д. н. попов
ДИНАМИКА
И РЕГУЛИРОВАНИЕ
ГИДРО-
И ПНЕВМОСИСТЕМ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учебника для
студентов втузов, обучающихся по специальности «Гид-
ропневмоавтоматика и гидропривод»
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1977

6П2 3
П58
УДК 62-824-62—85]: 62—52
Рецензенты: Кафедра гидравлики Московского
автодорожного института
Д-р техн. наук В. Л. Сосонкин
Попов Д. Н.
П58 Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем.
Учеб. для машиностроительных вузов. М.,
«Машиностроение», 1976.
424 с. с ил.
Изложены основы теории автоматического регулирования, теория,
методы расчета и исследования гидравлических и пневматических линий
следящих приводов и регуляторов. Круг вопросов теории автоматического
регулирования выбран с учетом их использования для гидро- и
пневмоавтоматики.
_ 31303-022
" 2277 6П2'3
038@1 )-77
© Издательство «Машиностроение», 1977 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Гидравлические и пневматические средства автоматизации получают
все более широкое применение в различных отраслях народного
хозяйства, что тесно связано с проведением
комплексной-автоматизации производственных процессов.
Возрастание требований к автоматическим системам управления
явилось причиной углубленного изучения свойств гидравлических
и пневматических устройств, развития методов расчета систем,
построенных с использованием этих устройств. Особенно большое
внимание специалистов в последнее время привлекают вопросы
расчета и исследования динамических процессов, возникающих в
гидравлических и пневматических системах. Однако многообразие
условий, в которых используются гидравлические и пневматические
средства автоматизации, вызывает известные трудности при
изложении таких вопросов. Создание курса, который раскрывал бы
студентам основные особенности динамики и методов
регулирования гидравлических и пневматических систем независимо от их
назначения, стало возможным благодаря тому, что процессы
в таких системах подчиняются общим закономерностям,
определяемым при помощи теории автоматического регулирования и
гидромеханики.
Общим для различных гидро- и пневмосистем является то, что
при рассмотрении динамических процессов можно применять
квазистационарные гидравлические характеристики проточных
элементов, полученные при установившемся движении жидкости или
газа с учетом таких факторов, как инерция и сжимаемость этих
сред. Кроме того, в некоторых случаях приходится дополнительно
вводить коррективы, отражающие влияние нестационарности
структуры потока жидкости или газа.
Учебник написан по материалам лекций, читаемых автором в
МВТУ им. Н. Э. Баумана, содержит результаты выполненных им
исследований и обобщение других работ в области динамики и
регулирования гидро- и пневмосистем. В первой части учебника кратко
изложены основные понятия и методы теории автоматического
регулирования, знание которых необходимо для изучения последующих
разделов. Вторая часть посвящена динамике жидкости и газа в
проточных элементах, методам регулирования потоков этих сред,
1* 3

составлению математических моделей и исследованию
динамических свойств гидро- и пневмосистем.
Основное внимание в учебнике обращено на гидросистемы, с тем,
однако, что излагаемые методы можно применить к расчету и
исследованию пневмосистем; рассматриваются также примеры таких
систем. В отдельных случаях проведено сравнение динамических
характеристик устройств, работающих на жидкости и на газе,
что должно способствовать расширению кругозора будущего
специалиста.
Автор выражает глубокую благодарность проф. С. С. Рудневу
за внимание и помощь, оказанные при подготовке рукописи
учебника, проф. В. Л. Сосонкину, коллективу кафедры гидравлики
МАДИ и особенно доцентам этой кафедры К. Л. Навроцкому и
С. А. Ермакову за ценные замечания, сделанные при
рецензировании рукописи.

ВВЕДЕНИЕ
Системой называется совокупность каких-либо объектов,
связанных определенными формами взаимодействия или
взаимозависимости. Если объектами служат технические устройства,
взаимодействие которых осуществляется с помощью жидкости или воздуха,
то такие системы называют соответственно гидравлическими и
пневматическими или сокращенно гидро- и пневмосистемами.
Используемые в них жидкость и газ называются в дальнейшем рабочей средой,
при этом к жидкостям отнесены те вещества, которые в
гидромеханике в отличие от газов именуются капельными жидкостями.
Гидро- и пневмосистемы с давних пор используются в технике.
С изобретением паровых машин и развитием фабричного
производства возникла необходимость в передаче энергии на расстояние и
в управлении машинами. Сначала для этого использовались
механические устройства. В связи с усложнением производственных
процессов для передачи энергии стали применяться воздух и
жидкости под давлением. Появление электрических машин на
некоторое время приостановило развитие гидро- и пневмосистем. Однако
в начале XX в. для управления машинами потребовались мощные и
быстродействующие приводы. Электрические машины не могли
полностью удовлетворять этим требованиям, в связи с чем широкое
применение получили различные гидравлические механизмы и
машины. Одновременно развиваются и усложняются гидросистемы,
обеспечивающие смазку и охлаждение машин и станков.
В настоящее время гидросистемы играют важную роль в самых
разнообразных отраслях техники. Потребность в устройствах, более
дешевых, чем гидравлические механизмы и машины, а также
необходимость создания взрывобезопасных систем для химических
производств и систем, не чувствительных к радиации, привели к
развитию пневмосистем. В связи с задачами повышения эффективности
общественного производства и расширения внедрения систем
автоматического- управления в промышленности, строительстве и на
транспорте в СССР ведутся большие работы по созданию различных
гидро- и пневмосистем.
По своему назначению гидро- и пневмосистемы можно разделить
на: 1) системы, которые используются при управлении различными
машинами, станками, аппаратами, и 2) системы, обеспечивающие

рабочий процесс в этих объектах. Примерами систем первого класса
могут служить системы, с помощью которых осуществляется
управление станками и энергетическими установками. Ко второму
классу относятся системы смазки машин, топливные системы
двигателей, системы охлаждения машин, системы тепло- и
газоснабжения.
Гидро-, и пневмосистемы, предназначенные для выполнения
операций управления машинами, станками и аппаратами,
называются системами управления. При этом под управлением
понимается комплекс действий, направленных на достижение в каком-
либо процессе определенной цели. Излагаемые ниже методы
исследования и расчета гидро- и пневмосистем управления в ряде
случаев могут быть распространены и на системы второго класса.
Современные гидро- и пневмосистемы управления крайне
разнообразны и могут различаться по принципу действия, назначению,
конструкции устройств, составляющих систему, и по другим
признакам. Не стремясь к подробному и полному обзору всех
особенностей гидро- и пневмосистем, остановимся только на тех из
них, которые имеют отношение к рассматриваемым в книге
вопросам.
В соответствии с выполняемыми функциями элементов в гидро-
или пневмосистеме управления можно выделить: источник питания,
цепи управления и исполнительные устройства. От источника
питания производится снабжение остальных частей системы рабочей
средой под давлением. Часто источниками питания являются
отдельные насосные и компрессорные станции. Известны также
системы, которые снабжаются рабочей средой, отбираемой от
управляемой машины или аппарата, например, топливом от
управляемого двигателя. Источники питания должны иметь контрольно-
регулирующую аппаратуру. Кроме того, обычно к ним относят
такие вспомогательные устройства, как газогидравлические
аккумуляторы, гасители пульсаций давления, фильтры, холодильники.
Цепи управления представляют собой совокупность устройств,
предназначенных для преобразования и передачи
целенаправленных сигналов от операторов или контролирующих какой-либо
процесс автоматических устройств к исполнительным устройствам.
В цепях управления, как правило, передаваемые сигналы
усиливаются по мощности за, счет использования энергии, подводимой
с рабочей средой от источника питания.
Цепь управления и исполнительное устройство образуют
гидравлический привод (гидропривод), если рабочей средой служит
жидкость, и газовый привод, если рабочей средой является газ.
Когда рабочей средой служит воздух, приводы сокращенно
именуются пневмоприводами. При изучении вопросов расчета и
исследования процессов в приводах нет необходимости отдельно
рассматривать воздух и какой-либо другой газ, поэтому в дальнейшем
приводы, в которых рабочей средой служит любой газ, отнесены
к* пневматическим (пневмоприводам).

При использовании гидро- и пневмосистем в целях управления
различными машинами, аппаратами или станками возникает
необходимость в поддержании, а также в изменении в определенных
пределах давлений и расходов рабочих сред. Выполнение этих задач
называется регулированием гидро- и пневмосистем. Применяются
гидросистемы с дроссельным, струйным, объемным и объемно-
дроссельным регулированием. В пневмосистемах могут, иметь место
только первые два вида регулирования.
Дроссельное регулирование основано на использовании в цепях
управления элементов с изменяемыми проходными сечениями. Эти
элементы регулируют расходы рабочей среды, а при необходимости
меняют направление потоков. Такие операции выполняют:
золотниковые распределители различных конструкций, клапаны,
устройства в виде сопла с заслонкой и другие аппараты подобного
принципа действия. Для иллюстрации этого способа регулирования на
Рис. В.1. Схема гидросистемы с дроссельным
регулированием
рис. В.1 дана в условных обозначениях схема простой гидросистемы.
Цепь управления здесь сведена к одному устройству в виде четырех-
дроссельного (четырехщелевого) золотникового распределителя
(золотника) J\ исполнительным устройством является гидроцилиндр 2.
Такая система называется гидроприводом с дроссельным
регулированием. Переливной клапан 3 и насос 4 относятся к элементам
источника питания.
При нейтральном положении золотника, показанном на схеме,
напорная и сливная магистрали не соединяются с полостями
гидроцилиндра. В случае смещения золотника от нейтрального
положения одна полость гидроцилиндра сообщается с напорной
магистралью, а противоположная — со сливной. Под действием
создавшегося перепада давления поршень гидроцилиндра перемещается,
преодолевая приложенную к его штоку внешнюю нагрузку.
Расход жидкости, пропускаемой золотником, а следовательно, и
скорость движения поршня гидроцилиндра регулируются смещением
золотника от нейтрального положения. При малых смещениях
золотника площадь открываемых во втулке окон оказывается зна-

чительно меньше сечения подводящих и отводящих жидкость
каналов. Вследствие этого гидравлическое сопротивление золотникового
распределителя оказывается большим, и он пропускает малый
расход жидкости. С увеличением смещения золотника его
гидравлическое сопротивление уменьшается и при том же перепаде давления
увеличивается расход протекающей жидкости.
Если не учитывать потери в магистралях, то перепад давления
на золотниковом распределителе будет определяться разностью
давления, поддерживаемого переливным клапаном, и перепадом
давления в полостях гидроцилиндра, который зависит от
действующей на шток поршня нагрузки и рабочей площади последнего.
Направление движения поршня гидроцилиндра регулируется
направлением смещения золотника от нейтрального положения.
П
X
Рис. В.2. Схема гидросистемы с авто- Рис. В.З. Схема гидросистемы с
автоматом разгрузки насоса матическим регулированием подачи
насоса
В рассмотренной системе подача насоса должна соответствовать
максимальному расходу жидкости, при котором обеспечивается
требуемая максимальная скорость движения поршня гидроцилиндра.
При движении поршня с меньшими скоростями переливной клапан
пропускает из магистрали высокого давления в магистраль низкого
давления часть жидкости с расходом, равным разности подачи и
расхода жидкости, протекающей через золотниковый
распределитель. Такой способ поддержания давления в напорной магистрали
является достаточно простым, но приводит к лишним потерям
энергии в переливном клапане.
, Этот недостаток уменьшен в системе, схема которой дана на
рис. В.2. В системе имеется газогидравлический аккумулятор / и
автомат разгрузки, состоящий из перепускного клапана 2 и
обратного клапана 3. Если давление в аккумуляторе достигает
наибольшего допустимого значения, то перепускной клапан открывается
и жидкость направляется в сливную магистраль, давление перед
клапаном падает и соответственно уменьшается потребляемая
насосом мощность. Вытеканию жидкости из аккумулятора через
перепускной клапан препятствует обратный клапан. Когда давле-
3

ние в аккумуляторе падает, перепускной клапан закрывается,
насос подает жидкость в аккумулятор.
Уменьшение энергии, потребляемой насосом, в описанной
системе зависит от соотношения циклов работы насоса при большом
и малом давлениях нагнетания. При продолжительной работе нассса
с низким давлением нагнетания может оказаться целесообразной
его остановка, например, путем отключения электродвигателя
насоса от сети.
Количество потребляемой цепями управления энергии может
быть приведено в соответствие с количеством энергии, подводимой
к станции питания, в случае применения насоса с регулируемой
подачей (рис. В.З). В такой системе давление в напорной магистрали
поддерживается автоматическим регулятором, который уменьшает
или увеличивает подачу насоса в зависимости от расхода жидкости,
пропускаемой золотниковым распределителем.
Пневмосистемы по сравнению с рассмотренными гидросистемами
могут иметь ряд особенностей, связанных прежде всего с типом
источника питания. Однако как для гидросистем, так и для пневмо-
систем с дроссельным регулированием общим является то, что
обычно источники питания обеспечивают цепи управления рабочей
средой при малом изменении давления в напорной магистрали и
с практически неограниченными расходами. Кроме того, цепи
управления при дроссельном регулировании всегда содержат
механизмы с подвижными деталями. При управлении такими
механизмами приходится преодолевать силы, приложенные к подвижным
деталям со стороны рабочей среды, поэтому при включении
гидравлических и пневматических цепей управления в автоматические
системы требуются дополнительные усилители сигналов.
При эксплуатации систем в условиях высоких и низких
температур окружающей среды, при значительных вибрациях и радиации
требуются дополнительные меры, направленные на обеспечение
необходимой надежности систем. Один из возможных способов
уменьшения числа подвижных деталей в цепях управления состоит
в управлении движением рабочей среды электромагнитным полем.
Однако созданные по такому принципу устройства управления из-за
большей потребляемой мощности пока уступают широко
применяемым электромеханическим преобразователям.
Струйное регулирование основано на изменении величин
расходов и направлений потоков рабочих сред путем отклонения
свободных или ограниченных стенками каналов струй. При таком способе
регулирования могут применяться устройства управления как
с подвижными деталями, так и без них. Последние устройства
называются струйными элементами, а при использовании в качестве
рабочей среды газа часто называются элементами пневмоники.
Из устройств с подвижными деталями достаточно
распространены гидравлические и пневматические усилители со струйной
трубкой, в которых рабочая среда под давлением направляется в кон-
фузорную трубку / (рис. В.4). Если струйная трубка занимает

среднее положение, то поток рабочей среды делится поровну между
двумя приемными каналами 2. При повороте струйной трубки
вокруг оси 3 увеличивается поток рабочей среды в тот канал, в
сторону которого отклонен конец трубки.
На рис. В.5 дана схема струйного элемента без подвижных
деталей. Элемент имеет один канал питания 1У два управляющих
канала 2 и 3 и два выходных канала 4 и 5. В канал питания
подводится рабочая среда под давлением. При отсутствии разности
давлений в управляющих каналах вытекающая из канала питания
струя направлена по оси элемента и поток, как и при струйной
трубке, делится поровну между выходными каналами. Отклонение
струи осуществляется созданием различных давлений в
управляющих каналах, причем струя отклоняется от оси элемента тем больше.,
Рис. В.4. Струйная
трубка
Рис. В.5. Струйный усилитель:
«- принципиальная схема; б — условное
обозначение
чем больше разность этих давлений. Мощность потока рабочей
среды, вытекающей из выходных каналов, в несколько раз
превышает мощность, необходимую для управления струей, поэтому
описанный элемент является усилителем.
Известны и находят все большее применение в различных
областях техники струйные элементы, принцип действия которых
основывается на различных гидродинамических явлениях: прилипании
струи к стенке, турбулизации струи поперечными струями,
встречном соударении струй, образовании вихрей [21].
Струйные элементы используются не только как усилители,
но и как элементы для выполнения логических и вычислительных
операций, в качестве реле, генераторов колебаний и выпрямителей.
Струйные элементы могут работать как на газе, так и на
жидкостях: воде, керосине, минеральном масле. Наиболее широкое
развитие получили пневматические струйные элементы (элементы
пневмоники), что связано с простотой снабжения систем воздухом
10

под давлением и возможностью изготовления цепей в виде печатных
схем. Пневматические элементы легко изготовить малых размеров,
при которых частота пропускания сигналов может достигать
1—-2 кГц.
Отсутствие подвижных деталей обеспечивает нечувствительность
струйных элементов к вибрациям и перегрузкам. Конструкция
элементов позволяет изготовлять их из материалов, выдерживающих
высокие и низкие температуры, а также радиоактивные излучения.
Несмотря на такие положительные свойства струйных элементов,
собранные из них цепи управления не всегда лучше цепей
управления, содержащих элементы с подвижными деталями. Один из
недостатков струйных элементов, ограничивающих области их
применения, состоит в наличии постоянного расхода рабочей среды,
что приводит к увеличению мощности источников питания. Кроме
того, струйные элементы при соединении в цепи оказывают
существенное взаимное влияние, что требует тщательного согласования
их характеристик. Из-за внутренних гидродинамических процессов
в цепях со струйными элементами могут возникать шумовые
сигналы, снижающие точность управления объектом.
В большинстве случаев применение струйных элементов не
позволяет полностью исключить из цепи управления элементы с
подвижными деталями. Это объясняется, во-первых, тем, что при
введении в цепи управления сигналов необходимо преобразовывать
различные физические величины в изменения давления рабочей
среды, так как только такие величины, как расход, давление,
температура могут непосредственно контролироваться струйными
элементами. Во-вторых, для приведения в действие большинства
регулирующих органов управляемых объектов необходимо сигналы
в виде давлений и расходов газов или жидкостей преобразовывать
в каких-либо исполнительных устройствах (гидроцилиндрах,
гидромоторах) в линейные или угловые перемещения.
Может оказаться целесообразным совместное использование
струйных элементов и устройств для дроссельного регулирования.
Например, струйные элементы позволяют сравнительно просто
осуществлять логические операции, которым подчиняется действие
цепей с дроссельным регулированием.
Струйные элементы оказываются полезными также в качестве
управляющих устройств в отдельных звеньях цепей с дроссельным
регулированием, когда требуется обеспечить их высокую
надежность.
Как дроссельное, так и струйное регулирование сопровождается
дополнительными потерями энергии в устройствах, которыми
регулируется поток рабочей среды. Более полное использование
мощности источника питания достигается при объемном регулировании.
Этот способ регулирования основан на применении объемного насоса
с регулируемой подачей, присоединяемого непосредственно к
гидроцилиндру или к другому гидродвигателю объемного типа (рис. В.6).
Таким образом, при объемном регулировании источник питания
11

объединяется с цепью управления. Такое соединение называется
гидроприводом с объемным регулированием.
При регулировании подачи насоса / вследствие изменения
расхода жидкости, нагнетаемой в одну полость гидроцилиндра 2 и
отбираемой из противоположной полости, достигается необходимая
скорость движения поршня 3. В гидроприводе с объемным
регулированием потери энергии уменьшаются благодаря высоким
значениям к. п. д. объемных гидромашин. Однако насосы с
регулируемой подачей сложны по устройству, а для управления
регулирующими органами таких, насосов требуются дополнительные
усилители. В самом способе объемного регулирования заключается
необходимость питания рабочей жидкостью от одного насоса только
взаимосвязанных исполнительных устройств, в связи с чем
гидроприводы с объемным регулированием обычно примейяются при
автономном управлении тяжело-
нагруженными объектами.
Способ объемного
регулирования может быть совмещен с
дроссельным регулированием.
2 3
Рис. В.6. Схема гидросистемы с объ-
j емным регулированием
В этом случае осуществляется объемно-дроссельное регулирование.
В пневматических системах объемное регулирование не
применяется из-за большой сжимаемости рабочей среды.
В зависимости от выполняемых гидро- и пневмосистемами
функций сигналы в цепи управления могут вводиться с помощью
различных по конструкции и принципу действия устройств. Наиболее
часто с этой целью используются механические и
электромеханические устройства. Находят применение пневмогидравлические цепи
управления, в которых сигналы управления формируются в
пневматических устройствах, а затем усиливаются гидравлическими
устройствами.
Передача сигналов в цепях управления может осуществляться
только от начала цепи (входа) к исполнительному устройству
(выходу). Такие цепи управления называются разомкнутыми.
Приведенная на рис. В.1 схема является примером системы с
разомкнутой цепью управления. Здесь входом будет перемещение золотника,
а выходом — перемещение штока гидроцилиндра. Вполне
определенными в этой системе могут быть только крайние положения
поршня. Различные промежуточные положения поршень занимает в
зависимости от продолжительности открытия золотника,
действующих на шток сил, утечек из гидроцилиндра и других факторов.
В замкнутых цепях управления имеется обратная связь от
выхода к входу. На рис. В.7 дана схема гидросистемы с замкнутой
цепью управления, в которой датчик обратной связи / преобразует
12

перемещение штока поршня гидроцилиндра в электрический сигнал.
Это г сигнал в электронном или электромагнитном усилителе 2
сравнивается с входным сигналом и пропорционально выявленной
разности сигналов (ошибке) электромагнитное устройство 3 смещает
золотник от нейтрального положения. В результате поршень
гидроцилиндра перемещается до тех пор, пока ошибка не достигнет
допустимого значения. В такой системе положение штока поршня
гидроцилиндра всегда с необходимой точностью задается сигналом
управления. Гидро- и пневмосистемы с замкнутыми цепями управления
широко применяются в качестве следящих приводов, а также
служат основой для построения различных автоматических
регуляторов.
о
Рис. В.7. Схема гидросистемы с замкнутой цепью
управления
Все рассмотренные гидро- и пневмосистемы объединяет то, что
в основе их действия лежат общие законы гидромеханики, и то, что
они предназначаются для выполнения операций управления.
Вследствие этого гидро- и пневмосистемы должны удовлетворять
требованиям/которые предъявляются к современным системам
автоматического управления.
Требуемые режимы обеспечиваются регулированием гидро- й
пневмосистем описанными выше способами. Естественно, что
проектирование какой-либо системы является сложной комплексной
задачей, правильное решение которой зависит от многих факторов,
в том числе и от знания свойств создаваемой системы.
В курсе «Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем»
ставится целью изучение поведения систем, элементы которых
взаимодействуют с помощью жидкости или газа, в условиях, когда
величины, определяющие состояние системы, могут изменяться во
времени с учетом действующих на элементы систем сил и других
факторов, вызывающих эти изменения. В курсе освещаются также
13

способы регулирования гидро- и пневмосистем и излагаются
методы расчета, применяемые при проектировании автоматических
устройств и устройств управления, в связи с чем сначала приводятся
основные сведения из теории автоматического регулирования.
Поведение гидро- и пневмосистем во многом определяется
протекающими в них гидромеханическими и термодинамическими про-
цессами* которые при работе систем могут быть установившимися
и неустановившимися. Для математического анализа этих
процессов целесообразно использовать общие методы теории
автоматического регулирования. Во второй части книги рассмотрены вопросы
динамики рабочих сред с применением методов теории
автоматического регулирования.
Все известные схемы гидро- и пневмосистем управления
невозможно отразить в одном курсе, и в этом нет необходимости, так как
задача курса состоит в ознакомлении с принципами регулирования
систем и в изложении основных методов их исследования и расчета.
Поэтому во второй части книги рассмотрены только системы,
наиболее характерные для каждого изучаемого вида гидро- и
пневмосистем.

Часть ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
первая ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Глава I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
§ 1.1. АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ И АВТОМАТИЧЕСКОЕ
РЕГУЛИРОВАНИЕ
Общей наукой об управлении является кибернетика. Акад. А. Н.
Колмогоров в предисловии к русскому изданию книги У. Росса Эшби
«Введение в кибернетику» A959 г.) так определяет направление
этой науки: «Кибернетика занимается изучением систем любой
природы, способных воспринимать, хранить и перерабатывать
информацию и использовать ее для управления и регулирования».
В зависимости от природы изучаемых систем кибернетика может
быть разделена на техническую, биологическую, экономическую
и др. Предметом технической кибернетики является определение
принципов управления машинами, аппаратами, станками, сбор и
анализ информации о свойствах этих систем, а также условиях их
использования, синтез алгоритмов управления и создание
управляющих устройств, реализующих требуемые алгоритмы [71].
Осуществление процессов управления без непосредственного
участия человека составляет задачу автоматического управления.
Эта задача решается методами и средствами, которые изучаются и
разрабатываются в прикладной дисциплине — автоматике.
Возникновение и развитие автоматики неразрывно связаны с общим
прогрессом в науке и в технике. Роль автоматики непрерывно растет
во всех отраслях народного хозяйства СССР (в промышленности,
в энергетике, на транспорте, в сельском хозяйстве и др.), что
объясняется рядом причин, из которых можно выделить следующие:
1) с развитием и совершенствованием методов управления
различными процессами требуются скорости и усилия, значительно
превышающие физические возможности человека;
2) при автоматическом управлении процессами значительно
повышаются технико-экономические показатели производства из-за
сокращения эксплуатационных расходов и повышения надежности
протекания процессов по требуемым программам;
3) появление и развитие отраслей, в которых управление
процессами становится недоступным для человека или вредным для
его организма, (химические производства, ядерная энергетика
и т. п.).
Внедрение автоматического управления связано с проведением
широкого комплекса технических, организационных,
экономических, культурно-просветительных и других мероприятий, объеди-
15

няемых понятием автоматизация. Автоматизация ведет к коренному
изменению характера труда, к сглаживанию граней между трудом
физическим и умственным, к облегчению умственного труда
благодаря применению вычислительных машин. Автоматизацию следует
отличать от механизации, которая характеризуется заменой
ручного труда машинным, но с участием человека в управлении
машинами. При этом возможно и достаточно широко используется
полуавтоматическое управление, при котором часть операций
выполняется человеком, а часть автоматическими
устройствами.
При автоматическом управлении решается комплекс задач: пуск
машины, аппарата, станка, какой-либо технической системы в
действие, защита этих объектов от аварийных ситуаций, определение
программ рабочих режимов, регулирование режимов и др. В
решении указанных задач важную роль играет автоматическое
регулирование, которое заключается в обеспечении без вмешательства
человека заданных значений одной или нескольких величин,
определяющих режим работы машины, аппарата, станка, технической
системы. Эти величины называются регулируемыми.
Таким образом, автоматическое регулирование является
составной частью автоматического управления. Однако при
полуавтоматическом управлении какими-либо процессами автоматическое
регулирование может иметь и самостоятельное значение.
Изучение принципов автоматического регулирования
различных процессов, определение методов построения, исследования и
расчета технических средств, обеспечивающих автоматическое
регулирование процессов, является предметом теории автоматического
регулирования (ТАР). На основе этой теории строится более общая
дисциплина — теория автоматического управления (ТАУ). Методы
ТАР, получившие в последние два десятилетия особенно
значительное развитие, оказываются также эффективными при решении
разнообразных научно-технических проблем, связанных с исследованиями
и расчетами неустановившихся процессов, возникающих в машинах,
аппаратах, станках и других устройствах. В связи с
интенсификацией режимов работы технических систем изучение этих процессов
становится необходимым даже в тех случаях, когда не требуется
автоматического регулирования, что указывает на полезность ТАР
для специалистов, создающих и эксплуатирующих любые
технические системы и устройства.
§ 1.2. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
И УПРАВЛЕНИЯ
Машина, аппарат, станок или какая-нибудь техническая система,
в которых необходимо поддерживать либо изменять по заданному
закону значения одной или нескольких регулируемых величин,
называется регулируемым объектом. Комплекс устройств,
посредством которых осуществляется автоматическое регулирование про-
16

цессов, называется автоматическим регулятором или, сокращенно,
регулятором.
Регулируемый объект и регулятор образуют систему
автоматического регулирования (САР). Для обеспечения единообразия в
определении взаимной связи отдельных элементов в различных по
принципу действия и конструктивному исполнению системах
автоматического регулирования применяют функциональные схемы
(блок-схемы). В таких схемах элементы системы изображаются
в виде прямоугольников с записью в поле прямоугольника
обозначения, сокращенно указывающего назначение элемента. Связи между
элементами показываются стрелками. Если не рассматривать
составные части регулятора и регулируемого объекта, то получается
укрупненная функциональная схема (рис. 1.1). Она является
достаточно общей для целого ряда систем автоматического
регулирования, в которых обеспечивается заданное значение одной регулируе-
x(t)
Рис. 1.1. Функциональная схема
системы автоматического регулирования
r(t)
РО
x(t)
мой величины х (t). Эта величина сравнивается с заданным
значением g (t) и выявляется ошибка (рассогласование)
в @=*(')-* (9. AЛ)
В соответствии с выявленной ошибкой регулятор Р оказывает
регулирующее воздействие г (t) на регулируемый объект РО,
направленное на уменьшение ошибки- до допустимых значений.
Ошибки в системах автоматического регулирования возникают
вследствие возмущающих воздействий (возмущений) / (/) на
регулируемый объект или из-за изменения задающего
воздействия g (t).
Приведенная на рис. 1.1 функциональная схема показывает,
что в системе-автоматического регулирования происходит передача
сигналов по замкнутому контуру. При этом реализуется основной
принцип построения замкнутых систем автоматического
регулирования, заключающийся в применении обратной связи, по которой
информация об изменении регулируемой величины от регулируемого
объекта передается регулятору. Эта обратная связь является
отрицательной, так как для выявления ошибки согласно
соотношению A.1) текущее значение регулируемой величины должно
сопоставляться с заданным значением.
В более общем случае регулирующее воздействие формируется
в зависимости от изменения регулируемой величины, от
возмущающего и задающего воздействий. Зависимость, определяющая
желаемое регулирующее воздействие, называется законом (алгоритмом)
регулирования. В качестве переменных в закон регулирования
17

могут входить регулируемая величина х и задающее воздействие g,
возмущающее воздействие /, а также производные и интегралы по
времени от этих величин:
r=F[x, g, f, %..., §..., §..., $ xdt..., \gdt.... \fdt). A.2)
Достаточно широко применяются системы автоматического
регулирования, в которых закон регулирования является функцией
только ошибки по регулируемой величине. В таких системах
реализуется принцип регулирования по отклонению регулируемой
величины. Следует заметить, что отклонение регулируемой величины
и ошибка могут иметь разные значения. Однако, если в системе
автоматического регулирования должно поддерживаться постоянное
значение регулируемой величины, принимаемое за начало отсчета
при ее измерении, то значение ошибки и отклонения будут
совпадать, i
К первым системам автоматического регулирования по
отклонению относятся системы, состоявшие из котла паровой машины и
поплавкового регулятора уровня воды, предложенного И. И. Пол-
зуновым в 1765 г., а также паровая машина с регулятором скорости
Д. Уатта A784 г.). Поэтому принцип регулирования по отклонению
называют также принципом Ползунова — Уатта. В 1829 г. Ж. В. Пон-
селе предложил регулятор, действующий от изменения нагрузки
на двигатель, а в 1845 г. братья Сименсы изобрели регулятор,
реагирующий на угловое ускорение вала двигателя. Такие способы
формирования регулирующих воздействий в системах
автоматического регулирования стали называться соответственно
регулированием по возмущению (принцип Понселе) и по производной от
регулируемой величины (принцип Сименсов). В дальнейшем было
установлено, что регулирование по производной должно сочетаться
с регулированием по отклонению, и практическое применение
получили комбинированные системы автоматического регулирования.
Регулирование по возмущению позволяет существенно снизить,
а иногда и предотвратить изменение регулируемой величины, если
регулятор, получив информацию о действующем на объект
возмущении, может создать необходимое регулирующее воздействие.
Однако принцип регулирования по возмущению имеет и недостатки,
связанные с тем, что регулирующие воздействия формируются
только по отдельным видам возмущений, поэтому при
возникновении каких-либо других возмущений объект не управляется
регулятором. Кроме того, возникают трудности в измерении
возмущающих воздействий и в определении закона (алгоритма)
регулирования. Из-за этих недостатков более целесообразными являются
системы автоматического регулирования, в которых принцип
регулирования по возмущению используется .в комбинации с другими
принципами, например, регулирования по отклонению.
Функциональная схема такой системы автоматического регулирования дана
на рис. 1.2.
18

В связи с более широким кругом решаемых задач системы
автоматического управления (САУ) получаются обычно более развитыми
и сложными, чем системы автоматического регулирования (САР).
В САУ может предусматриваться адаптация или самонастройка по
внешним воздействиям, а также осуществляется автоматический
выбор оптимальных режимов.
Системы автоматического управления разделяются на две
основные части: управляемый объект и управляющую систему. При
этом управляемым объектом
может быть как машина, аппарат,
станок, так и другая систе-
ма управления. Применяются
Рис. 1.2. Функциональная схема
системы автоматического регулирования
по возмущению
rft)
РО
x(t)
разомкнутые и замкнутые системы автоматического управления.
В разомкнутых системах управляющее воздействие не сравнивается
с текущим значением регулируемой или управляемой величины,
определяющей состояние управляемого объекта. Закон
управляющего воздействия .выбирается здесь исходя из цели управления,
свойств управляемого объекта и предполагаемого характера
возмущающих воздействий. В замкнутых САУ так же, как и в системах
автоматического регулирования, управляющее воздействие на
управляемый объект формируется в результате сравнения текущего
значения управляемой величины с заданным. Излагаемые ниже
вопросы будут освещаться в основном в приложении к САР и к
замкнутым САУ.
§ 1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
Для классификации систем автоматического регулирования и
управления известно достаточно много различных принципов [7,71].
Здесь будут рассмотрены основные признаки и главным образом
те из них, которые наиболее часто встречаются при изучении
гидравлических и пневматических систем.
В зависимости от закона задающего воздействия системы
автоматического регулирования и управления разделяются на
следующие три класса:
1) системы стабилизации (собственно системы автоматического
регулирования); в таких системах задающие воздействия
определяются постоянными величинами, причем основной режим работы
систем направлен на уменьшение или нолрое устранение ошибок,
вызываемых возмущающими воздействиями;
2) системы программного регулирования, в которых задающие
воздействия определяются заранее известными функциями времени;
19

основной режим работы этих систем связан с изменением
регулируемой (управляемой) величины по требуемой программе и
устранением ошибок из-за возмущающих воздействий;
3) следящие системы; в таких системах закон задающего
воздействия является неизвестной функцией времени и основной
режим работы направлен на воспроизведение регулируемой
(управляемой) величиной этого закона.
Необходимо заметить, что одна и та же система автоматического
регулирования или управления при различных условиях ее
использования может работать в каждом из указанных выше режимов.
В этом случае следует условиться, по какому из задающих
воздействий целесообразно проводить классификацию системы. Для
примера можно привести систему автоматического управления полетом
самолета. Управляющей системой является автопилот,
управляемым объектом — самолет. Автопилот осуществляет управление
самолетом по трем каналам: по тангажу (в вертикальной плоскости),
по курсу (в горизонтальной плоскости) и по крену (поворот вокруг
оси самолета). При поддержании постоянного курса, тангажа или
крена соответствующий канал автопилота и самолет работают в
режиме системы стабилизации. Если производится изменение одной
из координат, определяющих положение самолета в пространстве
по заданной программе, то рассматриваемая система
автоматического управления переходит в режим программного
управления.
При наведении самолета на цель с помощью радиолокатора
данная система будет находиться в режиме следящей системы.
По характеру формирования и виду передаваемых сигналов
системы автоматического регулирования и управления разделяются
на: 1) непрерывные; 2) с гармонической модуляцией сигналов;
3) с импульсной модуляцией сигналов; 4) релейные; 5) релейно-
импульсные или кодово-импульсные.
В непрерывных системах автоматического регулирования и
управления передаваемые по контуру сигналы являются
непрерывными функциями времени (табл. 1.1, а).
Системы автоматического регулирования и управления с
гармонической модуляцией сигналов содержат элементы, которые при
непрерывном изменении задающего воздействия или регулируемой
величины модулируют (изменяют) гармонический сигнал с несущей
частотой, специально создаваемый в регуляторе или в
управляющей системе. При этом изменяется один из параметров
гармонического сигнала: амплитуда, частота или фаза. В соответствии с
отклонениями какого-либо из этих параметров формируется
регулирующее (управляющее) воздействие, которое обычно имеет вид
непрерывного сигнала. Элементы, осуществляющие модуляцию,
называются модуляторами, а элементы, преобразующие
модулированный сигнал в непрерывный, — демодуляторами. В зависимости
от изменяемого параметра гармонического сигнала модуляция
может быть амплитудной (AM), частотной (ЧМ) и фазовой (ФМ).
20

Графики сигналов как функций времени для перечисленных видов
модуляции даны в табл. 1.1, б, в и г.
Системы автоматического регулирования или управления с
импульсной модуляцией имеют элементы, которые формируют сигналы
Таблица 1.1
Тип системы
Вид сигнала
а) Непрерывная
б) С гармонической амплитудной
модуляцией (AM)
в) С гармонической частотной
модуляцией (ЧМ)
г) С гармонической фазовой
модуляцией (ФМ)
д) С амплитудно-импульсной
модуляцией (АИМ)
е) С широтно-импульсной модуляцией
(ШИМ)
ж) С частотно-импульсной
модуляцией (ЧИМ)
з) Релейная
ТАТ
t
Y7A У/Л Х//Л У//л УУА
21

в виде периодической последовательности импульсов. Такие
элементы называются импульсными. Один из параметров
периодической последовательности импульсов после импульсного элемента
зависит от взятых в отдельные (дискретные) моменты времени
значений непрерывно меняющейся величины перед элементом. Этими
параметрами являются высота (амплитуда) импульсов, длительность
(ширина) импульсов и частота повторения импульсов.
Соответственно определяются и виды модуляции: амплитудно-импульсная
(АИМ), широтно-импульсная (ШИМ) и частотно-импульсная (ЧИМ).
Графики сигналов при импульсной модуляции показаны в
табл. 1.1, д, е и ж. Из графиков видно, что в импульсных системах
осуществляется квантование сигналов по времени.
Релейные системы автоматического регулирования и
управления отличаются от импульсных тем, что в них благодаря наличию
специальных элементов (реле) производится квантование сигналов
по уровню (табл. 1.1, з).
В релейно-импульсных и кодово-импульсных системах
автоматического регулирования и управления квантование сигналов
выполняется по уровню и по времени.
Импульсные, релейные и релейно-импульсные системы
автоматического регулирования и управления относятся к общему классу
дискретных систем, для которых характерным является
квантование непрерывных сигналов специально предусмотренными
элементами регулятора или управляющей системы.
Различающиеся по законам задающих воздействий, по характеру
формирования и виду сигналов системы автоматического
регулирования и управления могут быть объединены в два больших класса
одноконтурных и многоконтурных систем. Первый класс
характеризуется наличием в замкнутом контуре одного регулируемого
(управляемого) объекта и одного регулятора (управляющей системы).
Функциональная схема одноконтурной системы автоматического
регулирования приведен^ на рис. 1.1. Многоконтурные системы
автоматического регулирования и управления при одном
регулируемом (управляемом) объекте имеют несколько регуляторов
(управляющих систем), не связанных друг с другом (рис. 1.3) или
связанных между собой. В последнем случае два регулирующих
воздействия гг и г2 алгебраически суммируются. Эта операция имеет
условное обозначение/показанное на рис. 1.4 в виде кружка со
знаком «+» или «—».
Сложные системы автоматического регулирования и управления
в зависимости от числа величин, определяющих вектор регулируе-..
мой величины, могут, рассматриваться как одномерные и
многомерные.
С развитием и совершенствованием систем автоматического
регулирования и управления определился еще один признак
классификации, по^ которому системы разделяются на неприспосабливаю-
щиеся и приспосабливающиеся (адаптивные). К первому из этих
двух больших классов относятся системы автоматического регули-
22

рования и управления, свойства которых в процессе эксплуатации
не претерпевают контролируемых изменений. Второй класс систем
характеризуется тем, что в них в зависимости от внешних условий
происходят контролируемые изменения свойств регулятора или
управляющей системы. Этой особенностью объясняется и название
таких систем, аналогичное соответствующему понятию в биологии
I ffft)
rfft)
PO
net)
I ft(t)
rft)
fz(t)
r2(t)
j
PO
\fz(t)
xz(t)
Рис. 1.З. Функциональная схема двух-
контурной несвязанной системы авто-'
матического регулирования
Рис. 1.4. Функциональная схема двух-
контурной связанной системы
автоматического регулирования
и означающее приспособление растения или животного к
изменившимся внешним условиям. Приспосабливающиеся или адаптивные
системы, в свою очередь, делятся на самонастраивающиеся,
самоорганизующиеся и самообучающиеся, в которых по различным
показателям осуществляется или корректирование характеристик
регулятора (управляющей части), или изменение его структуры [71].
§ 1.4. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ РЕГУЛЯТОРОВ
И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ
Регуляторы и управляющие системы состоят из отдельных,
связанных между собой элементов, каждый из которых осуществляет
преобразование воздействий, полученных от предыдущего элемента,
и передает преобразованные сигналы дальше по контуру системы
автоматического регулирования или управления. Величина,
характеризующая воздействие на элемент, называется входной (входной
сигнал, вход), а величина, определяющая сигнал после элемента,
выходной (выходной сигнал, выход). Обычно рассматриваются
элементы направленного действия, т. е. пропускающие сигналы в
одном направлении от входа к выходу.
По принципу действия и конструктивному исполнению элементы
регуляторов и управляющих систем очень разнообразны и могут
быть выполнены в виде электрических, электронных, механических,
гидравлических и пневматических устройств. Однако по своему
назначению различные по конструкции и принципу действия
устройства могут быть отнесены к одному типу, поэтому число
типовых элементов получается небольшим. В системах автоматического
23

регулирования и управления применяются: 1) чувствительные
элементы; 2) элементы сравнения; 3) усилители; 4) исполнительные
элементы; 5) корректирующие элементы.
Чувствительными элементами называются устройства,
измеряющие отклонение регулируемой величины от заданного значения
либо реагирующие на возмущающее воздействие, приложенное
к регулируемому объекту, и преобразующие результаты таких
измерений в сигналы управления. Чувствительные элементы обычно
отличаются от измерительных приборов меньшим диапазоном
измерения величин и большей мощностью выходных сигналов. В
чувствительном элементе часто объединяются датчик, реагирующий на
изменение контролируемой величины, и задающее устройство, с
помощью которого измеренные значения сравниваются с заданными.
К элементам сравнения относятся все устройства,
осуществляющие вычитание одной величины из другой. В следящих системах
элементы сравнения могут заменять чувствительные элементы.
Усилителями называются устройства, которые за счет
использования энергии постороннего источника усиливают по мощности
сигналы управления, поступающие от чувствительного элемента или
элемента сравнения к исполнительному элементу.
Исполнительные элементы являются устройствами,
воспринимающими сигналы управления и непосредственно или через
вспомогательные устройства воздействующими на регулирующие органы
регулируемых (управляемых) объектов.
Корректирующие элементы являются дополнительными
устройствами, вводимыми в регулятор или в управляющую систему с целью
придания им тех свойств, которые необходимы для обеспечения
требуемых режимов регулирования.

Глава II
УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 2.1. УРАВНЕНИЯ СТАТИКИ. СТАТИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
При расчете и исследовании любой системы автоматического
регулирования прежде всего необходимо найти зависимости
регулируемых величин от задающего и возмущающего воздействий.
Физическая природа величин, определяющих состояние отдельных
элементов и всей системы автоматического регулирования, может быть
самой различной. Если эти величины рассматривать как
обобщенные координаты, то изменение состояния элементов и системы
автоматического регулирования во времени уместно назвать движением.
Тогда установившиеся состояния элементов и системы
автоматического регулирования, при которых обобщенные координаты остаются
неизменными во времени, можно отнести к равновесным.
Соответственно этому раздел теории автоматического регулирования,
посвященный изучению равновесных состояний элементов и систем,
можно назвать статикой.
Соотношения между обобщенными координатами при
равновесных состояниях элементов и системы автоматические
регулирования образуют в общем случае систему уравнений статики.
Уравнениями статики определяются зависимости выходных величин от
входных величин у отдельных элементов, а также зависимости
регулируемых величин от задающего и возмущающего воздействий
для всей системы автоматического регулирования. При этом
регулируемая величина может считаться выходной, если задающее или
возмущающее воздействие принять за входную величину. Обозначив
входную величину при равновесном состоянии элемента или системы
через хвх 0, а выходную через хвых 0, определим все возможные
равновесные состояния для рассматриваемых устройств функцией
*вых. О = Ро (#вх. о) • B.1)
График функции B.1) называется статической характеристикой
элемента или системы автоматического регулирования
соответственно тому, какие величины являются входными и выходными.
Статические характеристики элементов и систем можно найти
как расчетным путем по $фавнениям статики, так и по результатам
экспериментов.
25

Расчетные и экспериментальные статические характеристики
могут быть линейными и нелинейными. Экспериментальные
статические характеристики элементов и систем обычно близки к линейным
только в ограниченных пределах значений входных и выходных
величин, что объясняется влиянием факторов, которые благодаря
сделанным при расчетах предположениям не учитывался.
Достаточно часто встречаются и такие случаи, когда влияние факторов,
нарушающих линейность статических характеристик, становится
настолько существенным, что их приходится учитывать при расчете.
На рис. 2.1 дана статическая характеристика, слабо отличающаяся
от линейной в пределах значений [#вх. о!л и Ь^вых. oL«
При значениях
[ Хвх. 0_|л < хвх. О < L-^bx. о]л
эта характеристика может быть заменена прямой
*вых. о = КхЪХш о. B.2)
Коэффициент К называется коэффициентом передачи или
коэффициентом преобразования. Определяется этот коэффициент прира-
*ВЫХ.О i
[хеых.о]л
~[xBx.o]/i 0
J/
А .
[хвх.о]л хдх
-[Х8ых.о]л
Рис. 2.1. Статическая характеристика,
линейная при ограниченных
значениях входной и выходной величин
Рис. 2.2. Нелинейная однозначная
статическая характеристика
щением выходной величины, приходящимся на единицу значения
входной величины при равновесном состоянии элемента или системы
автоматического регулирования. На значение коэффициента /(
влияет выбор единиц измерения входной и выходной величин.
Если эти величины представлены в безразмерном виде или
измеряются в одинаковых единицах, то коэффициент К будет
безразмерной величиной. В таком случае коэффициент передачи часто
называют коэффициентом усиления, хотя, строго говоря, этот термин
следовало бы применять только при определении характеристик
усилителей. Однако системы автоматического регулирования в своем
составе имеют по крайней мере один элемент в виде регулируемого
объекта, действующего по принципу усилителя. Поэтому
применение понятия «коэффициент усиления» к коэффициентам передачи
26

систем автоматического регулирования при использовании
безразмерных входных и выходных величин является' допустимым.
За пределами значений входной величины xPiXOy при которых
приведенная на рис. 2.1 статическая характеристика может
считаться линейной, значения выходной величины хиых0 остаются
почти постоянными и не зависят от значений хвх. 0. Такого вида
статические характеристики называются характеристиками с
насыщением. Этот термин, заимствованный из электротехники и
электроники, используется при определении вида статических
характеристик любых устройств,-в том числе гидравлических и
пневматических.
Нелинейную статическую характеристику, изображенную на
рис. 2.2, можно рассматривать как характеристику с переменным по
входной величине коэффициентом передачи. Кроме статических
Х6ЫХ.О
Х8ЫХ.О )
хвх.о
Х8Х.О
Рис. 2.3. Неоднозначная петлевая
статическая характеристика.
Рис. 2.4. Статическая характеристика
неидеального реле
характеристик, у которых имеется однозначная зависимость между
выходной и входной величинами, часто встречаются неоднозначные
статические характеристики, обусловленные, например, явлениями
магнитного гистерезиса в элементе (рис. 2.3) или особенностями
конструкции элемента. У поляризованных электрических реле
неоднозначность статической характеристики проявляется в различных
значениях напряжений включения и выключения реле (рис. 2.4).
Элементы и системы автоматического регулирования могут иметь
статические характеристики и с другими видами нелинейностей;
некоторые из них дополнительно будут обсуждаться в гл. VII и
при изучении характеристик гидравлических и пневматических •
систем управления в части второй.
В ряде случаев как линейные или близкие к ним, так и
нелинейные статические характеристики связывают не две, а большее число
величин. Например, регулируемая величина х регулируемого или
управляемого объекта является функцией регулирующего г и
возмущающего / воздействий. Соответственно уравнение статики
объекта имеет вид
о = -/7о(^о> /о)»
B.3)
27

При построении статических характеристик согласно
уравнению B.3) одна из величин (г0 или /0) принимается как постоянный
параметр. Например, вращающий момент М гидравлической или
паровой турбины или какого-либо другого двигателя зависит как
м
Рис. 2.5. Моментная характеристика
двигателя
Рис. 2.6. Механическая
характеристика двигателя
от угловой скорости вращения вала Q, так и от открытия h
регулирующего органа (направляющего аппарата, открытия задвижки).
Взаимная зависимость этих трех величин может быть представлена
графически в виде моментной (рис. 2.5) или в виде механической
характеристики турбины (двигателя), приведенной на рис. 2.6.
§ 2.2. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ
Динамикой называется раздел, теории автоматического
регулирования, в котором изучаются состояния элементов и систем при
изменении во времени обобщенных координат с учетом факторов,
вызывающих эти изменения. Соотношения, определяющие взаимосвязь
между переменными обобщенными координатами и приложенными
к элементу (системе) воздействиями, являются уравнениями
динамики. Число независимых уравнений динамики должно быть равно
числу переменных величин, т. е. обобщенных координат,
определяющих в каждый момент времени состояние элемента или системы
автоматического регулирования. Такая система уравнений будет
замкнутой и при заданных начальных и граничных условиях
образует математическую модель элемента или всей системы
автоматического регулирования.
Уравнения динамики, описывающие процессы в разнообразных
элементах и системах автоматического регулирования, могут быть
дифференциальными, интегральными, разностными и
алгебраическими. Исключая из системы уравнений динамики все переменные
величины, кроме выходной или той величины, относительно
которой предполагается исследовать поведение системы, и одного из
воздействий, можно получить одно уравнение, связывающее
выходную и входную величины. С математической точки зрения такая
28

зависимость между входной л:вх (t) и выходной хвых (f) величинами
записывается в виде
^[^rWH^i [*»(')]. B-4)
где А\ и А2 — некоторые не обязательно линейные операторы.
Производная любого порядка и интеграл любой кратности могут
служить примерами применения операторов по отношению к какой-
либо функции, причем эти операторы являются линейными.
Линейный оператор А обладает следующими свойствами:
A [cxk (/)] = с A [xk (t)l с = const. B.6)
Свойство B.5) позволяет общее решение уравнения, у которого
левая и правая части выражены линейными операторами,
представить в виде суммы независимых частных решений. Такие уравнения
называются линейными, а указанный способ нахождения их общего
решения называется принципом суперпозиции (наложения).
При математическом описании процессов в элементах и'системах
автоматического регулирования наиболее широко используются
дифференциальные уравнения динамики. Для определения законов
изменения какой-либо величины по времени в исследуемом элементе
или в системе приходится находить решение дифференциального
уравнения динамики. Если уравнение линейное с постоянными
коэффициентами, то отыскание его общего решения облегчается
благодаря применимости принципа суперпозиции.
Уравнения динамики элементов и систем автоматического
регулирования составляются на основании физических законов,
которым подчиняются исследуемые процессы. Вследствие сложности
явлений, влияющих на процессы в элементах и в системах, и
конструктивных особенностей элементов математическое описание
реальных систем может привести к нелинейным дифференциальным
уравнениям. В некоторых случаях несовместимость удобства и простоты
использования линейных дифференциальных уравнений для
исследования систем автоматического регулирования с полученными для
реальных систем нелинейными дифференциальными уравнениями
оказывается устранимой с помощью методов линеаризации. В
результате применения этих методов нелинейные уравнения динамики
заменяются приближенными линейными уравнениями.
Рассмотрим сначала метод линеаризации, основанный на
условии достаточной малости отклонений переменных величин от
значений, определяющих равновесное состояние элемента или системы,
составленной из нескольких элементов. Предположим, что
выходная л:вых и входная хвх величины какого-либо элемента связаны
нелинейным уравнением
<**ВЫХ _ р / Ч (9 7\
df —* V^bx» лвых/> \*"'/
где F (хВХУ хВЬ1Х) — нелинейная функция.
29

Обозначим отклонения величин хвх и хвых от своих
установившихся значений а:зх>0, *Вых. о ПРИ равновесном состоянии системы
через Ахвх и Лхвых. Тогда в каждый момент времени
Состояние системы, относительно которого рассматриваются
отклонения входной и выходной величин, является установившимся,
поэтому согласно равенствам B.8)
<**ВЫХ _ d (А*ВЫХ) /О Q4
¦~зг"~ т • ^-^
Разложим нелинейную функцию F (хВХУ хвых) в ряд Тейлора
по степеням отклонений входной и выходной величин в окрестности
их установившихся значений xBX. 0 и л:вых# 0. Принимая во внимание
условие малости этих отклонений, удержим в таком разложении
только члены, в которые отклонения Ал:вх и Д*вых входят в первой
степени. В результате получим
Г (XBXi АГВЫХ) — Г (Хвх% о, #вых. о) Т" [ fiY ) _х АЛГВХ "Т
^вых^^вых.о
B.10)
В разложении B.10) функция F (#вх.о» хвых0) определяется при
значениях входной и выходной величин, соответствующих
равновесному состоянию системы, когда Дл:вх = Дл;вых = 0 и -~Х =0,
поэтому
- р (у у \ о . /о in
Частные производные в этом разложении берутся в общем виде
от функции F соответственно по #вх и л:вых, после чего производится
подстановка хвх = #вх. 0, ^вых =^вых. о- Эти производные
определяют тангенсы tg аг и tg a2 углов наклона касательных/
проведенных к графикам функций
yiz==*i V-^зх» -^вых.0/> i/2 == * V^bx.0» ^вых./
соответственно в точках хвх =хвх.он хвых = хвых0 (рис. 2.7, а и б).
Используя зависимость B.10) с учетом соотношения B.9) и
уравнения статики B.11), заменим нелинейное уравнение B.7)
приближенным линейным уравнением в малых отклонениях переменных
величия
А /Л <, \
B.12)
6F
dt
где
30

Обычно уравнения динамики записываются так, чтобы выходная
веЛичина и ее производные содержались в левой части уравнения,
а входная величина — в правой части. При этом уравнение чаще
всего преобразуется, с тем чтобы коэффициент при выходной
величине был равен единице. В нашем случае после выполнения
необходимых преобразований будем иметь
--Ккхвх. B.13)
Коэффициент Т в данном уравнении имеет размерность времени
и называется постоянной времени:
Т=1/а. B.14)
Коэффициент К является коэффициентом передачи, так как его
можно найти непосредственно из статической характеристики эле-
Рис. 2.7. Графики для определения коэффициентов в линеаризованном
уравнении [оси а:вх и *вых даны для общего случая F (хвх.о> #зых.о) = С]
мента, принимая установившиеся значения отклонений Дявх и
Дхвых. В соответствии с уравнениями B.12) и B.13) коэффициент
передачи определяется также по формуле
: К = Ь/а. B.15)
В общем случае величины Дхвх и Дл:вых имеют определенные
размерности. Вводя некоторые постоянные положительные величины
(масштабы) xtx и х*ых, можно записать следующие соотношения:
где Дхвх и Дл'вых — безразмерные отклонения соответственно
входной и выходной величин.
С помощью соотношений B.16) уравнение B.13) приводится
к безразмерной форме (нормируется):
г Дхвых = До
B.17)
31

Коэффициент Ко в данном уравнении является безразмерным
и связан с коэффициентом передачи К соотношением
*вх
Первоначально в теории автоматического регулирования
широко использовалась несколько иная форма записи безразмерных
уравнений динамики. В этой форме уравнение динамики B.17)
имело бы вид
Щ^ Х = ^ВХ, B.18)
где V = Т/Ко — постоянная времени; б = 1//С0 — коэффициент
«неравномерности» статической характеристики.
В целях сокращения записи символ А может быть опущен в тех
случаях, когда является очевидным измерение отклонений от
значений, соответствующих данному равновесному состоянию
элемента или системы автоматического регулирования.
При записи уравнений динамики в безразмерной форме можно
также ввести относительное время
B.19)
С учетом данного соотношения уравнение B.17) примет вид
. B.20)
Все входящие в данное уравнение величины являются
безразмерными. Аналогичным образом может быть исключена постоянная
времени Т' и из уравнения B.18).
Выше был рассмотрен метод линеаризации на примере достаточно
простого уравнения динамики. При определении математических
моделей элементов и систем автоматического регулирования в
линейном приближении приходится проводить линеаризацию и более
сложных уравнений, содержащих производные высокого порядка от
выходных и входных величин по времени, а также нелинейные
функции от таких производных. Несмотря на свою сложность,
линеаризация уравнений динамики всегда осуществима описанным методом,
если отклонения величин малы и нелинейные функции являются
аналитическими, т. е. имеют конечные производные всех порядков
по рассматриваемым переменным в окрестности, определяемой
значениями величин при выбранном равновесном состоянии элемента
или системы автоматического регулирования.
4 При выполнении такого же условия для множества мгновенных
состояний элемента или системы уравнения динамики могут быть
линеаризованы для малых отклонений величин от значений,
изменяющихся во времени. В этом случае уравнения динамики
разделяются на уравнения основного движения и уравнения движения
в отклонениях.
32

В приложениях к техническим расчетам условие малости
отклонений величин может не выполняться. Иногда удовлетворительного
соответствия расчетных и экспериментальных результатов удается
достигнуть, проведя аппроксимацию нелинейных статических
характеристик секущими прямыми (рис. 2.8).
функции, которые не могут быть линеаризованы разложением
в ряд Тейлора, делают математическую модель элемента или
системы автоматического регулирования существенно нелинейной.
Для исследования и расчета систем с такими математическими
моделями в теории автоматического регулирования разработаны
приближенные и точные методы, некоторые из которых будут
рассмотрены в гл. VII. Эти методы
применяются также* и в тех
случаях, когда нельзя ограничиться
изучением состояний элементов
и систем автоматического
регулирования при малых
отклонениях величин.
В заключение можно указать
следующую последовательность
получения линеаризованных
уравнений динамики.
Хвых.о
Рис. 2.8. Аппроксимация нелинейной
статической характеристики
Х8Х.О
1. На основании физических законов составляются исходные
уравнения, описывающие процессы в элементе или в системе
автоматического регулирования.
2. Выбирается равновесное состояние элемента или системы и
определяются значения величин, определяющих это состояние
(находится точка, в окрестности которой проводится линеаризация).
3. Проводится линеаризация нелинейных функций с
использованием малых отклонений величин от их установившихся значений
или путем линеаризации статических характеристик секущими.
4. Из линеаризованных уравнений вычитаются уравнения
статики, определяющие равновесное состояние элемента или системы.
5. Полученные уравнения преобразуются так, чтобы их
коэффициентами были постоянные времени и коэффициенты передачи
или коэффициенты усиления; уравнения могут быть приведены
к безразмерной форме.
§ 2.3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Известно, что решение линейного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами получается в виде семейства экспо
ненциальных функций е**', где %k — корни характеристического
2 Попов Д. Н.
33

уравнения. Дифференцирование и интегрирование
экспоненциальной функции ея*' приводит к умножению и делению функции на Xk.
Это указывает на целесообразность введения преобразования,
позволяющего от дифференциальных уравнений переходить к
алгебраическим. Такой переход может быть осуществлен с помощью
линейного интегрального преобразования Лапласа [18, 32]
F(s) = Je-*'/(O?fc. B.21)
о
Данное соотношение переводит функцию-оригинал / (t) в
функцию-изображение F (s\. Совокупность всех / (t) называется
пространством оригиналов, а совокупность всех F (s) — пространством
изображений.
В соотношении B.21) время t является действительной
переменной, a s = а + /со — комплексной переменной. Таким образом,
с помощью преобразования Лапласа функции действительного
переменного ставится в соответствие функция комплексного
переменного. Используют различные обозначения указанного
преобразования функций; в дальнейшем с этой целью будет применяться
следующая форма записи:
Для обозначения изображений также существуют различные
приемы. Например, изображения, как в преобразовании B.21),
обозначают большими буквами, а оригиналы — малыми, или
наоборот. В некоторых случаях изображения в отличие от оригиналов
отмечают чертой сверху. Оба эти способа не очень удобны при
математическом описании систем с большим числом различных
постоянных и переменных физических величин, обозначение которых
требует использования почти всех букв не только латинского, но
и греческого алфавита, в связи с чем чертой сверху приходится
отмечать безразмерные значения этих величин. Поэтому
изображения от оригиналов в дальнейшем отличаются тем, что в скобках
указывается переменная s, а буквы используются одинаковые.
В виде исключения обозначения вводимых ниже передаточных
и весовых функций, как это принято в теории автоматического
регулирования, даны соответственно большой и малой буквами.
В целях сокращения записи операцию преобразования,
выполняемую с помощью интеграла B.21), принято представлять в виде
и называть «^-преобразованием.
Переход из пространства изображений в пространство
оригиналов осуществляется обратным преобразованием (Ц^-преобразование)
по следующей формуле обращения Римана—Меллина:
1 "У00
=55 ) f(s)*stds, *>0, B.22)
с—(со
34

где интегрирование ведется в плоскости комплексной переменной s
вдоль прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на
расстояние с, причем прямая расположена правее всех особых точек
функции f (s).
В ряде случаев отпадает необходимость в использовании
формул B.21) и B.22), так как имеются достаточно подробные таблицы
оригиналов и изображений [32].
Существуют и другие виды интегральных преобразований, из
которых наиболее близким к преобразованию Лапласа является
преобразование Карсона
f. B.23)
Из сравнения интегралов B.21) и B.22) следует, что эти два
преобразования связаны соотношением
Преобразование Карсона используется в теории автоматического
регулирования наравне с преобразованием Лапласа. В общей
теории линейных систем применяется также двустороннее
преобразование Лапласа, отличающееся от одностороннего преобразования
B.21) тем, что имеет нижний предел — оо вместо 0 [20]. Методы
прикладного математического анализа, позволяющие получать
решения линейных дифференциальных и интегральных уравнений на
основе интегральных преобразований, составляют содержание
операционного исчисления. Отдельные стороны операционного
исчисления будут затрагиваться в. последующих разделах с
использованием одностороннего преобразования Лапласа.
Для осуществления одностороннего преобразования по Лапласу
функция-оригинал / (t) должна удовлетворять следующим
условиям:
быть непрерывной вместе со всеми своими производными для
всех значений t ^ 0, кроме отдельных точек, являющихся точками
разрыва непрерывности первого рода, причем на каждом конечном
интервале оси / число этих точек должно быть конечным;
быть равной 0 при всех t < 0;
возрастать не быстрее показательной функции, т. е. чтобы при
М > 0, с0 > 0
В операционном исчислении доказывается ряд теорем, которыми
определяются свойства преобразования Лапласа, применяемые при
решении различных прикладных задач. Основные из этих свойств
следующие:
1. Умножение аргумента оригинала (изображения) на некоторое
число приводит к делению изображения (оригинала) и его аргумента
35

на это же число (теорема подобия):
2. Изображение суммы конечного числа оригиналов равно сумме
их изображений:
если /(*)=/ (s) и Ф @ = Ф (s), то / @ + Ф @ = / (S) + ф (s).
3. Изображение произведения оригинала на постоянную
величину равно произведению изображения на эту постоянную:
= af(s).
4. Если оригинал смещается вдоль оси t на величину т, причем
/ (t — т) =0 при t < т, то
/(/-T) = e-"/(s)f
где/(*)=/(*).
Это свойство следует из теоремы запаздывания.
5. Смещение изображения на s0 приводит к умножению
оригинала на es°' (теорема смещения или затухания):
e"f (*) = /(*-so),
где s0 — любое комплексное число.
6. Произведение двух изображений / (s) и ф (s) также является
изображением, причем равносильно свертыванию оригиналов
(теорема свертывания):
о
Интеграл в правой части этого соотношения называется сверткой
функций / (/) и ф (t) и обозначается следующим образом:
t
/ ¦ Ф = J / (т) • ф (/ — т) dx,
о
где т — вспомогательное время, изменяющееся от нуля до текущего
значения t.
Свертка, так же как и произведение, обладает свойством
коммутативности
или
о
и свойством ассоциативности
(f*g)*4> = f*(g*4>)-
7. Теорема о предельном значении приводит к условию
lim /(*) = lim
36

8. Теорема о начальном значении дает
= lim sf(s).
t-+Q
9. Изображение производных оригиналов находится по теореме
дифференцирования из соотношения
fin) (/) = gnf (s) _ f {t = +0) s*-i -/' (/ = +0) s*-2
s_f(n-l) (/ = +0),
где f(s)=f @; /u) @ — производная л-го порядка от функции / (t)
n0 t\f(t= +0), Г (/ = +0) ... /(--1) (t = +0) - предельные
значения, к которым стремятся функция-оригинал и ее производные,
когда t стремится к нулю справа. Эти значения можно назвать
правосторонними начальными условиями.
При нулевых правосторонних начальных условиях
Теорема дифференцирования приводит к соотношению
10. Интегрирование оригинала от нуля до переменной t
соответствует в пространстве изображений делению изображения на s
(теорема интегрирования для оригинала) при нулевых начальных
условиях:
Свойства 9 и 10 раскрывают важные для приложений особенности
преобразования Лапласа, заключающиеся в том, что операции
дифференцирования и интегрирования в пространстве оригиналов
заменяются в пространстве изображений алгебраическими действиями:
умножением и делением.
Необходимо отметить, что в большинстве случаев при
изложении свойств преобразования Лапласа рассматриваются указанные
выше правосторонние начальные условия. Однако при решении
прикладных задач обычно известны состояния физических систем
до момента t = 0, т. е. известно прошлое исследуемых систем.
В связи с этим сравнительно просто могут быть сформулированы
начальные условия, когда / стремится к нулю слева. Такие
начальные условия могут быть названы левосторонними или предначаль-
ными. Они записываются в виде
f Ц = -0), /' (/ = -0)...р»-и (t = -0).
При приложении к системе возмущений в момент t = 0 функции
и их производные могут иметь скачки, т. е. могут быть разности
между соответствующими левосторонними и правосторонними
значениями начальных условий [между / (t '= +0) nf(t= —0), между
37

/' (Г= +0) и р (t = —0) и т. д.] и поэтому левосторонние и
правосторонние начальные условия не совпадают. Определение же
правосторонних начальных условий часто сопряжено с
выполнением достаточно сложных вычислений.
Указанные трудности отпадают, если левосторонние начальные
условия являются нулевыми и на систему при t < 0 не действуют
никакие возмущения, т. е. система находится в равновесном
состоянии. В этом случае при нахождении, согласно свойству 9,
изображений производных от оригиналов с целью преобразования
по Лапласу дифференциальных уравнений могут быть использованьь
левосторонние начальные условия [18]. Ниже, во всех разделах,
когда речь будет идти о нулевых начальных условиях, обычно
имеются в виду левосторонние начальные условия, причем
предполагается, что этим условиям соответствует равновесное
состояние изучаемой системы.
Более общие случаи левосторонних начальных условий могут
быть учтены, если в преобразовании Лапласа B.21) нижним
пределом считать (—0) с тем, чтобы включить дельта-функции,
содержащиеся при t = 0, в область интегрирования [5, 18, 20].
§ 2.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть исходя из предположений, сделанных относительно свойств
и характеристик какого-либо элемента или системы
автоматического регулирования, или в результате применения рассмотренных
выше методов линеаризации, получено следующее линейное
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
п. ЛпХзых , п ^-^вых , , dxBblx
п • dt" ""*" п~г ~~dF^—*"'в # + 1 ~дГ
rc-l dtm-l "Г*
где хвх и хвых — соответственно входная и выходная величины или
их отклонения от значений, определяющих равновесное состояние
элемента или системы.
Проведем преобразование уравнения B.24) по Лапласу, полагая
начальные условия нулевыми и используя свойства 2, -3 и 9 из
§ 2.3. В результате найдем уравнение в изображениях
у (ansn + fl^-is*-1 +... + axs + а0) хвых (s) =
= Фт$т + bm-xS™'1 +... + b±s + bo) xBX (s). B.25)
Затем определим отношение
*вых (s) = bms*n + bm_lSm-i + ,,,b1s + b0
xBX(s) ansn-j~an_1sn l + ...a1s+a0 ' V* ;
Отношение изображения выходной величины к изображению
входной величины, полученное при нулевых начальных условиях,
называется передаточной функцией. Обозначив передаточную функ-
38

цию через W (s), имеем
W(s) = xBM(s)/xn(s). B.27)
Запишем теперь уравнение B.24) в символической форме. Вводя
оператор дифференцирования р = d/dt, получим символическую
запись
апРпХвых + Ял-1Рл~1*вых + • • • + aipx^ + аохвых =
= Ьтртхвх + Ьт^рт-Ххъх + ... + Ьгрхвх + Ьохвх.
Из этого уравнения формально находится соотношение
выражение в правой части которого совпадает с выражением,
определяющим передаточную функцию B.26) при замене символа
дифференцирования на переменную s. Таким образом, передаточную
функцию можно формально находить, беря отношение операторного
полинома
М (р) = Ътр* + Ьт-гр™-1 + ... + blP+b0 B.29)
к операторному полиному
D (р) = апрп + ctn^p*1-1 + ..9 + aip + ao. B.30)
В этом случае передаточная функция определяет связь между
выходной и входной величинами в пространстве оригиналов.
Операторный полином B.29) получается из правой части
дифференциального уравнения B.24), связанной с входной величиной, и
поэтому может быть назван входным оператором или оператором
воздействия. Операторный полином^ B.30) определяет левую часть
дифференциального уравнения B.24), характеризующую
собственные свойства элемента или системы автоматического
регулирования, которые не зависят от внешних воздействий. В связи с этим
такой полином называется собственным или выходным
оператором.
Характеристическое уравнение, соответствующее
дифференциальному уравнению B.24), имеет вид
апкп + пп.^-1 +... + ахК + а0 = 0. B.31)
Из сравнения операторного полинома B.30) с уравнением B.31)
видно, что корни характеристического уравнения находятся из
0, B.32)
поэтому собственный оператор называется также
характеристическим полиномом.
Отмеченное выше совпадение выражений для передаточной
функции, получаемых с помощью преобразования Лапласа и
символическим методом, позволяет находить передаточные функции
элементов и систем автоматического регулирования непосредственно
39

по дифференциальным уравнениям, производя в них замену
символа дифференцирования d/dt комплексной переменной s или
оператором /?. При этом следует иметь в виду, что в случае решения
задач с применением методов операционного исчисления должны
рассматриваться изображения входных и выходных величин и
соответственно в передаточной функции должна приниматься
комплексная переменная s.
Элементы и системы автоматического регулирования могут
подвергаться различным воздействиям, которые в общем случае
характеризуются произвольными функциями времени. Функция времени,
определяющая изменение выходной величины при каком-либо
воздействии, приложенном к элементу или системе, называется
откликом или реакцией элемента (системы) на входное воздействие. В
теории автоматического регулирования широко используются методы
изучения динамических свойств элементов и систем, основанные
на определении откликов (реакций), вызванных определенными
(детерминированными) типами воздействий.
В качестве типовых входных воздействий принимаются
единичная ступенчатая функция (единичный скачок)
1 при
единичная импульсная функция
и воздействие с гармоническим изменением входной величины.
§ 2.5. ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ
В каждый момент времени связь между выходной и входной
величинами элементов или систем автоматического регулирования,
имеющих линейную математическую модель, устанавливается
дифференциальным уравнением B.24). Представим это уравнение
в сокращенной форме записи:
D(p)xBblX = M(p)xBX. B.33)
При заданном входном воздействии (сигнал) хвх (t) изменение
выходной величины во времени (выходной сигнал) является
решением уравнения B.33):
*вых (/) = [*вых (t)]n + [*вых @1у, B.34)
где [л:вых (/)]п — общее решение однородного дифференциального
уравнения, получаемого из выражения B.33) при хвх = 0,
которым определяется свободное движение исследуемой системы;
1*вых ('Iу — частное решение неоднородного дифференциального
уравнения B.33).
40

Известно, что
[*.ых@]п=? I>Ckitk eV, B.35)
;=i U = o /
где ^. — различные корни характеристического уравнения; kt —
кратность корней характеристического уравнения; Сы —
произвольные постоянные; i = 1, 2, ...\i
Характеристическое уравнение совпадает с уравнением B.32)
при замене в последнем р на X.
Для определения произвольных постоянных необходимо иметь
начальные условия
(^) B.36)
При заданных начальных условиях B.36). произвольные
постоянные вычисляются в результате решения системы п
алгебраических уравнений. Для нахождения такой системы в решение B.34)
подставляются общее решение B.35) однородного
дифференциального уравнения и частное решение неоднородного
дифференциального уравнения. Затем должны быть взяты (п — 1) производных
от величины хвых (t) по t и после подстановки t = О полученные
выражения приравниваются к соответствующим значениям
производных из начальных условий B.36).
Решение B.34) определяет процесс изменения величины хвых
во времени с момента приложения к элементу или к системе
автоматического регулирования входного воздействия. Этот момент обычно
принимается за начало отсчета времени, и, следовательно,
развитие всего процесса хвых (t) рассматривается для t > О, в связи
с чем начальные условия B.36) должны быть известны для t = +0.
Такие правосторонние начальные условия, как уже отмечалось,
могут не совпадать с левосторонними («предначальными»)
условиями (/ = —0), характеризующими начальное состояние
элемента или системы автоматического регулирования до приложения
входного воздействия.
Если в правой части дифференциального уравнения динамики
содержатся производные [уравнение вида B.24) при коэффициентах
bky отличных от нуля], то указанный здесь случай будет иметь
место при входных воздействиях хвх (t) с разрывом при t =• 0.
Решение уравнения можно получить после сведения его путем
замены переменных к системе уравнений, не содержащих в
правой части производных от разрывных функций. Обычно к
уравнению вида B.24) приводит преобразование системы более простых
Дифференциальных уравнений первого и второго порядка,
описывающих процессы в отдельных элементах системы автоматического
регулирования. При наличии такой исходной системы
дифференциальных уравнений по физической сущности исследуемых
процессов и исходя из состояния системы автоматического
регулирования до приложения входного воздействия могут быть сформу-
41

лированы начальные условия для д:вых>; (+0) и для Хвых. * (+0).
Недостающие начальные условия должны последовательно
определяться по исходной системе дифференциальных уравнений,
приводящих к уравнению B.24). Сначала находятся х^ых. i (+0),
затем, после дифференцирования системы уравнений и
подстановки t = 0, Хвых. I (+0) И Т. Д.
При типовом входном воздействии в виде единичной
ступенчатой функции (единичного скачка, рис. 2.9) зависимость выходной
величины от времени при t > 0 называется переходной функцией
или переходной
характеристикой. Эта функция определяется
при нулевых начальных
условиях и обозначается h (t).
Применение методов операционного
исчисления облегчает
нахождение переходных функций, так
Рис. 2.9. График единичной
ступенчатой функции
как при этом отпадает необходимость вычисления произвольных
постоянных и устраняются отмеченные выше трудности в
формулировании правосторонних начальных условий.
Предположим, что для элемента или системы автоматического
регулирования известна передаточная функция W (s). Тогда по
соотношению B.27) имеем
х (s) = W (s) x * (s) B 37)
В случае входного воздействия в виде единичной
ступенчатой функции 1 (t) изображение хвх (s) вычисляется по формуле
преобразования Лапласа B.21) следующим образом:
Следовательно,
l(t)=l/s. B.39)
Подставив изображение единичной ступенчатой функции из
формулы B.39) в зависимость B.37), найдем изображение
переходной функции
h(s)=W(s)/s. B.40)
С учетом соотношений B.25), B.26) и B.37) изображение
переходной функции B.40) можно привести к виду
h(s) = M (s)/sD(s), B.41)
42

где
М (s) = Ьт
D (s) = ansn + a^is71-1 +... + axs + a0.
Для получения переходной функции h (t) необходимо по
изображению B.41) определить оригинал. В общем случае этой цели
служит формула обращения B.22). Однако непосредственное
использование этой формулы приводит к вычислительным трудностям
и для обратного преобразования обычно применяют доказанные
в операционном исчислении теоремы разложения или таблицы
соответствий между изображениями и оригиналами. Если
изображение является дробно-рациональной функцией вида B.41),
причем степень полинома М (s) в числителе меньше степени полинома
D (s) в знаменателе и D (s) имеет простые корни, отличные от нуля,
то одна из теорем разложения дает формулу Хевисайда [18, 32]
2
у М (sk)
ЩО) + 2 skD>{sk)
где sk — корни уравнения D (s) — 0;
D'(sk)=(dD/ds)s=Sh.
В качестве примера найдем переходную функцию для элемента
с передаточной функцией
здесь п = 1, sx =—1/Т, D' (sx) = Т, поэтому по формуле B.42)
имеем
h (t) == 1 + \ е-'/г = 1 - е- «т. B.43)
т 1
График такой переходной функции (переходная характеристика)
показан на рис. 2.9 штриховой линией.
Более общая формула для определения оригинала / (t) по его
изображению / (s) = A (s)/B (s), которое является
дробно-рациональной функцией, причем степень полинома числителя
по-прежнему меньше степени п полинома знаменателя, имеет вид
п
2 ikP
B.44)
где Si — корни уравнения В (s) = 0; ki — кратность корня sit
Переходная функция может быть использована для
определения закона изменения выходной величины во времени при
произвольном законе входного воздействия. Если хвх (t) —
произвольная функция времени, имеющая изображение хвх (s), то изображе-
43

ние выходной величины находится по зависимости B.37). С помощью
переходной функции B.40) эту зависимость можно записать в виде
BX(s). B.45)
Правая часть данного соотношения содержит произведение
двух изображений и множитель s. Согласно рассмотренным выше
свойствам преобразования Лапласа (свойства 6 и 9) этому
выражению в пространстве оригиналов будет соответствовать
производная по времени от свертки двух функций:
t
s-h(s)-хвХ (s) = j J Л(* -т)хвХ(т) dx. B.46)
Из соотношения B.45) и соответствия B.46) следует
зависимость для выходной величины
t
*вых (/) = 4 [h (/ - т) хвх (т) dx. B.47)
dt
Данная формула называется интегралом Дюамеля.
§ 2.6. ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ
Весовой функцией (функцией веса, импульсной переходной
характеристикой) называется зависимость w (t) выходной величины
от времени при входном воздействии в виде единичной импульсной
функции S (t).
Единичной импульсной функцией (единичной б-функцией)
называется функция, равная нулю всюду, кроме точки t = 0, где она
стремится к бесконечности, причем так, что интеграл от нее по
любому интервалу, включающему точку t = 0, равен единице:
8
\6(t)dt = l при любом 8>0. B.48)
— 8
Впервые б-функции были введены Дираком, поэтому в
математике эти функции называются его именем.
Весовую функцию можно определить следующим образом.
Предположим, что воздействием являются смещенные относительно
друг друга ступенчатые функции К Л (t) и —К Л (t — Д?)
(рис. 2.10). Изменение выходной величины во времени при таком
воздействии определяется по разности соответствующих переходных
функций:
B.49)
Если теперь увеличивать высоту скачка К и одновременно
уменьшать величину смещения Д/ так, чтобы КЫ под графиком
44

суммарного воздействия (штриховая прямая на рис. 2.10)
равнялась единице, то будем приближаться к единичному
импульсному воздействию. Умножив и разделив правую часть зависимости
на А^ и перейдя к пределу,
получим весовую функцию
w(t) =
Д/->0
dh
~'dt'
B.50)
Отсюда следует, что весовая
функция может определяться
дифференцированием переходной
функции.
Рис. 2.10. Приближение двух
ступенчатых функций к б-функции, т = А/
В изображениях по Лапласу зависимость B.50) с учетом
нулевых начальных условий принимает вид
Подставив в это соотношение изображение переходной функции
B.40), будем иметь
w(s)=*W(s).
B.52)
Данное соотношение позволяет дать еще одно определение
передаточной функции: передаточная функция является
изображением по Лапласу весовой функции:
B.53)
Изображение выходной величины при произвольном входном
воздействии можно найти из соотношений B.37) и B.52) в виде
поэтому изменение выходной величины во времени при
произвольном входном воздействии и нулевых начальных условиях
определяется интегралом свертки
*выХ @ = $ W (t - Т) Хвх (Т) d%.
о
B.54)
43

§ 2.7. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Особенно удобным для исследования динамических свойств
элементов и систем автоматического регулирования является
гармоническое входное воздействие
хвх (t) = авХ sin со/, B.55)
где авх — амплитуда входного воздействия; со — угловая частота.
Такое воздействие по сравнению с другими видами
детерминированных сигналов проще создать пря проведении экспериментов
и, как будет показано ниже, позволяет при минимальном объеме
вычислений получить расчетные характеристики, достаточно полно
отражающие динамические свойства элементов и систем.
При гармоническом входном воздействии B.55) закон-измейе-
ния выходной величины во времени согласно решению B.34) имеет
две составляющее. Первая из них, определяемая общим решением
однородного дифференциального уравнения, характеризует
переходный процесс, возникающий в элементе или в системе после
приложения гармонического воздействия. Вторая составляющая
характеризует вынужденное движение элемента или системы и
определяется частным решением неоднородного дифференциального
уравнения.
В силу линейности исходного дифференциального уравнения
эта составляющая будет также гармонической, но в общем случае
отличающейся от входного воздействия по амплитуде и по фазе:
[*вь,х @1у = Явых sin (©/ + Ф), B.56)
где со — угловая частота; авых — амплитуда гармонической
составляющей закона изменения выходной величины; ср — сдвиг по фазе
выходной величины относительно входной.
Если исследуемый элемент или система автоматического
регулирования устойчивы, то при t—> + °° отклонения выходной
величины [хвых (/)]п в переходной составляющей будут стремиться
к нулю. При этом закон изменения выходной величины во времени
будет приближаться к установившейся гармонической составляющей.
Исследование зависимостей отношения амплитуд авых/авх и
фазы ф от частоты вынужденных колебаний дает полную картину
динамических свойств линейной модели элемента или системы
автоматического регулирования. Математические операции,
которые необходимы для определения этих зависимостей, существенно
упрощаются при представлении гармонических колебаний в
комплексной форме. Известно, что функция aef^ в комплексной
плоскости является точкой, которая при изменении со от 0 до оо будет
перемещаться по окружности радиуса а с угловой скоростью со
(рис. 2.11).
Комплексная функция ае'40' может быть записана в
тригонометрической форме:
сю/<*=a cos at + ja sin со/. B.57)
46

Видно, что функции a cos со? и a sin со/ являются соответственно
вещественной Re (ae'w) и мнимой Im (ae*°0 частями комплексной
функции ae'w, иначе говоря — проекциями радиуса-вектора,
определяющего эту функцию, на мнимую и вещественную оси.
Следовательно, задание входного воздействия в виде комплексной функции
B.58)
равносильно подаче на вход элемента или системы автоматического
регулирования суммы двух гармонических воздействий
(косинусного и синусного). Выходная величина в силу линейности элемента
или системы будет также содержать сумму двух гармонических
сигналов, отличающихся
от входных амплитудой и
начальной фазой. В
комплексной форме эту сумму '
по соотношению,
аналогичному B.57), можно
записать в виде
*.ых = в»ы«е'(в'+ф)- B.59)
Динамические свойства
элемента или системы
автоматического
регулирования проявляются в
изменении амплитуды выходной
величины по сравнению с
Рис. 2.11. Представление
гармонических сигналов в
комплексной форме
амплитудой входной величины и в сдвиге по фазе между этими
величинами в зависимости от частоты колебаний. Необходимые
соотношения, характеризующие эти изменения в колебании
выходной величины, могут быть найдены с помощью соотношений,
определяющих комплексную форму колебаний без выделения
синусной и косинусной составляющих.
Воспользуемся для этого дифференциальным уравнением B.24).
Подставив в уравнение входную и выходную величины из
соотношений B.58) и B.59) и все производные по времени от этих
величин, получим
[ап (/со), + ап_г (/(o)*-i +... + floJ авыхе'<Р • е!«* =
= [Ьт (/со)" + fem-i (/со)"-1 +... + Ьо] авхе^. B.60)
Сократив обе части данного соотношения на необращающийся
в ноль множитель е'00', найдем комплексную величину
47

Комплексная величина W (/со) называется амплитудно-фазовой
частотной характеристикой (АФЧХ) или комплексной частотной
передаточной функцией (применяется также термин комплексный
коэффициент передачи).
Амплитудно-фазовая частотная характеристика B.61)
является на комплексной плоскости годографом радиуса-вектора W (/со)
при изменении частоты от нуля до бесконечности. Длина этого
радиуса-вектора равна отношению авых/а вх = А (со) амплитуды
выходной величины к амплитуде входной величины, а угол между
радиусом-вектором и положительной частью вещественной оси равен
сдвигу ф (со) по фазе между колебаниями
этих величин, т. е.
mod W (/со) =-1 W (/со) | = А (со); B.62)
arg W(/co) = <p(co). B.63)
С учетом этих соотношений АФЧХ
может быть представлена в виде
№(/©)=» Л (ю)еМ®> B.64)
или Ц7(/со) = {/(со) + /Т(со). B.65)
Рис. 2.12. Амплитудно-фазовая частотная
характеристика системы третьего порядка
Входящие в последнее соотношение функции угловой частоты
U (со) и V (со) называются вещественной и мнимой частотными
характеристиками.
Для примера на рис. 2.12 дана АФЧХ, соответствующая
уравнению B.24) при п = 3, Ьт = Ът_х = ... = &i =0. Выражение
в правой части формулы B.61) показывает, что при со = 0
отношение амплитуды выходной величины к входной равно
коэффициенту передачи:
АФЧХ может вычисляться в диапазоне частот от — оо до + оо,
причем при отрицательных частотах комплексные значения W (—/со)
являются сопряженными со значениями W (/со), полученными при
положительных частотах. Вследствие этого график АФЧХ строится
обычно при изменении угловой частоты от 0 до +оо, а ветвь
характеристики при отрицательных частотах в случае необходимости
находится зеркальным отображением относительно вещественной
оси кривой, полученной для положительных значений частоты
(штриховая линия на рис. 2.12).
Из сравнения соотношений B.26) и B.61) видно, что АФЧХ
определяется по передаточной функции элемента или системы
путем подстановки s = /w.
Если все полюсы передаточной функции B.26) лежат на
комплексной плоскости слева от мнимой оси (все корни D (s) = 0
48

расположены в левой полуплоскости) и т < п, то комплексную
переменную s в интеграле B.53), не нарушая его сходимости, можно
заменить на /со. Это равносильно тому, что значения
передаточной функции будут рассматриваться на мнимой оси, т. е. при s =
==/0). В результате получим соотношение, определяющее АФЧХ
в виде
W (to) = $ e-fmw (т) &%. B.66)
о
При комплексном входном воздействии B.58) изменение
выходной величины во времени можно представить с помощью интеграла
свертки B.54) следующим образом:
/ t
*вых (/) = \ ЯвХе/С0 {t~x)w (т) dx = aBXe^w J е-^% (т) dr.
о о
Данный интеграл запишем как
*вых @ = авхе^ Г] е-^ш (т) dx - ] е-^да (т) dx\
При <-> +°° второй член в правой части последней
зависимости стремится к нулю; принимая во внимание соотношение B.66),
найдем вынужденную составляющую колебаний выходной
величины в виде
(у П
Интеграл B.66) нельзя получить, если не все полюсы
передаточной функции располагаются на комплексной плоскости слева
от мнимой оси. В дальнейшем будет показано, что в таком случае
элемент или система являются неустойчивыми, вследствие чего
выходная величина с течением времени стремится к бесконечности
при любом входном воздействии.
§ 2.8. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ АМПЛИТУДНЫЕ И ФАЗОВЫЕ
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
При расчетах систем автоматического регулирования кроме АФЧХ
широко используются амплитудные и фазовые частотные
характеристики. Амплитудной частотной характеристикой элемента или
системы называется зависимость отношения амплитуд
установившихся колебаний выходной и входной величин от частоты. Фазовой
частотной характеристикой называется зависимость сдвига по
фазе в колебаниях выходной и входной величин от частоты.
Согласно соотношениям B.64) и B.65) амплитудная частотная
характеристика определяется как модуль комплексной величины:
А (со)
49

Применяется и другой прием вычисления амплитудной
частотной характеристики, основанный на правиле деления комплексных
величин, при котором
где
М (/го) = Ьт (/го) + bm-i (/со)"-1+... + Ьо\
D (/со) = ап (/со)» + а„_х (/а))» +... + а0.
Фазовая частотная характеристика находится в виде
или как
<р (со) = arg M (/со) — argD (/со).
Графики амплитудных и фазовых частотных характеристик
обычно строятся с использованием логарифмических масштабов.
В этом случае для измерения отношения амплитуд выходной и
входной величин служит логарифмическая единица децибел (дБ). Связь
между отношением амплитуд, взятом в децибелах L (со), и
обычным отношением А (со) устанавливается формулой
L(co) = 201g^(co) [дБ].
Частоты, при которых определяются значения L (со),
откладываются по оси абсцисс также в логарифмическом масштабе, но
при этом указываются численные значения самих частот в рад/с
или в Гц (рис. 2.13).
На оси частот можно выделить характерные .интервалы: октавы
и декады. Октавой называется интервал частот, заключенный
между каким-либо значением частоты и его удвоенным значением.
Декадой называется интервал частот, заключенный между каким-
либо значением частоты и его десятикратным значением. Октава
или декада принимаются в качестве логарифмических единиц
измерения по оси абсцисс (оси частот).
Фазовая частотная характеристика строится в такой же
координатной сетке, как амплитудная частотная характеристика,
причем значения фазовых углов указываются в градусах или в
радианах и откладываются по оси ординат в обычном масштабе.
Амплитудная и фазовая частотная характеристики,
изображаемые с применением логарифмических масштабов, называются
соответственно логарифмической амплитудной частотной
характеристикой (ЛАХ) и логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФХ).
При построении ЛАХ, строго говоря, должно использоваться
безразмерное отношение амплитуд выходной и входной величин.
Однако при технических расчетах иногда берут отношения ампли-
50

уд, имеющих разные размерности; тогда следует условиться
0 величине, принимаемой за единицу измерения А (со).
Таким образом/ кроме амплитудно-фазовол частотной
характеристики для элемента или системы с помощью передаточной
функции можно получить еще четыре частотных характеристики:
вещественную, мнимую, амплитудную и фазовую, причем для
изображения двух последних характеристик могут быть применены
логарифмические масштабы.
Если нули (корни уравнения М {s) = 0) передаточной функции
элемента или системы и полюсы (корни уравнения D (s) = 0) этой
№
50
40
30
20
10
0
-10
-го
-30
-40
-so
ISO
120
90
60
зд
-ъо
-60
-90
-120
•150
3 4 5 6 7 8-310
Декада I Октава
20 30 40 50 60 70и,рад}с°
Рис. 2.13. Логарифмические координаты для графиков амплитудной и фазовой
частотных характеристик
передаточной функции расположены на комплексной плоскости
слева от мнимой оси, то между амплитудными и фазовыми
частотными характеристиками существует однозначная связь. Элементы
и системы, передаточные функции которых удовлетворяют этому
условию, называются минимально-фазовыми. У таких элементов
и систем каждой относительной амплитуде А (со) (модулю
амплитудно-фазовой частотной характеристики) соответствует
наименьшее значение фазы ср (со).
Элементы и системы, передаточные функции которых имеют
нули, лежащие на комплексной плоскости справа от мнимой оси,
называются неминимально-фазовыми.
Для минимально-фазовых элементов и систем справедлива
теорема Боде, устанавливающая следующие зависимости между
51

отдельными частотными характеристиками [711:
—со
-foo
-i J ??<*
где L = \nA(u); Х = 1п —; и — переменная интегрирования.
со
При расчетах иногда используют обратные АФЧХ и
соответствующие им обратные амплитудные и фазовые частотные
характеристики. Обратные АФЧХ W0$p (/со) находятся по амплитудно-
фазовым частотным характеристикам по соотношению
Соответственно
Лобр(со)==1/Л(со)
И ()

Глава III
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 3.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
При определенной степени идеализации различных устройств
удается получить достаточно простые передаточные функции,
отражающие общие динамические свойства устройств независимо от
особенностей протекающих в них физических процессов. Звенья
с такими передаточными функциями относятся к типовым. Они
разделяются на пропорциональное, интегрирующее,
дифференцирующее, апериодическое, форсирующее первого порядка,
колебательное и форсирующее второго порядка. Первые три звена
наиболее просты в отношении определения динамических
характеристик.
Пропорциональное звено передает сигналы от входа к выходу
без сдвига по фазе, причем отношение амплитуд выходной и
входной величин сохраняется постоянным при всех частотах.
Примерами пропорциональных звеньев могут служить рычажные
механизмы, дифференциальные зубчатые механизмы, электрические
потенциометры, а в ряде случаев сельсины и вращающиеся
трансформаторы. Зависимость выходной величины от входной в
пропорциональном звене имеет вид
Хвых = КхвХ. C.1)
У. механизмов коэффициент передачи совпадает с
передаточным числом, а у электрических устройств определяется значением
выходного напряжения, приходящимся на единицу перемещения
щетки потенциометра, угла поворота ротора сельсина или
вращающегося трансформатора.
Интегрирующее звено характеризуется тем, что выходная
величина определяется интегралом по времени от входной величины.
Такое звено описывается уравнением
Т %?=*вх. C.2)
Преобразование по Лапласу этого уравнения при нулевых
начальных условиях дает передаточную функцию
C.3)
53

Переходная функция находится непосредственно
интегрированием уравнения C.2) при хвх = 1 (t):
h(t) = t/T9 C.4)
причем произвольная постоянная получается равной нулю, так
как началом отсчета выходной величины принято ее значение
до ступенчатого единичного воздействия.
Весовая функция по соотношению B.50) равна
w(t) = l/T. C.5)
Амплитудно-фазовую частотную характеристику можно
получить подстановкой s ==/© в передаточную функцию C.3):
В7 (/©)=: — //Гсо. C.6)
Данная зависимость показывает, что фазовая частотная
характеристика интегрирующего звена имеет постоянное значение:
Ф(со) = — я/2, C.7)
а амплитудная частотная характеристика вычисляется по
соотношению
Л(со) = 1/Г(о. . C.8)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
строится по
L (co) = 2Olg A/7(о) = — 20 lgTco. C.9)
Полагая в этой зависимости значения угловой частоты со
равными \1Т и 10/Т, легко заметить, что логарифмическая
амплитудная частотная характеристика интегрирующего звена будет
прямой, пересекающей ось абсцисс в точке со = 1/Ти имеющей
отрицательный наклон — 20 дБ/дек. На рис. 3.1 даны графики всех
рассмотренных выше характеристик интегрирующего звена.
Одним из примеров интегрирующего звена может быть
гидравлический механизм, состоящий из распределительного золотника
и ненагруженного гидроцилиндра (рис. 3.2). Предположим, что
золотник 1 имеет нулевые перекрытия и размещен во втулке с
пренебрежимо малыми зазорами. Пусть также рабочей средой служит
жидкость, которую вследствие постоянства давлений р1 и р2 в
полостях гидроцилиндра 2 можно считать несжимаемой.
При смещении золотника от нейтрального положения расход
жидкости, протекающей в гидроцилиндр и вытекающей из него
через окна во втулке, будет
^. " (ЗЛО)
где |х3 — коэффициент расхода распределительного золотника;
Ьок — ширина окон во втулке (если окно, расположенное против
бурта золотника, занимает весь периметр втулки, то b0K = nd3);
54

хз — смещение золотника от нейтрального положения; рп —
давление питания в напорной магистрали; рсл — давление в сливной
магистрали; р — плотность жидкости.
По условию неразрывности потока жидкости
Qn-Fu%, . (з.и)
где Fu — рабочая площадь поршня гидроцилиндра; уп — смещение
поршня, измеряемое от положения, которое он занимал, до
смещения золотника.
I)
+ ОО
U
1дь)
9)
Рис. 3.1. Характеристики интегрирующего звена:
а — переходная; б — весовая; в — амплитудно-фазовая; end — логарифмические
амплитудная и фазовая
Из соотношений C.10) и C.11), полагая х* =#*, х3 =
и уп = д .у*, получим уравнение
C.12)
Тг — постоянная времени гидравлического механизма;
г — ~F=
Мок у -
Хид — безразмерные смещения золотника и поршня гидроцилиндра.
Уравнение C.12) является таким же, как и уравнение C.2),
поэтому данный гидравлический механизм имеет характеристики
интегрирующего звена. В дальнейшем будет показано, что при
действии внешней нагрузки на поршень гидроцилидра уравнения
получаются более сложными и, следовательно, интегрирующее
55

звено может служить в качестве математической модели
гидравлического механизма рассмотренного типа только при сделанных
выше допущениях.
Дифференцирующее звено в противоположность
интегрирующему описывается уравнением вида
у х= Т dx™
выХ dt *
которому соответствует передаточная функция
C.13)
C.14)
Переходная и весовая функции определяются соотношениями
C.15)
Амплитудно-фазовая частотная характеристика находится
подстановкой s =/ю в передаточную функцию C.14):
W(j(o) = fT(o. C.16)
Из сравнения формул C.6) и C.16) следует, что все частотные
характеристики дифференцирующего звена являются обратными
по отношению к
характеристикам интегрирующего звена,
поэтому
ф (о) = + я/2; L (со) = 20 lg T<o.
C.17)
Графики характеристик
C.15)—C.17) даны на рис. 3.3,
причем логарифмическая
амплитудная частотная
характеристика проходит через точку
со = 1/Г оси абсцисс и имеет
наклон +20 дБ/дек.
Примером
дифференцирующего звена может служить тахо-
генератор, преобразующий угловую скорость Q = da/dt ротора
в электрическое напряжение иВЫХУ пропорциональное этой угловой
скорости, т. е.
^вых —- А ген А+ • \О.№)
'Реп
Рис. 3.2. 1 идравличеекий механизм
как пример интегрирующего звена
Используя соотношения ивых = а*ыхИВых» а =
C.18) можно привести к виду
""вых — * ген ^ 1
уравнение
C.19)
56

где 7"ген — постоянная времени генератора;
* ген == А ген^ /^вых»
C.20)
Соответствие тахогенератора дифференцирующему звену
подтверждается одинаковым видом уравнений C.13) и C.19). Следует
W(ju)
в)
Рис. 3.3. Характеристики
дифференцирующего звена:
а — переходная; < б — весовая; в —
амплитудно-фазовая; г — логарифмические
амплитудная и фазовая
заметить, что часто вместо постоянной времени в уравнение
дифференцирующего звена ставится коэффициент передачи по скорости
^Сск> и уравнение записывается так:
•^RKIX ^
C.21)
§ 3.2. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО И ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Апериодическое звено описывается уравнением
" 1 Лвых — Лвх»
dt
которому соответствует передаточная функция
C.22)
f-1). C.23)
При передаточной функции C.23), как было показано в § 2.5,
выходная величина во времени изменяется по апериодическому
закону, чем и объясняется название таких звеньев. Весовая функ-
67

ция находится достаточно просто дифференцированием
переходной функции
Амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет вид
ИЛИ
По данной формуле нетрудно установить, что графиком W (/со)
на комплексной плоскости при изменении со от 0 до + °° является
полуокружность радиуса R = 1/2 с центром, имеющим координаты
(+ U, /0). Амплитудную и фазовую частотную характеристики
можно найти по зависимости C.25) или C.26), применив известные
правила действий с комплексными величинами:
А (со) = mod W (/со) = 1/]/1+со2Г2; C.27)
ф (со) = arg W (/со) = — arctg соГ. C.28)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика может
быть получена после приведения зависимости C.27) к виду
= — 101g(l+co2P). NC.29)
Асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная
характеристика, состоящая из двух прямых линий, строится без
вычислений. Первой прямой определяются приближенные
значения относительной амплитуды в логарифмическом масштабе при
низких частотах со < 1/Т. Для таких частот в зависимости C.29)
второй член оказывается пренебрежимо малым по сравнению с
единицей, и эта зависимость может быть представлена в виде
Lx(co) = 0, C.30)
т. е. первая асимптота совпадает с осью абсцисс. Уравнение
второй асимптоты находится из зависимости C.29) при больших
значениях частот со > 1/Т, когда можно пренебречь единицей по
сравнению с членом со2Г2:
L2(co) = — 201gco7\ C.31)
Вторая асимптота в логарифмических координатах будет
прямая, имеющая наклон — 20 дБ/дек и проходящая через точку
со = 1/Т оси абсцисс. Эта частота называется
сопрягающей"частотой асимптот C.30) и C.31). Наибольшее отклонение точной,
логарифмической амплитудной частотной характеристики, построенной
по уравнению C.29), от асимптотической имеет место при
сопрягающей частоте. Это отклонение равно
Д? (о) = — 10 lg 2 ъ 3 дБ. C.32)

Фазовая логарифмическая частотная характеристика
находится непосредственно по зависимости C.28), но при построении
этой характеристики значения частот откладываются по оси
абсцисс в логарифмическом масштабе.
Графики всех рассмотренных характеристик апериодических
звеньев даны на рис. 3.4.
Примером устройства, соответствующего апериодическому
звену, может служить описанный выше гидравлический механизм,
W(t)
с
0
п
Jf
4
it
-у
S)
\ 1
. \Г т
Г 2)
t
Igu
-20дб/дг*
igu
Рис. З.4. Характеристики апериодического звена:
а — переходная; б — весовая; в — амплитудно-фазовая; г — логарифмические
амплитудная и фазовая
в котором штоки золотника / и поршня 2 гидроцилиндра
соединены рычагами (рис. 3.5). При равных плечах рычагов ABC и
DBE суммарное смещение золотника х3 будет равно разности
перемещений точки Л, х& и штока поршня гидроцилиндра уп:
, уп = х%у это
В безразмерном виде при х3 = х%%ЗУ х& =
Уравнение принимает вид
sAg ()
Подставив значение х3 согласно уравнению C.33) в
уравнение C.12), получим
59

Это уравнение, очевидно, полностью совпадает с уравнением
апериодического звена C.22).
Другим примером апериодического звена может служить
электрический контур, состоящий из активного сопротивления /?
и емкости С (рис. 3.6). Процессы в таком контуре описываются
известными из электротехники
уравнениями
tb^Ui-Ri; i = C^, C.34)
где i — электрический ток; иг и
и2 — входное и выходное
напряжения цепи.
Из данных уравнений получим
уравнение
^ tib C.35)
\Рсл
Рис. 3.5. Схема
гидравлического механизма (усилителя) с
обратной связью
которое полностью совпадает с
рассмотренным выше уравнением
апериодического звена, если Т = RC.
Емкость, в которую жидкость
поступает по одной трубе, а сливается
по другой, при малых колебаниях расходов также может быть
использована как пример апериодического звена. К
уравнению апериодического звена при определенных допущениях
сводится описание процессов изменения угловой скорости различных
двигателей. При этом постоянная времени двигателя выражается
через момент инерции его ротора, в связи с чем апериодическое
звено называют еще инерционным. Однако такое название
недостаточно точно отражает сущность процессов,
протекающих в других элементах, например, R
в элементах с емкостями. о—
Форсирующее звено первого порядка
описывается уравнением i/f
— ' ~~?j. г -^в
C.36) о.
Передаточная функция такого звена по Рис. 3.6. Электриче-
уравнению C.36) имеет вид ский контур как
пример апериодического
= Ts+l. C.37) . звена
Переходная и весовая функции находятся как суммы
соответствующих функций дифференцирующего и пропорционального
звеньев:
C.38)
C.39)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика получается из
передаточной функции C.37) заменой s = /со:
№(/(о)= 14-/со7\ C.40)
Логарифмические амплитудная и фазовая частотные
характеристики могут быть определены как обратные по отношению к та-
0
1
а)
+ ОО
и
0
и
C.41)
Рис. 3.7. Характеристика
форсирующего звена:
а — амплитудно-фазовая;
б — логарифмические
амплитудная и фазовая
ким же характеристикам периодического звена, причем первая
из указанных характеристик заменяется двумя асимптотами:
L1(co) = 0 при со<1/Г;
L2 (со) = 20 lg Tco при со>1/7\
откуда видно, что вторая асимптота имеет положительный наклон
+20 дБ/дек.
Частотные характеристики форсирующего звена даны на рис. 3.7.
§ 3.3. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ, АПЕРИОДИЧЕСКОЕ
И ФОРСИРУЮЩЕЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЗВЕНЬЯ
Колебательное звено описывается уравнением—
ЛП2 d #ВЫХ ! Т ***ВЫ
T*-W + Tl-dF
Это уравнение приводится к виду
если принять Г2 = Т и использовать соотношение
C.42)
C.43)
C.44)
Величина ? называется коэффициентом относительного
демпфирования и для колебательного звена может находиться в пределах
Если ? = 0, то колебательное звено вырождается в
консервативное, которое описывается уравнением
* др Г ^вых == -^вх» C.45)
61

При ? ^ 1 колебательное звено переходит в апериодическое
звено второго порядка.
Передаточная функция колебательного звена по уравнению
C.43) имеет вид
Корни знаменателя передаточной функции C.46) равны
где
а = уТ; (ос = УТ^12/Т. C.48)
Таким образом, передаточная функция колебательного звена
имеет два простых полюса в левой полуплоскости комплексной
переменной s. Переходная функция, как было показано в § 2.5,
находится обратным преобразованием Лапласа:
-0* [ 8 J L s(T*s*+2?Ts+l) J'
которое можно выполнить с помощью формулы B.44), учитывая
кроме полюсов C.47) еще полюс s0 = 0. После обычных
преобразований результата, полученного по формуле B.44), будем иметь
h (t) = 1 - e~at (cos coc/ + — sin coA C.49)
Переходная функция C.49) показывает, что у колебательного
звена процесс изменения выходной величины во времени,
вызванный единичным ступенчатым входным воздействием, является
колебательным затухающим. Частота колебаний сос в переходном
процессе называется собственной частотой. Если ввести частоту
незатухающих (недемпфированных) колебаний, которые возникают
при I = 0,
соо= 1/7\ C.50)
то в соответствии с формулой C.48)
сос = соо]/Т^Т2. C.51)
При 5=0 в переходной функции C.49) следует положить
а = 0. В этом случае получим переходную характеристику
консервативного звена, которая определяет незатухающие
гармонические колебания с постоянной амплитудой.
При ? > 1 корни знаменателя передаточной функции C.46)
будут отрицательными действительными числами, поэтому
изменится вид переходной функции:
h (t) = 1 + de-^t + С2е~Ч C.52)
62

где
причем
Ci, С2, Ях,
В случае ?> = 1 (критическое затухание) переходная функция
будет
WiV C.53)
Графики переходных функций колебательного звена при
нескольких значениях коэффициента относительного демпфирования,
(У
Ш
-0,1
.0,5
0,7
ц
О-
/u-1
Рис. 3.8. Графики переходных функций
колебательного, консервативного и
апериодического второго порядка
звеньев
Рис. 3.9. Графики весовых
функций колебательного звена и
апериодического звена второго
порядка
а также графики переходных функций апериодического звена
второго порядка и консервативного звена даны на рис. 3.8.
Весовые функции можно получить, продифференцировав до
времени соответствующие переходные функции. По переходной
функции C.49) с учетом соотношения C.50) найдем
dh (oft
C.54)
График данной функции приведен на рис. 3.9 вместе с
графиком весовой функции апериодического звена второго порядка,
определяемой дифференцированием переходной функции C.52).
При s = /со из передаточной функции C.46) получается
амплитудно-фазовая частотная характеристика
C.55)
которая для колебательного ^вена и апериодического звена второго
порядка отличается численным значением ? (рис. ЗЛО, а).

/A —
Ф И = arg № (/со) = - arctg j
Амплитудная и фазовая частотные характеристики находятся
из зависимости C.55):
А (со) = mod W (/со) = , 1 ' . C.56)
^- C-57)
Логарифмическая амплитудная характеристика имеет вид
L (со) = 20 lg А (со) = — 10 lg [A - Рсо2J + 4?2со2Г2]. C.58)
Логарифмическая фазовая характеристика, очевидно,
определяется зависимостью C.57), но частоты берутся в
логарифмическом масштабе.
Ци)
Рис. 3.10. Частотные характеристики колебательного и консервативного
звеньев:
а — амплитудно-фазовая; б — логарифмические амплитудная и фазовая
Для построения графиков логарифмической амплитудной
частотной характеристики колебательного звена (? < 1) удобно
применять асимптотические характеристики, уравнения которых
находятся аналогично тому, как это было сделано в предыдущем
параграфе. Уравнение первой асимптоты (низкочастотной) по
зависимости C.58) получается, как и ранее:
^ (со) = 0 при со < 1/7, . C.59)
64

а уравнение второй асимптоты (высокочастотной) записывается
в виде
L2 (со) = — 40 lg Та) при со > 1/7\ C.60)
Вторая асимптота проходит через точку щ = 1/Т на оси
абсцисс и имеет наклон — 40 дБ/дек (рис. ЗЛО, б). В окрестности
точки пересечения первой и второй асимптот со0 = \1Т
наблюдается наибольшее отклонение точной логарифмической
амплитудной частотной характеристики от асимптотической, так как эта
i
— —
^^
Юат
4
11
toll
/ilTW
vC
s
s
4
1
m
=
0,2 0,3 0А O,S0,S 0,8 1,0
5 6 7 8Ти
Рис. 3.11. График с поправками к логарифмической амплитудной
характеристике колебательного звена
частота близка к резонансной. При отыскании точек
логарифмической амплитудной частотной характеристики колебательного
звена в окрестности резонансной частоты используются
специальные графики поправок б (соГ) (рис. 3.11). Значения б (соГ)
прибавляются к асимптотическим характеристикам или вычитаются
из них в зависимости от знака прправки, при этом следует
учитывать, что графики поправок даны в функции от безразмерной
частоты со7\ ^
Точное значение резонансной частоты сор, при котором
амплитудная частотная характеристика имеет максимум, находится
из условия минимума знаменателя функции C.56):
3 Попов Д. Н.
C.61)
65

Из сравнения формул C.51) и C.61) видно, что резонансная
частота несколько меньше частоты свободных колебаний
(собственной частоты) и обе эти частоты меньше частоты
незатухающих колебаний щ, при которой пересекаются первая и вторая
асимптоты логарифмической амплитудной частотной
характеристики.
Для апериодического звена второго порядка также может
быть построена асимптотическая логарифмическая частотная
характеристика. Перед построением характеристики преобразуем
передаточную функцию C.46), разложив ее знаменатель на множители.
Так как ?> 1, то корни знаменателя будут отрицательными
действительными числами, поэтому
C-62)
где Т\ = —1А,Ь Гц = —1А2, причем Хг и %2 — указанные выше
корни знаменателя передаточной функции C.46) при ?> 1.
В соответствии с зависимостью C.62) логарифмическая
амплитудная частотная характеристика может быть представлена в виде
Предположим, что Ti > Ти тогда, рассматривая частоты со <
< A/Ti), можно провести первую асимптоту
В диапазоне частот (\/Т\) < со < (l/Тц) проводится вторая
асимптота
L2(co) = — 201g7>,
а в диапазоне частот со>A/Т'п)—третья асимптота
13 (со) = — 20 lg T ico - 20 lg Гцсо.
Таким образом, логарифмическая амплитудная частотная
характеристика апериодического звена второго порядка может быть
приближенно заменена тремя" прямыми: с наклоном 0 дБ/дек,
с наклоном — 20 дБ/дек и с наклоном — 40 дБ/дек (рис. 3.12).
В качестве элемента, уравнение динамики которого при малых
отклонениях величин сводится к уравнению колебательного или
апериодического звена второго порядка, можно указать
центробежный маятник или регулятор Уатта, упоминавшийся в гл. I.
Расчетная схема такого устройства получается близкой к
механической колебательной системе с одной степенью свободы (рис. 3.13).
Уравнение движения такой системы в отклонениях относительно
положения равновесия имеет вид
Лф-^д-mg-, C.63)
66

где ^пр и ^д — силы, приложенные к телу соответственно со
стороны пружины и со стороны поршня демпфера; т — масса
подвижных частей системы (тела и поршня).
Если считать, что воздействием на данную механическую
систему является перемещение гх опоры и жесткость пружины
обозначить через спр, то
сила от действия демпфера
C.64)
где ^д — рабочая площадь поршня демпфера; рд — перепад
давления в полостях над поршнем и под ним.
При течении жидкости с малыми числами Рейнольдса величина
расхода через отверстие в поршне демпфера будет пропорциональна
перепаду давления:
Ч:др — кжрНы
где &др — проводимость дроссельного
отверстия в поршне демпфера.
/77
Рис. 3.12. Логарифмическая амплитудная
частотная характеристика
апериодического звена второго порядка
Рис. 3.13.
Механическая
колебательная система
По условию неразрывности потока жидкости
Чдр — ГД<#>
следовательно,
dt
C.65)
. Используя соотношения C.64) и C.65), уравнение C.63)
запишем в виде
а • - - - - C.66)
C.67)
или в виде, принятом выше для колебательного звена,
67

где
«1
Очевидно, что в зависимости от того, насколько сильно
осуществляется демпфирование колебаний в данной системе, она
может рассматриваться как
колебательное или как апериодическое звено
второго порядка. Степень демпфирования
системы может задаваться размерами
дросселя в поршне и вязкостью
жидкости.
Вторым примером может служить
Рис. 3.14. Электрический электрический колебательный контур,
колебательный контур состоящий из индуктивности L,
активного сопротивления R и емкости С
(рис. 3.14). Для такого контура напряжение и2 на выходе
связано с напряжением иг на входе уравнением
C.68)
где «1=:,
di.
U%~Ui — Ul — Ur,
> = //? (i — электрический ток)г
НОдВ/дек
s/
Igcj
a)
Рис. 3.15. Частотные характеристики форсирующего звена второго порядка:
а — амплитудно-фазовая; б — логарифмические амплитудная и фазовая
Кроме того,
du2
Выразив в уравнении C.68) с помощью указанных
соотношений напряжения ui и uR через и2, найдем
:И1в C.69)
68

Если ввести обозначения
т —i/Уг- г—^лГ^. у — - у —Ui
1 —у ьи, с,— 2 К "Е"» вых """?' вХ~~и| •
т0 уравнение C.69) совпадает с уравнением колебательного звена
C.43).
форсирующее звено второго порядка по виду своей
передаточной функции является звеном с обратными частотными
характеристиками по отношению к характеристикам колебательного или
апериодического звена второго порядка.
Частотные характеристики форсирующего звена даны на
рис. 3.15.
§ 3.4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
В дополнение к перечисленным в предыдущем параграфе типовым
динамическим звеньям можно указать еще специальные виды звеньев,
к которым относятся неминимально-фазовые звенья,
неустойчивые звенья, звенья с распределенными параметрами и звенья
с запаздыванием [70, 71].
Передаточные функции неминимально-фазовых звеньев имеют
нули в правой полуплоскости комплексного переменного. Одним
из простых примеров неминимально-фазового звена является звено
первого порядка с передаточной функцией
Эта передаточная функция имеет один нуль, который лежит
на комплексной плоскости справа от мнимой оси. Частотные
характеристики определяются так же, как в случае типовых звеньев.
Графики этих характеристик для двух возможных соотношений
(Тг/Т2) < 1 и GУТ2) > 1 даны соответственно на рис. 3.16, а и б.
В неустойчивых звеньях процессы не могут быть
установившимися, поэтому частотные характеристики таких звеньев
следует рассматривать как зависимости, определяющие для
вынужденной составляющей процесса отношение амплитуд выходной и
входной величин, а также сдвиг по фазе между этими величинами при
различной частоте колебаний. Из-за неустойчивости звена при
гармонических колебаниях входной величины с постоянной
амплитудой колебания выходной величины будут расходящимися.
Признаком неустойчивости звена является расположение одного или
нескольких полюсов его передаточной функции в правой
полуплоскости комплексного переменного. Например, передаточная
функция колебательного звена с отрицательным демпфированием
CJ1)
69

имеет два полюса справа от мнимой оси плоскости. Передаточная
функция неустойчивого звена первого порядка
U7(s)=l/Gb-l) C.72)
имеет один полюс справа от мнимой оси плоскости s.
Принимая во внимание сделанное выше замечание относительно
частотных характеристик неустойчивых звеньев, можно формально
Рис. 3.16. Частотные характеристики неминимально-фазового звена первого
порядка:
а — амплитудно-фазовые; б — логарифмические амплитудные; в — логарифмические
фазовые
применить прежний метод их определения, производя
^подстановку s = /со в передаточные функции. По передаточной
функции C.71) колебательного звена с отрицательным демпфированием
и по передаточной функции C.72) неустойчивого звена первого
порядка легко заметить, что амплитудные частотные
характеристики этих звеньев не отличаются от амплитудных частотных
характеристик соответствующих устойчивых звеньев. Фазовые же
характеристики будут отличаться от фазовых характеристик устой-
70

чивых звеньев. Вследствие этого получается отличие и в
амплитудно-фазовых частотных характеристиках. Графики частотных
характеристик двух рассмотренных неустойчивых звеньев
приведены на рис. 3.17 и 3.18.
Звенья с распределенными параметрами описываются
дифференциальными уравнениями в частных производных. В некоторых
случаях из таких уравнений можно получить передаточную
функцию звена чистого запаздывания. Например, передаточную
функцию звена чистого запаздывания будут иметь длинные
электрические, пневматические и гидрав-
J ¦ лические линии при
согласованных концевых и волновых
сопротивлениях. Другим примером
ср(и)
О
-20дб/дек
Igcj
Рис. 3.17. Частотные
характеристики колебательного звена с
отрицательным демпфированием
2.
~ г
Рис. 3.18. Частотные
характеристики неустойчивого звена
первого порядка
звена чистого запаздывания может служить устройство, в котором
осуществляется перенос какого-либо вещества (конвейерная
установка и т. п.). Передаточная функция звена чистого запаздывания
имеет вид
W (s) = е-™, C.73)
где т — время запаздывания в передаче сигнала.
Переходная функция находится по передаточной функции
с помощью теоремы запаздывания операционного исчисления
(§ 2.3, п. 4):
^ = 1(/-т). C.74)
71

Весовая функция может быть определена дифференцированием
переходной функции C.74):
wt = -^ = 8(t — T). C.75)
Амплитудно-фазовая частотная характеристика получается из
передаточной функции C.73) после подстановки s = /со:
Ц7(/о)) = е-/сот. C.76)
В соответствии с амплитудно-фазовой частотной
характеристикой C.76) амплитудная, фазовая и логарифмическая амплитудная
частотная характеристики определяются соотношениями
Л (©) = mod №(/©)= 1;
ф (со) = arg W (/со) = — сот;
C.77)
C.78)
Соотношения C.77) и C.78) показывают, что звено чистого
запаздывания является неминимально-фазовым, так как между
2Жп
Рис. 3.19. Характеристика звена чистого запаздывания:
а — переходная; 6 — импульсная переходная; виг — частотные
амплитудной и фазовой частотными характеристиками нет
однозначной зависимости.
Графики перечисленных характеристик звена чистого
запаздывания даны на рис. 3.19.

Глава IV
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 4.1. СОЕДИНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ
При использовании передаточных функций математические модели
систем автоматического регулирования можно представить в виде
структурных схем. В таких схемах динамические звенья
изображаются прямоугольниками, в поле которых записываются
соответствующие передаточные функции; связи между звеньями
показываются стрелками, причем операции сложения и вычитания
величин обозначаются так же, как в функциональных схемах.
Динамические звенья в структурных схемах соединяются последовательно,
параллельно и с обратной связью.
Рис. 4.1. Последовательное
соединение двух звеньев
W1(S)
Последовательным называется соединение звеньев, при
котором выходная величина (сигнал) предыдущего звена служит
входной величиной (сигналом) для последующего звена.
Последовательное соединение двух звеньев с передаточными функциями
Wi (s) и W2 (s) дано на рис. 4.1. Так как
то передаточная функция для последовательного соединения двух
звеньев находится в виде
Соответственно передаточная функция W (s) цепи п
последовательно соединенных звеньев будет'равна произведению
передаточных функций этих звеньев:
W(s) = fl W,{s). D.1)
Амплитудно-фазовая частотная характеристика W (/со) этой
Цепи определяется перемножением амплитудно-фазовых частотных
73

к
1
Ts+1
характеристик отдельных звеньев, следовательно;—)
п п
А (ю) = П Аь И; Ф N = 2 Ф* N> D.2)
где Л (со) и ф (со) — соответственно амплитудная и фазовая
частотные характеристики цепи последовательно включенных звеньев.
Из соотношений D.2) видно, что логарифмическая
амплитудная L (со) = 20 lg А (со) и логарифмическая фазовая частотные
характеристики получаются путем суммирования соответствующих
логарифмических частотных характеристик всех последовательно
включенных звеньев.
Примером последовательного соединения двух звеньев может
служить цепь, структурная схема которой изображена на рис. 4.2.
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика такой
цепи получается при смещении на 20 lg К вверх (если К> 1) или
вниз (если К < 1) логарифмической амплитудной характеристики
го Рис- 4.2. Последовательное соеди-
?^ нение пропорционального и апе-
риодического звеньев
апериодического звена. Вместо смещения характеристики часто
удобнее перенести параллельно самой себе ось частот на 20 lg К вниз
(при/О 1) или вверх (при К < 1). Точно так же определяются
логарифмические амплитудные характеристики при
последовательном соединении с пропорциональным звеном какого-либо другого
звена (интегрирующего, колебательного, форсирующего). У
пропорционального звена фазовая частотная характеристика
Ф((о) = 0, . D.3)
поэтому последовательное подключение такого звена к другим
звеньям не меняет их общей фазовой частотной характеристики.
Другим примером последовательного соединения динамических
звеньев может служить структурная схема, составленная для
устройств, показанных на рис. 4.3.
Первое из этих устройств (рис. 4.3, а) называется катарактом
и применяется в автоматических регуляторах в качестве изодром-
ной обратной связи. Определим передаточную функцию для такого
устройства. Если пренебречь массой поршня 1 и силой трения,
то можно записать следующее уравнение сил, действующих на
поршень при перемещении цилиндра 2:
Fup-cnpz2 = 0, D.4)
где Fn — площадь поршня; р — избыточное давление в полости
под поршнем; спр — жесткость пружины 3.
74

При линейной зависимости расхода (?др жидкости,
протекающей через дроссель 4, от перепада давления (режим течения при
малых числах Рейнольдса) имеем
<?дР = ?дрР, D.5)
где &др — проводимость дросселя 4.
Ь >¦¦
TKs+1
Рис. 4.3. Схемы уст- zi
ройств, имеющих
передаточную функцию WK (s) =
= TKs/(TKs+l)
Вследствие небольших значений избыточного давления под
поршнем сжимаемость жидкости может не учитываться, поэтому
Из уравнений D.4)—D.6) получаем
Гк^ + г2 = Тк§
где Тк — постоянная времени катаракта;
D.6)
D.7)
Процессы в электрическом контуре, состоящем из емкости С
и сопротивления R (рис. 4.3, б), описываются уравнением такого же
вида, как уравнение D.7). Действительно, используя известные
из электротехники соотношения
найдем
D.8)
где TK = RC — постоянная времени электрического контура.
75

Согласно уравнениям D.7) и D,8) рассмотренные устройства
имеют одинаковую передаточную функцию
+l). D.9)
Звенья с передаточной функцией вида D.9) называются
реальными дифференцирующими или инерционно-дифференцирующими.
Ци)
О
Т
Рис. 4.4. Частотные
характеристики реального
дифференцирующего звена:
а — амплитудно-фазовая; б —
логарифмические амплитудная и
фазовая
rf
Ь.1
Igu
Реальное дифференцирующее звено можно представить
последовательным соединением дифференцирующего и апериодического
звеньев (рис. 4.3, в). Соответственно частотные характеристики этого
звена легко определить по приведенным в гл. III частотным
характеристикам дифференцирующего и апериодического звеньев,
используя соотношения D.1) и D.2).
Графики частотных характеристик
реального дифференцирующего звена
даны на рис. 4.4.
Параллельным называется
соединение звеньев, при котором
входная величина (входной
сигнал) имеет одинаковые значения
для всех звеньев, а выходная
величина (выходной сигнал)
является суммой выходных величин этих звеньев. Структурная схема
двух параллельно соединенных звеньев показана на рис. 4.5.
Для этого соединения
W,(S)
Wz(s)
Рис. 4.5. Структурная схема
параллельного соединения двух звеньев
*вых1 (S)
(«) *вх (S); *Вых2 (S)
(S) XBX (s),
откуда
76

Если п звеньев соединены параллельно, то таким же путем
можно получить
Следовательно, передаточная функция соединения
параллельных звеньев будет суммой передаточных функций звеньев,
входящих в соединение. Соответственно переходная и весовая функции
соединения будут находиться в виде сумм таких же функций
отдельных звеньев:
Амплитудно-фазовая частотная характеристика W (/о)
соединения параллельных звеньев определяется по правилу сложения
комплексных величин:
W (/со) = 21 Wk (/©) =- 23 ^ И + /2 V» И-
fc=l /5=1 fc=l
Соединение с обратной связью имеет прямую цепь передачи
сигналов и цепь обратной связи, которая может быть
отрицательной или положительной. При отрицательной обратной связи из
входной величины (входного сигнала) хвх соединения вычитается
выходная величина хос обратной связи (рис. 4.6,а). При
положительной обратной связи указанные величины складываются,
причем в этом случае в суммирующем узле на структурных схемах
ставится знак «+» (рис. 4.6, б). Отмечая различие в
отрицательной и в положительной обратных связях соответственно знаком
«минус» и «плюс» при величине л;ос, запишем
Учитывая, что
*oc(s)=Woc(s)xBhlx($),
где Woz (s) — передаточная функция цепи обратной связи,
получим
e(s) = *(s)zp№0C(s)xBbIX(s). D.10)
Используя передаточную функцию прямой цепи
из соотношения D.10) найдем передаточную функцию Ф (s) для
соединения с обратной евязью:
В выражении, стоящем в знаменателе формулы, знак «+»
принимается при отрицательной обратной связи, а знак «—» при поло-
77

жительной обратной связи. Таким образом, передаточная
функция соединения с обратной связью определяется отношением
передаточной функции прямой цепи к сумме или разности единицы
и произведения передаточных функций прямой цепи и цепи обратной
связи.
Соединением с обратной связью можно представить
структурную схему гидравлического механизма, изображенного на рис. 3.5.
В данном случае согласно уравнению C.12) прямая цепь они-
W(s)
WOC(S)
№
Рис. 4.6. Соединение с обратной связью
отрицательной (а) и положительной (б)
Рис. 4.7. Структурная схема
гидромеханизма, изображенного
на рис. 3.5
сывается передаточной функцией интегрирующего звена, а
обратная связь по уравнению C.33) имеет передаточную функцию
Обратные связи с таким значением передаточной функции
называются единичными отрицательными. Структурная схема
гидравлического механизма в виде интегрирующего звена,
охваченного единичной отрицательной обратной связью, дана на, рис. 4.7.
По соотношению D.11) легко убедиться, что передаточная функция
этого соединения приводится к полученной выше передаточной
функции C.23) апериодического звена. Следует заметить, что
рассмотренное устройство имеет единичную обратную связь только
при одинаковых плечах рычагов механизма управления (см. рис. 3.5).
При разных плечах рычагов Woz (s) = — /Сос-
§ 4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
При расчетах систем автоматического регулирования с
применением структурных схем -может возникнуть необходимость в
переходе от одной структурной схемы к другой. Этот переход должен
быть выполнен так, чтобы исходная и преобразованная
структурные схемы.оказались эквивалентными, т.е. одинаковым образом
отражали динамические свойства системы автоматического
регулирования. Правила эквивалентных преобразований структурных
схем основываются на теории, разработанной Б. Н. Петровым [46].
Рассмотрим сначала преобразование соединения с обратной
связью, схема которого дана на рис. 4.6, а. Эта схема может быть
заменена эквивалентной схемой соединения с единичной отрица-
78

тельной обратной связью (рис. 4.8). Действительно, передаточная
функция Фх (s) соединения с обратной связью по последней схеме
согласно соотношению D.11) имеет вид
Так как звено с передаточной функцией \IWot (s) соединено
последовательно с контуром, для которого получена передаточная
функция Фх (s), то
Woc(s) \ + W(s)W0Z(s)'
D.12)
Сравнение соотношений D.11) и D.12) показывает, что
структурные схемы, изображенные на рис. 4.6, а и на рис. 4.8, приво-'
Рис. 4.8. Структурная
схема, преобразованная 1р
к соединению с
единичной отрицательной
обратной связью
W(s)
WOC(S)
дят к одинаковым передаточным функциям. Следовательно, эти
схемы являются эквивалентными. Очевидно, что в случае
преобразования соединения с неединичной положительной обратной связью
эквивалентная схема будет отличаться от изображенной на рис. 4.8
только тем, что единичная связь будет положительной.
Таким образом, описанный способ позволяет вынести звено
или цепь звеньев из замкнутого контура структурной схемы. При
ХвыхМ W)
№)
Wfs)
W(s)
rJm(s)
W(S)
\т |
ьу
Wfs)
1
W{S)
Pric. 4.9. Перенос узлов
суммирования при
эквивалентном
преобразовании структурных схем
эквивалентных преобразованиях состав звеньев в контуре можно
изменить также путем переноса узлов суммирования и узлов
разветвления. На рис. 4.9 показаны эквивалентные соединения звеньев
при переносе узлов суммирования, а на рис. 4.10 —при
переносе узлов разветвления: с входа звеньев на выход (рис. 4.9, а
и 4.10, а) и обратно (рис. 4.9, б и 4.10, б).
79

Узлы суммирования и разветвления допускается менять
местами, соблюдая при этом правила эквивалентных преобразований.
I
W(S)
*8XW
*8x(S)
W(s)
xm(s)
ii-
Хвых®
Рис. 4.10. Перенос узлов
разветвления при
эквивалентном преобразовании
структурных схем
Такие переносы узлов даны на рис. 4.11. Эквивалентность
преобразованных и исходных схем" проверяется сравнением передаточных
№
Рис. 4.11. Перенос узлов суммирования через узлы
разветвления
функций, которые должны быть одинаковы при правильном
выполнении преобразования.
§ 4.3. ЗАМКНУТАЯ И РАЗОМКНУТАЯ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Структурные схемы систем автоматического регулирования (САР)
так же, как и функциональные схемы, имеют замкнутый контур,
в котором может быть выделена прямая цепь элементов и цепь
элементов обратной связи. Если передаточную функцию
регулятора обозначить W2 (s), -а передаточную функцию регулируемого
объекта Wx (s), то функциональной схеме, которая была дана
80

на рис. 1.1, будет соответствовать структурная схема,
изображенная на рис. 4.12. При постоянном задающем воздействии, когда
рассматриваются. процессы, вызванные в системе возмущающим
воздействием, эта структурная схема заменяется схемой,
показанной на рис. 4.13.
Передаточная функция замкнутой системы автоматического
регулирования может быть определена по передаточным функциям
отдельных звеньев с помощью соотношений, приведенных в § 4.1.
После того как по передаточным функциям отдельных звеньев
регулятора и регулируемого объекта получены передаточные
Рис. 4.12. Структурная схема САР
Рис. 4.13. Структурная схема
САР при постоянном задающем
воздействии
функции Wi (s) и W2 (s), передаточная функция Ф^ (s) для
регулируемой величины по задающему воздействию без учета
возмущающего воздействия определяется согласно соотношению D.11)
в виде
W1(s)W2(s)
Ф
'xg()~~g(s) ~~
Может быть также определена передаточная функция для
ошибки по задающему воздействию
Так как
то
Передаточная функция для регулируемой величины по
возмущающему воздействию в соответствии со структурной, схемо»
(рис. 4.13) находится из соотношения
При исследовании устойчивости систем автоматического
регулирования рассмотренными в следующей главе частотными
методами используются передаточные функции разомкнутых систем.
Структурные схемы разомкнутых систем получают отключением
81

обратной связи перед узлами суммирования, как показано на
рис. 4.12 и 4.13 волнистыми линиями. При этом передаточные
функции Wv(s) обеих разомкнутых систем будут одинаковыми:
W,(s)=W1(s).W2(s).
Частотные характеристики разомкнутой системы, состоящей
из соединений различных звеньев, находятся описанными в § 4.1
методами. Частотные характеристики разомкнутых и замкнутых
систем так же, как и их передаточные функции, взаимно связаны.
Для любой замкнутой системы с
единичной отрицательной обратной
связью, например такой, которая
дана на ?ис. 4.12, передаточная
функция может быть записана в виде
lPp(s)
Соответственно
амплитудно-фазовая частотная характеристика
замкнутой системы с единичной
отрицательной обратной связью будет иметь
вид
, D.13)
Рис. 4.14. Диаграмма для
определения соотношений между
амплитудными и фазовыми
частотными характеристиками
разомкнутых и замкнутых систем
Амплитудная частотнай характеристика А3 (со) такой
замкнутой системы согласно соотношению D.13) определяется
следующим образом:
"" "Sir. DЛ4)
Если воспользоваться векторной диаграммой, изображенной
на рис. 4.14, и применить теорему косинусов, то нетрудно найти
11 + №Р (/©) I = V\ + А1N + 2Лр (со) cos Фр (со).
С учетом этого соотношения и того, что
формула D.14) приводится к виду
Л3(со)^ pv D.15)
У 1 + Лр @) + 2Лр (со) cos Фр (со;
По амплитудно-фазовой частотной характеристике D.13) можно
определить также связь между фазовыми частотными
характеристиками замкнутой и разомкнутой систем. Принимая во внимание,
что
82
Фр (со) = arg Wp (/со); ф3 (со) = arg Ф (/со),

Фаза
-360°-32Qo-280o-240° -180° -120°-80° -400q>p(a>)
32 -
28 -
24-
20 -
w -
n *
я I
4 -
n J
h \
0
0
12
IB
20
2Л
i
0
/
f
\
7П")
/h
7Г7
\
l\r)
if
it
T
/
/
Г
г1
/
Лч
\ш
Cull Г
\M I;
/
\.
\
\
)с
<1\
\]
/й
/а
ii i# >
I/I/
N
II / /»• ^
iff-.
F
..
7
ж
¦ /Ш
ЙШ
№
N
S
f
2,0
A,2
3,й
Ф
4,0
(Ь-
дМ
ш
7.
f
I
t.
1
'I
\г
f
f
f#1
т
f
II
II 1
7
1
«*—1
¦на
„
\f\
ш/
гл
ш
,0,25
у/д
\
Jtt
All
ill 1/
Jhh
II//
iffiS
1/7
W
ш
/JjU у \
¦vex
h
П
/
f
L_
V
/ \
f
>
to
\
AJL
W
OP
ли
\
чГ
г
..
г
Г"
f
T
t
4
Tl
1
1
—и"»
u...
1
4
-0,5
@,944)
-1,0
@,891)
-2,0
(Of 794)
-4,0
@,931)
SfO
@,501)
-10,0
-15,0
-180° -140°-100°-60° -20° 0 20° 60° 100° 140° J
Избыток фазы
Рис. 4.15. Номограмма замыкания

по соотношению D.13) и векторной диаграмме на рис. 4.14 находим
, ч . ч ' , лр (©)sin Фр (©)
Фз (о)) = ФР (со)- arctg 1+Лр(@)со9фр(С0)
или
Обычно не приходится проводить вычисления по формулам
D.15) и D.16), так как по ним построена специальная номограмма
замыкания, изображенная на рис. 4.15. По вертикальной шкале
номограммы отложены значения
Lp(©)=.2Olgi4p@)
и по горизонтальной — значения срр (со). Кроме того, часто
указываются еще значения избытка фазы
Номограмма состоит из двух серий кривых, по одной из
которых определяются значения
в зависимости от значений Lp (со) и фр (со), по другой —
значения фз (со) в зависимости от значений тех же величин.
Для нахождения точек логарифмических амплитудных и
фазовых частотных характеристик L3 (со) ф3 (со) замкнутой системы
на номограмму наносят кривую Lp (фр), которая является
частотной характеристикой разомкнутой системы, представленной
в координатах логарифм модуля — фаза. Угловая частота со при
построении такой характеристики рассматривается как параметр,
значения которого указываются в различных точках
кривой Lp (фр). В этих точках по индексам на кривых номограммы
определяются значения L3 (со) в дБ и ф3 (со) в градусах.
Если рассматриваемые точки кривой Lp (фр) не попадают на
кривые номограммы, то значения L3 (со) и ф3 (со) находятся
интерполяцией тех значений, которые получаются в местах пересечения
этой кривой с кривыми номограммы.
При Lp (со) > 30 дБ значения L3 (со) « 0, а при Lp (со) < —20дБ
значения L3 (со) « Lp (со), поэтому логарифмическую
амплитудную характеристику замкнутой системы имеет смысл
вычислять с помощью номограммы замыканий только в диапазоне
- 20 дБ <Lp (©Х + 30 дБ.
За пределами этого диапазона значения L3 (со) принимаются
в соответствии с указанными выше приближенными соотношениями.

Глава V
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 5.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
Состояния различных систем, в том числе и систем автоматического
регулирования, могут быть устойчивыми или неустойчивыми
в зависимости от характеристик и параметров составляющих
их элементов. Под устойчивостью подразумевается сохранение
системой заданных равновесных состояний или обеспечение
заданных видов движения. Обеспечение устойчивости является одной
из основных задач, решаемых при создании * систем
автоматического регулирования.
Наиболее общая постановка задачи об устойчивости систем
была дана А. М. Ляпуновым в 1892 г. При изложении теории
устойчивости в смысле Ляпунова различают невозмущенное и
возмущенное движения системы. При этом состояние системы описывается
обобщенными координатами yk, определяемыми из
дифференциальных уравнений
- | = П(Уьй У* О, E.1)
где Yk(yu у2, ..., уп, 0 — известные функции; k = 1, 2, ..., п.
К системе дифференциальных уравнений E.1) приводится,
например, дифференциальное уравнение- м-го порядка
F2 ^ \ -
dtn ~~\dtn~^ ' dtn~2i '•"• ' )' * '
в котором задающее g (t) и возмущающее f (t) воздействия,
приложенные к системе автоматического регулирования, учтены тем,
что выражение в правой части рассматривается как явная функция
от t. После замены
dx dn^x
х = Уъ м=*У2в> •••» ЩпЧ-^Уп
уравнение E.2) можно представить системой
dyi __ ,. . d!h __ fJ . йУп-i _ „ .
М — ?/2> ft — i/3» • • • » ft — Упу
^jf = Fi(yi, .... Уп-ъ t)\ #1 = *,
которая сокращенно записывается в виде уравнений E.1).
85

Если принять, что исследуемое состояние системы задано
функциями времени
Уг = Уг* @. • • • > Уп = Уп* @, E.3)
то после перехода к новым переменным
Хк = Ук — Ук*У) E.4)
уравнения E.1) можно привести к виду
%т = Хм(х19 ..., хЯ9 0, E.5)
где k = 1, 2, ..., я;
, 0- E.6)
Дифференциальные уравнения E.5) называются уравнениями
возмущенного движения, а отклонения обобщенных
координат xk (t0) в начальный момент времени t0 называются
возмущениями. Каждому возмущенному движению системы
соответствует частное решение уравнений E.5). Невозмущенному
движению отвечает очевидное решение
*1 = ... = *Л = 0. E.7)
Невозмущенное движение является установившимся, если
функции Yk не зависят явно от t. При неизменяющихся во времени
параметрах системы автоматического регулирования в случае
установившегося движения вместо функций E.3) задаются
величины
Уи* = const; &=1, 2, ..., пу
которые будут корнями уравнений
где по-прежнему k =1, 2, ..., п.
Невозмущенное движение устойчиво, если для всякого
положительного числа Л, как бы мало оно ни было, можно выбрать
другое положительное число ц (Л), такое, что для всех
возмущенных движений, для которых в начальный момент времени t0
выполняются неравенства
при всех t > t0 будут выполняться неравенства
\xk(t)\<A.
Если невозмущенное движение устойчиво и
lim **(/) = 0,
г-» оо
то система называется асимптотически устойчивой.
86

При условии, что правые части уравнений E.5) возмущенного
движения раскладываются в ряды по степеням xki эти уравнения
в случае установившегося невозмущенного движения можно
записать в виде
^ = ак1хг + ak2x2 + ... + aknxn + Rk(xl9 ..., хп), E.8)
где Rk (хъ •••> *п) —совокупность членов выше первого порядка,
получаемых после разложения функций Xk\ k = 1, 2, ..., п.
Для малых отклонений хъ ..., хт когда можно пренебречь
Ru(xiy •••» хп)> уравнения E.8) заменяются линеаризованными
уравнениями первого приближения
A v
*=aX + aX + + aX\ k=\, 2, .,., п. E.9)
Устойчивость невозмущенного установившегося движения
может быть исследована по характеристическому уравнению системы
E.9) на основании следующих трех теорем А. М. Ляпунова.
Теорема 1. Если вещественные части всех корней
характеристического уравнения системы E.9) первого приближения
отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво,
каковы бы ни были члены высших порядков в дифференциальных
уравнениях возмущенного движения.
Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения
системы E.9) первого приближения имеется хотя бы один корень
с положительной вещественной частью, то невозмущенное
движение неустойчиво при любом выборе членов порядка выше первого
в дифференциальных уравнениях возмущенного движения.
Теорема 3. Если характеристическое уравнение системы E.9)
первого приближения не имеет корней с положительными
вещественными частями, но имеет один или несколько корней,
вещественная часть которых равна нулю, то устойчивость
невозмущенного движения не может быть.исследована по уравнениям первого
приближения (критический случай).
Для исследования устойчивости систем, которые не могут
быть линеаризованы разложением по степеням отклонений
обобщенных координат, имеются другие теоремы Ляпунова. Эти и выше
рассмотренные теоремы приводят к методам решения задачи об
устойчивости систем, названным вторым методом Ляпунова.
В приложении к линейным стационарным системам
автоматического регулирования условие устойчивости сводится к тому,
чтобы все корни Хъ Х2, ..., К характеристического уравнения,
полученного по дифференциальному уравнению этой системы,
имели отрицательные вещественные части или, что одно и то же,
располагались на комплексной плоскости слева от мнимой оси
(рис. 5.1). При выполнении условия устойчивости линейная система
автоматического регулирования будет устойчива асимптотически,
что непосредственно следует из решения ее дифференциального
уравнения. Это решение х (/), определяющее значение регулируе-
87

мой величины в зависимости от времени, является суммой
частного решения ху (t) неоднородного дифференциального уравнения и
общего решения хп (t) однородного дифференциального уравнения:
Частное решение ху (t) определяет вынужденную
составляющую исследуемого процесса, которую, пользуясь приведенными
выше понятиями, можно рассматривать как невозмущенное
движение системы. Соответственно общее решение хп (t) определяет
переходную составляющую процесса или возмущенное движение
системы.
При кратных корнях [7]
E.10)
Из решения E.10) видно, что если вещественные корни aky
комплексные корни at ± /со/ и кратные корни Хг расположены
на комплексной плоскости слева от
мнимой оси, то при t -^ оо
переходная составляющая исследуемого
процесса хп (t) -+ 0. Следовательно,
вынужденное (невозмущенное) движение
такой системы будет асимптотически
устойчиво.
Рассмотренные положения об
устойчивости невозмущенного
движения можно распространить и на
устойчивость равновесия систем.
Таким образом, устойчивость
заданных равновесных состояний или
заданных движений систем
проверяется по корням характеристического
уравнения. Расположение корней на
комплексной плоскости относительно
мнимой оси может быть установлено
по критериям устойчивости без
решеК й
л2
I
4
I
I
6
Рис. 5.1. Расположение корней
характеристического уравнения
устойчивой линейной системы
на комплексной плоскости
рр у р
ния характеристического уравнения. Критерии устойчивости
разделяются на алгебраические и частотные. Алгебраические
критерии приводятся ниже без доказательства.
§ 5.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Алгебраические критерии устойчивости позволяют определить
соотношения между коэффициентами характеристического уравнения
= 0, E.11)
88

при которых его корни должны лежать на комплексной плоскости
слева от мнимой оси. Такие критерии были предложены Э. Раусом
в 1877 г. и А. Гурвицем в 1895 г. Критерий Рауса основывается
на алгоритме, который дается в виде таблицы.

Коэффициенты г i
;i' с13
...
I
ап
an-,
Clz-Zt7
^14=== a<n — з
— ^1^23
...
II
^25 — »J3 ~"~ ^*2^34
...
ill
^35 === ^43 — ^2^44
•••
IV
— /*х^53
С45 === ^44 — ^*2^б4
...
Критерий устойчивости Рауса формулируется следующим
образом: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы
все коэффициенты графы I таблицы были положительными.
После приведения уравнения E.11) к форме, при которой ап > О,
указанные в критерии Рауса коэффициенты для того, чтобы
система была устойчива, должны быть положительными, т. е.
ап > 0; ап-! > 0; с19 > 0; си > 0; ...; chn+1 > 0.
В практике технических расчетов и исследований большее
распространение получил критерий Гурвица в следующей
формулировке: для устойчивости системы необходимо и достаточно,
чтобы все определители Гурвица и коэффициент ап были
положительными. Определители Гурвица составляются из коэффициентов
характеристического уравнения E.11), начиная с определителя
А/г п-го порядка, который записывается в форме
0 0 .
Я/1-
/1-1
2Л_2 ая_! ап
Я/1-б
Я/г-7
0 0 0 0 а0
E.12)
Правило составления данного определителя состоит в том, что
по диагонали выписываются коэффициенты от a^_i до а0 включи-
89

тельно. Строки определителя влево от главной диагонали
заполняются коэффициентами с убывающими номерами, а вправо —
коэффициентами с возрастающими номерами. Все последующие
определители Дя-1, Ал_2, ..., Ai являются минорами элементов
определителя Дя, т. е. получаются вычеркиванием столбцов и
строк, начиная соответственно с крайнего правого столбца и с
нижней строки.
Таким образом, условие устойчивости системы по критерию
Гурвица сводится к выполнению неравенств
ал>0; AjX); Д2>0; ...; Дл>0, E.13)
причем для уравнения я-го порядка Ап =аокп_ъ и поэтому для
проверки устойчивости можно находить определители начиная
с Д,^!. В случае характеристических уравнений второй, третьей
и четвертой степеней условия E.13) принимает вид
при п = 2 ао>О, ai>0, а2>0; E.14)
при п = 3 а0>0, аг>0, а2>О, а3>0, \ -
а1а2 — а0а3>0; . J
при я = 4 ао>О, «1>0, а2>0,
5}
— aja4 — aoal > 0. j
В связи с тем, что при анализе устойчивости гидро- и пневмо-
систем часто приходится рассматривать характеристические
уравнения третьего порядка (п =3), условие E.15) удобно
сформулировать в виде следующего правила: для устойчивости системы
третьего порядка необходимо и достаточно, чтсбы все
коэффициенты характеристического уравнения имели одинаковые знаки,
а произведение коэффициентов средних членов этого уравнения
было больше произведения коэффициентов. крайних членов
(первого и последнего).
§ 5.3. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
В 1932 г. Г. Найквист предложил для проверки устойчивости
ламповых усилителей с обратной связью критерий, основанный
на использовании частотных характеристик разомкнутой цепи
таких систем. В общем виде частотный критерий устойчивости
был введен в теорию автоматического регулирования А. В.
Михайловым в 1938 г. Частотные критерии устойчивости нашли
широкое применение при расчетах различных систем автоматического
регулирования. Эти критерии вытекают из известного в теории
функций комплексного переменного принципа аргумента,
позволяющего для многочлена степени п получить условие
расположения на комплексной плоскости всех его я-нулей слева от мнимой
оси. Геометрическая интерпретация этого условия состоит в
следующем.
90

Возьмем многочлен
D (Я) = апХп
E.17)
соответствующий левой части характеристического уравнения E.11).
Многочлен E.17) можно представить в виде
D (К) = ап{%^ кг) (X - Х2) ... (К - ЯЛ), E.18)
где ^ъ ^2» •••» К — корни уравнения E.11).
Положив в зависимости E.18) X = /со, получим
D (/со) = ап (/со - Ях) (/со - Я2) ... (/со - %п). E.19)
На плоскости К комплексные числа /со — Яь /со — А,2, 7.., /со —
— Хд изображаются векторами, начала которых лежат в точках
Ai, А2, ..., АЛ, а концы — на мнимой оси (рис. 5.2). При
изменении со в пределах от — оо до + °° концы этих векторов будут
скользить по мнимой оси снизу вверх, причем каждый из векторов,
лежащих слева от мнимой оси, повернется против часовой стрелка
на угол +я, а каждый из векторов,
лежащих справа от мнимой оси,
повернется по часовой стрелке на угол
—я. Так как вектор D (/со) есть
произведение рассмотренных
векторов, то приращение его аргумента при
изменении со от — оо до + оо будет
п
Д arg D (/со) = 2 arg (/*> ~ ki)
Рис. 5.2. Расположение
векторов (/со — Xt)
или
Д argD (/со) = (п — k) п —• kn =
= я(я-2Л), E.20)
где k — число корней уравнения
E.11), расположенных справа от
мнимой оси.
При изменении со в пределах от 0 до + оо вектор D (/со)
повернется на угол вдвое меньший, чем получается по формуле E.20).
Это объясняется тем, что каждый из векторов /со — Xiy
соответствующих вещественным корням, повернется на угол +я/2 или
—я/2 в зависимости от своего расположения относительно мнимой
оси. Каждый же из пары векторов, соответствующих комплексным
сопряженным корням, повернется на угол тг + Y и у — Y или
— ("t+y) и "- (тг— У) в зависимости от знака вещественной части.
Произведение двух таких векторов будет, очевидно, иметь
приращение аргумента, равное п. Так как у уравнений вида E.11) среди
комплексных корней могут быть только сопряженные, то при
91

изменении ю от 0 до + оо
\n-2k). E.21)
Если все корни характеристического уравнения E.11)
располагаются на комплексной плоскости слева от мнимой оси, то k = 0 и
. A arg D (/со) = /т/2. E.22)
Вектор D (/со), определяемый комплексной функцией
D (/со) - ап (/со)" + ап-г (/со)»-1 +... + а<ь E.23)
которая получается в результате подстановки в характеристический
многочлен E.17) X = /со, при изменении со от 0 до +оо описывает
на комплексной плоскости
годограф.
Из соотношений E.22) и
E.23) непосредственно
следует формулировка критерия
Михайлова: для устойчивости
системы автоматического ре-
——-.
-/ ( '
и
e(s)
Wp(s)
X(S)
Рис. 5.3. Годографы D (ico) для
устойчивых систем
Рис. 5.4. Структурная схема
к объяснению критерия Най-
квиста
гулирования необходимо и достаточно, чтобы вектор D (jco) при
изменении (о от 0 до +со, нигде не обращаясь в нуль, повернулся
вокруг начала координат против часовой стрелки на угол пл/2.
В характеристическом уравнении устойчивой системы все
коэффициенты при ап > 0 должны быть положительными и поэтому
должно также выполняться условие а0 > 0. С учетом этого
замечания критерий Михайлова формулируется еще так: для
устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора
D (jco) при изменении (о от 0 до +оо начинался на вещественной
положительной полуоси и в направлении против часовой стрелки
последовательно проходил п квадрантов комплексной плоскости.
Годографы, соответствующие устойчивым системам с
характеристическими уравнениями второго, третьего и четвертого порядков,
показаны на рис. 5.3.
Частотный критерий Найквиста отличается от критерия
Михайлова тем, что устойчивость замкнутой системы проверяется по
частотным характеристикам ее разомкнутой цепи. В таком подхо-
ходе к исследованию устойчивости систем имеется следующее физи-
92

qecKoe содержание. Предположим, что замкнутая отрицательной
единичной обратной связью система (рис. 5.4) находится на границе
устойчивости и в ней при g (t) = О возникли незатухающие
колебания, при которых
E.24)
Тогда на входе прямой цепи вследствие отрицательной
единичной обратной связи величина 8 будет
е = — авых sin со/. E.25)
Из соотношений E.24) и E.25) следует, что незатухающие
колебания в замкнутой системе могут возникнуть, если прямая цепь
передаст сигналы без искажения по амплитуде и со сдвигом по фазе,
равным —п. При g (t) = 0 искажение передаваемых прямой цепью
сигналов по амплитуде и фазе определяется по частотным
характеристикам разомкнутой в точке 0 цепи системы. Если амплитудная
частотная характеристика такой разомкнутой системы принимает
значение, равное единице, когда фазовая частотная характеристика
достигает значения —я, то в замкнутой системе могут существовать
незатухающие колебания, т. е. такая система будет находиться
на границе устойчивости. Для более строгого изложения критерия
Найквиста необходимо рассмотреть вспомогательную функцию
i + w (;уц _, E26)
Числитель правой части данной формулы является
характеристическим полиномом замкнутой системы, а знаменатель —
характеристическим полиномом соответствующей разомкнутой системы,
так как (см. рис. 5.4)
и при g (s) = 0, е (s) = — х (s)
У реальных систем практически всегда степень т полинома
Мр (s) меньше степени п полинома Dp (s), поэтому степени
характеристических полиномов замкнутой и разомкнутой систем можно
считать равными п.
Предположим, что характеристическое уравнение замкнутой
системы из п корней имеет / корней, лежащик справа от мнимой
оси, а характеристическое уравнение разомкнутой системы из п
корней имеет справа от мнимой оси k корней. Тогда, подставив
в функцию E.26) s == /со, получим функцию 1 + Wp (/со),
приращение аргумента которой при изменении со от —осГ до +оо
определяется следующим образом:
д arg[l + В7р(/©)]«я [(л- /)-/J-яЦя-k) -k] = 2n(k-/). E.27)
93

В случае устойчивости замкнутой системы / = 0 и
E.28)
В связи с тем, что амплитудно-фазовая частотная характеристика
Wp (/со) разомкнутой системы симметрична относительно веще.
ственной оси, можно ограничиться определением приращения
аргумента функции 1 + Wp (/со) при изменении со от 0 до +оо.
При этом условие E.28) устойчивости замкнутой системы примет вид
Aarg[l + U7p(/<D)] = JT*. E.29)
На комплексной плоскости 1 + Wp (/со) можно представить
как вектор, начало которого лежит в точке с координатами —1,
\
-ив
V **"*
\
°°\
и=0
0
\
' \
/ up
i
i
Рис. 5.5. Годограф 1 +
Рис. 5.6. Амплитудно-фазовая
частотная характеристика астатической
разомкнутой системы (к применению
критерия Найквиста)
/О, а конец при изменении со обегает амплитудно-фазовую частотную
характеристику разомкнутой системы (рис. 5.5). Если разомкнутая
система составлена из устойчивых звеньев, то ее характеристическое
уравнение не имеет корней справа от мнимой оси, т. е. k = 0.
В этом случае условие E.29) приводит к следующей формулировке
критерия Найквиста: замкнутая система устойчива, если устойчива
разомкнутая система и ее амплитудно-фазовая частотная
характеристика при изменении ш от 0 до +оо не охватывает точку с
координатами —1, jO.
Условие E.29) показывает, что замкнутая система может быть
устойчива и при неустойчивой разомкнутой системе (k Ф 0), если
выполняется следующий расширенный критерий: замкнутая'система
устойчива, если вектор, начало которого лежит на комплексной
плоскости в точке —1, jO, а конец при изменении <о от 0 до +оо
обегает амплитудно- фазовую частотную характеристику разомк-
94

нутой системы, повернется против часовой, стрелки на угол як,
где к — число корней характеристического уравнения,
расположенных справа от мнимой оси.
Амплитудно-фазовые частотные характеристики (АФЧХ)
разомкнутых систем, не содержащих интегрирующих звеньев, при
изменении со от — оо до + оо образуют замкнутый контур. Такие
системы являются статическими, и применение к ним
сформулированных критериев устойчивости не вызывает затруднений. Если
разомкнутая система является астатической, т. е. содержит одно
или несколько последовательно включенных интегрирующих звеньев,
то при со = 0 ветви ее АФЧХ уходят вдоль мнимой оси в
бесконечность (рис. 5.6). При этом возникают затруднения в оценке
устойчивости замкнутой системы. Я. 3. Цыпкин доказал возможность
распространения критерия Найквиста на .астатические системы
с любым числом интегрирующих звеньев, если ветви АФЧХ
дополняются дугами окружности бесконечно большого радиуса (рис. 5.6).
§ 5.4. ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ УСТОЙЧИВОСТИ
СИСТЕМ
Рассмотренные в предыдущем параграфе методы проверки
устойчивости замкнутых систем по частотным характеристикам
разомкнутых систем оказываются особенно удобными для расчета, если
применяются логарифмические амплитудные и фазовые частотные
характеристики.
Пусть АФЧХ устойчивой разомкнутой системы не имеет точек
пересечения с вещественной осью между —1 и —оо (амплитудно-
фазовая частотная, характеристика первого рода, показана кривой
/ на рис. 5.7, а). Такой характеристике соответствуют
логарифмическая амплитудная 4 и логарифмическая фазовая 2 частотные
характеристики, изображенные на рис. 5.7, б. Замкнутая система
согласно критерию Найквиста является устойчивой, так как АФЧХ
устойчивой разомкнутой системы не охватывает точку с
координатами —1, /0. В логарифмических частотных характеристиках
разомкнутой системы это условие проявляется в том, что фазовая
характеристика не достигает значения —л при частоте, для которой
Lp (со) = 0, т. е. логарифмическая амплитудная характеристика
пересекает ось частот (рис. 5.7, б). Частота соср, при которой Lp (со) =
= 0, называется частотой среза. Угол фзап, на который фазовая
характеристика не доходит до значения —п при частоте среза,
называется запасом устойчивости по фазе.
Следовательно, замкнутая система устойчива, если
логарифмическая частотная характеристика при частоте среза имеет запас
устойчивости по фазе. Необходимо проверять также запас
устойчивости по амплитуде L3an при частоте перехода фазы или частоте,
при которой фазовая характеристика пересекает линию —я.
Рекомендуемые значения запасов по фазе лежат в пределах 30—40°,
95

а рекомендуемые значения запасов по амплитуде составляют 6—8 дБ.
При увеличении коэффициента усиления разомкнутой системы
запасы по фазе и по амплитуде уменьшаются, и в конце концов
замкнутая система может оказаться неустойчивой (рис. 5.7, б,
штриховая кривая 5).
Если АФЧХ устойчивой разомкнутой системы имеет точки
пересечения с вещественной осью между —1 и — оо (АФЧХ второго
рода, рис. 5.8, а), то устойчивость замкнутой системы оценивается
по числу положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу
вверх) переходов этой характеристики участка между —1 и —оо.
Рис. 5.7. Частотные характеристики устойчивой и неустойчивой систем:
а — амплитудно-фазовая; б — логарифмические амплитудная и фазовая
При устойчивой разомкнутой системе замкнутая система устойчива,
когда разность между числом положительных и отрицательных
переходов указанного участка равна нулю. Положительным переходам
АФЧХ через вещественную ось между —1 и —оо соответствует
пересечение логарифмической фазовой характеристикой прямой
-—я снизу вверх при значениях Lv (со) > 0, поэтому для фазовой
характеристики такое направление перехода считается положи*
тельным, а обратное направление перехода фазовой характеристики
— отрицательным.
Для принятых законов переходов логарифмической фазовой
характеристики критерий устойчивости формулируется следующим
образом: замкнутая система устойчива, если разность
положительных и отрицательных переходов фазовой характеристики в
разомкнутой системе через прямую —я равна нулю при частотах, для
которых Lp (со) > 0 (рис. 5.8, б).

В общем случае, когда разомкнутая система неустойчива и имеет
k корней справа от мнимой оси, замкнутая система будет устойчива,
если разность положительных и отрицательных переходов фазовой
характеристики разомкнутой системы через прямую —я равна k/2
при значениях частот
JVp
для которых Lp (со) > 0.
Рис. 5.8. Устойчивость замкнутой системы, когда амплитудно-фазовая
частотная характеристика имеет точки пересечения с вещественной осью на отрезке
—оо, —1:
а — амплитудно-фазовая характеристика; б — логарифмические амплитудная и фазовая
характеристики
В заключение заметим, что чцсло корней k характеристического
уравнения разомкнутой системы, расположенных на комплексной
плоскости справа от мнимой оси, определяется по числу полюсов
передаточных функций звеньев, составляющих систему.
Если эти звенья типовые, то признаком неустойчивости
разомкнутой системы являются разные знаки у членов знаменателя
передаточной функции хотя бы одного звена, т. е. наличие в системе
неустойчивого звена.
§ 5.5. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ
СИСТЕМЫ НА ЕЕ УСТОЙЧИВОСТЬ
При проектировании систем автоматического регулирования часто
необходимо выяснить влияние различных параметров регулятора
и регулируемого объекта на устойчивость системы. Эта задача
может быть решена выполнением серии расчетов с использованием
рассмотренных выше критериев устойчивости. Такие исследования
облегчаются, если применить специальные методы, основанные на
Указанных критериях. Кроме того, с помощью этих методов можно
4 Попов Д. Н.
97

получить более общее решение задачи о влиянии параметров системы
на ее устойчивость. Первый из них был предложен и разработан
в 1948 г. Ю. И. Неймарком и получил название — метод D-раз-
биения пространства параметров. Он представляет собой
дальнейшее развитие метода И. А. Вышнеградского, определившего еще
в 1876 г. области устойчивости линейной системы, описываемой
дифференциальным уравнением третьего порядка [70, 71]. .
Второй метод, предложенный в 1948 г. К. Ф. Теодорчиком в
СССР и в 1950 г. В. Ивенсом в США, называется методом корневого
годографа. Этот метод применяется также при исследовании
качества процессов регулирования [73].
Метод D-разбиения пространства параметров основывается на
том, что каждому сочетанию значений коэффициентов
характеристического уравнения E.11) соответствует вполне определенное
расположение корней этого уравнения на комплексной плоскости.
Изменение коэффициентов уравнения вызывает перемещение его
корней на комплексной плоскости, причем при некоторых
значениях коэффициентов один из корней попадает в начало координат
или же пара корней попадает на мнимую ось. В этом случае
значения коэффициентов должны удовлетворять уравнению
0. E.30)
При изменении со от —оо до +°° уравнением E.30) в
пространстве коэффициентов характеристического уравнения определяется
гиперповерхность, разделяющая это пространство на области
значений коэффициентов, которым соответствует различное число
корней слева и справа от мнимой оси. Переход из одной области
значений коэффициентов в другую'приводит к изменению числа
корней, расположенных слева от мнимой оси. Если существует
область значений коэффициентов, которой соответствует п корней
слева от мнимой оси, то этой областью определяются все
возможные значения параметров системы, при которых она устойчива.
Выделение в пространстве коэффициентов областей, которым
соответствует различное расположение корней на комплексной
плоскости, называется D-разбиением.
При необходимости выяснить влияние одного параметра К на
устойчивость системы проводится D-разбиение плоскости и
находятся области комплексных значений этого параметра. Граница D-
разбиения определяется из уравнения E.30).после приведения его
к виду
/>(/co) + /CQ(/co) = 0, E.31)
откуда
К = — Р (/o))/Q (/со) = X (со) + JY (со). E.32)
По зависимости E.32) для значений со от —сю до +оо на
комплексной плоскости коэффициента К проводится граница
D-разбиения, причем сначала строится кривая при 0 < со < +<х>, которая
затем дополняется зеркальным отображением этой кривой относи-
93

тельно вещественной оси. Полученная граница штрихуется слева
при изменении со от —оо до +оо. Переход с незаштрихованной
стороны границы на заштрихованную означает, что такое изменение
коэффициента К приводит к перемещению корня
характеристического уравнения с правой полуплоскости в левую. Если же
переход через границу происходит с заштрихованной стороны на неза-
штрихованную, то в плоскости корней соответственно корень
перемещается из левой полуплоскости в правую.
Для определения значений параметра К, обеспечивающих
устойчивость системы, необходимо среди областей, выделенных
границей D-разбиения в плоскости этого параметра, отыскать такую,
которой отвечает наибольшее число корней слева от мнимой
оси плоскости корней характеристического уравнения. Если это
В (Л)
Рис. 5.9. D-разбиение
плоскости параметра К'-
а — плоскость /С; б —
плоскость К
6)
число будет равно степени характеристического уравнения, то
полученная область значений параметра К определяет устойчивость
системы.
В качестве примера проведем D-разбиение плоскости параметра
/С, входящего в характеристическое уравнение
0. E.33)
E.34)
Решив данное уравнение относительно /С, получим
К = — А,3-Я2-А,.
После подстановки в зависимость E.34) А, =/со имеем
— 1).
E.35)
Для значений о от —оо до +-оо на рис. 5.9, «^построена граница
D-разбиения, которая выделяет в плоскости параметра К три
области /, // и ///. Наиболее вероятной областью значений
параметра /С, обеспечивающих расположение всех трех корней
характеристического уравнения E.33) в плоскости А, (рис. 5.9, б) слева
от мнимой оси, является область /, так как попадание в эту область
из двух других связано с переходом границы с незаштрихованной
ее стороны* на заштрихованную. При этом в плоскости X корни
4* 9Ь>

перемещаются из правой полуплоскости в левую (стрелки А на
рис. 5.9). Для определения числа корней, лежащих слева от мнимой
оси плоскости Я, при значениях К в пределах области / вычислим
корни уравнения E.33) при К = 0:
Увеличение значений К от 0 до 1 приводит к попаданию в
область / с незаштрихованной стороны на заштрихованную. При
этом нулевой корень в плоскости X с мнимой оси смещается в левую
'полуплоскость и все три корня располагаются слева от мнимой
оси. Следовательно, значения /С, определяемые областью /,
обеспечивают устойчивость системы, имеющей характеристическое
уравнение E.33). У реальных систем параметры являются
вещественными числами, поэтому должны рассматриваться только значения
параметра К в пределах от 0 до 1.
Метод D-разбиения применяется также при исследовании
влияния на устойчивость двух параметров, линейно входящих в
характеристическое уравнение. Предположим, что после подстановки
К = /со характеристическое уравнение E.11) может быть
представлено в виде
/со) + vQ (/со) + R (/со) = 0,
E.36)
где |i и v — параметры, влияние которых на устойчивость системы
необходимо исследовать.
Выделив в каждом члене уравнения E.36) вещественную и
мнимую части, получим два уравнения
\Шр (со) + vUQ (со) + UR (со) = 0; E.37)
liVp (со) + vVQ (со) + VR (со) = 0, E.38)
в которых Up (со), UQ (со) и Ur (со) — вещественные части
соответственно Р (/со), Q (/со) и R (/со), a VP (со), VQ (со) и VR (со) —
коэффициенты мнимых частей тех же функций.
Из решения системы уравнений E.37) и E.38) имеем
(Л = А1/Д; v = A2/A, . E.39)
где
?/Р(со), UQ(«>)
Fp(co),
E.40)
-VR(<o),
UP (со), -UR(v>)
Fp(co), -!/*(©)
E.41)
E.42)
Задавая различные значения со по формулам E.39) — E.42),
в плоскости параметров [г и v можно построить границу D-разбие-
100

ния. При со = 0 и со = +оо обычно получаются так называемые
особые прямые. В этом случае Д = Д2 = Д2 = 0 и одно из
уравнений системы E.37)—E.38) становится следствием другого.
Штриховка границы D-разбиения производится так, чтобы при
перемещении вдоль границы в сторону увеличения со
заштрихованная сторона была слева, когда Д > 0, и справа, когда Д < 0.
Граница проходится дважды: один раз при изменении со от —оо
д0 0, а второй раз — при изменении со от 0 до +оо. Однако
штрихуется граница оба раза с одной стороны, так как чаще всего
знак Д меняется при со = 0 и со = оо. Через точки, соответствующие
этим предельным значениям со, обычно проходят и особые прямые,
которые штрихуются так, чтобы заштрихованные и незаштрихован-
ные стороны особой прямой и основной границы были обращены
друг к другу в окрестности точки их пересечения (рис. 5.10).
Особая прямая^
Рис. 5.10. D-разбиение
плоскости двух параметров
Рис. 6.11. Гипербола Вышне-
градского
Следует заметить, что указанной ориентацией штриховки
предусматривается принятый выше порядок написания уравнений
E.37) и E.38) и такая же последовательность расположения в них
исследуемых параметров. При этом \х откладывается по оси абсцисс,
a v — по оси ординат.
После построения и штриховки кривой и особых прямых
границы D-разбиения определяется наиболее вероятная область
устойчивости. К ней должна быть отнесена та область значений
параметров |л и v, попадание в которую сопряжено с наибольшим числом
переходов с незаштрихованной стороны на заштрихованную.
Предполагаемая область устойчивости проверяется по одному из
рассмотренных выше критериев, причем берется пара численных
значений параметров \i и v для этой области. Если условия
устойчивости выполняются для этих значений ц и v, то они выполняются
для всей выделенной области.
Для примера D-разбиения плоскости параметров можно провести
этим методом решение задачи Вышнеградского, которая в своем
первоначальном виде была решена с помощью алгебраических
101

критериев. Пусть дано характеристическое уравнение
^3 + ^2 + v^+l=0. E.43)
При D-разбиении плоскости параметров \i и v уравнение E.43)
записывается в виде
откуда после подстановки К = /со имеем
— fico2 + 1 + / (vco - со3) = 0.
Последнее уравнение приводится к системе
jx (— со2) + v • 0 + 1 = 0; (л-0 + vco — со3 = 0. E.44)
Для этой системы определитель
_@2> о
~~ 0, со
будет равен нулю только при со = 0. Для со Ф 0
|л=1/со2; v = co2,
и, следовательно,
v=l/ji. E.45)
Таким образом, граница D-разбиения является гиперболой
E.45), называемой гиперболой Вышнеградского (рис. 5.11).
Значение со = 0 определяет две особые прямые: ц = оо и v = 0, из
которых первая не ограничивает областей устойчивости в конечной
части плоскости. Вторая особая прямая (v = 0) не требует
штриховки, так как \i = v = 0 соответствует уравнение, имеющее один
корень слева от мнимой оси и два корня справа от нее. Переход
через границу D-разбиения с двойной штриховкой соответствует
дополнительному смещению двух корней в левую полуплоскость,
поэтому можно сразу сказать, что область А на рис. 5.11 является
областью устойчивости.
§ 5.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ОСОБЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Рассмотренный в § 5.3 частотный критерий Найквиста может быть
также применен для проверки устойчивости особых систем
автоматического регулирования с распределенными параметрами [5,71].
К таким автоматическим системам относятся системы, содержащие
элементы, процессы в которых описываются уравнениями в частных
производных; параметры этих элементов распределены по
пространственным координатам. В ряде случаев система с распределенными
параметрами может быть приведена к системе, имеющей в своем
контуре элементы чистого запаздывания [5]. Если несколько таких
элементов включено последовательно, то они могут быть заменены
одним звеном чистого запаздывания с суммарным временем
запаздывания т. Тогда вся система может быть представлена структурной
102

схемой, изображенной на рис. 5.12. Передаточная функция разомк-
нутой системы имеет вид
ей соответствует амплитудно-фазовая частотная характеристика
Гр(/о)) = Ц7о(/о))е-/^. E.46)
При т = 0 система называется предельной по отношению
к системе с запаздыванием. Из соотношения E.46) следует, что
Рис. 5.12. Структурная
схема системы автоматического
регулирования с запаздыва-
нием
амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) системы
с запаздыванием получается поворотом по часовой стрелке вектора
Wo (/со), определяющего АФЧХ предельной системы, на
дополнительный угол сот. С увеличением со значение сот возрастает, а модуль
Wo (/g>) обычно убывает, поэтому АФЧХ системы с запаздыванием
«закручивается» около начала
координат (рис. 5.13). J 1
Рис. 5.13. Амплитудно-фазовые
частотные характеристики
разомкнутой предельной системы / и
системы с запаздыванием 2
Рис. 5.14. График для определения
"кр
И (Х)п
При устойчивой предельной системе система с запаздыванием
будет устойчива, если АФЧХ ее разомкнутого контура не
охватывает точку —1, /О (рис. 5.13). Система с запаздыванием может
иметь критическое время запаздывания ткр, при котором она будет
находиться на границе устойчивости. Значение ткр определяется
тем, что АФЧХ разомкнутого контура такой системы проходит
через точку —1, /0. Следовательно, при некоторой частоте, которую
можно обозначить сол,
W (/соя) = Wo (/«W e-/xKPw* = _ 1,
E.47)
103

откуда
mod Wo (M = U
arg Wo (/соя) - ткрсол = — п Bт + 1),
E.48)
E.49)
L(u)
0
К
2
-if
j
Уер
\
\
j
Р2(и)\\
1ди
где т = 0, 1, 2, ...
Уравнения E.48) и E.49) позволяют определить cort и ткр. Можно
также найти эти величины графически, если воспользоваться
условием E.47) и построить АФЧХ предельной системы. Точки
пересечения этой характеристики с
окружностью единичного
радиуса дают значения cort, которых
может быть несколько (рис. 5.14).
Отношения соответствующих
углов Yi» Y2 и Тз к частотам оэяь
wrt2 и о)лз определяют
критические времена запаздывания ткрЬ
ткР2 и ткр3. Благодаря наличию
нескольких значений ткр
неустойчивые состояния системы
могут сменяться устойчивыми в
зависимости от значения т.
Такое чередование областей
устойчивости и неустойчивости
является характерной
особенностью систем, содержащих
звенья чистого запаздывания.
Обычно для системы с
запаздыванием определяют минимальное
критическое время ткр1 = 7i/corti,
по которому и оценивается устойчивость системы. Система будет
устойчива, если выполняется неравенство
т<ткр1,
где т — суммарное время запаздывания проверяемой системы.
Из рис. 5.14 видно, что система с запаздыванием будет
устойчива при любом значении т, если АФЧХ ее предельной системы
лежит внутри окружности единичного радиуса или, другими
словами, если
mod Wo (/со) < 1
при всех значениях частот в диапазоне от 0 до оо.
Для проверки устойчивости систем с запаздыванием могут
быть также использованы логарифмические амплитудные и фазовые
частотные характеристики. При этом сначала строятся
логарифмические амплитудная и фазовая фх (со) частотные характеристики
предельной системы (рис. 5.15). Затем к логарифмической фазовой
частотной характеристике добавляются значения фазовых сдвигов
104
Рис. 5.15. Проверка устойчивости
систем с запаздыванием по
логарифмическим и фазовым частотным
характеристикам

ДФ (со), вызванных действием звена чистого запаздывания
Дф(О)) = — (ОТ.
Устойчивость, как и ранее, определяется наличием запаса по
фазе при частоте среза и запасом по амплитуде при частоте перехода
фазы, по ф2 (со)
Другим видом особых линейных систем автоматического
регулирования являются нестационарные системы, процессы в которых
описываются линейными дифференциальными уравнениями с
переменными во времени коэффициентами [7,70]. Для таких систем
условия устойчивости могут отличаться от ранее рассмотренных
в связи с тем, что характер возникающих в них процессов зависит
от момента времени, в который на систему действует возмущение
[5,71]. Однако приведенные выше методы проверки устойчивости
линейных стационарных систем, описываемых линейными
дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, в
некоторых случаях могут быть применены непосредственно.
Если параметры исследуемой системы по сравнению с
возможным для нее возмущенным движением представляют собой медленно
изменяющиеся во времени величины, то наиболее простой способ
состоит в замораживании коэффициентов дифференциального
уравнения в фиксированный момент времени. При этом нестационарная
система автоматического регулирования сводится к стационарной,
к которой применимы обычные критерии устойчивости. Отличие
в исследовании устойчивости системы с замороженными
параметрами от системы с постоянными параметрами заключается в том,
что приходится проверять устойчивость такой системы в различные
моменты времени на всем возможном интервале времени работы.

Глава VI
КАЧЕСТВО РЕГУЛИРОВАНИЯ
И МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 6.1. ПОНЯТИЕ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Если к системе автоматического регулирования прикладывается
возмущающее или задающее воздействие, то в ней возникает
переходный процесс, при котором регулируемая величина изменяется
во времени.
В устойчивой системе с течением времени устанавливается
значение регулируемой величины, определяемой задающим
воздействием, т. е. переходный процесс является затухающим.
Максимальное значение регулируемой величины при
переходном процессе, вид этого процесса и время, за которое регулируемая
величина достигает заданнсрго значения, называются показателями
качества переходного процесса. Для характеристики качества
регулирования, кроме того, оценивается точность, с которой в
системе обеспечивается заданное значение регулируемой величины.
Для исследования качества переходных процессов широко
применяются методы, основанные на нахождении отклика
(реакции) системы на детерминированные воздействия в виде
ступенчатого воздействия (скачка), импульсного воздействия, сигнала
постоянной скорости, гармонического сигнала. Эти воздействия
называются типовыми.
Качество переходных процессов проверяется раздельно для
задающего и возмущающего воздействий. При этом одно
воздействие, например возмущающее / (/), выбирается типовым, а другое
[задающее g (t)] предполагается постоянным или равным нулю.
Показатели качества переходного процесса проверяются либо по
значениям регулируемой величины, либо по ошибке.
На рис. 6.1 даны три характерных переходных процесса для
регулируемой величины х (t), вызванных в системе, схема которой
приведена на рис. 1.1, единичным скачком g (t) =1 (t) задающего
воздействия при отсутствии возмущающего воздействия / (t) = 0.
Переходный процесс / является колебательным, переходный
процесс 2 — монотонным, переходный процесс 3 — апериодическим-
В устойчивой системе, описываемой линейным
дифференциальным уравнением, регулируемая величина при переходном процессе
приближается к своему установившемуся значению х^ при t -»- <*>•
106

Поэтому продолжительность процесса регулирования определяется
до того момента времени, когда отклонения регулируемой величины
от Хоо оказываются в допустимых пределах zhAx^ Обычно эти
пределы назначают равными ±0,05*00. Время, по истечении которого
переходный процесс попадает в «канал» допустимых отклонений,
называется временем переходного процесса tn. Колебательный
процесс дополнительно характеризуется временем tm за которое
регулируемая величина нарастает до максимального значения
Хтах, и самим значением хтах. Часто вычисляется также
максимальное перерегулирование
100%
F.1)
и время первого согласования tu за которое регулируемая величина
первый раз достигает х^
Величины Хщах и /п определяют область допустимых отклонений
регулируемой величины в переходном процессе. Границы этой
области выделены на рис. 6.1
штриховкой.
Рассмотренные
переходные процессы могут иметь
место и тогда, когда к
системе прикладывается
единичное ступенчатое
возмущающее воздействие / (/) =
= 1 (t) при неизменном
или равном нулю
задающем воздействии g(t). При
этом установившееся
значение регулируемой
величины получается равным
Первоначальному, если
регулятор — астатический, и
отличным от
первоначального на величину установившейся ошибки, если регулятор —
статический. Оценка качества процесса регулирования производится
по тем же показателям (рис. 6.2), что и ранее.
При импульсном воздействии на устойчивую систему
автоматического регулирования установившееся значение регулируемой
величины совпадает с первоначальным своим значением, а
допустимая область переходного процесса определяется так же, как при
ступенчатом воздействии. Если система нейтрально устойчива,
т. е. обладает свойством интегрирования сигналов, то при импульсном
воздействии установившееся значение регулируемой величины
будет отличаться от первоначального. В этом случае переходный
процесс имеет такой же характер, как при ступенчатом воздействии
на устойчивую статическую систему.
Рис. 6.1. Основные виды
цессов
переходных про-
107

При воздействиях в виде сигнала постоянной скорости
регулируемая величина приближается к значению, изменяющемуся во
времени также с постоянной скоростью и отличающемуся в каждый
момент времени от задаваемого на некоторую постоянную величину,
равную установившейся ошибке еуст (рис. 6.3). Качество переходного
процесса оценивается по максимальному перерегулированию и
времени переходного процесса, определяемым по отклонениям
регулируемой величины относительно линейно изменяющегося во
времени х^ (рис. 6.3).
Качество процессов регулирования может быть проверено
прямыми методами и методами косвенных оценок. Первые методы
Рис. 6.2. Колебательный переходный
процесс в статической системе, вызванный
возмущающим единичным ступенчатым
воздействием
Рис. 6.3. Переходный процесс,
вызванный сигналом с
постоянной скоростью
основываются на непосредственном определении переходного
процесса. Изменение регулируемой величины во времени в случае
ступенчатого или импульсного воздействий можно получить
соответственно в виде переходной или весовой функций. По таким
функциям можно также вычислить переходный процесс, вызванный
сигналом постоянной скорости, если воспользоваться интегралом
свертки (§ 2.5 и 2.6).
Для непосредственного определения кривой переходного
процесса в системах, состоящих из большего числа динамических
звеньев и, следовательно, описываемых дифференциальными
уравнениями высокого порядка, широко применяются цифровые и
аналоговые вычислительные машины. Однако в связи с тем, что в
практике проектирования автоматических систем распространены
частотные критерии устойчивости, оказывается также полезным
рассмотренный ниже метод определения кривой переходного процесса
по вещественным частотным характеристикам. Изучение этого
метода облегчает понимание связи между процессами, вызванными
гармоническими воздействиями на систему и воздействиями в виде
ступенчатой функции времени. Эта связь в частности используется
108

при косвенных методах оценки качества процессов регулирования
по частотным характеристикам системы. Как частотные, так и
другие косвенные методы позволяют приближенно определить
показатели качества процессов регулирования, не находя самого
переходного процесса. Кроме того, в большинстве случаев ^методы расчета
переходных процессов позволяют осуществлять не только анализ,
но и синтез систем автоматического регулирования.
$ 6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Метод определения переходных процессов по частотным
характеристикам систем основывается на прямом и обратном интегральных
преобразованиях Фурье. Прямым преобразованием Фурье
называется интеграл
оо
F.2)
а обратным преобразованием — интеграл
F.3)
Непериодическая функция времени / (f), заданная набесконечном
интервале —с» < t < оо, должна удовлетворять условиям Дирихле
и быть абсолютно
интегрируемой:
F.4)
где М — конечная величина.
Сначала установим с
помощью преобразований Фурье
связь между переходным
процессом, вызванным единичным
ступенчатым воздействием, и
частотными характеристиками
замкнутой системы
автоматического регулирования.
Интегралы F.2) и F.3) позволяют непериодическую функцию
времени (сигнал) представить бесконечным множеством
гармонических составляющих, если выполняется условие Дирихле и
функция абсолютно интегрируема.
Для единичной ступенчатой функции 1 (/) условие абсолютной
интегрируемости не выполняется, и поэтому преобразование Фурье
непосредственно к такой функции применить нельзя. Однако если
109
Рис. 6.4. Экспоненциальный импульс

воспользоваться экспоненциальным импульсом (рис. 6.4)
f е-°* при />0,
'<Н 0 при «ft
то при а -> О единичную ступенчатую функцию удается представить
в виде бесконечного сплошного спектра синусоидальных
составляющих. Действительно, прямое преобразование Фурье функции F.5)
дает
00
^ F.6)
Подстановка значения F (/со), определяемого соотношением F.6),
в формулу для обратного преобразования F.3) приводит к
следующему интегральному выражению для, экспоненциального импульса:
Подынтегральные функции вещественной части комплексного
выражения F.7) являются четными функциями со, а мнимой части —
нечетными функциями со, поэтому последние два интеграла равны
нулю и
При a -> 0 предел первого интеграла в соотношении F.8) равен
я/2 [70]. Следовательно, при предельном переходе к единичной
ступенчатой функции будем иметь
~ sin со/ 1
Выражение ^ асо можно рассматривать как элементарное
синусоидальное воздействие с амплитудой dco/ясо. Тогда
элементарная гармоническая составляющая выходной величины dx замкнутой
системы, имеющей амплитудно-фазовую частотную характеристику
будет определяться как
dx = 3^ sin [со/ + ф3 (со)] dco.
ПО

Отклик замкнутой системы на единичноеступенчатое воздействие
F.9) или, иначе говоря, переходную функцию системы h (/), можно
определить в виде
00
jsin[arf + ?,(fi,)]da). F.10)
О
Запишем дополнительно следующее очевидное соотношение*
А3 (со) sin [со/ + фз (со)] = А3 (со) cos ф3 (со) sin со/ +
+ Лз (со) sin фз (со) cos со/ = Р (со) sin со/ + Q (со) cos со/, F.11)
где Р (со) = А3 (со) cos ф3 (со) — вещественная частотная
характеристика замкнутой системы: Q (со) = А3 (со) sin ф3 (со) — мнимая
частотная характеристика замкнутой системы.
Используя соотношение F.11), функцию F.10) приведем к виду
^^ F.12)
где Р @) = А3 (со) при со = 0.
Принимая за начало отсчета регулируемой величины ее значение
до приложения воздействия, при / < О имеем h @) = 0. Учитывая,
кроме того, что
sin (— со/) = — sin со/, cos (— со/) = cos со/,
для /<0 из зависимости F.12) найдем
F.13)
Вычитая выражение F.13) из F.12), получаем
LMsinco/dco. F.14)
Эта формула устанавливает связь между переходной функцией
h (f) и вещественной частотной характеристикой замкнутой системы.
Однако непосредственное определение переходного процесса по
этой формуле затруднено вычислением интеграла. Вычисления
упрощаются, если применить метод В. В. Солодовникова, по которому
вещественная частотная характеристика аппроксимируется
отрезками прямых так, что ее можно представить в виде алгебраической
суммы трапеций [71]. При этом в окрестностях экстремальных
значений Р (со) аппроксимирующие прямые проводятся параллельно
оси со, как показано на рис. 6.5, а для одного из возможных видов
вещественной частотной характеристики.
В данном случае вещественная частотная характеристика
приближенно определяется, если из трапеции acek вычесть трапеции
bcdl и aofg. Каждая из трапеций должна быть прямоугольной со
111

сторонами, совпадающими с осями Р (со) и со (рис. 6.5, б). Такие
трапеции называются трапецеидальными частотными
характеристиками. Трапецеидальная частотная характеристика полностью
задана, если известны ее высота Р @), частота пропускания сигнала
(оо и частота пропускания сигнала без искажения a>d (рис. 6.6).
а) к 9
Рис. 6.5. Замена вещественной частотной характеристики трапецеидальными
Трапецеидальная частотная характеристика описывается
функцией вида
(Р,@) при
0
при (о>@0.
F.15)
Вещественная частотная характеристика выше была заменена
алгебраической суммой трапецеидальных характеристик, поэтому
переходная функция, вычисленная по одной из них, будет являться
составляющей всего определяемого переходного процесса. Для какой-
либо i'-ой трапецеидальной характеристики такая составляющая hi (t)
находится после подстановки функции F.15) в формулу F.14):
МО-
[®
3.16)
Интегрирование этого выражения позволяет найти
hi @ = М- {Si (oW) + Мог [Si («W) - Si
Я I v (On/ — @/// \ »* /
i — todi \
(cos(uoit—cosmdit\\
F.17)
где
sin
- dco — интегральный синус.
112

функция F.17) может быть вычислена с помощью специальных
таблиц, которые составлены для единичной трапецеидальной
частотной характеристики [71]. У такой характеристики Pt @) = 1;
0H*
= 1.
Переходная функция, полученная по зависимости F.17) для
единичной трапецеидальной частотной характеристики, называется
/^.-функцией и имеет вид
~ Si
В функцию F.18) входит параметр
циентом наклона /-ой трапеции:
,ь который является коэффи-
F.19)
Значения %t лежат в пределах от 0 до 1. В первом случае трапеция
вырождается в треугольник, во втором — в прямоугольник.
Независимой переменной функции F.18) служит табличное
время tn значения которого и указаны в таблицах для /1х-функций.
Истинное время t связано с
табличным соотношением
F.20)
Составляющая переходного
процесса hi (t) с помощью таблиц
Лх-функций определяется в следую-
цей последовательности. Сначала
по формуле F.19) вычисляется
коэффициент наклона %/• Затем по
таблицам для ряда значений tT
находятся значения h%i, каждое
из которых для получения hi
умножается на Pi @). Истинное время,
соответствующее вычисленному
значению hu определяется по табличному времени с помощью
соотношения F.20). По результатам вычислений строится график
составляющей переходного процесса hi (f).
Весь переходный процесс определяется в виде алгебраической
суммы составляющих:
А @=2 МО- F.21)
Рис. 6.6. Трапецеидальная
частотная характеристика
Таким образом, для получения графика переходного процесса
при ряде значений времени t суммируются ординаты составляющих
этого процесса с учетом знаков трапецеидальных характеристик.
На рис. 6.7 даны составляющие переходного процесса,
соответствующие трапецеидальным частотным характеристикам, изображенным
на рис. 6.5, б; там же показан весь переходный процесс.
113

h,(t)
При применении рассмотренного выше метода определения
переходного процесса необходимо предварительно найти вещественную
частотную характеристику замкнутой системы автоматического
регулирования. Это можно сделать несколькими способами. Первый
способ состоит в выделении вещественной части
амплитудно-фазовой частотной характеристики замкнутой системы Ф (/со). Однако
в тех случаях, когда замкнутая система содержит несколько
динамических звеньев, такой способ может привести к сложным
вычислениям. Поэтому обычно вещественные частотные характеристики
находят по специальным номограммам.
Если система замкнута единичной отрицательной обратной
связью, то вещественная частотная характеристика замкнутой
системы определяется по
логарифмической амплитудной Lp (со) и
логарифмической фазовой фр (со) частотным
характеристикам разомкнутой системы с
помощью номограммы, которая дана на
рис. 6.8. На номограмму накладывается
вычерченная на прозрачной бумаге в
координатах Lp, срр частотная
характеристика разомкнутой системы. В точках
пересечения такой характеристики с
кривыми номограммы по числам,
проставленным около этих кривых,
определяются значения Р (со), а соответствующие
им частоты со берутся с логарифмической
амплитудной или с логарифмической
фазовой частотных характеристик
разомкнутой системы.
Единичная отрицательная обратная
связь получается в структурной схеме
системы в большинстве случаев тогда,
когда определяется переходный процесс, вызванный задающим
воздействием. Если рассматривается переходный процесс при
возмущающем воздействии, то обратная связь чаще всего будет иметь
динамические звенья. Передаточная функция такой системы может
быть приведена к виду (см. рис. 4.13)
Рис. 6.7. Составляющие
переходного процесса и весь
переходный процесс для
системы с вещественной
частотной характеристикой,
изображенной на рис. 6.5
F.22)
где Wt (s) — передаточная функция прямой цепи; Wv (s) =
= Wx (s) W2 (s) — передаточная функция разомкнутой системы.
Для определения вещественной частотной характеристики
системы с передаточной функцией F.22) служит номограмма на
рис. 6.9. При использовании этой номограммы необходимо
предварительно найти логарифмическую амплитудную L3 (со) и
логарифмическую фазовую ф3 (со) частотные характеристики замкнутой системы,
передаточную функцию F.22) которой целесообразно предвари-
114

тельно привести к виду
Данной передаточной функции соответствуют следующие
логарифмические частотные характеристики:
L3 (со) = U (со) + L'3 (со); ф3 (со) = срь(со) + q>; (со),
где
1г (со) = 20 lg Аг (со); Аг (со) = mod Wx (/со); ф1 (со) = arg Wt (/со),
а логарифмические амплитудная L'3 (со) и фазовая фз (со) частотные
характеристики определяются по номограмме замыкания (см. рис*
-24
400° -SO0 cpp(u)
Рис. 6.8. Номограмма для определения вещественной частотной характеристики
по Lp (©) и фр (со) разомкнутой системы (система замкнута единичной обратной
связью)
4.15), причем для нахождения частотных характеристик Lp (со)
и фр (со) разомкнутой системы используются соотношения
Lp (со) = — 20 lg Лр (со); Фр (со) = — arg Wp (/со).
115

После того, как получены L3 (со) и ф3 (со), на прозрачной бумагу
строится частотная характеристика замкнутой системы в коорди.
натах L3, ф3. Эта характеристика накладывается на номограмму
(рис. 6.9) и по точкам пересечения ее с кривыми номограммы нахо-
360
Рис. 6.9. Номограмма для определения вещественной частотной
характеристики системы с передаточной функцией Ф (s) = 1 » и/7 v
дятся значения Р (со), а частоты со берутся или с характеристики
L3 (со), или с характеристики ср3 (со) [23].
По вещественной частотной характеристике можно определить
также весовую функцию w (t) (импульсную переходную функцию).
Учитывая, что
w (/) = dhl&U
116

й принимая во внимание формулу F.14), найдем
00
w (t) = - \ Р (со) cos со/ dco. F.23)
Если вещественная частотная характеристика разбита на
трапеции, то для i-ой трапеции по соотношению F.23) получим весовую
функцию в виде
4^M
где
i—®di
Тогда вся весовая функция определится алгебраической суммой
составляющих, число которых будет равно числу трапеций,
заменяющих вещественную частотную характеристику системы:
F.24)
В этой формуле значение т принимается равным числу трапеций,
на которые разбивается при аппроксимации вещественная частотная
характеристика.
Вещественные и мнимые частотные характеристики применяются
для определения переходных процессов, вызванных в системе
автоматического регулирования и более сложных, чем ступенчатые
и импульсные входные воздействия [23, 71].
§ 6.3. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ .
Формула F.14) показывает, что переходный процесс, вызванный
единичным ступенчатым воздействием, зависит от вида
вещественной частотной характеристики. Поэтому оказываются возможными
оценки качества переходных процессов по вещественной частотной
характеристике без определения самого процесса. Такой метод
позволяет сократить вычисления, и его целесообразно применять
в тех случаях, когда не нужно точно знать форму кривой
переходного процесса.
В результате анализа формулы F.14) установлен ряд свойств
вещественных частотных характеристик, из которых вытекают
перечисленные ниже оценки качества переходных процессов.
1. Установившееся значение Х& регулируемой величины равно
значению вещественной частотной характеристики при со = О,
т. е. равно Р @).
2. При невозрастающей вещественной частотной характеристике
(кривая У, рис. 6.10) максимальное перерегулирование атах не
превышает 18%.
117

3. При вещественной частотной характеристике, имеющей вид
кривой 2 на рис. 6.10, максимальное перерегулирование
удовлетворяет условию
<W<U8-
100%.
4. Если вещественная частотная характеристика является
непрерывной положительной функцией со с отрицательной монотонно
убывающей по абсолютной
величине dP/dto (кривая 3 на рис.
6.10), то переходный процесс
будет монотонным.
5. Время монотонного
переходного процесса tn (до
достижения регулируемой величиной
значения ±0,05хоо) будет боль-
jiie чем 4я/соп. Для других
процессов tn > (я/(оп), причем
переходный процесс затухает тем бы-
ип и стрее, чем больше соп (чем больше
растянута область Р (со) > О
вдоль оси).
Кроме перечисленных здесь
общих оценок переходных про-
цеесов по виду вещественных
частотных характеристик имеются вспомогательные графики для
определения максимального перерегулирования и времени
переходного процесса в тех случаях, когда вещественные частотные
характеристики могут быть заменены одной или двумя трапециями.
Эти графики даны на рис. 6.11 и 6.12.
Рис. 6.10. Виды вещественных
частотных характеристик, определяющих
основные особенности переходных
процессов
uotn
8
4
\
\
г
а
0 0,2 0,4 0,$
0 0,1 0,4- 0,6.
ьH
Рис» 6.11. Графики для определения отах и tn при невозрастающей
вещественной частотной характеристике
На основании рассмотренной выше связи переходных процессов
с частотными характеристиками системы автоматического
регулирования могут быть сформулированы частотные критерии
качества. С помощью таких критериев без определения показателей
переходного процесса косвенно производится оценка его качества
118

по частотным характеристикам разомкнутого контура системы.
При изложении методов проверки устойчивости по частотным
характеристикам (см. § 5.4) были введены понятия запасов
устойчивости по амплитуде и фазе. Рекомендуемые значения этих
величин (для запаса по амплитуде 6—8 дБ, для запаса по фазе 30—40°)
являются теми критериями, по которым оцениваются свойства
системы в отношении качества переходных процессов.
Указанные две величины могут быть заменены одной —
показателем колебательности, которым называется максимальное
значение Мmax амплитудной частотной характеристики замкнутой
системы, полученной для задающего воздействия. Значения Мтак
обычно назначаются в пределах от 1,1 до 1,3. Проверка показателя
колебательности проводится по частотным характеристикам
разомкнутой системы с применением М-окружностей.
1,0
0,5
2JT
Ыс
at
0 и a
I kO
30
20
10
0
I
\у
fob
I
/
•f-
2?
JL.
• 50
¦ 40
. ^
20
' 10
n
6r
f—
V V Wmx
Ъ? 1,3 1,* pmt
Рис. 6.12. Номограммы В. В. Солодовникова для оценки показателей качества
по вещественной частотной характеристике (средняя — при — ^ 0,8; —- ^ 0,4;
— ^0,5; правая —при ^^0,8; ^^0,4; 0,1^-* ^0,5)
М-окружности определяются следующим образом.. Значения
модуля амплитудно-фазовой частотной характеристики
Ш 'Isy F-25)
принимаются равными М. Амплитудно-фазовая частотная
характеристика разомкнутой системы записывается в виде
Wv (/со) = U (со) + jV (со). F.26)
Соотношения F.25) и F.26) позволяют найти
М = mod Ф (/со) = -
F.27)
После возведения в квадрат данного соотношения и
алгебраических преобразований можно получить уравнение
М Х2 F.28)
которое является уравнением окружности радиуса R = М/(\ — М2)
с центром, смещенным на величину М21(\ — М2) от начала коор-
119

динат f/, F. При различных значениях М, лежащих в пределах
от 0 до оо, уравнение F.28) дает семейство окружностей,
изображенных на рис. 6.13, а.
Для определения показателя колебательности Мтах на
координатную плоскость с М-окружностями необходимо нанести
амплитудно-фазовую частотную характеристику F.26) разомкнутой
системы. Значения М, соответствующие окружностям, которые
пересекаются этой характеристикой, равны модулю амплитудно-
фазовой частотной характеристики замкнутой системы. Очевидно,
что максимальное значение Мтах будет соответствовать той
окружности, которой только касается амплитудно-фазовая частотная
характеристика разомкнутой системы.
Рис. 6.13. Определение показателя
колебательности по М-окружностям:
/ a — М-окружности; б — амплитудная
частотная характеристика замкнутой системы
С помощью М-окружностей можно определить не только
показатель колебательности Mmax, но и ^сю амплитудную частотную
характеристику замкнутой системы А3 (со) (рис. 6.13, б). При этом
следует иметь в виду, что А3 = М> а значения частоты должны
быть взяты те, которые получаются по амплитудно-фазовой
частотной характеристике разомкнутой системы в точках пересечения
ее с М-окружностями.
Один из простых способов обеспечения требуемого показателя
колебательности Мтах состоит в выборе коэффициента усиления
разомкнутой системы таким образом, чтобы ее амплитудно-фазовая
частотная характеристика касалась Мтах-окружности.
Для косвенной оценки качества процессов регулирования могут
быть также использованы логарифмические частотные характеристи-
стики разомкнутых систем. Этот способ особенно удобно применять
в тех случаях, когда с помощью логарифмических частотных
характеристик решается задача коррекции систем автоматического
регулирования (см. § 6,6),
J20 ,

§ 6Л ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПО СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ И ПО КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ
Вид переходного процесса при заданном законе воздействия на
систему полностью определяется ее передаточной функцией. При
этом имеет значение как знаменатель, так и числитель передаточной
функции системы. Если в передаточной функции
(p(s) = M(s)/D(s) F.29)
числитель М (s) равен постоянной величине — коэффициенту,
усиления К системы, то оценка качества переходного процесса может
быть проведена по расположению
корней характеристического уравне- Ju i
ния \
Рис. 6.14. Показатели,
определяющие область расположения
корней характеристического
уравнения
F.30)
на комплексной плоскости.
Область расположения корней Kt
характеристического уравнения F.30)
на комплексной плоскости
определяется тремя показателями:
степенью устойчивости или
минимальным удалением корня от мнимой
оси г] = | Re Л,/ |min, максимальным
удалением корня от мнимой оси
I = | Re %i |max и колебательностью
I* = I tg у* I (Рис- 6.14).
Исследование качества процессов
регулирования проводится для устойчивых
систем, следовательно, корни
характеристического уравнения располагаются слева от мнимой оси и
могут быть представлены в виде
где а, > 0.
С учетом соотношения F.31) колебательность |х находится как
(Л = (Cfy/a/)max. F.32)
Степень устойчивости характеризует быстроту окончания
переходных процессов в системе: чем больше т], тем быстрее должна
регулируемая величина с заданной точностью достигнуть своего
установившегося значения.
Для оценки качества процессов регулирования по степени
устойчивости в характеристическое уравнение F.30)
подставляется
& = г-г]. F.33)
121

Полученное в результате такой подстановки новое уравнение
Q F.34)
называется смещенным. Коэффициенты смещенного уравнения
являются функциями степени устойчивости и коэффициентов
исходного уравнения.
Замена переменной при переходе к уравнению F.34) от
уравнения F.30) связана со смещением мнимой оси плоскости корней влево
на величину т). Поэтому условия, при которых обеспечивается
заданная степень устойчивости tj, формулируются из условий
устойчивости, полученных для смещенного уравнения.
В качестве примера можно рассмотреть систему, имеющую
характеристическое уравнение второго порядка
0. F.35)
Для устойчивости системы достаточно, чтобы
яо>О,
но для обеспечения заданной степени устойчивости ц необходимо,
чтобы коэффициенты смещенного уравнения
c2z2 + c1z + c0 = 0 F.36)
были положительными. Эти коэффициенты после подстановки в
уравнение F.35) значения X согласно соотношению F.33)
находятся в виде
с2 = а2; ?i = ai — 2a2r\; со = а2у]2 — ад + Яо-
При выполнении условий устойчивости (с2 > 0, сг > 0, с0 > 0)
для смещенного уравнения F.36) обеспечивается для исходной
системы степень устойчивости т|. При этом коэффициенты уравнения
F.35) должны быть не только положительными, но и удовлетворять
следующим требованиям:
а2 > 0; 01 > 2а2т); ад2 + ао> агц.
Следует заметить, что понятие «степень устойчивости» не
связано с удалением системы от границы устойчивости, т. е. с запасом
устойчивости.
Последний зависит от колебательности системы,
характеризуемой по формуле F.32) отношением мнимой части корня к
вещественной. Вместо колебательности может быть использован
связанный с ней другой показатель запаса устойчивости — затухание
за период. При наличии комплексных корней характеристического
уравнения переходный процесс имеет составляющие вида
122

Через один период 7| = 2я/о)/ амплитуда Л/ = С/е а^ этой
составляющей уменьшится до значения
2я \ а,
) — 2я —i-
°'/*4,е Л*. F.37)
Затухание за период определяется отношением
. Х At
или, с учетом соотношений F.32) и F.37), в виде
откуда
(^) F.38)
Если затухание ?т за период составляет 0,9, то \i = 2,72, а если
?т = 0,98, то \i = 1,57. Таким образом, чем меньше колебательность
|л, тем больше затухание ?т за период и тем больше запас
устойчивости.
Отношение величины максимального удаления корня I к степени
устойчивости ц указывает на возможность замены исходного
уравнения уравнением более низкого порядка. Так, чем больше это
отношение, тем меньше влияние звеньев системы автоматического
регулирования с малыми постоянными времени. Способы
непосредственной оценки качества переходных процессов по
приведенным выше трем показателям (г), ц,, ?) для общего случая пока не
разработаны. Для некоторого узкого класса систем такие оценки могут
быть выполнены после определения мажоранты (верхней кривой)
и миноранты (нижней кривой), между которыми заключена кривая
переходного процесса [5,7, 70].
При характеристическом уравнении третьей степени в
соответствии с различным расположением корней на комплексной плоскости
можно области устойчивости, полученные в плоскости двух
параметров, разбить на три подобласти с указанием вида переходных
процессов. Такую задачу впервые решил И. А. Вышнеградский.
Рассмотрим характеристическое уравнение
0. F-39)
Разделив все члены данного уравнения на а0 и введя новую
переменную
Х-^^У а3/а0,
получим нормированное уравнение в форме, предложенной И. А. Вы-
шнеградским:
Я3 + АI2 + ВК + 1 = 0, F.40)
где ,
А = a^lVaQal\ В = аг/Уа1а3.
123

Рассматривая только области устойчивости, можно принять
F.41)
/
где я > 0.
Произведя подстановку значения % согласно соотношению
F.41) в нормированное уравнение F.40), получим
А (а* - ©2) - Boi + 1 - а3 + Зсо2а +
+ / [© (За2 - ©2) - 2Ла(о + Вес] = 0. F.42)
Приравняв нулю раздельно вещественную и мнимую части
уравнения F.42), найдем систему уравнений
— 1+а3-Зсо2а; 1
}
В случае комплексных корней (со ^ 0) из системы F.43)
уравнений имеем
— 2шЛ + ©Б = © (со2 - За2).
системы F.43)
U; В ^ + а + б>. F.44)
а2+ю2 а2+со2 v ;
При вещественных корнях (со = Q) первое уравнение системы
принимает вид
МВ+13 0 F.45)
Уравнения F.44) и F.45) определяют в плоскости параметров
А и В ряд кривых, характеризующих соотношения между этими
параметрами при различном расположении корней на комплексной
плоскости и соответственно при различных видах переходных
процессов.
Граница устойчивости в плоскости параметров А и В может
быть получена при а = 0 из уравнений F.44). Так как в этом случае
то А В = 1. Отсюда следует, что границей устойчивости является
гипербола (гипербола Вышнеградского) — кривая 1 на рис. 6.15.
Границу области значений параметров Л и В, при которых
переходные процессы будут апериодическими (граница
апериодичности), найдем, положив в уравнениях F.44) ю = 0.
„_1+2а*. в= а»+2
а2
Построенные по этим соотношениям кривые 2 и 3 также даны
на рис. 6.15, они определяют границу апериодичности abc. В точке
ft, где Л = В = 3, уравнение F.40) принимает вид (к + IK = 0;
следовательно, в этой точке все три корня равны:
А-1 = А-2 = Аз ~ ~-~ 1.
При значениях параметров Л и В, лежащих вне области
апериодичности (область // на рис. 6.15), два корня уравнения F.40)
124

бУДУт комплексные и один вещественный. Для вида переходного
процесса важное значение имеет взаимное расположение этих корней.
Ближе к мнимой оси может быть расположен вещественный корень
или, наоборот, к мнимой оси будут находиться ближе два
комплексных корня. Граничным будет случай, когда все три корня
располагаются на одинаковом расстоянии от мнимой оси. При этом степень
устойчивости г] должна быть равна максимальному удалению | корня
в плоскости корней X.
10
9 \-
х
\
I
о j
—о-
о
Ч_
Л
—^
b
hi
I
/
1
1
У*
/
/
о '
о
1
1
1 Л
ооо-
//
h I
111
А
9
. "*
Л 1
V~-
' t
2 3
5 6
9 10 11 А
Рис. 6.15. Границы устойчивости,, апериодичности,
монотонности и колебательности переходных
процессов в системе третьего порядка
Для уравнения F.40) по формулам Виета
Л1Л2Л3 = —1.
Если Ях = — а + /со, Я2 = — а — /со,
то Я3 = —1
откуда в случае fj = f
F.46)
Данное соотношение позволяет получить из системы уравнений
F.44) уравнение границы bd (рис. 6.15), разделяющей плоскость
параметров А и В на области / и ///. Это уравнение имеет вид
0. F.47)
125

Расположение корней и графики переходных процессов для
всех трех областей /, // и /// значений параметров даны на
рис. 6.15.
В плоскости параметров А и В кроме границ областей /, // и
/// могут быть также построены линии равных значений rj, |, п-
(или У [701.
Области /// значений параметров А и В соответствует более
близкое расположение к мнимой оси комплексных корней, поэтому
в
9
8
7
6
S\
ъ
1
1
О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А
^5,03,02,01,5 W ?М=0
г
— •
1—
ВС
ш
——
m^ts.
ё
т "•
mm *•
»——
*-^"
&
¦¦ ¦
^ —
^/
/^
/
/
У
——»
^^
^——
¦
— —
mm—"
У*
—¦—
т—т—
тт^
„——
*****
m*'tm"
——
dO/ЩО f,S 1 2,5 3JS 6 7 8
Рис. 6.16. Линии равных
значений степени
устойчивости (а), максимального
удаления корня от мнимой
оси (б) и колебательности (в)
линии равной степени устойчивости ц строятся по уравнениям
F.44) при а = Tj. Выше границы cbd линии равных значений fj
находятся по уравнению F.45) при а = ?}, так как областям / и
// соответствует более близкое расположение к мнимой оси
вещественного корня. Эти линии будут прямыми. Линии равной
степени устойчивости нанесены на рис. 6.16, а.
Линии равных значений 1 строятся по тем же уравнениям при
а = |. Однако при этом система уравнений F.44) используется
в пределах области /, а уравнения F.45) — в пределах областей
// и /// (рис. 6.16,6).
126

Уравнения, определяющие линии равных значений
колебательности Г? (рис. 6.16, в), находятся из системы уравнений F.44)
после подстановки со = jla.
Диаграммы с линиями равных значений т), | и li позволяют
выбрать параметры системы, описываемой уравнением третьего
порядка, а.также определить вид переходного процесса по
известным параметрам системы.
§ 6.5. ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Точность системы автоматического регулирования оценивается по
ошибкам, с которыми воспроизводятся заданные значения
регулируемой величины. Чем выше точность системы, тем меньше эти
ошибки. В одной и той же системе автоматического регулирования
ошибки получаются различными в зависимости от того, задающим,
возмущающим или и тем и другим воздействиями они вызваны.
Для одноконтурной системы (рис. 4.12) в соответствии с
принципом суперпозиции изображение ошибки будет следующим:
е (s) = Фе§ (s) .g(s)+ Oxf (s) f (s). F.48)
После подстановки значений передаточных функций Феё (s) и
Фду (s) согласно соотношениям, приведенным в § 4.3,
зависимость F.48) принимает вид
W Т <6-49>
Передаточные функции Wx (s) и W2 (s) могут рассматриваться
соответственно как передаточные функции регулируемого объекта
и регулятора. В общем случае эти функции приводятся в виду
Ky
_ Kyi
Значения vx и v2 в передаточных функциях F.50) и F.51) зависят
от числа интегрирующих звеньев, входящих в -систему
автоматического регулирования. Если регулируемый объект и регулятор
не содержат интегрирующих звеньев, то vx = v2 = 0. При наличии
в регулируемом объекте и в регуляторе по одному интегрирующему
звену vx = v2 = 1. Возможны и другие соотношения целых
численных значений vx и v2 в зависимости от распределения интегрирующих
звеньев между регулируемым объектом и регулятором. •
Разомкнутая система автоматического регулирования без
интегрирующих звеньев называется статической^ а разомкнутая
система автоматического регулирования с одним или с несколькими
интегрирующими звеньями называется астатической. По числу
интегрирующих звеньев определяется порядок астатизма системы,
127

при одном интегрирующем звене — астатизм первого порядка
при двух — астатизм второго порядка.
Для определения ошибок в установившемся режиме (при t -> оо)
подставим передаточные функции F.50) и F.51) в зависимость
F.49) и воспользуемся теоремой операционного исчисления о
предельном значении (§ 2.3, свойство 7). В результате для статической
системы автоматического регулирования (vx = v2 = 0); Kvi — К%2=
= 1) получим
fir(s) + ^/(s) F.52)
где К и /Ci — соответственно коэффициенты усиления всей
разомкнутой системы и объекта;
К = feoiWtf 01^02; Ki = bol/aol.
Для систем с астатизмом порядка v изображение ошибки в
установившемся режиме имеет вид
[ev(s)]s..0 = -^?(s) + -r-p— /(s), F.53)
где
Предположим, что регулируемый объект является статическим
звеном (не включает интегрирующих звеньев, vx = 0), а регулятор
содержит одно интегрирующее звено (v2 = 1) или два
интегрирующих звена (v2 = 2). Вся разомкнутая система будет соответственно
иметь астатизм первого или второго порядка. При этом изображения
ошибки в установившемся режиме после подстановки в формулу
F.53) указанных значений vx и v2 получаются следующими:
4g (*) + ?!(*); F.54)
g(s) + /f(s) F.55)
где
Kv^Kv при у=1; Kv2 = Kv2(bo2/aO2) при v2=l;
Ка = Ку ПрИ V = 2; /Со2 == K"v2 (&O2/0O2) ПРИ V2 = 2.
После обратного преобразования зависимостей F.52), F.54) и
F.55) находим значения ошибок в установившемся режиме (при
*-»<ю):
dg(t) I df(t)
128

Соотношение F.56) показывает, что при отсутствии в системе
интегрирующих звеньев (разомкнутая система — статическая)
постоянным значениям воздействий g = g0 и / = /0 соответствует
постоянная установившаяся ошибка е0, которая называется
статической. 'Эта ошибка будет тем меньше, чем больше коэффициент
усиления К системы, причем для уменьшения статической ошибки,
вызываемой возмущающим воздействием, следует для увеличения /С
увеличивать коэффициент /С2 регулятора, а не К\ объекта.
В системе с астатизмом первого порядка, как следует из
соотношения F.57), постоянная установившаяся ошибка ei возникает при
воздействиях с постоянной скоростью. Такая ошибка называется
скоростной. Она уменьшается с увеличением коэффициентов Kv и /Cz2,
первый из которых называется добротностью системы, второй —
добротностью регулятора.
При воздействиях с постоянным ускорением в системе с астатиз-
мом второго порядка возникает постоянная ошибка е2 по ускорению,
определяемая из соотношения F.58). Для уменьшения этой ошибки
необходимо увеличивать добротность Ка системы и добротность /Са2
регулятора по ускорению.
Рассмотренные ошибки определялись в предположении полного
затухания переходных процессов при t -» оо, и, следовательно,
они характеризуют вынужденную составляющую процессов
регулирования.
Полезно заметить, что при астатическом регулируемом объекте
(Vi т^ 0), но статическом регуляторе (v2 = 0), как показывает
формула F.53), постоянное возмущающее воздействие создает в системе
статическую ошибку, которая не возникает, если регулируемый
объект статический (vt =-- 0), а регулятор астатический (v2 ф 0).
Указанное свойство системы можно обобщить следующим
правилом: для устранения в системе автоматического регулирования
статической ошибки по какому-либо воздействию интегрирующее
звено необходимо включать до места приложения этого воздействия.
При исследованиях и расчетах систем автоматического
регулирования с применением частотных методов ошибки определяются
для гармонического закона изменения задающего или возмущающего
воздействий.
Если ограничиться только задающим воздействием, то по
передаточной функции Ф8? (s) можно получить амплитудно-фазовую
частотную характеристику
где Wp (/со) = Wx (/со) W2 (/со) — амплитудно-фазовая частотная
характеристика разомкнутой системы.
Записав амплитудно-фазовую частотную характеристику F.59)
в виде
l + l/U7p(/CO) •
Попов Д. Н. 129

найдем
где №обр (/со) — обратная амплитудно-фазовая частотная
характеристика разомкнутой системы.
Из формулы F.60) следует, что ошибки Л8 и ср8 по амплитуде
и по фазе при частоте со8 могут быть определены по номограмме
замыкания (рис. 4.15). Для этого на номограмму наносится точка
с координатами
Получаемые с номограммы значения 20 lg As (coe) и ср3 (сое)
соответствуют 20 lg Аг (со8) и ф8 (со8).
В большинстве случаев ошибка Аг по амплитуде значительно
меньше амплитуды Ag задающего воздейстия, что позволяет при
частоте со8 с помощью характеристики F.59) приближенно найти
отношение этих амплитуд
со8), F.61)
где
При заданных значениях Ag и Л8, используя соотношение F.61),
можно определить ординату точки, через которую должна
проходить логарифмическая амплитудная частотная характеристика
разомкнутой системы, чтобы обеспечивалась требуемая точность
воспроизведения гармонического воздействия. Эта ордината равна
Lp((oB) = 20lg(Ag/AB). F.62)
При более сложных видах воздействий, чем были выше
рассмотрены, вынужденная составляющая ошибки вычисляется с
помощью коэффициентов ошибок. Этот метод применяется при
определении ошибок как по задающему, так и по возмущающему
воздействию, если функции g (t) и / (t) выражаются полиномом степени k.
Предположим, что к системе автоматического регулирования
приложено только задающее воздействие и что передаточная функция
Oeg(s) после,подстановки передаточных функций F.50) и F.51)
приводится к виду
Дробно-рациональная функция F.63) может быть представлена
следующим рядом:
<I>eg(s) = C0 + C1s + C2s* + ... + Cksfi+... , F.64)
130

где
__ Г dOeg (s) 1
~~[ ds Js = O'
F.65)
Величины Co, Си ••• > С* называются коэффициентами ошибок.
Коэффициенты ошибок проще вычислять не по формулам F.65),
а путем деления числителя передаточной функции F.63) на ее
знаменатель. Эти коэффициенты можно также определить, приравняв
правые части передаточной функции F.63) и зависимости F.64),
умножив обе части полученного тождества на знаменатель
передаточной функции и затем приравняв коэффициенты при одинаковых
степенях s.
Изображение ошибки с помощью зависимости F.64) записывается
в виде
). F.66)
Выполнив для ряда F.66) обратное преобразование, найдем
установившуюся ошибку еу (t) в виде
ffl f
При постоянном задающем воздействии
установившаяся ошибка е0 согласно выражению F.67) получается
е0 = СовГо- F.68)
С учетом, что в данном случае принималось J (t) =0 из
сравнения соотношений F.56) и F.68), для статической системы находим
следующую связь между коэффициентом ошибки и коэффициентом
усиления разомкнутой системы:
Со =1/A+ К). F.69)
При задающем воздействии постоянной скорости таким же
способом можно определить системы с астатизмом первого порядка
С0 = 0; d= 1//C« F.70)
а при задающем воздействии с постоянным ускорением для системы
с астатизмом второго порядка получим
С0 = 0; d = 0; C2=l/Ka. F.71)
* 131

Рассмотренный метод применим и для определения
установившейся ошибки по возмущающему воздействию. В этом случае для
нахождения коэффициентов ошибок в степенной ряд вида F.64)
раскладывается передаточная функция Ф^ (s), после чего все
вычисления выполняются в описанной выше последовательности.
В качестве примера определим коэффициенты Со, С\ и С2 ошибки
по задающему воздействию для системы автоматического
регулирования, имеющей при разомкнутом контуре передаточную функцию
Передаточная функция для ошибки по задающему воздействию
имеет вид
ф /s)_ ] TW+w+TiP+s
egW~~\+Wp(s) 7\r2s3 + G\ + r2)s2 + s + /<V {0'U>
Разделив числитель передаточной функции F.89) на ее
знаменатель, найдем [5]
откуда
п. п ____} . п ___ZaiLZa
§ 6.6. СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ АМПЛИТУДНЫМ
ХАРАКТЕРИСТИКАМ
При проектировании систем автоматического регулирования
приходится решать задачу синтеза, которая заключается в таком
выборе структуры системы, ее параметров и конструкции элементов,
чтобы обеспечивались как устойчивость, так и требуемые показатели
качества процессов регулирования. Один из возможных путей
решения задачи синтеза состоит в проведении серии проверочных
расчетов различных по структуре и по параметрам систем регулирования
с использованием описанных выше методов анализа устойчивости
и качества процессов регулирования. Однако этот путь приводит
к трудоемким расчетам и может оказаться недостаточно
эффективным, так как в общем случае выбор расчетных вариантов будет
в какой-то степени произвольным.
Если структура системы автоматического регулирования
известна, то ее параметры могут быть выбраны с помощью
рассмотренных в § 6.4 методов оценки качества переходных процессов по степени
устойчивости и колебательности.
При частично неизвестной структуре автоматического
регулирования используются методы синтеза, при которых выделяется
некоторая часть системы, называемая неизменяемой. К
неизменяемой части относят регулируемый объект, исполнительные элементы
132

регулятора, а в ряде случаев усилители и чувствительные элементы.
Параметры этих элементов системы автоматического регулирования
являются или заданными, или определяются из энергетических
расчетов и требований, предъявляемых к статическим характеристикам
системы. Кроме перечисленных элементов системы автоматического
регулирования обычно должны иметь корректирующие элементы,
структурная схема и параметры которых могут изменяться при
синтезе. Корректирующие элементы составляют изменяемую часть
системы. К изменяемой части системы иногда присоединяют также
чувствительные элементы и промежуточные усилители.
При таком подходе решение задачи синтеза сводится к
нахождению структуры и параметров изменяемой части системы, причем
главным образом корректирующих элементов и усилителей. Более
общая задача синтеза предусматривает выбор и расчет всех элементов
регулятора исходя из условий оптимального управления
регулируемым объектом. Методы решения этой задачи излагаются в
специальных разделах теории автоматического управления [71].
Здесь мы рассмотрим только метод синтеза корректирующих
элементов с помощью асимптотических логарифмических частотных
характеристик разомкнутых систем. При этом ограничим класс
исследуемых систем минимально-фазовыми системами, для которых
существует однозначная связь между амплитудными и фазовыми
частотными характеристиками, что позволяет использовать при
решении задачи синтеза лишь логарифмическую амплитудную
характеристику разомкнутой системы.
Корректирующие элементы могут включаться в системы
автоматического регулирования так, что в структурной схеме системы
по отношению к ее неизменяемой части будут являться
последовательными звеньями или обратными связями. Во всех случаях
структура и параметры корректирующих устройств находятся в
результате сравнения логарифмической амплитудной характеристики
некорректированной разомкнутой системы с желаемой
логарифмической амплитудной характеристикой разомкнутой системы.
Асимптоты желаемой логарифмической амплитудной характеристики
определяются заданными показателями качества переходных
процессов и требуемой точностью регулирования. При построении
желаемой логарифмической амплитудной характеристики выделяют
три области: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.
В низкочастотной области наклон асимптоты желаемой
логарифмической амплитудной характеристики назначается в
зависимости от требований, предъявляемых к точности системы
автоматического регулирования.
Для определения желаемой логарифмической амплитудной
характеристики в низкочастотной области можно воспользоваться
приближенной передаточной функцией разомкнутой системы,
получаемой из передаточных функций F.50) и F.51) при s ->• 0:
№Р (s) = Wx (s) • W2 (s) ъ /Cv/s\ F.73).
133

в которой v = vx + v2 — порядок астатизма разомкнутой системы,
a Kv — коэффициент, равный коэффициенту усиления К для
статической системы (v = 0), добротности по скорости /С* для системы
с астатизмом первого порядка (v = 1) и добротности по ускорению
Ка Для системы с астатизмом второго порядка (v =2). После
подстановки s = /со в передаточную функцию F.73) логарифмические
амплитудные характеристики при известном значении Kv находятся
обычным путем.
LM
r-бОдб/дек
Рис. 6.17. Типы желаемых логарифмических амплитудных частотных
характеристик:
а — для статической системы; б — для астатической системы первого порядка; в — для
астатической системы второго порядка; г — для системы с заданной точностью по скорости
и по ускорению
Если система автоматического регулирования должна быть
статической (v = 0), то асимптота желаемой логарифмической
амплитудной характеристики Ь°ж (со) в низкочастотной области
определяется в виде
Ii(a>) = 201g/C, F.74)
т. е. имеет наклон 0 дБ/дек (рис. 6.17, а).
Значение К для заданной установившейся ошибки е0 вычисляется
по формуле F.56).
Если необходимо обеспечить в системе астатизм первого порядка
(у = 1)у то асимптота желаемой логарифмической амплитудной
характеристики Ь'ж (со) в низкочастотной области должна
удовлетворять уравнению
Z4() 201/^2
т. е. иметь наклон — 20 дБ/дек.
134

Продолжение асимптоты пересекает ось частот (рис. 6.17, б) при
со„ = /Сх,. F.75)
Добротность по скорости Kv либо является заданной, либо
вычисляется по формуле F.57) по допустимому значению ошибки е^
Если требуется обеспечить заданную точность системы по скорости
при гармоническом воздействии, то по формуле F.62) следует
вычислить координаты со8 и L (со8) точки, через которую затем провести
асимптоту с наклоном —20 дБ/дек.
Для получения системы с астатизмом второго порядка (v == 2)
асимптоту желаемой логарифмической амплитудной характеристики
V-к (®) в низкочастотной области необходимо определять по
уравнению
Такая асимптота имеет наклон —40 дБ/дек и пересекает ось
частот (рис. 6.17, в) при
<*a = VK~a> F.76)
где Ка — добротность по ускорению, связанная с ошибкой е2
соотношением F.58).
В тех случаях, когда к системе предъявляются требования в
отношении точности обеспечения вынужденного режима как по
скорости, так и по ускорению, в низкочастотной области должны
проходить две асимптоты: одна с наклоном —20 дБ/дек, другая с
наклоном —40 дБ/дек (рис. 6.17, г).
Сопрягающая частота для этих асимптот вычисляется по
соотношению
F.77)
В среднечастотной области расположение асимптоты желаемой
логарифмической амплитудной характеристики определяется по
рекомендуемым запасам устойчивости и по допустимым значениям
времени переходного процесса. Для обеспечения общепринятых
запасов устойчивости наклон асимптоты в среднечастотной области
должен быть —20 дБ/дек. Эта асимптота пересекает ось частот при
частоте среза соср. ж, значение которой можно связать следующим
соотношением с временем tn переходного процесса:
<»ср.ж = bn/tn. F.78)
Коэффициент Ъ в соотношении F.78) зависит от допускаемого
в данном процессе максимального перерегулирования атах. Для
различных атах этот коэффициент имеет следующие значения:
<W, % 15 20 25 30 35
Ь 1,7 2,2 3 4 5
Среднечастотная область ограничивается частотами coi и со2,
от значения которых зависят запасы устойчивости по фазе и по
135

амплитуде, а следовательно, и максимальное перерегулирование
tfmax- Для того чтобы запас по фазе составлял 45° и атах ^30%
значения ординат точек, лежащих на желаемой логарифмической
характеристике, при частотах coi и со2 должны быть соответственно
Li = 16 дБ; L2 = — 16 дБ.
Таким образом, частоты coi и со2 определяются точками
пересечения среднечастотной асимптоты желаемой логарифмической
амплитудой характеристики с горизонтальными прямыми,
проведенными на расстоянии +16дБ и—16дБот оси частот. Сопряжение
асимптот низкочастотной и высокочастотной областей может быть
выполнено, как показано на рис. 6.17.
В высокочастотной области для уменьшения влияния помех
на работу системы автоматического регулирования назначается
обычно наибольший осуществимый в данной системе отрицательный
наклон асимптоты желаемой логарифмической амплитудной
характеристики. При этом следует иметь в виду, что во избежание
чрезмерного усложнения корректирующих элементов желаемая
логарифмическая амплитудная характеристика во всех трех областях, по
возможности должна иметь наименьшие отклонения от
логарифмической амплитудной характеристики некорректированной системы.
После того как желаемая амплитудная характеристика
разомкнутой системы построена, синтез корректирующих элементов
проводится в зависимости от типа их включения в систему
рассмотренными ниже способами.
Синтез последовательных корректирующих элементов основан
на использовании соотношения
Wm(s)=Wk(s)Wp(s), F.79)
где Wk (s) — желаемая передаточная функция, которая должна
быть получена после включения в систему последовательных
корректирующих устройств; WK (s) — передаточная функция одного
или нескольких последовательных корректирующих устройств;
Wp (s) — передаточная функция некорректированной разомкнутой
системы.
Подставив в передаточную функцию F.79) s = /со, после обычных
преобразований найдем
откуда
1ж(©) = ?ж(ю)-М©). F.80)
Из соотношения F.80) следует, что логарифмическая
амплитудная характеристика LK (со) последовательных корректирующих
элементов является разностью желаемой логарифмической
амплитудной характеристики Ьж (со) и логарифмической амплитудной
характеристики некорректированной системы Lp (со).
По логарифмической амплитудной характеристике LK (со)
устанавливается передаточная функция последовательных корректи-
136

рующих элементов. В качастве примера на рис. 6.18 показаны
логарифмические амплитудные характеристики, по которым для
системы с передаточной функцией
была определена передаточная функция корректирующего
элемента вида
w (г:)- 1+7V
где
Рис. 6.18. Синтез последовательного корректирующего элемента
Синтез корректирующих элементов в виде обратных связей
выполняется несколько сложнее, чем последовательных
корректирующих элементов. Рассмотрим основные операции, связанные
с определением передаточной функции WK (s) корректирующей
отрицательной обратной связи, охватывающей регулятор с
передаточной функцией W2 (s) (рис. 6.19). Передаточная функция У^ж (s)
разомкнутой системы после корректирования записывается в виде
ж1;~ l+Wt(s)WK(s) '
При условии, что в исследуемом диапазоне частот
в соответствии с передаточной функцией F.81) имеем
откуда
F.81)
F.82)
F.83)
F.84)
137

Соотношение F.83) показывает, что при надлежащем выборе
передаточной функции корректирующей обратной связи в некою-
ром диапазоне частот исключается влияние характеристики
изменяемой части системы W2 (/со) на динамические характеристики
всей системы автоматического регулирования. Вид передаточной
функции корректирующего элемента в обратной связи определяется,
как и в предыдущем случае, после нахождения его
логарифмической амплитудной характеристики LK (со) по соотношению F.84),
л
WK(S) f-
Рис. 6.19. Структурная схема си-
стемы автоматического
регулирования с включением
корректирующего элемента в виде
дополнительной обратной связи
При этом следует учитывать, что в рассматриваемом интервале
частот должно соблюдаться условие F.82). Последнее накладывает
ограничения на области, в которых может проходить на комплексной
плоскости амплитудно-фазовая частотная характеристика №9(/(о) х
^(/)
к()
Другое условие, которое должно учитываться при синтезе
корректирующей обратной связи, состоит в том, чтобы произвольно
не понижался порядок астатизма системы. Для этого порядок
нуля передаточной функции WK (s) не должен быть ниже порядка
полюса передаточной функции W2 (s).

Глава VII
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 7.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ И УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
В предыдущих главах рассматривались линейные модели
реальных элементов и систем автоматического регулирования. Такие
модели получаются в результате линеаризации уравнений,
описывающих различные физические процессы в системах
автоматического регулирования. Если при линеаризации характерные черты
физических явлений сохраняются, то благодаря развитой теории
линейных дифференциальных уравнений имеется возможность
решать задачи устойчивости и качества процессов регулирования.
Разработанные в теории автоматического регулирования методы
позволяют проводить не только анализ, но и синтез линейных
систем.
Однако далеко не всегда оказывается допустимой указанная
идеализация реальных элементов и систем, так как при замене
нелинейных зависимостей линейными может не только уменьшиться
точность количественных оценок процессов регулирования, но могут
исказиться и даже исчезнуть качественные особенности процессов,
характерных для нелинейных систем. Последняя опасность
возникает при наличии в системе элементов с существенными нели-
нейностями, к которым относят зависимости, не линеаризуемые
разложением функций в ряд ТейлораГ Многие существенные
нелинейности, встречающиеся при исследовании систем
автоматического регулирования, могут быть представлены типовыми
кусочно-линейными характеристиками. . л
Статические характеристики различных усилителей в общем
случае изображаются в виде кривой, показанной на рис. 7.1, а
(для упрощения записи индекс 0 у хвх и хвых здесь и далее
опущен). Если усилитель гидравлический или пневматический с
управлением потоком рабочей среды посредством золотника, то
входной величиной хвх является перемещение золотника, а
выходной величиной хвых — расход рабочей среды Q или скорость v
выходного звена исполнительного механизма. Характеристика
достаточно хорошо аппроксимируется отрезками штриховых
прямых, проведенных на графике. В результате получается кусочно-
линейная характеристика с переменным значением коэффициента
139

усиления на отдельных участках. Уравнение этой характеристики
имеет вид
Лону —""~
G.1)
при — ха^хвх^ха;
при хь
ка) при —.
При Хвх ^^ Xfry 'XBX"^~z: — Xfyj
где /Ci = пгг tgax; /C2 = тг tga2; miи m2 — масштабные коэффициенты.
насыщения цечувстдитепь- насыщения
-хь
\
1 /
V
+С
0
/
/
-G
7[ "
1
1
1
1 ^
Ч хвк
8)
ноет и
Рис. 7.1. Нелинейные характеристики, аппроксимирующие статическую
характеристику реального усилителя:
a — с переменным коэффициентом усиления; б — с зоной нечувствительности и с зоной
насыщения; в — с зоной насыщения; г — с зоной нечувствительности
Полагая в уравнении G.1) К\ =0, найдем уравнение
статической характеристики усилителя с зоной нечувствительности и
с зоной насыщения (рис. 7.1, б). Близкую к такой характеристике,
например, имеет гидравлический или пневматический усилитель
при золотнике с положительными перекрытиями. При смещениях
золотника в пределах положительных перекрытий рабочая среда
почти не поступает к исполнительному механизму и на этом участке
140

характеристики выходная величина (расход среды или скоррсть
выходного звена исполнительного механизма) может быть принята
равной нулю. Зона насыщения определяется той частью статической
характеристики усилителя, где выходная величина не меняется
при изменении входной величины. Наличие зоны насыщения
объясняется тем, что гидравлическое сопротивление каналов от
золотникового устройства к исполнительному механизму значительно
превышает гидравлическое сопротивление окон, открываемых во втулке
при больших смещениях золотника, либо ограничена
производительность источника питания.
При пренебрежимо малой зоне нечувствительности \ха\ = О,
Кг — /B статическая характеристика усилителя будет такой, как
на рис. 7.1, в. Если известно, что при использовании усилителя
Х8ых
*вых\
-ч
1
0
Ч
а)
*вх
IX
Рис. 7.2. Характеристики релейных элементов
в системе автоматического регулирования изменения входной
величины меньше значений |хвх| = \хь\, то зона насыщения на
статической характеристике не учитывается (рис. 7.1, г).
Из уравнения G.1) можно получить также две предельные
характеристики, которые имеют релейные элементы. Первая из них
(рис. 7.2, а) описывается уравнением
( 0 при — ха^хвх^ха,
вых \csign;cBX при хвх<: — ха; хвх^*ха
и называется релейной характеристикой с зоной нечувствительности.
Вторая
G.3)
называется характеристикой идеального реле (рис. 7.2, б).
Уравнение вида G.3) можно также рассматривать как
зависимость силы сухого трения Ртр от скорости v движения одного из
элементов пары трения. В этом случае за входную величину хвх
принимают скорость о, а за выходную величину хвых — силу Ртр.
Значения токов при включении и отпускании
электромагнитных реле могут быть неодинаковыми. Вследствие этого характе-
141

ристики релейных элементов будут неоднозначными (рис. 7.3, а и б).
Характеристику такого типа, изображенную на рис. 7.3, б, имеют
не только электромагнитные реле, но и некоторые дискретные
струйные элементы, у которых входной величиной хвх служит
перепад давления в каналах управления, а выходной величиной
*вых — перепад давления в выходных каналах. Такого вида
характеристики описываются уравнением
sCoUly '
+ C При — Xa<XBX<00,
— с при —<
Неоднозначные статические характеристики получаются еще
у механизмов, имеющих зазоры в элементах, которые передают
линейные или угловые перемещения. Например, углы поворота
Ч Н
*бх
а)
Рис. 7.3. Неоднозначные релейные характеристики
ведущего и ведомого валов, соединенных зубчатой передачей,
связаны неоднозначной зависимостью из-за люфта в зацеплении. Вид
этой зависимости изменяется с изменением вида нагрузок,
преодолеваемых ведомым валом. Если ведомый вал не нагружен, то
зависимость будет представлять типовую характеристику элемента
с люфтом (рис. 7.4). К этой характеристике могут быть также
приведены зависимости, учитывающие сухое трение в механизме.
Например, если за входную величину принять вращающий момент М,
а за выходную величину — угол поворота вала 8, то при действии
на вал нагрузки в виде момента сил сухого трения Мтр и момента,
пропорционального углу поворота вала, Мн =&8, имеем
откуда
что соответствует графику на рис. 7.4.
Неоднозначными кусочно-линейными зависимостями являются
статические характеристики с гистерезисными петлями, которые
142 • ... ,

встречаются у электромагнитных устройств. Характеристики с
петлями типа магнитного гистерезиса даны на рис. 7.5.
Кроме рассмотренных выше нелинейных статических
характеристик известны и другие виды нелинейностей, вызванных перемно-
Рис. 7.4. Характеристика типа
«люфт»
Рис. 7.5. Кусочно-линейные
аппроксимированные гистерезисные петли
жением переменных величин, возведением их в различные степени
или тем, что ь дифференциальные уравнения элементоз входят
нелинейные зависимости вместе с производными по времени.
Некоторые из таких нелинейностей будут указаны в последующих
разделах при изучении динамики гидравлических и
пневматических систем.
§ 7.2. ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ
Нелинейности, которые всегда имеются в зависимостях,
характеризующих свойства реальных элементов, различным образом влияют
на поведение систем автоматического регулирования. При- слабо
выраженных нелинейностях (например, малая зона
нечувствительности в характеристике усилителя или незначительное сухое трение
в нагрузке, преодолеваемой исполнительным механизмом)
исследование линеьнои модели без учета таких нелинейностей приводит
к результа'/ам,' которые хорошо согласуются с испытаниями
реальной системы. При более сильном влиянии нелинейностей поведение
реальной системы может значительно отличаться от предсказанного
по линейной модели этой системы вследствие возникновения
режимов, которые присущи именно нелинейным системам.
Нелинейные системы могут быть устойчивы или неустойчивы
в том же смысле этих понятий, как они применяются к линейным
моделям систем. Однако особенность нелинейных систем
заключается в том, что, будучи устойчивыми при малых отклонениях
координат от значений, определяющих исследуемый режим, они
могут оказаться неустойчивыми при больших изменениях - этих
координат. Соответственно возникает необходимость в проверке
143

устойчивости в «малом» и в «большом». Кроме того, в нелинейных
системах могут возникать автоколебания, определяемые при
математическом анализе систем как предельные циклы.
Автоколебаниями называются самоустанавливающиеся
незатухающие колебания, которые существуют в системе при отсутствии
переменного внешнего воздействия, причем амплитуда и частота
колебаний определяются свойствами самой системы. Этим
автоколебания отличаются от вынужденных колебаний, частота и
амплитуда которых непосредственно зависят от частоты и амплитуды
внешнего воздействия. Свободные колебания отличает от
автоколебаний то, что свободные колебания затухающие и их амплитуда
зависит от величины внешнего воздействия. Автоколебания могут
Э-
Э-
а„
а,
а2
Рис. 7.6. Системы с мягким (а) и жестким (б) возбуждением автоколебаний
быть близки к гармоническим колебаниям, если малы потери
энергии в системе. Если рассеивание энергии в системе будет
значительным, то автоколебания по форме существенно отличаются от
синусоидальных, превращаясь в релаксационные колебания.
Энергетическим условием существования автоколебаний
является баланс притока энергии в систему от внешнего источника
и потерь энергии в системе за период колебания. Такой баланс
может наступить только при определенных значениях амплитуды
автоколебаний. Если в систему приток энергии Э+ больше, чем
потери энергии Э^ в ней при любых сколь угодно малых амплитудах а
колебаний, то автоколебания с амплитудой а0 будут
самовозбуждающимися (рис. 7.6, а).
Если при амплитудах колебаний меньше аг потери Э_ энергии
в системе оказываются больше притока энергии Э+, то
автоколебания могут возникнуть только после того, как в системе возникнут
отклонения с амплитудой а > аг (рис. 7.6, б). В этом'случае
установятся автоколебания с амплитудой а2. Такие автоколебания имеют
жесткое возбуждение. При амплитуде ах автоколебания
неустойчивы, так как малейшее отклонение от этого значения амплитуды
приводит либо к затуханию колебаний из-за недостаточного при-
144

тока энергии в систему, либо к увеличению амплитуды колебаний
до значения а2 из-за превышения притока энергии над потерями
в системе.
При гармоническом изменении входной величины закон
изменения выходной величины у нелинейного элемента или системы
отличается от синусоидального. Кроме того, в некоторых случаях
увеличение частоты колебаний входной величины может сначала
вызывать увеличение амплитуды выходной величины, а затем
при незначительном приращении частоты — резкое снижение
этой амплитуды. Такое явление называется резонансом со
скачком.
При резонансе со скачком зависимость амплитуды выходной
величины от частоты возмущающих колебаний получается
неоднозначной, резонансный пик изогнут в
направлении увеличения частоты или
в обратную сторону (рис. 7.7).
Резонанс со скачком можно обнаружить
в системе, обладающей массой, вязким
трением и нелинейной зависимостью
восстанавливающей силы от
перемещения массы (например, нелинейная
характеристика пружины).
Другая особенность в поведении
нелинейных систем характеризуется ^
наличием частотного захватывания,
при котором у двух соединенных Рис. 7.7. Резонанс со скачком
вместе нелинейных систем
собственные частоты сводятся к одному значению, как только разность
между ними становится малой.
Переход к изучению нелинейных систем автоматического
регулирования сопровождается усложнением математического
аппарата, так как анализ и расчет таких систем приходится вести по
нелинейным дифференциальным уравнениям. При этом не может
быть применен принцип суперпозиции и, следовательно, отклик
системы на произвольное входное воздействие не находится в виде
суммы откликов на последовательность скачков или импульсов.
Переходный процесс, вызванный в нелинейной системе
ступенчатым воздействием, по форме кривой получается различным при
изменении величины скачка. Вследствие отмеченных особенностей
процессов в нелинейных системах для описания таких систем не
могут быть использованы независимые от вида и значения
входного воздействия передаточные функции, которые оказались
столь эффективными при исследовании линейных моделей
систем.
К настоящему времени в теории автоматического регулирования
развиты и находят применение при исследовании нелинейных
систем различные методы. Они делятся на точные и приближенные.
К точным методам анализа нелинейных систем относят прямой
145

метод Ляпунова, метод фазовых траекторий и точечных
преобразований, частотный метод В. М. Попова, метод припасовы-
вания.
Из приближенных методов наиболее широко используется метод
гармонической линеаризации, который по идее близок к методу
гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, а по
результатам — к методу малого параметра Б. В. Булгакова. В
методе гармонической линеаризации, по сути дела, распространены
частотные методы исследования линейных систем на нелинейные
системы. При этом вместо передаточных функций вводится
своеобразный аналог, названный эквивалентным комплексным
коэффициентом усиления [5].
Расчет конкретных систем автоматического регулирования
обычно выполняется на аналоговых или цифровых вычислительных
машинах. Однако несмотря на то, что вычислительные машины
позволяют рассчитывать сложные нелинейные системы,
аналитические методы исследования продолжают играть важную роль при
проектировании реальных систем. Это объясняется возможностью
получения с помощью аналитических методов более общих
результатов с хорошо обозримыми закономерностями, определяющими
влияние различных параметров на поведение исследуемой системы.
Кроме того, составление программы для расчета на
вычислительной машине в случае несложной системы может потребовать
большей затраты времени, чем анализ одним из указанных выше
методов.
При исследовании нелинейных систем автоматического
регулирования рассматривается тот же круг задач, что и при
исследовании линейных систем, но, кроме того, проводится анализ
условий существования и устойчивости автоколебаний. Очевидно, что
в зависимости от вида задачи и свойств исследуемой системы может
оказаться целесообразным применение различных методов. Так,
задачи об устойчивости нелинейных систем решаются прямым
методом Ляпунова, частотным методом В. М. Попова, методом
фазовых траекторий и точечных преобразований, методом
гармонической линеаризации. Последние два метода широко используются
также для определения параметров автоколебаний и позволяют
вычислить переходные процессы в системах.
Метод гармонической линеаризации особенно удобно применять
при исследовании нелинейных систем, описываемых,
дифференциальными уравнениями высокого порядка. Для расчета
переходных процессов может служить метод припасовывания, основанный
на решении линейных дифференциальных уравнений в пределах
линейных участков характеристик элементов. При переходе от
одного участка к другому сменяются решаемые уравнения, причем
значения переменных и их производных, полученные в конце
предыдущего решения, являются начальными условиями для
последующего решения. Необходимый объем вычислений оказывается
большим, и метод становится особенно трудоемким, если нелиней-
146

ные характеристики аппроксимируются несколькими
кусочно-линейными участками.
При решении задач динамики и регулирования гидро- и пневмо-
систем наибольшее применение получили метод фазовой плоскости
и метод гармонической линеаризации, поэтому в дальнейшем
излагаются эти два метода.
§ 7.3. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ И ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ
При исследовании систем автоматического регулирования, описание
динамических свойств которых приводит к нелинейным
дифференциальным уравнениям второго порядка, оказывается чрезвычайно
полезным геометрическое представление решений этих уравнений.
Особенно целесообразным такой прием исследования становится,
если система является автономной.
Автономной называется система, не подвергающаяся внешним
воздействиям и не содержащая napaMetpOB, изменяющихся в
зависимости от времени. Дифференциальное уравнение автономной
системы второго порядка, записанное для переменной х подстановкой
dx_ d^_dy_dydx_ dy
- dt~~y> dt2 ~~~ dt ~~ dxdt~~ydx>
может быть заменено системой двух уравнений первого порядка
¦? = />(*, у); 3? = Q(*. »)• <7-5>
Разделив уравнения G.5) почленно, имеем
dy/dx=Q(x, y)/P(x, у). G.6)
Уравнение G.6) является дифференциальным уравнением
кривых на плоскости с системой декартовых координат х, у. Плоскость,
по оси абсцисс которой откладывается переменная х, а по оси
ординат — скорость изменения этой переменной у = dxldt, называется
фазовой. Точка фазовой плоскости, координатами которой в рас-,
сматриваемый момент времени полностью характеризуется состояние
исследуемой системы, называется изображающей. При изменении
состояния системы изображающая точка описывает на фазовой
плоскости некоторую кривую, называемую фазовой траекторией.
Фазовая траектория является интегральной кривой, получаемой
по уравнению G.6) при заданных для исследуемой системы на'чаль-
ных условиях:
(x)t-o = х0;
Семейство фазовых траекторий, соответствующих различным
начальным условиям, образует фазовый портрет исследуемой
системы.
Для нахождения фазовой траектории необходимо
проинтегрировать уравнение G.6). Интегрирование может быть выполнено
аналитически, численно или с помощью вычислительной машины.
147

Определим фазовую траекторию для линейного дифференциального
уравнения
d2x
-gp + щх = 0. G.7)
Данное уравнение после применения соотношений G.4)
приводится к системе уравнений первого порядка
dx/dt=у\ dy/dt = — соо*>
откуда
dy/dx = — ы^х/у или ydy = — (й\х dx. G.8)
В результате интегрирования уравнения G.8) имеем
у* + ф* = С. G.9)
Постоянная С находится из начальных условий. Пусть при
/ = 0 (x)f_o = Хо> (dx/dt)t=0 = 0; тогда
С = @о#5
и решение G.9) принимает вид
S + W=L GЛ°)
Фазовая траектория по уравнению G.10) является эллипсом
с полуосями х0 и со0х0 (рис. 7.8). При изменении значения х0, т. е.
начального условия, получим фазовый портрет в виде семейства
эллипсов (штриховые линии на рис. 7.8). Так как уравнение G.7)
имеет решением
х = х0 sin (o0t,
то очевидно, что этому фазовому портрету соответствуют
гармонические незатухающие колебания с различными значениями
амплитуды х0.
При нелинейных уравнениях не всегда удается разделить
переменные и определить фазовые траектории непосредственным
интегрированием уравнения G.6). Тогда можно применить графические
методы, из которых здесь будет рассмотрен только один, называемый
методом изоклин.
В уравнении G.6) производная dy/dx является тангенсом угла
наклона касательной к фазовой траектории в данной точке.
Учитывая это обстоятельство, обозначим dy/dx = N, после чего
уравнение G.6) запишем в виде
N = Q(x, y)/P(x,y). G.11)
При фиксированном значении N по уравнению G.11) на фазовой
плоскости можно провести кривую, представляющую
геометрическое место всех точек, в которых наклон касательных к фазовым
траекториям равен выбранному значению N. Эта кривая назы-
148

Бается изоклиной. Для ряда значений N уравнение G.11) позволяет
построить семейство изоклин Nly N2t N3, N± и т. д. (рис. 7.9).
Построив изоклины, нанесем на фазовую плоскость согласно
начальным условиям точку Л, из которой затем проведем две
прямые так, чтобы тангенсы углов их наклона к оси х составляли
соответственно Л^ и N2. На участке между изоклинами Ыг и N2
наклон касательных к фазовой траектории меняется от Nx до N2
следовательно, можно принять, что фазовая траектория лежит
внутри угла, образованного этими
касательными, и пересекает
изоклину N2 в точке В.
Проведя из точки В прямые с
наклонами N2 и NSy возьмем между ними
Рис. 7.8. Фазовая
траектория при движении системы
с незатухающими
гармоническими колебаниями х =
= х0 sin co0t
Рис. 7.9. Построение фазовой
траектории по изоклинам
точку С на изоклине УУ3 и т. д. Соединив полученные точки
отрезками прямых, найдем фазовую траекторию в виде ломаной
линии, которая будет тем ближе к действительной траектории,
чем чаще, расположены на фазовой плоскости изоклины.
Для примера можно привести построение изоклин и фазовой
траектории по уравнению Ван дер Поля [25]
d2x
dx
G.12)
которое описывает колебательную систему с переменным
коэффициентом демпфирования. Используя соотношения G.4), запишем
уравнение G.12) в виде
откуда
dx
G.13)
149

Предельный
цикл
Из уравнения G.13) при dyldx =N находим следующее
нение изоклины:
Уд8A-^)-аг- GЛ4>
Для б = 0,2 на рис. 7.10 по уравнению G.14) построены
штриховыми линиями изоклины при нескольких значениях М.Если провести
еще промежуточные изоклины, то
с достаточной точностью можно
получить фазовую траекторию,
изображенную на рис. 7.10 сплошной
линией. При 6=0 изоклины
превращаются в прямые линии,
проходящие через начало координат,
а фазовая траектория — в
окружность. Очевидно, что этот
результат полностью соответствует
предыдущему примеру, так как
уравнение G.12) при 8=0 совпадает
с уравнением G.7), если в нем
положить СОо = 1.
По имеющейся фазовой траек-
Рис. 7.10. Изоклины и фазовый тории можно найти зависимость
портрет для, уравнения Ван дер переменной х от времени t. Для
Поля этого на фазовой траектории
выбираются точки 0, /, 2, 3, ... с
определенным по оси х расстоянием Дх,-, причем за исходную точку
принимается та, которая соответствует заданным начальным
условиям jt0, Уо при t =0 (рис. 7.11, а) Если Дх* мало, то можно
у к *
Уо
У1
Уг
Уз
Xq X/ *2 Хз X/f. X С
а>
Рис. 7.11. График для определения шкалы времени по фазовой
траектории
считать, что скорость у = dx/dt в пределах рассматриваемого
участка постоянна и равна средней:
150

При этом интервал времени Ath необходимый для перемещения
по фазовой траектории из точки и—1» в точку <а», определяется
по соотношению
а момент времени tk, при котором значение переменной х будет
равно xh, вычисляется в виде суммы
i= I
После того, как для каждой выбранной точки фазовой
траектории определен момент времени tk} строится график х = х (t)
(рис. 7.11,6). Полученная в описанной последовательности
зависимость х от времени' позволяет судить о характере процесса,
максимальных отклонениях переменной х от установившегося
значения, а также находить для исследуемой системы предельные циклы,
отражающие возникающие в системе автоколебания.
§ 7.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ
В том случае, когда в уравнении G.6)
Р(х, у) = 0; Q(x9 t/) = 0, G.15)
наклон касательной к фазовой траектории в рассматриваемой точке
становится неопределенным, так как при этом
dyldx=0/0.
Точки, для которых справедливы уравнения G.15), называются
особыми. Особым точкам соответствуют состояния равновесия
исследуемой системы в связи с тем, что согласно уравнениям G.5)
скорость dxldt и ускорение d2x/dt2 = dy/dt для этих точек
получаются равными нулю. Линейная система имеет лишь одно состояние
равновесия, у нелинейной системы может быть несколько или даже
бесконечное множество таких состояний. Это объясняется тем, что
при линейных функциях Q (х, у) и Р (х, у) уравнения G.15) имеют
одно решение для неизвестных х и у, а при нелинейных
функциях Q (х, у), Р (х, у) число решений может быть сколь угодно
большим.
При исследовании процессов на фазовой плоскости необходимо
не только определить местоположение особых точек, но и выяснить
их тип, от которого зависит, будет ли равновесное состояние
системы устойчивым или неустойчивым. Если функции Q (х, у),
Р (#, у) аналитические, то они раскладываются в ряд Тейлора
в окрестности особой точки. Пусть координаты особой точки xSy ys,
151

тогда в результате такого разложения получим
Р(х, y) = P(xs, ys)+(^)x=x_Ax + (^)x=xAy + Pn(x, у);
G.16)
Q(x, y) = Q(x.. У)Ц§) Ьс + (Щ) Ьу + QAx, у),
где 0, (х, /Л, rH (xt у) содержат все члены со степенями Ал:,
выг ( :г г " -I
Ограничиваясь малыми отклонениями координат от координат
особой точки xs, ysy можно пренебречь членами QH и Рн. Принимая
во внимание, что согласно уравнениям G.15) в особой .точке
Q(xs, ys) = 0; P(xs, ys) = 0
и, кроме того,
dx _ d(xs + bx) _ d(Ax) dy _ d(ys + Ay) _ d (Ay)
dt dt ~~ dt > dt ~~ dt ~~ dt >
получим вместо уравнений G.5) уравнения первого приближения
d-P = aAx+.bAy; dJM = cAx + fAy, G.17)
где
Уравнения G.17) являются линейными дифференциальными
уравнениями первого порядка. Соответствующему
характеристическому уравнению можно придать вид
X2 + 2?сооА + со^ = 0, G.18)
где ооо = af — Ьс\ 2?со0 = —(a + /), причем соо == \IT.
Характер фазовых траекторий в окрестности особой точки
зависит от корней уравнения G.18), которыми определяется и тип
такой точки. Существует шесть рассмотренных ниже типов особых
точек.
1. Особая точка типа «центр» получается при чисто мнимых
корнях уравнения G.18). В окрестности этой точки фазовые
траектории представлены бесконечным множеством эллипсов (рис. 7.12, а).
Чисто мнимые корни уравнение G.18) имеет, если
? = 0, со5>0.
В этом случае движение системы описывается уравнением G.7).
Такому уравнению соответствуют консервативные системы, у
которых отсутствует обмен энергией с внешней средой.
152

2. Особая точка типа «устойчивый фокус» получается, когда
корни уравнения G.18) комплексно сопряженные с отрицательной
действительной частью. Фазовая траектория является спиралью,
Рис. 7.12. Фазовые траектории в окрестностях различных особых точек:
а — центр; б — устойчивый фокус; в — неустойчивый фокус; г — устойчивый
узел; д — неустойчивый узел; е — седло
навивающейся на эту особую точку (рис. 7.12, б). Движение
системы описывается уравнением
d^- + (u2oAx==O G.19)
при ? > О и оH > 0. Система имеет обмен энергией с внешней средой,
т. е. относится к диссипативным системам. Характер фазовой
траектории показывает, что в окрестности особой точки система
устойчива и притом асимптотически.
3. Особая точка типа «неустойчивый фокус» соответствует двум
комплексно сопряженным корням уравнения G.18) с положитель-
153

ной действительной частью. Фазовая траектория имеет вид
разворачивающейся от особой точки спирали (рис. 7.12, в). Движение
системы описывается таким же уравнением, как уравнение G.19),
но при ^ < 0 и о)о > 0.
В окрестности особой точки система неустойчива, в ней будут
возникать расходящиеся колебания из*за отрицательного
демпфирования (? < 0).
4. Особая точка типа «устойчивый узел» появляется при двух
действительных отрицательных корнях уравнения G.18), когда
О 1 и соо > 0.
Вид фазовых траекторий в окрестности такой особой точки
показан на рис. 7.12, г. Протекающие в системе процессы будут
апериодическими сходящимися; следовательно, система
асимптотически устойчива.
5. Особая точка типа «неустойчивый узел» имеет место при
двух действительных положительных корнях уравнения G.18),
если ? < —1 и соо >' 0.
При этом система неустойчива, возникающие в ней процессы
будут расходящимися без колебаний, что следует из фазовых
траекторий, приведенных на рис. 7.12, д.
6. Особая точка типа «седло» соответствует двум
действительным корням уравнения разных знаков. Такой случай, например,
возможен, если уравнение первого приближения G.19) принимает
вид
При этом характеристическое уравнение
Я2 —со§ = 0
имеет два действительных корня ±щ разных знаков.
Дифференциальное уравнение фазовой траектории можно получить
описанным в § 7.3 методом, рассматривая вместо координат х, у их
отклонения Ал:, Ау: .
- G.20)
После разделения переменных в уравнении G.20) и его
интегрирования находим уравнение фазовой траектории
Ау2 = щ Ах2 — С,
которое можно записать в виде
cog A*2 Af/2 _ ,
При различных С это уравнение на фазовой плоскости дает
семейство гипербол, имеющих асимптотами прямые (рис. 7.12, е)
154

п
Фазовые траектории показывают, что изображающие точки,
не лежащие на ветвях асимптоты /, уходят от особой точки 05,
определяющей равновесие системы. По асимптоте / изображающая
точка, казалось бы, могла прийти в точку 05, но в действительности
любое сколь угодно малое отклонение от асимптоты вызовет удаление
системы от состояния равновесия. Следовательно, в окрестности
особой точки типа «седло» система неустойчива.
Асимптоты, которые при исследовании малых отклонений от
особой точки представлялись прямыми, на большом расстоянии
от нее в общем случае могут быть кривыми. Такие кривые
называются сепаратрисами (рис. 7.13). Сепаратрисы разделяют фазовую
плоскость на области, в каждой из которых фазовые траектории
обладают различными
топологическими характеристиками.
Сепаратрисы принадлежат к числу
особых фазовых траекторий.
При анализе условий
устойчивости в окрестности особой
точки выше применялись
линеаризованные уравнения, поэтому
было бы неправильно
утверждать, что колебания,
возникающие в системе, будут
неограниченно возрастать. В нелинейной
системе могут установиться
автоколебания, которым на
фазовой плоскости соответствуют
устойчивые предельные циклы.
Предельным циклом называется изолированная замкнутая фазовая
траектория, т. е. такая траектория, в сколь угодно малой
окрестности которой отсутствуют другие замкнутые траектории. От
предельного цикла следует отличать замкнутые траектории
консервативных линейных систем. Для таких систем в сколь угодно
малой окрестности одной замкнутой траектории имеются другие
замкнутые траектории, соответствующие различным начальным
условиям (см. рис. 7.8).
Особые точки, сепаратрисы и предельные циклы по определению
А. А. Андронова составляют скелет фазового портрета и являются
его основными характеристиками. В расчетах систем
автоматического регулирования чаще приходится встречаться с особыми
точками и предельными циклами. Необходимость определения
сепаратрис возникает сравнительно редко. Особые точки находятся
решением уравнений G.15), при этом могут быть использованы
как аналитические, так и графические методы.
Решение задачи о надичии предельных циклов в исследуемой
системе иногда может иметь значительные трудности. Однако
предельный цикл всегда можно определить построением фазовых
траекторий в соответствующей области фазовой плоскости. Фазовая
Рис. 7.13. Сепаратрисы I и II на
фазовой плоскости
155

траектория в виде расходящейся от особой точки спирали будет
стремиться к устойчивому предельному циклу изнутри, а снаружи
к нему будет приближаться фазовая траектория в виде
навивающейся спирали (рис. 7.14, а). При неустойчивом предельном цикле
фазовые траектории «сматываются» с него как изнутри, так и
снаружи (рис. 7.14, б). Такой предельный цикл как любое
неустойчивое движение не может существовать в реальной системе.
При неоднозначных нелинейных характеристиках, например,
таких, как на рис. 7.3, 7.4 и 7.5, фазовая плоскость не может быть
непосредственно применена для исследования движений в системе,
так как нарушается однозначное соответствие между положением
изображающей точки и состоянием системы. В этих случаях
используются многолистные фазовые поверхности.
а) 6)
Рис. 7.14. Устойчивый (а) и неустойчивый (б) предельные циклы
Для примера определим фазовые траектории на двухлистной
фазовой поверхности, когда движение системы описывается
уравнениями
d2x/dt2=c при х<ха; G.21)
при
d2x/dt2 = — c при
— ха
G.21')
В области —ха<х <ха данные уравнения перекрывают друг
друга, при этом каждой точке фазовой плоскости будут
соответствовать два различных состояния системы. С помощью двухлистной
фазовой поверхности можно устранить указанную неоднозначность,
Определим сначала фазовые траектории, соответствующие
уравнению G.21). Дифференциальное уравнение этих траекторий имеет
вид
dy/dx=*c/y\ x<xa. G.22)
Интегрируя уравнение G.22), находим
х<ха.
G.23)
156

При х>—ха по уравнению G.21) таким же путем получаем
G.23')
Фазовые траектории являются параболами, которые в
соответствии с уравнениями G.23) и G.23х) заполняют листы I и II
фазовой поверхности (рис. 7.15, а). Изображающая точка может
покинуть каждый из листов по границам, которые показаны двойными
сплошными и штриховыми линиями. Наложив лист / на лист //
так, чтобы совпадали их координатные оси, получим фазовую
поверхность из двух листов, которые должны быть склеены в тех
местах, где лежат указанные выше границы (рис. 7.15, б). На
полученной двухлистной фазовой поверхности изображающая точка,
J/,
Рис. 7.15. Двухлистная фазовая поверхность
перемещаясь на листе / по траектории 1 — 2, в точке 2 переходит
на лист //, затем в точке 3 возвращается на лист / и снова переходит
на лист // в точке 4. Таким образом, в рассматриваемом случае
фазовыетраектории с каждым обходом листов удаляются от начала
координат, что свидетельствует о расходящихся колебаниях в
системе.
Фазовая плоскость и многолистная фазовая поверхность
являются частным случаем фазового пространства, в котором
определяется состояние системы, описываемой дифференциальным
уравнением третьего и выше порядков. Если порядок уравнения равен п,
то в какой-либо момент времени состояние системы полностью
определено х±, х2) ..., хп величинами, которые являются
обобщенными координатами системы и их производными по времени.
Изменение состояния системы характеризуется по-прежнему фазовой
траекторией, получаемой при движении изображающей точки
в n-мерном пространстве.
Понятие фазового пространства можно использовать для
определения устойчивости в большом и в малом. Система называется
устойчивой в малом, если не все фазовое пространство является
157

областью притяжения единственной особой точки. Система
называется устойчивой в большом, если все фазовое пространство является
областью притяжения единственной особой точки. Задача об
устойчивости в малом и в большом возникает только при исследовании
нелинейных систем, так как линейная система либо устойчива,
либо неустойчива во всем фазовом пространстве.
Несмотря на общность определения состояния системы по фа-
зоЕОму пространству, возможности использования его для
исследования систем практически ограничены значением /г, равным
трем, а наибольшее распространение получили случаи при п = 2,
т. е. задачи, которые решаются с помощью фазовой плоскости или
многолистной фазовой поверхности. При этом обычно
рассматриваются автономные системы, а также системы с гармоническим
входным воздействием.
§ 7.5. МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Для исследования границ притяжения и устойчивости предельных
циклов А. А. Андронов предложил в теории нелинейных колебаний
метод точечных преобразований. Этот метод особенно удобно
применять, если системы содержат элементы с кусочно-линейными
У*4
У*з
Уо1 Уоз УосУо4 Уог
а
Рис. 7.16. Области фазовой плоскости Рис. 7.17. Определение устойчи-
ф
при точечном преобразовании
вости предельного цикла
характеристиками, допускающими описание отдельных этапов
движения системы легко интегрируемыми линейными
дифференциальными уравнениями. Метод состоит в следующем.
Предположим, что фазовая плоскость разделена на четыре
области /, //, ///, IV, границами которых являются полупрямые
#х, #2, Яд и #4 (рис. 7.16). Если исходное положение 1
изображающей точки принять на положительной оси +у, то первый этап
движения системы отразится в перемещении изображающей точки
в положение 2 на полупрямой Нг. Затем изображающая точка
переходит в положения 3, 4 и 5, находящиеся соответственно на
158

полупрямых #2, ^з и ^4» и> наконец, попадает в положение 6 на
полуоси +#• При изменении исходного положения 1
изображающей точки будут взаимно связанно меняться положения
изображающей точки на указанных границах. Таким образом, точки
одной границы могут быть преобразованы в точки другой границы.
Точечное преобразование, которое после обхода всей фазовой
плоскости переводит точки какой-либо полупрямой снова на нее,
называется преобразованием полупрямой самой в себя. Например,,
самой в себя может быть преобразована положительная полуось -\~У
или граница Я4.
В результате преобразования полуоси -\-у самой в себя
находится зависимость ординаты у* после обхода фазовой плоскости
от исходной ординаты у0:
G.24)
При у* = у0 на фазовой плоскости получается предельный цикл,
который будет устойчивым, если повторное преобразование
соседних точек на полуоси -\-у приближает их к точке с
ординатой у0.
Для исследования устойчивости предельного цикла может быть
применена диаграмма Кенигса—Лемерея, которой в
рассматриваемом случае является график функции G.24) и биссектриса
координатного угла (рис. 7.17). При пересечении этих линий в точке
С на фазовой плоскости имеет место предельный цикл.
Устойчивость предельного цикла проверяем, взяв ординаты у01 и у02
исходной точки несколько больше и несколько меньше ординаты уос.
По графику функции G.24) найдем.*/*! и г/*2, которые равны
ординатам изображающей точки после обхода всей фазовой плоскости.
Затем, принимая следующие значения ординат исходной течки
равными г/оз = У*г и Ум = у*2> определим */*3 и уы. Необходимые
построения на диаграмме показаны на рис. 7.17. Если эти построения
приведут в точку С, то предельный цикл устойчив, так как на
фазовой плоскости к нему снаружи и изнутри стягиваются фазовые
траектории. Из диаграммы видно, что предельный цикл устойчив,
когда абсолютное значение тангенса kc угла наклона касательной
к графику функции G.24) меньше единицы.
Признаком отсутствия в системе предельных циклов служит
размещение графика функции G.24) выше (процесс в системе
расходящийся) или ниже (процесс в системе сходящийся) биссектрисы.
Если биссектриса касается в какой-то точке графика функции G.24),
то система находится в полуустойчивом состоянии, которое при
малейшем изменении параметров может перейти в устойчивые
автоколебания (устойчивые предельные циклы) или в затухающие
колебания (устойчивое положение равновесия). В этом случае
значения параметров системы называются бифуркационными. * »
Указанные выше границы, которыми фазовая плоскость
разбивается на отдельные области, ограничивают применимость д,^я
описания состояния системы линейных дифференциальных уравне-
159

ний, составленных по отдельным участкам однозначных кусочно-
линейных характеристик. Такие границы часто называют линиями
переключения. При переходе через линию переключения происходит
смена дифференциальных уравнений, причем их решения должны
быть состыкованы на этой линии. Если имеется неоднозначная
нелинейная характеристика, то фазовая плоскость заменяется
многолистной фазовой поверхностью. При этом границы каждого
листа будут служить линиями переключения. Смбйа уравнений
осуществляется при переходе с одного листа на другой, причем
на каждом листе нелинейная характеристика должна быть
однозначной функцией своего аргумента.
§ 7.6. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Применение метода фазовой плоскости практически ограничено
нелинейными системами, состояние которых описывается
дифференциальными уравнениями второго порядка. Для исследования
систем более высокого порядка широко используется приближенный
метод гармонической линеаризации, основанный на работах
Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова и получивший дальнейшее
развитие в теории автоматического регулирования благодаря
работам Л. С. Гольдфарба и Е. П. Попова [59].
Суть метода заключается в следующем. Предположим, что
состояние некоторого звена описывается нелинейным уравнением
*вых = ^(*вх, dxn/dt). G.25)
При гармоническом изменении входной величины
*Bx = tfBxSini|); t|) = co* G.26)
имеем
dxBX/dt=aBJfi> costy. 1 G.27)
Изменение выходной величины л:ВЬ1Х при воздействии G.26) на
звено будет периодическим, но не гармоническим, так как
уравнение G.25) является нелинейным. Разложим нелинейную функцию
в правой части уравнения G.25) в ряд Фурье и удержим в этом
разложении только те члены, которые соответствуют постоянной
составляющей выходной величины и составляющей, изменяющейся
с частотой со, так называемой первой гармонике. Тогда с точностью
до высших гармоник получим закон изменения выходной величины
в виде
*вых = % + h cos г|) + Ьг sin % G.28)
160

где bOy Ьг и b2 — коэффициенты ряда Фурье, определяемые по
известным из гармонического анализа соотношениям:
2л
Ьо = — \ F (авх s in г|), асо cos
о
2я
= — \ F (авх sin г|), асо cos ty) cos ty Жр;
о
2я
= — \ F (авх sin \|>, * ceo cos \|)) sin
Сначала будем полагать постоянную составляющую Ьо равной
нулю; несколько более сложный случай, когда это условие не
выполняется, рассмотрим в конце параграфа.
Из соотношений G.26) и G.27) следует, что
' авхш dt '
Используя эти соотношения и принимая во внимание условие
об отсутствии постоянной составляющей, зависимость G.28)
представим в виде
•^вых== Я (^вх> со) хвх -\ — ~ifj?m> G.29)
где
q'(aBXJ ffl) = 6i/flBX. G.30)
Таким образом, нелинейное уравнение G.25) при хвх =
= авх sin со/ с точностью до высших гармоник заменяется линейным
уравнением G.29), коэффициенты которого q (aBX,co) и qf (аВХУ со)
являются функциями амплитуды и частоты гармонического
входного сигнала. Такой способ получения линейной модели звена
называется гармонической линеаризацией, a q (аВХУ со) и q' (aBX, со)
называются коэффициентами гармонической линеаризации.
В виде примера определим коэффициенты гармонической
линеаризации для усилителя, статическая характеристика которого
имеет зону насыщения (см. рис. 7.1, в). При хвх =aBXsinco/ выходная
величина хвых вычисляется по следующим соотношениям (рис. 7.18):
•^вых — KxBXt если О^со/^Р;
*вых = K*b9 еСЛИ
л:вых = /Сл:вх, если я — ,
где
ъ о
-; xb = ~
вх Л
б Попов Д. Н.

Используя эти соотношения, по формулам G.30) находим
г в
2
(ви. <*>) =
/Савх sin2 tot d (tot) +
г 1
\ /С^вх sin2 tot d (tot) -
Я —В J
при авх >
Кавх sin со/ cos со/ d (cot) +
+ {j Kxb cos tot d (tot) + J /CaBXsinco/cosotf d(coO | = 0. G.32)
p я—р у
Рассмотренным способом вычисляются коэффициенты
гармонической линеаризации и для других типовых нелинейных
характеристик, приведенных в § 7.1. В табл. 7.1 дана сводка этих коэффи-
*$ых
Рис. 7.18. Гармоническая
линеаризация статической
характеристики
усилителя с зоной насыщения
циентов для некоторых нелинейных характеристик. Для всех
типовых однозначных нелинейных характеристик коэффициенты
гармонической линеаризации q' (aBX, со) получаются равными нулю.
При этом нелинейные звенья в результате гармонической
линеаризации принимают вид безынерционных усилительных звеньев
с коэффициентами передачи, зависящими от амплитуды входного
сигнала. В случае неоднозначных нелинейных характеристик
162

Таблица 7.1
Коэффициенты гармонической линеаризации
Вид нелинейной
характеристики
Математическое описание
нелинейной
характеристики
Коэффициенты гармонической
линеаризации
(авх)
*6ЫХ
sin со/;
при
X arcsin —^- -
\ авх
fi=arcsin'—-?
Kt
при
при я—р ^ со/ ^ л
X
авх
при 0
^вых = ^(^вх — *
при р! ^ со^ ^ р
при р2 ^ со/ ^ я —
2/С
*вых =
2
1 .
при
при п— Pi ^ со/ ^ п
Хек
¦^вых == ~Г с
при 0^ 0/^я;
^вых5== ^
при я ^ со/ ^ 2я
6*
163

Продолжение табл. 7.1
Вид нелинейной
характеристики
fi = arcsL
Zb
Математическое описание
нелинейной
характеристики
хвх = аах sin со/;
^вых™
= К (авх sin со/ — Ь)
при О<ссо/-с-2 ;
•^вых == А (авх ^)
Д
при -^- ^ сог ^я — о;
= /С (#вх sin со/ + /?)
при я — Р ^ (at ^ я
Коэффициенты гармонической
линеаризации
*(*вх)
</(«вх) =
1 \
+ -- sin 2р )
2 /
^ (авх)
^ \^ВХ/ ^==
4/\у
яацх^
V «вх/'
aBX>b
(с гистерезисными петлями) коэффициенты qr (авх, со) не равны
нулю, что согласно соотношению G.29) говорит о наличии
зависимости выходной величины от производной входной величины по
времени. Коэффициенты гармонической линеаризации q (aBX, со) и
q' (aBXJ со) при типовых нелинейных характеристиках не зависят
от частоты, и поэтому они обычно обозначаются соответственно
q (aBX) и q' (aBX).
Метод исследования нелинейных систем, основанный на
применении гармонически линеаризованных уравнение, называется
методом гармонической линеаризации или методом гармонического
баланса. Методом гармонической линеаризации решаются задачи,
связанные с исследованием и определением параметров
автоколебаний, проверкой отсутствия автоколебаний в системах, с
определением частотных характеристик замкнутых нелинейных систем,
с анализом качества переходных процессов и с выбором
корректирующих нелинейных элементов.
В этом методе аппарат частотных характеристик, столь
эффективно используемый для анализа и синтеза линейных систем
автоматического регулирования, распространяется с некоторыми
ограничениями на нелинейные системы. Так, по гармонически
линеаризованному уравнению G.29) можно обычным способом найти для
нелинейного звена передаточную функцию
H(s) = д(авх, со)
G.33)
отличительной особенностью которой по сравнению с передаточными
функциями линейных звеньев является то, что ее коэффициенты
164

определены при гармоническом изменении входной и выходной
величины. Следовательно, передаточная функция G.33) применима
только после подстановки s = /со. В результате такой подстановки
получим приближенную амплитудно-фазовую частотную
характеристику нелинейного звена, называемую эквивалентным
комплексным коэффициентом усиления:
Wm (Овх, *>) = q (Явх, со) + jq' (явх, <о). G.34)
Эквивалентный комплексный коэффициент усиления G.34)
определяет отношение Лн (авх, со) амплитуды первой гармоники
выходной величины к амплитуде гармонически изменяющейся входной
величины и сдвиг по фазе <рн (авх, со) этих величин. Поэтому
зависимости G.34) можно придать вид
W» (а,„ со) = Ан (авх, со) е"» ("W «>, G.35)
где
Ав(авк, со) = V[q (ав%, со)]2 + [q' (aBX, со)]2;
Фн (явх> <°) = arctg^ ; х—f.
Yh V bx' ; S q (flBX, ©)
При типовых нелинейных характеристиках эквивалентный
комплексный коэффициент усиления является функцией только
амплитуды входной величины:
ИМавх) = <7(аВх) + /<7'(Явх) G.36)
или
где
Первая гармоника выходной величины у звена с типовой
нелинейной характеристикой может быть определена зависимостью
*вых = QBXAH (aBX) sin [со/ + Фн (аВх)]-
Если типовая нелинейная характеристика является
однозначной, то q' (авх) = 0 и колебания на выходе звена не имеют
фазового сдвига по отношению к колебаниям на его входе.
Несмотря на отмеченное выше ограничивающее условие для
понятия передаточной функции нелинейного звена, им удобно
пользоваться при составлении структурных схем. При этом на входе
и на выходе звеньев, входящих в структурную схему, могут
указываться либо сами величины, либо их изображения по Лапласу.
В первом случае, строго говоря, переменная s должна заменяться
в передаточных функциях символом дифференцирования р. В целях
единообразия изображения структурных схем линейных и
нелинейных систем в дальнейшем, как и ранее, мы будем указывать
165

на схемах изображения входных и выходных величин, имея в виду,
что приводимые зависимости используются при гармоническом
законе изменения величин.
Структурные схемы нелинейных систем, содержащих
нелинейное звено с одной переменной входной величиной, обычно
приводятся к какому-либо из двух вариантов одноконтурных систем,
показанных на рис. 7.19. Несколько нелинейных звеньев, каждое
из которых имеет одну переменную входную величину, можно
предварительно объединить в одно нелинейное звено, после чего
получить одноконтурную структурную схему. При преобразовании
структурных схем следует учитывать, что гармонические
коэффициенты линеаризации зависят от амплитуды входного сигнала и
поэтому перенос нелинейных звеньев нельзя производить так же,
ХC)
Wz(s)
Рис. 7.19. Структурные
схемы нелинейных систем:
а — нелинейное звено в прямой
цепи; б — нелинейное звено в
цепи обратной связи
как линейных звеньев. Дополнительные трудности в
преобразовании структурных схем возникают, когда в нелинейные функции
входят две или более переменных, связанных между собой
линейными или нелинейными дифференциальными уравнениями [5].
В основе метода гармонической линеаризации лежит
предположение о действии на входе в нелинейное звено гармонического
сигнала. На выходе нелинейного звена сигнал, кроме первой
гармоники, содержит спектр гармонических составляющих с более
высокими частотами. При замкнутом контуре системы
автоматического регулирования эти высшие гармоники не будут существенно
искажать гармонический сигнал на входе в нелинейное звено только
в том случае, если они, проходя через линейные звенья,
включенные в системе до и после нелинейного звена, значительно
уменьшаются по амплитуде, т. е. фильтруются. Выполнение этого условия,
называемого гипотезой фильтра, является обязательным, если при
исследовании системы методом гармонической линеаризации не
проводится уточнение получаемых результатов с учетом высших
гармоник [5]. Линейная часть системы удовлетворяет гипотезе фильтра,
если
(ДвыхЬ 1 Wл ЦЩ 1 ^ 1 /7 Q74*
гаг шм/со)! <1' <7-37)
166

где (^Bbix)i — амплитуда первой гармоники на выходе нелинейного
звена; (aBblx)k — амплитуда й-ой, гармоники на выходе нелинейного
звена; WA (/©) — амплитудно-фазовая частотная характеристика
линейной части системы.
Условие G.37) в общем случае должно выполняться при
значениях k ^ 2. Если рассматриваются симметричные колебания,
когда в выходном сигнале нелинейного звена отсутствуют четные
гармоники, то условие G.37) должно выполняться при k ^ 3. При
исследовании автоколебаний значения частот со в условии G.37)
*8ЫХ i
Рис. 7.20. Влияние
постоянной составляющей
на гармоническую
линеаризацию характеристики^
зоной насыщения
принимаются равными частоте предполагаемых автоколебаний.
Для типовых нелинейных характеристик
(Явых)* < (ЯвыхI
и условие G.37) сводится к наличию отрицательного наклона у
логарифмической амплитудной частотной характеристики линейной
части системы, равного —20 или —40 дБ/дек в области исследуемых
частот.
При несимметричных нелинейных характеристиках, а также
-в случае постоянного или медленно меняющегося внешнего
воздействия на систему, содержащую нелинейное звено с симметричной
нелинейной характеристикой, гармоническая линеаризация должна
проводиться с учетом постоянной составляющей входного сигнала.
На рис. 7.20 показана форма выходного сигнала звена, статическая
характеристика которого имеет зону насыщения. Из-за
постоянного смещения х°вк колебаний входной величины закон изменения
выходной величины хвых во времени отличается от ранее
полученного для такого же звена при xlx = 0 (см. рис. 7.18). С учетом
167

постоянного смещения xlx вместо зависимости G.26) будем иметь
¦^вх ==с %вх "т" -^вх* >
где
В этом случае после гармонической линеаризации функции
G.25) получим
х, авх, (>>)хВХ:?
где
i70 Dх, ^вх, ®) = Г J ^ (^ + авх sin г|>, авхсо cos
2я
Dх, «вх» <*>) = zr- ^ (а:0 + ^вх sin \|), aBXco cos г|)) cos г|>
Коэффициенты гармонической линеаризации, входящие в
уравнение G.38), не обязательно должны зависеть от всех трех величин:
*вх, #вх> w- Например, так же как и^дри отсутствии постоянной
составляющей у входного сигнала, они могут не зависеть от со.
§ 7.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И АВТОКОЛЕБАНИЙ
ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
После приведения структурной схемы нелинейной системы
автоматического регулирования к одноконтурной (рис. 7.19), содержащей
нелинейное звено с эквивалентным комплексным коэффициентом
усиления Wn (aBX, со) и линейную часть с амплитудно-фазовой
частотной характеристикой WA (/со) = Wx (/со)- W2 (/со), можно
исследовать условия существования автоколебаний в такой
гармонически линеаризованной системе. Для этого пригоден любой из
методов определения границ устойчивости линейных систем. Выбор
метода исследования зависит от особенности системы и целей
анализа. Здесь мы остановимся только на методах, основанных на
применении частотных характеристик разомкнутых систем, и на
алгебраическом методе расчета параметров автоколебаний.
С применением метода корневого годографа для исследования
гармонически линеаризованных систем можно познакомиться по
монографии [73].
При изложении частотных методов ограничимся рассмотрением
устойчивых и нейтрально-устойчивых в разомкнутом состоянии
168

систем. Тогда в соответствии с критерием Найквиста замкнутая
система автоматического регулирования с гармонически
линеаризованным звеном будет находиться на границе устойчивости, если
ИМ/со)-WUaBX, co) = -l. G.39)
При выполнении условия G.39) в системе могут существовать
колебания, которые в случае их устойчивости будут
автоколебаниями. Придадим этому условию следующий вид:
Уравнение G.40) можно решить графически, построив на
комплексной плоскости амплитудно-фазовую частотную характеристику
Рис. 7.21. Определение автоколебаний по частотным
характеристикам:
а — нелинейное звено с гистерезисной характеристикой; б —
нелинейное звено с однозначной нелинейной характеристикой
АФЧХ линейной части системы Wn (/со) и взятую с обратным
знаком обратную частотную характеристику— l/Wn (авх, со)
нелинейного звена. Если эти характеристики пересекаются, то в точке их
пересечения по кривой Wn (/со) определяется частота соа, а по
кривой— l/WH (авх, со) — амплитуда аа колебаний, возникающих в
исследуемой системе. На рис. 7.21 показано графическое решение
уравнения G.40) в случае эквивалентного комплексного
коэффициента усиления Wu (aBX) звеньев с типовыми нелинейностями.
Устойчивость найденных таким образом колебаний приближенно
проверяется исследованием поведения системы при малых
изменениях амплитуды аа. Если при положительном приращении +Ааа
амплитуды аа колебания затухают, а при отрицательном
приращении —Каа расходятся, то колебания, определяемые точкой
пересечения характеристик Wn (/со) и —1/Н?н (авх, со), будут
устойчивыми автоколебаниями. Колебания в замкнутой системе расходятся,
когда АФЧХ разомкнутой устойчивой или нейтрально-устойчивой
системы охватывает на комплексной плоскости точку —1, /0. Если же
169

эта точка не охватывается АФЧХ разомкнутой системы, то
колебания затухают.
Математически условия нарастания и затухания колебаний
выражаются в замене равенства G.39) неравенствами, которые
позволяют сформулировать следующее правило: колебания с
амплитудой аа и частотой Wa будут устойчивыми автоколебаниями, если
АФЧХ линейной части Wл (/со) не охватывает точку на
характеристике —l/WH (аВХУ со), полученную увеличением значения аа на
+Аяд, и охватывает точку этой характеристики, полученную
уменьшением значения аа на —Ааа. Точки, соответствующие значениям
a>ai = аа + Аа и аа2 = аа — Аа, изображены на рис. 7.21.
Приведенное правило показывает, что в системе не возникают
колебания, если характеристика нелинейного звена —\/WH (aBX, со)
располагается вне АФЧХ линейной части W'n (/со). Если
характеристика —1/UPH (aBX, со) размещается" внутри области, охваченной
АФЧХ Wл (/со), то колебания будут расходящимися, т. е. система
будет неустойчива. В этом отношении условие устойчивости
гармонически линеаризованной системы автоматического регулирования
можно рассматривать как дальнейшее развитие амплитудно-фазового
частотного критерия устойчивости линейных систем. Вместо точки
—1, /0, которую не должна охватывать АФЧХ разомкнутой
системы, если замкнутая линейная система устойчива, для
гармонически линеаризованной системы должна быть взята область
расположения характеристики — l/WH (aBX, со), которая не должна
охватываться АФЧХ линейной части Wл (/со).
Как и в случае исследования линейных систем, при определении
устойчивости и автоколебаний гармонически линеаризованных
систем могут применяться логарифмические амплитудные и фазовые
частотные характеристики. При этом условие G.39) заменяется
двумя одновременно действующими условиями:
20 lg 11РЛ (/©)! = 20 lg X
в)| G.41)
Условия G.41) означают, что гармонически линеаризованная
система будет находиться на границе устойчивости, если при одной
и той же частоте со = соа пересекаются логарифмическая
амплитудная характеристика 2(%|№л (/со)| линейной части с
логарифмической амплитудной характеристикой 201g|—l/WH (авх, co)|
нелинейного звена и логарифмическая фазовая характеристика срл (со)
линейной части — со смещенной логарифмической фазовой
характеристикой фн (авх, со) нелинейного звена.
Для определения устойчивости и параметров аа, соа
автоколебаний удобно использовать фазовую границу устойчивости (ФГУ)
[60]. Эта граница строится следующим образом. На
логарифмическую амплитудную частотную характеристику линейной части
201|W^ (/со)] накладываются логарифмические амплитудные ха-
170

рактеристики 201g|—l/Wu (aBXi co)| нелинейного звена,
полученные для различных значений амплитуды авх (рис. 7.22). Затем
на логарифмическую фазовую характеристику линейной части фл (со)
наносятся вычисленные при тех же значениях авх
логарифмические фазовые частотные характеристики фн (#вх, со) этого
нелинейного звена. Точки пересечения характеристик 201g|^ (/со)| и
201g|—1/WH (^вх> <°I п0 вертикали сносятся на соответствующие
по значениям авх характеристики фн (авх, со). Кривая, проведенная
через эти точки, будет фазовой границей устойчивости. Построение
ФГУ показано на рис. 7.22, сама граница с одной стороны
заштрихована.
whwbfcrtl
Рис. 7.22. Построение ФГУ
В точках пересечения ФГУ с логарифмической фазовой
частотной характеристикой линейной части фл (со) гармонически
линеаризованная система находится на границе устойчивости. Частота соа
возникающих в такой системе колебаний определяется
непосредственно по абсциссам этих точек, а амплитуда аа — интерполяцией
значений авх, указанных на логарифмических амплитудных
характеристиках нелинейного звена (на рис. 7.22 аа определяется
интерполяцией aBXi и аВХь).
Для выполнения рассмотренного выше условия существования
устойчивых автоколебаний при пересечении характеристики
^Olg\WJl (/со)| с характеристикой 201g|—l/Wu (aBX, co)|, взятой при
аа -|~ Дая, фазовая характеристика линейной части должна быть
выше ФГУ, а в точке пересечения, полученной при аа — Ааа, —
ниже ФГУ, поэтому при частоте со^ предельный цикл неустойчив,
а при частоте соа устойчив.
171

Для звеньев с типовыми нелинейными характеристиками
эквивалентный комплексный коэффициент усиления является функцией
только амплитуды авх и определяется по соотношению G.36). При
этом
1
ИМЯвх)
откуда имеем
20 lg | - w~;) | = - 20 lg V[q(aBX)Y + [q'(aBX)f; G.42)
ФИ (авх) = arctg [- q' (aBX)/q (авх)] - 180°. G.43)
Соотношения G.42) и G.43) показывают, что в случае типовых
нелинейных характеристик для определения ФГУ на
логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики линейной
части наносится семейство горизонтальных прямых, параметром
которых является амплитуда авх. При однозначных нелинейных
характеристиках ФГУ представляет собой отрезок прямой,
лежащей на линии значений фаз, равных —я.
§ 7.8. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ И АВТОКОЛЕБАНИЙ ГАРМОНИЧЕСКИ
ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СИСТЕМ
Пусть после гармонической линеаризации нелинейного звена для
замкнутой системы автоматического регулирования получено
характеристическое уравнение в виде
*'(^цЧ] 0. G.44)
Если в замкнутой системе возникают незатухающие колебания
с постоянными частотой соа и амплитудой аа, то коэффициенты
в уравнении G.44) будут постоянными величинами. Из теории
устойчивости линейных систем известно, что незатухающие
колебания в системе с постоянными коэффициентами могут иметь место
при наличии чисто мнимых корней характеристического
уравнения. Поэтому, положив в уравнении G.44) X =/соа, авх = аа,
со = соа, можно получить уравнение
Q (Mz) + R (/<o«) [q (аа, соа) + jq' (аа, О] = 0, G.45)
которое позволяет найти частоту соа и аа возможных автоколебаний.
Для определения ыа и аа в уравнении G.45) выделяется
вещественная часть X (сод, аа) и мнимая часть jY (coa, аа), после чего
записываются два уравнения
Х(соа, аа) = 0; К(а>в, аа) = 0. G.46)
172

Значения соа и аа находятся из решения системы уравнений G.46).
Если эти уравнения не имеют положительных вещественных
решений для соа и аа, то автоколебания в исследуемой системе
автоматического регулирования отсутствуют.
Автоколебания будут существовать в системе, если колебания
с параметрами ыа и аа являются устойчивыми. При решении
прикладных задач устойчивость колебаний в ряде случаев может быть
установлена по физической картине процессов, протекающих в
системе. При необходимости проверки устойчивости могут быть
использованы методы исследования устойчивости периодических решений
нелинейных дифференциальных уравнений [5].

Часть ДИНАМИКА ГИДРО-
в тор а я и ПНЕВМОСИСТЕМ
Глава VIII
СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ
РАБОЧИХ СРЕД
§ 8.1. СВОЙСТВА РАБОЧИХ СРЕД
В гидро- и пневмосистемах управления рабочими средами служат
жидкости, воздух или другие газы. Рабочие среды обычно являются
однофазными веществами. Однако возможны случаи, когда в
системах образуются комбинации жидкость — газ, и тогда приходится
рассматривать рабочую среду как двухфазную. Например,
нарушение однофазности 'рабочей среды может произойти из-за наличия
нерастворенного воздуха в гидросистеме или из-за возникновения
кавитации в каком-либо устройстве: насосе, золотнике, клапане.
Жидкость с растворенным в ней воздухом ведет себя как
однофазная среда.
Рабочие среды, обеспечивая передачу энергии в гидро- и
пневмосистемах, находятся в постоянном взаимодействии с различными
деталями механизмов и машин, поэтому от свойств рабочих сред
во многом зависят долговечность и надежность систем. Кроме того,
видом рабочей среды определяются те ограничения, которые
накладываются на условия эксплуатации систем: минимальные и
максимальные температуры для окружающей и для рабочей среды",
стойкость к воспламенению, радиационная стойкость и др. [2, 78].
Выбор рабочей среды часто предопределяет конструкцию, вес и
наибольшую мощность устройств, используемых в гидро- или
пневмосистеме.
При расчетах и исследованиях режимов регулирования гидро-
и пневмосистем необходимо знать свойства рабочих сред, так как
они могут оказывать существенное влияние на различные
характеристики как отдельных элементов, так и всей системы в целом.
Здесь мы остановимся только на тех свойствах рабочих сред,
которые имеют наибольшее значение для изучения динамики
процессов, протекающих в гидро- и пневмосистемах. К этим свойствам
относятся инерция, вязкость, сжимаемость.
Инерция рабочих сред проявляется при ускорении или при
замедлении их движения. Мерой инерции рабочих сред, как известно,
служит масса — одна из важнейших характеристик, с которой
приходится иметь дело при изучении движения любых тел. Отношение
массы тела к его объему определяет плотность тела. Для жидкости
или газа, сплошь заполняющих пространство, плотность р есть
функция координат точки этого пространства и определяется пре-
174

дельным выражением
Am
где ktn — масса среды в объеме А У.
Величина плотности зависит от природы рабочей среды и
условий, в которых она находится. Плотность рабочей среды в общем
случае является функцией давления р и температуры Т°, т. е.
Зависимость плотности от давления и температуры оказывается
существенно различной для жидкостей и для газов. Плотность
жидкостей изменяется значительно меньше с температурой и с
давлением, чем плотность газов. Это объясняется тем, что объем
жидкости по сравнению с объемом газа мало меняется под действием
давления, а коэффициенты объемного теплового расширения обычно
используемых в гидросистемах жидкостей невелики.
Вязкостью называется обусловленная подвижностью моледул
способность жидкости или газа сопротивляться относительному
сдвигу ее слоев. Если возникающие при сдвиге касательные
напряжения подчиняются закону вязкого трения Ньютона, т. е.
изменяются пропорционально скорости сдвига, то жидкости называются
ньютоновскими. Существуют также неньютоновские жидкости,
у которых касательные напряжения могут отличаться от нуля
при равных нулю скоростях сдвига. Эти напряжения могут также
зависеть от продолжительности процесса сдвига слоев жидкости.
В последнее время для улучшения вязкостно-температурных свойств
в некоторые жидкости, применяемые в гидросистемах, вводятся
полимерные загустители. Вследствие этого действительная вязкость
жидкости отличается от определяемой в обычных вискозиметрах
тем больше, чем больше скорости относительного сдвига слоев.
Такие жидкости могут только приближенно приниматься
ньютоновскими. Для воздуха и газов закон вязкого трения Ньютона >
является справедливым.
Коэффициент пропорциональности в законе вязкого трения
Ньютона называется динамической вязкостью.
В гидромеханике используется также кинематическая
вязкость v, равная отношению динамической вязкости \i к плотности
жидкости:
(8.1)
Вязкость зависит от рода и состояния жидкости или газа. С
увеличением температуры вязкость жидкостей уменьшается, а газов
возрастает, что объясняется различным молекулярным строением
этих веществ [12]. На рис. 8.1 даны зависимости от температуры
кинематической вязкости воздуха и некоторых ньютоновских
жидкостей, применяемых в гидросистемах.
Вязкость жидкостей и газов изменяется также с изменением
давления. Для жидкостей зависимость динамической вязкости от
175

давления имеет вид [76]
т),сСт
WOO,
где \i и fx0 — динамические вязкости соответственно при
избыточном давлении р и атмосферном давлении; Ь — коэффициент,
характеризующий изменение вязкости в зависимости от давления;
для широко применяемых в гидросистемах масел Ь = 0,02 -*-
~ 0,03 1/МПа.
По формуле (8.2) можно найти, что при повышении давления
на 10 МПа (~100 кгс/см2) динамическая вязкость жидкости
увеличится приблизительно на 20—
35%.
Динамическая вязкость
воздуха при изменении давления
изменяется незначительно [76].
Более существенно зависит от
давления кинематическая
вязкость воздуха, что связано с
переменностью его плотности.
Вязкость среды, как известно
из гидромеханики,
непосредственно влияет на
гидродинамическую устойчивость потоков,
при нарушении которой
происходит смена ламинарных течений
турбулентными. При этом
изменяются коэффициенты
гидравлических сопротивлений и
соответственно изменяются потери
механической энергии в гидро- или
в пневмосистеме. От вязкости
рабочей среды зависят также
f
100
СП
10
s
1
0,5
П1
\
\
\
\
3
4
\
\
>
V
2
\
\
ч
ч,
.—¦
<
7
6
\
—-
^—
¦van
-40 -20 0 20 40 60 60°С
Рис. 8.1. Зависимость кинематического
коэффициента вязкости от
температуры:
/ — масло веретенное 3; 2 — масло АУ;
3 — жидкость AM Г-10; 4 — воздух; 5 —_
керосин; 6 — вода "
силы трения, возникающие при
относительных перемещениях
деталей, зазоры между которыми
заполнены жидкостью или газом. Действие этих сил также
сопровождается потерями механической энергии. Таким
образом, вязкость рабочей среды играет важную роль в
диссипации механической энергии и вследствие этого может оказывать
существенное влияние на демпфирование гидро- или пневмо-
систем.
Кроме рассмотренной вязкости, называемой иногда сдвиговой,
большинство жидкостей, включая жидкие металлы, обладают еще
объемной вязкостью. Эта вязкость обнаруживается при сравнении
экспериментальных коэффициентов поглощения ультразвука с
расчетными значениями, полученными с учетом только сдвиговой
вязкости и потерь энергии из-за теплопроводности среды. В отличие
176

от жидкостей у одноатомных газов объемная вязкость отсутствует
и у большинства однородных газов близка к нулю.
Объемная вязкость жидкостей вызывается различными
причинами. В неассоциированных жидкостях основной причиной является
релаксация поворотной изомерии и релаксация
внутримолекулярных колебаний. В ассоциированных жидкостях объемная вязкость
связана со структурной релаксацией, сопровождающейся
изменением объема между различными равновесными состояниями
молекул. При этом релаксационные процессы в случае сдвига слоев
и объемной деформации жидкости имеют одинаковую природу, чем,
в частности, объясняется одинаковое влияние температуры и
давления на оба вида вязкости у ряда жидкостей.
Объемная вязкость характеризуется величиной \iv, измеряемой
в тех же единицах, что и динамическая вязкость. Соотношения между
этими величинами для некоторых жидкостей даны в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Значения р,у/|л для некоторых жидкостей
Жидкость
Температура,
°С
ju, Па«с
Вода •
Глицерин ...... i
Минеральное масло
Расплавленный хлористый натрий
15
-14
30
888
0,0011
61,6
0,21
0,115
2,81
1,03
1,33
20,8
Несмотря на соизмеримые значения [л и \iv, а для ряда жид
костей и значительное превышение \iv над \х, наличие объемной
вязкости необходимо учитывать только при рассмотрении
процессов, связанных с большими скоростями объемной деформации
жидкостей. В гидросистемах объемная вязкость обычно не влияет
на процессы, свойственные операциям управления. При расчетах
и исследованиях процессов по частотам, близким к ультразвуковым,
пренебрежение объемной вязкостью жидкостей может привести
к неточностям в определении показателей демпфирования этих
процессов.
Сжимаемостью называется свойство жидкостей и газов
изменять свой объем при изменении давления. Несмотря на то, что
у жидкостей это свойство выражено значительно слабее, чем у
газов, сжимаемость жидкостей может быть одной из главных причин
возникновения колебательных процессов в гидросистемах и
нарушения их устойчивой работы.
Для оценки сжимаемости жидкостей и газов применяется
коэффициент сжимаемости
6 - l dV (8 3)
гсж V ip v '
где V — объем, занимаемый жидкостью или газом при давлении р.
177

Знак «минус» в формуле (8.3) учитывает, что при положительном
приращении (увеличении) давления имеет место отрицательное
приращение (уменьшение) объема, занимаемого жидкостью или газом.
Коэффициент сжимаемости может быть также определен через
относительное изменение плотности р среды:
^сж """ р dp'
Величина, обратная коэффициенту сжимаемости, называется
модулем объемной упругости среды:
Я = 1/Р«; (8.4)
B = pdp/dp. (8.5)
Формулы (8.3) и (8.4) показывают, что чем выше модуль
объемной упругости, тем менее податлива среда и тем меньше ее
объемная деформация при повышении давления.
Для расчета модуля объемной упругости по формуле (8.6)
необходимо иметь зависимость, связывающую величины р и р. Этой
зависимостью является уравнение состояния рабочей среды. В общем
случае уравнение состояния может содержать еще температуру
рабочей среды, для определения которой необходимо
рассматривать процессы теплообмена, протекающие в данной системе. При
решении такой общей задачи обычно встречается ряд трудностей,
вызванных тем, что уравнение состояния среды составляется
только после принятия определенных допущений, а описание
процессов теплообмена в реальной системе приводит к сложным
математическим моделям с дополнительными неизвестными параметрами.
Вследствие этого для жидкостей значения модулей объемной
упругости находятся экспериментальным путем. Для газов
принимаются допущения относительно вида процесса изменения его
состояния, и тогда модули объемной упругости выражаются
непосредственно через давление.
§ 8.2. МОДУЛИ ОБЪЕМНОЙ УПРУГОСТИ ГАЗОВ
Состояние совершенных газов определяется уравнением Клапейрона
(8.6)
где Т° — температура, Кельвин; R — газовая постоянная,
имеющая различные значения для разных газов; для воздуха R =
= 287,14 м2/с2- К.
Газы, применяемые в пневмосистемах, считаются совершенными,
что согласуется с экспериментальными данными в тех диапазонах
давлений и температур, при которых работает большинство пневмо-
систем. При использовании воздуха или азота давления
предполагаются ограниченными значениями, не превышающими 20 МПа
при температурах больше критической [47].
178

Вследствие изменения объема, занимаемого газом, изменения
давления или температуры газ переходит из одного состояния
в другое. Такой процесс называется термодинамическим. Для
описания термодинамического процесса уравнение состояния газа
должно быть дополнено уравнением сохранения энергии. В общем
случае для решения этих уравнений необходимо еще использовать
законы притока тепла, что, как уже отмечалось, может значительно
усложнить задачу. Поэтому часто принимаются дополнительные
допущения, при которых заранее устанавливаются виды некоторых
идеализированных термодинамических процессов. К ним относятся
изотермические и адиабатные процессы.
Процесс, при котором благодаря интенсивному теплообмену
температура газа остается постоянной, называется изотермическим.
Действительный процесс будет тем ближе к изотермическому, чем
медленнее изменяется состояние газа и лучше условия теплообмена
с окружающей средой. При изотермическом процессе Т° = const, и,
следовательно, по формуле (8.5) и уравнению (8.6) модуль объемной
упругости газа получается равным
Ви.г = р, (8.7)
где Ви г — изотермический модуль объемной упругости газа.
Процесс, происходящий без теплообмена между газом и
окружающей его средой, называется адиабатным. К адиабатным
приближаются такие действительные процессы, при которых вследствие
хорошей теплоизоляции объема, занятого газом, или вследствие
быстроты протекания процесса теплообмен не оказывает сколько-
нибудь существенного влияния на состояние газа.
Уравнение адиабатного процесса имеет вид
р/р* = const. (8.8)
Величина k в уравнении (8.8) называется показателем адиабаты;
если адиабатный процесс рассматривать без учета внутреннего
трения (изоэнтропический адиабатный процесс), то
к = Cp/CVy
где ср и cv — удельные теплоемкости газа соответственно при
постоянном давлении и при постоянном объеме.
По формуле (8.5) при адиабатном процессе с учетом уравнения
(8.8) можно найти соотношение, определяющее модуль объемной
упругости газа
Ba.r = kp. (8.9)
Для воздуха k == 1,4, и из сравнения формул (8.7) и (8.9)
следует, что адиабатический модуль упругости газа при одном и том же
значении давления получается в 1,4 раза больше изотермического
модуля объемной упругости.
Характеристикой термодинамического процесса может служить
некоторая величина, показывающая, какую часть теплоты, участ-
179

вующей в процессе, составляет изменение внутренней энергии.
Любой процесс, в котором эта величина имеет определенное
значение, называется политропным.
Для политропного процесса
р/рл = const, (8.10)
где п — показатель политропы.
Уравнения рассмотренных выше процессов можно получить из
уравнения (8.10), принимая для изотермического процесса п = 1,
а для адиабатного п = k.
Известно, что скорость с0 звука в сжимаемой среде определяется
зависимостью
со = У dp/dp,
которая с помощью формулы (8.5) приводится к виду
co = VWp. (8.11)
Предположив, что изменение плотности газа, сопровождающее
распространение звуковой волны, происходит изоэнтропически, по
формулам (8.9) и (8.11) найдем для газа
Со=,уЩг. (8 Л 2)
Из соотношения (8.12) следует, что скорость распространения
звука в идеальном газе зависит только от абсолютной температуры.
§ 8.3. МОДУЛИ ОБЪЕМНОЙ УПРУГОСТИ ЖИДКОСТЕЙ
Модуль объемной упругости жидкости можно измерить двумя
методами [78]. Первый метод основывается на применении устройств,
позволяющих определять относительные изменения объема
жидкости в зависимости от изменения давления при заданной
температуре. Полученный при таких экспериментах модуль объемной
упругости жидкости называется изотермическим. При втором методе
в жидкости возбуждаются колебания давления с соблюдением
условий, позволяющих пренебречь процессами теплообмена;
полученный этим методом модуль объемной упругости жидкости называется
адиабатическим.
Изотермический и адиабатический модули объемной упругости
могут иметь как средние, так и локальные значения. Средний
изотермический модуль объемной упругости жидкости Ви. ж
получается при обработке результатов эксперимента по формуле
(8.13)
где Др — разность между конечным и начальным значениями
давлений; AV — разность между конечным и начальным объемами,
занятыми жидкостью; Vo — начальный объем жидкости.
180

Средний адиабатический модуль объемной упругости жидкости
В'а ж вычисляется по формуле такого же вида, как формула* (8.13),
но используются экспериментальные данные, полученные вторым
методом.
Локальный изотермический В'и. ж и локальный адиабатический
В1 ж модули объемной упругости жидкости отличаются от своих
средних значений тем, что определяются по произведению объема
сжимаемой жидкости на производную от давления по объему
жидкости. В этом случае формула для локального изотермического
модуля объемной упругости имеет вид
$ (8.14)
По такой же формуле обрабатываются и результаты
эксперимента, проведенного вторым методом, для определения В'^ ж.
Локальный адиабатический модуль объемной упругости
жидкости может быть также определен по скорости распространения
звука:
В1ж = рс1 ' (8.15)
Экспериментальными исследованиями для большинства
жидкостей установлена зависимость модулей объемной упругости от
давления и температуры [27]. Эти исследования показывают, что
для температур от 0 до 170 °С и давлений до 80 МПа приближенная
зависимость среднего изотермического модуля объемной упругости
от давления будет
1+о (8.16)
\Вц.ж)о \Вц.ж/О
где (Ви. ж)о — средний изотермический модуль объемной упругости
жидкости при атмосферном давлении; Ър — коэффициент, значение
которого для ряда жидкостей равно 5,3.
Изменение среднего изотермического модуля объемной
упругости при постоянном давлении в зависимости от температуры
находится из соотношения
fe /о"'Ж\Д ^ bt $ "" Q* (8-!7)
где (Ви. ж)л и (Ви. ж)^2 — средние изотермические модули объемной
упругости жидкости при температурах соответственно t\ и t\, °C;
bt — коэффициент, осредненные значения которого для давлений
0—35 МПа можно принимать равными соответственно 0,0024—0,0014.
Вычисленные по формулам (8.16) и (8.17) средние
изотермические модули объемной упругости совпадают с экспериментальными
значениями для многих жидкостей с точностью ±4%.
По экспериментальным данным [27] локальный изотермический
модуль объемной упругости при давлении р равен среднему
изотермическому модулю объемной упругости при давлении 2/7. При
181

этом изменение локального изотермического модуля объемной уп,
ругости в зависимости от давления можно находить как
?Щ- = 1+2&,71?1-, (8.18)
где (В'и. ж)о — локальный изотермический модуль объемной упру,
гости жидкости при атмосферном давлении.
Локальный адиабатический и локальный изотермический
модули объемной упругости связаны через отношение удельных теп-
лоемкостей жидкости при постоянном давлении срж и при
постоянном объеме cvm:
В'аж/Ви. ж = Срж/СуЖ. (8.19)
Отношение cpjcvm уменьшается по линейному закону с ростом
температуры приблизительно от 1,25 при О °С до 1,15 при 150 °С.
Из формул (8.18) и (8.19) следует, что изменение локального
адиабатического модуля объемной упругости жидкости в
зависимости от давления определяется в виде
В1 СРЖ Р
где (Важ)о — локальный адиабатический модуль объемной
упругости жидкости при атмосферном давлении.
У наиболее широко применяемых в гидравлических системах
жидкостей отечественного [88] и иностранного [27] производства
значения (ВаЖ)о при температурах 20—40 °С лежат в диапазоне от
1400 до 1900 МПа. Для указанных температур значение cpx/cvx
равно приблизительно 1,2. Поэтому при повышении давления на
10 МПа возможное увеличение локального адиабатического модуля
объемной упругости жидкости по формуле (8.20) получается 7—9%.
От модулей объемной упругости рабочих сред в основном зависят
собственные частоты колебаний систем. Значения этих частот могут
изменяться пропорционально корню квадратному из значения
модуля объемной упругости рабочей среды. Следовательно, ошибка
в определении собственной частоты системы при двух давлениях,
отличающихся на 10МПа, не будет превосходить 5%, если не
учитывать изменения локального адиабатического модуля объемной
упругости жидкости с давлением. При исследовании гидросистем часто
оказывается возможным ограничиться рассмотрением режимов, при
которых колебания давления около установившегося значения не
превышают 10 МПа. В этих случаях модуль объемной упругости
жидкости допустимо считать постоянным.
Принимая во внимание, что в гидросистемах гидромеханические
процессы протекают быстрее, чем тепловые, обычно можно
пренебрегать теплообменом с окружающей средой. Это позволяет в
расчетах использовать адиабатический модуль объемной упругости
жидкости, а так как в динамике гидросистем применяются
зависимости в виде дифференциальных уравнений, то берутся значения
183

локального адиабатического модуля объемной упругости. В
дальнейшем при. изучении динамики гидросистем в основном
применяется именно этот модуль объемной упругости жидкости, который
5 целях сокращения записи обозначается Вж без дополнительных
индексов. При необходимости выделить то или иное значение
модуля объемной упругости жидкости указываются дополнительные
индексы согласно принятым в этом параграфе обозначениям.
§ 8.4. ВЛИЯНИЕ НА МОДУЛЬ ОБЪЕМНОЙ УПРУГОСТИ
ЖИДКОСТИ ПРИСУТСТВИЯ НЕРАСТВОРЕННОГО ВОЗДУХА
Приведенные выше зависимости для модулей объемной упругости
относятся к, жидкостям, не содержащим нерастворенный воздух.
При заправке гидросистем жидкостью, а также в процессе их
эксплуатации возможно попадание пузырьков воздуха в жидкость.
Наличие пузырьков нерастворенного в жидкости воздуха чаще,
всего либо свидетельствует о недостаточности мер, направленных
на удаление воздуха из гидросистемы, либо связано с недостатками
конструкции отдельных устройств. К таким недостаткам относятся
негерметичность уплотнений, отсутствие гидравлических замков
в соединениях, по одну сторону которых находится жидкость под
вакуумомг наличие замкнутых полостей, в которых может
задерживаться воздух, недостаточная чистота обработки поверхностей и др.
Вследствие содержания нерастворенного воздуха возрастает
сжимаемость жидкости, что может явиться причиной возникновения
колебаний как отдельных элементов гидросистем, так и целых цепей
управления.
Для определения модуля объемной упругости смеси, состоящей
из жидкости и пузырьков воздуха, предположим, что жидкость
занимает объем Уж, а пузырьки воздуха — объем Ув. Изменение
объема такой смеси Усм = Уж + VB при изменении давления будет
dV^dV^dV,. (8.21)
По формулам (8.3) и (8.4) находим
dV^-^dp; dVB = -^dp. (8.22)
Заметим, что в соотношениях (8.22) модули объемной упругости
жидкости Вж и воздуха^ Вв могут быть как изотермическими, так
и адиабатическими.
После подстановки АУЖ и dVB согласно соотношениям (8.22)
уравнение (8.21) приведем к виду
p. (8.23)
Представим приращение объема смеси как
dVcu = -^dp, (8.24)
DCM
где Всм — модуль объемной упругости смеси.
183

Исключив из уравнений (8.23) и (8.24) dVcm получим
В большинстве случаев объем пузырьков воздуха Кв оказывается
значительно меньше объема Уж, занимаемого жидкостью, что
позволяет приближенно считать
Vcu = Vm. (8.26)
При этом условии формулу (8.25) можно записать в виде
Для жидкостей в дальнейшем, как уже отмечалось, в основном
принимаются локальные адиабатические модули объемной
упругости. Значение Вв зависит от вида термодинамического процесса,
на который влияют размеры пузырьков воздуха, теплоемкость
жидкости и скорость изменения давления в среде. В связи с
невозможностью учета перечисленных факторов предположение о
большей вероятности того или иного вида процесса будет произвольным.
Поэтому полезно оценить возможные неточности в расчете Всю
задаваясь изотермическим и адиабатическим значениями Вв.
В качестве примера определим Всм, когда рабочей жидкостью
является масло АМГ-10. Для этой жидкости среднее значение
модуля объемной упругости в диапазоне давлений от 0 до 20 МПа
равно приблизительно 1450 МПа [2]. Предположим сначала, что
объем пузырьков воздуха составляет 0,1% от объема жидкости.
При изотермическом процессе Вш = /?, а при адиабатическом
В aB—kp> где k =1,4. Соответственно для р = 20 МПа по
формуле (8.27) находим два значения Бсм:
откуда видно, что при принятом содержании воздуха, во-первых,
модуль объемной упругости смеси незначительно отличается от
модуля объемной упругости жидкости и, во-вторых, неточность
в определении Всм оказывается незначительной (около 2%) при
произвольном выборе вида термодинамического процесса для
пузырьков воздуха. -
При увеличении содержания воздуха до 1 % от объема жидкости
значения Всм получаются следующими:
В этом случае возможная неточность в расчете модуля объемной
упругости смеси достигает 14%. Приведенные значения ВПтСН и
Васм указывают также на значительное уменьшение модуля
объемной упругости рабочей среды при большом содержании воздуха.
184

Глава IX
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ
РАБОЧИХ СРЕД
§ 9.1. ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ГИДРО-
И ПНЕВМОСИСТЕМ
Действие гидро- и пневмосистем всегда связано с движением
жидкости или газа по трубопроводам, по каналам с местными
сопротивлениями, через окна и щели регулирующих устройств. Кроме
основных потоков рабочей среды, необходимых для выполнения
системой запланированных операций, возникают также
дополнительные течения по зазорам между деталями механизмов и машин.
Составляя математическую модель гидро- и пневмосистемы,
приходится рассматривать различные гидромеханические явления,
которыми сопровождаются как основные, так и дополнительные
течения. К ним относятся диссипация механической энергии потоками
рабочих сред, возникновение колебаний давлений и расходов из-за
сжимаемости рабочих сред, воздействия со стороны потоков рабочих
сред на детали регулирующих устройств и др.
Математическое описание гидромеханических процессов
основано на известных из механики жидкости и газа общих уравнениях
движения сплошной среды с использованием экспериментальных
значений коэффициентов гидравлических сопротивлений,
коэффициентов расходов и коэффициентов гидродинамических сил.
Приложение общих уравнений и зависимостей гидромеханики к задачам
динамики гидро- и пневмосистем имеет свои особенности,
обусловленные принципом действия, конструкцией и режимами работы
гидравлических и пневматических устройств. Характерными для
гидро- и пневмосистем управления являются динамические
процессы, при которых движение рабочих сред будет
неустановившимся, т. е. в любой точке живого сечения потока давление,
скорость и плотность среды зависят от времени.
Решение прикладных задач, связанных с рассмотрением
неустановившегося неодномерного движения сплошных сред, обычно
встречает практически непреодолимые трудности. Из-за этого в
приложениях широко используются одномерные модели
неустановившихся потоков. В таких моделях состояние потока рабочей среды
характеризуется осредненными по сечению значениями давления,
скорости и плотности. При этом в уравнения вводятся полученные
в результате осреднения действительного распределения указанных
величин коэффициенты количества движения, кинетической энер-
185

гии, гидравлического сопротивления. Недостаточная изученность
неустановившихся потоков вынуждала до последнего времени
принимать квазистационарные значения перечисленных
коэффициентов, которые могут быть определены при замене реального
неустановившегося потока сменяющейся во времени последовательностью
установившихся потоков. Квазистационарные значения
коэффициентов находятся по экспериментальным зависимостям и
формулам гидравлики. Однако теоретические и экспериментальные
исследования показывают, что при неустановившемся движении
реальной среды изменяются законы распределения местных скоростей по
сечениям, и поэтому, вообще говоря, мгновенные коэффициенты
осреднения гидродинамических величин должны отличаться от
своих квазистационарных значений [26, 35, 51].
Различие в структурах установившегося и неустановившегося
потоков реальных сред зависит от ряда факторов. При ламинарном
неустановившемся движении среды изменение распределения
местных скоростей по сечению потока обнаруживается при более низких
частотах колебания расхода, чем при турбулентном движении.
Нестационарность распределения местных скоростей зависит от закона
изменения расхода среды во времени, что затрудняет определение
обобщенных коэффициентов осреднения гидродинамических
величин.
Последним отчасти объясняется широкое использование в
расчетах квазистационарных значений этих коэффициентов. Кроме
того, в целом ряде случаев процессы, рассчитанные по уравнениям
с квазистационарными коэффициентами, хорошо подтверждаются
экспериментальными исследованиями систем. Однако при
недостаточном совпадении результатов расчета и эксперимента, естественно,
возникает сомнение в справедливости применения
квазистационарных значений коэффициентов.
Таким образом, одна из начальных задач динамики гидро- и
пневмосистем состоит в определении границ использования
квазистационарных значений коэффициентов в уравнениях движения
реальных рабочих сред. После получения таких границ, когда это
необходимо, должны быть определены действительные значения
коэффициентов. Указанная задача пока не имеет общего решения
из-за недостаточности экспериментальных данных по
характеристикам неустановившихся движений реальных сред и из-за сложности
математического описания этих движений. При неустановившемся
движении жидкостей и газов в трубах с помощью ряда допущений
удается в достаточном для технических приложений виде получить
расчетные зависимости, раскрывающие основные особенности
неустановившихся потоков, и найти коррективы к
квазистационарным значениям коэффициентов уравнений. Изучение этих
особенностей помогает правильному пониманию происходящих в
системах неустановившихся гидродинамических процессов, в связи
с чем в некольких следующих параграфах они рассмотрены
более подробно.
186

§ 9.2. ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО
НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ РАБОЧИХ СРЕД
При движении жидкостей или газов различают два основных
течения: ламинарное и турбулентное. Переход от одного вида течения
к другому происходит вследствие потери потоком устойчивости.
В теории устойчивости движения вязких сред (гидродинамической
устойчивости) из-за значительной математической сложности пока
рассмотрены отдельные частные случаи течений, причем вопросы
о причинах нарушения устойчивости движения в трубах еще требуют
своего решения [35]. В настоящее время даже при установившемся
движении среды основную роль в определении условий устойчиво:
сти ламинарных потоков играет эксперимент.
По исследованиям устойчивости неустановившегося движения
сплошных сред в трубах известно немного работ. Краткий обзор
большинства этих работ приводит Т. Сарпкая перед описанием
своих экспериментов по исследованию в трубе устойчивости
ламинарного пульсирующего потока, не меняющего направления
течения [64]. Этот обзор должен быть дополнен работой С. И. Сергеева,
в которой даны результаты визуального наблюдения за
периодическими колебаниями столба воды в стеклянных трубках [67]. Оба
автора отмечают увеличение критического числа Рейнольдса, при
котором нарушается устойчивость неустановившегося потока по
сравнению с известным из гидравлики критическим числом
Рейнольдса для установившегося ламинарного движения. При этом
результаты экспериментов Т. Сарпкая подтверждаются
экспериментами Д. Гилбреча и Г. Комбза и не согласуются с
экспериментами Г. Дарлинга, который при периодически изменяющемся расходе
жидкости получил критическое число Рейнольдса, равное 1500.
Т. Сарпкая выделяет два фактора, различно влияющие на
устойчивость неустановившегося движения жидкости. Один из этих
факторов способствует нарушению устойчивости потока и
непосредственно связан с возникновением точек перегиба на профилях местных
скоростей при колебании расхода жидкости. Другой фактор
заключается в стабилизирующем действии на поток ускорения жидкости.
Отношение времени существования точек перегиба на профилях
местных скоростей к остальной части периода колебания расхода
принимается за показатель, характеризующий возможность
нарастания или затухания случайных возмущений, возникающих в
потоке. Этот показатель зависит от отношения амплитуды колебания
расхода к среднему за период колебания расходу и от частоты
колебания расхода жидкости в трубе.
Нарушение устойчивости движения жидкости определялось по
росту искусственно вызванных в потоке турбулентных пробок. По
осциллограммам с записью давления при затухающих и
развивающихся турбулентных пробках Т. Сарпкая получил границы
устойчивости ламинарного потока при гармоническом изменении расхода
жидкости в трубе. Эти границы показаны на рис. 9.1, причем по
187

оси абсцисс отложено число Рейнольдса Rem, вычисляемое по амп-
плитуде колебания средней по сечению трубы скорости ау жидко-
^ сти, а по оси ординат от-
/te=-^- ложено число Рейнольдса,
соответствующее осреднен-
ной за период колебания
средней по сечению
скорости v0. Параметр Qc
характеризует безразмерную
частоту колебания расхода
жидкости:
5100
4600
Ы00
3600
3100
2600
1100
1600
*
¦
Неустойчивость
//
\
\
J
hi
Ж
7
ь
к
f
/
\
\
1
/
\
V
\
'5,0
Яс=4>0
О
1600 2400
avd
(9.1)
где со — угловая частота
колебания расхода
жидкости в трубе; г0 — радиус
проходного сечения трубы;
v — кинематическая
вязкость.
Дополнительные
экспериментальные
исследования, проведенные при
гармонических изменениях
расходов различных
жидкостей (глицерина,
жидкости АМГ-10, веретенного
масла, керосина) около
нулевого значения,
позволили с помощью электротер-
моанемометра обнаружить
временную турбулизацию
потока в трубе при мгновенных числах Рейнольдса, равных 20 -103,
и безразмерной частоте Qc = 40 [53].
§ 9.3. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ
НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ РАБОЧЕЙ СРЕДЫ
Движение ньютоновских жидкостей и газов описывается
уравнением Навье-Стокса [35, 66]
D)] (9.2)
где и—вектор скорости; Р — вектор объемной силы, отнесенный
к единице массы; S — тензор скоростей деформаций; Div —
дивергенция тензора.
Для получения замкнутой системы уравнений к уравнениям
Навье-Стокса необходимо присоединить уравнение неразрывности,
Рис. 9.1. Границы устойчивости ламинарного
неустановившегося движения жидкости в
трубе
188

уравнение состояния среды, уравнение баланса тепла и уравнение,
характеризующее изменение вязкости и теплопроводности среды.
При сжимаемой среде уравнение неразрывности имеет вид
dp/dt + dw(f>u) = O. (9.3)
Уравнением состояния среды устанавливается связь между
давлением, плотностью и температурой Т° в данной точке потока:
Если рабочей средой является газ, который можно считать
совершенным, то зависимость (9.4) приводит к уравнению (8.6).
Для жидкостей связь между изменением плотности и давлением
определяется обычно с помощью модуля объемной упругости,
причем влияние температуры учитывается в самом модуле упругости.
При малом процентном содержании нерастворенного газа в жидкости
применяются такие же зависимости, как для жидкости, не
содержащей газа, но значение модуля объемной упругости корректируется
описанным в § 8.4 способом. Эти зависимости могут быть
использованы вместо уравнения состояния и для газа, когда принимается
допущение об изотермическом или адиабатном характере
термодинамического процесса. В рассмотренных случаях необходимое
уравнение получается из соотношения (8.11) после исключения скорости
звука в среде:
dp/dp = 91 В. (9.5)
Уравнение баланса тепла может быть взято в виде [35]
9cv У?- = 2^а - р div и - (| ц - [iv) (div. aJ + div {К grad Г), (9.6)
где kT — коэффициент теплопроводности среды, который
принимается пропорциональным (Jt, причем число Прандтля
Pr = |iCp/*T (9.7)
является постоянным.
Входящие в уравнения (9.2) и (9.6) динамическая вязкость \х и
объемная вязкость \iVy как указывалось в гл. VIII, изменяются в
зависимости от температуры и от давления. Данные о значениях \ху
крайне ограничены, но можно предполагать, что они изменяются
аналогично значениям |л, т. е. если
Ц=Ф(Р, Г). (9-8)
то
Т°). (9.9)
Зависимости (9.8) и (9.9) с учетом зависимости (9.4) или
заменяющих ее уравнений (8.6) и (9.5) делают систему уравнений (9.2),
(9.3) и (9.6) замкнутой, но настолько сложной, что она не
решается в общем виде. Дополнительные допущения позволяют упро-
189

стить эту систему уравнений и в ряде случаев получить решения,
подтверждаемые экспериментами.
Перечисленные уравнения существенно упрощаются, когда
рассматривается движение среды в предположении малых отклонений
переменных от своих установившихся значений, так как при этом
появляется возможность линеаризации нелинейных функций. Кроме
того, могут быть приняты и другие допущения, которые в каждом
конкретном случае должны быть оправданы характером
исследуемого неустановившегося процесса в гидро- или в пневмосистеме.
К таким допущениям, например, относятся предположения об
осесимметричном течении сред в трубах и о малой длине
начального участка по сравнению с общей длиной трубы. Ниже мы более
подробно рассмотрим случаи ламинарного и турбулентного
неустановившихся течений в трубах с целью получения математической
модели, удобной для расчета и исследования динамических режимов,
возникающих в гидро- и пневмосистемах.
§ 9.4. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ
ДВИЖЕНИЯ РАБОЧЕЙ СРЕДЫ В ТРУБЕ
При составлении уравнений неустановившегося движения рабочей
среды в длинной цилиндрической круглой трубе будем считать
поток осесимметричным с достаточно малыми изменениями
температуры и давления для того, чтобы вязкость среды могла
приниматься постоянной. Условимся также, что объемная вязкость среды
при исследуемых процессах может не учитываться. При сделанных
предположениях уравнения Навье-Стокса (9.2) в цилиндрических
координатах, у которых ось х направлена по оси трубы, а
координата г определяется по радиусу поперечного сечения трубы,
приводится к двум уравнениям
дих , дих , дих
" p Й*+ Ч дх\ + дг* ^T dr + 3 di
где их и ur — проекции скорости и соответственно на оси л; и г.
Третье уравнение Навье-Стокса, содержащее угловые
координаты, в данном случае исключается благодаря предположению об
осесимметричном течении.
Уравнение неразрывности (9.3) в цилиндрических координатах
имеет вид
до . диг . иг . дих . до . до п /п 1 i \
? + P«F + Pt + P1F + "'37 + m-S==0- <9Л1)
190

Так как вязкость среды принимается постоянной, то из
уравнений, приведенных в § 9.3, достаточно использовать уравнение (9.5),
считая значение В постоянным и равным локальному
адиабатическому модулю объемной упругости.
Систему уравнений (9.10) — (9.11) можно упростить, если
пренебречь членами, порядок которых значительно ниже порядка
удерживаемых в* уравнениях членов [42]. Условимся, что длина трубы /
будет линейным масштабом, средняя по сечению скорость v среды —
масштабом скорости, а скорость протекания процессов
определяется скоростью с0 звука в среде. Тогда
дих о ?^ дих о vc0
где символ 0 использован для обозначения порядка
рассматриваемых величин.
Для процессов, при которых изменения давлений и скоростей
движения среды происходят со скоростью, близкой к скорости
звука с0 в среде, имеем
их. дих/дх о v_
dux/dt ** с0 '
откуда следует, что при v <Jc0 B уравнении (9.10) член их'дих/дх,
а также член иг -дих/дг можно считать малыми по сравнению с
членом dujdt. Например, это условие выполняется, если при скорости
звука в среде, равной 1000 м/с, наибольшее возможное отклонение
средней по сечению скорости движения среды от установившегося
значения составит 10 м/с.
При г II =k члены, учитывающие в уравнении (9.10) действие
вязкости среды, имеют следующие порядки:
4 д2их о 4 v e
У дх2 ** У У'
д2их о v л 1 дих о у
Эти уравнения показывают, что при k <^ 1 член у-§^п будет
пренебрежимо малой величиной по сравнению с членами ~^-^- и
г дг'
Обычно их^>иг и уравнение (9.10') можно исключить из
рассматриваемой системы, принимая соответственно равными давления
во всех точках сечения трубы. При этом вследствие взаимной
связанности по уравнению (9.5) плотности и давления одновременно
исключается из уравнения (9.11) член иг-др/дг. Кроме того, в тех
случаях, когда скорость движения среды значительно меньше
скорости звука в среде, допустимо также исключить член их-др1дх
как пренебрежимо малый по сравнению с другими членами
уравнения (9.11).
191

При перечисленных допущениях неустановившееся движение
вязкой сжимаемой среды в трубах описывается системой, состоящей
из следующих двух уравнений:
дих
dt ~ р дх ~ L дг* ~ г дг ~ 3 дх \ dr ~
(9.13)
и уравнения (9.5), причем в дальнейшем в коэффициентах
уравнений плотность среды принимается постоянной, равной р0.
Умножим все члены уравнений (9.12) и (9.13) на 2nrdr и затем
проинтегрируем их по г в пределах от г = 0 до г = г0, где г0 —
радиус сечения трубы. В результате получим
Го Го
^г \ 2nrux dr = -а- \ 2nrp dr +
ot j Po ox j
о о
Го г0
~ ^ 2nrp dr + po ^ 2л/- (^ + ^) dr + po -^ 2nrux dr = 0. (9.15)
Найдем каждый из интегралов в уравнениях (9.14) и (9.15).
Интеграл в левой части уравнения (9.14) равен расходу Q среды,
протекающей в рассматриваемый момент времени через данное
сечение трубы:
Го
\ 2nruxdr=:Q. (9.16)
о
t Вследствие принятого выше допущения о независимости
давления от координаты г первый интеграл в правой части уравнения
(9.14) дает произведение мгновенного значения давления на
площадь проходного сечения трубы:
Го
\ 2nrpdr = nr20p. (9.17)
6
Второй интеграл в правой части уравнения (9.14), принимая во
внимание, что при г = 0 (dux/dr)r-0 = 0, определим следующим
образом:
Производную от скорости их по а* при г = г0 можно связать с
нестационарным касательным напряжением на стенке трубы тон,
192

используя закон вязкого трения Ньютона:
Тон = — Pov (dujdr)r e Го. (9.19)
Тогда интеграл (9.18) приводится к виду
Наконец, рассмотрим третий интеграл правой части уравнения
(9.14), предварительно записав его в виде
Го
(9.21)
Проведя интегрирование по частям в последнем члене правой
части выражения (9.21), получим
Го Г0 Го Г0
2п \ urdr = 2nurr — 2я \ г -—¦ dr = 2пгоиГо — 2я \ r~dry (9.22)
} о1 6* дГ oJ дГ
где иГо — проекция скорости при г = г0.
С учетом выражения (9.22) интеграл (9.21) принимает
следующее значение:
Го
(9.23)
Если труба абсолютно жесткая, то значение иГо будет равно
нулю. При наличии деформации стенок трубы иГо определяется
скоростью деформации стенок трубы:
uro = dr0fdt. (9.24)
Приращение dr0 выразим через приращение напряжения do
в стенке трубы;
(9.25)
где Ест — модуль упругости материала стенки.
Так как а = рго/б, то
Вторым членом в правой части выражения (9.26) можно
пренебречь по сравнению с первым членом. Тогда из формул (9.24),
(9.25) и (9.26) находим, что
г\ dp
7 Попов Д. Н. 193

и соответственно получаем следующее значение интеграла (9.23):
Используя интегралы (9.16), (9.17), (9.20) и (9.27), уравнение
(9.14) после деления всех его членов на nrl приведем к виду
_ 1 (Q9R\
dt "~ ро дх рол, ^ Зб?ст dxdt' ^'ZE>
где v = Q/nrl — средняя по сечению трубы скорость среды в
рассматриваемый момент времени.
Для выяснения влияния последнего члена правой части
уравнения (9.28) запишем его в виде
ffo 1 д ( 2p0vr0dp\ 2т0н ,q 9
dt ~ Ро^^ Зб?ст dt) рого- ^У'
При принятом выше масштабе времени, определяемом как —,
второй член, содержащийся в скобках в уравнении (9.29), будет
пренебрежимо малой величиной, если
Это условие почти всегда выполняется, и, следовательно, в
уравнении (9.28) можно опустить последний член. В результате
приближенное уравнение движения вязкой среды в трубе примет вид
-1
dt
При этом уравнение неразрывности (9.15) с учетом формул (9.16)
и (9.27) после деления на лг20 приводится к виду
Исключив из уравнения (9.31) с помощью уравнения (9.5)
производную dp/dt, получим
Уравнение (9.32) можно также записать в виде
дР - В dv (Q W)
~dt~~~Dwdx~> W'66)
где Втр — приведенный модуль упругости трубы;
lШ) или -L^-l + J,-; ?;T^6?GT/2/-0. (9.34)
Таким образом, неустановившееся ламинарное движение
сжимаемой среды в упругой цилиндрической трубе круглого сечения
194

описывается уравнениями (9.30) и (9.33). Эти уравнения применимы
и в случае неустановившегося турбулентного движения среды,
если все неизвестные величины считать осредненными по Рейнольдсу,
что будет допустимым, когда характерное время исследуемого
процесса значительно превышает временной масштаб турбулентных
пульсаций.
В уравнение (9.30) кроме р и v входит нестационарное
касательное напряжение на стенке тОн трубы. Для получения замкнутой
системы уравнений необходимо связать тОн с v или с р. При
установившемся движении среды dv/dt = 0, и поэтому касательное
напряжение на стенке трубы в установившемся потоке тОу полностью
определяется перепадом давления на данном участке трубы. Величину
тО? можно вычислить по известному из гидравлики соотношению
Ь Pofy
т0у — 4 2 '
где К— коэффициент сопротивления трения трубы при
установившемся движении среды; vy — средняя по сечению скорость в
установившемся потоке.
Квазистационарное значение касательного напряжения на стен-
ке то. кс в неустановившемся потоке принимается равным тОу, когда
мгновенная средняя по сечению скорость v равна иу, т. е.
хо.кс— 4 2 *
где Хкс — квазистационарный коэффициент сопротивления трубы,
равный Я при v = vr
При ламинарном потоке, для которого К = 64/Re,
^. (9.36)
Соотношение (9.36) можно получить также по уравнению (9.19),
принимая параболическим закон распределения местных скоростей
по сечению трубы [76]. Следовательно, величина тОн в уравнении
(9.30) может быть заменена квазистационарным значением т0 кс
только при условии, что действительное распределение местных
скоростей по сечению потока мало отличается от квазистационарного.
Однако указанное ограничение часто упускается из виду, и
уравнения (9.30) и (9.33) без достаточного для этого основания решаются
при тОн = т0 кс. В реальном же неустановившемся потоке закон
распределения местных скоростей может существенно отличаться
от квазистационарного. Например, при пульсирующем ламинарном
движении среды в круглой трубе изменение местных скоростей в
пристенных слоях опережает во времени изменение местных
скоростей в .центральных слоях.
Аналогичное явление возникает в проводнике при переменном
электрическом токе. С увеличением частоты плотность тока
возрастает у поверхности и уменьшается в середине проводника. В эле-
7* 195

ктротехнике это явление называется поверхностным' эффектом или
скин-эффектом.
Из-за изменения закона распределения местных скоростей по
сечению трубы значения тОн в действительности отличаются от
то. кс- Так как величина тОн изменяется во времени, то связь ее со
средней по сечению скоростью v среды следует искать в виде
дифференциального уравнения или в виде динамических
характеристик, принятых в теории автоматического регулирования. При
линейной модели неустановившегося потока наиболее полное
представление о зависимости тон от v можно получить с помощью
передаточной функции [54].
§ 9.5. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ КАСАТЕЛЬНОГО
НАПРЯЖЕНИЯ НА СТЕНКЕ ТРУБЫ ПРИ НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ
ЛАМИНАРНОМ ДВИЖЕНИИ СРЕДЫ
Из вывода уравнения (9.30) следует, что в правой части
уравнения (9.12) можно не учитывать последний член и записывать это
уравнение в виде
К такому же уравнению приводится исходное уравнение Навье-
Стокса (9.2), если рассматривать неустановившееся ламинарное
движение несжимаемой среды (р0 = р = const) с постоянной
вязкостью в круглой трубе за пределами начального участка.
Следовательно, при принятых выше допущениях уравнения движения
сжимаемой и несжимаемой сред получаются одинаковыми, но
сохраняется различие в уравнениях неразрывности течения, так как для
несжимаемой среды div (ри) = 0.
Для определения зависимости касательного напряжения на
стенке трубы в неустановившемся потоке от средней по сечению
скорости могут быть использованы только уравнения движения
(9.30) и (9.37), поэтому такая зависимость будет справедливой как
для несжимаемой, так и для сжимаемой сред.
Если величины их, р и v рассматривать как отклонения от
значений, соответствующих установившемуся потоку, то при нулевых
начальных условиях уравнение (9.37) в изображениях по Лапласу
записывается в форме
d*ux(s) . 1 dux(s) s Г t Г. 1 <~ .
dr2 ~ r dr v
(9*38)
где s — переменная в преобразовании Лапласа; их (s) —
изображение по Лапласу местной скорости их, &х (s) — изображение по
Лапласу др/дх компоненты вектора градиента давления, которая
при рассмотрении одномерной модели потока для краткости на-,
звана градиентом давления.
196

При
±-&x(s) (9.39)
уравнение (9.38) приводится к выражению
dr* + г dr vv-"'
которое имеет одно решение, конечное при г =0:
я|) = СУ0(у>/^), (9.40)
где Jo — функция Бесселя первого рода, нулевого порядка; С —
постоянная интегрирования.
Подстановка решения (9.40) в уравнение (9.39) дает изображение
по Лапласу местной скорости:
ux(s) = CJ0(jrVlfi) - ±frx (s), (9.41)
а так как скорость на стенке трубы вследствие прилипания среды
равна нулю, то при г =г0
[М*)]г-г. = 0,
и поэтому
CJo{jroVlfi)-±ffix(s) = O9
откуда
frx (s) = pCsJ0 (/г0 Уф). (9.42)
После подстановки полученного значения 8*х (s) решение (9.41)
принимает вид
их (s)=с [Jo (jr Уф) - Jo 0>o У1Ы (9- 43)
Умножив решение (9.43) на 2nrdr, найдем
2nrux (s) dr = C [2nrJ0 (jr Уф) dr - 2nrJ0 (jr0 Уф) dr\ (9.44)
Проинтегрируем зависимость (9.44) по г в пределах от 0 до г0.
Для ее левой части найдем
где Q (s) — изображение по Лапласу объемного расхода среды.
Интегрирование правой части зависимости (9.44) выполним
раздельно для первого и второго членов.
При этом с помощью новой переменной г — \гУф интеграл
от первого члена сначала приведем к табличному, а затем найдем
197

его обычным путем [31]:
где Jx — функция Бесселя первого рода, первого порядка.
Интеграл от второго члена вычисляется непосредственно:
Го
\ 2nr0J0 (/г0 Vs/v) dr = nrlJ0 (jr0 Уф).
0
Общий результат интегрирования зависимости (9.44) будет
Q(s) = C [^ h (/г0 Уф) - nrlJQ '(/го
Разделив эту зависимость на пг\, получим
Л (Уо УФ) - Jo (fro ys/Щ. (9.45)
Для определения величины С воспользуемся преобразованным
по Лапласу при нулевых начальных условиях уравнением (9.30):
' sv (s) = -1 ^ (s) --J- тОн (s), - (9.46)
где тОн (s) — изображение по Лапласу касательного напряжения
на стенке трубы.
Подставив в уравнение (9.46) значение SPX (s), согласно
зависимости (9.42) найдем
0>o Wv)'
При этом значении С зависимость (9.45) приводится к виду
[/г0 Ks/v Уо(/г0 Уф)- 2У!(/г01/s/v)]тОн (s) = pros [Jx(/г0Ks/v)] у (s)
или, после применения рекуррентных формул для функций Бесселя,
к виду
/ УФ [Л О'Го V^)] Тон (s) = - ps [/i 0>о УФ)] v (s), (9.47)
где J2 — функция Бесселя первого рода, второго порядка.
Определяя передаточную функцию Wxv (s) для касательного
напряжения на стенке как
Wxv(s) = TOa(s)/v(s), (9.48)
198

из уравнения (9.47) получаем
Передаточная функция (9.49) в наиболее общей форме
характеризует касательное напряжение на стенке трубы при
неустановившемся движении среды, так как эта функция не зависит от законов
изменения во времени градиента давления вдоль оси трубы или
средней по сечению скорости среды.
§ 9.6. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ НА СТЕНКЕ
И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТНЫХ СКОРОСТЕЙ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА В ТРУБЕ
Передаточная функция (9.49) позволяет определить зависимость
касательного напряжения на стенке трубы от времени при заданном
законе изменения средней по сечению трубы скорости а. Для
выяснения различия между действительным касательным напряжением
на стенке трубы при неустановившемся потоке и его квазистационар^
ным значением примем, что v изменяется по гармоническому закону.
При этом с целью обобщения получаемых результатов будем
рассматривать безразмерную скорость
v = t;ro/8v (9.50)
и соответственно закон ее изменения запишем в виде
v (t) = a- sin со/, (9.51)
где а- — амплитуда безразмерной средней по сечению трубы
скорости жидкости.
Вследствие линейности уравнений, использованных прет
нахождении касательного напряжения на стенке трубы,
установившиеся крлебания его значения будут также гармоническими, но
в общем случае сдвинутыми по фазе по отношению к закону (9.51).
Введя безразмерное касательное напряжение
ToH = V5/32pv2, (9.52)
имеем
?он = a*sin Н + ^т)» (9-53)
где а- — амплитуда безразмерного касательного напряжения на
стенке трубы; ф- — сдвиг по фазе между величинами v и тОн-
Используя соотношение
sin (со/ + ф-) = sin со/ cos ср- + cos <ot sin ф-,
закон (9.51) и то, что
dv/dt = п-(о cos со/,
199

приведем уравнение (9.53) к виду
То„ - (± cos „,-)«, + (A- sin фЛ *. (9.54)
Если ввести безразмерную частоту
(9.55)
и безразмерное время
t = 8vt/rl (9.56)
то уравнение (9.54) можно записать полностью в безразмерной
форме:
?он = (^- cos ФЛ v + (-L- sin ф-^ * (9.57)
Величины {ct~la^ cos ф- и (а^/а-) sin фт являются
соответственно вещественной и мнимой частями амплитудно-фазовой
частотной характеристики (АФЧХ) (rojv) (/со), для нахождения которой
передаточную функцию (9.49) сначала умножим на ro/Apv с тем,
чтобы получить отношение изображений безразмерного
касательного напряжения тОн (s) на стенке трубы и безразмерной средней
по сечению скорости v (s). Затем в эту передаточную функцию
подставим s = /со и заменим по формуле (9.55) частоту со ее
безразмерным значением. После таких преобразований найдем
W-x ъ (/а) = С/ VT Ji (V VDl*h (С/ VII (9.58)
где W-- (/со) — АФЧХ для безразмерного касательного
напряжения на стенке трубы;
? = 21/ш. (9.59)
Если вместо функций Бесселя использовать функции Томсона,
учитывая, что [31]
то амплитудно-фазовая частотная характеристика (9.58) примет
вид
W- -
- - (/со)
x v W - 4 (ber2 l+j bei2 Q •
где berb ber2, bei! и bei2 — функции Томсона, которые при
заданном значении ? могут быть вычислены по специальным таблицам
[41].
200

Выделив вещественную и мнимую части АФЧХ (9.60), получим
eri ? (beia ? — ber2 Q — beix ? (bei2 ? + ber2 ?)] ш
2
[Ьегх С (bei2 ? + ber2 ?) + belt ? (bei2 ? - ber2
Несмотря на то, что функции Томсона затабулированы, расчеты
по формулам (9.61) и (9.62) приводят к достаточно громоздким
вычислениям. Эти расчеты можно упростить, если в предположении
больших значений © разложить функции Бесселя, содержащиеся
в АФЧХ (9.58), в асимптотические ряды, применив формулу [31]
-¦¦¦}¦
Учитывая, что в данном случае * = ? У] , и удерживая в
рассматриваемом ряду только три первых члена с округлением
коэффициентов при х и —доближайших четных значений, можно найти
приближенное выражение АФЧХ (9.58), для которой
f (9-63)
[](|) (9.64)
где
-0D5-2/* +1) ,
4со —]/ со
1. (9.66)
/4со— у со
При вещественной и мнимой частях АФЧХ W-- (/©),
определяемых формулами (9.63) и. (9.64), уравнение (9.57) принимает вид
- (9-67>
Вещественные и мнимые части АФЧХ W~-v (/со), вычисленные по
формулам (9.63) — (9.66) при со = 1, отличаются не более чем на
5% от своих точных значений. При со > 2 это отличие приближается
к нулю. Таким образом, «большими» в данном случае можно счи-
201

тать безразмерные частоты, начиная с со = 1, и соответственно
применять уравнение (9.67).
Для сравнения нестационарных и квазистационарных
касательных напряжений на стенке трубы найдем по формулам (9.36), (9.50)
и (9.52) зависимость для безразмерного значения т0 кс в виде
тОкс = у. . (9.68)
Разделив уравнение (9.67) на уравнение (9.68), получим
-^- = т + (г-1К> <9-69)
Т^окс «1 \«1 /
где
н v dt 8vv dt V ;
Параметр /Сн показывает, насколько в рассматриваемый момент
времени инерционный перепад давления на участке трубы,
вычисленный в предположении равномерного распределения скоростей
по сечению, превосходит потери давления, определяемые для того
же участка по квазистационарному коэффициенту сопротивления
трения. Таким образом, параметр /Сн характеризует в указанном
здесь смысле проявление нестационарности потока в каждый
момент времени, а введенная выше безразмерная частота со
характеризует весь процесс неустановившегося движения среды в трубе при
гармоническом законе изменения расхода.
Отношение тОн/тОкс характеризует изменение нестационарного
касательного напряжения на стенке трубы по сравнению с
квазистационарным значением. Если касательное напряжение на стенке
трубы связать посредством коэффициента поверхностного трения cf
с квадратом средней по сечению скорости, используя формулу
то можно найти
W^Okc = CfJCfKc, (9.71)
где CfB — коэффициент поверхностного трения при
неустановившемся движении среды; CfKZ — квазистщцюнарный коэффициент
поверхностного трения.
Графики на рис. 9.2, построенные по уравнению (9.69),
показывают, что при /Сн = 0 отношение (9.71) близко к единице, пока
co^l. Для со >> 1 даже при /Сн = 0 отношение (9.71) становится
больше единицы и возрастает с увеличением со. Это говорит о том,
что касательные напряжения на стенке трубы при
неустановившемся движении среды могут превосходить свои квазистационарные
значения даже в те моменты времени, когда dvldt = 0. Отношение
(9.71) увеличивается также с увеличением параметра /Сн, что
объясняется изменением касательного напряжения тОн с опережением по
фазе по сравнению с изменением v.
202

Сдвиг фаз колебаний fОн и v и отношение амплитуд этих величин
в зависимости от безразмерной частоты © можно найти с помощью
получаемой из уравнения (9.67) АФЧХ:
- lW (9.72)
Из АФЧХ (9.72) обычным путем определяем амплитудную и
фазовую частотные характеристики для касательного напряжения
на стенке трубы:
(9.73)
(9.74)
Амплитудная (9.73) и фазовая (9.74) частотные характеристики
даны на рис. 9.3.
W
8
bs
4
3
г
10
1
4
3
2
-Кн=100-
0**-**
*****
?
0***
cfH
rH
CfH.
Cf-кс
000*
00**
-^
•*—
«¦«
00*
Ha
I?1
= ===:
Cf,cU
000*-
^*>
KanpuKH-0
0*
0*
I 3 4 5 6 78910* 2 3 4 S 6 78910* 2 3 4- S678Q
Рис. 9.2. Изменение с/н/с/.кс в зависимости от со и /Сн
Рассмотренные особенности в изменениях касательного
напряжения на стенке трубы при гармоническом колебании потока вызваны,
как отмечалось выше, нарушением параболического закона
распределения местных скоростей по сечению трубы. Расчеты и
эксперименты показывают, что в пристенном слое скорости изменяются
синфазно с изменением градиента давления вдоль трубы, а в
центральной части потока они отстают по фазе от градиента [35, 53].
Для примера на рис. 9.4 приведены графики распределения местных
скоростей при нескольких фиксированных моментах времени. Расчет
был выполнен для трубы с внутренним диаметром 40 мм, в которой
203

Аи
7
6
5
4
3
г
1
*0^
10**
10*
***"
у'
::==—
У
/
/
3 4- 5 6 18910
Z0
10
60°
to0
40°
30°
20е
Рис. 9.3. Амплитудная и фазовая частотные характеристики
для касательного напряжения на стенке трубы
"X
J
SO
25(
0
Ut=171°12f
г—™i
?
1
J31°12\
¦>
J
uUH1°12f
к
к—
И
\
(
/
i
V
м
1
1
J^
—-^
? '
t '
1
с
;> с
*
2
L
<
1°12'
>
> с
V
V
Л
\\
\\
\\\\
\
\
\1
\с
л
\\
\
о
\
\
J
0,5 1r 0 0,5 1Т
Рис. 9.4. Распределение скоростей по сечению трубы йх = -~?, f ^= —

поршнем создаются гармонические изменения расхода жидкости
АМГ-10 около нулевого значения. На графики нанесены точки,
полученные с осциллограмм, на которых с помощью электротер-
моанемометра записывались местные скорости в различных точках
сечения трубы [53]. Из графиков видно, что максимальные
значения местные скорости имеют вблизи стенки.
§ 9.7. ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТРУБЫ
ПРИ ЛАМИНАРНОМ НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ СРЕДЫ
Изменение закона распределения местных скоростей по сечению
сопровождается изменением диссипации механической энергии
в неустановившемся потоке среды.
При гармоническом законе изменения расхода жидкости в трубе
потери механической энергии можно определить следующим
образом. Пусть колебания расхода происходят около какого-нибудь
постоянного значения, тогда
QMrH = Qo + Q; (9.75)
(Pi - Р2)мгн = (Pi ~ Р2)о + (Pi - Р2), (9.76)
где QMrH и (/?! — р2)мгн — мгновенные значения расхода жидкости и
перепада давления на участке трубы длиной /; Qo и (рг — /?2H —
средний за период колебания расход жидкости и соответствующий
ему перепад давления на том же участке трубы; Q и р1 — р2 —
отклонения от средних значений расхода и перепада давления.
Мощность, подводимая к потоку в рассматриваемый момент
времени, находится как
WMrH = QMrH (pt - р2)мгн, (9.77)
а диссипацию энергии в потоке можно определить по средней за
период Т колебания мощности Nt, равной
VMrH^. (9.78)
При колебаниях расхода с частотой со и амплитудой uq
Q = a0sinco/. (9.79)
Закон изменения рг — р2 найдем, проинтегрировав уравнение
(9.30) по х для участка трубы длиной /. В результате получим
Р1-р2 = р/§ + |т0н, (9.80)
где
v = Q/nrl (9.81)
Величину отклонения касательного напряжения на стенке
трубы тОн в уравнении (9.80) можно по уравнению (9.67) связать с v
205

и dvldt. Переходя по соотношениям (9.50), (9.52) и (9.56) к
размерным величинам, найдем
Тон = ха^, + (хрР-1)^|). (9.82)
где приняты обозначения
(9.83)
(9.84)
причем величины kx и k2 определяются по формулам (9.65) и (9.66).
Подставив значение тОн согласно уравнению (9.82) в уравнение
(9.80), получим
Pi-P2 = kp№%+K^v. (9.85)
С учетом соотношений (9.79) и (9.81) уравнение (9.85) можно
записать также в виде
ап 8pvlan
Pi —pa=sKPPp/~re>cos<o/ + Ka Q sin of. (9.86)
Возвращаясь к зависимостям (9.75) и (9.76) и исключая из них Q
и Pi — р2 с помощью формул (9.79) и (9.86), получим
arf; (9.87)
(Pi ~ Р2)мгн = (Pi ~ Р2)о + *рРр/ Д © C0S <°* + Х
Подставив эти значения QMrH и (рх — /?2) в формулу (9.77),
получим AfMrH, а затем, выполнив интегрирование согласно (9.78), будем
иметь
^^ (9.89)
Если при гармоническом законе изменения расхода по времени
сохранялся бы параболический закон распределения местных
скоростей, то перепад давления, вызванный диссипацией энергии,
определялся бы по формуле Пуазейля. В этом случае в уравнении
(9.85) величина ха должна быть принята равной единице. Однако
в действительности согласно соотношению (9.83) и графику,
изображенному на рис. 9.2 для /Сн = 0, ха имеет значения больше
единицы, когда ©> 1. Следовательно, при гармоническом изменении
расхода с безразмерными частотами больше единицы потери
механической энергии возрастают по сравнению с потерями в
квазистационарном потоке. Величина ха является коррективом,
учитывающим увеличение гидравлического сопротивления трубы из-за
нестационарности профиля местных скоростей. Применяя метод
динамических аналогий [43], величину ха можно назвать коррективом
активной составляющей полного сопротивления трубы (импеданса
206

трубы). Соответственно величина хрр, содержащаяся в
коэффициенте уравнения (9.85), будет коррективом реактивной
составляющей полного сопротивления трубы, обусловленной действием
инерции среды.
По формулам (9.65) и (9.83) находим
о)D(о— у о)
B У^-1)D©-21/^+0 "
При © > 10
' ~~ ' . (9.90)
При со > 300 корректив ка с точностью не хуже 5% можно
вычислять по формуле
хй = У®/2, (9.91)
которая для размерных величин имеет вид
иа = (г0/4) 1/ю72у. (9.92)
Корректив ирр, начиная от значения 1,33 при малых ©, с
увеличением со асимптотически приближается к единице (см. рис. 9.2).
Этот корректив вычисляется по формуле (9.84), которая при © > 10
может быть заменена приближенной
ирр = 1 +(]/"© /2©). (9.93)
Коррективы иа и хрр позволяют проводить расчет колебаний
среды в трубе с учетом нестационарности распределения местных
скоростей, используя уравнения в той же форме, как они
записываются в гидравлике в предположении квазистационарных
значений коэффициентов количества движения и сопротивления трения.
Для несжимаемой среды уравнение (9.85) можно, например,
представить в виде
§ + *.**^?вЛ-Л. (9-94)
где Хкс = 64/ReM; d0 = 2r0; ReM = vdo/v — мгновенное число Рей-
нольдса, определяемое по отклонению средней по сечению скорости
от установившегося значения.
При использовании уравнения (9.94) следует иметь в виду, что
полученные выше формулы для коррективов на и хр|5 справедливы
при гармонических колебаниях потока. Для других законов
движения рабочей среды в трубе уравнение (9.94) можно применять,
если исследуемый закон раскладывается в ряд Фурье. Тогда для
каждой гармонической составляющей закона по своему значению*
угловой частоты вычисляются по приведенным выше формулам
коррективы ха и хрC, а затем применяется уравнение (9.94) и
вычисляются составляющие рг — р2 или v. Весь процесс получается в
результате суммирования этих составляющих.
207

§ 9.8. ПРИБЛИЖЕННАЯ МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО
НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ПОТОКА В ТРУБЕ
Задача об изменении гидравлического сопротивления трубы при
неустановившемся турбулентном движении жидкости является настолько сложной, что
попытки сколько-нибудь строгого ее решения до сих пор встречают непреодолимые
трудности. Это связано в основном с неизвестностью законов, которым
подчиняется турбулентность в неустановившемся потоке. При ряде предположений
оказываются возможными только приближенные оценки изменения
гидравлического сопротивления трубы. Одно из исходных предположений состоит в том,
что характерное для исследуемого неустановившегося процесса время намного
превосходит период турбулентных пульсаций. В этом случае могут
использоваться уравнения Рейнольдса осредненного турбулентного движения жидкости.
При осесимметричном потоке с пренебрежимо малым изменением давления по
радиусу сечения трубы уравнения Рейнольдса для движения несжимаемой
жидкости, записанные в цилиндрических координатах г и xt имеют вид [35]
д(их) /»<«!») . 1 д(их)\ 1 д('<«>;»_ 1 а<р> ,„„.,
~Ш у[~д^~ + Т~дГ~) + Т—Тг 7~аГ' ( }
В данном уравнении скобками ( ) отмечены осредненные по Рейнольдсу
величины, причем вязкость жидкости предполагается постоянной.
Величину р (u'xii'r) принято называть турбулентным напряжением. Эта
величина по гипотезе Буссинеска [74] может быть выражена как
р <«Х> = -PVb^-, (9-96)
где vB — вихревая или турбулентная вязкость.
Используя соотношение (9.96), уравнение (9.95) приведем к виду
v |V ) ( v+vB\d(ux)_ \д{р)
В дальнейшем будем предполагать, что при малых отклонениях
неизвестных от своих установившихся значений изменениями вихревой вязкости vB во
времени можно пренебречь и считать ее только функцией радиуса сечения трубы.
Эта функция имеет несколько видов [80]. С точки зрения решения уравнения (9.97)
целесообразно принять трехслойную модель турбулентного потока, разделив
его на ядро, промежуточный слой и вязкий подслой [50]. В промежуточный слой
включим переходную область и область с наибольшим изменением вязкости по
радиусу сечения трубы.
В пределах вязкого подслоя вихревая вязкость пренебрежимо мала по
сравнению с кинематической вязкостью v. В переходной области вихревая
вязкость интенсивно нарастает в направлении оси трубы и уже на небольшом
расстоянии от стенки становится значительно больше кинематической вязкости. Это
расстояние определяется как [80]
а толщина б/ вязкого подслоя получается равной
, (9.98)
/
где ki = 3 -г- 5.
Величину и* в гидромеханике принято называть динамической скоростью,
поскольку она выражается через величины, непосредственно связанные с
движением жидкости.-Обычно динамическая скорость используется при определении
толщины вязкого подслоя и толщины переходной области в установившемся
осреднеином турбулентном потоке. В этом случае
(9-99)
где тоу — касательное напряжение на стенке трубы в установившемся потоке.
208

Подстановкой
соотношение (9.99) можно привести к виду
(9. 100)
где Rey -*- число Рейнольдса, вычисляемое по скорости установившегося потока.
При неустановившемся осредненном по Рейнольдсу турбулентном потоке
динамическая скорость и* будет переменной и в формуле (9.99) величина тоу
должна быть заменена на тОн. При этом будет изменяться во времени и толщина
вязкого подслоя, определяемого по формуле (9.98). Если ограничиваться малыми
отклонениями величин от их установившихся значений, то, принимая во
внимание более слабое изменение и*, чем тон, можно в первом приближении толщину
вязкого подслоя считать постоянной или линеаризовать эту зависимость.
В ядре потока вихревая вязкость незначительно изменяется по радиусу
сечения трубы и имеет существенно большие значения по сравнению с
кинематической вязкостью.
Аппроксимируя, как показано на рис. 9.5, ?^я
закон распределения вихревой
вязкости, приведенный в
работе [80], найдем для вихревой
вязкости vBa ядра потока
следующую зависимость:
Vb* = *W%> (9-101)
где &вя — коэффициент, равный
по данным Лауфера и Нуннера
0,06—0,07 [80]. При этих
значениях коэффициента &вя после
подстановки и* согласно
соотношению (9.100) имеем
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 у
Рис. 9.5. Аппроксимированный закон
распределения коэффициента вихревой вязкости
по радиусу трубы, #=1— г/г0
0 08
0j07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
7
/
/
i
1
У
>
м
1
Ядро
<
i <
1 <
о По данным /1ауд>ера
¦—-=5-105; & 0,035
• По dt
i
i j
1ННЬ
/мНуннера
-я 0,045
пах>
vBfl = @,015-ь 0,018) Reyv
(9.102)
Соответственно закон
изменения вихревой вязкости vBn
в промежуточном слое можно
принять в виде
vBn = ^v(r2 —г), (9.103)
где &v = vBH/(r2 -— /i).
Учитывая, что в переходной области, отнесенной здесь к промежуточному
слою, вихревая вязкость соизмерима с кинематической вязкостью, в дальнейшем
для промежуточного слоя будем использовать суммарный коэффициент
вязкости v2, равный
vZ==v + VBn. (9Л04)
Граница ядра потока для проведенной выше кусочно-линейной
аппроксимации закона распределения вихревой вязкости определяется значением rlt которое
можно считать постоянным: гг = 0,8 г0. Границы промежуточного слоя
образованы цилиндрическими поверхностями с радиусами г± и г2, причем г2 = г0 — 6Z.
Исключив величину б/ с помощью соотношений (9.98) и (9.100), получим
y
В случае гидравлически гладких труб, для которых по формуле Блазиуса
209

и при &/= 5 соотношение (9.105) принимает вид
— = 1— т /а * (У» 106)
'о Re?'8 '
Для рассмотренной трехслойной модели турбулентного потока уравнение
(9.97) разделяется на уравнения движения жидкости в ядре, в промежуточном
слое и в вязком подслое:
W (ux2)
д (Рз)
~дГ v~dF* Т~дГ-~"^~дГ~' (
В этих уравнениях (их1), (их2), (их^) и (рх), (р2), (Рз) являются
отклонениями местных осредненных по Рейнольдсу скоростей и давлений от своих
установившихся значений. В дальнейшем отклонения давлений во всех слоях
принимаются одинаковыми, т. е. (рх) = (р2) = (Рз) = (р)> вихревая вязкость
в ядре потока vBa определяется соотношением (9.102), а суммарный коэффициент
вязкости vs —зависимостями (9.103) и (9.104).
Граничными условиями при решении уравнений (9.107) — (9.109) служат
равенства скоростей и их производных по радиусу сечения трубы на стыке слоев,
причем на стенке
где тон — отклонение касательного напряжения на стенке трубы от
установившегося значения.
Граничное условие (9.110) увеличивает число неизвестных величин, поэтому
к системе уравнений (9.107) — (9.109) необходимо присоединить записанное для
всего потока уравнение импульсов
dv , 2тон
где
! \\ ^ (uX2) dr+
^r (uX8) dr
— отклонение средней по сечению скорости от установившегося значения.
Система уравнений (9.107) — (9.109) совместно с уравнением (9.112) позволяет
определить закон изменения касательного напряжения на стенке трубы тон =
= тон (t) и мгновенные профили местных осредненных по Рейнольдсу скоростей
при заданном законе изменения средней по сечению скорости v = v (t) или при
заданном законе изменения во времени градиента давления д(рIдх— ?РХ (t).
Для больших частот после перехода к безразмерному касательному
напряжению и к безразмерной средней по сечению скорости потока приближенная
амплитудно-фазовая частотная характеристика будет иметь вид [50 58]
(9.11,3)
К такому же виду приводится амплитудно-фазовая частотная
характеристика (9.72) при больших со, для которых со/^ = ка и kjkx = х0Р могут вычис-
210

ляться по формулам (9.91) и (9.93). Следовательно, при большой частоте
колебаний изменение касательного напряжения на стенке трубы в турбулентном потоке,
а соответственно и изменение гидравлического сопротивления трубы подчиняется
такому же закону, как при высокочастотных колебаниях ламинарного потока.
Однако частота, которая для турбулентного потока может считаться «большой»,
отличается от «большой» частоты ламинарного потока. Для турбулентного
потока частота будет большой, если
ю>(го/8б!). (9.114)
В случае гидравлически гладкой трубы условие (9.114) после подстановки 6/
из соотношения (9.106) можно привести к виду
0)>(Re?/4/2'104). (9.115)
Для ламинарного потока «большими» являются безразмерные частоты,
имеющие значения свыше 300 (см. § 9.7).
§ 9.9. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ РАБОЧИХ СРЕД
В ЩЕЛЯХ И НА УЧАСТКАХ ТРУБ С МЕСТНЫМИ
СОПРОТИВЛЕНИЯМИ
Золотниковые и плунжерные пары с зазорами между элементами
применяются достаточно широко в различных устройствах гидро-
и пневмосистем. Движение рабочих сред по таким зазорам может
быть неустановившимся по многим причинам: из-за колебаний
давления, вызванных сменой режимов работы системы, из-за
автоколебаний, возникающих в системе, из-за вынужденных колебаний,
специально создаваемых для уменьшения сил трения в подвижных
парах, и др.
Обычно вследствие малой величины зазоров течение рабочих
сред в них происходит при небольших числах Рейнольдса, поэтому
для расчетов могут быть использованы такие же уравнения
гидродинамики, как при описании ламинарных неустановившихся
потоков в трубах, но с учетом особенностей граничных условий,
зависящих от формы зазора. Расчеты упрощаются, если в уравнениях
можно члены, учитывающие инерцию рабочей среды, считать
пренебрежимо малыми по сравнению с членами, учитывающими
трение. В этом случае рассматриваются сменяющиеся во времени
установившиеся потоки.
Для определения условий, при которых будет допустимым такое
упрощение, произведем оценку порядка членов уравнения
движения рабочей среды в плоской щели. При малых зазорах характер
течения в кольцевых щелях цилиндрических плунжерных пар
получается близким к течениям в плоских щелях, поэтому
выбранный случай является достаточно общим. Рабочую среду будем
считать несжимаемой в связи с тем, что длины зазоров в реальных
устройствах оказываются значительно меньше длин волн колебаний,
распространяющихся в сжимаемых средах. Кроме того, будем
пренебрегать начальным участком, полагая его протяженность малой
по сравнению с общей длиной щели. При указанных допущениях
уравнение Навье-Стокса записывается для прямоугольных коорди-
211

нат ху у в виде
дих
причем, как и ранее, направление оси х совпадает с направлением
потока.
С целью оценки порядка членов уравнения (9.116) за масштаб
времени примем характерное для изучаемого процесса время Г,
а за масштаб координаты — величину зазора б. При этом для левой
части уравнения (9.116) получим
ду2 ^ б2 ' dt ^ Т * l
Соотношения (9.117) показывают, что первым членом в
уравнении (9.116) можно пренебречь по сравнению со вторым, если
(v/62)>(l/T). (9.118)
При гармонических колебаниях среды в щели величина \1Т
равна угловой частоте этих колебаний. Следовательно, согласно
условию (9.118) неустановившийся поток в щели допустимо
заменить сменяющейся во времени последовательностью
установившихся потоков и^ не учитывать при этом инерцию среды в тех
случаях, когда частота колебаний будет на порядок меньше
величины v/82. Например, у гидравлических элементов, работающих
на вязких жидкостях, часто встречаемые значения кинематической
вязкости v составляют не менее 0,1 см2/с, а распространенные
значения б не превышают 0,04 мм. При этих значениях v/б2 = 1000 Гц,
а возможные частоты колебаний 1/Г получаются обычно
значительно меньше A00—200 Гц).
Если значение v/б2 соизмеримо с 1/7, то неустановившееся
движение среды приходится рассматривать с учетом инерции; при
этом можно применить методику, описанную в § 9.5—9.7.
При составлении математической модели гидро- или пневмоси-
стемы приходится рассматривать неустановившиеся движения
рабочих сред не только в трубах и в щелях, но и в местных
сопротивлениях. Неустановившиеся течения в местных сопротивлениях еще
мало изучены, и поэтому сведения о нестационарных значениях
коэффициентов таких сопротивлений крайне ограничены.
Вследствие этого при расчетах используются квазистационарные
зависимости для коэффициентов местных сопротивлений, которые можно
найти в справочной литературе по гидравлике или получить в
результате «проливки» местного сопротивления при различных
установившихся расходах среды.
Определять нестационарные коэффициенты местных
сопротивлений значительно сложнее из-за трудности измерения расхода при
неустановившемся движении среды. Кроме того, во многих случаях
в этом и нет необходимости, так как динамические характеристики
гидравлических или пневматических устройств, рассчитанные по
квазистационарным коэффициентам местных сопротивлений, обычно
хорошо совпадают с экспериментальными характеристиками.
212

Глава X
* ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ГИДРАВЛИЧЕСКИХ
И ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ
§ 10.1. ПРОСТЫЕ И ОДНОРОДНЫЕ ЛИНИИ
Трубопроводы и каналы элементов гидро- и пневмосистем могут
иметь повороты, переходные участки, дроссельные и запирающие
устройства. При наличии таких местных сопротивлений трубопровод
или канал представляет собой сложную гидравлическую или
пневматическую линию. Сложную линию можно разделить на ряд
участков, соединенных друг с другом посредством местных
сопротивлений.
Такие участки с постоянным по длине проходным сечением
будем называть простыми линиями. Длина простых линий должна
быть достаточной для того, чтобы находящиеся на ее концах
местные сопротивления не имели взаимного влияния. Если потери
давления в местных сопротивлениях малы по сравнению с потерями
давления из-за сопротивления трения трубопровода, то всю линию
будем считать простой.
Простые линии с постоянной по длине толщиной стенок,
материал которых имеет одинаковый модуль упругости, назовем
однородными.
Неустановившееся движение рабочих сред в однородных
линиях круглого, сечения без учета тепловых процессов в самой
среде описывается уравнениями (9.30) и (9.33). Необходимые для
этих уравнений граничные условия определяются
характеристиками местных сопротивлений, подключенных к концам линий.
В общем случае однородные линии относятся к линиям с
распределенными параметрами.
При малом влиянии сжимаемости рабочей среды и упругости
стенок на процессы условие однородности линии не имеет значения
и она рассматривается как простая с сосредоточенными
параметрами, причем используется только уравнение (9.30). В обоих
случаях нестационарное касательное напряжение тОн на стенке
находится по передаточной функции Wxv-
С учетом тепловых процессов в рабочей среде математическая
модель однородной линии с распределенными параметрами
усложняется, так как добавляется уравнение распространения тепла
в пространстве, занятом рабочей средой. Пример такой модели
приведен в конце этой главы.
213

§ 10.2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНИИ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ ЛАМИНАРНОМ
ДВИЖЕНИИ СРЕДЫ
Переходные процессы вызываются в линии изменением давления
или расхода рабочей среды на одном из ее концов. При этом закон
изменения во времени .одной величины (давления или расхода)
является заданным, а другой характеризует переходный процесс.
Расчет переходных процессов в линии начинается с допущений,
которые позволяют с необходимой точностью и без излишних
вычислений решать систему уравнений, приведенную в § 9.3. Сначала мы
рассмотрим те случаи, когда не учитывается сжимаемость рабочей
среды, стенки предполагаются абсолютно жесткими и длина
начального участка является малой по сравнению с общей длиной
линии. При таких допущениях в случае ламинарного режима
течения переходный процесс можно найти, используя уравнение
(9.46) и передаточную функцию (9.49). Переходя по формулам (9.50)
и (9.52) к безразмерным величинам, приведем уравнение (9.46)
к виду _
() + (*) = -0*Л$), (ЮЛ)
где s = ros/8v — безразмерная переменная в преобразовании
Лапласа; ИРХ (s) — изображение по Лапласу безразмерного градиента
давления;
дх •
Передаточная функция (9.49) после подстановки безразмерных
величин вместо размерных и замены бесселевых функций Jlt J2
модифицированными функциями /х, /2 принимает вид
W = j
W^(S) *(S) 4/Л/85) • <10-2>
Подставив в уравнение A0.1) изображение безразмерного
касательного напряжения на стенке
с учетом передаточной функции A0.2), найдем
[«/, (}/W) + }/W 1г (УЩ] v E) = 4/2(У8Г)[- ?х (s)]. A0.3)
Применив рекуррентные формулы, можно функцию 1г в левой
части уравнения A0.3) выразить через функцию /0 и /2 и записать
уравнение в виде
si0(]/8Т) v (S) = /2A/8F) [— ?х (S)]. A0.4)
Предположим, что градиент давления изменяется по закону
единичного скачка. Тогда
214

и уравнение A0.4) будет иметь решение
Д(Д)- /г(ГД ¦ ¦ A0.5)
v ' s*I0 (У 8s) у '
Разложение Хевисайда позволяет это решение представить
в следующей форме, удобной для обратного преобразования:
В нашем случае
A0.7)
si0 (У 8s)
h (УЩ
,-=о'
где [s2/0(l/^8s)]'— первая производная по s; Sk — нули функции
/о (Vis)-
Для определения Со необходимо в соотношении A0.7)
разложить бесселевы функции в ряды и найти предел полученного
выражения при s -> 0; в результате получим
Со=1. A0.9)
Значение Си определим, вычислив производную
)' = 2§10(УЩ +y^h (У8Г) A0.10)
и применив рекуррентную формулу
^ _ (ШЛ1)
с учетом, что /0(^85) при s = sk равно нулю. После обычных
преобразований из формулы A0.8) имеем
С* = —1/24. A0.12)
Нули sk функции /0 (V"8s ) связаны с табличными значениями^
нулей бесселевых функций соотношением
откуда
A0.13)
Учитывая зависимости A0.9), A0.12) и A0.13), запишем
решение A0.6) в виде
215

Выполнив обратное преобразование, по решению A0.14) найдем
переходную функцию
оо
V (?) - 1 - 32 V JL е- а*'78. A0.15)
Переходная функция A0.15) определяет вызванное единичным
скачком безразмерного градиента давления изменение безразмерной
средней по сечению скорости v среды в зависимости от
безразмерного времени t. По формулам (9.50) и (9.56) от безразмерных
величин можно вернуться к размерным и затем, умножив среднюю по
сечению линии скорость на площадь этого сечения, найти
переходный процесс в виде функции расхода среды от времени. При этом
должно быть также вычислено значение скачка градиента давления,
соответствующего единичному скачку.
Удерживая в переходной функции A0.15) только два первых
члена ряда при значениях аг = 2,405 и а2 = 5,52, получаем
следующую переходную функцию:
v (/) = 1 -0,956е-°>723' -0,034е-3>81'~. A0.16)
В предположении квазистационарного распределения местных
скоростей по сечению потока можно получить две переходные
функции. Первая находится при использовании уравнения Бернулли
для неустановившегося потока [уравнение (9.94) при ка = 1,
ирр = 1,33], в котором принимается
После решения такого уравнения и перехода к безразмерным
величинам имеем
^(/)=1 -е-0'7^. A0.17)
Если решать уравнение (9.30), предварительно подставив в него
^оя = то. кс» определяемое по формуле (9.36), то получим вторую
переходную функцию
у2(/)=1--е-7. A0.18)
Графики переходных процессов приведены на рис. 10.1.
Различие в переходных функциях A0.17) и A0.18) объясняется тем, что
в исходных уравнениях принимались квазистационарные
значения коэффициентов количества движения, сопротивления трения и
касательного напряжения на стенке. На самом деле из-за
нестационарности распределения местных скоростей по сечению потока
эти величины имеют другие значения и связаны между собой иными
зависимостями, чем те, которые обычно указываются в гидравлике.
Вследствие этого появляется несоответствие между
коэффициентами уравнения Бернулли, записанного для неустановившегося
потока, и уравнения (9.30), когда в последнем, вообще говоря,
произвольно принимается тОн =
216

По переходной функции A0.17) значения безразмерной
скорости v в каждый момент времени t получаются ближе к более точной
зависимости A0.16), чем по переходной функции A0.18). Заметим,
что переходной функции г)г (t) соответствует модель потока с
параболическим профилем местных скоростей (%р|3 = 1,33), форма
которого предполагается неизменной во время процесса. В основу
модели потока, для которого вычислена переходная функция v2 (t),
0,8
0,6
ОЛ
0,1
о
-
>
/>/
~—¦—
=====
0,5 1,0 1,5 1,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 t
Рис. 10.1. Переходные процессы в линии с сосредоточенными
параметрами при ламинарном движении среды [рассчитанные
по различным переходным функциям A0.16), A0.17) и A0.18)]
положен равномерный профиль местных скоростей (хрр = 1),
причем значение касательного напряжения определяется с помощью
квазистационарного коэффициента сопротивления трения.
На большую часть переходного процесса в основном влияет
инерция рабочей среды, поэтому небольшое расхождение в
значениях v (t) и v1 (i) указывает на наличие неравномерности в
распределении местных скоростей при переходном процессе после скачка
градиента давления.
§ 10.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНИИ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ
ДВИЖЕНИИ СРЕДЫ
Рассмотрим теперь случай, когда переходный процесс,
вызванный скачком градиента давления, возникает в турбулентном потоке.
Для определения переходного процесса воспользуемся уравнением
Бернулли, записанным для неустановившегося потока [76]:
in uV . л / OVr /1 А 1 П\
р/р -77 + А —г 9~== Р1—Ръ* A0.1 У)
В данном уравнении коэффициенты количества движения р и
сопротивления трения А,, строго говоря, следует рассматривать как
нестационарные, т. е. принимать (J = рн и К = Кн. Однако числен-
217

ные значения нестационарных коэффициентов рн и Л,н при расчете
переходных процессов в турбулентном потоке не могут быть
определены из-за отсутствия необходимых зависимостей. В то же время
приведенные в работе [57] результаты исследования турбулентного
потока при переходных процессах показывают, что влияние
нестационарности коэффициентов количества движения и
гидравлического сопротивления трения будет в этом случае слабее, чем при
ламинарном движении среды. А как было выше показано, даже при
ламинарном потоке расчет по уравнению A0.19) с использованием
квазистационарных коэффициентов дает близкие к точному решению
результаты. Сравнение переходных процессов, рассчитанных при
квазистационарных значениях коэффициента количества
движения ркс и сопротивления трения А,кс, с экспериментальными
подтверждает возможность такого предположения [57]. В связи с этим
ниже примем р = ,ркс и X = XKZ.
Приведем уравнение A0.19) с помощью формул (9.50) и (9.56)
к безразмерному виду
? + 2H_e»_-Lylt - A0.20)
at 4pKC ркс
где
&1 = (ft - P2) r?/64pv2/. A0.21)
Условимся скорость v и давления ръ р2 при переходном процессе
считать измеренными от значений, соответствующих начальному
установившемуся движению среды. Кроме того, примем, что
установившееся движение является автомодельным и значение А,кс
постоянно. При скачке величины ^ от 0 до е?>/к уравнение A0.20)
можно рассматривать как частный случай уравнения Риккати,
имеющего следующее решение:
/a) th VW i, A0.22)
где
Введя безразмерную конечную скорость
с учетом значений величин а и Ъ решение A0.22) можно представить
в виде [65]
?. A0.23)
Эта зависимость показывает, что при переходном процессе
отклонение скорости v от установившегося значения приближается
к новому установившемуся значению vk по закону гиперболического
тангенса (рис. 10.2).
218

При малых отклонениях величин от установившихся значений
уравнение A0.20) может быть линеаризовано. В этом случае имеем
2Ркс
рк
A0.24)
где v0 — безразмерная скорость при установившемся движении
среды, от значения
которой измеряется отклонение ^
скорости V в переходном
процессе. _
__ Для скачка &г от 0 до
о^/к решение уравнения
получим в виде
A0.25)
Л
У/0
0,6
0,4
о,г
/
А
/
——¦
— —-
где
О 0,2 Ofi 0,6 0,8 1,0 1,1 /,4 1,6
Рис. 10.2. Переходные процессы в линии с
сосредоточенными параметрами при
турбулентном движении жидкости
Постоянная
интегрирования С с учетом того, что
v — отклонение безразмерной скорости от v0, определяется из
условия t = 0, v = 0:
После подстановки значения постоянной С решение A0.25)
принимает вид
— е
A0.26)
Сравнение переходных. функций A0.17) и A0.26) показывает,
что при малых изменениях во времени средней по сечению скорости
переходный процесс при турбулентном движении среды имеет такой
же вид, как и при ламинарном движении.
§ 10.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТОЙ ЛИНИИ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Для ламинарного движения несжимаемой среды в линии с
абсолютно жесткими стенками передаточную функцию можно найти,
умножив уравнение (9.85) на пг20 и преобразовав его по Лапласу при
нулевых начальных условиях. В результате получим
= [Pi (s) -p2 (s)]
A0.27)
219

где Q (s) = nrlv (s), px (s) — p2 (s) — изображения отклонений от
установившихся значений расхода среды и перепада давления на
линии длиной /.
Уравнению A0.27) соответствует передаточная функция
^кA0>28)
8xav
Подставив в передаточную функцию A0.28) s = /со, найдем
амплитудно-фазовую частотную характеристику или комплексную
проводимость линии:
В целях обобщения амплитудно-фазовой частотной
характеристики A0.29) введем безразмерное значение расхода
Q = Q/8nvr0 A0.30)
и согласно соотношениям (9.55) и A0.21) будем использовать
безразмерную частоту со и безразмерный градиент §Рг давления. После
обычных преобразований из амплитудно-фазовой частотной
характеристики A0.29) с учетом соотношений (9.55), A0.21) и A0.30)
получаем амплитудную и фазовую частотные характеристики
простой линии при колебаниях ламинарного потока несжимаемой
рабочей среды:
^° - ' - A0.31)
+1
О (/со) xDR(a
фпл (©) = arg =-^4 = - arctg -^—. A0.32)
Коррективы ка и хрр, входящие в формулы A0.31) и A0.32),
зависят от безразмерной частоты со. Эти коррективы при значениях
безразмерной частоты больше единицы определяются по
формулам (9.83) и (9.84) или по формулам (9.91) и (9.93). При значениях со
меньше единицы профили местных скоростей в ламинарном
неустановившемся потоке почти не искажаются, и поэтому значения
указанных коррективов можно принимать такими же, как для
квазистационарного потока, т. е. ха = 1, хр|3 = 1,33.
На рис. 10.3 показаны рассчитанные по приведенным здесь
формулам амплитудная и фазовая частотные характеристики
простой линии. На эти характеристики нанесены точки, полученные
при экспериментальных исследованиях колебаний потоков
веретенного масла и жидкости АМГ-10 в круглой трубе с внутренним
диаметром 40 мм [53].
220

С помощью амплитудной и фазовой частотных характеристик
Апл (®) и фпл (со) можно определить расход среды в любой момент
времени, если безразмерный градиент давления изменяется по
гармоническому закону с угловой частотой со:
где пр — амплитуда колебания безразмерного градиента давления.
ПЛ
1,0
0,8
0,7
0,5
ОА
0,3
о,г
0,1
10
20
30
40
50 .
60
10
80
\
\
)
V
1
а
\
©о
ы
-
&QQC
а.
о
—с
О
h
о с
П
) О
¦швв
О
Рис. 10.3. Амплитудная и фазовая частотные характеристики простой линии (без
учета сжимаемости рабочей среды и податливости стенок)
Безразмерный расход Q при этом также изменяется по
гармоническому закону^ с амплитудой aQ = Аплар и сдвигом фазы фпл по
отношению к @>,и следовательно,
Q = Аплар sin (со/ + Фпл). A0.33)
Для размерных величин зависимость A0.33) принимает вид
Q = -
A0.34)
где ар — амплитуда колебания перепада давления на^ линии
длиной /, измеренная в принятой для расчета системе единиц.
При известных значениях амплитуды aQ колебания расхода
среды аналогичным путем можно найти зависимость
8pv/an
Рх - Рг = а -Л sin И ~ Фпл),
где рг — р2 — перепад давления на линии длиной /.
A0.35)
221

В зависимости A0.34) и A0.35) входят величины Лпл и фпл,
которые вычисляются по формулам A0.31) и A0.32), причем
величина фпл подставляется со своим знаком.
Если решается задача о колебаниях турбулентного потока
несжимаемой среды при малых амплитудах расхода и перепада
давления, то амплитудно-фазовую частотную характеристику можно
определять по формуле A0.29) в тех случаях, когда по условию
(9.114) частоты колебаний являются большими. При этом
корректив Хр|3 получается близким к единице, а корректив ха вычисляется
по формуле (9.91). Для более низких частот, а также для
приближенных расчетов амплитудно-фазовая частотная характеристика
линии при малых колебаниях турбулентного потока может быть
определена по линеаризованному уравнению A0.24).
Безразмерную скорость v0 в этом уравнении удобно заменить числом Rey,
характеризующим установившееся движение среды, на которое
накладываются малые колебания потока. Принимая Rey = vod/v
и учитывая соотношение (9.50), имеем
yo = Rey/16. A0.36)
Квазистационарный коэффициент количества движения (Зкс для
турбулентного потока обычно можно считать равным единице.
Поэтому ,_используя соотношение A0.36) и принимая во внимание,
что v = Q, после обычных преобразований уравнения A0.24)
получаем
WQP
При вычислении амплитудно-фазовой частотной характеристики
A0.37) квазистационарный коэффициент сопротивления трения
Якс определяется по числу Rey.
Если колебания ламинарного потока рассматривать при
квазистационарном распределении местных скоростей по сечению
(параболический профиль), то в формулах A0.31) и A0.32) следует
принять ха = 1, %рE = 1,33. В этом случае для больших безразмерных
частот значение Лпл (со) получается в 1,33 раза меньше
относительных амплитуд, вычисленных при истинных значениях коррективов
ха и хрр. Разница в фазах не превышает 8°.
§ 10.5. КОЭФФИЦИЕНТ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ВОЛНОВОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ
Динамические характеристики однородной линии круглого сечения
с упругими стенками при движении вязкой сжимаемой среды можно
определить с помощью уравнений (9.30) и (9.33) в частных
производных, которые описывают процессы в линии с учетом распреде-
ленности параметров по ее длине. Проведя при нулевых начальных
условиях одномерное преобразование по Лапласу этих уравнений
222

и применив передаточную функцию (9.48), получим
affl].»--^, „0.38)
ЯтртГ"*Р(*). A0.39)
Решение данной системы уравнений позволяет найти для
выбранного сечения линии мгновенные отклонения от установившихся
значений средних по сечению давления и скорости среды. Каждая
из этих величин будет представлять собой сумму одноименных с ней
величин, определяемых во фронте возмущения,
распространяющегося по линии в прямом и в обратном направлениях. Мгновенные
отклонения давления и скорости среды, а также скорость
распространения возмущения по линии зависят от свойств среды, жесткости
стенок и гидравлического сопротивления линии. Перечисленные
факторы находят отражение в операторном коэффициенте
распространения [52] ч
^[ 2^>] A0.40)
который является важной величиной, характеризующей
динамические особенности линии с распределенными параметрами. Знак
в формуле A0.40) принимается положительным, если возмущение
распространяется в положительном направлении оси х. Для волны,
распространяющейся в отрицательном направлении оси х, берется
знак «минус».
Операторный коэффициент распространения непосредственно
связан с операторным волновым сопротивлением ZB (s), которое
определяется отношением изображения по Лапласу давления
к изображению скорости среды в волне возмущения,
распространяющегося по линии только в одном направлении. Эта связь имеет вид
A0.41)
При определении частотных характеристик линии в решение
системы уравнений A0.38)—A0.39) производится подстановка s =
= /о). В этом случае коэффициент распространения принимает
комплексную форму
#(/) ±F /) A0.42)
Входящие в это соотношение величины б и е называются
соответственно коэффициентом затухания и коэффициентом фазы.
Коэффициент затухания характеризует уменьшение по длине линии
амплитуды давления или амплитуды скорости среды в волне
возмущения, распространяющегося по линии с фазовой скоростью
сл = (о/8. A0.43)
' На рис. 10.4 изображена затухающая по длине линии волна
давления, распространяющегося в положительном направлении
оси, и показаны значения величин б и е.
223

Для определения величин б и е подставим в соотношение A0.40)
s = /со и одновременно примем, что
Wxv(j(o) = a + jb. A0.44)
. В результате будем иметь
где 6х = — -д— роо>2+— ; b2=j-g--
С учетом соотношения A0.42) можно записать
откуда 62-е2 = &ь б2 + $2 = + У\ Ы
Величины б и е найдем, решив эти два уравнения и затем
подставив значения bi и b2i после чего получим
—
2Ь \а
Ро«го /
4а2
+
26
p0cor0
+,].
A0.46)
,-Лг
Формулы A0.45) и A0.46) показывают, что коэффициент
затухания б и коэффициент фазы е зависят от частоты возникающих
в линии колебаний, от
параметров линии ро, Втр, г0 и
от величин а и Ь. Последние
две величины являются
вещественной и мнимой частями
амплитудно-фазовой
частотной характеристики A0.44)
и могут быть определены по
соотношениям, приведенным
в § 9.6. В рассмотренном
случае б и е —
положительные величины. При
колебаниях ламинарного потока
величины а и b находятся
по формуле (9.72), после
перехода в которой согласно
соотношениям (9.50), (9.52) и (9.55) к размерным величинам имеем
A0.47)
Рис. 10.4. Изменение давления вдоль
линии для двух близких моментов времени
откуда а =
224

После подстановки этих значений а и Ь формулы A0.45) и A0.46)
принимают вид
где
Для определения комплексного волнового сопротивления
линии ZB (/со) подставим s = /со в соотношение A0.41) и приргвняем
полученное выражение к положительному значению комплексного
коэффициента распространения A0.42). Исключив затем с помощью
формул A0.48) и A0.49) величины б и е, после несложных
алгебраических преобразований найдем
¦-?, (Ю.50)
где Zb0 == У р0Втр — волновое сопротивление невязкой среды.
Если, как это сделано в работе [82], гидравлическое
сопротивление линии принимать квазистационарным и не учитывать
неравномерность распределения скоростей, то следует полагать, что
Вычисленные при таких значениях кг и k2 коэффициенты
затухания и фазы обозначим соответственно бкс и екс. Отношения б/бкс и
е/екс показывают, как влияет нестационарность распределения
местных скоростей по сечению потока на величины,
характеризующие процессы распространения возмущений по линии. На рис. 10.5
даны полученные по формулам A0.48) и A0.49) графики изменения
б/бкс и е/екс в зависимости об безразмерной частоты со. Из графиков
видно, что использование при расчетах квазистационарных
значений коэффициента сопротивления трения линии приводит к
существенной ошибке в определении коэффициента затухания,' причем
погрешность возрастает с увеличением безразмерной частоты со.
Разница в значениях е и екс получается значительно меньше, при
со > 10 можно принимать е = екс. Для таких безразмерных частот
численные значения величин kx и k2 позволяют ограничиться
первыми двумя членами разложения ]/~1 + \jk\ в соотношениях A0.48)
и A0:49) в степенной ряд. Тогда можно упростить эти соотношения
и записать их в виде
6 = eo/2]/^7T2; * A0.51)
е = е0 1/^7^1- A0.52)
8 попов д. н. 225

Подставив в формулу A0.51) значения е0, kx и k2, определяемые
соотношениями (9.55), (9.83) и (9.84), получим
6 =
Ро
A0.53)
Таким же образом приведем соотношение A0.52) к виду
е = оз1/хррро/Втр. A0.54)
Соотношение A0.53) указывает на увеличение коэффицента
затухания с увеличением корректива ха и с уменьшением корректива
хрр. Такое изменение этих коррективов соответствует увеличению
(у
/
¦
- —
—
?
У^
10 11 П 16 18 и
Рис. Ю.5. Сравнение
параметров 6 и е для
потоков с нестационарным и
квазистационарным
распределением местных
скоростей по сечению трубы
безразмерной частоты, и, следовательно, высокочастотные
колебания должны затухать по длине линии интенсивнее, чем
низкочастотные.
При со > 300 корректив ха можно вычислять по формулам
(9.91) или (9.92), а корректив %p|J, начиняя уже со значений со = 10
и выше, становится близким к единице, поэтому для высоких
безразмерных частот соотношение A0.53) можно заменить более
простым
гр«
A0.55)
Для таких же безразмерных частот комплексное волновое
сопротивление найдем, положив в соотношении A0. 50) kjkx — 1 и
подставив в соответствии с формулой (9.83) значение kv В результате
получим
<о>300
A0.56)
После подстановки значения корректива ха согласно формуле
(9.92) и перехода к размерной угловой частоте соотношение A0.56)
226

примет вид
ZB(/co) = ZB0 "Kl — / У 2v/corJ. A0.57)
О)>300
Заметим, что j/v/co/*o всегда берется положительным, так как
этой величиной определяется изменение положительного значения
корректива ха.
Соотношение A0.57) показывает, что вследствие действия
вязкости рабочей среды волновое сопротивление является комплексной
величиной. С увеличением безразмерной частоты значение ZB (/со)
приближается к Zb0, соответствующему волновому сопротивлению
без учета вязкости среды, что объясняется возрастающим влиянием
на волновое сопротивление инерции среды. Из-за иестационарности
распределения местных скоростей по сечению потока,
сопровождающейся повышенной диссипацией механической, энергии,
сближение этих величин происходит менее интенсивно, чем в
предположении квазистационарного сопротивления трения. В последнем легко
убедиться, сравнив соотношение A0.57) с соотношением A0.50)
после подстановки kx = k2 = co/*o/8v.
Соотношения A0.55) и A0.57) применимы также для расчетов
в случае турбулентного движения среды, если рассматриваются
частоты, при которых нестационарность гидравлического
сопротивления линии обусловлена главным образом процессами в вязком
подслое.
§ 10.6. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ ПРИ СОГЛАСОВАННОЙ НАГРУЗКЕ
Перейдем теперь к определению динамических характеристик
однородной линии с распределенными параметрами.
Воспользуемся системой уравнений A0.38) — A0.39). Продифференцировав
уравнение A0.38) по х, исключив затем с помощью уравнения A0.39)
производную do (s)/dx и применив соотношение A0.40), получим
^L_d«(s)p(s) = 0. A0.58)
Это уравнение имеет решение
p(s, х) = С1е*м* + С#г*ю*. A0.59)
Постоянные интегрирования Ci .и С2 определяются граничными
условиями. Пусть при х — 0
pis, x) = Pi(s, 0); A0.60)
8* 227

При граничных условиях A0.60) и A0.61) получаем
r _ Pi (s, 0) O(*)flipr. ,. m. r _PiO>, 0) , Ф(*)Дтр , m
w •— g 2s— ^ ' '' 2 " 2 ' 2s ui Is» u/«
После подстановки этих зависимостей решение A0.59)
записывается как
p(s, х) ==Pl (g' Q) (e* <s>* + e~^ <s> *) - ° E2}/Tp Pi (s, 0)
или с введением гиперболических функций в виде
)^]-^^»1(s, O)sh[«(s) л:]. A0.62)
Решив также систему уравнений A0.38)—A0.39) относительно
v (s, x), будем иметь
t; (s, х) = их (s, 0) ch [* (s) x] - —-- Pl (s, 0) sh [* (s) x]. A0.63)
Примем длину линии равной I и обозначим по Лапласу давления
и скорости среды в концевом сечении линии (х = I) соответственно
р2 (s, /) и v2 (s, /). Тогда при х = / уравнения A0.62) и A0.63) примут
вид
p2(s, Z) = pi(s, 0)ch[d(s)/}-??^Ms, O)sh[*(s)/]; A0.64)
A0.65)
sp(
У реальных гидравлических и пневматических линий изменение
площади поперечного сечения из-за деформации стенок обычно мало,
что позволяет мгновенные значения объемного расхода среды
находить в виде произведения мгновенной средней по сечению потока
скорости и постоянной площади nrl недеформированного сечения
линии. С учетом этого допущения введем соотношения
Z;(s) = ZB(s)/jirJ. A0.68)
Функции Zi (s) и Z2 (s), определяемые отношениями изображений
по Лапласу давлений и расходов в концевых сечениях линии, по
аналогии с принятыми в электротехнике терминами назовем
концевыми операторными сопротивлениями (импедансами) Функция
Z\ (s), как показывает соотношение A0.68), отличается от ранее
примененного операторного волнового сопротивления только
постоянным множителем. В дальнейшем эту функцию будем называть
операторным волновым сопротивлением линии.
228

Умножив уравнения A0.64) и A0.65) на лг\ и учтя соотношения
A0.66)—A0.68), найдем
Zx (s) = Z; (s) -Г7- bU ; A0.69)
Z2 (s) = ZJ (s)
Если воздействие к линии прикладывается в сечении 1—/
(рис. 10.6), то Zi (s) будет входным операторным сопротивлением,
Рис. 10.6. Схема
соединения
сопротивлений гидравлической
линии
Zff(S)
Z2(S)
PzAz
a Z2 (s) — операторным сопротивлением нагрузки (импедансом
нагрузки). Когда к концу линии подключено устройство, при
котором
Z2(s) = Z'B(s)y A0.71)
нагрузка называется согласованной. При согласованной нагрузке
согласно соотношениям A0.69) и A0.71)
Z1(s) = Zv(s). A0.72)
Данное равенство получается вследствие того, что на входе
в линию независимо заданной может быть только одна величина:
давление или расход среды, другая величина принимает то или иное
значение в зависимости от входного сопротивления линии.
При согласованной нагрузке от конца линии, не отражаются
волны возмущений, распространяющихся по линии, так как
подключенное устройство пропускает точно тот расход среды, который
переносится прямой волной. Вследствие этого на нагруженном
конце линии не меняется скорость движения среды и, следовательно,
не меняется давление в концевом сечении.
Частотные характеристики линии с согласованной нагрузкой
можно найти по передаточной функции, представляющей собой
отношение изображений по Лапласу давлений в выходном и
входном сечениях. Исключив из уравнений A0.64) и A0.65) величины
^i (s, 0), v2 (s, /) и выполнив обычно применяемые при определении
передаточных функций преобразования, получим
г! = z;(,):h^J/j|eh[d —• A°-73)
229

Передаточную функцию A0.73) при Z2 (s) = Z'u (s) заменой
гиперболических функций экспоненциальными можно привести
к виду
' A0.74)
При s =/со передаточная функция A0.74) превращается в
амплитудно-фазовую частотную характеристику линии, которую,
учитывая комплексную форму
коэффициента распространения
A0.42), представим в виде
сл 1
1
г-
f
cjI
Од
0
= г
ul 3 .
))
1
и^ -п
С/, =
и
Pi (/«, V)
или с помощью соотношения
A0.43) в виде
где 11сл — время
распространения волны возмущения от
входного до выходного сечения
линии.
Рис 10.7. Амплитудно-фазовые ча- Если пренебречь ВЯЗКОСТЬЮ
стотные характеристики линии без ^ „ r r , ,
учета вязкости жидкости (кривая /) рабочей среды, то коэффициент
и с учетом вязкости жидкости (кри- затухания о обратится в нуль,
вая 2) Тогда амплитудно-фазовая
частотная характеристика линии
A0.75) будет такой же, как у звена чистого запаздывания. Эта
характеристика изображается на комплексной плоскости в виде
окружности единичного радиуса (рис. 10.7). Характеристика
показывает, что давление в выходном сечении линии изменяется без
искажения по амплитуде, но имеет сдвиг фазы по отношению
к давлению во входном сечении, равный
Фл=ю//сл.
A0.76)
Для исследования влияния вязкости среды на частотные
характеристики линии с согласованной нагрузкой несколько преобразуем
зависимость A0.75). Воспользовавшись соотношениями A0.55)
и A0.76), получим
A0.77)
где
причем здесь сл = co/so.
230
го
A0.78)

Ци)
Примененное здесь соотношение A0.55) справедливо при w >
> 300. Это условие можно с учетом формулы (9.55) и соотношения
A0.76) з-аписать'также в виде
фл ^ > 300. A0.79)
Величина c/llbvl является отношением времени r2j%v
релаксации завихренности по сечению потока вязкой среды к времени
распространения волны 1/с.л
от одного сечения линии к
другому. Условие A0.79)
выполняется при достаточно
часто встречающихся
параметрах. Например, при сл =
= 1000 м/с, г0 = 2 см, / =
= 10 м, v —0,1 см2/с в
левой части неравенства A0.79)
имеем 500 срл Следовательно,
неравенство будет
выполняться, начиная со значений <рл,
близких 1 рад.
Амплитудно-фазовая
частотная характеристика A0.77)
линии с учетом вязкости
рабочей среды имеет вид
спирали, приближающейся к
началу координат при <рл -> оо
(рис. 10.7). На рис. 10.8 даны
логарифмические амплитуд-
-1
__!
"I -
!?;
¦--
"—г
"Г
5—
«а,
/
10
о
20
40
60
80
100
с„
„. 1
s
S
10
В)
Рис. 10.8. Логарифмические амплитудные
(а) и фазовые (б) частотные
характеристики линии (при п = 1,13-10~2):
/ — с учетом вязкости для нестационарного
распределения местных скоростей; 2 — без
учета вязкости; 3 — с учетом вязкости для
квазистационарного распределения местных
скоростей
у
ные и фазовые частотные
характеристики линии,
построенные без учета и с учетом
вязкости среды при
нестационарном распределении местных
скоростей по сечению потока. Там же показаны характеристики,
полученные с учетом вязкости среды, но в предположении
квазистационарного сопротивления трения. Для последних
характеристик значение б находилось по формуле A0.53) при ха =хJ3 = 1.
При этом в функции A0.77) переменная амплитуда е-"^*
заменялась постоянной величиной, равной е ' оьл.
§ 10.7. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНИИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
ПРИ НЕСОГЛАСОВАН НО Й НАГРУЗКЕ
Частотные характеристики линии с согласованной нагрузкой, как
было выше показано, определяются только параметрами самой
линии. При несогласованной нагрузке на частотные характеристики
231

линии могут существенно влиять концевые сопротивления (концевые
импедансы). Амплитудно-фазовую частотную характеристику линии
с несогласованной нагрузкой при известном комплексном
сопротивлении Z2 (/со) можно найти, подставив в передаточную функцию
A0.73) s -/со и учтя соотношения A0.41), A0.42) и A0.68); в
результате получим
р*{'®'12 = ут-г-х . A0.80)
Pi (/со, 0) 7ъ (/со) v '
7 ,. ч sh (б + /в) / + ch F + /е) /
Z2 (/со)
По аналогии с электрическими линиями представим комплексное
сопротивление нагрузки в виде
где Ran и /?рн — соответственно активное и реактивное
сопротивления нагрузки.
Одновременно комплексное волновое сопротивление линии
ZB (/со) с помощью соотношений A0.41), A0.42) и A0.68), взятых
при s =./со, определим как
^e-/6)- A0-82>
Зависимости A0.81) и A0.82) позволяют отношение ZB (/co)/Z2(/co)
привести к виду
ZB (/co)/Z2 (/со) = М + /Л/, A0.83)
где
/1Л ос\
A0-85)
Заменив в амплитудно-фазовой частотной характеристике A0.80)
отношение ZB (/co)/Z2 (/со) его кохмплексным значением A0.83)
и применив формулу преобразования гиперболических и
тригонометрических функций, получим
ра(/(Р, I) _ 2 /10 Я^
к^т A0*86)
где
М! = [A+Л1)еб/ + A--М)е-б/]со5б/-^(еб/ + е-б081пе/; A0.87)
Nx = [A + УИ) еб/ - A - М) е61] sin el + N (еб/ - e~6/) cos e/. A0.88)
Амплитудную Ap2Pl (со) и фазовую (pP2Pi (со) частотные
характеристики находим по зависимости A0.86) в обычном виде:
АР2Р1 (со) = 2/V 7ЙТ+Ж; A0.89)
Фр,р1 N = — arctg (iV^Mi). . (Ю.90)
232

Величины Мг и Nly входящие в амплитудную A0.89) и фазовую
A0.90) частотные характеристики, являются, как показывают
формулы A0.87) и A0.88), функциями частоты колебаний, параметров
линии и нагрузки. При точном расчете частотных характеристик
линии коэффициент затухания б линии следует находить с учетом
нестационарности распределения местных скоростей по сечению
потока. С этой целью удобно применять формулу A0.53), вычисляя
корректив ха по формуле (9.90), а корректив хрр — по формуле
(9.93). В связи с тем, что значение последнего корректива мало
отличается от единицы, коэффициент фазы е, вычисленный по формуле
A0.54), обычно получается близким к е0.
0 10 20 30 40 S0 60 70 80 Г,Гц
3,4
3,0
2,6
2,2
1,8
1Л
1,0
0,6
¦А
к
/
щ
IX
Л
(
\
\
л=о^
к
-С
А
/
%
IP
in
?
I
i
I
\
-SO
-100
-150
-200
-250
-300
-350
0 10 20 30 40 SO 60 70 80 f, Гц
X
<
к
\
Рис. Ю.9. Амплитудная частотная ха- Рис. 10.10. Фазовая частотная харак-
рактеристика линии с активным со- теристика линии с активным сопро-
противлением нагрузки тивлением нагрузки
Для приближенных расчетов, когда не требуется знать точных
значений амплитуд давлений, коэффициент затухания можно
определять в предположении .квазистационарного распределения
местных скоростей по сечению потока (квазистационарной диссипации
механической энергии). В этом случае также применяется формула
A0.53), но коррективы ха и хрр полагаются равными единице.
Расчет частотных характеристик линии становится еще
приближеннее, если не учитывается вязкость среды и принимается
6=0.
В качестве примера на рис. 10.9 и 10.10 даны рассчитанные для
указанных выше случаев амплитудная и фазовая частотные
характеристики линии. Сплошными линиями показаны характеристики,
полученные с учетом нестационарное™ распределения местных
скоростей по сечению потока. Рассматривалась линия только с
активной нагрузкой на конце, создаваемой дроссельной диафрагмой. '
Параметры линии и нагрузки, которые были приняты такими же,
как при теоретических и экспериментальных исследованиях,
описанных в работе [42], имели следующие значения: / = 12,3 м; В1? =
233

= 1470 МПа; р0 = 870 кг/м3; v = 0,18 см2/с; #ан = 0,0292 МПа с/см3;
л0 = 6,35 мм.
График ка = ха (со), построенный по формуле (9.90), приведен
на рис. 10.11.
Вычисленные рассмотренным здесь методом амплитудная и
фазовая частотные характеристики полностью совпадают с
теоретическими характеристиками из работы [42],которые также
определялись с учетом нестационарности распределения местных скоростей,
но более сложным путем. На графиках нанесены заимствованные из
упомянутой работы экспериментальные значения относительных
амплитуд и фаз. В этих экспериментах колебания потока
создавались управляемым клапаном,
расположенным в начале линии;
среднее за период колебания
расхода число Рейнольдса было
равно 650.
Если положить б = 0, то при
чисто активном сопротивлении
нагрузки согласно соотношению
A0.85) величина N обратится
в нуль и амплитудная частотная
характеристика A0.89) будет
иметь максимумы при
/
т.
/
„—
***
10 20 30 40 S0 60 70 80 Г,[Гц]
Ъ5
70
105 и
Рис.
/1 = 0, 1, 2...,
A0.91)
частоты /р
линии можно найти после
подстановки в соотношение A0.91) коэффициента фазы из соотношения
A0.43). С учетом, что сор = 2л/р, получим
10.11. График для определения
корректива ха
е/ = -g +пщ
если М < 1.
Резонансные
/
A0.92)
Значениям п = 0 и п = 1 соответствуют первая /р1 и вторая /р2
резонансные частоты линии. При указанных выше параметрах
имеем сл - 1300 м/с, /р1 = 26,4 Гц, /р2 = 79,2 Гц.
При резонансных частотах в случае 6=0 APzPl (сор) и фРгР1 (сор)
определяются соотношениями
Pi К) =
A0:93)
Для данной линии М ==0,3; APzPl =3,3.
При частотах, отличающихся от резонансных, значения APiPl (со)
и Фр2Р1 (ю) вычисляются по формулам A0.89), A0.90). Эти
характеристики изображены на рис. 10.9 и 10.10 штриховыми кривыми.
Если коэффициент затухания б принять равным своему
квазистационарному значению бкс, то при активном сопротивлении
234

нагрузки амплитудная частотная характеристика линии будет
лежать между характеристиками, полученными при нестационарном
коэффициенте затухания б и при 6=0. Участок этой
характеристики в зоне резонансных частот показан на рис. 10.9. Фазовая
частотная характеристика при б = бкс почти не отличается от двух
других фазовых характеристик (см. рис. 10.10).
Заметим, что благодаря наличию активного сопротивления
нагрузки у линии сохраняется демпфирование даже при 6=0,
чем и объясняется ограниченная высота амплитудных пиков при
резонансных частотах. Отличительная особенность этих пиков
состоит в том, что их величина не меняется при различных
резонансных частотах. При чисто реактивном сопротивлении нагрузки и при
б = 0 с приближением к резонансным частотам значения APiPi (со)
будут стремиться к бесконечности, что указывает на отсутствие
демпфирования у линии. Положив Rav = 0 и б = 0, из соотношений
A0.84) и A0.85) найдем
/?рн. A0.94)
Е^ этом случае
Af1 = 2cose/-2jVsine/; ^ = 0 A0.95)
и амплитудная частотная характеристика A0.89) приводится к виду
АРгРл (со) = l/(cos el - JV sine/), ' A0.96)
а фазовая частотная характеристика принимает значения
ф/ы?1 (со) = — шт; /i = 0f 1, 2, 3... A0.97)
Резонансные частоты, при которых происходит разрыв функции
A0.96), можно найти из уравнения
cos el — N sin el = 0
или из уравнения
ctge/ = #. A0.98)
Уравнение A0.98) легко решается графически. Рассмотрим,
например, гидравлическую линию, на конце которой чисто
реактивное сопротивление нагрузки создается емкостью, целиком
заполненной жидкостью. Примем, что изменения давления во всех точках
емкости происходят одновременно с изменением давления в
выходном сечении линии. Тогда объем жидкости, поступающей в емкость
или уходящей из нее за время dt, будет
dV = -(Vo/BJdp29
где Vo — объем емкости.
Расход жидкости в выходном сечении линии соответственно
равен
Q2 = ?^. A0.99)
235

Из данного уравнения при гармонических колебаниях потока
(s = /о) находим
Р% (/0)) _ __ : ^ж
Q2 (/СО) ' КОСО '
Так как активное сопротивление нагрузки в данном случае
принято равным нулю, то согласно соотношению A0.81)
Подставив в формулу A0.85) это значение Rpu и значение е,
определяемое равенством A0.43), получим
N=i^nr- A0Л0°)
ЛГОСЛ?>Ж
Учитывая соотношения A0.43) и A0.100), уравнение A0.98)
приведем к виду
Умножив и разделив правую часть уравнения A0.101) на
длину линии /, имеем
ctg—= /Ск~, .A0.102)
где
Корни уравнения A0.102) можно найти по точкам пересечения
кривых w! = ctg— с прямой у2= К у— (рис. 10.12). Этим точкам
соответствуют
безразмерные резонансные частоты
При полностью
закрытом конце лини'и
(тупиковая линия) и, как видно
из графиков на рис. 10.12,
безразмерные резонансные
частоты имеют значения
\ ^
Z
\
К 0
\
X
CJl
coD/
Рис. 10.12. Решение трансцендентного
уравнения A0.102)
= 0, 1, 2, 3.
При наличии емкости на конце линии ее резонансные частоты
становятся меньше, чем тупиковой линии, амплитудная и фазовая
частотные характеристики которой вычисляются по формулам
A0.89) и A0.90) при М — 0 и N = 0. Эти характеристики даны на
рис. 10.13. и 10.14.
236

Здесь были рассмотрены частотные характеристики линии,
определяющие связь между амплитудами и фазами гармонически
изменяющихся давлений в концевых сечениях. Такими же методами
"J
J
0I
СЛ'
4 Jt 4i
tot
•T- 7t
4-Х 2Ж 4
Рис. 10.13. Амплитудная частотная
характеристика тупиковой линии
ЪгР,
Рис. 10.14. Фазовая частотная
характеристика тупиковой линии
по уравнениям A0.64) и A0.65) могут быть определены частотные
характеристики для других переменных величин: расходов в двух
концевых сечениях или расхода в одном концевом сечении и
давления в другом.
§ 10.8. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНИИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
ПРИ СОГЛАСОВАННОЙ НАГРУЗКЕ
Переходные процессы возникают в линии вследствие действия
возмущений, приложенных на одном из ее концов и вызывающих
изменение во времени расхода или давления в этом концевом
сечении. В переходных процессах проявляется отклик линии на действия
возмущений. Отклик характеризуется функциями,
устанавливающими зависимость значений расхода или давления в интересующем
нас сечении линии от времени. Из-за распределенности параметров
в различно расположенных по длине линии сечениях переходные
процессы могут протекать по-разному, и, следовательно кроме
времени t независимой переменной в этой функции будет еще
координата ху определяющая расположение рассматриваемого сечения по
длине линии.
Если допустимо использование математической модели линии
в виде уравнений (9.49), A0.38) и A0.39) с линейными граничными
условиями, то переходные процессы можно рассчитать
операционным методом по уравнениям A0.64) и A0.65) или по получаемым из
этих уравнений передаточным функциям. При решении такой
задачи необходимо осуществить переход от предварительно вычисленных
изображений расхода или давления к оригиналам. Этот последний
шаг является наиболее трудным и может потребовать выполнения
237

достаточно сложных математических операций. Тогда более
целесообразно воспользоваться другими методами решения уравнений
(9.30) и (9.33) [72]. При применении электронно-вычислительных
машин переходные процессы могут определяться по математической
модели линии с нелинейными граничными условиями.
Приближенный расчет переходных процессов может быть также проведен
графоаналитическим методом [4].
Для выяснения ряда особенностей переходных процессов в
линиях с распределенными параметрами при наличии согласованной
нагрузки рассмотрим некоторые примеры решения задачи с
применением преобразования Лапласа.
Пусть изображения-давлений в концевых сечениях однородной
линии при согласованной нагрузке связаны передаточной функцией
A0.74). Эта передаточная функция может быть использована и для
определения переходных процессов по давлению в бесконечно
длинной линии, если в нее вместо / подставить х.
Предположим, что в начале линии приложено возмущение в виде
изменяющегося во времени давления рх (t> 0), изображение которого
/?! (s, 0). Изображение функции давления, определяющей
переходный процесс по давлению в конце линии, найдем по передаточной
функции A0.74):
/) = /?i (s, 0)e-*<*>'. A0.103)
Если пренебречь вязкостью среды, принимая соответственно
гидравлическое сопротивление линии равным нулю, то операторный
коэффициент распространения согласно соотношению A0.40)
становится линейной функцией переменной s:
#(s)=s"|/^TS^. A0.104)
В этом случае оригинал р2 (t> l) легко находится, так как по
известной из операционного исчисления теореме запаздывания
умножение изображения рг (s, 0) на е~тя (гдет — постоянная величина)
равносильно замене в оригинале переменной / на новую переменную
t — т.
Как следует из результата подстановки Ф (s) из формулы A0.104)
в зависимость A0.103), здесь величина т равна времени
распространения возмущения от начала к концу линии:
сл
A0.105)
поэтому p2(t, /) = Pi(/-~, о). A0.106)
Зависимость A0.106) показывает, что без учета гидравлического
сопротивления переходный процесс в конце линии имеет вид
смещенного по времени на величину IIсл закона возмущения,
приложенного в начале линии. При скачке давления в начале линии по
истечении времени 1/сл скачок давления повторяется без искажения
в конце линии.
238

С учетом гидравлического сопротивления линии операторный
коэффициент распространения # (s) будет нелинейной функцией s.
Если предположить, что гидравлическое сопротивление линии мало
и, кроме того, пренебречь влиянием нестациоиарности потока на
ее гидравлическое сопротивление, то эту функцию можно
линеаризовать. Перед линеаризацией передаточную функцию WTV (s) в
соотношении A0.40) заменим квазистационарным значением активного
сопротивления RQJ] линии, полагая
- /?.л = Рпу/0пу. A0.107)
где рпу — потери давления в линии длиной / при установившемся
движении жидкости с расходом Qy = nr^vy\ vy — средняя по
сечению потока скорость при установившемся движении жидкости.
Как известно из гидравлики,
)т0у, A0.108)
где тОу — касательное напряжение на стенки при установившемся
движении жидкости.
Для квазистационарного потока передаточная функция I Wxv(s)\KC
будет
и, используя соотношения A0.107), A0.108), найдем
Заменив в формуле A0.40) WXv на \WXV (s)]KC, получим
следующую зависимость для операторного коэффициента распростране! ия
с учетом квазистационарного гидравлического сопротивления линии:
A0.109)
Д ал (?)ял
Разложив функцию A0.109) в степенной ряд и удерживая в этом
разложении два первых члена, имеем в случае возмущения,
распространяющегося от начала к концу линии,
V /2pos). A0.110)
Обозначив (/?ал/2р0) V Ро/5тр = бкс и учитывая, что
= 1/сД9 приведем зависимость A0.110) к виду
. A0.111)
Величина бкс может рассматриваться как коэффициент затухания,
получаемый в предположении квазистационарного характера
гидравлического сопротивления линии и при использовании
линеаризованной зависимости A0.111) для операторного коэффициента
распространения. При ламинарном движении жидкости значение
бкс можно определить по формуле A0.53), принимая ха = >срр = 1.
239

Изображение функции переходного процесса при сделанных
допущениях найдем, заменив в зависимости A0.103) Ф (s) на [й (s)]
KC:
_ J_
A0.112)
Соответствующий этому изображению оригинал будет отличаться
от полученной выше функции A0.106) только наличием
коэффициента, равного е~~^с/, т. е.
-~, О}. A0.113)
Из зависимости A0.113) следует, что переходный процесс в конце
линии будет по виду таким же, как вызвавшее его возмущение в
начале линии, но смещенным по времени относительно этого
возмущения и с уменьшенными в е~бк<?/ раз значениями давления.
Если учитывать нелинейную зависимость коэффициента
распространения от s, считая гидравлическое сопротивление линии
квазистационарным, то по зависимости A0.103) и A0.109) изображение
переходного процесса будет иметь вид
p2(s, /) = p!(s, 0)е в^
Для нахождения по изображению A0.114) оригинала
воспользуемся указанным в таблицах преобразования Лапласа следующим
соответствием [181:
q—x Y a2s* + axs-\-а0 е— {at/2 Ya~2) x . g—xs Ycii =
0 при
Г d
' a2Xe
при /^
где d = \a~ ] — a0a2; I\ f-^— Vt2 — a2x2) — модифицированная
функция Бесселя первого порядка.
После преобразования по Лапласу выражения, стоящего во
второй строке правой'части формулы A0.115), можно с помощью
этой формулы найти
е— х Ya2s2 + ats + а0 — Q—x{at/2 Ya2) . е— xs Ya* I
(Yd in«——^
240
1/ -x \ е-^е~^2^^ °\ -dt. A0.116)

В нашем случае
-в—
Отр
— б—» а0 = и, л: = /,
Ql _ ^ал _ с, . , А --_-|/ро _ { . а1 _„?'
у а2 гРосл г о гр сл za2
и формула A0.116) принимает вид
е ' ~тр ^тр = е~бкс/. е Cj] ¦
+ б'кс1 I е-*е-'^' '-^р^ dt, A0.117)
где у=1/^-/2/й.
Умножив обе части формулы A0.117) на изображение рг (s, 0),
с учетом зависимости A0.114) получим
9 0)8'кс1 ^е-*'е-'лвкс' 1±Ь6^1 dL (ЮЛ 18)
У
Первое слагаемое в правой части формулы A0.118) совпадает
с правой частью зависимости A0.114), а второе слагаемое является
произведением двух изображений. При обратном преобразовании
к этому произведению можно применить теорему свертывания.
Тогда, проведя обратное преобразование изображения A0.118),
получим при t ^ A/сл)
, 'i СА< ]/ *2 - г^
h(t-%, 0)e~^Vx — л dt. A0.119)
При
t^(l/cA) p2(t, 0 = 0.
Переходный процесс, определяемый решением A0.119),
отличается от рассмотренного в предыдущем примере тем, что здесь
вторым членом правой части учитывается искажение формы пере- •
даваемого по линии возмущения.
241

Кроме такого искажения на вид переходного процесса оказывает
влияние .нестационарность гидравлического сопротивления, с учетом
которого операторный коэффициент распространения выражается
сложной нелинейной функцией от s.
§ 10.9. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНИИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
ПРИ НЕСОГЛАСОВАННОЙ НАГРУЗКЕ
Переходный процесс по давлению в конце однородной линии при
несогласованной нагрузке определяется с помгщью передаточной
функции A0.73). По этой передаточной функции находится
изображение
ft(«. 0—777т El^1 . (Ю.120)
Один из способов вычисления оригинала по изображению A0.120)
состоит в разложении его на простые дроби с последующим обратным
преобразованием каждого члена полученного ряда. В некоторых
случаях можно применить более простой метод перехода в
пространство оригиналов, если гиперболические функции в изображении
A0.120) заменить экспоненциальными. После такой замены
изображение A0.120) принимает вид [86]
222(s)
Pi(8, 0 = Pi(s, 0) Z;Jg?fZay(S?, • (Ю.121)
С целью сокращения записи введем,операторный коэффициент
отражения
?''^" (Ю.122)
s)
-,,», о»'; zXSZZ- <10-123»
который указывает на полноту отражения волны возмущения от
сопротивления нагрузки на конце линии.
Используя формулу A0.122), придадим изображению A0.121)
следующий вид:
[1-
1-
Полагая, что выполняется условие
возьмем ряд
00
.— = > [n(s)]ne-2nff(s)l. A0.124)
l — r|E)e~2lf>E>/ ~0
242

Подставив этот ряд в зависимость A0.123), получим
p2(s9 /) = px(s, O)[
- yf (s) е-**<*>l + л3 (s) e-7#u)/...]. A0.125)
При обратном почленном преобразовании ряда A0.125)
необходимо иметь операторные коэффициенты r\ (s) и Ф (s) в виде
функций s. Эти функции определяются по условиям, при которых
рассчитывается переходный процесс в линии.
§ 10.10 ВЛИЯНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ТЕМПЕРАТУР В ПОТОКЕ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНИИ
Выше было рассмотрено влияние нестационарного распределения
местных скоростей по живому сечению потока на динамические
характеристики линий с сосредоточенными и распределенными
параметрами. Кроме таких гидродинамических процессов в потоке
возникают нестационарные тепловые процессы, сопровождающиеся
перераспределением температур по живому сечению. Эти процессы
также могут оказывать влияние на динамические характеристики
линии.
Изменение температуры в неустановившемся потоке связано
с изменением давления и плотности рабочей среды [6, 891. Если в
дополнение к указанным в § 9.4 допущениям принять, что стенки линии
являются абсолютно жесткими, то уравнение (9.13) примет вид
-|=Р^. A0.126)
Умножив данное уравнение на dF = 2nrdr и затем
проинтегрировав его по площади поперечного сечения Fo = nrl линии, найдем
%-=-Аг\%*Р. A0.127)
дх pF0 .) Ы v '
Для получения других зависимостей, необходимых при
определении динамических характеристик линии с учетом нестационарного
распределения температур по сечению, должны быть использованы
уравнение состояния среды и уравнение баланса тепла. Если
рабочей средой является совершенный газ, то согласно уравнению
(8.6) плотность р будет функцией температуры и абсолютного
давления, поэтому
др _ dp dp jp^dT^ а
С учетом уравнения состояния (8.6) уравнение A0.128)
приводится к виду
др _ 1 др _Р_дТ° n
W~ RT° df~ T° dt ' ii
243

В дальнейшем ограничимся рассмотрением малых отклонений
переменных от значений, при которых движение среды является
установившимся. При этом, чтобы не вводить дополнительных
символов, будем отклонения обозначать так же, как выше
обозначены переменные, а установившиеся величины будем отмечать
индексом «О». Тогда после подстановки уравнения A0.129) в
уравнение A0.127) получим*
При нулевых начальных условиях уравнение A0.130) в
изображениях по Лапласу записывается в виде
где Тер (s) — изображение средней по сечению температуры,
определяемое следующим образом:
Гср (s) = ~ J Г (s) dF = I; J 2nrT° (s) dr. A0.132)
° Fo ° 0
Уравнения (9.6) и (9.7) в предположении постоянства
коэффициентов k, и [х, без учета коэффициента объемной вязкости \iv, при
скоростях потока меньше скорости звука в среде позволяют найти
1дТ° ±дГ_[др 1
дг2 ~ г дг ат dt aTPocP dt '
где
aT = kT/cpp0 A0.134)
является коэффициентом температуропроводности.
В изображениях по Лапласу уравнение A0.133) приводится
к уравнению Бесселя
^> + ±^_jqr>(S)--Lp(s)l==0, A0.135)
dr2 ' г dr ат \ v ; ОпСп r v 7 ' v 7
которое так же, как и уравнение (9.38), имеет конечное решение
с одной произвольной постоянной. Для определения этой
произвольной постоянной должна быть задана температура среды у стенки
линии. Если принять, что благодаря большой теплопроводности
температура стенки равна температуре окружающей среды и
остается постоянной при исследуемом процессе, то при г = г0
7°(s)!r=ro = 0. A0.136)
244

При граничном условии A0.136) решение уравнения A0.135)
имеет вид
1 --
A0.137)
Умножив данную зависимость на 2nrdr и выполнив
интегрирование в пределах от 0 до г0, найдем передаточную функцию
.A0.138)
Эта передаточная функция показывает, что изменение средней
по сечению температуры среды и изменение давления в данном
сечении происходит со смещением по фазе. Такое явление
объясняется возникновением процессов перераспределения температур по
сечению линии, которые аналогичны описанным выше процессам
перестроения профилей местных скоростей при неустановившемся
движении вязкой среды в трубе.
Исключив-из уравнения A0.131) с помощью передаточной
функции A0.138) величину Г?р (s), получим
sp(s)
. A0.139)
С учетом соотношений R = ср — cv, k = cp/cv и уравнения
состояния (8.6) уравнение A0.139) можно привести к виду
где
A0.140)
. A0.141)
Уравнение A0.140) отличается от уравнения A0.39) тем, что в нем
вместо величины sABTp стоит передаточная функция A0.141), которая
учитывает влияние нестационарности распределения температуры
на сжимаемость газа. После перехода к модифицированным бесселе-
245

вым функциям она принимает вид
Г 2/j
' kp0
A0.142)
При малых значениях аргумента модифицированных бесселевых
функций выражение, заключенное в формуле A0.142) в квадратные
скобки, становится близким к величине k. При больших значениях
аргумента это выражение приближается к единице. Обращаясь
теперь к формулам (8.7) и (8.9), заметим, что в указанных
предельных случаях передаточная функция A0.142) может быть
соответственно заменена величинами slBm и s/Bar. Следовательно,
предельными процессами изменения плотности газа в неустановившемся
потоке являются изотермический и адиабатный. Промежуточным
процессом будет политропный, который и учитывается передаточной
функцией, записанной в форме A0.141) или A0.142).
При определении динамических характеристик линии уравнение
A0.140) используется совместно с уравнением A0.38). Исключив
из этих уравнений v (s), получим уравнение такого же вида, как
A0.58), но отличающееся тем, что в нем операторный коэффициент
распространения имеет более общее значение:
\ A0.143)
Полагая s = /со, представим №сж (/со) в виде
Wc« (/©) = <?сж + /<оосж A0.144)
и, используя формулу A0.44), найдем по формуле A0.143)
комплексный коэффициент распространения
Ог (/<*>) = ± ]/"(асж + /соУеж)[~ + / (f +W)]. A0.145)
В случае ламинарного неустановившегося движения газа с
помощью зависимости A0.47) комплексному коэффициенту
распространения можно придать вид
(Ю.146)
Без учета нестаццонарности распределения скоростей по
сечению линии kjkx = 1 и kx = corg/Sv. При этом
/со1>сж) [(8p0v/rl) + /соро]. A0.147)
Из электротехники известна аналогичная формула для
определения комплексного коэффициента распространения [86].
Применительно к длинной электрической линии действительная часть
первого комплексного числа в подкоренном выражении формулы A0.147)
246

характеризует проводимость Go линии по току утечки. Мнимая
часть этого числа учитывает емкость Со линии. Действительная и
мнимая части второго комплексного числа учитывают соответственно
активное Ro и индуктивное Lo сопротивления линии. Эквивалентная
Godx
Рис. 10.15. Эквивалентная схема
элемента линии длиной dx
о
"I
Codx
электрическая схема элемента длиной dx такой линии дана на рис.
10.15.
В гидравлических и пневматических линиях явления,
аналогичные действию емкости индуктивного и активного сопротивлений
в электрических цепях, вызываются соответственно сжимаемостью,
инерцией рабочей среды и гидравлическим сопротивлением линии.
Утечки среды в линиях со сплошными стенками, естественно, отсут-
7
6
А
3
2
1
0
У
^^
У
/А
ж
I
У
I I
1 tl
Ш
V
10
-1
10°
го1
1D2
Рис. 10.16. Зависимость
ocyKkp0rl/8v от со:
/ — круглое сечение канала;
2—6 — прямоугольное
сечение канала {h = h/b, где
Ъ — ширина, h — высота);
2 — R = \; 3 — Л = 2 и
h = 0,6; 4 — h = 3 и h —
= 0,33; 5 — h = Ъ и h =
= 0,2; 6 = h = 10 и h = 0,1
ствуют, и наличие в формуле A0.147) величины асж обусловлено
тем, что возникающее в нестационарном потоке перераспределение
температур по сечению линии оказывает влияние на диссипацию
энергии и изменение плотности среды при изменении давления.
С учетом нестационарного распределения скоростей и температур
по сечению линии при ламинарном потоке комплексный
коэффициент распространения определяется по формуле A0.146). Ранее
247

в § 9.6 были определены зависимости величин kx и k2 от безразмерной
частоты. Величины асж и осж также являются функциями частоты,
которые могут быть найдены после подстановки в передаточную
функцию A0.142) s = /со. При этом удобно ввести безразмерную
частоту
со> = и>г20/8аТу A0.148)
которая согласно формулам (9.55) и A0.134) связана с безразмерной
частотой со соотношением
со = (aT/v) &T —
A0.149)
где Рг — число Прандтля, равное для воздуха 0,708.
Графики, устанавливающие зависимость осж и исж от "со, были
получены в работе [89] и приведены на рис. 10.16 и 10.17.
ггкр0
1,5
1,3
0,9
\
s
>**
\
,-'s
.•¦'*
iiii
a
m
Sir.:
10"
10°
to1
Рис 10.17. Зависимость
исжкро от со: позиции
jj те же, что на -рис. 10.16
Комплексный коэффициент распространения с учетом
нестационарного распределения температуры можно представить в виде
#г (/о) = 8т-+ /ег, A0.150)
где 6г< и ег» — коэффициенты затухания и фазы с учетом
нестационарного распределения температур по сечению линии.
Воспользовавшись формулами A0.146) и A0.150) и выполнив
такие же, как в § 9.4, преобразования, получим
^ж); A0.151)
g (о1ж + оЫж). A0.152)
Коэффициент затухания бг и коэффициент фазы е7 имеют
одинаковые знаки, так как их произведение, определяемое прирав-
248

ниванием квадратов обеих частей равенства A0.150) с учетом
формулы A0.146), находится по сумме положительных величии.
Вследствие этого положительному корню формулы A0.151) соответствует
положительный корень формулы A0.152).
Положительные значения коэффициентов б^и гт° принимаются
для волны, распространяющейся в положительном направлении
оси х\ для волны, распространяющейся в направлении
отрицательной оси, должны быть взяты отрицательные знаки перед корнями
в формулах A0.151) и A0.152).
После определения величин 6 г» и гт° расчет частотных
характеристик линии может быть выполнен в описанной в § 10.7
последовательности.

Глава XI
ДИНАМИКА РАБОЧИХ
СРЕД В РЕГУЛИРУЮЩИХ
УСТРОЙСТВАХ
§ 11.1. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ДРОССЕЛЬНЫХ РЕГУЛИРУЮЩИХ
УСТРОЙСТВ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
В непях управления и в станциях питания гидро- и пневмосистем
для регулирования потоков рабочих сред используются различные
по принципу действия и по конструктивному исполнению
дроссельные устройства.
На рис. 11.1 даны схемы наиболее распространенных устройств,
к которым относятся золотниковые распределители 7,
сопла-заслонки 2 и клапаны 3.
Золотниковые распределители могут иметь различное число
регулируемых дросселей, создаваемых в виде щелей кромками
буртов золотника и кромками окон во втулке. Четырехдроссельные
(четырехщелевые) золотниковые распределители могут быть с
положительными (рис. 11.1, а и в) и отрицательными (рис. 11.1, б и г)
перекрытиями. Если у распределителя длина буртов золотника
больше длины окон, то он имеет положительные перекрытия. При
нейтральном положении такого золотника происходят лишь
незначительные утечки рабочей среды по зазорам между
поверхностями буртов и втулки. Распределители с отрицательными
перекрытиями имеют золотники, длина буртов которых меньше длины окон.
При нейтральном положении такие золотники пропускают из линии
высокого давления на слив заранее предусмотренный расход
рабочей среды. Золотниковый распределитель называется двухдроссель-
ным с положительными перекрытиями, если он выполнен по схеме,
показанной на рис. 11.1, д. Эти распределители применяются для
управления гидроцилиндрами с дифференциальным поршнем.
Может также применяться однощелевой золотниковый
распределитель с положительными перекрытиями совместно с нерегулируемым
дросселем (рис. 11.1, ё).
По конструктивному исполнению различают распределители
с цилиндрическими и плоскими золотниками. Плоские золотники
имеют вид пластины с выступами, играющими роль буртов; такая
пластина перемещается по плите с окнами, которая заменяет втулку
цилиндрического золотника.
Другим видом дроссельных устройств являются сопла-заслонки,
в которых дросселем с регулируемым проходным сечением служит
250

сопло, прикрываемое заслонкой. Управление потоком рабочей среды
может осуществляться одним соплом с заслонкой (рис. 11.1, ж)у
двумя соплами с одной заслонкой (рис. 11.1, з) и четырьмя соплами
lL,
11=
V.
=
1 I
и
п
Рис. 11.1. Схемы дроссельных устройств
с двумя заслонками (рис. 11.1, и). В первых двух схемах цепь
управления обязательно содержит соответственно один или два
нерегулируемых дросселя. Последняя схема эквивалентна четырех-
Ароссельному проточному золотниковому распределителю, работаю-
251

щему при смещениях золотника в пределах отрицательных
перекрытий.
Клапаны применяются в гидро- и пневмосистемах как в качестве
автоматически действующих регулирующих устройств
(предохранительные клапаны, переливные клапаны, редукционные
клапаны), так и в качестве распределительных устройств, выполняющих
те же функции, что золотниковые распределители. Клапаны того
и другого назначения могут иметь одинакового типа затворы:
конусные, шариковые, конусные с уравновешивающим поршнем
(рис. 11.1, /с, л и м).
Все виды дроссельных устройств с регулируемыми и
нерегулируемыми проходными сечениями представляют собой местные
гидравлические сопротивления, установившийся расход среды через
которые определяется по известным из гидравлики формулам. Если
рабочей средой служит жидкость, то
Q дР = м-др^др V%p др/р 1 (П.1)
где СдР — объемный расход жидкости, протекающей через дроссель;
\хЛ? — коэффициент расхода; /\p — площадь проходного сечения
дроссельного устройства; рдр — перепад давления на дроссельном
устройстве; р — плотность жидкости.
Коэффициент расхода [лдр, входящий в формулу A1.1), в общем
случае зависит от формы проточной части дроссельного устройства
и является функцией числа Рейнольде а, определяемого
соотношением
A1.2)
где R — гидравлический радиус, равный отношению площади
поперечного сечения щели Fap к ее смоченному периметру %; v —
кинематическая вязкость; v — скорость жидкости, которая при
определении числа Рейнольдса может быть принята v = У 2рдр/р.
При известной зависимости для коэффициента расхода формула
A1.1) позволяет рассчитать статические характеристики
золотникового распределителя, сопла-заслонки или клапана. Статической
характеристикой перечисленных здесь устройств называется
зависимость, связывающая между собой различные установившиеся
значения либо двух, либо трех следующих величин: расхода
рабочей среды, перепада давления,-перемещения подвижного элемента
устройства. Достаточно просто статическая характеристика
находится для четырехдроссельного золотникового распределителя
в предположении нулевых перекрытий у золотника, отсутствия
зазоров между золотником и втулкой, постоянного значения
коэффициента расхода.
Пусть к такому золотниковому распределителю, именуемому
в дальнейшем идеальным, подводится жидкость при постоянном
давлении рп (рис. 11.2, а). Будем считать, что распределитель
управляет движением поршня гидроцилиндра, нагруженного силой Р,
которая в определенных пределах может приниматься различной
252

по величине и по направлению. При смещении х3 золотника от
нейтрального положения после того, как установится скорость движения
поршня, расход Qi рабочей среды, поступающей через окна
распределителя в гидроцилиндр, по условию неразрывности течения
должен быть равен расходу Q2 рабочей среды, вытесняемой поршнем
гидроцилиндра через распределитель в сливную магистраль.
Принимая Qi = Q2 = Q3 и используя формулу A1.1), найдем
Q3 = \i3nd3knx3 ]/ 2р3/р, A1-3)
где \i3 — коэффициент расхода окна, открываемого буртом
золотника; d3 — диаметр золотника; р3 — перепад давления на окнах
золотника; kn = bOK/nd3 — коэффициент полноты использования
периметра втулки золотника окнами; Ьок — ширина окон; если
9)
б)
Рис. 11.2. Схема и графики для определения статической
характеристики четырехдроссельного золотникового распределителя
во втулке сделана кольцевая канавка, которая открывается буртом
золотника при его смещении от нейтрали, то kn = 1, при других
исполнениях окон во втулке kn < 1 и может изменяться в
зависимости от %3\ очевидно, что nd3knx3 = F0K — площади щели.
Примем, что гидравлическое сопротивление каналов или
трубопроводов, соединяющих распределитель с гидроцилиндром,
пренебрежимо мало по сравнению с гидравлическим сопротивлением
щелей в окнах, открываемых буртами золотника. Тогда при
одинаковых размерах левых и правых окон и независимости их
коэффициентов расхода от направления потока рабочей среды можно
записать
Рь = Рп~р1 = р2- рсл, (И .4)
где /?сл — давление в сливной магистрали непосредственно после
распределителя.
При равномерном движении поршня гидроцилиндра с рабочей
площадью /^ без учета сил трения имеем
253

откуда найдем перепад давления рн на поршне, создаваемый силой,
нагружающей гидроцилиндр:
p» = Pi-p2 = P/Fll. A1.5)
На пути движения рабочей среды давление уменьшается из-за
гидравлического сопротивления распределителя и перепада
давления в полостях гидроцилиндра. Это падение давления можно
иллюстрировать условной пьезометрической линией, если щели в окнах
распределителя представить в виде регулируемых дросселей и
показать перепад давления на поршне гидроцилиндра, как на местном
сопротивлении (рис. 11.2, б). Из такого графика видно, что
и, следовательно,
Рз = Р"~Р2Н~РсЛ- ¦ (П.6)
Введем величину
k'3 = ii3nd3knV~2/P, A1.7)
которую назовем удельной (отнесенной к единице перемещения
золотника) проводимостью окон золотникового распределителя.
Используя соотношения A1.6) и A1.7), зависимость A1.3)
представим в виде
У~РГР™- A1.8)
С помощью соотношений
_ %з == -^з С^з/тах» Уз ==
QI = К (*3)тах К(Рп-Рсл)/2; Рн = Рн (Рп ~ Рсл)
зависимость A1.8) приводится к безразмерной форме
<23 = *зК1-Рн- A1.9)
Зависимости A1.8) и A1.9) были получены для смешения
золотника, при котором рабочая среда вызывает движение поршня
гидроцилиндра навстречу силе Р, нагружающей гидроцилиндр. При
действии силы в противоположную сторону (рис. 11.2, а, штриховая
линия) ее направление будет совпадать с направлением движения
поршня гидроцилиндра. С учетом помогающего движению поршня
гидроцилиндра действия силы Р соотношение A1.6) должно быть
записано следующим образом (рис. 11.2, в):
Соответственно зависимости A1.8) и A1.9) принимают вид
254

Каждую пару зависимостей A1.8) и A1 10) или A1.9) и A1.11)
можно объединить в одну, применив функцию sign х3 (знак ри
определяется знаком х3) [81]. В результате получим
Q3 = х3 V 1 — рн sign x3.
A1.12)
A1.13)
При этом положительным будем считать такое перемещение
золотника, которому соответствует принятое за положительное
перемещение поршня
гидроцилиндра.
Графики, построенные по
зависимости A1 12) или A1.13)
для ряда положительных и
отрицательных значений х3 или x3i
называются расходно-перепад-
ными характеристиками
идеального четырехдроссельного
золотникового распределителя (рис.
11.3). В квадрантах / и ///
этими характеристиками
определяется установившийся
расход Q3 или Q3 B зависимости от
перепада /?н или рн в полостях
гидроцилиндра при движении
поршня последнего против
направления действия силы Р (при
встречной нагрузке на
гидроцилиндр). Участки характеристик,
паспо пожени ые в квалпянтах //
расположенные в квадрантах //
и IV, соответствуют движению
поршня гидроцилиндра по на-
й Р (
Ш
-1А1 -
N
Рис' 1L3' Расходно-перепадные (внеш-
ние^ характеристики идеального че-
тырехдроссельного золотникового рас-
р рр пределителя
правлению действия силы Р (при
помогающей нагрузке на гидроцилиндр). Рабочая площадь
гидроцилиндра обычно выбирается так, чтобы выполнялось условие
1(Рн)п
1;
A1.14)
в противоположном случае сила давления, действующего на
поршень гидроцилиндра, не сможет уравновесить максимальную силу
^тах, приложенную к штоку, что вызовет его смещеш.е под
нагрузкой. Кроме того, перепад давления на щели золотникового
распределителя может стать больше рп — /?сл, а давление в полости гидро-
цилиндра упасть ниже атмосферного, что вызовет нарушение
сплошности потока, т. е кавитацию. Необходимо заметить, что при
динамических режимах работы гидроцилиндра, если масса
перемещающихся вместе с его поршнем частей будет большой, может возник-
255

нуть кавитация вследствие падения давления, вызванного движением
поршня по инерции [81].
Расходно-перепадные характеристики A1.12) или A1.13)
идеального четырехдроссельного золотникового распределителя не
линеаризуются в окрестности х3 = 0, рп Ф О при малых отклонениях
переменных из-за содержащейся в подкоренных выражениях
указанных зависимостей функции sign x3. В окрестности точки, для
которой |я3 \фО или | х3 | Ф О, такая линеаризация возможна,
так как знак при переменной рн или рн заранее известен. После
линеаризации зависимостей A1.12) и A1.13) соответственно имеем
AQ3 ^
х3 - KQp Арн;
где
AQ3 = Q3 - Q3. о;
3.0;
„ = ри -
В этих соотношениях индексом «О» отмечены величины,
относительно которых рассматриваются малые отклонения переменных.
Коэффициенты передачи Kqx Kqp, Kqx и К^- вычисляются
следующим образом:
НО*
Фн
— Рсл— Рн. о Sign X3. о
лз.о
з. О
A1.17)
A1.18)
= !l/l-pH.oSignx3.o!; A1.19)
3. О
7Н. О
A1.20)
В реальном золотниковом распределителе всегда имеются
зазоры между золотником и втулкой, по которым происходят утечки
рабочей среды. Вследствие утечек расходно-перепадные
характеристики реального четырехдроссельного золотникового распределителя
отличаются от рассмотренных выше характеристик идеального
распределителя. Наиболее заметно это отличие при малых смещениях
.золотника от нейтрального положения, при которых вид расходно-
перепадных характеристик в основном зависит от величины зазоров
и положительных перекрытий золотника.
На рис. 11.4 приведены безразмерные расходно-перепадные
характеристики реального четырехдроссельного золотникового
распределителя, имеющего золотник с положительными перекрытиями.
256

Такие характеристики в окрестности начала координат достаточно
хорошо аппроксимируются наклонными параллельными прямыми,
уравнение которых для размерных отклонений можно записать
в виде A1.15), а для безразмерных отклонений — в виде A1.16).
Численные значения коэффициентов этих уравнений в общем
случае будут отличаться от получаемых по формулам A1.17) — A1.20),
в которых не учтены утечки рабочей среды по зазорам. При наличии
расходно-перепадных характеристик реального распределителя
(расчетных или экспериментальных) коэффициент Kqx или Kq-x можно
найти, построив расходные
характеристики Qs =Q3 (x3), Q3 =
= Qs fe) ПРИ выбранном
значении ри или рн, например при
Рн = 0, р„ = 0.
Расходная характеристика в
безразмерных величинах дана
на рис. 11.5. Проведя в начале
координат касательную к
кривой, получим
-1,41 -
Рис. 11.4. Расходно-перепадные
(внешние) характеристики реального че-
тырехдроссельного золотникового
распределителя
Коэффициент /(q-
определяется по углу наклона касательной,
проведенной к одной из кривых
расходно-перепадной
характеристики. Кроме расходной
характеристики по
расходно-перепадной характеристике можно
также построить перепадную
характеристику (рис. 11.6).
Осредненные значения
коэффициентов Kq- находятся после
проведения секущей на расходной характеристике; искомый
коэффициент является тангенсом угла <х2 наклона секущей к оси
абсцисс. При приближенных исследованиях следящих
гидроприводов иногда осредненные коэффициенты определяются и по
расходно-перепадной характеристике идеального распределителя.
Однако следует иметь в виду, что в этом случае искусственно
увеличивается демпфирование привода в области малых отклонений
золотника от нейтрали.
При наличии у распределителя отрицательных перекрытий
расширяется диапазон значений величин, в котором расходно-
перепадные характеристики могут быть аппроксимированы
наклонными параллельными прямыми (рис. 11.7, а).
Для расчета расходно-перепадных характеристик, который
выполняется по формулам вида A1.1) и уравнению неразрывности
потока рабочей среды, удобно дроссельное регулирующее устройство
9 Попов Д. Н.
257

рассматривать как гидравлический мост, состоящий из
нерегулируемых и регулируемых сопротивлений и нагрузки, создаваемой
исполнительным элементом, например гидроцилиндром. Четырех-
дроссельный распределитель с отрицательными перекрытиями
приводится к схеме гидравлического моста с четырьмя регулируемыми
сопротивлениями (рис. 11.7, б), который является почти полной
аналогией моста из электрических сопротивлений. Такая же схема
моста справедлива для реального четырехдроссельного
распределителя с положительными перекрытиями золотника. У идеального
золотникового распределителя одновременно регулируемыми яв-
Рис. 11.5. Расходная
характеристика реального
четырехдроссельного золотникового распределителя
-10
Рис. 11.6. Перепадная
характеристика реального
четырехдроссельного золотникового
распределителя
ляются только две щели, поэтому мост вырождается в линию с
двумя регулируемыми сопротивлениями, между которыми включена
нагрузка.
Изображенное на рис. 11.1, з устройство сопло-заслонка можно
представить в виде гидравлического моста с двумя нерегулируемыми
и двумя регулируемыми сопротивлениями (рис. 11.8, а и б). В случае
четырех регулируемых сопл (см. рис.Л1.1, и) получается
гидравлический мост с четырьмя регулируемыми сопротивлениями.
Расходно-перепадные характеристики устройства, схема
которого дана на рис. 11.1, ж, определяются расчетом гидравлического
полумоста с одним нерегулируемым и одним регулируемым
сопротивлениями. К схеме гидравлического полумоста, имеющего одно
нерегулируемое и одно регулируемое сопротивления, можно
привести также схему устройства, показанную на рис. 11.1, е, если
силу давления на малую площадь дифференциального поршня
отнести к внешней нагрузке.
Вид расходно-переиадных характеристик дроссельных
регулирующих устройств зависит не только от их схемы, но и от типа источ-
258

Рис. 11.7. Расходно-перепадные
характеристики золотникового рас»
пределителя с отрицательными
перекрытиями
i*
(\
Рис. 11.8. Расходно-перепадные характеристики сопла-заслонки с
двумя управляемыми соплами

ника питания устройства рабочей средой под давлением. Различают
источники питания постоянного давления и источники питания
постоянного расхода. Во всех перечисленных выше случаях
предполагалось, что устройства снабжаются рабочей средой от
источника постоянного давления, и поэтому принималось рп = const.
Золотниковые распределители с отрицательными перекрытиями
и сопла-заслонки могут применяться с источниками постоянного
расхода, которыми служат объемные нерегулируемые насосы. На
рис. 11.9 даны расходно-перепадные характеристики реального
четырехдроссельного золотникового распределителя с
отрицательными перекрытиями, питаемого от насоса. Здесь при определении
1,0
0,8
0,6
ол
0,2
-
Ра _Рь
—
\
\
0,2 0,4 0,6 0,8 ^r
Рис. 11.9. Расходно-перепадные
характеристики проточного
четырехдроссельного золотникового
распределителя, работающего от источника
постоянного расхода
Рис. 11.10. График функции
fl (Pb/Pa)
Qb и Рн за базовые величины приняты номинальные значения подачи
и давления насоса.
До сих пор рассматривались статические характеристики,
которые имеют дроссельные регулирующие устройства, когда
рабочей средой является жидкость. Для этих же устройств рабочей
средой может служить воздух или какой-либо другой газ. Тогда
расчет статических характеристик проводится на основе
зависимостей, определяющих движение газа через дроссельные устройства
[13, 47]. При этом используется формула либо массового, либо
объемного расхода газа через дроссель. В случае адиабатного течения
совершенного газа объемный расход фдр после дросселя вычисляется
по формуле
Q =u C*F (—Y^'l/'T^Rf (—\ A1 21)
где \1лр — коэффициент расхода, значения которого лежат обычно
между 0,8 и 1; FAV— площадь проходного сечения дросселя; ра
260

и Гд — давление и температура газа до дросселя; ръ — давление
после дросселя; R — газовая постоянная; fx (pb/pa) — функция,
г F+T
график которой показан на рис. 11.10; С*= у k [2/(k+ l)]k~l.
При надкритическом перепаде давления на дросселе массовый
расход бдР газа не зависит от давления после дросселя. Вследствие
этого расходно-перепадные характеристики дроссельных
регулирующих устройств могут иметь участки, в пределах которых расход
газа, поступающего к исполнительному элементу, не зависит от
перепада давления ри или рн, создаваемого внешней нагрузкой.
(Хз)тах
¦л
Рдтах
I
I
0,5(Хз)та>
-С-1
0,5(х3)тйх
О
г
D
н Ра
Рис. 11.11. Расходно-перепадные
характеристики золотникового
распределителя, работающего на газе
Для примера на_ рис._ 11.11, а приведены расходно-перепадные
характеристики Q3 = Q3 (pH, x3) идеального четырехдроссельного
золотникового распределителя (рис. 11.11, б), которые можно
получить, применяя формулу A1.21) в предположении постоянной
температуры газа [13]. На большей своей части характеристики
являются горизонтальными прямыми, которые могут описываться
уравнением вида A1.16) при К$-р = 0. Здесь же нанесены расходно-
перепадные характеристики четырехдроссельного распределителя с
отрицательными перекрытиями (рис. 11.11, в), В этом случае К*- ф 0
ПРИ I *3 I < 0,5 (штриховые линии).
Расходно-перепадные характеристики и получаемые из них
расходные и перепадные характеристики дроссельных устройств,
261

как показывает приведенный выше обзор, определяются при
установившемся движении рабочей среды. В расчетах по динамике
гидро- и пневмосистем используются именно эти характеристики,
так как вследствие малой длины дросселирующих участков
инерцией рабочей среды в них допустимо пренебрегать в том диапазоне
частот, который является существенным для устойчивости и
качества переходных процессов, возникающих в системах [48]. Изменения
коэффициентов расхода дроссельных устройств из-за
нестационарности потока также обнаруживаются при достаточно высоких
частотах, которые приходится рассматривать главным образом
при исследовании высокочастотных шумов в сигналах, передаваемых
по цепям управления. Однако из-за ограниченности сведений по
динамическим характеристикам дроссельных устройств пока не
представляется возможным учитывать нестационарность их
коэффициентов расхода и при исследовании высокочастотных процессов.
В тех случаях, когда дроссельное устройство соединено с
другими устройствами длинными трубопроводами, приходится
учитывать инерцию и сжимаемость рабочей среды. При этом
неустановившееся движение рабочих сред в трубопроводах описывается
рассмотренными в гл. IX и X уравнениями, а расходно-перепадные
характеристики дроссельных устройств используются в качестве
граничных -условий.
§ 11.2. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ СО СТОРОНЫ РАБОЧИХ СРЕД
НА ЭЛЕМЕНТЫ ДРОССЕЛЬНЫХ РЕГУЛИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
Элементы (золотники, затворы клапанов, заслонки) дроссельных
регулирующих устройств могут быть нагружены силами трения,
силами давления и силами, приложенными со стороны других
устройств.
Силы трения разделяются на силы сухого и жидкостного трения.
Силы сухого трения зависят от состояния поверхностей подвижных
и неподвижных деталей и от величин сил, прижимающих эти детали
друг к другу. Последние силы возникают из-за неравномерного
распределения давления в зазорах, из-за действия составляющих
от усилий пружин или каких-либо устройств, управляющих
подвижным элементом. При наличии малых зазоров, по которым
протекает жидкость под давлением, могут со временем появиться
значительные силы трения покоя, препятствующие перемещению
золотника или клапана. Возникновение таких сил сопровождается
облитерацией (заращиванием) зазоров [2, 49]. После страгивания
золотника или клапана с места силы сцепления, обусловленные
облитерацией зазоров, исчезают и могут вновь возникнуть только
при отсутствии движения элементов регулирующего устройства.
Силы сухого трения приводят к увеличению мощности, которая
должна затрачиваться на управление регулирующим устройством,
и могут быть причиной уменьшения точности и ухудшения
устойчивости всей цепи управления. При создании регулирующих уст-
262

ройств необходимо либо предельно уменьшить указанные силы,
либо снизить их влияние на работу цепи управления. Это может
быть достигнуто высокой точностью изготовления деталей
регулирующих устройств, применением различных методов специальной
обработки поверхностей пар трения, выполнением канавок,
выравнивающих давления в зазорах, центрированием подвижных
элементов с помощью подшипников или упругих подвесок. В ряде
случаев вводится вращение одной из пар трения или вибрация
деталей.
Усилие, под действием которого перемещается подвижный
элемент регулирующего устройства, должно назначаться с учетом
возможных значений сил сухого трения и требуемой точности
работы устройства. При этом обычно приходится пользоваться
статическими данными или результатами дополнительных
экспериментов. Силы, прижимающие золотники и клапаны к втулкам,
иногда могут быть рассчитаны [34], и если известны коэффициенты
трения для тех условий, в которых работает регулирующее
устройство, то сила сухого трения также может быть вычислена. Однако
практическая ценность этого расчета во многом зависит от того,
насколько принятая форма и размеры зазоров соответствуют
реальным.. Кроме того, расчетом не определяются силы, вызванные
облитерацией зазоров.
Силы жидкостного трения характеризуются касательными
напряжениями, возникающими в рабочей среде на поверхностях
элементов регулирующих устройств. Если поверхность одного
элемента отделена от поверхности другого зазором, заполненным
рабочей средой, то касательные напряжения могут быть вызваны как
относительным движением этих поверхностей, так и движением
среды под действием перепада давления. В предположении
ламинарного режима движения среды для зазора с параллельными стенками,
без учета начального участка потока, сила жидкостного трения
Ртр может быть определена, если воспользоваться уравнением
(9.116). При установившемся движении среды, а также при тех
видах неустановившегося движения, для которых выполняются
сформулированные в § 9. 9 условия квазистационарности течения,
это уравнение принимает вид
где [г = pv — динамическая вязкость среды.
Без учета изменения вязкости среды в зазоре из-за изменения
температуры и давления градиент давления будет
где рх и р2 — давление у входа среды в зазор и давление после
зазора; I — длина зазора.
263

Подставив соотношение A1.23) в уравнение A1.22), получим
Дважды интегрируя уравнение A1.24), найдем следующий закон
распределения местных скоростей по сечению зазора:
Принимаем одну стенку неподвижной, а другую перемещающейся
со скоростью uz. Тогда, полагая, что ось х проходит посередине
зазора, можем записать следующие граничные условия:
1^ = 0 при у = — 6/2;
их = ±ис при у= + 8/2,
где знак «+» соответствует перемещению стенки в направлении
движения потока среды.
При указанных граничных условиях после определения Ci
и С2 зависимость A1.25) приводится к виду
Касательные напряжения в потоке рабочей среды можно найти,
подставив зависимость A1.26) в закон вязкого трения Ньютона:
dux
r dy
В результате получим
т-—/—у-*-т>
откуда для определения касательного напряжения тс на
подвижной стенке (при у == 6/2) имеем
т _ (Pi — Р2)б _\ШС
Тс"^ 2/ + 6 в
При этом сила Ртр, приложенная к подвижной стенке со
стороны потока среды, получается равной
р — utr — (Р1 — Р2) bb уЫ /1197*
Когда отсутствует перепад давления на зазоре, величина силы
Ртр согласно зависимости A1.27) определяется по формуле
P?p = V<c, * A1.28)
где
kTp = [A&//6,
причем сила Ртр направлена в этом случае всегда в сторону,
противоположную направлению перемещения стенки,
264

Если зазор имеет форму кольцевой тонкой щели, то силы
жидкостного трения приближенно могут быть вычислены по формулам
A1.27) и A1.28) после замены ширины b длиной nd окружности,
проходящей посередине зазора.
С учетом изменения вязкости среды вдоль зазора из-за
изменения давления и температуры в потоке расчет силы Ртр жидкостного
трения усложняется, так как в этом случае градиент давления
не будет постоянным по длине зазора. При использовании
зависимости динамической вязкости среды от давления и температуры
такой расчет можно провести путем последовательных
приближений, вычисляя каждый раз среднее значение динамической
вязкости [87].
Силы давления направлены по нормалям к поверхностям
элементов регулирующих устройств. Эти силы разделяются на
гидростатические и гидродинамические. Первые из них вызываются
действием давления на неподвижные элементы при покоящейся или
движущейся с пренебрежимо малыми скоростями рабочей среды,
вторые обусловлены действием давления при движении рабочей
среды или при движении элемента в этой среде. Заметим, что оба
вида указанных сил могут рассматриваться как постоянными, так
и переменными во времени.
Сила давления в общем случае определяется интегралом,
взятым по соприкасающейся с рабочей средой поверхности от
элементарных сил давления. Однако вычисление такого интеграла часто
связано с непреодолимой трудностью нахождения закона
распределения давления по поверхности тела, обтекаемого средой в
ограниченном пространстве. В связи с этим силы давления, действующие
на элементы регулирующих устройств, обычно определяют с
помощью теоремы об изменении количества движения среды,
протекающей сквозь выделенный в ней контрольный объем. В
приложении к решению подобного класса задач теорема формулируется
следующим образом: сумма локальной производной по времени от
количества движения среды в некотором замкнутом фиксированном
объеме V потока и количества движения среды, протекающей в
единицу времени сквозь внешнюю поверхность S, ограничивающую
этот объем, равняется сумме объемной силы Pv, действующей
на среду, заключенную в объеме V, главного вектора Ps
поверхностных сил, действующих на внешней поверхности S, и
гидродинамической реакции Р'ТА непроницаемого тела, обтекаемого потоком
внутри объема V [45]. Эта теорема выражается уравнением
dS='Pv+-Ps + Prv (И.29)
где и — вектор местной скорости среды; ип — проекция местной
скорости среды на нормаль к поверхности S.
Главный вектор Ps поверхностных сил определяется
действующими на поверхность S силами давления и силами трения. Гидроди-
265

намическая реакция РгД, очевидно, равна по величине и
противоположна по направлению силе Р?д, с которой поток действует на
тело. Если тело не полностью заключено в объем У, то его
поверхность, соприкасающаяся с потоком среды, может быть включена
во внешнюю поверхность S, ограничивающую выделяемый объем,
но при этом главный вектор поверхностных сил Ps должен
вычисляться без учета сил, действующих на поток со стороны
поверхности тела, так как они составляют искомую силу Р^д. Направление
гидродинамической силы или ее составляющей, подлежащей
вычислению, обычно предопределено конструкцией регулирующего
устройства, что позволяет вместо уравнения A1.29) записать
уравнение в проекциях на ось координат, проведенную по выбранному
направлению.
Применим этот метод для определения гидродинамических сил,
действующих на заслонку, клапан и золотник четырехдроссельного
распределителя.
§ 11.3. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЗАСЛОНКУ, КЛАПАН
И ЗОЛОТНИК
На рис. 11.12, а изображена схема потока, вытекающего из сопла А
с острыми кромками. На некотором расстоянии /ic от сопла
перпендикулярно его оси расположена плоская заслонка Б. Если истече-
Рис. 11.12. Схемы для определения гидродинамической силы,
действующей на заслонку:
а — сопло с острыми кромками; б — сопло с притуплёнными кромками
ние происходит в пространство, заполненное рабочей средой,
находящейся под давлением рсл больше атмосферного, то
распределение давления на поверхности заслонки со стороны потока будет
приблизительно таким, как показано на схеме. Максимальное
давление действует в месте пересечения оси сопла с заслонкой, где
скорость движения среды равна нулю.
Выделим в потоке контрольный объем, границы которого на
схеме обведем штриховым контуром. Контрольные сечения, сквозь
которые среда втекает в выделенный объем и вытекает из него, назо-
266

вем соответственно сечениями / — / и 2 — 2. Условимся, что
давления и скорости в живых сечениях потока, совпадающих с
сечениями / — ) и 2 — 2, распределены равномерно, а размеры
заслонки достаточно велики, чтобы скорость v2 считать направленной
вдоль ее поверхности. Кроме того, будем пренебрегать весом среды,
ее сжимаемостью и силами трения на границах выделенного объема.
В случае неустановившегося движения среды по приведенной выше
теореме можно получить в проекциях на ось л:, совпадающую с осью
сопла, следующее уравнение количества движения:
Рш - pQcfi = PiFc - РсА - Р?д, A1.30)
где Fc = я$/4 — площадь поперечного сечения сопла.
Величины Qc, vu рг и Р'ТА для каждого момента времени
соответственно обозначают расход среды, вытекающей из сопла, скорость
среды в сечении 1 — /, давление в сечении 1 — /,
гидродинамическую реакцию от действия заслонки на поток среды.
Величина Рин получена как проекция на ось х вектора,
определяемого первым интегралом левой части уравнения A1.29); этой
величиной учитывается влияние инерции рабочей среды. Если в
каждый момент времени был бы известен закон распределения
скоростей по всему выделенному объему, то величина Рин могла бы быть
вычислена. Однако определение такого закона является не менее
сложной задачей, чем определение давлений на поверхности
заслонки. Поэтому Рин приходится вычислять приближенно,
пренебрегая областью потока между срезом сопла и заслонкой. При
равномерном распределении местных скоростей в каждом сечении
канала сопла имеем
Pm-PhFc% A1.31)
Второй интеграл левой части уравнения A1.29) в уравнении
A1.30) свелся к проекции количества движения — pQc^i в сечении
1 — /, так как проекция на ось х количества движения в сечении
2 — 2 равна нулю. Проекция главного вектора поверхностных сил
здесь получилась равной plFz — pzttFc.
Принимая во внимание, что направление гидродинамической
силы Ргд, действующей со стороны потока на заслонку, должно быть
взято противоположным направлению силы РгД, найдем эту силу
по уравнению A1.30) с учетом уравнения A1.31) в виде
-р/Л^. (И-32)
Так как Qc = FzVu зависимость A1.92) можно привести к виду
267

При установившемся движении среды dQJdt =* 0, и тогда
гидродинамическая сила Ргд определится
/5гд = (Р1~Рсл)/Гс + ^ (П.34)
В реальных регулирующих устройствах канал сопла
сообщается с управляющим каналом диаметром dy. К управляющему каналу
обычно подключается исполнительный элемент, и поэтому в
расчетах обычно вместо давления pi принимается давление ру в
управляющем канале. Полагая, что dy ^> dCi по уравнению Бернулли
найдем
Pi = Py-(l+Oe§L, (П.35)
где ? — коэффициент местного сопротивления участка,
соединяющего канал сопла с управляющим каналом, если управляющий
канал непосредственно переходит в канал сопла; при наличии
сетчатых фильтров и более сложных переходов значение ?
определяется с учетом всех местных сопротивлений.
Учитывая соотношение A1.35), зависимость A1.34) можно
привести к виду
^гд = (Ру~Рсл)/7с + A-^)^. (П.36)
При далеко отстоящей заслонке от среза сопла, если принять
? =0,
зависимость A1.36) дает максимально возможное значение
гидродинамической силы
(Ргд)тах=2(ру-рсл)^с. A1.37)
Другое крайнее значение силы, нагружающей заслонку,
получается при полном закрытии сопла и равно гидростатической силе
^-(Ру-Рсл)^. (И-38)
Промежуточные значения гидродинамической силы можно
рассчитать, рассмотрев плоскую модель потока и применив теорию
струй идеальной жидкости [63]. При небольших расстояниях
hc между срезом сопла и заслонкой, которые имеют место в
реальных регулирующих устройствах [4- *=-§--*- jg), расход среды.. Qc
определяют по формуле
Qc = цсш*Л 1/(ру-рсл)/р, A1.39)
где |хс — коэффициент расхода сопла, прикрытого заслонкой.
Подставив значение расхода Qc из соотношения A1.39) в
зависимость A1.36) и учтя, что 7^ = jtdc/4, получим
/>ГД=<Ру-Рсл)/Гс[1 +A -0 1бдай]. A1.40)
268

Если принять достаточно распространенные для регулирующих
устройств типа сопло—заслонка значения параметров \хс = 0,6 ¦*¦
4-0,7; ^=4"*~ТО и ? = 0,3-ь0,5, то по зависимости A1.40)
будем иметь
Ягд-A.03 ч-1,06) (py-pM)Fc. A1.41)
Соотношение A1.41) показывает, что гидродинамическая сила,
действующая на заслонку реальных регулирующих устройств, близка
к гидростатической силе Ргст, определяемой по формуле A1.38).
Заметим, что согласно зависимости A1.40) при ? < 1 Ргд может
увеличиваться с увеличением hjdci но следует иметь в виду, что
с ростом hjdz коэффициент расхода [лс, используемый в формуле
A1.39), должен уменьшаться, поэтому максимальное значение Ягд
не будет больше вычисленного по формуле A1.37).
При значениях коэффициента ? местных сопротивлений,
находящихся между управляющим каналом и каналом сопла, больше
единицы значение гидродинамической силы может уменьшаться
с увеличением hjdz, что согласуется с результатами некоторых
экспериментальных исследований [9].
Соотношение A1.38) и близкое к нему A1.41) получены для
установившегося движения рабочей среды. Однако они могут
использоваться и для расчета динамических характеристик
регулирующих устройств в тех случаях, когда длина канала сопла /с настолько
мала, что при максимально возможных ускорениях среды последний
член в зависимости A1.33) будет пренебрежимо мал по сравнению
с двумя другими членами.
Выше рассматривалось сопло с острыми кромками; на самом
деле торец сопла всегда несколько притуплён и dH > dc (рис. 11.12, б).
При значительной разнице в диаметрах dH и dz и при малых
расстояниях hz между торцом сопла и заслонкой может существовать
течение с областью пониженного давления около внутренней кромки
сопла. Вследствие этого гидродинамическая сила может быть
меньше, чем для сопла с острыми кромками. Такая
гидродинамическая сила должна определяться с учетом силы давления,
действующей на поток со стороны торцовой поверхности сопла. С
увеличением расстояния hc наступает отрывное обтекание торца,
соответствующее принятой на рис. 11.12, а расчетной схеме потока,
вытекающего из сопла с острыми кромками.
При смене режимов течения среды в зазоре между торцом сопла
и заслонкой наблюдается нестабильность в величине
гидродинамической силы, которая может усиливаться из-за кавитации, если
давление около внутренней кромки сопла падает ниже атмосферного.
Экспериментальные исследования показывают, что картина
течения сохраняется близкой к принимаемой для сопла с острыми
кромками, если приблизительно (djdc) < 1,2 [85].
Гидродинамические силы, действующие на затворы клапанов,
могут определяться почти так же, как силы, действующие на за-
269

слонки. Необходимо только учитывать, что при обтекании затвора
клапана поток может отклоняться от его оси на угол 8,
отличающийся от 90° (см. рис. 11.13, а и б). В связи с этим»уравнение
количества движения, записанное для проекций на ось х, совпадающую
с осью клапана, будет иметь вид
+ PQk*V2 cos 8 -
- (рп - рсл) Fh -
A1.42)
где Qo — расход среды, протекающей через клапан; Fn —
площадь проходного сечения подвода; Р'ТА — гидродинамическая
реакция от действия затвора клапана на поток.
Остальные величины, кроме Рин, указаны на схеме (рис. 11.13, а).
Величина Рин, как и для заслонки, вычисляется приближенно по
формуле A1.31) после замены в ней /с на /п и Fc на ^п.
Рис. 11.13. Схемы для определения гидродинамической силы,
действующей на клапан
При установившемся движении среды, а также в тех случаях,
когда можно пренебречь Рин, величина гидродинамической силы
Ргд, приложенной со стороны потока к затвору клапана, по
уравнению A1.42) получается равной
^гд =*= (Рп - Рсл) ^п — Р<2кл (*>2 COS G - VX). A1.43)
Воспользуемся для дальнейших преобразований соотношениями
f(Pn-pJ; ч (П.44)
в которых [лкл — коэффициент расхода клапана при вычислении
расхода по площади FKJl\ екл — коэффициент сжатия потока.
Площадь FKn будем определять по подъему затвора клапана с помощью
приближенной зависимости
Sill G,
A1.46)
270

Применяя соотношения A1.44) — A1.46) и учитывая, что Fn =
= jxdn/4, уравнение A1.43) приведем к виду
^гд = (А, ~ Рсл) РпКкл (Лкл/^кл, б), A1.47)
где
Й )^ ^sin28. A1.48)
При приближенном вычислении функции (Ц.48) можно
пренебрегать потерями энергии в потоке на участке между контрольными
сечениями / — 1 и 2 — 2 и принимать екл « цкл. Для углов 8
меньше 90° значения Ккл (hKJl/dKJl, 0) получаются меньше единицы,
и согласно зависимости A1.48) гидродинамическая сила от
действия потока на затвор клапана будет меньше гидростатической силы,
нагружающей затвор закрытого клапана и равной (рп — /?Сл)^п-
Если затвор и седло клапана имеют конфигурацию, показанную
на рис. 11.13, б, то угол б оказывается больше 90е. В этом случае
Ккл (hKJdKJl1 8) становится больше единицы, соответственно
гидродинамическая сила увеличивается по сравнению с гидростатической
силой.
Угол 8, от которого зависит величина гидродинамической силы,
определяет направление вектора скорости потока среды,
обтекающей клапан. Поток при некоторых формах клапана может отходить
от поверхности затвора. Например, из теории плоских струйных
течений известно, что для потока, вытекающего из щели с
расположенными на одной прямой прямоугольными кромками, угол 0
равен 69° (рис. 11.13, в). Кроме формы клапана на угол 8 влияют
соотношения размеров щели между затвором и седлом, а также
скорость истечения среды. Поэтому у одного и того же клапана угол
8 может иметь разные значения. Вследствие то прилипания потока
к поверхности затвора клапана, то отрывного течения
гидродинамическая сила может быть переменной во времени и вызывать
автоколебания клапана. По такой же причине могут возникать
автоколебания золотников. Кроме того, автоколебания золотников могут
быть связаны с эффектом «отрицательного» демпфирования,
возникающего из-за влияния инерции рабочей среды »а величину
гидродинамической силы [13].
Рассмотрим этот эффект на примере цилиндрического золотника
четырехдроссельного распределителя, схема которого дана на
рис. 11.14. При смещении золотника на величину х3 от
нейтрального положения рабочая среда под давлением рп через открытую
правым буртом щель поступает в канал, где давление примем
равным р2. Через щель, открытую левым буртом, рабочая среда
под давлением рг поступает в сливной канал с давлением рсл.
Вследствие увеличения скоростей движения среды в области открытых
щелей давление около кромок буртов будет пониженным по
сравнению с давлением, действующим на центральную часть этих и
на всю торцовую поверхность им противоположных буртов. При-
27L

мерная картина распределения давления по торцовым
поверхностям буртов показана на схеме золотника.
Полная сила давления, действующая вдоль оси золотника, будет
стремиться вернуть золотник в нейтральное положение при
установившемся движении среды. Для определения этой силы в более
общем случае неустановившегося движения среды применим теорему
об изменении количества движения потока. Сначала выделим между
буртами золотника два объема / и //, границы которых на схеме
показаны штриховым контуром. Полагая, что векторы скоростей
Vi и и4 направлены по нормалям к оси х> совпадающей с осью золот-
Рис. 11.14. Схема для определения гидродинамической силы,
действующей на золотник
ника, и пренебрегая силами трения на границах выделенных
объемов, в проекциях на ось х найдем:
для объема /
(Рт)\ + Р (Q3)i с2 cos б! - 0 =
A1.49)
для объема //
(Pyib A1.50)
где (Q3)i иу2 — расход и скорость среды, вытекающей из объема /;
(Q3)n и vs — расход и скорость среды, втекающей в объем//; (РгДI
и (Ргд)и — гидродинамические реакции, приложенные от
золотника к среде соответственно в объемах / и //.
Величины (PHH)i и (Phh)ii, учитывающие изменение количества
движения неустановившегося потока в объемах I и II иг участках
длиной 1Х и /2, определим, как и в предыдущих случаях,
приближенно. Предварительно условимся, что расходы рабочей среды,
протекающей через левую и правую щели, в каждый момент
времени имеют равные значения:
<2з = Лл, A1.52)
где vK — скорость движения среды в кольцевом пространстве между
штокомг золотника и втулкой.
272

Применяя зависимости вида A1.31) с учетом направления
движения среды в объемах / и // и соотношения A1.52), можно записать
(ЛшI = Р/1^; (Лш)п = -р/2^. (П.53)
В целях упрощения дальнейших выводов примем
v2 = v3 = v3; 6i = en = e3, A1.54)
что не всегда соблюдается в реальных золотниковых
распределителях, но и не вносит принципиальных изменений в получаемые ниже
зависимости.
Полную* гидродинамическую силу, действующую со стороны
потока на золотник и равную
^гД = -[(^дI + (Р;д)п], . A1.55)
найдем, воспользовавшись уравнениями A1.49), A1.50) и
соотношениями A1.51), A1.53) и A1.54). После обычных преобразований
получим
Р?д = -2pQ,i>8 cos 6,-р (/!-«§>-. A1.56)
В данную зависимость входит скорость v3 средььв сжатых
сечениях потоков, протекающих через левую и правую щели, открытые
буртами золотника. Если пренебречь гидравлическими
сопротивлениями участков между контрольными сечениями A — /) -*-
ч- B — 2) и сечениями C — 3) -*- D — 4), то по уравнению Бер-
нулли найдем
v3 = V2pJp> A1.57)
ГДе р3 ~Рп — Ръ = Pi — Рсл-
Предположим, что рг = р2 (распределитель управляет ненагру-
женным гидроцилиндром). В этом случае
Рз = (Рп-Рсл)/2. A1.58)
С учетом соотношения A1.58) подставим значения Q3 и v3 из
соотношений A1.3) и A1.57) в зависимосгь A1.56), после чего
приведем ее к виду
ргд = — 2ст%х3 — #ин ~-j-j~, A1.59)
где
Сгд = ПАк (Рп - Рсл) COS 83; A1.60)
*ин = Р(к - k) Цз&ок V (Рп - Рсл)/Р- A1.61)
Первый член в правой части зависимости A1.59) показывает, что
в гидродинамической силе можно выделить составляющую,
действие которой аналогично силе пружины, стремящейся вернуть
золотник в нейтральное положение, поэтому сгж называют коэффициентом'
273

жесткости гидродинамической пружины. Второй член в правой
части зависимости A1.59), учитывающий инерционное действие
неустановившегося потока на золотник, определяет составляющую
гидродинамической силы, эквивалентную силе жидкостного
трения. Согласно соотношению A1.61) коэффициент km этой
составляющей может менять знак: ?ин > 0 при 1Х > /2; &ин = 0 при 1Х = /2;
&ин < 0 при 1Х < /2.
При &ин < 0 «сила трения» &ин (dxjdt) будет иметь знак,
противоположный знаку силы «гидродинамической пружины» 2сгдх3,
вследствие чего, без учета других демпфирующих факторов, колебания
золотника будут расходящимися. В этом и заключается эффект
«отрицательного» демпфирования золотника, вызванный
неустановившимся движением среды в его каналах. Для того чтобы
исключить «отрицательное» демпфирование, следует назначать 1г ^ /2.
Положив 1г = /2, рассмотрим влияние переменного перепада
Рп = Pi — р2 на гидродинамическую силу Ргд. В этом случае
зависимость A1.59) принимает вид
Ргд = -2сгд(рн)*з. A1.62)
Здесь коэффициент жесткости гидродинамической пружины
является переменной величиной, определяемой с учетом соотношения
A1.6) вместо формулы A1.60) зависимостью
Сгд (Рн) = И-s Ьок (Рп ~ Рп - Рсл) COS 63. A1.63)
При малых отклонениях Ах3 золотника от начального
смещения #з.о приращение ДРГД силы можно найти после
линеаризации зависимости A1.62) в виде
АРгд = -2сгд(рн.0)Ах3+Л:рДрн, A1.64)
где сгд (/?н.о) вычисляется по соотношению A1.63) путем
подстановки в него вместо /?н значения рно, соответствующего x3t 0;
КР = -^г = ^з&ок^з. о cos б3. A1.65)
Зависимость A1.64) показывает, что золотник, управляющий
нагруженным гидроцилиндром, имеет «силовую обратную связь»
по перепаду давления рн, которая будет положительной при
встречной нагрузке на гидроцилиндр и отрицательной при помогающей
нагрузке. При нейтральном положении (л:3.0 == 0) идеального
золотника указанная обратная связь отсутствует.
Гидродинамическая сила, действующая на золотник, меняется
с изменением угла б3, который зависит от формы золотника, формы
окон во втулке, величины зазоров между золотником и втулкой и
других факторов. У одного и того же золотника угол б3 может
быть различным при разных смещениях золотника от нейтрального
положения. Кроме того, как и при обтекании затвора клапана,
274

;
поток среды может прилипать к поверхностям втулки или золотника,
что также приводит к изменению гидродинамической силы.
На рис. 11.15 дан график зависимости безразмерной
гидродинамической силы
РгЛ = -РтЛРтдтвж A1.66)
от безразмерного перемещения золотника
при двух значениях безразмерного расхода Q3 = Q3/(Q3)max>
График показывает, что сначала гидродинамическая сила растет с
увеличением перемещения
золотника, а затем падает до нуля.
Вследствие такого изменения
гидродинамической силы
могут возникать автоколебания
золотника.
Существуют различные
способы уменьшения
гидродинамических сил,
действующих на золотники. Обычно
применяют способ
компенсации, при котором золотнику
и втулке придают форму, рис. П. 15. Изменение гидродинамической
обеспечивающую встречное силы у неуравновешенного и уравнове-
направление действия гидро- шенного болотников
динамических сил на золотник
при обтекании двух его буртов рабочей средой [13, 77]. В этом
случае графики зависимости гидродинамической силы от
перемещения принимают вид штриховых кривых на рис, 11.15.
'-0,5
1 I*
§ 11.4. ДИНАМИКА РАБОЧЕЙ СРЕДЫ
В СТРУЙНОМ НЕПРЕРЫВНОМ ЭЛЕМЕНТЕ
Регулирующие устройства со струйными трубками (рис. В.4),
применяемые как в гидравлических, так и в пневматических
системах управления, имеют расходно-перепадные характеристики, ко-
торые могут быть аппроксимированы линейными зависимостями
вида A1.15) или A1.16), если принять, что Q3 — расход среды
в одном приемном канале, а х3 — смещение трубки от
нейтрального положения. Эти характеристики используются и при
исследовании динамики систем, причем инерция среды в струйной трубке,
так же как и инерция среды в каналах золотникового
распределителя или устройстве типа сопло-заслонка, обычно не учитывается.
Струйные элементы без подвижных деталей (элементы пневмоники)
в последнее время начинают находить все большее применение
в различных быстродействующих системах автоматического
регулирования и управления. В таких системах могут возникать процес-
275

Рис. 11.16. Схема струйного усилителя
сы, при расчете которых необходимо учитывать инерцию среды
в самих струйных элементах.
Не останавливаясь здесь на схемах и статических
характеристиках различных типов струйных элементов, которые
достаточно подробно описаны в
книгах [21, 69], рассмотрим
основные особенности
неустановившегося движения
рабочей среды в непрерывных
струйных элементах. Следуя
работе [79], примем
упрощенную схему
пропорционального струйного усилителя,
приведенную на рис. 11.16.
Рабочая среда с постоянным
расходом Qn подводится в
усилитель по соплу питания
шириной Ьп и глубиной Л. Если
в управляющих каналах
создается разница в давлениях
РУ1 и /?у2, то вытекающая из
сопла питания струя рабочей среды отклоняется влево или вправо
от оси сопла. При этом в выходных каналах один из расходов QBl
или Qb2 увеличивается, а другой уменьшается. Соответственно
увеличиваются и уменьшаются давления рв1 и рв2, так как к
выходным каналам обычно подключается нагрузка, обладающая
гидравлическим сопротивлением.
Из управляющих каналов
потоки среды с расходами Qyl и Qy2
поступают в вентиляционные
каналы, соединенные с
атмосферой. В вентиляционные каналы
попадает также часть рабочей
среды из-за возникновения
обратных потоков при входе в
выходные каналы. При полностью
закрытых выходных каналах
весь поток рабочей среды,
вытекающей из сопла питания,
делится на две части, одна из которых
направляется в левый
вентиляционный канал, другая — в
такой же правый канал. Суммарный расход среды, протекающей по
левому вентиляционному каналу, равен QVi, а по правому — QF2,
Найдем передаточную функцию струйного усилителя, не
учитывая сжимаемость рабочей среды. Для этого сначала рассмотрим
взаимодействие потоков в зоне управляющих каналов (рис. 11.17).
Выделим штриховыми линиями объем, включающий участок выте-
276
Рис. 11.17. Схемы для определения
передаточной функции управляющих
каналов

кающей из сопла питания основной струи. Пренебрегая в пределах
этого объема вязкостью среды и неустановившимся характером ее
течения, запишем в проекциях на ось х уравнение количества
движения
Рун ^у ~ Pyi^y = PQn^n sin 8 + pQyi^yi sin 0 + pQy2i>yiisin e —
- (pQy2»y2 ~ pQyl^yl), A1.67)
где Fy = byh — площадь проходного сечения управляющего
канала.
Входящие в уравнение A1.67) скорости движения среды и
расходы можно связать соотношениями
Qn Qyi Qya Qyi Qy2
У
A1.68)
где
Fu = bnh\ ^yi=(ay-&ytg0)/i; Fyn= (ay + 6y tg 6) A; A1.69)
By — коэффициент, учитывающий искажение сечения управляющих
потоков, вытекающих между кромками стенок управляющих
каналов и поверхностью основной струи.
С помощью соотношений A1.68) и A1.69) приведем уравнение
A1.67) к виду
рО2 рОа
Fy
Для малых отклонений переменных от значений,
соответствующих осевому направлению основной струи @О = 0), после
линеаризации уравнения A1.70) будем иметь
ДруП - ДрУ1 = /ti6 - ^ (AQy2 - AQyl), A1.71)
^у
где
Qyo = (Qyi)o = (Qy2)o — расход среды в каждом управляющем
канале при 8=0.
Давления pyi и руц, действующие на границах выделенного
объема, и расходы Qyl, Qy2 связаны некоторой зависимостью,
характеризующей истечение рабочей среды из управляющих каналов
в вентиляционные каналы. В малых отклонениях эти зависимости
можно представить в виде
Дру1 = /С, AQyi; Друц - К* AQy2, A1.73)
277

где /С2 — коэффициент, значение которого в дальнейшем
определять не потребуется.
Из соотношений A1.73) находим
' Аруп - Apyi = Кг (AQy2 - AQyl). A1.74)
С учетом соотношения A1.74) уравнение A1.71) приводится
к виду
(| ||O)-AQyl). A1.75)
При исследовании динамических характеристик струйного
усилителя в качестве входной величины обычно принимают перепад
давления в управляющих каналах, переменные во времени
значения которого проще осциллографировать, чем переменные
значения разности управляющих расходов среды. Чтобы заменить в
уравнении A1.75) AQy2 — AQyi на Дру2 — Д/?у1, воспользуемся
рассмотренным в гл. IX уравнением (9.85) неустановившегося ламинарного
движения несжимаемой среды в трубе. В данном случае применим
следующую форму записд такого вида уравнений:
xay^aAQyi = Apyl^Apyi; A1.76)
d (AQV2)
Ly —ф~ + xay#a AQy2 = Apy2 - Apyii, A1.77)
где Ly — индуктивность или инертность управляющего канала;
L/y === Хрурр/у//'у,
ХрУР — скорректированный с учетом нестационарного
распределения местных скоростей по сечению управляющего канала
коэффициент количества движения; xayRa — активное сопротивление
управляющего канала при неустановившемся движении среды.
Активное сопротивление хау/?а управляющего канала
определяется как произведение корректива хау и квазистационарного
значения /?а активного сопротивления канала. При ламинарном
движении среды /?а можно вычислить для канала прямоугольного
сечения, используя формулу для круглой трубы
#a = 8pv/y/jtAi, A1.78)
если площадь F = nrl сечения трубы принять равной площади
Fy = byh сечения управляющего канала и ввести поправочный
коэффициент k (h), зависящий от отношения h = h/br
Полученная таким способом формула имеет вид
Яа = 8pvlYnh2k (h)/h\ A1.79)
• Значения поправочного коэффициента k (h) даны в виде графика
на рис. 11.18 [89],
278

Коррективы >tay и хрур находятся по методике, описанной в гл. IX
в результате решения уравнения неустановившегося
ламинарного движения в канале прямоугольного сечения. При этом вместо
безразмерной частоты со = юго/Sv, принимаемой для круглых труб,
можно использовать безразмерную частоту
Conp = co/i2/8v. A1.80)
Вычисления показывают, что при сопр > 20 значения
корректива ха.пР канала с прямоугольным
сечением получаются близкими к значениям кщ
хаОо канала неограниченной ширины,
т. е.
A1.81)
V
\
\
s
f
f
10°
>сасо = @,35 -f- 0,37) У co/i2/8v. A1.82)
Коэффициент количества движения
Хр.ПрР для канала с прямоугольным
сечением при ©пр > 20 лежит в пределах
от 1,2 до 1, причем при юпр> 100
значение хр#прр можно принимать равным
единице.
Вычитая из уравнения A1.77) уравнение A1.76) и учитывая
одновременно соотношение A1.74), получим следующее выражение:
Рис. 11.18. Поправочный
коэффициент для
определения кйу
AQyi) - АрУ2 -
A1.83)
Прибавляя к левой части данного уравнения и вычитая из него
член Ra (AQy2 — AQyX), приведем это выражение к виду
""У dt
+ (К2 + R&) (AQy2 — AQyi) = Apy2 — Apyl. A1.84)
В уравнении A1.84) все коэффициенты, кроме К2 + Ray могут
быть вычислены по указанным выше соотношениям. Коэффициент
^з ^ Кг + R& определяется по входной характеристике
струйного усилителя, которой является зависимость установившегося
расхода в канале управления от установившегося давления на
входе в этот канал. Так как оба канала управления имеют
одинаковые входные характеристики, то
(AQy2)yCT == (AQyi)yCT
3 (ДРуг)уст (ДРуОуст '
где (AQyi)ycT, (AQy2)yCT, (Ару1)уст и (Apy2)yCT — определяемые по
входным характеристикам струйного усилителя отклонения расхо-
279

дов и давлений в каналах управления от значений,
соответствующих режиму при ру1 = ру2, т. е. при 6;0 = 0.
После преобразования уравнения A1.84) по Лапласу найдем
операторное полное сопротивление (импеданс) Zy (,s) управляющих
каналов:
где Ху = (хау — l)Ra + К3 — активное сопротивление
управляющих каналов, включая область истечения рабочей среды
в вентиляционные каналы.
Выполнив преобразование по
Лапласу уравнения A1.75) и учтя
соотношение A1.85), получим
передаточную функцию управляющих каналов
ТТ7Т / _ \ ^ ' — У
zy(s)'
A1.86)
где
-2pQ
y0
Кг Кь
Передаточную функцию
можно также записать в виде
A1.86)
A1.87)
Рис. 11.19. Отклонение струи гАе Ь = V*y ~ постоянная време-
в области вентиляционных ка- ни управляющих каналов; Дер =
налов • = Ку/Ху — коэффициент передачи
управляющих каналов.
Рассмотрим теперь взаимодействие потоков в области
вентиляционных каналов, используя в основном метод из работы [79].
Кроме ранее принятых допущений о несжимаемости рабочей среды
и невязкости ее в пределах основной струи, в этом методе
предполагаются постоянными скорость рабочей среды по сечению
основной струи и давления в вентиляционных каналах вдоль струи.
В отличие от работы [79] учитывается нестационарность
гидравлического сопротивления каналов.
Уравнение движения струи в направлении,
перпендикулярном к ее оси при 00 = О (рис. 11.19), можно записать в виде
A1.88)
где 8у — боковое смещение основной струи под действием перепада
давления в вентиляционных каналах на расстоянии / от кромок
управляющих каналов.
280

Полагая скорость среды вдоль струи постоянной и равной
скорости vn в сопле питания, уравнение A1.88) приведем к виду
pbnv*n-jir. A1.89)
Дважды интегрируя данное уравнение по длине струи с учетом
граничных условий dbyldl = О и Ьу — Q при / = 0, найдем
Полное боковое смещение б струи на расстоянии / от кромок
управляющих каналов при малых углах 6 определим как
6 = 6/ + 6y-Sv, A1.91)
где бу — боковое смещение струи на выходе из зоны управляющих
каналов (по линии АЕУ рис. 11.16).
В дальнейшем смещением бу будем пренебрегать. При этом из
соотношений A1.90) и A1.91) находим
>\ A1.92)
Боковое смещение бв основной струи перед входом в выходные
каналы получим из зависимости A1.92) при / = /0:
Перепад давлений pVl — ру2 можно определить по уравнениям
количеств движения, записанным для левого и правого
вентиляционных каналов. Для левого канала .(см. рис. 11.16),
ограниченного контуром A BCD, с учетом нестационарности касательных
напряжений на поверхностях крышек имеем
^Qvi, • (П.94)
где Kcd и Кав — проекции количеств движения, проносимых
сквозь границы CD и АВ\ кау — корректив, который, принимая
во внимание прямоугольную форму сечения вентиляционного
канала, можно приближенно вычислять по формуле A1.81); (ы = pv.
Для правого канала, ограниченного контуром EFGJ,
записываем аналогичное уравнение количества движения:
Qv2, (И.96)
где Kqj и Kef — проекции количеств движения, проносимых
сквозь границы GJ и EJ.
281

Вычитая из уравнения A1.94) уравнение A1.95), получаем
A1.96)
Расходы QVl и QV2 рабочей среды, протекающей по
вентиляционным каналам, можно представить в виде суммы нескольких
расходов:
h
^ ^^bdl; A1.97)
yQB2-/*| \ bdl. A1.98)
В зависимостях A1.97) и A1.98) величина Qm является
расходом рабочей среды, отделяющейся от основной струи при входе
в выходные каналы. Последние члены в этих зависимостях
определяют расходы, вызванные боковым перемещением основной струи.
Разность расходов в вентиляционных каналах
/о
Qvi - Qv2 = 2Qm + (Qyl - Qy*) - (QBl - QB2) + 2h ^[ 6 dl. A1.99)
Расход Qm согласно работе [79] приближенно можно выразить
соотношением
Qm = (/ii;n/12NB. A1.100)
При полностью закрытых выходных каналах и при малых
отклонениях основной струи можно пренебречь разницей в расходах
управления Qyl и Qy2, а также разницей в расходах QBl и QB2. Тогда
с учетом соотношения A1.100) уравнение A1.99) приводится к виду
h
A1.101)
где AQi/i и AQ^2 — отклонения расходов рабочей среды в
вентиляционных каналах от значений, имеющих место при 0 = 0.
Чтобы выразить расход, определяемый интегралом в правой
части уравнения A1.101), в виде функции от 8В, воспользуемся
зависимостями A1.92) и A1.93). Исключив из них pvx — Pvz>
найдем
при этом
\odl = -^--\—о~« (ll.lu/j
282

При частотах, близких к резонансной частоте вентиляционного
канала, второй член в правой части зависимости A1.102)
превосходит первый член, что позволяет для расчета частотных
характеристик усилителя применять упрощенную зависимость
/о
t б dl f& .
В этом случае уравнение A1.101) можно привести к виду
AQk2 = ^6b + ^^. A1.103)
С учетом данного выражения уравнение A1.96) для малых
отклонений переменных в предположении пренебрежимо малого
изменения 2 К записывается в виде
Лп Ал 2р/° **¦ 4-
Apvl - kpvi = — 4F +
A1.104)
Перейдя в зависимости A1.93) к малым отклонениям и затем
подставив в нее значение kpvi — kpvz из уравнения A1.104),
получим
lv ч /0 d6B / , xaKv/0/y^
Отсюда находим передаточную функцию
где Т^— постоянная времени вентиляционных каналов; ^к —
коэффициент относительного демпфирования вентиляционных каналов;
Kv — коэффициент передачи;
2-v *kv-
l0
283

Примем, что разность малых изменений давлений Дрв1 — Дрв2
в выходных каналах определяется соотношением
ApBi — Арв2 = /Срб^в»
которое в изображениях по Лапласу имеет вид
Арв1 (s) - Дрв2 (s) ^ Крббв (s), A1.106)
где /Срб — коэффициент передачи, не требующий определения.
Рассматривая совместно передаточные функции A1.87), A1.105)
и A1.106) и учитывая запаздывание в передаче изменения угла 0
вдоль основной струи, найдем передаточную функцию всего
струйного усилителя:
где Key = Kq?KvKp6 — коэффициент усиления струйного
усилителя, который находится по статической характеристике рв1 — рв2 =
^ / (РУ2 — Pyi)-
Передаточная функция A1.107) была получена для струйного
усилителя с полностью закрытыми выходными каналами. При
работе струйного усилителя с пропуском расхода рабочей среды
по выходным каналам эту передаточную функцию необходимо
умножить на передаточную функцию выходных каналов, составленную
с учетом устройств, подключенных к усилителю. Такая
передаточная функция нагруженного струйного усилителя будет
приближенной -не только вследствие принятых выше допущений, но также
из-за того, что в ней не учитывается внутренняя обратная связь,
вызванная изменениями расходов QBl и QB2.
Передаточная функция A1.107) показывает, что в струйном
усилителе может возникать резонанс из-за неустановившегося
движения рабочей среды в вентиляционных каналах.

Глава XII
СЛЕДЯЩИЕ ГИДРО-
И ПНЕВМОПРИВОДЫ
С ДРОССЕЛЬНЫМ
РЕГУЛИРОВАНИЕМ
§ 12.1. УРАВНЕНИЯ ГИДРОПРИВОДА С ДРОССЕЛЬНЫМ
РЕГУЛИРОВАНИЕМ
В гидроприводах с дроссельным регулированием в качестве
исполнительных устройств используются: гидродвигатели, у которых
выходное звено (шток или вал) совершает
возвратно-поступательное движение; гидродвигатели с возвратно-поворотным движением
выходного звена на угол меньший 360° (моментные гидроцилиндры)
и гидродвигатели, обеспечивающие неограниченное вращательное
движение выходного звена (гидромоторы). Наиболее широкое
распространение в различных системах управления получили
гидроприводы с гидроцилиндрами, имеющими выход штока в обе стороны,
поэтому вопросы динамики ниже будут рассматриваться
применительно к таким приводам, но излагаемая методика расчетов легко
переносится и на приводы с другими гидродвигателями. В
динамике систем управления основными вопросами являются
устойчивость и качество процессов регулирования, их решейие в этой
главе будет дано для следящих гидро- и пневмоприводов с
механическим управлением. Распределительные устройства этих
приводов управляются рычажными механизмами, причем входной сигнал
может задаваться от руки оператора или от какого-либо
управляющего устройства.
На рис. 12.1 приведена схема гидропривода, которая будет
использована при составлении основных уравнений. Механизм
управления приводом состоит из рычагов ЛОВ и COD. При смещении
точки А рычага АОВ в направлении, показанном на схеме
стрелкой, золотник смещается влево, соединяя левую полость
гидроцилиндра с напорной, а правую его. полость — со сливной
магистралью. Под действием возникшего в полостях перепада давления
поршень гидроцилиндра перемещается дправо. Вместе со штоком
поршня вправо перемещается точка С рычага COD. Поршень будет
перемещаться до тех пор, пока точка О не займет положение О',
которому при фиксированном положении А' точки А соответствует
нейтральное положение золотника. Таким образом, рычагом АОВ
осуществляется входное воздействие на данный следящий привод,
а рычагом COD обеспечивается обратная связь. Коэффициенты пере-
285

дачи механизма управления, очевидно, зависят от отношений плеч
указанных рычагов.
Любой привод при работе в системе управления должен
преодолевать те нагрузки (силы и моменты сил), которые действуют на
него со стороны регулирующего органа управляемого объекта.
При расчетах приводов эти нагрузки принято разделять на
инерционную, позиционную и трение.
Инерционная нагрузка на привод создается массами
перемещаемых с ускорением частей регулирующего органа. Например,
если привод используется в авиационной системе управления, то
инерционная нагрузка будет обусловлена массой рулей или
элеронов, которые можно рассматривать как регулирующие органы
самолета. Массы перемещаемых приводом частей при исследовании его
\
Рис. 12.1. Схема
гидропривода с дроссельным
регулированием и с механическим
управлением
динамики обычно заменяют приведенной к направлению движения
выходного звена массой. В нашем случае выходным звеном является
поршень гидроцилиндра, и приведенная к направлению движения
его штока масса принята равной т. Связь выходного звена привода
с регулирующим органом объекта управления обладает
упругостью. На схеме эта упругая связь условно показана в виде пружины
жесткостью ссв.
Позиционная нагрузка характеризуется зависимостью усилий,
преодолеваемых приводом при управлении регулирующим
органом объекта, от положения выходного звена привода. При
управлении рулями самолета позиционная нагрузка создается
аэродинамическими моментами. Часто позиционная нагрузка может быть
принята в виде линейной зависимости усилия (силы или момента)
от положения выходного звена привода. Мы будем полагать, что
действие позиционной нагрузки можно заменить действием
пружины жесткостью сНУ которая при движении поршня гидроцилиндра
вправо от среднего положения сжимается, а при движении влево —
растягивается. При среднем положении поршня усилие этой
пружины равно нулю.
Силы трения, нагружающие привод, возникают вследствие
движения регулирующего органа в окружающей среде (например, при
движении руля самолета в воздухе), вследствие трения поверхно-
286

стей подвижных элементов регулирующего органа и вследствие
трения элементов исполнительного устройства привода.
Зависимости сил трения от скорости v элемента, на который они действуют,
могут быть достаточно сложными. При расчетах приводов эти
зависимости приближенно заменяются одной из трех характеристик,
изображенных на рис. 12.2. Рассматривая динамику гидро- и
пневмоприводов, будем сначала предполагать трение гидравлическим и
соответственно использовать первую характеристику. Затем
определим, как влияет на устойчивость гидропривода трение,
описываемое двумя другими характеристиками.
В реальных условиях крепление исполнительных устройств
не может быть абсолютно жестким, поэтому на схеме показана
пружина жесткостью соп, которой учитывается возможная упругость
опоры гидроцилиндра.
Ртр
Ртр
А,
е-
-V'
«) В)
Рис. 12.2. Характеристики сил трения:
— гидравлического; б — сухого; в — смешанного
Для описанной схемы составим уравнения гидропривода,
предполагая, что питание его жидкостью осуществляется от источника
с неограниченным расходом при pn = const. Кроме того,
трубопроводы от распределительного устройства к гидроцилиндру будем
принимать настолько короткими, чтобы можно было не учитывать
возникающие в них волновые процессы. Последнее предположение
является справедливым, если частота этих процессов оказывается
на порядок выше возможной частоты колебаний поршня
гидроцилиндра.
Уравнение движения поршня гидроцилиндра согласно второму
закону Ньютона запишем в виде
-(РгР)а-С„(У-Ут)=»1паЛ,
A2.1)
где рп == рг — р2 — перепад давления в полостях гидроцилиндра
из-за действия нагрузки; (Ртр)ц — сила трения, приложенная
к поршню гидроцилиндра; у и ут — координаты, определяющие
положение поршня гидроцилиндра и массы т\ тп — масса поршня
и штока гидроцилиндра; F^ — рабочая площадь поршня
гидроцилиндра.
287

Если пренебречь силой трения (Ртр)ц и массой тп, то
уравнение A2.1) примет вид уравнения статики
P*F*-Cn{y-ym) = 0. A2.2)
Уравнение нагрузки на шток гидроцилиндра получим
аналогично уравнению A2.1):
. СсВ(у-Ут)-сяУт-(Ртр)п = т^, A2.3)
где (Ртр)н — сила трения, действующая в виде нагрузки со стороны
регулирующего органа, управляемого приводом.
При гидравлическом трении
(P?P)* = krp(dym/dt), A2.4)
где &тр = tipv tga определяется по характеристике вида,
приведенного на рис. 12.2, а\ tipv — коэффициент масштабов.
После подстановки значения (Ртр)н из соотношения A2.4) в
уравнение A2.3) имеем
^ ^ ^т = ^. A2.5)
Скорость движения поршня гидроцилиндра регулируется
изменением расходов жидкости, поступающей в одну полость
(например, в левую) и вытекающей из другой полости (правой)
гидроцилиндра. Сжимаемость жидкости и упругость опоры гидроцилиндра
оказывают влияние на зависимость скорости движения поршня от
расхода жидкости. Эту зависимость найдем по уравнению расходов.
При смещении золотника влево от нейтрального положения через
окно во втулке в левую полость гидроцилиндра поступает жидкость
с массовым расходом, который без учета утечек жидкости из
полости можно представить в виде
PiQi = ^Pi(^ + ^ixP), A2.6)
где р! — плотность жидкости в левой полости гидроцилиндра;
Qx — объемный расход жидкости, втекающей в левую полость
гидроцилиндра; Vx — объем жидкости, заключенной в левой
полости гидроцилиндра; VlTp — объем жидкости в трубопроводе,
который соединяет золотниковый распределитель с левой полостью
гидроцилиндра:
Выполнив дифференцирование в правой части уравнения A2.6)
и применив соотношение (8.5),. получим
Pi dpt
<127)
где Вж1 — модуль объемной упругости жидкости в левой полости
гидроцилиндра.
288

Не учитывая, деформацию стенок трубопровода, объем 1/1тр
можно считать постоянным и уравнение A2.7) можно привести
к виду
Объем Vx полости гидроцилиндра изменяется вследствие
перемещения поршня и перемещения самого гидроцилиндра из-за
упругости его опоры, поэтому
dVi^Fidy-Fbdy^ A2.9)
где z/ц — координата, определяющая положение гидроцилиндра
относительно внешней опоры.
Пренебрегая массой гидроцилиндра, запишем следующее
соотношение для приращений действующих на него сил:
Condy^ — Fudpr / A2.10)
С помощью соотношений A2.9) и A2.10) уравнению A2.8)
придадим вид
Так же определяется уравнение расхода жидкости,
вытекающей из правой полости гидроцилиндра:
О -F dy + *i *s_ XlIi +V^R]^1 П2 12)
ч*-^~п + ^ dt вж2\ + vj dt> \и-и>
где ВШ2 — модуль объемной упругости жидкости в правой полости
гидроцилиндра.
Если ограничиться рассмотрением малых по сравнению с
полным ходом перемещений поршня гидроцилиндра от своего среднего
положения, то можно объемы Vx и V2 принять постоянными и
равными Vo — половине всего объема гидроцилиндра. Кроме того,
обычно допустимо считать, что
Когда позиционная нагрузка при среднем положении поршня
равна нулю, давления в полостях гидроцилиндра близки к
значению (рп — /?сл)/2, что позволяет при. малых содержаниях нераст-
воренного воздуха в жидкости полагать
При перечисленных ограничениях и в предположении
равенства гидравлических сопротивлений всех четырех щелей,
открываемых золотником во втулке, мгновенные расходы Qx и Q2 можно
заменить одним значением Q3. Просуммировав с учетом сказанного
Ю попов д. н. 289

левые и правые части уравнений A2.11) и A2.12), найдем
рде
V
14- -IE.
Vo ^ V0con
Величину ?ц назовем приведенным модулем упругости
гидроцилиндра с упругой опорой.
Как видно из соотношения A2.14), при соп = оо значение ?ц
будет
/(^) . 02.14')
Расход жидкости Q3 определяется расходно-перепадной
характеристикой золотникового распределителя, которая, как следует
из § 11.1, в общем случае является нелинейной функцией
перемещения золотника х3 и перепада давления рн в полостях
гидроцилиндра:
Q3 = Q3(*3, Рн). A2.15)
Уравнения A2.1) или A2.2) и A2.5), A2.13), A2.15) описывают
динамику нагруженного гидроцилиндра, скорость движения поршня
которого регулируется четырехдроссельным золотниковым
распределителем. К этим уравнениям необходимо присоединить
уравнение механизма управления. Если корпус золотника и точка D
рычага COD закреплены независимо от гидроцилиндра и не
перемещаются при работе гидропривода, то для небольших углов
поворота рычагочв АОВ и COD из очевидных кинематических
соотношений имеем
xa = Kxhh-Kocy, A2.16)
|у ОВ 1 «
где Ад?л = ^-~- коэффициент передачи механизма управления по
г, АВ DO 1 j. ^
сигналу управления; аос^тпгп "" коэффициент обратной связи.
Если корпус золотника и точка С перемещаются при смещении
гидроцилиндра из-за податливости его крепления, то в уравнение
A2.16) механизма управления должен быть добавлен член,
учитывающий действие дополнительной обратной связи по перепаду
давления в гидроцилиндре. Этот случай рассмотрен в § 12.6.
§ 12.2. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ГИДРОПРИВОДА
С ДРОССЕЛЬНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ
Для получения линейной математической модели гидропривода
необходимо линеаризовать функцию A2.15), описывающую рас-
ходно-перепадную характеристику золотникового распределителя.
290

С учетом утечек жидкости по зазорам между золотником и втулкой
расходно-перепадная характеристика, вообще говоря, может быть
линеаризована в любой точке (§ 11.1). Однако следует иметь в виду,
что от выбора точки, в окрестности которой линеаризуется расходно-
перепадная характеристика, зависят условия использования
уравнений гидропривода. Если эта точка соответствует смещенному от
нейтрали золотнику^ то приходится принимать во внимание, что
поршень гидроцилиндра будет находиться в движении и значения
объемов Vx и 1Л2 будут изменяться во времени. В этом случае
уравнение A2.13) можно применять только на ограниченном отрезке
времени, в течение которого поршень перемещается вблизи своего
среднего положения. Указанное ограничение отпадает, если
линеаризация расходно-перепадной характеристики проводится при
нейтральном положении золотника, которому отвечает равновесное
среднее положение поршня гидроцилиндра.
Чтобы охватить оба возможных случая линеаризации, будем
рассматривать малые отклонения переменных относительно тех
значений, которые соответствуют смещенному от нейтрали на
величину хз0 золотнику. Эти значения, как и ранее, будем отличать
индексом «О», а отклонения — символом А. При этом переменные,
входящие в уравнение гидропривода, выразим так:
A2.17)
В случае выбора точки линеаризации в окрестности,
определяемой нейтральным положением золотника и средним положением
поршня гидроцилиндра, в соотношениях A2.17) следует полагать
К = О, хз0 = О, у0 = 0, ут = О, Q30 = 0, рн0 = 0. При этом для
краткости символ А перед переменными может быть опущен после
приведения уравнения к линейному виду. Линеаризовав функцию
A2.15) и учитывая зависимость A1.15), получим
A2.18)
Остальные уравнения гидропривода с помощью соотношений
A2.17) представим в виде
-Аг/т)==О; A2.19)
A2.22)
Если в уравнениях A2.18) — A2.22) принять все отклонения
и их производные по времени равными нулю, то полученные таким
образом уравнения будут описывать невозмущенное состояние гидро-
291

привода. Это состояние является равновесным, если
dy0 __ dym0 dpH0 __ ~
dt """ dt dt
Вычитая из уравнений A2.18) — A2.22) уравнения
невозмущенного состояния гидропривода, находим уравнения гидропривода
в малых отклонениях переменных:
AQ3 = Kqx Л*з - KQp ApH; A2.23)
_ A2.24)
= ^свАу; A2.25)
_ р d (Ay) , Vp
Ax3 = KxhM-K0Cby. A2.27)
Преобразовав уравнения A2.23) — A2.27) по Лапласу при
нулевых начальных условиях и исключив затем изображения всех
отклонений, кроме изображений отклонений входной ДА (s) и
выходной Аут (s) величин, получим
»«(в)- A2.28)
В большинстве случаев значения членов, которые заключены
без множителя s в квадратные скобки в левой части уравнения
A2.28), малы по сравнению с единицей. С учетом этого уравнение
можно записать в виде
TTns (TW + 2?Ц7> + 1) АУт (s) = КхН АЛ (s) - (Кос + Ки) Аут (s).
A2.29)
Коэффициентами уравнения A2.29) являются:
1. Гидравлическая постоянная времени привода
A2.30)
2. Механическая постоянная времени гидроцилиндра с
приведенной к его штоку массой, создающей инерционную нагрузку:
A2.31)
где Сц — приведенная жесткость нагруженного гидроцилиндра;
тг-,. A2.32)
292

при абсолютно жесткой связи (ссв = оо) вместо Сц имеем
c'lx = 2F\E'lxlV0. A2.32')
3. Коэффициент относительного демпфирования
?Ц = ГДЦ/27Ц> A2.33)
где Тдц — постоянная времени демпфирования гидроцилиндра;
т _ 'W , k?VV0 , Ч , KQxKocm n n одч
* дц— ~~pi г 2F2Ef * ~c ' ?~c ' * '
ц ц ц ев ц ев
4. Коэффициент «внутренней обратной связи», вызванной
действием позиционной нагрузки,
If If п ITS V /1О QK\
Ан ~ AQp^H/Aq#*ц. AZ.оО^
В уравнение входят также ранее объясненные коэффициенты
передачи Кхн механизма управления и обратной связи /Сос [см.
уравнение A2.16)].
Постоянные времени Ггп, Т*ц, коэффициент относительного
демпфирования ?ц и коэффициент внутренней обратной связи Ки
выражают ряд свойств гидропривода. Гидравлическая постоянная
времени Ттп определяет время заполнения жидкостью пространства,
освобождаемого в гидроцилиндре при перемещении его поршня
на величину, равную смещению золотника от нейтрали. Очевидно,
что это время будет тем меньше, чем больше при одном и том же
смещении золотника пропускная способность распределителя
(больше Kqx) и меньше рабочая площадь Fu гидроцилиндра. С
уменьшением времени заполнения гидроцилиндра увеличивается скорость
движения поршня, и поэтому постоянная времени Ггп
характеризует быстродействие гидропривода.
Величина 1/7ц является угловой частотой сооц
недемпфированных колебаний массы т, имеющей упругую связь с поршнем
гидроцилиндра, который заполнен сжимаемой жидкостью и закреплен
на упругой опоре. Эта частота с уменьшением Тц увеличивается.
Коэффициент относительного демпфирования ?ц учитывает
действие демпфирующих факторов, обусловленных наличием
гидравлического трения в нагрузке и гидравлического сопротивления
распределителя. Кроме того, этот коэффициент учитывает падение
притока энергии в ^гидропривод, вызванное уменьшением расхода
жидкости, протекающей через распределитель, при увеличении
перепада давления в гидроцилиндре.
Коэффициентом Ки устанавливается пропорциональное
соотношение между смещением поршня гидроцилиндра и условным
смещением золотника, к которому в линеаризованных уравнениях
приводится изменение расхода жидкости из-за изменения перепада
Давления в полостях гидроцилиндра при действии позиционной
нагрузки. От этого коэффициента зависит статическая ошибка,
с которой поддерживается заданное положение штока гидроцилин-
Дра. При малых утечках жидкости через распределитель и малых
293

смещениях л;3о золотника от нейтрали коэффициент Кп оказывается
обычно значительно меньше /Сос. В дальнейшем в основном
рассматриваются именно такие случаи, когда /Сн можно пренебречь по
сравнению с /СОс.
Построенная с этим допущением по уравнению A2.29)
структурная схема гидропривода изображена на рис. 12.3. Из схемы
видно, что гидропривод имеет замкнутый контур, в прямой цепи
которого последовательно включены интегрирующее и
колебательное звенья, а отрицательная обратная связь представлена
пропорциональным звеном. При возникновении колебаний в такой системе
сдвиг по фазе величин Ах3 и КоЛУт может быть равен —180° при
значениях относительной амплитуды больше единицы, что
указывает на возможную неустойчивость гидропривода.
Физическая причина неустойчивости гидропривода
заключается в том, что вследствие сжимаемости жидкости и упругости опоры
Afi(s)
Рис. 12.3. Структурная
схема гидропривода с
дроссельным
регулированием
гидроцилиндра шток с присоединенной, к нему массой m по
инерции проходит заданное положение равновесия. При этом механизм
обратной связи смещает золотник от нейтрального положения и
в гидроцилиндре создается перепад давления, вызывающий
возвратное движение поршня вместе с массой т, которые снова
«проскакивают» положение равновесия. Теперь золотник смещается
от нейтрального положения в другую сторону, опять изменяется
направление движения поршня с массой т. Если поступающая
з гидропривод, с потоком жидкости энергия будет превосходить
затраченную из-за диссипации энергию, то возникшие колебания
окажутся расходящимися по амплитуде.
Рассматриваемая здесь линейная модель гидропривода при
некотором сочетании параметров может попадать на границу
устойчивости. В этом случае колебания имеют постоянную амплитуду,
зависящую от величины начального возмущения. Однако при
малейшем изменении параметров гидропривода колебания становятся
либо расходящимися (гидропривод неустойчив), либо сходящимися
(гидропривод устойчив). Характеристики реального гидропривода
обычно всегда содержат нелинейности, из-за которых амплитуда
колебаний будет ограничиваться, и тогда могут устанавливаться
автоколебания.
Если гидропривод не нагружен (т = 0, kTp = 0, сп = 0), то
в структурной схеме сохраняется только интегрирующее звено,
охваченное отрицательной обратной связью. В этом случае контур
294

можно заменить одним устойчивым апериодическим звеном.
Следовательно, гидропривод без нагрузки будет устойчив; переходные
процессы в нем находятся из решения уравнения
s)=tt*-AA(s), A2.36)
к которому приводится уравнение A2.29) при Гц = 0 и Кн = 0.
При базовых величинах
&У%, И А* = КоЛУт/Kxh
уравнение A2.36) записывается в безразмерных переменных в виде
(^s+l)Aym(s) = kh(s), A2.37)
где
2Й= Aft/ft*.
В случае единичного ступенчатого воздействия (скачка) АЛ =
= 1 (/) решение уравнения A2.37)
имеет вид
1 -е
~ 'W А
A2.38)
Решение A2.38) показывает, что
чем больше величина
DT = KojTrni A2.39)
Рис. 12.4. Переходные процессы в
ненагруженном гидроприводе при
двух значениях добротности: Dr и
Чем больше добротность ги-
тем быстрее гидропривод
«отслеживает» входное воздействие (рис.
12.4). Величину Dr называют
добротностью
гидропривода с дроссельным регулированием
дропривода, тем больше его быстродействие. Согласно соотношению
A2.39) добротность гидропривода увеличивается с увеличением
коэффициента обратной связи /Сос и с уменьшением постоянной
времени Ггп.
§ 12.3. УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ
В СЛЕДЯЩЕМ ГИДРОПРИВОДЕ
С ДРОССЕЛЬНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ
Для исследования устойчивости нагруженного гидропривода можно
воспользоваться любым рассмотренным в первой части критерием.
В связи с тем, что уравнению A2.29) данной замкнутой системы
соответствует характеристическое уравнение третьей степени,
удобно применить критерий Гурвица, который позволяет найти условие
устойчивости гидропривода в виде общего соотношения. При Ка = 0
характеристическое уравнение имеет вид
= 0.
A2.40)
295

Все коэффициенты характеристического уравнения A2.40), как
следует из вывода уравнения A2.29), являются положительными
величинами, поэтому исследуемое состояние гидропривода будет
устойчиво, если
A2.41)
С учетом соотношения A2.33) условие устойчивости A2.41)
можно записать в виде
ТтТтп>КоЛ * A2.42)
Неравенства A2.41) и A2.42) показывают, что устойчивости
гидропривода способствует увеличение постоянной времени Ттп
и уменьшение коэффициента обратной связи /С0с, т. е.
уменьшение добротности Dr гидропривода и, следовательно, уменьшение
его быстродействия. Это условие отражает общее для большинства
систем автоматического регулирования правило: повышение
быстродействия снижает устойчивость.
Кроме того, на устойчивость гидропривода положительно влияет
увеличение коэффициента относительного демпфирования ?ц и
уменьшение постоянной времени Тц.
Если параметры гидропривода и нагрузки известны, то проверка
его устойчивости не вызывает затруднений, так как входящие
в неравенства A2.41) или A2.42) величины достаточно просто
вычислить по соотношениям A2.30) — A2.34). Влияние отдельных
параметров на устойчивость гидропривода можно исследовать,
рассмотрев несколько частных случаев.
1. Нагрузка без трения, &тр = 0; связь штока
гидроцилиндра с нагрузкой абсолютно
жесткая, ссв = оо, В этом случае неравенства A2.41) и A2.42)
с учетом соотношений A2.30) — A2.34) приводятся к виду
A2.43)
Заметим прежде всего, что в условие устойчивости A2.43)
не входит масса m нагрузки. Это объясняется одинаковой
зависимостью от массы m постоянной времени Гц и коэффициента
относительного демпфирования ?ц. Согласно соотношению A2.34) с
увеличением массы m при &тр = 0, ссв = оо постоянная времени
демпфирования гидропривода Тдц увеличивается, если Kqp не равно
нулю, что приводит к увеличению ?ц. Таким образом, с одной
стороны масса m в сочетании с упругостью жидкости и опоры
гидроцилиндра является причиной возникновения колебаний, а, с
другой стороны, вызывая сопровождающие эти колебания изменения
перепада давления в гидроцилиндре, способствует уменьшению
расхода жидкости, протекающей через распределитель, и
вследствие уменьшения поступления энергии увеличивает
демпфирование гидропривода.
296

Указанный эффект саморегулирования нагруженного
гидропривода будет тем сильнее, чем больше коэффициент /Cqp. В
окрестности нейтрального положения золотника значение этого
коэффициента зависит от величины утечки жидкости по зазорам между
золотником и втулкой. С увеличением утечек Kqp возрастает.
Если распределитель имеет золотник с отрицательными
перекрытиями, то Kqp будет больше, чем в случае золотника с
положительными перекрытиями. В предположении идеального золотника
коэффициент Kqp по соотношению A1.18) получается равным нулю
при л:3о=О, и, следовательно, равновесие гидропривода с таким
золотником неустойчиво.
Можно приближенно определить смещение идеального
золотника от нейтрали, при котором движение поршня гидроцилиндра
в окрестности своего среднего положения является устойчивым
[75]. С этой целью подставим в неравенство A2.43) значения Kqx
и Kqp из соотношений A1.17) и A1.18) при рн0 = 0. После
обычных преобразований найдем
К%(РРсл), A2.44)
откуда следует, что движение поршня гидроцилиндра,
управляемого идеальным золотником, при отсутствии гидравлического
трения в нагрузке будет устойчивым, если оно происходит со
смещениями золотника от нейтрали, превышающими некоторую величину,
определяемую правой частью неравенства A2.44). При меньших
смещениях золотника гидропривод становится неустойчивым. Это
обстоятельство указывает на существование автоколебаний в
данной модели гидропривода. Реальный гидропривод будет тем ближе
к рассмотренному, чем герметичнее его распределитель при
нейтральном положении золотника и чем меньше трение в гидроцилиндре
и в нагрузке. В таком гидроприводе могут также возникать
автоколебания.
2. Нагрузка с трением, 4тр =^ 0; с в я з ь штока
гидроцилиндра с нагрузкой абсолютно
жесткая, ссв = оо. Кроме того, примем,-что вследствие малых
утечек жидкости в распределителе коэффициент Kqp в
окрестности хз0 = 0 близок к нулю, и поэтому первым членом в правой части
соотношения A2.34) можно пренебречь по сравнению со вторым
членом. Условие устойчивости A2.42) после подстановки в него
вычисленных с учетом сделанных допущений постоянных времени
Ггп, Гц и Гдц приведем к виду
k^XKqxK^mlF^. A2.45)
Используя соотношения A2.30) и A2.39), неравенство A2.44)
можно записать еще так:
kTp>Drm. . A2.46)
297

Неравенства A2.45) и A2.46) показывают, что при наличии
гидравлического трения в нагрузке условие устойчивости выполнимо
при Kqp = 0. Следовательно, в отличие от предыдущего случая
даже при идеальном золотнике равновесие гидропривода может
быть устойчивым. Это свидетельствует о положительном влиянии
на устойчивость гидропривода гидравлического трения в нагрузке.
Масса т входит только в правые части неравенств A2.45) и A2.46),
т. е. она отрицательно отражается на устойчивости гидропривода,
что объясняется отсутствием зависимости постоянной времени
демпфирования Тт от т. Увеличение добротности Dr или
быстродействия гидропривода по-прежнему ухудшает условия его
устойчивости, для соблюдения которых необходимо соответствующее
увеличение &тр или уменьшение т.
В связи с тем, что в данном случае от приведенной жесткости
гидроцилиндра одинаково зависят постоянные времени Гц и ТДц,
сжимаемость жидкости и упругость опоры не влияют на последние
два условия устойчивости, в то время как в условие A2.43) входит
Е'ц. Таким образом, когда демпфирование вызвано снижением
притока энергии в гидропривод вследствие изменения давления в
гидроцилиндре, на условие устойчивости не влияет приведенная
масса т нагрузки (первый случай), а при демпфировании
гидравлическим трением (второй случай) не влияет приведенная жесткость
гидроцилиндра.
3. Нагрузка без трения, &тр = 0; связь-штока
гидроцилиндра с нагрузкой упругая. Если
дополнительно принять Kqp = 0, то по соотношению A2.34)
получим следующее значение постоянной времени демпфирования:
Подставив в неравенство A2.42) это значение постоянной
демпфирования ГДц и значение постоянной времени Гц, определяемое
соотношениями A2.31) и A2.32), замечаем, что условие устойчивости
невозможно выполнить, так как требуется иметь Vo < 0. Если не
учитывать сжимаемость жидкости и опору гидроцилиндра считать
абсолютно жесткой, т. е. положить ?ц = оо, то вместо
неравенства получим тождество. Следовательно, такая модель
гидропривода будет находиться на границе устойчивости.
В рассмотренных выше трех случаях мы выяснили влияние
отдельных составляющих постоянной времени демпфирования Тт
на условия устойчивости гидропривода. Иногда необходимые для
вычисления Тдц значения коэффициентов Kqp и &тр могут быть
неизвестны, но при этом известны статистические значения
коэффициента относительного демпфирования ?ц для среднего положения
поршня гидроцилиндра. При заданном ?ц соотношения
параметров гидроприводов, удовлетворяющих условию
устойчивости, найдем после подстановки в неравенство A2.41) Ггп и Ти
298

с учетом соотношений A2.30), A2.31) и A2.32):
Используя соотношения A1.7), A1.17) и Vo — ц 2тах (где
Утах — полный ход поршня гидроцилиндра), неравенство A2.47)
при рн0 = 0 приведем к виду
> V Jffg/ • A2.48)
При абсолютно жесткой связи (ссв = оо) штока гидроцилиндра
с нагрузкой и при /?сл = 0 из условия A2.48) имеем
ynaxmpn9 A2.49)
где А = /С5си5/16рй^,
причем для ориентировочных расчетов можно принимать
Сц = 0,1 ч-0,2; |i3 = 0,62 4- 0,65.
Формула A2.49) с точностью до коэффициента k повторяет
условия устойчивости, полученные рядом авторов при
исследовании следящих гидроприводов металлорежущих станков [33].
Влияние параметров гидропривода на качество переходного
процесса, вызванного малым сигналом управления, можно
определить, приведя характеристическое уравнение A2.40) к
нормированной форме F.40). Коэффициенты такого характеристического
уравнения связаны с параметрами гидропривода соотношениями
А = 2^УЩ\? B=\lirW\. A2.50)
После вычисления коэффициентов Л и В по кривым,
изображенным на рис. 6.15 и 6.16, устанавливается вид переходного процесса,
находятся степень устойчивости и колебательность. Может быть
решена также задача синтеза: по указанным кривым, исходя из
необходимого вида переходного процесса, выбраны коэффициенты
А и В. Так как параметры нагрузки обычно заданы и,
следовательно, постоянная времени Тп известна, то при выбранных А и В
вычисляются по соотношениям A2.50) добротность Dr гидропривода
и коэффициент относительного демпфирования ?ц, а затем из
соотношений A2.30), A2.33), A2.34) и A2.39) определяются параметры
гидропривода.
При заданных значениях параметров гидропривода устойчивость
и качество процессов можно также проверить частотными методами.
Для этого строятся логарифмические амплитудные и фазовые
частотные характеристики разомкнутого контура гидропривода. Если
299

условия устойчивости выполняются, то находится вещественная
частотная характеристика замкнутого контура гидропривода, после
чего переходный процесс вычисляется описанным в § 6.2 методом.
Ah(s)
Кос
Ayr, i *У
Рис. 12.5. Преобразованная структурная схема гидропривода
При использовании номограмм замыкания для определения
Частотных характеристик замкнутого контура гидропривода его
структурную схему,, показанную на рис. 12.3, удобно привести
к схеме с единичной отрицательной обратной связью (рис. 12.5).
§ 12.4. ВЛИЯНИЕ СУХОГО ТРЕНИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
ГИДРОПРИВОДА
Выше при исследовании устойчивости гидропривода
предполагалось, что одна из составляющих нагрузки на гидроцилиндр
создается только гидравлическим трением. Однако на поршень
гидроцилиндра могут действовать также силы сухого или смешанного
трения. С учетом этих сил математическая модель гидропривода
становится существенно нелинейной и для ее исследования
необходимо применять методы анализа, рассмотренные в гл. VII. Здесь
мы воспользуемся методом гармонической линеаризации (§ 7.6).
В целях упрощения получаемых зависимостей примем связь
штока гидроцилиндра с нагрузкой и опору гидроцилиндра
абсолютно жесткими, полагая соответственно
Ут = У'у dy^/dt^O. A2.51)
Кроме того, предположим, что отсутствует позиционная
нагрузка и, следовательно, сн = 0.
При этих допущениях уравнение движения поршня
гидроцилиндра вместе с присоединенной к его штоку массой т имеет вид
m^ + PTp = FnpH> A2.52)
где ,РТ? = (Ртр)ц + (Рт?)ц — суммарная сила трения в
уплотнениях и в нагрузке.
Заметим, что если масса поршня пга будет соизмерима с массой
m нагрузки, то при выполнении условия A2.51) ее можно учесть,
увеличив численное значение т.
Суммарную силу Ртр от действия трения в гидроцилиндре и
в нагрузке будем определять зависимостью, принятой для сил
300

сухого трения (см. рис. 12.2, б):
PTp = PTp@)signv, A2.53)
где v = dy/dt.
После подстановки силы трения Ртр из соотношения A2.53)
в уравнение A2.52) получим
т
dt2
A2.54)
pTPfk
При возникновении в гидроприводе колебаний все члены
уравнения A2.55) будут периодическими функциями' времени. Если
отношение амплитуды ар
первой гармоники силы
давления Рг = puF ц,
действующей на поршень
гидроцилиндра, к силе сухого трения
Рф @) удовлетворяет условию
аР/Ртр@) > 2,5, то
возможна гармоническая
линеаризация функции Ртр @) sign v
отдельно от уравнения A2.54)
[25]. Это равносильно замене
силы сухого трения Ртр
эквивалентной силой
гидравлического трения Рг. тр,
обеспечивающей за период такое же
поглощение энергии, как при
(рис. 12.6).
При гармонических колебаниях поршня гидроцилиндра
у = ау sin со/
сила гидравлического трения будет
РГа тр = kTp -J- = &траусо cos со/. A2.55)
Работа Лг#тр силы гидравлического трения за период колебания
!л
f
II
v /!
t
Рис- 12-6- График для эквивалентной за-
мены силы СУХОГО тРения силой гидрав-
лического трения
действии силы сухого трения
ау cos2 со/ dt = nkTp
2Я/С0
^г. тр = 3
0
Работа ЛСшТр силы сухого трения за период колебания
A2.56)
jt/2(o
PTp@)aycocosco/d/=4ayPTp@). A2.57)
о
Положив Лг тр = Лс<тр из соотношений A2.56) и A2.57), найдем
коэффициент ?тр для гармонически линеаризованной зависимости
силы Ртр сухого трения в виде
? усо. A2.58)
301

При этом сама сила Ртр будет определяться соотношением
P?p=~krp(dy/dt). A2.59)
Ограничивая применение всех приводимых ниже уравнений
случаем, когда в гидроприводе происходят колебания, запишем
для удобства последующих преобразований соотношения A2.59)
в изображениях
PrP(s) = kTpsy(s). A2.60)
Соотношение A2.60) можно также получить с помощью табл. 7.1,
принимая за входную величину скорость поршня гидроцилиндра:
?тр (s) = д (О v(s) = g (av) sy (s),
где
q(av) = 4PTp@)/nav] A2.61)
av — амплитуда первой гармоники скорости поршня гидроцилиндра.
Поскольку
av = coayi A2.62)
правые части соотношений A2.58) и A2.61) равны, поэтому
Рассмотрим остальные уравнения гидропривода.
После замены силы Ртр приближенным значением Ртр
уравнение A2.54) с учетом соотношения A2.60) представим в изображениях
(ms* + kTps) у (s) = F& (s). A2.63)
Уравнение A2.13) при абсолютно жесткой опоре гидроцилиндра
[соп = оо, ?ц = Ец по соотношению A2.14')], записанное в
изображениях, имеет вид
<^spti(s) + Fnsy(s) = Q3(s). A2.64)
Расходно-перепадную характеристику A2.15) в окрестности
хз0 = 0 заменим аппроксимированной характеристикой
$з = К0Л-К0рР«, A2.65)
где Kqx и Kqp определяются с учетом масштабов по углам наклона
касательных, проведенных при хз0 = 0 и ри = 0 к расходной и
к расходно-перепадной характеристикам.
Уравнение A2.65) также запишем в изображениях
4 E) = К0хх3 (s) - KOPP» (s). A2.66)
Наконец, уравнение A2.16) механизма управления представим
в виде
*a(s) = /C^(s)-/Coc9(s). A2.67)
302

Приведем систему уравнений A2.63)—A2.67) кодному уравнению
o
s). A2.68)
Уравнение A2.68) формально можно было бы получить,
положив в уравнении A2.28) в соответствии с принятыми выше
допущениями сп = О, соп=ссв = оо и заменив kTp на &тр. По существу
эти уравнения отличаются тем, что первое получено в результате
линеаризации методом малых отклонений, а второе — методом
гармонической линеаризации с использованием аппроксимированной
расходно-перепадной характеристики распределителя.
Для определения условий, при которых в гидроприводе могут
существовать колебания, подставим в уравнение A2.68) s = /со;
Л (s) = 0. После обычных преобразований получим
\ /72
В соответствии с критерием А. В. Михайлова гидропривод будет
находиться на границе устойчивости и, следовательно, будут иметь
место незатухающие колебания, если удовлетворяется уравнение
A2.69), т. е. если годограф Михайлова проходит на комплексной
плоскости через начало координат. В этом случае должны
равняться нулю вещественная и мнимая части уравнения A2.69).
Величина /гтр согласно соотношению A2.58) зависит от частоты со
и амплитуды ау, поэтому, приравняв к нулю вещественную и мнимую
части уравнения, можем определить параметры соа и ау возникающих
в гидроприводе колебаний. Предположим, что вследствие высокой
герметичности распределителя коэффициент Kqp при колебаниях
в окрестности хз0 близок к нулю. Тогда, пренебрегая в уравнении
A2.69) членами, содержащими этот коэффициент, и подставляя
значение ?тр из соотношения A2.58), получаем следующие два
уравнения:
2Р@)У0ш
A2'70)
A2.7D
Из уравнения A2.71) находим угловую частоту колебаний соа,
которая в данном случае совпадает с частотой сооц собственных
колебаний недемпфированной массы т, жестко связанной со штоком
гидроцилиндра, имеющего абсолютно жесткую опору:
A2.72)
303

С учетом соотношения A2.72) из уравнения A2.70) получаем
амплитуду колебаний штока гидроцилиндра:
A2.73)
Устойчивость колебаний проверим, рассмотрев годографы
Михайлова на комплексной плоскости при уменьшении и при
увеличении амплитуды колебаний (рис. 12.7). При ау — Лау годограф
Михайлова соответствует устойчивой системе третьего порядка,
следовательно, в данном случае колебания будут затухающие.
При ау + Аау годограф указывает на неустойчивость исследуемой
системы, поэтому колебания в
гидроприводе будут
нарастающими по амплитуде. Таким
образом, можем заключить, что
при сделанных выше
предположениях равновесное состояние
гидропривода в окрестности
хз0 = О является устойчивым,
если возникающие колебания
поршня гидроцилиндра будут
иметь амплитуду меньше ау. В
случае резкого воздействия
амплитуда колебания поршня мо-
ТТ
/
I
I
I
I
Рис. 12.7. 1 |)афик для проверки
устойчивости колебаний в гидроприводе с
сухим трением
жет превысить ау и
гидропривод станет неустойчивым.
Отсюда видно, что одного сухого
трения недостаточно для
обеспечения устойчивости
гидропривода, так как всегда могут быть
воздействия (сигналы управления или возмущения), превышающие
допустимый порог по амплитуде колебания поршня.
Отмеченная особенность влияния сухого трения на устойчивость
гидропривода объясняется уменьшением демпфирующего действия
силы сухого трения с ростом амплитуды скорости av поршня
гидроцилиндра, связанной с амплитудой ау соотношением A2.62). При
этом следует заметить, что остальные демпфирующие факторы здесь
не учитывались. Если учесть, что вследствие нелинейной расходно-
перепадной характеристики распределителя приток энергии в
гидропривод оказывается ограниченным, то можно получить
автоколебания. Автоколебания устанавливаются также при действии на
поршень гидроцилиндра смешанного трения, когда амплитуда
скорости поршня получается больше значения i/, указанного на
рис. 12.2, в.
Расчет параметров автоколебаний гидропривода с дроссельным
регулированием на основе метода гармонической линеаризации
подробно рассмотрен в работе [33]. Поэтому в следующем пара-
304

графе мы остановимся только на вопросах, касающихся влияния
нелинейной расходно-перепадной характеристики на условия
возникновения автоколебаний.
§ 12.5. ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ РАСХОДНО-ПЕРЕПАДНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
ГИДРОПРИВОДА
До сих пор анализ устойчивости гидропривода с дроссельным
регулированием мы проводили, заменяя реальную расходно-пере-
падную характеристику распределителя линейной, и применяли
уравнение A2.23), если рассматривали малые отклонения
переменных от своих значений, соответствующих невозмущенному
движению гидропривода, или уравнение A2.65), если исследовали
устойчивость равновесного состояния гидропривода при хз0 = рн0 =
= Q30 = 0. В предположении идеального распределителя
коэффициент Kqp в этих уравнениях принимался равным нулю при хз0 = 0,
что равносильно использованию соотношения
<2, = *оЛ A2.74)
вместо соотношения A1.12).
При возникновении колебаний изменения перепада давления
в полостях гидроцилиндра могут стать настолько большими, что
будут оказывать существенное влияние на мгновенные значения
расхода жидкости, протекающей через распределитель. Тогда
линейная аппроксимация расходно-перепадной характеристики
распределителя приводит к неправильной оценке условий
существования автоколебаний в гидроприводе. Влияние нелинейности
расходно-перепадной характеристики распределителя на эти условия
можно выяснить, сравнив соотношения, характеризующие приток
энергии в гидропривод при колебаниях поршня гидроцилиндра
и диссипацию энергии из-за действия сил трения. Следуя методу,
изложенному в работе [14], определим указанные соотношения,
предполагая, что благодаря большой приведенной массе т
колебания штока гидроцилиндра близки к гармоническим и вследствие
малого демпфирования имеют частоту со = сооц. Соответственно
примем
. A2.75)
Исходя из равенства гидравлических проводимостей всех
четырех регулируемых в распределителе щелей и одинакового изменения
нагрузки на шток поршня при смещении его влево и вправо от
среднего положения, энергии, поступающие в гидропривод с
потоком жидкости за половину периода и за период колебания, можно
считать отличающимися ровно в 2 раза. Возьмем половину периода,
при которой у > 0. При отсутствии сигнала управления (h = 0)
л'з =—kocy, поэтому из соотношений A1.12) и A2.75) получаем
305

следующую зависимость для расхода жидкости:
Q3 = - АЖоеву sin сооц/ YPn~P2+Pa- A2.76)
Учитывая, что при хз0 = О, /?н0 = 0 согласно соотношению A1.17)
приведем зависимость A2.76) к виду
+ -^—• A2.77)
Рп — Рсл
Работа, которую может совершить поток жидкости за период
колебания, будет
Л = 2 $ BЛЛ. A2.78)
о
Подставив в соотношение A2.78) зависимость A2.77), получим
п
й)лтт
ауР, у 1 + ^^ sin c*ont dt. A2.79)
Перепад давления рн в полостях гидроцилиндра зависит от
действующей на шток нагрузки. При сделанном выше
предположении о большой величине массы т можно считать, что во время
колебаний перепад давления /?н создается главным образом
инерционной нагрузкой. Если в этом случае принять связь штока с
нагрузкой абсолютно жесткой (ссв = оо), то будем иметь
приближенное уравнение
После подстановки в это уравнение закона движения поршня
A2.75) находим
рн = — jr ^оц sin сооц/. A2.80)
При рн, определяемом зависимостью A2.80), соотношение A2.79)
принимает вид
л/&0
X \ У 1 — F (РпУ_°р vSinco0^sin2(Oog^^ A2.81)
306

Применяя соотношения A2.30), A2.39) и A2.72), преобразуем
входящие в соотношение A2.81) выражения:
A2-82)
Величина
Ус = ^ц(/?п-Рсл)/Сц A2.84)
является статической «просадкой» штока из-за сжимаемости
жидкости в гидроцилиндре при действии максимально допустимого
усилия.
Вводя переменную 8 = сооц?, с помощью выражений A2.82)—
A2.84) из соотношения A2.81) находим
"оц
~^ sin 8 sin2 8 ей. A2.85)
ti
Входящий в данное соотношение эллиптический интеграл
вычисляется для различных значений ау/ус в пределах от 0 до 1.
Если исходить из линейной зависимости A2.74) для расхода
жидкости, протекающей через распределитель, то работу Лпл можно
определить, пренебрегая в соотношении A2.79) под корнем
величиной pj(pn — /?сл) по сравнению с единицей.
В результате, выполнив аналогичные рассмотренным выше
преобразования, имеем
откуда после интегрирования получаем
Лпл = яауСцДг/сооц. A2.86)
Отношение
A2.87)
показывает, насколько работа Лп, которую может совершить за
период колебания поток жидкости, протекающей через
распределитель с нелинейной расходно-перепадной характеристикой,
отличается от работы Лпл, вычисляемой с применением линейной
зависимости A2.74).
Обозначив
а = ау/г/с; A2.88)
Р = ЛП/ЛПЛ, A2.89)
307

запишем соотношение A2.87) в виде
— asin9sin20d0.
A2.90)
График зависимости A2.90) изображен на рис. 12.8.
Максимальное значение а ограничено единицей, так как при a > 1
подкоренное выражение в зависимости A2.88) может стать отрицательным,
что будет указывать на изменение направления потока жидкости
через распределитель вследствие перехода гидроцилиндра в
насосный режим работы. При этом обычно возникает кавитация и
нарушается сплошность потока жидкости. Чем меньше давление рсл
в сливной магистрали превы-
п п шает давление насыщенных
паров жидкости, тем меньше
значения а, соответствующие
колебаниям при наличии
кавитации в гидроприводе,
отличаются от единицы. В
случае кавитации приведенные
выше соотношения не
справедливы, поэтому в
дальнейшем принимаем a ^ 1,
График показывает, что с учетом
нелинейности расходно-пере-
падной характеристики
распределителя приток энергии
в гидропривод получается
меньше, чем в предположении
линейной зависимости A2.74) для расхода через распределитель.
До значений a ^0,1 разница работ Лп и Лпл не превышает 4%,
следовательно, применение зависимости A2.74) при исследовании
колебаний с такими малыми амплитудами не должно приводить
к заметным погрешностям.
С помощью этого графика можно также проверить устойчивость
гидропривода, если нанести на него кривую, определяющую
изменение отношения затраченной на трение работы Лтр к Лпл в
зависимости от а.
Однако с той же целью удобнее использовать кривые,
построенные в координатах а, оф [14]. В соответствии с соотношениями
A2.86)—A2.89)
N
\
\
s
\
\
о,в
0,4
0,1
о о,г, о,4 o,s
Рис. 12.8. График функции
р(о)
откуда видно, что_ произведение ар определяет безразмерную
величину работы Лп, которую может совершить поток жидкости
при колебаниях поршня гидроцилиндра. Относя Лтр к величине
308

llt получим безразмерную величину Атр работы трения:
A2.91)
Таким образом, кoopдинaJЫ а и af позволяют сравнивать
безразмерные значения работ Ап и Лтр, причем построенные в этих
координатах одни и те же кривые применимы для гидроприводов
с различными параметрами.
На рис. 12.9 зависимость Ап = Лп (а) представлена кривой /;
прямая, проведенная под углом 45° к оси а, соответствует р = 1,
что равносильно Ап = Лпл. Если при колебаниях поршня гидро-
цилиндра работа затрачивается только на преодоление сил сухого
трения, то по
соотношениям A2.57) и A2.91) имеем
^*с.тр
4Ртр @) шоц
A2.92)
of/ а4
asa3 1
Рис. 12.9. Определение амплитуды,
автокобй А = Л () Л
(а)
Рс. Ордлее алитуды,
лебаний по кривым _АП = Лп (а) и Лтр =
^ ()
В координатах а, а$
зависимость A2.92)
изображается горизонтальными
прямыми (на рис. 12.9 —
прямые 2 и 3). Точки
пересечения этих прямых с
кривой 1 определяют
безразмерные амплитуды аь а2 и
а3 колебаний в
гидроприводе. При малых значениях
силы сухого трения
амплитуда колебаний равна av
Эти колебания неустойчивы, так как при увеличении их амплитуды
подводимая с потоком жидкости энергия превышает затрачиваемую
на трение, т. е. Ап > Лс тр. Колебания будут расходящимися.
Однако после того, как безразмерная амплитуда колебаний станет
больше единицы, в гидроприводе возникнет кавитация, вследствие
которой могут наступить автоколебания [81].
При больших значениях силы сухого трения (прямая 5)
получается два значения безразмерных амплитуд а2 и а3. Первое
значение является тем порогом амплитуд, в пределах которого
колебания будут затухающими. Колебания, амплитуды которых
окажутся больше а2, нарастают до тех пор, пока амплитуды не достигнут
значения а3. При этой амплитуде устанавливаются автоколебания
в связи с тем, что при а >_ос3 подводимая энергия будет меньше
затрачиваемой, т. е. Ап < Ас тр.
Если кроме сил сухого трения поршень гидроцилиндра
нагружен гидравлическим трением, то к безразмерной работе Ас тр должна
быть прибавлена безразмерная работа АГ тр, которая затрачивается
на преодоление сил гидравлического трения. Эта величина опре-
309

деляется из соотношений A2.56) и A2.91) при со = сооц в виде
Соотношение A2.93) показывает, что в координатах а, оф
зависимость 4г. тР(а) изображается наклонной прямой. Графики
зависимости Лг тр + Лс тр от а находим, суммируя ординаты этой
прямой с ординатами горизонтальных прямых 2 и 3. Точки
пересечения полученной таким образом наклонной прямой 4 и кривой 1
определяют значение пороговой амплитуды а4 и амплитуды
автоколебаний аь. Наклонная прямая 5 проходит выше кривой /,
следовательно, в этом случае благодаря суммарному действию сил
сухого и гидравлического трения гидропривод будет устойчив при
любых амплитудах внешних воздействий. Если бы мы не учитывали
нелинейность расходно-перёпадной характеристики распределителя,
то имели бы пороговую амплитуду а6 в точке пересечения прямой 5
и прямой с углом наклона 45°. Справа от этой точки модель
гидропривода, построенная с применением зависимости A2.74), оказывается
неустойчивой.
Проведенный анализ энергетического баланса при наличии
в гидроприводе колебаний, близких к гармоническим, позволяет
заключить, что нелинейность расходно-перёпадной характеристики
способствует повышению устойчивости гидропривода. Если
графики Лтр =г Атр (а) прохоДят над кривой /, то гидропривод будет
устойчив при любой форме этих графиков, что является одним из
признаков абсолютной устойчивости. Однако этот признак очень
приближенный, так как весь изложенный здесь анализ основан
на предположении о значительной величине инерционной
нагрузки на гидропривод. Поэтому значения сил сухого и
гидравлического трения должны быть ограничены. В противном случае
при определении притока энергии в гидропривод вместо
зависимости A2.80) следует применять зависимость, учитывающую
влияние этих сил на перепад давления /?н в полостях гидроцилиндра,
что приведет к изменению вида кривой /. Кроме того, при
значительном сухом трении закон движения поршня гидроцилиндра может
существенно отличаться от гармонического, в частности, движение
может происходить с остановками. Этот случай также выходит за
рамки сделанных выше допущений.
§ 12.6. СПОСОБЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
ГИДРОПРИВОДОВ С ДРОССЕЛЬНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ
Возможность выполнения приведенных в предыдущих параграфах
условий устойчивости гидропривода зависит от требований,
предъявляемых к его быстродействию, от степени демпфирования,
создаваемого силами трения как в гидроцилиндре, так и в нагрузке,
и от допустимого расхода жидкости из системы питания при
равновесном состоянии гидропривода. Если необходимо получить высокую
310

'Pen
добротность гидропривода Dr при наличии большой приведенной
к штоку массы/пи при малых значениях коэффициента
относительного демпфирования ?ц, то для обеспечения устойчивости приходится
принимать дополнительные меры. Известны следующие способы
улучшения устойчивости гидроприводов с дроссельным
регулированием: 1) введение перетечки жидкости между полостями
гидроцилиндра; 2) использование упругости опоры гидроцилиндра для
получения дополнительной обратной связи; 3) установка демпфера
на золотнике; 4) включение дополнительных обратных связей,
создающих сигналы по производным от давления в полостях
гидроцилиндра или от перемещения его штока.
Здесь мы остановимся на первых трех способах, так как
четвертый является дальнейшим развитием второго способа и чаще
применяется для повышения
устойчивости
электрогидравлических следящих
приводов, рассматриваемых в
гл. XIV.
Введение пере
течки жидкости
между полостями
гидроцилиндра. При
этом способе обеспечения
УСТОЙЧИВОСТИ ГИДрОПрИВОДа Рис. 12. 10. Схема дроссельного гидропри-
ПОЛОСТИ гидроцилиндра сое- вода с каналом для перетечки жидкости
диняются каналом,
имеющим малое проходное сечение (рис. 12.10). Канал может быть
выполнен в виде сквозного отверстия в поршне гидроцилиндра.
Размеры канала выбираются из условия устойчивости гидропривода.
Рассмотрим условие устойчивости равновесного состояния
гидропривода при наличии перетечки жидкости между полостями
гидроцилиндра, пренебрегая гидравлическим и сухим трением в нагрузке
и в гидроцилиндре. Кроме того, условимся считать связь штока
с массой т абсолютно жесткой (у = ут, ссв = оо) и не учитывать
позиционную нагрузку (сн = 0). В этом случае величины,
отмеченные в соотношениях A2.17) индексом «0», можно положить равными
нулю и при записи линеаризованных уравнений гидропривода
опустить символ А. Тогда с учетом сделанных выше допущений
уравнения A2.23)—A2.27) сводятся к следующей системе уравнений:
Qa — A Qx%3 ~~ A QpPn>
A2.94)
A2.95)
Уз = tixdt ^~ 2E'n dt + У
пер»
(Д2.96)
A2.97)
311

Размеры канала, соединяющего полости гидроцилиндра, обычно
достаточно малы для того, чтобы при определении переменного
расхода перетечки Qnep потери напора принимать квазистационарными
и не учитывать инерцию жидкости. Это позволяет применить
соотношение
где knep — квазистационарное значение проводимости канала для
ламинарного режима течения жидкости в цилиндрическом канале
с диаметром dK и длиной /к;
*neP = ™ft/128|i/K; A2.99)
здесь fx — динамическая вязкость жидкости.
. В § 12.3 было показано, что с учетом коэффициента крутизны
расходно-перепадной характеристики KQp выполнение условия
устойчивости гидропривода облегчается. Положив Kqp = 0, получим
наиболее неблагоприятный в отношении устойчивости случай.
Для него уравнения A2.94)—A2.98) приведем к одному уравнению
третьего порядка
VQm d3y knepmd2y Fn dy
^ +
m dy knepmdy Fn dy
К ^^/Т^Ж + Г"!"^^^^' A2.100)
Все величины, от которых зависят коэффициенты уравнения
A2.100), являются положительными, поэтому условие устойчивости
в соответствии с критерием Гурвица можно представить одним
неравенством
A2.101)
которое с помощью соотношений A2.30) и A2.39) приводится к виду
knep>(DrVo/2E'n). A2.102)
Отсюда следует, что для обеспечения устойчивости гидропривода
проводимость канала, соединяющего полости гидроцилиндра,
должна быть тем больше, чем больше добротность гидропривода и меньше
значение ?ц. Последняя величина уменьшается с увеличением
податливости опоры гидроцилиндра и количества нерастворенного
воздуха в жидкости.
Гидропривод будет находиться на границе устойчивости, когда
неравенство A2.102) обратится в равенство. Очевидно, что при
сделанных выше допущениях такое соотношение определит допустимое
по условию устойчивости минимальное значение (&nep)min. С учетом
других демпфирующих факторов (Kqp Ф 0, &тр Ф 0) необходимое
для обеспечения устойчивости гидропривода knep получается меньше
(^пер)тт- Так как при этом сохраняется третий порядок
дифференциального уравнения, описывающего динамику гидропривода, то
можно, пользуясь указанием, приведенным в конце § 12.3, найти
значение knep из условия требуемого качества переходного процесса.
312

После
как значение kn
того, как значение кпер определено, размеры канала,
соединяющего полости гидроцилиндра, выбираются по соотношению
A2.99).
Обеспечение устойчивости перетечкой жидкости в гидроцилиндре
является достаточно простым способом, практически не требующим
изменения схемы и конструкции гидропривода. Поэтому его особенно
удобно применять в тех случаях, когда из-за действия каких-либо
факторов, которые с необходимой точностью не могли быть учтены
при проектировании гидропривода (сухое трение в нагрузке,
упругость узлов, связанных с опорой гидроцилиндра, и др.),
обнаруживается неустойчивость уже изготовленного гидропривода. Однако
следует иметь в виду, что с введением перетечки снижается точность
работы гидропривода, так как при малых смещениях золотника
от нейтрального положения уменьшается изменение перепада
давления в полостях
гидроцилиндра и при наличии
сухого трения поршень
гидроцилиндра не перемещается.
Кроме того, при перетечке
жидкости из одной полости
гидроцилиндра в другую
появляется «просадка»
поршня под действием
внешней нагрузки.
Использование
Рис. 12.11. Схема дроссельного
гидропривода с дополнительной обратной связью,
полученной за счет упругой опоры
упругости опоры
гидроцилиндра для
получения дополнительной обратной
связи. При записи уравнения A2.16) механизма управления
гидроприводом корпус золотника и точка D рычага COD
принимались закрепленными независимо от гидроцилиндра.
Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть корпус золотника
составляет одно целое с гидроцилиндром и, следовательно, при
деформации опоры перемещается вместе с ним. Точку D рычага COD
будем считать закрепленной на вспомогательном рычаге D?,
опора которого неподвижна, а точку Е —жестко связанной с
гидроцилиндром (рис. 12.11). При этой схеме механизма управления
перемещение гидроцилиндра на упругой опоре вызывает смещение
золотника и его корпуса навстречу друг другу. Например, если
в результате перемещения точки А вправо золотник был сначала
отклонен влево от нейтрального положения, то под действием
разности давлений р1 —р2 гидроцилиндр из-за упругости опоры
сместится влево. Вместе с гддроцилиндром влево переместится
корпус золотника, а сам золотник вследствие поворота рычага DE
по часовой стрелке сместится вправо.
Таким образом, кроме основной обратной связи по положению
щтока поршня, создаваемой рычагом COD, в данном гидроприводе
имеется дополнительная отрицательная обратная связь по переме-
313

щению гидроцилиндра. Влияние этой обратной связи на
устойчивость гидропривода исследуем при таких же, как в предыдущем
случае, допущениях, т. е. полагая /Стр = Kqp =ch =0. Кроме того,
для данной схемы гидропривода Qnep = 0. Уравнение механизма
управления гидроприводом с учетом дополнительной отрицательной
обратной связи можно записать в виде
х3 - Kxhh - К0СУ - 0Ц - КопУ*, A2.103)
где уц — перемещение гидроцилиндра; /Соп — коэффициент
передачи, определяемый соотношением плеч рычагов механизма
управления.
Если пренебречь массой гидроцилиндра, то
<W/u = /VV A2.104)
Подставив t/u из соотношения A2.104) в уравнение A2.103),
получаем
х3=* Kxhh - КосУ-A+Коп) 1гР«. A2.105)
Отсюда видно, что дополнительная отрицательная обратная
связь по перемещению гидроцилиндра эквивалентна отрицательной
обратной связи по перепаду давления рн, который согласно
уравнению A2.95) измеряет ускорение поршня гидроцилиндра.
Следовательно, дополнительная обратная связь создает сигнал по
ускорению поршня гидроцилиндра. Из уравнений A2.94), A2.95), A2.96)
и A2.105) при Kqp =0, Qnep. =0 имеем
—^—-F + X^-i + KyK*hh- (I2-106)
По критерию Гурвица в случае уравнения A2.106) условие
устойчивости выполняется, если
^^. A2.107)
С помощью соотношений A2.14) и A2.14') неравенство A2.107)
приведем к виду
A2.108)
где сц — жесткость гидроцилиндра, заполненного жидкостью и
закрепленного на абсолютно жесткой опоре;
Условие A2.108) показывает, что при наличии дополнительной
обратной связи от гидроцилиндра к золотнику уменьшение
жесткости опоры соп способствует обеспечению устойчивости
гидропривода. Без такой обратной связи, как следует из любого ранее рас-
314

смотренного условия устойчивости, уменьшение соп, т. е.
уменьшение ?ц или Сц, может вызвать неустойчивость гидропривода.
Недостаток этого способа обеспечения устойчивости гидропривода,
как и предыдущего способа, состоит в увеличении «просадки»
гидроцилиндра под нагрузкой, т. е. в увеличении перемещения штока
гидроцилиндра при изменении приложенных к нему сил.
Установка демпфера на золотнике.- Схема
гидропривода, золотник которого снабжен демпфером, дана на
рис. 12.12. Демпфер имеет поршень 1, жестко соединенный с
золотником. Полости цилиндра 2 демпфера заполнены жидкостью. В
поршне имеется отверстие 3 малого диаметра, по которому жидкость
при движении поршня вместе с золотником перетекает из одной
полости в другую. При этом возникает перепад давления,
нагружающий золотник в осевом направлении силой, пропорциональной
скорости движения поршня демпфера. Как будет показано ниже,
Рис. 12.12. Схема
дроссельного гидропривода с
демпфером на золотнике
Ут
для того чтобы демпфер оказывал влияние на устойчивость
гидропривода, точка А рычага АОВ должна перемещаться посредством
упругого звена 4, жесткость которого обозначим ch. При ручном
управлении гидроприводом роль такого звена выполняет рука
оператора.
Найдем уравнение механизма управления, пренебрегая массой
рычагов, золотника и поршня демпфера. Кроме того, не будем
учитывать трение в шарнирах, трение золотника и трение поршня
демпфера. Тогда уравнение моментов сил, поворачивающих рычаг
АОВ относительно точки О, можно записать в виде
ch{h — hA)-AO = PK'OB. A2.109)
Силу Рд, приложенную к золотнику со стороны демпфера,
определим при ламинарном режиме течения жидкости в отверстии
поршня демпфера. В предположении малости объемов полостей демпфера
сжимаемость жидкости не учитываем. В этом случае
(dxA/dt);
Р д =
где &д — проводимость отверстия в поршне демпфера; F^ — рабочая
площадь поршня демпфера; Ха — перемещение золотника,
вызванное перемещением точки А рычага АОВ при действии входного
сигнала h.
315

Из приведенных соотношений имеем
F% dxA
р Д. А.
^д- kR dt '
Подставив это значение силы Рж в соотношение A2.109) и учиты-
, АО
вая одновременно, что hA==xA-^f получим
OB F* (ОВ\*йхл
Смещение золотника х3 от нейтрального положения определяется
разностью перемещений хл и хс, причем хс является перемещением,
вызванным действием обратной связи по положению штока
гидроцилиндра. Величину хс можно связать с перемещением у штока
гидроцилиндра соотношением
DU АВ , (АВ
ХУН
где hy — перемещение точки А рычага АОВ при перемещении
точки С рычага COD на величину у.
Сила Рд, приложенная к золотнику со стороны демпфера, при
этих перемещениях рычагов будет
Используя уравнение моментов сил относительно точки О,
приложенных к рычагу АОВ, и соотношения A2.111), A2.112),
находим
t DOAB (OB\*dxc
ХУ) A
Перемещение золотника от совместного действия сигнала
управления и обратной связи х3 = хА — Хс находим с помощью
соотношений A2.110) и A2.113) в виде
х*=Кх?-К^-Гъ% A2.114)
где
Т'д — постоянная времени демпфера, присоединенного к золотнику;
, Fl (OB \2
Преобразовав уравнение A2.114) по Лапласу при нулевых
начальных условиях, получим уравнение механизма управления
в изображениях:
G> + 1) *. (s) = Kxhh (s) - Косу (s), D2.116)
316

откуда
00
'T'j+1
(s) - Kozy (s)],
A2.116)
Обратимся теперь к структурной схеме гидропривода,
изображенной на рис. 12.3. Принимая связь штока гидроцилиндра с нагрузкой
Рие. 12.13.
Структурная схема
гидропривода с
присоединенным к золотнику демп-
/ фером
Кос
абсолютно жесткой Аут = у и учитывая, что в
рассматриваемом случае используется х3 (s), определяемое уравнением
A2.116), получим структурную схему гидропривода с демпфером
на золотнике (рис. 12.13).
Для исследования
влияния демпфера на
устойчивость" гидропривода
воспользуемся
логарифмическими амплитудными и
фазовыми частотными
характеристиками разомкнутого
контура, который содержит
четыре типовых звена:
апериодическое,
интегрирующее, колебательное и
пропорциональное.
Характеристики первых трех
звеньев показаны на рис. 12.14
штриховыми линиями.
Пропорциональное звено
учитывается смещением по
вертикали на 201g/Coc оси
частот логарифмических
амплитудных
характеристик.
Логарифмические
амплитудная И фазовая ча- Рис. 12.14. ЛАХ и ЛФХ дроссельного гидро-
стотные характеристики привода с демпфером
всего разомкнутого
контура гидропривода с демпфером проведены сплошными линиями,
а контура без демпфера — штрихпунктирными. При наличии
демпфера уменьшается частота среза и за счет этого опускается
резонансный пик ниже оси частот; одновременно фазовая
частотная характеристика смещается в сторону линии —я. Отсюда
317

видно, что с помощью демпфера золотника устойчивость
гидропривода может быть обеспечена только в том случае, если
благодаря другим факторам Получаются необходимые значения
коэффициента относительного демпфирования ?ц. Так, при ?ц,
близких к нулю, условия устойчивости вообще не
выполняются, потому что резонансный пик будет пересекать ось частот
в той области, где фазовая частотная характеристика проходит
ниже линии —я. Значения ?ц от 0,05 до 0,3 являются наиболее
благоприятными для обеспечения устойчивости гидропривода с
помощью демпфера, присоединяемого к золотнику.
При ch -> оо постоянная времени Гд -> 0, поэтому без упругого
звена в механизме управления демпфер золотника не оказывает
влияния на устойчивость гидропривода, если, конечно, он не
создает столь больших усилий, которые могут служить нагрузкой
на гидроцилиндр. Однако такое применение демпфера
нецелесообразно из-за значительного увеличения усилий, необходимых для
управления золотником.,
Сравнивая рассмотренные выше способы обеспечения
устойчивости, можно заметить, что первые два способа в отличие от
последнего дают увеличение коэффициента относительного демпфирования
гидроцилиндра. Действительно, записав уравнения A2.100) и A2.106)
в виде A2.29), получим следующие коэффициенты относительного
демпфирования:
при перетечке жидкости в гидроцилиндре
Ьц = ^пер^ ц/ ^ 0^оц>
при дополнительной обратной связи, использующей упругость
опоры гидроцилиндра,
При наличии других демпфирующих факторов к коэффициенту
относительного демпфирования, обусловленного действием этих
факторов, прибавляется Ц или ?ц в зависимости от выбранного
способа повышения устойчивости гидропривода.
§ 12.7. ДИНАМИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ ГИДРОПРИВОДА
С ДРОССЕЛЬНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ
Следящий гидропривод кроме управляющих (задающих)
воздействий может подвергаться возмущающим воздействия^, которые
возникают из-за изменения во времени нагрузки на шток гидроцилиндра.
Вследствие сжимаемости жидкости, упругости опоры
гидроцилиндра, утечек и перетечек жидкости при таких воздействиях
происходят перемещения штока гидроцилиндра. Соотношения,
определяющие эти перемещения в зависимости от приложенной
к штоку переменной во времени внешней силы, характеризуют
динамическую жесткость гидропривода.
318

Если рассматривать изображения по Лапласу перемещения штока
гидроцилиндра и вызывающей его силы, то соотношение можно
представить в виде передаточной функции
= P(s)/y(s), A2.117)
где у (s) — изображение перемещения штока гидроцилиндра под
действием силы, изображение которой Р (s).
Предположим, что величина силы, приложенной к штоку
гидроцилиндра, колеблется около нуля, причем соответствующие
отклонения перепада давления в полостях гидроцилиндра и перемещения
его поршня около среднего положения можно считать малыми.
В этом случае для определения передаточной функции A2.117)
можно применить уравнения A2.23) и A2.26). Опуская символ А
и принимая нулевые начальные условия, запишем эти уравнения
в изображениях
Q3 (s) = KQxx9 (s) - /CqpPh (s); A2.118)
Q3(s) = Fnsy(s) + ^rspAs). A2.119)
Если пренебречь массой поршня и трением в гидроцилиндре,
то будем иметь
/() + />() = 0. A2.120)
При отсутствии сигнала управления (ft = 0)
x3(s) = -Kocy(s). ' A2.121)
Из уравнений A2.118)—A2.121) находим
ц ц
Разделив соотношение A2.122) на с^ = 2E/]XFyVQy получим
нормированную передаточную функцию, которую представим в виде
fr- A2Л23)
В нормированную передаточную функцию A2.123) входит
добротность Dr гидропривода, вычисляемая по формуле A2.39), и
величина сг, которую назовем статической жесткостью
гидропривода:
сг = F^KqxKjKqp. A2.124)
При s = /со получаем
A2.125)
319

Логарифмические амплитудные и фазовые частотные
характеристики в соответствии с амплитудно-фазовой частотной
характеристикой A2.125) могут быть различными в зависимости от
значения сг/сц. Если (сг/сц) > 1, то эти характеристики имеют вид
кривых 7, показанных на рис. 12.15, а если (сг/сц) < 1, то характеристики
изображаются кривыми 2. Эти характеристики показывают, что
при со -> оо нормированное значение динамической жесткости
Wpy (jay) гидропривода стремится к единице, соответственно
предельное значение размерной динамической жесткости Р (/со)/г/ (/со)
гидропривода будет равно ёц. Другими словами, динамическая
жесткость гидропривода при большой частоте изменения
возмущающей силы получается равной
жесткости гидроцилиндра,
обусловленной сжимаемостью жидкости и
упругостью опоры гидроцилиндра.
При со -^ О нормированная
динамическая жесткость
гидропривода стремится к отношению ст/с'Цу
а размерная динамическая
жесткость гидропривода — к его
статической жесткости сг. Эта
величина, как показывает соотношение
A2.124), зависит от коэффициентов
расходно-перепадной
характеристики Kqx и /Cqp.
Вблизи нейтрального
положения золотника (Хзо = 0) значение
коэффициента Kqp в основном
определяется величиной утечек и
перетечек жидкости в
распределителе. С повышением герметичности
распределителя коэффициент Kqp
уменьшается и, следовательно,
статическая жесткость гидропривода сг увеличивается. Для
идеального распределителя при хз0 = 0 Kqp = 0, и поэтому, если
рассматривается линейная модель гидропривода, статическая
жесткость сг получается бесконечной. Однако при отклонении золотника
от нейтрального положения коэффициент Kqp становится отличным
от нуля, и вследствие этого даже при идеальном распределителе
статическая жесткость гидропривода будет конечной величиной,
но зависящей от амплитуды возмущающей силы. Эта зависимость
должна определяться с учетом нелинейной расходно-перепадной
характеристики распределителя. Увеличению статической жесткости
гидропривода способствует также увеличение коэффициентов Kqx
И Кос
Частотные характеристики динамической жесткости
гидропривода позволяют еще с одной стороны подойти к решению задачи
об устойчивости гидропривода. Выделив вещественную и мнимую
320
Рис. 12.15. Логарифмические,
амплитудные и фазовые частотные
характеристики динамической
жесткости дроссельного гидропривода

части амплитудно-фазовой частотной характеристики A2.125),
найдем
WpyU<») = Ci + iC2> A2.126)
где ,
2
СТ(О
.-Or
L
A2.127)
Соотношением вида A2.126) описывается также амплитудно-
фазовая частотная * характеристика гидравлического демпфера
(рис. 12.16), устанавливающая зависимость
комплексного значения перемещения штока /
демпфера от комплексного значения приложенной к
нему силы R. В этом случае для обеспечения
демпфирования колебаний массы 2 величина с2
должна быть положительной, причем с
увеличением с2 будет увеличиваться затухание
колебаний. Рассматривая гидропривод в качестве
демпфера, найдем из соотношения A2.127), что с2
будет положительным при
с'ц>сг. A2.128)
7
И
Рис. 12.16. Схема
гидравлического
демпфера
Если подставить значения Сц и cri то
неравенство A2.128) приводится к ранее полученному
другим способом условию устойчивости A2.43). При выполнении
неравенства A2.128) фазовая характеристика 2 на рис. 12.15
проходит выше оси частот, поэтому гидропривод является устойчивым,
если обеспечиваются положительные значения фазы динамической
жесткости [16].
§ 12.8. УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
ПНЕВМОПРИВОДА
В пневмоприводах применяется исключительно дроссельное или
струйное регулирование, так как из-за большой сжимаемости
воздуха или другого газа объемное регулирование не может
обеспечить требуемый режим движения исполнительного устройства.
Кроме того, достаточно сложно осуществить компрессор переменной
производительности, который потребуется при создании
пневмопривода с объемным регулированием.
Исполнительными устройствами пневмоприводов служат такие
же по принципу действия машины, как применяемые в
гидроприводах. К ним относятся цилиндры- с проходным штоком или с
односторонним штоком (пневмоцилиндры), моментные моторы с
поворотом выходного звена на угол, меньший 360° (моментные пневмо-
моторы) л, моторы с неограниченным вращательным движением
выходного звена (пневмомоторы).
1/211 Попов Д Н.
321

Различие в характеристиках пневмоприводов и гидроприводов
связано с особенностями течения газов через дроссельные
устройства, со значительными по сравнению с жидкостями изменениями
плотности газов при изменении давления и температуры и с меньшей,
чем у обычных рабочих жидкостей, вязкостью газов. Однако в ряде
случаев наблюдается лишь количественное расхождение
характеристик того и другого класса приводов. Основные же положения
устойчивости и качества процессов, рассмотренные выше для
гидроприводов, оказываются применимы и к пневмоприводам.
Общие и отличительные черты динамики гидро- и пневмоприводов
выявляются прежде всего в результате сравнения их
математических моделей. Мы ограничимся сравнением линейных моделей,
причем воспользуемся схемой пневмопривода, которая аналогична
описанной в § 12.1 схеме
гидропривода с
дроссельным регулированием. С
некоторыми
дополнительными обозначениями схема
пневмопривода дана на
рис. 12.17. Чтобы более
наглядно показать влияние
сжимаемости газа на
динамические характеристи-
Рис. 12.17. Схема пневмопривода ки привода, опора пневмо-
цилиндра принята
абсолютно жесткой. Кроме того, предполагаются постоянными давление
и температура газа в магистрали питания перед входом в
золотниковое распределительное устройство. Остальные упрощающие модель
привода допущения будут указаны при составлении уравнений.
Массовый расход газа Gly поступающего в левую полость пневмо-
цилиндра при смещении золотника влево от нейтрального
положения, определяется соотношением
G1^d(PlV1)/dtf A2.129)
где Pi — плотность газа в левой полости пневмоцилиндра; Vt —
объем левой полости пневмоцилиндра.
Во многих случаях газ, используемый в качестве рабочей среды
в пневмоприводе, можно считать совершенным и его состояние
описать уравнением Клапейрона
Pi = PiW, A2.130)
ч
где рг — абсолютное давление в левой полости пневмоцилиндра;
Т[ — абсолютная температура газа в левой полости пневмоцилиндра,
Кельвин; R — газовая постоянная.
Подставив плотность газа из уравнения A2.130) в соотношение
A2.129), получим
!№) <12Л31>
322

Таким же путем для правой полости пневмоцилиндра можно
найти
Уравнение энергии для таза в левой полости пневмоцилиндра
представим в виде
CpGiTn-Pi^T + lir = i^ViTi), A2.133)
где ср — удельная теплоемкость газа при постоянном давлении;
Т°п — абсолютная температура газа в трубопроводе, который
соединяет левую полость пневмоцилиндра с распределителем; QT —
количество теплоты, подводимой из окружающей среды или отводи-
,мой в окружающую среду; cv — удельная теплоемкость газа при
постоянном объеме.
Для определения производной dQJdt необходимо иметь
уравнение, описывающее процесс теплообмена между газом,
заключенным в полости пневмоцилиндра, и окружающей пневмоцилиндр
средой. Однако с учетом такого уравнения математическая модель
пневмопривода становится достаточно сложной; кроме того,
коэффициенты теплопередачи для пневмоцилиндра приходится
находить экспериментальным путем. Поэтому обычно рассматривают
два предельных случая. В первом случае скорость теплопередачи
dQjdt предполагается настолько большой, что процесс в полости
пневмоцилиндра можно считать изотермическим. Во втором случае
принимается dQJdt = О, что соответствует адиабатному процессу
в полости пневмоцилиндра.
Следящие пневмоприводы имеют, как правило, быстродействие,
при котором скорость теплопередачи dQ^ldt оказывается
пренебрежимо малой по сравнению со скоростью изменения давления газа
в пневмоцилиндре, в связи с чем уравнение A2.133) запишем в
предположении адиабатного процесса в полости пневмоцилиндра, т. е.
при dQT/dt = 0. Подставив значение плотности газа из уравнения
A2.130), получим
где
Для правой полости пневмоцилиндра можно применить такое же
уравнение, как A2.134), если изменить соответствующим образом
индексы у переменных и учесть, что газ вытекает из полости:
A2.135)
Ограничиваясь малыми отклонениями переменных от своих
установившихся значений, проведем линеаризацию уравнений
V811* 823

A2.134) и A2.135). При этом равновесным будем считать среднее
положение поршня пневмоцилиндра, при котором вследствие
равенства нулю позиционной нагрузки давления в левой и в правой
полостях будут одинаковыми: р10 = р20 == р0.
Кроме того, примем температуры газа в трубопроводах от
распределителя к пневмоцилиндру постоянными и равными
температуре Го при равновесном положении поршня пневмоцилиндра:
Последнее допущение может быть использовано только при
малых отклонениях температуры газа в пневмоприводе, так как,
если в трубопроводе, подводящем газ от распределителя к
пневмоцилиндру, изменения температуры вообще незначительны, то в
трубопроводе, отводящем газ из полости пневмоцилиндра, температура
изменяется почти как в этой полости [13].
После линеаризации уравнений A2.134) и A2.135) имеем
AG Ро d '
d(AV2)_ 1 Г d(AV2)
где Vo — объем каждой полости пневмоцилиндра при среднем
положении поршня.
Сложим уравнения A2.136) и A2.137), используя одновременно
соотношения
Выполнив обычные преобразования, получим
, A2.138)
где рн = крг — А/?2.
Приращения массовых расходов АОг и AG2, если рассматриваются
малые отклонения поршня от равновесного среднего положения,
при симметричном в отношении размеров буртов и окон
распределителе можно считать равными по величине, т, е. полагать
Выразим AG через приращение объемного расхода AQ3 газа:
Используя это соотношение и соотношение (8.9), приведем
уравнение A2.138) к виду
Заметим, что в предположении изотермического изменения
состояния газа при малых отклонениях поршня пневмоцилиндра от
324

равновесного положения можно было бы уравнение вида A2.139)
получить, применив вместо уравнений энергии A2.134) и A2.135)
уравнения массовых расходов A2.131) и A2.132). При этом в
коэффициенте при dpjdt имели бы вместо адиабатического модуля
объемной упругости газа Ваг изотермический модуль объемной
упругости газа Виг. Так как
BjB»r = kpo/Po = k, A2.140)
то для воздуха (k = 1,4) указанный коэффициент для
изотермического процесса при том же значении Vo был бы в 1,4 раза больше,
чем для адиабатного процесса.
Уравнение A2.139) отличается от ранее выведенного для
гидропривода уравнения A2.26) только численным значением
коэффициента при dpjdt. Если учесть, что при 1/тр = 0 и абсолютно
жесткой опоре гидроцилиндра ?ц = Вж> то это отличие можно
оценить по отношению Вж/Ваг> которое даже при очень высоком
давлении питания пневмопривода (порядка 10 МПа) равно
приблизительно 150—200.
Остальные уравнения линейной математической модели
пневмопривода с приведенной на рис. 12.17 принципиальной схемой
будут такими же, как уравнения A2.23), A2.24), A2.25) и A2.27)
гидропривода с той лишь разницей, что коэффициенты Kqx и Kqp
определяются по расходно-перепадной характеристике, полученной
при течении газа через распределитель. Если распределитель
принимается идеальным, то коэффициент /Cqp, как видно из рис. 11.11,
будет равен нулю. При отрицательных перекрытиях золотника
значение коэффициента Kqp при хз0 — 0 больше нуля. В этом смысле
расходно-перепадные характеристики распределителей
пневмоприводов мало чем отличаются от таких же характеристик
гидроприводов.
Отличие проявляется при сравнении нелинейных моделей пневмо-
и гидропривода. У пневмопривода при больших смещениях х3
золотника от нейтрального положения и ограниченных изменениях
перепада давления в полостях пневмоцилиндра коэффициент Kqp
будет оставаться равным нулю, если распределитель принят
идеальным. У гидропривода при тех же условиях Kqp увеличивается
с увеличением х3. При исследовании устойчивости гидропривода
было показано, что коэффициент Kqp относится к параметрам,
повышающим демпфирование и способствующим устойчивости
привода. Следовательно, можно заключить, что расходно-перепадные
характеристики идеального гидравлического распределителя для
устойчивости более благоприятны, чем характеристики идеального
пневматического распределителя.
При проточных золотниках отмеченное различие в расходно-
перепадных характеристиках пневматических и гидравлических
распределителей будет заметно, если смещения золотника х3
превосходят величину отрицательных перекрытий. Наличие на рас-
ходно-перепадных характеристиках пневматических распредели-
11 Попов Д. Н. 325

телей участков с Kqp = 0, как указывалось в § 11.1, связано
с критическим режимом течения газа через окна расцределителя.
Вследствие одинакового вида уравнений, описывающих
линейные модели пневмо- и гидроприводов, передаточная функция
пневмопривода может быть определена по уравнению A2.29). Очевидно,
что при этом структурная схема пневмопривода будет такой же,
как структурная схема гидропривода, показанная на рис. 12.3.
При абсолютно жестких опорах цилиндров и абсолютно жестких
связях штоков с нагрузкой угловые частоты собственных
недемпфированных колебаний, возникающих в пневмо- и в гидроприводе,
находятся соответственно по соотношениям
(<*>оц)пн =
Vom
A2.141)
Если учесть сказанное выше о разнице в значениях 5аг и Вж,
то можно заметить, что частота колебаний в пневмоприводе будет
по крайней мере в 10 раз ниже частоты колебаний в гидроприводе
при одинаковых размерах цилиндров и равных значениях т.
Совпадение с точностью до количественных значений
коэффициентов уравнений линейных моделей пневмо- и гидроприводов
позволяет рассмотреннвге в этой главе результаты анализа
устойчивости равновесных состояний гидропривода распространить на
пневмопривод.
§ 12.9. КОЛЕБАНИЯ В ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ,
СОЕДИНЯЮЩИХ ИСТОЧНИК ПИТАНИЯ С ГИДРОПРИВОДОМ
С ДРОССЕЛЬНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ
Гидропривод с дроссельным регулированием может быть подключен
к источнику питания длинными гидравлическими линиями
(рис. 12.18). В этих линиях при управлении гидроприводом и при
Рис. 12.18. Схема дроссельного гидропривода с
длинными линиями
изменении действующей на него нагрузки возникают волновые
процессы, для описания которых необходимо рассматривать
уравнения напорной и сливной линий совместно с уравнениями гидро-
326

привода. Ограничиваясь малыми отклонениями величин от
значений, соответствующих данному режиму работы гидропривода,
после линеаризации расходно-перепадной характеристики
золотникового распределителя получим в изображениях следующее
уравнение:
AQ3(s) = KQx Ах3 (s) - /Cqp ApH(s) + KQp Apn (s) - KQp ApCJl (s), A2.142)
где AQ3 (s), Дл:3 (s), Д/?н (s), A/?n (s) и Д/?сл (s) — изображения по
Лапласу приращений расхода жидкости, перетекающей через
золотниковый распределитель, перемещения золотника, перепада
давления в гидроцилиндре, давления питания на входе в гидропривод
и давления слива на выходе из гидропривода; коэффициенты Kqx
и Kqp, как и ранее, являются коэффициентами передачи
золотникового распределителя. С учетом упругости бпоры гидроцилиндра
согласно уравнению A2.26) можем записать для нулевых начальных
условий
^s). A2.143)
При действии инерционной нагрузки, нагрузки гидравлического
трения, позиционной нагрузки и переменной внешней нагрузки
АРвозм в предположении абсолютно жесткой связи штока
гидроцилиндра с нагрузкой (Ау = Аут) уравнение его движения в
изображениях по Лапласу будет иметь вид
=- s2 Ay (s)+-^s Ay (s) + ^Ay (s) + 7 = ApH (s), A2.144)
"ц ГЦ ГЦ ГЦ
в котором все коэффициенты такие же, как в уравнениях,
приведенных выше.
Уравнение механизма управления гидроприводом с учетом
влияния упругости опоры получим, проведя преобразование
уравнения A2.105) по Лапласу:
Ах3 (s) = Kxh Ah (s) - Кос Ay (s) - ^A Дрн (s), A2.145)
con
где /O,= l+/Con.
В качестве возмущений, вызывающих колебания в
рассматриваемой системе, примем переменную внешнюю нагрузку на
гидропривод в отсутствие сигнала управления (ДА = 0). При этом
колебания золотника происходят около нейтрального положения, и
если расходно-перепадная характеристика распределителя близка
к характеристике идеального распределителя, то можно положить
/Cqp = 0. Принимая эти предположения, из уравнений A2.142)—
A2.145) находим передаточную функцию
V К' F2
s —т —
AQ3 (s) \2?ц conKo
SVQ
11* . 327

где
(s) =
Уравнения напорной и сливной линий запишем, принимая начало
координат соответственно в сечениях А—А и В—В. Тогда,
применяя для каждой линии уравнения вида A0.64)—A0.65), получим
Apn(sf l) = ApA(s, 0)ch[^(s)l]-^^-AvA(sf 0)sh[#(s)/]; A2.147)
^ ]; A2.148)
]; A2.149)
], A2.150)
где А/?п (s, /), Арл E, 0), Арсл (s, /), ApB (s, 0), Avn (s, 0); Аул (s, 0),
Дисл (s, Z) и Avb (s, 0) — изображения отклонений давлений и
скоростей в концевых сечениях линий.
Если пренебречь потерями давления на входе в напорную линию
и на выходе из сливной линии, то отклонения давления АрА и Арв
можно принять равными нулю. При этом
Из передаточных функций A2.151) и A2.152) следует (f =
f
,12,52)
A2Л54)
В соответствии с передаточными функциями A2.146), A2.151),
A2.152) отклонения давлений в сечениях напорной и сливной линии
у гидропривода будут отличаться только по знаку. Следовательно,
можно ограничиться определением передаточных функций для
одной линии. Возьмем напорную линию. В этом случае из
передаточной функции A2.146) и уравнения A2.153) получаем
328

Передаточная функция A2.155) позволяет определить изменение
давления в сечении напорной линии у входа в гидропривод при
изменении внешней нагрузки, характеризуемом изображением
Довози (s).
Передаточная функция A2.155) показывает, что при
Zo.^^1^0 A2.156)
давления в напорной и сливной линиях не будут изменяться при
любых возмущениях по нагрузке на привод. Уравнение A2.156)
определяет такие соотношения' в жесткости элементов привода, при
которых золотник не отклоняется от нейтрального положения
из-за просадки поршня гидроцилиндра под действием
возмущающей нагрузки. Однако при реализации этого условия исключается
возможность повышения демпфирования гидропривода за счет
использования эффекта дополнительной обратной связи по
производной от перепада давления, рассмотренной в § 12.6.
Передаточная функция показывает, что уменьшению колебаний давления
способствует уменьшение добротности привода (увеличение
FJKqxKoJj так как амплитуда колебаний уменьшается с
увеличением модуля знаменателя после замены в нем s на /со.

Глава XIII
ГИДРОПРИВОДЫ С ОБЪЕМНЫМ
РЕГУЛИРОВАНИЕМ
§ 13.1. ПРИНЦИПИАЛЬНАЯ И РАСЧЕТНАЯ СХЕМЫ СИЛОВОЙ
ЧАСТИ ГИДРОПРИВОДА С ОБЪЕМНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ
В следящем гидроприводе с объемным регулированием можно
выделить силовую и управляющую части. Силовая часть включает
в себя объемный насос с регулируемой подачей, вспомогательные
устройства и гидродвигатель объемного типа. Наибольшее
применение в следящих гидроприводах получили аксиально-поршневые
насосы, подача которых регулируется изменением угла наклона
блока цилиндров или изменением угла наклона шайбы. В качестве
гидродвигателей обычно используются гидроцилиндры с
поступательным движением выходного звена, моментные гидроцилиндры
и аксиально-поршневые или радиально-поршневые гидромоторы.
К вспомогательным устройствам относятся клапаны, фильтр, насос
и бак системы подпитки рабочей жидкостью силовой части
гидропривода.
Управляющая часть следящего гидропривода с объемным
регулированием может состоять из механических устройств,
электрических и электрогидравлических устройств. Соответственно гидро-
приводыс объемным регулированием, как и с дроссельным
регулированием, подразделяются на гидроприводы с механическим и с
электрическим управлением. Во втором случае они называются
электрогидравлическими приводами с объемным регулированием или
электрогидравлическими объемными приводами.
На рис. 13.1 дана схема силовой части гидропривода с объемным
регулированием, содержащая две аксиально-поршневые
гидромашины: основной насос 2 и гидромотор 5, Вал насоса приводится
во вращение от асинхронного электродвигателя /. Подача насоса
регулируется изменением угла наклона блока цилиндров с
помощью механизма 3, которым может быть также гидроусилитель,
состоящий из гидроцилиндра и золотника. Насос двумя
трубопроводами 4 соединен с гидромотором, имеющим постоянный
рабочий объем. Направление вращения вала гидромотора зависит
от того, в какую сторону отклонен блок цилиндров насоса. Вал
гидромотора через зубчатую передачу 6 соединен с управляемым
объектом 7. Для восполнения утечек рабочей жидкости служит
вспомогательный шестеренный насос 13, приводимый во вращение
от асинхронного электродвигателя основного насоса. Если угол
330

наклона блока цилиндров основного насоса регулируется с помощью
гидроусилителя, то вспомогательный насос используется также
для питания гидроусилителя жидкостью под давлением.
Давление в напорной магистрали шестеренного насоса
поддерживается переливным клапаном 10. Эта магистраль через два под-
питочных клапана 9 подключена к трубопроводам, соединяющим
основной насос и гидромотор. При падении давления в одном из
трубопроводов ниже допустимого соответствующий подпиточный
клапан открывается и пропускает жидкость под давлением из
напорной магистрали вспомогательного насоса до тех пор, пока
в трубопроводе не восстановится необходимое давление. После
этого подпиточный клапан под действием давления в трубопроводе
закрывается, Подпиточные клапаны должны поддерживать в
трубопроводе такое минимальное давление, чтобы в основном насосе
/
г
-
3
Рис. 13.1. Схема гидропривода с объемным регулированием
не возникала кавитация. С этой целью устанавливается
необходимое давление в напорной магистрали вспомогательного насоса
путем регулировки натяжения пружины переливного клапана 10.
От возникновения чрезмерно высокого давления трубопроводы
гидропривода защищены двумя предохранительными клапанами 8.
При недопустимом повышении давления в одном из трубопроводов
открывается соответствующий предохранительный клапан,
пропускающий жидкость в другой трубопровод с низким давлением.
В линии нагнетания шестеренного насоса также имеется
предохранительный клапан 12, который защищает навое от повышения
давления при засорении фильтра //.
Перед тем как перейти к составлению математической модели
гидропривода, сведем рассмотренную принципиальную схему к
расчетной, учитывая следующие допущения. Асинхронный
электродвигатель 1 вращает вал насоса 2 с постоянной угловой скоростью
QH. При работе гидропривода давления в трубопроводах 4 не
достигают значений, при которых открываются предохранительные
клапаны 8. Давление рП0Дп в магистрали перед подпиточными
331

клапанами поддерживается постоянным. Усилия, преодолеваемые
гидромотором 5 при управлении объектом 7, могут быть
представлены суммой моментов от действия приведенных к валу гидромотора
инерционной нагрузки, позиционной нагрузки и гидравлического
трения. Расчетная схема дана на рис. 13.2; стрелками показаны
ejjj/W
Рис. 13.2. Расчетная схема гидропривода с объемным
регулированием
направления потоков жидкости в тот момент, когда давление рг
больше давления /?2. Трубопроводы сначала будем принимать
настолько короткими, чтобы можно было пренебрегать инерцией
жидкости и потерями.давления в них из-за сопротивления трения.
При всех сделанных выше допущениях составлению линейной
модели гидропривода мешает одна существенно нелинейная
характеристика, определяющая зависимость расхода Qnom жидкости,
протекающей через подпиточный
клапан, от давления рх или р2 в
трубопроводах. Эта характеристика приведена на
рис. 13.3. Если уровень давления р° в
трубопроводах оказывается ниже
давления рПодп перед подпиточными
клапанами (прямая / на характеристике), то
при малых изменениях давлений можно
применить соотношения
(Уподп/1 == ^кл (Рподп Pi)» /1 о 1 \
(Фподп)г = #кл (Рподп ~ Рг),
^Рподп
Ры
Рис. 13.3. Характеристика
подпиточного клапана
в которых kKJl — проводимость подпиточного клапана; Qn0Jini и
Qnonn 2 — расходы жидкости, протекающей соответственно в
трубопроводы с давлениями рг и р2.
Если уровень давления в трубопроводах превышает давление
Рподп (прямая 2 на рис. 13.3), то
(QnoJi = (Qnomh = 0> A3.2)
так как подпиточные клапаны закрыты под действием давления
в трубопроводах.
При равновесном состоянии гидропривода, при котором нена-
груженный вал гидромотора не вращается, уровень давления в тру-
332

бопроводах вследствие утечек жидкости из насоса и из гидромотора
и конечного значения проводимости клапанов устанавливается
ниже Рподп- В случае возникновения колебаний в гидроприводе
уровень давления в трубопроводах повышается. Это связано с тем,
что при колебаниях в каждый трубопровод через свой подпиточный
клапан на одном полупериоде при низком давлении поступает
количество жидкости, компенсирующее не только утечки, но и
дополнительные перемещения поршней гидромотора из-за
сжимаемости жидкости. На следующем полупериоде происходит сжатие
большего объема жидкости в трубопроводе, что приводит к
увеличению в нем давления. Такая «накачка» жидкости в гидропривод
через подпиточные клапаны сопровождается повышением среднего
за период колебания давления в трубопроводах или повышением
уровня давления в них. Количество жидкости, поступившей в
трубопроводы за период колебания, зависит от амплитуды колебания
давлений рх и /?2, поэтому средняя за период проводимость
клапанов меняется с изменением амплитуды колебаний давления в
трубопроводах.
Таким образом, линейная модель гидропривода может быть
получена для исследования устойчивости его равновесия в малом.
При этом уровень^ давления в трубопроводах следует принимать
ниже давления /?по"дп, т. е. точку линеаризации выбирать в месте
пересечения прямой / с характеристикой подпиточных клапанов.
При исследовании устойчивости гидропривода «в большом», а также
при определении его частотных характеристик необходимо
учитывать нелинейность характеристики подпиточных клапанов.
§ 13.2. УРАВНЕНИЯ И СТРУКТУРНАЯ СХЕМА СИЛОВОЙ
" ЧАСТИ ГИДРОПРИВОДА
Для момента времени, когда при малом отклонении блока
цилиндров от положения равновесия насос подает жидкость по
трубопроводу с давлением рг и всасывает жидкость из трубопровода
с давлением ръ уравнения расходов можно записать в виде:,
для трубопровода с давлением рх
QH=QM+Quu+QnM+(QyH)i+(QyJi + (Qc«)i - (QnoAn)i; A3.3)
для трубопровода с давлением р2
Qh = Qm + <Эпн + <2пм - (QyHJ - (Qyuh ~ (Qc»>2 + (<2подпJ. A3.4)
В данных уравнениях расходы (Qc5K)i и (QcmJ являются теми
составляющими расхода насоса, которые связаны со сжимаемостью
жидкости. Остальные составляющие обозначены в соответствии
с расчетной схемой (см. рис. 13.2). С целью некоторого упрощения
выражений, определяющих коэффициенты в последующих
уравнениях, условимся насос и гидромотор считать гидромашинами
одинакового типа, например, аксиально-поршневыми, отличающимися
только тем, что у насоса регулируется угол наклона блока ци-
333

линдров (или шайбы), а у гидромотора этот угол не регулируется.
В этом случае можно принять
Qhh = Q™ = Qnep; (QyH)i = (QyM)i = (Qy)i; (QyHJ = (QyMJ = (Qy)a, A3.5)
Учитывая приведенные соотношения, определим отдельные
составляющие расхода насоса в виде
Qm=?m^; Qnep = ^nep(Pl-P2); (Qy)l = *ут№ (QyJ = kyTp2> A3.6)
где qK — рабочий объем гидромотора, приведенный к одному
радиану угла поворота вала (характерный объем); knep —
проводимость щелей, по которым в насосе и в гидромоторе происходит
перетечка жидкости из полостей с высоким давлением в полости
с низким давлением; &ут — проводимость щелей, по которым
происходит утечка жидкости из насоса и из гидромотора.
Расходы (Qnofln)i и (СподпJ выражаются соотношениями A3.1),
а расходы (QCH)i и (QciKJ в предположении абсолютно жестких
стенок трубопроводов найдем в виде
где Vo — внутренний объем трубопровода с подключенными к нему
объемами полостей насоса и гидромотора; Вж — модуль объемной
упругости жидкости.
Подставив составляющие расходов согласно соотношениям A3.1)
и A3.6) в уравнения A3.3) и A3.4) и затем сложив эти уравнения,
получим
2QH - 2<7М ^ + 4?пер (рг - р2) + 2?ут (Pl - р2) +
Pi-P2)+-u°mdiPl~P2). A3.8)
Величину QH выразим в виде зависимости от угла 7н наклона
блока цилиндров или угла наклона шайбы насоса:
Qh = ?h(Yh)&h, A3.9)"
где 9н (Тн) — характерный объем насоса (рабочий объем,
приведенный к одному радиану угла поворота вала и зависящий от угла
наклрна блока цилиндров, шайбы).
Для аксиально-поршневого насоса
Q^n^n^n Щ Ун о /iq 1л\
н== 2д н' Aо.Ш)
где Fn — рабочая площадь одного поршня насоса; zn — число
поршней; Dn — диаметр окружности, на которой расположены
оси поршней насоса.
Соотношение A3.10) показывает, что функция qu (yu) в
зависимости A3.9) является нелинейной. При малых отклонениях блока
334

цилиндров (шайбы) насоса от нейтрального положения указанная
зависимость может быть линеаризована и записана в виде
A3.11)
где
У аксиально-поршневого насоса коэффициент передачи /Cqy
определяется соотношением
^^ = ^Gb. A3.13)
где q'H — рабочий объем насоса, приведенный к одному радиану
угла поворота вала насоса и к одному радиану угла наклона блока
цилиндров (шайбы).
Применяя соотношение A3.11), уравнение A3.8) приведем к виду
q da Vn dp kY
т^ж + шп^-ж + к-Р'-ъ* <13Л4)
где
kz = kyT + 2knep + ^f; A3.15)
Ры = Рг — Р2-
В уравнении A3.14) кроме входной величины ун и выходной
величины ам содержится изменяющийся во времени перепад
давления рт который зависит от преодолеваемой гидромотором нагрузки.
При действии инерционной нагрузки, позиционной нагрузки и
трения величина ри определяется с помощью следующего уравнения
движения вала гидромотора
^ A3.16)
где / — момент инерции вращающихся с валом гидромотора частей
(приведенный момент инерции нагрузки и ротора мотора).
_ Крутящий момент Мм для объемной гидромашины находится
по соотношению
Мм = <7мРм. A3.17)
Момент М'тр создается трением в самом гидромоторе. В общем
случае трение в гидромоторе может быть смешанным, и тогда
зависимость УИтр от угловой скорости вала гидромотора QM и перепада
давления рп будет такой, как показано на рис. 13.4. С целью
упрощения математической модели гидропривода, ограничиваясь
малыми изменениями перепада давления /?м, будем учитывать только
гидравлическое трение, полагая
адр = «р^ A3.18)
335

где &тр вычисляется по наклону аппроксимированной характеристики
МтР = Мтр (QJ, проведенной штриховой линией на рис. 13.4.
Момент УИтр, возникающий из-за трения в нагрузке, представим
аналогичной зависимостью
М" и» dau /iq in\
тр — Астр 1, « {lO.l<j)
Момент Мпоз от действия позиционной нагрузки примем
Mno3 = >*WV A3.20)
Используя соотношения A3.17)—A3.20), из уравнения A3.16)
получаем
J №cl.. к rict... k
A3.21)
dt*
kno3
где
RTp = «тр
Рассматривая совместно уравнения A3.14) и A3.21), находим
JVn d3a
dfl
1
"Г
\-йг +
A3.22)
Обычно величинами kno3V0/2ByKqll и k^k^lq^ можно пренебречь
по сравнению с единицей. В этом случае коэффициент при 'dajdt
можно заменить приближенным
значением постоянной 'времени
гидропривода
A3.23)
После преобразования по
Лапласу уравнения A3.22) при
нулевых начальных условиях и
обычных алгебраических
преобразований с учетом
соотношения A3.23) получим
уравнение силовой части
гидропривода
Рис. 13.4. Зависимость момента
трения в гидромоторе от угловой скорости
вала и давления
= yH(s)-K'ua№(s). A3.24)
Постоянная времени Ти в этом уравнении определяется
соотношением
Tu = VJV0/2qlBm. A3.25)
Величина соом = 1/Тм является угловой частотой собственных
недемпфированных колебаний вала гидромотора.
336

Полученное здесь значение частоты собственных
недемпфированных колебаний вала гидромотора отличается от обычно
указываемого в литературе по объемным гидроприводам вследствие
наличия множителя 2 под корнем квадратным в соотношении A3.25).
Это объясняется тем, что при составлении уравнений мы учли
сжимаемость жидкости в двух трубопроводах. При рассмотренной
выше типовой схеме системы подпитки гидропривода давление
изменяется одновременно в обоих трубопроводах, и, следовательно,
такой учет сжимаемости жидкости соответствует происходящим
в гидроприводе процессам.
Коэффициент относительного демпфирования гидромотора ?м
в уравнении A3.24) равен
A3.26)
Коэффициент К и собственной обратной связи силовой части
гидропривода, вызванной совместным действием позиционной
нагрузки и негерметичности
гидромашин, имеет
следующее значение:
A3.27)
Соотношения A3.25)—
A3.27) и соотношения
A2.31), A2.33) и A2.35),
определяющие параметры Рис. 13.5. Структурная схема силовой части
гидропривода С Дроссель- гидропривода с объемным регулированием
ным регулированием,
аналогичны. Различие заключается лишь в том, что при вычислении
параметров гидропривода с объемным регулированием рабочая
площадь поршня гидроцилиндра F^ заменяется рабочим объемом
гидромотора <7М, а коэффициенты Kqx и Kqp заменяются
соответственно коэффициентами /Cqy и k%- Влияние перечисленных
параметров на динамику гидроприводов с дроссельным и объемным
регулированием является идентичным.
Структурная схема силовой части гидропривода с объемным
регулированием, построенная по уравнению A3.24), дана на
рис. 13.5. Наличие замкнутого контура в структурной схеме
силовой части гидропривода обусловлено собственной обратной
связью с коэффициентом передачи Кп. Эта обратная связь возникает
в самом гидроприводе вследствие того, что при позиционной
нагрузке поворот зала гидромотора сопровождается изменением
перепада давления в его полостях и соответствующим изменением утечек
и перетечек рабочей жидкости. В результате изменяется расход
жидкости, обеспечивающей вращение вала гидромотора, что в
структурной схеме условно приведено к изменению угла ун наклона
блока цилиндров (шайбы) насоса.
337

Прямая цепь контура, как и у гидропривода с дроссельным
регулированием, состоит из интегрирующего и колебательного
звеньев.
Интегрирующим звеном учитывается характерное для любого
гидродвигателя объемного типа (гидромотора, гидроцилиндра, мо-
ментного гидроцйлиндра) свойство, заключающееся в том, что
рабочая жидкость должна заполнять в гидродвигателе появляющийся
при движении выходного звена дополнительный объем. Время
заполнения этого объема зависит как от размеров гидродвигателя, так
и от источника расхода. У гидропривода с объемным
регулированием таким источником является насос, поэтому в соотношение
A3.23), определяющее постоянную времени Т'ГПу наряду с
характерным объемом гидромотора #м входит коэффициент передачи /CQy
насоса.
Колебательное звено показывает, что сочетание инерционной
нагрузки на вал гидромотора с сжимаемой жидкостью,
заполняющей силовую часть гидропривода, может явиться причиной
возникновения колебательных процессов в гидроприводе,
демпфирование которых увеличивается с увеличением утечек и перетечек
в обеих гидромашинах, а также с повышением гидравлического
трения в гидромоторе и в нагрузке.
В заключение заметим, что рассмотренная структурная схема
не изменится, если вместо гидромотора исполнительным устройством
будет служить гидроцилиндр с поступательным движением
выходного звена. При определении постоянных времени, коэффициента
относительного демпфирования и коэффициента Кв такого
гидропривода с объемным регулированием в соотношениях A3.23),
A3.25) — A3.27) следует только заменить qu на Fu и J — на
приведенную к штоку гидроцйлиндра массу т.
§ 13.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ГИДРОПРИВОДА С ОБЪЕМНЫМ
РЕГУЛИРОВАНИЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
Следящий гидропривод с объемным регулированием при
осуществлении механического управления снабжается устройством, в котором
сравниваются входной сигнал, задаваемый оператором, и сигнал
обратной связи, пропорциональный углу поворота вала
гидромотора или перемещениюдитока гидроцилиндра. Ошибке, выявленной
при таком сравнении, должно соответствовать изменение угла
наклона блока цилиндров или шайбы насоса, направленное на
полное или частичное ее устранение.
Если силовая часть гидропривода имеет гидромотор, то
элементом сравнения входного сигнала и сигнала обратной связи может
служить механический дифференциал. В этом случае при повороте
ручки управления на угол бу на такой же угол поворачивается
жестко соединенная с ней шестерня / дифференциала (рис. 13.6).
Шестерни 2, обегая шестерню S, поворачивают вал, на котором они
вращаются, в плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа.
333

Вместе с валом вращается винт 3, по которому при этом
перемещается гайка 4У соединенная с блоком цилиндров или шайбой
насоса. Вследствие отклонения блока цилиндров (шайбы) от
нейтрального положения жидкость из насоса 5 поступает в гидромотор 6,
приводя во вращение вал последнего. От вала гидромотора через
зубчатую передачу 7 приводится во вращение шестерня 8
дифференциала. При вращении этой шестерни винт 3 возвращает гайку 4
Рис. 13.6. Схема
гидропривода с объемным
регулированием и с
механическим управлением
вместе с блоком цилиндров (шайбой) насоса в нейтральное
положение, после чего вал гидромотора останавливается.
Уравнение механизма управления рассмотренного или
аналогичного типа имеет вид
YH = KYe9y-/CocaM, A3.28)
где /CYe — коэффициент передачи механизма от ручки управления
до блока цилиндров (шайбы) насоса; Кос — коэффициент передачи
обратной связи от вала гидромотора до блока цилиндров (шайбы)
насоса.
т .
dM(S)
Рис. 13.7. Структурная
схема гидропривода с
объемным регулированием и
с механическим
управлением
Преобразовав уравнение A3.28) по Лапласу и затем подставив
полученное значение ytt (s) в уравнение A3.24), получаем
T'rns (П52 + 2?MTMs + 1) ам (s) = /CY09y (s) - (Кос + Кп) ам (s). A3.29)
Уравнение A3.29) описывает замкнутый следящий гидропривод
с объемным регулированием и с механическим 7правлением.
Соответствующая этому уравнению структурная схема дана на рис. 13.7.
Как и для гидропривода с дроссельным регулированием,
коэффициент К'н часто оказывается значительно меньше коэффициента
Кос обратной связи и может не учитываться при исследовании
устойчивости гидропривода. Однако с учетом этого коэффициента
339

анализ устойчивости практически не усложняется, так как
характеристическое уравнение
= 0 A3.30)
отличается от уравнения A2.40) только наличием одного
дополнительного члена. Условие устойчивости по Гурвицу в общем
виде также изменяется незначительно по сравнению с условием
A2.41)
21Г(К + К^)Т1Л. A3.31)
Подставив в это неравенство значения параметров гидропривода
из соотношений A3.23) и A3.25) — A3.27), находим условие
устойчивости в форме
kT,V0 K'ocKQyV0
> <1332>
Если пренебречь членом kno3VJ2Bmq^ что равносильно
исключению /Си из уравнения A3.30), и ввести добротность гидропривода
с объемным регулированием
Dro = KocKQv/qM, A3.33)
то неравенству A3.32) можно придать вид
**+?&>%?• <13-34>
При малом трении в гидромоторе и в нагрузке основное
значение в левой части неравенства A3.34) приобретает первый член.
В этом случае необходимое по условию устойчивости значение &2
можно найти, положив kTp = 0. Тогда будем иметь
. k* >{DTOVJ2B^). A3.35)
Из данного неравенства и соотношения A3.15) следует, что
увеличение утечек и перетечек жидкости в гидромашинах
способствует обеспечению устойчивости гидропривода с объемным
регулированием. Условие устойчивости A3.35) не зависит от величины
момента инерции / вращающихся с валом гидромотора масс. Это
объясняется такими же причинами, как и независимость условия
устойчивости A2.43) гидропривода с дроссельным регулированием
от приведенной к штоку гидроцилиндра массы т. В гидроприводе
с объемным регулированием при увеличении момента инерции J
возрастают утечки и перетечки жидкости из-за увеличения
разности давления.
В предположении отсутствия утечек и перетечек жидкости
(kz = 0) условие A3.34) принимает вид
kTp>DT0J, A3.36)
аналогичный условию устойчивости A2.46) гидропривода с
дроссельным регулированием при идеальном золотниковом
распределителе.
340

Такое же влияние, как при дроссельном регулировании,
оказывают на устойчивость гидропривода с объемным регулированием
увеличение его добротности, увеличение объемов, заполненных
жидкостью, и уменьшение модуля объемной упругости жидкости.
Указанное совпадение во влиянии перечисленных факторов на
устойчивость гидроприводов с различными способами
регулирования не является случайным. Оно связано с тем, что
гидродвигатели (гидроцилиндр и гидромотор) в обоих случаях представляют
собой колебательную систему, свойства которой определяются
одинаковыми по своей физической сущности величинами.
Различие в способах регулирования гидродвигателями проявляется
главным образом в количественных соотношениях параметров,
диктуемых условиями устойчивости для этих двух классов
гидроприводов.
Сходство уравнений A2.29) и A3.29) позволяет рассмотренные
в § 12.3 рекомендации о применении метода анализа и синтеза
по степени устойчивости и колебательности к гидроприводам с
дроссельным регулированием перенести и на гидроприводы с
объемным регулированием. При этом проверка устойчивости и вида
переходного процесса по заданным значениям параметров Г™,
Тм, ?м и Кос не вызывает затруднений. После приведения
уравнения гидропривода к форме И. А. Вышнеградского можно также
найти указанные параметры, исходя из требуемых значений степени
устойчивости и колебательности.
Значительно сложнее затем вычислить величины, которыми
согласно соотношению A3.26) определяется коэффициент
относительного демпфирования ?м. Этими величинами являются fe2
и &тр. Величина &2 согласно соотношению A3.15) зависит от трех
проводимостей: &пер, &ут и &кл, из которых только последняя может
быть получена в результате расчета характеристики подпиточного
клапана. Проводимости &пер и &ут обычно приходится определять
экспериментальным путем, причем вследствие небольших утечек
и перетечек в объемных гидромашинах эксперименты должны
выполняться с большой точностью измерения расходов жидкости.
Для определения коэффициента &тр, характеризующего трение
в гидромоторе и в нагрузке, также требуются специально
поставленные эксперименты.
При приближенных расчетах устойчивости и качества
процессов регулирования гидропривода для вычисления k% и коэффициента
&тР, являющегося слагаемым коэффициента &гр, можно
воспользоваться паспортными значениями объемного и механического
к. п. д. гидромашин. В этом случае предполагается, что
коэффициент &ут значительно меньше коэффициента &пер, и соответственно
величиной kyT/2knep в соотношении A3.15) можно пренебречь.
Значение коэффициента 6пер вычисляется по формуле
ftnep-0-Ло)^, A3.37)
. 341

в которой т)о — объемный к. п. д. насоса или гидромотора при
паспортных значениях расхода Qo и давления р0 нагнетания для
данной гидромашины.
Коэффициент k'Tp вычисляется следующим образом:
где т]м — механический к. п. д. гидромотора при паспортных
значениях крутящего момента (МмH на валу и угловой скорости
вала (QMH.
Для получения коэффициента kTp к значению k'Tp прибавляется
коэффициент &тР, характеризующий трение в нагрузке, который
либо принимается на основании статистических данных, либо
должен быть предварительно определен из расчетов или
экспериментов.
При отсутствии необходимых данных о значении коэффициента
&тР его можно не учитывать, что приводит к снижению
коэффициента относительного демпфирования гидромотора ?м, и тем самым
ухудшаются условия устойчивости гидропривода.
§ 13.4. ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОДПИТОЧНЫХ КЛАПАНОВ НА ДЕМПФИРОВАНИЕ
ГИДРОПРИВОДА С ОБЪЕМНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ
При составлении расчетной схемы силовой части гидропривода
с объемным регулированием мы; отметили, что из-за существенно
нелинейной характеристики подпиточного клапана средняя за
период колебания его проводимость зависит от амплитуды
давления в трубопроводе. С увеличением амплитуды давления средняя
за период проводимость клапана уменьшается, что приводит к
уменьшению демпфирования гидромотора. Вследствие этого
условие устойчивости гидропривода может оказаться нарушенным.
Таким образом, гидропривод, устойчивый «в малом», может быть
неустойчив «в большом».
Следуя работе [37], рассмотрим влияние амплитуды колебания
давления в трубопроводе на демпфирование гидропривода с
объемным регулированием. При этом линейные зависимости A3.1)
необходимо заменить соответственно нелинейными функциями
A3.38)
которые в предположении пренебрежимо малой инерции подпи-
точных клапанов описывают характеристику, приведенную на
рис. 13.3. Расходы утечек и перетечек в насосе и в гидромоторе
принимаются одинаковыми, что позволяет применять соотношения
A3.6). Если, кроме того, считать, что для исследуемого диапазона
амплитуд колебаний давлений амплитуды колебания блока
цилиндров или шайбы насоса невелики, то можно будет использовать
также соотношение A3.11). Тогда с учетом зависимостей A3.38)
342

и соотношений A3.6) и A3.7) уравнения A3.3) и A3.4) приводятся
к виду
- р2) -
A3.39)
= #qyYh- A3.40)
Чтобы влияние нелинейной характеристики подпиточного
клапана на демпфирование гидропривода было более наглядным,
можно пренебречь трением в гидромоторе и в нагрузке и не
учитывать позиционную нагрузку. При этих допущениях уравнение
лад
F(p°2+apsini/r)
, /Л .
2т
Рис. 13.8. График
гармонической линеаризации
функций F (рг) и F (р2)
A3.16) движения вала гидромотора и соотношение A3.17)
позволяют найти
где, как и прежде, рм = рг — /?2.
При наличии инерционной нагрузки на гидромотор можно
предположить, что выполняется условие фильтра, и провести
гармоническую линеаризацию функций F (рх) и F (/?2). Так как эти
функции одинакового вида, то одинаковыми должны получиться и
результаты их гармонической линеаризации. Не нарушая
существенной нелинейности характеристики подпиточного клапана, будем
изображать ее в виде наклонной прямой и прямой, совпадающей
с осью абсцисс (рис. 13.8). Вследствие несимметричности такой
характеристики входную величину, которой является давление рг
или /?2, следует представить в виде суммы постоянной
составляющей р°\,о и гармонической составляющей р1Л:
i = Pi,2 + aosina|), A3.42)
343

где ар •— амплитуда первой гармоники колебания давления в одном
из трубопроводов; г|) = со/; со — угловая частота первой
гармоники колебаний.
Выходная величина по методу гармонической линеаризации
ищется в виде
" /7(Pi,2) = /ro(Pi,2, ap) + q(pl2, ap) Op sin яр. A3.43)
Постоянная составляющая F0 (/?}, 2, ар) и коэффициент
гармонической линеаризации q (p\, 2 ар) находятся по формулам
коэффициентов ряда Фурье:
2л
A3.44)
2л
2, ар)—^г ^(Pi,2 + ^psini|))sin^% A3.45)
Интегралы A3.44) и A3.45) для принятой на рис. 13.8
характеристики подпиточного клапана вычисляются при следующих
значениях функции F (/??, 2 + ар sin tp):
/7(pif2 + flpSini|)) = 0 при 0^г|Хя + Р;
F (pi, 2 + ар sin я|)) = kKJl [рподп - (/?5,2 + ap sin я|))]
при 3X + P^^^2n — P;
/r(p(i,2 + ^pSini|)) = 0 при 2я — Р^гр^2я,
где
В результате имеем
F4PU, а,)-±[0,
-(Pi 2- Рподп) arccos р?-2 ~ Р"од" ]; A3.46)
9 (Pi. 2, Ор) = ^ pb-Рподп
- arccos
Ь-Рподп1
Зависимость A3.43) позволяет гармонически линеаризованные
функции Z7 (р2) и Z7 (р2) представить следующим образом:
F (ft) = F° (pJ, ap) + <7 (Рь аР)л; A3.48)
F(p2) = F«(pl ap) + q(pl ap)p2. A3.49)
После подстановки зависимостей A3.48) и A3.49) система
уравнений A3.39) — A3.41) разделяется на две системы:
2?„еР (Р5 - Р%) + 2йутр? - f° (Pi ар) = /CQyv°h;|
2&„ер(Р?-Р^-2*утр1 + Р(р§, aP)^KQyy4,j
344

h-g(pl ap)pi = KQyyH;
A3.51)
i + q(pl ap)P2 = KQyyH;
Система уравнений A3.50) получена для постоянных
составляющих величин, определяющих равновесное состояние гидропривода,
а система уравнений A3.51) — для колебательных составляющих
(отмечены сверху волнистой чертой). Из системы A3.50) можно
найти
р\ = pi = р°; ро {pi пр) = Я (р8, ар) = Я (р°, ар);
Систему A3.51) приведем с помощью преобразования по
Лапласу к одному уравнению вида A3.24):
T'ms (T2Ms* + 2tTMs + 1) aM (s) = yH (s). A3.53)
Данное уравнение получено для колебательных составляющих
ам и Yh Угла поворота вала и гидромотора и угла наклона блока
цилиндров (или шайбы) насоса, поэтому дальнейшее применение
этого уравнения должно быть ограничено случаем s = /со. В
правой части уравнения, в отличие от уравнения A3.24), содержится
только один член, так как было принято, что Миоз .= 0 и,
следовательно, kn03 = Кн = 0. Постоянные времени Т'Гп и Тм в
уравнении A3.53) имеют такие же значения, как в уравнении A3.24),
и определяются соотношениями A3.23) и A3.25), причем значение
Ггп в данном случае точно соответствует соотношению A3..23) в связи
с тем, что полагалось М'тр = МтР = Мпоз = 0, т. е. &тр = 0.
Коэффициент См относительного демпфирования гидромотора
здесь
tm- <13-54)
где
h =kyT + 2knep-q(py*). A3.55)
Сравним соотношения A3.26) и A3.54). При kTp — 0 они
отличаются только значениями ?2 и fe2, различие которых, как
показывают соотношения A3.15) и A3.55), состоит в том, что k^ зависит
345

от постоянной проводимости kKJi подпиточного клапана, a k^ —
от коэффициента q (/Л ар) = q (/?}, ар) = q {p\, ар) гармонической
линеаризации характеристики подпиточного клапана. Последнюю
величину можно рассматривать еще как осредненную за период
колебания проводимость клапана. Для определения q(p°, ар)
служат уравнения A3.46), A3.47) и A3.52). Подставив в уравнение
A3.46) F° (pOi ap) из уравнения A3.52), получим
A3.56)
Совместное решение уравнений A3.47) и A3.56) позволяет
исключить, из зависимости q (p°y ар) величину р° и найти
коэффициент гармонической линеаризации в виде функции только ар.
Однако такое решение является сложным и требует трудоемких
вычислений, в связи с чем в работе [37] предложена
аппроксимированная зависимость
J p) A3.57)
которая с достаточной точностью позволяет находить коэффициент
гармонической линеаризации, если максимальные значения рпот1ар
не превышают границы, указанной на рис. 13.9. При этом значения
коэффициентов тип определяются по графикам, приведенным
на рис. 13.10.
Подставив зависимость A3.57) в соотношение A3.55), получим
A3.58)
откуда видно, что с увеличением амплитуды давления ар значение k^
приближается к
[ ^] A3.59)
Если kyT «&пеР> то соотношение A3.59) можно заменить
приближенным
fti^^ep. A3.60)
Таким же будет значение &s> полученное для линейной модели
гидропривода, если в соотношении A3.15) принять kyr'« knQ?
к р
Следовательно, при больших амплитудах давлений в
гидроприводе, состоящем из гидромашин, в которых п?ретечки
значительно превосходят утечки, коэффициент относительного
демпфирования линейной модели, вычисленной при k^ = 2&пер, может
приближенно характеризовать демпфирование гидропривода. Так
346

как остальные параметры линейной модели и рассмотренной здесь
нелинейной модели совпадают, то для предварительной проверки
устойчивости гидропривода «в большом» можно применить
условие A3.31), если ?м определять при &2 = 2&пер. При этом значении
?м могут быть рассчитаны и частотные характеристики
гидропривода, когда получаются большие
амплитуды давления ар.
Чтобы оценить влияние
амплитуды давления ар на
значение k^ ,примем kyT = 0,1 knep и
/77, П
рподп
ар
ПА
18
12
6
п
\
\
\
10"
10
г2
1,0
0,5.
\
ч
.0 0,2 ОА 0,6 0,8
Рис. 13.9. Граница допустимых мак- Рис. 13.10. Графики для определения
симальных значений рПодп/#р ПРИ ис- коэффициентов, тип зависимости
пользовании зависимости A3.57) A3.57)
по соотношению A3.58) вычислим Tz% при нескольких значениях
Рподп/tfp и 2nkyT/kKJ1. Результаты вычислений сведем в таблицу.
2nkyT/kKJl
Рподп/^р
0,01
6
1,72
0,5
1,19
0,1
1,15
0,5
1,11
1,0
0,1
1,09
Полученные значения kz/2knep показывают, что при амплитуде
давления ар, в 10 раз превышающей давление рПОдп перед подпи-
точными клапанами, &2 отличается от fes на 15—9%, если kyT/knep =
= 0,1. С уменьшением этого отношения ошибка, вызванная
применением приближенного соотношения A3.60), уменьшается.
Приведенные в таблице величины подтверждают также
отмеченное в начале анализа снижение демпфирования гидропривода
с увеличением амплитуды давления ар. При изменении рпот1ар
от 6 до 0,5 значение k^/2knep уменьшилось в 1,55 раза.
347

§ 13.5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИЛОВОЙ ЧАСТИ
ГИДРОПРИВОДА С ДЛИННЫМИ ТРУБОПРОВОДАМИ
Насос и гидромотор могут быть соединены трубопроводами такой
длины, при которой, определяя математическую модель силовой
части гидропривода, необходимо учитывать кроме сжимаемости
жидкости ее инерцию и вязкость [56]. В этом случае расчетная схема
отличается от приведенной на рис. 13.2 тем, что давления будут
переменными по длине трубопровода. Давления в сечениях
трубопроводов у насоса отметим индексом «н», а у гидромотора —
индексом «м» (рис. 13.11). Связь между этими давлениями может быть
Насос
/W/
Slu-const
Awf- w
^Ж Рподп
QflM
Ргм I
/W/
Рис. 13.11. Расчетная схема силовой части гидропривода с объемным
регулированием при длинных соединительных трубопроводах
установлена с помощью уравнений вида A0.64) и A0.65). В
соответствии с принятой расчетной схемой указанные уравнения
представим следующим образом:
^^n; A3.61)
(s) = fin (s) ch [0 (s) I] -
(s) = vu (s) ch
(S) = p2H (s) ch
(s) sh [* (s) I]; A3.62)
}l (s) sh [0 (s) /]; A3.63)
(s)sh[O (s) /], A3.64)
где /7lH (s), /72H (s) и vlH (s), y2H (s) — изображения по Лапласу
соответственно давлений и средних по живому сечению скоростей
жидкости на концах трубопроводов у насоса; ры (s), /?2м (s) и vlM (s),
v2t& (s) — изображения по Лапласу тех же величин, но взятых
на концах трубопроводов у гидромотора.
Граничные условия к уравнениям A3.61) — A3.64) находятся
по балансу расходов жидкости, поступающей в трубопроводы
и вытекающей из них. Если пренебречь сжимаемостью жидкости
в рабочих полостях насоса и гидромотора, то можно применить
уравнения расходов, аналогичные уравнениям A3.39) и A3.40).
Отличие будет состоять в том, что в данном случае необходимо
раздельно учитывать перетечки и утечки в каждой гидромашине.
Кроме того, вследствие распределенности параметров жидкости
348

по длине трубопровода эти уравнения не должны содержать членов
__Уо. _Л -p^-~§f- Для сечений трубопроводов у насоса уравнения
расходов имеют вид
Мн + (*пер)н (р1н - Р2н) + (^ут)н PlH - F (PlJ = ^QyThJ A3.65)
A3.66)
Для сечений трубопроводов у гидромотора уравнения
расходов будут следующими:
?м-зг = ^1м ~ ^пеР^м (р1м~ Р2м)" ^м PlM' A3.67)
<7м -^f = /^2м — (^пер)м (Р1м — Р2М) + (^ут)м Р2м, A3.68)
где f — площадь проходного сечения трубопровода.
К уравнениям A3.65)— A3.68) необходимо присоединить
условие, определяющее разность ры — р2м = рм давлений в полостях
гидромотора. Таким условием может служить уравнение A3.21),
если предположить, что вал гидромотора преодолевает
инерционную нагрузку, гидравлическое трение и позиционную нагрузку,
и если, кроме того, зависимость момента трения в самом
гидромоторе от угловой скорЪсти его вала приближенно заменить
линейной.
В уравнения A3.65) и A3.66) входят нелинейные функции
F (Pih) и F (Р2н)> описывающие характеристику подпиточных
клапанов. Проведя гармоническую линеаризацию этих функций
изложенным в § 13.4 методом, можно систему уравнений A3.65) —
A3.68) разделить на системы для постоянных составляющих и для
колебательных составляющих. Последнюю систему в изображениях
по Лапласу представим в виде
/&1н (S) + (^пер)н IPln (S) ~ P2n («)] + (^ут)н Pin (s) -
- д (Рн, вРН)Лн (s) = ^qyYh (s); A3.69)
/б2н (S) + (^пер)н [Pin (S) -P2n (S)] - (*ут) Ан 00 +
+ Ч(Р°«, apH)p2u(s)^KQyy(sy, A3.70)
qusau (s) = fvlM (s) - (knep)M [р1ы (s) - p2wi (s)] - (feyT)MPiM (s); A3.71)
<7м*ам (s) - /б2м (s) - Fnep)M [plM (s) -p2lA (s)] + {kyXP^ (s); A3.72)
fc E) = A. (s) -A. (s) = Js2+';pS+"n03 aM (s), A3.73)
где ^ (pi, apn) — коэффициент гармонической линеаризации
характеристики подпиточного клапана.
Чтобы уравнения A3.69) — A3.73) могли рассматриваться в
качестве граничных условий, в уравнениях A3.61) — A3.64)
необходимо изображения переменных plH (s), /?2н (s), Ры (s)» Ргм (s)»
uih (s), у2н (s)» У1м (s) и у2м (^) заменить изображениями соответствую-
349

щих колебательных составляющих ры (s), p2ll (s), plu (s), р2м (s),
йщ (s)> ^2h (s)> у1м (s) и у2м (s)- Рассматривая после этого обе системы
уравнений совместно, найдем передаточную функцию силовой
части гидропривода с учетом распределенности параметров
жидкости по длине соединительных трубопроводов при гармонически
линеаризованной характеристике подпиточных клапанов:
117 М — ""^ —
^( 7(s) ~
2ДтрЕн<М«)
fs [ qJH^4) \
^(kaep)n+^-Q-^~^-; A3.75)
А„ = (^пер)«+^; A3.76)
• A3J7)
При малых отклонениях переменных от значений,
соответствующих равновесному состоянию гидропривода, в соотношении A3.75)
коэффициент гармонической линеаризации может быть заменен
проводимостью подпиточного клапана, т. е. произведена
подстановка
Ч 2 ~~ 2 #
В этом случае передаточная функция A3.74) определяет
отношение ам (s)/yH (s) изображений малых отклонений угла поворота
вала гидромотора и угла наклона блока цилиндров (или шайбы),
закон изменения которых от нулевых начальных условий может
быть произвольным. В связи с этим коэффициенты kH и kn в такой
передаточной функции могут обозначаться просто ka и kM.
При больших амплитудах колебаний в соответствии с § 13.4
можно вместо соотношений A3.75) и A3.76) принять
ки Я^ (&пер)н) ^м ^^ (^пер)м» Aо.7о)
(&ут)н < (&пер)н И (kyX<(knep)w
Для получения частотной характеристики силовой части
гидропривода в передаточную функцию A3.74) следует подставить s = /со
и применить комплексную форму A0.42) коэффициента
распространения * (/со). С учетом гармонического коэффициента
линеаризации нелинейной характеристики подпиточного клапана
расчет является достаточно сложным, так как даже при использовав
350

нии зависимости A3.57) может возникнуть необходимость в
последовательных приближениях. При этом для предварительно
назначенной амплитуды давления в сечениях трубопроводов у насоса
ари вычисляется коэффициент гармонической линеаризации и нахо-
дятся соответствующие амплитудная
7н (/<*>)
и фазовая
частотные характеристики силовой части гидропривода. Если затем
необходимо найти амплитуду или фазу колебания вала гидромотора
по заданному гармоническому закону колебания блока
цилиндров (шайбы) насоса, то по уравнениям A3.61) — A3.64) и A3.69) —
A3.73) должно быть определено значение арн при вычисленных
амплитудах.аа вала гидромотора и блока цилиндров ау\ в случае
его отличия от исходного значения проводится повторный расчет
и т. д.
§ 13.6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК СИЛОВОЙ ЧАСТИ ГИДРОПРИВОДА
С ДЛИННЫМИ ТРУБОПРОВОДАМИ
Применение приближенных соотношений A3.78) существенно
упрощает вычисления, так как тем самым исключается зависимость
коэффициентов передаточной функции A3.74) от амплитуды арп.
Амплитуда аа находится как для линейной системы:
aa = \Way(M\ay, A3.79)
где Way (/со) — модуль амплитудно-частотной характеристики,
определяемый путем обычных преобразований после подстановки
s = /со в передаточную функцию A3.74).
Еще больше можно упростить расчет, если ограничиться
приближенным вычислением амплитудно-частотной и фазо-частотной
характеристик гидропривода в пределах первых двух резонансных
пиков. Представив функции shd (s) I и did (s) / бесконечными
произведениями
и удерживая затем в каждом бесконечном произведении только
первый член, получим из передаточной функции A3.74) следующую
приближенную передаточную функцию силовой части
гидропривода с длинными трубопроводами:
T'rus
где Trn = qjKQy.
351

Постоянные Tl9 Т2, Т3, Т4, К и С определяются довольно
громоздкими соотношениями по параметрам гидропривода и нагрузки.
Эти соотношения здесь не приводятся, поскольку излагаемый
ниже метод расчета позволяет избежать их применения.
Передаточная функция A3.80) содержит в знаменателе полином
четвертой степени по s, что указывает на возможность
существования двух резонансных частот, как в механической системе с двумя
степенями свободы. При слабом демпфировании резонансные
частоты близки к собственным частотам недемпфированного
гидропривода, которые можно найти, полагая
/ьм = ки = /2Тр == О == U.
Если, кроме того, пренебречь позиционной нагрузкой (kno3 = 0),
которая влияет на низкочастотные части частотных характеристик
гидропривода, то получим
В этом случае передаточная функция A3.80) может быть
представлена в виде
\A3.81)
где
\/ ~ Jfl [Z I" 4^/ХрРрь "*- Г
. 2 = \ Jfl [ 4^/ХрРрь 2^/XpPft 16^/ (
A3.82)
хрр — корректив, входящий в формулу для коэффициента фазы 8
[см. соотношение A0.42)]; в большинстве случаев может быть
принят равным единице.
Предельные значения собственных частот щ и со2
недемпфированного гидропривода зависят от параметра
Ь = J№
С
Ь
С
При Ьс -» оо первое и второе предельные значения со1п и со2п
частот соответственно равны
Частота со1п совпадает с тем значением, которое получается
для гидропривода без учета распределенности параметров
жидкости по длине трубопроводов. Частота со2п соответствует частоте,
с которой в трубопроводах протекают волновые процессы при
полностью заторможенном гидромоторе.
352

В качестве второго предельного случая можно рассмотреть
значения собственных частот гидропривода при Ьс -> 0. После
приближенного извлечения корня в формуле A3.82) имеем
Частота cojn является первой собственной частотой
недемпфированного гидропривода без нагрузки на валу гидромотора. Вторая
собственная частота со^ при Ьс -^ 0 стремится к бесконечности,
что связано не с физической сущностью исследуемых колебаний,
а объясняется сохранением только первых членов в бесконечных
произведениях при выводе передаточной функции A3.80).
С учетом демпфирующих факторов передаточная функция A3.81)
должна быть представлена в форме
ЦA3.83)
г s l
гп \©;
г ++ +
гп \©; (Ох У \со? со2
Коэффициенты относительного демпфирования ?i и ?2
находятся сравнением коэффициентов в знаменателях передаточных
функций A3.80) и A3.83).
Если в полученных таким образом соотношениях пренебречь
членами, которые при реально возможных параметрах
гидропривода мало влияют на точность вычисления значений ?х и ?2, то
будем иметь приближенные формулы
JfRu
4BTp
xpl
Tp J
*/м "^м тр
где
A3.86)
причем корректив ха на нестационарность гидравлического
сопротивления трения трубопровода находится по соотношению (9.90);
г0 — радиус проходного сечения трубопровода.
Формула A3.84) показывает, что при приближенном вычислении
коэффициента относительного демпфирования ?х гидравлическое
сопротивление трубопроводов не учитывается. Коэффициент
относительного демпфирования ?2, как видно из формулы A3.85),
зависит от Ra и поэтому зависит также от гидравлического
сопротивления трубопровода. Согласно соотношению A3.86)
нестационарность гидравлического сопротивления трубопроводов проявляется
в увеличении /?а. Следовательно, благодаря нестационарности
353

гидравлического сопротивления трубопроводов увеличивается
демпфирование гидропривода при второй резонансной частоте. Роль
гидравлического сопротивления трубопроводов в демпфировании
гидропривода при первой и второй резонансных частотах
возрастает с уменьшением перетечек и утечек жидкости в насосе и в
гидромоторе.
При экспериментальном исследовании высокочастотных
колебаний могут возникнуть трудности в измерении малых по
амплитуде колебаний вала гидромотора. Если гидромотор имеет
инерционную нагрузку, то при большой частоте изменения давлений
в полостях гидромотора будут значительными даже при малых
амплитудах угла поворота его вала. Современные датчики давлений
различного типа позволяют достаточно просто осциллографировать
переменные давления, и поэтому в некоторых случаях частотные
характеристики гидропривода целесообразно определять,
принимая за выходную величину перепад давления в гидромоторе. При
гармонических или -близких к гармоническим колебаниях
давления в полостях гидромотора изменяются со сдвигом по фазе на
180° и имеют равные амплитуды, т. е. ры = —р2м, поэтому можно
выходной величиной считать давление в одной из полостей
гидромотора, например /?1м.
Передаточная функция ры (s)/yH (s) находится та передаточных
функций A3.74) и A3.77) в виде
Ры (s)/Vh (s) = Way (s) Wji (s)/2. A3.87)
Если нет позиционной нагрузки (kno3 = 0), то
Тогда, применив приближенную передаточную функцию A3.83),
из соотношения A3.87) получаем
A3.88)
Передаточная функция A3.88) может рассматриваться как
передаточная функция цепи последовательно соединенных
типовых звеньев; логарифмическая амплитудная и логарифмическая
фазовая частотные характеристики такой цепи определяются
обычным путем. Заметим, что передаточную функцию A3.88) можно
использовать только в диапазоне частот, ограниченном первыми
двумя собственными частотами гидропривода, так как с этим
условием была получена приближенная передаточная функция A3.83).
Для примера на рис. 13.12 даны вычисленные рассмотренным
здесь методом логарифмические амплитудная и фазовая частотные
354

характеристики гидропривода со следующими параметрами:
J = 0,339 кг • м2; ?м = 11,3 см3/рад; q'n = 22,6 см3/рад2;
QH = 156 рад/с; kM = kH = Fпер)м = (*пер)н = 2,4 • 10 см3/Па. с;
?тр=17 Нсмс; / = 22 м; го=Юмм; Втр= 1,4.103 МПа;
v = 0,18 см2/с; ро = 870 кг/м3.
Коррективы ха и хрр определялись по безразмерной частоте
co2 = (o2/-(j/8v, которая оказалась равной 127. При этой
безразмерной частоте ха=6, хрр =
= 1,04. . m
Штриховой кривой показаны
характеристики, вычисленные
при ха = хрр = 1, т. е. без
учета нестационарности
гидравлического сопротивления
трубопроводов, обусловленного
искажением закона распределения
местных скоростей по сечению
потока.
Расчетные значения
амплитуд нормированы множителем
1 рад/ШПа.
На расчетные
логарифмические амплитудную и фазовую
100 со, рад/с.,
Рис. 13.12. Логарифмические
амплитудная A) и фазовая B) частотные
характеристики [для передаточной
функции A3.88)]
частотные характеристики
нанесены точки, полученные при
экспериментальном
исследовании динамических свойств
гидропривода с указанными выше
параметрами [56]. Расчетные и экспериментальные частотные
характеристики хорошо совпадают до второй резонансной частоты.
Вторая резонансная частота получается приблизительно в 1,3 раза
выше экспериментальной. Одной из причин этого расхождения
может быть люфт в соединении гидромотора с нагрузкой [55].

Глава XIV
ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИЕ
И ЭЛЕКТРОПНЕВМАТИЧЕСКИЕ
СЛЕДЯЩИЕ ПРИВОДЫ
§ 14.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В современных системах автоматического регулирования и
управления широко применяются электрогидравлические и
электропневматические следящие приводы. Управляющая часть таких
приводов состоит из электрических устройств, которые
воспринимают задающие воздействия от чувствительных элементов или
от вычислительных устройств, сравнивают их с сигналами
обратной связи и вырабатывают сигналы управления силовой частью,
состоящей из исполнительных элементов и регулирующих устройств.
Исполнительными элементами служат различного типа
гидродвигатели, если привод электрогидравлический, или пневмодвига-
тели, если привод электропневматический. Регулирование
гидродвигателей может быть дроссельным, струйным или объемным.
Пневмо^игатели имеют либо дроссельное, либо струйное
регулирование.
С целью уменьшения мощности, потребляемой электрической
управляющей частью, регулирование гидро- или пневмодвигате-
лей в ряде случаев осуществляется через промежуточные гидро-
или пневмоусилители. Сигналы обратной связи от выходного звена
исполнительного двигателя получаются с помощью датчиков
обратной связи, в качестве которых используются электрические
потенциометры, индуктивные датчики перемещения-, сельсины, тахо-
генераторы. Известны также гидро- и пневмоприводы с
электрическим управлением, имеющие механические, гидромеханические
к пневмомеханические обратные связи.
; Взаимосвязь перечисленных выше устройств как для
электрогидравлического, так и для электропневматического привода
может быть представлена общей функциональной схемой,
показанной на рис. 14.1. В этой схеме: У — электронный,
полупроводниковый или магнитный усилитель, ЭМП — электромеханический
преобразователь, ГУ — гидравлический усилитель, ПУ —
пневматический усилитель, ИД — исполнительный двигатель
(сервомотор): гидродвигатель (гидроцилиндр, моментный гидроцилиндр,
гидромотор) или пневмодвигатель (пневмоцилиндр, моментный пне-
вмоцилиндр, пневмомотор), ДОС — датчик обратной связи.
Входной величиной является напряжение Uux, подводимое на
366

вход электронного, полупроводникового или магнитного
усилителя, выходной — перемещение или угол поворота выходного звена
гидро- или пневмодвигателя. Сравнение входной величины с
сигналом обратной связи данной схемой предусматривается внутри
усилителя. Если привод имеет механическую (или гидромехани-
Рис. 14.1.
Функциональная схема
электрогидравлического или
электропневматического
следящего привода с
электрической обратной связью
ческую, пневмомеханическую) обратную связь, то она может
охватывать только гидроусилитель (или пневмоусилитель) и
исполнительный двигатель (рис. 14.2).
В электрогидравлических и в электропневматических следящих
приводах могут осуществляться непрерывный и дискретный прин-
V
У
змп
ДОС
ГУилиПУ
ИД
у.а
У
-*©-* гушипу -*¦
у ^—
1 1 ДОС
Рис. 14.2. Функциональ- и8х
ная схема электрогидрав- —¦•
лического или
электропневматического
следящего привода с
механической обратной связью
ципы управления. В первом случае входная величина
(электрическое напряжение UBX) и все последующие переменные величины
в контуре привода представляют собой непрерывные функции
времени. Во втором случае реализуется один из рассмотренных в § 1.3
способов формирования и передачи сигналов, при которых часть
переменных величин имеет квантование по времени, по уровню,
по времени и по уровню.
При квантовании сигналов
управления по времени и по
уровню привод называется
цифровым. Функциональная схема
автоматической системы
управления с цифровым приводом дана
на рис. 14.3, где основные
устройства обозначены следующим
образом: ЭЦВМ — электронная
цифровая вычислительная машина, ЦУЧ — цифровая
управляющая часть, ИД — исполнительный двигатель, ДОС — датчик
обратной связи, А-Ц — аналого-цифровой преобразователь. В
приводах с дискретным управлением выходная величина (у или а),
определяющая положение выходного звена, обычно, как и
в приводах с непрерывным управлением, является
непрерывной функцией времени, что объясняется фильтрующими
свойствами исполнительного двигателя, не пропускающего изменяю-
357
ЭЦВМ
1
1
А-Ц
ЦУЧ
ИД
ДОС
У, а
Рис. 14.3. Функциональная схема
привода с цифровым управлением

щиеся с большой частотой дискретные сигналы. Вследствие этого
сигнал от датчика обратной связи необходимо снова
преобразовывать из непрерывного в дискретный. В автоматических системах
управления с цифровыми приводами эта операция выполняется
аналого-цифровым преобразователем.
Рассмотрение динамики электрогидравлических и
электропневматических приводов с дискретным управлением выходит за рамки
настоящей книги, посвященной непрерывным гидравлическим
и пневматическим следящим системам и системам стабилизации.
Однако ряд вопросов, касающихся определения статических и
динамических характеристик электромеханических преобразователей,
гидро- или пневмоусилителей и исполнительных двигателей,
содержат много общего независимо от использования указанных
выше устройств в приводах с непрерывным или с дискретным
управлением. Поэтому излагаемые ниже сведения по динамике
элементов электрогидравлических и электропневматических
приводов с непрерывным управлением могут оказаться полезными
и при изучении динамики приводов с дискретным управлением,
которые описаны, например, в книгах [3, 68].
В следующих параграфах сначала будут рассмотрены
статические и динамические характеристики устройств, которые в
конструктивном отношении непосредственно связаны друг с другом.
К ним относятся электромеханический преобразователь,
гидравлический или пневматический усилитель, исполнительный
двигатель и датчик обратной связи. Эти устройства часто объединяются
в одном агрегате.
Электронный, полупроводниковый или магнитный усилитель
является самостоятельным элементом, который может быть
совершенно обособлен от перечисленных выше устройств. Выбор типа
и параметров усилителя зависит от условий использования
следящего привода и требований, предъявляемых к устойчивости
и качеству процессов управления. Вследствие этого на взаимной
связи характеристик усилителя и остальных элементов привода
мы остановимся при исследовании динамики всего привода.
§ 14.2. СТАТИКА И ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
Электромеханический преобразователь (ЭМП) воспринимает
электрический сигнал и преобразует его в пропорциональное
поступательное или угловое перемещение якоря, связанного с
золотником, заслонкой или струйной трубкой. Применяемые в следящих
приводах ЭМП различаются по принципу действия и по
конструктивному исполнению [15]. Наиболее широко используются
поляризованные преобразователи электродинамического типа с
подвижной управляющей катушкой, преобразователи
электромагнитного типа с «магнитной пружиной» и преобразователи
электромагнитного типа с механической пружиной.

Схема преобразователя электродинамического типа с
подвижной управляющей катушкой показана на рис. 14.4, а.
Преобразователь состоит из сердечника 1, корпуса 2, катушки подмагничи-
вания 3, управляющей катушки 4, штока 5 и двух плоских
центрирующих штрк пружин 6 и 7. К штоку присоединен управляемый
преобразователем элемент, например, золотник 8. При
прохождении электрического тока по катушке подмагничивания в
кольцевом зазоре, в котором расположена управляющая катушка,
создается радиальный магнитный поток. В результате взаимодействия
магнитного потока с током в подвижной катушке возникает
электродинамическая сила, смещающая вверх или вниз катушку вместе
со штоком. При этом плоские пружины, на которых закреплен
S 6
)\c=r\
Н—I г
i и
-°4
«о Jo-
6 , 7
I о
PHI1-
1 Z
fit
1L
/ z
д)
Рис. 14.4. Схемы электромеханических преобразователей:
а —- с подвижной управляющей катушкой; б -— с «магнитной пружиной»; в — с
механической плоской пружиной; г — с цилиндрической разделительной трубкой
шток, прогибаются. Направление перемещения штока
определяется направлением тока в управляющей катушке. При
отсутствии этого тока шток плоскими пружинами удерживается в
среднем положении.
В преобразователях электромагнитного типа перемещение
подвижных частей (якоря и жестко соединенного с ним управляемого
элемента) вызывается взаимодействием нескольких магнитных
потоков. Схемы таких преобразователей даны на рис. 14.4, б, в и г.
Они имеют по два Г-образных сердечника 1> закрепленных на
основании 2. На сердечниках установлены две обмотки 3 подмагничи-
вания, которые питаются от источника постоянного тока. Обмотка
управления 4 располагается вокруг якоря 5, который может
поворачиваться внутри неподвижного каркаса этой обмотки. Когда
по обмотке управления не проходит электрический ток, на якорь
со стороны полюсов сердечника действуют электромагнитные
силы только от потока Фп. При этом якорь уравновешен.
С появлением тока в обмотке управления возникают
дополнительные магнитные потоки Фу, один из которых складывается с по-
359

9>л
«У/
h
током Фп, а другой вычитается. Равновесие якоря нарушается, и
он отклоняется от нейтрального положения на некоторый угол сря.
Новое равновесное положение якоря преобразователя,
изображенного на рис. 14.4, б, наступает вследствие того, что при
отклонении якоря от нейтрали существенно изменяется магнитная
проводимость имеющих специальную форму зазоров между торцом
якоря и полюсами сердечника. Этот эффект аналогичен действию
на якорь уравновешивающей пружины, в связи-с чем такие
преобразователи называются преобразователями с «магнитной пружиной».
При форме сердечника, показанной на рис. 14.4, виг, для
обеспечения равновесия якоря на разных углах отклонения его
от нейтрали используются либо пружины 6 и 7, либо упругая трубка
10 (рис. 14.4, г). В последнем типе преобразователя трубка
отделяет обмотки управления и подмагничи-
вания от пространства, которое может
быть заполнено жидкостью, если элемент 9
является заслонкой гидравлического
усилителя (рис. 14.4, в). Такие преобразователи
называются «сухими» в отличие от тех,
у которых обмотки соприкасаются с
рабочей жидкостью
Кроме перечисленных преобразователей
в автоматических системах управления
применяются также поляризованные
преобразователи с постоянными магнитами и
неполяризованные преобразователи.
Краткий обзор схем преобразователей приведен в работе [15], где даны
и основы расчета электромеханических характеристик этих
устройств.
Статическая характеристика электромеханического
преобразователя определяет зависимость линейного кя или углового фя
перемещения якоря от тока управления (рис. 14.5). При
использовании преобразователя совместно с гидро- или пневмоусилителем
якорь будет нагружен усилиями, действующими со стороны потока
рабочей среды на золотник, заслонку или струйную трубку.
Статическую характеристику преобразователя с учетом этих усилий
можно найти с помощью внешней силовой или внешней моментной
характеристики. Первая характеристика выражает зависимость
тягового усилия Яя, развиваемого якорем, от тока управления iy
и перемещения /гя якоря (рис. 14.6, а). Вторая характеристика
связывает крутящий момент якоря Мя с током управления iy и
углом поворота якоря фя (рис. 14.6, б).
Поступательно перемещающийся якорь или поворотный якорь
занимают равновесное положение, когда Ря = Рн или когда Мя =
= Мн, где Рн и Мя — соответственно сила и момент, вызванные
нагрузкой на управляемом элементе. Эти величины являются
функциями соответственно перемещения кя и угла сря. Наложив
графики этих функций на внешние силовую или моментную харак-
360 '
Рис. 14.5. Статическая
характеристика ЭМП

теристики, по точкам их пересечения можно определить
зависимости йя = кя (/у) и фя = фя (iy)y которые и будут статическими
характеристиками нагруженного преобразователя.
При слабом магнитном гистерезисе и незначительном сухом
трении в подвижных частях все рассмотренные характеристики
допустимо считать однозначными. В этом случае статическая
характеристика нагруженного преобразователя будет близка к
линейной. С учетом магнитного гистерезиса или сухого трения на
статической характеристике можно получить петлю (штриховая линия
на рис. 14.5), которая, однако, у реальных устройств обычно имеет
малую ширину.
Ря \
i) Ю
Рис. 14.6. Внешняя характеристика ЭМП
Внешние силовые или моментные характеристики
преобразователей удобно использовать также при составлении уравнений
динамики. Рассмотрим наиболее часто встречающийся в
современных следящих приводах электромеханический преобразователь
с поворотным якорем. Применив уравнение вращения твердого
тела вокруг неподвижной оси, будем иметь
Л1я-Л!я-Мд-/Я?&, A4.1)
где /я — момент инерции якоря и управляемого элемента
относительно оси вращения якоря; если преобразователь «сухой»,
то должен быть предварительно определен центр вращения якоря
вместе с управляемым элементом; Мж — демпфирующий момент,
возникающий при движении якоря и управляемого элемента
вследствие действия сил трения и вследствие изменения
электромагнитных сил из-за появления встречной э. д. с. в обмотке управления.
Пренебрегая силами сухого трения, примем Мл
пропорциональным угловой скорости якоря:
Мп
A4.2)
12 Попов Д. Н.
361

где &д. я — коэффициент демпфирования якоря, значения которого
выбираются на основании экспериментальных данных.
Не учитывая магнитный гистерезис, внешнюю моментную
характеристику преобразователя можно представить наклонными
параллельными прямыми. Тогда ее уравнение запишем в виде
^я==^См^у — Л'мфФя» A4.3)
где /Смф = пг tg Рх (см. рис. 14.6, б)\ Kui = n2 tg p2 (рис. 14.6, в);
пг я п2 — коэффициенты масштабов.
Если моментная характеристика изображается кривыми, то
коэффициенты KMt и /СМф должны быть определены по абсолютным
значениям производных, вычисленных для точки,
соответствующей равновесному положению якоря при iy = /у>0, фя = фя. о-
дМя „
Амф3
div
'у-'
•у—уо
При этом в дальнейшем следует ограничиваться рассмотрением
малых отклонений iy> <ря и Мя от значений, определяющих
равновесие якоря.
Из уравнений A4.1) — A4.3) получаем
ф ^ Фя = /См^у-Мн. A4.4)
После приведения уравнения A4.4) к стандартной форме находим
Пф+2Ь|^ф- + Ф. = /Сф|/у-^. A4.5)
В этом уравнении постоянная времени якоря
является величиной, обратной собственной угловой частоте со0. я
колебаний недемпфированного якоря вместе с управляемым
элементом.
Коэффициент относительного демпфирования ?я якоря вместе
с управляемым элементом вычисляется по соотношению
Ья :=Е^д. я/^ V «'яАмф*
Ориентировочные значения ?/ составляют 0,1—0,2.
Коэффициент передачи /Сф,- электромеханического
преобразователя;
При разгруженном от усилий управляемом элементе Мн = 0.
В этом случае передаточная функция электромеханического
преобразователя по уравнению A4,5) находится в виде
362

отсюда следует, что ненагруженный электромеханический
преобразователь имеет динамические характеристики такие же, как
колебательное звено.
Наличие нагрузки на управляемом элементе приводит к тому,
что электромеханический преобразователь подвергается
дополнительному воздействию, возникающему при изменении Мя. Обычно
благодаря Мн от управляемого элемента к якорю преобразователя
создается внутренняя отрицательная обратная связь, из-за
которой может измениться вид динамических характеристик
преобразователя.
Нетрудно заметить, что уравнение и передаточная функция
электромеханического преобразователя с поступательно
перемещающимся якорем будут аналогичны полученным выше, только
в них вместо величин фя, Ми, /Смф, /См*, */я должны соответственно
входить величины /гя, Рп, KPh* KPt и тя, среди которых
коэффициенты KPh и KPi определяются по внешней силовой характеристике
преобразователя так же, как коэффициенты /Смф и Km
определялись по внешней моментной характеристике преобразователя.
Величина тя является приведенной к якорю массой всех
связанных с ним подвижных частей.
В зависимости от своего назначения преобразователи могут
существенно отличаться как по статическим, так и по
динамическим характеристикам. Преобразователи, которые используются
в автоматических системах промышленного назначения, имеют
обычно более низкие собственные частоты A00—200 Гц), чем
преобразователи систем управления летательными аппаратами, у
которых собственные частоты могут достигать 500—700 Гц [13].
§ 14.3. ГИДРОУСИЛИТЕЛИ
Гидроусилителями называются устройства, увеличивающие
мощность передаваемых сигналов за счет использования энергии,
подводимой с потоком жидкости от внешнего источника. В соответствии
с этим определением к гидроусилителям в ряде случаев относят
также гидроприводы с дроссельным или объемным регулированием,
имеющие механическое управление, например гидроприводы,
предназначенные для управления рулями самолета или тяжелыми
автомобилями. Однако в теории автоматического регулирования
усилителями принято считать только устройства, применяемые
для соединения маломощных чувствительных элементов или
маломощных элементов, преобразующих сигналы управления, с более
мощными исполнительными элементами. Поэтому мы будем
пользоваться приведенным выше определением гидроусилителя с
указанным здесь ограничением. По функциональной схеме (см. рис. 14.1)
гидроусилитель электрогидравлического следящего привода,
воспринимая и усиливая сигналы электромеханического
преобразователя, обеспечивает управление исполнительным
гидродвигателем.
• 363

Классификация гидроусилителей может проводиться по ряду
признаков. Одним из основных признаков является способ
управления потоком жидкости при усилении передаваемых сигналов.
Известны гидроусилители с дроссельным и струйным управлением.
При осуществлении первого способа управляющие элементы
гидроусилителей выполняются в виде золотников и заслонок с соплами;
при втором способе используются струйные трубки и струйные
элементы. Другой важный признак характеризуется наличием
или отсутствием обратной связи от управляемого элемента
гидроусилителя к управляющему элементу. При этом учитывается только
обратная связь, предусмотренная принципиальной схемой и
конструкцией гидроусилителя, а не те внутренние обратные связи,
которые могут быть выделены в структурной схеме гидроусилителя
и которые отражают наличие реактивного воздействия потока
жидкости на управляющие элементы.
Схемы наиболее распространенных гидроусилителей даны на
рис. 14.7. На рис. 14.7, а показана схема гидроусилителя,
имеющего в качестве управляющего элемента двухдроссельный (двух-
щелевой) золотниковый распределитель, который состоит из
золотника 1 и подвижной в осевом направлении втулки 4. Управляемым
элементом является золотник 2, который рычагом 3 обратной связи
соединен с подвижной втулкой. В полость ? и к золотнику 1
подводится жидкость с постоянным давлением /?пу питания
гидроусилителя. При смещении золотника / изменяется давление в
полости А и вследствие создавшейся разницы в силах давления
золотник 2 будет перемещаться до тех пор, пока рычаг обратной связи
не поставит втулку 4 относительно золотника / в нейтральное
положение. Благодаря обратной связи обеспечивается
пропорциональная зависимость между перемещениями золотников 1 и 2, а за счет
давления жидкости развиваются необходимые для перемещения
золотника 2 усилия.
Положительным свойством этого гидроусилителя является малый
расход жидкости, протекающей через управляющий элемент, когда
золотник / занимает нейтральное положение. Недостаток
гидроусилителя состоит в том, что на золотник / из-за облитерации
зазоров и неравномерного распределения давления в зазорах могут
действовать силы, препятствующие его перемещению. Для
уменьшения этого недостатка приходится либо создавать
осциллирующее движение одной из пар управляющего элемента, либо для
управления золотником / применять более мощные
устройства.
От указанного недостатка свободны гидроусилители с
управляющими элементами типа «сопло — заслонка» (рис. 14.7, б, в
и г). В таких гидроусилителях*перепад давлений в полостях А и Б,
необходимый для управления золотником 2, создается при
отклонении заслонки / от нейтрального положения вследствие
изменения расходов жидкости, протекающей через дроссели 5,
установленные в плечах гидравлического моста сопротивлений»
364

Гидроусилитель, схема которого изображена на рис. 14.7, б,
не имеет обратной связи. Для придания гидроусилителю статизма,
при котором обеспечивается пропорциональная зависимость
перемещений золотника 2 от перемещений заслонки У, применены
пружины 6. Усилие этих пружин при смещении золотника 2 от ней-
Pal Pi Pz Pc/r
6)
_
¦< 5
ft2553-J ^
JfL/>/7
Рис. 14.7. Схемы гидроусилителей
трального положения уравновешивает силы давления, приложенные
к нему со стороны жидкости в полостях А и Б. Каждое
равновесное положение золотника достигается при разных давлениях в
полостях Л и Б, зависящих от перемещения управляющего элемента
(заслонки /).
На рис. 14.7, в дана схема гидроусилителя с единичной
обратной связью, полученной за счет того, что сопла перемещаются
365

вместе с золотником. При этом золотник 2 «следит» за заслонкой 7,
поддерживая постоянный зазор между соплами и заслонкой.
Разность давлений в полостях А и Б при различных равновесных
положениях золотника будет меньше, чем в предыдущем
гидроусилителе, так как золотник не нагружен пружинами и на него
действуют только силы трения и гидродинамические силы.
В ^гидроусилителе, схема которого приведена на рис. 14.7, г,
применена.силовая обратная связь от золотника к заслонке,
выполненная с помощью упругого стержня 7. Заслонка закреплена на
. упругой трубке 8, отделяющей электромеханический
преобразователь от вытекающей из сопл жидкости. При наличии тока
управления якорь 9 электромеханического преобразователя вместе
с заслонкой / поворачиваются, изгибая трубку 8. Вследствие
изменения открытия сопл в полостях А и Б создаются разные
давления, золотник 2 смещается, увлекая за собой конец упругого
стержня 7; из-за изгиба стержня к заслонке прикладывается
дополнительный момент, стремящийся вернуть ее к нейтральному
положению. Когда заслонка приходит в положение, близкое к
нейтральному, перемещение золотника прекращается и он занимает новое
равновесное положение, соответствующее данному значению тока
управления. При этом в полостях А и Б устанавливается такая
разность давлений, при которой обеспечивается равновесие
золотника, нагруженного усилием изогнутого упругого стержня 7 и
гидродинамическими силами, если кромки золотника обтекает
жидкость.
В гидроусилителе с управляющим элементом типа сопло-заслонка
расход рабочей жидкости при равновесном состоянии получается
обычно больше, чем в гидроусилителе с управляющим золотником
(см. рис. 14.7, а), но усилия, необходимые для перемещения
заслонки, значительно меньше. Этим объясняется широкое
распространение гидроусилителей с соплами-заслонками в различных
автоматических системах.
Схема гидроусилителя со струйной трубкой дана на рис. 14.7, д.
В этом гидроусилителе осуществлена единичная обратная связь,
так как при отклонении струйной трубки 1 золотник 2 под
действием разности давлений в полостях А и Б перемещается вслед
за ней. Если отделить входы в приемные каналы от золотника,
расположив их в неподвижной детали, то можно получить
гидроусилитель без обратной связи.
Другой пример схемы гидроусилителя со струйным управлением
показан на рис. 14.7, е. Управляющий элемент / гидроусилителя
имеет подвижный разделитель потока жидкости. Ширина каналов
в разделителе выбирается так, чтобы течение жидкости
происходило вдоль стенки клиновой части разделителя. При смещении
разделителя от нейтрального положения толщина слоя текущей
жидкости в одном канале увеличивается, в другом уменьшается,
и соответственно изменяются расходы жидкости, направляемой
в приемные каналы управляемого элемента, которые соединены
366

с полостями А и Б. Вследствие этого изменяется давление в
указанных полостях и золотник 2 смещается от нейтрального
положения. Чтобы усилитель обладал статизмом, золотник
нагружается пружинами, как в схеме на рис. 14.7, б, или вводится
силовая обратная связь, как в схеме на рис. 14.7, г.
Кроме способа управления потоком жидкости и наличия или
отсутствия обратной связи, гидроусилители различают по
конструкции управляемых золотников, которые выполняются
цилиндрическими и плоскими.
Давление рпу питания гидроусилителя жидкостью может быть
таким же, как давление рп жидкости, подводимой к управляемому
золотнику, но может быть и меньше, чем рп. В последнем случае
либо гидроусилитель подключается к двум отдельным источникам
питания жидкостью под давлением, либо используется дроссель
или редукционный клапан для понижения давления рп до
требуемого значения рпу (см. рис. 14.7, б).
Два или несколько гидроусилителей могут быть соединены
последовательно для увеличения мощности передаваемых
сигналов. Иногда элементы этих гидроусилителей собираются в одном
корпусе, образуя многокаскадный гидроусилитель.
§ 14.4. СТАТИКА И ДИНАМИКА ГИДРОУСИЛИТЕЛЕЙ
Статические характеристики гидроусилителей, как и любых
других звеньев систем автоматического регулирования, выражают
зависимость установившихся значений выходных величин от
установившихся значений входных величин. Входной величиной у
гидроусилителя является перемещение управляющего золотника,
заслонки, струйной трубки, или струйного разделителя. За
выходную величину можно принять либо перемещение управляемого
золотника, либо расход жидкости, направляемой к другому
гидроусилителю или к исполнительному гидродвигателю. Расход
жидкости на выходе гидроусилителя зависит от нагрузки на
подключенные к нему устройства, поэтому удобнее за выходную величину
принимать перемещение управляемого золотника. Когда
рассматриваются характеристики ненагруженного другими устройствами
гидроусилителя, то за выходную величину может быть принят
расход жидкости.
Обычно зависимость перемещения х3 управляемого золотника
от входной величины hy гидроусилителя близка к линейной (рис,
14.8). При проектировании гидроусилителей должно обращаться
особое внимание на уменьшение влияния сил сухого трения на
статические характеристики. Поэтому необходима высокая точность
изготовления деталей гидроусилителей, введение осциллирующего
движения золотников с большой частотой и малой амплитудой,
обеспечение значительного изменения давлений в полостях А и Б
при малых смещениях управляющих элементов. Применение
перечисленных мер в отдельности или в каком-либо сочетании позволяет
367

существенно уменьшить зону нечувствительности (показана на рис.
14.7 штриховой линией), а иногда и практически полностью ее
устранить.
Динамические характеристики гидроусилителей находятся по
передаточным функциям, которые можно получить с помощью таких
же исходных зависимостей, какие применялись в гл. XII при
составлении уравнений динамики гидропривода с дроссельным
регулированием. Однако конечный вид передаточных функций
гидроусилителей часто удается упростить, если пренебречь при
малых объемах полостей Л и Б
сжимаемостью жидкости и массой управляемого
золотника.
Рассмотрим вывод передаточной
функции гидроусилителя, схема которого
—ур была показана на рис. 14.7, б.
У Уравнение линеаризованной рас-
ходно-перепадной характеристики
управляющего элемента типа
сопло-заслонка представим в виде
Рис. 14.8. Статическая ха- Qy — Kq hhy — Kq p pv, A4.7)
рактеристика гидроусили- у у у у
теля где Qy — управляющий расход
жидкости, обеспечивающий движение
управляемого золотника; hy — отклонение заслонки управляющего
элемента от нейтрального положения; ру = ру1 — ру2 — разность
управляющих давлений в полостях А и Б гидроусилителя; Kq н —
коэффициент передачи, характеризующий изменение управляющего
расхода при смещении заслонки от нейтрального положения;
dQy
dhv
Kq p — крутизна расходно-перепадной характеристики
управляющего элемента;
о ,
дРу К=
Коэффициенты Kq и и Kq p находятся по наклонам
касательных, проведенных к графикам функций Qy = Qy (hy) и *Qy = Qy (py)
при hy = 0 и ру = 0. Можно также эти коэффициенты вычислить
по соотношениям, получаемым следующим образом. Для левой
половины гидроусилителя записываем уравнение баланса расходов
Qyi = Q^i — Qci- A4.8)
Расход С2др1 жидкости, протекающей через левый дроссель,
определяется зависимостью
A4.9)
368

где &др = м-др/дрУ^/р — проводимость дросселя, причем
коэффициент расхода р1др принимается в соответствии с выбранной
эквивалентной площадью проходного сечения /др.
Расход Qcl жидкости, вытекающей из левого сопла:
Qci = ft&iVPyi-pM> A4.10)
где К — \icndcY^2/ p; \ic — коэффициент расхода сопла,
прикрытого заслонкой; dc — диаметр проходного сечения сопла; Ас1 —
зазор между торцом сопла и заслонкой; рсл — давление в полости
слива, в которую вытекает жидкость из сопла.
После линеаризации зависимостей A4.9) и A4.10) уравнение
A4.8) заменим приближенным уравнением
-(^)o-irA =
dQci
ж
Q«do-
^др
дру1
\U _
c
Ру1П(Ру.
i
r
^yl
A/Jyi-
, A4.11)
в котором (бдР)о = (Qci)o — расход жидкости, протекающей через
дроссель и сопло при нейтральном положении заслонки; ДЯС —
отклонение заслонки от нейтрального положения, при котором
hc = (АсH; Л/?у1 — отклонение давления в полости А
гидроусилителя от значения (pyiH.
Аналогично для правой половины гидроусилителя найдем
(Qc2H +
dhe
= Cc)o
Фу
= Cc)o ЛН'
A4.12)
у у
В данном уравнении все величины имеют такой же смысл, как
в уравнении A4.11), но взяты для правой половины
гидроусилителя. Вследствие симметрии левой и правой половин
гидроусилителя
теля
и, кроме того
др
у1
dQc-z
дру2
при ЛС =
С учетом этих соотношений, обозначив Ahc = /ty, Apyl — Apy2 =
= py, после суммирования уравнений A4.11) и A4.12) получаем
dh.
с \ с/и
Pyi^C^yiJo
A4.13)
369

Сравнивая уравнение A4.13) с уравнением A4.7), находим
A4.14)
.4.15)
Используя зависимости A4.9) и A4.10), можно вычислить частные
производные, входящие в соотношения A4.14) и A4.15). По
условию наибольшей чувствительности разности ру давлений в
полостях А и Б гидроусилителя к отклонению заслонки hy проводимость
зазора между соплом и заслонкой k'c (hcH должна быть равна
проводимости дросселя &др. В этом случае /?пу — (ру1H = (ру1H — рсл,
и после вычисления частных производных будем иметь
Рпу—Рсл .
*c(*c)o
A4.16)
При управлении движением золотника расход Qy должен
удовлетворять уравнению
Qy = /rgJ^.f (<2сж)у) A4.17)
где F3 — площадь торца золотника; х3 — перемещение золотника;
(Фсж)у — составляющая расхода Qy, обусловленная сжимаемостью
жидкости.
Для полостей А и Б соответственно имеем
dt
Vy d (A/?y2)
Вш dt
A4.18)
где Vy — объем каждой полости.
Благодаря отмеченной выше симметрии гидроусилителя
Л/?у1 = — АРУ2 = Ру/2, A4.19)
поэтому соотношения A4.18) можем заменить "одним
№сж)ув2^"-^. A4.20)
С учетом данного соотношения уравнение A4.17) приведем
к виду
A4.21)
г~Гз dt
dt
370

Уравнение движения управляемого золотника имеет вид
-Р^т^, A4.22)
где Ру = pyF3 — сила давления, действующая на золотник при
перепаде давления в полостях А и Б гидроусилителя; Рпр =
= 2спр х3 — сила пружин, нагружающих золотник; сп? —
жесткость каждой из этих пружин; Р*д — гидродинамическая сила,
приложенная к золотнику со стороны потока, обтекающего кромки
его буртов; Ртр — сила трения.
Гидродинамическая сила Р"Тж в общем случае определяется
зависимостью A1.59), в которой коэффициент жесткости
гидродинамической пружины сгд может быть переменным из-за изменения
перепада давления в исполнительном элементе, подключенном
к управляемому золотнику гидроусилителя. Если ограничиться
малыми отклонениями золотника от нейтрального положения,
при котором (л;3)о = 0, то согласно зависимости A1.64)
коэффициент сгд можно принять постоянным. Полагая, кроме того,
расстояния между буртами золотника одинаковыми, определим Р"Гж
соотношением
Рг*д = -2сгдх3, A4.23)
где сгд вычисляется по соотношению A1.63) при рн = рн0, причем
рн0 равно значению перепада давления в исполнительном элементе
при рассматриваемом равновесном состоянии.
Силу Ртр_ будем считать вызванной вязким жидкостным
трением и определять соотношением
Ргр^(К)ь% A4.24)
где (?тр) з — коэффициент, вычисляемый изложенным в § 11.2
способом без учета облитерации зазоров между золотником и
втулкой.
Подставив приведенные значения сил в уравнение A4.22),
получим
§ ^ A4.25)
Уравнения A4.7), A4.21) и A4.25) описывают линейную модель
гидроусилителя с управляющим элементом типа сопло — заслонка
и с золотником, нагруженным пружинами. С отдельными
изменениями эти уравнения могут быть применены к гидроусилителям,
схемы которых изображены на_ рис. 14.7, в, дне.
Для гидроусилителя, схема которого дана на рис. 14.7, в,
изменения будут состоять в том, что в уравнение A4.7)
подставляется следующее значение /iy:
hy = x1-x3, A4.26)
где Х{ — перемещение заслонки; х3 — по-прежнему перемещение
золотника. При этом в уравнении A4.25) принимается спр = 0.
371

Для гидроусилителя, выполненного по схеме, изображенной
на рис. 14.7, д, также используется соотношение A4.26), но
величиной хг обозначается отклонение конца струйной трубки; кроме
того, коэффициенты Kq ъ. и Kq р определяются по расходно-пере-
падной характеристике струйной трубки, и в уравнение A4.25)
подставляется спр = 0.
Линейная модель гидроусилителя со струйным разделителем
(см. рис. 14.7, ё) и золотником, нагруженным пружинами, может
быть представлена приведенными выше уравнениями без изменений,
только коэффициенты /Сдул и Kqyp должны находиться по расходно-
перепадной характеристике управляющего элемента со струйным
разделителем. Если золотник не нагружен пружинами и
гидроусилитель имеет силовую обратную связь, то уравнение A4.25)
необходимо изменить по § 14.5 и систему уравнений дополнить
уравнением движения якоря электромеханического
преобразователя с учетом момента, создаваемого этой обратной связью.
Так же дополняются уравнения гидроусилителя, показанного на
рис. 14.7, г.
Гидроусилитель, схема которого изображена на рис. 14.7, а,
отличается от всех остальных тем, что давление жидкости
изменяется в одной управляющей полости Л. В связи с этим второй
член в правой части уравнения A4.21) не должен иметь
множителя х/2, в уравнении A4.25) спр = 0, ру является отклонением
давления в полости А от установившегося значения, в уравнении A4.7)
где х± — перемещение управляющего золотника /; х3 —
перемещение управляемого золотника 2\ k'oc — коэффициент передачи
обратной связи, осуществляемой рычагом 3.
Системе уравнений A4.7), A4.21) и A4.25) соответствует
характеристическое уравнение третьего порядка, что указывает на
возможную неустойчивость гидроусилителей. При малых объемах
полостей А и Б и малых массах управляемых золотников условия
устойчивости обычно выполняются, и тогда можно получить
упрощенную передаточную функцию гидроусилителя. Положив т3 =
= (^тр)з = Vy = 0 и преобразовав уравнения A4.7), A4.21) и A4.25)
по Лапласу при нулевых начальных условиях, найдем
передаточную функцию гидроусилителя с управляющим элементом типа
сопло-заслонка и с золотником, нагруженным пружинами:
A4.27)
где Ггу — постоянная времени гидроусилителя;
FI
372

— коэффициент усиления гидроусилителя;
Для других типов гидроусилителей передаточные функции
имеют такой же вид, если не учитываются масса золотника, трение
между золотником и втулкой и сжимаемость жидкости. Значения
постоянных времени и коэффициентов усиления в этих
передаточных функциях определяются с учетом сказанного выше о различиях
в уравнениях гидроусилителей.
§ 14.5. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ
УСИЛИТЕЛЕЙ
Электрогидравлический усилитель (ЭГУ) представляет собой
устройство, объединяющее электромеханический преобразователь и
гидроусилитель. В этом устройстве управляемым элементом
электромеханического преобразователя является управляющий элемент
гидроусилителя.
Все рассмотренные выше гидроусилители используются в ЭГУ.
Широкое распространение получили ЭГУ с золотником,
нагруженным пружинами (см. рис. 14.7, б). В последнее время все большее
применение находят ЭГУ с силовой обратной связью и
управляющим элементом типа сопло-заслонка (см. рис. 14.7, г) или со
струйным разделителем (см. рис. 14.7, ё).
Статические характеристики ЭГУ как отдельных агрегатов
даются в виде зависимости пропускаемого золотником расхода
жидкости от тока управления, подводимого к
электромеханическому преобразователю. Эта зависимость в большинстве случаев
близка к линейной; нечувствительность ЭГУ к изменению тока
управления обычно не превышает 1—2%.
Коэффициенты усиления по мощности ЭГУ, определяемые
отношением мощности потока жидкости, пропускаемой золотником
при максимальном токе управления, к максимальной
электрической мощности управления могут равняться 10 000—20 000 и даже
более. Общие черты и различия в динамических характеристиках
ЭГУ можно установить по их структурным схемам. При
построении структурных схем ЭГУ будем применять уравнение A4.5)
электромеханического преобразователя, определяя по-разному
значение Ми в зависимости от схемы усилителя.
Если ЭГУ выполнен по схеме, приведенной на рис. 14.9, то
значение Мя определяется приложенной к заслонке
гидродинамической силой Ргд. При расстоянии / от центра вращения заслонки
до оси сопл
МН = РГД/. A4.28)
Гидродинамическая сила Ргд, как отмечалось в § 11.3, благодаря
малой величине зазоров между соплами и заслонкой вычисляется
373

непосредственно по управляющим давлениям в полостях А и Б
гидроусилителя:
A4.29)
где Ь'р — коэффициент, значение которого согласно соотношению
A1.41) принимается равным 1,03—1,06 при соплах с острыми
кромками; Fz = ndl/4 — площадь
проходного сечения сопла; dc — диаметр
канала сопла.
Обозначив рп — ру2 = ру, из
соотношений A4.28) и A4.29) получаем
Mu = b;Fclpy. A4.30)
Управляющий перепад ру давлений
в полостях Л и Б, пренебрегая массой
золотника и трением [т3 = 0 и (&трK=:
= 0], найдем по уравнению A4.25):
Рис. 14.9. Схема
электрогидравлического усилителя
с нагруженным пружинами
золотником и с внутренней
- обратной связью
Ру =
A4.31)
где
Применяя соотношения A4.30) и
A4.31), уравнение A4.5) после
преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях приведем
к виду
(TW + 2?fl7\s + 1) фя (s) =* Kydy (s) ~ KWyKPyXx3 (*), A4.32)
где /Сфру = bpFJ/Кму
При малых углах поворота заслонки hy = /сря, поэтому
передаточную функцию гидроусилителя A4.27) можно представить в виде
где
Из передаточной функции A4.33) имеем
Структурная схема, соответствующая уравнениям A4.32) и
A4.34), дана на рис. 14.10. Заметим, что, несмотря на отсутствие
обратной связи в принципиальной схеме рассматриваемого
усилителя, его структурная схема содержит замкнутый контур. Это
объясняется действием на заслонку гидродинамической силы,
которая зависит от разности управляющих давлений, в свою очередь
определяющей положение нагруженного пружинами золотника.
374

Вследствие указанных зависимостей в гидроусилителе возникает
внутренняя или собственная отрицательная обратная связь от
золотника к заслонке.
Прямая цепьструктурной_схемы ЭГУ состоит из последовательно
включенных колебательного и апериодического звеньев.
Логарифмическая фазовая частотная характеристика разомкнутого контура
с такими звеньями при увеличении частоты стремится к —3/2я,
пересекая при частоте перехода фазы линию «—я». Если при частоте
перехода фазы логарифмическая амплитудная частотная
характеристика разомкнутого контура из-за больших значений
коэффициентов Кхц> и /Сф/> Кр х будет проходить выше оси частот (без запаса
по амплитуде), то ЭГУ будет неустойчив.
Когда условия устойчивости ЭГУ удовлетворяются и постоянные
времени ТЯу Тгу оказываются значительно меньше постоянных
времени управляемых усилителем устройств (другого гидроусилителя
Рис. 14.10. Структурная
схема
электрогидравлического усилителя с
нагруженным пружинами
золотником
*#
ФмЮ
TryS+1
или исполнительного гидродвигателя), можно структурную схему,
изображенную на рис. 14.10, заменить одним пропорциональным
звеном с коэффициентом усиления
КхГ-
1 "Г А^
A4.35)
При наличии в электрогидравлическом усилителе силовой
обратной связи (см. рис. 14.7) значение Мн равно сумме моментов,
возникающих из-за действия на заслонку гидродинамической силы
и из-за изгиба упругого стержня. Следуя обозначениям,
приведенным на рис. 14.11, можем записать
Мн = Ргд/ + Рос/0о A4.36)
где Рос — сила, изгибающая стержень при повороте заслонки и
при перемещении золотника.
Гидродинамическая сила Ргд, как и в предыдущем случае,
определяется соотношением A4.29). Сила Рос может быть выражена
через прогиб гст конца стержня, связанного с золотником, цо
известному из сопротивления материалов соотношению
Л,с = ^%^-гст, A4.37)
где Ест — модуль упругости материала, из которого изготовлен
стержень; Уст — момент инерции сечения стержня относительно
375

главной центральной оси, перпендикулярной к плоскости
изгибающей силы.
Прогиб zCT конца стержня равен сумме прогибов, вызванных
поворотом заслонки относительно центра 0 на угол фя и
перемещением х3 золотника. Для малых
углов фя
2ст = /осФя + *з. A4.38)
находим
A4.39)
Применяя соотношения A4.36),
A4.29) и A4.39), получаем
следующую зависимость для последнего
члена правой части уравненияA4.5):
г "±Ё ^
Ж
A4.40)
В зависимости 'A4.40)
коэффициент Кур определяется таким же
соотношением, как в предыдущем
случае, а коэффициенты kCT и k'CT
имеют значения
Рис. 14.11. Схема для
определения Ми
Подставив зависимость A4.40) в уравнение A4.5) и выполнив
преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях,
находим
(TW + 2?flrHs + 1 + kCT) фя (s) = Kyiiy (s) - Kypypy (s) - k'ocx3 (s).
A4.41)
Разделив все члены уравнения A4.41) на 1 + &ст, приведем
его к виду
[(T'*Js2 + 21ГЯТ^ + 1] фя (s) = K'ytiy (s) - /Сфруру (s) - &ос*з E), A4.42)
где
Ка
Для составления структурной схемы ЭГУ с силовой обратной
связью кроме уравнения A4.42) необходимо иметь уравнение гидро-
376

усилителя. Такое уравнение можно получить с помощью
соотношений A4.7), A4.21) и уравнения движения золотника A4.22),
в котором сила Рпр в данном случае должна быть заменена силой
Рос. Если пренебречь массой золотника, силой трения Рт? и
воспользоваться соотношениями, определяющими остальные силы,
то из последнего уравнения найдем
2сгд ЗЕСТ/СТ\ 3?ст/ст/Ос
+ Т1г~)х*+~77—фя' A4'43)
Без учета сжимаемости жидкости в полостях А и Б
гидроусилителя при hy = /фя из соотношений A4.7) и A4.21) имеем
Р*ЧГ = КЪ^« ~ КоуРуРг A4-44)
После подстановки в уравнение A4.44) значения ру согласно
зависимости A4.43) и обычных преобразований получаем уравнение
гидроусилителя
^ A4.45)
где Try — постоянная времени гидроусилителя с силовой обратной
связью;
F2
12
ру —
Кщ — коэффициент усиления гидроусилителя с силовой обратной
связью
Для осуществления силовой обратной связи обычно применяются
упругие стержни, незначительно нагружающие золотник, что
позволяет в таких случаях пренебрегать силой Рос при определении
разности ру давлений в полостях А и Б гидроусилителя. При этом'
допущении зависимость A4.43) упрощается и может быть
представлена в виде
Ру = К'рухХ99 A4.46)
где
Соответственно постоянная времени Т'ту и коэффициент усиления
щ в уравнении A4.45) заменяются величинами
rprr
гу ~~
377

с этими коэффициентами в изображениях по Лапласу при нулевых
начальных условиях уравнение A4.45) записывается в виде
?¦(*)• A4.47)
Очевидно, что уравнения A4.34), A4.45) и A4.47) отличаются
только численными значениями коэффициентов.
По уравнениям A4.42) и A4.47) с учетом предварительно
записанного в изображениях соотношения A4.46) нетрудно построить
структурную схему ЭГУ, показанную на рис. 14.12. Тип звеньев
и их соединение в полученной структурной схеме не отличаются
1
(Ttfs2+2ZlTj,s + 1
"Рис. 14.12. Структурная
схема
электрогидравлического усилителя с
силовой обратной связью
от структурной схемы ЭГУ с нагруженным пружинами золотником
(см. рис. 14.10). Однако в схеме, приведенной на рис. 14.12,
коэффициент обратной связи можно изменять, увеличивая или уменьшая
йос независимо от значений постоянной времени Тру и коэффициента
усиления k'xq, что указывает на возможность обеспечения достаточно
высокого быстродействия у рассмотренного ЭГУ.
Построение структурных схем ЭГУ существенно не изменится,
если электромеханический преобразователь будет соединен с каким-
либо из других гидроусилителей, схемы которых были даны на
рис. 14.7.
При коррекции электрогидравлических следящих приводов
применяют устройства, которые оказывают дополнительные воздействия
на ЭГУ. Принципиальные и структурные схемы
электрогидравлических усилителей с такими устройствами описаны в § 14.7 и
14.8.
§ 14.6. ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИЙ СЛЕДЯЩИЙ ПРИВОД
С ДРОССЕЛЬНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ
Электрогидравлические следящие приводы с дроссельным
регулированием могут различаться по типу исполнительного
гидродвигателя, по числу ступеней усиления сигналов управления, по типу
ЭГУ, по наличию или отсутствию корректирующих элементов и
дополнительных обратных, связей. Указанные различия
электрогидравлических приводов, однако, не препятствуют применению
общей методики определения их структурных схем, состоящей в том,
что прежде всего соединяются вместе структурные схемы ЭГУ и
исполнительного гидродвигателя, а затем полученная таким образом
378

прямая цепь замыкается обратной связью по положению выходного
звена гидродвигателя. В тех случаях, когда для корректирования
статических или динамических характеристик гидропривода
вводятся дополнительные обратные связи, в структурной схеме
появляются не только дополнительные замкнутые контуры, но могут
измениться и значения параметров отдельных звеньев.
Рассмотрим сначала структурную схему электрогидравлического
привода без дополнительных обратных связей. При этом
воспользуемся приведенной на рис. 14.13 принципиальной схемой достаточно
распространенного электрогидравлического следящего привода.
В таком приводе при подаче управляющего напряжения на вход
усилителя 1 возникает ток в обмотке управления, якорь
электромеханического преобразователя
вместе с заслонкой 2
отклоняются от нейтрального положения
и золотник 3 гидроусилителя
под действием разности
управляющих давлений смещается от
своего нейтрального положения,
сообщая одну полость
гидроцилиндра 4 с магистралью
высокого давления, другую — со
сливной магистралью.
Поршень 5 под действием
разности давлений в полостях
гидроцилиндра перемещается до
тех пор, пока управляющее
напряжение не будет
скомпенсировано напряжением, подводимым
к усилителю с выхода
потенциометра 6 обратной связи. Вследствие этого ток в обмотке
управления электромеханического преобразователя становится равным
нулю, якорь, заслонка и золотник занимают свои нейтральные
положения, а поршень гидроцилиндра приходит в новое
установившееся положение.
Таким образом, изменяя управляющее напряжение на входе
в усилитель, можно управлять регулирующим органом какого-либо
объекта. Со стороны регулирующего органа на шток гидроцилиндра
могут действовать инерционная нагрузка, позиционная нагрузка
и трение.
Прямую цепь структурной схемы электрогидравлического
привода с дроссельным регулированием получим, соединив
последовательно показанную на рис. 14.10 структурную схему
электрогидравлического усилителя со структурной схемой нагруженного
гидроцилиндра. Передаточные функции для последней схемы определим
с помощью уравнений A2.23)—A2.26). Опустим в этих уравнениях
символ А, ограничиваясь отклонениями величин от значений,
соответствующих равновесному среднему положению поршня гидро-
379
Рис. 14.13. Схема
электрогидравлического привода с дроссельным
регулированием без дополнительных
обратных связей

цилиндра. После преобразования по Лапласу при нулевых
начальных условиях уравнения представим в виде
Q3(s) = Kqxx3(s) — KqpPh(s); A4.48)
FaPn (s) - ссву (s) + ссвут (s) = 0; A4.49)
[ms2 + kTps + (cCB + cH)] ym (s) = cCBy(s); A4.50)
j7-spH(s). A4.51)
Принимая за входную величину х3 (s), а за выходную ут (s), из
системы уравнений A4.48)—A4.51) находим
3 +\~fT +
2F2E'
^2-]ym(s) = X3(s)-^'Jm(s). A4.52)
Обычно cH << cCB, а члены l/ocH/2?iF5 и KqpKpIFI малы по
сравнению с единицей. В этих случаях уравнение A4.52) приводится
к виду
TTns (Tls* + 2&7V + 1) ут (s) = x3 (s) - Клт (s). A4.53)
Постоянные времени Тгп и Тц в данном уравнении имеют такие же
значения, как в уравнении A2.29), и могут быть вычислены
соответственно по формулам A2.30) и A2.31). Коэффициент относительного
демпфирования ?ц отличается от ?ц, входящего в уравнение A2.29),
тем, что в формуле A2.33) постоянная времени 7ДЦ заменяется
постоянной времени
* IT
2ВД
тр
A4.54)
Коэффициент /CH вычисляется по формуле A2.35).
Заметим, что уравнение A4.53) можно получить непосредственно
из уравнения A2.29), положив в нем /Сос = 0 и /C^A/i (s) = х3 (s).
Структурная схема нагруженного гидроцилиндра, построенная
по уравнению A4.53), имеет замкнутый контур (рис. 14.14). Однако
при реальшэ возможных
соотношениях параметров
коэффициент К и получается
значительно меньше
единицы, а в предположении
идеального золотникового
распределителя (Kqp = 0)
равен нулю. В связи с этим
в дальнейшем мы будем
пренебрегать
отрицательной обратной связью с коэффициентом передачи /Сн; тогда
структурная схема нагруженного гидроцилиндра сводится к
последовательному соединению интегрирующего и колебательного звеньев.
380
Рис. 14.14. Структурная схема нагруженного
гидроцилиндра

Подключив к этим звеньям контур электрогидравлического
усилителя, получим структурную схему прямой цепи
электрогидравлического привода с дроссельным регулированием (рис. 14.15).
Для замыкания структурной схемы привода рассмотрим
уравнения обратной связи. Датчиком обратной связи в данном следящем
приводе является потенциометр, напряжение иос на выходе которого
при малых относительных перемещениях щетки ущ и обмотки г/обм
потенциометра можно принимать
= Кп. ос (Уш — #обм)>
A4.55)
где Кп. ос — коэффициент передачи потенциометра.
Так как щетка потенциометра непосредственно закреплена на
штоке гидроцилиндра, то ущ = у. Каркас с обмоткой потенциометра
Kept
$+1
1
ТГп*
/
Tyi+2?u,TuS+1
Рис. 14.15. Структурная схема прямой цепи
электрогидравлического привода с дроссельным регулированием
перемещается вместе с гидроцилиндром при смещении последнего
из-за упругости опоры, поэтому уобм = */ц. С учетом этих равенств
соотношение A4.55) принимает вид
после перехода к изображениям по Лапласу имеем
"ос (S) = Кп.ос [У (S) - У* (S)].
При сн^ссв согласно уравнению A4.50)
A4.56)
A4.57)
Если пренебречь массой гидроцилиндра, то изображение
смещения уц (s) можно определить соотношением
Р
Уи. (s) = —^- рн (s), A4.58)
где соп — жесткость опоры гидроцилиндра.
Изображение перепада рп (s) давлений в полостях гидроцилиндра
найдем из уравнений A4.49) и A4.50):
381

Применяя эту зависимость, соотношение A4.58) приведем к виду
m(s). A4.59)
Подставив зависимости A4.57) и A4.59) в уравнение A4.56),
получим
A4.60)
Пренебрегая величиной cjconi обычно малой по сравнению
с единицей, уравнение A4.60) датчика обратной связи можно
записать в виде
Uoc(s) = Kn.J^* + ^s+l)ym(s), A4.61)
где — = \- - податливость крепления гидроцилиндра.
^кр ^оп ^св
Напряжение иос с выхода потенциометра сравнивается на входе
усилителя с управляющим напряжением иъх. Изображение
выявленной при этом ошибки по напряжению
ue(s) = u3X(s)-u0C(s). A4.62)
Предполагая, что усилитель по сравнению с другими звеньями
электрогидравлического привода можно считать пропорциональным
звеном, запишем уравнение
uy(s) = Kycue(s), A4.63)
где /СУс — коэффициент усиления усилителя; иу (s) — изображение
по Лапласу напряжения на выходе усилителя.
В общем случае напряжение иу и ток iy в обмотке управления
электромеханического преобразователя связаны уравнением
uy = Ly^- + iy(Ry + RBblxh A4.64)
в котором Ly — индуктивность обмотки управления; Ry —
активное сопротивление обмотки управления; /?вых — активное
сопротивление выходного канала усилителя.
Преобразовав уравнение A4.64) по Лапласу при нулевых
начальных условиях, найдем передаточную функцию выходной цепи
усилителя:
Wiu (s) =-7г-Ш = у—7ТТ > A4.65)
Uy (S) 1 ynpS-T 1
где Кы = р ,р коэффициент передачи выходной цепи уси-
Ау "Г КВЫХ
лителя; Tvnp= p D постоянная времени выходной цепи
*>у т" *^вых
усилителя.
382

Уравнения A4.61) — A4.63) и передаточная функция A4.65)
позволяют замкнуть структурную схему электрогидравлического
привода показанными на рис. 14.16 типовыми звеньями. В обратную
связь полученной замкнутой системы вошли пропорциональное
звено и форсирующее звено второго порядка, а к рассмотренной выше
прямой цепи злектрогидравлического привода добавились пропор-
Кус
KiuKyi
Kxq>
Trps+I
T\Trns
ГП 9 Ktq .
7— S z-hrILS-h1
скр cKp
Рис. 14.16. Структурная схема эяе~ктрогидравлического следящего привода
с дроссельным регулированием
циональное и апериодическое звенья, описывающие усилитель и
обмотку управления электромеханического преобразователя.
При дополнительных условиях структурную схему можно
упростить. Наиболее существенно схема упрощается, когда постоянные
времени Гупр, Тя и Тгу оказываются значительно меньше, чем
постоянные времени Тгп и Гц, и когда значения скр настолько велики,
что можно исключить в обратной связи форсирующее звено второго
порядка и принимать ут = у. В этом случае структурная схема
приводится к схеме, показанной на рис. 14.17. Коэффициент пере-
Рис. 14.17. Упрощенная "il^L-w
структурная схема элек- V
трогидравлического еле- |
дящрго прииодя г дрог- L .
сельным регулированием
if
1
TrnS
hoc
1
y(s)
дачи Кхи пропорционального звена прямой цепи в такой
структурной схеме определяется соотношением
Если гидроцилиндр не нагружен (m = kTp = сн = 0) и
постоянные времени Гупр и Гя малы по сравнению с постоянными времени
Тгу и Ггп, то структурная схема электрогидравлического следящего
привода может быть с помощью правил преобразований соединений
звеньев сведена к контуру, изображенному на рис. 14.18. В этом
контуре
1+/Са
Г ft Г
rv — "
p
гу
383

№
Рис. 14.18. Структурная схема ненагружен-
ного электрогидравлического следящего
привода с дроссельным регулированием
После того, как построена структурная схема привода и
вычислены все постоянные времени и коэффициенты передачи, можно,
применяя частотные методы исследования систем автматического
регулирования, проверить устойчивость привода и найти
переходный процесс, вызванный
скачком управляющего
напряжения.
При проектировании
привода, если
целесообразно, применяют следующую
последовательность
динамического расчета с
использованием структурной
схемы (рис. 14.16):
1. Вычисляют все постоянные времени и коэффициенты передачи,
кроме /Сп.ос и /Сус.
2. Строят логарифмические амплитудные и фазовые частотные
характеристики всех звеньев, кроме пропорциональных звеньев
с коэффициентами передачи Кп. ос и КуС.
3. По логарифмическим амплитудным и фазовым частотным
характеристикам разомкнутого контура электрогидравлического
усилителя проверяют
«устойчивость. Если
электрогидравлический усилитель устойчив, то по
номограммам замыкания
находят логарифмические
амплитудные и фазовые частотные
характеристики соответствующего
замкнутого контура. При
неустойчивом
электрогидравлическом усилителе производят
корректирование его параметров.
4. К логарифмическим
амплитудным и фазовым частотным
характеристикам замкнутого
контура электрогидравлического
усилителя прибавляют такие же
характеристики
апериодическоРис. 14.19. Определение
коэффициентов Кос и ^ус по логарифмическим
амплитудным и фазовым частотным
характеристикам разомкнутого
контура
го^ интегрирующего,
колебательного и форсирующего второго
порядка звеньев, описывающих
соответственно обмотки
управления и нагруженный гидроцилиндр. В результате получают
логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики
разомкнутого контура всего электрогидравлического привода при
5. Ось частот на логарифмической амплитудной характеристике
этого разомкнутого контура смещают параллельно себе вниз так,
384

чтобы обеспечивались рекомендуемые запасы по амплитуде F—8 дБ)
и по фазе C0—40°). По смещению оси частот (рис. 14.19)
находят произведение коэффициентов Kn.ozKyc, значение каждого
из которых затем выбирают в зависимости от типа используемого
усилителя, конструкции потенциометра и напряжения его питания.
6. Если логарифмические амплитудные и фазовые частотные
характеристики разомкнутого контура привода, построенные при
К'п.оДус = 1, не позволяют получить рекомендуемые запасы по
амплитуде и по фазе, то необходимо вводить корректирующие звенья.
Такими звеньями могут служить электрические устройства,
включаемые в прямую цепь или в цепь обратной связи привода?
Применяют также дополнительные обратные связи в виде встроенных
в привод гидромеханических устройств. Электрогидравлические
приводы с дополнительными обратными связями рассмотрены ниже.
§ 14.7. ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИЙ СЛЕДЯЩИЙ ПРИВОД
С ДРОССЕЛЬНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ
И С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
ПО РАСХОДУ ЖИДКОСТИ
Схема привода дана на рис. 14.20. В этом приводе, кроме элементов,
содержащихся в рассмотренном выше электрогидравлическом
приводе, имеются датчики
обратной связи по
расходу жидкости. Каждый
датчик представляет
собой клапан /,
нагруженный двумя пружинами 2
и 3. Клапаны
перекрывают каналы,
сообщающие золотниковый
распределитель со сливной
магистралью, поэтому
при отклонении
золотника 5 от нейтрального
положения один из
клапанов поднимается под
действием давления
жидкости, направляемой из
гидроцилиндра на слив.
Рис. 14.20. Схема электрогидравлического
следящего привода с дополнительной обратной
связью по расходу жидкости
При подъеме клапана
увеличивается сжатие
опирающейся на него
пружины 2, и к
заслонке 4 прикладывается дополнительный момент, стремящийся вернуть
ее к нейтральному положению. Чем больше будет расход
жидкости, поступающей на слив, тем больше будет этот момент.
385

Во время движения поршня гидроцилиндра всегда поднимается
только один клапан, так как другой клапан при этом отключен
золотником 5 от гидроцилиндра. Сила от действия давления на
клапан в основном уравновешивается силой пружины 3. Пружины 2
выполняются более слабыми, чем пружины <?, так как они
предназначены только для воздействия на заслонку, управляемую
маломощным электромеханическим преобразователем.
Таким образом, в данном гидроприводе дополнительно к
основной обратной связи по положению штока гидроцилиндра,
осуществляемой с помощью потенциометра 5, введена отрицательная
обратная связь по расходу жидкости, вытесняемой из гидроцилиндра
в сливную магистраль. При наличии этой обратной связи момент
Мн в уравнении A4.4) электромеханического преобразователя
зависит от сил, приложенных к заслонке со стороны жидкости,
вытекающей из сопл, и пружин 2 жесткостью СпР. С учетом
обозначений на рис. 14.20 и соотношения A4.30) можем записать
Вследствие малых углов отклонения якоря и жестко связанной
с ним заслонки hx = lx фя, поэтому
Мн = b;FJpy + 2/МрФя + liCnpZ. A4.66)
Подставив зависимость A4.66) в уравнение A4.4) и проведя
преобразование по Лапласу при нулевых начальных условиях,
получим
[(г;)
= Kitly (s) - К;Руру (s) - К^г (s), A4.67)
где Тя— постоянная времени якоря с учетом действия пружин 2\-
?я — коэффициент относительного демпфирования якоря с учетом
действия пружин 2; Kyi — коэффициент передачи
электромеханического преобразователя при наличии обратной связи по расходу
жидкости; /Сфр — коэффициент передачи внутренней обратной
связи, обусловленной воздействием потока жидкости на заслонку;
Kyz — коэффициент передачи датчиков обратной связи по расходу
жидкости;
» 1 /
Кп ^м* if* _ bpFcl _
Амф ' м\ пр у АмЧМ ^'г'пр ^мфГпр
Для определения изображения z (s), входящего в правую часть
уравнения A4.67), найдем уравнение обратной связи по расходу
жидкости. Расход жидкости, пропускаемой клапаном обратной связи,
при давлении ркл перед клапаном (ркл = р[ или ркл = pi), выражается
обычной для дроссельного устройства зависимостью
<Экл = k'KJlZ УРкл-Рсл* A4.68)
386

где &кл — проводимость клапана, приведенная к единице его
перемещения; -
здесь |хкл — коэффициент расхода клапана; Ькл — ширина окон,
открываемых клапаном.
С целью получения более простого уравнения обратной связи
по расходу жидкости будем пренебрегать изменениями давления
ркл перед клапаном. Это допущение можно оправдать, если клапан
обладает малой массой, а силы трения гидродинамического
воздействия потока жидкости и пружины 2 малы по сравнению с силой
предварительного натяжения пружины 3, которая имеет малую
жесткость, и, следовательно, при малых перемещениях клапана ее
усилие изменяется незначительно. Кроме того, примем, что
Qo^^-f. A4.69)
Соотношение A4.69), очевидно, является приближенным, так как
не учитывает влияния сжимаемости жидкости, дополнительного
расхода, вызванного перемещением гидроцилиндра из-за упругости
опоры, и расхода жидкости, заполняющей пространство под
клапаном при его движении.
Подставив значение расхода QKJl атласно соотношению A4.69)
в зависимость A4.68), получаем уравнение обратной связи по
расходу жидкости:
Toc-f = г, A4.70)
где Тос — постоянная времени обратной связи по расходу жидкости;
1
ОС
Уравнение A4.70) отражает основную особенность
рассматриваемой обратной связи, состоящую в том, что перемещением клапана
измеряется скорость движения порщня гидроцилиндра, т. е.
осуществляется обратная связь по скорости поршня гидроцилиндра.
В изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях
уравнение A4.70) принимает вид
Tocsy(s) = z(s). A4.71)
Кроме изменений, учитываемых уравнением A4.67)
электромеханического преобразователя и уравнением A4.71), наличие
обратной связи по расходу жидкости не вызывает никаких других
изменений в элементах привода. Вследствие этого при составлении
структурной схемы привода можно использовать все полученные
в предыдущих параграфах передаточные функции, кроме
передаточной функции электромеханического преобразователя, определяемой
387

по уравнению A4.67). По уравнению A4.71) в структурную схему
привода вводится цепь дополнительной обратной связи.
На рис. 14.21 дана структурная схема привода с
дополнительной обратной связью по расходу жидкости, полученная на
основании структурной схемы, изображенной на рис. 14.16. На схеме
П
Trgs+1
TrnS
№
!!Lsz+!hls+1
скр Скр
Рис. 14.21. Структурная схема электрогидравлического следящего привода с
дополнительной обратной связью по расходу жидкости
измененные звенья представлены передаточными функциями,
параметры которых отмечены двумя штрихами. Цепь обратной
связи по расходу жидкости образует второй внутренний контур.
В тех случаях, когда допустимо пренебрегать постоянной
времени ГуПр и не учитывать форсирующее звено второго порядка в цепи
основной обратной связи, структурная схема привода может быть
преобразована в схему, изображенную на рис. 14.22^Из последней
т
Кхф
ТГу 5+1
К9Ру КРу*
К Т
№*— н )
1
Trn'S
/
Т1М?цТц8+1
yis)
Рис. 14.22. Преобразованная структурная схема электрогидравлического
следящего привода с дополнительной обратной связью (ki = kiUk^
схемы видно, что с введением обратной связи по расходу жидкости
в основном контуре привода появляется форсирующее звено первого
порядка, которое позволяет несколько увеличить запас по фазе,
но одновременно может вызвать уменьшение запаса по амплитуде.
Следовательно, влияние обратной связи по расходу жидкости
на, устойчивость привода будет зависеть от вида логарифмических
амплитудных и фазовых частотных характеристик прямой цепи.
Оценка этого влияния легко производится после построения
указанных характеристик.
383

Обратная связь по расходу жидкости позволяет изменять не
только динамические характеристики привода, но и корректировать
его внешнюю статическую характеристику, определяющую
зависимость скорости движения штока гидроцилиндра от нагрузки и тока
управления. Такая характеристика находится с помощью уравнений
статики электромеханического преобразователя и гидроусилителя.
Первое из этих уравнений получим, подставив в уравнение A4.4)
зависимость A4.66) и положив
в результате можем записать
К"9Руру-К<ргг. A4.72)
При равновесии золотника гидроусилителя Qy = 0, поэтому
согласно уравнению A4.7)
а так как hv = /сря, то
/я- A4.73)
Условие равновесия золотника найдем из уравнения A4.25);
при -g- = -§¦ = 0 имеем
Ру —
ИЛИ
^14.74)
Применяя соотношения A4.73) и A4.74), зависимость A4.72)
приведем к виду
Перемещение л:3 золотника и перемещение z клапана обратной
связи по расходу представим следующим образом:
Y
Ля —
i Рн Ркл
ГДе К<2г~Ь'кл V Ркл""Рсл«
С помощью этих соотношений зависимости A4.75) можно
придать вид
+
A4.76)
389

При КР х = 0 имеем
Q3= % ** lr (l4-77)
Отсюда следует, что расход Q3 жидкости, протекающей через
золотник, не зависит от перепада давления рн в гидроцилиндре,
поэтому установившаяся скорость поршня гидроцилиндра не зависит
от действующей на его шток нагрузки. Внешние статические
характеристики привода, соответствующие зависимости A4.77), показаны
на рис. 14.23 штриховыми линиями. Однако при Кр х = 0 привод
без специальных корректирующих
устройств может оказаться
неустойчивым, так как в этом случае
гидроусилитель является
астатическим и в замкнутый контур привода
входят два интегрирующих звена.
Указанный недостаток
устраняется, когда Кр х 7^ 0 и статические
характеристики привода
определяются зависимостью A4.76),
согласно которой расход Q3
жидкости через золотник при одном
и том же токе.управления /у
будет изменяться с изменением
перепада /?н давления в
гидроцилиндре. Скорость движения поршня
гидроцилиндра также будет
зависеть от действующей на шток
нагрузки (сплошные линии на
рис. 14.23).
В отличие от привода, не
имеющего обратной связи по расходу
жидкости, в рассматриваемом
приводе можно достичь меньшего
изменения скорости поршня гидроцилиндра с изменением нагрузки.
Объясняется это тем, что благодаря действию дополнительной
обратной связи по расходу жидкости смещение золотника от
нейтрали увеличивается или уменьшается и соответственно производится
регулирование скорости 'движения поршня гидроцилиндра при
постоянном токе управления. Таким образом, датчики обратной
связи по расходу жидкости выполняют роль регуляторов скорости
поршня гидроцилиндра. Вследствие того, что при различных
нагрузках на шток гидроцилиндра золотник должен занимать
различные положения, значения х3 будут изменяться вдоль кривых iy =
= const на внешних статических характеристиках, в то время как
на аналогичных характеристиках привода без обратной связи по
расходу жидкости х3 = const.
390
Рис. 14.23. Внешняя статическая
характеристика
электрогидравлического следящего привода с
обратной связью по расходу жидкости

§ 14.8. ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИЙ СЛЕДЯЩИЙ ПРИВОД
С ДРОССЕЛЬНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ
И С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
ПО ПРОИЗВОДНОЙ ОТ ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ
В ГИДРОЦИЛИНДРЕ
Схема привода дана на рис. 14.24. Дополнительная отрицательная
обратная связь в этом приводе создается с помощью поршня /,
плунжеров 2 золотника и дросселя 3. Действие обратной связи
состоит в следующем. При смещении золотника влево от
нейтрального положения поршень / под давлением рг будет также
перемещаться влево, вытесняя жидкость через дроссель 3. Вследствие
гидравлического
сопротивления дросселя давление
рос возрастает и начинает
превышать давление р2.
Из-за. разности /?ос — р2
давлений золотник
нагружается силой, стремящейся
вернуть его к
нейтральному положению.
При смещении
золотника вправо давление рг
уменьшается; поршень /,
перемещаясь под действием
давления рос вправо,
вызывает снижение этого
давления, так как заполнение
жидкостью освобождаемого
при движении поршня
объема происходит через
дроссель. Теперь золотник
возвращается к нейтральному
й
Рис. 14.24. Схема электрогидравлического
следящего привода с дополнительной
обратной связью по производной Ът перепада
давления в гидроцилиндре
р
положению силой,
возникающей из-за разности
давлений р2 — рос. В обоих
случаях изменение давления /?ot, а следовательно, и величины
возвращающей золотник силы зависит от скорости движения поршня /.
Если эта скорость мала, то расход жидкости через дроссель будет
мал и соответственно незначительным будет изменение давления poz.
Хкорость движения поршня У, в свою очередь, зависит от скорости
изменения давлений рх и р2 в полостях гидроцилиндра. После того,
как давления в полости гидроцилиндра достигают установившихся
значений, давление рос вследствие перетока жидкости через
дроссель 3 становится равным р2 и действие обратной связи на золотник
прекращается. ,
Благодаря этому свойству дополнительной обратной связи в
приводе не возникает статической ошибки из-за наличия позицион-
391

ной нагрузки на шток гидроцилиндра. При такой нагрузке в
полостях гидроцилиндра устанавливаются различные давления в
зависимости от положения поршня гидроцилиндра, но перепад
давления poz — р2 сохраняется равным нулю, а изменяется только
положение поршня 1. Для того чтобы при изменении давлений рх
и р2 во времени обратная связь работала при любом положении
штока гидроцилиндра, необходимо, очевидно, обеспечить
подвижность поршня / при максимально возможной установившейся
разности давлений рх — рг. Это условие должно учитываться при
выборе площади поршня 1 и жесткости пружин 4.
Рассмотрим влияние обратной связи по производной от перепада
давления на динамику электрогидравлического следящего привода.
Найдем уравнение такой обратной связи при малых отклонениях
величин от значений, соответствующих среднему положению
поршня гидроцилиндра. За положительные примем перемещения,
соответствующие хЗУ показанному на рис. 14.24 стрелкой.
Пренебрегая массой поршня обратной связи, уравнение действующих на
него сил без учета силы трения представим в виде
Pl^oc- Рослое -2сп'р2 = О,
где с1"— жесткость каждой из пружин 4; г — перемещение
поршня.
~*QC ^OC
2
dz ___ Foz dpx Foc dpo
Уравнение расходов жидкости, вытесняемой поршнем обратной
связи, в предположении малых объемов полостей и каналов запишем
без учета сжимаемости жидкости:
Fo^4t=Foo^r + Q^ A4.79)
Расход Q^p жидкости, протекающей через дроссель обратной
связи, определим линейной зависимостью
где &дР — проводимость дросселя обратной связи.
Тогда уравнение A4.79) можно привести к виду
Foe "ЗГ - ^ос 4Ь- + бдрРое - 6дрР2. A4.80)
Массу золотника и силы трения, приложенные к нему, также
будем считать пренебрежимо малыми; тогда
PyF'3 + F'OCP2 - F'ocpoc - 2 (СпР + сгд) х3» 0, A4.81)
где
Ру = Pyi — Руг; ^з = -^ (dl — (Цщ).
392

После преобразования по Лапласу при нулевых начальных
условиях уравнения A4.78), A4.80) и A4.81) приведем к одному
уравнению
l)Xa(s) = (UcS + КХр) ру (s) - T0CspH (s), A4.82)
в котором
F2 F'
r ocr ос
* ОС == '
?пр — ?пр Т" ^т
Тос = -
/72
Чтобы выявить влияние обратной связи по производной от
перепада давления, будем учитывать только инерционную нагрузку на
Рис. 14.25. Структурная
схема гидроцилиндра с
обратной связью по
производной от перепада
давления:
а — до преобразования;
б — после преобразования
Ру(И)
TfJ'f
Toes
0}
УA)
шток гидроцилиндра, а связь штока с массой m полагать абсолютно
жесткой. В этом случае
l = -f-s2«/(s).
A4.83)
Принятые ограничения вызывают лишь незначительные
изменения уравнения A4.53) нагруженного гидроцилиндра. При ут = у
и /Сн = 0 это уравнение принимает вид
= x3 (s),
A4.84)
причем постоянная времени ТцИ коэффициент относительного
демпфирования ?ц вычисляются по таким же формулам, как Тц и ?ц при
подстановке в них kTp = си = 0 и ссн -> оо.
По уравнениям A4.82)—A4.84) можно составить структурную
схему нагруженного гидроцилиндра, охваченного обратной связью
по производной от перепада давления в гидроцилиндре. Эта схема
изображена на рис. 14.25, а; на рис. 14.25, б дана эквивалентная
13 Попов Д. Н.--588
393

схема, полученная в результате переноса узла суммирования
(элемента сравнения) на вход звена, соответствующего нагруженному
гидроцилиндру.
Рис. 14.26. Приближенная
структурная схема гидроцилиндра с обратной
связью по производной от перепада
давления
Тгпфц)
ГЦ
1
гп t
y(s)
Предположим, что постоянная времени Тос имеет значение, при
котором в исследуемом диапазоне частот можно применить
приближенное соотношение
^Гос/Пс. A4.85)
При использовании соотношения A4.85) замкнутый контур
последней структурной схемы будет таким, как на рис. 14.26. Для
этого контура находим
В передаточной функции A4.86) коэффициент относительного
демпфирования
гр
(Сц)ос = ?ц + 9Tr,f°CT" P A4.87)
Ll и} гпу осгц
учитывает действие обратной связи по производной от перепада
давления в гидроцилиндре. Формула A4.87) показывает, что с
помощью такой обратной связи можно увеличивать демпфирование
нагруженного гидроцилиндра и тем самым уменьшать резонансный
пик на логарифмической амплитудной частотной характеристике
разомкнутого контура всего электрогидравлического следящего
привода. При прочих равных условиях это позволяет обеспечить
желаемые запасы по фазе и по амплитуде.
§ 14.9. АВТОКОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРОГИДРХВЛИЧЕСКОМ
СЛЕДЯЩЕМ ПРИВОДЕ С ДРОССЕЛЬНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ
Выше были рассмотрены вопросы динамики электрогидравлических
следящих приводов с дроссельным регулированием на основе
линейных математических моделей, получаемых без учета
существенных нелинейностей. Такой подход к исследованию и расчету
приводов позволяет определить влияние постоянных времени и
коэффициентов усиления элементов на устойчивость и качество
переходных процессов, выбрать коэффициент усиления обратной связи
в зависимости от требуемой точности управления каким-нибудь
объектом и, наконец, провести сравнение динамических свойств
394

приводов с различными корректирующими элементами и
дополнительными обратными связями. Перечисленные задачи решаются как
методами анализа, так и методами синтеза по логарифмическим
амплитудным частотным характеристикам разомкнутого контура
привода. Результаты расчетов линейных моделей при малых
отклонениях переменных величин тем лучше подтверждаются
экспериментами, чем совершеннее конструкция и технология изготовления
приводов и чем меньше отличаются действительные характеристики
нагрузок от принятых в исследуемой модели. . .
В реальном приводе могут возникать автоколебания,которые
обычно недопустимы, так как они могут привести к повреждению
элементов привода и, кроме того, обычно уменьшают точность
управления объектом. Причины автоколебаний обнаруживаются при
исследовании нелинейных моделей электрогидравлических приводов.
Эти модели составляются с учетом одного или нескольких факторов,
обусловливающих нелинейность уравнений элементов приводов.
К таким факторам относятся гистерезис в магнитной системе
электромеханического преобразователя, сухое трение в золотниковом
распределителе, степенная зависимость расхода жидкости через
распределитель от перепадов давлений на его окнах, сухое или
смешанное трение в гидродвигателе и в нагрузке, зазоры в соединении
выходного звена гидродвигателя с регулирующим органом
управляемого объекта и др. Во избежание чрезмерного усложнения модели
привода следует учитывать только те нелинейности, которые в
данном случае могут оказать основное влияние на динамику привода.
При нескольких нелинейностях модель привода становится
достаточно сложной, и тогда исследования целесообразно вести
с применением аналоговых или цифровых вычислительных машин.
Если изучается влияние какой -либо одной или двух нелинейностей,
то часто обобщенный результат получается с помощью методов
теории автоматического регулирования.
Предположим, например, что необходимо выяснить, может ли
сухое трение в золотниковом распределителе быть причиной
автоколебаний в электрогидравлическом следящем приводе при
отсутствии нагрузки на шток гидроцилиндра [10]. Пусть привод имеет
гидроусилитель с управляющим элементом сопло-заслонка и с
золотником, нагруженным пружинами. Прежде всего рассмотрим
уравнения гидроусилителя с учетом силы трения, действующей
на золотник.
Используя приведенные в § 14.4 обозначения и пренебрегая
массой золотника, запишем уравнение сил
A4.88)
Сила трения Ртр возникает вследствие перекоса золотника
пружинами, прижатия золотника к втулке неравномерно
распределенным по зазорам давлением, облитерации зазоров и вязкого трения
при смещении золотника. Зависимости, определяющие Ргр, могут
быть различными для разных по конструкции, точности изготовле-
13* 395

ния и условиям работы золотников. Кроме того, при автоколебаниях
составляющая силы Ртр, вызванная облитерацией зазоров,
обращается в нуль. В связи с указанной неопределенностью силы Ртр
приближенно будем считать ее силой сухого трения, имеющей
характеристику
^TP = (^TP)osignt;3 при
)о при t>3 = 0,
где v9 = dxjdt.
При этой характеристике из уравнения A4.88) находим
*з = t<xPy (Py - Ьтр sign v3) при v,
*з=Фз)с
при
^3=^=0; 1
*з = 0, J
A4.89)
(^тр)о
У (пр+Гд) ^
Уравнению A4.89) соответствует типовая характеристика
нелинейного элемента с люфтом, у которой Кхр = пхр tg а и 26тр —
ширина петли (рис. 14.27), пхр — коэффициент масштаба.
Рис. 14.27. Зависимость перемещения
нагруженного пружинами золотника от
перепада управляющего давления при
наличии сухого трения
После гармонической линеаризации характеристики A4.89)
получаем
*3 W = Кхр, [я (аР) + -^ фу (s), A4.90)
где приведенные коэффициенты q (ap) и q (ap) гармонической
линеаризации согласно табл. 7.1 определяются по зависимостям
Ьт
применимым при
Уравнение A4.9U) должно рассматриваться совместно с
уравнениями A4.7) и A4.21). В предположении малой величины объема
396

Vy будем пренебрегать сжимаемостью жидкости в гидроусилителе.
Тогда из указанных двух уравнений имеем
F3sx3(s)=KQyhhy (s)-KQyPypy (s). A4.91)
Используя, как и ранее, приближенное соотношение hy = /фя,
запишем уравнение A4.91) в виде
ру (s) = /СруФФя (s) - -j^— sx3 (s), A4.92)
QyPy
где Kpyq> = Kyyy
При малой ширине 26тр петли на характеристике A4.89)
величину х3 (s) можно исключить из уравнения A4.92), используя
приближенную зависимость
получаемую из зависимости A4.90) при q (ар) = 1 и qf (ар) = 0.
В этом случае найдем следующую передаточную функцию:
где TK = F3Kxp //CgyPy — приближенная постоянная времени
управляющих каналов гидроусилителя.
С целью упрощения дальнейших исследований допустим, что
постоянная времени Гя якоря электромеханического
преобразователя мала по сравнению с теми постоянными времени, которые будут
иметь определяющее значение при расчете автоколебаний. Положив
Гя = 0 и применив соотношение A4.30), из уравнения A4.5) получим
фя (s) = /СФ,ГУ (s) - /СфРуру (s). A4.94)
Уравнение A4.90), передаточная функция A4.93) и уравнение
A4.94) позволяют построить структурную схему, показанную на
рис. 14.28, а. После обычных преобразований эта схема приводится
к схеме последовательного соединения одного апериодического
звена и одного нелинейного звена (рис. 14.28, б). В передаточной
функции апериодического звена
При отсутствии нагрузки на шток гидроцилиндра (m = kT? =
= ^я=0) из уравнений A4.48) — A4.51) и A4.53) следует, что
TL-sX3(sI A4.95)
1 гп s
а уравнение A4.61) датчика обратной связи принимает вид
A4.96)
397

Присоединив к структурной схеме электрогидравлического
усилителя (см. рис. 14.28, б) звенья, описываемые уравнениями
A4.95) и A4.96), и применив уравнения A4.62) и A4.63) вместе
с передаточной функцией A4.65), получим замкнутый контур
ненагруженного электрогидравлического следящего привода
Kepi
а)
Круср
TKs+1
*9Ру
Py(S)
***
Kpyl Kxpy
Us+1
K?ct=4S°
Г Pjf
Рис. 14.28. Структурные схемы электрогидравлического усилителя с
приближенным учетом трения в золотниковом распределителе:
а — до преобразования; б — после преобразования
(рис. 14.29). В прямой цепи этого контура содержится типовое
нелинейное звено, учитывающее сухое трение в золотниковом
распределителе. Гармонически линеаризованным уравнением такого звена
является уравнение A4.90).
Условия возникновения автоколебаний в данной нелинейной
системе можно достаточно просто определить с помощью фазовой
границы устойчивости (ФГУ), рассмотренной в § 7.7. Для построе-
"т*
Кус
Tms+1
KpyL
КхРу
Рис. 14.29. Структурная схема ненагруженного
электрогидравлического следящего привода с учетом сухого трения в
золотниковом распределителе
ния ФГУ в разомкнутом контуре системы при s = /со выделяются
линейная часть
и нелинейная часть
№н(ар) = ?(ар) + /Г(ар). A4.98)
Логарифмические амплитудные частотные характеристики
линейной части системы строятся для ряда значений добротности
электрогидравлического привода:
Аэгп ==^Сус^/и^Сру^лгру^Сп.ос/71гп«
398

При этом значения D9rn принимаются несколько меньше
критической ^величины (Оэгп)кр, при которой исследуемая линейная
система [q (ар) = 1 и ~qf (ар) = 0] находится на границе устойчивости.
Логарифмическая фазовая частотная характеристика
линейной части системы, очевидно, с изменением добротности
D9rn, не изменяется. Логарифмические амплитудные частотные
Рис. 14.30. ФГУ ненагруженного электрогидравлического
привода с учетом трения в золотниковом распределителе
характеристики линейной части системы при трех значениях D9rn,
из которых одно равно (D9rn)Kp, даны на рис. 14.30. Там же показана
логарифмическая фазовая частотная характеристика линейной
части системы.
Логарифмическая частотная характеристика
L* (ар) = - 20 \gV <12(ар) + [д'(ар)]*
и логарифмическая фазовая частотная характеристика
399

нелинейной части системы строятся после вычисления приведенных
коэффициентов гармонической линеаризации д (ар) и qr (ap) для
ряда значений Ь1р/ар. Эти характеристики являются
универсальными и могут быть взяты непосредственно из книги [60], в которой
имеются характеристики и других типовых нелинейных звеньев.
По логарифмическим частотным характеристикам линейной и
нелинейной частей системы находится ФГУ для принятых значений
добротности Оэгп электрогидравлического привода. При
добротности Dam ФГУ пересекается с логарифмической фазовой
частотной характеристикой линейной части системы в двух точках, что
указывает на возможность возникновения автоколебаний с
частотами (ох и со2. Однако точке / согласно § 7.7 соответствует
неустойчивый предельный цикл. Устойчивый предельный цикл определяется
точкой 2.
При добротности Darn ФГУ проходит ниже логарифмической
фазовой частотной характеристики линейной части системы, что
говорит об устойчивости исследуемого замкнутого контура
электрогидравлического привода и отсутствии в нем автоколебаний. При
добротности Ш9гп)кр привод неустойчив как линейная система.
Таким образом, анализ, проведенный по логарифмическим
частотным характеристикам разомкнутого контура привода,
показывает, что в ненагруженном приводе могут возникать автоколебания
при наличии сухого трения в золотниковом распределителе
гидроусилителя.
§ 14.10. ЭЛЕКТРОПНЕВМАТИЧЕСКИЕ СЛЕДЯЩИЕ ПРИВОДЫ
В электропневматических следящих приводах применяются
электромеханические преобразователи, усилители и исполнительные
двигатели такого же принципа действия, как аналогичные
устройства электрогидравлических приводов. Электропневматические
приводы обычно имеют меньшую по сравнению с
электрогидравлическими приводами мощность, поэтому в них часто используется одна
ступень усиления после электромеханического преобразователя.
Для примера рассмотрим приведенную в книге [13] схему
электропневматического привода, в котором рабочей средой служит
горячий газ (рис. 14.31).
Привод питается газом от источника постоянного давления.
Основными элементами привода являются усилитель 1 постоянного
тока, электромеханический преобразователь 2 с Ш-образным
статором, заслонка 3, упруго закрепленная на статоре, сопла 4,
дроссели 5, исполнительные пневмоцилиндры 6 и 7, датчики 8 и 9
обратной связи по скорости и по положению ведомого звена (вала,
соединенного с нагрузкой). Действие позиционной нагрузки
имитируется пружиной 10, а действие инерционной нагрузки —
маховиком 11. Кроме того, предполагается, что создается также нагрузка
от гидравлического трения. В данном приводе исполнительные
двигатели — пневмоцилиндры подключены непосредственно к ка-
400

налам пневмоусилителя с управляющим элементом типа сопло-
заслонка, поэтому за счет использования энергии газа под
давлением осуществлена только одна ступень усиления. При такой схеме
привода исключается золотниковый распределитель с парой трения
золотник — втулка, но одновременно уменьшается коэффициент
усиления по мощности.
Регулирование потоков газа через постоянные дроссели 5
осуществляется заслонкой 5, управляемой электромеханическим
преобразователем. Массовый расход Gx газа, поступающего в левый
пневмоцилиндр, равен
Gi = GflP — Gc, A4.99)
где Одр — массовый расход газа, протекающего через левый дроссель;
Gc — массовый расход газа, протекающего через левое сопло.
При высоком давлении рп питания привода и малых отклонениях
заслонки от нейтрального положения течение газа через дроссель
и сопло можно считать
критическим. В этом случае
др7тГ
hy)^9
Ути
A4.100)
где |1дР и (хс — коэффициенты
расхода дросселя и сопла,
прикрытого заслонкой;
\*+1/Л-1
/Др — площадь проходного
сечения дросселя; h0 — зазор между
торцом сопла и заслонкой при
нейтральном положении
последней; рх— давление газа В левой Рис. 14.31. Схема пневмопривода
полости пневмоцилиндра; hy —
отклонение заклонки от нейтрального положения; dc — диаметр
проходного сечения сопла; Г„ — температура газа,
предполагаемая одинаковой в каналах пневмоусилителя.
Подставив GAP и Gc из соотношений A4.100) в уравнение A4.99),
получим
Ao-A,)-^ A4.101)
При малых отклонениях переменных величин будем считать
температуру газа в каналах привода и в полостях пневмоцилиндров
401

равной температуре Т°п газа, подводимого от источника питания.
Тогда массовый Gx и объемный Qj расходы газа, поступающего
в левый пневмоцилиндр, можно связать соотношением
Gi=-5FrQi, A4.102)
А/ п
учитывая которое, уравнение A4.101) приведем к виду
Qi = ИдрС/дрЯ УП*± - \хсСп dz (h0- Ay)R Vfl. A4.J03)
Аналогичным образом можно найти объемный расход Q2 газа,
вытекающего из правого пневмоцилиндра:
Q2 = -^pC/flp/?l/T; ^+ \xcCndc(ho + hy)RVn. A4.104)
Проведя линеаризацию уравнений A4.103) и A4.104), определим
отклонения объемных расходов AQX и Дф2:
y; A4.105)
пРп
AQ2 = [ХдрС/др ^^пРп Ар2 + ^Ся^ КП йу- (И.106)
Величины А/?! и Др2 в уравнениях A4.105) и A4.106) являются
отклонениями в полостях левого и правого пневмоцилиндров от
значения давления /?0, которое устанавливается в этих полостях
при равновесии поршней и при нулевой внешней нагрузке.
При л,с ° > 1,8 давление р0 находится по соотношению
)
Величину ndjio/fxp целесообразно назначать равной 2, так как
в этом случае достигаются: 1) почти линейная зависимость расхода
газа, обеспечивающего движение поршней пневмоцилиндров, от
перепада давления, создаваемого нагрузкой; 2) наибольшая
чувствительность перепада давления в пневмоцилиндр ах к отклонению
заслонки; 3) работа привода с наибольшим к. п. д. [13]. Для малых
отклонений давлений можно принять Арг = — Д/?2, тогда согласно
уравнениям A4.105) и A4.106) имеем AQ1 = AQ2 = Дфц. Сложив
эти уравнения, получим
AQu = Wbr-/C$,PH, A4.107)
где
щ ; рн = Api - Ар2.
Расход AQU, соответствующий малым отклонениям поршней
пневмоцилиндров от положения равновесия, имеет тот же смысл,
402

что расход AQ3, определяемый уравнением A2.139), применив
которое вместе с уравнением A4.107), можно записать
^=К^^ A4Л08)
где, как и ранее, Fn — рабочая площадь поршня пневмоцилиндра;
Vo — объем полости пневмоцилиндра при среднем положении
поршня.
Перепад ра давления в нагруженных пневмоцилиндрах и
отклонение у поршней пневмоцилиндров от среднего положения связаны
уравнением движения выходного звена, которое представим в виде
A4Л09)
где J — момент инерции маховика, имитирующего инерционную
нагрузку; &тр — коэффициент нагрузки, создаваемой моментом сил
гидравлического трения; kB — коэффициент позиционной нагрузки,
создаваемой моментом сил, величина которого изменяется
пропорционально углу поворота маховика; 1г — расстояние от оси
пневмоцилиндра до оси маховика.
Исключая из уравнения A4.108) переменную /?н при помощи
уравнения A4.109), получим
&гр"о
2BarFu/? dfl т" \ 2BarFuq
"Г
8 а i т^т5—// + п 72 y = t\Qhhy. A4.110)
Отклонение заслонки /iy можно найти по уравнению A4.5),
применив соотношение A4.30), в котором управляющий перепад ру
в данном случае заменяется перепадом рн давления в
пневмоцилиндрах. Учитывая, что hy = /фя и пренебрегая постоянной времени
Тя, находим
^--pH. A4.111)
Уравнения A4.109) — A4.111) описывают динамику
электропневматического привода звена. Эти уравнения в изображениях по
Лапласу при нулевых начальных условиях после нескольких
преобразований можно записать в виде
Рн (s) = /Сру G1s2 + 2^5 + 1) у (S); A4.112)
Tnns (TUs- + 2?пц7пц5 + 1) У (s) = Ау (s) - К%у (s); A4.113)
hy (s) = IK^iy (s) - Khppu (s), A4.114)
403

где постоянные времени, коэффициенты передачи и коэффициенты
относительного демпфирования имеют следующие значения:
к
— k* • т — 1/ J • г — ктр -
'Ш' l~V ~к' b~WK'
rp —tL. 1 i n
'nH~V\ 2Г
* пп —
JVo
2«/Г(.+-^г + -%^
^Мф
Fuli
V 2Bar/f
1 +
KqhFJ]
Для получения математической модели замкнутого
электропневматического следящего привода к системе уравнений A4.112)—
I—I к*
Рис. 14.32. Структурная
схема
электропневматического следящего привода
A4.114) необходимо добавить уравнения цепи обратной связи и
усилителя постоянного тока. Предположим, что датчик скорости
ведомого звена описывается уравнением идеального
дифференцирующего звена, а усилитель постоянного тока допустимо считать
пропорциональным звеном с коэффициентом усиления /Сус. Тогда
изображение iy (s) тока управления можем найти в виде
iy (S) = Кусиъх (s) -
+ Ktc) У (s),
A4.115)
где ивх (s) — изображение по Лапласу управляющего (входного)
напряжения; TtJKtc — постоянная времени датчика скорости
выходного звена; Ktz — коэффициент передачи обратной связи
по положению выходного звена.
Уравнения A4.112) — A4.115) позволяют построить структурную
схему электропневматического привода, показанную на рис. 14.32.
Следует обратить внимание на то, что в рассмотренном приводе
имеется внутренняя отрицательная обратная связь, представленная
404

на структурной схеме форсирующим звеном второго порядка.
Эта связь возникает от воздействия на заслонку потоков газа,
вытекающего из сопл. Вторая внутренняя отрицательная обратная
связь с коэффициентом передачи /Сн Еызвана наличием позиционной
нагрузки на ведомом звене. При такой нагрузке с изменением
положения ведомого звена изменяется установившийся перепад
давления в полостях пневмоцилиндров и соответственно в одном
канале пневмоусилителя уменьшается установившийся расход газа,
а в другом увеличивается. В результате перемещение поршней
пневмоцилиндров получается пропорциональным отклонению
заслонки, т. е. позиционная нагрузка в этом приводе играет такую же
роль, как пружины, нагружающие золотник рассмотренного в
§ 14.5 гидроусилителя.
a) z 6) *
Рис. 14.33. Переходные процессы в электропневматическом приводе
Главная отрицательная обратная связь в структурной схеме
привода содержит звено с передаточной функцией
которая легко преобразуется в передаточную функцию
последовательного соединения пропорционального звена и форсирующего
звена первого порядка:
Эта обратная связь создается с помощью электрических датчиков
скорости и положения.-выходного звена. Если исключить датчик
скорости, то привод будет иметь только обратную связь по
положению, как описанный в § 14.6 электрогидравлический следящий
привод. Влияние обратной связи по скорости можно
иллюстрировать переходными процессами, которые даны в работе [13] по
результатам исследования на аналоговой вычислительной машине
линейной модели привода: На рис. 14.33, а показан переходный
процесс, вычисленный при отсутствии позиционной нагрузки (kH=0)
и при отключенном датчике скорости (Тос = 0), а на рис. 14.33, б
изображен переходный процесс, полученный для тех же условий,
но при включенном датчике скорости.
405

§ 14.11. ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СЛЕДЯЩИЕ ПРИВОДЫ
С ОБЪЕМНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ
Электрогидравлический следящий привод с объемным
регулированием имеет силовую часть, состоящую из регулируемого объемного
насоса, гидродвигателя, вспомогательных устройств, и
управляющую часть, которой служит электрогидравлический привод с
дроссельным регулированием. Электрогидравлические приводы с
объемным регулированием различаются по принципиальной схеме, по
конструкции гидромашин силовой части, по виду элементов
управляющей части, по типу корректирующих устройств и другим
признакам [10]. На рис. 14.34 дана схема электрогидравлического сле-
Рис 14.34. Схема электрогидравлического следящего
привода с объемным регулированием
дящего привода с объемным регулированием, силовая часть
которого представлена насосом 2 с приводом от электродвигателя / и
гидромотором 3. Вал гидромотора через редуктор соединен с
управляемым объектом 4. Вместо гидромотора может быть применен
гидроцилиндр. В этом случае редуктор не используется. С валом
гидромотора соединен также электрический датчик 5 обратной связи,
напряжение на выходе которого изменяется .пропорционально углу
поворота вала гидромотора. Кроме такого датчика может еще
устанавливаться электрический датчик угловой скорости вала.
Сигнал отдатчика обратной связи поступает на вход усилителя 6,
к выходу которого подключен электромеханический
преобразователь 7, управляющий заслонкой гидравлического усилителя с
золотником 8. Этот золотник, в свою очередь, управляет
гидроцилиндром 9, шток поршня которого рычагом связан с регулирующим
406

органом насоса. От штока гидроцилиндра имеется силовая обратная
связь к золотнику, осуществляемая рычагами 10, которые
воздействуют на нагружающие золотник пружины. Благодаря такой
обратной связи обеспечивается пропорциональная зависимость
перемещения штока гидроцилиндра от тока управления
электромеханического преобразователя и тем самым в контуре привода
исключается одно интегрирующее звено.
Вспомогательные устройства, необходимые для работы силовой
части, применяются такие же, как и в рассмотренном в гл. XIII
гидроприводе с объемным регулированием. Эти устройства показаны
на схеме условными обозначениями. Отличительной особенностью
электрогидравлического привода является то, что от
вспомогательного насоса не только производится подпитка рабочей жидкостью
силовой части привода, но этой жидкостью под давлением питается
и электрогидравлический привод с дроссельным регулированием,
Рис. 14.35. Схема
золотника с обратной связью J
ог гидроцилиндра через
пружины
управляющий насосом 2. Если для питания электрогйдравлического
привода с дроссельным регулированием (управляющей части)
требуется более высокое давление, чем для подпитки силовой части,
то устанавливается редукционный клапан (изображен на схеме
штриховыми линиями) или применяются два вспомогательных
насоса. Вспомогательные насосы обычно приводятся от
электродвигателя / основного насоса.
Входным сигналом, который отслеживает привод, перемещая на
требуемый угол управляемый объект, служит напряжение ивх,
подводимое к усилителю от какого-либо автоматического устройства,
вычислительной машины или задаваемого оператором вручную с
помощью потенциометра.
Структурная схема рассмотренного следящего привода может
быть составлена из структурных схем силовой и управляющей
частей. При этом в ранее полученные структурные схемы
электрогидравлического привода с дроссельным регулированием,
используемого в качестве управляющей части, следует внести изменения,
вызванные наличием обратной связи от поршня гидроцилиндра к
золотнику гидроусилителя. При такой обратной связи вместо
уравнения A4.21) должно быть написано уравнение
dt
—
ос dt »
A4.116)
407

та
CQ
О
a.
I
2
3
я
a>
I
I
03
s
2
о
s
4
n
та
I
s
Он
е-
U
в котором последний член
учитывает расход жидкости,
обусловленный движением толкателей /,
связанных с пружинами 2 золот-
nd2
ника 5, Foc = -^ (рис. 14.35).
В реальных гидроусилителях
объем Fy обычно достаточно мал,
что позволяет пренебрегать
сжимаемостью жидкости,
заключенной в этом объеме. С таким
допущением из уравнений A4.7) и
A4.116) находим
_ KQyh
dz
It
. „. A4Л17)
QyPy
Пренебрегая, как и ранее,
массой золотника и трением,
величину управляющего перепада
ру давления определим из
условия равновесия золотника:
2с,
пр
Z.
A4.118)
Из уравнений A4.117) и
A4.118) после обычных
преобразований можно получить
уравнение гидроусилителя, имеющего
силовую обратную связь от
гидроцилиндра к золотнику. В
изображениях по Лапласу это
уравнение записывается в виде
= Kxhhy(s)-(T'ocs+l)Kxzz(s).
A4.119)
В уравнение A4.119) кроме
постоянной времени Тту и
коэффициента усиления KXh
гидроусилителя, содержащихся в
передаточной функции A4.27), вхо-

дит постоянная времени силовой обратной связи
О"" — Р Р I^)W ' Г
и коэффициент передачи силовой обратной связи
Внеся в соответствии с уравнениями A4.118) и A4.119) изменения
в показанную на рис. 14.16 структурную схему прямой цепи
электрогидравлического привода с дроссельным регулированием и
присоединив к ней последовательно структурную схему силовой части
гидропривода (рис. 13.5), получим структурную схему прямой
цепи электрогидравлического привода с объемным регулированием.
После замыкания этой цепи обратной связью с учетом звеньев,
описывающих усилитель и обмотку управления
электромеханического преобразователя, будем иметь структурную схему всего
следящего привода.
Рис. 14.37. Структурная схема электрогидравлического следящего
привода с объемным регулированием, имеющего идеальный
электрогидравлический усилитель
Такая структурная схема, построенная при /Сн == Ки = О,
дана на рис. 14.36. На схеме указаны три не применявшиеся ранее
коэффициента передачи: КУу, Kzy и KPyg. Первый из этих
коэффициентов определяется передаточным отношением механизма,
соединяющего шток гидроцилиндра с регулирующим органом насоса
объемного гидропривода; второй — отношением плеч рычагов
силовой обратной связи; третий
В ряде случаев постоянные времени Гупр, Тя, Тгу и Т'ос
оказываются значительно меньше постоянных времени Ггп, Гц, Т'гп и Гм. Тогда
усилитель и отдельные звенья электрогидравлического усилителя
управляющей части привода можно представить пропорциональными
звеньями, после этого структурная схема приводится к изображенной
на рис. 14.37. Проверка устойчивости такой структурной схемы
выполняется в обычной последовательности: сначала проверяется
устойчивость внутреннего контура, затем находятся логарифмичес-
409

г
кая амплитудная и фазовые чатотные характеристики этого
замкнутого контура, а затем строятся логарифмические частотные
характеристики разомкнутого по основной обратной связи контура всего
привода.
Здесь был рассмотрен электрогидравлический следящий привод
с объемным регулированием, у которого ошибка пропорциональна
скорости вращения гидромотора. Такие приводы относят к
позиционным следящим системам. Известны также
электрогидравлические приводы с объемным регулированием, работающие в основном
с ошибкой по ускорению вала гидромотора. Эти приводы являются
скоростными следящими системами.
§ 14.12. ПЕРЕЛИВНОЙ КЛАПАН ПРЯМОГО ДЕЙСТВИЯ
Источники питания гидроприводов с дроссельным регулированием
и пневмоприводов в большинстве случаев должны быть снабжены
регуляторами давления, так как при различных режимах работы
один и тот же привод потребляет разные расходы рабочей среды,
вызывая тем самым изменение
давления источника питания.
При наиболее распространенных
источниках питания, имеющих
специальные насосные и
компрессорные станции, давление
может регулироваться двумя
способами. При одном способе
регулятор в зависимости от
давления в напорной линии
пропускает большее или меньшее
количество рабочей среды в сливную
линию, поддерживая давление
питания привода в заданных
пределах. Этот способ достаточно широко используется как в гидро-,
так и в пневмосистемах. Регуляторами служат переливные
клапаны прямого и непрямого действия или автоматы разгрузки,
принцип действия которых был описан во введении. В
пневмосистемах устанавливают также регуляторы давления непрямого
действия, собранные из универсальных блоков промышленной
пневмоавтоматики.
При другом способе регулятор управляет производительностью
машины, подающей рабочую среду под давлением либо в
аккумулятор, либо непосредственно к приводу. Этот способ обычно
применяют для регулирования давления в гидросистемах, так' как
регулировать подачу насосов проще, чем компрессоров.
На рис. 14.38 показана схема системы, в напорной линии
которой давление поддерживается клапаном 7, нагруженным пружиной 2.
При перемещении клапана рабочая среда протекает
через.дроссельное-отверстие 3 и за счет этого обеспечивается демпфирование
Рис. 14.38. Схема системы
автоматического регулирования давления с
клапаном прямого действия
410

клапана. Такого типа система может быть как гидравлической,
так и пневматической.
Условимся трубопроводы от источника питания 4 к потребителю 5
и к клапану считать достаточно короткими для того, чтобы процессы
в них можно было рассматривать без учета распределенности
параметров рабочей среды по длине линии. Ограничиваясь, кроме тсго,
малыми отклонениями переменных от установившихся значений и
опуская символ А, запишем уравнение баланса расходов рабочей
среды в системе:
p. A4.120)
В это уравнение входят расход Qu рабочей среды, поступающей
от источника питания (насоса); расход Qn рабочей среды,
подводимой к потребителю (приводу); расход, вызванный
сжимаемостью рабочей среды,
Q™ = -^^-; A4.121)
расход рабочей среды, пропускаемой клапаном на слив,
A4.122)
расход, обеспечивающий управление клапаном,
Су„р=^кл^Г, A4.123)
где Vo — объем рабочей среды, находящейся в трубопроводах от
источника питания к потребителю и к клапану; В — модуль
объемной упругости рабочей среды; рп — давление, которое без учета
гидравлических сопротивлений принято одинаковым во всех
сечениях напорной линии; hKJ1 — смещение клапана от положения,
соответствующего установившемуся режиму системы; FKJJ —
площадь поршня клапана; Kqh и Kqp — коэффициенты, определяемые
по статическим характеристикам клапана таким же способом, как-
для золотниковых распределителей (см. гл. XI).
После подстановки расходов согласно соотношениям A4.121) —
A4.123) в уравнение A4.120) получаем
^^ ^ n. A4.124)
Уравнение движения клапана в предположении малых сил
трения имеет вид
= ткл ^l9 A4.125)
где рд — давление в демпфирующей полости под клапаном; Рпр —
сила пружины; Ргд — гидродинамическая сила; ткл — масса
клапана.
411

Обозначив &дР проводимость дросселя 3 (см. рис. 14.38),
представим расход рабочей среды, перетекающей через дроссель, в виде
<2др = ?дрРд. A4.126)
При малом объеме демпфирующей полости можно пренебречь
сжимаемостью рабочей среды
Qn(s) в этом объеме, тогда
PnV) AU
*¦ Qv = F~^sr-- A4.127)
Из соотношений A4.126) и
A4.127) находим
п ^КЛ ^КЛ /1/1 1Ofi\
Сумму сил Рп„ + Ргд оп-
Рис. 14.39. Структурная схема системы ределим соотношением
автоматического регулирования давления ^
с клапаном прямого действия Лф + Л^^СщЛсл» A4.129)
где СпР — суммарная жесткость пружины 2 и «гидродинамической
пружины».
Применяя соотношения A4.128) и A4.129), уравнение A4.125)
приводим к виду
тк
пр
dt2
Рп-
пр
A4.130)
После преобразования уравнений A4.124) и A4.130) по Лапласу
при нулевых начальных условиях имеем
Qp
s
пр
tnu
fnp
/72
ГКЛ
A4.131)
A4.132)
Зависимостям A4.131) и A4.132) соответствует структурная
схема, приведенная на рис. 14.39. Схема составлена из типовых
звеньев, поэтому устойчивость системы легко проверить по
логарифмическим амплитудным и фазовым частотным характеристикам
разомкнутого контура. Переходный процесс можно найти любым
из рассмотренных в первой части методов
412

14.13. КЛАПАН НЕПРЯМОГО ДЕЙСТВИЯ
На рис. 14.40 дана схема клапана непрямого действия, применяемого
в гидросистемах в качестве предохранительного или переливного
клапанов. Принцип действия клапана состоит в следующем.
При наличии в гидросистеме заданного давления управляющий
клапан 1 либо прижат пружиной 2 к седлу, либо пропускает жидкость
на слив. Соответственно затвор 3 основного клапана либо прижат
пружиной 4 к своему седлу, либо пропускает жидкость на слив.
В первом случае давление ру в управляющей полости равно давлению
рп в подводе клапана. Во втором случае давление рп больше давления
ру. Разница в давлениях возникает
вследствие того, что при открытом
управляющем клапане жидкость из подвода
протекает через дроссель 5. В целях
дополнительного демпфирования основного
затвора отверстия 6 могут быть
выполнены малого диаметра и "служить
дросселями. Для демпфирования
управляющего клапана может устанавливаться
дроссель 7. Давление, при котором
начинает подниматься затвор основного
клапана, зависит от предварительного
натяжения пружин 2 и 4 и регулируется
изменением напряжения пружины 2
управляющего клапана. Благодаря малой
величине перемещений управляющего
клапана давление ру поддерживается
близким к значению давления, при
котором он открывается.
При составлении уравнений
движения управляющего клапана и затвора
основного клапана обычно возникает
трудность, связанная с учетом сил от гидродинамического
воздействия потоков жидкости. Если пренебречь этими силами, то
уравнение движения затвора основного клапана можно записать в виде
Рис. 14.40. Схема клапана
непрямого действия
п — Ру) — Лф — #гр =
dt2
A4.133)
где FKJl = JtDL/4; ткл — масса затвора клапана;
Рпр — сила
пружины 4\ Ртр — сила трения; hK}1 — перемещение затвора,
измеренное от седла.
В данном случае предполагается, что гидравлическое
сопротивление отверстий пренебрежимо мало, и поэтому давление рг может
быть принято равным рп. Сила пружины 4 определяется обычной
зависимостью
A4.134)
413

где спр — жесткость пружины 4\ (Рпр)о — предварительное
натяжение пружины 4.
При работе клапана в гидросистеме с нормальным
температурным режимом сила трения Ртр может не учитываться, если затвор
не имеет уплотнений и трение является гидравлическим. При
указанных допущениях, уравнение A4.133) после подстановки Рпр из
зависимости A4.134) приводится к виду
^кл (Рп - РУ) - (^пр)о - cnphKJ1 = ткл ^. A4.135)
Уравнение баланса расходов при движении затвора основного
клапана, не учитывая сжимаемость жидкости в предположении
малых объемов полостей, запишем в виде
^, A4.136)
где Qn — расход жидкости, протекающей в подводе клапана; Q^ —
расход через щель, открытую затвором основного клапана; фдр —
расход через дроссель 5.
Расходы Qm и BдР найдем следующим образом:
(?щ == ^щЯклV Рп — Рсл! <?др = *др>/"рп —Ру> A4.137)
где __
к'щ = iimndKJ1 sin аК2/р; ?др = ^др/дР]//р; A4.138)
здесь AЩ — коэффициент расхода щели, открытой затвором
основного клапана; |1др и /дР — соответственно коэффициент расхода и
площадь дросселя 5.
Вследствие малых размеров затвора управляющего клапана его
собственная частота получается обычно значительно выше
собственной частоты затвора основного
клапана. Это позволяет при
рассмотрении динамики всего гидроаппарата
использовать статическую
характеристику . управляющего клапана для
связи давления ру с расходом Qy
(рис. 14.41). Такая характеристика
описывается уравнением
Рис. 14.41. Статическая харак- P^==Py.o + ^CpyQyQy> A4.139)
теристика управляющего
клапана где KpyQy — коэффициент,
определяемый по наклону характеристики.
Ьасход Qy, пропускаемый управляющим клапаном, в свою
очередь определяется уравнением баланса расходов
^ . A4.140)
Вследствие соотношений A4.137) и A4.138) математическая
модель клапана непрямого действия является нелинейной. Рассмат-
414

ривая малые отклонения переменных от значений, которые они
имеют при равновесии клапана, проведем линеаризацию уравнений.
В результате получим систему уравнений
==FKAPn; A4.141)
Л<2дР; (И.142)
рп; A4.143)
рУ; A4.144)
A4.145)
др. A4.146)
В этих уравнениях
2 У Рп.о — Рсл 2 У Рп.О — Ру.а
здесь рп. о и /?у> о — давления соответственно в подводе и в
управляющей полости при равновесии клапана и подъеме затвора, равном
"к'л. О-
Система уравнений упрощается, если разница в расходах Qn
и Qux мала, и можно принять AQn ^ ДBЩ. В этом случае после
обычных преобразований уравнений A4.141)—A4.146) получаем
передаточную функцию
pQ V AQn (s) KQp [(ГклJ*2 + 2?клГкл5+ l] '
где
KpyQyFvin
KQp
Передаточная функция A4.147) показывает, что рассмотренный
клапан непрямого действия сам по себе является устойчивым. Если
клапан подключен к гидросистеме, то из-за сжимаемости жидкости
клапан совместно с гидросистемой может быть неустойчив. С
учетом сжимаемости жидкости в гидросистеме отклонение расхода
жидкости AQC находится по уравнению
A4Л48}

где Усист и Всист — соответственно объем жидкости и приведенный
модуль объемной упругости жидкости в гидросистеме.
После преобразования уравнения A4.148) по Лапласу,
применив передаточную функцию A4.147), получаем
W Is) = ^Рп (s) — WpQ E)
Дальнейшие расчеты с целью проверки устойчивости клапана
выполняются обычными методами.
В гидросистемах регулирование станций питания может также
осуществляться изменением подачи объемных насосов [39]. Методика
составления уравнений, определяющих математическую модель
станции питания с объемным регулированием, изменяется
незначительно, так как производится только замена зависимости расхода
жидкости через клапанную щель зависимостью подачи насоса от
положения регулирующего органа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамов Е. И., Колесниченко К. А., Маслов В. Т. Элементы
гидропривода. Справочник. Киев, „Техшка", 1969, 320 с.
2. Баш та Т» М. Гидропривод и гидропневмоавтоматика. М.,
„Машиностроение", 1972, 320 с.
3. Баиштык А. М. Электрогидравлические сервомеханизмы с широтно-им-
пульсным управлением. М., „Машиностроение", 1972, 144 с.
4. Бержерон Л. От гидравлического удара в трубах до разряда в
электрической сети Пер. с франц. М., Машгиз, 1962, 348 с.
5. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического
регулирования. М., „Наука", 1975, 768 с.
6. Браун Ф. Т. Переходные процессы в линиях передачи жидкости или газа.
Пер. с англ. В кн. „Техническая механика", Т. 84. Серия D № 4, М., изд-во иностр
литер., 1962, с. 163—171.
7. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Ч. I, II и III.
М.—Л., „Энергия", 1965—1970, 396, 364 и 328 с.
8. Гавриленко Б. А., Минин В. А., Рождественский С. Н. Гидравлический
привод. М., „Машиностроение", 1968, 504 с.
9. Гамынин Н. С. Гидравлический привод систем управления М.,
„Машиностроение", 1972, 376 с.
ГО. Гидравлический следящий привод. Под ред. В. А. Лещенко. М.,
„Машиностроение", 1968, 564 с. Авт.: Гамынин Н. С, Каменир Я. А., Коробочкин Б. Л. и
др.
11. Герц Е. В., Крейнин Г. В. Динамика пневматических приводов машин-
автоматов. М., „Машиностроение", 1964, 236 с.
12. Гидравлика, гидравлические машины и гидравлические приводы. М.,
„Машиностроение", 1970, 504 с. Авт.: Башта Т. М., Руднев С. С, Некрасов Б Б.,
Байбаков О. В., Кирилловский Ю. Л.
13. Гидравлические и пневматические силовые системы управления. Пер. с
англ. Под ред. Дж. Блэкборна, Г. Ритхофа, Дж. Л. Шерера. М., изд-во иностр.
литер., 1962, 614 с.
14. Гийон М. Исследование и расчет гидравлических систем. Пер. с франц.
М., „Машиностроение", 1964, 388 с.
15. Гомельский Ю. С. Электрические элементы электрогидравлических
устройств автоматики. М., „Энергия", 1968, 144 с.
16. Гониодский В. И., Склянский Ф. И., Шумилов И. С. Привод
рулевых поверхностей самолетов. М., «Машиностроение», 1974, 320 с.
17. Дейли Дж., Харлеман Д. Механика жидкости. Пер. с англ. М., „Энергия",
1971, 480 с.
18. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования
Лапласа и Z-преобразования. Пер. с нем. М., „Наука", 1971, 288' с.
19. Динамика гидропривода. Под ред. В. Н. Прокофьева. М.,
„Машиностроение", 1972, 292 с.
20. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Пер. с англ. М., „Наука",
1970, 704 с.
21. Залманзон Л. А. Теория элементов пневмоники. М., „Наука", 1969, 508 с.
417

22. Зилке В. Трение, зависящее от частоты, при неустановившемся течении в
трубопроводе. Пер. с англ. В кн. „Теоретические основы инженерных расчетов".
Серия. D., „Мир", 1968, № 1, с. 120—127.
23. Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование. М., „Машиностроение",
1973, 606 с.
24. Камке 3. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Пер. с нем М., „Наука", 1971, 576 с.
25. Каннингхэм В. Введение в теорию нелинейных систем. Пер. с англ. М.-Л.,
Госэнергоиздат, 1962, 456 с.
26. Картвелишвили Н. А. Современное состояние гидравлической теории
нестационарных потоков по работам в СССР. Известия АН СССР. ОТН. „Механика
и машиностроение", 1961, № 3.
27. Клаус, О' Брайен. Точное измерение и расчет значений объемного модуля
упругости для жидкостей и смазок. Пер. с англ. В кн. „Теоретические основы
инженерных расчетов". Серия D. М., „Мир", 1964, № 3, с. 66—72.
-28. Колесников К. С., Самойлов Е. А., Рыбак С. А. Динамика топливных
систем ЖРД. М., „Машиностроение", 1975, 172 с.
29. Крассов И. М. Гидравлические элементы в системах управления. Изд. 2-е.
М., „Машиностроение", 1967, 256 с.
30. Коробочкин Б. Л. Динамика гидравлических систем станков. М.,
„Машиностроение", 1976, 240 с.
31. Кузнецов Д. С. Специальные функции. М., „Высшая школа", 1965, 423 с.
32. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного
переменного. М., „Наука", 1965, 716 с.
33. Лещенко В. А. Гидравлические следящие приводы для автоматизации
станков. М., Машгиз, 1962, 368 с.
34. Литвин-Седой М. 3. Гидравлический привод в системах автоматики. М.,
Машгиз, 1966, 312 с.
35. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., „Наука", 1970, 904 с.
36. Льюис Э., Стерн X. Гидравлические системы управления. Пер. с англ. М.,
,Мир", 1966, 407 с.
37. Мохов И. Г. Влияние клапанов системы подпитки на динамические
характеристики объемного гидропривода. Известия вузов. „Машиностроение",
1970, № 5. Изд. МВТУ им. Баумана, с. 72—77.
38. Моль Р. Гидропневмоавтоматика. Пер. с франц. М., „Машиностроение",
1975, 352 с.
39. Нейман В. Г. Гидроприводы авиационных систем управления. М.,
„Машиностроение", 1973, 200 с.
40. Никитин Г. А., Комаров А. А. Распределительные и регулирующие
устройства гидросистем. М., „Машиностроение", 1965, 184 с.
41. Носова Л. Н. Таблицы функций Томсона и их первых производных. Изд.
АН СССР, 1960, 423 с.
42. Ольденбургер Р., Д' Суза А. Ф. Динамические характеристики
гидравлических трубопроводов. Пер. с англ. В кн. „Теоретические основы инженерных
расчетов", Серия D, 1964, № 3, с. 196—205.
43. Ольсон Г. Динамические аналогии. Пер. с англ. М., изд-во иностр. литер.,
1947, 224 с.
44. Основы автоматического регулирования и управления. Под ред. В. М.
Пономарева и А. П. Литвинова. „Высшая школа," 1974, 439 с.
45 Патрашев А. Н., КивакоЛ. А., Гожий С. И. Прикладная гидромеханика.
М., Воениздат, 1970, 684 с.
46. Петров Б. Н. О построении и преобразовании структурных схем.
Известия АН СССР. ОТН, 1945, № 12, с. Ii46—1160.
47. Погорелов В. И. Газодинамические расчеты пневматических приводов.
Л., „Машиностроение", 1971, 184 с.
48. Попов Д. Н., Мохов И. Г. Границы квазистационарности гидравлических
характеристик золотниковых щелей. Известия вузов. „Машиностроение", 1971,
№ 6. Изд. МВТУ им. Баумана, с. 71—75.
49. Попов Д. Н. О силах сопротивления, возникающих в золотниковых
устройствах. — „Вестник машиностроения", 1958, № 2, с. 26—28.
418

50. Попов Д. Н. Гидравлическое сопротивление трубопроводов при
неустановившемся турбулентном движении жидкости. Известия вузов, „Машиностроение"
1969, № 9. Изд. МВТУ им. Баумана.
51. Попов Д. Н. О расчете трубопроводов при периодическом движении
вязкой жидкости. Сборник научных трудов КНИГА. „Вопросы надежности
гидравлических систем", VI, 1970, Киев, с. 39—48.
52. Попов Д. Н. О влиянии нестационарности профиля местных скоростей на
динамические характеристики длинного трубопровода. Известия вузов.
„Машиностроение", 1968, N° 1. Изд. МВТУ им. Баумана, с. 84—88.
53. Попов Д. Н., Мохов И. Г. Экспериментальное исследование профилей
местных скоростей в трубе при колебаниях расхода вязкой жидкости. Известия
вузов. „Машиностроение", 1971, № 7. Изд. МВТУ им. Баумана, с. 91—95.
54. Попов Д. Н. Обобщенное уравнение для определения касательных
напряжений на стенке трубы при неустановившемся движении вязкой жидкости.
Известия вузов. „Машиностроение", 1967, № 5. Изд. МВТУ им. Баумана, с. 52—57.
55. Попов Д. Н. Влияние люфта в соединении гидромотора с нагрузкой на
частотные характеристики объемного гидропривода. Известия вузов.
„Машиностроение", 1970, № 7. Изд. МВТУ им. Баумана, с. 64—68.
56. Попов Д. Н. Влияние нестационарного сопротивления трубопроводов на
демпфирование объемного гидропривода. Известия вузов. „Машиностроение",
1970, № 6. Изд. МВТУ им. Баумана, с. 99—105.
57. Попов Д. Н., Кравченко В. Г. Исследование неустановившегося
движения жидкости при переходных процессах в короткой трубе. — „Вестник
машиностроения", 1974, № 6, с. 7—10.
58. Попов Д. Н. Распределение местных скоростей по сечению трубопровода в
случае турбулентного движения жидкости с гармонически изменяющимся
расходом. Известия вузов. „Машиностроение", 1969, № 10. Изд. МВТУ им.
Баумана, с. 89—93.
59. Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных
системах. М., „Наука", 1973, 584 с.
60. Проектирование следящих систем. Под ред. Л. В. Рабиновича. М.,
„Машиностроение", 1969, 500 с. Авт.: Рабинович Л. В., Петров Б. И., Терсков В. Г.,
Сушков С. А., Панкратьев Л. Д.
61. Ржевкин С. Н. Курс лекций по теории звука. Изд. МГУ, 1960, 336 с.
62. Ричардсон Э. Динамика реальных жидкостей. Пер. с англ.,М., „Мир",
1965, 328 с.
63. Руднев С. С. Струйное течение. Изд. МВТУ им. Баумана, 1973, 47 с.
64. Сарпкая Т. Экспериментальное определение критического числа Рейноль-
дса для пульсирующего течения Пуазейля. Пер. с англ. В кн. „Теоретические
основы инженерных расчетов". Серия D, 1966, № 3, с. 48—59.
65. Сборник задач по машиностроительной гидравлике. Под. ред. И. И. Ку-
колевского и Л. Г. 'Подвидза. Изд. 3-е. М., „Машиностроение", 1972, 472 с.
66. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М., „Наука", 1970, 492 с.
67. Сергеев С. И. О колебаниях жидкости в трубах при умеренных числах
Рейнольдса. Известия АН СССР. „Механика жидкости и газа", 1966, № 1, с.
168—170.
68. Сосонкин В. Л. Дискретная гидроавтомата к а. М., „Машиностроение",
1972, 164 с.
69. Струйная пневмогидроавтоматика. Пер. с англ. Под ред. В. И. Черны-
шова. М., "Мир", 1966, 382 с.
70. Теория автоматического управления. Под ред. А. В. Нетушила. Ч. I и II.
М., „Высшая школа", 1968 и 1972, 424 и 432 с.
71. Техническая кибернетика. Под ред. В. В. Солодовникова. Теория
автоматического регулирования. Кн. 1, 2 иЗ (ч. I и II). М., „Машиностроение",
1967—1969, 770, 682, 607 и 367 с.
72. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.,
„Наука", 1972, 735 с.
73. Удерман Э. Г. Метод корневого годографа в теории автоматических систем.
М., „Наука", 1972, 448 с.
74. Фабрикант Н. Я. Аэродинамика. М., „Наука", 1964, 814 с.
419

75. Фезандье Ж. Гидравлические механизмы. Пер. с франц. М., Оборонгиз,
i960, 191 с.
76. Френкель Н. 3. Гидравлика. М. —Л., Госэнергоиздат, 1956, 456 с.
77. Хаймович Е. М. Гидроприводы и гидроавтоматика станков. — Киев-М.,
Машгиз, 1953, 336 с.
78. Хаттон Р. Е. Жидкости для гидравлических систем. Пер. с англ. М. — Л.«
„Химия", 1965, 364 с.
79. Хили А. Влияние вентиляционных каналов на динамические
характеристики пропорционального струйного усилителя. Пер. с англ. В кн. „Теоретические
основы инженерных расчетов". М., „Мир", 1968, № 1, с. 100—107.
80. Хинце И. О. Турбулентность. Пер. с англ. М., Физматгиз, 1963, 680 с.
81. Хохлов В. А. Электрогидравлический следящий привод. М., „Наука"
1964, 231 с.
82. Чарный И. А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах.
М., Гостехиздат, 1951, 224 с.
83. Честнат Г., Майер Р. Проектирование и расчет следящих систем
регулирования. Ч. I и II. Пер. с англ. М. —Л., Госэнергоиздат, 1959, 487 и 392 с.
84. Чупраков Ю. И. Основы гидро- и пневмоприводов. М., „Машиностроение",
1966, 160 с.
85. Шульгин В. В., Шабловский А. С. Способ стабилизации характеристики
агрегата управления типа „сопло — заслонка". „Вестник машиностроения",
1968, № 7, с. 18—21.
86. Шимони К. Теоретическая электротехника. Пер. с нем. М., „Мир", 1964,
774 с.
87. Эрнст В. Гидропривод и его промышленное применение. Пер. с англ. M.t
Машгиз, 1963, 492 с.
88. Электрогидравлические следящие системы. Под ред. В. А. Хохлова. М.,
„Машиностроение", 1971, 432 с. Авт.: Хохлов В. А., Прокофьев В. Н., Борисова
Н. А., Гусаков В. И., Чуркин В. М.
89. Schaedel H., Theoretische Untersuchungen an homogenen ubertragungs
eitungen der Fluidik 1. Tail. „Frequenz," 1969, 23, № 12, s. 350—358.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . • . . . 3
Введение » 5
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Глава I. Общие сведения 15
§ 1.1. Автоматическое управление и автоматическое регулирование 15
§ 1.2. Системы автоматического регулирования и управления .... 16
§ 1.3. Классификация систем автоматического регулирования и
управления 19
§ 1.4. Основные элементы регуляторов и управляющих систем. ... 23
Глава II. Уравнения и характеристики систем автоматического
регулирования 25
§ 2.1. Уравнения статики. Статические характеристики 25
§ 2.2. Уравнения динамики. Линеаризация дифференциальных
уравнений динамики 28
§ 2.3. Основные свойства преобразования Лапласа 33
§ 2.4. Передаточная функция 38
§ 2.5. Переходная функция 40
§ 2.6. Весовая функция 44
§ 2.7. Частотные характеристики 46
§ 2.8. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные
характеристики 49
Глава III. Динамические звенья систем автоматического регулирования 53
§ 3.1. Элементарные типовые звенья 53
§ 3.2. Апериодическое звено и форсирующее звено первого порядка 57
§ 3.3. Колебательное, апериодическое и форсирующее второго
порядка звенья 61
§ 3.4. Специальные виды динамических звеньев 69
Глава IV. Структурные схемы систем автоматического регулирования 73
§ 4.1. Соединения звеньев . 73
§ 4.2. Преобразования структурных схем 78
§ 4.3. Замкнутая и разомкнутая системы автоматического
регулирования 80
Глава V. Устойчивость систем автоматического регулирования 85
§ 5.1. Общие положения об устойчивости систем 85
§ 5.2. Алгебраические критерии устойчивости 88
§ 5.3. Частотные критерии устойчивости 90
421

§ 5.4. Применение логарифмических частотных характеристик при
определении устойчивости систем 95
§ 5.5. Методы исследования влияния параметров системы на ее
устойчивость 97
§ 5.6. Устойчивость особых линейных систем 102
Глава VI. Качество регулирования и методы синтеза систем
автоматического регулирования 106
§ 6.1. Понятие качества регулирования .- 106
§ 6.2. Определение переходных процессов по частотным
характеристикам 109
§ 6.3. Оценка качества переходных процессов по частотным
характеристикам v 117
§ 6.4. Оценка качества переходных процессов по степени
устойчивости и по колебательности 121
§ 6.5. Точность систем автоматического регулирования 127
§ 6.6. Синтез систем автоматического регулирования vno
логарифмическим амплитудным характеристикам . 132
Глава VII. Методы анализа нелинейных систем автоматического
регулирования 139
§7.1. Характеристики и уравнения нелинейных элементов 139
§ 7.2. Особенности поведения нелинейных систем и методы их
исследования 143
§ 7.3. Фазовая плоскость и фазовые траектории 147
§ 7.4. Характеристики фазовых портретов 151
§ 7.5. Метод точечных преобразований < . . . 158
§ 7.6. Метод гармонической линеаризации 160
§ 7.7. Определение устойчивости и автоколебаний по частотным
характеристикам 168
§ 7.8. Алгебраический метод определения устойчивости и
автоколебаний гармонически линеаризованных систем ......... 172
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИНАМИКА ГИДРО- И ПНЕВМОСИСТЕМ
Глава VIII. Свойства и характеристики рабочих сред 174
§ 8.1. Свойства рабочих сред 174
§ 8.2. Модули объемной упругости газов 178
§ 8.3. Модули объемной упругости жидкостей 180
§ 8.4. Влияние на модуль объемной упругости жидкости присутствия
нерастворенного воздуха 183
Глава IX. Неустановившееся движение рабочих сред 185
§ 9.1. Гидромеханические задачи динамики гидро- и пневмосистем 185
§ 9.2. Границы устойчивости ламинарного неустановившегося
движения рабочих сред , . 187
§ 9.3. Замкнутая система уравнений неустановившегося движения
рабочей среды 188
§ 9.4. Линеаризованные уравнения неустановившегося движения
рабочей среды в трубе 190
§ 9.5. Передаточная функция для касательного напряжения на
стенке трубы при неустановившемся ламинарном движении среды 196
§ 9.6. Касательные напряжения на стенке и распределение местных
скоростей при колебаниях ламинарного потока в трубе 199
§ 9.7. Гидравлическое сопротивление трубы при ламинарном
неустановившемся движении среды 205
§ 9.8. Приближенная модель турбулентного неустановившегося
потока в трубе 208
422

§ 9.9. Неустановившееся движение рабочих сред в щелях и на
участках труб с местными сопротивлениями 211
Глава X. Динамические характеристики гидравлических и
пневматических линий 213
§ 10.1. Простые и однородные линии 213
§ 10.2. Переходные процессы в линии с сосредоточенными
параметрами при ламинарном движении среды 214
§ 10.3. Переходные процессы в линии с сосредоточенными
параметрами при турбулентном движении среды 217
§ 10.4. Передаточная функция и частотные характеристики простой
линии с сосредоточенными параметрами 219
§ 10.5. Коэффициент распространения и волновое сопротивление. . 222
§ 10.6. Передаточные функции и частотные характеристики линии с
распределенными параметрами при согласованной нагрузке 227
§ 10.7. Частотные характеристики линии с распределенными
параметрами при несогласованной нагрузке 231
§ 10.8. Переходные процессы в линии с распределенными
параметрами при согласованной нагрузке 237
§ 10.9 Переходные процессы в линии с распределенными
параметрами при несогласованной нагрузке • 242
§ 10.10. Влияние нестационарного распределения температур в
потоке на динамические характеристики линии ч 243
Глава XI. Динамика рабочих сред в регулирующих устройствах .... 250
§ 11.1. Основные виды дроссельных регулирующих устройств и их
характеристики » . .. , 250
§ 11.2. Силы, действующие со стороны рабочих сред на элементы
дроссельных регулирующих устройств 262
§ 11.3. Силы, действующие на заслонку, клапан и золотник 266
§ 11.4. Динамика рабочей среды в струйном непрерывном элементе 275
Глава XII. Следящие гидро- и пневмоприводы с дроссельным
регулированием 285
§ 12.1. Уравнения гидропривода с дроссельным регулированием 285
§ 12.2. Структурная схема гидропривода с дроссельным
регулированием 290
§ 12.3. Устойчивость и качество процессов в следящем гидроприводе
с дроссельным регулированием 295
§ 12.4. Влияние сухого трения на устойчивость гидропривода .... 300
§ 12.5. Влияние нелинейной расходно-перепадной характеристики
распределителя на устойчивость гидропривода 305
§ 12.6. Способы обеспечения устойчивости гидроприводов с
дроссельным регулированием 310
§ 12.7. Динамическая жесткость гидропривода с дроссельным
регулированием 318
§ 12.8. Уравнения и передаточная функция пневмопривода .... 321
§ 12.9. Колебания в гидравлических линиях, соединяющих источник
питания с гидроприводом с дроссельным регулированием 326
Глава XIII. Гидроприводы с объемным регулированием 330
§ 13.1. Принципиальная и расчетная схемы силовой части
гидропривода с объемным регулированием 330
§ 13.2. Уравнения и структурная схема силовой части гидропривода 333
§ 13.3. Устойчивость гидропривода с объемным регулированием при
наличии жесткой обратной связи 338
§ 13.4. Влияние нелинейной характеристики подпиточных клапанов
на демпфирование гидропривода с объемным регулированием 342
§ 13.5. Математическая модель силовой части гидропривода с
длинными трубопроводами .••••••••••• 348
423

§ 13.6. Приближенное определение частотных характеристик
силовой части гидропривода с длинными трубопроводами .... 351
Глава XIV. Электрогидравлические и электропневматические
следящие приводы 356
§ 14.1. Общие сведения 356
§ 14.2. Статика и динамика электромеханических
преобразователей 358
§ 14.3. Гидроусилители 363
§ 14.4. Статика и динамика гидроусилителей 367
§ 14.5. Структурные схемы электрогидравлических усилителей . . 373
§ 14.6. Электрогидравлический следящий привод с дроссельным
регулированием 378
§ 14.7. Электрогидравлический следящий привод с дроссельным
регулированием и с дополнительной обратной связью по
расходу жидкости 385
§ 14.8. Электрогидравлический следящий привод с дроссельным
регулированием и с дополнительной обратной связью по
производной от перепада давления в гидроцилиндре 391
§ 14.9. Автоколебания в электрогидравлическом следящем приводе
с дроссельным регулированием 394
§ 14.10. Электропневматические следящие приводы 400
* § 14.11. Электрогидравлические следящие приводы с объемным
регулированием 406
§ 14.12. Переливной клапан прямого действия '410
§ 14.13. Клапан непрямого действия , 413
Список литературы .««••••..,., 417
ИБ № 749
Дмитрий Николаевич ПОПОВ
ДИНАМИКА И РЕГУЛИРОВАНИЕ ГИДРО- И ПНЕВМОСИСТЕМ
Редактор издательства С. И. Булатов
Технический редактор Е. П. Смирнова
Корректор Ж. Л. Суходолова
Переплет художника Е. Н. Волкова
Сдано в набор 12/IV 1976 г. Подписано к печати 28/IX 1976 р. Т-16462. Формат 60x90Vie-
Бумага типографская JNIb 2. Усл. печ. л. 26,5. Уч.-изд. л. 26,7. Тираж 16 000 экз
Заказ № 588. Цена 1 р 16 к
Издательство «Машиностроение», 107885. Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3
Набрано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградском
производственно-техническом объединении «Печатный Двор» имени А М Горького Союзполиграфпрома при
Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли 197136, Ленинград П-136, Гатчинская ул., 26
Отпечатано с матриц в Ленинградской типографии № б Союзполиграфпрома при
Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли, 193144, Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10