/
Author: Коннор Дж. Бреббиа К.
Tags: движение жидкостей гидродинамика физика механика гидромеханика механика жидкостей и газа издательство судостроение
Year: 1979
Text
МЕТОД
КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
В МЕХАНИКЕ
ЖИДКОСТИ
J. J. Connor, CA.Brebbio
Finite
Element
Techniques
for Fluid
Flow
NEWNES-BUTTERWORTHS
LONDON - BOSTON
1977
Дж. Коннор, К.Бреббио
Метод
конечных
элементов
з механике
жидкости
Перевод с английского
Н. Б. ПЛИСОВА
и К. В. РОЖДЕСТВЕНСКОГО
ЛЕНИНГРАД
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«СУДОСТРОЕНИЕ»
1979
км
УДК 532.5.031
Коннор Дж., Б р е б б и а К. Метод конечных элементов в механике
жидкости. Пер. с англ. — Л.: Судостроение, 1979, 264 с.
В предлагаемой книге показана возможность использования метода конеч-
ных элементов в области гидромеханики, в частности при исследовании по-
тенциальных течений и фильтрации вязкой жидкости сквозь пористую
среду, для решения задач о циркуляционных течениях в прибрежных зонах
и др.
Книга предназначена для инженеров и научных работников, специализи-
рующихся в области механики жидкости и ее приложений. Она может быть
полезна студентам старших курсов соответствующих высших учебных за-
ведений.
Ил. 123. Табл. 7. Литерат. 72 назв.
Научный редактор д-р техн, наук, проф. В. А. ПОСТНОВ
„ 31805—027
кйм!ь5Г”-79 ,7ЮИ0000
© Butterworth & Со. (Publishers)
Ltd, 1977. Ail rights reserved.
© Перевод на русский яз., изда-
тельство «Судостроение», 1979 г.
ОТ НАУЧНОГО РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В последние годы метод конечных элементов (МКЭ) стал одним из наиболее
эффективных численных методов решения краевых задач механики сплошных
сред. Широкое использование этого метода в значительной мере объясняется
простой физической интерпретацией основных его вычислительных операций,
наличием машинных программ, обеспечивающих высокую степень автома-
тизации трудоемких операций составления н решения систем вариационно-
разностных уравнений. Большим достоинством МКЭ является также его
исключительная индифферентность в отношении геометрии рассматриваемой
области, краевых условий задачи, законов изменения свойств среды и внеш-
них воздействий на область.
В настоящее время в СССР и за рубежом издан ряд книг, посвященных
МКЭ и его применению для решения задач механики. Однако в них по су-
ществу изложены лишь вопросы использования МКЭ для решения задач
механики деформируемых сред (теории упругости и строительной механики).
Предлагаемая вниманию читателей книга, написанная известными зару-
бежными специалистами-механиками Дж. Коннором й К. Бреббна, представ-
ляет собой, по-видимому, первое систематическое изложение МКЭ для реше-
ния задач механики жидкости и тем самым в значительной степени ликвиди-
рует существовавший в технической литературе пробел по применению МКЭ
для решения задач еще в одной важной области механики сплошных сред —
в механике жидкости.
В книге содержится краткое изложение основных теоретических поло-
жений метода конечных элементов, а также подробно рассмотрено исполь-
зование МКЭ для решения самых разнообразных задач механики жидкости
(течение невязкой н вязкой жидкости в каналах, залнвах н озерах с учетом
геометрии береговой линии, обтекание жидкостью твердых тел, движение
жидкости в пористых средах н различные проблемы, связанные с явлениями
диффузии, конвекции и распада в жндкнх средах и др.).
Книга имеет большую научную ценность, поскольку в ней содержится
обобщение накопленного за рубежом опыта по применению МКЭ к решению
задач механики жидкости. Все основные теоретические положения сопровож-
даются разбором конкретных числовых задач с составлением программ для
вычислительных машин.
Прн переводе книги использована терминология, принятая в отечест-
венной технической литературе. В указатель литературы дополнительно
включены несколько отечественных публикаций.
Кинга будет полезна научным работникам, инженерам н студентам
вузов, интересующимся современными численными методами решения задач
механики жидкости.
В- А. Постнов
5
ОТ АВТОРОВ
До недавнего времени метод конечных элементов использовался почти исклю-
чительно в строительной механике, но сегодня все больше осознаются воз-
можности его применения и в других областях прикладной науки, особенно
в механике жидкости.
В книге в доступной форме изложены последние достижении в этой
области. Авторы ставили целью создать учебник, по которому студенты могли
бы легко заниматься самостоятельно. Последняя часть книги несомненно
будет полезна научным работникам.
От основных принципов, изложенных в главе 1, и простейших понятий
метода конечных элементов, данных в главах 2 и 3, читатель шаг за шагом
перейдет к более сложным приложениям метода. Для облегчении усвоения
материала в книгу включена глава 4 «Основные законы и уравнения меха-
ники жидкости», ознакомление с которой не обязательно для читателей,
знающих гидромеханику. Глава 5 посвящена решению задач о потенциаль-
ных течениях, а в главе 6 рассмотрены задачи фильтрации визкой жидкости
сквозь пористую среду; оба типа задач хорошо поддаются решению на основе
метода конечных элементов и представят интерес для инженеров, математи-
ков-прикладников и физиков. В последних главах представлены решения
более сложных задач. В главе 7 показано использование метода конечных
элементов применительно к задачам о циркулиционных течениях, в главе 8
рассмотрено, решение уравнения переноса массы, а в главе 9 прослежены
пути исследования нестационарных потоков несжимаемой жидкости.
Авторы выражают благодарность всем, кто содействовал появлению
этой книги, особенно коллегам по научно-исследовательской работе Р. Ади,
Дж, Роденусу, С. Смиту и Дж. Уэнгу,
Саутгемптон, 1976
ГЛАВА 1
МЕТОДЫ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК
И ВАРИАЦИОННЫЕ
§ 1.1.
Основные определения
Рассмотрим некоторые основные определения и свойства последо-
вательности функций вида
А (х), ф2 (х), фз (х) . . . фп (х). (1.1)
Предполагается, что функции удовлетворяют некоторым задан-
ным условиям, которые называются условиями допустимости (или
совместности), и связаны с граничными условиями и' степенью
непрерывности. Эти условия рассмотрены более подробно в конце
данного параграфа.
Если можно составить линейную комбинацию функций, напри-
мер
0 = а01 + ₽02, 0-2)
то такие функции называют элементами линейного пространства /?
и для них справедливы следующие свойства:
01+ 02 = 02+ 015
(а + р)ф = а0 + рф; (1.3)
a (0J + ф2) = afa + аф2,
где аир — числовые коэффициенты.
Скалярное произведение функций фг и 02, обозначаемое
<01,02>. (1-4)
представляет собой операцию над ф1 и 02 вида
<0!, 02>-=J 0i(x)02(x)dx (1.5а)
или
t
<01> 02>C = J 01(^--т)02(т)(1т. (1.56)
7
Второе определение называют сверткой. В дальнейшем будет ис-
пользовано только скалярное произведение первого типа. Для
действительных функций скалярное произведение обладает следую-
щими свойствами:
<01, 02^>— <02. 01>»
«<01, 02> = <«01, 02>:
<01. 0г + 03> = <01.08> + <01. 03>;
<01( 01>>О, если фг =/= 0;
= 0, если 0J = 0,
(1.6)
где ф1 = 0 — нуль-функция в пространстве R.
Мера (норма) функции ф обозначается через ||0|| и определяется
зависимостью
||0|| = V<0.0>. (1-7)
Система функций (1.1) будет линейно-независимой, если равен-
ство
«101 + «202 + «303 + • • • + ^пФп = 0 (1.8)
возможно, когда все числовые коэффициенты а( равны нулю.
Последовательность линейно-независимых функций считается
полной, если можно найти такое число N и набор постоянных ait
при которых для произвольной допустимой функции и того же
пространства R справедливо неравенство
N
и—^а^
i=l
(1-9)
для любой наперед заданной малой величины е. При этом функции
ф( называют базисными, аа( — коэффициентами Фурье.
Если нормированные базисные функции взаимно ортогональны,
то
<0о 0/>=О при V/,
(1-10)
<0i> 0i> = 1-
Каждый добавочный член в линейно-независимой и полной
последовательности ф1 приводит к появлению дополнительной
постоянной а{. Для TV-го приближения имеем
N
1=1
Таким образом,
II Ц(Л°|| || и || при (1.11)
Норма функции ц(ЛГ) для взаимно ортогональной последова-
тельности (заметим, что любая линейно-независимая последова-
8
тельность неортогональных функций всегда может быть заменена
системой нормированных ортогональных функций) равна
Г ( N N \
II II = У =
= 1/^(2 0;>}, (1-12)
и так как <ф1г Ф,> = 0 при i =/= /, то
1|иП=]/{2«г<й,й>). (из)
Поскольку каждый член в сумме, входящей в формулу (1.13),
положителен, то ||«(JV)|| приближается к ||и|| снизу при увеличении
М:
1|«(Л,)||<||и(А()||< ||«|| при N<M. (1.14)
Определим оператор L ( ) как действие, которое при приме-
нении его к данной функции и приводит к появлению некоторой
другой функции р:
L(u) = p. (1.15)
Оператор линеен, если
L (аи1 + 0«jj) = aL (uj + $L (u2).
Это определение является общим как для алгебраических, так
и для дифференциальных операторов.
Для оператора могут быть определены свойства, аналогичные
свойствам симметрии и положительной определенности матриц.
Рассмотрим квадратную матрицу а = 1а{/ ]. Можно говорить
о симметрии а, если а7 = а, где а7 (результат транспонирования а)
образуется при замене местами строк и столбцов матрицы а. Сим-
метрия матрицы обеспечивается при соблюдении равенства ац =
= ati. Другое определение свойства симметрии дается равенством
<у, ах> = <х, ау> (1.16а)
для произвольных векторов х и у. С учетом того, что (Ьс)г = сгЬ7.
можно получить
<у, ах>=угах, (1.166)
<х, ау> =х7ау = у7а7х. (1.16в)
Отсюда следует, что требование (1.16а) эквивалентно равенству
а7 = а. Заметим, что определение свойства симметрии матрицы
9
с помощью равенства (1.16а) более удобно при его распространении
на операторы. Положительная определенность определяется так:
<х, ах> > 0 (1.16г)
для всех х. Нуль в правой части получаем, если х — нуль-вектор.
Это свойство является чрезвычайно ценным при выборе схемы
решения, а также при получении вариационных формулировок.
Рассмотрим с учетом введенных выше понятий задачу, представ-
ленную системой однородных уравнений во внутренней области V:
L(u) = 0, xEV. (1.17)
Составим скалярное произведение оператора L (и) и другой
функции, например V. Операции транспонирования матрицы
в выражениях (1.166), (1.16в) в данном случае эквивалентны инте-
грированию по частям произведения <_L (и), v>, до тех пор пока
не будут исключены производные и. Это приводит к «транспониро-
ванной» форме скалярного произведения, а также к граничным
условиям. Результат запишем в виде
<L(u),v> = <«, L*(v)>+^F(v)G(u)-F(u)G*(v)) dS, (1.18)
s
где S — ограничивающая поверхность; F и G — дифференциаль-
ные операторы, форма которых определяется естественным образом
в ходе интегрирования по частям.
По определению F (и) содержит члены с V, появляющиеся
на первой стадии интегрирования по частям, a G (и) — соответст-
вующие члены с и. Ниже приведены некоторые примеры, иллю-
стрирующие эту операцию. Оператор L* называется сопряженным
по отношению к оператору L. Если L* = L, то говорят о самосо-
пряженности оператора L. В этом случае G* = G. Самосопря-
женность оператора аналогична свойству симметрии матрицы.
В ходе интегрирования по частям не только выясняется, является
ли оператор самосопряженным, но и порождаются две категории
граничных условий. Задание F (и) определяет так называемые
главные граничные условия, а задание G (и) — несущественные
или естественные граничные условия. Можно задать любой из двух
типов граничных условий на поверхности, ограничивающей об-
ласть. Однако главные граничные условия необходимо выпол-
нить в некоторой точке, чтобы обеспечить единственность реше-
ния. Полагая $! и S2 взаимно дополняющими частями полной
поверхности S, можно сформулировать граничные условия для
самосопряжейной задачи (L* — L) в виде
F (и) задан на
G(u) задан на S2, 0-19)
где S! + S 2 = S.
Свойство положительной определенности самосопряженного опе-
ратора определяется требованием выполнения неравенства
<L(u), и>>0 (1.20)
10
для всех нетривиальных и, которые удовлетворяют однородным
граничным условиям.
Положительная определенность оператора L устанавливается
путем интегрирования скалярного произведения, до тех пор пока
в нем не останутся только произведения производных одного по-
рядка. Эта операция представляет собой среднюю стадию преобра-
зования L в L*, т. е. уравнение (1.18).
Пример 1.1. Рассмотрим
L(u)
(Pu
"dip'
0<х<1.
(О
Образуя скалярное произведение и интегрируя, получаем
dx =
du I1
v---- — .
dx |o
dv
dx
du
dx
dx =
du
v----
dx
dv
и-----
dx
(2)
Используя обозначения, приведенные в формуле (1.18), запишем
F (и) = и,
G (и) = du/dx, G* (у) = dv/dx,
L* - L, (3)
и оператор является самосопряженным. Главное граничное условие состоит
в задании и, а естественное граничное условие — в задании du!dx.
Если вернуться к уравнению (2) и принять v = и и однородные гранич-
ные условия, то интегрирование по частям даст
1 1
uL (и) dx = — j dx. (4)
о о
Тогда L (и) = d'uldx' есть отрицательно определенный оператор.
Теперь рассмотрим оператор более общего вида:
, . . <Р [ <Ри \ d I du \
L = TV Г1 (х) TV + T~ H (х) Т~ +
dx' \ dx' ) dx \ dx ]
+ a3(x)u, 0<х<1. (5)
Первое интегрирование по частям приводят к результату
(*,... f ( d'u d'v du dv ) . ,
I vL(u) dx = 1 ai —— — ------o2—-----— +a3ut> ldx +
J J ( dx' dx' dx dx )
о о
11
Продолжив эту операцию, можно найти, что L* = L. Граничные члены
следуют из рассмотрения уравнения (2):
— главные граничные условия
[ Л (и) = «.
заданы | Ft(u) =
* dx
(7)
— естественные граничные условия
заданы
„ . . d I <Ри
<?!(“) = — «1 —
ах \ dx*
d*u
Сг(и)~ _01——.
dx*
du
(8)
С учетом уравнения (2) можно записать
1
П/ d*u \ * / du \ 2 1
«11-—-) — «г —) +вз«* dx (9)
\ “X1 / \ dx / )
для случая, когда и удовлетворяет однородным граничным условиям. Если
Oj н а3 больше нуля, аа2<0иа интервале 0 < х < 1, то оператор, очевидно,
является положительно определенным. Для оператора вида
L (и) =
<Ри
du
dx
(Ю)
получим
о
vdx =
dv
dx
udx +
(И)
Оператор не является самосопряженным из-за наличия члена с первой
производной. Нечетные производные приводят к антисимметричным членам
в L* и G*. Главные граничные условия определяются заданием и, а естествен-
ные граничные условия в данном случае заключаются в задании duldx.
§ 1.2.
Методы взвешенных невязок
Методы взвешенных невязок представляют собой численные про-
цедуры построения приближенного решения системы дифферен-
циальных (или интегральных) уравнений вида
L(u0) = p, x£V (1.21)
с граничными условиями
f(«o) = g. (1.22)
где х — пространственные координаты xlt х2 и х3; S — внешняя
граница области; и0 — точное решение.
12
Функция и0 аппроксимируется набором функции фк (х):
N
и = ^<ЧФь, (1.23)
fe=i
где аА — неизвестные параметры; фк — линейно-независимые
функции, принадлежащие к полной последовательности.
Сначала потребуем, чтобы эти функции удовлетворяли всем
граничным условиям задачи [уравнению (1.22)] и обладали нуж-
ной степенью непрерывности, при этом левая часть уравнения (1.21)
была бы отличной от нуля. Процедура смягчения требований удо-
влетворения граничным условиям обсуждается в следующем пара-
графе.
Подстановка выражения (1.23) в уравнение (1.21) дает функ-
цию ошибки е, которую называют невязкой:
e = L(u)—р^О. (1.24)
Отметим, что при точном решении величина е равна нулю.
Стремятся, чтобы ошибка была равна нулю в среднем, полагая
равными нулю интегралы, взятые от невязки с некоторыми весовыми
функциями:
<8, и^>=0, » = 1,2, . . . , N, (1-25)
где wt — набор весовых функций.
Рассмотрим некоторые методы взвешенных невязок, а затем
обсудим метод Галеркина.
Метод коллокаций. В этом методе дифференциальные уравне-
ния удовлетворяются только в некоторых выбранных точках. Для
заданной аппроксимирующей функции
« = 5 (1-26)
k= 1
имеем
8 = i(«)-p = 2«t4W-p. (1.27)
А=1
Параметры определяются, если потребовать выполнения равен-
ства е = 0 в N точках области. Можно записать эти условия в такой
же форме, как (1.25), вводя функцию Дирака А (х;), с учетом того,
что A (х;) — 0 для х вне интервала х( ± с и
х(+с
J A(x4)dx= f Atdx=l, (1-28)
Xf-c Xt-C
где c — малая величина (при точечной коллокации с—>-0).
Тогда коллокация эквивалентна операции
<8, А(> = р, А<> = 0, » = 1,2, .... N. (1.29)
13
Пример 1.2. Рассмотрим следующее уравнение второго порядка
иа промежутке 0 < х < 1:
£(«)—р =-^- + «+*=0 (1)
dx*
с граничными условиями
и = 0 при х = 0,
и = 0 при х = 1.
Возьмем аппроксимирующую функцию в виде выражения
u = x(l —x)(ai + a2x+...), (3)
удовлетворяющего граничным условиям при любых aj.
Если в аппроксимации удержать только два члена
u = x(l — xXai + ajX), (4)
то ошибка
е= L (и)— р = х + (— 2 4-х— х*) aj-f-(2 — 6х + х*— Xs)а,.
Выберем точки х = 1/4, х = 1/2 в качестве точек коллокации. При
этом «1, а2 определяются из уравнений
(5)
29
16
7
4
(6)
Решение (6) дает
6
<Х1~ 31 ’
“ = (42 + 40х)'
40
а» =------,
217 ’
(7)
Сравнение полученного приближенного результата с точным решением
sin х
Иточн —-----------X
sin 1
(8)
удобно производить по следующей таблице:
X иприбл иточн
0,25 0,045 0,044 014
0,50 0,071 0,069 747
0,75 0,062 0,060 056
Метод наименьших квадратов. В этом методе берется скаляр-
ное произведение ошибки на саму себя и требуется, чтобы получен-
ная таким образом некоторая величина F была минимальна. Записы-
вая функцию ошибки в виде
e = L(u)—р, (1.30)
14
определяем F следующим образом:
f= <е, е> = <L(u)—р, L(u)—р>- (1.31)
Принимая аппроксимирующую функцию в виде
N
и= (1.32)
Й=1
минимизируем F дифференцированием по а,:
2^_ = 0, i = l,2.......N. (1.33)
дсц
Это дает
-^ = -^- <е, е> = -?- {<L (2 акфк), L (2 М*)> -
д<ц дсц дщ
-2<L(2a^,p> + <p,p>}. (1.34)
Если L — линейный оператор, то уравнение (1.34) упрощается
и принимает следующий вид:
2 <L (2 Ш L(фс)>-2<1(фс), р>=0. (1.35)
или
<L(2 а^-р, £(&)>=(). (1.36)
Пример 1.3. Рассмотрим уравнение нз примера 1.2. В этом случае
возьмем аппроксимацию второго порядка
u = x(l—x)a1 + x*(l—x)ai. (1)
Тогда
в = х-Н— 2 + х— хЧ'ъ + р — 6х + х*— х3)аа. (2)
Составляя скалярный квадрат в и мнннмнзнруя его по аг н аа,
получаем
j в ( — 2 + х — х1) dx = О,
1
j* в (2 — 6х + х«— x3)dx = 0. (3)
о
После ннтегрнровання выражении (3) запишем систему уравнений
относительно и аа
202 101 I Г ах 55 |
101 1532 ( аа J I 393 )’
решение которой дает
а1я:0,192, ааа 0,165. (5)
В приведенной ниже таблице это решение сравнивается с точным резуль-
татом.
X ^прибл ^ТОЧИ
0,25 0,043 0,044 014
0,50 0,068 0,069 747
0,75 0,059 0,060056
15
В обычном методе коллокаций число точек равно числу неиз-
вестных параметров. Можно распространить метод на случай,
когда число точек превышает число неизвестных. При этом пара-
метры щ определяются при минимизации в среднеквадратичном
смысле.
Ошибка
R = L(u)~p (1.37)
оценивается в М точках, где М > N, а функция F, представляю-
щая собой сумму е2 в М различных точках, может быть записана
в виде
F — <{L (и)—р}\ Дт>, (1.38)
где Дт — функция Дирака, определенная ранее (т = 1.....М).
Минимизируя выражение (1.38), для t-ro уравнения (t = 1,
2, . . ., N) получаем
<{£(«)-р} Дт> = 0. (1.39)
Если L есть линейный оператор, то уравнение (1.39) примет
вид
<{L(2at0t)-p}L(^),Am>=O,i = l,2...........N. (1.40)
Выражение (1.40) дает симметричную систему уравнений.
Пример 1.4. Рассмотрим пример 1.2 с соответствующими гранич-
ными условиями и аппроксимирующей функцией
и = х (1 — х) («J + а^х). (1)
Невязка равна
е = х + ( — 2 + х — х’) ах + (2 — 6х + х’ — х3! а, (2)
или
е = х + L (фг) at + L (фг) а,.
Теперь подсчитаем невязку в трех точках хг = 1/4, х3 = 1/2, xs = 3/4.
Это дает
Bi L L (ф2)1 е2 ' ~ L (Ф1)г L- (Фг)г 8з . L (Ф1)з L (Фг)з . Отсюда 29 35 16 64 е1 ] 7 7 е» } 8 4 8 ез ) 29 151 со" «в/ * > - —< 1 — см со 1 * * Н 1 | III 1 1 8 » » к—'
16 64 4
где L ( ); указывает на то, что функция L ( ) вычисляется в точке х<
(1 = 1, 2, 3).
16
Составление квадрата невязки и последующая минимизация по парамет-
рам «! и а2 приводят к получению следующего матричного уравнения:
L (Ф1)1 L (,Ф1)г L (Ф1)з
. L (Фг)1 L- (Фг)г L (Фз)з .
- Цф^Ь (ф^ -
($1)2 L (Фг)г
_ L- (Ф1)з L- (Фг)з _
(04!
I «2 /
Откуда
или
(Ф1)1 L (Ф1)г (Ф1)з
L- (Фг)1 L (Фз)з L (Фз)з .
— Xi
— Х2
— Х3
29
29 7 29 1 16
16 4 16 7
35 7 151 4
64 8 64 29
16
29____7_29
16 4 16
35____7_ 151
64 8 64
35 ~
64
7
’ 8
151
64
4
2
2
4
= 0
(4)
9,66 4,82 ( «! 1 _ ( 2,69 |
4,82 6,61 J I Oj J 1 2,06 ]'
(5)
Решение уравнений (5) дает вц = 0,192, а2 = 0,172. Результаты при-
ближенного и точного решений сведены в следующую таблицу:
X Иприбл Мточи
0,25 0,044 0,044 014
0,50 0,069 0,069 747
0,75 0,060 0,060 056
Метод моментов. Для заданной системы уравнений
<е, w(> =0, i = 1, 2, .... N (1.41)
в качестве весовых функций wt можно использовать любой набор
линейно-независимых функций из полной последовательности.
Простейшим набором функций для одномерной задачи является
ряд
1,х, х2, х3, . . . (1.42)
17
При этом обеспечивается обращение в нуль моментов невязки
более высокого порядка:
<е, х‘> =0, i = 0, 1, 2, . . .
(1.43)
Эта процедура называется методом моментов.
Пример 1.5. Функция ошибки из примера 1.2 ортогонализируется
по отношению к 1 и х:
1 1
eldx=0, fexdx=0.
о о
Подстановка е в виде
е= «1( — 2+ х—х*) +0,(2 —6х +**—**)+*'
в систему уравнений (1) дает
11 11
6 6
11 19
22 20
(1)
(2)
(3)
1
2
1
3
Значения «J иа2, а также сравнение приближенного результата с точным
решением приведены ниже:
122 110
И1 649 ’ 649 ’ (41
X Нприбл иточн
0,25 0,043 191 0,044 014
0,50 0,068 181 0,069 747
0,75 0,059 084 0,060056
Метод Галеркина. Метод Галеркина представляет собой частный
случай метода взвешенных'невязок, в котором весовые функции
совпадают с базисными.
Пусть даны система уравнений
L(u)—р = 0, x£V,
F(u)—q = O, x£S (1-44)
и аппроксимирующая функция
N
и = (1.45)
удовлетворяющая граничным условиям F (u) — q (S), xgS. Не-
вязка
e = L(Saft0A)—Р (1-46)
ортогонализируется по отношению к базисным функциям ф£:
<е,ф{>=0, i = l,2.........N. (1.47)
18
Отсюда
J{L(2a^)-p)0(dVrO, t —1,2,
Если L — линейный оператор, то система (1.47) переходит
в систему линейных уравнений относительно коэффициентов ak.
Заметим, однако, что метод Галеркина в равной степени приме-
ним и к нелинейным задачам.
Пример 1.6. Использование метода применительно к уравнению
в примере 1.2 приводит к следующим интегралам:
| ex (1 —х) dx = 0;
о
(1)
| ex’ (1 — х) dx = 0.
о
Интегрируя зависимости (1) и решая полученную при этом систему
уравнений относительно ах, аа, найдем
(2)
Приближенное решение имеет вид
и = х(1
71
369
(3)
дано
Сопоставление приближенных результатов с точным решением
в таблице:
X «прибл «точи
0,25 0,044 0 0,044 014
0,50 0,069 8 0,069 747
0,75 0,060 0 0,060 056
В противоположность другим методам взвешенных невязок,
в которых ошибка ортогонализируется по отношению к набору
функций, отличных от базисных, в процедуре метода Галер кина
в качестве весовых функций принимаются базисные функции.
В дальнейшем будет показано, что такой выбор весовых функций
придает методу Галеркина физический смысл во многих приклад-
ных задачах.
19
Рассмотрим условия ортогональности
J{L(u)—p)0(dV = O, i—1,2..........N. (1.48)
Если учесть, что
би = ба^ + 6ot20a +. . . + &аыфы, (1.49)
где ба, — произвольные приращения, то систему уравнений (1.48)
можно переписать в виде условия
j(L(u)— p)6udV = 0, (1.50)
справедливого при произвольной вариации би. Здесь имеется в виду
эквивалентность произвольного би приращению ба£ф£ для i = 1,
2, . . ., N. Используем это эквивалентное обозначение, т. е. усло-
вие (1.50), только в изложении метода Галеркина.
Рис.'1.1. Двухмерная область для
уравнения Пуассона
а Ь
С С !дг“ L1
)Л5*+;
Пример 1.7. Рассмотрим урав-
нение Пуассона
д*и дги
— 4~ — =с (1)
дхг ду*
с условиями и = 0 при х = 0, х — а и
у ~ 0, у = Ь (рис. 1.1). Можно взять
в качестве первого приближения функ-
цию
и = ах (х— а) у (у—Ь). (2)
Следуя методу Галеркина, запишем
---с) budxdy = 0, (3)
/
где би = бах (х —а) у (у Ь).
После подстановки выражения (2) в равенство (3) находим
— fa’ft3 (а* 4- i2)] — = 0,
90 36
5 с
а --------------.
2 a2 + i2
Следовательно,
“ = (** — ах) (у* — by),
a* -f- Ьг
(4)
(5)
(6)
Вычисляя функцию и по формуле (6) в центральной точке х = а/2, у =
= 6/2, получаем
5 а*Ь*
— с---------.
32 а2 4- Ьг
(7)
Решим тот же пример с использованием для аппроксимации и тригоно-
метрических рядов. Учитывая симметрию области, положим
S°° v • knx 1пУ
a*/ sin--sin —— . (8)
*=u=i a b
20
Это выражение удовлетворяет граничным условиям. Кроме того, синусо-
идальные функции взаимно ортогональны, т. е.
а
Г . тпх . пях . п
| sin----sin----dx = 0 при т =# п,
а
a
О
а
= — при т = п.
2
После подстановки выражения (8) в уравнение (3) с учетом ортогональ-
ности получим
(9)
a b
. , kn .. lit . .
sin2 —ж sin2— ydxdy —
a b
а“} J U
о о
а b
И. kn .In . п
csm — ж sin — ydxdy = 0.
a b
(10)
Из этого уравнения после интегрирования найдем
16 а2*2
аь> = --------------------
n*kl (й2Л2 + а2/2)
c.
(11)
Заметим, что в силу ортогональности базисных функций коэффициенты
a.hl находятся непосредственно без решения системы уравнений. Прибли-
женное решение имеет вид
и
16а*Ь* . knx Iny
------------------sin------sin —--.
n*kl (Ьгкг + a2/2) a b
(12)
Когда число членов рида бесконечно, получаем точное решение. Дли
случая а — Ь значение функции в центральной точке (ж = а/2, у = 6/2)
составит
«с =
а2 36,64 /а Xs
— с =---------I — с.
я4 л4 \ 2 /
(13)
§ 1.3
«Слабые» формулировки
В разобранных выше примерах рассматривался случай самосопря-
женных операторов и граничных условий, совпадающих с главными
граничными условиями. Методы взвешенных невязок применимы
к произвольным операторам и граничным условиям. В настоящем
параграфе рассмотрим общую процедуру постановки задач на ос-
нове этих методов, в которой допускается лишь частичное удовлет-
ворение граничных условий и, что особенно важно, использование
базисных функций с пониженной степенью непрерывности. Однако
сначала необходимо ввести классификацию степеней непрерывно-
21
сти функции. Рассмотрим функцию и (х), заданную в области V
и изображенную графически на рис. 1.2. Функция хотя и имеет
разрывы в дискретных точках, но конечна во всей области. Ее
норма удовлетворяет условию
||u||0 = JuW< СО. (1-51)
Все функции, удовлетворяющие условию (1.51), т. е. интегри-
руемые с квадратом, относят к функциональному пространству Л2.
Это пространство содержит большинство функций, подлежащих
рассмотрению в данной книге.
Наложение ограничений на непрерывность производных приво-
дит к подмножеству пространств, которые называют простран-
ствами Соболева. Пространство ' содержит все функции, у кото-
рых дополнительно квадрат первой производной интегрируем.
Рис. 1.2. Функции с разрывами первого рода
Определяющим для таких функций является условие (для одномер-
ных функций)
(1.52)
Верхний индекс при W показывает порядок старшей конечной
производной, а нижний индекс относится к квадратичной оценке
нормы. Пространства более высокого порядка определяются ана-
логичным образом. Например, пространство содержит все
функции, удовлетворяющие условию
||"И«=(7«а+ ЙУ+ГЙ-У) (1-53)
Примеры функций из пространств и показаны на
рис. 1.3. Отметим, что дифференцирование понижает порядок
пространства. Если и принадлежит к U722>, то duldx — к
Данные выше определения можно распространить на двух- и трех-
мерные задачи, заменяя скалярные операторы произведениями
векторов.
Вернемся к решению дифференциального уравнения
L(u)—р = 0, x£V,
22
подчиненного граничному условию
F(u)—g = 0, x£S.
Предположим, что L — оператор n-го порядка, а функции png
принадлежат пространству Кроме того, не будем разделять
главные и естественные граничные условия. Таким образом, F (и)—g
может представлять собой комбинацию главных и естественных гра-
ничных условий на внешней границе. Это будет проиллюстрировано
в дальнейшем на примерах. Классическое решение есть функция,
Рис. 1.3. Функции с интегрируемым квадратом первой W^(a)
и второй (б) производной
принадлежащая к пространству и удовлетворяющая усло-
виям
e = L(u)—р = 0 для всех x^V
и
ев = F (u)—g = 0 для всех x£S.
В традиционных методах взвешенных невязок, описанных в пре-
дыдущем параграфе, решение аппроксимируется выражением
и = ив 4- 2 а,Ф/, (1 -54)
где ив удовлетворяет граничному условию
F(uB)-g = 0, x£S, (1.55)
23
а ф, есть функции, принадлежащие к пространству базисных функ-
ций и удовлетворяющие однородным граничным условиям
Г(ф/) = 0, 7 = 1,2...N, x'£S. (1.56)
Требуемый порядок пространства базисных функций опреде-
ляется порядком Тир. Такой выбор аппроксимации приводит
к равенству гв = 0 на границе. Мерой ошибки является скалярное
произведение невязки и «пробной» (весовой) функции w:
Мера ошибки = <е, = J (L (и)—р) wdx.
v
При смягчении требований к непрерывности функции, т. е.
понижении порядка функционального пространства, получим «сла-
бое» решение. Слабое решение называют обобщенным, если можно
доказать его единственность. Оптимальной формой слабого решения
является такая, при которой пространства базисных и весовых
функций совпадают. Под оптимальностью в данном случае пони-
мается равновесие между единственностью и существованием.
Методы взвешенных невязок интерпретируем как специфическую
численную процедуру для получения слабых решений. Чтобы
показать, как могут быть ослаблены требования к непрерывности,
изучим следующее уравнение второго порядка:
L(u)—р = -~ + и—х=0 (1.57а)
с главным граничным условием
u = f при х = 0 (1.576)
и естественным граничным условием
—— — g ПРИ х=1. (1.57в)
dx
Потребуем, чтобы приближенное решение удовлетворяло глав-
ному граничному условию, а весовая функция — однородной
форме главного условия, т. е.
u = f при х = 0, ш = 0 при х = 0. (1.57г)
Можно записать следующую формулировку
!(5-+“Ч^+1(г--згМ.-.=0' (1-57д)
О
где и»ЕЬ2, а т. е- функция и и ее первая производная
непрерывны.
Интегрируя уравнение (1.57д) по частям, получаем
1
П(« —x)w — -^--^-ldx + |goy|x=i = O, (1.57е)
J ( dx dx J
о
где и и т. е. непрерывна только сама функция и.
24
Интегрируя еще раз, находим
J{(“ —x)a; + u-^J dx +
о
dw I1 л
gw—и——I =0,
dx |o
(1.57ж)
где uQ L2, a w £
Схема (1.57e) наиболее широко распространена. Отметим, что
в методе Галеркина базисные и весовые функции совпадают и можно
заменить w на Su [см. уравнение (1.50)1.
Пример 1.8. Рассмотрим уравнение второго порядка
(Ри
L(u)— р = — + и + х = 0 (1)
dx2
с граничными условиями
и (0) = 0 прн х = 0,
du(l) о
—- 0 прн х = 1.
dx
Сначала рассмотрим приближенное решение, удовлетворяющее обоим
граничным условиям, т. е.
и<» = а<»х (1 -= а'1^. (2)
Невязка, равная
е(1)= — а(1) + а(|)(х —^ + х, (3)
ортогонализируется по отношению к ф! по методу Галеркина:
fe(Dx[l----—]dx = 0. (4)
о \ 2 '
Отсюда, если учесть выражение (3), получаем
а(1) = —. (5)
24
Теперь будем аппроксимировать и, тождественно удовлетворяя условию
и (0) = 0, в то время как условие для du/dx прн х = 1 выполним лишь в ос-
реднением смысле. Соответствующий интеграл можно записать в виде
+ « + х
budx +
du 1 .
g~— би
dx
= 0.
(6)
Отметим, что
du п
— = 0 при х =
dx
Примем
в нашем случае g = 0, т. е. мы хотим наложить условие
1.
а<2> = а(2)х + р<2>х2 = a<2>0! + 0<2>ф2.
(7)
25
Следовательно,
^ = а<2> + 2р<2>х.
Теперь найдем невязку в области 0 — 1
е(2) = 2р(2) + а(2)х + р(2)х2 + х
и невязку на границе
[du '
еВ~ ~
[dx J
= а(2) + 2р<2>
и проведем ортогонализацию по отношению к ф, и фг. Это дает
= 0,
= 0.
о
После выполнения интегрирования из этих уравнений можно
Отсюда
(8)
(9)
(Ю)
получить
(11)
(12)
Результаты первого и второго приближений можем сопоставить по таб-
личным данным:
X U(D du<" dx u(2) du*2» dx
0,5 1,00 25 64 25 48 0,0 107 278 77 139 17 139
Отметим, что во втором случае
— | ¥=0,
1х=1
но при увеличении числа базисных функций решение все в большей степени
будет удовлетворять граничному условию du/dx = 0.
26
Пример 1.9. Рассмотрим случай призматической балки на упру-
гом основании, для которой уравнение равновесия (рис. 1.4) имеет вид
Ctd*V , L /11
El — + kv= р, (1)
dx*
где Е — модуль нормальной упругости материала; / — момент инерции
поперечного сечения балки; k — коэффициент жесткости упругого основания;
р — распределенная по балке нагрузка.
Следуя методу Галеркина, можно применить следующую формулировку
задачи:
I
Р ( d* v 1
I IEI-----h kv — pldvdx = 0. (2)
I I dx* J
Рис. 1.4. Призматическая балка
на упругом основании
Дважды интегрируя по частям первый член этого выражения, найдем
Y tPv dbv d3v .. ]* 1 п /о»
— \Е1---------El — ov =0. (о)
[ dx* dx dx3 |x=0
Предположим, что граничные условия задачи таковы:
при х = 0; I М = Е1 = 0 или = 0
dx3 dx
и
Q= —£/^^ = 0 или 6и = 0. (4)
dx3
Тогда уравнение (3) упрощается и принимает вид
С (d^O ('dx^') ^Х Г J— Jpbvdx = 0.
0 0 0
(5)
Уравнение (5) есть выражение принципа возможных перемещений для
рассмотренного варианта граничных условий. Предположим, что функция о
удовлетворяет граничным условиям для v и dv/dx (главные граничные усло-
вия). Тогда на свободном конце балки (это более общий случай) требуется
наложить условия
r./d’o 77 -,(Pv п
El — = М и —EI— = Q,
dx3 dx3
(6)
где М и Q — известные изгибающий момент и перерезывающая сила.
27
Например, в случае свободно опертого конца полагаем биаО н должны
выполнить условие
Е1- = М-
dx3
(7)
Выражения для невязок по граничным условиям для общего случая
свободных концов балки имеют вид
В I dx3 Г
е' = l—Ef — -<?).
I dx3 I
(8)
Первую граничную невязку необходимо умножить на угол поворота,
а вторую — на перемещение. Таким образом, вместо уравнения (2) прихо-
дим к расширенной формулировке метода Галеркина:
I
+ —pl dvdx — (ЕI q\ 6v —
JI dx3 ) L\ dx3 )
o
ddtT x~1
dx L=o ’
(9)
Дважды интегрируя первый член по частям, получаем
l l I
Г /d2v\/d2iv\ Г _ f , Г^. -Г74бо1*=г /1П.
I El (— ---- dx 4- I kvovdx = \ povdx 4- Qov + М — . (10)
J \dx3/ \dx3 / ,) J L dx J*=o
о oo
Это новое выражение дает нам возможность аппроксимировать естест-
венные граничные условия (6). Граничные условия для v и dvldx называются
главными и удовлетворяются точно прн выборе выражений для функции v
(следовательно, величины бои d6v/dx тождественно равны нулю). Отметим,
что в новой формулировке (10) базисные функции могут иметь непрерывность
ниже, так как теперь приходится работать с производными второго
порядка вместо производных четвертого порядка в формуле (2).
Пример 1.10. Изучим случай фильтрации в гранулированном
грунте, который сводится к потенциальной задаче. Из закона Дарси для
плоского течения в изотропном грунте следует
„ди „ди
vx=K—, vy=K—, (1)
dx ду
где и — напор; vx и vy — проекции скорости в направлениях х и у, К —
постоянная, характеризующая свойства грунта и называемая коэффициентом
Проницаемости.
Если заключенный в порах объем воды постоянен, то «втекающий поток»
должен компенсироваться «вытекающим», т. е.
^ + ^=0
дх ду
ИЛИ
(2)
28
Граничные условия этой задачи бывают двух типов: а) главные гранич-
ные условия иа Sx (рис. 1.5) вида и = и, где и — заданный потенциальный
напор; б) естественные граничные условия иа Ss с заданием нормальной со.
ставляющей скорости, т. е. vn = Кди/дп, где л — нормаль к границе.
Если базисные функции удовлетворяют обоим типам граничных условий,
то, следуй методу Галеркина, можно написать
Ии (дги д-и\ ~ п .„.
К ГЧ + &udxdy = °- (3)
(dx* dya)
Интегрируя уравнение (3) по частям с использованием теоремы Гаусса,
можно вывести естественные граничные условия задачи. Интегрируя, полу-
чаем
И. (ди дби , ди дби ) , , „ f ди . „ Г ди . .
------4-------\dxdy=K\—oudy+K\ —6udx. (4)
I дх дх ду ду J J дх J ду
Правая часть уравнения (4) равна
ди dx
ду dS
s
где S = Sj + Sa.
Отметим, что иа Si имеем
би н 0, т. е. главные граничные
условия предполагаются тождест-
венно выполненными. Тогда правая
часть равенства (5) будет равна
К ^ — dudS. (6)
J дп
s,
Окончательно равенство (5)
можно переписать в виде
Рис. 1.5. Двухмерное проницаемое
тело
ди дби ди дби ) , ,
-------4---------1 dxdy =
дх дх ду ду j
= С К — 6udS.
J дп
s,
(7)
Si -- часть поверхности, иа которой задан
потенциал; Si — часть поверхности, на
которой задана нормальная скорость
Это значит, что при естественных граничных условиях вида
и ди
К — = un>
дп
(8)
которые должньцбыть выполнены на границе Sa, вариационное уравнение (3)
должно быть дополнено членом, позволяющим в среднем удовлетворить
условию (8):
f Jк (В+ V? =f (st -’")e “iS-
s,
Уравнение (9) является исходным в методе Галеркина для случая, когда
аппроксимируются уравнение движения и естественные граничные условия.
Интегрируя по частям интеграл в левой части уравнения (9), получаем еще
одну форму записи этого уравнения:
„ (ди дби ди дби \ . , Г- . ....
К — —— + — —— jdxdy — \vn6udS. (10)
\ох дх ду ду / J
29
Поимер 1.11. Часто встречающимся в прикладных задачах является
так называемое бигармоническое уравнение, т. е.
L(a)= v4a—р
или
, д*и д*и , д*и п
V(VU) — Р =----h 2----4------р = 0.
дх* дх3ду3'ду*
(1)
Для того чтобы определить естественные граничные условия, соответ-
ствующие этому уравнению, умножим его на би и проинтегрируем по частям,
применив теорему Гаусса. Подобная процедура ранее выполнилась для урав-
нении Пуассона (см. пример 1.9). Дифференциальный оператор в уравнении
метода Галеркина
f f (V4“ — Р) budxdy = 0 (2)
становится симметричным только после двойного интегрирования по частям.
Интегрируя один раз, получаем
даи дЪи даи дди даи дди д3и дди , 1
дх3 дх дх3ду ду ду3дх дх ду ? J
X dxdy + (£ ± + dudS = 0. (3)
j дп (дх* ду3)
s
Интегрируя повторно, преобразуем уравнение (3) к виду
С С Гд*и д3Ли „ д*и д3ди , д3и д3ди . ) . .
I I J---------f- 2------------J_-------------рви I dxdy —
J J |дх2 дх* дхду дхду ду3 ду3 /
36а д /дп \дди
дх ' дп \ ду ) ду
(4)
Последние два члена в выражении (4) можно переписать в виде
Р д /ди\дди Р д (д*и д2а) .
(V) — — -----dS + (Г) — | — -4- — I oudS.
J дп \дп / дп Удп \dn3'ds*J
S S
Эти два интеграла соответствуют естественным граничным условиим.
Если их величины есть известные функции (Д (s) и В (s)), то можно записать
д /д3и д*и
Fi (и) - — —-4-----------
дп Ids’ ~ дп*,
д /ди
дп \дп
(5)
Окончательно формула Галеркина принимает вид
J {L(u)~ p}budxdy = J pfi (и) — Л} 5и —(Г2 (а)— В} (6)
30
Интегрируя уравнение (6) дважды по частям, имеем
J j {DT (и) Dj (ди) + 2£>2(и) Dt (ди) + D3 (и) D3 (ди)} dxdy —
= у{Ву^--4дир5,
(7)
где D1( )=*1а; р2( ) = *£_); дх* дхду D,( ) = ^U ’ ду*
Отметим симметрию члена, стоящего под знаком интеграла по поверхно-
сти в уравнении (7), которое более удобно для анализа приближенного ре-
шения, чем уравнение (6). Производные, входящие в выражение (7), более
низкого порядка, чем в уравнении (6). При использовании уравнения (7)
аппроксимирующие функции для и должны принадлежать пространству
Пример 1.12. Рассмотрим уравнение
Лапласа в цилиндрических координатах
«Ри 1 du _ q
dr* г dr
(1)
описывающее поток тепла в трубе, как пока-
зано на рис. 1.6. Здесь и есть функция, оп-
ределяющая температуру в любой точке.
Температура на внутренней поверхности
трубы равна и1г а на внешней поверхности
трубы — и2. Внешний радиус составляет У?2,
внутренний — В общем случае можно
задать граничные условия для температуры
или потока тепла, но в данном случае рас-
смотрим только условия первого вида. С уче-
том этих условий точное решение уравнения
(1) имеет вид
Рис. 1.6. К задаче о по-
токе тепла в круглой трубе
и = + 1п
г \ Ц2 — U1
) In (Rz/RJ
(2)
Попробуем найти приближенное решение уравнения (1) по методу Га-
леркина. В качестве приближенного решения выберем функцию второго
порядка
иприбл —
u3R2 — u2Rt
R} — Ri
Uj — Uj
R2 — Ri
+
+ а{Я1Я2-(Я2 + Я1)г + г’},
(3)
которая удовлетворяет граничным условиям по температуре, заданным на
поверхности трубы Sx (радиусом Rj). Следуя методу Галеркина, для прибли-
женного удовлетворения основному дифференциальному уравнению (1)
и оставшемуся невыполненным при выборе приближенного выражения (2)
для неизвестной функции и граничному условию на поверхности трубы S2
(радиусом Rt) можно записать следующее равенство:
S,
31
На поверхности S2 задай температурный градиент du/dr — g. Выраже-
ние (4) можно преобразовать и представить в виде
(5)
S3
Интегрируя уравнение (5) по £, получаем
R,
„ f d { du \ . . f f du \ .
2л 1 --- r----- 6udr = | I-------g I SudS.
J dr \ dr / J \ dr /
Я, s,
(6)
Интегрируя полученное уравнение по частям с учетом того, что би sO
иа Sj, находим
Я,
(* I du \! d6u \ . о п , о ,
I г ----- I------\dr = 2n/?t g6u „ .
J V dr l\ dr I Яз
Я,
Поскольку для рассматриваемого нами примера иа внешней поверхности
трубы задано значение температуры и2, то би при г — R2 будет равно нулю
и член в правой части последнего уравнения обращается в нуль:
Я,
? /_d6u_\dr=0
J \ dr j \ dr )
Я.
Подставив функцию и в виде выражения (3) в предыдущее уравнение,
после интегрирования получим следующее значение а:
(u2 —U1)\
Rt — Ri I
(7)
Величину а можно подставить в формулу (3) и найти приближенные
значения температуры. Результаты приближенного решении температурной
задачи сопоставляются в приведенной ниже таблице с результатами точного
решения:
Радиус Точное решение Приближенное решение
100 100
1,2 73,696 74,666
1,4 51,457 52
1,6 32,192 32
1,8 15,200 14,666
2 (=/?2) 0 0
Пример 1.13. Метод Галеркина применим при решении нелинейных
задач, включая и те, для которых не существует функционала, необходимого
при использовании метода Рэлея — Ритца (см. § 1.6). В общем случае можно
взять аппроксимирующие функции, которые содержат члены, связанные
с линейными решениями. После этого вид аппроксимирующей функции можно
уточнять путем итераций до тех пор, пока ошибка аппроксимации ие станет
32
малой. Для иллюстрации такого подхода изучим случай процесса с затуха-
нием, описываемого уравнением
du <Ри , , ...
v----= D----------feu5, (1)
dx dx'
где v — скорость жидкости; и — концентрация; D — коэффициент диффузии;
k и s параметры затухания.
В нашем примере положим s = 2. Пусть граничные условия имеют
вид и — и при х = 0 и duldx — 0 при х = I. Искомую функцию и (х) аппро-
ксимируем выражением
и = й(1 -|-ахх + оих1), (2)
которое удовлетворяет граничному условию и = и при х = 0. При х = /
имеем
= й(а14-2аа/) = 0, 0^= — (3)
х=1
Выразив и через а = аг, можно записать
и = и (1 + ах------------------------— х1^ . (4)
\ 2/ /
Линейный случай (s = I). Сначала решим линейную задачу, для кото-
рой s=l. Согласно формуле Галеркина
— -D-^-+ ku\&udx=0. (Б)
dx dx' J
о
Подставляя выражение (4) в уравнение (5), получаем
du
dx
I
о
После интегрирования имеем
а (—о/» + — -kl* + — Dl\ = ——, (I)
V 24 15 3 / 3
(150/4-16^ + 400) ’
Нелинейный случай ($ = 2). Теперь можно приступить к решению
нелинейной задачи, взяв линейное решение в качестве первого приближения.
Для простоты примем k=v=D=l=u=l. Тогда из уравнения (8)
а(1)= —0,564. (9)
Уравнение равновесия принимает вид
—---------------------------— + ««=0, (10)
dx dx'
33
и формула Галеркина позволяет записать следующее.
о
<Ри
dx*
u* I hudx -= 0.
(И)
Определим функцию ф, полученную подстановкой величины а'*) (из
линейной задачи) в левую часть выражения (11) при аппроксимации и
уравнением (4):
1
= 0,333 +0,725а'1) + 0,057 (а(1))а= —0,059. (12)
Отметим, что для состояния равновесия функция ф должна быть равна
нулю.
Теперь, следуя методу Ньютона — Рафсона, можно применить рекур-
рентное соотношение
или
</ф = —ф
' <2ф \ a h
—— I Да = —ф,
, da /
Где
-^- = 0,725+ 0,114а.
da
(13)
(14)
Отсюда при подстановке в выражение (14) вместо а величины а'*),
получим
= 0,725 + 0,114а'1) =0,661.
(15)
Вычислим Да как
Да'1> =
—««ода
(йф'Ч/йа) 0,661
(16)
Уточненное значение а составит
а'2) = а(1> + Да(1> = —0,564 + 0,088= —0,476. (17)
В результате вычисления функции ф'2) обнаруживается, что ее зна-
чеиие, т. е.
ф'2) = 0,333 + 0,725а<2) +0,057 (а'2>)2 = 0,001 (18)
очень близко к нулю. Если бы величина ф'2) была значительной, то изложен-
ную выше процедуру можно было бы повторить.
34
§ 1.4.
Задачи с начальными условиями
Метод Галеркина представляет интерес и для решения задач с на-
чальными условиями. В прикладных задачах важными являются
два типа уравнений с начальными условиями: гиперболические
и параболические. Обсудим сначала уравнение гиперболического
типа, обычно называемое волновым, которое в трехмерном случае
имеет вид
к\?2и = ^~ в области V, (1.58)
. д2 , д2 д2 п д , д ,
где v* = —+ — + — —оператор Лапласа; у= — + ~~ +
дх2 ду2 дг2 дх ду
— оператор градиента; X—заданный положительный пара-
дг
метр.
Начальные условия, необходимые для решения уравнения (1.58),
есть значения и и duldt при t = 0:
и (х, 0) = и0 (х), ди 0) = и0 (х).
dt
(1.59)
Кроме того, предполагается, что на части поверхности X t обла-
сти V заданы граничные условия и (х, /) = и (х, /), а на остав-
шейся части внешней поверхности X 2 — граничные условия вида
X (х, f) = g. Формула Галеркина для этого случая запишется
дп
в виде
О V
—JJ^X-^—g)s«dx|<ft = 0. (1.60)
s,
При этом предполагается, что функция и в формуле (1.60) тож-
дественно удовлетворяет начальным и граничным условиям на Хх.
Другой интересный тип задачи с начальными условиями свя-
зан с уравнением диффузии (уравнением параболического типа)
\7*ы=К-^- в области V, (1-61)
для которого требуется только одно начальное условие
и (х, 0) = и0 (1.62)
и граничные условия на поверхности области X = Хх + Х2
и(х, t) = u(x,t) на Xj (1.63)
и
-^-(*, 0 = g иа X,.
35
Формула Галеркина для этого случая запишется аналогично
выражению (1.60):
t
JIJ f — K7t~)S“dV~S ("лГ-6иа51Л = 0- <L64)
0 р7 V S,
Здесь также предполагается, что функция и удовлетворяет
начальному условию (1.62) и граничному условию и = и на Sv
В обоих случаях функция и может быть аппроксимирована произ-
ведением координатных функций на функции, зависящие от вре-
мени,
N
5а,(/)фДх). (1.65)
i=i
Отметим, что функции ф, (х) должны удовлетворять граничным
условиям на Si, а неизвестные функции а, (/) — начальным усло-
виям.
Пример 1.14. Рассмотрим простое уравнение
ди , . _
-----h w’u — 0
dt
с начальным условием и = и0.
Аппроксимируем решение (1) функцией
u = uQ + (ut— u0)
at
0)
(2)
где u0 — начальное значение функции; ut — неизвестное значение функ-
ции в конце промежутка А/; А/ — малое приращение времени.
Для определения значения и/ воспользуемся методом Галеркина
А/
•f- co’u 6udt = 0.
Внося выражение (2) дли функции и (0 и значение ее вариации
би = би, (---
\ Д<
в формулу (3) для метода Галеркина, получаем
д/
“'~Ц° («о + (И/ — «о) -у-) 1 №.
at / ( at ) J
о
Последнее выражение после интегрирования примет вид
^-“°Лд< + Д(« + <в» { Д<3 = 0.
2 ] \ 2 ) 3 )
Отсюда
«/ = “о
3—<оаАГ \
3 + 2ш»Д< )
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
36
Уравнение (7) дает величину Uf в конце каждого малого шага по времени
в функции от начального значения и0 н величины Д/ временного шага. Чем
меньше шаг по времени, тем меньше приближенные значения отличаются от
даваемых точным решением:
и = и^-^. (8)
Интересно сопоставить результаты, полученные на основе формулы (8),
с результатами применения конечно-разностной аппроксимации уравнения (1)
вида
u/ + u0 ди Uj—uo
2 ’ dt ~ М ’ (9)
соответствующий методу трапеций. Это дает
' 2 —ы»Д/ \
, 2 + <о»Д/ ) '
(Ю)
Два различных приближенных решения (7) и (10) сравниваются с точным
решением (8) при Д/ — 0,1 и со = и0 = 1 в приведенной ниже таблице.
Время Точное решение Решение по методу
Галеркина трапеции
0 1 1 1
1 0,367 8 0,373 6 0,367 5
2 0,135 3 0,139 2 0,135 1
3 4,978x10-» 5 217 2x10-» 4,966 2x10-2
4 1,831 5x10-2 1,949 8х10-2 1,825 4X10-»
5 6.7379Х10-3 7,284 5x10-2 6,709 8X10-»
6 2,478 7X10-» 2,7219X10-2 2,466 3X10-»
Пример 1.15 Рассмотрим случай диффузии тепла иа примере за-
дачи охлаждения изолированного стержня с относительной длиной, равной 2
(рис. 1.7); на концах стержня поддерживается нулевая температура. Охлаж-
дение описывается уравнением
1 ди _ д*и
К dt ~ дх* ’ ( ’
где К — коэффициент теплопроводности.
Имеются следующие условия:
— начальное и = и0 (1 — х*) при/ = 0 для —l^x^l; 1
— граничное и = 0 прих=±1 для t ^0. )
Поскольку задан параболический закон начального распределения тем-
пературы, то приближенное выражение для функции температуры можно
записать в виде
и(х, 0 = ф(х)а(/) = (1—х*)а(/), (3)
где а (/) = и0 при t = 0.
Формула Галеркина принимает вид
Д/
J LJ I дх* К dt J J
о х
где Д/ — малый шаг по времени.
37
После подстановки уравнения (3) в выражение (4) можно записать
да
х2) dx
да (0 dt = О,
откуда
а(0 + ——
К 5
да (/) dt = 0.
(5)
Рис. 1.7
стержня
что дает
К задаче об охлаждении
в пределах шага дается формулой
а(П = «0(1 + ₽/) (6)
и, следовательно,
да (0 = и0/др,
где и0 — начальное значение темпе-
ратуры в середине стержня; Р —
неизвестный параметр.
Тогда уравнение (5) принимает
вид
ДС
_1__2
К 5
— А д/_]__₽_ = о,
2 ' 3 5К
(«>
2 \ 5W + 3 ) ' '
Примем, например, К. = 1, № = 0,01, и0 = 100. Тогда Р = —2,46.
Проследим изменение температуры во времени в середине длины стержня
ис (0. При t = 0 имеем ис = 100; при t = 0,01 ис = 100 (1 + Р А/) =
= 100 (1 — 0,024 6) = 97,54; при t = 0,02 ис = 97,54-0,975 4 = 95,14; при
t = 0,03 ис = 95,14-0,975 4 = 92,8 и т. д.
Таким образом, используя шаговую процедуру, можно легко определить
изменение температуры по времени.
Пример 1.16. Исследуем систему с одной степенью свободы, движение
которой задается уравнением
du
m~^+c^r + ku = pV 0)
at* at
при двух начальных условиях
... „ du (0)
и (0) = 0, ---(2)
dt
Положим т = 1, с = 2, k со2, со^ = ) (со2— т]2), р (0 = 0 и т) =
= с/2Уmk. Точное решение для этого случая таково:
и (0 = е~* sin (ojt, (3)
du (0
-----— = — г sin (Hjt + atje cos co^.
88
Этот пример специально выбран для проверки точности метода Галер-
кина, поскольку погрешность метода растет по мере увеличения времени.
Искомая функция и (/) может быть аппроксимирована на временном интер-
вале Л/ с помощью выражения
и = cq + a2t + а,/2 + а4/3. (4)
Произвольные параметры а; можно выразить через перемещения и ско-
рости в начале (и0, и,) и в конце (ut, Uf) интервала. Тогда
/ /а /з \ / /з /з \ .
+ (3-г^——лТ + Т/Г ) “*’ <5)
\ Дг Аг3 / \ Д/ Д/ /
Поскольку начальные значения перемещения и скорости известны, до-
статочно ортогонализировать невязку при удовлетворении уравнения (1)
лишь по отношению к весовым функциям, соответствующим конечным зна-
чениям скорости и перемещения. Последнее позволяет записать следующие
два выражения метода Галеркина:
.. . ( t2 t3 1
f {mu + cii + ku — p(0} 3—--2~ТД“И=0: (6)
0J [ Ar Ar )
Af r f2 1
J {mu + cu + ku — p(0) —-rr + 2~ПГ d< = 0-
о I Д/ A‘ )
Предполагая, что силовая функция р (/) в пределах временного шага
изменяется по линейному закону, после интегрирования получаем
1—504 — + 210с+156ЙД< | ut + (462m + 42сД/ — 22М/2) ut =
\ Д/ !
— 504 — + 210с —54йД<| u0 + (—42m + 42сД/— 13ЙДР) й0+
Д/ /
+ 21ДГ(7р( + Зр0), (7)
| — 42 — -J- 42с + 22kM | ut + (56m + 4ДРй) ut =
\ Д/ /
— 42 — 4-42с— 13ЛД/|и0 + (14т + 7сД/ — ЗДРй) и0 +
Д/ !
+ 7Д/(Зрг + 2р0). (8)
На рис. 1.8, а, б представлены результаты, полученные путем исполь-
зования применительно к уравнению (1) методов трапеций и Галеркина.
Для обоих случаев временной шаг Д/ принимался равным 1/8 периода соб-
ственных колебаний системы.
В конечно-разностиом подходе (метод трапеций) использовались следую-
щие соотношения:
. , Л/ ... .. .
“f = “о+ —(“/ + “»)>
— и0 -|- + л ( ut + “о)* (9)
4
Подстановка выражений (9) в уравнение (1) позволяет получить зави-
симость для определения значения
39
7000,000 0,960 1,920 2,880 3,840 4,800 5,180
Время, с
Рис. 1.8. Результаты по перемещениям и скоростям, полученные методами трапеций (а) и Галеркина (б)
(Д//Т= »/8)
1 — приближенное решение; 2 — точное решение
Можно показать, что прн использовании конечно-разностного подхода
приближенное решение отличается от точного, причем с течением времени
это различие растет. Метод Галеркина оказывается очень точным, и полу-
ченные результаты (не представленные здесь) удовлетворительны даже для
временных шагов, равных половине периода собственных колебаний системы.
§ 1.5.
Случай квадратичных функционалов
Ограничимся изучением системы эллиптических уравнений
L(u)—р = 0 в области V
с естественными граничными условиями
F(u)—q(s) = 0
на S. (1.67)
Эти уравнения можно заменить
одной вариационной формулой метода
Галеркина:
|JL(u) — р] 8udV—
(F(u)—q(s)| 8tidS. (1.68)
Пусть операторы L и F линейны,
а функции р и q (s) консервативны,
т. е. не зависят от переменной и. Для
простоты будем предполагать, что и
есть функция только одного перемен-
ного, a L — симметричный оператор
второго порядка, хотя результат
Рис. 1.9. К определению ва«
риацин функции и (х)
справедлив для любого симметричного оператора. В этих пред-
положениях интегрирование первого члена уравнения (1.68) по
частям дает
f L (u) 8udV = $ F(u) 8udS — f CD (и) D (6u) dV, (1.69)
V S V
где С — положительная функция, не зависящая от и.
Тогда уравнение (1.68) перепишется в виде
j CD (и) D (би) dV + j p8udV = j q (s) 8udS. (1.70)
Теперь запишем би = Хц, где ц — произвольная функция х
(рис. 1.9), удовлетворяющая главным граничным условиям, а к—
параметр, не зависящий от х. Уравнение (1.70) перепишется таким
образом:
J CD (и) D (Ц) dV + f pkr\dV — f q (s) krjdS = 0. (1.71)
V vs
41
Поскольку D есть линейный оператор, а X, не зависит от про-
странственных координат, можно записать
= Х,
К (f СО (и) D (yftdV + J pt) dV -J q (s) t) dS j =
.A. LL j CD2(u + ^)dV + Jp(u +
dk ( 2 v v
~(q(s)(u + WdS\] sO
или в краткой записи
= 0,
(1-72)
(1-73)
где функция
F (и + М) = у jCD*(u + И dV + f р (u + М) dV-
—Jg(s)(u+MdS
s
(1-74)
представляет собой так называемый квадратичный функционал.
Раскладывая функционал F (и + М) в ряд по степеням би, после
несложных преобразований получаем
F(u + Su) = f(11)+U^±^) +...=
\ dk /^=0 2! \ dk3 /х=о
= F(u)+6F + -±-6*F+... (1.75)
Условие 6F = 0 есть условие стационарности функционала,
эквивалентное уравнению (1.68) или (1.70). Полное приращение
функции F запишется в виде
bF = F (u + 8u) — F (u) = 8F + ~82F + . . . (1.76)
Так как 8F — 0, требуется исследовать вторую (и более высо-
кие) вариацию функционала, чтобы определить тип стационарной
(или равновесной) точки
ДГ = 2-б2Г+... (1.77)
Вторая вариация F дает
62F = X? j CD (т)) D (т)) dV = J CD2 (8u)dV. (1.78)
Если С > 0, то выражение (1.78) положительно определенно.
Отсюда следует, что в равновесном состоянии системы, опреде-
ляемом из условия стационарности 8F = 0, функционал F при-
нимает минимальное значение.1
1 При этом состояние равновесия для консервативных систем будет
устойчивым. — Прим ред-
42
Уравнение (1.66) обычно называют уравнением Эйлера — Ла-
гранжа, соответствующим функционалу F. Интегрируя по частям,
понижаем порядок дифференцирования, так что F содержит про-
изводные более низкого порядка,1 чем уравнение (1.66). Отме-
тим, что используемый знак вариации позволяет работать с 6s,
как с дифференциалами. При этом величина и аналогична незави-
симой переменной, a F аналогична функции.
Пример 1.17. Построим функционал, соответствующий дифферен-
циальному уравнению
сРи
L(u)=—— + u + x=Q (1)
с граничными условиями и (0) = и (1) = 0.
Запишем следующее вариационное уравнение метода Галеркина:
1
р / d2u \
dF = I I — а 4- и + х 1 6udx = 0, (2)
о
которое после интегрирования по частям примет вид
1
Л du ddu \
—-----------|-u6u + x6u dx = 0. (3)
dx dx j
о
Отсюда получим выражение для функционала F:
1
1 Г ( / du „ 1
+"’+2“ <*>
о
Этот функционал легко записать, поскольку L (и) есть линейный сим-
метричный оператор. Если при х = 0 имеем условие типа
(5)
где g — заданная величина, то это условие может быть включено в уравне-
ние (2) для правильного определения функционала,2 т. е. запишем
d*u
dx*
и х > budx —
du \ х
------g\ ои
dx----*7 Jo
= 0,
(6)
1 Именно с этим связан ряд преимуществ вариационных подходов к ис-
следованию самых различных физических процессов: а) обеспечение более
широких теорем существования и б) расширение класса координатных
функций. Искомое решение можно конструировать при помощи менее глад-
ких функций. — Прим. ред.
2 Условие (5) является естественным граничным условием, и его выпол-
нение не является обязательным при выборе базисных координатных функ-
ций. При использовании вариационных методов естественные условия удов-
летворяются в среднем путем добавления в условие экстремальности функ-
ционала F некоторых членов [в рассматриваемом случае — второй член
43
что приводит к функционалу вида
1
1 Г ( / du \* 1
F J | — +«’+ 2их I tb+lguk.
о
(7)
Пример 1.18. Рассмотрим случай течения в канале единичной
ширины, когда вертикальная составляющая скорости равна нулю: о = О
(рис. 1.10).
Уравнение неразрывности имеет вид
ди ду
дх + ду
(1)
где и — проекция скорости на направление х.
При о=0 составляющая скорости и зависит только от у.
Для установившегося ламинарного потока при наличии вынужденного
массопереноса уравнение движения в проекции на ось х может быть записано
в виде
Рис. 1.10. Течение в канале
др , д*и
дх ду* ’
(2)
где р — массовая плотность; р — дав-
ление;
С
о=0,
р — динамическая вязкость,
учетом
имеем
того, что и = и (у) и
др . д*и
+ и-----------.
дх ду*
(3)
Дважды интегрируя уравнение (3),
получаем
1 др
U=V’^'^+C1?+C!
(4)
0 =—
Принимая во внимание граничные условия и =0 при у = 0, h, находим
1 h* ( др \ ( у* у
Т р ( дх /( h* h
(5)
Выражение (5) характеризует течение Пуазейля между параллельными
стенками. Вариационный функционал для этой задачи можно получить.
в условии (6)]. Получаемое при этом условие стационарности (6Ди соответ-
ствующий ему функционал (7) называют обобщенными или расширенными.
Следует заметить, что не всегда легко выписать правильное выражение
для расширенного условия стационарности. В этом случае при построении
выражения обобщенного функционала используется метод неопределенных
множителей Лагранжа (см., например, § 1.5 в книге Р. Шехтер а «Вариа-
ционный метод в инженерных расчетах». Пер. с англ, М., Мир, 1971). —
Прим. ред.
44
интегрируя уравнение (1) с весом по частям:
h
И др дги )
----+ ТГ
дх ду1 )
о
Отсюда легко получить
о
h
Л дх Г ду ду J
(6)
выражение для функционала:
h
« + ц
(7)
о
Можно принять следующую форму приближенного решения (которая
удовлетворяет граничным условиям):
ли
и XUe sin —.
h
(8)
Подставляя выражение (8) в уравнение (7), получаем
h
о
др
дх
ис
Л 2
— «X,
2 с
(9)
Вариация F дает
iF=(i*l\+_н_ АЫс 1 бЫс=о,
1 дх \ Л Г Л \ Л / /
4Л’ др
ис=-------— .
л’ц дх
(Ю)
Сравнение распределения скорости в соответствии с уравнениями (8)
и (10) производят по данным таблицы для случая
У Результаты решения для течения Пуазейля
точного приближенного
0 0 0
0,1 —4,5X10-’ —3,986 48X10-2
0,2 —8.0x10-’ —7,582 75X10-2
0,3 —0,105 —0,104 36
0,4 —0,12 —0,122 69
0,5 —0,125 —0,129 00
45
§ 1.6.
Метод Рэлея—Ритца
Метод Рэлея—Ритца состоит в замене переменной и (или перемен-
ных), входящей в функционал F, приближенным решением вида
N
u=2<h<h (1-79)
*=1
с последующей минимизацией функционала по переменным ак.
Увеличение числа членов в приближенном решении обычно приво-
дит к улучшению результатов. Функции ф, должны удовлетворять
главным граничным условиям задачи и представлять собой, как и
в методе Галеркина, элементы заданной последовательности линей-
но-независимых функций.
Рассмотрим функционал вида
F= J I (и, их, x)dx, (1.80)
где их = ди/дх с граничными условиями и (xj — и (х2) = 0.
Аппроксимирующая функция должна быть непрерывной до
производной порядка N — 1 (N — высший порядок производной
в функционале; в рассматриваемом случае N = 1) и удовлетворять
главным условиям. Последнее выполнимо, если каждая функция фк
будет удовлетворять главным граничным условиям
Фк(х1) = фк(хг) = 0. (1.81)
Подставляя в уравнение (1.80) выражение (1.79) для функции и
и требуя стационарности функционала F по отношению к парамет-
рам аь а2......ап, приходим к системе п уравнений, связываю-
щих коэффициенты а(:
— = 0, i=l, 2, . . . , п. (1.82)
da,i
Эти уравнения линейны по отношению к неизвестным ait если
функционал F есть квадратичная функция и и их.
В дополнение к изложенным условиям допустимости функции фк
должны принадлежать к полной системе функции, для того чтобы
решение сходилось к точному.1
Для определения сходимости метода нужно взять две или больше
базисных функций. Когда метод используется применительно
к функционалу, имеющему минимум, можно оценить сходимость,
1 Следует заметить, что степень успешности применения метода Ритца
для решения практических задач во многом зависит от степени удачности
выбора координатных функций в выражении (1.79). Разумно выбранная
система координатных функций позволяет ограничиться в решении малым
числом членов ряда и существенно сократить объем вычислений. — Прим,
ред.
46
сравнивая последовательные значения функционала, полученные
для последовательности приближений
„(1) _
U = (Xi (plt
(1.83)
= а^ф1 + «2 ^Фг + • • • + а1^фц
где i-e приближение включает все функции, входящие в предыду-
щие приближения.
Функции ф[ обычно берутся в виде полиномов или тригономе-
трических функций.
Для квадратичных функционалов, если воспользоваться выше-
указанной последовательностью приближений, получаем
Г(1) > > . . . ^ F<0. (1.84)
Такое поведение функционала назы-
вают монотонным, а последовательность
типа (1.83) — минимизирующей.
Пример 1.19. Найдем приближенное
решение в случае свободно опертой призма-
тической балки, на которую действует сосредо-
точенная сила Р, приложенная в сечении
х = 1/2 (рис. 1.11). В качестве базисных ко-
Рис. 1.11. Балка под дейст-
вием сосредоточенной силы
ординатных функций возьмем в приближенном решении для перемещений
v ортогональные функции синусоидального типа, например,
(хл \ / х \
—— j + а2 sin I— Зя 1 = «1Ф1 + «гф». (1)
Отметим, что эти функции удовлетворяют всем граничным условиям
(о = О и момент Л1 = 0 при х = 0, х = /) и являются симметричными.
Энергетический функционал имеет вид
(2)
где первый член соответствует внутренней энергии, а второй — потенциаль-
ной энергии приложенной нагрузки; EI — нзгнбная жесткость балки; Е —
модуль упругости; / — момент инерции площади сечения.
Подставляя выражение (1) в уравнение (2), получаем
о
— р
otjsin
, I 3" V
я \ .
— l-t-OjSln
47
о
/ я \<
+ 2а1а1( — \ (3)’sin
С учетом условия ортогональности тригонометрических функций
I
. / тлх \ . / плх '
sin (------ sin -------
\ I / \ I
о
= 0, если т^п,
= 1/2, если т—п,
(4)
(5)
выражение (4) можно преобразовать к виду
(6)
Минимизируя функционал (6) по параметрам и as, имеем
dF
дах
(7)
Решая эти уравнения, получаем
2РР 2Р Р / 1 \«
«1 — - - , а, =----------------| — .
Eltt1 EI л4 \ 3 /
Можно расширить этот результат и найти а3, а4 и т. д.
мулу для определения стрелки прогиба посередине пролета:
(8)
Находим фор*
fc
EI п* \ 3<
1
5< 7<
(9)
Это сходящийся ряд, так что при п —► оо получаем точный результат
РР 1
Ре. точи-— —
$ и.
Дополнительные условия
Иногда необходимо, чтобы функция в дополнение к граничным
условиям удовлетворяла некоторым другим соотношениям, кото-
рые называются дополнительными условиями и могут быть введены
с помощью множителей Лагранжа.
Рассмотрим кратко, что представляют собой множители Ла-
гранжа, перед тем как использовать их в функционалах. Возьмем
функцию f (х, у, г), для которой хотим получить стационарное
значение из условия
df = JLdx+^Ldy + -^-d2 = 0, (1.85)
дх ду дг
48
подчиненного двум дополнительным условиям:
gi(x, У, z) = 0, g2(x, у, г) = 0. (1.86)
Дифференцируя выражение (1.86), получаем
dgl=-^-dx+-^dy + -^-dz = 0,
S1 дх ду у дг
dgt=-^-dx+-^-dy + -^-dz^Q. (1.87)
дх ду дг
Умножим каждую из зависимостей (1.87) соответственно на
параметры и Xj и затем прибавим их к условию (1.85). Тогда
имеем
..... , ,
\ дх дх дх У ( ду
+ (^+Хх-^-+Х>^)* = 0.
\ дг дг дг )
^L^1^- + h^-\dy +
ду ду ]
(1.88)
Из уравнения (1.88) вытекает равенство нулю выражений,
стоящих перед dx, dy, dz. Таким образом, получаем три уравне-
ния, на основании которых с учетом условий (1.86) можно опреде-
лить пять неизвестных х, у, г, Хг, Л2. Параметры Хг и Х2 есть мно-
жители Лагранжа и обычно имеют определенный физический
смысл.
Введем новую функцию
f + + (1.89)
Минимизируя ее по х, у, z, и Х2, получаем замкнутую систему
уравнений, которую необходимо решить:
df
дх
dgi
дх
^-^- = 0;
дх
0L + X + Лз- = 0;
ду 1 ду ду
(1.90)
df_
дг
дг дг
§1=0; ?2 = о.
Распространим метод множителей Лагранжа на случай функцио-
налов. Возьмем, к примеру, функционал F, зависящий от функции и
и ее производных при дополнительном условии, налагаемом на
функцию и,
6(и) = 0. (1.91)
С использованием множителей Лагранжа можно записать но-
вый обобщенный функционал в виде
F4-AG. (1.92)
49
Минимизируя 1 этот функционал по отношению к переменной и ее
производным, получаем
6(F + XG) = 0 (1.93)
или
6F + X6G = 0.
Данное вариационное уравнение дополняется условием (1.91).
Пример 1.20. Найдем экстремум функции
f(x, у) = х*—2у* + ху— 4x4-4 (1)
при дополнительном условии
g(x, у) = х + у = 0. (2)
Обобщенная функция запишется в виде
f 4- bg = (х* - 2у» 4- ху - 4х 4- 4) 4- X (х 4- у). (3)
Условие ее стационарности по отношению к переменным х, у и X дает
= 2х 4- !/ — 4 4- X = 0,
дх
_4у + х + х = 0, (4)
ду
+ М =х + у = 0.
Решая полученную систему алгебраических уравнений, получаем
х= — 1, у — 1, Х= 5. (5)
Соответствующее стационарное значение функции составит
/=6. (6)
Отметим, что без дополнительного условия (2) мы имели бы
16 4
х=—’ (7>
что дает
, 36
(8)
1 В общем случае при использовании расширенных функционалов с
целью приближенного удовлетворения основного дифференциального урав-
нения, описывающего рассматриваемый физический процесс, и некоторых
дополнительных условий (например, граничных условий, оставшихся невы-
полненными при выборе функции, аппроксимирующей искомое решение)
следует говорить об условиях стационарности функционала, а не об условиях
его экстремума. — Прим. ред.
50
ЛИТЕРАТУРА
1. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных урав-
нений. М., ИЛ, 1953.
2. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1, М.,
Гостехиздат, 1951.
3. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего
анализа. М., Гостехиздат, 1949.
4. Михлин G Г. Вариационные методы в математической физике. М..
Наука, 1970.
5. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М., Физматгиз, 1958.
6. Ayala G. and Brebbia G A. Variational Methods in Engineering (ed.
C. A. Brebbia and H. Tottenham). Southampton University Press, 1973.
7. Finlayson B. A. The Method of Weighted Residuals and Variational
Principles. Academic Press, 1972.
8. Hilderbrand F. B. Methods of Applied Mathematics. Prentice-Hall,
1952.
9. Lanczos G The Variational Principles of Mechanics. University of
Toronto Press, 1964.
10. Weinstock R. Calculus of Variations with Applications to Physics
and Engineering. McGraw-Hill, New York, 1952.
УПРАЖНЕНИЯ
LI. Используя метод Галеркина, найдите решение двухмерного уравне-
ния Пуассона в прямоугольной области размером 2аХ2Ь
дги д*и
----4---------= с
дх* ду*
(1)
с граничными условиями
« = 0 при х=±а и у = ± Ь.
Примите в первом приближении
и^ = ^-х^^-У^ (2)
а во втором приближении
И<2> = а, (а2— х2) (Ь2- /) + (а2- х2) (b2 - /)- (3)
Объясните выбор функций (2) и (3) и сходимость результатов.
1.2. Найдите приближенные значения функции и (х), удовлетворяющей
следующему дифференциальному уравнению:
д*и
дх*
*L+x=o
дх
(О
при и (0) = и (1) = 0 и изменении х в интервале от 0 до 1. Для получения
решения поочередно используйте методы моментов, наименьших квадратов,
коллокаций и метод Галеркина. Сравните полученные результаты, приняв
и х х(1 — х) (ах + а,х). (2)
1.3. Полагая, что форма кривой описывается кубическим полиномом
и = ах + а2х + asxs + а4х3, найдите коэффициенты а; методом наимень-
ших квадратов по следующим данным: их = 3,9 при хх = 0; и2 = 8,5 при
х3 = 1; us = 22 при х» =2; ut = 35 при х4 = 2,5; ut = 52 при х6 = 3.
51
1.4. Рассмотрите прямоугольную область с размерами аХЬ, в которой
неизвестная функция и (х, у) описывается уравнением
V4« = Р
или
(1)
д*и 2 д*и д*и
дх* дх2ду2 ду*
при следующих граничных условиях:
— главных
и = 0 на границах х=0,
— естественных
2!ff_ = o
дх1
— р = const
а и у — О, Ь\
(2)
на
границах
х = 0, а
-^- = 0
ду2
Решите уравнение (1) методом
на
границах
У = о, ь.
и
Галеркина, приняв
. knx 1пУ
a., sin----sin —2- ,
ы a b
(3)
и
(1)
Сравните результаты, полученные при удержании одного, трех и т. д.
членов ряда.
1.5. Для уравнения
(1 4-х) -I- ——l-ku = 0 при и (0) = «(!) = 0,
dx2 dx
где 1 — неизвестное собственное число краевой задачи, найдите два после-
довательных приближенных значения 1, использовав соответственно функции
х(1 — х), х»(1 — х). (2)
1.6. Рассмотрите систему алгебраических уравнений
М){Х)={В}, (1)
где [Л]—симметричная матрица. Покажите, что уравнение (1) можно
интерпретировать как условие стационарности функционала
Г = ^-{Х)7’[Л]{Х)-{Х)г {В}.
(2)
1.7. Выведите уравнения равновесия, соответствующие функционалу
X,
F = Цх, и, о, их, vx)dx (1)
Хд
при дополнительном ограничении
/ = ^б(х, и, v)dx=0. (2)
1.8. Получите уравнение равновесия и естественные граничные условия
для функционала
X,
F = У I (х, и, ux)dx — Нг(и).
Хд
52
1.9. Балка, показанная на рнс. 1.12, свободно оперта в точке А на твер-
дое основание, в то время как опора В представляет собой пружину с жест-
костью k.
Представьте отклонения v полиномом и найдите жесткость, прн которой
конец С неподвижен прн приложении нагрузки Р. Решение следует получить
с помощью метода Рэлея—Ритца. Соответствующий энергетический функ-
ционал составит
1.10. Опишите методы: а) Галеркина, б) наи-
меньших квадратов; в) коллокаций и г) Рэлея —
Рнтца, используя и качестве примера уравнение
. д*и , „ д*и , д*и
v4« =---------1- 2--------u-----
дх* дхгду* ду*
Рнс. 1.12. Балка
с упругой опорой
= Р
с граничными условиями и =----=0 на всех границах прямоугольной
дп
области х = ± а н у = ± Ь.
1.11. Используя метод множителей Лагранжа, минимизируйте следую-
щую функцию:
F = fl+fl+ +f2n, (1)
подчиненную дополнительному условию
G = Cxfi + Сг/г + • . • + СЛ/П=1. (2)
ГЛАВА 2
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
§ 2.1
Локальные функции
Основная трудность при непосредственном применении методов
Галеркина и Рэлея—Ритца связана с выбором глобальных базис-
ных функций. Эти функции должны не только удовлетворять
главным граничным условиям, но и достаточно полно описывать
геометрию, материал и другие характеристики задачи. Все эти
условия обычно очень трудно выполнить, и возможности методов
в их «классическом» смысле ограничены. С развитием быстродей-
ствующих цифровых вычислительных машин получила развитие
идея локализации аппроксимирующих функций в малых областях.
При этом можно использовать функции более простого вида.
Обсудим идею локальных функций для метода Галеркина.
Предположение о применимости их в методе Рэлея—Ритца спра-
ведливо, поскольку можно показать, что всегда существует фор-
мула метода Галеркина, соответствующая условию минимума
53
функционала Рэлея—Ритца. Простейшей локальной функцией
является функция одного переменного, показанная на рис. 2.1, а.
Она принимает значение, равное единице, в определенной точке i,
называемой узлом, и равна нулю во всех других узлах. Для эле-
ментов с внешними границами функция должна удовлетворять
главным граничным условиям. В некоторых других случаях можно
потребовать непрерывности производных (рис. 2.1, б), как, напри-
мер, в случае изгиба балок, когда локальные функции должны быть
по меньшей мере кубическими.
Рис. 2.1. Локальные одномерные функции: а — линейное рас-
пределение (непрерывна сама функция); б — кубическое распре-
деление (непрерывны функция и ее производная)
1 — элемент; 2 — локальная функция; 3 — узел
Рассмотрим в качестве примера формулу метода Галеркина,
которую можно записать в виде функции от симметричного опе-
ратора D:
p<D(u), D(8u)> = <c, 8и>. (2.1)
Рис. 2.2. Локальные функции в задаче о течении Пуазейля: а — локальные
функции; б — распределение скорости; в — элементы
Такой тип оператора получен нами при исследовании течения
Пуазейля между параллельными стенками (см. пример 1.18):
h h
<2-2>
о о
Разобьем полную ширину канала h на четыре участка (элемента)
длиной I (рис. 2.2, а) и введем в рассмотрение три локальные функ-
ции для внутренних узлов (в узлах 1 и 5 скорость и обращается
54
в нуль как следствие выполнения главных граничных условии
задачи). Суперпозиция локальных функций позволяет получить
приближенный закон распределения скоростей, приведенный на
рис. 2.2, б. Вводя далее в рассмотрение для каждого е-го элемента
местную координату х, которая отсчитывается от нижней точки
каждого элемента и изменяется от 0 до 1, и используя представ-
ленное на рис. 2.2, б распределение скорости, формулу (2.2) можно
переписать в виде
е 0 е О
или
* 1 1
-t- f-^-(u2x) (fiUjx) dx+ (,-^{u3x+u2(l— x) } X
P J dx dx J dx
о о
i
X -4- {6u8x + 6u2(l— x)} dx+ C —4—(u4x-|-u3 (1 — x) } X
dx J dx
о
i
X -£=- |6и4х+6Ыз (1—x) } dx+ С -4- (u4 (1 —x) } X
dx J dx
о
X-4r-(1—x) } dx
6 {u3x + u2 (1 —x)} dx-]-
+ J в («4*+ «з (1 — x)} dx. (2.3)
о J
Левая часть уравнения (2.3) приводится к более простому
виду:
{ f u^u^dx + f (u3—u2) (6u3—6u2) dx +
‘10 0
1 _ 1 _]
+ f(u4—«з) (6«4—6ug)dx + f u46u4dxl. (2.4)
о о J
Внося выражение (2.4) вместо левой части уравнения (2.3)
и выполняя необходимое интегрирование, получаем уравнение
(u26u2 + (u3—u2) (6u3—6u2) + (u4 — u3) (6u4—6u3) 4- u46u4) =
= c (8u2 -j- 6u3 + (2.5)
или
{(2ua—u3) 6u2 + (— u2 + 2u3—u4) 6u3 + (—u3 + 2u4) 6u4} =
= 6«2 + 6u3 + 6u4. (2.6)
55
С учетом того, что в полученном уравнении вариации 6и4 ли-
нейно-независимы и произвольны, приходим к системе трех урав-
нений
(2.7)
решение которой (в силу симметрии и, = и4) дает
и2
_з_____eft*
32 р.» ’
1 ch*
~ 8 |х
(2-8)
Получаемые результаты совпадают со значениями точного ре-
шения в узловых точках, однако это не означает идентичности
обоих решений, поскольку приближенное решение изменяется
Рис. 2.3. Двухмерные локаль-
ные функции: а — треуголь-
ная сетка; б — прямоуголь-
ная сетка
/ — «пирамидальная» функция;
2 — узлы; 3 — треугольные эле-
менты; 4 — «гиперболическая»
функция; 5 — прямоугольные эле-
менты
между узлами линейно, а точное — квадратичнб. Кроме того,
если вычислить точное и приближенное значения функционала
для рассматриваемой задачи
ЧВМ* (М)
то можно убедиться, что точное значение меньше приближенного.
Идея локальных функций применима к решению двухмерных
задач. В простейших случаях для этих задач используются «пи-
рамидальные» (для треугольных элементов) или «параболические»
(для прямоугольных элементов) функции (рис. 2.3).
Метод локальных функций реализуется наилучшим образом,
если каждый элемент рассматривать отдельно, именно в этом и
заключается одна из характерных особенностей метода конечных
элементов. В этом методе сначала рассматривается каждый отдель-
ный элемент и изучаются его свойства независимо от других. Затем
элементы объединяются и удовлетворяются необходимые условия
непрерывности внутри рассматриваемой области и глобальные
граничные условия на ее поверхности.
Рассмотрим одномерный элемент, показанный на рис. 2.2, в,
с линейным распределением скорости между узлами I и i + 1:
и = ижх + (1—*)иг
(2.10)
56
Внося функцию (2.10) в зависимость (2.2), получаем следую-
щее равенство:
-£-([(“<-“.•+1) 6(u-ui+i) а*=4 (ч+Гх+ч(1-*)1 <2л1)
которое после интегрирования преобразуется к виду
= 6u _L + б„ —. (2.12)
1 2 Н-1 2
Как следствие произвольности и линейной независимости ва-
риаций 6и< и 6и£+1, из равенства (2.12) получаем систему следую-
щих двух уравнений:
И 1
cl* 1
(2.13)
_!_( 1
2 1
Теперь можно представить задачу, изображенную на рис. 2.2,
как ансамбль из четырех элементов, влияния которых склады-
ваются в общих узлах. Это приводит к следующей системе урав-
нений равновесия для рассматриваемой задачи:
Отсюда, если учесть граничные условия = «6 = 0, получим
приведенную ранее систему уравнений (2.7).
§ 1.1.
Метод конечных элементов
В методе конечных элементов матрица для всей области форми-
руется из матриц отдельных элементов, которые выражаются как
функции узловых неизвестных. Последующий учет главных гра-
ничных условий приводит к определенным изменениям общей мат-
рицы. Аналогичным образом величины, заданные в узлах эле-
мента, образуют вектор обобщенной узловой нагрузки. Разрешая
далее полученную систему уравнений, определяем значения иско-
мой функции в узлах.
57
Таким образом, основными этапами применения метода являются
следующие [1—71:
1) дискретизация задачи, т. е. представление области V в виде
совокупности конечных элементов, взаимосвязанных в узловых
точках;
2) получение матриц элементов;
3) построение общей матрицы для всей области и вектора на-
грузки;
4) наложение граничных условий;
5) решение системы уравнений;
6) расчет любой другой функции, зависящей от узловых неиз-
вестных.
Первый этап конечноэлементной процедуры состоит в раз-
биении области, занятой телом, на ряд элементов. В определенных
точках этих элементов, называемых узлами (рис. 2.4), вводятся
узловые неизвестные. Затем каж-
дый элемент рассматривается от-
дельно, и его свойства выводятся
путем минимизации функциона-
ла задачи или применения фор-
мулы метода Галеркина после
Рис. 2.4. Разбиение области на
конечные элементы
1 — внешняя граница; 2 — внутренняя
граница; 3 — узлы; 4 — элемент
Рис. 2.5. Разбиение пластины
на шесть элементов
выбора аппроксимирующих функций, которыми выражаются за-
коны изменения искомых функций по объему конечного элемента
в системе координат элемента (в местной системе координат). Эти
аппроксимирующие функции должны удовлетворять условиям
допустимости и полноты для рассматриваемой задачи. Допусти-
мость предполагает непрерывность главных переменных 1 между
элементами и порядок их аппроксимации, обеспечивающий коррект-
ность определения ее членов в рамках вариационной формулировки.
1 Под главными переменными следует понимать искомую функцию и ее
производные до т — 1-го порядка включительно. Здесь 2т — порядок
рассматриваемой краевой задачи. — Прим. ред.
58
Для выполнения условия полноты аппроксимирующие функции
должны удовлетворять условию постоянства производных, которое
состоит в том, что с уменьшением размеров элемента производные,
входящие в выражение для вариационного функционала, стре-
мятся к постоянным величинам (или, в частности, к нулю).
Если указанные условия допустимости и полноты выполняются,
решение по методу конечных элементов будет сходиться к точному
при увеличении общего числа конечных элементов.
Первый этап метода включает разбиение области на элементы
конечных размеров и выбор ряда граничных точек на их поверх-
ности. Эти элементы называют конечными, а точки — узловыми
точками или узлами.
Перенумеруем элементы и узлы и определим связь узловых
точек элементов, записав для каждого элемента номера принадле-
жащих ему узлов. Типичная дискретизация для плоской задачи
показана на рис. 2.5. Узлы выбираем в углах элементов на средин-
ной поверхности пластины. Можно было бы выбрать дополнитель-
ные узлы вдоль границ элемента.
Таблица связности элементов приведена ниже:
Элемент Узел Тип
«1 л2 п3 л4
1 2 3 4 5 6 1 2 4 4 5 5 2 3 8 5 9 6 5 6 7 8 8 9 1 1 1 1 | Прямоугольный | Треугольный
Отметим, что нумерацию узлов необходимо проводить в одном
и том же направлении (по часовой стрелке или против нее). С ка-
кого узла начинать нумерацию, не имеет значения.
Введем узловые неизвестные, которые для выполнения условия
допустимости должны быть по меньшей мере главными перемен-
ными задачи. Например, для плоской задачи теории упругости
имеем два перемещения, для задач изгиба пластин — нормальное
перемещение и два вращения; для теплопередачи — температуру;
для потока несжимаемой жидкости — скорости и давление и т. д.
Будем пользоваться двумя системами нумерации1: при рас-
смотрении поведения изолированного элемента его узловые неиз-
вестные нумеруются в локальной (местной) системе нумерации,
а узловые неизвестные для совокупности элементов — в глобаль-
ной (общей) системе нумерации.
1 В литературе по методу конечных элементов, как правило, вместо
систем нумерации говорят о двух системах координат. — Прим. ред.
59
Для треугольного элемента, изображенного на рис. 2.6, номе-
ра 1, 2, 3 соответствуют локальной системе; с другой стороны, п1г
п2, п3 относятся к глобальной системе (например, nt = 94, п2 = 96,
пя = 92).
Вектор переменной для узла i можно записать в виде
U
V
Рнс. 2.6. Треугольный элемент
ИЛИ U„£ =
(2.15)
локальный
глобальный
Элемент вектора Ut или U„£ в
выражении (2.15) является узловым
неизвестным. Для рассмотренного
выше вектора, включающего все уз-
ловые переменные в данном узле,
и вектора одной узловой переменной
введем соответственно обозначения
(UJ и (и£).
Если предположить, что существуют три узловых переменных и,
v и w, то вектор, образуемый векторами узловых неизвестных
элементов, имеет вид
и,
U" =
или
«1
V1
о>1
Ut
V*
wt
(2.16)
Us
Vs
U>s .
Верхний индекс n обозначает, что вектор распространяется
на все узлы элемента, s — число узлов элемента. Вектор U" на-
зывается вектором узловых неизвестных элементов. Теперь можно
выразить неизвестные U внутри элемента через значения узловых
неизвестных и интерполяционные функции (см. § 2.3):
и = Фгип.
(2-17)
60
Обратимся к методу Рэлея—Ритца или к методу взвешенных
невязок. Для простоты рассмотрим квадратичный функционал
для функциями:
F*F(U). (2.18)
Минимизация F по отношению к элементам U" приводит к си-
стеме линейных алгебраических уравнений, связывающих эле-
менты вектора U" с вектором нагрузки Р. Эта система имеет вид
KUn = P. (2.19)
Для образования исходной области нужно объединить элементы.
Эта операция разъяснена в § 2.3.
Решающим в процессе построения матрицы К во многих слу-
чаях является удовлетворение условия совместности элементов1
без обращения к аппроксимирующим функциям высокого порядка.
Для функционалов, содержащих производные высоких порядков,
можно использовать формулировки, не требующие предваритель-
ного выполнения условий совместности и (тем не менее) обнару-
живающие хорошую сходимость (см. гл. 3). Для обеспечения усло-
вий сходимости при использовании функций такого типа необхо-
димо, чтобы в них входили члены, дающие нулевые производные
(например, члены вида ах + а2х для функционалов, содержащих
da ( )/dx2), и члены, дающие в функционале производные по-
стоянной величины (члены вида а3х2 для рассмотренного выше
случая). Вообще же модели с несовместными элементами перед
применением должны быть тщательно изучены. В частности, нужно
выяснить, устраняется ли влияние несовместности (разрывов аппро-
ксимирующих функций и их производных) при стремлении к нулю
размеров элементов.
§ 2.3.
Матрицы элементов
Рассмотрим свойства отдельного элемента. Уже упоминалось,
что аппроксимация неизвестных величин внутри элемента может
быть выражена через узловые неизвестные и некоторые интер-
поляционные функции
и = Фгип. (2.20)
Следовательно, можно представить и — одну из неизвестных
переменных, входящих в вектор U, в виде
s
w = 0Iw1 + 02«s+ • • • = 2ф<«< = фГип, (2.21)
1 Имеется в виду обеспечение непрерывности искомой функции и ее
производных до т — 1-го порядка при переходе через границу раздела
двух смежных элементов. — Прим. ред.
61
где i = 1, 2....S и т. д. — номера узлов в местной системе ну-
мерации; ф1 — соответствующие интерполяционные функции; и" —
элементарный вектор узловых неизвестных для функции и
ип= (ед . . . us);
Ф = 1Ф1Фг • • •
(2.22)
Если переменных больше одной (например, две: и и v, которые
представимы одинаковыми интерполяционными функциями), можно
записать уравнение (2.20) в виде
{и
v
Ф Г |
ф J I V"
= Фгип.
(2.23)
Для случая только одной переменной
и = фгип.
Выведем соответствующие матрицы конечных элементов для
обобщенного гармонического уравнения
+ —} + Хи = р в А (2.24)
дх \ дх Г ду \ ду Г
с граничными условиями
и — и
, ди
п----=а
дп ч
на Slt
на S2,
где и = и (х, у)\ X — постоянная; h, р, и и q — Заданные функции
х и у, S = S! + S 2 — полная граница.
Если выбранная аппроксимирующая функция удовлетворяет
условию би = 0 на S1( где может быть частью внешней границы
области А или границ между элементами, показанных на рис. 2.4,
то, воспользовавшись вариационной формулировкой метода Галер-
кина, можно записать
д
ду
q\6udS = 0.
+ Хи—р 16udA +
(2.25)
Интегрируя уравнение (2.25) по частям, приходим к выражению
6F = С С ( h би + h ——— би—киби + рби 1 dA —
J J [ дх дх ду ду )
—^q6udS = 0. (2.26)
62
Примем для функции и в пределах элемента аппроксимацию
в соответствии с выражением (2.21)
и = фги". (2.27)
Следует отметить, что входящие в зависимость (2.26) произ-
водные функции и должны иметь конечные значения как внутри
элемента, так и на его границах. Кроме того, для удовлетворения
условия би == 0 необходимо обеспечить непрерывность функции и
при пересечении границ стыковки смежных элементов. Это озна-
чает, что выражение (2.27) при оценке величины и на стороне эле-
мента должно включать в себя узловые переменные только для тех
узлов, которые расположены на этой стороне. Удовлетворение
данного условия и приводит к выполнению «межэлементной» непре-
рывности. При линейной аппроксимации и требуется помещать
узлы в вершинах элемента; при квадратичной аппроксимации на
каждой стороне элемента располагается по два концевых узла
и один внутренний узел и т. д.
Найдем производные по пространственным координатам от
функции и, определяемой выражением (2.27),
ди
~дх
ди
— = и1
ду
дх дх
дФ1 дфг Т п
, + и2 ф WU .
ду ду
(2.28)
Подстановка функции и и ее производных в зависимость (2.26)
приводит к следующему вариационному условию:
би"’ TKun—X6un' TMun—6un- TP = 0. (2.29)
Отсюда, если учесть произвольность вариации би"' т,
(К —ХМ) ип = Р,
где К, М, Р — матрицы конечного элемента, определяемые по
формулам
К=И*(*.ЛГ«+*.Л)‘М-
|ффгад, (2.зо)
Ае
Р = J J — p$dA + J q$dS.
s?
Отметим, что матрицы К и М симметричны.
Пример 2.1 Рассмотрим уравнение
63
с граничными условиями
— „ , ди . , ди - _
и —и иа Sp Чп — апх'1х ------F anyhy —— = Чп иа S2, (2)
дх ду
где апх и апу — направляющие косинусы нормали по отношению к осим
х И у.
Если воспользоваться вариационной формулой метода Галеркина, то
вместо уравнении (1) и граничных условий (2) можно записать
И/ ди дЛи ди дби \ . С - , Л
hx ;—Ь hy —Г" dxdy ~ ?nduds = °- (3)
\ дх дх ду ду ) J
S,
При записи равенства (3) предполагается, что условие би зО иа Sj
тождественно выполнено. Выражение в левой части равенства (3) есть вариа-
ции функционала
S,
Используем равенство (3) для получения матриц треугольного элемента,
показанного на рис. 2.6. Закон изменения функции и (х, у) по полю конеч-
ного элемента можно аппроксимировать степенным полиномом вида
и = <*1 + + «з</- (5)
Входящие в формулу (5) неизвестные параметры aj можно выразить
через узловые значения функции в узловых точках 1, 2, 3. Дли этого, исполь-
зуя зависимость (5), выпишем значении функции и (х, у) в узловых точках
или в матричной форме
и" = Са.
Отсюда
или
а = С—*и",
где a£ = Xk — ху; = yt — yk; 2Д? = xyk — х^;
i = 1, 2, 3; j = 2, 3, 1; k - 3, 1, 2; 2A == bia2 — *2ai‘> A — площадь эле-
мента.
В гл. 3 приходим к аналогичным выражениям более прямым путем,
используя другие типы аппроксимирующих функций для элемента. Отме-
тим, что функция (5) удовлетворяет условию совместности и имеет нулевые
и постоянные члены в выражениях для производных, что необходимо дли вы-
полнения условии полноты при уменьшении размеров элемента.
64
Используя зависимости (5) и (7), получаем следующие выражения для
производных функции и:
= “s = -ТГ i+ biui + Ьзиз}',= -tV bru";
dx 2A 2A
T- = <^з=^-!‘‘Лт‘lЛ-гaл; = -^-зтur,, (8)
ду 2Д 2Д
где
a = {ai a2 asl, b = [bi b2 b3}.
По аналогии с зависимостями (8)
Эби 1 , т? п Эби 1 т. „
= b би, = аби- (9)
дх------------------------------------------2А-ду-2А-' '
Исключая в выражении (5) с использованием завнснмостн (7) параметры
<Х{, находим
и = ф2и2 + ф2и2 + ф3и3 = фгиг1,
би = ф7биг1, (10)
где
*г = ТГ (2Л? + &1х+‘м);
х/1
^ = 7т(2Л"+^-М;
Z/1
*,= 7т(2Лз+ ьз* +°зУ).
/Л
Подстановка выражений (8), (9) н (10) в вариационную формулу позво-
ляет получить
би"’ 7 j* j* {йхЬЬ7 + й^аа7) ЭхЭуи" = би"’ т $qndS. (п)
4Л A sl
После интегрирования левая часть
Ь2!
равенства
м2
(И) приводится
Мз
виду
{'би^биз'}
4А
V
й*
Симметрично
b2fr3
а1а2
«2
(12)
к
Заметим, что в рассматриваемом случае подынтегральные функции
в левой части равенства (11) являются постоянными величинами и интегри-
рование по х и у дает площадь элемента А. Прн использовании более слож-
ных интерполяционных функций подынтегральное выражение зависит от
х и у. Интегрирование в этом случае выполнить сложнее, вследствие чего
может возникнуть необходимость в использовании формулы численного
интегрирования.
Выражение (12) можно записать в виде
би"’ гКип>
(13)
6&
где К — матрица коэффициентов влияния для элемента, показанного на
рис. 2.6.
Правая часть равенства (11) существует только на части S2 границы
области. Предположим, что величина qn постоянна, например, на стороне
2—3. Связь координат (s, п) и (х, у) между системами такова:
Тогда для интеграла по S2, стоящего в правой части равенства (11),
(14)
о о
2л । ь^х 4" аху
2А° 4- м + а1У
2Л° 4- Ь3х 4- а^у
qndS
(15)
после замены х и у на s (заметим, что на стороне 2—3 п = 0) н проведения
интегрирования получаем следующее:
I
J *gndS =~qn
(16)
1/2
Из выражений (12) и (16), если учесть равенство (11), вытекает условие
равновесия элемента
К un=P,
(3x3) (3x1) (3x1)
записанное в матричной форме.
§ 2.4.
Система уравнений
Чтобы получить общие уравнения равновесия для области, состоя-
щей из совокупности элементов, взаимосвязанных в узловых точ-
ках, необходимо объединить матрицы элементов с последующим
выполнением граничных условий для рассматриваемой области
в целом. Сначала вектор 0" узловых неизвестных элемента выра-
жается через векторы неизвестных в узлах Un., отнесенные к об-
щей системе нумерации,
14
ип = {иЛ/} = {
(i = l, 2........s), (2.31)
где s — число узлов в элементе; — их номера в общей системе.
66
Расчленим матрицы К, М и Р для элемента соответственно
с расчленением U" на узловые векторы 1)П;. В результате получаем
блочные матрицы 1
К={к/7},
M={mi/}, (2.32)
P={Pii (Л /=1, 2,. . . , $).
С учетом этих обозначений, например, члены, входящие в выра-
жение (2.29), принимают вид
6U">rKlf = z 6U„r. I z МЦ.1,
1=1 I /=1 ')
6Un,rMU"= 2 ( 2 тоип.), (2.33)
<=1 I j=i 1)
6Un,rP= ^6U„.p«-
1=1 *
Если при получении матриц элементов неизвестные вычисля-
лись в местной, а не в общей системе координат, необходимо пре-
образовать узловые неизвестные 1Ц, 6Un. в выражениях (2.33)
из местной системы координат в общую. Обозначив звездочкой
величины, отнесенные к общей системе, запишем
U„. = RU*
(2.34)
6U„(=R6U;.,
где R — матрица направляющих косинусов основных направлений
локальной системы относительно основных направлений общей
системы координат.2
Тогда выражения (2.33) можно записать так:
6U"-rKU"= ieu*: г( iknUn.l;
i=i 1 (/=i 1 j
6Un,rMU"= У г| 2m*Un.|; (2.35)
i=i * (j=i > J
su"-rp= гР;,
1 Блок-матрицы к;/ и пц-/ определяют влияние «нагрузочного» блока
(внешние воздействия, приложенные к «-му узлу) на значения неизвестных
/-го узла. — Прим. ред.
2 Основные направления, о которых идет речь, совпадают с положи-
тельными направлениями неизвестных рассматриваемой узловой точки. —
Прим. ред.
67
где
к*/ = R rki; R, т*;= R rmi; R, р* •= R гр4. (2.|36)
Основное уравнение для всей области можно записать в виде
2бип’г(К'ип—хмип) = 2бип,гр. (2.37)
«
где У указывает на суммирование по всем элементам,
е
Обозначив через N общее число элементов, вектор узловых
неизвестных, системы (в дальнейшем предполагаем, что элементы
вектора Un- отнесены к общей системе координат, и для простоты
опускаем звездочку в обозначении) выразим в виде
Я={иХ. и4>. . ., Uw). (2.38)
Преобразуем уравнение (2.37), суммируя вклады элементов,
сходящихся в одном узле. Тогда1
бЯт \КИ—\МИ} = 6Я ТР (2/39)
или, если учесть произвольность вариации ба,
{К— ).М\И Р. (2.40)
Формирование матриц К, М и Р происходит в процессе после-
довательной обработки всех элементов. Вклады отдельного элемента
в содержание упомянутых матриц указаны ниже:
—в Р р( в строке i; i = l,2 , . .., s;
—в К k(7 в строке I, столбце /; /,/ = 1,2 s; (2.42)
—в М mt/ в строке I, столбце /; /,/=1,2 , . . . , s.
1 Курсивные полужирные буквы использованы для обозначения мат-
риц, относящихся ко всей совокупности конечных элементов и определя-
емых в общей системе координат.
68
Поскольку в нашем примере, как следствие симметричности
матриц М и К, матрицы М и К также симметричны, то для опи-
сания этих матриц достаточно располагать информацией о значе-
ниях коэффициентов, расположенных на главной диагонали и над
ней.
Пример 2.2. Рассмотрим тело, составленное из четырех треуголь-
ных элементов (рис. 2.7). Предположим,
сия для каждого нз элементов KUn=P
(см. пример 2.1). Например, для эле-
мента 2 уравнение равновесия МОЖНО
записать в виде
" *11 ь2 ь2 Л *12 *13 “1 Р21 '
*21 k2 k2 *23 “2 = р2
_ *31 *32 _ Ul . Р2з
СВ
или в матричной форме
KUn = P,
что получены уравнения равнове-
Рнс. 2.7. Область, состоящая из
четырех элементов
где К — симметричная матрица.
Неизвестные в уравнении (1) отнесены к местной системе нумерации.
С использованием общей системы нумерации узловых неизвестных уравне-
ние (1) перепишется так:
(2)
Чтобы сформировать матрицы системы уравнений для всего тела, нужно
просуммировать влияния всех элементов. Если тело имеет шесть узлов, то
в итоге получим матрицы размером 6X6. В уравнениях равновесия типич-
ного элемента, подобного элементу 2, будем иметь девять коэффициентов,
расположенных в общей матрице, и трн члена, принадлежащих вектору
правой части, т. е.
К= к 2 i2 I-. « г2 л Л * • (3) •
• • • I • •
1.2 *12 и Р = р?
1Л /r2J • кг *22 • • Р2г
• • • • • • •
• • • • • 1 • •
69
После объединения матриц всех элементов получаем выражение для
общих матриц всего тела:
где кружок обозначает число, в общем случае не равное нулю, а точка —
пустую клетку (нулевое число).
Матрица (4) является симметричной и ленточной, причем ширина ленты
равна четырем. Отметим, что ширина ленты пропорциональна наибольшей
разности номеров узлов одного н того же элемента. В силу симметрии такой
матрицы в памяти ЭЦВМ достаточно хранить элементы, расположенные на
диагонали и над иен в виде
Например, коэффициенты матриц
элемента 2 — выражение (3) — можно
записать в виде
70
Применение ЭВМ. Для формирования матриц в ЭВМ введем
обозначения: A (N, М) — общая матрица; N — число степеней
свободы; М — ширина ленты ленточной матрицы; S (N1, N1) —
матрица элемента, совпадающая с рассмотренной выше матрицей К
(для этой матрицы введено обозначение S, так как букве К в алго-
ритмическом языке FORTRAN соответствуют переменные целого
типа); I (N2, N3) — матрица, в которой записаны номера узлов
элемента N2 (эта матрица описывает таблицу совместности, приве-
денную на с. 101); N3 — число узлов в каждом элементе, которое
в рассмотренном выше примере равно N1. В общем случае, однако,
число узлов отличается от числа неизвестных в элементе, поскольку
на один узел может приходиться более одного неизвестного.
Сформируем матрицы без учета преимуществ, связанных с сим-
метрией и их ленточной структурой. Для каждого элемента,
NUMEL, имеем следующие циклы:
D01O IM = 1, N3
IR = I (NUMEL, IM)
D0 20 IN = 1, N3
IC = I (NUMEL, IN)
A (IR, IC) = A (IR, IC) + S (IM, IN)
20 CONTINUE
10 CONTINUE
Чтобы привести столбцы к виду, требуемому в ленточной мат-
рице, структуру (5) или (4) нужно преобразовать к IC (которая
определяет столбцы) следующим образом:
D0 10 IM = 1, N3
IR = I (NUMEL, IM)
D02O IN = 1, N3
IC = I (NUMEL, IN)
ID = IC — (IR — 1)
IF (ID.LT.1) G0T0 20
A (IR, ID) = A (IR, ID) + S (IM, IN)
20 CONTINUE
10 CONTINUE
Аналогичным образом, суммируя вклады узловых «нагрузок»,
можно получить общий вектор «нагрузки». Отметим, что если в узле
отсутствует внешняя «нагрузка», сумма всех внутренних «нагрузок»
должна быть равна нулю.
Введение граничных условий. Система уравнений (2.40) допу-
скает решение в двух следующих случаях:
К—Mf=/=0 и Р^0; (2.43)
К—Mf = 0 и Р = 0. (2.44)
В первом случае известна величина 1 и требуется найти век-
тор И неизвестных из решения системы алгебраических линейных
уравнений
(Я—М4)Я = Р.
71
Во втором случае неизвестными являются так называемые
собственные числа Л,-, удовлетворяющие уравнению (2.44).
Первый случай: К — =# 0. Предположим, что из-
вестны некоторые неизвестные U. Можно было бы вычеркнуть
строки, т. е. уравнения, соответствующие этим величинам, а эле-
менты столбцов, умноженные на заданные величины, перенести
в правую часть. Это потребует перенумерации строк и столбцов
и приведет к появлению подматриц различного порядка. Ниже
описан другой путь, связанный с введением граничных условий
для перемещений и не требующий перенумерации. Для упрощения
запишем К — как К. Пусть заданы неизвестные в узле г
Ur=Ur. (2.45)
Можно заменить матричное уравнение для узла г уравнением
(2.45). Если U,. =/= 0, то необходимо преобразовать наддиагональные
части матрицы К и элементы матрицы Р следующим образом:
s = 1, 2, . . ., г — 1
Л>0;
s = r _
Ргг=1, (2.46)
s=r+l, r-f-2.....N
Ps^Ps-Kr^r,Krs 0.
Если направления ограничений в узле г не совпадают с на-
правлениями общей системы, необходимо прежде всего произвести
преобразование матриц К и Р. Пусть Ur есть матрица перемещений
в узле г. Тогда
Ur = RU. (2.47)
С учетом вышеизложенного основную систему уравнений можно
записать в виде
“Л’п ... tflrR ... KiN -
. . A\,R • • • KiN
X
RrKrR . . RrKrN
Симметрично . . . /ТЛЛ-
72
(2.48)
где вектор Pr = RTPr представляет собой внешние «воздействия»
в местной системе координат, приложенные к r-му узлу.
После получения уравнений (2.48) граничные условия можно
учесть в форме соотношения (2.46). Изложенные выше операции
выполняются для каждого граничного узла. В результате получаем
модифицированную систему уравнений
КИР'.
(2.49)
Размер вектора U' равен размеру вектора И, так как в вектор И'
включены фиктивные уравнения.
Пример 2.3. Предположим, что матрица К и вектор Р для при-
мера 2.2 найдены. Требуется удовлетворить главные граничные условия,
например условие и3 — С, где С — известная величина. Для этого третье
уравнение общей системы достаточно заменить приведенным выше условием.
При этом система уравнений примера 2.2 примет следующий вид:
1 • • • • *
1 • ’•“1 • • *
• L • "Л • • •
• • L • * 1 •
• • • L • •1 •
• • • • • "VI 1
Здесь приводится полная матрица, однако в дальнейшем будем рабо-
тать только с частью матрицы, расположенной иад диагональю.
Чтобы привести эту матрицу к симметричному виду, умножим коэффи-
циенты третьего столбца иа С и переведем их в правую часть (за исключе-
73
нием коэффициента, лежащего на диагонали). В результате будем иметь
Исходная Коэффициенты
правая з~го столбца
часть
Новую общую матрицу можно записать в несколько сокращенном виде:
Второй случай: К — ЬМ = 0. Рассмотрим случай,
когда Р = 0. При этом
(К—кМ)И=0. (2.50)
Задача сводится к определению значений 1, для которых урав-
нение (2.50) имеет нетривиальные решения. Эти значения получа-
ются из решения уравнения
К— /.Af = O, (2.51)
которое дает набор собственных чисел рассматриваемой крае-
вой задачи. Каждое из этих чисел связано с собственным векто-
ром Ис
74
Матрица М в выражении (2.51) является положительно опре-
деленной, но матрица К сингулярна из-за присутствия членов,
производные которых равны нулю. Путем наложения некоторых
дополнительных связей можно сделать матрицу К несингулярной.
При этом строки и столбцы, соответствующие таким неизвестным,
исключаются, что влечет за собой перестановку элементов матрицы.
Если не производить перестановку в матрицах, а ввести граничные
условия, как и в первом случае, каждая единичная величина,
расположенная на диагонали, даст неверное собственное число
Окончательно основную систему уравнений можно записать
в виде
= (2.52)
Порядок полученной системы уравнений ниже порядка системы
(2.50).
§ 2.5.
Решение системы
Первый случай. Если в уравнении (2.49) матрица Д' по-
ложительно определена, можно использовать» различные способы
решения этих уравнений. Опишем только метод исключения Гаусса,
который представляется более эффективным по сравнению с ите-
рационными методами. На время решения в этом случае значи-
тельное влияние оказывает ширина ленты, которая в свою очередь
зависит от системы нумерации узлов.
После получения вектора И' может возникнуть необходимость
в определении других переменных, например значения производ-
ных от уже найденной функции и (х, у). Например, проекции
скорости:
vx = hx^-, vy = hy^-. (2.53)
дх ду
Тогда для каждого из элементов, рассмотренных в примере 2.1
[см. уравнение (14)], можно записать
Uni
f vx ] j Mi hxb2 hxb3
= и и “"4 <2-54)
[ Vy ] hyd! hyd2 hyd3 J
С помощью приведенных выше формул можно вычислить vx,
Vy для всех элементов, причем в данном конкретном случае эти
величины постоянны в пределах каждого из элементов.
Пример 2.4. Решим линейную систему уравнений.
После выполнения граничных условий получаем положительно опреде-
ленную систему уравнений вида
АХ = В. (1)
75
Уравнение (1) можно переписать в индексном виде:
aiixj = bt> i, j=l, 2, . . . , n, (2)
где ajj — элементы матрицы A; 6/ — элементы вектора В.
Приведем зависимости процедуры исключения Гаусса для решения си-
стемы уравнений (2). Присваивая исходной системе верхний индекс <0»,
запишем
°11х1 + а12х2 + • • • + а<1пХп = *?>
°21х1 + а22Х2 + • • • + а2пхп = Й2,
(3>
ол1х1 + °п2Х2 + • • • +°пПХпп=Ь°п.
хз~ •
Решая первое уравнение относительно хг, получаем
Ь°1 4 *?з “1п
Х1=-О—~УХ1~'7Х'~ '~^хп-
в11 вП °11 “11
Исключив с помощью выражения (4) неизвестное хг из
уравнений системы (3), получим модифицированную систему
уравнений:
0)
оставшихся
из (л — 1)
а22х2 + °23х3 + • • • + а2пхп=Ь2
а32х2 + °33хз + + а'зпхП = Ь3,
(5>
ап2Х2 + °лЗХ3 + • • ' + аппХп=Ь'п.
где
о ьо
„1 _ „о „О М • 1,1 fcO _0 1 ,• ;_о „ ZCV
аП = аЦ—ап~ > Ь1 = Ь1—ац—' '• / = 2........ (6)
а11 °11
Аналогичная процедура используется с целью исключения х2 из урав-
нений (5) и т. д. Общий алгоритм исключения можно записать так:
.4—1 4—
ь “ь;
i^k + l...........я: <7>
'44
ЬГ1
I, / = А + 1....................................... (8>
Если разделить каждое уравнение системы (2) на до осуществления
процедуры исключения, то такого деления не потребуется в выражении (8).
Именно так это н выполнено в приведенной ниже программе.
76
После проведения вышеуказанной процедуры п—1 раз исходная система
уравнений сведется к простому уравнению
из которого получим
ап-'хп = Ьп~\
ПП п П 9
(9)
хп
(10)
ал7’
Остальные неизвестные можно определить в обратвом порядке с приме-
нением зависимости (7), т. е.
Указанные выше операции могут быть записаны на языке FORTRAN
следующим образом:
SUBROUTINE SOLVER (А, В, N)
DIMENSION А (10, 10), В (10)
Предварительные преобразования
Деление каждого уравнения иа А (К, К)
nnn non onn non noon
DO 10 К = 1, N
К1 = К+ 1
В (К) = В (К)/А (К, К)
Проверка по последнему уравнению
1F (К. EQ. N) G0T0 100
Формирование А (К, J)/A (К, К)
D0 20 J = KI, N
1F (А (К, J). EQ. О) GOTO 20
А (К, J) = А ( (К, J). А (К, К)
D0 30 1 = KI, N
А (1, J) = А (1, J) — А (1, К)*А (К, J)
30 CONTINUE
Вычисление нового значения В (J)
В (J) = B(J) — A(J, К)* В (К)
20 CONTINUE
10 CONTINUE
Обратная подстановка
100 К1 = К
К = К - 1
IF (К. EQ. О) GOTO 200
D0 40 J = KI, N
В (К) = В (К) - А (К, J)* В (J)
40 CONTINUE
GOTO 100
200 RETURN
END
77
Симметричная и ленточная система уравнений. Системы урав-
нений в большинстве практических задач являются не только сим-
метричными, но и ленточными. Это свойство означает, что матрица А
имеет вид прямоугольника, как в примере 2.3. В этом случае можно
изменить приведенную выше программу и работать только с
A (N, М), где М — ширина ленты, а а(1 — коэффициенты, распо-
ложенные на диагонали и над ней.
SUBROUTINE BANDS0L (А, В, N, М)
DIMENSION А (20, 8), В (20), С (8)
С
С Предварительные преобразования
С
С Деление каждого уравнения на А (К, 1)
D0 10 К = 1, N
В (К) = В (К)/А (К, 1)
С
С Проверка по последнему уравнению
С
IF(K-EQ.N) G0T0 100
С
С Формирование А (К, J)/A (К, 1)
С
D0 20 J = 2, М
С (J) = А (К, J)
А (К, J) = А (К, J)/A (К, 1)
2о continue
D03O L = 2, м
I = К -Т L — 1
IF (N.LT.I) G0T0 30
J = 0
D0 40 LL = L, М
J = J 4- 1
A (I, J) = A (I, J) — C(L)*A(K, LL)
40 continue
В (I) = В (I) — С (L) * В (К)
зо continue
io continue
c
С Обратная подстановка
С
100 К = К — 1
IF (K.EQ.0) G0T0 200
D0 50 J = 2, M
L = К + J — 1
IF (N.LT.L) GOTO 50
B(K) - В (К) — A (K, J) * В (L)
so continue
GOTO 100
78
200 RETURN
END
Путем сравнения этой программы с программой для полной
матрицы при желании можно проверить, что нами выполнены опе-
рации аналогичного типа, но с учетом симметрии, ленточного
характера матрицы и различного положения столбцевых элементов,
которые в данном случае располагаются «наискосок». Вектор С
представляет собой рабочий массив. Оператор контроля типа
IF (N.LT.I) GCT0 30 прекращает работу программы вне объема
ячеек, предназначенных для реальной матрицы, т. е. в «фиктив-
ной» области [см. уравнение (3) в примере 2.3].
Второй случай. Для этого случая имеем классическую
задачу определения собственных значений
КИШИ, (2.55)
где матрицы К и М предполагаются симметричными и положительно
определенными.
Для каждого значения X,- получаем такой соответствующий
(собственный) вектор что
яГ>ия, = 1,
И^КИ^К.
(2.56)
Можно также показать, что векторы решения Я,- и И{ ортого-
нальны по отношению к К и М, т. е.
для i ф j.
(2.57)
Окончательное решение уравнения (2.55) в общем виде есть
линейная комбинация собственных векторов
i.qtHi, (2.58)
i=i
где s меньше или равно числу всех степеней свободы системы, a qt
представляют собой обобщенные координаты.
Предположим, что исходная система уравнений имела вид
КИ-МИ^Р. (2.59)
Отсюда при гармоническом движении Й = Иеш (<о — круговая
частота) для частного случая Р = 0 получаем уравнение (2.55),
т. е.
КИ—КМИ = 0, Х = <о2. (2.60)
Подставляя выражение (2.58) в уравнение равновесия (2.59),
находим
+ (2.61)
<=i
79
Умножив на И/, можно свести уравнение (2.61) к s разделен-
ным дифференциальным уравнениям:
+ i = (2.62)
где Р,=ИТР, \ =
Решение уравнения (2.62) определяет вклад каждой величины qt
в формуле (2.58).
Главная трудность при суперпозиции гармоник связана с выбо-
ром числа s, т. е. с решением вопроса о том, сколько нужно взять
обобщенных координат для получения удовлетворительной точ-
ности решения. В общем случае принятие $ равным числу степе-
ней свободы системы приводит к резкому увеличению времени
счета. Кроме того, затруднительной становится оценка относитель-
ной важности высших гармоник, поскольку высокочастотные ре-
шения трудно различить. При выборе гармоник для включения
в решение (2.58) следует ориентироваться на амплитудные коэф-
фициенты гармоник для Р (т. е. Р£).
Для упрощения изложения не включены члены, учитывающие
демпфирование. Хотя введение пропорционального (линейного)
демпфирования в постановку задачи осуществляется непосредствен-
но, это приводит к дополнительным усложнениям при нахождении
решения.
При мер 2.5. Изу а1п ~ ЧР IM реи Х1 1ение системы - X 0 линейных . . . 0 ~ /Р авнеи! Х1 5Й вида
°21 * • • °2П Xi = 0 X ... 0 Xi (О
_ &П1 °П2 ’ • • &пп — Хп . 0 0 . • • X Хп
или •
АХ = XIX,
где А — вещественная симметричная матрица; X — вектор переменных;
X — скалярный параметр, представляющий собой собственное число.
Задача заключается в определении величин X и X, удовлетворяющих
уравнению (1). Для матрицы порядка N существует У собственных чисел
и У собственных векторов. Введем такое преобразование R, в результате
которого
X = RX'. (2)
Уравнение (1) принимает вид
ARX'=XRX (3)
или
RrARX' = XIX', (4)
где RrR = I.
Предположим, существует такая матрица /?, что можно записать выра-
жение (4) в виде
А'Х' = XX' (5)
80
или
а11
О
О
О
о о . . .
О Xj о . . . *2
= О о х3 . . . . ,
_ • • ’ In J х’п
где А' — диагональная матрица, которая дает /V величин Лп.
Для каждого Хп будем иметь соответствующий собственный вектор Хп
а’х;=к„1х;.
(6)
Теперь можем записать все собственные векторы (каждый в виде столбца)
в квадратную матрицу V в таком же порядке, как и собственные числа, так
что
AV = VX. (7)
Умножая уравнение (7) на V-1, получаем
V-1AV =V-1VX = kI. (8)
Сравнив уравнение (8) с выражением (4), можно прийти к выводу, что
V = R. (9)
Таким образом, задача сводится к яахождеиию матрицы R, которая диа-
гонализирует матрицу А.
Метод Якоби. Данный метод1 позволяет иайти матрицу R путем выпол-
нения ряда простых двухмерных преобразований. Эти преобразования приме-
няются к внедиагональным элементам А для приведения их к нулю.
Сначала рассмотрим двухмерную систему с двумя степенями свободы;
матрица А имеет простой вид:
. °21 а22 .
Преобразование дли ортогональной системы дает
1 В отечественной литературе этот метод часто называют методом вра-
щений. — Прим. ред.
81
Таким образом,
А' = RrAR =
au cos10 + 2ala sin 0 cos 0 + a2. sin2 0
Симметрично
a12 (cos2 0 — sin2 0) + sin 0 cos 0 (a_,2 — au)
ait sin2 0 — 2att sin 0 cos 0 + a_,2 cos2 0
С целью исключения внедиагональных членов потребуем, чтобы
а1г (cos2 0 — sin2 0) + sin 0 cos 0 (a22 — au) = 0
или
flu tg* 0 4- («и — 022) tg 0 — a12 = 0.
Отсюда
~ (°11 ~ M ± 1 I (Oil ~ a2i)2 + }
2flu
Ограничимся рассмотрением одного из корней, например корня, соот-
ветствующего знаку плюс в числителе:
t8e- . (И)
2^12
Отметим, что второй корень отличается сдвигом по фазе на 90° и урав-
нение (10) эквивалентно выбору интервала —л 2 < 0 < л 2. Тогда
можно записать следующие формулы для определения элементов матрицы R:
__1_
cos 0 = (1 + tg2 0) »
sin 0 = cos 0 tgO. (11)
Метод Якоби состоит в использовании приведенного выше преобразо-
вания ко всем внедиагональным членам, до тех пор пока они с небольшой
погрешностью не будут равны нулю. Можно начать с наибольшего (по абсо-
лютной величине) виеднагоиального члена и применять к нему указанное
преобразование вплоть до обращения его в нуль и т. д. Если элемент распо-
ложен на пересечении /-й строки и 2-го столбца, то в формуле (10) числа 1
и 2 нужно заменить на 2 и J.
Многократно (например, г раз) выполняя указанные преобразования
матрицы А, получим
Rrr • • • RfRjARjRj. • Rr = A (12)
ИЛИ
VrAV= А',
где
V= RjR2 • • • Rr.
Этой матрицей определяются значения г собственных векторов матрицы А.
Подпрограмма вычислений по методу Якоби
SUBR0LT1NE JAC0B (А, V, ERR, N)]
С
Исходная матрица задачи задается в A. ERR обеспечивает задан-
ную точность. Итерации прекращаются, когда максимальный
внедиагональный элемент становится меньше произведения ERR
на наибольший иачалшый внедиагональный элемент.
82
N — порядок матрицы. Собственные числа распечатываются
на диагонали матрицы А в порядке убывания, а собственные век-
торы в V. Если число итераций больше, чем ITM, подпрограмма
также прекращает работу.
DIMEXSI0N А (10, 10), V (10, 10)
С Начало
ITM = 200
IT = 0
D0 10 I = 1, N
D0 10 J = 1, N
V(I, J) = 0
10 IF (I. EQ. J) V (I, J) = 1
Нахождение наибольшего внедиагонального элемента
13 Т = 0
М = X — 1
D0 20 I = 1, М
Л = I + 1
D0 20 J = Л, N
IF (ABS(A(I, J)).LE.T) G0T02O
Т = ABS(A(I,J))
IR = I
IC = J
20 C0XTIXUE
ООО OOft on nnn on
Вычисление требуемой погрешности и контроль ее превышения IF (IT.EQ.0) Т1 = Т * ERR IF (T.LE.T1) G0T0 999 Вычисление косинуса и синуса PS = A (IR,IR) — 'A(IC, IC)' ТА = (—PS - SQRT (PS * PS + 4 * Т * Т))/(2 * A (IR.IC)) С = I./SQRT (1. - ТА* ТА) S = С * ТА Получение новой матрицы V для собственных векторов D0 50 I = 1, N Р = V (I.IR) V (I, IR) = С * Р + S * V (I, IC)
50 V (I, IC) = C*V(I,IC) — S*P Преобразование (вращение) матрицы А I = 1
100 IF (I.EQ.IR) G0T0 200 Р = A (I.IR) A (I,IR) = С*Р+ S*A(I,IC) A (I,IC) = C*A(I, IC) — S*P 1=1-1 G0T0 100
200 300 I = IR -г I IF (I.EQ.IC) G0T04OO Р = A(IR,I) A (IR, I) = С*Р + S*A(I,IC) A (I,IC) = C’A (I,IC) — S’P 1=1+1 G0T0 300
83
400 I = 1С 1
500 IF (I.GT.N) G0T0 600
P = A (IR, 1)
A (1R,1) = C*P+ S»A (IC.I)
A (1C, I) = C* A (1C,1) — S*P
1=1+1
G0T0 500
C
С Определение диагональных и внедиагональных элементов матри-
С цы А
600 Р = A (1R.1R)
A (IR.1R) = C»C*P+2»C*S*A (1R,1C) + S»S»A (1С,1С)
А (1С.1С) = С*С* А (1С.1С) + S ♦ S ♦ Р — 2 *С ♦ A (1R.1C)
A (1R.IC) = 0
С
С Контроль превышения максимального числа итераций
С
1Т = 1Т + 1
IF (1T.LT.1TM) G0T013
999 RETURN
END
Примечание. ERR (допустимая величина ошибки) обычно имеет
порядок 10—в—10-8.
Общий случай. Пусть вместо уравнения (1) имеем систему
АХ = ХВХ, (13)
где В — симметричная н положительно определенная матрица.
Требуется привести систему (13) к форме уравнения (1). Можно начать
с рассмотрения матрицы В. Применив к ней метод Якоби, получим значение
собственных векторов (матрица V) и собственных чисел (диагональная матри-
ца D). С использованием матриц можно выписать следующие соотношения:
VrBV= D;
В= VDVr.
С учетом выражений (14) уравнение (15) представится в виде
АХ= Z[VDVT]X
ИЛИ
VrAX = XDVrX,
VrAVVrX=XDVrX.
Вводя обозначения H = VrAV и X/ = VrX, имеем
HX' = XDX'.
Отметим, что D есть диагональная матрица, которую нетрудно
вить в виде
D = GG,
где G—другая диагональная матрица с элементами gu = У du-
Таким образом,
HX' = XGGX',
G'HXx^.GX'
ИЛИ
G~ !H G~1GX'= XGX'-
(14)
(15)
предста-
(16)
84
Введя дополнительное обозначение
X" = GX',
получим
(G_,HG_1) х" = мх"
QX" = XIX". (17)
Уравнение (17) имеет такую же форму, как н выражение (1). Можно
решить его, а затем, воспользовавшись соотношениями
X"=GX', x' = VrX, (18)
определить вектор X.
Собственные значения X для уравнений (13) и (17) одни и те же.
§ 2.6.
Общая программа расчета
Объединим все основные этапы применения метода конечных эле-
ментов, изложенные выше, для случая решения уравнения
hx
д2и
дх2
rhy
д2и
ду2
(2.63)
О в Л
с граничными условиями
— с <. ди , , ди о
и = и на Sr и vn=--hx — anx+h у — а на S2,
дх ду
где аЛА., апу — направляющие косинусы внешней нормали к гра-
нице области А по отношению к осям х и у.
Для простоты будем предполагать функции hx, hy постоянными
для каждого элемента. Для решения используется матрица эле-
мента из примера 2.1.
Программа расчета на ЭВМ по методу конечных элементов
включает следующие шаги:
1) ввод и контроль исходных данных;
2) образование матриц элементов;
3) формирование глобальной матрицы;
4) выполнение граничных условий;
5) решение системы уравнений;
6) печать узловых значений функции и [величины vx и vy
могут быть рассчитаны также по формулам (2.54), а затем выве-
дены на печать, хотя это и не сделано в приведенной ниже про-
грамме].
Пример 2.6. ЭВМ — программа для уравнения Лапласа. Будем
предполагать, что исходная информация вводится подпрограммой DATR,
а результаты выводятся на печать подпрограммой OUTW’. Текст этих под-
программ не включен в нижеследующий текст общей программы.
Подпрограмма ZER устанавливает нулевые элементы заданной матрицы
или вектора и предполагается составленной пользователем.
DIMENSION А (20, 8), S (3, 3), С (8), В (20), 1 (12, 3)
IX (20), Y (20), НХ (12), HY (12), 1ВС (13), VIBC (13)
CALL DATR (N, N2, N4, I, X, Y, HX, HY, IBC, VIBC)
85
N, число узлов; N2, число элементов; N4, число заданных зна-
чений U;
1(1, 2, 3) матрица связности элементов; X (20), Y (20) — коор-
динаты каждого узла: НХ (12), HY ([2) — коэффициенты <днффу-
знн» в направлениях X н Y; 1ВС“(13) дает число уравнений,
для которых U принимает значение VIBC (13)
Определение ширины ленты МВ
IX = 0
D0 100 К = 1, N2
IY1 = IABS (I (К, 1) — I (К, 2))
IY2 = IABS (I (К, 2) — I (К, 3))
IY3 = IABS (I (К, 3) — I (К, 1))
IF (IY1.GE.IY2. AND.IY1.GE.IY3) IY = IY1
IF (IY2.GE.IY3. AND.IY2.GE.IY1) IY = IY2
IF (IY3.GE.IY1. AND. IY3.GE.IY2) IY = IY3
100 IF (IY.GT.IX) IX = IY
MB = IX + 1
IF (MB.GT. 8) G0T0999
CALL ZER (A, N, MB)
Формирование общей матрицы
D 0 101 К = 1, N2
DELT = (X (I (К, 2)) * Y (I (К, 3)) + X (I (К, 1)) * Y (I (K, 2)) +
IX (I (K, 3)) * Y (I (К, 1))) - (X (I (K, 2)) * Y (I (К. 1)) +
2X (I (K, 3)) * Y (I (K. 2)) + X (I (К, 1)) * Y (I (K, 3))
Bl = (Y (I (K, 2)) — Y (I (K, 3)))/DELT
B2 = (Y (I (K, 3)) — Y (I (K, 1)))'DELT
B3 = (1 (I (К, 1)) — Y (I (K, 2)))'DELT
Al = (X (I (К, 3)) — X (I (K, 2)))/DELT
A2 = (X (I (К, 1)) — X (I (K, 3)))/DELT
АЗ = (X (I (K, 2)) — X (I (K, 1)))'DELT
S (1, 1) = (НХ (K) * Bl * Bl + HY (K) * Al * Al) * DELT/2
S (1, 2) = (НХ (К) * B2 * Bl + HY (К) * A2 * Al) * DELT/2
S(l,3)= (HX(K)*B3*B1+ HY (K)*A3*A1) DELT/2
S (2, 2) = (НХ (K) * B2* B2 + HY (K)* A2* A2) * DELT/2
S (2, 3) = (НХ (К) * B3 * B2 + HY (К) * АЗ * A2) * DELT/2
S (3, 3) = (НХ (К) * B3 * B3 + HY (К) * A3 * A3) * DELT/2
S (2, 1) = S (1, 2)
S (3, 1) = S (1, 3)
S (3, 2) = S (2, 3)
Формирование матрицы А из матриц элементов
D0 200 IM =1,3
IR = I (К, IM)
D0 200 IN = 1,3
IC = I (K, IN)
ID = IC — (IR — 1)
IF (ID.LT.l) G0T0 200
A (IR, ID) = A (IR, ID) + S (IM, IN)
200 CONTINUE
101 CONTINUE
Наложение (выполнение) граничных условий
CALL ZER (В, N, I)
KF = MB - 1
D0 300 К = 1, N4
N5 = IBC(K)
D0 400 KI = 1, KF
IR = N5 — KI
IF (IR.LT.l) G0T0 450
В (IR) = В (IR) - A (IR, (KI + 1)) • VIBC (K)
A (IR, (KI + 1)) = 0
450 IR = N5+ KI
IF (IR.GT.N) G0T0 400
В (IR) = В (IR) — A (N5, KI + 1) • VIBC (K)
A (N5, (KI + 1)) = 0
400 C0NTINUE
A (N5, I) = 1
В (N5) = VIBC(K)
300 C0NTINUE
C
C CALL S0LVER
C
CALL BANDS0L (A, B, N, MB)
C
C CALL SUBROUTINE T0 PRINT VALUES 0FU
C
CALL 0UTW (В, X, Y, N)
999 ST0P
END
ЛИТЕРАТУРА
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.
2.. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.
М., Мир, 1976.
3. Постнов В. А., Хархурим Я. И. Метод конечных элементов в расче-
тах судовых конструкций. Л., Судостроение, 1974.
4. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к у пру i им си-
стемам. М., Стройиздат, 1977.
5. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., Мир,
1977.
в. Desai С. S. and Abel J. F. Introduction to the Finite Element Method,
Van Nostrand Co., 1972.
7. Brebbia C. A. and Connor J. J. Fundamentals of Finite Element Tech-
niques for Structural Engineers, Butterworths, 1973.
8. Martin H. C. and Carey G. F. Introduction to’Finite Element Analy-
sis, Me Graw-Hill, 1973.
9. Norrie О. H. and De Vries G. The Finite Element Method. Fundamen-
tals and Applications, Academic Press, 1973.
УПРАЖНЕНИЯ
2.1. Сравните (обычный) метод Галеркина с конечноэлементной проце-
дурой. Отметьте различия этих подходов.
2.2. Составьте блок-схему программы определения собственных значе-
ний и собственных векторов для уравнения
h
д*и
дх*
h -^+Хи = 0 в А
ду*
С граничными условиями и = и на Sj и ди!дп на S2.
Предположите, что используется подпрограмма JACOB из примера 2.6.
87
2.3. Проверьте, удовлетворяет ли функция
и = а4 + a2g + + a4^
условиям допустимости и полноты1 для прямоугольного элемента, пока-
занного на рис. 2.8, при решении уравнения Лапласа.
2.4. Примите аппроксимирующую функцию и на прямоугольном эле-
менте, показанном на рис. 2.8, в виде
« = «1 + a2S + ОзП +
Выведите соответствующие матрицы К и Р для уравнения, приведенного
в примере 2.1.
2 5. Выявите различия и относительные достоинства треугольного
элемента примера 2.1 и прямоугольного элемента, рассмотренного в при-
мере 2.4.
2.6. Уравнение Лапласа
д*м дги ______ Q
дх*~ "Г ~ду*~ ~
может быть записано в центральноразностной форме для узла 5 (рис. 2.9) как
—- (иг -}- Ui + tig -}- us — 4u5) = 0.
P
Сравните этот результат с уравнениями, которые можно получить,
используя матрицу конечного элемента из примера 2.1 для двух сеток, пока-
занных на рис. 2.9, б.
2.7. Какой тип функций и можно предложить для шестиузловой мо-
дели, представленной на рис. 2.10? Рассмотрите вопрос о том, как удовлет-
воряются условия сходимости.
2.8. Объедините элементы, показанные на рис. 2.11, используя матрицу
элемента
Г 4 1
L 1 1
1 1 "
1 1
4 1
1 4 _
с одной степенью свободы на один узел. Примите граничные условия utl =
= «к = 0.
Можно ли уменьшить ширину ленты путем перенумерации узлов?
2.9. Объедините четыре треугольных элемента, как показано на рис. 2.12,
используя матрицу, выведенную в примере 2.1. После составления матрицы
в виде
К И Р,
(5 у 5) (5 X 1) (5 X 1)
где Ит = {u^UgUgUg}, Рт = \Р1РгРзР^}< запишите и5 в виде функции
других четырех переменных и сравните результирующую матрицу размером
(4X4) с матрицей, сформированной в упражнении 2.4.
2.10. Проведите разбиение двухмерной области, показанной на рис. 2.13,
на 10—20 треугольных элементов, учитывая симметрию области. Пример
относится к задаче теплопереиоса, и в некоторых сечениях можно принять
1 Имеются в виду условия, обеспечивающие сходимость решения по
МКЭ к точному при уменьшении размеров элементов. — Прим. ред.
88
Рис. 2.8. Прямоугольный элемент
i 5 2
Рис. 2.10. Шестиузловой
элемент
Рис. 2.11. Конечноэлементное
разбиение области
Рис. 2.12. Четырехуголь-
ник, составленный из
четырех треугольных
элементов
Рис. 2.13. К задаче о распределе-
нии температуры
89
условие --= 0. Коэффициент термодиффузии для всего сечения сохраняет
дп
постоянное значение.
2.11. Предположите, что коэффициенты диффузии hx, hy, входящие
в уравнение (1) примера 2.1, заданы в основной системе координат X'Y’,
повернутой на угол 0 относительно системы координат XY. Выразите коэф-
фициенты диффузии (hxhy) в системе XY в функции от h'x, h'y и 0.
ГЛАВА 3
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
В этой главе приводятся наиболее важные интерполяционные
функции для случая гармонических и бигармонических уравнений.
В общем случае эти функции должны удовлетворять следующим
условиям.
1. Функции и их производные до п—1-го порядка (где п —
порядок старшей производной в функционале) должны быть непре-
рывными внутри каждого из элементов и между элементами. Для
гармонического уравнения (например, у2и = 0) это условие пред-
полагает непрерывность и, а для бигармонического уравнения
(например, у4и = 0) означает непрерывность и и ди!дп.
Непрерывность производных более высокого порядка, связан-
ных с естественными граничными условиями, удовлетворяется
в среднем путем включения соответствующих членов в вариацион-
ные формулировки методов Галеркина или Ритца.
2. При возрастании числа элементов производные, входящие
в вариационную формулировку, должны стремиться к постоянным
или, в частности, к нулевым значениям. Следовательно, необхо-
димо включить в функцию и члены, которые могут обеспечить
выполнение этих условий. Для случая гармонического уравнения
у2и — 0 выполнение этого условия приводит к следующему выра-
жению для интерполяционной функции:
и = а1 + а2х+а3г/, (3.1)
поскольку высшие производные, входящие в вариационную форму-
лировку, есть ди/дх и ди!ду, 04 представляет собой тип члена
с «нулевой» производной, а а2, а3 — члены с «постоянной» произ-
водной.
Для бигармонического уравнения у* и = 0 высшие производные
в функционале есть дги1дх\ д2и/дх ду, д*и!ду2 и, следовательно,
функция и должна включать следующие члены:
и = + а2х + а3у + а4х2 + а6ху + аву2, (3.2)
где характеризует параллельный перенос, а2, аз — поворот
координат, а4, а5 и ав удовлетворяют условию постоянства высших
производных.
50
Как уже отмечалось, интерполирующая функция может быть
выражена следующим образом:
и = А(х, у) я, (3.3)
где я — набор параметров.
Число параметров at должно быть равно числу узловых неиз-
вестных \
Воспользовавшись зависимостью (3.3), выпишем значения узло-
вых неизвестных элемента:
и” = С (х,у£)«, (3.4)
где и" — вектор узловых неизвестных; С — квадратная матрица.
Отсюда
e = C-Iun. (3.5)
Исключая с помощью зависимости (3.5) вектор я из выраже-
ния (3.3), получаем
u=(AC_1) ип = ф>п. (3-6)
где члены, входящие в ф, представляют собой интерполяционные
функции фь каждая из которых связана с неизвестной щ. В раз-
вернутом виде формула (3.6) может быть представлена так:
u = + • • • =фГип. (3.7)
Если имеются две переменные, например и и и, которые могут
быть представлены одинаковой интерполяционной функцией, то
можно записать
ф • у ( и"
• ф\ [ Vя
= Фгип.
(3-8)
Ниже будет дан вывод интерполяционных функций для тре-
угольного и прямоугольного элементов в случае:
1) непрерывности первого порядка, т. е. когда требуется обе-
спечить только непрерывность самой функции; таковы функции,
используемые в формулировке для гармонического уравнения;
2) непрерывности второго порядка, т. е. когда внутри каждого
элемента и между элементами требуется обеспечить непрерывность
функции и ее первых производных; такие интерполяционные функции
применяются для би гармонического уравнения.
1 Равно числу степенен свободы конечного элемента. — Прим. ред.
91
§ 3.1.
Функции с непрерывностью первого порядка
для треугольных элементов
Связь между прямоугольными и треугольными (косоугольными)
координатами. Задача построения интерполяционных функций для
треугольного элемента существенно упрощается при использовании
косоугольных координат.
На рис. 3.1 показана схема нумерации узлов и направлений
косоугольной системы. Узлы нумеруются в направлении
против часовой стрелки, и сторона, расположенная напротив
узла I, определяется как сторона i. Косоугольные координаты
могут быть приведены к безразмерному виду, если отнести их
к длине соответствующей стороны. Прн этом они изменяются от
О до 1.
Рис. 3.1. Косоугольные координаты
/ и II — стороны
Для установления связи между декартовыми и косоугольными
координатами рассмотрим произвольную точку Р (х, у) = Р (£1Г g2),
для которой
Х = Х3+(Х1 — Х3) h + (х2 — х3)
У = Уз + (У1—Уз) £1 + (у2—Уз) £2-
Координаты и £2 произвольной точки, расположенной на сто-
роне 3 треугольника, связаны между собой соотношением
Si + &2 = 1. (ЗЛО)
Перепишем выражение (3.9) в виде
* = £1*1 + ^2*2 + (1 ~ ~ £2) *з.
1/= Sil/i + + (1 — Si — U 1/з-
Разрешая систему уравнений (3.11) относительно и £2, полу-
чаем
х/1
(ЗЛ2)
£2 = !Т(2А°+Ь/ + а21/)«
92
где
ai = xk—xt-, Ь1=у,—ук\
2A° = xjyk—xkyj (i = 1, 2 для / — 2, 3 и k — 3, 1); (3.13)
A =-^-(b1a2—b^i) — площадь треугольника.
Безразмерные координаты можно интерпретировать как отно-
шения некоторых площадей. В самом деле, из рис. 3.1 видно, что
расстояние от стороны / до точки Р по нормали равно h^. Тогда
координата £х произвольной точки Р (£х, £2) определится по формуле
t Площадь (32Р) Лх ...
1 Площадь (321) А ’
где Дх определяется как площадь, ограниченная стороной / и от-
резками 2Р и ЗР (рис. 3.1 и 3.2).
Можно ввести три коорди-
наты, связанные с отношениями
площадей (£х, £2, £3), но только
две из них независимы, так как
^1 + ^ + ^з=1- (3-15)
Рис. 3.2. Координаты, связанные
с отношением площадей
И все же при построении ин-
терполяционных функций удобно
использовать все три коорди-
наты.
Используя зависимости (3.12) и соотношение (3.15), можно выра-
зить £3 через х и у:
?з=1-^1-^ = -^-(2Лз + &зх + М’
где Д° = Д —Д°; а3= — а{— а2; bz=—bx—b2.
Введение дополнительной координаты £3 позволяет предста-
вить соотношения (3.11), которыми устанавливается связь между
декартовыми и треугольными координатами, в следующем виде:
х = хх?14-х2?2 + хз^з;
У = Уih +У& + А
(3.16)
Поскольку выражения для матриц элементов в общем случае
включают производные по декартовым координатам, нам понадо-
бятся формулы для их определения:
з
т^'^з)нУ|
дх di,
i=l
дх
(3.17)
93
Для выявления производных высшего порядка требуется повторное
применение формул (3.17.
При вычислении интеграла
J J f (£1?2?з) ,
(3.18)
где подынтегральная функция является степенным полиномом от
координат Sj, и £3, целесообразно использовать следующую
формулу:
t! j! fe!
(i + i + k + 2)l
(3.19)
Формула интегрирования (3.19) пригодна для двухмерных эле-
ментов. Для одномерного элемента формула принимает вид
(3'W)
а для трехмерной области
С ХЦЦЦdS =-------,!/! *! Zi1-6V, (3.21)
12 3 4 (« + / + * + / + 3)1 k '
где L — длина элемента; V — объем элемента.
Преобразование косоугольных координат необходимо произ-
водить с особой тщательностью, поскольку новая система такова,
что не все & независимы. Например, при двухмерном преобразова-
нии целесообразно работать с косоугольной системой, приведен-
ной на рис. 3.1, где координаты и |2 независимы. При этом будем
иметь следующую формулу:
1 Г
Ш(^2)<*Л = 2Л) f <&
А о L о
(3.22)
'2*
Линейная функция. Простейшее выражение в двухмерном случае
для треугольного элемента при трех узлах (рис. 3.2) имеет вид
U = -)- £2U2 “Ь -3^3 (3.23)
или
и = фгип, (3.24)
где фг = [£1£2£з1’> un=(u1u2u3}; и( — узловые значения функции.
Производные и находятся из выражения (3.23):
ди
~дх
1
2А
i=l
ди
з
V biUi = -J- U’;
>/1 ЛА
(=1
(3.25)
ди
ду
з
“Г и".
94
После подстановки в формулу (3.23) выражений в функции
от координат х и у получим следующее выражение для функций и
в декартовых координатах:
и = + а2х+(3.26)
или в косоугольных координатах
и = а, 4- а'^ + а^2-
Однако применение треугольных координат более удобно, так
как тогда функция и выражается непосредственно через узловые
неизвестные, а не через члены которые представляют собой
комбинации узловых величин. Постановка задачи в треугольных
координатах позволяет использовать
простые правила интегрирования и в
общем случае удобна для элементов
более высокого порядка.
Пример 3.1. Рассмотрим вариаци-
онную формулу для уравнения Лапласа из
примера 2.1, т. е.
дди
дх
, . ди дЪи \ . f- .
4- hy---------\dxdy = I qnoudS.
ду ду ] J
S.
(1)
Вместо того чтобы использовать представление
и = а, +«2* + азу.
в качестве аппроксимирующей функции для треугольного элемента, приве-
денного на рис. 3.3, примем зависимость (3.23):
“ = £i“i + + £з“з = ФГип- (2)
Покажем, что использование треугольных координат заметно упро-
щает задачу определения матриц К и Р. Соотношения [см. уравнение (3.25)]
ди ди dh ди dj2 ди dg3
дх dji дх д^2 дх dgj дх
- «г дх д& ~и* а дх +«з- ~ . (и1д1 + и2&3 + “з^31 > дх 2А (3)
ди ди 0S1 , ди ди dig дЪ д&
ду dh ду + дЪ ду д Ss ду ду ду
1
+ “з -?*- = — {“iai + “А + Ugag}
ду 2А
могут быть записаны в матричной форме следующим образом:
ди дх ди ду 1 2А 1 2А Ьгип и агип и аналогично аналогично ddu дх di и ду = —ьгдип; 2А = —— ardun, 2А (4)
где Ь= {Ь^Ьз}, а = 'alfl2as) и ЦП = {«!, Uj, «»}•
95
Воспользовавшись выражениями (2) и (4), вариационную формулу (1)
можно переписать в виде
—7— du"’ т J I {ЛХЬЬт + hyaaT] dxdyun = 6un’ т f $qndS.
4А2
(5)
Произведя интегрирование в левой части этого уравнения, получаем
тот же результат, что и в примере 2.1, т. е. выражение (12). Интегрирование
в правой части упрощается из-за использования треугольных координат.
В самом деле, пусть величина qn задана только на стороне 2—3 (рис. 3.3).
Тогда
(6)
Рис. 3.4. Треугольный элемент
для квадратичной интерполяци-
онной функции
Для вычисления интеграла (6)
можно воспользоваться формулой (3.20),
которая при постоянном qn дает
0
Р = 9п //2 . (7)
//2
Этот результат, конечно, такой же,
как и в примере 2.1, но получен более
простым путем.
Квадратичная функция. При
использовании элементов с линей-
ными интерполяционными функ-
циями в ряде случаев для получе-
ния необходимой точности приходится разбивать область на очень
большое число элементов; именно этим можно объяснить то большое
внимание, которое уделяется в последнее время вопросам построе-
ния функций более высокого порядка. Заметим, что в практических
приложениях наиболее часто используется квадратичная функция.
В косоугольных координатах квадратичная функция может
быть записана так:
и = а, + a2g, + a3g2 + а4£2 + a5g,g2+а6£22.
(3.27)
Задаваясь узловыми значениями координат g2, получаем
соотношения, из которых можно найти вектор а в функции от узло-
вых величин ип. После этого выражение (3.27) можно привести
к виду (рис. 3.4)
и = фтип, (3.28)
где фт={^ (2^-1), М2&2-1), E8(2g8—1), 4^2, 4g2gs, 4^);
Un= {И1И2«з«4И6Ив}.
96
Треугольные координаты ниже. 5з узлов элемента приведены
Узел 51 52 5з
1 2 3 4 5 6 1 0 0 х/2 0 V, 0 1 0 V, V, 0 0 0 1 0 %
Для пр где ф = юизводных ди дх ди ду ~ 4^-1 0 0 получаем следующие 1 VI. ди 1 . х — ь 2Л XJ д& 2А 1 VI ди 1 2А д& ” 2А 3 0 0 4^ 4£2-1 0 4^ 0 4gs—l 0 формулы: гфип; гфип, 0 4^а 45з 0 452 45, (3.29) . (3.30)
Отметим, что вычисление интегралов теперь усложняется
и может оказаться более удобным использовать не выражения
(3.19) и (3.20), а некоторые из формул численного интегрирования.
Кубическая функция. * В общем случае кубическая функция
содержит десять произвольных параметров, при определении кото-
рых потребуется выбрать для элемента такое же число неизвест-
ных узловых величин. Условия совместности между элементами
будут выполнены, если закон изменения функции вдоль рассма-
триваемой стороны элемента зависит только от узловых величин на
этой же стороне. Для кубической функции требуется четыре узловые
величины, для того чтобы определить значения функции вдоль
(одной) стороны.
Сформулированные выше требования будут выполнены, если,
например, для треугольного элемента в дополнение к его угловым
точкам выбрать по две узловые точки вдоль каждой из его сторон
и еще одну узловую точку внутри элемента. В качестве неизвестных
выбираются узловые значения функции. Эта модель показана
на рис. 3.5, а. Внутренние узлы удобно располагать на расстоя-
ниях, равных одной трети стороны от угловых узлов. Дополнитель-
ный узел внутри элемента необходим для сохранения полноты
полинома, поскольку при неполном полиноме результирующие
97
матрицы будут обладать предпочтительной направленностью, что
нежелательно. Дополнительный узел удобно расположить в центре
тяжести площади элемента.
Окончательное выражение для интерполяционной функции при-
менительно к модели на рис. 3.5, а имеет вид
9
«= V0iUi + 0loulo, (3.31)
i=l
XUn=(U1 иг.. . Ug UJ0) * Un=/Ui UifX UjyU„)
Рис. 3.5. Кубическая функция: а — в качестве узловых пере-
менных выбираются зиачеиия функции; б — за узловые пере-
менные принимаются зиачеиия функции и ее производных
где ф1 — так называемые функции формы (табл. 3.1).
Чтобы уменьшить ширину ленты, можно попытаться работать
только с угловыми узлами. При этом в число переменных допол-
нительно включаются значения производных функций. Модель
такого элемента показана на рис. 3.5, б, а соответствующий этой
модели интерполяционный полином, записанный в треугольных
координатах, имеет вид
и — Ф1и1 + Ф»и1,х~\-фзи1,р+ • • • + 0»«з.у + Фюи » (3.32)
где
Ф1 = 5?(^+352+3^з)—75,5^3;
02 ~ И (°3^2 °2^з) + (°2 ^1^2^3’
0з = (Мз (&з ^1Мз»
04 = ^(£2+3£3+3£1)-7^3;
05 ~ ^2 (а^з + аз^1) "Ь (a3 а1) ^1^3’
06 = ^2 (^1 Мз) “Ь (^1 &з) ^1^3’
07 = ^(В3 + 3^+ЗВ2)-7^3;
08 = ^з (°2^1 а1^г) “Ь (а1 аг) ^1^3*
09 = Щ^2-Ь2^ + [b-Ц ^3;
0>о= 27^1^2^з*
98
Таблица 3.1
Некоторые интерполяционные функции для двухмерного случая
Треугольник
Прямоугольник
3
В вершинах:
01= (251-1) 51. 1 = 1, 2, 3
На серединах сторон:
Ф/ = 451г5/. /=4, 5, 6;
А= 1, 2, 3; 1 = 2, 3, 1
3
\7
9/ 10 \б
1 % ? Z
В вершинах:
Ф( = 4-(35(-1) (35; -2) 51.
i = 1, 2, 3
На сторонах: i = 4, 5, 6, 7, 8, 9
Ф( = -|-Ыг(3^-1).Л= 1.2,2,
3, 3, 1, 1 = 2, 1, 3, 2, 1, 3
В центре: i = 10
Фы = 27515г£»
Ь ? 3
81 б
А о <
1 5 2
В вершинах:
Ф< = 4" d + ^)d+™).
4
i = 1, 2, 3, 4
При /=6,8
Ф( = -^ d + fo)d-n2)
Прн i = 5, 7
*i = T(1-5’)(1 + w)
4 10 9 3
I- о , с>_.— п
I8
г
15 6 2
В вершинах:
Ф( = ^-(1 + ^)(1 + пп1)х
Х[ — 10 + 9 (5» + T)3 * s * *)]. «= 1. 2, 3,4
При 1 = 7, 8, 11, 12
фi = ^ d + ^i)(l -n2)(l +9T).n)
При i = 5, 6, 9, 10
Ф1 = ^ d +W) (1-S2) (1 + 9551)
99
Обе модели включают в себя в качестве неизвестного значе-
ние функции в центре тяжести площади. В некоторых случаях
можно представить это значение в функции других неизвестных
с помощью расчленения матриц и «сгущения». Суть этих операций
состоит в следующем.
Предположим, что имеется система уравнений вида
Кв Квс ив
Квс Кс ] ис
Рв
рс
(3.33)
Используя второе уравнение системы, можно исключить вектор
ис из первого уравнения. В результате получаем
Квив = Рв, (3.34)
где
Кв = Кв—КвсКс’Квс;
Рв = Рв-КвсКЕ‘Рс.
В этом и состоит процедура «сгущения», в результате которой
часть неизвестных оказалась исключенной из дальнейшего исполь-
зования. Матрицу элемента Кв обычно называют «сгущенной».
Пример 3 2. Требуется вывести матрицы элементов для вариацион-
ной формулировки:
С СI. ди дди ди дди \ f - . о
I I -------------------------— \dxdy = I qnt>udS,
J J \ дх дх ду dy J J
i» s,
(1)
используя при этом в качестве иитерполяциоиной функции выражение (3 28).
Предварительно подсчитаем значения производных [см выражения
(3 29)1
ди 1 .. п du 1 . п
---=------Ьфи , ----=-----афи •
дх 2А дх 2А
(2)
Используя зависимости (3.28) и (2), равенство (1) можно преобразовать
к виду
бип’ г —!— С С (йхфгЬЬгф + ftytfraartf)dxdyun = бип ’ т f ^qndS. (3)
4А>
Операции умножения матриц и интегрирования для двух членов в левой
части уравнения дают две матрицы размером 6x6, которые можно записать
следующим образом.
I» = J J фгЬЬгф^А, 1а = J Уфгаагф<М. (4)
При этом предполагается, что hx и hy — постоянные.
Вычисление первого из этих интегралов с использованием формулы
(3.19) дает
100
1 1 4
bl —-^-bib2 —гМа T*1*2
о о о
ь2 3~&2^8 -3-&1&2
ь2 о
— (&1 + Ь1Ь2 +
Симметрично
0 — ц> 3 1 3
4 т»Л о 0
4 TMs — bb 3 18
— (btb2+ bl + y- (&lb3'+ +
+ &2&з) + + *1*2)+ (5)
+ “7" bib3 0 + 4^3
— (&2 + Мз + 0 — (b2b3+ bl +
+ьз) + й1йз) +
8 + Т^з
8 (h2 h b 1 b2} 3 (&з+ ь1*з+ bi)
Аналогичный результат получается для интеграла 1а, но с коэффициентами
сц вместо ftj.
В результате для определения матрицы К получаем следующее выра-
жение:
К =—!-[Л*Ь + Мв].
Переходим к формированию матрицы <виешних воздействий» Р. Для
случая приложения qn лишь иа стороне 2—3 в 0) значение вектора Р
определится с помощью зависимости
0
5, (25,- 1)
5з(25з- 1)
о
45,5з
о
gndS.
(6)
Предположим для простоты, что величина qn постоянна вдоль указан-
ной стороны, хотя при необходимости было бы нетрудно рассмотреть случай
изменения qn, например, по линейному закону, т. е.
Чп = ?n2?2 + <7лз5з-
(7)
После иитегрироваиия зависимости (6) с использованием формулы (3.20)
для случая qn = const имеем
Р =
(8)
где I —длина стороны.
§ 3.2.
Функции с непрерывностью первого порядка
для прямоугольных элементов
Системы координат. Для прямоугольного элемента (рис. 3.6) удобно
ввести в рассмотрение систему безразмерных координат Л:
5 = -- (х-хе)-, т) = 4 О- 35)
а о
меняющихся в пределах ±1.
102
Производные и интеграл по площади при переходе к безразмер-
ным координатам принимают вид
д_______________________________1 д
дх а '
±1± (3'36)
ду Ь <Эт)
И
-М 4-1
f I f (X, i/)dA—4ab | f f(B, n)dsdn. (3.37)
Рис. 3.6. Прямоугольные элементы
Простейший прямоугольник. Для простейшего прямоугольника
имеем только узловые неизвестные в угловых узлах и, следова-
тельно, функция вдоль его границ может изменяться лишь по ли-
нейному закону. Подходящая двухмерная интерполяционная функ-
ция для функции и может быть получена непосредственно из квадра-
тичного полинома
u = a1 + a1g + a3Tj + a4gT]. (3.38)
если входящие в него параметры а, выразить через узловые неиз-
вестные м£. В результате получаем
и = ф1и1 + фги2 + ф3и3 + ф4и1, (3.39)
где
Ф1=~ О - В) (1 -п); Ф2=4- 0 + В)!(1 -п);
03=4-0 +В) 0 +п); 04= (1-5) (1+п).
Усовершенствованные прямоугольные элементы. Для улучше-
ния «качествз прямоугольного элемента первого порядка попро-
буем обеспечить квадратичное изменение искомой функции вдоль
его границ. Это требует введения дополнительного внутреннего
узла на каждой стороне прямоугольника (рис. 3.7, а). При этом
выражение для' функции и должно включать восемь параметров:
и = + at5 + «зП + “4?г + оф) + авП2 + + «85п2- (3-40)
103
Параметры а, можно выразить через узловые неизвестные и,.
В итоге можем получить следующее выражение для интерполя-
ционной функции:
8
(3-41)
где
4Фж=(1 —^)(1—Т1)(—л—1);
4Ф2 = (1 + £)(1- п)(£-п-1);
4фз=(1 + Р(1 + *))(£ + *)-1);
404=(i-£)(i+n)(-Uri-i);
2ф5 = (1 —£2) (1—т]); 2фв = (1-rfla+S);
2ф, = (1-^)(1 + л); 2^в = (1—Л»)(1—5).
Прямоугольный элемент, соответствующий треугольнику с ку-
бической интерполяционной функцией, можно получить, если
принять кубическое изменение функции иа границе. При этом
Рис. 3.7. Прямоугольные элементы высших порядков: а — второго
порядка; б — третьего порядка (узловые переменные — значения
функции); в — третьего порядка (узловые переменные — значения
функции и ее производных)
существуют две возможные модели: 1) включить два дополнитель-
ных узла на каждой стороне, как показано на рис. 3.7, б, и в ка-
честве узловых величин взять значения самой функции; 2) работать
только с угловыми узлами и включить в число узловых неизвест-
ных значения первых производных. Для последней модели эле-
мента (рис. 3.7, в) на каждый узел приходится три переменных:
и, ди/дх, ди/ду.
Интерполяционные функции для каждой из двух упомянутых
моделей можно получить непосредственно из кубического поли-
нома
и = + а2£ + а3г) + а4^г + а6Ет] + авт]2 + а7£3 + + ав£т]2 +
+ «юП3 + 3.42
если входящие сюда параметры выразить через узловые неиз-
вестные. Результирующие выражения приведены ниже.
104
Модель А. Узловые переменные есть значения функции
12
u= (3.43)
1=1
где
0i = ^(l-5) О-П) {-Ю + 9 (52++)};
02=^(1 +5) (1-п)(-1о+9(^+т]2)};
oZ
0з=^(1+5) (1+п) {-10 + 9 аг + г)2)};
oZ
04 = 4"О”5) (1+т>) {-Ю + О^ + т]2)};
oZ
05 = 4-(1-£2) (1-г]) (1—35);
oZ
0. = 4-(1-52)(1-п) (1+35);
oZ
07 = 4-d-n2) 0 + 5) (1—зп);
oZ
0e=4-(i-n2) (i +£) (i+3ti);
oZ
0в = 4-(1-52)(1+т!) (1+35);
oZ
0ю = ^(1-52)(1+т])(1-35);
oZ
0ii = -4~(l — П2) (1—5) (1 +3П);
oZ
012 = 4-(1-^
Модель В. В качестве узловых переменных принимаются зна-
чения функции и ее первых производных в угловых точках:
и = фгип, (3.44)
где
и” = {«!«!, xult уи^ xu2t уияия, xuSi yUtuti J,};
о ( 2
02 = 4 (П-1) (5—l)2 (5 + 1);
i °
105
Фз=-vfo-О2 (5—i) to + i);
+ (£ + !)-
О ( Z
-yto + O (5- l)+to + l) to-1)+(5+1) (5- 1)};
06=v(T>~1)(?+1)2 G-0;
0.=4-to—i)’(5 + i)to+i);
о
07 = v(ti+i)(5 + 1)(4-(ti + 1) (5 + 1Х-
о V Z
“(g_,) (Ti-1)-(Ti + 1) to-l)-(5 + D (5-1) j;
08 = v(t1 + 1H5 + 1)2
о
09=4(ti+1)2(5+1) to-0;
010=4- to + i)(5-i)fvto + ,)(g-1)-
~4" to-i) (5+ i)+to+1) to-1) + (5+1) (5-1)};
0n=4-to + i) (5—i)a (5 + 1);
Ф1»=—4“ to +1)2 (5-1) to-1).
о
Интерполяционные функции для двухмерных прямоугольных
элементов, показанные в табл. 3.1, нетрудно обобщить на случай
трех измерений (табл. 3.2).
Пример 3.3, Сформируем теперь матрицы элементов для уравне-
ния (1) из примера (2.1) прн использовании простейшего прямоугольного
элемента, показанного на рис. 3.8. Элемент рассматривается в декартовой
системе координат, начало которой помещено в узел /.
Интерполяционная функция имеет вид
u = ф1и1 + фги3 + ф3и3 + ф4и4' = ф7’ип, (I)
где
Ф1 = (1 — 5) (1 — п);
Ф» = 5(1 -п);
Фз =
Ф4 = (! — £) п;
106
Таблица 3.2
Некоторые интерполяционные функции
для трехмерного случая
Тетраэдр
Куб
Узлы в вершинах:
ф1 = (25/ - 1) h, /=1,2,3, 4
На серединах сторон:
1=5, 6, 7, 8, 9, 10
Ф. = 25*5/
k = 1, 2, 3, 1, 2, 3
1 = 2, 3, 1, 4, 4, 4
Узлы в вершинах: i = 1, 2,... ,8
Ф,- = у (1 + 55/) (1 + w) (1 + К/)х
x(55i + w + K.-2)
На сторонах: i = 9, 12, 17, 19
Ф< = —(i-5*)(i+w) (1 + К/)
4
На сторонах: i= 10, И, 18, 20
Ф/ = —(i-n*)(i + 55/)(i + tW
4
На сторонах: г =13, 14, 15, 16
Ф/ = — (1-5*) (1 + 550(1 +W)
4
Узлы в вершинах: i= 1, 2, 3, 4
Ф/=-—(35>—1) (25/— 2) &
На сторонах:
7 = 5,6, 7,8,9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
Ф/= -^-(35/-1)5*5/
k = 1,2,2, 3, 3, 1, 1,4, 2, 4, 3,4
1 = 2, 1,3,2, 1,3, 4, 1,4,2, 4,3
В серединах гранен: i = 17, 18, 19
Ф, =
j = 1,2, 3; k = 2,3, 1; 1 = 4, 4, 4
8 30 29 7
21
П
23
19
3
Узлы в вершинах:
= 64 ° + U<) ° + W) ° + К<) Х
X {9(5» + П* + ?) - 19}
107
Продолжение табл.3.2
Тетраэдр Куб
Z* У £ Система координат определена через объемы, величина которых связана с положением точки Р: ъ-*-: V — полный объем, тогда И Г 1 1 1 1 “I X Xi х2 х3 х4 g2 У ~ У1 Уг Уз Уз 5з I z |_ *1 *а *з *4 J ’ £1 При i = 9, 10, 13, 14, 25, 26, 29, 30 Ф» =-^(1 — £’)(1+95.5) х х (1 + *]*li) (1 + 55.) При != 11, 12, 15, 16, 27 , 28 , 31, 32 g Ф1 = — (1 — П1) (1 + 9П(П) X х (1 + 550(1 + 550 При i= 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 ф1 =-£- (1 - 5*) О + 95.-5) х X (1 + 5500 +w)
Координаты 5. *1» 5 измениются от + 1 до — 1
Первые производные равны
и»,
(2)
Ф
ф
*> у
Рис. 3.8. Прямоугольный эле-
мент первого порядка
а
где
(3)
108
Подставив выражение (2) в вариационную формулу (1) нз примера 3.2,
получим
1 1
дил' Tab J J х фтх + А^ф, ф^) d&h)Un = flu"1 т J $qndS. (4)
0 0 S,
Интегрируя прн
находим
hx = const первый член в левой
части равенства (4),
По аналогии можно записать
Ф,
2 1 —1
2 —2
2
Симметрично
— 2 -
— 1
1
2
(7)
Для нахождения матрицы Р необходимо провести интегрирование
по части границы, на которой задана величина qn. Предположим, что этой
частью является сторона 2—3*н величина qn вдоль этой стороны постоянна.
Тогда
(8)
Сравнительный анализ. Эмери и Карсон [3] провели некоторые
сравнительные исследования различных матриц элементов для
задач стационарной и нестационарной теплопередачи. В качестве
тестовой задачи взято решение стационарного одномерного урав-
нения диффузии
<Ри
~ТТ = Р’
dx2
(3.45)
109
где р = х6 с граничными условиями
— I -О,
dx |x=i
“ |х=О = °-
(3.46)
При расчетах использовался треугольный элемент с линей-
ной, квадратичной и кубической интерполяционными функциями.
На рис. 3.9 результаты сравниваются с решением, полученным
методом конечных разностей. Величина I есть расстояние между
узлами. Отметим, что полная длина области равна 1. Результаты
представляют собой ошибку в определении температуры и в точке
х = 1. Точное значение и в этой точке, получаемое при интегри-
ровании уравнения (3.45) с граничными условиями (3.46), равно
0,1429.
-0,05
Рис. 3.9. Погрешность определения и
1 — метод конечных разностей; 2 — МКЭ, линейное рас-
пределение; 3 — МКЭ, квадратичное распределение; 4 —
МКЭ, кубическое распределение
Результаты указывают на преимущество применения метода
конечных элементов при наличии сложных функций для внешних
«источников) типа р = х6. В методе конечных элементов эти функ-
ции распределяются в соответствии с видом интерполяционных
функций. В самом деле, для уравнений (3.45) и (3.46) имеем следую-
щую вариационную формулу
J I dx*
ди
дх
ди
(3-47)
р I6udx
Интегрирование зависимости (3.47) по частям дает
по
(3.48)
где функция р распределяется в соответствии с интерполяционной
функцией для и. В методе конечных разностей, напротив, вклады
функции р сосредоточены в узлах.
Результаты для этого одномерного случая также обнаруживают
тенденцию к увеличению точности метода конечных элементов
при переходе к элементам более высокого порядка. Хорошие ре-
зультаты при небольшом дополнительном объеме вычислений дают
элементы с квадратичной интерполяцией. При этом отсутствуют
усложнения, характерные для использования элементов высокого
порядка и связанные с громоздкими вычислениями их матриц.
Принимая во внимание эти и другие тесты, в частности, прове-
денные для задач расчета напряжений в конструкциях [2J, для
практического использования можно рекомендовать квадратичную
модель.
§ 3.3.
Изопараметрические элементы
Для тел с кривыми границами (линиями или поверхностями) в це-
лях более точного описания их геометрии целесообразно исполь-
зовать так называемые криволинейные элементы, т. е. элементы
с кривыми границами (рис. 3.10).
Переход от прямолинейных сторон к криволинейным осущест-
вляется следующим образом. Предположим, что координаты х, у
могут быть выражены через криволинейные координаты
х==х(£, г|), у = у&, г|). (3.49)
Выбор £ и г) зависит от геометрии элемента. Выразим интер-
поляционные функции 1 * через координаты £, г) и вычислим криво-
линейные производные:
Ф = Ф(£. П)={Ф1. Фв. • • • };
I d£ ’ d£
). Ф.п = (—(3-50)
J I an an J v '
Поскольку выражения для матриц элементов содержат декар-
товы производные, перед построением этих матриц следует преоб-
разовать криволинейные производные в декартовы. Общее преоб-
разование для некоторой функции ф имеет вид
дф дф —S дф дп
дх дх 1 дп дх
дф дф .dL , дф дп
ду di ду Н дп ду
(3.51)
1 Для этих функций более употребительно наименование «функции
формы». — Прим. ред.
111
Обычно явные выражения Л через х и у получить трудно.
В этом случае можно использовать другой путь: рассмотреть ф
как функцию от х н у и вычислить производные по | и tj:
дф
"dl
дф
^П
с)
Исходный
У
1
элемент
дх
д1
дх
дт)
(х^)(ХзУз)
(3.52)
б) ‘t
в
У
1 К 5
Исходный
элемент
(хвУа
(^У,)
Y
(хбУб)
, , . (хгУг)
(х5Уэ)
Элемент .
с криволинейными
сторонами
О
Рис. 3.10. Изопараметрические элементы: а—ли-
нейный элемент; б — квадратичный элемент
а затем полученные зависимости разрешить относительно декар-
товых производных:
или
дф ~дх дф ду = J"‘ дф дф 0П
дф 1 / ду дф ду дф \
дх U 1 Un dl д% с >п /
(3.53)
дф___1 / дхдф дх дф \
ду “ТЙк ’дГ+~дГ <*]/’
(3.54)
где |J|—детерминант J, называемый якобианом,
дх ду дх ду
д% дт) <Эт) д$
(3.55)
112
Чтобы преобразование было единственным, необходима конеч-
ность величины якобиана.
Приведем в дополнение одно полезное соотношение:
dA = (абсолютная величина |J|)d£di]. (3.56)
Наличие переменных коэффициентов в зависимостях для пре-
образований производных вызывает необходимость использования
численного интегрирования при нахождении матриц элемента.
Если функции формы, описывающие геометрию элемента и опре-
деляемую неизвестную функцию, одинаковы, то элемент назы-
вается изопараметрическим. Необходимо обеспечить, чтобы выра-
жение искомой функции через криволинейные координаты удов-
летворяло условию полноты (условию постоянства функции и ее
производных). Это приводит к тому, что при правильном построе-
нии интерполяционной функции
« = ф7’ип (3.57)
должно выполняться условие
и = ах + а2х+asz/ (3.58)
для любых значений и при соответствующих значениях ф1 (5, т]).
Посмотрим, к каким дополнительным ограничениям на выбор ин-
терполяционных функций приводит выполнение условия (3.58).
В узловых точках должно выполняться равенство
«i = «1 + «а-Ч + «af/i, (3.59)
так что выражение (3.57) можно переписать в виде
«= 2(а1 + ааХ4 + азг/4)ф4(^, т])| = аг (g, n) +
1=1 i=l
п п
+ «а 2 & *1) + “з 2 & Л)- (3/60)
i=i »=1
Оно будет тождественно выражению (3.58), если
п
i=l
2 (3.6i)
i=i
^У{фс = У-
i=l
Последние два соотношения тождественно выполняются для
изопараметрического элемента. Поэтому при использовании изопа-
раметрических элементов для обеспечения условия постоянства
113
производных функции формы ф(, входящие в выражение для ин-
терполяционного полинома, должны удовлетворять первому усло-
вию (3.61).
Пример 3.4. Рассмотрим использование указанного выше преоб-
разования координат применительно к простейшему прямоугольному эле-
менту, который, являясь изопараметрическим элементом, преобразуется
в четырехугольник общего вида (рис. 3.10, а).
Координаты х, у можно выразить через их узловые значения следую-
щим образом:
4
х = 2 0«*< = *Г*П’
1=1
4
У = ^Ф{У1 = ФТУП- (1)
1=1
Известно также, что
4
«= = *r“n’ (2)
>=1
где
= (1 - 5)(1 - п); 02=5(1-п);
0з=5п; Ф4 = а — 5)п-
(3)
Отсюда
ди
ди
дц
Uni
(п — 1) (1—n) П — П 1 ип2
а-1) -5 S (1-5) J «па
(4)
Связь между обеими системами координат выражается якобианом (3.48)
as
as
дх
_ an
ay
an _
= в*
(5)
Х1 У1
Хг Уз
х3 Уз
-Хз Уз _
Произведем обращение матрицы J:
j __ J11 Ла 1
. Л1 Jtt J
(в)
Значения входящих сюда элементов легко вычислить с помощью выра«
жения (5). Обратная матрица определяется по формуле
1_[ ^за — Ла 1
।ji L-/*! Ail’
где
| J | — JU.J22 — 7ItJ21"
(7)
114
Теперь можно записать' формулы для определения производных ди!дх,
ди/ду:
Матрица
ди ди ип1
дх ~д$ иП2
= J-* = J-^B*
ди ди ипз
. ду д’! им
В= J-*B*
(8)
(2X4) (2X2) (2X4)
(9)
может быть легко вычислена. С учетом соотношения (9) формулу (8) можно
представить в виде
ди
~дх
ди
ду
= Ви».
Вариационная формула, соответствующая уравнению (1) из примера
2.17, имеет вид
СС(, ди дЬи , , ди дЬи \ . . (*—. ._ ,1П.
I I |йх—---------\-hy-------—ldxdy = I qn6udS. (10)
J J \ дх дх ду dy j J
A St
Левую часть равенства (10), необходимую для определения матрицы
свойств элемента, можно записать так:
1 1
дия-г [|’ВГНВ| Jldgdnu", (11)
b b
где
Гйх -1
L aJ’
Подсчет значения правой части равенства (10) необходим для опреде-
ления матрицы Р. Пусть лишь сторона 2—3 располагает потоком qn =
= const по нормали к границе. Тогда получаем
где I — длина стороны 2—3.
115
В общем случае значение dS вычисляется по формулам
1
IA dj
dg на стороне т) = const,
на стороне £ = const.
§ 3.4.
Функции с непрерывностью второго порядка
для прямоугольных элементов
Для бигармонического уравнения у4« (см. пример 1.11) мини-
мальные требования непрерывности состоят в обеспечении непре-
рывности функции и ее первых производных. Обсудим некоторые
свойства интерполяционных функций для треугольных и четырех-
угольных элементов применительно к данному классу задач. При
этом ограничимся рассмотрением тех элементов, которые много-
кратно проверялись в практических расчетах, и было обнаружено,
что они имеют достаточную точность.
Рис. 3.11. Система координат н прямоугольный элемент пер-
вого порядка
Простейший прямоугольник имеет узлы в четырех вершинах и
три степени свободы на каждый узел (рис. 3.11). Примем набор
узловых перемещений в виде
u"=(«i, «ь*. “i.F....“«.,)• (3-62)
Выражение для интерполирующего полинома для функции и
состоит из полного квадратичного полинома и шести дополни-
тельных членов. Для обеспечения межэлементиой совместности
требуется непрерывность функции и и нормальной производной.
Поскольку в вектор и" входят только первые производные, выра-
жение для функции и на стороне прямоугольника должно содер-
жать четыре параметра, т. е. должно быть кубическим, чтобы
116
удовлетворить условию непрерывности и. Кроме того, для удовлет-
ворения условию непрерывности ди/дп нормальная производная
должна изменяться линейно.
Члены полиномов последовательно увеличивающихся степеней
наглядно представляются треугольником Паскаля. Его вид вплоть
до полинома десятого порядка показан ниже:
1
5 7
в
у
Ч57
.у
\^7
У?2
н*7 4
н V ''У?*
7г
47Z
3 шестой.
у z степени
У,
2-3
ГТ/ ц
{У
5 десятой
7 ' степени
У/ V6
77
^5/
у
^7
у
1-^
7*
V7
(3.63)
Полный кубический полином содержит десять членов. На гра-
ницах | = 0,1 и т) = 0,1 необходимы два дополнительных члена
кубической или более низкой степени. Ограничение показано
пунктирными линиями. Члены можно выбирать произвольно
при сохранении симметрии выражения с целью обеспечения инва-
риантности матриц элементов. Существуют три возможные комби-
нации:
и
или
|3Т)2 и |2Г]3,
или
SV И |3п3.
Такой подход к построению интерполяционного полинома обес-
печивает выполнение условия непрерывности функции и. Усло-
вие непрерывности ди/дп требует, чтобы вдоль стороны величина
ди/дп изменялась линейно, поскольку она определена только
в узловых точках. Независимо от того, какая комбинация выбрана,
мы не можем не прийти к кубическому изменению нормальной про-
изводной. Поэтому невозможно построить непрерывное выраже-
ние, которое удовлетворяло бы обоим условиям непрерывности,
ПТ
если в число узловых переменных входят лишь и и первые произ-
водные.
Несовместный элемент, основанный на первом варианте выбора
дополнительных членов (|®т] и £т]’), будет полностью эквивалентен
элементу, основанному на использовании полинома (3.44). Этот
элемент широко применялся при анализе изгиба пластин. Полное
выражение его интерполяционного полинома имеет вид
и = ах + а,? + а,т] + а4£8+а6£т) + а4т]2 + а7?8 + +
+ а1от18+а11^8т1 + аи?т18- (3.64)
Функции формы (3.44) могут быть переписаны для системы
координат £, т], приведенной на рис. 3.11:
« = 01«1 + 02 (ди/дЪ)! + 03 (ди/дт}^ +. . . + 0J2 (du/dr\)t, (3.65)
где
01 = 2(7)—1)(5—+ ^};
0г = а(т]-1)(£-1)Ч;
0з= — £» Сп—1)2 (5—1)п;
04 = 2(т1-1)Цт13+^—
0s=a(n—1)£2(£—1); 0« = ь(п—1)Чп;
0т = 2тгё -L+ А (5 +.Т])};
08 = атгёг(£—1); 0» = Ьп25(п—1);
010 = 2п (I-1) (ri2 + V-~ Y п);
Фп = аг]1(1 — I)2;
012=-И2(5-1)(Т]-1).
Выражение (3.65) содержит все линейные члены, не произво-
дящие «энергию», и квадратичные члены, наличие которых важно
для выполнения условий полноты, так как они могут описывать
состояние постоянной плотности энергии для элемента. Линейные
члены необходимы для удовлетворения главным граничным усло-
виям. Следовательно, решение будет сходиться к точному при
уменьшении размеров элементов. Результаты, получаемые при
использовании этого элемента, обычно достаточно точны для инже-
нерных приложений (см. рис. 3.17).
Вернемся к вопросу о построении совместного элемента. Ясно,
что для использования единого интерполяционного выражения
применительно ко всему элементу необходимо допустить куби-
ческое изменение нормальной производной. Тогда интерполяцион-
на
ный полином будет содержать все члены над верхней пунктирной
линией в выражении (3.61):
и — Уравнение (3.64) + als£V + а14 + alb!;V + аи SV-
На каждой стороне на величину ди/дп требуется наложить
четыре условия и, следовательно, к уже имеющимся двенадцати
узловым неизвестным необходимо добавить еще четыре. В каче-
стве таких узловых неизвестных целесообразно принять значения
смешанных производных и,ху в углах. Соответствующие интерпо-
ляционные функции, полученные Богнером, Фоксом и Шмидтом»
ц
ди
дх
5ц ?
3У
Вги
дхду
и
ди
дх
< >
3У
дги
дхду
а
ип =(76X1)
' ц
ди
дх
' Зи ?
3У
дги
дхду,
' и '
ди
дх
< 32L
3У
дги
дхду
Рис. 3.12. Бикубический изгибный элемент
приведены ниже. На рис. 3.12 представлены схема нумерации узлов
и перечень узловых неизвестных
U = фгиг ф3и1г х 4- ф3и1г у ф^, Ху 4- . . .4" 018U4. ху> (3.66)
где
Ф1 = fi (5) fi (П)! Ф1 agi (£) fi (n);
Фз = bfi (£) g± (n); 04 = abg1 (£) g! (n);
Фт=bf2 (£) gi (n); 08=abgi (£) gi (n);
0» = fl (£) fi (n); 010 = agi (У gi (n);
0ii = bf2 (£) g2 (n); 0i8=abg! (£) ft (n);
018=fi (У fi (n); 0i4=agi (5) /2 (n);
015 = bh (£) g2 (n) •, 01. = abgx (£) g2 (n)
119
я
A(S)=1—3S1 2 + 2S3
/2 (S) = 3S2—2S3
gl(S) = S-2S2 + S3
g2(S) = S3-S2
кубические полиномы Эрмита. (3.67)
Результаты, полученные с использованием этого элемента,
свидетельствуют о значительном увеличении точности по сравнению
с рассмотренным ранее несовместным элементом. Тем не менее
применение смешанной производной дги/дх ду есть «несуществен-
ная» мера. Эта производная неудобна из-за ее высокого порядка
в случаях, когда требуются преобразования.
Вильсон и Бреббиа [9] предложили простую модификацию
(3.66), которая приводит к элементу с 12 степенями свободы. Они
заменяют смешанные производные их конечно-разностными аппро-
ксимациями через величины первых производных в углах. Напри-
мер, для смешанной производной в 1-м узле
' д*и \ _ 1
дхду )г. 2
Принимаемое при этом выражение для искомой функции содер-
жит все линейные и квадратичные члены и обеспечивает непре-
рывность функции и. Что же касается нормальной производной,
то она вдоль линии стыковки смежных элементов терпит разрыв и,
следовательно, элемент является несовместным. Результаты для
этого элемента расположены между результатами, соответствую-
щими двум ранее рассмотренным элементам. Оба элемента с 12
степенями свободы являются несовместными и поэтому не могут
обеспечить ограничений, накладываемых на величину энергии,
в то время как совместный элемент всегда приводит к однозначным
значениям вариационного функционала Ч
Богнер, Фокс и Шмидт [51 разработали более усовершенство-
ванную модель, основанную на двупятеричной интерполяции
искомой функции (диагонали за членами £5, т]5 в треугольнике Пас-
каля), которая обеспечивает непрерывность и, и „ и и пп. В каж-
дом узле модели вводится по^девять узловых неизвестных:
U.X1 Ч, ,1 ^,ууХ1 У.ххур]- (3.69)
Как и следовало ожидать, применение этого элемента обеспечивает
высокую точность расчета.
Вместо построения интерполяционного выражения для всей
области, занятой элементом, можно произвести разбиение области
элемента на подобласти и для каждой такой подобласти построить
1 Тем самым обеспечивает сходимость решения по методу конечных
элементов (МКЭ) с точным прн уменьшении размеров конечных элементов,
на которые разбивается рассматриваемая область. — Прим. ред.
120
свое интерполяционное выражение. Каждое из этих выражений
должно быть непрерывным (вплоть до первых производных) как
на внутренних, так и на внешних границах. Ниже дается описание
такой процедуры для прямоугольника, предложенной Диком и
Пианом [61. Случай треугольного элемента будет обсуждаться
позднее.
Дик и Пиан разбивают прямо-
угольник на четыре треугольника, “
как показано на рис. 3.13. Они
вводят безразмерные координаты
х = 2х! а, у = 2у!Ь (3.70)
и записывают искомую функцию J
в виде
области
12 _ _
“ = 5 се^Дх, у),
(=1
Рис. 3.13. Прямоугольный эле-
(3.71) мент, разделенный на четыре
где
1 К 1 S « '1 - г» rU II II II Для 1, областей
2, 3, 4
fs = y 3; ho = xy;
fii = Зх3у + ЗуЪ—х3!/3 — 5xy
x2—2x + y2 Для области 1
2xy— 2x » 2
—x2—2x—y2 3 (3.72)
— 2xy—2x 4
y2—2y + x2 2
1 1 I Ol । L । 1 * ’cm > > 1
—y2—2y—x2 4
— 2xy—2y 3
T( xPy3—yx5 — Зх^+Зух2) » > 1, з
fit — 1
4-( xys—x?tr—Зх/г + Зи x3) » 2, 4
4
121
Выражение (3.71) приводит' к кубическому закону изменения
функции и и линейному изменению нормальной производной на
внешних границах и поэтому удовлетворяет условию межэлемент-
ной совместности. Нетрудно показать, что функция и ее первые
производные непрерывны на внутренних границах х — ±У- Исполь-
зуя эту модель, продолжаем работать только с тремя узловыми
неизвестными в каждом узле. Результаты, полученные с приме-
нением этого элемента, не обнаруживают столь быстрой сходимости,
как в случае бикубической модели, хотя и приводят к более точным
результатам по сравнению с результатами использования несов-
местных элементов.
Пример 3.5. Получим конечно-элементные матрицы прямоуголь-
ного элемента (см. рис. 3.11) для бигармонического уравнения
V4“^P. (1)
Вариационная формула, соответствующая этому уравнению, имеет вид
{см. пример 1.10)
= j j Р^и dxdy. (2)
Предположим, что искомая функция интерполируется выражением
(3.66):
и = фги". (3)
Тогда
д2и дх2 д2и {.ду2 а2 { 1 | м 1 д*Ф1 д12 ’ д2Ф1 6Т)» ’ д2Фг д12 дгФ1 дх\2 д2Фи | “ д& J д2Фи\ дх? 1 и" = В (g, Т)) ц« (4)
дхду уТ ( д*Ф1 1 дгФг д2Ф1,) I _
Теперь можно переписать равенство (2) в виде
6ип,т j f В т Bdxdyun = du"’т J f фрdxdy. (5)
Поскольку вариации би"’ т произвольны, из соотношения (5) пол>чим
Kun=P, (6)
где К и Р — искомые матрицы для рассматриваемого элемента
1 1 1 ________
К =—- [ | BrBdxdj/,
о о
1 1 *
Р = —— [ [ фтpdxdy.
а‘> о о
Интегрирование может быть выполнено вручную или с использованием
формул интегрирования.
122
§ 3.5.
Функции с непрерывностью второго порядка
для треугольных элементов
Построение интерполяционных функций для треугольных элемен-
тов существенно упрощается при использовании безразмерных
косоугольных координат, рассмотренных ранее и приведенных на
рис. 3.14.
Поскольку минимальным по числу узловых переменных явля-
ется выбор и, и. х, « у, выражение для и должно быть по меньшей
мере кубическим на границе. Рассмотрим простейший треуголь-
Рис. 3.14. Треугольные координаты
ник, т. е. треугольник с узлами в вершинах и тремя переменными
в каждом узле. Полный кубический полином содержит десять
членов:
и = 04 4- а2£ 4- азТ] + а4£2 4- аь£г] 4- ед2 4- а7£3 4- а8£2п 4-
4-а#£ч24-анЛ8« (3-73)
Первоначально будем использовать производные по £ и т],
а затем перейдем к декартовым координатам. С помощью выра-
жения (3.73) можно подсчитать значения узловых неизвестных
в функции от параметров 04 и далее выразить эти параметры через
значения узловых неизвестных:
«i = w8; a2 = (S«/^)3 = u3,5; a3 = u3itl; (3.74)
04 = З14—3а1—2а3—иг, 5;
ав = Зи2—З04—2аз—и2, я;
123
а? = «1.5 + аг + 2«i—; а8 = ы2. п + “з + 2<Xj — 2u,
и
а5 + а8 = ui. п — аз; «5 + а9 = u2. j-“г- (3.74a)
Зависимости (3.74а) показывают, что величины а4, а8 и а8 опре-
делены не единственным образом. Очевидно, что следует вклю-
чить дополнительную узловую величину. Поскольку нормальная
производная изменяется по квадратичному закону, то такой вели-
чиной должна быть нормальная производная в середине одной из
сторон. Общие выражения для нормальной производной в трех
средних .точках таковы:
hs(du/dn)t = hsuti п = \—Сйи (1— CJ)u J ;
е=п=-2-
^Xu5, n = \U. 5 —
5=0. Т)= —
A2we.n = |—С2и,ъ + и „I , (3.75)
6= -у- n=o
где Сг — (/31//32) cos 0, С2 = ((32^81) cos О, С8 = (/82//х2) cos 0.
Принятие величины u4,n в качестве десятого параметра приво-
дит к следующему результату:
а8 = и1,Е—а3—а5; (3.76)
а» = «2. j—«з!
а5 = 4/I3U4, n 4-бСз^—C8ult | + (1 + сз) Ui, n4-6 (1 —С3) и2 +
4- (1 — С3) u2, |—(1—С3) u2r п—6»!—202 — 2og.
Окончательное выражение для интерполяционной функции
имеет вид
и = 4- фгди!дх |х 4- ф3ди!ду |х 4- • • • 4- ф^ди/ду |8 4-
4- ф1йди!дп |4, (3.77)
где
Ф1= Л 4* 6Сз/10;
Фг — аг(1г—Cgfio)—ai {fs4-(l 4"С8)/10}»
фя— ——Сз/10)4-^1 {/з4-(14-С3)/ю};
0<= ft 4" 6 (1 —Ct) f 10;
Фв = а2 {Zs4~(1—C8)f10}—Ox {f6—(1—C3)f10};
Фе — —^2 {Л4~ (1 —C3)f10} 4- b2 [ft—(1 C8) /10};
0? — fi—6f10;
08 = a2 (fe“2f10)-Qx (fg — 2fxo);
124
Ф»----b2(f3—2f10) + (/»—2f 10);
Ф10 = 4Лз/ io
и
Л=^(3-2й; f2=^a-i); fs=^;
f4 = T)a(3-2r)); f5 = № fe = Ti2(n-l);
A = i-fi-f4; f8 = Ha-1)2-n2};
f,=r){T)—i)2—^2); fio=^(i-£-П).
Выражение (3.77) удовлетворяет условию непрерывности функ-
ции и на всех сторонах. Зависимости (3.75) показывают, что выра-
жения для нормальных производных в точках 5 и 6 включают вели-
чины перемещений для стороны 1—2
4hyu3, п = 6C3Ui + (—01 + аз^з) иъ х + (bi — b3Ca) ult у +
+ 6(1—Ci—C8)u2+ {—Оз(2—C8)—ах(1 + С.;)} u21X +
+ 1^з (2—С3) + &1 (1 + Ci)} и2, у—6 (1 — Сх) и3 +
+ {— as + ai (1 —С\)) из, х+ {^s—by (1 —Ci)} о3, „ + 4/г3и41П,
4Л2ив>я = 6 (С3—С2) Ui+ {Оз (1 + С3) + 2a2C2} Uy, х +
+ {—ba (1 +С3)—2Ь2С2] иг, „ + 6 (1 —С3) и2—а3 (1 —С.;) и2, х +
+ b3 (1 — С3) и2, у—6 (1 —С2) u3+ {а8—а2 (1 —С2)} и3, х +
+ {—b3 -1- b2 (1—С2)} и3, у + 4/i3u4i „, (3.78)
и поэтому условие непрерывности нормальной производной не
удовлетворяется на сторонах 2—3 и 1—3.
Образуем совместный треугольный элемент следующим обра-
зом. Сначала разобьем треугольник на три треугольника, как
показано на рис. 3.15. Точка С для удобства помещается в центре
тяжести площади. Примем зависимость (3.77) в качестве интерпо-
ляционного выражения для каждой треугольной подобласти,
найдем матрицы субэлементов, а затем составим матрицу исходного
элемента в соответствии со следующей совокупностью узловых
неизвестных:
u"={ult ult-, .... и3,у, uit„, и^п, Ut,n, ис, ис,х, ис,в] =
= {uBuc}. (3.79)
Условие непрерывности функции и и ее нормальной производ-
ной удовлетворяется на внешних границах. Однако условие непре-
рывности производной и, п не удовлетворяется на внутренних
границах при произвольных значениях ис. Потребуем обеспе-
чение непрерывности нормальной производной, приравнивая ее
значения «слева» и «справа» в узлах 7, 8 и 9 с учетом зависимостей
(3.78). Это приводит к следующему ограничению на величину ис:
uc=EuB. (3.80)
125
Полученный в итоге элемент имеет 12 степеней свободы
(рис. 3. 15).
Наконец, девятипараметрический вариант получается, если
устранить повороты в узлах, расположенных посередине сторон.
Этот элемент построен в работах 17, 8].
Для случая элемента с 12 степенями свободы результаты обна-
руживают удовлетворительную сходимость. Модель же с 9 степе-
нями свободы оказывается «слишком жесткой» по сравнению с мо-
делью с 12 степенями свободы вследствие введения дополнительных
ограничений.
Изложим еще один подход к построению интерполяционного
полинома, пригодного во всем треугольнике. Выше указывалось,
что кубический полином не содержит достаточного числа парамет-
Рис. 3.15. Разбиение треуголь-
ного элемента (треугольник с 12
степенями свободы)
Примечание. Треугольник
с 9 степенями свободы получается,
если потребовать, чтобы на внешней
границе нормальная производная из-
менялась линейно:
ров для обеспечения непрерыв-
ности нормальной производной.
Обратимся к полиному четвертой
степени, который содержит 15
параметров. Для такого полинома
требуется пять условий на сто-
роне, чтобы задать функцию и.
В дополнение к значениям и и
du/dS в угловых точках можно
выбрать значение и посередине
данной стороны. Отметим, что мы
уже ввели в сумме 12 узловых
величин. Далее нормальная про-
изводная описывается полиномом
третьей степени и требуются че-
тыре условия для ее однозначного
определения. В дополнение к уже
введенным ранее двум произ-
водным на концах стороны в чи-
сло этих четырех условий можно
включить значения нормальной
производной в двух внутренних
точках на каждой стороне. В ре-
зультате общее число узловых
неизвестных возрастает до 18, а полином четвертой степени содер-
жит лишь 15 произвольных' параметров. Следовательно, исполь-
зование такого полинома не может обеспечить получение совмест-
ного элемента.
Обратимся к полиному пятой степени, в который входит 21
параметр [8]. Для однозначного определения функции и вдоль
стороны требуется шесть условий. Ограничив выбор узловых пере-
менных величинами функции и и ее первых производных, обна-
ружим, что в полиноме пятой степени также не содержится до-
статочного числа параметров. Снимем это ограничение и включим
величины трех вторых производных для угловых точек в число
126
узловых неизвестных. Шесть условий, которые однозначно опреде-
ляют изменение функции и вдоль стороны, обеспечиваются зна-
чениями и, duldS и d2u!dS2 на концах данной стороны. Заметим,
что при наличии шести неизвестных на каждый угловой узел,
т. е. в общей сложности 18 неизвестных, необходимо ввести еще
три дополнительных неизвестных. Нормальная производная опи-
сывается полиномом четвертой степени и для ее определения вдоль
Рис. 3.16. Треугольный элемент для интерполяционной функции в виде
полинома пятой степени. Повороты в серединах сторон исключены требова-
нием изменения нормальной производной по закону третьей, а не четвертой
степени:
каждой из сторон треугольника требуется располагать пятью
условиями. Мы уже располагаем значениями и п и и, ns на концах
сторон. В качестве пятого условия можно выбрать значение и п
в одной из внутренних точек стороны, например в ее середине.
В результате имеем 21 неизвестную, что позволяет однозначно
определить полином пятой степени и удовлетворить всем требуе-
мым условиям непрерывности. Все узловые величины показаны
на рис. 3.16. Применение полученного совместного элемента
приводит к отличным результатам даже в случае грубой сетки
(рис. 3.17).
127
Сравнительный анализ. Сравним результаты использования
некоторых описанных выше функций с непрерывностью второго
порядка для решения бигармонического уравнения
V4« = AC, (3.81)
где Ас— дельта-функция, равная 1 в центре области с размерами
1X 1 и нулю в любой другой точке.
В качестве граничных условий примем
п п
и = 0» — = 0
дп*
2)
по всему контуру области.
Рис. 3.17. Результаты решения бигармонического уравнения в центральной
точке элемента
/ — прямоугольный (не полностью совместный) элемент с 12 степенями свободы [см.
уравнение (3 65)] [10]; 2 — прямоугольный элемент с 16 степенями свободы [см. урав-
нение (3.66)] [5]; 3 — прямоугольный элемент с 12 степенями свободы [см. уравнение
(3.71)1 [6]; 4 — треугольный элемент с 12 степенями свободы [см. уравнения (3.73) —
(3.80) ] [8]; 5 — треугольный элемент с 9 степенями свободы (отличающийся от преды-
дущего исключением степеней свободы иа серединах сторон) [6]; 6 — треугольный эле-
мент с 18 степенями свободы [И]; п — общее число степеней свободы для четверти об-
ласти
Отметим, что первое граничное условие является главным, а
второе — естественным. Следовательно, второе условие должно
входить в вариационную формулу для метода Галеркина:
д*и
дхгдуг
—Sudxdy = Асби 4- С (---dS.
дуЧ J \дп* дп )
s
(3.83)
Из уравнения (3.83) после интегрирования следует
И([д*и\ /дг6и\ . о I д*и \ /д’6а\ /д’а\ /52ди\) , ,
1 — ----- +2 ------- ----- 4- — ------\\dxdu —
[\д№/ \ дх* / \дхду / \дхду } ~ \ду*/ \ ду* / J
— А.6и = 0. (3.84)
Соответствующий условию (3.84) квадратичный функционал
<3-8s>
128
принимает минимальное значение в положении равновесия, т. е.
при подстановке точного решения. Любое другое положение (в слу-
чае приближенного решения) приводит к некоторой величине Fa,
которая будет больше значения F для точного решения:
Fa > F. (3.86)
Этот результат используется при установлении границ прибли-
женных решений.
Основные уравнения для линейной дискретной системы имеют
следующий общий вид 1 *:
Р КИ, (3.87)
где вектор Р является функцией внешнего своздействия» на область
А; например функцией единичной нагрузки в центральной точке
в случае уравнения (3.81), вектор И содержит дискретные неизвест-
ные, а К — матрица, определяющая внутренние свойства системы.
Поскольку уравнения вида (3.87) следуют из выражения (3.84),
можно записать
F = -у- ИТКИ — И{Р, (3.88)
Значение функционала F можно найти из выражения (3.88),
если дополнительно воспользоваться зависимостью (3.87):
^|пОЛож.ра1Нов = ^-Я7’Р-ЯГР= -±-ИТР. (3.89)
Для рассмотренного выше случая есть только один нагрузоч-
ный член Рс= 1, действующий в центре прямоугольной области.
Пусть и( ?сть точное решение, а и’а> — приближенное. На осно-
вании формулы (3.89) точное и приближенное значения функцио-
нала составят
2F= —ucPc,
2Гприбл= -u^P.
С учетом зависимости (3.86) получим ограничение для приближен-
(а)
ного решения ис .
uc
Этот результат показывает, что приближенное решение, осно-
ванное на использовании совместной матрицы, приближается к точ-
ному снизу. Это становится очевидным из рис. 3.17, где резуль-
таты для прямоугольного несовместного элемента сходятся к точ-
ному решению, но не ограничены сверху.
1 К системе уравнений (3.87) приводит использование для решения за-
дачи вариационного условия (3.84). — Прим. ред.
129
Результаты для двух полностью совместных прямоугольных
элементов сходятся к точному решению надлежащим образом,
причем сходимость в случае 16 степенен свободы более быстрая.
К сожалению, для этого случая смешанная производная д2и/дх ду
должна рассматриваться как узловая переменная, что крайне
неудобно при выполнении каких-либо преобразований.
Треугольный элемент с 9 степенями свободы обнаруживает
очень слабую сходимость вследствие того, что при его формиро-
вании был наложен ряд ограничений. Такая же формулировка,
но включающая в число узловых неизвестных еще и углы поворота
в узлах, расположенных в серединах сторон (треугольник с 12
степенями свободы), приводит к лучшей сходимости.
Наконец, треугольный элемент с 18 степенями свободы при
использовании полинома пятой степени дает отличные результаты
даже для самой грубой сетки. Элемент обеспечивает непрерывность
как первых, так и вторых производных. Включение производных
второго порядка в качестве узловых неизвестных предполагает
их непрерывность в узлах, что не выполняется, когда толщина
или свойства материала элемента разрывны.
Следует отметить, что хотя метод конечных элементов дает
границы для величины полной энергии в случае использования
совместных элементов, эти граничные значения сходятся монотонно
только в случае, если дискретизации образуют минимизирующую
последовательность. Это означает, что набор узловых неизвестных
для zi-й дискретизации включает в себя все узловые неизвестные,
которые использовались в п—1 предыдущих дискретизациях.
Чтобы удовлетворить этому требованию, п-я дискретизация должна
содержать все предыдущие узлы, а интерполяционные выражения
для элементов должны быть инвариантными, т. е. их вид не должен
зависеть от ориентации или размеров элемента. К примеру, если
квадратная область состоит из 2x2 квадратных элементов, следую-
щая минимизирующая последовательность должна содержать 4x4
элементов, следующая — 8x8 и т. д. Разбиение 3x3 не соответ-
ствует этой минимизирующей последовательности, так как содер-
жит другой набор узлов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций
Л , Судостроение, 1977.
2. Brebbia С. A. and Connor J. J. Fundamentals of Finite Element Te-
chniques for Structural Engineers. Butterworths, 1973.
3. Emery A. F. and Carson W. W. An Evaluation of the Use of the Fi-
nite Element Method in the Computation of Temperature. Trans. ASME,
J. Heat Transfer, May, 1971.
4. Ergatoudis J., Irons В. M. and Zienkiewicz 0. C Curved Isoparamet-
ric Quadrilateral Elements for Finite Element Analysis. Int. J. Solids Stru-
ctures, 4, 31—42, 1968.
5. Bogner F. K., Fox R. L., Schmidt L. A. The Generation of the Inte-
relement Compatible Stiffness and Mass Matrices by the Use of Interpolation
130
Formulas. Conf, on Matrix Methods in Structural Mechanics, Wright-Patter-
son Air Force Base, Ohio, October, 1965.
6. Deak A. L. and Plan T. H. Application of the Smooth Surface Interpo-
lation to the Finite Element Analysis. AIA aerospace. J., 187—189, January,
1967.
7. Clough R. W. and Tocher J. L. Finite Element Stiffness Matrix for
Analysis of the Plate Bending. Conf, on Matrix Methods in Structural Mecha-
nics, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, October, 1965.
8. Felippa G A. and Clough R. W. A Refined Quadrilateral Element for
Analysis of Plate Bending. 2-nd Conf, on Matrix Methods in Structural Mecha-
nics, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, October, 1968.
9. Wilson R. R. and Brebbia G A. Dynamic Behaviour of Steel Foun-
dations for Turbo-Alternators. J. Sound Vibr., 18, 405—416, 1971.
10. Melosh R. J. Basis for Derivation of Matrices for the Direct stiffness
Method. AIA aerospace J., I, 1631, 1963.
11. Bell K. A. A Refined Triangular Plate Bending Element. Int. J. Nu-
merical Meth. Engng, 1, N 1, 1969.
УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Сформируйте одномерный элемент с линейной и квадратичной ин-
терполяцией для решения уравиеиия диффузии
3.2. Рассмотрите осесимметричный треу-
гольный элемент, показанный иа рис. 3.18.
Если функция и не зависит от 0, можно запи-
сать уравнение Лапласа в виде
д*и
1 ди
дг*
г дг
дг*
Предложите линейную интерполяционную X?
функцию для этого элемента и получите соот-
ветствующие матрицы.
3.3. Подумайте над тем, как можно учесть р „ ._ _
несимметричную нагрузку общего вида, ис- Иис’ у-18- исесиммет-
пользуя осесимметричный элемент, сформули- ричныи элемент
рованиый в упражнении 3.2.
3.4. Используя четыре трехузловые матрицы типа полученной в при-
мере 3.1, сформируйте квадратный элемент (рис. 3.19, а). Выполнив это,
произведите «сгущениеж иа пятом узле. Сравните результат с результатом
объединения двух треугольников (рис. 3.19, в).
3.5. Объясните, как можно применить изопараметрическое преобразо-
вание к треугольнику с шестью узлами (рис. 3.20).
3.6. Найдите матрицы элементов, соответствующие тетраэдру с четырьмя
узлами, для случая квазигармоиического уравиеиия
3.7. На основе полного квадратичного полинома по Ст и £2 составьте
уравнения, связывающие параметры а с неизвестными ui, и проверьте, удо-
влетворяет ли выражение (3.28) всем требованиям непрерывности для тре-
угольного элемента.
131
3.8. Рассмотрите бикубическое выражение (3.66). Можно ли вместо
значений и, в углах ввести на сторонах внутренние узлы и использовать
в качестве переменной только нормальную производную?
3.9. Использовав полиномы, даваемые выражением (3.66), можно запи-
<ать следующую функцию для прямоугольного элемента:
, , . , . , . , . I ди \ , . / ди \ ди \ ,
и — + ф^и* + феи3 + + ф3 —— + фв1 —— + Фы —— -|-
\ дх Л к дх /, \ дх
Рис. 3.19. Объединение треугольных
элементов
Рис. 3.20. Треугольный эле-
мент с криволинейными сто-
ронами: а — исходный эле-
мент; б — элемент с кри-
волинейными сторонами
Будет ли эта функция удовлетворять требованиям допустимости и пол-
ноты? Запишите ее сначала в виде полинома по £ и т).
3.10. Рассмотрите этапы формирования изопараметрических четырех-
угольного и треугольного элементов для функций с непрерывностью второго
порядка с использованием численного интегрирования. Заметим, что в дан-
ном случае требуется преобразовать частные производные второго порядка,
а якобиан есть переменная величина.
ГЛАВА 4
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ
МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ
§ 4.1-
Методы Эйлера и Лагранжа.
Субстанциональная производная
Положение материальной точки (жидкой частицы) относительно
фиксированной ортогональной системы координат можно опреде-
лить, как показано на рис. 4.1. Обозначим через at начальные
координаты этой точки при t — 0, а через х(- — координаты в мо-
мент времени t.1 Интересующие нас величины, такие как давление,
1 Здесь и далее вместо обычного обозначения координат х, у, г для упро-
щения записи будем использовать индексированное обозначение: Xj, х2, х».
— Прим, автора.
132
скорость, температура, являются функциями положения точки
и времени. Так как существуют два возможных выбора переменных,
характеризующих положение жидкой частицы, основные уравне-
ния могут иметь две различные формы.
В методе Лагранжа независимыми переменными являются вре-
мя t и начальные координаты aL. Пространственные координаты
и зависимые переменные представляются как
f = f(ai, а2, аз, /),
x< = a£ + u£(a1, а2, а3, t), (4.1)
где и£ — перемещение материальной точки за время t.
Такой подход целесообразен для твердых тел, поскольку дефор-
мации (а следовательно, и перемещение и) малы.
Жидкость обычно испытывает значительную деформацию, и
поэтому знание начального положёния не представляет интереса.
Рис. 4.1. Системы координат
1 — момент времени t = 0; 2 — момент времени t
Фактические координаты х£ и время являются более удобными
переменными. В методе Эйлера принимается
а£ = х£ —u£(xn хг, х3, /),
f = f (Xi, х2, х3, /). (4.2)
В этой и других главах за исключением особо оговоренных
случаев будем использовать метод Эйлера.
Определим скорость изменения какой-нибудь зависимой пере-
менной во времени. Пусть f обозначает переменную, связанную
с материальной точкой (xt, t) (рис. 4.2). За время А/ эта матери-
альная точка переходит в положение х£ + Дх£ и переменная, изме-
няясь, становится равной f + А/. Предполагая, что f есть непре-
рывная функция, разложим ее в ряд Тэйлора в окрестности (xt, /).
Получим
Af = 6f + ^-67+...,
133
где 1
6f = ^-tSx(+^-M
1 dxt 1 dt
И
«7 = 6 Ж (4.3)
Предел отношения bfl&t при Д/->- О записывается как DflDt:
— =lim—. (4.4)
Dt д<-о St v ’
При этом DflDt называется субстанциональной производной
или полной производной и Стоксовой производной.
Рис. 4.2. Положение жидкой частицы
Для того чтобы раскрыть выражение (4.4), заметим, что вектор
скорости для частицы находится как
r Sr
v = lim —
д/-о St
Dr
Dt '
(4-5)
Вектор скорости v и радиус-вектор г, определяющий положе-
ние точки, могут быть записаны через их составляющие:
v—vjf, r = Xjir
Тогда
= lim
Дх/
д<-о St
= D±l
Dt
(4-6)
и с учетом выражения (4.3) уравнение (4.4) можно записать как
Dt dt dxi
(4-7)
Первый член этого равенства есть локальная производная по
времени, т. е. производная, вычисляемая при фиксированном
положении частицы. Остальные члены представляют вклад движе-
ния и называются конвективными.
1 Индекс i указывает на суммирование по всем значениям » = 1, 2, 3.—•
Прим, автора.
134
В методе Лагранжа f = f (ah t) и приращение сводится к
= (4.8)
так как начальные координаты частицы — постоянные величины.
Субстанциональная и локальная производные здесь совпадают:
£/_= д/.
Dt dt ’
dui
dt
Хотя выражения (4.9) проще равенства (4.7), метод Эйлера
обычно более удобен для жидкостей в силу больших деформаций,
которые могут наблюдаться при
движении.
В дальнейшем потребуется вы-
числять субстанциональную про-
изводную от выражений, содер-
жащих интегралы. Подход при
этом точно такой же, как и для
функции. В качестве иллюстрации
рассмотрим скалярную функцию
/, где f — количество перемен-
ной, приходящейся на единицу
массы. Полное количество f в
объеме есть
(4-9)
Рис. 4.3. К определению понятия
потока через поверхность
f fdm = I fpdV,
V V
(4.10)
где m — масса; p — массовая плотность.
Изменение интеграла (4.10) во времени можно записать в виде
Dt j j j Af-o I M j
Величина, определяемая из выражения (4.11), должна рав-
няться скорости увеличения полного количества f внутри кон-
трольной поверхности плюс результирующей скорости потока f,
переносимого через контрольную поверхность. Если вектор ско-
рости на части dS контрольной поверхности есть величина v
(рис. 4.3), то поток через dS в единицу времени равен
(fp) vndS = (fp) VianidS, (4.12)
где anl — направляющие косинусы составляющих скорости по от-
ношению к нормали.
Следовательно, можно записать
(413>
S
135
Для получения окончательного выражения удобно преобра-
зовать поверхностный интеграл в уравнении (4.13) к объемному,
используя формулу Гаусса, которая может быть записана так
(414>
V S V
Это позволяет свести выражение (4.13) к следующей формуле:
(415>
V V
Формула (4.15) выражает так называемую теорему переноса
Рейнольдса и определяет субстанциональную производную объем-
ного интеграла в случае, когда подынтегральная функция и объем,
по которому вычисляется интеграл, изменяются с течением вре-
мени.
Сохранение массы. Применим формулу (4.15) к закону сохра-
нения массы. Масса элементарного объема dV есть pdV. Следо-
вательно, полная масса объема V
М=ЩрМ, (4.16)
v
где р — функция пространства н времени.
Если внутри объема V масса не создается и не исчезает, то
значение результирующей скорости потока массы по всей контроль-
ной поверхности плюс скорости изменения массы в пределах этого
объема равно нулю:
^ШР^О. (4.17)
Из теоремы Рейнольдса (4.15) имеем
iJpdH = J(^ + P^av = °. (4.18)
Так как контрольный объем произволен, то из выражения (4.18)
следует
<419>
Выражение (4.19) называется уравнением неразрывности массы.
Теперь формулу (4.15) можно привести к следующему виду:
(4.20)
136
§ 4.2.
Скорости деформации жидкой частицы
Внутреннее сопротивление жидкости движению зависит от ско-
рости изменения во времени величин, определяющих деформацию.
Существуют два вида деформации:
1) деформация растяжения, т. е. относительное изменение длины
элементарного линейного элемента;
2) деформация сдвига, т. е. изменение угла между двумя орто-
гональными линейными элементами.
Рис. 4.4. К определению скоростей деформации жидкой частицы
После нахождения деформации растяжения и сдвига для орто-
гональной системы линейных элементов в точке деформации для
произвольной системы направлений через эту точку могут быть
определены исходя из законов преобразования деформаций.
Получим выражения для скоростей деформации. Сначала рас-
смотрим двухмерный случай, а затем перейдем к трем измерениям.
На рис. 4.4 показаны первоначальное (в момент времени t)
и деформированное (в момент времени t + А/) положения малого
линейного элемента. Движение линейного элемента состоит из его
параллельного переноса и вращения как твердого тела и относи-
тельной деформации удлинения А.
Определим скорость линейной деформации как субстанцио-
нальную производную длины dL линейного элемента:
£(dL) = edL.
137
Отсюда
(4.2I>
e=lim [-A(dL) U=lim
Д1-»о [(dL) At J Д(-и) At
Применив выражение (4.21) к линейному элементу, парал-
лельному Xlt получим, ограничиваясь членами первого порядка
малости,
Auj = Дхх -7^ Ах2,
dxj dxt
откуда
81=lim =
Д1-0 \At /
(4.22)
и аналогично
гг=А
5х2
Скорость объемной деформации определяется подобным обра-
зом:
^(dV) = evdV,
где dV — дифференциальный объем.
Для трехмерного случая можно получить
e0=lim &U^ + ^ + ^ = ^ = div(;) = vv. (4.24)
д/->0 \ At / дх, dx, dx, dxi v v
Тогда уравнение неразрывности (4.19) приводится к виду
5Р=_ре0=—р^. (4.25)
Di к dx( v '
(4.23)
Отсюда
др д . .
dt oxi
Говорят, что жидкость несжимаема, если е0 = 0. В этом случае
Dp/Dt = 0.
Наконец, рассмотрим скорость деформации сдвига. Деформа-
ция сдвига есть сумма 012 и 021 (рис. 4.4):
у = 012 + 02Г (4.26)
Обозначив скорость деформации сдвига через у, можем запи-
сать
712= Ит (77)=^ (On + 021).
д1-о \Д/ / Dt
Вычислив далее производные от 0, получим
dv, , dv,
Vn = г-1 + — •
dxt dxi
(4.27)
(4-28)
138
Введем для удобства выражение
1 /д Vi д vj\
Tydxf^dxJ'
(4-29)
Скорости деформации связаны с eif следующими соотноше-
ниями:
(без суммирования);
Уц = ец+ец = 2ец; го=еи+ет+ею=е„. (4.30)
Когда у = 0, линейные элементы остаются ортогональными и
012 ®J> 021= ---®8, (4.31)
где <о8 — угловая скорость вращения вокруг оси Х3.
Это предполагает, что разность между 012 и 02i может быть
взята как мера «средней> угловой скорости вокруг оси Х3. Введем
кососимметричный тензор ©,/:
i‘> /=1’2*3- <4-32>
2 \дх( axj/
Циклическая перестановка индексов дает средние угловые
скорости вокруг трех осей:
©12-* ®8: (Озз —>• ©1; (O31 —► <о2. (4.33)
Нетрудно показать, что величины <вг-/ инвариантны для неко-
торых преобразований координат. Например,
®!2 = ®12 для (Хц Х2, Хз) и (Хь Х2, Хз). (4.34)
Поэтому можно интерпретировать со12 как «среднее> вращение
вокруг Х3.
Совокупность величин называется тензором завихренности,
а компоненты соД определяют вектор завихренности <о:
(О = со1 + <o2t2 + co3t8 = — rot (и) = — v X v. (4.35)
Поток называется безвихревым, когда средние угловые скорости
равны нулю:
®(/ = 0; ^ = ^1 i = 2, 3; / = 2, 3, 1. (4.36)
Уравнение (4.36) показывает, что вектор скорости есть гра-
диент непрерывности функции Ф, т. е.
Функция Ф является потенциалом скорости. Допущение о без-
вихревом характере потока значительно упрощает основные урав-
нения.
139
§ 4.3.
Уравнения количества движения
Рассмотрим объем жидкости в момент времени t (рис. 4.5, а). Внеш-
ние силы, действующие на этот объем, представляются распре-
деленной поверхностной нагрузкой (р) на единицу площади по-
верхности и распределенной массовой силой (Ь), приходящейся
на единицу массы.
Рис. 4.5. Обозначения для двухмерной области
1 — внешняя нормаль; 2 — объем в момент времени t
Согласно теореме об изменении количества движения скорость
изменения количества движения равна сумме всех внешних сил.
Скорость изменения количества движения
~^pvdV (4.38)
с учетом уравнения неразрывности (4.30) можно записать как
где р — массовая плотность.
Следовательно, по закону Ньютона уравнение
движения объема можно представить в виде
(4.39)
количества
(4.40)
140
Аналогично, скорость изменения полного момента количества
движения равна векторной сумме моментов всех внешних сил:
dV,
(4.41>
где интегралы относятся к положению объема в момент времени t,
a Dv/Dt есть вектор ускорения.
Дифференциальные уравнения количества движения получают
путем замены р в поверхностных интегралах его выражением
через векторы напряжений и применения формулы Гаусса инте-
грирования по частям.
Определим в] как вектор напряжения (сила на единицу пло-
щади), действующий на поверхность +j, т. е. на поверхность,
внешняя нормаль к которой направлена вдоль оси +Х] (рис. 4.5, б).
В декартовой системе координат
= (4.42)
Установим законы преобразования напряжения, рассматривая
равновесие сил для дифференциального элемента, показанного
на рис. 4.5, в. Это дает
^п = алД. a„y = cos(n, X/) (4.43)
и
onn = inon = aniank(Jlk-, ons = isan^anjaska]k. (4.44)
На граничной поверхности имеем условие стп = р. Используя
выражения (4.43) и формулу Гаусса, векторное уравнение (4.40)
можно привести к следующему скалярному уравнению:
^^+pb* = P—в объеме V (4.45)
дх/ Dt
с граничными условиями
pk — anjOjk = pk на поверхности S.
Аналогично можно преобразовать зависимость (4.41). После
применения формулы (4.45) получим
°lk = (Jki в объеме V. (4.46)
Уравнения равновесия для сил можно преобразовать далее
подстановкой выражения субстанциональной производной с исполь-
зованием уравнения неразрывности (4.27). В результате можно
записать
J $pdS + JJJ pbdV = J J(py„) vds + J J ^(P^dv <4-47>
s d V s vd
141
Рис. 4.6. Определение объема
/—фиксированная область; 2 — поток массы
pvndS = paniv.dS
и соответствующее скалярное уравнение
^ + Рб*= у- + (4-48)
oxj дх} ' at
Выражение (4.48) обычно называют уравнением импульсов.
При использовании уравнения (4.47) необходимо рассматривать
объем, показанный на рис. 4.6. Первый член в правой части этого
уравнения есть поток количества движения через поверхность,
а второй — локальная скорость изменения количества движения.
Компоненты напряжения
состоят из давления и на-
пряжений трения. Запишем
Оц как
о0= —p6i; + T(/, (4.49)
где Тц — вязкостные состав-
ляющие.
В дальнейшем будем вклю-
чать в xit дополнительные
диссипативные члены, свя-
занные с турбулентностью.
Уравнения движения, таким образом, можно записать в виде
—~ + г* + РЬ* = Г~ + 77 (Pv*> С4-50)
dxk dxj дх-, dt
при P„= —p + an/a„fcT/Jk, ps = an;a$fcT/Je.
Членами xi; можно пренебречь, если жидкость невязкая. В этом
случае
а0-»—рб/; (4.51)
и соотношение для преобразования напряжения приводит к следую-
щему:
о„„=—р; ons = 0. (4.52)
Это означает, что невязкая жидкость не оказывает сопротивле-
ния касательным поверхностным силам, т. е. к жидкости могут
быть приложены только нормальные поверхностные силы.
$ 4.4.
Уравнение энергии
Первый закон термодинамики отражает требование энергетиче-
ского баланса системы в состоянии равновесия. Этот закон включает
понятие внутренней энергии тела, которую обозначим через U.
Внутренняя энергия связана с другими переменными через урав-
нения состояния. В твердом теле, например, внутренняя энергия
142
может быть функцией деформаций (а иногда также и температуры),
а в жидкости — функцией давления и плотности. Абсолютное зна-
чение внутренней энергии на практике оценить невозможно, так
как оно включает такие, например, величины, как кинетическую
энергию атомов. Далее будем рассматривать только изменение
внутренней энергии.
Предположим, что система получает энергию лишь за счет
работы внешних сил и теплообмена. Сумма работы IF, совершае-
мой внешними силами, и тепловой энергии L должна равняться
увеличению полной энергии системы, которое складывается из
приращений внутренней энергии U и кинетической энергии (/к:
W + L = U + UK, (4.53)
Определим подводимую мощность как сумму работы внешних
сил и количества подводимого тепла в единицу времени:
dW + dL = [^ + ^dt. (4.54)
Тогда
<4S5>
А
ИЛИ
DW , DL D п, . . ..
ЪГ+Б7 = ш + <456>
где
= у (-<?„) dS+ У у fpdV, (4.57)
qn — тепловой поток через поверхность; f — массовая плотность
распределения тепловых источников.
Правую часть уравнения (4.56) можно записать как
2.f(pu + 0dV, (4.58)
где и — внутренняя энергия единицы объема и единицы массы;
t = — pvi — кинетическая энергия единицы объема.
Используя уравнение (4.20) для записи субстанциональных
производных в выражении (4.58), находим
^=£ШАр№Шр<<(,.
V V
V
(4.59)
143
Потребовав, чтобы силы удовлетворяли уравнению изменения
количества движения (4.50), и выразив нормальный к поверхности
тепловой поток через его ортогональные компоненты
^ = °W7p (4-6°)
из уравнения (4.56) после применения теоремы Гаусса можно полу-
чить следующее выражение для внутренней энергии:
Р-^- = — Р^ + т.А-р (4.61)
Dt dxi
vjifi Qj — тепловой поток через поверхность Хг
Первые два члена в правой части выражения (4.61) характери-
зуют внешний тепловой поток1, а последний член — скорость
диссипации механической энергии, вызванной трением. Дисси-
пация механической энергии необратима и существенно положи-
тельна, т. е. положительна для произвольного е^. В дальнейшем
это свойство будет использовано для установления соотношений
между напряжением и деформацией.
Диссипация механической энергии и объемное расширение для
жидкости обычно пренебрежимо малы, и внутренняя энергия может
бйть записана как
du = cdT, (4.62)
где с — удельная теплоемкость.
Уравнение (4.61) может быть иногда приближенно заменено
следующим уравнением:
= (4.63)
Dt dxi
где р0 — постоянная величина.
Уравнение (4.63) основывается на допущении об отсутствии
термомеханической связи.
Пример 4.1. Представим континиум как систему, состоящую из
множества частиц с внутренними связями в виде пружин (рис. 4.7, а).
Рассмотрим только одну частицу и пружину (рис. 4.7, б). Эта частица
получила перемещение и под действием внешней силы Р; ku есть внутренняя
сила (k — постоянная жесткость пружины); v — скорость. Полная работа
по перемещению частицы составит
6 t, ,
WT= \ Fvdt= f(P — ku)vdt = f (p— ku)du — Pu — — = W — U. (1)
h h Л 2
Вычислим затем приращение кинетической энергии:
G
ti С dv .. то*
UK= \ m — vdt = —. (2)
J at l
h
1 Следует помнить, что тепловые члены умножаются иа постоянную,
являющуюся механическим эквивалентом тепла. — Прим, автора.
144
Согласно уравнениям (1) н (2)
Ри—^ = — или W — U = T. (3)
2 2
Уравнения состояния. Давление можно записать как функцию
плотности и температуры:
р = р (плотность, температура) = р (р, Т). (4.64)
В приложениях к гидравлике обычно предполагают, что меха-
ническое и термодинамическое поведение жидкости не связаны
друг с другом. Следовательно, считается, что поток удовлетворяет
соотношению f (р, р) = 0, называемому баротропным уравнением
состояния.
Рис. 4.7. Система частиц с упругими связями: а —
система с несколькими степенями свободы; б — сис-
тема с одной степенью свободы
В частном случае для адиабатического процесса баротропное
соотношение записывается в виде р = Ср? или р = где С,
К, у — постоянные.
Обычно к уравнению состояния типа (4.64) добавляется соот-
ношение и = и (р, Т), связывающее и с р и Т.
§ 4.5.
Реологические соотношения.
Ньютоновская жидкость
Рассмотрим связь между напряжениями и скоростями деформа-
ции. Ньютоновской называется жидкость, для которой вязкостные
напряжения линейно связаны со скоростями деформаций. Удобно
перейти от индексов к матричному обозначению. Введем в рассмо-
трение векторы т и е:
’Г= [Т11Т22Т33Т12Т23Т31|>
е= {^11^22^33^12^23^31}
и запишем
x = De.
(4.65)
(4.66)
145
Пусть ip функция, характеризующая диссипацию механической
энергии. Тогда
ip = <e = erDre, (4.67)
где ф должна быть непрерывной положительно определенной функ-
цией скоростей деформаций.
Отсюда следует, что D есть симметричная и положительно
определенная матрица. Если потребовать инвариантности соотно-
шений между напряжениями и деформациями для всех направ-
лений (т. е. жидкость изотропна), то матрица D будет содержать
только два независимых элемента и соотношение (4.66) сведется
к зависимости
т(/ = А€06,7+2|Щ0, (4.68)
где %, pi — коэффициенты, характеризующие свойства жидкости.
Среднее напряжение о определяется как среднее арифметиче-
ское нормальных напряжений:
° = ~ (°11 + °22 + Озз) = -Р+ ~ (ТП + т22 + Т3з) =
О О
= — p + te0 + ~?~iLev. (4.69)
и
Примем о = —р, что известно как условие Стокса. Тогда
О
|х;. (4.70)
и
Объемная деформация для многих жидкостей мала по сравне-
нию с деформациями сдвига, и обычно разумно сделать допущение
о несжимаемости жидкости. В этом случае
= (4.71)
\dXj, dXi J
и уравнение неразрывности записывается в виде
(4.72)
Как следствие допущения о несжимаемости, давление следует
определять из уравнения количества движения.
§ 4.6.
Уравнения Навье — Стокса.
Несжимаемая ньютоновская жидкость
Подведем итоги и выпишем полученные выше уравнения. При
этом ограничимся случаем несжимаемой ньютоновской жидкости
без термомеханической связи. В § 4.8 рассмотрен вопрос о том,
как изменяются эти уравнения при учете турбулентности.
146
На рис. 4.8 показана классификация границ. Граница So пред-
ставляет часть поверхности, на которой задана скорость. Если
So есть фиксированная физическая граница (например, стенка),
то составляющие скорости равны нулю (условие прилипания).
В условие такого типа включаются также влияние симметрии
и скорости набегающего потока.
Обозначим через Sp ту часть поверхности, на которой зада-
ются действующие силы. Иногда Sp есть свободная поверхность,
и силы на границе обусловлены атмосферным давлением и каса-
тельными напряжениями, вызванными ветром. Наконец, Sr обо-
значает участок поверхности, на котором определена температура.
На остальной части Sf поверхности задается нормальный к ней
тепловой поток.
Запишем условия неразрывности
ео=-^ = 0 в V,
дх/
vn = v„
на So
t\ = t\
(4.73)
(4-74)
и уравнение количества движения
----т—(—) 4A + VV4 =-Т“ (vlvk) + -^-vk в V, (4.75)
дхь \ Ро / ox, at
где v = р/р0 — кинематическая вязкость.
Лапласиан в уравнении (4.75) получен подстановкой выраже-
ния (4.71) в уравнения количества движения:
-р+2и-^- = р„
дп
dvs
дп
OS /
на Sp.
(4-76)
и
147
Условие теплового баланса можно записать следующим обра-
зом:
в |v (4-77)
\ dt дх{ / ро ОХ[ /
в V (4.78)
и
Т = Т на ST,
Яп = Яп (на Sf.
(4.79)
Уравнение (4.78) основано на предположении, что диффузия
тепла определяется законом Фурье. В выписанной системе зави-
симостей переменными являются составляющие скорости vh дав-
ление и температура. Они должны удовлетворять основным урав-
нениям (4.73), (4.75) и (4.77) и граничным условиям. Такая форму-
лировка является полной в том смысле, что имеется достаточное
количество уравнений. Однако, так как уравнения нелинейны,
за исключением относительно простых задач, приходится прибе-
гать к численному решению. Заметим, что в рассматриваемом
случае поток является баротропным, т. е. механическое и тепло-
вое поведение не связаны друг с другом, и мы имеем десять урав-
нений (три уравнения количества движения, уравнение неразрыв-
ности, шесть уравнений, связывающих напряжения со скоростями
деформаций) и десять неизвестных (шесть компонентов напряже-
ний, три проекции скорости и давление). Для сжимаемого потока
давление и плотность связаны уравнением состояния.
Вязкость р, полагается равной нулю, и, таким образом, тре-
ние не учитывается. Как следствие этого, нельзя задать на гра-
нице касательную силу ps или касательную скорость vs. В случае
течения Стокса можно пренебречь нелинейными слагаемыми,
представляющими конвективное ускорение, по сравнению с ло-
кальным ускорением. Тогда в уравнении (4.75) следует положить
-2-(оА)^0. (4.80)
дх)
Другие формы уравнения (4.75) могут быть получены путем
дифференцирования. Например, давление можно исключить диф-
ференцированием в предположении, что оно непрерывно. Это при-
водит к уравнениям относительно завихренности (угловой ско-
рости)
+ = , (4-81)
2 дх, Dt
где Ft— - bk--------— b.; i, j, k принимают в циклическом по-
dx, dx*
рядке значения 1, 2. 3.
148
Для двухмерного течения в плоскости Л\, Х2 определена только>
<d„ и при отсутствии массовых сил уравнение (4.81) принимает вид
vv2co = -^-. (4.82)
Заметим, что в случае течения невязкой жидкости напряжения
трения равны нулю.
§ 4.7.
Принцип виртуальной работы
Выведем принцип виртуальной работы из уравнения количества
движения в напряжениях и граничных условий для напряжений
[см. уравнение (4.45) J:
-^-Ojk + pbk = P^7-
dxi Dt в V; (4.83>
a/k = aki
Pk — anjaik на S.
Умножим выражение (4.83) на кусочно-непрерывную функцию
6vk и проинтегрируем по области
Ш {~^o'k+pbk~p^r}8Vkdv+^^k~aniaik)8VkdS=0‘ (4'84>
Это выражение справедливо при произвольных 8vk, если поле
напряжений находится в равновесии. Интегрируя первое слагае-
мое с внутренним напряжением по формуле Гаусса и подставляя
вместо Gjk его значение из формулы (4.49), получаем
f J Pk^S + J J J pbk8vkdV = Ш (— РЧ + т/А*+
Dv. \
+ p-^4)dV, (4.85)
где
(бу,);
(4-86)
Рассматривая бу^.как «виртуальную» скорость, левую часть
равенства (4.85) можно интерпретировать как внешнюю виртуаль-
ную мощность. Правая часть определяет виртуальную механи-
ческую мощность, соответствующую внутренним напряжениям,
и мощность, соответствующую силам инерции. При такой интер-
претации представляется уместным назвать выражение (4.85) прин-
ципом виртуальной работы. Отметим, что этот принцип применим
14»
к произвольной кусочно-непрерывной функции Svk и произволь-
ному t. Уравнение (4.85), которым выражается принцип виртуаль-
ной работы, является вариационной формулировкой уравнений
количества движения.
Принцип виртуальной работы является основой конечноэле-
ментных моделей в механике жидкости. Его роль соответствует
роли принципа виртуальных перемещений в механике твердого
тела. Если принять 6vk — vk (v — действительная скорость), то
принцип совпадает с первым законом термодинамики при отсутствии
подвода тепла [см. выражения (4.50) — (4.56) 1.
Пример 4.2. Принцип виртуальной работы можно использовать
.для получения совместимых граничных условий. Например, для невязкой
.ж ид к ост и (v = 0)
(,)
Интегрируя выражение (1) по частям, получаем
И Я - ’ - И' "+Ж w
Раскрывая член для поверхностной силы в выражении принципа вир-
туальной работы, имеем
J У рк6 vkdS = И (pn6vn + pst>vs) dS, (3)
где п и s — направления нормали и касательной.
Следовательно, совместимые граничные условия для поверхностной
силы, если сравнить выражения (2) и (3), запишутся так:
Рп= —Р> Ps = 0, (4)
я уравнения количества движения примут вид
Ьк = —(Р)+Р^. (5)
dx* Dt
Заметим, что в этом случае нельзя задать касательную составляющую
•скорости.
Пример 4.3. Условие несжимаемости можно учесть, умножив
уравнение неразрывности на весовую функцию бр и проинтегрировав его
«то объему (о множителях Лагранжа см. гл. 1):
ео=0 (1)
J J J ev6pdV = 0 для произвольной вариации бр.
Объединяя уравнения (1) и (4.85), получаем
j J (РпЬоп + Ps6vs) dS + И pMMV = Ш (— ptev —е06р + т/*бву* +
+ (2)
Лля произвольных t, б о*, бр.
Другие вариационные формулировки выводятся в последующих главах,
посвященных приложениям метода конечных элементов.
150
§ 4.8.
Турбулентность
Характер течения вязкой жидкости зависит от соотношения между
инерционными и вязкостными силами, которое определяется числом
Рейнольдса:
j^e Инерционные силы Плотность X Скорость х Размер
Вязкие силы Вязкие силы
Для малых значений чисел Re (Re < 10-2) инерционными
силами можно пренебречь, а при больших значениях чисел
Re (Re > 10s) в ряде случаев пренебрегают вязкостными силами
(модель невязкой жидкости).
Различают два основных режима течения вязкой жидкости:
ламинарный и турбулентный. При не очень больших числах Рей-
нольдса происходит ламинарное слоистое течение, при котором
отсутствует перемешивание между слоями жидкости.
Если число Рейнольдса велико, то течение перестает быть
ламинарным, так как частицы стремятся двигаться хаотично.
Такие течения называют турбулентными, и хотя они случайны
по своей природе, их можно анализировать, используя понятия
статистики, с помощью рассмотрения средних скоростей и давлений.
Турбулентные потоки описываются путем представления мгно-
венных значений переменных как суммы среднего значения и
случайного отклонения от него, т. е. можно записать
v^v'+u", р = р' + р", Т = Т' + Т", (4.87)
где ( )'—совокупность средних величин: ( )"—случайные
отклонения от них (пульсации).
Подстановка выражений (4.87) в уравнения импульсов для
рассматриваемого момента времени приводит к появлению допол-
нительных членов, связанных со случайными пульсациями.
Рассмотрим уравнение (4.50):
---р+р^ь +-Д— т;ь = Рп~Т~ +Pn~_Vb> (4-88)
ОХ* k Г° ^Х! ' 1 к' Г° dt * ' '
где V — вязкостные напряжения (напряжения трения).
Подстановка вместо v и р их выражений и применение опера-
ции осреднения ко всем членам уравнения (4.88) дает следующее:
—^-р,+<р^>:+-^(<^>-Ро <«Х)»=
= Ро^~ (VA) +Ро~^’ <4-89>
где знак < > означает среднее значение стоящей внутри вели-
чины.
151
Согласно определению
<f'g> ^f'<g>, <f">=0. (4.90)
Будем интерпретировать члены второго порядка, содержащие
пульсации скорости, как некоторые напряжения (обычно они
называются рейнольдсовыми напряжениями) и запишем
т = т?+<(, = —р0<РД>. (4.91)
Возьмем массовые силы согласно уравнению (4.53) и сделаем
предположение, что жидкость ньютоновская. Тогда уравнения
получат вид, аналогичный выражению (4.88), только if будет
заменено на т, а мгновенные значения переменных — средними
значениями. Запишем окончательно преобразованные из условия
(4.73) к виду (4.76) выражения:
dv.
-Н- = 0; (4.92)
---+ + + ~ —(ц.щ) Я-— V.
dxk \Ро) к У Ро 1 ' 1 dxi ' к' dt к
И
p. = -p+%v;»+2h^-; (4/93)
+-§’-) <4-94)
где все переменные представляют собой средние величины, а штри-
ховые индексы опущены с целью упрощения.
Основная трудность заключается в определении турбулентных
напряжений. Кроме того, при выводе уравнения баланса энергии
(4.63) мы пренебрегали диссипацией механической энергии гр =
= вследствие незначительности ее влияния по сравнению
с членами, учитывающими тепловой поток и распределенные ис-
точники.
Факт положительности гр был использован для установления
соотношений между вязкостными напряжениями и деформациями.
Распространяя это соображение на случай учета турбулентности,
запишем
V.7 = (т«7 + е./ = ^+Ф' (4.195)
и потребуем, чтобы гр' была положительно определенной непре-
рывной квадратичной функцией осредненных скоростей дефор-
мации е{1. Используя обозначения, принятые в выражении (4.67),
получаем
т' = D'e, (4.96)
где D' — симметричная и положительно определенная матрица.
J52
Так как рейнольдсовы напряжения обусловлены свойствами
потока (в то время как вязкостные напряжения — свойствами
среды), р‘ зависит от поля скорости. Эта задача еще не решена,
и для D' используются различные формы. Наиболее часто прибе-
гают к «изотропной» форме:
T‘j = 2Po^eif (4-97}
где г| — «вихревая» вязкость.
Ранее для анализа циркуляции воды в озерах и прибрежных
морских районах, где вертикальное течение значительно отли-
чается от поперечного, использовалась ортотропная форма (отсут-
ствие связи между сдвигом и растяжением):
ТП = Dlieil + ^12^22 “Г ^13^33’
Т22 = 13е11 + ^22С22 ^23С33’
Т33 ~ ^13С11 “Ь &23S22 + ^33С33*
. оп (4.98}
Т23 = 2^55С23’
Т'13 = 2&ббезг
Более приемлема полностью анизотропная форма (D* — пол-
ностью заполненная матрица), однако точные значения коэффи-
циентов Dit не известны даже для изотропного случая.
Вернемся к приближенному уравнению, в котором пренебре-
гается диссипацией механической энергии. Осреднение всех членов
уравнения дает
Р°С~7>Г P°f ~ + рос<и»Т'>)• (4‘ ">
Запишем выражение для потока тепла, используя закон Фурье:
Ъ = _/(”рос^, (4100}
ах{
где Кт — коэффициент молекулярной диффузии (его размерность:
длнна2/время).
Уравнение (4.100) можно трактовать как применение закона
Фика к диффузии тепла. Член, содержащий пульсации, определя-
ется, как и ранее, в виде
<«•/•>_-к;. (4.101)
где К‘а — эквивалентный коэффициент турбулентной диффузии.
Объединив два члена
Кт + К‘ц = Кц, (4.102}
153
можно записать уравнения следующим образом (в целях упроще-
ния опускаем штриховой индекс):
Z (у дт \
dt с + dxt )
Т = Т на Sr;
в V;
(4.103)
Чп = —РоС“л< \Кц на Sf.
Снова возникает проблема оценки параметров турбулентности.
В турбулентном течении К.т пренебрежимо мал по сравнению
с К*. Хотя К' определяется свойствами потока, во многих случаях
предполагается, что он постоянен и изотропен (Кц = K6f/).
ЛИТЕРАТУРА
1. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М., Мир, 1973.
2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М., Наука. 1964.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М., ГИТТЛ,
1954.
4. Лойцянскнй Л. Г. Механика жидкости и газа. М., Наука, 1973.
5. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. М., ИЛ, 1949.
6. Шлихтииг Г. Теория пограничного слоя. М., Наука, 1969.
7. Федяевский К. К-, Войткуиский Я.И., Фаддеев Ю. И. Гидромеханика.
•Судостроение, 1968.
УПРАЖНЕНИЯ
4.1. На основании уравнения (4.28) докажите справедливость равенства
Cij — Oji-
4.2. Запишите уравнение неразрывности для случая безвихревого
течения несжимаемой жидкости через потенциал скорости [см. формулу (4.37) ].
4.3. Рассмотрите двухмерный поток, описываемый следующим вектор-
ным полем скоростей:
= ( — 2х1 + М ~?i + (3xi + 2хг)К-
Определите, является ли этот поток безвихревым, несжимаемым или
тем и другим.
4.4. Покажите, что для невязкой жидкости (ац = —рбц) уравнения
импульсов (4.49) могут быть записаны как
1 -> dv ->
------VP + b = — + оу v.
р-----dt
4.5. Обоснуйте, что в случае отсутствия внутренних источников тепла
и действия закона теплопроводности Фурье уравнение энергии может быть
записано в виде
DT ->
-^-= У(КуТ’) —ру о,
где
К = К.т№
154
4.в. Рассмотрите случай несжимаемой жидкости (. v » = 0). Формула(1>
для теплопередачи из упражнения 4.5 в этом случае упрощается:
DT
— = V(KVT). (1>
Если можно пренебречь конвективными членами (например, при тепло-
передаче в твердых телах), то получим
дТ ->-
— =V(KVT). (2)
01
Правая часть формулы (2) представляет собой лапласиан. Покажите»,
как это уравнение с граничными условиями
Т= 7 на Sr (3)
и „ дТ
К —— =g на Sf
дп
может быть записано в форме Галеркина.
4.7. Для полученной в упражнении 4.6 вариационной формулировки
примените треугольный конечный элемент с тремя узлами. Рассмотрите-
способы, с помощью которых могут быть проинтегрированы конечные мат-
рицы.
4.8. Для линейно-упругого изотропного тела уравнения, связывающие-
напряжения с деформациями, можно записать как
=^v8l, + 2^ф (О
где X н р — постоянные Ляме; ев, ец определяются соотношениями, анало-
гичными выражениям (4.29) и (4.30), но и, в них заменено иа Up Например,.
du. du» du.
dxt T dxt dx3 ' '
Запишите уравнения равновесия, граничные условия для напряжений
и принцип виртуальной работы для твердого тела в терминах перемещений.
4.9. Для линейно-изотропного твердого тела (см. упражнение 4. 8).
аО = Ч6// + 2Й% <’>
где постоянные Ляме А, и ц'связаны с модулем упругости, модулем сдвига (г
и коэффициентом Пуассона v следующими соотношениями:
р = G =---------; А =------------—-------. (2>
2(1+v) (l+v)(l_2v)
Обоснуйте, что реологические уравнения можно записать в данном слу*
чае так:
£
«и = —йТ"I 0 ~ v) «Н +
(1 +v)(l —2v)
£
+ 0 — v)+ ve»);
(1 4-v)(l —2v)
£
a» = ,7 v;;-------+ (! - V)
(1 4-v)(l —2v)
£
au =----------(2elt);
2(1 4-v)
155
Е
CTiS=i271TW(2e23):
Е
а,3 -----------(2е2з).
2(1+v)
Свяжите среднее напряжение а = — (ап + а22 -f- ам) с ев ,и
рите случай v = V2.
4.10. Найдите решение для течения несжимаемой вязкой
между параллельными пластинами (рис. 4.9), одна нз которых
со скоростью V. Течение считайте двух-
мерным н учтите силы весомости. Пока-
жите, что в результате решения скорость
в иаправленнн х2 определится выраже-
нием
рассмот-
жндкости
движется
Рис. 4.9. Течение между
двумя параллельными плас-
тинами
х2
л2
pwj = —
4.11. Обоснуйте, что скорость изме-
нения внутренней энергии для невязкой
несжимаемой жидкости равна скорости
изменения подвода тепла н скорость под-
вода внешней энергии равна скорости
изменения кинетической энергии системы.
4.12. Рассмотрите двухмерное течение с потенциалом скорости
Ф — 4х2х2 + const.
Покажите, что этот поток является безвихревым и несжимаемым. Изо-
бразите траектории некоторых частиц.
ГЛАВА 5
НЕВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ
$ 5.1.
Основные соотношения
В данной главе ограничимся рассмотрением основных уравнений
для течения невязкой жидкости. Будем называть течение установив-
шимся, если скорость в любой точке не зависит от времени (т. е.
-^- = 0^. В задачах об установившихся течениях требуются
лишь пространственные граничные условия, а начальные условия
не задаются.
156
Выпишем основные уравнения для жидкости:
— уравнение количества движения
да... , , Dv,
—^ + Р&/ = Р—L. (5.1)
dXj Dt ’
— уравнение неразрывности
— уравнение связи между напряжениями и деформациями (для
течения Стокса)
° и = — Р&ч + 2р (е(1-J- eit б0); (5.3)
\ и /
— уравнение состояния (баротропное течение)
f(p,p) = O; (5.4)
— соотношение между скоростями движения и скоростями дефор-
мации
1 I di>. dv,
e‘i~ 2 | дх.
(5-5)
Для жидкостей с нулевой вязкостью связь между напряжением
и деформацией сводится к равенству
или
аи — Р^а
о=—р.
(5-6)
(5-7)
Напряжения при этом определяются одной переменной р,
а уравнения количества движения записываются в виде
—+ pbt = р (5.8)
дх. r ; Dt
с граничными условиями
рп=—р или заданной скоростью vn (5.9)
{ps и vs не задаются из-за невозможности приложения касатель-
ной поверхностной силы на границе в невязкой жидкости).
Несжимаемость (р =. const = р0) приводит к следующему виду
уравнения неразрывности:
dvk
dxk
= 0.
(5.10)
Связь между вязкостью и завихренностью. Рассмотрим в не-
вязкой несжимаемой жидкости объем в виде сферы, первоначально
находящейся в состоянии покоя. Изменение сил, действующих
внутри жидкости, вызывает появление некоторых поверхностных
сил на сфере. Поскольку жидкость невязкая, эти поверхностные
157
силы должны действовать нормально к поверхности. Таким обра-
зом, результирующая поверхностных сил проходит через центр
сферы, а результирующая массовых сил — через центр массы.
Тогда сфера не может вращаться, поскольку нет момента сил.
Для того чтобы записать условие отсутствия вращения мате-
матически, рассмотрим уравнение количества движения, выразив
его через скорости:
Dvj
~Dt
дх1
(5.11)
ИЛИ
где
— V (-^-Wvv*v4- 6 = —-,
\ Ро / Dt '
v’( )= *L±+*L_2
axf
*( )
дх|
= v(v(
) 1;
д( ), Э( ) д( ) 1
дхх ’ дх2 ’ дх, ) *
Vf— градиент дифференцируемой скалярной функции f; yv —
градиент вектора, равный
д( )
ЭХ!
)
дх2
(«1. v2, v3).
дх, )
С учетом условия несжимаемости член, содержащий кинемати-
ческую вязкость v (у = р/ро), может быть переписан так:]
л d*v (Л л 1
<5Л2>
л=1
(/ = 1, 2, 3; т = 3, 1, 2; I = 2, 3, 1)
или]
\7*v = 2 rot (<о) = 2^ X w,
где
® = v х V.
Если течение безвихревое, то <о = 0, вязкостный член также
равен нулю и уравнение (5.11) приводится к виду
или
-Ро dxi 1
Dv,
Dt
(5.14)
158
§ 5.2.
Уравнение Бернулли
->
Рассмотрим одиночную частицу массы, на которую действует сила F
(рис. 5.1). Уравнение движения частицы имеет вид
F = m —. (5.15)
Dt
При движении из положения, соответствующего моменту вре-
мени /0, до положения в момент t сила F совершает работу по пе-
ремещению частицы и, следовательно, происходит изменение кине-
тической энергии. Согласно принципу сохранения энергии работа
внешней силы равна приращению кинетической энергии,
t t t
СFvdt = m{v ^-dt = m f -^—(—vv\dt. (5.16)
J J Dt J Dt \ 2
if) *0 ^0
Рис. 5.1. Траектория жидкой частицы
Этот закон справедлив для произвольной силы F (т. е. как для
—►
диссипативной, так и для консервативной силы). Если F консерва-
тивная сила, то ее можно представить через потенциал силы:
F=—y.Q, (5-17)
где Q = Q (х) — потенциал.
Необходимое и достаточное условие консервативности для
однозначного поля с непрерывными первыми производными есть
VXF = 0.
Тогда уравнение (5.16)_ преобразуется к виду
t
(^к) j dt = О,
где UK = — mw—кинетическая энергия частицы.
(5.18)
159
Уравнение (5.18) можно записать также как функцию от S —
координаты, отсчитываемой вдоль траектории частицы:
f —dS + f^^-d/ = O. (5.19)
J as J Dt ’
S0 to
Это означает, что вдоль пути частицы
И + U к = const. (5.20)
Те же самые соображения можно применить и к жидкой ча-
стице. Векторной формой уравнения равновесия сил для течения
без трения является
= у. (5.21)
Dt \Ро I
Если b консервативна (обычно b обусловлена гравитацией), то
bk = (5.22)
Справедливо тождество
~ + Y - (2v X «), (5.23)
a=-pxv.
Следовательно, уравнение равновесия (5.21) можно записать
как
+^Н-2(охш) = 0, (5.24)
где И — полный напор
H = ^- + Q + ±V\ (5.25)
го 2
Уа = ^и =
Можно проинтегрировать уравнение (5.24), предварительно
умножив его на и, вдоль пути частицы (в данном случае линии
тока) и получить следующее соотношение:
t ->
— 2(рхо)+?//)и«=0. (5.26)
to
160
Второй член в выражении (5.26) равен нулю, так как вектор
оХй ортогонален v. Таким образом,
vdt = 0.
(5.27)
Для установившегося течения v и р не зависят от t. Отсюда
следует, что
Я = -^- + Й + —V2 = const (5.28)
Ро 2
вдоль линии тока для установившегося потока. Этот результат
получен Бернулли. В случае установившегося и безвихревого те-
чения уравнение (5.24) переходит в равенство
V#=0
(5.29)
и закон Бернулли, сводится к следующему: И = const по всей обла-
сти для установившегося безвихревого течения невязкой жидкости.
Пример 5.1. Рассмотрим двухмерное установившееся течение невяз-
кой и несжимаемой жидкости. Уравнения Навье — Стокса могут быть запи-
саны в виде
(О
Если существует потенциал массовых сил, например, как в случае гра-
витации,
Й= — hg.
то можно записать
( р / + U
I У \ 2g . Д
— + Л + — = const,
У 2g
(2)
(3)
(4>
где h — вертикальная координата; g — ускорение силы тяжести; у — pg;
V2 = v2 + v%.
Уравнение (4) есть уравнение Бернулли для двухмерного установившегося
течения невязкой несжимаемой жидкости.
Примем следующие условные обозначения: р/у — напор давления; h—
геометрический напор; V2/2g — скоростной напор.
Рассмотрим, как уравнение (4) может быть применено для трубы и русла,
показанных на рис. 5.2. Возьмем два сечения высотой /ц и h2. Давление на
одном или другом конце известно: для трубы — по показаниям манометра;
161
в случае открытого русла — по положению свободной поверхности. Скорост-
ные напоры для двух сеченнй соответственно выражаются в виде отношений
V^g и Vtyig.
В действительности закон постоннства механической энергии, выражае-
мый уравнением Бернулли, несправедлив, поскольку всегда наблюдаются
потерн энергии нз-за трення, турбулентности н других причин. Эти потерн
показаны на рис. 5.2 в виде разности между горизонтальной штрихпунктнр-
ной линией н наклонной штриховой линией, представляющей сумму энергий
н называемой гидравлическим градиентом.1 Эта разность называется потерями
напора.
Потенциальные потоки. Если течение невязкой жидкости явля-
ется безвихревым в произвольный момент времени, оно будет
оставаться таким всегда. Безвихревые течения называют потен-
циальными, поскольку условие
2ш = ухп = 0 (5.30)
Рнс. 5.2. Поток в трубе (а) н русле (б)
является необходимым и достаточным для существования такого
скалярного потенциала Ф, при котором справедливо следующее
векторное тождество:
rot (grad Ф) = у х (уФ) = 0, (5.31)
где скалярная функция Ф имеет непрерывные первые и вторые
производные. Следовательно,
и=уф (5.32)
или
, . ( дФ дф дФ }
Vi, V2, U3} = -— , ------ , —— .
{ oxj дх, дх3 J
Использование потенциала значительно упрощает задачу, по-
скольку три составляющие скорости заменяются одной функцией.
•Уравнение (5.10), например, записывается в виде
у*Ф = 0.
V*
-----|-Л, в отечественной литературе принято
2g
р
1 Высоту, равную —
называть полным напором, а соответствующую линию — линией полного
напора. — Прим, перев.
162
(5.33)
§ 5.3.
Волновое уравнение
Во многих задачах течений невязкой жидкости приходится стал-
киваться с основным уравнением вида
dt2 v
где Ф — функция типа потенциала.
Это уравнение обычно трехмерное н называется волновым.
Оно относится к уравнениям гиперболического типа, н для него
необходимо задать как граничные, так и начальные условия.
Конечноэлементная формулировка задачи. К волновому урав-
нению может быть применен метод конечных элементов. Вариаци-
онную формулировку для двухмерной задачи, соответствующую
уравнению (5.33), можно записать в следующем виде:
(5.34)
s,
Предполагается, что на поверхности Sx выполняется условие
Ф = Ф. После интегрирования выражения (5.34) по частям полу-
чим
дх2
дЬФ дФ дЬФ \ д2Ф .
'----------4-------O0ldx1dx,=
дх2 дх2 / dt2 J
= f fM>dS.
S2
можно аппроксимировать в пределах каждого
(5.35)
Потенциал Ф
элемента как
Ф фХ Ф фгФп, (5.36)
где ф — интерполяционная функция; Ф" и Ф" — узловые неиз’
вестные.
Подставив выражения (5.36) в уравнение (5.35), получим для
одного элемента
КФ" + МФ" = Р,
(5.37)
где
М = j* J* ффтйх1йх2;
К •= f f С2 (ф, хф.г 1 + ф, 2ф,г2) dxidx2,
Р= Гф/dS;
дф ж дф
* Ф> 2 — “Z •
дх.
Ф. । ,
дх.
163
После объединения всех элементов имеем следующее матрич-
ное уравнение для всей области:
КФ+МФ Р. (5.38)
В гл. 3 показано, что уравнение (5.38) легко решается в случае
гармонического движения, когда возмущение и ответная реакция
на него находятся в фазе, т. е. когда
Ф=Heiu“, Р = Ptfiat, (5.39)
где i = У—1 ; со — круговая частота.
Такой случай характеризует динамически установившийся ре-
жим и соответствует моменту, когда после начала возмущения
прошло достаточно времени.
Подставляя выражения (5.39) в уравнение (5.38), получаем
(К—и2М)Я = Р0. (5.40)
Если частота <о известна, то можно решить систему уравнений
(5.40) для заданной величины Ро. В частности, если Ро = 0, урав-
нение (5.40) сводится к нахождению собственных значений (со,)
и собственных векторов которые дают решение системы.
Важно указать, что для задач, связанных с исследованием гар-
монического установившегося состояния, точность конечноэлемент-
ного решения в значительной степени зависит от размеров сетки
конечных элементов. Эта зависимость выражается как функция
от параметра г:
^тах
^•min
где Lmax — максимальный размер наибольшего элемента; lmin —
минимальная длина волны.
Эта величина, определяющая максимальный характерный раз-
мер элемента, должна быть, как правило, не более 0,1. Упомяну-
тый метод решения применим для установившихся задач. Если Р
есть произвольная функция времени Р (t), то можно решать за-
дачу методом суперпозиции или прямого интегрирования. Ниже
обсудим технику решения с помощью первого метода. Методы
непосредственного интегрирования рассмотрены в последующих
главах.
Метод суперпозиции гармоник. Рассмотрим уравнение (5.38),
которое запишем в виде
КФ + МФ = РЦ). (5.41)
Как и ранее, предположим, что используется минимум глав-
ных краевых условий. Следовательно, матрица К, равно как и
матрица М, является положительно определенной. Заметим, что
если определенные элементы матрицы Ф известны и отличны от нуля
(обозначим их Ф), то после умножения на соответствующий стол-
бец К они дадут в правой части уравнения вектор Р. Допустим,
164
что ускорения на границе области, соответствующие этим значе-
ниям Ф, равны нулю. Следовательно, выражение (5.40) можно
записать в виде
КФ + МФ - Р (0 + Р, (5- 42)
где К, М и Р — новые матрицы, приведенные к удобному виду.
В методе суперпозиции гармоник сначала рассматривается
случай свободных колебаний, т. е. уравнение (5.40). Эго дает по-
следовательность собственных чисел и собственных векторов,
которые можно записать как
со,, Ф,- для 1 = 1, 2,. . ., п,
где все со, — положительны для положительно определенных мат-
риц К и М.
Согласно определению
ЯФ£ = со2МФг (5.43)
Векторы Ф,- ортогональны матрицам К и М, т. е.
ФТКФ^О, Ф,гЛ!Ф; = 0 для (5.44)
и эти произведения не равны нулю, когда i = j. Каждый собствен-
ный вектор содержит произвольную постоянную, которая обычно
находится из условия нормирования Ф, относительно М:
Ф^МФ^\. (5.45)
Это приводит к соотношению
фт#ф =(02. (5.46)
Решение для вектора Ф можно записать как комбинацию s
различных собственных векторов и вектора с известными значе-
ниями Ф:
Ф = 2j + (5-47)
i=l
где s п и qL — (t) можно рассматривать как обобщенные
координаты.
Подстановка Ф в уравнение (5.42) приводит к следующему
равенству:
^(^МФ4+<7(Л-Ф()=Р(О- (5-48)
С=1
Умножив предварительно это уравнение на Ф? с учетом {усло-
вия ортогональности, получим s несвязанных между собой диф-
ференциальных уравнений вида
^-(<7z) + ^/ = Pj(0. (5.49)
165
где
р/=ф;р(О.
Решение уравнения (5.49) даст
9/ = 9/|/=oCos®/ + -^
dt
+ ~±~ J SIH О); (t—l) р/ (£) dl,
о
sin ®/+
(5.50)
где 5 — переменная интегрирования.
Первые члены, равные нулю, если система находится перво-
начально в покое, содержат начальные условия.
Суммируя вклады всех s форм, получаем
*= + ф
1=1
(5.51)
Основная трудность состоит в выборе s, т. е. в решении во-
проса о том, сколько нужно взять обобщенных координат. Реше-
ние является точным, если $ = п (термин «точное» относится в дан-
ном случае к решению дискретных уравнений).
§ 5.4.
Реакция прибрежных вод нв гврмонические возмущения
Рассмотрим специальный случай волнового уравнения, описываю-
щего задачу определения реакции прибрежных вод на гармони-
ческие возмущения. Обозначения показаны на рис. 5.3. Пусть
Я (*ь xiy t) — возвышение свободной
Х3р3 поверхности над уровнем моря. Бу-
, дем оперировать с проинтегрирован-
Рнс. 5 3. Гармоническое вы-
нужденное движение Случай
мелкой воды
ными по вертикальному направлению
величинами qr и q2, которые в этом
случае являются функциями от хи
х2 и t:
ч ч
<7i = f Uidx3; q2^ [ v2dx3. (5.52)
—л —л
Допустим также, что амплитуда rj
мала по сравнению с первоначаль-
ной глубиной h, и пренебрежем
силой Кориолиса и горизонтальным
трением. Будем считать, что давление равно гидростатическому
давлению:
(5.53)
166
Это уравнение заменяет третье уравнение движения, а два
остальных будут иметь вид
Dt», dn Dv, дп
<554>
Запишем уравнение неразрывности:
dt>1 | . । dv*
dxi дх, дх,
(5.55)
Применим кинематическое граничное условие, согласно кото-
рому вертикальная скорость при х3 = т) равна изменению высоты
волны во времени (рис. 5.3), т. е.
vs L = lim ,
314 д^о Д/ Dt ’
(5.56)
где
Dr) dr)
DT” ”д7
I 4-D I
П , +и2 П Д
ди, дх,
(5.57)
Проинтегрировав уравнение неразрывности по х3 с использо-
ванием правила Лейбница, т. е.
Л, (х„ х,) h,
f f(x1,x2,x3)dx3 = f -^-dx3 + f\„ ----
dx, J J dx, dx, |n‘ dx,
hi (x,, X,) h,
и подставив выражение (5.57) в уравнение (5.55), получим
, d9, дт>
дх, дх, dt
Далее проинтегрируем по х3 уравнения количества движения.
Используя правило Лейбница и кинематическое граничное усло-
вие на свободной поверхности, находим
J М-Гз + f ц,цДг3+ f = —g (А+П) (5- 59)
at J dx, J дх2 •' dx,
и аналогичное уравнение в направлении х2.
Пренебрегая конвективными членами в уравнениях количества
движения и учитывая, что амплитуда т) мала по сравнению с h,
запишем
-^r=-gh-?-> -^=-&-?- <5-60)
dt dxt dt dx2
На береговой границе зададим проинтегрированную (по вер-
тикали) нормальную скорость: <?„ = а„,<7, + ап2<?2 = <?„ на «5а.
На границе с открытым морем определено отклонение от среднего
уровня т) = т) (хь х2, t) на Sx. Дифференциальные уравнения
167
(5.58) и (5.60) можно преобразовать к одному уравнению второго
порядка. Для этого необходимо продифференцировать выраже-
ния (5.60) соответственно по хх и х2 и подставить их в уравнение
неразрывности (5.58), в свою очередь продифференцированное
предварительно по /. В результате получим
д (и Л1 \ . д /д \__________1 _р
дх2 \ дхг ) g dt2
dxi
г
(5.61)
где
h^-
дп
т] — т| на Sf,
д / 1 - \
-1Г Ы
на S2.
(5.62)
Граничное условие для нормальной скорости заменено урав-
нением равенства сил в направлении нормали, что согласуется
с увеличением порядка основного дифференциального уравнения
задачи.
Резонанс и вынужденные колебания, вызванные гармоническим
возмущением свободной поверхности, можно исследовать,
ставив г, как
пред-
T](Xi, х2, t) = H(xlt x2)eia>i,
где о) — круговая частота.
Тогда выражение (5.61) приводится к следующему виду:
(h + JL. lh ™_\ + н = о.
дхг \ дхг / дх, \ дх2 / g
Для возмущения свободной поверхности
Н = Н на Si;
= f на S2.
дп
Для случая свободных колебаний зададим ряд однородных
граничных условий
(5.63)
(5.64)
(5.65)
tf=0L, -^- = 0L
1*1 дп |Лг
(5.66)
и определим частоты и формы колебаний.
В случае гармонического движения уравнения
мают вид
(5.64) прини-
d2Uj
~дё
дН i<s>t
дх.
д2иг
di2
(5.67)
ох2
где Ui и и, — горизонтальные перемещения.
168
Уравнения (5.67) после интегрирования в пределах полупериода
дают для максимальных горизонтальных смещений
<5-б8>
со2 дх±
(5.69)
|«2|=Л-г-
дх2
Формулировка задачи в рамках метода конечных элементов.
Из уравнения (5.64) и граничных условий можно записать следую-
щее выражение применительно к методу взвешенных невязок:
Ид (, дН \ д /, дН \ , w2 rrl с rr j j
-г— А -г— Л Н--------Н\8Hdxidx2 =
dxt \ дх! / дх2 \ дх2 ) g J
S,
Интегрируя его по частям, находим
f ———H8H]dX1dx2= tfSHdS. (5.71)
J J \ dxt dx, dx2 dx, g J 1 2 J
S.
(5.70)
Если f = 0, правая часть уравнения (5.71) равна нулю.
Предположим, что в пределах элемента переменная Н может
быть аппроксимирована выражением
Д = фгНп, (5.72)
где ф — интерполяционная функция; Н" — узловые неизвестные.
Тогда для элемента
фф7^ сЦб/х2Нп —
= 6Н"’ т j QfdS. (5.73)
Выражение (5.73) можно записать как
КНЛ — о)2МН'‘Р, (5.74)
где
К = f f h (ф 2фг2) dxldx2,
М = — I f ^Tdxldx2,
g
P = ^fdS.
Матрицы К, M, P аналогичны матрицам, входящим в выра-
жение (5.37). Для всей области имеем
КН^ш2МН Р, (5.75)
бнп-т И л(Ф.1ФГ,+Ф,2Ф.г2)
где К и Af — симметричные матрицы.
169
Рис. 5.4. Анализ вынужденных гармонических колебаний в Дан-
канском бассейне
1 — остров; 2 — залив; 3 — волнолом; 4 — мол; 3 — первоначальная (гру-
бая) сетка; 6 — вход; 7 — вторичная (улучшенная) сетка; у — относитель-
ные колебания уровня; х — период; — . — теоретические данные. -экс-
перимент
170
Пример 5.2. Если известны частота воли и уровень свободной по-
верхности на границе рассматриваемого района с открытым морем, урав-
нение (5.75) можно записать в следующем виде
(К — ы'М)Н=Р,
где элементы вектора Р получаются как результат перемножения известных
возвышений свободной поверхности Н иа элементы матриц К и co’Jf и пере-
несения произведения в правую часть. Решив представленное выше уравне-
ние, можно получить величины возвышения свободной поверхности в виде
ряда.
В качестве иллюстрации рассмотрен Даиканский бассейн, построенный
во время второй мировой войны в гавани залива Тэйбл в Южной Африке.
Этот бассейн тщательно исследовался в связи с характерной особенностью
залива, в котором он расположен, заключающейся в значительном усилении
приливных волн определенных частот. Факт усиления колебаний установлен
модельным экспериментом, гармоническим анализом записей волн и простым
теоретическим решением, которое может в данном случае дать приемлемые
результаты, так как форма бассейна близка к прямоугольной.
Экспериментальные значения амплитуд воли в месте расположения
причалов £ и О изображены на рис. 5.4. Заметим, что первый значительный
период составляет примерно Т — 11,45 мин (теоретическое значение) и ясно
прослеживается в экспериментальной кривой, хотя колебания на ней сильно
демпфированы. Это демпфирование можно было ожидать, поскольку
период Т 11,45 мин (теоретически) соответствует свободному втеканию
и вытеканию воды из бассейна, чего в действительности ие наблюдалось.
Решение методом конечных элементов выполнено путем деления бас-
сейна на 168 треугольных элементов с шестью узлами в каждом, что дало
377 узловых неизвестных (вторичная сетка). Значения периодов составляли
Т = 1, 2, 3, ... мин (со = 2л/Т — круговая частота), а значения возвыше-
ния свободной поверхности во всех узлах иа входе в бассейн Н — 1.
Положение свободной поверхности в местах расположения причалов £
и О показаны на рис. 5.4. Найдены собственные числа системы. При этом
в целях уменьшения машинного времени использовалась первичная сетка.
Эти значения сравнивались со значениями, полученными из решения урав-
нений для Г = 1, 2, 3, . . . мни. Результаты сравнения показали хорошее
согласование.
§ 5.5-
Формулировка задачи относительно функции тока
При изучении движения жидкости удобно ввести понятие о линии
тока как о линии, в каждой точке которой вектор скорости направ-
лен по касательной (рис. 5.5). Ограничимся рассмотрением двух-
мерного установившегося, течения несжимаемой жидкости. При-
ращение функции тока между двумя линиями тока, находящимися на
элементарно малом расстоянии друг от друга, составит
= Vjdx2—v^dx^ (5.76)
где полный дифференциал можно записать как
^ + ~?~ dxi- (5-77)
dxt дх!
171
Таким образом,
V1
dip
дхг
dip
dxi
(5.78)
V2 =
Величина ip называется функцией тока и вводится так, что
условие несжимаемости тождественно выполняется. Для линии
тока dip = О и, следовательно, ip = const. Рассмотрим семейство
линий тока, показанных на рис. 5.5, и кривую АВ, заключенную
между ними. Толщину потока считаем равной единице. Расход Q
через АВ
в в
Q — ^vndS = j (vjtx,,! +v2an2) dS, (5.79)
где anl и an2 — направляющие
косинусы нормали к АВ по
отношению к осям Xj и х2.
Таким образом,
(5.80)
Следовательно, уравнение (5.79)
примет вид
в
Q = f (о^х2 —Ujdxj).
л
Подставив в него выражения (5.78), получим
в в
Q = С f dx2 + —— dxx) — Г dip
J dxa dX1 J J
A A
(5.81)
или
Q = (Л).
Таким образом, полный расход равен разности значений функ-
ции тока в точках А и В. Заметим, что согласно определению ли-
нии тока и эквипотенциальные поверхности ортогональны друг
к другу. С целью обоснования этого рассмотрим приращения
функций ip и Ф:
dip = dxi + dx2;
дха дх,
dФ
дФ
дха
А I А
dxx + -— dx2
йх2
(5.82)
Введем два вектора
dip dip \ "* ____/ дФ дФ
dxi дх2 / ’ \ дха ’ дх2
(5.83)
172
Используя уравнения (5.32) и (5.78), можно доказать, что эти
векторы ортогональны, т. е.
ефеф = °. (5.84)
Следовательно, линии тока и эквипотенциальные линии также
ортогональны.
Вариационная формулировка. Для случая несжимаемой жид-
кости
уи = 0 (5.85)
и для безвихревого течения
уХо=0. (5.86)
Скорости можно выразить через потенциал
v — \Ф- (5.87)
Тогда уравнение неразрывности записывается как
у2Ф = 0.
(5.88)
Граничные условия Ф = Ф на Sx и ип
=---- на So. Найдем потен-
дп
циал и скорости. После этого] давление можно определить из
уравнения Бернулли.
Запишем вариационное равенство
(y4>)M>dV = ---
*2
vn \M>dS
(5.89)
в предположении, что функция Ф удовлетворяет граничным усло-
виям на Sx.
Интегрируя по частям, получаем
— f уФу6Ф4У -f- J vn^dS = 0. (5.90)
s2
Уравнению (5.90) соответствует следующий функционал:
F (Ф) - — j уФуФсГУ— f v^dS. (5.91)
2 *2
Заметим, что первый член в выражении (5.91) есть кинетиче-
ская энергия системы, деленная на массовую плотность. Второй
член можно трактовать как работу импульса давления, который
выводит систему из состояния покоя.
Другой подход, применяемый в задачах о плоскопараллельных
движениях, состоит в использовании функций тока. В этом случае
173
для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности выполняется
автоматически, а уравнение завихренности дает
V^ = 0. (5.92)
Граничные условия ф = ф на Si и и, = —на S2.
Вариационная формулировка такой краевой задачи приводит
к следующему выражению:
J (vN5) tydA = J (5.93)
Интегрируя по частям, получаем
J = J (5.94)
Ss
что дает функционал
F W = 4" J V'MxM + f v$dS.
Пример 5.3. Рассмотрим задачу об обтекании кругового цилиндра
ограниченным потоком. Предположим, что на значительном удалении вверх
и вниз по потоку линии тока представляют собой параллельные прямые.
Наименьшей областью, которая может быть рассмотрена с учетом сооб-
ражения о симметрии течения является область abcde (рис. 5.6).
Вследствие симметрии можно принять if = 0 вдоль ab и Ьс и рассма-
тривать эту линию как линию отсчета. Тогда согласно определению функции
тока ф = 2 на de (поскольку нормальная скорость на ае равна единице).
После интегрирования на ае получим
фе = <2— фа = 2с’1 = 2. (1)
Вдоль ае ф изменяется линейно. Наконец, иа cd вертикальная состав»
ляющая скорости должна быть равна нулю:
vt = —— = 0 на St.
dxi
Задача решена Мартином (4) с использованием трехузловых треуголь-
ных элементов. В этом решении
ф=фгфп, (2)
где ф — линейная интерполяционная функция.
Уравнение (5.93) дает после интегрирования по частям
d
J" f Уфудф^Л = f VsdifdS = 0. (3)
с
Подставив выражение (2) в уравнение (3), получим
d
бфп’ г J J ффг<Мфп = 6фп- т j фМ5 (4)
174
или
Кф" = Р. (5)
Для всей области течения с учетом граничных условий ф( = ф7 имеем
К^=Р+Р. (6)
Заметим, что Р обусловлена известными значениями функций тока на Зх.
Решение этой системы уравнений определяет узловые значения функции
тока.
Рнс. 5.6. Течение вокруг цилиндра между параллельными
стенками
Мартин [4 ] при расчете рассматривал вместо области abcde половину
всего течения abcb'a'e'e, для которой значения ф известны в каждой точке
границы, а следовательно, объектом рассмотрения являлись только границы
типа Si, т. е. задача Дирихле. Результаты расчета Мартина 1 показаны ниже.
1 Использование в работе Мартина достаточно крупных элементов
обусловило очень неточные численные результаты, судя по кривой распре-
деления скорости вдоль лнннн cd. Тот же пример был рассчитан с помощью
МКЭ в работах [2, 8] с применением либо элементов, аналогичных исполь-
зованным Мартином, но с более мелкой разбивкой области в районе крити-
ческой точки [2], либо элементов более высокого порядка [8]. Результаты
этих расчетов хорошо согласуются между собой, а также с данными, полу-
ченными с помощью метода конформных отображений. — Прим, перев.
175
Узел Координата. *2 <Р
67 1,00 0
68 1,16 0,3419
69 1,33 0,688 0
70 1,54 1,107 2
71 1,76 1,536 4
72 2,00 2,000 0
Можно вычислить скорости на линии cd (рис. 5.7).
Мартин предложил также при точном выполнении условия для д^/дп
на S2 (условие Неймана) уравнение, связывающее узловые неизвестные.
Мы обычно предпочитаем применять условие Неймана, используя форму-
лировку метода взвешенных невязок, как показано в уравнении (5.93).
Рис. 5.7. Скорости в точках верти-
кальной оси симметрии с—d
Рис. 5.8. Профиль в равномерном
потоке
Прн этом хотя условие на S2 не выполняется тождественно, но само решение
оказывается более удобным при практическом применении.
Пример 5.4. Данный пример является иллюстрацией того, как
использование метода конечных элементов может в значительной степени
упростить решение сложной проблемы.
Рассмотрим профиль в равномерном потоке, показанный на рис. 5.8 [3].
Требуется выполнить условие Кутта х, согласно которому на задней кромке Т
скорость равна нулю. Точка Т, называемая критической, для единственности
решения должна быть расположена на задней острой кромке. Задача может
быть решена методом конечных элементов при наложении следующих гранич-
ных условий:
1) ф = —vtxt на S", как следствие рассмотрения однородного потока
в направлении Хх;
2) ф = const на S', так как граница тела есть линия тока;
3) скорость в точке Т равна нулю (условие Кутта).
Для этой задачи были получены три решения с использованием конеч-
ных элементов (с применением трехузловых элементов):
1) V 2ф1 — 0 в области течения с граничными условиями фх = 0 на S',
Ф1 = —1’1^2 на S";
1 В отечественной литературе это условие называется постулатом Чап-
лыгина — Жуковского. — Прим, перев.
176
2) = 0 в области течения с граничными условиями ф» = 0 на S',
ф, = 1 иа $*;
3) vN’s = 0 с условиями Tj?3 = 1 на S', ф3 = 0 на S".
Окончательное решение для ф определится суммой
ф = Ф1 + аф,+ 0ф3, (1 )
где параметры а и 0 можно найти из условия Кутта: иг = v2 = 0 в точке Т.
Заметим при этом, что Vj и v2 — линейные функции от а и 0.
На рис. 5.9 показана картина потока вокруг профиля NACA 4412 в одно-
родном потоке при угле атаки 8 , полученная вышеуказанным способом.
Рис. 5.9. Линии тока при обтекании профиля NACA
4412 с выполнением условия Чаплыгина — Жуковского
«Статическую» проверку решения можно выполнить путем вычисления
циркуляции как интеграла от касательной скорости по замкнутому контуру,
т. е.
(2)
Тогда, применив теорему Гаусса, получим
Как следует из уравнения (3), если поток безвихревой, циркуляция
по замкнутому контуру, проведенному внутри жидкости, равна нулю.
§ 5.6.
Цилиндрические координаты
Тело, образованное вращением участка плоскости в пределах
полного оборота вокруг оси, лежащей в этой плоскости, называ-
ется телом вращения. В этом случае удобнее пользоваться цилин-
дрической системой координат: полярным углом 0 и двумя коор-
динатами в плоскости г, z, как показано на рис. 5.10.
Рассмотренную выше формулировку задачи можно распростра-
нить на случай криволинейных координат путем соответствую-
щего преобразования декартовых производных и геометрических
параметров.
177
Приведем основные соотношения, записанные в
ских координатах.
Проекции скорости в функции от потенциала
дФ
V, —----.
г дг
1 дФ
Ve~ r дд ’
Градиент скалярного потенциала
* 1 дФ 1 дФ
иФ = ----,-------,
\ дг г дд
дФ
и. =----
дг
дФ
дг
Дивергенция и
1 д , ч , 1 doo , дпг
vu= — — rt/r) +-----------
r dr r
дд 1 дг
цилиндриче-
(5.95)
(5.96)
(5.97)
Рис. 5.10. Цилиндрические коор-
динаты
Рис. 5.11. Сетка конечных
элементов в цилиндриче-
ских координатах (без из-
менения вдоль оси г)
1 — элемент; 2 — узлы
Вихрь определяется следующим
= J00
I г дд
векторным произведением:
dvr дуг 1 / д (гое) &vr \ 1
дг дг ’ г \ дг
дд
Наконец, оператор
равен
Лапласа может
быть вычислен
как и
д*Ф t д*Ф
~дд*~^~д^
В случае двухмерного потока может быть введена функция тока ф
так, что
(5.98)
(5/99)
(5.100)
дг ’
vr = _L*L; и=_
г дд и дг
Уравнение Лапласа для этого случая принимает вид
1 д / Эф \ 1 Э*ф =0
г дг \ дг )' г* дд*
Возможная сетка конечных элементов в цилиндрических коор-
динатах показана на рис. 5.11, где Ф есть функция г, 0, г.
178
Во многих случаях трехмерную задачу в цилиндрических коор-
динатах можно рассматривать как ряд осесимметричных задач,
если потенциал скорости удается представить в виде ряда Фурье:
Ф(г, z, 0) = Фо(г, z)+ 2,Фк(г, z)sinfen0 +
*=1
4- z)cosAn0, (5.101)
fc=i
где s означает «симметричный» член, а а — антисимметричный.
Возможность представления выражения (5.101) зависит от
того, можно ли записать таким же способом задаваемые на грани-
цах потенциал и поток, т. е., например для потока
f(r, z, 0) = fo(r, z)+ 5ffc(r, z)sin£n0 +
fc=i
+ 2ifk(r, z)cosfen0. (5.102)
*=i
Запишем следующее выражение метода взвешенных невязок
(после интегрирования по частям):
(2п -> -> \ / 2п \
$ ^ytodQ]rdrdz= Щ fM>d9]rdS, (5.103)
о / s, \ о ;
где S — длина дуги криволинейной границы в плоскости г, z.
Нетрудно преобразовать уравнение (5.103) к виду
2л
С СП— .Л»
J J J \ дг дг г* дв дв дг дг )
г г о
(2л \
Г fM>dQ\rdS.
о /
Подставим уравнения (5.101) и (5.102) в это последнее выра-
жение и проинтегрируем по 0, принимая во внимание условие
ортогональности:
2п 2п
J sinn0d0 = | cos nQdQ = 0;
о о
2л 2л
J cos п0 cos znOdO = I sin n0 sin mQdQ = ; (5.104)
о о
2Я
J si n nOcosmO d0 = 0,
о
где 6mn — символ Кронеккера.
17»
В результате получим систему не связанных между собой урав-
нений:
f f ( !rdrdz = С /oWS; (5.105)
J J I дг дг дг дг ) J
+ 'fk(M>k)dS-, (5.106)
\ аг / \ аг / )
+ (-?Ц 1 ]rdrdz = J ft (бФ£)dS.
\ дг / \ дг ] }
(5.107)
Остальные этапы решения такие же, как и для k = 0, т. е.
дискретизация и представления потенциалов внутри элементов
Рис. 5.12. Случай осе-
симметричного течения
/ — элемент; 2 — центр тя-
жести
для всех форм. Вычисляются симметрич-
ные и антисимметричные матрицы эле-
мента, составляется общая система урав-
нений и определяются узловые значения.
Эта процедура повторяется последова-
тельно для различных k до тех пор, пока
не будет достигнута требуемая точность.
Из уравнения (5.105) имеем |
Я°Ф° = Р<» (5.108)
и для симметричных и антисимметричных
узлов (k = 1, 2, . . .)
Kfrk = Pk,
K№ak=Pt.
(5.109)
Заметим, что вид Kk одинаков для симметричных и антисим-
метричных форм при одинаковых значениях k.
В заключение дадим следующую практическую рекомендацию:
при интегрировании с целью получения матриц элемента обычно
удобно работать со средней величиной г. Это позволит избежать
особенности, характерные для случая, когда узлы находятся на
оси z, т. е. когда г = 0 (рис. 5.12). Другим путем исключения
этих особенностей является использование формулы интегрирова-
ния (см. приложение) с узлами интегрирования, расположенными
только внутри элемента.
180
ЛИТЕРАТУРА.
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.
2. Копелевич А. С., Плисов Н. Б. О применении метода конечных эле-
ментов к расчету потенциального обтекания тел двухмерным ограниченным
потоком.— Труды Ленинградского кораблестроительного института,
вып. 115, 1977.
3. De Vries G., Norrie D. G. The Application of the Finite Element Te-
chnique to Potential Flow Problems. J. Appl. Meeh. ASME, Dec., 1971.
4. Martin H. C. Finite Element Analysis of Fluid Flows, Proc 2-nd Conf.
Matrix Meth. Str. Meeh., AFFDL, TR-68-150, Wright-Patterson Air Force
Base, Ohio, 1969.
5. Chan S. T., La rock В. E., Herrmann L. R. Free Surface Ideal Fluid
Flows by Finite Elements, J. Hyd. Div., ASCE, 99, HY6, June, 1973.
6. Doctors L. J. An Application of the Finite Element Techique to Boun-
dary Value Problems of Potential Flows, Int. Num. Meth. Eng., 2, 243, 1970.
7. Luke J. C. A Variational Principle for a Fluid with a Free Surface,
J. Fluid Meeh., 27, 1967.
8. Chan S. 1., Larock В. E. Flow Around Cylinder between Parallel Walls,
J. Eng. Meeh. Div., Proc. Amer. Civ. Eng., 98, N 5, 1972.
9. Argyris J. H., Maracrek G. Potential Flow Analysis by Finite Ele-
ments, Ingenier-Archiv., 42, N 1, 1972.
УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Покажите, что для безвихревого несжимаемого потока выражение
(5.23) можно записать в виде
Dv dv ->-> dv 1
5r = lr+vv(vt,)-2(v><“) = ir+Tv(t’D) =
dv ,->+ ->
+(W)v.
dt
5.2. Используя метод наименьших квадратов, найдите вариационную
формулировку для задачи, описываемой двухмерным уравнением Лапласа
д2Ф д2Ф
дх2 ду2
с граничным условием
дФ
----— g на S.
дп
Сравните результат с получаемым по уравнению (5.93) и прокомменти-
руйте его.
5.3. Покажите, как можно получить трехмерный тетраэдальный эле-
мент с 10 узлами для решения уравнения Лапласа в косоугольных объемных
координатах & (Z — 1, 2, 3, 4). Запишите соответствующие матрицы для
элемента и укажите способ их вычисления.
5.4. Получите выражение для функции тока двухмерного течения, потен-
циал которого равен
Ф = “1 + а2*1 + “Л + Vl + “ЛХ2 + ав4
5.5. Проекции скоростей внутри треугольного элемента аппроксими-
руются линейной функцией
vi = + ^2ui2) S3u(t3), ' = 1 > 2>
где верхние индексы обозначают узлы.
181
При каком соотношении между жидкость является несжимаемой?
5.6. Получите осесимметричный треугольный элемент с 6 узлами и рас-
смотрите как симметричные, так и антисимметричные узлы.
5.7. Выведите уравнение неразрывности для двухмерного элемента
в цилиндрических координатах (в предположении, что жидкость несжимаема
и скорости не зависят от координаты г), приравнивая расходы втекающей
и вытекающей жидкости (рис. 5.13). Заметим, что уравнение неразрывности
должно быть адекватным полученному из выражения (5.97).
5.8. Допуская, что возмущающая волна на входе в гавань может быть
описана рядом Фурье с несколькими гармониками, покажите, как могут
быть найдены вынужденные колебания жидкости в гавани.
(^r+^T+^8^+Sr)Se
~де*8’
Рис. 5.13. Элемент жидкости в координатах 0, г
5.9. Укажите, как можно получить четырехугольный элемент для тела
вращения, применяя численное интегрирование. Обоснуйте кратко возмож-
ность перехода к изопараметрическим элементам высшего порядка.
5.10. Рассмотрите уравнение
ЛФ + сф + мф = р (0- (1)
В частном случае матрицы С точное решение уравнения (1) можно полу-
чить в виде разложения по собственным формам, соответствующим уравнению
(Я— <o2Af) Ф = 0. (2)
Найдите вид С, при котором справедлив указанный метод.
ГЛАВА 6
ТЕЧЕНИЯ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
§ 6.1.
Законы движения грунтовых вод
Предполагается, что движение грунтовых вод происходит в на-
сыщенном районе пористой почвы; поры в среде, подобной песку,
связаны между собой, и жидкость может протекать через них.
Отношение объема пустого пространства к полному объему назы-
вается пористостью и обозначается как
Объем пор ,,
п =---------£—. (6.1)
Полный объем
182
Основное уравнение для движения грунтовых вод известно под
названием закона Дарси. Его можно получить из общих уравнений
Навье — Стокса в предположении, что поток ламинарный и силы
инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами вязкости.
Закон Дарси применим при числе Рейнольдса Re < 1:
Инерционные силы Vdp (6 2)
Вязкостные силы р, *
где d — средний диаметр пор; р — вязкость жидкости; р — плот-
ность; V — скорость.
Действительная скорость течения в порах
У= —,
л
где п — пористость; v — средняя скорость фильтрации.
Рассмотрим уравнение движения для установившегося течения
[см. выражение (4.50)], т. е.
(М>
Предположим, что при движении в порах жидкость подчиня-
ется закону Пуазейля (см. пример 1.18). Для трубы радиусом R
распределение скорости согласно этому закону пропорционально
R2— г2 (где г — радиальная переменная) и обратно пропорцио-
нально вязкости р. Члены, учитывающие в уравнении (6.3) трение,
связаны со вторыми производными от скоростей, которые имеют
противоположные самим скоростям знаки (т. е. силы трения дей-
ствуют в направлении, противоположном скорости).
Как следует из анализа размерностей, вязкостные члены можно
записать в следующей среднестатистической форме: для члена,
соответствующего направлению i, трение равно
где с — безразмерный параметр; о£ — составляющая средней ско-
рости фильтрации в направлении х,; d — средний диаметр пор.
Рассмотрим для простоты только случай изотропного грунта.
Введем потенциал массовых сил й в уравнение (6.3), так, что
Ь^-д/~. (6.5)
dxi
Например, если единственной массовой силой является сила
тяжести, действующая в направлении, противоположном х2, то
й= — x2gi (6.6)
где х2 — уровень; g — ускорение силы тяжести.
1 Средней скоростью фильтрации называется отношение объемного рас-
хода Q жидкости, фильтрующейся сквозь пласт пористой среды, к площади
поперечного сечения пласта Q: ц = О, Q. — Прим, перев.
183
Уравнение (6.3) теперь можно записать так:
----------й—р£ + _^_ = 0. (6.7)
р ^xi рпссР dxi
Из выражения (6.7) можно получить закон Дарси:
ncd4 (др йй | о.
t" =---—{-э<—р-эгг) м
или в векторной форме
---{уд—pjQ). (6.9)
И
Член ncd2 характеризует только свойство грунта и называется
проницаемостью. Обозначим его через k. Тогда
V—-----— ivP — PV&)- (6.10)
н
В случае постоянной плотности, т. е. для несжимаемой жидко-
сти, можно записать
о=-----— pg[v(—)—-уй|=—— VT> С6-11)
и I \ pg ! g J р
где ф — напор.
Напор имеет размерность длины и определяется формулой
<р = -£-— . (6.12)
pg g
Закон Дарси можно записать через напор так:
V—-----— ——Ку*Р> (6.13)
Р
где у = pg.
Величина К называется коэффициентом фильтрации. Она явля-
ется функцией как природной проницаемости грунта, так и свойств
жидкости:
К-------------— у, (6.14)
V ц
где v = р/р — кинематическая вязкость.
Для общего случая анизотропной среды К. в формуле (6.13)
есть тензор с числом компонентов 3x3, называемый тензором
фильтрации. Если предположить, что для какой-то ортогональной
системы координат этот тензор имеет только три ненулевых коэф-
фициента, расположенных на диагонали, то у градиентов напора
и соответствующих скоростей будут те же направления, что и у
координатных осей. Эти оси называют главными осями проницае-
мости. Каждую составляющую скорости можно записать тогда как
р£ = _i= 1,2,3. (6.15)
184
Однако обычно градиент потенциала и другие векторы скоростей
фильтрации не параллельны, но связаны соотношениями
v.= — Кц —, 1 = 1, 2, 3, /=1,2,3. (6.16)
dxi
Если К постоянная, т. е. среда однородная, изотропная, а плот-
ность и вязкость жидкости также постоянны, то уравнение (6.13)
можно представить в виде
п=уФ, (6.17)
где Ф — потенциал скорости
ф=—К<р=—(6.18)
\ У /
Для двухмерного течения можно ввести также н функцию то^а ф:
VI —------, vo - -- •
дх2 dxi
Аналогия между фильтрацией и потенциальным потоком в этом
случае полная, н можно рассматривать движение грунтовых вод
как течение невязкой жидкости.
Уравнение неразрывности для элемента грунта с жидкостью
можно записать в следующем виде:
J(p^)=_AgpL. (6.20)
ot
Для несжимаемых жидкости и грунта это уравнение дает
V(0=O. (6.21)
Подставив сюда формулу Дарси [уравнение (6.13)], получим
— ку<р = ?2ф=х0. (6.22)
Формула (6.22) имеет такой же вид, как и уравнение нераз-
рывности для невязкой несжимаемой жидкости.
§ 6.2.
Задачи фильтрации в ограниченных областях
Рассмотрим сначала случай двухмерного несжимаемого установив-
шегося потока через ортотропный грунт, для которого закон Дарсн
может быть записан следующим образом:
v2=-KM-^. 6.23)
дх2
Уравнение неразрывности (6.21) для такого потока имеет внд
— (К11 —) + — Wo. (6-24)
дхг \ дхг г dxt \ 22 дх2 ) V '
185
Граничные условия задачи таковы:
1) <р = ф на 5Х;
2) vn = — (7сп ап1 + К22 ая2) = vn на S2,
\ ох2 дх2 /
(6.25)
где vn — скорость, направленная по нормали к границе; ап1 и ап2 —
направляющие косинусы нормали к осям и Хг (рис. 6.1).
Из формул (6.24) и (6.25) можно получить следующее вариаци-
онное выражение:
f | (Ku 44 + ~Т~ 422 44! =
J J I dxi \ дх2 ) дх2 \ дх2 ) )
= f {v„ — vn} 8(pdS. (6.26)
Рис. 6.1. Основные обозначения! Рис. 6.2. Осесимметричный
случай
Интегрируя по частям, находим
f f | Ки + «к | dxxdx2- f vJydS = 0. (6.27)
J J I dxi dxi дх2 дх2 J J
s.
Соответствующее выражение для осесимметричного случая (на-
пример для потока, показанного на рис. 6.2) записывается гак:
f f f [ - ~ (гК„ ^-) + 4" (Кгг -4) 1 ^dQrdrdz =
JJ J I г дг \ дг / дг \ дг )}
== f (— vn + vn}<M0<*S> (6.28)
где
(6'29)
186
Интегрируя уравнение (6.28) по 0 (0 < 0 < 2л), получаем
2п f f ( 4“ Г(Кгг 44 16<₽drdz =
J J I dr \ dr } dz \ dz j )
= 2л J(—v„+v„)MS. (6.30)
s,
Наконец, интегрируя уравнение (6.30) по частям, выведем сле-
дующее вариационное выражение:
f f г (к„ -^-+ Кгг ) drdz- [ v^dS = 0. (6.31)
J J \ dr dr dz dz J J
Введем обычное для метода конечных элементов допущение, что
Ф = фг(г, г)ф". (6.32)
Рис. 6.3. Распределение давлений под двухопорной плотиной (расчеты с при-
менением трехузловых конечных элементов): а—давление под плотиной;
б — линии тока и эквипотенциальные линии (рисунок получен с ЭВМ)
1 — непроницаемая часть плотины; 2 — непроницаемая порода; — — — результаты
Ламбе н Витмана; --- расчеты методом конечных элементов
В остальном процедура решения такая же, как и для уравне-
ний Лапласа, рассмотренных в гл. 5. Для более общего случая
при использовании цилиндрических координат можно разложить
Ф в ряд Фурье по 0.
Пример 6.1. Рассмотрим плотину, расположенную на изотропном
грунте так, как показано на рис. 6.3. Левая и правая границы рассматривае-
мой области течения, равно как и порода под слоем дна и сама плотина, счи-
таются непроницаемыми. Граничные условия для потенциала задаются в уз-
лах, находящихся на границе грунта с водой справа (Я = 30 м) и слева
(Н = 4 м) от плотины. В нижней части плотины имеются два экрана. Ре-
зультаты определения пьезометрического напора под плотиной, показанные
на рис. 6.3, сопоставлены с данными Ламбе и Витмана [4]. Хотя сетка ко-
нечных элементов, использованная при расчетах, была довольно грубой,
результаты удовлетворительно согласуются друг с другом. Непосредственно
при решении были получены эквипотенциальные линии, а позднее были изо-
бражены перпендикулярные к ннм линии тока.
В задачах фильтрации число практических случаев с однородным изо-
тропным грунтом сравнительно мало. Следовательно, программы расчета
187
должны предусматривать неоднородные, и по крайней мере ортотропные
свойства грунта. Это означает, что проницаемости н К22 в направлениях
и Х2 не только разные для различных грунтов, но могут иметь различные
значения в пределах одного грунта. Последнее может быть вызвано искрив-
лением слоев грунта. Поэтому, чтобы охарактеризовать свойства в каждом
элементе необходимы трн параметра: Кц, и а — угол наклона слоя по
отношению к вертикальному или горизонтальному направлению (рис. 6,4).
Рис. 6.4. К вычислению коэффициентов прони-
цаемости в различных системах координат
Для случая ортотропного грунта в двухмерной задаче коэффициенты
проницаемости в общей для всего потока системе координат определяются
выражением
K=RTK'R (1)
ИЛИ
r/Cii #i«i г cos a sin а
/С21 #22 J —sin а cos а
Кц cos2 а + /(^2 sin2 а (#22_ #ii) cos а sin а
[К.22 — #ц) cos a sin а Кц sin2 а + cos2 а
#11 0 Tcosa —sina
О К22 Lsina cos а
Благодаря данному преобразованию коэффициенты проницаемости К12 =
= К21. Это означает, что в общей системе координат закон Дарси записыва-
ется следующим образом:
«1= ~(#п ^ +#
12 dj’
и2— — А 22 , I Ац- I.
\ dxt dx-J
(3)
Наличие в выражениях (3) членов со смешанными производными приво-
дит к соответствующим изменениям записи вариационной формулы (6.27).
Чтобы не оперировать с К12, можно получить матрицы для элемента в локаль-
ной системе (только Кц, и которые подсчитываются одни раз и затем
могут быть объединены с матрицами других элементов.
188
§ 6.3.
Задачи со свободными поверхностями
Распространим рассмотренную выше теорию на случай образова-
ния в пористом грунте свободной поверхности фильтрующейся
жидкости, называемой обычно поверхностью депрессии. Точное
положение этой поверхности неизвестно и ее определение состав-
ляет одну из частей общего решения. С этой целью используется
простое условие: в любой точке свободной поверхности полный
потенциальный напор <р равен напору Н, соответствующему гео-
метрическому возвышению свободной поверхности над плоскостью
сравнения (атмосферное давление принимается равным нулю).
Рис. 6.5. Типы границ в фильтрации
1 — непроницаемая часть; 2 — плоскость отсчета
Рассмотрим общий случай фильтрации, показанный на рис. 6.5,
с четырьмя различного типа границами.
1. Непроницаемая граница (линия AF на рис. 6.5) — поверх-
ность слоя почвы и твердые породы. Условие на таких границах
есть ду!дп = 0 на S2, следовательно, они являются линиями тока.
2. Границу грунта с жидкостью составляют поверхности пори-
стой плотины, ограничивающие район фильтрации вверх и вниз
по потоку (линии АВС и EF). На данные поверхности действует
гидростатическое давление; полный потенциальный напор вдоль
них может быть принят постоянным и равным возвышению жидкой
поверхности. Эти границы являются эквипотенциальными ли-
ниями.
3. Линия фильтрации (или кривая депрессии) CD есть самая
верхняя линия тока в области течения. В каждой точке вдоль
этой линии давление в порах равно атмосферному, и поэтому пол-
ный напорчравен геометрическому напору, т. е. <р = Н = х2 в про-
извольной точке CD. Кроме того, эта кривая является линией тока.
4. Поверхность высачивания — это поверхность, где вода
просачивается сквозь грунт в воздух. Так как давление на такой
границе постоянно и равно атмосферному, полный напор равен
189
возвышению (q> = х2). Эта граница не является ни эквипотенциаль-
ной линией, ни линией тока.
Пример 6.2. Рассмотрим приток воды к колодцу. Радиус колодца
равен 1 м, и он полностью проходит через водоносный слой. Уровень воды
в колодце сохраняется постоянным и равным 20 м от непроницаемой основы
путем откачки воды с постоянной скоростью.
Рис. 6.6. Начальная сетка конечных элементов с различным по-
ложением верхней линии тока. Осесимметричное течение
1 — положение свободной поверхности после одной итерации; 1 — начальное
положение; 3 — результат решения после пяти итераций
Непроницаемое дно,м
Рис. 6.7. Окончательная разбивка области на конечные
элементы для осесимметричного течения (а) н фильтра-
ция к осесимметричному колодцу (б)
Для простоты будем считать, что колодец состоит из однородного и изо-
тропного грунта (/Сп = Кгг, а — 0). Жидкость в колодце внизу ограни-
чена водонепроницаемым дном, а сверху — свободной поверхностью. Радиус
влияния колодца составляет 370 м, а уровень грунтовых вод в этом месте —
80 м от водонепроницаемой границы. Предполагается, что на границе зоны
влияния колодца поток равномерный н скорости горизонтальны.
Задача решалась в цилиндрической системе координат с помощью урав-
нений для осесимметричного течения. Верхняя линия тока первоначально
выбиралась произвольно, и область течения делилась иа треугольные эле-
менты с тремя узлами, как показано иа рнс. 6.6. После каждой итерации
190
производилось сравнение значений <р на свободной поверхности с ее геоме-
трической высотой. Если они различались, сетка конечных элементов пере-
двигалась так, чтобы выполнялось условие <р = хг.
На рис. 6 7 изображена сетка конечных элементов, полученная машиной
после пяти итераций. На пятой итерации разница между вычисленным по-
тенциальным напором и возвышением свободной поверхности в любой точке
составила меньше 0,1% возвышения. Практически же приемлемая точность
при определении поверхности депрессии достигалась после одной или двух
итераций. Площадь поверхности, через которую проходит поток, пропорцио-
нальна радиальному расстоянию от колодца и толщине области течения.
Следовательно, по мере приближения потока к колодцу эта площадь сильно
уменьшается, а градиент потенциала значительно возрастает. В результате
расчетов получено, что гидравлический градиент вдоль стенки колодца равен
приблизительно трем. Это втрое выше допустимого значения, вследствие
чего необходимо предусматривать защиту против «фонтанирования».
§ 6.4-
Течение с неустановившимся уровнем
свободной поверхности
В некоторых инженерных задачах требуется определить изменяю-
щееся во времени положение свободной поверхности. Например,
в случае фильтрации через плотину, когда уровень воды в водоеме
неожиданно падает, свободная поверхность будет изменяться до
тех пор, пока не займет установившееся положение, соответствую-
щее новому возвышению воды за плотиной. Задача описывается
законом Дарси н уравнением неразрывности
V v = 0, (6.33)
v= — (6.34)
или
(6.35)
dxi
Так же, как и в § 6.3, значения <р на свободной поверхности
равны Н. Граничные условия для потенциала определены на
рис. 6.5. Если начальное положение свободной поверхности извест-
но, то значения потенциала <р могут быть вычислены по всей области
с использованием конечных элементов, как показано в § 6.3. Ана-
логичным образом определяются начальные значения потенциала.
Рассмотрим снижение уровня воды. Проследим за изменением
свободной поверхности за промежуток времени АЛ С этой целью
запишем следующее «кинематическое» условие на свободной поверх-
ности:
ДЯ 1
11Ш -----=----
Д/-.0 Д< п
или
на свободной поверхности. (6.36)
191
Коэффициент пористости п введен с целью получения истин-
ных средних скоростей течения жидкости в отличие от средних
скоростей по закону Дарси.
Для двухмерного случая \Н = Н (х, /)) выражение (6.36) пре-
образуется к виду
=-^—и. — на свободной поверхности. (6.37)
Dt dt п дхх п г \ /
Таким образом,
дН vt дН уг _ Кц дф дН дф
dt п dxi п п dxt dxj п dx2
Теперь можем решить задачу в два этапа.
1. Имея некоторые начальные значения Н, определяем <р по
всей области. При этом используем сетку конечных элементов, как
в § 6.3.
2. Применяя метод конечных разностей для решения выра-
жения (6.38), вычисляем значения \Н в конце промежутка време-
ни А/.
(6.38)
Пример 6.3. Рассмотрим задачу о земляной плотине, решенную
Ченгом и Ли [5]. Они модифицировали формулу (6.38), используя то обстоя-
тельство, что давление постоянно вдоль поверхности депрессии (рис. 6.5),
т. е.
Р£[ф—-*2] = Ра. (1)
где ра — атмосферное давление.
Следовательно,
— дра = ^-дх1 + Г^^ — lldx2 = 0. (2)
Pg dxj Lwx2/
С учетом того, что для свободной поверхности х2 = Н, из зависимости (2)
можно получить
дф _ Л дф \ dH
dxi \ дх2/ дхх
Подставив это выражение в уравнение (6.38), найдем
(3)
(4)
Уравнение (4) можно решить, применяя метод конечных разностей по
временной и пространственным координатам. Однако Ченг [5] указал,
что решение этого нелинейного уравнения с помощью конечных разностей
неустойчиво. Неустойчивость, по-видимому, возникает из-за коротких волн,
сформированных нелинейным взаимодействием более длинных волн. При-
чем не всегда возможно устранить эту неустойчивость уменьшением шага
по времени. Задача может быть решена, если использовать подходящие
методы <сглаживанин».
Например, простраиственио-времеиная аппроксимация конечными эле-
ментами уравнения (4) сгладит его решение. Кроме того, можно применить
весьма простой метод квазилинеаризации. Он заключается в разложении не-
линейного члена в уравнении (4) в рнд Тэйлора:
192
Рис. 6.8. Задача о земляной плотине: а — сетка конечных элементов; б — изменение свободной поверхности во
времени в изотропной плотине; в — изменение свободной поверхности во времени в анизотропной плотине при
Кх = ЗКУ; а — то же при Ку = ЗКХ
где----известные функции; Н — значение возвышения в п — l-й нте-
рации, а Н — в л-й итерации.
Используя зависимость (5), можно преобразовать уравнение (4) к следую-
щему виду:
п% = Кн (1 -^') [2-К*-. (6)
dt \ дхг)[ oxjoxi \dxj/ J дх2
Для конечно-разностной аппроксимации уравнения (6) использованы
правая разность по времени (метод Эйлера) и неявная центральная разность
в пространстве. Для решения полученной системы уравнений было сделано
несколько итераций. Как правило, для достижения требуемой точности
dxi дх!
< 10~5
для всех значений необходимо не более двух — четырех итераций. После
достижения требуемой точности сетка конечных элементов сдвигается верти-
кально, чтобы обеспечить соответствие новому положению поверхности де-
прессии, и рассчитываются новые значения потенциала <р.
В задаче, показанной на рис. 6.8, а, общее количество узлов равня-
лось 421, а количество треугольных трехузловых элементов — 702. Были
рассмотрены три различных случая:
1) пористая среда считалась изотропной (Кц/К22 = 1)1
2) среда принималась ортотропной с отношением
и
3) среда ортотропная с Кц/К22 = 3.
На рис. 6.8, б показана свободная поверхность для различных моментов
времени во всех трех .случаях. Время приводилось к безразмерному виду
следующим образом:
Т=/'Ш t,
\ nl )
где I характерный линейный размер.
В качестве I был принят напор на левой стороне плотины. На рис. 6.8
нанесены окончательные положения свободной поверхности, соответствую-
щие установившемуся состоянию.
§ 6.5.
Задача об ограниченном водоносном слое
Исследуем случай водоносного насыщенного грунта, ограничен-
ного непроницаемыми пластами (рис. 6.9). Водоносный пласт
будем считать упругим и сжимаемым. Следовательно, предпола-
гается, что его толщина b может изменяться на величину Д6. Урав-
нение неразрывности для несжимаемой жидкости записывалось
таким образом:
194
Проинтегрировав выражение (6.39) по х3 в пределах от й0 до
h0 + Ь, получим
Ь.+Ь ho+b
*0 *0
(6.40)
При этом учтено, что вертикальная скорость при h0 для глад-
ких наклонных водоносных пластов может быть принята равной
нулю.
«Кинематическое» условие для этого случая заключается в том,
что при х3 = h0 + Ь скорость должна составить
Рис. 6.9. Ограниченный водоносный слой
/ — колодец для испытаний; 2 — колодец для откачки воды;
3 — пьезометрическая линия; 4 — количество воды, высвобож-
даемое изображенным элементом и равное 5 X объем; 5 —
водоносный слой; 6 — линия отсчета
(6.41)
После подстановки выражения (6.41) в уравнение (6.40) и при-
менения правила Лейбница
получим следующее уравнение неразрывности:
д
дхг
Vrdx3 +
ho+Ь
*о
^-=0.
dt
(6.43)
Введя обозначения
lh+ь
qi= J Vidxt, q2= f o2dx3,
h. ho
195
можно переписать зависимость (6.43) в виде
(ft) + (ft)!+-g- = 0. (6.44)
d*i дх3 dt
В выражениях для пределов пренебрегалось небольшими изме-
нениями b вследствие сжимаемости.
Определим члены, выражающие расход, как
q2=-T™~, (6.45)
ОХ^ UX2
где Н= —+ %з—полный напор; Tit—передаточные коэффициенты.
Если считать скорости Vj и о2 постоянными по сечению, то Тг1 —
= ЬКц и Т22 = 6К22.
Наконец, приращение Ай можно связать с изменением напора,
действующего на водоносный слой, и через коэффициент запаса
упругости S:
ЛЬ = SAH.
Используя зависимости (6.45) и (6.46), нетрудно
формулу (6.44):
(6.46)
переписать
(6.47)
Коэффициент запаса упругости можно интерпретировать как
объем воды, освобождаемый каждым столбом водоносного слоя
с единичным основанием при понижении уровня грунтовых вод на
единицу длины. Любые другие эффекты, например сжимаемость
воды, обычно включаются в коэффициент S, который, как правило,
определяется экспериментально. Показано [61, что для ограни-
ченного водоносного пласта
S = bpg (nk + Р),
где Р — вертикальная сжимаемость грунта (вертикальная дефор-
мация массы грунта при единичном изменении давления); k —
сжимаемость воды (величина, обратная объемному модулю упру-
гости.)
В уравнение (6.47) можно включить также любую сосредо-
точенную или распределенную функцию Q для источника или стока.
Например, для точечного стока
Q = SQw(Xp х2)А0, (6.48)
где Лц — ступенчатая функция’для точечного стока при заданных
значениях координат и х2:
Аг, = 0, еСЛИ Xi=/=Xi нли х2=/=х2,
’ 1-^1 (6.49)
Af/ = 1, если %! = %! или х2 = х2.
196
Для распределенных стоков
Q = (*i.
Основное уравнение задачи можно записать теперь следующим
образом:
= + Q = 0. (6.50)
дх1 \ дх2 ] дх2 \ ах2 / dt
Граничные условия для этого уравнения:
1) Н = Н на Sj;
2) Qn — Тц — ап2~Яп на S2. (6.51)
дх} дх2
Для аппроксимации Н в пределах каждого элемента можно
предложить функцию вида
Д ~ 2 Hi (t) ф< (xlt х2) = фН" (6.52)
1=1
и затем применить метод Галеркина:
jj L(H)SH(xlt хг) dxxdx2 = \ (qn—qn) ЬН (xlt x2)dS. (6.53)
Передаточные коэффициенты и коэффициенты запаса упругости
будем считать постоянными в пределах каждого элемента. После
интегрирования по частям и подстановки выражения (6.52) урав-
нение (6.53) можно записать так:
Тп +?22 PF- PF- ^х2Н"+
’ \ / \ / \ &х2 / \ дх2 /
+ J J Зфгфс(х1(1х2нп = — j j фГ<?йх1£/х2+ j $TqndS
или более кратко:
кнлмнпр,
(6.54)
(6.55)
где К, М и Р — матрицы элемента.
Для всей области
КН + МН=Р (6.56)
После выполнения граничных условий Н = Н на SL можно
проинтегрировать матричное дифференциальное уравнение (6.56)
по времени, используя явные или неявные методы. Среди явных
методов можно отметить метод Рунге — Кутта и Эйлера.
Решим уравнение (5.56), применяя метод трапеций, который
относится к неявным методам и требует решения системы урав-
нений на каждом шаге. Процесс решения начинается с деления
времени на ряд промежутков Д/ при предположении, что начальные
197
условия задачи известны (задан вектор Но в начальный момент
времени). Следовательно,
Я =----------, п st/2 =--------, (6.57)
где Н st и Яд//2 — неизвестные.
Подставим соотношения (6.57) в уравнение количества движе-
ния при Д//2:
«ЯЛИ + Л«Яди = Рд,;а. (6.58)
Приняв во внимание, что
р"^р"-’ (6-М)
получим
(л-+-^-^ЯДг = (Рд/ + Ро)-(а--^-)Яо- (6.60)
\ ДГ / \ ДГ /
Для постоянных Л/, /С и Л можно вычислить матрицу, обрат-
ную матрице
[К+~ Af),
и использовать ее для каждого временного шага. Эта схема назы-
вается также рекуррентной формулой Крэнка — Николсона.
Пример 6.4. Пиндер [7], используя метод конечных элементов,
осуществил решение задачи о водоносном слое в Маскьюдобойтской гавани
в Новой Шотландии и сравнил с результатами, полученными ранее методом
конечных разностей.
Водоносный слой расположен рядом с рекой (рис. 6.10), и в связи со
специфическими геологическими характеристиками этого района проницае-
мый пласт находится между двумя практически непроницаемыми слоями.
Таким образом, его можно рассматривать как ограниченный водоносный
слой.
Передаточный коэффициент и коэффициент запаса получены поданным
36-часового испытания с откачкой воды. В месте откачки слой шириной
1460 м простирался вдоль реки на 1740 м. Для испытания были пробурены
одна скважина для откачки н три скважины для наблюдения. Расход был
постоянным и составлял 0,0272 м’/с.
Разбивка области на конечные элементы показана на рис. 6.10. Было
использовано 44 изопараметрических элемента нескольких различных типов
с 96 узлами. Границы водоносного слоя считались водонепроницаемыми,
а река моделировалась удлиненными элементами.
Эта конечноэлементная модель применялась, чтобы смоделировать 36-
часовую откачку воды аналогично тому, как это делалось методом конеч-
ных разностей. При этом параметры водоиосиого пласта в обоих случаях
были одинаковыми. Результаты расчета на ЭВМ, представленные на рис. 6.11,
показывают общее согласование между двумя численными методами. Наи-
большее расхождение наблюдается в начале периода откачки. Из-за отсут-
ствии точного решения задачи трудно сказать, какое из двух численных
решений более достоверно.
198
Рис. 6.10. Конфигурация элементов для исследования по методу
Галеркина водоносного слоя в Маскьюдобойтской гавани
1 •— колодец для откачки; 2 — река; 3 — узел; 4 — колодец для наблюдения
Рис. 6.11. Сравнение результатов решения задачи о водонос-
ном слое в Маскьюдобойтской гавани, полученных методами
конечных разностей и конечных элементов
1, 2, 3 — номера колодцев; х — период откачки; у — падение уро-
вня; -----метод конечных разностей; о — метод конечных элементов
199
Распределенные характеристики поля не сопоставимы, так как параметры
водоносного слоя получены изменением параметра откачкн с целью дости-
жения соответствия падения уровней в скважинах, рассчитанного методом
конечных разностей, характеристикам поля.
§ 6.6.
Неограниченный
водоносный слой
Рассмотрим случай водоносного слоя со свободной поверхностью
(рис. 6.12), форма которой заранее неизвестна. Для решения за-
дачи примем допущения Дюпюи:
1) скорость изменения глубины водоносного слоя по Xj и х2
и наклон дна слоя малы, а следовательно, можно считать Н по-
стоянной по всей глубине; это дает постоянные по глубине ско-
рости t>i и и2;
2) сжимаемостью воды можно
Рис. 6.12. Водоносный слой со сво-
бодной поверхностью
1 — эквипотенциальные линии (Н —const);
2 — плоскость отсчета
пренебречь.
Уравнение неразрывности
записывается в простом виде
V(v) = 0. (6.61)
Интегрируя его по ха, полу-
чаем
ho+h ho+h
f -^dx3+ f -^-dxt+
I dxi J dx2
So So
S„+S
+ f -J^dx8 = 0 (6.62)
J dx3
So
ИЛИ
ho+h ho-^-h
V -^-dx8 + f -)r-d^+t'’ls„+s = 0- (6-63)
J dx! J dx2
ho fto
Для свободной поверхности имеем (кинематическое условие)
^к+л=п-^-. (6.64)
Первое допущение дает
^1?+Ь
41 — J Ахз = toi, ?2 = j и2 dxs = hv2. (6.65)
ho hd
Используя правило Лейбница и соотношения (6.65) и (6.64),
формулу (6.62) можно переписать в таком виде:
+ + = (6-66)
дхг ах^ dt
200
Вместо коэффициента пористости п обычно используют удель-
ную производительность N грунта. Удельная производительность
определяется как объем воды, который дает насыщенный грунт
под действием сил тяжести. Так как всегда есть некоторое коли-
чество воды, которое при этом остается в грунте, то Л/ < п. Если
наклон дна мал, геометрический напор для свободной поверхности
может быть аппроксимирован выражением
Н = Ло + Л + —, (6.67)
У
где р — атмосферное давление на свободной поверхности (его
в дальнейшем можно не рассматривать, отсчитывая все напоры
от высоты, соответствующей этому давлению, т. е. от ply).
Согласно закону Дарси
гл / \ is {5й0 । dh \ /с со\
щ=—Ku —-Н------------, щ = — а»» ——+ —— • (6.68)
1 11 (дх, дх, Г ‘ \ дх. ' дх2) ’
Тогда уравнение (6.66) можно записать следующим образом:
д {гл f_ [ dh. । dh \ | . d (.. < (dh§ . dh \) dh ccw
W T-+H +7- w + = ^—.(6.69)
дх, I \ dx, Hxj /) дх. I. \ дх. dx. / J dt
Наконец, если учесть член, характеризующий сток с расхо-
дом Q, то вместо уравнения (6.69) получим
+ т- = АГ . (6.70)
дх, \ дх, / дх2 \ дх2 / dt
Уравнение (6.70) нелинейно и зависит от времени. Чтобы найти
решение, необходимо линеаризовать уравнение. Один из способов
его линеаризации состоит в допущении, что h = h. Тогда
д /гл £. дН \ д Д £ дН \ \r дН /с -и\
— К11Ь— +— К2;Л— —Q = (6.71)
дх, \ дх, ] дх2 \ дх2 / dt
Применяя далее процедуру метода Галеркина по простран-
ственным координатам, получаем систему уравнений метода конеч-
ных элементов, подобную полученной ранее, т. е.
КН+МН = Р, (6.72)
где К — функция Н.
Уравнение (6.72) можно проинтегрировать по времени с по-
мощью неявного метода, например метода трапеций, или любого
явного метода. После каждого шага по времени А/ итерации про-
должаются до тех пор, пока с желаемой точностью не будет выпол-
няться равенство Л = Л.
Главный недостаток аппроксимации Дюпюи заключается в том,
что с ее помощью нельзя учесть участок высачивания, показан-
ный на рис. 6.13. Иными словами, у колодца мы вынуждены
201
принять h — hw. Погрешность такого допущения обычно мала и его
влияние ограничивается небольшой областью вблизи колодца.
При горизонтальном дне водоносного слоя и установившемся
характере потока уравнение (6.70) упрощается:
(6.73)
или
у- |Кн + у- |К22 = 2Q- (6.74)
дхх I дхх I дхг ( дх2 )
Рис. 6.13. Участок высачивания
Уравнение (6.74) можно решить непосредственно относительно ft2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.
2. Полубаринова-Кочииа П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.,
Наука, 1977.
3. Чарный И. А. Основы подземной гидравлики. М., ГНТИНГТЛ,
1956.
4. Latnbe Т. W., Whitman R. V. Soil Mechanics, Wiley, 1969.
5. Cheng R. T., Li C. On the Solution of Transient Free-Surface Flow
Problems in Porous Media by the Finite Element Method, J. Hydrol., 20, 1973.
6. De Wiest R. [Ed). Flow through Porous Media, Academic Press, 1969.
7. Pinder G. F., Frind E. 0. Application of Galerkins Procedure to Aqui-
fer Analysis, Water Resources Res. 8, N 1. 1972.
УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Задана следующая матрица проницаемости:
' *11
К =
^12 I
— 3
4
Найдите главные направления ортотропности и соответствующие им
значения элементов Кп и
6.2. Рассмотрите, как можно изменить программу решении уравнении
Лапласа, приведенную в гл. 3, для учета свободной поверхности. Составьте
блок-схему программы.
6.3. Чтобы хорошо учесть форму свободной поверхности во время
падения уровни жидкости, используются изопараметрические элементы,
подобные исследованным в гл. 3. Объясните этапы, необходимые при написа-
нии программы для двухмерного случая при использовании простого метода
сдвига свободной поверхности в соответствии с вычисленным для нее Накло-
ном нормали (см. § 6.4).
6.4. Ограниченный водоносный слой (рис. 6.14) расположен вблизи
береговой линии с постоянным напором. Вода откачивается из траншеи,
202
параллельной береговой линии, с расходом Q. Получите уравнение, описы-
вающее данное течение. Найдите решение для установившегося случая при
постоянном расходе Q.
6.5. Полный напор в траншее, показанный иа рис. 6.16, изменяется
периодически по закону Hw = Н sin at. Получите выражение для Н в слу-
чае изотропного ограниченного водоносного слоя, изображенного на этом
рисунке.
6.6. Выведите уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
в иедеформируемой ортотропной среде в случае, когда оси ие совпадают
с главными направлениями проницаемости.
6.7. Запишите уравнение неразрывности для трехмерного потока в орто-
тропной среде в цилиндрической системе координат (х, г, 0).
Рис. 6.14. Ограниченный водоно-
сный слой
—.—линия постоянного напора
Рис. 6.15. Центральный колодец
1 — линия постоянного напора (Н в
=const при г = оо); 2 — колодец
Рис. 6.16. Изотропный ограни-
ченный водоносный слой
—.—линия постоянного напора
6.8. Объясните, как трехмерное уравнение (см. упражнение 6.7) может
быть решено разложением потенциалов и граничных условий в ряды Фурье
по 0.
6.9. Уравнение Терцаги для одномерного уплотнения грунта записы-
вается в виде
JP_ = C д*Р
dt ° дг* ’
где р—давление в порах; Со — коэффициент уплотнения в вертикальном
направлении; г — вертикальная ось.
Предполагается, что слой толщиной Z лежит иа твердой и непроницае-
мой породе.
Запишите граничные и начальные условия для представленного выше
уравнения. Рассмотрите случай нагрузки Р, приложенной к поверхности
при t = 0.
Предложите конечноэлементную модель для решения по пространствен-
ной координате и запишите окончательную систему уравнений для несколь-
ких элементов.
Обсудите пути интегрирования этих уравнений по времени.
6.10. Задано матричное уравнение
КФ + ТИФ = Р.
203
Получите рекуррентную формулу для интегрирования этого уравиеиия
по времени, используя:
1) метод трапеций [см. уравнение (6.5)];
2) метод Галеркина (см. пример 1.15);
3) схему Эйлера
, . <ь(rt) ф(л—1)
Ф <п> =
2
6.11. Рассмотрите пример центрального колодца, показанного иа
рис. 6.15. Задан расход Q, который в случае допущения о постоянстве ско-
рости по глубине Л определяется по формуле
Q = К ~ birh.
дг
Вычислите падение уровня внутри колодца.
ГЛАВА 7
ТЕЧЕНИЯ НА МЕЛКОВОДЬЕ
§ 7.1.
Уравнения количества движения мелкой воды
Уровень знаний и недостаточность соответствующих данных во
многих случаях не оправдывают применение более сложных мате-
матических моделей для исследования течений в прибрежных
водах, в озерах н т. д., чем модели, основанные на численном реше-
нии двухмерных уравнений, полученных путем применения осред-
ненных по вертикали характеристик (так называемых уравнений
мелкой воды). Трехмерные же решения на данном этапе нецелесооб-
разны, так как они потребовали бы большое количество дополни-
тельной информации и машинного времени.
Для решения задач циркуляции воды в водоемах ранее исполь-
зовался метод конечных разностей, но разностные схемы имеют
недостаточно гибкие сетки и в некоторых случаях очень трудно
удовлетворить граничным условиям. В этом отношении конечные
элементы дают возможность применять значительно более гибкую
разбивку и имеют то преимущество, что при их использовании
достаточно удовлетворять только главным граничным условиям.
Ниже дан последовательный вывод для осредненных по вер-
тикали уравнений распространения длинных волн, к которым затем
применяется конечноэлементная формулировка.
Основные уравнения для жидкости при пренебрежении тем-
пературными эффектами (см. гл. 4) можно записать в виде
<п>
ох^ oxi Dt
.d(pyt)__b_gP.=0> 7
dt dt ' ’
где i, k = 1, 2, 3.
204
Эти уравнения сложны для применения в задачах циркуляции
воды в мелководных бассейнах из-за наличия свободной поверхно-
сти, изменения границы во время прилива и отлива и, наконец,
вследствие большого количества переменных.
Эти трудности могут быть устранены при упрощениях, в резуль-
тате которых получаются уравнения мелкой воды. Первое упроще-
ние заключается в том, что уравнение количества движения в про-
екции на ось х3 записывается в виде
(7-3)
Рис. 7.1. К обозначениям в урав-
нениях мелкой воды
др
—=
дх3
где массовые силы отрицательны, поскольку действуют в направ-
лении, противоположном оси х3. При выводе формулы (7.3) пре-
небрегаем всеми членами, харак-
теризующими ускорение, и соот-
ветствующими напряжениями. Ин-
тегрируя выражение (7.3), на-
ходим
ч
Р = j“ pgdx3 = Pg (n —Х3) + Pa,
X9
(7-4)
где pa — атмосферное давление
на поверхности воды; г] — воз-
вышение свободной поверхности
(рис. 7.1).
Оставшиеся два уравнения количества движения по направ-
лениям Xi и х2 можно записать тогда как
D(pvk) ^ ’d(pvk) d(pvkVj) _____др dxik /7 «
Dt dt "Г dxk dxi "Г dxt k‘ ' '
При k = 1 зависимость (7.5) дает уравнение в проекции на
ось xlt при k = 2.— на ось х2. Индекс i обозначает суммирование
по нему (i = 1, 2, 3). Величина v в выражении (7.5) есть средняя
скорость, р — переменная массовая плотность и т — сумма вяз-
костных и турбулентных напряжений (т1Л = xkl).
Проинтегрируем уравнения (7.2) и (7.5) по х3. Для уравнения
неразрывности это дает
а (рц)
—'|dx8 = 0,
dt )
(7-6)
где h — глубина, измеряемая от базовой поверхности (не обяза-
тельно горизонтальной).
205
Определим поток qk количества жидкости (массу жидкости,
приходящейся на единицу длины и времени):
—h -Д
(7-7)
Заметим, что р (хъ х2) предполагается не зависящим от х3.
При интегрировании уравнения (7.6) необходимо использовать
кинематическое условие и правило Лейбница для вычисления част-
ной производной интеграла с переменными пределами. Согласно
этому правилу
Л,(х,, х2) h2
f f(xlt х2, x3)dx3 = f -^-dx3 + f
fcJ.x,) I dX1
(7.8)
л, dxi
(аналогично для производной по х2).
Кинематическое соотношение для свободной поверхности можно
записать как
”1 =^-=тг+’-1 TL+t’-l -Г-- 7-9>
|xr=Ti Dt dt дхг |я дх3
Используя формулы (7.7) — (7.9) применительно к уравнению
(7.6), получаем
ЛЗк = о, (7. Ю)
dxi dt
где Н = h + т].
Чтобы проинтегрировать уравнение количества движения (7.5)
по х3, определим мгновенные скорости и и2:
х2, 0 + vi (xlt х2, х3, t)\ (7 ।
Ц2 = Ц2(Х1, х2, t) + v2(Xi, х2, х3, t),
где величина v означает осредненные по вертикали скорости, a v' —
отклонение от этих средних значений при различных значениях х3.
Следовательно,
<Pk>= \vkdx3=±-qk, vk = -^-<vk>,- (7.12)
—А
так как < v'k >• 0.
Будем предполагать, что массовые силы обусловлены только
эффектом Кориолиса. Таким образом, для северного полушария
bi = pM. b2 = — pfvv
(7-13)
206
Если допустить, что наклоны поверхности и дна малы по срав-
нению с единицей, то можно аппроксимировать составляющие
внутреннего напряжения следующим образом (рис. 7.2):
т13[ на поверхности;
dh . dh 1
тп ------f- т12 ----т13 на дне.
OXj &Хг )
(7-11)
Аналогичные выражения можно выписать для величин t2|s HTt|fr.
Заметим, что t|s и т|6 можно интерпретировать как компоненты
внешней силы, приложенные к поверхности и дну.
Подставим теперь соотношения (7.11) — (7.13) в уравнение
количества движения, проинтегрированные по х3, и дополнительно
используем правило Лейбница и кинематическое условие. Тогда
I | । д
dt ' dxt \НГ дхг
^•+^+fe+₽l £
dxi dx2 |s dx
dNp
dxi
dh
b dxi
Ti , (7.15)
ь
p
Sxt
где
dft d / ?1?2 V a p2
dt dx1 \ И dxt \H
dN° • 7^+^— fe + p| ’
oxt dxi Is dx2
dh
ь dx2
т»
I»
p H*
NP = <ZP> — \pdx3 = pg — + Hpa\
Wu= <tu> —<pvjvi>;
A'22 = <t22> — <pv'^>2>;
WM = <T12> — <pvi»2>.
(7.16)
207
Более того,
выражениями:
Nik могут быть аппроксимированы следующими
дг ~ 9₽ •
2V и — zen , >
dxi
У22«2е22^-;
tfi2
612
d?i
dxt
dxi /’
(7-17)
где eift — обобщенные коэффициенты вихревой вязкости; для
изотропного характера течения en = е22 = ej2 = е.
Касательные напряжения на дне обычно определяются соот-
ношениями
I / g \ 1 gi (?) + 7г) 2
1ь \ с*) р На
_ । g \ 1 71 (?1+^)2
2 6 \ с2 / Р Я*
(7-18)
где g/c2 — безразмерная величина; g — ускорение силы тяже-
сти; с — коэффициент трения, или коэффициент Шези; р — плот-
ность воды.
Составляющие напряжения трения на поверхности воды обычно
обусловлены действием ветра и могут быть найдены по формулам
Ti |s = T2paW72cos0,
T2|s = T2Pa^2sin0,
(7-19)
где у2 — безразмерный коэффициент, или коэффициент ветрового
напряжения, приближенно равный 0,002 6; ра — плотность воз-
духа; W — скорость ветра; 0 — угол между осью хг и направле-
нием ветра.
Уравнения (7.15) перепишем в виде
d / )
дхГ \ Я/
d?i d /тМ
dt + dxt \ Н /
ГА
~(Nu-Np)-{
dxt
dNlt
dxt
Bi,
(7.20)
дя2 д
dt + dxi
71?2
н /
d
dxt
у-(^22-Ур)+^ + В2,
dxt oxj
где
i
Bl = fq2 + ^Pa^3cos0-(4)4- 91
1 ’ 1 Г“ I ^2 / p
VPa
dH
dxt
dXi
тЦ
Н /
208
i
в2 = -f<h + Т4РЛ2sin0-(f)v 42^^2 4-
+ Pa
dH
dxt
. и dh.
^-pgH —
дха
(7-21)
Граничные условия. Для решения окончательной системы
уравнений (7.20), дополненных условием (7.10), необходимо уста-
новить требуемые граничные условия. Будем считать, что гра-
ница S (рис. 7.3) состоит из двух частей: твердой границы S2 и
жидкой S2, представляющей границу рассматриваемого водоема
с открытым морем. В системе координат s — п, связанной с грани-
Рис. 7.3. Определение типов границы
цей течения, расход массы жидкости можно определить через qn
и q,'
Qn = f pvn dx3 = anlQl +
~h (7.22)
n
Qs = J (*>s dxs = ~an2q1 + anlqt,
где anl = cos (n, xj; an2 = cos (n, x2).
Для установления результирующих сил можно воспользоваться
формулами
Nni = (Nn—Np) + ая2ЛГи,
Nn2 = anl^l2 + an2 (^22 Np). (7.23)
По значениям Nnl и Nn2 определяются нормальная и касатель-
ная составляющие результирующей силы для наклонной площадки:
Nnn = ап1^п1 + ал2^л2>
Nn, = — an2Nnl + anlNn2. (7.24)
Обычно на твердой границе полагают
qn = 0 на S2. (7.25)
209
Если же в Исследуемую акваторию впадает река, то
Чп^ = на Slt (7.26)
<7s = 0 J
где {</} — поток втекающей реки.
На жидкой границе, вообще говоря, необходимо задать нормаль-
ные и касательные силы:
Nnn ^пп на S2. (7.27)
Nns Nns J
Но так как слагаемыми, учитывающими вихревую вязкость, в урав-
нениях (7.20) обычно пренебрегают, то касательные силы или
скорости не могут быть заданы. Тогда граничные условия сводятся
к следующим:
qn = 0 или qn = qn на S,
Nnn^nn^— NP на S2‘
(7.28)
§ 7.2.
Конечноэлементная формулировка
Чтобы с<рормулировать рассматриваемую задачу в рамках метода
конечных элементов, запишем уравнения 17.20) с граничными
условиями (7.28' и (7.10) и условием (7.26), применив процедуры
метода взвешенных невязок:
а / j , а / j , аур
дх! \ Н / dx2 \ II ' дхг
Bj dqrdA —
(7-29)
s,
(, а / ?i?2 \ a f Ч i dNp
I dt dxL \ H / dx2 \ H / dx2
^^nt(Np-Np)6q2dS-,
s2
+ ~ + 6// dA = f ^п-Яп) ™dSy (7.31)
J (Pxj dx, dt ) J
s,
В2 &72 dA —
(7.30)
где 6</,, 8q,, f>H — вариации, удовлетворяющие граничным усло-
виям для массового расхода и возвышения свободной поверхности.
Если возвышение свободной поверхности известно на S2, то
граничные условия Np = Np выполняются автоматически [см.
первое из уравнений (7.16)]. Следовательно, нет необходимости
210
в этом случае соответствующие члены, связанные с границей $а,
включать в выражения (7.30) и (7.31).
Слагаемые В( и можно объединить, и тогда
dxi
1
В\ = Вх —^-Р = fq -|_ у2р Ц72 cos е — f-------
1 дХ1 142 г 1а \ С2 / Р И*
— pgH д(н-Ц н^-, (7.32)
dxi дху
1
в;=в, _ = _fqi+v2Par2 sin е - W — —
2 dxt 41 Га \c2 / P №
—pg^ a(tf~ ---
dx2 dx2
Уравнение неразрывности (7.31) можно проинтегрировать по
частям и получить более простое выражение:
^[q1-^ + qi^---^P-8H\dA^\qnbHdS. (7.33)
JJ I дХ1 dx2 dt J J
s.
Это уравнение должно быть дополнено следующими двумя урав-
нениями количества движения:
f +^й-вВб?1dA =0; (7.34)
J J { dt ^dxt \ н J dx2 \ Н / J
f f + т~ ) + Т~ (4) -В2’} ^dA = °- (7-35)
J J 1 dt dx2 \ Н / dx2 \ Н / )
Вариационные формулы (7.33), (7.34) и (7.35) служат основой
для получения конечноэлементных решений.
Предположим, что для q( и Н применяются одни и те же интер-
поляционные функции, т. е.
^ = фгЧ", ?2 = фгч", Я=фгН". (7.36)
Подставляя выражения (7.36) в уравнения (7 33) — (7.35),
получаем
6q?r (м—— fJ = O,
\ dt /
6ч",г(м^-—F2)=0, (7.37)
6НП’Г(<М* — — F„)=0,
\ dt )
211
tae
M = Jj‘(MjTd4; М*=Дрффг<М;
Fi= J J (фВ1 — «MjdA;
F2= JJ (фВг—фА2) dA;
Fh = J J (Ф, 1Я1 + Ф,2<72) dA — J ф7„ dS;
s,
Аг и A 2 — конвективные части полных производных, т. е.
1 дхг \ Н ) дх2 \ Н / ’
А — д / ?1?2 ) I д f
2 dxi \ Н J дхг \ Н / ’
(7.38)
(7.39)
Уравнения (7.37) представляют сильно нелинейную систему,
записанную для одного элемента. Объединим уравнения (7.37)
в общую систему для всей области, которую запишем в виде
Af£ = F(L0). (7.40)
При этом будем считать, что в выражении (7.40) учтены гра-
ничные условия для массового расхода и геометрического возвы-
шения поверхности. Через М обозначена матрица массы для всей
области, a L представляет производные по времени от массового
расхода и возвышения поверхности во всех узлах. Все другие
члены включаются в F и вычисляются при t = t0 или при исполь-
зовании итераций в конце временного шага их значения полу-
чаются по предыдущей итерации. Для интегрирования по времени
уравнения (7.40) можно воспользоваться как явными методами
(методом Рунге — Кутта или Эйлера), так и неявными (методами
трапеций, Галеркина и др.).
§ 7.3-
Схемы численного интегрирования
При исследовании движения воды в мелководных бассейнах очень
важно применять достаточно устойчивые схемы интегрирования,
так как в типичных задачах такого рода число узловых точек
составляет несколько сотен, а интегрировать необходимо по край-
ней мере в течение одного приливо-отливного цикла. Сложные
многошаговые методы являются более точными, однако требуют
больших вычислений и запаса памяти вычислительной машины.
Поэтому в добавление к уже рассмотренным ранее схемам иссле-
дуем устойчивость и точность сравнительно простых неявных схем.
212
Явный критерий устойчивости для общих задач, решаемых
методом конечных элементов, пока еще не получен. Трудность
заключается в произвольности матриц коэффициентов (элементы
матриц располагаются в зоне, примыкающей к диагонали, но
их величины могут быть нерегулярными), а также (для данного
случая) в асимметрии кориолисовых членов и членов, связанных
с возвышением поверхности жидкости. Обычно необходимо прибе-
гать к приближенным оценкам устойчивости по нормам, но здесь
эта проблема ие рассматривается.
Самый простой способ интегрирования — метод трапеций. Для
одномерного случая этот метод приводит к следующим формулам:
1 = ^’*
yn+1-yn = ~-(fn+1 + fn) + EM-, (7.41
Е = — (Д/)2|— ,
12 ' ' | dt2 i
где tn<l<tn+1.
Поскольку члены, учитывающие вынуждающие силы в уравне-
ниях .мелкой воды, нелинейны, то требуется применять итерации.
Во время итераций для ускорения сходимости можно ввести релак-
сационный коэффициент. Сходимость определяется относительным
изменением эвклидовых норм для возвышения поверхности и век-
торов скорости.
Второй из рассматриваемых нами методов основан на итера-
тивной схеме «предиктор — корректор» третьего порядка. Сог-
ласно этой схеме при решении дифференциального уравнения
dy
dt
f (У, t)
используется 1-й этап «предиктор»
/п+1 = 3/п 3/я_! +fn_a
и 2-й этап «корректор»
У* ~Уп = "ПГ +
y'n+i^Qy^+^-^y^i.
(7.42)
где 0 — релаксационный коэффициент.
Эта схема ие самопусковая и требует большей памяти ЭВМ,
чем» метод трапеций. Однако она более точна и обычно быстрее
сходится. В качестве критериев сходимости можно принять эвкли-
довы нормы.
213
Метод «предиктор — корректор» можно использовать вместе
со следующей вариацией метода Рунге — Кутта четвертого по-
рядка:
* ! = A/f(i/n, /„);
* , = М f(yn + 0,4*!, /п + 0,4А/);
* 3 = A// (i/n + 0,296 978*i + 0,158 760*г; /„ + 0,455 737А/); (7.43)
* 4 = A/f (уп + 0,218 100*1—3,050 965*2 + 3,832 864*3, tn + А/);
«/„+! = &,+ 0,174750*1—°,55! 481*2+1,205 535*3+0,171 185*4);
Е = 0(А/*).
Эта схема имеет самую низкую границу погрешности для дан-
ного семейства схем Рунге — Кутта. Решение задачи можно начать
с произвольного количества шагов интегрирования по времени,'
используя метод Рунге — Кутта (минимум три временных шага),
и затем перейти к методу «предиктор — корректор». В течение
любого шага по времени возможен обратный переход к схеме Рунге—
Кутта для реализации преимущества последней в точности. Такая
гибкая формулировка позволяет также легко увеличивать или
уменьшать при необходимости приращение времени А/.
Метод трапеций, рассмотренный в гл. 6, и метод Галеркина
(для интегрирования по времени) являются двумя важными неяв-
ными методами. Хотя они и включают в себя решение всей системы
уравнений, но обладают тем преимуществом, что позволяют ис-
пользовать большие приращения по времени, чем в явных схемах.
Пример 7.1. Рассмотренные выше схемы численного интегрирова-
ния использованы для модели циркуляции воды в Массачусетском заливе [1 ].
После ряда предварительных пробных расчетов для интегрирования была
выбрана схема Руиге — Кутта. Система уравнений мелкой воды отличалась
от рассмотренной ранее тем, что в уравнениях равновесия были отброшены
конвективные члены. Это упрощение оправдано во многих задачах циркуля-
ции воды в мелководных бассейнах [5].
Граница залива и сетка конечных элементов показаны на рис. 7.4.
Поскольку по данному водному бассейну имелось очень мало фактических
данных, то на этом этапе было целесообразно взять модель, дающую только
крупномасштабную циркуляцию. Использовалась довольно грубая сетка
из 74 элементов и 53 узлов, которая в определенной степени отражала топо-
графию изменяющегося дна.
Диапазоны изменения уровня поверхности во время приливо-отливного
цикла для двух береговых узлов, расположенных на концах границы бассейна
с морем, получены по имеющимся таблицам прилива. Предполагалось, что
уровень прилива между ними изменяется линейно. Параметр Кориолиса,
определенный для 42° северной широты, составил f = 0,973-10—4 1/с. Гори-
зонтальные втекающие потоки не моделировались, и обе составляющие
скорости иа береговых границах принимались равными нулю.
Первоначальное решение с малым постоянным коэффициентом трения
было тщательно проанализировано с целью определения новых уточненных
коэффициентов для каждого элемента, в результате чего диапазоны изме-
нения уровня воды во время прилива и отлива и фазовые сдвиги по времени
214
в береговых точках более точно соответствовали имеющимся опытным таблич-
ным данным. Для оценки этих коэффициентов принималась во внимание их
сильная связь с местной глубиной. Схема начиналась с «плоских» условий
(возвышения поверхности и скорости равны пулю), и после трех циклов было
обнаружено повторение результатов. В окончательном решении, дЛя кото-
рого контурные лнннн поверхности прн большой п малой воде показаны на
рис. 7.5 н 7.6, значениеg.'c2 колебалось между 0,002 5 и 0,001 1. Однако для
действительной отладки модели желательны записи в нескольких точках.
Рнс. 7.4. Географические границы Массачусетского залива
и сетка конечных элементов
Скорости, вычисленные в момент времени между приливом и отливом,
приведены на рис. 7.7 и 7.8, а изменение скоростей и уровня свободной по-
верхности во времени показано на рнс. 7.9 и 7.10.
Для определения шага по времени использовался следующий критерий
&х 6000
ДГ <. г___ = — - = 223 с,
у 2с > 219
где с = Уgh — скорость.
По этой причине был выбран шаг Д/ = 200 с.
Применительно к той же задаче использовалась схема «предиктор —
корректор», но после одного цикла прилива (44 600 с) выявилась постепенная
неустойчивость. После уменьшения шага Д/ до 150 с получились сравнимые
215
dl6
2.52
Рис. 7.5. Линии свободной поверхности после 68 000 с
(1,5 приливо-отливных цикла). Возвышения свободной
поверхности даны в метрах над средним уровнем
воды. Для возвышений в центрах треугольных эле-
ментов указаны лишь цифры после запятой
Рис. 7.6. Линии уровня свободной поверхности после
90 000 с (2 приливо-отливных цикла). Для централь-
ных точек треугольных элементов возвышения ука-
заны в метрах ниже среднего уровня воды
Рис. 7.7. Рассчитанная картина течений после
56 000 с (1,25 приливо-отливных цикла)
Рис. 7.8. Рассчитанная картина течений после 78 000 с
(1,75 приливо-отливных цикла)
результаты для более чем двух приливных циклов. Однако время вычисле-
ний возросло на 5%.
Пример 7.2. С использованием конечных элементов разработана
простая математическая модель для прилива в проливе Те-Солент (Велико-
британия) (рис. 7.11 и 7.12) [2]. Модель состояла из 86 трехузловых тре-
Рис. 7.9. Изменение во времени возвышений поверхности воды в районе
Бостона (1) и бухты Кейп-Код (2)
Рис. 7.10. Изменение во времени течений: а — в центре
бухты Кейп-Код; б — в 15 км восточнее Бостона
угольных элементов с 58 узлами. В качестве узловых переменных были при-
няты уровень поверхности воды Н и параметры потока и qt. При этом
общее количество неизвестных составило 174 (рис. 7.13).
Условия на границе с открытым морем (только для уровня поверхности
воды) взяты по таблицам Адмиралтейства для прилива — отлива в районе
Те-Солента (рис. 7.14). Данная модель может учитывать воздействие ветра,
218
Рис. 7.11. Пролив Те-Солент (глубина в метрах)
Рис. 7.12. Поперечные сечения пролива и коиечпоэлементная
аппроксимация
1 — профиль дна; 2 - аппроксимация про|ыля дна
219
трение на дне и эффект Кориолиса, хотя последний в рассматриваемом при-
мере во внимание не принимался.
Интегрирование по времени выполнилось по схеме Рунге — Кутта
четвертого порядка с нулевыми начальными условиями для возвышения
поверхности и расхода. Шаг интегрирования выбирался на основании ко-
жечно-разностного критерия Фредерика — Куранта — Леви:
Д/^
Дх
/2Г ’
где с — l^gh — скорость; значение h принималось равным наибольшей
глубине Те-Солента.
Рис. 7.14. Типичная кривая весен-
него прилива для Саутгемптона
Рис. 7.15. Высота прилива в Каусе
X решение методом конечных элементов:
------ экспериментальные данные по
картам АдмнралтеПства
Рис. 7.16. Течения через 3,5 ч после подъема воды в районе
Портсмута
Для первого цикла прилива решение начиналось с Д/ = 30 с, а для
второго цикла шаг был увеличен до 120 с. Эта величина согласуется со зна-
чением Д/, полученным по представленной выше формуле, которая дает 20 с
для наихудшего элемента. Заметим, что приведенная формула основана на
интегрировании по методу Эйлера и для схемы Рунге — Кутта четвертого
порядка указанные значения шага по времени могут быть увеличены прибли-
зительно в четыре раза.
Движение воды во время прилива — отлива в мелководных бассейнах
в значительной степени зависит от топографии диа. Вследствие этого сетка
220
конечных элементов выбрана таким образом, чтобы представить сложные
каналы и плоские отмели.
В этом примере для некоторых районов представляют интерес производ-
ные скоростей, а поэтому были учтены и конвективные члены. Вычисления
начинались с условий, соответствующих малой воде (отливу), со всеми зна-
чениями qs и Hs, равными нулю. Расчеты выполнены для двух полных цик-
лов при отсутствии ветра и кориолисовых сил. Коэффициент треиии с на дне
принят равным 10 м1,/2 с"1.
Характерные результаты приведены на рис. 7.15 и 7.16. Скорости на
рис. 7.16 хорошо согласуются со скоростями, показанными иа картах Адми-
ралтейства. Для уровней поверхности воды, как видно из рис. 7.15 (показаны
уровни в одной из бухт Те-Солента в районе Кауса), согласование еще лучше.
Результаты решения получены путем определения средней величины в трех
узлах, ближайших ко входу в бухту (рис. 7..13).
§ 7.4.
Циркуляция воды в озере
Для течений в озерах, бассейнах для охлаждения и других водое-
мах приемлема упрощенная модель с целью начальной оценки
циркуляции, которая затем может быть сопоставлена с результа-
тами применения полных уравнений количества движения в мелко-
водных бассейнах. Такие течения могут тогда описываться линеа-
ризованными уравнениями, получающимися, если в уравнениях
количества движения пренебречь инерционными членами, т. е.
-fa + PgH = 0,
0X1
fa + PgH^ + (b\,-Tt\b), (7.44)
дх2
и членами, зависящими от времени в уравнении неразрывности:
221_ + i = o. (7.45)
дх2 дх2
Если значения т] много меньше h, то можно положить в уравне-
ниях (7.44) Н ~ h. Следовательно,
—fa + Pgfi + (bls—Ъ|6) = 0,
0X1
fa + Pgh^- + (bb-Ч) = 0. (7.46)
иХ»
Составляющие массового расхода определяются тогда по формуле
Qi _ qi Р ? ,
— ~T = TJhM*3- (7-47)
Члены t|s обусловлены ветровыми напряжениями, а т |й есть со-
ставляющие напряжения трения на дне. Предполагается, что
221
составляющие напряжения трения на дне прямо пропорциональны
компонентам средних значений массового расхода:
т11б = Wf. Ч - W-2- (7-48)
Продифференцируем первое уравнение системы (7.46) по х2,
а второе по предполагая, что производные от h пренебрежимо
малы (наклон дна мал), и вычтем одно из другого:
/ dTx|s dr.,|s \ ( dqi дд, ) 4
\ dxs dxt / ( dx2 dxt J
Введем функцию тока
О»)
Тогда формулу (7.49) можно записать в виде
(7.51)
где
__/ dTlIs^T;|s \
\ dxa dxt /
Граничные условия для этого уравнения:
дф л
- на береговых границах;
дп
(7.52)
ф - ф на входе в водоем.
Уравнение (7.51) вместе с условиями (7.52) допускает вариа-
ционную формулировку и применение метода конечных элементов.
При этом развитые для расчетов течений невязких жидкостей про-
граммы можно использовать и в этом случае. В данной формули-
ровке учтен параметр Кориолиса, но принят постоянным для водо-
ема, т. е. последний считается достаточно малым, чтобы можно
было пренебречь изменениями сил Кориолиса.
Пример 7.3. Используя приведенную выше формулировку, Ченг
получил численные результаты для циркуляции, вызванной ветром в озере
Эри (рис. 7.17) [3]. Сетка содержала 516 трехузловых треугольных элемента
и 308 узловых точек. В качестве первого расчетного примера Ченг определил
линии тока для потока, втекающего в озеро и вытекающего из него при отсут-
ствии ветрового воздействия, приняв ф = 0 для южного берега озера и ф = 1
для северного (рис. 7.18). В этом случае основное уравнение переходит в урав-
нение Лапласа.
Затем был рассмотрен случай, когда правая часть формулы (7.51) равна 1,
Хх и Ха, что позволило сложить три различных результата и получить
произвольное решение типа
ф*ф = 4 + BXt 4- СХ2.
Заметим, что правая ча^ть данного уравнения представляет квадра-
тичный закон распределения ветровых напряжений.
Таким образом, Ченг получил различные линии тока средней циркуля-
ции, вызванной ветоовыми напряжениями, распределенными по квадратич-
ному закону (рис. 7 19).
222
Рис. 7.17. Представление озера Эрн с помощью конечных
элементов
1 — типичный элемент; 2 — область решения; 3 — граница
Рис. 7.18. Картина установившегося течения в озере Эрн от реки
Детройт к реке Ниагара, полученная на основе модели потен-
циального потока
Рис. 7.19. Циркуляция воды в двух районах озера при квад-
ратичном распределении ветровых напряжений: W — А +
+ + СХ,
223
ЛИТЕРАТУРА
1. Connor J. J., Wan? J. Finite Element Modeling of Hydrodynamic Cir-
culation, Numerical Methods in Fluid Dynamics, Brebbia C., Connor J. J.
(Eds ), Pentech Press, 1971.
2. Brebbia C. A., Adey R. Circulation Problems, Proc. Finite Element
Seminar, Chilton, UK, Atlas Computer Laboratory, 1975.
3. Cheng R. T., Tung C. Wind Driven Lake Circulation by the Finite Ele-
ment Method, Proc. 13th Conference Great Lakes, 1970.
УПРАЖНЕНИЯ
7.1. Используя правило Лейбница и кинематическое условие, обоснуйте,
что уравнение (7.10) может быть получено из выражения (7.6).
7.2. Основываясь иа выражениях (7.5), выведите уравнения количества
движения (7.21) и затем примените их для случая А'ц = Nгг = N 1г = 0
и Ар, определяемого формулой (7.16).
7.3. Из формул (7.10) и (7.21) выведите следующее волновое уравне-
ние (см. гл. 5):
д (h Э>1 9 (h дГ1 ] d20
dxt \ 0xt ) дх2 \ dx2 J dt'1
Какие допущения необходимо для этого ввести?
7.4. Укажите преимущества и не-
достатки различных неявных и явных
схем интегрирования по времени, кото-
рые могут применяться к уравнениям
количества движения воды в мелко-
водных бассейнах. В частности, рассмо-
трите методы Эйлера, Рунге — Кутта,
трапеций и метод Галеркина.
7.5. Примените уравнение цирку-
ляции в мелководных бассейнах для
случая одномерного течения в реке пе-
ременной глубины.
7.6. Используйте с необходимыми
изменениями программу решения урав-
нения'Лапласа, разработанную в гл. 2, для решения задач циркуляции
воды, вызванной ветром.
7.7. Озеро с островом (рис. 7.20) подвержено воздействию ветра так,
что W в уравнении (7.51) определяется как
W = А + ВХг.
Примените для решения задачи сетку конечных элементов (с трехузло-
выми треугольниками), считая глубину озера постоянной. Для какого рас-
пределения ветра можно ожидать образования двух районов циркуляции:
вокруг острова и в правой части озера?
7.8. Как можно учесть в упражнении 7.7 поток воды от втекающей в озеро
реки?
7.9. Имеется прямоугольный водоем озерного типа длиной 300 км с се-
вера на юг и шириной 200 км. Средняя географическая широта, на которой
расположено озеро, составляет 30\ а глубина озера 10 м. Средние скорости,
обусловленные втекающими и вытекающими потоками, имеют порядок
0,1 м'с. Являются лн существенными для этого случая течения, вызванные
силами Кориолиса?
224
ГЛАВА 8
ЗАДАЧИ ДИСПЕРСИИ
Под дисперсией понимается изменение количества, например,
вещества, растворенного в жидкости, в определенной области.
Это явление включает такие процессы, как диффузию, конвекцию,
распад и др. К классическим процессам дисперсии относятся
тепло-и масссэбмен. Вследствие увеличения промышленных и быто-
вых отходов, оседающих в устьях рек, признано целесообразным
производить предварительную оценку воздействия предполагаемого
развития прибрежного района на качество воды. Те же самые
соображения распространяются и на дисперсию атмосферных
загрязнений в воздухе. Эти процессы описываются уравнением
переноса массы, аналогичным ранее выведенному (см. гл. 4)
уравнению энергии.
Рассмотрим сначала молекулярную диффузию в жидкости.
Предположим, что концентрация вещества (1) в жидкости (2) есть
изучаемая переменная и жидкость находится в покое. Случайное
движение молекул таково, что результирующее движение будет
происходить от мест с высокой концентрацией к местам с низкой
концентрацией. Закон Фика для диффузии вещества (1) можно
записать через поток массы:
(8-ь
где р — плотность вещества (1) плюс плотность жидкости (2),
т. е. р — рх + р2; К"1 — величина, зависящая от многих пара-
метров; pj— масса вещества (1) в единичном объеме смеси, диф-
фундирующего в жидкости полной плотности р.
Формула (8.1) справедлива для изотропной диффузии, т. е.
одинаковой во всех направлениях. Более общее выражение для
проекций q имеет вид
7[.__р^ Wen (8.2)
\ дх I J
Обозначим концентрацию вещества (1) через 0: 9 = рт/р. Тогда
(8.3)
\ OXj /
Процессы перемешивания в жидкостях во многом связаны с тур-
булентностью. При этом скорости в точке являются случайными
величинами, которые можно рассматривать как сумму средних
скоростей и некоторых средних квадратичных отклонений. Эти
отклонения и приводят к образованию вихрей различных раз-
меров. Данная гипотеза будет использована в уравнении пере-
носа массы с целью получения диффузионного члена, аналогич
225
ного представленному в формуле (8.3). Следовательно, перенос
массы qt для турбулентного потока можно определить по формуле
1см. уравнение (8.2)1
<Ь=-р(К7 + К'4тЧ’ (8-4)
\ ох! /
где K\i — коэффициент турбулентной диффузии.
Определение K\j на практике чрезвычайно затруднено, осо-
бенно в задачах, где введение диффундирующей жидкости в ос-
новную изменяет турбулентность. Упомянутые задачи здесь не
рассматриваются.
§ 8.1.
Уравнение массопереноса
Рассмотрим произвольный объем жидкости в моменты времени t
и t + А/ (рис. 8.1). Количество растворенного вещества, втекаю-
щего и вытекающего из этого объема, определяется выражением
lim I Af.(.(p8rfiz 1 A.fjfp0dy.
д/^оI Л/ Dt ' ~
(8-5)
Уравнение (8.5) характеризует изменение количества вещества,
содержащегося в объеме V.
Если общую массу контрольного объема можно считать постоян-
ной (т. е. изменение концентрации не влияет на полную массу),
то 1см. выражение (4.20) ]
= (8.6)
где DIDt — полная производная, включающая в себя компоненты
скорости v( в направлениях х(.
226
Скорость подвода вещества через границу за счет потока ве-
щества и внешнего подвода можно записать следующим образом:
Шрр^ — ^qndS, (8.7)
где р — внешний подвод (скорость распределенного подвода,
приходящаяся на единицу массы); qn — нормальный поток через
границу.
Уравнение установившегося режима с учетом зависимостей
(8.6) и (8.7) можно выразить так:
Ш р -^7- = f j j'PPdV - J j qndS. (8.8)
Применяя теорему Гаусса, преобразуем поверхностный инте-
грал в уравнении (8.8) в объемный. Тогда вместо уравнения (8.8)
получим
Поскольку объем произволен, то согласно выражению (8.9)
р — — рр + -^ = О. (8.10)
Dt dxt v 1
Уравнение (8.10) есть основное уравнение задачи.
Для молекулярной диффузии связь между qt и 0 определяется
формулой (8.2):
(811)
Обычно предполагается, что главные направления составляю-
щих Кц совпадают с направлениями осей. Это дает ортотропные
коэффициенты молекулярной диффузии
(8.12)
OX i
Уравнение равновесия (8.10) можно записать тогда через значение
концентрации 1:
<8-13)
Dt dxi \ dxt /
НЛН
4£+^w>)+w,+,,£(w-^)- (8М)
Турбулентность обычно учитывается путем представления пере-
менных в уравнении (8.13) в виде суммы средних величин и пуль-
саций:
v( = Vi-{-Vi; 0( = 0(4-0/, (8.15)
где Vi и 0, — средние значения скоростей и концентрации; Vi и
0" — соответствующие пульсации.
227
Средние значения определяются следующим образом:
1 54 Т
0'=<e>=J_ । oat (8.16)
Т £
Отсюда вытекает, что
<0">-0, <0'>-0' (8.17)
или
<ev'> =0' <t/'> =о.
Подставим выражения (8.15) для мгновенных значений вели-
чин в уравнение массопереноса (8.13). В результате будем иметь
+<’•>])=
»№-к>--а-(л"?-11<-.7-":11. (8.)8)
Ox; \ dxt /
Интегрируя равенство (8.18) по всей области, получаем
Г । ' I д "л* V. 1 । 0 1 глГП Ов ) /о 1 /*к\
Р —---н—-<0.0 > - рр+р—— K(i—— . (8.19)
( dt dxi dxt ) dxt \ dx: /
Пульсационный член в уравнении (8.19) обычно представляется
аналогично выражению (8.12), т. е.
(8-2°)
ОХ;
где К‘и — эмпирические коэффициенты (коэффициенты вихревой
диффузии).
Законность использования этих коэффициентов в турбулент-
ном поле дискуссионна, ио их введение неизбежно при настоящем
уровне изученности данного вопроса.
Коэффициент молекулярной диффузии К.™ можно сложить
с Кп и получить полный коэффициент диффузии. Таким образом,
уравнение (8.19) можно записать в виде
Л ( dQ 00 | д ( „ 00 \ ,
р “^"’rv‘"7“i=p₽+p^~• 8-21)
I at dxt I 0х(- \ dxt /
В уравнении (8.21) для упрощения у средних величин 6' и ц
опущены штрихи. Заметим, что выражение (8.21) аналогично
уравнению энергии, выведенному в гл. 4.
Граничные условия. Граничные условия для уравнения (8.21)
могут быть двух типов (рис. 8.2):
1) на части границы задается концентрация (0 — 0, где
0 — известная величина);
2) на части границы 52 задан поток вещества (qn — ani<7f,
где qn — нормальный поток через границу; ani — направляющие
косинусы нормали по отношению к осям х£).
Заметим, что полная граница 5 = 4- S2.
228
Источники и стоки. Источники и стоки в рассматриваемом объеме
представлены в уравнении (8.21) величиной р. Обычно желательно
выделить в р член, учитывающий влияние концентрации, т. е.
представить р в виде
Р = /-₽0.
(8.22)
где f — распределенный источник; 0 — постоянная, учитываю-
щая влияние концентрации.
Уравнение (8.22) описывает случай линейного закона для
концентрации, который очень удобен для математического моде-
лирования. В ряде случаев принимают экспоненциальный закон
спада концентрации по времени:
9-0oe"Zv,
где 90 — начальная
В дальнейшем ограни-
чимся рассмотрением лишь
линейного закона концент-
рации.
Поглощение (абсорбцию
вещества) на границе мож-
но представить, выразив
поток вещества через вели-
чины концентрации на вне-
шней 'стороне границы 0,
и на границе 0. Это дает
концентрация; у —
константа.
Рис. 8.2. Граничное условия
S, - часть траницы с затанным потоком: St —
часть границы, на которой задана концентрации
Яп -= — 7(9 — 0е) + ап1<7,-,
(8.23)
где у — коэффициент абсорбции иа границе; — —рКц~
Точечный сток можно определить как
Q^2Qa,(xi)Ai,
(8-24)
где Qa, (xf) —сток в точке х,-; Л—дельта-функция (равна 1 дтя
координат х,- и 0 для всех остальных точек).
Вариационная формулировка. Используя в качестве веса для
уравнений (8.21) и граничных условий вариацию 9, можно записать
вариационную формулу метода Галеркина:
Wt<-pf+pPe+p-p7)eMV =
= .f J !ani<7;-7(9-0f)—Я„) WdS + Z.QvbfiO, (8.25)
где предполагается, что 9 удовлетворяет условию 0— 0 на S,.
220
Интегрируя выражение (8.25) по частям, получаем
= И {-Y(0-9,)-Qn) bQdS + ^Q^fiQ
Si
или, выразив qt через 0,
f f f [рКи (4^)+ p ( ~f + p0 + ъг) 601dV =
J J J L \ dx, / \ dx, ] ( Dt ) J
= -П &-T (0,-6)} 60dS + 2 Q.A^0. (8.26)
S2 I
Конечноэлементная формулировка. Предполагая, что концен-
трация не изменяется в направлении х3, получаем задачу для двух-
мерной области. Тогда уравнение (8.26) перепишется в виде
Шрй/М^Ч (тЧ+рЛ I- /+р0 +-тЯб0Рл=
J J \ дх, дх, ) ( Dt ) ]
= -f h {g„-Y(0,-0)) 60dS + 2 (8-27)
S, i
где h — глубина.
В пределах каждого элемента представим 0 как
0 = фг0", (8.28)
где ф (х1( х2) — интерполяционная функция; 0" — вектор узло-
вых неизвестных.
После подстановки в уравнение (8.27) для каждого элемента
получим
60n•7’{K6n + A0n + Mё',—Q}=0, (8.29)
где
К - f f*P Ч (Ч (ЧУ+«> (-£-) (ЧГ +₽**г1 " +
J J L \dXif\dxtJ \ dxt / \ dxt ) J
+ ]'/1уфф7'^5;
s,
А — J J Лр {с^ф Г "» (8.30)
М^ЛЛрфф^А;
Q = И Ap^dA —f h (д„ф—у0,ф) dS + 2 Q«A <Ф-
s, i
Для всей области
K0 + A0 + Af0=L, (8.31)
где 0 удовлетворяет условию 0 = 0 на части внешнего контура
рассматриваемой области.
230
§ 8.2.
Задачи диффузии
Рассмотрим случай чисто диффузионной задачи, для чего прене-
брежем конвективными членами в выражении (8.31). Тогда
№ + MQ=L. (8.32)
Этот случай наблюдается при отсутствии потока вещества
(например, температурная диффузия в твердом теле, изменение
концентрации в спокойной воде). Матричное уравнение (8.32)
может быть проинтегрировано по времени с использованием про-
стой неявной схемы метода трапеций (см. гл. 7). Согласно этому
методу
0/-0о=-^(ё< + 6о), (8.33)
где 0, — неизвестные значения величин в конце шага АЛ, 0О —
известные начальные значения.
Подставляя значение 0, из выражения (8.33) в уравнение (8.32).
записанное для t = А/, получаем
О \ . о
К+ —М) ©, = £, +MOo + —M0fl. (8.34)
Д1 / Л1
Далее, используя равенство (8.32) при t — t0, из выражения
(8.34) находим следующую рекуррентную формулу для после-
довательного пошагового определения неизвестной функции 0:
К+ 2m)0, = L, + Lo_(k—(8.35)
at J \ Д/ /
Приемлемы и некоторые другие методы интегрирования по
времени, например явные схемы, но преимущество метода трапе-
ций заключается в устойчивости схемы. Это позволяет использо-
вать для задач с постоянными матрицами К, М большие шаги АЛ
Если эти матрицы переменные, то может возникнуть необходимость
в уменьшении шага по времени с целью учета этих изменений,
и тогда явные схемы могут оказаться предпочтительными. Для
установившегося режима интегрирование проводить не нужно,
так как тогда выражение (8.32) приводится просто к уравнению
№ = L.
Пример 8.1. Так как явление теплопроводности есть диффузионный
процесс, приведенные выше формулы и уравнения теплопроводности выгля-
дят идентично. Например, может быть использовано выражение для потока
тепла
где qi — количество тепла, протекающего через единицу площади, перпен-
дикулярной к направлению xi (кал, Дж и г. д.); KiL — коэффициент тепло-
проводности в направлении х?, .0 — температура.
231
С помощью Трехузловых конечных элементов проанализирован устано-
вившийся тепловой поток для трубы, показанной на рис. 8.3. Распределе-
ние температуры рассчитано для случая, когда температура на внешней
и внутренней поверхностях трубы равнялась соответственно 0 и 100° С.
Результаты представлены на рисунке в виде линий равной температуры и
линий тока.
Рис. 8.3. К задаче о распределении температуры в трубе: а — ко-
нечноэлементная дискретизация; б — полное сечение трубы; в —
линии теплового потока и изотермы
Рис. 8.4. Решение нестационарной задачи
1 и 2 — установившийся режим соответственно в узлах 24 и 14
Та же самая задача была решена для условий переменной температуры
на основе уравнения (8.35). Согласно результатам расчетов для узлов 24
и 14 (рис. 8.4) процесс сходится к решению, соответствующему установив-
шемуся режиму.
§ 8.3.
Задачи диффузии и конвекции
При совместном рассмотрении диффузии и конвекции необходимо
решить систему уравнений (8.31), записанную, как обычно, в эйле-
ровых координатах. Решение можно получить интегрированием
по времени указанной системы с использованием одной из неяв-
232
ных или явных схем, рассмотренных выше. Ниже будет изложен
новый тип решения, который может оказаться более экономичным
в смысле затрат машинного времени для многих нестационарных
задач, включающих конвективные члены. Решение состоит в комби-
нации систем координат Эйлера и Лагранжа.
Эйлерова сетка конечных элементов допускает произвольные
искривления, но в вычислительном отношении очень неэффектив-
на из-за наличия конвективных членов, содержащихся в несим-
метричной матрице А уравнений (8.31). Наоборот, если исполь-
зуется схема Лагранжа при изучении движения жидкости, то
сетку элементов легко можно сделать очень искривленной. Пред-
ставляется удобным (см. пример 8.2) для такого типа задач при-
менять смешанную эйлерово-лагранжеву схему. При этом будет
выполняться простое интегрирование, присущее формулировке
Лагранжа, но сохранится вычислительная сетка, используемая
в схеме Эйлера.
Для схемы Лагранжа (при отсутствии конвективных членов)
можно получить рекуррентное соотношение, аналогичное выра-
жению (8.35). Для введения конвекции в это уравнение, характе-
ризующее нестационарный режим, во многих задачах диффузии
можно предположить, что для малого At диффузия не зависит
от конвекции и матрицы в уравнении (8.35) постоянны. Конвек-
ция впоследствии вычисляется в предположении, что в каждом
элементе находится фиксированная масса жидкости, и ее движе-
ния ‘определяются в пределах временного шага по распределению
скорости.
В этом случае величина 6, обусловленная как диффузией,
так и конвекцией, известна в ряде точек новой сетки. Значения
концентрации в точках первоначальной сетки могут быть вычис-
лены по значениям 6 новой сетки интерполяцией. Процедуру
интегрирования можно повторить для следующего шага по вре-
мени.
Таким образом, в данной схеме считается, что элемент дви-
жется вместе с жидкостью, когда рассматривается конвективная
часть, но при рассмотрении диффузии элемент остается в том же
самом положении в пространстве, а жидкость проходит через него.
Пример 8.2. Для проверки эффективности и точности рассмотрен-
ной выше схемы была также развита обычная итеративная схема Эйлера
с использованием формулы интегрирования по методу трапеций, применен-
ной непосредственно к уравнению (8.31). Это дает
9 \ / 2 \
«•+—Af e^fQf + Qo)- «•- — м ео-(Аоео + лд). (i)
ДГ / \ ДГ ]
На каждом временном шаге для члена A fit делается оценка, и итера-
тивный процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая
точность.
Указанная схема Эйлера, а также смешанная схема применены к одно-
мерной задаче дисперсии, для которой существует аналитическое решение.
233
Результаты, представленные на рис. 8.5 и в таблице, свидетельствуют
о точности и сходимости схемы Лагранжа — Эйлера. На рисунке показаны
результаты сравнительных расчетов выполненных по итеративной схеме
[см. уравнение (1)]. При этом были использованы шестиузловые треуголь-
ные конечные элементы.
На основании этих и других подобного рода методических исследований
был сделан вывод о том, что для оценки требуемого шага интегрирования
по времени можно использовать следующее соотношение, первоначально
полученное прн анализе одномерных сеток метода конечных разностей:
оД/
Дх
(2)
где о — скорость; Д/ — шаг по времени; Дх — характерная длина элемента
(в рассматриваемом случае длина между узлами).
Рис. 8.5. Одномерная задача о диффузии и конвекции
1 — аналитическое решение; 2 — = 1,0; 3 — = 0,25
В то же время точность данной схемы определяется отношением между
диффузионной и конвективной частями. Это подразумевает, что в задаче
о чистой конвекции размер элементов должен стремиться к нулю во избежа-
ние ошибок из-за численной диффузии.
Отметим, что машинное время и запас памяти ЭВМ, необходимые для
выполнения вычислений по схеме Лагранжа — Эйлера в рассмотренном при-
мере были приблизительно равны соответственно одной трети и половине
времени и объема памяти при использовании итеративной схемы.
Пример 8.3. Для исследования дисперсии сточных вод из предпо-
лагаемого водоотвода в восточной части пролива Те-Солент близ Саутгемптона
(Англия) (рис. 8.6) использовалась двухмерная модель. Наиболее интересно
было найти распределение палочки Коли (показателя загрязненности воды)
и его зависимость во времени при типичных (в данном случае весенних)
условиях прилива. Допустимый уровень загрязнения остается еще предме-
том дискуссии. Однако содержание палочки Коли может характеризовать
влияние загрязнения и очистки между водоотводом и рассматриваемой
точкой.
В развивающемся районе, расположенном между Саутгемптоном и Порт-
смутом, западнее Фарема, с населением примерно 600 тыс. человек к 2001
году предполагается появление нового стока. В проекте по отводу сточных
234
Таблица 8.1
Сравнение результатов для одномерной задачи диффузии —
конвекции
Рас- стоя- ние X Аналити- ческое решение Метод Лагранжа—Эйлера Метод Эйлера с итерациями
Д/—0,25 Д/=0.5 Д/—1,0 Д/=0.25 Д/=0.5 Д/=1.0
0,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,125 0,898 6 0,903 6 0,9127 0,933 1 0,897 9 0,896 9 0,894 9
0,250 0,753 4 0,760 0 0,767 7 0,784 6 0,752 5 0,7503 0,747 8
0,375 0,581 7 0,584 4 0,587 6 0,597 5 0,579 2 0,575 6 0,567 9
0,500 0,409 2 0,409 4 0,407 5 0,404 5 0,405 6 0,401 2 0,393 1
0,625 0,260 3 0,255 3 0,248 2 0,233 0 0,255 9 0,251 5 0,241 3
0,750 0,148 7 0,141 1 0,1321 0,1132 0,1438 0,140 1 0,132 6
0,875 0,759 0,068 5 0,060 8 0,0448 0,071 9 0,069 3 0,064 1
1,000 0,034 6 0,027 9- 0,022 5 0,0139 0,030 8 0,029 5 0,027 6
1,250 0,037 0,002 8 0,002 4 0,003 8 0,003 76 0,004 0
1,500 0,000 3 0,0003 0,000 2 0,0010 0,0010 0,001 0
1,750 0,000 3 0,0003 0,000 2 0,000 3 0,003 0,000 3
2,000 0,000 2 0,000 1 0,000 1 0,000 1 0,000 1 0,000 1
2,500 0,000 0 0,0000 0,0000 0,000 0 0,000 0 0,000 0
3,000 0,0000 0,000 0 0,0000 0,0000 0,000 0 0,000 0
п р и м е ч а н и е. При X =0 задана коицеитра дия 0„- 1,0; А\=0,01 диииц* с;
V=0,05 единиц с.
Рис. 8.6. Водный бассейн пролива Те-Солент
------линия постоянной глубины, равной 5 м
вод в этом районе предусмотрено производить их сброс из водоотвода в 1 км
от побережья.
При теоретическом исследовании проблемы восточная часть Те-Солента
была разбита на 209 шестиузловых элементов (с 466 узлами), причем наимень-
шие элементы находились в месте расположения водоотвода (рис. 8.7). Ско-
рости на поверхности в направлениях хх их2 в течение 13 ч весеннего при-
лива, полученные в процессе обширного исследования Те-Солента, являлись
235
входными данными. Результаты интерполировались для подходящего про-
межутка времени Д/ (в данном случае 600 с). Коэффициенты турбулентной
диффузии (Ki и К2) зависят в общем случае от положения точки и времени.
В программе расчета были рассмотрены два коэффициента: продольный КПр
в направлении вектора скорости в узле и поперечный Кпоп в направлении,
перпендикулярном к этому вектору. Согласно экспериментальным наблю-
дениям с применением красителей коэффициенты имеют следующие значе-
ния Кпр = 5 ма/с; Кпоп = 0.05 ма/с. Эти коэффициенты справедливы для
тихой воды.
Для представления в рамках математической модели уменьшения кон-
центрации палочек Коли необходимо располагать значением коэффициен-
та Р при линейном законе спада. Для условий Те-Солента не имелось необ-
ходимых экспериментальных данных и упомянутый коэффициент был принят
равным 0,4-10-5 1/с (0,33 в день). Это значение использовалось для анало-
гичных условий другими исследователями.
Рис. 8.7. Сетка конечных элементов
Было принято, что расход водоотвода Q = 6000 л/с с плотностью пало-
чек 1,67- 10е на 100 мл, считающейся постоянной во время приливных циклов.
На рис. 8.8 показаны результаты для четвертого цикла весеннего прилива.
Они в значительной мере аналогичны результатам, полученным вплоть до
седьмого цикла. Это свидетельствует о том, что применительно к принятому
в данной модели уравнению связи (8.22) четырех циклов достаточно для реше-
ния всей задачи.
Изображенные на рис. 8.8 контуры получены с помощью графопострои-
теля ЭВМ и соответствуют концентрациям 50, 10 и IX 10s палочек иа 100 мл
для глубины 1 м. Они должны быть еще разделены иа значение глубины
в рассматриваемой точке.
Пример 8.4. Метод конечных элементов с трехузловыми треуголь-
ными элементами был использован для предсказания дисперсии осадочных
пород в Массачусетском заливе, вызванной разработкой недр морского дна
на некотором расстоянии от берега [1]. Скорости получены с помощью
программы, описанной в примере 7.1. Они соответствуют циклу прилива
и 10-узловому западному ветру. Эта информация повторяется для каждого
цикла прилива в ходе расчета дисперсии. Заметим, что исследование процесса
дисперсии на протяжении многих приливных циклов проводилось при ис-
пользовании данных лишь по одному циклу приливных течений поскольку
при решении задач дисперсии требуется значительно меньше машинного
236
времени, чем прн расчете циркуляционных течений. Последнее объясняется,
главным образом, тем, что шаг по времени в дисперсионной модели может быть
примерно в 15 раз больше, чем при расчете циркуляции.
Рис. 8.8. Результаты для весеннего прилива (четвертый цикл)
Интегрирование по времени в рассматриваемой задаче выполнено по
методу трапеций в следующей форме. Запишем уравнения (8.31) в виде
мв = р (О
237
и применим метод трапеций, т. е.
Jf(0,-0o)=y (Pt + PJ- (2)
Поскольку неличииа Р зависит от 0, это уравнение не может быть ре-
шено в явном ниде относительно и необходимо применить метод последо-
вательных приближений. Допустимое отклонение, определяющее сходимость,
сравнивается с нормализованной среднеквадратичной ошибкой по всем
узловым величинам. Таким образом, переход к следующему временному
шагу возможен, когда
1/ (i
“ \/=1 /
допустимое отклонение >---- —— > (3)
v (,?, |9“>|0
где индекс i означает шаг итерации, a j — номер узла.
Рис. 8.9. Сетка конечных элементов для Массачусетского
залива
Источник осадочных пород в данной задаче моделировался непрерыв-
ной нагрузкой интенсивностью 10’ г/с, распределенной по четырем узлам,
соседним с точкой S (рис. 8.9). Шаг по времени ныбран равным 1500 с. На
рис. 8.10 показаны результаты двух расчетов для момента времени, равного
семи циклам прилива после начала действии источника осадочных пород.
238
Рис. 8.10. Результаты расчета дисперсии в Массачусетском заливе слиниямиУравной концентра-
ции (концентрация в граммах иа кубический метр): а — Dx — Dy = 100 м2/с; б — Dnp — 300м2/с,
Опоп = ЮО м2/с
1 — граница с океаном (концентрация равна нулю); 2 — береговая граница (поток равен нулю)
На рис. 8.10, а приведены результаты для изотропного процесса дисперсии
со значениями коэффициентов Dx=Dy= 100 м2/с, а на рис. 8.10, б —
данные для ортотропной дисперсии. Продольный и поперечный коэффици-
енты дисперсии соответственно принимались равными 300 и 100 м2/с. Были
выполнены также дополнительные исследования в Массачусетском заливе,
включающие некоторую экспериментальную проверку.
В ряде точек получены отрицательные значения концентрации, харак-
терные для задач с малой дисперсией. Когда коэффициенты дисперсии не-
велики по сравнению со скоростями, высокие градиенты концентрации
приводят к численной погрешности. Это можно устранить за счет использо-
вания более совершенной сетки или распределения источника по большей
площади. На точный нижний предел коэффициентов дисперсии, который не
приводит к указанной ошибке, влияет, таким образом, способ задания на-
грузки, скорость и «качество» сетки конечных элементов.
Максимальный шаг по времени, при котором сохраняется устойчивость
решения, также зависит от размера сетки и пропорционален размерам наи-
меньшего элемента сетки в рассматриваемом районе. Для рассматриваемой
программы эмпирически получены следующие соотношения:
РД/ 1 . сД/ 1
(Дх)2 < 10 ’ IT 10 ’ '
гдеР — коэффициент дисперсии; Д/ — шаг по времени; Дх — длина наимень-
шего элемента; v — скорость.
Максимально допустимый шаг по времени Д/ должен удовлетворять
обоим требованиям (4); однако значение 1/10 не является точным и несколько
изменяется в ту или другую сторону при переходе от одной задачи к другой.
После нахождения устойчивого шага по времени дальнейшее его уменьшение
не увеличит заметно точность решения.
При данной скорости v, длине элемента Дх диапазон возможных значе-
ний коэффициента дисперсии Р ограничен. Если размер сетки недостаточно
мал для выбранных значений коэффициентов дисперсии, решение хотя и мо-
жет сходиться, но не исключена возможность появления физически не оправ-
данных результатов (колебательный процесс или отрицательные концентра-
ции). В ходе вычислительного эксперимента найдено, что числовая устой-
чивость достигается при выполнении условия
сДх/Р<2. (5)
Значение 2 в этом соотношении не является точным н может меняться
для разных задач. При этом, конечно, критерий (4) для шага по времени
должен также выполняться.
§ 8.4.
Нелинейная диффузия
Во многих задачах диффузии константы диффузии зависят от
значений функции концентрации. Поэтому такие задачи являются
нелинейными.
Рассмотрим для примера уравнение, характеризующее уста-
новившуюся неконвективную диффузию:
(8.36)
ОХ( \ axi J
где коэффициенты Ки являются функциями 0.
240
После применения процедуры метода конечных элементов полу-
чим нелинейную систему уравнений типа
К(0)0 = £. (8.37)
Для решения системы (8.37) начнем с начальной величины 0г и
найдем улучшенное приближение 0*+1. Рекуррентное соотношение
при этом записывается так:
К (of) 0*+* = £. (8.38)
Можно ускорить сходимость решения, используя метод Нью-
тона — Рафсона. В этом случае определим невязку по результа-
там i-й аппроксимации:
фг = Л-(0‘) 0‘—L = Кг0'—L 0. (8.39)
Наложим условие
ф‘+* = + бфг+* = 0. (8.40)
Это дает рекуррентное соотношение
бф‘+1 = — фг, (8.41)
где
бф‘+* = (0') б0г+1 = —фг. (8.42)
Из уравнения (8.42) можно найти бОг+*. Таким образом,
0г+‘ = 0‘+S0i+1. (8.43)
Степень сходимости решения в данном случае имеет второй
порядок.
ЛИТЕРАТУРА
1. Leimkuhler W. F., Connor J. J., Wang J. D. A Two-Dimensional
Finite Element Dispersion Model, Modeling, ASCE, 1975.
2. Smith I. M., Farraday R. V., O’Connor B. A. Rayleigh-Ritz and Ga-
lerkin Finite Elements for Diffusion-Convection Problems, Water Resource,
Res., 9, N 3, 1973.
3. Zienkiewicz О. C., Cheung Y. K- Finite Element in the Solution of Field
Problems, The Engineer, September, 24, 1965.
УПРАЖНЕНИЯ
8.1. Рассмотрите двухмерную задачу теплопроводности для области,
показанной на рнс. 8.11. Принимая во внимание ее симметрию, предложите
для решения сетку из трехузловых треугольных элементов, содержащую
менее 100 узлов.
8.2. Получите уравнение (8.10), используя теорему Рейнольдса о пере-
носе [см. уравнение (4.15)].
8.3. Конечно-разностная аппроксимация для уравнения Лапласа в пра-
вильном шестиугольнике дает сетку коэффициентов, изображенную на
рис. 8.12. Докажите, что аналогичный результат можно получить, исполь-
зуя трехузловые равносторонние треугольные элементы.
241
8.4. Из уравнения энергии выведите уравнение температурной диспер-
сии (см. гл. 4). Какие допущения необходимо сделать при этом?
8.5. Загрязняющее вещество распределено в одномерном канале со-
гласно следующему уравнению, описывающему установившийся процесс:
„ 5!0 50
К------= v-— ,
5х, дХ1
где К — коэффициент диффузии; 0 — концентрация; v — постоянная ско-
рость в направлении Xj.
Найдите распределение концентрации 0 для массы загрязнителя р (на
единицу длины и в единицу времени) при Xi — 0.
8.6. Выведите уравнение массопереноса для случая, когда плотность
смеси изменяется в зависимости от концентрации [(см. вывод теоремы Рей-
нольдса (4.15)].
8.7. Запишите уравнение массопереноса (8.21) в цилиндрических коор-
динатах.
Рис. 8.11. К упражнению 8.1
Рис. 8.12. К упражнению 8.3
8.8. Рассмотрите уравнение теплопроводности для нестационарного
случая
50 К / 5*0 \
5/ рСр \ дх* ) ’
где К — теплопроводность; р — массовая плотность; Ср— удельная тепло-
емкость.
Для данного уравнения предложите одномерную по координатам конеч-
ноэлементную модель и решите получаемое для этой модели уравнение по
времени, используя метод Галеркина.
Запишите соответствующие матрицы и окончательную рекуррентную
формулу.
8.9. Покажите, что одномерное уравнение дисперсии для реки можно
записать как
50 , 50 1 5 / . „ 50 \ ла
-----h v----=---------АК1------ — р0,
dt дх А дх и дх )
где v — средняя скорость вдоль реки; х — переменная, отсчитываемая вдоль
ее длины; А — площадь переменного поперечного сечения реки; р — посто-
янная.
8 10. Вычислите потерн тепла через стену, состоящую из двух кирпич-
ных кладок с шириной кирпича 10 см, разделенных слоем изолирующего
материала толщиной 8 см. Рассмотрите два случая:
1) изолирующий материал — вермикулит,
2) изолирующий материал — ячеистый пластик.
242
Тепловой поток определяется по формуле
„ к 00
дх
где Квер = 0,065 Вт/(м-сС); Кя.п= 0,037 Вт/(м-сС); Ккирп = 0,806
Вт,'(м-сС).
8.11. Запишите уравнение нестационарной диффузии с нелинейными
коэффициентами Kt = Ki (0). Обсудите преимущества отдельных явных
и неявных схем решения этих уравнений.
8.12. Основываясь на программе решения уравнения Лапласа (см.
гл. 2), разработайте алгоритм решения нелинейной задачи диффузии [см.
уравнение (8.37)], используя метод Ньютона — Рафсона
ГЛАВА 9
ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
В этой главе делается попытка применить метод конечных эле-
ментов для решения полной системы уравнений движения вязкой
несжимаемой жидкости. Решение справедливо для малых чисел
Рейнольдса, однако если удастся найти достаточно точный метод
рассмотрения эффектов пограничного слоя, то это решение можно
будет распространить на случай более высоких чисел Рейнольдса.
Основные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости
могут быть записаны через скорости и давление, причем скорости
должны удовлетворять уравнению неразрывности для несжимаемой
жидкости. Другой способ записи двухмерных уравнений связан
с использованием функции тока ф, удовлетворяющей уравнению
неразрывности. При этом уравнения количества движения объеди-
няются в одно уравнение более высокого порядка, требующее
непрерывности как самой функции тока, так и ее производных.
В случае трехмерных течений ситуация усложняется, поскольку
при этом подходе требуются три функции тока.
Чтобы не иметь дело с функцией ф, требующей обеспечения
непрерывности более высокого порядка, дополнительно к функции
тока в качестве неизвестной вводится завихренность со. В этом
случае достаточно обеспечить непрерывность ф и со между эле-
ментами; непрерывность их производных не обязательна.
Приведем обзор указанных формулировок, обращая особое
внимание на случай неустановившегося движения и развития вих-
ревых дорожек Кармана.
§ 9.1-
Основные соотношения
Ниже выписаны основные уравнения, описывающие течение несжи-
маемой ньютоновской жидкости (см. гл. 4):
— уравнение количества движения
Р
dxi р dxj
Dv;
~Dt~ ’
i, / = 1,2,3;
(9.1)
243
— соотношение между скоростями деформаций и полем скоро-
стей в жидкости
е (9.2)
° 2 дх, ' dxi j
— соотношение между напряжениями и скоростями деформа-
ций (с условиями Стокса)
О
т;/ = 2ре0—-реДр (9-3)
О
- уравнение неразрывности
е, = -^-=0; (9.4)
fat
— граничные условия на той части границы Sv, где заданы
скорости
v„ = vn, vs = vs-, (9.5)
— граничные условия на части границы Sp, где заданы силы
I о 0Vn ““ / &Vg dvn \ ~ /г\ /?\
— Р + 2р —- = Рп, + =Ps- (9-6>
дп \ дп ds )
Вариационная формулировка, соответствующая этой системе
уравнений, получается из принципа виртуальной работы (см.
гл. 4):
J J J (— р^>ео—е^р + т(7беп] + р bt + -^}бо; =
= .Г I <Р,ЛЯ + РД«) dS. (9.7)
sp
Уравнение (9.7) справедливо для произвольных бпг, бр в объе-
ме V, для произвольных 6vn, bvs на Sp и бип = бц. = 0 на So.
Можно проверить, что применение к зависимости (9.7) теоремы
Гаусса с целью исключения производных от приводит к урав-
нениям неразрывности движения и граничным условиям для сил.
Для двухмерного случая формула (9.7) может быть записана как
где
--ev^P + Tll^l 1 + Т22^22 + 2) +
) с . ( t । Dv.
—Н on, +р J —о2Н-----
Dt J 1 2 Dt
= f (рЛ + рХ) dS,
би2 dA =
(9-8)
dv, , dv. о
Tn =-77-+^- = 2ei2-
дх% dxi
Уравнение неразрывности будет иметь вид
dv, dv., п
ev = ^L- + ^J- = °-
0X1 OX2
(9.9)
244
Скорости на границе S„ удовлетворяют следующим граничным
условиям:
»n = ani»i + an2v2 = vrt;
us = —an2vi + aniv2 = vs.
(9.10)
§ 9.2.
Формулировка задачи относительно функции тока
и завихренности
Как и в случае невязкой жидкости, выразим для двухмерного тече-
ния составляющие скорости через функцию тока ф:
дф
дх2
»2 =
дф
дх2
(9.И)
На границе области
дф
vn = ~r
ds
vs =
дф
дп
Уравнение неразрывности обращается в тождество. Продиф-
ференцируем первое из уравнений количества движения по х2,
а второе — по хг и вычтем одно из другого. Это позволит исклю-
чить давление р. В результате получим
_dbi__ д&? н л. = £> (у2ф)
дх2 дх2 + р V * Dt
Главными граничными условиями в этом случае будут условия
. . „ „ дф
для функции ф и ее нормальной производной ——:
дп
в _
^ = ^~>Фв = Фл +1 vndS
А
- дф
Vs = Vs^>—— = —vs
дп
на Sv.
(9.13)
Другая форма уравнения (9.12) получается при использовании
следующего выражения для завихренности со:
-----=----------L (9.14)
2 \ dxj дх2 J 2 ' Т V ’
Подставляя выражение (9.14) в равенство (9.12), находим урав-
нение завихренности
и 2 , 1 / db, d&, \ Deo
— V ® Ч— —---------— ------•
р 2 \ дх2 дх3 / Dt
(9.15)
V1
245
Получим теперь вариационную формулу для рассматриваемой
задачи. Для этого необходимо входящие в выражение (9.8) ско-
рости и их вариации выразить через функцию тока:
(9.16)
dx2 dx2 “ дх2 дх2
В результате получим
Дополнительно к вариационной формуле (9.17) следует учесть,
что согласно условиям (9.13) на Sa задана функция ф и ее нор-
мальная производная. Интегрирование равенства (9.17) по частям
с целью получения членов, умноженных на 6ф, приводит к урав-
нению (9.12) и следующим граничным условиям для сил на части
контура Sp:
I \
-----ГТ ’’
\ ds2 on2 /
_L = 6s _ JL V2 ( . (9.18)
p ds p \ dn ) \ Dt J \ dn ]
Если функция тока и ее нормальная производная дф/dn заданы
на всей границе, имеем такую вариационную формулировку:
—— ^4ф) 6фД4 = 0.
Р I
(9.19)
В выражении (9.19) не учитываются массовые силы. Формула
(9.19) является основной для построения конечноэлементных
моделей с использованием функции тока ф. После определения
матрицы для элемента можно просуммировать зависимость (9.19)
по всем элементам и образовать систему уравнений относительно
неизвестных узловых значений ф. Окончательно эта система при-
нимает вид
КУ + М^=Р + Р (9.20)
где Рс содержит нелинейные конвективные члены; К. — вязкостные
члены; М. — матрица массы.
246
Ниже рассмотрены два примера, в которых уравнение (9.20)
применяется к течению Стокса (Рс = 0 и if = 0) и установивше-
муся потоку (только if = 0).
Пример 9.1. Тонг [3] проанализировал случай двухмерного течения
Стокса, для которого члены, содержащие производную D!Dt, пренебрежимо
малы вследствие высокой вязкости жидкости. В этом случае, если пренебречь
еще и массовыми силами, уравнение (9.17) можно привести к виду
д2ф д2дф д2ф'д2бф । д2ф д2дф д2ф д26ф
дхгдх2 дх,, дх2 gx2 дх2 дх2 дх2 дх2 дх2
д*ф д2дф) . . (* [- <Эдф — дбф \ „
--------(dxidx2= I рп —----Ps ——
дх2 дх2-J \ ds дп J
211 Sp
(1)
Если скорости известны на всей гранипе S и, следовательно, контурный
интеграл в последнем равенстве исчезает, то проинтегрировав левую часть
выражения (1) по частям получим
Г f и (о Д2ф (2)
J J Р [ дх1дх2дх1дх2 gxj дх2 дх^ J
Это дает следующий вариационный функционал:
Граничные условии для функции тока:
ф = фл + 1' vndS. <4)
дп А
(3)
Выражение (3) совпадает с вариационным функционалом применительно
к задаче об изгибе пластины, в которой функция ф также должна быть непре-
рывной вместе с ее первыми производными. Тонг рассмотрел течение вязкой
жидкости в канале, использовав вместо указанного подхода (с применением
только функции тока) смешанную формулировку. Эта формулировка, раз-
витая ранее для прямоугольных элементов при изгибе* пластины, дает очень
точные результаты. Описание упомянутой смешанной модели выходит за
рамки данного примера, однако отметим, что аналогичные результаты могут
быть получены при использовании для ф непрерывной функции второго по-
рядка (см. § 3.5 и 3.6).
Тонг применил данную модель, чтобы проанализировать обтекание
прямоугольного препятствия в канале. На рис. 9.1 показаны геометрические
характеристики задачи н разница между давлениями на стенке при наличии
и отсутствии препятствия.
Пример 9.2. Олсон [4] опубликовал результаты расчета двухмерного
установившегося потока, полученные с использованием для аппроксими-
рующей функции треугольного элемента степенного полинома пятой сте-
пени, который, как было показано, дает очень высокую точность (см. § 3.6.).
Такой элемент обеспечивает непрерывность ф н ее производных на границах
между соседними элементами и обладает 18 степенями свободы (ф; фэ1; ф,2;
ф,п; Фиг! Ф>22 — неизвестные в каждой из трех вершин).
Вариационную формулу для установившегося течения прн отсутствии
массовых сил можно записать следующим образом [см. уравнение (9.19)]:
+ ____V8 «’МЛ = 0. (1)
( р дх2 \ dxt / dxi \ дх2 ])
247
Применение конечноэлемеитной модели к соотношению (I) приводит
к нелинейной системе алгебраических уравнений для решения которой ис-
пользовался метод Ньютона — Рафсона. Итерации выполнялись до полу-
чения необходимой точности.
Данная схема применена для расчета течения вокруг цилиндра, пока-
занного на рис. 9.2. Условие нулевой скорости иа поверхности цилиндра
выполнялось в узловых точках. В качестве естественных граничных условий
приняты условия отсутствия касательного напряжения вдоль линии сим-
метрии течения и равенство нулю производных рп вдоль сечений, лежащих
6>
40 г
± = (?5
а
Тело
-5,0
—3 5-------1_________।_________।________।_________।
-2,8 ~2,0 -1,0 0 1,0 2,0
Осевая координата хЪ/а
Рис. 9.1. Тело в канале (а) и давление на стенке канала при наличии одного
тела (б)
V — средняя скорость течения Куэтта
далеко от цилиндра вверх и вниз по потоку. Эти условия выполнялись также
в рамках конечно-разностного решения [5].
Полученные по методу конечных элементов линии тока для числа Рей-
нольдса Re=20 согласуются с результатами по методу конечных разностей [5].
Лиебер и др. рассматривали уравнение (9.19) как основу для другой
конечноэлементной модели, содержащей лишь функцию тока ф. При этом
использовался несовместный элемент, ранее применявшийся в задачах из-
гиба пластин. Для установившегося течения в сужающемся канале получены
результаты до чисел Рейнольдса, равных 130. Результирующая система
нелинейных уравнений решалась по итеративной схеме Гаусса — Зенделя.
Пример 9.3. Решение для иеустановившегося двухмерного потока
можно получить с использованием в качестве переменных функции тока ф
и завихренности <о. Данный подход по сравнению с моделью, в которой
248
используется только функция тока, обладает следующим преимуществом:
допускает применение простых непрерывных аппроксимирующих функций
первого порядка1. Начнем с рассмотрения уравнении (9.14) и (9.15) без
Рис. 9.2. Сетка конечных элементов для течения около кругового цилиндра
(а) и линии тока при обтекании цилиндра, Re = 20 (б)
1 — метод конечных элементов; 2 — метод конечных разностей
массовых сил. Тогда
vv*<i) =
Da
~Dt
1 .u
<о =------—
(I)
(2)
1 Такие аппроксимирующие функции обеспечивают лишь непрерывность
искомых функций в рассматриваемой области. — Прим. ред.
249
Естественные граничные условия, соответствующие уравнениям (1) и (2):
да
v —— = gti) на
дп
5(0»
1 дф
— — =гф на
2 дп
Уравнения (1) — (3) можно записать в
формулировок, соответствующих методу Галеркина:
ИГ дю дф дй) дф дй) , ) , . .
1 dt дх2 dxi дх! дх2 J
= С fga — v-^Ц 6<odS;
J \ дп j
(3)
виде следующих вариационных
(4)
f J (у + <Вjdifdxjdx, = J — g^ <5фд$.
s 4
Интегрирование по частям членов, содержащих дифференциальный
оператор у2, дает
С С |7 да> дф дсо дф
дбш да
dxt dxi
J J dt дх2 dxj dxj дх2 j \
дбй) дй) .
+ dXldX2 ~
ох^ их<^ у)
f f (__L “t±L__L JS. + ы*] -
J J I 2 dxj dxj 2 dx2 dx2 J
= I 2фбфдЗ.
s
Разделим всю область течения на элементы и допустим, что в
каждого из них функции w и ф могут быть аппроксимированы
ниями
(5)
пределах
выраже-
й) = фГй)”, ф = фГфп, (6)
где ф — интерполяционная функция (для простоты предполагается, что
одна и та же интерполяционная функция используется для w и ф); <ол, ф” —
узловые значения соответственно завихренности и функции тока.
Подстановка зависимостей (6) в уравнения (5) дает
бф”'г {М<о” + Ай)” + vKw” — B<ol = О,
te>n’T fJ_ Кф" — Вф —Мю"] = О,
(7)
где
М = f f ффгдх!дхг;
А = J J ф (ф^ф"ф^ — фдф"ф_^| dxldx.2;
К = П {Ф, 1 Фл + Ф.2Ф.2!
В© = j ф^^д^; Вф = | ф^фдЗ.
sa $ф
s
250
Уравнение (7) справедливо для любых произвольных вариаций б<о и 6ф.
Следовательно, для каждого из элементов области должны выполняться сле-
дующие два уравнения:
Mw" 4- Aw" 4- v Kw" = Bm;
-у Кф" = Вф 4- Мю". (8)
Объединив все элементы вместе, получим для всей области
MQ 4- A ft 4- vffll = До. (9)
КФ = в$ + ма. (Ю)
Далее необходимо проинтегрировать уравнение (9) по времени. При
этом из-за сильной нелинейности членов уравнения предпочтительнее исполь-
зовать явный метод.
На первом шаге решается уравнение (10) при некотором распределении
начальной завихренности £20. Затем в результате интегрирования уравне-
ния (9) по времени находятся значения функции тока в момент tn + Д/.
Чтобы вновь решить уравнение (10), необходимо знать завихренность вдоль
условной границы, на которой функция тока постоянна. Для получения этой
величины можно проинтегрировать уравнение (2) вблизи стенки по нормали
к ней. Заметим, что при этом выражение (2) становится обыкновенным диф-
ференциальным уравнением. Используя в качестве конечного элемента
трехузловой треугольник, можно вычислить интеграл непосредственно
(рис.9.3), что дает
_ г_з.(^-ф). + я_1 (11)
[ 2Z2 2 J
где Фи> и йа, — значения соответствующих величин на стенке; Ф и £2 —
значения во внутренней точке, расположенной на расстоянии I по перпенди-
куляру к стенке.
Последовательность операций в данном методе отражена в следующей
диаграмме:
251
Указанную выше процедуру следует повторить для требуемого числа
временных шагов. При этом разделяем уравнения (9) и (10), предполагая,
что они применяются для разных моментов времени (t и t 4- Д/). С целью
уменьшения возникающей при таком подходе ошибки итерации проводятся
в конце каждого Д/, но, как правило, в этом нет необходимости.
Используя рассмотренную формулировку, Бейкер [6] решил задачу
о течении между параллельными пластинами, расположенными друг от друга
на расстоянии 0,61 м, при числе Рейнольдса, равном 200. Геометрическая
картина потока и сетка конечных элементов для этой задачи показаны на
рис. 9.4. Вследствие симметрии можно ограничиться рассмотрением лишь
половины области течения. При решении использовались шестиузловые
конечные элементы. Предполагалось, что первоначально канал был заполнен
неподвижной жидкостью, которая мгновенно ускорялась приложением рав-
номерной единичной иа входе скорости. Эквивалентная начальная завих-
ренность внутри области равна нулю (Йо = 0). Граничные условия опреде-
лены для расчета начального распределения функции тока. При равномерной
'/////////{////Ж////.
X? / Стенка
Рис. 9.4. Коиечноэлемеитиая дис-
кретизация в канале
А’1 — расстояние вдоль оси
Рис. 9.3. К интегриро-
ванию в окрестности
границы
1 — стенка ; 2 — внутрен-
няя точка
скорости на входе завихренность в этом сечении равна нулю, и функция
тока линейна вдоль оси Хг. Вдоль центральной плоскости завихренность
и функция тока равны нулю, а их нормальные производные в выходном
сечении обращаются в нуль. Значение функции тока вдоль верхней стевки
постоянно. Завихренность на поверхности, где не существует условий прили-
пания, зависит от внутреннего распределения линий тока, и ее величина
находится из формулы (11). Полностью развитый профиль скорости форми-
руется иа расстоянии примерно 6,1 м от начала канала.
Результаты для установившегося режима, полученные с помощью метода
конечных элементов, сравнивались с результатами решения этой же задачи
методом конечных разностей, в котором использовалось 440 вычислительных
ячеек. Для расчета методом конечных элементов применялась грубая сетка
из 39 элементов. Решение для функции тока и завихренности, соответствую-
щих установившемуся режиму, получалось остановкой процесса итераций
по времени при достижении «статистически установившегося режима». Это
состояние определялось по моменту, когда производные по времени от завих-
ренности в узлах становились ниже какой-то малой величины. Результаты
сравнения (табл. 9.1) свидетельствуют об удовлетворительном согласовании
решений методами конечных элементов и конечных разностей. Это согласо-
вание наилучшее в районе, удаленном от угла.
Бейкер распространил данный подход для совместного решения урав-
нений количества движения и энергии, используя при этом явную схему
интегрирования, обладающую высокой устойчивостью.
Пример 9.4. Подход, аналогичный описанному в примере 9.3,
применен для изучения потока в канале конечной ширины с препятствием
прямоугольной формы [7]. Канал имел длину 4,5 м и ширину 1 м. Препят-
ствие длиной 0,4 м при ширине 0,166 м располагалось иа расстоянии 1,05 м
252
Таблица 9.1
Распределения функции тока и завихренности при Re—200
Координаты узлов Функции тока Завихренность
У X Метод ко- нечных элементов Метод ко- нечных разностей Метод ко- нечных элементов Л^етод ко- нечных разностей
0,325 0,595 0,539 0,343 0,039
1,0 0,641 0,589 0,606 0,262
2,0 0,656 0,623 0,731 0,623
0,5 3,3 0,667 0,644 1,05 0,881
4,8 0,675 0,659 1,09 1,10
8,0 0,669 0,674 1,16 1,27
11,0 0,684 0,681 1,31 1,44
21,1 0,688 0,685 0,92 1,50
0,325 0,967 0,957 3,60 5,12
1,0 0,980 0,976 3,77 4,25
2,0 0,982 0,980 3,61 3,57
0,9 3,3 0,983 0,982 3,11 3,20
4,8 0,983 0,983 3,09 3,04
8,0 0,983 0,984 3,15 2,88
11,0 0,984 0,985 2,96 2,76
21,1 0,983 0,985 3,06 2,70
0,325 1,0 1,0 8,14 9,73
1,0 1,0 1,0 4,04 5,05
2,0 1,0 1,0 3,55 4,44
3,3 1,0 1,0 3,57 4,14
4,8 1,0 1,0 3,58 3,71
8,0 1,0 1,0 3,60 3,28
11,0 1,0 1,0 3,30 3,12
21,1 1,0 1,0 3,51 3,06
от входа в канал (рис. 9.5, а). Начальная вязкость принималась равной
0,016 66 м2, с.
На входе в канал жидкость мгиовенио приводилась в движение с равно-
мерной по сечению скоростью 2,0 м/с. Начальная завихренность внутри обла-
сти принималась равной нулю (Яо = 0). Все это позволяет сформулировать
следующие граничные условия. Дли однородного потока на входе в канал
завихренность равна нулю, а функция тока линейно зависит от координа-
ты Л'2. Нормальные производные завихренности и функции тока на выходе
канала равны нулю, что соответствует параллельному (но не обязательно
полностью развитому) потоку. Значения функции тока вдоль верхней и ниж-
ней стенок канала, а также вдоль границы препятствия постоянны и равны
2,0; 0,0 и 1,0 м2/с соответственно.
На рис. 9.5, б, в показаны линии тока и завихренности в области вблизи
препятствия в момент времени t = 2,85 с. Это время потребовалось для до-
стижения «статистически стационарного режима», т. е. такого режима [6],
при котором в любом узле максимальное значение дй/dt не превышает 0,04.
Число Рейнольдса для этого примера, составленное по ширине препят-
ствия, равнялось 20, а начальная завихренность во всех точках потока
была равна нулю. При t = 2,85 с вязкость мгновенно уменьшилась на 60%,
что соответствовав числу Рейнольдса Re = 50. Шаг по времени был умень-
шен обратно пропорционально числу Рейнольдса. На рис. 9.5, г, д показаны
линии тока и завихренности в момент времени t= 11,5 с, когда «статистически
253
254
ьэ
СЛ
сл
Re = 100
mc)
Рис. 9.5. Сетка конечных элементов (а), линии тока
(б, г, е) и завихренности (в, д, ж); развитие вихревой
дорожки (стационарные линии тока) (з)
Re -fOO
стационарное состояние» потока уже достигнуто. В этот момент времени
вязкость опять была уменьшена на 50% за 0,33 с. На рис. 9.5, е, ж показаны
линии тока н завихренности при t = 17,5 с. На этом этапе расчета величина
dQ!dt не обнаруживала тенденции к снижению до 0,04. Шаг по времени для
этого случая рассчитывался также путем уменьшения исходного шага обратно
пропорционально числу Рейнольдса. Как было обнаружено, этот критерий
приводит к чрезмерному уменьшению шага по времени при больших числах
Рейнольдса. Неустойчивость, свойственная численным решениям уравнений
количества движения при этих числах Рейнольдса и усиливаемая ошибками
округления вычислительной машины, с течением времени увеличивается
вплоть до начала схода вихрей. На рис. 9.5, з проиллюстрировано это явле-
ние, причем представленные картины обтекания разделены промежутком
времени, равным 0,3 с. Чтобы показать вихри более четко, значения функции
тока набегающего потока вычитались из рассчитанных значений функции
тока. При этом получались так называемые стационарные линии тока. Интен-
сивность вихрей весьма мала, что может быть связано с удлиненностью
препятствия и грубостью сетки. Из-за большой длины препятствия скорость
и завихренность вблизи углов, расположенных вниз по потоку, оказываются
очень малыми. Число Струхаля Sh (определяемое как частота схода вихрей,
Таблица 9.2
Параметры расчета
Параметр Значение параметра при числе Рейнольдса
20 50 100
АЛ с
0,01 0,005 0,002 5
ьД/ 0,066 6 0,0132 0,003 3
( W
vM 0,40 0,20 0,10
Дх
Установившийся режим Достигался Достигался Не достигался
Прнмечани потока о=2 м с. е. 1. Минимальная ве личина Дх=0,05 м. 2. Скорость свободного
умноженная иа ширину препятствия и деленная иа скорость набегающего по-
тока). рассчитанное на основе полученных результатов, приблизительно
составило 0,12, что неплохо согласуется с данными Фромма и Харлоу [8]
(Sh = 0,119 для того же числа Рейнольдса Re — 100). Отношение скорости
схода вихрей к скорости набегающего потока оказалось таким же, как в ра-
боте [8].
Из-за неустойчивости, свойственной явной схеме интегрирования по
времени, использовался очень малый шаг. Для значений Re = 20, 50 и 100
шаг по времени Д/ принимался равным 0,01; 0,005 и 0,002 5. Определяющими
в задаче являются числа Рейнольдса, а не значения вязкости или скорости
в отдельности. Основные параметры задачи сведены в табл. 9.2.
256
§ 9.3.
Метод решения с использованием давлений
и скоростей
Вернемся к вариационной формуле (9.7)
{— РЧ—ev8p + ицдец} + р {—b( +
= .Г У 1РпЧ + PM) dS. (9.21)
sp
С помощью соотношений (9.3) исключим напряжения т(;-. По-
лучим
+ Р {^А, I -+
dV— f Г (pn6un + ps6vj dS= 0. (9.22)
—pf>ev—е£р 4- 2pel76e,7 —?-pevf>eD—pbfiVi +
«3
бс
Уравнение (9.22) справедливо при произвольных вариациях
бр, б о,1 * * *. Отметим, что давление можно рассматривать в качестве
множителя Лагранжа для условия неразрывности.
Пусть теперь
р = ф7рп1 0, = ф\? (i= 1,2,3), (9.23)
где р" — матрица узловых давлений элемента; v? — матрица
узловых скоростей.
Предположим, что для представления давлений и скоростей
пригодны одни и те же интерполяционные функции.
Подставив зависимости (9.23) в формулу (9.21) и воспользо-
вавшись произвольностью вариаций бр и 8vit получаем в конечно-
элементной форме для двухмерной задачи два уравнения количества
движения
- С V + (К' + А) V? + К v" + Mv? - Flt (9.24)
-С’грл+(к"Ча) v2"+K',rv? + Mv2"=F2 (9.25)
где
и уравнение неразрывности
-{СуГ+сЧЧ-о..
С = f I ффд^х^Хг*, С = f | фф^йх1йх2;
К' = J J р {2фг1фл + ф,2фд--фдф.^ dxAdx2;
к' = J J р (ф,2Фл--1- Ф.1Ф.21 dX'dXi,
(9.26)
1 Уравнение (9.22) выражает условие стационарности некоторого функ-
ционала. Его выполнение приводит к выполнению всех уравнений количе-
ства движения, условия неразрывности и силовых динамических граничных
условий. — Прим. ред.
257
К= J j H {фдфл + 2ф,2ф,2 —ф,2Фл j dx^Xz,
А = И РФ {^1Фл + dxjdxz,
M = J j рфф7^*!^;
F/ = И рфМ-4^2 + f фрidS (t = 1,2).
Объединяя уравнения (9.24) — (9.26) по всем элементам обла-
сти, окончательно получаем
-bTLp + (K+A)Lv + ML„ = Fp, (9.27)
bLo = 0, (9.28)
где £р — неизвестные узловые давления; Lo — неизвестные ско-
рости (включающие узловые компоненты Vj и и2).
После наложения граничных условий для скорости правая
часть уравнения неразрывности в общем случае будет не равна
нулю, т. е. уравнение (9.28) примет вид
bLv = F„ (9.29)
где b в данном случае уже другая матрица.
Точно так же учет граничных условий изменяет содержание
матриц уравнения количества движения (9.27). В дальнейшем
будем предполагать, что уравнения количества движения и не-
разрывности выписаны с учетом граничных условий. Кратко
рассмотрим решение этой системы.
Решим уравнение (9.27) относительно узловых ускорений:
L0=M-'{Fp+bTLp-(K+A)L0}. (9.30)
Теперь продифференцируем уравнение (9.29) по времени
bL0= Fo (9.31)
и подставим в него выражение (9.30). В результате получим
(bM~'bT) LP = F, (9.32)
где
F = Fv + bM~\K + A)Lu— bM~'Fp. (9.33)
После решения уравнения (9.32) можно найти скорости путем
интегрирования выражения (9.31). Это интегрирование можно
выполнить, используя методы Рунге — Кутта, Эйлера или какой-
либо другой явный метод. Если течение медленное, то А = 0;
получаем течение Стокса. Это течение иногда используют как
начальное приближение при получении стационарного решения
для чисел Рейнольдса, отличных от нуля (т. е. для потоков, от-
личных от потока Стокса).
Постановка задачи в терминах непрерывных давлений и ско-
ростей использовалась Гудом и Тэйлором [9] для исследования
стационарного течения вплоть до чисел Рейнольдса, равных 200.
258
Те же авторы недавно предложили использовать линейную интер-
поляцию поля давлений и квадратичную интерполяцию поля ско-
ростей для получения более точных результатов по давлению.
Кавахара и др. [10] решили ряд задач для стационарного
потока, используя те же аппроксимации, что и Гуд. Они приме-
нили усовершенствованный итеративный метод Ньютона — Раф-
сона, с помощью которого исследовались потоки при числах Рей-
нольдса до 1200.
Оден [11] решил ряд нестационарных задач, используя шести-
узловую интерполяционную функцию как для скоростей, так и для
давлений.
§ 9.4.
Течение со свободной поверхностью
«Естественный» путь решения задач для нестационарных тече-
ний со свободными границами и границами раздела заключается
в использовании Лагранжевой системы координат вместо Эйлеро-
вой [12, 13].
Постановка задачи в терминах завихренности и функции тока
не очень удобна для задач со свободной поверхностью из-за труд-
ности наложения граничных условий. Кроме того, эта постановка
становится очень запутанной в трехмерных задачах. Поэтому
ограничимся рассмотрением постановки задачи в терминах скоро-
стей — давлений.
Использование Лагранжевой системы координат переводит пол-
ные производные по времени в частные, например Dv/Dt в dv/dt.
Уравнение количества движения примет вид
---L-r- + */ + — = (t-1,2,3), (9.34)
р dxi р at
а уравнение неразрывности для несжимаемого потока сохранит
форму
е = -^- = 0
° дх<
(9.35)
Независящие от времени граничные условия определяются
формулами (9.5) и (9.6).
Вариационная формулировка, соответствующая уравнениям
(9.34) и (9.35), аналогична формуле (9.7), но при замене полных
производных по времени на частные, т. е.
dvi
~di~
jSu/ dV =
= П (pnS»n + Ps^vs) dS. (9.36)
sp
Применив конечноэлементную запись
У/ = ФГУ?, р = Фтрп,
259
получим после синтеза (объединения по всем элементам области)
-ЬтЬв + КЬ„ + МЬ0 = Рр, bL,-0. (9.37)
Отметим отсутствие [сравните уравнения (9.27) н (9.28) с вы-
ражением (9.37)] конвективной матрицы А. Уравнение (9.37)
можно проинтегрировать по времени, как показано в § 9.4, с ис-
пользованием явных методов (Рунге — Кутта, Эйлера и др.) или,
вследствие отсутствия конвективных членов, — эффективно исполь-
зовать какой-либо неявный метод.
Лагранжева сетка свободно деформируется, что неудобно,
если деформации велики. В этих случаях может потребоваться
время от времени перестраивать сетку. Это предполагает исполь-
зование смешанного подхода Лагранжа — Эйлера, аналогично
подходу, рассмотренному в гл. 8 (см. § 8.3).
ЛИТЕРАТУРА
1. Бейкер А. Дж. Алгоритм метода конечных элементов для решения
уравнений Навье—Стокса.— В сб.: Численное решение задач гидромеха-
ники. М., Мир, 1977.
2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.
3. Tong Р. The Finite Element Method for Fluid Flow, Recent Advances
in Matrix Method of Structural Analysis and Design, R. Gallagher (Eds), Uni*
versify of Alabama Press, 1971.
4. Olson M. D. Formulation of a Variational Principle-Finite Element
Method for Viscous Flows, Variational Methods in Engineering, vol. 1., Breb-
bia C. A., Tottenham (Eds), Southampton University Press, 1972.
5. Dennis S. C. R., Chang G. Z. Numerical Solutions for Steady Flow
Past a Circular Cylinder at Reynolds Number up to 100, J. Fluid Mechanics,
42, Part 3, 1970.
6. Baker A. J. Finite Element Solution Algorithm for Viscous Incomp-
ressible Dynamics, Int J. Numerical Methods Engng., 6, N 1, 1973.
7. Smith S., Brebbia C. A. Finite Element Solution for Vortex Stress
Development, J. Computational Physics, 17, N 3, 1975.
8. Fromm J. E., Harlow F. H. Numerical Solution of the Problem of
Vortex Stress Development, Phys. Fluids, 6, N 7, 1963.
9. Taylor C, Hood P. A Numerical Solution of the Navier-Stokes Equa-
tions Using the Finite Element Method, Comput. Fluids J., 1, 1973.
10. Kawahara M., Yoshimura N., Nakagawa K. Analysis of Steady Incom-
pressible Viscous Flow, Proceed Int. Symp. on Finite Elements in Flow Prob-
lems, Swansea, 1974.
11. Oden J. T., Carter Wellford L. Analysis of Flow of Viscous Fluids
by Finite Element Method, J. AIAA, 10, N 12, 1972
12. Harlow F. G., Welch J. E. Numerical Ca culations f Time-depen-
dent Viscous Incompressible Flow of Fluid with Free Surfac ; Phys. Fluids,
8, N 12, 1965.
13. Hirt C. W., Cook J. L., Butler T. D. A Lagrangian Method for Cal-
culating the Dynamics of an Incompressible Fluid with Free Surface, J. Comput.
Phys. 5, N 1. 1970.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От научного редактора перевода................... 5
От авторов ...................................... 6
Глава 1. МЕТОДЫ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК И ВАРИАЦИОННЫЕ 7
§ 1.1. Основные определения.......................—
§ 1.2. Методы взвешенных невязок.................12
§ 1.3. «Слабые» формулировки ....................21
§ 1.4. Задачи с начальными условиями.............35
§ 1.5. Случай квадратичных функционалов..........41
§ 1.6. Метод Рэлея — Ритца ......................46
§ 1.7. Дополнительные условия....................48
Литература ......................................51
Упражнения .......................................—
Глава 2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.............................53
§ 2.1. Локальные функции..........................—
§ 2.2. Метод конечных элементов..................57
§ 2.3. Матрицы элементов ........................61
§ 2.4. Система уравнений ........................66
§ 2.5. Решение системы ..........................75
§ 2.6. Общая программа расчета ..................85
Литература ......................................87
Упражнения .......................................—
Глава 3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ.............................90
§ 3.1. Функции с непрерывностью первого порядка для
треугольных элементов............................92
§ 3.2. Функции с непрерывностью первого порядка для
прямоугольных элементов...................102
§ 3.3. Изопараметрическне элементы .............111
§ 3.4. Функции с непрерывностью второго порядка для
прямоугольных элементов ..................116
§ 3.5. Функции с непрерывностью второго порядка для
треугольных элементов...........................123
Литература .....................................130
Упражнения .....................................131
Глава 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ ЖИД-
КОСТИ .....................................................132
§ 4.1. Методы Эйлера и Лагранжа. Субстанциональная
производная ..................................... —
§ 4.2. Скорости деформации жидкой частицы.......137
§ 4.3. Уравнения количества движения ...........140
§ 4.4. Уравнение энергии ................142
§ 4.5. Реологические соотношения. Ньютоновская жид-
кость ..........................................145
§ 4.6. Уравнения Навье — Стокса. Несжимаемая ньюто-
новская жидкость................................146
§ 4.7. Принцип виртуальной работы ..............149
§ 4.8. Турбулентность ..........................151
Литература .....................................154
Упражнения .......................................—
Глава 5. НЕВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ....................................156
§ 5.1. Основные соотношения ......................—
§ 5.2. Уравнение Бернулли ......................159
§ 5.3. Волновое уравнение.......................163
§ 5.4. Реакция прибрежных вод на гармонические воз-
мущения ........................................166
§ 5.5. Формулировка задачи относительно функции тока 171
§ 5.6. Цилиндрические координаты.................177
Литература ......................................181
Упражнения ........................................—
Глава 6. ТЕЧЕНИЯ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ............................182
§ 6.1. Законы движения грунтовых вод..............—
§ 6.2. Задачи фильтрации в ограниченных областях . . 185
§ 6.3. Задачи со свободными поверхностями .... 189
§ 6.4. Течение с иеустановившимся уровнем свободной
поверхности ....................................191
§ 6.5. Задача об ограниченном водоносном слое . . . 194
§ 6.6. Неограниченный водоносный слой ...........200
Литература ......................................202
Упражнения ........................................—
262
Глава 7. ТЕЧЕНИЯ НА МЕЛКОВОДЬЕ...............................204
§ 7.1. Уравнения количества движения мелкой воды . . —
§ 7.2. Конечноэлементная формулировка ..........210
§ 7.3. Схемы численного интегрирования .........212
§ 7.4. Циркуляция воды в озере..................221
Литература .....................................224
Упражнения .......................................—
Глава В. ЗАДАЧИ ДИСПЕРСИИ....................................225
§ 8.1. Уравнение массопереноса..................226
§ 8.2. Задачи диффузии .........................231
§ 8.3. Задачи диффузии и конвекции .............232
§ 8.4. Нелинейная диффузия......................240
Литература .....................................241
Упражнения .......................................—
Глава 9. ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ . . . 243
§9.1. Основные соотношения.......................—
§ 9.2. Формулировка задачи относительно функции тока
и завихренности ............................... 245
§ 9.3. Метод решения с использованием давлений и ско-
ростей .................................257
§ 9.4. Течение со свободной поверхностью .......259
Литература .....................................260
Дж. Коннор, К. Бреббиа
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ
Редактор В. И- Важенка
Художественные редакторы О. П. Андреев и В. А. Пурицкий
Технический редактор А. И. Казаков
Корректоры: Е. М. Борисова и С. X. Кумачева
Художник Б. И. Осенчаков
ИБ № 553
Сдано в набор 23 12.78. Подписано в печать 10.04.79 Формат 60 X 90*/Бумага
типографская .V» 2. Гарнитура шрифта литературная. Печать высокая. Усл, неч.л. 16.5.
Уч.-изд. л. 17,7. Издательский № 3371—77. Тираж 3100 экз. Заказ № 2829.
Цена 3 руб.
Издательство «Судостроение», 191065, ул. Гоголя, 8.
Ленинградская типография № 4 Ленинградского производственного объединения
«Техническая книга» Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР по
делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Ленинград, Д-126, Социали-
стическая, 14.