ЛЕКЦИИ
ПО ГЕОМЕТРИИ
Семестр III
м. м. постников
ГЛАДКИЕ
МНОГООБРАЗИЯ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов вузов, обучающихся
по специальности «Математика»
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МЛТЕМАТИЧССКОП ЛИТЕРАТУРЫ
1 У 8 7

ББК 22.182
П63
УДК 515.12@75.8)
Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие
многообразия: Учеб. пособие для вузов,—М.: Наука. Гл. ред. фнз«-
мат. лит., 1987.—480 с.
Является непосредственным продолжением пособий того же
автора «Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия»
и «Семестр II. Линейная алгебра». Семестр III посвящен гладким
многообразиям. В него включены также сведения из общей тополо-
топологии. Подробно разъясняется понятие подмногообразия, доказываются
теоремы Сарда и Уитни, излагается теория дифференциальных форм
и их интегрирования, а также элементарная дифференциальная гео-
геометрия—теория кривых (формулы Френе) и теория поверхностей
(вплоть до теоремы о сохранении полной кривизны прн изгибаниях).
Может служить учебным пособием по обязательному курсу гео-
геометрии и топологии в университетах и пединститутах.
Для студентов математических специальностей вузов.
Ил. 50.
Рецензенты:
кафедра геометрии Казанского государственного университета
им. В. И. Ульянова-Ленина (заведующий кафедрой —профессор
А. П. Широков);
доктор физико-математических наук профессор В. И. Ведерников
„ 1702040000—184
П 63-87 © Издательство «Наука».
Ut)j(()/)-o7 ' Главная редакция
физико-математической
литературы, 1987

СОДЕРЖАНИЕ
IДИСЛОВИО
.41 КИПЯ 1 13
Простые линнн на плоскости.— Задание линий уравнением.— Тео-
Теорема Унтин.—Жордановы кривые.—Гладкие и регулярные кри-
i4.it--.— Непараметрнаованные кривые.— Натуральный параметр.
/I Г. КЦИЯ 2 31
Кривые на плоскости.—Формулы Френе для пространственной
криной,— Проекции кривой на координатные плоскости сопровож-
сопровождающего репера.—Формулы Френе для кривой в n-мериом прост-
пространстве.—Существование и единственность кривой с данными кри-
ННЗП.'ШИ.
II1. КЦНЯ 3 44
Элементарные поверхности и их параметризации,— Примеры поверх-
поверхностей.—Касательная плоскость и касательное подпространство —
Глпдкне отображения поверхностей и их дифференциалы.—Диф-
дифференциалы.—Диффеоморфизмы поверхностей.— Первая квадратичная форма поверх-
поверхности.— Изометрин.— Первый дифференциальный параметр Бельт-
рнми.— Примеры нычнеления мерных квадратичных форм.— Развер-
тынающнеся поверхности.
ЛI КЦИЯ 4 71
Вектор иормалн.— Поверхность как график функции,— Нормальные
сечения,— Вторая квадратичная форма поверхности,— Индикатриса
Дюпеиа.— Главные, полная н средняя кривизны — Вторая квадра-
квадратичная форма графика—Линейчатые поверхности нулевой кривиз-
кривизны.—Поверхности вращения.
ЛККЦПЯ 5 88
Деривационные формулы Вейнгартена,— Коэффициенты связности,—
Теорема Гаусса.— Явная формула для гауссовой кривизны.— Необ-
Необходимые и достаточные условия изометрнчиостн,— Поверхности по-
постоянной кривизны.
Л Г КЦИЯ 6 . 97
Вподные замечания. —Открытые подмножества пространства R" и
их диффеоморфизмы.— Карты и атласы,— Максимальные атласы,—
Гладкие многообразия,—Примеры гладких многообразии.
ЛГКЦПЯ 7 112
Топология гладкого многообразия,—Открытые подмногообразия,—
Окрестности н ннутреиние точки,— Гомеоморфизмы,— Первая акси-
аксиома счетности и локальная евклидовость,—Вторая аксиома счетно-
eiH,— Нехаусдррфоны многообразия.— Гладкости на топологическом
пространстве.— Топологические многообрааия.— Нульмерные мио-
юобразия,— Категория ТОР,—Категория DIFF,— Перенесение
I Лг1ДКОСТИ.

4 СОДЕРЖАНИЕ
ЛЕКЦИЯ 8 128
Топологическая инвариантность размерности многообразий.— Раз-
Размерность по покрытиям.— Компактные пространства,—Лемма Ле-
Сега.—Оценка сверху размерности компактных подмножеств прост-
пространства R".— Свойство монотоииости размерности,— Замкнутые
множества.—Монотонность размерности по замкнутым множествам,—
Прямое произведение топологических пространств.— Компактность
прямого произведения компактных пространств.
ЛЕКЦИЯ 9 142
Теорема о Capaf ане,— Теорема Брауэра о неподвижной точке,— Тео-
Теорема о перегородках л кубе,— Нормальные и вполне нормальные
пространства.— Продолжение перегородок.— Теорема Лебега о пок-
покрытиях куба.—Оценка размерности xyfia снизу.
ЛЕКЦИЯ 10 164
Порядковые числа.— Интервальная топология в множествах поряд-
порядковых чисел,— Нульмерные пространства.-— Пример Тихонова.—
Тихоновское произведение юпелояичеекнх пространств.— Фильт-
Фильтры.— Центрированные множества множеств.— Ультрафильтры.—
Критерий компактности.— Теорема Тихонова.
ЛЕКЦИЯ II 171
Гладкость на аффинном пространстве,— Многообразие матриц дан-
данного ранга — Многообразия Штнфеля,— Ряды матриц.—Экспонен-
матриц.—Экспоненциал матрицы,—Логарифм матрицы — Ортогональные и ./-ортого-
./-ортогональные матрицы.—Матричные группы Ли,— Группы ./-ортогональ-
./-ортогональных матриц,— Унитарные и 7-уннтарные матрицы,— Комплексные
матричные 1руппы Ли.— Комплексно аналитические многообразия.—
Линейно связные пространства.—Связные пространства.—Совпа-
пространства.—Совпадение связности и линейной снязности для многообразий.— Гладкие
и кусочно гладкие пути.—Связные многообразия, неудовлетворяю-
неудовлетворяющие второй аксиоме счетиости.
ЛЕКЦИЯ 12 195
Векторы, касательные к гладкому многообразию,—Производные
голоморфных функций.— Касательные векторы комплексно анали-
аналитических многообразий.— Дифференциал гладкого отображения,—
Цепное правило,— Градиент гладкой функции,— Теорема об зталь-
ных отображениях,— Теорема о замене локальных координат.—
Локально плоские отображения.
ЛЕКЦИЯ 13 ; 214
Доказательство теоремы о локально плоских отображениях.— По-
Погружения и субмерсии,— Подмногообразия гладкого многообра-
многообразия.— Подпространство, касательное к подмногообразию,—Локаль-
подмногообразию,—Локальное задание подмногообразия,— Единственность структуры подмно-
подмногообразия,— Случай вложенных подмногообразий,— Теорема о про-
прообразе регулярного значения,— Решения систем уравнений,— Груп-
Группа SL(n) как подмногообразие.
ЛЕКЦИЯ 14 229
Теорема вложения,— Еще о компактных множествах,— Функции
У рысон а,—Доказательство теоремы вложении,—Многообразия,
удовлетворяющие второй аксиоме счетиости.—Разреженные и то-
щне множества.— Нуль-множества.
ЛЕКЦИЯ 15 243
Теорема Сарда.— Аналитическая часть доказательетвп теоремы
Сарда.— Прямое произведение многообразий.— Многообразие кася-
тельиых векторов—Доказательство теоремы вложения Уитни.
ЛЕКЦИЯ 16 • 257
Тензоры,— Тензорные поля.— Векторные поля и днфференцирова-
инн.—Алгебра Ли векторных нолей.

СОДЕРЖАНИЕ 5
ЛГКЦИЯ 17 273
Интегральные кривые векторных полей.— Векторные поля и пото-
потоки— Перенос тензорных полей с помощью диффеоморфизмов.—
Производная Ли тензорного поля.
ЛГ.КДИЯ 18 285
Линейные дифференциальные формы.—Дифференциальные формы
произвольно» степени.— Дифференциальные формы как функцио-
пллы от векторных полей.— Ьнутреинее произведение векторного
ноля и дифференциальной формы.— Перенос дифференциальной фор-
ми посредстном ишдкого отображения.
ЛГКЦИЯ 19 2ПЯ
Внешня й дифференциал дифференциальной формы.—Производная
.Пи дифференциальной формы.
.41¦:К1111Я 20 309
Комплекс де Рама и группы когомологий гладкого многообразия.—
! руппа Н°<?.— Лемма Пуанкаре.—Группа Н'$».—Группа H'S1.—
вычисление i руины H'S1 с помощью интегралов.—Группа H*S2.—
Группы H'S" при /I > 2.— Группы //'"S". т < п.— Группы Н"&п.
ЛККЦМЯ 21 335
Симплнциальные схемы и их геометрические реализации.— Группы
когомологий снмплнцнальных схем.—Двойной комплекс покры-
покрытия.— Группы когомологий двойного комплекса.— Окаймленные
диойные комплексы,—Краевые гомоморфизмы.— Ациклические комп-
комплексы.— Ацикличность по строкам при р = 0.
.ЛГКЦИЯ 22 350
Ацикличность по строкам двойного комплекса нумернруемого покры-
покрытия.— Ацикличность по столбцам двойного комплекса покрытия
Лере.—Теорема де Рама-Лере— Обобщение.— Группы ?§• *.—
Группы Ff' *.— Группа, присоединенная к градуированной группе
с фильтрацией.
ЛГ.КЦИЯ 23 364
Группы ?Р" '.— Спектральные последовательности.—Спектральная
последовательность двойного комплекса.—Спектральная последова-
последовательность покрытия.
ЛГ.КЦИЯ 24 378
Компактно исчерпываемые и паракомпактные топологические про-
пространства.— Паракомпактные многообразия.— Интегралы в Rn.—
Кубнруемые множества и плотности в произвольных многообрази-
многообразиях.—Интегрирование плотностей.
ЛККДИЯ 25 • 393
Ориентируемые многообразия.—Интегрирование форм.—Лемма
Пуанкаре для финитных форм.- Группа H"\nSl/ — Случай ориенти-
ориентируемого многообразия.
ЛЕКДИЯ 26 408
Степень гладкого собственного отображения.—Алгебраическое чис-
число прообразов регулярного значения.— Инвариантность степени прн
гладких гомотопиях.—Доказательство теоремы о барабане.—Ин-
барабане.—Инвариантность степени прн любых гомотопиях.
ЛГ.КЦИЯ 27 420
Области с регулярной границей.— Теорема Стокса.— Формулы Га-
Гаусса -Острогридскшо, Грипп и Ньютпнл- Лейбница. — Многообразия

6 СОДЕРЖАНИЕ
с краем.— Внутренние и краевые точки.— Вложенные Д-подмного-
обрапия.—Теорема Стокса для многообразии с краем и ^-подмного-
^-подмногообразий—Теорема Стокса для поверхностных интегралов.—Теорема
Стокса для сингулярных подмногообразий.—Криволинейные интег-
интегралы второго рода.
ЛЕКЦИЯ 28 • 438
Операторы векторного анализа.—Следствия тождества d о d=0.—
Следствия формулы дифференцирования произведения.—Операторы
Лапласа и Бельтрами.— Поток векторного поля.— Формула Гаусса—
Остроградского для расходимости и формулы Грина.—Расходи-
Грина.—Расходимость как плотность источников.— Формула Стокса для циркуля-
циркуляции.—Формула Гаусса-Остроградского для вихри.—Обобщенная
формула Гаусса-Остроградского.
ЛЕКЦИЯ 29 455
Периоды дифференциальных форм.— Сингулярные симплексы, цепи,
циклы и границы.—Теорема Стокса для интегралов по цепям.—
Группы сингулярных гомологии.— Теорема де Рама.— Группы кого-
мологип цепного комплекса.— Группы сингулярных koiomo/югий.
Предметный указатель 474

ПРЕДИСЛОВИЕ
Геометрия была и остается Золушкой учебных пла-
планов механико-математического факультета МГУ. Никогда
за последние пятьдесят лет в этих планах не было ни
«снований геометрии, ни алгебраических кривых, ни
групп преобразований, ни даже проективной геометрии
(сели не считать отдельных ее обрывков, включенных в
курс аналитической геометрии на первом семестре, кото-
которые читаются лишь при особо благоприятных обстоя-
обстоятельствах, и никто не беспокоится, когда лектор их ком-
комкает или даже вообще опускает). Студент вполне мог и
может окончить мехмат—и успешно! — не имея, по су-
существу, никакого представления о геометрии Лобачев-
Лобачевского, идеях Кэли—Клейна в основаниях геометрии,
свойствах алгебраических кривых и групп Ли.
Лет двенадцать тому назад вызванное все более рас-
распространяющимся внедрением геометрических методов
переполнение курса математического анализа посторон-
посторонним геометрическим материалом побудило создать на вто-
втором году обучения новый учебный курс под условным
названием «Гладкие многообразия и дифференциальная
геометрия» объемом —по одной лекции в неделю. Ожи-
Ожидалось, что этот курс во всяком случае освободит лек-
лекторов по анализу и смежным дисциплинам от изложения
чуждого геометрического материала. Однако программа
этого курса не была достаточно четко продумана, а про-
программы параллельных курсов анализа и теории диффе-
дифференциальных уравнений не были с ней согласованы.
15 результате никакой реальной выгоды лекторы по ана-
анализу не получили, и дело доходило до анекдота—интег-
анекдота—интегрирование дифференциальных форм на многообразиях и
формула Стокса с равной степенью подробности — и лишь
г незначительно сдвинутыми точками зрения—дважды
рассказывались в двух параллельно читаемых курсах
анализа и геометрии!

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
Чтение курса геометрии на третьем семестре вошло
также в противоречие с обобщающей и унифицирующей
ролью геометрических представлений в современной ма-
математике, для выявления которой необходимо основные
аналитические курсы иметь прочтенными и освоенными.
Все это—вместе с другими, более частными, сообра-
соображениями— привело к решению передвинуть курс геомет-
геометрии на третий год обучения (пятый—шестой семестры).
Однако немедленно выяснилось, что и это решение имеет
свои недостатки.
Необходимой составной частью любого курса геомет-
геометрии является теория кривых и поверхностей в трехмер-
трехмерном евклидовом пространстве, важная как своим содер-
содержанием, так и как источник наглядных представлений и
примеров для римановой геометрии и геометрии аффин-
аффинной связности. Но для чтения на третьем году она, во-
первых, слишком элементарна—к этому времени студенты
приобретают умение и вкус к существенно более слож-
сложным построениям и концепциям, — а во-вторых, чтобы она
сыграла свою пропедевтическую роль нельзя от нее слиш-
слишком быстро переходить к римановой геометрии.
Ясно, что излагать эту теорию нужно не позже тре-
третьего семестра (а, быть может, — как я предлагал в пер-
первом издании Семестра II этих «Лекций»,—даже на вто-
втором семестре). Кроме того, чтение курса геометрии на
третьем году никак не помогает лекторам аналитических
дисциплин на втором году обучения (из-за чего — я уве-
уверен— курс геометрии на третьем году будет скоро лик-
ликвидирован и — увы!, — быть может, опять выброшен из
сетки учебного плана).
Кардинальное решение проблемы состоит, конечно,
в полном пересмотре всей традиционно сложившейся си-
системы математических курсов. Однако поскольку в усло-
условиях существующей острой борьбы кафедр за часы и
курсы такого рода пересмотр, — который рано или поздно
придется безусловно осуществить, — пока мало реален,
временным решением может быть возвращение курса гео-
геометрии на третий—четвертый семестры с тем, чтобы из-
изложение вопросов интегрирования было четко распреде-
распределено между курсами анализа и геометрии, которые
должны передавать их друг другу как палочку эстафеты.
Можно предположить, например, следующее распре-
распределение тем. После того как в курсе анализа рассказан
интеграл от функций по областям в R", эстафету немед-

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
ленпо перенимает лектор по геометрии и излагает интег-
интегрирование плотностей и форм на многообразиях. Одно-
иремешю лектор по анализу иллюстрирует общую теорию
iiii частных случаях криволинейных и поверхностных
интегралов первого (плотности) и второго (формы) рода.
'Л-л это время в курсе геометрии рассказывается обобщен-
обобщенная теорема Стокса, которая в курсе анализа немедленно
конкретизируется в виде формул Грина, Гаусса—Остро-
градского и Стокса. Этот дуэт, в котором общая мелодия
то расходится, то сливается, заканчивается апофеозом
векторного анализа с элементами теории потенциала, где
курс анализа непринужденно переливается в теорию
многомерных несобственных интегралов, а курс геомет-
геометрии— в теорию когомологий. Конечно, все это требует
точнейшей согласованности лекторов, добиться которой
совсем непросто.
Лежащая перед читателем книга, как и предыдущие
книги этой серии'), хотя и выросла из конспектов лек-
лекций, которые читались на мехмате МГУ в разные годы,
по не является записью какого-нибудь определенного
курса и представляет собой реализацию предлагаемой
программы курса геометрии третьего семестра. Конечно,
ее можно использовать и как учебное пособие в препода-
преподавании по существующим программам на пятом семестре.
Учебник рассчитан на нормальный курс по две лек-
лекции в неделю. [Число лекций B9) объясняется тем, что
хотя формально зимний семестр содержит 18 недель, но
фактически на втором и третьем курсах удается читать
лекции не более 11 —15 недель.] Однако им можно поль-
пользоваться и в случае, когда учебный план предусматри-
предусматривает лишь одну-полторы лекций в неделю A1 —15 и
соответственно 16—22 лекции).
Чтобы можно было оценить время, необходимое для
изложения той или иной программы, я старался, чтобы
каждая лекция в книге отвечала реальной двухчасовой
(или, точнее, полуторачасовой) устной лекции. [Напоми-
[Напоминание вспомогательного материала из других курсов и
рассмотрение примеров, легкое и непринужденное у до-
доски, в письменном виде требует существенно больше ме-
места. Этим объясняется неравномерность объема лекций и не-
неожиданно большая величина, например, лекций 3,11 и 20.]
')См. М. М. Постников. Лекции по геометрии. Семестр I:
Аналитическая геометрия.— 2-е изд.— М.: Наука, 1986; Семестр II:
Линейная алгебра.— 2-е изд.— М.: Наука, 1986.

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
Основной упор в книге сделан на гладкие Многообра-
Многообразия, а общетопологические факты и понятия отдельно не
выделены и вкраплены в текст.
В последние годы распространилась довольно стран-
странная точка зрения на гладкие многообразия, разделяемая,
как это не удивительно, и некоторыми весьма уважае-
уважаемыми и авторитетными математиками. Основываясь на
том, что понятие гладкого многообразия можно считать
результатом естественной попытки аксиоматического обоб-
обобщения наивного представления о многообразии как о под-
подмножестве евклидова пространства, задаваемого системой
функционально независимых уравнений, они аргументи-
аргументируют, что, поскольку согласно теореме Уитни о вложе-
вложении это обобщение к новым объектам фактически не при-
приводит, многообразия следует определять как такого рода
подмножества, и что общее понятие многообразия явля-
является всего лишь примером многочисленных аксиоматиче-
аксиоматических построений, которые неизбежно возникают в про-
процессе выработки понятий, но которые затем лучше за-
забыть. Я никак не могу разделять это мнение и считаю
его в принципе ошибочным, хотя бы потому, что на
практике—например, в механике—многообразия появля-
появляются, как правило, в абстрактной форме, не вложенные
ни в какое евклидово пространство, и насильственное их
вложение — с большим произволом!—вводит дополнитель-
дополнительную структуру, иногда полезную, но большей частью не
имеющую отношения к существу дела. Сторонники этого
мнения апеллируют к авторитету Пуанкаре, который
якобы ее разделял. На самом же деле Пуанкаре отчет-
отчетливо понимал необходимость в общем понятии многооб-
многообразия и специально останавливался на склеивании карт
атласа. Ссылка на крайности аксиоматизации здесь также
бьет мимо цели, поскольку в действительности многооб-
многообразия появились вовсе не в результате «естественных
попыток обобщения наивного понятия многообразия, за-
заданного уравнениями», а как ответ на требование четкой
экспликации понятия, необходимым образом возникаю-
возникающего в математическом исследовании. Последовательное
проведение тех же принципов отбросило бы математику
на сотню лет назад, поскольку, например, с этой точки
зрения вся линейная алгебра в ее современном виде не
имеет права на существование, основываясь на понятии
линеала, которое де «возникло-в результате естественных
попыток обобщения наивного понятия пространства R"»

ПРЕДИСЛОВИЕ И
(что как и для многообразий неверно), тогда как теорема
об изоморфизме показывает, что «это обобщение к новым
объектам фактически не приводит» (что хотя и верно, но
не лишает понятия линеала его ценности). Поэтому в
книге многообразия определяются обычным образом — на
основе понятия атласа, а подмножества евклидовых про-
пространств появляются лишь как примеры.
Задачи в книге, как правило, совершенно тривиальны
и предназначены исключительно для самоконтроля чита-
читатели. Некоторые, в основном более трудные, задачи вы-
выделены мелким шрифтом. Мелким шрифтом выделен также
вспомогательный материал, относящийся не столько к
геометрии, сколько к алгебре или анализу.
Первые пять лекций, лишь косвенно относящиеся к
теории гладких многообразий, посвящены элементарной
дифференциальной геометрии. После теории кривых (фор-
(формул Френе) строятся первая и вторая квадратичная фор-
формы поверхности, выводятся деривационные формулы
Вепнгартена и доказывается теорема Гаусса об инвари-
инвариантности полной кривизны. Все, что не лежит на прямом
пути к теореме Гаусса опущено (теоремы Менье и Эйлера,
геодезические линии, асимптотические линии, линии кри-
кривизны и т. п.). При чтении лекций на втором курсе этот
материал иногда приходилось откладывать до середины
семестра (чтобы возможно раньше удовлетворить нужды
курса дифференциальных уравнений в основных поня-
понятиях общей теории гладких многообразий). Это хотя и
позволяло убрать некоторые повторения (например, диф-
дифференциал гладкого отображения тогда не нужно было
определять дважды — сначала для поверхностей, а затем
в общем случае), но методически это было мало оправ-
оправдано (и слишком привязывало элементарную дифферен-
дифференциальную геометрию — имеющую в принципе локальный
характер —к теории многообразий).
Собственно теория многообразий начинается с шестой
лекции. Первые десять лекций (с шестой по пятнадца-
пятнадцатую) посвящены основным геометрическим понятиям и
теоремам теории многообразий. В сокращенном 11-лекци-
опном варианте из этих лекций можно оставить семь,
сократив первые пять лекций до четырех и пожертвовав
лекциями 8, 9 и 10 (в которых в основном излагаются
топологическая теория размерности и теоремы Тихонова),
л в 16-лекционном—лекцией 10. Остальные лекции этой
группы (в особенности посвященные теоремам Сарда и

12 ПРЕДИСЛОВИЕ
Уитни) должны, по моему мнению, сохраниться в курсе
при любых вариантах.
В 11-лекционном варианте на этом фактически курс
заканчивается. Впрочем, в этом случае оказывается воз-
возможным—за счет некоторого сокращения и уплотнения
изложения — сэкономить часа полтора лекционного вре-
времени для изложения хотя бы части материала лекций 16
и 17. Что же касается теории дифференциальных форм
(лекции 18, 19 и 20), то в этом варианте ее приходится
переносить на следующий семестр (или оставлять на
усмотрение лектора по анализу).
В 16-лекционном варианте этого переноса удается из-
избежать и заканчивать курс лекцией 20, в которой на
примере сферы демонстрируются различные способы вы-
вычисления групп когомологий де Рама. [Подчеркнем, что
это означает исключение из курса «интеграционных» лек-
лекций 24—29, материал которых тем самым полностью
оставляется на попечении курса анализа.]
В лекциях 21 — 23 впервые делается попытка дать до-
достаточно полное изложение теории гомологии и когомо-
когомологий— вплоть до спектральных последовательностей! —
пригодное для обязательного курса. Это удается сделать,
резко изменив общепринятую точку зрения и практиче-
практически полностью отказавшись от изложения якобы имею-
имеющей геометрическую наглядность симплициальной теории
гомологии. [Мне приятно отметить, что аналогичный
подход—на более высоком уровне—принят в книге
Ботта и Ту «Дифференциальные формы в алгебраической
топологии», русский перевод которой выходит в издатель-
издательстве «Наука» и которую я горячо рекомендую каждому,
кто хочет познакомиться с основными идеями и построе-
построениями классической теории гомологии в ярком и совре-
современном изложении.] При недостатке времени можно опу-
опустить вторую половину лекции 22 и всю лекцию 23.
Наконец, заключительные лекции 24—29, которые
можно при желании частично переставить с лекциями
21 — 23, посвящены интегрированию. Здесь изложение
сознательно неполное (например, ничего не сказано об
аддитивных функциях множества), поскольку они отра-
отражают лишь часть общей картины, другая часть которой
относится к анализу. Лекцию 28 можно при этом цели-
целиком доверить лектору по анализу. Можно также ограни-
ограничиться лишь одной лекцией 29, фактически независимой
от предыдущих четырех лекций.

Лекция 1
Простые линии на плоскости.— Задание линий уравне-
уравнением.— Теорема Уитни.— Жордановы кривые.— Гладкие
и регулярные кривые.— Непараметризованные кривые.—
Натуральный параметр.
Существует несколько различных подходов к четкому
определению (экспликации) интуитивного понятия линии,
приводящие, вообще говоря, к различным результатам.
Однако в простейших ситуациях все подходы дают факти-
фактически одно и то же.
Обсудим сначала линии на плоскости.
Множество Г на плоскости называется графиком, если
существует такая система (евклидовых или аффинных) коор-
координат х, у к такая дифференцируемая (вариант—непре-
(вариант—непрерывная) функция f: I —> R, определенная на (замкнутом,
полуоткрытом или открытом) интервале / оси R, что
точка с координатами х, у тогда и только тогда принад-
принадлежит множеству Г, когда х?1 и y — f{x). С интуитив-
интуитивной точки зрения все графики являются, конечно, линиями.
Точка р0 множества С на плоскости называется простой,
если существует такой открытый круг U с центром в р0,
что пересечение U П С является графиком.
¦ Множество С называется связным, если его нельзя раз-
разбить на два множества, обладающие тем свойством, что
каждая предельная точка одного множества не принад-
принадлежит другому. (Наглядно это означает, что множество
состоит из одного куска.)
Множество С на плоскости называется простой линией,
если оно связно и состоит только из простых точек.
Задача 1. Докажите, что любой график связен
(и, значит, является простой линией).
Различные варианты экспликации понятия линии раз-
различаются в основном тем, какие допускаются непростые
точки. Мы избежим обсуждения этих вопросов раз
и навсегда, условившись рассматривать только простые
линии.
Простая линия может иметь (или не иметь) концевые
точки. Этих точек может быть не более двух. Простая
линия с двумя концевыми точками (имеющая вид изогну-
изогнутого замкнутого интервала числовой оси) называется замк-
замкнутой,' а с одной концевой точкой (имеющая вид изогиу-

14 ЗАДАНИЕ ЛИНИИ УРАВНЕНИЕМ
того полуоткрытого интервала числовой оси)—полуоткры-
оси)—полуоткрытой. Простая линия без концевых точек может иметь
либо вид изогнутого открытого интервала числовой оси,
либо вид изогнутой окружности. В первом случае она
называется открытой, а во втором—замкнутой. (Таким
образом, термин «замкнутая» применительно к простым
линиям имеет два значения! Об этой двусмысленности,
сложившейся исторически, надо постоянно помнить.)
Распространенный способ задания линий на плоскости
заключается в том, что они задаются уравнениями вида
A) F(x, y) = 0,
где х, у—координаты на плоскости (аффинные или прямо-
прямоугольные), a F-— некоторая функция от х, у. [Утвержде-
[Утверждение, что множество 3? задается уравнением A), по опре-
определению означает, что точка р плоскости тогда и только
тогда принадлежит 3', когда ее координаты х, у удовле-
удовлетворяют уравнению A). При трактовке F как функции
на плоскости, это означает, что p?J? тогда и только
тогда, когда F(p) — Q.]
Конечно, чтобы получить линии (в смысле той или
иной четкой экспликации), нужно подчинить функцию F
определенным условиям. В первую очередь естественно
потребовать, чтобы эта функция была непрерывна. [Если
допускать разрывные функции, то уравнением вида A)
можно задать произвольное множество А точек плоскости;
достаточно принять за F функцию 1 — %, где%—так назы-
называемая характеристическая функция множества А, равная
единице для точек из Л и равная нулю вне А.]
Напомним из курса анализа, что точка р плоскости
(или, вообще, произвольного метрического — в частности,
евклидова — пространства) называется внутренней точкой
множества А, если существует такое е > 0, что е-окрест-
ность этой точки (открытый шар—на плоскости круг —
радиуса е с центром в точке р) целиком содержится в Л.
Множество, состоящее только из внутренних точек, назы-
называется открытым. Множество С называется замкнутым,
если его дополнение открыто, или, что равносильно, если
для любой сходящейся последовательности точек рп?С ее
предел Нт/?„ также принадлежит С.
Подмножество аффинного (вещественного и конечно-
конечномерного) пространства Л называется замкнутым (откры-

ЗАДАНИЕ ЛИНИИ УРАВНЕНИЕМ 15
пшм), если оно замкнуто (открыто) по отношению к неко-
некотором евклидовой метрике на Л.
Задача 2. Покажите, что если подмножество аффин-
аффинного пространства Л замкнуто (открыто) по отношению
к одной евклидовой метрике на Л., то оно замкнуто (открыто)
и по отношению к любой другой.
Замечание 1. Замкнутая простая линия на плоско-
плоскости является замкнутым (и ограниченным) множеством (при
каждом из двух пониманий термина «замкнутая линия»).
Напротив, ни одна простая линия — в том числе и откры-
открытая!— не является открытым множеством. Более того,
существуют открытые линии (например, график тангенса),
являющиеся замкнутыми множествами (обязательно неогра-
неограниченными).
Замечание 2. Легко видеть, что ни одна простая
линия не имеет ни одной внутренней точки. На этом
основании Кантор предложил считать линиями на плоско-
плоскости произвольные замкнутые множества без внутренних
точек. Это определение имеет свои преимущества, но для
большинства математических теорий оно, по-видимому,
слишком общо (вместе с тем это определение не охваты-
охватывает, скажем, открытых простых линий).
Очевидно, что для каждой непрерывной функции F на
метрическом пространстве ? множество всех точек, в кото-
которых эта функция равна нулю, замкнуто. Это означает,
что уравнением, вида A) с непрерывной функцией F можно
задать лишь замкнутые множества плоскости.
Задача 3. Покажите, что и, обратно, для любого замкнутого
множества С метрического пространства SC существует иа SC такая
непрерывная функция F, что р?С тогда и только тогда, когда F (р)=0.
[Указание. Рассмотрите на SC функцию
F(p)= inf p(p, q),
— расстояние р от С; здесь р—метрика в SC-\
Точка множества A) называется неособой, если в этой
точке обе частные производные
dF_ dF_
дх ' ду
функции F существуют, непрерывны и хотя бы одна из
них отлична от нуля. Остальные точки множества A)
называются его особыми точками.
Известная из курса анализа теорема о неявной
функции утверждает, что в окрестности любой неособой

16 ТЕОРЕМА УИТНИ
точки каждое множество A) является графиком, т. е.
каждая неособая точка является простой точкой. (Обрат-
(Обратное неверно. Например, при F(x, у) = х(х2 + у2) множе-
множество A) состоит из точек оси ординат х = 0, и потому все
его точки просты. Вместе с тем точка @, 0) является его
особой точкой.)
Отсюда следует, что множество всех неособых точек
каждого множества A) является объединением простых
линий (вообще говоря, соединяющихся в особых точках).
Поэтому, если особых точек не очень много, например,
конечное число, то множество вида A) вполне отвечает
интуитивному представлению о линиях. (И их вполне
уместно так называть.) Однако если особых точек много,
то дело обстоит совсем иначе. Именно, как показал аме-
американский математик Уитни, уравнением вида A) с бес-
бесконечно дифференцируемой функцией F можно задать
любое замкнутое подмножество плоскости.
Теорема Уитни относится к произвольному конечно-
конечномерному точечному аффинному пространству Л. Каждую
функцию F на этом пространстве мы можем, выбрав начало
отсчета О, рассматривать как функцию на ассоциирован-
ассоциированном линеале У3 и, значит,— после выбора в У3 базиса
ег, ..., еп—как функцию на арифметическом пространст-
пространстве R". Функция F называется гладкой функцией класса С",
если, рассматриваемая как функция на R", она обладает
непрерывными частными производными всех порядков.
(Ясно, что если это условие выполнено при одном выборе
репера Оех- ¦ -еп, то оно выполнено и при любом другом
его выборе.)
Теорема /(теорема Уитни). Для любого замкну-
замкнутого подмножества С аффинного пространства Л на Л
существует такая гладкая класса С°° функция F, что р$С
тогда и только тогда, когда F (р) — 0.
Доказательство теоремы 1 опирается на следующую
лемму, имеющую и самостоятельный интерес:
Лемма 1. Существует такая гладкая класса С°° моно-
монотонная функция a: IR — +IR, что:
1° 0 < a (t) < 1 для любого I ? R,
2° а(/) = 0 тогда и только тогда, когда /sg-O.

ТЕОРЕМА УИТНИ 17
Доказательство. Положим
г-1-", если / > О,
W v ' ' <> если
Ясно, что функция B) монотонна и обладает свойствами
1" и 2°. Кроме того, при rf^O эта функция, очевидно,
бесконечно дифференцируема.
11оэтому нам нужно только
доказать, что эта функция
бесконечно дифференцируема
и при ^ = 0.
С этой целью мы напом-
напомним, что функция /, опреде-
определенная в окрестности точки
/ = 0, дифференцируема в этой точке, если существуют
пределы
а,
1
0
/,
/
График
функции
а
t
() ,
(левые и правые производные числа функции f в точке
^ = 0) и если эти пределы равны.
С другой стороны, если функция f дифференцируема
в окрестности точки * = 0, за исключением, возможно,
самой этой точки, и если существуют пределы
D) lira/'(/), НтПО,
то, как непосредственно вытекает из теоремы Лагранжа
о конечных приращениях, пределы C) существуют и равны
пределам D).
Поскольку для всех функций f — а{п) левые пределы D),
очевидно, существуют и равны нулю (ибо при / < 0 эти
функции тождественно равны нулю), отсюда следует, что
для доказательства леммы 1 нам достаточно установить,
что для любого п^О предел
lim а<">(*)= lim (e-l"Yn)
существует и равен нулю.
Но легко видеть, что для любого п^О имеет место
формула

18 теорема уитни
где рп = рп{Т)—многочлен степени 2п. [Эта формула верна
при п = 0; если она верна для некоторого п ^ 0, то
(«-¦/•)<"•> =.[«-«•„,(.!•)]'
где pll+i(T) = 7>„ (Т) — Г'р'п (Г) — многочлен степени
2п-Ь 2. J
Поэтому
1ш(е-1")ы= lira ^- = 0,
/1 о (-> + • «'
что и требуется. П
Следствие 1. Для любого отрезка [а, Ь] оси R суще-
существует такая гладкая класса С" функция p.- R—«-R,. что
0<Р 1 Зля всел: t?R и
[ 1,
= \ 0, если
Доказательство. Достаточно положить
аф— t)-\-a(t — ay
где а—функция из леммы 1. ?
/] Л
ь to
d
График функции Р График функции Я.
Замечание 3. Аналогичным образом можно строить
функции класса С°° с более сложным поведением. Напри-
Например, для любых чисел а<с <d<b формула
«(В-|<-С|)
где
определяет гладкую класса С°° функцию, равную нулю
вне отрезка [a, b] и единице на отрезке [с, d]. Нам такая
функция понадобится в лекции 15.

ТЕОРЕМА УИТНИ 19
Пусть "Р—евклидово векторное пространство.
Обозначения. Для любого г > 0 символом f
(пли просто Вг) мы будем обозначать шар радиуса г евкли-
евклидова пространства Ч3 с центром в точке 0, т. е. множе-
сшо нсех векторов x^fD, для которых | дг|^ г. Соответ-
Соответствующий открытый шар (множество векторов xG.'V3,
для которых |дг| < г) мы будем обозначать символомВ^*.
При ^ = R" вместо В?" мы, как правило, будем
писать В?.
В евклидовом точечном пространстве Л шар радиуса г
с центром в точке р мы будем обозначать символом Bf (р)
(а открытый шар—символом B'f(p)).
Этими обозначениями мы постоянно будем пользоваться
на протяжении всего курса.
Следствие 2. Для любой точки р0 евклидова точеч-
точечного пространства Л и любого г > 0 существует такая
функция f: Л—yR, что 0^/^1 на Л и
1 тогда и только тогда, когда р?Вг(р),
\ 0 тогда и только тогда, когда p$.
Доказательство. Достаточно положить
где х — рйр — радиус-вектор точки р, отсчитываемый от
точки р0, а Р—функция из следствия 1, построенная для
отрезка [г, 2r]. О
Выбрав в пространстве Л систему прямоугольных коор-
координат, мы назовем точку р?Л рациональной, если все ее
координаты являются рациональными числами. UlapBr(p)
мы назовем рациональным, если его центр р и радиус г
рациональны.
Лемма 2. Каждое открытое множество U с Л является
объединением счетного (или конечного) множества рацио-
рациональных шаров, т. е. существуют такие рациональные
точки qlt.. .,qm, .. ¦ и такие рациональные числа ги. ..
...,гт,..., что
E) U= U Brm(qm).
т=\
Доказательство. По условию для любой точки
p?U существует такое е > 0, что Be(p)cU. Рассмотрим
рациональный шар Br(q), где q — такая рациональная

20 ТЕОРЕМА УИТНИ
точка, что р(р, q) < е/2, а г—такое рациональное число,
что р(р, q) < г < е/2 (существование точки ^ и числа г
обеспечивается тем, что любое вещественное число можно
сколь угодно точно аппроксимировать рациональным). Так
как р(р, q)<r, то p?Br(q), а так как
Р (х, р) ^ р (х, q) 4 р (р, (?) < 2г < и
для любой точки x?Br{q), то 6r(^)c=Be(jo)t=t/.
Мы видим, таким образом, что любая точка р ? U содер-
содержится в некотором рациональном шаре Ur{q)cU. Это
означает, что множество и является
объединением рациональных шаров вида
Br(q), построенных для всевозможных
точек P&U. Но множество всех рацио-
рациональных шаров пространства Л, очевид-
очевидно, счетно. Поэтому число различных
шаров вида бг(<7) не более чем счетно.
Обозначив их через Urm(qm), мы и по-
получим разложение E). ?
Теперь у нас все готово для доказательства теоремы 1.
Доказательство теоремы 1. Без ограничения
общности мы можем, очевидно, считать, что рассматривае-
рассматриваемое аффинное пространство Л евклидово и, значит, допол-
дополнение и=Л\С множества С допускает представление
вида E). Пусть fm—функция из следствия 2 леммы 1,
отвечающая точке qm и числу гт/2. Эта функция (а значит,
и каждая ее частная производная) тождественно равна
нулю вне компактного (замкнутого и ограниченного) мно-
множества Brm(qm)- Поэтому для любого /г^О существует
такое число с?, > 0, что абсолютная величина каждой
частной производной порядка k функции fm на всем про-
пространстве Л не превосходит с?,. Пусть
cm = max(l, с°т, с1т, .... с?).
Рассмотрим функциональный ряд
се
F) V -ljs—
' ' Лт* 2тС
Так как по построению ст ^ 1 и fm ^ 1, то этот ряд мажо-
мажорируется числовым сходящимся рядом
се
G) L 4г-

ЖОРДАНОВЫ КРИВЫЕ 21
Следовательно, ряд F) сходится к некоторой функции
F: Л—>~№- Если pkC, то p^Brm(qm) для каждого т~^\
и, значит, fm{p) = O. Если же р(?С (т. е. р? U), то суще-
существует такое т>1, что p$Brm(qm). Тогда !,п(р)ф0 и,
значит, F{p)^0. Таким образом, F(p) = 0 тогда и только
тогда, когда р?С.
С другой стороны, так как для любого m^fe каждая
частная производная m-го члена ряда F) порядка k не
превосходит, очевидно, m-го члена ряда G), то, продиф-
продифференцировав k раз ряд F), мы получим ряд, все члены
которого, за исключением, быть может, первых k членов,
также мажорируются членами ряда G) и который, следо-
следовательно, равномерно сходится. Поэтому, согласно извест-
известной теореме о дифференцировании рядов, сумма ряда F)
бесконечно дифференцируема (и каждая ее частная про-
производная является суммой ряда, составленного из соот-
соответствующих частных производных ряда F)).
Этим теорема 1 полностью доказана. П
Другой подход к понятию линии, связываемый обычно
с именем французского математика Жордана, основывается
на представлении о линии как траектории движущейся
точки. Линии в смысле Жордана мы будем называть
кривыми.
Согласно Жордану, кривой в n-мерном аффинном про-
пространстве <Л называется произвольное непрерывное ото-
отображение
(8) у: 1 — Л,
где / — некоторый интервал оси R (открытый, полуоткры-
полуоткрытый или замкнутый), т. е. после выбора в Л начала от-
отсчета непрерывная вектор-функция
(9) г = г@, *€Л
принимающая значения в ассоциированном линеале "У3.
В аффинных координатах х1, ..-, х" жорданова
кривая (8) задается непрерывными числовыми функ-
функциями
A0) х1 = х1@, ..-, xn = xn(t), t?l.
Уравнения (9) и A0) называются параметрическими урав-
уравнениями кривой (8) (соответственно векторным и коорди-
координатными).

22
ЖОРДАНОВЫ КРИВЫЕ
Подчеркнем, что кривые являются — в отличие от
линий! — не множествами, а отображениями.
Однако на практике удобно обращаться с кривыми —
по крайней мере в терминологическом отношении — как
будто они являются множествами. Например, для любого
to?l точку Po = Y(^o) пространства Л называют точкой
кривой (8), отвечающей значению параметра t0, а также
говорят, что кривая (8) проходит при t = t0 через точ-
точку р0. В случае, когда интервал / замкнут (имеет вид
[а, Ь]) точки у (а) а у (Ь) называются концевыми точками
кривой (8). Говорят также, что кривая (8) соединяет точ-
точку у (а) с точкой у(Ь) и т.д. и т.п.
При у(а) = уф) кривую (8) можно рассматривать как
непрерывное отображение окружности. Такие кривые назы-
называются замкнутыми.
В случае, когда требуется специально подчеркнуть
различие между кривой и множеством ее точек, последнее
называют носителем кривой. Таким образом, носитель
кривой (8) является не чем иным, как образом у (/) интер-
интервала / при отображении (8).
Вообще говоря, носитель кривой может иметь строение,
весьма далекое от интуитивного представления о линии.
Например, он может иметь внутренние точки и даже —
как показывает пример знаменитой кривой Пеано—запол-
Пеано—заполнять собой квадрат.
Кривая (8) называется простой, если она является,
во-первых, инъективным отображением I—+d, т. е. y(^i) =
= Y(^)> *i> 'г€Л тогДа и толь-
только тогда, когда t1 = t2, и, во-
вторых, взаимно непрерывным
(или, как еще говорят, монео-
морфным) отображением, т. е.
таким, что если для последова-
тельности {^,й} точек отрезка /
п „ существует такая точка т?/,
Срезанный декартов лист ^ lim y(,j = y(t)> то после.
довательность {tm} сходится (и Нт/,й = т). Замкнутая
кривая '
(П) Г- [а, Ь]->Я, у(а)
называется простой, если y(*i) = Y(^) пРи U<h тогда
и только тогда, когда tt — a и. t2 = b.
Типичным примером инъективного, но не монеоморф-
ного, отображения открытого интервала в пространство Л

глаДкиР. и регулярный кривыр 23
является кривая
(«срезанный декартов лист»).
Зада ч а 4. Докажите, что при / —- [а, Ь] любое ииъективное
отобрлжепие / — *Л монеоморфно.
I kx-ители простых кривых называются простымидугами.
11ростые дуги, вообще говоря, уже соответствуют интуи-
интуитивному представлению о линии; во всяком случае,
из теоремы о топологической инвариантности размернос-
размерности (см. ниже лекцию 8) следует, что внутренних точек
они не имеют (конечно, при п > 1). Вместе с тем они
мо1 ут быть устроены довольно сложно.
Пример 1. Пусть x = x(l), у = {/(/). O^i^l,—
параметрические уравнения кривой Пеано на плоскости.
Тогда уравнения
х =»*(*), y = y{t), z = t, 0<f<lt
будут задавать в пространстве простую дугу, проекция
которой на плоскость Оху является квадратом. Образно
говоря, это означает, что квадратный участок мы можем
сплошь накрыть крышей, являющейся тем не менее, не
поверхностью, а линией!
Напомним (см. курс анализа), что вещественная функ-
функция, заданная на интервале (а, Ь), называется гладкой
функцией класса С, где г—либо натуральное число, либо
символ оо, если она имеет непрерывные производные всех
порядков ^г (при г = оо это по определению означает
существование непрерывных частных производных всех
порядков; см. выше). В соответствии с этим кривую (8),
заданную на интервале /=(а, Ь), мы будем называть
гладкой кривой класса Сг, если все функции A0) являются
гладкими функциями класса Сг. Поскольку производные
функций A0) являются координатами вектора
A2) г' (П = Иго г ,
это условие равносильно существованию при г Ф сю непре-
непрерывных производных всех порядков ^ г (при г = <х> — не-
4 прерывных производных всех порядков) вектор-функции (9).

24 глаДкиё и Регулярные
В дальнейшем мы всегда будем считать число г доста-
достаточно большим, чтобы все нужные нам дифференцирова-
дифференцирования имели смысл, и упоминания о классе Сг будем, как
правило, опускать.
В случае, когда интервал / имеет концевые точки
(т. е. в случае, когда либо I = [a, b], либо / = [а, Ь) или
I = (Ь, а]) кривая (8) называется гладкой, если она яв-
является ограничением гладкой кривой (данного класса Сг),
заданной на некотором большем интервале /'гз/.
Задача 5. Докажите, что это равносильно тому, что
(при г^оо) функции A0) обладают на интервале (а, Ь)
непрерывными производными всех порядков <г, ав точ-
точках t = a и/или t = b—соответствующими односторонними
производными.
Замкнутая кривая A1) называется гладкой, если, кроме
того, односторонние производные в точках t=a и t = b
совпадают.
Вектор A2) называется касательным вектором к глад-
гладкой кривой A1) в точке t. Допуская определенную нечет-
нечеткость, его называют также касательным вектором в точке
y(t). (Впрочем, для простых кривых эта терминология
вполне законна.)
В лекции 15 мы докажем теорему Сарда, из которой,
в частности, вытекает, что носитель гладкой кривой не
имеет внутренних точек (и даже является так называе-
называемым множеством меры нуль). Поскольку проекция глад-
гладкой кривой, очевидно, представляет собой гладкую кривую,
отсюда следует, что в классе гладких кривых феномен,
описанный в примере 1, невозможен.
Интересно, что гладкая кривая может иметь изломы.
Пример 2. Кривая на плоскости с уравнениями
A3) x = a(t), г/ = а(—0, — оо < t < + °°.
где а—функция из леммы 1, имеет носитель, состоящий
из двух координатных полупрямых х = 0, у^О и х^О,
г/ = 0, соединяющихся под прямым углом!
Кривая (8) (или A1)) называется регулярной в точке t0,
если r'(to)^=O. Кривая регулярная во всех точках назы-
называется регулярной.
Заметим, что кривая A3) в точке излома ? = 0 не ре-
регулярна. Это не случайно, поскольку, как известно из
курса анализа, носитель простой кривой (8), регулярной
в точке t0, имеет в точке у (/„) единственную касатель-
касательную (направляющим вектором служит вектор /*'(/„)).

НЕПАРАМЕТРИЗОВЛННЫЕ КРИВЫЕ 25
Две кривые
A4) у: 1 — Л, у*: 1*-^А,
где / и /* — интервалы одного и того же типа (оба замк-
замкнутые, оба открытые или оба полуоткрытые), называются
эквивалентными, если существует гладкая (класса С)
функция
A5) ip: /• —/
со всюду отличной от нуля производной, отображающая
интервал /* на интервал / и такая, что у* = 7°Ф> т. е.
такая, что
A6) y*(t*) = y(q>(t*)) для любого t*?l*.
Говорят также, что функция ср осуществляет на кри-
кривой у замену параметра.
Классы эквивалентности кривых называются непара-
метриэованными кривыми. Чтобы подчеркнуть отличие
кривых от непараметризованных кривых, первые иногда
называются параметризованными кривыми.
Непараметризованная кривая называется гладкой, про-
простой или регулярной, если она является классом экви-
эквивалентности гладкой, простой или регулярной непара-
метризованной кривой. Так как кривая, эквивалентная
гладкой, простои или регулярной кривой, гакже, оче-
очевидно, гладка или соответственно проста и регулярна,
то это определение корректно.
Если кривые A4) связаны соотношением A6), где ср,
вообще говоря, — произвольная функция, то носители
этих кривых совпадают. Поэтому эквивалентные кривые
имеют один и тот же носитель (который называется
носителем соответствующей непараметризованной кривой),
по обратное, вообще говоря, неверно.
Однако в классе простых и регулярных кривых дело
обстоит более удовлетворительно.
Предложение 1. Если обе кривые A4) просты и ре-
регулярны, то они тогда и только тогда имеют один и
тот же носитель, когда эти кривые эквивалентны.
Доказательство. Если кривые A4) просты и имеют
один и тот же носитель, то корректно определено не-
непрерывное (почему?) отображение ф =у~г оу* интервала /*
на интервал /. Поэтому надо лишь доказать, что отобра-
отображение ф гладко и его производная всюду отлична от нуля.

26 НЕПЛРЛМЕТРИЗОВАННЫЕ КРИВЫЕ
Пусть /J — произвольная точка интервала /*, и пусть
<о = <РA*о)- Тогда, если po = y*(t;), то po = y(to) и в точке
р0 носитель кривых A4) имеет единственную касательную.
При этом, если r = r(t) и г = г* it*)—векторные пара-
параметрические уравнения кривых (!4), то векторы г'(/0) и
r.j'(/o) будут направляющими векторами этой касательной.
Поэтому эти векторы коллинеарны.
Так как кривая у регулярна в точке t0, то г\ (/„) ф 0.
Поэтому, если
— координатные параметрические уравнения кривых A4),
то без ограничения общности можно считать, что -jr (t0) Ф
^0 и, значит, — в силу коллинеарности векторов ri(^)
Но если -~-^0)ф0, то по известной из курса анализа
теореме об обратной функции, функция/1 ло-
локально обратима, т. е. существуют такой интервал (а, Ь)
оси х, содержащий точку х„ = /1(/0), и на этом интервале
такая функция t — h(x), отображающая этот интервал на
некоторый интервал -(а, Р) оси /, содержащий точку t0
(и содержащийся в интервале /), что
h (/' (t)) — t для любой точки / б (а, Р)-
При этом функция h принадлежит тому же классу глад-
гладкости С, что и функция /', а ее производная в точке *„
отлична от нуля.
По построению g1 (/o) = /J (А>) = л:о€(а. b). Поэтому су-
существует такой интервал (а*, р*) оси t*, содержащий
точку II и содержащийся в интервале /*, что g1 (t*)?(a, b)
для любой точки t*?(a*, p*). Следовательно, на интервале
(а*, р*) определена функция
A7) hog1: t*^.h№(i*)),
принимающая значения в интервале (а, Р). Зта функция
принадлежит классу гладкости С и обладает тем свой-
свойством, что ее производная в точке t*0 отлична от нуля.
С другой стороны, по условию
/'(Ф(Н) =?'('*)

НЕПЛРАМЕТРИЗОВЛННЫЕ КРИВЫЕ 27
чтя любой точки t*?l* и любого ( = 1, .... «; в частно-
частности, при t*?{a\ р*) и t = l. Поэтому ч(Р) = Aк>81)(Р)
при t*€(a*, Р*), т. е. функция A7) является ограничением
функции ф на интервале (а*, р*). Следовательно, функ-
функция ф принадлежит классу гладкости С на интервале
(а*, р*) и ее производная в точке t*0 отлична от нуля.
Поскольку t\ — произвольная точка интервала /*, а ин-
интервалы вида (а*, р*) покрывают весь этот интервал; этим
доказано, что функция ф принадлежит классу Сг на всем
интервале /* и ее производная всюду на этом интервале
отлична от нуля.
Тем самым предложение 1 полностью доказано, п
Предложение 1 означает, что с точностью до эквива-
эквивалентности простые регулярные кривые однозначно опре-
определяются их носителями (и потому могут быть с ними
отождествлены). Эти носители называются регулярными
простыми дугами. Регулярная простая кривая, носителем
которой является регулярная простая дуга .S7, называется
также параметризацией дуги У. Как правило, мы будем
отождествлять регулярные простые дуги с их параметри-
параметризациями (рассматриваемыми с точностью до эквивален-
эквивалентности).
Замечание 4. Кажущаяся естественной проблема о
переносе предложения 1 на произвольные кривые посред-
посредством более общих замен параметра (например, с произ-
производными, обращающимися в нуль) принадлежит к числу —
увы довольно большому! — надуманных задач, не имеющих
содержательного значения.
При п = 2 (на плоскости) любой график является,
очевидно, регулярной простой дугой. Более того, можно
показать (попробуйте сделать это!), что на плоскости
регулярные простые дуги—это в точности простые ли-
линии. Таким образом, в отношении простых линий все
экспликации интуитивного понятия линии приводят к
одному и тому же результату.
Задача 6. Покажите, что на плоскости каждая ре-
регулярная кривая (8) локально эквивалентна графику, т. е.
для любой точки to?l существует в R такая ее окре-
окрестность (а, Ь)с/, что кривая у\ш,Ь) эквивалентна кривой
с уравнениями эида x=t, y = f(t) (и, значит, является
регулярной простой кривой).
Задача 7. Приведите пример, покатывающий, что регулярная
кривая, являющаяся инъективным отображением, тем не менее может

28 НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР
ие быть простой кривой (и даже может иметь целый отрезок непро-
непростых точек).
Если пространство Л евклидово, то для любой гладкой
кривой (8) на отрезке / определена функция
— длина касательного вектора г'@- Эта функция заве-
заведомо непрерывна, и потому в случае, когда I = [а, Ь],
существует интеграл
s=\\r'{t)\dt
этой функции по отрезку [а, Ь]. Как показывается в
курсе анализа этот интеграл равен пределу длин ломаных,
вписанных в кривую (8),—длине кривой (8).
Пусть теперь интервал / произволен, и пусть to?l.
Тогда формула
A8) s(t)
определяет на интервале / гладкую функцию, отобра-
отображающую этот интервал на некоторый интервал J оси s,
содержащий точку 0. Зта функция называется длиной
дуги. (Заметим, что она может принимать и отрицатель-
отрицательные значения.)
Если s(t) — t — t0, то параметр t называется нату-
натуральным. Таким образом, допуская общепринятую в ана-
анализе неточность, можно сказать, что параметр t нату-
натурален, если он является длиной дуги.
Свойство параметра быть натуральным равносильно
тождественному равенству s'{i)=\. Поскольку по опре-
определению s'@ = | г'(ОЬ мы видим, следовательно, что
параметр t на кривой (8) тогда и только тогда нату-
натурален, когда
| г' @|=1 для всех /g/.
В частности, мы видим, что кривая, отнесенная к на-
натуральному параметру, заведомо регулярна.
Обратно, пусть кривая (8) регулярна. Тогда | г' @1 > 0
для всех if/, и потому функция A8) монотонна и для
нее определена обратная функция
/

НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР 99
Кривая
эквивалентна кривой у, и для нее
r;(s) = r'@g(s) = r'@s^,
где / = ф (s). Поскольку s' (^) = | г' @1, отсюда следует, что
|ri(s)| = 1 для всех s?J,
т. е. что параметр s на кривой Yi натурален.
Таким образом, мы видим, что каждая регулярная
кривая эквивалентна кривой, отнесенной к натуральному
параметру.
Поэтому, поскольку мы ограничиваемся регулярными
(и, кроме того, простыми) кривыми, все рассматриваемые
кривые мы без ограничения общности можем считать от-
отнесенными к натуральному параметру. Важно при этом
иметь в виду, что для регулярной простой дуги нату.
рамный параметр определен однозначно с точностью до
преобразований вида
(т. е. с точностью до выбора начальной точки и направ-
направления отсчета длин).
В дальнейшем натуральный параметр, как правило,
мы будем обозначать символом s.
Дифференцирование по s будем обозначать точкой:
Как мы уже видели, натуральность параметра s равно-
равносильна тождеству
| г (s) | = 1 для всех s.
В связи с этим полезно иметь в виду следующую лемму
(в которой s, конечно, не натуральный параметр):
Лемма 3. Пусть u = u(s)—такая векторзначная
гладкая функция, что \ и (s) | = 1 для всех s. Тогда
A9) u{s) ii{s) = 0 для каждого s.
Доказательство. Равенство| и(s)\ = 1 равносильно
равенству «(sJ=l. Но легко видеть, что для скалярного
(также, как, кстати сказать, и для векторного) умноже-

30 НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР
ния векторов сохраняется обычная формула дифференци-
дифференцирования произведения. В частности,
(в2)- =*йи+ ий = 2вв.
Поэтому, если и2 = 1, то вв = 0. ?
Следствие. Для любой кривой г— г (s), отнесенной
к натуральному параметру, имеет место формула
B0) г (s) r (s) = 0 для каждого s.

Лекция 2
Кривые на плоскости. —Формулы Фреие для простран-
пространственной кривой. —Проекции кривой на координатные
плоскости сопровождающего репера. —Формулы Френе
для кривой в л-мсриом пространстве. —Существование
и единственность кривой с данными кривизнами.
Пусть
A) у: 1-+А
— произвольная регулярная и простая кривая в п-мерном
евклидовом пространстве Л. Как мы знаем из предыду-
предыдущей лекции, без ограничения общности можно считать,
что кривая A) отнесена к натуральному параметру s.
Пусть r — r(s) — векторное параметрическое уравнение
кривой A), и пусть
B) *(s) = r(s)
-ее касательный вектор. Так как параметр s натурален,
то вектор B) является ортом, а вектор
ому ортогонален:
t (s)i (s) = 0 для всех s.
Определение 1. Длина \'t{s)\ вектора i(s) обозна-
обозначается символом k(s) (или просто k) и называется кри-
кривизной кривой A) в точке s (или r(s)).
Например, для плоской кривой
(s)-\ у* (8),
где x—x(s) и y = y(s)—координатные параметрические
уравнения кривой A) в евклидовой системе координат
х. У-
Кривизной кривой, отнесенной к произвольному па-
параметру, называется кривизна эквивалентной кривой,
отнесенной к натуральному параметру. Формула для этой
кривизны (которую можно получить простыми, но довольно
громоздкими вычислениями, не пользуясь ничем, кроме
формул дифференцирования функций) имеет—даже для
плоских кривых — довольно сложный вид:
х"у' - у"х'

32 КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
Наглядно число k является мгновенной скоростью по-
поворота единичного вектора t. Ясно, что эта скорость
тем больше, чем кривая «искривленнее». Отсюда и
термин —«кривизна».
На ориентированной плоскости можно рассматривать
так называемую относительную кривизну kniH, равную
кривизне k, если (при /г=/=0) векторы t и i составляют
положительно ориентированный базис плоскости, и равную
—k в противном случае. Нам эта кривизна понадобится
в лекции 4.
Пример 1. Если
, «/ = «/„ +sm, где 12-\ т*=\,
т. е. если рассматриваемая кривая является прямой, то
я = 0 и у = 0. Поэтому k = 0 для всех s, т. е., как и
следовало ожидать, кривизна прямой тождественно равна
нулю.
Поскольку линейные функции являются единственными
функциями, вторая производная которых тождественно
равна нулю, верно и обратное, т. е. кривая, кривизна ко-
которой тождественно равна нулю, является прямой (или
ее отрезком).
Точка г0 = г (s0) кривой г = r(s) называется точкой
распрямления, если k(so) = O.
Пример 2. Параметрические уравнения окружности
радиуса R в натуральном параметре s имеют, очевидно,
вид
х — Rcos-g, y = Rs\n-n-.
Так как
•• _ 1 s •• _ 1 . s
X~~RC0S'R' У~~ Л"Ч'ПЛ"'
то для окружности
k(s)=-n- для всех s.
Таким образом, кривизна окружности постоянна и равна
величине, обратной ее радиусу.
Из доказываемой ниже общей теоремы 1 следует, что
и, обратно, кривая с постоянной кривизной является ок-
окружностью (или ее дугой).
Если для некоторой кривой k(Sa)^O, то определено
число /?(so) = r7—r. называемое радиусом кривизны кривой
в рассматриваемой точке.

КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ 33
Кривая г = r(s) называется кривой общего типа, если
на ней нет точек распрямления, т. е. если fe(s)=/=0 для
всех s. В каждой точке такой кривой определен единич-
единичный вектор
направленный по нормали к кривой (т. е. по прямой,
проходящей через точку касания перпендикулярно каса-
касательной).
Для любого s векторы t(s) и n(s) образуют ортонор-
мированный базис, который называется сопровождающим
базисом Френе данной кривой общего типа.
По определению
i(s)=k(s)n(s).
Найдем аналогичную формулу для вектора n(s). Пусть
— разложение этого вектора по векторам базиса t — t(s),
n = n(s). Так как tn = Q, то in-\ th — O (мы снова поль-
пользуемся тем, что для скалярного произведения векторов
справедлива обычная формула дифференцирования произ-
произведения), и потому a — th = — in — — k. С другой сто-
стороны, согласно лемме 2 лекции 1 р = пп = 0. Этим дока-
доказано, что для любой кривой обще-
общего типа имеют место формулы
C)
(мы опускаем указание на ар-
гумент s), описывающие мгно-
венный [ЮВОрОТ сопровождаю- Базис Фрейс плоской кривой
щего базиса.
Формулы C) называются формулами Френе для плоской
кривой.
Замечание 1. На ориентированной плоскости базис
Френе можно определить и для кривых с точками рас-
распрямления, принимая за n(s) вектор, образующий вместе
с вектором t (s) положительно ориентированный базис
плоскости. Тогда в формулах C) вместо кривизны k
поят пси относительная кривизна ^Огн'
2 М. М. Постников, сем. III

34 ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
Для кривых в трехмерном пространстве (отнесенном
к прямоугольным координатам х, у, г) формула для кри-
кривизны имеет вид
*-/
x2 -I- у2 Л- г2.
Кривая A) при п — 3 называется, как и в случае п = 2,
кривой общего типа, если fe(s)=#=0 при всех s. Для такой
кривой определен единичный вектор
nV>~k (s) '
называемый вектором главной нормали кривой.
Но теперь мы можем (предполагая пространство ори-
ориентированным) ввести в рассмотрение еще третий вектор
b(s), составляющий вместе с векторами t (s) и n(s) по-
положительно ориентированный ортонормированный базис
t(s), n(s), b(s) (т. е. такой, что b(s) = t(s)xn(s)). Этот
вектор называется вектором бинормали, а базис t (s),
n(s), b(s)—сопровождающим базисом Френе данной кривой
общего типа.
По построению (для упрощения формул мы опускаем
аргумент s)
i = kn.
Кроме того, так как b*=txn, то
откуда следует, что bt = 0. Поскольку, согласно лемме 2
лекции 1, bb — 0, этим доказано, что вектор 6 коллинеа-
рен вектору п, т. е. существует
такое число k = k(s), что
Ь — — кп.
Число k(s) называется кручени-
кручением данной кривой в точке r(s).
Оно является скоростью поворо-
поворота вектора бинормали.
Базис Френе Продифференцировав теперь
пространственной кривой равенства nt = 0 и в& = 0, мы
немедленно получим, что nt =
——nt——k и nb = —пЬ=к. Поскольку, кроме того, пп = 0
(лемма 2 лекции 1), тем самым доказано, что
n — — kt-\ уф.

ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
35
Таким образом, для любой кривой общего типа имеют
место формулы
D)
Эти формулы называются формулами Френе для про-
пространственной кривой.
ПримерЗ. Если кривая r = r(s) расположена в пло-
плоскости П, то векторы r(s) и r(s) параллельны этой пло-
плоскости (ибо это так для приращений r(s+As) — r(s) и
ir(s+&s)—r(s) векторов r(s) и r(s)). Поэтому t(s),
re(s)||Il и, значит, b(s)±U. Это доказывает, что ft(s) =
= -const, и потому k(s) = 0 для всех s. Обратно, пусть
x(s) = 0 для всех s и, значит, b(s) = bo = const. Тогда
(г (s) ba)' =r(s)bo = t (s) b0 — 0 для всех s, и потому
г(sN0 = const. Это означает, что кривая r = r(s) распо-
расположена в плоскости rbQ — const. Таким образом, кривая в
пространстве тогда и только тогда является плоской
кривой, когда ее кручение тождествен-
тождественно равно нулю.
Пример 4. Винтовой кривой на-
называется траектория точки, движущейся
с постоянной скоростью по образующей
прямого кругового цилиндра, равно-
равномерно вращающегося вокруг своей оси.
Параметрические уравнения этой кри-
кривой имеют вид
x = acos?, y — asmt, z — bt.
Так как х' = — я sin if, y' = acost,
г' = Ь, то
Винтовая линия
s' = V{x'f + (у')гЛ
= К> + b*
и, значит, s = ct, где с=уа*-{-Ь2. Поэтому
_ s _ . _s_ Ь_
с ' " с ' с
Но тогда
а .... s .-. а ._. s • Ь
:» z — т >

Зб ПРОЕКЦИИ КРИВОЙ НА КООРДИНАТНЫЕ ПЛОСКОСТИ
и потому
k = у x2 4, у2 + z2 = ^ = const.
Кроме того,
у/ а . s a s b \
t = [ sin — , — cos — , — ,
\ с с с с ' с J'
л— _cos —, —sin — , 0
\ с с
b . s b s a
sincos
Поэтому
b .. s
x = -s-ei const.
и, следовательно,
Таким образом, кривизна и кручение винтовой кривой
постоянны.
Согласно доказываемой ниже общей теореме 1 и
обратно, каждая кривая, кривизна и кручение которой
постоянны, является винтовой кривой (или ее дугой).
Замечание 2. Обратим внимание на различие в
трактовке понятия кривой общего типа на плоскости и в
пространстве. Чтобы достичь единства, надо для кривых
на плоскости рассматривать не абсолютную, а относитель-
относительную кривизну. Ср. замечание 1.
Чтобы исследовать поведение произвольной простран-
пространственной кривой r = r{s) вблизи некоторой ее точки, мы
выберем начало координат О в этой точке, за координатный
базис i, j, k примем сопровождающий базис ?„> я0, ^о
в точке О и будем натуральный параметр s отсчитывать
от О. Тогда
r@) = 0, r(O) = to = i, г(О) = Мо = /гоУ,
г @) = /гоя„ + kono == — /# + koj + Mo*,
где /г„, /г0 и к0 — значение функций k, k и к при s = 0.

ПРОЕКЦИИ КРИВОЙ НА КООРДИНАТНЫЕ ПЛОСКОСТИ
Следовательно, по формуле Тейлора
37
Это означает, что вблизи точки О наша кривая задается
параметрическими уравнениями
Если к0ф0, so^O, то проекция кривой на плоскость
(кстати сказать, эта плоскость называется
Проекция на соприкаса- Проекция на нормаль- Проекция на спряиля-
><ициюся щтстсть нцю плоскость ютцю плоскость
соприкасающейся плоскостью кривой в точке О) прибли-
приближенно совпадает с параболой
x = s, «/ = -ys2;
ее проекция на плоскость Ojk = Onab0 (которая называется
нормальной плоскостью кривой в точке О) — с полукуби-
ческой параболой
У=-?*
.- 6 S ,
ч, наконец, ее проекция на плоскость Oik = Ot0b0 (кото-
(которая называется спрямляющей плоскостью кривой
ч точке О) — с кубической параболой

38 ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ В п-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Это дает достаточно отчетливое представление об уст-
устройстве пространственной кривой вблизи любой ее точки
(в которой отличны от нуля кривизна и кручение).
Рассмотрим теперь общий случай евклидова простран-
пространства произвольной размерности п~^2.
Отнесенная к натуральному параметру кривая г = г (s)
в «-мерном ориентированном евклидовом пространстве
называется кривой общего типа, если для любого s
векторы
(л-1)
E) r(s) г (s)
линейно независимы.
Применив к векторам E) процесс ортогонализации
Грама—Шмидта, мы получим ортонормированное семей-
семейство векторов Ms)» ..., ^„_i(s). Пусть tn(s)—вектор
(однозначно определенный), дополняющий это семейство
до положительно ориентированного ортонормироваиного
базиса
F) Ms),..., '„-i(s), tn(s).
Определение 2. Базис F) называется сопровождаю-
сопровождающим базисом Френе кривой общего типа в точке г (s).
Пусть
(для упрощения формул мы опускаем аргумент s). Так
как по построению вектор tit i=\, .... п—1, линейно
(О
выражается через векторы г, ..., г, то вектор tt линейно
(<п
выражается через векторы г, ..., г. Поскольку же
последние векторы линейно выражаются через векторы
*i. • • •. *,+i, этим доказано, что а(/= 0 при / > i + 1.
С другой стороны, так как ttt/ = 6^, то ittj + tjj = 0,
т. е.
Потому а,, = 0 и а,у = 0 при / < i—1.
Таким образом, могут быть отличны от нуля лишь
коэффициенты а,-, ,-+1 = — «т,,-- Полагая

КРИВАЯ С ДАННЫМИ КРИВИЗНАМИ 39
мы видим, следовательно, что имеют место формулы
G)
Эти формулы называются формулами Френе для кривой
в п-мерном пространстве.
Функции fei = fei(s), ¦ ¦., kn_i~ kn_1(s) называются
кривизнами кривой. Подчеркнем, что они определены
только для кривой общего типа.
В формулах
(О
(8) *,«=РцГ+...+?„#¦„ t=l,...,tt-l,
получающихся применением процесса ортогонализации
Грама—Шмидта, последние коэффициенты Р,,- положи-
положительны. Поэтому в обратных формулах
(О
(9) r = Vn*i+--
коэффициенты Уц — ^п1 также положительны. Продиф-
Продифференцировав формулы (8), мы получим соотношения вида
(О
(+)
Заменив здесь (при i < п — 1) векторы г, .... г выра-
выражениями (9), мы должны получить формулы G). Это по-
показывает, что
Отсюда, в частности, следует, что для любой кривой
общего типа кривизны
положительны. Кривизна же /г„_! (аналог кручения) может
иметь произвольный знак.
Покажем теперь, что любые п—1 функций
kl{s)>0 fe,,_2(s)>0, fen_t(s)

40 КРИВАЯ С ДАННЫМИ КРИВИЗНАМИ
(заданные на некотором интервале (а, Ь) оси R) могут
служить кривизнами некоторой кривой (регулярной, но,
вообще говоря, не простой) и что эти кривизны одно-
однозначно (с точностью до конгруэнтности) определяют
кривую.
Пусть для определенности а < 0 < Ь.
Теорема 1. Пусть на интервале (а, Ь) заданы п—1
гладких функций A0), которые все положительны, кроме,
быть может, последней. Тогда для любой начальной
точки О?А и любого положительно ориентированного
ортонормированного базиса ilt . . ., in существует одна
и только одна кривая r — r(s), a < s < b, общего типа,
обладающая следующими двумя- свойствами:
1° кривизнами этой кривой являются данные функ-
функции A0);
2° при s = 0 имеют место равенства
Доказательство мы проведем в четыре этапа.
Этап 1. На этом этапе мы воспользуемся следующей
общей теоремой, известной как теорема существо-
существования и единственности решений (СЕР) линей-
линейных дифференциальных уравнений и которая доказывается
в курсе теории дифференциальных уравнений.
Теорема СЕР. Пусть на интервале (а, Ь) заданы т2
гладких функций Аи (s), i, /= 1, ..., т, и пусть.х{°\ ...
..., х$—произвольные числа. Тогда существует одно и
только одно семейство гладких функций хх (s), ...
..., хт (s), a < s < ft, обладающих следующими двумя
свойствами:
Г тождественно по s, a < s < Ъ, выполнены соотно-
соотношения
A1)
А1тхт,
2° при s = 0 имеют место равенства
^@) = ^, .... хя{0) = х»>. П
Мы применим эту теорему к соотношениям G), кото-
которые при данных функциях klt .., /s,,_i являются урав-
уравнениями вида (И) для m = n2 координат векторов
tu ..., tn. Таким образом, согласно теореме СЕР, на
интервале {а, Ь) существует одно и только одно семейство

КРИВАЯ С ДАННЫМИ КРИВИЗНАМИ 41
таких векторзначных функций ^ (s), . . ., *„_! (s), a< s < b,
что:
Г при любом s выполнены соотношения G);
2° при s==0 имеют место равенства
A2) М0)=*„ ••., '„@) = *„.
:-)тап 2. Рассмотрим скалярные произведения t,t,
/, /•=¦ 1, .... п. Согласно соотношениям G) для этих про-
произведений имеют место равенства
= (- A,_i*,_i + Mm) *, н- *, (- Ay-i^-H- *,*/+i)
(мы условно полагаем, что *0 = 0 и ?„+1 = 0), т. е. равен-
равенства
A3) (Щ- = - k^ (t^t,) + k; (ti+1tf) ~
которые мы можем рассматривать как уравнения вида A1)
для т = п ^ ' функций tjtf. Поэтому, согласно теореме
СЕР, существует только единственный набор этих функ-
функций, обладающих тем свойством, что при s = 0 они равны
6,7 = М/ (т- е- равны нулю, если 1ф], и единице,
если t = /).
С другой стороны, непосредственная проверка пока-
показывает, что уравнениям A3) удовлетворяют функции t,tj,
тождественно равные Ьц. (Действительно, при 1ф\—1,
/ ; 1 все слагаемые суммы — /г,--^..!,/ + ^А-и,/ —
/г/-Л,/-1 + ^А,/+1 равны нулю, а при i = j— 1, )+1
и этой сумме имеются только два отличных от нуля, не
взаимно уничтожающихся слагаемых.) Следовательно,
в силу теоремы СЕР для всех s имеют место равенства
tjtj = b;j, t,/ = 1, ..., п, означающие, что векторы
t , tn для любого s, a< s<b, составляют ортонор-
мнрованный базис. .
Поскольку при s = 0 этот базис совпадает с положи-
положительно ориентированным базисом ilt ..., in, то и для
каждого s, a < s < b, базис tlt ..., ts положительно
ориентирован.
Этап 3. Составив последовательные производные век-
вектора *,:
(п-1)
tu tlt tu .... t, ,

42 КРИВАЯ С ДАННЫМИ КРИВИЗНАМИ
применим к ним процесс ортогонализации Грама—Шмидта.
Так как вектор tt является ортом, то на первом шаге
этого процесса мы ничего делать не должны. Поскольку
по лемме 2 лекции 1 вектор it ортогонален вектору tt,
на втором шаге мы должны его только нормировать.
С другой стороны, так как по доказанному вектор t2
является ортом и по условию kt > 0, то, согласно пер-
первому из соотношений G), |fi| = /si. Поэтому на втором
шаге процесса ортогонализации мы получим вектор
На третьем шаге нам следует рассмотреть вектор
h = (W = kt2 + kja = — AJ*i 4 kt, + Ibkjt»
вычесть из него линейную комбинацию векторов tx и tt
так, чтобы получился вектор, ортогональный этим векто-
векторам, и пронормировать этот вектор. Но так как векторы
tu К> *я составляют по доказанному ортонормированное
семейство, а по условию kik2 > О, то в результате этой
процедуры получится, очевидно, вектор t3.
Ясно, что это рассуждение имеет общий характер, так
что на каждом шаге процесса ортогонализации мы полу-
получим соответствующий вектор th i=\, ..., п—1. Этим
доказано, что семейство векторов tu tt, ..., tn^ одно-
однозначно характеризуется как ортонормированное семей-
семейство векторов, получающееся из семейства A4) примене-
применением процесса ортогонализации Грама—Шмидта.
Этап 4. Пусть
A5) r^^^Wds, a<s<b.
о
Тогда г@) = 0 и r(s) = ^, (s), т. е. кривая r = r(s),
a<s<b, проходит при s = 0 через точку О и при лю-
любом s ее касательным вектором является вектор tfi(s). Но
для каждой кривой первые п—1 векторов сопровождаю-
сопровождающего базиса представляют собой векторы, получающиеся
из первых п—1 производных касательного вектора про-
процессом ортогонализации Грама—Шмидта. Поэтому, сог-
согласно доказанному выше, эти векторы совпадают с век-
векторами tu .... *„_!.
Что же касается последнего вектора сопровождающего
.базиса, то он однозначно характеризуется как единичный

КРИВАЯ С ДАННЫМИ КРИВИЗНАМИ 43
вектор, составляющий с первыми п—1 векторами поло-
положительно ориентированный базис. Поскольку базис
tu ..., tn, как мы видели, положительно ориентирован,
-ппм вектором должен быть вектор tn.
Итак, доказано, что для любого s векторы tl(s), ...
. .., tn (s) составляют сопровождающий базис кривой
/• = r(s). Поскольку для этих векторов имеют место фор-
формулы Френе G), участвующие в этих формулах функ-
функции ft,-(s), t = 1, .. ., п— 1, должны быть кривизнами кри-
кривой r=r(s).
Тем самым существование кривой r = r(s), обладаю-
обладающей свойствами 1) и 2), полностью доказано.
Ее единственность вытекает из того, что, согласно
теореме СЕР, сопровождающий базис tils), ..., tn(s)
однозначно определен уравнениями G) и начальными
условиями A2), а радиус-вектор г (s) однозначно опреде-
определен (по формуле A5)) соотношением г (s) = ti(s) и началь-
начальным условием г@)=0. ?

Лекция 3
Элементарные поверхности и их параметризации.— При-
Примеры поверхностей.— Касательная плоскость и касатель-
касательное подпространство.— Гладкие отображения поверх-
поверхностей и их дифференциалы.— Диффеоморфизмы поверх-
поверхностей.— Первая квадратичная форма поверхности.—
Изометрии.— Первый дифференциальный параметр Бель-
трами.— Примеры вычисления первых квадратичных
форм.— Развертывающиеся поверхности.
Эксплицирование интуитивного понятия поверхности
делается по аналогии с эксплицированием понятия линии,
и оно встречается с теми же трудностями, что и для ли-
линий, только более осложненными. Поэтому мы пока огра-
ограничимся лишь аналогом понятия открытой простой регу-
регулярной дуги (хотя при рассмотрении конкретных приме-
примеров позволим себе рассматривать и более общие поверх-
поверхности).
Чтобы ввести этот аналог, мы начнем с произвольного
непрерывного отображения вида
A) у: U-+A,
где Л—как всегда, некоторое евклидово (или только
аффинное) пространство размерности п^З, a U —
выпуклое (т. е. содержащее каждый прямолинейный отре-
отрезок, концы которого принадлежат множеству) открытое
подмножество арифметической плоскости IR2 (двумерный
аналог интервала 1 = (а, Ъ)). Когда в Л выбрано начало
отсчета О, отображение A) задается непрерывной вектор-
функцией
B) г = г(ы, у), {u,v)?U,
принимающей значения в ассоциированном линеале f°,
а когда в "Р выбран, кроме того, и базис еи ..., еп,
отображение A) задается п непрерывными числовыми
функциями
C) х1=х1{и, v), ..., хп = хп{и, v)
— координатами в базисе еи . ¦., е„ вектора г (и, v).
Отображение A) называется гладким класса Сг, где
г — некоторое натуральное число или символ оо, если
каждая функция C)—или, что равносильно, вектор-функ-
вектор-функция B)—имеет непрерывные частные производные всех

.).)[! MF.HTAPHblE ПОВЕРХНОСТИ И ИХ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ 45
порядков ^г (напомним, что при г = со это означает
существование частных производных всех порядков).
В дальнейшем мы будем считать число г раз и навсегда
фиксированным и достаточно большим. [В этой лекции
нам будет годиться любое г^1, но, скажем, в лекции 5
мы должны будем требовать, чтобы г^З.]
В частности, для гладкого отображения A) определены
частные производные
... _ дг(и, у) дг (и. у)
(<*) Г и Тц , Г.-—gj;
вектор-функции B). Гладкое отображение A) называется
регулярным, если в каждой точке (и, v)$U частные про-
производные D) линейно независимы.
Определение 1. Отображение A) называется пара-
параметризацией, если оно:
1° гладко,
2° регулярно,
3° монеоморфно (инъективно и обладает тем свой-
свойством, что если последовательность точек у(ип, vn),
(ft,,, vn) ? U, пространства Л сходится к точке вида у (а, Ь),
где (а, b) $U, то последовательность точек («„, vn)^U
также сходится (в силу непрерывности обязательно
к точке (а, Ь)).
Задача 1. Докажите, что если отображение A) гладко и
регулярно, то для любой точки («0, Vo)$-U существует ее окрест-
окрестность V с U, на которой это отображение монеоморфно (является
параметризацией).
Определение 2. Подмножество SC пространства Л назы-
называется элементарной поверхностью, если существует такая
параметризация у: U —>¦ Л (называемая в этом случае
параметризацией поверхности 9?), что y(V)~SC. Гово-
Говорят также, что SC является носителем, параметризации у.
Элементарные поверхности являются двумерными ана-
аналогами простых регулярных дуг (а параметризации — ана-
аналогами простых регулярных кривых).
Замечание 1. В другой терминологической схеме, —
которой мы также будем иногда пользоваться, не всегда
это явно оговаривая,—элементарными поверхностями
называются сами параметризации A). Для линий мы из-
избежали в лекции 1 подобной омонимии, различив кривые
и линии. К сожалению, для двумерного случая аналогич-
аналогичной пары общепринятых терминов в русском языке нет.

46 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ
Так как никаких других поверхностей, помимо эле-
элементарных, мы, как правило, рассматривать не будем, то
в дальнейшем элементарные поверхности мы обычно будем
называть просто поверхностями.
Поскольку- параметризация у: U—уЛ произвольной
элементарной поверхности SC является инъективным ото-
отображением, для любой точки р?& существуют единст-
единственные числа и и v, обладающие тем свойством, что
(и, v)$U и у {и, v) — p. Эти числа называются координа-
координатами точки р в данной параметризации. По традиции
для этих координат часто используют дополнительные
эпитеты, называя их криволинейными или локальными,
хотя никаких других координат на поверхности обычно
не рассматривается, и потому эти дополнительные эпитеты
в принципе излишни.
Допуская вольность, часто говорят также, что числа
и и v являются координатами на поверхности A); это
является проявлением общей тенденции смешивать в слово-
словоупотреблении поверхности и их параметризации.
Каждую кривую в U с параметрическими уравнениями
E) u = u(t), o = o@, *€Л
параметризация A) поверхности 2С переводит в кривую
F) г = г(и@,о@), *€Л
пространства Л. О кривой F) говорят, что она лежит
на поверхности % и что уравнения E) являются ее пара-
метрическими уравнениями в координатах и и v.
В частности, кривые" и = const и v = const (являющиеся
образами координатных линий в U) называются коорди-
координатными линиями на поверхности &, а их совокупность —
координатной сетью.
Для любых открытых подмножеств U, U* с R* каждое
отображение
G) <р: U*-*V
задается парой функций
(8) «-«(«•,»•), о = о(«•,»•), (u\ o')€l/\
обладающих тем свойством, что для любой точки (и*, v*) ? U*
точка (и, v) = (u(u*, v*), v(u*, v*)) принадлежит U. Ото-
Отображение G) называется''г.щд/сил{ класса Сг, где г—на-
г—натуральное число или символ оо, если функции (8) при
гф<к имеют непрерывные' частные производные всех

ПРИМЕРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ 47
порядков ^г. Гладкое отображение G) называется диф-
диффеоморфизмом, если оно биективно и обратное отобра-
отображение
ф-ь (/_{/•
также гладко.
Две параметризации
(9) у: U—*d и у\ U*--><A
называются эквивалентными, если существует такой диф-
диффеоморфизм G), что
A0) Y* = Y°9-
Поскольку задание параметризации поверхности Ж
равносильно заданию на SC криволинейных координат,
о диффеоморфизме G) говорят также, что он осуществляет
на 3' замену координат (или задает переход от коорди-
координат и, v к координатам и*, v*).
Задача 2. Докажите, что отношение A0) является
эквивалентностью в общеалгебраическом смысле (рефлек-
(рефлексивно, симметрично и транзитивно) и, следовательно,
имеет смысл говорить о классах эквивалентных парамет-
параметризаций.
Ясно, что эквивалентные параметризации имеют один
и тот же носитель. Обратно, можно без особого труда
показать, что параметризации (9), имеющие один и тот
же носитель, эквивалентны. Это означает, что элементар-
элементарные поверхности находятся в естественном биективном
соответствии с классами эквивалентности их параметриза-
параметризаций и потому могут быть с ними отождествлены.
Задача 3. Докажите последнее утверждение. (Заметим, что
для его справедливости существенны все три условия 1°—3° опреде-
определения 1. Ср. доказательство предложения 1 лекции 1.)
В лекции 15 мы докажем общее предложение, частным
случаем которого является это утверждение (а также
предложение 1 лекции 1).
Примеры поверхностей.
Для наглядности мы ограничимся поверхностями
в трехмерном евклидовом пространстве. Координаты .v,
у, z будем считать прямоугольными.
Пример 1. Уравнения
(И) x = Rcosu, y — R4\nu, z — v

48
ПРИМЕРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
задают в трехмерном евклидовом пространстве прямой
круговой цилиндр. Зтот цилиндр не является элементар-
элементарной поверхностью в смысле определения 2, поскольку
при — оо < и < -| оо каждая точка цилиндра бесконечное
(счетное) число раз покрывается точками плоскости R*.
Чтобы получить элементарную поверхность, цилиндр сле-
следует прорезать по образующей, т.е. в уравнениях A1)
параметр и подчинить неравенствам 0 < и < 2я. Весь же
цилиндр покрывается двумя такими разрезанными цилинд-
цилиндрами.
Координатная сеть на цилиндре A1) состоит из верти-
вертикальных прямых u = const и горизонтальных окружно-
окружностей v — const.
Пример 2. Пусть x = x(v), z = z(v)— простая регу-
регулярная кривая на плоскости Oxz, не пересекающая оси
Ог. Поверхность с параметризацией
A2) х = х (у) cos и, y = x(v)s'mu, z=z(v)
называется поверхностью вращения, а кривая x = x{v),
z = z(v) называется ее профилем. Наглядно, поверхность
A2) получается вращением ее профиля вокруг оси Oz.
Круговой цилиндр
Поверхность вращения
Регулярность параметризации A2), т. е. линейная
независимость векторов
ги = (—л; (у) sinn, x(v)cosu, 0),
rv~(x'(v)cosu, x'(v)smu, z' (v)),
обеспечивается регулярностью профиля (т. е. условием

ПРИМЕРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
49
л' (уJ-|~ г' (уJ= 1) и тем, что профиль не пересекает оси
вращения Ог (т. е. тем, что x(v)^0).
Координатная сеть на поверхности A2) состоит из
кривых, являющихся поворотами профиля вокруг оси Ог
(они называются меридианами), и перпендикулярных им
окружностей (параллелей). Чтобы поверхность A2) сделать
¦элементарной, ее нужно прорезать по меридиану.
Сфера
Линейчатая поверхность
Цилиндр представляет собой поверхность вращения,
профилем которой является прямая x = R, z — v.
Поверхность вращения с профилем x = Rcosv, г =
= R sin v (окружностью) является сфера
x = R cosy cosu, y — R cos и sin u, z — R sin и
радиуса R с центром в точке О. Координаты и и v на
этой сфере представляют собой общеизвестные «географи-
«географические координаты»—долготу и широту, а координатными
кривыми являются географические меридианы и параллели.
Конечно, строго говоря, профилем сферы является
лишь полуокружность —п < v < ¦] л (что исключает по-
полюсы). Кроме того, чтобы получить элементарную поверх-
поверхность, надо исключить и один меридиан («линию переме-
перемены дат»).
Пример 3. Поверхность r = r{u,v) называется ли-
линейчатой поверхностью, если
A3) r(u,v) = p(u) + va(u),
где р(ы) и а {и)—векторзначные функции, обладающие
тем свойством (обеспечивающим регулярность), что век-
векторы р' (и) + ш' (и) и а (и) при всех рассматриваемых и
и v линейно независимы (так что, в частности, а(и)=?0
Для всех и). Координатной кривой и — и0 = const является

50 ПРИМЕРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
прямая с направляющим вектором а (н0), проходящая
через точку с радиус-вектором р(«0). Таким образом, на-
наглядно линейчатая поверхность зачерчивается движущей-
движущейся в пространстве прямой. Ср. с определением 1 лекции
1.23.
Ясно, что без ограничения общности мы можем счи-
считать вектор а (и) единичным:
| а (и) | = 1 для всех и.
Если р'(ы) = 0 для всех и, т. е. р(ы) = const, то после
переноса начала координат мы получим вместо A3) урав-
уравнение вида
A4) r = va(u).
Это—конус, направляющей которого является регуляр-
регулярная пространственная кривая г = а(и). [Конечно, в урав-
уравнении A4) надо считать, что у>0 или у<0 (ибо точка
Конус Цилиндр
у = 0 является особой точкой конуса и разбивает его на
две полы). В случае же, когда образующие конуса пере-
пересекают направляющую в нескольких точках, на v прихо-
приходится вводить и дополнительные ограничения.]
Если а'(ы) = 0 для всех и, т. e. a(«) = const, то по-
поверхность^ 14) представляет собой цилиндр с (вообще го-
говоря, пространственной) направляющей р = р(«).
Если вектор р' не равен тождественно нулю, то, пе-
перейдя, если нужно, к меньшей области в R2, мы можем
считать, что р'(и)Ф0 для всех и. Тогда р = р(ы) будет
регулярной кривой в пространстве, и мы можем считать,
что и является на этой кривой натуральным параметром

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 51
(длиной дуги). Конус A4) также можно задать уравне-
уравнением вида A3) с р'(и)Ф0. Для этого достаточно в A3)
положить р(н) = а(н) (если, конечно, а (и)фО).
Если а («) является касательным вектором т («) кривой
р —р(м), то поверхность A3) называется поверхностью
касательных. Аналогично определяются поверхность глав-
главных нормалей и поверхность бинормалей.
Заметим, что для поверхности касательных все точки
кривой р = р(«) являются особыми точками этой поверх-
поверхности, в которых нарушается условие регулярности. (Они
составляют так называемое ребро возврата поверхности
касательных.)
Пусть снова ЗС—произвольная (элементарная) поверх-
поверхность в л-мерном аффинном пространстве Л с параметри-
параметризацией r = r{u,v), и пусть ро~— произвольная точка по-
поверхности 3?, а /*о = г(«о. v0) — ее радиус-вектор. В силу
условия регулярности значения
частных производных вектор-функции r = r(u,v) в точке
(«0, v0) линейно независимы, т. е. бивектор rUaAfVo отли-
Касательная плоскость
чен от нуля. Поэтому в пространстве Л определена дву-
двумерная плоскость с направляющим бивектором ru<lf\rVa,
проходящая через точку /?0. Векторное параметрическое
уравнение этой плоскости имеет вид
A5) г = г„-ЬагНо + Ьг„0,
где а и Ъ — параметры.
Определение 3. Плоскость A5) называется касатель-
касательной плоскостью поверхности SC (или к поверхности 2Р) в
точке р0. Соответствующее подпространство ассоциирован-

52 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
ного линеала "Р (состоящее из векторов вида ar,h + brVo)
обозначается символом 1Ра2Р и называется касательным
подпространством, а его векторы — касательными векто-
векторами поверхности SC в точке р0. Чтобы подчеркнуть дву-
мерность, касательное подпространство часто называется
также касательной плоскостью.
Эта терминология оправдывается тем, что для любой
кривой E) на поверхности J", проходящей (скажем, при
t = t0) через точку /?„, ее касательный вектор
A6) r'(t0) = u'(t0)rUo + v'(t0)rVo
принадлежит касательному подпространству ТРп&, причем
и обратно, любой вектор aru + brv из 1pJ% может быть
представлен в виде A6) (достаточно рассмотреть кривую
с параметрическими уравнениями u = uuJrat, v = vo + bt,
t?l, где I—такой интервал оси t, что («0 + at, v0 + bt)^U
для любого t € /)¦ Таким образом, касательные векторы
поверхности—это в точности векторы, касательные к
кривым на этой поверхности.
Соотношение A0), определяющее замену координат на
поверхности SC, записывается в радиус-векторах формулой
r*(u*,v*)=r(u(u*, v*)t v(u*,v*)),
дифференцирование которой дает соотношения
г* — ди f l_ dV f
Из соотношений A7) следует, что векторы г*« и г$* ли-
линейно эквивалентны векторам г„ и rv и, значит, порож-
порождают одно и то же подпространство. Это доказывает, что
для любой точки р$№ линейное пространство 1pSC оп-
определено корректно (не зависит от выбора параметризации
г = г (и, v)). При изменении параметризации в простран-
пространстве 1р& меняется — по формулам A7) — лишь базис ги, г„'.
Векторы пространства Т'pSC часто по традиции обозна-
обозначают символом dr, а их координаты (в базисе гц, rv) —
символами du и dv (причем эти координаты пишутся спра-
справа от векторов г„ и rv). Таким образом, в этих обозначе-
обозначениях
A8) dr

ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 53
для любого вектора dr пространства Т„^. При этом, как
непосредственно следует из формул A7), координаты du,
dv связаны с координатами du*, do* в базисе г?«, г%* со-
соотношениями
формально совпадающими с известными из анализа фор-
формулами для дифференциалов (что и является основным
аргументом в пользу обозначений A8)).
Щ Рассмотрим теперь наряду с поверхностью НЕ и ее
параметризацией у: Ц—-Л, задаваемой вектор-функцией
r = r{u,v), (u,v)$U, другую элементарную поверхность
Ж с параметризацией у: О —*Л, задаваемой вектор-функ-
вектор-функцией г="г (и, v), (и, v) ? 0.
Так как отображения у и у инъективны, то каждое
отображение /: SC—+& единственным образом определяет
отображение /: U —у О, удовлетворяющее соотношению
B0) foy^yoj
и однозначно определяющее отображение /. Наглядно со-
соотношение B0) означает, что в диаграмме
B1) у] 7 tv
движение из левого нижнего угла в правый верхний по
обоим возможным путям приводит к одному результату.
(Обладающие этим свойством диаграммы называются ком-
коммутативными.]
Об отображении / говорят, что оно представляет ото-
отображение / в параметризациях у и у, а о функциях
B2) u = «(u, v), Z = v(u, v), (u,v)?U,
задающих отображение /, говорят, что они задают ото-
брожение f в координатах и, v и и*, v*.
*» Отображение / называется гладким, еслл гладко ото-
отображение X т. е. если гладки функции B2). Ясно, что

54 ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
это определение корректно (если отображение / гладко
при одном выборе параметризаций у и у, то оно будет
гладко и при любом другом их выборе).
Каждому гладкому отображению /: SC — *& и любой
точке p$.SC мы сопоставим линейное отображение
B3) T^-^T-JT, p = f(p).
касательных пространств, переводящее вектор A8) про-
пространства TpSP в вектор
dr = r~du+ r~ dv
пространства T-JT, где в полном соответствии с форму-
формулами дифференциального исчисления
B4) ди *
С ГО j , ГО
dv du]
Отображение B3) определяется для данных парамет-
параметризаций у, у поверхностей SC, SC, и потому возникает
вопрос о его корректности, т. е. независимости от выбора
этих параметризаций.
Пусть, например, параметризацию у мы заменили^дру-
гой параметризацией у*: И*—+А поверхности ЗИ. По оп-
определению у* = 7°Ф. гДе Ф: U*—*п — некоторый-диффео-
некоторый-диффеоморфизм, задаваемый функциями
и = и (и*, v*), v = v (и*, v*).
При этом для соответствующих базисов г„, rv и ru*, rv*
пространства Тр№ будут иметь формулы A7), а для соот-
соответствующих координат 'du, dv и du*, dv* касательных
векторов—формулы A9). [Отображение / в координатах
и*, v* и и, v задается, очевидно, функциями
и* (и*, v*) = й(и (и*, v*), v (и*, v*)),
V* (и; v*)=v(u (и; v), v (и*,
и, значит, вектор dr пространства "\pSC, имеющий в ба-
базисе /v, /v координаты du*, dv*, отображение B7), по-
построенное с помощью параметризаций у*, у, будет пере-
переводить в вектор df* пространства 1~%, имеющий в базисе

ДИФФЕОМОРФИЗМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ 55
г~и, г 2 координаты
С другой стороны, подставив в формулы B4) для коор-
координат du, dv вектора dr выражения A9) координат du,
dv через координаты du*, dv* и учтя, что, согласно изве-
известным из анализа правилам дифференцирования сложных
функций, имеют место равенства
ди du . du dv du* du du . du dv dir
dv du . dv dv dv* dv du . dv dv dtt*
мы немедленно получим, что du — du* и dv = dv*, т.е. что
dr=dr*. Это показывает, что вектор df не зависит от вы-
выбора параметризации у. Аналогично показывается (сделай-
(сделайте это!), что этот вектор не зависит и от выбора парамет-
параметризации у. Следовательно, отображение B3) определено
корректно.
Определение 4. Отображение B3) называется диффе-
дифференциалом отображения / в точке р (или его главной ли-
линейной частью) и обозначается символом (df)p (или Tpf).
Задача 4. Произвольную кривую E) на поверхности
SV отображение / переводит в кривую
B5) u = u(u{t), u@). v = v(u(t), v(t)), t?l,
на поверхности SC. Пусть при t = t0 кривая E) проходит
через точку р0 поверхности SC. Покажите, что дифферен-
дифференциал (df)P(t отображения / переводит касательный вектор
к кривой E) в точке р0 в касательный вектор к кривой
B5) в точке f(p0).
Отображение /: SC —>¦% называется диффеоморфизмом,
если диффеоморфизмом является отображение J. (Ясно,
что это определение корректно.) Функции B2), задающие
диффеоморфизм, обладают, как известно из анализа, тем

56 ПЕРПАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
свойством, что их якобиан
ди
ди
dv
du
ди
dv
dv
dv
отличен от нуля. Зто означает (см. формулы B4)), что
дифференциал (df)p диффеоморфизма / в каждой точке
рЪ.9С является изоморфизмом линейного пространства
"\pSC на линейное пространство Т~&.
При О = U формулы и = и, Ъ = v задают, очевидно,
диффеоморфизм. Об этом диффеоморфизме говорят, что он
действует по равенству координат.
Интересно, что для любого диффеоморфизма \\ SC—+2C
и лкбой параметризации у: U—>-Л поверхности SC суще-
существует такая параметризация у*: U —+А поверхности &,
что в параметризациях у и у* диффеоморфизм f дейст-
действует по равенству координат. Действительно, пусть у:
О—«-^—произвольная параметризация поверхности &,
и пусть в параметризациях у и у отображение / пред-
представляется диффеоморфизмом /: U —+0. Рассмотрим со-
составное отображение у* —V0/- Поскольку / является
диффеоморфизмом, это отображение представляет собой
параметризацию поверхности SC, эквивалентную параметри-
параметризации у. Так как foy = у°/ = v*°id» гДе id—тождествен-
id—тождественное отображение, то в параметризациях у и у* диффео-
диффеоморфизм / представляется отображением id и, значит,
действует по равенству координат. ?
Как мы увидим, это свойство диффеоморфизмов часто
существенно облегчает их изучение.
Будем теперь считать пространство Л, содержащее
данную поверхность SC, евклидовым. Тогда евклидова струк-
структура возникает и в каждом касательном подпространстве
ТрЯ", причем квадрат длины произвольного вектора A8)
этого подпространства будет выражаться формулой
B6) dr2
где
— метрические коэффициенты базиса гя, rv.

ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ 57
Определение 5. Квадратичная форма B6) от пере-
переменных du и dv называется первой квадратичной формой
поверхности SC. Обычно она обозначается символом I или
). Таким образом, по определению
Подчеркнем, что коэффициенты Е, F и G первой квад-
квадратичной формы зависят от точки р?3? и в координатах
и, v являются гладкими функциями
? = ?(«,»), F = F(u,v), G = G(u,v)
от и и v.
Замечание2. Трактовка выражения Е du2+2F du dv+
- Gdv* как квадратичной формы традиционна. С совре-
современных позиций его следует трактовать как запись квад-
квадратичного функционала на пространстве Тр&, значение
которого на векторе A8) равно Е du2 •+ 2F du dv'-\- G dv'1.
Длина | г'@1 касательного вектора г'(t) кривой F)
на поверхности SC выражается ввиду равенства A6) фор-
формулой
1 г' @1 = VTJif = У (и' @ га -| у' @ rvy =
= VE и' (ty+2Fu' (t)v' (t)+Gv' (ty,
где, конечно, Е, F и G рассматриваются как функции
от t:
E = E(u(t),v(t)), F = F(u(t),v(t)), G = G(u(t),v(t)).
Для длины s кривой F) отсюда получается формула
B7) s= J \fE и' (ty + 2Fu' @ v' (t)+G v' (ty dt,
a
которую можно переписать в следующем удобном для
запоминания условном виде:
s- J VrEdu'i-\-2Fdudv {-Gdv*,
где L обозначает кривую F).
Еще более условный вид имеет формула
B8) ds2 = Edu2 + 2Fdudv+ Gdu2
(короче записывающаяся в виде ds* — l(dr) или в виде
ds2 = dr'2). Словами это соотношение выражают, говоря,

58 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
что первая квадратичная форма I задает квадрат ds2 эле-
элемента длины.
[Следует отчетливо понимать условный характер как
этой формулировки, так и формулы B8). Они служат
лишь для сокращенного выражения формулы B7).]
По общим правилам линейной алгебры для угла 6
между двумя касательными векторами
dr = rudu + rv dv и Ьг = r,fiu 4- rvbv
имеет место формула
a dr бг
cos о =
I dr 11бг | *
т. е. формула
,nr.. Q E du бы -f- F (du 6v + бы dv) 4- G dv 6v
(_У) гля н _ —— ,
У E du2-]-2F du dv-\-G dv2V E 6u2 + 2F8u8v+G 6v2
которую условно можно записать в следующем мнемони-
мнемоническом виде:
cose=- _¦_?«> —
Углом между кривыми
г = г(и@. v(t)) и г1=г(ы1@, »i@)
на поверхности ^", проходящими при ^ = ^0 через одну и
ту же точку р0 поверхности, называется угол между их
касательными векторами
r'(t0) = u'(t0)r,lo + v'(t0)rVo и r;(*o) = «i(M''e.4 wi('o)r-,
в этой точке. Имеем
где
I r' (/,) I = VEuu' (toy -I 2F0u' (t,) v' (t0) -f O.P' (/,)',
| ri (MI = ^^o«; (t0J + 2^0uI (/,) y; (/,) + Goyi (<0J,
a
?0 = _(м0,у0) = ?(«(/,), »(/,)),
F0 = F(u0, vo) = F(u(tB), «(*„)),

ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
59
— значения коэффициентов первой квадратичной формы в
точке р0.
В частности, для косинуса угла между координатными
линиями и = const и v = const получается формула
р
cos G = . , ,
VeVg
из которой следует, что координатные линии u —const и
v — const тогда и только тогда ортогональны, когда
F = 0.
Таким образом, мы можем вычислять длины кривых
на поверхности и углы между ними, зная лишь первую
квадратичную форму этой поверхности, т. е. евклидовы
структуры на всех касательных плоскостях.
Из курса анализа известна концепция площади про-
произвольной части D поверхности SC как предела площадей
аппроксимирующих эту часть многогранных поверхностей.
Этот предел (когда он существует) выражается интегралом
где
u*du
— определитель Г рама векторов ги и г„. [Интуитивное
обоснование этой формулы состоит в наблюдении, что
площадь бесконечно малого
криволинейного параллело-
параллелограмма координатной сети с
вершиной в точке (и, v) и со
сторонами du и dv прибли-
приближенно; равна площади парал-
параллелограмма в касательной
плоскости со сторонами r,,du
и rvdv (см. рисунок), т. е. (см. формулу (9) лекции 1.15)
равна КГ(ги, rv)dudv.] На общепринятом в анализе языке
этот факт выражают, говоря, что элемент площади по-
поверхности равен VEG—F2dudv.
Итак, первая квадратичная форма поверхности позво-
позволяет нам вычислять и площади на SC.
Напомним (см. лекцию II.5), что линейный изоморфизм
<р: "Р—у"!/3^ евклидовых векторных пространств называ-

60 ИЗОМЕТРИИ
ется изометрией, если
C0) ху = <рХ'Ч>у
для любых векторов х, у^."Р. При этом выполнения
условия C0) достаточно требовать лишь при х~у, т. е.
линейное отображение ф: "У3—<-9^i, обладающее тем
свойством, что
C1) лг2 = (флгJ для любого вектора х^уъ
является изометрией. (Для доказательства достаточно при-
применить соотношение C1) к вектору х+у.)
В координатах отображение ф записывается линейными
формулами вида
l
а скалярные квадраты х2, х^9^, и у2, yZ.'Y3^—квад-
yZ.'Y3^—квадратичными формами
x2 = gl/xixJ, y% = hutfyi.
В этих обозначениях равенство C1) означает, что при
подстановке в форму НцУ'у^ выражений у' = а\х> должна
получиться форма g^x'xJ, т. е. что имеют место равенства
В частности, для евклидовых двумерных пространств
1PSC, T-JT и дифференциала (df)p: T^ — T^J", p = f(p),
диффеоморфизма /: SC—>-Х выполнение условий C1)
во всех точках р$.Ж означает, что при подстановке в
первую квадратичную форму Edu2 -\-2FdiiS-\- Gdv2 по-
поверхности Л' вместо du и dv их выражений B4) (а в ее
коэффициенты Ё, F, G вместо и и у их выражений B2))
получается первая квадратичная форма Е du2 + 2F dudv-\-
-\-Gdv2 поверхности X, т. е. что тождественно по и и v
Е(и, у)-
= Е (и и) (—и ' пЙ '" ~ ^и
F(u, у) =
В/" "¦. du du , ь," \ f du dv , du dv
— E(u, v)-^--^-^F(u, v)[-t--s- + -s--5-
,5O, • ' du dv x ' \ du dv ' dv du
G(u, у) =
= Ё(и, y)(#Y + 2F(«, 6L4

ИЗОМЕТРИИ 61
Таким образом, для диффеоморфизма ]: 2C—^SC линейные
отображения
(df)p: T/^T-i, p = f(p),
тогда и только тогда являются для всех точек р€&
и:юметриями, когда тождественно по и и v имеют место
равенства C2).
Для диффеоморфизма f: &—+?, действующего по ра-
равенству координат, это условие означает, что в рассмат-
рассматриваемых координатах первые квадратичные формы поверх-
поверхностей 2С и SC совпадают (или точнее—отличаются лишь
обозначениями переменных).
Определение 6. Диффеоморфизм /: ЗС—+ % называ-
называется изометричным отображением поверхности SC на по-
поверхность SC (или просто изометрией), если для любой
кривой
C3) « = «@, v = v(t),
на поверхности SC ее образ
u = u(t), v = v(t),
для поверхности &', где u(t) = u(u(t),v{t)) и v(t) =
= v(u(t), v(t)), имеет ту же длину, т.е. если
h
\VE(t)u'(t)*
a
b
a
где
E(t) =
и аналогично
E(t)--=
\-2F(t)
u'(t)v'(t)-\-
tL-2P(t)u
t) = G(u(t),'
-
t) = G(u(t),
G(t)v'
'(t)i'(
v(t))
1 == л ill
@2^ =
t) + G{t)v'{ty
@. »@).
@. »@).
Поверхности, для которых существует хотя бы одно
изометричное отображение &—>&, называются изомет-
ричными.

62 ИЗОМЕТРИИ
Предложение 1. Диффеоморфизм /: % —-> & тогда
и только тогда является изометрией, когда для любой
точки р€.& изометрией является его дифференциал
(df)p: Тр# —Т??\ p = f(p).
Доказательство. Согласно сделанным выше за-
замечаниям мы без ограничения общности можем предпола-
предполагать, что диффеоморфизм / действует по равенству коор-
координат. Тогда для любой кривой C3) на поверхности SC
ее образ на поверхности % при диффеоморфизме / будет
иметь те же параметрические уравнения C3), а утвержде-
утверждение, что дифференциал (df)p диффеоморфизма / являегся
в каждой точке р€.ЗС изометрией, будет означать, что
первые квадратичные формы поверхностей SC и % отли-
отличаются лишь обозначениями переменных. Поэтому форму-
формулы B7) для обеих кривых будут идентичны, и, значит,
длины этих кривых будут одинаковы. Следовательно,
диффеоморфизм / будет изометрией.
Обратно, пусть диффеоморфизм /: &—+М", действую-
действующий по равенству координат, является изометрией. Это
означает, что для любых гладких функций u = u(t), y =
— v(t), a<f<b, обладающих тем свойством, что (u(t),
v (t)) ?U, a < t <. b, имеет место равенство
ь
S VE (t) и' (ty -Ь 2F @ и' @ v' @ + G @ v' (ty dt =
(t) и' (ty + 2F (t) и' @ v' (t) + G (t) v' (ty dt.
a
Дифференцируя это тождество по Ь (и заменяя b на t),
мы после возведения в квадрат получим тождество
Е @ и' (ty + 2F (t) и' (t) v' (t) + G(t)v' (ty =
= Ё (t) u' (ty + 2F (t) u' (t) v' (t) + G (t) v' (t)\
В частности, это тождество должно иметь место для ли-
линейных функций вида
u(t) = uo + at, v(t) = vo-ipt, \t\<e,
где («„, v0) — произвольная точка области U, а и р—про-
р—произвольные числа, а е > 0—достаточно малое положитель-
положительное число. Но в этом случае оно после подстановки t=О

ИЗОМЕТРИИ 63
приобретает вид
?оаа + 2F0ap -\ Gops = ?oas t- 2/ухр |- G0p8,
где Ео,..., 0„—значения функций ?,..., б в точке (и0, у0),
и потому — ввиду произвольности чисел а и Р—возможно
только тогда, когда ?„ = ./?„, Fa = Fv, Ga = Ga, т.е. когда
Е = Ё, F = F и 0 = 6 всюду в U. Поэтому линейные ото-
отображения (df)p являются изометриями. D
Следствие 1. На изометричных поверхностях соот-
соответственные кривые пересекаются под одинаковыми углами,
а соответственные области имеют одну и ту же пло-
площадь. П
Следствие 2. Две поверхности тогда и только тог-
тогда изометричны, когда на них можно выбрать локальные
координаты, в которых первые квадратичные формы этих
поверхностей совпадают. П
Конечно, этот критерий изометричности в высшей сте-
степени неэффективен (как догадаться, существуют ли преду-
предусмотренные им локальные координаты?). Нашей конечной
целью (которую мы достигнем в лекции 5) будет эффекти-
визация этого критерия, но для этого нам придется
пройти довольно длинный путь.
Представив поверхность выполненной из гибкого, но
иерастяжимого материала и, произвольно изгибая ее, мы
не изменим длин лежащих на ней кривых и, следователь-
следовательно, получим изометричную поверхность. Основываясь на
этом наглядном представлении, основатели теории поверх-
поверхностей в XIX веке называли изометрии изгибаниями.
Эта терминология отчасти сохранилась и до настоящего
времени, но ныне обычно изгибания понимают в более
узком смысле—как изометрии, которые можно связать
с тождественным преобразованием непрерывным семейст-
семейством изометрии. Долгое время все математики были уве-
уверены, что в локальной ситуации, т. е. в достаточно малой
окрестности произвольной точки, любая изометрия явля-
является изгибанием в этом смысле. Однако сравнительно не-
недавно Н. В. Ефимов показал, что это неверно, построив
соответствующий контрпример.
Пусть поверхность населена разумными существами,
умеющими измерять длины и площади, углы, но не умею-
умеющими выходить в объемлющее пространство. Тогда при
любом изгибании поверхности вся их геометрия останется
прежней и они это изгибание просто не заметят. На этом

64 ПЕРВЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР ВЕЛЬТРАМИ
основании об изометричных поверхностях говорят, что
они имеют одну и ту же внутреннюю геометрию.
Приведем один важный пример внутренне-геометри-
внутренне-геометрической конструкции.
Согласно общим результатам линейной алгебры (см.
лекцию П.5) для любого евклидова пространства ^
с метрическим тензором g;j сопряженное пространство "У3*
является евклидовым пространством с метрическим тензо-
тензором g'J, компоненты которого составляют матрицу lg'J'\,
обратную к матрице |g,y|| компонент тензора gu. Поэтому
для любого ковектора 4 = (?i, ..-, ?„) из "У3* определена
его длина |||, квадрат которой выражается формулой
В нашем случае для двумерного евклидова простран-
пространства "\рХ матрица \gu\ имеет вид
Iе f
\\f g
а, значит, матрица ||g'7||—вид
1_ II G —FII
EG—F»\—F Е]ш
Поэтому для длины ||| произвольного ковектора | на
ТУ имеет место формула
1*1 — EG — F* '
где ?, т]—координаты этого ковектора.
Примером ковектора 1 является градиент
произвольной гладкой функции ф = ф(«, у) на поверх-
поверхности X. Квадрат длины этого ковектора называется
первым дифференциальным параметром Бельтрами функ-
функции ф и обозначается символом Лхф. Таким образом, по
определению
EG-F*
По построению эта конструкция инвариантна, т. е.
не зависит от выбора параметризации, и для любой изо-
метрии /: Ж —>¦ & имеет место формула
C4) А1(Фо/) = А1фо/

ПРИМЕРЫ ПЕРВЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 65
(проверьте!). В этом смысле она принадлежит к внутрен-
внутренней геометрии поверхности SV.
Рассмотрим в заключение несколько примеров вычис-
вычисления первой квадратичной формы поверхностей в трех-
трехмерном евклидовом пространстве. В этих примерах по-
поверхности, как правило, элементарными не будут. Однако
они легко будут сводиться к элементарным разрезаниями
и ограничениями областей определения параметризаций.
Пример 4. Плоскость Оху в координатах и = х и
у=г/ имеет параметрическое уравнение r = ut + vj. По-
Поэтому гя = /, rv—j и, значит, ? = 1, F = 0, G = l, т.е.
для плоскости
C5) l=dua + dva.
(Результат, который легко предугадать без всяких вычис-
вычислений.)
Конечно, ту же самую первую квадратичную форму
имеет и любое открытое подмножество плоскости (рас-
(рассматриваемое как поверхность в пространстве).
Пример 5. Для кругового цилиндра
г = R cosu-l + R sinu-ji-V'к
мы имеем га = —R s'mu-t + Rcosu-J и rv = k. Поэтому
E = rl = R\ F = rarv = 0, G = rS~l,
т. е. для цилиндра
Вводя новую координату щ = Ru (и обозначив их снова
через и), мы преобразуем эту форму к виду C5).
Таким образом, существуют координаты, в которых
первые квадратичные формы плоскости и цилиндра совпа-
совпадают! Однако это еще не означает, что плоскость и цилиндр
(конечно, взрезанный; см. выше пример 1) изометричны,
поскольку для цилиндра координаты пробегают лишь не-
некоторую полосу в R2 и, следовательно, взрезанный цилиндр
изометричен лишь части плоскости. Мы будем выражать
это обстоятельство, говоря, что цилиндр и плоскость ло-
локально изометричны.
Изометричное отображение взрезанного цилиндра на
плоскую полосу наглядно осуществляется его постепенным
разгибанием.
3 М. М. Постников, сем. Ill

66 ПРИМЕРЫ ПЕРВЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
Пример 6. Для поверхности вращения
г — x{v) cos u-l + x(v) sin и-У 4- г (и)-к
мы имеем
Гя = — х (у) sin и • i + х (у) cos и -J,
rv = x' (v) cos и • I + л;' (у) sin и -у -f г' (у) *•
Следовательно,
? = л; (уJ sin2 u + лг (уJ cos2 и = х (vJ,
F = —х (v) sin и ¦ х' (v) cos и -f л; (у) cos«-A;'(y).sinH==0,
G = л;' (уJ cos2 и + *' (уJ sin2 u + z' (уJ = л;' (уJ -\ г' (уJ,
так что для поверхности вращения
I = х (уJ d«s + (*' (уJ + г' (уJ) dy2.
Наглядно очевидно, что меридианы и параллели любой
поверхности вращения ортогональны. Поэтому равенство
/Г = 0 мы могли бы предугадать и без вычислений.
В случае, когда профиль x = x{v), z — z(v) поверхности
вращения отнесен к натуральному параметру v — s (и по-
потому х' (уJ + г' (уJ = 1) форма I приобретает особенно про
стой вид:
I=jc(yJd«2 + dy2.
В частности, мы получаем, что первая квадратичная
форма сферы радиуса 1 имеет вид
C6) I = cos8
Опыт картографов показывает, что никакую, даже ма-
малую, часть сферы нельзя изогнуть на плоскость. Это озна-
означает, что никаким преобразованием координат форму C6)
нельзя превратить в форму C5). Но как это доказать?
Ответ мы дадим в лекции 5.
Пример 7. Линия провеса тяжелой однородной нити
называется цепной линией, а поверхность вращения, про-
профилем которой служит цепная линия,—катеноидом.
В механике (статике) показывается, что цепная линия
является графиком гиперболического косинуса. Таким
образом, для катеноида л:(у) = спу, z(v) — v и, значит,^ .
х (уJ = ch2 v и х' (у)» + г' (уJ = shs v + 1 = ch2 у.
Таким образом, для катеноида
C7) I=ch2

ПРИМЕРЫ ПЕРВЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 67
Пример 8. Пусть прямая, перпендикулярная оси
()?., равномерно вращается около нее, оставаясь ей перпен-
перпендикулярной и одновременно поднимаясь винтовым движе-
движением (на высоту, пропорциональную углу поворота). Ли-
Линейчатая поверхность, заметаемая этой прямой, называ-
называется геликоидом. Она имеет вид винтового пандуса для
пъелда автомашин.
Катеноид Геликоид
Если у —параметр на прямой, а и —угол поворота, то
геликоид будет иметь уравнение
r = ycosu-/-}-ysinu-1/-| u-k.
Поэтому
гя = — vsin u-1 + vcosu-J+k,
rv = cos u-t + 3in u-J
ii, значит,
?=l + y», F=0, 0=1.
Гакнм образом, для геликоида
Преобразуем эту форму, введя новые координаты ии
l'i. связанные с координатами и, v формулами
Тогда
1 +t;2'=l + sh1»i;1 = ch2i>i,
du=duu dv = chvldvlt
з*

68 РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ
и поэтому (мы опускаем индексы у новых координат)
что совпадает с формой C7).
Этим доказано, что катеноид и геликоид локально
изометричны (точнее, взрезанный по меридиану катеноид
изометричен части 0 < и < 2я геликоида), причем сущест-
существует изометрия, переводящая меридианы катеноида в пря-
прямолинейные образующие геликоида.
Пример 9. Для произвольной линейчатой поверх-
поверхности
C8) г = р(и)+ «*(«).
где (см. выше пример 3) р = р(и)—регулярная кривая,
отнесенная к натуральному параметру, а а (и)—такая
вектор-функция, что |а(«)|= 1 для всех и, мы, обозначая
дифференцирование по и точкой, будем иметь
Так как р2=1, ао'=1 и аа = 0, то
Е = 1 + 2щ>а + у2аа, /7 = ра, G-1.
Если, в частности, а — р (поверхность касательных),
то ра = а2=1 (т.е. /7=1), а ра=0 и а2 = &2, где А —
кривизна кривой р = р(и) (т. е. ?=Н &2у2). Таким об-
образом, для поверхности касательных
C9) I = A + & V) du% + 2du dv + dy2.
Если же а (и) есть вектор бинормали кривой р = р(«),
то ра = 0, ра = 0 и а2 = х2, где х — кручение кривой р =
= р (и). Следовательно, для поверхности бинормалей
Мы видим, таким образом, что первая квадратичная
форма поверхности касательных зависит только от кри-
кривизны данной кривой, а первая квадратичная форма по-
поверхности бинормалей—только от ее кручения.
В отношении поверхности касательных отсюда вытекает,
что каждая поверхность касательных локально изометрич-
на плоскости. Действительно, рассмотрим плоскую кри-
кривую с той же самой кривизной k = k{u) (такая кривая
существует в силу общей теоремы 1 лекции 2). Первая

РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ 69
квадратичная форма поверхности касательных этой кривой
будет той же формой C9). Но, с другой стороны, ясно,
что поверхность касательных плоской кривой является—
вне ее особых точек—областью на плоскости. Поэтому
существует замена координат, переводящая первую квадра-
квадратичную форму dx'* + dy2 плоскости в форму C9). (Эта за-
замена координат имеет вид
x — x(u) + x'(u)v, y = y(u) + y'(u)v,
где х(и) и у (и)—такие функции, что х' (иJ + у' (иJ — 1
и x"(uy + y"(uJ = k(uJ.) ?
Эту изометрию можно осуществить непрерывным изги-
изгибанием, постепенно деформируя кривую р = р («) в пло-
плоскую кривую.
На этом основании поверхности касательных называ-
называются развертывающими поверхностями (подразумевается—
на плоскость).
В случае, когда а (и) = р (и) поверхность C8) является
конусом с вершиной в начале координат (а кривая р =
= р(м) представляет собой его пересечение с единичной
сферой |р| = 1). В этом случае имеют место равенства
ра = р*=1, а1=1, ра = 0,
откуда для первой квадратичной формы получается выра-
выражение
Здесь напрашивается замена координат (и, y)t-»(u, I + v),
переводящая эту форму в чуть более простую форму
D0) \=vtdut + dvi.
Введем теперь новые координаты
x~vcosu, y = vs\nu.
Тогда
dx —— vsmudu + cosudv,
dy = v cos udu + sin и dv,
и потому
dx2 + dy* = v2 du2 + dv'.
Этим доказано, что конус также локально изометричен
плоскости (точнее, каждая пола конуса, разрезанная по
образующей, изометрична некоторому плоскому сектору;

70 РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ
факт наглядно очевидный). По этой причине конусы также
причисляются к развертывающимся поверхностям.
Заметим, что форма A0) есть не что иное, как первая
квадратичная форма плоскости, отнесенной к полярным
координатам г — v и ц> — и.
Наконец, если вектор а (и) постоянен (и потому а — О),
то поверхность C8) является цилиндром. Без ограниче-
ограничения общности можно считать, что его направляющая
р = р(«) является плоской кривой, плоскость которой
ортогональна вектору о (и, значит, ра = 0 и ра = 0). По-
Поэтому, как и для кругового цилиндра (пример 3),
На этом основании к развертывающимся поверхностям
причисляются также и все цилиндры.
В лекции 4 мы покажем, что среди линейчатых поверх-
поверхностей только развертывающиеся поверхности (т. е. ци-
цилиндры, конусы и поверхности касательных) локально
изометричны плоскости, а в лекции 5 — что развертываю-
развертывающиеся поверхности исчерпывают вообще все поверхности
трехмерного пространства, локально изометричные пло-
плоскости.

Лекция 4
Вектор нормали.—Поверхность как график функции.—
Нормальные сечения.— Вторая квадратичная форма по-
поверхности.— Индикатриса Дюпена.— Главные, полная и
средняя кривизны.— Вторая квадратичная форма графи-
графика.— Линейчатые поверхности нулевой кривизны.— По-
Поверхности вращения.
В этой лекции мы более внимательно рассмотрим по-
поверхности в трехмерном ориентированном евклидовом про-
пространстве. Как правило, мы будем изучать поверхности
лишь локально, т. е. в достаточно малых окрестностях
их точек. Поэтому без ограничения общности все рассмат-
рассматриваемые поверхности мы можем считать элементарными.
Итак, пусть Ж — произвольная элементарная поверх-
поверхность в трехмерном ориентированном евклидовом прост-
пространстве Л, и пусть г —г {и, и)—ее произвольная пара-
параметризация. Тогда в каждой точке /?? 5C существует един-
единственный вектор п единичной длины, перпендикулярный
клеательной плоскости и составляющий вместе с вектора-
векторами г„ и rv положительно ориентированный базис прост-
пространства. Этот вектор задается формулой
\ruXrv\
и называется вектором нормали к поверхности X в точ-
точке р (а базис ги, г„, я называется сопровождающим бази-
базисом поверхности). См.грисунок на стр. 51.
По определению квадрат длины \rnxrv\* векторного
произведения равен площади параллелограмма, построен-
построенного на векторах г„ и rv, т.е. равен (см. лекцию 1.15)
определителю Грама Г (г„, г„) = EG—F2 векторов г„ и rv.
Следовательно,
raxrv
я = ¦
I lo этой формуле вектор п обычно на практике и вычис-
вычисляется.
Выбрав в Л прямоугольные координаты х, у, г с на-
0 в точке р и осью Ог, направленной по вектору п,

72
НОРМАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ
рассмотрим якобиеву матрицу
| хи У и ги
;l *v Уу гУ
строками которой являются координаты векторов г„ и rv.
Условие, наложенное на ось Ог, означает, в частности,
что
Уп
Уу
= 1.
Поэтому, согласно известной из анализа теореме об
обратном отображении, в некоторой окрестности
точки @, 0) координаты х и у могут быть выраженьГчерез
координаты и и v. Подставив эти выражения в вектор-
функцию r = r(u, v), мы получим параметризацию поверх-
поверхности SC (или точнее — некоторой ее части, содержащей
точку р) вида
г = г(х, у).
По определению это означает, что локально (в окрестности
точки р) поверхность SC является графиком функции г =
= *<*. у).
Каждая плоскость П, проходящая через ось Ог рас-
рассматриваемой системы координат, называется нормальной
плоскостью поверхности SC
в точке р, а ее пересечение
Пп^* с поверхностью SC—
нормальным сечением этой по-
поверхности в точке р. Нап-
Направляющий бивектор каждой
нормальной плоскости П име-
имеет вид t Л я, где t—некото-
t—некоторый, определенный с точнос-
точностью до пропорциональности
ненулевой касательный век-
вектор поверхности SC веточке р
Нормальное сечение (вектор пространства ТрЖ).
Вектор t однозначно опреде-
определяет нормальную плоскость П, и мы будем обозначать
ее символом П/.

вторая квадратичная форма поверхности 73
Если координаты х, у, г выбраны так, что вектор t
направлен по оси Ох, то нормальная плоскость П< будет
координатной плоскостью Oxz, а нормальное сечение
У, = Пп^ будет иметь уравнение г — г(х,0) (в коорди-
координатах х, г на плоскости Oxz). Это доказывает, что каж-
каждое нормальное сечение локально (в некоторой окрест-
окрестности точки р) является графиком и, значит, простой
регулярной дугой.
Касательная к графику г = г(х,0) лежит, конечно,
в касательной плоскости к поверхности г = г(х, у) и одно-
одновременно принадлежит нормальной плоскости. Поэтому
она направлена по вектору t, т. е. касательный вектор
к нормальному сечению в точке р пропорционален век-
вектору t.
Поскольку вектор t определен нормальным сечением
только с точностью до пропорциональности, мы без огра-
ограничения общности можем считать его ортом (вектором
единичной длины). Отнеся нормальное сечение к нату-
натуральному параметру, мы поэтому можем считать, что
орт t является касательным вектором к нормальному
сечению в точке р.
Рассматривая нормальное сечение как кривую на
плоскости П<, мы можем говорить об ее относительной
кривизне &отн в точке р по отношению к ориентации
плоскости П<, задаваемой бивектором t/\n. Обозначив
эту кривизну символом k(t), мы определим тем самым
на ортах касательного пространства Тр(^) некоторую
функцию ty->k(t). Найдем выражение этой функции
через координаты вектора t.
Пусть
A) u = u(s), u = u(s), |s|<s0,
— параметрические уравнения нормального сечения St
па поверхности ЭИ', где s — натуральный параметр, отсчи-
отсчитываемый от точки р. Как кривая в пространстве сече-
сечение 31 имеет векторное параметрическое уравнение г =
~r(u(s), v(s)), и, значит, ее касательный вектор г вы-
выражается формулой
B) r = raii + rvv,
где, как всегда, и и v—производные по s функций A).

74 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
Производная г вектора B) ортогональна ему и при
s = 0 параллельна плоскости Ш. Поэтому при s = 0 она
пропорциональна вектору п. Соответствующий коэффи-
коэффициент пропорциональности (равный скалярному произве-
произведению гп) является (см. в лекции 2 определение относи-
относительной кривизны) не чем иным, как относительной кри-
кривизной k(t). Таким образом,
C) k(t) = ?n.
Поскольку
r~ruu+rnu + rvv |- rvv =
= (г„„« -{ r,,vv) и -|- (rnvu -|- rvvv) v + r,Ji + rvv =
==r,,Hu2+2rHi;uu + rvvv* + ruu-\- rvv
и rnn = 0, rvn = O, этим доказано, что
k{t)=Lu* + 2Muv-\ -Ni)\
где
D) L = rean, M = r,,vn, N = rvvtt.
Функцию t\—*-k(t) удобно распространить на всевоз-
всевозможные касательные векторы йгфО, полагая по опре-
определению
Так как \dr\2 — dr2 = ds2, где
ds* = Е dtp 4- 2F du dv + G dv2
(см. формулу B8) лекции З), а координаты и и v вектора
dr dr du dv
—г-т- = —г- равны -г— и -г—, то
| dr I ds ' ds ds
E) Л (cfr) =
[Заметим, что равенства « = -т- и и = -т— формально сов-
совпадают с известными из анализа равенствами для произ-
производных как отношений дифференциалов. Однако у нас
их содержательный смысл иной, поскольку du и dv яв-
являются не дифференциалами, а координатами касатель-
касательного вектора dr, a ds—его дли ной. 1
Определение 1. Квадратичная форма

ИНДИКАТРИСА ДЮПЕНА 75
называется второй квадратичной формой поверхности SC'.
Обозначается она символом II. .
В этих обозначениях формула E) записывается в сле-
следующем удобном для запоминания виде:
(fi) k = ^.
Для коэффициентов формы II, кроме формул D), имеют
место также формулы
G) L-—runa, M = —ranv = —rvti,l, N = —rvnv.
Действительно, так как г„я = 0, то гш,л + г„л„ = О и
rllvti-\ runv — 0, т.е. L — — г„п„ и M = —r,,nv. Анало-
Аналогично, так как rvti=0, то rvun+rvnu=0 и rvvn+rvnv — 0,
т. е. М = — rvnn и N = —rvttv, П
В силу этих формул форму II можно, введя вектор
(S) ' dn = nttdu -V nvdv,
записать в виде
II=— drdn,
,iнелогичном записи l=dr2 для формы I.
Замечание 1. По аналогии можно ввести также
третью квадратичную форму III = dn2. Однако, как мы
ниже покажем, она линейно выражается через формы I
и II и потому не дает ничего нового.
Для обозначения коэффициентов L, М, N формы II
используют также символы D, D', D".
Для наглядного представления функции *•—*k{t) фран-
французский математик Дюпен предложил рассматривать на
касательной плоскости кривую (ныне она называется ин-
(киштрисой Дюпена), которая получается, если для любого
единичного касательного вектора t отложить от точки
касания р (принимаемой за начало координат О на каса-
касательной плоскости) в направлении этого вектора отрезок
длины |&(*)|~1/2. Обозначим через хну координаты
(в координатной системе Orurv) концевой точки этого
отрезка; тогда его длина будет выражаться (в понятных
обозначениях) формулой
\xra+yrv\ = Vl(x, у).
Поскольку кривизна k(t) выражается формулой F), ко-
которая в теперешних обозначениях имеет вид

76 ИНДИКАТРИСА ДЮПЕНА
отсюда для индикатрисы Дюпена получается уравнение
т. е. уравнение
Этим доказано, что индикатриса Дюпена является кривой
с уравнением
При LN—Ма > 0 эта кривая (точнее, множество ее
вещественных точек, которым мы только и интересуемся)
представляет собой эллипс с уравнением
(9)
где е = ~И. если L > 0, и е = — 1, если L < 0. В соот-
соответствии с этим точка поверхности, в которой LN — М* > 0,
называется эллиптической.
В эллиптической
точке
В гиперболической
точке
Индикатриса Дюпена
В параболической
точке
В эллиптической точке все кривизны k{t) имеют один
и тот же знак (совпадающий со знаком L). Среди них
есть одна наибольшая kt и одна наименьшая k2 (если
только все они не совпадают, т. е. если индикатриса Дю-
Дюпена не является окружностью), отвечающие направлениям
малой и большой осей эллипса (9).
При LN — Ма < 0 индикатриса Дюпена состоит из двух
гипербол
A0)
Lx2 + 2Мху + Ny2 = ± 1
с общими асимптотами, и потому точка поверхности, в ко-
которой LN—Ма < 0 называется гиперболической. В направ-
направлении действительной оси одной из гипербол A0) кривизна
k(t) достигает своего наибольшего значения kx > 0. При
вращении вектора t она сначала уменьшается до нуля,

ГЛАВНЫЕ, ПОЛНАЯ И СРЕДНЯЯ КРИВИЗНЫ 77
когда вектор t приобретает асимптотическое направление,
а затем, по-прежнему уменьшаясь, достигает своего наи-
наименьшего значения ka < 0, когда направление вектора t
совпадает с направлением действительной оси другой
пшерболы (т. е. с направлением мнимой оси первой ги-
гиперболы).
При LN — Ма = 0 точка поверхности называется пара-
полической. В такой точке индикатриса Дюпена имеет
уравнение
(it)
н потому представляет собой пару параллельных прямых
(если только ЬФО или N ФО). В направлении этих пря-
прямых кривизна k(t) равна нулю, в перпендикулярном на-
направлении достигает наибольшего (по абсолютной вели-
величине) значения, сохраняя все время один и тот же знак.
Нсли же L = 0, N = 0 (и потому М = 0), то кривизна k{t)
тождественно по t равна нулю (а индикатриса Дюпена
не определена).
Заметим, что в эллиптических и параболических точ-
точках индикатриса Дюпена является кривой второго порядка,
а в гиперболических точках — четвертого порядка.
В каждом из трех случаев функция k(t) дважды
достигает своего наибольшего значения kr и наименьшего
значения кг (если только она не равна тождественно нулю).
Задача 1. Докажите, что
k (t) --- ki COS8 ф -\-kt Sina ф,
где ф — угол, образованный вектором t с направлением, в котором
кривизна равна йх. Эта формула известна как формула Эйлера.
Определение 2. Числа kr n"kt называются главными
кривизнами поверхности в рассматриваемой точке. Их
произведение
К = feifea
называется полной (или гауссовой) кривизной, а их полу-
полусумма
" 2
— средней кривизной.
Согласно сказанному^выше в эллиптической точке К> О,
в гиперболической точке К < 0 и в параболической точке
К 0

78 ГЛАВНЫЕ, ПОЛНАЯ И СРЕДНЯЯ КРИВИЗНЫ
Подчеркнем, что Н и К зависят от точки /?6#, т. е.
являются функциями на 3?^ Как функции локальных
координат эти функции гладки.
Чтобы найти главные кривизны, можно было бы искать
главные направления кривых второго порядка (9) и A0)
(для кривой A1) проблемы нет) и затем найти их кано-
канонические уравнения. К сожалению, этот путь приводит
к длинным выкладкам из-за того, что координаты хну
не прямоугольны. Поэтому мы поступим по-иному, обра-
обратившись непосредственно к основной формуле F).
Согласно этой формуле кривизна k2 является наимень-
наименьшим значением функции
II (х, у) _ Lxi+2Mxy-irNyi
\(х, у) *
двух переменных хну при (х, у)ф@, 0). Поэтому
для всех (х, у)ф@, 0), причем хотя бы в одной точке
(х, у) равенство достигается. Поскольку I (х, у) > 0 при
(х, у)Ф@, 0), это неравенство равносильно неравенству
II (х, y)—ktl(x, y)>0,
означающему, что квадратичная форма II—k2l с матрицей
\\M-kiF N-ktG\\
во всех точках (л;, у) Ф @, 0) неотрицательна и хотя бы
в одной из этих точек равна нулю.
Аналогичным образом число kt характеризуется тем,
что квадратичная форма II—kx\ всюду положительна и
хотя бы в одной точке (х, у)ф@, 0) равна нулю.
Но легко видеть (непосредственно или на основе общей
теории квадратичных форм над полем R; см. лекцию 11.12),
что квадратичная форма от двух переменных тогда и
только тогда всюду неположительна или неотрицательна
и хотя бы в одной точке (х, у) Ф @, 0) равна нулю, когда
ее ранг меньше двух, т. е. когда определитель ее матрицы
равен нулю.
Этим доказано, что главные кривизны kit k2 являются
корнями уравнения
L—kE M—kF _n
M-kF N-kG ~U>

ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ГРАФИКА 79
I. е. уравнения
{EG — F*)kl — (EN+GL—2FM)k+ (LN — Af»)~0.
В силу формул Виета отсюда, в частности, следует, что
к LN — M3 „_ 1 EN + GL — 2FM
*~EG — F*' 2 EG-F*
11ервая из этих формул получит важное применение в сле-
следующей лекции.
Предположим, что координаты х, у, г в пространстве Л
выбраны так, что рассматриваемая поверхность является
графиком функции г = г(х, у), причем г@, 0) = 0 и век-
вектором нормали в точке @, 0) является единичный век-
вектор k оси Ог (см. выше).
Тогда хну являются в окрестности точки @, 0) ко-
координатами и и v на поверхности, причем
ги = A, 0, гх), г„ = @, 1, гу).
Поскольку в точке @, 0) векторы ги и rv параллельны
по условию координатной плоскости Оху, отсюда следует,
что
(г,H = 0 и (гцH = 0
(индексом 0 мы помечаем значения частных производных
п точке @, 0)) и, значит, разложение функции г (х, у)
в ряд Тейлора начинается с членов второй степени:
где
(обозначения Монжа).
С другой стороны, так как
гя„=@, 0, гх), rw-@, 0, г„), г,. = @, 0, г„),
то в точке @, 0)
L = r, M=s, N-t.
Таким образом, в рассматриваемом^случае вторая.квад-
вторая.квадратичная форма поверхности лишь постоянным множи-
множителем 1/2 отличается от суммы гг(х, у) членов второй
степени в ряде Тейлора функции г(х, у).

80 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ГРАФИКА
Поскольку вблизи точки @, 0) поверхность г = z (х, у)
мало отличается от поверхности z = zt(x, у) и поскольку
при rt—s2 > 0 последняя поверхность является эллипти-
эллиптическим параболоидом, а при rt—s2 < 0—гиперболическим
параболоидом, тем самым доказано, что вблизи эллипти-
эллиптической точки произвольная поверхность мало отличается
от эллиптического параболоида, а вблизи гиперболической
точки—от гиперболического параболоида.
Это дает вполне удовлетворительное представление о
поведении поверхности вблизи непараболических точек.
В случае, когда rt—s2 = 0, но либо гфО, либо s^=0,
поверхность г — гг(х, у) является параболическим цилинд-
цилиндром. Поэтому вблизи параболической точки, для которой
либо L=?0, либо NФ0, поверхность мало отличается от
параболического цилиндра.
Об устройстве же поверхности вблизи параболической
точки, в которой L= 0 и N = 0 (а значит, и М — 0), ничего
определенного сказать нельзя; вообще говоря, оно может
быть очень сложным.
Произведенные вычисления показывают также, что
в точке @, 0) для рассматриваемой поверхности имеют
место равенства Е—\, F = 0 и G = 0, откуда следует, что
в этой точке
K = rt—s* и Я = ф.
Кроме того, автоматическая выкладка (которую можно
произвести в уме, если заметить, что для функций fag,
обладающих тем свойством, что /@) = 0 и g@)=l, про-
производная (fg)' их произведения fg принимает в нуле зна-
значение /'(О)) показывает, что в точке @, 0)
лв = (— г, —s, 0), nv = (—s, —t, 0),
и, значит,
«« = /-a + s8,
Отсюда следует, что
= 2HM—KF, nl = 2HN—KG,
т. е. что
Ш = 2#П—/CI,
где III—введенная в замечании 1 третья квадратичная
форма поверхности. Таким образом, форма III действи-
действительно линейно выражается через формы I и П.

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ 81
Для линейчатой поверхности
как мы уже зняем,
Е — 1 + 2vpa + v2a2, F = pa, G = 1
(как всегда, мы предполагаем, что параметр и на кривой
|)^=р(ы) натурален, а вектор а(и) единичен). Далее,
V EG-F* '
_ (p + iw)(pxo+B(dxo)) м __ paa
(paaJ
и потому
Таким образом, полная кривизна произвольной линейча-
гой поверхности в любой ее точке неположительна, т. е.
линейчатая поверхность не имеет эллиптических точек.
В случае, когда поверхность является цилиндром (а=0),
конусом (а = р и потому л==р) или поверхностью каса-
касательных (а = р), из полученной формулы следует, что
К. == 0. Таким образом, полная кривизна каждой развер-
развертывающейся поверхности равна нулю (в любой ее точке).
Обратно, если /С = 0, то paa = 0, т. е. векторы р, а, а
компланарны. Если вектор а (и) не равен тождественно
нулю, т. е. если поверхность A2) не является цилиндром,
то, перейдя, если нужно, к меньшей окрестности, мы
можем считать, что а (и) Ф 0 для всех и. Поэтому векторы
а и а линейно независимы (они отличны от нуля и орто-
ортогональны), и, следовательно, вектор р через них линейно
выражается:
р = Ха + |ш,
где к = К(и) и ц = ц(ы)—некоторые функции от и.

82 ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЁбОЙ КРИВИЗНЫ
Пусть
(
Поскольку якобиан этого преобразования равен 1, числа
Ы[ и Dj также являются — после, возможно, перехода
к меньшей окрестности—координатами на поверхности A2).
В этих координатах уравнение поверхности имеет вид
г = р! (и) + va (и)
(мы убираем у их и vx индексы), где
и потому
Pi —P—Vм—уа — (^—И1H-
Если pi = 0 тождественно (т.е. Я, = ц), то уравнение
поверхности имеет вид
г = const -f va (и),
и потому эта поверхность является конусом. В противном
случае мы можем считать, опять уменьшая, если нужно,
окрестность, что pt (и) Ф 0 для всех и. Переходя тогда
к натуральному параметру (и меняя, если нужно, знак
у v), мы получим, что рг = а, т. е. что рассматриваемая
поверхность является поверхностью касательных.
Тем самым доказано следующее предложение:
Предложение /. Линейчатая поверхность тогда и
только тогда имеет в каждой точке нулевую полную кри-
кривизну:
* = 0,
когда она является развертывающейся поверхностью. ?
Одновременно мы установили, что развертывающиеся
поверхности характеризуются условием
pad —. О,
которое, как легко видеть, равносильно коллинеарности
векторов рха и ах а. Но коллинеарность этих векторов
означает, что вектор
с точностью до пропорциональности не зависит от v, т. е.
не зависит от v соответствующий единичный вектор п.
Этим доказано, что развертывающиеся поверхности виде-

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
83
ляются среди всех линейчатых поверхностей тем свойст-
свойством, что во всех точках каждой прямолинейной образую-
образующей такой поверхности касательная плоскость одна и
та оке.
Развертывающаяся поверхность касательных
Для произвольной поверхности вращения
г = х (и) cos и ¦ I -Ь х (и) sin и j -\- z (v) ¦ ft
мы имеем
г„ — — х (и) sin и ¦ i -\- х (и) cos и J,
rv = x' (v) cosu-i + x' (v) sin uj + z' (v) k,
и, значит, E = x(vJ, F = 0, G—\ (мы предполагаем, что
л:'(уJ+ z'(vJ= 1; см. лекцию 3). Поэтому
г„ х rv = х (v) z' (v) cos и • I + x (v) z' (v) sin и -J—x(v) x' (v) k,
n — z' (v) cos и • /4- z' (v) sin и J— x' (v) k\
ruu— — x(v) cos и¦ I—x(v) sin и J,
rUv = — x' (v) sin и • I + x' (v) cos и J,
rvv = x"(v)cosu-i-{-xK (v) sin'u •/ + z" (u) ft;
= rttan = — x(v)z'(v), M =
, LN — M* _z'(v) \x'(v) г'(v)
EG — F2 ~~ x(v) \x»(v) z"{v)
x'(v) z'(v)
x"(v) z"(v)
Этим доказано, что для поверхности вращения
if
г'(у)
x'(v)
()
z-(v)

84 ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Пример 1. Для сферы радиуса R мы имеем
и потому
х(v) = R cos-?-, z(v) = Rsin-g,
~-,
x(v)
x'(v) z'(v)
*» z"(v)
Таким образом, полная кривизна сферы радиуса R посто-
постоянна и равна -dj.
Результат наглядно очевиден.
Следующий пример более интересен.
Пример 2. Поверхность
вращения с профилем
x(v) = R sin u,
z(v) =
^ + cosw),
(это—так называемая трактри-
трактриса) называется псевдосферой (а
число R называется ее псевдо-
псевдорадиусом). Для этой поверхности
х' (v) = R cos v,
R
~ v ' sint»
и, значит,
R sinu =
COS2 V
sin v
Псевдосфера
Так как x' (vJ + z'(vJФ\, то полученная выше общая
формула непосредственно непригодна и необходимо пред-
предварительно перейти к натуральному параметру профиля.
Имеем
= —R
— R In sin и,
Я/8

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
85
и, значит,
Т / _ 2 ——
г 1 — е R у
Поэтому в натуральном параметре (который мы снова
обозначим через v) трактриса будет задаваться функциями
.
^— У е"^—
Вычисляем:
x'(v) г» _
г' (у)
г» (о)
Таким образом,
L
R2,
так что полная кривизна псевдосферы, постоянна и равна
1
R
Мы видим, что в отношении полной кривизны псевдо-
псевдосфера отличается от сферы только знаком кривизны.
Этим и объясняется термин «псевдосфера».
Пример 3. Для катеноида
х (v) = ch v, z (v) = v,
v, z»=l,
и потому мы опять должны перейти к натуральному

86
параметру
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
s= \ chf dv = shv.
¦ о
Обозначая этот параметр снова через v, мы получим
функции
х (v) = VTTv*. г (v) = In (о +
Поэтому
4)
Л' (У) 2' (У)
X"(V) 2"(V)
и, значит,
1
A-Й2)8 ¦
Интересно сравнить кривизну катеноида с кривизной
изометричного ему геликоида.
Для геликоида мы имеем уравнение A2) с
Поэтому
= ft, a——
= 1-1- v\
и, значит,
EG—Fa=H-ua,
0 0 1
cos и sin и 1
— sin и cos и О
1
J i
A+f2J
Мы получили тот же самый результат, что и для
катеноида! Это означает, что при изгибании катеноида
на геликоид полные кривизны в соответственных точках
совпадают.
Что происходит со средней кривизной?

Поверхности Вращения 87
Для катеноида ?=1 + и2, F = 0, G—l. Кроме того,
L = — x(v)z'(v) = — l, M-^-0,
x'(v) г»
1
X°(V) Z»
и потому
EN-\-GL—2FM = 0,
т. о.
Таким образом, средняя кривизна катеноида равна нулю.
Для геликоида
—cosu-j, axa = — ft,
р = 0, a = — cosuJ—s\nu-j,
(p + va) (p x a f и (a x a)) = 0
и, кроме того, как мы уже видели,
?0—Р=1-|-и», paa = 0.
11оэтому
L = 0, M = ,- J JV = O,
]/ 1 + v*'
ii, значит,
EN + LQ—2FM=0,
т. е.
/7 = 0.
Таким образом, средняя кривизна геликоида также равна
Н1/ЛЮ\
Пример катеноида и геликоида наводит на мысль, что
при изгибании (изометрии) сохраняются полные и средние
кривизны. Оказывается, что в отношении полной кривизны
эта гипотеза справедлива (и мы покажем это в следую-
следующей лекции), тогда как в отношении средней кривизны
это не так. Действительно, для плоскости средняя кри-
кривизна равна нулю, а для изгибающегося на плоскость
кругового цилиндра радиуса R она равна, очевидно, -^.
Причины же того, почему у катеноида и геликоида
оказались равные средние кривизны, мы лишены возмож-
возможности здесь обсуждать.

Лекция 5
Деривационные формулы Вейнгартена.— Коэффициенты
связности.— Теорема Гаусса.— Явная формула для гаус-
гауссовой кривизны.— Необходимые и достаточные условия
изометричности.-— Поверхности постоянной кривизны^
Для сопровождающего базиса г„, rv, n произвольной
поверхности
A) г = г(и, v)
могут быть написаны формулы, аналогичные формулам
Френе для кривых. Эти формулы дают разложение
производных
векторов сопровождающего базиса по этому же базису.
Поскольку Л2= 1 и, следовательно, лл„ = 0, nnv = 0,
векторы пи и nv разлагаются только по векторам г „и rv,
так что
лц= aru + Pf».
Умножая первую из этих формул на г„ и г„, мы полу-
получим два соотношения:
—L = rutiu = аг% + $rnrv = аЕ + р/1,
— М = гvnu = o.r nrv -\ pr I = aF + C6,
из которых следует, что
_ FM — OL R_ FL — EM
а~ EG — F2 ' Р~ EG — F* *
Аналогично вычисляются коэффициенты и второй формулы:
_ FN — GM о FM — EN
« Pl~"
«1— EG — F2 ' Pl~" EG — F2 "
Далее, так как, согласно определению,
rttUn=*L, ruvtt = M, rmn — N
и так как по условию r,,n = 0, rvn = O, то коэффициенты
при п в разложениях векторов /•„„, гт, rvv по базису
г„, rv, n равны соответственно L, М, N.

КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗНОСТИ
Таким образом, мы имеем
rvv = V\2ru-{-T\irv \-Nп,
B) FM-GL _ FL-EM
11 ~ ?G —F2 r" + EG—F* v>
FN-GM FM-EN
"V ?(J pi » И "Г ?(J /72 '»>
где Tf/, i, /, k=\, 2,— некоторые функции от и и и.
Эти функции раньше обозначались символами I J\ и
назывались скобками Кристоффеля. Теперь же их обычно
называют коэффициентами связности.
Формулы B) называются деривационными формулами
Всйнгартена.
Для вычисления коэффициентов связиости Г*/ мы в пер-
ную очередь найдем шесть произведений векторов ruu, ruv,
rw на векторы гп и rv.
Так как г\ — Е, то 2гииги = Еи и %ruvru~Ev, т. е.
Аналогично, так как r? = G, то
Кроме того, так как rurv = F, то ruarv + rttruv = Ftt
и '¦„t,rw-|-rarw = Fw, откуда следует, что
Умножая теперь первые три формулы B) на г„ и г„,
мы получим шесть соотношений:
12 "Г Г1 12 — ^} Uv
'3)
ГГ1 I ЛГ2 _ _L
f^1 22 T U1 22 — ^

90 ТЕОРЕМА ГАУССА
из которых легко находятся коэффициенты Г*/. (Уравне-
(Уравнения однозначно разрешимы, поскольку определитель
EG—F2 каждой пары уравнений отличен от нуля.)
Мы видим, что коэффициенты связности Yktj выражаются
через коэффициенты первой квадратичной формы и их
производные. Следовательно, они не меняются при изги-
изгибаниях (изометриях) поверхности.
Явные выражения коэффициентов Г*/ через коэффи-
коэффициенты первой квадратичной формы нам не понадобятся,
и мы их выписывать не будем.
Коэффициенты деривационных формул связаны тремя
соотношениями, которые возникают при вычислении
с помощью этих формул двумя разными способами част-
частных производных r,wv, ruvv и n,v. Одно из этих соотно-
соотношений было найдено Гауссом, а остальные два—Петер-
соном, Майнарди и Кодацци. Мы рассмотрим только
соотношение Гаусса, которое получим, вычисляя коэффи-
коэффициент при г„ в разложении частной производной г„„„ по
векторам г„, rv и п.
В этом вычислении мы будем следить только за коэф-
коэффициентом при г„ и только за теми его слагаемыми, кото-
которые зависят от коэффициентов второй квадратичной формы.
Все же остальные слагаемые мы будем заменять много-
многоточием.
Имеем
r,luv = {г„Х = (riV« + IV* -(- Ln)v =
«=...+ IV,,,, -ь ... -|- IV,,,, + ...+Lnv =
= ...+Г}1(...)+...+г1»1(...)+...
, FM-EN \ I FM-EN
... 4 EQ_Fi rJ[L
Аналогично,
r,,uv = (rKV)* = (гЬгн + Г2ааг„ 4- Mn)u =
Следовательно,
; FM-EN .. FL — EM
EG—F* ~m EG — F* ^"•••'
где многоточие обозначает члены, зависящие только от
коэффициентов первой квадратичной формы. Но
.. FL—EM r FM-EN p LN — M*
EGP C
EG-P EG-F*

ЯВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
91
Поскольку ?=5^0 (форма 1 положительно определена),
л им доказано, что полная кривизна К поверхности выра-
выражается через коэффициенты первой квадратичной формы
{и их производные). Отсюда следует, что кривизна /С при
и лноаниях не меняется. Точнее, если /—изометрия по-
игрхиости 5V на поверхность Й/, то
где /<_?• и К9—полные кривизны на поверхностях Ж и
:У соответственно. (Действительно, если / действует по
равенству координат, то обе стороны в D) отличаются
/iiiiiib обозначениями координат.) Этот результат заслу-
заслужи нает выделения в качестве теоремы:
Теорема 1 (теорема Гаусса). Полная, {гауссова)
к/твизна поверхности не меняется при изгибаниях (изо-
метриях), т. е. изометричные поверхности в соответ-
соответствующих друг другу точках имеют одинаковую криви-
кривизну. ?
Эта теорема настолько восхитила Гаусса, что он назвал
ос theorema egregium — по латыни «блистательная теорема».
Из теоремы 1 следует, в частности, что никакую сколь
цгодно малую часть сферы нельзя изогнуть на плоскость.
11оэтому никакая карта земной поверхности не может
дать ее точное изображение.
Явное выражение кривизны К через коэффициенты Е,
F и С первой квадратичной формы имеет вид
Е Еа Ev
Veg—i
Другие два соотношения, получающиеся при дифферен-
дифференцировании деривационных формул (и называемые обычно
формулами Петерсона—Кодацци), имеют вид
2(EG-F*)(LV-Ma)-
Е Еи L
.2FM)(EV-FU)+ F Fn M =0,
2(EG-F>)(MV-N,,)-
GL-2FM)(FV-GU) +
Е Е„
N
L
М
N
= 0.

92 ЯВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
Доказательство этих формул не требует ничего, кроме
терпения и аккуратности.
Мы докажем только формулу E) и только в случае,
когда ? = 1 и F = 0, т. е. когда первая квадратичная
форма поверхности выражается формулой
G) I = d«2 + Gcfo2.
В этом случае уравнения C) для коэффициентов
Ткц имеют вид
ri О Г1 — О Г1 -П
1 11 — «» * 12 — U> 1 22 — 2 "'
01^0 or;O cr\±G
откуда следует, что
Г1 — П Г1 — П Г2 — П
fl ' Л Г2 ' "« Г2 ' i?v
Поэтому
rau = Ln и r,,v = j-g<rv + Mn.
Поскольку в рассматриваемом случае
n* = — Lra—^rv и я„ = —Мг„—-д-г,,,
отсюда вытекает, что
= — LMru—Щ- rv
и, значит,
_ LN _ 1 /,0e
С -T\ G
[ L^S.
v— 2 Q

ЯВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 93
Второе уравнение нас сейчас не интересует (оно является
первым из уравнений F) при ?=1 и F = 0), а из пер-
первого следует (поскольку в рассматриваемом случае
K — -Q- {LN — Мг)) формула
т. е., как показывает очевидное вычисление, —формула
что совпадает с результатом подстановки в формулу E)
значений ?=1 и F = 0.
Тем самым нами доказано, что полная кривизна по-
поверхности с первой квадратичной формой G) выражается
формулой (8).
Пусть, например,
(9) I=du2 + co
Тогда KG = cosu и (V G)ttn =—cosu. Поэтому К = \, что
нпвлне согласуется с результатом примера 1 лекции 4
(поскольку форма (9) является первой квадратичной фор-
формой сферы радиуса /? = 1; см. формулу C6) лекции 3,
в которой, правда, переставлены и и о).
Аналогично показывается, что поверхность с первой
квадратичной формой
имеет кривизну К = — 1 (ср. пример 2 лекции 4).
Замечание 1. Подчеркнем, что все эти результаты
имеют место для поверхностей в трехмерном евклидовом
пространстве. Для поверхностей же в пространстве боль-
большего числа измерений формулу E) (или ее частный вид
(8)) можно принять за определение кривизны К.
Замечание 2. Для того чтобы шесть функций
A0) ?, F, G, L, M, N,
заданных в открытом выпуклом множестве U cR8 были
коэффициентами первой и второй квадратичных форм не-
некоторой поверхности г = г(и, о), конечно, необходимо,
чтобы для этих функций, кроме условий
A1) ?>0, EG — P>0

94 УСЛОВИЯ И30МЕТРИЧН0СТИ
положительной определенности, имели место соотношения
E) и F) (имеется в виду, что в соотношение E) подстав-
подставлено К = -ppZIW )• Оказывается, что эти соотношения
также и достаточны (для существования регулярной,
но вообще говоря, не элементарной поверхности с данны-
данными формами I и II). Более того, функции A0) (удовлет-
(удовлетворяющие соотношениям E), F) и A1)) определяют по-
поверхность с точностью до движения пространства. Эти
утверждения являются двумерным аналогом соответству-
соответствующих утверждений для кривых (см. теорему 1 лекции 2)
и доказываются аналогичным способом (при этом вместо
теоремы о существовании и единственности решения сис-
системы линейных дифференциальных уравнений использу-
используется соответствующая теорема для систем линейных урав-
уравнений в частных производных). Мы докажем их—сразу
для многообразий произвольной размерности — в следую-
следующем семестре.
Теорема Гаусса утверждает, что равенство полных
кривизн является необходимым условием изометричности
двух поверхностей. Вместе с тем, хотя это условие
отнюдь не достаточно, оно настолько сильно, что с его
помощью можно без труда получить и достаточные усло-
условия. Мы не будем подробно обсуждать этот вопрос и
рассмотрим лишь важнейший частный случай соответству-
соответствующей теоремы.
Пусть
Л к _ EKl-2FKaKv+GKl
lA ~ EG — F*
— первый дифференциальный параметр Бельтрами функ-
функции К. Если две функции К и AtK от и и и функцио-
функционально независимы, т. е. их якобиан
дК дК
ди dv
ди dv
всюду отличен от нуля, то их можно принять за новые
локальные координаты на поверхности. Назовем эти ко-
координаты гауссовыми. Из свойства инвариантности опера-
оператора At (формула C4) лекции 3) и формулы D) непосред-
непосредственно вытекает, что для любой изометрии /: X—>-6/

ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 95
имеет место равенство
A2) A1K9°f = AlK#.
Вместе формулы D) и A2) означают, что каждая изомет-
рия является отображением по равенству гауссовых коор-
координат. Поэтому справедлива следующая теорема:
Теорема 2. Две элементарные поверхности, на кото-
которых определены гауссовы координаты, тогда и только
тогда изометричны, когда в этих координатах их первые
квадратичные формы совпадают. П
Таким образом, чтобы определить, изометричны или
нет две поверхности, надо ввести на них (если это воз-
возможно) гауссовы координаты и вычислить в этих коор-
координатах их первые квадратичные формы. Если эти формы
совпадают, то поверхности изометричны, а если эти формы
различны, то поверхности не изометричны.
Теорема 2 не дает ответа в случае, когда А* и AtA"
функционально зависимы, например когда ^К — ® (что
имеет место, как легко сообразить, если и только если
Л" = const). Впрочем, в этом крайнем случае условие тео-
теоремы 1 оказывается достаточным, т. е. две элементарные
поверхности постоянной полной кривизны тогда и толь-
только тогда изометричны, когда они имеют одну и ту же
кривизну. Другими словами, любая поверхность постоян-
постоянной полной кривизны К локально изометрична сфере радиуса
R=—f=r, если А* > 0, плоскости, если А* = 0, и, псевдо-
сфере псевдорадиуса R— ... =-, если А* < 0.
Для доказательства нам понадобится лемма, которую
мы докажем в следующем семестре:
Лемма Гаусса. На любой поверхности существуют
локальные координаты и, v, в которых первая квадратич-
квадратичная форма этой Поверхности имеет вид G), причем функ-
ция G = G(u, v) обладает тем свойством, что
A3) G@, v)=l и G,,@, v) = 0 для всех v.
В силу этой леммы мы без ограничения общности мо-
можем считать, что'первая квадратичная форма рассматри-
рассматриваемой поверхности постоянной полной кривизны А" име-
имеет вид G) и, значит, для А* имеет место формула (8).
Эту 'формулу мы можем рассматривать как дифференци-

96 ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
альное уравнение второго порядка с постоянными коэф-
коэффициентами относительно функции VG- Из теории
дифференциальных уравнений известно, что общее решение
этого уравнения имеет вид
(A cos а (и + В), если К = а8 > О,
Аи 4 В, если К = О,
Л ch а (и + 5), если /С = —а2 < О,
где А и 5 — произвольные функции от v. Но ввиду пер-
первого условия A3) должны иметь место соотношения
A cos аВ = 1 при К > О,
5= 1 при К = 0,
AchaB=l при /е<0,
а ввиду второго условия A3)—в силу тождеств
— Аа sin а (ы + В), если К > О,
Л, если /С = 0,
Ла8ла(и + В), если /С < О
— соотношения
Аа s'm аВ = 0 при /С > О,
Л = 0 при /е = 0,
ЛазпаЯ = 0 при /С < 0.
Следовательно,
(cosаи, если /С = а*>0,
1, если К = 0,
ch аи, если/С =—а2 < 0.
В первом случае мы получаем первую квадратичную
форму
du* + cos» au dv*
сферы радиуса 1/а, во втором случае—первую квадра-
квадратичную форму
du* + dv*
плоскости, а в третьем—первую квадратичную форму
псевдосферы псевдорадиуса 1/а. ?
На этом мы прервем—до следующего семестра — из-
изложение теории поверхностей и обратимся к основному
предмету этого курса—теории гладких многообразий.

Лекция 6
Вводные замечания. — Открытые подмножества простран- ,
ства R" и их диффеоморфизмы. — Карты и атласы.—
Максимальные атласы. — Гладкие многообразия. — Приме- '
ры гладких многообразий.
Понятие гладкого многообразия является одним из
основных понятий современной математики. Оно возни-
возникает в результате экспликации и] одновременного обоб-
обобщения на высшие размерности интуитивного понятия
поверхности, рассматриваемой безотносительно к ее рас-
расположению в пространстве. Основные принципы этой
экспликации заимствуются при этом из картографии.
Отдельные области земной поверхности мы можем
адекватно описывать посредством карт, позволяющих
изображать их на плоскости. Каждая точка Земли может
быть изображена на карте, но одной картой покрыть всю
Землю невозможно; для этого требуется атлас, т. е. на-
набор нескольких карт. Любая карта позволяет прямо-
прямоугольные координаты на плоскости перенести в соответст-
соответствующую область на поверхности и тем самым получить
п ней локальные координаты. (На самом деле в
математической картографии обычно, наоборот, переносят
географические координаты на земной поверхности в кри-
криволинейную координатную сетку на плоскости, но прин-
принципиального значения это различие не имеет.) При этом
локальные координаты, соответствующие двум различным
картам, связаны функциями перехода, позволяющими
пыразить (в общей части двух карт) одни координаты
через другие.
В соответствующих общих определениях мы заменим
плоскость стандартным евклидовым пространством R", где
п — некоторое целое число, которое мы будем считать раз
п навсегда выбранным и зафиксированным. Вырожденный
случай п — 0 мы при этом пока не исключаем.
Напомним прежде всего из курса анализа некоторые
факты и определения, касающиеся пространства IR" (ко-
(которыми мы уже частично пользовались в предыдущих
лекциях).
Точка х подмножества UcR" называется его внутренней точкой,
win существует такое е > 0, что шар радиуса е с центром в точке х
4 М. м. Постников, сем. 111

98 ОТКРЫТЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА ПРОСТРАНСТВА R"
целиком содержится в U. Множество U называется открытым (в R"),
если все его точки являются внутренними точками.
Произвольное отображение ф: U —>¦ V подмножеств пространства
R" задается п функциями
A) у1 = (рЦх1 ж»), .... (/" = ф"(^ х")
п переменных, выражающими через координаты х1 х" произволь-
произвольной точки x?U координаты у1, ..., у" точки у--у(х). В случае,
когда множество U открыто, имеет смысл говорить о производных
произвольного порядка функций A) по я1,...,*'1 в любой его точке.
Отображение го открытого множества U называется отображением
класса Сг, где г—некоторое натуральное число или символ оо, если
во всех точках множества U функции A) обладают при г Ф оо неп-
непрерывными частными производными всех порядков <г, а при г=оо
непрерывными производными всех порядков. В случае же, когда в
любой точке множества U функции A) вещественно аналитичны
(разлагаются в степенные ряды с отличным от нуля радиусом схо-
сходимости), отображение ф называется отображением класса Си.
В дальнейшем мы будем считать фиксированным некоторый класс
гладкости С, где г<оо или г = со, и отображения этого класса бу-
будем просто называть гладкими отображениями. Как правило, нам
будет годиться любое г:з= 2, а часто даже и г— 1, но чтобы не сле-
следить, не появились ли производные слишком больших порядков, мы,
если только явно не оговорено противное, будем молчаливо предпо-
предполагать, что г=оо или г= ш. Впрочем, иногда мы будем включать в
рассмотрение и особый случай г=0. В этом случае гладкие отоб-
отображения—это просто непрерывные отображения.
Основным мы будем считать случай г— оо и все ситуации, когда
ои отличается от случая г = со, будем специально оговаривать.
Каждое гладкое отображение ф: U —>¦ V определяет на U глад-
гладкую функцию
Dq>=detM, U-1 «.
называемую его якобианом (и которая обозначается также символом
/ф). Как показывается в курсе анализа, для любых гладких отоб-
отображений ф: U—«-V и ip: V—> W, где U, V и~№ — открытые под-
подмножества пространства R", составное отображение г|>оф: U—> W
(действующее по формуле (г|>о ф) (jc) = t|5 (ф (х)), x?U) также глад-
гладко и
B) 0A|>оф)(х)
для любой точки x?U (формула B) обычно называется цепным
правилом, а отображение г|юф — композицией отображений ф
и \|>).

КАРТЫ И АТЛАСЫ 99
Отображение ф: U —>¦ V открытых множеств пространства R"
называется диффеоморфным отображением (или диффеоморфизмом),
если оно гладко, биективно и обратное отображение ф~1: V—>¦ U
также гладко. (При г = 0 биективное непрерывное отображение, об-
обратное к которому также непрерывно, называется гомеоморфизмом.)
Из формулы B) непосредственно вытекает, что якобиан Dq> про-
ижольного диффеоморфизма ф: U —>¦ V во есех точках множества U
отличен от нуля (причем (Оф) (У) = (?)ф) (*)~1 Для любой точки
у - ф (х) множества V).
Теорема об обратном отображении утверждает, что
если в точке Xq^U якобиан Оф гладкого отображения ф: U—*• V
ипличен от нуля, то существует таксе открытое множество U'cU,
содержащее точку xv, что ограничение ф|у. отображения ф на V
я .ляется диффеоморфизмом множества U' на некоторое открытие
множество V'cV, содержащее точку J>0 = (P (•*(>)•
В частности, отсюда следует, что гладкге биектигже стображение
Ч>: U —>• V, якобиан которого ссюду отличен cm нуля, яг"яется диф-
диффеоморфизмом.
Замечание 1. Существуют гладкие небиектнвные отображе-
отображения ф: U —у V с всюду отличным от нуля якобианом. Примером
может служить отображение ф плоского кольца 1 < *2 + (/а < 2 на
себя, задаваемое формулой ф (х, у) — (х2 — у2, 2ху).
Теперь мы уже можем дать основные определения
«абстрактной картографии».
Пусть X—произвольное множество.
Определение I. Картой в % называется пара (U, h),
где U — подмножество в &, a h — отображение множест-
множества U в R", биективно отображающее U на некоторое
открытое множество пространства IR". Множество U на-
называется областью определения (или носителем) карты
(U, Н), а отображение h—картирующим отображением.
Для любой точки p?ll точка h{p) glR14' имеет вид
(х[(р), .... х'1(р)), где х*(р) Jf(p)€R. Зто дает п
числовых функций:
на U, которые называются локальными координатами
карты (U, К).
11оскольку координаты C) однозначно определяют
отображение Н, вместо (U, h) часто пишут (U, хх, ..., х-''),
;i отображение h называют координатным отображением.

ЮО КАРТЫ И АТЛАСЫ
Замечание об обозначениях.
Символом ц>(хх, ..., х"), где ср — некоторая функция
на h(U), мы будем обозначать функцию
cpo/i: р\-^ц>{х1{р), ..., хп(р)) на U,
что находится в полном согласии с традиционным обоз-
обозначением сложной функции. Таким образом, формула
у = ц>(х\ ..., хп)
означает, что у является лишь другим обозначением для
функции ф(*х, ..., х"). Для сокращения числа использу-
используемых букв мы функцию ср также иногда будем обозна-
обозначать символом у и, следовательно, будем писать
у = у(х\ .... х").
Заметим, что в этой формуле буква у справа и слева
обозначает различные функции. Слева—это функ-
функция на U, а справа—функция на h(U), служащая для
выражения функции на U через функции х1, ..., х".
В ситуациях, когда надо четко эти функции различать,
мы будем первую из них обозначать символом у oh.
Подчеркнем, что мы никогда не будем использовать,
как это обычно делается, символы ц>{хх, ..., х") (или
(/(л:1, ..., х")) для обозначения функции ср (функции у)
на h (U) (и лишь изредка будем разрешать себе употреб-
употреблять его для обозначения значения этой функции в точ-
точке (х\ ..., x*)th(U)).
Две карты (U, h) и (V, h) называются пересекающи-
пересекающимися, если U (]]/Ф0. (Эта терминология отражает общую
тенденцию, которой мы будем иногда следовать, не раз-
различать педантично (U, К) и V).
Пусть (U, h) и (V, К)—две пересекающиеся карты,
и пусть W = U n V. Тогда в R" определены два множест-
множества h(W) и k(W) и отображение
D) (k\w) о (h\wru. h(W)-+k(W)
первого множества на второе. Допуская определенную
неточность, мы будем обозначать отображение D) симво-
символом k о Л.
Определение 2. Две карты (U, h) и (V, k) в % на-
называются согласованными, если они либо не пересекаются
(U()V = 0), либо:
а) оба множества h(W) и k(W), где W = Ur\V, от-
открыты в R";

КАРТЫ И АТЛАСЫ
101
б) отображение D) является диффеоморфизмом (при
г — 0 — гомеоморфизмом).
Если ф1, ..., Ф"—функции, задающие диффеоморфизм
D), то для ограничений х1 \w, .. ., х" \w и у1 |w, • • •, у"\w
локальных координат карт (U, К) и (V, k) на W будут
иметь место формулы
E) t/1|w = <P1(*1k x"\w),
yn\v = <fa№\v* • ... x»\w).
Г> связи с этим функции ф\ ..., Ф^ называются
функциями перехода (на W) от координат л:1, . .., х" к
координатам t/1, ..., у", а формулы E)^ называются
формулами перехода. Диффеоморфизм k о Л называется
Для наглядности множества ft ({/) и ft (V)
изображены непересекающимися, хотя в
общем случае этого может и не быть.
Точно так же множества h(U), h(W) и
k (V) могут быть и несвязными
отображением перехода. Как правило, индекс W в фор-
формулах E) опускается и они записываются в виде
F) у1=ф1(л;1, .... х'% ..., у = ц>"(х\ ..., ха)
(иногда с добавлением указания «на №»).
Мы будем записывать их в еще более кратком («век-
(«векторном») виде
G) у =ф(лг) (или у = (ЬЛ)дг).
Следует отчетливо понимать условность формул G) и всег-
всегда помнить, что они являются лишь краткой записью
формул F) или E).

102 МАКСИМАЛЬНЫЕ АТЛАСЫ
В частности, хотя формулы G) имеют вид соотноше-
соотношений между точками некоторых подмножеств пространства
R", но на самом деле они связывают не точки этого
пространства, а функции, заданные на подмножестве
множества i1 (и в этом смысле являются соотношениями
в &).
Определение 3. Множество карт {(Ua, hn)\ называ-
называется атласом на %', если
а) любые две карты этого множества согласованы;
б) имеет место равенство
U Ua^&
а
(карты (Ua, ha) покрывают все 3').
Для любого атласа А обозначим через АМакс множест-
множество всех карт, согласованных с каждой картой атласа А.
Предложение 1. Множество АМакс является атласом.
Доказательство. Пусть (U, h) и (V, k) — две пе-
пересекающиеся карты из Амакс, и пусть х— произвольная
точка множества h(W), где, как и выше, W = Ur\V.
Рассмотрим точку p = h~1 (x)?W. Поскольку мно-
множество А = ({^а, ha}) представляет собой атлас, сущест-
существует такая карта (Ua, ha) из А, что р 6 Uu. Так как по
условию карты {V, К) и (V, k) согласованы с картой
(Ua, ha), то множества ha (Ua f]U) nha {Ua n V) открыты в R".
Поэтому в R" (а, значит, и в ha{Ua(]U)) открыто их
пересечение
ha(Uat)U)[)ha(Ua[)V) = ha(Uan W).
Кроме того, множество h(Ua[\U) также открыто в R" и
отображение
является диффеоморфизмом (и потому — будучи, в част-
частности, гомеоморфизмом — переводит открытые множества
в открытые).
Следовательно, множество
открыто (в h(Uaf]U), а значит, и в R"). Поскольку
х?h(Ua[] W)czh(W), этим доказано, что х является
внутренней точкой множества h(W), а поскольку х была
произвольной точкой из Л(W) — что множество h(W)
открыто.

Поменяв ролями ft и k, мы аналогично докажем, что
открыто и множество k(W).
Далее, поскольку
а оба отображения k о ft~x и fta о ft являются диффеомор-
диффеоморфизмами, отображение k о ft~l также будет диффеомор-
диффеоморфизмом (как композиция диффеоморфизмов). Поэтому
карты (U, ft) и (V, к) согласованы.
[На самом деле заключение о диффеоморфности отоб-
отображения k о ft мы сделали несколько поспешно, пос-
поскольку, строго говоря, формула (8) смысла не имеет.
Действительно, отображение ^oft (а точнее, отобра-
отображение (fta \Ua n и) ° (h\ua n иУ1) является отображением
из h(Ua[)U) на ha(Ua(]U), а отображение k о ft-1 (точ-
(точнее, отображение {k\uar\v) ° (ha[uar\ v)) является отоб-
ражением из ^(^пПЮ на ^(^аП^), и поэтому рассмат-
рассматривать композицию этих отображений мы права не имеем.
Чтобы получить это право, мы должны все отображения
h, k и ha ограничить на Uaf\W, т. е. написать форму-
формулу (8) в следующем—уже безукоризненном — виде
Ф \иа n w) о (h \ua n w) =
= 1(к\иа n w) о {ha\ua n vr)] о [(Ла|с/аП w) о (ft \ua n w)].
Mo тогда мы сможем лишь утверждать, что диффеомор-
диффеоморфизмом будет отображение
и чтобы перейти ко всему отображению
(Ю) k о ft = {k\v) о (h \w)-\
требуются дополнительные соображения. Однако эти со-
соображения в достаточной мере тривиальны. Именно,
поскольку отображение (9) является диффеоморфизмом,
его якобиан в точке х отличен от нуля (мы предполага-
предполагаем здесь, что г > 0). Но ясно, что в точке х якобианы
отображений (9) и A0) принимают одинаковые значения
(ибо в окрестности h(Ua[\W) точки х эти отображения
пмшадают). Таким образом, в произвольной точке х от-
открытого множества h(W) якобиан отображения A0) отли-
чеи от нуля. Следовательно, поскольку оно гладко и
биективно, это отображение является диффеоморфизмом.

104 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
(При г = 0 вместо ссылки на якобиан надо воспользо-
воспользоваться тем, что отображение тогда и только тогда непре-
непрерывно, когда оно непрерывно в каждой точке.)
В дальнейшем подобного рода уточнения мы будем
оставлять читателю.]
Итак, мы доказали, что любые две карты из множе-
множества Амакс согласованы, т. е. что это множество удовлет-
удовлетворяет условию а определения 3. Поскольку условие б
этого определения для Амакс, очевидно, выполнено (оно
выполнено даже для Ас:Амакс), предложение 1 тем самым
полностью доказано. ?
Ясно, что если А, А* — атласы и Ас:А*, то А„аксс:
сгАМакс. Поэтому, в частности, (АМакс)макссАмакс, и, зна-
значит, (Амакс)макс = Амакс. Следовательно, если Амаксс:А*,
то А;аксс:(Амакс)макс = Амак<., и потому А* с Амакс. Это озна-
означает, что атлас Амакс максимален (в частично упорядочен-
упорядоченном по включению множестве всех атласов). Кроме того,
если А—произвольный максимальный атлас, содержащий
атлас А, то АсА„аксс:АМакс, и, значит, А = АМакс. Этим
доказано
Следствие 1. Каждый атлас А содержится в единст-
единственном максимальном атласе Амакс. ?
Теперь мы уже можем дать наше основное определение.
Определение 4. Максимальные атласы на SC назы-
называются также гладкими структурами (или просто глад-
гладкостями). Множество 5С с заданной на нем гладкой струк-
структурой Амакс называется гладким многообразием. (Таким
образом, гладкими многообразиями являются, собственно
говоря, пары вида {SV, АМакс), но для упрощения обозна-
обозначений и формулировок мы будем пользоваться этим пол-
полным обозначением только тогда, когда этого нельзя избе-
избежать.) Карты атласа Амакс называются картами много-
многообразия SC или даже—для пущей выразительности—его
гладкими картами.
По определению два многообразия {SC, Амакс) и C/, А„акс)
тогда и только тогда одинаковы, когда ^* = Й/ и АМакс = А^акс.
Два атласа называются эквивалентными, если они
содержатся в одном и том же максимальном атласе. Ясно,
что атласы А и А* тогда и только тогда эквивалентны,
когда их объединение А и А* является атласом (т. е. каж-
каждая карта любого из этих атласов согласована с каждой
картой другого атласа).

ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ 105
Для задания на X гладкости Амакс достаточно, конечно,
задать произвольный атлас АсгАмакс. Таким образом,
гладкими многообразиями можно считать пары вида($\ А),
где А—произвольный атлас на SC. При этом многообра-
многообразия {ЗС, А) и (?У, А*) будут одинаковы тогда и только
тогда, когда 5С~Ч) и атласы А и А* эквивалентны
(т. е. когда их объединение А и А* является атласом).
11одчеркнем, что в определении гладкого многообразия
у пас входит число п — размерность пространства R",
содержащего образы h (U) носителей карт.
Определение 5. Это число называется размерностью
гладкого многообразия SC и обозначается символом dim Ж.
В определение гладкого многообразия SC входит также
число г^О (либо символ с» или со) — класс гладкости
отображений перехода koh~x. Оно называется классом
гладкости многообразия SC (говорят также, что SC является
многообразием класса Сг). Многообразия класса О назы-
на ются также вещественно аналитическими многообразиями.
При г = 0 термин «гладкое многообразие» не употреб-
употребляется и заменяется термином топологическое многообразие.
Конечно, каждое многообразие класса Сг автоматически
является многообразием класса Сг' для любого /•'</•
(и, в частности, является топологическим многообразием).
В соответствии с принятым выше соглашением мы,
как правило, будем считать все рассматриваемые много-
многообразия принадлежащими классу С°°.
Примеры гладких многообразий.
Пример 1. На пространстве R" пара (Rn, id), где
id: IR" —>• R"—тождественное отображение хн-*¦ х, является
картой и одноэлементное множество карт, состоящее из
этой карты, представляет собой атлас. Соответствующая
гладкая структура на R" (класса Сш) называется стан-
дар/пной. В дальнейшем мы всегда будем рассматривать R"
как гладкое многообразие со стандартной гладкой струк-
структурой. Заметим, что в этой структуре dimR" = n.
Задача 1. Докажите, что картами стандартной
гладкой структуры на R" являются пары (U, К), где V —
произвольное открытое множество в R", а Л — произволь-
произвольный диффеоморфизм множества U на некоторое открытое
множество h@)c:R".
Пример 2. Более общим образом, для любого от-
открытого множества О пространства R" пара (О, id) яв-
является картой и одноэлементное множество карт, состоящее

106 ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ
из этой карты, представляет собой атлас. Об определяемой
этим атласом гладкой структуре на О говорят, что она инду-
индуцирована стандартной гладкой структурой на R". Ясно,
что ее картами являются те карты (U, h) последней
структуры, для которых UdO. В дальнейшем, все откры-
открытые множества OtzR" мы будем считать гладкими много-
многообразиями с этой гладкой структурой.
Пример 3. На пространстве R существуют и не-
нестандартные гладкие структуры. Рассмотрим, например,
на RX = R карту (R, Ло), где h0—отображение R —> R,
задаваемое формулой ho(t) = t9, fgR. Эта карта также
составляет одноэлементный атлас, но (при г > 0) соответ-
соответствующая гладкая структура отлична от стандартной,
поскольку карты (R, id) и (R, Ло) не согласованы (отоб-
(отображение перехода hto(id)~1 = h0 гладко и биективно, но
обратное отображение he1: t*—>t1/3 не дифференцируемо
при / = 0).
Пример 4. Для каждой параметризации у: !—>¦ Л,
/ = (а, Ь), открытой простой регулярной дуги 3 пара
{3, у), где y: 3 —> /—отображение, обратное к ото-
отображению у (рассматриваемому как отображение I—*¦ 3),
является картой на 3, причем, согласно предложению 1
лекции 1, любые две такие карты согласованы. Это означа-
означает, что любая открытая регулярная простая дуга естес-
естественным образом является одномерным многообразием.
Пример 5. Аналогично, любая элементарная поверх-
поверхность X является двумерным гладким многообразием
с картами вида {Ж, у'1), где у — произвольная параме-
параметризация поверхности SC.
Пример 6. Простейшим многообразием, не покры-
покрываемым одной картой, является окружность
Пусть р0 и <7о~ ее точки (—1, 0) и A, 0), и пусть
t/ = Sx\{/j0} и У = 81\{<70}. Для любой точки p?U
(любой точки q gV) мы обозначим через h(p) (через k(p))
принадлежащий интервалу (—я, я) угол, образованный
радиус-вектором этой точки с положительным (отрица-
(отрицательным) направлением оси абсцисс. Ясно, что получаю-
получающиеся отображения
h: ?/->(—я, я), k: V-*(— я, я)
биективны, т. е. пары (U, h) и (V, k) являются картами

ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ 107
па 5х(с п=1). При этом U П V' = S1\{p0, <7о}. множества
/,(l/nV) = (— л, 0)U@, л) и fe(l/nV) = (—я, 0)и@,л)
(оказывающиеся одинаковыми) открыты в R и отображение
задается формулами
[ t-i -я, если * ? (— л. 0),
^ ,_„, если <€@. я),
и потому является диффеоморфизмом.
Следовательно, карты (f/, Л) и (У, /г) согласованы,
а так как ?/иУ = 8\ то они составляют атлас, и, зна-
значит, определяют на S1 некоторую гладкость (класса О).
Пример 7. Аналогичным образом доказывается, что
одномерным многообразием, покрываемым двумя картами,
является произвольная замкнутая (не имеющая концов)
простая регулярная дуга в аффинном пространстве А.
Пример 8. Пусть с/<+), ?/<->, V<+), V(~>—подмножества
окружности S1 (открытые полуокружности), состоящие
из точек р — {х, у), для которых соответственно у>0,
//<0, л;>0, jc<0. Пусть, далее, Л<+), Ы~\ ?<+\ fe(">—
отображения этих множеств в R, действующие по форму-
формулам (х, у)*->х, (х, у)у-*х, (х, у)у-*у, {х, у)*-*¦ у (являю-
(являющиеся ограничениями проектирований на координатные
оси). Каждое из этих отображений биективно отображает
соответствующее множество на открытый интервал (—1, 1)
оси R, и потому пары
являются картами в S1 (при этом на картах t/(±) ло-
локальной координатой служит х, а на картах У(±( служит у).
Эти карты, как легко видеть, согласованы (любые две
из них либо не пересекаются, либо их пересечение яв-
является четвертью окружности, проектирующейся на от-
открытые интервалы @, 1) или (—1, 0) оси R, причем со-
соответствующие отображения перехода задаются формулами
пнда у — ±У 1 — л:2 и потому являются диффеоморфизмами)
и покрывают всю окружность S1, т. е. составляют атлас
на S1. Этот атлас эквивалентен атласу из примера 6
(и потому определяет на S1 ту же гладкость). Действи-
Действительно, скажем, для карт {V, К) и (U{Jr), hiy)) пересече-
пересечение U(]U{+) совпадает с t/<+), причем Л(?/1+)) = @, л),

108 ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ
| = (—1, 1), а отображение
h^oh-1: @, я) —(—1, 1)
задается формулой a; = cos t, 0 < t < я, и потому является
диффеоморфизмом (для остальных пар карт ситуация
аналогична).
Пример 9 (обобщение примера 8 на произвольную
размерность). Аналогичным образом на единичной
n-мерной (п> 1) сфере
пространства R"+1 пары (U\+\ h\+)) и (U\-\ Л}->), t =
= 0, 1, ..., п, где ?/<(+' и t/J->—полусферы, определяемые
соответственно неравенствами jc, > 0 и х{ < 0, a hl+) и
h\~f—ограничения на этих полусферах проектирований
на t-ю координатную плоскость л:, = 0, являются картами
и любые две из этих карт согласованы. Например, отоб-
отображение hl{+\ являющееся отображением полусферы U\+)
на шар В": t\ + • • • + t' < 1 пространства R" (с коорди-
координатами tu ..., tn), задается формулами
ха_и если a^.i,
ха, если a~>i, ~~ ' '"''
(так что числа tx, ..., tn, т. е. числа ха, ..., xt_x,
xi+1, ..., хП, являются локальными координатами карты
(?/<(+>, h\+})), а обратное отображение (h^y1: В" —•-
формулами
если b < i,
V\—t2, если b — i, Ь = 0, 1, ...,n,
если b > t,
...-l - ^. Поэтому при t^/ отображение
будет определено на полушаре 6у>0 =
> 0} и, отображая этот полушар на полушар
^,>0}, будет задаваться формулами
to, если а < i,
V\—t\ если a = t, .
a1П
ta, если а > /,
Поскольку эти формулы задают, очевидно, диффеоморфизм,

ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ 109
карты (^й, h\t[) и (Щ*\ Л/+>). следовательно, согласо-
п;шы. Для других пар карт в формулах A1) могут сдви-
сдвинуться индексы, а перед корнем может появиться знак
минус, что, конечно, на окончательный вывод о диффео-
морфности не влияет.
Поскольку построенные карты, очевидно, покрывают
всю сферу S", они составляют атлас и, значит, опреде-
определяют на сфере S" некоторую гладкость.
Пример 10. Построенный в примере 9 атлас состоит
из 2п + 2 карт. Оказывается, что ту же гладкость на
сфере S" можно задать атласом, состоящим всего из
двух карт (ср. пример 6). С этой целью для любой точки
/) - (л;„, хх, .... хп) сферы §", отличной от точки р0 =
A,0, .. ., 0) (северного полюса сферы S"), мы рассмот-
рассмотрим в пространстве R"+1 прямую рор. Канонические
уравнения этой прямой имеют вид
Хр— 1 Xi Хп
п
и, значит, эта прямая пересекает гиперплоскость Х0 = 0
(экваториальную гиперплоскость сферы §") в точке с ко-
координатами 'Г
(координаты на экваториальной гиперплоскости мы обо-
обозначаем символами tlt .... tn). Точка A2) называется
стереографической проекцией точки />ё§"\{А)} (СР- лек"
цию 1.27). Обозначив эту
точку через п(р), мы полу-
получим (очевидно, биективное)
отображение h множества
(У=8"\{/>„} на пространст-
но R", т. е. некоторую карту
(U, К) (с h(U) R)
А
К) (с h(U) R).
Аналогичным образом, Стереографическая проекция
исходя из южного полюса
г/0 = (—1, 0, ..., 0) сферы S", мы можем построить стерео-
стереографическую проекцию k: V —> R", гдеУ = 8'\{<70}» пере-
переводящую произвольную точку р = (ха, Xi, ..., хп) сферы S",
отличную от точки <7о> в точку экваториальной плоскости
с координатами
и, значит, получить карту (V, k).

ПО ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ
Для построенных карт пересечение W = U п V имеет
вид 8"\{р0, </„}, и каждое из отображений h и k ото-
отображает это пересечение на открытое множество R2 = R"\{0}
пространства R". При этом соответствующее отображение
перехода
A4) koh~u. K-+RI
будет задаваться формулами, получающимися исключе-
исключением х0, хи ..., хп из формул A2) и A3). Но, согласно
формулам A2), #,- = A—xo)tlt и потому
т. е.
A+Г) 4—2t2x0+t*—1=0.
Это уравнение имеет корень х0 = 1, нам не нужный (он
отвечает исключенной точке р0), а для второго его корня
_ t2-\
имеют место формулы
2
Поэтому для любого 1=1, ..., п
¦"¦/ = ( * *о) '( ==
и, значит,
Этим доказано, что отображение A4) записывается фор-
формулами
/'—1l f—1л.
и потому является диффеоморфизмом.
Следовательно, карты {II, К) и (К, /г) согласованы и
поэтому составляют атлас.
Задача 2. Докажите, что этот атлас эквивалентен атласу иэ
примера 9 и потому определяет на сфере §" ту же гладкость.
Пример 11. Напомним, что п-мерным вещественным
проективным пространством RP:' называется множество

ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ Щ
всех классов {х^.х^.... ;хп) пропорциональных векторов
(х0, Хц •¦•! хп)Ф^ или, что равносильно, множество всех
прямых пространства Rn+l, проходящих через точку 0.
Пусть UI, t = 0, 1, ..., п,-^множество всех точек
р = (je0:лсх:... :хп) пространства RP", для которых х{ Ф 0,
и пусть А,—отображение Ut—*Rn, переводящее точку
/} = (#0:#r....:xn) из U: в точку (tu .... tn) из R", для
которой
^=i, если
A5) ta = { * a-1, ...,n.
^, если а> i,
Ясно, что отображение А,- биективно, так что пара (Vt, hi),
i = 0, 1, ..., п, является картой в RP".
Для любых индексов i и \Ф i пересечение ?/; n Uj
состоит из точек р — (х9:хг:... :хп), для которых х^Ь
н Х]Ф§, а множества А/(^//П^/) и Ау(^,П ^//) состоят
(при / > t) из точек f = (flf ..., ttl) из R", для которых
соответственно tj-фЪ и <;+1^=0. Ясно, что эти множества
открыты.
Поскольку отображение ht действует по формулам A5),
а отображение hj—по аналогичным формулам, получаю-
получающимся заменой i на /, отображение перехода AyoAf1 про-
произвольную точку (tu .... tri)€hj(Ui[)Uj) переводит
в точку (t[, .... t'n)€hj(Ui()Uj), для которой
( tn
—, если a^-i или а>/,
-г- , если а = i -|- 1, а = 1, ..., п,
\ -j-^> если i+ I <a^s/\
и, значит, является диффеоморфизмом.
Этим доказано, что любые две из карт (U;, А;) и (Uj, hj)
согласованы и, следовательно, эти карты определяют на
RP' гладкую структуру.
Заметим, что во всех примерах (кроме, естественно, при-
примеров 4, 5, 7) получились вещественно аналитические
многообразия (класса Си).

Лекция 7
Топология гладкого многообразия. — Открытые подмного-
подмногообразия.—Окрестности и внутренние точки. —Гомеомор-
—Гомеоморфизмы.—Первая аксиома счетности и локальная евклидо-
вость.—Вторая аксиома счетности—Нехаусдорфовы много-
многообразия.—Гладкости на топологическом пространстве.—
Топологические многообразия. —Нульмерные многообра-
многообразия.—Категория ТОР. —Категория DIFF. —Перенесе-
—Перенесение гладкости.
Пусть ^—произвольное гладкое (или топологическое)
многообразие.
Определение 1. Подмножество OaSP называется
открытым (в &), если для любой карты (?/, К) много-
многообразия SV множество /i(On^)c:Rn открыто (в R").
При #" = R" это определение дает, как легко видеть,
обычные открытые множества в R".
Открытые множества в пространстве #" = R" (а также
в любом метрическом пространстве SV) обладают, как мы
знаем из курса анализа, следующими тремя свойствами:
1° пустое множество 0 и все пространство 2? открыты,
2° объединение произвольного семейства открытых
множеств открыто,
3° пересечение произвольного конечного семейства
открытых множеств открыто.
Так как
U h @а П U) = h (( U С
а \ \ а
=ft п оа\г\ и
для любой карты (U, К) и любого семейства {0а} под-
подмножеств многообразия SC, то этими же свойствами обла-
обладают и открытые множества в SV.
Определение 2. Множество Т подмножеств множе-
множества ^называется топологией (или топологической струк-
структурой) на Я", а множества из Т—открытыми множе-
множествами, если эти множества обладают свойствами Iе—3°.
Множество 2V вместе с заданной на нем топологией Т
(т. е. собственно говоря, -пара {№, Т)) называется
топологическим пространством.

ТОПОЛОГИЯ ГЛАДКОГО МНОГООБРАЗИЯ 113
Таким образом, мы можем сказать, что определение 1
вводит в каждое многообразие некоторую топологию или,
иначе говоря, что в силу этого определения каждое мно-
многообразие является топологическим пространством. В этом
смысле топология на 2? является структурой, производной
от гладкости на SC.
Зта ситуация вполне аналогична ситуации для метри-
метрических пространств, топология которых является структу-
структурой, производной от метрики.
В дальнейшем, говоря о топологии на гладком (или
топологическом) многообразии, мы всегда будем иметь
в виду топологию, вводимую определением 1.
Согласно определению 1, для того чтобы проверить
открыто или нет данное подмножество 0с#', необходимо
рассмотреть множества h(Of\U) для всех карт (U, К)
многообразия SC. Конечно, на практике это невозможно,
и возникает вопрос, нельзя ли эти карты как-то ограни-
ограничить. Оказывается, что вполне достаточно лишь карт
одного произвольного атласа и, более того, лишь карт,
покрывающих множество О. Именно, справедливо следую-
следующее предложение:
Предложение 1. Пусть {(Ua, ha)}—такое семейство
карт многообразия SC', что
Ос U Ua.
а
Тогда, для того чтобы множество О было открыто в Я",
достаточно, чтобы для любого а множество ha (О П Ua)
было открыто в R".
Доказательство. Нужно доказать, что если мно-
множество О удовлетворяет условиям этого предложения, то
для любой карты (?/, h) многообразия SC множество
h(Of\U) открыто в R", т. е. — в случае, когда это мно-
множество непусто, — любая его точка х является внутрен-
внутренней. Имея это в виду, рассмотрим в многообразии SC
точку p — h~x(x).
Так как х?п(ОГ\ U), то р? Of) У и, в частности, р ? О.
Поэтому существует такое а, что p?Ua-
В силу согласованности карт (?/„, ha) и (?/, h) мно-
множества ha(Uar\U) и h{Uaf)U) открыты в R". Кроме
того, по условию множество ha (О П Уа) также открыто.
11оэтому открыто и множество
ha (О П Ua П U) = К (О n Ua) n К (Ua n U).

114
ОТКРЫТЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
С другой стороны, гомеоморфизм
hoh?: ha{Uaf]U)
переводит это множество в множество h(Of] Ua{] [/), ко-
которое, следовательно, также открыто. Поскольку
это доказывает, что точка х является внутренней точкой
множества h (О П U). ?
ЩШ 0ГШаЛ?/, f\t(OuUaUU),
UJ\O,
UaUU, ha(ua[\U),
Следствие 1. Для любой карты (?/, h) многообра-
многообразия SC подмножество Vс: U тогда и только тогда откры-
открыто в &, когда мноокество h(V) открыто в R.".
В частности, само множество U открыто в 3". ?
Для любого открытого подмножества О произвольного
(класса Сг) многообразия & все карты (?/, h), для кото-
которых UcO, составляют, очевидно, атлас на О (см. при-
пример 2 предыдущей лекции). Этот атлас максимален, т. е.
является гладкостью на О (того же класса Сг). Об этой
гладкости говорят, что она индуцирована гладкостью мно-
многообразия SC, а множество О с этой гладкостью называют
открытым подмногообразием многообразия Я". По опре-
определению dim О = dim J2\
В дальнейшем каждое открытое множество О произ-
произвольного многообразия SC мы всегда будем рассматривать
как многообразие с индуцированной гладкостью.
Заметим, что каждый атлас А={(?/а, па)} многообра-
многообразия & определяет атлас О П А многообразия О, состоя-

ОКРЕСТНОСТИ И ВНУТРЕННИЕ ТОЧКИ 115
щий из карт (Or\Ua, ha\onu )¦ Таким образом, чтобы
получить индуцированную гладкость на О, нет нужды
рассматривать все карты на 2?', достаточно лишь карт
одного атласа.
Из свойства 2е открытых множеств непосредственно
следует, что для любого подмножества А топологического
пространства SC существует наибольшее открытое множе-
множество (возможно, пустое), содержащееся в А (им будет
объединение всех содержащихся в А открытых множеств).
Это открытое множество обозначается символом Int А (или
Л) и называется внутренностью множества А. Его точки
называются внутренними точками множества А.
Ясно, что множество А тогда и только тогда отк-
открыто, когда Int A = А, т. е. когда все его точки внут-
внутренние.
Для любой точки (или, более общо, для любого под-
подмножества) топологического пространства X каждое со-
содержащее эту точку (это подмножество) открытое множе-
множество называется окрестностью этой точки (этого подмно-
подмножества). По определению точка тогда и только тогда
является внутренней точкой подмножества А, когда в А
содержится некоторая окрестность этой точки.
Таким образом, при & = R" введенное понятие внут-
внутренней точки совпадает с понятием, известным из курса
анализа.
Для любой карты (U, h) произвольного многообразия
¦Т множество U (носитель карты) является окрестностью
каждой точки p?U. На этом основании носители карт
многообразия к" называются также координатными окре-
окрестностями.
Ясно, что любая окрестность V точки /???/, содержа-
содержащаяся в координатной окрестности U, также будет коор-
координатной окрестностью (с координатным отображением
li\v). Следовательно, любая окрестность О точки р со-
содержит некоторую координатную окрестность (такой
окрестностью будет, например, пересечение 0{]U)-
Множество окрестностей точки р топологического про-
пространства X называется базой окрестностей (или фунда-
фундаментальной системой окрестностей), если любая окрест-
окрестность точки р содержит окрестность из этого множества.
A1аглядно говоря, база должна содержать сколь угодно
малые окрестности.)

116 ГОМЕОМОРФИЗМЫ, ПЕРВАЯ АКСИОМА СЧЕТНОСТИ
В этой терминологии доказанное утверждение озна-
означает, что координатные окрестности каждой точки произ-
произвольного многообразия образуют базу ее окрестностей.
Отображение /: SC—+4} топологических пространств
называется гомеоморфизмом,-, если оно биективно и множест-
множество ОсX тогда и только тогда открыто в &, когда мно-
множество /Оси/ открыто в 2/. Таким образом, гомеоморфизм—
это биективное отображение, устанавливающее взаимно
однозначное соответствие топологий.
Пространства SC и ЧУ называются гомеоморфными, если
существует хотя бы один гомеоморфизм SC—т1*). Ясно,
что топологические свойства (т. е. свойства,
формулируемые исключительно в терминах открытых
множеств) гомеоморфных пространств одинаковы. Таким
образом, с точки зрения топологических свойств гомео-
морфные пространства неразличимы.
Примером топологического свойства является свойство
топологического пространства SV иметь в любой своей
точке р счетную базу окрестностей. О таких пространст-
пространствах говорят, что они удовлетворяют первой аксиоме счет-
ности (или что они являются пространствами счетного
локального веса).
Легко видеть, что любое метрическое пространство 3?
удовлетворяет первой аксиоме счетности (для любой его
точки открытые шары с центром в этой точке, радиусы
которых являются рациональными числами, составляют
счетную базу ее окрестностей). В частности, первой аксио-
аксиоме счетности удовлетворяет пространство R".
Каждое подмножество А топологического пространства
X обладает топологией (называемой индуцированной то-
топологией), открытыми множествами которой являются
пересечения О П А с А открытых множеств О пространства
ЗИ. Снабженное этой топологией подмножество А назы-
называется подпространством пространства &.
Ясно, что любое подпространство пространства, удов-
удовлетворяющего первой аксиоме счетности, также удовлет-
удовлетворяет этой аксиоме. Поэтому, в частности, любое под-
подпространство пространства R" удовлетворяет первой
аксиоме счетности.
Семейство {Ua\ открытых множеств топологического
пространства 3S называется его открытым покрытием,
если любая точка этого пространства принадлежит хотя

ВТОРАЯ АКСИОМА СЧЕТНОСТИ Ц7
бi,i одному элементу этого семейства, т. е. если
U Ua^&.
а
Например, носители Ua карт (Ua, ha) произвольного
атласа многообразия SC составляют открытое покрытие
этого многообразия.
Пространство SC называется локально евклидовым, если
оно обладает открытым покрытием {Ua\, каждый элемент
Ua которого гомеоморфен некоторому открытому мно-
множеству пространства R" (и, значит, удовлетворяет первой
аксиоме счетности).
Но ясно, что если топологическое пространство 9С
обладает открытым покрытием {?/„}, все элементы [/„ко-
[/„которого удовлетворяют (в индуцированной топологии) пер-
первой аксиоме счетности, то само пространство X также
удовлетворяет первой аксиоме счетности. (Зтот факт вы-
выражают, говоря, что свойство удовлетворять первой аксио-
аксиоме счетности является локальным свойством.) Поэтому
каждое локально евклидово пространство удовлетворяет
первой аксиоме счетности.
С другой стороны, из следствия 1 непосредственно
вытекает, что для любой карты (U, К) произвольного мно-
многообразия % отображение h: U ¦—>¦ h (U) является гомео-
гомеоморфизмом (причем множество h(V) открыто в R").
| На этом основании координатные отображения h, рас-
рассматриваемые как отображения на h(U), называются
обычно координатными гомеоморфизмами.}
Следовательно, поскольку координатные окрестности
составляют открытое покрытие многообразия % (этим
свойством обладают даже координатные окрестности,
являющиеся областями определения карт некоторого
атласа), любое многообразие является локально евклидовым
пространством и потому удовлетворяет первой аксиоме
счетности.
Множество Si открытых множеств топологического про-
пространства называется его базой (или — более распростра-
распространенно—базой открытых множеств), если каждое откры-
открытое множество этого пространства является объединением
множеств из ей. О пространствах, обладающих счетной
''hvmhi (т. е. базой, содержащей счетное число открытых
множеств), говорят, что они удовлетворяют второй аксио-
аксиоме счетности (а также, что они являются пространства-
пространствами счетного веса).

118 НЕХАУСДОРФОВЫ МНОГООБРАЗИЯ
Ясно, что любое пространство, удовлетворяющее вто-
второй аксиоме счетности, удовлетворяет и первой аксиоме
счетности, но обратное, вообще говоря, неверно.
В этой терминологии лемма 2 лекции 1 утверждает
(применительно к пространству R"), что все открытые ра-
рациональные шары пространства R", т. е. шары, радиусы
которых рациональны, а центры имеют рациональные
координаты, составляют базу этого пространства. Таким
образом, пространство R" удовлетворяет второй аксиоме
счетности.
Тем не менее существуют многообразия, не удовлет-
удовлетворяющие второй аксиоме счетности (так что в этом от-
отношении вторая аксиома счетности резко контрастирует
с первой). Простейшим примером является дизъюнктное
объединение несчетного семейства пространств R". (Более
интересный пример мы приведем в лекции 11.)
Очень часто, вводя в множество SC топологию, ука-
указывают явно лишь некоторую ее базу. Очевидно при
этом, что множество «В подмножеств множества 2? тогда
и только тогда может служить базой открытых множеств
некоторой топологии на Ж', когда пересечение любых двух
множеств из «В является объединением множеств из «В.
В частности, базой некоторой топологии может слу-
служить любое множество подмножеств, замкнутое относи-
относительно пересечений.
Топологическое пространство $" называется хаусдор-
фовым (или отделимым), если любые две его точки ряс/
обладают непересекающимися окрестностями.
Ясно, что любое метрическое пространство хаусдор-
фово и, значит, в частности, хаусдорфово пространство IR".
Тем не менее существуют гладкие нехаусдорфовы много-
многообразия.
Пример 1. Пусть ^ = (R\{0})U{p0, q0], где р0,
<7<,—некоторые элементы (не принадлежащие R\{0}), и
пусть
[/
Определим биективные отображения
ft: U-+R, k: V->R
формулами
\ Рх если p€
\ 0, если р =

ГЛАДКОСТИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ 119
для любого р ^ U и
I q, если cf€R\{0},
W~\ 0, если q = q0
для любого q?U.
Ясно, что карты (U, К) и (V, к) составляют атлас, и,
значит, определяют на % структуру гладкого многооб-
многообразия (класса См). В топологии этого многообразия любые
две окрестности точек р„ и q0 пересекаются, и, значит,
эта топология не хаусдорфова.
Построенное гладкое многообразие X называется раз-
раздвоенной в нуле прямой (а также нехаусдорфовой прямой
с особой точкой О кратности 2).
Аналогичным образом определяется нехаусдорфова пря-
прямая с особой точкой О кратности п, где п — произволь-
произвольное целое число ^ 2.
Очень часто структуру гладкого многообразия при-
приходится вводить на множестве SC', на котором уже есть
топология, т. е. которое является топологическим про-
пространством.
В этом случае всегда молчаливо предполагается, что
эта структура должна определять на SC данную тополо-
топологию, т. е., как обычно говорят, должна быть согласована
с этой топологией.
Для этого, конечно, необходимо, чтобы атлас, задаю-
задающий на SC обладающую этим свойством гладкую струк-
структуру, состоял из карт (U, К), носители U которых отк-
открыты, а отображения h: U—>h(U) являются гомеоморфиз-
гомеоморфизмами. Оказывается, что это условие и достаточно.
Предложение 2. Пусть А= {(Ua, ha)} —такой атлас
на топологическом пространстве %, что для любого а
множество Ua открыто в SC и отображение ha: Ua—>-
>ha(Ua) является гомеоморфизмом. Тогда гладкость,
определяемая атласом А, согласована с топологией прост-
пространства SC.
Доказательство. Согласно предложению 1 мно-
множество OaSV тогда и только тогда открыто в топологии
Т*, задаваемой гладкостью, определяемой атласом А,
когда для любого а множество па (О П Ua) открыто (в R",
а потому и в ha(Ua)), т. е., поскольку отображения па
являются гомеоморфизмами, когда множество О поотк-
пооткрыто (в Ua, а потому—в силу того, что Ua открыто в
Л1, —и в SC).

120 I ЛЛДКОСТИ НЛ ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
С другой стороны, если множество Ос?? открыто и
3\ то, — поскольку Ua открыто в &',—множество OftU,,
также открыто в Ж, а если все множества О Г) Ua откры-
открыты в SC, то ввиду равенства
A) O=U(Oflf/«)
а
множество О открыто в SC. Следовательно, множества,
открытые в топологии Та, — это в точности множества,
открытые в топологии пространства SC'. П
Замечание 1. Для прояснения изложенного дока-
доказательства стоит заметить, что фактически оно сводится
к двум тривиальным замечаниям. Первое состоит в том,
что топология каждого множества Ua определяется иск-
исключительно данным отображением ha (множество OcUa
тогда и только тогда открыто в Ua, когда множество
ha(O) открыто в R"), а второе—в том, что для любого
топологического пространства SC и любого его открытого
покрытия {Ua\ топология пространства SV однозначно оп-
определяется (посредством равенства A)) топологиями эле-
элементов Ua этого покрытия.
Замечание 2. В силу предложения 2 гладкое мно-
многообразие может быть определено как топологическое
пространство 3', на котором задан атлас, носители Ua
карт (Ua, ha) которого открыты, а координатные отобра-
отображения ha являются гомеоморфизмами. При этом требова-
требование, чтобы для любых аир множества ha (Ua n U$) и
/*р(^аП?/р) были открыты в R, будет автоматически вы-
выполнено. Именно это определение обычно и встречается
в литературе (иногда в несколько ином словесном оформ-
оформлении), несмотря на его очевидную методологическую
дефектность (аналогичное определение метрических прост-
пространств— в котором эта дефектность проявляется наиболее
ярко—гласило бы, что метрическим пространством назы-
называется топологическое пространство 3", для которого за-
задана непрерывная функция р: SCY.SV—* R, удовлетворяю-
удовлетворяющая обычным аксиомам метрического пространства).
В примерах предыдущей лекции мы как раз и вво-
вводили гладкости в множества (Rn, S" и RPn), уже являю-
являющиеся топологическими (и даже метрическими) простран-
пространствами. [За расстояние между точками сферы §" прини-
принимается угол между радиус-векторами, а за расстояние
между точками пространства RP" — угол между ними, как
прямыми в пространстве R"+1. В обоих случаях—про-

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 121
верьте это! — аксиомы метрических пространств выполне-
выполнены.]
Задача 1. Докажите, что введенные в примерах 1—8 лекции
О пи пространствах R", S" и RP" гладкости согласованы с тополо-
топологиями этих пространств.
Замечание 3. Пример 3 лекции 6 показывает, что
на топологическом пространстве возможны различные
гладкости (класса Сш), согласованные с его топологией.
При г = 0, т. е. для топологических многообразий,
ситуация оказывается совсем другой.
Пусть %—топологическое многообразие размерности
п, и пусть (U, h) — некоторая карта в SC. По определе-
определению это означает, что U'ci1', a h является биективным
отображением вида U—>-h(U), где h(U) — открытое мно-
множество в R". При этом, как уже неоднократно отмеча-
отмечалось, если (U, к) является картой многообразия %, то U
открыто в SC и h: U—+h(U) является гомеоморфизмом.
Оказывается, что при г = 0 верно и обратное.
Предложение 3. Карта (U, h) в топологическом
многообразии SC', для которой U открыто в %, а отоб-
отображение h: U—*-h{U) представляет собой гомеоморфизм,
является картой многообразия X (принадлежит его
максимальному атласу АМакс).
Для доказательства этого предложения мы восполь-
воспользуемся следующей леммой:
Лемма 1. Если для карт (U, п) и (V, k) в тополо-
топологическом пространстве SC множества U и V открыты в
.?', а отображения h: U—>h(U) и k: V-> h (V) являются
гомеоморфизмами, то эти карты согласованы (в классе С0).
Предложение 3 является непосредственным следствием
леммы 1, поскольку, согласно этой лемме, карта (U, К)
из предложения 3 согласована с каждой картой (V, k)
максимального атласа Амакс многообразия SC и, значит,
и нем содержится. Поэтому нам нужно лишь доказать
лемму 1.
Доказательство леммы 1. Пересечение U[\V
открыто в SC (а значит, и в U). Следовательно, посколь-
поскольку отображения h и k являются гомеоморфизмами, мно-
множества h (U П V) и k (U П V) открыты (соответственно в
h(U) и h(V), а значит, и в R").
Кроме того, так как отображения
ti\unv:UnV-+h(Uf]V) и k\Unv- Uf]V~*-k(Uf]V)

122 НУЛЬМЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
являются, очевидно, гомеоморфизмами,то их композиция
Ы1: k(U{]V)-*h{Uf)V)
также будет гомеоморфизмом. Таким образом, карты (U, h)
и (V, k) согласованы. D
Предложение 3 означает, что при г = 0 карты много-
многообразия SC характеризуются чисто топологически, т. е.
что структура топологического многообразия на топо-
топологическом пространстве SC (когда она существует) опре-
определяется единственным образом. Иными словами, струк-
структура топологического многообразия на топологическом
пространстве ?С не вносит в это пространство ничего но-
нового и класс топологических многообразий—это просто
некоторый подкласс класса всех топологических прост-
пространств.
Чтобы узнать, является ли данное топологическое
пространство SV топологическим я-мерным многообразием,
надо рассмотреть всевозможные открытые подмножества
Uc3?, гомеоморфные открытым подмножествам простран-
пространства R". Пространство ЗС тогда и только тогда будет
многообразием, когда все карты вида (U, К), где h: U~>
—+h(U) — некоторый гомеоморфизм (a h{U)—открытое
множество в R"), составляют атлас, т. е. — поскольку
согласно лемме 1 две такие карты согласованы, — когда
множества U составляют открытое покрытие пространства
Ж'. Это доказывает, что топологические многообразия —
это в точности локально евклидовы пространства.
Замечание 4. Существуют локально евклидовы
пространства (= топологические многообразия), в которых
нельзя ввести структуру гладкого (класса Сг с г > 0)
многообразия. (Такие многообразия называются несгла-
живаемыми.) Условия, необходимые и достаточные для
существования на топологическом многообразии гладкости,
согласованной с его топологией, известны, но весьма
сложны.
В дальнейшем, если только явно не оговорено против-
противное, топологические многообразия мы из рассмотрения
будем исключать.
Как уже сказано в лекции 6, случай л = 0 мы, вообще
говоря, не исключаем. Однако на самом деле он мало
интересен.
Действительно, при fi = 0 пространство R" состоит
только из одной точки 0, и, значит, в нульмерном мно-

КАТЕГОРИЯ,. TOP 123
гообразии Ж каждая точка имеет только одну коорди-
координатную окрестность, состоящую из самой этой точки.
Таким образом, в нульмерном многообразии % каждая
точка (а потому и любое его подмножество) является
открытым множеством. Обладающее этим свойством топо-
топологическое пространство называется дискретным. Посколь-
Поскольку любое дискретное пространство обладает, очевидно,
единственной структурой нульмерного многообразия (в ко-
которой каждая его точка является носителем карты), мы
видим, следовательно, что нульмерные многообразия—это
в точности дискретные пространства.
Заметим, что карты нульмерного многообразия не
пересекаются. Поэтому мы имеем право приписать такому
многообразию произвольный класс Сг.
Каждое нульмерное многообразие (=дискретное прост-
пространство) SC метризуемо посредством метрики, в которой
расстояние между двумя любыми различными точками
равно единице. Это оправдывает наглядное представление
об SV как о множестве, рассыпанном на отдельные изо-
изолированные точки.
В дальнейшем случай я = 0 мы будем, как правило,
п.'. рассмотрения исключать.
Отображение /: SC —>¦*& топологических пространств
называется непрерывным в точке p$.SC, если для любой
окрестности V точки 1(р)в й/ существует такая окрест-
окрестность U точки р в SC, что f (U)cV (сравните с (е, б)-оп-
ределением непрерывной функции).
Отображение /: %~><&, непрерывное в каждой точке
/> 6 ¦#'» называется непрерывным на ?С.
Легко видеть, что отображение f: S"—*& тогда и
только тогда непрерывно на SC, когда для каждого от-
открытого множества 0 с й/ его полный прообраз f~l0 —
'- {/> € •#"; f (P) € 0} открыт в SC. Действительно, если
отображение / непрерывно, то для любой точки р€/-10
существует—поскольку О является окрестностью точки
f (р)—такая ее окрестность U в SC, что fUczO. Но тогда
Uczf~1O и, значит, точка р является внутренней точкой
множества /~]0. Следовательно, множество /"'О открыто.
Обратно, если для любого открытого множества О с tV мно-
множество 1'10аХ открыто, то, в частности, для любой точки
/»^ 9? и любой окрестности V точки /(/;) в 2/ множество
U ¦= f~lV (содержащее точку р) открыто (т. е. является

124 КАТЕГОРИЯ DIFF
окрестностью точки р). Так как fUcV, то, следовательно,
отображение / непрерывно в точке p. U
Отсюда следует, что гомеоморфизмы /: ?С—«-2/—эпи>
в точности непрерывные биективные отображения, для
которых обратное отображение f'1: &—>SC также не-
непрерывно.
Инъективное непрерывное отображение /: X—>?/,
являющееся гомеоморфизмом на подпространство fX с 2/,
называется монеоморфизмом (ср. лекцию 1).
Заметим, что если множество О с X открыто в 51, и
отображение f: 3?—+У непрерывно, то, вообще говоря,
множество /О может не быть открытым в 2/. Например,
так заведомо будет, если подмножество \% пространства
8/ не имеет ни одной внутренней точки. (Конкретный
пример: & = R, 2/ — R2 и /—вложение х*-*(х, 0).)
Непрерывные отображения f: Х—^'Ц, обладающие тем
свойством, что для любого открытого в X множества О
множество {О с & открыто в й/ называются открытыми.
Задача 2. Покажите, что:
а) Для каждого топологического пространства X тож-
тождественное отображение id: SC—>%, р*—*-р, непрерывно.
б) Для любых двух непрерывных отображений вида
/: •Ж"--^!/ ч g: <&—+% их композиция
go/: %-+%, p
также является непрерывным отображением.
Свойства а и б означают, что совокупность ТОР всех
топологических пространств и всех их непрерывных отоб-
отображений составляет категорию.
Если SC и 2/ — гладкие многообразия (размерностей п
и т соответственно), то для любой точки ра?&, любого
непрерывного отображения f: X—<-3/ и любой коорди-
координатной окрестности V точки f(p) в 2/ окрестность U точки
р0 в Ж, для которой fU с V, мы также можем считать
координатной. Поэтому, если
h: U -* h (U) с R" и k: V—> k (V) с: Rm
— координатные отображения, то формула
будет определять некоторое отображение
B) /: h(U)-+k{V)

КАТЕГОРИЯ DIFF 125
открытого множества h(U) пространства R" в открытое
множество k(V) пространства (Rm. Зто отображение за-
задастся т функциями
C) У^~Р(х1> •••> х")> /=1> ¦¦-, т,
от л переменных, выражающих координаты у1, ..., ут
точки .у — f(x) ?k (V) с Rm через координаты х1, ..., хп
точки л: ? ^ (^0 с R" (т. е., иными словами, локальные
координаты точки q = f(p)?V через локальные координа-
координаты точки р^И). Мы будем говорить, что функции C) вы-
выражают (или задают) отображение f в картах (U, К) и
(V, k) (в локальных координатах хх, . . ., х" и у1, . . ., ут).
Задача 3. Докажите, что если ((/', h') и (V, k') —
другие карты, обладающие тем свойством, что po^.W и
){)' с V, то функции./'', выражающие отображение / в
картах {II', h) и (V, k') тогда и только тогда гладки в
точке Н' (р0), когда функции C) гладки в точке h(pn).
В этом смысле свойство гладкости функций C) не
зависит от выбора карт (U, К) и (V, k).
Определение 3. Непрерывное отображение f: &—><&
называется гладким в точке р0 g Ж', если в некоторых
(а потому и во всех) картах (U, К) и (V, k), обладающих
тем свойством, что po^.U и fUcV, функции C), выра-
выражающие отображение /, являются в точке h (/?„) гладкими
функциями (данного класса Сг).
Отображение /: ??—+'&, гладкое во всех точках р? ??,
называется гладким.
Задача 4. Докажите, что:
а) Для каждого гладкого многообразия SC тождествен-
тождественное отображение id: S?—>¦% гладко.
б) Для любых двух гладких отображений вида /: % —»2/
и g: <&—>¦% их композиция
gof; SC—>-Ш, p>—>g(f(p)).
является гладким отображением.
По определению это означает, что совокупность DIFF
всех гладких многообразий и всех их гладких отображе-
отображений является категорией.
Определение 4. Отображение /: SC —>?/ гладких
многообразий назыгается диффеоморфизмом, если
Iе оно биективно,
2е гладко,
3° обратное отображение f~l: ty—+3? гладко (и, зна-
значит, тоже является диффеоморфизмом).

126 ПЕРЕНЕСЕНИЕ ГЛАДКОСТИ
Очевидным примером диффеоморфизма является про-
произвольное координатное отображение h: U—>h(U). (Во-
(Вопрос: что за функции C) задают это отображение?)
Обратно, легко видеть, что для любого открытого
множества U гладкого многообразия SC и любого его диф-
диффеоморфизма h: U—>h{U) на открытое множество
h(U)c:k.n пара (U, h) является картой многообразия SC
(принадлежит его максимальному атласу). Действительно,
утверждение, что (U, К) принадлежит максимальному
атласу, означает, что для любой карты (V, k) этого атласа
карта (U, h) согласована с картой (V, k), т. е. множества
h (У п V) и k (U П V) открыты в R" (или, что равносильно,—
в А ((У) и k(V)), а отображение fe о /г1: h(U n V) — k(U n V)
являегся диффеоморфизмом. Но первое свойство сле-
следует из того, что множество И [\V открыто в V и в U,
а отображения h и k являются гомеоморфизмами, а вто-
второе— из того, что оба эти отображения (или, точнее, их
ограничения на V [\V) являются диффеоморфизмами (ср.
выше доказательство предложения 3 и леммы 1). ?
Многообразия J и 3/ называются диффеоморфными,
если существует хотя бы один диффеоморфизм &—>'&.
Такие многообразия имеют одни и те же дифферен-
дифференциальные свойства (свойства, выражающиеся в тер-
терминах гладкостей) и в этом смысле одинаковы. В частно-
частности, dim ?C = dim 2/.
Задача 5. Докажите, что гладкие многообразия, получающиеся
из прямой R введением стандартной гладкости и гладкости из при-
примера 3 лекции 6, диффеоморфны.
Замечание 5. Можно показать — попытайтесь это
сделать!—что любое одномерное некомпактное гладкое
многообразие, удовлетворяющее второй аксиоме счетности,
диффеоморфно прямой R в стандартной гладкости (а ком-
компактное—окружности S1). Любопытно, что при п = 4
(и только при п = 4) на R" существуют гладкости (строя-
(строящиеся очень сложно), согласованные с топологией на R",
относительно которых R" не диффеоморфно R" в стандарт-
стандартной гладкости.
Пусть % — некоторое множество, &—гладкое много-
многообразие и /: SC—* 2/ — биективное отображение. Тогда на
ЗС существует единственная гладкость, по отношению
к которой f является диффеоморфизмом. Картами этой
гладкости являются возможные ¦ пары вида (f~1U, hof),

ПЕРЕНЕСЕНИЕ ГЛАДКОСТИ 127
где (U, h) — произвольная карта многообразия 2/. Об этой
гладкости говорят, что она перенесена на Ж с "У посред-
посредством /.
Ясно, что гладкости, перенесенные на SC с 2/ посред-
посредством биективных отображений /: ??—<-2/ и g: % — >Й/,
тогда и только тогда совпадают, когда отображение
g о f'1: ЧУ—«-И/ является диффеоморфизмом.

Лекция 8
Топологическая инвариантность размерности многообра-
многообразий.— Размерность по покрытиям.— Компактные про-
пространства.— Лемма Лебега.— Оценка сверху размерности
компактных подмножеств пространства R".— Свойство
монотонности размерности.— Замкнутые множества.—
Монотонность размерности по замкнутым множествам.—
Прямое произведение топологических пространств.—
Компактность прямого произведения компактных про-
пространств.
Сделанное в предыдущей лекции заключение о том,
что структура топологического многообразия на тополо-
топологическом пространстве ?? не вносит в это пространство
ничего нового, на самом деле было несколько поспешным,
поскольку априори не исключено, что одно и то же про-
пространство % может обладать такими открытыми покры-
покрытиями {?/„} и {Vp}, что каждое множество Ua гомеоморф-
но некоторому открытому множеству Ua пространства R",
а каждое множество Ур — некоторому открытому множе-
множеству Ур пространства Rm, где пфт, и, значит, па
пространстве % будут существовать две различные струк-
структуры топологического многообразия, в одной из которых SC
является n-мерным, а в другой m-мерным многообразием.
Вопрос: может так случиться или нет—равносилен, оче-
очевидно, вопросу: является ли размерность топологическим
инвариантом, т. е. обязательно ли гомеоморфные много-
многообразия имеют одинаковую размерность.
Пусть такие покрытия {Ua} и {Ур} существуют. Вы-
Выбрав два множества Uat и Ур„, обладающие тем свойством,
что множество W — Uao n Vp,, не пусто (ясно, что это всегда
можно сделать), рассмотрим в пространстве R" множество
О], являющееся образом множества W при гомеоморфизме
Uao —> 0аа, а в пространстве Rm множество О2, являю-
являющееся образом множества W при гомеоморфизме Vp0 —> Ур„.
Множества О] и О2 открыты (в пространствах R" и R'"
соответственно) и гомеоморфны. Обратно, если такие мно-
множества существуют, то они составляют пример гомеоморф-
ных многообразий различных размерностей.
Таким образом, наш вопрос сводится к тому, могут
ли быть гомеоморфны открытые множества в простран-
пространствах R" и R'" с пфт. Мы покажем, что ответ на этот

ИНВАРИАНТНОСТЬ РАЗМЕРНОСТИ МНОГООБРАЗИЙ 129
вопрос отрицателен и, значит, справедлива следующая
теорема о топологической инвариантности
размерности многообразий, полностью снимаю-
снимающая все сомнения:
Теорема 1. Гомеоморфные многообразия имеют одну
и ту же размерность.
Чтобы доказать теорему 1, мы для любого топологи-
топологического пространства X определим целое число dim ЭГ,
которое будем называть его размерностью. По определе-
определению это число топологически инвариантно, т. е. одно и
то же для любых гомеоморфных пространств. Кроме того,
мы докажем, что для любого замкнутого ограниченного
(компактного; см. ниже) множества FcR" имеет место
неравенство
A) dimF</7,
причем в случае, когда F является кубом /" простран-
пространства R", состоящим из точек t — {tx, ..., tn), для которых
| i'|< 1 при всех ; = 1, ..., п, это неравенство переходит
в равенство:
B) dim/" = n.
Этого уже достаточно для доказательства теоремы 1.
Действительно, пусть Ot и О2 —гомеоморфные откры-
открытые множества пространств R" и Rm соответственно. По-
Поскольку множество Ох открыто, оно содержит замкнутое
и ограниченное подмножество Flt гомеоморфное кубу /¦'.
Пусть F2 — образ этого подмножества при гомеоморфизме
О1 —>¦ О2. ПодмножествоТ2 пространства Rm также замкнуто
и ограничено (докажите!). Поэтому, согласно формуле A),
dimF2</n. С другой стороны, так как функция dim
топологически инвариантна, то dim F2 — dim F1==dim In—п.
Следовательно, п^т. Так как множества Ох и О2 играют
и этом рассуждении симметричные роли, то, переставив
их, мы аналогично получим, что т^п. Следовательно,
а =т, что и доказывает теорему 1.11
За'мечание 1. Следует иметь в виду, что для мно-
многообразия X (даже гладкого) число dim.f может быть
отлично от его размерности в смысле определения 5 лек-
лекции 6 (см. ниже пример 4). Временно (только в этой лек-
лекции!) мы будем размерность многообразия X в смысле
определения 5 лекции 6 обозначать символом dim' X.
Ниже (см. замечание 3) мы дадим этому числу топологи-
5 М. М. Постников, сем. Ill

130 РАЗМЕРНОСТЬ ПО ПОКРЫТИЯМ
ческую характеристику (и тем самым еще раз докажем
теорему 1).
Функцию dim мы введем посредством следующей серии
определений:
Определение /. Говорят, что покрытие {Ua} про-
пространства SC вписано в покрытие {Vp}, если для любого а
существует такое {$, что i/acVp.
Определение 2. Говорят, что покрытие {(/„} про-
пространства SC имеет кратность ^ п + 1, если пересечение
любого (и -f 2)-членного подсемейства покрытия {иа} пусто.
Если покрытие {Ua} имеет кратность <. п + 1, но не имеет
кратности <!п (т. е. в нем существует (п+ 1)-членное
подсемейство с непустым пересечением), то говорят, что
покрытие {Ua} имеет кратность п -\-1.
Определение 3. Говорят, что dim W^Ln, если в любое
конечное открытое покрытие пространства % можно впи-
вписать конечное открытое покрытие кратности ^п -+-1. Если
dim^^rt, но неверно, что dim.V^re+l, то говорят,
что dim^" = n.
Пример 1. Дискретное пространство, очевидно,
нульмерно.
Пример 2. Множество всех рациональных чисел
(в топологии, индуцированной топологией вещественной
прямой) также нульмерно (в любое конечное открытое
покрытие этого множества можно вписать конечное покры-
покрытие, состоящее из непересекающихся интервалов и потому
имеющее кратность 1).
Пример 3. По аналогичным соображениям нуль-
нульмерно и множество всех иррациональных чисел.
Пример 4. Пусть 5Р — нехаусдорфова прямая с осо-
особой точкой 0 кратности /г+ 1, и пусть [Ua)—такое ко-
конечное открытое покрытие пространства №, что все п + 1
точек, на которые распалась точка 0, содержатся в раз-
различных элементах этого покрытия. Тогда кратность этого
покрытия, а также любого открытого покрытия, вписан-
вписанного в покрытие {Ua}, будет ~^п-\- 1. Это показывает,
что dim •#":>« (тогда как dim'^"=l).
Таким образом, для нехаусдорфовых многообразий
инвариант dim не отражает адекватно интуитивного пред-
представления о размерности.
Замечание 2. Имеет ли место для всех хаусдор-
фовых многообразий равенство dim SC — dim' X, неизвестно.
Можно показать, что dim^== dim' Я', если многообразие

КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 131
:t' паракомпактно (паракомпактные многообразия мы опре-
определим в лекции 23).
Пример 5. Наглядно очевидно, что в любое конеч-
конечное открытое покрытие отрезка /=[—-1, 1] можно впи-
вписать покрытие, состоящее из интервалов, лишь чуть-чуть
перекрывающихся их концами (и, следовательно, имеющее
кратность 2). Поэтому dim/^1. Поскольку равенство
dim/=0, очевидно, невозможно (отрезок / нельзя покрыть
конечным семейством непересекающихся интервалов длины
< 1), этим доказано, что dim/= 1 (см. формулу B)).
Задача 1. Обоснуйте строго изложенное рассуждение.
Пример 6. Покрыв квадрат 1г — {(х, г/)? R2, —1^
;^х^1, —l^f/^1} рядами кирпичей так, чтобы стыки
кирпичей каждого ряда приходились
на середины кирпичей соседних ря-
рядов, и чуть-чуть увеличив затем каж-
каждый кирпич, мы получим конечное
открытое покрытие квадрата крат-
кратности 3. Можно показать (см. ниже,
по мы рекомендуем читателю дока-
доказать это немедленно), что подобного
рода мостовую можно вписать в любое
конечное открытое покрытие квадрата. Поэтому dim/2 ^2.
(Обратное неравенство dim/2^2 доказывается, как мы
усидим, существенно сложнее.)
Наша ближайшая цель будет состоять в обобщении
изложенного в примере 6 построения на «-мерный куб
Для этого нам понадобится некоторая подготовительная
работа.
Определение 4. Топологическое пространство SC на-
называется компактным (в русской математической литера-
литературе также бикомпактным, а у Бурбаки — квазикомпакт-
квазикомпактным), если из любого его открытого покрытия {Ua} можно
выбрать конечное подпокрытие.
Легко видеть, что любое бесконечное подмножество
компактного пространства имеет предельную точку (каж-
(каждая окрестность которой содержит бесконечно много точек
подмножества). Действительно, в противном случае, каж-
каждая точка пространства имеет окрестность, содержащую
только конечное число точек подмножества. Эти окрест-

132 ЛЕММА ЛЕБЕГА
ности составляют открытое покрытие, обладающее тем
свойством, что никакое его конечное подсемейство не яв-
является покрытием (поскольку общее число точек подмно-
подмножества, содержащееся в элементах этого подсемейства,
конечно). Так как в компактном пространстве такое по-
покрытие существовать не может, то, следовательно, пре-
предельные точки существуют. Г]
Подмножество А топологического пространства назы-
называется компактным, если оно компактно в индуцирован-
индуцированной топологии (как подпространство).
Открытым покрытием в пространстве SC подпростран-
подпространства А называется такое семейство |^а} открытых множеств
пространства X, что
В этом случае пересечения А П Ua составляют открытое
покрытие А как топологического пространства (в индуци-
индуцированной топологии) и любое покрытие А может быть так
получено (хотя и не единственным способом). Поэтому
подпространство тогда и только тогда компактно, когда
из любого его открытого покрытия в SP может быть
выбрано конечное подпокрытие.
Известная из курса анализа теорема Гейне — Бо-
Боре л я утверждает, что любое замкнутое ограниченное под-
подпространство пространства R" компактно. В частности,
куб I" компактен.
Напомним, что диаметром подмножества К метриче-
метрического пространства SP называется число
d(K)= sup p(/j, q),
p, ?6K
где р—метрика на ЭС'.
Лемма I (лемма Лебега). Для произвольного
открытого покрытия {Ua} компактного метрического
пространства ?С существует такое положительное число
е > 0, что любое подмножество К пространства ЭС диа-
диаметра, меньшего чем е, содержится в некотором элементе
покрытия {Ua}.
Доказательство. Если такого числа е не сущест-
существует, то для любого п > 0 в % найдется подмножество К„
диаметра < \/п, не содержащееся ни в одном элементе
покрытия {^а}- Произвольно выбрав в Кп точку рп, рас-
рассмотрим множество {р,,}. Так как X компактно, то это

ОЦЕНКА СВЕРХУ РАЗМЕРНОСТИ 133
множество имеет хотя бы одну предельную точку р0. Пусть
Ло€^ао» и пусть d—расстояние от р0 до %'\Uaii (т. е.
d = mip{p0, р), где p€&\Ua). Если п>2/йя р(р0, р„)<
<d/2, то
для любой точки р?Кп, и, значит, вопреки предположе-
предположению, KncUaa. ?
Предусмотренное леммой Лебега число е > 0 называется
числом Лебега покрытия {Ua}-
Покрытие {Vp} метрического пространства Ж называется
г-покрытием, если d(Vp)<e для любого р.
Следствие 1. Если г—число Лебега покрытия {?/„},
то любое конечное открытое г-покрытие {V&} компакт-
компактного метрического пространства 5Р вписано в {Ua}. ?
Следствие 2. Для компактного метрического про-
пространства SC неравенство dim^^n имеет место тогда
и только тогда, когда для любого г > 0 существует ко-
конечное открытое г-покрытие пространства % кратности
Теперь мы уже можем обобщить пример 6 на любое п
(и на любое замкнутое ограниченное множество FcR").
Предложение 1. Для каждого замкнутого ограни-
ограниченного множества FcR" имеет место неравенство
Доказательство. Пусть N>Q. Индукцией по п
построим для любого п ^ 1 некоторое специальное покры-
покрытие пространства R", состоящее из замкнутых множеств,
которое мы будем называть мостовой ранга N. При этом
точки пространства R", п ^ 2, мы будем отождествлять
с парами (*, t), где t^R"'1 и t?R.
По определению мостовая ранга W прямой R состоит
из отрезков [(а— 1) / N, а / N], — оо < а < -!- оо.
Пусть мостовая ранга N пространства R", п ^2, уже
построена. За мостовую ранга N пространства R" мы при-
примем покрытие, которое состоит из всех множеств вида
Kx[(a—l)/N, a/N} =
где а—произвольное целое число, а К — при а нечетном —
элемент мостовой ранга N пространства R", а при а

134 СВОЙСТВО МОНОТОННОСТИ РАЗМЕРНОСТИ
четном—элемент мостовой ранга N пространства R",
сдвинутый на вектор A/2jV, ..., \/2N).
Индукцией по п немедленно доказывается, что:
а) мостовая ранга N пространства R" является покры-
покрытием пространства R", состоящим из кубиков со сторо-
стороной \/N;
б) любая точка пространства R" принадлежит не более
чем пЛ- 1 кубикам мостовой ранга N, причем точка тогда
и только тогда принадлежит точно п -\- 1 кубикам, когда
она имеет вид
х а„_! а
2N ' - ' -' 2N ' N
где alt ..., а„_1, ап—целые числа.
Поскольку диаметр кубика со стороной а в простран-
пространстве R" равен, очевидно, а]/п, мы видим, следовательно,
что мостовая ранга N является замкнутым (состоящим из
замкнутых множеств) (Кп/М)-покрытием пространства R"
кратности п+ 1. Чтобы получить открытое покрытие, мы,
выбрав некоторое число б > 0, заменим каждый кубик
мостовой его 6-окрестностью (имеющей, очевидно, диаметр
26 + (VnlN)). При достаточно малом б (именно, при б<
< \/2N) от этого кратность покрытия не изменится.
Поскольку для любого е > 0 существуют такие N и б,
что е > 26 -|- (|/"n/jV), мы видим, следовательно, что для
любого е > 0 существует открытое г-покрытие простран-
пространства R" кратности п + 1.
С любым замкнутым ограниченным (т. е. компактным)
подмножеством F пространства R" пересекается лишь ко-
конечное число элементов этого покрытия, и, значит, это
покрытие высекает на F конечное открытое е-покрытие
кратности ^ п + 1. Поэтому dim F ^ п. ?
Таким образом, из двух формул A) и B), нужных
для доказательства теоремы 1, мы уже доказали фор-
формулу A). Чтобы завершить доказательство теоремы 1, нам,
следовательно, осталось доказать лишь неравенство
dim ln^n (что на самом деле является наиболее трудной
частью доказательства). Мы, чтобы не прерывать изложе-
изложения, сделаем это в следующей лекции, а пока обсудим
более подробно формулу A).
За счет более искусного использования конструкции
мостовых можно показать, что формула A) справедлива

ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА 136
для любых подмножеств F пространства R" (не обязательно
замкнутых и ограниченных).
Задача 2. Докажите формулу A) для произвольных подмно-
подмножеств FczR"
В частности, при F = Rn мы получаем, что
C) dimR"<n.
Поэтому формула A) является следствием—формально
более точного—неравенства
D) dimF<dimRn
(на самом деле, как мы увидим ниже, в формуле C) имеет
место знак равенства:
E) dimR" = «,
и поэтому неравенства A) и D) равносильны).
Формула D) утверждает, что для топологического про-
пространства R" размерность произвольного его подпростран-
подпространства не превосходит размерности самого пространства, что
вполне согласуется с нашей геометрической интуицией.
Естественно ожидать, что аналогичное свойство мо-
монотонности размерности
F)
справедливо и для подпространств F произвольного то-
топологического пространства %'. Однако, как мы увидим
на примере в лекции 10, неравенство F), вообще говоря,
неверно, и для его справедливости надо налагать на F
или на !% те или иные дополнительные условия.
Определение 5. Подмножество F топологического
пространства !% называется замкнутым, если его допол-
дополнение открыто.
Для подмножеств метрических пространств (и, в част-
частности, для подмножеств пространства R") это определение
известно из курса анализа (и для этих пространств мы
им уже пользовались).
Задача 3. Докажите, что в любом многообразии SC
каждое одноточечное множество замкнуто (т. е., как при-
принято говорить, точки в SC замкнуты).
Задача 4. Докажите, что каждое замкнутое под-
подмножество компактного пространства компактно. [У к а-
заиие. Воспользуйтесь тем, что при добавлении к про

136 ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
невольному открытому7покрытию множества F открытого
множества &\F получается открытое покрытие всего
пространства SC.\
Ясно, что:
1° Пустое множество 0 и все пространство & замк-
замкнуты.
2° Пересечение любого семейства замкнутых множеств
замкнуто.
3° Объединение любого конечного семейства замкну-
замкнутых множеств замкнуто.
Ср. соответствующие свойства 1°—3° открытых мно-
множеств в лекции 7.
Из свойства 2° замкнутых множеств непосредственно
следует, что для любого подмножества А топологического
пространства существует наименьшее замкнутое множе-
множество, содержащее А (им будет пересечение всех содержа-
содержащих А замкнутых множеств). Это замкнутое множество
называется замыканием множества А и обозначается сим-
символом А (в русской топологической литературе исполь-
используется также символ [А], а в англоязычной—символ С1 А).
Ясно, что точка р?& тогда и только тогда принад-
принадлежит А, когда любая ее окрестность пересекается с А.
Это означает, что
[Заметим, что для Int А имеет место двойственная фор-
формула #"\Int A=~&\A.]
Задача 5. Докажите, что следующие свойства ото-
отображения f: SC—у ЧУ равносильны:
а) Отображение f непрерывно.
б) Для любого замкнутого множества С ей/ множество
f^Cc^" замкнуто.
в) Для любого множества АсЗИ имеет место включение
f(A)aJ(A~).
г) Для любого множества Вей/ имеет место включение
Замечание 3. Выше мы видели, что инвариант dim
не всегда адекватен интуитивному представлению о раз-
размерности. Можно пытаться поправить дело, введя новый
инвариант dim'. Для любого топологического простран-
пространства SC мы будем считать, что dim'¦#"<«. если для про-

МОНОТОННОСТЬ РАЗМЕРНОСТИ 137
извольной окрестности U каждой точки р€.5Р существует
такая окрестность V этой точки,содержащаяся в окрест-
окрестности U, что для ее замыкания V в U имеет место нера-
неравенство dimV^n. (Оговорка «в U» здесь существенна,
поскольку замыкание окрестности V в SC может быть су-
существенно больше). Если dim' •#"<«, но неверно, что
dim'^"<n — 1, то по определению dim'SC' — п. Так как
любая точка каждого открытого множества UcR'1 обладает
окрестностью, замыкание которой гомеоморфно кубу I",
то (здесь мы пользуемся еще недоказанной формулой B))
для любого многообразия SC число dim' 9C совпадает с его
размерностью в смысле определения 5 лекции 6 (см. выше
замечание 1). Условия, необходимые и достаточные для
выполнения равенства
dim SC = dim' SC,
до сих пор неизвестны (см. выше пример 4 и замечание 2).
Как уже говорилось, размерность подпространства
может быть больше размерности всего пространства.
Однако для замкнутых подпространств это невозможно.
Предложение 2. Для любого замкнутого подпро-
подпространства F произвольного топологического простран-
пространства SV
G) dimF< dim.2\
Доказательство. Пусть {Ua} — произвольное ко-
конечное открытое покрытие подпространства F. Утвержде-
Утверждение, что Ua открыто в F, означает, что в SC существуют
такие открытые множества U'a, что Ua = U'aftF для лю-
любого а. Множества U'а вместе с множеством &\F обра-
образуют конечное открытое покрытие пространства SV. По-
Поэтому существует вписанное в это покрытие конечное от-
открытое покрытие {Vg} кратности ^/г+ 1, где n = dim^'.
Рассмотрим все непустые множества вида V'^ n F. Ясно, что
эти множества образуют конечное открытое покрытие под-
подпространства F кратности ^/г-| 1, вписанное в покрытие
{?/„}. Таким образом, в каждое конечное открытое по-
покрытие подпространства F можно вписать некоторое конеч-
конечное открытое покрытие кратности <! п -\- 1. Следовательно,
dimF^/г. ?
В примере, который мы построим в лекции 10, под-
подпространство F будет открытым (а пространство SC хаус-
дорфовым и компактным).

138 ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ
Можно показать (это трудная теорема!), что для вы-
выполнения неравенства F) для любого подпространства F
достаточно, чтобы пространство % было метризуемо
и удовлетворяло второй аксиоме счетности (вообще, мет-
ризуемые пространства, удовлетворяющие второй аксиоме
счетности, являются в определенном отношении наиболее
естественной областью построения теории размерности, вне
этого класса пространств почти любое «естественное» свой-
свойство размерности оказывается, вообще говоря, неверным).
Поэтому в примере из лекции 10 пространство SC заведомо
либо не метризуемо, либо не удовлетворяет второй аксиоме
счетности. (На самом деле, как можно легко показать, оно
и не метризуемо, и не удовлетворяет второй аксиоме счет-
счетности. Это не мешает ему быть хаусдорфовым и компактным.)
Замечание 4. Из предложения 2, в частности, сле-
следует, что dimf'<dimR". В силу формулы B), которую
мы докажем в лекции 9, это означает, что rt^dimR".
Вместе с формулой C)—заметим, у нас еще не доказан-
доказанной!— это дает равенство E).
Наряду с намеченным выше, возможен другой — более
концептуальный — подход к доказательству формулы C).
Он основывается на одной простой, но важной топо-
топологической конструкции, в частных случаях уже излагав-
излагавшейся в курсе анализа.
Пусть X и <& — произвольные топологические прост-
пространства, и пусть 5СхУ— множество всех пар (р, а), где
pgJT и с/б 3/. Если U с2С и Усй/, то UxV с iTxS/,
и ясно, что множество всех подмножеств вида UxV, где
U открыто в^,аУ открыто в&, замкнуто относительно
пересечений. Поэтому это множество является базой неко-
некоторой топологии на #"хЗ/.
Определение 6. Получающееся топологическое про-
пространство называется прямым (или декартовым) произве-
произведением пространств SC и 2/. Обозначается оно тем же
символом ЖхУ.
Легко видеть, что прямое произведение &х*& хаусдор-
фовых пространств SC и У хаусдорфово. Действительно,
пусть (plt qt) и (р2, д2)—две различные точки простран-
пространства #"ХЙ/. Тогда либо ргфр2, либо ц^фцг. Пусть для
определенности рг Ф рг. Так как пространство 3d по усло-
условию хаусдорфово, то точки рх и рг обладают в & непере-
непересекающимися окрестностями U1 и Ua. Тогда множества

ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ 139
[,х& и U2x& будут непересекающимися окрестностями
точек (/?,, qx) и (р2, q2) в произведении SCx<&. О
Аналогично определяется прямое произведение .Я^х . ..
... х SC n любого конечного семейства топологических
пространств. Оно также хаусдорфово, если хаусдорфовы
пространства SCX, ..., SC п.
Задача 6. Докажите, что
R" = |RX . . . X R.
л раз
|Указание. Для любого шара пространства R. сущест-
вуют вписанный и описанный кубы с гранями, параллель-
параллельными координатным плоскостям.]
Для того чтобы множества UxVсоставляли базу про-
пространства ЖхУ, нет нужды, чтобы U и V пробегали все
открытые множества пространств SC и й/ соответственно.
Достаточно, очевидно, чтобы U пробегали некоторую базу
пространства Ж, а V — некоторую базу пространства Й/.
Поэтому прямое произведение пространств, удовлетворя-
удовлетворяющих второй аксиоме счетности, также удовлетворяет
этой аксиоме.
В частности, мы снова видим, что пространство R"
удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Рассмотрение простейших примеров (скажем, кубов I")
наводит на мысль, что для любых двух пространств SC
и ?У должно иметь место равенство
(«) dim {SC xS/) = dim SC Л- dim 2/.
Однако примеры, изложить которые из-за их сложности
мы здесь не можем, показывают, что равенство (8) неверно
доже для компактных метрических пространств.
Задача 7. Докажите, что любое компактное метрическое про-
пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Более того, для произвольных топологических про-
пространств Ж и й/ может не выполняться даже неравенство
(9) dim(^xa/Xdim^4dima/.
Тем не менее можно показать, что в классе метрических
пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности
(а также в классе хаусдорфовых компактных пространств),
неравенство (9) верно. Поскольку, как легко видеть,
climR=l (ср. выше пример 5), это, в частности, снова
Доказывает неравенство C). Однако доказательство формулы

140 КОМПАКТНОСТЬ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
(9) для метрических пространств, удовлетворяющих второй
аксиоме счетности, довольно сложно и здесь нет места для
его изложения.
Утверждение, что формула (9) справедлива в классе
хаусдорфовых компактных пространств, предусматривает,
в частности, что справедливо следующее предложение:
Предложение 3. Прямое произведение компактных
топологических пространств компактно.
Доказательству этого предложения мы предпошлем
несколько замечаний о проекции
A0) SCx<&-+SC, (р, q)*+p.
Прообразом при проекции A0) произвольного откры-
открытого множества U cr 9H является (по определению откры-
открытое) множество ?/х2/. Следовательно, проекция A0) яв-
является непрерывным отображением.
Более того, так как каждое множество вида U х V про-
проектируется на множество U, то каждое открытое мно
жество пространства 3?х& проекция A0) отображает
на открытое множество пространства SC (является от-
открытым отображением).
Конечно, аналогичные утверждения справедливы и для
проекции 5СХУ —+2/, (р, q)*->q, а также для проекций
SCi X ... X ЭИп —*¦ SCk произведения любого числа прост-
пространств на каждый из сомножителей.
Вместе с тем, вообще говоря, проекция A0) может
замкнутое множество переводить в незамкнутое (например,
при проекции Ra—+R, (х, у)>-+х, гипербола ху= 1, явля-
являющаяся замкнутым множеством плоскости 1R8, переходит
в незамкнутое множество IR\{0} оси R). Однако если про-
пространство 3/ компактно, то для любого пространства SC
каждое замкнутое множество пространства SC проекция
A0) отображает на замкнутое множество пространствам
(является, как говорят, замкнутым отображением). Дей-
Действительно, пусть точка р0 € 9? не принадлежит проекции
npFtr^1 замкнутого множества Fcr^xS/, т. е. пусть
{ро}х2/ <=. (&X&)\F. Так как множество (&x9)\F от-
открыто и,* значит, любая его точка является его внутрен-
внутренней точкой, отсюда следует, что для каждой точки q?&
существует такая ее окрестность""^ с & и такая окрест-
окрестность U(q)<= & точки р0, что U{q)xV9 с C?x&)\F. Все
окрестности V9, q€&, составляют открытое покрытие про-
пространства 8/, и потому—в силу компактности простран-

КОМПАКТНОСТЬ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 141
ства 9/— из этого покрытия можно выбрать конечное под-
подпокрытие V,,, .... Vqn. Пусть
Множество U открыто, содержит точку р0 и обладает тем
свойством, что для любой точки р g U все точки произ-
произведения Жх9 вида (р, q), q?&, не принадлежат F (если
</ € У„г то (р, </) ? f/ {qi)xVq. с (^"xa/)\F). Это означает,
что {р|х9/ с (&x&)\F, т. е., что р$пр/\ Тем самым
доказано, что каждая точка pnf?npF обладает такой ок-
окрестностью U a SC, что U с ^"\пр F, т. е. точка р0 яв-
является внутренней точкой множества ^"\npF. Следова-
Следовательно, это множество открыто, и, значит, множество пр F
замкнуто. ?
Теперь мы уже можем доказать предложение 3.
Доказательство предложения 3. Пусть про-
пространства SC и й/ компактны, и пусть \Wa} — произволь-
произвольное открытое покрытие пространства ^"хй/. Будем назы-
называть—только в этом доказательстве!—открытое множе-
множество 01с SK отмеченным, если подмножество 0x9/ произ-
произведения ^"хй/ содержится в объединении конечного
подсемейства покрытия {№„). Для любой точки p^SC
подпространство {р}хй/ произведения ^"хй/ гомеоморфно
(докажите!) пространству Й/ и, значит, компактно. По-
Поэтому оно покрывается конечным подсемейством покрытия
\Wa]. Пусть F—замкнутое подмножество пространства
•#*ХЙ/, являющееся дополнением в SCx® объединения G
всех элементов этого подсемейства. Так как й/ по условию
компактно, то, по доказанному,'проекция пр F множества F
замкнута в % и, значит, ее дополнение О открыто. С дру-
другой стороны по построению множество 0x9/ содержится
в G. Следовательно, множество О отмечено. Поскольку
р?0, этим доказано, что все отмеченные множества со-
составляют покрытие пространства &. В силу компактно-
компактности X из этого покрытия можно выбрать конечное под-
подпокрытие, т. е. найти конечное семейство отмеченных
множеств, покрывающих SC. Но ясно, что объединение
любого конечного семейства отмеченных множеств отме-
отмечено. Следовательно, % отмечено, и, значит, покрытие {Wa}
содержит конечное подпокрытие. П
Доказательство иеравеи:тва (9) для хаусдорфовых
компактных пространств также слишком сложно, чтобы
мы могли его здесь изложить,

Лекция 9
Теорема о барабане.— Теорема Брауэра о неподвижной
точке.— Теорема о перегородках в кубе.— Нормальные
н вполне нормальные пространства.— Продолжение пере-
перегородок.— Теорема Лебега о покрытиях куба.— Оценка
размерности куба снизу.
В предыдущей лекции мы доказали, что ^
Основная цель этой лекции—доказать обратное неравен-
неравенство и тем самым установить, что
dimI" = n для любого
Для этого мы должны будем начать довольно издалека.
Определение I. Подпространство А топологического
пространства SV называется его ретрактом, если суще-
существует такое непрерывное отображение
г. %-^А
(называемое ретрагирующим отображением или просто
ретракцией), что г (а) —а для любой точки а$А.
Напомним, что символом В" мы обозначаем единичный
шар пространства 1R", состоящий из точек jrgR", для
которых | Jf К 1 (где, как всегда, | х | = V х\ +...+$,,
если х = (х1У ..., хп), а символом S"—единичную сферу
(подмножество шара В", состоящее из точек je?R", для
которых | дг| = 1).
Теорема Г. СфераВп~х не является ретрактом шараВ".
При п = 2 эта теорема дает теоретическое объяснение
тому, что на окружность можно натянуть пленку, т. е.
сделать барабан. Поэтому теорема 1 называется обычно
теоремой о барабане.
Несмотря на наглядную очевидность теоремы 1, дока-
доказательство ее неожиданно является довольно сложным
и требует привлечения целого ряда новых идей. Поэтому
мы отложим его до лекции 24.
Легким следствием теоремы 1 является следующая
теорема Брауэра о неподвижной точке:
Теорема 2. Для любого непрерывного отображения
/: В" —>- В" шара В" в себя существует такая точка x<t В",
^ f {x) — х,

ТЕОРЕМА О ПЕРЕГОРОДКАХ В К.УВЕ
143
Доказательство. Если f(x)=?x, то определена
прямая, проходящая через точки х и f(x). Пусть г (х) —
та из двух точек пересечения этой прямой со сферой S"
которая не отделена от точки х точкой f(x). Если
для всех точек х, то эта конструкция
определяет (очевидно, непрерывное)
отображение г: В'—>-S"~l. Если
лгб8"-\ то не отделенной от точки х
точкой пересечения является сама точка
х. Поэтому г (х) — х, т. е. г является
ретрагирующим отображением. Посколь-
Поскольку существование такого отображения
противоречит теореме 1, неравенство г^х1
/(х) Фх для всех точек х?Вп выполнено быть не мо-
может. D
Следствие 1. Для любого непрерывного отображения
/: /"—*/" куба 1п в себя существует такая точка to? f",
что f (t0) = ta.
Доказательство. Достаточно заметить, что куб I'
гпмеоморфен шару В". |Гомеоморфизм В"—>/" можно
задать, например, формулой
где X@) = 0 и Х(х) при хфО — длина вектора ОМ, кол-
линеарного вектору х и такого, что точка М принадле-
принадлежит границе куба /"(легко видеть, что
с точностью до знака вектор ОМ этим
условием определен однозначно).] ?
Замечание 1. Теорема 1 легко
вытекает из теоремы 2. Действительно,
если бы ретракция г: В" —^S"" сущест-
существовала, то составное отображение
О
м
где a: S" - - ~
a I — вложение
без неподвижных точек.
i о а о г: о" —> d ,
"~1—антиподальное отображение х и-* — лг,
"~1 • - В", было бы отображением В" --* В"
Определение 2. Пусть А и В — непересекающиеся
подмножества топологического пространства !%. Говорят,
что замкнутое множество С с & отделяет Л от 5 (или
что оно является перегородкой между Л и 5), если его
дополнение ^"\С является объединением таких непере-

144 ТЕОРЕМА О ПЕРЕГОРОДКАХ В КУВЕ
секающихся (и автоматически открытых) множеств U и V,
что Ac U и В cV.
Конечно, перегородка С может быть и пустым мно-
множеством (так будет, если само пространство SC является
объединением открытых непересекающихся множеств U
и V, содержащих соответственно множества А и В).
Для любого k — 1, . . •, п и любого е = ± 1 мы обо-
обозначим символом /Ц'1 (е) грань куба /", состоящую из
точек t = (tu ..., /„)€/", для которых
hi = e-
Теорема 3 (о перегородках в
кубе). Пересечение Сх П • • П Сп любых
>с2 перегородок Clt ..., С„, отделяющих
в кубе I" грани /f (—1), ..., //р1 (—1)
от граней /f^+l), .... iS"M+l). «e
пусто:
Доказательство. По условию для любого & =
= (/ft (—1) U f
где Uk(—1) и Uk(-\-l)—такие непересекающиеся откры-
открытые множества, что it^—^cU^—l) и/?-1(+1)<=1/*(+1).
Для каждой точки t g /" мы положим
pk(t)= mi \t—s\, k=\ п.
6C
Заметим, что в силу компактности множества Ck ра-
равенство pk(t) = O равносильно включению t?Ck.
Лемма 1. Число pk{t) обладает тем свойством, что
|*»-*>*С) 1<1. если t = (tlt ..., tn)$Uk(B).
Из этой леммы следует, что формула
ГД6 т*в\ 0, если ^С/г, *в1' •••"•
корректно определяет некоторое (очевидно, непрерывное)
отображение /: /"—»¦/", обладающее тем свойством, что
f(t) = t тогда и только тогда, когда ps (^) = 0 для любого
k = 1, ..., п, т. е. когда f € Cj П • • • П С„. Поскольку же,
согласно следствию 1 теоремы 2, в кубе /" существует

ТЕОРЕМА О ПЕРЕГОРОДКАХ В КУБЕ 145
точка t0, для которой f(tQ)~t0, эт0 доказывает, что
С1(]...ПС„-Ф0. ?
Осталось доказать лемму 1.
Доказательство леммы 1. Пусть точка t g /"
принадлежит открытому множеству ик(г). Так как пере-
перегородка Ск отделяет грани /?~1(—1) и
I'll "M+l). то перпендикуляр к этим гра-
граням, проходящий через точку t, пере-
пересекает перегородку Ск в некоторой
точке ск, лежащей между точкой t и
се проекцией на грань I^1 (—е). Если
б = 4-1, то для к-й координаты sl{ точ-
точки ck имеет место неравенство sk ^ tu,
а если е = — 1,— то неравенство sk^tk.
При этом \sk—tk\ = ok, где ак-~расстояние между точками
t и ск. Поэтому
Поскольку, согласно определению,
отсюда следует, что при е
а при е = — 1
h~ 4>к @ = h
С другой стороны, при
а при е = — 1
Таким образом, во всех случаях
1- ?
Замечание 2. Теорема 1 также легко вытекает из
теоремы 3. Действительно, пусть /" — граница куба /"
(состоящая из точек t?l", для которых tk = ±\ хотя бы
при одном к = 1, ..., п), и пусть Sft, к = 1, ..., п,— ее
подмножество, состоящее из точек t^i", для которых
^е = 0. Ясно, что Sk является перегородкой в /'", отделя-
отделяющей грани 1к~х{—}) и 1к~^{+\)- Поэтому для любой
ретракции г: /"—*/" прообраз Ск = г~х8к множества Sk

146 НОРМАЛЬНЫЕ И ВПОЛНЕ НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
будет перегородкой между прообразами г~Ч%~1(—1)
и г-ЧЦ-Ц+1) граней /g (— 1) и /g-^+l), а значит,—
ввиду включений /ff^cr'/f'^E),— и между самими
гранями /?~Ч— 1) и /JTM+l)- С другой стороны, так как,
очевидно, Sifl • • ¦ nS,, = 0, то и СхП • • • ПСп = 0, что
в силу теоремы 3 невозможно. Поэтому для пары (/", /") —
а потому и для гомеоморфной пары (В", S") — ретрак-
ретракция г существовать не может. ?
Перегородки существуют не в любых пространствах.
Это заставляет нас ввести следующее определение.
Определение 3. Пространство SC называется нормаль-
нормальным, если для любых двух его непересекающихся замкну-
замкнутых подмножеств Л и В существует перегородка, и вполне
нормальным, если перегородка существует для любых
подмножеств Л и В, обладающих тем свойством, что за-
замыкание каждого из них не пересекается со вторым (та-
(такие множества Л и Б называются отделенными).
Заметим, что отделенность множеств необходима для
существования перегородки между Л и В.
Предложение 1. Нормальное пространство SC тогда
и только тогда вполне нормально, когда каждое его под-
подпространство нормально.
Доказательство. Ясно, что каждое подпростран-
подпространство вполне нормального пространства вполне нормально
(ибо множества, отделенные в подпространстве, будут
отделены и во всем пространстве) и, следовательно, нор-
нормально. Обратно, пусть А и В—отделенные подмножества
прогтранства %', и пусть
О = Х\(А П В) = (ST\S) U (JT\B).
Множества
В) и 1? П О = В\(Л П В)
замкнуты в О, и потому, если О нормально, отделяются
в О некоторой перегородкой С. По определению 0\С —
= U (] V, где U и V—такие открытые в О непересекаю-
непересекающиеся множества, что Лр|О с U и ВП Ос V. Но так как О,
очевидно, открыто в %, то U и V также открыты в ЗС',
а так как ЛпВ~=0 и ВП Л = 0, то АсЛпОиВс
с В~П О. Значит, Л с U и В tr V. Поскольку
= Х\{С[)(А(\В)),

НОРМАЛЬНЫЕ И ВПОЛНЕ НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА D7
этим доказано, что множество С()(Ас\В) является пере-
перегородкой в &, отделяющей А от В. Таким образом, нор-
нормальное пространство, все подпространства которого также
нормальны, вполне нормально. ?
На основании предложения 1 вполне нормальные про-
пространства называются также наследственно нормальными.
Замечание 3. В определении нор-
нормальных (и вполне нормальных) прост-
пространств к требованию существования
перегородок часто добавляется еще тре-
требование хаусдорфовости. Подчеркнем,
что мы этого не делаем.
Предложение 2. Любое метричес-
метрическое пространство нормально.
Доказательство. Пусть А и В —
непересекающиеся замкнутые подмно-
подмножества метрического пространства &. Для каждой точки
р$А число
рв (р) = inf p (р, q)
<76В
(расстояние от р до В), очевидно, положительно, и потому
для этой точки определена ее шаровая рв (р)/2-окрестность
ZX, p(p, а)
Аналогично, для любой точки q € В определена ее шаро-
шаровая рА (^)/2-окрестность
{ p(a, q)<^\
где
рд(</)= inf p(p, q)
рйА
- расстояние от q до А. Пусть
U= U U(p), V= U V(q).
A qeB
Множества U и V открыты, содержат соответственно мно-
множества Л и В и не пересекаются (если a g U п V, то су-
существуют такие точки р$А, q?B, что a$U(p), a$V(q),
и, значит,

148 НОРМАЛЬНЫЕ И ВПОЛНЕ НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
но тогда
р(р, q)^p(p, a)-\-p(a, -q) <
что невозможно). Поэтому множество C = 3?\(U и V) яв-
является перегородкой между А и В. ?
Следствие. Любое метрическое пространство вполне
нормально.
Доказательство. Достаточно заметить, что каж-
каждое подпространство метрического пространства само яв-
является метрическим пространством (и, следовательно, нор-
нормально). ?
В частности, куб 1п является вполне нормальным про-
пространством.
Предложение 3. Любое компактное хаусдорфово
пространство & нормально.
Доказательство. Пусть А и В—замкнутые непе-
непересекающиеся подмножества пространства SC'. Так как
пространство X хаусдорфово, то для любой точки р € А
и любой точки q € В существуют такая окрестность Uq (р)
точки р и такая окрестность Vp(q) точки q, что
Для каждой точки q?B 'все окрестности Uq(p), p?A,
образуют открытое покрытие подпространства А и, зна-
значит—поскольку это подпространство, будучи замкнутым
множеством компактного пространства, компактно—суще-
компактно—существует такое конечное семейство plt ..., рп точек мно-
множества Л, что открытое множество
содержит Л. При этом множество Uq не пересекается
с окрестностью
точки q.
Окрестности V(q), q?B, составляют открытое покры-
покрытие подпространства В, и, значит,— по аналогичным при-
причинам—существует такое конечное семейство qlt ..., q
точек множества В, что .открытое множество
т

ПРОДОЛЖЕНИЕ ПЕРЕГОРОДОК
149
содержит V. При этом множество V не пересекается с от-
открытым множеством
содержащим Л. Поэтому множество C = W\(U(jV) будет
перегородкой, отделяющей Л от В. D
Пример компактного хаусдорфова не вполне нормаль-
нормального пространства мы приведем в следующей лекции.
Нам понадобится также следующее простое предло-
предложение.
Предложение 4 (о продолжении перегоро-
перегородок). Пусть SC—вполне нормальное пространство,
А и В—его непересекающиеся замкнутые подмножества
и 3/—замкнутое подпространство пространства Ж'. Пусть,
далее, С—произвольная перегородка в &, отделяющая
замкнутые (в <&) множества Ап<& и 5fl2/. Тогда в %
существует такая перегородка С, отделяющая А от В,
что СП2/ с С.
Доказательство. По условию&\С = U' и V, где
V и IV—непересекающиеся открытые (в <&) множества,
содержащие соответственно множества Л П & и В () <&. Пусть
A' = A[)U' и B' = B\jV.
Так как множества V и V не только открыты, но и зам-
замкнуты (в 2/\С), то в % они отделены. Значит, множе-
множества А' я В' также отделены, и потому существует пере-
перегородка С, отделяющая 'Л' от В'. Та же перегородка
отделяет, конечно, Л от В. Кроме того, так как
Х\С =з Л' U В' =з V и V =2/\С,
то 3/пСсгС. П
Теперь [мы можем вернуться к исследованию перего-
перегородок в кубе /".

150
ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА О ПОКРЫТИЯХ КУБА
Предложение 5. Пусть
Q, => Q, =>...=><?„
— такая убывающая последовательность замкнутых под-
подмножеств куба I", что
Q, отделяет /Гг(—1) от /ГЧ+ 1) в I";
Q., отделяет l^l{— I) n Qi от /?(+ OnQi e Qt;
QB отделяет /JTM— 1) flQn-i от /Я-1(+ 1) П Q«_i в QB_i.
Д р
# = /«, Л = #г-ж(— 1). В =
Тогда Qn не пусто.
Доказательство. Применив предложение 4
(+1) и 2/ = Q,_1, мы
для любого k — 2, . . ., /i полу-
получим в кубе /' перегородку Ск,
отделяющую грань 1^{—1)
то грани /Л (+1) и такую,
что
При k = 1 мы положимCi^Qt.
Согласно теореме 3 пере-
перегородки С17 С2, . . ., С., обла-
обладают тем свойством, что
С другой стороны, так как
то dnC2n ¦ ¦ ¦ nC,,cQ . Следовательно,
?
Теперь мы уже можем доказать основную теорему
этой лекции.
Теорема 4 (теорема Лебега о покрытиях
куба). Каждое конечное замкнутое покрытие {Са}
куба Г', состоящее из множеств, ни одно из которых
не пересекается ни с какими двумя противоположными
гранями, имеет кратность ^ п + 1.
Доказательство. Пусть
Ах—объединение всех элементов покрытия {Са}, пере-
пересекающихся с гранью /1'(— 1) (и,, следовательно, не
пересекающихся с гранью /^(Н- 1));

ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА О ПОКРЫТИЯХ КУБА 151
Л2—объединение всех элементов покрытия {Са}, пере-
пересекающихся с гранью II'1 (— 1) и не участвующих в Л^
Ап—объединение всех элементов покрытия {Са}, пере-
пересекающихся с гранью (?-1(— 1) и не участвующих ни в Ли
ни в Л2, ..., ни в A,,_i,
Л„+1—объединение всех элементов покрытия {Са\, не
пересекающихся ни с одной гранью куба /'.
Пусть, далее,
Q, =Агг\Ви гдеБ1 = Л,и ••¦ UA,,tl,
Q., =A1r\Atr\Bi, где В2=Л3и ... 1|Л„ + 1,
<3,..1 = Л1пЛ2п ••• n4.,nB,,-,, где Ва_1 = А„[)Ап+и
Qti =ЛХПЛ2П ... ПЛ„ПВ,„ где Вп = Ап+1.
Ясно, что множества фл замкнуты и образуют убывающую
последовательность
Q^Q,=> ... =>QB.
Кроме того, так как А1[)В1=1", то (/"\Л1)п(/"\В1) = 0,
и так как множество Ах не пересекается с гранью Z"" (+1),
а множества Л2, ..., Л„+1—с гранью /f-1(—1), то
/ГЧ+ l)c/"\Ai и /i*
Поскольку /"\С1 = (/"\Л1)и(/"\В1), это доказывает,
что Qt отделяет /ГЧ—О и Л"~Ч+ 0 в /".
Аналогично, так как (Л, П Л2) U (Лх п В2) = Ах п (Л„ U
IJ В,) = Л, n flx = Qlt то (С\(ЛХ П Л2)) n (Qi\(^t П ?2)) = 0
и так как множество Л2 не пересекается с гранью Z" (+1)»
а множества Л3, ..., Л„+1 —с гранью 1"~г{—1), то
Поскольку Q% — {.A1{\ Л2)n(Л1ni32), и потому
Qi\Q. = (Qi\(^! n л,)) и (Qi\( л, п в2
что доказывает, что Q2 отделяет /2"х(— О П Qi и /?-1(+!) П
HQ, в Ql
Вообще, если Лй=Л!ПЛ2п ... П Лл+1 и В^Л^
О Л2п ••• П ЛАпВ;(+1. где fe= 1, . .., п— 1, то

152 ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТИ КУБА СНИЗУ
и потому (Qk\Ak) П (Qk\B'k) = 0. Далее, так как мно-
множество Ак+1, а значит, и множество А'к не пересекаются
с гранью /2+i(+l)> и множества Ak.ti> ..., Ап+1, а зна-
значит, и множества Вк и Вк не пересекаются с гранью
«Й(-1). то
Поскольку Qfc+l = Л; nSfc и, значит, Qft\Qft+i = (Qk\A'k) U
U (Qk\Bii)' эт0 доказывает, что Qfc+1 отделяет /"+1(— 1)П
nQ* и /?:?(+l)flQ* в Qft.
Таким образом, множества Qlf ..., Qn удовлетворяют
всем условиям предложения 5 и, значит, согласно этому
предложению, множество Qn не пусто.
Пусть р0 — произвольная точка из Qn. Так как
и так как каждое из множеств At является объединением
элементов покрытия {С„}, причем элементы, участвующие
в одном из множеств Ак, не участвуют ни в одном дру-
другом, то точка р0 принадлежит по крайней мере п+ 1 из
этих элементов. Следовательно, кратность покрытия {Са\
не меньше п+ 1. П
Чтобы вывести из теоремы Лебега неравенство
осталось совсем немного.
Определение 4. Открытое покрытие {Ua} топологи-
топологического пространства X называется сжимаемым, если
существует такое открытое покрытие {Va} пространства SC
с тем же множеством индексов (сжатие покрытия {Ua\), что
Va<zUa для любого а.
Предложение 6. Каждое открытое покрытие нор-
нормального пространства SC сжимаемо.
Доказательство. Мы докажем это предложение
лишь в предположении, что покрытие конечно. Общий
случай требует трансфинитной индукции и нам здесь не
нужен.
Пусть {Ult ..., Uп\—произвольное конечное открытое
покрытие нормального пространства SV. Достаточно, оче-
очевидно, доказать, что существует такое открытое мно-
множество Vu что ^cf/j и семейство {Vlt Ut, ..., Uп) все
еще является покрытием.

ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТИ КУБА СНИЗУ 153
С этой целью рассмотрим замкнутые множества
и
Так как [Ult Uv . . ., Un} является покрытием, то эти
множества не пересекаются. Поэтому существует отделяю-
отделяющая их перегородка С. Пусть %"\C = U \jV, где U и V —
такие непересекающиеся открытые множества, что
Второе включение означает, что семейство {V, Ut, .. .
..., Uп} является покрытием пространства Л", а из пер-
первого следует, что Vc^VJ/cf,. Остается положить
Теперь мы уже можем доказать неравенство
Так как куб /" является компактным метрическим прост-
пространством, то, согласно следствию 2 леммы 1 предыдущей
лекции, это неравенство означает, что для некоторого
>¦ I О (как мы покажем, годится любое е < 2) каждое
конечное открытое е-покрытие {Ua} куба /" имеет крат-
кратность ^п-\- 1.
Пусть {!/„} —произвольное сжатие покрытия {t/a} (су-
(существующее, согласно предложению 3, для конечных
покрытий нами доказанного). Тогда семейство {Va} будет
замкнутым е-покрытием куба /". Так как при е < 2 это
покрытие удовлетворяет, очевидно, условию теоремы Ле-
Лебега, то, согласно этой теореме, кратность покрытия {Va\
не меньше л+ 1. Но тогда кратность исходного покры-
покрытия [Ua] также, конечно, не меньше п-[ 1. ?

Лекция 10
Порядковые числа.—Интервальная топология в множест-
множествах порядковых чисел.— Нульмерные пространства.—
Пример Тихонова.— Тихоновское произведение топологи-
топологических пространств. — Фильтры.—Центрированные мно-
множества множеств.— Ультрафильтры.— Критерий ком-
компактности.— Теорема Тихонова.
Эта лекция, целиком посвященная общей топологии,
не имеющей отношения к теории гладких многообразий,
состоит из двух частей, связанных только именем А. Н. Ти-
Тихонова. В первой части строится пример Тихонова хаус-
дорфова нормального, но не вполне нормального компакт-
компактного нульмерного пространства, содержащего одномерное
подпространство, а основная цель второй части—доказать
теорему Тихонова о произведениях компактных прост-
пространств.
Пример Тихонова строится из так называемых транс-
трансфинитных порядковых чисел; напомним поэтому вкратце
их определение и основные свойства.
Множество А называется частично упорядоченным, если на нем
определено отношение <, обладающее свойствами рефлексивности
{а<а для любого а?А), антисимметричности (если а<Ь и Ь<а,
то а~Ь) и транзитивнссти (если а<6 и Ь<с, то а<с). Если
а<Ь, но а Ф Ь, то пишут а < Ь. Отображение tp: A—>• В частично
упорядоченных множеств называется монотонным, если tpa < ф&,
когда а<6. Биективное монотонное отображение, обратное к кото-
которому также монотонно, называется изоморфизмом. Частично упорядо-
упорядоченные множества А к В называются изоморфными, если существует
хотя бы один изоморфизм А —> В. Отношение нзоморфности частично
упорядоченных множеств является отношением эквивалентности и
поэтому все частично упорядоченные множестиа распределяются по
классам изоморфных множеств.
Частично упорядоченное множество А называется упорядоченным
(или, более пространно, линейно упорядоченным), если для любых
двух элементов a, b?A либо а<6, либо fe<a. Классы изоморфных
упорядоченных множеств называются порядковыми типами. Отобра-
Отображение упорядоченных множеств тогда и только тогда является изо-
изоморфизмом, когда оно биективно и монотонно.
Упорядоченное множество А называется вполне упорядоченным,
если каждое его непустое подмножество (в том числе само множество А)
имеет первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных мно-

ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА 155
жеств называются порядка ыми числами (или ординалами). О вполне
упорядоченном множестве, принадлежащем порядковому числу а,
говорят, что А имеет тип а или что А является множеством типа а.
Говорят также, что о есть порядковсе число множества А.
Если упорядоченные множества А и В имеют один и тот же тип а,
то они, конечно, равномощны. Их общая мощность называется мощ-
мощностью числа а и обозначается символом |а|.
Если множество А конечно, то его порядковое число называется
конечным (или числом первого класса). Так как для любого натураль-
натурального числа п любые два упорядоченных множества мощности п оче-
иидиым образом изоморфны, то для конечных порядковых чисел аир
из равенства |а| = |Р | следует, что а=|3. Поэтому такие числа могут
быть отождествлены с их мощностями, т. е. с натуральными числами
A) 0, 1, 2 п, ...
(Натуральные числа одинаково пригодны как для счета, так и для
пересчета.)
Если множество А счетно, то его порядковое число а называется
счетным (или числом второго класса). Примером счетного порядкового
числа служит порядковый тип множества A) всех натуральных чисел
(очевидно, вполне упорядоченного). Это число обозначается симво-
символом со.
Для любого элемента а0 вполне упорядоченного множества А
множество всех элементов а?А, для которых а < Оо, называется
отрезком (или начальным интервалом) множества А, определенным
элементом а0 и обозначается символом А (а0). Оно также вполне
упорядочено.
Если каждое множество типа Р изоморфно некоторому отрезку
множества типа а, то говорят, что р меньше а и пишут Р < а.
Формула Р<а по определению означает, что либо Р < а, либо
Ясно, что отношение < транзитивно |^(если а < Р и Р < 7. то
а < 7).
Множество всех порядковых чисел |3, для которых Р < а, обозна-
обозначается символом @, а) и называется интервалом с концом а. Анало-
Аналогично, множество всех порядковых чисел Р с Р<а обозначается
символом [0, а] и называется сегментом с концом а. Ясно, что
[О, а] = [0, а) U {«}.
Например, интервал [0, со) —это множество A) всех натуральных
чисел, а сегмент [0, со] —это множество A), к которому справа добав-
добавлен элемент со.
Поскольку любой отрезок множества A) имеет вид [0, п\, мы
иидим, в частности, что со является наименьшим порядковым числом
«торого класса.

156 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
Легко видеть, что ни одно вполне упорядоченное множество А
не может быть изоморфно отрезку В (а0) никакого своего подмно-
подмножества В с А (случай В = А не исключается). Действительно, рас-
рассуждая от противного, предположим, что изоморфизм (р: А—> В (а0)
существует, и рассмотрим множество всех элементов а?А, для кото-
которых фа < а. Это множество содержит а0 и потому не пусто. Пусть
% — его первый элемент (он существует, потому что множество А
вполне упорядочено), и пусть аферах. Тогда а2 < а\ и одновременно
<pa2 < <pai=- ag, что противоречит выбору элемента aj.. Полученное
противоречие доказывает, что изоморфизм ф существовать не мо-
может. ?
При В —А мы получаем, в частности, что если Р < а, то Р f- a.
Легко видеть также, что каждый интервал [О, а) является вполне
упорядоченным множеством типа а. Действительно, сопоставив каж-
каждому элементу а вполне упорядоченного множества А типа а тип
отрезка А (а), мы, очевидно, получим нзоморфиое отображеиие А—»
¦—¦ [0, а). ?
Отсюда следует, что в каждом множестее А порядковых чисел
есть первый элемент. Действительно, выберем в А произвольный
элемент с»о. Если элемент ао первый, то доказывать нечего, а если а0
не первый, то пересечение [0, <х$){\А не пусто и первый элемент
этого пересечения (существующий в силу полной упорядоченности
интервала [0, а0)) будет первым элементом и множества А. ?
Поскольку интервал [0, а) вполне упорядочен, то вполне упоря-
упорядочен и сегмент [0, а] = [0, аI_){а}- Порядковый тип этого сегмента
обозначается символом a-f 1. Так как интервал [0, а) является отрез-
отрезком [0, а] (а) сегмента [0, а], то а <а-|-1. Кроме того, если Р<
<а+1, то Р«5а (ибо любой отрезок сегмента [0, а] содержится
и интервале [0, а)). На этом основании говорят, что число а+1
непосредственно следует за числом [а.
Порядковое число Р называется предельным, если не существует
такого порядкового числа а, что Р = а+1. Примером предельного
числа является число со.
Для любых порядковых чисел а и р рассмотрим пересечение
D= [0, a)f)[0, P) интервалов [0, а) и [0, р). Оказывается, что сущест-
существует таксе порядковое число 6<а, что D = [0, б). Действительно,
если D = [0, a), то 6 = a. Пусть D Ф [О, а), т. е. дополнение С =
= [0, a)\D множества D в [0, а) не пусто, и пусть б—первый эле-
элемент этого дополнения. Если ?$[0, б), то | < а (ибо | < б, а б < ос)
и |^С (ибо | < б, а б—первый элемент в С), т. е. ???>. Обратно,
если l?D н б<|, то б < р (ибо ? < Р), и, значит, 6?D, что невоз-
невозможно. Следовательно, ? < S, т. е. ??[°> б). П
По симметрии вместе с неравенством 6<а имеет место также
и неравенство 6<В. При этом, если 6<а и б < Р, то 6?D — [0, б),

ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА 157
что невозможно. Поэтому либо 6- а (и тогда а<[5), либо 8=Р
(и тогда Р<а). Этим доказано, что для любых двух порядковых
чисел аи(? либо а = р\ либо а < р\ либо р < а, т. е. каждое мно-
множество порядковых чисел упорядочено и, значит (поскольку каждое
его подмножество имеет первый элемент), вполне упорядочено.
Теперь легко видеть, что для любого подмноокества В произволь-
произвольного упорядоченного множества А тип Р множества В не превосходит
типа а множества А:
Действительно, в противном случае имело бы место неравенство а < Р
II множество А было бы изоморфно некоторому отрезку подмно-
подмножества В, что, как мы знаем, невозможно. П
Пусть нам дано произвольное семейство 1аЛ порядковых чисел,
занумерованных числами | из некоторого интервала [0, т), и пусть
Л.— произвольное множество типа а*. Мы упорядочим дизъюнктное
объединение
всех множеств А*, считая, что для элементов а?А* и Ь?А нера-
неравенство а < b имеет место тогда и только тогда, когда либо | < т],
либо | — г\ н а < b в множестве Л,. Для любого непустого подмно-
подмножества С с: А множество всех чисел | < т, для которых Cf\A^^= 0,
ипляется непустым подмножеством интервала [0, т) и, значит, имеет
первый элемент |о- Ясно, что первый элемент множества СП Л. будет
первым элементом и всего множества С. Этим доказано, что мно-
множество А вполне упорядочено, н потому его тип а является порядко-
порядковым числом. Очевидно, что число а зависит только от чисел а. (и не
1.ИШСИТ от выбора множеств Л Л. Оно называется суммой чисел ос.
и обозначается символом
Заметим, что а зависит от того, в каком порядке занумерованы
числа а.. (Например, так как множество типа со + я имеет последний
элемент, а типа я+ш не имеет, то я+со Ф со + я.)
Так как А. с А для любого |, то а^е^а. (Равенство здесь вполне
нозможно; например, ясно, что я + со = со.)
Однако at < а+1. Поскольку любое множество порядковых чи-
чисел, будучи вполне упорядоченным, имеет некоторый тнп т и, значит,
ею элементы могут быть занумерованы числами интервала [0, т),
тем самым доказано, что для любого множества порядковых чисел
существует число, большее всех его элементов.

158 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
[Отсюда следует, что понятие множества всех порядковых чисел
смысла не имеет. Внимательный читатель безусловно уже заметил,
что за счет некоторой неуклюжести формулировок мы выше тщательно
избегали упоминания этого «множества». Теперь он знает причину.]
В частности, существуют порядковые числа большие всех чисел
второго класса (числа третьего к/.асса). Наименьшее из них — первсс
число третьего класса — обозначается символом Q.
Для любой счетной (или конечной) последовательности {а„} чисел
второго класса их сумма 2 а"' очевидно, является числом второго
п <и
класса (ибо дизъюнктное объединение счетных множеств счетно).
Поэтому наименьшее из чисел, больших всех чисел ап (это число
обозначается символом supa,,), также является числом второго класса
(короче, если a,, < Q, то supa,, < Q).
Существование числа Q доказывает, что существуют несчетные
порядковые числа. На самом деле сущестсуют порядковые числа любой
мощности, т. е.— что, очевидно, равносильно,— любое множество А
можно занумеровать порядковыми числами некоторого интервала [0, а).
Для доказательства этого утверждения (известного как теорема
Цермело о полном упорядочении), мы назовем порядко-
порядковое число р отмеченным, если существует подмножество множества А,
которое можно занумеровать числами интервала [0, р). Множество В
всех отмеченных чисел не пусто (например, если множество А беско-
бесконечно, то все числа первого и второго классов отмечены) и обладает
тем свойством, что если Р?В н у < р, то у?В, т. е. [О, р)сВ.
Пусть « — элемент, не принадлежащий множеству А, и пусть
Л* = Ли{*}. Построим отображеиие ф: В—- А* последующим пра-
правилам:
а) Выбрав произвольный элемент ао?А, положим ф@) = а0.
б) Пусть для некоторого числа Р?В отображение ф уже построено
на интервале [0, Р), и пусть Л' = ф[0, Р). Если А'С А и А' ? А,
то, произвольно выбрав элемент а„?ЛхчЛ', мы положим
В противном случае (т. е. когда либо Л' = Л, либо *?Л') мы поло-
положим ф(Р) = *.
Ясно, что эта конструкция определяет ф на всем В. [Мно-
[Множество В' всех р?В, для которых ф ф) не определено, являясь мно-
множеством порядковых чисел, имеет—если оно не пусто —первый эле-
элемент Ро€в'- Тогда отображение ф определено на [0, р0) и, значит,
согласно б —элемент ф(Р) также определен, т. е. ро^В'- Полученное
противоречие доказывает, что В' = 0.]
Пусть В* —множество —возможно, пустое —всех чисел Р, для
которых ф(Р)=г*, и пусть a = sup(fi\B*). Тогда по построению

ИНТЕРВАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ 159
Ф отображает интервал [0, о) иа множество А, и это отображе-
отображение биективно, т. е. q> задает нумерацию множества А числами
интервала [0, а). ?
Каждое множество А порядковых чисел является топо-
топологическим пространством по отношению к так называемой
интервальной топологии, базой открытых множеств кото-
которой являются пересечения множества А с интервалами
вида (а, Р), где а < Р (по определению каждый интервал
(а, р) состоит из всех чисел у, для которых а < у < Р).
Это пространство, очевидно, хаусдорфово.
Замечание 1. Интервальную топологию можно,
конечно, ввести на любом упорядоченном множестве;
например, на множестве [0, Q)x[0, 1), упорядоченном
лексикографически (т. е. так, что (ах, tj < (а2, t2) тогда
и только тогда, когда at < a2 или ax = a2 и tx < t2).
Получающееся топологическое пространство называется
длинной полупрямой Александрова. Его можно представ-
представлять себе как результат вклеивания отрезка [0, 1] между
любыми двумя соседними порядковыми числами а и a + 1
второго класса.
Замечание 2. Можно показать, что длинная полу-
полупрямая, из которой удалена начальная точка @, 0), обла-
обладает естественной гладкостью класса С®, по отношению
к которой она является одномерным хаусдорфовым много-
многообразием, не удовлетворяющим второй аксиоме счетности.
(Ср. с замечанием 5 лекции 7.)
Интервальная топология на множествах порядковых
чисел обладает тем замечательным — и несколько неожи-
неожиданным—свойством, что для любого порядкового числа ?
сегмент [0, 1] является в интервальной топологии ком-
компактным пространством. Действительно, пусть Ц—произ-
Ц—произвольное открытое покрытие сегмента [0, ?]. Назовем
число tj^5 допустимым, если сегмент [0, tj] накрывается
конечным подсемейством покрытия 11. Множество всех
допустимых чисел не пусто (оно содержит 0) и если оно
не исчерпывает всего сегмента [0, ?], то существует —
и силу полной упорядоченности порядковых чисел—наи-
чисел—наименьшее недопустимое число v^l- Пусть Uo—элемент
покрытия It, содержащий число -у, и пусть (a, P)—такой
интервал, что v€(a. P)<=^o- Так как a < у, то число а
допустимо, и, значит, сегмент [0, а] покрывается конеч-
конечным подсемейством покрытия И. Добавив к этому подсе-
подсемейству элемент U0, мы получим конечное подсемейство,

160 НУЛЬМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
покрывающее интервал [0, Р) = [0, а] и (а, Р), a потому
и сегмент [0, y]c[0> P)- Следовательно, вопреки предпо-
предположению, число v допустимо. Полученное противоречие
показывает, что все числа сегмента [0, |] допустимы.
В частности, допустимо число ?. Следовательно, покры-
покрытие U содержит конечное подпокрытие. ?
Топологическое пространство & = [Q, l] обладает тем
свойством, что каждая его точка обладает базой окрест-
окрестностей, являющихся не только открытыми, но и замкну-
замкнутыми множествами (о таких пространствах SC пишут, что
ind^" = 0). Для доказательства достаточно заметить, что
если число Р не предельное (т. е. р = у+ 1), то (а, Р) ~
= [а + 1, у] для любого а. П
Более того, аналогичное утверждение справедливо
не только для точек, но и для любых замкнутых мно-
множеств, т. е. для каждого замкнутого множества Fc[0, ?]
и любой его окрестности U существует окрестность
Vc U, являющаяся замкнутым множеством (о таких прост-
пространствах SC пишут, что Indc2" = 0). Действительно, со-
согласно предыдущему утверждению, каждая точка а ? F
обладает замкнутой окрестностью Va, содержащейся в U.
Окрестности Va составляют открытое покрытие мно-
множества F, из которого — поскольку множество F, являясь
замкнутым подмножеством компактного пространства, ком-
компактно— мы можем выбрать конечное подпокрытие
{Vai, ..., Van}. Объединение V = VuiU ¦¦¦ UVan элемен-
элементов этого подпокрытия и будет замкнутой окрестностью
подмножества F, содержащейся в U. П
Фактически для произвольного топологического прост-
пространства 3? мы доказали, что если пространство SV ком-
компактно и indc2" = 0, то Ind^" = 0. [Кстати, если прост-
пространство SC хаусдорфово и Ind^ = 0, то ind^ = 0. Для
доказательства достаточно заметить, что в хаусдорфовом
пространстве любое одноточечное множество замкнуто.)
С другой стороны, легко видеть, что если Ind^ = 0,
то dim^" = 0. Действительно, равенство dim^ = 0 озна-
означает, что в каждое конечное открытое покрытие {Ult ...
. .., U„} пространства SV можно вписать конечное откры-
открытое покрытие {Vt Vm), состоящее из непересекаю-
непересекающихся открытых множеств, и, значит (поскольку дополне-
дополнение любого элемента V, покрытия {Vt, ..., Vm} является
объединением всех остальных элементов этого покрытия

НУЛЬМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 161
и, следовательно, открыто), обладающее тем свойством,
что любой его элемент V, не только открыт, но и замкнут.
Мы докажем (для пространства SC с Ind & = 0) даже
большее, а именно, что число т элементов покрытия
\Vlt .... Vm} можно считать равным числу п элементов
покрытия {йг, . ¦., Uп) и, кроме того, что это покрытие
можно построить так,' чтобы для любого t = 1, .... п
имело место включение V;CiU;.
При п=1 положим K1 = t/1.
Пусть покрытие {Vu ..., V :1) построено для любого
покрытия [Uu ..., U„}, состоящего из п^1 открытых
множеств. Рассмотрим произвольное открытое покрытие
{Uu ..., Un, Un+1}, состоящее из п-\- 1 множеств. По
предположению индукции, примененному к покрытию
\иъ ..., ?/„_,, t/nU^K+t}. существует такое открытое
покрытие {Vlt ..., Vп_и V'n], состоящее из п непересе-
непересекающихся множеств, что
Vt<=Uu .... ^..сУ,.,, V'n<=Un{jUn?1.
С другой стороны, так как множество
замкнуто и содержится в Un + 1, то в силу условия
Ind^ = O существует такое открытое и одновременно
замкнутое множество V, что FczVczUn+1. Мы положим
Для завершения доказательства остается заметить, что
псе множества Vu ..., Vn_lt V'„, V,lfl открыты, не пе-
пересекаются, покрывают % и обладают тем свойством, что
yi<=.Ui для'любого i=l, ..., п+1. ?
В частности, мы видим, что для любого порядкового
числа \
dim [0, ?]=0.
Оказывается, что не только из Ind-f = 0 следует, что
dim .Я* = 0, но и, наоборот, из dim ¦?¦ = () следует, что
Indc2" = 0 (так что dim •#* = () тогда и только тогда,
когда Ind^ = 0). Действительно, если dim^ = 0 и если
U—окрестность замкнутого множества FziSC, то, по-
поскольку множества U и &\F составляют конечное от-
открытое покрытие пространства SC', в это покрытие можно
вписать конечное покрытие {Vj}, состоящее из непересе-
непересекающихся открытых — и, следовательно, замкнутых —
6 М. М. Постников, сем. III

162 ПРИМЕР ТИХОНОВА
множеств. Тогда объединение V всех элементов этого
покрытия, пересекающихся с F (и потому лежащих в U)
будет открытой и одновременно замкнутой окрестностью
множества F, содержащейся в У. G
Теперь легко доказывается, что если пространства %
и 3/ хаусдорфовы и компактны, a dim^ = OudimS/ —О,
то
(так что для этих пространств справедлива формула (8)
лекции 8). Действительно, в силу сделанных выше заме-
замечаний о связи между ind, Ind и dim для пространств
& и & имеют место равенства ind^ = 0 и ind 2/ = 0, а
равенство dim (^ХЙ/) = О для пространства ^ХЙ/ равно-
равносильно равенству ind (^x3/) = 0. С другой стороны, ясно,
что если indc2" = 0 и ind 2/ = 0, то ind (SC х &) = О (по-
(поскольку, если U—замкнутая окрестность точки р в SC,
а У—замкнутая окрестность точки q в Й/, то произведе-
произведение t/xV, обладая открытым дополнением (^\?/)х
Х& U&X(&\V), будет замкнутой окрестностью точки
(р, q) в JTxS/). П
Замечание 3. Обозначения наводят на мысль, что
наряду с инвариантом dim (и «улучшенным» инвариан-
инвариантом dim') можно определить другие целочисленные ин-
инварианты ind и Ind, также могущие претендовать на роль
размерности. Это действительно так, но, к сожалению,
эти инварианты совпадают, вообще говоря, только для
метризуемых пространств, удовлетворяющих второй ак-
аксиоме счетности, и за их пределами расходятся.
Изучение этих — и других аналогичных инвариантов —
составляет предмет так называемой теории размер-
н остей.
После всей этой предварительной работы мы уже мо-
можем непосредственно приступить к построению примера
Тихонова.
Пусть с2" = [0, со]х[О, Q] — прямое произведение сег-
сегментов порядковых чисел [0, со] и [О, Q]. Согласно по-
полученным выше результатам X является нульмерным
(dim •#* = ()) хаусдорфовым и компактным пространством.
Пусть Л —открытое подпространство пространства %', со-
состоящее из всех его точек, за исключением «угловой
точки» (со, Q). Мы покажем, что dim^^l. Поскольку
неравенство dim A^l означает, что йшЛ^О. и по-

ТИХОНОВСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ 163
скольку равенство dim Л = 0 равносильно равенству
Ind Л = 0, для этого нам достаточно доказать, что
Ind Л =7^= 0, т. е. что в подпространстве А существует такое
замкнутое множество F и такая его окрестность U, что
пи одна окрестность V множества F, содержащаяся в U,
не является замкнутым множеством. Мы докажем даже
большее, а именно, найдем в А такое замкнутое множе-
множество F и такую ее окрестность U, что для любой содер-
содержащейся в U окрестности V множества А ее замыкание
V не содержится в U'. (Это означает, что между F и
A\U в А нет перегородки, т. е. что А не нормально.
С другой стороны, будучи компактным и хаусдорфовым,
пространство SC нормально. Таким образом, простран-
пространство % является также примером нормального, но не
вполне нормального пространства).
За F мы примем множество всех точек пространства
??, имеющих вид (п, Q), где О^п<со, а за U — множе-
множество всех точек, имеющих вид (п, Р), где 0^о<со и
О ^ р ^ Q. Ясно, что множество 0 открыто (в А и в SC),
а множество F замкнуто (в А, но не в X). Пусть V —
произвольное открытое (в А, а значит, и в SC) множест-
множество, содержащее множество F и содержащееся в множе-
множестве U. Для любого п, О^п<со, множество всех чисел
Р ^ Q, для которых (п, Р) € V, открыто в [О, QJ (почему?)
и содержит Q. Поэтому существует такое число ап < Q,
что весь полуинтервал (а„, Q] = (a,,, Q)U{&} содержится
в этом множестве. Пусть a = supan. Так как ап < Q, то
a < Q (см. выше) и для любого числа р ? (a, Q) каждая
точка (п, Р) принадлежит V.
С другой стороны, каждая окрестность W точки (со, Р)
и А содержит окрестность вида [N, co]x(Pi, Р2), где N —
некоторое натуральное число (<со), а рх и р2—такие по-
порядковые числа второго класса, что Pi < Р < Р2- Поэтому
окрестность W содержит все точки (п, Р) с п > N и по-
потому _пересекается с V. Следовательно, (п, co)gF и, зна-
значат, Vet U. П
Вернемся теперь к прямым произведениям и перене-
перенесем их конструкцию на случай любого (вообще говоря,
бесконечного) числа множителей.
Пусть {SCa, agA} — произвольное семейство тополо-
топологических пространств, и пусть ^ — множество всевозмож-
всевозможных семейств {xa}, где ха g SCa.
6*

1б4 Фильтры
Для любого ко нечно го множества индексов {а1( ...
..., а,,} и любых открытых подмножеств UaiaSPai, ...
..., UanziSt;an обозначим через O(Uat, ..., Uan) под-
подмножество множества %, состоящее из всех точек {ха},
для которых
Ясно, что
0(Uai, .... Uan) = O(Uai
и, значит, пересечение любых двух множеств вида
O(Uai, ..., Uan) также является множеством такого же
вида. Поэтому множество всех множеств О (U ui Uan)
является базой открытых множеств некоторой топологии
на множестве SC (открытыми множествами этой топологии
являются, таким образом, всевозможные объединения
множеств вида 0(Uan ..., Uan)).
Определение 1. Получающееся топологическое про-
пространство % называется прямым (или тихоновским) про-
произведением пространств 5СЛ. Обозначается оно символом
II &а
аб А
(употребляется также обозначение X ^а)- При конеч-
(Х6А
ном семействе {Ха} мы получаем, очевидно, прямое про-
произведение в смысле определения 5 лекции 8.
Теорема 1. Прямое произведение любого семейства
компактных пространств компактно.
Зта теорема известна как теорема Тихонова.
Чтобы ее доказать, мы переформулируем определение
компактности пространства в терминах, удобных для ее
доказательства.
Пусть пока Ж — произвольное множество.
Определение 2. Множество Ф подмножеств множе-
множества st называется фильтром, если
1° любое подмножество множества Ж, содержащее не-
некоторое подмножество из Ф, принадлежит Ф:
АсВсУ, А?Ф => В?Ф;
2° пересечение любых двух подмножеств из Ф принад-
принадлежит Ф:
А, Я?Ф -> А П

ЦЕНТРИРОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА МНОЖЕСТВ 165
3° все SV принадлежит Ф, но пустое множество 0 нет:
Пример 1. Для любой точки х0 множества & се-
семейство всех подмножеств множества Л', содержащих
точку х0, являегся фильтром.
Пример 2. Если SC — топологическое пространство,
то для любой точки Xq^SC семейство всех подмножеств
А множества ?С\ для которых хй является внутренней
точкой (л;0 ? Int Л), является фильтром.
Пример 3. Если множество SC бесконечно, то все
множества, дополнения которых конечны, образуют фильтр
Пример 4. Если Ф—фильтр и М — подмножество,
ему не принадлежащее, то множество Фм всех подмно-
подмножеств АаЖ, для которых АцМ^Ф, образует фильтр.
Определение 3. Множество Г подмножеств множе-
множества № называется центрированным, если пересечение
любого его конечного подсемейства не пусто.
Ясно, что если Г центрировано, то для любого отоб-
отображения /: SC—+Ч) множество /Г={/Л; Л^Г] также
центрировано.
Из свойств 2 и 3 фильтров немедленно следует, что
любой фильтр является центрируемым множеством.
Обратно, легко видеть, что любое центрированное
множество Г содержится в некотором фильтре. Дейст-
Действительно, ясно, что таким фильтром будет, например,
множество Ф(Г) всех подмножеств множества SC, обла-
обладающих тем свойством, что каждое из них содержит
подмножество, являющееся пересечением некоторого ко-
конечного семейства элементов множества Г. D
Фильтр Ф(Г) является, очевидно, минимальным фильт-
фильтром, содержащим центрированное множество Г. Говорят,
что он порожден этим множеством.
Напомним, что элемент т частично упорядоченного
множества Л называется максимальным, если из т^.а
следует, что т = а. Элементы а и Ь множества Л назы-
называются сравнимыми, если либо а^Ь, либо Ь^.а. Под-
Подмножество С частично упорядоченного множества назы-
называется цепью, если оно линейно упорядочено, т. е. любые
его два элемента сравнимы. Элемент с0 называется верх-
верхней гранью цепи С, если с^.са для любого элемента
С. Частично упорядоченное множество Л называется

166 УЛЬТРАФИЛЬТРЫ
индуктивным, если любая его цепь обладает хотя бы од-
одной верхней гранью.
Примером частично упорядоченного множества явля-
является множество FILTR(^) всех фильтров на множестве
JP, упорядоченное по включению (Ф^Ч1", если ФсгЧ*").
Максимальные элементы этого множества называются
ультрафильтрами. Таким образом, фильтр Ф является
ультрафильтром, если любой фильтр, его содержащий,
совпадает с Ф.
Легко видеть, что множество Ф подмножеств множе-
множества SV тогда и только тогда является ультрафильт-
ультрафильтром, когда:
а) пересечение любых двух множеств из Ф не пусто;
б) все множество 3' принадлежит Ф;
в) из любых двух взаимно дополнительных подмно-
подмножеств А и В = ?Р\А множества SC одно (и только
одно) принадлежит Ф.
Действительно, условие а—это условие 2° из опре-
определения фильтра, а условие б —это первая часть усло-
условия 3°, вторая часть которого следует из первой и усло-
условия в (примененного к A = S?). Далее, если АаВаЗ? и
Л^Ф, но 5(?Ф, то в силу условия в %"\В?Ф, что
противоречит условию а, так как (%\ВI~) А = 0. Сле-
Следовательно, множество подмножеств Ф, удовлетворяющее
условиям а—в, является фильтром. Если этот фильтр
содержится в фильтре W и существует множество А ? W,
не принадлежащее Ф, то В = &\А принадлежит Ф, а
значит, и W, что невозможно (ибо А[)В — 0). Поэтому
f = Ф и, значит, Ф является ультрафильтром.
Обратно, если Ф—ультрафильтр, то условия а и б,
очевидно, выполнены, а для доказательства условия в
достаточно заметить, что при А (? Ф фильтр Фл (см. при-
пример 4) содержит, очевидно, фильтр Ф. Поэтому в силу
максимальности ультрафильтра Ф фильтр Фл совпадает
с Ф. Но ясно, что фильтр Фл содержит множестЕо В —
— &\А. Следовательно, В?Ф. П
Отсюда, в частности, непосредственно вытекает, что
каждый фильтр из примера 1 является ультрафильтром.
Такие ультрафильтры называются тривиальными.
Далее, легко видеть, что любое множество А, пересе-
пересекающееся с каждым элементом ультрафильтра Ф, при-
принадлежит Ф. Действительно, если А^Ф, то в ультра-
ультрафильтре Ф найдется элемент (а именно JP\A), не пере-
пересекающийся с А. П

УЛЬТРАФИЛЬТРЫ 167
Цепями множества FILTR {Ж) являются такие множе-
множества фильтров {Фа}, что для любых аир либо Фас=Фр,
либо Фрс=Фа. При этом легко видеть, что объединение®
всех фильтров цепи является фильтром (достаточно заме-
заметить, что любые два элемента этого объединения принад-
принадлежат некоторому фильтру Фа). Поскольку фильтр Ф
содержит все фильтры Фа> он является их верхней
гранью. Мы видим, следовательно, что множество всех
фильтров индуктивно.
Но согласно известной лемме Цорна (называемой
также теоремой Ку рато веко го — Цорна) любое
индуктивное множество А имеет максимальный элемент
и, более того, для любого элемента а0 ? А существует
такой максимальный элемент т, что ай ^ т.
Приведем для полноты доказательство этой леммы. Пусть мно-
множество А произвольным образом занумеровано порядковыми числами
некоторого интервала [0, а). (Подчеркнем, что эта нумерация никак
не связана с ямеющейся в А частичной упорядоченностью.) Ясно, что
без ограничения общности, мы можем считать, что данный элемент
«о имеет номер 0. Рассмотрим в А подмножество С, удовлетворяю-
удовлетворяющее следующим условиям:
а) элемент а0 принадлежит С;
б) элемент множества А, имеющий номер ?, тогда и только тогда
принадлежит С, когда он сравним со всеми элементами из А, имею-
имеющими меньшие номера.
Ясно, что эти условия однозначно характеризуют подмножество
С и что это подмножество является цепью. Пусть т— произвольная
исрхняя грань множества С (существующая в силу условия индук-
индуктивности). Так как элемент т сравним с любым элементом из С, то
каждый элемент а^т также сравним с любым элементом из С и,
и частности, со всеми элементами из С, имеющими меньшие номера.
Поэтому в силу условия б элемент а принадлежит С, и, значит,
ч < т. Этим доказано, что элемент т максимален. Для завершения
доказательства остается заметить, что по построению а0 < т-
В силу леммы Цорна, примененной к индуктивному
множеству FILTR {&), любой фильтр на множестве &
содержится в некотором ультрафильтре.
Это дает нам неограниченный запас нетривиальных
ультрафильтров. кф**»*1 - ***¦#'
Замечание 4. Любопытно, что ни один нетривиаль-
нетривиальный ультрафильтр нельзя построить явным образом без
каких-либо элементов произвола, т. е., другими словами,
охарактеризовать его списком свойств так, чтобы он ока-

168 КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ
зался единственным ультрафильтром с этими свойствами.
(Доказательство этого утверждения дается в математи-
математической логике на основе четкой экспликации всех необ-
необходимых логико-математичеоких понятий.)
Пусть теперь ЭС—топологическое пространство.
Определение 4. Точка p^SC называется точкой
прикосновения множества Ф подмножеств топологического
пространства SC', если каждая окрестность этой точки
пересекается с каждым элементом А множества Ф, т. е.,
иными словами, если р0 g Л для любого A g Ф.
Таким образом, точки прикосновения множества Ф —
это точки пересечения
B) П А
А ЕФ
замыканий А всех множеств A g Ф.
Заметим, что если Ф—фильтр, то множество B) сов-
совпадает с пересечением всех замкнутых множеств из Ф.
Дополнение к множеству B)—это в точности объеди-
объединение открытых множеств &\А. Следовательно, множе-
множество Ф тогда и только тогда не имеет точек прикос-
прикосновения, когда множества Ж\А, Л^Ф, покрывают %.
Определение 5. Если каждая окрестность точки
Ръ?.ЗС содержит некоторый элемент множества подмно-
подмножеств Ф (и, значит, — в случае, когда Ф является фильт-
фильтром,— принадлежит Ф), то говорят, что Ф сходится к
точке рй.
Легко видеть, что если множество Ф является уль-
ультрафильтром, то оно сходится к шнсдой своей точке
прикосновения. Действительно, если окрестность U точки
/?0 пересекается с каждым элементом ультрафильтра Ф,
то U принадлежит Ф. П
Теперь мы можем доказать нужный нам критерий
компактности.
Предложение 1. Следующие свойства топологиче-
топологического пространства 2? равносильны:
Г Пространство Ж компактно.
2° Любое центрированное множество его замкнутых
подмножеств имеет непустое пересечение.
3° Каждый фильтр на & имеет точки прикосновения.
4° Каждый ультрафильтр на SV сходится,

критерий Компактности 169
Доказательство. Достаточно, очевидно, доказать
импликации
3°
\
Импл икации^Г=Ф2° и 2°=> Г. Утверждение, что
пересечение всех элементов А некоторого множества Г
подмножеств пространства % пусто, означает, что допол-
дополнения %\А этих элементов покрывают SV, а утвержде-
утверждение, что множество Г центрировано, означает, что ника-
никакое конечное семейство дополнений 3?\А не покрывает
%. Поэтому, если множество замкнутых подмножеств
компактного пространства SC имеет пустое пересечение,
то оно никак не может быть центрированным, а если
пересечение любого центрированного множества замкну-
замкнутых подмножеств пространства 9С не пусто, то каждое
семейство открытых множеств пространства •#*, ни одно
конечное подсемейство которого не покрывает 3", само
но покрывает SC.
Импликация 2° =ф 3°. Достаточно заметить, что
множество Г всех замкнутых подмножеств, принадлежа-
принадлежащих произвольному фильтру Ф, центрировано, и что
каждая точка прикосновения фильтра Ф является общей
точкой элементов множества Г.
Импликация 3° => 4°. Если каждый фильтр имеет
точки прикосновения, то, в частности, точка прикоснове-
прикосновения имеет и каждый ультрафильтр. С другой стороны,
ультрафильтр тогда и только тогда сходится, когда у него
есть точки прикосновения.
Импликация 4° =ф 2°. Каждое центрированное мно-
множество содержится в некотором ультрафильтре. Поэтому,
если этот ультрафильтр сходится, то центрированное
множество имеет точку прикосновения (любая точка при-
прикосновения произвольного множества множеств является
точкой прикосновения и каждого подмножества этого мно-
множества). С другой стороны, если множество множеств
состоит из замкнутых множеств, то каждая его точка
прикосновения принадлежит пересечению всех его эле-
элементов. Таким образом, если в пространстве Ж каждый
ультрафильтр сходится (имеет точку прикосновения), то

170 ТЁОРЁМЛ ТИХОНОВА
любое центрированное множество замкнутых подмножеств
пространства SC имеет непустое пересечение. ?
Теперь теорема Тихонова доказывается без всякого
труда.
Доказательство теоремы 1. Пусть Ф—произ-
Ф—произвольный ультрафильтр на прямом произведении
абА
компактных пространств SC'„. Рассмотрим образ праФ
этого ультрафильтра при канонической проекции
пра: SC~+SCa, {*<*}|—*ха. Поскольку Ф является цент-
центрированным множеством, его проекция праФ также цент-
центрирована. Поэтому центрировано и множество Га, состо-
состоящее из замыканий элементов множества праФ (т. е. из
множеств Аа, где Ла = праЛ, Л?Ф). Следовательно, по-
поскольку пространство #*а компактно, существует точка
Pa €^a> принадлежащая всем множествам Ла из Га, т. е.
такая, что каждая ее окрестность Ua пересекается с
каждым, множеством Аа.
Для множеств А фильтра Ф это означает, что все они
пересекаются с множеством 0(Ua), откуда следует, — по-
поскольку Ф является ультрафильтром,—что 0(?/а)?Ф.
Выбрав для любого а одну из точек ра и получив
тем самым некоторую точку {/;а} произведения SC, рас-
рассмотрим произвольную окрестность W этой точки в %'.
По определению эта окрестность содержит некоторое
множество вида О(?/„,, ..., {/«„), где Uai, ..., Uan —
окрестности точек pat, . . ., ра„ в пространствах 3?ai, . ¦ ¦
. .., З'ап соответственно. Но, как мы только что видели,
все множества О(?/„,), ..., 0(Uan) принадлежит ультра-
ультрафильтру Ф. Поэтому ультрафильтру Ф принадлежит и
их пересечение
0({/«„ .... */«„) = О ({/„,) П.--ПО (?/«„),
а значит, и окрестность W.
Таким образом, любая окрестность точки {ра} при-
принадлежит ультрафильтру Ф, и, значит, этот ультрафильтр
сходится к {ра}.
Тем самым доказано, что в пространстве SC любой
ультрафильтр сходится. Следовательно, пространство ?С
компактно. Q

Лекция 11
Гладкость на аффинном пространстве.—Многообразие мат-
матриц данного ранга.— Многообразия Штифеля.— Ряды
матриц.— Экспоненциал матрицы.—Логарифм матрицы.—
Ортогональные и У-ортогональные матрицы.— Матрич-
Матричные группы Ли.— Группы У-ортогональных матриц.—
Унитарные и ./-унитарные матрицы.— Комплексные
матричные группы Ли.— Комплексно аналитические
многообразия.— Линейно связные пространства.— Связ-
Связные пространства.— Совпадение связности и линейной
связности для многообразий.— Гладкие и кусочно глад-
гладкие пути.— Связные многообразия, не удовлетворяющие
второй аксиоме счетности.
Возвращаясь к гладким (класса С°°) многообразиям,
дополним приведенный в лекции 6 список их примеров.
Эти примеры не только иллюстрируют общую теорию, но и
являются истоком важных теорем, которые, к сожалению,
почти полностью остаются за рамками этого курса.
Пусть Л—произвольное /г-мерное аффинное простран-
пространство над полем R. Каждый репер 0ех-¦ еп этого про-
пространства определяет координатный изоморфизм h: Л —>¦ К"
—>
(переводящий точку М с О/И=х1е1Н- ... + х"еп в точку
(х1, ..., х") пространства R"), и, значит,— карту (Л, К).
Эта карта составляет одноэлементный атлас на Л и,
следовательно, задает на Л некоторую гладкость (ср.
пример 1 лекции 1). Для любого другого репера О'е[. ¦ -е'„
соответствующая карта {Л, h') связана с картой (Л, К)
отображением перехода h'oh'1, являющимся аффинным
(и, значит, диффеоморфным класса С40) отображением
R"--> R", и поэтому согласована с картой (Л, К). Это
означает, что гладкость, задаваемая картой (Л, К), не
зависит от выбора репера Ое^-.-в,,. Мы будем называть
ее стандартной гладкостью на Л. Она, очевидно, согла-
согласована с топологией на Л.
Поскольку каждое линейное пространство автомати-
автоматически является аффинным пространством, все это приме-
применимо, в частности, к произвольному линейному про-
пространству; например, к /лп-мерному линейному простран-
пространству R(m, n) всех вещественных прямоугольных матриц
размера тхп. Таким образом, R.(m, n) является тп-мер-
ным гладким (класса Са) многообразием. Чтобы получить
карту, покрывающую это многообразие, нужно элементы

172 МНОГООБРАЗИЕ МАТРИЦ ДАННОГО РАНГА
каждой матрицы А из R (т, л) выписать в строчку в про-
произвольном, одном и том же для всех матриц порядке.
Группа GL(n) всех невырожденных матриц порядка л
выделяется в линейном пространстве Mat,, (R) = R (л, л)
всех квадратных матриц А порядка л условием det A ^=0.
Так как определитель матрицы, будучи многочленом от
ее элементов, непрерывно от них зависит (функция det:
A—* det А непрерывна на Matn(R)), то группа GL(n)
является открытым множеством гладкого многообразия
Mat,(R), и потому на ней определена индуцированная
гладкость. Таким образом, группа GL (л) представляет
собой гладкое (класса Си) многообразие. Размерность этого
многообразия равна л2.
Чтобы получить менее тривиальный пример гладкого
многообразия, введем в рассмотрение подмножество R (т,
л; k) пространства R (т, л), состоящее из матриц ранга k,
где 0 <!fe^ min(m, n). Являясь подмножеством тополо-
топологического пространства R(m, л), это множество представ-
представляет собой топологическое пространство (по отношению
к индуцированной топологии).
Оказывается, что в множество R(m, /i; k) можно ес-
естественным образом ввести согласованную с топологией
гладкость, относительно которой оно будет гладким
многообразием размерности k(m-\-n—k).
Рассмотрим с этой целью подмножество f/cR(m, n; k),
состоящее из всех тхл-матриц вида
A)
А В
С D\
где А—невырожденная /гх/г-матрица (т. е. матрица из
GL(&)), а матрицы В, С и D, имеющие соответственно
размеры (т—k)xk, kx{n—k) и (m—k)x{n—k), произ-
произвольны.
Выбрав и зафиксировав определенный порядок выпи-
выписывания элементов матриц А, В и С в одну строчку, мы
получим отображение h множества U на некоторое под-
подмножество и„ пространства RN, где
N = k2 + (m~k) k -I- k(n—k) = k(m-V n—k).
Так как матрица A) имеет тот же ранг, что и матрица
Е 0 IIII Л В
-С А-1 ЕЦС D
А В
0 D — CA~lB

МНОГООБРАЗИЕ МАТРИЦ ДАННОГО РЛПГЛ 173
(ибо первый сомножитель слева невырожден), а послед-
последняя матрица имеет ранг к тогда и только тогда, когда
D—СЛ~15 = 0, то матрица A) однозначно определяется
матрицами А, В, С, где А—невырожденная матрица, а на
матрицы В и С не накладывается, вообще говоря, никаких
условий. Это означает, что множество U, а значит, и мно-
множество Uo открыты (в R(m, n; k) и RN соответственно),
а отображение h: U —+U0 биективно. Следовательно, пара
(U, К) является картой в R(m, n; k).
Обратное отображение h~l: Uo—> ?/ состоит в восста-
восстановлении матриц А, В, С по данному вектору-строке
и в заполнении правого нижнего угла матрицы A) мат-
матрицей
Пусть теперь a: R(m, n; k) —>-IR(m, n; k) — биективное
отображение множества R(w, n; k) на себя, задающееся
некоторой перестановкой строк или столбцов (имеется
всего т\п\ таких отображений), и пусть
Ua = aU и ha = ho a.
Тогда пара (?/а, hrj) также будет картой в R(m, n; k).
" Поскольку любая тх«-матрица ранга k перестанов-
перестановками строк и столбцов может быть переведена в матрицу
вида A), множества Ua покрывают множество R(m, n; k).
Пусть Ua n ?/р ф 0. Множество
состоит из матриц A), которые после перестановки а о р
не выходят из U, т. е. минор порядка k которых, пере-
переходящий при а о р в левый верхний минор, отличен
от нуля. Этот минор представляет собой некоторую ра-
рациональную (ибо D = CA~1B) и, следовательно, непре-
непрерывную (в ее области определения) функцию от элементов
матриц А, В, С. Поэтому в Un = h(U) множество, на ко-
котором эта функция отлична от нуля, т. е. множество
открыто.
Отображение
B) hpo/?i = ho(p-ioa)oh-b М^аПг/р) >М^П?/В)
точку из ha(Uar\ ^3) с ^о. отвечающую матрице A)
(а точнее, матрицам А, В и С), переводит сначала в

174 МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ
матрицу A), т. е. в матрицу
\\С СА-1В\'
затем подвергает эту матрицу некоторой перестановке
строк и столбцов и, наконец, выписывает в одну строчку
все элементы, оказавшиеся на месте, матриц А, В и С.
Это показывает, что отображение B) задается рациональ-
рациональными функциями координат. Эти функции определены
на ha(Uaf]U^) и, значит, гладки на ha(Uaf]U?). Это
доказывает, что любые две карты вида (Ua, ha) согласо-
согласованы друг с другом.
Следовательно, все эти карты составляют некоторый
атлас. Гладкость, определенная этим атласом (очевидно,
согласованная с топологией в R(m, n; k)), и является
гладкостью, которую мы имели в виду построить. G
Заметим, что при m = n = k атлас составляет уже одна
карта (U, h), и это в точности атлас, задающий указан-
указанную выше гладкость на GL(tt).
Пусть f°—произвольное я-мерное линейное про-
пространство над полем вещественных чисел. Называя т-
реперами в °Р, где 0 < т ^ п, линейно независимые
семейства векторов из f®, состоящие из т векторов,
рассмотрим множество V(т, f3) всех m-реперов в "У3.
Выбрав в "У3 произвольный базис (n-репер), мы можем
сопоставить каждому m-реперу тхп-матрнцу, столбцы
которой состоят из координат векторов этого репера
в данном базисе. Ясно, что тем самым получится неко-
некоторое биективное отображение V (т, "У3)—>R(m, n; т).
Перенося с помощью этого отображения гладкость из
R(m, n; т) в V(т, У), мы получим на V(т, Ф>) струк-
структуру гладкого многообразия, которая, очевидно, не за-
зависит от выбора базиса в "Р.
Это многообразие называется многообразием Штифеля
линейного пространства °Р. При ^ — R" оно обозначается
через V (т, п).
Задача 1. Покажите, что множество G (т, "I/3) всех т-мерных
подпространств n-мерного линейного пространства 'У3 является
т (п — /л)-мерным гладким многообразием. (Это многообразие назы-
называется многообразием Грассмана; ср. лекцию II.9.)
Для изучения более сложных гладких многообразий,
состоящих из матриц, нам понадобятся некоторые сведе-
сведения из общей теории матриц.

РЯДЫ МАТРИЦ 175
На линейном пространстве Matn (R) всех квадратных матриц
Л = aj I порядка п можно ввести много различных норм, т. е. таких
функций А\—>|Л| со значениями в поле R, что
| А | > 0 при А Ф О
для любых матриц А, В и любого числа к. Нам будет удобна
норма, определенная формулой
I А 1 = л- max 1Л
Эта норма обладает тем приятным свойством, что для любых матриц
А = | а1,1 и В = 1Ь1, | имеет место неравенство
\АВ\<\А\-\В\.
Действительно, по определению умножения матриц элементы с, мат-
матрицы АВ выражаются формулой cj а^бу, т. е. формулой
л
k=l
Поэтому
п
\АВ\ = п- max |с'|<л- max 51 I ell'l*/1<
л раз
Кроме того, для этой нормы
1 лт 1 = | л j.
В соответствии с общими определениями анализа мы будем го-
корить, что последовательность {А (т)} матриц А (т) = | а1, (т) || схо-
Оится к матрице Л=|ау|| (и будем писать А (т)—<- А при т—*оо),
если
| А (т) — Л | —> О
при т—»-оо или, что, очевидно, равносильно, если а1, (т)—> Оу для
любых t, /= 1, ..., т.
О бесконечном матричном ряде
C) Л0 + Л1+...+Лт+...
мы будем говорить, что он сходится к матрице А, если к Л схо>
дится последовательность {Л (т)} его частичных сумм

170 ЭКСПОНЕНЦИАЛ МАТРИЦЫ
Известный критерий сходимости Коши непосредственно
переносится на матричные ряды, т. е. ряд C) тогда и только тогда
сходится, когда для любого е > 0 существует таксе Mq > 0, что для
любого т > Мо и каждого р^О
Ряд C) называется аСсолнтно сходящимся, если сходится число-
числовой ряд
\А0\ + \А1\+...+\Ат\+...
Поскольку
I »« + »« + !+ • • • +Ат+Р |< \Ат | + \Ат + 11+ ... +\Ая+р |,
из критерия сходимости Коши непосредственно следует, что каждый
абсолютно сходящийся ряд сходится.
Примером абсолютно сходящегося ряда служит ряд
m=0
Этот ряд сходится (абсолютно) для любой матрицы А. Его сумма
называется экспоненциалом этой матрицы н обозначается символом еА
(или ехр А).
Ясно, что операция перехода к матрице еА коммутирует с опе-
операцией A i—> А~^ транспонирования матриц, т. е.
D) . (еА) —еА для любой матрицы А.
Кроме того,
E) С-^еЛС- ес~1АС
для любой невырожденной матрицы С (ибо С~1АтС= (С~лАС)т для
каждого т).
Если матрица А является верхнетреугольной матрицей с диаго-
диагональными элементами ах, ..., ан, то каждая матрица Ат также
верхнетреугольна, а ее диагональные элементы равны т-и степеням
а7' ¦¦¦' atn Диагональных элементов матрицы А. Поэтому верхне-
треугольиа и матрица еА, а ее диагональными элементами являются
числа еа' е"п. Для определителя матрицы еА отсюда следует
формула
F) ЫеА-=е^'А,
где Тг Л —след матрицы А (сумма ее диагональных элементов). Но из
курса линейной алгебры мы знаем (см. формулу D) лекции 11.15),
что для каждой невырожденной матрицы
G) Тг(С-ЧС)

ЛОГАРИФМ МАТРИЦЫ 177
и что (см. предложение 2 лекции 11.17) любая матрица имеет вид
С~1АС, где Л —некоторая верхнетреугольная матрица (Еообще го-
норя, с комплексными элементами). Поэтому в силу формулы E)
формула F) справедлива для /юбой мотрицы А.
В частности, мы видим, что спределитель кождай мотрипы
пида еА пплсжите/.ен, так что, в частности, мптрицо еА нееырсждена
(принадлежит группе GL (л)).
Равенство
(8) еЛея=еЛ + я
для произвольных матриц А и В, вообще говоря, неверно. Однако
оно верно, если мотрииы А и В перестановочны, потому что в этом
случае сохраняет свою силу выкладка, доказывающая формулу (8)
для чисел. [По формуле бинома для любого
(А + В)" хр А" В"-*
m! ~L* k\ (m—k)V
4=0
и поэтому для любого М > 0
2М ,.,„._ / М
m=0 4m=o ' 4m=0
где ^д] —сумма членов вида
Л* В'
Т7" /!'
распространенная на все пары (k, I), для которых ft-)-/<2M и одно
из чисел k и I больше М. Но так как число таких пар равно
М(М + \), а
Л* В'
ТТ'ТГ
[Л|* \B\i тах(|Л|, | В
k\ l\ *" iWl
то
Следовательно, | /?ai I—> 0 при M—>¦ oo, что и доказывает фор-
формулу (8).]
В частности, мы видим, что еАе~А — е° — Е, т. е.
(9) (еА)~1 = е-А.
(Заметим, что это заново доказывает включение eA?GL(n).)
Аналогично функции ехр могут быть определены и другие мат-
матричные функции от Л. Рассмотрим, например, ряд

178 ЛОГАРИФМ МАТРИЦЫ
являющийся матричным аналогом известного логарифмического
ряда. Поскольку логарифмический ряд абсолютно сходится при
| г— 1 | < 1, ряд A0) абсолютно сходится при \А— Е\ < 1. Его
сумма обозначается символом In Л и называется логарифмом мат-
матрицы А.
Подчеркнем, что, таким образом, логарифм In А определен только
при | А — Е\ < 1.
Вообще говоря, In (AB) f- In Л + In В, но если матрицы А и В
перестановочны (а матрицы In Л, In В и !n (AB) определены), то
A1) In (AB) = In Л + In В.
Доказательство аналогично доказательству формулы F).
Если А — число (матрица порядка 1), то как известно, е1п^ = Л.
Поэтому, подставив ряд для In Л вместо Л в ряд для еА, мы после
раскрытия скобок и приведения подобных членов получим Л (дайте
прямое доказательство этого утверждения), причем эта выкладка
будет законна для любых Л, для которых ряд In Л сходится. По-
Поскольку эта выкладка (вместе с обоснованием ее законности) пол-
полностью сохраняется для матриц любого порядка, мы видим, следо-
следовательно, что
A2) е1пд = л
для любой матрицы А с \ А — Е\ < 1. (В частности, для любой такой
матрицы det Л > 0.)
По аналогичным соображениям должно иметь место и равенство
A3) 1пеЛ=Л,
причем, поскольку для чисел соответствующая выкладка с рядами
законна лишь при | г | < In 2 (почему?), то равенство A3) имеет
место при \ А | < In2. (Заметим, что если | Л | < In2, то \еА— ?|<
<еМ1_1 < 1.)
Из формул A2) и A3) следует, что матричные функции ехр и In
задают взаимно обратные биективные отображения между окрест-
окрестностью единичной матрицы Е, состоящей из матриц А вида ев, где
| В | < In 2, и окрестностью нулевой матрицы 0, состоящей из мат-
матриц В, для которых \В\ < In2.
При этом, поскольку элементы матриц е-4 и In Л являются, оче-
очевидно, гладкими (вещественно аналитическими) функциями элементов
матрицы Л, эти отображения являются диффеоморфизмами.
Задача 2. Выведите из формулы (8) формулу A1). [Указа-
[Указание. Докажите, что при | Л | < In 2 и \В\ < in2 из перестановочности
матриц еА и е" вытекает перестановочность матриц Л и В.]
Вытекает ли из формулы (II) формула (8)?
Замечание 1. Хотя нас в основном — пока явно не оговорено
противное —интересуют лишь вещественные матрицы (состоящие из

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И ./-ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ 179
пещественных чисел), но иногда нам придется привлекать и матрицы
с комплексными элементами (см., например, шше доказательство
формулы F)). Стоит поэтому заметить, что сказанное выше о матри-
матрицах еА и 1п А в одинаковой мере справедлико как для вещественных,
так и для комплексных матриц.
Напомним (см. лекцию 1.13), что вещественная мат-
матрица А называется ортогональной, если транспониро-
транспонированная матрица Лт ей обратна, т. е. если АГА = Е.
Все ортогональные матрицы порядка п образуют группу,
которая обозначается символом О (л).
Вообще, если /— произвольная невырожденная мат-
матрица порядка п, то матрица А порядка п, для которой
A4) ArJA = J,
называется J-ортогональной матрицей. (Таким образом,
^-ортогональные матрицы—это в точности матрицы ортого-
ортогональные.) Все /-ортогональные матрицы образуют группу,
которая обозначается символом Оу(л).
Из формулы A4) следует, что определитель /-ортого-
/-ортогональной матрицы А равен ± 1. /-ортогональная матрица А
с сИЛ=1 называется собственной (или унимодулярной).
Все собственные /-ортогональные матрицы образуют
подгруппу SOy(rt) группы Oj(n) (при J = E—подгруппу
SO (я)).
Если для /-ортогональной матрицы А имеет место
неравенство \А — ?|< 1 и потому существует матрица
В = In A, то
Следовательно, если |5|<1п2 (и потому \JBJ~X\<
< In2 и | — ЯТ| = |В|< In2), то JBJ-1 = — BT, т. е.
A5) 5т/=_/Л.
Обратно, если A5) выполнено, то
и, значит, матрица A—eR является /-ортогональной мат-
матрицей.
Матрицы, удовлетворяющие условию A5), называются
.1-кососимметрическими. (При J — E — это обычные косо-
симметрические матрицы.)
Поскольку соотношение A5) линейно по В, все J-koco-
сцмметрические матрицы (данного порядка п) составляют

180 МАТРИЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
линейное подпространство пространства Mat,,(R). Это
подпространство обозначается символом $0j(n) (а при
J =Е символом So (я)).
Рассмотрим ситуацию в общем виде.
Пусть 3 — группа, состоящая из вещественных матриц
порядка п (подгруппа группы GL(n) = GL(n; К))-
Определение 1. Группа % называется матричной
группой Ли, если в линейном пространстве Mat, (R) су-
существует такое линейное подпространство С{, что
Г Для любой матрицы В 6 Я матрица ев принадлежит
группе И.
2° Если ев € S и | В | < In 2, то В € й-
Линейное пространство g называется алгеброй Ли
группы 3. (Это название объясняется тем, что она яв-
является алгеброй в общеалгебраическом смысле относи-
относительно операции [Blt B2] = BlBi—В2В,; см. ниже замеча-
замечание 1 лекции 16.)
Таким образом, согласно проделанным выше вычис-
вычислениям для любой невырожденной матрицы J группа Оу (п)
является матричной группой Ли с алгеброй Ли 80j(n).
Матричной группой Ли является, конечно, и вся группа
GL(n, IR) (для нее fl = Mat, (R); заметим, кстати, что на
этом основании линейное пространство Mat ,R обозначается
также символом йНп))- Матричной группой Ли является
и подгруппа GL+ (п) группы GL (п), состоящая из матриц
с положительным определителем (для этой подгруппы
также g = Matn(R)).
Из формулы F) немедленно вытекает, что для группы
SL(n) = SL(n; R) всех унимодулярных матриц свойствами
1° и 2' обладает (п2—1)-мерное подпространство $1(п)
всех матриц В, для которых ТгВ = 0 (физики называют
такие матрицы бесследными). Таким образом, группа SL (п)
является матричной группой Ли с алгеброй Ли $1(п).
Значение матричных групп Ли в теории гладких много-
многообразий определяется следующим предложением:
Предложение 1. Каждая матричная группа Ли Ъ
обладает естественной структурой гладкого многообразия.
Размерность этого многообразия равна размерности
алгебры д.
Доказательство. Пусть Uo—окрестность нулевой
матрицы 0 в линеале д, состоящая из всех матриц В ? fl.
для которых |В|<1п2, и пусть t/ = exp?/0. Тогда U
открыто в % (почему?) и отображение In: A —+\nA яв-

МАТРИЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИ (81
ляется биективным (и даже гомеоморфным) отображением
U —* с/0.
Выбрав определенный способ выписывания элементов
матриц из g в строку, и отождествив тем самым алгебру g
с пространством RA, где N = dim$, мы можем рассмат-
рассматривать с/0 как подмножество пространства RN. Ясно, что
это подмножество открыто в IR^ и, значит, пара (U, 1п)
является картой в д.
Заметим, что Е?U.
Для любой матрицы С из % введем в рассмотрение
множество CUa^, состоящее из всех матриц из Ъ вида
С А, где A^U, и отображение
hc: CU^U0
этого множества на множество UacRN, определенное
формулой
Ясно, что отображение hc биективно, т. е. что пара
(CU, hc) является картой в Ъ. Так как С = СЕ?CU, то
все карты вида (CU, hc) покрывают Ъ. С другой стороны,
для любых двух матриц Clt C2 g д отображение
hcohcl: hCi {C,U n C2U) -* hCi (C.U n C2U)
задается формулой
причем множество hCi {CJJ n C2U) состоит из всех матриц
B?U2, для которых С^С^"$U.
Поэтому множество hCi{CxU f\C2U) открыто, а отобра-
отображение hCtohci гладко. Следовательно, карты {CXU, hCi)
и (C2U, hCt) согласованы.
Мы видим, таким образом, что карты вида (CU, hc)
составляют атлас на i> и, значит, задают на % структуру
гладкого многообразия (очевидно, размерности N).
Тем самым предложение 1 полностью доказано. D
В дальнейшем мы всегда будем считать, что каждая
матричная группа Ли $ снабжена построенной гладкостью.
Будучи подмножеством линейного пространства Matn(R),
группа Ъ наследует из Matn(R) его топологию.
Ясно, что в этой топологии все карты (CU, hc) удо-
удовлетворяют условиям предложения 2 лекции 7, и, сле-
следовательно, гладкость в группе Ъ согласована с ее топо-
топологией.

182 ГРУППЫ ./-ОРТОГОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ
Таким образом, в частности, мы видим, что группа
SL (л) является гладким многообразием размерности л2— 1.
Аналогично, для люСой невырожденной матрицы J
порядка п группа Оу(л) всех J-ортогональных матриц
порядка п является гладким многообразием.
Размерность этого многообразия (равная размерности
алгебры Ли 80j(n)) зависит, вообще говоря, от /.
Например, при J = E алгебра сОА (/;) = со (л) состоит
из всех кососимметрических матриц В = ||&}|| порядка л.
Поскольку в л2-мерном линеале Matn (R) всех матриц по-
порядка п кососимметрические матрицы выделяются п(п-\-1)/2
независимыми условиями
Ц = — Ь[, где i, / = 1, . . ., л и t < /,
то
Таким образом, размерность группы Ли О (л) равна
п{п~\)
2
Другой важный пример получается в случае, когда
число л четно (п = 2т) и матрица J имеет вид
A6) J=\-E О
где 0 и Е — нулевая и единичная матрицы порядка т.
В этом случае условие ./-кососимметричности матрицы
A7) А =
А3 А,
порядка л (где Аи А2, Ая, А4 — матрицы порядка т)
равносильно трем соотношениям
A8) Aj = -At, Aj = At, A] = Aa,
означающим, что матрицы А., и А3 симметричны и что
матрица Л4 выражается через матрицу At (не подчинен-
подчиненную никаким условиям). Поэтому размерность простран-
пространства У-кососимметрических матриц (обозначаемого в этом
случае символом §р (т; R)) равна

ГРУППЫ У-ОРТОГОНАЛЬИЫХ МАТРИЦ 183
Матрицы, /-ортогональные по отношению к матрице A6),
называются симплектическими матрицами, а их группа
Oj{n) (обычно обозначаемая символом Sp(m; R)) назы-
называется симплектической группой. Согласно произведен-
произведенному вычислению группа Sp (m; R) является гладким мно-
многообразием размерности т{2т-\-\).
Матрицы четного порядка п = 2т, одновременно орто-
ортогональные и симплектические, составляют ортогональную
симплектическую группу Sp(m; ЩГ\0Bт). Эта группа
является матричной группой Ли с алгеброй Ли Зу (т\ R) П
П §0 Bт).
Ясно, что матрица A7) тогда и только тогда кососим-
метрична, когда А] = —Аи А~[ =—А3 и Aj = —Л4.
Вместе с условиями A8) это дает, что матрица A7) тогда
и только тогда принадлежит алгебре Ли ?:р (т; Щ П $0 Bт),
когда
г\ у ш=== 'ii» *12 ^~ **2 **3 ^~ **2* **4 == 1*
Поэтому
dim (вр (m; R) П ^о Bт)) = ^f^- +
и, значит, группа Sp (m; R)nOBm) является гладким
многообразием размерности т2.
Пусть n = p + q, и пусть
где Ер и Eq—единичные матрицы порядка р vi q соот-
соответственно.
Матрицы, /-ортогональные по отношению к этой ма-
матрице /, называются (см. лекцию II. 12а) псевдоортого-
псевдоортогональными матрицами типа (р, q), а их группа Оу(/г)
обозначается символом О(р, q). (Таким образом, О (п, 0) —
=О@, п) = О(/г).) Ясно, что группа О(р, q) является глад-
гладким многообразием размерности п ~ (не зависящей
от р и q).
Комплексным аналогом /-ортогональных матриц яв-
являются ^-унитарные матрицы с комплексными элемен-
элементами, удовлетворяющие соотношению
A9)

184 УНИТАРНЫЕ И ./-УНИТАРНЫЕ МАТРИЦЫ
(при / = ?—это обычные унитарные матрицы; см. лек-
лекцию 11.22), а комплексным аналогом /-кососимметриче-
ских матриц—J-косоэрмитовы матрицы, удовлетворяю-
удовлетворяющие соотношению
(при J = E—это обычные косоэрмитовы матрицы; см.
лекцию 11.20).
Все /-унитарные матрицы составляют группу Uy(n)
(при / = ? группу U (я), а /-косоэрмитовы матрицы —
линеал иу(я) (при / = ?—линеал и (я)).
[Отметим, что линеал иу(я) хотя и состоит из комп-
комплексных матриц, но выдерживает умножение только на
вещественные числа (после умножения на i косоэрмитовая
матрица становится эрмитовой), т. е. Uj(n) является ли-
линейным пространством над полем R. При / = ? его раз-
размерность равна, как нетрудно подсчитать, я2. (Условие
косоэрмитовости матриц не накладывает никаких ограни-
ограничений на " g~ ' комплексных чисел выше главной диа-
диагонали и требует, чтобы я чисел на главной диагонали
были чисто мнимыми).]
Задача 3. Покажите, что для любой /-косоэрмито-
вой матрицы В матрица ев является /-унитарной матрицей
и что для /-унитарной матрицы А = ев с |В|<1п2 ма-
матрица В необходимо /-косоэрмитова.
В порядке непосредственного обобщения определения
мы будем применять термин «матричная группа Ли» и
к группам $, состоящим из комплексных матриц, для
которых существует линеал flcMatn(C) (над полем R),
обладающий свойствами 1°, 2° из определения 1. В силу
этого соглашения мы можем, таким образом, сказать, что
Uy(n) является матричной группой Ли с алгеброй Ли
Иу (я). Поскольку предложение 1, очевидно, полностью
сохраняет свою силу и для таких матричных групп Ли,
мы видим, следовательно, что группа Uy (я) является глад-
гладким многообразием. При 1-Е размерность этого много-
многообразия равна я*.
Задача 4. Покажите, что соответствие
является диффеоморфным (и одновременно изоморфным) отображе-
отображением ортогональной симплектической группы Sp (m; R)()OBm) на
группу U (т).

КОМПЛЕКСНЫЕ МАТРИЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 185
Из соотношения A9) следует, что для любой /-уни-
/-унитарной матрицы А имеет место равенство
Унитарные матрицы А, для которых
det A = 1
(унимодулярные унитарные матрицы), образуют подгруппу
SU (п) группы U (я). Эта группа является матричной груп-
группой Ли с алгеброй Ли, состоящей из всех бесследных
косоэрмитовых матриц порядка п (эта алгебра обозна-
обозначается обычно символом 3u(n)). Так как, очевидно,
dimwit(я) = п2—1, то, следовательно, группа SU (п) яв-
является гладким многообразием размерности я2—1.
Другой интересной подгруппой группы U (я) является
(при п — 2т четном) унитарная симплектическая группа
Sp(/n), состоящая из унитарных матриц порядка п = 2т,
удовлетворяющих условию симплектичности (которое,
конечно, имеет смысл и для комплексных матриц). Эта
группа является матричной группой Ли с алгеброй Ли
«р(/п), состоящей из косоэрмитовых матриц A7), удовлет-
удовлетворяющих соотношениям A8). Но условие косоэрмитовости
для матрицы A7) сводится к соотношениям
Ai = Лх, А± = At, Л™ = А3,
и эти соотношения вместе с соотношениями A8) дают, что
А± = Аи А3 = —А2,
где.Л! — косоэрмитова матрица (зависящая от т2 вещест-
вещественных параметров), а Л2—симметрическая матрица (за-
(зависящая— ввиду ее комплексности — от т(т+ 1) вещест-
вещественных параметров). Это показывает, что dim$])(m) =
—m2jr m(m+ \) = mBm+ 1) и, следовательно, что группа
Sp (m) является гладким многообразием размерности
тBт+ 1).
Обратим внимание, что dim Sp(m) = dimSp (m; R)< Тем
не менее многообразия Sp (/л) и Sp (m; R) недиффеоморфны
(хотя бы потому, что одно из них компактно, а другое
пет).
Как уже было замечено, условие симплектичности
(и — более общо—условие /-ортогональности) имеет смысл
и для комплексных матриц. Так возникает группа Оу(«; С)
комплексных J-ортогональных матриц порядка п (и, в част-

186 КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
ности, группа О (я; С) комплексных ортогональных матриц
порядка п и группа Sp(m; С) комплексных симплектиче-
ских матриц порядка п — 2т). Эта группа удовлетсоряет
условиям определения 1 с тем лишь отличием, что соот-
соответствующая алгебра Ли й состоит из комплексных матриц
и является линеалом над полем С. Такие группы мы будем
называть комплексными матричными группами Ли.
Поскольку любой линеал над полем С автоматически
является линеалом и над полем R (вдвое большей раз-
размерности), любая комплексная матричная группа будет
матричной группой Ли (в указанном выше обобщенном
смысле) и, значит, будет гладким многообразием. В част-
частности, мы видим, что все группы вида Оу(я; С) (и, в част-
частности, группы О (я; С) и Sp (m; С)) являются гладкими
многообразиями. При этом dimO(n; С) = я(я—1), а
dimSp(m; С) = 2т{2т + 1).
Заметим, что, таким образом,
Sp(m) = Sp(m; C)nUBm)
(аналогичное пересечение Sp (m; R) П U Bт) является не
чем иным, как ортогональной симплектическои группой
Sp(w; R)nOBm)).
Пример групп Оу(/г; С) наводит на мысль рассмотреть
в общем виде многообразия, обладающие картами (U, я),
для которых множество я @) является открытым множе-
множеством пространства С" (такие карты называются комп-
комплексными).
Две комплексные карты (U, я) и (V, k) называются
комплексно согласованными, если либо Uf\V=0, либо
множества я (U n V) и k (U П V) открыты в С" и отобра-
отображение
Ьи-1: h(Ur\V)-*k(U(]V)
является комплексно аналитическим диффеоморфизмом,
т. е. и оно, и обратное к нему отображение hok~l выра-
выражаются комплексно аналитическими (в другой термино-
терминологии— голоморфными) функциями (в окрестности любой
точки 20 = (zJ, . .., zt)€h(Uf\ V)atn, разлагающимися
в ряд по степеням разностей z1—zj, ..., z" — г?).
Множество ЗС, снабженное атласом из комплексно со-
согласованных комплексных карт, называется комплексно
аналитическим многообразием. Число д называется

ЛИНЕЙНО Г.ПЯЗНЫН ПРОСТРАНСТВА 187
его комплексной размерностью и обозначается символом
dimc .2".
«Комплексный» аналог предложения 1 утверждает,
что любая комплексная матричная группа Ли является
комплексно аналитическим многообразием. Доказательство
дословно совпадает с доказательством предложения 1.
[Подчеркнем, что группа U (п) не является комп-
комплексной матричной группой Ли; ввести на U (п) струк-
структуру комплексно аналитического многообразия, вообще
говоря, нельзя.]
Так как пространство С' естественным образом отож-
отождествляется с пространством R2" (достаточно каждую комп-
комплексную координату zk, k=\, . . ., п, заменить ее вещест-
вещественной и мнимой частями), и так как для любой комплексно
аналитической функции от г1, ..., г" ее вещественная и
мнимая части являются (докажите!) вещественно анали-
аналитическими функциями от
y1==lmz\ .... уп= Imz',
то каждое комплексно аналитическое многообразие SC
автоматически является гладким (вещественно аналити-
аналитическим) многообразием удвоенной размерности.
Это многообразие называется овеществлением много-
многообразия & и обозначается символом SC&.
Теперь нам надо на несколько минут вернуться к об-
общей топологии.
Определение 2. Путем в топологическом простран-
пространстве SC называется произвольное непрерывное отображение
и: 1—+SC в Ж отрезка /=[0, 1]. Точка «@) называется
начальной точкой пути и (короче, началом), а точка «A) —
его концевой точкой (короче, концом). Говорят также,
что путь и соединяет в SC точку ри = и @) с точкой р^ = и{ 1).
Деформации базисов «-мерного линейного простран-
пространства Ф (см. определение 2 лекции 1.6) являются не чем
иным, как путями в многообразии Штифеля V (п, 1Уд) =
=GL(n), а псевдоортонормированные деформации базисов
псевдоевклидова пространства типа (р, q) (см. определе-
определение 2 лекции 11.12) — не чем иным, как путями в группе
О (Р. Я)-
Легко видеть (ср. предложение 1 лекции 1.6), что
отношение «быть соединенным путем» является отношением
эквивалентности на 5С, т. е. оно рефлексивно (каждая
точка /?0€^ соединяется сама с собой постоянным путем

(88 ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
и: 1—+SC, определенным формулой «(/) = /?„, t ? Г)., сим-
симметрично (если путь и: 1-^9С соединяет точку р0 с точ-
точкой ри то обратный путь и'1: I—+SC, определенный
формулой u~1(t) = u(l — /), t? I, будет соединять рх с р0)
и транзитивно (если путь и: I—+SC соединяет точку р0
с точкой /?,, а путь v: I—+X—точку рх с точкой рг, то
путь w: 1—^Х, определенный формулой
Г «B/), если 0</< 1/2,
B0) B'@=UB/_1)| если ,/2</<1,
— и называемый, кстати сказать, произведением uv путей
и и v,— будет соединять точку р0 с точкой /?а; докажите,
что формула B0) определяет непрерывное отображение).
Определение 3. Классы по этому отношению экви-
эквивалентности называются компонентами линейной связ-
связности топологического пространства 3'. ПространстЕО SC,
имеющее только одну компоненту линейной связности,
т. е. такое, что любые две его точки можно соединить
путем, называется линейно связным.
Ориентации линейного пространства в смысле опреде-
определения 3 лекции I. 6 и ориентации псевдоевклидова про-
пространства в смысле определения 2 лекции П. 126 являются
не чем иным, как компонентами линейной связности групп
GL (п) и О (р, q) соответственно. Таким образом, мы видим,
что группы GL (п) и О (п) имеют по две компоненты ли-
линейной связности, а группа О(р, q) при 0 < р < п — че-
четыре. Компонентой группы GL(n), содержащей единицу
этой группы (или, как кратко говорят, компонентой
единицы), является группа GL+ (n), компонентой единицы
группы О (п) — группа SO (n), а компонентой единицы
группы О(р, q) при 0 < р < п — группа Ol (p, q) (см.
лекцию II. 126).
Группа U (л) линейно связна (см. лекцию 11.22).
Задача 5. Докажите, что группы Sp (m; R), SU (n) и Sp (m)
линейно связны.
Существует другое понятие связности, иногда более
удобное (и которым мы уже пользовались в лекции 1
в связи с понятием простой линии).
Напомним (см. лекцию 8), что подмножество А топо-
топологического пространства ?С называется замкнутым, если
его дополнение ?\А открыто. Подмножество одновре-

СПЯЗНЫЕ ПРОСТРЛНГ.ТВЛ 189
менно открытое и замкнутое называется открыто-замк-
открыто-замкнутым.
Ясно, что пустое множество 0 и все пространство SC
открыто-замкнуты. Они называются тривиальными от-
открыто-замкнутыми подмножествами. Примером нетриви-
нетривиального открыто-замкнутого подмножества является под-
подгруппа ?0 (п) группы О (я).
Определение 4. Топологическое пространство назы-
называется связным, если в нем нет нетривиальных открыто-
замкнутых подмножеств. Подмножество топологического
пространства называется связным, если оно связно в ин-
индуцированной топологии.
Наглядно связность пространства означает, что оно
состоит из одного-единственного куска.
Задача 6. Докажите, что длинная полупрямая Александрова
(см. замечание 1 лекции 10) является связным топологическим про-
пространством.
Определение 5. Связное подмножество А топологи-
топологического пространства 9С называется его компонентой (или,
более распространенно, компонентой связности), если оно
максимально, т. е. если каждое связное подмножество,
содержащее А, совпадает с А.
Из курса анализа известно, что любой отрезок [а, Ь]
оси R является связным пространством. [Приведем для
полноты доказательство. Пусть отрезок [а, Ь] несвязен,
т. е. пусть существует непустое открыто-замкнутое мно-
множество Сс[а, Ь], отличное от всего [а, Ь]. Переходя, если
нужно, к дополнению (которое также открыто-замкнуто),
мы без ограничения общности можем считать, что а?С.
Пусть Т — множество всех точек t?[a, b], для которых
[a, t)?C. Так как из [а, t)?C следует, что [a, t]aC
(ибо С замкнуто), то ТсС. Так как С открыто в [а, Ь]
(и а € С), то существует такое е > 0, что [а, а 4 е) с С, т. е.
а + г^Т. Следовательно, множество Т не пусто и его
верхняя грань ta— sup Т строго большей. Пусть а < / < /„.
По определению верхней грани существует такое число
ttGT, что t<U. Тогда \а, t)<= [a, tJcC и, значит, t$T.
Этим доказано, что [a, to)cC, т. е. что to?TcC. Но если
t<,?C и to<b, то, поскольку С открыто в [а, Ь\, сущест-
существует такое е >0, что (/„—е, /0+е)с С. Поэтому [а, 10+г)аС
п, значит, г„-\-г?Т. Поскольку это противоречит равен-
равенству /0 = sup7\ неравенство t0 < Ь невозможно. Следова-
Следовательно, to = b и, значит, вопреки условию, С=[а, Ь]. ?]
В частности, отрезок I связен.

190 СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Отсюда легко следует, что любое линейно связное про-
пространство SC связно. Действительно, если С—произволь-
С—произвольное открыто-замкнутое множество в Ж", то для каждого
пути и: I—>SC множество и"хС всех точек t?[0, !], для
которых и (/) ? С, открыто-замкнуто в /. Поэтому ввиду
связности отрезка / либо и~хС—0, либо и~1С — 1. Если
Сф0, то мы можем исключить первый случай, выбрав
начало пути и в С, а если Сф??, то мы можем исклю-
исключить и второй случай, выбрав конец пути и вне С. Таким
образом, если в ?? существует непустое открыто-замкну-
открыто-замкнутое множество С, отличное от SC, то никакую точку из С
нельзя соединить путем ни с одной точкой вне С. По-
Поэтому SC не линейно связно. U
Теперь ясно, что каждая компонента линейной связ-
связности содержится в некоторой {очевидно, единственной)
компоненте связности.
Далее, легко видеть, что замыкание А произвольного
связного подмножества А связно. Действительно, если
непустое подмножество С открыто-замкнуто в Л, то его
пересечение С{\А о, А не пусто (почему?) и открыто-
замкнуто в А. Поэтому С{\А — А и, значит, AczC. Так
как С замкнуто не только в А, но и в SC, то, следова-
следовательно, AczC и, значит, А = С. D
В частности, отсюда следует, что любая компонента
пространства ЗС замкнута.
Аналогично доказывается, что если пересечение П Аа
семейства {Аа} связных множеств не пусто, то их объеди-
объединение (J Аа связно. Действительно, если С открыто-замк-
открыто-замкнуто в [}Аа и С(\АаФ0, то СГ\Аа = Аа, и потому
AaczC. Но если Аа„сС хотя бы для одного индекса <х0,
то {\АасС, и, значит, СП АаФ 0 для всех а. Поэтому
либо АасС для всех а, либо СП Аа= 0 также для
всех а. В первом случае С= (J Аа, а во втором С=0. LJ
Отсюда вытекает, что для любой точки p?.SV компо-
компонента пространства SC', содержащая точку р, является
объединением всех содержащих точку р связных подмно-
подмножеств этого пространства и что компоненты простран-
пространства Ж попарно не пересекаются. Поэтому, если простран-
пространство 2С имеет конечное число компонент, то каждая компо-
компонента открыта в SC (и, значит, является открыто-замкну-
открыто-замкнутым множеством).

связность и линейная связность 191
Резюмируя, мы, таким образом, получаем, что произ-
произвольное топологическое пространство ЗС является объеди-
объединением попарно непересекающихся компонент, каждая из
которых является замкнутым (а в случае, когда компонент
конечное число и открытым) связным подмножеством
пространства №.
Пространство ЗС тогда и только тогда связно, когда
оно имеет только одну компоненту.
Пространство % называется вполне несвязным, если
каждая его компонента состоит только из одной точки.
Ясно, что хаусдорфово пространство №', для которого
ind •#"=() (см. лекцию 10), вполне несвязно.
С другой стороны, существуют примеры (довольно
сложные) вполне несвязных хаусдорфовых пространств
(даже метрических и удовлетворяющих второй аксиоме
счетности) произвольной положительной размерности. Все
эти пространства заведомо не компактны, поскольку можно
доказать (попытайтесь сделать это!), что вполне несвязное
хаусдорфово компактное пространство % нульмерно
(d d 0
В отличие от компонент связности, компоненты линей-
линейной связности, вообще говоря, не открыты и не замк-
замкнуты. Однако если пространство SC локально линейно
связно (пюбая его точка обладает фундаментальной систе-
системой окрестностей, каждая из которых линейно связна),
то каждая компонента линейной связности С простран-
пространства X открыта и замкнута. Действительно, если U —
линейно связная окрестность произвольной точки р ? С, то,
поскольку пересечение V П С не пусто, объединение С (J И
линейно связно и, значит,— в силу максимальности ком-
компоненты С—совпадает с С. Таким образом, UczC и, зна-
значит, pglntC. Этим доказано, что CcIntC, и, значит,
4ToC = IntC = C. Следовательно, компонента С открыто-
замкнута. ?
Отсюда непосредственно вытекает, что компоненты
линейной связности локально линейно связного простран-
пространства совпадают с его компонентами связности (и, кроме
того, что в локально линейно связном пространстве все
компоненты — независимо от их числа—открыто-замк-
числа—открыто-замкнуты) .
В частности, локально линейно связное пространство
тогда и только тогда связно, когда оно линейно связно.

192 ГЛАДКИЕ И КУСОЧНО ГЛАДКИЕ ПУТИ
Так как каждая точка любого топологического
(и, в частности, любого гладкого) многообразия обладает
фундаментальной системой окрестностей, гомеоморфных
открытому шару 6", и так как шар Ё", очевидно, линейно
связен, то произвольное топологическое многообразие
локально линейно связно.
Поэтому для топологических многообразий компоненты
совпадают с компонентами линейной связности и являются
открыто-замкнутыми множествами. (В частности, любая
компонента многообразия сама является многообразием.)
Мы видим, что линейно связные многообразия—это в
точности связные многообразия. На этом основании термин
«Линейно связные* к многообразиям обычно не при-
применяется и заменяется термином «связные».
Путь и: I—+SC в гладком многообразии ?? называется
гладким, если он является ограничением на / некоторого
гладкого отображения и': (—е, 1+е)—-+SC, где е > 0.
(Напомним, что интервал (—е, 1 + е) является гладким
многообразием.) Если отображение и' гладко всюду, за
исключением конечного числа точек, путь и называется
кусочно гладким.
Ясно, что если открытое множество U <г.З? диффео-
морфно связному открытому множеству в IR" (например,
шару), то любые две его точки можно соединить в U
гладким путем. Очевидным образом отсюда следует — ввиду
компактности отрезка /,— что любые две точки связного
гладкого многообразия можно соединить кусочно гладким
путем.
Задача 7. Докажите, что любые две точки связного гладкого
многообразия можно соединить даже гладким путем.
Все построенные в этой лекции примеры связных глад-
гладких многообразий удовлетворяют второй аксиоме счетно-
сти. Однако существуют связные гладкие многообразия
и не удовлетворяющие этой аксиоме. Таким многообра-
многообразием является, скажем, длинная полупрямая Александрова
(см. выше задачу 7). Приведем более элементарный при-
пример, не использующий порядковых чисел (этот пример
принадлежит Калаби и Розенлихту).
Пусть SC — подмножество пространства R3, состоящее
из точек (я, у, г), для которых либо х = 0, либо z = 0
(объединение координатных плоскостей Оуг и Оху), a Ua,

СВЯЗНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
193
agR,— его подмножество, состоящее из точек (х, у, г),
для которых либо х Ф О, либо у — а (объединение плоскости
Оху с удаленной осью ординат х = 0 и прямой л: = 0,
у = а). Пусть, далее, ha: 0а—^Ыг — отображение множе-
множества Ua на плоскость R2 с координатами (иа, va), зада-
задаваемое формулами
I QzlH: t еСли х Ф О,
I z, если х = 0.
Это отображение, очевидно, биективно (обратное отображе-
отображение переводит точку (иа, va) 6 R2 в точку (ыа, a+uava, va) € Ua)
и, значит, пара (Оа, ha) является картой на %. Для
любых двух таких карт (Ua, ha) и (Ub, hb) множество
Ua П Уь является плоскостью Оху с удаленной осью орди-
ординат х = 0, множества ha(Uaf]Ub) и hb(Ua(]Ub) представ-
представляют собой плоскость R2 с удаленной осью ординат U---Q,
а отображение
задается формулами
а—Ь
и, следовательно, вещественно аналитично. Это означает,
что карты (Ua, ha), fl?R, вещественно аналитически согла-
согласованы и, значит, определяют иа X структуру гладкого
двумерного многообразия класса Сс0.
М. М. Постников, сем. III

194 СВЯЗНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Задача 8. Покажите, что построенное гладкое многообразие
хаусдорфово, связно и не удовлетворяет второй аксиоме счетно-
счетности.
Конечно, этот пример легко обобщается на большие
размерности. Креме того, если заменить R на С, то та
же конструкция даст нам пример двумерного связного
комплексно аналитического многообразия, не удовлетво-
удовлетворяющего второй аксиоме счетности.
Интересно, что при п = 1 подобный пример невозмо-
невозможен, поскольку, как показал венгерский математик Радо,
каждая комплексная кривая (хаусдорфово связное одно-
одномерное комплексно аналитическое многообразие) удовлетво-
удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Замечание 2. Сравнение определений немедленно
показывает, что комплексные кривые суть не что иное,
как известные из курса теории функций комплексного
переменного абстрактные римановы поверх-
поверхности.

Лекция 12
Векторы, касательные к гладкому многообразию.— Про-
Производные голоморфных функций.— Касательные векторы
комплексно аналитических многообразий.— Дифференциал
гладкого отображения.— Цепиое правило.—Градиеитглад-
кой функции.— Теорема об этальных отображениях.—
Теорема о замене локальных координат.— Локально пло-
плоские отображения.
Введем понятие вектора, касательного к произволь-
произвольному гладкому многообразию SC.
Чтобы понять, как это можно сделать, рассмотрим
частный случай многообразия R", когда мы уже знаем,
что такое вектор.
В произвольных координатах х1, ..., х' (быть может,
даже криволинейных) вектор а аффинного пространства R"
и каждой точке ро€^'' задается п числами (а1, ..., а")
(вектором линейного пространства R"). Как преобразуются
эти числа при переходе к другим координатам х1', . . ., хп"?
(Из линейной алгебры мы знаем ответ только в случае,
когда новые координаты линейно выражаются через ста-
старые; теперь же мы имеем в виду самое общее преобразо-
преобразование координат, задаваемое произвольными гладкими
функциями xl' = xi' (х1, .. ., хп), t'=l,..., п.) Чтобы
дать ответ на этот вопрос, рассмотрим в IR" произвольную
гладкую кривую
x'' = x'{t), i=\, .. ., п,
проходящую при t = t0 через точку ра и имеющую в этой
точке касательный вектор а, т. е. такую, что а' = х' (t0)
для любого I = 1, . . ., п (точкой мы обозначаем дифферен-
дифференцирование по t). В координатах х1', ..., х1' эта кривая
будет задаваться функциями х1' (t)~.к' (хх (/), ..., x-'(t)),
г'=Г, ..., п', а касательный вектор (т. е. тот же век-
вектор а) будет иметь компоненты а'" = х1' (/„). Но по пра-
правилу дифференцирования сложной функции
(как всегда по I происходит суммирование), и, значит,
7*

196 векторы, клслтнльньи; к многообразию
/ Ох1' \ ( Ох1' \
где (—-) -—[—г) —значения частных производных
\ дх1 /0 \ Ох1 / г,
дх1'
—г в точке р0 с координатами х1 (/„), ..., х" (t0).
ОХ
Пусть теперь 3?—произвольное гладкое (класса С, г~^\)
многообразие размерности п. Для любой точки /?,,€•?'
символом А (р0) будем обозначать множество всех карт
(U, К) этого многообразия, для которых р0 ? U (о таких
картах говорят, что они центрированы в р0). Только что
произведенное вычисление мотивирует следующее опре-
определение:
Определение 1. Касательным вектором к многообра-
многообразию SC (или просто вектором многообразия ??) в точке
Роб-Я* называется такое отображение
B) А: А(р,) —R»,
что для произвольных карт [IJ, h) — (U, x1, ..., х")
и (?/', h') — {x1', ..., хп') из А(р0) векторы A(U, h) —
= (а1, .... а") и A(U', /i') = (ai' а"') линеала R"
связаны формулой A), т. е. формулой
C)
dh'
о
где (-=r-J —линейный оператор R"—> R" с матрицей
1 \ W
Компоненты а1, ..., а" вектора A(U, h)?R" наз1>1-
ваются координатами вектора А в карте (U, К) (или
в локальных координатах х1, . . ., х"). Для упрощения
формул равенство A (U, Л) = (а1, ..., а") обычно записы-
записывают следующим образом:
А = (а1 а") в (U, h).
В случае, когда карта (U, h) фиксирована, указание
«в (U, Л)» как правило, опускается.
Множество всех векторов многообразия SC в точке р0
обозначается символом Т^.Я* и называется касательным
пространством многообразия 3? в точке р0. Оно является
линейным пространством над полем R. относительно линей-
линейных операций, определенных формулами
(A + B)(U, h) = A{U, h)-\ B(U, h),
(XA)(U, h) = %A{U, A),

ВЕКТОРЫ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К МНОГООБРАЗИЮ 197
где А, В?ТрЖ, %?R, a (U, h)?A(p). [Включения
A + B?TpJ% и %.А?ТраЗ? обеспечиваются линейностью
операторов {^\. \
Таким образом, по определению, если А —{а1, . . ., а'1)
и В = (Ь1, ..., Ь") в (U, А), то А-\-В = (а*-\ Ь\ ..., а '+/;'•)
и ХА ~(ка\ . . ., Ха") в (и, К). Поэтому для любой карты
(U, h) соответствие
A>->-A(U, К)
определяет линейное отображение
D) VT--R".
Легко видеть, что отображение D) является изоморфиз-
изоморфизмом. Действительно, если A(U, h) — 0, то ввиду форму-
формулы C) A(W, й') = 0 и для каждой карты (U't ti) 6 А (/?„),
т. е. Л =0. Это означает, что отображение D) мономорфно,
С другой стороны, положив для любого вектора а —
= (а\ .... а")€К" и любой карты (?/', Н')?А(ра)
мы получим отображение Л: А (/?„) —<¦ R", обладающее тем
свойством, что A (U, h) = a. Поэтому для доказательства
того, что отображение D) является эпиморфизмом (и, зна-
значит, изоморфизмом), достаточно показать, что АТ%\
т. е. что
для любых двух карт (Ur, h'), (?/", Л")€А(/70). Но по
определению
« и А(и''н'
а по цепному правилу дифференцирования сложной функции
dxf /0 V дх1' /0 V дх' /0'
dh"

198 ВЕКТОРЫ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К МНОГООБРАЗИЮ
Таким образом, 1р& является линейным пространст-
пространством размерности п:
Векторы, переходящие при изоморфизме D) в стан-
стандартный базис elt .... еп пространства R", обозначаются
символами
Ш,
Они составляют базис пространства TPtSV, причем коорди-
координаты вектора A?TPll& относительно этого базиса—это
в точности его координаты в карте (U, h): если А =
= {а\ .... а") в (U, К), то
F) А-Dт)
V ох' ;Ра
и наоборот.
В случае, когда 2? является пространством R", среди
всех изоморфизмов D) есть один избранный, отвечающий
карте (Rn, id), и мы можем посредством этого изомор-
изоморфизма отождествить пространство T//oIR" с пространством R".
Таким образом,
G) T,.R» = R«
для любой точки р0 g R", что полностью согласуется с тем,
с чего мы начали.
Поскольку для каждой точки р0 любого открытого под-
подмногообразия U произвольного многообразия SC простран-
пространство TpJU естественным образом отождествляется с TpJ&:
мы получаем, в частности, что
(8) V/ = R»
для любой точки р0 g U произвольного открытого мно-
множества UcR".
Этими отождествлениями мы будем постоянно пользо-
пользоваться, не всегда явно их указывая.
Более общим образом, если X является линейным про-
пространством 7/э (или открытым множеством в "У"), то среди
изоморфизмов D) выделяются изоморфизмы, отвечающие
картам вида (9/э, h), где h — координатный изоморфизм

. ПРОИЗВОДНЫЕ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 199
"У3 —-*-R", отвечающий некоторому базису еи .. ., в., в ^.
Поскольку для двух таких изоморфизмов h и h' линейный
оператор ( ^) , А> € ^. совпадает, очевидно, с операто-
оператором h' о /г (и, в частности, не зависит от р0), компози*
ция Tpj%" —<¦ Ф изоморфизма D), отвечающего карте {"У3, h),
и изоморфизма /г: R"—*f*—одна и та же для всех к.
Таким образом, Tpof^ естественным образом отождест-
отождествляется с У3:
'\p^y3 = f3 для любого Ро^Т3.
Заметим, что в этом отождествлении базису E) отве-
отвечает базис eit ..., еп.
Если же SC является аффинным пространством Л, то
для любой точки ро?Л касательное пространство ТРяЛ
аналогичным образом отождествляется с ассоциированным
линеалом f° (и, значит, снова одно и то же для всех р0).
Впрочем, здесь удобно насильственно ввести зависимость
от р0 и отождествлять 1РпЛ с пространством Л, в кото-
котором в качестве начала отсчета выбрана точка р0, т. е.,
иными словами, считать все векторы из ТРаЛ отложенными
от точки р0.
В случае, когда 3? является элементарной поверх-
поверхностью в аффинном пространстве Л, касательное простран-
пространство Тр2? естественным образом отождествляется с введен-
введенным в лекции 3 касательным пространством (являющимся
подпространством ассоциированного линеала "У3). Именно,
если и, v—локальные координаты на Ж', отвечающие
некоторой параметризации r = r(u, v) поверхности Л\ то
соответствующие базисные векторы ( ^- . ( =- ) прост-
пространства ТРо%" отождествляются с векторами г„п, /%,0 про-
пространства V3. Поскольку при замене координат векторы
( т I > D~) преобразуются по тем же формулам, что
\ои i г.„ \ovjPo
II векторы г„A, г„С|, это отождествление пространства лРпХ
с подпространством пространства V не зависит от вы-
выбора параметризации r = r{u, v).
Понятие касательного пространства немедленно пере-
переносится на случай комплексно аналитических многообра-
многообразий (см. лекцию 11). Чтобы элегантно осуществить этот
перенос, нужны некоторые обозначения из комплексного
анализа, которые мы в первую очередь и напомним.

200 ПРОИЗВОДНЫЕ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
Для произвольной комплексной функции w(z) — и (х, y)-\-iv(x,y)
комплексной переменной z = x-\-iy мы положим
dz 2 \ dx ду )~ 2 \\дх ду ) \dx ду,
и
dw I / dw . dw \ 1 Г / du dv\ . I dv . du\ I
[Основанием для этих обозначений является формула
' dw , dw ,—
aw- -5—аг-\—= аг,
дг дг
где dz— dx-\-idy и dz- dx—idy.\
Уравнения Коши —Рнмана
du_dv dv ди
дх~ду' дх~ ду'
характеризующие голоморфные функции, записываются теперь в виде
одного равенства
600 -п
^ ц- ¦
[Таким образом, голоморфные функции можно интерпретировать
как функции, «не зависящие от г»! На этом основании произвольные
функции от г записываются иногда в виде w= w(z, г), а запись
w - w(z) употребляется лишь для голоморфных функций.]
Заметим, что если функция ш — w(z) голоморфна, то в снлусоэт-
ношений Коши —Римана
dw __ ди . dv
~дг~~дх + 1д~х
dw
т. е. для гслсмсрфнсй функции w= w(z) прсизссдная -т— по г совпа-
совпадает с обычной производной -т— по х. Аналогично,
dw _ 1 dw_
~дг 'Т ду '
Отсюда для любых голоморфных функций w — w(z) и ?~
следует, что стандартная формула
дх ди дх dv дх
для производной сложной функции ?^ ? (и* (г)) может быть пере-
переписана в следующем виде:
dg_ dt, dw
дг ow дг

ПРОИЗВОДНЫЕ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
20!
Это означает, что для производных (9) голоморфных функций спранед-
ливо обычное цепнсе правило.
Для комплексных функций w (г) — w (г1 г") от я комплекс-
комплексных переменных аналогичным образом определяются частные произ-
dw dw , ,
водные и _ , 1 </<я, и функция w тогда н только тогда
dzi dzJ
голоморфна, когда
дг1 дг"
Каждое отображение w: U — >Cm, где UaC", задается т комп-
комплексными функциями
A0) ш1=ш1(г) wm^ wm (г), z^ (г1 z«)?i/,
п комплексных переменных г1, ..., г", определенными на U. Отож-
Отождествив С" с R2" -- R" ф R" посредством соответствия
г =•-- (г1 г")<^(х^, ..., х", у1 у") = (х, у)
и С с R2 = Rm ф Rm посредством соответствия
W- (ш1, .... ш'л) ФФ (и1, ..., ит, v1, ..., v'n)-- (и, г),
где
^= Rez\ ..., л:" = Rez", ^-Rew1, .... ит -. Re к,,
...,уа— Im г", и'
мы можем рассматривать w как отображение из U а к2" в R2,
задаваемое 2т вещественными функциями
Если это отображение гладко, то его якобиева матрица (матрица
частных производных) имеет поэтому вид
да_ да_\
дх ду
dv dv
дх ду
где
ди
Тх"
д_иН
дх*\'
Поэтому
да
дх
dv
дх
да
ду
dv
ду
да_
ду
2
ёз.
2
dtJ
ду"
dv
\дх*
dv
ду
dvl_
дук
dtv dw
dz dz
dw dw
\\Em
\\Em
1ЕЯ

202 ПРОИЗВОДНЫЕ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
где Еп и Ет — единичные матрицы порядка пит соответственно, а
dw ^ | dw! I
dz ~ S dl" I'
dw
В случае, когда отображение w голоморфно f т. е. голоморфны функ-
функции A0), и, значит, —=-- 0), отсюда следует, что
dz )
da da
(И) if I
dx djf
-IE,,
При п = т отсюда, в частности, вытекает, что якобиан Dw голоморф-
голоморфного отображения w. U-*-Cn выражается формулой
dw
дг
и, следовательно, положителен.
Кроме того, поскольку
E
E
iE\
-IE]-
E
2
E
2»
E
2
E =
2i
0
Oil
Щ
отсюда также вытекает (для любых п и т), что при композиции
отображений их матрицы
дго дго
dw
дТ
перемножаются (ибо это верно для якобиевых матриц).
Для голоморфных отображений отсюда следует, что при композиции
голоморфных отображений их матрицы
wn — w" (г) и У — У (w), то
перемножаются: если
дУ =_ дУ dw"
dzi dwk дг!
(цепное [правило для голоморфных отображений).
Мы видим, таким образом, что для голоморфных функций произ-
производные (9) подчиняктся тем же формальным правилам, что и обычные
частные производные гладких вещественных функций.

КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 203
Пусть теперь $"—комплексно аналитическое многооб-
многообразие, и пусть p^SC'. Пусть, далее, A(joo)—множество
всех комплексных карт (U, К) многообразия У, Для ко-
которых pu?U. По определению для любых карт (U, /i) =
=(t/, z1 z»), (W, h') = (U', z'\ .... z»') из А(/70)
отображение h' о h~l задается голоморфными функциями
A2) z1' --=¦• z1' (z), .... z"' = zn' (г), где г = (z1, .... z").
Пусть f-зг-) —линейный оператор С"—>С" с матрицей
f-зг-)
/./=!.¦¦¦. *.
/ 5г'' \ 5г''
где ( —- ] —значения производных —- функций A2) в
\ дг) /о дг'
точке р9. По аналогии с определением 1 мы будем назы-
называть касательным вектором к многообразию SC в точке
рй такое отображение
A3) С: А(ро)->С«,^
что для любых карт (V, К) и (?/', h') из А (р0)
A4) C(t/', Л')-(-^-),СA/. К).
Все такие векторы составляют линейное пространство
ТРоЗ? над полем С размерности n = dimc.#\ причем для
любой карты (U, К) из A (joo) отображение
A5) ТЛДГ —С», Сн->С((/, Л),
является изоморфизмом. Векторы, переходящие при изо-
изоморфизме A5) в стандартный базис пространства С", обоз-
обозначаются символами
дг^)Р: ••¦• \дг» !„„•
Они составляют базис пространства ТРа&, обладающий
тем свойством, что равенство С(U, ftj^c1, ..., с") рав-
равносильно равенству С — сп—- ) .
V дг) /р.
Интересно сравнить комплексное л-мерное пространство
ТРш& с вещественным 2/г-мерным пространством T^^r,
где SP& — овеществление многообразия Я" (см. лекцию И).
Для любой комплексной карты (U, К) отображение h,
рассматриваемое как отображение в IR2", мы обозначим
через /tR, а множество всех карт вида (U, /iR), где

204
КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
(U, h) (Е А (ро),— через A (j0o)r- По определению множество
A(/?0)r содержится в множестве Ar (p0) всех карт мно-
многообразия 3CR в точке р0, причем, хотя A(jpo)r Ф Ar (joo),
но операция ограничения отображений Ar (р0) —> IR2" на
A(joo)R позволяет, очевидно, отождествить каждый каса-
касательный вектор Ar (р0) —> IR2" многообразия ^r в точке
р0 с отображениями
A6)
Л:
•R2
удовлетворяющими для любых карт (U, К) и (?/', /t') из
A(joo) соотношению
A7)
, hR).
С другой стороны, каждый касательный вектор A3) мно-
многообразия %' в точке р0 мы в силу отождествления
C" = IR2" можем рассматривать как отображение Cr:
A(A>)r —*К2"- При этом для любых карт (О, К) и (?/', h')
из А (р0) будет иметь место равенство ^
A8) CR(U', h'R) = (¦!?¦)*CR(U, h),
где
-оператор
рассматриваемый как опе-
ратор IR2"—i-R2".
Но ясно, что если некоторый линейный оператор
С" —> С" задается (в стандартном базисе) матрицей
С= A + iB, то тот же оператор, но рассматриваемый как
оператор IR2"—-у к2", будет задаваться матрицей
А -fill
В AT
Поскольку матрицей оператора (-J) служит матрица
дх'
.+м«-
дг'
дг /о
отсюда следует, что оператор (-^~) задается матрицей
дх' \ I ду'
дх /о \ дх jo
дУ \ ( дх'
дх /о \ дх

КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
205
совпадающей в силу соотношений Коши—Римана с ма-
матрицей
дх' \ ! дх'
дх Jo V ду /о
ду' \ ( ду'
дх Jo V ду la
dtiR'
оператора '
Это показывает, что
dh'
dhr
и, значит, формула A8) совпадает с формулой A7)
(при A = Cr). Следовательно, Сц является касательным
вектором многообразия ЗСъ в точке /?„.
Построенное отображение
очевидно, биективно и сохраняет суммы и произведения
па вещественные числа. Иными словами, оно является
изоморфизмом пространства ТРо&> рассматриваемого
в силу вложения Re:С как линейное пространство над
полем R, на пространство T^^r. В обозначениях, вве-
введенных в лекции 11.25, это означает, что имеет место
естественное отождествление
/\о\ /т яг\ =Т jZ*r>
В этом смысле многообразия ¦#" и ЗРЯ имеют одни и те
же касательные векторы.
Согласно сказанному в лекции 11.25 базис
д \ I д
dz1
Ро
р.
пространства TpJP, отвечающий карте (U, h) из A(joo),
порождает базис"
пространства (\pJ%)R, где J—оператор комплексной
структуры]* (умножения на i). Легко видеть, что в силу
отождествления A9) базис B0) совпадает с базисом
\"йжГ/Ро' ¦""' \~д~хТ)р«' \WIpo' '¦¦' V ду" ]Ро
пространства ТРо&\, отвечающим карте (U, /iK).

206 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
В дальнейшем комплексно аналитические многообразия
мы рассматривать больше не будем. Перенесение—когда
оно возможно—результатов, доказанных для гладких мно-
многообразий, на случай комплексно аналитических мно-
многообразий мы тем самым полностью оставим инициативе
читателя.
Пусть ?С и 3/ — два гладких многообразия (размерно-
(размерностей соответственно п и т), и пусть /: SC—>-Й/—произ-
SC—>-Й/—произвольное гладкое отображение.
Пусть, далее, р— произвольная точка многообразия ?С,
Q = f(P)—ее образ в многообразии &, а
(U, h) = (U, x\ .... х») и (V, k) = (V, у1, ..., у")
— такие карты многообразий SC и 3/ соответственно, что
p?U и fUcV.
Тогда, как мы уже знаем (см. лекцию 7), отображение
f записывается в картах (U, к) и (V, k) формулами вида
т,
где ft—некоторые гладкие функции.
Матрица
B1)
\(*\
, i= 1, ..., п, j = 1, ..., т,
размера пхт, элементами которой являются значения
\~дх?) частных производных функций \! по х{ в точке р
(т. е., точнее, в точке h(p)€Rn), называется якобиевой
матрицей отображения f в картах (U, К) и (V, k).
Эта матрица задает линейное отображение R"—>¦ Rm,
переводящее вектор (а1, ..., a")?R" в вектор
(/Л . .., bm)€Rm, где
Координатные изоморфизмы А н-> Л (f/, h) я А >—>
и-> Л (У, fe) позволяют это отображение интерпретировать
как линейное отображение 1Р?С—>Т??У касательных про-
пространств.
Определение 2. Построенное отображение Л^ —>• "Хр
называется дифференциалом гладкого отображения f в
точке р. Мы будем обозначать его символом (df)p или
просто dfp.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ГЛАДКОГО ОТОЗРАЖЕНИЯ 207
Для элементарных поверхностей эта конструкция нам
уже известна из лекции 3.
Таким образом, если А = (а\ ..., а'') в карте (U, h),
то dfp (A) = (ft1, ..., b) в карте (V, k), где Ы, / = 1, ...
..., т,— числа B2). На языке линейной алгебры это
означает, что отображение dfp является не чем иным, как
линейным отображением Tpt- -T^, имеющим в базисах
Ш, Ш,иШ, {-~)д матрицу B1).
Конечно, необходимо проверить корректность
этого определения, т. е. независимость отображения dfp
от выбора карт (U, h) и (V, k).
Пусть (l/\ h') = (U', xi', .... х"') и (V, ?') =
= (V',y1', ..., у"') — другие карты многообразий <% и У,
обладающие тем свойством, что p(tU' и q(tV, и пусть
d'fp—отображение dfp, построенное с помощью этих карт.
Тогда, если Л = (а1', ..., а'1') в (W, ti), то d'fp(A) =
-- (ft1', .... bm'), где bi' = ( -Цг ) а'' и ( —'-jr ) —значения
V дзг Jp \ дх' JP
в точке р частных производных по хг функций /'", выра-
выражающих в картах @', h') и (V, k') отображение /.
Пусть, далее,
х1' = х' (х1', . .., хп') и yi' = yi' (у\ ..., у'п)
— выражения локальных координат х' и у1' через локаль-
локальные координаты х1' и yt.
Для упрощения формул мы положим
х = (х1, ..., х') (и аналогично х'= (х1', ..., хп')),
у = {ух, •••, у") (и аналогично у'= (у1', ..., ут')).
Соответственно этому вместо х' (х1', . . ., х"') мы будем
писать х'(х'), а вместо (х1(х), ..., хч(х)) будем писать
х(х'). Аналогичный смысл будут иметь обозначения
/00./(*) */'(х')-
В этих обозначениях связь между функциями р и
/'' будет выражаться формулой
откуда по правилу дифференцирования сложной функции
следует, что
l' Ц dxf
Jp \dyJ )q\dxi
(
\дх1'

208
Поскольку
of (
аЛ
отсюда вытекает,
Ы' ( dfl' \ а''
V дх1' JP
ЦЕПНОЕ ПРАВИЛО
dxi \ а'' н Ы l df/
дх1 Jp
что
(дуГ W dfJy\ 1
\dyJ Jq{ dx'Jp\
\ ду> )
\дх'
( дх' \
\ дх1' JP
\ ( °fJ ^
'Адх< ;
)"'¦
/р
1 п1'
1 " —
р
( ду>'
\ дч!
\ Ы
1 '
т. е. числа Ы' и b1 являются координатами (в картах
(V, k') н (V, к)) одного и того же касательного вектора.
Следовательно, d'fр (А) = dfp (А) для любого вектора
А€ТРЯГ и значит, d'fp = dfp. ?
Ср. соответствующие рассуждения в лекции 3.
Заметим, что отображение dfp зависит только от ло-
локального поведения отображения f в окрестности точки р,
т. е. если для отображений f, g: Ж —*Ч) существует такая
окрестность U точки р, что f =g на и, то dfp — dgp.
В случае, когда J и Й/ являются открытыми под-
подмногообразиями пространств IR" н К (и потому простран-
пространства Тр$' и Tq& естественным образом отождествляются
с этими пространствами), отображение dfp: ТрХ—>1^
совпадает, очевидно, с главной линейной частью IR"— <¦№"
отображения { (т. е. является его дифференцналом в смысле
элементарного анализа).
Пусть /: % —у& и g: & -—> % — гладкие отображения.
Если (U, h) = (U, х\ .... х"), (V, k) = (V. г/1 у")
и (W, l) = (W, z1, ..., zs)~-такие карты многообразий
Я1, й/ и %, что fifaV и gV=W, и если y=f(x) и
z = S(У)—Функции, задающие в этих картах отображе-
отображения fug (мы пользуемся введенными выше сокращен-
сокращенными обозначениями), то гладкое отображение gof: X—>Ш
будет, очевидно, задаваться в картах (U, К) и (W, /)
функцией z =- g (/(•*¦)) Поэтому в силу формулы диффе-
дифференцирования сложной функции для любой точки p?U
будут иметь место равенства
;
означающие, что линейное отображение d(gof)p является
композицией линейных отображений dfp и dgq:
B3) d(gof)p = dgqodfp.
Эта формула называется цепным правилом.

ГРАДИЕНТ ГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ 209
Особенный интерес имеют два случая, когда 2/ = R
или т = п.
В случае, когда S/ является осью IR (и, значит, отоб-
отображение / — гладкой функцией на Ж), дифференциал dfp
обычно называется градиентом функции /.
В силу отождествления G) градиент является линей-
линейным отображением "XpSC — >U, т. е. ковектором простран-
пространства Тр&' (вектором сопряженного пространства ТрЗ',
которое, кстати сказать, обычно называется кокасатель-
ным пространством многообразия SC в точке р). По
определению ковектор dfp на любом векторе А ? ТрЖ" при-
принимает значение
Это значение называется производной функции f no век-
вектору, А и обозначается символом Af. Таким образом,
Af = dfp{A)
и
А[=(Л!-\а', если А =(а\ ..., а") в (U, х\ ..., хп).
\ дх1 )
В частности, (—- ] f — (~) для любого t = l, ..., п,
\ дх1 )р \ дх' )р
что и объясняет выбор обозначений для векторов базиса E).
Формула B4) означает, что в базисе пространства
VpSC, сопряженном к базису E) пространства Тр&,
.. I df \ I df \
ковектор df имеет координаты -^г . • • • > -^Ьг ¦
\ их I р \ их j р
Поэтому, во-первых, этот базис состоит из ковекторов
(ясно, что ковектор dfp определен и для функций /, задан-
заданных лишь в некоторой окрестности точки р) и, во-вторых,
Замечание 1. Обратим внимание на то, что градиент
является ковектором. Известное из курса анализа пред-
представление о градиенте гладкой функции на R" как о век-
векторе (см. ниже лекцию 24), основано на неявно подразу-
подразумеваемом отождествлении векторов и ковекторов
посредством стандартной евклидовой структуры на К".

210 ТЕОРЕМА ОБ ЭТАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
Пусть теперь п — т.
Определение 3. Гладкое отображение /: SC ---»¦?/ мно-
многообразий одной и той же размерности называется эталь-
ным в точке р?$" (или локальным диффеоморфизмом),
если на некоторой окрестности U этой точки оно является
диффеоморфизмом этой окрестности на окрестность V = fU
точки q = f(p).
Конечно, любой диффеоморфизм X —>>У будет эталь-
ным отображением (в каждой точке р?Х). Обратно,
соглгюно теореме анализа о дифференцируемое™ обратной
функции, каждое этальное биективное отображение
/: X —<¦& является диффеоморфизмом, причем, как пока-
показывают простые примеры (см. замечание 1 в лекции 6),
условие биективности здесь, вообще говоря, необходимо
(т. е. из этальности оно не вытекает).
Из формулы A2) (примененной к диффеоморфизму
f\u'. U—i-V и к обратному диффеоморфизму g: V—>¦ U)
немедленно следует (поскольку дифференциалом тожде-
тождественного отображения служит, очевидно, тождественное
отображение), что дифференциал dfp: l\v5C—+1ft произ-
произвольного этального в точке р отображения f: X —*У
является изоморфизмом (обратимым линейным отображе-
отображением). Оказывается, что и обратно, если дифференциал
dfp: 1рХ —> Т?2/ гладкого отображения /: SC —¦>¦ & в точке
р?Х является изоморфизмом, то отображение f этально
в точке р. Действительно, утверждение, что отображение
dfp является изоморфизмом, означает (при заданных
картах (U, К) и (V, к) с р 6 0 и fUcV), что определи-
определитель матрицы (9) отличен от нуля. Поскольку этот опре-
определитель является не чем иным, как якобианом Dq>
гладкого отображения <р = &о/оЛ~1: h (U)—>¦ f (V), отсюда
следует —в силу теоремы об обратном отображении
(см. лекцию 6),—что на некоторой окрестности W' точки
h(p)€h(U) в h{U) отображение <р является диффеомор-
диффеоморфизмом. Поэтому отображение / будет диффеоморфизмом
на окрестности U' — h~lW точки р в SC, и значит, будет
этально в p. Q
Тем самым нами доказано следующее предложение,
известное как теорема об этальных отображе-
отображениях:
Предложение 1. Гладкое отображение /: X—>¦<&
тогда и только тогда этально в точке р?%, когда его

ТЕОРЕМА О ЗАМЕНЕ ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТ 211
дифференциал
dfp: Т^-н-Т^, </ = /(/>),
является изоморфизмом. ?
Если этальное в точке р отображение /: SV—>-Й/ яв-
является диффеоморфизмом на носителе U карты (U, К), то
пара (V, k) — (fU, hotflu)*1) будет, очевидно, картой в 2/.
При этом отвечающее отображению / отображение <р:
h (U) —> k (V) будет тождественным отображением, т. е.
в соответствующих локальных координатах х1, ..., х"
и у1, ..., у" отображение / будет задаваться формулами
вида
B5) «/' = *', i = l п.
Таким образом, если отображение f: SC —>- 3/ этально
а точке р€&, то в многообразиях SC и 2/ существуют
локальные координаты х1, ..., х" и у1, ..., у", обладаю-
обладающие тем свойством, что в них отображение f записы-
записывается формулами B5) (т. е. является отображением
по равенству координат).
Предложение 1 является, по существу, лишь иной
переформулировкой теоремы об обратных отображениях.
Интересно, что последняя теорема допускает и принци-
принципиально другое воплощение.
Пусть (U, h) — (U, х1, ..., х'1) — произвольная карта
гладкого многообразия SC центрированная в точке puk.%
(т. е. такая, что po?U), и пусть
B6) х?'=*хГ(* х% t'=r п',
— гладкие функции, заданные в некоторой окрестности
U'с U точки р0.
Напомним (см. лекцию 6), что символ х1' в формуле
B6) имеет двоякое значение: слева он обозначает функцию
на U', а справа—функцию на окрестности h(JJ ) точки
X0 = /i(p0) в пространстве R". В соответствии с этим
якобиан
B7)
дх1' | i = 1, ..., п,
функций B6) мы также можем рассматривать либо как
функцию на U', либо как функцию на h (?/')• В каком из
этих двух смыслов он понимается, каждый раз должно
быть ясно из контекста.

212 ЛОКАЛЬНО ПЛОСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Если функции B6) являются локальными координа-
координатами в окрестности U', то в любой точке этой окрестно-
окрестности и, в частности, в точке р0 якобиан B7) отличен от
нуля. Обратное утверждение имеет место в следующей
формулировке:
Предложение 2. Если якобиан B7) отличен от нуля
в точке р0, то в некоторой окрестности U"cU' этой
точки функции B6) являются локальными координатами.
Доказательство. Функции B6), рассматриваемые
как функции на открытом множестве h (U') пространства
R", определяют некоторое отображение ф множества h (Ur)
в пространство R". Если их якобиан B7) [отличен от
нуля в точке xo = h(po) этого множества, то по теореме
об обратном ^отображении существует окрестность V
точки х0 (содержащаяся в открытом множестве h(U')),
на которой отображение ф является диффеоморфизмом
на некоторое открытое множество из R". Тогда пара
(V, h"), где
U'^h-W, ft' = (q>|v)°(A|u-),
будет картой на &, связанной с. картой (U, h) функциями
перехода B6). Следовательно, функции B6),— но рассма-
рассматриваемые уже как функции на U",— будут локальными
координатами, соответствующими координатному отобра-
отображению Л". ?
Предложение 2 известно как теорема о замене
локаль'ных координат.
Вернемся теперь к произвольным гладким отображе-
отображениям /: &—+У, где dim .Ж*=л и А\тУ=т.
Определение 4. Рангом гладкого отображения
f: X —>• У в точке р 6 SC называется ранг г линейного
отображения dfp: Tp&—+Tqy, q = f(p), т. е. ранг яко-
биевой матрицы B1) отображения / в точке р.
Ясно, что
m).
Так как при малом изменении элементов матрицы ее
ранг может только увеличиться, то ранг отображения /
в произвольной точке достаточно малой окрестности точки р
не менее его ранга в точке р0. Однако он вполне может
быть больше.
Определение 5. Отображение /: % —*У называется
локально плоским в точке р€-2\ если существует окре-

ЛОКАЛЬНО ПЛОСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 213
стность U точки р, на которой ранг отображения / по-
постоянен (равен рангу г в точке р).
Предложение 3. Если отображение f: $'—>& Л0.
кально плоско в точке p^SC, то в многообразиях SC и
Й/ существуют такие карты (U, хх, ..., х") и (V, ух, ..., ут),
что р 6 U, fUcV, и отображение f записывается в ло-
локальных координатах х1, ..., х" и у1, ..., у'" формулами
х>, если j = 1, ..., г,
(Заметим, что координаты xr+1, ..., хп в формулах B8)
не участвуют.)
Наглядно предложение 3 утверждает, что вблизи точки р
локально плоское в р отображение устроено как проекти-
проектирование R"—<-КгсК'л пространства R" вдоль последних
п — г координатных осей на координатное подпространство
Rr пространства Rm, состоящее из точек, у которых т—г
последних координат равны нулю.
Мы докажем предложение 3 в следующей лекции.

Лекция 13
Доказательство теоремы о локально плоских отображе-
отображениях. — Погружения и субмерсии. —Подмногообразия
гладкого многообразия. —Подпространство, касательное
к подмногообразию. —Локальное задание подмногообра-
подмногообразия. — Единственность структуры подмногообразия.
— Случай вложенных подмногообразий. —Теорема о
прообразе регулярного значения. —Решения систем
уравнений. —Группа SL (п) как подмногообразие.
Докажем предложение 3 предыдущей лекции.
Пусть сначала
(I)', h)-—(U, хх, ..., я") и (V, k) = (V, у1, ..., ут)
— произвольные карты многообразий J и Э/, обладающие
тем свойством, что p?U и jUczV, и пусть отображение f
записывается в этих картах формулами
y/ = ff(xx, ..., *"), /=1, ..., т.
По условию прямоугольная матрица, состоящая из
чисел (—.) , имеет ранг г. Перенумеровав — если нужно—
\д#)р
координаты, мы без ограничения общности можем поэтому
считать, что в этой матрице отличен от нуля минор
A) det (-М , i, /= 1, . .., г,
лежащий на пересечении первых г строк и столбцов.
Имея это в виду, рассмотрим в окрестности U точки р
функции хх', ..., х"', заданные формулой
( /'(х1, ..., х"), если t = l, ..., г,
B) х1' = •!
v ; \ х1, если i ==г+ 1, ..., п.
Для этих функций якобиан det
Ох'"
очевидно, равен
определителю A) и, значит, отличен от нуля. Следова-
Следовательно, согласно предложению 2 лекции 12, в некоторой
окрестности V точки р функции B) являются локальными
координатами.
Приняв теперь за*^?/ окрестность U', а за х1, ..., хп —
координаты хх', ..., х"', мы тем самым получим карты
(U, h) и (V, /г), в которых отображение / записывается

ТЕОРЕМА О ЛОКАЛЬНО ПЛОСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
215
формулами вида
| х>,
C) у1 = *у fJ^
если /= 1, . . ., г,
у = г+1> f n
Следовательно, в этих картах якобиева матрица отобра
жения f имеет вид
1 ... О 0 ... О
0 .
dx1 "
df»
.. 1
df
"¦ dxr
df'»
' ' ()xr
0
df
to"'
df'»
iW + i
... 0
df*1
''' dx"
df»
Так как, согласно условию, ранг этой матрицы ра-
равен г не только в точке р, но и в некоторой окрестности
этой точки (которую мы без ограничения общности можем
считать совпадающей с U), то все производные
offl д}п
ЫР^1 ¦ ¦ '' дх" '
of"
df»
dxr l ' ' ' "' dxn
тождественно равны нулю в U. Поскольку окрестность U
мы, очевидно, можем считать связной, отсюда следует,
что в U (т. е., точнее, в h (U)) функции /г+\ ...,/'" не за-
зависят от хг+х, ..., х-', т. е. их значения в любой точке
(х1, . . ., хг, . .., xn)?h(U) могут быть записаны в виде
fr+l(xx #) р(х\ .... хг).
Иными словами, эти функции можно считать функциями
на множестве nph(U)cR.r, состоящем из таких точек
(х\ ..., xr)?Rr, что (д:1, .... xr, x"\..., xn)?h{U)
хотя бы при одном выборе чисел xr+l, .... х" (геометри-
(геометрически множество np(?/)cRn является не чем иным, как
проекцией множества h(U)cRn на подпространстЕо
RR)
)
С другой стороны, из формул C) непосредственно
следует, что аналогично определяемая проекция пА(КIК

216 ПОГРУЖЕНИЯ И СУБМЕРСИИ
множества k (V)crlR'" содержит множество пр h (U). Поэтому
на некоторой окрестности точки q — f(p) (а именно, на
окрестности k~L ((np h(U))xRm'r)) определены функции
fr+1(y\ ..., уг), ..., fm(y\ ..., уг).
Мы положим
У1, если /= 1, ..., г,
У'—\' (У1 Уг), если /==/•+!, .. ., т.
Поскольку
О 0
О ... 1 0 ... о
1 ... О
о ... 1
где знак ? обозначает элементы, нам не интересные, то,
согласно предложению 2 лекции 12, функции у1', ..., у"'
являются в некоторой окрестности V' точки q локальными
координатами. При этом отображение / будет в картах
(U, х1, . . ., х-) и (V, у1', ..., у"') задаваться формулами
| х', если /= 1, ..., г,
и1 = {
\ 0, если / = /•+ 1, • • •, т.
Для завершения доказательства остается обозначить V
снова через V, а у1', ..., у"' — через у1, ..., у". ?
Определение 1. Гладкое отображение/: %— >Й/ глад-
гладкого я-мерного многообразия Л' в гладкое m-мерное мно-
многообразие 2/ называется погружением (или иммерсией) в
точке р?2С, если его ранг в этой точке равен п (что,
конечно, возможно только при п^т), т. е. если отобра-
отображение
D)
dfp:
является мономорфизмом.
Аналогично, отображение /: 2? —<• 2У называется су.'-
мерсией (или наложением) в точке рб^1, если его ранг
в этой точке равен /л (и, следовательно, п^пг), т. е.
если отображение D) является эпиморфизмом.
Таким образом, отображение / является иммерсией
или субмерсией, если его ранг принимает максимально

ПОДМНОГООБРАЗИЯ ГЛАДКОГО МНОГООБРАЗИЯ 217
возможное (при данных пит) значение. Поэтому иммерсии
и субмерсии называются также отображениями макси-
максимального ранга.
Согласно предложению 1 лекции 12 отображение тогда
и только тогда одновременно является иммерсией и суб-
мерсией (при п = т), когда оно этально.
Отображение /: SC—>?/, являющееся погружением
(субмерсией) в каждой точке p^J, называется просто
погружением (соответственно субмерсией).
Ясно, что субмерсии и иммерсии, являясь отображе-
отображениями максимального ранга, локально плоски в р.
Поэтому, согласно предложению 3 лекции 7, для любой
субмерсии /: SC — +2/ в точке р$.ЗС существуют такие
карты (U, хх, ..., хп) и (V, у1, ..., у) многообразий X
и &, что p&U, fUcV, и отображение f записывается в
локальных координатах х1, ..., хп и у1, ..., у" фор-
формулами
E) Ух = х\ .... ут = х\
Наглядно это означает, что в соответствующих ко-
координатах любая субмерсия локально представляется
проектированием R"—>-К'я, переводящим точку (х1, ...
. .., х" х') 6 К" в точку (хх, ..., х") 6 R'\
Для погружений мы переставим обозначения и будем
считать / отображением <&—+&. Тогда для любого по-
погружения /: <&—+3? в точке q€& существуют такие
карты (V, у1, ..., у'") и (U, х1, ..., хп) многообразий
Я/ и SC, что q?V, fVcU, и отображение f записывается
в локальных координатах у1, ..., ут их1, ..., х:1 формулами
F) хх = ух, ..., х'" = у'", д;'+1 = 0 хя = 0.
Наглядно это означает, что в соответствующих ко-
координатах любое погружение локально представляется
вложением R—+R", переводящим точку (у1, ..., y)?R'n
в точку (у1, ..., у, 0, .... 0)<ER".
Определение 2. Гладкое многообразие Й/ называется
подмногообразием гладкого многообразия SV, если оно
содержится в 2/, и соответствующее отображение вложения
G) i: И/ — SC, i(p)-p,
является погружением в любой точке р??/ (и, в частно-
частности, гладким отображением).

218 ПОДМНОГООБРАЗИЯ ГЛАДКОГО МНОГООБРАЗИЯ
Поскольку <Уа& на & определена топология дд
i пдуцированная топологией Т^1 многообразия X. Вообще
гоЕоря (см. ниже), эта топология отличается от то-
топологии Ту многообразия &. Можно лишь утверждать, что
Tjy/jcTjiy (это включение равносильно непрерывности
отображения i).
Определение 3. В случае, когда t яЕляется гомео-
гомеоморфизмом на свой образ (т. е. если Тьуд^1 =Тьу), мно-
многообразие 2/ называется вложенным подмногообразием.
И противном случае & называется погруженным подмно-
подмногообразием. (Впрочем, последний термин употребляется
также как синоним термина «подмногообразие» в случае,
когда нужно подчеркнуть, что подмногообразие &, вообще
говоря, вложенным не является.)
Погружение G) является, конечно, инъективным
отображением. Обратно, пусть f: Я/- + Ж — произвольное
погружение, являющееся инъективным отображением, и
пусть / = ю/'—его разложение в композицию биективного
отображения f: &—> f(&) и вложения i: ](?&)—+&. По-
Поскольку отображение f биективно, мы с помощью него
можем перенести гладкость с Й/ на й/'= /(?/). Тогда й/'
будет гладким многообразием, f—диффеоморфным отоб-
отображением, a i = /o(f')~1 — погружением (как композиция
погружения и диффеоморфизма), т. е. &' будет подмно-
подмногообразием многообразия SV.
Таким образом, подмногообразия многообразия Я!—это
в точности образы в SC произвольных погружений &—* Л',
являющихся инъективными отображениями. При этом вло-
вложенные подмногообразия—это образы погружений, явля-
являющихся монеоморфизмами (гомеоморфизмами на свой
образ).
Примерами вложенных подмногообразий являются
простые регулярные дуги и элементарные поверхности.
Соответствующими погружениями являются параметриза-
параметризации. При этом условие регулярности параметризаций в
точности означает, что параметризация является погруже-
погружением.
Так как для любого подмногообразия &'сЯ вложе-
вложение G) представляет собой погружение, то для любой
точки р?чУ отображение
dip: Tfl-

КАСАТЕЛЬНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО 219
является изоморфизмом линейного пространства Тяй/ на
линейное подпространство lmdip~(dip)(Tf,fy) пространства
1р%'. Зто подпространство называется касательным про-
пространством подмногообразия ,'У в точке р. Обычно оно
отождествляется с Тр"У (посредством изоморфизма dip).
Некоторая специфика возникает в случае, когда %
является аффинным пространством Л, а потому для любой
точки p?.SC (и, в частности, для любой точки /Jgd/) ли-
линейное пространство Т;/^* отождествляется с ассоцииро-
ассоциированным линеалом <7/D. В этом случае принято подпро-
подпространство lyj/ отождествлять с линейным подмногообра-
подмногообразием/? -1- Т^Й/ аффинного пространства Л (т. е. —в наглядной
интерпретации—считать его векторы отложенными от
точки р). Ср. определение 3 лекции 3.
Будучи погружением, отображение G) может быть
записано в локальных координатах формулами F). Зто
означает, что для любой точки р подмногообразия Й/
существует такая карта (U, х1, ..., хп), p?(J, много-
многообразия ЭС', что, во-первых, на некотором (открытом в Ь)
множестве Vczi/ПЙ/ ограничения
у — x \v, . . ., у —x \y
первых т координат х1, . .., x'" являются локальными
координатами на V и, во-вторых, точка q?U тогда и
только тогда принадлежит V, когда
(8) x" + 1(i7) = 0, ..., *¦'(?) = 0.
Такие координаты х1, . .., х" мы будем называть согла-
согласованными с подмногообразием ЧУ.
Координаты у1, . . ., у'п определяют в Туу базис
а координаты х1, .. ., x" — в TpS базис
д \ Id
При этом, так как вложение г. У—уЗС записывается п
этих координатах функциями у1 = х1, ..., у'"~х'", то его
дифференциал dip будет переводить базис (9) в первые т
векторов базиса A0). В силу отождествления Туу с
\mdVr, это означает, что
\ ~(±\ (JL\ =
. ду* )р"' \д# //¦••• \ду* )р

220 ЛОКАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
/ 0 \ I 0 \
т. е. векторы -г^ . ¦ • •. х^п ' составляют базис
\их j р \их i p
подпространства Тр'& пространства TpS.
Если подмногообразие ЧУ вложено в SC, то без огра-
ограничения общности можно считать, что
A1) V=--Un&.
Действьтельно, так как V открыто в ЧУ, а топология в ?У
индуцирована топологией •#", что в X существует такое
открытое множество W, что V=Wr\ty. Заменив U на
Две типичг.ые ситуации, в которых нельзя добиться выполнения
равенства V = Uf]&
U П W, мы добьемся, не ограничивая общности, выполне-
выполнения равенства A1). ?
Равенство A1) означает, что точка q ? U тогда и только
тогда принадлежит •&, когда для нее имеют место ра-
равенства (8). Другими словами, локально (т. е. в окре-
окрестности 0) многообразие Ч) задается п — т уравнениями
A2) х"п1 = 0, . .., *" = 0.
В общем случае для невложенного (погруженного)
подмногообразия & достичь выполнения равенства (llj,
вообще говоря, нельзя, и связь между V и Uг\& услож-
усложняется.
Так как функции х", . . ., х" непрерывны и, значит,
условия (8) выделяют в U замкнутое подмножество, то
множество V замкнуто в V (по отношению к топологии,
индуцированной в 0 топологией Т^//^). Следовательно,
V замкнуто и в U П & (по отношению к топологии,
индуцированной топологией Теу,&, а потому и по отно-
отношению к топологии индуцированной топологией Tjy).
С другой стороны, но условию множество V открыто в У,

ЕДИНСТВЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ ПОДМНОГООБРАЗИЯ 221
а значит, и в U п 2/ (по отношению к топологии, инду-
индуцированной топологией Т«у). Таким образом, множество V
открыто-замкнуто в ?/f!2/ (по отношению к топологии,
индуцированной топологией Тя/). Следовательно, если
координатная окрестность V связна, то она является
компонентой множества U п 2/, содержащей точку р.
[Напомним, что любая точка гладкого многообразия
обладает фундаментальной системой связных координатных
окрестностей—например гомеоморфных открытым шарам
евклидова пространства соответствующей размерности.]
Предположим теперь, что на подмножестве 2/ гладкого
многообразия SC заданы две гладкости, по отношению к
которым оно является подмногообразием многообразия %
и которые определяют на 2/ одну и ту же топологию.
Тогда для обеих гладкостей карты вида \V, у1, ..., у),
обладающие описанными выше свойствами, будут одни и
те же (поскольку функции у1, ..., у характеризуются
как ограничения локальных координат х1, .. ., х'п, а мно-
множества V—как компоненты множеств ?/п2/). С другой
стороны, в каждой гладкости эти карты составляют, оче-
очевидно, податлас максимального атласа. Поэтому обе
гладкости совпадают.
Таким образом, при данной топологии на подмноже-
подмножестве 2/ гладкого многообразия X на 2/ может существо-
существовать не более одной структуры гладкого многообразия,
по отношению к которой 2/ является подмногообразием
многообразия SC.
Конечно, варьируя топологию, мы можем получить
на 2/ много различных структур подмногообразия. На-
Например, любое подмножест-
подмножество 2/ с 3? мы можем снаб-
дить дискретной топологи-
ей, превратив его тем са-
мым в нульмерное подмно-
гообразие.
Более интересный при-
мер мы получим, рассмот-
рассмотрев на плоскости множест-
множество, изображенное на рис. А («восьмерку»). Оно не может
быть в индуцированной топологии подмногообразием плос-
плоскости из-за особой точки в центре. Однако оно же в более
слабой топологии, условно изображенной на рис. Б, бу-

222 СЛУЧАЙ ВЛОЖЕННЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ
дет погруженным многообразием, диффеоморфным прямой
R. Оно будет погруженным подмногообразием, диффео-
диффеоморфным прямой R, и в другой топологии, условно
изображенной на рис. В. Соответствующие вложения
будут неэквивалентными регулярными кривыми без двой-
двойных точек, имеющими один и тот же носитель.
Применительно к топологии на 2/, индуцированной
топологией многообразия %, мы получаем, в частности,
что на подмножестве ЧУ гладкого многообразия % может
существовать не более одной структуры гладкого много-
многообразия, по отношению к которой 2/ является вложенным
подмногообразием. Поэтому вполне законно говорить, что
вложенным подмногообразием является подмноже-
подмножество 2/.
Чтобы определить, является ли данное подмножество (У
вложенным подмногообразием, следует
Г Рассмотреть всевозможные пары вида (V.w1, ..., у ),
где V—пересечение (/fl2/ с 3/ носителя и некоторой
карты (U, х1, ..., х") многообразия •#", а у\ ..., у'"—
ограничения хг\у, ..., xm[v на V локальных координат
yl у'Л
Л j . . . у Л/
2° Отобрать из этих пар пары (У, у1, ..., ут), яе-
ляющиеся картами на 2/, т. е. такие, что функции
, .. ., у'" задают биективное отображение множестеа
= ?/fl2/ на некоторое открытое множество VcR.
Тогда, если из отобранных карт можно составить
атлас на 2/, то ЧУ будет вложенным подмногообразием.
Действительно, ясно, что этот атлас задает на ЧУ гладкость,
по отношению к которой 2/ является подмногообразием
и которая согласована с индуцированной топологией.
[Заметим, что, вообще говоря, максимальный атлас мно-
многообразия 2/ может содержать только часть отобранных
карт.] ?
Применим это общее утверждение к множеству ЧУ =
— /-1 (<7о)> являющемуся полным прообразом некоторой
точки <7о€^ при гладком отображении /: %—*%.
Определение 4. Точка q0 6 2 называется регулярным
значением отображения /: SC—*%, если / является суб-
мерсией в каждой точке р?ЧУ.
Предложение /(теорема о прообразе регу-
регулярного значения). Прообраз ЧУ — f'1 (q0) произволь-
произвольного регулярного значения q0 (когда он не пуст) является

ТЕОРЕМА О ПРООБРАЗЕ РЕГУЛЯРНОГО ЗНАЧЕНИЯ 223
вложенным подмногообразием многообразия %'. Размерность
этого подмногообразия равна п—г, где г = dim % (a
)
Доказательство. Для любой точки р?& в мно-
многообразии % существует такая карта (U, х1, ..., хп)—
= (U, К), а в многообразии %—такая карта (W, г1, . . .
.. ., гг), что p?U, fUcW, и в этих картах отображение
записывается формулами
A3) 21 = л:Я1+1, . .., гг = хп,
где т = п—г. При этом без ограничения общности мы
можем считать, что в точке q0 все координаты г1, .. ., zr
равны нулю и, значит, что точка и^.и тогда и только
тогда принадлежит множеству Й/ (т. е., точнее, — пересе-
пересечению V — U ПЙО, когда
Х'п+1(и) = 0, ..., хп(и) = 0.
Отсюда следует, что если отображение k: V —>¦ IRm,
заданное формулой
k{u) = {yx{u) у* (и)), u?U,
где
рассматривать в силу естественного вложения
R'"->R", (х1 хт)*-*{х\ ..., хт, 0 0)
как отображение в IR", то оно будет не чем иным, как
ограничением h\v на V отображения h: U—+h{U). По-
Поэтому множество k(V), являясь пересечением Rmr\h(U),
будет открыто в IRm, а отображение k: V—*k(V) будет
биективно. Другими словами, пара (V, k) = (V, у1, ..., ут)
будет картой в 2/.
Пусть теперь (V, х1', ..., х'1')—другая карта мно-
многообразия $', обладающая по отношению к отображению /
аналогичными свойствами, и пусть (V, у1', ..., у') —
соответствующая карта в 2/. Так как в пересечении U f] U'
координаты х1, ..., х' и х1', ..., *"'связаны формулами
вида
xt' = xl'(x1, .... х'), i'=V, .... п',
где
A4) detl — \ф0 всюду на U()U',
I дх1

224 ТЕОРЕМА О ПРООБРАЗЕ РЕГУЛЯРНОГО ЗНАЧЕНИЯ
то в пересечении V (]V = 11 {\V пй/ координаты у1, ...
..., ут и у1', . .., ут> будут связаны формулами
A5) yl' = xl'(y\ .... у», О, . ...0), /'=1,...,от.
Кроме того, так как в V множество Й/ определяется
уравнениями
то в V п V" Ф 0 должны иметь место также и соотноше-
соотношения
Отсюда следует, что в каждой точке из V П V для част-
частных производных -^- , 1=1, ..., т, будут иметь место
равенства
, /< ( ду1' ., .
дх1 д , , если t = 1, ..., т,
{О, если l' = m+l, ...,n,
и, значит, якобиан A4) будет делиться на якобиан
ду1'
A6) det
/ = 1, ..., т.
Следовательно, якобиан A6) отличен от нуля, и, значит,
формулы A5) задают диффеоморфизм соответствующих
множеств.
Этим доказано, что любые две карты вида (V, у\ ...
..., ут) на Й/ согласованы. Следовательно, —поскольку
они, очевидно, покрывают Й/,—эти карты составляют
атлас и, значит, Й/ является вложенным многообразием, п
Из формул A3), задающих отображение / в локаль-
локальных координатах, непосредственно следует, что диффе-
дифференциал
dfp '¦ Т'р% —* Т(/B
этого отображения в точке />??'/ действует на векторах
базиса пространства Т'pSU по формулам
, . @. если i=l, . .., т,
, если i = m+ 1, ..., п.
Значит, векторы,

РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 225
порождают ядро Кег dfp отображения dfp, а векторы
д ^ ( д
(
дх"
порождают подпространство, изоморфно отображаю-
отображающееся на касательное пространство lq% многообразия %.
Таким образом,
где Т?о2 — подпространство, натянутое на векторы A8).
С другой стороны, так как у1 = x1\v, ..., ym = xn\v>
то векторы A7) порождают подпространство Т^Й/ Про-
Пространства Т'p9s. Следовательно, для любой точки p(t&
ядро Kerdfp отображения dfp совпадает с касательным
пространством Т^й/ подмногообразия У:
A9) Тр& = Kerdfp,
и потому
B0) VT-T,#©tee2.
Подчеркнем, что это разложение имеет место для лю-
любой точки pga/.
Замечание 1. Следует иметь в виду, что отнюдь
не любое вложенное подмногообразие "Уа.% является
прообразом регулярного значения при некотором отобра-
отображении /: %—>-% (см. ниже задачу 1).
Согласно формуле B0), для того чтобы вложенное
подмногообразие Й/с2 было прообразом регулярного зна-
значения, необходимо (и как можно показать, достаточно),
чтобы для любой точки р?Ш имело место разложение
вида
где Np — подпространство, для которого задано— -при
всех р — изоморфное отображение Np—+R"~m, гладко за-
зависящее (в понятном смысле) от точки р.
Пусть f1, ..., f — гладкие функции на гладком мно-
многообразии J, а и1, ..., аТ — вещественные числа. Точка
р?.2С называется решением системы уравнений
B1) Г^а1 /' = а',
если f'(p) = a' для любого i=l г.
Пусть 2/—множество всех решений системы B1),
8 М. И. Постников, сей. 111

226 РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЯ
Говорят, что уравнения B1) функционально независи-
независимы, если для любой точки р ? 2/ ковекторы
линейно независимы, и, значит, уравнения
B2) аТР = 0 dfp = O
определяют в Тр& линейное подпространство размерности
m = n—г.
Предложение 2. Для каждой системы B1) функ-
функционально независимых уравнений множество 2/ ее реше-
решений является вложенным подмногообразием многообразия &
размерности т — п — г.
Для каждой точки р^У подпространство Тр<& явля-
является подпространством решений системы линейных урав-
уравнений B2).
Доказательство. Функции f1, ..., fr определяют
(по формуле / (р) = (f1 (р), ..., f (p)) гладкое отображение
/: SC —*¦ Rr, для которого множество 2/ является прообра-
прообразом /-1 (а) точки а — (а1, ..., аг)(Е IRr. При этом функ-
функциональная независимость уравнений B1) означает, оче-
очевидно, что точка а является регулярным значением отобра-
отображения /. Поэтому первое утверждение предложения 2
является всего лишь переформулировкой предложения 1
для случая, когда % = Rr.
Аналогично, поскольку пространство решений урав-
уравнений B2) является не чем иным, как ядром отображе-
отображения dfp, второе утверждение является переформулиров-
переформулировкой равенства A9). ?
Следствие 1. Пусть f—гладкая функция на гладком
многообразии SC', и пусть ЧУ — множество всех точек p(t&,
для которых f(p) = a, где a?R—фиксированное число.
Если dfp^O для каждой точки р?&, то 2/ представ-
представляет собой вложенное подмногообразие размерности п— 1,
касательным пространством которого в произвольной
точке р?& является гиперплоскость dfp = O. ?
Для функции / = / (х, у) на R2 условие dfp=/=O озна-
означает, что либо -^-фО, либо -j-фО. Поэтому условие,
что подмножество на плоскости с уравнением f(x, г/) = 0
является вложенным одномерным многообразием, в точ-
точности означает, что оно не имеет особых точек (см. лек-
лекцию 1).

ГРУППА SL(n) КАК ПОДМНОГООБРАЗИЕ 227
Замечание 2. Как показывает теорема Уитни из
лекции 1 освободиться от условия dfp=j?=Q в следствии 1,
вообще говоря, нельзя. Тем не менее оно отнюдь не необ-
необходимо для того, чтобы множество 2/ было вложенным
(и не обязательно (п—1)-мерным) подмногообразием.
Например, в R* уравнение
X* -1- у* = О
определяет прямую (вложенное подмногообразие), но во
всех точках этой прямой дифференциал dfp функции / =
= х% + у2 тождественно равен нулю.
Кроме того, согласно замечанию 1, отнюдь не любое
подмногообразие можно задать системой функционально
независимых уравнений.
Задача 1. Покажите, что на проективной плоскости RP* не
существует гладкой функции /, множеством нулей которой была бы
проективная прямая Р1КР2
Тем не менее на практике тот факт, что то или иное
подмножество гладкого многообразия является вложен-
вложенным подмногообразием, устанавливается, как правило,
с помощью предложения 2 (или его следствия 1).
Пример 1. Определитель clet А квадратной матрицы
Л = ||а,-у[| является многочленом от atJ, имеющим по каж-
каждому переменному степень 1. При этом легко видеть, что
aa;j •'
где Л,у —алгебраическое дополнение элемента а;/. (Доста-
(Достаточно заметить, что по формуле разложения определи-
определителя по элементам столбца det А = Ацпи + А'ц, где А'ц не
зависит от а,у.) Так как при det Л = 1 обязательно Ао^=0
хотя бы для одного элемента at/, отсюда следует, что
для уравнения
det Л = 1
(на многообразии GL(n)) условия следствия 1 предложе-
предложения 2 выполнены. Следовательно, группа SL(n) является
вложенным подмногообразием размерности пг—1 группы
GL(n).
Задача 2. Покажите, что гладкость на группе
SL(rt) как на подмногообразии многообразия GL(n) совпа-
совпадает с ее гладкостью, как матричной группы Ли (см.
лекцию 5).
8*

228 группа sun) Как подмногообразие
Так как группа GL(n) является открытым подмного-
подмногообразием линейного пространства Matn(iR), то для любой
матрицы ^4 = GL(n) касательное пространство TAQL(n)
к GL(n) в А естественным образом отождествляется
с Mat,, (R). В этом отождествлении базисному вектору
) пространства Т,, GL(n) отвечает матричная еди-
(дг) рр ,, L(n) отвечает мариа ед
ница Еи ? Mat,, (R), и, значит, ковектору {йаи)А отвечает
ковектор Mat,,(IR) —»¦ R, сопоставляющей матрице В=\Ьу\
ее элемент Ь{/.
В силу формулы B3) отсюда следует, что дифферен-
дифференциал dfA функции /: Л^-»detЛ, рассматриваемый как
ковектор пространства Matn(R), действует по формуле
dfA (В) = (S _ Atjbi/t В = || Ьи |] € Matn (R),
где А{/—алгебраические дополнения элементов матрицы А.
В частности, при А = Е (когда Аи — Ьи) мы получаем,
что
и, значит, что KerdfE = 8l(n).
Поскольку Kerd/? = T^SL(n) этим доказано, что каса-
касательным пространством подгруппы SL (п) в точке Е
является ее алгебра Ли Si (n).
Замечание 3. В следующем семестре мы покажем
(см. лекцию IV. 10), что любая матричная группа Ли $
представляет собой вложенное подмногообразие много-
многообразия GL (п), касательным пространством которого
в точке Е является ее алгебра Ли й-

Лекция 14
Теорема вложения. — Еще о компактных множествах.—
Функции Урысона. - Доказательство теоремы вложе-
вложения.—Многообразия, удовлетворяющие второй аксиоме
счетности. — Разреженные и тощие множества. — Нуль-
Нульмножества.
Простейшим — и наиболее наглядным — классом много-
многообразий являются многообразия, диффеоморфные для
некоторого N > О вложенным подмногообразиям простран-
пространства RN, или, как мы будем для упрощения формулиро-
формулировок говорить, многообразия, вложимые в RN.
Ясно, что любое подпространство хаусдорфова топо-
топологического пространства, удовлетворяющего второй акси-
аксиоме счетности, также хаусдорфово и удовлетворяет этой
аксиоме. Поэтому любое вложимое в RN многообразие
хаусдорфово и удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Оказывается, что это необходимое условие также и доста-
достаточно:
Теорема 1. Для любого гладкого хаусдорфова много-
многообразия SC, удовлетворяющего второй аксиоме счетности,
существует такое N, что многообразие X вложимо в RN.
Что можно сказать о N7
Предложение 1. Если гладкое многообразие размер-
размерности п вложимо в RN, где N > 2/1-1- 1, то оно вложимо
и в RN~K
Следствие (теорема вложения Уитни). Любое
гладкое хаусдорфово многообразие X размерности п, удов-
удовлетворяющее второй аксиоме счетности, вложимо в R2"'1.
Мы докажем теорему 1 только в предположении, что
многообразие & компактно. [Заметим, что компактное
многообразие удовлетворяет (докажите!) второй аксиоме
счетности.] Общий случай требует дополнительных техни-
технических ухищрений, на которые у нас нет времени.
Замечание 1. Теорема 1 верна для многообразий
произвольного класса Cr, r^l, но наше доказательство
не будет проходить для многообразий класса С1, а также
класса О (вещественно аналитических), которые требуют
совсем других, значительно более сложных соображений.
Мы начнем с нескольких простых замечаний о ком-
компактных множествах.

230 ЕЩЕ О КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ
Легко видеть, что непрерывный образ компактного
множества компактен, т. е. для любого непрерывного
отображения /: S—/-& и любого компактного подмно-
подмножества CczX множество /Сей/ компактно. Действительно,
если открытые множества Ua покрывают /С, то откры-
открытые множества j~1Ua покрывают С, и если множества
/-'^а,. • • -, f~xUan покрывают С, то множества Uai, .. .
• • •, Uan покрывают /С. ?
Вообще говоря, компактное подмножество может быть
и незамкнутым, но если пространство хаусдорфово, то
это невозможно, т. е. в хаусдорфовом пространстве &
любое компактное подмножество С замкнуто. Действи-
Действительно, в силу хаусдорфовости пространства % для лю-
любой точки с?С и любой точки р?У\С существуют
такие окрестности U р (с) и Vc (p) точек сир соответст-
соответственно, что Up (с) П Vc (p) = 0 ¦ Так как для каждой точки
р€%"\С все окрестности вида Up(c), c?C, покрывают
множество С, то в силу компактности этого множества
существует такая конечная система точек сг, ..., ck?C,
что
C<zUp(Cl)U...UUp(ck).
Но тогда пересечение
A) V = Vei(p)n...r\VCk(p)
будет окрестностью точки р, не пересекающейся с С, т. е.
содержащейся в &\С. Этим доказано, что любая точка р
множества S\C является его внутренней точкой, т. е.
множество ^\С открыто. Следовательно, множество С
замкнуто. ?
Отсюда следует, что если пространство SC компактно,
а пространство У хаусдорфово, то каждое непрерывное
отображение f: SC —> а/ замкнуто (для любого замкнутого
множества C<z.?C множество \Crz"i) замкнуто). Действи-
Действительно, если множество С замкнуто, то в силу компакт-
компактности пространства SC оно компактно. Поэтому множе-
множество /С компактно и, значит, —в силу хаусдорфовости
пространства 2/ — замкнуто. ?
Особо важен частный случай, когда отображение /
биективно. Поскольку в этом случае замкнутость отобра-
отображения / означает непрерывность обратного отображения
/-1: 2/ —*¦ Ж, мы видим, что непрерывное биективное ото-
отображение компактного пространства на хаусдорфово яв-
является гомеоморфизмом.

ФУНКЦИИ УРЫСОНА 231
Если же непрерывное отображение f: SC —>¦ 3/ ком-
компактного пространства X в хаусдорфово пространство 3/
лишь инъективно, то оно является монеоморфизмом (го-
(гомеоморфизмом на свой образ fC&), который в этом случае
замкнут в 2/).
Поэтому, в частности, каждое компактное подмного-
подмногообразие хаусдорфова многообразия является вложенным
подмногообразием.
Пусть теперь SC—произвольное гладкое многообразие,
a W и V—такие его открытые подмножества, что
B) WczV.
Определение 1. Функцией Урысона пары (V, W) мы
будем называть такую гладкую функцию ср: 5"-сК, что
а) 0 <! ф (р) ^ 1 для любой точки р ? SC\
б) ф(р)=1 тогда и только тогда, когда p?W\
в) если р € &\V, то ф (р) = 0.
Можно показать, что если многообразие X хаусдор-
хаусдорфово и удовлетворяет второй аксиоме счета ости, то функ-
функция Урысона существует для любой пары (V, W) откры-
открытых множеств, удовлетворяющих условию B). Однако это
утверждение нам не нужно, и поэтому мы удовлетворимся
доказательством следующего, более слабого результата.
Предложение 2. Если гладкое многообразие SC хаус-
хаусдорфово, то для любой его точки р0 и любой окрестно-
окрестности U этой точки найдутся такие открытые множества
W uV, что
po?W, WcV, VcU
и для пары (V, W) существует функция Урысона.
Доказательство. Ясно, что без ограничения
общности окрестность U можно считать координатной
окрестностью точки р0. По определению это означает, что
существует диффеоморфизм h множества U на некоторое
открытое множество h(U)cRn. Пусть хй = п(рй). Так как
о € h (^). а множество h (U) открыто, то существует та-
та0 R й | 1
() () р уу
кое г > 0, что каждая точка х € R". для которой | х—х01 <
< г (т. е. каждая точка шара В"(х0)), принадлежит h (U).
Заменив диффеоморфизм h на его композицию с неко-
некоторым преобразованием подобия пространства R", мы без
ограничения общности можем поэтому считать, что х0 =
;=0 И г«=3, т. е. что $%ch{U), где (см. лекцию 1) 6^—

232 ФУНКЦИИ УРЫСОНА
открытый шар пространства R" радиуса 3 с центром
в точке 0.
Тогда для любого г < 3 в многообразии % будет опре-
определено множество А (В'/)- Так как шар В? компактен, а
отображение А является гомеоморфизмом, то это мно-
множество также компактно и, следовательно, поскольку по
условию многообразие X хаусдорфово, — замкнуто.
С другой стороны, множество /Г1 (В?) открыто (в U,
а потому и в %) и его замыкание А (В?) содержит, оче-
очевидно, множество А (В?). Поэтому
A-1(B?) = A-i(B?).
Положив
мы немедленно получим отсюда, что
WczV и VcU.
При этом р0 б W и
A(W) = B? и A(F) = B?.
Вспомним теперь, что, согласно следствию 2 леммы 1
лекции 1, на пространстве R" существует такая гладкая
функция /: R"—>R, что 0</<1 на R" и
._( 1 тогда и только тогда, когдалг?В?,
\0 тогда и только тогда, когда лг?В?.
Имея все это в виду, мы определим функцию <р: SC —>
—•¦ R формулой
1=_ Г/(Л(Р». если р€^,
| 0, если р ^ ?/.
Ясно, что эта функция обладает свойствами а, б и в из
определения 1. Поэтому нужно лишь доказать, что функ-
функция C) гладка.
По построению функция C) гладка на U и на &\V
(на последнем множестве она равна нулю). При этом от-
открытые множества U и #"\V покрывают SC. С другой
стороны, ясно, что если некоторая функция ср: SC —> R
гладка на любом элементе Ua открытого покрытия {?/„}
многообразия &, то она гладка*на всем SC. Поэтому,
В частности, функция C) гладка на SC. г\

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 233
Теперь мы уже может доказать теорему 1.
Доказательство теоремы 1 (для компакт-
компактного &). Выбрав для каждой точки ра$.& координат-
координатную окрестность U и применив предложение 2, рассмот-
рассмотрим предусмотренное этим предложением множество W.
I встроенные для всех точек ро?& эти множества состав-
составляют открытое покрытие многообразия $'. Поэтому, по-
поскольку многообразие по условию Ж компактно, в этом
покрытии можно выбрать конечное подпокрытие. Обозна-
Обозначив множества W, составляющие это подпокрытие, сим-
символами Wlt ..., Wm, рассмотрим соответствующие мно-
множества
vu .... vm, ult .... ит,
координатные отображения
К: гЛ —R», .... А„: Um-+R»
и функции
qv JF —R, .... <ря: JF-^R
из предложения 2.
Эти множества, отображения и функции обладают сле-
следующими свойствами:
1° Для любого i = l, ..., т имеют место вложения
2° Семейства
{(Wlt К), ..., (Wm, AJ},
{(Vi. Ai), ¦¦•, (Vm, AJ},
{(Ult K)t .... (Um, hm)}
являются атласами многообразия Ж'. (Конечно, в первых
двух случаях имеются в виду соответствующие ограниче-
ограничения отображений hlt ..., hm.)
3° Каждая функция <р„ t = l, . . ., т, является функ-
функцией Урысона пары (Vo W,).
Записывая векторы пространства IR" + 1 в виде пар
{х, х), где дг^К" и jc€IR., мы определим отображения
/,: ЗС —^IR" + 1, i = l, ..., т,
'формулами
f (ns^\ (<Pt(P)ht(p)< Ф/(Р)). если /?€?/,¦,
!tKP) "\@, 0), если p$Ut.

234 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ
Ясно, что отображение ft гладко на Ut и равно нулю
вне Vj. Поэтому оно гладко на всем многообразии №.
Кроме того, fi(p) = (hj(p), 1) для любой точки p(tW(,
откуда непосредственно следует (поскольку отображение h{
является диффеоморфизмом), что в каждой точке p^W,
отображение /,• является погружением.
Рассмотрим теперь пространство R-^, где N = т(п-{-1).
Записывая векторы этого пространства в виде (jrlf ..., хт),
где Xi, ..., Xm(zR.n+1, мы определим отображение
/: JT —R",
полагая для любой точки p?.SC
(h(p), •¦•. fm(p))-
Ясно, что отображение / гладко.
Пусть р и q—такие точки многообразия SC', что f(p) —
=f{q). Тогда fj(p) — fi(q) для любого i=l, ..., т, и
в частности, ф<(р) = ф,-(^)- С другой стороны, так как
карты (W,-, h) составляют атлас, то существует такое /0,
что р6 W,¦„ и, значит, ф,-,(р)=1 (a fu(p)=*(hu(p), 1)).
Следовательно, ф,о(^)=1, что в силу свойства б функ-
функций ф/ возможно только при q g Wt. Поэтому fu (q) =¦-
= (hi<t(q), 1) и, значит, hio(p) = h.ll)(q). Поскольку отобра-
отображение hia ннъективно, этим доказано, что p = q. Таким
образом, если f(p) = f(q), то p = q, т. е. отображение f
инъективно. Поскольку многообразие SC компактно, отоб-
отображение / является, следовательно, монеоморфизмом.
Рассмотрим теперь дифференциал dfp отображения /
в произвольной точке р?№. В силу отождествления
Т/ {р) RN = RN мы можем считать, что
dfp:
Но тогда этот дифференциал будет, очевидно, так же
^оставлен из дифференциалов отображений /,, как само
отображение / составлено из отображений /,, т. е. для
любого вектора А 61р№ будет иметь место формула
{df)pA = ({dh)pA, .... (dfm)pA).
Но если, как и выше, p^Wlo (и, значит, в точке р
отображение //о является погружением), то для любого
отличного от нуля вектора Л g Т^ вектор (dfia)p А 6 Rn + 1
отличен от нуля. Поэтому отличен от нуля и вектор

МНОГООБРАЗИЕ С ВТОРОЙ АКСИОМОЙ 235
())pA$RN. Это означает, что отображение f является
погружением (в любой точке р?&).
Итак, отображение / представляет собой погружение,
являющееся монеоморфизмом. Следовательно, его образ ]SC
является вложенным подмногообразием пространства R^,
диффеоморфным многообразию &. ?
Чтобы доказать теорему вложения Уитни (для ком-
компактных многообразий), нам осталось теперь доказать
лишь предложение 1. Для этого мы должны начать срав-
сравнительно издалека.
Выше мы уже заметили, что любое компактное много-
многообразие (которое покрывается конечным семейством коор-
координатных окрестностей) удовлетворяет второй аксиоме
счета ости. Более общим образом второй аксиоме счетно-
сти удовлетворяет любое многообразие, покрываемое счет-
счетной системой координатных окрестностей. Действи-
Действительно, будучи гомеоморфной открытому множеству про-
пространства R", каждая координатная 'окрестность удовле-
удовлетворяет второй аксиоме счетности, а с другой стороны,
ясно, что любое пространство, обладающее счетным
покрытием, все элементы которого удовлетворяют (в инду-
индуцированной топологии) второй [аксиоме счетности, само
удовлетворяет этой аксиоме. ?
Обратно, легко видеть, что в любом гладком много-
многообразии SC, удовлетворяющем второй аксиоме счетности,
существует счетная база, состоящая из координатных
окрестностей. Действительно, пусть {0а} — произвольная
счетная база многообразия 9С. Тогда для любой точки
р?&" и любой координатной окрестности U, содержащей
точку р в базе {0а}, существует такой элемент 0а(р, и),
что р? 0а(Р, [/)<={/. Пусть О — произвольное открытое
подмножество многообразия 9С. Выбрав для любой точки
р?0 такую координатную окрестность Uр, что p?Upa0,
рассмотрим множества
Ор = Оа(р, Up)-
Так как р$0р с Upa О и р пробегает все точки
из О, то U0p = 0.
р
Следовательно, все множества вида 0а(Р, щ (являю-
(являющиеся в силу включения Оа(р,у)С:?/ координатными
окрестностями) составляют базу многообразия SV. Для
завершения доказательства остается заметить, что эта

236 РАЗРЕЖЕННЫЕ И ТОЩИЕ МНОЖЕСТВА
база является частью счетной базы {0а} и потому сама
счетна. ?
Из анализа известно, что многие ситуации существенно
упрощаются, когда мы ограничиваемся точками «общего
положения» и позволяем себе пренебрегать «достаточно
малыми» множествами. Существует по крайней мере два
различных подхода к определению «достаточно малых»
множеств гладких многообразий: «топологический» и «мет-
«метрический».
Первый подход основывается на следующем общем
определении:
Определение 2. Подмножество топологического про-
пространства SC называется разреженным (или нигде не плот-
плотным), если его замыкание не имеет внутренних точек.
Подмножество, являющееся объединением конечного
или счетного числа разреженных множеств, называется
тощим.
Замечание 2. Термин «тощее множество» введен
Бурбаки. Ранее тощие множества назывались «множест-
«множествами первой категории». Это название по многим причи-
причинам очень неудачно, и им пользоваться не следует.
Вообще говоря, тощее множество может быть довольно
«массивным»; например, оно может совпадать со всем про-
пространством № (примером служит поле Q рациональных
чисел и вообще любое счетное топологическое прост-
пространство, не имеющее изолированных точек).
Определение 3. Топологическое пространство SC
называется бэровским пространством, если любое его
тощее подмножество не имеет внутренних точек.
Таким образом, в бэровском пространстве тощие мно-
множества действительно «тощие».
Однако, являются ли гладкие многообразия бэров-
скими пространствами? Оказывается, что ответ утверди-
утвердительный (по крайней мере для хаусдорфовых многообра-
многообразий), но доказательство соответствующей теоремы требует
определенных приготовлений, на что у нас нет времени.
Поэтому мы предпочтем другой—«метрический» подход,
а доказательство бэровости хаусдорфовых многообразий
представим в серии задач.
Определение 4. Топологическое пространство ^"назы-
^"называется регулярным, если для любого открытого множества
UczW и любой точки ptzU существует такое открытое
множество V, что р? V и V с U,

НУЛЬ-МНОЖЕСТВА 237
Определение 5. Топологическое пространство SC
называется локально компактным, если каждая его
точка р обладает окрестностью О, замыкание О которой
компактно.
Задача 1. Докажите, что хаусдорфово локально компактное про-
пространство 3V регулярно. [Указание. Согласно предложению 3
лекции 9 компактное подпространство O(]U нормально. Поэтому
II Of]U существует такая окрестность V точки р, что
Задача 2. Пусть {Ап, иЭ* 1} —семейство разреженных подмно-
подмножеств локально компактного хаусдорфова (и, следовательно, регуляр-
регулярного) пространства S/, и пусть [/ — произвольная окрестность неко-
некоторой точки p^SC- Покажите, что существует такая последователь-
последовательность непустых открытых множеств U'„, «5*0, что:
а) множество t/0 компактно и содержится в U;
б) для любого п 5г 1 имеют место соотношения
77„ <=?/„_!, и„ПА.., = 0.
[Указание. Так как множество А разрежено, то в открытом
множестве C/n-i существует такое непустое открытое множество Vn,
что Vnf\ A,,-i = 0, а так как пространство SC регулярно, то суще-
существует такое непустое открытое множество [/,,, что Unc V,,.]
Задача 3. Выведите отсюда, что окрестнссть U содержит
точку, не принадлежащую объединению А множеств А_. [Указа-
п и е. Последовательность {U,,} является центрированным семейством
замкнутых множеств компактного пространства i/0, и потому пересе-
пересечение всех множеств U'„ не пусто.]
Утверждение задачи 3 в точности означает, что любое
хаусдорфово локально компактное пространство является
Сюровским пространством. Следовательно, поскольку лю-
любое хаусдорфово многообразие, очевидно, локально ком-
компактно, бэровским пространством будет и каждое хаус-
хаусдорфово многообразие.
Напомним, что подмножество А евклидова простран-
пространства R" называется множеством меры нуль (или, короче,
нуль-множеством), если для любого е > 0 существует
такое конечное или счетное семейство открытых шаров
пространства R", покрывающих А, что сумма их («-мер-
(«-мерных!) объемов меньше е.
В этом определении шары можно заменить параллеле-
параллелепипедами (или даже кубами) со сторонами, параллель-
параллельными осям координат, т. е. подмножествами прострап-

238 НУЛЬ-МНОЖЕСТВА
ства R", точки x — ix1, ..., х") которых характеризуются
неравенствами вида
а1 < х1 < Ь', i=l, .. ., п.
Нам понадобятся следующие три свойства нуль-мно-
нуль-множеств, известных из курса анализа:
1° Объединение А = О А( конечного или счетного семей-
семейства {А,} нуль-множеств является нуль-множеством.
2° Для любого гладкого отображения f: U •—> V, где U
и V—открытые подмножества пространства R", и любого
нуль-множества A aU множество fA является нуль-мно-
нуль-множеством.
3° Никакое нуль-множество не имеет внутренних точек.
Для доказательства свойства 1° достаточно заметить, что, покрыв
для каждого ? ^г 1 множество Л,- шарами, сумма объемов которых
меньше е/2', мы получим покрытие множества А шарами, сумма
объемов которых меньше е.
Для доказательства свойства 2° мы в первую очередь заметим,
что в силу свойства 1° его достаточно доказать лишь в дополнитель-
дополнительном предположении, что существует такой замкнутый куб Q a U,
что А содержится в его внутренности ($. С другой стороны, из фор-
формулы Лагранжа, примененной к функциям f1, ..., fn, задающим
отображение f, непосредственно следует, что для любых двух точек х,
у ? Q имеет место формула
где М — некоторая константа (максимум абсолютных величин первых
производных функций f1, ..., f" в кубе Q). Поэтому любой шар
радиуса г, содержащийся в кубе Q, отображение f переводит в мно-
множество, содержащееся в шаре радиуса Мг и, значит, имеющее объем
больший не более чем в М" раз . Следовательно, покрыв множество
А шарами общего объема < е/М", мы получим покрытие множества
f А шарами общего объема < е.
Для доказательства свойства 3° достаточно установить, что если
конечное семейство {Qi, ..., Qm} кубов пространства R" со сторонами,
параллельными осям координат, покрывает куб Q, то сумма объе-
объемов кубов Qi Qm не меньше объема куба Q (и, значит, огра-
ограничена снизу положительной константой, ие зависящей от покрытия).
Пусть alt ..., ат и а—длины сторон кубов Qlt ..., Qm и Q,
a Nj, ..., Nm и N — число точек пространства Rn с целыми коорди-
координатами, содержащимися в кубах Qlt ..., Qm и Q соответственно,
Так как кубы Qi, ,,., Qm покрывают куб Q, то

НУЛЬ-МНОЖЕСТВЛ 23&'
С другой стороны, ясно, что
и аналогично
[(о»- \) + ]"
для любого А = 1 т, где
*' =тах (х, 0).
Поэтому
Применив это неравенство к гомотетичным кубам kQi Щ,я и
kQ, где X, > 0, мы при достаточно большом Я, получим неравенство
Следовательно,
откуда при Я, —»¦ + оо вытекает требуемое неравеиство для объемов
Удивительно, что столь иаглядный факт требует столь изощренного
доказательства!
Нам понадобится также еще одно, более глубокое
свойство нуль-множеств.
Для любого подмножества А с R" его срезом по
xn = t мы будем называть подмножество At простран-
пространства IR", состоящее из таких точек x = (xlt ¦¦-, #n-i)€
6 К", что точка (лг, t) = (х1, .... хп~х, t) принадлежит А.
Теорема Фубини. Пусть С—такое компактное
подмножество пространства R", что для любого t^Reao
срез Ct no xn — t является ну ль-множеством (простран-
(пространства R"). Тогда само множество С также является
нуль-мноокеством.
Хотя эта теорема безусловно известна из курса анализа, мы —
для полноты изложения —все же приведем здесь ее полное доказа-
доказательство.
Покрытие отрезка [0, 1] открытыми интервалами мы назовем
допустимым, если объединение этих интервалов содержится в интер-
интервале (—1, 2).

240 НУЛЬ-МНОЖЕСТВЛ
Лемма 1. Из любого дспустимого покрытия отрезка [0, 11 от-
открытыми интерьалами можно выбрать конечное псдпокрытие, сумма
длин элементов которого не превссходит шести.
Доказательство. Покажем, что любое минимальное под-
подпокрытие (т. е. подпокрытие, из которого ни один элемент нельзя
выбросить) обладает требуемым свойством.
Пусть (a,-, b(), l<t<m,— интервалы, составляющие данное
минимальное подпокрытие. Легко видеть, что а,- ф aj при i ф j (дей-
(действительно, если ai = aj, то прн &,•<&/ лишним является интервал
(a,-, bj), a при bi^bj—интервал (а,-, bj)). Поэтому, перенумеровав —
если нужно — интервалы, мы можем считать, что а,- < оу при i <Г/
(н, значит, в силу минимальности 6,- < bj). Но тогда а,- < а, + 1 <
< 6,^а,-+8 для любого »=1, ..., т—2, потому что при а, + 1^6,-
в покрытии были бы дырки, а прн &,^а, + а ввиду неравенств
bi < b,-+i < 6/ + 8 интервал (а,-+1, b!+1) содержался бы в объединении
интервалов (a,-, bj) н (а,^ 8, 6,-+j) и, значит, был бы лишинм. Следо-
Следовательно, для суммы длин интервалов рассматриваемого подпокры
тия имеет место оценка
(ибо ввиду допустимости —1<% и 6л,<2). ?
Доказательство теоремы Фубнии. Без ограничения
общности мы можем, очевидно, считать, что множество С лежит
в полосе 0<лгЛ4«с1. По условию для любого е>0 и любого
/?[0, 1] в пространстве R"-1 существуют открытые кубы Ql'\
покрывающие срез Cj, общий объем которых меньшее/6. Пусть Qt —
их объединение (содержащее срез Q), и пусть Qt — открытое под-
подмножество пространства R", состоящее из всех точек вида (х, I), где
x?Qt и 0 < t < 1 (т. е. Q? —QjX@, 1)). Так как замкнутое под-
подмножество компактного пространства компактно, то множество
компактно. С другой стороны, функция/ (х, хп) — \хп — 11, (x,
на множестве C\Q/ непрерывна и положительна. Поэтому сущест-
существует такое число а > 0, что
D) \хп —1\ > а для любой точки (х, xn)?C\Qt.
При этом без ограничения общности мы можем, конечно, считать,
что а < 1, т. е. что покрытие отрезка [0, 1] интервалами /< — (/ —а,
<+а) допустимо.
Согласно лемме 1 из этого покрытия можно выбрать конечное
подпокрытие {Z^, ..., /<ffl}. состоящее из интервалов, сумма 2am
длин которых меньше шести.

НУЛЬ-МНОЖЕСТВА 241
Пусть L;j — параллелепипед пространства R'!, состоящий из та-
кмх точек (х, т), jf^R", t?R, что x^Q^p и т?/, (т.е. L;j =
- у'/'хЛ V Из формулы D) непосредственно следует, что паралле-
/ //
.имппеды Ljj покрывают множество С. (Действительно, пусть
(х, х,)?С. Существует такое /, что xn?It , т. е. такое, что
х, tj\< а. Поэтому, согласно формуле D), (х, x:l)?Q*t и, значит,
*€ Q/'.' Для некоторого i. Следовательно, (х, x,)?Z,,y.) С другой сто-
стороны, я-мерный объем параллелепипеда L;j равен, очевидно,
(а—1)-мерному объему куба Q^\ умноженному на длину 2а интер-
интервала /( . Поэтому общий объем всех параллелепипедов L/j не пре-
в
посходит /?!•— • 2а < в.
о
Таким образом, для любого в > 0 множество С допускает покры-
покрытие параллелепипедами общего объема < в. Следовательно, это мно-
множество имеет меру нуль. ?
Для гладких многообразий нуль-подмножества опре-
определяются естественным образом.
Определение 6. Подмножество А гладкого п-мерного
многообразия SC называется нуль-множеством, если
в многообразии & существует такое конечное или счет-
счетное семейство карт (?/,-, А,-), что Ас: и U/ и каждое из
множеств А,(?/,пЛ) является нуль-множеством в прост-
пространстве R".
Ясно, что свойства 1° и 2° нуль-множеств в R" сохра-
сохраняются и для нуль-множеств в произвольном гладком
многообразии (конечно, в свойстве 2° под U и V следует
теперь понимать любые гладкие многообразия одной и
той же размерности). В частности, отсюда следует, что
для любого нуль-множества А и любой карты (О, К)
многообразия SV множество h(Uf\A) является нуль-мно-
нуль-множеством в R", а если многообразие удовлетворяет второй
аксиоме счетности, то и обратно, подмножество AaSS
будет ну ль-множеством, если множество h (U П А) является
нуль-множеством в R" для любой карты (U, А) много-
многообразия % (или хотя бы для любой карты произволь-
произвольного счетного семейства карт, носители которых состав-
составляют базу многообразия %).
Полезно сравнить нуль-множества с тощими. Вообще
говоря, эти два класса множеств никак друг с другом

242 НУЛЬ-МНОЖЕСТВА
не связаны: существуют тощие множества, не являю-
являющиеся нуль-множествами (и даже имеющие полную меру,
т. е. такие, что дополнение к ним является нуль-множе-
нуль-множеством), и не тощие нуль-множества (и даже нуль-множе-
нуль-множества, имеющие тощее дополнение).
Пусть, например, ?/;, 1 < I < оо,— объединение счетной системы
интервалов иа прямой R, центрами которых являются всевозможные
рациональные точки, а сумма длин равна 2-'. Тогда множество А=
00
= П Vi является нуль-множеством, а так как для любого i мно-
жество R\U; нигде не плотно (оно замкнуто н не имеет внутрен-
00
ннх точек), то дополнение К\Д = U (R\?/,) множества А является
i=\
тощим множеством.
Однако поскольку нуль-множества (в R", а значит, и
в любом SV) не имеют внутренних точек, то любое замк-
замкнутое нуль-мноясество нигде не плотно. Поэтому каждое
нуль-множество, представимое в виде объединения конеч-
конечного или счетного числа замкнутых множеств (необходимо
являющихся нуль-множествами), является тощим множе-
множеством. Такие множества общепринятого названия не име-
имеют. За отсутствием лучшего термина мы будем называть
их нуль-тощими мноэюествами*

Лекция 15
Теорема Сарда.— Аналитическая часть доказательства
теоремы Сарда.— Прямое произведение многообразий.—
Многообразие касательных векторов.—Доказательство
теоремы вложения Уитни.
Пусть /: SC —>2/ — гладкое отображение «-мерного
гладкого многообразия ?? в m-мерное гладкое многообра-
многообразие 2/.
Определение 1. Точка р ? % называется критической
точкой отображения /, если
т. е. если отображение
dfp: ТуГ —Т„2/
не эпиморфно (отображение / не является в точке р суб-
мерсией). Точка q?<& называется критическим значением
отображения /, если существует такая критическая точка
р?Х, что q = f(p).
Сравнив это определение с определением 4 лекции 13,
мы немедленно получим, что критические значения—это
в точности нерегулярные значения отображения f.
Заметим, что при п < т любая точка многообразия SS
является критической точкой отображения /. Поэтому
в этом случае критические значения — это точки множе-
множества fS, а регулярные значения—точки его дополнения
Й/\/^". (Таким образом, при п <т прообраз любого
регулярного значения пуст.)
Теперь мы можем сформулировать основную теорему
этой лекции:
Теорема 1. Если многообразие ?? удовлетворяет вто-
второй аксиоме счетности, то для любого гладкого отобра-
отображения f: Ж—>¦& множество C(f) его критических значе-
значений является нуль-множеством, а в случае, когда много-
многообразие & хаусдорфово,— даже нуль-тощим множеством.
Если же многообразие 3? компактно (а многообразие Я/
хаусдорфово), то множество C(f) замкнуто и нигде не
плотно.
Эта теорема обычно называется теоремой Сарда,
хотя еще до Сарда она была доказана Брауном и неза-
независимо от Сарда—Дубовицким.

244 ТЕОРЕМА САРДА
Следствие. Если dim •#" < сНтЙ/, то каждое гладкое
отображение /: SC—+*У заведомо не надъективно (множе-
(множество &\[Ж не пусто.) D t
Только это следствие нам понадобится для доказатель-
доказательства теоремы Уитни о вложении.
Подчеркнем, что в теореме 1 имеются в виду глад-
гладкие многообразия класса С°° (или Си). Впрочем, просмот-
просмотрев ее приводимое ниже доказательство, можно убедиться,
что оно сохраняется и для многообразий класса Сг, где
г^п—т + 2 при п^т и г^2 при п^т. [Более того,
за счет некоторых технических ухищрений это г можно
уменьшить еще на единицу. При этом, как показывают
соответствующие примеры, еще больше уменьшить г, во-
вообще говоря, нельзя.]
Мы выведем теорему Сарда из следующего предложе-
предложения:
Предложение 1. Пусть /: U—*Rm— гладкое ото-
отображение открытого множества U с R" в пространство
Rm, и пусть К—произвольное компактное подмножество
множества критических точек отображения f. Тогда мно-
множество fK является нуль-множеством.
Заметим, что так как пространство R" хаусдорфово,
то множество fK замкнуто и, значит, нигде не плотно.
С другой стороны, множество критических точек отобра-
отображения f, очевидно, замкнуто и потому является объеди-
объединением счетного семейства компактных подмножеств.
Следовательно, множество C(f) критических точек ото-
отображения f является нуль-тощим множеством.
Мы, видим, таким образом, что в частном случае
&~U, 2/ = Rm теорема Сарда является непосредственным
следствием предложения 1. Оказывается, что и в общем
случае она легко сводится к этому предложению.
Действительно, для любого открытого подмножества О
многообразия & содержащиеся в О критические точки
отображения f являются, очевидно, не чем иным, как
критическими точками его ограничения /10 на О. Поэтому
для любой счетной базы {Уа\ многообразия SC
C(f)=UC(f\Ua).
а
При этом, если каждое Ua является носителем неко-
некоторой карты (Ua, fa) (чего, как мы знаем, всегда можно
добиться) и если f@a) с Va, где (Va, ka) — карта много-
многообразия 2/, то C(f\ua) является образом при диффеомор-

ТЕОРЕМА СЛРДЛ 245
физме ka1 множества C(ga), где ga = ka о (/ |Уа) о
о/I»1: {/«—R".
Поэтому по тем же соображениям, что и выше, каж-
каждое множество
C(f\ua) = k-alC(ga)
является объединением счетного семейства компактных
нуль-множеств вида fK, где К— некоторое компактное
множество, состоящее из критических точек отображения /.
Следовательно, объединением счетного семейства таких
множеств будет и все множество C(f). Поскольку объеди-
объединение счетного семейства нуль-множеств представляет
собой нуль-множество, этим доказано, что множество С (/)
является нуль-множеством.
Если многообразие & хаусдорфово, то все множе-
множества fK замкнуты и, значит, множество С(/) является
нуль-тощим множеством.
Наконец, если, кроме того, многообразие SV ком-
компактно, то множество всех критических точек отображе-
отображения f можно разложить в объединение Кх (J . . . U KN ко-
конечного числа компактных множеств, каждое из которых
содержится в одной из координатных окрестностей Ua.
Поэтому в этом случае C(f) — fKiU ¦ ¦ ¦ \JfKN, где ввиду
хаусдорфовости многообразия Й/ все множества //С,- замк-
замкнуты и потому нигде не плотны. Следовательно, множе-
множество С (/) также замкнуто и нигде не плотно. ?
Таким образом, нам осталось лишь доказать предло-
предложение 1.
Прежде всего заметим, что предложение 1 тривиаль-
тривиальным образом доказывается при п < т. Действительно,
в этом случае, считая, что Rm = R"xRm~n, мы можем
внести в рассмотрение открытое множество t/xlRm~" про-
пространства Rm и его гладкое отображение
F: UxRm~"—*R.m,
являющееся композицией проекции на первый множи-
множитель t/xR""-*U и отображения /: U—-*Rm. При этом
для компактного множества Каи будет иметь место
равенство
где /СхО — подмножество пространства R"\ состоящее из
точек вида (х, 0), где х?К, а 0 — нулевой вектор про-
пространства _2R*~". С другой стороны, ясно, что множе-

246 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТЕОРЕМЫ САРДА
ство КхО является нуль-множеством пространства R.
(поскольку его можно покрыть конечной системой парал-
параллелепипедов сколь угодно малой высоты). Поэтому,
согласно свойству 2° нуль-множеств из лекции 14, мно-
множество F(KxO) также является нуль-множеством. Г1
Это доказывает теорему Сарда при п < т, а значит,
и сформулированное выше ее следствие (которое —напом-
—напомним— нам только и нужно для доказательства теоремы
Уитни).
Перейдем теперь к доказательству предложения 1 в
полной общности. Хотя это предложение относится, соб-
собственно говоря, к анализу, мы его здесь все же акку-
аккуратно докажем, несмотря на определенную громоздкость
и утомительность доказательства. (Читатель, интересую-
интересующийся лишь теоремой Уитни, может его пока пропустить.)
Пусть отображение f: U —>¦ Rm задается функциями f1, ...
..., fm: U—> R, и пусть С^, где k:== 1, — множество всех точек нз
U, в которых равны нулю все частные производные функций fl, ...
..., fm порядков < k. Ясно, что
Со ZD Cx Z2 . . . Z2 С„ ZD . . . ,
где Со — множество всех критических точек отображения / ( т. е. то-
II дР II
чек, в которых ранг матрицы \~-rj I меньше т
Лемма 1. Если Cs+i~0 или s> 1, то для /юбого ком-
т
пактного множества К aCs множество fKs имеет меру нуль.
Из этой леммы предложение 1 выводится посредством несложной
индукции.
Действительно, существует такое s, что множество f(Kf\Cs) име-
имеет меру нуль ( согласно лемме годится любое s > 1 ). С другой
стороны, КГ\Со~К. Поэтому для доказательства предложения 1 до-
достаточно установить, что если для некоторого sSs 1 множество
f(Kf\Cs) имеет меру нуль, то множество f (Kf\Cs_i) также имеет
меру нуль.
Пусть Кг, /= 1, — подмножество множества K[)Cs_i, состоящее
нз таких точек x?Kf\Cs.i, что \х—y\^s--l/r для любой точки
y?Kf\Cs- Являясь замкнутым подмножеством компактного множе-
множества К, множество Ks компактно.
Ясно, что
KC\Cs-i-(Kr\Cs)U U Кг-
/•=1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТЕОРЕМЫ САРДА 247
Поэтому нам нужно лишь доказать, что для любого г ^ 1 мно-
множество fKr имеет меру нуль.
Рассмотрим с этой целью открытое множество U* = U\CS-
Пусть /* — /|[/«, и пусть C*k — множества Сд, построенные для функ-
функции f*. Ясно, что Ck = Ck\Cs и, значит, cl — 0 и KrcCt-i. По-
Поэтому к отображению /* и компактному множеству Кг применима
лемма 1. Следовательно, множество fKr действительно имеет меру
нуль. ?
Таким образом, нам осталось лишь доказать лемму 1.
Доказательство леммы 1. Эта лемма состоит из двух
утверждений с разными посылками, ио с одним и тем же заключе-
заключением. Мы рассмотрим сначала первое утверждение (с посылкой
С'<+1 = 0). Поскольку множество К компактно, для доказательства
этого утверждения достаточно для любой точки х<>?К иайти такую
же окрестность VczU, что множество f(Kf\U) имеет меру нуль.
С этой целью мы найдем такую окрестность V точки х0, что ее за-
мыкаиие V компактно, а множество / (Csf\V) имеет меру нуль. Тог-
Тогда множество f (K[)V) с f(Cs[)V) будет также иметь меру нуль.
Проведем индукцию по га. Поскольку при га- 0 утверждение оче-
очевидным образом верно, нам нужно лишь доказать, что если оно вер-
верно при га—1, то верно и при га.
Ввиду условия Cs+i — 0 существует производная порядка s+l
одной из функций f1, ..., fm, отличная от нуля в точке х0. Пере-
Переставив—если нужно —координаты, мы без ограничения общности
да>
можем считать, что эта производная имеет вид -~-, где ф — неко-
ахп
торая производная порядка s.
Пусть g — отображение U—> Rm, определенное формулой
g (х, хп) = (х, ф (х, *„)), (х, х„) € U.
Якобиан этого отображения равен - • и потому в точке Хо
ахп
отличен от нуля. Следовательно, существует такая окрестность О'
точки дсо, что отображение g является диффеоморфизмом этой окре-
окрестности на некоторое открытое множество О, и потому определено
отображение
(«10'Г1 По'
h: О >О' »Rm.
Пусть V — такая окрестность точки х0, что V содержится в О'
и компактно. Покажем, что множество f(Csf\V) имеет меру нуль.
Здесь следует отдельно рассмотреть два случая: s —0 и s > 0.
Мы сначала займемся случаем s > 0 как более простым.
При s > 0 функция ф, являясь производиой порядка s одной из
функций f1, ..,, fm, равна нулю на Cs. Следовательно, множество

248
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТР.ОРЁМЫ САРДА
g (Cs) лежит в подпространстве R"~1x{0} пространства R"
ляемом уравнением хп — 0, и потому
опреде-
опредегде Ло —ограничение отображения h на (R"-1x{0})nO. Это, очевид-
очевидно, все и доказывает, так как отображение h0 фактически является
отображением открытого множества пространства R", и потому,
по предположению индукции (примененному к отображению Ло и
компактному множеству g(Csf\V)), множество Ло (g(Csf\V)) имеет
меру нуль.
Прн s = 0 роль производной ф играет одна из функций fl, ...
..., fm (вообще говоря, отличная от нуля на множестве Со). Пере-
Переставив—если нужно —координаты в R, мы без ограничения общно-
общности можем считать, что <p — fm.
Пусть Ot—срез по хп—t множества О (множество всех точек
xgRn-i, для которых точка (*, f)?R" принадлежит О).
Если x?Ot и g (х, а)=(х, t), то по определению \т (х, а) =
= ф (*, о) = t, и потому
h(x, t) = f(x, a) = (/1(*. a) ]m~x(x, a), /).
Это означает, что, положив
где x?Ot н g(x, а)- (х, I) (т. е. t- fm (x, а)), мы получим такое
гладкое отображение:
ht: Ot- +R'"-1,
что
A) h(x, 0 = (Л* (*). О
для любой точки (*, 0€°-
Из формулы A) следует, что якобнева матрица / отображения
h имеет вид
0
Jt
0
*
1
где Jt—якобнева матрица отображения h\.
Поэтому ранг матрицы J в точке (х, f) тогда и только тогда
меньше т, когда ранг матрицы У/ в точке х меньше m—1. Но по
определению ранг матрицы Jt в точке x?Ot тогда и только тогда
меньше m — 1, когда точка х является критической точкой отобра-
отображения ht, и, аналогично, ранг матрицы J в точке (*, t)?O тогда и
только тогда меньше т, когда эта точка является критической точ-
точкой отображения h (и, значит, точка (х, a) -g~1(x, t)?O' — крити-
критической точкой отображения /, т. е. принадлежит множеству С0(]О').

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТЕОРЕМЫ САРДА 249
Следовательно, срез g(C0f\O')t множества g(C0f\O') является не чем
иным, как множеством критических точек отображения Л<. Поэтому,
но предположению индукции (примененному к отображению /ij и
компактному множеству g (C0f\O')tf\g (V)/)), подмножество
пространства R" является нуль-множеством.
Поскольку это последнее множество является в силу формулы A)
срезом по хт t множества
мы получаем, таким образом, что все срезы f(Cof\V)t множества
f (Cof\V) являются нуль-множествами. Но тогда в силу теоремы Фу-
бини нуль-множеством будет н множество f (Cof\V). Тем самым прн
Cs+i — 0 лемма 1 полностью доказана.
Пусть теперь s > 1. Поскольку в силу компактности мно-
множество К покрывается конечным числом кубов пространства R", до-
достаточно доказать, что для любого куба Q cz R" множество f (Csf\Q)
имеет меру нуль.
Пусть а—ребро куба Q, и пусть k^l. Разбив куб Q плоско-
плоскостями, параллельными граням, на kn кубиков с ребрами а/к, рас-
рассмотрим один из кубиков Q' этого разбиения, пересекающийся с Cs.
Поскольку все производные порядка s+1 функций /*, ..., fm
ограничены в кубе Q, нз формулы Тейлора, примененной к этим
функциям, немедленно вытекает, что для любых точек JC^C^f|Q н
i/<?Q имеет место неравенство
где М — некоторое постоянное число. Поскольку диаметр кубика
Q' равен, очевидно, -г Y~n , отсюда следует, что диаметр его образа
К
I a \*-м
fQ' при отображении f не превосходит числа М -гК л , н по-
V ft /
тому этот образ содержится в кубе пространства Rm с ребром
/ a /.—x^ + i
2М [ -г у га , имеющем объем
V k }
где В ~BMas+1{Vn )I + 1)m — константа, не зависящая от k.
Поскольку всех кубов Q' не больше чем к", а их объедине-
объединение содержит множество C^flQ. отсюда следует, что множество
f(Cp[\Q) содержится в объединении кубов, общий объем которых

250 ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГООБРАЗИЯ
не превосходит числа
В В
frs + l)m-n'
и, следовательно, при к—> оо стремится к нулю (напомним, что по
условию (s+ 1) т — п > 0).
Таким образом, множество f(Csf]Q) может быть покрыто (даже
конечным!) семейством кубов, сумма объемов которых сколь угодно
мала. Следовательно, это множество имеет меру нуль.
Тем самым лемма 1—а вместе с ней и теорема Сарда —полно-
—полностью доказана. ?
Теорема Сарда (или, точнее, ее следствие) является
ключом к доказательству предложения 1 предыдущей
лекции (и вместе с ним теоремы Уитни), но чтобы при-
применить этот ключ, нам нужны еще некоторые простые,
но интересные и сами по себе конструкции.
Пусть !% и ?У—два многообразия (размерностей соот-
соответственно п и т), и пусть 2Сх*&—множество всех пар
(р, q), где pS.SC, q€&. Для любых множеств U<^5C и
Vей/ множество V хУ является подмножеством множе-
множества УХ&, и для любых отображений h: V —> R" и
к: V—> Rm формула
(hxk)(p, q) = (h(p), k(q))
определяет некоторое отображение
hxk:
(мы отождествляем здесь R"xRm с R"+m). При этом, если
отображения h и k инъективны, то отображение hxk
также инъективно, а если множества h(U) и k (V) откры-
открыты (в R" и Rm соответственно), то множество
открыто в R"+m. Это означает, что если (U, h) и (У, k) —
карты, то (UxV, hxk) —также карта. Более того, легко
видеть, что если карта (U, h) согласована с картой (?/',
h'), а карта (V, k)—с картой (V, k'), то карта (UxV,
hxk) согласована с картой (U'xV, h'xk'). Действи-
Действительно, ясно, что
(U х V) п (?/' х V) = (U n ?/') х (V п V)
и аналогично
{h{U)xk{V))r\(h'(U')xk'(V')) =

ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГООБРАЗИЙ 251
(мы условно считаем, что АхВ = 0, если А = 0 или
В = 0). При этом
(h X k |(t/xv> n (U'xv1)) ° (h' X k' ](i/xv) n (trxn) =
= i(h \u n y) ° (A' It/ n и-ГУ\ X [(* kn г) о (k' \v n v)-1].
и для завершения доказательства остается заметить, что
для любых диффеоморфизмов ср: №—<- Wt и ф': W —>• ^
открытых множеств пространств R" и R1" отображение
ФХф': WxW'-^WyxW^
также является диффеоморфизмом открытых множеств
(пространства R" + ra = IRrtxlRra). ?
Таким образом, карты (UxV, hxk), построенные
для всевозможных карт (U, к) и (V, k) многообразий SC
и 2/, составляют атлас на ^"хй/.
Определение 2. Соответствующая гладкость на SC х Й/
называется прямым произведением гладкостей многообра-
многообразий SC и й/, а множество ^"хй/, снабженное этой глад-
гладкостью, называется прямым произведением многообразий
& и <У. Его размерность равна сумме размерностей со-
сомножителей:
dim {&х&) = dim ДГ + dim&.
Топология многообразия ЗСхУ является, очевидно,
прямым произведением топологий многообразий SC и &
(см. лекцию 5).
Замечание 1. Для произвольной группы % опреде-
определено отображение
B) 3xS-*3, (a,
Группа #, являющаяся гладким многообразием, для ко-
которой отображение B) гладко, называется группой Ли
(употребляется также термин гладкая группа). Для любой
матричной группы Ли ? (см. определение 1 лекции 6)
построенная в предложении 1 лекции 6 гладкость обла-
обладает тем свойством (проверьте!), что по отношению к этой
гладкости группа % является группой Ли. Это оправды-
оправдывает нашу терминологию.
Замечание 2. В следующем семестре мы докажем,
что если подгруппа $ группы GL (л, R) является вло-
вложенным подмногообразием (и, следовательно, группой Ли),
то она будет матричной группой Ли в смысле определе-
определения 1 лекции 6. Это показыпает, что определение 1 лек-

252 МНОГООБРАЗИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ
ции 6 не является, как это может показаться, определе-
определением ad hoc и вводит вполне естественное понятие.
При #¦ = ?/ возникает многообразие Жх-Я", которое
называется квадратом многообразия X. Подмножество Л
этого многообразия, состоящее из точек вида (р, р),
р?&, называется его диагональю.
Легко видеть, что многообразие SV (или более общо — то-
топологическое пространство %) тогда и только тогда ха-
усдорфово, когда диагональ Д замкнута в 3?хЗ?. Дейст-
Действительно, условие, что различные точки р и q имеют
непересекающиеся окрестности U и V, в точности. озна-
означает, что окрестность UxV точки (р, q)?SPxW не пе-
пересекается с Д. 1.1
Поэтому для любого хаусдорфова многообразия SC
определено многообразие %y,5C\ts., называемое взрезан-
взрезанным квадратом. Размерность этого многообразия равна
2п, где п — размерность многообразия &.
Другая нужная нам конструкция сопоставляет про-
произвольному «-мерному многообразию % некоторое новое
2п-мерное многообразие Т&.
Пусть
isc = i_j туг
— дизъюнктное объединение всех подпространств Т^Г,
p$i%. [Таким образом, точками множества 13' являются
всевозможные касательные векторы А многообразия Ж.]
Для каждого вектора А € Т.Я" (единственную!) точку ptW,
для которой А?Тр&, мы обозначим символом пА. Тем
самым возникает отображение
я: 4X-+SC,
обладающее тем свойством, что л (р) — ТрЖ для каждой
точки р?Ж.
Для произвольного открытого подмножества UcS"
подмножество n"'t/cTJ естественным образом отождест-
отождествляется с множеством 1U. В случае, когда U является
носителем карты (U, h) = (U, x', ..., х"), определено
отображение
lh: W —> R»-',
переводящее произвольный вектор А € TU в вектор
= {х\ .... а-\ а\ .... a»)€R2",

МНОГООБРАЗИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ 253
где х1, . . ., х'!—координаты точки р = пА в карте (V', К),
¦л а1, ..., а" — координаты вектора А в базисе
дх1 )р' ' ' ' ' \ дх" )р
пространства 1рТ. (Таким образом,
заметим, что числа а1, . . ., а' однозначно определяются
вектором Л). Ясно, что отображение lh биективно и,
•.мпчит, пара (Т?/, Т/г) является картой в Т&.
Пусть (U, h) и (U't h')—две карты многообразия %
(для определенности пересекающиеся), и пусть
C) *''=*''(я1! ¦••> *"). '=1. ••¦> п<
— формулы перехода соответствующих локальных коор-
координат (в пересечении U(]U'). По определению (см. фор-
формулу A) лекции 7) для каждой точки p^Uf\U' коорди-
координаты а1, ..., а" и а1', ..., а"' произвольного вектора
Л €Тр.%' в картах (U', h) и (?/', /г') связаны соотношением
... / дх1' \ ,
D) а' — ( -г-.- ) а1,
где (—f7") —значения частных производных функций C)
и точке р.
С другой стороны, ясно, что Т/г и Т/г' отображают
множество
па соответственно открытые множества h (U Г) ?/')xR" и
fi' (U r\U')xR" пространства R2'' = R"xR", причем фор-
формулы C) и D) вместе задают отображение Т/г' о (Т/г)
первого множества на второе. Поскольку якобиан
dot I f —4~7~) ' в0 всех точках p?U[)U' отличен от нуля,
ii \ «* / р I
отсюда следует, что это отображение является диффео-
диффеоморфизмом.
Таким образом, карты (TU, Т/г) и (TU1, Т/г') согла-
согласованы. Этот вывод остается, очевидно, в силе и при
11 П U' = 0 (ибо если Uf\U' = 0, ioTU f\ 1U' = 0).
Таким образом, карты вида (Т?/, Т/г) составляют ат-
"'i.ic на 1SV и, значит, определяют на Т^Г некоторую
гладкость.

264 МНОГООБРАЗИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ
Определение 3. Построенное гладкое многообразие
13И называется многообразием касательных векторов мно-
многообразия SP. Его размерность равна 2/г, где tt = di'm#\
Заметим, что из-за наличия производных в формуле D)
класс гладкости многообразия 13? на единицу меньше
класса гладкости г многообразия SC (при г = оо или r = w
класс гладкости, очевидно, не меняется).
По определению локальными координатами, отвечаю-
отвечающими карте (Т?/, Т/г), являются числа х1, ..., х;', а1, ...
..., а". (Таким образом, символы х1, ..., х" одновре-
одновременно обозначают как локальные координаты в U, так и
часть локальных координат в 1U. При достаточной вни-
внимательности к недоразумениям это не приводит.)
В локальных координатах х1, ..., х-', а1, ..., а" (на
1U) ид;1, ..., х" (на U) отображение я записывается
формулами
xl = xl, t=l, ..., п,
где слева х' — координаты на U, а справа — на 1U. Мы
видим, следовательно, что отображение л гладко и яв-
является субмерсией. Поэтому в силу общего предложения 1
лекции 8 каждое касательное пространство 1Р3? = я~х (р)
является вложенным подмногообразием многообразия 1SC.
Числа а1, ..., ап являются координатами на этом под-
подмногообразии (определенными на всем lpSC).
В многообразии 1SC выделяется подмножество •#¦„, со-
состоящее из нулевых векторов пространств ТрЖ.
Легко видеть, что SC^ является замкнутым подмного-
подмногообразием, диффеоморфным многообразию & (диффеомор-
(диффеоморфизм Жц-^-З? индуцируется отображением я: 1&—+SC).
Поэтому множество TW\&0 открыто и, значит, яв-
является многообразием. Размерно:ть этого многообразия
равна 2п, где n = dim^'.
Теперь мы уже можем доказать предложение 1 лек-
лекции 14 (а вместе с ним и теорему Уитни).
Доказательство предложения 1 лекции 14.
Пусть многообразие X вложено в RN. Тогда для любых
двух различных точек р, q€3? (т. е. произвольной точки
(р, <7) €-^X.#"\Л) в RN определена прямая, проходящая
через эти точки. Пусть fL (p, q)—одномерное подпрост-
подпространство пространства RN, ассоциированное с этой прямой
(т. е., наглядно говоря, параллельная прямая, проходя-
проходящая через точку 0). Поскольчу одномерные подпростран-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ УИТНИ 255
ства пространства R^ составляют (N—1)-мерное проек-
проективное пространство RP^'1, это дает нам отображение
E) Л: Vx&\b-+RP"-1.
Аналогично мы определим отображение
F) U
приняв за /2 (А) для любого вектора А ? Т&\&0 одно-
одномерное подпространство пространства RN (точку прост-
пространства RPN~1), порожденное этим вектором (или, точ-
точнее, вектором (dip)A?TpRN=RN, где а\р— дифференциал
вложения i: SC —*RN в точке р = п(А)).
Задача 1. Докажите, что отображения E) и F)
гладки. [Указание. Запишите эти отображения в ло-
локальных координатах. 1
Пусть теперь
— дизъюнктное объединение многообразий SPxSP\S. и
TSF\3?0. Естественным образом это объединение является
2«-мерным гладким многообразием, а его отображение
совпадающее на ^"х^ХА с отображением /х, а на
Т^"\^"о—с отображением f2, — гладким отображением.
Поэтому, если 2п <. N—1, то по следствию из теоремы
Сарда отображение f заведомо не надъективно. Этим до-
доказано, что в пространстве RN существует одномерное
подпространство L, не принадлежащее как образу отоб-
отображения /х, так и образу отображения /2.
Рассмотрим теперь проектирование
G) R"-* LJ-
пространства R^ параллельно прямой L на ее ортого-
ортогональное дополнение ZA (являющееся (N — 1)-мерным под-
подпространством пространства R^). Выбрав в L-L базис, мы
можем считать это проектирование отображением R^—>
- +RX-1. Пусть
(8) р: Jr-*R"-1
— ограничение этого отображения на 3?aRN. Поскольку
проектирование G) непрерывно и открыто, его ограниче-
ограничение (8) также непрерывно и открыто. С другой стороны,
утверждение, что Lfrlm/j в точности означает, что каж-

256 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ УИТНИ
дая прямая, параллельная прямой L, пересекает подмно-
подмногообразие I1 в не более чем одной точке, т. е^. что
отображение (8) инъективно. Будучи инъективным непре-
непрерывным и открытым, отображение (8) является, следова-
следовательно, монеоморфизмом.
Рассмотрим теперь условие, что L(?lm/2 (геометри-
(геометрически означающее, кстати сказать, что прямая, прохо-
проходящая через точку р параллельно прямой L, не касается
в этой точке подмногообразия SC). Дифференциал (dp)p
отображения (8) в каждой точке р^.?С является, очевид-
очевидно, ограничением на 1pXaRN дифференциала проектиро-
проектирования G). Поскольку в силу линейности отображения G)
его дифференциал совпадает с ним самим, отсюда, в част-
частности, следует, что дифференциал (dp)p обращает в нуль
лишь векторы из Tp$T\L. Но это пересечение либо со-
состоит только из нулевого вектора (когда L <? Тр&), либо
совпадает с L (когда Ldp%). Поэтому, если Lc?lp%, то
отображение (8) является в точке р погружением. Посколь-
Поскольку включение L<=.Tp& в точности означает, что L = f2(p),
этим доказано, что условие L(?lm/2 равносильно тому,
что проектирование является погружением (в каждой
точке р?%") и, значит, диффеоморфизмом на свой образ.
Поэтому образ р(Ж) многообразия при проектирова-
проектировании р представляет собой вложенное подмногообразие
пространства RN~l, диффеоморфное многообразию %.
Таким образом, многообразие SV вложимо в R"'1. П
Задача 2. Покажите, что любое вложимое «-мерное много-
многообразие может быть погружено в R2".

Лекция 16
Тензоры. —Тензорные поля.—Векторные поля и диф-
дифференцирования.—Алгебра Ли векторных полей.
Напомним (см. лекцию II. 6), что тензором S типа
(а, Ь), где а^О, Ь^О, на линейном пространстве V
называется отображение, сопоставляющее произвольному
базису elt ..., е„ пространства Тэ набор па + ь чисел
S'il'.'.'.{*, называемых компонентами тензора S в этом
базисе, и обладающих тем свойством, что для любых
двух базисов elt . ¦., е„ и ev, ..., еп, пространства "У3
отвечающие им компоненты S{\ у.;{ь и Sj}'" 1Р, тензора 5
1 * • • а
связаны формулой
sjr}=^ ... ctc ... j\
'l -¦ la '1 >a '\ 1b "
где с\' и ^« — компоненты взаимно обратных матриц пере-
перехода, т. е. такие числа, что ei> = ctl.ei и e, = cj'<?;-. Каж-
Каждый тензор корректно определяет полилинейный функ-
функционал
S (X X &1 V>\ — S'-' ''' !b Wi x'aV-. V>.
° \*\i • • ¦ 1 ла' в > ¦ • ¦ i в ^ — °ti ... 1Ц Л! • • • ха S/, ¦ ¦ ¦ 6/6
от а векторных и b ковекторных аргументов и, как пра-
правило, с этим функционалом отождествляется.
По отношению к естественно определяемым операциям
сложения и умножения на числа все тензоры данного
типа (а, Ь) образуют линейное пространство 1*(?/Э).
Для любых тензоров S и R типов (а, Ь) и (с, d) со-
соответственно формула
/i ... ib+d q/i ¦¦ Ib D/'ft + l •¦¦ /b + d
•¦• 'a + c — ^h ¦•¦ 'u ^'a + i ¦¦• ia + c
определяет тензор S@R типа (a + c, b-\-d), называемый
тензорным произведением тензоров S и R. Это умноже-
умножение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложе-
сложения.
Кроме того, для тензоров имеется специальная опе-
операция свертки (см. лекцию II. 6).
Каждый вектор естественным образом интерпретирует-
интерпретируется как тензор типа @, 1), а каждый ковектор —как тен-
тензор типа A, 0). Поэтому для любого базиса elf ..., е„
пространства °Р и любых индексов iv ..., ts, jv ...
9 М. М. Постников, сем. III

258 ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
• ••» /ь=1> •¦•> я в пространстве Т^(-З^) определен тен-
тензор i
где e't, ...,ela — векторы сопряженного базиса прост-
пространства 9^*.
Все тензоры этого вида образуют базис пространства
Тд"^), причем координатами тензора в этом базисе слу-
служат как раз его компоненты, т. е.
5 = s{[;:: Й е'« ® ... ® е'а (х) eJi (g)... (g) elb
для любого тензора S.
Эти общие понятия линейной алгебры мы применим к
случаю, когда °Р является касательным пространством
1р5С гладкого многообразия % в его точке р.
Пусть (?/, h) = (U, х1, ..., х') — произвольная карта
многообразия ¦%", содержащая точку р. В пространстве
1Р% эта карта определяет базис
а в сопряженном пространстве VPS"—сопряженный базис
Поэтому для каждого тензора Sp типа (а, Ь) на прост-
пространстве ТрЯ" будет иметь место представление вида
B) S,-
<) <®{ )
коэффициенты S{\;:;'* которого (т. е. компоненты тензора
Sj, в базисе A)) называются компонентами тензора Sp в
карте (U, h). (По типографским соображениям мы опу-
опускаем в обозначении этих компонент индекс р.)
Любая другая карта (?/', h') = (U', x1', ..., хп')
(е p(tW) определяет базис
<3> Ш, GH
пространства Тр^", связанный с базисом A) матрицей пе-
перехода
«> иш ¦¦•'¦- "¦

ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ 259
Поэтому компоненты тензора Sp в картах (V, К) и (У, h')
связаны соотношением
E) S/j-g-
\dxft jp
Если теперь тензор Sp задан для любой точки р€$",
то в представлении B) компоненты S{,';:;{* будут функ-
функциями от р. Если эти функции гладки, т. е. гладко вы-
выражаются в карте (U, К) через координаты х1, ..., х",
то соответствие p>-+Sp называется (гладким) тензорным
полем (или, короче, тензором) типа (а, Ь) на многообра-
многообразии SC. Соотношение E) для функций S\\;;; \ьа имеет вид
на U(]U',
откуда следует, что условие гладкости тензорного поля
не зависит от выбора карты.
Замечание 1. Для многообразий конечного класса
гладкости Сг, г^ 1, мы здесь сталкиваемся с той харак-
характерной трудностью, что элементы матрицы D) являются,
вообще говоря, функциями лишь класса С1. Поэтому и
гладкость тензорных полей мы вынуждены понимать
только в смысле Cr~l. Во избежание этих оговорок, мы
и условились в лекции 1 ограничиваться многообразиями
класса С°° (и Си), для которых подобного рода трудностей
не возникает.
Для любого открытого покрытия {Ua} многообразия
Я' каждое тензорное поле S определяет семейство полей
обладающих тем свойством, что для любых индексов аир
G) Sa = Sp на Ua(]Up.
Обратно, если заданы поля Sa на Ua, удовлетворяющие
соотношениям G) (о таких полях мы будем говорить, что
они согласованы на пересечениях), то формула
Sp = (Sa)P, если p?Ua,

260 ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
корректно определяет на X тензорное поле S, обладаю-
обладающее тем свойством, что
для любого а (и потому гладкое). Мы будем говорить,
что поля Sa составляют поле S.
Замечание 2. Тензорное поле на многообразии можно
рассматривать как соответствие, сопоставляющее каждой
карте (U, К) многообразия X набор гладких функций S{\ \\\{ba
на U и обладающее тем свойством, что для любых двух
карт (U, h) и (?/', А') на пересечении U П W имеет место
соотношение F). Это можно принять за определение
тензорного поля. Преимущество этого определения состоит
в том, что оно может быть сформулировано сразу же
после введения понятия гладкого многообразия без каких-
либо промежуточных определений, а недостаток — в от-
отсутствии непосредственной формальной связи (заменяю-
(заменяющейся аналогией) с понятием тензора в линейном прост-
пространстве.
Все алгебраические операции над тензорами (в том
числе и операция свертки) автоматически переносятся на
тензорные поля. Например, тензорное произведение S(R
двух тензорных полей S и R определяется формулой
(8) {S®R)p = Sf®Rp.
Ясно, что из гладких полей при этом всегда получаются
гладкие поля.
В частности, мы видим, что совокупность ЛьаХ всех
тензорных полей типа (о, Ь) на многообразии X является
линейным пространством.
Это пространство бесконечномерно (при п > 0).
При (а, Ь) — @, 0) тензорные поля являются не чем
иным, как гладкими функциями на X', а линейное прост-
пространство '\\$С — линейным пространством ?2? гладких функ-
функций на X. Линейное пространство РХ представляет собой
по отношению к умножению функций алгебру, причем
формула
(являющаяся частным случаем формулы (8)) определяет
операцию умножения

ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ 26!
по отношению к которой, как показывает автоматическая
проверка, линеал ~\ьа% является модулем над алгебр ой? %.
При (а, Ь) = @, 1) тензорные поля называются вектор-
векторными полями. Примером векторного поля на координат-
координатной окрестности U (рассматриваемой как многообразие)
является поле
(9> -&¦¦'"(¦&¦),- '-' •¦
Оно называется i-м координатным векторным полем на U.
При (а, Ь) = A,0) тензорные поля называются ковектор-
ными полями. Примером ковекторных полей является i-e
координатное ковекторное поле
A0) dx': pt-*-(dx')p
на координатной окрестности U.
Формула B) утверждает, что каждое тензорное поле
.S на О единственным образом разлагается по тензорным
произведениям векторных и ковекторных координатных
полей:
д /-> ,->, д i,
S =
В частности, на U каждое векторное поле X имеет вид
а каждое ковекторное поле а—вид
A3) a = a,dx',
где X1 и а,-, i= 1, .... п, — некоторые гладкие функции
па U. (Для обозначения ковекторных полей по традиции
употребляются строчные греческие буквы, а для обозначе-
обозначения векторных полей — прописные латинские буквы из
конца алфавита.)
По определению существование разложения A1) озна-
означает, что для любой координатной окрестности U линеал
Vail является свободным модулем над алгеброй Ft/ с ба-
базисом
Для произвольных же многообразий X модуль Л%%,
вообще говоря, свободным модулем (над алгеброй ?Х) не

262 ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
является, и его алгебраическая структура может быть
весьма сложной.
Многообразия X, для которых все модули "\ьаХ сво-
свободны, называются параллелизуемыми.
Рассмотрим более внимательно векторные поля.
Как уже было сказано в лекции 7, каждый вектор
А?1рХ позволяет произвольной функции / (определен-
(определенной и гладкой в окрестности точки р) сопоставить неко-
некоторое число Af—производную этой функции по вектору
А. Отсюда следует, что для любого векторного поля X
на многообразии X и произвольной функции f
формула
определяет на X некоторую функцию Xf. Из приведен-
приведенных в лекции 7 формул для Af вытекает, что в произ-
произвольной карте (U, h)=(U, xl, ..., х") многообразия X
ограничение функции Xf на 0 определяется формулой
A5) Xf=X'i Ha U>
где X1', i — l, ...,п, — компоненты векторного поля X в
карте (U, h). Поэтому функция Xf гладка на V, а зна-
значит— в силу произвольности U — и на всем X.
Таким образом, формула A4) определяет некоторое
(очевидно, линейное) отображение X алгебры FX гладких
функций на многообразии X в себя. Оно называется ли-
линейным дифференциальным оператором первого порядка
на многообразии X, порожденным векторным полем X.
[Эта терминология мотивируется формулой A5), сраЕне-
ние которой с формулой A2) объясняет также выбор
обозначения -r-f для координатных векторных полей.]
Пусть Л — произвольная алгебра (не обязательно ко-
конечномерная и ассоциативная).
Определение 1. Линейное отображение
D: A-+A
алгебры Л в себя называется дифференцированием, если
для любых элементов а, Ь?Л.
В частности, дифференцирования алгебры FX (назы-
(называемые обычно просто дифференцированиями на X)—это

ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 263
такие линейные отображения
что
A6)
для любых двух гладких функций f и g на SC.
Легко видеть, что линейный дифференциальный опе-
оператор X: FSV—у^Ж, порожденный векторным полем X,
является дифференцированием на ЗС'. Действительно, из
правила дифференцирования произведения и формулы A5)
непосредственно следует, что для любых функций /, g^FW
тождество A6) выполнено на каждой координатной окрест-
окрестности U. Поэтому оно выполнено и на всем многообра-
многообразии ЗС. ?
Оказывается, что если многообразие SV хаусдорфово,
то этим исчерпываются все дифференцирования на SC.
Теорема 1. Каждое дифференцирование D на хаусдор-
фовом гладком, (класса С°°) многообразии X порождается
векторным полем. Это поле единственно.
Для доказательства 1[этой [теоремы !нам понадобится
следующая лемма: *&в*--«*
Лемма I. Пусть Ж—хаусдорфово гладкое многооб-
многообразие, V—его открытое подмногообразие, / — гладкая
функция на U. Тогда для любой точки po$U существует
на SC такая гладкая функция /х и такая окрестность W
точки р0, что WcU и
f = ft на W.
При этом можно дополнительно считать, что fi = 0
вне U.
Доказательство. Согласно предложению 2 лек-
лекции 13 в SC найдутся такие открытые множества V и W,
что
po?W, W^V, VcU,
и для пары (V, W) существует функция Урысона ф. Для
любой точки рЪ.% положим
. если Р$и'
0, если; p^U.
Ясно, что]функция /j гладка и совпадает с функцией f
на W. Кроме того, по построению ^ = 0 вне 0, ?

264 ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Следствие 1. Для каждой окрестности U провоз-
вольной точки р0 гладкого хаусдорфова многообразия X
существует такая окрестность W точки р0 и такая глад-
гладкая на X функция ф, что
\ 1, если p?W,
ф(/?) = \0, если p^U. О
Заметим, что ф (р0) = 1 и W<z.U.
Пусть теперь D—произвольное дифференцирование на
многообразии X.
Мы будем говорить, что гладкие на X функции f и g
равны вблизи точки ри (; X, если они принимают одина-
одинаковые значения в некоторой окрестности этой точки.
Следствие 2. Если функции fug равны вблизи точки
X, то функции Df и Dg также равны вблизи этой точки.
Доказательство. Пусть f — g на окрестности U
точки р„. Рассмотрим функцию (/—g) ф, где ф—функция
на X из следствия 1. Ясно, что (/—?)ф = 0 на всем X,
т. е. функция (/—g) ф является нулем" линеала FX.
Поэтому в силу линейности отображения D функция
D[(f—g) ф] также является нулем. Поскольку
D [(f—g) Ф] - (Df—Dg) ф + (f-g) Dq>,
этим доказано, что
на всем X и, в частности, на окрестности W точки р0,
предусмотренной следствием 1. Но f — g и ф=1 на W.
Поэтому Df—Dg = 0 и, значит, Df — Dg на W. ?
Замечание 3. Из леммы 1 также следует, что для
любой точки po?U и любого тензорного поля S на U
существует такая окрестность W cz U этой точки и та-
такое тензорное поле Sx на всем X, что
S = S1 на W.
Для доказательства достаточно применить лемму 1 к каж-
каждой компоненте поля S (и взять пересечение соответст-
соответствующих окрестностей W).
Свойство, выражаемое следствием 2, называется свой-
свойством локальности отображения D. Из него выте-
вытекает следующее важное предложение:
Предложение 1. Для любого открытого множества
U <z.X существует единственное дифференцирование

ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 265
согласованное с дифференцированием D, т. е. такое, что
A7) DuU\u)=Df\u
для каждой гладкой на X функции /.
Наглядно последнее свойство означает, что в диаг-
диаграмме
D\ \Du,
FX-+FU
горизонтальные стрелки которой являются отображениями
ограничения, при движении по двум возможным путям
из левого верхнего угла в правый нижний получается
одно и то же отображение FX —+ FU. Обладающие этим
свойством диаграммы называются коммутативными (мы
уже встречались с коммутативными диаграммами в лек-
лекции 3).
Доказательство предложения 1. Пусть диф-
дифференцирование Du существует, и пусть g—произволь-
g—произвольная гладкая на U функция. Согласно лемме 1 для любой
точки ро?{/ на X существует функция gi = gi,Po, совпа-
совпадающая вблизи точки р0 с функцией g. При этом, сог-
согласно свойству A7), Dug = Dg1\u и, значит, в частности,
A8) {
С другой стороны, если gl — другая гладкая на X функ-
функции, совпадающая вблизи точки р0 с функцией g (а по-
потому и с функцией gj), то, согласно свойству локальности
отображения D, вблизи точки р0 будет иметь место ра-
равенство Dgt — Dgl и, значит, в частности, равенство
A9)
Таким образом, правая часть формулы A7) не зависит
от выбора функции gt и определяется исключительно
функцией g и точкой р0. Это означает, что функция Dvg
па U зависит только от функции g. Следовательно, отобра-
отображение Dy-. g*-+Dug единственно.
Чтобы доказать его существование, мы примем фор-
формулу A8) за определение функции Dvg. Согласно фор-
формуле A9) это определение корректно. Более того, если
tfi=g на окрестности W точки р0, то для любой точки
p?W функцию g1 = g1, Po мы можем использовать в ка-
качестве функции gu р для вычисления значения (Dug) (p)

266 ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ \
функции Dug в точке р. Это означает, что Dug = Dg1
не только в точке р0, но и вблизи этой точки. Таким
образом, вблизи каждой точки из U функция Dvg совпа-
совпадает с некоторой гладкой на X функцией. Поэтому функ-
функция Dug гладка на 0, т. е. соответствие gt-t-Dug пред-
представляет собой отображение
Dv: Ft/-,Ft/.
Если f и g—две гладкие на U функции, a f1 и g1 —
гладкие на SC функции, совпадающие вблизи точки р0
соответственно с функциями / и g, то функция fi + ^i
будет совпадать вблизи точки р0 с функцией / + g. Поэтому
и, значит, отображение Du>—очевидно, линейное—яв-
линейное—является дифференцированием на V.
Наконец, если /—гладкая на X функция, то для
функции g=f\u роль функции gt (для любой точки р0 С U)
может играть функция /. Поэтому
?
Как правило, вместо Dug мы будем писать просто Dg.
Для доказательстка теоремы 1 нам будет нужна еще
следующая лемма:
Лемма 2. Пусть (U, h) = (U, x1, ..., х")—произ-
х")—произвольная карта многообразия SC класса С™. Тогда вблизи
любой точки po?U каждая гладкая (на U) функция f
допускает представление вида
B0) / = /(Ро) + (^-4)/,-,
где fu ..., fn — некоторые гладкие (вблизи р0) функции,
а х\, ..., Хо—координаты точки р0.
Доказательство. Пусть xo — h(p), и пусть г>0 —
такое число, что любая точка jc?IR", для которой |лг —
— лг01 < г, принадлежит открытому множеству h(U). Тогда
для значения f (x) в каждой такой точке х произвольной
гладкой в h (U) функции / будет иметь место формула
Jt. (х, + s (*- х0)) ds,

ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАН.I'.l 267
т. е. формула
где
Для завершения доказательства остается с помощью диф-
диффеоморфизма h перейти от функций на h(V) к функциям
на U. U
Для каждого дифференцирования D произвольной ал ¦
гебры d с единицей 1 имеет место равенство
и, значит,— равенство
D1 =0.
В силу линейности отображения D отсюда вытекает, что
Da = 0 для каждого элемента a ^ SR основного поля.
Для дифференцирований на гладком многообразии 3'
(т. е. дифференцирований алгебры ?%) это означает, что
каждое дифференцирование на Ж люЗую постоянную функ-
функцию переводит в нуль.
Теперь у нас уже все готово для доказательства тео-
теоремы 1.
Доказательство теоремы 1. Как всегда, дока-
докажем сначала утверждение об единственности.
Пусть дифференцирование D на многообразии Ж по-
порождается векторным полем X. Это означает, что в каж-
каждой карте (U, х1, ..., хч) многообразия SC для любой
гладкой на U функции f имеет место равенство
Df=X'-?L на U,
дх'
где X'', i = l, ..., п,— компоненты векторного поля X
па U (и где символ D обозначает на самом деле Dv).
В частности,
что и доказывает единственность поля X.
Пусть теперь D—произвольное дифференцирование на
многообразии X (предполагаемым — напомним—хаусдор-
фовым и класса С"). Для любой карты (U, х\ ..., х")

268 ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ v
рассмотрим на U гладкие функции
X' = Dx', i=l, .... п.
Пусть / — произвольная гладкая на V функция. При-
Применив к ее представлению B0) оператор D (точнее, опе-
оператор Dw, где W — окрестность точки р0, в которой имеет
место A9)), мы получим, что
D/= *<7,. + (x'-xj)?>f,- на W
и, значит, что
B1) (Df)(po)^X'(pB)fi(po).
(Мы имеем право вместо Dw писать D из-за свойства
локальности оператора D.)
Равенство B1) верно, конечно, не только для диффе-
дифференцирований на X, но и для любого дифференцирова-
дифференцирования на U. В частности, оно верно для дифференцирова-
дифференцирования —. Поэтому
дх'
и, значит, в силу формулы B1)
(Df) (р.) = X' (р0) JL (р0) = (*ljL
Поскольку р0 — произвольная точка окрестности U, этим
доказано, что
Df^X'-Я на U,
т. е. дифференцирование D порождается в U векторным
полем Хи с компонентами X1, ..., X".
Аналогично, для любой другой карты (?/', х1', ..., хп')
дифференцирование D на II' порождается векторным по-
полем Хц. с компонентами Х'' — Dx''. При этом в силу
свойства локальности оператора D для любой функции f
на пересечении U [\W будет иметь место равенство
ХгЛ- = Х'-У-.
дх1 дх'
Применив это равенство к функциям перехода х1' ==
= xl'(x1, ..., х"), мы немедленно получим, что
Хг = Х'3?-,
дх'

АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 269
т. е. что на U ftU' векторные поля Хи и Хц- совпадают.
Поэтому, положив для любой точки р многообразия Ж
где U — произвольная координатная окрестность точки р,
мы корректно определим на Ж векторное поле X, обла-
обладающее тем свойством, что Х\и = Хи для любой коорди-
координатной окрестности 0. Поэтому это поле, во-первых,
гладко, а во-вторых, порождает дифференцирование D. О
Контрольный вопрос. Где в этом доказательстве
использовано предположение, что 3? является многообра-
многообразием класса С"?
На основании теоремы 1 векторные поля на #" обычно
отождествляются с дифференцированиями. (Что, в част-
частности, а постериори оправдывает обозначение Х\ для
результата применения к функции / порожденного век-
векторным полем X дифференцирования.)
Ясно, что для любой алгебры Л сумма двух диффе-
дифференцирований и произведение дифференцирования на число
также являются дифференцированиями, т. е. множество
Der Л всех дифференцирований алгебры Л является линей-
линейным пространством (подпространством линейного про-
пространства ЕпйЛИНЛ всех линейных операторов Л--Л).
Для любых двух линейных операторов Dlt D2: Л —*¦ Л
оператор
[Dlt DJ = DA-ОД
называется их коммутатором (или скобкой Ли). Ср. опре-
определение 1 лекции II. 18а.
Легко видеть, что для каждой алгебры Л коммутатор
|Dlt D2] любых двух дифференцирований Da, D2: Л—*Л
также является дифференцированием. Действительно,
[Dlt D,](ab) = D1 (D,{ab))-D,(D,(ab)) =
= DxD2a b + D2a • D^b -I Dxa ¦ D2b I a DxD2b—
—D^a b—Dya-Djj—Dfi D,b—a-DfiJ) =
= (Dfi.—Dfi^ a-b + a- (D^—DJDj) b =
= [Dlf DJa-ft + fl-tDi, D2]b
для произвольных элементов а, Ь?Л. ?
Поскольку операция коммутирования Dlt D2k->[D,, Dt],
очевидно, линейна по D± и D«, это означает, что по от-

270 АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
ношению к операции коммутирования линеал Der</? всех
дифференцирований алгебры Л сам является алгеброй.
Ясно, что операция коммутирования антикоммута-
тивна, т. е.
[Dlt D2] = -[D2, Dt]
для любых двух линейных операторов Dl и D2 (даже не
являющихся дифференцированиями).
Кроме того, для любых трех операторов Dlt D2 и D3
имеет место тождество
B2) [[Du D2], Д,]4 [[Dt, D3], DJ
Действительно,
[[Dlt D2], D3] = (D1D,-D.2D1)D3-D3(D1D2-D2D1) =
= D1D2D3—D2DlD3—D3D1D2 + D3D2DU
и потому левая сторона формулы B2) является суммой
двенадцати операторов вида DptDk, в которой каждый
из этих операторов встречается дважды с противополож-
противоположными знаками. Поэтому эта сумма равна нулю. ?
Тождество B2) называется тождеством Яко5и.
Все это мотивирует следующее общее определение:
Определение 2. Алгебра, умножение в которой анти-
коммутативно и удовлетворяет тождеству Якоби, назы-
называется алгеброй Ли.
Таким образом, мы доказали, что алгебра Der^ яв-
является алгеброй Ли.
Так как дифференцирования алгебры гладких функ-
функций R&" являются в силу наших отождествлений не чем
иным, как векторными полями на X, мы получаем, в част-
частности, что векторные поля на гладком хаусдорфовом
многообразии SC класса С°° образуют алгебру Ли.
Эта алгебра Ли обычно обозначается символом а&.
По определению
[X, Y]f = X(Yf)-Y(Xf)
для любых векторных полей X, Y на 3? и любой функции
f?SC
Отсюда следует, что
B3) [gX, Y] = g[X, Y]-YgX
для любой функции g б R2". Действительно,
\gX, Y]f = gX(Yf)-Y(gXf) =
= gX(Yf)-Yg.Xf-8Y{Xf) = 8[X, Yjf-YgXf
для каждой функции /€F#*. ?

АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 271
Если
Х = Х< — и У«=у/-1-,
дх' dxi
в карте (U, х1, ..., х"), то для любой гладкой на V
функции /
[X, У]/ =
^X(Y\Y(x\ =
дх! \ dxi) dxi \ дх1 )
= X' — $- 4- Х'У/ d2f Y' — JL—Y'X' d2f
дх1 dxi dx'dxi dxi QXi
4 ХУ Y YX
дх1 dxi dx'dxi dxi QXi dxidxj
dxi dxi) dxi '
Этим доказано, что в каждой карте (U, х1, ..., х") ком-
компоненты [X, Y]' векторного поля [X, Y] выражаются
формулой
B4) [X, Yy^X^-Yi^, / = 1 я,
где X1, ..., X", У1, ..., У"—компоненты полей X uY
соответственно.
Замечание 4. Термин «алгебра Ли» мы уже упо-
употребляли в лекции 6 применительно к линейным про-
пространствам матриц, предусмотренных определением мат-
матричных групп Ли (см. определение 1 лекции 6). Конечно, по
отношению к операции [Вх, В2] = В1В2—Ва5г коммутиро-
коммутирования матриц линеал Matn(IR) = gIn(IR) всех матриц по-
порядка п является алгеброй Ли. Поэтому алгеброй Ли
будет и любая ее подалгебра (линейное подпространство g,
замкнутое относительно этой операции). С другой сто-
стороны, если д — подпространство из определения 1 лекции 6
и если Blt fla€Si то, согласно условию 1° этого опреде-
определения, матрицы е'в» и е'в« для любого / g R принадлежат
группе Ъ. Поэтому этой группе будет принадлежать
и матрица
At = etB'etB>e-tB'e-tB> =
=(?+Вх/+.. .)(E+BJ + ...) (Е~В^+.. .)(E-Btt+...) =
= ?+[Бг, flf]*¦+...,
где многоточия обозначают члены, имеющие по / сте-
степень ^3. Так как At—>Е при /--+0, то при доста-

272 ЛЛГЕБРЛ ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
точно малом t норма матрицы At—Е меньше 1, и потому
определена матрица
Так как Bt — >0 при /—<-0, то при достаточно малом /
для ее нормы \Bt\ имеет место неравенство |flt|<ln2,
и, значит, согласно условию 2° определения 1 лекции 6,
матрица Bt принадлежит подпространству д. Но тогда
этому подпространству будет принадлежать и матрица -? ,
а потому и матрица
Значит, fl является алгеброй Ли (подалгеброй алгебры
Ли с^Л^)). Подалгебры алгебр Ли flIn(R) называются
матричными алгебрами Ли.
Замечание 5. Следует иметь в виду, что сущест-
существуют матричные алгебры Ли, не являющиеся алгебрами
Ли никакой матричной группы Ли. Мы вернемся к этому
вопросу в следующем семестре.

Лекция 17
Интегральные кривые векторных полей.—Векторные поля
и потоки.— Перенос тензорных полей с помощью диффео-
диффеоморфизмов.— Производная Ли тензорного поля.
Кривой на гладком многообразии X мы будем назы-
называть произвольное гладкое отображение
A) у: (а, Ъ)-^%
в многообразие SC некоторого интервала (а, Ь) оси R
(см. обсуждение понятия кривой в лекции 1).
Дифференциал (dy)t кривой у в каждой точке / (Е (а, Ь)
представляет собой линейное отображение одномерного
пространства Tt(a, b) — R в пространство 1уцK? и одно-
однозначно характеризуется вектором
B)
пространства Tv«)•#", в который оно переводит базисный
вектор [-§?} пространства Tt(a, b).
Определение 1. Вектор у (t) называется касательным
вектором кривой у в точке t. (Допуская некоторую не-
неточность, вектор y(t) называют также касательным век-
вектором кривой у в точке p = y(t).)
Пусть теперь X—векторное поле на многообразии 3D'.
По определению каждой точке p$.SC поле X сопостав-
сопоставляет некоторый вектор Хр?\р5С.
Определение 2. Кривая у называется интегральной
кривой (или траекторией) векторного поля X, если
C) y'(t) = Xy(t) для любого t, a<t<b.
Говорят, что кривая у содержится в карте (U, Н) =
(U, х1, ..., х"), если y(t)?U для любого t,a<t<b.
Такая кривая задается п гладкими функциями
D) х'=х''@, a<t<b, i=l, ...,n,
а для ее касательного вектора y(t) имеет место равенство

274 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
(докажите!). Поэтому для кривой в U уравнение A) равно-
равносильно системе п дифференциальных уравнений
E) **'(/) = *'(л1 @. .... *»(/)), *=1, .... и,
первого порядка, где X', i=l, ..., п,— компоненты век-
векторного поля X в карте (U, К) (или, точнее, их выра-
выражения через координаты х1, .. ., х").
Мы видим, таким образом, что уравнения вида C)
представляют собой обобщение на случай произвольных
многообразий понятия системы дифференциальных урав-
уравнений первого порядка, заданной в области простран-
пространства R". Они называются дифференциальными уравнениями
на многообразии &. Их теория относится к курсу теории
дифференциальных уравнений и в основном лежит вне
рамок нашего изложения.
Все же для полноты изложения и чтобы продемонст-
продемонстрировать специфику общих уравнений вида C), мы сфор-
сформулируем и докажем сейчас основную теорему о сущест-
существовании и единственности их решений.
Ясно, что для каждого подинтервала /'с/ интервала
1 = {а, Ь) ограничение y|/( интегральной кривой у на /'
также будет интегральной кривой векторного поля X.
Интегральная кривая A) называется максимальной, если
она не является ограничением никакой интегральной
кривой, определенной на большем интервале.
Пусть /„(JR. Говорят, что кривая A) проходит при
t=t0 через точку pk.%, если, во-первых, эта кривая
определена на таком интервале (а, Ь) оси R, что а <
</0<Ь, и, во-вторых, y(tQ) = p.
Теорема 1. Если многообразие 3? хаусдорфово, то
для любой точки рй?.2С и любого векторного поля X на2С
существует единственная максимальная интегральная кри-
кривая у: I —<¦ ? поля X, проходящая при t = t0 через точку р.
Доказательство. Пусть Г — множество всевоз-
всевозможных интегральных кривых у векторного поля X, про-
проходящих при t — t0 через точку р0. Так как в произвольной
карте (U, К), содержащей точку р0, уравнение C) равно-
равносильно системе E) обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений, то, согласно известной из курса теории диф-
дифференциальных уравнений теореме о существовании и
единственности решения таких систем, в окрестности U
существует хотя бы одна интегральная кривая у поля X
с у (/0) = рц. Это означает, что множество Г не пусто.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 275
Пусть теперь yt: lx—*5V и у2: 1.2-^Ж—две произ-
польные интегральные кривые из Г. Рассмотрим пересе-
пересечение I0 = I1f)I.2 интервалов /t и /„, являющееся, оче-
пидно, интервалом оси R, содержащим точку р0 и его
подмножество С, со:тоящее из в:ех точек t?l0, для ко-
которых Yj (t) = у2(/). По условию t0 g С, так что множество С
не пусто.
Пусть /jgC, и пусть (U, К) — произвольная карта,
содержащая точку Pi = y1(t1) = yi(t1). Согласно уже ис-
использованной теореме о существовании и единственности
решений систем дифференциальных уравнений, на неко-
некотором интервале / оси R, содержащем точку /х, существует
единственная интегральная кривая у: I—»¦ SC поля X, для
которой y(t1) = pt. При этом без ограничения общности
мы можем считать, что /с/0. Но тогда ограничения yt \,
и Y-21/ кривых yt и у2 на интервале / будут такой кри-
кривой у и, значит, в силу единственности будут совпадать.
По определению это означает, что/сС. Таким образом, для
любой точки tt € С существует такой интервал /, содер-
содержащий эту точку, что /сС. Следовательно, множество С
открыто (в R, а потому и в /0).
Рассмотрим теперь отображение УхХу^ 10
определенное формулой
Ясно, что отображение YiXy2 непрерывно и множество С
является не чем иным, как прообразом (YiXy*)~xA пРи
этом отображении диагонали А — {(р, р); р?.%\ произве-
произведения SCy.SC (см. лекцию 14). По:кольку для хаусдорфова
многообразия SC диагональ Д замкнута в SC, отсюда сле-
следует, что множество С замкнуто в /0.
Поскольку интервал /0 связен, этим доказано, что
С = /о. Это означает, что любые две интегральные кривые
из Г совпадают на оЗщем интервале их областей опреде-
определения.
Отсюда следует, что, обозначив через /v интервал, на
котором определена кривая у^Т, и положив
/= U/v
ver
мы корректно определим единственную максимальную
интегральную кривую у0: I —>¦ SC поля X, для которой
Y(*o) = /V П

276 ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ПОТОКИ
Задача 1. Постройте такое двумерное нехаусдорфово многооб.
разие SC' и такое векторное поле X на SC, что для некоторой точки
Ро?^" существуют две различные интегральные кривые поля X, про-
проходящие при t = t0 через точку рй.
Пусть /0 = 0.
Для произвольной точки р € % мы обозначим через
у$ максимальную интегральную кривую поля X, прохо-
проходящую при t = 0 через точку р, и для любого t € R, для
которого точка у$ (t) определена, положим
Таким образом, (pf представляет собой отображение в
многообразие SC подмножества Dxcz2C, состоящего из то-
точек р?.2С, для которых точка у$ (t) определена.
Задача 2. Докажите, что множество Dt открыто
(в ?), а (при Dt^0) отображение ф,х: Dt~+& гладко.
[Указание. Воспользуйтесь теоремой о зависимости
решений систем дифференциальных уравнений от началь-
начальных данных, доказываемой в курсе теории дифференци-
дифференциальных уравнений.]
Задача 3. Докажите, что отображения Ф( = ФХ обла-
обладают следующими свойствами:
а) Существует такая непрерывная функция е: SC —> R,
принимающая положительные значения, что p?Dt при
т<«Ф)-
б) Отображение ф0 определено на всем SC (т. е. ий=2С)
и является тождественным отображением id многообра-
многообразия SC.
в) Если q>t(p)?Ds (в частности, если \s\ < е(ф<(Р)))>
то p?Ds+t и
F) фЛф<(р)) = ф,+<(р)-
[Указание. Для доказательства утверждения а вос-
воспользуйтесь теоремой о зависимости решений дифферен-
дифференциальных уравнений начальных данных. Утверждение б
очевидно, а для доказательства утверждения в достаточно
заметить, что обе кривые st—> Yqp# (p) (s) и Sl~*Y?(s+ 0 яв'
ляются максимальными интегральными кривыми поля X,
проходящими при s = 0 через точку Ф<(р).]
Допуская определенную вольность, свойство в обычно
записывают в виде тождества

ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ПОТОКИ 277
Определение 3. Семейство гладких отображений q>t:
Dt -+• &', обладающее свойствами а, б и в, называется
потоком на многообразии %.
Таким образом, мы видим, что каждое векторное поле
Х^&З? индуцирует на % некоторый поток {у?}.
Обратно, каждый поток {ф<} определяет по формуле
X, = Y,@), p?X,
где ур— кривая ^i—*• ф^(/?), \t\<.e,(p), некоторое вектор-
векторное поле X на многообразии SC.
Поток {(p't: D't-+S?} называется частью потока {ф,:
Dt -+%'}, если D'tc:Dt и q>AD> — <pj для любого t(i R. Поток
{ф(} называется максимальным, если он не является частью
никакого другого потока.
Ясно, что:
Г Поток {ср(} и любая его часть {ф',} порождают одно и
то же векторное поле X.
2° Поток {ф,х}, индуцированный векторным полем X,
максимален.
Поэтому формула
поле Х=> поток {ф^
устанавливает взаимно однозначное соответствие между
векторными полями и максимальными потоками на S.
Так как функция е непрерывна и, значит,
t-+o
для любой точки р?Ж, то существует такая непрерыв-
непрерывная функция 6: X—hR, что
ПРИ \*\
Пусть Of—открытое подмножество многообразия %, со-
состоящее из всех точек р?$?, для которых |?|<6(р).
Тогда существует такое 80 > 0, а именно, 60 = 6 (/?„), что
р0 б 0^ при 111 < б0 (так что при достаточно малом t мно-
множество Of заведомо не пусто).
Так как при p?Ot, т. е. при \t\<&(p), определена
точка Ф_<(ф<(/0)), совпадающая, согласно свойству в, с
точкой р, то ограничение отображения ф( на множестве
0t является биективным отображением этого множества
на (очевидно, открытое) множество O't = <ptOt (с обратным
отображением <р_*|0')- Поскольку оба отображения ф( и

278 ПЕРЕНОС ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ
Ф_, по определению гладки, этим доказано, что для каж-
каждого I g R {для которого множество Ot не пусто) отоб-
отображение ф( является диффеоморфизмом Ot—>-O't.
Пусть теперь q>: SC'—*-Й/ — произвольный диффеомор-
диффеоморфизм гладких многообразий, и пусть S — тензорное поле
типа (а, Ь) на многообразии 2/. По определению в каждой
карте (V, k) на 2/ поле S имеет компоненты S(l'.'';*, являю-
являющиеся гладкими функциями на V. С другой стороны,
для любой карты (V, К) на 9С пара (V, k), где V = yUt
а k = ho(p~1, будет, очевидно, картой на й/. Пользуясь
этим, мы определим тензорное поле y*S на SC, считая,
что в карте (U, h) оно имеет компоненты
G) fo'Sfci'-sfcijofolc,),
где SJI"'(* — компоненты поля S в карте (ф^, h о ф).
Поскольку для любых двух карт (U, h) и (?/', Л') на ^
отображение перехода h' oh'1 совпадает с отображением
перехода (h' о ф) о (h о ф) для карт (ф?/, А о ф) и
(q>U', h' о ф), функции (tp'S^Zia в различных картах
будут связаны (на пересечении этих карт) тем же тензор-
тензорным законом преобразования, что и компоненты S,',1"^
поля S. Следовательно, эти функции действительно будут
компонентами некоторого тензорного поля 9*S.
О поле (f>*S мы будем говорить, что оно является ре-
результатом переноса поля S с Й/ на SC посредством диф-
диффеоморфизма ф.
Пример 1. Если поле S имеет тип @,0) (является
гладкой функцией / на 2/), то
(8) Ф7 = /°Ф-
Пример 2. Если поле S имеет тип @, 1) (является
векторным полем X), то
(9) (9'X), = (d9,)-^w
для любой точки рЪ.%, где (<2фр)~г: Tv(pJ/ —+Лр!? — ото-
отображение, обратное к изоморфизму dq>p: TPSC —>-Tq,(p)ti/.
Пример 3. Если поле S имеет тип A,0) (является
ковекторным полем а), то
(Ю) (Ф*«), = (Лр,)*«ф<р>
для любой точки p(iSC, где (d<pp)*—отображение T,(p,2/ --»
—»¦ Т* %, сопряженное отображению dcpy. 1р!% —»• Т2/

ПЕРЕНОС ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ 270
Задача 4. Опишите аналогичным образом тензоры
((p*S)p для тензорного поля S произвольного типа (а, Ь).
[Указание. Соответствие St—»• y*S сохраняет все алгеб-
алгебраические операции над тензорными полями. В частности,
A1) cp*(S(gO) = cp*S(g)cpT
для любых тензорных полей S и Т на SC.\
Замечание 1. Легко видеть, что для любых вектор-
ных полей X, Y g а& и любого диффеоморфизма ср: ? —<- 8/
имеет место формула
т. е. отображение ф*: а& —¦>-си?" (очевидно, линейное)
является изоморфизмом алгебры Ли а& на алгебру Ли
йЖ. (Для доказательства достаточно заметить, что в ло-
локальных координатах, в которых ф действует по их ра-
равенству, обе части этой формулы очевидным образом
совпадают.)
Замечание 2. Обратим внимание, что, как непо-
непосредственно видно из формулы (9), перенос векторного
поля возможен, вообще говоря, лишь посредством диф-
диффеоморфизма. Напротив, формула A0) имеет смысл для
любого гладкого отображения ц>: &—+&. Поэтому ко-
векторные поля можно переносить посредством произволь-
произвольных отображений. Мы к этому вернемся в следующей
лекции.
Замечание 3. Обозначив поле X через Y, а поле
Ф*Х через X, мы можем переписать формулу (9) в сле-
следующем виде
(9') УФ(Р) = (<*Ф)ЯХЯ.
В этом виде она имеет смысл для любого гладкого ото-
отображения ф: SC-^-У. Если для полей Xgci^", FgciS/,
в каждой точке р?& имеет место равенство (9'), то поля
X и Y называются ср-связанными.
Задача 5. Докажите, что если поля Xi, Xt?a3? ^-связаны со-
соответственно с полями Ylt Ка?а#\ то поле [Xl, X2] ^-связано с
полем [Ki, К8]. [Указание. Поля X^aJfr и У&аШ тогда и толь-
только тогда ф-связаны, когда для любой функции f?Fi4 имеет место
равенство X (f о <р) У[ о <р.]
Применим теперь изложенную общую конструкцию к
частному случаю диффеоморфизмов вида ф,.
Пусть S — произвольное тензорное поле типа (а, Ь) на
многообразии к, и пусть р € &.

280 ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ ТЕНЗОРНОГО ПОЛЯ
По определению p?Ot при |/| < б(р), и, значит, для
любого t с 111 < б (р) в точке р определен тензор ((pjS^
(где, конечно, S обозначает на самом деле ограничение
тензорного поля S на О,), а потому и тензор (ф^),,—Sp.
Мы положим
A2)
где X—векторное поле, порожденное потоком {ф(}.
Поскольку точка р была произвольной точкой много-
многообразия, тензоры A2) составляют тензорное поле ?XS
типа (а, Ь) на многообразии Ж'. Ниже мы покажем, вы-
вычислив его компоненты в произвольной карте (U, h), что
поле ?XS гладко.
Определение 4. Поле ?XS называется производной
Ли тензорного поля S по векторному полю X.
Легко видеть, что для каждого векторного поля X
отображение ?х является дифференцированием алгебры
тензорных полей на многообразии SC, т. е. оно линейно,
и для любых тензорных полей S и Т имеет место формула
A3) ?x(S®T) = ?xs®T + S®?xT-
Действительно, утверждение о линейности очевидно, а для
доказательства формулы A3) достаточно заметить, что,
согласно формуле A1),
Ф< (s® Т)—S® 7 = (9?S—S)(g)ф?7 + S(g)(ф,Т — Т)
для любого t. ?
Задача 6. Докажите, что операция ?х перестановоч-
перестановочна с операцией свертки тензорных полей (по любой паре
индексов).
Если поле S является гладкой функцией /, то, соглас-
согласно формуле A2),
для любой точки p€&. Пусть (U,h) = (U,x1, ...., х') —
такая карта многообразия $", что p?U, и пусть / =
= / (х1, .. ., хп) на U. Тогда, если х' = xl (t), i = 1, ..., я,—
параметрические уравнения интегральной кривой t \~* ф^ (/?)

ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ ТЕНЗОРНОГО ПОЛЯ 281
поля X в карте (V, ft), то
(-0 1
. Ит / (х1 @ я" (<))-f (дс1 @) х" @))
где -X', i=l, . . ., л,— компоненты векторного поля X в
карте (U, К).
Этим доказано, что &vl = Xf на ?/, и, значит, ввиду
произвольности карты (if, h), что
A4) SLxf = Xf »а •«¦¦
Таким образом, операция ?х является обобщением опера-
операции X с функций на произвольные тензорные поля.
В силу формулы A3) отсюда, в частности, следует, что
A5)
для любой функции / и любого тензорного поля S.
Пусть теперь поле S является ковекторным полем а
и потому, согласно формуле A0),
Следовательно, значение (ц>]а)рА ковектора <pja на векторе
A g Tp& выражается формулой
Поэтому, если в карте (U, п)
А=а'(—\ и а = а.<Ы,
\д# )р '
а отображение ф< задается функциями
то
/P

282 ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ ТЕНЗОРНОГО ПОЛЯ
и, в частности,
/р
Поскольку для любого ковектора | g T*p (&)
этим доказано, что
(ф?а)я = («у°Ф«)(/>)(-д
Поэтому
и, значит,
где
(«у
\dxlJr, '
(р)
1ч-О
Пусть, в частности, а — ctx*, т. е. а, = 6jf. Тогда (ау- о
= 6J для любого t и, значит,
(Заметим, что б{? = ( —°) , ибо фо (л:1, .. ., х') = xk.) Но
\ дх' ' р
если, как и выше, x' = x'(t)—параметрические уравнения
кривой t*->-ф((р) в карте (U,h), то по определению
где х\, . . ., х'?—координаты точки р, и, значит,
_ dx* (О
где Хк, /г=1, ...,л, как и выше,— компоненты вектор-
векторного поля X в карте (U, К). Поэтому в рассматриваемом
случае

ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ ТЕНЗОРНОГО ПОЛЯ 283
Этим доказано, что
? dxk = —dx< на U
и*'
и, значит, (см. формулу A5))
т. е.
A6) ?xa = (^Xar\ak^dx! на U,
что можно переписать и в более симметричном виде:
В частности, мы видим — в полном соответствии со сде-
сделанным выше общим утверждением,— что ковекторное
поле ?^а гладко.
Производную Ли ?XY векторного поля У по вектор-
векторному полю X можно получить аналогичной выкладкой.
Однако проще для произвольного ковекторного поля а
рассмотреть на многообразии 5С тензорное поле аB)У и
воспользоваться, во-первых, тем, что, согласно общей
формуле A1),
и, во-вторых, тем, что операция ?х перестановочна с опе-
операцией свертки тензорных полей по любой паре индексов
(см. выше задачу 5). Поскольку в результате свертки
поля а® У получается, очевидно, гладкая функция
а (У): p^*ap(Yp),
отсюда вытекает, что
A7) ?X[o^(Y)] = (?xa)(Y) \~a(?xY).
В произвольной карте (U, К) функция а (У) выражается,
очевидно, формулой
а(У) = а,У на U,
где а; и У', i=\,...,n,— компоненты соответственно
поля а и поля У, и, значит, в силу уже доказанных
формул A4) и A6) формула A7) приобретает вид
а/|)УЧ-а;2' на U,

284 производная ли тензорного поля
где Zl, i—\, . . ., п,— компоненты векторного поля ?XY
в карте (U, К).
В частности, при ot/ = 6{ отсюда следует, что
~дхТ '
т. е. что
2/ _ XY1 — У = X' — — У
дх1 дх1' дх'
Сравнив этот результат с формулой B2) предыдущей лек-
лекции, мы немедленно обнаружим, что Z' = [X, Y]1 и, сле-
следовательно,
A8) ?XY = [X,Y].
В произвольной алгебре Ли fl отображение
х>->-[а, х], а, *€я.
обозначается символом ad а. Пользуясь этим обозначением,
мы можем формулу A8) переписать в следующем виде:
?х = ad X на clSF.
Таким образом, мы научились вычислять операцию ?х
на функциях, на ковекторных полях и на векторных по-
полях. Поскольку произвольное тензорное поле S в каждой
карте (U, К) выражается формулой
мы можем, следовательно, используя формулу A1) (и ее
частный случай A5)), вычислить в карте (U, К) все ком-
компоненты (?x^)i!'iu п°ля ?XS. He выписывая явно соот-
соответствующую формулу, мы можем априори утверждать,
что она дает выражение для компонент (?xS)i!...(a в виде
суммы произведений компонент полей S, X и их произ-
производных. Поэтому эти компоненты являются гладкими
функциями, и, значит, поле ?xS, как и утверждалось,
гладко.
Задача 7. Докажите, что
kt, ... la^u^ irk .- (а дх1г h " ' ' + 'i ••• «a-.* dl*

Лекция 18
Линейные дифференциальные формы.— Дифференциаль-
Дифференциальные формы произвольной степени.— Дифференциальные
формы как функционалы от векторных полей.— Внутрен-
Внутреннее произведение векторного поля и дифференциальной
формы.— Перенос дифференциальной формы посредством
гладкого отображения.
Обратимся теперь к изучению ковекторных полей на Ж'.
Каждое такое поле а в произвольной карте (U, хх... ,хп)
записывается в виде
а = а,-сЬс' на U
(см. формулу A2) лекции 14), т. е. в виде линейной формы
от дифференциалов dx1, ..., dx" локальных координат.
На этом основании ковекторные поля называются обычно
линейными дифференциальными формами (а функции
а,, 1 = 1, .... я,— их коэффициентами в карте (U, h)).
Линейное пространство 1г? линейных дифференциальных
форм обозначается также символом QlJ2\
Для любой линейной дифференциальной формы а
и любого векторного поля X формула
а(Х)(р) = ар(Хр), р?Я,
определяет функцию а(Х) на 5С. Зта функция обозна-
обозначается также символами <а, Х>, ixa и X_ia и назы-
называется внутренним произведением формы а и поля X.
В каждой карте (U, h) = (U, х1, .... хп) функция а(Х)
выражается формулой
A)
где X'—компоненты поля X, а а,- — коэффициенты формы а
в карте (U, h), откуда непосредственно следует, что функ-
функция а(Х) гладка на 5С. [В лекции 17 мы эту функцию
уже ad hoc рассматривали при вычислении производной
Ли от векторного поля.]
Таким образом, для любой дифференциальной формы
a ? iV-SP формула
Х^а(Х)
определяет некоторое отображение
B) а: аЯГ-ч-FX,

286 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
являющееся, очевидно, морфизмом F^-модулей, т. е. удовле-
удовлетворяющее соотношению
для любой функции / ? F^ и любого поля X g а&.
Мы будем говорить, что морфизм B) порождается диф-
дифференциальной формой а.
Предложение 1. Для любого хаусдорфова гладкого
многообразия % соответствие
C) форма а=Ф морфизм. B)
представляет собой изоморфизм линейного пространства
QSC на линейное пространство Homp^ (cu?\ FX) морфиз-
мов B).
Доказательству этого предложения мы предпошлем
несколько простых лемм о морфизмах вида B). Много-
Многообразие X мы будем в этих леммах считать хаусдорфовым.
Мы будем говорить, что векторные поля X и Y совпа-
совпадают вблизи точки р?&, если они совпадают на некото-
некоторой окрестности этой точки. (Ср. в лекции 16 аналогич-
аналогичное определение для функций.)
Лемма 1 (свойство локальности морфиз-
мов <xSC—f-F^"). Если векторные поля X и Y совпадают
вблизи точки p(t&, то для любого морфизма B) функции
X) (Y) д
pt рф (
а (X) и a (Y) также совпадают вблизи точки р.
Доказательство. (Ср. с доказательством следст-
следствия 2 леммы 1 лекции 16.) Пусть Х = Y на окрестности U
точки р, и пусть ф—такая гладкая функция *?"—>-R, что
Ф = 0 вне и и ф = 1 на некоторой содержащейся в U
окрестности W точки р (см. следствие 1 леммы 1 лек-
лекции 16). Тогда поле ф(Х — Y) равно нулю на SC, т. е.
является нулем линейного пространства &SC. Поэтому
в силу линейности морфизма а
а[Ф-(Х-У)] = 0
и, значит, фа(Л'—У) = 0. Поскольку ф=1 на W, этим
доказано, что а(Х — Y) = 0 на W и, значит, a(X) — a(Y)
на W. D
Лемма 2. Пусть U открыто в SC, и пусть po?U-
Тогда для любого векторного поля X' на U существует
такое векторное поле X на %, что X' = X вблизи точки р0.
Доказательство. (Ср. с доказательством леммы 1
лекции 16.) Согласно предложению 4 лекции 8 в X

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 287
найдутся такие открытые множества V и W, что
Po€W, W<=V, VcU,
и для пары (V, W) существует функция Урысона <р. Для
й ?Х
произвольной точки р?Х мы положим
\ ф(р) Х'р, если p?U,
р \ О, если p^t/.
Ясно, что поле X: р>—*-Хр гладко на X и совпадает на W
с полем X'. D
Следствие 1. Для любой точки р0 многообразия X
и любого вектора A g TPtX существует на X такое век-
векторное поле X, что
Доказательство. Пусть (U, h) — (U, х1, ..., х") —
такая карта, что po€.U, и пусть
А ~ а' (
Определим на U векторное поле X', полагая
для каждой точки p?U. Согласно лемме 2 на 5С суще-
существует такое поле X, что X' — X вблизи точки р0. В част-
частности, Xpi) = X'IHt = A. ?
Следствие 2, Для любого открытого множества
UсX каждый морфизм а: а& —+?S? индуцирует единст-
единственный морфизм
D) аи- UU-+FU,
для которого имеет место коммутативная диаграмма
а& -+ aU
E) «| \*и
FX-+FU,
горизонтальные стрелки которой являются отображениями
ограничения, т. е. такой, что
для любого векторного поля X на X. (Ср. с предложе-
предложением 1 лекции 16.)

288 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Доказательство. Пусть морфизм аи существует,
и пусть X — произвольное векторное полена U. Согласно
лемме 2 для любой точки p?U на X существует вектор-
векторное поле X', совпадающее вблизи р с полем X. При этом,
если Х' — Х на окрестности W точки р, то
и, в частности,
F) а
Кроме того, в силу свойства локальности морфизма а для
любых двух полей X' и Xя на %', совпадающих вблизи р
с полем X, будет иметь место равенство
F') а
показывающее, что правая часть формулы F) не зависит
от выбора поля X. Это доказывает единственность мор-
морфизма <хи.
Для доказательства существования морфизма аи мы
для любого векторного поля X на U определим функ-
функцию аи(Х) формулой F). Согласно формуле F') это опре-
определение корректно. Более того, если X' = X на окрестно-
окрестности W точки р, то аи{Х) = а{Х') на W, откуда следует,
что функция а.и(Х) гладка на U, и, значит, формула
ау: X—*аи(Х) определяет некоторое отображение
аи: aU~*PU.
Если теперь X?aU и f? Ft/, а Х^аЯ и /\6FJT,
причем Х = Х1 и f = ft вблизи точки р, то fX — f1Xl
вблизи точки р, и потому
«у QX) (р) = a QXXX) (р) = (fp (X)) (р) =
= fi (Р) ¦«(Хг) (р) = f(p)- *и (X) (Р) = [f*u (X)] (Р).
Следовательно, au(fX) = fau(X) и, значит, аи является
морфизм ом модулей.
Наконец, так как каждое поле X на 5С может слу-
служить полем X' для поля X \и (по отношению к произ-
произвольной точке p?U), то
в каждой точке p?U. Следовательно, диаграмма E) ком-
коммутативна. ?
Лемма 3. В любой карте (U, h) = {U, x1, ..., х")
каждый морфизм D) действует по формуле
G) а

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 289
где а,., 1 = 1, ..., л,— некоторые гладкие на U функции,
а X1, i = 1, .. •, л,— компоненты векторного поля X в кар-
карте (U, К).
Доказательство. Так как Х = Х'—- на U, то
дх'
Следствие 1. Морфизм D) порождается на U диф-
дифференциальной формой
(8) аи = а;с1х1. ?
Теперь мы уже можем доказать предложение 1.
Доказательство предложения 1. Чтобы не
запутаться в отождествлениях, мы будем в этом доказа-
доказательстве морфизм B), порожденный формой а, обозначать
символом а. Ясно, что отображение C) линейно. Пусть
а = 0, т. е. ар{Хр) = 0 для любого векторного поля X
на 5С и любой точки р$,5С. Согласно следствию 1 леммы 2
для любой точки Ро€& и каждого вектора А ?Т^^ суще-
существует такое поле Х^аУ, что Х„—А. Следовательно,
ал(Л) = 0, т. е. а'о = 0 на Тр^. Поэтому а = 0.
Этим доказано, что отображение C) мономорфно.
Пусть р—произвольный морфизм аЗ? — +?%. Согласно
следствию 1 леммы 3 для любой карты (t/, h) = (U, х1, ... ,х")
морфизм ру: aU—>¦ Ft/ порождается формой (8), где а,=
(-?j-). -Если ({/', h') = (U', **' ля')-другая
карта и морфизм Ру на V порождается формой ац- =
-^ai'dx1', то в силу свойства локальности морфизма Р на
пересечении U [\V будет иметь место равенство
Это показывает, что, положив
ая = (ас/)/>- если Р$и>
мы корректно определим на 5С ковекторное поле а, обла-
обладающее тем свойством, что а|?/ = ас/ для любой коорди-
координатной окрестности U и потому, во-первых, гладкое, а во-
пторых, порождающее данный морфизм р (т. е. такое, что
<х==Р).
'" М. М. ПОСТИНКОО, ССМ, 111

290 ФОРМЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СТЕПЕНИ
Следовательно, отображение C) эпиморфно. ?
В дальнейшем мы, как правило, будем отождествлять
линейные дифференциальные формы (ковекторные поля)
на X и порожденные ими морфизмы B).
Замечание 1. Обратим внимание на то, что ото-
отображение C) само является морфизмом bSC-модулей, т. е.--
в обозначениях, введенных при доказательстве предложе-
предложения 1,— для любой формы agQlJ" и любой функции
fF& имеет место равенство
где морфизм /а определяется, как это принято в алгебре,
формулой (fa)(X) = fa(X).
Особое значение имеют тензорные поля со, сопостав-
сопоставляющие каждой точке р 6 % кососимметршеский тензор и>р,
т. е. (см. лекцию II.8) тензор типа (г, 0), компоненты
которого меняют знак при любой транспозиции индексов.
(Число г называется при этом степенью поля со.) Для
любых полей 8 и со кососимметрических тензоров формула
@
где Qp Д (ар—внешнее произведение тензоров 0р и со^ (см.
лекцию II.9) определяет поле Э Д со кососимметрических
тензоров, степень которого равна сумме степеней полей
0 и со. Так как компоненты внешнего произведения двух
тензоров алгебраически выражаются через компоненты
сомножителей (см. формулу G) лекции 11.96), то для
гладких полей 0 и со поле 0 Д со гладко.
Все алгебраические свойства внешнего умножения косо-
симметрических тензоров (например, ассоциативность
и косокоммутативность; см. лекцию 11.96) сохраняются,
конечно, и для их полей. Таким образом, во внешнем
произведении любого числа полей кососимметрических
тензоров скобки можно не писать, и для любых полей 0
и со кососимметрических тензоров имеет место формула
со Д0 = (—1)«0Дсо,
где г—степень поля со, а s—степень поля 0.
При г = 0 поле со является функцией /, а внешнее про-
произведение со Д 0—обычным произведением /0 функции /
на поле 8.
Известные выражения кососимметрических тензоров
типаЗ(/\ 0) через внешние произведения ковекторов сопря-

ФОРМЫ КАК ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 291
жешюго базиса (см. формулы C) и E) лекции II.8) пока-
показывают, что каждое поле кососимметрических тензоров на
произвольной координатной окрестности U выражается
формулой
1
/fh (о = —- о/ ,¦ dxli А ... Л dxCr =
= 2 ¦ • • 2 0)i,... i,,dx1' Л • • • Л dx'r,
К i'i < ... < in <n
где »;,...,> — компоненты поля со в карте (U, х1, ..., х")
(являющиеся гладкими функциями на V). На этом осно-
пгпши поля кососимметрических тензоров называются также
дифференциальными формами на многообразии SV.
При г = 1 мы получаем рассмотренные выше линейные
дифференциальные формы, а при л = 0—гладкие функ-
функции на SV'.
Все дифференциальные формы степени г ^ 0 образуют
линейное подпространство QrSV пространства TrJ^ всех
тензорных полей типа (г, 0). Таким образом, п°& = ?3?
и UlJ" = T1^' (тогда как при л> 1 включение ??SCсЛrSC
заведомо строгое). Символ Q}S выше мы уже использо-
использовали.
Заметим, что -
Q'-j* = 0
для любого г > п.
Интерпретируя тензоры типа (г, 0) как полилинейные
функционалы от векторов, мы можем любой дифферен-
дифференциальной форме со степени г и любым векторным полям
Хи ..., Хг сопоставить функцию <a(Xlt ..., Хг) на SC,
значение которой в точке p(t% задается формулой
(u(Xlt ..., Хг)(р) = (ир({Х1)р, ..., (Хг)р).
Если в карте (U, х1, ..., х")
... 2l ffli. ... It "X Л • • • Л "#
1< h < ••¦ <tr<n
3ri a^"
TU
X['
на U
ю*

2§2 Формы как Функционалы от йекторных полей
(см. формулу A3) лекции 11.96). Следовательно, функ-
функция (^(Хи ..., Хг) гладка.
Полученное отображение
A0) со: сьГх... ха-Г-^-Г,^, ...,Хг)^ч>{Х1 Хг),
г раз
очевидно, FS-полилинейно, т. е. по каждому аргументу
оно является морфизмом F^-модулей. Кроме того, оно
кососимметрично, т. е. при любой транспозиции аргумен-
аргументов меняет знак.
Так же как и при г=\ (см. предложение 1 и заме-
замечание 1), если многообразие %' хаусдорфово, то при любом
1 соответствие
A1) форма степени г=$>отобрашние A0)
задает изоморфное отображение РЖ-модуля QrX на РЖ-
модуль всех кососимметрических F&-полилинейных отобра-
отображений A0). Доказательство практически дословно повто-
повторяет доказательство предложения 1, и мы предоставим
его читателю (обязательно подробно его проведите1).
В дальнейшем мы, как правило, будем отождествлять
дифференциальные формы с соответствующими отображе-
отображениями A0).
Замечание 2. Аналогичным образом произвольные
тензорные поля на SC типа (г, 0), г > 0, отождествляются
с (не обязательно, кососимметричными) F^-полилинейными
отображениями
йЖ х ... XйЖ — + ?&,
L I
г раз
а тензорные поля типа [г, s), л^0, s^0,— с F^-поли-
линейными отображениями вида
A2) S: ь% X ... X aJxQ'Jx ... xQ^-^F-T.
l I l I
г раз s раз
В частности,
a.T=HomF?- (Q1^, F.T)
(полю Xотвечает F^'-линейное отображение ix: a •—*¦ X ia).
Поэтому при s= 1 каждое поле A2) можно интерпретиро-
интерпретировать как F^-полилинейное отображение
S: a#x... х
I
г раз

ВНУТРЕННЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 293
сопоставляющее векторным полям Хи ..., Хг такое век-
векторное поле S(Xlt ..., Хг), что
S(Xlt .... Xr)_ja = S(Xu .... Х„ а)
для любой дифференциальной формы ocgQ1^*.
Задача 1. Дайте аналогичную интерпретацию отображения A2)
при S > 1.
В силу отождествления A1) каждое векторное поле Л'
позволяет сопоставить произвольной форме со степени г > О
форму /хсо = Л" ко степени г—1, значение которой на
векторных полях Х1} ..., Хг_! задается формулой
(Х_| <*>)(*, Хг_1) = (й(Х, X, Хг_,).
Форма X _i ы называется внутренним произведением
ноля X и формы со. [При г=\ мы ее уже рассматривали
в начале этой лекции.]
При г —0 (т. е. в случае когда форма со является
функцией) мы по определению будем считать, что X _i co=O
для любого поля X.
Заметим теперь, что в интерпретации дифференциаль-
дифференциальных форм как отображений A0) внешнее произведение
О Л © формы Э степени г на форму со степени s задается
(|юрмулой
A3) (ЭЛю)(*1 *,+,) =
)> •¦•> Ха (г)) @ (Ла ^)
где суммирование распространено на все перетасовки а
типа (л, s) (См. формулу A4) лекции 11.96).
Отсюда следует, что для внутреннего произведения
X i (Э д о) векторного поля X на форму Э Л ю имеет
место формула
где л—степень формы Э. Действительно, согласно форму-
формуле A3) для любых полей Х±, ..., Xr+S_l
О»

294 ВНУТРЕННЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
где Уг = Х, Ya = Xlt ..., Yrt.s = Xr+s_1 и где в первой
сумме а пробегает все перетасовки типа (г, s), а во вто-
второй—только те, для которых ст A) = 1. Поскольку для
каждой перетасовки а типа (г, s) либо аA)=1, либо
а(г-Ь 1)=1, отсюда следует, что
A5) (X_i(eA<o)-(*-je)A
где суммирование распространено на все перетасовки а,
для которых ст(л + 1)= 1.
Но каждая перетасовка а типа (г, s) с a(r+l)=l
определяет по формуле
| а (а) — 1, если а — 1, .. ., г,
^а'\ а(а+ 1)— 1, если а — г+ 1, ..., г-\ s— 1,
перетасовку т типа (л, s—1), для которой
* а (г + 2) = -^т(/ч-1)> •••» ' a (c+s) = ^
Поэтому правая часть формулы A5) равна
= (- 1)' F Л (^ Л со)
что и доказывает формулу A4). ?
Линейный оператор D, переводящий формы в формы,
и для любых форм 0 и со удовлетворяющий соотношению
D (9 Д «)) = DQ Л © + (— 1)г 6 Л Da,
где г—степень формы Э, называется антидифференциро-
антидифференцированием. В этой терминологии доказанное утверждение
означает, что для любого векторного поля X оператор
ix = X-i внутреннего умножения на X является анти-
антидифференцированием.
Пусть f: X—>-Й/ — произвольное гладкое отображение,
а со — произвольная дифференциальная форма степени
л^О на многообразии 2/. Каждой точке p$.SC мы отне-
отнесем кососимметрический тензор (/"со)^ пространства Тр&,
принимающий на векторах Alt ..., Аг?\р& значение
Au ..'., {df)pAr),

ПЕРЕНОС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 295
где, как всегда, q = f(p) и
(df)p: Vr — T/J/
— дифференциал отображения / в точке р. Если
ill U\ — /// Г1 гп\ ы (V U\ {]/ ,Л „т\
— такие карты многообразий i" и 2/, что fUczV, и если
У '— / \^ » • • •» х )t i — а , • . •, "t,
—-функции, выражающие в картах (U, h) и (V, k) отобра-
отображение /, то
(df)pl—г) =(—:) (—-А . i = 1, •••, п,
и потому
dfi'\ о ffj_
для любых индексов ilt ..., ir = 1, . .., п. Но по определе-
определению
где о)/,.../,.—коэффициенты формы о> в карте (V, /г). Вводя
по аналогии функции
Ч)((А^ Щ),
мы получим, следовательно, что для любых индексоа
1,, ..., ir=l, . . ., п на окрестности U имеет место ра-
равенство
показывающее, в частности, что функции (/*<<>);,..лг гладки
на U.
Поэтому формула
A7) /*«= 2 • ¦ • S (Рю)'....*,^1 Л ... Л df'
l<f<<f<«
определяет на t/ дифференциальную форму /*«.
Сравнение определений показывает теперь, что в каж-
каждой точке p?U эта форма принимает значение (/*со)я.

296 ПЕРЕНОС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ НОРМЫ
Этим доказано, что соответствие
определяет на SC дифференциальную форму /*«. В каж-
каждой карте (U, х1, ..., х") форма /*« выражается форму-
формулой A7) (т. е., иначе говоря, коэффициентами этой формы
в карте (U, х1, ..., хп) являются функции A6)).
Определение 1. О форме /*о> говорят, что она полу-
получена из формы о) переносом посредством гладкого отобра-
отображения f.
Ясно, что отображение
линейно и перестановочно с внешним умножением:
для любых форм Э и о) на 2/.
Кроме того, если f: SC —»¦ ЧУ и g: ЧУ —>- %, то
а если f = id: SC —>¦ &—тождественное отображение, то
/*: QfSC —>• QrJ^—также тождественное отображение.
При л = 0, когда форма о является гладкой функцией
g: Я/ —»-!R, мы имеем
Для случая, когда / является диффеоморфизмом ф,
конструкция формы /*о) является частным случаем общей
конструкции q>*S из лекции 15. (Ср. замечание 1 лекции 15.)
Для произвольного подмногообразия ЧУ многообразия 3'
и отвечающего ему вложения i: ЧУ —»¦ SC отображение
I»: Q'jr — Qr2/
является не чем иным, как отображением ограничения,
переводящим форму о> на SC в форму «|» на ЗЛ для ко-
которой
(в»|яг)я(^1. •••• &г)=®р(К ¦••» Д,)
в любой точкер € Й/ и для любых векторов Alt ..., Ар g 1рЧУ
(где, естественно, пространство Тр*& рассматривается как
подпространство пространства TpSP).
Замечание 3. Конструкция формы /о* немедленно
переносится на произвольные тензорные поля типа (г, 0),
л^О. Для каждого такого поля S на ЧУ поле f*S на Si'

ППРГ.НОГ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 297
задается формулой
r) = Sil((df)pA1 (df)pA,),
где р € SC, q = f(p) и Alt ..., Ar € ТрЖ, и компоненты
(l*S)it...ir поля f*S выражаются через компоненты Sfl...ir
поля S по формуле
.¦¦*-?¦ ¦¦$*
Подчеркнем, что на поля типа (л, s) с. s > 0 эта
конструкция не обобщается (если, конечно, / не является
Д1 к|х|)еоморфизмом).

Лекция 19
Внешний дифференциал дифференциальной формы.
— Производная Ли дифференциальной формы.
Как мы знаем из лекции 12, каждая гладкая функция /
на многообразии 3? определяет в любой точке р?%" ко-
вектор (df)p, действующий по формуле
(df)pA = Af, A<tTp&,
и, значит, линейную дифференциальную форму
df: P
называемую дифференциалом функции f. В каждой карте
(U, х1, ..., х") эта форма выражается формулой
и^потому является гладкой формой. Как морфизм
модулей а& —<- Ъ?С форма df действует по формуле
A) df(X) = Xf, Х?аЯ.
Ясно, что отображение
d: Q°.T —Q1.^, f*->df,
линейно и обладает тем свойством, что
для любых^двух функций fug.
Оказывается, что отображение d естественным образом
распространяется на дифференциальные формы любой
степени.
Предложение 1. Для любого гладкого многообразия SV
и любого г^О существует единственное отображение
d: Qr^~*Qr+lS,
обладающее следующими свойствами:
1° Отображение d линейно.
2° Отображение d является антидифференцированием,
т. е. для любых двух дифференциальных форм 6 и со имеет
место равенство
d(Q A co) = d9 Л <М-(— 1)Г9 Л da,
где г—степень формы 9.

ВНЕШНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 299
3° Для любого гладкого отображения f: X —*¦ Й/ и
любой формы со на 3/ имеет место равенство
4° Для каждой функции / g Q0^* форма df является
се дифференциалом A).
5° Если <o = d/, г5е f?u*X, то
Доказательство. Как всегда в аналогичных си-
ситуациях, докажем сначала единственность.
Пусть (U, h) = (U, х1, ..., х")—произвольная карта
многообразия &, и пусть
©|у= S---S v>tt...trdxl> A •••
1<г,<...<г<
Обозначив форму
символом Аоу, мы в силу свойств 1°—5° немедленно по-
получим, что
B) Лоу= 2 • • • 2 daCl...irdxl> Л • • • Л dxlr =
1<!7<..<?<п
= L • • • L %^d^' Л d^« Л ••• Л dtf»-.
Следовательно, ({юрма do),/ = do)|t7, а значит,—в силу
произвольности координатной окрестности V — и форма
t/d) однозначно определяются формой со. Это означает,
что отображение d единственно.
Чтобы доказать его существование, мы на каждой
координатной окрестности 0 определим форму dcoy по-
посредством формулы B). Если ((/, х1, ..., х") и ({/',
х1', ..., х"')—две карты многообразия % и если
®t>-trdx'1 Л • • • Л dx'r на U
@
то
= 2 • • • 2 *V г d*'1 Л • • • Л d*'r на G,

300 ВНЕШНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
и, значит,
г С С t'
дх' ~ t±x a**1 '" dx' dx* ' ' ' dx1' W'i' -4
^dx'1 dx'r dwg...i'r
' dx1' ' ' ' dx'r dx' '
С другой стороны, для любой функции /
= — dx> f\dx', а вторые частные производ-
производные не зависят от порядка дифференцирования. Поэтому,
в частности, для любого k= 1, ..., г
дх'дх'*
и, значит,
^ djj_ дгхк дх^_ , ( , ,
дх -. г 1 'ь -. 'г 1" г
1 3*' 3* * дх
... Adxk A---Adxir = 0.
Следовательно, на U Г) U'
дх1 дхг i'i-C . i А j / « j ;
5? • • • а? -^ dx Л ^'. Л ... Л ^ =
,11-|

ВНЕШНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 301
, значит,
d-^rrLdxi л же" л ¦ ¦. л <**''=
дш.. .,
Kll<...<tr<n *
на ?/П?/', т. е.
du)y = d(Oy, на Uf)U'.
Таким образом, формы d(oy согласованы на пересе-
пересечениях и, значит, составляют дифференциальную форму
(/о) степени г + 1 на многообразии SC, обладающую тем
свойством, что
для любой координатной окрестности U.
Тем самым отображение
d: Qr%--+Qr+1&
нами построено. Ясно, что оно обладает свойствами Г и
4°' Кроме того, согласно формуле C), для любой функции
/6F.2" в каждой карте (?/, х1, ..., хп) имеет место ра-
равенство
дх1 dxJ
что доказывает и свойство 5°.
Проверку свойства 2° достаточно, конечно, произвести
в произвольной ' карте (U, х1, ..., х"). Кроме того, в
силу линейности оператора d это свойство достаточно
проверить лишь для «одночленных» форм вида
/ и co=
где положено
dx? = с/лЛ Л • • • Adx'r и dxP = dx'1 Л • ¦ ¦ Л dx>\
Но для таких форм
(/(9 Л <») = d{fg Л^Л dxP)^d(fg) A dxP- A dxP =
=df Adx*A gdx*+(-\y (fAdx*)A (dg A <W)-
= d9
что и доказывает свойство 2°.

302 ВНЕШНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Аналогично, свойство 3° достаточно проверить лишь
на координатных окрестностях (U, К) и (V, k), удовлет-
удовлетворяющих соотношению fUcV. Но в этом случае, если
(о= 2- -2 a*!,.../ dyh/\.../\dy'r m V,
то (см. формулы A4) и A5) лекции 16)
d(M = 2 • • • 2 d (/•©),,..., dxt* A ... Л d*r,
ки<... <т7<" r
где
ur_ uj_
а*'1 дх'
а*
и, значит (см. выше аналогичные вычисления при построе-
построении оператора d),
d (/•«) =
С другой стороны,
da =
И
i<t,<...<tr<n\ °yJ J
^^ л
Л d^1 Л • • • Л
Следовательно, d(f*u>) = f*(d<ii). О

ВНЕШНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 303
Определение I. Форма dco называется внешним диф-
(реренциалом формы ю.
Чтобы коэффициенты (dw)/,.../ формы do в карте
(U, h) = (U, х1 а:") выразить через коэффициенты
a>/,...f формы о, мы в первую очередь заметим, что
в сумме B) можно ограничиться суммированием лишь
по различным индексам i, ilt ,.., ir, так как если индекс i
совпадает с одним из индексов iu ..., ir (которые по
условию все различны), то соответствующее слагаемое
суммы B) равно нулю. В случае же, когда все индексы
I, iu ..., ir различны, мы, расположив их в возрастаю-
возрастающем порядке, обозначим через /1( ..., /г+1. Таким обра-
образом, если i = /„, где а — 1, ..., г+1, то
(напомним, что по условию il <... < ir). При этом
dxl A dx1' А ¦ • ¦ A dxi<- = (~\)a~1dx^A---Adxl"A...Adxlr+i
и
'' • • •сг __ ''¦ ¦ -'а- ¦ -'r + l
дх' Ох1"
где знак Л указывает, что соответствующий индекс должен
быть опущен. Поскольку для любой последовательности
/i. •••. /r+i возрастающих индексов индекс i может
оказаться любым из них, отсюда следует, что
т. е. что
г+1 дш т
Например, для линейной формы a = aidxi

304 пнтшшп дифференциал
Предложение 2. Рассматриваемая как ??-полилиней-
??-полилинейный функционал от векторных полей форма dco задается
формулой
E) (da>)(Xlt .... Xr+t) =
= 2 (-i)a+1xaco(Xi,.... xa, ...,xf+l)+
a- 1
r r+1
+ 2 2 (-lr'wd^,^],^,...,^,...,^,...,^,).
где значок ^ указывает, что соответствующее поле должно
быть опущено.
Доказательство. Пусть 9(Xj, ..., Хг+1)—пра-
Хг+1)—правая часть формулы E). Ясно, что
0(*Н Х[, Х2, .... Хг+1) =
= 9(ХЬ Х2, ..., Xr+l)-|- Q(X'U X , Хг+1)
для любых полей Хи Х[, Х2, ..., Хг+1. Кроме того,
для любой функции / FJ"
t> X , Xr+
<J=2
r+ I
L "V С ПЬ + 1,л1[ГУ У 1 У 3? У
~Г & \—Ч @Ш"Л1> АЬР Л2> • • •• ЛЬ> ¦ • ¦» Лгл
/)=2
г г+\
, -у -у /
а=2 й=а +-1
г+1
i "V / 1\д + 1 V It IV ^ V
"Г ZJ ^—Ч ла U"* (.ли •¦¦> ла> ••¦> лг +
г+1~
i=2
— Xbf<a(Xu ...,Xb, .. ., Xr+1)] +
r r+1
i "V "V / i\ef6 f /г у у п у
а=2 6=а+1
О С- у ч
..., ла, ..., л6,..., лгМ) =
г+1
а= I

ВНЕШНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 305
2(-i)e+7*a«(*i. ••-. К. •••. ^+1) +
а-2
-S(-i)'+1xj-«(Xl х„ ..., хг+1) +
6 = 2
|- 2 "S (-i)e+>№. *»]. *i X. -. *ь. -. *г+.)
а=2 ft=a hI
(здесь мы воспользовались соотношением [/Xlf Хь] —
¦ = f[Xlt Xb]—Xbf-X; см. формулу B1) лекции 14) и,
значит,
0(/Xlt Х2 Xr+1)-/e(Xlf Х„ .... Хг+1) =
= 2(-1)а + 1Ха/.(о(Х1 Ха Х,+1)-
а-2
-S(-i)»+lx6/-(D(X1 ^ь х,+1)-о.
6 = 2
»тим доказано, что правая часть формулы E) VSC-линейна
по Xt.
Аналогично доказывается (обязательно проведите со-
соответствующие вычисления!), что она F^-линейна и по
остальным полям Хг, ..., Хг+1. (Иначе это можно до-
доказать, что, впрочем, лишь чуть-чуть легче, показав, что
(•(Х1 .... Xr+i) кососимметрично по Х1( ..., Хг+1.)
Поэтому формулу E) достаточно — в каждой карте
(U, х1, ..., а:') — проверить лишь для базисных вектор-
пых полей
У д у д
1 ИЛ;/' Г + 1 3/ + 1
Но вычислив обе части формулы E) на этих полях, мы
слева получ d ф й
ва—сумму
фру () ,
слева получим коэффициент (do)/,.../ формы йы, а спра-
спра! горая сумма исчезает, поскольку — , —- — 0 для
¦поПых i и /J. В силу формулы D) это доказывает
"редложение 3. D

306 производная Ли Дифференциальной формы
Замечание 1. Можно пытаться доказать предло-
предложение 2, проверив, что форма dw, определенная форму-
формулой E), обладает свойствами 1°—5° из предложения 1.
Свойство Г (линейность отображения d) и свойство 3°
(перестановочность с отображением переноса /*) очевидны.
При г = 0 (и (о = /) формула E) переходит в формулу A),
что доказывает свойство 4°. При г=1 формула E) при-
приобретает вид
F) d<a(X, Y) = X<a(Y) — Ya(X)—a([X, Y]).
Поэтому, если co = d/ (и, значит, co(Z)=Z/ для любого
поля Z), то
Y) = XYf-YXf-[X, Y]f = O,
и свойство 5° доказано. Однако проверка оставшегося
свойства 2° (осуществляемая с помощью формулы A1)
лекции 17) требует хотя и несложных, ио довольно гро-
громоздких вычислений с двойными суммами.
Задача 1. Проведите эти вычисления (и тем самым заново
докажите предложение 3).
Оказывается, что для дифференциальных форм опера-
операция взятия производной Ли ?х выражается через внут-
внутренние произведения на поле X и оператор d.
Предложение 3. Для любого векторного поля X
и любой дифференциальной формы <л имеет место равен-
равенство
G) ?лю = X _i dw + d(X-i<a).
Доказательство. Если форма ю имеет степень
г = 0, т. е. является функцией /, то, как мы знаем
(формула A4) лекции 17), левая часть формулы G) равна Xf.
В правой же части в том случае остается лишь первый
член X_\df = df{X). Поскольку df(X) = Xf, формула G)
при г = 0 тем самым доказана.
Далее, из свойства 3° оператора d немедленно следует,
что оператор d перестановочен с оператором ?х> т' е-
(8) d?x® =
для любой формы о. В частности,
&xdf = dgxf
для любой функции /.

ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 307
С другой стороны, если w = d/, то
X _i ско + d (X _j и) = d (X _j df) = d (X[).
Следовательно, формула G) справедлива и при <a = df.
Поскольку внешнее произведение форм получается
альтернированием их тензорного произведения, аналог
формулы A3) лекции 17 имеет место и для внешнего
умножения дифференциальных форм, т. е.
(9)
для любых форм 0 и и. Согласно определению 1 лекции 16
вто означает, что оператор ?х является дифференциро-
дифференцированием алгебры форм на X.
Напротив, мы знаем, что операторы d и X i яв-
являются антидифференцированиями. Но легко видеть, что
для любых двух антидифференцирований D1 и D2, изме-
изменяющих степени на ±1 (или, более общо, на любое ие-
четное число) оператор /^Ц,-[ Z^Dj является диффе-
дифференцированием. (Действительно,
(DtD2 + D2Dt) @Лсо) = Dt (D29Aco + (— 1)' ЭД^ш) +
1)'в Л ZIco) = D1D20 Д
Л ВД<» + ?да Л со + (— l)r±10t0 Л
+ (—1Г D26 A DlM + (-l)'+'0 Л ВДо =
= {DxDt + DtDx) 9 Л со + 6 Л (ОД + ЗД) со
для любых форм 0 и а.) В частности, дифференцирова-
дифференцированием является оператор
A0)
фигурирующий в правой части соотношения G).
Поскольку на любой координатной окрестности U
алгебра форм порождается функциями и формами вида dx'\
па которых, как мы уже видели, операторы ?х и A0)
совпадают, и поскольку из того, что два дифференциро-
дифференцирования некоторой алгебры одинаково действуют на обра-
образующих, вытекает, очевидно, что эти дифференцирования
совпадают всюду, этим доказано, что формула G) имеет
место на каждой координатной окрестности V. Поэтому
«па справедлива и на всем многообразии Ж. ?
В операторной форме соотношение G) имеет вид

308 ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
Задача 2. Докажите, что
[fix. 1>] = Ч*. У]
для любых векторных полей X, Y. [Указание. Обе
части этой формулы являются антидифференцированиями,
уменьшающими степень на —1. Кроме того, они равны
нулю на функциях и одинаково действуют на всех
формах вида df.]
Задача 3. Докажите, что
[fix. ?y\ = ?ix,y]
на любых тензорных полях. [Указание. Обе части
этой формулы являются дифференцированиями алгебры
тензорных полей, одинаково действующими на функциях,
векторных полях и линейных дифференциальных формах.]

Лекция 20
Комплекс де Рама и группы когомологий гладкого мно-
многообразия.—Группа Н°3?.— Лемма Пуанкаре.— Группа
Я1В2. — Группа tf'-S1.—Вычисление группы Н1^1 с по-
помощью интегралов. — Группа #2S2. — Группы #JS" при
я Зг 2,— Группы H'«S", m < п. —Группы //»§".
Равенство
A) Ао = 9
при заданной форме 9 и неизвестной форме со записы-
записывается в каждой карте в виде некоторой системы диффе-
дифференциальных уравнений на коэффициенты формы со. Имея
и виду, что такого рода дифференциальные уравнения
повсеместно встречаются в математике и физике, мы рас-
рассмотрим в этой и следующих лекциях условия, обеспе-
обеспечивающие существование их решений.
Предложение 1. Для любой дифференциальной формы®
имеет место равенство
Доказательство. Это равенство достаточно про-
проверить в произвольной карте и лишь для форм вида
« = / dxa, где dxa = dx'< Д • • • Л dx'r. Но по определению
d(fdxa) = df A dxa
п согласно свойствам 2° и 5° оператора d (см. предло-
предложение 1 лекции 19)
Д dxa) = ddf Д dxa—df Д ddxa = 0. ?
Предложение 1 означает, что равенство dQ = O является
необходимым условием разрешимости уравне-
уравнения A). Выяснение условий, при которых оно достаточно,
требует общего исследования взаимоотношений между
формами вида da и формами 9, для которых d9 = 0.
Определение I. Последовательность
d • dl dm~l dm
С: С-ч-С1—>-.. . —>С1-ч-С'я+1— .. .
групп (или, в частности, линейных пространств) и их
гомоморфизмов называется коцепным комплексом (проис-

310 КОМПЛЕКС ДЕ РАМА И ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ
хождение этого термина станет ясно в лекции 29), если
B) dmodn~1 = 0 для любого m^l.
Обычно вместо dm пишут просто d.
Ядро К ere/ гомоморфизма dm обозначается символом
ZmC, а его элементы называются коциклами степени т.
Образ Imd™ гомоморфизма dm~l обозначается символом
ВтС, а его элементы называются кограницами степени т.
(При т = 0 условно считается, что В°С —0.) Так как,
согласно условию B), ВтСсZmC, то определена фактор-
факторгруппа
C) HmC' = ZmC'/BmC'.
Эти факторгруппа называется т-й группой когомологий
комплекса С', а ее элементы—классами когомологий.
Коциклы, принадлежащие одному классу когомологий,
т. е. такие, что их разность является кограницей, назы-
называются когомо логичными.
Согласно предложению 1 линейные пространства umS?
и внешние дифференциалы d: Qm3? —>¦ Qm+1S составляют
коцепной комплекс
Этот комплекс называется комплексом де Рама диффе-
дифференциальных форм гладкого многообразия SC. Его группы
когомологий обозначаются символами HmSC и называются
группами когомологий де Рама многообразия &. (Заметим,
что на самом деле они являются линейными пространст-
пространствами, но термин «линейное пространство когомологий»
не употребляется.)
Кограницы комплекса де Рама, т. е. формы вида do,
называются точными дифференциалами или, короче, — точ-
точными формами.
Коциклы комплекса де Рама, т. е. формы со, для ко-
которых dco = O, называются замкнутыми формами. Класс
когомологий замкнутой формы со мы будем обозначать
символом [и].
Таким образом, необходимым условием разрешимости
уравнения A) является замкнутость формы 8, а доста-
достаточным—ее точность. В частности, уравнение A) тогда
и только тогда разрешимо для любой замкнутой формы 0
степени т, когда НтЗ? = 0. [Эти утверждения являются,
конечно, тавтологиями. Они приобретут содержательность,
когда мы научимся вычислять группу НтЗС геометрически.]

Комплекс Де рама и Группы кргомологий 311
Пусть С' = {Ст, dm} и ?>•=-: {?>">, б}—два коцепных
комплекса.
Определение 2. Коцепным отображением
комплекса С в комплекс D' называется такая последо-
последовательность отображений
что
для любого т^О, т.е. такая, что диаграмма
СО . fl . . Г"Я1 .
ф" I ф' I . ф'" I I ф'Я I" •
6» б»1
D0 —»¦ D1 —+ ... -+DB ~* DOT+1 —»¦...
коммутативна. Обычно вместо ф' и <рт пишут просто ф.
Ясно, что любое коцепное отображение ф: С"—>¦?)*
каждую группу ZmC переводит в группу ZmD', а каждую
группу ВтС' — в группу BmD'. Поэтому для любого т^О
оно индуцирует некоторое отображение
Ф*: НтС'-*Нт1У,
При этом для любых коцепных отображений ф: С*—>
- >D* и i|): D'—*E' имеет место равенство
Кроме того, если <p = id, то ф* = id. [Эти свойства выра-
выражают так называемую . функториальность соответствия
ф|—»ф*. Они у нас уже неоднократно встречались.]
Свойство 3° оператора d из предложения 1 лекции 19
означает, что для любого гладкого отображения f: X'—>&
гомоморфизмы /*: п""& —* Q.mX составляют коцепное ото-
отображение • ,v
/': Q'y-^Q'g; •. .. -
комплексов де Рама. Индуцированные этим коцепным
отображением гомоморфизмы групп когомологий обозна-
обозначаются тем же символом /* (к недоразумениям это не
приводит) и называются гомоморфизмами, индуцирован-
индуцированными отображением f. . ,

Й12 КОМПЛЕКС ДР. РАМА И ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ
Таким образом, по определению
Г N = [/4
для любой замкнутой формы w степени т на многообра-
многообразии &.
Ясно, что если /=id: X —*Х—тождественное отобра-
отображение, то /•: НтХ—>НтХ также является тождествен-
тождественным отображением, и для любых гладких отображении
/: X —* 2/ и g: 2/ — > 2f имеет место равенство
(go/)* = fog»: НтХ —> Нт%.
[Соответствие /*—>/* обладает свойством функториаль-
ности.]
В частном случае, когда X является подмногообра-
подмногообразием многообразия Й/, а / представляет собой вложение
X—>?/, класс когомологий /*[со] обозначается символом
[а]\ X и называется ограничением, класса [со] на X. Таким
образом, по определению
для любого класса когомологий [со]€Я/пЗ/.
Размерность
hX
группы НтХ (являющейся — напомним — линейным про-
пространством) называется т-и числом Бетти многообра-
многообразия X. (В литературе оно часто обозначается также сим-
символом ЬтХ.)
Конечно, если й'\тХ = п, то
hm Х = 0 при m > п
(поскольку Qm^ = 0 при т> п). Таким образом, инте-
интересны лишь числа Бетти
hnX, ..., h"X, n = dimX.
Заметим, что равенство hmX — 0 необходимо и доста-
достаточно, чтобы на многообразии X для любой замкнутой
формы в степени т было разрешимо уравнение A).
Рассмотрим сначала случай т = 0. (Хотя уравнение
A) имеет смысл только при т > 0, но все же случай
т — 0 заслуживает определенного внимания.)
Пусть п0Х — множество всех компонент связности
гладкого многообразия X.

группа н°2Р 313
Предложение 2. Линеал Ий?С естественно изоморфен
линеалу Rn«^ всевозможных отображений л^' —>¦ R.
Поэтому если множество я0^* конечно, то нулевое число
Нетти h*SC многообразия -Т равно числу #я0^* его
компонент связности:
В частности, п°& > 0 и п°& = 1 тогда и только тогда,
когда многообразие SC связно.
Докажем сначала одну геометрическую лемму.
Пусть П = {11} — произвольное открытое покрытие мно-
многообразия ?С. Мы будем говорить, что элементы U и V
этого покрытия сцеплены, если в П существует такая
цепочка элементов ?/0, ?/,, ..., Uт, что LI^ — ll, Um = V
ii для каждого (=1, .. ., т множества U',-_! и Ut- пересе-
пересекаются:
Лемма 1. Каждая компонента связности С многооб-
многообразия ?С содержится в объединении О подсемейства по-
покрытия U, состоящего из всех его элементов, сцепленных
с некоторым одним (и, следовательно, сцепленных друг
с другом). Если все элементы покрытия U связны, то
Доказательство. Пусть р0 — произвольная точка
компоненты С, a Uo—такой элемент покрытия Ц, что
/>n?U0. Пусть далее О—объединение всех элементов по-
покрытия U, сцепленных с ?/0. Ясно, что О открыто (и со-
содержит точку р0). Поэтому для доказательства включения
Са.0 достаточно доказать, что 0 одновременно и замк-
замкнуто.
Пусть точка р принадлежит замыканию Gмножества О,
ii пусть U — такой элемент покрытия П, что p?U. Тогда
иг\Оф0 и, значит, существует такой элемент V по-
покрытия U, входящий в О, что U[\УФ0. Поэтому эле-
элемент И сцеплен с Uo и, следовательно, UcO. Таким
образом, p^UczO и, значит, О чамкнуто.
Если все элементы покрытия U связны, то, поскольку
объединение связных пересекающихся множеств связно,
множество О связно. Поэтому С — О. П
Доказательство предложения 2. По опре-
определению

314 ЛЕММА ПУАНКАРЕ
т. е.
Но условие df — O означает, что в любой карте (U, h) ~
= {V, х\ .... х") имеют место равенства Д- —О» •••
..., а^й == 0, и, следовательно, если координатная окрест-
окрестность U связна, то / = const на U. При этом, если f — cv
на U и f = Cv на V, то при U[\V^0 обязательно
Си = су.
Имея это в виду, рассмотрим произвольное покрытие U
многообразия X, состоящее из связных координатных
окрестностей. По доказанному функция f принимает одно
и то же значение на любых двух пересекающихся эле-
элементах покрытия U. Поэтому она принимает одинаковые
значения и на любых двух сцепленных элементах покры-
покрытия U. В силу леммы 1 отсюда следует, что функция /
постоянна на каждой компоненте связности многообра-
многообразия X. Поскольку, обратно, каждая функция /, постоян-
постоянная на любой компоненте связности многообразия X,
гладка на X и удовлетворяет соотношению df=O, этим
доказано, что линеал Н°Х состоит из всех функций
/: X—+R, постоянных на каждой компоненте связности
многообразия X и, следовательно, естественно изоморфен
линейному пространству всех отображений я,^—>R. ?
Вычисление чисел hmSC при т > 0 представляет собой,
как правило, задачу довольно трудную. Для того чтобы
изложить основные принципы ее решения, нам в первую
очередь надо для любого многообразия X сравнить его
группы когомологий с группами когомологий многообра-
многообразия Jx/, где / = l61 — интервал (—1, 1).
Напомним (см. определение 2 лекции 15), что точками
многообразия Xxl являются пары (р, t), где р?Х,
— l<f<l, и для каждой карты (U, К) многообразия
X пара (Uxl, /г х id), где
(hxid)(p, О = (Л(Р). *)eKB+1 = RnxR,
является картой многообразия SCx'l, причем все карты
такого вида составляют атлас на Xxf. Если х1, ..., х" —
локальные координаты карты (?/, h), то локальными
координатами карты (Uxl, hx id) будут функции xlon,. ..
.... х"оп, t, где я — проекция (р, t)>—>p. Впрочем,

ЛЕММА ПУАНКАРЕ 315
вместо ххоп, ..., хпоп обычно пишут, не опасаясь недо-
недоразумения, просто х1, ..., х".
Если локальные координаты х1, ..., хп и х1', . . ., хп>
карт (U, И) и (W, h') многообразия ?С связаны на U П U'
соотношениями
то локальные координаты х1, ..., хп, t и хл', ..., хп', t
карт {Uxf, /гх id) и (U'xf, /t'xid) многообразия SCx)
будут связаны на (U Г) ?/') х /= (U х /°) Г) (W х /) соотноше-
соотношениями
D) fl// "¦ l -'• ¦¦•."'
Отсюда следует, что для любой карты (U, К) и любой
точки q0 = (р0, to)€.U х / последний вектор ( -^- ) базиса
дхп ),.' V dt ),,
пространства Т^^х/) о5«« u mom же для всех карт
(О, h) с Pn^U. Поэтому соответствие
корректно определяет на многообразии ^' х/ некоторое
д
векторное поле -щ-.
Аналогично, ковектор (dt)qo сопряженного базиса
(d*1),., ..., (dx%0, {di)qo
пространства Vqo{SVxI) также не зависит от выбора карты
(U, И) и, значит, соответствие q01-> (dt)<,0 корректно
определяет на многообразии J^x/ линейную дифферен-
дифференциальную форму dt (являющуюся не чем иным, как диф-
дифференциалом гладкой функции (р, t)*-^t).
Среди дифференциальных форм на ^*х/ выделяются
формы 6 в каждой карте (Ux/,x\ ..., хп, t), имеющие вид
E) 6= 2---2 в«,...{я^«Л.--Л^",
K(i<. ..<im<n
Г^е 9(,...(,п —гладкие функции от х1, . . .,, х" и /. О таких
формах мы будем говорить, что они не зависят от dt.

316 ЛЕММА ПУАНКАРЕ
При каждом фиксированном t, —1 < t < 1, форму E)
мы можем считать дифференциальной формой на коорди-
координатной окрестности U в многообразии & и ясно, посколь-
поскольку формулы преобразования координат х1, ..., х" на
?Сх\ и ?С одни и те же,— что все такие формы (постро-
(построенные для всевозможных (U, h)) согласованы на пересе-
пересечениях и, значит, составляют некоторую форму 0, на SI'.
Очевидно, это устанавливает взаимно однозначное соот-
соответствие между формами 8 на 5V х /, не зависящими от
dt, и семействами {8,} форм на SC, гладко зависящих от
t, —l<f< I (т.е. таких, что в каждой координатной
окрестности их коэффициенты являются гладкими функ-
функциями от t). Как правило, мы будем отождествлять О
и {О,}.
Для любой формы 8, не зависящей от dt, и всех карт
вида (Uxl, х1, ..., х", t) формы
= 2- -2 ( )Qh...imd.t)dxt' A-.-Adx1"
согласованы на пересечениях и, значит, составляют не-
t
которую форму j Qdt, также не зависящую от dt.
о
Аналогично определяется форма -^, в каждой карте
(Ux'l, х1, ..., х'1, t) задающаяся формулой
Э9 \л
При этом
для любой формы 8, не зависящей от dt.
Кроме того, для любого фиксированного t на 5V опре-
определена форма о'в(. Семейство форм dbt, —1 < t < 1, рас-
рассматриваемое как форма на Jx/, мы будем обозначать
символом <Э8. Форма сЮ имеет степень т+ 1, где т—сте-
т—степень формы 6 и связана с внешним дифференциалом dO
формы 9 формулой
F) dQ = dQ+(-irjtAdt.

ЛЕММА ПУАНКАРЕ 317
В частности,
t t
G) d$e<tt=d$8df + (— \)m9Adt.
n n
Среди дифференциальных форм на Jx/, не завися-
зависящих от dt, в свою очередь выделяются формы, не завися-
зависящие от /, т. е. такие, что в их выражениях E) коэффи-
коэффициенты 0/, im не зависят от t. Эти формы естественным
образом отождествляются с формами на Я' (фактически
они имеют вид л'9, где 9—форма на 3', а л— проекция
Жу.1 —+ SP), так что в силу этого отождествления
(8) il" JcQ (.Г х /) для всех г ^ 0.
Формы, не зависящие от t, характеризуются, очевид-
an
но, соотношением -^ = 0, и потому для них с/в = д8. Это
означает, что вложения (8) составляют коцепное отобра-
отображение
(9) &Я->п
и, значит, для любого т^О индуцируют гомоморфизм
A0) НтЯ-+Н>п(ЯхЬ
групп когомологий (являющийся не чем иным, как гомо-
гомоморфизмом я*, индуцированным проекцией я).
Предложение 3. Для любого т^О гомоморфизм A0)
является изоморфизмом.
Доказательство. Легко видеть, что произволь-
произвольная форма со на Jx/ единственным образом представля-
представляется в виде
A1) <D = e1Adf4e,l
где 9Х и 92—формы, не зависящие от dt. (Представление
вида A1) возможно, конечно, в каждой координатной
окрестности U и ясно, что получающиеся формы 9t и 9,
согласованы на пересечениях.) Положив
t
о
мы в силу формулы G) получим, что
w = dO,4 О,
где
0 = 0,-50,
— форма, не зависящая от dt.

318 ЛЕММА ПУАНКАРЕ
Этим доказано—в случае, когда форма со замкнута,—
что
[со] = [9],
т.е. любой класс когомологий многообразия Jx/ содер-
содержит форму 9, не зависящую от dt. Форма 0 замкнута
вместе с формой со, т. е.
и, в частности, ^- = 0. Следовательно, на самом деле фор-
форма 8 не зависит и от t, т.е. является образом при ото-
отображении я* некоторой формы на 2С'. Этим доказано, что
отображение A0) является эпиморфизмом.
С другой стороны, если форма 9, не зависящая от t,
имеет вид da, где со — некоторая форма на Jx/, то, пред-
представив форму со в виде A1) и заметив, что
х л dt + е2) = (аех + (_i>- ^ д dt -v д(\,
мы немедленно получим, что
да,-И—1Г^-8=о и аеа=е.
Равенство <ЗЭ2 = 9 имеет место тождественно no t и, в
частности, при t = 0. Поскольку 9 от t не зависит, этим
доказано, что д@2)о=:0, где (82H — значение формы 92 при
t — О, и, значит, что d(O2)o = 0 в X. Следовательно, ото-
отображение A0) является изоморфизмом. П
Пусть /"—открытый куб пространства R', состоящий
из точек t = (t, ..., tn), для которых —1<^<1, ...
.... -1<<„<1.
Следствие /(лемма Пуанкаре). Любая замкнутая
дифференциальная форма со степени т > 0 на кубе У
является точной формой, т.е.
hm°l" == 0 при т > 0.
Доказательство. Достаточно, заметив, что
/" = {pt}x/x... х/,
п раз
где {pt} —нульмерное многообразие, состоящее из одной

ГРУППА Я>$» 319
точки, п раз применить предложение 3. (Ясно, что
//»>{pt} = 0 при m>0.) П
Задача 1. Докажите, что куб '/" диффесморфен открытому шару
В" = {х ? R"; | х | < 1}. [Указание. Рассмотрите ограничение на В"
гомеоморфизма В"-—>/", построенного в доказательстве следствия 1
•георемы 2 лекции 9.]
Задача 2. Докажите, что куб Уп диффеоморфен пространству
R". [Указание. Постройте диффеоморфизм R" —>В".]
Отсюда вытекает, что в следствии 1 куб /" можно за-
заменить как шаром ИЗ", так и пространством R".
Используя лемму Пуанкаре, вычислим теперь группы
когомологий Нт§п сферы S" размерности п.
Пусть сначала я = 2 и т=1.
Мы знаем (см. пример 9 лекции 6 при п = 2), что сфера
S2 обладает атласом, состоящим из шести карт, которые мы
сейчас обозначим через (Uk, hk), где k = ±l, ±2, ±3.
Носителями
U_3, t/_lt U_u U» U2, U3
этих карт являются полусферы, состоящие из точек
(я, у, z) g S2, для которых соответственно
х<0, у<0, z<0, z>0, у>0, х>0.
Так как каждый из этих носителей диффеоморфен откры-
открытому кругу Ё2, то, согласно лемме Пуанкаре, для любой
замкнутой линейной дифференциальной формы а на S2
'•уществуют такие гладкие функции
fk: Ub-^R, fe = ±l, ±2, ±3,
что a = dfk на Uk. При этом для любых k и / (для кото-
которых пересечение Uk{]Ut не пусто) формы dfk и dft сов-
совпадают на Uk{]Ut, и значит, поскольку множество Uk()
П Ui связно, существует такая константа с^,, что
A2) fk-fi~ckl на t/fcnt/,.
Условно изобразив окрестности Uк точками и соединив
точки, отвечающие пересекающимся окрестностям, отрез-
отрезками, мы наглядно представим комбинаторную схему

320 ГРУППА H'S'
пересечений окрестностей диаграммой вида
A3)
являющейся не чем иным, как системой ребер октаэдра.
При этом граням октаэдра будут соответствовать тройки
окрестностей Uk, имеющих непустое пересечение.
Докажем теперь следующую комбинаторную лемму.
Лемма 2. Пусть каждому ориентированному ребру Ы
октаэдра A3) сопоставлено число ckl, причем выполнены
следующие условия:
а) ребрам Ы и Ik сопоставлены противоположные числа:
A4) с1к = — с„;
б) для каждой грани klm имеет место соотношение
A5) сп -\-cim + cmk = 0.
Тогда существуют такие числа Ък, что
A6) Ь,-6* = с»,
для любого реэра Ы.
Доказательство. Нужно доказать, что система 12
линейных уравнений A6) (относительное неизвестных Ъ,,)
совместна. Для этого мы, пользуясь соотношениями A5),
в первую очередь сократим число этих уравнений. Для
любой грани klm октаэдра A3) соотношение A5) утверж-
утверждает, что из трех уравнений A6), отвечающих ребрам
этой грани, одно является следствием двух других. По-
Поэтому каждое из этих соотношений позволяет уменьшим,
число уравнений A6) на единицу. Следовательно, исполь-
использовав все эти соотношения (и исключив, скажем, урав-
уравнения, отвечающие ребрам, сходящимся в вершинах 1
и —1), мы получим четыре уравнения
с~,

ГРУППА Н'$» 321
для четырех оставшихся неизвестных Ь_3, Ь_„, Ь„, Ьа (здесь
и в дальнейшем мы вместо индексов —1, —2 и —3 иногда
пишем 1, 2, 3). Положив в этих уравнениях, например,
/^з = 0> мы получим для неизвестных b_2, b.z и Ь3 урав-
уравнения
ил которых они немедленно определяются. [Суть дела
.(десь в том, что уравнения A7) линейно зависимы: их
гумма равна тождественно нулю (проверьте!). Геометри-
меская причина, почему при суммировании этих уравне-
уравнений сокращаются все неизвестные, состоит в том, что
уравнения A7) отвечают ребрам октаэдра A3), состав-
составляющим замкнутый путь, а причина, почему сокращаются
пюбодные члены,— в том, что этот путь является краем
пирамиды, состоящей из граней с вершиной в точке 1.J
Таким образом, при выполнении условий A5) (и A4))
уравнения A6) действительно совместны. П
Замечание 1. Лемма 2 остается, очевидно, в силе —
имеете с доказательством — если с1и являются элементами
произвольной (аддитивно записанной) группы (например,
линейного пространства). Конечно, здесь имеется в виду,
что Ьк ищутся в той же группе (линейном пространстве).
Так как числа сИ, даваемые формулой A2), удовлет-
удовлетворяют, очевидно, соотношениям A4) и A5), то, согласно
лемме 2, существуют такие числа Ь,„ k — ±l, ±2, ±3,
что для любого ребра Ы октаэдра A3)
• h-ft^bt-b, на UknUt,
f*\-h = fi+bt на Uhr\Ut.
Отсюда следует, что, положив
f = fk-+bk на l/ft,
мы однозначно определим'на сфере S2 гладкую функцию/.
При этом df = d(fk + bk) — dfk = a на Uk и, следовательно,
<// —а на всей сфере SV
Тем самым доказано, что любая замкнутая дифферен-
дифференциальная форма а степени 1 на сфере S2 является точ-
точной формой. Это означает, что #152 = 0, т. е.
A8) /i'S2 = 0.
Обратим внимание, что, кроме леммы. Пуанкаре, нам
понадобилась также комбинаторная лемма 2.
" М. М. Постников, сем. Ill

322
ГРУППА //<$«
Попытаемся теперь тем же методом вычислить группу
^S1, где S1 — окружность х* 1
Пусть
U_t, U_u Uu U2
— полуокружности, характеризуемые соответственно не-
неравенствами
х<0, </<0, у>0, х>0.
Схема пересечений полуокружностей Uk, k — ±l, ±2,
представляет собой квадрат:
A9)
В силу леммы Пуанкаре для каждой линейной формы со
на S1 (заметим,— автоматически замкнутой) и любого
& = ±1, ±2 существуют такие функции fk на UK, что
a — d[k на Uk.
При этом для любого ребра Id квадрата A9)
d(/*-/,) = 0 на UhnUlt
и, значит, поскольку множество Ukf\Ut связно,
Ik ft —Cl!l>
где с,а — некоторые константы. Эти константы по-ирежнему
удовлетворяют соотношениям A4) (но соотношения A5)
для них бессодержательны).
Мы будем называть функции с: kit—*cH, определен-
определенные на ребрах квадрата A9) и удовлетворяющие соотно-
соотношению A4) (т. е. такие, что clk — — ск1), одномерными ко-
коциклами квадрата A9). (Аналогично, функции с: kl\-*cl;l,
определенные на ребрах октаэдра A3) и удовлетворяю-
удовлетворяющие соотношениям A4) и A5), называются одномерными

ГРУППА НЧ* 323
коциклами октаэдра A3), но выше мы обошлись без
этого термина.) Ясно, что все коциклы с: kl*—>ckl обра-
образуют линейное пространство Z1 размерности 4.
Коциклы с, для которых существует такое отображе-
отображение Ь: kr->b., что
B0) bk-b^cH
для любого ребра Ы квадрата A9), называются когра-
кограницами. Они образуют подпространство Б1 пространства Z1.
Соответствующее факторпространство Zl/Bl мы обозначим
символом #'. Его элементы (смежные классы простран-
пространства Z1 по подпространству В1) называются классами ко-
когомологий квадрата A9). О коциклах, принадлежащих
одному классу когомологий, говорят, что они когомо-
.югичны.
[Терминология подсказывает, что здесь мы на самом
деле имеем дело с некоторым коцепным комплексом в
смысле определения 1. Мы разовьем эту мысль в следую-
следующей лекции.]
Построение коцикла c^Z1 по форме cogQ'S1 содержит
элемент произвола, заключающийся в выборе функций fk.
Но если (a = dfk и co = dfA на Uk, то dQk—fk) = 0 на Uk
п, значит, jk = fk Yblo где bk—некоторые константы. По-
Поэтому, если с t — fk—ft и cbl — ]k—f, на Ukr\Uv то
т. е. коциклы с: kl*—*ckl и с: kl*-+ckl когомологичны.
Sro доказывает, что формула
0I—* [с],
где [с] — класс когомологий коцикла с, корректно опре-
определяет некоторое отображение
B1) QiS1—*HK
Если со — df, то за функции fk мы можгм принять
ограничения \\ик функции /. Поскольку при таком выборе
яих функций числа ckl равны, очевидно, нулю, мы видим,
следовательно, что на точных формах отображение B1)
Пиено нулю. Поэтому оно индуцирует некоторое отобра-
отображение
B2) WS1 — Н\
11*

324 ГРУППА Н<$<
Оказывается, что отображение B2) является мономор-
мономорфизмом, т. е. если коцикл с: kly-*ckt, отвечающий форме
«giJ'S1, является кограницей, то форма со точна. Дей-
Действительно, если сЬ1 = fk—/, на UkuUtn если сн =-Ь1 — /;,.,
то fh-\ Ьк = [( ! Ь( на Ukr\Ut и, значит, формула
/=7* + h на ?/,
корректно определяет на S1 некоторую функцию /. При
этом, так как
+ h) = df на U ,
то io = df на S1, и, значит, форма со точна. Г_1
До сих пор мы фактиче.ки слово в слово следовали
вычислению группы #lS2. Продолжая аналогию, мы
должны теперь доказать аналог леммы 2 (которая в те-
теперешних терминах утверждает, Очевидно, что для окта-
октаэдра A3) имеет место равенство #1 = 0). С этой целью нам
нужно более внимательно проанализировать равенства B0)
(по форме совпадающие с равенствами A6) из леммы 2).
Эти равенства представляют собой систему четырех
уравнений
B3) <
Ь„ — Ь 1=с„-,
относительно четырех неизвестных й_2, й_и 6,, Ь2 (как п
выше, мы заменяем индексы вида —k на k), и утверж-
утверждение, что коцикл с является кограницей, означает, что
эти уравнения совместны.
Но сложив уравнения B3) и положив
Шс = си Ьс-т + с~-+ с-,
мы немедленно получим, что для совместности этих урав-
уравнений необходимо, чтобы Indc = 0.
Функция Ind представляет собой линейное отображе-
отображение Z1 —<-R, а утверждение, что равенство Ind с — 0 не-
необходимо для совместности уравнений B3), означает, что
это отображение равно нулю на подпространстве В1. По-
Поэтому формула
Ind [с] = Ind с,

ГРУППА H<S" 325
где [с]— класс когомологий коцикла с, корректно опре-
определяет некоторое отображение
B4) Ind: Я1-—R.
Из первых трех уравнений B3) мы последовательно
находим, что
/72 = /5l —г12,
Таким образом, при любом 1>1 формулы B5) дают реше-
решение первых трех уравнений B3). Если же Ind с = 0, то
число Ь_2, даваемое последней формулой B5), удовлет-
удовлетворяет, очевидно, и четвертому уравнению B3). Следо-
Следовательно, условие Indc = 0 не только необходимо, но и
достаточно для совместности уравнений B3). Для отобра-
отображения B4) это означает, что оно представляет собой моно-
мономорфизм. Поскольку же это отображение, очевидно, эпи-
морфно, мы получаем, следовательно, что отображение B4)
является изоморфизмом, и, значит,
dim H1—l.
[Таким образом, если для октаэдра Я'=0, то для
квадрата Я1 ж R.]
В отличие от случая группы Я132, полученный ре-
результат еще не позволяет полностью определить группу
IPS1; из него лишь следует, что либо Я'8' = 0, либо
//'Sl «IR. Оказывается, что на самом деле имеет место
иторой случай, т. е.
B6) A1S' = 1.
Чтобы установить это, нам достаточно предъявить форму
('VCQ'S1, для которой коцикл с: kl\-+ckl не является
кограницей, т.е. обладает тем свойством, что Indc=^0.
Известная из школы координатизация окружности S1
состоит в том, что числу / € IR сопоставляется точка р --
(cost, sin/) этой окружности (геометрически коорди-
координата t представляет собой угол, образуемый радиус-век-
радиус-вектором точки р с положительным направлением оси абсцисс;
на этом основании мы будем называть ее угловой коор-
координатой на окружности). Координата t—соответствую-
t—соответствующим образом ограниченная — является локальной коор-
координатой в смысле определения 1 лекции 1 на каждой
координатной окрестности Uк (но, конечно, не на всей

326 ГРУППА H'S1
окружности S1). Именно, координата t, ограниченная на
/л \/ /л\ / я я \ / я Зя \
(О, л), (—я, 0), — т, т , -к-, -к- ,
S'
будет соответственно локальной координатой на
Uu 1/_„ (Л,, 1/_,.
Зту локальную координату мы обозначим через /,..
Таким образом,
С27\ ^l=/-2 Ha ^lDf/.j, ^-г = /2 на f/.iDf/j
1 ' <_, = /_,-Ь2я на l/_anl/.i, <, = Л на l/2nt/,.
Рассмотрение координаты i на всей окружности
фактически означает, что посредством отображения
R-4-81, /i-*(cos^ sinf),
мы переходим к прямой IR. Функции на S1 оказываются,
тем самым, периодическими (с периодом 2л) функциями
на IR, а линейные дифференциальные формы на S1—фор-
S1—формами f(i)dt на IR с периодическими коэффициентами /(/).
Таким образом, в частности, на S1 определена форма
wo = d/ (хотя t и не является функцией на S1). При этом
dt = dtk на Uk.
Поэтому, согласно соотношениям B7), коцикл с={ск1}
для формы соо будет выражаться формулами
!2я, если k — 2, /— 1,
—2я, если /е = Т, 1=2,
0 для всех остальных /г и /.
Следовательно, Indc = 2п =^=0.
Форму соо можно построить, и не обращаясь к угло-
угловой координате t.
Ясно, что х и у являются гладкими функциями на S1
и, значит, на S1 определены дифференциальные формы
dx и dy.
Задача 3. Покажите, что
ш0 ~ xdy — ydx
и
(dx ,, ,,
на U\ и l/_i,
dy ,, ,,
— на 11г и G-2.
х
Заново выведите отсюда, что Indc = 2»i.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУППЫ H'S1 327
Группу tf'S1 можно также вычислить более легким
способом, не использующим покрытия {?/,,}, но зато апел-
апеллирующим к аналитическим соображениям.
Этот способ основывается на сопоставлении каждой
форме (a = f(t)dt на окружности S1 интеграла
an
/со= \f(t)dt.
о
Получающееся отображение
B8) Q^-^R, сон-*/со,
очевидно, линейно и эпиморфно (ибо /оH Ф 0 для формы
(o = dt). Если a) = dg, где g—функция на S1 (периодиче-
(периодическая функция на R), т.е. если / (t)-g' (t), то
Обратно, если /@ = 0, то функция
периодична и потому является функцией на S1, для ко-
которой dg = (a.
Таким образом, ядром отображения B8) служит под-
подпространство точных форм, и потому это отображение
индуцирует изоморфизм Я1 S1 —>¦ R.
Поэтому А181= 1.
Краткость и простота этого доказательства демонст-
демонстрируют силу методов интегрального исчисления.
Вычислим теперь группу #2§2.
Пусть снова {Uk, /г=±1, ±2, ±3}—рассмотренное
пыше покрытие сферы S2, схемой взаимных пересечений
."лементов которого является октаэдр A3), и пусть со —
произвольная (автоматически замкнутая) форма степени 2
па сфере S2.
Так как каждое множество Uk диффеоморфно кругу В2,
то, согласно лемме Пуанкаре, для каждого /г = ±1, ±2,
±3 на Uk существует такая форма ак степени 1, что
<o = d<x.? на Uk. Для любых k и / (для которых Uk П U\ Ф0)
||юрма аи—а, замкнута на UkC\Ult и так как множество
Uк П Ut тдкже диффеоморфно кругу Ва, то снова, согласно

328 ГРУППА //»S!
лемме Пуанкаре, существует такая гладкая функция
hi- Uk[\Ut-+R, что
B9) <х*-<х, = dfkl на UhnU,
(при этом без ограничения общности мы можем, конечно,
считать, что fkl — ~-flk Для любых k и /).
Для каждых трех индексов к, I, т. (для которых
U к П Ui П Uт Ф0) имеет место равенство
и, значит (поскольку множество Uk()U ,f)Um связно),
существуют такие константы ск1т, что
hi -! /,«, -I La = с«„ на l/fc Г) U, П 1/я
(при этом без ограничения общности можно, конечно,
считать, что числа сМт кососимметрично зависят от ин-
индексов к, I и т, т. е. меняют знак при любой их транс-
транспозиции).
В этом построении имеется, конечно, определенный
элемент произвола. Действительно, во-первых, вместо
форм а;, мы можем взять любые формы ак, обладающие
тем свойством, что dak — dak, т. е. такие—здесь мы снопа
используем лемму Пуанкаре,— что o.k — ak\-dgk, где
gk: UH- +R — некоторые гладкие функции. Во-вторых,
функции 11Н мы аналогичным образом можем заменить на
функции fk[ 1 Ьк1, где Ьы — произвольные константы (удо-
(удовлетворяющие соотношению bllt = — bkl). Учет обеих воз-
возможностей приводит к тому, что функции \к1 заменяются
функциями \к1 \gk—gt \-Ьм и, значит, числа сНт — числами
скш^скш \-(bkl \-Ьш ьЬш11).
(Заметим, что зависимость от функций gk на последнем
этапе исчезает.)
Таким образом, форма со определяет косо:имметриче-
скую функцию с: Ыпи—*-скш с точностью до эквивалент-
эквивалентности, описываемой соотношением C0).
Мы будем называть когогимметрические функции
с: Ыт*-*скш двумерными коциклами октаэдра A3), а ко-
коциклы, имеющие вид
C1) <"*/» = &*/+ bl.-.-Ll>mk'
— кограницами. Все коциклы образуют линейное про
странство Z1 (размерность которого равна 8—числу гра-

пен октаэдра A3)), а кограницы—его подпространство Вг.
Соответствующее факторпространство Z7.fi2 мы обозначим
символом Я2. Его элементы, т. е. смежные классы про-
пространства Z2 по подпространству В2, называются двумер-
двумерными классами когомолосий октаэдра A3).
Поскольку соотношение C0) в точности означает, что
коциклы с: Ыту-*сЫт и с: к1ту-*сЫт принадлежат одному
и тому же классу когомологий [с], мы видим, что нами
построено некоторое (очевидно, линейное) отображение
C2) Q2S2-*tf2, fflt-*[c].
Если форма со точна, т. е. имеет вид da, где a^Q'S'2,
то за формы ак мы можем принять ограничения а\и
формы а на координатных окрестностях Uk. Тогда раз-
разности ак—а( будут равны нулю, и соотношения B9) мы
можем удовлетворить, приняв за fkl функции, тождест-
тождественно равные нулю. Поскольку при этом выборе функ-
функций fkl все числа скш будут, очевидно, равны нулю, этим
доказано, что при отображении C2) все тонные формы
переходят в нуль пространства Я'2 (класс когомологий [0]
пулевого коцикла), и, значит, что это отображение инду-
индуцирует некоторое (также линейное) отображение
C3) Я282 -ч- Я2.
По аналогии со случаем группы Я'З1 естественно
ожидать, что это отображение является мономорфизмом,
т. е. если коцикл с: Ыту-*ск1т, отвечающий форме со,
имеет вид C*1), то форма со точна. Но если соотношение
C1) выполнено, то, заменив функции fkl на разности
fin — Ьк1, мы получим, что ск1т = 0. Следовательно, в этом
случае мы без ограничения общности можем считать, что
для любой грани Ыт октаэдра A3) имеет место соотно-
соотношение
СЩ hi !-//.-!-/«* = 0 на Uk(]Ut(]Um.
Лемма 3. Если функции fkl — — ftk удовлетворяют
юотношению C4), то существуют такие функции gk:
Uk —>¦ R, что
'1тя любого ребра Ы октаэдра A3).
В лекции 20 мы докажем общую теорему 1, частным
случаем которой является лемма 3. Пока же мы примем
эту лемму без доказательства.

330 ГРУППА
Задача 4. Соотношение C4) по форме идентично с соотноше-
соотношением05) из леммы 2. Пользуясь этим (и замечанием 1), докажите
лемму 3.
Из леммы 3 следует, что формы Pfe = aft—dgk для
любого ребра Ы октаэдра A3) удовлетворяют соотношениям
pfc = P, на UknUt
и потому составляют некоторую форму р на S2. При
этом, так как для каждого k
к = с1ак — а) на Uk,
то </В = ю на S», и, значит, форма (о точна.
Таким образом, действительно отображение C3) яв-
является мономорфизмом, i I
Далее вычисление идет по уже известному нам пути.
Сначала доказывается, что Я2« R (с помощью функцио-
функционала Ind Z2 —R, равного сумме чисел с„1я по всем
— соответствующим образом ориентированным! —граням
октаэдра A3)), а затем предъявляется форма со0 для ко-
3 коцикл с обладает тем свойством, что Indc^O.
Окончательно получается, что Яа52«К, т. е.
C5) Л-S'-l.
Чяаачаб Проведите подробно намеченное доказательство ра-
равенства C5). [Указание. За форму со0 примите форму
м0- xdy Adz-ydx Adz + zdx /\ dy.
HTb что эта форма не точна, проще всего, если сначала до-
c поморю формулы Стокса (впрочем, можно обойтись и фо„-
^лой Гоина), что интеграл от точной формы по сфере Ь ртеп
нулю, а затем вычислить, что интеграл от формы со» равен 4я.]
Мы видим что даже для самых простых многообра-
многообразий вычисление групп когомологий наталкивается на
определенные трудности как комбинаторного, так и ана-
аналитического характера. Впрочем, что касается комбина-
комбинаторных трудностей, то иногда их можно успешно прео-
полеть-или хотя бы уменьшить-целесообразным выбо-
выбором покрытия. Например, вычисление группы НЪ-
ршпрртвенно упростится, если мы воспользуемся двухэле-
мСным атласом {{U, h), {V, k)} из примера 10 лекции ь.
Вместо октаэдра для этого атласа получается отрезок
доказательство равенства A8) делается тривиальным.

ГРУППА H'S" ПРИ «5*2 331
[Согласно лемме Пуанкаре a = dfu на U и a = dfv на V,
причем fu—fy — b на U П V, где ft—некоторая константа.
Поэтому формула
\ !и на ?У,
/==\ /„ + & на V,
корректно определяет на З2 такую функцию /, что d/ = a.]
Поскольку последнее доказательство дословно перено-
переносится на случай сферы S" произвольной размерности
п > 2, мы получаем даже, что
C6) /1гЗ" = 0 при п>2.
Однако если мы попробуем этим способом вычислить
числа hmS" при т^2, то, помимо всего прочего, натолк-
натолкнемся на ту трудность, что к пересечению U n V карт U
и V лемма Пуанкаре непосредственно неприменима (по-
(поскольку это пересечение диффеоморфно проколотому про-
пространству R"\{0}, а не шару). Тем не менее вычисление
оказывается возможным, если вместо леммы Пуанкаре
воспользоваться общим предложением 3 и провести ин-
индукцию по п.
Рассмотрим сначала случай, когда 0 < т < п.
Предложение 4. При 0 < т < п имеет место ра-
равенство
C7) ftm3" = 0.
Доказательство. При п = 2 (когда непременно
т— 1) равенство C7) нам уже известно (см. A8) или C6)).
11роведем индукцию по п. При этом мы можем предпо-
предполагать, что т>2, поскольку при т=\ равенство C7)
выше уже также доказано.
Пусть уже доказано, что ^S" = 0 при 0 < т < п— 1,
и пусть со — произвольная замкнутая форма на S" сте-
степени пг, где 0 < т < п. Рассмотрим двухэлементное по-
покрытие {О, V) сферы 3" из примера 10 лекции 6.
Задача 6. Покажите, что множество U n V =
о
-S"\{/?0, <70} диффеоморфно произведению §"~1х1-
|Указание. Постройте диффеоморфизмы U п V —<¦
>R"\{0} и S"-1x/-*R"\{0}.]
Согласно лемме Пуанкаре на U и V существуют та-
такие формы 6у и 9„ степени т—1, что w = d0y на V и
w = d9K на V. Форма 9У—0„ на пересечении и f]V замк-

332 ГРУППЫ H<"S", m<n
нута и имеет степень т—1. Но, согласно утверждению
задачи 6 и предложению 3, число Бетти /г1""^" пере-
пересечения U п V равно числу Бетти li'n~lS"~l сферы S"~l,
и значит, согласно предположению индукции, равно ну-
нулю. Поэтму на U n V существует такая форма а степени
т — 2, что
Задача 7. Постройте па сфере S" гладкую функцию
/, принимающую значения в отрезке [0, 1] и равную
нулю вблизи точки q0 (т. е. в некоторой окрестности
этой точки) и единице вблизи точки р0. [Указание.
Ср. следствие 2 леммы 1 лекции 1 или предложение 2
лекции 14.]
Используя функцию / из задачи 7, мы определим на
U форму oty, а на V форму <xv, положив
( f(p)ap, если p€.U[)V,
/а\ _ ( 0 в противном случае (т. е. если р-— р0),
" \ <J{p)-l)aP, если p?U П К,
\av)p— у о в противном случае (т. е. если р — (/0).
Ясно, что формы <хи и av гладки и на U п V имеет место
равенство а = <Ху—av, a значит, и равенство
9^ — йаи=-Ъу—dav на U[\V.
Поэтому формула
| ви—йаи на U,
~\ Qv—doi.v на V
корректно определяет на всей сфере 3" некоторую фор-
форму 9, для которой сШ = со на S". Поскольку со была про-
произвольной замкнутой формой степени т на сфере 5",
этим доказано, что /i"S" — 0.
Тем самым предложение 4 по индукции полностью
доказано. П
Случай т — п трактуется аналогично.
Предложение 5. Для любого п > 1 имеет место ра-
равенство
C8) 't"S" = 1.

группы H"S« 333
Доказательство. Поскольку при п—1 равен-
равенство C8) уже доказано (см. формулу B6)), мы снова мо-
можем воспользоваться индукцией по п.
Пусть {U, V]—то же покрытие сферы 3", что и выше.
Гак как, по предположению индукции, /i"~1S"~1 = l и,
значит,
и) на U П V существует замкнутая, но не точная форма
(I"" степени п — 1, обладающая тем свойством, что любая
форма степени я—1 на U П V когомологична форме вида
(Д)со), где а—некоторое число.
Известным уже способом, используя функцию f из
.чадачи 7, мы можем форму 9@) представить в виде
(.49) 0(о» = 0(о» _ 0<о, на Uf\V,
где 0$' и О}/' — некоторые формы степени п — 1 на U и
Г соответственно. Так как по условию d9C0) —0, то, со-
согласно формуле C9),
dQW = d%0> на Uf}V,
ii потому равенства
на V,
\ dGj?' на V
корректно определяют на 3" некоторую форму со@) сте-
степени п.
Пусть теперь со — произвольная форма степени // на
сфере S' (автоматически — замкнутая). Согласно лемме
11уаикаре на U и на V существуют такие формы 9у и 9^
степени п—1, что co = d9,; на (У и co = d9v, на V. Форма
<V —Qv замкнута на U П V, и поэтому на U П V сущест-
существует такая форма а степени п — 2 и такое число а? R, что
9у—Qv — da-}aQw на U Л V.
Представив, как и выше, форму а в виде а- аи-ау, где
V и а у—формы на U и V соответственно, мы можем
переписать это равенство в следующем виде:
By—day—a9^' = Qv—dav—aQf* на U[)V.
11оэтому формула
I 9y—day—a0J5' на U,
\ Oy—dav—a9(i°» на V

334 группы н»»"
корректно определяет на S" некоторую форму р* степени
п— 1. При этом
dp = dOy—ad&ff^a—асо<»> на V
и
= w—да>«» на V.
Следовательно, dp = со—осо1о) на всей сфере 5", т. с.
форма со когомологична форме ссо(о).
Для завершения доказательства равенства C8) оста-
осталось поэтому лишь показать, что форма со'01 не когомо-
когомологична нулю (не является точной формой). Но если
со(о) = d6, то на U имеет место равенство dQty = d(Q\u), а
поэтому и равенство 9$> = 0 \и + dcpy, где ср^—форма сте-
степени п — 2 на U. Аналогично, 8{?» = 91v4 dtpUt где ф^ —
гладкая функция на V.
Следовательно, на U П V
т. е. форма 6@) является, вопреки предположению, точ-
точной формой. Поэтому равенство со(о) == d9 невозможно. I '
На примере сфер S1, S2 и S" мы в этой лекции про-
продемонстрировали три главнейших способа вычисления
групп когомологий многообразия (с помощью покрытий,
пересечения любых подсемейств которых диффеоморфны
шару, с помощью более общих покрытий, не удовлетво-
удовлетворяющих этому условию, и с помощью интегралов). В сле-
следующих лекциях мы рассмотрим эти способы более си-
систематично. Пример сфер будет при этом служить образ-
образцом и отправной точкой, хотя, как правило, явных
ссылок на этот пример мы делать не будем.

Лекция 2t
Симплициальные схемы и их геометрические реализа-
реализации.— Группы когомологий симплициальных схем.—
Двойном комплекс покрытия.— Группы когомологий двой-
двойного комплекса.— Окаймленные двойные комплексы.¦¦-
Краевые гомоморфизмы.— Ациклические комплексы.—
Ацикличность по строкам при р — 0.
В первую очередь мы в абстрактной форме опишем
комбинаторные схемы взаимных пересечений элементов
покрытий гладких многообразий (или — более общо — то-
топологических пространств).
Пусть SV — произвольное топологическое пространство
и \X — {Uk, feg/Q—его произвольное открытое покрытие.
Конечное подмножество {k0, ¦.., km) множества индексов
К мы назовем отмеченным, если пересечение Uk, П • • • П U/tm
не пусто:
Определение 1. Множество К, в котором отмечены
некоторые конечные подмножества, называется симпли-
цшльной схемой, если любое подмножество отмеченного
подмножества отмечено.
Ясно, что отмеченные подмножества множества индек-
индексов К покрытия Ц удовлетворяют этому условию, и, зна-
значит, К является симплициальной схемой. Эта схема
называется нервом покрытия Ц.
Говорят, что т+ 1 точек аффинного пространства аф-
финнр независимы, если они не содержатся ни в какой
(т—'1)-мерной плоскости, т. е. если для их радиус-век-
радиус-векторов к„, *!, ...,*„ векторы kx—к0, ...,'кт~к0 ли-
линейно независимы.
Для любых т+ 1 аффинно независимых точек к0, ...
.., кт пространства R." (или—более общо — произволь-
произвольного линейного пространства над полем R) множество
всех точек k вида
k = toka +...+; tmkm,
где *0) ..., tm—такие вещественные числа, что
0<*в<1. •¦•. 0<гт<1

336 С.ИМПЛИЦИЛЛЬНЫЕ О.ХПМЫ И ИХ РЕАЛИЗАЦИИ
(мы, как всегда, отождествляем точки из R" с их ра-
радиус-векторами) называется tn-мерным симплексом с вер-
вершинами kQ, .... frm и обозначается символом ft0. . .km.
При т=-0 — это точка к0, при т.— 1—отрезок ?„?,, при
т = 2—треугольник ?0?j?, и при т = 3 тетраэдр kjtxkM^
Числа t0, ..., /,„ для точки к симплекса ko---km на-
называются ее барицентрическими координатами.
Точка k симплекса k0. . km называется его внут-
внутренней точкой, если 0< f, < 1 для всех i~0, ..., т.
(Такая точка является внутренней точкой симплекса
ko..-km в общетопологическом смысле по отношению к
содержащей симплекс m-мерной плоскости.)
Симплициальную схему К мы будем называть реали-
реализуемой, если ее элементы можно изобразить (при доста-
достаточно большом п) такими точками пространства IR", что:
1) для любого отмеченного множества {ke, . . ., km}cK
соответствующие точки ft0, . .., k,n аффинно независимы
(и, значит, определяют симплекс ft0 . .. km);
2) симплексы k0. . .km и k'0...k'm., отвечающие двум
различным отмеченным подмножествам {kQ, . . ¦, km) я
{k'n, . . ., k'm,} схемы К, не имеют общих внутренних точек.
В этом случае объединение всех симплексов ft0...km,
отвечающих всевозможным отмеченным подмножествам
{kQ, ..., km), называется геометрической реализацией
схемы К. Обозначается геометрическая реализация сим-
символом \К\.
Картинки, которые мы рисовали в предыдущей лек-
лекции, как раз и изображали геометрические реализации
нервов соответствующих покрытий сферы З2 и окружно-
окружности S1.'
По характерной для математики тенденции к пере-
переносу терминов отмеченные подмножества схемы К принято
называть ее симплексами. [При этом, чтобы различить —
когда в этом возникает необходимость—симплексы в К
от симплексов в R", первые называются абстрактными
(или схемными) симплексами, а вторые—евклидовыми (или
геометрическими).] Элементы схемы, участвующие хотя
бы в одном ее симплексе, называются ее вершинами, я
симплекс {fe0, . .., km} называется симплексом с верши-
вершинами kQ, ..., km.
Элементы схемы К, не являющиеся вершинами, не бу-
будут в дальнейшем участвовать ни в одной конструкции
(подобно тому, как они не участвуют в геометрической
реализации \К\), и их можно безопасно игнорировать

ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИЛЛЫГЬГХ ГХРМ 337
[Многие авторы, определяя схемы, вводят поэтому допол-
дополнительную аксиому, требующую, чтобы каждый элемент
схемы был ее вершиной. Однако тогда, определяя нерв
покрытия, надо будет требсшать, чтобы покрытие состоя-
состояло из непустых множеств, что не всегда удобно.]
Замечание 1. Геометрические реализации нам по
существу нигде нужны не будут. Мы их описали только
для того, чтобы иметь возможность использовать в от-
отношении симплициальных схем геометрический язык. По-
Поэтому, в частности, довольно топкий вопрос о том, какие
симплициальные схемы реализуемы, мы рассматривать
здесь не будем. Заметим лишь, что любая конечная снмп-
лициальная схема очевидным образом реализуема.
Задача 1. Будем говорить, что симплициальнат схема К ело-
женно реализуема, если существует такая ее геометрическая реали-
реализация \К\, что подмножество F с | К | тогда и только тогда замк-
замкнуто (в индуцированной топологии), когда для любого симплекса
{А-о, ..., k,n) с К замкнуто пересечение Ff\ko,..km. Покажите, что
симплициальная схема тогда и только тогда вложенно реализуема,
когда:
а) множество ее вершин конечно или счетно;
б) каждая ее вершина принадлежит лишь конечному числу симп-
.К'ксов;
в) существует такое п. что каждый симплекс схемы К содержит
пс более п -\-1 вершим.
Замечание 2. Подмножества пространства R", яв-
являющиеся геометрическими реализациями симплициаль-
симплициальных схем, называются полиэдрами. Их топологическая
теория, называемая обычно кусочно линейной то-
топологией, 'тесно связана с топологической теорией
гладких многообразий (можно показать—это трудная
георема!—что. любое гладкое хаусдорфово многообразие
i о счетной базой гомеоморфно некоторому полиэдру) и
продвинута весьма далеко, составляя одну из наиболее
геометрически ориентированных частей современной то-
топологии. К сожалению, эта теория полностью выходит
in рамки настоящего курса.
Пусть К — произвольная симплициальная схема, и
пусть Кт, т>0, — подмножество произведения
т i I p:i:i
пх'тоящее из таких последовательностей (fe0, . .., km),
/i'.i, ..., km?K, что множество {k6, ..., km) является

338 ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ СЙМПЛИЦЙЛЛЬЙЫХ СХЕМ
симплексом схемы К. (Элементы из Кт называются обычно
т-мерными упорядоченными симплексами схемы К.)
Пусть, далее, G— произвольная абелева группа (в ад-
аддитивной записи).
Определение 2. Отображение
с: Кя —>G, (k6, ..., km)t-*c(fej, .... km)
называется т-мерной коцепью схемы К над группой G
(или со значениями в группе G), если это отображение
кососимметрично, т. е. если c(k0, ..., km) меняет знак
при перестановке любых двух соседних аргументов ka,
/еаМ, 0<а<т—I. Другими словами, отображение с
является коцепью, если
A) C(kam feacm))=eaC(fe0, .... km)
для любого упорядоченного симплекса (fe0, ..., km)?Km
и любой перестановки а индексов 0, 1, ..., т (где, как
всегда, еа—знак перестановки а).
Множество всех таких коцепей является очевидным
образом группой. Мы будем обозначать эту группу сим-
символом О (К; G).
В случае, когда G является полем, группа Ст(К; G)
будет линейным пространством над этим полем. В част-
частности, при G = R (единственно интересный нам сейчас слу-
случай!) группа Ст (/С; R) является линейным пространством над
полем R.
Легко видеть, что для любой коцепи с$С'"(/С; G)
формула
т+ 1
B) (&)(*,, ...,fem + 1)= 2о (-1)' с (fe0, •••.?;. ...,*« + i).
где значок л указывает, что соответствующий элемент к,
должен быть пропущен, определяет некоторую коцепь
6cgCm+1 (К; G). (Действительно, при перестановке двух
соседних вершин ka и ka + 1, 0<a<m, все члены суммы
B) меняют знак, кроме a-го и (a-Ь 1)-го членов, которые,
входя в сумму с различными знаками, переставляются.)
Ясно, что отображение
6: Ст(К\ G)->Cm+1(/C; G), с^-бс,
является гомоморфизмом. Этот гомоморфизм называется
кограничным оператором.

ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ СХЕМ 339
Поскольку оператор б определен для любого т^О,
мы можем составить последовательность
C(K;Gy. С»(К; fy-t-PiK; G)—...
... — С" (К; G) Л О+1 (К; G) -> .. .
Предложение /. Последовательность С (К; G) явля-
является коцепным комплексом, т. е.
6Fс) = 0
каждой коцепи с?Сп (К; G) и каждого т
Доказательство. Для любого упорядоченного
комплекса (fe0, ..., fem+2)c:/Cm + 2 элемент 6 Fc)(fe0, •. •
..., /г,л + 2) группы G является суммой элементов вида
C)c(fe0 k: % km+r), 0<t</<"H 2,
каждый из которых появляется дважды: один раз при
вычислении слагаемого (—\)J'(8c)(kQ, ..., kJt ..., km+r),
а другой — при вычислении слагаемого (—1)'Fc)(fe0, ...
..., kh ..., kn+r). При этом в первом случае слагаемое
C) будет иметь знак (—\)i+J (поскольку в симплексе
(fe0, .... kj, ..., fem+r) вершина k, имеет номер i), а во
втором случае—знак (—lI'^ (поскольку в симплексе
(?0, ..., ?,-, .... km+r) вершина kj имеет номер /—1).
11оэтому все слагаемые C) сокращаются. D
Коцепи с б Ст (К; G), для которых 6с = 0, называются
коциклами схемы К над группой G, а коцепи вида 6с,
где с б С (-/С; G), — кограницами. Коциклы составляют
подгруппу Ът (К; G) (ядро гомоморфизма 6: О (К; G) —>
--+Cm + l(/C; G)), а кограницы—подгруппу Вт(К\ G) (об-
(образ гомоморфизма 6: Ст~г{К\ G)--+Cm(f(; G); при т = 0
условно считается, что В°(^С; G) = 0). Так как Вт{К\ G)c
c:Zm(K\ G), то определена факторгруппа
Я'» (/С; G) = Z» (К; G)/fl- (/С; G).
Эта факторгруппа называется т-мерной (или m-u)
группой когомологий схемы К над группой G, а ее .эле-
.элементы называются классами когомологий.
Ср. с общими определениями в начале лекции 20.
Замечание 3. Можно показать (эта трудная тео-
теорема!), что группы когомологий (и двойственным образом
определяемые группы гомологии; см. ниже лекцию 28)
Двух схем изоморфны, если геометрические"реализации

340 ДВОЙНОЙ КОМПЛЕКС ПОКРЫТИЯ
этих схем гомеоморфны. Это позволяет применить аппа-
аппарат групп когомологий (и гомологии) симплициальных
схем к исследованию топологических свойств полиэдров.
Соответствующий отдел математики называется комби-
комбинаторной топологией. Лет пятьдесят тому назад
Он имел самостоятельное значение, но ныне комбинатор-
комбинаторная топология почти полностью растворилась в более
общей а л геб ра и чес кой топологии. [Иногда тер-
термин «комбинаторная топология» применяют ко всей алгеб-
алгебраической топологии, однако в настоящее время это уже
совершенно не отвечает фактической ситуации.]
Для случая, когда К является нервом покрытия Ы -
= {Uk, k?K\ гладкого многообразия ЗС, конструкция
коцепного комплекса С" (/С; G) (обозначаемого в этом
случае символом С* A1; G)) может быть обобщена. Пусть
для определенности G — R.
Коцепью размерности р^О покрытия Ц со значениями
в функциях называется определенное на Кр отображение г,
сопоставляющее каждому упорядоченному симплексу
(/г0, ..., k,)€.Kp нерва К покрытия U гладкую функцию
сAг0, .... kp): t//Con ¦•• П^*, —R,
определенную на (непустом!) открытом множестве
Uk0 Л •¦ • fl^ftpi и удовлетворяющее условию кососиммет-
кососимметричности A). Все такие коцепи образуют линеал, который
мы будем обозначать символом (^'"(Ц). Кограница
8сбС/> + ь °(П) коцепи с?О'°(П) определяется прежней
формулой B) (в которой т заменено на р) лишь с тем
отличием, что каждое слагаемое c(k0, ..., ?,-, ..., kp+l)
правой части предполагается ограниченным на Uka f\ . . .
• ¦ ¦ П U/<,,+, (без этого формула B) ме будет иметь смысла).
Ясно, что соотношение 6Fс) = 0 (вместе с доказательством)
остается справедливым и в этом случае, т. е. семейство
C'>0(U) = {C'»(tt), 6} линеалов O°(U) и гомоморфизмов
6: O°(U)—Otll0(lt)
является коцепным комплексом.
Более общим образом, для любого q ^ 0 мы можем
ввести в рассмотрение коцепной комплекс
С">(\\) = {СР{\\), 6},
состоящий из коцепей со значениями в формах степени q,
т. е. из определенных на Кр отображений с, удовлетво-

ДВОЙНОЙ КОМПЛЕКС ПОКРЫТИЯ 341
ряющих условию кососимметричности A), значения
с (kg, ..., kf) которых являются формами степени q,
определенными на ?//,„ П • ¦ ¦ fit/*,, (элементами линеала
t-''(^*,, П ¦ ¦ ¦ П Uk,,))- Оператор б определяется в этом
случае той же формулой B) (с теми же уточнениями,
касающимися операторов ограничения). При г/ = 0 мы
получаем прежний комплекс CV°.(U).
.Любой коцепи eg О"'(И) мы можем сопоставить ко-
коцепь dc^Cf м * (И), считая по-определению, что
(dc){k0, . . ., kf,)=^dc(k0, .... kp)
для любого упорядоченного симплекса (k0, .... kp)?Kp.
Ясно, что отображения
A) d: С"(Ц) —С"?-1!(И)
перестановочны с операторами S, т. е. для любых р,
диаграмма
О /¦(П)--*ОГГ"ЧЦ)
коммутативна. По определению (см. определение 2 лек-
лекции 20) это означает, что отображения D) составляют
коцепное отображение
d: C*"/(lt)-.-C-"/"(n)
комплекса C#"'#(U) в комплекс С'"''' (И).
Заметим, что d о d — 0, т. е. для любого р > 0 семейство
С/" ' (П) = {С/" " (Ц), d} является коцепным комплексом.
При этом отображения
б: С/"? A1) - .O""/(U)
оудут составлять коцепное отображение комплекса С?'' A1)
i! комплекс С1'1' 'A1).
Определение 3. Семейство С'' — {С''1, б, d) групп
'-'''"¦', где р, </^0, и отображений
6: Cf'i —>Cf"l<4, d: CP"i—>Cf"'i + 1
чпчивается двойным комплексом, если
боб = 0, rfori = 0 и do6 = 6orf,
1 е если

342 ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ ДВОЙНОГО КОМПЛЕКСА
1° для любого q^O (для любого /э^О) семейство
C'"i = {CP"!, 6} (семейство 0"' = {О, d}) является
коцепным комплексом;
2° отображения d составляют коцепное отображение
комплекса С""' в комплекс С'ч+1, и, следовательно,
отображения б—коцепное отображение
б: О*—>C+l1*
комплекса О ' в комплекс С+1> *.
Таким образом, мы видим, что для любого покрытия U
гладкого многообразия X нами построен двойной комп-
комплекс
С'(П) = {СР'ч(П), б, d).
Мы будем называть его двойным комплексом покрытия П.
Двойные комплексы мы будем изображать таблицами
вида
• • • •
С°,</+1 .—> С1. "+1 —> ... •—>СР< «+1-^> СР+1<
t t "} fl \d
E) C°w —, С1. ° —¦ ... —->СР*ч —,С+
! ! !
ii ft
С», о —>С1-0 —...—> СР< ° —>CJ"+1-° ->...
В соответствии с этим комплексы С'11 мы будем называть
строками двойного комплекса С'1 *, а комплексы О1'—
его столбцами.
Положив для любого m ^ О
С" == Со> " 0 С1- '"-10 ... 0 С"" °,
мы определим отображение
Ь: С—vC"+1
формулой
bc = 6c-|-d'c,
где
d'c = {—l/dc, если с^С""-''.

ГРУППЫ кОГОМОЛОГИЙ ДВОЙНОГО КОМПЛЕКСА
343
Таким образом, элементами группы Ст являются
цепочки с = (с0, ..., сп) коцепей комплекса С'1', распо-
расположенных на его m-й антидиагонали:
Со
•
¦J I
а отображение Ь каждую такую цепочку переводит в це-
цепочку Ьс = (е0, ..., em + i), для которой
1
F)
В частности, Ьс = 0 тогда и только тогда, когда
G)
c0 - 0,
ci 0,
0,
0
I
+
Так как d'6c = (-l)'+
</' о б -|- б о d' — 0, и потому
сп -, 0.
и bd'c = (—\ybdc, то

344
ОКЛГ1МЛКННЫР. ДПОЙНЫЕ КОМПЛРКГЫ
Это означает, что семейство {Ст, Ь} является коцепным
комплексом.
Группы когомологий этого коцепного комплекса мы
будем называть группами когомологий двойного комп-
комплекса С"'" и будем обозначать символом Нт(С'ш).
В частном случае С" ' — С' '(U) эти группы мы будем
называть группами когомологий покрытия U и будем
обозначать символом'Т/ A1).
Двойной комплекс покрытия И = {?/,,, k?K} мы можем
естественным образом окаймить слева комплексом де Рамл
[QiSP, d} многообразия ¦•?", а снизу — комплексом
{C(U; R), 6} коцепей покрытия II с коэффициентами
в поле R:
'(H)
d; ]d
'"'(It) r>C/'fl. "(U)
C°. i(U) -Cl. ](U) '¦•¦
! i II
C°. <• (U) *C'-0(U) -+-->C.f'' n(U) -'•C/'' т. ° (U) >...
'f ¦'] ;1 'f
C°(U; R) -> C>(U; R) -...•¦C/'(U; R) - С/" »(Ц; R)->...
t t t
i I
0 0 0
где/ — вложения, возникающие в результате отождествле-
отождествления произвольного числа ^R с постоянной функцией,
принимающей значение %., а отображения / определяются
формулой
где cogQ'^r и k?K.
Ясно, что отображения i и / перестановочны соответ-
соответственно с операторами 6 и d, т. е. составляют коцеппые
отображения
i: С'(И; R)-'
С0' ' (П),

ОКАЙМЛЕННЫЕ ДВОЙНЫЕ КОМПЛЕКСЫ
345
Кроме того, они являются мономорфизмами и удовлетво-
удовлетворяют соотношениям
d о i = 0, б о / = 0.
(Соотношение doj=0 следует из того, что если /' — const,
10 df = O, а соотношение 6о/ = 0 —из того, что по опре-
определению
) —c(ft.) на
для любого упорядоченного симплекса (k0, k^^Ki, и,
шачит, если c(fe) = w на Uh, то Fс) (feo.^i) = 0.)
Эта ситуация заслуживает специального определения.
Определение 4. Окаймленным двойным комплексом
называется состоящая из групп и гомоморфизмов таблица
пида
О *
о -*в» -
О -* Д»
с».
,с°.
¦V -+
1 ^ pi,
» .Сь
/1
... - СР'
1
>...-* Ся
1
'-*... +СР
9
1
0
• ¦ С/" '
¦/.....
1
0 ^
/1°
t
о
где часть, обведенная рамкой, является двойным комп-
лгксом в смысле определения 3 и где
Г семейства А' = \А'\ 6} и В'=--{В<, d) являются
коцепными комплексами;
Т отображения i составляют коцепиое отображение
комплекса А' в комплекс С' °, обладающее тем свойст-
свойством, что
A0) do i = 0;
3° отображения / составляют коцепное отображе-
отображение комплекса В' в комплекс С0'*, обладающее тем

346 КРАЕВЫЕ ГОМОМОРФИЗМЫ
СВОЙСТВОМ, ЧТО
4° все отображения i и / являются мономорфизмами.
Замечание 4. В русской топологической литера-
литературе окаймленные комплексы называются также аугмен-
тированными двойными комплексами. Этой фонетически
отвратной калькой с английского языка мы пользоваться
не будем.
Из соотношения A0) непосредственно следует, что,
отождествив для любого элемента а?А элемент ia?C"
с цепочкой @, ..., 0, ia)€Cm, мы получим коцепное
отображение i комплекса А' в комплекс [С", Ь}. [Дейст-
[Действительно, так как (do/) а = 0, то b (га) — @, . . ., 0, (8oi) a) =
— @, ..., 0, t Fa)) = t Fа).] Индуцированные этим коцеи-
ным отображением гомоморфизмы
A1) /•: Я'Я(Л')-+Я'Я(С'1#)
мы будем называть нижними краевыми гомоморфизмами.
Аналогично определяются левые краевые гомоморфизмы
A2) /•: Н"(ВШ)-+Н*(С'*).
Для двойного комплекса С'" (U) покрытия U много-
многообразия SV нижние краевые гомоморфизмы имеют вид
i*\ ЯИ(Ц; R)—Я*(Ц),
а левые — вид
/*: Н*ЯГ-+Н*(\1).
Мы будем говорить, что окаймленный двойной комп-
комплекс (9) ацикличен по столбцам, если каждый его столбец
является точной последовательностью, т. е. для любых
р, q ^ 0 имеет место равенство
(Im(t: Ар-ч-С'*), если ^=-0,
C"./-^.»-)=( Im(d. c,,,-^c,,t)t если q>{),
[При ^ = 0 это равенство означает, что мономорфизм i
изоморфно отображает группу Ар на группу Н°(Ср'') =
= Ker(d: CP'a -+СР'1) комплекса С-', а при q > 0, что
группа Hi (С"') когомологий этого комплекса равня
нулю-J

АЦИКЛИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫ 347
Аналогично определяются двойные комплексы, ацик-
ацикличные по строкам, для которых
( Im(/: ?« —С°"), если р = 0,
\Cp-L,q_^CP,q)t если 0
Ключом к вычислению групп когомологий де Рама
гладких многообразий является следующая алгебраи-
алгебраическая лемма:
Лемма 1. Если окаймленный двойной комплекс (9)
ацикличен по столбцам {по строкам), то для любого
т^О нижний краевой гомоморфизм A1) (левый краевой
гомоморфизм A2)) является изоморфизмом.
Доказательство. Пусть для коцикла а^А'п
комплекса Л'имеет место равенство i*[a]—0, т.е. суще-
существует такая цепочка с~{с0, . . ., ст_1) (ЕС"', что bc = ia.
Но определению это олначает, что
О
dc0 =- 0, с ---¦ О
6co + d'ci-- 0, |
Так как по 'условию первый столбец комплекса С''
является точной последовательностью, то существует
такая коцепь Ь0?С0' т~1, что dbo = co. Тогда коцепь
с'— с—ЬЬ0 (т. е., точнее, коцепь с—b (b0, 0, .. ., 0)) будет
иметь вид @, с[, ..., c^.j) и по-прежнему будет удовлет-
удовлетворять соотношению bc' = ia. Поэтому без ограничения
общности мы с самого начала можем считать, что со = О.
Но тогда второе соотношение A3) будет иметь вид
tl(\ — 0, и потому, ввиду точности второго столбца комп-
комплекса С'", будет существовать такой элемент й^С1"",
что d/j, = C!. Поэтому, заменив с на с—ЬЬи мы добьемся
loro, что со = О и Ci = 0 (сохранив соотношение Ьс = /о).
Двигаясь таким образом по антидиагонали вниз, мы
в конце концов придем к цепочке с вида @, .. ., 0, ст_,),
где си_1 — такая коцепь из Ст~ио, что dcm_1 = 0 и
'Ум_1 = ш. Но так как dcm_! = 0, то—снова ввиду точ-

348 АЦИКЛИЧНОСТЬ ПО СТРОКАМ
ности соответствующего столбца—существует такой эле-
элемент а'?Ат~\ что ia' = cm_u и, значит, такой, что
Поскольку отображение / по условию мономорфно, этим
доказано, что 6а' = а, т.е. что [а] —О в Пт(А'). Следо-
Следовательно, гомоморфизм A1) является мономорфизмом.
Пусть теперь с = (с0. ..., ст_х) — произвольный /и-мер-
/и-мерный коцикл комплекса {С'л, Ь\. Тогда для коцепей
си, ..., ст выполнены соотношения G). В частности,
cft'o — 0. Поэтому снова существует такая коцепь Ьо, что
для коцикла с—Ы>0 компонента с0 равна нулю, и, значт,
в силу второго соотношения G) для этого коцикла будет
иметь место равенство dci = 0, и, следовательно, будет
существовать такая коцепь blt что у коцикла c—dbtt — <//>,
будет равна нулю и компонента с,.
Продолжая процесс, мы в конце концов получим
коцикл когомологичный данному, у которого все компо-
компоненты с0, .. ., с/я_1 равны нулю, а последняя компонент ст
имеет вид ia, где а—некоторый коцикл комплекса /Г.
т. е. который является образом коцикла а при отобра-
отображении /: А—»С'Л. Это означает, что гомоморфизм A1)
является эпиморфизмом.
Симметричное утверждение о двойных комплексах,
ацикличных по строкам, доказывается аналогично. 1 I
Следствие 1. Если окаймленный двойной комплекс (П)
ацикличен по строкам и по столбцам, то для любого
т^О группа Нт (А') изоморфна группе Н'"(В'). U
Следствие 2. Если для открытого покрытия И
= {Uk, k?K} гладкого многообразия SC окаймленный
комплекс (8) ацикличен по строкам и столбцам, то для
пюбого т > 0 группа когомологий де Рама HmSC многооб-
многообразия 5V изоморфна группе когомологий Н'п (И; R) по-
покрытия U:
НтЖ&Нт(Х\; Щ. U
Таким образом, в этом случае группу HmSC мы можем
вычислять чисто комбинаторно по нерву К покрытия 11.
(Ср. вычисление групп Н'а$" в предыдущей лекции.)
Условие ацикличности строк двойного комплекса (Я)
при р — 0 означает, что каждый коцикл с?С°'''A1) имее!
вид /(о, где (ogQ'f.sr, т. е. что c{k) = (a на Uk для любой1
k?K- Но это действительно так, поскольку условие, чк>

АЦИКЛИЧНОСТЬ ПО СТРОКАМ 349
коцепь с: k ¦—> с (k) ? Q Uh является коциклом, означает,
что
с (/<¦„) = с (/?,) на UkJ)Uki
для любых двух индексов k0. k^K (для которых
U ь„ П U к, Ф 0). т.е. формы с (/г), h(tK, согласованы на
пересечениях и поiому составляют некоторую форму
(о?{}оЗ'. Таким образом, условие ацикличности с/прок
при р = 0 выполнено для комплекса (8) произвольного
покрытия Ц.
Условия, обеспечивающие ацикличное:ь арок (при
/; > 0) и сюлбцов (при с/^0) комплекс"! (8), мы рассмот-
рассмотрим в следующей лекции.

Лекция 22
Ацикличность по строкам двойного комплекса нумерпруе-
мого покрытия.— Ацикличность по столбцам двойного
комплекса покрытия Лере.— Теорема де Рама — Лере.—
Обобщение— Группы ??' ''.—Группы Fp' ч-— Группа, при-
присосдиненная к градуированной группе с фильтрацией.
Определение 1. Семейство {ц.} гладких неотрица-
неотрицательных функций r\;: SC —+-R называется локально конеч-
конечным, если для любой точки многообразия X существует
ее окрестность, в которой только конечное число функ-
функций т);, отлично от нуля. Локально конечное семейство
{%} функций называется разбиением единицы, если
(в силу условия локальной конечности эта сумма имеет
смысл). Разбиение единицы {т);,} называется подчиненным
открытому покрытию {Uh} (с тем же множеством индек-
индексов), если tja = O вне Uk для любого k. (Заметим, что в
литературе встречается другое, более ограниченное опре-
определение, в котором требуется, чтобы в Uк содержалось
не только множество, где т^^О, но и его замыкание.)
Открытое покрытие {Uk} называется нумерируемым, если
существует подчиненное ему разбиение единицы {г\:!}. Мно-
Многообразие SV называется паракомпактным, если каждое
его открытое покрытие нумерируемо.
Оказывается, что если покрытие U={Uk; k?K} глад-
гладкого многообразия SC нумерируемо, то его двойной комп-
комплекс С' (Ц) ацикличен по строкам. Действительно, со-
согласно сделанному в конце предыдущей лекции замеча-
замечанию, нам надо лишь доказать, что для любого q^O каж-
каждый р-мерный (р > 0) коцикл с коцепного комплекса
С' = {Ср"> (U), 6} является кограницей. С этой целью
мы отнесем произвольной коцепи cgC"/(U) коцепь
Dc?Cp~1"'(W), определенную (очевидно, корректно) фор-
формулой
A) (Dc)(kB Ue2v(*.*.. ••. Ьр-г)'
где {r|fe}—разбиение единицы, подчиненное покрытию \\.

АЦИКЛИЧНОСТЬ ПО СТОЛБЦАМ 351
Тогда для любого симплекса (ft0, . .., kp) ? Кр
FDc) (ft., • • •, ft,) = S (-1)' 2 Л f (*. *o. ¦ • •. *, *,) =
i - 0 A 6 К
P
.2 (-1)'' с (ft, ft.,.... ft,-— ftp)
.2
и
(D&) (ft., • . ., ft,) = 2 Л*
kK
=2 n* [c (*o. ¦ • • .V + 2 (-i)'4 'c(ft,ft. tt ft )]=
P
*2(—i)'"c(ft,ft.,....ft,-,....ft») =
(=0
= c(ft0 kp)-FDc)(k0, ....ft,),
т. e.
D6c 4 6Dc = с
для любой коцепи с. Поэтому, если 6с = 0, то c = 8Dc. О
Рассмотрим теперь условия, обеспечивающие ациклич-
ацикличность комплекса С'1" (U) по столбцам.
Напомним (ср. определение 1 лекции !0), что для про-
произвольного семейства множеств {Wa} символом Ц^а обо-
а
значается множество всевозможных семейств {ха}, где
Яаб-^а- В случае, когда все Ха представляют собой ли-
линейные пространства, это множество является линейным
пространством относительно покомпонентных операций
({ха}+ {у«) = {ха-1уа}, Цха} = {*-*«}) и называется
прямым произведением линейных пространств 3?а. Анало-
Аналогично определяются прямые произведения групп, коцеп-
иых комплексов, двойных комплексов и т. п.
При этом ясно, что, например, группы когомологий
прямого произведения комплексов будут прямыми про-
произведениями групп когомологий сомножителей.
Сравнив общее определение прямого произведения
линеалов с определением линеалов С' '> (U), мы немед-
немедленно обнаружим, что каждый линеал С' ч (U) является не
чем иным, как прямым произведением

352 АЦИКЛИЧНОСТЬ ПО СТОЛБЦАМ
линеалов Q''([/fcon . . . f)Ui,p) no всем р-мерным симплексам
{k0, ...,kp) симплициальной схемы К. При этом отобра-
отображение d: О 'I (U) —<¦ Ср' ''4 х (II) переводит каждый множи-
множитель Q '(Uko п .. . П Ukp) линеала O'''(U) в множитель
Q/41(t/A,( п • • . ПС/к,.) линеала С" ''l (U) и является на
нем не чем иным, как внешним дифференциалом
d: &(UK[] . . . П Utu) ^ Й- i (f7frn • • • П Uk/I).
Это означает, что для любого р^О комплекс О1' (U) явля-
является прямым произведением комплексов де Рамай'(?/^()П • ¦•
¦ ¦¦п^кр) и, значит, его группы когомологий —прямыми
произведениями групп Н' (U fiin . . . ()Ukp). Поэтому для
комплекса С"''(И) условие ацикличности столбцов при
q > 0 выполнено тогда и только тогда, когда для любого
симплекса {/г0, . . ., kp}aK все группы когомологий
Ht{LIkj\ . . . f]0kf>), a ,> 0, равны нулю. Аналогично, так
как для любого р~^0 группа СрA\; К) является не чем
иным, как прямым произведением линеалов R по всем
симплексам {?„, ..., кг}аК, то условие ацикличности
столбцов комплекса С''(И) при q~0 равносильно тре-
требованию, чтобы для любого симплекса {/г0, . .., kp) а К
группа H°(Uk(iO . .. f)Ui,p) была изоморфна R.
Поскольку в силу леммы Пуанкаре (и предложения 2
лекции 20) оба условия заведомо выполнены, когда все
пересечения ^0П • • • П Ukp диффеоморфны открытому шару
6" пространства R" (где, как всегда n = dim SC), мы видим,
что комплекс С' "A1) ацикличен по столбцам, если для
любых индексов /г0, . . ., kr, 6 К пересечение Ul!o Г| • • • П Uk,,~
когда оно не пусто—диффеоморфно шару В'1.
Определение 2. Открытое покрытие И == {Uk; k 6 К}
гладкого л-мерного многообразия %' мы будем называть
покрытием Лсре, если для любых индексов /г0, . . ., 1гр^К
пересечение UПа П . • • П ^\р либо пусто, либо диффеоморфно
шару В".
Таким образом, для любого покрытия Лере U комп-
комплекс С'}' (\\) ацикличен по столбцам.
Сопоставив полученные результаты, мы в силу след-
следствия 2 леммы 1 предыдущей лекции немедленно получим
следующую теорему:
Теорема 1. Для любого нумерируемого покрытия Лере
гладкого многообразия Ж группы когомологий Нт (И; IR)

ТЕОРЕМА ДЕ РАМА - ЛЕРЕ 353
изоморфны группам когомологий де Рама Hm?V многооб-
многообразия к.
Эта теорема называется теоремой де Рама в
форме Лере) (или, короче,— теоремой де Рама—
Лере).
Нетрудно указать и явную формулу, задающую изо-
изоморфизм
B) Н*^Х\Щ-*НЯ5С.
Задача 1. Если к коцепи ic?Cm-<> (U), с?Ст (Ц; R), мы т раз
применим оператор doD, где D — оператор Ср- 1 (U)—>Ср-1>?(Ц),
определенный формулой A), го получится коцепь из C°>m(U). Пока-
Покажите, что:
1° в случае, когда с является коциклом, коцепь (d о D)mc имеет
вид /со, где со—замкнутая форма из SlmSV\
2° класс когомологий [со] формы со зависит только от класса
когомологий [с] коцикла с;
3° с точностью до знака отображение [с] i—*¦ [со] является изо-
изоморфизмом B).
Следствие 1. Для любого нумерируемого покрытия
Лере Ц гладкого многообразия & группы когомологий
Hm(VL;R) не зависят—с точностью до изоморфизма—от
этого покрытия и определяются исключительно самим
многообразием X. ?
Замечание 1. Можно показать—на основании со-
нершенно иных соображений, не связанных с дифферен-
дифференциальными формами,— что следствие 1 справедливо для
групп когомологий Нт (U; G) и над произвольной груп-
группой G.
Определение 3. Группы Hm(U;G), где U— произ-
произвольное нумерируемое покрытие Лере многообразия Я",
называются группами когомологий Чеха многообразия X
11 обозначаются символом Hm{SV;G). Они определены,
счли многообразие SV обладает хотя бы одним нумерируе-
мым покрытием Лере.
В силу замечания 1 это определение корректно. Оно
позволяет следующим образом переформулировать тео-
теорему 1:
Теорема 1а, Если для многообразия SV существует
нумерируемое покрытие Лере, то его группы когомологий
<1с Рама изоморфны его группам когомологий Чеха:
Нт.Т та Нт (."Г; К), т>0.
Хотя на практике вопрос о существовании нумери-
нумерируемого покрытия Лере для данного конкретного много-
12 Л\. М. Постников, см III

354 ТЕОРЕМА ДЕ РАМА-ЛЕРЕ
образия X обычно трудностей не вызывает, но все же,
конечно, этот вопрос интересно рассмотреть в общем
виде.
Теорема 2. Любое хаусдорфово многообразие, удов-
удовлетворяющее второй аксиоме счетности (в частности,
любое хаусдорфово компактное многообразие), параком-
пактно, т. е. каждое его открытое покрытие нумерируемо.
Замечание 2. Можно показать, что и, обратно,
любое связное паракомпактное хаусдорфово многообразие
удовлетворяет второй аксиоме счетности.
См. ниже, замечания 2 и 3 лекции 24.
Теорема 3. Любое паракомпактное хаусдорфово мно-
многообразие обладает покрытием Лере. Если, многообразие
компактно, то оно обладает конечным покрытием Лере.
Следствие 1. Группы когомологий Чеха Hm(%;G)
определены для любого паракомпактного хаусдорфова мно-
многообразия Ж. Для компактного многообразия эти группы
имеют над G конечное число образующих (при О = R
конечномерны).
Следствие 2. Группы когомологий де Рама Нт&
произвольного паракомпактного хаусдорфова многообразия
$" изоморфны его группам Чеха над полем R:
Нт% » Нт (SC\ R).
Следствие 2 обычно называется теоремой де Рама
для групп когомологий Чеха.
[Вообще, теоремами де Рама называется целый букет
теорем, описывающих группы НтЖ в топологических
терминах. Название объясняется тем, что самая первая
из этих теорем была на самом деле доказана де Рамом.
Мы познакомимся с этой теоремой в лекции 28.]
Следствие 3. Для компактного хаусдорфова много-
многообразия 5V все линейные пространства Hm?V конечномерны
(«, значит, числа Бетти hmSV определены). О
Мы докажем теорему 2 в лекции 24. Что же касается
теоремы 3, то—подобно лемме Гаусса из лекции 5—мы
вынуждены отложить ее доказательство до следующего
семестра.
Вообще говоря, даже для самых простых многообра-
многообразий % покрытия Лере Ц содержат довольно много эле-
элементов, что делает задачу вычисления групп Нт(\Х; R) =
--- Нт(^\ Щ если не сложной, то, во всяком случае, гро-
громоздкой и утомительной. Поэтому интересны способы

ОБОБЩЕНИЕ 355
вычисления групп Я'" C"; R) с помощью покрытий, не
являющихся покрытиями Лере. (Как показывают приме-
примеры из лекции 20, этот подход может оказаться весьма
эффективным.) При этом ввиду теоремы 2 (правда, нами
еще не доказанной) мы, практически интересуясь лишь
многообразиями, удовлетворяющими второй аксиоме счет-
ности, можем ограничиться лишь нумерируемыми покры-
покрытиями U — {Uk, /г 6К}, для которых окаймленный ком-
комплекс Cv (It), как мы знаем, ацикличен по строкам, и,
значит, его группы когомологий Я'" (И) изоморфны груп-
группам когомологий де Рама Нт& многообразия Ж'. Таким
образом, задача вычисления групп Нт?? сводится к зада-
задаче вычисления групп Нт (Ц).
Мы будем считать, что нам известны
а) нерв К покрытия II (т. е. известно, для каких ин-
индексов /г0, .... kp?K пересечение UH П .. • Г) нр не пусто);
б) для любого симплекса {k0, ..., к„) нерва К известны
все группы когомологий де Рама Н* @\а П . • ¦ П Ukp) от-
открытого подмногообразия ?/fco Г) • ¦ • Л ?/,,*;"
н будем искать алгебраическую процедуру, позволяющую
на основе этих сведений, если не полностью вычислить
группы НтAХ)жНт%'—это останется недостижимым
идеалом,— то, по крайней мере, получить об этих груп-
группах достаточно обширную информацию.
Пусть С'" = {О"'"; б, d} — пока произвольный двойной
комплекс. Так как столбцы С'' = {Ср>''; d) комплекса С''
являются обычными коцепными комплексами, то опреде-
определены их группы когомологий Я- (С>" '). По традиции при-
принято обозначать эти группы символом ?f- *. (Обратите
внимание на порядок верхних индексов!)
Поскольку горизонтальные кограничные операторы б:
Ср' я —^ С1' я составляют по определению коцепное отоб-
отображение С' '—*-Cp+u ', они индуцируют гомоморфизмы
C) б*: Ер«-*-ЕР+1-<1.
Так как б о 6 = 0, то б*об* = 0 и, значит, для каждого
7^0 семейство E['q = [Ep>q; б*} групп и гомоморфизмов
является коцепным комплексом. (В дальнейшем вместо б*
мы будем писать просто б.) Группы когомологий HP(E[<q)
комплексов E\<q мы — также по традиции — будем обозна-
обозначать символом ЕР'" и будем располагать их в таблицу вида
12*

356
ГР-УППЫ еР-1
D)
El-ч
?О,о
Е\-"
Е\-1
pi, о
I--2
Ер-"
El1
Fp- °
'-г
Условно ЕР2-* = НрйНЦС'>') (и Ер-" = НР6ЩAХ), если
С*1* = С*'" (И)), где нижние индексы указывают когранич-
ный оператор, по отношению к которому вычисляются
группы когомологий.
Заметим, что в специальном случае двойного комплек-
комплекса вида С'' (VI) информация, содержащаяся в пунктах а
и б (см. выше), в принципе достаточна для вычисления групп
ЕР- ч. Действительно, как мы знаем, каждый столбец О' "(Ц)
комплекса С"'" (И) является прямым произведением комп-
комплексов де Рама вида Q'([/fron •. • П Ukp) и, значит, его
группы когомологий ??• " = Я«(С'') *(Ц)) — прямыми про-
произведениями групп когомологий де Рама Н" (Uk П • ¦ • П Uk?)-
Это означает, что переход от группы Ср'ч (Ц) к группе
?>?•" состоит в том, что мы, ограничиваясь коцепями
c(ka *„)€ ?2* (*/*.n...n </*,),
с:
kp)
значения с (k0, ¦ .., kp) которых являются замкнутыми
формами, переходим к их классам когомологий
-И*. *„)]€#«(</*„ n...n*/ft,).
Следовательно, элементами группы ??•ч мы можем считать
определенные на Кр кососимметрические функции
с:
kp)>
-c(k0,
kp),
для которых c~(k0, .... kp)^H" (и„а П • • • П Vkp) (коцепи со
значениями в когомологиях). При этом оператор C) будет
задаваться формулой
_
(Ь*с
...,kp+1)
p+l _
2 (-l)'c
1=0
ft,.

ГРУППЫ Е%' ^ 357
где справа пропущены подразумеваемые гомоморфизмы
ограничения
Hi (i/fton • • • П Ck( П ... П Ukp) — H" (U,,,f) ... П Ukp)
(ср. формулу B) предыдущей лекции). Все это дает алго-
алгорифм— в не очень громоздких случаях вполне работоспо-
работоспособный—для вычисления групп ??• *. G
Таким образом, группы Efy q для двойных комплексов
вида С'''(Ц) мы можем считать известными, по крайней
мере теоретически.
Пример 1. Если U= {U, V)—двухэлементное покры-
покрытие сферы S", рассмотренное в лекции 20, то среди групп
Нт (U), Нт (V) и Нт (U П V) отличны от нуля только группы
Ha(U)ttR, tf°(V)«R, H9(U{\V)atR
и
Я"'1 (UnV)ta Я"-^"'1 да R.
Поэтому комплекс Е\<а изоморфен комплексу С(IV, Щ и,
значит, группы Е?г• ° изоморфны группам Нр(\\; R). (Это—
общий факт, справедливый для любого многообразия SC
и любого его покрытия Ц со связными пересечениями
U „,()... П U кр.)
С другой стороны, легко видеть, что Я0(U;R)«R
(это—опять общий факт, справедливый для любой связ-
связной— в понятном смысле—симплициальной схемы), и что
Нр(\Х; R) = 0 при р>0 (нервом покрытия И, или, точ-
точнее, его геометрической реализацией является отрезок
E) ' i .'
и, значит, при р> 1 равна нулю даже группа O(U; R),
а при р=\ любой элемент группы С1 (U; R) = Z1 (U; R)
однозначно определяется числом к —с @, 1) и потому ра-
равен бе, где е—нульмерная коцепь, определенная формулой
е@) = 0, е(\) = Х).
Таким образом,
R, если р = О,
О, если р > 0.
Что же касается групп Е{<ч при q > 0, то среди них
отлична от нуля только группа ?li"»=C1 (U; R), изо-
изоморфная R. Поэтому среди групп Eg-q, q > 0, также от-
отлична от нуля только группа Е\п~* sszR.

358 группы
Таким образом, таблица групп ??¦' для покрытия
,V} сферы S" имеет вид
п-1
R
R
. . .
. . .
о
(в остальных клетках, кроме двух указанных, стоят нули). [_ :
Осталось научиться переходить от групп Е$<ч к груп-
группам Нт(С''). Для этого мы в первую очередь опишем
группы Е%ч непосредственно по группам С'4. При этом,
во избежание многочисленных оговорок, мы будем считать,
что группы С'9 определены и для отрицательных р, ц
и равны в этом случае нулю:
С>» = 0, если р<0 или q < 0.
По определению каждый элемент х группы Е^ явля-
является классом б-когомологий некоторого б-коцикла с(Е El'",
который в свою очередь является классом d-когомологий
некоторого d-коцикла с?Ср'ч. (В комплексе покрытия
U элемент с представляет собой^оцикл со значениями в
когомологиях, а_с получается из с выбором в каждом клас-
классе когомологий с(/г„, ...,kp) некоторого представителя.)
Таким образом, каждый элемент х 6 ?§•' задается_некото-
рым элементом с?Ср. Мы будем писать х = [с]а (и с = [с],).
Чтобы элемент [с]а был определен, необходимо, конеч-
конечно, чтобы dc = 0. Кроме того, элемент бс€С'+1>« должен
иметь вид dcy, где сг^.Ср+1~1 (чтобы элемент \c\1€.E'\;q
был б-коциклом). Впрочем, нам будет удобнее здесь за-
заменить d на d' и представлять бс в виде —d'cx (что, ко-
конечно, никакого принципиального значения не имеет).
Обратно, если dc = 0, то определен элемент [с]1( а если
6с = — d'cr, то б \с\у = 0 и, значит, определен элемент
[с]а. Таким образом, элемент [с]„ определен тогда и только
тогда, когда существует двучленная цепочка (с, сг) вида
о
F) d I в d'c = 0,

группы fP'4 359
Аналогично показывается, что [с]а = [с']а тогда и толь-
только тогда, когда существуют такие коцепи a ^Cp~Uq и
ЬЪС"'-1, что
da = 0 и с'—с=8а—-а"Ь;
схематически:
О
I
G) а-^с'-с
Ь.
С другой стороны, мы знаем (см. формулы G) преды-
предыдущей лекции), что коциклами комплекса С'1' (по отно-
отношению к оператору Ь) являются цепочки вида
О
с0
(8)
Cn-l
Cm—-0,
имеющие максимально возможную длину (кончающиеся
на нижней строке комплекса С''). Поэтому, если коцикл
(8) обладает тем свойством, что со = О, ..., ср_1 = 0, то
для его компоненты ср будет определен элемент [ср]2
группы Е%'т~р.
Таким образом, соответствие с i—*• [ся]2 определяет не-
некоторое отображение
(9) Zp- т~Р -+ Ер- т~Р,
где Zp'm~P—подгруппа группы b-коциклов Zm(C'') двой-
двойного комплекса С'1', состоящая из коциклов с —fa, ...
..., сп), для которых с0 = 0, ..., ср_1 = 0. При этом из опре-
определения оператора Ь (см. формулы F) предыдущей лек-
лекции) непосредственно следует, что если коциклы с =
=@, ..., 0, ср, ..., ст) {и с'={0 0, Ср, ..., 4)

360 группы
группы Zp<m~p когомологичны, то существует такая
очка (я„, аи ..., ар, 0, .... 0), что
из
цепочка
A0)
о
I
во-
d'ao--0,
—>
"I
Это отношение превращается в отношение, выражаемое
диаграммой G) при «0 = 0. • • •> Aр-г = 0, но в общем слу-
случае оно слабее отношения G). ^то вынуждает нас ввестм
в рассмотрение факторгруппу Ерг'т~р группы Ерг'т~р но
подгруппе всех элементов вида [8ap_i + d'ap]2 и композицию
/ii\ ур,т-р ~Бр.т~р
\и) 1> —*¦ с2
гомоморфизма (9) с гомоморфизмом факторизации ?§• т~р —>
—*Ер2т~р. Все кограницы, содержащиеся в Zp>m"p, гомо-
гомоморфизм A1), в отличие от гомоморфизма (9), переводит
в нуль и, значит, индуцирует некоторый гомоморфизм
где Fp-m-p—подгруппа группы Нт(С''), являющаяся
образом подгруппы ZP'm~p при гомоморфизме факториза-
факторизации Zm(C'') —+ Нт(С'!'), т. е. состоящая из классов ко-
гомологий [с], содержащих коцикл с вида @ 0,
Ср, ..., Ст).
Ясно, что при гомоморфизме A2) подгруппа Fp+i-'"-''- '
группы Fp-m-p переходит в нуль. Поэтому этот гомомор-
гомоморфизм индуцирует некоторый гомоморфизм
A3) /*.«•
С другой стороны, утверждение, что класс когомоло-
гий [c\€Fp-'"-p, с — {0, . . ., 0,ср, . . ., ст_р), переходит при

ПРИСОЕДИНЕННАЯ ГРУППА 361
гомоморфизме A2) в нуль, означает, что существует такая
цепочка а = {а0 ар, 0, ..., 0), что
0
Г
ppp
Cp-i-^c
Но тогда для коцикла с' = с—Ьа компонента ср будет равна
нулю, т. е. этот коцикл будет принадлежать подгруппе
%р+1,т-Р-1 Поскольку [с] = [с'], это доказывает, что под-
подгруппа Fp+1"n~p~1 является ядром гомоморфизма A2) и,
значит, что гомоморфизм A3) представляет собой моно-
мономорфизм.
Подгруппы Fp' m~P составляют ряд вложенных подгрупп
A4) Нт(С* ') = F0' m=>F1' т~1=>... э/7»1 о-эря+ь -1 = {0},
начинающийся со всей группы H"l(C'') = F°"n и кончаю-
кончающийся нулевой подгруппой Fmn' ~1 = {0}.
Здесь удобно ввести соответствующую общую терми-
терминологию.
Определение 4. Градуированной абелевой группой
называется произвольная последовательность
Н' = {Н\ Я1 Н>\ ...}
абелевых групп Нт. Фильтрацией градуированной груп-
группы #' называется такое семейство {Fp">} абелевых групп,
где —1 ^jd, q <C оо, что:
1) каждая группа Fp"i является подгруппой группы
2) для любого /и>0 имеют место включения
1' -1 = {0}.
Группой, присоединенной к градуированной группе Н'

362 ПРИСОЕДИНЕННАЯ ГРУППА
с фильтрацией, называется градуированная группа
Gr(#') = {Gr(tfm)}, для которой
A5) Gr (Hm) — F0' m/F1' m-1ffi ... (Т)/7"
Вообще говоря, группы*A5) еще не позволяют восста-
восстановить группы Нт, но если группа Нт является конечно-
конечномерным линейным пространством (а группы F?' т~Р—ее
подпространствами), то группа Grt(#m) изоморфна груп-
группе Нт. Действительно, в этом случае обе группы Н'" и
Gr (#'") являются конечномерными линейными простран-
пространствами одной и той же размерности (равной сумме раз-
размерностей факторпространств FP' *~р/рр+1> m~p~1t p =
= 0, ..., т), а мы знаем, что линейные пространства
одной и той же размерности изоморфны. [Чтобы построить
изоморфизм #'"—>-Gr(tfm) надо в каждом подпростран-
подпространстве Рр' т~Р выбрать подпространство RP' т~Р, дополни-
дополнительное к подпространству FP+l"n-P~1 (т. е. такое, что
рР, т-р ^рр+и m-p-i^ftP"»-?). Тогда
и отображения факторизации Fp""~p ч- Ff' m-p/Fp+1"n~p~1
индуцируют изоморфизмы Rp> т~Р —> FP<m~P/FP+1' т~р~1,
составляющие изоморфизм Н —»-Gr (#"')• (Заметим, что
изоморфизм Н —>¦ Gr (Hm) строится тем самым со значи-
значительным произволом, избежать которого в принципе
нельзя.)] Q
Замечание 3. Утверждение об изоморфизме линей-
линейных пространств Н и Gr (Hm) верно и без предположения
конечномерности, поскольку теорема о существовании для
любого подпространства дополнительного подпростран-
подпространства этого предположения не требует.
Действительно, пусть "У3 — произвольное линейное пространство.
Напомним (см. определение б лекции 1.2 и определение 4 лекции 1.3),
что семейство (множество) векторов пространства ^ называется ли-
линейно независимым, если любое его конечное подсемейство (подмно-
(подмножество) линейно независимо, и полным, если любой вектор простран-
пространства ^ является линейной комбинацией векторов некоторого конеч-
конечного его подсемейства (подмножества). Линейно независимое и полное
семейство векторов называется базисом. Ясно, что объединение любого
линейно упорядоченного по включению семейства (цепи) линейно
независимых подмножеств пространства f® линейно независимо.
Следовательно, по лемме Цорна (см. лекцию 10) в множестве всех
линейно независимых подмножеств пространства ^ существуют мак-

ПРИСОЕДИНЕННАЯ ГРУППА 363
симальные элементы. Поскольку каждый такой элемент является,
очевидно, полным подмножеством, этим доказано, что каждое линей-
линейное пространство "I/Ъ обладает базисом. При этом —по той же лемме
Цориа — каждое линейно независимое подмножество пространства "У3
содержится в некотором базисе. В частности, если f> — подпростран-
подпространство пространства *У>, то любой базис {ха} подпространства 5s со-
содержится в некотором базисе {дса, ур] всего пространства 'У3. Линей-
Линейная оболочка <? дополнительных векторов у„ и будет, очевидно, под-
подпространством пространства "У3, дополнительным к подпространству 3*.
Наша ближайшая цель будет состоять в вычислении
для градуированной группы Н' (С1') = {#'" (С*1")} с фильт-
фильтрацией A4) присоединенных групп A5). Для этого нам
надо, во-первых, охарактеризовать образ каждого гомо-
гомоморфизма (9), а во-вторых, описать переход от групп
?§•* к группам ??'". Мы займемся этим в следующей
лекции.

Лекция 23
Группы Er' q.— Спектральные последовательности.—
Спектральная последовательность двойного комплекса.—
Спектральная последовательность покрытия.
Продолжим изучение групп ?§•" для двойного квм-
плекса С#)' = {О<7; б, d).
Как мы знаем (см. предыдущую лекцию),
аа) Элемент [с]2 € Е%' ", с € Ср- ", определен тогда и только
тогда, когда dc = 0 и существует такая коцепь clt что
Ьс + &'сх = 0; схематически:
о
I
A) с —
сх.
При этом
б2) Равенство [с] = [с']2 имеет место тогда и только
тогда, когда существуют такие коцепи аи Ь, что а" а — 0
и с'—c=ba-\-d'b\ схематически:
о
B) а—ю' — с
I
Ь.
С другой стороны, элемент [с]2 тогда и только тогда
принадлежит образу гомоморфизма ZPi т~р —•- Ер т~р, когда
существует цепочка A), которую можно удлинить до це-
цепочки
о
I
с—>¦
C) •
bd' =0,

группы еР-i 365
длины q+\, опускающейся до нижней строки комплекса
С>'.
Таким образом, мы должны среди всех цепочек вида A)
отобрать цепочки, удлиняемые до цепочки вида C). Есте-
Естественно это делать, шаг за шагом удлиняя цепочку A).
Чтобы удлинить цепочку A) на один член, мы рассмот-
рассмотрим коцепь 6с1€С/;+*"?"'1
О
I
с—<-
I
Так как d8c1 = 8dc1*=±88c = 0 и б^с^О, то для ко-
коцепи 6ct имеет место диаграмма
о
I
бС1 —
о,
показывающая, что эта коцепь определяет некоторый эле-
элемент [бс^а g ??+2> ч-1. Так как коцепь сг в цепочке A)
может быть}заменена любой коцепью вида с\'=с1-\-а, где
d'a = 0, то коцепь 6ct определена с точностью до сла-
слагаемого 8а:
о
I
а—>б^— 6с(
0.
Это показывает (см. б2), что элемент [б^ не зависит от
выбора коцепи сг и однозначно определяется коцепью с.
Более того, если [с']2 = [с]2, т. е. (см. снова б2) если
0
т
а—><:' —с
t
Ь,
ТО
о

366
ГРУППЫ
где Ci—Ct + 8b, и потому 6ci = 6d. Следовательно, [6d]2
зависит только от [с]2, и, значит, формула
корректно определяет некоторое отображение
D) d2: ??• ч -
схематически:
7-/
Из определения отображения d2 и утверждения б2 не-
немедленно вытекает, что
в2) Равенство d2[a]2 = [c]2 равносильно существованию
цепочки вида
о
E)
b.
В частности, <22[с]а = 0 тогда и только тогда, когда
существует цепочка вида
О
t
F)
\
Но если имеет место E), то имеет место и F) с с, = О
и с2 = 0. Поэтому
G) d,od, = 0,
т. е. для любых р и q имеет место включение
где
р. ч = Кег {df: Ер- ч

ГРУППЫ ЕР' 1 367
— ядро отображения d2: ?§¦*—•- ??+2> "~1, а
B?-«=Im(d2: ?Г2> ?+1 — Ei'")
— образ отображения d2: ??""я> "+1 —»¦ ??• ". Мы положим
Для элемента [с]2 6 2?' * соответствующий элемент груп-
группы ?§• * (смежный класс [с]2 -|- В$-ч) мы будем обозначать
символом [с]3-
По определению элемент [с]3 определен тогда и только
тогда, когда определен элемент [с]2 и d2[c]2 = 0. В силу
второго утверждения в2 это означает, что
а3) Элемент [с]3€^§><?. с?Ср-4, определен тогда и
только тогда, когда существует цепочка вида
(8)
с2.
При этом, согласно первому утверждению в2,
б3) Равенство [с]3 = [с']3 имеет место тогда и только
тогда, когда существует цепочка вида
О
I
Ч\—»С' — С
Ь.
Для любой цепочки (8) коцепь 6с2 обладает тем свой-
свойством, что
О
6с2—>
0.
Поэтому определен элемент [6с2]2 ^ ?р+3' "~2, причем
d2[6c2]2 = 0,

368
группы
и, значит, определен элемент [6с2]3. Так как разность
двух цепочек вида (8) имеет вид
О
t
Oi-
t
то при изменении цепочки (8) к элементу [6с2]2 прибавляется
элемент [6rt2]2 = da[a1]2, и потому элемент [бс2], остается
прежним. Это означает, что формула
корректно определяет некоторое отображение
(9) d8: Z? « — ??+8' "-2-
Чтобы достичь здесь полной аналогии с предыдущим
случаем, мы заметим, что если [с]2 € Я§'", т. е. если
о
1
at—*
Oj—*-С,
то для с существует цепочка (8) с ct = 0 и с2 = 0. Следо-
Следовательно, d3 [с]2 = 0, и поэтому отображение (9) индуцирует
некоторое отображение
A0) d8: El" -* Е$+3- <>-*.
р+3
Из определения отображения A0) и утверждения б3
немедленно вытекает, что

группы ер< 1 369
в3) Равенство d3 [a]a = [c]a равносильно существованию
цепочки вида
О
Г
а—»¦
(И) *-*
Ь.
В частности, ds[c]3 = 0 тогда и только тогда, когда
существуют цепочки вида
О
I
с—<-
A2) <*->
Cj—v
t
Поскольку из A1) следует, что для коцепи с сущест-
существует цепочка A2) с ^ = 0, с2 = 0, с3 = 0 мы видим, что
подобно отображению d2 отображение d3 удовлетворяет
соотношению
и потому определены группы
Ер « = %
где
Продолжая процесс, мы для любого г ^2 получим
группы ЕРТ' 1, состоящие из элементов вида [с]г, где с?Ср* ?,
причем будут иметь место следующие утверждения:

370
ГРУППЫ
аг) Элемент [с]г определен тогда и только тогда, когди
существует цепочка вида
0
t
A3)
t
cr-v
бг) Равенство [с]г = [с']г имеет место тогда и только
тогда, когда существует цепочка вида
О
t
A4)
ar_2—>c'—с
Ъ.
Для любой цепочки'A3)Ълемент [fic,_i]r зависит только
от элемента [с]г, так что формула
корректно определяет некоторое отображение
A5) dr: Е?-о-+E?+r> i-r+1
Ц-Г+1
При этом

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 371
вг) Равенство
цепочки вида
В частности,
dr[d\r =
0
t
а—-
1
ч-
¦¦[с]г равносильно существованию
•
t
d. [с]. = 0 тогда
существует цепочка вида
Поэтому drodr
где
Z?'« =
В?' Ч т
и т. д.
0
Г
С у
Ci-
= 0, и,
Ег'Л
-- Im (dr:
'\
значит,
= Z?- "/Bj
: ?^.'?_+
?Р+г, <?+г-
—*-с
Ь.
и только тогда, когда
~*\
1
сг.
определены группы
• i
г / *
—*EP'q),
Построенный объект заслуживает специального опре-
определения.
Определение I. Спектральной последовательностью
(или, более точно, когомологической спектральной после-
последовательностью первой четверти) называется семейство
A6) {E?-";dr}
групп (или линейных пространств) ??•ч и гомоморфизмов
A7) dr: Ер-ч-

372
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
где г^2 и 0^р,<7<оо (впрочем, во избежание мно-
многочисленных оговорок удобно считать, что группы Ер- я
определены и для отрицательных р и q, причем ЕР'" = 0,
если р<0 или <7<0), обладающих тем свойством, что
для любого г > 2
A8) drodr = 0
и
A9) EP'+q1=ZP'"lBpr-q,
где
5?> " = Im (dr: ?Tr' ?+r -* ^?' ")
(согласно A8) имеет место включение В?- qcZ^ ", и, зна-
значит, факторгруппа A9) определена).
Гомоморфизмы A7) принято называть дифференциалами
спектральной последовательности A6).
Для каждого фиксированного г>2 группы ?{?•'
удобно располагать в таблицу вида
Ег:
с°. °
??'°
Эта таблица называется г-л< членом спектральной после-
последовательности A6).
Переход от таблицы Ег к таблице Ег+1 состоит из двух
шагов. На первом шаге («чистке») мы оставляем в каждой
клетке (p,q) лишь элементы, переходящие при дифферен-
дифференциале A7) в нуль. Этот шаг не меняет содержимого
клетки (р, q), когда клетка (p+r, q—г+ 1), в которую
бьет дифференциал A7), содержит только нуль. Так как
клетка (p + r, q—г Л- 1) расположена на г—1 рядов ниже
клетки (р, q), то в клетке (р, q) чистка заведомо прекра-
прекращается, поэтому на дифференциале dq+l:

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 373
Второй шаг («сокращение») состоит в том, что очищен-
очищенное содержимое клетки (р, q) факторизуется по подгруппе
элементов, приходящих из клетки (р—г, q-^r— 1), рас-
расположенной на г столбцов левее. Поэтому этот шаг не
меняет содержания клетки (р, q), когда р—г < О, т. е.
при г^рАг 1:
Таким образом, для любых р и q начальное содержи-
содержимое Е%- * клетки (р, q), постепенно уменьшаясь при уве-
увеличении г, рано или поздно стабилизируется, т. е. сущест-
существует такое Го ^2 (а именно, /¦„ = max (/?-}- 1, q + 2)), что
pp. ч pp. ч _
Мы положим
pp. ч pp. ч
Согласно A9) каждый элемент у группы Ер-q является
образом некоторого элемента группы Ерг'_1 (принадлежа-
(принадлежащего подгруппе Zfif), который в свою очередь является
образом некоторого элемента группы Е%1 (принадлежа-
(принадлежащего прообразу в Ер<_% подгруппы ZpLf) и т. д. Тот факт,
что в результате этого попятного движения мы доходим до
элемента х группы ЕР-q, записывается формулой у = [х]г.
При г = гй вместо [я], мы будем писать [#]«,. (Таким
образом, для элементов [с]г построенной выше по двойному
комплексу спектральной последовательности символ [л:]г
будет иметь то же значение, что и символ [с]г, где с —
такая коцепь, что х = [с]г.)
Если для Элемента x^E^q элемент [х]г определен, то
говорят, что элемент х доживает до Ег. Элемент х тогда
и только тогда доживает до Ег+1, когда он доживает до ЕТ
и d[x]r =
Уд
'добно (особенно в устных, неформальных обсужде-
обсуждениях) считать каждый дифференциал dr частичным и мно-
многозначным отображением из E\*q в E$+r-q-r+1. [Эпитет
«частичный» означает, что на самом деле dr определен
только на некоторой подгруппе группы Ер-q (а именно,
на подгруппе элементов, доживающих до Ег). а эпитет
«многозначный»—что значения дифференциала dr принад-
принадлежат на самом деле не группе EP+r> q-r+1t а некоторой
ее факторгруппе (или, точнее говоря, некоторой подгруппе
этой факторгруппы).] Соответственно этому элемент dr [x]r
обычноУобозначается символом drx. Он определен тогда
и только тогда, когда йгх=0, ..., dr_i*=O.

374 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДВОЙНОГО КОМПЛЕКСА
Если drx = 0, то элемент х называется циклом диффе-
дифференциала dr. В частности, если drx = 0 при любом г^2,
то элемент х называется циклом всех дифференциалов.
Это имеет место тогда и только тогда, когда определен
элемент [х]„ (элемент х доживает до Е„).
Циклы всех дифференциалов образуют подгруппу Z&q
группы Eg-q. Группа ?&' является эпиморфным образом
группы Zg;' при отображении
х*-+[х]т, x?Z*4.
Таким образом, если B%q — ядро этого отображения, то
для любых р и ц.
Вернемся теперь к двойному комплексу С"-' =
— {С-ч; б, d}. Поставленные в конце предыдущей лекции
задачи — охарактеризовать образ гомоморфизма
B0) Z* " -* Ер- о
и ядро эпиморфизма
B1) ЕР'4—*^-"
— тривиальным образом решаются в терминах построенной
по этому комплексу спектральной последовательности
{Ep'q\ dr). Действительно, по определению элемент я = [с]2
группы ?§•' тогда и только тогда принадлежит образу
гомоморфизма B0), когда для коцепи с существует це-
цепочка вида C), т. е. (см. утверждение вг) когда элемент*
является циклом всех дифференциалов. Следовательно,
образом гомоморфизма B0) является подгруппа Z^".
Аналогично, ядро эпиморфизма B1) состоит из элемен-
элементов [с]2, для которых существует цепочка
о
t
at

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДВОЙНОГО КОМПЛЕКСА
375
длины р+1, начинающаяся в первом столбце комп-
комплекса С". Поскольку, как показывает непосредственное
сравнение определений, это в точности элементы под-
подгруппы Б& ч, этим доказано, что
Следовательно, EpdQ'с EP><f и мономорфизм A3) лек-
лекции 22 представляет собой изоморфизм факторгруппы
pp.m-pjfp+i.m-p+i Ha группу ЕР;".
Таким образом, группа Gr (Я™ (Cv)), присоединенная
к группе Нп(С'-'), является прямой суммой групп, рас-
расположенных на т-й антидиагонали таблицы Е„:
Ceo
c-i, m-1
Coo
...
...
r?tn, о
Coo
...
Gr (Я (С'-')) =
lim
0 ?"• °.
Определение 2. Пусть Я'= {Я}—градуированная
группа с фильтрацией
fjm =.f0, т—у fit m-1—j __ ^Fm> ° ^Fm+1> -1 = {0}.
Говорят, что спектральная последовательность {??•«; dr}
сходится к группе Я*, и пишут
если
для любых р и q.

376 СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОКРЫТИЯ
В силу этого определения все произведенное исследо-
исследование мы можем теперь резюмировать в следующей окон-
окончательной теореме:
Теорема 1. Для любого двойного комплекса С'-' ¦-¦
= {О1; 8, d} существует такая спектральная последова-
последовательность {??•?; dr}, что
Эта теорема фактически была известна Лере (хотя явно
он ее, по-видимому, не формулировал).
Следствие 1. Для любого нумерируемого покрытия \\
хаусдорфова гладкого многообразия 3? существует такая
спектральная последовательность
B2) {E?-";dr},
что
B3) ?^
B4) Epr-q=S>Hm&. U
Как мы уже отмечали, для вычисления групп B3) до-
достаточны сведения, содержащиеся в пп. а и б на стр. 355,
и, значит, эти группы мы можем считать известными.
Важно отметить, что никакая другая информация о спект-
спектральной последовательности B2) нам, как правило, недо-
недоступна. В частности, в общем случае мы ничего не можем
сказать о том, как действуют дифференциалы dr (за исклю-
исключением того, что из клетки (р, q) они бьют в клетку
(p-f г, ц—г + 1)), или о том, каковы фильтрующие под-
подгруппы Fp- ч. Короче говоря, единственно, что мы знаем
и чем можем пользоваться,— это голый факт существова-
существования спектральной последовательности B2) с начальным
членом B3), обладающей свойством B4).
Удивительно, что во многих интересных и важных
ситуациях этой информации оказывается достаточно!
(Впрочем, если подумать, что этот факт теряет почти всю
свою таинственность — просто ситуации, где этой инфор-
информации недостаточно, настолько безнадежны, что они теряют
статус важных и интересных.)
Пример 1 (продолжение примера 1 лекции 22).
Как было показано в примере 1 лекции 22, для спект-

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОКРЫТИЯ 377
ральной последовательности двухэлементного покрытия
{U, V} сферы §" член Е2 имеет вид
л-1
R
R
Поэтому все дифференциалы dr действуют либо из клетки,
либо в клетку, содержащую лишь нуль. Поэтому они все
равны нулю и, значит, Е2 = Е„. (Обладающая этим свой-
свойством спектральная последовательность называется вырож-
вырожденной.) Таким образом, все антидиагонали таблицы Еп
состоят только из нулей, за исключением нулевой и л-й,
которые содержат по одной группе R. Поэтому
{ R, если т = 0 или т — п,
( 0 в противном случае.
Конечно, это то же самое вычисление, что и в лек-
лекции 20, лишь изложенное с достигнутой нами теперь
высоты.
Пример 2. Если покрытие U является покрытием
Лере, то ??•" = () и, тем более, ?§•" = () при ц > 0.
Поэтому снова спектральная последовательность покрытия
вырождается и
НтЖ = Е^°.
С другой стороны, ясно, что в рассматриваемом случае
комплекс {?'• °; б*} является не чем иным, как коцепным
комплексом С A1; R) покрытия Ц и, значит,
?!».»= Я"»(U; R) для любого т>0.
Тем самым мы снова получаем теорему 1 лекции 22, кото-
которая оказывается, таким образом, тривиальным частным
случаем следствия I.

Лекция 24
Компактно исчерпываемые и паракомпактные топологи-
топологические пространства.— Паракомпактиые многообразия.—
Интегралы в R".— Кубируемые множества и плотности
в произвольных многообразиях.— Интегрирование плот-
плотностей.
Аналитические методы вычисления групп когомологий
требуют предварительного построения на многообразиях
интегрального исчисления. Мы начнем это построение
с изложения необходимых сведений из топологии.
Напомним (см. определение 5 лекции 14), что тополо-
топологическое пространство & называется локально компакт-
компактным, если любая его точка обладает окрестностью U,
замыкание U которой компактно.
Ясно, что любое хаусдорфово многообразие $" локально
компактно. (Для нехаусдорфовых многообразий это уже
не так; например, нехаусдорфова прямая с особой точкой
бесконечной кратности не является^локально компактным
пространством.)
Легко видеть также, что если пространство SC удов-
удовлетворяет второй аксиоме счетности, локально компактно
и хаусдорфово, то в нем существует счетная база {?/,},
замыкания U,• всех элементов которой компактны. (Для
доказательства достаточно отобрать в произвольной счет-
счетной базе пространства SV множества с компактными замы-
замыканиями. Контрольный вопрос: Зачем нужно тре-
требование хаусдорфовости?)
Определение 1. Топологическое пространство & назы-
называется компактно исчерпываемым, если оно является
объединением такой возрастающей последовательности
открытых множеств (называемой компактным исчерпанием
пространства Ж), что замыкание 0„ каждого множества 0„
компактно и содержится в 0п+1.
Предложение 1. Каждое хаусдорфово локально ком-
компактное и удовлетворяющее второй аксиоме счетности
топологическое пространство Ж компактно исчерпываемо.
Доказательство. Пусть {(/,., l^i<oo} — счет-
счетная база пространства Ж, состоящая из множеств с ком-
компактными замыканиями. Положив 0l = U1, предположим,

КОМПАКТНО ИСЧЕРПЫВАЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 379
что для некоторого л ^2 множество 0„_х уже построено.
Поскольку множества U. покрывают SC (а множество 0n_t
компактно), существует такое / ^ 1 (которое для опреде-
определенности можно выбрать наименьшим), что On_tcUt[} ...
... и Uj. Мы положим 0„ = Ut U • • • U У/. Тем самым
множества 0„ по индукции будут построены для всех
п^1, и ясно, что они составляют компактное исчерпание
пространства &. П
В частности, мы видим, что любое хаусдорфово много-
многообразие, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, ком-
компактно исчерпываемо.
Определение 2. Открытое покрытие {Ua} топологи-
топологического пространства Я" называется локально конечным,
если любая точка р$.% обладает окрестностью, пересе-
пересекающейся лишь с конечным числом элементов этого
покрытия.
Напомним (см. определение 1 лекции 8), что покры-
покрытие {Ua} пространства $" вписано в покрытие {Vp}, если
для любого а существует такое Р, что f/acVp.
Предложение 2. Если хаусдорфово пространство %
компактно исчерпываемо, то для любого его открытого
покрытия {Vp} существует вписанное в него локально
конечное покрытие.
Доказательство. Пусть {О,,} — произвольное ком-
компактное исчерпание пространства ?. Для каждого п ^ 1
множества Vg = (On+3\O,,_i)n Vp (условно считаем, что
Оо=0) составляют откры-
открытое покрытие множества
On + i\On. Поскольку мно-
множество Оп+1\О„ компактно
(почему?), из этого покры-
покрытия можно выбрать конеч-
конечное подпокрытие (Ур,,...
-Так как мно-
множества Оп+1\Оп покрыва-
покрывают Ж, то все множества
вида Vp., 1<п< оо, 1 <
<i < т (п), составляют покрытие пространства SV, очевидно,
вписанное в покрытие {Vp}, а так как каждое множество Ok
не пересекается с множествами Vp. с п > k (и, значит,

380 ПЛРАКОМПЛКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
пересекается лишь с конечным числом множеств вида Vp
n^k), то покрытие {V^.} локально конечно (для любой
точки p?.SV существует такое k, что р?Ок и, значит>
множество Ок является окрестностью этой точки, пересе-
пересекающейся лишь с конечным числом элементов покры-
тия {Vnp.}). П
Замечание 1. В общей топологии топологическое
пространство SV называется паракомпактным, если в лю-
любое его открытое покрытие можно вписать локально конеч-
конечное покрытие. В этой терминологии предложение 2 озна-
означает, что любое хаусдорфово компактно исчерпываемое
пространство паракомпактно.
Для случая, когда % является гладким многообразием,
предложение 2 можно уточнить.
Будем называть открытое покрытие {Ua} гладкого
многообразия SV компактно нумерируемым, если сущест-
существует такое подчиненное ему разбиение единицы {ti,x}, что
т]а=0 вне некоторого компактного множества Сас:%'.
Предложение 3. В любое открытое покрытие {Кр}
гладкого хаусдорфова многообразия SV, удовлетворяющего
второй аксиоме счетности, можно вписать локально ко-
конечное компактно нумерируемое покрытие {?/<*}•
Доказательство. Поскольку, согласно предложе-
предложению 1, многообразие SV компактно исчерпываемо, к нему
применимо предложение 2. Пусть {Vp.} — покрытие, по-
строешюе при доказательств предложения 2. Для любой
точки p?V%. существует содержащаяся в Kg. координат-
координатная окрестность UPi ,-,„ этой точки с компактным замы-
замыканием Uр, Л ,,. Согласно предложению 2 лекции 14 су-
существуют такие открытые множества У/,,,-, „ и Wpttyll, что
of W W ¦ aV ~V aU ¦
и пара (Ур>;,п, Wpt[tn) обладает функцией Урысона.
Для каждого фиксированного i все множества вида
Wp,,-,,, образуют открытое покрытие компактного мно-
множества Оп+1\Оп. Выбрав в этом покрытии конечное под-
подпокрытие и сделав это для всех i, обозначим выбранные
множества Wp<i<n через Wa. Пусть Va и Ua—соответ-
Ua—соответствующие множества VPti< „ и Up<i<n.
По построению

Г1Л1'ЛК0МПЛКТЫЫЕ МНОГООЬРАЗИЯ 381
а) для любого а имеют место включения
Wa<=Va, Vac:Ua,
гфичем _множество Ua (а значит, и каждое из множеств
W« и Уа) компактно;
б) для каждой пары (Va, Wa) существует функция
Урысона
(обладающая — напомним — тем свойством, что <ра = 1
на Wa и фа = 0 вне Va);
в) семейство {№а}, а значит, и каждое из семейств
{Va} и {На.} является открытым покрытием простран-
пространства SV (очевидно, локально конечным и вписанным в по-
покрытие {Vp}).
Так как покрытие {Va} локально конечно, то семей-
семейство функций {фа} также локально конечно. Поэтому
определена функция
Так как ф„ =¦- 1 на Wa и фа^0 на 5, то ф>1 на J"
и, в частности, ф=^=0 на SC. Поэтому определены функ-
функции
Функции х\а составляют разбиение единицы, подчиненное,
очевидно, покрытию_ {Ua}. Поскольку ца = 0 вне ком-
компактного множества Va, этим доказано, что покрытие {Ua}
компактно нумерируемо. Поскольку это покрытие ло-
локально конечно и вписано в покрытие {V^}, предложе-
предложение 3 тем самым полностью доказано. ?
Следствие 1. Каждое открытое покрытие {V$ } глад-
гладкого хаусдорфова многообразия S", удовлетворяющего вто-
второй аксиоме счетности, нумерируемо.
Доказательство. В силу предложения 3 доста-
достаточно показать, что покрытие {V^} нумерируемо, если
в него вписано нумерируемое покрытие {?/„}. Выбрав для
каждого индекса а такой индекс Р(а), что Uac:V${„,),
рассмотрим разбиение единицы {%}, подчиненное по-
покрытию {Uа]. Пусть
tfi = 2 Ла,

382 ПАРАКОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
где'суммирование распространено на все а, для которых
Р(а) = р. (Если таких а нет, то ?з = 0.) Ясно, что функ-
функция ?р определена и неотрицательна. Кроме того, так
как ?р (р) ф 0 только тогда, когда существует такое а,
что р = Р(а) и Щп(р)фО, то семейство функций {?р} ло-
локально конечно, а так как каждая функция т)а входит
слагаемым в одну и только одну функцию ?р, то
22
Наконец, если p^Ve, то p&Ua для всех а с Р(а) = р,
и, значит, т)<х(р) = 0. Следовательно, ^(р) — 0. Таким
образом, {?Л является разбиением единицы, подчиненным
р { р
покрытию {кр}. Поэтому это покрытие нумерируемо. ?
Следствие 1 означает, что любое гладкое хаусдорфово
многообразие, удовлетворяющее второй аксиоме счетности,
паракомпактно. Это утверждение составляет содержание
теоремы 2 лекции 22, которую тем самым мы можем
теперь считать доказанной.
Замечание 2. Можно показать—это трудная тео-
теорема!—что каждая компонента локально компактного и
метризуемого пространства удовлетворяет второй акси-
аксиоме счетности. С другой стороны, в следующем семестре
мы покажем, что любое паракомпактное и хаусдорфово
гладкое многообразие метризуемо. Поэтому в классе связ-
связных и хаусдорфовых гладких многообразий паракомпакт-
паракомпактность равносильна второй аксиоме счетности.
Замечание 3. Согласно предложению 3 каждое
хаусдорфово гладкое многообразие, удовлетворяющее вто-
второй аксиоме счетности, паракомпактно как топологичес-
топологическое пространство (см. выше замечание 1). Поскольку
топологическое пространство тогда и только тогда пара-
компактно, когда паракомпактна каждая его компонента,
отсюда, ввиду сказанного в замечании 2, немедленно
вытекает, что хаусдорфово паракомпактное многообразие
паракомпактно и как топологическое пространство. С дру-
другой стороны, несколько усложнив доказательство предло-
предложения 3, можно показать, что заключение этого предло-
предложения (а значит, и следствия 1) остается в силе и для
любого хаусдорфова гладкого многообразия, которое пара-
компактно как топологическое пространство. Следова-
Следовательно, хаусдорфово многообразие тогда и только тогда
паракомпактно, когда оно паракомпактно как топологи-
топологическое пространство.

ИНТЕГРАЛЫ В R" 383
Замечание 4. Понятие нумерируемого покрытия,
конечно, немедленно переносится на любые топологиче-
топологические пространства (достаточно в определении разбиения
единицы гладкие функции заменить непрерывными), и
легко видеть, что если в топологическом пространстве %
любое открытое покрытие нумерируемо, то пространство
паракомпактно (поскольку для каждого разбиения еди-
единицы {т)а} множества 0а = {р&&; г\а(р)ф0} составляют
локально конечное открытое покрытие, вписанное в лю-
любое покрытие, которому подчинено разбиение {г\а }). Инте-
Интересно, что в классе хаусдорфовых пространств верно и
обратное утверждение, т. е. в хаусдорфовом паракомпакт-
ном пространстве каждое открытое покрытие нумери-
нумерируемо. [Заметим, что утверждение замечания 3 для глад-
гладких многообразий отсюда еще непосредственно не следует,
поскольку нумерируемые открытые покрытия гладкого
многообразия априори составляют лишь часть его нуме-
рируемых открытых покрытий как топологического про-
пространства.] Доказательство этого утверждения отнюдь не
просто и опирается на целый ряд трудных теорем общей
топологии. В первую очередь требуется теорема У ры-
сона, утверждающая, что в хаусдорфовом нормальном
пространстве для любой пары (V, W) открытых множеств,
удовлетворяющих соотношению WcV, существует непре-
непрерывная функция, равная единице на W и нулю вне V,
а также предложение 3 лекции 4 о существовании сжа-
сжатий (которое у нас доказано—напомним —лишь частично).
С помощью этих двух теорем уже без особого труда доказы-
доказывается, что в хаусдорфовом нормальном пространстве любое
локально конечное открытое покрытие нумерируемо. После
этого остается лишь доказать (также непростую!) тео-
теорему Дьедонне, согласно которой каждое хаусдорфово
паракомпактное пространство нормально.
Теперь мы уже можем приступить к построению ин-
интегрального исчисления на гладких многообразиях.
Напомним из курса анализа, что множество А пространства R"
называется нуль-множеством в смысле Жордана (илн множеством
объема 0), если для любого е > 0 существует конечное семейство
шаров (нли, что равносильно, кубов или параллелепипедов) прост-
пространства R", покрывающих А, общнй объем которых < е. (Ср. сопре-
делением нуль-множеств в смысле Лебега в лекции 14, в котором
допускаются счетные семейства.)

384 ИНТЕГРАЛЫ В R"
Подмножество DcRn называется кубируемым (или измеримым
в смыс/ie Жордана), если оно ограничено (т. е. его замыкание D ком-
компактно) и его граница FrD является иуль-миожеством. (Границей
Ft D подмножества D топологического пространства называется мно-
множество 5\IntD.)
Во избежание многочисленных оговорок, мы будем предполагать,
что все рассматриваемые функции определены иа всем пространстве R".
Это предположение ие уменьшает общности, поскольку каждую фуик -
цию /, определенную иа подмножестве DdRn, мы можем без измене-
изменения интеграла продолжить нулем вие D, т. е. считать, что f(x)=0
при x(?D.
Функцию f: Rn -*¦ R мы будем называть финитной, если сущест-
существует такое компактное множество CdRn, что / — 0 вие С, локально
ограниченной, если иа любом компактном множестве CcR™ этафунк.
ция ограничена, и почти непрерывной, если для любого компактного
множества CcRn функция / непрерывна иа С вие некоторого нуль-
нульмножества, т. е. если существует такая непрерывная иа С функция f с
и такое нуль-множество АсС, что f = fc иа С\А.
Из курса анализа известно, что любая локально ограниченная и
почти непрерывная функция f интегрируема по каждому кубируемому
множеству D, т. е. существует конечный интеграл
0)
При этом интеграл A) не изменится, если мы произвольным образом
изменим функцию f на некотором иуль-миожестве или прибавим, или
отнимем от множества D произвольное иуль-множество.
[Здесь мы имеем в виду интеграл в смысле Римана. Если пони-
понимать интеграл A) в смысле Лебега, то требование кубируемости мно-
множества D можно заменить требованием его измеримости. Однако
в этом обобщении мы не нуждаемся.]
В случае, когда функция f финитна, интеграл A) для каждого
кубируемого множества D, вне которого f равна нулю, имеет одно и
то же значение. Это общее значение мы будем называть интегралом
от f no Rn и будем обозначать символом
(*) dx
R"
или символом
B)
опуская указание на R".

КУБИРУЕМЫЕ МНОЖЕСТВА И ПЛОТНОСТИ 385
Так как для любого кубируемого множества D н любой интегри-
интегрируемой по D функции f имеет место равенство
$ - J (fXD)(x)dx, ' ,
D R«
где id — характеристическая функция множества D, задаваемая фор-
формулой
\ 1, если х ? D,
| 0> еслн*§?О,
то, следовательно, при желаннн можно обойтись лишь интегралом
вида B).
Если U и V — открытые подмножества пространства R", то для
любого гладкого отображения ср: U -*¦ V н любого нуль-множества
AczU множество срЛ также является нуль-множеством. [Приведенное
в лекции 14 доказательство этого факта для нуль-множеств в смысле
Лебега дословно сохраняется и для нуль-множеств в смысле Жордана.]
Отсюда следует, что для любого кубнруемого множества Dall, обла-
обладающего тем свойством, что DcU, множество yDciV также кубн-
руемо. В частности, это верно, когда ср является диффеоморфизмом.
Более того, как доказывается в анализе, в этом случае для любой
интегрируемой по множеству ф?> функции f функция (fo<p) | /ф |, где
C) ^ = detJ-|^_J|. 1 = 1=1 п.
— якобиан диффеоморфизма ср, интегрируема по D, и имеет место
равенство
D) J f(*)d*=$(fo«p)|/,|(*)«te.
фО D
Это утверждение известно как теорема о замене перемен-
и ы х. Для интегралов вида B) формула D) имеет вид
E)
где f — произвольная финитная интегрируемая функция, равная нулю
пне множества V, a /q> — в соответствии с принятым выше соглаше-
соглашением—якобиан C), продолженный нулем вне множества U.
Чтобы построить теорию интегрирования на гладком
многообразии J" (которое мы будем предполагать хаус-
дорфовым и паракомпактным), надо в первую очередь
определить в & кубируемые подмножества.
Это делается без всякого труда.
Определение 3. Подмножество А гладкого п-мерного
многообразия SV называется нуль-множеством, если суще-
'3 М. М. Постникоо, сем. III

386 КУВИРУЕМЫЕ МНОЖЕСТВА И ПЛОТНОСТИ
ствует такое конечное семейство карт (?/,, Л,), ...
..., ((/л., /гАг), что Ac U Ui и для каждого i = 1, ..., N
множество /!,• (Л П ?/,•) является нуль-множеством в R"
(ср. определение 3 лекции 14). Подмножество Dc.%'
называется кубируемым, если его замыкание D компактно,
а граница
FrD = D\lntD
является нуль-множеством.
Задача 1. Докажите, что если А тогда и только тогда явля-
является иуль-миожеством, когда для любого конечного семейства карт
(U\, hi), ..., (Un, hjv), покрывающего множество А (т. е. такого,
что Ac[)Ui), все множества h;(A[)Ui), K/<iV, являются нуль-
нульмножествами в R".
С выражениями под знаком интеграла ситуация ока-
оказывается более деликатной. Чтобы интеграл не зависел
от выбора локальных координат, нужно, чтобы при за-
замене координат подинтегральное выражение преобразо-
преобразовывалось в соответствии с формулами D) или E). Это
приводит к следующему определению:
Определение 4. Пусть в каждой карте (V, h) много-
многообразия X определена некоторая функция р<с/-л>: V —»-R
(которую в дальнейшем мы будем короче обозначать че-
через р^), и пусть для любых двух пересекающихся карт
(U, h) и (V, k) имеет место равенство
F)
'— «у
det
dk
Ж
на U'nV,
где det-Tj- — якобиан диффеоморфизма ($ = koh~1 ( интер-
интерпретированный как функция на U ()V zl U, т. е. связанный
с его якобианом /ф в R" формулой det-^т- = J4,oh). Тог-
Тогда семейство {ри} называется плотностью на SC.
Пример 1. Произвольная дифференциальная форма м
степени п на многообразии % (где, как всегда, я — dim.%')
в каждой карте ((/, h) = (U, x1, ..., х") имеет вид
© = wu dx1 Л • • • Л dxn,
где wu—некоторая гладкая функция на U. При этом
для любых двух карт ((/, К) и (V, k) соответствующие
функции wu и wv связаны формулой
wv = wu det-|^- на U[\V.'

КУБИРУЕМЫЕ МНОЖЕСТВА И ПЛОТНОСТИ 3#7
Следовательно, положив ри— \wu \, мы определим на %
некоторую плотность.
Плотность р = {ру} называется гладкой, если все функ-
функции ри гладки, локально ограниченной, если функции
ри локально ограничены, и почти непрерывной, если все
функции ри почти непрерывны.
Все локально ограниченные и почти непрерывные плот-
плотности на многообразии SC образуют линейное простран-
пространство WSC, естественным образом являющееся модулем над
кольцом всех локально ограниченных и почти непрерыв-
непрерывных функций на SC. Аналогично, линейное пространство
II^J" всех гладких плотностей является модулем над
кольцом гладких функций.
Мы будем говорить, что в точке р ? X плотность р
равна нулю (соответственно положительна), если для любой
координатной окрестности U, содержащей точку р, имеет
место равенство ри (р) — О (соответственно неравенство
ри(р)>0). Поскольку функция det-^- нигде не обраща-
обращается в нуль, из соотношения F) следует, что это опре-
определение корректно (не зависит от выбора координатной
окрестности U).
[Заметим, что о значении плотности р в точке р
говорить бессмысленно.]
Плотность на многообразии X называется финитной,
если существует такое компактное множество Сс&, что
р = 0 вне С. Все финитные плотности образуют подпро-
подпространство (подмодуль) П""^ пространства (модуля) WS.
На компактном (и только на компактном!) многообразии &
каждая плотность финитна.
Плотность, положительная в каждой точке р?&, на-
называется плотностью объема на SC. По традиции для
плотности объема используется обозначение do. Для каж-
каждой плотности р формула
(при данной плотности объема dv) корректно определяет
на SC функцию /, обладающую тем свойством, чтор—fdv
па S'. Следовательно, если на многообразии SC сущест-
существует гладкая плотность объема, то линейные простран-
пространства \Ш' и\\лЗ? являются одномерными свободными моду-
модулями (над кольцом локально ограниченных и почти не-
прерывных функций и соответственно над кольцом глад-
п*

388 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ
ких функций). [Их же подмодули, состоящие из финит-
финитных плотностей, не будут, вообще говоря, ни свобод-
свободными, ни одномерными.]
При заданной плотности объема интеграл
\dv
D
называется объемом кубируемого множества D.
Пример 2. Пусть SC—двумерное подмногообразие
евклидова пространства (поверхность). Тогда (см. лек-
лекцию 3) в каждой координатной окрестности U' аЗС (яв-
(являющейся элементарной поверхностью в смысле опреде-
определения 2 лекции 3) определены функции Е, F и G (коэф-
(коэффициенты первой квадратичной формы), обладающие тем
свойством, что при преобразовании координат определи-
определитель
Е
умножается на квадрат определителя матрицы перехода.
Поэтому формула
задает на SV некоторую плотность объема (или, лучше
сказать, площади). Эта плотность обозначается симво-
символом da (или как-нибудь похоже, например dS) и назы-
называется элементом площади поверхности ЗС. (Ср. лекцию 3.)
Задача 2. Докажите, что на каждом хаусдорфовом параком-
пактном гладком многообразии SC существует гладкая плотность
объема do.
Таким образом, на хаусдорфовом паракомпактном
многообразии плотности можно, выбрав некоторую плот-
плотность объема, отождествлять с функциями.
Теперь мы уже можем сформулировать основную тео-
теорему о существовании и единственности интеграла. Мы
сделаем это даже в двух вариантах.
Пусть X—гладкое хаусдорфово паракомпактное мно-
многообразие.
Теорема 1. Для каждого кубируемого множества
существует единственный линейный функционал
G) J: mr—R,
и
обладающий следующими двумя свойствами:

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ 389
а) Если D^D^JDi (т. е. если D = D1(jAL и Dt n
Ц, = 0). то
любой плотности р^ГТ^.
б) Если для плотности р 6 П^' существует такая карта
(U, И), что р = 0 вне U, то
(p"oft-')(jr)djr,
где справа—интеграл e.lR'.
Теорема 1а. Существует единственный линейный функ-
функционал
(8) J: nfin^-^R,
обладающий тем свойством, что
(9)
любой карты (U, И) и любой финитной плотности р,
равной нулю вне U.
Функционал (8) обозначается также символом ]
SC
Чтобы вывести теорему 1а из теоремы 1, достаточно
для любой плотности рб!1Пп^ положить
(Ю) • $Р=$Р,
где D—произвольное кубируемое множество, вне кото-
которой плотность р равна нулю. (Ясно, что такое множество
существует и что интеграл A0) от его выбора не зависит.)
Обратно, так как для любой плотности рбП^ и любого
курируемого множества DaSV плотность ХоР> рДе Xd~~
характеристическая функция множества D, является, оче-
очевидно, финитной локально ограниченной и почти непре-
непрерывной плотностью, то, положив
мы по интегралу (8) построим интеграл G). (Свойство б
для последнего интеграла очевидно, а свойство а вытекает

390
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ
из того, что tDiuD =Xo1+ %d,-) Таким образом, теоремы 1
и 1а вытекают одна из другой, и потому в доказатель-
доказательстве нуждается только одна из них. Мы докажем тео-
теорему 1а.
Доказательство теоремы 1а. Как всегда, до-
докажем сначала единственность.
Так как многообразие Ж по условию хаусдорфово
и паракомпактно, то оно обладает нумерирусмым локально
конечным покрытием {Ua}> состоящим из координатных
окрестностей. Пусть {х\а}—разбиение единицы, подчинен-
подчиненное покрытию {Ua}. Тогда для любой плотности р^ППп^
лишь конечное число плотностей riap будет отлично от
нуля (докажите!) и, значит, будет иметь место формула
Поскольку Tiap =
(9)), что
(И)
вне Ua, отсюда следует (см. формулу
2 I
где ha—координатное отображение Ua —> R". Поскольку
правая часть формулы A1) не зависит от выбора функ-
функционала (8), это доказывает его единственность.
Для доказательства существования мы определим
функционал (8) формулой A1). Ясно, что этот функцио-
функционал линеен. Кроме того, если р = 0 вне U, то, согласно
теореме о замене переменных (см. формулу D)),
а1) (X) UX = \
h (Uat\U)
где ф = /ю/г~1. Так как по определению
(^pUaoh~')\Jlf\(x)dx,
1 i d'< 1
(let -77- o}

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ 391
(см. формулу F)), то, следовательно,
= J DxPUoh~i)(x)dx
It (У)
и, значит,
a h(U)
ft (t/) h(?/)
Если на многообразии Ж задана плотность объема do,
то для любой финитной локально ограниченной и почти
непрерывной на Ж функции / определен интеграл
называемый интегралом, от f no Ж относительно do.
Пример 3 (продолжение примера 2). Для
любой финитной (и, скажем, гладкой) функции / на по-
герхности & евклидова пространства определен интеграл
A2) J fda,
где da—элемент площади на ?С (см. выше пример 2).
Интегралы вида A2) называются поверхностными инте-
интегралами первого рода. В курсе анализа показывается,
что они являются пределами естественным образом опре-
определяемых интегральных сумм, возникающих при разбие-
разбиении поверхности на большое число (в дальнейшем устрем-
устремляемое к бесконечности) элементарных площадок.
[Ср. сделанные в лекции 3 замечания об измерении
площадей на поверхности.]
Пример 4. Пусть у: [а, Ь\—<-R" — произвольная
гладкая кривая в евклидовом пространстве R", не под-
подчиненная, вообще говоря, никаким требованиям регуляр-
регулярности, т. е., иными словами, произвольная гладкая вектор-
функция
r = r(t), а</</>
(см. лекцию 1). Для любой функции / = /(г) на R", об-
область определения которой содержит носитель у [а, Ь]

392 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ
кривой у, мы положим
Ь
A3) lfds=\f(r(t))\r'(t)\dt.
V а
Этот интеграл называется криволинейным интегралом
первого рода от функции / по кривой у. Он является
пределом интегральных сумм вида 2 / (ri) si* гДе s< —
длины отрезков произвольного разбиения кривой у, а г,—
некоторые их точки. В силу введенных выше общих опреде-
определений этот интеграл представляет собой интеграл по глад-
гладкому многообразию 2С — {а,Ъ) от функции foy: tt-^-f (r(t))
относительно плотности ds, задаваемой в карте {Ж, id)
формулой /i—>\ r' {f)\. В частном случае, когда кривая у
(или, точнее, ее ограничение на (а, Ь)) проста и регулярна,
т. е. когда ее носитель $ является одномерным вложен-
вложенным подмногообразием, а пара (J?', у~1) — картой на 3!,
интеграл A3) можно интерпретировать также как инте-
интеграл по 3? от функции / (точнее—от ее ограниче-
ограничения / \je на 3?) относительно плотности объема ds (назы-
(называемый в этом случае элементом длины), задаваемой
в карте {2', у'1) функцией /t-»>|r'(Ol«

Лекция 25
Ориентируемые многообразия.—Интегрирование форм. —
Лемма Пуанкаре для финитных форм. — Группа H"inSP- —
Случай ориентируемого многообразия.
Чтобы применить интегральное исчисление к вычисле-
вычислению групп когомологий де Рама, нам надо научиться
интегрировать не плотности, а формы. Для этого нужно
известное нам из первого семестра понятие ориентации
линейного (или аффинного) пространства перенести на
произвольные гладкие многообразия.
Определение 1. Карты (U, h) = (U, х1, ..., х") и
(W, h') = (U', x1', ..., хп') гладкого «-мерного (п > 0)
многообразия SC называются положительно согласованными,
если либо Ur\U' = 0, либо UftU'^0 и
det^>0 на Uf]U',
т. е. если в каждой точке p€.U{\U' базисы
и (ii
касательного пространства "\pSC одноименны. Атлас, со-
состоящий из положительно согласованных карт, называется
ориентирующим. Многообразие SV, на котором существует
хотя бы один ориентирующий атлас, называется ориен-
ориентируемым. .
Ясно, что многообразие тогда и только тогда ориен-
ориентируемо, когда ориентируемы все его компоненты.
Легко видеть (ср. следствие 1 предложения 1 лекции 6),
что для любого ориентирующего атласа А ориентируемого
многообразия !% множество А^акс всех карт, положительно
согласованных с каждой картой атласа А, является
ориентирующим атласом, содержащим атлас А, и притом
максимальным (т. е. обладающим тем свойством, что если
ориентирующий атлас А* содержит атлас А, то A*crAJaKC).
Задача 1. Докажите, что ориентируемы
а) сферы S", п ^ 0;
б) проективные пространства RP2n+l нечетной размер-
размерности;
в) овеществления комплексно аналитических многообра-
многообразий (см. лекцию 11);

394 ОРИЕНТИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
г) группы Ли.
[Что же касается проективных пространств четной
размерности, в частности проективной плоскости RP2, то
можно показать (что совсем непросто!), что эти прост-
пространства неориентируемы.]
Определение 2. Ориентируемое многообразие, в ко-
котором выбран максимальный ориентирующий атлас, назы-
называется ориентированным, а выбранный атлас называется
его ориентацией. Карты, принадлежащие ориентации
ориентированного многообразия, называются положительно
ориентированными (или просто положительными).
По определению для каждой точки р?3? ориентация
касательного пространства "\р2С, определенная базисом
одна и та же для всех положительно ориентированных
карт (U, х1, ..., х"). Об этой ориентации говорят, что
она индуцирована данной ориентацией многообразия ЗС.
Таким образом, ориентация многообразия—это, на-
наглядно говоря, выбор согласованных ориентации его ка-
касательных пространств.
Пусть (U, И) = (?/, х1, х2, ..., х") — произвольная карта
в ориентированном многообразии 3D'. Точку р (Е U мы на-
назовем положительной, если для одной (а потому и для
каждой) положительно ориентированной карты (V, k),
обладающей тем свойством, что р ? V, имеет место нера-
неравенство
det|>0.
Ясно, что как множество всех положительных точек, так
и его дополнение открыто в U. Поэтому, если карта (О, К)
связна (т. е. связно множество U), то либо все точки из О
положительны, и, значит, карта ((/, К) положительно
ориентирована, либо в U вообще нет положительных
точек, и тогда положительно ориентирована карта
(U, —х1, х2, ..., х1). Таким образом, для любой связной
карты @, х1, х2, ..., х") ориентированного многообра-
многообразия SC одна (и только одна) из двух карт (U, х1, х2, ..., х")
и (U, —х1, х2, ..., х") положительно ориентирована.
Задача 2. Выведите отсюда, что на связном ориен-
ориентируемом многообразии размерности п > 0 существуют
две и только две ориентации. [Эти ориентации называются

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФОРМ 395
противоположными. Если 2?—многообразие с одной ориен-
ориентацией, то снабженное противоположной ориентацией оно
обычно обозначается через —SC.~\
Ясно, что ориентации на различных компонентах
ориентируемого многообразия X можно задавать незави-
независимо друг от друга. Поэтому на многообразии % г N
компонентами существует ровно 2N различных ориентации.
Значение ориентированных многообразий в теории
интегрирования определяется следующим предложением:
Предложение 1. На ориентированном п-мерном
(п > 0) многообразии % существует естественное биек-
биективное соответствие между гладкими плотностями и глад-
гладкими, дифференциальными формами степени п.
Доказательство. Пусть р — произвольная гладкая
плотность на Ж'. Для каждой положительной карты (U, h) =
=(?/, jc*, ..., х") мы определим на U форму coy степени п
формулой
au = pudx1 /\.../\dxn.
Так как для любых двух положительных (и, значит, по-
положительно согласованных) карт (U, п) и (Ur, h') имеет
место равенство
pc/' = pc/det^. на U r\U',
то соу=С1)у, на U{\U', и, значит, формула
co = cof/ на U
корректно определяет дифференциальную форму со степени п
на\Г.
Обратно, пусть со—произвольная дифференциальная
форма степени п на Ж, (U, h) — (U, х\ х2, ..., х") —
произвольная карта в X% и пусть
со = wu dx1 Л • • • Л dxn на U.
Мы определим на U функцию ри, считая, что на каждой
компоненте U' множества U
wu, если карта (?/', х1, х2, ..., хп) поло-
положительно ориентирована,
A) ри — ^—wu в противном случае (т. е. если положи-
положительно ориентирована карта
(W, —х\ х2 х")).

396 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФОРМ
Очевидная проверка показывает, что функции ри состав-
составляют плотность и что построенные соответствия pi—*со и
соI—»-р взаимно обратны. ?
Формы степени п на я-мерном многообразии назы-
называются также формами максимальной степени.
Для любой формы со степени п на я-мерном ориенти-
ориентированном (паракомпактном и хаусдорфовом) многообра-
многообразии X и любого кубируемого множества D мы положим
где р—плотность A), отвечающая форме со. Аналогично,
если форма со финитна (т. е. равна нулю вне некоторого
компактного множества или, что равносильно, если фи-
финитна отвечающая этой форме плотность р), то по опре-
определению
Как и для плотностей, оба вида интегралов непосредст-
непосредственно сводятся друг другу: для любой финитной формы со
где D—произвольное кубируемое множество, вне кото-
которого форма со равна нулю, и, наоборот,
для любой формы со и любого кубируемого множества D.
Формула A1) лекции 24 для интегралов от форм имеет
вид
B) J S
а "а ("а)
где {(Ua, ha)\ — произвольное нумерируемое локально
конечное покрытие, состоящее из положительно ориенти-
ориентированных карт, а {т1а}—подчиненное этому покрытию
разбиение единицы.
Подчеркнем, что интегралы ] со и ^ со зависят от ориен-
b
тации многообразия .Т (и, например, на связном много-
многообразии при переходе к противоположной ориентации
меняют знак).

ЛЕММА ПУАНКАРЕ ДЛЯ ФИНИТНЫХ ФОРМ 397
Задача 3. Пусть на многообразии Ж задано семей-
семейство форм {со,} степени п, гладко (или непрерывно) зави-
зависящих от параметра t. Покажите, что тогда интеграл
со,
будет гладкой (или соответственно непрерывной) функ-
функцией от t.
Замечание 1. Во всем предыдущем мы предпола-
предполагали, что п > 0. В вырожденном случае п = 0 многообра-
многообразие & представляет собой множество изолированных
точек, и здесь требуется специальное определение ориен-
ориентации. Мы будем говорить, что нульмерное многообразие SC
ориентировано, если каждой его точке р сопоставлен
знак г(р) = ±1. Формами со максимальной степени на
нульмерном многообразии Ж являются произвольные
функции / на SC, а финитными формами—функции, отлич-
отличные от нуля только в конечном числе точек р?Ж. Инте-
Интеграл от такой функции по ориентированному нульмерному
многообразию SC определяется формулой
C) $/= 2 *Ш(р),
имеющей смысл в силу предположения финитности.
В первую очередь мы применим интегралы от форм
для вычисления группы H"it произвольного ориентируе-
ориентируемого п-мерного компактного хаусдорфова гладкого
многообразия Ж'. При этом фактически мы будем вычи-
вычислять— предполагая многообразие SC лишь паракомпакт-
ным—не группу Hn?V, а некоторую другую группу Щ\пЖ,
совпадающую с группой Нп2С в случае, когда многообра-
многообразие SC компактно. Для этого нам нужно предварительно
перенести лемму Пуанкаре на финитные формы, задан-
заданные на R".
Каждая дифференциальная форма со степени т на R"
выражается формулой
D) со= 2• • • 2 Щ...hndxil Л • • • Л dxl«,
где Щ^.Ащ —гладкие функции на R". Мы будем рассмат-
рассматривать семейства {со^} таких форм, зависящих от точки р
некоторого гладкого многообразия Ж'. Каждая форма слр
такого семейства выражается формулой D) с коэффици-

398 ЛЕММА ПУАНКАРЕ ДЛЯ ФИНИТНЫХ ФОРМ
ентами, зависящими от р, т. е. являющимися функциями
на произведении R"x^. Мы всегда будем предполагать,
что все эти функции гладки. [Такие семейства {со„}
естественным образом отождествляются с формами на R"xA\
зависящими только от дифференциалов координат х1, ...,х"
(ср. лекцию 20), но здесь это отождествление нам не
понадобится.]
В основном мы будем интересоваться семействами
финитных форм максимальной степени п. Каждая такая
форма ар имеет вид
E) ap = wpdx1 /\.../\dxn,
где wp—гладкая функция от х (и р), равная нулю вне
некоторого куба
/я I «• С |Е>л. I yl I <-" г I уп I *-" г\
If — \Х С 1ГС. , | X | <^ Г, . . . , | X | <^ Г)
(сторона 2г которого зависит, вообще говоря, от р). При
этом
F) S 0)/= J ... J Wp(X)dX.
R" - 05 - 05
Предложение 2. Если для финитной формы E) ин-
интеграл F) тождественно (по р) равен нулю, то на R"
существуют такие финитные формы вр степени п — 1,
гладко зависящие от точки р?&, что
dQp = ()}p для любой точки
При этом можно дополнительно считать, что если coD = О
ее "
вне Iх}, то и 0_ = 0 вне /" (в частности, если со„ = 0, то
и 6^ = 0).
Доказательство. Проведем индукцию по размер-
размерности п. При п — 1 форма Wj, выражается формулой
ар = wp dx,
где Wp — wp(x) — гладкая (и гладко зависящая от р) функ-
функция от х (Е R, равная нулю вне некоторого интервала
(—г, г). Пусть
х
= \wp{x)dx.
— г
Функция Qp гладко зависит от р и dQp = wp. Так как
p = Qp(r), то, согласно условию, 0Я (/•) = () и, значит,

ЛЕММА ПУАНКАРЕ ДЛЯ ФИНИТНЫХ ФОРМ 399
1)р(х) = 0 при х^г. Поскольку, очевидно, б^Дл^О при
,f< — г, то, следовательно, 0/7(л;) = О при \х\~^г. Этим
предложение 1 при п=\ доказано.
Предположив теперь, что предложение 1 доказано для
семейств форм степени п—1 на пространстве R"~\ рас-
рассмотрим семейство форм E) на R". Пусть р€-^\ и пусть
г—такое (зависящее от р) число, что ыр — 0 вне If-
Представив пространство R" в виде произведения
IR"~1xR и соответственно этому отождествив его точки
с парами вида (х, i), где jfgR" и t?R, мы можем
каждую форму (ор записать в виде
юя = ю<, р Adi,
где
со,, р = wp (х, 0dxl A ¦ ¦ ¦ A dx"~\ x = (д;1, .... хт'),
— форма на R", гладко зависящая от точки (t, p) мно-
многообразия Rx^" и равная нулю вне куба I"'1 и при
\t\>r.
С помощью функции а из леммы 1 лекции 1 немедленно
строится такая гладкая неотрицательная функция а на
пространстве R"~l, что а = 0 вне куба 1"~1 и а@)=^=0.
Для такой функции интеграл
"
G) J a(x)dx
положителен и, разделив функцию а на этот интеграл,
мы получим функцию а0 на R", для которой интеграл
G) равен единице. Поэтому для функции gUp на R1
определенной формулой
uup(x) = wp(x, t)~ao(jf) J w (x, t)dx,
Rri-i
будет иметь место равенство
Форма
на R"~l равна нулю вне /j? (и при \t\^r), гладко зави-
зависит от (/, р) и интеграл от этой формы по R" тожде-
тождественно равен нулю. Следовательно, по предположению
индукции, на R"~l существует такая форма 9f> p, гладко

400 ЛЕММА ПУАНКАРЕ ДЛЯ ФИНИТНЫХ ФОРМ
Ь
зависящая от (I, p)?Rx%' и равная нулю вне куба /""'
(и при \t\^r), что
Формы 0^ ри3(,р мы можем рассматривать как формы
на К", не зависящие от dt. В этом качестве мы будем
обозначать их через Ьр и Sp соответственно. Форма 3„
связана с формой тр равенством
(op = at>/\dt-\ fpdx1A...Adx"-1Adt,
где fp—функция на R", определенная формулой
fp(x, 0 = «¦>(*) S %(*> t)dx = wp(x, t)—gtlP(x),
а дифференциал d$p формы $р является суммой формы
8$р и некоторой формы вида РЛ^- Поэтому
и, значит,
Мы определим форму 9^, на R" формулой
p p )p- ¦ ¦ Adx"~\
где Fp — функция на R", заданная формулой
Fp(x, t)= lfp(x, t)dt.
— r
Тогда
dOp = %pAdt-\ {-\y-lfp{x, t)dtAdxiA...Adx»~1
= &p A dt + fp(x, ^dx1 A- ¦ -A dx^A dt = a
Форма 9^, очевидно, равна нулю вне бруса /?-1
С другой стороны, так как
p.
- г R"-«
то Fp(x, t) — Q при l^r (и, конечно, при t < — г). Кроме
того, так как ъьи р = 0 при 11 \ ^ г, то 9Л р — 0 при \t\^r,
т. е. Ьр — 0 при \1\^г. Следовательно, 9^ = 0 при \t\^r,
т. е. 8р = 0 вне куба /?. П

ГРУППА H$ln# 401
Следствие 1. Если для финитной формы со степени
п на пространстве R" имеет место равенство
(8) J со = О,
R"
то на R" существует такая финитная форма 0 степени
п — 1, что
(9) (i> = dB.
При этом, если со = О вне куба /", то дополнительно
можно считать, что и 0 = 0 вне /". ?
Замечание 2. В следующей лекции мы покажем,
что условие (8) не только достаточно, но и необходимо
для выполнения равенства (9).
Пусть теперь SV — произвольное я-мерное многообразие
(хаусдорфовое и паракомпактное) и (U, h) — карта в Ж.
Финитную форму со степени п на многообразии $" мы
будем называть сосредоточенной (имеется в виду — на U),
если со = О вне U. Для такой формы со на открытом
множестве h (U)cRn определена форма (/Г1)*со. Эта форма
равна нулю вне некоторого компактного множества
Cch(U), откуда следует, что если ее продолжить нулем
вне h{U), то получится гладкая (и финитная) форма на
всем R". Продолженную форму мы также будем обозна-
обозначать через (Л)* со.
Пусть
/со =
J (Г1)* со
К"
Так как при другом выборе диффеоморфизма h интеграл
может лишь изменить знак, то число /со зависит только
от формы со (определено корректно).
I Если многообразие $" ориентировано, что мы пока
предпочитаем не предполагать, то число /со является не
чем иным, как абсолютной величиной интеграла jco.J
Финитную сосредоточенную форму со мы будем назы-
называть существенной, если 1а>ф0, и несущественной, если
/со = О. Существенную форму, для которой /со= 1, мы
будем называть нормированной.
Финитную форму со на многообразии & мы будем
называть финитно когомологичной нулю, если на &

402 ГРУППА
существует такая финитная форма 9, что
d9 = (o.
Лемма /. Каждая сосредоточенная несущественная
финитная форма ы финитно когомологинна нулю.
Доказательство. Ясно, что без ограничения
общности мы можем считать, что множество h(U)cRn
является кубом /" и, значит, что форма {h'1)*® (рассма-
(рассматриваемая как форма на всем пространстве IR") равна
нулю вне куба /'. При этом по условию
S
Следовательно, согласно следствию 1 предложения 2, на
R" существует такая финитная форма 9, равная нулю
вне /", что
(А-ую-dB.
Рассмотрим форму h*Q. Эта форма определена на U и
удовлетворяет на U соотношению
Кроме того, форма Л*9 равна нулю вне некоторого ком-
компактного подмножества координатной окрестности U
(являющегося образом при /Г1 компактного подмножества
куба i" = h(U), вне которого равна нулю форма 0).
Поэтому, продолжив эту форму вне U нулем, мы получим
на SV гладкую финитную дифференциальную форму 9,,
удовлетворяющую соотношению
(Юг = (О
как на U так и вне U, т. е. на всем SC. ?
Лемма 2. Для любой координатной окрестности UcS"
существует на SC нормированная финитная форма to,
сосредоточенная на U.
Доказательство. Согласно предложению 2 лек-
лекции 14 на & существует гладкая неотрицательная функ-
функция ф, равная нулю вне U и единице на некотором
открытом множестве WcU с компактным замыканием
Wall. Мы определим на SC форму /л—>сор, полагая
( ф {р) dxxp/\.../\ drf,, если р 6 U.
р ~~ \ 0 в противном случае,

группа
403
где х\ ..., х" — локальные координаты на U. Ясно, что
форма со гладка, финитна и сосредоточена на U. Кроме
того,
A0) J (/г')•(»= J (Фо/г1) (
h(U) h(U)
[_ (<P°h-l)(x)dx= J_ dx>0,
h(W) h(W)
где h: U—>-h(U) — координатный гомеоморфизм. Следо-
Следовательно, форма со существенна. Разделив ее на интеграл
/со, мы получим нормированную форму, сосредоточенную
на U. О
Замечание 3. Если многообразие & ориентировано,
а карта (U, х1, ..., х") положительна, то построенная
форма со обладает тем свойством, что
Sco>O,
Мы будем говорить, что координатные окрестности U
и V в многообразии SV сцеплены, если в SV существуют
такие координатные окрестности
Uo, U, Um,
что U0 = U, Um = V и U;_i П Ui Ф 0 для любого i = 1, ...
.. ., т (ср. лекцию 20). Легко видеть (см. лемму 1
лекции 20), что на связном многообразии SC любые две
координатные окрестности сцеплены.
Финитные формы со0 и (аг на многообразии SV мы будем
называть финитно когомологичными, если существует
такая финитная форма 0, что
т. е. если форма аг—соо финитно когомологична нулю.
Предложение 3. Пусть со0 и с^—нормированные
сосредоточенные финитные формы степени п на п-мерном
связном многообразии &'. Тогда форма а1 финитно кого-
когомологична либо форме соо, либо форме —соо.
Доказательство. Пусть форма соо сосредоточена на
координатной окрестности Uo, а форма (ох — на координат-
координатной окрестности Ult и пусть h0: Uo —*¦ R" и h^. Ui—^R." —
такие координатные отображения, что
A1) J (ft-i)*coo=l и J
R" , R"

404 группа
Случай 1. Карты (Uo, h0) и (Ult ht) совпадают.
Тогда финитная форма щ—соо сосредоточена на Uo
и несущественна. Следовательно, согласно лемме 1, форма
coj—соо финитно когомологична нулю.
Случай 2. Совпадают координатные окрестности Uo
и Uv Так как интегралы A1) при изменении координат-
координатных отображений могут лишь изменить знак, то
\ (hi1)*(A0 = e, где е =
Поэтому, согласно уже доказанному, форма % финитно
когомологична форме есоо.
Случай 3. Координатные окрестности Uo и Ui пере-
пересекаются:
Согласно лемме 2 существует нормированная форма со,
сосредоточенная на координатной окрестности U0(]Ul
(а значит, и на координатных окрестностях Uo и их).
Поскольку нормированные формы со0 и со сосредоточены
на Uo, то по доказанному форма соо финитно когомоло-
когомологична либо форме со, либо форме —со, а поскольку нор-
нормированные формы со и cot сосредоточены на Uu то
аналогично форма со финитно когомологична либо форме
соь либо форме —щ. Следовательно, форма сох финитно
когомологична либо форме соо, либо форме —соо.
Случай 4. Координатные окрестности Uo и Ut сцеп-
сцеплены. Очевидная индукция по длине цепочки координат-
координатных окрестностей, соединяющей окрестности Uo и U{,
немедленно сводит этот случай к уже рассмотренному
случаю 3.
Поскольку в связном многообразии любые две коор-
координатные окрестности сцеплены, это доказывает предло-
предложение 2. ?
Следствие 1. Пусть ^—произвольная существенная
сосредоточенная форма степени п на п-мерном связном
многообразии Ж. Тогда для любой финитной формы со
степени п на многообразии Ж существует такое число с,
что форма со финитно когомологична форме «оо.
Доказательство. Без ограничения общности мы
можем считать, что форма соо нормирована.
Поскольку многообразие .Т по условию хаусдорфово
и паракомпактно, на нем существует нумерируемое покры-
покрытие {Ua}, состоящее из координатных окрестностей. Пусть

ГРУППА
405
{Ла} — разбиение единицы, подчиненное покрытию {Ua}.
Тогда для любого а форма \\аа сосредоточена на Ua,
и потому определено число
Если саф0, то форма с^Ч|а(о, подобно форме со0,
нормирована и сосредоточена. Поэтому, согласно предпо-
предположению 3, эта форма финитно когомологична форме
8аюо> гДе еа = ±1. Следовательно, форма г\аы финитно
когомологична форме саеасоо.
Ясно, что этот вывод сохраняется и при са = 0, потому
что в этом случае сосредоточенная форма tiaco несуще-
несущественна и, значит, согласно лемме 2, финитно когомоло-
когомологична нулю.
Таким образом, в разложении
(содержащем из-за финитности формы со лишь конечное
число отличных от нуля слагаемых) каждое слагаемое
т|асо финитно когомологично форме caeaco0. Поэтому форма
со финитно когомологична форме ссоо, где
c = 2caea. ?
а,
Для любого ш^О мы положим
где Zf\aSC—пространство всех замкнутых финитных форм
степени /п на J, а Щ\п^—его подпространство, состоя-
состоящее из дифференциалов финитных форм степени т—1.
(Заметим, что, вообще говоря, существуют точные финит-
финитные формы, не принадлежащие Bfin^.)
Элементы факторпространства Hfin^ называются фи-
финитными классами когомологий гладкого многообразия SC.
Теорема 1. Для произвольного п-мерного связного
хаусдорфова и паракомпактного многообразия SV имеет
место неравенство
dim//?,„.«• <1,
т. е. либо #?,njr = O, либо Я?,П^»К.
Доказательство. Согласно следствию 1 предло-
предложения 3 линеал H"ln%" порождается финитным классом
когомологий [а>0] произвольной сосредоточенной сущест-

406 СЛУЧЛП ОРИЕНТИРУЕМОГО МНОГООБРАЗИЯ
венной формы со0. Поэтому, если [(оо] = О, то H"ln3? = 0,
а если [йH] Ф 0, то НпПпЖ « R. П
В случае, когда многообразие SV ориентируемо, можно
получить более точный результат.
Выбрав на 2С одну из двух возможных ориентации
(напомним, что многообразие 5V мы предполагаем связным),
мы можем для каждой финитной формы (о ? Q? построить
ее интеграл
A2)
В лекции 26 мы покажем (см. следствие 1 теоремы 1
лекции 26), что если ой?В"[п&, то интеграл A2) равен
нулю. Поэтому интеграл A2) зависит только от финитного
класса когомологий [со] ? Щ\а5€ формы со (заметим, авто-
автоматически замкнутой), т. е. соответствие
A3) М—S"
корректно определяет некоторый гомоморфизм Щ[пЗ? —>¦ IR.
Теорема 2. Для любого ориентируемого п-мерного
связного хаусдорфова и паракомпактного многообразия SC
группа Щ[ПЖ изоморфна IR. Изоморфизм определяется
соответствием A3). (Он зависит от выбора ориентации
многообразия ??.)
Доказательство. Из замечания 3 мы знаем, что
на многообразии S? существуют финитные формы со сте-
степени п, для которых интеграл B) отличен от нуля. Это
означает, что гомоморфизм A3) нетривиален.
Поскольку dim И"\п5Р<С.\, это возможно только при
dim #",„.?¦= 1 и тогда гомоморфизм A3) является изомор-
изоморфизмом. П
Таким образом, чтобы финитный класс когомологий
[со] финитной (не обязательно сосредоточенной) формы со
степени п порождал линеал Щ1п& (составлял его базис),
необходимо и достаточно, чтобы интеграл от в по J был
отличен от нуля:
A4)
В этом случае для любой другой финитной формы м,
степени п на многообразии 5V имеет место равенство
= с [<о],

СЛУЧАЙ ОРИЕНТИРУЕМОГО МНОГООБРАЗИЯ 4(O
где
Заметим, что условие A4) заведомо выполнено, если
форма со сосредоточена и существенна.
Следствие 1. Для любого ориентируемого п-мерного
связного хаусдорфова компактного многообразия SV группа
Н"!% изоморфна R, т. е.
Un су* 1 I |
Замечание 4. Задание изоморфизма A3) равно-
равносильно заданию в одномерном линеале Щ1п$" базиса и,
значит, некоторой ориентации этого линеала. При изме-
изменении ориентации многообразия Ж эта ориентация
заменяется на противоположную. Следовательно, ориен-
ориентации связного многообразия SV можно отождествлять
с ориентациями линеала H"lnSV.
Замечание 5. Можно показать — попытайтесь это
сделать!—что равенство dimH"ln3?=l характеризует
ориентируемые многообразия, т. е. связное многообразие
& тогда и только тогда неориентируемо, когда Щ\л% — О,
Задача 4. Вычислите группу Н"\п!% для несвязного многообра-
многообразия $,'. Результат сравните с предложением 2 лекции 20.

Лекция 26
< Степень гладкого собственного отображения.— Алгебраи-
Алгебраическое число прообразов регулярного значения.— Инва-
Инвариантность степени при гладких гомотетиях.— Доказа-
Доказательство теоремы о барабане.— Инвариантность степени
при любых гомотопиях.
Опред:ле!:ие 1. Отображение /: SV —*- 3/ называется
собственным, если прообраз f~lC каждого компактного
множества СсЗ/ компактен. Ясно, что если гладкое
отображение /: % -+<У собственное, то для любой финит-
финитной формы со на 3/ форма /*о> на $" также финитна.
Поэтому для любого /п^гО каждое гладкое собственное
отображение /: !% —*¦ У индуцирует гомоморфизм
Мы рассмотрим этот гомоморфизм в частном случае,
когда оба многообразия Ж и 3/ ориентированы и имеют
одну и ту же размерность п — т. Кроме того, мы будем
предполагать, что многообразие & связно.
Пусть финитная форма со степени п на многообразии
& финитно не когомологична нулю (ее финитный класс
когомологий [ш] составляет базис линеала #?|П8/). Тогда,
как мы знаем, J со Ф 0 и для любой другой финитной формы
степени п на 2/ имеет место равенство [ь\] = с[©], где
c = -
J-
9
Так как формы щ и cat финитно когомологичны, то формы
/*»! и /* (ceo) = с/*(о также финитно когомологичны, и, зна-
значит,— в случае, когда [/*со]^=О в Н"\пЖ—имеет место
равенство
c=^
S ^

СТЕПЕНЬ ГЛАДКОГО СОБСТВЕННОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 409
При с^О, т. е. при \ а1ф0, отсюда следует, что
1
X
X
СО
т. е. число
(О
со
не зависит от выбора формы со.
Ясно, что этот вывод сохраняется и при /*[со] = О.
Замечание 1. Алгебраическим основанием прове-
проведенного рассуждения является тот очевидный факт, что
каждое линейное отображение R—>R является умноже-
умножением на некоторое число.
Определение 2. Число A) называется степенью соб-
собственного гладкого отображения /: X—>¦&.
Равенство A) может быть переписано в виде
B) S
X
и в этом виде оно имеет место для любой финитной
формы со максимальной степени на Й/.
Подчеркнем, что для того, чтобы степень deg/ была
определена, необходимо, чтобы отображение / было соб-
собственным. Это условие всегда выполнено, когда много-
многообразие X компактно. Таким образом, если многообразие Ж
компактно, то степень (leg/ определена для любого глад-
гладкого отображения /: Х—*1У (конечно, при прежнем усло-
условии, что многообразие 3/ связно).
Задача 1. Покажите, что если многообразие SV компактно,
а многообразие ЧУ нет, то степень любого отображения SC —>¦ {У равна
нулю.
Замечание 2. Чтобы степень была определена,
нужно также, чтобы многообразия X и & были не только
ориентируемы, но и ориентированы. При этом при смене
ориентации одного из них степень меняет знак. Однако

410 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО ПРООБРАЗОВ
при & = & смена ориентации многообразия S? оставляет
степень неизменной (она дважды меняет знак). Поэтому
о степени собственных отображений Ж—*3? (где SC--
связное, хаусдорфово и паракомпактное многообразие)
можно говорить, и не предполагая многообразие & обя-
обязательно ориентированным (нужно лишь, чтобы оно было
ориентируемым).
Согласно теореме Сарда (см. лекцию 15) гладкое
отображение /: Ж —> У обладает регулярными значениями
<7(ЕЙ/, а, согласно предложению 1 лекции 13, для любого
регулярного значения q^ty множество f~1(q) является
вложенным нульмерным подмногообразием многообразия SP
(напомним, что по условию dim 2/ = dim Ж), т. е. состоит
из изолированных точек (см. лекцию 7). При этом, по-
поскольку отображение / собственное, это множество ком-
компактно и, значит, конечно.
Пусть р— произвольная точка множества f~l{q), (U, К) —
•= (U, х1, . .., х")—положительная карта многообразия Ж,
центрированная в точке р, (V, k) = (V, у1, ..., у") — положи-
положительная карта многообразия 2/, центрированная в точке q, и
C) ' y'^fHx1 х% }=1 п,
— функции, выражающие в этих картах отображение /.
По условию якобиан
^j I, /=1, .... п,
функций C) в точке р отличен от нуля. Поэтому опре-
определен его знак sign Df (p) = ± 1. Очевидно, что этот знак
не зависит от выбора (положительных!) карт (U, К) и (У, k).
Мы будем называть его знаком отображения f в точке р
и будем обозначать его символом signp/.
Пусть
D) 2 sign,/1
— сумма знаков отображения / по всем точкам р6/-1(^
(«алгебраическое число прообразов точки q при отображе-
отображении /»). Эта сумма определена, так как множество /~10/)
конечно.
Предложение 1. Число D) не зависит от выпора
точки q^ty и равно степени (leg/ отображения f.

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО ПРООБРАЗОВ 411
Доказательство. Пусть W — произвольная окрест-
окрестность точки q в многообразии 2/, замыкание W которой
компактно.
Так как отображение f непрерывно, а множество всех
его критических точек замкнуто, то каждая точка pg
€ /~д (i/) обладает окрестностью U'pcz f~lW, не содержащей
ни одной критической точки отображения /. При этом
окрестности U'p можно, конечно, выбрать так, чтобы для
различных точек p^f~1(q) они не пересекались, чтобы
все множества f(U'p) были открыты в Й/ и чтобы все
отображения f\V''. U'p—*-f(U'p) были диффеоморфизмами.
Пусть
U'= U Up
— объединение всех окрестностей U'p, и пусть С =
= f~1W\U'. Множество С компактно и обладает тем
свойством, что q (? / (С). Его образ f (С) также компактен
и потому замкнут. Следовательно, на многообразии &
существует такая координатная окрестность V точки q,
что V'c=W\f(C) и, значит, такая, что f^V'cU'.
Пусть
У= П f(U'p)(]V.
Кр)=я
Поскольку множество /-1 (q) конечно, множество V (со-
(содержащее точку q) открыто и, значит, является окрест-
окрестностью точки q. Для любой точки p^.f~1(q) мы положим
Очевидно, что множества Uр обладают следующими свой-
свойствами :
а) Каждое множество Uр является окрестностью точки р.
б) Окрестности Uр, отвечающие различным точкам р,
не пересекаются.
в) Объединение U всех окрестностей Vр, p^f~1(q)>
является прообразом /-1У окрестности V.
г) На каждой окрестности Uр отображение / является
ее диффеоморфизмом на окрестность V.
Поскольку окрестность V содержится в координатной
окрестности V, она сама является координатной окрест-
окрестностью, т. е. является носителем некоторой карты (V, k) =
= (V, у1, . . ., у") многообразия 2/, которую мы без огра-
ограничения общности можем считать положительной. В силу

412 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО ПРООБРАЗОВ
свойства г отсюда следует, что для любой точки Рб/'М?)
пара (Up, hp), где hp = ko (f\up), также является кар-
картой. Поскольку в картах (Uр, кр) и (V, k) отображение /
записывается формулами вида у' —х', i = 1, ...,«, карта
(Up, Ь,„) тогда и только тогда положительна, когда
signp[/j=l.
Как мы знаем, для вычисления степени cleg/ мы можем
использовать произвольную финитно не когомологичную
нулю финитную форму со степени п на многообразии ?/.
Пользуясь этой свободой, мы примем за со сосредоточенную
на Vсущественную форму. Такая форма существует соглас-
согласно лемме 2 лекции 25.
Но если форма со сосредоточена на V, то форма /*со
равна нулю вне окрестностей Uр, и потому
$/•*= 2 $/•*•
% /(Р) = ? Up
где справа Uр рассматривается как открытое подмного-
подмногообразие, снабженное ориентацией, индуцированной ориен-
ориентацией многообразия к'. Поэтому, если
со = w dy1 Д • • • Л dy:i на V
и, значит,
/*ш = (ш о /)dx1 Л • ¦ • Л dx' на Uр,
где Xх = у1 о /, ..., х" = уп о /, то
$/'ю = е„ S (wofoh?)(x)dx,
Up hp(Up)
где гр—\, если карта F^, ft,,) положительна, и ер = —1
в противном случае. С другой стороны, так как hp =
= ko(j\u,) и, значит, hp{Up) = k(V) и w о / о hp1 = wok~\
то
hp(Up) k(V)
Кроме того, согласно сделанному выше замечанию, ра-
равенство е.„ = -\-\ имеет место тогда и только тогда, когда
sign/,/=l. Поскольку eJt/ = ±l и sign^^il, это озна-
означает, что
= signpf для любой точки

ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ГЛАДКИХ ГОМОТОПИЯХ 413
Сопоставив все эти факты, мы немедленно получим,
что
а/
По определению (см. формулу A)) это и означает, что
число D) равно степени cleg/ отображения /. D
Следствие 1. Степень deg/ произвольного собствен-
собственного гладкого отображения /: Ж —> 3/ является целым
числом. П
Удивительный результат! '
Следствие 2. Если отображение /: •?*—>й/ не надъек-
тивно, то degf = O.
Доказательство. Достаточно заметить, что любая
точка q4:f(№) является регулярным значением отображе-
отображения /. LJ
Определение 3. Непрерывные (собственные) отобра-
отображения f,g:&—>ЧУ называются {собственно) гомотопными,
если существует такое непрерывное (собственное) отобра-
отображение F: ^х[0, 1]—>Й/, что
F(p, O) = f(p), F(p, l) =
для любой точки
Отображение F называется (собственной) гомотопией,
связывающей, отображения fag. Его удобно отождеств-
отождествлять с семейством {/,} непрерывных (собственных) отобра-
отображений ft: &—+&, O^.t^.1, определенных формулой
ft(P) = F(P> 0. Р€^-
Гомотопия F называется гладкой, если она является
ограничением на ^*х[0, 1J некоторого гладкого отобра-
отображения &х(а, Ь)—>&, где (а, Ь) — интервал оси К, содер-
содержащий отрезок [0, 1J. Гладкие (и собственные) отобра-
отображения f, g: &—+'&y связанные гладкой (и собственной)
гомотопией F: &х\0, 1]—>¦&, называются гладко (и соб-
собственно) гомотопными.
Так как для гладкой и собственной гомотопии F:
.Гх[0, 1]—*Й/ все отображения /(: Я-^Щ, 0<^<1,
гладки и собственны, то для каждого из них определена

414 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О БАРАБАНЕ
степень
Участвующая а этой формуле форма /Jo), очевидно,
непрерывно (даже гладко) зависит от /, т. е. в каждой
карте ее единственный коэффициент является непрерывной
функцией от t (и, конечно, от локальных координат).
Поэтому (см. задачу 3 лекции 25) число deg/( также
непрерывно зависит от t. Следовательно, являясь целым
числом, оно постоянно. В частности, d/ d/
g/1 gg
Таким образом, если гладкие собственные отображе-
отображения /, g: SC—»-Й/ гладко и собственно гомотопны, то их
степени равны:
E) deg/ = degg\
Это утверждение известно как теорема о гомотопи-
гомотопической инвариантности степени.
Теперь мы можем легко доказать анонсированную
в лекции 9 теорему о барабане.
Доказательство теоремы 1 лекции 9. Пусть
существует ретрагирующее отображение
г. Bn-*S"-1, л>2,
и пусть г@)=50. Тогда формула
F) F(x, t) = r(tx), x?S"-
определяет гомотопию
F: S^xlO, lJ-^S""
эвязывающую постоянное отображение
const: S"~1->S"-1,
с тождественным отображением id: S"-—«-S"*,
Поэтому в силу гомотопической инвариантности степени
отображения const и id (очевидно, гладкие) должны иметь
одну и ту же степень (о собственности этих отображений
нам беспокоиться не нужно, так как сфера S" ком-

ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ЛЮБЫХ ГОМОТОПИЯХ 415
пактна). Но ясно, что (leg id =1, a cleg const = 0. Полу-
Полученное противоречие доказывает, что ретракции г сущест-
существовать не может. ?
Замечание 3. Это доказательство не проходит при
п — 1 (хотя бы потому, что сфера 5° состоит из двух
точек и не является связным многообразием). Но невоз-
невозможность существования ретракции В1—»-S° в этом слу-
случае очевидна (связный отрезок В1 нельзя непрерывно
отобразить на несвязную сферу S0).
Внимательный читатель должен заметить, что изло-
изложенное доказательство теоремы о барабане содержит ла-
лакуну и потому, собственно говоря, доказательством счи-
считаться не может. Действительно, гомотопия F), вообще
говоря, лишь непрерывна, тогда как в равенстве E) пред-
предполагается, что связывающая отображения fug гомотопия
гладка. Поэтому, чтобы подвести под теорему о барабане
прочный фундамент, нам надо доказать (хотя бы для
отображений S" —«-S"), что равенство E) остается
справедливым и тогда, когда связывающая отображения f
и g гомотопия лишь непрерывна. Для этого достаточно,
конечно, доказать следующее общее предложение:
Предложение 2. Для любых компактных (и хаус-
дорфовых) многообразий SC и 2/ гладкие отображения f, g:
SC —*¦ 2/ тогда и. только тогда гомотопны, когда они гладко
гомотопны.
[За счет усложнения технических деталей аналогичное
утверждение можно доказать и для собственных отобра-
отображений некомпактных многообразий, но поскольку для
доказательства теоремы о барабане нам нужен лишь слу-
случай, когда 9? = Й/ = S"~1, мы этим заниматься не будем.
Кроме того, строго говоря, мы докажем предложение 2
лишь при некоторых дополнительных предположениях,
наложенных на многообразия SC и <У, которые заведомо
выполнены при & = у = S"~l. (На самом деле они вы-
выполнены для любых & и 2/, но этот факт мы сможем
установить лишь в следующем семестре.)]
Подчеркнем, что в предложении 2 размерности много-
многообразий J и Й/ одинаковыми не предполагаются (а сами
многообразия SC и Й/ могут быть и несвязными).
Многообразия SC и 2/ мы будем считать вложенными
в пространство R", где п — некоторое достаточно большое
число. (Таким образом, мы здесь отходим от обыкновения
употреблять букву п для обозначения размерности много-

416 ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ЛЮБЫХ ГОМОТОПИЯХ
образия &). Согласно теореме вложения (предложение 1
лекции 14) это предположение общности не ограничивает.
Определение 4. Подмножество SC пространства R"
называется окрестностным ретрактом, если существует
открытое множество Огэ.Я*, ретрагирующееся на SC. При
этом в случае, когда S? представляет собой подмного-
подмногообразие, дополнительно требуется, чтобы существовала
ретракция г: О —»- Ж, являющаяся гладким отображением.
Например, окрестностным ретрактом является сфера
S" пространства R". (За окрестность О можно в этом
случае принять проколотое пространство R"\{0}, а ре-
ретракцию г: О—t-S" определить формулой Г(Х) = 1ТТ>
x(tR"\{0}.)
Мы докажем предложение 2 лишь в предположении,
что подмногообразия & и 2/ пространства к" являются
окрестностными ретрактами. [Как мы покажем в сле-
следующем семестре, это предположение общности не огра-
ограничивает. Кроме того, оно во всяком случае выполнено
при ^•=g/ = S"-1.]
Доказательство предложения 2. Конечно,
если гладкие отображения f, g: SC —>¦ 2/ гладко гомотопны,
то они и гомотопны. Поэтому нам надо доказать лишь
обратное утверждение. Естественный путь состоит в том,
чтобы преобразовать произвольную непрерывную гомо-
топию F: ^*х[0, 1] —»¦ ?У, связывающую отображения/
и g, в гладкую.
Пусть г: Оср —>¦ SC—ретракция на SC некоторой окрест-
окрестности Ocg Z3 SC. Определим отображение
F': 0^xR-->2/
формулой
С f(r(x)), если ^<3/7,
F'(x, /)= F(r(x), 71— 3), если 3/7 < ^ < 4/7,
\ В(г(х)), если 4/7 </.
Ясно, что отображение F' непрерывно (при / < 3/7 и
t > 4/7 даже гладко) и его ограничение на ^*х[0, 1]
является гомотопией, связывающей отображения fug.
Из анализа известна следующая теорема:
Теорема Вейерштрасса (о полиномиальной
аппроксимации). Пусть О—открытое множество
пространства R", К — компактное подмножество мно-
множества О и F: О—>Rm — непрерывное отображение. Тогда

ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ЛЮБЫХ ГОМОТОПИЯХ 417
для любого г > О существует такое полиномиальное
отображение Р: R"—+ R" (задаваемое полиномиальными
функциями координат), что
\Р(х)—F(x)\<e, для любой точки х?К.
[Заметим, что эту теорему достаточно, очевидно, до-
доказать лишь при т=1, т. е. когда F является числовой
функцией. Только этот случай обычно и рассматривается
в курсе анализа.]
Мы применим теорему Вейерштрасса к открытому
множеству Oj-xK (рассматриваемому как подмножество
пространства Rn+1 = R"XlR), к компактному множеству
%"х[0, 1] и к отображению F' (рассматриваемому как
отображение в R"). Обозначив ограничение полиномиаль-
полиномиального отображения Р на .2*х[0, 1] снова через Р, мы
в силу этой теоремы получим, что для любого е > О су-
существует такое гладкое отображение
Р: JFx[0, I] —R",
что
| Р (х, t)—F' (х, 01 < е для любой точки (х, t) € &х [0, 1].
Пусть теперь К—-такая гладкая функция R—<-R, что
0, если /<1/7 или 6/7 < t,
\ 1, если 2/7</<5/7
и 0 ^ X (t) ^ 1 для любого 16 R. [Такую функцию можно,
например, задать формулой
, —оо < *< + оо,
т+' +•
где а—функция из леммы 1 лекции 1; ср. замечание 3
лекции 1.] Мы положим
G(x, t) = F'(x, t)\K(t)(P(x, ()~F'(x, 0)
для любой точки (л:, 1)?Жх[0, 1].
Так как X(t) = 0 при ? = 0 и t=l, то
G(x, 0) = F'(x, 0) = f(x) и G(x, 1) = F'(a:, l) = g(x)
для любой точки х?Ж, т. е. G является гомотопией,
связывающей отображения f и g. При этом, так как при
t < 3/7 и 4/7 < ^ отображение Т7' (а значит, и отображе-
14 м. М. Постников, сем. III

418 ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ЛЮБЫХ ГОМОТОИИЯХ
ние 0) гладко, а при 2/7 < t < 5/7 отображение G совпа-
совпадает с отображением Р (а потому также гладко), то G
является гладкой гомотопией.
Мы построили гладкую гомотопию, но она принимает
значения не в многообразии ЧУ, а в пространстве R".
Чтобы поправить дело, мы вспомним, что построение гомо-
топии G зависело от параметра е > 0 и что
|G(jf, t)-F'(x, t)\^X(t)\P(x, t)-F'(x, t)\<B
для любой точки (х, t) ? SC x [0, 1]. Поскольку F' (x, t) € &,
это по определению означает, что расстояние тонки G (х, t)
от многообразия ЧУ меньше е, т. е. точка G (x, t) содер-
содержится в е-окрестности многообразия ЧУ.
С другой стороны, по условию существует окрест-
окрестность многообразия О», ретрагирующаяся на ЧУ. При этом,
так как многообразие ЧУ компактно, то существует такое
е > 0, что вся е-окрестность многообразия ЧУ содержится
в Од (докажите!). Следовательно, гомотопия G, построен-
построенная для этого е, будет обладать тем свойством, что
G(x, t)?Og для любой точки (х, 0€-^х[0, 1]. Поэтому
формула
Н(х, t) = rB(G(x, 0). (*. 0€^х[0, 1],
где гу: Оу-+ЧУ—гладкая ретракция, определяет глад-
гладкую гомотопию Н: ^"х[0, 1]—+ЧУ, связывающую отобра-
отображение r«/of = f с отображением rg°g=g.
Тем самым предложение 2 (в предположении, что много-
многообразия SC и ЧУ являются окрестностными ретрактами)
полностью доказано. ?
Одновременно полностью доказана и теорема о бара-
барабане.
Замечание 4. Подобно тому как мы приблизили
произвольную гомотопию ^"х[0, 1]—*ЧУ гладкой гомо-
гомотопией, можно любое непрерывное отображение/: SC—+Щ
аппроксимировать гладким отображением.
Задача 2. В следующем семестре мы докажем, что для лю-
любого компактного многообразия ЧУ, вложенного в пространство R",
существует такая константаУ^ > 0, что любые две точки р, <??й/>
расстояние между которыми (измереииое по ЧУ) меньше d, можно
соединить в ЧУ единственной кратчайшей (для сферы константа d
равна я, а кратчайшей является дуга большого круга). Пользуясь
этим, покажите, что любые два достаточно блцзкце отображения
SC~+ЧУ гомотопны.

ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ЛЮБЫХ ГОМОТОПИЯХ 419
В частности, отсюда следует, что любые два гладких
отображения 2С—> jy, достаточно близко аппроксимирую-
аппроксимирующие данное непрерывное отображение /: &—>¦&, имеют
(если многообразия SC и 2/ ориентированы, компактны и
их размерности одинаковы) одну и ту же степень. Зта
степень называется степенью непрерывного отображения f.
Задача 3. Докажите, что степени гомотопных непрерывных
отображений равны.
U*

Лекция 27
Области с регулярной границей.— Теорема Стокса.—
Формулы Гаусса — Сстроградского, Грина и Ньютона —
Лейбница.— Многообразия с краем.—¦ Внутренние и крае-
краевые точки.— Вложенные О-подмногообразия.— Теорема
Стокса для многообразий с краем и <3-подмногообразин.—
Теорема Стокса для поверхностных интегралов.—Тео-
интегралов.—Теорема Стокса для сингулярных подмногообразий.— Криво-
Криволинейные интегралы второго рода.
Пусть, как и выше, 3? — гладкое л-мерное хаусдорфово
и паракомпактное многообразие.
Определение 1. Подмножество D многообразия SC
называется областью с регулярной границей, если
1° подмножество D является замыканием своей внут-
внутренности:
D = TntD";
2° его граница
FrD = D\IntD
является вложенным (п—1)-мерным подмногообразием.
Для такой области D граница FrD называется ее
краем и обозначается символом dD.
Как мы знаем (см. лекцию 13), для каждой точки
подмногообразия dD в многообразии SC существует такая
содержащая эту точку карта (U, h) = (U, х\ ...,х"),
что пара
(V, k) = (V, у1, ...,у"~1),
где V = Uf]dD и yl = xi\v, ..., y"~l — x" \v, является кар-
картой на dD, а равенство х1 (р) = 0 для точки р g U имеет
место тогда и только тогда, когда p?dD. При этом без
ограничения общности мы можем предполагать, что
xl<0 на UftlntD.
О карте (U, h), обладающей этими свойствами, мы
будем говорить, что она приспособлена к D, а о карте
(V, k), что она высечена на dD картой (V, п).
Пусть теперь (U, h) = (U, х\ ...,*") и (V, п') =
= ((/', х1', ..., х"')—две карты на X, приспособленные
к D, а (V, k) и (V', k')—высекаемые ими карты на dD.
Так как на V[\У функция х\' тождественно равна нулю,

ОБЛАСТИ С РЕГУЛЯРНОЙ ГРАНИЦЕЙ 421
то на Vf\V имеют место равенства
-gjr = O, k = 2, .... п.
Поэтому
С другой стороны, так как х1' < 0 тогда и только тогда,
когда хх < 0, то
Следовательно, если карты (U, h) и (V, h') положи-
положительно согласованы, то (при п > 1) карты (V, k) и (V, k')
также положительно согласованы.
Предположим теперь, что многообразие SC ориенти-
ориентируемо и ориентировано. Так как при /; > 1 для любой
точки p?dD, очевидно, существует положительная карта,
содержащая точку р и приспособленная к D, то все
приспособленные к D положительные карты высекают на
dD атлас положительно согласованных карт. Об ориента-
ориентации на dD, задаваемой этим атласом, мы будем гово-
говорить, что она индуцирована ориентацией многообразия X'.
При п = 1 область D является системой отрезков (на
прямой или окружности), a dD состоит из их концов.
Ориентация многообразия SC задает на этих отрезках
направление, и мы введем на dD ориентацию (в смысле
замечания 1 лекции 25), считая, что правый конец каж-
каждого отрезка имеет знак +. а левый знак —.
Таким образом, в ориентируемом (ориентированном)
многообразии SC край любой области с регулярной гра-
границей является ориентируемым (ориентированным) много-
многообразием.
Так как, согласно теореме Сарда (см. лекцию 15)
край произвольной области с регулярной границей
является нуль-множеством, то каждая компактная об-
область D с регулярной границей кубируема. Поэтому,
в предположении, что многообразие SC ориентировано,
для любой формы со степени п на SC и любой компакт-
компактной области D с регулярной границей определен интеграл

422 ТЕОРЕМА СТОКСА
Этот интеграл определен также и для некомпактных об-
областей D, если только форма ш финитна.
В частности, для любой формы со степени п — 1 (финит-
(финитной, если область D некомпактна) определен интеграл
A) Jdro.
С другой стороны, определен (по отношению к индуци-
индуцированной ориентации многообразия dD) также и интеграл
t*co,
где i: dD—+ SC — вложение. Для сокращения формул мы
будем этот интеграл обозначать символом
B) $
(ID
Теорема 1 (теорема Стокса для областей
с регулярной границей). Для любой области D
с регулярной границей хаусдорфова паракомпактного
ориентированного п-мерного многообразия SC и любой
формы co^Q".^ (финитной, если область D неком-
некомпактна) имеет место равенство
C) J йш = J ю.
0D
Доказательство. Ясно, что все карты (Va, ha)
многообразия ?V, либо не пересекающиеся с dD, либо
приспособленные к D, составляют атлас на X. Так как
многообразие SC по условию паракомпактно и хаусдор-
фово, то существует подчиненное покрытию {(/„} разбие-
разбиение единицы {г)а}. Так как ю = 2т1ай) и cfo = 2cKT)aCl)). то
dD a dD
(ясно, что интеграл аддитивен и по отношению к беско-
бесконечным суммам рассматриваемого здесь типа, имеющих
в окрестности любой точки лишь конечное число отлич-

ТЕОРЕМА СТОКСА 423
ных от нуля членов). Поэтому формулу C) достаточно
доказать лишь для формы вида г\аа>, т. е., иначе говоря,
в предположении, что со = 0 вне некоторой положитель-
положительной карты (U, h) = (U, xl, ..., х") многообразия Я', либо
не пересекающейся с 3D, либо приспособленной к D. При
этом, если на V
п хч
со = 2 (—О* wkdxl Л • • • Л dxk Л • • • Л dx",
то
(Е5IЛ...Л^'' на U
(см. формулу D) лекции 19) и, значит,
$ $ J (
Функции wlt ...,wn, рассматриваемые как функции
на h\l)), равны нулю вне некоторого замкнутого множе-
множества, и потому, если их продолжить нулем вне h(U) на
все R", то получатся снова гладкие функции. С другой
стороны, открытое множество h(U) мы можем без огра-
ограничения общности считать ограниченным, т. е. содержа-
содержащимся в некотором кубе
(на границе которого все функции wlt равны, следова-
следовательно, нулю).
Случай 1. Карта (U, h) не пересекается с dD.
В этом случае интеграл B) равен, очевидно, нулю (ибо
t*(D = O), и, значит, для доказательства формулы C) нам
достаточно доказать, что равен нулю интеграл A). При
этом без ограничения общности мы можем считать, что
либо U с &\D, либо U cD. Но при U с JT\D интег-
интеграл A) заведомо равен нулю, а при U с D он выражается
формулой
= V
-p.

424 ТЕОРЕМА СТОКСЛ
и, значит,—так как для любого k=l, ..., п интеграл
j ^±dxk = wk(x\ ...,R x")-W/t(x\ .... -R x")
равен нулю,--также равен нулю.
Случай 2. Карта (U, h) приспособлена к D. В этом
случае по аналогичным соображениям
D k=\-R -R -R
R R
= \ ... \ a>!@, x* xn)dxl ... dx\
-R -R
С другой стороны, так как i*(dxl) = 0 и /* (dx2) =
= dyl i*{dxn) = dy"-1 (ибо ^ = 0 и х* = у\ ...
.. ., хп=у"-х на dD), то
1*со = ш1(О, у1, ...,yn-l)dyx/\ ... Ady"'1 на
Поэтому
R R
... dxn =
-r
R R
= 5 ... 5^@,у1 y-
Л ft
5 5
- Л - ft
\ * @.
Следовательно,
J dco = J со. ?
Следствие 1. Для любой финитной формы со сте-
степени п — 1 на ориентированном п-мерном паракомпакт-
ном хиусдорфовом многообразии SC имеет место равенство
D)
Доказательство. Пусть р0—произвольная точка
многообразия SC и (U, h) — такая карта в Ж, что po€U
И Л (?/) = !&", где, как всегда, |3'?' — открытый шар прост-

Формулы гауссА - остроградского и др. 425
ранства R" радиуса 2 с центром в точке 0. Пусть, далее,
D1 = /i~1 (В?), где В? —замкнутый концентрический шар
радиуса 1, и пусть D2 = ^\Int?)l. Ясно, что оба мно-
множества Dt и D2 являются областями с одной и той же
регулярной границей (краем) Л (S"). (Говорят, что Ог
получено из SC высверливанием шарика D,.) При этом
ориентации, индуцированные на краю Л~1C"~1) ориен-
ориентацией многообразия SC, как легко видеть, противопо-
противоположны (что можно записать формулой дп2 — — dD^, и,
значит,
J ш= J со.
dD,
Следовательно, применив теорему 1 к областям Dt и D2
и учтя, что
j dio — ^ dco -| ^ da,
SC D, I),
мы немедленно получим D). П
Формулу D) можно считать частным случаем общей
формулы C), если условиться, что интеграл от произволь-
произвольной формы по пустому множеству равен нулю.
Следствием 1 мы уже пользовались в лекции 25 (см.
стр. 406).
В частном случае, когда & является пространством R:i
с координатами х, у, г, каждая форма ш степени 3 на SP
имеет вид fdx/\dy/\dz, где / — некоторая функция,
и для любого кубируемого множества DcR3 интеграл
j со равен интегралу Римана J / (л:) dx, который в рас-
D D
сматриваемом случае обычно, чтобы подчеркнуть трехмер-
трехмерность и возможность сведения к трехкратному интегралу
Римана на прямой, обозначается символом
Ш
D
fdxdydz.
По аналогии, для любой ориентированной поверхности 9?
в R3 (ориентированного двумерного подмногообразия) и
любой формы
u> = Pdy /\dz+ Qdz Adx+Rdx Ady

426
Формулы гаусса - острограДского и Др.
на R3 (обратите внимание на порядок дифференциалов во
втором слагаемом!) интеграл \ со /т. е., точнее, интеграл
\ i*co, где t — вложение ?V —*R3\ обозначается символом
sc ;
E) ^Pdydz + Qdzdx + Rdxdz.
Поскольку
мы в качестве частного случая теоремы 1 получаем, сле-
следовательно, что для любой области D cR3 с регулярной
границей и любых функций Р, Q и R имеет место фор-
формула
Ш (?+?+?
= \\Pdydz+Qdzdx + Rdxdy.
дО
Формула F) называется формулой Гаусса—Остро-
Гаусса—Остроградского.
Замечание 1. Конечно, в формуле F) все интегралы
предполагаются существующими, т. е. либо функции Р,
Q и R финитными, либо область D компактной (и, конечно,
функции Р, Q и R опреде-
определенными на D). Вместе с тем
для справедливости этой фор-
формулы нет нужды обязательно
предполагать, что D являет-
является областью с регулярной
границей; достаточно, скажем,
считать границу области D
кусочно регулярной (в понят-
понятном смысле).
Замечание 2. Ориентация плоскости в R? задается
ее стороной, т. е. вектором, ортогональным плоскости.
Поэтому ориентация поверхности в R3 задается полем от-
отличных от нуля нормальных векторов. Легко видеть, что
для индуцированной ориентации края dD в формуле F)
это поле состоит из внешних нормалей.

МНОГООБРАЗИЯ С КРАЕМ 427
На плоскости Ra аналог формулы F) имеет вид
3D
и называется формулой Грина. Здесь ориентация
края 6D, т. е. направление обхода, задается требованием,
чтобы область D оставалась слева.
Наконец, на прямой R формула C) переходит в фор-
формулу Ньютона—Лейбница
(8)
(Напомним, что интеграл по ориентированному нульмер-
нульмерному многообразию задается формулой C) лекции 25
и что по определению точка
Ь входит в край отрезка [а, Ь]
со знаком -j-i а точка а—со
знаком —.)
Понятие области с регу-
регулярной границей — вместе с
теоремой 1—допускает важ-
важное обобщение.
Пусть R?_, — полупростран-
полупространство пространства R", состоя-
состоящее из точек х = (х1, ..., х"),
для которых-x1^ 0, н пусть
R^—его край, состоящий из точек дг, для которых х1 = О
Подмножество V с R" мы назовем д-открытым, если
оно является открытым множеством либо в R", либо
в R"_,, т. е. если существует такое открытое множество V
в R", что либо U = W, либо U = U nR"-,- Отображение
ф: U —> R™, определенное на d-открытом множестве V cR",
мы будем называть гладким, если существует такое откры-
открытое множество U' с R" и такое гладкое отображение ф':
V —* R, что V с V и ф'|с; = ф. Это равносильно суще-
существованию у функций, задающих отображение ф, непре-
непрерывных частных производных всех нужных порядков (при
условии—в случае, когда V с R"_, и U nR" Ф 0. что
в точках из U n Rg дифференцирование по х1 понима-
понимается как дифференцирование справа). Отображение ф:
U—уУ <3-открытых множеств называется диффеоморфиз-

428 МНОГООБРАЗИЯ С КРАЕМ
мом, если оно биективно, гладко и обратное отображение
Ф: V—-U также гладко.
Пусть &) — произвольное множество. Пару (U, h), со-
состоящую из подмножества U с S) и биективного отобра-
отображения h: U—+h{U) на d-открытое множество /i((/)cR",
мы будем называть д-картой в ?D. Две d-карты (U, h)
и (V, k) мы называем согласованными, если либо V n V= 0,
либо (УпУ=?0 и
а) оба множества Л (?/ П V) и k (U п V) являются д-от-
крытыми подмножествами пространства R";
б) отображение
является диффеоморфизмом. Ясно, что каждая карта в 3)
(в смысле определения 1 лекции 6) является д-картой
и согласованные (в смысле определения 2 лекции 6) карты
согласованы и как д-карты.
Атласом д-карт на множестве @> называется (ср. оп-
определение 3 лекции 6) множество попарно согласованных
^-карт (?/„, А„), обладающих тем свойством, что их носи-
носители Ua покрывают S). Легко видеть (ср. предложение 1
лекции 6 и его следствие 1), что любой атлас д-карт
А содержится в единственном максимальном атласе, кото-
который состоит из всех d-карт, согласованных с д-картами
из А.
Определение 2. Множество &), в котором задан мак-
максимальный атлас d-карт, называется гладким д-многооб-
д-многообразием (а карты этого атласа—гладкими картами).
fjPfКонечно, каждое многообразие X является д-много-
образием.
Подчеркнем, что, как и в лекции 6, мы считаем фикси-
фиксированным размерность п пространства R" (эта размерность
называется размерностью d-многообразия Яй и обозна-
обозначается символом dim®), а также класс гладкости С всех
рассматриваемых отображений, где г—либо неотрицатель-
неотрицательное целое число, либо один из символов с» или м. (Этот
класс называется классом гладкости d-многообразия @>\
как правило, мы будем считать, что г = оо.)
Топология в d-многообразия вводится тем же способом,
что и в многообразия, т. е. подмножество О в д-многооб-
разии HD тогда и только тогда считается открытым, когда
для любой гладкой карты (U, h) множество h(Of\U)
d-открыто в R". Тем самым каждое d-многообразие оказы-
оказывается топологическим пространством (удовлетворяющим

ВНУТРЕННИЕ И КРАЕВЫЕ ТОЧКИ 429
первой аксиоме счетности и —в предположении хаусдор-
хаусдорфовости—локально компактным).
Определение 3. Внутренней картой ^-многообразия 3>
называется d-карта (U, h), для которой множество h (V)
открыто в R". Точка р$3) называется внутренней точкой
д-многообразия 3), если в 3> существует такая внутрен-
внутренняя карта (V, h), что р ? U. Множество всех внутренних
точек д-многообразия 3) обозначается символом int 3)
(обратите внимание на строчность первой буквы!) и назы-
называется его внутренностью.
Ясно, что множество int3> открыто в 3> и является
гладким многообразием (с атласом, состоящим из всех
внутренних карт).
Задача 1. Докажите, что int 3) не пусто (если 3>
не пусто), и, более того,
Определение 4. Краевой картой ^-многообразия &>
называется такая его d-карта (U, h), что h (и) с R?.,
и h(U)(] Kg =7^= 0- Точка р?@) называется точкой края
д-многообразия S), если в ?D существует такая краевая
карта (U, h), что p$U и h (р) 6 h (U) n RJ. Множество
(возможно, пустое) всех точек края обозначается симво-
символом д@) и называется краем д-многообразия 3>. По опре-
определению
Предложение /. Никакая внутренняя точка не явля-
является точкой края и, наоборот, никакая точка края не
является внутренней точкой:
Доказательство. Утверждение, что р g d?D n int 3)
означает, что в @> существует такое открытое множество U,
содержащее точку р, и такие отображения Л: V —> R?_,
и k: {/—*R", что пара (U, К) является краевой, а пара
(U, k) — внутренней картами д-многообразия @>. Следо-
Следовательно, множество k(U) открыто в R", а множество
h(U) — нет. Поскольку отображение h о k~l является диф-
диффеоморфизмом множества k(U) на множество h(U), это
противоречит доказываемой ниже лемме 1. Поэтому точка р
существовать не может и, значит, д@) {) Ы 3) =* 0. О

430 ВНУТРЕННИЕ И КРАЕВЫЕ ТОЧКИ
Лемма 1. Пусть ц>\ О—<-R"—гладкое отображение
(класса Сг, г^\) открытого множества OczR" в про-
пространство R". Если в каждой точке х?О якобиан Др
отображения ф отличен от нуля, то множество ф(О)
открыто.
Доказательство. Согласно теореме об обратном
отображении (см. лекцию 6) точка х?О обладает окрест-
окрестностью UсО, отображающейся на некоторую окрестность V
точки ф (х). Так как V с ф (О), то, следовательно, ф (х) 6
€lntq>@), а так как это верно для любой точки х?Х,
то <p(O) = lnt(p(O), т. е. множество ф(О) открыто. ?
Предложение 1 справедливо и при г = 0 (для топологи-
топологических многообразий). Соответствующий аналог леммы 1
(известный как теорема Брауэра об инвариант-
инвариантности области) утЕерждает, что если непрерывное
отображение ф: О—* R открытого множества О с R" в про-
пространство R" является монеоморфизмом (гомеоморфизмом
на ф (О)), то множество ф (О) открыто. К сожалению, у нас
нет места для изложения довольно длинного и канитель-
канительного доказательства этого утверждения.
Следствие /. Край дШ> произвольного д-многообра-
зия &) замкнут в &).
Доказательство. Согласно предложению 1 д@) =
= ®\intS>, a intS) открыто в®. ?
Следствие 2. Равенство д@) = 0 имеет место тогда
и только тогда, когда д-многообразие @> является мно-
многообразием.
Доказательство. Ясно, что &> тогда и только
тогда является многообразием, когда int &) = &). ?
На основании следствия 2 гладкие многообразия назы-
называются также многообразиями без края. В соответствии
с этим ^-многообразия с д@> Ф 0 называются многообра-
многообразиями с краем. Впрочем, термин «многообразие с краем»
часто используется и как синоним термина «д-многообра-
зие». (Когда же эта терминологическая вольность может
привести к недоразумениям, говорят о «многообразиях
с непустым краем» или соответственно «о многообразиях
с краем или без».)
Особо важное значение имеют компактные многообра-
многообразия без края. Такие многообразия называются замкнутыми.
Для каждой краевой карты (U, h) = (U, xl, ..., х")
d-многообразия S> пара (U f\d@), hu г\дй) является в силу
отождествления IR^'^IR" картой в д&> (с локальными
координатами х2, . ¦., х"), и все такие карты составляют

ВЛОЖЕННЫЕ а-ПОДМНОГООБРАЗЙЯ 431
атлас на дЗ). Это показывает, что край д&> произвольного
п-мерного д-многообразия 3) является (п—Л)-мерным мно-
гообразием без края.
Ясно, что любая область D с регулярной границей
является д-многообразием с краем дЬ. (Для этого д-мно-
гообразия d-картами являются либо содержащиеся
в Int D карты объемлющего многообразия X, либо пере-
сечения с D приспособленных к D карт.) Размерность
этого ^-многообразия равна размерности «многообразия^.
Отображение /: 3) —->- X d-многообразия 3> в ^-много-
^-многообразие^ (впрочем, нам нужен будет лишь случай, когда X
не имеет края) называется гладким, если оно непрерывно
и для любых двух d-карт (U, h) в 3) и (V, k) в X, для
которых fU с V, составное отображение
fto/oft-ь h{U)-+ k(V)
гладко.
Пусть многообразие SC не имеет края (в случае, когда
д2СФ 0, возникают некоторые осложнения, в которые мы
сейчас не хотим вникать), и пусть ^ci1. Если вложе-
вложение i: 3)—+% гладко, а многообразия intS) и дЗ> яв-
являются вложенными подмногообразиями многообразия X,
то &> называется (вложенным) д-подмногообразием много-
многообразия X.
Например, любая область с регулярной границей
является д-подмногообразием.
Задача 2. Докажите, что если размерность ^-подмногообразия <55
многообразия X равна размерности многообразия X, то @) является
областью с регулярной границей в Х-
Дифференциальной формой со степени т на д-много-
образии к> мы будем называть такую форму на intS>,
что для любой краевой карты (U, К) коэффициенты со;,.. .,-,„
этой формы в карте ((У flint®, ft|unintas) многообразия
int?Z> являются ограничениями некоторых (очевидно, одно-
однозначно определенных) гладких функций, заданных на U.
Последние функции мы будем обозначать теми же симво-
символами с»;,.. jm и будем называть их коэффициентами формьш
в карте (U, h). Ограничения на U {\д&> коэффициентов
®t,...im с ln •••> 'm^l являются, очевидно, коэффици-
ентами некоторой формы степени m— 1 на d?D, которую
мы будем обозначать символом со |<ад>.
В случае, когда 3) является d-подмногообразием мно-
многообразия без края SC (например, областью с регулярной

432 ТЕОРЕМА СТОКСА ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ С КРАЕМ
границей), для любой формы со на SC форма /*со, где /:
int^-4-S" — вложение, является, очевидно, формой на S>.
Для этой формы /*о> \д$ — t*(o, где i — вложение д@)~>3'.
Задача 3. Докажите, что любая форма на Щ имеет вид / со,
где со—форма на <%.
Многообразие с краем ёЬ называется ориентируемым
(ориентированным), если ориентируемо (ориентированно)
многообразие int Е). На ориентированном.д-многообразии &)
краевая карта (U, К) называется положительной, если
положительна внутренняя карта (Uflint®, п\ипш?)-
Дифференциальную форму на ^-многообразии &) мы
будем называть финитной, если она равна нулю Ене не-
некоторого компактного множества С с &). Если хаусдор-
фово и паракомпактное д-многообразие &) ориентировано,
то для любой финитной формы со степени п — д\т@>
определен интеграл
Int D
Мы будем называть этот интеграл интегралом от а по НО
и будем обозначать его симголом
(9) J со.
Если Ш> является областью D с регулярной границей
в многообразии %', а форма со—ограничением некоторой
(финитной, если область D не компактна) формы со' на SC,
то, поскольку край dD является в силу теоремы Сарда
нуль-множеством, интеграл (9) равен интегралу
от формы со' по D.
Конструкция индуцированной ориентации края для
областей с регулярной границей дословно переносится на
любые ориентированные d-многообразия. В дальнейшем,
говоря о крае ориентированного ^-многообразия &>, мы
всегда будем предполагать, что он снабжен индуцирован-
индуцированной ориентацией.
В частности, для любой финитной формы © степени
п—1 на ориентированном n-мерном хаусдорфовом и пара-
компактном ^-многообразии Ш> это позволяет говорить

ТЕОРЕМА СТОКСА ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ С к(>ЛЁМ 433
об интеграле
к
который для упрощения формул мы будем обозначать
просто через
A0) S
(о.
Теорема V (теорема Стокса для многообра-
многообразий с краем). Для любой финитной формы со степени
п— 1 на п-мерном хаусдорфовом паракомпактном и ори-
ориентированном д-многообразии 3) имеет место формула
A1) J dco = J о.
Доказательство теоремы Г фактически дословно
повторяет доказательство теоремы 1 и мы предоставим
его читателю. ?
При д^> — 0 целесообразно считать интеграл A0) рав-
равным нулю. В силу этого соглашения следствие 1 теоремы 1
оказывается частным случаем теоремы Г.
В случае, когда &> является ^-подмногообразием мно-
многообразия SC, для любой формы со степени п на много-
многообразии SP (заметим, что п здесь — размерность SD, а не
SCX), обладающей тем свойством, что форма /*ю на й)
финитна (где, как и выше, / — вложение 3>- ¦> S) интеграл
мы будем обозначать символом
A2) S»
(а формы со на SC, для которых форма /*ю финитна, будем
называть формами, финитными на ШУ).
В силу этого соглашения будет, очевидно, справедлива
следующая теорема, обобщающая теорему 1:
Теорема Г (теорема Стокса для д-подмного-
образий.) Для любого п-мерного ориентированного
д-подмногообразия @> хаусдорфова и паракомпактного
многообразия № и любой финитной на 3> формы со сте-
степени п—1 на SC имеет место формула A1). D

434 ТЕОРЕМА CfORcA ДЛИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Двумерные ^-подмногообразия пространства Ra назы-
называются поверхностями с краем. Для любой такой поверх-
поверхности &) и любой формы
(о = р dy Д dz -|- Q dz Л dx -1- R dx Л dy
в R3 интеграл A2) обозначается символом
A3) \\Pdydz-iQdzdx-\-Rdxdy
(ср. E)). Поэтому в этом случае формула A1) (для форм
о = Рdx + Qdy-Ь Rdz) приобретает вид
Формула A4) известна как формула Стокса для
поверхностных интегралов в R3.
Замечание 3. Интересно, что название «формула
Стокса», применявшееся сначала к формуле A4), а затем
перенесенное на ее обобщения и аналоги C) и A1), воз-
возникло в результате недоразумения. Формула A4) стала
известна в середине XIX века в Кембриджском универ-
университете в Англии и по предложению известного физика
и математика Томсона (который, быть может, ее впервые
и придумал) была включена в экзаменационные билеты
по математике для студентов университета. Она была при-
приписана—сначала лишь студентами — Стоксу только пото-
потому, что он был в это время председателем экзаменацион-
экзаменационной комиссии, подписывавшим билеты.
Теоремы Г и I" могут быть объединены в одной общей
теореме.
Пусть 3) и ЗС—произвольные d-многообразия, и пусть
у: 3> - * 3V — гладкое отображение, переводящее т\.3> с
int 3>. Тогда для любой формы со на SV форма у*м (опре-
(определенная на int®) будет, как легко видеть, формой на 3>.
Поэтому, если она финитна и имеет степень n = dim3), a
многообразие 3> ориентируемо, то определен интеграл
A5)

ТЕОРЕМА СТОКСА ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 435
Гладкие отображения у: &)—>¦??, переводящие int S>
в intJ", для которых d-многообразие S> ориентировано
и n-мерно, мы будем называть п-мерными сингулярными
подмногообразиями д-многообразия &, формы ю на SC, для
которых форма у*(л финитна,—формами, финитными на
у, а интеграл A5)—интегралом от ю по у. В соответст-
соответствии с этим мы будем обозначать интеграл A5) символом
A6)
(О.
«Отображение» 0 —»- SC пустого множества 0 в J мы
также будем считать n-мерным сингулярным подмногооб-
подмногообразием. Интеграл A6) по такому многообразию мы будем
считать равным нулю.
В силу этого соглашения для любого сингулярного
подмногообразия у: S) —+ SC будет определено сингуляр-
сингулярное подмногообразие
y\dt: д®-+Х.
Мы будем называть это сингулярное подмногообразие краем
сингулярного подмногообразия у и будем обозначать его
символом ду.
Теорема /'" (теорема Стокса для сингуляр-
сингулярных подмногообразий). Для любого п-мерного син-
сингулярного подмногообразия у многообразия % и любой
финитной на у формы ю степени п— 1 на& имеет место
формула
A7)
v v
Доказательство. Достаточно применить теорему
Г к форме у*© на &). ?
Теорема Г" сводится к теореме Г, когда у пред-
представляет собой тождественное отображение id: S> —*¦?& и
к теореме Г, когда у является вложением &) —> &.
Интегралы по одномерным сингулярным подмногообра-
подмногообразиям пространства R", п~^2, допускают вполне элемен-
элементарную трактовку. Пусть для определенности п = 2, и
пусть ?D является отрезком [а, Ь] и, значит, сингуляр-
сингулярное многообразие у: @) —>- R2 не чем иным, как плоской
гладкой кривой
A8) x = x{t)

436 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА
(не подчиненной, вообще говоря, никаким требованиям
регулярности). Тривиальная расшифровка определений
показывает, что для любой формы Pdx + Qdy на R2 ин-
интеграл по кривой Aф) задается формулой
A9) ^
v
ь
J ), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)]dt,
которая может быть принята за его определение. Интег-
Интегралы такого типа часто встречаются в задачах анализа
и называются криволинейными интегралами второго рода.
При п = 3 они имеют вид
Qdy-{ Rdz=l[P(x{i), y(t), z{t))x'{t)-y
a
+Q(x(t), y(t), z(t))y'(t)-\-R(x((), y(t),z(())z'(t)}dt
и аналогично для любого п.
[Криволинейные интегралы первого рода были введе-
введены в предыдущей лекции. Они являются интегралами от
плотностей, а не от форм.]
Заметим, что интеграл A9) имеет смысл не только для
гладких, но и для кусочно гладких кривых у.
В случае, когда 3> является ориентированной окруж-
окружностью S\ сингулярное многообразие у называется замк-
замкнутой кривой. Выбрав отрезок [а, Ь\, точку Доб^1 н
отображение а: [а, Ь] —+ §\ переводящее точки а и b в
точку s0 и диффеоморфно отображающее (с сохранением
ориентации) интервал (а, Ь) на дугу S1\{s0}, мы можем
каждую такую кривую отождествить с кривой р = уоа:
[а, Ь] —> IR", обладающей тем свойством, что f>(a) — fi(b).
(На этом основании кривые Р: [a, b\—+R", для которых
Р(«) = р(/?), также называются замкнутыми кривыми; ср.
лекцию 1.)
Это отождествление согласовано с интегрированием,
т. е. для любой замкнутой кривой у интеграл по у (обычно
обозначаемый, чтобы подчеркнуть замкнутость кривой у,
символом (J)) равен криволинейному интегралу по р.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 437
В случае, когда S> состоит из нескольких ориентиро-
ориентированных окружностей, сингулярное многообразие у явля-
является системой Yi. • • •. У„ замкнутых кривых, и для соот-
соответствующего интеграла имеет место формула
§ = §+...-у §.
V Vi Vn
В частности, для любой компактной плоской области
SDcR2 с регулярной (или — в понятном смысле—кусоч-
смысле—кусочно регулярной) границей и любой формы Pdx + Qdy
на IRa это отождествляет интеграл ф Р dx -f Q dy нз фор-
дЗЬ
мулы Грина G) с криволинейным интегралом ф Р dx-\-Qdy.
Таким образом, оба интеграла в формуле Грина G)
допускают вполне элементарную трактовку, чего нельзя
сказать, например, об интеграле в правой части формулы
Гаусса — Остроградского F) или в левой части формулы
Стоке а A4).

Лекция 28
Операторы векторного анализа. —Следствия тождества
dod = 0.—Следствия формулы дифференцирования произ-
произведения.—Операторы Лапласа и Бельтрамн. — Поток
векторного поля. — Формула Гаусса—Остроградского для
расходимости н формулы Грина.—Расходимость как
плотность источников. — Формула Стокса для циркуля-
циркуляции.— Формула Гаусса — Остроградского для вихря.—
Обобщенная формула Гаусса —Остроградского.
В этой лекции мы изучим особо важный для прило-
приложений случай форм в пространстве R3.
Наличие в пространстве R3 фиксированной координат-
координатной системы и стандартной евклидовой метрики позво-
позволяет отождествить линейные дифференциальные формы
Р dx -|- Q dy -I R dz на R3 (а также формы Р dy Adz -f
+ Qdz A dx+Rdx A dy второй степени) с векторными
полями
A) u = Pl+QJ + Rk,
где I, j, к—векторы стандартного базиса в R3. Это при-
приводит к весьма богатой теории, известной как вектор-
векторный анализ (или теория поля). Хотя теоретическое
значение векторного анализа минимально, мы все же его
достаточно подробно изложим, поскольку он играет важ-
важную роль в физико-технических приложениях, связанных
с гидродинамикой и электромагнетизмом (достаточно ска-
сказать, что уравнения Максвелла электромагнитного поля
наиболее элегантно—если не пользоваться четырехмерным
формализмом специальной теории относительности—запи-
относительности—записываются с помощью дифференциальных операторов век-
векторного анализа).
Основным полем действия векторного анализа явля-
является алгебра гладких функций F, определенных на неко-
некотором открытом множестве f cR8 (которое во всем даль-
дальнейшем мы будем считать фиксированным), и F-модуль а
векторных полей на W.
Отождествление модуля а с модулями й1 и~?2г диф-
дифференциальных форм степени 1 и 2 (а алгебры F, рас-
рассматриваемой как модуль над самой собой,—с модулем
Q3 форм fdxAdyAdz степени 3) позволяет операторы
внешнего дифференцирования

ОПЕРАТОРЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
439
интерпретировать как операторы
F —>- а —>- а —i
F.
Первый из этих
символом grad. Он
функции F векторное поле
B)
операторов (из F в а) обозначается
сопоставляет произвольной гладкой
dF , dF .
dyJ+ дг **
называемое градиентом функции F.
Второй оператор (из а в а) обозначается символом
rot. Он сопоставляет векторному полю A) поле
'0L—E!L\ t I ( dQ dP\h
дг дх JJ'l~\ дх ду ) ff>
называемое вихрем (или ротором) поля и.
Формулу C) можно записать в следующем условном
мнемоническом виде
D)
rot и =
д
дх
Р
J
д
ду
Q
k
д
дг
R
Раньше вместо rot и часто писали curl и, но ныне это
обозначение вышло из употребления.
Третий оператор (из а в F) обозначается символом
div. Он сопоставляет векторному полю A) функцию
_ дР . dQ л OR
называемую расходимостью (или дивергенцией) поля и.
Кроме этих операторов (и операции умножения на
функции), на модуле а определены также операции ска-
скалярного и векторного умножения, сопоставляющие век-
торным полям
u = Pl-\-Qj+Rk nv = Xl-\Yj + Zk
функцию
и векторное поле
v = {QZ—RY)l
соответственно.
{RX —PZ)J4- (PY—QX)? =
J
Q
Y

440 Следствия тождества <м=0
Все эти операторы (и операции) связаны друг с дру-
другом многочисленными тождествами.
Прежде всего тождество dod = 0 дает нам два тож-
тождества
F) rot grad F = О и divrot» = 0,
легко, впрочем, проверяемые и прямым вычислением.
Поля вида grad F называются потенциальными, а вида
rot и—соленоидальными (в переводе: трубчатыми). Если
a = grad/r, то F называется потенциалом поля и, а если
v — rotu, то поле и называется векторным потенциалом
поля v. Если W связно, то потенциал F определен полем
и с точностью до постоянного слагаемого.
Поле и называется безвихревым, если rot и = 0 и полем
без источников, если div« = O. Векторный потенциал и
поля rot и определен с точностью до безвихревого поля.
Согласно тождеству F) любое потенциальное поле явля-
является безвихревым и любое соленоидальное поле является
полем без источников. [При этом факторпространство
линейного пространства безвихревых полей по подпрост-
подпространству потенциальных полей является не чем иным, как
одномерной группой когомологий де Рама HlW области
W, а факторпространство полей без источников по под-
подпространству соленоидальных полей — группой H2W. По-
Поэтому все безвихревые поля потенциальны тогда и только
тогда, когда HlW — 0, а все поля без источников соле-
ноидальны тогда и только тогда, когда //21У = 0.|
Пример 1. Поле вида
где г = xi + yj + zk, a r = | г \ = Vх2 4- У2 -f г2, называет-
называется центральным полем. Для этого поля
(a tt? = Rs\{0}). Так как
дг х дг __ у дг _ г
дх ~~ г ' ду " г ' дг г '
то матрица
дР
дх
dQ
дх
dR
дх
дР
ду
dQ
ду
dR
ду
dP
dz
dQ
dz
dR
cte

СЛЕДСТВИЯ ТОЖДЕСТВА d-d = 0 441
имеет вид
/у\ I р /,\ ^?_ р i.\ У
Г (г) у- f'(r)^-+f(r)
Пг)*- Пг)-?
Симметричность этой матрицы означает, что rot и = 0, т. е.
что каждое центральное поле является безвихревым полем.
Более того, так как Я1(К3\{0}) = Я1(83) = 0, то каждое
центральное поле потенциально. (Соответствующий потен-
потенциал F определяется при этом формулой
где, конечно, нижний предел интегрирования может быть
любым другим положительным числом.)
Если, в частности, f(r) = —^ и, значит, |и| = -^
(гравитационное поле материальной точки
массы ffto), то F(г) = -^2-(с точностью до константы).
Этот потенциал называется ньютоновским.
Расходимость центрального поля равна сумме
диагональных элементов матрицы G). Решая дифферен-
дифференциальное уравнение rf (r) + 3f(r) = 0, мы немедленно по-
Q
лучим, что f(r) — -^-. Таким образом, центральное поле
тогда и только тогда является гравитационным полем
(полем ньютоновского потенциала), когда оно не имеет
источников (в области IRs\{0}, где оно определено).
Внешнее произведение шД0 дифференциальных форм
при dega>= 1 и deg в = I переходит в силу наших отож-
отождествлений в векторное произведение полей, а при
degw= 1 и deg9 = 2—в их скалярное произведение (и при
deg w = 0 является произведением поля 9 на функцию со).
Поэтому формула
= fda + df Дед

442 СЛЕДСТВИЯ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
даст нам соотношения
(8) grad {FG) = F grad G + G grad F,
(9) rot (Fu) = Frotu + grad Fxh,
A0) div(Fu) = F div u + grad Fu,
а формула
— соотношение
A1) div(ux z») = (rot ы) v—«rot г».
Конечно, формулы (8)—A1) без труда получаются и
прямым вычислением.
Мнемоническая формула D) наводит на мысль ввести
в рассмотрение сомволическое векторное поле
V ~dxl+dyJ + dzKm
Тогда поле rot и будет векторным произведением V х и
поля V на поле и:
rot и = ух«,
функция div и — скалярным произведением vu поля V на
поле и:
а поле grad F—если записывать скалярный множитель
справа — произведением ^F функции F на поле \:
Эти представления операторов rot, div и grad через
символический оператор V позволяют записать соотноше-
соотношения (8)—A1) в виде одного удобного для запоминания
тождества
A2) V®(a®Y) = V®(a©P) + V©(os©fo,
где а и р—либо функции, либо поля, ® и @ — два из
трех возможных умножений (на функцию, скалярное или
векторное), а стрелка I отмечает множитель, подвергаю-
подвергающийся воздействию оператора V- Действительно, при a = F
и P = G—это, очевидно, формула (8), a npua = FH$=u
в зависимости от выбора умножений —формулы (9) и A0).
При а = и и p=v, в предположении, что G) — скалярное

СЛЕДСТВИЯ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 443
умножение, а ©—векторное, формула A2) имеет вид
4- 4
V (й х v) = V (й х v) + V (й х v).
Но в силу косокоммутативности смешанного произведения
(и коммутативности скалярного)
4 4. 4
V (их о) = vuv = ©V» = vvu = v (V х и) = (v х и) v
4 4 4
V (й х в) = V»c = — uvv — —uyv = — и (v х v).
Поэтому в этом случае формула A2) сводится к форму-
формуле A1).
Заметим, что при а = и и р = с в формуле A2) оста-
осталось еще два не рассмотренных случая:
A3) ( () (
A4) v
Чтобы расшифровать эти формулы, мы для любого век-
векторного поля а = At + Bj + Ck условимся под av пони-
понимать оператор a—>F, действующий на поле й = ЯЛ-Q/+
+ Rk по формуле
(отказываясь, тем самым в отношении символического век-
вектора V от коммутативности скалярного умножения). Тог-
4
да, раскрывая двойные векторные произведения V х(их v)
и V х (и х v) (по известной формуле с х (a x b) = (cb) a —
— (ас)Ь; см. лекцию 1.15), мы получим, что
V х (и х v) = (z»v) и—(Уй) v = (w) й—(div и) v
4
V X(йХ V) = (V») й—(«V) v = (div в) и—(«V) V.
Так как по определению ух(йХ c) = rot (их о), то фор-
формула A4) приобретает тем самым вид
A5) rot (и х v) = (cV) й—(«V) г» + (div в) й—(div и) в.

444 ОПЕРАТОРЫ ЛАПЛАСА И БВЛЬТРАМИ
Аналогично, применив к полям их rot p = »x(VX!i)
и ©xrot и = vx(VXU) ту же формулу двойного вектор-
векторного произведения, но переписанную в виде сх (ахй)-=
=a(cb)—(са)Ь, мы получим соотношения
ttxrot i» = v (uv) — {uv) v
©xrot « =
В силу этих соотношений формула A3) приобретает вид
A6) grad(uv) = и хrot и + v xrol и -f (г» V) и 4- (»V) v.
Замечательно, что, как показывает непосредственное вы-
вычисление, формулы A5) и A6) на самом деле справед-
справедливы (так что формула A2) верна всегда, когда она имеет
смысл).
[Сложность формул A5) и A6) объясняется тем, что
значения оператора rot на векторном поле «хи и опе-
оператора grad на функции uv не имеют прямой интерпре-
интерпретации в терминах внешнего дифференцирования форм.]
Пример 2. Пусть а—постоянный вектор. Найдем
поле grad (ar), где, как всегда, r = xl-\-yj-\-zl. Ясно,
что rota = 0 и (rv)a = O. Кроме [того, как показывает
непосредственное вычисление, rotr = 0 (поле г цент-
центрально) и (av)r=a. Следовательно, grad(ar) = a.
Компонируя операторы grad, rot и div, мы получим
операторы
rot о grad: F—«-a, div о grad: F—+F,
grad о div: а —> it, rot о rot: а —>• а,
div о rot: а—i-F.
Операторы rot о grad и div о rot, как мы знаем, тож-
тождественно равны нулю. [Заметим, что оператор v сводит
это к утверждению, что векторное произведение двух
одинаковых векторов равно нулю: (rot о grad) F = V X \F^
= (VXV)/7 = 0 и (divorot)M = V(VXM) = (VXV)M = O.J
Из остальных операторов наибольший интерес пред-
представляет оператор
div о grad = v2.
Этот оператор обозначается символом А и называет-
называется оператором Лапласа (или лапласианом). Каждую

ОПЕРАТОРЫ ЛАПЛАСА И БЕЛЬТРАМИ 445
функцию F он переводит в функцию
С его помощью записываются важнейшие уравнения ма-
математической физики, которым по учебному плану уни-
университетов посвящен отдельный курс.
Оператор Л можно применять и к векторным полям,
воздействуя им на каждую компоненту в отдельности:
если u = Pi-\ QJ-\ Rk, то по определению
Тогда будет иметь место формула
rot о rot = grad о div—А.
Действительно, согласно формуле для двойного вектор-
векторного произведения
rot(rotM) = vx(VXM) = V(VM) — (?V)«. ?
[Конечно, это не доказательство, а лишь эвристическое
подтверждение. Настоящим доказательством, которое мы
предоставим читателю, будет лишь прямое вычисление
с помощью формул B), C) и E).]
Можно составлять и другие дифференциальные выра-
выражения. Например, для любых двух функций F и G опре-
определено скалярное произведение их градиентов:
OF dG . dF dG . OF dG
h +
Оно обозначается символом Л(/\ G) и называется сме-
смешанным дифференциальным параметром Бельтрами
функций F и G. В частности, при F — G мы получаем
скалярный квадрат градиента:
Он обозначается символом Aj/7 и называется первым диф-
дифференциальным параметром Бельтрами функции F (ср.
с лекцией 3).
Смешанное произведение градиентов трех функций на-
называется дифференциальным параметром Дарбу. Впрочем,
этот термин ныне почти совсем не употребляется, по-
поскольку это смешанное произведение является не чем
иным, как якобианом отображения, задаваемого данными
тремя функциями.

446 ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
С помощью операторов векторного анализа можно
в удобной и компактной форме представить формулу
Гаусса—Остроградского (и формулу Стокса).
Пусть 3)—двумерная ориентированная поверхность
в R3 (с краем или без). Мы знаем (см. замечание 2 в лек-
лекции 27), что ориентация поверхности 3) задается неко-
некоторым гладким полем п = п(М) отличных от нуля нор-
нормальных векторов, которое после нормировки можно
считать состоящим из единичных векторов.
Произвольное векторное поле а, определенное в откры-
открытом множестве W, содержащем поверхность &>, задает на
3) функцию ап, сопоставляющую каждой точке М?&)
проекцию ап(М)=а(М) п(М) вектора а(М) на направ-
направление вектора п(М) (так называемую нормальную сос-
составляющую вектора а(М)).
Определение 1. Интеграл
A7) U>.
от функции ап по поверхности 3> называется потоком
поля а через поверхность 3). (Здесь da—элемент пло-
площади поверхности S>\ см. пример 2 лекции 24.)
Подчеркнем, что в формуле A7) имеется в виду
интеграл первого рода (от плотности).
Если поле а является полем скоростей некоторой
жидкости, то поток A7) равен количеству жидкости, про-
протекающей за единицу времени через поверхность @>.
Если поверхность S) элементарна, то для любой ее
параметризации r = r(u, v), согласованной с ориентацией,
т. е. такой, что векторы ги и rv составляют положи-
положительно ориентированный базис касательной плоскости,
вектор нормали п задается формулой
=
\rttxrv\
(ср. лекцию 4). С другой стороны, из лекции 3 мы знаем,
что элемент площади поверхности задается формулой
da = VEG—F2dudv. Поэтому для потока A7) имеет место
формула
Р Q R
A8)
и и
*п Уа
xv Uv
dudv,

ФОРМУЛЫ ГАУССА-ОСТНОГРЛДСКОГО И ГРИНА 447
где Р, Q, R— координаты вектора а, а V—область пло-
плоскости R2, на которой определена параметризация г —
= r(u, v). Чтобы вычислить поток через неэлементарную
поверхность, надо разбить ее на элементарные части
и к каждой применить формулу A8).
Вспомним теперь, что полю a = Pi + QJ-\ Rk отвечает
дифференциальная форма
Pdy Adz+Qdz Adx+ RdxJ\dy,
а этой форме—интеграл
A9) ^Pdy Adz+Qdz Adx-\ Rdx
= С [ P dy dz 4- Q dz dx + R dx dy
(см. формулу A3) лекции 27). В случае, когда поверх-
поверхность ib элементарна и параметризована (с параметри-
параметризацией r = r(u, v), определенной на открытом множестве
t/cR2), то, расшифровав определение интеграла A9), мы
немедленно получим, что он выражается формулой
tf['
У:
Q R
Уи «я
4 Vv
dudv.
Сравнение этой формулы с формулой A8) обнаруживает,
что поток A7) поля а через поверхность @> выражается
интегралом A9):
B0) С a,;da = С f Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy.
[Доказанная для элементарных поверхностей эта формула
но аддитивности верна и для любых поверхностей.]
Заметим, что формула B0) выражает поток через по-
поверхностный интеграл второго рода.
В случае, когда поверхность является краем 3D обла-
области с регулярной границей, интеграл A9) является не
чем ?иным, как интегралом, фигурирующим в правой
части формулы Гаусса—Остроградского (см. формулу F)
лекции 27). Поскольку подынтегральная функция в ле-

448 ФОРМУЛЫ ГАУССА - ОСТРО ГРАДСКОГО И ГРИНА
вом интеграле этой формулы есть не что иное, как
diva, мы видим, что формула Гаусса—Остроградского
может быть переписана в следующем виде:
B1)
где dV обозначает dxdydz (а знак (ft) справа подчерки-
подчеркивает, что интегрирование ведется по замкнутой поверх-
поверхности). Словами: поток векторного поля через границу
области равен интегралу от расходимости поля по
области.
В случае, когда а — grad F, нормальная составляющая
an = gradF-n обозначается символом ^ и называется
производной функции F по направлению нормали (или
короче—нормальной производной). Так как diva —AF,
то формула B1) приобретает в этом случае вид
B2)
При a = F grad G, согласно формуле A0),
diva = Fdivgrad G + gradF-gradG = F-AG-Ь A (F, G),
Поэтому
B3) J J J [F • AG + A (F, Q)] dV = (ft) F g
Эта формула называется первой формулой Грина.
При F — G она превращается в формулу
а при F= 1—в формулу B2).
Переставив в формуле B3) функции F и G и вычтя
полученную формулу из исходной, мы придем к формуле
как вторая формула Грина.

РАСХОДИМОСТЬ КАК ПЛОТНОСТЬ ИСТОЧНИКОВ 449
Для поля скоростей жидкости правый интеграл
в формуле B1) равен количеству жидкости, вытекающей
из области D. Следовательно, его положительность ука-
указывает на наличие в области источников—точек, в кото-
которых жидкость появляется, а отрицательность указывает
на наличие стоков—точек, в которых жидкость исче-
исчезает. (Впрочем, стоки удобно также называть источни-
источниками, но с отрицательным дебитом.) Сам же интеграл
выражает собой полную мощность источников поля
в области D. Поэтому, разделив его на объем этой обла-
области, мы получим среднюю мощность этих источников в D.
Фиксировав в области D некоторую точку Мо, рас-
рассмотрим последовательность {D } областей, стягивающих-
стягивающихся к этой точке, т. е. таких, что M0?D., и diam Dn—>-0
при п--юо, где diamD,,—диаметр области Dir Тогда
предел
ап da
U,n %
п -»¦ оо
(когда он существует), где V,, — объем области Du, явля-
является не чем иным, как плотностью источников поля
в точке Мо. Но, согласно формуле B1), этот предел
равен
г* г* г*
diva (IV
Ш
lim
vn
и, значит, равен значению функции diva в точке Мо.
Таким образом, расходимость векторного поля является
не чем иным, как плотностью его источников:
aKda
diva= lim. -^^ .
Это дает новое определение расходимости (и, в частно-
частности, при a = gradF—новое определение оператора Лап-
Лапласа AF), имеющее преимущество физической наглядно-
наглядности (и объясняет, почему поля с diva = Q называются
полями баз источников).
Замечание 1. Полезно иметь в виду, что это опре-
определение расходимости и оператора Лапласа пригодно и
15 М. м. Постников, сем. Ш

450 ФОРМУЛА СТОКСА ДЛЯ ЦИРКУЛЯЦИИ
для негладких (даже разрывных) полей и функций.
Нужно лишь, чтобы существовал соответствующий предел.
Как мы знаем (см. выше пример 1), поле
B5) а=-?/Пв
тяготеющей массы не имеет источников (в области
Ra\{0}, где оно определено). С другой стороны, если
Se—сфера радиуса е с центром в точке 0, то
B6)
поскольку интеграл <П) da равен площади 4яе2 сферы Se.
Это означает, что источник гравитационного поля B5)
расположен в точке 0 и его мощность пропорциональна
массе. (Знак минус в формуле B6) указывает, что на са-
самом деле это не источник, а сток.)
Таким образом, можно сказать, что источниками
(стоками) гравитационных полей являются тяготеющие
массы.
Замечание 2. Введя в рассмотрение ньютоновские
потенциалы массивных тел, можно показать, что этот
вывод остается в силе и для гравитационных полей лю-
любой конфигурации, но все это далеко выходит за рамки
нашего изложения. [Такого рода вопросами занимается
теория потенциала, излагающаяся в курсе урав-
уравнений математической физики.]
Фигурирующий в формуле Стокса (см. формулу A4)
лекции 27) интеграл по поверхности является в силу
общей формулы B0) не чем иным, как потоком
\\{Toia)nda
вихря поля rota через ориентированную поверхность &).
Чтобы аналогичным образом интерпретировать интеграл
по краю поверхности, мы прежде всего заметим, что
дифференциальная форма w = P dx -\ Q dy -\ Rdz, отвечаю-
отвечающая векторному полю a = Pi -!- Qj-L Rk, может быть пред-
представлена в виде скалярного произведения adr, где
dr = dx-l \ dy-j + dzk,

ФОРМУЛА ГАУССА— ОСТГОГРЛДСКОГО ДЛЯ ПИХРЯ 451
и, значит, интеграл от формы со по произвольной кри-
кривой у может быть записан в виде
B7) Г a dr.
Пусть кривая у замкнута.
Определение 2. Интеграл B7) по замкнутой кривой у
называется циркуляцией векторного поля а по у.
Чтобы подчеркнуть замкнутость кривой у, интеграл
B7) обозначают в этом случае символом
B8) fa dr.
В частности, циркуляция B8) определена по краю д@)
произвольной ориентируемой поверхности ?D и является
не чем иным, как фигурирующим в формуле Стокса кри-
криволинейным интегралом.
Мы видим, таким образом, что формула Стокса для
поверхностных интегралов в Кя может быть переписана
в следующем виде:
B9) ff
Словами: циркуляция векторного поля по краю поверхно-
поверхности равна потоку вихря этого поля через поверхность.
Для rota имеется и другая интегральная формула,
которую можно рассматривать как один из вариантов
формулы Гаусса—Остроградского.
Пусть по-прежнему S>—ориентированная поверхность
в R3 с полем единичных нормальных векторов п, задаю-
задающим данную ориентацию этой поверхности. Для любого
векторного поля tt = Xi + Yj+ Zk, заданного на @>, мы
определим интеграл от и по 3) формулой
В частности, это определение применимо к полю
и —их а, где а—произвольное векторное поле, опреде-
определенное в области, содержащей поверхность &).
15*

452 формула гаусса - острограДского для вихря
Определение 3. В случае, когда поверхность Й>
замкнута (компактна и не имеет края), интеграл
C0)
\i\j(nxa)da
называется циркуляцией векторного поля а по поверхно-
поверхности @) и обозначается символом
{nxa)da.
Если поверхность S> элементарна и г —г (и, v)—ее
параметризация, то по уже известным нам основаниям
C1)
где U—открытое множество плоскости Rs, на котором
задана параметризация г = г(и, v).
Но
(г и х rv)xa = (аг„) rv—(arv) г„ =
= [(Рха + Qya H Яг„) xv-(Pxv + Qyv + Rzv)xa] I +
+ [(Pxa + Qytt+ Rza)yv-(Pxv-y Qyv-\ Rzv)y,,]j +
= R
*« 4
-Q
У а
t+
xa xv
Уа Vv
-R
+ \Q
У и Vv
-P ?'• *
V v
A1L •*»,
^
Следовательно,
^Qt/^dz — Pdzdx=r [Uq
h, 4
xa x.
xn xv
У и Vv
Уа Vv
г„ г„
-Q
— R
—P
Xa v \) du dv,
Уп Уу\1
y)dudv,
Хц Xi?
Z,t Zir,
du dv.
P dxdy—Rdy dz\j-\- f\\ Qdydz— P dzdx\k.
i>
J

ФОРМУЛА ГАУССА - ОСТРОГРАДСКОГО ДЛЯ ВИХРЯ 453
По аддитивности эта формула верна и для произволь-
произвольной (неэлементарной) поверхности ?D.
Но если S> — dD, где D—область с регулярной гра-
границей, то по формуле Гаусса—Остроградского
i.D
Поскольку
этим доказано, что циркуляция векторного поля по гра-
границе dD области D равна интегралу по D от вихря
этого поля:
C2)
[В частности,^отсюда^следует, что вихрь ^векторного
поля можно интерпретировать как плотность циркуляции
этого поля (и тем самым, в частности, получить новое
определение вихря, пригодное и для негладких полей).]
Формула C2) является частным случаем некой общей
формулы, доказательство которой, как это часто бывает,
существенно короче доказательства ее частного случая C2).
Пусть ф — линейное отображение пространства R3 либо
в пространство функций F, либо в пространство вектор-
векторных полей а. (Линейность означает, что для любого век-
вектора r = xt-\ yj+zk пространства R3 имеет место равен-
равенство ф (г) = x(f (i) |- j/ф G)+гФ (Л)-) Отнесем отображению ф
функцию (или поле) ф(у) оп редел енную(ое) формулой
Например, если q>(r) = rF (произведение вектора г на
функцию F), то
/ ч п с OF , , OF , , dF . , г.

454 ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ГЛУСГ.А - ОСТРОГРЛДСКОГО
если (р(г) = га или ц>{г) = гуа, где а—поле, то соот-
соответственно
i = rot a.
Пусть для определенности ц>: R3—<-F. Тогда rp(V) = diva,
где a — ф (/) / t-ср (У)У I ф (Л) Л, и, значит, согласно фор-
формуле Гаусса—Остроградского B0), для любой области D
будет иметь место равенство
Но если п = cos a • / -|- cos p У -|- cos у ¦ k, то
a,, = an = ф (/) cos а + Ф (У) cos р -|- ср (Л) cos у =
= ф (cos а • Л cos p j -\- cos у • k) = ф (/¦)
и, значит,
C3)
у ЬЪ
Если ф: Кл —»- а, то, применив формулу C3) к каждой
компоненте отображения ф, мы немедленно получим, что
эта формула верна и в этом случае.
Формула C3) называется обобщенной формулой
Гаусса—Остр о градского.
При ц>(г) — га она переходит в формулу B0), а при
(р(г)-гха — в формулу C2).

Лекция 29
Периоды дифференциальных форм.— Сингулярные симп-
симплексы, цепи, циклы и границы.— Теорема Стокса для
интегралов по цепям.— Группы сингулярных гомологии.—
Теорема де Рама.— Группы когомологий цепного комп-
комплекса.— Группы сингулярных когомологий.
Применение теоремы Стокса к вычислению групп ко-
когомологий HmSC гладкого хаусдорфова многообразия X
(не обязательно без края) основывается на том, что для
любой замкнутой дифференциальной формы to ? Q'? и
произвольного ориентированного замкнутого (т. е. ком-
компактного и без края) m-мерного подмногообразия
интеграл
A) ЛгМ-S
СО
9
зависит только от класса когомологий [о)]^Ят^ этой
формы (поскольку, если форма со точна, то согласно фор-
формуле D) лекции 27 этот интеграл равен нулю). Поэтому
формула A) корректно определяет некоторое (очевидно,
линейное) отображение
B) /»: H«X-*R, [a.]f+I9[v>],
группы Нт2С в R (т. е. линейный функционал на Н'пЛ').
Число Is [со] называется периодом формы со (или класса
когомологий [со]) по подмногообразию 2/.
Конечно, если для класса когомологий [со] существует
такое подмногообразие 3/, что 19[ы]ф0, то [со]=И=0. Ока-
Оказывается,— это очень трудная теорема! — что и обратно,
если [со] Ф 0, то существует такое подмногообразие <&<=.%,
что /w [со] =5^0.
Трудность этой теоремы объясняется тем, что при
конструировании по форме со подмногообразия У очень
сложно обеспечить все требования, которым это подмно-
подмногообразие должно удовлетворять (например, отсутствие
самопересечений). Априори ясно, что доказательство об-
облегчится, если эти требования ослабить, т. е., другими
словами,— расширить класс подмногообразий S/ (или,
точнее, функционалов B)).
Первое, что здесь приходит в голову, это заменить
настоящие подмногообразия <& замкнутыми сингулярными

456 ПЕРИОДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
подмногообразиями, т. е. гладкими отображениями вида
у: й>—> SC', где й>—произвольное m-мерное ориентиро-
ориентированное компактное многообразие без края. Другая идея
состоит в том, чтобы рассматривать произвольные линей-
линейные комбинации функционалов B). Объединение этих
двух соображений приводит к функционалам вида
N
[со] н-». 2 cti ) со, [со] € H'nSC,
'=' v,
где у,- — гладкие отображения вида ?Dt—*JP, а а1 — про-
произвольные вещественные числа (причем каждое из мно-
многообразий ?Dt замкнуто). Впрочем, по очевидным техни-
техническим причинам здесь удобно ввести в рассмотрение
формальные линейные комбинации вида
N
(о) У= 2j aCii
t — I
и по определению считать, что
[ — У [
У l ~' У/
Можно ожидать, что для класса когомологий [со] Ф О
построить линейную комбинацию у, для которой J со Ф О,
У
будет [легче, чем найти подмногообразие & с JjcoS^O.
9
(После того же, как такая комбинация у найдена, можно—
если надо — поставить вопрос и о поиске &.)
Это ожидание на самом деле оправдывается, но, к со-
сожалению, не в той мере, как этого хотелось бы—задача
все равно остается весьма трудной. Поэтому здесь нужна
какая-то новая идея.
Такая идея была предложена почти восемьдесят лет
тому назад великим французским математиком А. Пуан-
Пуанкаре, и именно с этого момента отсчитывается начало
современной алгебраической топологии.
Пуанкаре предложил" рассматривать линейные комби-
комбинации C) сингулярных m-мерных многообразий у,-: @>-, —+ 5С,
для которых многообразия й>,-, по-прежнему предпола-
предполагаемые компактными (для того, чтобы все интегралы су-
существовали), могут иметь край. Для каждой такой ЛИ-

ПЕРИОДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 457
нейной комбинации у ее граница ду определяется формулой
N
ду= 2 а{ду„
» = i
где, напомним, ду1 = у(\д0>.. (Конечно, если все много-
многообразия S>i замкнуты, то ду = 0, но равенство ду = Ъ
может иметь место и тогда, когда многообразия &)-, имеют
край.) Ясно—по линейности — что формула Стокса ос-
остается справедливой и в этом случае, т. е. для любой
формы со степени т— 1 на многообразии SC имеет место
равенство
D)
v
Поэтому, если 5y = 0, to формула
1У [со] = 5 со, [со]6Яи^,
V
корректно определяет некоторый линейный функционал
и теорема состоит в том, что для любого отличного^ от
нуля класса когомологий [со] существует такая линейная
комбинация C) (с <?7 = 0), что /v [со] 9^0.
^ Оказывается, что в этой формулировке теорема дока-
доказывается уже сравнительно просто. Причина этого состоит
в том, что соответствующие сингулярные многообразия
yt: &)l—r3?. удается найти в классе очень простых мно-
многообразий, для которых многообразия 3I диффеоморфны
шару. [На интуитивном уровне это вполне объяснимо:
каждое многообразие S>t мы можем разрезать на элемен-
элементарные части, диффеоморфные шару и интеграл от про-
произвольной формы по ШI равен сумме интегралов по этим
частям.] Но если это так, то мы можем сделать следую-
следующий шаг, также предложенный Пуанкаре, и с самого
начала рассматривать лишь сингулярные многообразия
S>—у%, для которых многообразие S> является шаром.
Соответствующие построения нуждаются лишь в инте-
интегрировании по шарам, и потому их можно провести заново
на элементарном уровне независимо от общей теории ин-
интегрирования по многообразиям.
При этом удобно вместо шаров рассматривать кубы
или симплексы (ни куб, ни симплекс не являются, ко-

458
СИМПЛЕКСЫ, ЦКПИ, ЦИКЛЫ й ГРАНИЦЫ
нечно, многообразиями с краем, но точки, в которых
имеются изломы, составляют нуль-множество и потому на
интегралы не влияют). Мы—в основном по традиции —
выберем симплексы (хотя, конечно, сведение кратных
интегралов к повторным для кубов осуществляется проще).
Определение 1. Стандартным т-мерным симплексом
А называется подмножество пространства R'"+l, состоящее
из точек t = (t0, tu .. ., tm), для которых
[Это—евклидов симплекс в смысле лекции 21 с верши-
вершинами в концевых точках ортов е0, еЛ, ..., ет стандарт-
стандартного базиса пространства IR1.]
Стандартный симп-
симплекс А1
Стандартный симп-
симплекс Л2
При 0 s^ i s^ т (и т > 0) определено отображение
б.: Д«-1_».Д'*,
(t0, U, • • •. tm_x)y+(t0, it, ..., t{_lt 0, t{, ..., tm_t),
образ которого (называемый обычно i-й гранью симплекса
Д'я) состоит из всех точек *?Д'Я, для которых ^( = 0.
Каждая точка симплекса Д'Л однозначно определяется
ее координатами tx, .. ¦, tm, что позволяет отождествить
этот симплекс с подмножеством пространства Rm, состоя-
состоящим из таких точек t = (tit ..., tm), что
0 < U + ¦ ¦ ¦ + t,n < 1
(т. е. с симплексом пространства R с вершинами в точках
О, elt ..., ея).

СИМПЛЕКСЫ, ЦЕПИ, ЦИКЛЫ И ГРАНИЦЫ
459
Отображение К-^% произвольного множества Kc:Rm
в гладкое многообразие SC называется гладким, если оно
является ограничением на К некоторого гладкого отобра-
отображения U—> SC, где U—открытое подмножество простран-
пространства R"\ содержащее множество К.
т=1
т=2
Стандартные симплексы, спроектированные в Rm
В частности, мы можем говорить о гладких отобра-
отображениях А—>¦!? симплекса А'я в SC.
Определение 2. Сингулярным т-мерным, симплексом
гладкого многообразия SC называется произвольное глад-
гладкое отображение а: А —> SV. Его i-й гранью др, 0 ^ i ^m,
называется (очевидно, также гладкое) отображение
агоб,: Л-1-^^.
Множество всех сингулярных m-мерных симплексов мно-
многообразия ?€ мы будем обозначать символом Sn%.
Пусть G — произвольная абелева группа (в аддитивной
записи).
Определение 3. Сингулярной т-мерной цепью мно-
многообразия %¦ над группой G (или с коэффициентами в G)
называется произвольная конечная формальная линейная
комбинация
E) Y= 2 «a». aa?G,
сингулярных симплексов a^S'nS с коэффициентами из
группы G. (Конечность суммы E) означает, что только
конечное число коэффициентов аа отлично от нуля.) Все
такие цепи образуют группу по сложению, которую мы
будем обозначать символом Cm{SC\ G). При G = Z—это
не что иное, как свободная абелева группа, порожденная
множеством SmT, а при G — R—линейное пространство
с базисом Smy.
Мы будем рассматривать также бесконечные ли-
линейные комбинации E), обладающие тем свойством (назы-

460 ТЕОРЕМА СТОКСА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ПО ЦЕПЯМ
ваемым свойством локальной конечности ср.
определение 1 лекции 22), что для любой точки р ? X —
а потому и для любого компактного множества С со-
сосуществует такая ее (его) окрестность U, что множество
сингулярных симплексов a^SmW, для которых одновре-
одновременно а„Ф0 и 0(А'л)п иф0, конечно. Такие линейные
комбинации мы будем называть бесконечными цепями. Они
образуют группу С]Ц1 {SC\ G), содержащую группу Ст {%; G)
в качестве подгруппы.
Ясно, что равенство Ст{%\ G) = CX?{{%\ G) имеет
место mozdaju только тогда, когда многообразие S?
компактно.
Для каждого m^l мы определим гомоморфные ото-
отображения
д: Ст(Я; G)^Cm_1{X\ G)
д: С№; G)-+C%U{X\ G),
полагая для любой конечной (или соответственно беско-
бесконечной) цепи E)
F) ду= 2
= 2 (ъ. 2
l
где внутренняя сумма распространена на все симплексы
0gSm,?\ для которых д;СТ = т (множество таких симплек-
симплексов с ааф0 конечно—даже если цепь у бесконечна,—
и потому эта сумма имеет смысл).
Определение 4. Цепь ду называется границей цепи у.
Цепи, для которых <?v = 0, называются циклами.
Для любой дифференциальной формы со степени т на
многообразии Э? и любого сингулярного симплекса
о: А—«-.О определена на А (а точнее—на некотором
открытом множестве (УзА) форма сг*со. В координатах
tlt . . ., tm эта форма имеет вид
a*(d = wdt1 A- ¦ -f\dtm.

ТЕОРЕМА СТОКСЛ ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ПО ЦЕПЯМ 461
где w = w(t) — некоторая гладкая функция. По определе-
определению мы положим
G) \\
о д"»
Иными словами,
(8) $@=5^5^... j w(t)dtm,
а О О О
где st= I — tlf .... sm=l — t1~. ..—tm.
Интеграл от со по произвольной m-мерной цепи у с ко-
коэффициентами в поле IR мы определим по аддитивности:
если 7 = 2 aJ°> то
(9) $со= 2
При этом если цепь у бесконечна, то для того, чтобы
сумма (9) имела смысл (была конечна), мы потребуем,
чтобы форма со была финитна.
Теорема /(теорема Стокса для интегралов
по цепям). Для любой т-мерной сингулярной цепи у
гладкого многообразия X с коэффициентами в поле R и
любой (финитной., если цепь у бесконечна) дифференци-
дифференциальной формы а степени т— 1 имеет тесто равенство
A0)
[Конечно, это равенство является частным случаем
общего равенства D), но мы дадим здесь его прямое до-
доказательство, опирающееся лишь на формулы F), G)
и (9).]
Доказательство. Из формул F) и (9) непосред-
непосредственно следует, что равенство A0) достаточно доказать
лишь в случае, когда цепь у является симплексом а. При
этом без ограничения общности можно считать, что форма
сг*со имеет вид
где O^k^m (а знак ^, как всегда указывает, что со-
соответствующий множитель должен быть опущен), и, зна-
значит, что форма a* (dco) = d ((T*co) имеет вид

462 ТЕОРЕМА СТОКСЛ ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ПО ЦЕПЯМ
Тогда
Д<Я
-<-»-$••-К
1-/
где * = *!+...+*;+...+*„, dt,k)^dt,...dtk...dtm,
а Д^Г1—симплекс Д * в пространстве R с координа-
координатами ^ 1к, ..., ^т. Поскольку
J dtk k
где да|л = г—ограничение функции да на гиперплоскости
^ft = г (рассматриваемое как функция от tlt ..., th, . .., /„,),
этим доказано, что
С другой стороны, так как t{o8j = 0 (и, значит,
8J(df,-) = 0), то (<3,ст)*со = S,*(ст*(о) = 0 при 1ф0, k, и потому
со=
За
-(—1)*
1)* \ со.
В то же время, так как
(tj, если i < k,
О, если i= k
/,_!, если i > k,
где слева tlt . . ., tm — координаты в Rm, а справа tlt ...
. . ., tm_1—координаты в R), то
где
(wo8k)(tu
и, значит,
_1) = a»(/1 ^_lf 0,
J (о=$..

ТЕОРЕМА СТбксА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ПО ЦЕПЯМ 463
Обозначив переменные tk, ..., t,a_1 через tkil, ..., tm,
мы можем переписать этот интеграл в следующем виде:
S "-$•¦¦$ Ц,=.
S
Аналогично, так как //о а0 = /,•_,, t = l, ..., m, где
=l—*i—•••—'m-i. то
Сделав замену переменных
/l=l /1— ... ^я»-1. ^1 = ^2»
^ft+l:= *А> **-1= ' М ¦ • • 'ft ¦ • • 'ш
^ft+S=^ft+l> '/r = 'ft+l>
у J / J'
*m — 'я»-1> 'm-l — 'т
(якобиан которой равен (—I)*) и убрав штрихи, мы
получим, что
t
Поэтому
A2) 5
-ш| )
Сравнение формул A1) и A2) доказывает теорему. D
Из теоремы 1 следует, что для любого цикла у ин-
интеграл
@
V
по у от замкнутой формы о> зависит только от класса
когомологий [св]?#"'.#' этой формы, т. е. формула
A3) '>] = }«»
V

464 ГРУППЫ СИНГУЛЯРНЫХ ГОМОЛОГИИ
корректно определяет некоторый гомоморфизм (линейный
функционал)
A4) Iy: Н^Ж^К.
Аналогичным образом для любого бесконечного цикла у
та же формула A4), но с финитной формой со корректно
определяет линейный функционал
A5) 1У: ЩВХ-+И.
В обоих случаях число 1У [со] называется периодом формы со
(или класса когомологий [со]) по циклу у.
Изучим теперь зависимость функционала /v от цикла у.
Для этого нам предварительно нужно развить соответ-
соответствующий алгебраический аппарат.
Лемма 1. Если О < i < / < т, то
A6)
для любого т-мерного сингулярного симплекса а многооб-
многообразия SV.
Доказательство. Так как <ЭДсг = сг о бу о б,,
и dy_id,cr = cr о б,- о 6у_!, то достаточно доказать, что
бу О б, = б,- О 6y_lt О ^ I < / < Ш.
Но по определению^действие отображения б,- состоит в том,
что в вектор ^ = (^о. ¦ • -I tm) на i-e место вставляется нуль.
Так как после этой вставки номер / > i будет иметь место,
имевшее номер /—1, то отображение б/об/_1 вставляет
нуль на i-e и /-е места. С другой стороны, после приме-
применения отображения бу все места с номерами, меньшими /,
сохранят свой номер, и поэтому отображение бу о б,, будет
также вставлять нуль на i-e и /-е места. Поэтому буоб,- =
= б,- о бу_х. D
Предложение 1. Для любой т-мерной (т ^ 2) цепи у
многообразия SC над произвольной группой G имеет место
равенство
A7)
Доказательство. (Ср. с доказательством предло-
предложения 1 лекции 21.) Равенство A7), очевидно, достаточно
доказать для случая, когда цепь у является сингулярным
симплексом а ? SmSP. Но для любого симплекса а цепь дда
является, очевидно, суммой цепей вида (—1)'+/д,<9у(Т, где
<—1 и Os^/^m. С другой стороны, согласно

ГРУППЫ СИНГУЛЯРНЫХ ГОМОЛОГИИ 465
лемме 1, если i < /, то didp = dJ_xd,o. Поэтому для лю-
любой пары (i, /) с (' < j в цепи дду будут два равных сла-
слагаемых— одно со знаком (—I)'7, а другое с противопо-
противоположным знаком (—1){J~'" "'. Поэтому г.сс слагаемые цепи дда
попарно сокращаются. I 1
Предложение 1 означает, что для любого т ^ 1 группа
границ Bm{Sl'\ G) (оС'раз гомоморфизма д: Ст, г {%\ G) —
—+Ст{%\ G)), содержится в группе циклов 7.m(SC; G)
(ядре гомоморфизма д: Ст (JT; G) —>¦ С,п_1(-2': G)), и, ана-
аналогично, группа бесконечных границ В]Щ1(^; G) (образ
гомоморфизма д: ClXl+1(&; G)-^C^f(S"; G)) содержится
е группе бесконечных циклов ZX^{SC\ G) (ядре гомомор-
гомоморфизма д: C^nf(^-; G)—>C^1I1(^'; G)). Поэтому определены
факторгруппы
НЯ(ЛГ; G) = Zn(X; в)/Вя(ЛГ; G)
; G),
называемые т-мерной (или m-й) группой сингулярных го-
гомологии (соответственно сингулярных бесконечных гомоло-
гомологии) многообразия % с коэффициентами в группе G (или
над группой G).
Замечание 1. Группы гомологии называются также
группами гомологии с компактными носителями, а группы
бесконечных гомологии — группами гомологии с произволь-
произвольными носителями.
Замечание 2. Все построение дословно переносится
на любые топологические пространства & (нужно лишь
в определении сингулярного симплекса вместо гладкости
требовать только непрерывность). Для гладкого многооб-
многообразия, тем самым, наряду с определенными выше груп-
группами гомологии (как говорят, основанных на гладких
сингулярных симплексах) возникают также топологические
группы гомологии (основанные на любых непрерывных
сингулярных симплексах). Однако можно показать — по-
средстзом идейно простого, но несколько громоздкого по-
построения,— что естественное отображение вторых групп
в первые явля тся изоморфизмом.
Элементы групп гомологии (смежные классы групп
циклов по группам границ) называются классами гомоло-
гомологии, а два цикла, принадлежащие одному и тому же
классу гомологии (т. е. отличающиеся на границу), назы-
называются гомологичными. Соответственно этому ицы
называются также циклами, гомологичными нулю.

466 ТЕОРЕМА ДЕ РАМА
Пусть теперь группа G снова является полем R.
Как мы знаем, для цикла у и замкнутой формы со
интеграл
J-
зависит лишь от класса когомологий лг = [со] формы со.
Из теоремы 1 теперь следует, что этот интеграл зависит
лишь и от класса | гомологии цикла у (ибо
U i
для любой цепи р). Поэтому формула
A8) <1, лг>
корректно определяет некоторое спаривание (см. лек-
лекцию II.4) между линейными прсстранстгами НтB?\ R)
и Нт2С (а также между линейными пространствами
hi? (Я; R) и щ^п
Напомним (см. там же), что спаривание между линей-
линейными пространствами У* и 7/" называется невырожденным,
если для любого отличного от нуля вектора \ g f3 суще-
существует такой (автоматически отличный от нуля) вектор
x?W, что <1, х>Ф0, и наоборот.
Теорема 2. Для любого ориентированного параком-
пактного и хаусдорфова многообразия % оба спаривания
A8) (между Нт {SC\ R) и НтХ и между Н1^ {SC\ R) и Н?1п&)
невырождены.
Обсудим эту теорему подробнее. (Доказывать ее мы
не будем.)
Для каждого спаривания между линейными простран-
пространствами "Р и Ж (над некоторым полем К) и любого век-
вектора | g У3 формула
определяет на 7Г линейный функционал /^ W —>-К, т. е.
вектор сопряженного пространства W" — Нот 0°, К). Не-
Невырожденность спаривания по х означает, что для любого
отличного от нуля элемента х€7/° существует такой эле-
элемент l?f°, что 10

ТЕОРЕМА ДЕ РАМА 467
Аналогично, для любого элемента х?.Ж формула
Лг1 = <1, ху определяет функционал Ix: <fu~> ]<, и невы-
невырожденность спаривания по 1 означает, что для любого
отличного от нуля элемента \?.W существует такой эле-
элемент х^.'У3, что 1х\ф0.
Для спаривания A8) функционал /s — это в точности
функционал /у (где у—такой цикл, что | = [у]). Таким
образом, теорема 2 утверждает, что для любой не кого-
мологичной нулю замкнутой формы о существует такой
цикл у (заведомо не гомологичный нулю), что /v(o=^0.
Это в точности утверждение, с обсуждения которого мы
начали эту лекцию.
Но теорема 2 утверждает также, что и, наоборот, для
любого, не гомологичного нулю цикла у, существует такая
(заведомо не когомологичная нулю) замкнутая форма о,
что 1ауф0 (и, значит, /vco=^O).
Кроме того, теорема 2 утверждает, что аналогичные
утверждения справедливы по отношению к финитным фор-
формам и бесконечным цепям. [Предупреждение. Эти
две части теоремы—вопреки тому, что можно было бы
подумать—непосредственно не сводятся друг к другу,
потому что финитная форма, финитно некогомологичная
нулю, тем не менее может быть когомологична нулю
и, аналогично, не гомологичная нулю конечная цепь может
быть границей бесконечной цепи.]
Соответствия 1 ь-*¦ /^ и х*—*1х определяют, очевидно,
некоторые гомоморфизмы
A9) • V-^W" и Ж-+°Р'
линейных пространств "V3 и Ж в сопряженные простран-
пространства W" и f3'. При этом невырожденность спаривания
равносильна тому, что оба гомоморфизма A9) являются
мономорфизмами.
Для конечномерных пространств f° и Ж мы знаем
(предложение 4 лекции II.4), что для невырожденного
спаривания отображения A9) являются даже изоморфиз-
изоморфизмами. Для бесконечномерных пространств это, вообще
говоря, не так, и, более того, может случиться, что одно
из этих отображений изоморфно, а другое нет.
Пример 1. Пусть S — бесконечное множество, f° —
линейное пространство всех формальных конечных сумм
| 2Т, где a?S, aa?K, а ^—линейное пространство

468 ТЕОРЕМА ДЕ РЛМА
всех функций х: S—<-К. Тогда формула
<&. *> = 2 «о* И
корректно определяет (очевидно, невырожденное) спари-
спаривание между Ф и >^*. Для этого спаривания каждый
функционал
h (х) = 2 аоХ (а)
обладает тем свойством, что 1%хФ О только для элементов
x?.7f, принадлежащих некоторому конечномерному под-
подпространству пространства W (состоящему из функций х,
отличных от нуля только на тех элементах cr^S, для
которых ааФ0). Следовательно, отображение I"—*/^ про-
пространства <?д в пространство W заведомо не эпиморфно.
Напротив, так как любой функционал ф: {f0—>K. может
быть представлен в виде /*, x?W (достаточно положить
х (а) = ф (ст) для любого ст g S), то отображение jc i—> \х про-
пространства f в пространство "У3' является изоморфизмом.
Поэтому следующая теорема является уточнением тео-
теоремы 2:
Теорема 3. Для любого паракомпактного хаусдорфова
многообразия SC гомоморфизмы
B0) Н»Я-+Нт{Я\ R)',
B1) Н№(Я; R)-*(//?{„#¦)', Sh*/e,
г^е /х; и 1г—функционалы Нт{Г; R) ->• R и
определенные соответственно формулами
:=r.,11nf
являются изоморфизмами.
[Напротив, «двойственные» отображения
НЯ(ЛГ; R)-> (Я-Я' и Н№^Н™(Я\ R)'
изоморфизмами, вообще говоря, не являются.]
Теорема 3 (вместе с теоремой 2) известна как тео-
теорема де Рама (который ее впервые доказал для ком-
компактных многообразий).

ГРУППЫ КОГОМОЛОГИП ЦЕПНОГО КОМПЛЕКСА 469
Изоморфизм B0) сводит вычисление группы Нт% к вы-
вычислению групп Нт{3?; IR)', для чего в алгебраической
топологии разработаны — в принципе достаточно эффектив-
эффективные— специальные методы.
Построение групп гомологии Нт(Ж; G) и Н)?1{Ж; G)
распадается на два этапа — построение групп цепей
Ст (Ж; G) и С1п((%; G) вместе с гомоморфизмами д (пер-
(первый этап) и построение по этим группам самих групп
гомологии (второй этап). Целесообразно, как и в анало-
аналогичной ситуации с группами когомологий, отдельно выде-
выделить второй этап.
Определение 5. Семейство
С.: С„*-С1-^~ ... <—Ст_1*-Ст^-...
групп и гомоморфизмов называется цепным комплексом,
если
для любого элемента у?Ст, m ^ 1. Элементы группы Ст
называются т-мерными цепями; гомоморфизм д называется
граничным оператором; цепи у, для которых ду = 0, т. е.
принадлежащие ядру
гомоморфизма д: Ст—>-Ст_1, называются циклами (при
т — 0 условно считается, что ZmC. = C0); цепи вида ду,
т. е. принадлежащие образу
ВтС. = Im (д: Ст?1~+С,п)
гомоморфизма д: Cmil- >Cm, называются границами (или
циклами гомологичными нулю); факторгруппа
HmC,=Zm(C.)lBm(C.)
называется т-мерной (или т-п) группой гомологии комп-
комплекса С,; ее элементы называются т-мерными классами
гомологии, и циклы, принадлежащие одному классу гомо-
гомологии, т. е. отличающиеся на границу, называются го-
гомологичными.
Таким образом, группы Нт (.Т; G) являются группами
гомологии НтСш {%; G) комплекса

470 ГРУППЫ КОГОМОЛОГИП ЦЕПНОГО КОМПЛЕКСА
а группы Hlml(&;G)— группами гомологии комплекса
В случае, когда цепной комплекс С — \Ст;д) состоит
из линейных пространств над полем К, мы для любого
можем построить сопряженное линейное пространство
Ст; К).
В современной математике принято переход к двойст-
двойственной (сопряженной) ситуации отмечать приставкой «ко»
(пример: векторы и ковекторы). В соответствии с этим
элементы пространства С" называются т-мерными коце-
коцепями цепного комплекса С,.
Для любой коцепи eg С" формула
(fc)(Y) = c(dy), у€Ся + 1,
определяет некоторую коцепь 6с, а так как
(Щ(у) = с(
для любой цепи у?Ст + г, то
для любой коцепи с?Ст. По определению (см. определе-
определение 1 лекции 20) это означает, что семейство С' = {Ст; д]
групп и гомоморфизмов является коцепным комплексом.
Коциклы с?Ст(С) этого комплекса характеризуются
соотношением
т. е. тем, что они равны нулю на подгруппе границ
ВтС, аСт. По определению (см. лекцию II.4) это озна-
означает, что
ZmC' = Ann ВЯС.
(коциклы составляют аннулятор группы границ). Анало-
Аналогично, если ду = 0, то (бе) (у) = е(ду) = 0 для любой ко-
коцепи е, и, наоборот, если с(у) = 0, когда ду — О» то фор-
формула е (ду) = с (у) корректно определяет линейный функ-
функционал е: Вт_^Сщ— +Ki обладающий тем свойством, что,
произвольно продолжив его—с сохранением линейности —
на все пространство Ст_,, мы получим такую коцепь е:
С,л_х—-К, что Fе)(?) = е(ду) = с(у), т. е, такую, что

ГРУППЫ СИНГУЛЯРНЫХ КОГОМОЛОГИИ 471
8е = с. Этим доказано, что
ВтС = Ann ZmC,
(кограницы составляют аннулятор группы циклов).
Продолжимость функционала е с подпространства Вт-\С' на все
пространство Ст~х — это общий факт: для любого подпространства $р
произвольного—даже бесконечномерного!—линейного пространства "У3
каждый лииейиый функционал е: ^ft—*K допускает продолжение
на СУ3. Для доказательства достаточно выбрать для 5* дополнитель-
дополнительное подпространство <5, существование которого доказано в лекции 22
в связи с замечанием 3, н произвольно задать е на (J.
Для групп когомологии Н" (С) комплекса С" отсюда
следует, что для любого класса когомологии х?НтС'
формула
где с—произвольный коцикл класса когомологии х, а у —
произвольный цикл класса гомологии |, корректно задает
некоторый функционал
и что получающееся отображение
#: Н«С~+(НтС,у,
является изоморфизмом. [Мономорфность этого отображе
ния вытекает из равенства ВтС — ArmZmC#, а эпиморф"
ность обеспечивается возможностью продолжить любой
линейный функционал ZmC% —*-К на все пространство Сп.]
Таким образом, для любого цепного комплекса С,, состоя-
состоящего из линейных пространств и любого т ^ 0 имеет
место изоморфизм
Тем самым вычисление групп когомологии сводится к вы-
вычислению групп гомологии.
Для комплекса С, = С, (#"; К) сингулярных цепей глад-
гладкого многообразия % над полем К коцепной комплекс С*
обозначается символом C'(S"; К). Так как для любого
ш^О множество Sm3? является базисом пространства
Cmi^'i К) и так как линейные функционалы на произ-
произвольном линейным пространстве естественным образом
отождествляются с К-значными функциями, заданными на

472 ГРУППЫ СИНГУЛЯРНЫХ КОГОМОЛОГИЙ
его базисе, то для любого ш^О компонента С (.#'; К)-^
— Ст (S; К)' комплекса С (?V\ К) отождествляется с ли-
линейным пространством всевозможных функций SmSC —> К.
Зто, в частности, позволяет определить группу Ст (&\ G) для
произвольной группы G. По определению элементы
этой группы, называемые т-мерными сингулярными коце-
коцепями многообразия Ж над группой G, представляют собой
G-значные функции с: Sm%' --> G, определенные на мно-
множестве Sm?? всех m-мерных сингулярных симплексов мно-
многообразия SC. Кограничный оператор б определяется при
этом формулой
являющейся расшифровкой формулы (8с)(а) — с(дс).
Коциклы, кограницы и классы когомологий комплекса
С BР\ G) называются сингулярными коциклами, кограни-
кограницами и классами когомологий многообразия SC', а соответ-
соответствующие группы обозначаются символами Zm (&; G),
Вт(Ж; G) и Нт(Ж\ G). Согласно доказанному выше об-
общему результату для любого поля К имеет место изоморфизм
B2) Я» {%\ К) -+ Ня {SC\ К)'.
В случае, когда К = R, каждая форма (о g Q">& опре-
определяет по формуле
некоторую коцепь m?Cm(S?; R), причем
B3) dti> = 6w.
[Действительно,
da (у) — \ dm — \ (о = со (ду) = (б(о) (у)
У ду
для любой цепи у€Ст(%"; R).J Из формулы B3) следует,
что отображение coi—>¦ <о коциклы переводит в коциклы,
а кограницы — в кограницы. Поэтому это отображение
индуцирует некоторый гомоморфизм
B4) Нт5С—*Нт{^; R).
Сравнение определений немедленно показывает, что
композиция гомоморфизма B4) с изоморфизмом B2) явля-
является не чем иным, как гомоморфизмом B0) из теоремы

ГРУППЫ СИНГУЛЯРНЫХ КОГОМОЛОГИЙ 473
де Рама. Поэтому для доказательства теоремы де Рама
(по крайней мере в отношении групп Нт№) достаточно
установить, что гомоморфизм B4) является изоморфизмом.
К сожалению, у нас нет возможности провести здесь соот-
соответствующее доказательство.
Замечание 3. Утверждение, что гомоморфизм B4)
является изоморфизмом, означает, что оба подхода к опре-
определению групп когомологий многообразия—через формы
и сингулярные цепи — приводят фактически к одному
и тому. же результату. Существуют и другие подходы
к этим группам, например подход Чеха—Лере из лек-
лекции 22, который, как мы знаем, приводит к группам,
изоморфным группам Нт2С'. Поэтому для доказательства
изоморфизма B4) достаточно доказать, что группы сингу-
сингулярных когомологий изоморфны группам Чеха—Лере (ко-
(которые, заметим, в лекции 22 были обозначены тем же
символом Нт(&\ Щ). В этой формулировке не участвуют
формы, и она имеет смысл для любых топологических
пространств (для которых существуют покрытия Лере,
соответствующим образом определенные). Поэтому можно
ставить вопрос о справедливости этого утверждения в об-
общем виде (для любых топологических пространств). Ответ
оказывается положительным для полиэдров (см. замеча-
замечание 2 лекции 21), но отрицательным в общем случае. Общее
изучение всего этого круга вопросов составляет предмет
разветвленной теории, входящей в качестве составной
части в алгебраическую топологию. К сожалению, мы
только лишь намеками могли ее коснуться. [Например,
сравнение определений групп когомологий симплициаль-
ных схем и групп сингулярных когомологий многообра-
многообразий— и, более общо, топологических пространств — пока-
показывает их большое сходство. Выявление этого сходства
в общих терминах приводит к симплициальным мно-
множествам, теория которых и красива, и глубока. С дру-
другой стороны, построение коцепного комплекса по цепному
является жалким примером и бледной тенью алгебраиче-
алгебраических манипуляций над цепными комплексами, которыми
занимается гомологическая алгебра и т. д., и т. п.
Заинтересовавшийся читатель может обратиться за даль-
дальнейшими сведениями к упомянутой в предисловии книге
Ботта и Ту, а также к другим — довольно многочислен-
многочисленным—учебникам алгебраической топологии.]

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно сходящийся ряд 173
Абстрактный симплекс 336
Алгебра Лн 270
Антидифференцированне 294
Антиподальное отображение 143
Антисимметричности свойство 154
Атлас 101
— максимальный 104
— ориентирующий 393
— д-карт 428
Атласы эквивалентные 104
База 117
— окрестностей 115
— открытых множеств 117
Базис 362
Барицентрические координаты 33U
Безвихревое поле 440
Буровское пространство 23U
Вектор бинормали 34
— главной нормали 34
— нормали к поверхности 71
Векторное поле 261
Векторный потенциал 4-10
Вершины схемы 336
Вещественно-аналитическое многооб-
многообразие 105
Винтовая кривая 35
Вихрь 439
Вложенное подмногообразие 218
Вложнмое в R многообразие 229
Внешни;! дифференциал 303
Внешняя нормаль 426
Внутреннее произведение 285, 293
Внутренность множества 115
— д-многообразий 429
Внутренняя геометрия G4
— точка 14, 97, 336, 429
Вписанное покрытие 130
Вполне упорядоченное множество 151
Взрезанный кимдрат 252
Вторая аксиома счетности 117
Высверливание шарика 425
Гауссова кривизна 77
Геликоид 67
Геометрическая реализация 33fi
Главная линейная часть 55
Главные кривизны 77
Гладкая гомотопия 413
— группа 251
— кривая 23
Гладкая кривая непараметрнзованная
25
— плотность 387
— функция кллеса С°° 16
С 23
Гладкие карты 104
— структуры 104
Гладкое многообразие 104
— — нехаусдорфово 118
— в точке отображение 125
— отображение 53, 98, 125
— — класса С 44, 46
— — д-многообразнй 431
— д-многообразие 428
Гладкость 104
Голоморфная функция 186
Гомеоморфизм 99, 116
Гомеоморфные пространства 116
Гомологичные циклы 469, 465
Градиент 209
Градуированная группа 361
Граница 384
цепи 460
Граничный оператор 469
Грань симплекса 459
График 13
Группа Ли 251
— бесконечных границ 465
— — циклов 4G5
— гомологии 4С9, 465
— — с компактными носителями 40Г>
— — — произвольными носителями
4С5
— границ 465
— когомологнп 310
— — двойного комплекса 311
— — де Рама 310
— — покрытия 344
— — схемы 339
Чеха 354
— присоединенная 361
— снмплектическач 183
— сингулярных гомологии 465
— унитарная симнлектнческая 185
— циклов 465
Двойной комплекс 311
— — ацикличный по столбцам 346
— — — — строкам 34 7
— — окаймленный 345
— - покрытии 342
Декартово произведение 138
Деривационные формулы Вейнгартена
89
Диагональ 252
Диаметр 132

ПРПДМР.ТПЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
475
Дивергенция 439
Диффеоморфизм 47, 55, 99, 125, 427
— комплексно-аналитический 186
Днффеоморфное отображение 99
Дифференциал 65
— гладкого отображении 206
— спектральной последовательности
372
Дифференциальная форма 285
— — на многообразии 291
— — — д-многоооразнн 431
Дифференциальное уравнение нп мно-
многообразии 274
Дифференциальный параметр Дарбу
445
Длина дуги 28
— кривой 28
Длинная полупрямая Александрова
159
Евклидов симплекс 336
Евклидово пространство ,56
Единичная сфера 142
Единичны!) шар 142
Замена координат 47
— параметра 25
Замкнутая кривая 22
— линия 13, 14
¦— форма 310
Замкнутое множество 14
— подмножество 14, 15, 135, 188
Замыкание 136
Знак отображения 410
Изгибание 63
Измеримость по Жордану 384
Изометрия 61
Изометричиые поверхности 61
Изоморфизм упорядоченных множеств
154
Иммерсня 216
Индикатриса Дюпена 75
Индуктивное упорядоченное множе-
множество 166
Индуцированная гладкость 114
— топология 116
Интеграл 391
— от формы до 3> 432
— — — по V 435
Интегральная кривая 273
Интервал с концом 155
Интервальная топология 159
Источник 449
Карта 99
— внутренняя д-многообразия 429
— гладкая 104, 428
— краевая 429
— многообразия 104
Картирующее отображение 99
Карты комплексные 186
— пересекающиеся 100
— положительно согласованные 393
— согласованные 100, 253, 428
Касательная плоскость 51
Касательное пространство 52
— — подмногообразия 219
Касательным вектор к многообразию
196
— — кривой 196
- — поверхности и точке 52
Категория 124
Катеноид 66
Квадратичная форма поверхности вто-
вторая 7G
— — — первая 57
— — — третья 7Г>
Класс гладкости 104
— гомологии 465, 409
— когомологнн 310
— — финитный 405
Ковектор 209
Кограница 310
— схемы 339
Кограинчнын оператор 338
Коммутативная диаграмма 3
Коммутатор 269
Компактно нумерируемос покрытые
380
Компактное исчерпание 378
Комплекс де Рама 310
Комплексная размерность 186
Комплексно-аналитический диффео-
диффеоморфизм 186
Комплексно-аналитическое многообра-
многообразие 186
Комплексные матричные группы Ли
186
Компонента единицы 188
— лииениой связности 188
— связности 189
— тензора 257
— — в карте 258
— топологического пространства 189
Концевая точка 13, 187
Координатная линия 46
— окрестность 115
— сеть 46
Координатное векторное поле 265
— отображение 99
Координаты 46
— барицентрические 336
— вектора в карте 196
— — — локальных координатах 196
— гауссовы 94
— криволинейные 46
— локальные на поверхности 46
Кососнмметрическнй тензор 290
Кососнмметрическое отображение 292
Коэффициенты связности 89
Коцепиое отображение 311
Коцепной комплекс 309
Коцепь 470
— покрытия 340
— со зиаченнем в когомологиях 350
— схемы над группой 338
Коцикл 310
-- сингулярный 472
— схемы 339
Край 420
Кривая 21
— винтовая 35
— гладкая 23
— замкнутая 22, 436
— на многообразии 273
— иепараметрнзоваииая 25
— общего типа 33, 34, 38
— простая 22
— регулярная 25
Кривизна кривой 31, 39

476
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кривой уравнения векторные 21
— — параметрические 21
Криволинейным ннте1рал второго рода
430
— — первого рода 392
Критическая точка 243
Критическое значение 243
Кручение 3-1
Кубнруемое множество 384. 386
Кусочно-гладкий путь 192
Кусочно-регулярная граница 426
d-карта 4 28
У-кососимметрнческне матрицы 179
./-косозрмитоиы матрицы 184
Лапласиан 444
Лексикографическое упорядочение 159
Лемма Лебега 132
— Пуанкаре 318
-- Цорна 1U7
Линейно снязное пространств 188
— упорядоченное множество 154
Липейнь:е дифференциальные формы
286
Линейный дифференциальный оператор
первого порядка 202
Линейчатая поверхность 49, 99
Логарифм матрицы 178
Локально евклндоьо пространство 117
— компактное пространство 237, 378
— конечное покрытие 379
— — семейство функций 350
— ограниченная плотность 387
— плоское отображение 212
Локальное свойство 117
Локальные координаты 40
Локальный диффеоморфизм 210
Максимальная интегральная кривая
274
Максимальный атлас 104
— элемент 165
Матричная алгебра Лп 272
— группа Ли 180
Меридианы 49
Многообразие 104
— вложи мое n R" 229
— гладкое 104
— — иехаусдорфопо 118
— Грассмана 174
— касательных векторов 2SI
— класса С 105
— комплексно-аналитическое 18G
— несглажнваемое 122
— ориентированное 394
— ориентируемое 393
— паракомпактное 350
— параллелнзуемое 262
— топологическое 105
— Штнфеля 174
Множество вполне упорядоченное 154
— меры нуль 237
— объема нуль ЗйЗ
Монеоморфизм 104
Монотонное отображение 154
Моиоморфное отображение 22
Мощность порядкового числа 155
Наследственно нормальное простран-
пространство 147
Натуральный параметр 28
Невырожденное спаривание 466
Неособая точка 15
Непараметрнзованная кривая 25
Непрерывная функция 14
Нерв покрытия 335
Несглажнваемое многообразие 12;
Нехаусдорфона прямая 119
Нигде не плотное 230
Нормаль к кривой 33
Нормальная плоскость кривой 37
- - -~- поверхности 72
Нормальное пространство 146
сечение 72
Носитель карты 99
¦ кривой 22
- - параметризации 45
- d-карты 42U
Нуль-множество 237, 241, 385
- - ч смысле Жордани 383
11уль-то1Цее множество 24 2
Нумерируемое покрытие 380
Ньютоновский потенциал 441
Область с регулярной границей 420
Обратный путь 188
Объем области 388
Овеществление 187
Ограничение когомологического класса
312
Окрестностный ретракт 4 16
Окрестность 115
Определитель Грима 59
Ориентация 394
Ориентируемое многообразие 393
Ортогональная матрица 179
— снмплектнческая группа 183
Особая точка 15
Отделенные множества 140
Отделимое пространство 118
Открытая линия 14
Открытое множество 14, 98, 112, 121
— подмногообразие 114
— покрытие 116
Открыто-Замкнутое подмножество 189
Открытый шар 19
Относительная кривизна 32
Отобрвжеине гладкое в точке 125
— нзометрнчное 61
— максимального ранга 217
— топологических пространств 123
Отрезок множества 155
Параболическаи точка 77
Паракомпактное многообразие 350
— топологическое пространство 380
Параллели 49
Параллелнзуемое многообразие 202
Параметризация 27, 45
Параметризованная кривая 25
Параметрические уравнения 21, 40
Первая аксиома счетностн 116
Первый дифференциальный параметр
Бельтрамн 64, 445
Перегородка 143
Перенос гладкости 127
— поля 279
— формы 296
Период формы 455, 464
Плотность 386
— источников поли 449

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
477
Плотность положительная 387
— почти непрерывная 387
— равная нулю 387
— циркуляции 459
Площадь 59
Поверхностный интеграл первого рода
391
Поверхность бинормалей 51
— вращения -18
— гланпых нормалей 51
— касательных 51
Погружение 216, 217
Подмногообразие 217
— пложенное 218, 431
— погруженное 218
Покрытие допустимое 239
— Лере 325
Поле без источников 440
— безвихревое 440
— векторное 261
• - координатное 265
солепоидальное 440
— тензорное 259
— центральное 440
Полиэдр 337
Полная кривизна 77
Положительно ориентированные карты
394
— согласованные карты 393
Порядковое число 155
— — первого класса 1Г>5
Порядковым тип 154
Поток 277
— максимальный 277
Почти непрерывная функция 384
Присоединенная группа 3GI
Продолжение перегородок 149
Произведение путей 188
Производная функции по иентору
2 09
Простая дуга 23
— — регулярная 27
— линия 13
— точка 13
Пространство бикомпактное 131
— бэровское 236
— вполне несвязное 191
— — нормальное 146
— дискретное 123
— евклидово 56
— касательное 196
— квазикомпактиое 131
— кокасательное 209
— компактное 131
— линейно связное 186
— локально компактное 237, 378
— наследственно нормальное 147
— нормальное 146
— отделимое 118
— регулярное 2М
— топологическое 112
Противоположные ориентации 39Г>
Профиль 48
Прямое произведение 138, 164
— — гладкостей 251
— — линейных пространств 351
— — многообразий 251
Псевдоортогоиальные матрицы
183
Псепдораднус 84
Псевдосфера 84
Путь 187
— гладкий 192
Раднус кривизны 32
Разбиение единицы 350
Развертывающиеся поверхности 69
Размерность многообразия 105
— топологического пространства 129
— й-многообразнн 428
Разреженное множество 236
Ранг гладкого отображения 212
Рациональный шар 19
Реализуемая схема 336
Регулярная крпная 24
Регулярное значение 222
пространство 23Ь
Регуляторное отображение 45
Ретракт 142
Ретракция 142
Ротор 439
Спертка 257
Связное множество 13, 1Н9
Cei мент е концом 1Г>5
Сжимаемое топологическое простран-
пространство 152
Симплекс 336
— абстрактный 336
— геометрический 336
— сингулярный 459
— стандартный 458
Симплектическая группа КЗ
-- матрица 183
Симплициальная схема 335
Сннгулцрпая граница 472
— цепь 4Г>9
Сингулярное подмногообразие 456
Сингулярный класс Koroi/ологип 472
— коцикл 472
Скобки Крнстоффеля 89
Смешанный дифференциальный пара-
параметр Бельтрпми 445
Собственная гомотопня 413
— ¦ матрица 179
Собственное отображение 408
Согласованные карты 100, 253
Солепоидалыюе поле 440
Соприкасающаяся плоскость 37
Сопровождающий базнс 71
-- — Фреие 33, 34, 38
Спектральная последовательность 371
— — вырожденная 377
Спрямляюгцая плоскость 37
Средняя кривизна 77
Стандартная гладкость 171
Стандартные гладкие структуры 105
Степень отображения 409, 419
— поля 290
Стереографическая проекция 109 '
Сток 449
Субмерсня 210
Сходимость спектральной последова-
последовательности 375
Счетная база 117
Счетный пес 117
Тензор 257
Тензорное поле 259
— произведение 257
Теорема Брауэра о неподвижной точке
142
— — об инвариантности области 430
— Вейсрштрасса 416
— вложения Унтпн 229

478
ПРР.ДМПТИЫП УКАЗАТЕЛЬ
Теорема Гаусса 91
— Гейне — Бореля 132
— де Рама 468
— де Рама для групп коюмологий 354
— дс Рама — Лере 353
— Дьедонне 383
— Куратовского — Цорна 167
— Лебеги о покрытиях 150
— о барабане 142
— — гомотопнческоП инвариантности
степени 414
— — замене локальных координат 212
— — — переменных 385
— — неявной функции 15
— — перегородках 144
— — полниомнальной аппроксимации
416
— — прообразе регулярного значения
222
— — топологической инвариантности
129
— об обратной функции 26
— — обратном отображении 72, 99
— — этальных отображениях 210
— Сарда 243
— Стокса для интегралов по цепям 461
— — — многообразий с краем 433
— — — областей с регулярной гра-
границей 422
— — — сингулярных подмногообра-
подмногообразий 435
— — — д-многообразнй 433
— существовании и единственности
решений (СЕР) 40
— Тихонова 164
— Унтнн 16
— Фубинн 239
— Цермело о полном упорядочивании
158
Тихоновское произведение 164
Тождество Якобн 270
Топологическая структура 112
Топологическое многообразие 105
— пространство 112
Топология 112
Точка внутренняя 14, 97, 115
— — 3-многообразня 429
— гиперболическая 76
— концевая 13, 22
— края д-многообразня 429
— кривой 22
— начальная 187
— неособая 16
— особая 15
— параболическая 77
— прикосновения 168
— простая 13
— распрямления 32
— рациональная 19
— симплекса внутренняя 336
Точная форма 310
Тощее подмножество 236
Траектория векторного поля 273
Трактриса 84
Третья квадратичная форма 85
Тривиальный ультрафильтр 166
Трубчатое поле 440
Угол между кривыми 58
Ультрафильтр 166
Уинмодулярная матрица 179
— унитарная матрица 185
Унитарная симплектнческая группа
185
Упорядоченное множество 154
./¦унитарная матрица 183
Фильтр 164
Фильтрация 361
Финитная плотность 387
— форма. 396, 401, 403, 432
Форма несущественная 401
-- сосредоточенная 401
Формула Гаусса — Ост.роградского 4 26
— — — обобщенная 4j4
— Грнна 427
— — вторан 448
— — первая 448
— Ньютона — Лейбница 427
— Петерсона — Кодаццн 91
— Стокса для поверхностных интегра-
интегралов 434
Формулы Фреие 33, 35, 39
Фундаментальная система окрестно-
окрестностей 115
Функторнальность 311
Функции перехода 101
Функциональная независимость 94
Функция Урысона ?1,31
— фннятная 384
Характеристическая функция 14, 385
Хаусдорфово пространств) 118
Центральное поле 440
Центрированная карта 196
Центрированное множество 165
Цепная линия 66
Цепное правило 98, 208
Цепь 165, 469
— бесконечная 460
Цикл 374, 460, 469
— гомологичный нулю 466
Циркуляция 461
Частично упорядоченное множество
164
Число Бетти 312
— Лебега 133
— порядковое конечное 155
— — первого, второго классов 155
-- — счетное 166
— — третьего класса 168
Член спектральной последовательно-
последовательности 372
Экваториальная гиперплоскость сфе-
сферы 107
Эквивалентные атласы 104
— матрицы 25
— параметризации 47
Экспоненциал 176
Элемент длины 392
¦ - площади 388
Члемеитарная поверхность 45
Эллиптическая точка 76
Этальное отображение 210
Якобиан 98
Якобнена матрица отображения 201,
206

Михаил Михайлович Постников
Лекцнн по геометрии
Семестр 111
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Редакторы В. Л. Попов, Т. А. Панькоеа
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редяктор Л. В. Лихачева
Корректоры Т. С. Вайсбере, Л. С. Сомова
ИБ № 32381
Сдано в набор 13.04.87. Подписано к печати 00.10.87. Формат
84X108/32. Бумага тнпогр. № 1 Гарнитура литератур-
литературная. Печать высокая. Усл. нсч. л. 25.2. Усл. кр.-отт. 25,2.
Уч.-нзд. л. 24,79. Тираж I t 000 экз. Заказ № 059. Цсиа 1 р. 1 0 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Паука»
Главная редакция фнзнко-математнческой литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного
Знамени МПО «Первая Образцовая типография»
нменн А. А. Жданова Союзполнграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, цолнграфин и книжной
торговли. 113054 Москва, Валовая, 24
Отпечатано во 2-й типографии издательства «Паука». 121090
Москва Г-99, Шубинскнй пер., 6. Зак. 971