугрупповое
свойство доказано. Ясно, что, используя изоморфизм между
пространствами L°°(supp ц0, Цо) и L°°(Q,So, ц), можно уста-
установить изоморфизм между нашей полугруппой на L°°(Q, 1>о,ц)
и полугруппой
на L°°(suppno, Цо). Проведенные вычисления показывают, что,
используя марковское свойство и предположение о стационар-
стационарности переходных функций, можно получить полугруппу сжи-
сжимающих отображений на L°°(Q, So, \i).
Теперь кратко о некоторых необходимых фактах из теории
полугрупп. Сжимающая полугруппа на банаховом простран-
пространстве В — это однопараметрическое семейство {Tt}t>0 сжимаю-
сжимающих операторов, обладающих следующим свойством: Ts+t =
= TsTt = TtTs для всех s, t^O, причем То = I. Полугруппа
{Tt} называется сильно непрерывной, если Ttu — и —* 0 при
t'•+¦ 0 для любого иеВ. Убедиться в нетривиальности условия
сильной непрерывности можно на примере броуновского дви-
движения, когда полугруппа, заданная уравнениями D.2), сильно
непрерывна на пространстве ограниченных непрерывных функ-
функций, но не является сильно непрерывной на пространстве
ограниченных измеримых функций. Это связано с тем, что
функция (Ttf) (X) должна быть непрерывной для всех t > О,
даже если функция / лишь ограничена и измерима.
Особенно важен для нас частный случай В = Lp(X, ц),
где L? — пространство вещественных или комплексных функ-
функций; при этом мы будем предполагать, что Tt обладает допол-
2 Заказ 351
34 Af. Рид
нительными свойствами: (Ttf) (х) ^ 0, если f(x)^O, и
Т)Ъ = 1, где 1 — функция, тождественно равная единице.
Любую такую сжимающую полугруппу, заданную на веще-
вещественном пространстве, Lv (X, ц), можно единственным обра-
образом продолжить до сжимающей полугруппы на комплексном
пространстве Lp(X, ц); поэтому отныне мы всегда будем
рассматривать комплексные банаховы пространства.
Пусть Tt — сильно непрерывная полугруппа. Положим
Ai = t~1(I — Tt) и D(A) = {ue=B\\imAtu существует}. Опре-
делим оператор Аи = lim Atu для ней (А). Если мы введем
*>о
= ^ Ttu dt, то
у J (ftu - Tt+ru) dt
s+r
Следовательно, в,еВ(Л) для всех «еВ. Поскольку щ
при s->0, то D(A) плотно в В. Кроме того, если иёО
то AtTtu = TtAtu, а потому Г(: D{A)-+D{A) и
При помощи рассуждений такого же типа можно показать
замкнутость оператора А Оператор А называется инфините-
эимальным генератором полугруппы {Tt}, и мы будем писать
Tt = e~tA. Общее описание генераторов сжимающих полу-
полугрупп на банаховых пространствах дает теорема Хилле —
Иосиды [HiPh], но нам потребуется лишь простой частный
случай этой теоремы.
Предложение, Замкнутый оператор А на гильберто-
гильбертовом пространстве Н является генератором некоторой сильно
непрерывной полугруппы самосопряженных сжимающих опе-
операторов в том и только в том случае, если А самосопряжен и
АО
Функциональный анализ и теория вероятностей 35
Доказательство. Достаточность немедленно следует
из спектральной теоремы. В самом деле, определим
оо
e~tAu = \ е~и
о
Тогда, используя функциональное исчисление и теорему о ма-
мажорированной сходимости, мы докажем полугрупповое свой-
свойство и сильную непрерывность. Самосопряженность e~tA яв-
является следствием того, что функция еги вещественна.
Обратно, предположим, что {Tt} — сильно непрерывная,
самосопряженная, сжимающая полугруппа на Н. Пусть А—
генератор {Tt}. Если и, v^D(A), то
(Ли, о) = lim (-f (/ - Tt) и, v) = lim (и, | (/ - Tt) v) = (и, Av),
и, следовательно, А симметричен. Поскольку Tt — самосопря-
самосопряженный сжимающий оператор, то величина (Ttu, и) веще-
вещественна и
(Tut, и)<ЦГ<иО1|и||<(и, и).
Значит, у ((/ — Tt) и, и) > 0 для любого t, а тогда (Ли, и) =
= lim -г ((/ — Tt) и, и) > 0. Пусть К > 0. Для доказатель-
доказательств *
ства самосопряженности. А нам достаточно показать, что
Ran (Л + Я) = Н или Кег (Л* + X) — {0}. Предположим, что
(А* + X) о = 0. Тогда для ие?>(Л)
-^(Ttu, v) = ~(ATtu, v) = -(Ttu, A*v) = X(Ttu, v)
й, следовательно, (Ttu, v) = (u, v)eu. Поскольку Х>0 и
{Tt}—сжимающие отображения, то при (и, у)=/=0 мы прихо-
приходим к противоречию. Однако равенство (и, о) = 0 для всех
ugD(A) означает, что v = 0, так как D(A) плотно в Я. Та-
Таким образом, Кег(Л* + ^-)= {0} и А самосопряжен.
Как и в первой части доказательства, обозначим через
e~tA сильно непрерывную полугруппу самосопряженных опе-
операторов, порожденную А Положим w(t)=TtU — e~tAu. По-
Поскольку и>@) = 0, ||ш@112^0 и
-?¦ (w(t), w@) = -2(Aw (t), w(t)) <0,
мы видим, что w(t) = 0 для любого t, т. е. Tt = e~tA.
Обратимся теперь к изучению следующей проблемы.
Предположим, что (Q, ц)—вероятностное пространство и
2*
36 М. Рид
A^sO — самосопряженный оператор на D(Q, ц). При каких
условиях е~1А является сжимающей полугруппой на Lp(Q, ц)
для рфТ>
Прежде чем перейти к формулировке и доказательству
(частичному) соответствующей теоремы, дадим несколько
определений.
Сильно непрерывная полугруппа ограниченных операторов
Tt на банаховом пространстве В называется ограниченной го-
голоморфной полугруппой в секторе Se, 0 < 8 < я/2, если:
A) Tt является ограничением на положительную полуось
семейства операторов Tz, z e Se = {z 11 arg z |< 8}, причем
Тги — голоморфная векторнозначная функция для любых
иеВ, zgS9 и Tz+z' = ТгТг' для z, z' <=Se.
B) Для любого 8i < 8 операторы Tz равномерно ограни-
ограничены в секторе Se, и Тги —> и при z —> 0 в Se.
Заметим, что на L2(Q, ц) мы можем определить
_ f е-гл d?kU> Re z > 0.
Используя свойства экспоненциальных функций и теорему о
мажорированной сходимости, без труда можно убедиться в
том, что условия A) и B) выполнены, и, следовательно,
ertA — ограниченная голоморфная полугруппа в секторе Sn/2,
действующая на L2(Q, ц).
Назовем e~tA Lp-сжимающей полугруппой, если
\\е-*Аи\\ря^\\и\\р для любой u^L2C\Lp и для любого
ре[1, оо]. Если отображение t—>e~tA сильно непрерывно для
любого р < оо, то e~tA мы будем называть непрерывной Lp-
сжимающей полугруппой.
Теорема (Стейн). Пусть (Й, ц) — пространство с конеч-
конечной мерой (ц(й)=1) и А — положительный самосопряжен-
самосопряженный оператор на L2(Q, ц). Тогда:
(a) Если отображение e~tA сохраняет свойство положи'
тельности (т. е. (e~tAf) (х) > 0 при f{x)^O) ие~Щ = \ то
e~tA является Lp-сжимающей полугруппой.
(b) Любая Lp-сжимающая полугруппа заведомо непре-
непрерывна. Кроме того, Кег (e~tA \lp) = {0} для любого р>1,
и Ran (e~tA |L?) плотен в Lq для любого q < оо.
(c) Семейство {e~iA} — ограниченная голоморфная полу-
полугруппа в секторе
еде 1 < р < оо.
Функциональный анализ и теория вероятностей 37
Доказательство. Покажем сначала, что e~tA яв-
является сжимающим отображением на любом пространстве Lp.
Предположим, что f ё L2 и f ^ 0, Тогда
Вещественную функцию / se L2 мы можем представить в виде
f — f+ — f_, где /+, /_>0 и (/+, /_) = 0. Следовательно,
|, = II / II,.
Наконец, предпвложим, что комплексная функция / е L2.
Тогда
l(e-tAf)(x)\ = sup {Re [<r'i(<rM/(*))]} =
рациональные Л
= sup {Re [(е-"(е-'ч/)) (*)]} =
рациональные t)
= sup {(e-M(Ree-'4/))(*)}
рациональные t|
для почти всех х. Здесь мы воспользовались тем, что e~tA
переводит вещественные функции в вещественные, поскольку
e~iA сохраняет свойство положительности. Для любой веще-
вещественной функции g e L2
(e~tAg) (x) = e~tAg+ - е~'Л (g_) < e~iAg+ + e~"g_ = er™ \g(x)\
почти всюду. Следовательно,
почти всюду. Значит, ||е-'л/||, <||е-м|/ (х) |||, =11/11,. Таким
образом, для любой функции / е L2 справедливо неравенство
lle-^/KII/ll,.
Если f se Vя с L2, то
\\e~tAfL= sup (e-"f,g)=> sup (/,r^)<||/L
H«ll.-i llg|l.=i
jei! get»
Следовательно, e"'4 — сжимающее отображение также и на
Z/°. Тогда по теореме М. Рисса о выпуклости e~tA является
сжимающим отображением на всех пространствах V.
Для доказательства того, что отображение e~zA на
Z.p(Q, ц), 1 <. р < оо, голоморфно в секторе S<p> и ограничено
в более узких секторах, нужно воспользоваться обобщением
теоремы М. Рисса о выпуклости, которое предложил Стейн.
Детали доказательства читатель может найти в [Ste].- Мы же
ограничимся проверкой свойства сильной непрерывности.
Если 1 <; р <; 2, то
38 Af, Рид
для / е /Я Тогда из плотности L2 в Lp следует свойство силь-
сильной непрерывности, поскольку полугруппа {e~tA} равномерно
ограничена на Lp и сильно непрерывна на L2. Предположим
теперь, что 2 < р < оо, и пусть </ удовлетворяет условию
1/р4-1/9=1- Предположим также, что е~**А^ = 0 для не-
некоторого ^ е ?9, Тогда e~sAty = О для всех s ^ /0, и, вслед-
вследствие аналитичности, е~*А§ = 0 для всех / > 0. Поскольку
{e~tA} сильно непрерывна на Ьч, то t|> = 0. Таким образом, на
Li равенство Кег(е~гА)= {0} справедливо для любого / > 0.
Читатель быстро проверит, что сопряженным к оператору
e~tA, заданному на Li, является оператор e~tA на Lp. Отсюда
мы заключаем, что Ran(e~'A) плотен в Lp. Пусть 'ф = е~*'Ац>,
Ф т LV. Тогда в силу голоморфности внутри сектора S<«), упо-
упоминавшейся выше,
ц g-Мф — ф ||р ^ у в-(«+/.) Ау _ е-Мф цр _> о
при /-*0. Поскольку Ran(e~'Oi4) плотен в Lp, a {e~tA} равно-
равномерно ограничена, мы получаем сильную непрерывность
{e~tA} на Lp.
Предостережение. Полугруппа Tt, которую мы по-
построили ранее D.2) на L°°(Q, Бо, Цо), не является Lp-сжимэю-
щей. Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что
(«0I^.@, *.!»,) =
но
II Ыа (хо («0) HL, @, А, йо) = IIР (t, х0 К Л) |[L. = щ (Л)
и ц<(Л)>цо(Л) для подходящего А. Если бы стационарным
был сам построенный нами марковский процесс (т.е. ц<(Л) =
= ц.о(Л) для всех /и Л), а не переходные функции, то мы
имели бы свойство Lp-сжимаемости. По этой причине процес-
процессы, которые будет строить Э. Нельсон, являются обобщения-
обобщениями так называемого процесса Орнштейна — Уленбека, а по-
последний процесс стационарен.
§ б. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Пусть хи t> 0, — случайный процесс рассмотренного ра-
ранее типа, т.е. для любого t функция xt является случайной
величиной на некотором вероятностном пространстве. Поло-
Положим
F.1)
Функциональный анализ и теория вероятностей
где f принадлежит некоторому классу Е достаточно «хоро-
«хороших» функций. Тогда /->i|)(f) —линейное отображение про-
пространства Е в пространство случайных величин. Это рассуж-
рассуждение подсказывает следующее определение:
Определение. Пусть Е — локально выпуклое тополо-
топологическое пространство и (Q, 2, р.) — вероятностное простран-
пространство. Линейное отображение пространства Е в пространство
случайных величин называется обобщенным случайным про-
процессом на {Q, 2, ц), заданным над Е.
Часто в качестве Е будет выступать некоторое простран-
пространство гладких функций, подобное пространству S@, oo) или
S(Rn). По заданному случайному процессу при помощи соот-
соотношения E.1) всегда можно построить обобщенный случай-
случайный процесс, но обратное утверждение верно не всегда. Обоб-
Обобщенные случайные процессы являются «обобщенными функ-
функциями со значениями в пространстве случайных величин», в
то время как случайные процессы являются «функциями со
значениями в пространстве случайных величин». Именно это
более общее понятие случайного процесса и возникает в кван-
квантовой теории поля.
Мы показали в § 2, каким образом случайный процесс
можно «реализовать» на множестве всех функций на [0, ор).
Точнее, мы сумели построить вероятностную меру на множе-
множестве всех функций и определить значения случайного про-
процесса xt в точке t таким образом, чтобы конечномерные рас-
распределения этого процесса и процесса xt совпадали.
В начале этого параграфа мы проведем аналогичное по-
построение для ty(f). Обозначим через Е* пространство, сопря-
сопряженное к Е, а через ?*lg — алгебраическое сопряженное
пространство, т.е. множество всех линейных всюду опреде-
определенных функционалов. Сначала определим а-алгебру на E^lg.
Пусть F— конечномерное подпространство пространства Е;
положим
Fa*={T<sE*all[\T(f)*~0 для всех fmF].
Пусть pjr — каноническая проекция E*alg на E*aljFa. Посколь-
Поскольку E*uljFa изоморфно F* и F* конечномерно, то в E[igfFa
существует естественное понятие (из Rn) борелева множе-
множества. Множество i4cz?*Ig называется цилиндрическим мно-
множеством, связанным с F, если А имеет вид Л = pj1 (В), где В —
борелево множество в E*aijFa. Семейство цилиндрических
множеств, связанных с F, мы обозначим через 2j?. Наимень-
Наименьшую а-алгебру, содержащую все 2*- для всевозможных ко-
40 М. Рид
нечномерных подпространств F пространства Е, обозначим
через ЪЕ. Теперь для f s E и Гс ?*lg определим
Для любого f функция ф(/), определенная на Е*л1 , измерима
относительно 2В. Таким образом, если ц* — вероятностная
мера на (E*alg, 2?\, то f->q>{f) — обобщенный случайный
процесс на {E*als, 2?, ц"), заданный над Е.
Пусть теперь -ф является обобщенным случайным процес-
процессом на (Q, 2, ц), заданным над Е, и пусть {/*}"==1 — базис ко-
конечномерного подпространства F пространства Е. Пусть цр
является совместным распределением случайных величин
{*(//)}*-„ т. е.
ц, (Я) = ц {© е О | <^ (ft)¦(«) * (L) («»)> е В}.
Тогда nf порождает на E\lgjFa меру ji^, определяемую соот-
соотношением piF {В) = \ip (В), где
и (fгO-1 — базис, сопряженный к {f*}"=r Определим теперь
для цилиндрического множества Л в ?*lg, связанного с F.
Можно проверить, что [i*F не зависит от выбора базиса
{M"-i и меры \i*F согласованы. Это означает, что если F\ с: F2,
то ц^1 = м-jr,- Следовательно, полагая
где А — цилиндрическое множество, связанное с F, мы полу-
получаем меру на семействе цилиндрических множеств в ?*, .
Совместное распределение величин {<p(ff)}"=,i равно
= А^(Ес^|<С1 с„) г В} = Hf (Я),
а потому {<р(//)}"„| и {o|j(f/)}"„, имеют одинаковые совмест-
совместные распределения. Единственное, что нам осталось доказать
Функциональный анализ и теория вероятностей 41
для того, чтобы процесс'ф(-) был реализован функцией ф(-)
на (E*alg, 2Л, это то, что меру ц*, определенную пока только
на цилиндрических множествах, можно продолжить до веро-
вероятностной меры на Бд. Эта проблема аналогична проблеме
продолжения, с которой мы столкнулись в § 2 и которую раз-
разрешили с помощью теоремы Колмогорова.
Теорема (Ленард). Любая мера цилиндрических мно-
множеств на Е*а] продолжается до счетно аддитивной меры на
Доказательство. Пусть ц* = {y.*F} — мера цилиндри-
цилиндрических множеств на E*alg. В силу стандартной леммы из тео-
теории меры [Roy] ц* можно однозначно продолжить в том и
только в том случае, если для любой убывающей последова-
последовательности ... Ап =э An+i... цилиндрических множеств Ап из
условия «ц(Лпу> б при любом я» вытекает условие [}Ап Ф
п
Ф0. Любое Ап имеет следующий вид:
ап={т6e;Ig|(т(/<»)),.... г(/цу)ebbcR*<»>}
для некоторых ff] s ?, i = 1, ..., k (n). Мы можем считать,
что все f<n) взяты из линейно независимого множества {g^Jlp
поскольку мы всегда можем изменить Вп, представляя зави-
зависимые элементы / как конечные линейные комбинации неза-
независимых. Рассмотрим теперь отображение
заданное соотношением
Отображение 8 является отображением «на», поскольку, если
задана точка {w{), мы можем определить Т равенством
Г(?гг-)—дог-, затем продолжить его по линейности на конеч-
конечные линейные комбинации gu а на оставшемся подпростран-
подпространстве положить Т равным нулю. (Заметим, что в общем случае
8 не является взаимно однозначным отображением, а его су-
сужение на Е* не является отображением «на».) Для цилиндри-
ческого множества S в ЦК положим ji(S)= [i*@-'(S)).
Значит, Д — согласованная мера цилиндрических множеств
оо
на Ц R, и, согласно теореме Колмогорова, она имеет счетно
42 М. Рид
аддитивное продолжение на 2, наименьшую а-алгебру, содер-
содержащую все такие S. Поскольку A(8(ЛП))> б для любого п и
6(i4n)r3e(i4n+i), найдется точка (ач), лежащая в \] Q(An), a
так как 9 является отображением «на», то существует
00
Ге f| An. Таким образом, ц* можно продолжить.
Следствие 1. Любой обобщенный случайный процесс ф
над Е можно реализовать как канонический процесс ср на
(?aig, 2?, ц*), где ц* — построенная выше вероятностная
мера.
В дальнейшем ц* на (E*ais, 2я) будем обозначать просто
через ц.
Следствие 2. Пусть С(') — такой комплекснозначный
положительно определенный функционал на Е, что C(tf) яв-
является непрерывной функцией от t для любого f<s.E и
С@)=1. Тогда существует такая вероятностная мера ц на
{eI\s, Sfi), что
E.2)
Функционал С называется характеристическим функциона-
функционалом меры ц.
Доказательство. Положительная определенность С
означает, что для любого конечного набора {M"=i векторов
из Е матрица {С(/, — f,)} положительна на ?>. Пусть F —
конечномерное подпространство в Е. Тогда сужение С на F
является непрерывной положительной функцией, причем
С@)=1. По классической теореме Бохнера существует та-
как единственная вероятностная мера (If на F*, что
F*
для любой f eF. Точно так же, как и ранее, сопоставим этой
мере меру nF на 2у. Семейство {jif} удовлетворяет условию
согласования (вследствие единственности, гарантируемой тео-
теоремой Бохнера), и, следовательно, оно определяет меру ци-
цилиндрических множеств ц на E*a\g. По теореме Ленарда
продолжается до вероятностной меры на (i?aie, )
Функциональный анализ и теория вероятностей 43
Поскольку иметь дело с пространством E*a\g неудобно,
важно знать, когда носители мер на {E*aig, SB) лежат в мень-
меньших пространствах, в частности в Е*. Достаточное условие
дает следующая теорема Минлоса (см. [Ge Vi], [Hid], [Mi]):
Теорема. Пусть ц,— вероятностная мера на {E\ig, 2в).
Если пространство Е ядерно и характеристический функцио-
функционал ц непрерывен на Е, то ц сдсредоточена на Е*.
Следствие. Пусть -ф — обобщенный случайный процесс
на (й, 2, ц), заданный над ядерным пространством Е. Пред-
Предположим, что -ф непрерывен в том смысле, что из fv—> f
следует сходимость -ф (fv) = ф (f) по мере на (й, Б, ц). Тогда
¦ф может быть реализован как канонический процесс ф на
(Е*, Не, ц*)> где М>* — вероятностная мера на (?*, 2Е).
Доказательство. Мы уже знаем, что ф может быть
реализован на v?aig, 2#, ц /. Однако из условия непрерывно-
непрерывности следует непрерывность характеристического функционала
ц* на Е, и, таким образом, носитель ц* лежит в Е*.
Заметим, что в случае метризуемого пространства Е (на-
(например, S(Rn)) условие непрерывности может быть заменено
Е
требованием того, чтобы из fn—*¦ f следовала сходимость
ф(/п)-+ф(/) поточечно почти всюду.
Пример (Канонические коммутационные соотношения).
Пусть Е — вещественное ядерное пространство с непре-
непрерывным скалярным произведением (•, •). Представление
соотношений Вейля над Е — это пара таких отображений
f-*U(f), g-^V(g) пространства Е в множество унитарных
операторов на сепарабельном гильбертовом пространстве Н,
что
A) U(f + g) = U(f)U(g), V(f + g) = V(f)V(g)',
(б.З) B)
Е
C) из fу —> f следует сильная сходимость U (fy) ->
-*[/(/) и V(fv)->V(/).
Гельфанд и Виленкин показали [GeVi], каким образом лю-
любое представление, обладающее циклическим относительно
{U(f)}feE вектором Qo, может быть реализовано на
L2(E*, Не, ц) с подходящей мерой ц. Сейчас мы вкратце из-
изложим этот результат, чтобы продемонстрировать, как ис-
используется теорема Минлоса; подробное изложение можно
найти в [Ge Vi]. Положим
44 М. Рид
Тогда L — комплекснозначный, непрерывный, положительно
определенный функционал на Е, удовлетворяющий условию
L@) = 1. Согласно теореме Минлоса,
в*
для некоторой вероятностной меры ц на (Е*, 2В). Определим
Легко проверить, что S продолжается до изометрического опе-
оператора, отображающего Н на L2(E*, Бе, ц)- Положим
Тогда действие O(f) и V(f) на h s L2(?*, SE, ц) задается
следующими соотношениями:
E.4)
Обратно, задавая любую вероятностную меру ц на (?*, 2В),
мы с помощью соотношений E.4) определяем на L2(E*, 2Я, ц)
представление соотношений Вейля над Е. Оказывается, что
два таких представления эквивалентны тогда и только тогда,
когда эквивалентны соответствующие меры йщ и d\i2 (т. е.
каждая мера абсолютно непрерывна относительно другой).
Замечание. Возникает естественный вопрос, почему со-
соотношения E.3) являются разумным обобщением соотноше-
соотношений Вейля, заданных над конечномерным пространством Е.
Действительно, ведь мы могли бы определить представление
соотношений Вейля как пару таких семейств {Uh(t)}, {Vi(t)}
сильно непрерывных унитарных групп на гильбертовом про-
пространстве Н, что
A) [I
E.5) V
B) V
Конечно, если задано представление в форме E.3), то
всегда можно построить представление в форме E.5), выби-
выбирая в Е ортонормированный относительно скалярного произ-
произведения (•, •) базис {fh} и полагая Uh{t)= U(tfh), Vh(t) =
= V(tfh). Однако, чтобы перейти от E.5) к E.3), нужно по-
Функциональный анализ и теория вероятностей 45
казать, что имеют смысл некоторые бесконечные произведе-
произведения T[Uk(tk) и Ц Vk(sk). Поскольку это действительно так,
k k
любое представление в виде E.5) можно непрерывно про-
продолжить до представления в виде E.3) (см. [Re]).
Часто обобщенные случайные процессы появляются в сле-
следующей ситуации. Пусть (•, •) —непрерывное скалярное про-
произведение на ядерном пространстве Е. Тогда е 2 ' яв-
является непрерывным характеристическим функционалом, и по
теореме Минлоса существует такая вероятностная мера ц ня
(Е*,ЪЕ), что
е 2 ' =
Ё*
Пусть теперь fb ..., fn — независимые векторы из Е. Тогда
i t ai* (h)
е '-'
Е*
Используя замечания, сделанные в § 1, получаем, что
ф(/0 ф(М— гауссова система (т. е. ^ф(?1),..., <p(fn) ~
многомерное гауссово распределение) с нулевыми средними
значениями и" корреляционной матрицей Г^ = (/,, fj). По этой
причине ц называется гауссовой мерой на Е*, а ф(-) —гаус-
—гауссовым процессом с нулевым средним и корреляционным
функционалом, равным (/, g).
Следующая теорема в сущности является следствием из
доказательства теоремы Минлоса.
Теорема. Пусть Е — ядерное пространство, ц — мера на
Е*, а С — ее характеристический функционал. Пусть также
(•, •) о — непрерывное скалярное произведение на Е, а Но —
пополнение Е относительно (•, -)о. Предположим, что С не-
непрерывен на Но. Пусть Т — оператор типа Гильберта — Шмид-
Шмидта на Но, удовлетворяющий следующим условиям:
(a) Т — взаимно однозначный оператор;
(b) E a Ran Т и Т~] (?) плотно в Но;
46 М. Рид
T-i
(с) отображение Е—*-Н0 непрерывно. Тогда носитель р,
лежит в (Г~')*#ос Е*.
В этом утверждении символы (Т~1)* и #о обозначают
«сопряженный оператор» и «сопряженное пространство» в
смысле двойственности между Е* и Е, а не относительно то-
топологии скалярного произведения на Но. Доказательство тео-
теоремы можно найти в [Hid], [Um]. В заключение приведем
пример, иллюстрирующий применение этой теоремы.
Пример. Пусть ц — мера на S'(Rn), соответствующая
гауссову процессу с нулевым средним и корреляционным
функционалом (/, (—Д + l)~lg). Положим Р = — А+1 и
обозначим через #_i замыкание S(Rrt) по норме i|P~'/2/[l2-
Роль пространства Яо из теоремы будет играть пространство
#_i. Положим H — L2(Rn). Поскольку Р'1г — изометрический
оператор, отображающий Н в #_,, то оператор Т: Но-±Н0 бу-
будет оператором типа Гильберта — Шмидта в том и только в
том случае, если Го = Р-Ч*ТРЧ* будет оператором типа Гиль-
Гильберта — Шмидта на Н. Вследствие того что Т = РЧ'ТоР-Ч*, мы
имеем Г-'^То-'Я-1'' и (J-1)'= Р'* (т*1)'Р\ Таким об-
разом, если То является оператором типа Гильберта — Шмид-
Шмидта на Я, а Т удовлетворяет условиям (а), (Ь) и (с), то но-
носитель [1 будет лежать в
(г-1)* я1, = р-ч> (п У Р1/> (Р~ч'н)=р-* (го-1)* н.
Положим 70=P~"/4PraQ"e, где Р, = (- -?j + Л и Q=(x2 +1).
Предположим, что
E.6) р>?, а>0.
Тогда Го будет оператором типа Гильберта — Шмидта, так
как он является интегральным оператором с ядром
-у)](у2 + О"*
а это ядро принадлежит Ls(R2n), если выполнены условия
E.6). Это следует из оценки
<во
Функциональный анализ и теория вероятностей 47
для любого а > 0. Кроме того, легко проверить, что опера-
оператор Т = Р-'^ТоРЧ' удовлетворяет условиям (а), (Ь) и (с) тео-
теоремы. Таким образом, носитель р, лежит в
для любых аир, удовлетворяющих условиям E.6). При
п = 2 носитель р, лежит в множестве
для любого а > 0. В частности, для почти всех (относитель-
но р,) geS'(Rn). функция { -j + 1 ) g локально квад-
квадратично интегрируема. Доказательство того, что р, сосредото-
сосредоточена на траекториях, которые локально принадлежат
р»м-1/»ра^2) содержится в работе Дж. Кэннона [Са]. Дополни-
Дополнительные свойства носителя ц можно найти в работе М. Рида
и Л. Розена [Re Ro].
ЕВКЛИДОВЫ ФУНКЦИИ ГРИНА И
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ВАЙТМАНА1)
Конрад Остервальдер
Гарвардский университет, Кембридж, Массачусетс
I. ВВЕДЕНИЕ
Евклидовы методы в релятивистской квантовой теории
поля используются очень давно. Впервые идея перехода к
мнимым временам или энергиям (с целью замены индефинит-
индефинитной метрики Минковского положительно определенной евкли-
евклидовой метрикой) появилась в работе Дайсона по перенорми-
перенормировке [Dy]. Затем предложение рассматривать продолжения
функций Грина теории поля в область мнимых времен вы-
выдвинули Фрадкин [Fr], Накано [Na], Вик [Wi] и, особенно на-
настойчиво, Швингер [Schw 1]. При таком подходе свойства
функций Грина можно изучать, исследуя свойства решений
некоторых дифференциальных уравнений или «-точечных
функций от операторов евклидова поля. На возможность чи-
чисто евклидова подхода к квантовой теории поля впервые
указал Симанзик [Sy 3,8]. Он понял, что построение функций
Грина для мнимых времен (они называются евклидовыми
функциями Грина или функциями Швингера) по заданной
формальным образом плотности функции Лагранжа, возмож-
возможно, проще, чем прямое построение обобщенных функций Вайт-
мана. Например, строгий математический смысл знаменитому
интегралу Фейнмана [Fey 1,2] можно придать лишь в рам-
рамках евклидовой теории (для теорий, описывающих одни бо-
бозоны, это сделано в [Nel 5], а для теорий, описывающих бозоны
и фермионы, — в [Os Sen 1,2] и [Oz]). Принципы и идеи, раз-
развитые в работе Симанзика, стали сегодня основой евклидового
подхода к теории поля. Следующий решающий шаг связан
с именем Нельсона, который дал математически строгую фор-
формулировку евклидовой теории бозе-поля, использовав для
этого понятие марковского поля [Nel 2—5]. Доказанная им
теорема реконструкции и работа Гуэрры, в которой впервые
использовалась схема Нельсона [Gu], проложили широкую
дорогу евклидовым методам в конструктивной теории поля.
В работах Нельсона и Симанзика, а также в большинстве
других работ по евклидовой теории поля существенную роль
играют евклидовы полевые операторы. Однако все, что мы
') К. Osterwalder, Euclidian Green's functions and Wightman distribu-
distributions, Constructive Quantum Field Theory, Lecture Notes in Physics, 25,
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973.
© by Springer-Verlag, 1973
Функции Грина и обобщенные функции Вайтмана 49
до сих пор знали или предполагали о релятивистских теориях,
не гарантирует существования таких операторов. Правда, их
существование следует из так называемого условия положи-
положительности Нельсона — Симанзика для функций Швингера, но
есть основания думать, что оно выполняется лишь для тео-
теорий, описывающих скалярные бозоны, и необязательно спра-
справедливо для теорий, описывающих фермионы.
Поэтому естественно попытаться работать лишь с функ-
функциями Швингера и изучать их связь с релятивистской тео-
теорией. Поскольку функции Швингера необязательно являются
вакуумными ожиданиями евклидова поля, мы получаем во-
вовсе не «евклидову теорию поля», а лишь «евклидову форму-
формулировку (релятивистской!) теории поля».
В этих лекциях мы собираемся определить, а также иссле-
исследовать функции Швингера в рамках аксиом Вайтмана. Основ-
Основная задача состоит в отыскании условий, при которых функ-
функции Швингера в самом деле являются евклидовыми функ-
функциями Грина хорошо определенной вайтмановской теории.
План этих лекций таков. Во-первых, мы дадим краткий
обзор основных определений и результатов аксиоматической
квантовой теории поля и приведем точное определение функ-
функций Швингера. Во-вторых, мы исследуем, какие свойства
функций Швингера вытекают из аксиом Вайтмана. И нако-
наконец, покажем, как обобщенные функции Вайтмана можно
восстановить по функциям Швингера ©те, удовлетворяющим
следующим условиям:
(ЕО) принадлежность к определенному классу обобщен-
обобщенных функций;
(Е1) евклидова ковариантность;
(Е2) положительная определенность;
(ЕЗ) симметричность;
(Е4) свойство распадения на пучки.
Условия (ЕО) — (Е4) необходимы и достаточны для существо-
существования обобщенных функций Вайтмана, удовлетворяющих
всем аксиомам Вайтмана. Точнее, имеет место следующее
соответствие:
Евклидова Релятивистская
теория теория
'ЕО Принадлежность к оп-'
ределенному классу
обобщенных функций
Е1 Ковариантность
Е2 Положительная опре-
определенность
W0 Принадлежность к оп-"
ределенному классу
обобщенных функций
W1 Ковариантность
W2 Положительная опре-
определенность
_W5 Спектральное условие^
50 К. Остервальдер
Е2 I ~^~ [симметРИЧН0СТЬ] **"*¦ I vjo' W5 ~^~ [локальность]»
[Е0, ЕП, Гсвойство распа-l^TWO, W11 , Гсвойство распа-"|
Е2 ]~* Ьдения на ny4KHj*LW2, WSJ"' |_дения на пучки.]"
Для приложений в конструктивной теории поля свойство при-
принадлежности к определенному классу обобщенных функций
(Е0), по-видимому, мало пригодно. Поэтому мы потребуем,
чтобы функции Швингера принадлежали к другому классу
обобщенных функций [условие (Е0')], и покажем, что усло-
условий (Е0'), (Е1) — (Е4) достаточно для восстановления вайт-
мановской теории. Приведенная выше схема будет снова
справедливой, если все стрелки в ней направить только впра-
вправо. Условие (ЕС) заключается в том, что евклидовы функции
Грина @п должны быть обобщенными функциями умеренного
роста; кроме того, оно содержит ограничение на порядок син-
сингулярности @„ лри больших п. Я думаю, что именно второй
результат будет полезен для конструктивной теории поля;
теорема об эквивалентности, хотя и носит более общий ха-
характер, представляет, вероятно, чисто эстетический интерес.
Замечание. Шрадер и Саймон обнаружили ошибку в
доказательстве одной вспомогательной леммы в работе, посвя-
посвященной аксиомам евклидовых функций Грина ([Os Sen 3, лем-
лемма 8.8]). Следовательно, требование умеренности роста, при-
приведенное в работе [Os Sch 3], возможно, является слишком
слабым и не позволяет восстановить вайтмановскую теорию.
В этих лекциях мы ограничимся рассмотрением теорий, со-
содержащих лишь одно нейтральное скалярное поле; для обоб-
обобщения на случай конечного или счетного числа полей с раз-
различными трансформационными свойствами требуются лишь
незначительные и совершенно очевидные изменения (см. [Os
Sch 3,4]). Большая часть материала этих лекций заимство-
вана из работ [Os Sch 3, 4].
Мне приятно поблагодарить доктора Дж> Фрёлиха, вни-
внимательно прочитавшего рукопись и сделавшего много кри-
критических замечаний. Я также выражаю свою признательность
проф. Б, Саймону, приславшему мне еще до публикации ко-
копию гл. II своих цюрихских лекций [Si 3]. В период подготовки
этих заметок они были для меня очень полезными.
II. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ВАЙТМАНА,
ФУНКЦИИ ВАЙТМАНА, ЕВКЛИДОВЫ ФУНКЦИИ ГРИНА
В этом разделе мы приведем аксиомы Вайтмана, сформу-
сформулировав их на языке обобщенных функций Вайтмана, и да-
дадим краткое описание некоторых классических результатов
Функции Грина и обобщенные функции Вайтмана 51
аксиоматической теории поля. Подробное изложение можно
найти в монографиях Йоста [Jo], Стритера и Вайтмана
[Str Wig], Боголюбова, Логунова, Тодорова [BLT*], а также в
приведенной там литературе.
Пусть <f(x)—нейтральное скалярное поле, для которого
справедливы все аксиомы Вайтмана. Тогда его вакуумные
ожидания, или обобщенные функции Вайтмана,
У» (*) = ГАхи ...,*„) = (О, Ф fa) ... Ф (*„) Q)
обладают следующими свойствами:
Принадлежность к определенному классу обобщенных
функций. Для любого п функция Жп является обобщенной
функцией умеренного роста:
(WO) Wn{x)^9"(Rin); Го=»1.
Здесь и всюду ппже х = (х1 ^eR4", xt = Qfi{, xj s R4.
Релятивистская ковариантность. Для любого п функция
Жп пуанкаре-инвариантйа:
для любого (а, Л)еР+, где Ах + а = (Axt + а, . • •, Ах„ + а).
Положительная определенность. Для любой конечной после-
последовательности ОСНОВНЫХ фуНКЦИЙ /о, f\, ¦•-, ftf. гАе /о^С,
/ns5p(R*n), л=1 N,
(W2) Е Fre+m (/; X /m) > О,
га» ffi
причем функция /*Xfm определяется соотношениями
где f — функция, комплексно сопряженная функции /.
Локальность. Для любых п и ?= 1,. ..., «—1
(W3) Жп(хх xk, xk+u ..., хп) =
= Wп\Х\, ..., Xk+i, Хь, ..., хп),
если (xk—xk+lf<0.
Свойство распадения на пучки. Для любого пространственно
подобного а и любых &=1, ..., л—1; ? = (*[ Xk);
(W4) lim Жп (х, у + \а) = Жк (х) Жп-к (ф.
52 К. Остервальдер
Спектральное условие. Вследствие трансляционной инва-
инвариантности функций Wn существует такая обобщенная функ-
ция Wn-^r(R^-% чтоГ„(х) = ^-i®, где|=(?„ ...,?„-,)
и U = xk+l — xk. Тогда
(W5) f^'^
где
— преобразование Фурье от Wn~i, a V+ — замкнутый верхний
световой конус и qk\k — q\l\ — qfe|fe.
3 а м е ч а н и е. Соотношения (Wl) — (W5) нужно понимать
в смысле теории обобщенных функций.
По заданной последовательности обобщенных функций
Вайтмана, удовлетворяющих условиям (WO) — (W5), можно
восстановить гильбертово пространство Ж физических со-
состояний, вакуумный вектор Qe^, полевые операторы ф(я)
и унитарное представление группы Р+ в Ж. Это утверждение
называется теоремой реконструкции Вайтмана (см. [Wig 1]).
Введем векторнозначные обобщенные функции, определив
их формально соотношениями
где _|=(|ь .... |n_0 и lk = xk+x — xk для k—l, ...,«— Ц
Wn является обобщенной функцией умеренного роста со зна-
значениями в Ж. Если f e 91 (R4re), g^9" (R4m), то скалярное
произведение двух векторов
Уп (f) = J/ (х, I) Чп (х, I) dxd\t 4m (g) =\g(x, |) Wm (x, I) rfx ^
равно
= \f(x, t)g(x', r)
Преобразование Фурье от Ч*п, как обычно, определяется при
помощи соотношения *Р„ (f) = *?„(/), где f — преобразование
Фурье от /e^(R4re)
Теорема 1. Носитель Ч?п (g) содержится в Vn+ {здесь
1,2,...).
Рассмотрим такую основную функцию / е ^ (R4"), что
= 0, если ?_е7". Перепишем норму ПЧ^/)!! в терминах
Функции tpuna и обобщенные функции Вайтманй 53
обобщенной функции W^n-u тогда, используй спектральное
условие, получаем, что эта норма равна нулю.
Изучим теперь преобразование Лапласа Wn&t) от
Wn(q). Преобразование Лапласа обобщенных функций уме-
умеренного роста изучено подробно (см., например, [Sz, Li, VI,
Str Wig]). Следующая теорема, которую мы будем использовать
далее, принадлежит Бросу, Эпштейну и Глазеру [Bro E G].
Теорема 2. Пусть F(q) — обобщенная функция из 9"(R4re)
с носителем в V%. Тогда существует такая функция G (z),
голоморфная в трубчатой области вида &~% = {z \z==x-\-iye€?n,
g e V%), что:
(а) преобразование Фурье F от F является граничным зна-
значением функции G:
lim [ G (х + iXy) f (x) d^x = F (f)
для любых f e 9 (R4re), у е V%;
(b) найдутся такие положительные константы С, а, Р, что
A) |G(?)|<C(l+|?|)a[l+(min (^-lY/l))
для всех z e 0~\.
Функция G(z) называется преобразованием Лапласа от F
и может быть определена (эвристически) как
Теорема 2 сразу же обобщается на случай обобщенных
функций F со значениями в некотором банаховом простран-
пространстве. Применяя эту теорему к нашим векторнозначным обоб-
обобщенным функциям Wn, можно показать, что преобразование
Лапласа
fob qn-,)dinq
является векторнозначной функцией, голоморфной в 0~%, с
граничным значением ^(лс,?).
Применяя теорему 2 к обобщенным функциям Wn(q), по-
получаем функции Вайтмана Wn (?), которые голоморфны в
9"\. Очевидно,
B) V»-i(?)-(Q, VJz, E».
54 К. Остервальдер
Из трансляционной инвариантности вектора Q следует, что
правая часть соотношения B) не зависит от г. Нетрудно
доказать также следующую .лемму:
Лемма 3 ([Jo, стр. 109]). Пусть (г, Q<=T%, {z?
Тогда
Используя свойство релятивистской инвариантности (W1)
и теорему Баргмана — Холла — Вайтмана, можно показать, что
функции Вайтмана Wn(?) (но не векторы *Рге(?)) имеют одно-
однозначное аналитическое продолжение в расширенную трубчатую
область 0"+,ext = {gJA?e#-+ для некоторого Л e L+ (С)},
где L+ (С) — группа ¦ комплексных преобразований Лоренца
с определителем 1. Функции Жп{$, определяемые соотноше-
соотношениями Tffn(z) — Wn-i(Q; тде t,k = zk+\ — zk, голоморфны в об-
области ©ext = {z|^e^"+7ext}, и их граничные значения совпа-
совпадают с обобщенными функциями Жп(х). Наконец, используя
свойство локальности (W3), можно показать, что функция
У„ (z) допускает однозначное аналитическое продолжение
В Область ©ext,perm={;Z|Bn(!), ••-, 2Я („)) S <S>^rt ДЛЯ Некоторой
перестановки я}. Это продолжение мы обозначим опять через
Жп{г). Полученная функция инвариантна относительно пре-
преобразований из неоднородной комплексной группы Лоренца
IL+ (С), а также относительно перестановок аргументов
ги .... zn.
Область ©"xt. perm содержит множество ^" = {?|?еС",
Re2^"= 0, Imzfe = 0, гкф-гь для любых 1^й</^«}. Точки,
лежащие в &п, называются евклидовыми точками (несовпа-
(несовпадающих аргументов).
Определение. Сужение функции Вайтмаиа Жп(?) на
8п называется «-точечной евклидовой функцией Грина или
функцией Швингера.
Положим ©0 = Жо = И и
для x_&Qn = {x_\Xi фх,, 1<1</<ге}.
Используя свойство инвариантности функций Вайтмана,
мы сразу же получаем следующую лемму:
Лемма 4. Функции Швингера <&„ (х) инвариантны отно-
относительно действия собственной неоднородной группы враще-
Функции Грина и обобщенные функции Вайтмаш 55
ний ISOit а также относительно перестановок аргументов
Х\, . . ., Хп.
Введем функции Швингера Sn_i(?), зависящие от разно-
разностей аргументов g* = Xk+i — хк:
C) Sn_, (|) - W„_, ((J& 1,), ..., (««_,. !„_,)) = ©„(?).
где л: е Qn. Определим также векторнозначные вещественно-
аналитические функции Ч^(|):
где лЯ>0, Й>0, l<fe<n— 1. Положим 5| = ((-!»,?,),...
..., (— g°, |re)). Из леммы 3 и приведенного выше опре-
определения вытекает следующая лемма:
Лемма 5. Пусть все Xй, |J, ^/°, ??° положительны. Тогда
D) (?f (дс, ?), ??(д/, |')) = Sre+m_, (-И, -Ьх + S, Г)-
Из леммы 5, конечно, вытекает свойство положительной
определенности функций Швингера (см. свойство- (Е2) ниже).
Из свойства распадения на пучки (W4) следует, что
E) Ига (Ф, U {la, И) Ф') = (Ф, Q) (Q, Ф')
для любых двух векторов Ф и Ф' из Ж и пространственно
подобного а.
Лемма 6. Если 0<х°< ... <х*п, 0<^< ... < у°т и
а = @, а), то
Mm <Вп+т(&хп, .... Щ, ух + Ха, .... г/т + Ял) =
Лемму можно доказать с помощью подстановки Ф = УР% (|),
Ф'^^^О, h = xk+i~xk> й = Уш~Уь в Уравнение E).
Функции Швингера — это вещественно-аналитические
функции, но они также порождают обобщенные функции.
Прежде чем исследовать этот вопрос, сделаем математиче-
математическое отступление. Мы приведем без доказательства несколько
простых лемм, связанных с обобщенными функциями и пре-
преобразованием Лапласа. Они содержатся в работах [StrWid,
VI, Os Sch 3]; впрочем, их легко получить и из приведенных
нами результатов.
56 К. Остервальдер
Обобщенные функции и преобразование Лапласа
Обозначим через R± открытые полуинтервалы @, ±оо),а
через R± — их замыкания. Пространство функций fe^(R),
supp f cr R±, с индуцированной топологией обозначим через
9'(R±). Пространство i?(R+)—это пространство всех опре-
определенных на R+ функций, принадлежащих классу С°° на R+,
все производные которых непрерывно продолжаются на R+
и быстро убывают на бесконечности. Топология на ^(R+-) за-
задается системой полунорм
p
х>0
Лемма 7. Топологическое пространство ^(R+) изоморф-
изоморфно факторпросЪранетву ff>(R)/9'(R-).
Главное в этой лемме то, что любая функция из
является сужением на R+ некоторой функции из ()
Сопряженное к ^'(R)/^'(R_) пространство является по-
полярой пространства i?(R_), т. е. множеством обобщенных
функций jTe^"(R), suppler R+. Следовательно, по лемме 7
обобщенную функцию из i?"(R+) можно отождествить с
обобщенной функцией из i?"(R), носитель которой лежит
в R+. Функции f e ^(R+) постайм в соответствие функцию J:
Лемма 8. Отображение f-*f пространства ^(R+) в
) непрерывно, образ его плотен в ^(R+), а ядро равно
нулю.
Пусть T^9"(R) и suppjTcrR+. Тогда по лемме 7 обоб-
обобщенной функции Т соответствует обобщенная функция из
i?"(R+) (которую мы снова обозначим через Т), и, следова-
следовательно, существуют такие константы С и Ш, что для любой
функции /s^(R+).
6) i
С другой стороны, с помощью преобразования Лапласа S
обобщенной функции Т можно определить обобщенную функ-
функцию из 9"(R+). Пусть для х > О
Функции Грина и обобщенные функции Вайтмана 57
тогда для / е 9>( R+) мы положим
G) S{f)=\f(x)S(x)dx.
(Точнее, определим сначала S(f) на функциях из ^(R+),
имеющих компактный носитель, затем докажем непрерыв-
непрерывность S, используя аналогичную A) оценку для S(x), и, на-
наконец, продолжим S на все функции из 9'(R+).)
Основной результат нашего математического отступления
содержится в следующей теореме:
Теорема 9. Пусть Т — обобщенная функция из i?(R),
причем suppjTczR+. Определим S с помощью соотношения
G). Тогда для любой функции f e 9"( R+)
(8)
(9)
где константы С, пг зависят только от Т. Обратно, если S —
обобщенная функция из i?"(R+), удовлетворяющая неравен-
неравенству (9) для некоторых С и tn, то существует такая един-
единственная обобщенная функция Ге^"(К) с носителем в R+,
что для нее справедливо соотношение (8).
В дальнейшем нам потребуется обобщение теоремы 9 на
случай нескольких переменных, которое нетрудно показать,
используя теорему о ядре. Введем необходимые для этого
понятия и определения.
Обозначим через R^1 множество {|_Ц^ > 0, & = 1, ..., п\,
а через RA+— его замыкание. Функции f e^(R^) поставим
в соответствие функцию f:
f (g) = J ехр Г
f (|
На пространстве 9"{R^) введем следующее семейство норм:
A0) |f|; = |f|m+= sup (l+l?l)mlf<e>B)|.
|a|<m
Обобщенной функции T^9"(R4n), suppTczUf, мы опять
сопоставляем (определенную формально) функцию S:
58 К. Остервальдер
(преобразование Лапласа по переменным q\ и преобразование
Фурье обобщенной функции по переменным qft).
Для / е 9*(R4+) соотношение
снова задает обобщенную функцию из ^'(R4/*). Используя
определенные выше S и Т, можно сформулировать теорему 9
для случая нескольких переменных. Мы предоставляем это
в качестве упражнения читателю.
В дальнейшем нам потребуются еще два подпространства
пространства ^(R4n):
Л (R4B) = if I f e 9> (R*»), f<«> (?) = О,
если Х{ = Хк для некоторых i Ф k и любых а}
9> (R4<«) - {f | f e ^ (R4re), supp f cr R4^},
где R4<» = {?|0<x°< ... <*?}.
Теперь мы можем приступить к изучению обобщенных
функций, порождаемых функциями Швингера. Для |^ > О
функция Sn(l) является преобразованием Фурье — Лапласа
обобщенной функции №п{Я) (см. уравнение C)), и, следо-
следовательно, можно использовать теорему 9 (обобщенную на
случай нескольких переменных). Таким образом, мы полу-
получаем следующую лемму:
Лемма 10. (а) Функции Швингера 5П(|), зависящие от
разностей аргументов, определяют обобщенные функции из
9" (R+4)» которые задаются соотношениями
где f s5"(R?). Кроме того, Sn(f)=*Wn(J), и для некото-
некоторых Cum
\sn(f)\<c\fi.
(b) Функции Швингера ®п(?) определяют обобщенные
функции u3-9>'0(Rin).
Заметим, что из п. (а) следует, что ®n(x) определяет
обобщенную функцию из ^"(R4^). Для доказательства пунк-
пункта (Ь) нужно воспользоваться дополнительными геометриче-
геометрическими соображениями (см. [Os Sch 3, Si 3]).
Функции Грина и обобщенные функции Вайтмана
59
В следующем предложении мы собрали все ранее полу-
полученные свойства функций Швингера, а также сформулирова-
сформулировали основной результат об эквивалентности двух подходов к
релятивистской квантовой теории поля.
Предложение I. Функции Швингера, отвечающие тео-
теории Вайтмана, обладают следующими свойствами:
Принадлежность к определенному классу обобщенных
функций. Для любого п ^ 1
(ЕО) б„(х)е?5(П ©о=1
Функция Sn определяет некоторую обобщенную функцию
из 9"r (Rh?) и непрерывна относительно некоторой | • \'т-нормы.
Евклидова ковариантность. Для любого re^Ssl и любого
(a, R) s iSOt.
(El) ©„(?) = ©„(?? + а).
Положительная определенность. Для любого конечного
набора /о, /ь .... /w основных функций fn^d" (Rt?)
(Е2) Бт©„+т(в/*Х/т)>0,
где Qfn(x) = fnm.
Симметричность. Для любой перестановки л
(ЕЗ) ©»(*„..., х„) = ©„ (х„ ш,...,х„ (n)).
Свойство распадения на пучки. Для любых п, пг,
g<=9> (R*<) и любого а = @, а) е= R4
(Е4) lim @n+m (Qf* X
где ?
Обратно, обобщенные функции, удовлетворяющие усло-
условиям (ЕО)—(Е4), являются функциями Швингера, отвечаю-
отвечающими однозначно определенной теории Вайтмана.
Доказательство. Свойства (ЕО) — (Е4) можно выве-
вывести из аксиом Вайтмана с помощью лемм 4, 5, 6 и 10. По-
Поскольку для fs^0(R4n) функционал \ ©„ (х) f (x) dx может
быть определен как обычный интеграл, свойства ковариант-
ковариантности, положительной определенности, симметричности и рас-
распадения на пучки справедливы в смысле обобщенных функ-
функций, если с(ни выполнены поточечно.
Для доказательства обратного утверждения достаточно
вместо условия (ЕО) предположить, что Sn принадлежит про-
60 К- Остервальдер
странству, алгебраически сопряженному к ^(R^), и непре-
непрерывна относительно некоторой | • |^-нормы. Тогда свойство
(Е0) является следствием леммы 8 и свойств (Е1), (ЕЗ).
По теореме 9 из свойства (Е0) следует существование таких
обобщенных функций W(q)<= 9"(Rin), носители которых со-
содержатся в R+\ что для | е R+1
5„ (|) = J ехр [- ? {Цфк + ^qfe)l Wn {q)
(в смысле равенства обобщенных функций). Будем считать,
что Wn (q) — это преобразования Фурье зависящих от разно-
разностей аргументов обобщенных функций Вайтмана нашей тео-
теории. Из свойства (Е1) следует лоренц-инвариантность обоб-
обобщенных функций Wn(q) (см. [Nel3]), а потому их носители
лежат в V+. Свойства положительной определенности (W2)
и распадения на пучки (W4) сразу же вытекают из соответ-
соответствующих свойств (Е2) и (Е4). Наконец, свойство локально-
локальности (W3) является следствием условия симметрии (ЕЗ) и
всех уже установленных аксиом (см. [JO, стр. 120]). В сле-
следующем разделе мы более подробно обсудим это доказатель-
доказательство.
Нормы [ • \'т (они определяются соотношением F)), фи-
фигурирующие в условии (Е0), мало удобны для применений в
конструктивной теории поля. Поэтому мы рассмотрим другой
класс обобщенных функций, предположив, что
существуют такая норма Шварца [ • [s на ^(R+) н
такое L > 0, что для любых п и fk^9'(R+), k =
= 1 и,
(ЕоО \sn{hXUX ...Xfn)K(«0?niffeb-
Наш основной результат содержится в следующем пред-
предложении:
Предложение П. Обобщенные функции, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям (Е0'), (Е1) — (Е4), определяют единственную
теорию Вайтмана, для которой они являются функциями
Швингера.
III. РЕКОНСТРУКЦИЯ ТЕОРИИ ВАЙТМАНА
В этом разделе мы, исходя из последовательности функ-
функций Швингера ©„, удовлетворяющих условиям (ЕС), (Е1) —
(Е4), построим теорию Вайтмана, которой эти функции со-
Функции Грина и обобщенные функции Вайтмана 61
ответствуют. Тем самым мы докажем предложение II. Кро-
Кроме того, это построение сделает более прозрачным доказа-
доказательство предложения I.
Пусть ^< — векторное пространство последовательностей
L=(/o, /ь •••), где /0€еС, fne^(R<) и для п, больших
некоторого конечного N, fn = 0. Для /,ge^< положим
~ ~ n, m
Согласно (Е2), ( , ) — неположительно определенное скаляр-
скалярное произведение. Пусть Л = {f \f_^&<, \\f\f =(L f) = 0}.
Пополнение пространства ^</jf является гильбертовым про-
пространством Ж, которое в дальнейшем будет играть роль про-
пространства физических состояний. Обозначая через Ф естествен-
естественное вложение ^< в Ж, получаем для_/, g^9'< соотношение
(Ф(?), Ф(?)) — <?, g>. Положим О=Ф(A, 0, 0, ...)). Пусть
f<=!?{R4?) для некоторого п. Введем Ф„(/)= \ Ф„(х)/(х)*/4гех=
= Ф (f), где f имеет компоненты fn — f и /& = 0 для k Ф п.
Определим также W% {х, |) = Ф„ (х), где |ft = xk+x — xk\
Wn является векторнозначной обобщенной функцией из
&"(Ц*+). Согласно свойству положительной определенно-
определенности (Е2), скалярное произведение двух таких векторов опять
задается уравнением D) (см. лемму 5).
Теперь пока ; ем, что «функции» Ч^^л:,, |) после сглажи-
сглаживания по пространственным переменным допускают аналити-
аналитическое продолжение по переменным х\, %\, ..., |°_г Положим
A2) Ч*(#, |°|g) = J^(*lt |)g(x1( |)dx,d|
и
A3) i
где g^9> (R3n), h<=9> {R3m). Пусть С+ = {z | Re z > 0} и
Ct = (C+)ft.
Теорема 11. Для заданной функции gh обобщенные
функции Sn+m-i(l°\gh) являются сужениями на произведение
положительных полуосей голоморфных в c++m~i функ-
функций Sn+m-i(^\gh\). Существуют векторнозначные функции
62 К. Остервальдер
^n(zo,i°\g), аналитические в С1?, такие, что
A4) t
Кроме того, в области ?оеС"Л' для Sn+m-i(C\gh) спра-
справедлива оценка
A5) IS^-.fcMgAJK
< С !¦ g \s | /г |s A + | ?° | )a A + [min Re Щ-')\
ft
где норма Шварца | • |s и постоянные a, b, С зависят
5
Замечания. A) Из оценки A5) с помощью стандарт-
стандартных рассуждений можно вывести, что Sn+m-i (?°j\gh) является
преобразованием Лапласа некоторой обобщенной функции из
9" с носителем в R++m~'. Следовательно Sn+m_i(|) предста-
вима в виде A1), где Wn(q)—преобразование Фурье обоб-
обобщенной функции Вайтмана, зависящей от разностей аргу-
аргументов. Отметим, что в доказательстве предложения I этот
факт был следствием предположения о | • ^-непрерывности
обобщенных функций 5П. Свойство положительной опреде-
определенности (W2) следует из A3).
B) Приведенное ниже доказательство теоремы 11 при-
принадлежит Остервальдеру и Шрадеру [OsSch4]. Построение
аналитического продолжения функции 5П была независимо и
одновременно найдено также Глазером [G1 1, 2].
Доказательство теоремы 11. А. Построение
гамильтониана. Пусть t ^ 0. Определим ?*: $Р_<-*9'<
с помощью соотношений
Если f, g6^<, то, согласно свойству (Е0'), отображение
t -* (f, Ttg) непрерывно и существуют такие зависящие от /
постоянные С и ш, что
A6) \{f,fif)\<c(i + tm).
Кроме того, для t^O, s^O мы имеем r<fs = Tt+S и
(Jt ftg) — {ftf, g). Согласно неравенству Шварца, для любой
f& | у ~1
fjs&z с
A7) \(f,
Функции Грина и обобщенные функции ВайтМана 63
Итерируя A7) и используя неравенство A6), получаем
\(Ь ftt)\<(l> 7WJ""
при п-*<х>. Поскольку tt оставляет инвариантным множе-
множество JC векторов с нулевой нормой, можно с помощью соот-
соотношения TtQ>(f) = O(Ttf) определить на_^</Л? полугруппу Tt
и непрерывным образом продолжить ее на все Ж. Для лю-
любых Ф, Ф'еЗ^ справедливо неравенство ||ГгФ||<||Ф|| и
(^гФ, Ф') = (Ф, Г(Ф'), и мы заключаем, что при f&sQ полу-
полугруппа Tt является слабо непрерывной однопараметрической
полугруппой самосопряженных сжимающих операторов на Ж,
причем Tt = e~iH, где гамильтониан Н — самосопряженный
положительный оператор.
В. Аналитическое продолжение. Для построения
аналитнческого продолжения функций Швингера по времен-
временным переменным мы используем аналитическую полугруппу
е~хн, Ret>-0. Поскольку в последующих рассуждениях про-
пространственные переменные не используются, мы будем их
опускать и писать соответственно Sn-i(|) и Ч7» (х, |) вместо
5n-r(J° I gh) и V^n (Л |° I h), где | теперь обозначает п — 1 вре-
временных переменных ??, ..., |°_,.
Для x=t-\-is, (>0, матричный элемент оператора е-тН
на векторах Ч*^ н Ч^ равен
(Wf (х, |), е-« V? pt |0) ^ 5n+m_i gx + s + tf ?j 8)
и является обобщенной функцией от переменных |, х + х' -f-
+ ^, |Л и s, удовлетворяющей уравнениям Коши — Римана от-
относительно t и s. Следовательно (см., например, [VI, ?тр. 44]),
-l (I. * + *' + t, Г IS) = 5„+т_, (|, Х + X' + Т, Г)
— обобщенная функция от переменных |, \', которая после
сглаживания по этим переменным становится голоморфной
в правой полуплоскости С+ = {г \ Re г > 0} функцией от г =
= x-\-xf-\-т. Если n + m— \=k фиксировано и т = 0,
1 k, то все «функции» Sft+m-i(|, г, |0 являются анали-
аналитическими продолжениями обобщенной функции 5^, а в этом
случае применима теорема об острне клина. Точнее, если
мы введем Se+m_,Ja, w, «0 = 5„+т_1(|, z, |'), где |А=»е"*,
z=ew = eu+iv, to Ъп+т-1 — голоморфные в области |1тда|<
< п/2 функции от до и обобщенные функции от переменных и,
64 К. Остервальвер
причем все они совпадают при lmw~>0. По теореме Маль-
гранжа—Цернера (см. [Ер]) существует голоморфная в области
\ w ? lmwt\<n/2> функция 5ft(с»!, .... хюк), продолжаю-
продолжающая все функции Sn+m~i(u, w, и'). Это равносильно тому,
(|
что все функции 5re+m_i(|_, z, %) являются сужениями функ-
функции Sk(Zu ••, Zk) — Sk{?,), k = n + m—l, голоморфной в
?<¦>=
Функции Sk(?,) можно рассматривать как скалярные произве-
произведения двух векторов из Ж Введем ?$п с С+:
A8) 0?° = {(*, ?) |* > 0, (|, 2х, ?) е «?й_,}.
Лемма 12. Существуют такие векторнозначные голоморф-
голоморфные по I функции W% (x, ?): ^> -> 5ё, что
о
Доказательство. Для (x, |) e ?Z>M выберем содержа-
o ~ о
ЩИЙ ЭТУ ТОЧКУ ПОЛИДИСК Р = {(Х, ?)| [ gft — lk |< fft, fe = 1, . ..
о о
..., п— 1} с центром в некоторой вещественной точке {х, |)
и с достаточно малыми г% для того, чтобы Р с 3)^. (Заметим,
о
что первая переменная х вещественна и всегда фиксирована.)
to о
Тогда ряд Тейлора функции S2n-i(?, x + x',g) сходится
в окрестности {(*, ?) е Р, (л:, ^') е Р'} точки (|, л: + х', ?')•
Пусть теперь Xv (^> I) е Со — такая сходящаяся к б (х — х) X
Xll^(lfe~ift) последовательность, что suppxvcrR+,
и \ Ху dx d\ = 1. Кроме того, определим
Функции Грина и обобщенные функции Вайтмана 65
где ?=(&i» ..., kn-i)t k\ =
~~ i
Тогда векторы из Ж
ВО Г 17
(Y f-\ SSSB \ ЦГ^ (у ?\ f
* Я, V|A \-^> Ь/ \ * Я \А» Ъ/ / '
J ?) fV14 (*, I)
йри фиксированных v, ц аналитически зависят от ?. Исполь-
Используя уравнение A3) и тот факт, что 5„+т~,(|, х + х', |') —
вещественно^аналйтическая функция, Легко доказать, что
о о
вектор XF^ (я, ?) = lim Hm tyf (л:, ?) существует и удовле-
- ц->оо V-»oo "• V1*
тщоряет уравнению A9).
Лемма 12 позволяет построить аналитическое продолже*
ние функции Sk (|) в ббльшую область ^(l1. Если (л:, Q ^>
И (л:', ^') е5)^, то для тбС+ мы полагаем
B0) 5„+т_, (?, л: + л:' + т, ?0 = (^ (*, ?J, ^tH^ (^. ?0).
Если п-\- т — 1 = к фиксировано и п = 0, ..., к, то уравне-
уравнение B0) дает нам аналитическое продолжение функции Sk в
область
B0 ^?i?' = I IIfE jc -4- jc' -4- T ?O I (x ?.) S ^5O fjc' ?0 ^ S)^"
n ~ _ _ n _
т е С+, n-\- m — 1 = &}.
Область ^ft', записанная в переменных c»ft = Uk + /Уь =
= In ?ft, является трубчатой областью. Согласно теореме об
оболочке голоморфности трубчатой области (см., например,
[VI, стр. 214]), Shit) можно аналитически продолжить в обо-
оболочку голоморфности 'Э'Г области Ф1®; будучи записанной
в переменных Wk, область Ч?Р совпадает с выпуклой оболоч-
оболочкой области Ф^К Аналогично A8), введем
B2) Щ) = {{х, ?) | * > 0, (| 2х, ?J e Щ^}
и повторим доказательство леммы 12, заменяя всюду Ж>^
иа fflgK
Повторяя эту процедуру N раз, мы получим аналитиче-
аналитическое продолжение Sft(?) в область Ф^) и определенную на
3 Заказ 351
66 К. Остервальдер
области 3)^ векторнозначную функцию ^^(х, ?), для кото-
которой справедливо уравнение A9). Первая часть теоремы 11
будет доказана, если мы сумеем показать, что U1^'— С^>
N
а это равносильно равенству Utf^R+XCH.. Мы дока-
докажем более сильное утверждение.
Лемма 13. Для любых N = 3, 4, ...; п= 1, 2, ...
(А) 2)^] содержит множество
(В) &№ содержит множества
cue Ур — Шал & /\t)/\i) — иЛЯ Г ^ iV •
N>1 <=о /=о
Доказательство. По построению области fj^' и Й5^
при преобразовании t,1 = eWt переходят в трубчатые области.
Пусть c^i и d(W) — основания этих трубчатых областей:
Заметим, что cj^> и rf^> — это подмножества в [— я/2, л/2]и.
Из определений Ф^ и S5j^ следует (см. B1), B2)), что
B3) с^+" = выпуклая оболочка (v\v = (—у', v, v"), где
(О,/)е rfW, @, у") srfW, 5е(_ л/2, я/2), n + m- 1 = k),
B4) df) = |@> у) |(_|f 0( f}
Функции Грина и обобщенные функции Вайтмана 67
Множества с(/>, d^f" для любых k и N определяются по ин-
индукции с помощью уравнений B3), B4) н условия cf] =
= @, ..., 0). Отметим, что все множества с^' и d^ выпуклы.
Более того, если (ир ..., tijjecf (или djjf0), то целый пря-
прямоугольный параллелепипед с вершинами (± vit ..., ± v?)
также лежит в с^' (в d^).
Для доказательства леммы 13 построим сначала такую
функцию h(r,N) от г = 1, 2, ... и N = 1, 2 что для лю-
любых t^ 1 и s ^ 0
B5) ш(/, s, Л^) = @, 0 0, A(l, iV) h(s,
Положим h (r, 0) = 0 для г = 1, 2, ... . Очевидно, w (t, s, 0)e
е <4+?. Предположим теперь, что для любых г ^ 1 и iV =
= 0, 1, ..., L мы уже построили функцию h(r,N), удовле-
удовлетворяющую условию B5). Согласно B3), при любом |а|<
< л/2 точки
(-h(s,L), -h(s-l, L), ..., -АB, L), -ЛA, Д
0 0 а, АA, L), .... A(s-l,Z.))
(— /г(s — 1, L), ...,-h{l,L), -a, 0, .... 0, A(l, L),
AB,L) h(s,L))
принадлежат c^J+^-i1
Поскольку область 4V+<)-i вьшУкла> она содержит также
точку
-1, Ц]).
Значит, если положить
А (г, 0) = 0, г=1, 2, ....
B6) h(\, L + l) = -j[h(\, L) + a],
К Остервальдер
то точки w(t, s, L-\- 1), определенные с помощью B5), опять
будут принадлежать <2(Д+". Примем соотношения B6) за ин-
индуктивное определение функции h(r,N).
С помощью простых вычислений соотношения B6) нетрудно
разрешить:
S
где для s j> N мы полагаем V Г { J — 2N. Поскольку число а
можно выбрать сколь угодно близким к я/2, точки
шоA, п— 1, ЛО — @Л у„ va, ..., 1»„-,), где | уг1 < я/2 X
X 1 — 2~* J) ( * ) I, лежат в df\ Тем самым часть (А)
леммы 13 доказана. Для доказательства части (В) доста-
достаточно воспользоваться частью (А) и уравнением Sn(?) =
С. Оценки для Sk(t,). Мы приведем лишь беглое изло-
изложение основных идей, приводящих к оценке A5). Подробное
изложение можно найти в [Os Sch 4]. В частности, мы продол-
продолжаем игнорировать пространственные переменные, а это, ко-
конечно, недопустимо при полном выводе неравенства A5).
Сначала воспользуемся (Е(У) и покажем, что для любых
пн|й>0, k= 1,2, .... п.
B7) |5„(|„ .... У1<МР*ШA +100
<1
<—1
где oJh у — целые. Пусть теперь е > 0; определим
п
/по\ с (f-\ __ I I 171 I f _|_ рЧ /1 I о—l\i—V Р- (f- I \
И
К * (*• ^ = [О + 2* + в) A + е-1)] ~v/2 X
п~\
где S +f определяется соотношениями (? + е)к = Z,k -|- е. Функ-
Функции Sa_ ,(?) и 4^+1, ,(*•?) определены и "голоморфны при
Функции Грина и обобщенные функции Вайтмана 69
jtsR).,|6CJ, Согласно B8), при z = х + iy мы имеем
B9) Sa+m-u& 22,20 =
-tUS + e')' (П . <*> Р. е"ЗДЯП . С*. СО) •
Докажем, что при ? е 9W
C0) |SMfflKNfc2w.
Доказательство неравенства C0) проведем по индукции. За-
Заметим сначала, что при N = 0 неравенство C0) совпадает
с неравенством B7). Предположим, что неравенство C0)
справедливо для N = I, 2, ..., L и для любых я. Тогда, со-
согласно B9), для (*,_?) еФ*>, (х, ?)?%>
-,,e|, 2 (
-,f.(|, 2x, p52m-,,8(f, 2х, С01'А<
[а Bя - l)f ("-'л> [а Bт - I)]8 «*-l«2ett
Поскольку 9>^+l) является оболочкой голоморфности обла-
области
U {(!, 2 (х + iy), ?) 1 (*, 0 г ?5»), (*, СО
n+m-1-fe — — — ~
неравенство C0) для iV = L -\-1 следует из принципа мак-
максимума (см., например, [VI, стр. 211]). Следовательно, нера-
неравенство C0) доказано для любых п и N.
Теперь попытаемся исключить N из правой части нера-
неравенства C0). Для этого выберем определенную точку ?еС+
и определим N — N{Q таким образом, что ^e^w. Пусть
Nn — такое число, что 2~Nn^yn<^lk- Тогда по лемме 13 (В)
g_e V^n\ если [ arg ?, |< я/4 для г = 1, ..., п; следовательно,
для таких С_ мы можем положить N (?) = Nn. Зависимость Nn
от п для нас несущественна.
Рассмотрим теперь С s C+ с max |arg?rl = [ arg^[>n/4
~ \<r<n
для некоторого 1 <s <и. Тогда, полагая | = Re С* ц = 11га С |,
получаем
(мы воспользовались тем, что arctgлг > —х при х_< 1).
70
К. Остервальдер
Положим N(?) =
где
, или
и постоянные с„ зависят только от п. В дальнейшем значения
постоянной сп будут меняться, однако мы всегда будем счи-
считать их зависящими лишь от п. Выбирая указанным образом
W(?), мы для 1 ^ г ^ п получаем
I arg ?, |< | arg U < у О - 2-^)/2Yn),
и, следовательно, согласно лемме 13(В), ^е С^'-'. Подстав-
Подставляя теперь N(Q в неравенство C0), приходим к следующим
неравенствам:
C1) |Sn,e(?)KMPn2BnJV« = cn
для max| arg?r|< л/4 и
C2) | Sn,, @ | <
для тах| arggr | = arg(|
Объединяя C1) и C2),
мы при некотором значении сп получаем неравенство
C3) IS^eC '
Если теперь мы объединим C3) и B8), то, полагая
е — -5" min Re ?fe, получаем
z к
is, @1 =
i-=l
где постоянные а, Ь и с зависят от п. Следовательно, оцен-
оценка A5) без учета пространственных переменных получена.
С помощью стандартных рассуждений из теоремы 11 мож-
можно вывести существование таких обобщенных функций №п(Я)
из 9"(R4n) с носителями в R+\ что
(l) - \
ехр [-
*¦»»
Функции Грина и обобщенные функиии Вайтмана ?1
Определим обобщенные функции Вайтмана следующим обра-
образом:
C4) Wn+i (х) - \ ехр Г/ ? qk {xk+l - ХкI Wn (q) dlnq.
Теперь мы должны проверить условия (WO) — (W5),
Проверка аксиом Вайтмана
(W0) Это свойство следует из определения C4).
(W1) Инвариантность ЗР„ относительно группы трансля-
трансляций и группы вращений следует непосредственно из опреде-
определения C4) и соответствующих свойств функций Sn. Для до-
доказательства инвариантности Wn относительно чисто лорен-
цевых преобразований достаточно показать, что XOjW(q)=O,
п
где / = 1, 2, 3, Х0] = V (фк-?т + ч'к-рЛ ~" инфинитезималь-
ные генераторы чисто лоренцевых преобразований (см.
п
[Nel 3]). Пусть Yol = У (ц -^- -1{ -^j-'j - инфинитезималь-
ные генераторы вращений в евклидовом пространстве, тогда
из условия (Е1) следует, что
О = YOiSn ft) = i J ехр [-
Значит, Xoj^n(^)=O, / = 1, 2, 3, так как преобразование
Фурье — Лапласа имеет нулевое ядро.
(W2) Свойство положительной определенности легко про-
проверить, используя лемму 12 и тот факт, что обобщенную
функцию Wn(i) можно рассматривать как граничное значе-
значение аналитического продолжения функций Швингера Sn.
(W5) Поскольку supp f»cR?H #„(?) — лоренц-инварианТ-
на, то supp#n aV%.
(W4) Из свойства распадения на пучки (Е4) следует, что
для любого а = @, а) и для произвольных векторов Ф, Ф' е
Нт(Ф, U {а, И)Ф') = (Ф,
Отсюда сразу получаем свойство (W4) распадения обобщен-
обобщенных функций Вдйтмана на пучки.
72 К. Остервальдер
(W3) Свойство локальности является следствием симмет-
симметричности функций Швингера и теоремы из книги Р. Йоста
([Jo, стр. 120]).
На этом доказательство предложения II заканчивается.
Замечания. 1) Из хода нашего доказательства видно,
что условие (Е0') было выбрано в некотором смысле слу-
случайно; столь же эффективными могут оказаться и другие
подобные условия. Дальнейший прогресс в этом направлении,
вероятно, связан с заменой (Е0') похожим условием, налагае-
налагаемым иа функции Швингера @„, а не на Sn (см. [Os Sch4]). Та-
Такое условие было бы, вероятно, наиболее удобным в прило-
приложениях.
2) Для моделей Р(уJ с малой константой связи все свой-
свойства (Е0'), (Е1)—(Е4) функций Швингера могут быть без
труда получены из оценок Глимма, Джаффе и Спенсера
[Gli Ja Sp 1]. В частности, (Е0') вытекает из следствия 1.1.9
цитированной работы. Согласно этому следствию, для функ-
функций /, носитель которых лежит в произведении единичных
квадратов решетки Д*_= Д^ X • • • X Д;п, справедливо нера-
неравенство
C5) 1®„(П !<«"«! Я ffc.
(Мы пользуемся обозначениями работы [Gli Ja Sp 1].) Пусть
АеУ(R+ "-"), a %i(§)—характеристическая функция Д/,X•.•
• • • X A/rt-t; тогда ~
Кроме того, для любой gs5'(R2), такой, что
и \g(x)d2x=l,
C6) S»-, Ш = \ @„ (х) g (хд h (|) xL(l) d2nx -
где |й — Хь+1 — Хк, Заметим, что g(xi)xH|))q_M отлична от
нуля лишь при д;1еД0ПДг1, х2— Х\ е Д/1( х2 е Дй> ...
.... х„-^-|ЕА1г1, ХдеА^. Следовательно, при фиксиро-
фиксированном / ненулевой вклад в правую часть уравнения C6)
дадут не более 4" значений L Тогда, используя C5), мы
Функции Грина и обобщенные функции Вайтмана 73
получаем
»n! max ( J | g(Xl) h (|) X/ (|) Ц (?
Наконец, воспользуемся тем, что преобразование jc—>-(jci, |)
имеет единичный якобиан. Отсюда для h = /ij X ^2 X • • •
... X Лп-i получаем
| sn_, (Л) < c»ni Е | лх,Ь = с»м! П (Е || hk%l Ь),
и, следовательно, условие (ЕО').
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
ЕВКЛИДОВА ТЕОРИЯ ПОЛЯ')
Эдвард Нельсон
Математический факультет Приистонского университета
I. ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ
Пусть Ж— вещественное гильбертово пространство, а ф —
единичный гауссов процесс, заданный на Ж, т. е. ф — это
единственный (с точностью до эквивалентности) веществен-
вещественный заиндексированный элементами Ж гауссов процесс, у ко-
которого среднее равно нулю, а корреляционный функционал
совпадает со скалярным произведением в Ж Таким образом,
существует вероятностное пространство (Q, 9", \i), обладаю-
обладающее следующими свойствами: для любой f из Ж функция
ф(/)—случайная величина на (Q, 9°, \i); функции ф(/), где
[еЖ, порождают а-алгебру 9°; для ортонормированных
/ь ..., /„еЖ и ограниченной бэровой функции F на Rn
справедливо равенство
Конкретный вид (Q, 9", ц) для нас несуществен. Вероятно,
наиболее простой способ построения этой тройки состоит в
следующем: в Ж выбирается ортонормированный базис {еп},
каждому п сопоставляется пространство
(R, 3S, Bn)-ihe-x!i2dx),
где 3S есть а-алгебра борелевых множеств, и в качестве
(Q, 9", \i) берется декартово произведение этих пространств.
Пусть а — суммируемая случайная величина на (Q,9>, ц);
обозначим через Еа ее среднее, так что
?<х= \ad\i.
а
Для единичного гауссова процесса ф докажем следующие
соотношения:
О) (n+
Ю Др0.) • • • Ф(и= Е </,„ flt)... (hn, fln),
') Е. Nelson, Probability Theory and Euclidian field theory, Construc-
Constructive Quantum Field Theory, 25, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New
York, 1973,
© by Springer-Verlag, 1973
Теория вероятностей и евклидова теория поля 75
где суммирование идет по всем спариваниям индексов из
1 2я, т. е. по перестановкам (iu /ь ..., in, jn) индексов
1, ..., 2п, причем
/, < ... < /„, /, < /,, .... /„ < /„.
Соотношение A) является следствием инвариантности сред-
средних относительно преобразования <р(/)-»<р(—/) = — ф(/)- Со-
Соотношение B) достаточно доказать для случая f\ — ...=
= hn = f, поскольку для любых коммутирующих величин г*
справедливо поляризационное тождество
г-i r-i tl<...<tr
Предположим, что f — вектор единичной длины. В таком
случае B) принимает вид
D) E<({ffn = Bл - 1)Bп - 3) ... 3 • 1,
где правая часть уравнения D)—это просто число всевоз-
всевозможных спариваний индексов 1, ..., 2л. Однако левая часть
уравнения D) совпадает с интегралом
E) -4=г J *2«e-*V2 dx = Bл - 1) Bл - 3) ... 3 • 1.
— 00
Пусть 1 sc; p sc; оо; обозначим 3?р (Q, 9", \л) просто через
(Ж) а вместо обозначения &2{Ш) будем также исполь-
использовать Т(Ж). Замыкание в Т(Ж) линейной оболочки всевоз-
всевозможных элементов вида q>(/i) ... q>(fm), где m^.n, обозна-
обозначим через Г(<5#)<„. Пусть Т(Ж)п — ортогональное дополне-
дополнение подпространства Г(<5#)<„_1 в ГE^)<„. Для /ь ..., f „ е
е Ж определим
как ортогональную проекцию элемента q>(fi) ... <p(fn) на
Ж (Е Ж YBe) = L2(R, &
у р
{) (Если Ж одномерно, то () (
Bп)~1'2 e~x2'2 dx), а Г (Ж) „ — одномерное пространство, поро-
порожденное полиномом Эрмита с индексом п, и :хп: есть норми-
нормированный полином Эрмита с единичным старшим коэффи-
коэффициентом.) Докажем следующую формулу:
F) (:ф(г,)...фЫ:.:ф(/1)-ф(/«):> =
= Ti (gn (l), f l) • • • (in (я)» fn)>
n
где суммирование проводится по всем перестановкам я ин-
индексов 1, ..., п. Вследствие симметрии левой части соотно-
76 S. Нельсон
шения F) его достаточно доказать для gi = fi gn = In-
В силу тождества C) достаточно рассмотреть только случай
fi = ... = fn = /. Можно считать, что f — вектор единичной
длины. Тогда соотношение F) принимает такой вид:
G) <
или
(8) 1 \ (:^:J^/2л^_,
а это хорошо известная формула нормировки полиномов Эр-
мита.
Пусть <S#i — комплексификация пространства Ж, а Жп —
это я-кратное симметризованное тензорное произведение про-
пространства 2в\. На пространстве Шп введем скалярное произ-
произведение
(9) (Symg, ® ... ® gn, Symf, ® ... ® /„) =
= Е (g« <i), fi) • • • <g« (n). fn)>
n
где Sym — это оператор симметризации:
Symf,® ... ®fn = -
Используя формулы F) и (9), можно однозначно продол-
продолжить отображение
: ф (f,) ... <р (/„): н^> Sym f, ® ... ® f„
до изометрического оператора, отображающего Т(Щпна Шп-
Это отображение мы будем использовать для отождествле-
отождествления пространств Г(Ж)п и Шп. Известно, что полиномы Эр-
мита образуют полную систему в i?2(lR, Ш, Bя)"*'''2'е~х'12dx).
Сигал [Se 1] обобщил этот результат на произвольное веще-
вещественное гильбертово пространство и показал, что линейная
оболочка пространств ТC@)„ совпадает с Г(Ж). Следова-
Следовательно,
1Ж
и-9
Значит, Г(<5#) —это фоковское пространство.
Структура пространства Г (Ж) тесно связана со структу-
структурой вещественного гильбертова пространства Ж. Например,
отображение U: Ш-+Ж одного вещественного гильбертова
пространства на другое порождает изометрическое отображе-
отображение Г(<7) пространства Г(<5#) на rCf). На 2вп отображение
T(U) совпадает с U ® ... <8> U (я-кратное произведение). Изо-
Теория вероятностей а евклидова теория поля П
метрическое вложение I: Ш-+Ж одного вещественного гиль-
гильбертова пространства в другое индуцирует изометрическое
вложение Г(/): Г (Ж)-* Г (Ж), а на Жп отображение Г(/)
совпадает с /®...<8>/ (п сомножителей). Ортогональная
проекция Е: Ж-*Ж вещественного гильбертова пространства
на замкнутое линейное подпространство индуцирует ортого-
ортогональное проектирование Г(?): Г (Ж)-* Г (Ж), а на Жп ото-
отображение Г(Е) совпадает с Е <8>... <8>Е. Для любого сжи-
сжимающего отображения (т. е. линейного отображения с нор-
нормой, не превосходящей единицы) А: Ж-^Ж, переводящего
одно вещественное гильбертово пространство в другое, опре-
определим Г (Л) как прямую сумму операторов Г(Л)„, где
Г.(Л)„: $вп-+Жп совпадает с Л®... <8> Л (м-кратное произ-
произведение). Халмош [Hal] показал, что любое сжимающее ото-
отображение А: Ж-+Ж можно представить в виде Л = EUI, где
Е, U и / — отображения, описанные выше (в самом деле,
отображение /: Ж-*Ж®Ж, очевидно, является вложением;
Е: Ж(&Ж-+Ж — ортогональное проектирование, а оператор
U: Ж®Ж-*Ж®Ж определяется из соотношения A — EUI,
причем доказательство его изометричности нетривиально).
Таким образом, Г(Л)= Т (Е)Т (U)Y (I). Следовательно,
Г(Л) —марковский оператор, т. е.
A0) Г (Л) 11 = 11, '
?Г(Л)а = ?а,
поскольку операторы Т(Е), T(U) и Г(/) марковские.
Ясно, чта любой марковский оператор Г является сжи-
сжимающим отображением пространства 9?°° в 9?°° и простран-
пространства 2" в 2?1. Пользуясь теоремой М. Рисса о выпуклости
или просто неравенством Гёльдера, можно показать, что для
любых 1 ^ р ^ оо оператор Г является сжимающим отобра-
отображением пространства Sv в gv.
Теорема 1 (гиперсжимаемость). Пусть А: Ш-+Ж —
сжимающее отображение одного вещественного гильбертова
пространства в другое. Тогда для 1 ^ q ^ р ^ оо, удовлетво-
удовлетворяющих условию
01)
Г(А) — сжимающее отображение из Si (Ж) в З'р(Ж). Если
условие A1) не выполнено, то Г (Л); З^Ц^-^&ъ (Ж) —не-
—неограниченный оператор.
Мы приведем здесь лишь набросок доказательства; оно
отличается от не совсем четкого доказательства, приведен-
78 9. Нельсон
ного в работе [Ne4]. Если А = О, то Т(А) каждой случайной
величине ставит в соответствие ее среднее и, следовательно,
является сжимающим отображением. Если А Ф О, то, перепи-
переписывая А в виде (с~1А)с, где с=||Л||, получаем Г(.А) =
= Г(с~М)Г(с). Но (г1 А — сжимающее отображение, так что
Г (г-1 Л) —сжимающее отображение из SB? {Ж) в 2'р(Ж). Та-
Таким образом, для доказательства первой части теоремы тре-
требуется показать, что если условие A1) выполнено, то Г (с) —
сжимающее отображение из 9?чCв) в 2'р(Ж). Для этого
достаточно показать, что для любого а ^ О
A2) (?(Г(с)а)р)'/Р<(?а<?)'/",
поскольку для любого сохраняющего положительность опера-
оператора Г справедливо неравенство |Га|^Г|а|. (В этом легко
убедиться, аппроксимируя Г интегральными операторами с
положительными ядрами.)
Предположим, что Ж = Жщ ф Ж@)- В качестве вероят-
вероятностного пространства (Q, 2", ц) единичного гауссова процес-
процесса, заданного на Ж, можно взять прямое произведение ве-
вероятностных пространств (fii, 5*i, \ц) и (fi2, ^2, цл) единичных
гауссовых процессов, заданных на Жт и Жф. Для операций
взятия среднего от случайных величин на этих вероятност-
вероятностных пространствах введем обозначения Ех и Е2 и точно так
же сжимающие отображения будем обозначать через Т\(с)
и Гг(с). Покажем, что для положительной случайной вели-
величины а на (fi, 9", ц)
A3) || Г (с) а I = (Е (Г (с) а)?I1" <(?, (Г,(с) (Е2 (Г, (с) aYfp)Jlp.
Мы можем представить Fi (с) в виде интегрального опера-
оператора с ядром Fi(-,•); аналогично представляется и Гг(с).
Пусть р — положительная случайная величина и l/p+1/p' =
= 1; тогда, дважды используя неравенство Гёльдера, полу-
получаем
а = J J J J р (ю„ щ) Г, (со,, т),) Г2 (щ, т|2) а (т)„ л2) X
(т),) dfia (тJ) йц, (со,) dfia (ю2) <
55Ei, ю2)Р'^М«>2))'/Р'г,(«>ь Т|,)Х
X ( J (j Г2(а>2,гJ)а(т) ) )' "
< ( J J P (<»i, Щ)"'
(со,,T)
Теория вероятностей и евклидова теория поля 79
последнее выражение совпадает с правой частью неравенства
A3), умноженной на ПРИ ,. Следовательно, неравенство A3)
доказано.
Если первая часть теоремы справедлива для пространств
() и 5^B), то из A3) сразу же следует, что она справед-
справедлива и для <S#(i) (В <2?B). Итак, нам достаточно доказать пер-
первую часть теоремы лишь для случая одномерного веществен-
вещественного гильбертова пространства, поскольку с помощью индук-
индукции ее можно тогда установить для любого конечномерного
вещественного гильбертова пространства, а с помощью ап-
аппроксимации— и для вещественного гильбертова простран-
пространства любой размерности.
Пусть F — ограниченная вместе со своими производными
вплоть до третьего порядка функция на R. Кроме того, пред-
предположим, что она ограничена снизу некоторой положительной
константой. Неравенство A2) достаточно доказать для ос =
= /?(<p), где ф — гауссова случайная величина с нулевым
средним, заданная на вероятностном пространстве (п\, 91 и щ).
Пусть фл—определенная на вероятностном пространстве
(Q2, ^2, мя) гауссова случайная величина с нулевым средним
и дисперсией Л; следовательно, ф и щ — независимые случай-
случайные величины на пространстве (Q, ^, ц). Отметим, что ф +
+ щ — гауссова случайная величина с нулевым средним, ее
дисперсия равна сумме h и дисперсия величины ф. Будем ис-
использовать прежние обозначения Е\, Е2, Т\(с) и Гг(с). Тогда
получим
A4) (?2(Г2 с)
(Р (Ф)Р + F (ФГ1 (pcF' (Ф) ФА + р ~ F" (Ф) А) +
(F (Ф)р + F (фГ1 р~ F" (Ф) h +
+ F (уГ2?(?^1 W (фJh +
80 9. Нельсон
Полагая с = 1 и р = q, получаем
A5)
Если пренебречь членами порядка o(h), то, согласно A1),
эта норма больше нормы A4).
Тогда из неравенства A3) следует, что
A6) || Г (с) F (ф + ФА) ||, < || F (Ф + ФА) II, + о (А),
если считать уже доказанным неравенство
A7) IIГ (с)G(Ф)Нр<I
где
G{x) = F(x) + ±F*(x) + -2=±?S&
Пусть Н(х, t) — решение нелинейного уравнения
дН _ 1 д2Н q — 1 \дх
й ~ 2 № + 2 Я
с начальным условием Н(х, 0) == F (х). Заметим, что урав-
уравнение A8) эквивалентно уравнению теплопроводности для Я«:
дН" _ 1 д2Н"
dt ~ 2 дх2 •
Следовательно, уравнение A8) имеет единственное решение,
которое при любом / как функция переменной х обладает
теми же свойствами, какие предполагались выше для началь-
начального значения F. Тогда с помощью приведенных ранее рас-
рассуждений для гауссовой случайной величины ф с нулевым
средним и дисперсией t подучаем
A9) || Г (с) F (Ф) ||, < Н @, 0 = IIF (Ф) II,-
Тем самым неравенство A2) доказано.
Предположим теперь, что условие A1) не выполнено, т. е.
А: Ж-+Ж — сжимающее отображение с нормой
B0)
Достаточно рассмотреть случай, когда ядро А состоит из
одного нуля. (В противном случае А можно сузить на орто-
ортогональное дополнение к его ядру.) Тогда А обладает поляр-
полярным разложением Л= UP, где оператор И: Щ-*У( изомет-
Теория вероятностей и евклидова теория поля 81
ричен, а Р: 3@-*3ё положителен. Поскольку Г (?/)"' —сжи-
мающее отображение, достаточно рассмотреть случай, когда
оператор А = Р: Ж—*с/в положителен. По спектральной тео-
теореме существуют такое ненулевое подпространство простран-
пространства <Ж и постоянная с > V(<7—0/(Р—1). что на этом под-
подпространстве А >• с. Таким образом, достаточно рассмотреть
случай, когда А совпадает со скалярным оператором с. Од-
Однако для гауссовой случайной величины ф с нулевым средним
и единичной дисперсией справедливы следующие соотноше-
соотношения [Ne 4]:
Следовательно, величина ||Г(с)еа<Р||р/|!еа<|)!!д сколь угодно ве-
велика при достаточно большом а.
II. ЕВКЛИДОВЫ ПОЛЯ
Пусть JEd — это d-мерное евклидово пространство, т. е.
пространство Rdco скалярным произведением х-у = х1у1 + • • •
...-\-xdyd. Обозначим через 9"(^) пространство Шварца.
Пусть $в — топологическое векторное пространство. Линей-
Линейным процессом, заданным над $в, назовем обобщенный слу-
случайный процесс ф, который как функционал на $в линеен и
непрерывен, т. е. из сходимости fa—*¦} в S6 следует сходимость
ф(/:а)->ф(/:) по мере. Для векторов / из S6 функции ф(/) яв-
являются случайными величинами на некотором вероятност-
вероятностном пространстве (Q, &, ц); для удобства мы предполагаем,
что а-алгебра 9* порождена всевозможными ф(/), где /ей?.
Пусть ф — линейный процесс, заданный на ^(Ed). Для
открытого множества ЛсР введем о-алгёбру О (А), поро-
порожденную величинами ф(/), где suppfsA. Если же Л — про-
произвольное подмножество из Е^, то мы полагаем
A) <?(Л)= Я <?(А'>,
где Л' — всевозможные открытые множества, содержащие Л.
Множество всех случайных величин, измеримых относительно
а-алгебры (У (А), мы будем также обозначать через О (А).
Условные математические ожидания относительно О (Л) обо-
обозначаются через Е{- \0(А)}. Пусть Лс и <ЭЛ — это дополнение
и граница множества Л. Марковским полем на Ed называется
82 Э. Нельсон
линейный процесс ф, заданный на ^(Ed) и удовлетворяющий
дополнительному условию: если Л — открытое множество в
Ed, то для любой положительной суммируемой случайной
величины а из С {А)
B) Е{
Это условие называется марковским свойством.
Неоднородную ортогональную группу 10 (d) назовем ев-
евклидовой группой пространства Ed. Она состоит из всех аф-
аффинных ортогональных преобразований Ed. Представлением
Т группы 10 (d) на вероятностном пространстве (Q, 9", ц) на-
называется гомоморфизм 1I—*Т(ц) группы Ю (d) в группу пре-
преобразований, сохраняющих меру. Заметим, что любому сохра-
сохраняющему меру преобразованию S естественным образом со-
сопоставляется преобразование S на пространстве случайных
величин. Евклидовым полем назовем пару, состоящую из мар-
марковского поля ф, заданного на 9'(^г), и представления Т
группы 10 (d) на соответствующем ф вероятностном простран-
пространстве (Q, 9", р.); при этом должны быть выполнены следующие
условия: для любых f е^(Е^) и т) /O(d)
C)
если р — отражение относительно гиперплоскости Ed~', то
D) т
Соотношение C) называется евклидовой ковариантностью,
а соотношение D) — свойством отражения. Заметим, что, со-
согласно свойству евклидовой ковариантности, свойство отра-
отражения справедливо для любой гиперплоскости, если оно спра-
справедливо для какой-либо одной из них, поэтому нет необходи-
необходимости в специальном выборе гиперплоскости.
Нам необходимо предположение, гарантирующее суще-
существование некоторых средних от произведений полей. Для
этого удобно сделать следующее предположение:
(В) Для любого fe^(Ed) функция q>(f) принадлежит
&Р, где 1 ^ р <С-оо. Отображение ^(Ed)"-> С, определяемое
соотношением
sn(h и = ?ф(/,)...Ф(М,
непрерывно.
По теореме Шварца о ядре существует такая обобщенная
функция умеренного роста Sn на Ed", что
Теория вероятностей и евклидова теория поля
Теорема 2. Пусть ф — евклидово поле, удовлетворяющее
условию (В). Тогда последовательность обобщенных функций
Sn удовлетворяет аксиомам Остервальдера — Шрадера ЕО,
El, E2 и ЕЗ [OsSch3].
Доказательство. Мы будем использовать обозначе-
обозначения работы [Os Sch 3]. В соответствии с аксиомой ЕО обоб-
обобщенная функция So = 1 (пустое произведение полей мы счи-
считаем равным И; тогда ЕИ = 1) и Sn e^"(Ed").
Аксиома El является требованием евклидовой инвариант-
инвариантности:
Это свойство достаточно проверить лишь для f — fi ® ...
...®fn; в этом случае евклидова инвариантность превра-
превращается в следующее требование: для любого т) = (a, R)
?ф (/>) • • • ф (L)=ет (л) (ф {f,)... ф О,
а оно является следствием евклидовой ковариантности.
Аксиому Е2. мы предпочитаем называть свойством поло-
положительной определенности, желая отличить ее от свойства
положительности Симанзика [Sy 3], которое следует из того
факта, что среднее от положительной случайной величины
положительно. Положительная определенность означает сле-
следующее:
E) Z5n+m(ef;xu>o, ы<?_+.
п, m
Неравенство E) достаточно доказать для случая, когда функ-
функция /„ равна fn\ ®... ® fnn- Условие J^9'+ означает, что
fn{xu ..., хп) = f„,(х,) .../„„(хп) = О,
если не выполнено требование
Рассмотрим конечную линейную комбинацию
п
Используя наши обозначения, перепишем неравенство E):
F) ?{(Г(Р)а)а}>0.
Пусть Л — полупространство xd > 0; тогда дА совпадает с
гиперплоскостью Ed~', а Ле — с полупространством xd ^ 0.
84 5. Нельсон
Значит, аеС(Л) и Т(р)а^0(Ае). Мы получаем неравен-
неравенство
= Е{(Т(р)а)Е{а\О(Ае)}} =
= ? {(Г (р) а) Е {а |0 (?«-')}}=
(в силу марковского свойства)
= Е {Е \Т (р) а | О (F-')} ? {а
= ? {(Г (р) Е {а | О (Е*-1)}) ? {а
(в силу евклидовой ковариантности)
= Е {Е {а | О (Е*->)} ? {а
(в силу свойства отражения)
Аксиома ЕЗ, т. е. свойство симметричности, следует из
коммутативности случайных величин: для любой переста-
перестановки я
Теорема доказана.
В теореме Остервальдера — Шрадера [Os, Sch 3] утвер-
утверждается существование последовательности обобщенных
функций умеренного роста Wn на («Xd)-мерном простран-
пространстве Минковского М""; эти обобщенные функции являются
вакуумными ожиданиями квантованного поля, удовлетворяю-
удовлетворяющего всем аксиомам Вайтмана, за исключением аксиомы
единственности вакуума (свойство распадения Жп на пучки).
Кроме того, Wn — это граничные значения голоморфных
функций, совпадающих с Sn(x\, ..., хп), когда все х,- различ-
различны. Во время написания этих лекций стало известно^ что в до-
доказательстве теоремы имеется один недочет, но можно на-
надеяться, что он скоро будет исправлен1). С другим способом
построения квантованных полей на пространстве Минковского
из евклидовых полей можно познакомиться в работе [Nel 3].
В этом подходе теорема Остервальдера — Шрадера не ис-
используется. Аксиома Е4 Остервальдера — Шрадера, из кото-
которой следует единственность вакуума, является следствием до-
дополнительных предположений для евклидова поля. В действи-
действительности представляет большой интерес вопрос о том, вы-
выполняется ли эта аксиома для моделей /)(ф)г-
') См. примечание на стр. 9. — Прим. ред.
Теория вероятностей и евклидова теория поля 85
III. СВОБОДНОЕ ЕВКЛИДОВО ПОЛЕ
Пусть ^r (Ed)—вещественное пространство Шварца на
Ed. Пусть /га— положительная постоянная (в случае а"^3
постоянная /га считается неотрицательной). Обозначим через
Ж вещественное гильбертово пространство, получающееся с
помощью пополнения ^к(Е^) относительно скалярного про-
произведения
где А — лапласиан. Пусть ф — единичный гауссов процесс
на Ж; продолжим его по линейности на комплексификацию
Ж. Сужение q> на пространство Шварца будет линейным про-
процессом, заданным на 9'(^)
Теорема 3. Пусть q> — описанный выше линейный про-
процесс. Тогда ф — евклидово поле, удовлетворяющее условию
(В).
Доказательство. Пусть Л — открытое множество в
Е<*, и пусть
jf = {f e= ЖI supp f а дЛ},
Пусть fe<^ и h — ортогональная проекция f на М. Дока-
Докажем, что h&Jf. Для этого заметим, что
<?, (- Д + m2)-1 h) = (g, (~ Л + /я2) -1 f)
для любых g^-M и, в частности, для бесконечно дифферен-
дифференцируемых функций g с компактным носителем, лежащим во
внутренности Лсо дополнения множества Л. Значит, (—Д +
+ /и2)-1Л = (—А + /га2)-1 f в смысле равенства обобщенных
функций на Лсо. Поскольку —Д + /га2 является локальным опе-
оператором, h = f на Лсо, причем f = 0 на Лсо. Следовательно,
supp АсЛс-Лм = <ЭЛ, т. е. Ае Jf.
Пусть Ж — замкнутое линейное подпространство простран-
пространства Ж. Через Ж обозначим <т-алгебру, порожденную величи-
величинами ф@, где feX Если убывающая последовательность
подпространств Жп сходится к Ж, то ясно, что убывающая
последовательность алгебр Жп сходится к Ж. Пусть Лп —
убывающая последовательность открытых множеств, сходя-
сходящая к Лс, и Жп = {f e<3#|supp /с:Лп}. Убывающая по-
последовательность Жп сходится к Ж, а убывающая
86 Э. Нельсон
последовательность 0(Ап) = Жп — к Ж. Следовательно,
О (Лс) = 1. Аналогично, О (дА) = Jf и О (Л) = Ш.
Выше мы доказали, что °U -L 3? и, следовательно, <т-ал-
гебры Щ и 9? независимы. Далее, М = Jf © SB, так что М*
есть а-алгебра, порожденная Л* и 3?. Следовательно, для
положительной или суммируемой случайной величины а,
измеримой относительно °U, справедливо соотношение
Е{а\Ж) = E{a\Jf}. Таким образом, ф — марковское поле.
Определим для r\^IO(d) ортогональный оператор U(x\)
на 36:
Тогда x\*—>U(x\)—унитарное представление группы IO(d)
на 36 и, следовательно, х\*-* У(r|) == T(U(t]))—представле-
T(U(t]))—представление группы 10 (d) на определяющем q> вероятностном про-
пространстве (Q, 9", (i). Очевидно,
и, следовательно, выполняется условие евклидовой ковариант-
ковариантности.
Пусть
и fe%. Поскольку f принадлежит 36, ее преобразование
Фурье f квадратично интегрируемо по мере
dk
Кроме того, supp f cz Ed-1, и потому мы получаем
где fot — функции лишь от k = (ft1, ..., kd~x), a pt — поли-
полиномы. Поскольку f квадратично интегрируема по мере A),
то полиномы pi — это просто константы. Следовательно, если
р — отражение относительно гиперплоскости Ed-I, то
Значит,
Но, поскольку О(?<*-') = Шо, если ае??(Е|)-1)) мы полу
чаем
Т (р) а = а.
Теория вероятностей и евклидова теория поля 87
Тем самым свойство отражения доказано. Следовательно,
Ф — евклидово поле.
Ясно, что условие (В) для гауссова процесса ф выполнено.
Процесс ф называется свободным евклидовым полем мас-
массы пг, заданным на Е*
IV. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
Пусть <р — заданное над ^.(Ed) марковское поле на веро-
вероятностном пространстве (Q, *?, ц). Случайная величина а
называется аддитивной, если для любого конечного откры-
открытого покрытия {Л{} пространства Ed найдутся вещественные
величины «j из G(Ki), удовлетворяющие условию <х=2]аг
Аналогично, случайная величина р называется мультиплика-
мультипликативной, если для любого конечного открытого покрытия {Лг}
пространства Ed найдутся строго положительные величины р,-
из О {Кг), удовлетворяющие условию f$ = II|V Таким обра-
образом, величина а аддитивна в том и только в том случае, если
величина р = еа мультипликативна.
Теорема 4. Пусть у —заданное над 9>(iet) марковское,
поле на вероятностном пространстве (Q, 91, \х), и пусть р—
мультипликативная случайная величина с единичным сред-
средним. Тогда ф — заданное над 9'AЕа) марковское поле на ве-
вероятностном пространстве (Q, Р^ац).
Для доказательства теоремы нам потребуются две леммы.
Пусть «s^ и 38 суть а-алгебры измеримых множеств на вероят-
вероятностном пространстве. Через s4- U 91 обозначим наименьшую
а-алгебру, содержащую si- и $.
Лемма 1. Пусть зФ и !%п суть а-алгебры измеримых
множеств на вероятностном пространстве, причем $tn — убы-
убывающая последовательность. Тогда
Доказательство. Для любой а-алгебры s4- измеримых
множеств на вероятностном пространстве введем алгебру фон
Неймана зФ, состоящую из действующих на L2 операторов
умножения на ограниченные случайные величины, измеримые
относительно s4-. Тогда достаточно убедиться в справедли-
справедливости следующего равенства:
а) П о* и ?.)=.* и П Д..
88 5. Нельсон
Обозначая через s4-' коммутант алгебры s&, нетрудно убе-
убедиться в том, что
(П
\ п
,)'=U (Я' п я»
Поскольку бикоммутант алгебры фон Неймана совпадает с
ней самой, то, рассматривая коммутанты первого и послед-
последнего членов этого равенства, получаем соотношение A).
Лемма 2. Пусть ф— марковское поле, заданное над
(^) и А— открытое множество в Ш1. Пусть А! — замкнутое
подмножество из Ас, содержащее дА. Тогда
Е{0(АЦ Л') | О (ЛС)} = О (Л').
Доказательство. Заметим, что множество Л U Л'
замкнуто, так как Л' zd дА. Пусть Лп — убывающая последо-
последовательность открытых множеств, сходящаяся к Л'. Тогда убы-
убывающая последовательность открытых множеств Л U Л„ схо-
сходится к Л U Л'. Используя разложение единицы в простран-
пространстве 9> (Ed), получаем О (А О Л„) = О (A) U С(А„). Следова-
Следовательно, согласно лемме 1,
<? (Л и ло=П <? (л и л„)=П (<? (Л) и <? (л„))=
а п
= <? (Л) U П <? (Л„) = <?(Л) U <? (Л').
п
Согласно марковскому свойству и условию Л' с: Лс, получаем
для ограниченных случайных величин а* и р* из О (А) и
О {А') соответственно
Е (Z «А | О (Лс)} = Z Е {а, | О (Лс)} р, = Z Е {щ | О {дА)} р,.
Значит,
Е {О (Л U Л') 10 (Лс)} с О (ЛО.
Обратное включение очевидно.
Докажем теперь теорему 4. Средние по мере \i и условные
математические ожидания обозначим через Е и ?{-|-}, а
средние по мере $d\i и условные математические ожидания —
через Е$ и ?р{' | •}.
Пусть Л открыто в Ed и а — положительная случайная
величина из О (А). Нужно доказать, что
Теория вероятностей и евклидова теория поля 89
По теореме Радона — Никодима существует такая единствен-
единственная положительная случайная величина а = Е${а\0(Ас)} из
0(АС), что для любой положительной случайной величины y
из 0{АС)
или
B)
Мы должны доказать, что а принадлежит 0(дА). Пусть ЛО —
какое-либо открытое множество, содержащее дЛ, и Лс0 — вну-
внутренность множества Лс. Тогда {Л, Ло, Лсо} — открытое по-
покрытие пространства Ed. Следовательно, найдутся строго
положительные случайные величины 0Ь 02- и 03, принадлежа-
принадлежащие соответственно алгебрам О (А), 0(АО) и 0{АСО) и удо-
удовлетворяющие условию 0 = f$if$2f$3- Подставляя 0 в уравнение
B), получаем
для любой положительной случайной величины y из 0(Ас).
Однако положительная случайная величина 0~' также при-
принадлежит 0(Ае), а потому
C)
для любой положительной случайной величины y из 0(Ае).
Заметим, что правая часть уравнения C) совпадает с
В силу того что y произвольна, мы имеем
Е {сОД 10 (Ас)} = йЕ {0,0210 (Ас)}.
Поскольку величина 0i02 строго положительна, последнее со-
соотношение можно переписать в виде
) _-
Применяя лемму 2 к областям Л и Л' = Л0 П Лс, получаем,
что как числитель, так и знаменатель левой части соотноше-
соотношения D) принадлежат алгебре 0{А% содержащейся в 0(АО).
Следовательно, а принадлежит 0{АО), а поскольку Ло — про-
произвольное открытое множество, содержащее дЛ, величина 5
принадлежит 0{дА). Теорема доказана.
В ходе доказательства теоремы мы для любой положи-
положительной случайной величины а из 0{А) получили соотно-
соотношение
90 Э. Нельсон
(величину р3 можно включить в условные математические
ожидания как числителя, так и знаменателя уравнения D)).
Если ф — свободное евклидово поле, то для fe^*R(E")
величина ф(/)— аддитивна. Для случая d = 2 мы построим
более интересный пример.
Пусть ф •»- свободное евклидово поле массы т > 0 на Е2.
Преобразование Фурье ф определим с помощью соотношения
где
— преобразование Фурье от f, и используем обозначение
Пусть
При л:е Е2 функция q>x(x)—корректно определенная гаус-
гауссова случайная величина с нулевым средним и дисперсией
с\, где
F) cl=^ $ _|^^lni!i±ie = o(lnH).
Таким образом, определена величина :фк(л;)п:. Для
ge^fl^ (E2) полагаем
Из соотношения F,1) следует, что при % Г> у,
G) («О1|: ФЯ" : (ff) - : Ф^: (g) f2 = <g, G>g) - (g, G^g),
где
1<
Следовательно, последовательность ^U-(g') при и->оо схо-
сходится в S2 (Q, ^, (г). Ее предел обозначим через : ф" : {g) =
\
\
Пусть Л открыто в Е2 и g принадлежит S" П
причем supped Л. Покажем, что
(8) : Ф» : (g)
Теория вероятностей и евклидова теория поля 91
Обозначим через Лк (Л) замкнутое линейное подпростран-
подпространство в i?2(Q,9", ц), натянутое на <$>\(х), где хеЛ и А. ^ х.
Это подпространство совпадает с замкнутым линейным под-
подпространством, натянутым на щ({), где suppfciA, функции
f е 9?х П 2?ОО(Е2) иА^х. Пусть <?к (Л) есть сг-алгебра, по-
порожденная Jtu{K). Тогда : ф? : (g) принадлежит С?И(Л).
Пусть Л (А) — замкнутое линейное подпространство, натяну-
натянутое на ф(/), где /e2"fl S°° (E2) и supp/сЛ. Тогда
и, следовательно,
Из сходимости • фE • (fif)"*" • ф" • (§¦) мы получаем
т. е. условие (8).
Поскольку в пространстве &х П 5700 (Е2) возможно раз-
разбиение единицы, из условия (8) следует аддитивность вели-
величины : фп :(g). В действительности справедливо более сильное
утверждение: для любого конечного разбиения {Л,} про-
пространства Е2 на измеримые множества найдутся случайные
величины а,- из О(Лг), удовлетворяющие условию :ф":(?)=
= Z щ (в качестве а* можно взять : ф" : (g%x У\. С помощью
этого более сильного свойства легко доказать аналог теоремы
4, не используя лемм 1 и 2. Неясно, есть ли вообще необхо-
необходимость в теореме 4.
Из равенства G) вытекает следующее соотношение:
(9) («!)-¦ |: ф»: (g) - : ф2 : (?)| = (g, Gn*g) - (g, GnK*e),
где
G (X) =
BяJ
Докажем, что при некотором е>0 норма (9)—величина по-
порядка О(к~&). Для этого достаточно убедиться в том, что
для некоторого г, удовлетворяющего условию типа
В силу неравенства Хаусдорфа — Юнга для доказательства
последней оценки достаточно показать, что
(И) \бш-д?1*=о(к-*)
92 Э. Нельсон
при некотором s, удовлетворяющем условию 1 < s ^ 2. Од-
Однако
+ G*(G-GK)*Gn* ... •Де+ ... 4G* ... *G*(G-GK).
Для q > 1 норма [!<3КЦ9 равномерно ограничена по и, и при
q—1 < 1/п из неравенства Юнга получаем, что норма A1)
меньше некоторой константы, умноженной на Ц О — Ьк\\я. Та-
Таким образом, нужно доказать лишь оценку
A2) \\б-6х\\д = О(к-е),
однако к ней приводят простые вычисления.
По теореме 1
A3)
и, следовательно, это величина порядка 0{угг) при некото-
некотором е > 0. По определению оператора Г левая часть нера-
неравенства A3) равна
Значит, найдутся такие е > 0 и С < оо, что для любых кир
(И) l:4>n:(g)-:n:(g)lP<(P-lf2C%-*.
Пусть g е &х П ^""(Е2). Для любого полинома
A5) Р(Ю = а„|"+ ... +aii + ao
определим: Р (ф) : (g) = \ g (х): Р (ф(л:)) : d2x как
Аналогично определяется :Р(фх):(^). Снова можно найти
такие е > 0 и С < оо, что для любых хир
A6) ||: Р (ф) : (g) - : Р (Фн): {g) \\р < (р - 1)*/2 Сх"8.
Предположим теперь, что Р ограничен снизу, т. е. Р веще-
веществен, п четно и ап > 0. Если ф — гауссова случайная вели-
величина с нулевым средним и дисперсией 1, то величина :P(ty) j
ограничена снизу, поскольку :P(ty): = Q(i|>), где старший
коэффициент полинома Q совпадает со старшим коэффициен-
коэффициентом полинома Р. Таким образом, для любой гауссовой слу-
Теория вероятностей и евклидова теория поля 93
чайной величины \|) с нулевым средним величина ^(ty): огра-
ограничена снизу некоторой постоянной, умноженной на диспер-
дисперсию \|) в степени п/2. Тогда, согласно соотношению F), для
функции g ^ 0, принадлежащей 3?х Л 3?°° (Е2), найдется та-
такая постоянная а > 0, что
A7) :Р(Ф*):(я)>-аAпх)л+1
для любых к (например, больших 2). Для удобства мы в пра-
правой части неравенства A7) выделили I. Из оценки A6) полу-
получаем
<I!: Р(Ф): (g) ~ : ЯШ: (g) I? <(P~ 1)Ш'РСрхГг\
Таким образом, :Р(ф) : (g) ^ — аAпи)" всюду, за исключе-
исключением множества, мера которого не превосходит
A8) (р^Сх-*)".
Выбирая значение р, соответствующее минимуму функции
A8), получаем, что мера этого множества меньше
A9) е*8
при некоторых Ъ > 0 и е > 0.
Следовательно,
Пусть Я = еа<1пх>"; тогда и==е«1п;1>/а»1/". Значит,
B0) ц{(в ! е
Из оценки B0) следует, что величина у = е~ '¦ ^«й: (в) принад-
принадлежит ^'(Q, ^, (г) а потому р = у/?у—мультипликативная
случайная величина.
Подведем итоги. Пусть d = 2, функция g ^ 0 принадле-
принадлежит 2" П ^"(Е2) и Я — ограниченный снизу полином. Тогда
Ф—марковское поле на вероятностном пространстве
(Q,?\ рф,),где
B1) P
Ее
-\g(x):P(<?(x)):<Px
J
V. ПОЛЯ НА РЕШЕТКЕ
Пусть Л — подмножество целочисленной решетки Zas
Если / — функция на Л, положим
A) ДЛ/М = -2<*/(*)+ У, f(y), *е=Л.
\У~хТ-1
Д
94 Э. Нельсон
Определим функцию
B) Аа(х,у) = < 1, \х-у\=1,
0 в остальных случаях,
где JtjeA. Тогда
C) (- Ал + m2) f (х) = ? Ла(х, у) f (у), шЛ.
При т > О (или при </^Зит^0,а также в случае конеч-
конечного множества Л и m ^ 0) оператор (— Ал + гп2) на про-
пространстве /2(Л) обратим. Функцию Ga на ЛХА зададим
с помощью соотношения
D) (- Ал + /n2)-1 f (х) = ? Ga (x, у) f (у), хе=А.
1/Е=Л
Из положительности оператора (—Ал +/п2)~' следует поло-
положительная определенность функции Ga на Л X А. Пусть
Фа—заданный на Л гауссов случайный процесс с нулевым
средним и корреляционной функцией Ga. Этот процесс на-
называется свободным решеточным полем массы m на Л.
Если множество Л конечно, процесс фл(л:) задается обыч-
обычными координатными функциями их на пространстве R*A
(здесь фЛ — число точек множества Л), снабженном гауссо-
гауссовой мерой
_' ? у
E) (det2jtGA) те х-у<вА Л dux
Два свойства этой меры очевидны. Во-первых, зависимы
лишь соседние точки. Во-вторых, эта мера описывает ферро-
ферромагнетик, поскольку все недиагональные члены в экспоненте
положительны.
VI. СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ОБЪЕМА
Пусть Р — ограниченный снизу четный полином с веще-
вещественными коэффициентами, т. е.
Р (I) = а„Г + ап-21п~2 + ... + <hf + <k,
где п четно и а„ > 0. Заметим, что если ф — свободное поле
массы т, заданное на решетке Zd, то : Р(у(х)) : — Q(q>(x)),
где Q — также четный ограниченный снизу полином. Таким
образом, в общих рассуждениях можно игнорировать упоря-
упорядочение по Вику.
Теория вероятностей и евклидова теория поля 95
Пусть Л — конечное подмножество решетки Zd. Рассмот-
Рассмотрим меру
Е
A) NAe *-»вА *еЛ П dux,
Где функция А\ определяется соотношением B,V) а N\—
нормировочная константа этой меры.
Мы попали в ситуацию, которую Жинибр (см. [Gi 1, мо-
модель 2]) уже рассматривал при изучении неравенств Гриф-
Гриффитса. В каждой точке ieA мы имеем четную меру
B) e^{2d+m2)ul-p^ dux.
Пусть в — прямое произведение этих мер на R*A.
Определим Sx как множество функций вида /(|«*|) или
sgn«жд|«ж|), где f — положительная, непрерывная, возра-
возрастающая функция на [0, оо). Обозначим через S совокупность
всевозможных произведений таких функций для различных
точек JteA, а через QE) — совокупность пределов полино-
полиномов с положительными коэффициентами от таких функций.
Заметим, что алгебра Q(S) содержит —h, где
C) -*-± Z
ихиу.
Положим
D) ZA
тогда N\ — ZhX. Обозначим через Ef или (f)/, среднее от
функции / на Л по мере A), т. е.
E)
[ fe~h da
t /f\ J
e-hdo
Жинибр [Gil] показал, что для функций f и g из Q(S)
справедливо второе неравенство Гриффитса
F) Efg^EfEg.
В действительности Жинибр рассмотрел лишь случай ограни-
ограниченных функций из Sx, непрерывно продолжаемых на [0, оо]
(в обозначениях Жинибра это интервал [0, 1]). Однако сде-
сделанное выше общее утверждение нетрудно вывести из этого
частного случая.
96 Э. Нельсон
При переходе к бесконечному объему существование пре-
предела обычно следует из второго неравенства Гриффитса.
В самом деле, из неравенства F) для Х\, ..., ^еЛсЛ'
легко получить неравенство
G) Я<Ра (*,) • • • Фа (*») < ЕФа' (*,) • • • Фа- (*»)•
Следовательно, если Л монотонно стремится к Zd, to левая
часть G) монотонно стремится к пределу
(8) S(xt хп).
Тот же самый результат получается при замене решетки Zd
решеткой eZd с расстоянием е между соседними точками; в
этом случае функцию Ал, определенную соотношением O,V)i
необходимо умножить на е~2. На гладких функциях / на Kd
оператор A,V) при е—>0 совпадает с лапласианом А. Для
размерности d = 2 можно доказать (см. [Gu Ro Si 3]) суще-
существование предела среднего Eyr(xi) ... (fr(xn) при е—>-0.
Этот предел совпадает со средним в теории, которую Гуэрра,
Розен и Саймон назвали обобщенной теорией Дирихле. Суще-
Существование предела при переходе к бесконечному объему сле-
следует из неравенства G),которое справедливо и в этом случае.
Гуэрра, Розен и Саймон [GuRoSi3] указали, каким образом
можно доказать ограниченность последнего предела. Таким
образом, пределы этих средних являются функциями Швин-
гера теории, удовлетворяющей всем аксиомам Вайтмана, за
исключением, быть может, аксиомы о единственности ваку-
вакуума.
В заключение покажем, что для случая решетки аксиома
о единственности вакуума не всегда справедлива. Мы рассмо-
рассмотрим частный случай d = 2 и
Тогда в каждой точке хеЛ мера B) равна
A0) eE(tt*Uux,
где
(И) ?Ы =
На отрезке [0, Ь\ где
A2) б
Теория вероятностей и евклидова теория поля 97
функция Е возрастает. Число Ь можно сделать сколь угодно
большим, выбирая достаточно большое а. Пусть
oo, I ux | > b.
Функция R является пределом функций из Sx. Тогда, соглас-
согласно неравенству F), при замене меры A0) мерой
A3) еЕ(их)~ ("*) dux
средние от произведений операторов поля уменьшаются. Од-
Однако мера A3) совпадает с мерой
и мы попадаем в ситуацию модели Изинга с непрерывным
спином. Гриффите [Gr2] показал, что для достаточно боль-
большого Ь область упорядочения в этой модели велика и свой-
свойство распадения на пучки нарушено.
Замечания
Благодаря работам Глимма и Джаффе конструктивная
квантовая теория поля стала обширной и быстро развиваю-
развивающейся отраслью науки. Мы не будем сейчас говорить об ос-
основных приложениях методов, обсуждавшихся в этих лек-
лекциях, а лишь остановимся на некоторых вопросах.
Лекций I. Относительно разложений Эрмита см. [Sze].
Результат о том, что Г (А) может быть оператором сжатия на
3?р, принадлежит Глимму [Gli 1]. Этот результат является
существенным моментом при переходе от квантования в огра-
ограниченном объеме к обычному квантованию. После написания
этих лекций появилась работа Гросса [Gro3], содержащая
изящное и простое доказательство теоремы 1. Гросс путем
дифференцирования по р установил эквивалентность логариф-
логарифмического неравенства Соболева наилучшей оценке для гипер-
гиперсжимаемости. Кроме того, он получил теорему для случая
бозонов, доказав ее сначала для случая фермионов с одной
степенью свободы и применив центральную предельную тео-
теорему.
Лекция II. В работе [GuRoSi3] впервые замечено, что
из марковского свойства и свойства отражения следуют ак-
аксиомы Остервальдера — Шрадера. Я выражаю свою благо-
благодарность Дж. Розену за приведенное здесь доказательство.
Р. Л. Добрушин и Р. А. Минлос [Dob Mi] аннонсировали
4 Заказ 351
Б030ННЫЕ КВАНТОВОПОЛЕВЫЕ МОДЕЛИ')
Дж. Глимм, А. Джаффе
Содержание
Часть 1. Общие результаты
1. Введение
2. Операторы Эрмнта
3. Гауссовы меры н шредингеровское представление
4. Эрмитово разложение и фоковское пространство
Часть 2. Двумерные бозонные модели
5. Гамильтониан взаимодействия
6. Гамильтониан свободного поля
7. Самосопряженность H(g)
8. Локальные алгебры н автоморфизмы, представляющие группу Ло-
Лоренца
Часть 3. Дальнейшее развитие теории
9. Локально нормальные представления наблюдаемых
10. Построение физического вакуума
11. Формальная Теория возмущений и модели в трехмерном про-
пространстве-времени
Часть I
ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1. Введение
С математической точки зрения квантованные поля — это
объекты весьма сингулярной природы. Однако считается, что
они описывают взаимодействия элементарных частиц. Напри-
Например, описание с помощью квантованных полей взаимодей-
взаимодействия электронов со светом (фотонами) оказывается точным
в пределах существующих экспериментальных ошибок E зна-
значащих цифр). Оба эти обстоятельства — и математическая
нетривиальность задачи, и ее физическая важность — привели
к тому, что уже в течение нескольких десятилетий проблема
математического обоснования квантовой теории поля при-
привлекает внимание как математиков, так и физиков. Наиболее
значительным физическим достижением за этот период было
вычисление в конце 40-х — начале 50-х годов лэмбовского
') J. Glimm, A. Jaffe, Boson quantum field models, «Mathematics of
contemporary physics», ed. by R. Sheater, Academic Press, New York, 1972.
4*
98 §. Нельсон
результат о нарушении аксиомы единственности вакуума в
некоторых Р(фJ-моделях.
Лекция IV. Результаты, касающиеся алгебры фон Ней-
Неймана и теоремы о том, что бикоммутант такой алгебры сов-
совпадает с ней самой, можно найти в [Sa 1]. Относительно нера-
неравенства Хаусдорфа — Юнга и неравенства Юнга см. в [SteW].
Локальность величины :qpn: (формула (8)) можно было бы
доказать проще, если не использовать обрезания с помощью
предельного импульса.
Лекция VI. Эта лекция служит комментарием к работе
Гуэрры, Розена и Саймона [GuRoSi3]. Относительно приме-
применения неравенств Гриффитса, например при доказательстве
монотонности, см. [Gr 1]. Приведенное здесь доказательство
нарушения свойства распадения на пучки тесно связано с тем,
что длина промежутка решетки фиксирована. Интересно, мо-
можно ли путем модификации подобных рассуждений получить
результат Добрушина — Минлоса [Dob Mi].
100 Дж. Глимм, А. Джаффе
сдвига и аномального магнитного момента электрона с одно-
одновременным созданием методов теории перенормировок, на
которых эти вычисления основывались. С математической
точки зрения существенным было осознание того факта, что
для корректной формулировки квантовой теории поля потре-
потребуются новые математические теории. Среди математиков
первым, кто это понял, был Дж. фон Нейман, и это послу-
послужило для него одним из мотивов создания теории оператор-
операторных алгебр.
Упомянутые выше вычисления основываются на теории
возмущений, и потому для них существенна малость
('—' 137—1) коэффициента при членах полевых уравнений,
описывающих взаимодействие. В случае сильных взаимодей-
взаимодействий (протоны, нейтроны, мезоны и т.д.) числовой коэффи-
коэффициент имеет величину порядка 15, и вычисления по теории
возмущений до сих пор приводили лишь к ограниченному
успеху. Для более глубокого понимания возникающих здесь
проблем Вайтман, Хааг, Кастлер и другие точно сформулиро-
сформулировали основополагающие принципы (аксиомы) квантовой тео-
теории поля и попытались корректно вывести следствия из этих
аксиом. Высшие достижения этой программы составляют
РСТ-теорема, теорема о связи спина со статистикой и теория
рассеяния Хаага — Рюэля и Лемана — Симанзика — Циммер-
Циммермана.
Однако аксиоматические исследования оставляют откры-
открытым важнейший вопрос: удовлетворяют ли квантованные поля
с обычными взаимодействиями основным аксиомам? Или,
иначе говоря, существуют ли в каком-нибудь разумном смыс-
смысле нетривиальные поля? За последние пять лет произошел
заметный сдвиг в решении проблемы существования. В этот
период исследованиям подверглись различные модели в
двух- и трехмерном пространстве-времени. Уменьшение раз-
размерности изучаемого пространства-времени приводит к упро-
упрощениям, которые значительно ослабляют, но не исключают
полностью основные сингулярности квантовой теории поля.
Результаты, полученные в случае двух измерений, можно
резюмировать следующим образом:
Теорема. В двумерном пространстве-времени суще-
существуют квантованные поля. Эти поля удовлетворяют всем или
почти всем аксиомам Хаага — Кастлера и почти всем аксио-
аксиомам Вайтмана.
Взаимодействие полей, упомянутых в этой теореме, носит
характер либо взаимодействия Юкавы, либо полиномиального
бозонного самодействия. В трехмерном пространстве-времени
справедливы аналогичные утверждения, хотя полученные к
Боэонные квантовополевые модели 101
настоящему времени результаты носят предварительный, тех-
технический характер и применены только к бозонному взаимо-
взаимодействию типа ф4. Что же касается пространства-времени че-
четырех измерений, то, по-видимому, существующие методы
в их теперешней форме здесь не применимы.
В этих лекциях мы рассмотрим только полиномиальные
бозонные взаимодействия, поскольку они проще взаимодей-
взаимодействия Юкавы, при этом мы думаем, что минимальные требо-
требования к физическим познаниям читателя можно ограничить
условием знакомства с обычной квантовой механикой.
В квантовой механике эволюция во времени вектора со-
состояния
{1.1)
управляется уравнением Шредингера
A.2) *HfciL
где Н — гамильтониан (или иначе оператор энергии) физиче-
физической системы. Простейший пример — это гамильтониан
A.3) Н=--
действующий в L2(Rn). Квантованное поле отличается от си-
системы, описываемой гамильтонианом A.3), тем, что оно
имеет бесконечное число степеней свободы, т. е. для него
п = оо. Все сингулярности квантовой теории поля могут быть
в конце концов сведены к бесконечности га.
В случае га = оо у нас нет удовлетворительного аналога
лебеговой меры. Однако оказывается, что. гауссова мера, ко-
которая обобщается на бесконечномерный случай, вполне под-
подходит для наших целей. Мы используем гауссову меру dBq,
определяемую квадратичной формой В на бесконечномерном
пространстве Q = S'(R) конфигураций классического поля 1).
Формально dBq имеет плотность вида ехр (— B(q, q))dq, и
пространство L2(Q,dBq) заменяет L2(Rn). Второй2) наиваж-
наиважнейший оператор квантовой теории — гамильтониан Н. Для
изучения Н мы привлечем и теорию самосопряженных опера-
операторов, и теорию операторных алгебр. Н самосопряжен, и по-
потому использование теории самосопряженных операторов
едва ли удивительно. Большей частью мы будем иметь дело
с резольвентами /?(?) = (# — %)~1 и полугруппами ехр(— tH),
') S' — пространство обобщенных функций умеренного роста. — Прим.
ред.
3) После поля. — Прим. ред.
102 Дж. Глимм, А. Джаффе
точнее говоря, мы используем критерии самосопряженности
предела H=\imHK последовательности самосопряженных
V.
операторов Ню выраженные на языке сходимости соответ-
соответствующих резольвент и полугрупп.
Использование техники операторных алгебр при изучении
самосопряженности оператора Н менее привычно и вызвано
тем, что п бесконечно. Гауссовы меры dBq на бесконечномер-
бесконечномерном пространстве весьма чувствительны к изменению квадра-
квадратичной формы В. Если якобиан detB'i'B^'1' не существует
(например, если detBi Bj" равен нулю или бесконечности),
то меры кв,д и dBiq взаимно сингулярны. В силу этого поле-
полевые операторы, естественным образом реализующиеся в
^(Q, defi), i = 1, 2, задают унитарно неэквивалентные пред-
представления квантованных полей. В результате, делая есте-
естественное приближение или используя удобный предельный
переход, мы сталкиваемся с операторами, реализующими не-
некоторое представление в заданном гильбертовом простран-
пространстве, но сходящимися при этом к операторам, действующим
в другом гильбертовом пространстве и реализующим там
представление, унитарно неэквивалентное исходному. Ясно,
что в таких ситуациях об операторах лучше думать незави-
независимо от гильбертова пространства, где они действуют, а это
как раз то, что достигается с помощью операторных алгебр.
Похоже, что негауссовы меры столь же чувствительны к из-
изменению параметров физической задачи, как и гауссовы.
В типичных случаях унитарная неэквивалентность представ-
представлений проявляется в расходимости некоторых интегралов или
бесконечных рядов.
В дополнение к общим теориям гауссовых мер, самосопря-
самосопряженных операторов и операторных алгебр нам потребуются
некоторые специальные сведения о взаимодействиях, которые
мы рассматриваем. В случае полиномиального бозонного
взаимодействия в одномерном пространстве мы изучаем ап-
аппроксимированные (пространственно обрезанные) гамильто-
гамильтонианы
A.4) ff{g) = H0+H!(g),
где
A.5) 0<$е= Z.,(R) Л MR),
и снимаем обрезание, устремляя g к 1, Мы покажем, что
H(g) в существенном самосопряжен на области
A.6) Л (#о) Л Я (#/(*)),
a Hi(g) является оператором умножения в L2(Q, dBq) и как
таковой принадлежит LP(Q, dBq) при всех р < со. Свобод-
Бозонкыё квантовбполевые Модели 103
ный гамильтониан #о действует в L,2(Q,dBq) как оператор
Эрмита, « его удобно изучать, используя разложение по
функциям Эрмита в L2(Q,dBq). Такое разложение естествен-
естественно приводит к фоковскому пространству.
Мы требуем, чтобы полином Р, описывающий взаимодей-
взаимодействие, был положителен. Пусть р — его степень, т. е. р —
= degP. Тогда Hi(g) «почти ограничен снизу» в том смысле^
что для любого положительного числа и можно написать
A.7)
где
A.8)
a Hi(g, к) — малый неограниченный оператор, величина кото-
которого имеет следующую оценку:
A.9) |Я?(г,х)|~О(х/-|А+*).
В общем случае оценки типа A.8), использующие положи-
положительность, делаются в L2(Q, dBq)-пространстве Шредингера,
тогда как оценки малых, ио не положительно определенных
остатков типа A.9) удобно делать в пространстве Фока.
2. Операторы Эрмита
Перед тем как переходить к п = с», мы изучим оператор
Эрмита с конечным числом степеней свободы. Начнем с одной
степени свободы, когда оператор Эрмита
B.1) Яо (у) =4 [- D^У + I*V - и].
действующий в Z,2(R), представляет собой гамильтойиай
квантованного гармонического осциллятора. Здесь ц — произ-
произвольный положительный нормировочный параметр.
Введем операторы рождения и уничтожения
' '
где р — —idjdq. Важность этих операторов вытекает из сле-
следующего получаемого с их помощью представления:
B.3) #O(H) = H&*2>.
В качестве удобной области определения b и Ь* возьмем мно-
множество
B.4) D*={P(q)e-w'l2\p~. полином}.
104 Дж. Глимм, А. Джаффе
Тогда
B.5) bD с D, b*D с D
и D — область, инвариантная относительно действия как Ь, Ь*,
так и р, q. Кроме того, на D справедливы коммутационные
соотношения
B.6а) [b,b*]=bb*-b*b = I,
B.6b) [q, p]^qp — pq = U.
Положим далее eo(q)^(n/n)'l4exp(— \iq2/2). Тогда II e0 II = 1
и
B.7) beo = O.
Пусть
Корректность этого определения вытекает из следующего
простого вычисления:
B.8) ({ЬУ е0, {ЬУ е0) = (Ь (Ь*)> е0, {ЬУ~* е0) =
= /IS/, и
которое показывает, что IlF*)teo Но Ф 0. Кроме того, из него
же следует ортонормируемость семейства функций е,. Легко
понять, что е, — это /-я функция Эрмита. Далее из B.8) вы-
вытекает, что
B.9) '
Ье, — <у/1 e/-i, />0.
Наконец, из B.3) и B.9) легко получить, что
Таким образом, Но(\х) имеет собственные значения, равные
О, ц, 2ц, ..., а соответствующие собственные функции равны
е0, ей ••• . Поскольку е,- е D, существует полином Pj, для ко-
которого
Ясно, что Pj — это /-й многочлен Эрмита. Формулы B.2) и
B.9) показывают, что степень полинома Pj равна /, а коэф-
коэффициент при qi положителен.
Бозонные квантовополевые модели 105
Для завершения анализа #о(ц) нам следует показать, что
собственные функции е$ образуют семейство, полное b-Z,2(R).
Понятно, что линейная оболочка собственных функций е$ сов-
совпадает с D. Далее, замыкание D- множества D содержит
функции ei%qe~Wu, поскольку ряды Тейлора таких функций
по "К сходятся в /,2- Действительно, обращая соотношения
B.2), получим
B.10)
Тогда
-й- [ qle-w2 dq = ¦ J_ <(&* + &)' e0, e0) = (const)' О 0Vl,
я J VBn)'
откуда следует желаемая сходимость ряда Тейлора в Z,2. Те-
Теперь, учитывая, что exp(ikq)exp(—|i^2/2)eD- для всех к',
получаем, что
-4= [ 1 (Я.) еа<*е-мг1* dX = f (q)
у 2л J
-4=
лежит в D- при всех / е S и потому D~ — L2.
Операторы b и Ь* однозначно характеризуются соотноше-
соотношениями B.5), B.6а) и B.7). Это утверждение о единственно-
единственности справедливо без всяких ограничений на число степеней
свободы. Существует еще и другое утверждение о единствен-
единственности— теорема единственности фон Неймана, относящаяся
к коммутационным соотношениям B.6) в экспоненциальной
форме:
B.11)
(см., например, лекции Саймона в [МСР]).
В случае конечного числа степеней свободы соотношения
B.11) определяют действие р и q в гильбертовом простран-
пространстве Ж единственным образом с точностью до кратности и
унитарной эквивалентности. Однако в случае бесконечного
числа степеней свободы соотношения B.11) не гарантируют
единственности представления для pi и qL. Нарушение тео-
теоремы фон Неймана в случае бесконечного числа степеней
свободы еще раз указывает на то, что в квантовой теории
поля операторные алгебры будут играть большую роль, чем
в обычной квантовой механике.
Определение 2.1. Пусть Е — вещественное пред-
предгильбертово пространство (т. е. не обязательно полное
106 Дж. Глимм, А. Джаффе
гильбертово пространство). Представление канонических
коммутационных соотношений (ККС) над Е — это пара ли-
линейных отображений
f-+b(f),
из ? в множество операторов {&(/), b*(g)}, определенных на
плотной в (комплексном) гильбертовом пространстве Ж об-
области D и таких, что
b{f)DczD,
<eI,6(f)e2>=(&*(f)eI,e2>
для всех G, 81, 82 в D и всех /, g в Е.
Определение 2.2. Представление ККС называется фо-
ковским, если в D существует такой единственный вектор Q,
что
для всех /е? и D алгебраически порождается векторами
вида
... b*{gm)Q\get=E; m = 0, I, ...}.
Такой вектор Q называется фоковским вакуумным вектором
(фоковсвим вакуумом).
Пример. Пусть 2e = L2(R), ? = R и D, как в B.4),
Q = е0. Тогда b(K) = Kb и b*(X) = Kb* определяют фоковское
представление ККС.
Теорема 2.3. Фоковское представление ККС над Е
единственно с точностью до унитарной эквивалентности. Если
{bt, 6Jj, t=l, 2, реализуют два фоковских представления
над Е е вакуумами Q,, то оператор U, реализующий унитар-
унитарную эквивалентность этих представлений, однозначно фикси-
фиксируется требованием
— Q2.
Доказательство. Пусть
Бозонные квантовополевые модели 107
Вычислим {%, Gj). Из коммутационных соотношений и ра-
равенства biQi — О вытекает, что
Продолжая это вычисление по индукции, получаем
где сумма берется по всем перестановкам а множества из п
элементов. Следовательно, величина (%, 6*) не зависит от ?.
В таком случае оператор U, определенный равенством
UQi = 62, продолжается по линейности до унитарного опера-
оператора из 36\ в Жг и дает нужную унитарную эквивалентность.
Далее, если U' — любой унитарный оператор из Яв\ в 3/$2 и
если
U% = Q2,
для всех f е?, то U'Qi = 02, так что U определен однозначно.
В случае п степеней свободы осцилляторный гамильто-
гамильтониан Но есть сумма
B.12) Я0=ЕЯ0Ы
п одномерных операторов Эрмита, каждый из которых дей-
действует на одну из п переменных qi пространства Q = R*.
Собственные функции Но являются тензорными произведе-
произведениями
(q)TL
одномерных функций Эрмита. Оператор Но действует в гиль-
гильбертовом пространстве 3@ = L2{Q), которое является тензор-
тензорным произведением вида
B.13) ^ g
где Qi — копии множества вещественных чисел R.
В следующем разделе мы будем изучать переход к пре-
де/iy п-+оо. Для построения меры на бесконечном тензор-
тензорном произведении пространств L2(Qi), получающемся в
108 Дж. Глимм, А. Джаффв
результате такого предельного перехода, существенно, чтобы
мера, определенная на каждом из сомножителей, имела еди-
единичную полную массу. Более того, желательно, чтобы Но был
положительным самосопряженным оператором на Ж и в пре-
пределе га = оо, а потому естественно требовать, чтобы основное
состояние во гамильтониана Но лежало в Ж. Для этого, перед
тем как устремить га к бесконечности, мы заменим ри qt и Яо
унитарно эквивалентными операторами. Обозначим наше ис-
исходное пространство через L2(Q, dq), подчеркнув использова-
использование лебеговой меры. Оператор умножения
U: f-+eof
будет унитарным оператором из L2 (Q, ej> dq) на L2 (Q, dq) и
* e-Xg. Тогда
B.14)
B.15) 1Грр = 1
и U*HoU действует в L2(Q, e\dq). Собственные функции опе-
оператора U*H0U суть тензорные произведения
одномерных многочленов Эрмита, а основное состояние U*HoU
равно
UPoiqt)l
1.
Конечно, 1 е L2(Q, dv(q)) в случае любой меры с единичной
полной массой. Отметим еще (для удобства сравнений с фор-
формулами последующих глав), что
е\ dq = const e~B <*• ч) dq,
где
Конечная постоянная ц, которая вычитается из #о(ц)
(в формуле B.1)), является перенормировкой. При такой
перенормировке спектры Яо, #о(ц) и U*HoU начинаются с
нуля. При конечных п такая перенормировка не обязательна,
оо
но она существенна, если, как это обычно бывает, ]Г \х,= оо,
а мы хотим перейти к га — оо.
Бозонные квантовополевые модели 109
Теорема 2.4. Ядро ехр (— W*H0U) положительно.
Доказательство. Поскольку Но есть сумма членов,
каждый из которых действует в своем множителе в произве-
произведении B.13), интересующее нас ядро также факторизуется,
и потому достаточно рассмотреть случай одной степени сво-
свободы. Покажем, что в этом случае интересующее нас ядро
относительно меры e\dq на Q равно
B.16) k(q, q') = [2(l -
Ясно, что утверждение теоремы будет следовать из B.16).
Пусть
Мы покажем, что
Поскольку векторы еа<> плотны в L2 (Q, ё* dq), этого будет
достаточно для доказательства всей теоремы. Элементарное
вычисление дает
Вместе с тем
и потому
= ехр [-
= ехр [- Я,2 A - е-2^)/2ц] ехр [Ue'
В итоге
U*e-tH'UeiXi = ехр [- Я2 A - е-^/ЭД ех
что и завершает доказательство.
8. Гауссовы меры и шредиигеровское представление
В этом разделе мы введем квантовополевые операторы ф
и я. По сути дела, это аналоги операторов qi и pi разд. 2 и
мы, несколько отклонившись от нашей основной темы, сде-
сделаем эту аналогию очевидной, с тем чтобы вводимые далее
ПО Дж. Глимм, А. Джаффв
определения выглядели естественно для математиков, знако-
знакомых с обычной квантовой механикой. Для простоты сосредо-
сосредоточим свое внимание на квантовании уравнения Клейна —
Гордона
C.1) Ф« — q>xx + т2ф = О,
хотя методы этого раздела применимы и к более общим ли-
линейным уравнениям. Пусть я = ф^^-д2-. Энергия решения
уравнения C.1) равна
C.2) Но(ф, я) = у J [я {х, if + (Vq> (х, t)J + т\ {х, tf\ dx,
и благодаря C.1) она не зависит от времени t. Отметим, что
C.1) описывает гамильтонову систему, т. е.
ф (*, 0 = 6#0/6я (*,*),
и что п(х, t)—это переменная, канонически сопряженная
ф(я, t). Конфигурационное пространство Q — это линейное
пространство функций ф(*)=ф(*, 0), а фазовое простран-
пространство— это линейное пространство пар функций (ф(л;,) я(*)==
= п(х, 0)). Удобно в качестве Q выбрать вещественное1)
пространство Шварца Sr(R), т. е. положить Q = S'r(R).
В таком случае Яо — вещественная функция на фазовом про-
пространстве, которая конечна на некоторой плотной в этом
пространстве области. Более того, #0(ф, я)—квадратичная
форма. Диагонализуем ее, сделав преобразование Фурье. Это
позволит нам установить соответствие с результатами разд. 2.
Пусть
4
C.3)
я (*) = -7= \ e~ikxn (k) dk,
тогда
C.4) Яо (Ф, я) = у \ [(Re n (k)f + (Ьп п (k)f] dk +
+ j J И (kf [(Re ф (k)f + (Im ф (ft))*] dk,
где
') Вообще мы используем вещественные функции, когда имеем дело
с координатными переменными х, и комплексные функции, когда имеем
дело с фурье-образами или импульсными переменными. Однако гильбер-
гильбертово пространство, где реализуются ККС, всегда комплексно.
Бозонные квантовополевые модели 111
Пусть
Г d2 T/j
Мы хотим проквантовать гамильтониан Яо, имеющий вид
C.2) или C.4), в соответствии с предписаниями разд. 2 и
ищем для этого гауссову меру йвД на Q, которая формально
имеет плотность, пропорциональную ехр(—B(q, q)), где
C.5) В (f, g) = \ ц (k) [Re f (k) Re g (k) + Im f (k) Im g (k)} dk =*
Сначала определим конечномерную гауссову меру для каж-
каждого конечномерного множества F линейных координатных
функций на Q. Все эти меры удовлетворяют условию согласо-
согласованности при F\CzF2 и определят меру dBq, которая счетно ад-
аддитивна на Q. Свойство счетной аддитивности не очевидно и
зависит от выбора Q = iS?(R). Можно было бы взять меньшее,
чем Sr (R) пространство, но кажется, что никакое простран-
пространство гладких функций на роль Q не годится. Минлос [Mi]
доказал1), что гауссова мера счетно аддитивна, если она
задана на пространстве, сопряженном ядерному пространству,
и определена билинейной формой, которая знакоопределенна
и непрерывна на ядерном пространстве. Далее в своем изло-
изложении мы будем следовать работе Гельфанда и Виленкина
[GeVi6,1]. Отметим еще, что в соответствии с формальным»
рассуждениями шредингеровское представление, диагонали-
зующее операторы поля, взятые в нулевой момент времени, в
случае обычных нелинейных взаимодействий существует лишь
в пространстве-времени двух и трех измерений. В случае сво-
свободных полей или линейных взаимодействий такого ограниче-
ограничения нет. Шредингеровское представление неявно фигурировало
во многих работах, посвященных свободным полям (см., на-
например, [Neu 1]). Детально соответствующую конструкцию опи-
описал Фридрихе [Fri § 12] (см. также [Mil]). Он использовал
гауссову меру и разложение по функциям Эрмита, с помощью
которых определил внутреннее произведение в L%(dBq); ком-
коммутационные соотношения были выведены им в форме, отве-
отвечающей определению 2.1. Унитарная эквивалентность его по-
построения фоковскому представлению легко усматривается из
формул, приведенных в [Fri]. Исследование связи с теоремой
Колмогорова и построение измеримого пространства со счет-
счетно аддитивной мерой Фридрихе обещал провести в по-
последующих публикациях (см. [Fri Sh]). В 1956 г. замкнутое
J) См. также лекцию Рида в настоящем сборнике. — Прим. ред.
112 Дж. Глимм, А. Джаффе
и математически полное описание шредингеровского представ-
представления с абстрактной точки зрения дал Сигал. Он же проверил
ККС в экспоненциированной (иначе вейлевской) форме. Ко-
Координатные функции на Q — элементы из Q' = Sr(R). Если
/ е Q', то соответствующая координатная функция задается
отображением
C.6) Q^
Полином на Q — полином от координатных функций на Q.
Если fi, ..., |„ е Q' и если Р — полином от п переменных, то
C.7) ф (,,) = /> («,(/,) ?(/„))
— полином на Q. Если fi, ..., fn — элементы замкнутого под-
подпространства F.cz Q', то мы говорим, что Ф из C.7) имеет
образующие в F. Если Ф имеет образующие в F, то функция
<J>(\ij'/"(')) имеет образующие в nj1'2/7. Мы используем со-
соответствующую замену переменных Ф (q) -> Ф (ц^2?) ПРИ
определенном dBq. Формально такая замена превращает
плотность, пропорциональную ехр(— В(q, q)), в плотность,
пропорциональную ехр(—||<71|), поскольку формально мы
имеем равенство
Ф (?) е~в <«•*> dq = const J Ф (ц? V)<fM! dq.
Пусть F — конечномерное подпространство в Q7 и {fи ..., fn) —
базис в F, выбранный так, что {n^'fi. .. -, Ц^/п} ~ ортонор-
мированный базис в \ix'llF. Если Ф и Р связаны соотноше-
соотношением C.7), определим dBq равенством
C.8)
п
Ф (?) dBq = я-»'2 \ Р (Xu ...,K)e l-1 'dnX.
Лемма 3.1. Интеграл C.8) не зависит от конечномерного
пространства F, содержащего образующие отображения Ф.
Доказательство. Если Ф имеет образующие в F и в
G, то Ф имеет образующие и в F + G; по этой причине пред-
предположим, что FcG. Выберем в G такой базис {gi, ..., gn},
чтобы семейство {gi, ..., gm} было базисом в F и семейство
{^x'!'Si, • • ¦> PxV*8n} было ортонормированным. Существуют
полиномы Pf и Pg, для которых
ф (?) = Ре {q{gx), ...,q {gm)) = PQ
Бозонные квантовополевые модели 113
Таким образом, PG не зависит от последних п — m перемен-
переменных, а как функция первых m переменных равен /V Следова-
Следовательно, интегрируя по последним п — m переменным, мы по-
получим
( - ?
К) ех ?
J Кт) ехр
что и доказывает лемму.
Теорема 3.2. Интеграл C.8), определенный на полино-
полиномах, задает счетно аддитивную меру на Q.
Пусть Ж г= L2(Q, dBq). Назовем Ж пространством Шре-
дингера, поскольку в этом пространстве полевые операторы,
определяемые чуть ниже, действуют как операторы умноже-
умножения, подобно тому как эти делают обычные квантовомехани-
ческие операторы координат, действующие в обычном шре-
дингеровском представлении. Рассмотрим в Ж множество D
комплексных полиномиальных функций на Q. Из доказатель-
доказательства теоремы 3.2 при учете полноты многочленов Эрмита
в случае конечного числа степеней свободы (разд. 2) легко
вывести плотность D в Ж.
Определим теперь полевые операторы <p(f) как операторы
умножения
C.9)
В область определения ф(/) входит D и (p(f)DaD. Величина
qU,f) интерпретируется как оператор полевой координаты,
причем координата характеризует не положение точки х в
физическом пространстве R, а скорее расположение класси-
классического, взятого в нулевой момент времени поля <р(х) в кон-
конфигурационном пространстве Q = Sr(R). Действительно, ведь
ф@ — оператор, который измеряет расстояние от «начала
координат» в Q вдоль координатного направления f. Нетруд-
Нетрудно увидеть, что q>(f)e LP(Q, dBq) при всех р < оо и, таким
образом, ф(/) определяет самосопряженный оператор на
MQ> dBq).
Определим на области D новый оператор
C.10) Jl(f)==_/_J_+«PW).
Второй член в (ЗЛО) нужен для того, чтобы сделать n(f) сим-
симметричным, и возникает из-за того, что мы пользуемся не
114 Дж. Глимм, А. Джаффе
евклидовой мерой, а гауссовой (ср. с B.15)). Пусть
функция, тождественно равная единице. На векторе
C.11) e = q>(f,)...q>(f,,)OoeD
справедливо равенство
C.12) я(/)9 = -/ t(f,fi)<t>(fi) ...
где (•, •)—обычное «евклидово» внутреннее произведение
(f,fi)=\f(x)fi(x)dx.
Основываясь на C.9) и C.11), легко проверить, что на D
справедливы следующие коммутационные соотношения:
C.13) Mf), я (§)] = /<
C.14) [ф(П.ф(ЯГ)] = ИЛ,
По аналогии с B.2) введем операторы
C.15) b(f) - -+= [Ф (уЩ) + in (pj
C.16) V ф = -1= [Ф (М) ~ ^ (|ij
Теорема 3.3. Операторы Ь и Ь*, задаваемые равенства-
равенствами C.15), C.16), реализуют в L2(Q, dBq) фоковское пред-
представление ККС над Q'.
Доказательство. Коммутационные соотношения для
bub* следуют из C.14), C.15). Поскольку ф и я определены
на D и отображают D на D, этим же свойством обладают b
и Ь*, а так как Qo = 1,
1п0
то
6(f)Qo=»O.
Далее, поскольку D порождается полиномами по ф, действую-
действующими на Qo, оно порождается и полиномами по Ь*, действую-
действующими на Qo. To, что b*(f) есть сужение оператора, сопряжен-
сопряженного к &(/), следует из C.15), C.16) и симметричности n(f)-,
которая доказывается чуть ниже,
Бозонные квантовополевые модели 115
Лемма 3.4. Оператор я(/) симметричен на D.
Доказательство. Достаточно доказать, что
где 9i и 92— векторы вида C.11). Применим индукцию по
числу «1 множителей ф(/г)> входящих в 9ь Предположим
справедливость нужного равенства для некоторого щ, тогда
= i(f, g)(Qu 92) + (ф(§)я(/)91, 92> =
= i (f, g) <е„ 62> + (9,, п (f) Ф (g) 92> =
Следовательно, искомое равенство справедливо для «i + l.
Таким образом, достаточно, положив щ = 0, установить, что
Но это эквивалентно равенству
C.17) (Q
О.ф(/.)-Ф01-|)ф0!+.)-
Для доказательства C.17) выберем в Q' конечномерное
подпространство F, содержащее все f и базис {gi, ..., gm)
в F, такой, чтобы множество {ц.?1/г?,, ..., Hjc'/2gm} было орто-
нормированным. Поскольку C.17) линейно по каждой f,
можно предположить, что каждая функция f есть элемент
выбранного базиса, и положить f = gu Тогда C.17) эквива-
эквивалентно равенству
Интегралы по Кг, ...%Кп дают одинаковый вклад в обе части
этого равенства, и потому остается проверить тождество
J V ехр (— Я2) dk = -t^- J V~2 exp (- X2) dK,
R R
которое можно доказать интегрированием по частям. Это за-
завершает доказательство леммы и теоремы.
116 Дж. Глимм, А. Джаффе
Обращая соотношение между Ь, Ь* и я, ф, получаем фор-
формулы
=^l? 0**0 + * 0**0].
обобщающие B.10).
4. Эрмитово разложение и фоковское пространство
В фоковском пространстве свободный гамильтониан Но
диагоналей. Это одно из достоинств фоковского пространства,
другое состоит в том, что некоторые оценки легче проводить
в фоковском пространстве, чем в шредингеровском. Для того
чтобы диагонализовать #0, фоковское пространство надо
строить на основе импульсного (а не конфигурационного)
пространства. Мы сначала определим фоковское простран-
пространство непосредственно и только потом с помощью теоремы 2.3
отождествим его с эрмитовым разложением шредингеровского
пространства.
Пусть Fn — пространство симметричных определенных на
Rn Ьг-функций; Fo — множество комплексных чисел. Пусть
D.1) F==SoFn'
Ц.2) Q0=l EfocF.
Пространство F называется фоковским, a Fn — его «-частич-
«-частичным подпространством. Если б = {б0,6i,...} e F, то б„ —
n-частичная компонента вектора б. Оператор числа частиц N
определяется формулой
D.3) jve = {o, е1,2е2)...,п9„,...},
Qo — вакуум или состояние без частиц. Все эти определения
(и названия) относятся к частицам, динамическое поведение
которых управляется свободным гамильтонианом Яо (ср. со
следствием 4.5). Эти частицы играют в нашем рассмотрении
вспомогательную роль и отличаются от физических частиц,
которые описываются полями при |Л—»¦ оо.
Пусть Sn — проектор пространства L2(Rn) на Fn и D —
плотная в F область, алгебраически порожденная вектором
Qo и векторами вида
D.4) S»M*i) •¦•fn(bn),
и п— 1, 2, ....
Бозонные квантоеополевые модели 117
Определим на D оператор уничтожения a{k), положив для
всех ^eR
{a(k)Q)n(ku ..., kn) = V«+T9n+1 (k, *,,..., ?„)•
Тогда a(k)D с: D, и потому для & = (&i,..., &„) е R71 можно
определить произведение
D.5) a(k) = a(kl)...a{kn),
также отображающее D в D. Оператор a(k) не имеет замы-
замыкания, и область определения оператора, ему сопряженного,
состоит лишь из нуля. Тем не менее a*(k)—билинейная фор-
форма на D\D. Аналогично и a*(k)a(k') — билинейная форма
на DXD.
Для еь 02еД &eRm, ?'e= R" функция Fь a*(k)a(k')Q2)
лежит в 5c(Rm+n), и потому для любой обобщенной функции
w^Sc(Rm+n) слабый интеграл
D.6) W= J a*(k)w(k, k')a(k)dkdk' = a*(w),
также определяет билинейную форму на D X D. Форма W на-
называется мономом Вика степени /и, п, а любая линейная ком-
комбинация виковых мономов называется полиномом Вика.
Пусть W(S')—класс всех виковых полиномов, а для любого
подпространства IcS' пусть W(X)—класс виковых полино-
полиномов, ядра которых w лежат в X. W{S') — общий класс форм,
используемых в квантовой теории поля. Многие важные опе-
операторы квантовой теории поля естественно выражаются через
виковы мономы. Более того, если А—ограниченный опера-
оператор на F, то можно утверждать, что он наверняка представим
в виде разложения по виковым мономам, и это разложение
в смысле билинейных форм сходится на D X D-
Введем более узкий класс V(S') билинейных форм на
Dy,D. В F(S') входят все линейные комбинации форм вида
D.7) V = J
/-о r"
где ядра »eS' симметричны относительно перестановок ар-
аргументов и имеют вещественные фурье-образы. Как и выше,
V(X) — подкласс в V(S'), получаемый из V(S'), если потре-
потребовать, чтобы ядра v принадлежали X. Как будет видно
дальше, V(Sf) — максимальный абелев класс форм и наибо-
наиболее общий класс форм, выражаемых в виде функции от ф.
Определим теперь, используя преобразование Фурье
C.3), операторы рождения и уничтожения, относящиеся
Дж. Глимм, А. Джаффе
к конфигурационному пространству. Для вещественной функ-
функции f e Sr(R) положим
D.8)
Коммутационные соотношения
&* СЯГ>1 — S f{x)g{x)dx*=
вытекают из соответствующих коммутационных соотношений
для а и а*:
(Л ОЛ Г г* 11* \ л* (h W A ( h h \
a D.9) можно проверить непосредственно.
Теорема 4.1. Определенные выше операторы bub*
реализуют фоковское представление ККС над Q' = S'r (R).
Доказательство стандартно, и мы его опустим. Теорема
2.3 позволяет отождествить F и 5^ = L2(Q, dBq). Определим
теперь
-lkx\a*(k) + a(-^ dk
DЛ0) V Я
я (х) = -^= J е-»'»* [а* (k) - а (-
Поскольку ядра из D.10) лежат в S'c, поля у(х) и я(х)—
билинейные формы на DY.D. Комбинируя C.18), D.8) и
D.10), получаем-
и аналогично
Это вычисление оправдывает определения D.10). (По поводу
замены порядков интегрирования по k и х см. приводимое
ниже доказательство теоремы 4.4.)
Опишем свойства мономов Вика вида D.6).
Бозонные квантовополевые модели 119
Теорема 4.2. Пусть w — ядро ограниченного оператора
из SnL2(Rn) в SmL2(Rm) с нормой || ну ||. Тогда
D.11) (N + /)"m/2 W (N + 1ГП/2
— гаже ограниченный оператор с нормой, не превосходящей
II w ||.
Доказательство. Пусть А — оператор D.11). Тогда
Л: Fr+n -*¦ Fr+m и
Для векторов 9i e /v+n, П D и 9г е F^-n П D имеем
(9„ Л92> = (г + m + l)"m/2(r + п + 1Г"/2<в„
где
причем p s Rr. Таким образом,
и доказательство закончено.
Следствие 4.3. Пусть a + b ^ m + п. Тогда
Доказательство. Переставим \а — гп\ множителей
(N-\-1)~Ч* с одной стороны W на другую, используя тожде-
тождество
(N + (а + 1) /)"'/г Ч?= W (N + (а + m - п + 1) /)~'/s
с а = 0 при /п>п и а = п — m при m ^ п, и учтем нера-
неравенство
{a
для а == | m — п |.
Замечание. Легко видеть, что билинейная форма од-
однозначно определяет оператор, заданный на D (jV(™+")/2).
120 Дж. Глимм, А. Джаффе
Пусть теперь W\ и W2— два монома Вика степеней i, j и
т, п соответственно. Предположим, что ядра хю\ и ш2 до-
достаточно регулярны (например, лежат в S), тогда можно
определить произведение W\W2. Произведение W\W2 не будет
мономом Вика, так как операторы уничтожения в W\ пред-
предшествуют операторам рождения в W2. Однако с помощью
коммутационных соотношений D.9) операторы а и а* можно
расположить в таком же порядке, как и в D.6) '). Из-за
б-функции в правой части D.9) повторное применение D.9)
приводит W\W2 к сумме членов. Обозначая через Ur вклад
в эту сумму от членов, содержащих г 6-функций (г спарива-
спариваний), можно написать, что
min {/. т)
D.12) W&2** ? U Т
г-0
D.13) Ur = J a* (ki) ...а* (*,+„_,) и, (k, k') a {k\) ...
... a(k',+n-r)dkdk'.
Если ядра a>i и w2 симметричны отдельно по своим перемен-
переменным, относящимся к операторам рождения (k\, ..., ki и
ku ¦-., km), и по переменным, относящимся к операторам
уничтожения, то
D.14) ur = ur(k, k'\ k", k'") =
где ieR', ре Rr и reR". Член Uo называется виковым
произведением и обозначается через : W\W2:. Ядром :W\W2\
является w\ ® w2, т. е. произведение ядер W\ и w2, рассматри-
рассматриваемых как функции от различных переменных. Для любых
обобщенных функций умеренного роста W\ и w2 произведение
W\ ® w2 — снова обобщенная функция умеренного роста и по-
потому :WiW2: определено даже тогда, когда WiW2 не имеет
смысла. Аналогично мы определим виково произведение
:U... VW; произвольного числа виковых мономов. Если
Р — полином от / некоммутативных переменных и W\, ...
..., Wi — виковы мономы, то P(Wi, ..., Wt) называется фор-
формальным выражением по а*. Определим :P(Wu ..., Wi) :,
используя линейность. В смысле билинейных форм справед-
справедливо равенство
') В физической литературе эту операцию назьюают операцией приве-
приведения к нормальной форме. — Прим, ред,
Возонные Квантовополевые модели 121
Поскольку в общем случае Ut не равно нулю, виково произве-
произведение формальных выражений нельзя рассматривать как
произведение билинейных форм.
В качестве частного случая, иллюстрирующего сделанные
замечания, можно привести виков полином :фп(л;) : е V(S')
с ядром
DЛ5)
Как функция k это ядро лежит в S?(R"), а х в нем является
параметром. При п = 2 легко проверить, что
D.16) ф2М_:ф2(,):==4
Интеграл в правой части логарифмически расходится, и, по-
поскольку :ф2(д;): существует, мы заключаем, что Ф2(х) не су-
существует. Перечисленные факты, а именно то, что ф2(лг) не
существует, что ф(д;)—билинейная форма, но не оператор,
что гауссова мера dBq сосредоточена на обобщенных функ-
функциях, а не на гладких функциях, — все это различные стороны
одного и того же явления.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы дать определение
свободного гамильтониана Яо. Согласно принципу соответ-
соответствия, Но можно получить, подставив квантовые поля ф и я в
классический гамильтониан свободного поля C.2), взятый
при ^ = 0. Мы уже видели, что Ф2(х) тождественно равно оо.
То же самое справедливо и по отношению к я2 и (^ф2). Од-
Однако мы можем вычесть константу, подобно тому как в слу-
случае одной степени свободы это было сделано в B.1). Основы-
Основываясь на этом, определим #о формулой
D.17) Но = ^ J: я2 (х) + (V ф2 (х)) + т2Ф2 (х): dx.
Это грозно выглядящее выражение на самом деле благодаря
сделанному выбору билинейной формы В очень просто. В пол-
полной аналогии с B.3) справедлива
Теорема 4.4.
H0=\\i(k)a*(k)a(k)dk.
Доказательство. Доказательство состоит из длинных
вычислений, поэтому мы опустим некоторые детали. Чисто
122 Дж. Глимм, А. Джаффе
рождающая часть Яо равна
а* (ft2)е~<* <*•+« [- р (ft,) р (ft.) +
и дело сводится к оправданию перестановки порядков инте-
интегрирования по k и х. Пусть для- 6ь 62 <= Z)
f(*i, *2) = <в1, a*(ft,)аГ^в^
Тогда fe5c(R2), и вышеприведенный член дает следующий
вклад в @ь Яовг):
$'(* ^) е~гх (й'+ад ^ [- I» (fti) I» (ft*) -
4 J V(*)(*)
Аналогично доказывается, что чисто уничтожающая часть Но
равна нулю. Остающаяся часть Яо имеет вид
-jj- J a* (ft,) а (- ft2) е-'* (*•+« [^(ftO (t (ft,) - М2 + т2] X
X ,dkldk? dx.
Vn (ft.) it (*,)
Меняя, как и выше, порядок интегрирования по х и ft, полу-
получаем в смысле билинейных форм на D X D
i- J a* (ft,) а (- ft2) б (ft, + ft2) [м (ft,) fx (ft,) - ft,ft2 + m2] X
Следствие 4.5. Свободный гамильтониан Яо оставляет
инвариантным каждое подпространство Fn, и на Fn его суже-
сужение действует как оператор умножения на функцию вида
Следствие 4.6. Гамильтониан Яо задает на области D
самосопряженный в существенном оператор.
Доказательства элементарны. Начиная с этого места, мы
будем обозначать через Яо самосопряженный оператор, об-
Бозонные квантовополевые модели 123
ласть определения которого равна
(А 1 Q\ Г) I U \ — J о,— р
Часть II
ДВУМЕРНЫЕ БОЗОННЫЕ МОДЕЛИ
5. Гамильтониан взаимодействия
При изучении операторов Гамильтона двумерных бо-
зонных моделей используются обрезания трех типов. Эти
обрезания приводят к приближенным, более простым гамиль-
гамильтонианам. После выяснения свойств обрезанных гамильтониа-
гамильтонианов обрезания снимаются с помощью того или иного предель-
предельного перехода, что позволяет получать свойства полного
гамильтониана. Первое обрезание — это пространственное
обрезание, сделанное с помощью неотрицательной функции
geLoo(R), имеющей компактный носитель в ^-пространстве.
Функция g ограничивает радиус взаимодействия частиц об-
областью, в которой ?=7^0. Второе обрезание —это ультрафио-
ультрафиолетовое обрезание и в импульсном пространстве. Параметр
обрезания х, грубо говоря, указывает наибольшую величину
импульсов, входящих в гамильтониан взаимодействия. Нако-
Наконец, мы применим еще одно (вспомогательное) обрезание,
которое приведет к тому, что сумма свободного гамильто-
гамильтониана и обрезанного взаимодействия станет явно самосопря-
самосопряженным в существенном оператором.
Зафиксируем степень р положительного полинома Р. Га-
Гамильтониан взаимодействия имеет вид
E.1) Я,«= $ :Р(ф(х)):
Ядро члена из HIt имеющего степень я, пропорционально
функции
в чем можно убедиться с помощью замены порядков инте-
интегрирования по х и k, подобной той, что делалась в теореме 4.4.
Из-за б-функции это ядро не принадлежит L2, хотя и лежит
в S'c (R"). Сама б-функция возникает как следствие закона
сохранения импульса, или, что то же самое, как следствие
трансляционной инвариантности Hi. Из-за этой б-функции
124 Дж. Глимм, А. Джаффе
сумма #о + Hi в высшей степени сингулярна. Только после
добавления к H0-\-Hi (расходящейся константы) мы смо-
сможем реализовать новый перенормированный гамильтониан как
самосопряженный оператор в новом гильбертовом простран-
пространстве, связанном с (возможноI) не фоковским представлением
ККС. Пространственно обрезанный гамильтониан #/(g) ме-
менее сингулярен. Он определяется равенством
E.3) HI(g)=\:P{<p{x)):g(x)dx,
и здесь ядро, аналогичное E.2), пропорционально
Ультрафиолетовообрезанное поле фи(*) определяется фор-
формулой
E.5)
где % — некоторый фиксированный элемент 5C(R), удовлетво-
удовлетворяющий условиям |@)= 1 и |(&)=?(—k)*, так что | есть
преобразование Фурье вещественной функции. Введем
E.6) Н, (g, к) = J: р (Фи (х)): g (x) dx
и
E.7) mg,x) = H0+H,(g,x).
Ядро гамильтониана Hi(g,y) пропорционально
Обрезание и введено для того, чтобы ядро v попало в L2. Хотя
после введения к ядро аи попадает в S, a #7(g, x)e 1^E), но
смысл такой дополнительной регуляризации не в этом. Важ-
Важность обрезания к в том, что оператор Hj{g,x) полуограни-
полуограничен, тогда как Hj(g) —нет. Для доказательства этого утвер-
утверждения нам нужна теорема Вика.
Пусть Aj — некоторое множество неупорядоченных пар с
полностью различными компонентами, выбранными из мно-
множества {1, ..., я} (назовем такие пары дизъюнктными),
') В настоящее время эта оговорка излишняя.
Бозонные квантовополевые модели 125
пусть \Aj\—подмножество в {1, .... п}, образованное ком-
компонентами пар из Aj, и пусть st-j— множество всех А].
Теорема 5.1. После умножения на гладкую функцию и
интегрирования по k в W(S) справедливы соотношения
E.9) П [a* (ft,) + a (-*,)] =
Ы/2]
= ? ? П b(ka+k&): П [a'(kt) + a{-kt)]:
1-0 A^^tj (а, В)Л v l?\A\
U
E.10) :П [а*
№1
= ?(-1)' ? П. в(А«+А„)Х П
Яри эгол< получающиеся равенства — операторные тождества
на D.
Доказательство. Переставим с помощью D.9) опе-
операторы а* и а в левой части. Для каждой пары переменных
ka, k$ возможна всего одна перестановка между соответ-
соответствующими а* и а. Поэтому после перестановки возникают
два члена: один с 6(ka-\-k$), а другой с переставленными а*
и а. В итоге разложение левой части содержит по одному
члену, отвечающему каждому выбору дизъюнктных пар из
{1, ..., п). Каждый такой член содержит б-функции, отве-
отвечающие выбранным парам индексов и переставленные а* и а
для остальных индексов. Знак минус в E.10) возникает из-за
изменения направления перестановок, т. е. из-за того, что
а*а = аа*— б. Это завершает доказательство.
Пусть
E.11)
Следствие 5.2. Соотношение
[п/2\
выполняется на D как операторное тождество.
Доказательство. Число элементов в Aj в точности
равно п\/(п — 2J) Щ2К
126 Дж. Глимм, А. Джаффе
Следствие 5.3. Пусть g^L\. На области Dy,D спра-
справедливо следующее операторное неравенство:
Доказательство. В E.11) си = 0Aпх). Поскольку
Р — положительный полином, требуемое неравенство выте-
вытекает из следствия 5.2.
Неравенство в следствии 5.3 с помощью процедуры замы-
замыкания распространяется на самосопряженные операторы (см.
теорему 5.6).
Лемма 5.4. Пусть fu f2<^Sr(R). Тогда оператор q>(fi) +
+ я (/г) самосопряжен в существенном на области D.
Доказательство. Если установить для каждого век-
вектора 9еД неравенство
то в силу инвариантности D относительно действия <р и л
вектор 0 будет аналитическим для сужения [<р (f{) + я (f2)] \ D,
и утверждение леммы будет следовать из теоремы Нельсона
(cm.ER.S]).
Для доказательства 5.12 разложим член n-й степени в ле-
левой части в сумму 4™ членов вида
E.13) Я а* (А,)... а* (А,) вй,
где а* = а или а* и ht пропорционально ц^'/2/г. Если М —
максимальное число частиц (т. е. операторов рождения) в 0,
то норма E.13), так же как и при доказательстве следствия
4.3, оценивается следующим образом:
Это и завершает доказательство.
Пусть теперь <p(f) всегда означает самосопряженное за-
замыкание <р (/) f D, т. е. ф (/) = (ф (/) \ D)~, и пусть Ж — ал-
алгебра фон Неймана, порождаемая операторами {eiv№>} при
feS.
Предложение 6.5. Л = LX(Q).
Бозонные квантовополевые модели 127
Доказательство. По построению JlczLx,(Q). С дру-
другой стороны, Loo(Q)—абелева подалгебра в В(Ж), поэтому,
показав, что Ж — максимально абелева подалгебра в В(Ж),
мы докажем предложение. Мы установим свойство, эквива-
эквивалентное максимальной абелевости Ж, а именно мы покажем,
что множество векторов WI = {Мпо\М^Ж] плотно в Ж. Но
ведь векторы
exp \i 2 s/ф (f,)J Qo
сильно «-кратно дифференцируемы для всех п и любых fi, ...
..., fne5r(R). Таким образом, производные этой экспо-
экспоненты при Sj = 0, т. е. векторы (p(/i) ... ф(/п)?20 принадле-
принадлежат замыканию множества Зй. Следовательно, D <=9Л и по-
поскольку D плотно в Ж, замыкание 9Л совпадает с Ж.
Теорема 5.6. Пусть VeV(L2). Тогда виков полином V
задает на области D оператор, самосопряженный в существен-
существенном.
Доказательство. Пусть V—оператор, определенный
на D. Мы утверждаем, что J[QoczD{V~) и что М коммути-
коммутирует с V~. Тогда из того, что Vfio = 9e^ = L2(Q) будет вы-
вытекать, что сужение V~ \ JtQ0 является оператором умноже-
умножения на функцию из L2. А поскольку такой оператор самосо-
самосопряжен в существенном на Laa(Q) = JtQo, сужение V~ \ JtQ0
также самосопряжено в существенном, а замыкание V~ са-
самосопряжено. Для доказательства нашего утверждения вы-
вычислим следующий предел:
lim ? y ? ^
где в силу E.12) сходимость ряда вытекает из условия
Vua e D. Таким образом,
V ехр Щ (f)) Qo = exp (/Ф (/)) V "Qo.
Аналогичное доказательство применимо как в случае линей-
линейных комбинаций экспонент, так и в случае полиномов от
экспонент (поскольку их можно представить в виде линейных
комбинаций подходящих экспонент). Произвольный элемент
Msi является сильным пределом таких полиномов М]. По-
Поэтому MQo = HmAfyQo и равенства
lim F"M,Q0 = lim M,V~Q0 — MV~Q0
l i
доказывают нужное нам утверждение.
128 Дж, tMiMM, А. Джаффе
Теорема 5.7. Для всех г < оо полином V принадлежит
Lr(Q, dBq), и если v — его ядро, то
|| FIK const-|№
Доказательство. Для г = 2/ при / целом в силу
следствия 4.3 справедливо неравенство
HI V'Qo f < ]] || (N + /)- (/-1!/2 7 (iV + /)-"//212 < const • || v llf.
Это доказывает теорему для всех г = 2/, а, поскольку полная
мера Q конечна, теорема справедлива и для меньших значе-
значений, и, следовательно, для всех г <. оо.
Предложение 5.8. Если v и vK принадлежат L2(Rn)
и g <= L2, го
i, ^2 ^ ^-2, 1"о соответствующие ядра V\, v2, определен-
определенные соотношением E.4), удовлетворяют неравенству
Доказательство. Пусть 2 —сектор \()
>..^]i(kn). Поскольку v и vK — симметричные функции,
справедливы равенства
- const J
dk-
Далее,
и так как функция | 1 — |(х~'^г) |ц (&„)"' ограничена снизу
функцией х, а в секторе S — функцией const • \i(kn)~l, то
)"'< const x~1+e
Ёозонные квантовополевые модели 129
на Е. Отсюда
$
? /<n
i
1<п
где сначала интегрирование производилось по переменной kn.
Это сразу доказывает первое неравенство, а поскольку V\ — v%
есть ядро, отвечающее обрезающей функции g\ — gz, то это
же неравенство дает и вторую оценку. Отметим, что поло-
положительность функции g не требовалась.
Замечание. Мы видим, что гамильтониан Я7(g)e
е F(Z-2) и потому задает самосопряженный оператор. След-
Следствие 5.3 и предложение 5.8 выражают тот факт, что Я7(#)
состоит из полуограниченной части и малого остатка.
Пусть В — ограниченная открытая область пространства
R и Ж {В)—алгебра фон Неймана, порождаемая операто-
операторами exp(iq>(/)), где f sSr(R) и suppf cB.
Теорема 5.9. Пусть g(x)===Q на В' — дополнении В. То-
Тогда exp(t^/(g))e^#(S) для всех feR.
Доказательство. Операторы умножения Ке У(?-2) на
плотной области Lx суть самосопряженные в существенном
операторы. Если последовательность V, сходится (в смысле
сходимости квадратично суммируемых функций) к пределу V,
то она же сходится на области Lx в сильном операторном
смысле, а в таком случае сильно сходится и последователь-
последовательность унитарных групп exp(itVj). В силу теоремы 5.7 схо-
сходимость ядер Vj в L2 влечет сходимость Vj в L2(Q,dBq), и„
поскольку алгебра Ж {В) замкнута в сильной топологии, тео-
теорему достаточно доказать применительно к ядрам Vj, прибли-
приближающим в Z-2-смысле ядра v гамильтониана Я/ (g).
В качестве первого приближения выберем последователь-
последовательность функций gj следующего вида:
g(x)> если расстояние d-от границы В больше /"',
0 в остальных случаях.
Г
Тогда gj->g в L2 и ядра Vj сходятся в силу предложения 5.8.
Затем мы аппроксимируем H^gj) последовательностью
Hi (gj, %i), в которой ki —> 00. Опять в силу предложения 5.8
ядра сходятся в L2. Далее выберем в качестве импульсного
5 Заказ 351
130 Дж. Глимм, А. Джаффе
обрезания функцию |, являющуюся фурье-преобразованием
функции с компактным носителем. Тогда
Ф(*)=
и для х е supp ^ и достаточно больших /
(x — y))czB.
Тогда ехр(йфи (дс))е J?(B) по определению и, следователь-
следовательно, спектральные проекторы q>x (х) тоже принадлежат Ж {В).
Это же справедливо для : Р(фх (х)):, так как Р — полином от
Фх(дс) (следствие 5.2) и, следовательно, для #i(g,и), по-
поскольку интегрирование по дс — сильно сходящаяся операция
на существенной области (коре) L^iQ) оператора Hj(g,%)
(теорема 5.7).
6. Гамильтониан свободного поля
В этом разделе мы исследуем свойства оператора Но,
определенного в разд. 4. Основным свойством Яо, используе-
используемым при доказательстве самосопряженности в существенном
гамильтониана H(g), будет положительность ядра опера-
оператора txp(-tHo). Ясно, что этот факт следует из того, что
#о— эллиптический оператор второго порядка и что из него
вытекает существование положительной меры на соответ-
соответствующем пространстве траекторий. При снятии обрезания g
основным будет то, что #о приводит к конечной скорости
распространения возмущения, что вытекает из аналогичного
свойства классического поля и в сущности является отраже-
отражением гиперболического характера уравнения C.1).
Определение 6.1. Пусть X — пространство с мерой dx.
Пусть А—ограниченный оператор на L2(X,dx). Тогда ядро Л
неотрицательно, если для любых двух неотрицательных функ-
функций в и i|> из L2(X,dx)
F.1) 0 «9, А$).
Если Вт*другой ограниченный оператор на L2(X,dx) и если
ядро 5 — А неотрицательно, то говорят, что ядро В больше
ядра А.
Теорема 6.2. Ядро ехр(—tHQ) неотрицательно.
Доказательство. Мы проделаем три редукции и за-
затем воспользуемся теоремой 2.4, относящейся к конечномер-
конечномерному случаю. Первая редукция состоит в замене ехр(—tHQ)
последовательностью операторов, сильно сходящейся к исход-
Бозонные квантовополевые модели 131
ному оператору. Выберем в качестве такой последоввтеявдо-
сти операторы ехр(—ш„), где
#„ = ?(!/. rfl*(et, n)a(et. n).
О <!*,,„, eUn<=S{R),
причем будем считать, что при фиксированном п семейство
{si,n] ортонормировано. Более того, поскольку \i(k)=\i(—k)
и б (k — I)—вещественная обобщенная функция, множество
индексов можно выбрать так, чтобы
* = =Ы, ±2, .... ±j(n).
Будем считать также, что ц; Л = цч п и ei n(k) = elin(k)* =
При таких условиях Йп можно диагонализовать с помощью
операторов b*, b. В самом деле, если fi = eti n> то
Im f, = jp fo; n — e-i>n] = — (Im f ,)*
н с помощью D.8) можно проверить, что
Нп)
fin = 2 I ц,. „ {6* (Re /,) 6 (Re f,) + Ь* (Im f,) b (Im /,)} =
2/(n)
причем ^ образуют ортогональное в 5r(R) семейство.
Вторая редукция состоит в замене 9 и -ф сильно сходящи-
сходящимися последовательностями {9V}, {i|h>} векторов, обладающих
свойствами |6V| ^0 и |tj;v|^O. Причем мы хотим, чтобы 0V
и a|)v зависели только от конечного числа степеней свободы,
и мы достигнем этого, потребовав, чтобы 9V и o|)v принадле-
принадлежали D. Множество D плотно в L2(Q), а поскольку в силу
неравенства треугольника
мы видим, что «абсолютные значения» элементов из D обра-
образуют множество, плотное во множестве положительных эле-
элементов из Z-2(Q).
Пусть G — конечномерное подпространство в 5r(R), такое,
что gi^G и 8V, »pv — полиномы, имеющие образующие в
К = n'l'G. Поскольку значение щ, равное нулю, допускается,
можно предположить, что множество {gi) — базис в G.
132 Дж. Глимм, А. Джаффе
Третья редукция основывается на теореме 2.3 об унитарной
эквивалентности. Пусть DG — линейное подпространство в D,
алгебраически порожденное полиномами, имеющими обра-
образующие в \ixG, и пусть два = Do cz L2 (Q). Тогда Mg — цик-
циклическое подпространство, порождаемое операторами b*(gi),
действующими на Qo, и легко проверить, что
G=>g->b*(g), b(g)
— фоковское представление ККС над G. Поскольку
инвариантно относительно действия ехр(—Шп), и потому
оператор U, осуществляющий унитарную эквивалентность
между 36G и L2(R2j(-n)), существующую в силу теоремы 2.3,
сохраняет внутреннее произведение F.1). Пусть Ж(К) — ал-
алгебра фон Неймана, порождаемая множеством {exp(tq>(/))|/e
е/7}. Тогда 36G инвариантно относительно действия Ж (К),
и можно проверить, что М(К)&ъ)~ = 3@в- Далее, если Me
s=M{K), то UM-l =Af'eL0O(R2J(»))i Отображение М-*М'
сохраняет произведения, а следовательно и квадратные корни,
и абсолютные значения. В итоге U сохраняет абсолютные
значения на Mg, h доказываемое утверждение вытекает из
теоремы 2.4. ¦
Следствие 6.3. Пусть V(q)^Lr(Q,dBq) для некоторого
г^1. Предположим, что оператор Яо+V самосопряжен в
существенном на области
D(HQ) + D(V)
и для некоторой константы М
Тогда
Кег {ехр [-1 (Но + V)]} < Кег {ехр (Ш) ехр (- Шй)}.
Доказательство. Аппроксимируем ехр(—t(H0 + V))
с помощью теоремы Троттера1). Пусть 0 и t? как элементы
mQdBq) неотрицательны, и пусть
') См., например [R. S. I]. — Прим. ред.
Бозонные квантовополевые модели 133
Тогда в силу теоремы 6.2 9j и tjjj тоже неотрицательны и
(б,
... < ехр (Ш) <еп) фп> = F, ехр (Ш) ехр (- Шо)
В таком случае доказательство завершается переходом к
« = оо.
Пусть
Фо (*, 0 = ехр (ИН0) ф (х) ехр (- ИН0),
я0 (х, 0 == ехр (itHQ) я (х) ехр (— itH0),
Фо(/, O=Uo(^. t)f(x)dx,
F.3)
В силу коммутационных соотношений
ехр (itHQ) a* (f) = а* (е«» <•> f) ехр (йЯо),
F.4) [Яо, а*(/)] =
операторы Яо и exp(itHo) отображают D в D. Следовательно,
Фо(дс, 0 и яо(*, 0—билинейные формы, определенные на
DXD.
Теорема 6.4. Пусть Э и ф лежат в D. Тогда
— решение уравнения Клейна — Гордона C.1) со следующи-
следующими начальными данными:
Доказательство. Формальное вычисление
n ()
+ а (- k)] ехр (- йЯ0) а|)) dk
имеет смысл на ?> Х^. поскольку Яо и ехр(^Я0) отображают
DbD. В силу F.4) имеем
F (*> Ъ = 1ST S е~ '** ^^" <ехр (~ Й
It
- а (- *)) ехр (- UH0) ф) d^ = (е,
134 Дж. Глимм, А. Джаффе
Аналогично
^ F (*, 0 ~ - -L $ «г»* У?W <ехр (- itH0) 9, (а* (А) +
+ а (- А)) ехр (- ИЯ0) 40 rf*.
и доказательство завершается, если заметить, что
% = |i (kf |i (А)~ * = (А2 + m2 I/
Носитель фундаментального решения ? = А(дс,/) уравне-
уравнения Клейна — Гордона, удовлетворяющего начальным дан-
данным вида
А(х, 0) = 0,
лежит внутри светового конуса, поэтому справедливо
Следствие 6.5. В смысле билинейных форм на D X D
выполняются равенства
4>о(х, *>= $Д(х — у, t)n(y)dy+^At(x-y, t)<v(y)dy,
— У' t)n(y)dy+ Ja«(x — i/, t)q>(y)dy.
Теорема 6.6. Пусть fu f2&Sr(R). На области D опе-
оператор
самосопряжен в существенном.
Доказательство. Оператор ехр(itHo) унитарен, остав-
оставляет D неизменной и преобразует q>o(fi, О + Яо^г, 0 в опера-
оператор q>(fi) + n(f2), который самосопряжен в силу леммы 5.4.
Пусть В — открытая ограниченная область пространстца
R, и пусть %{В)—алгебра фон Неймана, порождаемая опе-
операторами
с функциями fu f2sSr(R), имеющими носители в В. Пусть
для любого вещественного числа t область Bt есть множество
точек, расстояние которых от В меньше \t\.
Теорема 6.7. ехр(itff0)«(В)ехр(— UHQ)<=.%{Bt).
Замечание. Теорему можно переформулировать, сказав,
что Но приводит к распространению сигналов со скоростью,
меньшей 1.
Возонные квантовополевые модели 135
Доказательство. В силу следствия 6.5
гдеJ) /ij = fi*A< + f2*A« и /i2 = /i*A + fo*At. Это равенство
справедливо для билинейных форм на D X А и потому в силу
теоремы 6.6 оно продолжается до равенства между самосо-
самосопряженными в существенном операторами. Поскольку уни-
унитарная группа, порождаемая правой частью равенства, по
определению принадлежит 9С(В<)> унитарная группа, поро-
порождаемая левой частью равенства, также принадлежит %(Bt),
что и завершает доказательство.
Теорема 6.8. Если В и С — непересекающиеся откры-
открытые ограниченные области пространства R, то операторы из
В коммутируют с операторами из Я (С).
Доказательство. Пусть при i=l, 2 носители /(|Ле
eSr(R) лежат в В, а носители fitc&Sr(R)—в С, и пусть
В = ехр (йр (Л. в) + «я (f2. в)), С = exp (ftp (f,, с) + m (f2. c)).
Из коммутационных соотношений C.13), справедливых на D,
и того факта, что векторы из D являются аналитическими
для операторов вида <p(/i)-ft(f2), следует, что В и С комму-
коммутируют. А поскольку такие операторы порождают &(В) и
81 (С) соответственно, мы получаем доказательство теоремы.
Следствие 6.9. Пусть gsL2, и пусть g(x)==0 на В.
Тогда exp(tf#i(g))e=«(B) для ecexte= R.
Доказательство. Так же как в доказательстве тео-
теоремы 5.9, айнроксимируем Я1(й') полиномами по полю ф(я),
в котором х локализован в открытых ограниченных областях
С} с- В'.
7. Самосопряженность H(g)
Предложение 7.1. Пусть Hj — последовательность Са-
Самосопряженных операторов. При выполнении следующих трех
условий:
A) операторы Hj ограничены снизу равномерно по /,
B) операторы Я3- сильно сходятся на некоторой плотной
области D,
C) операторы ехр(—tHj) сильно сходятся равномерно
по t для всех t, отличных от нуля и оо, резольвенты /?.,•(?) =
= (Я3 — ?)-' сильно сходятся к резольвенте самосопряжен-
самосопряженного оператора Н.
') Здесь * — знак свертки. — Прим. ред.
136 Дж. Глимм, А. Джаффе
Доказательство. В силу A) и C) резольвенты
оо
Л/@ =5 txp(-t(H,-Q)dt
о
сходятся для достаточно малых отрицательных ?. По тео-
теореме Като ([Kat, стр. 428, теоремы 1.3]) /?(?) = lim/?,(?) бу-
будет резольвентой замкнутого оператора Я, если доказать, что
нулевое подпространство /?(?) состоит лишь из нуля. Более
того, предел /?(?) самосопряжен для отрицательных ? и по-
потому таков же и Я. Пусть #(?)Э = 0. Тогда для фе?> с по-
помощью B) выводим, что
to, е>=<(я; - 5) *, /?/ (?) е> -> <(я -?)*,/? @ е> = о,
т. е. что Э = 0.
Замечание. Вывод предложения 7.1 не изменится, если за-
заменить условия A), C) требованиями сильной сходимости
#,•(?) и /?,•(?)* для некоторого ?.
Предложение 7.2. Пусть Н} ~ (Яо + 7j)~, где Яо ы
Vj —. самосопряженные операторы. Предположим, что, кроме
условий теоремы 7.1, выполнены еще и следующие условия:
D) последовательность Vj сходится к самосопряженному
пределу на существенной для V области DQ,
E) область значений exp(-tHj) содержится в О(Н0)С\
F) последовательность Viexp(—tHj) сильно сходится при
*>0.
Тогда Н = (HQ-\-V)~ самосопряжен в существенном на
области D(H0) f]D(V) идля1>0
Rang exp (- tH) cr D (Яо) П D (V).
Замечание. Яо+ V берется с областью D(H0) Г) D(V).
Доказательство. В соответствии с функциональным
исчислением и предложением 7.1 последовательность
Hjexpi—tHj) сходится к Нехр(-Ш) при / > 0. В силу F)
Яо exp (- tHj) 9 = Н, exp (— tH,) Q — V, exp (- Ш,) 9
сходится для любого вектора Э. Так как Яо — замкнутый опе-
оператор, ехр(—tH)Q<~D(H0) и
Яо exp (- tH)Q = H exp (- tH) fl - lim V, exp (- tH,) 6.
Пусть г|зеDo. В силу D) Vjif» —*- V|) так, что
<*, lim F, exp (- tH,) e> = lim <y#, exp (— /Я/) 6> =
, exp (- tH) 9) - (tf, (V \ Do)* exp (- tH) 6>.
Бозонные квантовополевые модели 137
Поскольку Do — существенная область для V и поскольку
V — самосопряженный оператор, (V\D0)*=V, и потому
Rang ехр (—/Я)с: D(V). Следовательно,
Я \ (Rang ехр (- tH)) = (Яо + V) Г (Rang ехр (- tH)).
Далее, поскольку Я самосопряжен в существенном на обла-
области значений ехр(—tH), можно утверждать, что
Н = [(Яо + V) I Rang ехр (- tH)\~ с= (Яо + V)~.
По этой причине (Яо+ V)~ — симметрическое расширение са-
самосопряженного оператора Я, и потому Я = (Я0 + У)-.
Теорема 7.3. Пусть V^V(L2) ограничен снизу. Тогда
Н = (Н0+ V)~ самосопряжен в существенном на D(H0)f]
Г) D(V) uдляt>0uV'(= V(L2)
Rang ехр (- tH) czD(H0)()D (V).
Доказательство. Пусть
Я для | Я | ^ /,
О в остальных случаях,
и пусть Vj = Fj (V). Тогда Hj = Hu-\-Vj — самосопряженные
операторы, ограниченные снизу равномерно по /. В силу тео-
теоремы Лебега об ограниченной сходимости последовательность
Vj сходится в Lr(Q) к V. Поскольку DczLr(Q) для всех
г< оо, и Vj, и Hj сходятся на D. Это доказывает условия A)
и B) предложения 7.1. Для проверки D) достаточно взять
Do = Loo(Q), тогда как E) следует из включения
Rang ехр (- tH,) с D (Яо) = D (Яо) П D(V,).
Лемма 7.4. Последовательность Fj(V) exp(—tHj) схо-
сходится по норме для t > 0 и Ге V{L2).
Эта лемма дает условия C) и F), и, более того, для лю-
любого W e Z-oo(Q) из нее следует, что
> = <?, {V Г Д,Гехр(-гЯ)е>==
<, ДПр
А это означает, что Rang ехр (—/Я) содержится в ?>(V") и
доказывает теорему.
Доказательство леммы 7.4. Формула Дюамеля
утверждает, что
G.1) ехр(-^Я/)-ехр(-^Яг) =
t
= - J ехр (— sHj) 6V ехр [- (t - s) Ht\ ds,
о
138 Дж. Глимм., А. Джаффе
где
Пусть / ^ /. Для неотрицательных векторов 9 и W
| (Э, [ехр (- tHf) - ехр (- Wt)\ W) | <
< sup (ехр (— sHt) Q,\bV\ ехр [— {t - s) Ht
0<s<<
< const sup (exp (- sH0) Э, | W | exp [^- (t - s) Ho]
s
< Г' const sup <e, exp (- sH0) V2 exp [- [t — s) H] W) <
s
1 const sup || 91| || 41| I exp (- sH0) V2 exp [- (/ - s) Яо] |,
s
где использовались следствие 6.3 и неравенство |6V|^ j~lV2.
Поскольку любой вектор х есть линейная комбинация четы-
четырех неотрицательных векторов Х{, IUi||^ IU||,
le-«/ „ e-^I<r' const sup|e-sHoV2e-{f~s)%
S
Аналогично
1 Ff (V) e~mi - Fi (V) e~tHt | <
< Г1 const supl(l + v'2)e-sH<V*e-(t-s)
Самосопряженные операторы N и HQ коммутируют, и N ^
^т~1Но, где m — масса из C.1). Эти свойства с учетом тео-
теоремы 4.2 ведут к тому, что
II (V'f е~т | < || (V'f {N + 1Г || | (N + /)" е~ш> \ < со
при условии, что deg V, deg V ^ «. Если / — s > //2, то
X le-^'l 1(ЛГ + If V2(N + /)-21 |(ЛГ + 1Jпе-™2\ < со
в силу следствия 4.3. Если s > t/2, можно использовать мно-
множитель ехр(—$#о) для компенсации степеней N -\-1 и таким
образом завершить доказательство.
Теорема 7.5. Оператор H(g) = (H0-{- Hl(g))~ самосо-
самосоD(#) П Д(Я())
р рр (g) ( (g))
пряжен в существенном на D(#o) П Д(Ях(§)), ограничен сни-
снизу и для t > 0 и К'е V(L2)
Rang e~t№ с D(H0) t\D(V).
Доказательство. Пусть / = %, Н5 = Я (g, к). Прове-
Проверим условия A) — F) предложений 7.1 и 7.2. Проверка уело-
Бозонные квантовополевые модели 139
вий B), D), E) тривиальна. Докажем A). Модификация
этого доказательства для проверки C) и F) проводится
стандартным образом и похожа на доказательство сходимо-
сходимости F'exp(—tHj).
Наше доказательство A) будет представлять собой ва-
вариант доказательства, развитого применительно к ф?- модели,
приспособленный к случаю двумерного пространства-времени.
Мы исследуем га-й порядок разложения Дюамеля и для упро-
упрощения выкладок используем хронологические произведения.
Например, подынтегральное выражение из G.1) представ-
представляется в виде
jbV(s)J ,
r, s) da
^ \ о
где
H/ при
Ht при а ^ s
и 6V(s) означает bV в момент времени s. Индекс + обозна-
обозначает антихронологическое упорядочивание (сомножители, от-
отвечающие более ранним временам, стоят левее сомножителей,
отвечающих более поздним временам).
Пусть xv = exp (v2*), где р — степень пелинома Р в Я/.
Пусть
_(H{g,xv), если xv<>«,
v ~~ 1 Н (g, %), если >cv > %,
и 6/i.v = Я (g,%) — H (g,Kv). Интегрируя G.1), получаем
G.2) ехр(-*Я (?,*)) =
= Х(-1)" J ехрГ- \
ds,
где интегрирование по ds идет по области
0<s,< ... <$„</,
и H(a,s) = /iv, если sv_i ^ a ^ sv. Ряд обрывается для xv
Далее, используем оценку
G.3) |*M'
140 Дж. Глимм, А. Джаффе
Тогда для неотрицательных векторов 0, ^? в силу следствия
6.3 будем иметь, что
G-4)
(в, Гехр (- \ Н (с, s) daj Д bhy (sv) j 4
Г / '
exp(-5^o
L V о
<•
поскольку — О («) ^ Hj (g, щ) при v
Каждое /v есть сумма ограниченного числа виковых мо-
мономов: /v = X dv i. Учитывая определение G.3) и используя
неравенство Шварца, /,2-норму ядра dv, i можно оценить
посредством 12-норм ядер 6AV. Поскольку 12-норма ядра FAVJ,
входящего в G.3), ограничена величиной О(%~1+^)^.О(к~11'),
ядро dVi i в силу предложения 5.8 ограничено величиной
О (j«~''«). Поэтому в силу следствия 4.3
G.5)
Максимальная длина временных интервалов Sj — Sj_i в хро-
хронологическом произведении равна по крайней мере t/(n-\-1),
поскольку общее число таких интервалов равно п-\-1, я об-
общая длина их суммы равна t. Подставим в G.4) оценку
... (JV + A + (п-1JрIр <
и обратную ей. Использовав соотношение (N + aI)~pW =
= №x(N + (a + m — пI)-р, уберем обратные степени, по-
получив в каждом временном интервале множитель (Л^ +
+ A + а)/)~р, а ^ 0. Это дает оценку
о
п п
' (п\У П »« ''* II N"n exP (—tHo/(n + 1)) ||< Мп (д!K" ТТ:
v-i v=:
с некоторой константой М. Произведение
п / п
V-1 ^ V-1
Бозонные квантовополевые модели 141
быстро сходится к нулю и доминирует среди других множите-
множителей. Подставляя эти соотношения в G.4) и G.2), мы получим
окончательную равномерную по к оценку
8. Локальные алгебры и автоморфизмы, представляющие
группу Лоренца
Хааг и Кастлер сформулировали следующие аксиомы
квантовой теории поля. Эти аксиомы не зависят от исполь-
используемого представления полевых операторов, и потому их
можно проверить уже сейчас, используя поля, действующие
в пространстве F = L2(Q,dBq)—фоковском пространстве го-
голых частиц, — и не строя полей, действующих в гильбертовом
пространстве физических состояний (т. е. в фоковском про-
пространстве физических, или, иначе говоря, in/out-частиц, см.
разд. 10).
Аксиомы Хаага — Кастлера таковы:
(a) Каждой, ограниченной открытой области О простран-
пространства-времени R2 отвечает С*-алгебра %((У), содержащая еди-
единицу.
(b) Если OidOz, то %{0{)cz%{02) (изотония).
(c) Если О\ и О2 пространственно подобны (т. е.
(х — уJ<0 для всех хеС?| и у(=(У2), то 9t(<?i) и %@2)
коммутируют (локальность).
(d) Алгебра % всех локальных наблюдаемых, определен-
определенная как равномерное замыкание объединения М % (О), при-
OczR'
митивна, т. е. имеет точное неприводимое представление.
(e) Существует представление в{а, л} неоднородной группы
Лоренца &* «-автоморфизмами алгебры % такое, что
(8.1) <г{в>А}(И@)) = И({а,Л}0),
где {а, Л} — произвольный элемент группы &*.
В рассматриваемых нами двумерных бозонных моделях
единственными нетривиальными аксиомами являются аксио-
аксиомы, касающиеся сдвигов по времени (т. е. динамика), и ло-
ренцевы вращения. Использование автоморфизмов эквива-
эквивалентно употреблению гайзенберговой картины, в котором
наблюдаемые представлены операторами, зависящими от
времени, а состояния — векторами гильбертова пространства,
не изменяющимися с течением времени. В случае кванто-
квантовой системы с гамильтонианом Н гайзенбергова динамика
142 Дж. Глимм, А. Джаффе
задается формулой
= eitHA(O)e-itf{,
где A(t) —это наблюдаемая, отнесенная к моменту времени t
и соответствующая наблюдаемой А@), отнесенной к нуле-
нулевому моменту времени. В нашей модели у нас есть локально
корректный гамильтониан H(g) и нет глобального гамильто-
гамильтониана, но тем не менее гаизенбергову динамику мы построим.
Мы сделаем это, ограничившись рассмотрением наблюдае-
наблюдаемых, лежащих только в локальных алгебрах %(О), и исполь-
используя факт конечности скорости распространения возмущения.
Теорема 8.1. Пусть В — ограниченная открытая область
пространства R и ieR, и пусть g — неотрицательная функ-
функция из L\ Л Z-5, равная единице на Bt (определение см. перед
теоремой 6.7). Тогда при любом АЩВ)
не зависит от g и ot(A)^%.(Bt).
Доказательство. Пусть
Формула Троттера справедлива для унитарной группы
ехр[#(#о~Ь^i(§¦))]• Этот факт приводит к следующему со-
соотношению для соответствующей группы автоморфизмов:
(8.2) ot(A)=\imJo?>yo'tln)(A),
где каждый автоморфизм а1 отображает алгебру 91 (В*)
в себя и не зависит от g при действии на SI (Bs), для которой
|s|^|?|. Действительно, пусть %(BS)—характеристическая
функция Bs. Мы утверждаем, что
(8.3) о}1я (С) = ехр [/1Н, (х (В,))] С ехр[- /1Я7 (х (Д.))]
для Ce9t(Bs) и что, кроме того, o'ttn (С) е SI (Bs). Другими
словами, автоморфизму ст1 отвечает нулевая скорость рас-
распространения возмущения и на 9t (Bs) при |s|s^|/|, и он не
зависит от g. Поэтому если доказать (8.3), то утверждение
теоремы 8.1 будет следовать из (8.2) и (8.3) и теоремы 6.7.
Для доказательства (8.3) представим Я1(^) в виде следую-
следующей суммы двух коммутирующих самосопряженных опера-
операторов:
Бозонные квантовополевые модели 143
В силу теоремы 5.6 exp(tf#i(jc(Bs)))e9t(Bs), и потому этой
же алгебре принадлежит правая часть (8.3). С другой сто-
стороны, согласно следствию 6.9,
что и доказывает (8.3).
Определение 8.2. Пусть О — ограниченная открытая
область пространства-времени, и для любого момента вре-
времени t пусть О (t) = {х е R | х, t е О) — временной слой, от-
отвечающий моменту t. В качестве локальной алгебры %{О)
возьмем алгебру фон Неймана, порождаемую множеством
(8.4) Ik (Я @ (*))).
S
Теорема 8.3. Для только что введенных локальных ал-
алгебр Ш.(О) справедливы все аксиомы Хаага — Кастлера.
Доказательство. (За исключением аксиомы о лорен-
цевых поворотах.) Выполнение аксиом (а) и (Ь) очевидно.
Справедливость аксиомы (с) легко установить, используя
Конечность скорости распространения сигнала, теорему 8.1,
локальность при t = 0 я теорему 6.8. Аксиома (d) формули-
формулирует хорошо известное свойство свободного поля (которое мы
здесь не будем проверять). Это свойство свободного поля
легко переносится в нашу модель с Я/ ф 0. Для этого доста-
достаточно учесть, что 1) взаимодействующее поле, взятое в нуле-
нулевой момент времени, совпадает по свободным, 2) поля, взя-
взятые в нулевой момент времени, согласно теореме 8.1, поро-
порождают % 3) определение %(О).
В аксиоме лоренцевой ковариантности (е) сдвиги по вре-
времени задаются автоморфизмами at- Пусть О -f t — сдвиг по
времени пространственно-временной области О. Тогда
(О + t){s) = 0(s — t),u потому
Щ = LI os+t (Я {О (*))) =
= и<тЛ§1 @ (s -¦*))) = U cs (91 ((<? +1) (s))).
s s
s
Таким образом, at (St {О)) = SI (О + t), и закон преобразова-
преобразования (8.1) проверен для сдвигов по времени. Поскольку ло-
локальные алгебры образуют множество, плотное по норме в
алгебре Я, и поскольку автоморфизмы С*-алгебр сохраняют
норму, at подолжается до автоморфизма алгебры Я.
144 Дж. Глимм, А. Джаффе
Для определения автоморфизма ах, отвечающего простран-
пространственному сдвигу х, рассмотрим
и зададим действие ах соотношением
(8.5) ax(A) = e~ixPAeixP.
Тогда
е~{хРк (у) elxP = я (х + у).
В таком случае, используя нижеследующую лемму, доказа-
доказательство которой мы оставляем читателю в качестве простого
упражнения, можно завершить проверку всех аксиом, кроме
аксиомы о лоренцевых поворотах.
Лемма 8.4. Справедливо равенство ах (St {О)) = St {О + х).
Автоморфизм ах продолжается до ^-автоморфизма алгебры %
и отображение {х, t) -»- axat определяет двухпараметриче-
скую абелеву группу автоморфизмов алгебры Ш..
Построение автоморфизмов, представляющих полную груп-
группу Лоренца, мы проведем в четыре этапа. Первый состоит
в построении методом теоремы 7.5 самосопряженного локаль-
локально корректного генератора лоренцевых поворотов. Такой ге-
генератор определяет локально корректную унитарную группу
и отвечающую ей группу автоморфизмов. Второй этап будет
состоять в проверке того, что поле <р(х, t), рассматриваемое
как билинейная форма на подходящей области определения,
преобразуется построенной унитарной группой локально кор-
корректным образом. Третий этап состоит в демонстрации того,
что преобразование алгебры 91 (О) также корректно. Наконец,
последний этап — построение полной группы лоренцевых ав-
автоморфизмов из локально корректных кусков, построенных
на первых трех этапах. Этот последний шаг не труден.
Наметим прежде всего ход рассуждений первого этапа.
Пусть Н0(х) —это подынтегральное выражение из D.17), так
что #0 = \ H0(x)dx. Формальное выражение для генератора
лоренцевых поворотов имеет следующий вид:
М = Mq + Mj =
Мы будем иметь дело с локальным аналогом этого выра'
жения
Бозонные квантовополевые модели 145
где Но (gj) = jj Ho (х) g, (a;) dx, е > 0, gj и g2 — неотрицатель-
неотрицательные функции из С^°. На втором этапе мы потребуем боль-
большего, например чтобы е + g\(x) = х и g2{x) = x в некоторой
локальной области пространства. Эта область будет содер-
содержаться в интервале [е, оо). Общие пространственно-временные
области мы будем рассматривать только на четвертом этапе.
Хотя каждый из генераторов М, Мо и Mj неограничен
снизу, Af(gi,g2), как мы сейчас увидим, полуограничен, и
потому для его изучения можно использовать метод гл. 7.
Так же как и при доказательстве теоремы 4.4, начнем с
разложения #o(gi) в сумму диагональной и недиагональной
частей:
= \ vD (k, I) a* (k) a (/) dk dt +
v0D (k, 1) [a'{k) a" (/) + a (- k) a (- I)] dk dt =
где
•» <*¦" -
Воспользуемся следующими свойствами этого разложения:
Лемма 8.5. (a) F0z>eL2(R2).
(b) vD — ядро неотрицательного оператора, а
ец(?) б {k — I) + {5wD — яЗ/эо положительного самосопряженно-
самосопряженного оператора при всех р ^ 0.
Доказательство, (а) Доказывается с помощью стан-
стандартных вычислений, основанных на том, что |gi(fe + 0l^
^ const n{k-\- l)~n при любом п и n{k) — \k\ = O(|fe|-') при
fe-+ оо.
(b) Доказывается с помощью последовательного примене-
применения критерия Като. Пусть Wp = en(k)8(k — l)-\- pyD и Fp и
FD — операторы, имеющие в качестве ядер wp и vd соответ-
соответственно. VD — сумма трех членов вида A*MglA, причем в
конфигурационном пространстве Mgl — оператор умножения
на g] ^ 0. По этой причине VD ^ 0. Более того, для доста-
достаточно малых и не зависимых от р чисел у
146 Дж. Глимм, А. Джаффе
так что
в смысле билинейных форм удовлетворяет критерию Като.
Следовательно, если Fp самосопряжен, то таков же и
Fb+y и D(vf+y) — D(vf). В таком случае с помощью ко-
конечной индукции, начинающейся с равенства Fo = V*Ot легко
доказать самосопряженность Fp для всех р ^ 0.
Лемма 8.6. Н% (g^ — неотрицательный оператор, а еЯ0 -f-
самосопряженный оператор при всех р >0.
Доказательство. Будем понимать сумму в смысле
билинейных форм (это позволит избежать несколько более
сложных оценок, необходимых для определения суммы рас-
рассматриваемых операторов). Можно использовать лемму 8.5
и свойства операции вторичного квантования, переводящей,
например, VD в Я^(#,), или повторить ход рассуждений, ис-
использованных при доказательстве леммы 8.5.
Пусть
М (Р) = еЯ0 + Я? (*,) + рноо (ffl) + Н,
Тогда аргументы, аналогичные тем, что использовались в
разд. 7 при изучении H(g), показывают, что М@) —самосо-
пряженный, полуограниченный оператор. Далее опять можно
перейти от М@) к M(l) = M(g\,g2), последовательно исполь-
используя критерий Като для билинейных форм. В силу леммы 8.5
и следствия 4.3
(emo/2) N + / < (е/2) Яо + /
для достаточно малых y- Мы утверждаем, что
(е/2)Я0<|-М(Р) + С(Р),
где с(р) —зависящая от р константа, 0 sg р ^ 1. С помощью
этого утверждения мы доказываем по индукции, что М(у),
МBу), ... и M(l) = M(gug2) самосопряжены. Более того,
D (M (gu g2f) = D(M @)'л) = D (Н%).
Сделанное утверждение эквивалентно утверждению об огра-
ограниченности снизу суммы
f я0
Бозонные квантовополевые модели 147
С помощью методов разд. 7 легко убедиться, что сумма
|Я0 + A-р)Я?(ёг1) + Я/(ёГ2)
полуограничена и потому достаточно рассмотреть остаток
Для доказательства полуограниченности этого оператора вве-
введем в H0(gi) импульсное обрезание. Вклад от области малых
импульсов полуограничен (ср. с разд. 5). Вклад от больших
импульсов разбивается на сумму диагональной части, кото-
которая неотрицательна (ср. с леммой 8.5), и недиагональной
части, ядро которой лежит в L2. При достаточно большом об-
обрезающем импульсе это ядро имеет малую норму, и в таком
случае недиагональная часть в силу следствия 4.3 мажори-
мажорируется величиной (е/6)Я0. Это завершает построение локаль-
локально корректного самосопряженного генератора лоренцевых
вращений (см. также [Ga Ja], [Ro 3], [Kl]).
Второй шаг значительно труднее и состоит в проверке
уравнения
(8.6) (tDx + xDt)<p = [M,V].
Здесь поле ф(#, t)= exp(UH(g))y(x)exp(—itH(g)) берется
в ненулевой момент времени и перед вычислением коммута-
коммутатора надо прокоммутировать М с exp(itH(g)). Коммутатор
[M,exp(itH(g))] нельзя выразить явно через мономы Вика.
Однако часть [М, exp(itH(g))], которую нельзя вычислить
явно, благодаря локализации не дает вклада в [М, ф]. Вместе
с тем последовательные вычисления, необходимые для про-
проверки (8.6), весьма громоздки, и за подробностями мы отсы-
отсылаем читателя к работам [Са Ja 70] и [Ro 3].
Основа третьего этапа — ковариантное определение ло-
локальных алгебр % ((У). Пусть f^D(O) —класс вещественных
бесконечно дифференцируемых функций с носителями в О.
и пусть ai, ..., ап — вещественные числа. Рассмотрим
(8.7) <p(f)=\<p(x,t)f(x,t)dxdt,
(8.8) <p{f,t)=\q>(x,t)f(x,t)dx,
(8.9)
(8.10) n(f, t)= J я(х, t)f(x,t)dx.
Для функции g, совпадающей с единицей на достаточно
большом множестве (в области влияния множества О),
148 Дж. Глимм, А. Джаффе
интегрирование по времени в (8.7) является сильно сходя-
сходящейся операцией, и все четыре вышеприведенных оператора
определены на D(H(g)) и симметричны на этой области.
Теорема 8.7. Операторы (8.7) —(8.10) самосопряжены
в существенном на любой области, существенной для опера-
оператора H(g)\
Эта теорема открывает возможность для ковариантного
определения алгебры 91 @). Действительно, если последова-
последовательность {Ап} самосопряженных операторов сильно схо-
сходится к самосопряженному оператору А на существенной
для А области, то унитарные операторы exp(tL4n) сильно
сходятся к exp(t'M) [Ka 66]. Используя этот факт, можно по-
показать, что операторы (8.7) и (8.9) порождают одну vl ту же
алгебру фон Неймана *к\@) и что 9ti (<?)=> 91 (<?). Для дока-
доказательства обратного включения Ш.@)=> %{0) напомним, что
самосопряженный оператор А коммутирует с ограниченным
оператором С, если CDczD(A) для некоторой существенной
для А области D и С А = АС на D. Эти требования эквива-
эквивалентны коммутативности С со всеми ограниченными функ-
функциями от А Выберем D = D(H(g)). Если С коммутирует со
всеми операторами вида (8.8), он коммутирует на D(H(g))
и со всеми операторами вида (8.9). Следовательно, Ш.@)'с
с 9ti (<?)', и потому
51, {О) = 21, (О)" с= 21 {О)" = П {О).
Это доказывает следующее утверждение, позволяющее дать
ковариантное определение алгебры 91 @).
Теорема 8.8. Алгебра 91 @) — алгебра фон Неймана,
порождаемая ограниченными функциями от операторов ви-
вида (8.8).
Доказательство теоремы 8.7. Рассмотрим сначала
взятые в фиксированный момент операторы (8,8) и (8.10).
Используя унитарность V(t) = exp(itH(g)), преобразуем
<p(f,0 и n(f, t) в операторы q>(f, 0) и n(f, 0). Поскольку V(t)
преобразует одну существенную для H(gL* область в другую,
можно рассматривать только случай ^ = 0. Для A = q>(f, 0)
или л(Д 0) имеем, что
(8.11)
<|М(N + I)-'UIII(N + If (tfo + /)-'Л||(#0 + Tih [H(g)~ БГ'Ч
Первый множитель в правой части (8.11) ограничен в силу
следствия 4.3, второй — в силу того, что N ^ т-'Я0, и того,
Бозонные квантовополевые модели 149
что N и Но коммутируют. Для оценки третьего множителя
воспользуемся полуограниченностью, доказанной в теоре-
теореме 7.5. Пусть
Dl=D(H0)nD(H](g)),
av, = [tfte)-gy'D,.
Поскольку Dj — существенная область для H(g) (теоре-
(теорема 7.5), D\ — существенная область и для H(g)'h, и потому
Di/a плотна в F. Заменяя g на 2g и пользуясь теоремой 7.5,
получаем, что на D\ X D\
Следовательно,
уЯо<Яо + Я/(ёГ) + const,
и потому на Dy, X Dy2
О < [Н (g) - фНй [Н (g) - а'А < const
для всех вещественных и достаточно отрицательных ?. В сил}
плотности Ду, заключаем, что третий множитель в (8.11)
ограничен.
Пусть теперь Do — любая область, существенная над
H(g)\ Из (8.11) вытекает, что
(A IDo)- = {A\D{H(g)'k))~ =>(Л \D)~,
где D — область, введенная в разд. 3. В силу леммы 5.4 опе-
оператор А самосопряжен в существенном на D, а потому и
на Do.
Рассмотрим теперь усредненные по времени операторы
(8.7) и (8.9), которые мы опять обозначим через А Интегри-
Интегрируя (8.11) по t, можно получить оценку вида
(8.12) \А [Н (g) - g-* | +1A [H (g) - д-'/г I < const,
где А = i[H(g), А] определяется как билинейная форма, дей-
действующая на D(H(g))xD(H(g)). Теорема 8.7 теперь выте-
вытекает из следующего общего утверждения:
Теорема 8.9. Пусть Н — положительный самосопряжен-
самосопряженный оператор, а А — определенный на D (НЧ>) симметрический
оператор. Предположим, что
(8.13) I AR'h I +1| AF>k I < const,
где R = Н -\-1 и А = i[H, А]. Тогда А самосопряжен в суще-
существенном на любой области, существенной для Н'/>.
15U Дж. Глимм, А. Джаффе
Доказательство. Сначала с помощью замечания, сде-
сделанного после доказательства предложения 7.1, построим са-
самосопряженное расширение С оператора А0=А \D (Я). Пусть
Я = \ A dEx — спектральное разложение Я, и пусть С„ =
= ЕпАоЕп. Оператор Сп в силу (8.13) ограничен и симметри-
симметричен, а потому и самосопряжен. Мы утверждаем, что
|| (С„ — A)R\\-*Q. Тогда, убедившись в справедливости усло-
условия B) предложения 7.1, можно будет заключить, что на
плотной области D(H) последовательность Cn-> Aq в сильной
топологии. Для доказательства сделанного утверждения вос-
воспользуемся тождеством
справедливым на D(H). Имеем
||(С„ - A)R||<||ЕпАA - Еп)R|| +1|(/-Еп) AR ||<
<!Mtfv' tUl-En)R4i + lRA (/-?„) AR* |<
< О («-V») + [|| Я Л (/ - Еп) RA || +1| RA (I - Еп) RAR \t <
< О («-'/,) +о («-'/•)-»-0.
Пусть Кп — (Сп±1у)-К Покажем, что \\(Н-\-I)KnR\\< 1
для достаточно больших у. Операторы С„ и Кп оставляют
область определения Я инвариантной, и потому для любого
вектора 8eF вектор KnRQ = W^D(H). Следовательно,
(W, (С„ Т t» (Я + If (С„ ± iy
>(г/2-const)<»F,
Для у2 достаточно больших у2 — const ^ 1, и
как и утверждалось.
Следующий шаг — это доказательство сходимости резоль-
резольвент Кп- Для 4я е'В (Я) имеем
„ - Кт) ЧII = II Я„ (Ст - С„) КпУ || <
/)KmR\\\\(Я + 1)Щ.
Второй множитель стремится к нулю при «->оо, а остальные
при этом ограничены. Следовательно, резольвенты сходятся
сильно. В силу предложения 7.1 и замечания после него
К = Нт Кп — резольвента некоторого самосопряженного опе-
Бозонные квантовополевые модели 151
ратора С. Легко увидеть, что С гэ Д), поскольку для 8 е ?>(Я)
, (С ± I» 9) = (W, 8) = Iim (KnW, (С. ± ДО 9} =
И так как область значений К плотна, то (C±i#)9 =
= (A0±iy)Q.
Пусть 8gZ)(C). Покажем, что 6еД(Ло") и что С8 =
=Ло(9). Это будет означать, что А самосопряжен в существен-
существенном на D(H), а, поскольку АЯ'/г — ограниченный оператор, это
означает самосопряженность в существенном на любой обла-
области, существенной для Н\
Пусть х = (С„-ДОе и Pj = (l+H/I)~l. Тогда 9, =
= Pj9 е= D (Я) = D (Д>) и 9j -> 9. Более того,
(Л - ДО 9, = Iim (С„ - ДО РДд,
поскольку /СпХ->^Х = 9, если учесть, что ||(С„ —/г/)/?||->0
и что (# + /)Pj — ограниченный оператор. Однако
И (С. - ДО Р,Кп% - Pff. I! = I! (С„ - ДО [РЛ /С„] х I! =
= У1! (С„ -1» КпР,СпР,Кп% I! < У1! С„Р; || (| Яд || =
- о (г1) I с,** 11| (я + /)*я, 1 = о (г1) о С/*) - о (г*).
Следовательно,
|| (Д, - ДО 9/ - х II < Iim sup || (С„ - ДО 9;Я„х - XII <
п
Таким образом, 6efl
Часть III
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ
9. Локально нормальные представления наблюдаемых
Локальные алгебры, построенные в разд. 8, не действуют
в гильбертовом пространстве физических частиц. Состояния
из физического гильбертова, пространства, как и состояния
в реальных лабораторных условиях, имеют простое асимпто-
асимптотическое описание при |?|-*оо. В таких условиях реально
152 Дж. Глимм, А. Джаффе
наблюдаются изолированные частицы или группы, представ-
представляющие собой связанные состояния нескольких элементар-
элементарных частиц. В силу того что эти образования отделены друг
от друга большими расстояниями, ни элементарные частицы,
ни связанные состояния не взаимодействуют друг с другом
и потому асимптотически ведут себя как свободные частицы.
В настоящем разделе мы изложим весь подготовительный
материал, необходимый для построения физического гильбер-
гильбертова пространства Fren, проводимого в разд. 10. Для векто-
векторов из пространства FT<m будет справедливо описанное выше
асимптотическое поведение состояний.
Начнем с формулировки (без доказательств) трех общих
утверждений.
Теорема 9.1. Пусть % — С*-алгебра и со — состояние на
ней. Существует гильбертово пространство Ж®, представле-
представление па алгебры 51 операторами на Ж® и вектор Q е Жт, та-
такие, что
( < >
Множество векторов jto>(9t)Q плотно в Ж®.
Теорема 9.2. Пусть §1 и со — те же, что и выше, и пусть
{ох\К&А}—группа автоморфизмов алгебры 51. Предполо-
Предположим, что <й(ах(А)) = со (Л) для всех ДеЯ « всех ^,еЛ. То-
Тогда для каждого % существует единственный унитарный опе-
оператор 1/%,, такой, что UbQ = Q и
Более того, соответствие %—*-U% является представлением
группы Л.
Теорема 9.3. Пусть со — состояние на алгебре фон Ней-
Неймана Я. Следующие четыре условия эквивалентны:
(i) Существует такой ядерный оператор Т, что и(Л) =
= Тг(ТА) для всех Лей.
(п) Состояние <л — выпуклая (возможно, бесконечная)
комбинация векторных состояний вида сов(Л)= @, Л8).
(Ш) Состояние со ультраслабо непрерывное.
(iv) Если {Аа} — монотонно возрастающая ограниченная
сверху направленность операторов, то supp ю (Ла) = о» (sup Л„).
а а
Определение. Состояние со, о котором идет речь в тео-
теореме 9.3, называется нормальным.
Замечание. Оператор Г из условия (i) теоремы 9.3 назы-
называется матрицей плотности состояний «,
Возонные квантовополевые модели 163
Следствие 9.4. Пусть {соп} — равномерно сходящаяся
направленность нормальных состояний на алгебре фон Ней-
Неймана 91. Предел этих состояний — также нормальное состоя-
состояние.
Доказательство. Пусть со — предельное состояние,
{Аа} — монотонная направленность операторов, такая же, как
в условии (iv) теоремы 9.3, и Л = sup Ла. Тогда
а
со (А - Аа) = (со - со„) (А) + со„ (А - Аа) + (со„ - со) (Аа).
Поскольку мы знаем оценку величин ||Л|| и эирИДД можно
а
утверждать, что если п достаточно велико, то первый и тре-
третий члены меньше е/3. Второй член при фиксированных п
и больших а также может быть сделан меньше е/3.
Теорема 9.5. Если со — нормальное состояние на $, то
Пв, — нормальное (т. е. сохраняющее ультраслабую тополо-
топологию) представление.
Доказательство. Пусть 6П — последовательность век-
векторов из Зёв,. Если 8П = jt(»(Cn)Q, С„е§1, то ультраслабая
непрерывность функционала
яэ ^<е„)Яй (Л) е„)*= со (с;лс„)
следует из аналогичного свойства со f St. Но, поскольку век-
векторы jto)(Cn)Q образуют множество, плотное в^а, нормаль-
нормальность рассматриваемого функционала для произвольного 8„
вытекает из следствия 9.4. Таким образом, функционал
оо
нормален, и при условии X ||8„||2 < оо этот же вывод спра-
ведлив и в случае бесконечных сумм. Отсюда следует нор-
нормальность Пса-
Обратимся теперь к С*-алгебре % квазилокальных наблю-
наблюдаемых. Состояние со на 31 называется локально нормальным,
если сужение со \ 31 (О) нормально для каждой локальной под-
подалгебры %{О). Аналогично и представление п® алгебры Ш
называется локально нормальным, если нормально каждое
представление яй \ 31 {О). Последовательность (или направ-
направленность) {con} состояний называется локально нормально
сходящейся, если для каждой области О равномерно сходится
164 Дж. Глимм, А. Джаффё
последовательность (направленность) {©„ \ 91 (О)}. В этом
случае {<оп} сходится в ш*-топологии к состоянию со на 91. Это
следует из того факта, что ||о)п|[= 1, и того, что {«>„} схо-
сходится в а»*-топологии на плотном в равномерной топологии
подмножестве N
Замечание. Локально нормальный предел локально нор-
нормальных состояний — локально нормальное состояние. Ло-
Локально нормальное состояние со дает локально нормальное
представление Пв>. Первое из этих утверждений вытекает из
следствия 9.4. Второе — следствие теоремы 9.5.
Отметим, что алгебра 91 обладает следующими двумя
свойствами.
(Р1) 91 — замыкание по норме возрастающей последова-
последовательности сепарабельных факторов %{О).
(Р2) В случае Odd пересечение %(&) 0 %{0)' содер-
содержит фактор типа /<».
С*-алгебры с аналогичными свойствами изучены Хааг, Ка*
дисон и Кастлер [На К К]. По их терминологии С*-алгебра на-
называется секвенциальной воронкой, если она является равно-
равномерным замыканием возрастающей последовательности фак-
факторов.
Мы будем рассматривать алгебры 91 (В), взятые в нуле-
нулевой момент времени (разд. 6), и для областей пространства
Вп = (—п, п). Араки [Аг] доказал свойство (Р1).
Теорема 9.6. Пусть В — интервал. Алгебра 91E) —
фактор.
Доказательство. Дальше мы докажем, что
(9.1) (адия(в'))"=ВД.
В таком случае ЩВ)' П 91(В')'= {А,/}. Однако 9l(S)cr 9((В')'
и, следовательно,
Я (В/П Я (В) »={*/},
т. е. 91E) —фактор.
Доказательство (9.1) содержится в следующих двух пред-
предложениях.
Предложение9.7. {ЩВ) U 91E'))" = Я".
Доказательство. Пусть %в — характеристическая
функция интервала 5. Для любой пробной функции / имеем
Бозонные квантовополевые модели 155
где каждое слагаемое можно аппроксимировать в смысле
нормы пространства Ьг последовательностью локализован-
локализованных пробных функций:
8п-*%вТ, supple В,
К -* A - %в), supp К <= int в1.
Тогда
ехр (йр (gn)) exp (щ (hn)) -> ехр (»<р (/)),
и потому
Ввиду того что ядро п более сингулярно, эти аргументы
в общем случае неприменимы к ехр (in (f)), но их можно ис-
использовать, если ограничиться рассмотрением функций f, об-
обращающихся в нуль в граничных точках а и Ь интервала
В=(а,Ь). Пусть
где gsCo° и g@)—1. Аналогично определим gbt„. Тогда
) Р
Пусть La обозначает предел в последнем соотношении. После-
Последовательность |ц]/% ga n[ слабо сходится к нулю. На основе
всех этих фактов можно утверждать, что
ехр {in (ga, „)) -> ехр (- LJ2) ф О
в слабой операторной топологии. Следовательно, на основе
аргументации, высказанной применительно к <p(f),
(9.2) ехр {in (f -ga,n- gb. n)) e (Я (В) U Я (В'))",
и потому
(
Предложение 9.8. Г' =
Доказательство. Используем факт цикличности Qo
относительно 31 и покажем, что §Г = {X/}.
Если {еЛ—ортонормированный базис в пространстве
пробных функций, то можно доказать, что
156 Дж. Глимм, А. Джаффе
Пусть
Тогда N(n)-+N в сильном смысле на области, существенной
для N, и потому exp(HN(n))-*exp(itN) тоже в сильном
смысле. Можно показать, что exp(iMf(tt))e§l", а тогда и
exp (UN) e 51". Воспользуемся далее тем, что Qo отвечает не-
невырожденному нулевому собственному значению оператора N.
Поскольку 91'— алгебра фон Неймана, она порождается сво-
своими ортогональными проекторами. Пусть Е — проектор в 51'.
Если EQo = 0, то ES&Qo = 0, а так как 9lQo плотно в F, то
Е = 0. Если ?Qo ф 0, то ?Qo— собственный вектор операто-
оператора N с нулевым собственным значением, поскольку для всех
R
Но так как нуль — простое собственное значение, ?Qo пропор-
пропорционально Qo. Следовательно, Qo лежит в области значений Е,
и потому Епо = Qff. Таким образом, ЕАпо = AEQQ = AQo
для всех Ле % и, поскольку Qo — циклический вектор, Е = I.
Следовательно, Г = {XI} иГ = В(F).
Для проверки свойства (Р2) возьмем из Sr(R) ненулевую
функцию f с носителем в С а В'. Пусть 2Я — алгебра фон Ней-
Неймана, порождаемая операторами вида exp(tf<p(f)+ isn(f)).
В силу теоремы фон Неймана о единственности представле-
представления ККС в случае одной степени свободы Ш — фактор
типа Loo.
Теорема 9.9. Локально нормальные представления ал-
алгебры Ш, точны.
Доказательство. Пусть п — локально нормальное
представление. Тогда (Кегя)ПЙ(В)—ультраслабо замкну-
замкнутый двухсторонний идеал в 51 (В). Поскольку никакой фак-
фактор не может содержать ультраслабо замкнутых двухсторон-
двухсторонних идеалов [Di 57, стр. 43, след. 3], сужение я \ % (В) задает
взаимно однозначное отображение. Такое представление яв-
является изометрией, и это справедливо для каждой области В.
В силу свойства (Р1) получаем, что я является изометрией
на плотной в % подалгебре и, следовательно, изометрией на §1.
Замечание. С помощью (Р1) и (Р2) нетрудно показать,
что алгебра 91 проста. Действительно, из (Р2) вытекает, что
любой ненулевой проектор ?gS((B) бесконечен в §1 (С) и по-
потому не может лежать в ядре произвольного представления
алгебры 91.
Бозонные квантовополевые модели 157
Лемма 9.10. Гильбертово пространство Же, построенное
с помощью локально нормального состояния со на §1, сепара-
бельно.
Доказательство. Поскольку %(В) сепарабельно в
ультраслабой топологии и яй \ 91 (В) нормально, множество
jt(»(Sl(B))Q — сепарабельное подпространство в Жо>. Остается
заметить, что в силу (Р1) счетное семейство таких подпро-
подпространств образует Ж№.
Теорема 9.11. Пусть о» — локально нормальное состоя-
состояние на к. Тогда яй \ 91 (В) унитарно порождаемо при любой
ограниченной области В.
Доказательство. Мы используем только свойства
(Р1) и (Р2). По теореме 9.8 Sl(B) и л^C1(В)) —две изоморф-
изоморфные алгебры фон Неймана, а в силу свойства (Р2) алгебры
SC(B)' и ят(ЩВ))' содержат бесконечные семейства ортого-
ортогональных эквивалентных проекторов, лежащих в 91 (С) и
я<вC1(С)) соответственно. Поскольку Ж» сепарабельно, §1(В)'
и п,о(Ш.(В))' — алгебры счетного типа, и утверждение теоремы
следует из общего результата теории алгебр фон Неймана
[Di57; p. 301].
Следствие 9.12. Пусть со— локально порождаемое со-
состояние на §1 и А — подгруппа группы Лоренца, оставляю-
оставляющая со неизменным, т. е. со ° ах = со, ^еЛ. Тогда унитарное
представление U% из теоремы 9.2 сильно непрерывно на Л.
Доказательство. Метод доказательства теоремы 8.1
показывает, что ах локально порождается непрерывной уни-
унитарной группой. В силу теоремы 9.10 то же самое справед-
справедливо и в отношении л^, о ах. Следовательно, векторы
Uxna (A) U*x Q = ихпа (A) Q непрерывно зависят от Я, при лю-
любом А из некоторой локальной алгебры. Остается заметить,
что множество [/*#<»(§1 (В) )Q плотно в Жю.
10. Построение физического вакуума
Применим теорию разд. 9 к физическому вакуумному со-
состоянию со. Вакуумное состояние со, которое мы строим, ло-
локально нормально и трансляционно инвариантно. Мы думаем,
что оно инвариантно и относительно полной группы
Лореица. В перенормированном пространстве Гильберта
Ртеп = 3@а> пространственно-временные автоморфизмы ot,x
унитарно порождаемы группой U(t,x)= exp(itH — ixP), где
H — \imHren(g). Для полевых операторов, действующих в
158 Дж. Глимм, А. Джаффе
Frem проверены все аксиомы Вайтмана, кроме двух [Gli Ja 4].
Аксиомы, остающиеся непроверенными, — это единственность
и лоренцева инвариантность вакуума1).
Построение со начнем с изучения вакуумного состояния
QjSf гамильтониана H(g). Пусть
A0.1) E{g) = inf spectrum (Яо + Н, (g)),
E(g) — вакуумная энергия. Мы сделаем перенормировку,
вычтя эту энергию лз H(g):
A0.2) Ягеп (g) = Н0 + Н} (g) - Е (g).
Теперь спектр оператора энергии Ягеп(?) начинается с нуля.
Теорема 10.1. Нуль есть простое собственное значение
Hren(g).
Доказательство этой теоремы нетрудно, но требует
анализа последовательности вспомогательных операторов
H(g, V), приближающих HTm(g), а, поскольку мы не ввели
соответствующих обозначений и определений, отошлем чита-
читателя за подробностями к работе [Gli Ja 11].
Пусть Qg — собственный вектор Hrea(g), отвечающий ну-
нулевому собственному значению. Назовем Qg вакуумным со-
состоянием гамильтониана Hren(g). В соответствии с формаль-
формальной теорией возмущений при g -* 1 последовательность Qg
слабо сходится к нулю, и, для того чтобы получить вакуумное
состояние со, мы будем переходить к пределу, рассматривая
не последовательности векторов в гильбертовом простран-
пространстве, а последовательности состояний на С*-алгебре наблю-
наблюдаемых. Пусть
A0.3) e>g(A) = {Qg, AQg).
Выберем последовательность gn(-)-+l и усредним e>gn по
пространственным сдвигам на расстояния, зависящие от п и
неограниченно возрастающие при «->оо [Gli Ja 3]. (При пе-
периодическом пространственном обрезании такое усреднение
вакуумных состояний не нужно, см. [Gli Ja 5].) Пусть соп — по-
последовательность усредненных состояний. Тогда соп нормаль-
нормально и, следовательно, локально нормально по построению.
Наиболее трудный шаг в построении со — доказательство сле-
следующей теоремы.
Теорема 10.2. Пусть В — ограниченная область. После-
Последовательность {фп\%(В)} состояний на %(В) лежит во мно-
множестве, компактном в равномерной топологии.
') По поводу проверки этих аксиом см. следующую статью настоя-
шего сборника. — Прим. ред.
Бозонные квантовополееые модели 159
Доказав эту теорему, мы можем выбрать подпоследова-
подпоследовательность со„у), сходящуюся по норме на каждой локальной
подалгебре 91 (В). Пусть со — соответствующий предел. Тогда
в силу замечания к теореме 9.5 о» локально нормально. Ис-
Используя трансляционную инвариантность юя> заложенную в
<оп процедурой пространственного усреднения, легко показать
трансляционную инвариантность со. Еще проще доказать ин-
инвариантность со относительно сдвигов по времени, поскольку
таким свойством обладает каждое состояние (og:
«, (А) = <og (eitH™ MAe-itH<™ <*>).
В результате применимы теоремы 9.1, 9.2, 9.9, 9.11 и след-
следствие 9.12.
Назовем Жа физическим гильбертовым пространством Fren,
а вектор Q^Fren — физическим вакуумом. Пусть Я и Р —
генераторы группы сдвигов по времени и пространству. И —
гамильтониан без обрезаний, а Р—оператор импульса. Так
как унитарные операторы группы сдвигов оставляют Q неиз-
неизменным (ср. с теоремой 9.2), то
НО, = 0 = PQ.
Далее нетрудно связать спектр Я со спектром Hrea(g):
a{H)cz\imsupa(Hren(g)),
н потому
0<Я.
Используя вакуум, получаемый с помощью обрезаний, удо-
удовлетворяющих периодическим граничным условиям^ можно
доказать и больше, именно что Я2 — Р2 ^ 0, т. е. что спектр
энергии-импульса лежит в переднем световом конусе (см.
[GUa70a, 71b]). Мы думаем, что обе конструкции приводят
к одному и тому же вакууму со.
Кроме проверки двух еще не проверенных аксиом Вайт-
мана, главной нерешенной задачей теории Р(ф)г-модели яв-
является задача исследования спектра массового оператора
(Я2 — Р2I'3 и построения состояний рассеяния1).
Изложим теперь идеи доказательства теоремы 10.2. Пер-
Первый шаг — это оценка E(g) из A0.1).
Теорема 10.3. Пусть 0 ^ g ^ 1 и носитель g — компакт-
компактное множество. Тогда существует такая не зависящая от g
постоянная М, что
— MX (diamsuppg + 1)<E(g).
') См. примечание на стр. 158.
160 Дж. Глимм, А. Джаффе
Доказательство. Пусть b(x) — оператор уничтоже-
уничтожения в лг-пространстве, так что b(f)= \ b{x)f(x)dx. Пусть
Nt= \ b*(x)b{x)dx,
Если носитель g лежит в фиксированном интервале и cfv, i
определены, как при доказательстве теоремы 7.4, то можно
утверждать, что
(Ю.4) | dv {(jvioc + /)-
Доказательство теоремы 7.4 остается справедливым при за-
замене Но на еЛП°с из G.5) на A0.4). В итоге можно получить,
что
0 <еЛГ1ос+ Я;(?) +0A).
Суммируя это неравенство по всем сдвигам и учитывая оцен-
оценку N ^ т~1Н0, получим теорему 10.3. Доказательство A0.4)
нетрудно (см. [Gli Ja, 71b]).
Следующий шаг в доказательстве теоремы 10.2 состоит в
переходе от оценки E(g) к оценке локально свободного опе-
оператора #о, ?• Пусть ? — неотрицательная Со°*функция, и пусть
* {x)i{x)k{x- y)b{y)Uy)dxdy,
где k — ядро оператора цх.
Т ео р ем а 10.4. Существует не зависящая от п постоянная
М = М(?), такая, что
(Ю.5) со„(Я0,:)<М(а
причем М(?) инвариантна относительно пространственных
сдвигов.
Доказательство (формальное). Учтем, что
diam supp gft — О(п). Тогда E(gn)=O(n) и EBgn)=O(n).
Следовательно,
Бозонные квантовопоМвые Модели 161
и потому
О < у #„ + #/($»)+О (л),
| Яо <#(?*) +О (п)
ф8п (Но) = (Qgn, H0Qgn) < 2 (QgJ (Я Ы + О (я)) Qff|i) < О («)
Пусть ?,¦(*)= ?(* — /) сдвиг ? и
где суммирование идет по некоторому (выбираемому ниже)
подмножеству целых чисел. Тогда Я$<; const Яо, и потому
<Ogn (Н'о) ^ О (п). Напомним, что соп были получены из cogn пу-
путем усреднения по пространственным сдвигам на расстояние
О(п). Будем считать, что ?' распространяется на все целые
числа, лежащие во множестве таких пространственных сдви-
сдвигов. Тогда легко видеть, что
1
где аа — пространственный автоморфизм. Вышеприведенные
оценки применимы не только к cog (Hq), но и к a>gn(Oa(Ho)),
н потому ®n(Ho,l) ограничены.
Неравенство A0.5) определяет множество состояний, о ко-
которых идет речь в теореме 10.2. Наиболее трудное место в до-
доказательстве теоремы 10.2 — это демонстрация того, что мно-
множество сужений на 91E) состояний, удовлетворяющих нера-
неравенствам вида A0.5), замкнуто по норме. Мы объясним здесь
важнейшую часть этого доказательства — теорему Реллиха.
Эта теорема утверждает, что множество функций, имеющих
носитель в ограниченной области С и обладающих квадратич-
квадратично суммируемыми производными с нормами, не большими 1,
компактно в L2. Теорема Реллиха справедлива и в случае
/.г-произврдных дробного порядка. Заметим теперь, что не-
неравенство в теореме 10.4 означает, что волновые функции со-
состояний ©и обладают ?.2-производными порядка 7г, которые
локально ограничены. Поэтому можно найти такую подпосле-
подпоследовательность со„ , что соответствующая последовательность
волновых функций после сужения на любую локальную об-
область будет сходиться в смысле нормы пространства Фока.
6 Заказ 351
162 Дж. Глимм, А. Джаффе
Однако это еще не завершает доказательства. До сих пор
мы говорили о локализации состояний, которой в соответствии
с теорией Ньютона — Вигнера отвечает описание в терминах
операторов Ь*(х), тогда как локализация операторов форму-
формулируется в терминах полевых операторов:
Если &* (х, у) — ядро оператора ц*1'2, то при | х — у \ -> оо
A0.6) **(*, у) = О(ехр[-(т-е)\х-у\}).
Поэтому различие между релятивистской локализацией опе-
операторов ф(х) и п(х) и локализацией состояний в смысле
Ньютона — Вигнера мало.
Пусть $tNW(B)—алгебра фон Неймана, порождаемая опе-
операторами
) + in (ц-'''g)],
где f и g пробегают множество пробных функций с носите-
носителями в В. Локализация операторов A^.%NW(B) согласуется
с локализацией состояний, и потому теперь с помощью
теоремы Реллиха можно доказать существование равно-
равномерно сходящейся подпоследовательности в последовательно-
последовательности {со„ \ %NW (В)} при каждом В.
Любой ограниченный оператор на пространстве Фока мо-
можно представить в виде суммы бесконечного ряда мономов
вида
J :<р(*,) ... ф (хт) я (г/,) ... n{ya):w(x, y)dxdy.
Взяв область В и 6 > 0, выберем большую область Вх =
= 5i(б, B)zzB и, пользуясь таким ф — п разложением, пред-
представим А^%{В) в виде суммы
A0.7) А = АХ + А2,
где
A0.8) AX^%NW{BX), |со„(Л2)|<6||Л[|.
Малый остаток А2 в A0.7) обязан своим происхождением
малому остатку в A0.6). Теперь теорема 10.2 без труда выво-
выводится из разложений A0.7), A0.8) и свойства равномерной
компактности локализованных в смысле Ньютона — Вигнера
последовательностей {со„ \ % Et)} (подробности можно найти
B[GHJa2]).
Бозонные квантовополевые модели 163
11. Формальная теория возмущений и модели в трехмерном
пространстве-времени
Степень ультрафиолетовых расходимостей в пространстве-
времени размерности 3 или более зависит от степени поли-
полинома Р. По этой причине мы оставим общие полиномы взаи-
взаимодействия и ограничимся рассмотрением суперперенорми-
руемого взаимодействия <р*. Модель с взаимодействием ф^
более трудна: хотя она и перенормируема, но свойство супер-
перенормируемости у нее отсутствует и потому трудности в ее
изучении примерно одного порядка с трудностями в изучении
Ф^-взаимодействия. Свойство суперперенормируемости озна-
означает, что ультрафиолетовые бесконечности, порождаемые
данным взаимодействием, можно представить в виде поли-
полинома по константе связи с расходящимися (при больших k)
интегралами в качестве коэффициентов полинома. Константа
связи — это параметр, входящий в Я/. Проблемы гл. 9 и 10,
где обсуждался переход к пределу g->l, связаны с расхо-
димостями, пропорциональными diam supp g в каждом по-
порядке по константе связи и потому в пределе бесконечного
объема проявляющими черты, свойственные несуперперенор-
мируемым взаимодействиям.
Р(фJ-взаимодействие суперперенормируемо. Для того
чтобы увидеть это, положим H(g)= H0-\-KHi(g), 0<.%.
Единственными бесконечностями в H(g) являются бесконеч-
бесконечности из Hi, убираемые переходом к нормальной форме и
имеющие вид
1 ><
как в E.11). Р(ф)г-модель — единственная модель, для кото-
которой ультрафиолетовые расходимости имеют такую простую
структуру. Следующая по трудности двумерная модель — это
модель юкавского взаимодействия бозонов и фермионов.
В этой модели ультрафиолетово расходятся сдвиги вакуум-
вакуумной энергии и бозонной массы. Тем не менее понимание этой
модели сейчас находится на таком же уровне ясности, как и
Р(ф)г-модели (см. [GliJall]). Значительно сложнее ф*-взаи-
модействие, о котором сейчас известны лишь предваритель-
предварительные факты технического характера1).
В этом разделе мы опишем картину перенормировок ф*-
модели на формальном уровне. Это формальное рассмотрение
оправдывается строгим математическим анализом. Глимм
[GH4] установил, что H(g) — плотно определенный симметри-
') См. примечание на стр. 158, — Прим. ред.
6*
164 Дж. Глимм, А. Джаффе
ческнй оператор. Хепп [Не 1] и Фабри [Fa] построили алгебру
91 полей в нулевой момент времени и ее локальные подалгеб-
подалгебры й(В). Хотя эти шаги могут показаться легкими (и в дей-
действительности тривиальны в Р(ф)г-модели), в Ф*- модели они
весьма трудны из-за необходимости делать перенормировки.
В конце концов наша программа состоит в построении ф?-
модели путем доказательства фактов, известных для Р(ф)г-
модели. Главные шаги, которые еще предстоит сделать, та-
таковы:
(a) доказательство положительности H(g): Os^H(g),
(b) доказательство самосопряженности H(g): #(g)* =
#(
(?)
(с) доказательство того, что H(g) локально порождает
«-автоморфизм at алгебры Я, обладающий свойством конеч-
конечности скорости распространения возмущения.
Наш способ рассмотрения ф*-взаимодействня навеян тео-
теорией возмущений, которая заключает в себе уже упоминав-
упоминавшиеся формальные вычисления. Для описания виковых моно-
мономов, фигурирующих в этих вычислениях, удобно пользоваться
графиками Фридрихса. График Фридрихса, отвечающий мо-
моному Вика типа D.6), имеет одну вершину и т-\-п линий, m
из которых отвечают операторам рождения и идут налево, а
п отвечают операторам уничтожения и идут направо:
A1.2) W
Таким образом, на языке графиков Фридрихса
A1.3) уИ =» -^ + о
A1.4) f(x) - Э + ° + С
A1.5) у*(х)= ^+ > + Х+-€+С
Коммутатор [а, а*] = 81 также можно изобразить с помощью
графиков
Здесь член, отвечающий спариванию 6/, изображается двумя
вершинами и линией, их соединяющей. Более обще, для изо-
изображения викова разложения D.12) мы рисуем график для
Ur, соединяя г линий рождения, выходящих из вершины W\,
с г линиями уничтожения, выходящими из вершины №2. Заме-
Бозонные квантовополевые модели 165
тим, что множитель r!(/)(™) B D-14) есть в точности
число различных способов, которыми такое соединение мож-
можно проделать. В частности, в случае D.12) мы имеем следую-
следующую картину:
("•в)
Здесь первый график изображает виково упорядоченный
член, имеющий наименее сингулярное ядро. Последний гра-
график изображает полностью спаренный член. Он кратен еди-
единичному оператору, и его ядро наиболее сингулярно среди
всех ядер в A1.6).
График Фридрихса, например A1.2), вместе с ядром w
однозначно определяет сответствующии оператор1). В случае
графиков с несколькими вершинами, как, например, в A1.6),
каждой вершине отвечает свое ядро. В реальной ситуации
выбор ядра диктуется смыслом рассматриваемой проблемы,
и в таком случае график уже сам по себе однозначно харак-
характеризует операторы. В нашем обсуждении теории возмущений
структура ядер диктуется Нх и задается формулами E.2),
E.4) или E.8) в зависимости от того, какое обрезание ис-
используется в Hi.
Поставим в соответствие ядру w степени m, n ядро
A1.7)
и пусть TW—моном Вика степени т, п с ядром yw. Уточне-
Уточнение характера сингулярности в знаменателе A1.7) очень
важно для определенных аспектов теории возмущений, на-
например для различения сходящихся и расходящихся волн, но
оно не важно при изучении ультрафиолетовых расходимостей,
и потому мы примем простейшее условие: будем понимать
A1.7) в смысле главного значения. Смысл операции Г в со-
соотношении,
A1.8)
иначе, говоря, Г —операция, обратная adH0:
A1.9) adtf0: X-+[H0, X),
A1.10) а<1Я0°Г: Х-±Х.
') Точнее билинейую форму. — Прим. ред.
166 Дж. Глимм, А. Джаффе
На языке графиков операцию Г мы будем изображать буквой
Г, выписываемой около вершины, например:
A1.11)
Вспоминая волновые операторы, отвечающие потенциальному
рассеянию, мы ищем оператор Т, переплетающий Я и Яо:
A1.12) НТ = ТН0.
Но для существования Т спектры Я и Яо должны совпадать.
Мы подгоним спектры, добавляя контрчлены, допускаемые
физической интерпретацией Я. Взяв Я в виде
A1.13) H = H0 + XH1(g)-±6m2\:<?*(x):g2(x)dx-E(g),
мы ищем константы перенормировок E(g) и 8т2 вместе с Т.
Проделаем формальное разложение:
Ьт2 = Х6т2 + X2 Ьт\ + О {X3),
так что
E(g) = inf spectr (Яо + XHj (g).- i6m2: <p2(g2): ) .
Пусть
Покажем, что Е\.=- 0. Действительно, так как (Q(g), по)Ф 0,
то
A1.14) E(g) = (Q (g), Q0)-r (Qo, [Яо + ЯЯ; (g) -
-16m2: ф2 (g2): ] Q (g)) = Я [1 + О (Х)Г[ { (Qo, [Я7 (g) -
и поскольку Я7 и : фг: упорядочены на Вику, то
Вх = (%, [н, is) - у Ьт : ф2 (g2): ] Qo) *= 0.
Ёозонные квантовополевые модели 167
Аналогичное рассмотрение дает 6т^ = 0 при условии, что
член вида : ф2: не входит в Hj. Подставляя эти величины
в A1.12), получаем
(Но + ЛЯ, (g)) (I + XT,) = (/ + M\) Я о + О (А,2),
или
WI(
Таким образом, полагая
T~I
получим
= || Go ~ ЯГЯ7 (g) Qo + О (А,2) |Г' {% ~ А-ГЯ7 (g) Qo + О (А,2)}
= A + Я2Г О Г + О №)-''' {% - ЯГЯ7 (g) (Qo + О (А,2)}
Подставляя в A1.14), получим
E(g) = A + О (Л2)) { -^ 6m2A,2(Q0,: ф2 (g2): Qo) -
- A,2 (Q0) Hj (g) ^ Г Qo) + О (А,з) } -
и потому
Пусть
Аналогично предыдущим выкладкам можно показать, что
Ьт\ возможно выбрать так, чтобы ядра вторых слагаемых
в следующих трех операторах
¦X
< -
168 Дж. Глимм, А. Джаффе
были равны нулю при нулевом импульсе. При таком выборе
бт| все эти операторы в пределе к = оо имеют конечные
ядра. Определим теперь Т с точностью до второго порядка:
Я (g) Т-ТН0 = -X* (Я7ГЯ7 + Е2 + -i 6m*: <р2 (g2): ) + [Яо, Г2].
В итоге
A1.15) Т2 = Г (я,ГЯ, + ?2 + ± бт2: Ф2 (g2): ) .
H1VH1 не определен, ибо содержит члены с тремя и четырьмя
спариваниями, обладающие ядрами, представляющими собой
расходящиеся интегралы. Однако в A1.15) эти бесконечности
компенсируются. Таким образом, ?г компенсирует полностью
спаренный член, а у 6m2: <p2 (g2) — бесконечную часть членов
с тремя спариваниями. Вычисление Е и 6т2 в следующих по-
порядках указывает на необходимость прибавления еще одного
бесконечного контрчлена
Кроме бесконечностей Е и 6т2, в <р|-модели присутствует
бесконечная перенормировка волновой функции Л. Из A1.15)
и нашего выбора Е2 вытекает, что
<7\,Q0, Qo> -A,2^, О„> = 0.
Следовательно,
\\TQ(g)\f= 1 +ЯгГОГ +О(%3)= 1 + А/Л2 + О
и Лг содержит логарифмическую бесконечность. Продолжая
вычисления до более высоких порядков, мы получим, что
где Л3, ... конечны. Бесконечность Лг означает, что Т выво-
выводит состояния из пространства Фока. Область значений Т
лежит в перенормированном пространстве Фока Fren. Измене-
Изменение гильбертова пространства математически можно описать
чак переход к неэквивалентному представлению ККС.
КОРПУСКУЛЯРНАЯ СТРУКТУРА (Р<р),-МОДЕЛИ
СО СЛАБЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
И ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ *)
Джеймс Глимм,
Курантовский институт, Нью-Йорк
Артур Джаффе,
Гарвардский университет, Кембридж, Массачусетс
Томас Спенсер,
Курантовский институт, Нью-Йорк
Часть I
ФИЗИКА КВАНТОВОПОЛЕВЫХ МОДЕЛЕЙ
1. Развитие теории нолевых моделей за -последние пять лет
1.1. Введение
1.2. Обзор результатов
1.3. Картина Голдстоуна Р(<рЬ-взаимодействия
1.4. Теория поля и статистическая механика
1.5. Некоторые задачи
2. От оценок к физике
2.1. Функциональный анализ
2.2. Физические применения
3. Связанные состояния и резонаисы
3.1. Введение
3.2. Формальная теория возмущений
3.3. Об отсутствии связанных состояний
3.4. О наличии связанных состояний
4. Локализация в фазовом пространстве и перенормировка
4.1. Результаты, полученные для Фз-
4.2. Разложение на элементарные шаги
4.3. Синтез элементарных шагов
1. Развитие теории полевых моделей за последние пять лет2)
/./. Введение
В последние годы конструктивная квантовая теория поля
развивалась быстрыми темпами. Ясно, что продолжение та-
такого развития требует новых идей, методов и (или) точек зре-
зрения. В этих лекциях мы дадим обзор последних достижений,
') J. Glimm, A. Jaffe, Т. Spenser, The particle structure of the weakly
coupled />(<pJ-model and other applications of high temperature expansions,,
part I, II, Constructive quantum field theory, Lecture Notes in Physics, 25,
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973, 132—198; 199—242,
2) С 1968 no 1973 г. — Прим. ред.
© by Springer-Verlag, 1973
170 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
приведем некоторые новые рввультаты и укажем возможные
направления будущей работы. В этой части мы сосредоточим
свое внимание на обсуждении основных идей и понятий, а в
части II изложим во всех деталях некоторые существенные
результаты нашей программы. В частности, мы рассмотрим
вакуумное кластерное разложение и оценки, нужные для
того, чтобы установить его сходимость.
К настоящему времени проведено детальное изучение
структуры двумерной Р((р) -модели и показано, что эта струк-
структура находится в качественном согласии с основными физиче-
физическими представлениями. Из аксиом Хаага — Рюэля (справед-
(справедливых, например, в случае Р(фJ-модели при слабой связи)
мы знаем, что квантованным полям соответствуют частицы
дискретной массы, а взаимодействие между этими частицами
описывает изометрический оператор рассеяния. Известно так-
также, что для некоторых констант связи вакуумное состояние
единственно (например, это так в случае слабой связи или
при наличии большого, а иногда просто ненулевого внешнего
поля). С другой стороны, Добрушин и Минлос анонсиро-
анонсировали, что в четных (АР (ф) + м^ф2)-моделяхсА,»тцСуществуют
решения со многими фазами1). Далее, мы знаем, что нару-
нарушение симметрии играет ключевую роль в современных тео-
теориях слабого взаимодействия, что объясняет интерес к этому
явлению. Действительно, прямые экспериментальные указа-
указания в пользу или против возникновения нарушенных симмет-
симметрии в физике элементарных частиц отсутствуют, так как на
эксперименте невозможно изменять константы взаимодей-
взаимодействия между частицами (в отличие от того, что бывает в
экспериментах со статистическими системами, где можно, на-
например, выключать магнитное поле). Это означает, что ре-
решающие аргументы в пользу нарушенных симметрии может
дать именно конструктивная квантовая теория поля.
К2-модель Юкавы и ф^-модель разработаны менее полно.
Но все же многие из методов, развитых для Р(фJ-моделей,
по-видимому, применимы ко всем вообще суперперенормируе-
мым взаимодействиям. Нужно только усовершенствовать эти
методы настолько, чтобы сделать их применимыми к Y2-, <р*-
и Уз-моделям.
Задачи, которые мы ставим, можно разбить на 4 группы:
1. Физические свойства. Важное направление будущей ра-
работы заключается в том, чтобы полнее раскрыть физическое
содержание существующих моделей квантовой теории поля.
') Доказательство существования фазового перехода в Аф^- модели
см. в [Gl Ja Sp 3]. — Лрим. перев.
Корпускулярная структура модели, I 171
К интересным задачам такого рода приводит изучение кор-
корпускулярной структуры, явлений рассеяния, связанных со-
состояний и резонансов. Весьма интересно также поведение по-
полевых моделей на больших расстояниях и в инфракрасной
области. Общая программа изучения корпускулярной струк-
структуры слагается из ответов на следующие вопросы: какие по-
полиномы взаимодействия и константы связи соответствуют
определенным частицам, связанным состояниям и резонак-
сам? Как массы и периоды полураспада зависят от констант
связи? Каково асимптотическое поведение сечений? Мы обсу-
обсудим эти проблемы ниже в п. 1.5 и разд. 3.
Поведение наших моделей на больших расстояниях свя-
связано с существованием многих фаз, с наличием критической
точки и характером поведения в окрестности этой точки раз-
различных физических величин при масштабных преобразова-
преобразованиях. Возникают вопросы: есть ли в ф^-модели критическая
точка? Обладает ли эта модель свойством масштабной инва-
инвариантности с аномальными размерностями? Какие параметры
описывают критическую точку? Мы обсудим это ниже в п. 1.5.
II. Четырехмерное пространство-время (перенормируемые
модели). Второе важное направление возникает при попытках
ответить на вопрос о том, как быть в случае четырехмерного
пространства-времени, т. е. как обращаться с перенорми-
перенормируемыми взаимодействиями, поскольку в четырехмерном
пространстве-времени не существует суперперенормируе-
мых взаимодействий. Очевидно, что наиболее заманчивая
цель — доказать существование, например, (^-модели1).
Наши современные методы ограничены требованием су-
перперенормируемости (т. е. размерностью 4 — е), и для
8 = 0 требуются новые идеи. Мы спрашиваем: могут ли
методы ренормгруппы помочь снять ультрафиолетовое обре-
обрезание при е-+ 0? Дают ли возможность идей, пропагандируе-
пропагандируемые Симанзиком, глубже понять перенормировку заряда? Мы
обсудим эти вопросы ниже в п. 1.5.
III. Упрощение. Кроме этих Двух главных направлений,
существует проблема упрощения существующих методов.
Ясно, что основная потребность в упрощении связана с нали-
наличием ультрафиолетовых расходимостей в моделях, отличных
от Р(ц>J, и первейшая цель соответствующей программы
могла бы состоять в том, чтобы улучшить технику доказа-
доказательств, выделить ее важнейшие элементы для того, чтобы
') Некоторые -предварительные результаты по этому вопросу см. в
[Gli, Ja 14, 15, Bak, Sch 3] — Прим. перев.
172 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
сделать более доступными такие сложные суперперенорми-
руемые модели, как У2 или даже Y%.
IV. Эстетические вопросы. Кроме того, имеется ряд во-
вопросов, которые носят эстетический характер или относятся
к области обоснования теории. Например, существует ли шре-
дингеровское представление 36 = Li{dq) для Р(ф)г-моделей;
каков фермионный аналог такой негауссовской бозонной
меры на 9"? Каковы свойства меры на пространстве траекто-
траекторий в моделях со взаимодействием? С этими вопросами свя-
связаны и другие интересные чисто математические вопросы, по-
порождаемые теорией поля, но мы не будем их здесь обсуждать.
Отметим в этой связи, что стремление к простоте и эле-
элегантности важно и, как показывает пример Р(фJ-модели,
плодотворно. Однако мы здесь уделяем особое внимание тем
методам, которые допускают (или, по-видимому, допускают)
обобщение на другие более сингулярные взаимодействия.
Причина этого внимания двояка. Во-первых, мы считаем, что
в конце концов именно от того, насколько умело мы сможем
обращаться с более сингулярными взаимодействиями, зави-
зависит успешность выполнения изложенной программы. Во-вто-
Во-вторых, мы полагаем, что преждевременное чрезмерное внима-
внимание к вопросам простоты и элегантности деталей может от-
отвлечь силы от решения главных задач и тем самым приоста-
приостановить прогресс и даже воспрепятствовать ему.
1.2. Обзор результатов
Начнем с описания положения дел Вф*-, У2- и ф^-моделях').
На рис. 1 мы даем хронологическую сводку результатов, от-
отмечая по вертикали результаты все более возрастающей
сложности; по горизонтали возрастает сложность моделей.
Цифры означают даты соответствующих публикаций.
Более подробное описание результатов, полученных для
различных ф*-моделей, приводится на рис. 2; здесь же
указаны их авторы. Результаты, цитированные для Аф*-вза-
имодействия при A/mj- <С 1, справедливы и для ХР (фJ-моделей
с K/ml <C 1. Добавим к этому еще несколько общих заме-
замечаний. Аксиомы Вайтм-ана требуют сущесхвования единствен-
единственного основного состояния (вакуума), т.е. существования
единственного вектора, инвариантного относительно неодно-
неоднородных преобразований Лоренца. Точнее говоря, следует рас-
рассматривать вакуумное состояние на С*-алгебре наблюдаемых,
относящихся к конечному объему, и пределы последователь-
') Таблицы, изображенные на рис. 1—3, дополнены указаниями на
важнейшие результаты, полученные к началу 1976 г. — Прим. перев.
Корпускулярная структура модели, I
173
ностей таких состояний при стремлении объема к бесконечно-
бесконечности. Каждое предельное состояние задает некоторое представ-
представление алгебры наблюдаемых и вакуумный вектор в гильбер-
гильбертовом пространстве. Требование единственности вакуума, на-
налагаемое аксиомами Вайтмана, относится к векторам в этом
гильбертовом пространстве и эквивалентно требованию не-
неприводимости представления.
Критическая точка
Полнота асимптотических состояний
Резон,аисы
Связанные состояния
Нарушение симметрии
Аналитичность по константе связи
Асимптотический характер теории возму-
возмущений
Одиочастнчиые состояния
Массовая щель
Аксиомы Вайтмана, сходимость при V -> со
Евклидова формулировка
Функции Вайтмаиа
Физическое представление
Аксиомы Хаага — Кастлера
Уравчеиия движения
Релятивистская иивариаитиость
Ну = Ну (самосопряженность гамильтони-
гамильтониана)
О <! Ну (положительность энергии)
Локальные наблюдаемые
Hv (существование гамильтониана в ко-
конечном объеме)
Рис. 1. Основные результаты и годы, когда они были установлены.
Таким образом, вакуумное состояние, соответствующее
бесконечному объему, определяется как предел состояний в
конечном объеме, а они в свою очередь определяются пара-
параметрами, задающими вид плотности энергии М{х) и гранич-
граничными условиями. Если для выделения единственного ваку-
вакуума, не зависящего от граничных условий, достаточно одних
только параметров из Ж(х), то говорят о единственной фазе,
в противном случае имеется несколько фаз. Сходящиеся кла-
кластерные разложения [Gli, Ja Sp 1,2] дают для некоторых кон-
констант связи и единственный вакуум, и одну фазу.
В Р(фJ-теории, удовлетворяющей всем аксиомам Вайт-
Мана, за исключением условия единственности вакуума, тео-
теорема о разложении Брателли [Вга 1] позволяет разложить
5
3
3
3
3
3
2
2
1
1
9
9
9
8
8
4
4
4
5
2
1
1
0
9
8
7
7
5
5
5
5
2
1
8
4 ^
Q
О ^s
9 =
0 =
3 =
5^
0
1964
1968
1969
1970
1973
1975
Перенормировка
заряда
Аномальные раз-
размерности
Ренормализацион-
ная группа
Критические точки
Унитарность
S-матрицы (пол-
(полнота асимптоти-
асимптотических состояний)
Связанные состо-
состояния
Резоиаисы
Фазовый переход
(нарушение сим-
симметрии)
Аналитичность
функций Швин-
гера
Одночастичные
состояния и S-мат-
рица
Мера dq
Шредингеровское
представление
Асимптотический
характер теории
возмущений
т (физическая
масса)
Аксиомы Вайтмана
Евклидовы акси-
аксиомы
Аксиомы Ха-
ага — Кастлера
Предварительные
результаты
GliJa 16
SpZi
Нет: Gli Ja Sp 1
ReX>0,
0<|Я|<Я0
]Ц <N
Gli Ja Sp2
Gli Ja Sp 1
OsSe
New 1, Fr 2
JFr2
Di3
EcMa Se
m > 0
Gli Ja Sp 1
Gli Ja Sp 1
Sy2, Nel3
Os Sch 3
Gli Ja 1, 2,
Ca Ja Ro 1—3
Ja 1, 2, Nel 1,
Gl1 Se 1
XIm] « 1,
"V<i.
а также кР (q>J
~>
Разд. 3
Есть: %^>т]
Dob Mi
Gli Ja Sp 3
Fr2
—>
Монотонность
no ma
GuRoSi3, Si 1
Nel5,GuRoSi3
GHJa4,0sSch3
Br 1, St
¦"*¦
—>
—>
(i =0
Нет: Gr Si,
Si 2
ReX>0
Sp2
—>
Монотон-
Монотонность no | p,
GrSi
GrSi, Si 2
~*
—>
—>
—у
—>
Fr2
Di3
m>0
Sp2
—>
-> Sp2
~*
—4-
Большое
Ilil
Рис. 2. Результаты, полученные для ( Xq>4 + -х mfa2 — Цф J -модели.
Корпускулярная структура модели, I 175
представление алгебры наблюдаемых на неприводимые пред-
представления и выделить единственный вакуум. В таком случае
оценка локального возмущения, приведенная в [Gli Ja 4], и ре-
результат Стритера [Str] обеспечивают выполнение условия
спектральности в редуцированной теории. Таким обра-
образом, мы получаем теорию Вайтмана для произвольного
ГЯф4 -f- — /п^ф2 — цф J взаимодействия. В случае ц, ф О теорема
Ли — Янга показывает, что упомянутое выше разложение не
нужно, поскольку неприводимо уже исходное представление
[Gr Si, Si 2].
На рис. 3 мы приводим результаты, полученные в модели
У2, и соответствующие ссылки на литературу; ясно, что тре-
требуется еще много работы, чтобы поднять эту модель до уро-
уровня ф|.
Связанные состояния
Корпускулярная структура
Шредингеровское представление
Аксиомы Вайтмана Ma Se 2
Евклидовы поля и формула Фейнмана — Каца OsSch4
Свойства таков Мс В 1
Уравнения движения Di 1
Существование физического представления Sch I
Релятивистская инвариантность Gli Ja 10
= ff*v Gli 2, 3, GliJa9, II
Рис. 3. Результаты, полученные для У2-модели.
Мы выдвигаем предположение, что евклидовы поля, по-
построенные Остервальдером и Шрадером [Os Sch 5] для спина
s = О, 7г и Озкайнаком [Oz] для высших спинов, можно при-
принять в качестве отправной точки для вывода кластерного
разложения, позволяющего в случае слабой связи доказать
существование предела при V—> оо и справедливость аксиом
Вайтмана, установить единственность вакуума и наличие од-
ночастичных состояний. Мы надеемся также, что евклидовы
калибровочные поля приведут к пониманию функциональных
интегралов для высшего спина. Отметим, в частности, еще и
задачу строгого обоснования различных методов факториза-
факторизации интегрирования по (калибровочной) группе симметрии и
схемы перенормировок Фаддеева и Попова [Fad Po, Sal St].
Теория ф|-взаимодействия находится на еще более прими-
примитивной стадии развития. Для этого взаимодействия доказаны
лишь ограниченность снизу перенормированного гамильтониа-
гамильтониана и существование предела при к-*<х> у функций Швингера,
176 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
вычисленных в конечном объеме. Но мы надеемся, что скоро
для ф|-модели будут проверены аксиомы Вайтмана ').
Следует сказать, что имеется ряд полученных недавно ре-
результатов, которые не были описаны выше. Отметим, в част-
частности, работу Федербуша по обобщенной модели Юкавы
Р (ф) + ij>tyQ (ф) (см. [Fed]), работу Албеверио и Хое-Крона по
ограниченным неполиномиальным взаимодействиям [Al H К
1—4] и недавние работы по модели полярона Гросса
[Gro 1] и Фрёлиха [Fro 2]. Упомянем еще недавнюю работу
Фрёлиха по Р(ф)г-моделям [Fro 2a, b], где доказано свойство
марковости полей, выведено уравнение Добрушина — Ланфор-
да — Рюэля и проверена цикличность вакуума (для полей в
нулевой момент времени) при А, <С mjj или | ц | » ml, Я2.)
Большинство упомянутых выше результатов получено в
рамках евклидовой теории поля.
Применение метода мнимого времени в конструктивной
квантовой теории восходит к евклидовой формулировке тео-
теории поля Симанзика и к нельсоновскому доказательству по-
положительности гамильтониана .<р? ^-модели.
На ранних этапах развития конструктивной теории поля
этот подход основывался на нерелятивистской формуле Фейн-
мана — Каца и применялся при доказательстве большинства
ключевых технических оценок в /)(фJ- и ф*-бозонных моде-
моделях и конечности скорости распространения взаимодействия
в К2-модели. Важным достижением следует считать ковари-
антную формулировку теории в терминах евклидовых полей
или функций Грина, позволившую сформулировать евкли-
евклидовы аксиомы, вывести релятивистскую формулу Фейнма-
Hd—Каца и доказать свойство марковости [Nel 4, Os Sch 3,4,
Sy 1, Nel 3, Fe 1]. Ковариантная формулировка используется
также при доказательстве и упрощении оценок [Gu 1,GH Ja 8,
Gu Ro Si 1, Si 1, 2, 3], нужных для построения теории Вайт-
Вайтмана — Хаага — Рюэля [Nel 3, Os Sch 2]. Кроме того, евклидов
метод проясняет связь теории поля со статистической меха-
механикой, лежащую в основе эвристического подхода Фишера и
Вильсона и работы Гуэрры, Розена, Саймона. В этом подходе
становится естественным решеточное приближение, с по-
помощью которого бозонное взаимодействие сводится к модели
Изинга с непрерывным спином и со взаимодействием ближай-
ближайших соседей [Ко Wi, Gu Ro Si 3].
') См. примечание на стр. П. — Прим. ред.
2) Доказательство цикличности вакуума в препринте [Fr6 2b] оши-
ошибочно. — Прим. перев.
Корпускулярная структура модели, I 177
Сходимость решеточного приближения и существование
термодинамического предела позволяют перенести корреля-
корреляционные неравенства [Gu Ro Si 3, Nel 5, Gr Si, Si 2] и теоремы
Ли — Янга из статистической механики в квантовую теорию
поля. Эти методы, по-видимому, особенно удобны в случае
бозонных взаимодействий; они обсуждаются в лекциях Гу-
эрры, Розена, Саймона, Нельсона и в разд. 3 наших лекций.
Другим методом исследования в КТП являются кластер-
кластерные разложения [GliJLa Sp 1,2]. Эти высокотемпературные раз-
разложения дают (внутри их области сходимости, см. рис. 6)
наиболее детальную информацию о Р(фJ-моделях. Вместе
с низкотемпературными разложениями (которые, как мы на-
надеемся, существуют) эти разложения должны сходиться для
всех взаимодействий достаточно далеко от критической точки.
Фактически индуктивные разложения для -Р(ф)г дают
возможность анализировать произвольный интервал [0, а]
спектра гамильтониана Н. Имеются связанные с этим индук-
индуктивные оценки для Р (фJ- и ф*-взаимодействий. И хотя
применительно к ф|-взаимодействию они еще не улучшены
настолько, чтобы дать такие же детальные результаты, какие
известны для />(фJ-взаимодействия, но в отличие от высоко-
высокотемпературных разложений эти оценки справедливы без огра-
ограничений на величину констант связи.
1.3. Картина Голдстоуна для Р (<рJ-взаимодействия
Теперь мы вернемся к Р(фJ-модели и обсудим ее более
подробна. Существует очень простая картина, отчасти при-
принадлежащая Голдстоуну и в настоящее время вошедшая в
физический фольклор, которая объясняет, почему одни поли-
полиномы взаимодействия приводят к вырожденному вакууму, а
другие нет (см. [Go, GoSa We, JoL] или более позднюю работу
[Со We]). В классической теории поля (евклидово) основное
состояние Р(фJ-модели—это такая функция Фе/A?!), ко-
которая минимизирует классическую (евклидову) энергию
Эта функция Ф является константой, равной значению ?,
при котором минимален P(Q. В квантовой теории (евкли-
(евклидово) основное состояние — распределение вероятностей на
9"{R2), сосредоточенное (в некотором смысле) около класси-
классического минимума. Кроме того, квантовомеханическая кар-
картина требует поправок, включающих виково упорядочива-
упорядочивание и контрчлены перенормировки массы в высших порядках
(см. Колман и Вайнберг [Со We]). В явном виде связь между
178
Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
квантовой и классической теориями для Р(фJ-модели устано-
установил Хепп [Не 4].
Согласно голдстоуновской картине 1) физическая масса
т — это кривизна Р в точке ее минимума и 2) наличие двух
(или нескольких) минимумов ведет к существ'ованию несколь-
нескольких фаз. В нашем обсуждении мы включаем в Р массовый
член из свободного гамильтониана Но, но в силу пренебреже-
(d)
Рис. 4. Различные полиномы взаимодействия
ния всеми квантовыми поправками кроме тех, что возникают
от викова упорядочивания, наше обсуждение носит прибли-
приближенный характер.
Пусть 7j-m§— коэффициент при Ф2 в полиноме Р. Мы
рассмотрим следующие полиномы (рис. 4):
(а)
2л
(Ь)
(с)
Р (|) = Ро (|) — [х|; Ро ограничен снизу, ц> 1.
(d) Р (I) = ЯР0 (|) + у
X > 0, т\ < 0, PQ четный.
Корпускулярная структура модели, I 179
В случае (Ь) с помощью тривиального преобразования
| —> % + const к полиному может быть добавлен кубический
член. В случае (с) \ можно заменить на любую нечетную сте-
степень %2}+i, 2/+l<degP0. В случае (d) полином степени
выше шестой может иметь больше, чем два минимума.
В случаях (а) — (с) полином Р{\) имеет единственный ми-
минимум с положительной кривизной. Поэтому здесь ожидается
существование одной фазы с массивными частицами. В слу-
случае (d) в соответствии с симметрией ф-> —ф имеются два
минимума с положительной кривизной в каждом минимуме.
Мы ожидаем здесь наличие двух чистых фаз с частицами по-
положительной массы в каждой чистой фазе. Оба вакуумных
состояния для этих фаз сосредоточены в окрестности мини-
минимума | = ± а. Поэтому ожидается, что среднее значение
поля (ф) по вакуумным состояниям для каждой из этих фаз
приближенно равно +а или —а соответственно. Случай (е)
является предельным для (d) и (а). Здесь Р{\) имеет един-
единственный минимум при | = 0 с кривизной, равной нулю. Со-
Соображения Голдстоуна предсказывают здесь наличие частиц
с нулевой массой и приводят к голдстоуновскои картине кри-
критической точки.
К описанным представлениям приводит приближение са-
самосогласованного поля, которое, по нашему мнению, дает
правильные качественные, но не количественные предсказа-
предсказания. Таким образом, из существования предельного случая (е)
следует возможность существования критического значения
константы взаимодействия, для которого масса частиц m = 0.
Картина Голдстоуна, предполагаемая для ЯР0(Ф) + -§¦ т'Ф2-
модели с четным полиномом Ро, изображена на рис. 5. Р. Ба-
умель [Ва] заметил, что возможность изменения определения
викова упорядочивания (например, виково упорядочивание
относительно голого вакуума с новой голой массой)
позволяет считать, что одному и тому же гамильтониану Н
соответствуют различные голые параметры т0, Р. Таким об-
образом, положение критической точки, выраженное через эти
параметры, может меняться, так что знак т2 в критической
точке не имеет значения.
Результаты. Перечислим строгие результаты, доказанные
для случаев (а) — (е). В случае (а) с помощью сходящегося
кластерного разложения доказано, что оператор массы М =
= {Н2— Р2I'2 имеет изолированные собственные значения
М = 0 и М = т > 0 [Gli Ja Sp 1]. Эти результаты были обоб-
обобщены на случай (с) [Sp 2]. Кроме того, доказано существова-
существование одной фазы, единственность вакуума и невырожденность
180
Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
собственного значения М = т в смысле неприводимости дей-
действия группы Лоренца на рдночастичном пространстве. Нако-
Наконец, найдено, что возможный в интервале (т, 2т) спектр
оператора массы обязан быть дискретным и может описывать
связанные состояния.
В случае (Ь) Гриффите и Саймон [Gr Si] обобщили тео-
теорему Ли — Янга на случай q^- взаимодействия и применили
этот результат для доказательства единственности основного
состояния. Для больших X и малых ц строение спектра мас-
массового оператора выше нуля не известно.
Две чистые фазы
т,
'физ
Одна фаза
Критическая точка
Рис. 5. Предполагаемая картина нарушения симметрии в КР0 (<р) + -zr
модели с четным взаимодействием.
В случае (d) Добрушин и Минлос [Dob Min] анонсировали
существование по меньшей мере двух фаз ').
Нарушение непрерывной симметрии. Выше мы обсудили
классическую картину теории поля с дискретной группой сим-
симметрии ф-»—ф, но имеется и другой фрагмент этой картины,
относящийся к непрерывной группе симметрии [Go Sa We].
В непрерывном случае Р{?,) имеет минимум на многообразии
ненулевой размерности, и трансляции вдоль этого многообра-
многообразия оставляют Р (|) постоянным. Согласно картине Голдсто-
уна, в случае нарушенной симметрии E Ф 0, см. определение
ниже) возникают частицы нулевой массы. Таким образом,
эти частицы имеют массу, равную минимальной кривизне
РA) ига многообразии, на котором Р (?) имеет минимум.
В физической литературе нарушенная симметрия опреде-
определяется с помощью сохраняющегося тока dp]'» = 0, соответ-
соответствующего группе симметрии. Существование такого сохра-
сохраняющегося тока для классических теорий поля устанавли-
устанавливается с помощью стандартных методов вариационного
') См. примечание на стр. 170.
Корпускулярная структура модели, i 181
исчисления. Генератор группы симметрии Q равен \ /0 dx, и
в картине Голдстоуна рассматривается вакуумное среднее
Если 5 Ф О, то считается, что должны существовать частицы
с нулевой массой. И действительно, в случае, когда автоморф-
ное представление группы симметрии не является унитарно
представимым, Кастлер, Робинсон и Свиека показали, что
массовый спектр простирается до нуля [Ка Ro Sw], а Свиека
{Sw] показал, что существуют частицы нулевой массы.
Рассмотрим два простых примера таких сохраняющихся
токов: 1) свободное поле нулевой массы с плотностью энер-
энергии ji2 + (V(pJ, инвариантное относительно сдвигов ф—> ф-Ь
+ const; 2) многокомпонентное поле, инвариантное относи-
относительно ортогональных преобразований в пространстве ком-
компонент.
В примере 1 /р. = д^ф, параметр 5 = 1 и голдстоуновские
бозоны — это сами исходные частицы нулевой массы. (Отме-
(Отметим, что эти соображения не применимы в двумерном про-
пространстве-времени, где не существует свободных скалярных
полей нулевой массы,)
Пример 2 соответствует рис. 4 (d) с симметрией относи-
относительно вращений вокруг оси | = 0. Если наше поле имеет
две компоненты фг, то вакуумное среднее компонент поля
(фг) = ± 5г. Голдстоуновские бозоны возникают при условии,
если вектор 6, образованный компонентами 8и не равен нулю
(б ф 0), т. е. (ф) ф 0. Предположим, что (ф) ф 0, и пусть
п — единичный вектор в направлении (ф). Разложим ф на
продольную и поперечную части ф = фх, + фт, где
q>L = (ф • п) п, Фг • п = 0.
Согласно обычной картине, Р(-) имеет нулевую кривизну
вдоль дна долины и поэтому должны появиться возбужден-
возбужденные состояния с нулевой массой. В ортогональном направле-
направлении кривизна Р(•) положительна, и потому возможно появ-
появление массивных частиц. Таким образом, мы ожидаем экспо-
экспоненциальное убывание у ц>ь'-
где
m>0, d = ^(x-
но полиномиальное убывание уф
Как уже отмечалось, теория доля в двумерном простран-
пространстве-времени проявляет особенно сингулярное поведение в
182 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
инфракрасной области. И действительно, Колман [Со 2] дока-
доказал, что в двумерном пространстве-времени наличие непре-
непрерывной симметрии, подобной описанной выше, всегда приво-
приводит к тому, что 5 = 0. Таким образом, обычная картина
Голдстоуна не гарантирует существования частиц нулевой
массы. Центральный момент в доказательстве Колмана — это
использование ограничений на вид двухточечной функции
Вайтмана, вытекающих из ее принадлежности классу обоб-
обобщенных функций умеренного роста. Отсюда следует, что ча-
частицы нулевой массы не могут давать вклад в двухточечную
функцию Вайтмана скалярного поля, что и приводит к 5 = 0.
Его аргументация, однако, не запрещает массовому спектру
простираться до нуля. Поэтому интересно было бы выяснить,
имеет ли массовую щель модель Я(ф2J с X > т^. Мы выдви-
выдвигаем гипотезу, состоящую в том, что массовая щель, которая
имеется при малых Я, уменьшается пропорционально (Я —Яс)
при подходе X к критической точке Яс и что щель отсутствует
при % ^s Яе. Другими словами, мы думаем, что для ЯЗ>Яс не
будет ни голдстоуновских бозонов, ни массовой щели.
1.4. Теория поля и статистическая механика
Вопрос об эквивалентности релятивистской квантовой тео-
теории поля и статистической механики имеет долгую историю.
Среди старых работ следует упомянуть теорию Гинзбурга —
Ландау и программу построения евклидовых моделей теории
поля, выдвинутую Симанзиком. В список авторов новых ра-
работ входят Фишер, Вильсон, Гриффите и ряд докладчиков
на этой конференции. Мы опишем здесь некоторые аспекты
связи, существующей между статистической механикой и
квантовой теорией бозонных полевых моделей. Однако в мо-
моделях с фермионами пока еще не доказана полезность анало-
аналогичных идей.
Функция распределения. Пусть dq обозначает евклидову
меру для бозонной модели квантовой теории поля. Функция
распределения
является порождающим функционалом для функций Швин-
гера; в Р(фJ-моделях она была изучена Фрёлихом [Fr2].
Как было отмечено выше, евклидова теория поля есте-
естественно аппроксимируется ферромагнитной моделью Изиига
с непрерывным спином, рассматриваемой яа решетке, с взаи-
взаимодействием ближайших соседей (см., например, [KoWi]).
Корпускулярная структура модели, I 183
Доказательство сходимости решеточного приближения
[Gu Ro Si] и аппроксимация теории поля с взаимодействием ср4
моделью Изинга со спином '/г придают обсуждаемому соот-
соответствию строгий смысл (см. также [New 2]).
Одноточечная функция Швингера \ Ф (х) dq, которая па-
параметризует нарушение симметрии в картине Голдстоуна,
описанной выше, соответствует спонтанной намагниченно-
намагниченности в теории Гинзбурга — Ландау. Константа взаимодействия
k/m1-, котоРая измеряет степень отклонения от свободной тео-
теории, соответствует обратной температуре f> — (kT)~l. Таким
образом, картина Голдстоуна в теории поля аналогична
картине фазовых переходов в системе многих тел. Существо-
Существование щели в спектре Я и экспоненциальное убывание сред-
средних значений соответствуют конечности параметра порядка
| = m~l в системе многих тел.
Одночастичная структура. Определим G{J} следующим об-
образом:
Тогда G{J] будет порождающим функционалом для связных
(усеченных) евклидовых функций Грина, одночастичная
структура которых может быть выявлена с помощью преоб-
преобразования Лежандра:
или в дифференциальной форме
T{A} = -JA
где / определяется из уравнения
Это преобразование было введено в статистической механике
Де Доминисисом и Мартином [Do Ma], в квантовой теории
поля его рассматривал Йона-Лазино [Jo L] и исследовал
Симанзик [Sy4]. Анализ Т{А} в конструктивной квантовой
теории поля [Gli Ja 13] может дополнить наше изучение спек-
спектра гамильтониана с помощью описанных ниже разложений.
Функционал Т{А} генерирует (ампутированные, одночастично
непроводимые) вершинные функции.
Эти функции связаны с величиной сил, действующих ме-
между частицами, т. е. с физическим зарядом.
184 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
Связанные состояния. В разд. 3 мы рассмотрим вопрос
о связанных состояниях в некоторых квантовополевых моде-
моделях. Наш вывод (п. 3.3) об отсутствии связанных состояний
в модели ф^ основан на методах как теории поля, так и ста-
статистической механики. Мы будем применять высокотемпера-
высокотемпературные разложения из теории поля (см. ниже) и восполь-
воспользуемся идеей Лебовича из статистической механики при по-
получении двухчастичной факторизации для четырехточечной
вершинной функции.
С другой стороны, в п. 3.4 мы наметим доказательство
того, что в модели ф| связанные состояния возникают при на-
наличии достаточно сильного внешнего поля. Заметим, что в
статистической механике возбуждения, соответствующие свя-
связанным состояниям, появляются в трансфер-матрице при боль-
больших значениях химического потенциала ц.
Высокотемпературные разложения. С помощью высоко-
высокотемпературных разложений в статистической механике дока-
доказывают существование термодинамического предела и ана-
аналитичность предельных величин при достаточно высоких
температурах, т. е. отсутствие фазовых переходов. Ряды,
отвечающие этим разложениям (называемые рядами Кирк-
вуда — Зальцбурга или Майера — Монтролла), сходятся для
достаточно больших Т/Тс, где Тс — критическая температура.
Связанное с ними вириальное разложение сходится при боль-
больших значениях химического потенциала ц; оно также приво-
приводит к аналитичности (отсутствию фазовых переходов), см.
[Ru]. Аналогичную роль в теории поля играют кластерные
разложения. Они сходятся для достаточно малых констант
взаимодействия Xlm\ [Gli Ja Sp 1, 2] (большие Т) и для до-
достаточно большого внешнего поля (большое ц). С их по-
помощью можно доказывать существование квантованных по-
полей в бесконечном объеме и существование одной фазы с
единственным вакуумным вектором. Эти высокотемператур-
высокотемпературные разложения не связаны, вообще говоря, с уравнениями
Кирквуда — Зальцбурга или с другими интегральными урав-
уравнениями, а имеют более широкую область применимости.
Однако мы вывели уравнения Кирквуда — Зальцбурга для
функции распределения Z (см. разд. 6 ч. II). Эти уравнения
будут весьма полезны при доказательстве аналитичности
функций Швингера.
С помощью высокотемпературных разложений можно изу-
изучать не только свойства вакуума в теории поля, но и полу-
получить подробную информацию о спектре гамильтониана Н, на-
например о корпускулярной структуре и о наличии или отсут-
Корпускулярная структура модели, t
185
ствии связанных состояний (см. разд. 2, 3 этих лекций). От-
Отметим, что эта более изощренная техника, используемая в
теории поля, может оказаться полезной в статистической ме-
механике.
Низкотемпературные разложения. Доказательство суще-
существования фазовых переходов при низких температурах осно-
основано на идее Пайерлса [Ре].
Сходящееся
моншурнов
разложение?
Сходящееся кластернее
разложение
Критическая точка
Рис. 6. Предполагаемые области сходимости кластерного и контурного
разложений.
При доказательстве рассматривается энергия, сопостав-
сопоставленная границам (контурам), отделяющим спины, направлен*
ные вверх, от спинов, направленных вниз. Для температур Т,
много меньших Гс, энергетически выгодно, чтобы все спины бы-
были одновременно направлены вверх или вниз (обобщение мето-
метода Пайерлса было проведено Гриффитсом, Добрушиным и др.,
см., например, [Dob 1—3, Gi 2, Gr 1, ML, Mi Sin 1, 2]). В частно-
частности, метод контуров дает экспоненциальную факторизацию в
чистых фазах для спиновых систем при низких температурах.
186 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
В работе [Во Gr] были рассмотрены некоторые непрерывные
спиновые системы.
Мы будем называть эти методы сходящимися низкотемпе-
низкотемпературными разложениями. Мы надеемся, что такие низкотем-
низкотемпературные контурные разложения существуют и в квантовой
теории поля. Они должны сходиться достаточно далеко от
критической точки. (Такое разложение можно было бы при-
применить для доказательства утверждений, анонсированных
Добрушиным и Минлосом [Dob Mi].) Мы надеемся, что низ-
низкотемпературные разложения существуют независимо от того,
имеется одна или несколько фаз1).
Ожидается, что в чистой фазе эти разложения дадут воз-
возможность доказать экспоненциальную факторизацию и, таким
образом, окажутся полезными для изучения корпускулярной
структуры теории.
На рис. 6 показана предполагаемая область сходимости
высокотемпературного (кластерного) и низкотемпературного
(контурного) разложений в модели ф4. Для таких моделей,
как Яф4 — |Хф, |х > X, в которых нарушение симметрии не воз-
возникает, области сходимости высоко- и низкотемпературных
разложений могут пересекаться.
Корреляционные неравенства и теорема Ли — Янга. Эти
методы позволяют доказать сходимость функций Швингера
при переходе к бесконечному объему для четных Р(ф)г-моде-
лей [Gu Ro Si 3, Nel 5] и наличие одной фазы для (ф4 + от^ф2 —
— цфJ-моделей, М-=#= 0, [Gr Si, Si 2]. Эти и связанные с
ними вопросы обсуждаются в лекциях Гуэрры, Нельсона, Ро-
зена и Саймона, к которым мы и отсылаем читателя.
1.5. Некоторые задачи
Мы обсудим здесь некоторые открытые вопросы для мо-
модели ^(фЬ- Другие задачи, тесно связанные с материалом
следующих разделов этих лекций, будут упомянуты в даль-
дальнейшем.
Асимптотическая полнота. Представляют интерес ответы
на следующие вопросы: является ли 5-матрица унитарной
в модели ф4 с малой константой связи 2) и как это можно до-
доказать (см. разд. 3)? Обеспечит ли асимптотическую полноту
в моделях со связанными состояниями учет in- и out-полей,
') Такие разложения получены в [Gli Ja Sp 4]. — Прим. перев.
2) Унитарность S-матрицы для Я(срJ-модели со слабым взаимодей-
взаимодействием для состояний с энергией, меньшей 4/п (т — физическая масса),
доказана в [Sp Zi]. — Прим. перев.
Корпускулярная структура модели, I 187
отвечающих связанным состояниям в спектре масс ниже 2т?
С этим связан вопрос о возможности построения кластерного
разложения по асимптотическим полям, подобного формаль-
формальному разложению Лемана — Симанзика — Циммермана мат-
матрицы рассеяния и подсказываемого уравнениями Янга —
Фельдмана.
Асимптотическая теория возмущений. Известно, что ряд
теории возмущений для евклидовых функций Грина является
асимптотическим в области сходимости кластерного разложе-
разложения [Di3]'). Мы думаем, что фейнмановский ряд теории воз-
возмущений для S-матрицы S = / + XS\ + • • • тоже является
асимптотическим, а. так как S] ^ 0, то это означает нетри-
нетривиальность S-матрицы, т. е. что S=/=I2). Мы предпола-
предполагаем, что разложение физической массы m по константе
связи X
2Лз+ ... + хптп + О Ore+1)
тоже является асимптотическим.
Кластерные разложения. Высокотемпературные разложе-
разложения, обсуждаемые в ч. II, основаны на представлении гибб-
совского множителя e~v° в гауссовой мере йФ в виде
e~v« = 1 + (e~Vl — 1). Это дает уравнения Кирквуда — Зальц-
Зальцбурга для Z и связанные с ними разложения произведений Z
на функции Швингера S(x\, ..., хп). Допускают ли эти раз-
разложения естественное обобщение, такое, чтобы с его по-
помощью можно было изучать корпускулярную структуру тео-
теории? Какова оптимальная область сходимости для таких
разложений?
Контурные разложения. Мы надеемся, что низкотемпера-
низкотемпературные разложения существуют и сходятся независимо от
того, рассматривается ли Р(ф)г-модель с внутренней симмет-
симметрией или нет. Что из себя представляют эти разложения?
Можно ли с их помощью доказать существование предела
в бесконечном объеме, исследовать вопрос о существовании
частиц и изучить другие свойства спектра масс?
Аналитичность. Мы покажем в ч. II, что функции Швин-
Швингера для модели У(ф)г аналитичны по X в полукруге 0<
<|Я|<А-о. Re^ > 0. В какую область на комплексной
') В работе [Ее Ma Se] доказано, что этот ряд суммируем по Боре-
лю. — Прим. перев.
г) Нетривиальность S-матрицы для /'(ф)г-модели доказана в работе
[Os Se]. —Ярил, перев.
188 Дж. Г лини, А. Джаффе, Т. Спенсер
плоскости их можно аналитически продолжать? В статистиче-
статистической механике, для того чтобы расширить область аналитич-
аналитичности высокотемпературных (малые Я/т?, т. е. большие тЦХ)
и вириальных (большие ц) разложений, применяется теорема
Ли — Янга. Являются ли функции Швингера для (tap4 — W)~
взаимодействия вещественно-аналитическими по X и \х везде,
за исключением разреза от Ясги до оо? Другими словами, яв-
являются ли функции Швингера вещественно-аналитическими
везде, кроме разреза вдоль линии многих фаз (см. рис. 6)?
Какова область комплексной аналитичности? Заметим, что
для Я >0 и Re ц, =^ О давление есть аналитическая функция
[Sp2].
Аксиомы Хаага — Доплихера — Робертса (ХДР). Справед-
Справедлива ли для Р(ф) 2-моделей аксиома дуальности, единствен-
единственная пока еще не доказанная для этих моделей аксиома ХДР?
Анализ суперотборных секторов, проведенный Хаагом, Доп-
лихером и Робертсом, применим только для трех- и четырех-
четырехмерного пространства-времени, но свойство дуальности, по-
видимому, выполняется в Р(ф)г-моделях.
Критические точки. Если критическая точка существует, то
как ведут себя в ее окрестности т, (ф), т. п.1)? Действитель-
Действительно ли масса, спонтанная намагниченность и пр. изменяются
по степенным законам (задаваемым критическими индекса-
индексами)? Для % < Ясгк физическая масса т является монотонной
функцией от ml [Gu Ro Si 3]. Остается ли эта зависимость
монотонной выше критической точки? Колман показал, что
5 = 0 для Я((фJJ-моделей; действительно ли для этой
модели имеется несколько фаз? Одну или несколько фаз
имеет в критической точке модель Яф^? Появляются ли в
этой модели в критической точке частицы нулевой массы?
(Отметим, что частицы нулевой массы не могут появиться
в двухточечной функции Вайтмана, поскольку она является
обобщенной функцией умеренного роста [Gli Ja 4].) Суще-
Существуют ли многофазные состояния в ф6 и ф8-моделях? Суще-
Существуют лн для этих моделей критические многообразия?
Структурный анализ. С нашими знаниями о спектре частиц
мы имеем все необходимое для того, чтобы выполнить анализ
многочастичной структуры функций Грина в духе идей Си-
манзнка [Sy 1]. Было бы также интересно выполнить структур-
структурный анализ моделей статистической механики. Как первый
шаг в этом направлении мы доказали существование и ана-
') См. по этому поводу [GH Ja 15, 16]. —Ярил, перев.
Корпускулярная структура модели, I 189
литичность порождающего функционала для одночастнчно не-
неприводимых A Р I) функций Грина [Gli Ja 13]1). Эти вершин-
вершинные функции играют важную роль при изучении нарушений
симметрии и в методе ренормализационной группы. В рамках
исследования нарушенных симметрии Иона-Лазинио дал опре-
определение эффективного потенциала, который, как ожидается,
позволяет уточнить основанную на методе самосогласованного
поля картину Голдстоуна (п. 1.3). Эвристически такие потен-
потенциалы изучались в [Со We]. Спрашивается: в каком смысле
теория самосогласованного поля или модель эффективного
потенциала является пределом квантовой теории поля?
Аномальные размерности. Исключительно интересный круг
проблем связан с более тонкими деталями поведения Р (фJ-
моделей в критической точке. Эти идеи тесно связаны
с идеями теоретиков, занимающихся физикой высоких энер-
энергий. Поведение на малых расстояниях Р(ф)г-и ф^-моделей яв-
является каноническим; строгое доказательство этого должно
следовать из оценок локального возмущения [Gli Ja 4, Fe2].
Так как эти оценки справедливы для всех Я, они справед-
справедливы, в частности, в критической точке для Р(фJ-моделн и
при этом дают логарифмическую сингулярность. С другой
стороны, поведение на больших расстояниях в критической
точке для Р(ф)г-моделей не является каноническим, так как
(ф(дс)ф(г/))->const при \х — у\—*оо. Следовательно, мы не
должны надеяться, что любая Р(ф)г-теория, которую мы по-
построим, будет масштабно-инвариантной. В действительности
масштабная инвариантность вакуума привела бы к тому, что
масштабные преобразования были бы унитарно представимы.
Отсюда в свою очередь следовало бы, что поведение при
масштабных преобразованиях на больших и малых расстоя-
расстояниях было бы одинаковым.
Предположим, что критическая точка существует. Тогда
мы приходим к заключению, что теория поля при значениях
параметров, соответствующих критической точке, должна со-
содержать фундаментальную длину. Эта длина характеризует
расстояние, на котором асимптотическое поведение, типичное
для малых расстояний, заменяется на асимптотическое пове-
поведение, типичное для больших расстояний. Масштабные пре-
преобразования изменяют эту длину, так что если критическая
точка существует, то имеется континуальное множество тео-
теорий с частицами нулевой массы, связанных одна с другой
масштабными преобразованиями. Можно было бы попытаться
построить масштабно-инвариантную теорию, выполнив беско-
') Дальнейшее развитие этих исследований см. в [Gli Ja 17]. — Прим.
перев.
190 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
нечное масштабное преобразование. Но будут ли существо-
существовать соответствующие пределы? ') Некоторые из задач, по-
поставленных здесь, не решены уже для трехмерной модели
Изинга, и серьезные попытки разобраться в этих вопросах
могли бы начинаться с изучения этой модели.
Ренормализационная группа. Выше мы параметризовали
Р (ф) 2-теории с нулевой массой с помощью фундаментальной
длины. Другое возможное описание основано на методе ре-
нормализационной группы, которая представляет интерес и
сама по себе. Спрашивается: можно ли уравнения Каллана —
Симанзика применить для рассмотрения поведения на боль-
больших расстояниях в Р(ф)г-моделях? 2)
2. От оценок к физике
Как можно получить физические свойства частиц из оце-
оценок и разложений, о которых мы все время говорим? В этом
разделе мы покажем, как свойства одночастичных состояний
следуют из известных кластерных разложений. Основные
оценки для полевых моделей показывают, что эффективное
взаимодействие непересекающихся областей в евклидовом
пространстве убывает как ехр(—d/?). В ч. II описаны соот-
соответствующие результаты для двумерного пространства-вре-
пространства-времени. Для трехмерного пространства-времени аналогичные
оценки дают убывание эффективного взаимодействия обла-
областей в фазовом пространстве и положительность гамильто-
гамильтониана для ф*-взаимодействия.
Напомним, что в теории, описывающей частицы одного
типа массы т, спектр операторов энергии-импульса состоит
из трех непересекающихся частей: вакуума Р = 0, Н = 0,
одночастичного гиперболоида Н2 — Р2 = т2 и континуума
Я2— Р2 ^ BтJ (рис. 7). Двухчастичные состояния с импуль-
импульсами рь рг удобно параметризовать относительным импуль-
импульсом Рл = pi — Рг и полным импульсом рТ = Pi + P2. Инва-
Инвариантная масса для двухчастичных состояний имеет вид3).
2l/s(m^2 — Р1Р2 + m2)\ что в случае рл = 0 равно 2т.
Спектр оператора массы М = (Н2— Р2I/* показан на рис.8.
Собственное подпространство, соответствующее собственному
значению М = 0, называется вакуумом, а собственное под-
подпространство, соответствующее собственному значению т,—>
одночастичным подпространством.
') Анализ этих вопросов см. в [Gli Ja 15, 16]. — Прим. перев.
s) Возможность этого была показана в работе [Gli Ja 16]. — Прим,
перев.
*) Здесь уц = (р^ + т.2) '1г, i = 1, 2. — Прим. перев.
Корпускулярная структура модели, 1
191
Для исследования спектральных свойств Н и М мы при-
применим оценки, найденные с помощью кластерных разложений,
и докажем, что:
1) равномерные вакуумные кластерные оценки обеспечи«
вают сходимость теории, когда объем Л->/?2, и сохраняются
в пределе бесконечного объема;
Рис. 7.
2) предельные функции Швингера (для вещественных кон-
констант связи) удовлетворяют аксиомам Остервальдера — Шра-
дера и поэтому дают теорию Вайтмана. Кластерное свойство
Массовая щель
Верхняя щель
2/п
Рис. 8
вакуума (асимптотическая факторизация) приводит к един-
единственности вакуумного вектора;
3) вакуумное кластерное разложение дает оценку скоро-
скорости экспоненциальной факторизации, что приводит к един-
единственности вакуума и существованию массовой щели. С по-
помощью одночастичного кластерного разложения мы получаем
оценку на величину массовой щели сверху и доказываем, что
собственное значение М = т изолировано.
192 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
В п. 2.1 мы докажем некоторые простые предложения из
функционального анализа, которые в п. 2.2 будут применяться
для доказательства утверждений 1—3.
2.1. Функциональный анализ
Пусть в гильбертовом пространстве Ж задан самосопря-
самосопряженный оператор Н ^ 0, и пусть Еа — его спектральный про-
проектор на [0, а]. Пусть 3) — плотное в Ж подпространство и
Предложение 2.1.1. Предположим, что для любого
8е® найдутся такие %еЖ>о « е > 0, что
B.1.1) <е-х, e-'"(8-x)>
Тогда ЕаЮо плотно в Е<06 и
B.1.2) F-х, е-« (в - зе)> < || в - х II2 е-<а+8>'.
Доказательство. Для 9е®
II Еа F - хI1 = II Еае<"е-<» F - х) II <
%, e~2tH F - х) )'/2
Поскольку t произвольно, \\Еа(в — хI1=0, и мы видим, что
ЕаЗ)о = ЕаЖ> и поэтому плотно в ЕаЖ. Применяя п раз не-
неравенство Шварца
F-х, в-"Че-х)><ие-х1Н1в-'я(е-хI1<
получаем требуемую оценку B.1.2).
Пусть теперь в гильбертовом пространстве Ж задано уни-
унитарное представление U(a,A) неоднородной группы Лоренца.
Пусть Ж^аЖ — подпространство ограниченной энергии и
импульса, Ро^Со, |P[<Ci. Пусть и(а)Жо<=:Жо и
( U и(а,А)Ж0)-=*Ж.
Предложение 2.1.2. Если Жо ?= {0} содержит цикличе-
циклический вектор для подгруппы пространственных трансляций
U(а), то спектр М \Ж состоит из одной точки и U(a,A) не-
приводимо в Ж.
Доказательство. Семейство U(&) максимально
лево на Жо, поэтому любой оператор, коммутирующий с ?/(а),
Корпускулярная структура, модели, I 193
есть функция от Р. В частности, оператор энергии есть функ-
функция от Р:# —#(Р), а тогда из лоренц-инвариантности сле-
следует, что Н= (Р2 + m2)Vs для некоторого т. (Здесь исполь-
используется нетривиальность Жо.) Таким образом, М — т на Жо
и из лоренц-инвариантности следует, что М = т на Ж. Так
как приводимость означала бы, в частности, кратность мас-
массового спектра, представление U(а, А) неприводимо.
2.2. Физические применения
Функции Швингера с пространственно-временным обреза-
обрезанием h даются выражением
B.2.1) Sh (хи ..., хп) = \ Ф (*0 ... Ф (хп) dqh,
где dqh — мера вида
B.2.2) dqh = e
йФ — гауссова мера со средним, равным нулю, и ковариа-
цией (-Д + т2)~' = С и
— евклидово действие, отвечающее Р(фJ-модели. Если
h(x)—характеристическая функция множества AaR2 объе-
объема |Л|, то V(h) называется действием для Л. Соответствую-
Соответствующие функции Швингера будем обозначать Sa.
Рассмотрим вакуумное кластерное разложение, которое
дает оценку скорости асимптотической факторизации вакуум-
вакуумного состояния. Пусть Л —функция от евклидовых полей,
B.2.3) А
где fi(x) принадлежит L2(R2) или имеет вид 8s(t)fi(x), где
fi(x)^L2(R). Пусть {А} —покрытие R2 единичными квадра-
квадратами (решетка), и определим supp А как наименьшее объеди-
объединение квадратов А, содержащее supp f{ U ... U supp/n-
В дальнейшем через А я В будут обозначаться функции вида
B.2.3).
Теорема 2.2.1 (вакуумное кластерное разложение [Gli Ja
Sp 1, 2]). Пусть у = m0 — е, е > 0.
Рассмотрим кР(ц>J-модель с К < Х(е, Р, т0).
Пусть d = dist {supp Л, supp В). Тогда существует кон-
константа МА: в, такая, что
B.2.4) \\ABdqh-\Adqk\B dqh ] < МА, ве~^
7 Заказ 351
194 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
равномерно по h,
[Можно получить точную оценку константы МА>В через
функции fi. Предположим, что носитель каждой из /{ сосре-
сосредоточен в некотором А,- (произвольная функция А есть сумма
таких локализованных А). Пусть JV(A)—сумма тех п{, для
которых supp fi e А. Пусть задано некоторое положительное
число К\, и положим
Для локализованной функции Л пусть
B.2.5) || Л || = Ж ПИ fill-
Здесь || f || = || f ||i2 т, если f е= L2 (R2), и 0 f II = II / (х) IL т, если
f (дс) = 6S @ f (x). Предположим еще, что ttj^n. Тогда для
достаточно большого Ki
B.2.6) уИав<||Л||-||В||.
Если не выполняется условие га* <: п, то B.2.6) все равно
имеет место, только в определении II-II (см. 2.2.5) нужно за-
заменить Jf на JP3,
Справедлива также следующая равномерная по h оценка:
B.2.7)
Теорема 2.2.2. Функции Швингера SA(xu ..., хп) имеют
в 9"(R2n) предел S(Xi, ..., хп) при A-+R2, удовлетворяю-
удовлетворяющий аксиомам Остервальдера — Шрадера.
Доказательство. Как объясняется в лекциях Остер-
Остервальдера и Нельсона, достаточно доказать сходимость 5л при
к—> 1 и получить простые ф-оценки, следующие в нашем слу-
случае из вакуумного кластерного разложения. Здесь мы дока-
докажем сходимость. Пусть 0 ^ h0 ^ hi ^ 1 —два пространствен-
пространственно-временных обрезания и носитель hi — h0 сосредоточен в
ограниченном множестве Г. Пусть A=O(fi) ... <D(fn),
supp Л с: supp ho, d — dist (Г, supp Л) и Г— множество квад-
квадратов, пересекающихся с Г.
Определим функцию
Корпускулярная структура модели, I 195
где dqa=dqh и ha — ahx + A — a)h0. Тогда, дифференцируя
B.2.2), получим
1
= S da
По теореме 2.2.1 и B.2.6) эта сумма оценивается с помощью
неравенства
sup МА. у (A)e-fd < О (l)e~v'd
д
для y'= trio — 2e. Пусть теперь ho, hi будут характеристиче-
характеристическими функциями множеств Ло, AidR2. Тогда d-+oo, при
Ло, Ai-*R2, и мы получаем требуемую сходимость.
Характер зависимости кластерных разложений от X по-
показывает, что S(fi, ..., fn) суть непрерывные функции от X.
Более того, в ч. II с помощью кластерного разложения будет
доказана аналитичность по К в полукруге 0<|X|<A(j,
Re k > 0.
Теорема 2.2.3 (массовая щель). В ХР(<рJ-мод елях с до-
достаточно малой X вакуум Q образует подпространство с энер-
энергией, меньшей у = то A — е).
Доказательство. Пусть A = O(fi) ...<D(fn),
supp A — компактное множество, вА — вектор в релятивист-
релятивистском гильбертовом пространстве Ж, соответствующий евкли-
евклидовой функции А Идея доказательства состоит в том, чтобы
применить предложение 2.1.1, выбрав в качестве Ж) линейную
оболочку векторов вида 8а и в качестве Ж)о подпространство,
натянутое на вакуум Q.
Так как кластерные оценки равномерны по h, они спра-
справедливы а в пределе бесконечного объема, когда h = 1. Пусть
Аа — сдвиг А в (евклидовом) временном направлении. Тогда
по теореме 2.2.1 при y = то ¦— в
(QA, e~dHQA) = \ A*Ad dq = \ A* dq \ A dq + О (MAe^d) =
Другими словами, если 6д = 6д — (Q, 6л) Q — компонента 6л,
ортогональная к Q, то
7*
196 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
Теперь утверждение теоремы следует из предложения 2.1.1.
Перейдем далее к рассмотрению более сильных результатов
о факторизации, с помощью которых можно изучать произ-
произвольный интервал энергетического спектра [Gli Ja Sp 1]. Эти
разложения будут определяться по индукции, а не в замкну-
замкнутой форме или в виде уравнений Кирквуда — Зальцбурга.
Приведем формулировку разложения для п = 1, т. е. одно-
частичного кластерного разложения. Пусть у = 2(то— е),
е>0.
Теорема 2.2.4 (одночастичное кластерное разложение).
Пусть дано е>0 и рассмотрим ХР{уJ-модель с X <
< Х(е, mo, P). Тогда для QA, определенного выше, существует
функция h из Lz{R), такая, что для %—{Q,QA)Q-j-q>(h)Q
имеем оценку
(вл - %, е-mFЛ- %))< МАе~*.
Здесь ф(/г)—релятивистское квантованное поле ХР((рJ-тео-
рии, взятое в нулевой момент времени.
Для доказательства снова применим предложение 2.1.1,
выбрав 2D, как в предыдущей теореме, и образовав @>о из
векторов {Q, (f(h)Q), ftel(^)
Следствие 2.2.5. Векторы из Егт^-гФо являются со-
состояниями с энергией, меньшей чем 2т0 — е.
Теорема 2.2.6 (оценка величины массовой щели сверху).
В XP(q>J-мод'елях с достаточно малой константой связи X
оператор массы М имеет собственные значения 0, т и не
имеет другого спектра в интервале [0, 2т0 — е].
Доказательство. Пусть Е = Е2т-г Ц — Ео), пусть
Ж0 = ЕЖ и Ж—объединение лоренцевых сдвигов простран-
пространства Жо. Мы хотим построить циклический вектор % для под-
подгруппы пространственных сдвигов на Жо. Согласно предложе-
предложению 2.1.2, спектр М на Ж состоит только из одной точки
(кроме случая, когда Жо = {0}). Покажем сперва, что Жо ф
Ф {0}. Действительно, нетрудно показать, применяя извест-
известную зависимость кластерных оценок от X, что двухточечная
функция сходится в 9" к свободной двухточечной функции
при X—>0. Поскольку свободная теория имеет одночастичное
состояние с массой то, то теория со взаимодействием при до-
достаточно малых X должна иметь по крайней мере некоторые
точки спектра в окрестности то. Таким образом, Жо Ф {0}.
М имеет собственные значения бите [т0 — е, т0 + е] и не
имеет других точек спектра в интервале [0, 2т0 — е].
Корпускулярная структура модели, I 197
Для того чтобы завершить доказательство, построим те-
теперь %. Пусть /i,g^(/!), ft, > 0. Покажем, что?ф(й,)О —
циклический вектор в Жо. Положим fta (х) = h (х — а). Тогда
ft, (• — a)ft2(a)daj Q = \daft2(a^(ftifl)Q =
— \ da ft2 (a) G (а) ф (ft,) Q. Так как ? и С/ (а) коммутируют,
вектор
?ф (Л, * Ag) Q == J da ft2 (а) е-'Ра?ф (ft,) Q
лежит в пространстве, образованном сдвигами ?(p(/ti)Q. Про-
Пространство, образованное ?q)(ft)Q, можно, согласно след-
следствию 2.2.5, отождествить с Жо. И, поскольку множество
функций {hi * Ы)~~ = ftjft2 плотно в С™, когда ft2 пробегает С™,
мы получаем, что % = ?ф (ftj) Q — циклический вектор для U (а) в
пространстве Жо.
3. Связанные состояния и резонансы
3.1. Введение
Одна из важных физических проблем — это вопрос о том,
как составные частицы, т. е. связанные состояния и резо-
резонансы, образуются из элементарных. В атомной физике,
используя шредингеровский гамильтониан и кулоновское
взаимодействие, можно доказать существование атомов и
молекул и изучить их рассеяние. Спектральные свойства га-
гамильтонианов атомной и молекулярной физики являются
предметом интенсивного математического изучения.
Подобные идеи имеют хождение и в ядерной физике, и
в физике элементарных частиц, но здесь отсутствует их стро-
строгое математическое обоснование. Таким образом, важнейший
физический вопрос заключается в том, имеет ли данная мо-
модель квантовой теории поля связанные состояния. Можно по-
поставить, например, следующие вопросы: достаточно ли сильно
взаимодействуют между собой мезоны и нуклоны для того,
чтобы образовать стабильные ядра? Являются ли р и т]-мезо-
ны я-мезонными резонансами?
Относительно этих важных вопросов в квантовой теории
поля известно очень мало. Фактически нет ни одной кванто-
во-полевой модели, в которой было бы доказано существо-
существование связанных состояний; эвристические вычисления, осно-
основанные на теории возмущений и уравнении Бете — Солпитера,
не-позволяют прийти к определенным заключениям.
198 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
В этой лекции будут описаны физические представления,
позволяющие делать выводы о том, когда следует, а когда
не следует ожидать наличия связанных состояний в Р(фJ-мо-
делях со слабым взаимодействием или в сильном внешнем
поле. Мы докажем отсутствие двухчастичных связанных со-
состояний в ф4-модели. Будет намечено доказательство суще-
существования связанных состояний в присутствии сильного внеш-
внешнего поля и в некоторых других моделях.
Связанные состояния соответствуют собственным значе-
значениям оператора массы М, введенного в разд. 2. Точки спек-
спектра, соответствующие связанным состояниям, должны лежать
ниже двухчастичного континуума; в противном случае не
было бы энергетического запрета для их распада на свобод-
свободные частицы. (Распад связанных состояний может быть, кро-
кроме того, запрещен дополнительными правилами отбора, за-
зависящими от вида взаимодействия.) С другой стороны, физи-
физическая интерпретация непрерывного спектра оператора массы
в интервале [0, 2т) отсутствует. Поэтому считается, что не-
непрерывного спектра действительно нет в этом интервале,
а двухчастичные связанные состояния могут возникать в «ин-
«интервале связанных состояний» (т, 2т) массового спектра,
как это показано на рис. 9,
О т
Двухчастичный порог
Вакуум ОВначастпичные Возможные двухчастичные
состояния связанные состояния
Рис. 9. Спектр оператора массы М.
В теории четного взаимодействия, например ф4, можно раз-
разложить гильбертово пространство в соответствии с четностью
состояний относительно симметрии ф—>—ф. Состояния с чет-
четным числом частиц будут лежать в четном подпространстве.
Ограничение М на нечетное пбдпространство имеет спектр,
показанный на рис. 10.
т
Трехчастичный поррг
, - I
Одночастичные состояния
Рис. 10. Массовый спектр иа иечетиом подпространстве четной теории.
Резольвента R{z) — (М — z)~x оператора массы — анали-
аналитическая функция г, Irn z Ф 0. Она имеет полюса в каждом
Собственном значении М (соответствующие частицам и свя-
Корпускулярная структура модели, I 199
занным состояниям) и, по-видимому, должна иметь разрезы,
начинающиеся с каждого n-частичного порога. Вопрос о су-
существовании резонансрв — это вопрос об аналитииеских свой-
свойствах R(z) (или соответствующих матричных элементов)
после продолжения через эти разрезы. Полюс в комплексной
плоскости, расположенный достаточно близко к разрезу, на-
называется резонансом. Такой полюс проявляется при рассея-
рассеянии частиц как пик в сечении рассеяния. Другая интерпре-
интерпретация резонанса—это нестабильная частица.
Вещественная часть положения полюса определяет массу
резонанса, а мнимая часть определяет его время жизни. Чрез-
Чрезвычайно важно провести детальное рассмотрение резонансов
и ответить на вопрос: существуют ли такие константы связи,
для которых Р(фJ-модели имеют резонансы?
Наличие или отсутствие составных частиц зависит от того,
являются межчастичные силы притягивающими или отталки-
отталкивающими. Мы поставим связанный с этим вопрос: увеличи-
увеличивает или уменьшает взаимодействие между парой частиц их
энергию по сравнению с состоянием, в котором они асимпто-
асимптотически удалены друг от друга? Если энергия увеличивается,
связанные состояния не возникают. Если энергия уменьшается
ниже двухчастичного континуума, ожидается появление свя-
связанного состояния. В п. 3.2 мы мотивируем нашу точку зре-
зрения на этот вопрос, обратившись к теории возмущений.
В п. 3.3 для рассмотрения этого же вопроса применяются
кластерные оценки и корреляционные неравенства. В п. 3.4
будет показано, как возникают связанные состояния.
Предлагаемую картину двухчастичного связанного состоя-
состояния лучше всего можно описать в терминах относительного
импульса рл. Существует три вида сил: притягивающие, от-
отталкивающие и дисперсионные. Смысл терминов «притяги-
«притягивающая сила» и «отталкивающая сила» понятен без объяс-
объяснений. Дисперсионный эффект возникает из-за наличия кри-
кривизны у массового гиперболоида. Состояние, описывающее
две свободные частицы с рт = 0, имеет полную энергию
Dт2 + Р|)'/2> а в °бщем случае для малых импульсов двух-
двухчастичное состояние имеет энергию 2пг + О (p2R + p?). Это
увеличение энергии по сравнению с состоянием с нулевым
импульсом и есть то, что мы назвали эффектом дисперсии.
Для того чтобы могли возникнуть связанные состояния, силы
притяжения должны превышать дисперсионные и отталкиваю-
отталкивающие силы.
Введем параметр б, характеризующий протяженность вол-
волнового пакета связанного состояния. Если в импульсном про-
пространстве пакет сосредоточен в области [рд|^6, то
200 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
в конфигурационном пространстве он характеризуется пара-
параметром порядка б. Естественно ожидать, что при уменьше-
уменьшении взаимодействия протяженность пакета в конфигурацион-
конфигурационном пространстве должна увеличиваться, так как связанное
состояние простирается во все большем объеме и его энергия
постепенно переходит в непрерывный спектр. Поэтому мы
ожидаем, что 6—>0 при X—+0. Притягивающие силы имеют
характерную зависимость от б и к: эффект дисперсии имеет
порядок О (б2). В Р(ф)г-моделях мы покажем, что в теории
возмущений притягивающие и отталкивающие силы дают
вклад порядка 0F), умноженный на соответствующую без-
безразмерную константу связи К./т^. Баланс этих сил мы об-
обсудим в п. 4.
3.2. Формальная теория возмущений
Для взаимодействия Х<р4 вклад, первого порядка в двух-
двухчастичную энергию дается фейнмановской диаграммой
X
и положителен при К > 0. Во втором порядке мы находим,
что такой вклад состоит из двух слагаемых — добавки к мас-
массе от несвязных диаграмм Фейнмана
и положительной (отталкивающей) добавки вида
При малых % доминирует отталкивающий эффект, отвечаю-
отвечающий диаграмме первого порядка. Таким образом, нельзя
ожидать возникновения двухчастичных связанных состояний
в ф^-модели со слабым взаимодействием, и это действительно
будет доказано в п. 3.3.
Отметим, что диаграммы, дающие добавку к массе, ука-
указанные выше, производят перенормировку массы одночастич-
него состояния во втором порядке, т. е. сдвиг от то к rtiz.
Разумеется, с точностью до второго порядка, мы измеряем
и-частичные силы (сдвиги энергии) относительно пт^,. Мы не
включаем сюда сдвиги энергии вакуума, так как они исклю-
Корпускулярная структура модели, I
201
чаются, если производить разложения относительно точного
(зависящего от константы X) основного состояния.
Если рассматривается взаимодействие между тремя ча-
частицами, то в низшем порядке диаграммы
дают трехчастичные силы притяжения. Однако диаграммы
приводят к отталкиванию в двухчастичных подсистемах. Так
как эти двухчастичные силы — первого порядка, а трехчастич-
ная сила — второго, мы ожидаем, что силы отталкивания бу-
будут доминировать при малых константах связи. Но появле-
появление трехчастичного нестабильного состояния (резонанса) воз-
возможно.
Для взаимодействия ф3 двухчастичные силы в низшем" по-
порядке являются притягивающими:
Аналогично, взаимодействие п частиц в низшем порядке тоже
притягивающее. Например, в третьем порядке имеем диа-
диаграммы вида
Эти притягивающие силы дополняют притяжение, существую-
существующее в двухчастичной подсистеме. Например, для случая трех
частиц
Таким образом, мы предполагаем наличие двухчастичных свя-
связанных состояний, а также связанных состояний трех или
202 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
более частиц, если правила отбора запрещают их распад.
В противном случае притягивающие многочастичные силы
должны давать многочастичные резонансы.
Разумеется, чистая ср3-теория не существует, поскольку
энергия в ней не ограничена снизу. Однако, если член ср3 в
более сложном взаимодействии имеет коэффициент, много
больший, чем другие константы связи, мы ожидаем, что эф-
эффекты взаимодействия ср3 будут преобладать. Таким образом,
предыдущее качественное обсуждение применимо к (Ai<p3 +
+ ЯгР(ф) г) -модели, если Ki ^> Яг. В этом случае предпола-
предполагается наличие связанных состояний, и в частности двухча-
двухчастичных связанных состояний.
В связи со сказанным интересна Р(фJ-модель во внешнем
поле, т. е. модель с (^(фЬ — цф)-взаимодействием. Внешнее
поле можно исключить преобразованием ф->ф + const (ло-
(локально это преобразование генерируется exp (i \ я (х) dx )).
Например, модель со взаимодействием Яф4 — цу преобразует-
преобразуется в (Аф4 + аФ3 + &ф2)-модель, где 4Яа3 + am2 = fi. Коэффи-
Коэффициент b у массового члена тоже зависит от ц, но масштаб-
масштабным преобразованием его можно сделать равным 1. Мы вы-
выдвигаем гипотезу: в ф4-модели в сильном внешнем поле, ц > Я,
существуют связанные состояния.
Подобный анализ применим к произвольной (ЯР(фJ —
— (хф)-модели. Убирая внешнее поле, мы добавляем к Р по-
полином низшей степени. Для больших ц наибольшие коэффи-
коэффициенты имеют степени 2 и 3. Квадратичный член дает сдвиг
массы, а кубический — потенциал притяжения в низшем по-
порядке. Таким образом, мы выдвигаем гипотезу: в ЯЯ(фJ-мо-
делях в сильном внешнем поле, ja ^ X, существуют связанные
состояния.
Вопрос: существуют ли связанные состояния в У2-моде-
лях? Мы предполагаем, что это действительно так.
3.3. Об отсутствии связанных состояний
Рассмотрим модель Яф^ со слабым взаимодействием и до-
докажем, что двухчастичные связанные состояния в ней от-
отсутствуют.
Теорема 3.3.1. Пусть в Ху\-модели Х/пг^ достаточно
мало. Тогда спектр оператора массы М = (Я2 — Р2) '/• лежит
вне интервала двухчастичных связанных состояний (tn, 2tn).
Поскольку вакуум единствен, мы приходим к заключению,
что симметрия ф—>—ф может быть представлена унитарным
оператором и что гильбертово пространство Ж разлагается на
Корпускулярная структура модели, / 203
четное и нечетное подпространства 3@е, Жо, каждое из кото-
которых инвариантно относительно U(a, Л) и ср. Доказательство
нашей теоремы разбивается на три этапа. Во-первых, с по-
помощью кластерных разложений [GHJaSpl] мы сводим за-
задачу к рассмотрению двухточечной функции для 360 и
четырехточечной функции для Же- Во-вторых, неравенство
Лебовича [Leb 2], доказанное для модели Изинга, исключает
возможность того, чтобы массовый спектр в интервале @, 2т)
возникал в четырехточечной функции. И наконец, кластерные
оценки исключают возможность появления массового спектра
в интервале (т, 2т) в двухчастичной функции.
Условие малости взаимодействия в теореме 3.3.1 связано
со скоростью у экспоненциального убывания e"^d в оценке
двухчастичного кластерного разложения. Мы показали в
[GliJaSp 1],что у-*3тои т-*т0 при %\т\->0. В теореме 3.3.1
требуется, чтобы k/ml было достаточно мало, чтобы обес-
обеспечить неравенство y ^ 2т.
Для четных Р(ф)г-моделей мы получаем большую массо-
массовую щель на нечетном подпространстве в соответствии с
рис. 10.
Теорема 3.3.2. Рассмотрим четную КР(ц>J-модель. Для
данного е > 0 пусть \/т% настолько мало, что обеспечи-
обеспечивается неравенство у ^ 3/п0 — ег где у — скорость экспонен-
экспоненциального убывания в оценке двухчастичного кластерного
разложения. Тогда спектр М f Жо лежит вне интервала
(т, Зто — е).
Пусть dq — евклидова мера для Яф*-модели, и пусть для
любой функции А от евклидова поля Ф
Предложение 3.3.3. Для %у\-модели
C.3.1) (Ф(х1)Ф(х2)Ф(х3)Ф(х4))-(Ф(х1)Ф(х2)){Ф(х3)Ф(х4))^
< (Ф (*,) Ф (*3) > (Ф te) Ф (х4)) + (Ф (*,) Ф (х4) > (Ф (х2) Ф (лг3)).
Замечание. Так как (Ф(х)) — 0, это неравенство озна-
означает, что связная (усеченная) четырехточечная функция
Швингера отрицательна. Эта оценка специфична для ф4-мо-
дели. Действительно, например, для взаимодействия вида
Ф6 — ф4 философия разд. 3.2 предсказывает существование
двухчастичных связанных состояний.
В основе доказательства предложения 3.3.3 лежит нера-
неравенство Лебовича, относящееся к независимым спиновым
204 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
переменным а* = ±1 ферромагнитной модели Изинга. Энер-
Энергия конфигурации спинов о = {о,}, 1 ^ i ^ и, равна
Н{а) = — Y, Л/О«о/,
где 1ц ^ 0. Для функции f (о) положим
где /. — /_,
а
Лебович доказал [Leb 2], что
{OiO/Okat) — <(т,О/} (оьой < {aiak) {0,0^ + (etat) {efak).
Неравенство C.3.J) следует отсюда немедленно, так как
Гриффите и Саймон [Gr Si] показали, что евклидова ср*- мо-
модель является пределом модели Изинга указанного выше
вида, причем Ф(х) можно представить как предел суммы
спиновых переменных о,.
Напомним, что релятивистское поле в нулевой момент
времени (p(f) равно евклидову полю Ф(/, t = 0) в нулевой
момент времени. Для ^е^(^) определим
C.3.2) 6 (f „ f2) = Ф (f,) Ф (f2) 0 - <Q, ф (ft) ф (f2) Q> • Q,
где Q — вакуумный вектор.
Следствие 3.3.4. Векторы 6(f 1, /2) имеют энергию ^ 2т.
Доказательство. Без ограничения общности выбе-
выберем ft вещественными и положительными. По формуле Фейн-
мана — Каца
F, е-<4) = <Ф (/,) Ф (h) Q, е-'*ф (f,) ф (/2) Q) -
— KQ, ф (f О ф (f2) Р> I2
где
ffi W = f 1 (*i) s (-кь), йг2 W = U
ft W = f 1
и jf = (xux0).
Корпускулярная структура модели, I 205
Применяя C.3.1) и формулу Фейнмана — Каца, получим
F, е-Щ) < П (Ф (fi) Q, е~'яФ (ft) Щ +
Поскольку (Q, (pQ) — 0, условие спектральности дает
|(<p(/t-)Q, e-^(/j)Q)|<O(l)e-'m, и поэтому
что завершает доказательство. Заметим, что для доказатель-
доказательства этого утверждения понадобилось только вакуумное кла-
кластерное разложение.
Теперь мы приведем результат [Gli Ja Sp 1], который сле-
следует из двухчастичного кластерного разложения. Пусть дано
е > 0, и пусть Е— спектральный проектор на энергетический
интервал [0, 3/п0 — е] в четной Я,/>(ф)г-модели. Предположим,
что Vmo достаточно мало, чтобы обеспечить скорость рас-
распада y = 3«о — ев двухчастичном кластерном разложении.
Предложение 3.3.5. При вышеуказанных предположе-
предположениях подпространство, образованное линейными комбинация-
комбинациями векторов Q и elHEQ(fuf2), плотно в ЕЖ0. Векторы вида
E<f(t)Q образуют плотное в ЕЖе множество.
Отметим, что в работе [Gli Ja Sp 1] для ЕЖ0 доказан бо-
более слабый результат — плотное в ЕЖ0 множество образуют
векторы вида e'H?<p(/)Q.
Доказательство предложения 3.3.5 следует из простой мо-
модификации TeopeiMbi 4.2 [Gli Ja Sp 1], которая позволяет пока-
показать, что в полиномах первой степени по полю в п-частичном
кластерном разложении можно брать поле в нулевой момент
времени.
Доказательство теорем. Предположим, что М\3ве
имеет спектр в интервале (m,2m). Из лоренц-инвяриантности
следует, что существует ненулевой вектор ^ s Же, соответ-
соответствующий этому спектральному интервалу и имеющий энер-
энергию <2т.
В силу предложения 3.3.5 ty является пределом суммы век-
векторов вида etHEQ(f\, /г)., а тогда следствие 3.3.4 означает, что
¦ф == 0. Это доказывает теорему 3.3.1 для 36е.
Наконец, мы покажем, что спектр М \ ЕЖ0 состоит из од-
одной точки, а именно т. Из предложения 3.3.5 следует, что
подпространство Жо = {Etp(t)Q} плотно в ЕЖ0. Пусть Ж
будет замыканием объединения лоренцевых сдвигов
206 Дж. Глимм, А Джаффе, Т. Спенсер
пространства Ж$. Наше утверждение тогда следует из пред-
предложения 2.1.2. Теоремы 3.3.2 и 3.3.1 получаются отсюда в
силу лоренц-инвариантности.
3.4. О наличии связанных состояний
В п. 3.2 было объяснено, что некоторые />(ф)г-модели мо-
могут описывать связанные состояния. Мы приведем здесь два
метода, позволяющих установить существование массового
спектра в двухчастичном интервале связанных состояний
(m, 2т). Как отмечалось выше, физическая интерпретация не-
непрерывного спектра в этом интервале отсутствует, поэтому
существование спектра, по-видимому, означает наличие соб-
собственных значений, т. е. связанных состояний.
Вариационный метод. Первый метод заключается в том,
чтобы выбрать приближенную волновую функцию связанного
состояния 6 со свойствами: а) ||6[^ 1; Ь) 6 ортогональна
к вакуумному и одночастичному состояниям; с) F, Мб) < 2т.
Так как М ^ Я, мы можем заменить оценку F, Мб) на не-
неравенство вида
C.4.1) <6, Я6)<2т
и свести дело к оценке F, Я6). Но в таком случае для тео-
теории со слабым взаимодействием кластерное разложение по-
показывает, что подпространство, отвечающее части спектраль-
спектрального интервала (т,2т), соответствующей малым импульсам,
порождается векторами следующего вида:
C.4.2) в = aQ + a* (f) Q + е™ат (f,) a* (f2) Q
(см. [Gli Ja Sp 1] и п. 3.3). Здесь а* — оператор рождения в
нулевой момент времени. Если к тому же Р(ср) —четный по-
полином, то мы можем выбрать f = 0 и а= (Q, a*(fi)a*(f2)Q).
С другой стороны, можно заменить а* в C.4.2) на поле ф
в нулевой момент времени.
Используя такой вектор, мы исключим Я из (9, Я9),
применяя равенство HQ = 0 и канонические коммутационные
соотношения. Например, поскольку
где fi — (Р2 + то)'/г> в случае % = a*(f)Q мы имеем
C.4.3) (%, ЯХ)-</, |if>fa + <Q, a>f)a
+ (a*(f)U,[HI,a*(f)}Q).
Корпускулярная структура модели, I 207
Останется оценить вакуумные средние упорядоченных по
Вику мономов:
W = \>a*(xi)...a*(xn)w(x)dx.
Мы сделаем это с помощью кластерного разложения
[GliJaSpl]. В действительности, прежде чем производить
оценку, мы разложим (Q, WQ), применяя интегрирование по
частям1), для того чтобы выделить зависимость от константы
связи Я, в низших порядках (см. разд. 4). Например, таким
способом во втором порядке мы получим массовую поправку
к (f, |i/>v
Действуя таким образом, мы не сумеем вычислить физи-
физическую массу m точно, но сможем вычислить в низших по-
порядках необходимые поправки к /п0. (Здесь мы предпола-
предполагаем, что m разлагается в асимптотический ряд по Я, начи-
начинающийся с /п0.)
Предположим далее, что f подвергнуто масштабному пре-
преобразованию, приводящему к локализации в области импульс-
импульсного пространства порядка 0F), именно f(p)= б~'/8Л(р/б).
(В п. 3.1 мы объяснили, что б—»0 при А,->0.) Тогда
что указывает на дисперсию импульсов одночастичного со-
состояния около р = 0. Аналогично поправка второго порядка
к массе будет равна m2A,2||f|j2 + О(^2б2).
Проведем описанные рассуждения чуть подробнее для
Я (ф6 —ф4) -взаимодействия. Возьмем вектор
Q = a*(fYQ-(Q, a*(fJQ)Q
с Ц / ||Лг = 2~'/4, удовлетворяющий условиям а, Ь, указанным
выше. Рассмотрим
<е, яе>=<е, {в* Ы) a* (f) + a* (f) а* Ы)} а) +
и выполним интегрирование по частям. Выделим в замкну-
замкнутой форме все члены порядка 0, 1 и 2 по Я. Массовые члены
имеют вид
2 {щ + 19ш2 + О (б2 + X3 + 62Я2)}.
Вклад, соответствующий притяжению от диаграммы вида
X
4) Имеется в виду интегрирование по частям в континуальном инте-
интеграле, соответствующем (Q, №Q) по формуле Фейимана — Каца. — Прим.
перед.
208 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
уменьшает энергию на величину порядка —О(8Я). Все дру-
другие вклады имеют порядок О (Я2б) или выше. Положим б =
= Я!+Ё. Тогда для малых Я проигрыш в энергии имеет вели-
величину порядка — О(бЯ) = — О(Я2+Ё) и превышает как диспер-
дисперсионный эффект О(82) = О(Я2+2ё), так и эффект отталкива-
отталкивания (Я2б + Я3)^ О (Xs). Оценки операторных выражений, вхо-
входящих в F, #6), можно получить с помощью кластерного
разложения. На этом завершается набросок доказательства
существования связанных состояний в Я(ф6— ф4)-модели.
Подобные же аргументы должны быть справедливы и
для Яф6-взаимодействия. Однако в этом случае притяжение
имеет порядок О(Я2б). Поэтому мы должны выделить поправ-
поправку четвертого порядка к массе и взять б = Я2+Ё. Для взаимо-
взаимодействия Яф3 + ^6Ф4 нужно сделать так, чтобы 6 стало орто-
ортогональным к одночастичному состоянию (по крайней мере
с точностью до третьего порядка по Я). Тогда мы смогли бы
далее выделить перенормировку массы в четвертом порядке
и положить б = Я2+Е.
Мы благодарны Б. Саймону, указавшему нам на то, что
четные теории технически проще остальных.
Кластерный метод. В четной Р(фJ-модели для 6 вида
C.3.2) имеем
(в, е-Щ = <Ф Ы Ф Ы Ф Ш Ф Ы>с + (Ф Ы Ф Ы> X
X <Ф Ы Ф(ft)> + (Ф Ы ФШ>(ФЫ Ф (&)>,
где (-)с означает связную усеченную часть. Убывание сред-
среднего F, е~ш6) по времени имеет двухчастичный характер,
т. е. имеет порядок O(emi), если только не выполняется
неравенство
C.4.4) (Ф (#,) ... Ф Ы >с > О (е-2 <"»-*>').
В Я(ф6 — ф4)-модели медленно убывающую часть в ((§)
... Ф(§4))с, происходящую от (положительного) вклада <р4,
можно выделить, применяя уравнение Бете — Солпитера. Мы
намереваемся оценить с помощью кластерных разложений
возникающие при этом погрешности. Неравенство C.4.4) то-
тогда означало бы существование массового спектра в Же в
интервале @, 2т — е]. Этот путь представляется нам инте-
интересным. Однако в отличие от вариационного метода, описан-
описанного выше, сейчас у нас еще нет оценок погрешности, осно-
основанных на таком методе. С другой стороны, отметим, что су-
существование двухчастичных связанных состояний в четной
Р(фJ-модели со слабым взаимодействием (как это было
установлено вариационным методом) приводит к неравенству
C.4.4).
Корпускулярная структура модели, I 209
4. Локализация в фазовом пространстве и перенормировка
4.1. Результаты, полученные для ^-модели
В серии связанных между собой статей мы разработали
метод сходящихся разложений [GliJaSpl,2] и сходящихся
оценок сверху [Gli Ja 4, 8] для квантовополевых моделей. Эти
разложения и оценки нужны для решения проблемы снятия
обрезаний к, А, т. е. для перехода к бесконечному объему
в фазовом пространстве. В большей части докладов на этой
конференции обсуждается предельный переход A-+R2. Од-
Однако существование предела при к—юо (снятие ультрафио-
ультрафиолетового обрезания) в Yz и в моделях более высоких размер-
размерностей представляет собой наиболее важную проблему и для
физики, и для математики; мы надеемся, что эти «ультрафио-
«ультрафиолетовые проблемы» будут привлекать все более пристальное
внимание в конструктивной теории поля. В этом разделе мы
опишем результаты, полученные для ф^-модели.
Пусть йФс — гауссова мера с ковариацией С, и пусть йф
обозначает, что выбрана С —(— А + /П2,)". Обозначим через
V(A, к) евклидово действие, равное сумме части Vi, отвечаю-
отвечающей ф4-взаимодействию, и части Vc, содержащей контрчлены.
Тогда')
Ac:/?*
a Vc — контрчлены, вычисленные для функций Грина во вто-
втором и третьем порядках теории возмущений. Вакуумный
функционал для действия V = Vi + Vc
Z(A, к)=
содержит ультрафиолетово расходящиеся контрчлены.
Теорема 4.1.1. [Gli Ja 8]. Для О^Л
D.1.1) Z{A, х)<е°<|Л|>
равномерно по к. Для Я в любом конечном интервале D.1.1)
также выполняется равномерно по Я.
Обозначим через Я (у) перенормированный гамильтониан
й ф
р () ррр
*- модели, определенный формально равенством
: dx-E2-E3.
') Здесь Фк = Фи(х) = Ф (йи (• — х)), где йие^ (Л3) при 0 < к < <х>
н hH (х — у) -> б {х — у) при к -> оо. — Прим. перев.
210 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
Здесь Ьт\, Е2 и Е3 — гамильтоновы контрчлены во втором и
третьем порядках теории возмущений. (Эти контрчлены отли-
отличаются на бесконечную константу и конечную перенормировку
(transient) от контрчленов для функций Грина (см. [Gli Ja8]).)
Следствие 4.1.2. Гамильтониан Н(у) ограничен снизу
константой, пропорциональной объему \ v\:
D.1.2) 0<Я(о) + О(|о|).
Это следствие вытекает из теоремы и того факта, что
(Я(у, к), Яо) Ф 0> где Q(v, к)—основное состояние H(v,k).
В действительности
<Qo, е-Ш@- *>Й0> = ехр [- tE (v, к)-А (о, х) + Т {v, je, <)],
где E(v, к)—частично перенормированная энергия вакуума,
равная нулю во втором и третьем порядках и сходящаяся при
х-^оо в конечном объеме. Константа А — логарифмически
расходящаяся1) не зависящая от t констант перенормировки
волновой функции. T(v, к, t) — несущественная величина
(transient), которая ограничена при к->-м и имеет порядок
оA) при t-+oo.
Когда \v\—> оо, константы Е (v, к), A(v,k) и T(v,tt,t) рас-
расходятся. Вклад второго порядка в A(v,k), т. е. ультрафиоле-
ультрафиолетово расходящаяся ее часть, сокращается в Z (Л, к).
Эти результаты обобщил Фельдман [Fe 2], который дока-
доказал следующую теорему:
Теорема 4.1.3. Вакуумный функционал в конечном
объеме Z (Л, к) и (ненормированные) функции Швингера
D.1.3) Z(A,x)S(A,x; fu ..., f«)
сходятся при к—> оо. Пределы непрерывны по К и удовлетво-
удовлетворяют оценке
D.1.4) |Z(A)Z(A; f,, .... MK
где II • II — некоторая норма на пространстве Шварца.
Из непрерывности по А, и условия Z(A) = 1 при К = 0 сле-
следует, что для фиксированного Л и достаточно малого К
Z(A)> 1/2. Таким образом, для фиксированного Л и малого
Я, приближенные функции Швингера S(A;/i, ..., /п) не рав-
равны тождественно нулю и
D.1.5) 12(A; f,, .... М
') При к -»- оо. — Прим. перев.
Корпускулярная структура модели, 1 211
Следствие 4.1.4 [Fe2]. Для достаточно малых К функ-
функции Швингера в конечном объеме Л являются моментами
некоторой единственной меры dq на 9"(R3), причем
= lim Z(A, K)~le~v^- wd4>= lim dq
Vl
Доказательство этого следствия основано на изучении от-
отклика Z на внешнее евклидово поле, а именно на изучении
— производящего функционала для (несвязных) функций
Швингера. Этот функционал для />(фJ-моделей изучал Фрё-
лих (см. также [Gli Ja 13]).
Конечно, чтобы получить полностью релятивистскую тео-
теорию, следует рассмотреть предел при Л—*RZ функций Швин-
Швингера S(A; •) и мер dq^. Нам кажется, что уравнения Кирк-
вуда — Зальцбурга ч. II можно будет обобщить на <р|- модель
и доказать существование таких пределов. Фактически ло-
локальные оценки теоремы 4.1.3 и следствия 4.1.4 имеют в точ-
точности вид локальных оценок, которые применялись при до-
доказательстве кластерного разложения в /э(фJ-модели. Мы
предполагаем, что Z(A)^exp(—О|Л|) для малых X. Мы
надеемся, что подобные оценки приведут к доказательству
аксиом Вайтмана для ф^-модели ').
4.2. Разложение на элементарные шаги
Доказательство основных оценок для Р(ц>J- и ф^- моделей
основано на применении четырех элементарных равенств и
оценок, относящихся к негауссовой мере
D.2.1) е-?^нЫфс.
Эти четыре шага суть:
I. Преобразование ковариации С.
II. Преобразование ехр V.
III. Оценка викова упорядочивания.
IV. Интегрирование по частям.
Различные комбинации из этих четырех шагов приводят
к нужным разложениям и оценкам. Наиболее трудная часть
конструкции заключается, вообще говоря, в том, как скомби-
скомбинировать эти шаги так, чтобы выделить желаемые свойства
модели и в то же время сохранить сходимость. Мы приме-
применяем три способа разложения в ряды:
') См. примечание на стр. П.— Прим. ред.
212 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
a) Простые разложения. Мы опишем определенную после-
последовательность элементарных шагов, которая позволяет по-
получить такое разложение, как, например, разложение для ZS
в ч. II.
b) Ряд Неймана. В ряд Неймана (/ — Ж)~х = ? Жп pa-
part
складываются решения уравнения Кирквуда — Зальцбурга
ч. II, полученные с помощью простого разложения Z.
c) Индуктивные разложения. Мы опишем, как каждый
возможный член (интеграл) выбранного разложения разло-
разложить на сумму подобных же членов.
В определении наших разложений и оценок имеется зна-
значительный произвол. Наибольший простор остается при ин-
индуктивно определенных разложениях, так как здесь нет по-
попытки записать такое разложение в замкнутой форме или
получить его как обращение некоего оператора. Отметим еще,
что именно индуктивные разложения и оценки дают наиболее
детальную информацию о наших моделях, включая положи-
положительность гамильтониана в (^-модели [Gli Ja 8] и ф-оценке
для произвольных констант связи [Gli Ja 4]. В этих разложе-
разложениях и оценках не используются какие-либо частные гранич-
граничные условия для ковариации С, так что они имеют более
широкую область применимости.
Опишем теперь наши элементарные шаги; первые два
шага — это просто некоторые фундаментальные теоремы из
анализа.
I. Преобразование ковариации С. Пусть Са = аС\ +
+ A —а)Со — семейство интерполирующих ковариации, и по-
положим
1
= d<?ca + \ (С[ — Со) АФ $ da d<3)ca.
Эта формула применяется при переходе к бесконечному объе-
объему (см. ч. II). Она доказывается интегрированием по частям
в функциональном пространстве [Di Gli] (см. также доказа-
доказательство IV ниже). В настоящей части эта процедура не ис-
используется.
II. Преобразование ехр V. Пусть Va, ae[O,l]- диффе-
дифференцируемое семейство интерполирующих евклидовых дей-
Корпускулярная структура модели, I 213
ртвий. Тогда
1 1
f4.2.2} в~ ' = в ° -4- V —;— в~ а da = в~ ° — \ —г-^- в ° но.
о о
Мы применяем это тождество для того, чтобы уменьшить
величину верхнего обрезающего импульса (ультрафиолето-
(ультрафиолетового обрезания) в действии V при доказательстве положи-
положительности гамильтониана для Я(фJ- и ф^-моделей (см. [Gli
Ja 7,4] и [Gli Ja 8] соответственно). Мы будем называть это
равенство формулой Дюамеля.
Интегрирование D.2.2) приводит к неперенормированному
ряду теории возмущений. При наличии ультрафиолетового
обрезания этот ряд расходится, потому что в п-м порядке
возникает О (я!2) диаграмм. Например, для одной степени
свободы
00
dq Ф 2 ±^1 \ e-'q* dq,
п=0
так как ряд в правой части расходится. Поэтому необходимо
модифицировать теорию возмущений; для этого мы будем
применять шаг III.
III. Викова оценка. Для : ф? ' имеем
е0Aп»и)|А| d — 2,
D.2.3)
Эта оценка получается интегрированием неравенства
по пространственно-временному объему Л. Здесь
О (In к), d = \
Эта викова оценка применяется для того, чтобы увеличить
значение нижнего обрезающего импульса (инфракрасного об-
обрезания) р в ехр{— V(A, к, р)}. Наши разложения обрывают-
обрываются, если к = р.
IV. Интегрирование по частям:
D.2,4)
214 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
Мы применяем эту формулу интегрирования по частям для
того, чтобы получить вычитание расходящихся контрчленов
в Vi — Vo из D.2.2). В [Gli Ja 4, 8] мы использовали другие
формы D.2.4), названные там формулой переноса и форму-
формулой сжатий.
Формулу D.2.4) легко доказать, рассмотрев конечномер-
конечномерные аппроксимации континуального интеграла. Выберем гаус-
гауссову меру dON, сходящуюся к йФс'-
т Е bCTh) (П
где Сц—матрица ковариации, а N — нормировочная констан-
константа. Обычное интегрирование по частям тогда дает
,=\
Обращая С, получим равенство
которое сходится к D.2.4) при ^Флг -»• йФс.
Для упорядоченных по Вику мономов аналогично полу-
получим
В качестве примера проинтегрируем по частям один множи-
множитель в простом выражении
= - 4 \dy \: Ф3^): С (х- у):
Дальнейшее интегрирование по частям дает
D.2.5) $:Ф4(*):е~"$:ф4:</г<*Фс =
= l\\dyC{x- уу\е~г-Ф*-аг йФс
плюс другие слагаемые.
Корпускулярная структура модели, I 215
4.3. Синтез элементарных шагов
При комбинировании элементарных шагов мы пресле-
преследуем две основные цели. Во-первых, мы хотим получить схо-
сходящиеся разложения в данном объеме пространства — вре-
времени или фазового пространства. Во-вторых, добиться поли-
полиномиального убывания взаимодействия между различными
областями локализаций. В ч. II вакуумное кластерное разло-
разложение для Р(<рJ-моделей будет описано более подробно.
В этом случае локализация в импульсном пространстве не
является необходимой (нет ультрафиолетовых расходимо-
стей) и наши области локализации представляют собой объ-
объединение единичных квадратов решетки в пространстве —
времени. После снятия обрезания эффективное взаимодей-
взаимодействие далеко отстоящих друг от друга областей убывает экс-
экспоненциально, а скорость убывания определяет физическую
массу. В этом разделе мы опишем основные идеи локализа-
локализации в фазовом пространстве, которая будет использована при
работе с ультрафиолетово расходящейся (^-моделью и с по-
помощью которой получаются результаты, суммированные в
п. 4.1. Для гладкого обрезания в импульсном пространстве
будет получено полиномиальное убывание эффективного взаи-
взаимодействия.
Для простоты мы будем обсуждать только вакуумный
функционал Z. Фиксируем конечный объем Л и посмотрим,
как Z зависит от ультрафиолетового обрезания х. Модифика-
Модификацию ряда теории возмущений произведем с помощью инфра-
инфракрасного обрезания р в действии V. Для того чтобы обеспе-
обеспечить ограниченность V(tt,p) снизу, введем импульсные обре-
обрезания симметричным образом: интегрирование по каждой
компоненте импульса в фурье-представлении для V(x, p)
ограничим одним и тем же интервалом [р, к].
Выполним наши разложения для интегралов вида
D.3.1)
где R — полиномиальная функция от Ф.
На каждом шаге разложения интеграл D.3.1) заменяется
на сумму подобных членов. Производится такое преобразо-
преобразование ряда теории возмущений при больших импульсах, что-
чтобы уменьшить к, и такая модификация этого ряда при малых
импульсах, чтобы увеличить р. В начале разложения р = О
и к¦= ко. Разложение обрывается, когда р = и, т. е. когда
V(k, р) = 0, а D.3.1) сводится к сумме гауссовых интегралов
\ R ЙФ. Эту сумму мы и оцениваем равномерно по щ.
216 Док. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
Правила, по которым чередуются шаги разложений, до-
довольно сложны. Основная идея заключается в том, чтобы по-
получить малый вклад от каждой высокоэнергетической вер-
вершины в /?, выполнив явно перенормировочные вычитания. Мы
избегаем появления (п\)г членов, возникающих при итера-
итерациях D.2.2), с помощью модификации ряда теории возму-
возмущений.
Разложение в области больших импульсов. Применим
шаг II для того, чтобы уменьшить к, взяв V\ = V(k, р), Vo =
= V(k, р). Первый член в D.2.2) имеет желаемую форму.
Второй член имеет такое же ультрафиолетовое обрезание и
новую вершину 8V = dVJda в R. Так как 8V имеет инфра-
инфракрасное обрезание к, мы хотим, чтобы 8V вносило в наши
окончательные оценки улучшающий сходимость множитель
х~е. Доказательство этого утверждения получается только
после того, как произведено перенормировочное вычитание
расходящихся контрчленов 8VC в 6V. Применяя далее шаг IV,
проинтегрируем по частям 8V\, а именно Ф4 — член в б У.
Проинтегрируем также любое новое V\, которое появилось
в R в результате дифференцирования экспоненты. Таким об-
образом, мы получили в замкнутой форме (и произвели вычи-
вычитание) ультрафиолетово расходящиеся части 6У. Например,
в D.2.5) мы выделили вклад второго порядка в энергию ва-
вакуума. Вакуумные и массовые контрчлены третьего порядка
содержатся среди «других слагаемых» в D.2.5). Вклады
в энергию вакуума в точности сокращаются с соответ-
соответствующим контрчленом в бУс. Диаграмма перенормировки
массы после сокращения дает остаток порядка 0(и~8).
Остающиеся после этой процедуры «другие слагаемые» схо-
сходятся и поэтому тоже дают вклад порядка к~е в окончатель-
окончательную оценку.
Таким образом, шаги II и IV чередуются таким образом,
чтобы дать вклад одного порядка (т. е. одну 6У) в разложе-
разложении перенормироваиной теории возмущений. Ввиду присут-
присутствия большого числа членов необходимо модифицировать
это разложение после введения й6 вершин бУ.
Разложение в области малых импульсов. Модификацию
рядов теории возмущений произведем, увеличивая инфра-
инфракрасное обрезание в показателе экспоненты. Применим сна-
сначала шаг III для того, чтобы увеличить р от ? до р. Викова
оценка —это Loo-оценка в пространстве траекторий, поэтому
мы собираемся применить ее к такому кубу А в простран-
пространстве-времени, в котором D.2.3) остается ограниченным, т, е.
Корпускулярная структура модели, I 217
к кубу, для которого р2| А| ^ 0A). Это ограничение означает,
что величина L = |Д|'/з удовлетворяет условию
D.3.2) L^O (р-%)
и определяет нашу локализацию в фазовом пространстве.
С другой стороны, для того чтобы локализация была реаль-
реальной, принцип неопределенности требует, чтобы выполнялось
условие
D.3.3) О (?-')< I,
т. е. чтобы область порядка 0(р-'), на которой размазан вол-
волновой пакет (вследствие локализации в импульсном простран-
пространстве), была меньше L. Мы видим, что D.3.2) и D.3.3) сов-
совместимы. Эта совместимость по существу является следствием
суперперенормируемости. Для ф^-модели вместо D.3.2) мы
бы получили L s=; 0(p-'), что лежит награни наших оценок.
Наш анализ показывает, что мы должны рассматривать
по отдельности кубы А, принадлежащие покрытию простран-
пространства-времени 3) (к тому же некоторые А стремятся к нулю
при хо—юо). Таким образом, мы фактически имеем дело
с ультрафиолетовой и инфракрасной функциями обрезания
х(Д), р(А), зависящими от А.
Заметим далее, что при виковой оценке D.2.3) прихо-
приходится иметь дело только с частью 8V, равной У(х, р) —
— V(k, p) и содержащей только малые импульсы. Эта часть
равна У(р, р), т. е. содержит импульсы, меньшие р. Для того
чтобы можно было увеличить инфракрасное обрезание в по-
показателе экспоненты, нужно избавиться от перекрестных чле-
членов в 8V. Мы мажорируем эти перекрестные члены с по-
помощью вкладов от области малых импульсов и функции
V(%, p) — нового показателя экспоненты. Эта процедура до-
довольно сложна, но не вызывает принципиальных затруднений,
см. [GliJaS]. Однако в модели q>^ именно эти перекрестные
члены приводят к расходимостям, соответствующим перенор-
перенормировке константы связи, что и составляет основную про-
проблему.
Независимость ячеек в фазовом пространстве. Для локали-
локализации в фазовом пространстве следует использовать параметр
порядка d:
d = евклидово расстояние X инфракрасное обрезание.
218 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
Если обрезание по импульсам гладкое, стандартные оценки
по размерности дают убывание корреляций порядка O(d~n)
между различными ячейками в фазовом пространстве с пра-
правильной локализацией. Любое такое убывание для п > 3 до-
достаточно для того, чтобы оценить вклад членов, зависящих
от расстояния, в сумме по фазовым ячейкам (диаметр кото-
которых стремится к нулю при х0—>оо). Отметим в заключение,
что в предельной теории без ультрафиолетового обрезания
мы предполагаем наличие экспоненциальной факторизации
и массовой щели.
НОРПУСКУЛЯРНАЯ СТРУКТУРА Р(ф)-МОДЕЛИ
СО СЛАБЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
И ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ *J)
Часть II
КЛАСТЕРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
Содержание
1. Введение
2. Основные результаты
3. Кластерное разложение
4. Факторизация и аналитичность: доказательство основных результатов
5. Сходимость кластерного разложения: основные идеи
6. Уравнение типа Кирквуда —• Зальцбурга
7. Операторы ковариации
8. Производные операторов ковариации
9. Гауссовы интегралы
10. Сходимость кластерного разложения — завершение доказательства.
1. Введение
С точки зрения физики при изучении квантовополевых
моделей возникают две основные задачи. Первая заклю-
заключается в том, чтобы выявить физически интересные явления
(например, спектр частиц, связанных состояний и резонан-
сов, существование нарушенных симметрии, асимптотический
характер рядов теории возмущений) в двух- и трехмерных
моделях3). Эта задача включает описание математической
структуры, соответствующей этим явлениям, и качественную
характеристику того, при каких взаимодействиях и значениях
параметров возникают те или иные явления. Нам кажется,
что существующие в настоящее время методы позволяют
решить эту задачу; описание первоначальных успехов в этом
направлении и составляет предмет настоящей лекции. Вторая
задача заключается в том, чтобы доказать существование не-
нетривиальных квантованных полей в четырехмерном простран-
пространстве-времени. Но здесь, по-видимому, нужны новые идеи, су-
существенно дополняющие те, что уже были использованы при
построении квантованных полей.
*) См. примечание к части I этой статьи иа стр. 169.
2) Более аккуратное изложение многих результатов этой лекции см.
в [Gli Ja Sp 1]. — Прим. перев.
3) Для трехмерного пространства-времени необходимо еще закончить
доказательство существования квантованных полей. Однако в настоящее
время в этом направлении сделано достаточно, так что можно отбросить
всякие сомнения в их существовании (см. примечание на стр. 11.—Ред.).
220 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
Эти две задачи интересны также и с математической точ-
точки зрения. Кроме того, отметим еще третью задачу, которая
состоит в том, чтобы найти более общий подход к уже по-
построенным решениям. В частности, при построении кванто-
квантованных полей естественно возникают эллиптические уравнения
с бесконечным числом независимых переменных, негауссовы
континуальные интегралы от функционалов от нескольких
переменных и С*-алгебры.
Результаты в области квантовополевых моделей могут
подсказать новые направления дальнейшего развития этих
теорий.
В ч. II этих лекций подробно описано высокотемператур-
высокотемпературное (кластерное) разложение, с помощью которого доказы-
доказывается свойство экспоненциальной факторизации функций
Швингера, а также их аналитичность по константе связи К
для X в ограниченном секторе
0<|А|<А0( -Jl<arga,<-|
для Р(ф)г-моделей. Другие применения этих разложений к
изучению квантовополевых моделей были описаны в ч. I этих
лекций, см. также [Gli Ja 4, 8, Sp 2].
Наши разложения тесно связаны с вириальными и кла-
кластерными разложениями статистической механики [Ru, гл. 4].
Аналогия, существующая между статистической механикой
и Р(Ф) -квантовой теорией поля, известна уже довольно дав-
давно. Обсуждение связи статистической механики с квантовой
теорией поля см. в работе Гуэрры, Розена и Саймона [Gu Ro
Si 3] и в ч. I настоящих лекций.
Кластерное разложение, описываемое в настоящих лек-
лекциях, применимо только для случая слабой связи. Но мы
надеемся, что техника аналогичных разложений будет приме-
применима при любых значениях параметров, достаточно далеких
от критической точки1). Отчасти эта наша надежда основана
на существовании низкотемпературных разложений, разрабо-
разработанных в статистической механике Пайерлсом и Минлосом и
Синаем [Mi Sin 1,2], а также в работе Добрушина и Минлоса
[Dob Mi]. Обнадеживающе выглядит и обобщение описанных
здесь разложений на случай большого внешнего поля, сде-
сделанное Спенсером [Sp 2].
Внутри своей области сходимости методы кластерных раз-
разложений могут дать наиболее подробную информацию об ин-
интересующих нас явлениях. Фактически именно с помощью
этих методов получена наиболее полная информация относи-
относительно энергетического спектра выше уровня энергии Е = О
') См. примечание 1 на стр. 186.
Корпускулярная структура модели, II 221
вакуума. Корреляционные неравенства, теорема Ли — Янга и
другие аналитические методы дополняют эту технику и часто
дают результаты вне области сходимости кластерных разло-
разложений. См. [Gu Ro Si 3, Le Pe, Sp 2] и другие лекции на этой
конференции.
В статистической механике кластерным разложениям со-
соответствует следующее разложение плотности гиббсовского
ансамбля:
A.1) П П №
i<I l<!
Г A,/)еГ
Здесь Г —множество различных неупорядоченных пар (i,j),
т. е. графов Майера, и суммирование производится по всем
таким графам. Эта формула представляет взаимодействие
e-bv(xi-xl) Между различными частицами i и / (i ф j) как
сумму члена с нулевым взаимодействием, 1, и взаимодей-
взаимодействия е""в^ (*'"¦*/)—1, которое мало при высоких темпера-
температурах kT=$-K
Эвристически роль гиббсовской плотности в /3(ф)г-модели
играет мера
A.2) ехр[- J [&(*) + W (Ф(х))] dx] Д d<b(x).
Здесь
A.3) Фо W= ±(ЧФ{х)J + т1Ф(х?.
Формальное выражение
A.4) exp[-^0(x)dx] Л d<b{x)
обозначает гауссову меру на 9"{R2) со средним, равным ну-
нулю, и ковариацией
A.5) С0 = (-А + т2)-'.
Для гауссовой меры с ковариацией С мы будем применять
обозначение йФс, так что A.4) = ^Фс0- Можно считать, что
A.2)—это каноническая гиббсовская плотность для попе-
поперечных колебаний упругой мембраны под действием нелиней-
нелинейной силы
F = - т^Ф (х) — IP' (Ф (*)),
проинтегрированная по импульсной переменной П(д;).
222 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
Взаимодействие между различными точками в A.2) пол-
полностью обусловлено членом (УФ) в $о(х), так что
ехрГ—^(УФ)?с?л:] в A.2) играет роль ехр(—pF) в A.1).
Наше кластерное разложение сконструировано наподобие
A.1). В теории, в которой полностью отсутствует взаимодей-
взаимодействие между различными точками, лапласиан в
заменяется на нуль. Получающаяся при этом ультралокаль-
ультралокальная теория поля [Ю, New 3] сильно отличается от теории, опре-
определяемой мерой A.2). Мы хотим оценить различие этих двух
теорий. Для этого поступим следующим образом.
Во-первых, введем в R2 двумерную решетку Z2 и сделаем
решеточное приближение в разложении, обобщающем A.1).
Мы не будем заменять меру A.2) мерой на решетке и по-
поэтому получим разложение непосредственно для непрерыв-
непрерывной Р(ф)г-теории в бесконечном объеме, а не для решеточного
приближения к этой теории. Пусть Г обозначает множество
линий, соединяющих заданные точки решетки с некоторыми
из их ближайших соседей1), и пусть Дг— оператор Лапласа
с граничными условиями Дирихле2) на Г и положим3)
A.6) Сг = (-Дг + т^)-'.
Тогда с?Фсг играет роль расщепляющейся (decouple) меры,
причем расщепление происходит на ребрах Г4). В резуль-
результате наличие решетки обеспечивает дискретность переменных
в сумме и-в произведении 2 П в A.1) даже в том слу-
г а, «ег
чае, когда эта формула применяется к непрерывной Р(ф)г-
модели.
Во-вторых, регуляризуем разность, соответствующую
ехр(—$V(Xi — Xj))— 1 в A.1). Такую разность между двумя
') Такие линии в дальнейшем будем называть ребрами. — Прим. перев.
2) С точки зрения этого обсуждения были бы более уместны гранич-
граничные условия Неймана, но мы применяем условия Дирихле, потому что они
технически проще.
3) Оператор (— Дг + /Иц) — это по определению расширение по Фрид-
рихсу в L2(#2) полуограииченного снизу симметрического оператора
(— Д + тр), заданного на С?° (и? — Г) (см. [Gu Ro Si 3]). — Прим. перев.
*) Для сравнения с A.1) Г следовало бы заменить на (Z2)*\r, где
(Z2)* — множество всех ребер решетки Z2.
S
Корпускулярная структура модели, // 223
гауссовыми мерами можно представить в виде
i
о
где С (s)=sC!-f (I —s) С2. Эта формула применима с тем же.успе-
хом к интересующей нас негауссовой мереехр Г—Я \ Р (х) dx\d<bG.
Существует простая формула для вычисления -^-cKD>c(s),
а именно [DiGH]:
A.7) ±\Р AФсМ = | J (С (s) ДФ) F tf Фс w,
где
A.8) С- [S) ¦ ДфР ¦= -^ S С E, х, у) бф (^б;ф ^ f rf» dy =
SA2
{С, (х, у) - С2 (х, у)] бф(х)бф(у) F dx dy
И C(s,x,y) —ядро C(s).
Доказательство этой формулы сводится к интегрированию
по частям в континуальном интеграле. В интересующем нас
случае C\ = Cpt, C2 = CFl и интегрирование по частям дает
Нужную регуляризацию ') —^ dOc («>.
2. Основные результаты
Для достаточно малых значений KJtnl мы Докажем суще-
существование экспоненциальной факторизации функций Швин-
гера. Эта фактбризация будет установлена для конечного
объема, но полученные при этом оценки не будут зависеть
от его величины. Отсюда легко вывести, что функции Швин-
гера сходятся при переходе к бесконечному объему и что
предельные функции тоже обладают экспоненциальной фак-
факторизацией (и не зависят от граничных условий) (см. [Gli Ja
Sp 1]). Применяя теорему реконструкции Остервальдера —
Шрадера к предельным функциям Швингера, можно
') Формально —г- Фс {s) =• 1 (Ф) d<bc (s), где Якобиан / есть /(Ф)
= !¦ J : Ф (х) [С (s)-1 С (s) С (s)-1] (х,у) ¦ Ф (у): dx dy = - 1 \ : Ф (ж) X
—г~ C~l(s) \(х, у) Ф(у): dxdy. Поскольку СГ| и СГ: взаимно сингу-
сингулярны, при 1\ ф Г2 следует ожидать наличия сингулярности в / (Ф).
224 Дж. ГлимМ, А. Джаффе, Т. Спенсер
построить отвечающую бесконечному объему Р(фJ-теорию,
в которой будут выполнены все аксиомы Вайтмана и физи-
физическая масса будет положительна. Мы покажем также, что
функции Швингера аналитичны по X для X в ограниченном
секторе
B.1) 0<|М<в, — я/2 < arg X < л/2.
Пусть 9" — множество выпуклых линейных комбинаций
операторов ковариации A.6) с граничными условиями Ди-
Дирихле. Основные свойства мер dG)c, C^ff, сформулированы
в разд. 9 (с целью их использования при доказательстве оце-
оценок разд. 10). Но для того чтобы иметь возможность ввести
нужные для дальнейшего элементарные определения, отметим
уже здесь, что для ограниченного измеримого множества
Лег/?2 и С «ее<В
B.2) V (Л) = \ : Р (Ф (*)) :dxeELp {9", йФс)
л
и
B.3) ехр [- XV (Л)] €= Lp (У, с1Фс)
для всех ре[1,м) и Re^^O. (См. предложение 9.3 и тео-
теорему 9.5.) В B.2) полином Р произволен, а в B.3) Р полу-
полуограничен снизу. Виково упорядочение в B.2) берется отно-
относительно фиксированной меры &ФС0 из A.4), даже если
С ф С@. Для того чтобы упростить последующее обсуждение,
возьмем Л равным объединению квадратов решетки, а при
рассмотрении предела Л—>¦ оо будем считать, что Л — квадрат
с центром в начале координат1).
Пусть
B.4) Z (Л) = 2 (Л, С) =
В теореме 6.1 ниже утверждается, что Z(A)#0. Благодаря
этому можно ввести меру
B.5) dqx = dqAi c = Z (Л, С) е~м (Л) с1Фс.
Функции Швингера в конечном объеме — это по определе-
определению моменты меры dqA:
B.6) SA(*,, ...,*„)
') Более общее обрезание, которое требуется для доказательства ев-
евклидовой ковариаитиости предела А-»-», можно получить, вставив не-
неотрицательную L°°-функцию h в интеграл B.2). Такое h не влияет иа
дальнейшее обсуждение.
Корпускулярная структура модели, II 225
Sa является обобщенной функцией умеренного роста из
9"{R2n). Чтобы в этом убедиться, проинтегрируем B.6) с ос-
основной функцией вида w(x) = Wi(xi) ... ш»(х„). Все и+1
сомножителей Ф (w) = \ Ф (xt) wt (х{) dx{ и е~м (Л) в подынтег-
подынтегральном выражении ограничены в силу неравенства Гёльдера
B.3) и следующей оценки, вытекающей из предложения 9.3:
Полезно уметь интегрировать не только мономы в B.4),
но и произведения упорядоченных по Вику полиномов:
B.7) Л= \ : Ф(ж,)в» : ... : Ф(х,р : ю(ж„ ..., х,)dx.
Мы предположим, что afeP7^2^),. хотя было бы доста-
достаточно более слабого условия. Определим supp А как пересе-
пересечение всех таких замкнутых подмножеств CczR2, что
B.8) supp ш cr С X ••• X С (/ раз).
Теорема 2.1. Пусть X принадлежит замыканию полу-
полукруга B.1), и пусть г\т\ достаточно мало. Пусть А и В —
функции на 9" вида B.7) и положим d=dist {supp A, supp В}.
Тогда существует константа М = MAi B и такая константа tn,
не зависящая от Аи В, что
| $ АВ dq^ С0-\А dgAi ^ J В
Z M e~m(*
равномерно по А при Л-*оо, причем М не зависит от сдви-
сдвигов А или В.
Теорема 2.2. Пусть К принадлежит замыканию полу-
полукруга B.1), и пусть e/tnl достаточно мало. Для А вида B.7)
величина \ A dqA с ограничена при Л —* оо равномерно по
К и А.
Используя аналитичность функций Швингера в конечном
объеме, теорему Витали и сходимость при Л-*оо для веще-
вещественных достаточно малых К, получаем
Следствие 2.3. Для достаточно малого e/ml предель-
предельные функции Швингера аналитичны по К в области B.1).
Кластерное разложение
Доказательство сформулированных теорем основано на
кластерном разложении, которое мы сейчас определим.
Пусть SS — некоторое множество отрезков в R2. Нас будут
8 Заказ 351
22б Дж. tAiuiM, А. Джаффе, Т. Спенсер
интересовать два случая: ,$ = (Z2)*— множество всех ребер
в Z2 и $ = (Z2) *\ Г, где Г — конечное подмножество (Z2) *.
Мы идентифицируем подмножество Гей? с подмножеством
Подмножества Гсгй? будут нумеровать члены нашего
разложения. Член, соответствующий Г, имеет разрыв на
C.1) ГС = $\Г
и получается при выборе гауссовой меры с условиями Ди-
Дирихле на Гс. Линии в Гс называются линиями Дирихле. На
линиях 6еГ возникает различие между мерой йФс0 и «ме-
«мерой без взаимодействия» йФсг- Разность между ними вы-
выражается через производные с помощью основной теоремы
анализа (см. ниже).
Операторы ковариации, которые мы рассматриваем, — это
выпуклые комбинации операторов Cv- Для каждого 6eJ
введем параметр s&e[0, 1], характеризующий силу взаимо-
взаимодействия через Ь. Значение параметра sb = 0 соответствует
заданию на b нулевых граничных условий Дирихле, т.е. от-
отсутствию взаимодействия через Ь, а &ъ = 1 соответствует пол-
полному взаимодействию через Ъ. Положив
C-2) « = (
определим многопараметрическое семейство операторов ко-
ковариации
C.3) С(*)= I ЕЧ П O-Sb)cv°-
Поскольку коэффициенты в C.3) удовлетворяют условию
i= П 1-П
бй бй
C.3) — выпуклая линейная комбинация, что и требуется. Ко-
вариация, соответствующая свободному полю, теперь обозна-
обозначается так: С0 = СA, 1, ...,) = (— A + m21)~1, а ковариация,
соответствующая полному отсутствию взаимодействия между
различными областями фазового пространства, есть С^==«
= С@, 0, ...) = (-A*+mg)''.
Функции Швийгера и вакуумный функционал зависят
естественным образом от s, и мы будем применять
Корпускулярная структура модели, II 227
обозначения
л
Z (s) Ss (х) = Z (Л, s) SA,, (х) = Ш Ф (Xl) е~
C.4) J1-1
Z(s) = Z (Л, s) = J е-*" <л> d<D,,
где с?Ф8 = ??Фс(8).
Назначение кластерного разложения в том, чтобы выра
зить величины, учитывающие взаимодействие точек фазового
пространства (sb = 1) через величины, в которых это взаимо-
взаимодействие не учитывается (и которые относятся поэтому к ко-
конечному объему). «Невзаимодействующие» величины имеют
Sb = 0 для многих b e 38, поэтому для их описания удобно
сначала определить s(T) = (в(Г)ь)ь<=$ по формуле
( sb, бе Г,
C.5) *^{о, ЬфТ.
Для конечных Г s(T) определяет граничные условия Дирих-
Дирихле на больших расстояниях (на Гс), а относительно s можно
считать, что оно задает общие граничные условия на Гс и со-
согласуется с s(F) на Г. Таким образом, следующее определе-
определение представляет собой способ выразить тот факт, что F не
зависит от граничных условий на оо.
Определение 3.1. Функция F(s) называется регуляр-
регулярной на бесконечности, если для каждого s
C.6) F{s)=* lim F{s{T)).
{Г /I SS ¦ Г конечно)
Предложение 3.1. Функции C.4) регулярны на беско-
бесконечности. Здесь S сходится в 9" и $<=, (Z2)*.
Поскольку Л фиксировано и ограничено, существование
предела C.6) доказывается элементарно. Мы опускаем дока-
доказательство, так как его легко получить на основе техники,
развиваемой в разд. 7 и 9.
Первый шаг в кластерном разложении заключается в при-
применении основной теоремы анализа к конечному числу нену-
ненулевых параметров в F(s(r)). Положим
и для s и о зададим отношение упорядоченности так, чтобы
o<s^orft<s6 для всех бей?.
8*
228 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
Предложение 3.2. Пусть F(s)~-гладкая функция, ре-
еулярная на бесконечности. Тогда
C.8) F(s) = S
{Гей? : Г конечно) 0<a<s (Г)
Доказательство. Обозначим выражение в правой ча-
части равенства C.8) через G(s). Предположим, что F(s(B)) =
— G(s(B)) для любого конечного подмножества В из $.
Тогда G(s{B)) в точности равно сумме C.8), ограни-
ограниченной на подмножества Г с: В. Поскольку F(s) регулярна
на бесконечности, сходимость суммы следует из предположе-
предположения и C.8) получается переходом к пределу By1 9b. Дока-
Докажем теперь наше предположение. Для функции f(Sb) од-
одного переменного положим
(б6/) («») = / (st) ~ f @) = J <?6f Ы dob,
(Ebof)(sb)
Тогда 1 = Ео-\-Ь (основная теорема анализа) и
C.9) ;~П(?о + б6)= Z ?ГГ6Г,
Ье=В Гс=В
где
бг= П б6, явчг= П А
6«Г 6еВ\Г
Легко видеть, что C.9) приводит к нужному равенству
F(s(B)) = G(s(B)).
Следующий шаг в кластерном разложении заключается
в факторизации и частичном пересуммировании (8.8). Пусть
C.10) R2\rc = Xl{jX2{j ... UXr,
так что каждое Xt есть объединение связных компонент и
Xt Л X, = 0 для i Ф \.
Определение 3.2. Функция F(A,s) называется фак-
торизующейея (decouple) при s = 0, если
C.11) F(A, ()) П
при условий, что выполнено C.10).
Предложение 3.3. Если выполнено условие C.10), то
каждая из мер d<Ds (г> и ехр [— W (Л)] йФ$ (г> факторизуется
в произведение г мер, и i-я мера в этом произведении опре-
Корпускулярная структура модели, II 229
делена на 9"(Xt). Чтобы избежать вопросов, о регулярности,
мы предполагаем, что SS s (Z2) *.
Набросок доказательства. Поскольку C(s(r))
имеет нулевые данные Дирихле на Гс, оператор С(в(Г))
представим в виде прямой суммы сужений C(s(T)) \ L2{Xt).
Отсюда следует факторизация d$)s <гI это можно увидеть с
помощью стандартной формулы для гауссова интеграла от
полинома (теорема 9.1). Поскольку : Р(Ф(х)) : — локальная
функция, ехр[— A,F(A)] также факторизуется, и то же самое
справедливо и для ехр [— KV (Л)] d$)s (Г).
Следствие 3.4. Функции ZS и Z из C.4) — факторизую-
щиеся при s = 0.
Кластерное разложение представляет F как сумму произ-
произведений вкладов от связных графов. Рассмотрим некоторое
интересующее нас множество Хо (например, Хо= {х\, ..., хп}
из C.4)). Графы, которые ие пересекаются с Хо, пересумми-
пересуммируются, давая отдельный множитель в F, отвечающий внеш-
внешней области.
Опишем процесс этого пересуммирования более подробно.
Подставим C.11) в разложение C.8). Это дает
г s(Tt)
C.12) Г (Л, s) = ? Д J dT'F (Л П Х„ в (Г,)) da,
г /-I о
где Г* = Г П Xi. Если Х{ — связные, то суммирование идет
по произведениям связных графов. Пусть теперь Xi в C.10) —
объединение всех компонент, пересекающих Хо, а Х2 — объе-
объединение оставшихся компонент. Пересуммирование заклю-
заключается в том, чтобы фиксировать Х\ и Fi и провести суммиро-
суммирование по всем возможным выборам Гг, т. е.
S(I\)
F (Л, s) = ? J d*F (Л П Xit or (Г,)) da X
лг., г, о
«(Г,)
Х? J d^F(A(]X2a(T2))da.
IV 0
Суммирование по Гг распространяется на все возможные под-
подмножества Г2 ребер в 38 \ XT ')• Поэтому с учетом C.8) сумма
по Г2 равна F (Л AХ2, s (Я \ XT))-
') X] обозначает замыкание Xt. — Прим. перев.
230 Дж. Глимм, Д. Джаффе, Т. Спенсер
Положив Х = ХТ и Г = Гь получим разложение вида
F{A, s)=4ZK{X0, X)F{A\X, s&\X)),
C.13) s<r>
В этих суммах X пробегает множество конечных объединений
замкнутых квадратов решетки, а Г пробегает множество та-
таких конечных подмножеств $1, что:
а) каждая компонента X \ Гс пересекает Хо;
б) Г cilnt Я.
Если для данного X таких Г не существует, то К(Хо,Х)==О.
Теорема 3.5. Пусть Хо — ограниченное множество, и
пусть F — гладкая функция, регулярная на бесконечности и
факторизующаяся при s = 0. Тогда существует кластерное
разложение C.13).
Пример 1. Пусть & = (Z2)* — множество всех ребер в
Z2, и пусть Хо = {*ь .-., хп}. Положим ZS = F, см. C.4).
Заметим, что (s = 1)
C.14) Р(А\Х,8(Я\Х))=-\
~=Z{A\X, s($\X)) ,
так как изменение данных внутри X не влияет на интеграл.
Таким образом, если мы теперь разделим это равенство на Z,
то, используя C.13), получим
C.15) SA (х) == ? J Зг J Д Ф (*,) e-w <лп^) d<bs (г) ds (Г) X
X, Г I
XZdx{A\X)/Z{A).
Если мы представим X \ Vе в виде объединения связных
компонент, интеграл в C.15) можно будет факторизовать,
как в C.12).
Пример 2. Пусть Tic:(Z2)* и Гг = T\\bi — конечные
множества ребер на решетке, где Ъ\ — первый элемент Y\ при
некотором лексикографическом упорядочении (Z2)*. Мы хо-
хотим применить кластерное разложение (по всем ребрам
Корпускулярная структура модели, II 231
b ф Ь\) для того, чтобы изучить разность Zr, — Zr2, где
Поэтому положим ^ = (Z2)* \bu X0 = bx. Z тогда будет функ-
функцией пары (s, «б,). Определим
( Z(A>S{Tc),O)-Z{A,s(re),l),
/1(A>S)-ln0)
Это определение таково, что F (s = 1) = Zr, — Zr, для Ь с Л.
Далее, F является гладкой функцией, регулярной на беско-
бесконечности и факторизующейся при s = 0. (Последнее свойство
имеет место потому, что Ь\ не входит в $J.) Заметим, что F не
зависит от переменных s& для b e Гг, поэтому д F = 0 при
6 е Г2. Таким образом, Гг, соответствующее ненулевым чле-
членам разложения, состоит из линий Дирихле в кластерном
разложении для F, и в C.13) мы можем наложить дальней-
дальнейшие ограничения на Ер:
в) ГЛГ2 = 0.
Из C.13) имеем
F (A, s = 1) = Zr, (Л) - Zr, (Л) =
Л
Здесь X* — множество ребер на решетке, принадлежащих X,
а последнее равенство имеет место потому, что второй из
сомножителей в этом выражении не зависит от s&, b&lntX
Умножим и разделим это равенство на Z3A(A)'Anxl, где Д-
некоторый квадрат на решетке. Поскольку
Zok (АI ЛП*' Zr.ux* (Л \ X) =- Zr.ux* (Л),
мы получим (с новым К)
C.16) Zrl*=Zrl\»1 + 5 *(&!, Г,,
C.17) *(&„ Г,, X) =
г
Эти уравнения имеют структуру, промежуточную между
уравнениями Кирквуда — Зальцбурга и Майера — Монтрол-
ла. Они будут изучены в § 6 с тем, чтобы получить оценку
Zr/Z, т.е. второго сомножителя в C.15).
232 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
4. Факторизация и аналитичность: доказательство основных
результатов
В этом разделе мы докажем свойства факторизации и
аналитичности — основные результаты этих лекций, приняв
в качестве гипотезы сходимость кластерного разложения
C.15). Пусть Т(х, А, X, Г) обозначает X — Г член в C.15),
так что
D.1) SA(*)= ZT(x,A,X,T).
х,т
Для произвольной основной функции w^9'{R2n) ряд
D.2) \Sb{x)w{x)dx= ?<а>, Г>
X, Г
сходится абсолютно. Скорость сходимости определяется \Х\,
объемом X. Для любого К > 0 мы докажем, что
<4-8) «
где | w | — некоторая (зависящая от п) ^-иорма w.
Теорема 4.1. Пусть дано К > 0. Пусть то достаточно
велико, а е достаточно мало (в зависимости от К), и пусть Я,
принадлежит замыканию B.1). Тогда существует Э'-норм.а
[ • |, такая, что D.3) справедливо равномерно по к, по А и D,
a \w\ инвариантно относительно сдвигов по любой перемен-
переменной.
Из доказательства этой теоремы следует, что подынтег-
подынтегральные выражения А вида B.7) можно подставлять в
C.15). Таким образом, теорема 2.2 и следствие 2.3 вытекают
из D.3) при#= !,?>= 1.
Теорема 2.1 также следует из сходимости кластерного
разложения. Проще всего провести доказательство для двух-
двухточечной функции при четном взаимодействии, и, поскольку
оио хорошо иллюстрирует основные идеи, мы рассмотрим
сначала этот случай.
Доказательство теоремы 2.1 (для п = 2, Р чет-
четного) в предположении справедливости теоремы 4.1.
Поскольку Р — полином взаимодействия в A.2) — четный,
преобразование Ф(х) —* — Ф(х) является симметрией теории.
Для гауссовых интегралов, получающихся при факторизации
меры ехр [— АУ]а!Фс<»(г)) (ср. предложение 3.3), справедливо
Корпускулярная структура модели, И 233
более сильное утверждение: симметрией является преобра-
преобразование
D.4) Ф (х)-+ а (х)Ф(х),
где а(х) = ± 1, о(х) = const на каждом Xt.
Ввиду симметрии Ф¦*¦> — Ф, S\(хи ..., хп) = 0 при нечет-
нечетных п. Аналогично,
за исключением случая, когда каждая из связных компонент
Х\, ..., Хг содержит четное число точек xt. Поскольку
дт0 = 0, такое же равенство Т(х, Л, X, Г)=0 имеет место
всегда, за исключением случая, когда каждое из Xj содержит
четное число точек Х{. Так как каждое из Xj содержит по
меньшей мере одну точку хг в силу условия а) разд. 3, то
каждое Xj должно содержать по меньшей мере две точки х}.
Таким образом, для п = 2 имеется только одно Xj. Другими
словами, X \ Гс связно. Пусть d определено, как в теореме
2.1. Положим w = a>i ® w2, Поскольку X связно и supp Wi fl
п ХФ0, имеем d<;|*|+l. Тогда в силу D.2), D.3)
A (*,, х2) Wi (*,) w2 (x2) dx | < | w | е-* (°-2>
Так как одноточечная функция Швингера Sx(xi) для четного
Р равна нулю, то этой оценкой завершается доказательство
теоремы 2.1.
Доказательство теоремы 2.1 (общий случай) в
предположении справедливости теоремы 4.1.
Идея доказательства, как и раньше, заключается в том,
чтобы свести кластерное разложение к членам, включающим
только одну связную компоненту Х^ = X. Члены, которые со-
содержат две или более связные компоненты, равны нулю
ввиду наличия некоторой симметрии. Поскольку в общем слу-
случае (Р не обязательно четное) такой симметрии не имеется,
мы, следуя Жинибру [Gi 1], рассмотрим новую теорию, имею-
имеющую искусственную симметрию.
Пусть d<?>*c* обозначает изоморфную копию меры d<bc
(С*^С), определенную на У* — изоморфной копии 9". Новая
теория по определению имеет свободную меру а!Фс X «!Фс*>
ковариацию С®1 -\-1®С* = С, нормированную физическую
меру
и поле Ф =
234 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
Эта теория инвариантна (четна) относительно симметрии
ф *-* ф*, которая переставляет сомножители.
Применим теперь кластерное разложение к выражению
Z^(A-A*){B-B*)dq.
Операторы ковариации, которые возникают в этом разложе-
разложении, имеют вид
так что симметрия Ф •«-*• Ф* сохраняется в гауссовых мерах
каждого члена разложения. (Однако это разложение изме-
изменится, если выбрать $} = (Z2)*\F, где Г—множество ре-
ребер в двух связных множествах, содержащем supp A =
= supp А — А* и содержащем supp В. Таким образом,
для каждой компоненты Хг либо X; гэ supp А, либо ХгГ\
flsupp A = 0, и то же самое справедливо для supp В.
Благодаря этому ограничению имеется не более двух ком-
компонент. Так как п в D.3) ограничивает число компонент, мо-
можно проверить, что в D.3) п = 2.) Рассмотрим теперь член
в C.15) с компонентами Х\, Xi, ..., удовлетворяющими
условиям:
D.5) 8иррЛаХ(, suppBczXy, 1Ф\.
Для этого члена можно применить симметрию Ф ¦*->¦ Ф*
отдельно по каждому Х*. Однако разность А— А* по отноше-
отношению к симметрии Xi нечетна, так что слагаемые, удовлетво-
удовлетворяющие D.5), должны равняться нулю. Неисчезающие чле-
члены, которые не удовлетворяют условию D.5), содержат ком-
компоненту Xi = Xcd^O(\X\),vi поэтому для d ^ 4
| \ (А - А*) (В - В*) dq | < MABe~md.
Подынтегральное выражение в левой части неравенства со-
состоит из четырех слатаемых, и в каждом из слагаемых инте-
интеграл по dq факторизуется. Вычислив это выражение, получим
откуда и следует теорема 2.1.
5. Сходимость кластерного разложения: основные идеи
В части II этих лекций содержатся две основные идеи.
Первая —это формула C.15), дающая кластерное разложе-
разложение для функций Швингера. Вторая — »то оценки, которые
Корпускулярная структура модели, II 235
обеспечивают сходимость этого разложения, равномерные при
Л—> оо.
В данном разделе мы сформулируем эти оценки в виде
трех предложений и, применяя их, докажем теорему 4.1. За-
Затем мы докажем наиболее простые из этих оценок, а доказа-
доказательства более сложных оставим до следующих разделов.
Наиболее трудная из этих оценок содержится в предложе-
предложении 5.3. Так как она составляет в некотором смысле ядро
нашей статьи, в конце этого раздела мы обсудим идеи, ис-
используемые при ее доказательстве.
Доказательство сходимости основано на оценках следую-
следующих типов:
a) Комбинаторные оценки, необходимые для подсчета чи-
числа членов в разложении и в особенности для подсчета или
оценки числа членов некоторого специального типа.
b) Одночастичные оценки ядер операторов ковариации
и их производных, drC(s).
c) Оценки континуальных интегралов. В типичных слу-
случаях оценки типа а и b входят составной частью в оценки
типа «с».
Возвращаясь к нашей задаче, отметим, что D.2) или
C.15) — это суммы, в которых каждое из слагаемых является
произведением двух сомножителей — отношение функций рас-
распределения, умноженное на континуальный интеграл. Первое
предложение будет чисто комбинаторным — типа а— и ка-
касается подсчета числа членов с фиксированным \Х\, объемом
множества X. Второе и третье предложения касаются оценки
сомножителей, составляющих отдельное слагаемое в сумме
в C.15). Эти последние два предложения носят смешанный
характер, поскольку в их доказательстве применяются оценки
типов a, b и с.
Предложение 5.1. Число членов в C.15) — C.16) с
фиксированным значением \Х\ ограничено величиной
KlxiOlO19!*1
Предложение 5.2. Существует константа /С2, не зави-
зависящая от К, лежащего в замыкании B.1), иогЛи то, такая,
что для достаточно малых е и достаточно больших пг0
Предложение 5.3. Существуют константа Кз и норма
\w\ на пространстве основных функций 9", такие, что для
любого К > 0, для любого Л и для Я в замыкании B.1) с до-
достаточно большим т0 (т0 зависит от К) справедлива
236 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
следующая оценка:
причем \w\ инвариантно относительно сдвигов по любой ив
переменных, от которых зависит w.
Замечание. Виковы полиномы, такие, как в B.7), так-
также допустимы в этом подынтегральном выражении.
Доказательство теоремы 4.1. Заменим в предло-
предложении 5.3 область Л на Л П X. Для X в C.15) имеем X =
г
= I) -^Г с г<п и связными Х{.
1=1
г
Кроме того, Г с: |J Int ХГ, так что „большинство" ребер
t-i
из XT принадлежит Г. В действительности, так как
XT \ Гс = Xi — связное множество, то
E.1) Ui|—l<2|rnint*r| и |Л-п<2|Г|.
Поэтому мы можем заменить оценку сверху в предложении
5.3 на ехр [—К{\Х\— п)] ¦ \w\ с новыми К и |ш|. Теорема 4.1
непосредственно следует из этой оценки и предложений 5.1
и 5.2.
Доказательство предложения 5.1. Рассмотрим
выражение C.15). Начнем с того, что оценим число способов,
которыми можно выбрать компоненту Х{, содержащую неко-
некоторую заданную точку xh 1 ^ / ^ п. Отождествим каждый
квадрат (ячейку) Д на решетке с точкой решетки, располо-
расположенной в его центре и отождествим каждое ребро b e 38, про-
проходящее между двумя квадратами Л и Л' с линией, соеди-
соединяющей центр Д с центром Л'. Поэтому нам только остается
подсчитать число способов, которыми можно нарисовать связ-
связный граф, состоящий из ребер решетки. Мы утверждаем, что
каждый такой граф можно построить, если начать с точки Xj
и двигаться по ориентированному пути, образованному реб-
ребрами, причем этот путь пересекает каждое ребро не более
чем дважды. В действительности, если мы будем считать
узлы решетки Островами, а ребра мостами, это утверждение
Корпускулярная структура модели, it 237
просто следует из решения задачи о кенигсбергских мостах').
Число связанных путей длиной /, образованных из сегментов
решетки и начинающихся в X], не превосходит А1. Так как
/^8|Xi|, число способов выбора Х* не более ОAJ16'*''.
Так как число выборов для Г не более чем 4'*', число вы-
выборов пар X, Г не превосходит
поскольку 21*1 дает оценку числа выборов \Xi\ с заданным
\Х\.
На этом доказательство заканчивается. Случай C.16) рас-
рассматривается аналогично.
Предложение 5.2 будет доказано в разд. 6 с помощью
уравнений, связанных с уравнениями Кирквуда — Зальцбур-
Зальцбурга. Отметим здесь только, что преобразование вакуумного
функционала включает в себя и преобразование области ин-
интегрирования, и преобразование ковариации (Л\Х=фЛ и
Обсуждение предложения 5.3. Каждая производ-
производная d/dsb в дт дифференцирует либо меру, либо подынтег-
подынтегральное выражение. Производная от меры вычислена в A.7)
и приводит к появлению зависящих от s ядер C'(s) в подын-
подынтегральном выражении. Повторное дифференцирование дает:
a) Сумму членов, возникающих от итерированных функ-
функциональных производных д2/дф2 в A.7).
b) Сумму членов, возникающих от возможного повторного
дифференцирования dTiC(s) от каждого C'(s), вводимого
соотношением A.7).
Каждая производная также улучшает сходимость одним
из следующих двух способов: Во-первых, дифференцирование
меры дает ядро С, а
c) С'иС малы в том смысле, что
(с,) l\C'(x,y)\\Lp^O(m->),
(с2) О < С {х, у) = дьС (х, у) < e~m' <dist <*- 4>+di3t <».»»,
0<С(*.
') Мы благодарим О. Врателли за это наблюдение. Решение задачи
о кеиигсберских мостах см. в D. W. Blackett — Elementary Topology, Aca-
Academic Press, New York, 1967, p. 159 [см. также: Ope О., Графы и их при-
применение, «Мир», М., 1965. — Прим. перев.].
238 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
И, во-вторых, повторное дифференцирование C(s) также
улучшает сходимость, поскольку
(d) drC мало в том смысле, что
(d.) WdTC(x,y)\\Lp^O(m-^^)t
где d — длина кратчайшего пути, соединяющего х и у, прохо-
проходящего через каждое ребро 6еГ. В действительности из ви-
неровского интегрального представления для (—к-\-т\У'1
следует, что dvC(s)—это интеграл по винеровским траекто-
траекториям от х до у, проходящим через каждое Ь е Г, см.
разд. 7—8.
Далее будем действовать следующим образом. Применим
неравенство (сг) для того, чтобы получить оценку типа а).
Действительно, в силу (сг) вклад в лапласиан C'(s)Aq из
A.7) дают только х и у, расположенные вблизи от (Ь). По
самому определению нашего разложения на каждую линию
Ь е & приходится не более одного лапласиана Аф, поэтому-
локально получаем конечную степень Аф. Вычисление Аф
дает К(п) < оо членов, а это вычисление, повторенное в непе-
непересекающихся локальных областях, дает exp{O(vol)} членов.
Затем, чтобы получить оценку типа (Ь), применим (d2).
Основной для доказательства сходимости фактор т^е|Г1
появляется из (di).
После того как это проделано, остался континуальный ин-
интеграл вида х^е-^^Ф.
Имеем тогда
I J Re-w<л)d<D <(\R2dO>)V" (\ e~
и каждый сомножитель справа порядка eO(YOl\ Наконец, с
помощью (с3) получаем требуемое убывание взаимодействия
с увеличением расстояния между локальными областями в R2.
После приобретения некоторого навыка оценки, такие, как
в предложении 5.3, могут производиться «методом присталь-
пристального вглядывания». В разд. 7—9 будет развит общий метод,
который позволит делать такие оценки более стандартными
способами.
6. Уравнение типа Кирквуда — Зальцбурга
Уравнения C.16), C.17) можно переписать как уравнение
в банаховом пространстве
F.1) p ?
Корпускулярная структура модели, II 239
с единственным решением р = (/ — X)~lZ(A) -I, удовлетво-
удовлетворяющим оценке
F.2) ||р||<||(/-Т)"'1|2(Л)|<4|г(Л)|.
Как мы вскоре увидим, эта оценка по существу эквива-
эквивалентна предложению 5.2.
Пусть S6 — банахово пространство функций /, определен-
определенных на конечных подмножествах Fc:(Z2)*. Если \^S6, то
пусть (/п)п>о обозначает ограничения / на подмножества,
состоящие из п элементов. Норма на 36 определяется следую-
следующим образом:
||f||= sup 2~" | f» (Г) |.
п, Г
I Г|=я
Определим рл=(рл „) как отображение T->-Zr(A).
Теорема 6.1. Пусть \К\ ^ е, ReK^O, и пусть е >0
достаточно мало, а т0 достаточно велико. Тогда Z (к) ф 0 и рл,
определенное выше, является единственным решением в §6
уравнения F.1). Более того, рл удовлетворяет оценке F.2).
По теореме о мажорированной сходимости Z^k (A) -> 1
при е->-0. Таким образом, '/г ^ I Zg\ (A) | ^ 2; отсюда и вы-
вытекает для достаточно малых е ограничение, фиксирующее е
в формулировке теоремы 6.1. Оно является по существу
единственным ограничением на е, используемым в этих
лекциях.
Доказательство предложения 5.2 в предполо-
предположении справедливости теоремы 6.1:
Доказательство теоремы 6.1. Пусть
и определим Ж с помощью уравнений,
F.4)
+ 1, *,?-„*'*¦
при п^г2, где суммирование по X (как в C.13) и C.17))
распространяется на все связные объединения квадратов ре-
решетки, такие, что &i е X. При п = 1 мы опустим первый член
в правой части уравнения F.4), а при п = 0 положим
(Х/)==0. Для того чтобы получить оценку F.2), покажем
240 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
теперь, что Ж—сжимающий оператор, \\3IC\\^3U- Доста-
Достаточно показать, что
F.6) т + г^2-'Г?
Доказательство F.5) аналогично доказательству теоремы 4.1,
данному в разд. 5. В частности, оно опирается на предложе-
предложения 5.1 и 5.3. В силу предложения 5.1 имеется не более
eKiixi слагаемых для каждого фиксированного значения \Х\.
Учитывая C.17), видим, что каждое слагаемое имеет по край-
крайней мере одну производную дьк Применяя предложения 6.1
и 5.3, получим оценку
\К(Ьи Г, XXe-«<m+»e*»m.
Для достаточно больших К отсюда следует F.5). Чтобы
завершить доказательство, осталось только показать, что
Z(A)=?0. Но при нашем выборе е ZA* = | ZdA (Л) |'Л' ф 0.
г(А) ( F2))
() р р
Поэтому рл?=0 и г(А)фО (см. F.2)).
7. Операторы ковариации
Ядро С0(х, у) оператора С0 = (—A + m^) обладает сле-
следующими основными свойствами:
a) С0 (х, у) — функция разности | х — у |;
b) О<С0(х,у);
c) при \х— г/|>1 С0<е-'"«<1-в><*-ч'1;
d) при \х— г/|->-0 С0-~1п|д; — у\;
e) С0 s 3S%\ (/?4) при г > 2/B - б), б > 0.
Напомним, что по определению пространство $1?,%(R*)
состоит из обобщенных функций я|> е 9", которые удовлетво-
удовлетворяют условию
и с* 11 ^ fL
для любой Z, в Со°. Если г, г' — пара сопряженных индексов
Cj+ — — l) и 1<г'<2, то $х°\ представляет собой про-
пространство функций с дробными Lr — производными в силу
неравенства Хаусдорфа — Юнга. Относительно общей теории
таких пространств см. [Но]. Свойство (е) следует из того,
что как функция х — у, С0 имеет фурье-образ, равный
+ Г
Свойство (а), которое основано на трансляционной инва-
инвариантности лапласиана, не выполняется для всех операторов
Cef, Напомним, что & — это множество всех выпуклых
линейных комбинаций операторов ковариации A.6) с гранич-
Корпускулярная структура модели, 11 241
ными условиями Дирихле, или, другими словами, операторов
вида C(s).
Свойства (Ь) и (с) выполняются для всех Се?1, а свой-
свойство (d) справедливо как верхняя оценка для всех Се??.
Предложение 7.1. Ядро С{х,у) любого Се9? удовле-
удовлетворяет условию
0<С(*, у)<С0(*. у).
Доказательство. Пусть dzTx обозначает плотность
условной меры Винера на пространстве траекторий г(т), на-
начинающихся в точке х при т = 0 и заканчивающихся в точке
у при т = Т. Пусть Л — функция
т (О, если г(т)ей, 0<т<Т;
G.1) Д(г)Н ,
' (. 1 — в остальных случаях,
определенная на винеровских траекториях.
Тогда ядра операторов Сг и C{s) имеют следующие пред-
представления:
G.2) Сг {х, у) = \ е-т«т \ Л Л {г) dzl, у dT,
О *е=Г
G.3) С (s) {х, у) = J е'"^ \ Л (sb + A - sb) Fb) dz^ y dT.
Cm. [Ci, § 5.3, 6.1 и 6.3].
Неравенство в предложении 7.1 следует из оценки
О < (s& + A — s6) /[) < 1 в формуле для С (s).
В следующем предложении оценка экспоненциального
убывания типа (с) комбинируется с оценкой локального по-
поведения (d). Занумеруем каждый квадрат решетки Д = Ajc:
с=/?2 точкой на решетке j'ez2 в нижнем правом углу Д. Вся-
Всякий квадрат на решетке (и всякое измеримое множество
X cz R2) отождествим с оператором умножения в Lz{R%) на
соответствующую характеристическую функцию. Пусть далее
/ = {ji, /2) eZ4 — пара точек на решетке.
Определим локализованный оператор ковариации
G.4)
и параметр
G.5) d (/) = dist (А,,, А/?),
характеризующий нелокальность C(j).
9 Заказ 351
242 Дж. Глимм, А. Джаффв, Г, Спенсер
Предложение 7.2. Для любых 1 ^ <? < оо и б>0
существует константа Ki{q, б), не зависящая от nio ^ 1 и
Се? такая, что
<С К тгУч рхп ( т П Kid (iW
Доказательство. Учитывая предложение 7.1, мы мо-
можем положить С==С0. Если d(/)>0, то с необходимостью
d(j)^l и нужная оценка следует из свойства (с). Множи-
Множитель m~2lq возникает из-за того, что параметр б в (с) мень-
меньше, чем б в формулировке предложения. Рассмотрим теперь
случай d(/) = 0. (т.е. совпадающие или соседние квадраты).
Имеем
<> У) kq (дЛ х д/2) <К,\\С(-,0) \\Lg m < К, (q) m-V.
Последнее неравенство следует из того, что (— А + 1) ! (л:, 0)
s L? для q s [1, оо) и из тождества (— Л + я^) (^» 0)
'г, 0).
Замечание. Продифференцированная ковариация дтС
также удовлетворяет оценке предложений 7.1, как это можно
видеть из G.3) и неравенства
Поэтому дгС тоже удовлетворяет оценке предложения 7.2.
Локальная регулярность ковариации Се? применяется
для того, чтобы оправдать определение и основные формаль-
формальные свойства (например, возможность интегрирования по ча-
частям) гауссовых интегралов, и используется при доказатель-
доказательстве неравенства [Z|^e°'Al. В следующем предложении
для ядра оператора Cef доказано свойство, несколько бо-
более слабое, чем (е).
Предложение 7.3. GsJ^I для 0^6<'/2 с оценкой,
не зависящей от С.
Доказательство. Отметим прежде всего, что 0^—
^ — Дг. Следовательно, С^СуС^12 — ограниченный оператор,
норма которого не превосходит 1. Далее в силу свойства
выпуклости множества ? норма оператора В = С'^СС®1' тоже
не превосходит 1.
Положим
Корпускулярная структура модели, II 243
Для ?е С™ (Я2) А — оператор Гильберта -<• Шмидта, поэтому
для нормы Гильберта — Шмидта получим
G.6) ((- А + ml)-e+
= Tr ABA* ABA* = Tr В A* ABA* A <
< Tr (Я4М)* ВЛМ ч= Tr A*AB3A*A <
Это неравенство доказывает наше предложение (и даже не-
несколько больше).
Читатель может пропустить следующее предложение, так
как оно не применяется в дальнейшем.
Предложение 7.4. Для любого q^(-j, ooj и любого
Се? найдется такое о = о (<?) >0, что СеЯ1?% с оценкой,
не зависящей от Csf.
Доказательство. Пусть k = (ki,k2)^ R*, и положим
f (k) = 1 + k\ g(k)=(l + ?2) A + Щ),
Тогда g-^'ei,, flg^Loo- Учитывая предложение 7.1 и тот
факт, что ?С0?<=1,, получим, что h<=Lw и в силу G.6)
g 4AeLj и fteL2.
Применим эти оценки к интегралу
G.7) J | РЛ Г - J I ?~в+^ I • I f/g П ff Г2)+8"^ I h Г'
Выберем некоторое ft > 0 и предположим, что Л е L?1,
q\> q> 4/з- Сомножители в G.7) принадлежат L2, ?4+8
и Lqiiq^\ П Ьоо. Для достаточно малых в и (/ из малой окрест-
окрестности qx отсюда следует также, что h e Lr Поскольку h^Lq
для q, лежащего в некотором интервале, h^L^ при q e
^ D/з, °°]. Далее, если Ае1„ ^ > 4/з, то G.7) показывает,
что и fe/2ft e L,, для малых о, что завершает доказательство.
Предложение 7.5. При 1^^<оо
с {х) = Utn (С (х, у) - С0 (х, у)) s If.
Существует константа Кь(ч), не зависящая от щ^\ и С
такая, что для любого квадрата решетки Д
9*
244 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
Доказательство. Применяя масштабное преобразова-
преобразование, можно выбрать то=1, как в предложении 7.2. Пусть
Г = J будет множеством всех ребер. Для х ф Г имеем
О<-е(х)<С0(х, х)-Сг(х, x)<0(l+|logdist(x, Г)|).
Это неравенство по существу завершает доказательство,
в чем можно убедиться следующим образом [Gu Ro Si 3]. Для
х ф Г, у ф Г имеем
(- \ + ml) [С0 {х, у) - Сг (х, у)] = 0.
Поэтому из принципа максимума и того факта, что Ст(х,у)—0
для г/бГ, получаем
0^ C0(x,y) — Ст{х,у)^. sup C0(x, у) ^.0A + | log dist (л;, Г) |),
что и требовалось доказать.
8. Производные операторов ковариации
Продифференцированный оператор ковариации д^С обла-
обладает свойством быстрого убывания порядка е~т'а, d — длина
кратчайшего пути в Я2, соединяющего х и у, проходящего че-
через каждое ребро решетки b ^у. Это можно увидеть из вине-
ровского интегрального представления
(8.1) (а'С (а)) (х, у)=\ е~<Т \ Д 0 - Л) X
о
х П ь+с-
Нам понадобятся более точные оценки dvC по двум при-
причинам. Во-первых, требуется локализовать х и у, если задано
у. Для этой цели в качестве грубой оценки d снизу доста-
достаточно взять величину
(8.2) d (/, у) = sup {dist (Д/„ b) + dist (A,,, b)}.
Поясним теперь вторую причину, по которой нужны оценки
dvC. Пусть ^(Г) будет множество всех разбиений п множе-
множества Г сегментов на решетке. При доказательстве предложе-
предложения 5.3 нам понадобилось дать оценку выражения dv \ FdOs,
Корпускулярная структура модели, И 245
которое по правилу Лейбница и в силу A.7) имеет вид
(8.3) <ЭГ J Fс!Ф$ = ? $ ( П ?^С * ЛфУ
Вторая причина, по которой нам нужны оценки на dvC, и со-
состоит в том, что требуется дать оценку ? • Как и в
разд. 7, здесь также появится множитель mj1Y1, который
обеспечивает сходимость разложения.
Предложение 8.1. Пусть 1 ^ q <. оо, и пусть т0 до-
достаточно велико. Существуют константы K${q,y) и Kj(q), не
зависящие от tnQ, такие, что
(8.4) У
(8.5) яв^ ^
Доказательство. Применим винеровское интеграль-
интегральное представление (8.1) для д^С. Доказательство заключается
в оценке меры Винера траекторий г(т), пересекающих ребра
бе^в некотором определенном порядке, и в комбинаторном
подсчете числа способов, которыми эти ребра Ь е у могут
быть упорядочены.
Пусть L(y)— множество всех возможных линейных упо-
упорядочений ребер 6ev, и для l^L(y) пусть W{1) — множе-
множество винеровских траекторий, проходящих через все ребра
bev, причем порядок, в котором впервые пересекается каж-
каждое ребро, есть /. Тогда
°° 2
(8.6) О <<3VC (я) < J e~m°r J Д A -
О 6e=Y
И
(8.7)
Пусть Ьи Ь2 .. ># — элементы Y» расположенные в том по-
порядке, как их упорядочивает /. Пусть Ь'2 будет первое ребро
из всех Ь, не касающихся Ь\ = Ь{, пусть Ь'г — первое из Ь
после Ь'2, не касающихся Ь'2, и т. д. Положим а}— distF/+i, 6/),
m
1^/^m, и пусть |/|=2а(. Если нет таких b'2t будем
считать, что |/| = 0.
246 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
С этими определениями мы имеем следующую оценку
/sL(y) члена в (8.7) для |Л>1:
$
fa
<«Г sup .-М-)'.^
г.2*гг
поскольку \ dt ^ ет, \ е" е/Г ^ 1, и для всех at ^
2
последнее неравенство определяет /Cs-
Применив для вычисления максимума метод лагранжевых
множителей, мы получим оценку члена / е L (у) выражением
для |/|^1. Если Ш = 0, применим замечание, следующее
за предложением 7.2.
Можно получить полностью аналогичные оценки, исполь-
используя величину d(j, у) из (8.2). Геометрическое среднее этих
двух оценок дает
/о о\ ||ЯЧГII ^ V v\ V I.-ЯЦ 11 |/B+в) -т.** (/, v)/B+e>
(8.8) l^C^DiXA2)<^L()/C8 e
для больших то. Если \1\~^\ для всех /eLM, то в правую
часть (8.8) можно включить множитель m~'vi за счет уве-
увеличения б. Если |/|< 1 для некоторых I, то |/| = 0 и в этом
случае |y|^4. При |у|^4 и d(j, у)"^\ мы еще можем
включить в (8.8) множитель т?1 за счет увеличения б.
Наконец, если | y | < 4 и d(/, у) = 0, множитель m^1 v |/2? < т~т
в (8.4) можно получить с помощью масштабного преобразо*
вания, как в предложении 7.2.
Положим
(8.9) Я6(<7, Y) = *4 S
iZ(
С таким определением выполняется (8.4); если d(],y) = Q
и | /1 == 0 для некоторого /, то /Се ^ ^4 и для доказательства
(8.4) применяем оценку из предложения 7.2.
Мы закончим доказательство, доказав (8.6) как отдельное
предложение.
Корпускулярная структура модели II 247
Предложение 8.2. Для достаточно большого mQ
(8.10) Z П Z
яе#(Г) ?'я lsL(
Доказательство. Пусть 3?(Г)—множество линейных
упорядочений, определенных на подмножествах Г. Тогда
L (Г) ^1 i? (Г). Определим |/| для /е2"(Г) тем же способом,
что и раньше. Мы утверждаем, что число /еЗ'(Г) с |/|^г
ограничено величиной
(8.11) |Г|е*»<'+|>.
Если это так, то, применяя (8.11), можно легко закончить
доказательство предложения. Пусть Д = ехр(—то|/|/3).
Раскладывая 2ШМг в (8.10), получим сумму членов вида
AixAi2 ... At где /j — различные элементы S&(Г). Собирая
все члены такого вида, получим оценку интересующей нас
величины:
1 ...а, = П A + Л/)<
1 'ley (Г)
П ехрЛ, = ехр ? Л/<ехр(ОA)|Г|),
/si? (Г) /елг(Г)
где в последнем выражении мы применили оценку (8.11) для
того, чтобы оценить X Аи и выбрали т0 достаточно
/ е= X (Г)
большим.
Перейдем к доказательству (8.11). Пусть задана [щ] — це-
целая часть координаты at. Мы можем выбрать линию
Ь\ = Ь[ | Г | способами и выбирать пути «6» между Ь\ и
6г 0A) способами, так как все они обязаны пересекать Ьь
Далее, 6? можно выбрать 0A) [а{] способами, а именно из
ребер решетки «6» с
[a,]<distF, Ь[)<Ы+\.
Продолжая дальше тем же способом, видим, что всего
существует
способов выбора. Подсчитаем теперь число способов вы-
выбора [щ]. Оно равно числу способов выбора целых чисел
rt~^\ с Хг«<>> т. е. 2Г. Действительно, предположим, что
YJri'=r и распределим г единиц в ?г( следующим образом:
первая единица пусть совпадает с а, (нет выбора), вторая
единица пусть попадает или в аи или в а^, (один бинарный
248 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
выбор). Если /-я единица попадала в ah то /+1-я — или
в аи или в аг+1 (один бинарный выбор).
Таким образом, существует г — 1 бинарных выборов, или
2Т~1 способов выбрать г{ с2п = г~^\. Суммирование по
г
/ = ?/•,• дает ?2/~!=2/ —I. И наконец, имеется еще одна
выборка от |/| = 0 (нет а,).
9. Гауссовы интегралы
Интеграл от полинома по гауссовой мере можно вычис-
вычислить явно. Это явное выражение есть некоторая сумма, и
каждое слагаемое в сумме представляется неким графом.
Мы будем иметь дело со сложными полиномами высоких
степеней, и соответствующие графы тоже будут достаточно
X X
ФЦL: :Ф(*2L: ю{х) вх ).
Рис. 11.
сложными. Однако мы получим для этих полиномов очень
простые оценки; структуру этих оценок легко можно усмот-
усмотреть из соответствующих графов.
Полиномы вида
(9.1) $
где носитель w(x) сосредоточен в произведенииД/( X ••• X
X Д/ квадратов решетки, будем называть локализован-
локализованными мономами. Потребуем также, чтобы w e Ll+e, и удоб-
удобно, но не обязательно предположите существование оценки
(9.2)
Условие (9.2) не накладывает ограничения ни на г, ни на
полную степень R.
Обычно полиномы, естественно возникающие в теории,
не имеют такого вида из-за того, что их ядра w не локали-
локализованы. Однако любой полином можно записать как сумму
локализованных мономов.
Сопоставим моному R из (9.1) граф G(R), состоящий
из г вершин, причем к г-й вершине сходится nt линий (хво-
(хвостов) (см, рис. 11).
Корпускулярная структура модели, II 219
Обсудим теперь процедуру вычисления гауссовых инте-
интегралов \ R йФс '). Очевидно, достаточно научиться вычис-
вычислять интегралы от мономов вида :Фп(х):#. Разберем сначала
случай п = 1. Интегрируя по частям, получим
Эту формулу можно доказать, используя представление
меры с1Фс в фоковском пространстве [см. теор. 3.5 в Gl Ja 12],
представив Ф как сумму операторов рождения и уничтоже-
уничтожения и применяя канонические коммутационные соотношения
(см. также теорему 9.1 ниже). Интегрирование по частям
производится для того, чтобы понизить степень монома R
в подынтегральном выражении. После I 2йг)/2 интегриро-
интегрирований по частям моном заменяется на сумму констант, и,
поскольку \^ФС=1, интеграл при этом оказывается вычис*
ленным явно.
При п Ф 1 мы применяем формулу
:Ф(х)п: Rс/Фс = («- l)c(x) J: Ф(*)"-2:R
(*У' :С(х, у)-ьщ
с функцией с {х) = С (х, х) — С0 (#, #), определенной в пред-
предложении 7.5. Первый член возникает из-за различия между
ковариацией С® в :: и ковариацией в \ ... <2ФС. Второй
член — аналогично случаю k=l.
Формула интегрирования по частям (9.3) имеет простое
выражение в терминах графов. В случае когда Ф(д:) входит
в подынтегральное выражение только в виде :Ф(хг)«г:, гра-
графическое изображение членов, стоящих в правой части (9.3),
получается следующим образом. Нужно провести линию, со-
соединяющую один из хвостов вершины xt с хвостом от той
же или другой вершины. Граф с линией, соединяющей вер-
вершины хг и Xj, ставится в соответствие каждому из п, членов:
(9.4) \ С (xh xj): Ф (я,)"': Л : Ф (*,)-»:'»(*) dx.
1) Здесь в текст внесены некоторые уточнения. — Прим. перев,
250 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
возникающих после интегрирования по частям в (9.1) (см.
рис. 12).
/ (X X) <»с - * J ХГ^<Я>С + 3 JcX X 6ФС .
Рис. 12. Интегрирование по частям
Например, вычислим интеграл, изображенный на рис. 12.
После четырехкратного интегрирования по частям получим
(*,, x2fwdx +
Модуль первого члена оценивается следующим образом:
„ x2fw{xu x2)dx\^4\\\CfLs{^XAh)\\w^2<:
< 4! К4т-1е-т>«-« «<" || w
если supp w cr Л/, X Д/2- В последнем неравенстве для тогог
чтобы оценить || с \\L ,д х д „ мы применили предложение 7.2
(см. рис. 13).
j ( X X) <Й>С - 4! О + 72 ООО + 36 8 8
Рис. J3. Вычисление гауссовского интеграла.
Для того чтобы вычислить \ R йФс в общем случае,
введем множество T(R) всех вакуумных графов. Граф назы-
называется вакуумным, если он получается из G(R) попарным
соединением различных хвостов между собой, причем не
должно оставаться свободных хвостов. Если общее число
хвостов нечетно, то T(R) = 0 (и ^ Rd<bc = o). Для каждого
G e T(R) определим
(9.5) / (G, w, С) = \w {х) Д с (*, (Г)) П С (xt% m, xu {l)) dx.
v i
Первое произведение Ц распространено на все линии /'
графа G, которые соединяют для хвоста одной и той же вер-
вершины, обозначаемой i{l'). Второе произведение распростра-
распространяется на все линии /, соединяющие пары (ч@> k(l)) раз-
различных вершин,
Корпускулярная структура модели, II 251
Выпишем теперь формулу для вычисления гауссовых ин-
интегралов. Предыдущее обсуждение интегрирования по ча-
частям и его графическое представление дают ее формальный
вывод.
Теорема 9.1. Пусть w —>локализованная функция, и
пусть w^Lq для некоторогр q>\. Тогда R^LT(9",d<i>c)t
ге[1, оо) и
(9.6) $Д<*ФС=. ? I(G,w,C).
Gess" (Я)
Доказательство содержит комбинаторную часть (намечен-
(намеченную выше) и аналитическую. Для того чтобы провести ана-
аналитическую часть доказательства, выражение (9.6) модифи-
модифицируют, вводя обрезание по импульсам, а затем доказывают,
что имеется сходимость, когда обрезание снимается. Поэтому
перед тем как наметить доказательство теоремы 9.1, мы да-
дадим оценки для интегралов I(G,w,C).
Рассмотрим функцию вида
F (*i» • • •. хп) = П Л (Л <». *if да) П \ (**)•
где Ai(x)—характеристическая функция некоторого множе-
множества объема 1, и предположим, что для каждого индекса /
КМ/)<Ы/)<л.
Лемма 9.2. При введенных обозначениях
при условии, что для каждого i
q-l>Z{qTu> l',@ = * или i3(/) = /}.
Доказательство. Ввиду возможности подстановки
F-+Fi достаточно рассмотреть случай q=l. Будем приме-
применять неравенство Гёльдера последовательно по каждой из п
переменных (вершин) F и, для того чтобы сделать этот про-
процесс более обозримым, используем язык графов. Каждый
множитель Ft соответствует линии соединяющей вершины н (I)
и k{l). Положим
Относительно qi предполагается, что
262 Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер
(очевидно, 9?i = <Z)—2}'i тоже допустимы). Таким образом,
\
в силу неравенства Гёльдера. И, чтобы завершить доказа-
доказательство, проводим конечную индукцию по i (начиная с i = п
До i = 1).
Замечание. После очевидной модификации доказатель-
доказательства можно считать, что некоторые из факторов Fi зависят
от одной переменной, т. е. Fi = Fi (хщ).
Набросок доказательства теоремы 9.1. Введем им-
импульсное обрезание, сделав замену Ф(х()-> \Ф(уIк(у—Xi)dy,
и опустим интегрирование по *. При этом R заменяется
на полиномиальную цилиндрическую функцию Rh(x), со-
сосредоточенную на конечномерном подпространстве 3f. Rh(x)
интегрируема по определению меры cfcDc, и для Rh(x) фор-
формулы (9.3) и (9.6) по-прежнему справедливы в силу при-
приведенных выше комбинаторных соображений. Таким обра-
образом, формула (9.6) имеет место для Rk—\Rk(x)w(x)dx, и
эту формулу можно использовать для вычисления правой
части неравенства
\ I Rk - Rv ! йФс < (\ (Rk - Rk'f d®c)k.
Для того чтобы снять импульсное обрезание, достаточно
применить оценки из предложений 7.2 и 7.3. Подробности
см. в [Di G1].
Отметим, что более сильное предположение о принадлеж-
принадлежности С множеству .$?св <,>, для всех q > 1 (которое при-
применялось в [Di G1] для того, чтобы проследить за С-виков-
ским упорядочиванием) нам не потребовалось, поскольку мы
применяем виковское упорядочивание только по отношению
к мере с ковариацией С0 = (— А + tnj^~~x (см. также предло-
предложение 7.5).
Корпускулярная структура модели, II 263
Предложение 9.3. Пусть w — локализованная функ-
функция. Тогда
(9.7) |^|р ? Ш
ХП||С||Мдыг>. ЧльУ
где q^sp'h, п определено в (9.2) и /(/) = /ад— положение
i-й вершины.
Доказательство. По теореме 9.1 достаточно полу-
получить оценку каждого интеграла I(G, w, С). Применим нера-
неравенство Гёльдера для того, чтобы отделить w от множите-
множителей с и С. Интеграл от с и С имеет нужную оценку в силу
леммы 9.2 и следующего за ней замечания. Что и требова-
требовалось доказать.
T{R) содержит О (? п{/2)\ графов. Но ввиду экспонен-
экспоненциального убывания С при \х — у\—>оо большая часть этих
графов дает очень малый вклад. Этот факт следует прини-
принимать во внимание, если мы хотим получить достаточно по-
полезные оценки. Для каждого квадрата решетки Л положим
— число хвостов (линейных факторов ф(л;г)) R, локализо-
локализованных1) в Л.
Теорема 9.4. Пусть w — локализованная функция. Тогда
существует константа /Си, такая, что
R йФс | <|| w \\L ГЦ N 1
ГЦ
для q = р'п, где п определено в (9.2).
Доказательство. Оценим Lg-норму в (9.7), исполь-
используя предложения 7.2 и 7.5. После того как это сделано, до-
достаточно показать, что
a<=r(R) i
Пусть v — некоторый хвост R. Пусть далее Лу — квадрат,
в котором локализован v, и для данного G е У (R) пусть
Av обозначает квадрат, в котором локализован хвост v', со-
соединенный с v в графе G. Положим также d(v) = dist(Av, Av).
') Имеется в виду локализация вершины, из которой выходит данный
хвоЬт. — Прим. перев.
254 Дж. Глимм, А. Джаффе. Т. Спенсер
Тогда сумму по всем G^T(R) можно представить как сум-
сумму по всем возможным выборам Av для каждого v и сумму
по всем N (Лу) хвостам, локализованным в Ai для каждого v.
Суммируемое выражение не зависит от выбора хвостов вну-
внутри каждого квадрата Л (соответствие между v и А', пред-
предполагается фиксированным). Для того чтобы оценить эту
сумму, нам остается только подсчитать число слагаемых.
Так как произвольный член может быть получен (вообще го-
говоря, не единственным образом) из заданного перестановкой
хвостов в каждом квадрате Л, то число слагаемых в сумме
не превосходит ПЛ^(Л)!. Поэтому остается показать, что
д
? П е~т* ° > d (v)/2 < П (const),
К} v
потому что каждое d(j(l)) появляется в качестве d(v) в точ-
точности для двух v. Символ {Av} под знаком суммы обозна-
обозначает просто множество всех возможных соответствий между
хвостами и квадратами решетки. Левая часть только увели-
увеличилась, когда мы распространили суммирование на все это
множество. Мы можем переставить знак суммы и произве-
произведения и получим окончательно
n<?-cd(v)<II , ? e-dw = II (const).
v v {Ду : v фиксирован} v
Отметим, что Кп не зависит от s и то, для /По, ограниченного
снизу положительным числом.
Теорема 9.5. Пусть А — объединение квадратов решет-
решетки, и пусть Re А, 5*0. Тогда ехр[— F(A)e Lv{9", йфс) для
всех ре[1, оо]. Кроме того, существует константа Кч, не за-
зависящая от С, такая, что
(9.8)
*! л.!.
Для ограниченного Re Я, и то, ограниченного снизу поло-
положительным числом, К\о также может быть выбрана не зави-
зависящей от Я, и то.
Замечание. Простое доказательство в [Di Gli] вполне
замкнуто в себе. В действительности, используя незначи-
незначительное обобщение теоремы 9.4 (включающее предложе-
предложение 7.4), можно провести доказательство (9.8) почти иден-
идентично (стандартному) доказательству того, что ехр[—У(Л)]е
Корпускулярная структура модели, И 255
е L\ (9", йФс). Это доказательство близко по структуре к
тому, которое содержится в [Gli Ja 3].
Следствие 9.6. Для р > 1 и q~^ tip'
в-г(Л)йфс | <е*„|А|ц w \\h ГД jv(А)! B*„/п$-*«
Доказательство. По неравенству Шварца
Множители в правой части оцениваются при помощи тео-
теорем 9.4 и 9.5.
Теорема 9.7. Пусть w — локализованное ядро из Lv,
р > 1, пусть Л представляет собой объединение квадратов
на решетке и F = /?ехр {— V(A)} (см. 1.7). Тогда справед-
справедливо A.7).
Набросок доказательства. Для того чтобы опи-
описать формальные идеи, предположим сначала, что F — поли-
полином. Тогда интеграл \FdOc(S) вычисляется в явном виде
в терминах графов (9.5) — (9.6). Дифференцирование по Sb
в этих формулах дает
где Ct обозначает C{xil{t), xiz{l%
В произведении П фактически отсутствует одна линия
из вакуумного графа G^.Y(F). Или, эквивалентно, мы мог-
могли бы убрать из F два хвоста, соединенных линией /. Однако
удаление хвостов из F — то же самое, что удаление линейных
множителей из F, и дает тот же эффект, что и дифференци-
дифференцирование F по этим линейным множителям. Таким образом,
мы видим, что Л (суммирование по линиям, удаленным
из Gef(F)) эквивалентна суммированию по смешанным
вторым производным F по парам линейных множителей. Та-
Такая сумма — это в точности -^AqF, так что мы показали, что
правая часть (9.9) равна
256 Дж. Глимм, А. Джаффе, А. Спенсер
Доказательство для общего случая, FR e~v, основано на
аппроксимациях, начинающихся с полиномиального F. Оцен*
ка таких аппроксимаций дана в следствии 9.6. Подробности
см. в [Di Gli].
10. Сходимость кластерного разложения — завершение
доказательства
Доказательство предложения 5.3. Без ограни-
ограничения общности предположим, что w — локализованное ядро,
и положим ||до|| = ||до||2. Мы хотим оценить следующее вы-
выражение:
A0.1) Л д* \ Д Ф to) e-MW dOs(r) ds (Г), w\.
Пусть fp(r)—множество всех разбиений я множества Г.
Применяя правило Лейбница и A.7), получим, что A0.1)
равно
A0.2)
Л
\
гдеС=СE(Г)).
Как и в G.3), определим
где / = (/lt у, /2, у) е Z4, так что две производные в дуС (/v) • Лф
локализованы в А), и А/, соответственно, и дуС = X) дуС (jy),
h
Подставим это равенство в A0.2) и разложим в ряд. По-
Полученная сумма индексируется координатами {jy} и разбие-
разбиениями яе^(Г). Для заданного члена этой суммы пусть
М = М(я,{/7})—число членов, воаникающих при дифферен-
дифференцировании Лф в A0.2). В силу следствия 9.6 при mo ^ 1 ка-
каждый из полученных членов не превосходит
Здесь w' равно функции w из A0.1), умноженной на ядра
д*С, возникающие в A0.2).
Из предложения 8.1 и леммы 9.2 следует (для р>2 и
достаточно больших q)
K6(q,
Корпускулярная структура модели, 11 257
Применяя (8.5) для оценки суммы по яе^(Г), видим,
что A0.2) не превосходит
|| w ||, е«г'г W1 Г !/2* I max М П <Tm°d< V ^ П # (А)!
2 (|)Я6^(Г) у^я А
Доказательство предложения 5.3 следует теперь из двух
лемм, которые дают оценку М и суммы по {/v} соответственно.
Пусть Af(A)—число элементов в множестве {/*, у- Л/4 „ = Л;
i=l,2; yen}.
Лемма 10.1. Существует константа K\z, не зависящая от
/по, такая, что
где р — степень полинома взаимодействия Р.
Лемма 10.2. Для любых заданных пе^(Г) и г > 0 су-
существует константа Kia, не зависящая от то, такая, что
Доказательство леммы 10.1. Пусть JVo(A)—число
точек х{, 1 ^ i sg: n, которые содержатся в Д. Число членов,
возникающих от М(Д) дифференцирований в Д, ограничено
величиной
{No (Д) + 1) (No (Д) + р + 1) ... (No (Д) + р (М (Д) - 1) + 1).
Поскольку iV0 (А) <! 2 No (Д) = п, то полное число членов М,
д
возникающих при всех д/д<№>) дифференцированиях, не пре-
превосходит величины
П РрМ(д> {No (Д) + 1 + рМ (Д)*<Д>+1 М (Д)!р,
д
П
д
при выводе которой достаточно использовать неравенства
(а + Ь)! < (а + Ь)а (Ь\), (аЬ)\ < ааЬ (Ь\)а.
Кроме того, имеем
где JV(A) —это число хвостов в Д после дифференцирования
ei. определение в разд. 9). Отсюда получаем оценку для
ЛГ(Д)!, требуемую в условии леммы.
258 Дж. Глимм, А. Джаффе, А. Спенсер
Доказательство леммы 10.2. Сумма Z контроли-
руется экспоненциально убывающим множителем, зависящим
от расстояния, поэтому достаточно показать, что
const-J) d(/, у)
v
с константами, не зависящими от т0, X, {/Y} и п. Напомним,
что d(j,y) (см. определение (8.2)) зависит от расстояния
от /i, v и /2, у ДО некоторого ребра ftev Поэтому для фиксиро-
фиксированного Л имеется не более 0A) г2 значений у с фиксирован-
фиксированным разбиением я, таким, что
A0.4) A/v>v = A, v=l или 2
и d(j,y)^r. По определению существуют М(А) множеств y»
которые удовлетворяют A0.4). Наиболее удаленная поло-
половина (=М(Л)/2) этих y должна удовлетворять также нера-
неравенству
М (Л)'/а < const • d (j, y) + const,
поскольку y не пересекаются между собой. Поэтому
М (AK/s < const • Z {d (j, Y): A/v. v = Д} + const,
и мы получаем
П М (Л)!г <ехр G Е М (Д) In M (Л)) <
что и требовалось доказать.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
f Al HK 1 ] Albeverio S., Hoegh-Krohn R., Uniqueness of physical vacuum
and the Wightman functions in the infinite volume limit for
some non-polynomial interactions, Commun. Math. Phys., 30,
171—200 A973).
[Al HK 2] Albeverio S., Hoegh-Krohn R., The scattering matrix for some
non-polynomial interactions, I and II, Helv. Phys. Ada.
[A1HK3] Albeverio S., Hoegh-Krohn R., The Wightman axioms and the
mass gap for strong interactions of exponential type in two
dimensional space-time, /. Fund. Analysis, 16, 39—83 A974).
[Al HK 4] Albeverio S., Hoegh-Krohn R., Asymptotic series for the scat-
scattering operator and asymptotic unitarity of the space cut-off
interactions, preprint.
[Ar] Araki H., A lattice of von Neumann algebras associated with
the quantum theory of free Bose field, /. Math. Phys., 4, 1343—
1362 A963).
[Ba] Baumel R., Частное сообщение, см. также [Gu Ro Si 3].
*[Bak] Baker G., Self-interacting boson quantum field theory and the
thermodynamic limit in d dimensions, /. Math. Phys., 16,
1324—1346 A975).
*[B L T] Боголюбов п. Н. Логунов А. А., Тодоров И. Т., Основы ак-
аксиоматического подхода в квантовой теории поля, Наука,
1969.
[Во Gr] Bortz A., Griffiths R., Phase transitions in anisotropic classical
Heisenberg ferromagnets, Commun, Math. Phys., 26, 106—108
A972).
[Bra 1] Bratelli O., Conservation of estimates lib quantum field theory,
Commun. on Pure and Appl. Mathematics, XXV, 759—779
A972).
[Bra 2] Bratelli O., Local norm convergence of states on the zero time
boson field, preprint.
[Bre] Breiman L., Probability, Addison — Wesley, 1968.
[BroEG] Bros J., Epstein H., Glaser V., Comm. Math. Phys., 6, 77
A967).
[Ca] Cannon J., Continuous sample paths in quantum field theory,
Comm. Math. Phys., 35, 215—235 A974).
[Ca Ja] Cannon J., Jaffe A., Lorentz covariance of the quantum field
theory, Commun. Math. Phys., 17, 261—321 A970).
[Ci] Ciesielski Z., Lectures on Brownian motion, heat conduction
and potential theory, Aaarhus Universitet, 1965.
[Co 1] Coleman S., Dilitations, Lectures given at the 1971 Interna-
International Summer School of Physics «Ettore Majorana».
[Co 2J Coleman S., There are no Goldstone bosons in two dimensions,
Commun. Math. Phys., 31, 259—264 A973).
[Co We] Coleman S., Weinberg E., Radiative corrections as the origin
of spontaneous symmetry breaking, Phys. Rev. D7, 1888—1910
A973).
260 Список литературы
[Con Th] Constantinescu F., Thalheimer W., Euclidean Green's functions
for Jaffe fields, Commun. Math. Phys., 38,.299—317 A974).
[Di 1] Dimock J., Estimates, renormalized currents and field equations
for the Yukawa2 field theory, Ann. Phys., 72, 177—242
A972).
[Di 2] Dimock J.t Spectrum of local Hamiltonians in the Yukawa2
field theory, /. Math. Phys., 13, 477—481 A972).
[Di 3] Dimock J., Asymptotic perturbation expansion in the Я(<рJ
quantum field theory, Commun. Math. Phys., 35, 347—356
A974).
[Di Gli] Dimock J., Glimm J., Measures on the Schwartz distribution
space and application to P(<p)z field theories, Adv. Math., 12,
58—83 A974).
[Do Ma] Dominicis С De., Martin P., Stationary entropy principle and
renormalization in normal and superfluid systems, 1,11, J. Math.
Phys., 5, 14—30, 31—59 A964).
[Dob 1] Добрушин Р. Л., Гиббсовские случайные поля для решетча-
решетчатых систем с попарным взаимодействием, Функц. анализ и
его прилож., 4, 31—43 A968).
[Dob 2] Добрушин Р. Л., Задача единственности гиббсовского случай-
случайного поля и проблема фазовых переходов, Функц. анализ и
его прилож., 4, 44—57 A968).
[Dob 3] Добрушин Р. Л., Описание случайного почя при помощи
условных вероятностей и условия его регулярности, Теория
вероятн. и ее применен., 2, 201—229 A968).
[Dob Mi] Добрушин Р. Л., Минлос Р. А., Построение одномерного
квантового поля с помощью непрерывного марковского поля,
Функц. анализ и прилож., 7, 89—90 A973).
[Dy] Dyson F. J., Phys. Rev., 75, 1736 A949).
[D H R] Doplicher S., Haag R., Roberts J., Fields, observables and
gauge transformation II, Comm. Math. Phys., 15, 173—200
A969).
[Ec] Eckmann J.-P., Representations of the CCR in the Ф3 model:
independence of space cutoff, Comm. Math. Phys., 25, 1—61
71972).
[Ec Os] Eckmann J.-P., Osterwalder K., On the uniqueness of the Ha-
miltonian and of the representation of the CCR for the quartic
boson interaction in three dimensions, Helv. Phys. Acta, 44,
884—909 A971).
*[EcMa Se] Eckmann J.-P., Magnen J., Seneor R., Decay properties and
Borel summability for Schwinger functions in P(<ph-theories,
Comm. Math. Phys., 39, 251—272 A975).
[Ер] Эпштейн А., в книге Хепп К-, Эпштейн А., Аналитические
свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории
поля, Атомиздат, М., 1971.
[Fa] Fabrey J., Exponential Representations of the Canonical Com-
Commutation Relations, Commun. Math. Phys., 19, 1—30 A971).
[Fad Po] Faddeev L. and Popov V., Feynman diagrams for the Yang-
Mills field, Phys. Letters 258, 29—30 A967).
[Fed] Federbush P., Positivity for some generalized Yukawa models
in one space dimension, preprint.
[Fe 1] Feldman J., A relativistic Feynman — Kac formula, Nuclear
Physics, B52, 608-614 A973).
[Fe 2] Feldman J., The АФ3 field theory in finite volume, Commun.
Math. Phys., 37, 93—120 A974).
Список литературы 261
*[FeOs] Feldman J., Osterwalder К., The Wightman axioms and the
mass gap for weakly coupled ф* quantum fields theories, Ann.
of Phys., 97, 80—135 A976).
[Fel] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложе-
приложения, т. I, т. II, «Мир», М., 1967.
[Fey 1] Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 A948).
[Fey2] Feynman R. P., Phys. Rev., 76, 749 A949).
[Fi Wi] Fischer M., Wilson K., Critical exponents in 3.99 dimensions,
Phys. Rev. Lett., 28, 240—243 A972).
[Fo Ka Gi] Fortuin C, Kastelyn P., Ginibre J., Correlation inequalities on
some partially ordered sets, Commun. Math. Phys., 22, 89—103
A971).
[Fr] Фрадкин Е. С, ДАН СССР, 125, 311 A959).
[Fri] Friedrichs K,., Mathematical aspects of the quantum theory of
feilds, Interscience, New York, 1953.
(Fri Sh] Friedrichs K., Shapiro H., Integration of functional^ Courant
Institute, New York University, New York A957).
[Frol] Frohlich J., On the infrared problem in a model of scalar
electrons and massless, scalar bosons, Annales de l'lnstitut
Henri Poincare.
[Fro 2] Frohlich J., Existence of dressed one electron states in a class
of persistent models, Fortschritte der Physik.
[Fr6 2a] Frohlich J., Schwinger functions and their generating func-
tionals, I, Helv. Phys. Ada, 47, 265—281 A974).
[Fro 2b] Frohlich J., Schwinger functions and their generating function-
als, II, Harvard Preprint, 1973.
*[Fr6 Si Sp] Frohlich J., Simon В., Spencer Т., Infrared bounds, phase
transactions and continuous symmetry breaking, Comm. Math.
Phys., 50, 79 A976).
[Ge Vi] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Обобщенные функции, т. IV,
Физматгнз, 1961.
[Gi I] Ginibre J., General formulation of Griffith's inequalities, Com-
Commun. Math. Phys., 16, 310—328 A970).
[Gi2] Ginibre J., On some recent work of Dobrushin, «Systemes a
4in nombre infini de degree de liberte», ed by L. Michel and
D. Ruelle, CNRS, Paris, 1970.
[Gil] Glaser V., On the equivalence of the Euclidean and Wight -
mann formulation of field theory, Commun. Math. Phys., 37,
257—273, 1974.
[G12J Glaser V., The positivity condition in momentum space, Про-
Проблемы теоретической физики, «Наука», 1969 (сб., посвящен-
посвященный Н. Н. Боголюбову).
[Gill] Glimm J., Boson fields with nonlinear self-interaction in two
dimensions, Commun. Math. Phys., 8, 12—25 A968).
[Gli 2] Glimm J., Yukawa coupling of quantum fields in two dimen-
dimensions, I. Commun. Math. Phys., 5, 343—386 A967).
[Gil 3] Glimm J., Yukawa coupling of quantum fields in two dimen-
dimensions, II, Commun. Math. Phys., 6, 120—127 A967).
[Gil 4] Glimm J., Boson fields with : q>4: interaction in three dimen-
dimensions, Commun. Math. Phys., 10, 1—47 A968).
[Gli Ja 1] Glimm J., Jaffe A., A Я(ф4Ь boson field theory without cu-
cutoffs I, Phys. Rev., 176, 1945—1951 A968).
[Gli Ja2] Glimm J., Jaffe A., The Х(ф4J quantum field theory without
cutoffs II, The fields operators and the approximate vacuum,
Ann. Math., 91, 362—401 A970).
[GliJa3] Glimm J., Jaffe A., The Я(ф4J quantum field theory without
cutoffs III, The physical vacuum, Ada Math.,125,203—261 A970).
262 Список литературы
[GHJa4] Glimm J., Jaffe A., The Я(<р4J quantum field theory without
cutoffs IV, Perturbations of the Hamiltonian, t. Math. Phys.,
13, 1558—1584 A972).
[Gli Ja 5] Glimm J., Jaffe A., The energy momentum spectrum and va-
vacuum expectation values in quantum field theory II, Commun.
Math. Phys., 22, 1—22 A971).
[Gli Ja 6] Glimm J., Jaffe A., What is renormalization? in Symposium
on Partial Differential Equations, Berkeley 1971, American
Mathematical Society, Providence, 1973.
[Gli Ja 7] Glimm J., Jaffe A., Positivity and self-adjointness of the
Р(фJ Hamiltonian, Commun. Math. Phys., 22, 253—258
A971).
[Gli Ja 8] Glimm J., Jaffe A., Positivity of the Ф* Hamiltonian, Forsch-
ritte der Physik, 21, 327—376 A973).
[GliJa9] Glimm J., Jaffe A., Self-adjointness of the Yukawa2 Hamilto-
Hamiltonian, Ann. 0} Phys., 60, 321—383 A970).
[Gli Ja 10] Glimm J., Jaffe A., The Yukawa2 quantum field theory without
cuttoffs, /. Fund. Analysis, 7, 323 357 A971).
[Gli Ja 11] Glimm J., Jaffe A., Quantum field models, «Statistical mecha-
mechanics and quantum field theory», ed. by C. de Witt and R. Stora,
Gordon and Breach, New York, 1971.
[Gli Ja 1.2] Glimm J., Jaffe A., Boson quantum field models, «Mathematics
of contemporary physics», ed. by R. Steater, Academic Press,
New York, 1972. (Перевод см. настоящий сборник, стр. 99.)
[Gli Ja 13] Glimm J., Jaffe A., Entropy principle for vertex functions in
quantum field models, Ann. Inst. Henri Poincare, A21, 1—26
A974).
*[Gli Ja 14] Glimm J., Jaffe A., A remark on the existence of Ф*, Phys.
Rev. Lett., 33, 440—442 A974).
*[GH Ja 15] Glimm J., Jaffe A., Three particle structure of ф4 interactions
and the scaling limit, Phys. Rev., Dll, 2816—2827 A975).
*[Gli Ja 16] Glimm J., Jaffe A., On the approach to the critical point, Ann.
Inst, Henri Poincare, A22, 13—26 A975).
*[GH Ja 17] Glimm J., Jaffe A., Two and three body equations in quantum
field models, Commun. Math. Phys., 44, 293—320 A975).
[Gli Ja Sp 1] Glimm J., Jaffe A., Spencer Т., The Wightman axioms and par-
particle structure in Я(ф)г quantum field model, Ann. Math., 100,
585-632 A974).
[Gli Ja Sp 2] Glimm J-, Jaffe A., Spencer Т., The particle structure of the
weakly coupled Р(ф)з models and other applications of high
temperature expansions, Part II. The cluster expansion (пере-
(перевод см. настоящий сборник, стр. 219).
*[GHJaSp3] Glimm J., Jaffe A., Spencer Т., Phase transitions for Ф2 quan-
quantum fields, Commun. Math. Phys., 45, 203—217 A975).
*[GliJaSp4] Glimm J., Jaffe A., Spencer Т., A convergent expansion about
mean field theory, Ann. Phys., 101, 610—669 A976).
[Go] Goldstone J., Field theories with «superconductor» solutions,
Nuovo Cimento, 19, 154—164 A961).
[Go Sa We] Goldstone J., Salam A, Weinberg S., Broken symmetries, Phys.
Rev., 127, 965—970 A962).
[Grl] Griffiths R., Phase transitions, В сб. «Statistica mechanics
and quantum field theory», ed. by C. De Witt and R. Stora,
Gordon and Breach, New York, 1971.
[Gr 2] Griffiths R., Rigorous results for Ising ferromagnets for arbit-
arbitrary spin, /. Math. Phys., 10, 1559—1565 A969).
[GrHu Sh] Griffiths R., Hurst C, Sherman S., Concavity of magnetization
Список литературы 263
of an Ising ferromagnet in a positive external field, /. Math.
Phys., 11, 790—795 A97G).
[GrSi] Griffiths R., Simon В., The (tp4J Held theory as a classical
Ising model, Commun. Math. Phys., 33, 145—165 A973).
[Gro 1] Gross L., The relativistic polaron without cutoffs, Commun.
Math. Phys., 31, 25—74 A973).
[Gro 2] Gross L., Existence and uniqueness of physical ground states,
/. Fund. Anal., 20, 52—109 A972).
[Gro 3] Gross L., Logarithmic Sobolev inequalities, Cornell preprint
A973).
[Gro 4] Gross L, Analytic vectors for representations of canonical com-
commutation relations and non-degeneracy of ground states,
/. Fund Anal., 17, 104—112 A974).
[Gu 1] Guerra F., Uniqueness of the vacuum energy density and Van
Hove phenomenon in the infinite volume limit for two dimen-
dimensional self-coupled Bose fields, Phys. Rev. Letts., 28, 1213
A972).
[GuRoSil] Guerra F., Rosen L., Simon В., Nelson's symmetry and the
infinite volume behaviour of the vacuum in Р(ф)г, Commun.
Math, Phys., 27, 10—22 A972).
[Gil Ro Si 2] Guerra F., Rosen L., Simon В., The vacuum energy for Я(<р)г
infinite volume limit and coupling constant dependence, Com-
Commun. Math. Phys., 29, 233—247 A973).
t<3uRoSi3] Guerra F., Rosen L., Simon В., The P(q>J Euclidean quantum
field theory as classical statistical mechanics, Ann. Math., 101,
111—259 A975).
[HaKK] Haag R., Kadison R., Kastler D., Nets of Subalgebras and
Classification of States, Commun. Math. Phys., 16, 81—104
A970).
[Hal] Halmos P. R., Normal dilations and extensions of operators,
Summa Brasitiensis Math., 2, 125—134 A950).
fHeiP] Helsenberg W-, Paul! W., Zeitschr. Phys., 59, 168 A930).
[He 1] Hepp R., Renormalized Hamiltonian dynamics and representa-
representations of the canonical (anti) — commutation relations, В сб.
«Systemes a un nombre infini de degres de liberte», ed. by
L. Michel and D. Ruelle, Editions du CNRS, Paris.
[He 2] Xenn К., Теория перенормировок, «Наука», 1974.
[НеЗ] Нерр К.., Renormalization theory, «Statistical mechanics and
quantum field theory», ed. by C. De Witt and R. Stora, Gordon
and Breach, New York, 1971.
[He 4] Hepp K., Erice lectures, 1973; The classical limit for quantum
mechanical correlation functions, Comm. Math. Phys., 35, 265—
279 A974).
[Hid] Hida Т., Stationary Stochastic Processes, Math, lectures notes,
Princeton Univ. Press, 1970.
[Hi Ph] Хнлле, Е., Филлипс Р. С, Функциональный анализ и полу-
полугруппы, ИЛ, М., 1962.
[НК Si] Hoegh-Krohn R., Simon В., Hypercontractive semigroups and
two dimensional self-coupled Bose fields, /. Fund. Anal., 9,
121—180 A972).
[Но] Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с
частными производными, «Мир», М., 1965.
[It МсК] Ито К-, Маккин Г., Диффузионные процессы и их траектории,
«Мир», М., 1968.
[Ja I] Jaffe A., The dynamics of a cutoff A.<p4 field theory, Princeton
Univ. Thesis.
[Ja 2] Jaffe A., Existence theorems for a cutoff X<p4 field theory, в сб.
264 Список литературы
«Mathematical theory of elementary particles», ed by G. Good-
Goodman and J: Segal, M. I. T. Press, 1966.
[Ja McB] Jaffe A., McBryan 0., What constructive quantum field theory
has to say about currents, «Proceedings of conference on cur-
currents», Princeton, 1971.
[JoL] Jona-Lasinio G., Relativistic field theories with symmetry
breaking solutions, Nuovo Cimento Letters, 34, 1790—1795
A964).
[Jo] Йост Р., Общая теория квантованных полей, «Мир», М., 1967.
[Kat] Като Т., Теория возмущений линейных операторов, «Мир», М.,
1972.
[KaRoSw] Kastler D., Robinson D., Swieca S., Conserved currents and
associated symmetries; Goldstone's theorem, Commun. Math.
Phys., 2, 108—120 A966).
[Kl] Klauder J., Ultralocal scalar field models, Commun. Math.
Phys., 18, 307—318 A970).
[KoWi] Вильсон К., Когут Дж., Реиормализационная группа и е-раз-
ложенне, «Мир», М., 1975.
[Leb 1] Lebowitz J., Bounds on the correlations and analyticity pro-
properties of ferromagnetic Ising spin systems, Commun. Math.
Phys., 28, 313—321 A972).
[Leb 2] Lebowitz J., GHS and other inequalities, Comm. Math. Phys.,
35, 87—92 A974).
[Leb Pe] Lebowitz J., Penrose O., Decay of correlations, Yeshiva pre-
preprint.
[Li] Lions J. L., /. Analyse Math., 2, 369 A952).
]Lo] Лоэв М., Теория вероятностей, М. ИЛ, 1962.
[ML] Martin-L6f A., Mixing properties, differentiability of the free
energy and the central limit theorem for pure phase in the
Ising model at low temperature, Commun. Math. Phys., 32,
75—92 A973).
*[MaSe 1] Magnen J., Seneor R., The infinite volume limit of the Ф3
model, Ann. Inst Henri Poincari, XXIV, № 2, 95—519 A976).
*[MaSe2] Magnen J., Seneor R., The Wightman axioms for the Weakey
coupled Yukawa model in two dimensions, Comm. Math. Phys.,
51, 297—318 A976).
[McB 1] McBryan O., The vector currents in the Yukawa* quantum field
theory with SU3 symmetry, Harvard thesis.
[McB 2] McBryan O., Generators for the Lorentz group in the Я(<р)г
theory, Toronto preprint.
[Mil] Milkman J., Hermite polynomials, Hermite functionals and
their integrals in real Hilbert spape, New York Univ., Thesis
A951).
[Mi] Минлос Р. А., Обобщенные случайные процессы и их про-
продолжения до меры, Труды Моск. шатен, общ-ва, 8, 411—497
A959).
[Mi Sin 1] Мннлос Р. А., Синай Я. Г., Явление «разделении фаз» при
низких температурах в некоторых решетчатых моделях газа 1,
Матем. сб., т. 73, 3, 375—448 A967).
[Mi Sin 2] Минлос Р. А., Синай Я. Г., II, Труды Моск. матем. общ-ва,
19, 113—178 A968).
[МСР] Mathematics of Contemporary Physics, ed. by R. F. Steater,
Academic Press, New York, 1972.
[Na] Nakano Т., Progr. Theor. Phys., 21, 241 A959).
[Nel 1] Nelson E., A quartic interaction in two dimensions, в сб. «Ma-
«Mathematical theory of elementary particles», ed. by R. Goodrflari
and J. Segal, M. J. T. Pre$s, 1966.
Список литературы 265
[Nel 2] Nelson E., Quantum fields and Markoff fields, Proceedings of
Summer Institute of Partial Differential Equations, Berkeley
1971, Amer. Math. Soc, Providence, 1973.
[Nel 3] Nelson E., Construction of quantum fields from Markoff fields,
/. Fund. Anal., 12, 97—112 A973).
[Nel 4] Nelson E., The free Markoff field, /. Fund. Anal., 12, 211—227
A973).
[Nel 5] Nelson E., Erice Lecture Notes A973).
[Newl] Newman C, The construction of stationary two-dimensional
Markoff fields with applications to quantum field theory,
/. Fund. Anal., 14, 44—62 A973).
[New 2} Newman C, Zeroes of the partition function for generalized
Ising systems, Comm. Pure Appl. Math., 27, 413—159 A974).
[New3] Newman C, Ultralocal quantum filed theory in terms of cur-
currents, Commun. Math. Phgs., 26, 169—204 A972).
[Neu 1] Фон Нейман Дж., Математические основы квантовой меха-
механики, «Наука», 1964.
[Neu 2] von Neumann J., Measure in function space, J. von Neumann
«Collected Works», v. IV, 435, ed. by A. Taub, Pergamon Press,
Oxford, 1961.
[Os] Osterwalder K., Duality for free Bose fields, Commun. Math
Phgs., 29, 1—14 A973).
[Os Sch 1] Osterwalder K., Schrader R., On the uniqueness of the energy
density in the infinite volume limit for quantum field models,
Helv. Phys. Ada, 45, 746—754 A972).
[Os Sch 2] Osterwalder K., Schrader R., Feynman — Kac formula for
Euclidian Fermi and Bose fields, Phys. Rev. Letts., 29, 1423—
1425 A972).
[Os Sch 3] Osterwalder K., Schrader R., Axioms for Euclidian Green's
functions, Commun. Math. Phys., 31, 83—112 A973).
[OsSch4] Osterwalder K., Schrader R., Axioms for Euclidian Green's
functions, II, Commun. Phys., 42, 281—305 A975).
[Os Sch 5] Osterwalder K., Schrader R., Euclidian Fermi fields and
Feynman — Kac formula for boson-fermion models, Helv. Phys.
Ada, 46, 177—189 A973).
*[Os Se] Osterwalder K., Seneor R., The scattering matrix is non-trivial
for weakly coupled Я(<р)г models, preprint 1975.
[Oz] Ozkaynak H., Euclidean fields for particles of arbitrary spin,
Harvard preprint, 1974.
[Pa] Park J., Local Lorentz transformations of the model, Indiana
preprint.
[Pe] Peierls R., On Ising's model of ferromagnetism, Proc. Camb.
Phil. Soc, 32, 477—481 A936).
[Re] Reed M., A Gording domain for quantum fields, Comm. Math.
Phys., 14, 336—346 A969).
[Re Ro] Reed M., Rosen L., Support properties of the free measure for
boson fields, Comm. Math. Phys., 36, 123 A974).
[Ro 1] Rosen L., А Лф2™ field theory without cutoffs, Commun. Math.
Phys., 16, 157—183 A970).
[Ro2] Rosen L., The (Ф2")г quantum field theory: higher order esti-
estimates, Comm. Pure Appl. Math., 24, 417—457 A971).
[Ro3] Rosen L., The (<p2nJ quantum field theory: Lorentz covariance,
/. Math. Anal, and Appl., 38, 276—311 A972).
[Ro4] Rosen L., Renormalization of the Hilbert space in the mass
shift model, /. Math. Phys., 13, 918—927 A972).
[Roy] Royden H., Real Analysis, Macmillan, 1963.
266
Список литературы
[Ru]
[Sa]
[SalSt]
[Sch I]
[Sch2]
•[Sch 3]
[Schw]
[Schwi 1]
[Schwi2]
[Sel]
[Se2]
fSe3]
•[Sei]
[Sil]
[Si 2]
[Si3]
[SI]
[Spl]
[Sp2]
*[SpZi]
[StM]
[Ste]
[SteW]
[Str]
I Str Wig]
Рюэль Д., Статистическая механика, Строгие результаты,
«Мир», М., 1971.
Sakai S., C*-algebras and W*-algebras, Ergebniss der Math,
und ihrer Grenzgebiete, Band 60, Springer-Verlag, New York, 1971.
Salam A., Strathdee J., A renormalizable gauge model of lep-
ton interaction, Nuovo Cimento, HA, 397—435 A972).
Schrader R., Yukawa quantum field theory in two spacetime
dimensios without curoff, Annals of Physics, 70, 412—457
A972).
Schrader R., A remark on Yukawa plus boson selfinterac-
tions in two space-time dimensions, Comm. Math. Phys., 21,
164—170 A971).
Schrader R., A possible constructive approach to q>J, Comm.
Math. Phys., 50, 97—112 A976).
Швебер С, Введение в релятивистскую квантовую теорию
поля, ИЛ, 1963.
Schwinger J, Proc. Nat. Acad. Set U. S., 44, 956 A958).
Schwinger J., Phys. Rev., 115, 721 A959).
Segal J., Tensor algebras over Hilbert spaces, Trans. Amer.
Math. Soc, 81, 106—134 A956).
Segal J., Notes toward the construction of the nonlinear rela-
tivistic quantum field I; the Hamiltonian in two space-time
dimensions as the generator of С automorphism group,
P. N. A. S., 57, 1178-1183 A967).
Segal J., Construction of nonlinear local quantum processes I,
Ann. Math., 92, 462-481 A970).
Seiler E., Schwinger functions for the Yukawa model in two
dimensions with space-time cutoff, Comm. Math. Phys., 42,
163—182-A975).
Simon В., Correlation inequalities and the mass gap in PUp)г I,
Domination by the two point function, Commun. Math. Phys.,
31, 127—136 A973).
Simon В., Correlation inequalities and the mass gap in
P(<p)z II. Uniqueness of the vacuum for a class of strongly
coupled theories, Ann. Math., 101, 260—268 A975).
Саймон Б., Модель Р(ф)г евклидовой квантовой теории поля,
«Мир», М., 1976.
Sloan A., The relativistic polaron without cutoffs in two space
dimensions, Cornell thesis.
Spencer Т., Perturbation of the Р(ф)г quantum field Hamilto-
Hamiltonian, /. Math. Phys., 14, 823—828 A973).
Spencer Т., The mass gap for the Я(фЬ quantum field model
with a strong external field, Comm. Math. Phys., 39, 63—77
A974).
Spencer Т., Zirilli F., Scattering states and bound states in
«ЧфЬ, Comm. Math. Phys., 49, 1—19 A976).
Statistical Mechanics and Quantum Field theory, ed. by С De
Witt and R. Stora, Gordon and Breach, 1971.
Stein E., Topics in harmonic analysis, Annals of Math. Studies,
63, Princeton, 1970.
Стейн И., Вейс Г., Введение в гармонический анализ иа ев-
евклидовых пространствах, «Мир», М, 1974.
Streater R. г., Connection between the spectrum condition and
the Lorentz invariance of Я(фЬ, Commun. Math. Phys., 26,
109—120 A972).
Стрнтер Р., Вайтман А. С, РСТ, спин, статистика н все такое,
М., «Наука», 1966.
Список литературы 267
[Sw] Swieca J,, Range of forces and broken symmetries in many-
body systems, Commun. Math. Phys., 4, 1—7 A967).
[Syl] Symanzik K... On the many-particle structure of Green's-func-
Green's-functions in quantum field theory I, /. Math. Phys., 1, 249—273
A960).
(Sy2] Symanzik K-, A modified model of Euclidean quantum field
theory, N. Y. U. preprint, 1964.
[Sy3] Symanzik K.., Euclidean quantum field theory, «Local quantum
theory», proceeding of the International School of Physics
«Enrico Fermi», Course 45, ed. by R. Jost, Academic Press,
New York, 1969.
JSy4] Symanzik K., Renormalizable models with simple symmetry
breaking I, Symmetry breaking by a source terme, Commun.
Math. Phys., 16, 48—80 A970).
|Sy5] Symanzik K., Small distance behaviour in field theory and
power counting, Commun. Math. Phys., 18, 227—246 A970).
[Sy6] Symanzik K., Small distance behaviour, analysis and Wilson
expansions, Commun. Math. Phys., 23, 49—86 A971).
[Sy 7] Symanzik K.., Small Distance behaviour in field theory в сб-.
«Strong interaction physics, Springer tracts in modern physics,
v. 57, Springer-Verlag, New York, 1971.
[Sy8] Symanzik K., /. Math. Phys., 7, 510 A966).
[Sz] Schwartz L, Medd. Lunds. Univ. Math. Semin. (Supplement-
band) 196 A952).
tSze] Cere Г., Ортогональные многочлены, Физматгиз, М, 1962.
Um] Umemura Y., Measures on infinite dimensional vector spaces
and Carriers of continuous measures in Hilbertian norm, Pub.
of Research institute of Kyoto Univ. A. I, 1—54 A965).
Varadhan S. R. S., Stochastic processes, lectures notes from
the Courant Institute, New York, 1968.
Владимиров В. С, Методы теории функций многих комплекс-
комплексных переменных, М., «Наука», 1964.
Wick G. С, Phys. Rev., 96, 1124 A954).
Wightmann A. S., Phys. Rev., 101, 860 A956).
Wightmann A. S., Lectures at 1972 Coral Gables Conference.
Вайтман А., Проблемы в релятивистской динамике кванто-
квантованных полей, «Наука», М., 1968.
СОДЕРЖАНИЕ
1. М. РИД, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(Перевод Зиновьева Ю. М.) 13
2. К. Остервальдер, евклидовы функции грина и обобщенные
ФУНКЦИИ ВАИТМАНА {Перевод Зиновьева Ю. М.) 48
3. Э. Нельсон, теория вероятностей и евклидова теория поля
(Перевод Зиновьева Ю. М.) 74
4. Дж. Глимм, А. Джаффе, возонные квантовополевые модели
(Перевод Сушко В. Н.) 99
5. Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер, корпускулярная стру-
структура Р (я>Ь- МОДЕЛИ СО СЛАБЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ И ДРУГИЕ
ПРИМЕНЕНИЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ, ЧАСТЬ I
(Перевод Воловича И. В.) 109
6. Дж. Глимм, А. Джаффе, Т. Спенсер, корпускулярная структура
Р Ы-МОДЕЛИ СО СЛАБЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ И ДРУГИЕ ПРИ-
ПРИМЕНЕНИЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ, ЧАСТЬ II
(Перевод Воловича И. В.) 119
Список литературы 259
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее офор-
оформлении, качестве перевода и другие просим при-
присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСЙ,
1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир>
ИБ № 178
КОНСТРУКТИВНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Редакторы Д. Ф. Борисова, А. И Бряндинская
Художник А. В. Шипов
Художественный редактор В. И Шаповалов
Технический редактор Л. П Бирюкова
Корректор В. С. Соколов
Сдано в набор 21/IX 1976 г. Подписано к печати
11/V 1977 г. Бумага тип. № 3 60X907,6=8.50 бум. л.
17 усл. печ. л. Уч.-иэд. л. 14,76. Изд. № 1/8642.
Цена 1 р. 50 к. Заказ № 351.
Издательство «Мир»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская тнпография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский
проспект, 29.
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР» ГОТОВИТСЯ К ВЫПУСКУ
Гиббсовские состояния в статистической физике.
Сб. ст. Пер. с англ., 12 л., 1р. 10 к.
Гиббсовские состояния, точнее гиббсовские случайные поля
в классическом случае и гиббсовские состояния иа С*-алгебре
квазилокальных наблюдаемых в квантовом случае являются наи-
наиболее адекватной математической моделью для описания равно-
равновесных явлений в статистической физике. Эта область теорети-
теоретической физики развивается в последнее десятилетие очень интен-
сивнО( й число публикаций в ней быстро растет. В настоящем
сборнике представлены переводы наиболее интересных работ за-
зарубежных ученых по разнообразным вопросам этой тематики:
это фазовые переходы в классических структурах, фазовые пере-
переходы в квантовых системах, новое определение гиббсовских со-
состояний в квантовом случае, проблема необратимости. Среди ав-
авторов статей известные специалисты, активно работающие в дан-
данной области, — Г. Араки, Ф. Дайсон, Б. Саймон, Т. Спенсер,
Дж. Фрёлих.
Книга представляет интерес для научных работников, аспи-
аспирантов и студентов старших курсов университетов, специализи-
специализирующихся в области математической физики, теории вероятно-
вероятностей и функционального анализа.
Уважаемый читатель!
Заблаговременно оформляйте заказы на интересующие Вас
книги. Заказы принимаются в магазинах, торгующих научио-тех-
Иической литературой.