I
Мацуо Комацу *
МНОГООБРАЗИЕ ГЕОМЕТРИИ

Мацуо Комацу
ЛИОГООБВ43И
ББК22.151
К63
Перевод с японского М. И. Коновалова
Мацуо Комацу
К63 Многообразие геометрии: Пер. с япон.—
М.: Знание, 1981.—208 с., ил.
45 к.	50000 экз.
Книга японского профессора М. Комацу «Многооб-
разие геометрии», выпущенная издательством «Иванами
Сннснё» в 1977 году, представляет собой популярный
историко-обзорный очерк о развитии геометрии.
Книга предназначена широкому кругу читателей.
20203-055
073(02)-81 9-80‘ <702040000
ББК 22.151
513
1977¥4 Я 22 0 Ж1Ж51П©
© Перевод на русский язык,
издательство «Знание», 1981 г.
Оглавление
Предисловие/7
Введение/10
§ 1. Термин «геометрия»/10
§2.0 содержании термина «геометрия»/! 1
Часть первая
ГЛАВА 1
Классическая геометрия 19
§ 1. Различные
представления о геометрии 20
§ 2. Евклидова геометрия 23
§ 3. Множества	27
ГЛАВА 2
Аффинная геометрия	37
§ 1.	Аффинные
преобразования	37
§ 2.	Содержание, аффинной
геометрии	44
§ 3.	Векторы	49
§ 4.	Теорема о
треугольниках	51
ГЛАВА 3
Проективная геометрия 60
§ 1.	Бесконечно удаленные
точки	63
§ 2.	Проективная геометрия 66
§ 3.	Проективные
преобразования	70
ГЛАВА 4
О не	евклидовой геометрии	91
§ 1. Исторический очерк	91
§ 2. О содержании
гиперболической геометрии 101
§ 3. Эрлангенская
программа Клейна	108
Часть вторая
ГЛАВА 5
История возникновения
топологии	111
§ 1. О термине «топология» 111
§ 2. Содержание топологии 112
ГЛАВА 6
Топология и теория
поверхностей	122
§ 1.	Топология	122
§ 2.	Кривые линии	132
§ 3.	Кривые поверхности	140
ГЛАВА 7
Топологические инварианты	149
§ 1.	Группы гомологий	152
§ 2.	Топологический
характер групп гомологий	164
§ 3.	Фундаментальные
группы и гомотопия	166
ГЛАВА 8
Лекция о многообразиях	179
§ 1.	О понятии «многооб-
разие»	179
§ 2.	Гипотеза Пуанкаре	181
§ 3.	Различные направления
топологии	184
Послесловие	195
От редакции	206

Предисловие
Математику считают трудной нау-
кой. Одна из причин этого состоит в том, что
для нее характерны чисто логические построе-
ния, не допускающие ни малейшей ошибки.
Не случайно говорят, что математика — наука
точная. Однако, по-моему, сложность матема-
тики также и в своеобразии и даже некотором
величии объекта исследований — того мира,
который возникает в нашем сознании. Без зна-
ния математической теории нелегко понять,
что именно является предметом ее исследова-
ния. Поэтому распространено мнение, что сре-
ди учебных лекций самые непонятные — лек-
ции по математике.
Кроме вышеуказанных, есть еще одна при-
чина возникающих трудностей — громоздкие
формулы. Для точной передачи содержания
математической теории недостаточно одних
только слов. Здесь совершенно необходима
специальная символика — особый язык, соз-
дающий препятствие при общении с неспециа-
листами. Из-за этого иногда и сами матема-
тики испытывают затруднения, сталкиваясь с
вопросами, которые выходят за пределы их
специальности.
Вследствие всего этого создается впечат-
ление, будто для неспециалистов невозможно
с достаточной ясностью изложить вопросы,
связанные с историей развития математики,
рассказать о современном состоянии этой
науки.
В настоящей книге я попытался, ограничи-
ваясь только геометрией, хоть в какой-то сте-
пени рассеять подобное представление о
математике. Причем я решил по возможности
Я	М. Комацу
отказаться от использования формул, которые,
как уже отмечалось, сами по себе создают
дополнительные трудности для читателя. Ка-
залось бы, вести разговор о математике, не
прибегая к формулам, — едва ли не бесполез-
ное дело: без них не получишь необходимых
сведений. Однако в рамках геометрии, исполь-
зуя большое число простых рисунков, все же,
по-моему, можно добиться определенных успе-
хов в понимании предмета. Причем в данном
случае и сам объект исследования не предста-
вит для читателя тех трудностей, какие встре-
чаются, скажем, при изучении дифференци-
ального и интегрального исчислений.
В этой книге я касаюсь разных разделов
геометрии. И если я поставил перед собой та-
кую цель, то только потому, что, как мне ка-
жется, различия и особенности разделов этой
науки не столь значительны и могут быть объ-
яснены начинающим даже при субъективном
подходе к изложению. Изложение теорий —
задача Сложная, и лучше всего идти по пути
постепенного и последовательного рассмотре-
ния* объекта исследования.
Таковы были соображения, способствовав-
шие принятию решения написать эту книгу,
которой я хочу предпослать еще несколько
замечаний.
Нужно отметить, что для усвоения предме-
та математики требуется «точное знание», не-
обходимо четкое овладение основными поня-
тиями, глубокое понимание доказательств.
Направленность настоящей книги иная — она
дает лишь общее представление о предмете.
Поэтому, дорогие читатели, не считайте, что,
познакомившись с книгой, вы в общем постиг-
ли геометрию. Мое пожелание вам — продол-
Предисловие
9
жайте изучать предмет. Значение этой книги
заключается в том, что здесь намечаются
лишь общие пути , развития геометрии. И я
считаю, что в свое время Эрлангенская
программа Ф. Клейна была весьма по-
лезна в этом отношении. Очевидно, нельзя
называть «точным знанием» одно лишь копа-
ние в длинных доказательствах отдельных
теорем.
Ясно, что для тех целей, которые я перед
собой поставил, размеры книги слишком не-
значительны. Но я хотел бы, чтобы эта книга
заинтересовала читателя и стимулировала
его дальнейшую работу.
В конце книги я написал послесловие, где
разъяснены цели каждой главы и каждого
параграфа. Это, как мне кажется, может по-
мочь в усвоении материала. Чтобы легче бы-
ло разобраться в содержании книги, возмож-
но, следует сначала прочитать послесловие.
В переводе с иностранных языков мне по-
могал Юкио Мицумура. Большую помощь,
несмотря на свою занятость, оказали мне так-
же Масахиса Макино и Хофу Накамура.
Всем им я приношу глубокую благодарность.
Введение
$ /.
Термин «геометрия»
Геометрия («geometria») — это гре-
ческое слово. Оно происходит от слов «geo» —
Земля и «metгоп» — измерение. Таким обра-
зом, само слово показывает, что возникнове-
ние геометрии связано с землемерием. В
японском языке это слово читается как «ки-
кагаку». Оно появилось в эпоху Мэйдзи
(1867—1912). Этот термин китайского проис-
хождения. Употребляется он, видимо, пример-
но с 1860 года. До этого — около 1850 года —
Нагахидэ Такано (1804—1850) и Гокэн Утида
(1805—1882) употребляли термин «догаку»
(«досугаку»).
В 1872 году Каньити Хасидзумэ при изда-
нии книги «Краткий комментарий к западному
исчислению» перевел термин «геометрия» как
«землемерие». Почему был взят именно этот
перевод термина, точно сказать трудно: то ли
узнали от иностранцев о его значении в гре-
ческом или голландском языке, то ли сами
без понимания теоретической системы гео-
метрии просто усмотрели в ней .связь с зем-
лемерным искусством. По крайней мере еще
до эпохи Мэйдзи (до 1867 года) Гокэн Утида,
Эцу Янагинара (1832—1891) и другие при
проведении важных для Японии гидрографиче-
ских измерений использовали этот термин.
В 1877 году было основано Токийское ма-
тематическое общество (президент Козэй Кан-
да (1830—1898). На заседании этого общества
было принято решение о переводе на японский
язык математических терминов. Работа Об-
Введение
11
щества по переводу велась очень энергично.
Были определены многие новые переводные
термины, и в то же время многие термины, та-
кие, как «функция», «алгебра», «геометрия»,
были взяты прямо из китайского языка.
Работа по переводу терминов сопряжена
с большими трудностями, многие термины вы-
зывают споры. В переводе терминов с энту-
зиазмом участвовали десятки известных чле-
нов математического общества. В те годы
издавалось много работ и переводов западных
математиков. Нередко они представляли со-
бой не отобранные Обществом переводы с
подлинника, а переводы с других языков.
В 1889 году Рикитаро Фудзисава (1861—1933)
опубликовал свой труд «Иероглифический
словарь для перевода с английского языка на
японский математических терминов». После
этого в 1902 году был издан «Новый англо-
японский иероглифический словарь» Токити
Мия мото, в 1905 году — «Математический сло-
варь» Камэносукэ Нагадзава. В этих изда-
ниях «геометрия» обозначалась японским тер-
мином «кикагаку» (геометрия).
§ 2.
О содержании термина «геометрия»
Каково же содержание той области
математики, которую называют геометрией?
В наше время это, разумеется, никак не зем-
лемерие. Невозможно дать краткое определе
ние интенсивно развивающимся сейчас облас
тям математики, но вполне реально дать пред-
ставление об изменениях, происшедших в гео-
метрии, начиная с греческой эпохи и до наших
дней.
12
В греческую эпоху были накоплены и обоб-
щены многочисленные знания, полученные в
процессе развития землемерного искусства.
Именно в Древней Греции появились знамени-
тые «Начала» Евклида (Евклид жил прибли-
зительно две тысячи двести лет назад), где
отдельные осмысленные факты были объеди-
нены в общую логическую систему.
Безусловно, Евклид был выдающейся лич-
ностью. Помимо «Начал» у этого оригиналь-
ного мыслителя имеется много других трудов,
но все же самым крупным вкладом в матема-
тику были, несомненно, его «Начала». Впро-
чем, и до Евклида занимались подбором и
обобщением фактов. Наиболее ранним сочи-
нением такого рода считается книга Гиппо-
крата Хиосского (VI в. до н. э.). Однако ос-
новы теории Евклида по своему содержанию,
по глубине мысли заметно отличались, и кни-
га Гиппократа, как, впрочем, труды других
мыслителей прошлого, не шла ни в какое
сравнение с «Началами». Как писал Прокл
(V в.), Евклид многое взял от Евдокса (408—
350 гг. до н. э.; ученик Платона), многое усо-
вершенствовал в трудах Теэтета (415—369 гг.
до н. э.; группа Платона) и затем, проанали-
зировав труды своих предшественников, возвы-
сился до создания невиданной по тем време-
нам точно обоснованной теории.
Теория Евклида удивляет и сложным по-
строением, и четкостью мысли, и живостью
изложения. Это, несомненно, первый образец
построения научной системы. Впоследствии
теория Евклида оказала большое влияние на
формирование науки в Греции, став фунда-
ментом развития таких областей знания, как
математика, философия и другие, тем культур-
Введение
13
ным наследием, которое считается гордостью
греческой нации. «Начала» Евклида не
потеряли своей ценности и поныне, несмотря
на то, что со дня их появления прошло более
2000 лет.
В последнее время нередко можно услы*
шать, что изучение евклидовой геометрии не-
обязательно. При этом имеется в виду не
только евклидова геометрия как таковая, в
рамках созданной Евклидом системы, но и
евклидова геометрия в математически обосно-
ванном изложении Д. Гильберта (1862—1943).
Но это не означает, что мнение о евклидовой
геометрии как «плохой» геометрии широко
распространено. Мы здаем, что именно от ев-
клидовой геометрии человечество получило
дедуктивный метод — общий научный метод.
Польза от изучения теории Евклида в процес-
се математического образования несомненна.
Тем не менее мы не ставили перед собой
задачу обсуждать евклидовы «Начала». Наша
цель — выяснение содержания геометрии.
Вообще говоря, основным объектом математи-
ки является внешний мир, непосредственное
восприятие и отражение его. Евклидова гео-
метрия также возникла из стремления понять
и объяснить окружающий человека мир. Она,
как известно, развилась из искусства топогра-
фических измерений в Египте.
Египтяне, например Пифагор (ок. 600 —
500 гг. до н. э.) *, использовали, в частности,
свойства прямоугольных треугольников (на^
пример, треугольника со сторонами 3, 4, 5).
* По дошедшим до нас скудным сведениям, Пифа-
гор, покинув родной остров Самос, некоторое время
жил в Египте. (Здесь и далее ирнмеч. научи, ред.)
14	Многообразие геометрии
На самом деле эти факты были известны еще
за 2400 лет до Пифагора и соответственно за
2700 лет до Евклида. Что касается параллель-
ных прямых, то сведения о них, как, впрочем,
и о некоторых других интересных геометри-
ческих фигурах, относятся к четвертому тыся-
челетию до н. э.
Таким образом, уже в то далекое время
люди владели различными познаниями в об-
ласти геометрии, но они не были в состоянии
свести их в единую всеобъемлющую систему.
Фалес (примерно 600 г. до н, э.), путешествуя
по Египту, познакомился с местными метода-
ми измерений и, вернувшись в Грецию, рас-
сказал о них своим соотечественникам. У него
были и собственные исследования: в совре-
менных школьных курсах математики имеется
теорема Фалеса. Однако только Пифагор, дав
доказательство своей теоремы, тем самым в
интеллектуальном смысле отделил геометрию
от искусства измерения. Известная теорема
Пифагора о том, что сумма квадратов катетов
равна квадрату гипотенузы, как мы знаем, яв-
ляется одной из основных теорем в системе
обязательного образования. К возникшей
впоследствии школе Пифагора принадлежали
многие ученые, среди которых выделялся уже
упоминавшийся нами Гиппократ Хиосский.
Именно он составил систематическое изложе-
ние основ геометрии, которое можно считать
одним из первых подлинно научных сочи-
нений.
Затем наступила эпоха многочисленных
геометрических исследований знаменитой пла-
тоновской Академии. Платон (427—347 гг. до
н. э.) наряду с философией серьезное внима-
ние уделял геометрии. Не ограничиваясь толь-
Введение
IS
ко собственными исследованиями, он создал
целую школу своих учеников и последовате-
лей, оказавшую большое влияние также и на
Евклида.
Евклид при написании «Начал» не исполь-
зовал слова «геометрия», но оно, как извест-
но, в то время применялось довольно широко.
Примечателен следующий разговор Евклида с
царем Птолемеем. Когда царь спросил: «А нет
ли пути более быстрого, чем «Начала»?» —
Евклид ответил: «В геометрии нет царских
дорог». Прокл, о котором мы уже упоминали,
говорил: «Евклид создал основы геометрии».
Как нам представляется, теоретическое
значение «Начал» Евклида заключается не
только в том, что в них наряду с основами
геометрии рассматриваются другие области
античной математики. В «Началах» мы ви-
дим, как из простых определений, аксиом и по-
стулатов выводятся утверждения, теоремы,
которые составляют цельную научную сис-
тему.
В эллинскую эпоху геометрия наравне с
философией была областью чистого знания,
но в то же время она, по-моему, могла быть
отнесена и к естественным наукам. Хотя Ев-
клид и заложил ее теоретический фундамент,
он, надо полагать, рассматривал ее и как нау-
ку, объясняющую природу Вселенной. Опира-
ясь на практический опыт, он путем система-
тизации и обобщений построил научную сис-
тему.
Из определений Евклида приведем следую-
щие:
1.	Точка есть то, что не имеет частей.
2.	Линия же — длина без ширины.
3.	Границы линии суть точки.
16	Многообразие геометрии
4.	Поверхность есть то, что имеет только
длину и ширину.
Эти понятия, лежащие в основе дальней-
ших научных выводов, представляют собой
некие абстракции и являются теми единицами,
которые можно называть элементами нашей
Вселенной. Они являются фундаментальными
и в рассуждениях Евклида. Поэтому более
поздняя критика евклидовых определений,
состоявшая в том, что эти определения объяв-
лялись не имеющими смысла, не совсем спра-
ведлива. В действительности обоснование Ев-
клидом своей теории — это образец такого
научного подхода, которого следует придер-
живаться при создании любой дедуктивной
системы.
Ученые Древней Греции, не говоря уже о
Платоне, как в философии, так и в геометрии
развили рациональную сторону духовной
культуры, продемонстрировав при этом един-
ство науки.. Древнегреческим философам был
известен, афоризм: «Не знающий геометрии
не допускается», который, как говорят, при-
надлежал знаменитому Платону, повесившему
его на дверях своей школы.
На протяжении многих веков образ мышле-
ния Евклида, его стиль являлись для всех
ученых примером научного мышления, по сло-
вам Паскаля (1623—1662), образцом «геомет-
рического духа».
Если вспомнить здесь о японских матема-
тиках, то с сожалением приходится признать,
что они не обладали подобным научным «ду-
хом». В своих сочинениях они приводили за-
мысловатые чертежи, делая выводы на полу-
интуитивном уровне, не предлагая строгих
доказательств. Таким образом, можно сказать,
Введение
17
что в японской математике геометрии в науч-
ном смысле не было. Даже в начальный пе-
риод эпохи Мэйдзи большинство математиков
японской школы, видимо, не постигли значе-
ния геометрических выводов, которые можно
сделать из простых геометрических построе-
ний. Упоминавшиеся ранее Нагахидэ Такано
и Гокэн Утида провозглашали, что нужно
сосредоточить внимание лишь в направлении
математической логики как методической ос-
новы науки. Утида, известный японский мате-
матик, по голландским источникам изучил
западную математику, и в свое время он был,
пожалуй, единственным человеком в Японии,
обладавшим математической эрудицией.
Ближе к нашему времени параллельно с
развитием других наук развивалась и матема-
тика, в том числе алгебра и аналитическая
геометрия. Геометрия, в сути своей оставаясь
неизменной, расширяла свои методы и пред-
мет исследований. Наряду с евклидовой раз-
вивались проективная геометрия, неевклидо-
вы геометрии. Так, в неевклидовых геомет-
риях сумма углов треугольника не равна сум-
ме двух прямых углов. Почти уже в наши
дни Гильберт чисто математически доказал
непротиворечивость аксиом евклидовой гео-
метрии *.
* В своих исследованиях по основаниям геометрии,
«которые представляют собой попытку установить для
геометрии полную и возможно более про-
стую систему аксиом», Гильберт свел вопрос о не-
противоречивости геометрии к другому вопросу — проб-
леме непротиворечивости арифметики. Другими слова-
ми, Гильберт показал, что евклидова геометрия непро-
тиворечива, если непротиворечива арифметика (см.
Гильберт Д. Основания геометрии).
2 Д-41
18
Многообразие геометрии
Гильберту принадлежит широко известная
теперь мысль о том, что «геометрия конструи-
руется из столов, стульев и пивных кружек».
Так, евклидова геометрия, исходя из нагляд-
ных представлений реально существующего
мира и затем абстрагируясь от последнего, в
результате превратилась в науку, ведущую
абстрактные и в то же время конкретные ис-
следования. В наше время стремительно раз-
вивается новое геометрическое направление—
топология, которая исследует множества
точек, наделенные так называемой топологи-
ческой структурой. Топология представляет
собой ту область, методы которой имеют при-
ложение во всех разделах математики. Со-
временная геометрия, несмотря на свой
абстрактный характер, имеет дело с геометри-
ческими фигурами и использует в качестве
инструмента исследования различные по-
строения.
Часть первая
Глава 1
Классическая геометрия
Название «классическая геоме-
трия» — это отнюдь не математический тер-
мин. Под «классической геометрией» понима-
ют один из главных разделов «старой»
математики. Исследования и достижения
классической геометрии великолепны и лежат
в основе современной математики. Однако в
настоящее время сама.по себе классическая
геометрия уже не является той областью, ко-
торую можно было бы рассматривать как
объект особо важных исследований.
Здесь мы в классическую геометрию вклю-
чаем евклидову и неевклидову геометрии, а
также аффинную и проективную. Уместно
сказать, что в Японии вплоть до эпохи Тайсё
(1912—1925) проективная геометрия включа-
лась в разделы так называемой современной
геометрии. В то время все геометрии, кроме
евклидовой, входили в рамки современной
геометрии. С другой стороны, как известно,
многие математики критически относились к
включению проективной геометрии в совре-
менную. В тех разделах, где применялся син-
тетический подход, уже чувствовалось «прош-
лое», и их нельзя было считать современ-
ными.
Когда говорят о современной геометрии,
прежде всего имеют в виду топологию и диф-
ференциальную геометрию. Говоря о геомет-
рии, можно вспомнить алгебраическую геоме-
трию, но в наши дни этот раздел относится к
2*
Многообразие геометрии
сфере алгебры. Кроме того, термин «геомет-
рия» фигурирует в названиях некоторых дру-
гих областей математики, которые, вероятно,
не стоит относить ни к классической, ни к ос-
новным разделам современной геометрии.
§ 1-
Различные представления о
геометрии
Прежде чем приступить к подроб-
ному рассмотрению геометрии, отметим, что в
зависимости от вида геометрии одно и то же
утверждение, высказанйое в отношении неко-
торой фигуры, может быть как верным, так и
ошибочным.
Возьмем фигуры, приведенные на рис. 1.
Эти фигуры расположены в плоскости. Фигу-
ры 1 и 6 имеют одинаковую форму, 4 — пря-
мая линия. Рассматривая рис. /, можно вы-
сказать различные суждения, например:
1.	Поскольку фигуры 1 и 6 занимают раз-
ное положение, то они не одинаковы.
2.	Четырехугольник нарисован третьим
слева.
3.	Фигуры / и 6 одинаковы.
4.	Сумма трех внутренних углов фигуры 1
составляет два прямых угла.
Классическая геометрия
2/
5.	Фигуры / и 2 различны.
6.	Фигуры 2 и 3, а также 2 и 5 различны.
7.	Каждая из фигур (/—6) разбивает
плоскость на две части.
Все вышеприведенные суждения имеют
смысл и выражают правильные отношения.
Однако в зависимости от вида геометрии не-
которые из-них в конечном счете становятся
неверными. Почему это происходит, должно
стать понятным в дальнейшем при объясне-
нии разных геометрических подходов. Здесь
же мы только вскользь наметим границу меж-
ду различными точками зрения.
Возьмем сначала суждение 1. Фигуры 1 и
единственные из всех шести, которые, оче-
видно, в некотором роде равны. И если нахо-
диться на той точке зрения, что фигуры,
имеющие между собой хоть какие-нибудь
различия, обязательно неодинаковы, то невоз-
можно ни сравнивать фигуры между собой, ни
делать те или иные выводы. При этом совер-
шенно невозможно даже измерение, которое
сводится, как известно, в конечном счете к
совмещению прямолинейных отрезков. В та-
кой ситуации нельзя получить универсальные
общие положения, а значит, невозможно и
возникновение науки. Таким образом, сужде-
ние 1 относится к категории суждений, кото-
рые существовали еще до возникновения гео-
метрии как науки.
Суждение 2 также относится к суждениям
догеометрического периода. В евклидовой гео-
метрии, как известно из школьных учебников
математики, свойства фигур при перемещении
не изменяются. И ни в какой из геометрий не
имеет значения, где находится та или иная
фигура — на третьем месте или на пятом.
22
Многообразие геометрии
В суждении 3 слово «одинаковы» исполь-
зовано в смысле «равны» или «конгруэнтны».
Вообще две фигуры, которые можно наложить
одну на другую посредством перемещения, на-
зываются равными, или, как еще говорят, кон-
груэнтными. Так вот, фигуры 1 и 6 равны.
В евклидовой геометрии фигуры сравнива-
ют между собой и выявляют их общие свой-
ства посредством именно перемещений. Пере-
мещение иначе называют движением, однако
считать, что это означает перемещение и на-
ложение фигур руками, было бы слишком
упрощенно. Ниже, говоря о евклидовой гео-
метрии, мы приведем математически строгое
определение.
Суждение 4 верно для треугольных фигур
лишь на евклидовой плоскости. Если же на-
чертить треугольник на неевклидовой плоско-
сти (плоскости Лобачевского), то сумма его
трех внутренних углов всегда будет меньше
двух прямых углов и суждение 4 неверно.
Суждение 5 неверно в аффинной геоме-
трии. Аффинная геометрия будет объяснена в
нижеследующих разделах. Здесь же скажем
только, что она не рассматривает такие кон-
кретные величины, как длина отрезков, вели-
чина углов и т. п. На этом мы остановимся
подробнее ниже, сейчас же только еще отме-
тим, что в аффинной геометрии все треуголь-
ники одинаковые фигуры.
Суждение 6 верно и в аффинной геомет-
рии, так как треугольники и четырехугольники
в аффинной геометрии представляют собой
различные фигуры. Однако если суждение 6
рассматривать в рамках топологии, то оно
оказывается неверным. С топологической точ-
ки зрения эти три фигуры одинаковы.
Классическая геометрия
23
Суждение 7 верно и в евклидовой, и в аф-
финной геометрии, и в топологии. Однако если,
прямая 4 расположена на проективной плоско-
сти, то суждение 7 неверно. О проективной
плоскости мы также расскажем ниже, но
кратко можно сказать, что в отличие от
евклидовой и аффинной плоскости она конеч-
на и прямая на ней не может быть продолже-
на бесконечно: идя по проективной прямой,
мы вернемся в исходную точку. Другими сло-
вами, она подобна замкнутой кривой, хотя
при этом она все же в определенном смысле
представляет собой прямую линию.
$ 2.
Евклидова геометрия
В предыдущем параграфе говори-
лось, что в евклидовой геометрии взаимно
совмещаемые посредством движения фигуры
считаются равными и при рассмотрении мы
их не различаем. Иначе говоря, в евклидовой
геометрии именно при помощи движения фи-
гуры сравниваются между собой, выясняется,
одинаковы они или нет. Теорема о централь-
ных углах, например, гласит, что в одной и
той же окружности два центральных угла, стя-
гивающих равные дуги, равны, т. е. представ-
ляют собой углы, которые можно совместить
движением. Доказательство такой теоремы
опирается на свойства движений.
В «Началах» Евклида прежде всего пред-
полагается как само собой разумеющееся, что
любой отрезок прямой имеет длину, а у каж-
дого угла есть своя величина. Перемещение
фигуры, при котором ни длина, ни какая-либо
24	Многообразие геометрии
связанная с длиной характеристика не меня-
ется, является движением. Далее считается,
что совпадающие при движении фигуры рав-
ны и вся фигура больше ее части. На основа-
нии этого стало возможным сравнение между
собой различных фигур, что было совершенно
естественно для геометрии как науки, вырос-
шей из искусства землемерия.
Евклидово совмещение фигур — весьма аб-
страктное явление, поскольку предполагает
существование некоего идеального движения.
Ответ на вопрос, равны ли между собой те
или иные фигуры, не простой. Так, например,
о совмещаемости при помощи движения двух
треугольников судят по тому, равны ли меж-
ду собой соответственно их стороны и углы.
Это не что иное, как известные признаки ра-
венства треугольников.
Хотя Евклид сам и не прибегал к переме-
щениям слишком сложных фигур, но он, есте-
ственно, распространял понятие движения на
все фигуры.
Совместим фигуру F\ с фигурой /;2 при по-
мощи движения f (рис. 2). При этом точки
фигуры F] перейдут в точки фигуры F2. Две
разные точки А] и В{ фигуры /;1 перемещают-
Рис. 2
Классическая геометрия
25
ся движением f в разные точки А2 и В2 фигу-
ры F2. Действительно, так как при движении
длина отрезка XjBi d(XiBi), которая
больше нуля, равна длине отрезка А2В2
d (Л2В2) = d (АХВХ) > О,
то А2 =# В2.
Мы видим, что движение f устанавливает
между точками фигур Fx и F2 соответствие,
при котором сохраняется расстояние между
соответствующими точками^ Точечное соответ-
ствие между фигурами записывают в виде
следующей формулы:
f : Fx-+F2.
Здесь под фигурой понимается состоящее из
точек множество. При определении движения
/ каждой точке Рх фигуры Fx ставится в соот-
ветствие вполне определенная точка P2=f(Px)
фигуры F2 и, обратно, каждой точке Q2 фигу-
ры F2 соответствует единственная точка Qi
фигуры Fi, такая, что f (Q1)==Q2. Нетрудно
видеть, что посредством движения f между
равными фигурами устанавливается взаимно
однозначное соответствие. (Сначала я думал,
что лучше было бы рассмотреть все это после
следующего параграфа, который посвящен
теории множеств, но, вероятно, и здесь все
изложенное нетрудно понять, поскольку объ-
яснение предельно просто.)
Таким образом с помощью движения уста-
навливается соответствие, при котором сохра-
няется расстояние d (AxBx)=d (Л2В2). Мож-
но сказать иначе: движение есть соответствие,
при котором не изменяется расстояние между
каждыми двумя точками фигуры.
26
Многообразие геометрии
Итак, суть совмещения фигур в евклидовой
геометрии сводится к следующему:
1.	Существует взаимно однозначное соответ-
ствие между точками.
2.	Отрезки прямых переходят при этом со-
ответствии опять же в отрезки прямых.
3.	Соответствие сохраняет расстояние.
Такие преобразования иначе называют кон-
груэнтными преобразованиями (мы к ним еще
вернемся при объяснении Эрлангенской про-
граммы Ф. Клейна (1849—1925).
Итак, в евклидовой геометрии фигуры срав-
ниваются при помощи движений плоскости и
именно в евклидовой геометрии рассматрива-
ется вопрос о равенстве тех или иных фигур,
а также условия, при которых эти фигуры яв-
ляются или не являются равными. Довольно
трудно сразу осознать, что исследование ин-
вариантных относительно движений свойств
фигур составляет содержание евклидовой гео-
метрии.
В предыдущем параграфе говорилось, что
в аффинной геометрии не рассматриваются ни
расстояние, ни величина угла, ни некоторые
другие связанные с ними евклидовы характе-
ристики. И это «пренебрежение» расстоянием
и ему подобными величинами является отли-
чительной чертой аффинной геометрии. Под-
робнее мы расскажем о ней в специальной
главе. Однако уже сейчас можно отметить, что
если из трех условий движений отбросить
третье, то мы получим класс как раз тех пре-
образований (удовлетворяющих 1-му и 2-му
условиям), которые рассматриваются в аф-
финной геометрии. Эти преобразования назы-
ваются аффинными. Поскольку аффинная эк-
вивалентность фигур устанавливается при по-
Классическая геометрия
27
мощи аффинных преобразований, то в этом
виде геометрии при сравнении фигур в конеч-
ном счете появляется значительно больше эк-
вивалентных между собой фигур, нежели в
евклидовой геометрии. Как отмечалось выше,
все треугольники являются аффинно эквива-
лентными фигурами. Аффинную геометрию,
видимо, нельзя считать столь же непосред-
ственным отражением реально существующе-
го мира, как евклидову геометрию. Она ₽
большей степени представляет собой матема-
тическую теорию.
£ з.
Множества
Для более глубокого изучения та-
ких понятий, как «соответствие», «преобразо-
вание» (в частности, движение), необходимо
сначала усвоить, что такое множество. Я ду-
маю, что читателям известно, что множество—
одно из основных понятий в математике. Не
случайно многие математические спецкурсы
начинаются со знакомства с теорией множеств.
Важность понятия множества, особенностью
которого является, в частности, то, что оно не
требует вычислений, осознается в процес-
се размышления над логическими основами
математики, над ее структурой. Создавая тео-
рию множеств, Г. Кантор (1845—1918) пони-
мал, какое важное значение для математики
имеет развитие этой общей идеи. Впоследствии
значение теории множеств было оценено и
другими математиками. Я думаю, что и мои
читатели в некоторой степени смогут пред-
ставить себе, какое значение имеет понятие
множества.
28
Многообразие геометрии
Каждая фигура является совокупностью
точек, или, иначе, множеством точек. Уже во
времена Евклида, говоря о точке на прямой
или же, к примеру, о точке пересечения двух
прямых, интуитивно рассматривали плоскость
как множество точек.
В начальный период развития теории мно-
жеств различали такие множества, как мно-
жество прямых (в качестве элементов послед-
него берутся прямые линии) и, положим,
множество функций /, непрерывных на единич-
ном отрезке [0,1]. Позднее теория множеств
стала применяться к любым множествам,
независимо от того, из чего они состоят: из
прямых, функций и т. д. Хотя и до появ-
ления теории множеств случалось, что собира-
ли воедино те или иные функции, прямые и
т. д., но только впоследствии стали изучать
общие свойства множеств независимо от при-
роды составляющих их элементов.
Если говорить о свойствах фигур, приведен-
ных на^рис. 1, то можно отметить, что с точки
зрения теории множеств все они равнозначны:
и прямая, и отрезок прямой, и окружность в
конце концов одинаковы. Теория множеств,
являясь основой как геометрии, так и алгеб-
ры, не ограничена рамками каждой из них. С
другой стороны, я думаю, возникают сомне-
ния: можно ли прийти хоть к сколько-нибудь
содержательным выводам, теоремам, если
столь разные фигуры, как приведенные на
рис. 1, с точки зрения теории множеств не
различаются. Ниже мы постараемся несколь-
ко рассеять эти сомнения.*
В основе теории множеств лежит понятие
взаимно однозначного соответствия. Выясним,
что это такое.
Классическая геометрия
29
Рассмотрим сначала два множества, каждое
из которых состоит из пяти чисел, первое —
из целых, второе — из дробных:
Л = (1, 2, 3, 4, 5),
(1, */2) »/з, 74, ’/6).
Между элементами, составляющими эти два
множества, можно установить следующее со-
ответствие:
12	3	4
5
Каждому элементу из множества F\ соот-
ветствует единственный элемент из множества
F2 и, обратно, каждому элементу из F2
соответствует один и только один элемент
из Л. Так между элементами обоих множеств
устанавливается взаимно однозначное соответ-
ствие, Считая, что это соответствие направле-
но от F\ к Г2, можно записать его в виде
f: Л—>F2.
Например, число Уз как элемент из F2 соот-
ветствует при f числу 3— элементу множества
Fi. С другой стороны, если в F2 взять элемент
Уз, то единственным соответствующим ему зна-
чением из Fi будет 3. Иначе, каждому элемен-
ту из F2 соответствует единственный элемент
из Fu и мы получаем обратное соответствие.
Символически это записывают следующим об-
разом:
f-i : F2~^Fi.
30
Многообразие геометрии
Отображение f~l могло быть определено
только потому, что отображение f удовлетво-
ряет условию взаимной однозначности (т. е.
одному элементу множества соответствует
один и только один элемент из другого мно-
жества и разным элементам — разные).
Пусть множество F\, например, состоит из
чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, а множество Г2={1, */г» '
>/з, ’А. ’А}; соответствие f определено следую-
щим образом: 1—>1, 2—*-*/2» 3-—*-*/з> 4—>-V4,
5-—>-Vs, 6—>-Vs. В этом случае двум разным
элементам 5 и 6 из Ft соответствует один и
тот же элемент Vs из F2 и значение f-1 (Vs)
определяется не однозначно; обратное соот-
ветствие f~l тем самым невозможно.
Следует сказать, что соответствия между
множествами
Л = {1, 2, 3, 4, 5} и F2 = {1, V2, Vs, 'A, Vs}
не ограничиваются вышеприведенным f. На- ?
пример, соответствие g:Ft—^F2, при котором
1—*-*Д, 2—*~Vs, 3—*-*/2, 4—И, 5—-4-V4, также
является взаимно однозначным соответствием.
Другими словами, взаимно однозначное соот-
ветствие между двумя множествами не един-
ственно.
В вышеприведенном примере взяты множе- I
ства, состоящие из целых и дробных чисел, но 
результат будет одинаков, если в качестве i
элементов множеств взяты точки на прямой, !
отстоящие от исходной точки на расстояние ।
1, 2, 3, 4, 5 и соответственно 1, 1/2, ’/з, ’/♦» Vs-
Если взять другие какие-нибудь пять точек,
то и тогда все будет обстоять так же. Напри-
мер, если взять множество, состоящее из пя-
ти вершин пятиугольника АВС ДЕ — F2 =
= {А, В, С, Д, Е}—и Л={1, 2, 3, 4, 5}, то со-
Классическая геометрия
31
ответствие 1—М, 2—*В, 3—>С, 4—>Д, 5—>£
опять-таки будет взаимно однозначным соот-
ветствием. Вообще любое множество, образо:
ванное из пяти элементов, может быть приве-
дено во взаимно однозначное соответствие со
множеством Л = {1, 2, 3, 4, 5}. Вопрос лишь в
количестве элементов множества F2 — в дан-
ном случае в том, что их тоже пять.
Считая вообще любые два множества, кото-
рые можно привести во взаимно однозначное
соответствие, эквивалентными, теория мног
жеств не принимает во внимание природу эле-
ментов этих множеств.
Как сказано выше, множество, которое со-
стоит из конечного числа, например п элемен-
тов, является множеством, эквивалентным
множеству {1, 2, ..., п}.
Таким образом, конечные множества, т. е.
те, что состоят из конечного числа элементов,
с теоретико-множественной точки зрения раз-
личаются только по числу элементов. Множе-
ства, состоящие из одинакового числа элемен-
тов, сколько бы их ни было, эквивалентны ме-
жду собой.
Однако в случае бесконечных множеств де-
ло обстоит несколько сложнее. Но и при этом
главный признак сравнения или различия бес-
конечных множеств состоит в том, чтобы вы-
яснить, имеется ли между ними взаимно одно-
значное соответствие или нет. Например,
между точками треугольника и окружности та-
кое соответствие, как видно на рис. 3, суще-
ствует.
Для этого из общей внутренней точки О
проведем радиус; он пересечет треугольник
(имеется в виду его граница) и окружность в
единственных точках Pi и Р2. Соответствие f
32
Многообразие геометрии
устанавливается по формуле f (Р\)=Ръ Так
как радиус можно провести через каждую
точку Р2 треугольника и каждую точку Q2 ок-
ружности, то соответствие f будет взаимно од-
нозначным соответствием между границей
треугольника и окружностью. Отсюда вытека-
ет также существование обратного соответ-
ствия^: f 1
/ 1 (Q2) - Q|.
Если фигуры Р] и F2 расположены так, что
не имеют общей внутренней точки (рис. 4), то
параллельным переносом на вектор h мы пе-
Рис. 4
Классическая геометрия
33
реводим треугольник Л в уже знакомое нам
положение F'\. Параллельный перенос h яв-
ляется конгруэнтным преобразованием, т. е.
заведомо взаимно однозначным соответстви-
ем. Таким образом, имеем:
л /
Fi —► Ft —► F2
взаимно взаимно
однозначно однозначно
Ясно, что между фигурами Fi и F2 в итоге
устанавливается взаимно однозначное соответ-
ствие, задающееся формулой f(h(Pi)). Таким
образом, согласно теории множеств треуголь-
ник и окружность эквивалентны.
Также эквивалентны между собой множе-
ство точек прямой и множество точек ок-
ружности. Построение взаимно однозначного
соответствия между ними в этом случае не-
сколько труднее.
Далее, с точки зрения теории множеств от-
нюдь не требуется, чтобы точки были распо-
ложены в линейном или еще в каком-то
порядке. Просто считается, что если между
точками двух фигур можно установить взаим-
но однозначное соответствие, то такие фигуры
количественно эквивалентны или равномощ-
ны. Кантор, рассматривая равномощные бес-
конечные множества, по аналогии с конечными
приписывал им одинаковую количественную
характеристику. Но поскольку бесконечных
чисел не существует, он назвал такую характе-
ристику кардинальным числом, желая под-
черкнуть тем самым, что мы имеем дело с
необычными числами. Говоря иначе, одина-
ковость кардинальных чисел двух множеств
3 Д-41
34	Многообразие геометрии
и наличие между ними взаимно однозначного
соответствия выражают одно и то же явление.
С другой стороны, если бы все бесконечные
множества были равномощны, то введение кар-
динальных чисел не имело бы никакого зна-
чения. Главное достижение Кантора как раз
в том и состоит, что он показал: среди беско-
нечных множеств непременно встречаются та-
кие, между которыми нет взаимно однознач-
ного соответствия, следовательно, существу-
ют различные кардинальные числа.
Возьмем в качестве примера множество на-
туральных чисел
N = {1, 2, 3, ..., п,...}
и множество R всех вообще действительных
чисел — рациональных и иррациональных. Так
вот, между множествами N и 7? нельзя уста-
новить, даже игнорируя при этом их располо-
жение в порядке возрастания величины, ни
одного взаимно однозначного соответствия. В
геометрическом отношении это означает, что
множество всех точек числовой оси и множе-
ство точек с целыми положительными коорди-
натами количественно неэквивалентны. Дока-
зательство этого факта методом от противного
состоит в том, что предполагается вначале,
что взаимно однозначное соответствие между
ними имеется, и затем из этого предполо-
жения косвенными приемами приходят к
противоречию. Это доказательство можно най-
ти в любой книге по теории множеств. Карди-
нальное число множества всех натуральных
чисел обозначают через а соответствующее
число для множества действительных чисел —
через с. Из вышесказанного следует, что
J8t=/=c. Множество мощности It, называется
Классическая геометрия
35
счетным множеством; оно среди бесконечных
множеств является наиболее простым.
Кардинальное число множества точек от-
резка прямой также есть с, т. е. между ним
и множеством всех точек прямой можно уста-
новить взаимно однозначное соответствие. Кан-
тор также доказал, что такое соответствие
существует и между множеством точек обыч-
ной плоской фигуры и множеством всех точек
отрезка. С другой стороны, он показал, что
кардинальных чисел бесконечно много, т. е. с
точки зрения теории множеств существует не-
ограниченно много количественно неэквива-
лентных между собой бесконечных множеств.
Тем не менее фигуры, изображенные на рис. 5,
как множества точек эквивалентны. Более то-
го, множество всех точек евклидовой плоско-
сти имеет то же кардинальное число с, что и
множество всех точек одной-единственной
прямой. Но помимо точечных множеств, на
евклидовой плоскости существует бесконечно
много множеств элементов совершенно другой
природы. Например, кардинальное число мно-
жества всех, а не только непрерывных функ-
ций, определенных на отрезке, не равно кар-
динальному числу с. Доказательство этого не-
сколько затруднительно, но то, что имеется
много разных бесконечных множеств,— важ-
ное математическое достижение.
Что мы способны осознать явно, так это ко-
Рис. 5
3*
36
Многообразие геометрии
вечность. Но между тем самые замечательные
достижения в теории множеств относятся к
бесконечным множествам, когда независимо
от характера элементов, из которых состоят
множества, выявляются принципиальные раз-
личия между ними только из-за возможности
или невозможности установления взаимно од-
нозначного соответствия.
Как отмечалось выше, в теории множеств
другие различия между фигурами на плоско-
сти не признаются. Так, множества точек от-
резка, или треугольника, или четырехугольни-
ка все равно в конце концов оказываются ко-
личественно эквивалентными. Поэтому теория
множеств, можно сказать, не имеет особого
значения в геометрии, цель которой изучение
свойств фигур.
Движения в евклидовой геометрии удовлет-
воряют, как мы говорили выше, трем услови-
ям, и первое из них — взаимно однозначное
соответствие. Следовательно, две равные фи-
гуры Л и F2, разумеется, с точки зрения тео-
рии множеств, также являются одинаковыми
(равномощными) фигурами. Однако, обратно,
если фигуры F] и F2 являются одинаковыми
с точки зрения теории множеств,.то в евкли-
довой геометрии они не обязательно связаны
движением. Причина этого в двух других ус-
ловиях движения — 2 и 3.
В теории множеств совершенно не учитыва-
ется ни прямолинейность фигур, ни длины от-
резков, в то время как в евклидовой геомет-
рии эти условия — условия 2, 3 — очень важ-
ны. Иначе говоря, геометрия Евклида наряду
с общей идеей плоского точечного множества
обращает внимание также на его линейную и
метрическую структуры.
Классическая геометрия
37
Совокупность особенностей, которые .харак-
терны для прямолинейных множеств точек, со-
ставляет линейную структуру, а задание длин
прямолинейных отрезков в свою очередь по-
рождает метрическую структуру. Эти две
структуры, если рассматривать их в совокуп-
ности, составляют в математике структуру ев-
клидовой геометрии.
Упоминая об аффинной геометрии, мы от-
мечали, что аффинные преобразования, вообще
говоря, третьему (метрическому) условию кон-
груэнтных преобразований не удовлетворяют.
Следовательно, аффинная геометрия представ-
ляет собой ту геометрию, которая в мир тео-
рии множеств вводит лишь линейную струк-
туру.
Эти положения малопонятны без детально-
го изучения связей между этими тремя об-
ластями. Точно так же нельзя понять суть
различных геометрий без понимания конкрет-
ной, как линейной, так и метрической, струк-
туры.
Глава 2
Аффинная геометрия
Аффинные преобразования
Термин «аффинное преобразова-
ние» относится к временам Л. Эйлера (1707—
1783). Сам ли Эйлер ввел термин «аффинное
преобразование» — я не буду останавливаться
на истории этого вопроса. Впоследствии для
выяснения свойств аффинных преобразований
очень многое сделал А. Ф. Мёбиус (1790—
38
Многообразие геометрии
1868). В 1827 году появилась его книга «Ба-
рицентрическое исчисление», ставшая осново
полагающей в аффинной геометрии. Название
«аффинная геометрия» разделу геометрии, в
котором рассматриваются свойства, сохраняю
щиеся при аффинных преобразованиях, дал,
видимо, Клейн. В 1872 году в Эрлангенской
программе (подробней об этом см. ниже) он
высказал идею о том, что различным видам
преобразований соответствуют различные ви
ды геометрии. Позднее он писал: «Теория ин
вариантов аффинных преобразований (Inva
riantentheorie der affinen Transformationen),
или аффинная геометрия,— это особый вид
геометрии» («Элементарная математика с
точки зрения высшей»).
Сейчас постараемся подробней и более по
нятно рассказать об аффинных преобразова
ниях.
Возьмем евклидову плоскость R2— основной
объект евклидовой геометрии. Она представ
ляетксобой множество точек. Известно, что
движение плоскости — взаимно однозначное
отображение множества точек плоскости на
себя с вполне определенными свойствами
Символически преобразование плоскости за
писывают так:

/ :7?2—>/?2.
Очевидно, что движений плоскости беско
нечно много. Например, любой параллельны!
перенос (всей плоскости) или вращение (опят!
же всей плоскости). Преобразования, при ко
торых прямолинейно расположенные точечный
множества переходят обязательно также i
прямолинейные множества, называются аф
финными преобразованиями плоскости R2
Аффинная геометрия
39
Мёбиус такие преобразования называл кол-
линеациями. Вообще говоря, коллинеация и
аффинное преобразование в общей аффинной
геометрии несколько различны по содержа-
нию, но в области рациональных или веще-
ственных чисел значения этих терминов совпа-
дают.
Обозначим какое-нибудь аффинное преобра-
зование через f
Точки прямой I переходят в точки прямой
f(l) (последняя прямая обычно не совпадает с
прямой /). Ясно, что при этом точка Р прямой
I переходит в точку f(P) прямой f(/):P—^Из-
вращение плоскости, как мы уже упомина-
ли, является частным случаем аффинного пре-
образования. В самом деле при вращении лю-
бая прямая переходит в прямую.
Я знаю, что многие считают обременитель-
ным введение различных символов, таких, как
f, I и т. п. Однако символы издавна использо-
вались для того, чтобы сжато и точно пере-
дать тот или иной смысл вместо выражения его
длинным предложением, и поэтому они имеют
значение в математике. Мы тоже будем ис-
пользовать различные символы, хотя все же
постараемся не злоупотреблять ими.
Рис. 6
40
Многообразие геометрии
Приступая к описанию свойств аффинных
преобразований, мы остановимся на их связи
с движениями в евклидовой геометрии.
При евклидовом движении достаточно рас-
сматривать лишь то, как перемещаются фигу-
ры ограниченного размера, и этим уже движе-
ние плоскости определяется полностью.
Так, при определении равенства двух тре-
угольников особое внимание обращается лишь
на стороны этих треугольников. Если f —
движение, переводящее ДЛВС в равный
ДЛ'В'С', т. е. f.AABC—^ДЛ'В'С', то это
означает, что произвольная точка М на сто-
роне, скажем, АВ при движении f перехо-
дит в соответствующую точку М' на стороне
Л'В':
АВ—+ А'В', М—+М'.
В действительности же под движением f
понимают конгруэнтное преобразование
f:R2—^R2 всей плоскости R2, и, в частности,
это касается треугольника ЛВС, расположен-
ного на ней.
Основная теорема о движениях евклидовой
плоскости утверждает, что любое евклидово
движение можно представить как некоторый
параллельный перенос с последующим опре-
А
Рис. 7
Аффинная геометрия
41
деленным поворотом и, быть может, отра-
жением плоскости в прямой. Заметим, что па-
раллельный перенос и поворот можно полу-
чить непрерывным перемещением плоскости
по себе.
На евклидовой плоскости два равных по
длине отрезка АВ и А'В' совмещаются друг с
другом посредством движения f : АВ—^А'В'.
Если взять какую-нибудь третью точку Р, то
посредством этого движения f она переместит-
ся в точку Р' (или же в точку Р", если при-
влечь отражение плоскости в прямой).
Действительно, поскольку при движении
расстояние не меняется, то точка Р' определя-
ется равенствами РЛ = Р'Л', РВ = Р'В', Поэто-
му если две вершины А' и В' заданы и извест-
ны длины прилегающих к ним сторон, то тре-
тья вершина может занимать одно из двух
положений: Р' или Р". Другими словами, для
задания того или иного движения плоскости
достаточно знать лишь судьбу образов трех
ее точек (не лежащих на одной прямой).
Как указывалось выше, движение евклидо-
вой плоскости — это прежде всего взаимно
однозначное преобразование плоскости Р2.
Кроме того, во всех случаях, будь то парал-
лельный перенос, или же гюворот, или же от-
ражение в прямой, все равно прямолинейные
ряды точек обязательно переходят в прямоли-
нейные ряды. Кроме того, при любом движении
длины отрезков не меняются. Действительно,
в § 2 главы 1 мы приводили следующие свой-
ства, характеризующие евклидовы движения:
1.	Все точки плоскости Р2 преобразуются
взаимно однозначно.
2.	Каждая прямая переходит в прямую.
3.	Расстояние не меняется.
42
Многообразие геометрии
Для аффинных преобразований, которые
мы сейчас будем рассматривать, третье усло-
вие лишнее. Аффинные преобразования удов-
летворяют лишь 1-му и 2-му условиям.
Например, рассмотрим на евклидовой
плоскости преобразования, при которых фигу-
ры растягиваются или сжимаются подобным
образом. Эти преобразования являются при-
мером аффинных преобразований. На рис. 8
точка О остается на месте, но любая другая
точка А переходит в соответствующую точку
А', а каждая прямая АВ переходит в соответ-
ствующую прямую А'В'.
При аффинных преобразованиях длина
соответствующего отрезка, как правило, меня-
ется (на рис. 8 ОАУ=ОА'). Как евклидовы
движения, так и аффинные преобразования
представляют собой особый вид преобразова-
ний. В евклидовой геометрии фигуры, соответ-
ствующие друг другу при конгруэнтных пре-
образованиях, равны, а фигуры, которые
совместить невозможно, считаются неравными,
Рис. 8
Аффинная геометрия
43
неодинаковыми. Поэтому фигуры можно срав-
нивать, классифицировать, определять их вид.
В аффинной геометрии две фигуры, соответ-
ствующие друг другу при аффинных преобра-
зованиях, также определяются как равные (в
аффинном смысле). И с новой точки зрения
фигуры также можно сравнивать между собой
и определять их вид. В аффинной геометрии,
как видно из вышеприведенного примера, фи-
гуры разной длины, например отрезки ОА и
ОД', вообще говоря, могут оказаться эквива-
лентными. Другими словами, в аффинной гео-
метрии длина не имеет существенного значе-
ния. Это же относится и к величине угла.
В то время как отбрасываются длина и вся
связанная с ней система мер, в аффинной гео-
метрии, как и в евклидовой, сохраняются пря-
мые, точки их пересечения, т. е. линейная
структура. Плоскость, рассматриваемая в этой
геометрии, получает новое название — аффин-
ной плоскости. Но при всем при том аффинная
плоскость как множество точек совпадает с
евклидовой плоскостью. Только на ней не рас-
сматривается расстояние.
Такие понятия, как равносторонний и об-
щий треугольники, показанные на рис. 1, су-
ществуют лишь на евклидовой плоскости. В
аффинной геометрии все они эквивалентны.
На аффинной плоскости в рамках аффинной
геометрии таких понятий, как равносторонний
или прямоугольный треугольник, нет. Там есть
просто треугольник.
Выше мы изложили, может быть, несколь-
ко с общематематическим уклоном общие
взгляды относительно конгруэнтных и аффин-
ных шреобразований евклидовой геометрии и
аффинной геометрии. Для их осмысления не
44
Многообразие геометрии
нужны были ни предварительные специальные
знания, ни вычислительные навыки. Мы рас-
смотрели вопрос о том, какое место в геомет-
рии занимает аффинная геометрия. Но этого
совершенно недостаточно, для того чтобы по-
нять подлинное содержание аффинной геомет-
рии.
§ 2-
Содержание аффинной геометрии I
В аффинной геометрии в основном |
выясняется, какие фигуры на евклидовой i
плоскости преобразуются друг в друга аффин-
ными преобразованиями, т. е. являются аф-
финно эквивалентными фигурами. У евклидо-
вых движений условия более жесткие, чем у
аффинных преобразований. В силу условия
инвариантности длины имеется относительно
«больцре количество» различных фигур. При
аффинных преобразованиях условия не столь
жесткие, преобразований относительно боль- .
ше, критерии различия фигур мягче и «коли-
чество» различных видов фигур «уменьшает-
ся». Например, как уже отмечалось, в евкли-
довой геометрии хотя и говорят «треугольни-
ки», но среди них имеется бесконечно много
различных треугольников — равносторонние,
прямоугольные, тупоугольные и др. В аффин-
ной же геометрии все они вместе подвержены
взаимным преобразованиям и поэтому суще-
ствует одно-единственное понятие «тре-
угольник».
В этом реально отражается суть аффинной
геометрии, и сейчас давайте исследуем наибо-
лее простые свойства аффинных преобразова-
Аффинная геометрия
45
ний. Разумеется, у нас нет возможности при-
вести здесь последовательно одну за другой
все теоремы с доказательствами, которые со-
ставляют предмет аффинной геометрии, но мы
познакомим вас с ее основными особен-
ностями.
Свойство 1. Аффинное преобразование
f:R2—>-/?2, переводя любую прямую а в неко-
торую прямую /(а), отображает множество
точек прямой а на множество точек прямой
f(a).
Смысл выражения «отображает на» состо-
ит в том, что при преобразовании /, во-первых,
любой точке Р прямой а соответствует точка
f(P) прямой f(a) и, во-вторых, обратно, каж-
дая точка Q' прямой f(a) соответствует неко-
торой точке Q прямой a: f(Q) = Q'. Симво-
лически это можно записать так:
a-^f (а),
f-Л
f (а)—<-а,
Q'-+Q.
Я думаю, выяснению сути аффинной гео-
метрии не помешает то обстоятельство, что
Рис. 9
46
Многообразие геометрии
приведенное здесь в качестве исходного свой-
ство 1 ранее вошло в определение аффинного
преобразования. Аффинное преобразование
плоскости, устанавливая взаимно однозначное
соответствие между точками плоскости, по-
рождает также взаимно однозначное соответ-
ствие между прямыми на плоскости.
Отсюда сразу следует, что в аффинной гео-
метрии треугольник и четырехугольник — не-
эквивалентные фигуры.
Действительно, возьмем три прямые а, Ь, с.
образующие три стороны треугольника. При
аффинном преобразовании f прямые а, Ь, с
переходят в прямые Да), Д6), f(c). В четы-
рехугольнике же есть еще одна сторона. При
преобразовании f ей должна была бы соответ-
ствовать, помимо прямых f(a), f (b), Де), еще
Рис, 11
Аффинная геометрия
47
одна прямая. Следовательно, треугольник и
четырехугольник между собой аффинно не эк-
вивалентны.
Свойство 2. Если прямые а н b параллель-
ны а || Ь, то и их образы при аффинном преоб-
разовании f f(a) и f(b) также параллельны.
Иначе говоря, в аффинной геометрии па-
раллельные прямые переходят в параллель-
ные прямые.
Доказательство проведем от противного.
Предположим, что прямые f(a) и f(b) непа-
раллельны, т. е. пересекаются в некоторой
точке X (рис. 12). Поскольку каждая точка
прямой f (а) является образом некоторой
точки прямой а (свойство 1), то на пря-
мой а найдется точка Р, такая, что
/(Р) = X. Но X в свою очередь лежит и на
прямой /(&), поэтому точно так же на прямой
b имеется точка Q, для которой f(Q) = X.
Но поскольку /: R2—представляет со-
бой взаимно однозначное соответствие между
всеми точками плоскости, то точка, переме-
щающаяся в точку X, единственна. Следова-
тельно, точка Р непременно должна совпадать
с Q.
Это значит, что прямая а и прямая b име-
ют общую точку Р — Q, а это противоречит
Рис. 12
48	Многообразие геометрии
предположению, что а || b (основное предпо-
ложение). Противоречие проистекает из пред-
положения, что f(a) и f(b) пересекаются, и
свидетельствует об ошибочности предположе-
ния. Следовательно, f(a) || f (b).
Думаю, что из свойства 2 и рис. 13 сразу
понятно преобразование параллелограмма.
Иначе говоря, в аффинной геометрии парал-
лелограмм представляет собой особую фигуру,
отличающуюся от общего четырехугольника,
который не является параллелограммом. Оче-
Рис. 13
Рис. 14
Аффинная геометрия
49
видно, что аналогичное можно сказать и о
трапециях.
Следствие. Два параллельных и равных
по длине (в евклидовой геометрии) отрезка
АВ и CD с помощью аффинного преобразова-
ния превращаются в параллельные и равные
по длине отрезки А'В' и C'D', где А' = f(A),
..., D' = f(D). Разумеется, что при этом, как
правило, d(AB) ф d(A'B').
Это вытекает из того, что по свойству 2
две противоположные стороны параллелограм-
ма переходят в две противоположные сторо-
ны опять же параллелограмма. Абсолютные
длины отрезков подвергаются изменению, од-
нако инвариантность отношения двух парал-
лельных отрезков составляет особенность
аффинной геометрии. Заметим, что отношение
двух отрезков АВ и DC можно определить
без использования понятия длины, лишь бы
они были параллельны. Итак, сохранение па-
раллельности и взаимного равенства преобра-
зуемых отрезков АВ = DC — особенность аф-
финной геометрии.
§ 3-
Векторы
Понятие вектора входит в школь-
ную программу. Геометрическим вектором
называют отрезок АВ на евклидовой плоско-
сти с заданным направлением. Вектор, как из-
вестно, обозначается через АВ. Два геометри-
ческих вектора АВ и DC, имеющие одинаковое
направление и длину, считаются равными:
АВ = DC. В аффинной геометрии равен-
ство АВ = DC означает, что четырехугольник
4 д-41
50
Многообразие геометрии
ABCD является параллелограммом. Сгруппи-
ровав все геометрические векторы, равные АВ,
в одно множество, можно определить это мно-
жество как один вектор: а = {АВ, DC, ...},
Векторы АВ, DC и т. д.— это геометрические
представители вектора а.
Аффинное преобразование f переводит
каждый вектор а в некоторый другой вектор
b = {А'В', D' С'	Действительно, взяв лю-
бой представитель вектора а, например DC,
получим DC—>-D'C' = f(DC). В силу след-
ствия остальные представители вектора а пе-
рейдут в равные D'C' геометрические векторы.
Таким образом, классу геометрических пред-
ставителей вектора а соответствует другой
класс равных геометрических векторов:
а—>-а' = f(a).
Возьмем другой вектор Ъ = (ВС, AD ...),
который отображается (см. рис. 14) при f в
вектор b' = (В'С', A'D' ...). Определив при по-
мощи обычных сумм геометрических векторов
АВ + В£ = АС, А'В' + В'С' = А'С' соответ-
ствующие суммы векторов а и Ь, легко видеть,
что
f
а 4- b —>- f (а + Ь) = а' + Ь',
т. е. образ суммы векторов при аффинном
преобразовании равен сумме образов векто-
ров.
Если умножить векторы а и b на действи-
тельные числа Л и р, то при аффинном пре-
образовании f получим соответствие:
Ла -|- pb —>- Ла' 4- pb'.
Таким образом, аффинное преобразование f
порождает на совокупности векторов а, b и
Аффинная геометрия
51
т. д. новое преобразование, которое удовлет-
воряет указанным условиям и называется ли-
нейным. При этом различным аффинным пре-
образованиям соответствуют, как правило,
различные линейные преобразования множе-
ства векторов.
Подведем итог: опираясь лишь на то, что
«параллелограмм при аффинном преобразова-
нии f переходит в параллелограмм», можно
построить линейное преобразование множе-
ства векторов {а, Ь, с...} на аффинной плос-
кости (последнее означает, что евклидова
метрика не учитывается).
£ 4
Теорема о треугольниках
Следующая важная теорема аффин-
ной геометрии — это теорема о треугольниках.
Мы воздержимся от строго обоснованного ее
изложения, поскольку оно слишком длинно, и
постараемся в какой-то степени объяснить эту
теорему наглядно, выделив три основных, лег-
ко доступных момента.
(i). Два аффинных преобразования, выпол-
4»
52
Многообразие геометрии
ненные одно за другим, порождают третье
преобразование, которое, как легко видеть,
тоже аффинное.
В самом деле, во-первых, соответствие,
возникшее в результате сначала аффинного
преобразования fi, а затем преобразования /2
— /2°	, очевидно, является взаимно од-
нозначным. Во-вторых, прямая а сначала пе-
реходит в прямую fa (а), которая в свою оче-
редь посредством аффинного преобразования
12 переходит в прямую f2 (А (а)). Таким обра-
зом
fz° fi :а—► Mfi(a)).
(н). Построим такое аффинное преобразо-
вание, при котором находящиеся на некоторой
прямой точки остаются неподвижными, а со-
вокупность прямых с некоторым определен-
ным направлением, пересекающим данную
прямую, сжимается или растягивается в од-
ном и том же отношении. Для определенности
будем строить преобразование сжатия.
На числовой оси I (рис. 16) устанавливаем
соответствие следующим образом: каждой
точке с координатой а ставим в соответствие
точку ’/г л. Это соответствие, переводящее
прямую I в саму себя, является взаимно одно-
значным:
f:a—k
4-
0
I,
'о.
2
I
Рис. 16
Аффинная геометрия
53
Затем возьмем на плоскости вторую пря-
мую tn, пересекающую I под прямым для про-
стоты углом. Условимся, что точки на прямой
m остаются на месте, а. во множестве
точек каждой прямой, перпендикулярной к
т, устанавливается, как и на прямой I, соот-
ветствие а—►’Ао. Таким образом, получается
взаимно однозначное соответствие между точ-
ками евклидовой плоскости f : R2—
При этом соответствии Любая прямая, на-
пример прямая ОР, переходит в прямую, в
данном случае в Of(P). Следовательно, пре-
образование f является частным случаем аф-
финного преобразования плоскости R2.
Клейн советовал при изучении математики
искать удобные и простые пути. Если это на-
глядное изложение вам показалось трудным,
мы предлагаем другой — координатный — ме-
тод задания такого аффинного преобразова-
ния.
Рис. 17
54
Многообразие геометрии
Возьмем на плоскости, как делается в
школьных учебниках математики, взаимно
перпендикулярные числовые оси Ох и Оу.
Тогда точки плоскости можно задавать пара-
ми действительных чисел (х, у). Давайте за-
дадим взаимно однозначное соответствие f
точек плоскости следующим образом:
f : (х, t/) —►(! х, у).
При соответствии f точки на оси Оу остаются
на месте
f : (О, у)-^(О, у).
Координаты точек на прямых, пересекаю-
щих ось Оу под прямым углом, уменьшаются
наполовину. Посредством преобразования f
каждая прямая переводится также в прямую
Рис. 18
Аффинная геометрия
55
и поэтому f представляет собой аффинное пре-
образование.
(itt). Построим теперь аффинное преобра-
зование f, переводящее некоторый угол АО В
в другой произвольной реличины угол АО
f(B). Например, если рассматривать не толь-
ко сжатия к некоторой прямой, но и соответ-
ственно растяжения, то угол между прямой
Рис. 19
f(OP) = Of(P) и осью Ох будет изменяться
в широких пределах (см. рис. 17).
Аффинное преобразование, изменяющее
угол, разумеется, можно не только описать
таким наглядным способом, но и точно задать
при помощи координат.
Рассмотрим аффинное преобразование
(рис. 20)
f : (х, у) —>- (тх, пу), тп =#= 0.
Точка А (а, а) отображается в точку f(A)
с координатами (та, па). Угол, образованный
осью Ох и прямой ОА, составляет половину
прямого, а угол между осью Ох и прямой
Of (А) зависит от того, какие взяты числа т,
п. При этом аффинном преобразовании только
56
Многообразие геометрии
начало координат О является неподвижной
точкой *.
Как видно из (и) и (Ш), длины отрезков,
величины углов и другие метрические величи-
ны евклидовой геометрии весьма свободно из-
меняются при аффинных преобразованиях.
Поэтому абсолютные их значения не играют
роли.
Учитывая замечание (i) и применяя преоб-
разования вида (й) и (iii), можно установить,
что все треугольники между собой аффинно
эквивалентны. Это можно показать конкрет-
но, последовательно выполняя промежуточные
преобразования. Сначала переносом совмес-
тим вершину взятого наугад треугольника
PQR с вершиной равностороннего треугольни-
ка АВС и затем при помощи аффинного пре-
образования проведем совмещение (рис. 21).
1.	Посредством подходящего параллельно-
го переноса точку Р совмещаем с точкой А.
* При условии mn 1.
Аффинная геометрия
57
Вспомним, что параллельный перенос евкли-
довой плоскости является аффинным преобра-
зованием. A.PQR перемещается при этом в
A4Q/? (рис. 22).
2.	Вращением вокруг центра А прямую AQ
наложим на АВ.
3.	Посредством преобразования вида (и)
отрезок AQ совместим с АВ (рис. 23).
4.	Посредством преобразования вида (iii)
угол Z.BAR совмещаем с углом Л.ВАС.
5.	При помощи преобразования опять вида
(tii) отрезок AR совмещаем с АС. Точки на
прямой АВ при этом неподвижны. И следо-
вательно, в итоге получаем совмещение с
А АВС.
Таким образом, проведя одно за другим
аффинные преобразования, указанные в
пунктах 1—5, добиваемся совмещения нашего
Рис. 22
58
Многообразие геометрии
треугольника с равносторонним треугольни-
ком. Как было отмечено в пункте (i), если
проводить одно за другим несколько аффин-
ных преобразований, то в результате получит-
ся также аффинное преобразование. Иначе го-
воря, произвольно взятый по нашему усмотре-
нию треугольник совместился с равносторон-
ним треугольником посредством некоторого
аффинного преобразования.
Мы так подробно рассказали о теореме,
утверждающей, что все треугольники между
Рис. 23
собой аффинно эквивалентны, потому что она
является основной теоремой, непосредственно
показывающей различие между евклидовой и
аффинной геометриями.
В реальном мире у каждого из отрезков
есть своя длина, которую можно измерить,
если выбрать среди них единицу масштаба
(например, эталон метра). И как бы мы от-
резок ни перемещали, длина его будет одна и
та же. Поэтому в основе евклидовой геомет-
рии лежит положение о том, что длина отрез-
ка при произвольном перемещении в простран-
стве сохраняется (конгруэнтность фигур). В
аффинной геометрии, поскольку два любых от-
резка можно совместить, единицы масштаба
нет. Однако такие свойства, как прямолиней-
Аффинная геометрия
59
ное расположение трех точек или параллель-
ность двух прямых, инвариантны не только в
евклидовой, но и в аффинной геометрии.
Очень важно отметить, что в аффинной
геометрии хотя и не рассматривается длина
отрезка, но тем не менее сравнивают между
собой параллельные отрезки. Немного оста-
новимся на этом.
Если построить два параллелограмма, как
на рис. 24, то имеем: АВ = DC — BE. Скла-
дывая векторы, получаем, что АВ 4- BE =
Рис. 24
АВ + АВ = 2АВ = АЕ, т. е. что отрезок АЕ
вдвое больше отрезка АВ.
Можно получить и более общее сравнение,
а именно для любых двух отрезков АВ и АС,
лежащих на одной прямой, можно определить
такое действительное число А,, что AQ =
л АВ. Хотя это число определяется без привле-
чения длины, но если бы она рассматрива-
лась, то, очевидно, длина отрезка АС была бы
в А, раз больше длины отрезка АВ. С отноше-
нием А, связано известное в геометрии так на-
зываемое ангармоническое отношение, кото-
----1---1----1---1
АВС
Рис. 25
60
Многообразие геометрии
рое фигурирует в метрике Кэли в неевклидо-
вой геометрии. При определении ангармони-
ческого отношения длина несущественна, и
это, с математической точки зрения, является
очень важным обстоятельством. К сожалению,
мы не можем остановиться на этом подроб-
нее.
Глава 3
Проективная геометрия
Проективная геометрия —это раз-
дел геометрии, в котором изучаются свойства
фигур при помощи так называемых проектив-
ных преобразований. Иначе говоря, это гео-
метрия, изучающая только проективные свой-
ства фигур. Появление термина «проективная
геометрия» относится, по-видимому, к XVIII
веку.
Оснош проективной геометрии были зало-
жены знаменитыми математиками Ж- Дезар-
гом (1593—1662) и Б. Паскалем (1623—1662),
которые изучали проективные свойства фигур
на евклидовой плоскости.
Дезарг в своих исследованиях не прибегал
к помощи координат или каких-либо других
аналитических методов. Геометрические осо-
бенности проективных свойств он изучал чис-
то геометрическим, или, как еще говорят, син-
тетическим методом. Теоремы, установленные
Дезаргом, производят сильное впечатление.
Ныне эти теоремы часто включают в учебники
в качестве задач. Напротив, современник Де-
зарга Р. Декарт (1596—1650) создал анали-
тический метод изучения евклидовой геомет-
Проективная геометрия	61
рии посредством введения системы координат.
Эта область геометрии получила название
аналитической геометрии.
При синтетическом подходе, как это мож-
но видеть на примере доказательств теорем
евклидовой геометрии, логические построения
ведутся с самого начала и до конца при по-
мощи геометрических рассуждений, и для всех
этапов доказательства характерна нагляд-
ность. В этом отношении синтетическая гео-
метрия, можно сказать, стоит выше аналити-
ческой, но, с другой стороны, часто бывает
весьма трудно одолеть ту или иную задачу
лишь при помощи наглядности и интуиции. В
аналитической же геометрии Декарта, где
сначала вводится система координат и затем
проводится цепочка алгебраических опера-
ций, все' задачи исследуются единообразным
методом, т. е. аналитически выраженные со-
отношения фигур получаются путем вычисле-
ний, и тем самым, как хорошо известно, сни-
мается ряд трудностей при решении. И все
же в XVII—XVIII веках исследования в об-
ласти аналитической геометрии носили весь-
ма общий характер. Сказывалось, по-видимо-
му, сильное в то время влияние синтетического
подхода. Действительно, среди проблем есть
немало таких, для которых не удается найти
ясного решения только лишь аналитическими
средствами, и тогда становится необходим
синтетический в своей основе подход. Но эти
же задачи, с другой стороны, неподвластны
одному только синтетическому методу. Дру-
гими словами, никакой вообще метод сам по
себе не является универсальным.
Однако еще в XIX веке активно велась
дискуссия, какому из методов — синтетиче-
62	Многообразие геометрии
скому (чисто геометрическому) или аналити-
ческому — отдать предпочтение в геометрии.
Одни геометры настойчиво отвергали алгебра-
ические вычисления, другие же, напротив,
были горячими сторонниками координатного
метода. Клейну была не по душе подобная
ортодоксальность в отношении того или иного
метода, и он утверждал, что основная проб-
лема заключается в изучении самой геометрии
и что преимущество каждого из методов он
видит в их взаимодействии. Поскольку для
большинства читателей вычисления представ-
ляют определенные трудности, я, исходя из
общих соображений, в этой книге применял
в основном синтетический способ изложения.
Надо сказать, что предвестницей возрож-
дения синтетического метода явилась вышед-
шая в конце XVIII века книга Г. Монжа
(1746—1818) о начертательной геометрии.
Начертательная геометрия — это та область
геометрии, которая исследует методы изобра-
жения пространственных фигур на плоскости.
Затем в первой половине XIX века, благо-
даря исследованиям в то время молодых уче-
ных— М. Шаля (1793—1880), Д. Понселе
(1788—1867), Я. Штейнера (1796—1863),
X. Штаудта (1798—1867) и других,— наста-
ла эпоха блистательного расцвета синтети-
ческой геометрии. Но аналитический метод,
в отличие от методов синтетической геомет-
рии, был более универсальным, и это пре-
имущество имело огромное значение.
В наши дни проективная геометрия разви-
вается не только как проективная непрерыв-
ная геометрия, но и в направлении проектив-
ной конечной геометрии, которая является од-
ной из ветвей современной математики. То,
Проективная геометрия
63
что изучает современная проективная геомет-
рия, весьма далеко от того, что свойственно
классической геометрии, тем не менее в дан-
ной книге мы будем иметь дело только с ве-
щественной проективной плоскостью, геомет-
рия которой относится к числу классических.
§ 1-
Бесконечно удаленные точки
Прежде всего отметим, что проек-
тивная плоскость в отличие от евклидовой
плоскости не имеет бесконечной протяженно-
сти. Давайте выясним, в чем же различие
между ними, а с другой стороны, как они
между собой связаны? Для этого давайте
уточним, какие положения евклидовой плос-
кости используются в проективной геометрии.
В основе проективной геометрии лежит своя
система аксиом. И хотя логические построения
на аксиоматическом фундаменте являются
замечательной иллюстрацией математического
метода, однако, будучи при этом оторванным
от евклидовой геометрии, такое изложение
проективной геометрии излишне абстрактно.
Поэтому для большей конкретности и нагляд-
ности целесообразно исходить из модели
евклидовой плоскости.
Известно, что прямая на евклидовой плос-
кости продолжается в обе стороны бесконечно
и что между точками прямой и всеми действи-
тельными числами можно установить взаимно
однозначное соответствие, при котором есте-
ственной упорядоченности точек на прямой
отвечает упорядоченность чисел но их вели-
чине.
64
Многообразие геометрии
Дополним теперь прямую «слева и справа»
одной и той же условной точкой Роо, которую
назовем бесконечно удаленной точкой.
Понятно, что возникает сомнение — а мож-
но ли говорить о реальности несуществующих
точек? Однако в современных теориях это
встречается часто:-Так, например, хотя среди
действительных чисел нет бесконечно больших
чисел» в математическом анализе применяется
символ оо, правда не в качестве числа, а для
обозначения неограниченного роста. (В этом
же смысле символ оо употребляется по отно-
шению к тригонометрическим функциям.)
После добавления к обычной прямой беско-
нечно удаленной точки «пополненная» прямая
становится замкнутой. Давайте теперь приба-
вим к: каждой обычной прямой по бесконечно
удаленной точке, причем условимся, что когда
прямые а и b параллельны, то добавляемые к
ним точки совпадают, когда же прямые не
параллельны, то их бесконечно удаленные
точки \ различны.
Две пересекающиеся на евклидовой плос-
кости прямые пересекаются в обычной точке,
причем бесконечно удаленные точки этих пря-
мых не совпадают. Следовательно, в этой но-
вой геометрии параллельных прямых не су-
ществует, каждые две прямые обязательно
Рис. 26
Проективная геометрия
65
пересекаются в одной точке. Семейство па-
раллельных между собой в обычной геомет-
рии прямых имеет одну общую бесконечно
удаленную точку, разнонаправленные же пря-
мые имеют разные бесконечно удаленные точ-
ки. В связи с этим бесконечно удаленных
точек бесконечно много.
Множество этих бесконечно удаленных то-
чек, опять-таки по определению, составляет
одну так называемую бесконечно удаленную
прямую Zoo. Таким образом мы получаем гео-
Рис. 27
метрию, в которой к евклидовой плоскости R2
добавляется одна бесконечно удаленная пря-
мая.
По существу, эта геометрия пока не очень
отличается от евклидовой геометрии. Вместо
положения о параллельности двух прямых
вводится положение об их пересечении в бес-
конечно удаленной точке.
Основные аксиомы, принятые в проектив-
ной геометрии, утверждают, что две точки
определяют одну прямую (если обе точки —
бесконечно удаленные, то они определяют
бесконечно удаленную прямую Zoo) и что две
прямые всегда пересекаются в одной точке. И
хотя положения этих двух аксиом весьма важ-
ны, но до тех пор пока мы выделяем некото-
5 Д-41
66
Многообразие геометрии
рые точки в одну бесконечно удаленную пря-
мую, мы практически не меняем сути
евклидовой геометрии и не привносим в гео-
метрию ничего нового.
§ 2-
Проективная геометрия
Важнейший шаг в становлении
проективной геометрии был сделан тогда, ко-
гда бесконечно удаленную прямую уравняли
в правах с обычной прямой и термин «беско-
нечно удаленная прямая» тем самым оказался
ненужным. А это было равносильно принятию
двух вышеупомянутых основных аксиом об
отношениях между точками и прямыми.
Итак, в проективной геометрии бесконечно
удаленная точка не является чем-то особен-
ным: с ней обращаются как с обычной точкой.
Далее, поскольку не существует параллель-
ных Прямых, проективная геометрия представ-
ляет собой логическую систему, принципиаль-
но отличную от аффинной геометрии.
Между проективной плоскостью Р2, где
бесконечно удаленная прямая не отличается
от обычной прямой, и аффинной плоскостью
существует связь, правда, несколько абстракт-
ного характера.
Возьмем для этого на проективной плоско-
сти какую-нибудь прямую в качестве беско-
нечно удаленной прямой I оо. Пусть она в точ-
ке Р пересекается с прямыми а и Ь. Так как
Р — единственная точка пересечения, притом
бесконечно удаленная, то прямые а и Ь, если
рассматривать их на аффинной плоскости,
параллельны.
Проективная геометрия
67
Если из проективной плоскости исключить
бесконечно удаленную прямую, то оставшееся
множество точек является аффинной плоско-
стью.
Возьмем прямую а на рис. 28. Она неогра-
ниченно продолжается в обе стороны от точ-
ки Р и, вернувшись из бесконечности, замы-
кается. То же самое происходит и с прямой Ь.
И тем не менее прямые а и b пересекаются
лишь в единственной точке Р. Если бы они
пересекались еще в одной точке Q, то, так как
две точки Р и Q определяют единственную
прямую, отсюда следовало бы, что а — Ь,
т. е. получилось бы противоречие.
Наглядно трудно представить себе стран-
ное поведение прямых на проективной плос-
кости. Это связано с тем, что проективная и
аффинная плоскости отличаются друг от дру-
га по своей структуре настолько, что проек-
тивную плоскость нельзя адекватно изобра-
зить в евклидовом пространстве. В связи с
5*
68
Многообразие геометрии
этим мы рассмотрим здесь одну модель проек-
тивной плоскости, на которой можно провести
некоторые аналогии.
В евклидовом пространстве 7?3 возьмем
сферическую поверхность S2 с центром О, Ин-
терпретируем эту сферическую поверхность
как плоскость, на которой условливаются в
качестве прямых рассматривать большие ок-
ружности (большая окружность — это окруж-
ность, по которой сфера пересекается с плоско-
стью, проходящей через центр О). Все это из
области сферической геометрии.
Предвижу недоумение: как же так, боль-
шая окружность изгибается и вдруг прямая?
То, что окружность изогнута, так это верно с
точки зрения геометрии евклидова простран-
ства, в котором расположена сфера. С точки
же зрения сферической геометрии такую ок-
ружность вполне можно рассматривать как
прямую.
В сферической геометрии отношения между
точками и прямыми удовлетворяют следую-
щим свойствам.
Свойство 1. Две точки определяют един-
Проективная геометрия
69
ственную прямую, за исключением того слу-
чая, когда эти точки антиподальные, т. е. диа-
метрально противоположные.
Свойство 2. Любые две прямые пересека-
ются в двух точках (антиподальные точки).
Все прямые замкнутые, длина их равна
2 л/? (где R — радиус сферы). Величина угла
между прямыми определяется как величина
угла между пересекающимися кривыми в ев-
клидовом пространстве. В сферической геомет-
рии сумма внутренних углов треугольника
больше двух прямых углов. Это наиболее из-
вестное свойство сферического треугольника.
Давайте отождествим на сфере антиподаль-
ные точки так, как, например, на рис. 29 точ-
ки Р = Р' и Q = Q'. При таком отождествле-
нии точек свойства 1 и 2 изменяются надлежа-
щим образом в те, что приняты в качестве
основных положений, определяющих струк-
туру проективной плоскости.
Свойство 1. Две точки определяют одну-
единственную прямую.
Свойство 2. Любые две прямые пересека-
ются в одной точке.
Поскольку точки-антиподы отождествлены
между собой, то для модели проективной пло-
Рис. 30
70	Многообразие геометрии
скости Р2 нижняя полусфера не нужна. Как
видно из рис. 30, вполне достаточно точки X
на верхней полусфере, а точка X' не нужна.
Однако на окружности разреза имеются так-
же точки-антиподы Р и Р', Q и Q', R и /?' и
т. д. Построение модели проективной плоско-
сти завершается тогда, когда точки полуок-
. ружности PQR мы отождествим с их антипо-
дами на полуокружности P'Q'R'. Однако эту
модель проективной плоскости, которая явля-
ется, кстати, очень интересной с топологиче-
ской точки зрения поверхностью, расположить
без самопересечений в обычном пространстве
невозможно. Ниже мы остановимся на этом
подробней.
Модель проективной плоскости наряду с
понятием проективного преобразования игра-
ет фундаментальную роль в изучении свойств
проективной геометрии.
\	§з.
Проективные преобразования
Как и в аффинном случае, да-
дим вначале определение проективного пре-
образования на проективной плоскости Р2.
Оно напоминает определение аффинного пре-
образования: взаимно однозначное отображе-
ние f проективной плоскости Р2 на себя
f : Р2—>Р2, при котором любая прямая пере-
ходит в прямую, называют проективным пре-
образованием.
В действительности проективное преобра-
зование обычно задается иначе. Проективная
геометрия выросла из теории перспективы —
системы методов построения перспективных
Проективная геометрия	7t
соответствии, т. е. того, чем занимаются, на-
пример, при топографических аэрофотосъем-
ках.
Возьмем в евклидовом пространстве /?3
две плоскости а и а' и некоторую точку О, не
лежащую на этих плоскостях.
Рис. ЗЦ
Спроектируем из точки О фигуру в плоско-
сти а (на рис. 31 Д АВС) на плоскость а' и
получим соответствующую фигуру (на рис. 31
ДЛ'В'С'). Такое соответствие между точками
двух фигур называют перспективным. Точку О
называют центром проектирования. Записыва-
ется это соответствие символически так:
л: а (Л, В, С, \) —>а' (А', В', С',...)
или	\
а (Л, В, С,...) V а' (Л', В', С',...).
Это можно определить также следующим об-
разом: проекция из О фигуры АВС, располо-
женной на плоскости \х, на плоскость а' есть
72
Многообразие геометрии
сечение Плоскостью а' пучка прямых с цент-
ром в О и проходящих через точки фигуры
АВС. Точно так же можно взять следующую
плоскость а" и на нее спроектировать полу-
ченную фигуру А'В'С', вообще говоря, из дру-
гого центра О':	/
I
а' (А.', В', С',...) а" (А", В", С",...).
Р'	/
IZ .	I
Как / мы видим, Перспективное /соответствие
представляет собой взаимно однозначное соот-
ветствие между точками фигур, I разумеется,
если Плоскость а'/на рис. 31 не/занимает по-
ложение, параллельное какой-нибудь прямой
из пучка. Но это особый случай, и мы пока
оставляем его в/стороне. Если вслед за одним
построить другое перспективное соответствие,
то получим такрке взаимно однозначное соот-
ветствие	I
а X а' X а"- ;
\	О О'
Если осуществить последовательно, как го-
ворят математики, суперпозицию перспектив-
ных соответствий конечное число раз а х — X
ХР» то точки плоскости а будут находиться во
взаимно однозначном соответствии с точками
плоскости р. Соответствие X/,: а—>р, являю-
щееся суперпозицией конечного числа перс-
пективных соответствий, на/зывают проектив-
ным преобразованием и обозначают ах Р-
В вышеприведенных определениях соответ-
ствий не используются такие понятия, как
длина. Следовательно, определение такого со-
ответствия допустимо и в /аффинном простран-
стве. Но в аффинном пространстве имеется па-
Проективная геометрия	73
раллельйость, и операцию проектирования в
нем определить в полной мере невозможно, там
имеются исключительные случаи, когда пря-
мая, проходящая через точку О, параллельна
то одной, то другой плоскости. В проектив-
ном же пространстве не существует парал-
лельности между прямой и плоскостью, эти
особые случаи отсутствуют, и проективное
соответствие строится автоматически. Тот факт,
что мы, рассказывая о реальном мире при
помощи проективных образов, исходим из ев-
клидовой плоскости, свидетельствует о том,
что в основе геометрии дежит евклидово про-
странство.	!
Проективный способ I перенесения фигур с
плоскости а на плоскость а' сохраняет их об-
щую конструкцию. Та^, прямая переносится
как прямая, круг, поскольку длина меняется
при этом соответствии, становится овалом.
Сам объект перспективной съемки следует рас-
сматривать в трехмерном Проективном про-
странстве, которого мы до сих пор не каса-
лись. ।
Здесь есть большая аналогия с двумерной
проективной плоскостью. Предполагается, что
все параллельные между собой прямые в аф-
финном пространстве в/проективном простран-
стве пересекаются в оДной бесконечно удален-
юй точке. Множество таких бесконечно уда-
ленных точек образу/ет бесконечно удаленную
плоскость. Эта плоскость является частью
проективного пространства и обращаются с
не! не как с бесконечно удаленной, а как с
обыной плоскостью. В проективном простран-
стве, таким образом, нет параллельных пря-
мых, < любые две плоскости обязательно пе-
ресекутся по прямой. Далее, в случае, если
74
Многообразие геометрии
прямая не принадлежит плоскости, то она обя-
зательно пересекается с ней в одной точке.
По этой причине в проективном пространстве
вышеприведенное определение проективного
соответствия, естественно, в рассмотрении осо-
бых случаев не нуждается.
Сейчас мы выясним особенности проектив-
ного соответствия между прямыми на проек-
тивной плоскости.
Возьмем две прямые I и пг на проективной
плоскости Р2 и точку 01, которая не принад-
лежит ни прямой I, ни прямой т. Проведем
через 01 и каждую точку А прямой I прямую,
которая обязательно пересечет прямую т в
некоторой точке А' (рис. 32). Поскольку на
проективной плоскости любые две прямые обя-
зательно пересекаются, то так устанавливае-
мое соответствие А—В—+В' и т. д. будет
при каждой фиксированной точке Oi взаимно
однозначным соответствием между точками
прямой I и точками прямой т.
Задание точки Oi однозначно определяет
Рис. 32
Проективная геометрия
75
это соответствие, которое называют перспектив-
ным соответствием с центром 0\. Символиче-
ски это соответствие обозначим через
ла : I (А, В, С, ...)	(А', В', С', ...).
Ot
Аналогично можно построить перспектив-
ное соответствие прямой т на какую-нибудь
третью прямую п из некоторого, вообще го-
воря, другого центра Ог
л2: т (Д', В', С', ...) х п (А", В", С", ...).
О2
Взаимно однозначное соответствие между
точками прямых I и п, которое получается в
результате последовательного выполнения сна-
чала соответствия ль а затем лг, называется
проективным соответствием между / ил. И
вообще, проективным соответствием между
прямыми /] и 1п называют суперпозицию лю-
бого конечного числа перспективных соответ-
ствий
1\~	~К Iп  .
Записывают перспективное соответствие так:
/1 А / п •
Перспективное соответствие Z1X/2 являет-
ся частным случаем проективного соответ-
ствия. Особого внимания заслуживает случай
1\ = 1п, т. е. когда мы имеем проективное пре-
образование прямой /1 в себя
л : 1\ —► /ь
Проективное преобразование прямой в се-
бя — это не просто взаимно однозначное соот-
76
Многообразие геометрии
•ветствие; оно обладает рядом характерных
особенностей. Правда, одно и то же проектив-
ное преобразование можно задать в виде су-
перпозиции перспективных соответствий мно-
гими способами.
Сейчас на примере нескольких теорем мы
постараемся проиллюстрировать особенности
проективных соответствий.
Теорема 1. Пусть I и I'— произвольные
прямые, и А, В, С и А', В', С' — произволь-
ные две тройки точек на них. Тогда существу-
ет такое проективное соответствие, что
I (Л, В, С) д Г (Я', В', С').
Доказательство. Пусть В] — точка пересе-
чения прямых А'В и АВ', Ci — точка пересе-
чения А'С и АС' (рис. 33). Проведем через
точки BiCi прямую /1 и обозначим че;рез А\
точку пересечения /1 с прямой АА'.
Тогда
I (А, Ц, С)Х h (Ль Вь С^1' (А', В', С').
А,	А
Таким образом, искомое проектив’ное соот-
Рис. 33
Проективная геометрия	77
ветствие / (А,В,С) ~ V (Л', В', С') получается
в итоге двух перспективных соответствий.
Доказательство, как мы видим, сводится
к подбору двух перспективных соответствий
специального вида. И на первый взгляд не
исключено, что, подобрав другие перспектив-
ные соответствия, можно получить другое про-
ективное соответствие, удовлетворяющее тем
же условиям теоремы. Другими словами,
можно предположить, что найдутся проек-
тивные соответствия л и л' и такая точка X
на прямой /, что
л : I (Л, В, С, Х)—+1' (А', В', С', X'); ,п
л': I (Л, В, С, Х)—+1' (Л', В', С', X"), {4
где X' ф X".
Заметим, условие X' =/= X" указывает на
различие проективных соответствий л и л'.
Основная теорема проективной геометрии
утверждает, что в формуле (1) для любой
точки X ее образы X' и X" совпадают, т. е.
проективное соответствие, при котором три
заданные точки А, В, С прямой I переходят в
три заданные точки А', В', С прямой Г, един-
ственно.
Следующее утверждение является, очевид-
но, частным случаем основной теоремы.
Если при проективном преобразовании л
прямой / на себя три точки Л, В, С остаются
на месте
л: / (Л, В, С)—+1 (Л, В, С),
то л — тождественное преобразование (каж-
дая точка X прямой I переходит в себя).
С другой стороны, из этого специального
случая очень легко вывести основную теорему
в общем виде. То есть основная теорема и ее
78
Многообразие геометрии
специальный случай равноценны, и поэтому
в курсах проективной геометрии часто такую
специальную формулировку представляют как
основную теорему.
Ниже мы должны были бы приступить к
доказательству основной теоремы, однако это
непросто. В любой книге о проективной гео-
метрии можно найти доказательство этой
теоремы, и мы здесь его приводить не будем.
Изложению основной теоремы обычно пред-
шествует важная теорема, принадлежащая
основоположнику проективной геометрии
Дезаргу.
Теорема Дезарга. Если прямые ЛЛ', ВВ',
СС', соединяющие соответствующие вершины
двух треугольников АВС и Л'В'С', пересека-
ются в одной точке О, то точки пересечения
соответствующих сторон АВ и Л'В', ВС и
В'С', СА и С'Л' расположены на одной пря-
мой.
Хотя формулировка этой теоремы длинно-
вата, смысл ее простой. Многие читали о тео-
реме Дезарга в книгах по евклидовой геомет-
рии. Это не очень естественно, поскольку на
евклидовой плоскости есть параллельные пря-
Рис. 34
Проективная геометрия
79
мне и в связи с этим необходимо учитывать
специальные случаи, когда прямые, скажем,
АВ и А'В' на приведенном рисунке парал-
лельны и, следовательно, не имеют точки
пересечения.
Расскажем теперь о проективных отобра-
жениях не только прямых, но и плоскостей.
Преобразование плоскости в себя называ-
ется коллинеацией, если коллинеарные, т. е.
лежащие на одной прямой, точки переходят
в коллинеарные же точки*. Коллинеация пло-
скости называется перспективной, если все точ-
ки некоторой прямой I на плоскости остают-
ся неподвижными, а все прямые, проходящие
через точку О,— инвариантными (при этом
допускается перемещение точек вдоль самой
прямой). Прямую I называют осью, а точку
О — центром перспективной коллинеации.
* На вещественной проективной плоскости любая
коллинеация является проективным преобразованием
(см.: Делоне Б. Н. и Райков Д. А. Аналитиче-
ская геометрия. Ефимов Н. В. Высшая геометрия).
80	Многообразие геометрии
При перспективной коллинеации различа-
ют два случая: первый, когда центр О нахо-,
дится вне прямой Z, и второй, когда он при-
надлежит прямой I. В первом случае колли- •
неацию называют гомологией, во втором —
особой гомологией.
Перспективная коллинеация f вполне за-
дана, если указаны ее центр О, ось I и образ
какой-нибудь точки А. Действительно, возь-
мем произвольную прямую /п, проходящую
через А (рис. 35). Прямая m пересекается с
осью I в точке С. Так как f (С) = С, а образ
f (Д) задан, то тем самым предопределены и
прямая f (пг), проходящая через точки f (С),
f(A)t и отображение f : m—(/и), которое
является перспективным соответствием с цент-
ром в О.
Такого рода рассуждения характерны для
синтетического метода в проективной геомет-
рии. Рис. 35 прост и понятен, однако, хотя ме-
тод проектирования и сечений сам по себе ла-
коничен, в теоремах, где теорема Дезарга при-
меняется несколько раз, чертежи довольно
сложны. Проективную коллинеацию плоскости
можно определить как суперпозицию конечно-
го числа перспективных коллинеаций.
Сформулируем теперь основную теорему
для проективной плоскости.
Пусть Д, В, С, Е — точки проективной пло-
скости в общем положении (т. е. не лежат на
одной прямой). Всякое проективное преобра-
зование плоскости, оставляющее их непод-
вижными, оставляет и все остальные точки
плоскости на месте, другими словами, явля-
ется тождественным преобразованием.
Действительно, поскольку при таком про-
ективном преобразовании точки А и Е прямой
Проективная геометрия	81
АЕ неподвижны, то прямая АЕ переходит в
себя (рис. 36). Прямая ВС по этой же причи-
не опять же переходит в себя. Следовательно,
точка £i пересечения прямых АЕ и ВС оста-
ется на месте. Таким образом, если на пря-
мой ВС три точки — В, С, £i — при данном
проективном преобразовании неподвижны, то
по основной теореме для прямой прямая ВС
тождественно отображается на себя. Отсюда
уже легко получить неподвижность при ука-
занном проективном соответствии любой точ-
ки плоскости.
Заметим, что эту теорему называют основ-
ной, потому что хотят этим подчеркнуть ее ре-
шающую роль в вещественной проективной
геометрии. Используя основную теорему,
можно, введя так называемую систему про-
ективных координат, построить аналитическую
проективную геометрию.
Принцип двойственности в проективной
геометрии. При рассмотрении роли точек и
прямых можно заметить, что на проективной
плоскости в отличие от аффинной геометрии
имеет место принцип двойственности.
Рассмотрим две аксиомы проективной пло-
скости:
6 Д-41
82
Многообразие геометрии
две точки определяют прямую (через две
точки проходит единственная прямая);
две'прямые определяют точку (две прямые
пересекаются в единственной точке).
Если в одной из этих аксиом заменить сло-
ва точка на прямую и прямая на точку, а про-
ходить на пересекать, то она (аксиома) пере-
ходит в другую аксиому. Поскольку в геомет-
рии все выводится из аксиом, а в число акси-
ом проективной геометрии включены сужде-
ния, получающиеся друг из друга в результа-
те такой замены, то все теоремы этой геомет-
рии также должны допускать двойственную
замену терминов. Иначе говоря, принцип двой-
ственности состоит в том, что если удалось
доказать какую-то теорему, то это означает,
что утверждение, порожденное указанной за-
меной слов, также справедливо *. Рассмотрим,
например, теорему Дезарга.
Возьмем треугольник АВС, т. е. три точки
А, В, С, не лежащие на одной прямой, и пря-
мые, соединяющие эти точки попарно.
Определение двойственной треугольнику
фигуры — трехсторонника — получается из
Рис. 37
* Доказательство двойственной теоремы получается
из доказательства исходной теоремы автоматической
заменой в нем понятий и суждений на двойственные им.
J
Проективная геометрия
83
первого заменой слов точка — прямая, пря-
мая — точка с соответствующей заменой со-
единяет — пересекает. Другими словами, бе-
рутся три прямые а, Ь, с, не проходящие через
одну точку, которые попарно пересекаются
между собой в трех точках А, В, С. Подобным
же образом можно определить двойственные
четырехугольникам, пятиугольникам соответ-
ственно четырехсторонники, пятисторонники
и т. д. *.
Вспомним теорему Дезарга: если для тре-
угольников АВС и А'В'С' три прямые, соеди-
няющие попарно две соответствующие точки
А и А', В и В', С и С', пересекаются в одной
точке О, то три точки — точка L пересечения
соответствующих сторон АВ и А'В', точка М
пересечения ВС и В'С' и точка W пересече-
ния СА и С А' — лежат на одной прямой
(рис. 38).
Рис. 38
* Использование слов «трехсторонний», «четырех-
сторонник» и т. д. для фигур, которые являются тре-
угольниками, четырехугольниками, связано в данном
случае с двойственностью, при которой углам (точнее,
вершинам углов) треугольников, четырехугольников
соответствуют стороны трехсторонников, четырехсто-
ронников.
6*
84	Многообразие геометрии
Двойственное к теореме Дезарга утвержде-
ние гласит: если в двух трехсторонниках авс
и а'Ь'с' точки попарных пересечений соответ-
ствующих сторон а и а', b и 6', с и с' лежат
на одной прямой, то три прямые — Z, т, п,
соединяющие соответственные вершины трех-
сторонников, сходятся в одной точке.
Это двойственное положение уже не нуж-
дается в доказательстве. Легко видеть, что
это утверждение является обратным к теореме
Дезарга.
В проективном пространстве принцип двой-
ственности проявляется в том смысле, что
каждая аксиома проективной геометрии про-
странства допускает трансформацию путем
замены слов точка — прямая — плоскость на
плоскость — прямая — точка и проходить —
пересекать на пересекать — проходить.
На аффинной плоскости две прямые, если
они параллельны, не пересекаются, хотя, с
друго^ стороны, две точки всегда определяют
прямую. Поэтому в аффинном случае принцип
двойственности не имеет места.
Кривые второго порядка и пучки второго
класса. Рассказ о кривых второго порядка мы
свяжем с программой Клейна.
Кривые второго порядка на евклидовой
плоскости — это эллипс, гипербола, парабола,
распадающаяся пара прямых — представля-
ют собой геометрическое место решений квад-
ратного уравнения
ах2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + с = 0.
На проективной плоскости, введя систему
координат, также можно определить местопо-
ложение решений квадратного уравнения. Но
установить эквивалентность кривых второго
Проективная геометрия	86
порядка можно и не прибегая к координатам,
чисто синтетически.
Линия первого порядка — это прямолиней-
ный ряд точек. Д войственная прямолинейно-
му ряду точек фигура является пучком пря-
мых, проходящих через одну точку (пучок
1-го класса).
Пучок п рямых с центром в точке О обозна-
чим симво/лом — О (/). Возьмем два пучка
проективных прямых — О (/) и О' (Г)
(О О') /и произвольную прямую ш, не про-
ходящую /через центры О и О'. Так как в
каждой точке А прямой m пересекается пара
прямых из этих пучков, то получаем взаимно
однозначное соответствие между прямыми
пучко>в f: О (Z)—►(?' (<('), которое называется
перспективным соответствием между пучками,
а прямая m является осью перспективного со-
ответствия. Символически это выражается сле-
дующим образом:
0(1) ТО' (Г),
тп
Определение перспективного соответствия
между пучками, таким образом, двойственно
86
Многообразие геометрии
перспективному соответствию прямолинейных
рядов. Результат неоднократного выполнения
перспективных соответствий называют проек-
тивным соответствием между! пучками и за-
писывают следующим образо^л:
л:О(/)ХО'(О- I
Пусть л : O(Z)aO'(Z') — отдельно взятое
проективное соответствие. В ^том случае мно-
жество точек пересечения (соответствующих
прямых
л :
1—^1'
m—
п—> nf
будет представлять собой кривую второго по-
рядка. В частности, когда л — перспективное
соответствие, то точки пересечения Л, В, С и
т. д. выстраиваются на прямой, являющейся
осью перспективы. Разумеется, эта прямая
как кривая второго порядка нетипична. Одна-
ко в общем случае проективного соответствия
Рис. 40
Проективная геометрия
87
множество точек Л, В, С... представляет со-
бой типичную кривую второго порядка
(рис. 40).
Данная кривая второго порядка при введе-
нии координат, как можно доказать, превра-
щается в фигуру, состоящую из точек, коор-
динаты которых удовлетворяют квадратному
уравнению.
Изучению свойств кривых второго порядка
было посвящено исследование Б. Паскаля *.
Как известно, на евклидовой и аффинной пло-
скости имеются три типичных вида кривых
второго порядка — эллипс, гипербола, парабо-
ла. На проективной же плоскости различия
Рис. 41
между ними нет. Кривая второго порядка на
проективной плоскости всегда является зам-
кнутой линией. Посмотрим, как этот вид про-
ективной кривой второго порядка в аффинной
геометрии распадается на три различных ти-
па. Действительно, на проективной плоскости
любая прямая может быть принята за беско-
нечно удаленную прямую I оо, которая исклю-
* Свой трактат «Опыт теории конических сечений»
Паскаль написал в 16-летнем возрасте. В частности, в
трактат вошла открытая гениальным юношей знамени-
тая теперь теорема Паскаля — одна из основных теорем
проективной геометрии.
88
Многообразие геометрии
чается из аффинной плоскости. Поэтому в слу
чае, указанном на рис. 41 (слева), когда I оо
пересекает кривую, получаются дв^ разорван
ные ветви — это соответствует гиперболе. Ког
да прямая I оо является касательной, то зам
кнутая кривая разрывается в одной точке и
ее концы уходят в бесконечность — это пара
бола. Если же / оо не задевает кривой второго
порядка — это эллипс.
Связь с аффинными преобразованиями
Некоторую прямую на проективной плоскости
а примем за бесконечно удаленную прямую
I оо. Как уже говорилось, множество
а — I оо совпадает с аффинной плоскостью
Если на плоскости а взять преобразование
при котором прямая I оо отображается в себя
то оно является аффинным преобразованием
аффинной плоскости а — I оо.
Рассмотрим в качестве примера проектив
ного преобразования перспективную коллине
ацию с це	-	-
ки любой йроходящей через
перемещаются при этом по
Исключим I оо, тогда прямые,




с центром О, лежащим на оси I оо. Точ
О прямой ОА
ней самой же
пересекающие

Рис. 42
Проективная геометрия	89
с* в/точке О прямой Zoo (бесконечно удален-
ней /точке) на аффинной плоскости а — Zoo,
модду собой параллельны. Этому специально-
mj случаю проективного преобразования на
проективной плоскости соответствует парал-
лельный перенос на аффинной плоскости *.
Как уже говорилось, при аффинных преоб-
р1зованиях параллельные прямые переходят
в параллельные. Это условие можно получить
исходя из того, что аффинное преобразование
определяется на базе проективного, относи-
тельно которого прямая Zoo инвариантна. В
самом деле, точка А прямой Z оо переходит в
точку В на Z оо. Следовательно, проективные
прямые, проходящие через точку А (на аф-
финной плоскости эти прямые параллельны),
переходят в прямые, проходящие через В
(также параллельные прямые).
* Действительно, так как каждая точка прямой Zoo
остается неподвижной, то любая прямая аффинной
плоскости а — Zoo переходит в параллельную себе. Лю-
бая же прямая, проходящая через О, при этом перехо-
дит в себя. Следовательно, речь идет о параллельном
переносе в направлении, соответствующем пучку 0(1).
Многообразие геометрии
90
------------------------------------------
Таким образом, если ограничиться рассмо-
трением только тех проективных преобразова-
ний, относительно которых фиксирования
прямая инвариантна, то мы получим класс
аффинных преобразований. В этом смысге
множество всех аффинных преобразована
является подмножеством, т. е. частью множе-
ства всех проективных преобразований.
Это важное положение можно представиъ
в виде диаграммы:
Множество
проективных ZD
преобразований
I
Множество	Множество
аффинных ZD движений
преобразований
I	I
проективная	аффинная _ евклидова х
геометрия	геометрия	геометрия \
Здесь уместно вспомнить, что движения Ц-
это те из аффинных преобразований, которые
сохраняют расстояния. Поэтому множество
всех движений является подмножеством мно-
жества всех аффинных преобразований, что
и отражено на этой диаграмме.
Это положение является одной из причин
того, почему евклидову и аффинную геометрии
можно считать как бы подвидами проектив-
ной геометрии, т. е. в некотором смысле про-
ективная геометрия — это вся геометрия.
неевклидовой геометрии
91
1\лава 4
О неевклидовой геометрии
I
$!/.
Исторический очерк.
Неевклидова геометрия оформилась
в XIX веке, однако период ее становления был
длительным В течение более 2000 лет после
Евклида мнргие математики вели напряжен-
ный научный поиск. Мы сможем упомянуть
здесь лишь основные этапы этого долгого ис-
торического! процесса.
Теория Евклида опирается на ряд опреде-
лений и аксиом. Исходной точкой его логиче-
ской системам является положение о том, что
выдвигаемые им постулаты очевидны, их спра-
ведливость , признается всеми несомненной.
Имеются пять постулатов:
1.	Через две точки проходит единственная
прямая.
2.	Ограниченную прямую линию можно не-
прерывно продолжить.
3.	Из любой точки как из центра можно
описать окружность любого радиуса.
4.	Все прямые углы равны между собой.
5.	Всякий раз, когда прямая при пересе-
чении с двумя другими прямыми образует с
ними внутренние односторонние углы, сумма
которых меньше двух прямых углов, эти пря-
мые пересекаются и притом с той стороны, с
которой эта сумма меньше двух прямых.
Последний, пятый, постулат известен как
постулат о параллельных.
Евклид приводит также девять аксиом,
представляющих собой общие положения, на-
92
Многообразие геометрии
пример: «Если к равным величинам прибав-
ляются равные, то и суммы будут равными».
Постулат о параллельных по сравнению с
другими постулатами гораздо сложнее, смысл
его глубже. Хотя и к нему должно быть при-
менимо условие самоочевидности, однако фор-
мулировка постулата такова, что не поддает-
ся восприятию сразу по прочтении. Правда,
это обстоятельство было осознан^- позже. Воп-
рос заключается в том, можно л^и этот посту-
лат считать не самим по себе верным, а вы-
водимым из других постулатов и аксиом. Если
утверждение может быть доказано, то тогда
нет никакой необходимости выдвигать его в
качестве постулата. А если так, то это свиде-
тельствует, по словам Д'Аламбер^, о «подвод-
ных камнях и капризном характере геомет-
рии...»
Многие комментаторы Евклида, находив-
шиеся во власти этого евклидова) положения,
пытались найти доказательство | постулата о
параллельных, однако все попытки такого
рода1 исследований не имели результата. Не
исключено, что сам Евклид пришел к мысли
о выдвижении этого положения/ в качестве
постулата лишь после неудачных попыток
найти его доказательство. По-в1идимому, его
исследования в этом направлении были скорее
безуспешными, чем незавершенными.
Этот опыт в настоящее время породил це-
лое направление сложнейших интенсивных
исследований в основаниях не только геомет-
рии, но и всей теоретической математики.
Относительно геометрии можно сказать,
что в результате продолжительных исследова-
ний были получены равноценные постулату о
параллельных формулировки.
О неевклидовой геометрии
93
Например, через точку, находящуюся вне
данной прямой линии, можно провести только
одну прямую линию, параллельную данной.
Или — сумма внутренних углов треуголь-
ника равна сумме двух прямых.
Эти и подобные им утверждения можно
доказать, если исходить из предположения о
справедливости постулата о параллельных и,
наоборот, допустив, что любое одно из выше-
приведенных суждений правильно, можно до-
казать справедливость постулата о параллель-
ных. В этом смысле приведенные утверждения
равносильны, или, как еще говорят, эквива-
лентны.
Среди попыток доказательства постулата
о параллельных заслуживают особого внима-
ния исследования Дж. Саккери (1677—1733)
и Лежандра (1752—1833).
Саккери, проведя к горизонтальной прямой
АВ вертикальные и равные отрезки АС и BD,
соединил точки С и D. То, что углы С н D
равны, можно доказать и без использования
постулата о параллельных, однако при дока-
зательстве того, что угол С равен прямому,
постулат становится необходим. Напротив,
предполагая, что угол С — прямой, можно
вывести постулат о параллельных.
Рис. 44
94	Многообразие геометрии
Саккери, проявляя достаточную широту
подхода к этому вопросу, рассмотрел три воз-
можных случая:
1)	когда угол С — прямой;
2)	когда угол С — тупой;
3)	когда угол С — острый.
Затем он пытался доказать осуществи-
мость только первого случая. И хотя в конеч-
ном счете он потерпел неудачу, результаты,
полученные им, позволили глубже вникнуть в
суть рассматриваемого вопроса. Среди важ-
ных результатов, полученных Саккери, имеет-
ся следующая теорема: если предположить,
что для какой-либо построенной таким обра-
зом фигуры справедливо одно из трех выше-
упомянутых положений, то такое же условие
будет иметь место и для любой другой фигу-
ры, построенной аналогичным образом.
Исходя из какого-нибудь одного из трех
допущений, можно вывести, что сумм’а вну-
тренних углов треугольника либо равна двум
прямом, либо больше, либо меньше суммы
двух прямых.
Так, из первого допущения о прямом угле
можно вывести, что если при пересечении двух
прямых третьей прямой величины соответ-
ственных углов одинаковы, то в этом случае
(и только в этом случае) эти две прямые не
пересекутся при их продолжении.
Рис. 45
О неевклидовой геометрии
95
Далее, из второго допущения следует, что
эти две прямые, напротив, пересекутся.
И наконец, из третьего допущения вытека-
ет, что существует неограниченное число пря-
мых, которые не пересекутся с данной прямой,
если проводить их через точку, расположен-
ную вне этой прямой.
Вероятно, в конечном счете Саккери, по-
добно другим исследователям, потерял основ-
ную нить в «безграничном болоте» рассужде-
ний. Вполне возможно, что если бы Саккери
в какой-то момент отказался от привычной
мысли о том, что «евклидова геометрия — это
единственная истина», то, как знать, он, мо-
жет быть, стал бы первооткрывателем другой,
неевклидовой геометрии.
Много усилий для доказательства постула-
та о параллельных линиях приложил также
Лежандр. Благодаря его усилиям этой проб-
лемой заинтересовались многие математики
Франции и Англии. Основным результатом
исследований Лежандра были, по-видимому,
следующие выводы:
из допущения, что длина прямых линий
неограниченна, следует, что сумма внутренних
углов треугольника не может быть больше
суммы двух прямых углов; если в одном тре-
угольнике сумма внутренних углов равна
двум прямым, то и во всяком любом другом
треугольнике эта сумма равна двум прямым.
Считая евклидову геометрию «единствен-
но истинной», он направил все свои силы на
доказательство существования треугольника,
сумма внутренних углов которого равна сум-
ме двух прямых, но цели не достиг.
В это же время Гаусс (1777—1855) и не-
которые из его учеников — Швейкарт (1780—
96	Многообразие геометрии
1859), Тауринус (1794—1874) и другие —
вступали в «эпоху неевклидовой геометрии».
Первоначально Гаусс испытывал большое
влияние Канта (1724—1804) и придерживался
воззрений предшественников, считавших ев-
клидову геометрию единственно истинной. Од-
нако постепенно он пришел к мысли о невоз-
можности доказательства постулата о парал-
лельных линиях. Гаусс, по существу, был
первым, кто поверил в возможность существо-
вания другой геометрии, помимо геометрии
Евклида. Название «неевклидова геометрия»
принадлежит ему (письмо Тауринусу от 8 ноя-
бря 1824 года).
Хотя из писем и заметок Гаусса явствует,
какое значение он придавал новой геометрии,
однако Гаусс не напечатал трудов по неевкли-
довой геометрии. Считают, что это произошло
потому, что Гаусс боялся шумных скандалов
со стороны невежд и ретроградов, «мудрецов
из Готама», которые могли вспыхнуть из-за
исключительной новизны его идей. Говорят,
что у него была мысль опубликовать «в эле-
гантной манере» положения неевклидовой
геометрии вплоть до деталей.
В 1832 году Гаусс прочел приложение к
книге по геометрии, изданной в том же году
его другом Фаркашем Бойяи (1775—1856).
В нем сын Фаркаша —Янош Бойяи (1802—
1860) — изложил основы неевклидовой гео-
метрии.
Пока кратко остановимся на достижениях
учеников и последователей Гаусса.
Швейкарт, профессор права в Марбургском
университете, в 1818 году передал Гауссу свои
геометрические исследования, содержание ко-
торых сводилось к новой системе геометриче-
О неевклидовой геометрии
97
ских представлений, в основе которых лежало
положение о том, что сумма внутренних углов
треугольника меньше суммы двух прямых уг-
лов. Сам он дал этому название «Небесная
или звездная геометрия».
Племянник Швейкарта Тауринус, который
также интересовался проблемой параллель-
ных линий, написал сочинение под названием
«Основные элементы геометрии», в приложе-
нии к которому была при-ведена важная фор-
мула для углов треугольника в неевклидовой
геометрии. Этот труд тогда не привлек внима-
ния ученого мира, и от разочарования основ-
ную часть своих «Элементов» Тауринус сжег.
В 1826 году профессор математики Нико-
лай Иванович Лобачевский (1792—1856) в
Казанском университете, где он в то время
преподавал, обнародовал свое знаменитое со-
чинение. В развиваемой им «воображаемой»
геометрии утверждалось, что «через точку,
лежащую вне прямой, можно провести две
прямые линии, параллельные ей», а также,
что «сумма внутренних углов треугольника
меньше суммы двух прямых углов».
Позднее, в 1840 году *, им была опублико-
* Здесь имеется в виду обзорная работа Лобачев-
ского на немецком языке, опубликованная им в Берли-
не с целью привлечь внимание математической обще-
ственности к своим исследованиям по неевклидовой гео-
метрии. В эту работу входила статья «Сжатое изло-
жение начал геометрии со строгим доказательством
теоремы о параллельных», которая была прочитана
Лобачевским еще 12 февраля 1826 года на заседании
физико-математического отделения Казанского универ-
ситета. Однако в то время она не была опубликована.
Позднее статья вошла в напечатанную в 1829—1830
годах большую работу «О началах геометрии», кото-
рая считается первой публикацией по неевклидовой
геометрии.
7 Д-41
98
Многообразие геометрии
вана работа «Геометрические исследования по
теории параллельных линий». А незадолго до
смерти им была написана работа, подводив-
шая итог его исследованиям, — «Пангеомет-
рия».
Фаркаш Бойяи был другом Гаусса еще по
Геттингену, и можно полагать, что они обсуж-
дали проблему параллельных линий. Более
того, два раза, в 1804 и 1808 году, Бойяи пи-
сал Гауссу о трудностях в поиске доказа-
тельства постулата о параллельных. Гаусс,
обнаружив у него ошибки, ничего не ответил.
Ф. Бойяи, устав от безрезультатных поисков
ответа на этот трудный вопрос, впал в мелан-
холию, занялся сочинением стихов и пьес. Его
сын, Янош Бойяи, унаследовал от отца инте-
рес к проблеме параллельных линий. Сначала
он продолжил исследования отца, но посте-
пенно стал склоняться к мысли о недоказуе-
мости аксиомы параллельных линий. В 1823
году он сформулировал основную идею неев-
клидовой геометрии и 23 ноября сообщил от-
цу о намерении опубликовать результаты
своих исследований по проблеме параллель-
ных линий: «Я сделал изумительные откры-
тия. Отказаться от них я считал бы невоспол-
нимой утратой. Когда ты прочтешь, дорогой
отец, ты безусловно согласишься со мной.
Пока я могу сказать только следующее: из ни-
чего я сотворил новый мир», — писал он.
Фаркаш Бойяи советовал сыну: «Если иссле-
дования действительно завершены, то они
должны быть напечатаны как можно скорее.
Ибо новые идеи, новые открытия могут прои-
зойти одновременно и независимо в разных
местах». Его мысль, так это и произошло в
действительности, оказалась верной. Именно
О неевклидовой геометрии	99
в это время .Лобачевский в Казани, Гаусс в
Геттингене, Тауринус в Кельне также находи-
лись у самого порога великого открытия. Од-
нако работа Я- Бойяи не была опубликована
до 1832 года. Результаты работы Я- Бойяи
увидели свет, когда они были напечатаны в
конце книги отца «Тентамен» в качестве «при-
ложения, в котором излагается абсолютно
истинное учение о пространстве» (Appendix;
scientiam absolute veram exhibens).
Сочинение Лобачевского «Геометрические
исследования...» 1840 года стало известно
Бойяи в 1848 году. И тогда он предпринял
своего рода рывок, стремясь завершить боль-
шую работу по теории пространства, задуман-
ную им ранее *. Однако значительная часть
этой работы представляла собой нагроможде-
ние различных черновых набросков, не до кон-
ца осознанных и отработанных мыслей и идей.
Его стремление превзойти своего русского со-
перника осталось неосуществленным.
Истории возникновения неевклидовой гео-
метрии посвящена большая литература. Се-
годня является общепризнанным, что Бойяи,
Лобачевский и Гаусс одновременно и совер-
шенно. независимо друг от друга открыли не-
евклидову геометрию. Но, поскольку благода-
ря убежденности и смелости мысли Бойяи и
Лобачевский сочли возможным опубликовать
свои труды, честь открытия принадлежит в
первую очередь им.
Вспомним, Саккери в своих построениях
рассматривал три отдельных случая в зависи-
* Мысль о большой работе, посвященной переработ-
ке основ математики, появилась у Я. Бойяи еще в пе-
риод публикации его Appendix's.
7»
100	Многообразие геометрии
мости от величины угла. Между тем Бойяи,
Лобачевский и Гаусс рассматривали в неев-
клидовой геометрии только случай острого
угла. Вызывает лишь чувство удивления, что
они не рассматривали случай тупого угла,
когда сумма внутренних углов треугольника
становится больше суммы двух прямых углов
и длина прямых линий становится конечной.
Это было рассмотрено Риманом (1826—
1866). О его новой геометрии на сферической
поверхности, где любые две прямые линии пе-
ресекаются, стало известно в 1854 году. Тру-
ды Римана были опубликованы после его
смерти, в 1866 году*.
Часто встречающиеся в литературе назва-
ния геометрии Лобачевского — «гиперболиче-
ская», геометрии Римана — «эллиптическая»,
а евклидовой геометрии — «параболическая»
принадлежат Клейну.
Остановимся вкратце на опытах, которые
проводил Гаусс. Согласно основному положе-
нию Гиперболической геометрии сумма внут-
ренних углов треугольника меньше суммы
двух прямых углов. Поэтому, чтобы выяснить,
какова геометрия реального пространства,
Вселенной — гиперболическая, эллиптическая
или параболическая, следовало бы ответить
на вопрос, какова сумма внутренних углов
треугольника. Тем самым вопрос о том,
какова геометрия Вселенной, ставится на ес-
тественнонаучную основу. Известно, что Гаусс,
будучи научным руководителем астрономиче-
* Первое сообщение об эллиптической геометрии
Б. Риман сделал в своей знаменитой лекции «О гипо-
тезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854), кото-
рая была напечатана через год после его смерти.
(1867).
О неевклидовой геометрии
101
ской обсерва?ории, проводил измерения углов
треугольников, поднимаясь на три горные
вершины *. Однако он не в полной мере от-
давал себе отчет в том, сколь значительны
неизбежные погрешности этих измерений.
История неевклидовой геометрии здесь из-
ложена достаточно подробно. Трудно тем не
менее переоценить то воздействие, которое
оказала она во всем мире на расширение
научных горизонтов, углубление взглядов на
основания математики, на естественнонауч-
ное мировоззрение.
Излагая историю вопроса, мы придержи-
вались главным образом книги Соммервилля
«Элементы неевклидовой геометрии» (Лондон,
1914 г.).
§ 2
О содержании гиперболической
геометрии
Гиперболическая геометрия (или
геометрия Лобачевского) обладает известны-
ми особенностями, о которых уже говорилось
выше. Как и евклидова геометрия, она строит-
ся на аксиоматическом фундаменте. Система
аксиом гиперболической геометрии отличается
от евклидовой аксиоматики в б^ном: й каче-
стве аксиомы о параллельных берется поло-
жение о том, что «через точку, находящуюся
* Так как в неевклидовых геометриях отклонение
суммы углов треугольника от 180° тем заметнее, чем
больше его размеры, то Гаусс пытался уловить это от-
клонение, проводя при помощи световых лучей измере-
ния очень больших треугольников, образованных верши-
нами соседних гор.
102
Многообразие геометрии
вне прямой, можно провести две прямые ли-
нии, параллельные ей». Из этой аксиомы шаг
за шагом геометрически (синтетически) выво-
дятся другие свойства этой геометрии.'
Гиперболическая геометрия в отличие от
проективной геометрии рассматривает фигуры
вместе с их мероопределением и, подобно ев-
клидовой геометрии, имеет абсолютную еди-
ницу измерения углов в виде развернутого
угла, равного двум прямым углам. Математи-
ческое определение параллельных линий на
гиперболической плоскости формулируется
следующим образом: прямые АА' и ВВ'
(рис. 46) считаются параллельными, если они
удовлетворяют трем условиям:
1)	прямые АА' и ВВ' находятся в одной
плоскости;
2)	прямые АА' и ВВ' не пересекаются;
3)	если внутри угла АВВ' провести прямую
через точку В, то она обязательно пересечет-
ся с утрямой АА'.
Затем формулируется аксиома: через точ-
ку О, находящуюся вне прямой линии I, мож-
но провести две прямые OL и ОМ, параллель-
ные прямой I.
Опустим из точки О на прямую I перпен-
дикуляр ON (это можно сделать, не применяя
постулат о параллельных прямых). Если поло-
Рис. 46
О неевклидовой геометрии
103
жить, что ON = р, то величина угла NOL,
оказывается, зависит от величины р. Назовем
этот угол углом параллельности и обозначим
его через л (р). л (р) непрерывно меняется в
в зависимости от изменения величины р. Если
р стремится к бесконечности, то л (р) стре-
мится к нулю, если же р стремится к нулю, то
л (р) стремится к прямому углу.' При этом
л (р) остается всегда меньше прямого угла.
Параллельные прямой линии I прямые OL и
ОМ разбивают семейство прямых, проходящих
через точку О, на следующие две группы: на
группу прямых, пересекающихся с I = АА',
и на* группу расходящихся с ней прямых.
Давайте постараемся эти необычные (или,
вернее, считающиеся необычными) построения
понять на другом рисунке, более доступном
для непосредственного восприятия. Возьмем
на проективной плоскости кривую линию Г
второго порядка. Находящиеся внутри кривой
Г точки назовем действительными, а находя-
щиеся вне — идеальнымй. Далее, в качестве
гиперболической плоскости будем рассматри-
вать множество лишь действительных точек.
104	Многообразие геометрии
Идеальные точки в этом случае не рассмат-
риваются. Кривую Г второго порядка называ-
ют абсолютом, а ее точки—бесконечно уда-
ленными. Прямые Лй и Лй' (рис. 48) не пе-
ресекаются с прямой ЙЙ' в действительной
точке, но пересекаются в точках абсолюта. В
конструируемой нами модели неевклидовой
плоскости прямые Лй и Лй' играют роль па-
раллельных к ЙЙ' прямых, проходящих через
точку Л. Прямая же АВ пересекается с ЙЙ'
в идеальной точке, и в гиперболической гео-
метрии она представляет прямую, расходя-
щуюся с ЙЙ'.
Среди проективных преобразований проек-
тивной плоскости выделим те, при которых аб-
солют переходит в себя. Вообще говоря, при
проективных преобразованиях овальная линия
Г переходит в другую овальную линию второ-
го порядка, однако мы выбираем только те
преобразования, при которых Г—Область
внутри Г переводится в себя, и дело, таким
образом, можно свести к проективному преоб-
разованию в себя ограниченной части плоско-
сти. В проективной модели гиперболической
О неевклидовой геометрии
105
геометрии эти преобразования играют роль
движений. Напомним здесь, что аффинное
преобразование представимо проективным,
при котором преобразуется в себя некоторая
прямая на проективной плоскости.
Обозначим преобразование, сохраняющее
кривую Г, через /, точку на Г — через Й, а две
прямые линии, пересекающиеся в точке й, —
через I и /п, и пусть f (Й) = й'. Тогда прямым
I и пг соответствуют прямые Г и т\ которые
Рис. 49
пересекаются в точке Й', т. е. параллельные
прямые переходят в параллельные.
Общая идея параллельности на проектив-
ной модели ясна из рис. 49, но гиперболиче-
ская геометрия — это геометрия, в которой
присутствует также и расстояние. Как опреде-
лить расстояние между точками так, чтобы
при проективном соответствии фигур оно со-
хранялось. Это было сделано Ф. Клейном,
который определил расстояние между точками
А и В (рис. 50) по формуле
dis (Л, В) = с log (ABPQ),
Эта формула, известная под названием «мет-
106
Многообразие геометрии
рика Кэли», была введена в математику ан-
глийским ученым А. Кэли (1821—1895). Клей-
ну же, который знал эту формулу, пришла в
голову идея применить ее в качестве опреде-
ления расстояния в проективной модели
неевклидовой геометрии*.
На проективной плоскости отсутствует та-
кое мероопределение, как длина, и так назы-
ваемое ангармоническое, или сложное, отно-
шение четырех точек вводится при помощи
Рис. 50
понятия отношения отрезков. Понятие ангар-
монического отношения встречается в рабо-
тах по евклидовой геометрии, но в евклидовом
случае оно определяется при помощи длин
отрезков. Естественно, введение такого отно-
шения в проективной геометрии имеет свои
* Ангармоническое
отношение четырех точек
(ABPQ) =	положительно, если обе точки
РВ QB
Р, Q лежат внутри или (как в нашем случае) вне от-
резка АВ. Заметим, что в случае проективной прямой,
так как она замкнута, следует говорить вместо «внутри
или вне отрезка АВ» «пары АВ и PQ друг друга не
разделяют на этой прямой».
О неевклидовой геометрии	107
особенности. К сожалению, из-за недостатка
места мы вынуждены отказаться от подроб-
ного изложения этого материала.
Ангармоническое отношение четырех точек
замечательно тем, что оно не меняет своей
величины при проективных преобразованиях.
Следовательно, если при проективном преоб-
разовании f: Г—>-Г точки А, В, Р, Q преоб-
разуются в А', В', Р', Q', то
dis (А, В) = с log (ABPQ) =
= с log (A'B'P'Q') = dis (А', В').
Таким образом, при преобразовании f сохра-
няется расстояние, введенное на модели ги-
перболической плоскости. В соответствии с
этим определением длины dis (А, Р) = оо.
И все же точкам, лежащим на абсолюте,
несмотря на их бесконечную удаленность, в
гиперболической геометрии уделяется особое
внимание.
Можно показать, что данное определение
длины удовлетворяет обычным условиям рас-
стояния. Например, для трех точек А, В, С,
расположенных на одной прямой, справедливо
dis (А, В) + dis (В, С) = dis (А, С).
Аналогично этому Клейн также доказал
существование эллиптической геометрии —
другого варианта неевклидовой геометрии.
Рис. 51
108
Многообразие геометрии
} 3
Эрлангенская программа Клейна
В октябре 1872 года Клейн в воз-
расте всего лишь 23 лет был приглашен на
работу в должности профессора университета
в городе Эрлангене. Если предоставить слово
самому Клейну, он мог бы сказать следую-
щее: «Кроме публичных лекций, которыми
вступающий в профессорскую должность как
бы представляется своим коллегам, я, следуя
установившейся традиции, к моменту вступ-
ления подготовил программу (Клейн действи-
тельно подготовил программу, в которую он
включил план исследований и изложил
взгляды на те разделы науки, которые он
выбрал для предстоящей работы). Эта тради-
ция хороша, даже если она не преследует
других целей, кроме той, как показать, с ка-
кими идеями вступает в новую должность
молодой профессор. В этот момент необходи-
мо поделиться своими мыслями, взглядами,
пусть даже не совсем зрелыми. Что касается
меня, то я с публичной лекцией выступил 7 де-
кабря. В ней я рассказал об основных идеях,
составляющих канву моих исследований; текст
своей программы я передал аудитории».
Клейн написал эту программу в октябре
1872 года, однако ее основные идеи были под-
готовлены еще в 1871 году. Здесь мы попыта-
емся дать краткое изложение основных поло-
жений программы. В программе Клейна об-
суждался вопрос о значении групп не только
тех геометрических преобразований, которые
затронуты в этой книге, но и наиболее общие
взгляды на важность теории групп преобра-
зований вообще.
О неевклидовой геометрии	109
Рассмотрим множество всех проективных
преобразований проективной плоскости Р2.
Это множество есть группа — группа проек-
тивных преобразований. Из этой группы мож-
но выделить те или иные специальные преоб-
разования. Например, все те проективные пре-
образования, при которых остается инвариант-
ной некоторая фиксированная прямая линия.
Множество этих преобразований также
является группой — группой аффинных преоб-
разований. Эта группа есть часть, или, как
еще говорят, подгруппа группы всех проек-
тивных преобразований. Другим примером
может служить подгруппа проективных пре-
образований, переводящих в себя некоторую
кривую второго порядка. Это группа либо ги-
перболических, либо эллиптических преобра-
зований.
Евклидова геометрия, с клейновской точки
зрения, — это та геометрия, которая распола-
гает группой конгруэнтных преобразований,
что соответствует всем тем проективным пре-
образованиям, относительно которых инва-
риантна кроме прямой некоторая пара (ком-
плексных) точек на ней. Клейн называл эту
геометрию также параболической.
Координаты точки на проективной плоско-
сти определяются тремя числами (хь х2, х3).
Любая тройка чисел за исключением случая
(О, 0, 0) представляет собой однородные коор-
динаты, то есть две тройки чисел, такие, что
Xi : х2: х3 = х'1: х'2: х'3, задают одну и ту же
точку на проективной плоскости.
Аналитический метод описания имеет свои
преимущества: введя систему координат, мож-
но написать уравнения инвариантных кривых
второго порядка (абсолютов):
по
Многообразие геометрии
в случае гиперболической геометрии —
*i2 + х22 — х32 = 0;
в случае	эллиптической	геометрии —
Х\2 И- х22 -f- х32	0;
в случае параболической	геометрии —
х,2 + х22 = 0; х3 = 0.
Следует особо подчеркнуть, что в каждом
из этих трех случаев можно подобрать такую
метрику, которая инвариантна относительно
преобразований из соответствующей группы.
Таким образом, геометрия разветвляется на
отдельные виды в соответствии с той или иной
группой преобразований. Задача каждой об-
ласти геометрии состоит в изучении свойств,
инвариантных относительно соответствующей
группы преобразований. В этом заключена
основная мысль программы Клейна.
Если для каждой из групп преобразований,
которые соответствуют вышеупомянутым ви-
дам геометрии, обозначить условным знаком
Z5 фацт включения ее как подгруппы в груп-
пу проективных преобразований, то схематич-
но это выглядит следующим образом:
группа	группа
О аффинных ZD конгруэнтных
преобразований	преобразований
группа	группа гипербо-
проективных О лических преоб-
преобразований разований
группа эллипти-
О ческих преоб-
разований
В этом смысле можно сказать, что «проек-
тивная геометрия — это вся геометрия».
Часть вторая
Глава 5
История
возникновения топологии
# 1.
О термине «топология»
Термин «топология» происходит от
греческих слов «топос» (расположение) и
«логос» (учение, наука). Введением этого сло-
ва математика обязана Листингу (1808—
1882), который результаты своих исследований
собрал в работе «Начальные исследования по
топологии» (1847 г.). Листинг определял то-
пологию как область математики, в которой
изучается расположение в пространстве точек,
линий, плоскостей, а также развиваются ме-
тоды исследования фигур, их формы и взаим-
ное расположение.
Следует сказать, что некоторые идеи, от-
носившиеся к новой области геометрическо-
го анализа, были высказаны еще Лейбни-
цем (1646—1716) в его работе «Analysis
Situs».
Этот термин употреблялся на протяжении
длительного периода, и вплоть до XX века
выходили труды под названием «Analysis
Situs», например, книга Веблена (1880—
1960).
Общепризнано, что создателем топологии
является Анри Пуанкаре (1854—1912). На ру-
беже XIX—XX веков он опубликовал большой
цикл работ, заложивших основу топологии.
Одна из них озаглавлена «Analysis Situs».
112	Многообразие геометрии
Кстати, и у Гаусса в цикле его геометрических
исследований также есть работа «Geometry
Situs» («Геометрия положения»).
। Содержание юпологии
Как уже отмечалось, зарождение
топологии связано с идеей Лейбница о суще-
ствовании новой геометрии, которую он назы-
вал геометрией положения. Однако в настоя-
щее время трудно точно определить, каково
было конкретное содержание этой идеи.
В письме Гюйгенсу (1629—1695) осенью
1679 года Лейбниц писал: «Я полагаю, что в
отличие от алгебры, имеющей дело с величи-
нами, необходима какая-то новая дисципли-
на, непосредственно исследующая задачи гео-
метрии положения». В дальнейшем он стал
называть этот раздел «Analysis Situs».
Гюйгенс, получив письмо, не мог понять
новой идеи и в ответном письме Лейбницу пи-
сал: «В твоих рассуждениях я не вижу ничего
особенного, что заслуживало бы внимания».
Однако, поскольку Лейбниц не отказался от
своих взглядов и по-прежнему настаивал на
правомерности и необходимости существова-
ния науки Analysis Situs, Гюйгенс в конце кон-
цов в другом письме ответил ему: «... необхо-
димы реальные примеры, которые могли бы
развеять мое недоверие к новой области нау-
ки». Лейбниц не привел каких-либо конкрет-
ных примеров и, высказавшись в сократов-
ском духе: «Он еще зелен», прекратил иссле-
дования в analysis situs. Несомненно, что нр
случайно Лейбниц верил в существование гео-
История возникновения топологии 113
метрик положения, однако эта идея у него
была еще не вполне определенной и ясной.
Только у Эйлера analysis situs получил
свое первое конкретное воплощение в виде из-
вестной задачи о кенигсбергских мостах и тео-
ремы Эйлера о многогранниках.
В 1736 году Эйлер решил задачу о кениг-
сбергских мостах. Представляя ее читателю,
он писал: «Задача, подобная этой, видимо, от-
носится к «геометрии положения», о которой
говорил Лейбниц». Она заключается в сле-
дующем. В Кенигсберге было семь мостов.
Рис. 52
Можно ли было пройти по всем этим мостам,
причем по каждому из них лишь один раз, и
вернуться в начало пути. Эйлер установил не-
возможность положительного решения этой
довольно простой задачи.
В другой известной работе Эйлера содер-
жится найденная им в 1752 году формула для
многогранника (формула Эйлера). Эта фор-
мула часто применяется в математике: ао—
— он + а2 = 2, где ао обозначает число вер-
шин, ai — число ребер и а2 — число граней
многогранника. Формула по своей сути никак
не связана с величинами таких параметров
8 Д-41
114	Многообразие геометрии
многогранника, как длина ребер или величина
углов. Она устанавливает вполне определен-
ное соотношение между числами вершин, ре-
бер и граней в произвольном многограннике.
Именно тем и замечательна теорема Эйлера,
что она устанавливает такое свойство много-
гранников, которое никак не зависит от их
метрики. Эта идея, пронизанная мыслью Лейб-
ница, впоследствии была воспринята и раз-
вита такими математиками, как Кэли, Мёби-
ус и другие.
Заметим, что это соотношение Эйлера бы-
ло известно еще Декарту, который, однако,
при доказательстве использовал такие метри-
ческие элементы, как величина углов много-
угольников. Доказательство же Эйлера заме-
чательно тем, что в нем метрические величи-
ны*оказались ненужными.
Через сто лет после Эйлера Листинг и
другие математики обобщили содержание этой
теоремы. Например, была получена аналогич-
ная формула не только для многогранника,
но и для тора, который показан на рис. 53.
Если число вершин равно ао, число ребер
аь а число граней а2, то в случае тора фор-
мула имеет вид ао — ои +а2 = 0. Затем спу-
стя еще 60 лет, уже в XX веке, эта теорема
была обобщена до так называемой формулы
Рис. 53
История возникновения топологии
115
Эйлера — Пуанкаре, относящейся к сложным
многогранным фигурам общего вида.
В топологии XVIII века хотя и можно пе-
речислить несколько работ, заслуживающих
внимания, трудов, имеющих принципиальное
значение и относящихся к этому периоду, нет.
Среди тех, кто внес вклад в развитие тополо-
гии в начале XIX века, выделяется Гаусс. Га-
усс был крупнейшей фигурой не только в об-
ласти математики, но и в области физики. Он
получил фундаментальные результаты в раз-
личных областях математики—алгебре, тео-
рии чисел, геометрии. Как мы уже отмечали,
он был одним из первооткрывателей неевкли-
довой геометрии. В то же время у Гаусса есть
несколько работ, которые можно отнести к то-
пологии. Наиболее ранняя из них — это рабо-
та 1794 года, посвященная вопросу о пересе-
чении кривых линий. Другие его более позд-
ние исследования касаются таких вопросов,
как форма кривых линий, их строение и вза-
имное расположение. О том, какое важное
значение он придавал геометрии положения
и какие большие надежды на нее возлагал,
можно судить по некоторым его высказыва-
ниям. В 1799 году Гаусс .представил доктор-
скую диссертацию, в которой излагалось дока-
зательство основной теоремы алгебры. Каса-
ясь в ней вопроса о взаимном расположении
кривых линий на плоскости, он заметил, в ча-
стности, что «доказательства, которые строят-
ся на основе геометрии положения, более сжа-
ты и ясны, чем доказательства, вытекающие
из положений геометрии величин».
В одном из писем от 1802 года Гаусс пи-
сал, что при дальнейшем исследовании «на
этом малоизведанном направлении могут от-
8*
116
Многообразие геометрии
крыться перспективы развития исключительно
интересного раздела великой науки матема-
тики», из чего, безусловно, видно, какие боль-
шие надежды он возлагал на эту область гео-
метрии. Во вступлении к своему сочинению
«Вычисление коэффициентов зацепления кри-
вых линий», которое датировано 1833 годом и
является весьма характерным для его иссле-
дований по топологии, Гаусс, в частности, пи-
сал: «В области геометрии положения, основ-
ные черты которой были предугаданы Лейб-
ницем и где только нескольким геометрам, та-
ким, как Эйлер и Вандермонд (1735—1796),
удалось завершить несколько достойных вни-
мания работ, на протяжении почти полутора
веков мы не имеем по существу никаких до-
стижений. В этой области, где пути геометрии
положения и геометрии величин идут рядом,
одной из существенных проблем является, ве-
роятно, проблема вычисления коэффициентов
зацепления двух кривых линий». В проблеме
коэффициентов зацепления речь идет о взаим-
ном расположении двух замкнутых кривых в
пространстве, как это, например, показано
на рис. 54.
Рис. 54
История возникновения топологии
Н7
Коэффициент зацепления кривых с и с',
расположенных слева, равен 0, а кривых спра-
ва, с, с',— равен 1. На правом рисунке любая
кривая поверхность F, ограниченная контуром
с, обязательно пересечет с'. Гаусс вычислил
коэффициенты для этого случая, используя си-
стему координат и методы аналитической гео-
метрии. Однако здесь можно вычислить коэф-
фициент зацепления и не прибегая к анали-
тическим средствам, а только с помощью то-
пологических методов. Можно сказать, что ес-
ли теорема Эйлера относится к выявлению
свойств фигур, то результат, полученный Га-
уссом, имеет отношение к их взаимному рас-
положению.
Под влиянием Гаусса активные исследова-
ния в области топологии вели Мёбиус, Ли-
стинг, Риман.
Мёбиус, переехав в Геттинген в 1813 году,
долгое время работал под руководством Гаус-
са в астрономической обсерватории. Исследо-
вания Мёбиуса в основном относятся к теории
поверхностей. Например, он определил, чем
замкнутые кривые линии на поверхности тора
отличаются от замкнутых кривых на сфери-
ческой поверхности. Он первым исследовал
знаменитый, так называемый «лист Мёбиуса»
Рис. 55
118 Многообразие геометрии
и занимался изучением свойств ориентируемых
поверхностей.
Поверхность сферы и поверхность тора,
будучи ориентируемыми поверхностями, имеют
«лицевую» и «оборотную» стороны, однако у
«листа Мёбиуса» нельзя провести различие
между сторонами, поэтому такие поверхности
стали наз'ывать односторонними. Насекомое,
ползущее по такой кривой поверхности и «счи-
тающее» данную сторону лицевой, продолжая
свой путь, приползет в исходную точку, но с
обратной стороны. Помимо «листа Мёбиуса»,
неориентируемой поверхностью является так-
же проективная плоскость.
Листинг в 1836 году писал, что он, «стре-
мясь изучить геометрию расположения, многое
узнал и открыл в период практических иссле-
дований в геттингенской обсерватории благо-
даря общению с Гауссом». Листингу принад-
лежит постановка задачи о расположении в
пространстве замкнутой кривой линии (проб-
лема }^лов). Замкнутую кривую, расположен-
ную в пространстве, так, как это изображено
на рис. 56, невозможно распутать в окруж-
ность, поскольку ее положение в пространстве
существенно отличается от расположения ок-
ружности. Проблема узлов — это топологиче-
Рис. 56
История возникновения топологии
119
ская задача, она чрезвычайно сложна, и сей-
час еще далеко до ее полного решения.
Листинг, как и Мёбиус, начиная примерно
с 1858 года, приступил к исследованию кри-
вых поверхностей и, так же, как и Мёбиус,
открыл неориентируемые кривые поверхности.
В дальнейшем исследования привели его к
более широкому аналогу теоремы Эйлера для
любых поверхностей. А вместе с Гауссом он
пришел к открытию общего понятия связно-
сти кривых поверхностей.
Таким образом, математики, группировав-
шиеся вокруг Гаусса, занимаясь систематиче-
скими исследованиями по теории поверхностей,
внесли значительный вклад в эту область гео-
метрии. В 1851 году Риман в своей диссерта-
ции изложил собственные исследования по так
называемым римановым поверхностям. По
словам Штеккеля (1862—1919), «мысли Рима-
на были абсолютно оригинальны и самобыт-
ны, даже у Гаусса не намечалось столь об-
щей идеи многолистной поверхности». Теория
римановых поверхностей явилась важным эта-
пом в разработке общей теории функций. И в
настоящее время продолжаются начатые им
геометрические и аналитические исследования
топологического характера.
Систематические исследования по теории
поверхностей продолжались и во второй по-
ловине XIX века, пока, наконец, в топологии
замкнутых кривых поверхностей не были оп-
ределены все виды кривых поверхностей. Ис-
следования в этом направлении следом за Ри-
маном и Мёбиусом вели Жордан (1838—
1922), Шлефли (1814—1895) и другие. О клас-
сификации кривых поверхностей будет гово-
риться ниже, в главе 6.
120
Многообразие геометрии
Одновременно с развитием теории поверх-
ностей возникло и более общее понятие — мно-
гообразие любого числа переменных. Теория
многообразий в настоящее время — это не
только топологический вопрос; с ней тесно
связаны многие вопросы других областей ма-
тематики. В этом направлении было получено
немало фундаментальных теорем топологиче-
ского характера. О некоторых из них мы рас-
скажем в главе 8. Достижения в исследовании
многообразий в XIX веке наиболее заметны
в работах Шлефли — 1852 год, Римана — 1854
год, Бетти (1823—1892) — 1870 год. Например,
Бетти, который использовал в своей работе
аналитические средства, принадлежит введе-
ние известной числовой характеристики много-
образия (число Бетти).
Наконец, уже совсем недавно вновь заго-
ворили о знаменитой так называемой задаче
о четырех красках, на которой мы сейчас ос-
тановимся.
Эта'задача была поставлена еще в 1850
году Газри*. Суть ее состоит в следующем:
условимся при раскраске географической кар-
ты соседние страны окрашивать в разные цве-
та. Страны считаются соседними, если они
имеют общую разделяющую их границу; две
страны, которые имеют лишь одну общую вер-
шину, соседними не считаются. Вопрос в том,
какое количество цветов необходимо и доста-
точно иметь для такой раскраски.
* На до сих пор известных картах, как на
* Первое печатное упоминание (в «Трудах Лондон-
ского математического общества») об этой проблеме, по-
ставленной где-то между 1850 и 1852 годами лондон-
ским бакалавром Френсисом Газри, относится к 1878
году.
История возникновения топологии
121
плоских, так и на сферических, всегда доста-
точно было четырех цветов. Однако доказать,
что это верно для любой карты, не удавалось.
Это обстоятельство приобрело еще более ин-
тригующий характер, когда обнаружилось, что
аналогичную задачу для карт, нарисованных
на более сложных поверхностях (торе и во-
обще поверхности любого рода, речь о кото-
рых будет идти ниже), напротив, удалось ре-
шить.
Для произвольной карты, нарисованной на
поверхности тора, как правило, необходимо
и всегда достаточно семи цветов. Довольно
просто доказывается, что для сферы всегда
достаточно пяти цветов. После того как зада-
ча о четырех красках была представлена для
обсуждения А. Кэли, который отметил при
этом вероятную сложность ее решения, она
стала всемирно известной.
Задача сама по себе проста и доступна, и
в прошлом попытки ее решить предпринима-
лись многими. Тем не менее на протяжении
ста лет приходилось признавать, что задача
все еще не решена. Однако в 1976 году аме-
риканский журнал «Nature» сообщил, что два
математика из Иллинойсского университета—
К. Аппель и В. Хэйкен, заставив ЭВМ рабо-
тать над решением указанной задачи около
1200 часов, получили положительное ее реше-
ние *. Ими были опубликованы данные о ме-
тоде решения этой задачи. Некоторые матема-
тики, правда, высказывают сомнение в том, что
задача действительно решена. По-видимому,
* Предварительно математики свели решение задачи
к перебору большого, но все же конечного числа ком-
бинаций, что и было «поручено» сделать ЭВМ.
122
Многообразие геометрии
убедиться в этом можно лишь постепенно, с
течением времени, тем более что практическая
проверка правильности решения требует ис-
ключительных затрат времени и средств. Ре-
шение этой проблемы, которую можно в оп-
ределенном смысле как труднейшую из са-
мых трудных поставить в один ряд со знаме-
нитой проблемой Ферма (1601—1665), стало
настоящей сенсацией в математической жизни.
Однако следует отметить, что задача о четы-
рех красках интересна лишь сама по себе и
в теоретическом отношении заметного влия-
ния на топологию оказать, по-видимому, не мо-
жет *. С другой стороны, предположение Пу-
анкаре, о котором пойдет речь в главе 8, яви-
лось и серьезной топологической задачей и
вместе с тем оказало своим решением боль-
шое влияние на теорию в целом.
Глава 6
\ Топология
и теория поверхностей
§ г
Топология
Можно со всей определенностью
сказать, что хотя в XIX веке топология и до-
билась замечательных результатов в теории
поверхностей, на самом деле это был всего
лишь период ее зарождения, ее предыстория.
* Справедливости ради надо сказать, что поиски
решения проблемы четырех красок стимулировали раз-
витие важной области комбинаторной геометрии — тео-
рии графов.
Топология и теория поверхностей
123
О топологии часто говорят как о геометрии ре-
зиновой пленки. Исследования Листинга и об
узлах, и о поверхностях — все это геометрия
в одном случае замкнутой узкой резинки, в
другом — тонкой резиновой пленки. При де-
формации резина рвется не сразу, она свобод-
но растягивается, сжимается, она эластична.
И при таком растяжении или сжатии сохраня-
ются существенные особенности кривых ли-
ний и поверхностей. Иначе говоря, в тополо-
гии при рассмотрении кривых линий и поверх-
ностей совершенно не учитывается ни длина
линий, ни величина углов. Ответ на вопрос о
том, какие поверхности топологически экви-
валентны между собой, а какие нет, зависит от
более глубоких их свойств.
На рубеже XIX—XX веков топология наря-
ду с исследованием поверхностей добилась
благодаря усилиям Кантора и главным об-
разом Пуанкаре серьезных успехов в созда-
нии теоретического фундамента. Правда, тео-
рия Кантора, как мы знаем, изучает множе-
ство лишь с точки зрения возможности приве-
дения их во взаимно однозначное соответствие.
В его теории единственным отличительным
признаком множества в безграничном мире
множеств является его мощность. Канторов-
ская классификация множеств довольно гру-
бая, до познания истинных свойств фигур
здесь далеко, и геометрия не может быть по-
строена только на ней. С канторовской точки
зрения, оказываются эквивалентными между
собой, например, множества точек отрезка
прямой и квадрата, и поэтому невозможно
провести различие между множествами даже
относительно их размерности.
Напомним, что множество всех точек целых
124
Многообразие геометрии
чисел N = {1, 2, ..., п, ... } и множество всех
чисел {/п М= {1, у2, • ••,	...} с теорети-
комножественной точки зрения эквивалентны,
поскольку между ними, как мы уже говорили
раньше, существует взаимно однозначное со-
ответствие f : п—*'/п. Однако если посмотреть
на расположение точек на прямой линии, то
здесь мы имеем совершенно разные картины.
Так, когда п принимает сколь угодно большие
целочисленные значения, то соответствующие
точки в М сколь угодно близки к 0. Последо-
вательность М — {1, V2, •••> сходится к 0,
lim — = 0,
л~*оо
а точка 0 является предельной точкой, или,
как еще говорят, точкой накопления множе-
ства М.
Понятие предельной для множества М точ-
ки 0 можно сформулировать иначе: в любой
сколь угодно маленькой окрестности точки 0
всегда'содержится бесконечная часть множе-
ства М. В нашем примере сама точка 0 не
принадлежит М. Между тем у множества W
предельных точек нет. Это пример того, как
два множества, эквивалентные в общей тео-
рии множеств, с геометрической точки зрения
неодинаковы. Различие между М и N в их
Рис. 57
Топология и теория поверхностей
125
расположении на прямой находит свое выра-
жение в топологии, хотя и здесь имеются свои
особенности. Продолжая эту мысль дальше,
нам следовало бы понять, как устроено мно-
жество, у которого имеются предельные точ-
ки. Пусть множество М есть диск (рис. 58).
Любая его граничная точка Р, а также любая
внутренняя точка Q являются предельными
точками этого множества. Во множестве М
можно указать последовательности точек
Pi, ..., Рл, ... и Qi, ..., Qnf ..., соответственно
сходящиеся к Р и Q.
Сходится ли та или иная последователь-
ность точек? Если да, то к какой точке? При-
надлежит ли множеству предельная точка?
Все это вопросы топологии, и подобные отно-
шения между точками множества составляют
его топологическую структуру. Топологическое
различие двух множеств есть не что иное, как
различие их топологических структур.
Говоря подробнее о различных топологиче-
ских структурах точечных множеств, следует
126
Многообразие геометрии
в качестве примера отметить, что множество
дробных чисел М = {1, V2, ... , Vn, ... } и об-
разованное путем добавления к М точки О
(предельной точки) множество точек =
= М II {0} топологически будут отличаться
друг от друга. Причина состоит в том, что
множеству М его предельная точка не при-
надлежит, в то время как в множестве Mi эта
точка содержится.
Рассматриваемые в топологии множества
точек обычно называют пространством. Под
пространством здесь понимают не только трех-
мерное пространство, то есть пространство с
тремя координатами; множество .точек только
с одной координатой тоже является простран-
ством— одномерным. Множество всех точек
прямой У?1, как, впрочем, и множество W всех
натуральных чисел 1, 2, 3, ... , содержащееся
в У?1, но рассматриваемое само по себе, неза-
висимо от У?1,— это примеры пространств. Ес-
ли же .принимать во внимание, что tV содер-
жится в У?1, то о N говорят как о подпростран-
стве пространства У?1. Если в пространстве так
или иначе выявлена топологическая структу-
ра, то такое пространство называют топологи-
ческим.
Рассматривая в связи с топологическими
вопросами понятие предельной точки, мы ис-
пользовали (без объяснения) понятие окрест-
ности, хотя логичнее было бы сначала дать
определение этого термина. Популярная ин-
терпретация понятия окрестности сводится к
тому, что это множество точек, близко распо-
ложенных к данной точке.
Так, на евклидовой плоскости У?2 можно оп-
ределить ъ-окрестность точки О, где е — по-
ложительное число как множество всех точек
Топология и теория поверхностей 127
плоскости R2, расстояние которых до О мень-
ше е. Варьируя значение е, можно получить
много вариантов е-окрестности для каждой
точки. В действительности понятие окрестно-
сти является фундаментальным в топологии.
Так, для того чтобы множество А можно бы-
ло рассматривать как топологическое про-
Рис. 59
странство, необходимо определить для каж-
дой точки Р множества А систему окрестно-
стей, которая, разумеется, должна удорлетво-
рять нескольким условиям. Если в евклидо-
вом пространстве выбрать множество А точек,
то в качестве системы окрестностей точки Р
достаточно взять систему {t/e (Р)}, где в —
пробегает положительные рациональные и ир-
рациональные числа. Теперь, когда имеется
представление об окрестностях, данное ранее'
определение предельной точки становится яс-
ным.
Исходная идея всей топологии заключается
прежде всего в концепции непрерывности. Не-
прерывность является абсолютно необходи-
мым теоретическим фактором математическо-
го анализа, который рассматривает функции
f(x), непрерывно зависящие от х. Здесь уме-
стно подчеркнуть, что о непрерывности функ-
ции f(x) можно говорить лишь на основании
128
Многообразие геометрии
того, что числовая прямая Z?1 рассматривает-
ся в конечном счете как пространство, наде-
ленное топологической структурой.
Рассмотрим понятие непрерывного отобра-
жения.
Направленное из топологического простран-
ства А в топологическое пространство В не-
прерывное отображение f должно по опреде-
лению удовлетворять следующим двум усло-
виям:
1. Каждой точке х пространства А соот-
ветствует одна и только одна точка у в про-
странстве В: у = f (х) (условие отображения).
2. Если в пространстве А последователь-
ность точек Хь х2, ... , хп ... сходится к точ-
ке х, то соответствующая в пространстве по-
следовательность точек f (Xi), f(x2), ...,
f (хл), ... сходится к точке f (х), которая со-
ответствует точке х пространства А при ото-
бражении f.
Поясним это несколькими примерами.
А).\Для упоминавшихся выше числовых'
множеств рациональных чисел М = {l/n | п =
= 1,2, ...} и М' = 2И U {0} можно построить
соответствие f : М—следующим образом:
f ОАО — 7^- Такое отображение является не-
прерывным. И хотя пространство М не содер-
жит предельную точку*0, которая содержится
Рис. 60
Топология и теория поверхностей 129
в М', в данном случае это не имеет значения.
Если же строить обратное соответствие
М'—>М по формуле g: 1/п—Р/п, то нужно по-
пытаться найти в М точку g (0), соответствую-
щую 0, которая содержится в М'. Так как М
не содержит 0, то какое бы в качестве g (0)
число г (г =/= 0) ни взять, отображение g не
будет удовлетворять, указанному выше усло-
вию (2).
Б). Действительная функция f(x) пред-
ставляет собой отображение некоторого под-
множества числовой прямой пространства R1
в пространство опять же ₽*:
Если на оси координат Ох откладывать
значения х, а на оси Оу — значения f(x), то
мы получим множество точек (х, f(x)) —
график функции f(x) (рис. 61 и 62).
Если график f(x), как это показано на
рис. 62, Претерпевает разрыв при значении х,
то соответствующая сходящейся к х последо-
9 Д-41
130	Многообразие геометрии
вательности точек х>, ... , х п (см. рис. 62) по-
следовательность ... , f(xn) на оси Оу
также является сходящейся, однако ее пре-
дельная точка не совпадает с f(x). Здесь на-
рушено условие (2) непрерывности. Другими
словами, функция f(x) в точке х не является
непрерывной.
Такой важный момент, как формулировка
условия непрерывности, на протяжении про-
должительного периода являлся предметом
многочисленных математических исследований.
Но если говорить о непрерывном отображении
попросту, то можно сказать, что точка, близ-
кая к точке х, преобразуется в точку, близ-
кую к соответствующей точке f(x). В тополо-
гии идея непрерывности непосредственно тран-
сформируется в имеющий фундаментальное
значение вопрос о топологическом отображе-
нии.
Два топологических пространства А и В
называются гомеоморфными, если для некото-
рого точечного отображения f : А—нВ выпол-
няются следующие два условия:
1. f представляет собой взаимно однознач-
ное соответствие (Л и В эквивалентны как
множества).
2. Как соответствие f, так и обратное соот-
ветствие f~l непрерывны (условие взаимной
непрерывности).
Способ выбора соответствия f при этом не
является единственным. Но даже если извест-
но только одно такое соответствие, то мы все
равно имеем дело с топологической эквива-
лентностью пространств Л и В, или, как еще
иначе говорят, гомеоморфизмом пространств.
К примеру, поверхность тетраэдра и сфе-
ры гомеоморфны. Точки Р и Р' этих поверхно-
Топология и теория поверхностей 131
стей можно привести в соответствие, как по-
казано на рис. 63. Совершенно ясно, что при
этом взаимно однозначном соответствии точ-
ке, близкой к Р, соответствует точка, близкая
к Р', и обратно.
В топологии гомеоморфные фигуры (про-
странства) считаются равными. В связи с
этой новой точкой зрения нет различия между
сферой и поверхностью тетраэдра. Основной
проблемой топологии является вопрос о том,
какие фигуры между собой гомеоморфны, а
какие — нет. В этом заключена проблема то-
пологической классификации. Следуя идеям
Клейна, высказанным в его Эрлангенской про-
грамме, можно сказать, что топология явля-
ется той областью геометрии, которая иссле-
дует геометрические свойства фигур, инвари-
антные при топологических преобразованиях.
Слова «геометрия резинки или резиновой
пленки» выражают суть топологии, так как
растяжение резиновой пленки без разрывов и
есть как раз взаимно однозначное соответ-
9*
132
Многообразие геометрии
ствие, при котором близкие точки переходят в
близкие точки. Ну а раз это соответствие то-
пологическое, то деформирующаяся пленка
остается в том же классе топологически экви-
валентных фигур.
§ 2.
Кривые линии
В предыдущих главах отмечалось,
что в XIX веке был полностью исследован во-
прос о формах кривых поверхностей в том
смысле, что были получены все типы поверх-
ностей, не гомеоморфных между собой. Напри-
мер, сферическая поверхность не гомеоморф-
на поверхности тора. Как это доказать? Заме-
тим, что вопрос о существовании соответствия,
удовлетворяющего лишь условию взаимной
однозначности, целиком лежит в рамках об-
щей теории множеств. И хотя взаимная одно-
значность непременно сопутствует взаимной
непрерывности, однако последнее условие ни-
как не вытекает из первого. Как было отмече-
но Гауссом и Мёбиусом, между замкнутыми
кривыми линиями на сфере и на поверхности
Sz(apepu4ea<ae по&ермоть) Т2-/поверхность торе)
Рис. 64
Топология и теория поверхностей
133
тора имеются удивительные характерные раз-
личия. Замкнутая кривая линия с на сфери-
ческой поверхности S2 разбивает ее на две «ча-
сти» •, а замкнутая линия с на торе Т2, напро-
тив, не делит эту поверхность на две части,
оставляя ее в виде одного связного куска
(см. рис. 64). Говоря здесь о связности, мы
имеем в виду, что какие бы две точки Р и Q
ни взять, их можно соединить линией, кото-
рая не пересечется с кривой с. Из этого раз-
личия следует, что гомеоморфизм в данном
случае, т. е. между поверхностями сферы и
тора, не имеет места. Вообще говоря, вопрос
о наличии связности или отсутствии таковой
по сути своей является топологическим, т. е.
не меняющим своего характера при топологи-
ческом преобразовании. Топологическая инва-
риантность свойства связности понятна из ин-
туитивных соображений. Сформулируем ее в
виде теоремы.
Теорема 1. Пусть топологические простран-
ства А и В гомеоморфны, т. е. существует то-
пологическое отображение f : А—*В.
Если некоторая замкнутая линия с в простран-
стве А разбивает А на две части, то замкну-
тая кривая линия f(c) в пространстве В так-
же разбивает В на две час^и. (Доказательство
можно вывести из теоремы 1 в начале гла-
вы 7.)
Теперь можно вспомнить о том, что выше,
когда говорили о листе Мёбиуса и о проектив-
ной плоскости, мы отмечали, что они являют-
ся неориентируемыми поверхностями. Это свой-
ство поверхности — быть ориентируемой или,
* «Части» здесь — это компоненты линейной связ-
ности.
134
Многообразие геометрии
напротив, неориентируемой — также относит-
ся к числу топологических инвариантов.
Теорема 2. Если две замкнутые кривые
поверхности Ft и Г2 гомеоморфны и одна из
них, скажем является неориентируемой по-
верхностью, то и другая поверхность F2 также
является неориентируемой.
Из этой теоремы можно сразу получить,
что сферическая поверхность и проективная
плоскость негомеоморфны.
Таким образом, чтобы выяснить вопрос о
том, являются ли какие-либо две геометриче-
ские фигуры гомеоморфными или нет, вовсе
не обязательно рассматривать неограниченное
число всевозможных вариантов точечных соот-
ветствий и выискивать среди них взаимно не-
прерывные.
Хотя мы весьма легко употребляем здесь
слова «кривая поверхность», «кривая линия»,
следует, однако, отметить, что с математиче-
ской толки зрения они требуют четкого опре-
деления. Строгое определение кривой линии
было дано Жорданом в его «Курсе анализа».
Впоследствии свойства кривой линии изуча-
лись в многочисленных работах. Мы не будем
касаться подробностей этих теоретических ис-
следований, а лишь дадим наиболее часто
встречающееся определение кривой линйи.
Возьмем на числовой оси отрезок, т. е. мно-
гжество всех чисел, расположенных между дву-
мя какими-то числами, для определенности
О и 1. Если обозначить этот отрезок через /,
то его образ /(/) при любом непрерывном
отображении f называется кривой линией.
Благодаря непрерывности две близкие точки
отрезка I переходят в две близкие точки кри-
вой f(I). Обозначим образы /(0) и f(l)
Топология и теория поверхностей
135
концов отрезка через Р и Q. Говорят, что точ-
ки Р и Q связаны криволинейным путем. Если
f(O)=f(l), то мы получим замкнутую кри-
вую линию.
Рис. 65
Приведенное определение кривой линии яв-
ляется чрезвычайно широким: ему удовлет-
воряют и такие геометрические фигуры, кото-
рые с общепринятой точки зрения не счита-
ются линиями. Например, существует кривая
линия, которой можно заполнить весь квадрат.
Ее называют кривой Пеано (1858—1932) *.
Выделим более узкий класс кривых линий, так
называемых кривых Жордана. Кривая Жор-
дана — это образ отрезка I при взаимно од-
нозначном и взаимно непрерывном отображе-
нии. Другими словами, кривая Жордана —
это топологический образ отрезка. Замкнутая
кривая линия Жордана, или, как еще говорят,
простая замкнутая кривая,— это фигура, го-
меоморфная окружности.
Любая окружность на евклидовой плоско-
сти /?2 делит ее на две части — внутреннюю и
внешнюю. Если взять две точки Р — внутри
* Часто в топологии кривой линией называют ото-
бражение f отрезка в некоторое топологическое про-
странство, а не его. образ. В этом смысле кривая Пеано
есть некоторое специальное отображение отрезка на
квадрат.
136
Многообразие геометрии
окружности и Q — вне ее, то соединяющий
их путь (кривая линия) обязательно по край-
ней мере в одной точке пересечется с окруж-
ностью. Это основано на положении о непре-
рывности действительных чисел, которое яв-
ляется фундаментальным принципом таких
Рис. 66'
разделов математики, как геометрия, анализ
и др.
Жордан установил, что это свойство верно
не только для окружности, но и вообще для
любой замкнутой кривой Жордана.
Теорема Жордана. Замкнутая кривая Жор-
дана на плоскости делит плоскость на две
части — внутреннюю и внешнюю с общей гра-
ницей— данной кривой.
Рис. 67
Топология и теория поверхностей 137
Доказательство этой теоремы дано в курсе
анализа Жордана. Поначалу кажется, что
фактическая сторона теоремы Жордана оче-
видна. В самом деле, рассмотрим произволь-
ную замкнутую жорданову кривую, например,
такую, как на рис. 68, и мы видим, что это
чрезвычайно просто, ясно... Нет, кажется, эта
теорема нуждается в доказательстве. Мы
здесь обращаем внимание читателя на то, что
Рис. 68
теорема безусловно нуждается в доказатель-
стве, более того, это доказательство чрезвы-
чайно сложно.
Имеется многб работ, в которых детально
рассматриваются свойства замкнутых жорда-
новых кривых. Например, в теореме Шенфли-
са (1853—1928) рассматриваются на плоско-
сти R2 окружность С, замкнутая жорданова
кривая / и топологическое отображение
f: С—►/. Теорема утверждает, что это отобра-
жение может быть расширено до топологиче-
138 Многообразие геометрии
ского преобразования F : R2—>-7?2 всей плос-
кости R2. Говоря другими словами, существу-
ет топологическое преобразование F : R2—>-R2,
которое на подмножестве С совпадает с ис-
ходным отображением f : С—>-/.
Разумеется, интересно знать, какие свой-
ства замкнутых жордановых кривых можно
распространить на случай поверхностей. На-
пример, рассмотрим сферическую поверхность
S2 в пространстве R3 и гомеоморфную ей по-
верхность М2. Можно доказать, что поверх-
ность М2, так же как и сфера, делит простран-
ство R3 на две части — внутреннюю и внеш-
нюю. Однако теорема, аналогичная теореме
Шенфлиса, в случае поверхностей не верна.
Это можно установить при помощи аналити-
ческих средств.
В порядке отступления от темы можно ска-
зать, что теорема Жордана, являющаяся од-
ной из основных теорем математики, довольно
часто находит приложения. Однако в универ-
ситетских курсах доказательство теоремы
Жордана обычно опускается. Изложение ее
весьма сложного доказательства требует зна-
чительного времени; тем, кто интересуется им,
советуем обратиться к соответствующим по-
собиям по математике.
В качестве примера теоремы Жордана
можно привести задачу о проведении комму-
никаций для газа, электричества и воды.
Расположенные на плоскости (на земной
поверхности) три. дома А, В, С необходимо
соединить с тремя центрами снабжения их га-
зом, электричеством и водой так, чтобы ком-
муникации не пересекались. Как бы три дома
ни были расположены, проведение на плоско-
сти коммуникаций указанным образом невоз-
Топология и теория поверхностей
139
можно. Этот факт, т. е. что соединение не-
избежно приводит к пересечению коммуни-
кационных линий, следует из теоремы Жор-
дана.
В трехмерном пространстве К3 указанное
соединение трех домов с тремя произвольными
точками,' как хорошо известно из опыта, воз-
можно. Указанная конфигурация связей пред-
ставляет собой вложенную в пространство/?3
Рис. 69
конструкцию, составленную из отрезков. В то-
пологии существует задача о вложении, част-
ным случаем которой является задача о вло-
жении систем одномерных отрезков в евкли-
дово пространство. Имеется теорема, которая
утверждает, что конечная система, состоящая
из точек и связывающих их одномерных от-
резков, сколь бы сложным строением она ни
обладала, всегда может быть вложена в про-
странство /?3, т. е. размещена без дополни-
тельных пересечений отрезков. Таким обра-
зом, это пример того, что может быть реали-
зовано в пространстве и не может быть осу-
ществлено на плоской поверхности.
140
Многообразие геометрии
§ 3.
Кривые поверхности
Головной убор (берет, шляпа) пред-
ставляет собой кривую поверхность, имеющую
край. Поверхность строительной колонны, не-
ограниченно продолженной, не имеет края.
Евклидова плоскость R2 не имеет края и пред-
ставляет собой неограниченную поверхность.
Ограниченные, но не имеющие края кривые
поверхности, например сферическая поверх-
ность, поверхность тора, проективная плос-
кость, являются замкнутыми поверхностями.
Замкнутая поверхность — это топологиче-
ское подпространство М в евклидовом про-
странстве, которое, во-первых, ограничено и,
во-вторых, любая его точка обладает окрест-
ностью, гомеоморфной евклидовой плоскости.
Смысл первого условия состоит в том, что
исключаются из рассмотрения бесконечно
продолжаемые поверхности. Здесь, конечно,
следовало бы использовать топологический
термин компактность, и условие ограниченно-
сти в определении мы употребили для нагляд-
ности.
Рис. 70
Топология и теория поверхностей	141
—\------------------------------------------
Второе условие отражает основное свой-
ство, присущее любой кривой поверхности.
Рассмотрим множество точек плоскости /?2,
расположенных внутри окружности единично-
го радиуса.
Тбпологический образ внутренней части
круга называют открытым 2-диском (двумер-
ным диском). Нетрудно показать, что откры-
тый 2-диск гомеоморфен евклидовой плоскости
R2. Применяя слово «диск», второе условие
можно выразить так:
некоторая окрестность U(x) любой точки
х пространства М есть открытый 2-диск.
Рис. 71
Ясно, в частности, что множество точек,
достаточно близких к точке х, как на сфери-
ческой поверхности, так и на поверхности то-
ра является открытым 2-диском.
Рассмотрим топологическое устройство
проективной плоскости Р2. Как уже отмеча-
лось, проективная плоскость представляет со-
Рис. 72
I
142
Многообразие геометрии
бой поверхность, которая получается из сферы
отождествлением каждой пары ее антиподаль-
ных точек. Поэтому если взять точки верхней
полусферы, то необходимость в точках нижней
полусферы отпадает. Действительно, посколь-
ку пара антиподальных точек Р нР' представ-
ляет одну точку проективной плоскости, то с
тем же успехом ее можно представить одной
точкой, например, верхней полусферы. Поэто-
му вся проективная
плоскость может быть
Рис. 74
полусферой	(«котел -
представлена только
ком»), у которой антиподальные точки эква-
ториальной окружности необходимо отожде-
ствить: Q = Q'.
Спроектируем верхнюю полусферу, как это
показано на рис. 74, на круг. Очевидно, что
точечное соответствие /, устанавливаемое при
этой проекции, является гомеоморфизмом. Та-
ким образом, проективная плоскость Р2 го-
меоморфна кругу, у которого одна половина
а граничнойюкружности отождествлена с дру-
гой полуокружностью. Эта полуокружность
\Топология и теория поверхностей 148
является замкнутой жордановой кривой в-
’ проективной плоскости. Проективная плос-
кость удовлетворяет второму условию замкну-
той \ поверхности. Действительно, если два по-
лудиска в окрестности одной точки (= /?')
«склеить» по граничной дуге, то получится
целый открытый диск (рис. 75).
Объяснение того, что в данном случае мы.
имеем дело с неориентируемой поверхностью,
отняло бы много времени,, поэтому мы ограни-
чимся рассмотрением конкретного примера
(рис. 76).
Если при помощи стрелки задать ориента-
цию. полудиска в окрестности точки R в на-
правлении, указанном на рис. 76, то и весь
диск можно сориентировать в том же направ-
лении. В «полудиске» Точки R' это направле-
ние согласовано с дугой а. При отождествле-
нии антиподальных точек, в том числе Я с /?',
при переходе из полудиска R' в полудиск R
направление ориентации меняется на проти-
воположное.
Если на проективной плоскости (рис. 76)
Рис. 75
Рис. 76
144 Многообразие геометрии
взять во внимание только область, ограничен-
ную пунктирными линиями, то легко понять,
что это «лист Мёбиуса», являющийся неориен-
тируемой поверхностью. Остальная часть гщо-
ективной плоскости — это открытый диск. /Ес-
ли вырезать круг из бумаги и попытаться
склеить попарно противоположные точки гра-
ничной окружности, то мы увидим, что сде-
лать это не удается. Дело в том, что проектив-
ную плоскость нельзя расположить без
самопересечения в трехмерном евклидовом
пространстве. С другой стороны, в топологии
существует теорема о том, что любая поверх-
ность может быть помещена без самопересе-
чения в четырехмерном евклидовом простран-
стве J?4. На этом основании можно утверждать,
что и проективная плоскость может быть реа-
лизована в четырехмерном пространстве.
Рассмотрим теперь устройство тора. Если
в прямоугольнике ABCD его противополож-
ные стороны отождествить так, как это пока-
зало на рис. 77, то получим замкнутую по-
верхность, которая и есть тор. Тор можно
сделать в пространстве R3, вырезав для этого
прямоугольник из бумаги и склеив его проти-
\	Топология и теория поверхностей 145
вбположные стороны в соответствии с направ-
лением стрелок *. Стороны AD и АВ превра-
щаются в замкнутые кривые линии. Точки Д,
В, р, D на поверхности тора преобразуются в
одну. В то время как замкнутая кривая на
сфере по теореме Жордана делит сферическую
поверхность на две части, на торе не каждая
замкнутая кривая делит его поверхность на
частиц. Это указывает на топологическое раз-
личие этих поверхностей. Тот факт, что у раз-
ных поверхностей кривые имеют разные свой-
ства, отмечал еще Гаусс. На этом основана
классификация замкнутых поверхностей.
В качестве следующего примера возьмем
восьмиугольник, попарно отождествив его оди-
наково обозначенные, как это показано на
рис. 79, стороны. В результате получим по-
верхность кренделя. Это замкнутая поверх-
ность рода 2. Заметим, что тор является по-
верхностью рода 1, а сфера — поверхностью
рода 0. На поверхности рода 2 выделим ка-
нонические (см. рис. 80) замкнутые кривые
аь Ьъ Оъ Ь2. В общем случае можно взять
^-сторонник и отождествить по определен-
ному закону его 4^-стороны попарно — яь
..., ag, bgB соответствующие им канониче-
ские 2g замкнутые линии. В результате тако-
го отождествления получается замкнутая
ориентируемая поверхность рода g, аотожде-
* Совет клеить тор из прямоугольного листа бумаги,
а не из какого-нибудь эластичного материала нельзя
признать удачным. Опыт и здравый смысл говорят, что
изогнуть в обычном пространстве прямоугольный лист
бумаги в поверхность тора невозможно, в то же время
методами дифференциальной геометрии установлена
возможность склейки тора из прямоугольника с сохра-
нением евклидовой метрики в четырехмерном простран-
стве.
10 Д-41
146
Многообразие геометрии
ствляемым сторонам соответствуют канони-
ческие 2g замкнутые кривые. Доказано, Що
таким образом могут быть исчерпаны все то-
пологические типы замкнутых ориентируемых
поверхностей.	/
Что касается неориентируемых замкнутых
поверхностей, то также известно, что суще-
ствует бесконечно много топологически раз-
личных видов. Кроме проектйвной плоскости,
Рис. 80
Рис. 79
можно поивести в качестве примера так назы-
ваемую <бутылку Клейна». Для этого отож-
дествим попарно стороны четырехугольника,
как это показано на рис. 81. Получающаяся
фигура представляет собой неориентируемую
замкнутую поверхность, которая не может
быть реализована в пространстве /?3. Если все
Рис. 81
Топология и теория поверхностей 147
же вопреки, так сказать, логике попытаться
построить ее в обычном пространстве, то мы
поручим нечто с самопересечением, напоми-
нающее по форме бутылку, отсюда и назва-
ние: «бутылка Клейна».
Итак, чтобы получить замкнутую поверх-
ность, нужно взять многоугольник с опреде-
ленным числом сторон и затем эти стороны по
некоторому правилу попарно отождествить.
При отождествлении сторон необходимо учи-
тывать взаимное направление сторон. Для
замкнутой ориентируемой поверхности рода g
обход сторон многоугольника по контуру при-
водит к такой последовательности:
(iibidi 61	... ^gbgdg b g	(2)
где of1— это показатель того, что направление
обхода противоположно направлению сторо-
ны 01.
148	Многообразие геометрии	/
При таком способе задания проективной
плоскости будет соответствовать двухуголь-
ник аа\ «бутылке Клейна» — aba~lb. Мы ви-
дим, что для неориентируемых поверхностей
некоторые отождествляемые стороны берутся
в одинаковом порядке: аа или b ... Ь.
Вообще замкнутую неориентируемую по-
верхность можно представить посредством
многоугольника в следующем виде:
а\ ai а2 а2 ... agag,	(3)
где g — род поверхности.
При помощи последовательностей (2) и
(3) можно выразить все виды замкнутых по-
верхностей. Такое представление называют
нормальной формой замкнутой поверхности.
Возьмем на поверхности тора замкнутые
линии а и b. С их помощью можно описать все
существенно различающиеся между собой
замкнутые кривые линии. Например, линия с
будет выражена как с = а + b (знак плюс не
означает добычной суммы).
Объяснить это можно, обратившись к
очень важной и общей идее в топологии,
именно к теории групп гомологий, речь о ко-
торых пойдет в следующей главе. А сейчас мы
только заметим, что знак плюс означает опе-
рацию сложения в группе гомологий, а равен-
ство а + Ь = с или а + b — с = 0 означает,
что кривая а + b — с ограничивает часть по-
верхности. Любую кривую на поверхности то-
ра можно представить при помощи а и b фор-
мулой
та + nb,
где т, п. — произвольные целые числа.
Обратившись к проективной плоскости,
Топологические инварианты
149
можно вспомнить, что линия аа является гра-
ницей круга. В то же время а хотя и замкну-
тая кривая, но не является границей какой-
либо части проективной плоскости. Поэтому
если взять а + а = 2а, то получим край
проективной плоскости, т. е. 2а = 0, хотя
а 0.
Глава 7
Топологические инварианты
Первостепенной задачей топологии
является поиск общих методов, направленных
на решение вопроса о том, гомеоморфны ли
между собой или нет те или иные топологиче-
ские пространства. Конечно, вопрос о суще-
ствовании гомеоморфизма в некоторых кон-
кретных случаях, например, когда в качестве
топологического пространства взята последо-
вательность точек М = {1/п|п = 1,2...} или в
столь же простом примере с двумерным дис-
ком, можно исследовать непосредственно. Од-
нако нетрудно понять, что в общем случае
поиск гомеоморфизма двух пространств в про-
цессе последовательного изучения бесконечной
цепи непрерывных отображений вряд ли увен-
чается успехов, даже если на это будет затра-
чена жизнь. I Для того чтобы действительно
сделать какой-нибудь вывод, необходимо ис-
следование соответствующих инвариантных
свойств с последующим выяснением, обладают
ли топологические пространства М и N ука-
занными свойствами. Одним из таких свойств
является связность топологического простран-
ства, о чем мы уже упоминали. Если про-
150
Многообразие геометрии
странство М связно, а пространство N этим
свойством не обладает, то сразу можно ска-
зать, что М и N негомеоморфны. Правомер-
ность этого вывода основана на следующей
теореме.
Теорема 1. Пусть пространства М и М'
гомеоморфны. Тогда из связности М следует
связность пространства М'.
Перевернув утверждение теоремы, можно
сказать, что если одно из двух пространств М
и М', скажем М, связно, а. другое — М' —
нет, то М и М' негомеоморфны. Свойства,
которые неотъемлемо присущи всем гомео-
морфным между собой топологическим про-
странствам, как, например, свойство связ-
ности, называются топологи ческими инвари-
антами. Выступая с позиций! Клейна, можно
сказать, что в топологии и-»учаются те гео-
метрические свойства, которые неизменны
при топологических преобразованиях, т. е.
топологически инвариантны.
Развитие идей Пуанкаре, относящихся к
исследованию сложных, геометрических тел—
комплексов, привело к созданию особого раз-
дела топологии — теории групп гомологий,
которые определяются из геометрических
свойств комплексов и являются топологиче-
ским инвариантом. Исчерпывающее доказа-
тельство того, что эти группы действительно
топологически инвариантны, было получено
лишь впоследствии. Пуанкаре i ввел также
фундаментальные группы и установил их то-
пологическую инвариантность. Доказательство
того, что эти группы представляют собой то-
пологический инвариант, довольно простое.
Об этих группах речь пойдет ниже, в § 1
настоящей главы, здесь мы остановимся лишь
Топологические инварианты	151
на доказательстве теоремы 1 о топологической
инвариантности линейной связности.
Линейная связность топологического про-
странства М состоит в том, что для двух про-
извольно взятых в нем точек Р и Q существу-
ет связывающий их путь. Топологическое
пространство, содержащее хотя бы две точки,
которые нельзя соединить путем, является ли-
нейно несвязным.
Рис. 83
Доказательство теоремы 1. Чтобы доказать
линейную связность пространства М', нужно
для любых двух его точек Р' и Q' установить
существование в М' связывающего их пути.
М и М' — топологически эквивалентные про-
странства, т. е. между ними существует го-
меоморфизм f-.M—нИ'. Ввиду взаимной од-
нозначности отображения f пространства М на
все пространство М' точки Р' и Q' имеют в
пространстве М по одному прообразу Р и Q:
f(P)=P',	f(Q)=Q'.
Предполагая, что пространство М связно,
мы тем самым допускаем, что для точек Р и-
152
Многообразие геометрии
Q существует непрерывное отображение g
отрезка / = [0,1] = {f | 0 t 1}	(т. е.
множества всех — рациональных и иррацио-
нальных— чисел между 0 и 1) в пространство
М: g : I —>М, для которого g (0) = Р,
g(l) = Q.
Если вслед за отображением g проделать
непрерывное отображение f, то в результате
получится естественно непрерывное отображе-
ние, которое имеет вид:
f g-1—^М' ,
причем
Л g(O)=f(g(O))=f(P)=P' и f g(l) =
= f(g(i)) = f(Q) = Q'.
Это и будет путь, соединяющий Р' с Q'.
При несколько более внимательном рас-
смотрении этого несложного доказательства,
в котором используются определения пути и
связности, ясно, что в данной теореме доста-
точно тодько непрерывности отображения без
требования топологичности. В качестве Р и
Q можно взять любые прообразы точек Р' и Q'.
Соответствующая теорема гласит: непре-
рывный образ связного топологического про-
странства также связен. Так называемый об-
раз здесь — это преобразованная отображе-
нием геометрическая фигура.
§ 1-
Группы гомологий
Пуанкаре с целью изучения геомет-
рических свойств фигур рассматривал их как
объединение очень простых элементарных
Топологические инварианты
153
фигур — симплексов. Сложные фигуры, по-
строенные из симплексов, называются ком-
плексами. В евклидовом пространстве R3 сим-
плексом, имеющим нулевую размерность,
является точка, одномерным симплексом —
прямолинейный отрезок, двумерным — тре-
угольник (включая его внутренние точки),
трехмерным — тетраэдр (включая внутренние
точки). Симплексы в пространстве R3 одно-
значно определяются своими вершинами. Так,
например, двумерный симплекс представляет-
ся тройкой точек (аоащ), в то время как
трехмерный симплекс — четверкой своих
вершин (aoata2a3).
Рис. 84
В случае двух измерений три вершины не
должны располагаться на одной прямой, по-
скольку тогда не получается двумерного сим-
плекса, а в трехмерном случае четверка вер-
шин не должна принадлежать одной плос-
кости.
Как мы уже говорили, сложная фигура,
или комплекс, подобная той, что изображена
на рис. 85, представляет собой объединение
составляющих ее симплексов, однако она не
является чем-то беспорядочно «сваленным в
кучу» без каких-либо условий.
154
Многообразие геометрии
Прежде чем привести это объединение
симплексов в систему, обозначим их через x't
(где г — размерность симплекса, a i — номер
r-мерного симплекса, поскольку их, вообще
говоря, много). Рассмотрим в этих обозначе-
ниях приведенный двумерный симплекс: х2 =
= (a6aia2), тогда хг= (аов1),ло= (aiO2),	=
= (а2ао) — это одномерные симплексы. При-
надлежность каждого из этих симплексов сим-
плексу х2 обозначают через х2 > х\, далее
х\> х° == (во) и т. п.
Рис. 85
Условия построения комплекса К следую-
щие:	V
1) если симплекс хт принадлежит ком-
плексу К, то комплексу К принадлежит каж-
дый соседний с ним симплекс;
Г S
2) если Xi и Х2 — симплексы, одновремен-
но принадлежащие комплексу К, то множе-
ство их общих точек пересечения также явля-
ется симплексом, принадлежащим К.
Множество симплексов, удовлетворяющих
этим двум условиям, называют комплексом,
или геометрическим комплексом. Фигура, изо-
браженная на рис. 86, не является комплек-
сом.
Тетраэдр является симплексом. В то же
время множество симплексов на его поверхно-
сти, которое наряду с каждым симплексом со-
Топологические инварианты
155
держит и соседние с ним симплексы, представ-
ляет собой комплекс. Разные симплексы вхо-
дят в это множество как составные эле-
менты * **.
Множество точек всех симплексов, входя-
щих в комплекс, называют полиэдром. Ком-
плекс, состоящий из симплексов, размерность
которых не превышает двух, — это по суще-
ству' дела многогранник. Симплекс с его пря-
молинейными ребрами и гранями является ли-
нейкой фигурой? Взять в качестве объекта
изучения лишь многоугольники и многогран-
®1	02
Рис. 86
ники — это значит ограничиться рассмотрени-
ем весьма узкого класса фигур. Поскольку в
тополог ии гомеоморфные фигуры считаются
одинаковыми, то и фигуры — симплексы, —
изображенные на рис. 87, можно рассматри-
вать как равные фигуры. Вторая из этих го:
меоморф’ных фигур не является линейной и
называет ся клеткой **. Множество клеток, от-
* Здесь уместно подчеркнуть, что комплекс — это
множество симплексов, а не точек, из которых они со-
стоят.
** В современной литературе часто приводится бо-
лее общее определение клетки и клеточного комплекса.
Под r-мерной клеткой понимают образ r-мерного сим-
плекса при отображении, которое является непрерыв-
ным на границе и топологическим внутри симплекса.
156
Многообразие геометрии
вечающее упомянутым выше условиям ком-
плексов (1) и (2), называют клеточным ком-
плексом. Таким образом, наряду с симплици-
альным комплексом, который состоит из сим-
плексов, при изучении криволинейных фигур
рассматривают клеточные комплексы, образо-
ванные из клеток. Например, сферическая по-
верхность гомеоморфна поверхности тетраэд-
ра, которая, как мы видели, является симпли-
циальным комплексом. Благодаря топологи-
ческому соответствию этому комплексу соот-
ветствует на сфере клеточный, или криволи-
нейный, комплекс.
Рис. 87
Хотя клеточные комплексы — комплексы,
тем не менее эти геометрические фигуры при-
надлежат довольно узкому кругу, и в опре-
деленном смысле можно сказать, что это прос-
тые фигуры. В общем случае топологическое
пространство может быть устроено исключи-
тельно сложно для восприятия. Можно ска-
зать, что чересчур сложные фигуры возникают
в основном в бесконечных конструкциях, ис-
следование которых относится порой уже к
области патологии. Мы коснемся этого позже.
Теорию же комплексов можно считать доста-
Топологические инварианты
157
точно доступной, поскольку составляющие их
элементы — это симплексы. Тем не менее их
геометрические свойства имеют глобальный
характер, структура комплексов достаточно
сложна, и их исследованию в настоящее вре-
мя посвящена специальная область топологии.
Для изучения комплексов Пуанкаре ввел
группы гомологий, определение которых осно-
вано на так называемом отношении инцидент-
ности, т. е. на знании того, входит или нет ка-
кой-нибудь один симплекс в состав границы
другого симплекса. Как отмечалось, граница
двумерного симплекса (ада^) состоит из трех
одномерных симплексов (ata2), (df^io), (aoai)-
Переходя к трехмерным симплексам, прежде
всего необходимо задать ориентацию сим-
плекса, которая определяется очередностью
(порядком указания) их вершин, например,
(a0aia2a3) •
Если изменить порядок вершин следующим
образом: (aia0a2a3), то в результате получим
симплекс с противоположной ориентацией
(противоположного знака): (ataoa2a3) =
= — (a0aia2a3).
Рис. 88
158
Многообразие геометрии
Если же изменить порядок еще раз, то
знак меняется на прежний: (а^ОоОз) —
= —	== (Яо^Юзйз) •
В качестве границы ориентированного тет-
раэдра (Ооа^аз), по определению, берется
следующая комбинация четырех ориентиро-
ванных двумерных симплексов: d(aaaia2ai) =
= (tZfCZs^Zs) — (йоОг^з) “Ь (О0Л1Л3) — (аоа^г) •
Знак суммы (или разности) здесь, разу-
меется, не является знаком обычной суммы
(или разности) чисел. В данном случае он
означает ориентацию, с которой входит в гра-
ницу тетраэдра та или иная его двумерная
грань. Дальше мы увидим, что этот знак
будет символизировать операцию сложения
в группе.
Определение границы д несколько облег-
чается, если ввести следующее выражение:
з
d(a0aia2a3) =2 (—1)* (ао ... аг - аз),
/=0
где At Означает, что вершина at исключена,
т. е. (—1)* (а0...&1 ...аз) означает двумер-
ный граничный симплекс, лежащий против
вершины at с ориентацией, зависящей от того,
на .каком (четном или нечетном) месте нахо-
дится at.
Теперь, опираясь на понятие границы д,
можно определить группу гомологий комплек-
са К. Мы видим, что определение границы д
симплекса по своему содержанию формально:
в нем не рассматриваются множества точек,
из которых состоят симплексы, речь идет
только о последовательностях (ао... аз) с
поочередно выкинутыми вершинами.
Говоря о комплексе как о множестве сим-
плексов, из которых он состоит, мы учитыва-
Топологические инварианты
159
ем одновременно и их инцидентности, полагая
при этом xr> xrt~l, если (г— 1)-мерный сим-
плекс входит в состав границы симплекса
х'. Отношение инцидентности порождает во
множестве симплексов упорядоченность. Сле-
дует отметить, что на этом пути были построе-
ны абстрактные структуры, в частности, струк-
туры, состоящие из абстрактных симплексов с
абстрактным отношением инцидентности. Ос-
танавливаться на этом сейчас мы не будем.
Прежде чем исходя из комбинаций входящих
в комплекс симплексов строить группы гомо-
логий, следовало бы сначала познакомиться с •
общематематическим понятием группы, в част-
ности с понятием коммутативной (абелевой)
группы. Однако детальное знакомство с груп-
пой в рамках этой книжки довольно затруд-
нительно, и представление об этом важном
математическом понятии, которое является, по
мнению многих, трудным для понимания,
здесь будет дано на конкретном примере.
Рассмотрим (рис. 89) замкнутую ломаную
из семи прямолинейных звеньев: с* = (aoat)4-
+ (в}вг) + ••• 4" (вево).
Придадим каждому одномерному симплек-
су направление при помощи вершин и опреде-
лим его границу.
Мы имеем: дс1 = d(aoet)4-...4-d(a6a0) =
= (ai) — (во) 4" (вг) — (fli) 4~ — 4" (ao) —
- (в6) = 0.
Разумеется, что в данном случае знак сло-
жения и знак вычитания не означают обыч-
ных операций сложения и вычитания. Ранее
в § 2 главы 6, говоря о замкнутых кривых ли-
ниях на торе и упоминая при этом о сложе-
нии, мы также вкладывали в это смысл one-
160
Многообразие геометрии
рации в некоторой абелевой группе. Формаль-
ная сумма симплексов одной и той же размер-
ности называется цепью. Символ 0 в формуле:
(во) — (Оо) =0 — это тоже не обычный ноль
в числовом ряду. Он представляет собой
нулевой элемент абелевой группы.
Рис. 89
Цепь, граница которой равна ,0, называет-
ся цшаюм. Так, выше упоминавшаяся одно-
мерная цепь с1 является циклом. Если цикл с1
в то же время является границей некоторой
двумерной цепи, то говорят, что он гомоло-
гичен нулю и обозначают с1 » 0. Хотя в на-
шем случае цикл с* гомологичен нулю, сам
по себе он не является нулевым элементом.
Поэтому здесь используется знак приближен-
ного равенства.
Напишем для комплекса на рис. 89 дву-
мерную цепь следующего вида:
с2 = (aoai&i) + (biai&a) +	+
+ (^2а2аз) + (^2аЗал) +	4- (Ь^г^б) +
+ (bjagae) + (Ь1Двао)-
Вычислим его границу:
Топологические инварианты	161
дс2 — (а0Я1) 4” (#1^2) 4” (Яг^з) 4~ (#зЩ) 4“
4“ (а40б) 4“ (а5^б) 4“ (Дбао)
Отсюда заключаем, что цикл с1 является
границей дс2 цепи с2, т. е. ив самом деле
с1 « 0. Если говорить более наглядно, то
замкнутая кривая линия с{ гомологична нулю
(с1 « 0), когда она ограничивает часть по-
верхности комплекса с2 (ограниченная часть
не обязательно диск). Далее, если две замк-
нутые кривые линии с1! и с12 удовлетворяют
условию: с1! — сх2 ~ 0, то о них говорят, что
они гомологичны друг другу: сЦ « с'2 и счита-
ются эквивалентными элементами.
Если с1 представляет собой цикл, т. е.
дс* = 0, то и- д (2с1) = д (с1 + с1) = 0, т. е.
2с1 представляет собой цикл. Внешний вид
удвоенной кривой 2 с1 совпадает с исходной
кривой с1, и представление кривой как суммы
двух таких же кривых вызывает сомнение: име-
ет ли это хоть какой-нибудь геометрический
смысл. Однако приведенный ниже пример
кривой на проективной плоскости должен раз-
веять это сомнение.
Проиллюстрируем вышесказанное на при-
мерах сферы, поверхности тора и проективной
плоскости. Согласно теореме Жордана любая
простая замкнутая кривая линия с1 на сфе-
рической поверхности является границей двух
областей поверхности. Поэтому с1 « 0. Отсю-
да можно получить, что одномерная группа
гомологий Hi (S2) * на сфере S2 тривиальна—
Hi (S2) = 0. Равенство группы Hi (S2) нулю
означает, что она состоит из единственного —
(нулевого) элемента.
* Определение группы гомологий приведено автором
в послесловии.
11 Д-41
162
Многообразие геометрии
Однако на поверхности тора взятые кривые
cli и с*2 не являются границей части поверхно-
сти. Поэтому с'1^0, с*2^0. Помимо них на
торе существует много других замкнутых кри-
вых (рис. 90), не гомологичных нулю. Напри-
мер, кривая с, для которой, заметим, справед-
ливо С — с‘1 — С*2 « 0 ИЛИ С « с'| + С12.
Вообще для любой замкнутой кривой линии
с на поверхности тора можно доказать
с « тс\ + пс'
Поэтому, взяв два цикла сЦ, с'г, через них
можно выразить всю одномерную группу го-
мологий //1(Р)=2ф2. Здесь через Z
обозначена группа всех целых чисел (относи-
тельно сложения), а знакфиспользован для
выражения прямой суммы групп. Количество
экземпляров Z, входящих в Яь в случае тора
Г2 оно равно 2, называется одномерным чис-
лом Бетти. Для сферической поверхности од-
номерное число Бетти равно 0.
На Проективной плоскости Р2 цикл а не
является границей. Однако полная окруж-
Рис. 90
Топологические инварианты
163
ность, соответствующая циклу 2а, ограничи-
вает всю «внутреннюю» часть проективной
плоскости. По этой причине, как мы уже упо-
минали об этом, а^О, но 2а « 0. Рассмотрим
другую замкнутую кривую, например кривую
b (рис. 91). Кривая а+Ь ограничивает поло-
вину плоскости. Поэтому а + й « 0, или
Р
Рис. 91
Ь « — а « а. Можно также сказать, что
вообще любой негомологичный нулю цикл на
проективной плоскости гомологичен а. Поэто-
му одномерная группа гомологий проективной
плоскости состоит из двух элементов
Я,(Р2) = {0, 1}, где нулевому элементу груп-
пы соответствуют одномерные циклы, гомоло-
гичные нулю, а единице—все остальные цик-
лы, которые, напомним, гомологичны а. Эта
группа не содержит подгруппы, изоморфной
группе целых чисел, и поэтому одномерное
число Бетти для проективной плоскости рав-
но 0.
11
164
Многообразие геометрии
§ 2.
Топологический характер групп
гомологий
Две структуры, приведенные на
рис. 92, как точечные множества одинаковы.
Мы сейчас не будем касаться трехмерной об-
ласти внутренних точек, а рассмотрим лишь
точки на поверхности этих фигур. К одной из
фигур добавлена вершина. Как комплексы К\
и Кг эти фигуры отличаются, поскольку со-
стоят из неодинакового числа симплексов. Од-
нако как множества точек они равны IKil =
= |*2|.
Очевидно, что одно и то же множество то-
чек может быть разбито в комплексы различ-
ными способами. Разбиение фигуры на со-
ставляющие ее симплексы называют триангу-
ляцией, а саму фигуру, которая допускает
триангуляцию, называют полиэдром. Группа
гомологий полиэдра хотя и строится на базе
линейных комбинаций симплексов конкрет-
ной триангуляции, однако устройство группы
не зависит от вида данной триангуляции.
Группа гомологий однозначно определяется
самим полиэдром. Группы гомологий можно
Рис. 92
Топологические инварианты
165
определить и для фигур, не являющихся по-
лиэдрами, при помощи более абстрактных ме-
тодов, но в данной работе мы этих вопросов
не касаемся.
Для того чтобы установить топологическую
инвариантность группы гомологий, необходи-
мо доказать, что если два комплекса К\ и Кг
гомеоморфны, то их группы гомологий Н(К\)
и Н(К2) изоморфны. Это довольно сложно,
тем не менее Александер привел общее дока-
зательство этого факта. Из этой теоремы сле-
дует, что так как число Бетти определяется
из группы гомологий, то оно также является
топологическим инвариантом.
Группы гомологий для сферы, поверхности
тора, а также для проективной плоскости, от-
ражая их принципиально различные геометри-
ческие свойства, не изоморфны. Вообще, обна-
ружив для каких-нибудь двух фигур в резуль-
тате вычислений, что их группы гомологий
различны, мы сразу можем сделать вывод,
что между рассматриваемыми фигурами не
существует гомеоморфизма. С другой сторо-
ны, вообще говоря, группы гомологий часто
могут совпадать и тогда, когда гомеоморфизм
отсутствует. Поэтому нельзя делать оконча-
тельные выводы о полиэдрах только на осно-
вании совпадения их групп гомологий. Однако
если рассматривать только поверхности, мож-
но отметить одну особенность их групп гомо-
логий. Если группы гомологий одинаковы, то
мы имеем дело с гомеоморфными поверхностя-
ми. Мы уже говорили, что топологические ви-
ды поверхностей были определены в XIX веке.
В то время группа гомологий еще не была оп-
ределена, но уже было известно понятие так
называемого числа связности. Впоследствии
166	Многообразие геометрии
были разработаны весьма специальные топо-
логические методы. Были определены такие
алгебраические структуры, как гомотопиче-
ская группа и уже знакомая нам группа го-
мологий. Раздел математики, занимающийся
теорией алгебраических структур, которые ин-
вариантны при гомеоморфизмах, выделился в
особую область топологии — так называемую
алгебраическую топологию. Исследование ал-
гебраических свойств групп гомологий приве-
ло к созданию в рамках алгебры нового раз-
дела — гомологической алгебры.
§ з.
Фундаментальные группы
и гомотопия
Пуанкаре ввел в круг исследований,
помимо группы гомологий, также фундамен-
тальную группу. Это являющееся топологиче-
ским инвариантом понятие наглядно и вместе
с тем имеет глубокий смысл. Мы постараемся
пояснить этот вопрос доступным образом на
конкретных примерах.
Если замкнутая кривая линия а ограничи-
вает на поверхности двумерный диск, т. е. го-
меоморфную кругу область, то говорят, что
эта кривая гомотопна нулю: а ~ 0. Любая
простая замкнутая кривая а на сфере, как мы
уже говорили в связи с группами гомологий,
ограничивает двумерный диск. Эта кривая а
таким образом не только гомологична нулю
(а « 0), но также и гомотопна нулю (а ~ 0).
Между тем на поверхности F (в правой
части рис. 93) замкнутые кривые а и b не ог-
раничивают двумерных дисков. Следователь-
Топологические инварианты
167
но, они не гомотопны нулю, и это условно
обозначают как а Л' О, Ь'Ч'О. Замкнутая ли-
ния b ограничивает «половину» поверхности F.
Поверхность по этой линии разрезается на две
части, из которых ни одна не гомеоморфна
диску. Таким образом замкнутая линия Ъ,
являясь границей куска поверхности, гомоло-
гична нулю b « 0. На этом примере прояви-
лось различие между группами гомологий и
фундаментальными группами.
Выясним теперь, гомотопна ли нулю замк-
нутая кривая а на сфере с «дыркой», т. е. на
сфере, из которой вырезан открытый двумер-
ный диск с границей d (см. фигуру в левой
части рис. 93). Рассмотрим сначала ограни-
ченную кривой ту часть сферы а, из которой
вырезан диск. Граница этой части сферы со-
стоит не только из линии а, но и из линии d.
Поэтому на основании теории гомологий име-
ем а—dot0 или axd, т. е. афО. Противо-
положная же часть сферической поверх-
ности гомеоморфна двумерному диску. В са-
мом деле, нетрудно представить резиновую
пленку, растянутую по сфере. Таким образом,
168
Многообразие геометрии
мы видим, что на поверхности сферы с «дыр-
кой» замкнутая кривая а гомотопна нулю:
а~0, и уж, безусловно, а«0. Здесь уместно
сказать, что поверхность, на которой любая
замкнутая кривая гомотопна нулю, называет-
ся односвязной. Приведенная на рис. 93 по-
верхность F не является односвязной. Евкли-
дова плоскость /?2, напротив, односвязна.
Нетрудно видеть, что наличие односвязно-
сти или ее отсутствие является свойством то-
пологически инвариантным. Доказательство
этого достаточно длинно, но основная его
идея совпадает с идеей доказательства топо-
логической инвариантности линейной связно-
сти пространства. Топологическая инвариант-
ность свойства односвязности играет важную
роль как в геометрии, так и в анализе.
Определение фундаментальной группы ос-
новано на классификации всех замкнутых
кривых линий, при которой в один класс по-
падают все так называемые гомотопные меж-
ду собой члинии. Фундаментальная группа мо
жет быть1 определена не только для кривых
поверхностей, но и для произвольного связно-
го топологического пространства.
Рис. 94
Топологические инварианты	169
Пусть точка О — произвольная фиксиро-
ванная точка в топологическом пространстве
М. Если взять теперь две замкнутые кривые
линии а и 6, исходящие из точки О, то линия
(путь), проведенная сначала по кривой а и
затем продолженная по кривой 6, представля-
ет собой также замкнутую кривую, которую
обозначают через ab. Хотя кривая ab, подобно
кривой с на рис. 94, может иметь промежуточ-
ные точки самопересечения, она все равно
представляет собой кривую линию, которая,
заметим, замыкается в точке О. Представим
себе еще одну (особую) замкнутую кривую
линию, проходящую через единственную точ-
ку О. Для только что введенной операции
умножения кривых эта кривая е играет роль
единицы:
ае=а=еа, be=b — eb и т. д.
Конечно, с чисто математической точки
зрения об этом следовало говорить несколько
строже. Не вдаваясь здесь во все подробно-
сти вопроса, постараемся дать математическое
определение гомотопического произведения и
нуля. Это сделать довольно непросто, но при
упрощенном кратком изложении есть риск
упустить нечто существенное, и, очевидно, у
нас другого пути нет.
Рассмотрим окружность S1 и возьмем на
ней некоторую точку Оь Зафиксируем соот-
ветственно некоторую точку О в топологиче-
ском пространстве М и рассмотрим все воз-
можные непрерывные отображения S1 в М;
f, g, h и т. д.^ при которых точка. Oi переходит
в О. При этих отображениях окружность при-
нимает в пространстве М вид замкнутых кри-
вых линий. Роль единичного элемента играет
ПО Многообразие геометрии
непрерывное отображение, при котором вся
окружность S* переходит в точку О е : S*—►<?.
Обозначим замкнутую кривую линию S*
через а. В таком обозначении е(а) = О.
Определим теперь исходя из непрерывных
отображений fug окружности а в М произ-
ведение. замкнутых кривых линий f(a) •
 g(a)- 'Для этого окружность а разделим
точками 01 и О' на две полуокружности
(рис. 96). Непрерывное отображение, соответ-
Рис. 96
Топологические инварианты
171
ствующее произведению кривых f(a) g(a),
строится так: первая полуокружность отобра-
жается в f(a) (при этом О] и О' переходят
в О), а вторая полуокружность — в g(a). Го-
воря попросту, чтобы получить произведение
путей f(a) • g(a), нужно первую полуокруж-
ность намотать на путь f(a), а вторую — на
путь g(a).
Далее, говорят, что замкнутая кривая ли-
ния f(a) гомотопна нулю, если отображение
f : а—>-f(a) можно расширить до непрерыв-
ного отображения в пространство М всего
диска D, описанного окружностью а *. Здесь
мы имеем в виду, что в то время как замкну-
тая кривая линия а описывает двумерный
диск D, ее образ — замкнутая кривая линия
f(a) описывает непрерывный образ диска —
фигуру f(D).
Рассмотрим теперь тор Т, который образо-
ван из прямоугольника ABCD посредством
склеивания противоположных сторон: AD =
О	И
Рис. 97
* Точное определение гомотопической эквивалент-
ности двух путей можно получить из определения го-
мотопической эквивалентности двух отображений, ко-
торое дано в следующем разделе.
172
Многообразие геометрии
= ВС, АВ = DC (рис. 98), и замкнутые на
нем линии а и Ь.
В соответствии с вышеприведенным опре-
делением замкнутой кривой линии а и b мож-
но выразить при помощи непрерывных ото-
бражений fug окружности S1—при кото-
рых О—~ В — С = Г).
Если вдоль границы прямоугольника за-
дать направление обхода, например, как это
показано на рис. 98, против часовой стрелки,
то замкнутая кривая линия, соответствующая
этому обходу, определится как аЬа~[Ь~1. Это
выражение есть произведение замкнутых кри-
вых, причем а”1 и Ь"1 — это замкнутые кри-
вые линии с противоположными а и b направ-
лениями. Замкнутая кривая aba~}b~[ ограни-
чивает на поверхности четырехугольную
фигуру, являющуюся двумерным диском. Сле-
довательно, этот путь гомотопен нулю:
aba~lb-{ ~ 0. Отсюда следует, что в фунда-
ментальной группе тора ab (Ьа)~' = е и ab =
= Ьа. Если говорить здесь несколько подроб-
нее, то необходимо, например, было доказать,
что для любой произвольно взятой замкнутой
кривой линии а в фундаментальной группе
выполняется аа[ = е, т. е. что путь аа~' го
Топологические инварианты
173
мотопически эквивалентен нулю. Об этом
можно прочитать в соответствующем разделе
учебника по топологии.
Устройство фундаментальных групп замк-
нутых кривых зависит от пространства. На-
пример, на замкнутой поверхности рода 2
(рис. 99) достаточно взять четыре замкнутые
линии tii, bi, az, b2, чтобы произвольно взятую
замкнутую кривую можно было выразить по-
средством умножения этих четырех замкнутых
кривых линий.
Фундаментальная группа является тополо-
гическим инвариантом. Обозначается фунда-
ментальная группа, с фиксированной в про-
странстве М точкой О, через щ (Af, О). Вы-
берем в линейносвязных пространствах М и N
по точке О и О'. Если их фундаментальные
Рис. 99
группы oil (Af, О) и Л1 (Af, О') различные, в
силу топологической инвариантности фунда-
ментальной группы можно сказать, что прос-
транства М и N не гомеоморфны.
Фундаментальные группы играют перво-
степенную роль в проблеме узлов, которой,
после того как ее поставил Листинг, было
уделено много внимания и усилий.
Выше мы дали определение кривой, гомо-
топной нулю. Это основное понятие в теории
174 Многообразие геометрии
гомотопий имеет исключительно важное зна-
чение в топологии в целом. Теория гомотопий
наряду с теорией гомологий, представлявшие
собой два основных направления в алгебраи-
ческой топологии довоенного периода, сохра-
нили свое значение и в настоящее время.
В проблеме классификации геометрических
фигур, навеянной программой Клейна, основ-
ной вопрос состоит в том, имеет ли место в
каждом отдельном случае гомеоморфизм про-
странств или нет. Гомеоморфные пространства
рассматриваются как одинаковые простран-
ства. Параллельно по мере дальнейшего разви-
тия теории гомотопий возникла другая важ-
ная проблема — вопрос о том, какие простран-
ства гомотопически одинаковы, а какие нет.
Гомотопически эквивалентные пространства
объединяют в один гомотопический класс.
Говорить об особенностях гомотопической
классификации в целом — дело весьма слож-
ное. Мы постараемся дать здесь лишь в об-
щих чертах характеристику того, что называ-
ется гомотопическим классом. Этот довольно
сложный вопрос попытаемся объяснить на
наглядных примерах.
Гомотопия непрерывных отображений. Два
непрерывных отображения /о и f\ простран-
ства М в пространство N считаются гомотоп-
ными fo ~ fi, если существует семейство не-
прерывных отображений ft : М—>JV, которые
непрерывно меняются в зависимости от пара-
метра t, пробегающего отрезок [0,1], причем
при крайних значениях t = 0, 1 они совпада-
ют с /о и fl.
Обратимся к рисунку. Введем простран-
ство MX I — так называемое прямое произве-
дение пространства М и отрезка / = [0
Топологические инварианты
175
t ^1]. Координаты точек такого простран-
ства представляют собой пары (4, t), где А —
точка пространства М, t — число между 0 и
/. Таким образом, если в М X I рассматривать
подпространство точек (4, t) при фиксиро-
ванном то оно гомеоморфно Af. Говорят,
что пространство Af X / «заметается» прост-
ранством М с течением времени t.
Рис. 100
Более формально можно сказать, что ото-
бражения fQ : М X 0—+N и Л : М X 1—го-
мотопны, если существует непрерывное ото-
бражение F : М X /—такое; что F : М X
Рис. 101
176 Многообразие геометрии
X 0—>JV совпадает с f0, a F : М X 1—+N сов-
падает с fi.
После определения гомотопных отображе-
ний можно сформулировать гомотопическую
эквивалентность двух топологических про-
странств М и N. Предположим, что существу-
ют два непрерывных отображения f : М—и
g : W Af, суперпозиции которых go f :
: Af—и fog : N—гомотопны отображе-
ниям'лйм и соответственно idiy, где id м озна-
чает тождественное преобразование простран-
ства Af на себя, а u/w—соответственно тож
дественное преобразование пространства N.
В этом случае говорят, что пространства М и
W гомотопически эквивалентны или, иначе,
одинакового гомотопического типа. Напомним,
что отображение go f получается в результа-
те последовательного выполнения двух ото-
бражений сначала f, а затем g:
На рис. 103 это проиллюстрировано в со-
ответствии с определением гомотопных ото-
бражений. Здесь F — непрерывное отображе-
Топологические инварианты
177
ние Л! X 1 в Л4, причем на М X О F совпадает
с отображением gof, а на М X 1 — с
В проблеме гомотопической эквивалент-
ности топологических пространств можно ис-
пользовать упоминавшиеся ранее группы
гомологий и фундаментальные группы, кото-
рые являются гомотопическими инварианта-
ми. Следовательно, аналогично тому, как это
было с топологическим отображением, можно
сказать, что если фундаментальные группы
или группы гомологий пространств М и W
различны, то М и Лг гомотопически не эквива-
лентны. Если между М к N имеется топологи-
ческое соответствие f, то с его помощью легко
установить гомотопическую эквивалентность
и f-'Of = idM.
Таким образом, гомеоморфные пространства
гомотопически эквивалентны. Обратно, тре-
угольник и прямолинейный отрезок хотя и го-
мотопически эквивалентны, однако не гомео-
12 ДЧ1
178
Многообразие геометрии
морфны. Размерность пространства есть топо-
логический инвариант, поэтому пространства
разной размерности топологически не эквива-
лентны. Однако размерность не является го-
мотопическим инвариантом. В связи с этим
гомотопическая классификация по сравнению
с топологической классификацией геометриче-
ских фигур является более грубой и прими-
тивной. И если отсутствуют йризнаки гомото-
пической эквивалентности, то, естественно, не
может быть и речи о топологическом соответ-
ствии.
На рис. 104 схематично показано, что в
пределах одного гомотопического класса рас-
полагается несколько различных топологиче-
ских типов; это поясняется подписями к ри-
сунку.
В заключение затронем вопрос о гомотопи-
ческих группах.
В 1935 и 1936 годах в трудах Голландской
академии наук Гуревич (1904—1956) опубли-
ковал работы, в которых впервые ввел гомо-
Рис. 104
Лекция о многообразиях	179
топические группы л/(Л4) топологического
пространства М и подчеркнул их принципи-
альное значение. Следует иметь в виду, что
i — это размерность группы; при i= 1 гомо-
топическая группа Л1(Л1) является фунда-
ментальной группой. Гомотопические группы
являются также гомотопическим инвариан-
том. В устройстве гомотопической группы
находят отражение геометрические свойства *
фигур данного гомотопического типа.
Изучение гомотопических групп интенсив-
но продолжается и в настоящее время, весьма
широко оно ведется и в Японии, но расска-
зать об этом здесь не представляется возмож-
ным.
Глава 8
Лекция о многообразиях
§ 1-
О понятии «многообразие»
Термин «многообразие» (по-англий-
ски manifold), насколько нам известно, был
введен в 1935 году, когда многие еще упо-
требляли термин «множество».
Наиболее ранние работы, в которых встре-
чается идея многообразия, — это исследова-
ния Лагранжа (1736—1813) по динамике. Од-
нако непосредственно идея многообразия бы-
ла рассмотрена Грассманом (1809—1877) в
1840 году в его исследованиях по п-мерным
евклидовым пространствам R", непосредствен-
ное восприятие которых при п > 3 исключено.
Под точкой n-мерного пространства понимают
12*
180
Многообразие геометрии
набор из п отдельных чисел (хь х2, ..., хп), а
под n-мерным пространством — множество
всех таких точек, когда числа xi пробегают
независимо все возможные значения. В евкли-
довом пространстве к тому же между любыми
двумя точками х = (х\, х2, ..., хп) и у =
(yi, У2, •••, Уп) вводится расстояние по фор-
муле:	___________
d(x,y)=]f-£ (Xj._ У1)2^0.
i—1
Рассмотрим в пространстве Rn множество
точек, которые удовлетворяют условию хЛ=0,
и пусть из остальных чисел (хь х2) ..., хп i)
каждое число xt меняется независимо от дру-
гих. Это множество составляет (n—1)-мерное
евклидово пространство Rn \ которое называ-
ется гиперплоскостью в пространстве Rn .
Другим интересным примером в п-мерном
евклидовом пространстве является множество
точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению
Х1+Х?2 + - + Хп = 1-
Это множество точек представляет собой
(п—1)-мерную сферу единичного радиуса с
центром в начальной точке О = (0, 0, ... ,0).
Множество же точек с координатами, удовлет-
воряющими неравенству
х? +Х1+ ...	1,
является n-мерным единичным шаром, или,
как еще говорят, n-мерным диском.
Евклидово пространство Rn — это лишь
частный случай n-мерного многообразия.
Представление об n-мерном многообразии
как обобщение понятия кривой поверхности
впервые появилось в работах Римана. Риман
Лекция о многообразиях	181
в своей лекции в Геттингенском университете
в 1854 году «О гипотезах, лежащих в основа-
нии геометрии» выдвинул общую идею
n-мерного многообразия (риманово простран-
ство). Впоследствии Пуанкаре дал опреде-
ление, основанное на общем требовании
однородности окрестностей. Конкретно он оп-
ределял n-мерное многообразие как связное
топологическое пространство, каждая точка
которого обладает окрестностью, гомеоморф-
ной диску в n-мерном евклидовом простран-
стве. Сферическая поверхность S" \ задавае-
мая уравнением
п 2
S Xi = 1,
i-1
представляет собой замкнутое (п—1)-
мерное многообразие. В настоящее время
определенное таким образом многообразие
называют топологическим многообразием.
Наряду с ним существуют определения мно-
гообразий других типов, таких, как комбина-
торное многообразие, PL-многообразие, диф-
ференцируемое многообразие и др. Эти
определения отражают особенности структур
многообразий, а также специфику методов
исследования. Между тем остается еще много
старых нерешенных вопросов.
§ 2.
Гипотеза Пуанкаре
Существует известная гипотеза
Пуанкаре: если трехмерное замкнутое много-
образие М односвязно (т. е. его фундамен-
тальная группа состоит только из единичного
элемента), то оно гомеоморфно трехмерной
сфере.
182
Многообразие геометрии
Отметим, что если фундаментальная груп-
па Jti(Af) равна 0, то и одномерная группа
гомологий	также равна 0.
Трехмерная сфера S8 определяется как
множество точек в четырехмерном евклидо-
вом пространстве R4, координаты которых
удовлетворяют условию: х* + х|+*з + х4 =
= 1. Легко видеть, что «1 (S3) = 0. Предпо-
ложение Пуанкаре состоит, собственно, в том,
что условие ni(Af) = 0 является определяю-
щим свойством именно трехмерной сферы S3*.
Несмотря на многочисленные исследования в
области геометрии, эта задача остается нере-
шенной. Если в конце концов эта задача по-
лучит свое положительное решение, в проб-
леме изучения трехмерных многообразий
будет найден ряд кратких и четких ответов и,
по-видимому, параллельно будут решены мно-
гие другие вопросы. С другой стороны, ясно
также, что если решение этой задачи будет
отрицательным, то изучение вопроса о гео-
метрических свойствах трехмерных многооб-
разий пойдет по исключительно сложному пу-
ти. В отличие от задачи о четырех красках
решение данной задачи имеет большое значе-
ние для развития математики.
Рассмотрим полиэдр М = |К|, разбиение
которого на симплексы дает комплекс К. Ес-
ли теперь в этом комплексе К взять произ-
вольно вершину х°, то все симплексы комп-
лекса, содержащие эту вершину х°, вместе с
их гранями образуют множество, которое на-
зывается звездой комплекса в точке х° и
обозначается через St(x°). Звезда представ-
* Разумеется, если М — трехмерное замкнутое мно-
гообразие.
Лекция о многообразиях
183
ляет собой подкомплекс комплекса К. Если
подвергнуть звезду дальнейшему подразделе-
нию, то как множество точек она останется
прежней. Но как комплекс звезда имеет после
подразделения другой вид. Этот новый ком-
плекс обозначим через Sd(St(x0)); Sd — от
английского слова subdivision — подразделе-
ние. Если для любой вершины х° можно вы-
брать такие подразделения звезды Sd(St(x0))
и n-мерного симплекса Sd(x*), что получен-
ные комплексы равны, то комплекс К назы-
вают комбинаторным п-мерным многообра-
зием. (По определению два комплекса равны,
если множество всех симплексов одного из
них можно привести во взаимно однозначное
соответствие с множеством симплексов дру-
гого, при котором сохраняется размерность
симплексов и не нарушается инцидентность.
Полиэдры равных комплексов (или комплек-
сов, которые можно сделать равными после
подразделений), безусловно, гомеоморфны
между собой; справедливость обратного
Рис. 105
184
Многообразие геометрии
утверждения совершенно неясна.) Пусть ком-
бинаторное n-мерное многообразие М входит
в гомотопический класс n-мерной сферы 5я,
т. е. гомотопически эквивалентно п-мерной
сфере. Известная гипотеза Пуанкаре гласит:
гомотопически эквивалентное n-мерной сфере
Sn многообразие должно быть и гомеоморф-
ным Sn. Если будет доказано, что гомотопи-
ческий тип n-мерной сферы Sn действительно
совпадает с топологическим типом, то тогда
отпадет необходимость в рассмотрении гомо-
топически эквивалентных сфере многообразий.
Эта гипотеза Пуанкаре была доказана для
случая (Столлингс. Полиэдральные го-
мотопические сферы. Бюллетень американ-
ского математического общества, 1960 г.).
Как это ни удивительно, но для случаев
малых размерностей п == 3,4 проблема по-
прежнему пока не решена.
Смейл (р. 1930) — известный математик,
несколько раз, кстати, бывавший в Японии,
также дал решение гипотезы Пуанкаре для
случая 'м 5. Однако его доказательство
справедливо для дифференцируемых много-
образий.
§3.
Различные направления топологии
1.	Общая топология. Общая топо-
логия существует с тех пор, когда в процессе
развития канторовской теории множеств была
создана теория точечных множеств в евклидо-
вом пространстве. Евклидово пространство —
это пространство, в котором введено расстоя-
ние, поэтому оно как множество точек приобре-
Лекция о многообразиях
185
тает свою топологию. Благодаря этому были
разработаны понятия замкнутого и открытого
множеств, окрестности, точки накопления. Эти
понятия являются фундаментальными в раз-
ных областях математики, в частности в ана-
лизе.
Теория точечных множеств в евклидовом
пространстве послужила исходным пунктом в
развитии общей идеи топологического прост-
ранства. Это началось с работ Фреше (1878—
1973)	1907 года, посвященных Л-простран-
ствам. Фреше, занимаясь исследованиями в
области функционального анализа, определил
пространство при помощи понятия сходимости,
которое составляет ядро всей топологии. Зас-
луга Фреше в том, что он выдвинул основные
положения абстрактного пространства. Это
был отход от привычных рассмотрений в ев-
клидовом пространстве. Точка абстрактного
пространства — это уже не точка в том смыс-
ле, как это понимают в евклидовой геометрии.
Если речь идет о множестве, в котором опре-
делено понятие сходимости, то это уже топо-
логическое пространство. Абстрактная теория
пространства постепенно слилась с тем, что
определяется сейчас как теория топологиче-
ских пространств. Абстрактизация идеи про-
странства открыла путь формированию мно-
гих важных понятий в различных разделах
математики.
Мы приведем имена лишь нескольких ма-
тематиков, которые внесли принципиальный
вклад в разработку фундаментальных поло-
жений топологии.
В 1909 году Рис (1880—1956) исследовал
предельные точки множества. В 1914 году
Хаусдорф (1868—1942) пришел к понятию
186
Многообразие геометрии
системы окрестностей. В 1922 году Куратов-
ский (р. 1896) ввел аксиоматику замыкания,
в 1925 году Александров (р. 1896) построил
теорию открытых множеств, а в 1927 году
Серпиньский (1882—1969) —теорию замкну-
тых множеств.
Около сорока лет назад в противополож-
ность нынешнему состоянию алгебраической
топологии алгебраический аппарат использо-
вался робко. В то время для изучения геомет-
рических фигур применялись весьма нагляд-
ные методы, которые составляли геометриче-
скую топологию теории множеств. Исследова-
ния велись в теории кривых линий, теории
размерности, что в настоящее время включа-
ется в общую топологию.
2.	Комбинаторная топология. При исследо-
вании геометрических свойств мнргообразий
Пуанкаре пользовался разбиением многообра-
зия на элементарные симплексы и, обратно,
создавал из симплексов сложные комбинатор-
ные структуры. При этом Пуанкаре применял
аппарат введенных им групп гомологий. Даль-
нейший прогресс комбинаторной топологии
связан с такими значительными результатами,
как результаты Хопфа (1895—1971), теоремы
о неподвижных точках отображения Лефшеца
(1884—1972), теоремы двойственности Пуан-
каре и Александера. Эти геометрические тео-
рии, представляя собой часть комбинаторной
топологии, являются ветвью алгебраической
топологии. Примерно с 1940 года она получи-
ла значительное развитие в связи с исследо-
ваниями линейных образов комбинаторных
структур, где Уайтхедом (1904—1960) были
получены замечательные результаты. Эта дис-
циплина стала называться PL-топологией.
Лекция о многообразиях
187
О положительном решении общего предполо-
жения Пуанкаре уже говорилось выше. За-
трагивая вопрос определения комбинаторных
многообразий, мы не говорили об известном
основном предположении комбинаторной то-
пологии, которое в 1961 году Мазуром и Мил-
нором (р. 1931) было опровергнуто.
Основное предположение комбинаторной
топологии (Hauptvermutung). В начале XX
века комбинаторная топология особенно силь-
ное развитие получила в Германии, и подав-
ляющее большинство работ публиковалось на
немецком языке. Упоминаемая здесь основная
гипотеза также впервые была сформулирова-
на на немецком языке. И по сей день в раз-
личных трудах ее часто называют по-немецки
Hauptvermutung. Формулировка этого пред-
положения такова: если полиэдры двух ком-
плексов К и К' гомеоморфны, то можно под-
разделить их таким образом, что полученные
в результате этого комплексы .SdK и SdK'
являются равными комплексами.
Комплексы К и К', некоторые подразделе-
ния SdK и Sd'/C которых равны, называются
комбинаторно эквивалентными. При опреде-
лении комбинаторного многообразия, казалось
бы, естественно потребовать, чтобы полиэдр
звезды St (х°) и n-мерный симплекс хя были
гомеоморфны. Однако в общем случае остает-
ся неизвестным, можно ли считать равными
Sd(St(x°)) н Sd(x"). Поэтому удобнее тре-
бовать, чтобы St(x°) и хя были комбинатор-
но эквивалентны.
3.	Алгебраическая топология. Алгебраиче-
ская топология представляет собой область
геометрии, цель которой состоит в установле-
нии топологических инвариантов на основе
188
Многообразие геометрии
применения теории групп. Алгебраическая то-
пология считается ведущей областью тополо-
гии. Упоминавшаяся выше теория гомологий
также относится к этой области геометрии.
К числу других достижений алгебраической
топологии относятся введенные в работах
Александера и Колмогорова (р. 1903) группы
когомологий.
В более позднее время алгебраическая то-
пология сделала резкий скачок вперед благо-
даря работам Стинрода (1910—1971) по тео-
рии когомологий, опубликованным в 1947 го-
ду, и исследованию Серром (р. 1926) в 1951
году спектральных последовательностей.
4.	Дифференциальная топология. Есть об-
ласть топологии, объектом исследований кото-
рой являются дифференцируемые многообра-
зия. Суть дифференцируемого многообразия
состоит в возможности рассмотрения диффе-
ренцируемых функций, заданных на этом мно-
гообразии. Если о дифференцируемых много-
образиях говорить конкретнее, то нужно пре-
жде всего вспомнить, что каждая точка х мно-
гообразия обладает окрестностью U (х), го-
меоморфной открытому диску (или, что все
равно, всему евклидову пространству). Коор-
динаты, заданные в евклидовом пространстве,
посредством гомеоморфизмов переносятся в
окрестность U(x) каждой точки многообра-
зия. Это так называемые локальные коорди-
наты. Так как точка многообразия принадле-
жит одновременно многим окрестностям <7,
то ей соответствует столько же различных си-
стем локальных координат. Многообразие
дифференцируемо, если функции преобразова-
ния от одной локальной системы координат к
другой являются дифференцируемыми. Веро-
Лекция о многообразиях	1^9
ятно, следовало привести конкретные форму-
лы, однако суть, думается, может быть ясна
и без этого.
Непосредственное впечатление от диффе-
ренцируемого многообразия отражено в том,
что часто применяется термин «гладкое мно-
гообразие». Гладкость состоит, собственно, в
том, что окрестность каждой точки можно рас-
ширить дифференцируемым образом. Гладкие
кривы ♦ поверхности, такие, как сфера S2 или
поверхность тора Г2, представляют собой диф-
ференцируемые многообразия. В дифферен-
циальной топологии, таким образом, можно
рассматривать не только непрерывные отно-
сительно точек многообразия отображения,
но и дифференцируемые отображения. Если
к общим условиям гомеоморфизма одного
многообразия на другое добавить условия
дифференцируемости, то получим изоморфизм
их гладких структур, или так называемый
диффеоморфизм.
Другими словами, гладкие структуры диф-
феоморфных между собой дифференцируемых
190
Многообразие геометрии-
многообразий равны. Такие многообразия яв-
ляются главным объектом исследования диф-
ференциальной топологии. Этот раздел гео-
метрии связан с изучением глобальных свойств
многообразий, и мы здесь не будем специаль-
но рассматривать такие вопросы дифференци-
альной геометрии, как кривизна и т. п.
Фундаментальные исследования в диффе-
ренциальной топологии были проведены Уитни
(р. 1907) в 1930 году. Затем активность ис-
следований в этой области несколько снизи-
лась.
В 1952 году Том (р. 1923), лауреат филд-
совской премии 1958 года, опираясь на тео-
рию когомологий и гомотопических групп, по-
строил теорию кобордизмов. Недавно он раз-
работал ставшую широко известной теорию
катастроф.
В 1956 году Милнором были обнаружены
удивительные особенности дифференциальной
структуры, присущие семимерной сфере S7.
Суть открытия Милнора, которое явилось со-
вершенно неожиданным не только с геомет-
рической точки зрения, но и с точки зрения
анализа, в двух словах заключается в том,
что существуют гладкие семимерные сферы S7,
которые между собой гомеоморфны, но не
диффеоморфны. Доказательство этого факта
основано на предварительном изучении свойств
и величин, сохраняющихся при диффеомор-
физмах, последующее сравнение которых при-
вело к выводу о том, что на семимерной сфе-
ре есть различные дифференциальные струк-
туры.
В дифференциальной топологии был полу-
чен ряд глубоких теорем, которые составили
ей славу одной из самых замечательных об-
Лекция о многообразиях	191
ластей всей математики *. Ряд достижений
дифференциальной топологии связан с ком-
бинаторной топологией. Подтверждением это-
го является, например, теорема о том, что
любое дифференцируемое многообразие есть
комбинаторное многообразие.
5.	Геометрическая топология. Это назва-
ние, да и сам раздел топологии отнюдь не яв-
ляется общепризнанным. В исследовании то-
пологических свойств геометрических фигур
существует направление, в котором не приме-
няется алгебраический метод, как это было
при исследовании комбинаторных и гладких
структур, и изучение геометрических свойств
проводится непосредственно. Этим и объясня-
ется название «геометрическая топология».
Основной объект изучения геометрической то-
пологии— это необычные геометрические фи-
гуры в евклидовом пространстве Rn. Слова
«необычные геометрические фигуры» употреб-
лены здесь потому, что, с одной стороны,
речь идет о необычных фигурах, применить
к которым алгебраические методы особенно
трудно, а с другой стороны, эти фигуры до-
статочно геометричны, чтобы иметь о них на:
глядное представление. Направление, которое
исследует необычные фигуры, можно было
бы назвать геометрической патологией фигур.
Инструмент исследования в данном слу-
чае не представляет собой методически разра-
ботанную теорию. Изучение тех или иных гео-
метрических фигур состоит в непосредствен-
* Ряд фундаментальных результатов в области
дифференциальной топологии был получен советскими
математиками Л. С. Понтрягиным, С. П. Новиковым
и другими.
192
Многообразие геометрии
ном наглядном восприятии с последующим
проведением цепочки строго обоснованных
рассуждений. Поэтому здесь необходимы ост-
рота восприятия и правильность логического
вывода. Из последних достижений в изучении
патологических (диких) геометрических фи-
гур можно, например, отметить исследования
трехмерных многообразий. Проблема тополо-
гической классификации трехмерных много-
образий, как это явствует уже из рассуждений
относительно гипотезы Пуанкаре, далека от
своего решения и представляется крайне слож-
ной. Именно со стороны гипотезы Пуанкаре
к задаче классификации подошли вплотную
многие исследователи, получив значительные
результаты. Хорошо известны исследования
Папакирвякопулоса (1914—1976), в результа-
те которых этот «уважаЦтый Пап» решил в
1957 году проблему Дэна (1878—1952) о сфе-
ре. Теорема о сфере формулируется следую-
щим образом: если М — трехмерное ориенти-
руемое многообразие с .иДМ) 0 (двумер-
ная гомотопическая группа), то существует
вложенная в М нестягиваемая (в А1) двумер-
ная сфера S2. Эта сфера S2 как раз и обеспе-
чивает нетривиальность двумерной гомотопи-
ческой группы лг(Л4). Эта теорема вскрывает
еще одну связь между комбинаторной и ал-
гебраической топологией. Надо сказать, что
многие результаты одной области могут быть
в определенной степени взаимно использова-
ны в смежной области, хотя в каждом кон-
кретном случае существо вопроса подлежит
непосредственной проверке.
Что касается только что упомянутой проб-
лемы, то о ее решении, которое опиралось на
ряд вспомогательных лемм, Дэн заявил еще
Лекция о многообразиях	193
в 1910 году, когда он занимался изучением
геометрии трехмерных многообразий. Однако
вскоре Кнезер (р. 1898) и другие указали на
пробелы в приведенном доказательстве. И
только гораздо позже, в 1957 году, было по-
лучено окончательное доказательство.
В вопросах построения трехмерных много-
образий из более простых многообразий Кне-
зером была предложена важная теорема, ко-
торая в 1962 году была улучшена Милнором.
Упоминая об этих теоремах, мы, однако, из-
за их сложности не приводим здесь даже фор-
мулировок.
Из работ, посвященных изучению «диких»
многообразий, следует также отметить после-
довавшую за работами Антуана 1921 года ра-
боту Александера 1924 года, в которой он
предложил конструкцию так называемой рога-
той сферы. Рогатая сфера Александера, ко-
торая изображена на рис. 107, непривычная,
сложная для восприятия дикая фигура *. В
дальнейшем исследования в этом направлении
продолжены Столлингсом, Бингом (р. 1914) и
другими.
Итак, мы дали общий обзор основных об-
ластей топологии. Эти области, безусловно, не
имеют между собой резких границ. Так, ком-
бинаторная топология очень тесно связана
как с геометрической, так и с дифференциаль-
ной топологией. В каждой из указанных об-
ластей применяется аппарат алгебраической
* Точнее было бы говорить не о диких фигурах, а о
диком вложении фигур в пространство. Так, рогатая
сфера Александера гомеоморфна обычной сфере, но го-
меоморфизм фигур в данном случае нельзя распростра-
нить до_гомеоморфизма всего пространства.
13 Д-41
J94
Многообразие геометрии
топологии. Далее следует подчеркнуть, что то-
пологические методы находят применение в
разных областях математики. Так, хотя мы
почти не затрагивали проблемы классифика-
ции геометрических фигур, заметим, что здесь
имеется много вопросов топологического ха-
рактера. Достаточно вспомнить о проблеме
узлов, которая является частным случаем бо-
лее общей проблемы вложения многообразий
в евклидово пространство или в какое-нибудь
другое многообразие. В качестве простого при-
мера можно указать на топологическую зада-
чу размещения замкнутой кривой линии — ок-
ружности — на замкнутых кривых поверхно-
стях рода 1, 2 и т. д.
Топология — это современная ветвь мате-
матики, и изложение содержания любой из
ее областей неизбежно приводит к обсужде-
нию острых проблем, касающихся современ-
ного состояния математики и перспектив ее
развития. Однако поскольку мы вынуждены
ограничиться кратким описанием лишь неко-
торых самых общих математических принци-
пов и идей, то очень многое пришлось сокра-
тить до минимума или опустить вообще.
Послесловие
В заключении книги мы считаем
уместным сделать ряд дополнительных заме-
чаний. Прежде всего несколько слов о цели
данной книги. В процессе размышлений над
тем, как строить изложение начальных глав
этого курса, автор пришел к мысли дать ком-
ментарий истории развития геометрии. Не чув-
ствуя себя специалистом в вопросах истории
в настоящем смысле этого слова, автор по-
этому и не углублялся в подобные проблемы.
Что касается недавнего прошлого, то при ма-
* лейшей возможности автор стремился к тому,
чтобы более или менее новые исследования
нашли хотя бы частичное отражение в дан-
ной работе.
В Японии написано много трудов, посвя-
щенных истории геометрии, особенно периоду
ее расцвета в Англии. Среди них недавно сов-
местно изданный труд Накамуры, Терахамы
и Икэды о началах Евклида. В этой книге сле-
дует выделить весьма ценный, по нашему мне-
нию, комментарий о развитии геометрии в
Англии, включающий в себя материал о со-
временных исследованиях.
В начальных главах книги излагались
главным образом вопросы евклидовой, аффин-
ной, проективной и неевклидовой геометрий.
Это как ра^ те области геометрии, которые
наиболее полно соответствуют системе взгля-
дов, изложенных в Эрлангенской программе
Клейна. Хо^гя содержание Эрлангенской про-
граммы рассматривается в главе 4, мы стара-
лись придерживаться такой формы изложе-
ния каждого раздела геометрии, которая в це-
лом отвечала бы этой программе. В этом ра-
13*
196
Многообразие геометрии
курсе понятие группы 4 является фундамен-
тальным. Тем не менее мы считаем, что в дан-
ном случае достаточно получить не общее
представление о ней, из аксиом, а конкретное,
на примере групп преобразований. Проведе-
ние более тонкого логического анализа отно-
сительно того, каким образом алгебраические
свойства групп связаны с геометрическими
свойствами, представлялось нам здесь слишком
трудным.
Поскольку было решено не применять мно-
го математических формул, то, соответствен-
но нам пришлось отказаться и от аналитиче-
ского подхода, ограничившись лишь геометри-
ческим подходом к рассмотрению ряда воп-
росов.
Поэтому все обычно сводилось к изложе-
нию нескольких исходных, основных теорем и
к пояснениям общего характера, рассчитан-
ным на непосредственное восприятие. Есте-
ственно, трудно ожидать, что могло быть до-
стигнуто полное понимание тех или иных по-
ложений геометрии, потому что обоснованное
доказательство истинности многих из них опи-
рается очень часто на аналитический (алгеб-
раический) метод. Но нам в^жно было оп-
тимальным образом выразить, подчеркнуть
особенности изучения объектов в различ-
ных областях геометрии. Именно в этом
состояла одна из основных целей данной
работы.
Первая глава, посвященная старой геомет-
рии, является подготовительной, так сказать,
вводной главой книги. В частности, в § 3 мы
ввели понятие множества, хотя при этом и не
ставили перед собой :ели подробно изложить
эту теорию. При изложении евклидовой гео-
Послесловие
197
метрик в § 2 мы говорили лишь о тех идеях
и точках зрения, которые в обычных школь-
ных курсах не рассматриваются. В основном
же содержание геометрии евклидовой плоско-
сти, как мы полагаем, общеизвестно. В част-
ности, именно поэтому не рассматривали воп-
рос об устройстве евклидовой плоскости. Вме-
сто этого мы дали комментарий, подводящий
к тезисам Эрлангенской программы.
Во второй главе, посвященной вопросам
аффинной геометрии, был затронут вопрос о
связи евклидовых движений и аффинных пре-
образований.
Говоря о множествах в § 3, мы обращали
особое внимание на то, что это не только мно-
жества точек на плоскости, но множества, со-
стоящие из элементов произвольной природы.
Отмечалась также несомненная важность ис-
следования бесконечных множеств. Следует
отметить, правда, что не было дано кон-
кретных примеров множеств, за исключением
точечных множеств.
Мы старались как можно лучше осветить
вопрос о взаимно однозначном соответствии
между элементами двух множеств. Введение
кардинальных чисел, на наш взгляд, должно
содействовать лучшему пониманию этого во-
проса.
В главе 2 мы остановились на геометриче-
ских свойствах, связанных с длиной. Мы при-
вели также и определение вектора на аффин-
ной плоскости, на которой задана лишь ли-
нейная структура. Что касается аффинных пре-
образований, то можно было обратиться к
простому и обычному в таком случае анали-
тическому изложению, основанному на вве-
дении системы декартовых координат. В этих
198
Многообразие геометрии
координатах аффинное преобразование опре-
деляется выражениями первой степени:
х' — ах + by + е;
у' = сх + dy + f,
где через а, 6, с, d, е, f обозначены веществен-
ные числа, причем ad — be =/= 0. Из формул
преобразования (х, у)—>-(х', у') можно легко
вывести основные свойства аффинного пре-
образования, о которых упоминалось в
книге:
1) это точечное соответствие взаимно од-
нозначно;
2) прямой линии соответствует прямая же.
Аналитический метод упрощает рассужде-
ния, а получаемые посредством математиче-
ских выкладок выводы бесспорны, т. е. пред-
ставляют собой точное знание в отличие от
тех, которые иногда получаются из нагляд-
ных соображений. Клейн считал, что для до-
стижения ^достоверных результатов необходи-
мо применять разные методы, а не избирать
один-единственный. Заметим, что сам он ши-
роко применял аналитический аппарат как
средство описания геометрических свойств.
Мы же, заявив, что будем избегать математи-
ческих формул, тем самым предопределили
ограниченность используемых средств. Предо-
ставляя читателю право решать вопрос о пра-
вомерности и обоснованности такого подхода,
мы со своей стороны полагаем, что подобный
подход к сжатому изложению общего харак-
тера, рассчитанному на интуицию, вполне
оправдан. В этой книге у нас также не было
намерения останавливаться на полемике,
имевшей место в XIX веке, относительно того,
Послесловие
199
какой метод более обоснован — аналитиче-
ский или синтетический. Но подчеркнем толь-
ко, что геометрический подход по своей сути
равносилен аналитическому.
В разделе, посвященном аффинной геомет-
рии, точнее в § 3, мы вводим понятие вектора,
исходя из геометрического образа направлен-
ного отрезка прямой. Разбивая совокупность
всех таких отрезков на классы эквивалентных,
мы приходим к определению вектора как
класса эквивалентных между собой, направ-
ленных отрезков. Это обычный в математике
способ. При определении параллелограмма
мы не пользовались понятием длины, а брали
в качестве условия «попарную параллельность
противоположных сторон».
В разделе о проективной геометрии в гла-
ве 3 мы попытались довести до сведения чи-
тателя вопрос о связи между аффинной и
проективной плоскостями. При этом мы оп-
ределяли проективное преобразование плоско-
сти Р2 как преобразование, при котором вы-
полняются следующие условия:
1) это взаимно однозначное преобразова-
ние точек проективной плоскости Р2;
2) любая прямая на плоскости Р2 отобра-
жается в прямую.
Приведя основную теорему, мы тем самым
подготовили все необходимое для введения
проективных координат. Однако от дальней-
шего подробного изложения мы отказались
вследствие того, что оно оказалось бы чрез-
мерно длинным. Важным, на наш взгляд, яв-
ляется общее геометрическое определение кри-
вой* линии второго порядка, что, как мы по-
лагаем, было несложным для понимания.
Изложение в главе 4 неевклидовой геомет-
200
Многообразие геометрии
рии построено в соответствии с программой
Клейна. Параграф 1 этой главы был посвя-
щен краткому изложению истории следовав-
ших друг за другом открытий в этой области
математики. Более подробное изложение ис-
тории потребовало бы большого объема.
В очерке о гиперболической геометрии
(§ 2) была изложена интерпретация взглядов
школы Клейна.
Геометрический цикл завершается коммен-
тарием к Эрлангенской программе Клейна,
изложенным в § 3.
При рассмотрении топологических вопросов
мы исходили из того, что топология представ-
ляет собой ветвь геометрии, которая принци-
пиально отличается от тех областей геомет-
рии, которые были изложены выше. Глава 5
представляет собой исторический очерк раз-
вития топологии.
В главе 6, по нашему мнению, было воз-
можно объединить две в основе своей отдель-
ные темы\— общие вопросы топологии с
теорией линий и поверхностей. Изложение
существа топологических проблем связано с
необходимостью введения абстрактных мате-
матических понятий. Поэтому мы старались
объяснить суть вопроса на конкретных приме-
рах. Как одно из основных топологических
понятий было введено понятие непрерывности.
А поскольку обычно встречающееся в матема-
тике определение непрерывности опирается на
понятие окрестности, то мы, естественно, дол-
жны были дать разъяснение и этого понятия.
Определение. Пусть f — отображение топо-
логического пространства М, в котором зада-
но расстояние (М — метрическое простран-
ство), в метрическое же пространство У, при
Послесловие
201
котором точка а пространства М переходит в
точку f (а) пространства N. Отображение
f : М—называется непрерывным в точке а
пространства Л1, если для любого числа
8 > О найдется число 6 > 0, такое, что 6-ок-
рестность (а) точки а отображается в 8-ок-
рестность Ue(f (а)) точки f(a) простран-
ства N:
с-
Если условие непрерывности выполняется
для всех точек пространства М, то говорят
что f : Л4—непрерывное отображение.
М	N
Рис. 108
Естественно, величина d-окрестности зави-
сит от значения 8. Доказательство непрерыв-
ности конкретного отображения сводится к
нахождению для произвольно взятой 8-окрест-
ности (7e(f(a)) 6-окрестности точки а, удов-
летворяющей оговоренным условиям. Это и
есть обычно применяемый в математическом
анализе метод доказательства на языке
«8 — 6».
Нами было дано удовлетворительное, на
наш взгляд, определение топологического ото-
бражения, в котором к взаимной однозначно-
202
Многообразие геометрии
сти добавляется условие взаимной непрерыв-
ности. При выяснении вопроса о гомеоморфиз-
ме топологических пространств, т. е. при вы-
яснении вопроса о существовании между ни-
ми топологического соответствия, возникает
очень важная проблема относительно того, ка-
кие геометрические свойства (и каким обра-
зом, если это так) переносятся при непрерыв-
ном отображении пространства. Топология
есть геометрия непрерывности (П. С. Алексан-
дров).
В § 2, рассказывая о кривых линиях, мы
вскользь коснулись одной теоремы, которую
пока удается доказать только для одномер-
ного случая. Для случая нескольких перемен-
ных она представляет проблему и в настоя-
щее время. В частности, здесь имеется в виду
теорема Шенфлиса.
В § 3, касающемся теории поверхностей,
мы говорили о нормальных формах лишь
замкнутых поверхностей. Например, при рас-
смотрении поверхности тора мы, не затраги-
вали вопроса о том, что будет, если из него
вырезать маленький кружок. Обозначив гра-
Рис. 109
Послесловие
203
лицу кружка через w, получим поверхность
aba~lb-lw (рис. 109) с краем w. Аналогично,
если вырезать из проективной плоскости ма-
ленький кружок, то получим поверхность
aaw с краем w, которая есть не что иное, как
лист Мёбиуса.
Рассмотрение топологически инвариантных
свойств в главе 7 было проиллюстрировано
лишь на примере групп гомологий (малой
размерности) и фундаментальных групп. Зна-
комство с группами гомологий осуществля-
лось на простых конкретных примерах. Од-
нако, поскольку эта тема сложна, дадим до-
полнительные пояснения общего характера.
Рассмотрим в комплексе К /-мерные (i = 0,
1, 2, ... , п) ориентированные симплексы х/,
... Выберем в комплексе К конечное чи-
сло /-мерных симплексов. Формально состав-
ленная сумма ориентированных симплексов
с1 = /п1х{ + ... +тах^
где все коэффициенты т& — целые числа, на-
зывается /-мерной цепью *. Множество всех
цепей с произвольными целыми коэффициен-
тами mk составляет группу цепей по сложе-
нию
С\К) = &mk х'}.
* Точнее, i-мерная цепь- это функция, которая
каждому i-мерному симплексу	ставит в соответ-
ствие целое число mk, причем лишь для конеч-
ного числа симплексов х& и mk ( -xlk) = — mk
А формальная линейная сумма — это лишь удобный
вид записи цепи. Сумма двух цепей определяется как
сумма двух линейных форм.
204
Многообразие геометрии
Граница дс1 цепи с* определяется следующим
образом:
а
дс‘ = Хтк дх* .
к-~\ к
Цепь с1, граница которой равна 0 : дс' = О,
называется /-мерным никлом *. Множество
циклов (обозначим его через Z/ (/Q) содержит-
ся в группе £,(/(). Множество Zi(K) явля-
ется группой (/-мерной группой циклов) от-
носительно той же операции сложения. Если
цикл таков, что существует (i + 1)-мерная
цепь d1^', для которой с1 является границей:
ci— ddl+} , то говорят, что с1 гомологичен
нулю: с1 0. Этот момент мы разбирали в
нашей книге на простом примере.
Объединим все циклы, гомологичные нулю,
в один класс Z10. Все остальные циклы, не
гомологичные нулю, можно распределить по
классам так, что в один класс попадают все
циклы, гомологичные друг другу. Множество
таких классов составляет /-мерную группу го-
мологий Н‘(К) комплекса К**.
То, что цепь, ci является границей (/ + 1)-
мерной цепи выражается алгебраически.
* Можно показать, что если цепь с* — граница
цепи delict -dd*+\ то она является циклом
=0.
** Операция в группе — сложение классов z\ | z\
гомологичных циклов — определяется при помощи сум-
мы циклов, представляющих эти классы. Легко пока-
зато, что, если z^z\ и z^z^, то zx -|- z^zx | г2.
Особенно важно, что несмотря на то, что группы
гомологий конструируются на базе комплекса К, для
всех триангуляций данного полиэдра их t-мерные груп-
пы гомологий между собой изоморфны.
Послесловие
205
Геометрически это, однако, означает, что с1
является границей некоторой (/ 4- 1)-мерной
части комплекса К.
Следует сказать, что в отличие от групп
гомологий фундаментальные группы, которые
рассматривались в § 3, некоммутативны, т. е.
операция умножения в них не перестановочна
(есть случаи, когда ab Ьа), в то время как
в группе гомологий операция сложения пере-
становочна: zx + z2 = z2 + zx.
При объяснении на конкретных примерах
значения фундаментальных групп потребова-
лись дополнительные сведения, и все, что, по
нашему мнению, в данном случае было необ-
ходимо, было разъяснено. Очень важным в
этом разделе является понятие гомотопическо-
го типа. Связанная с этим классификация то-
пологических пространств по гомотопическим
типам — одна из главных задач современной
топологии.
Глава 8, посвященная теме многообразия,
представляет собой часть лекционного курса
и наиболее тесно связана с современной то-
пологией. Эта глава в большей степени тре-
бует предварительной подготовки и наиболее
трудна для изложения. Теория многообразий,
по нашему мнению,— самая современная об-
ласть геометрии.
Итак, мы в какой-то степени осветили раз-
витие некоторых основных направлений в то-
пологии. Тем, кто питает серьезный интерес
к обсуждавшимся вопросам, рекомендуем об-
ратиться к соответствующей литературе.
От редакции
В конце этой небольшой книги
М. Комацу приводит достаточно обширную
библиографию, куда включена в основном
литература на японском и западноевропейских
языках. Однако имеется много интересных,
полезных книг по геометрии и топологии на
русском языке, и редакция решила предло-
жить свой список рекомендуемой литературы.
Необходимо сказать несколько слов о са-
мой книге. Она представляет собой попытку
изложить основные идеи геометрии с единой
точки зрения, которая была четко высказана
Клейном в его Эрлангенской программе. Это
концепция, объединяющая разные ветви гео-
метрии в единую геометрию, за истекшие сто
лет была существенно дополнена новыми на-
учными фактами и тщательно отшлифована в
методическом отношении.
Автор, вероятно, сознательно не включал
такие традиционно изящные геометрические
темы, как шары Данделена, геометрические
построения и т. п., так как это могло бы уве-
сти читателя в сторону от основной линии.
Своеобразие этой книги состоит в том, что
читатель может из нее узнать о деталях, кото-
рые подчеркивают самобытность развития ма-
тематической мысли в Японии. В то же время
вполне возможно, что эта книга не во всем
может удовлетворить требовательного читате-
ля. Автор порой несколько свободно обраща-
ется с терминами, вследствие чего затрудне-
но, например, понимание темы гомологических
и фундаментальных групп. Кстати, нам пред-
ставляется, что в подобной книге следовало
бы познакомить читателя с основами теории
групп. И наконец, книга, безусловно, выигра-
ла бы, если бы автор шире отразил достиже-
ния русских и советских математиков, особен-
но в области топологии. Надеемся, что пред-
ложенный нами список литературы будет
полезен.
Литература
Александров П. С. Введение в общую теорию
множеств и функций. М.-Л., Гостехиздат, 1948.
Александров П. С. Что такое неевклидова гео-
метрия. М., Учпедгиз, 1950.
Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Очерк
основных идей топологии. Математическое просвещение
(новая серия). Вып. 2—4, 6. М., Гостехиздат — Физмат-
гиз, 1957, 1958, 1959, 1961.
Гильберт Д. Основания геометрии. Пер» с нем.
М.-Л., Гостехиздат, 1948.
Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная гео-
метрия. Пер. с нем. М., Наука, 1981.
Делоне Б. Н. Элементарное доказательство не-
противоречивости геометрии Лобачевского. М., Гостех-
издат, 1956.
Ефимов Н. В. Высшая геометрия. М., Наука, 1978.
Кокетер Г. С. М. Введение в геометрию. М.,
Наука, 1966.
Милнор Дж., У о л л е с А. Дифференциальная то-
пология. Пер. с ацгл. М., Мир, 1972.
Об основаниях геометрии. Сборник. М., Гостехиз-
дат, 1956 (работы Гаусса, Лобачевского, Клейна, Ри-
мана, Пуанкаре и др.)
Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной тополо-
гии. М., Наука, 1976.
Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия тополо-
гии. Пер. с англ. М., Мир, 1967.
Я гл ом И. М. Геометрические преобразования. Т. 1,
2. М., Гостехиздат, 1955—1956.
Мацуо
Комацу
МНОГООБРАЗИЕ
ГЕОМЕТРИИ
Главный отраслевой редак-
тор В. Демьянов
Редактор В. Климачева
Мл. редактор Н. Терехина
Оформление Э. Ипполитовой
Худож. редактор
Л. Бабичева
Техн, редактор
Т. Луговская
Корректор С. Ткаченко
ИБ № 1374
Сдано в набор 22.01.81. Подпи
сано к печати 17.09.81. Формат
бумаги 75Х90’/з2. Бумага оф-
сет. № 1. Гарнитура литератур-
ная. Печать офсетная. Усл. печ.
л. 8,12. Усл. кр.-отт. 16,55
Уч.-изд. л. 7,41. Тираж 50000 экз.
Заказ Д-41. Цена 45 коп.
Издательство «Знание». 101835,
ГСП, Москва, Центр, проезд Се-
рова, д. 4. Индекс заказа 817723.
Типография издательства Тат.
ОК КПСС, г. Казань, ул. Де
кабристов, 2.
45 коп.