Основы математического анализа. Ч.1 - Ильин В.А., Позняк Э.Г.

1 - Предварительные сведения об основных понятиях математического анализ
4 - Понятие функции. Предельное значение функции. Непрерывност
7 - Комплексные числа. Алгебра многочленов. Интегрирование в элементарных функция
8 - Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функция
9 - Геометрическое исследование графика функции. Нахождение максимального и минимального значений функци
11 - Геометрические и физические приложения определенного интеграл
12 - Приближенные методы вычисления корней уравнений и определенных интеграло
15 - Теория неявных функций и ее приложени
16 - Некоторые геометрические приложения дифференциального исчислени
Приложение - Дальнейшее развитие теории вещественных чисе
Author: Ильин В.А. Позняк Э.Г.
Tags: математика математический анализ издательство наука главная редакция физико-математической литературы
Year: 1971
Similar
Основы математического анализа. Ч.2
Основы математического анализа. Том 1
Задачи по математическому анализу, Ч.1
Математический анализ. Конечномерные линейные пространства
Text
                    основы
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
В А.ИЛЬИН.Э.Г ПОЗНЯК

КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Под редакцией
А. Н. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА,
А. Г. СВЕШНИКОВА
ВЫПУСК 1
ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ЧАСТЬ I
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 10 7 1
В. А. ИЛЬИН, Э. Г. ПОЗНЯК
основы
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ЧАСТЬ I
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ.
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника
для студентов физических специальностей
и специальности «Прикладная математика»
университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 971
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии................................................. 14
Предисловие к третьему изданию...................................... 13
Предисловие к первому изданию......................................  15
Глава 1. Предварительные сведения об основных понятиях математи-
ческого анализа....................................................  17
§ 1.	Математические’ понятия, возникающие при описании движения 17
§ 2. Мгновенная скорость и связанные с ней новые математические
понятия.......................................................... 20
§ 3.	Задача о восстановлении закона движения по скорости и
связанная	с ней математическая проблематика.................. 27
§ 4.	Проблемы, возникающие при решении задачи о вычислении
пути............................................................   29
§ 5.	Заключительные замечания.................................... 33
Глава 2. Теория	вещественных чисел................................ 35
§ 1.	Вещественные числа ........................................  35
1.	Свойства рациональных чисел (35). 2. Об измерении отрез-
ков числовой оси (37). 3. Вещественные числа и правило их
сравнения (40). 4. Приближение вещественного числа рацио-
нальными числами (43). 5. Множества вещественных чисел, огра-
ниченные сверху или снизу (44).
§ 2.	Арифметические операции над вещественными числами. Основные
свойства вещественных чисел....................................... 47
1.	Определение суммы вещественных чисел (47). 2. Определение
произведения вещественных чисел (50). 3. Свойства веществен-
ных чисел (50). 4. Некоторые часто употребляемые соотноше-
ния (53).
§ 3.	Некоторые конкретные множества вещественных чисел........... 53
Дополнение 1 к главе 2. О переводе чисел из десятичной сис-
темы счисления в двоичную и из двоичной * системы в десятич-
ную ........................................................   54
I.	Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную
(54). 2. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятич-
ную (56).
Дополнение 2 к главе 2. Об ошибках в округлении чисел в систе-
мах счисления с четным и нечетным основаниями................. 56
Глава 3. Предел последовательности . ..............................  58
§ 1.	Числовые последовательности................................. 58
1.	Числовые последовательности и операции над ними (58).
2.	Ограниченные и неограниченные последовательности (59).
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.	Бесконечно большие и бесконечно малые последовательно-
сти (60). 4. Основные свойства бесконечно малых последова-
тельностей (62).
§ 2.	Сходящиеся последовательности и их основные свойства ...	64
1.	Понятие сходящейся последовательности (64). 2. Основные
свойства сходящихся последовательностей (66). 3. Предельный
переход в неравенствах (68).
§ 3.	Монотонные последовательности................................... 70
1.	Определение монотонных последовательностей (70). 2. Приз-
нак сходимости монотонной последовательности (71). 3. Некото-
рые примеры сходящихся монотонных последовательностей (72).
4. Число е (75).
§ 4. Некоторые свойства произвольных последовательностей и число-
вых множеств ....................................................... 76
1. Подпоследовательности числовых последовательностей (76).
2. Предельные точки последовательности (78). 3. Существова-
ние предельной точки у ограниченной последовательности (79).
4. О выделении сходящейся подпоследовательности (82). 5. Необ-
ходимое и достаточное условие сходимости последовательности (83).
6. Некоторые свойства произвольных числовых множеств (86).
Дополнение 1 к главе 3. Теорема Штольца.............................. 88
Дополнение 2 к главе 3. О скорости сходимости последовательности,
приближающей У а................................................ 92
Глава 4. Понятие функции. Предельное значение функции. Непрерыв-
ность .............................................................. 95
§ 1. Понятие функции . . ........................................ 95
,	1. Переменная величина и функция (95). 2. О способах задания
функции (97).
§ 2.	Понятие предельного значения функции........................ 98
1.	Определение предельного значения функции (98). 2. Ари-
фметические операции над функциями, имеющими предельное
значение (101). 3. Сравнение бесконечно малых и бесконечно
больших функций (102).
§ 3.	Понятие непрерывности функции............................   104
1.	Определение непрерывности функции (104). 2. Арифмети-
ческие операции над непрерывными функциями (106).
§ 4.	Некоторые свойства монотонных функций . , . ............... 106
1.	Определение и примеры монотонных функций (106). 2. Поня-
тие обратной функции. Монотонные функции, имеющие обрат-
ную (107).
§ 5.	Простейшие элементарные функции............................. ПО
1.	Рациональные степени положительных чисел (110). 2. Пока-
зательная функция (112). 3. Логарифмическая функция (115).
4.	Гиперболические функции (117). 5. Степенная функция
с любым вещественным показателем а (117). 6. Тригонометри-
ческие функции (120). 7. Обратные тригонометрические функ-
ции (124).
§ 6.	Предельные значения некоторых функций...................... 125
1.	Предварительные замечания (125). 2. Предельное значение
функции Sln * в точке х = 0 (первый замечательный предел)
/ 1 \*
(126	). 3. Предельное значение функции (1-|- —1 ПРИ х-*-оо
(второй замечательный предел) (127).
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 7.	Понятие сложной функции..................................   130
1.	Определение сложной функции (130). 2. Непрерывность и пре-
дельные значения некоторых сложных функций (131). 3. По-
нятие элементарной функции. Класс элементарных функций
(136).
§ 8.	Классификация точек разрыва функций........................ 136
1.	Точки разрыва функции и их классификация (136). 2. Кусочно
непрерывные функции (139).
Дополнение к главе 4. Доказательство утверждения из п. 6 § 5 . .	139
1.	Доказательство единственности (139). 2. Доказательство суще-
ствования (143).
Глава 5. Основы дифференциального исчисления....................... 149
§ 1. Производная. Ее физическая и геометрическая интерпрета-
ция ......................................................   149
1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма усло-
вия непрерывности (149). 2. Определение производной (150).
3. Производная с физической точки зрения (151). 4. Производная
с геометрической точки зрения (152). 5. Правая и левая
производные (153). 6. Понятие производной векторной функ-
ции (153).
§ 2. Понятие дифференцируемости функции......................... 155
1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке (155).
2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности
функции (156). 3. Понятие дифференциала функции (156).
§ 3. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения
и частного.................................................  158
§ 4.	Вычисление производных степенной функции, тригонометри-
ческих функций и логарифмической функции....................  .	161
1.	Производная степенной функции с целочисленным показате-
лем (161). 2. Производная функции y — sinx (162). 3. Про-
изводная функции y = cosx (162). 4. Производные функ-
ций у = tg х и г/= ctg х (163). 5. Производная функции у =
= loga х (0 < а 1) (163).
§ 5.	Теорема о производной обратной функции..................... 164
§ 6.	Вычисление производных показательной функции и обратных
тригонометрических функций..................................'. .	165
1.	Производная показательной функции у=ах (0<ат^1)
(165). 2. Производные обратных тригонометрических функций
(166).
§ 7.	Правило дифференцирования сложной функции.................. 168
§ 8.	Логарифмическая производная. Производная степенной функции
с любым вещественным показателем. Таблица производных про-
стейших элементарных функций............................... 170
1.	Понятие логарифмической производной функции (170). 2. Про-
изводная степенной функции с любым вещественным показате-
лем (170). 3. Таблица производных простейших элементарных
функций (171).
§ 9.	Инвариантность формы первого дифференциала. Некоторые при-
менения дифференциала........................................... 172
1.	Инвариантность формы первого дифференциала (172). 2. Фор-
мулы и правила вычисления дифференциалов (173). 3. Исполь-
зование дифференциала для установления приближенных фор-
мул (174).
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков................. 175
1. Понятие производной n-го порядка (175). 2. n-е производные
некоторых функций (176). 3. Формула Лейбница для п-й произ-
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
водной произведения двух функций (177). 4. Дифференциалы
высших порядков (179).
§ 11. Дифференцирование функции, заданной параметрически ....	180
Глава 6. Неопределенный интеграл............................. 182
§ 1, Понятие первообразной функции и неопределенного интег-
рала ..................................................... 182
1. Понятие первообразной функции (182). 2. Неопределенный
интеграл (183). 3. Основные свойства неопределенного интег-
рала (184). 4. Таблица основных неопределенных интегралов
(185).
§ 2. Основные методы интегрирования............................ 187
1. Интегрирование заменой переменной (подстановкой) (187).
2. Интегрирование по частям (190).
Глава 7. Комплексные числа. Алгебра многочленов. Интегрирование
в элементарных функциях........................,......... 195
§ 1.	Краткие сведения о комплексных числах.................... 195
§ 2.	Алгебраические многочлены................................ 199
§ 3.	Кратные корни многочлена. Признак кратности корня.........	202
§ 4.	Принцип выделения кратных корней. Алгоритм Евклида . . .	203
1.	Принцип выделения кратных корней (203). 2. Нахождение
наибольшего общего делителя двух многочленов (алгоритм
Евклида) (204).
§ 5.	Разложение правильной рациональной дроби с комплекс-
ными коэффициентами на сумму простейших дробей................. 206
§ 6.	Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэф-
фициентами на произведение неприводимых вещественных мно-
жителей ....................................................  .	208
§ 7.	Разложение правильной рациональной дроби с веществен-
ными коэффициентами на сумму простейших дробей с вещест-
венными коэффициентами.......................................... 211
§ 8.	Проблема интегрирования рациональной дроби................ 216
§ 9.	Метод Остроградского...................................... 219
§ 10.	Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендент- '
ных выражений.................................................. 222
1.	Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
(223). 2. Интегрирование дробно линейных иррациональностей
(226). 3. Интегрирование биномиальных дифференциалов (226).
4. Интегрирование квадратичных иррациональностей посред-
ством подстановок Эйлера (228). 5. Интегрирование квадра-
тичных иррациональностей другими способами (230).
§11.	Эллиптические интегралы................................... 236
Глава 8. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функ-
циях ........................................................ 239
§ 1.	Новое определение предельного значения функции............ 239
.	1. Новое определение предельного значения функции. Его
эквивалентность старому определению (239). 2. Необходимое и
достаточное условие существования предельного значения функ-
ции (критерий Коши) (242).
§ 2.	Локальная ограниченность функции, имеющей предельное зна-
чение ................................................*........ 244
§ 3.	Теорема об устойчивости знака непрерывной функции . . .	246
§ 4.	Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное
значение ...................................................... 247
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
1. Прохождение непрерывной функции через нуль при смене
знаков (247). 2. Прохождение непрерывной функции через
любое промежуточное значение (248).
§ 5. Ограниченность функции, непрерывной на сегменте ......	248
§ 6. Точные грани функции и их достижение функцией, непрерыв-
ной на сегменте ................................................ 249
1. Понятие точной верхней и точной нижней граней функ-
ции на данном множестве (249). 2. Достижение функцией, не-
прерывной на сегменте, своих точных граней (250).
§ 7. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный макси-
мум (минимум)............................................  252
1.	Возрастание (убывание) функции в точке (252). 2. Локаль-
ный максимум и локальный минимум функции (253).
§ 8.	Теорема о нуле производной............................... 254
§ 9.	Формула конечных приращений (формула Лагранжа)..........	254
§ 10.	Некоторые следствия из формулы Лагранжа.................. 256
1. Постоянство функции, имеющей на интервале равную
нулю производную (256). 2. Условия монотонности функции
на интервале (257). 3. Отсутствие у производной точек разрыва
1-го рода и устранимого разрыва (258). 4. Вывод некоторых
неравенств (260).
§ И. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши) 260
§ 1£. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).............. 261
1. Раскрытие неопределенности вида -у (261). 2. Раскрытие
неопределенности вида — (264). 3. Раскрытие неопределен-
ностей других видов (265).
§ 13. Формула Тейлора...........................................  267
§ 14. Различные формы остаточного члена. Формула Маклорена . .	269
1. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши и Пеано (269).
2. Другая запись формулы Тейлора (272). 3. Формула Макло-
рена (272).
§ 15. Оценка остаточного члена. Разложение некоторых элементар-
ных функций...........................................    273
1. Оценка остаточного члена для произвольной функции (273).
2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных
функций (274). ,
§ 16. Примеры приложений формулы Маклорена.................... 276
1. Алгоритм вычисления числа е (276). 2. Реализация алгоритма
вычисления числа е на электронной машине (277). 3. Использо-
вание формулы Маклорена для асимптотических оценок элемен-
тарных функций и вычисления пределов (278).
Дополнение к главе 8. Вычисление элементарных функций . . .	281
1. Вычисление логарифмической и обратных тригонометри-
ческих функций (281). 2. Вычисление тригонометрических функ-
ций, показательной функции и гиперболических функций (284).
Глава 9. Геометрическое исследование графика функции. Нахождение
максимального и минимального значений функции....................... 291
§ 1.	Участки монотонности функции. Отыскание точек экстремума 291
1. Отыскание участков монотонности функции (291). 2. Отыска-
ние точек возможного экстремума (292). 3. Первое достаточное
условие экстремума (292). 4. Второе достаточное условие экстре-
мума (294). 5. Экстремум функции, недифференцируемой в
данной точке. Общая схема отыскания экстремумов (297).
§ 2.	Направление выпуклости графика функции..................... 299
10
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.	Точки перегиба графика функции ................................... 301
1.	Определение точки перегиба. Необходимое условие пере-
гиба (301). 2. Первое достаточное условие перегиба (302).
3. Второе достаточное условие перегиба (303). 4. Некоторые обоб-
щения первого достаточного условия перегиба (303).
§	4.	Третье достаточное	условие экстремума и перегиба. 304
§	5.	Асимптоты графика	функции....................... 306
§	6.	Схема исследования	графика	функции............... 308
§ 7.	Отыскание максимального и минимального значений функции.
Краевой экстремум.................................................. 311
1.	Отыскание максимального и минимального значений функ-
ции (311). 2. Краевой экстремум (313).
Глава 10. Определенный интеграл........................................... 315
§ 1.	Интегральные суммы. Интегрируемость............................... 315
§ 2.	Верхние и нижние суммы............................................ 317
1.	Понятие верхней и нижней сумм (317). 2. Свойства
верхних и нижних сумм (319).
§ 3.	Необходимое и достаточное условие интегрируемости................. 323
§ 4.	Некоторые классы интегрируемых функций............................ 324
1.	Свойство равномерной непрерывности функции (325).
2.	Лемма Гейне—Бореля. Другое доказательство теоремы о
равномерной непрерывности (327). 3. Интегрируемость непре-
рывных функций (329). 4. Интегрируемость некоторых разрыв-
ных функций (329). 5. Интегрируемость монотонных ограничен-
ных функций (331).
§ 5.	Основные свойства определенного интеграла......................... 331
§ 6.	Оценки интегралов. Формулы среднего значения . ................... 334
1.	Оценки интегралов (334). 2. Первая формула среднего значе-
ния (336). 3. Первая формула среднего значения в обобщенной
форме (337). 4. Вторая формула среднего значения (338).
§ 7.	Существование первообразной для непрерывной функции. Основ-
ные правила интегрирования........................................ 338
1.	Существование первообразной для непрерывной функции
(338). 2. Основная формула интегрального исчисления (340).
3. Замена переменной под знаком определенного интеграла
(342). 4. Формула интегрирования по частям (343). 5. Оста-
точный член формулы Тейлора в интегральной форме (344).
Дополнение 1 к главе 10. Некоторые важные неравенства для сумм
и интегралов ..................................................... 346
1. Вывод одного предварительного неравенства (346). 2. Нера-
венство Гёльдера для сумм (346). 3. Неравенство Минковского
для сумм (347). 4. Интегрируемость произвольной положи-
тельной степени модуля интегрируемой функции (348). 5. Нера-
венство Гёльдера для интегралов (349). 6. Неравенство Мин-
ковского для интегралов (350).
Дополнение 2 к главе 10. Доказательство утверждения из п. 4 § 6	351
Глава И. Геометрические и физические приложения определенного
интеграла ........................................................   353
§ 1.	Длина дуги кривой................................................ 353
1.	Понятие плоской кривой (353). 2, Параметрическое задание
кривой (354). 3. Понятие пространственной кривой (357).
4.	Понятие длины дуги кривой (357). 5. Достаточные условия
спрямляемости кривой. Формулы для вычисления длины
дуги кривой (362). 6. Дифференциал дуги (366). 7. Примеры
вычисления длины дуги (367).
ОГЛАВЛЕНИЕ
11
§ 2.	Площадь плоской фигуры...................................  368
1.	Понятие квадрируемости плоской фигуры. Площадь ква-
дрируемой плоской фигуры (368).
2.	Площадь криволинейной трапеции (370). 3. Площадь
криволинейного сектора (371). 4. Примеры вычисления площа-
дей (372).
§ 3.	Объемы тел и площади поверхностей......................... 374
1.	Понятие кубируемости и объема (374). 2. Кубируемость
некоторых классов тел (375). 3. Примеры вычисления объёмов
(376). 4. Площадь поверхности вращения (377).
§ 4.	Некоторые физические приложения определенного интеграла 379
1. Масса и центр тяжести неоднородного стержня (379).
2. Работа переменной силы (381).
Дополнение к главе 11. Пример неквадрируемой фигуры........	381
Глава 12. Приближенные методы вычисления корней уравнений и
определенных интегралов ................................. 387
§ 1. Приближенные методы вычисления корней уравнений........ 387
1. Метод «вилки» (387). 2. Метод касательных (388). 3. Метод
хорд (389). 4. Метод итераций (последовательных приближений)
(390). 5. Обоснование метода касательных (393). 6. Обоснование
метода хорд (396).
§ 2. Приближенные методы вычисления определенных интегра-
лов .............................................. .....	399
1.	Вводные замечания (399). 2. Метод прямоугольников (401).
3. Метод трапеций (403). 4. Метод парабол (405). 5. Заклю-
чительные замечания (409).
Глава 13. Теория числовых рядов.................................. 410
§ 1.	Понятие числового ряда.................................. 410
1.	Ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся
ряды (410). 2. Критерий Коши сходимости ряда (413). 3. Два
свойства, связанные со сходимостью ряда (415).
§ 2.	Ряды с положительными членами........................... 415
1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с поло-
жительными членами (415). 2. Признаки сравнения (416).
3. Признаки Даламбера и Коши (419). 4. Интегральный приз-
нак Коши — Маклорена (423). 5. Признак Раабе (425). 6. Отсут-
ствие универсального ряда сравнения (427).
§ 3.	Абсолютно и условно сходящиеся ряды...................... 428
1.	Понятия абсолютно и условно сходящегося ряда (428).
2.	О перестановке членов условно сходящегося ряда (430).
3.	О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда (433).
§ 4.	Арифметические операции над сходящимися рядами ....	435
§ 5.	Признаки сходимости произвольных рядов.................... 437
1.	Признак Лейбница (438). 2. Признак Дирихле—Абеля (439).
§ 6.	Бесконечные произведения . ............................... 442
1.	Основные понятия (442). 21 Связь между сходимостью
бесконечных произведений и рядов (445).
Дополнение 1 к главе 13. Вспомогательная теорема для п. 3
§ 2 ........................................................  .	448
Дополнение 2 к главе 13. Разложение функции sinx в бесконечное
произведение .............................................. 449
Дополнение 3 к главе 13. Обобщенные методы суммирования рас-
ходящихся рядов..........................................   452
1.	Метод Чезаро (или метод средних арифметических) (453).
2. Метод суммирования Пуассона — Абеля (454).
12
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 14. Функции нескольких переменных.............................  457
§ 1. Понятие функции нескольких переменных.......................  457
1. О функциональных зависимостях между несколькими
переменными величинами (457). 2. Понятия евклидовой пло-
скости и евклидова пространства (457). 3. Понятие функции
двух и трех переменных (459). 4. Понятия m-мёрного коор-
динатного пространства и zn-мерного евклидова пространства
(460). 5. Множества точек m-мерного евклидова пространства
Ет (461). 6. Понятие функции т переменных (464).
§ 2. Предельное* значение функцйи нескольких переменных.......	464
1. Сходящиеся последовательности точек в m-мерном евкли-
довом пространстве Ет. Критерий Коши сходимости последова-
тельности (464). 2. Некоторые свойства ограниченных последова-
тельностей точек в m-мерном евклидовом пространстве (466).
3. Понятие предельного значения функции нескольких перемен-
ных (467). 4. Бесконечно малые функции (468). 5. Необходи-
мое и достаточное условие существования предельного значе-
ния функции (критерий Коши) (469). 6.‘ Повторные пре-
дельные значения (469).
§ 3.	Непрерывные функции нескольких переменных................ 471
1.	Определение непрерывности функции нескольких переменных
(471). 2. Основные свойства непрерывных функций нескольких
переменных (474).
§ 4.	Производные и дифференциалы функции нескольких переменных 477
1. Частные производные функции нескольких переменных
(477). 2. Понятие дифференцируемости функции нескольких
переменных (479). 3. Понятие дифференциала функции несколь-
ких переменных (484). 4. Дифференцирование сложной функ-
ции (484). 5. Инвариантность формы первого дифференциала
(488). 6. Производная по направлению. Градиент (489).
§ 5.	Частные производные и дифференциалы высших порядков . . .	492
1.	Частные производные высших порядков (492). 2. Дифферен-
циалы высших порядков (496). 3. Формула Тейлора для
функции нескольких переменных (500).
§ 6.	Локальный экстремум функции нескольких переменных . .	502
1.	Определение локального экстремума. Необходимые условия
локального экстремума (502). 2. Достаточные условия локаль-
ного экстремума (504). 3. Случай функции двух переменных
(509). 4. Пример исследования функции на экстремум (510).
§ 7.	Градиентный метод поиска экстремума выпуклой функции ....	510
1.	Некоторые сведения о выпуклых множествах в евклидовых
пространствах (511). 2. Понятие выпуклой функции. Некоторые
свойства-выпуклых функций (514). 3. Вспомогательные предло-
жения (519). 4. Поиск минимума сильно выпуклой функции
(521).
Дополнение к главе 14. О выборе оптимального разбиения сегмента
для приближенного вычисления интеграла................... 523
Глава 15. Теория неявных функций и ее приложения................. 526
§ 1. Понятие неявной функции.................................  526
§ 2. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функ-
ции и некоторые ее применения............................ 527
1.	Теорема о существовании и дифференцируемости неявной
функции (527). 2. Вычисление частных производных неявно
заданной функции (533). 3. Особые точки поверхности и плос-
кой кривой (535). 4. Условия, обеспечивающие существование
для функции у = / (х) обратной функции (536). '
ОГЛАВЛЕНИЕ
13
§ 3.	Неявные функции, определяемые системой функциональных
уравнений....................................................  537
1.	Теорема о разрешимости системы функциональных уравне-
ний (Б37). 2. Вычисление частных производных функций,
неявно определяемых посредством системы функциональных
уравнений (541). 3. Взаимно однозначное отображение двух
. множеств m-мерного пространства (542).
§ 4.	Зависимость функций...................................... 543
1.	Понятие зависимости функций. Достаточное условие неза-
висимости (543). 2. Функциональные матрицы и их приложе-
ния (545).
§ 5.	Условный экстремум....................................... 549
1.	Понятие условного экстремума (549). 2. Метод неопределенных
множителей Лагранжа (552). 3. Достаточные условия (553).
4.	Пример (554).
Дополнение к главе 15. Замена переменных...................... 557
Глава 16. Некоторые геометрические приложения дифференциального
- исчисления....................................’................ 560
§ 1.	Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического
семейства плоских кривых...................................... 560
1.	Предварительные замечания (560). 2. Однопараметрические
семейства плоских кривых. Характеристические точки кри-
вых семейства (563). 3. Огибающая и дискриминантная кривая
однопараметрического семейства плоских кривых (564). 4. Оги-
бающая и дискриминантная поверхность однопараметрического
семейства поверхностей (568).
§ 2.	Соприкосновение плоских кривых........................... 569
1.	Понятие порядка соприкосновения плоских кривых (569).
2.	Порядок соприкосновения кривых, являющихся графи-
ками функций (570). 3. Достаточные условия соприкоснове-
ния порядка п (573). 4. Соприкасающаяся окружность (574).
§ 3.	Кривизна плоской, кривой.............................     575
1.	Понятие о кривизне плоской кривой (575). 2. Формула
для вычисления кривизны (577).
§ 4.	Эволюта и эвольвента..................................... 580
1.	Нормаль к плоской кривой (580). 2. Эволюта и эвольвента
плоской кривой (581).
Приложение. Дальнейшее развитие теории вещественных чисел.......	585
1.	Полнота множества вещественных чисел (585). 2. Аксио-
матическое введение множества вещественных чисел (588).
3. Заключительные замечания (593).
Предметный указатель . ...................	..............	595
ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ
•Серия «Курс высшей математики и математической физики» воз-
никла как естественный итог многолетнего чтения математических кур-
сов на физическом факультете МГУ.
Выпуски, входящие в эту серию, являются учебниками по соот-
ветствующим математическим курсам. Наряду с основным программным
материалом в них освещено некоторое количество дополнительных
вопросов, которые неизбежно возникают при попытке систематически
и достаточно цельно изложить курс.
В целом серия представляет собой один из возможных вариантов
изложения математических дисциплин на физических и физико-мате-
матических факультетах государственных университетов, но ее не
следует рассматривать как пособие для самообразования.
В 1965 г. выйдут в свет следующие три выпуска серии: выпуск 1 —
«Основы математического анализа» (авторы В. А. Ильин и Э. Г. Поз-
няк), выпуск 2 — «Кратные интегралы и ряды» (авторы Б, М. Будак
и С> В. Фомин), выпуск 3 — «Дифференциальные уравнения и вариа-
ционное исчисление» (автор Л. Э. Эльсгольц).
В последующие годы выйдут еще пять выпусков: «Теория функ-
ций комплексной переменной», «Дифференциальные уравнения мате-
матической физики», «Интегральные уравнения», «Теория вероятнос-
тей» и «Аналитическая геометрия и линейная алгебра».
Естественно, что отдельные выпуски серии, написанные разными
авторами, несколько отличаются друг от друга по стилю и манере
изложения. Они объединяются общей редакцией и едиными методи-
ческими установками.
А. Тихонов, В. Ильин, А. Свешников
Москва
7 января 1965 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В третье издание книги внесен целый ряд изменений и дополне»
ний, основная часть которых отражает возросшую роль вычислитель-
ной математики (алгоритмы вычисления элементарных функций, гра-
диентный метод отыскания экстремума функций, оптимальные квадра-
турные формулы и т. д.).
Авторы благодарят Б. М. Будака, В. В. Воеводина, Б. И. Волкова
и С. С. Гайсаряна за предоставление материалов, использованных при
написании этого издания, и редактора третьего издания Ш. А. Али-
мова, работа которого способствовала улучшению этой книги.
Авторы глубоко благодарны Л. Д. Кудрявцеву и А. Г. Свешни-
кову, прочитавшим всю рукопись третьего издания и сделавшим ряд
ценных замечаний.
В третьем издании учтены также некоторые замечания и пожела-
ния, содержащиеся в напечатанной в УМН рецензии П. С. Александрова
и Л. Д. Кудрявцева, которым авторы еще раз приносят глубокую
благодарность.
При подготовке этого издания очень большую помощь оказал
А. Н. Тихонов; авторы приносят ему особую благодарность.
В. Ильин, Э. Позняк
Июль 1970 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В основу настоящей книги положены лекции, читавшиеся авторами
на физическом факультете МГУ в течение ряда лет.
При написании книги авторы стремились к систематичности изло-
жения и к выделению важнейших понятий и теорем. Теоремы, играю-
щие особо важную роль, в тексте названы основными. Авторы стре-
мились также не формулировать новых понятий и теорем задолго
до их непосредственного использования.
Порядок расположения материала в книге соответствует устано-
вившемуся на физическом факультете МГУ плану чтения курса лекций.
16
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В частности, изложению систематического курса в настоящей книге
предшествует глава 1 — «Предварительные сведения об основных поня-
тиях математического анализа». В этой главе рассматриваются неко-
торые важные физические задачи и обсуждаются математические
средства, необходимые для их решения. Таким путем выясняется тот
круг вопросов и понятий, с которым придется иметь дело в курсе
математического анализа. Опыт чтения лекций показывает, что такое
предварительное выяснение вопросов, которым посвящен курс анализа,
существенно облегчает студентам усвоение абстрактных математиче-
ских понятий.
Возросшая роль вычислительной математики и приближенных ме-
тодов также нашла свое отражение в книге. Именно поэтому авторы
стремились там, где это возможно, к алгоритмичности изложения дока-
зательств теорем и проводимых вычислений. В частности, в главе 12
в первую очередь подчеркнута алгоритмическая сторона приближен-
ных методов вычислений и лишь затем дано обоснование этих методов.
Кроме. основного материала, авторы сочли возможным включить
в книгу некоторые дополнительные вопросы, напечатанные мелким
шрифтом.
При написании этой книги авторы использовали некоторые мето-
дические приемы из курса лекций Н. В. Ефимова и из известных книг
Э. Гурса, Ш. Ж. Валле-Пуссена и Ф. Франклина.
Авторы считают своим приятным долгом выразить глубокую бла-
годарность А. Н. Тихонову за многие ценные идеи и указания и
огромную помощь, оказанную на всех этапах написания этой книги.
Авторы также глубоко благодарны И. А. Шишмарёву, работа ко-
торого по редактированию этой книги способствовала значительному
ее улучшению.
Авторы искренне благодарят Н. В. Ефимова, Л. Д. Кудрявцева и
особенно А. А. Самарского за большое количество методических
предложений, Б. М. Будака и С. В. Фомина за просмотр отдельных
глав и сделанные ими замечания, Б. Химченко, П. Заикина и А. Зо-
лотарева за помощь при подготовке рукописи к печати.
В. Ильин, Э. Позняк
ГЛАВА 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 1. Математические понятия, возникающие при описании
движения
1. Математика имеет своей задачей изучение количественных отно-
шений и пространственных форм окружающего нас мира. Понятия и
объекты математики представляют собой абстракции наблюдаемых
в природе количественных отношений и пространственных форм.
Элементарная математика ограничивается лишь первоначальным
изучением количественных отношений и пространственных форм, ибо
она имеет дело в основном с постоянными величинами и с про-
стейшими геометрическими фигурами (треугольниками, окружностями
и т. п.). Понятий и методов элементарной математики оказывается
недостаточно для описания механического движения и других про-
текающих во времени процессов. Выясним, какие новые математичес-
кие понятия необходимы для этого *).
2. Со всяким процессом связано представление о переменной вели-
чине, т. е. о такой величине, которая в условиях данного процесса
принимает различные значения. Более того, всякий процесс характе-
ризуется по меньшей мере двумя переменными величинами, изменение
которых взаимосвязано.
Рассмотрим, например, механическое движение материальной точки
по прямой линии. Это движение представляет собой процесс измене-
ния положения точки на прямой линии с течением времени. С ука-
занным процессом связаны две переменные величины — время и путь,
пройденный точкой от начала отсчета. Для характеристики рассмат-
риваемого движения нужно знать, на каком расстоянии от начала
отсчета находится точка в каждый данный момент времени, т. е.
*) При этом мы не будем стремиться к точным формулировкам, а поста-
раемся лишь выяснить тот круг вопросов, с которым нам в дальнейшем при-
дется иметь дело.
18
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. t
нужно знать зависимость пути, пройденного точкой, от времени.
В механике такую зависимость называют законом движения. Иными
словами, закон движения представляет собой правило, посредством
которого каждому значению времени х ставится в соответствие опре-
деленное значение пути у, пройденного точкой за время х.
Такого рода зависимости между двумя переменными х и у, при
которых каждому значению переменной х ставится в соответствие
определенное значение переменной у, встречаются не только при
рассмотрении механического движения материальной точки, но и при
описании других физических процессов. Абстрагируясь от конкретного
физического содержания переменных х и у, мы приходим к одному
из важнейших математических понятий — понятию функции * **)).
Если известно правило, посредством которого каждому зна-
чению переменной х ставится в соответствие определенное зна-
чение переменной у, то говорят, что переменная у является
функцией переменной х.
При этом переменная х называется аргументом рассматриваемой
функции, а соответствующее данному х значение переменной у назы-
вается частным значением функции в точке х.
Для обозначения функции используются следующие символы:
у=у(х) или j=/(x).
В этом обозначении буква f, называемая характеристикой функции,
символизирует указанное выше правило. Если рассматриваются разные
функции, то для обозначения их характеристик употребляются разные
буквы. Подчеркнем, что для обозначения аргумента и функции вовсе
не обязательно употреблять буквы х и у. Например, запись S—h(t)
означает, что переменная S является функцией аргумента t, причем
характеристика этой функции обозначена буквой h.
Как переменная величина, так и функция обычно характеризуются
различными численными значениями. Поэтому углубление наших
представлений об этих понятиях тесно связано с необходимостью
развития теории вещественных чисел * *).
Рассмотрим несколько примеров функций.
1) Известно, что путь S’, пройденный первоначально неподвижной
материальной точкой при падении под действием силы тяжести
*) Введение в математику понятия функции связывают с именем великого
английского ученого И. Ньютона (1642 — 1727).
**) Следует отметить, что понятие функции и понятие числа относятся
к так называемым начальным понятиям. Каждое из начальных понятий
может быть разъяснено, но всякая попытка дать определение начального
понятия сводится к замене определяемого понятия ему эквивалентным.
С начальными понятиями читатель знаком из элементарного курса. К началь-
ным понятиям относятся, например, понятия прямой линии и плоскости.
§ 1]	ПОНЯТИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ОПИСАНИИ ДВИЖЕНИЯ
19
за время t, определяется формулой
е g*2
Эта формула и представляет собой правило, посредством которого
каждому значению переменного t ставится в соответствие значение
переменной 5, т. е. определяет 5 как функцию аргумента t.
2) По закону Кулона два разноименных единичных заряда, нахо-
дящихся на расстоянии г друг от друга, притягиваются с силой
F = —
1 —rz >
где с — некоторая константа. Эта формула также представляет собой
правило, посредством которого каждому значению переменной г ста-
вится в соответствие значение переменной F, т. е. определяет F как
функцию аргумента г.
В указанных двух примерах правило сопоставления аргумента и
функции задавалось при помощи формулы. Такой способ задания,
функции называется аналитическим.
Наряду с этим способом существуют и
другие способы задания функции. Отметим
некоторые из них. В практике физических
измерений весьма употребителен табличный
способ задания функции, при котором выпи-
сываются в виде таблицы значения аргумента
и соответствующие им значения функции. Часто
зависимость между аргументом и функцией за-
дается посредством графика, который, напри-
мер, снимается на осциллографе. Такой способ
задания функции называется графическим*).
3. Потребности физики иногда приводят
ния функции y—f(x), аргумент х которой
некоторую функцию х — <р (t) нового аргумента t. В таком
говорят, что у представляет собой сложную функцию аргумента t,
а х называют промежуточным аргументом. Эту сложную функцию
можно задать с помощью одной формулы _у=/[<р(О]- Рассмотрим
следующий пример. Пусть материальная точка М равномерно враща-
ется по окружности радиуса R с угловой скоростью ш. Найдем закон
движения проекции у этой точки на некоторую ось Оу, лежащую
в плоскости окружности и проходящую через ее центр О. При этом
мы будем считать, что в момент времени £ = 0 точка М находится
на оси Оу (рис. 1.1). Обозначим через у координату рассматриваемой
проекции на ось Оу, а через х угол МОу. Очевидно, что
y = Rcosx. С другой стороны, поскольку точка движется по окруж-
ности с угловой скоростью шив момент времени £ = 0 находится
к необходимости
сам представляет
изуче-
собой
случае
Подробнее о способах задания функции см. главу 4.
20
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1ГЛ. t
на оси Оу, то x=3 <ot. Таким образом, у представляет собой сложную
функцию аргумента i: y = R cosx, где x = wt, или j = /?coswt
Заметим, что движение по закону .у = 7? cosurf в механике называют
гармоническим колебанием.
§ 2. Мгновенная скорость и связанные
с ней новые математические понятия
1. Пусть функция y=f(x) представляет собой закон движения
материальной точки по оси Оу. Для характеристики движения важ-
ную роль играет понятие средней скорости. Вычислим среднюю ско-
рость движущейся точки за промежуток времени от х до х + Дх,
где х — фиксированный момент времени, Дх —некоторое прираще-
ние времени. Поскольку в момент времени х движущаяся точка нахо-
дится на расстоянии f(x) от начала отсчета, а в момент времени
х + Д-V—на расстоянии f(x4-fac~), то путь Ду, пройденный точкой
за время Дх, равен Ду=/(х-|-Дх) — /(х). Поэтому средняя ско-
рость -иср равна
_ f(x + д*) — f (*)
fa~ fa
Так как момент времени х фиксирован, то из последней формулы
видно, что х>ср является функцией аргумента Дх. Для характеристики
неравномёрного движения, наряду со средней скоростью, большую
роль играет понятие мгновенной скорости в данный момент вре-
мени х.
Мгновенной скоростью ('или просто скоростью) в момент вре-
мени х называется число, к которому приближается значение средней
скорости
_f(X+fa)-f(X)
^ср “ fa
когда промежуток времени Дх стремится к нулю.
Физическое понятие мгновенной скорости является источником
важного математического понятия производной. Абстрагируясь от
конкретного физического смысла функции У=/(х), мы будем назы-
вать производной этой функции в фиксированной точке х предел,
.. Ду f (х + Дх) — f (х) Л
к которому стремится дробь	1—L±-i при Дх, стремящемся
к нулю.
Операцию нахождения производной принято называть дифференци-
рованием. Производная функция _у=/(х) в данной фиксированной
точке обозначается символом у' (х) или /' (х). Используя известный
символ для обозначения предела, мы можем записать
/'(х) = Нш	lim
4 ’ дх-»о Д* Дх-0	д*
§21
МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ
21
Рассмотрим некоторые примеры.
1)	Вычислим мгновенную скорость материальной точки, падающей
под действием силы тяжести. Поскольку закон движения этой точки
определяется функцией S=^-, то путь AS, пройденный точкой за
промежуток времени от t до £ + равен
AS = g(Z^AZ)2 -	=gt \t + f (А/)».
Поэтому средняя скорость за тот же промежуток времени равна
Следовательно, мгновенная скорость и в фиксированный момент вре-
мени t равна
г>= lim^= lim (^ + gA^=^.
ДМ-0 ш ДМ-0 ' z /
Фактически мы вычислили производную функции 5= так что мы
можем записать S' = gt.
2)	Вычислим производную функции у = хп, где и —целое положи-
тельное число. Фиксируя х и беря произвольное Ах, получим, исполь-
зуя бином Ньютона,
А_у = (х + Ах)" — х” = их'*-1 Ах + п (п~ х"’2 (Ах)2 +... + (Ах)".
Поэтому средняя скорость изменения функции у =f(x) на участке
от х до х + Дх равна
=	+п(п~1)хп~2Дх+ ... +(Дх)«-1 .
Следовательно, производная в данной фиксированной точке х равна
у' = lim Гих"-1 + п— -Ах +... 4- (Ax)"-1] = fix’4.
дх-oL	J
Мы видим, что для вычисления производных фундаментальную
роль играет понятие предела функции. Уточнение этого понятия
в первую очередь связано с необходимостью более детального выяс-
нения самого понятия функции, переменной величины и веществен-
ного числа.
2.	Сейчас мы убедимся, что в процессе вычисления производных
простейших функций возникают новые математические вопросы.
22
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(ГЛ. I
Займемся вычислением производной функции у = sin х. Фиксируя л;
и беря произвольное Дх, получим
Отсюда
Ду = sin (х + Дх) — sin х — 2 cos
Дх
= cos
Таким образом, для вычисления производной функции _y = sinx
в точке х нужно найти следующий предел:
lim = lim
дх —д*->о
- (1-1)
Естественно ожидать, что при фиксированном х
lim cos x + -s-) = cosx.	(1.2)
дх-»о \	2 /
Однако не всякая функция у = /(х) обладает свойством
lim /(х + ^=/(х).
Дл-0 \	2 /
Фактически это свойство означает, что когда аргумент функции стре-
мится к числу х, то соответствующее значение этой функции стре-
мится к числу /(х). Функции, обладающие таким свойством, называются
непрерывными (в точке х). Понятие непрерывности функции является
одним из важнейших математических понятий.
Для вычисления предела (1.1), кроме предела (1.2), нужно вычи-
слить еще предел
(1-3)
Этот предел играет важную роль в математическом анализе. Его
часто называют первым замечательным пределом. Доказывается, что
этот предел равен единице, и поэтому предел (1.1) равен cosx.
Итак,
(sin х)' — cos х.
§2)
МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ
23
В качестве второго примера вычислим производную функции
j/ = logax. Фиксируя х>0 и беря произвольное Дх (такое, что
х + Дх >• 0), получим
Отсюда
= loga (х + Дх) - loga х = loga (1 + y) •
Таким образом, для вычисления производной функции y = logax
в точке х нужно найти предел
lim
Дх-0
Дх
= lim ^logQ +
Дх-*0 х \ х /
(1.4)
Рассмотрим предел при Дх—>0 выражения, стоящего в квадратных
скобках. Он сводится к пределу
lim[(l + h)h ] (при h = —\.
h-О	\	х!
Этот предел также играет важную роль в математическом анализе.
Его часто называют вторым замечательным пределом. Доказывается,
что этот предел существует. Следуя Эйлеру *), число, равное этому
пределу, обозначают буквой е **), т. е.
lim [(1 +h)h] = e.	(1.5)
Л->0
Вернемся к вычислению предела (1.4). Аргументом логарифма вфор-
муле (1.4) служит величина 1(1-)—?•* , стремящаяся, согласно (1.5),
к е при Дх—>0. Если логарифмическая функция непрерывна, то
10ёа [(1 +^х
стремится к logae при Дх->0. Таким образом, для
нахождения предела (1.4) нам нужно обосновать непрерывность лога-
рифмической функции и использовать предел (1.5). Предполагая, что
*) Леонард Эйлер (1707—1783) — великий математик, член Петербург-
ской Академии наук, большую часть жизни провел в России, по происхож-
дению швейцарец.
**) В § 16 главы 8 будет указан способ вычисления числа е с любой сте-
пенью точности. Там же приведен результат вычисления числа е на электронно-
вычислительной машине с точностью до 590 знаков после запятой.
24
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(ГЛ. 4
это сделано, мы получим, что предел (1.4) равен у logae. Итак,
(logax)' = ylog0e.
Здесь мы не будем вычислять производных других простейших эле-
ментарных функций: _y = cosx, _y = tgx, j = ctgx, _y = arcsinx,
у = arccosx, _y = arctgx, _y = arcctgx, y = ax и у = хл, где а—любое
число. При вычислении производных этих функций не возникает
никаких новых трудностей, кроме указанных выше. Именно, для
вычисления производных всех простейших элементарных функций по-
требуется лишь их непрерывность и два замечательных предела. .
Приведем таблицу производных простейших элементарных функций:
1°. (ха)' = ах*~1, а — любое число.
2°. (logaх)' = уlogaе, властности, если а = е то (logex)' = y.
3°. (ах)' — ах loge а, в частности, если а = е то (е*)'= е*.
4°. (sin х)’ — cos х.
5°. (cosx)' =— sinx.
6° (tgx)' = —
v 6 ' cos2 x
™	/ X V	1
” • V
9°. (arccos x)' = —	~~ a'
10°. (arctgx/^y^y.
11°. (arcctgx)'= — y-p-j.
3.	Для вычисления производных широкого класса функций следует
присоединить к указанной выше таблице производных правило диф-
ференцирования сложной функции, а также правила дифференци-
рования суммы, разности, произведения и частного функций.
Сформулируем правило дифференцирования сложной функции у —f{x).
где x — <f(t).
Для 'нахождения производной у (f) сложной функции у =
==/[?(0] по аргументу t в данной точке t следует: 1) вычис-
лить производную <p'(t) функции х = ср(О в точке 2) вычислить
производную /'(х) функции у=/(х) в точке х, где х = <р(/);
3) перемножить указанные производные. Таким образом, производ-
ная сложной функции _У=/[?(0] может быть найдена по формуле
у' (f) *=/' (х) tp' (t). Следующие рассуждения разъясняют сформулиро-
ванное правило. Придадим аргументу t в точке t произвольное при-
ращение At 0. Этому приращению соответствует приращение Ах =
= <р (t А/) — (t) функции х = <р(0. Полученному приращению Ах
§2]
МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ
25
соответствует приращение Ду =/(х 4- Дх)—f (х) функции y—f (х)
в точке х. Опуская случай Дх = 0, рассмотрим отношение >
Ду___Ду Дх
дТ —д7 Др
Поскольку lim = ср' (t), lim т^=/'(х) и из существования пер-
д/-*о“‘	^х-о“х
вого из этих пределов ясно, что при Д£ -> 0 и Дх -> 0 *), то lim 4~
д/~о м
существует и равен /'(х)ср'(0, т. е. yr (f)=f (х)ч' (t).
Приведем теперь правила дифференцирования суммы, разности,
произведения и частного (в предположении, что и(х) и v(x) имеют
производные):
[и (х) ± v (х)]' = и' (х) ± if (х),
[и (х) v (х)]' = и (х) if (х) + и' (х) v (х),
[и (x)l' и' (х) v (х) — и (х) v' (х)
V (X).	’	V2 (х)	’
Покажем, например, как можно вывести вторую из этих формул.
Придадим аргументу х произвольное приращение Дх 0. Этому
приращению Дх соответствует приращение Ду функции у = и (х) v (х)
Ду = и (х 4- Дх) v (х + Дх) — и (х) v (х) =
— и (х 4- Дх) [т> (х + Дх) — v (х)] + v (х) [и (х 4- Дх) — и (х)] =
= и (х 4- Дх) Дк 4- т (х) Д«.
Таким образом,
^ = М(х4-Дх)^ + т)(х)^.
Так как существуют пределы lim ^- = и'(х) и lim ^ = г>'(х) и из
существования первого из этих пределов ясно, что lim и(х4~Д.х)=
•	Дх ->0
=п(х), то lim — существует и равен w (х) ц'(х) 4~ ® (х) к'(х).
Дх->0 ах
Рассмотрим несколько примеров применения указанных правил.
1)	Вычислим производную функции у = си (х), где с —некоторая
постоянная. Легко проверить, что производная постоянной равна нулю.
Поэтому по формуле дифференцирования произведения получим
[си (х)]' = си' (х).
2)	Вычислим производную функции y = tgx. Так как tgx =
то по формуле дифференцирования частного получим
,,	у (sin х)' cos х —sin х (cos х)'  1
° J	COS2 X	cos2x’
*) Если знаменатель дроби, имеющей предел, стремится к нулю, то и
числитель этой дроби стремится к нулю.
26
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. 1
3)	Вычислим производную функции, описывающей гармонические
колебания, у = A cos (wt + 8), где А, <о и 8 — постоянные. Будем
рассматривать эту функцию как сложную функцию вида _y = Acosx,
где х = а>< + 8. По правилу дифференцирования сложной функции
получим
У (0 = (A cos х)' (<of + 8)' = — (A sin х) со,
где х = utf-f-8. Поэтому
у' (/) = — Асо sin (<of + 8).
4)	Вычислим производную функции _y = aarct?< Будем рассматри-
вать эту функцию как сложную функцию вида у = ах, где х = arctg t.
По правилу дифференцирования сложной функции получим
У (0 = (ах)' (arctg t)' = (ах loge а) ,
где х = arctg t. Поэтому
(garctg<y = ^Ctg<1°g^
Сформулированные выше правила дифференцирования и таблица про-
изводных представляют собой основной аппарат той части математи-
ческого анализа, которую обычно называют дифференциальным ис-
числением. Таким образом, одной из важных задач дифференциального
исчисления является обоснование всех формул таблицы производных и
правил дифференцирования суммы, разности, произведения, частного
и сложной функции.
4. Выясним геометрический смысл производной. С этой целью
рассмотрим график функции	(рис. 1.2). Пусть точка М
*) Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек
плоскости, для' каждой из которых ордината есть значение у этой функцииг
соответствующее абсциссе х.
§ 3]	ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ПО СКОРОСТИ	27
на графике функции соответствует фиксированному значению аргу-
мента х, а точка Р — значению х + Дх, где Дх — некоторое прира-
щение аргумента. Прямую МР будем называть секущей. Обозначим
через <р(Дх) угол, который образует эта секущая с осью Ох (оче-
видно, что этот угол зависит от Дх). Касательной к графику функ-
ции у—f{x) в точке М будем называть предельное положение
секущей МР при стремлении точки Р к точке М по графику
{или, что то же самое, при Дх->0). Из рис. 1.2 ясно, что
tg (Дх) = — =
g т < х> MN Дх	Дх
Так как при Дх—► 0 секущая МР переходит в касательную, то
lim tg ср (Дх) = tg <р0,
4х-0
где <р0 — угол, который образует касательная с осью Ох. С другой
стороны,	ч
lim tg ф (Дх) = lim И* + А*! — f W 
Дх — О	Дх —О
/'
Следовательно, f(x) = tg^0. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох
называют угловым коэффициентом этой прямой. Таким образом,
производная f'{x) равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции у =f{x) в точке М.
§ 3. Задача о восстановлении закона движения по скорости
и связанная с ней математическая проблематика
Рассмотрим следующую физическую задачу. Пусть для любого
момента времени х задана мгновенная скорость /(х) движущейся по
оси Оу материальной точки и известно положение у0 этой точки в
начальный момент времени х = х0. Требуется найти закон движения
этой точки.
Поскольку мгновенная скорость /(х) является производной функ-
ции y — F{x), определяющей закон движения материальной точки по
оси Оу, то задача сводится к разысканию по данной функции 7(х)
такой функции F (х), производная F' (х) которой равна /(х).
Отвлекаясь от конкретного физического смысла функций /(х) и
F (х), мы придем к математическим понятиям первообразной и не-
определенного интеграла. Первообразной функции /(х) называется
такая функция F (х), производная F' (х) которой равна f{x).
Очевидно, что если функция F {х) является первообразной функ-
ции /(х), то и функция F(x) + C, где С — любая постоянная, также
является первообразной функции f(x) (ибо производная постоянной С
равна нулю).
28
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
П'Л, i
Можно доказать, что две любые первообразные одной и той же
функции /(х) отличаются на постоянную. Таким образом, если функ-
ция F(x) является одной из первообразных функции f(x), то любая
первообразная функции f(x) имеет вид F(x)-f-C, где С—постоянная.
Совокупность всех первообразных одной и той же функции
f (х) называется неопределенным интегралом от функции f (x)
и обозначается символом ^f(x)dx.
Следовательно, если F (х)— одна из первообразных функции /(х),
то
J f (х) dx — F (х) + С.
Вернемся к решению поставленной выше физической задачи. Инте-
ресующий нас закон движения точки,  имеющей мгновенную скорость
f(x), определяется функцией у = F (х) + С, где F(x) — некоторая перво-
образная функции /(х), а С—некоторая постоянная. Для определения
постоянной С воспользуемся тем, что у=у0 в начальный момент вре-
мени х = х0, т. е. _у0 — ? (хо) + откуда С=у0~ F (х0). Таким обра-
зом, интересующий нас закон движения имеет вид
y = F(x) + y0-F(x0).
Рассмотрим некоторые физические и математические примеры.
1) Пусть мгновенная скорость материальной точки, движущейся
по оси Оу, имеет вид/(х) = cos х. Требуется найти закон движения
этой точки, если в начальный момент времени х = х0 точка занимает
положение у=Уо на оси Оу. Из таблицы производных ясно, что
одной из первообразных функции /(х) = cos х является функция
F(x) = sinx. Следовательно, искомый закон движения имеет вид
у = sin х -|- С.
Из условия у=у0 при х = х0 находим С=уй — sinx0, т. е. окон-
чательно получим закон движения в виде
2) Найти
у = sin х 4- _у0 — sin х0.
-5—j dx. Из таблицы производных ясно,
Г
из первообразных функции /(х) ~ t является функция F (х) =
= arctg х. Следовательно,
что одной
I-p^<Zx = arctg.x4-C.
В предыдущем параграфе мы выписали таблицу производных элемен-
тарных функций. Учитывая, что каждая формула F'(x)=/(x) этой
таблицы приводит к соответствующей формуле j/(x)rfx=F(x)-f-C,
мы получим следующую таблицу неопределенных интегралов:
§4]
ЗАДАЧА О ВЫЧИСЛЕНИИ ПУТИ
29
1°.	=	(а^-1).
2°. J^ = loge|x| + C
3°. ( axdx—^— 4- С.
J	logea
4°. J sin x dx == —cos x + C.
5°. § cos x dx = sin x + C.
6°. ^-^-=tgx + C.
7°. f =—ctgx + C.
J sin2x	&	'
8°. f , d*  = arcsln x + C.
J yT^
96.	= arctgx + C.
J 1 “T” **
Эта таблица вместе с правилами интегрирования (которые здесь
не приводятся) представляет собой важный вычислительный аппарат
той части математического анализа, которую обычно называют инте-
гральным исчислением.
Однако для вычисления многих неопределенных интегралов этого
аппарата оказывается недостаточно. Возникает проблема о существо-
вании первообразной (и неопределенного интеграла) у произвольной
функции f(x), непрерывной в каждой точке х. В следующем параграфе
мы укажем другой подход к задаче об интегрировании функции, ко-
торый позволяет решить эту проблему.
Здесь же мы сразу отметим, что существуют непрерывные (в каж-
дой точке х) функции (например, у — cos ха), первообразные которых
существуют, но не могут быть представлены с помощью конечного
числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования
сложных функций от простейших элементарных функций, перечислен-
ных нами в п. 2 § 2.
§ 4. Проблемы, возникающие при решении задачи
о вычислении пути
1. Пусть функция f(x) представляет собой скорость движения
материальной точки по оси Оу. Для простоты будем считать, что
все значения функции f(x) неотрицательны. Требуется вычислить
путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от
х — а до х = Ь.
Для решения этой задачи *) разобьем рассматриваемый про-
межуток времени на малые промежутки, ограниченные моментами
*) Связь этой задачи с задачей, рассмотренной в предыдущем параграфе,
будет выяснена ниже.
30
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. t
а = х0 < хг <z х2 <. ..<Zxn = b. Естественно считать, что на каждом
промежутке от xk_i до xk скорость f(x~) меняется мало. Поэтому
приближенно эту скорость можно считать на указанном промежутке
постоянной и равной, например, /(х^). В таком случае путь, пройден-
ный материальной точкой за время Дх* = хк — x*_i, приближенно
равен /(х*)Дх*, а путь 5а, пройденный точкой за время от а до Ь,
приближенно равен
5а^/(х1)Дх1+/(х2)Дх2+ ... +f{xn)^xn. (1.6)
Естественно ожидать, что при уменьшении всех промежутков вре-
мени Дх* мы будем получать все более и более точное значение
пути Sa- Точное значение пути 5* мы получим, перейдя в сумме (1.6)
к пределу при стремлении всех Дх* к нулю (при этом, конечно,
число слагаемых в сумме (1.6) будет неограниченно возрастать).
Употребляя символ предела, мы можем записать следующую формулу:
= Um [/'(х1)ДХ1+/(х2)Дх2 + ...+/(х„) Дх„].	(1.7)
При этом вопрос о том, что мы понимаем под пределом написанной
суммы, конечно, требует выяснения. Тем самым мы еще раз убежда-
емся в необходимости углубления и
развития понятия предела. В матема-
тике предел (1.7) называется опре-
деленным интегралом от функции
/(х) в пределах от а до b и обоз-
начается символом
ъ
Sba = \f(x)dx.
а
Сумма (1.6) представляет собой
сумму площадей прямоугольников,
основаниями которых служат отрезки Дх*, а высотами /(х*). Иными
словами, эта сумма равна площади изображенной на рис. 1.3 ступен-
чатой фигуры (эта ступенчатая фигура на чертеже обведена жирной
линией). Естественно ожидать, что при стремлении к нулю длин всех
отрезков Дх* площадь указанной ступенчатой фигуры будет стре-
миться к площади заштрихованной на чертеже криволинейной фигуры,
лежащей под графиком функции _у=/(х) на отрезке от а до Ь.
Эту криволинейную фигуру часто называют криволинейной трапе-
цией. Таким образом, определенный интеграл равен площади указан-
ной криволинейной трапеции.
Конечно, проведенные нами рассуждения носят предварительный
характер. В частности, требует выяснения само понятие площади
криволинейной трапеции и вообще площади плоской фигуры.
2. Мы видим, что с понятием определенного интеграла тесно
связаны две важные задачи; физическая задача о вычислении пути и
§ 4J
ЗАДАЧА О ВЫЧИСЛЕНИИ ПУТИ
31
геометрическая задача о вычислении площади плоской фигуры.
В связи с этим является важным вопрос о способах вычисления опре-
деленного интеграла.
Обозначим через F (х) определенный интеграл от функции f(x)
в пределах от а до х, т. е. положим
F (x') — \f(x)dx.
а
С геометрической точки зрения этот интеграл равен площади
криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции у =*f(x)
на отрезке от а до х. На рис. 1.4
эта трапеция обведена жирной чер-
той. Используя наглядные геометри-
ческие соображения, покажем, что
введенная функция F (х) является
одной из первообразных функции
/(х), т. е. убедимся в том, что
F’ (х) = f(x). Пусть Дх — некоторое
приращение аргумента х. Очевидно,
разность F (х -|- Дх) — F (х) равна
площади заштрихованной на рис. 1.4
«узкой» криволинейной трапеций. Площадь этой трапеции при малом
Дх мало отличается от площади /(х)Дх прямоугольника с основа-
нием Дх и высотой /(х). Отсюда ясно, что при малом Дх отношение
F (х + Дх) — F (х)
Дх
(1.8)
мало отличается от высоты /(х) указанного выше прямоугольника.
Так как предел при Дх—>0 дроби (1.8) равен производной Ff(х), то
F' (х)=/(х). Итак, функция F (х) является одной из первообразных
функции /(х). Следовательно, любая первообразная Ф(х) функции
/(х) имеет вид
^{x) = F{x) + C = \f(xy)dx + C.	(1.9)
а
Конечно, приведенные нами рассуждения и вытекающая из них
формула (1.9) справедливы, вообще говоря, не для всякой функции
/(х). Нетрудно убедиться в справедливости формулы (1.9) для любой
непрерывной (в каждой точке х) функции /(х). Тем самым установ-
ление формулы (1.9) решает проблему существования первообразной
(и неопределенного интеграла) у любой непрерывной в каждой
точке х функции /(х).
Установим теперь с помощью той же формулы (1.9) связь между
ь
определенным интегралом ^/(х)Фх и любой первообразной Ф(х)
32
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
функции f(x). Полагая в формуле (1.9) последовательно х = а и
х = Ь и учитывая очевидное из наглядных геометрических соображе-
ний равенство
^f(x)dx = Q,
а
получим
а	Ь
ф (а) = $ Л*) dx + С = С, Ф (Ь) = 5 /(х) dx + С.
а	а
Поэтому
ь
^f(x)dx = ®(b) — $(a).	(1.10)
а
Формула (1.10) является одной из основных формул интегрального
исчисления и называется формулой. Ньютона—Лейбница*). Эта фор-
мула сводит вопрос о вычислении определенного интеграла к во-
просу о вычислении первообразной
(или неопределённого интеграла).
Обоснование этой формулы явля-
ется одной из важных задач
математического анализа. Для приближенного вычисления определенных
интегралов существует ряд способов, простейший из которых осно-
ван на замене этого интеграла суммой (1.6). Эти способы и соотно-
шение (1.9) дают возможность приближенно вычислять и неопреде-
ленные интегралы, и, в частности, позволяют вычислить первообраз-
ную любой непрерывной (в каждой точке х) функции f(x).
В качестве примера вычислим площадь <$х, заключенную между
графиком функции _y = sinx на отрезке от 0 до я и осью Ох
(рис. 1.5)**). В силу сказанного выше
в
4S'1 = ^sinx(Zx.
о
*) Готфрид Вильгельм Лейбниц — немецкий философ и математик (1646—
1716).
**) Вычисление этой площади средствами элементарной математики при-
водит к большим трудностям.
§ 5]	ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	33
Так как одной из первообразных функции /(х) = sin х является функ-
ция Ф(х) =—cos х, то по формуле (1.10) получим
Я
<$7 = j sin х dx = (— cos it) (— cos 0) = 2.
0
Вычислим теперь площадь S2 фигуры, отсекаемой от цараболы у = х2
прямой, проходящей через две точки М1(а, а2) и М2(Ь, Ь2) этой па-
раболы (рис. 1.6)*). Йскомая площадь S2 равна разности площадей
прямолинейной трапеции AMjM^B и заштрихованной на чертеже
криволинейной трапеции, т. е.
• &
„	(& + a2)(b-a) С v2. _ (b2 + a?)(b-a)	b2-a*	(b-a)»
o2--------2	jx ax— g	g —	6	.
a
§ 5.	Заключительные замечания
Дифференциальное и интегральное исчисления составляют основу
математического анализа, создание которого является одним из вели-
чайших достижений человеческого разума. Введение в математику
понятий переменной величины и функции позволило перейти от реше-
ния отдельных разрозненных физических и геометрических задач
к созданию общих методов решения этих задач. Развитие дифферен-
циального и интегрального исчислений оказало огромное влияние на
общий прогресс науки и техники.
Дальнейший прогресс науки и техники тесно связан с математи-
зацией наших представлений о природе, с развитием новых направ-
лений в математике. Можно с уверенностью сказать, что математи-
зация наших представлений, точная количественная формулировка
закономерностей, широкое использование вычислительных методов
и электронно-вычислительных машин (ЭВМ) составляют основной стер-
жень современного естествознания.
Внедрение вычислительных методов и использование ЭВМ, как
правило, снимают вопросы трудоемкости и сложности вычислений **).
При этом возникает целая серия математических проблем, к числу
которых относятся вопросы разработки алгоритмов ***) вычислений,
служащих источником составления программ для ЭВМ, разработка
проблем теории управления, теории оптимальных процессов, матема-
тической логики и теоретической кибернетики.
*) Эта задача средствами элементарной математики была решена великим
древнегреческим ученым Архимедом (Ш век до нашей эры).
**) Современные ЭВМ в несколько минут производят вычисления, для
проведения которых человеку потребовалась бы целая жизнь.
***) Алгоритм (или алгорифм) — система вычислений, выполняемых по
строго определенным правилам, приводящая после какого-либо числа шагов
к решению поставленной задачи.
34 '	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	[ГЛ. t
Наша дальнейшая задача будет заключаться в построении аппа-
рата математического анализа. Мы рассмотрим также и некоторые
приложения этого аппарата к разработке численных алгоритмов..
Проведенное выше предварительное рассмотрение ставит перед
нами следующие первоочередные вопросы:
1.	Уточнение понятий вещественного числа, переменной величины
и функции.
2.	Определение и развитие понятия предела функции и связанного
с ним понятия непрерывности функции.
3.	Обоснование формул и правил дифференциального и интеграль-
ного исчислений.
4.	Построение теории определённого интеграла как предела сумм
специального вида и развитие методов вычисления определенного
интеграла.
5.	Выяснение некоторых геометрических понятий (площади пло-
ской фигуры, длины дуги и т. д.).
ГЛАВА 2
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Из элементарного курса читатель имеет представление о вещест-
венных числах и о том, что они необходимы, например, для измере-
ния отрезков и промежутков времени. Для углубления наших пред-
ставлений о важнейших математических понятиях—понятиях перемен-
ной величины, функции и предела — требуется дальнейшее развитие
теории вещественных чисел.
Рассмотрим, например, физическую переменную величину—время.
Для сравнения между собой различных промежутков времени нам
необходимо уметь сравнивать между собой вещественные числа. Иными
словами, мы должны установить правило, позволяющее выяснить, какое
из двух данных вещественных чисел является большим. Практика
последовательных измерений времени приводит к необходимости опре-
деления операций сложения и умножения вещественных чисел и выяс-
нения свойств этих операций. Отметим также, что выяснение основ-
ных свойств вещественных чисел необходимо для обоснования приме-
нимости к этим числам правил элементарной алгебры.
§ 1. Вещественные числа
1. Свойства рациональных чисел. Напомним, что рациональным
числом называется число, представимое в виде отношения двух целых
чисел *). Из элементарного курса известны определения операций
сложения и умножения рациональных чисел, правило сравнения этих
чисел и их простейшие свойства. Здесь мы перечислим основные
свойства рациональных чисел, вытекающие из соответствующих свойств
целых чисел.
Фундаментальную роль среди свойств играют три правила: пра-
вило сравнения и правила образования суммы
и произведения:
*) Одно и то же рациональное число представимо в виде отношения раз-
12	3
личных целых чисел. Например, = — = — = ...
Зв	ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ТГЛ 2
\
I.	Любые два рациональных числа а и b связаны одним и только
одним из трех знаков J>, < или = , причем если а > b, mob<.a.
Иными словами, существует правило, позволяющее установить,
каким из указанных трех знаков связаны два данных рациональ-
ных числа. Это правило называется правилом сравнения*).
II.	Существует правило, посредством которого любым двум
рациональным числам а и b ставится в соответствие опреде-
ленное рациональное число с, называемое их суммой и обозначае-
мое символом с = а -\-Ь **).
Операция нахождения суммы называется сложением.
III.	Существует правило, посредством которого любым двум
рациональным числам а и b ставится в соответствие определен-
ное рациональное число с, называемое их произведением и обозна-
чаемое символом c = ab***). Операция нахождения произведения
называется умножением.	-	
Перечислим теперь основные свойства, которым подчинены ука-
занные три правила.
Правило сравнения рациональных чисел обладает следующим свой-
ством:
1° из а~у>Ь и Ь>с вытекает, что а~у>с {свойство тран-
зитивности знака >); из а = Ь и Ь = с вытекает, что а = с
{свойство транзитивности знака =).
' Правило сложения рациональных чисел обладает следующими
свойствами:
2° a-Yb — b + a (переместительное свойство);
3° {а Ь) + с = а + {Ь + с) (сочетательное свойство);
4° существует рациональное число 0 такое, что а-}-0 = а
для любого рационального числа а (особая роль нуля);
5° для каждого рационального числа а существует противо-
положное ему число, а' такое, что а + а' = 0.
Правило умножения рациональных чисел обладает следующими
свойствами:
6° ab — ba (переместительное свойство);
*) Правило сравнения рациональных чисел формулируется так: два неот-
пи , т2
рицательных рациональных числа а = и b = связаны тем же знаком,
что и два целых числа и т^п^, два неположительных рациональных числа
а и b связаны тем же знаком, что и два неотрицательных числа | fc | и | а |;
если а — неотрицательное, а b — отрицательное рациональное число, то а > Ь.
**) Правило образования суммы рациональных чисел а — — и Ь = —
th
, пц , тг
определяется посредством формулы —4--------- = —‘	——-.
Zlj Л 2	^1^2
***) Правило образования произведения рациональных чисел определяется
, пи т- пцпи
посредством формулы —- — = ——-,
Tlj Zig
§ 1]	ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА	37
7° (ab)c-a(bc) (сочетательное свойство);
8° существует рациональное число 1 такое, что а-1—а для
любого рационального числа а (особая роль единицы);
9° для каждого рационального числа а, отличного от нуля,
существует обратное ему число а' такое, что аа'=\.
Правила сложения и умножения связаны следующим свойством:
10° (а + Ь) с = ас 4- Ьс (распределительное свойство умножения
относительно суммы).
Следующие два свойства связывают знак > со знаком сложения
и умножения:
11° из а> b вытекает, что а 4- с > b + с\
12° из а>Ь и с > 0 вытекает, что acZ>bc- '
Особая роль принадлежит последнему свойству:
13° каково бы ни было рациональное число а, можно число 1
повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма пре-
взойдет а*).
Перечисленные 13 свойств обычно называют основными свой-
ствами рациональных чисел, ибо все другие алгебраические свой-
ства этих чисел, относящиеся к арифметическим действиям и к соче-
танию равенств и неравенств/ могут быть извлечены как следствие
из указанных основных свойств.
Так, например, из этих свойств вытекает часто используемое
в дальнейшем свойство, позволяющее пбчленно складывать неравен-
ства одного знака:
если а>Ь и с > d, то а 4- с > & 4-
. В самом деле, из неравенств а^>Ь и и из свойств 11°
и 2° вытекает, что а-\-су>Ь-\-с и bс ~у> $d, а из последних
неравенств и из свойства 1° вытекает, что а 4- с > b 4- d.
2. Об измерении отрезков числовой оси. Из элементарного
курса известно, что два отрезка могут быть соизмеримыми (когда
отношение их длин выражается рациональным числом) и несоизме-
римыми (примером несоизмеримых отрезков могут служить диагональ
и сторона квадрата).
Удобно сразу же ввести в рассмотрение числовую ось. Числовой
осью мы будем называть прямую, на которой выбраны определенная
точка О (начало отсчета), масштабный отрезок ОЕ (длину его мы счи-
таем равной единице) и положительное направление (обычно от О к Е).
Естественно, возникает задача о возможности поставить в соот-
ветствие каждой точке М числовой оси некоторое число, выражаю-
щее длину отрезка ОМ. Это число мы будем считать положительным,
если М и Е лежат по одну сторону от О, и отрицательным — в про-
тивном случае.
Прежде всего заметим, что каждому рациональному числу соот-
ветствует на числовой оси определенная точка. В самом деле,
*) Эго свойство часто называют аксиомой Архимеда.
38
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
[ГЛ. 2
из элементарного курса известно, как построить отрезок, длина кото-
рого составляет — часть длины масштабного отрезка Of (и — любое
целое положительное число). Стало быть, мы можем построить отре-
зок АВ, длина которого относится к длине масштабного отрезка ОЕ,
Мг(-^ О Е М^)
Рис. 2.1.
как —, где т и п — любые целые положительные числа. Считая, что
п ’
точка Е лежит правее О (рис. 2.1) и отложив отрезок АВ вправо
(влево) от точки О, мы получим точку Мг (Л12), соответствующую
. т / т \
рациональному числу + — ( — —).
Вместе с тем существование несоизмеримых отрезков позволяет
утверждать, что не все точки числовой оси соответствуют рацио-
нальным числам.
Естественно, возникает потребность расширить область рациональ-
ных чисел и ввести в рассмотрение такие числа, которые соответст-
вовали бы всем точкам числовой оси и позволяли бы измерить при
помощи масштабного отрезка ОЕ любой отрезок.
Мы опишем специальный процесс измерения отрезка ОМ число-
вой оси и покажем, что этот процесс позволяет поставить в соот-
ветствие любой точке М этой оси некоторую вполне определен-
ную бесконечную десятичную дробь.
О
______________ар.......\
~Е :	Л' ” РМ
Рис. 2.2,
Пусть М — любая точка числовой оси. Ради определенности пред-
положим, что М (как и Е) лежит правее О (рис. 2.2).
Будем измерять отрезок ОМ при помощи масштабного отрезка ОЕ.
Прежде всего выясним, сколько раз целый отрезок ОЕ укладывается
в отрезке ОМ. Могут представиться два случая:
1) Отрезок ОЕ укладываетс^в отрезке ОМ целое число а0 раз
с некоторым остатком NM, меньшим ОЕ (см. рис. 2.2). В- этом слу-
чае целое число а0 представляет собой приближенный результат
измерения по недостатку с точностью до единицы.
2) Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число а0 + 1
раз без остатка. В этом случае число а0 также представляет собой
приближенный результат измерения по недостатку с точностью до
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
39
§ 1]
единицы, ибо отрезок ОЕ укладывается, в отрезке ОМ а0 раз с остат-
ком NM, равным ОЕ *).
Выясним теперь, сколько раз часть масштабного отрезка ОЕ укла-
дывается в остатке NM. Снова могут представиться два случая:
1) часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке NM целое число
аг раз с некоторым остатком РМ, меньшим части отрезка ОЕ (см.
рис. 2.2). В этом случае рациональное число а0, представляет
собой результат измерения по недостатку с точностью до
2) часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке NM целое число
Oj + 1 раз без остатка. В этом случае рациональное число а0, aY
также представляет собой результат измерения по недостатку с точ-
ностью до ибо часть ОЕ укладывается в отрезке NM аг раз
с остатком РМ, равным части ОЕ **).
Продолжая неограниченно указанные рассуждения, мы придем
к бесконечной совокупности рациональных чисел:
’ «0> ^1^2 ••• ®Л» ••• >	(2.1)
каждое из которых представляет собой результат измерения отрезка ОМ
по недостатку с соответствующей степенью точности. Вместе с тем
каждое из чисел (2.1) может быть получено посредством обрывания
на соответствующем знаке бесконечной десятичной дроби
а0> ^1^2 • • • ^л • • •	(2-2)
Указанные выше рассуждения применимы и для случая, когда
точка М лежит левее точки О, только в этом случае все числа {2.1) и
бесконечная десятичная дробь (2.2) будут иметь отрицательный знак.
Таким образом, мы установили, что посредством описанного
нами процесса измерения отрезка ОМ любой точке М числовой
оси можно поставить в соответствие вполне определенную бес-
конечную десятичную дробь.
Итак, мы видим, что описанный выше процесс измерения произ-
вольного отрезка ОМ числовой оси при помощи масштабного отрезка
естественным образом приводит нас к рассмотрению чисел, предста-
вимых в виде бесконечных десятичных дробей. Вместе с тем
।
' z
,	*) Конечно, на практике во втором случае процесс измерения считают
законченным и полагают длину отрезка ОМ равной а0+ !• Однако нам удоб-
нее (в целях единообразия) вести измерения строго по недостатку, чтобы
и в этом случае получить остаток NM и иметь возможность продолжать
процесс измерения.
•*) Отсылаем читателя к предыдущей сноске.
40
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
(ГЛ. 2
каждая бесконечная десятичная дробь (2.2) полностью характеризуется
бесконечной совокупностью (2.1) рациональных чисел, приближающих
эту дробь. Конечно, описанный выше процесс измерения отрезка ОМ
можно видоизменить так, что он будет приводить к рассмотрению бес-
конечных двоичных дробей или к рассмотрению бесконечных дробей
в любой другой системе счисления.
Заметим, что для задания чисел в современных электронных
вычислительных машинах наиболее часто используется двоичная си-
стема счисления, а иногда — троичная система счисления. Это объяс-
няется тем, что входящие в конструкцию электронных машин радио-
лампы и полупроводниковые элементы имеют чаще всего два,
а иногда три устойчивых состояния (например, лампа закрыта, ток
не идет — одно устойчивое состояние; лампа открыта, ток идет —
другое устойчивое состояние; третье устойчивое состояние возникает,
если различать направление, в котором- идет ток).
В связи с отмеченным обстоятельством возникает необходимость
в разработке алгоритмов перевода чисел из десятичной системы
счисления в двоичную систему и обратного перевода чисел из
двоичной системы в десятичную. Примеры таких алгоритмов читатель
найдет в Дополнении 1 к настоящей главе.
3. Вещественные числа и правило их сравнения. Рассмотрим
множество всевозможных бесконечных десятичных дробей. Числа,
представимые этими дробями, будем называть вещественными *).
Данное вещественное число будем называть положительным (отри-
цательным), если оно представимо в виде положительной (отрица-
тельной) бесконечной десятичной дроби.’
В состав множества вещественных чисел входят, конечно, и все
рациональные числа, ибо все они представимы в виде бесконечных
десятичных дробей. Представление данного рационального числа
в виде бесконечной десятичной дроби можно получить, например, из
следующих соображений. Любому рациональному числу соответствует
определенная точка М числовой оси, а этой точке ставится в соответ-
ствие при помощи способа, указанного в пункте 2, определенная бес-
конечная десятичная дробь. Так, рациональному числу ставится
в соответствие бесконечная десятичная дробь 0,4999 ..., рациональ-
4
ному числу -д---бесконечная десятичная дробь 1,333 ...
Вещественные числа, не являющиеся рациональными, принято на-
зывать иррациональными.
Нашей задачей является последовательное перенесение на случай
произвольных вещественных чисел трех правил и всех основных
свойств рациональных чисел, перечисленных в пункте 1. Тем самым
•) Как, уже отмечалось в сноске **) на стр. 18, понятие числа относится
к начальным понятиям.
5 1]	ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА	41
для вещественных чисел будут обоснованы всё правила элементарной
алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию
равенств и неравенств.
В этом пункте мы установим правило сравнения вещественных
чисел. Прежде чем перейти к формулировке этого правила, догово-
римся об определенной форме записи тех рациональных чисел, кото-
рые представимы в виде конечной десятичной дроби. Заметим, чтр
указанные рациональные числа допускают двоякую запись в виде
бесконечных десятичных дробей. Например, число у = 0,5 можно
записать: 1) в виде у = 0,4999...; 2) в виде у = 0,5000..,.
И вообще рациональное число а0, аха2 ... ап, где а„ ?£ 0, можно
записать: 1) в виде а0, а^... ап-1(а„— 1) 999...; 2) в виде
а0, а^ ... ап 000 ...
Первая из указанных двух записей может быть получена по спо-
собу, описанному в пункте 2, а вторая — формальным превращением
данной конечной десятичной дроби в бесконечную посредством'допи-
сывания нулей.
Мы договоримся при сравнении вещественных чисел пользо-
ваться для указанных рациональных чисел лишь первой из этих двух
форм записи в виде бесконечной десятичной дроби.
Иными словами, при сравнении вещественных чисел мы не будем
употреблять бесконечные десятичные дроби, все десятичные знаки
которых, начиная с некоторого места, равны нулю (за исключением,
конечно, дроби 0,000 ...)*).
Перейдем теперь к формулировке правила сравнения веществен-
ных чисел. ’ _
Рассмотрим два произвольных вещественных числа а и Ь. Пусть
эти числа представимы следующими бесконечными десятичными
дробями:
а = ±а0, а^ ... ап ...,	(2.3)
& = ±/>0,М2 ... Ьп ...	(2.4)
(где из двух знаков ± берется какой-то один).
Два вещественных числа (2.3) и (2.4) называются равными, если
они имеют одинаковые знаки и если справедливы равенства ай — Ьо,
= bi, ..., ап = bm ...
Пусть даны два неравных вещественных числа а и Ь. Установим
правило, при помощи которого можно заключить, каким знаком, >
или связаны эти два числа:
•) Принятие .такой договоренности вполне соответствует процессу изме-
рения отрезка, описанному в пункте 2, ибо описанный процесс не может
привести к бесконечной десятичной дроби, у которой все десятичные знаки,
начиная с некоторого места, равны нулю.
42
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
'ЩЛ 2
1)	Пусть сначала а и b оба неотрицательны и имеют следую-
щие представления: а — а0, аха2 ... ап ..b = Ьо, ЬХЬ2 ... Ьп ...
Так как числа" а и & не равны, то нарушается хотя бы одно из
равенств а0 = b0, ах = blt ..., an = bn,... Обозначим через k наимень-
ший из номеров п, для которых нарушается равенство *) ап — Ьп.
Тогда мы будем считать, что а > Ь, если ak Ьк, и а < b, если
а* < Ьк-
2)	Если из двух чисел а и b одно неотрицательно, а другое
отрицательно, то мы, естественно, будем считать, что неотрицатель-
ное число больше отрицательного.
3)	Остается рассмотреть случай, когда оба числа а и b отрица-
тельны. Договоримся называть модулем вещественного числа а
неотрицательное вещественное число, обозначаемое символом | а |
и равное десятичной дроби, представляющей число а, взятой со
знаком 4-.
Если а и b оба отрицательны, то мы будем считать, что aZ>b,
если | b | > | а |, и а<_Ь, если | а | > | b | **).
Убедимся, что правило сравнения вещественных чисел обладает
свойством 1°, сформулированным в пункте 1 для рациональных чисел.
Именно, докажем, что если а, b и с — произвольные вещественные
числа и если а>Ь и ЬУ>с, то а~>с (свойство транзитивности
знака >) ***). Для доказательства этого свойства рассмотрим три воз-
можных случая:
1)	Пусть сначала с^=0. Тогда из правила сравнения веществен-
ных чисел очевидно, что b > 0 и а > 0. Пусть а = а0, а1аг ... ап..:,
b = bQ, ЬД>2 ... Ьп... •, с = с0, с^ ... сп ... Обозначим через k наи-
меньший из номеров п, для которых нарушается равенство ап = Ьп
(т. е. предположим, что а0 = Ьо, а1~Ь1, ..., а^ =	ак>bk),
*) То есть мы считаем, что а0 = b0, ai — bi, ... , ak_i — bk_i, но акДЬк.
**) Легко видеть, что сформулированное правило сравнения веществен-
ных чисел в применении к двум рациональным числам приводит к тому же
самому результату, что и правило сравнения рациональных чисел, указанное
в сноске на стр. 36.
В самом деле, достаточно рассмотреть лишь случай двух неотрицатель-
ных рациональных чисел а и Ь. Пусть а>Ь согласно правилу сравнения
рациональных чисел, и пусть а = а0, ata2 ... ап ...; b = й0,	bn ...
Предположим, что рациональному числу а соответствует на числовой оси
точка Mlt а рациональному числу b — точка М2. Тогда ясно, что точка Мг
лежит правее точки М2. Вместе с тем из пункта 2 вытекает, что целое число
aoai ... ак (bobi ... bk) показывает, сколько раз часть масштабного от-
резка ОЕ укладывается в отрезке OML (ОМ2) с выкинутым правым концом.
Поскольку отрезок OMi больше отрезка ОМ2, то найдется такой номер k,
что ... ak_i = bobi ... bk_i, a aoai ... ak > bobibk, но это и означает,
что а >• b согласно правилу сравнения вещественных чисел.
***) Свойство транзитивности знака =, утверждающее, что из а = Ь и
b = с следует, что а = с, сразу вытекает из правила сравнения веществен-
ных чисел.
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
43
§ П
а через р наименьший из номеров п, для которых нарушается равен-
ство Ьп = сп (т. е. предположим, что Ьо = с0, Ьх = сх,..., bp_x — ср_х,
Ьр > ср). Тогда, если обозначить через т наименьший из двух номе-
ров k а р, то будут справедливы соотношения а0 = с0, ах = сх>...
..., аст_1 = Сда-р ат > ст, а это и означает, что а > с.
2)	Пусть с<0, а^О. Тогда равенство а>с будет справедливо
при любом Ь.
3)	Остается рассмотреть случай, когда все три числа а, b и с от-
рицательны. Так как а>£> и Ь> с, то | b | > | а | и|с|>|£|. Но
тогда, в силу уже рассмотренного выше случая трех положительных
чисел, | с | > | а а это и означает, что а > с. Свойство транзитивно-
сти знака > полностью доказано.
4.	Приближение вещественного числа рациональными числами.
В этом пункте мы покажем, что всякое вещественное число можно
приблизить с любой степенью точности рациональными числами. Рас-
смотрим произвольное вещественное число а. Ради определенности
будем считать это число неотрицательным и представим его в виде
бесконечной десятичной дроби а = а0, аха2...ап...
Обрывая указанную дробь на я-м знаке после запятой, получим
V	1
рациональное число а0, аха2... ап. Увеличив это число на по-
лучим другое рациональное число а0, аха2 ... ап +	. Из правила
сравнения вещественных чисел легко установить, что для любого но-
мера п справедливы неравенства
ао> • • • ип a Go, ••• Яд 4"	•	(2.5)
Неравенства (2.5) означают, что' вещественное число а заключено
между двумя рациональными числами, разность между которыми
равна При этом номер п можно взять любой.
Покажем, что для любого наперед взятого положительного ра-
ционального числа в, начиная с некоторого номера п, справедливо
неравенство ~<е. В самом деле, каково бы ни было рациональное
число в > О, найдется лишь конечное число натуральных чисел, не
1 гт
превосходящих числа —. Поэтому лишь для конечного числа номеров
п справедливо неравенство	или	Для всех же осталь-
ных номеров и справедливо обратное неравенство jgs’C6,’ что и
требовалось доказать.
Таким образом, мы приходим к следующему утверждению’, для
любого вещественного числа а и для любого наперед взятого по-
ложительного рационального числа в найдутся два рациональных
числа ах и ag такие, что аа<:а=Саа, причем ag —<^<6.
44
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
[ГЛ. 2
Неравенства (2.5) позволяют утверждать, что рациональное число
а0, а1а2а3... ап приближает вещественное число а с точностью до
На практике всегда имеют дело с приближенным значением ве-
щественного числа, заменяя его рациональным числом с требуемой
степенью точности.
5.	Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или
снизу. В этом пункте мы рассмотрим произвольное множество ве-
щественных чисел, содержащее хотя бы одно число *). Это множество
мы будем обозначать символом {х}. Отдельные числа, входящие в со-
став множества {х}, будем называть элементами этого множества **).
Определение 1. Множество вещественных чисел {х} назы-
вается о гр аниче нн ы м сверху (снизу), если существует
такое вещественное число М (число т), что каждый элемент х
множества {х} удовлетворяет неравенству
х^М (х^т).
При этом число М (число т) называется верхней гранью (нижней
гранью) множества {х}.
Конечно, любое ограниченное сверху множество {х} имеет беско-
нечно много верхних граней. В самом деле, если вещественное число
М — верхняя грань множества {х}, то любое вещественное число
М*, большее числа М, также является верхней гранью множества
{х}. Аналогичное замечание можно сделать в отношении нижних
граней ограниченного снизу множества {х}.
Так, например, множество всех отрицательных вещественных чи-
сел ограничено сверху. В качестве верхней грани М такого множе-
ства можно взять любое неотрицательное вещественное число. Мно-
жество всех целых положительных чисел 1, 2, 3,... ограничено снизу.
В качестве нижней Трани этого множества можно взять любое веще-
ственное число т, удовлетворяющее неравенству zw^l.
Естественно, возникает вопрос о существовании наименьшей из
верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из
нижних граней ограниченного снизу множества.
Определение 2. Наименьшая из всех верхних граней ограничен-
ного сверху множества {х} называется точной верхней гра-
нью этого множества и обозначается символом Jc = sup {х} ***).
Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу мно-
жества {х} называется точной нижней гранью этого
множества и обозначается символом x = inf {х} ****).
*) Такое множество обычно называют непустым.
**) Отметим, что понятие множества и его элемента относится к началь-
ным понятиям (см. сноску **) на стр. 18).
***) sup —первые три буквы латинского слова supremum («супремум»),»
которое переводится как «наивысшее».
♦***) inf —первые три буквы латинского слова infimum («инфимум»), ко-
торое переводится как «наинизшее».
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
45
§ И
Определение 2 можно сформулировать и по другому, а именно:
Число X (число х) называется точной верхней (точной ниж-
ней) гранью ограниченного сверху (снизу) множества {х}, если
выполнены следующие два требования: 1) каждый элемент х
множества {х} удовлетворяет неравенству х^Х(х^х), 2) ка-
ково бы ни было вещественное число хг, меньшее X (большее х),
найдется хотя бы один элемент х множества {х}, удовлетво-
ряющий неравенству х > х' (х < х').
В этом определении требование 1) означает, что число X (число х)
является одной из верхних (нижних) граней, а требование 2) говорит
о том, что эта грань является наименьшей (наибольшей) и умень-
шена (увеличена) быть не может.
Очевидно, что у множества всех отрицательных вещественных
чисел существует точная верхняя грань—число нуль, причем это
число не принадлежит указанному множеству. Очевидно также,
что у множества всех целых положительных чисел 1, 2, 3, ... суще-
ствует точная нижняя грань х=1, которая принадлежит указан-
ному множеству (т. е. является наименьшим элементом этого
множества). Таким образом, точная верхняя (точная нижняя) грань
множества может как принадлежать, так и не принадлежать этому
множеству.
Существование у любого ограниченного сверху (снизу) множества
точной верхнёй (точной нижней) грани не является очевидным и тре-
бует доказательства.
Докажем следующую основную теорему.
Теорема 2.1. Если множество вещественных чисел содержит
хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то сущест-
вует вещественное число X (число х), которое является точной
верхней (точной нижней) гранью этого множества.
Доказательство. Мы остановимся лишь на доказательстве
существования точной верхней грани у любого ограниченного сверху
множества, ибо существование точной нижней грани у любого огра-
ниченного снизу множества доказывается совершенно аналогично.
Итак, пусть множество {х} ограничено сверху, т. е. существует
такое вещественное число М, что каждый элемент х множества {х}
удовлетворяет неравенству
х^М.	(2.6)
Могут представиться два случая: 1°. Среди элементов множества
{х} есть хотя бы одно неотрицательное вещественное число. 2°. Все
элементы множества являются отрицательными вещественными числами.
Эти случаи мы рассмотрим отдельно.
1°. Рассмотрим лишь неотрицательные вещественные числа, вхо-
дящие в состав множества {х}. Каждое из этих чисел представим
в виде бесконечной десятичной дроби и рассмотрим целые части этих
46
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
[ГЛ. 2
десятичных дробей. В силу (2.6) все целые части не превосходят
числа М, а поэтому найдется наибольшая из целых частей, которую
мы обозначим через х0. Сохраним среди неотрицательных чисел мно-
жества {х} те, у которых целая часть равна Хо, и отбросим все
остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим первые десятич-
ные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим че-
рез Xv Сохраним среди неотрицательных чисел множества {х} те,
у которых целая часть равна Хо, а первый десятичный знак равен хр
и отбросим все. остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим
вторые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков
обозначим через х2. Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы
последовательно определим десятичные знаки некоторого веществен-
ного числа X:
X = Х& XiXi ... Хп ...
Докажем, что это вещественное число X и является точной верх-
ней гранью множества {х}. Для этого достаточно доказать два
утверждения: 1) что каждый элемент х множества {х} удовлетво-
ряет неравенству х^Х, 2) что, каково бы ни было вещественное
число х', меньшее X, найдется хотя бы один элемент х множества {х},
удовлетворяющий неравенству х > х'.
Сначала докажем утверждение 1). Так как X неотрицательно,
то любое отрицательное число х из множества {х} заведомо удов-
летворяет неравенству х^~Х. Пусть х = х0, Х\ ... хп ... — любое
неотрицательное число, входящее в состав множества {х}.
Из определения числа X вытекает неравенство х0^х0. Если при
этом хо<хо, то утверждение 1) доказано. Если же хо = Хо, то из
определения числа X вытекает, что Xj Xi. Если при этом Xi < хь
то утверждение 1) доказано. Если же Xi = Xi, то из определения х
вытекает, что х2<ха ... Продолжая аналогичные рассуждения, мы
либо докажем неравенство х < х, либо получим бесконечную цепоч-
ку равенств хо = Хо> Х\=Х\, х2 = х2, ..., х„ = хп, из которой
вытекает, что х — Х. Утверждение 1) доказано.
Докажем теперь утверждение 2). Пусть х' = х'о, xjxj... х'п ...—
произвольное вещественное число*), меньшее X. Тогда в силу пра-
вила сравнения вещественных чисел найдется номер п такой, что
х2 — Хо, Xi = Xi, ...,хл_|=Хл—1, Хпхп.	(2.7)
С другой стороны, число X мы строили так, что среди элементов
множества {х} найдется число х = х0, Xjr2 ... хп ..., целая часть
и первые п десятичных знаков у которого те же, что и у числа X,
т. е.
Х^ — Хо, Хх — Xi,	^л—1 —	%п—Хп-	(2.8)
... ,	,	, ,	’ .ТС',
*) Это число х' мы, не ограничивая общности, будем считать неотрица-
тельным, ибо если бы оно было отрицательным, то неравенству х > х' удов-
летворял бы неотрицательный элемент х множества {х}.
§ 2] АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ 47
Сопоставляя (2.7) и (2.8), в силу правила сравнения вещественных
чисел получим, что х7 <.х. Утверждение 2) доказано. Таким обра-
зом, для случая 1° существование точной верхней грани доказано.
2°. Аналогично доказывается существование точной верхней грани
и во втором случае, когда все элементы множества {х\ являются
отрицательными вещественными числами. В этом случае все эле-
менты множества {х} мы представим в виде отрицательных беско-
нечных десятичных дробей. Обозначим через х0 наименьшую из
целых частей этих дробей; через Хг наименьший из первых деся-
тичных знаков тех из этих дробей, у которых целая часть равна х0;
через х2 наименьший из вторых десятичных знаков тех из этих
дробей, у которых целая часть равна х0, а первый десятичный знак
равен Хх; ... Таким путем мы определим отрицательное вещественное
число
X = — х0, ххх2 • • • Хя • •,
В полной аналогии со случаем 1° доказывается, что число J? является
точной верхней гранью множества {х} (т. е. удовлетворяет двум ут-
верждениям, сформулированным при рассмотрении случая 1°). Теорема
доказана.
Замечание. При доказательстве теоремы 2.1 для случая 2° у
числа х = — -£0, Ххх2 ... хп ... все десятичные знаки, начиная с неко-
торого места, могут оказаться равными нулю, т. е. это число может
оказаться имеющим вид х =— Хо, Х1 ... x^Xh ООО ..., где х* 0.
В этом случае остается в силе приведенное выше доказательство,
но согласно договоренности, принятой в пункте 3, при сравнении с
элементами множества число X следует записывать в виде
х == — Хо, Хг ... Xk l(Xk—V) 999 ...
§ 2. Арифметические операции над вещественными числами.
Основные свойства вещественных чисел
1. Определение суммы вещественных чисел. Одним из важней-
ших вопросов теории вещественных чисел является вопрос об опре-
делении операций сложения и умножения этих чисел и о свойст-
вах этих операций. Прежде всего остановимся на операции сложе-
ния вещественных чисел.
Хорошо известно, как складывают два вещественных числа на
практике. Для того чтобы сложить два вещественных числа а и Ь,
заменяют их с требуемой степенью точности рациональными числами
и за приближенное значение суммы двух данных вещественных чисел
берут сумму указанных рациональных чисел. При этом совершенно
не заботятся о том, с какой стороны (по недостатку или по избытку)
взятые рациональные числа приближают данные вещественные числа
а и Ъ. Фактически указанный практический способ сложения вещест-
венных чисел предполагает, что чем точнее рациональные числа а ц
48
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
(ГЛ. 2
§ приближают (с любой стороны) вещественные числа а и b соот-
ветственно, тем точнее сумма а + р приближает то вещественное число,
которое должно являться суммой вещественных чисел а и Ь.
Желание оправдать указанный практический способ сложения ве-
щественных чисел, естественно, приводит нас к следующему опреде-
лению суммы двух вещественных чисел.
Дусть ах и а2 —какие угодно рациональные числа, между кото-
рыми заключено вещественное число а (т. е. aj^gasCc^), а {Зх и р2—
какие угодно рациональные числа, между которыми заключено ве-
щественное число b (т. е. [Зх b |32). Тогда суммой вещественных
чисел а и b мы назовем такое вещественное число х, которое'заклю-
чено между всеми рациональными числами (04 + рх) и (а2 4- р2) *).
Иными словами, с у ммой вещественных чисел а и b мы назо-
вем такое вещественное число х, которое для любых рациональ-
ных чисел ах, а2, рх и £2, удовлетворяющих неравенствам
ах < а а2, рх b С р2,	(2.9)
удовлетворяет следующим неравенствам:
а1 + Х а2 + ?2-
(2.Ю)
Существование такого вещественного числа х, и притом. только од-
ного, не вызывает-сомнений. Соответствующее доказательство приво-
дится ниже в петите. Нетрудно убедиться в том, что таким числом х
является точная верхняя грань множества {<xx + W сумм всех ра-
циональных чисел ах ирх, удовлетворяющих левым неравенствам
(2.9) **).
1°. Прежде всего убедимся в том, что указанная верхняя грань сущест-
вует. В самом деле, фиксируем произвольные рациональные числа а2 и р2,
удовлетворяющие правым неравенствам (2.9), и рассмотрим всевозможные
рациональные числа и рх, удовлетворяющие левым неравенствам (2.9).
Из свойства транзитивности знака >, установленного в пункте 3 § 1, за-
ключаем, что	р!^р2, а из этих неравенств следует, что
г^а24-Э2 (см. конец пункта 1 § 1). Таким образом, множество всех рацио-
нальных чисел {®i + Р1} ограничено сверху и число а2.+ ?2 является одной из
верхних граней этого множества. По теореме 2.1 у множества рх + М су-
ществует точная верхняя грань, которую мы обозначим через х. Остается
убедиться в том, что число х является суммой вещественных чисел а и Ь,
т. е. удовлетворяет неравенствам (2.10). В самом деле, по определению точ-
ной верхней грани, справедливо левое неравенство (2.10), а справедливость
правого неравенства (2.10) вытекает из того, что «2 + одна из-верхних гра-
ней, а х — точная верхняя грань множества {“i + Pi}-
2°. Установим теперь, что существует только одно вещественное число х,
удовлетворяющее неравенствам (2.10). Будем опираться на следующую
s *) Заметим, Что в элементарном курсе сумма двух вещественных чисел
определялась аналогичным образом (см. А. П. Киселев, Алгебра II, Уч-
педгиз, 1959, стр. 9).
**) Аналогично, можно было бы убедиться в том, что таким числом яв-
ляется точная нижняя грань множества {«2 + ₽а} сумм всех рациональных
чисел аа и р2, удовлетворяющих правым неравенствам (2.9).
§ 2] АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ 49
лемму (для удобства доказательство этой леммы отнесено в конец настоя-
щего пункта): .
Если для двух данных вещественных чисел хг и хг и для любого наперед
взятого положительного рационального е найдутся два рациональных числа "ц
и т2 таких, что 71 Та> 71 ^*2^ Та и Та — Ti<s> то числа
и хг равны.
Предположим, что существуют два вещественных числа xt и хг, удовлет-
воряющих неравенствам (2.10) (при любых рациональных числах alt a2, рх и р2,
удовлетворяющих неравенствам (2.9)). Возьмем любое положительное рацио-
нальное число е.' Согласно утверждению, доказанному в п. 4 § 1, для вещест-
е
венного числа а и для рационального числа найдутся такие рациональные
числа at и a2, что ax^a^a2, причем я2 — ai< Аналогично для вещест-
венного числа о и для рационального числа -у найдутся такие рациональные
числа и р2, что	причем р2 —
Таким образом, оба вещественных числа xt и х2 будут заключены между
двумя рациональными числами (ах + pj и (<х2 -|- р2), разность между которыми
(по модулю) равна
(«а	₽г) — (ai + Pi) = (а2 — “1) + (Рг — Pi) < е-
Так как е — любое наперед взятое положительное рациональное число, то
xt = ха в силу сформулированной выше леммы.
3°. Установим, наконец, что в применении к двум рациональным числам
сформулированное нами определение суммы вещественных чисел и известное
из элементарного курса определение суммы рациональных чисел приводят
к одному и тому же результату. В самом деле, если а и Ь— два рациональ-
ных числа, удовлетворяющих неравенствам щ sg а sg a2, pi sg &,sgp2, а (а + Ь) —
их сумма, полученная по известному из элементарного курса определению,
то очевидно,
(»i + Pi)*Sa + 6sS(a2 + P2),	(2.11)
причем, согласно только что доказанному утверждению, рациональное число
(а Ь) является единственным вещественным числом, удовлетворяющим нера-
венствам (2.11).
4°. Прежде чем доказывать сформулированную выше лемму, установим
следующее вспомогательное утверждение.
Каковы бы ни были два вещественных числа а и Ь такие, что Ь <.а,
найдется рациональное число а, заключенное между ними, т. е. такое, что
Ь <_а<_а (а следовательно, найдется и бесконечное множество различных
рациональных чисел, заключенных между а и Ь).
Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда оба числа а и b неотри-
цательны, ибо случай, когда а и Ь оба неположительны, сводится к указан-
ному случаю посредством перехода к модулям, а случай, когда одно число
положительно, а другое — отрицательно, тривиален (в качестве а можно
взять нуль).
Итак, пусть Ь^О; Ъ<а\ а — а^а^ ... ап b = bts,blbi ... Ьп ...
Пусть k — наименьший из номеров п, для которых нарушается равенство
ап = Ьп, т. е. а0 = &0, ai = &i, ..., oift-i = &4_i, а^^Ь^.
В силу договоренности, принятой в пункте 3 § 1, можно считать, что все
ап при n>k не могут быть равны нулю. Пусть р — наименьший из номеров п,
превосходящих k, для которых ап > 0, т. е.
а — аа, ах ...	00 ... 0ар ...
50
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
[ГЛ. 2
Тогда из правила сравнения вещественных чисел непосредственно вытекает,
что рациональное число а — а0, щ ... aft00 ... 0 (ар— 1)999 ... удовлетво-
ряет неравенствам b < а < а. Вспомогательное утверждение доказано.
Обращаясь к доказательству леммы, предположим, что Xi~^x2. Пусть
ради определенности хг < х2. Тогда в' силу вспомогательного утверждения
найдутся два рациональных числа ах и а2 таких, что
%2’	(2*12)
Пусть теперь и ‘(2— какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие
неравенствам
Т1 sS Xi	Та. В < *2 < 12-	(2-13)
Из сопоставления (2.12) и (2.13) и из свойства транзитивности знака > по-
лучим < ах < а2 < т2. Но тогда ?2 — 71 > “г — »i, что противоречит тому,
что разность у2 — 7Х может быть сделана меньше любого наперед взятого по-
ложительного рационального числа «. Лемма доказана.
2. Определение произведения вещественных чисел. Поскольку
вопросы, возникающие в связи с определением произведения вещест-
венных чисел, в основном совпадают с вопросами, рассмотренными
при определении суммы вещественных чисел, мы ограничимся лишь
краткой формулировкой результатов.
Определим сначала произведение двух положительных чисел а
и Ь. Обозначим через ар а2, и [32 любые положительные рацио-
нальные числа, удовлетворяющие неравенствам а.у^а^а^,
Произведением положительных вещественных чисел а и b назо-
вем вещественное число х, удовлетворяющее неравенствам
Точно так же, как и для суммы, устанавливается, что такое ве-
щественное число х существует, и притом только одно. Легко убе-
диться в том, что таким числом х является точная верхняя грань
множества {а^} произведений всех рациональных чисел ах и
удовлетворяющих неравенствам 0 < ах а, 0 < рх sC Ь.
Произведение вещественных чисел любого знака определяется
по следующему правилу:
1)	считают, что a-0 = 0-a = 0;
(| а ] • | b |, если а и b одного знака,
2)	считают, что аЬ = \	,
(—| а | • | b |, если а и Ь разных знаков.
В заключение отметим, что точно так же, как и для суммы, можно
доказать, что в применении к двум рациональным числам определе-
ние произведения вещественных чисел и известное из элементарного
курса определение произведения рациональных чисел приводят
к одному и тому же результату.
3.	Свойства вещественных чисел. В этом пункте мы убедимся
в справедливости для произвольных вещественных чисел всех основ-
ных свойств, перечисленных в п. 1 § 1 для рациональных чисел.
Справедливость для вещественных чисел свойства 1° уже уставов-
§ 2] АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
51
лена выше. Таким образом, нужно выяснить лишь вопрос о спра-
ведливости для вещественных чисел свойств 2°—13°.
Легко убедиться в справедливости для вещественных чисел
свойств 2° — 5° и 11°, связанных с понятием суммы. Справедливость
свойств 2° — 5° непосредственно вытекает из определения суммы
вещественных чисел и из справедливости указанных свойств для
рациональных чисел.
Остановимся на доказательстве свойства 11°, т. е. докажем, что если а,
Ьи с — любые три вещественных числа и а>Ь, то а + с > b + с.
Так как а~>Ь, то в силу вспомогательного утверждения, установленного
при доказательстве леммы (см. конец п. 1 настоящего параграфа), найдутся
рациональные числа ах и р2 такие, что а > ах > р2 > Ь. Для вещественного
числа с и для положительного рационального числа г = ах — р2 найдутся ра-
циональные числа ft и т2 такие, что Ti«JCs£72, причем у2 — 7j<s = ax— р2
(см. утверждение, доказанное в п. 4 § 1).
Пусть далее аг и ?х — любые рациональные числа, удовлетворяющие не-
равенствам а2^а, Ь^рх. Тогда по определению суммы вещественных чисел
“а + 7г а +	?а + 7аЭ=^ + С^Р1 + 71-
Для доказательства того, что а + с > & + с, в силу транзитивности знака >
достаточно доказать, что + 71 > ₽2 + 7а> но это непосредственно вытекает
из неравенства 72 — 7Х < зх — ?2.
Заметим, что вопрос о вычитании вещественных чисел как о дей-
ствии, обратном сложению, полностью исчерпывается на основании
свойств 2° — 5°. Назовем разностью вещественных чисел а и b
вещественное число с такое, что с-[-Ь = а.
Убедимся в том, что такой разностью является число с = а -}- Ь',
где Ь' — число, противоположное Ь.
В самом деле, используя свойства 2° — 5°, можем записать
с	b = (а	Ь') 4“ b = « 4" (!>' 4“ = а -|- 0 = а.
Убедимся в том, что существует только одно вещественное число,
являющееся разностью двух данных вещественных чисел.' Предпо-
ложим' что кроме указанного выше числа с — а-\-Ь' существует
еще одно число d такое, что d-\-b — а. Тогда, с одной стороны,
(d 4- b) 4" = а 4“ Ъ' — с, с другой стороны, (d 4- b) -f- b' = d 4-
4- (b 4~ b') = d 4- 0 = d, т. е. c = d.
Из определения разности и из свойства 5° вытекает, что число а',
противоположное а, равно разности числа 0 и числа а. Это число
обычно записывают в виде — а.
Не вызывает затруднения перенесение на случай вещественных
чисел свойств 6°, 7°, 8°, 9°, 10° и 12°, связанных с понятием произ-
ведения. Отметим лишь в отношении свойства 9°, что если а — поло-
жительное вещественное число, а ах и а2 — какие угодно рациональ-
ные числа, удовлетворяющие неравенствам 0 < Oj а <1 аа, то число а\
52
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
[ГЛ. 2
вещественное число,
для любых двух ве-
притом только одно,
обратное для а, определяется как единственное
удовлетворяющее неравенствам — гС а — *).
Свойства 6° — 9° позволяют заключить, что
шественных чисел а и Ъ (Ь 0) существует, и
вещественное число с, удовлетворяющее условию cb = a. Это число с
называется частным чисел а и Ь.
Из определения частного и из свойства 9° вытекает, что число а',
обратное числу а, равно частному чисел 1 и а, которое мы обо-
1
значим —.
а
Заметим, наконец, что на случай вещественных чисел переносится
и последнее 13-е свойство рациональных чисел, а именно: каково бы
на было вещественное число а, можно число 1 повторить сла-
гаемым столько раз, что . полученная сумма превзойдет а**).
Докажем это свойство. В случае а < 0 доказательство не требуется,
ибо 1 >> а. Пусть a 0; а = а0, аг ... ап ... В силу того, что опре-
деление суммы вещественных чисел в применении к сумме рациональ-
ных чисел совпадает с определением суммы рациональных чисел,
повторив число 1 слагаемым п раз, получим целое число п. Таким
образом, достаточно доказать, что для числа а найдется целое число п
такое, что л>а. Но это очевидно: достаточно взять п = а0~\-2.
Таким образом, на случай вещественных чисел переносятся все
основные свойства, сформулированные для рациональных чисел
в пункте 1 настоящего параграфа. Следовательно, для вещест-
венных чисел сохраняют свою силу все правила алгебры; относя-
щиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств
и неравенств.
На этом мы заканчиваем изложение элементов теории вещест-
венных чисел, необходимых для построения курса математического
анализа. Дальнейшее развитие теории вещественных чисел читатель
может найти в приложении в конце настоящей книги.
В заключение заметим, что мы построили теорию вещественных
чисел, апеллируя к их представлению в виде бесконечных десятич-
ных дробей.
Совершенно ясно, что мы могли бы апеллировать и к бесконеч-
ным дробям с любым другим (не обязательно десятичным) основа-
нием. В этом отношении системы счисления с различными основа-
ниями эквивалентны между собой. Однако в некоторых вопросах
приближенных вычислений и, в частности, при округлении чисел до
заданного количества разрядов системы счисления с четными и с не-
♦) В качестве числа а' может быть взята точная верхняя грань множе-
ства всех рациональных чисел
•*) Заметим, что это свойство называют аксиомой Архимеда.
§ 31 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 53
четными основаниями ведут себя существенно по-разному (см. по
этому поводу дополнение 2 к настоящей главе).
4.	Некоторые часто употребляемые соотношения. Докажем
справедливость для любых вещественных чисел а и b следующих
двух соотношений:
[ ab | = | а |b |,	(2.14)
> +	(2-15)
Словесная формулировка этих соотношений такова: 1) модуль
произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел,
2) модуль суммы двух чисел не превосходит суммы модулей
этих чисел.
Соотношение (2.14) непосредственно вытекает из определения
произведения двух вещественных чисел. Докажем соотношение (2.15).
На основании определения модуля и правила сравнения для любых
вещественных чисел а и Ъ справедливы неравенства
— ] а |	а «С | а |,	— | b | b -eg | b (.
В силу основных свойств можно почленно складывать неравенства
одного знака (это доказано в конце пункта 1 § 1). Поэтому
-(И + |*|)^а + &<а] + |Н
Используя в случае аЦ-£>;>0 правое, а в случае	левое
из последних неравенств, мы получим неравенство (2.15).
Замечание. Отметим еще два часто употребляемых неравенства:
\а — й|э;|а| —1&|	(2.16)
и
|а-(,|>||а|_р||.	(2.17)
Для получения неравенства (2.16) достаточно учесть, что а = (а — и,
опираясь на (2.15;, записать неравенство | а|sg | а— Ь | 4- | b |. Неравенство
(2.17) является следствием неравенства (2.16) и неравенства | b — а |
:> | Ь | — | а |, которое получается из (2.16), если поменять ролями числа а и Ь.
§ 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел
В дальнейшем нам часто придется иметь дело с различными мно-
жествами вещественных чисел. Будем обозначать произвольное мно-
жество вещественных чисел символом {х}, а числа, входящие в со-
став этого множества, будем называть элементами или точками
этого множества. Мы будем говорить, что точка хг множества {л*}
отлична от точки х2 этого множества, если вещественные
числа хг и х2 не .равны друг другу. Если при этом справедливо не-
равенство хх > х2 (Xj < ха), то будем говорить, что точка xt лежит
правее (левее) точки х2.
Рассмотрим некоторые наиболее употребительные множества
вещественных чисел.
54
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
[ГЛ. 2
1°. Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравен-
ствам а^х^Ь, где a<Zb, будем называть сегментом и обозначать
символом [а, &]. При этом числа а и b будем называть граничными
точками или концами сегмента [а, Ь], а любое число х, удов-
летворяющее неравенствам a<Z.x<Zb, будем называть внутренней
точкой сегмента [а, Ь].
2°. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих не-
равенствам a^x<Zb {или а<2х^Ь}, будем называть полусегмен-
том и обозначать символом [а, Ь) {или (а, й]}.
3°. Множество всех веществённых чисел х, удовлетворяющих не-
равенствам а < х < Ь, будем называть интервалом и обозначать
символом (а, Ь).
4°. Любой интервал, содержащий точку с, будем называть окрест-
ностью точки с.
5°. Интервал (с— е, c-J-e), где е>0, будем называть г-окрест-
ностью точки с.
6°. Множество всех вещественных чисел будем называть числовой
{бесконечной) прямой и обозначать символом (—оо, -|-оо).
7°. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих
неравенству х^а {или х^Ь}, будем называть полупрямой и обо-
значать символом [а, оо) {или (— со, &]}.
8°. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих не-
равенству х~у>а {или x<Zb}, будем называть открытой полупря-
мой и обозначать символом (а, со) {или (— оо, £>)}•
Замечание. Отметим, что сегмент иногда называют замкнутым
отрезком или просто отрезком, а интервал — открытым от-
резком.
Произвольное множество {х} будем называть плотным в себе, если в лю-
бой окрестности каждой точки х этого множества содержится хотя бы одна
точка множества, отличная от х. Примером плотного в себе множества
может служить любое из определенных выше множеств 1° — 8°. Другим при-
мером плотного в себе множества может служить множество всех рациональ-
ных чисел, входящих в состав любого из множеств Iе — 8°.
ДОПОЛНЕНИЕ 1 к ГЛАВЕ 2
О ПЕРЕВОДЕ ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
В ДВОИЧНУЮ И ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ
В этом дополнении мы остановимся на алгоритмах перевода чисел из
десятичной системы счисления в двоичную и обратного перевода из двоичной
системы в десятичную *).
1. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную. Для зада-
ния десятичного числа х10 в разрядной сетке электронной, машины используют
так называемую нормализованную форму записи этого числа
— ?ю • ЮР*’.
(2.18)
*) Излагаемые ниже алгоритмы реализуются, в частности, на электрон-
ной машине БЭСМ-4.
ДОПОЛНЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ 2
55
В этой форме записи величина
910 = (1 - 2Sg) (ах • 10-1 + а2. 10-» + ... + а» • Ю"»)	(2.19)
называется десятичной мантиссой данного числа, причем ах 1, Sq берется
равным нулю при q10	0 и равным единице при q10 < 0 *), а показатель
степени
P10 = (l-2Sp)(₽1 + 10W	(2.20)
называется десятичным порядком данного числа, причем Sp берется равным
нулю при р1о ^О и равным единице при р10 < 0 **).
На рис. 2.3 указано, как десятичное число (2.18) — (2.20) задается в раз-
рядной сетке электронной машины^ На изображение каждого из десятичных
			1 Рю 1		1 <710 1			
Л	S9	sp	.А.		а.	а2		а»
								
45	44	43	42 41	40 39 38 37	36 35 34 33	32 31 30 29		4 3 2 1
Рис. 2.3.
чисел рх, ах, а2, ..., ая отводится по четыре двоичных разряда, так что каждое
из указанных чисел может принимать любое целочисленное значение от 0 до 15,
а на изображение числа ₽2 отводится всего два разряда, так что р2 может
принимать значения 0, 1, 2, 3 ***).
Стандартная программа вырабатывает по десятичному числу (2.18) — (2.20)
соответствующее ему двоичное число х2. Эта программа реализуется следующим
образом. Сначала вычисляется величина 7:
7 = (1 - 2Sq) (ах . 10» + а2  10« + ... + а,) • 2»».
Затем указанная величина 7 умножается на величину k = 268  10—10 (последняя
величина задается в машине также в нормализованной форме, причем обычно
с избытком в две единицы младшего разряда мантиссы).
Произведение kf отвечает, очевидно, десятичной мантиссе (2.19). Дальней-
шая процедура заключается в умножении £7 на 10 или в зависимости от
знака р10 (т. е. от Sp), производимом столько раз, какова величина | р101.
В завершение программы в полученном результате обычно очищают три млад-
ших разряда мантиссы.
Указанная программа 1) обеспечивает по крайней мере 30 верных двоич-
ных знаков результата, 2) обеспечивает перевод в двоичное число любого целого
*) Таким образом, множитель (1 —2Sq) в равенстве (2.19) характеризует
знак мантиссы q10.
**) Так что множитель (1—2SP) в равенстве (2.20) характеризует знак
порядка р10.
***) На самом деле, в силу конструкции клавишного устройства, на этом
устройстве нельзя пробить каждое из чисел Р1( аъ а2, ..., а2 большим девяти,
а число р2 нельзя пробить большим единицы. Таким образом, каждое из чисел
Pi, ах, ......а, меняется в диапазоне от 0 до 9, а число ра принимает зна-
чения 0 и 1.
56
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
(ГЛ. 2
десятичного числа в .диапазоне от 0 до 50 000, 3) обеспечивает перевод деся-
тично нормализованного числа в двоично нормализованное число *).
В заключение заметим, что если при реализации указанной программы
в процессе умножения на 10 двоичный порядок переводимого числа превы-
шает 59, то дальнейшие умножения на 10 прекращаются, даже если они
требуются в соответствии с величиной | р10 |.
2. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную- Укажем
стандартную программу, которая вырабатывает по заданному в нормализован-
ной форме двоичному числу х2 = q2 • 2Рг соответствующее ему десятичное
число х10, записанное в нормализованной форме (2.18) — (2.20). В разрядной
сетке машины вырабатываемое число располагается так, как указано на
рис. 2.3.
Программа реализуется следующим образом. Сначала исходное число х2
множится на для того, чтобы при последующем умножении на 10 не полу-
чить машинного переполнения. Затем полученное число множится на 10 или
1 ,
В зависимости от того, больше оно единицы или нет, до тех пор, пока
результат умножений не попадет в интервал от до 1. Количество произве-
денных умножений, очевидно, определяет | р10 |, Что же кдсается знака р1а,
то он положителен, если исходное число превосходит единицу, и отрицателен —
в противном случае.
Далее очевидно, что полученное в результате умножений число и будет
десятичной мантиссой qlB. Цифры alt а2, ..., а, десятичной мантиссы q™
определяются последовательно путем умножения на 10 и выделения целой
части.
ДОПОЛНЕНИЕ 2 К ГЛАВЕ 2
ОБ ОШИБКАХ В ОКРУГЛЕНИИ ЧИСЕЛ В СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
С ЧЕТНЫМ И НЕЧЕТНЫМ ОСНОВАНИЯМИ
Предположим, что вычислительная машина работает с /-разрядными чис-
лами в системе счисления с основанием РЭ=2. Тогда, не уменьшая общности,
можно считать, что все числа хи>, хранящиеся в памяти машины, имеют вид
ха> = ajp-1 + а2р'2 + ... + а,р~‘,
где коэффициенты а(- (i=l, 2, ..., /) могут принимать значения 0, 1, ...
..., (р—1). Совершенно ясно, что такие операции, как сложение, умножение
или деление, будучи произведены над /-разрядными числами, могут дать
в результате числа, содержащие более чем / разрядов, и поэтому естественно
возникает необходимость в округлении указанных чисел до / разрядов.
Рассмотрим простейшую операцию — округление чисел, содержащих / + г
(где г > 0) разрядов, до чисел, содержащих / разрядов. Каким бы способом
ни производилось округление содержащего (/ + г) разрядов числа х|Г+Г|,
результатом округления должно быть /-разрядное число. Отсюда вытекает,
что ошибка округления числа (обозначим эту ошибку символом е (x,,+''^))
имеет следующий вид:
е (x(t+r>') = — ip-4+” +	р~*.
*) Если исходное десятичное число не являлось нормализованным (т. е.
в (2.19) нарушалось условие ajgil), то и результат его перевода в двоичную
систему может оказаться ненормализованным.
ДОПОЛНЕНИЕ 2 К ГЛАВЕ 2
‘57
Здесь i может принимать значения 0, 1, p'—la зависимости от
значения последних г разрядов числа х|<+п a m(i) — некоторая функция от i,
принимающая целочисленные значения и зависящая от выбранного способа
округления.
Наиболее важной характеристикой.ошибки округления является ее среднее
значение А, которое определяется как дробь *)
па+г> ’
в числителе которой стоит сумма ошибок, соответствующих всем допустимым
значениям чисел х1<+г|, а в знаменателе — количество таких чисел x't+r'.
Предположим, что все рассматриваемые числа х,/+Г| удовлетворяют нера-
венствам Огёх,/+П < 1. Тогда, очевидно, количество л'/+Г| всех чисел x‘t+r>
будет равно pt+r, и мы получим после несложных вычислений, что
Д =	+	= /+Г) Ру1 т  £-1
р‘+г	Ай	2
'г=о „
Сумма S га (О, стоящая под знаком фигурной скобки, зависит от выбранного
нами способа округления, но в любом случае эта сумма будет целочисленной.
pr— 1
Второй член под знаком фигурной скобки —— ,при любом четном р
не будет целым. Таким образом, при любом четном основании р средняя
ошибка А не равна нулю. Это означает, что при любом фиксированном способе
округления, определяемом лишь отбрасываемыми разрядами, ошибка от округ-
ления до меньшего числа разрядов будет иметь систематическое смещение при
любой системе счисления с четным основанием. С другой стороны, легко про-
верить, что обычное «школьное» правило округления в любой системе с нечет-
ным основанием приводит к «несмещенным» ошибкам.
.*) Символ S есть символ суммирования тех слагаемых, которые записаны
вслед за этим символом. Если указанные слагаемые зависят от номера i, то
п
запись У обозначает, что нужно произвести суммирование по всем значе-
i=m
ниям i от т до п.
ГЛАВА 3
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Одной из основных операций математического анализа является
операция предельного перехода. Эта операция встречается в анализе
в различных формах. В настоящей главе рассматривается простейшая
форма операции предельного перехода, основанная на понятии предела
так называемой числовой последовательности. Понятие предела число-
вой последовательности позволит нам в дальнейшем определить и
другие формы операции предельного перехода.
§ 1.	Числовые последовательности
1.	Числовые последовательности и операции над ними. Из
элементарного курса читатель имеет представление о числовых после-
довательностях. Примерами числовых последовательностей могут слу-
жить: 1) последовательность всех .элементов арифметической и гео-
метрической прогрессии, 2) последовательность периметров правильных
n-угольников, вписанных в данную окружность, 3) последовательность
хх=1, х2 = 1,4, хэ=1,41 ... приближенных значений числа ]Л2. Этот
пункт мы начнем с уточнения понятия числовой последовательности.
Если каждому числу п натурального ряда чисел 1, 2, ..., п,...
ставится в соответствие по определенному закону некоторое
вещественное число хп, то множество занумерованных вещест-
венных чисел
• • • > %п> • • •	(3-1)
мы и будем называть числовой последовательностью или просто
последовательностью.
Числа хп будем называть элементами или членами последова-
тельности (3.1). Сокращенно последовательность (3.1) будем обозна-
чать символом {%„}. Так, например, символом будем обозначать
последовательность 1, 1/2,..., 1/я, ..., а символом {!-(-(—1)я}
будем обозначать последовательность 0,2,0,2,...
5 11
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
59
Введем понятие арифметических операций над числовыми последо-
вательностями. Пусть даны произвольные последовательности х1г х2,...
..., Хи,... и yv _у2,..., уп,... Суммой этих последовательностей на-
зовем последовательность хъ -f- ylt х2 -j-y2, ...,хп -)-уп,... (или {хп + уп}),
разностью—последовательность х1—у1, х2 — у2, ...» х„—у„, ...
(или {х„—_у„})> произведением — последовательность	х2-у2,...
..., хп-уп,... (или {хп-^л}), частным — последовательность —, —,...
.	Ух Ух
Замечание. При определении частного нужно требовать,
чтобы все элементы уп последовательности были отличны от
нуля. Однако, если у последовательности	обращается в нуль
лишь конечное число элементов, то частное } можно опреде-
лить с того номера, начиная с которого все элементы уп отличны
от нуля.
2.	Ограниченные и неограниченные последовательности.
Определение 1, Последовательность {хп} называется огра-
ниченной с в е р ху t(c ни зу), если существует такое вещест-
венное число М (число т), что каждый элемент хп последова-
тельности {хп} удовлетворяет неравенству хп^.М (хп^т)*).
При этом число М (число т) называется верхней гранью (ниж-
ней гранью) последовательности {хп}, а неравенство хп^М (хп^т)
называется условием ограниченности последовательности сверху
(снизу).
Отметим, что любая ограниченная сверху последовательность {х„}
имеет бесчисленное множество верхних граней. В самом деле, если
М — верхняя грань, то любое число М*, большее М, также является
верхней гранью. Подчеркнем, что в условии хп^М. ограниченности
последовательности {хга} сверху в качестве М может рассматриваться
любая из верхних граней. Аналогичные замечания можно сделать
в отношении нижних граней ограниченной снизу последователь-
ности {хп}.
Определение 2. Последовательность {х„} называется ограни-
ченной с обеих сторон или просто ограниченной, если она
ограничена и сверху, и снизу, т. е. если существуют числа т и
Ж такие, что любой элемент хп этой последовательности удовле-
творяет неравенствам'. т^хп^М.
Если последовательность {хп} ограничена и М и от —ее верхняя
и нижняя грани, то все элементы хп этой последовательности удов-
летворяют неравенству
|хя|^Л,	(3.2)
*) Это определение полностью аналогично определению ограниченного
сверху (снизу) множества вещественных чисел (см. п. 5 § 1 главы 2).
60
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
(ГЛ 3
где А — максимальное из двух чисел | Ж | и | т |. Обратно, если все
элементы последовательности {х„} удовлетворяют неравенству (3.2),
то выполняются также неравенства — А ха А, и, следовательно,
последовательность {х„} ограничена. Таким образом, неравенство (3.2)
представляет собой другую форму условия ограниченности последо-
вательности. Уточним понятие неограниченной последовательности.
Последовательность {х„} называется неограниченной, если для
любого положительного числа А найдется элемент хП этой по-
следовательности, удовлетворяющий неравенству . | хп | > А. Рас-
смотрим -несколько примеров:
1)	Последовательность —1, —4, —9,..., —я2, ... ограничена
сверху и не ограничена снизу. Верхней гранью этой последователь-
ности является любое число, не меньшее — 1.
2)	Последовательность 1, у, -у,...,	... ограничена. Дейст-
вительно, верхней гранью этой последовательности является любое
число М 1, а нижней гранью —любое число яг=С9.
3)	Последовательность 1, 2, 1, 3,..., 1, п, 1, (n-f-l),... не огра-
ничена. В самом деле, каково бы ни было положительное число-л,
среди элементов этой последовательности (с четными номерами) най-
дутся элементы, превосходящие А.
3.	Бесконечно большие и бесконечно малые последователь-
ности.
Определение 1. Последовательность {хп} называется бес-
конечно большой, если для любого положительного числа А*)
можно указать номер N такой**), что при п^Ы все элемен-
ты хп этой последовательности удовлетворяют неравенству
|х„|>Л.
Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая после-
довательность является неограниченной, поскольку для любого А > 0
можно указать номер N такой, что при n^N все элементы хп
удовлетворяют неравенству | хп | > А, а следовательно, для любого
А > 0 найдется по крайней мере один такой элемент хл, что | хп | > А.
Однако неограниченная последовательность может и не быть беско-
нечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2,
1, 3,..., 1, п, ... не является бесконечно большбй, поскольку при
А > 1 неравенство | хп | > А не имеет места для всех хп с нечет-
ными номерами.
Определение 2. Последовательность {а„} ***) называется бес-
конечно малой, если для любого положительного числа е****)
*) Сколь бы большим мы его ни взяли.
**) Так как номер N зависит от числа А, то иногда пишут N =N (А).
***) Элементы бесконечно малых последовательностей мы, как правило,
будем обозначать греческими буквами.
*»**) Сколь бы малым мы его ни взяли.
§ И
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
61
можно указать номер N такой*), что при n^N все элементы
ап этой последовательности удовлетворяют неравенству | ал | <; е.
Рассмотрим следующие примеры:
1)	Докажем, что последовательность q, q2, q3...... qn,-.. при
|9|>1 является бесконечно большой, а при | q | <; 1 — бесконечно
малой.
Сначала рассмотрим случай | q | > 1. Тогда | q | = 1 + 8, где8>0.
Используя формулу бинома Ньютона, получим | ^=(1-(-8^= 1-]-
-j- 8jV-f- (положительные члены). Отсюда
|?|">8N.
(3.3)
Фиксируем произвольное число А > 0 й выберем номер N столь
большим, чтобы имело место неравенство 8Л/>Д**). Из последнего
неравенства и неравенства (3.3) вытекает неравенство ] q |Л’> А. Так
как при л N и при | q | >• 1 | q |л | q (в силу свойств произве-
дения вещественных чисел), то | q |л> А при n^N. Тем самым до-
казано, что при |у|>1 рассматриваемая последовательность является
бесконечно большой.
Случай | q | < 1 рассматривается совершенно аналогично. В этом
случае = 1-1-8, где 8 > О (мы. опустили случай q = 0). Снова ис-
пользуя формулу бинома Ньютона, мы получим вместо (3.3) следую-
щее неравенство:
^>8М или |?|ЛГ<^.	(3.3*)
Фиксируем произвольное е > 0 и выберем номер из условия
J_ < е***)_ уак как । q । q ПрИ	и ПрИ | |	1, то из по-
лученных неравенств вытекает, что | q |л <е при n^N. Тем самым
доказано, что при | ?|<1 рассматриваемая последовательность является
бесконечно малой.
2)	Докажем, что последовательность 1,-4» ... , —, ... бесконечно
Z	П
малая. В самом деле, если n^N, то — Поэтому по данному в
достаточно выбрать номер N из условия < е. Например, можно
положить Л7= Г-М 4-1.
♦) Так как номер N зависит от числа е, то иногда пишут N = N (е).
(ji.) **) Достаточно положить N = [ v] "Ь 1> где символ [*] обозначает целую
часть числа х. Например, [5,138] = 5, [—172,9] = — 173.
***) Достаточно положить N = [	+ Ь
62
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ 3
4.	Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
Теорема 3.1. Сумма двух бесконечно малых последовательно-
стей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть {ая} и {ря} —• бесконечно малые после-
довательности. Докажем, что последовательность {а„ + ря}—бесконечно
малая. Пусть е — произвольное положительное число, номер, начи-
ная с которого | а„ | < , a П2 — номер, начиная с которого | | <
(Такие номера и -N2 найдутся по определению бесконечно
малой последовательности). Так как модуль суммы двух чисел не пре-
восходит суммы йх модулей, т. е. | а„ + ря | «С | а„ | + |f)„[ (см. пункт 4
§ 2 главы 2), то, обозначив через N наибольший из двух номеров
и N2, мы получим, что, начиная с номера N, выполняется нера-
венство К + М<£' Это означает, что последовательность {ая-|-ря}
бесконечно малая. Теорема доказана.
Теорема 3.2. Разность двух бесконечно малых последова-
тельностей есть бесконечно малая последовательность.
Эта теорема доказывается аналогично предыдущей.
Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа
бесконечно малых последовательностей— бесконечно малая после-
довательность.
Теорема 3.3. Бесконечно малая последовательность огра-
ничена.
Доказательство. Пусть {а„} — бесконечно малая последова-
тельность и е — некоторое положительное число. Пусть, далее, N —
номер, начиная с которого | а„ | < е. Обозначим через А наибольшее
из следующих N чисел: е, |	|, | а2 , | av_j |. Это можно записать
так: А — шах {е, | ах |, | а2 |,..., |	11} *). Очевидно, | ая | А для лю-
бого номера п, что означает ограниченность последовательности. Тео-
рема доказана.
Теорема 3.4. Произведение ограниченной последовательности
на бесконечно малую последовательность представляет собой
бесконечно малую последовательность.
Доказательство. Пусть {хл} — ограниченная, а {ая} — беско-
нечно малая последовательности. Так как последовательность {х„}
ограничена, то существует число А >> 0 такое, что любой элемент хп
удовлетворяет неравенству ] хп | А. Возьмем произвольное положи-
тельное число е. Поскольку последовательность {ая} бесконечно малая,
то для положительного числа 4- можно указать номер N такой, что
при n^N выполняется неравенство |ая|<^. Тогда при п^П
*) Здесь и в дальнейшем символ а = max {aj, а^, ...,ал} означает, что
число а равно максимальному из чисел а1( а2, ... * ап.
«1]
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
63
| хп • ап | = | хп 1 а„ ] < А = е. Поэтому последовательность {хп  ап}
бесконечно малая. Теорема доказана.
Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно
малых последовательностей представляет собой бесконечно малую
последовательность.
Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательно-
стей может быть последовательностью любого типа и даже может не
с	1 а 1
иметь смысла. Если, например, а„ = —, р„ = —, то все элементы после-
довательности равны единице. Если = —, р„ = -^, то последо-
вательность бесконечно большая, и наоборот, если а„ = ^,
а Рп — —, то последовательность бесконечно малая. Если беско-
нечно много элементов последовательности {(Зп} равны нулю, то частное
не имеет смысла.
Теорема 3.5. Если все элементы бесконечно малой последова-
тельности {ал} равны одному и тому же числу с, то с = 0.
Доказательство. Допустим, что с 0. Положим е =	,
е > 0. Начиная с номера N, соответствующего этому е, выполняется
неравенство | а„ | < е. Так как ая = с, а е = -^, то последнее нера-
венство можно переписать следующим образом:	откуда
1
1 < у. Полученное противоречие показывает, что предположение
с Ф 0 не может иметь места. Итак, с = 0. Теорема доказана.
В заключение отметим предложение, устанавливающее связь
между бесконечно большими и бесконечно малыми последователь-
ностями.
Теорема 3.6. Если {хп} — бесконечно большая последователь-
ность, то, начиная с некоторого номера п, определена последова-
тельность которая является бесконечно малой. Если все
элементы бесконечно малой последовательности {а„} не равны
нулю, то последовательность бесконечно большая.
Доказательство. Отметим, во-первых, что у бесконечно боль-
шой последовательности лишь конечное число элементов может быть
равно нулю. В самом деле, из определения бесконечно большой после-
довательности вытекает, что для данного положительного числа А
можно указать такой номер №*, начиная с которого выполняется нера-
венство	Это означает, что при п~з%П* все элементы хп
не равны нулю, а поэтому последовательность У имеет смысл,
64
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 9
если ее элементы рассматривать начиная с номера N*. Докажем теперь,
что — бесконечно малая последовательность. Пусть е —любое
положительное число. Для числа— можно указать номер
такой, что при n^N элементы хп последовательности {хп} удовлет-
воряют неравенству |х„| Поэтому, начиная с указанного номера
N, будет выполняться неравенство | < е. Таким образом, доказано,
что последовательность | бесконечно малая.
Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.
§ 2. Сходящиеся последовательности и их основные свойства
1. Понятие сходящейся последовательности.
Определение. Последовательность {хп} называется сходя-
щейся, если существует такое число а, что последователь-
ность {jcn— а} является бесконечно малой. При этом число а
называется пределом последовательности *).
Определение сходящейся последовательности можно, очевидно,
сформулировать также и следующим образом.
Последовательность {хп} называется сходящейся, если суще-
ствует такое число а, что для любого положительного числа е
можно указать номер N такой**), чтоприп^П все элементы
хп этой последовательности удовлетворяют неравенству
|лг„-а]<в.	-	(3.4)
При этом число а называется пределом последовательности.
Если последовательность {.£„} сходится и имеет своим пределом
число а, то символически это записывают так***):
lim хп = а, или хп—?а при п—-оо.
п—>00
*) В соответствии с этим 'определением всякая бесконечно малая после-
довательность является сходящейся и имеет своим пределом число нуль.
**) Так как jV зависит от е, то иногда пишут N = N (е).
***) Отметим, что бесконечно большие последовательности иногда называют
последовательностями, сходящимися к бесконечности. Поэтому, если после-
довательность {хл} бесконечно большая, то символически это записывают так:
lim хп — оо.
П — 00
Если элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого
номера, имеют определенный знак, то говорят, что последовательность {хл}
сходится к бесконечности определенного знака. Символически это записывайся
следующим образом:
lim хп — + оо,	lim хя= — оо.
Л->00	Л->00
§21
СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
65
Замечание 1. Неравенство (3.4) эквивалентно неравенствам
— е <хл - а <-|~е> или а~~ е<-*:л<а + е- Последние неравенства
означают, что элемент хп находится в е-окрестности числа а (напом^
ним, что e-окрестностью числа а называется интервал (а — е, а -|- г)).
Поэтому определение сходящейся последовательности можно сформу-
лировать также и следующим образом:
Последовательность {хп} называется сходящейся, если суще-
ствует число а такое, что в любой г-окрестности числа а нахо-
дятся все элементы последовательности {хП}, начиная с некото-
рого номера *).
Определение сходящейся последовательности утверждает, что раз-
ность хп — а = а„ является бесконечно малой последовательностью.
Следовательно, любой элемент хп сходящейся последовательности,
имеющей пределом число а, можно представить в виде
хп = а 4- а„,	(3.5)
где а„— элемент бесконечно малой последовательности.
Замечание 2. Из определения предела.последовательности оче-
видно, что конечное число элементов не влияет на сходимость этой
последовательности и на величину ее предела.
Рассмотрим примеры сходящихся последовательностей.
1) Последовательность	сходится; предел этой последова-
D	П	1	1
тельности равен единице. В самом деле, так как । — 1 — — n >
то для доказательства достаточно убедиться, что последовательность
|-----Д бесконечно малая. Если п N, то I--------------г I „-г ,,
I п + If	I « +11 N + 1
и поэтому по данному е>0 достаточно выбрать номер N из условия
jy 1 О или —1. Например, можно положить
+ 1 1,рИ
I 1	при е > 1.
2) Докажем, что последовательность хг = 0,3; х2 — 0,33;...; хп —
= 0, 33 ... 3;... сходится и имеет своим пределом число 1/3. Поскольку
п раз
число 1/3 представимо бесконечной десятичной дробью 0,333..., то
из правила сравнения вещественных чисел (см. п. 3 § 1 главы 2)
вытекают неравенства **)
' °-JL3	3 4 \33 • 3 + ж-
п раз	п раз
*) Зависящего, конечно, от а.
•*) См. также неравенства (2.5) из п. 4 § 1 главы 2.
66
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 3
Из этих неравенств получим, что |хя—g-
то, выбрав по любому е>
< Так как при
О номер N из условия
^<6, получим
1
Хп з
<е при п
Возможность выбора номера N, удовлетворяющего условию | q < г
при любом |g|< 1, была установлена в примере 1 пункта 3 § 1.
2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 3.7. Сходящаяся последовательность имеет только
один предел.	ч
Доказательство. Пусть а и b — пределы сходящейся после-
довательности {хя}. Тогда, используя специальное представление (3.5)
для элементов хп сходящейся последовательности {хя}, получим хп=^
— а-\-ап, хп = Ь-]-?п, где ая и ря—элементы бесконечно малых после-
довательностей {ая} и {ря}.
. Вычитая написанные соотношения, найдем ая— р„ — Ь — а. Так как
все элементы бесконечно малой последовательности {ая — ря} имеют
одно и то же постоянное значение b — а, то по теореме 3.5 Ь— а = 0,
т. е. Ь — а. Теорема доказана.
Теорема 3.8. Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть {хя} — сходящаяся последовательность
и а — ее предел. Используя формулу (3.5), имеем
хп = а + ая,
где ая — элемент бесконечно малой последовательности. Так как бес-
конечно малая последовательность {ая} ограничена (см. теорему 3.3),
то найдется такое число А, что для всех номеров п справедливо
неравенство |ал|==^А. Поэтому | хп |	| а | + А для всех номеров п,
что и означает ограниченность последовательности {хл}. Теорема
доказана.
Замечание 1. Ограниченная последовательность может и не
быть сходящейся. Например, последовательность 1, —1, 1, —1,...
ограничена, но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта
последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из
последовательностей {хп — а\ и {хл+1 — а\ являлась бы бесконечно
малой. Но тогда, в силу теоремы 3.2, последовательность {(хл — а) —
— (хл+1 — а)} = {хл — хя+1} была бы бесконечно малой, что невоз-
можно, так как |хл —хл+1| = 2 для любого номера п. - -
Докажем следующие основные теоремы.
Теорема 3.9. Сумма сходящихся последовательностей {хл}
и есть сходящаяся последовательность, предел которой
равен сумме пределов последовательностей {хя} и {_ул}.
Доказательство. Пусть а и Ь — соответственно пределы
последовательностей {хп} и Тогда
- хя = а + а„, Уп = Ь + $п,
§2]
СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
67
где {а„} и {рл} — бесконечно малые последовательности. Следовательно,
(х„ + уп) - (а + Ь) = а„ + р„.
Таким образом, последовательность {(хл+_уп) —(а + ^)} беско-
нечно малая, и поэтому последовательность	сходится и
имеет своим пределом число а-\-Ь.
Теорема 3.10. Разность сходящихся последовательностей
{х„} и {_уя} есть сходящаяся последовательность, предел которой
равен разности пределов последовательностей {хп\ и {_уп}- Дока-
зательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.9.
Теорема 3.11. Произведение сходящихся последовательностей
{х„} и {уп} есть сходящаяся последовательность, предел кото-
рой равен произведению пределов последовательностей {хп| и {_уп}-
Доказательство. Если а и b — пределы последовательностей
{хп} и {>„} соответственно, то хп = а + ап, уп = b + рл и хп-уп =
— а • & + а • рл +	• рп- Следовательно,
хп  уп - а  Ь = а • р „ + b • а„ + а„ • р „.
В силу теоремы 3.4 и следствия из нее, а также теоремы 3.1 после-
довательность {а • р„4- b -а.п-\-ап- р„} бесконечно малая, т. е. и после-
довательность \хп-уп — а'Ь\ бесконечно малая, и поэтому последо-
вательность {хп • .Уп} сходится и имеет своим пределом число а  Ь.
Для доказательства соответствующей теоремы для частного двух
последовательностей нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Если последовательность {_уп} сходится и имеет
отличный от нуля предел Ь, то, начиная с некоторого номера,
определена последовательность которая является огра-
ниченной.
Доказательство. Пусть е = -1—-L. Так как b # 0, то е>0.
Пусть N— номер, соответствующий этому е, начиная с которого
выполняется неравенство — или |j’„ —	Из этого
неравенства следует, что при n^N выполняется неравенство *) \уп | >
п	„г	I 1 I 2 г-
Поэтому при n^N имеем	Следовательно, начи-
ная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность
{—}, и эта последовательность ограничена. Лемма 1 доказана.
Теорема 3.12. Частное двух сходящихся последовательностей
{х„} и {у„} при условии, что предел {у„} отличен от нуля, есть
*) В самом деле, так как Ь = (6 — уп) + Уп и I b — уп | <	, то | i> | sg
I — Уп I + I Уп I < ^2~ + I Уп |.
68
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 3
сходящаяся последовательность, предел которой равен частному
пределов последовательностей" {хл} и {_уп}.
Доказательство. Из доказанной леммы 1 следует, что, начи-
ная с некоторого номера N, элементы последовательности {_уя} отличны
от нуля и последовательность I ограничена. Начиная с этого номера,
мы и будем рассматривать последовательность 1—1. Пусть а и’ b —
'Уп'
пределы последовательностей {хп\ и {уя}. Докажем, что последо-
вательность 1— — бесконечно малая. В самом деле, так как
* Уп Ь !
хп = а + ат уп = Ь-\- то
Хп  Д  хп-Ь—уп-а 
Уп b уп-Ь уп
Так как последовательность !—} ограничена, а последователь-
ная)
ность — у бесконечно малая, то последовательность
jy-. ьа„—	=	бесконечно малая. Теорема доказана.
Замечание 2. Из сходимости последовательности {хя} сле-
дует сходимость последовательностей {хя + 2>} и {с • хп], и на-
оборот, из сходимости любой из последовательностей {xn + h}
и {с • х„} (с 0) следует сходимость последовательности {хя}.
Справедливость этого утверждения вытекает из только что доказан-
ных теорем. Действительно, пусть {хл} сходится. Полагая уп = Ь, мы
получим сходящуюся последовательность {_уя}. Но тогда из теоремы 3.9
следует, что {х„ + Ь} — сходящаяся последовательность. Если после-
довательность {хя + &} сходится, то, полагая уп = —b и используя
теорему 3.9, мы убеждаемся, что последовательность {хл} сходится.
Аналогично, полагая уп — с или уя =(с 0) и применяя теорему
3.11, убедимся, что из сходимости последовательности \хп} следует
сходимость последовательности {с • хП] и наоборот.
3. Предельный переход в неравенствах. Мы только что выяс-
нили, что арифметические операции над сходящимися последователь-
ностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пре-
делами. В этом пункте мы покажем, что неравенства, которым удов-
летворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе
переходят в соответствующие неравенства для пределов этих после-
довательностей.
Теорема 3.13. Если элементы сходящейся последовательно-
сти {xnf, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравен-
ству xn>zb (xn^szb), то и предел а этой последовательности
удовлетворяет неравенству а^Ь (а^Ь).
§ 2]
СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
69
Доказательство. Пусть все элементы хп, по крайней мере
начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству хп^Ь.
Требуется доказать неравенство а^Ь. Предположим, что a<Zb. По-
скольку а — предел последовательности. {хя}, то для положительного
е = b — а можно указать номер N такой, что при N выполняется
неравенство | хп — а | < b — а. Это неравенство эквивалентно следу-
ющим двум неравенствам: — (Ь — а) < хп — а < b — а. Используя
правое из этих неравенств, мы получим хп < Ь, а это противоречит
условию теоремы. Случай хп^Ь рассматривается аналогично. Тео-
рема доказана.
Замечание. Элементы сходящейся последовательности {.v„}
могут удовлетворять строгому неравенству хп > Ь, однако при этом
предел а может оказаться равным о. Например, если хп = —, то
хп > 0, однако lim хп — 0.
п-*оо
Следствие 1. Если элементы. хп и уп сходящихся последова-
тельностей {х„} и {_уя}, начиная с некоторого номера, удовлетво-
ряют неравенству хп^уп, то их пределы удовлетворяют та-
кому же неравенству:
lim хп lim уп.
»-*со	п-*со
В самом деле, элементы последовательности {_у„—хя} неотрица-
тельны, а поэтому неотрицателен и ее предел lim (уп — хп) = limуп—•
rt-^оэ	п-*оо
— lim хп. Отсюда следует, что
Д-* со
lim хп	lim у„.
п-*с&	п-»оз
Следствие 2. Если все элементы сходящейся последователь-
ности {хп} находятся на сегменте [a, ft], то и ее предел с также
находится на этом сегменте.
В самом деле, так как а хп ft, то
Следующая теорема играет важную роль в различных прило-
жениях.
Теорема 3.14. Пусть {хя} и {zn} — сходящиеся последователь-
ности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная
с некоторого номера, элементы последовательноети	удовлет-
воряют неравенствам хп^уn^zn. Тогда последовательность {_уя}
сходится и имеет предел а.
Доказательство. Нам достаточно доказать, что последова-
тельность {уп — а} является бесконечно малой. Обозначим через N*
номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные
в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выпол-
няться также неравенства хп — а уп — a sS zn — а. Отсюда следует,
70
предел последовательности
[ГЛ. з
что при п N* элементы последовательности {_у„ — а} удовлетво-
ряют неравенству
|_УЯ-а | шах {|хя-а |z„-a|}.
Так как lim хп = а и lim zn — a, то для любого е>0 можно
п—>со	л—* со
указать номера и N2 такие, что при n^Nx \хп— а|<е, а при
n^Nt |гп— а|<е. Пусть Д^=тах{Лг*, Ny лЦ. Начиная с этого
номера, имеет место неравенство \уп — п|<е. Итак, последователь-
ность {уп—а} бесконечно малая. Теорема доказана.
§ 3.	Монотонные последовательности
1.	Определение монотонных последовательностей.
Определение. Последовательность {х„} называется неубы-
вающей (невозрастающей), если каждый последующий
член этой Последовательности не меньше (не больше) предыду-
щего, т. е. если для всех номеров п справедливо неравенство
Хп -^п+1 (,Хп
Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются
общим наименованием монотонные последовательности. Если эле-
менты монотонной последовательности {хл} для всех номеров п удов-
летворяют неравенству хп < хп+1 (хп > хп+^), то последовательность
{х„} называется возрастающей (убывающей). Возрастающие и
убывающие последовательности называются также строго моно-
тонными.
Монотонные последовательности ограничены либо сверху, либо
снизу. Именно: невозрастающие последовательности ограничены
сверху, а неубывающие последовательности ограничены снизу своими
первыми элементами. Поэтому невозрастающая последовательность
будет ограниченной с двух сторон, если она ограничена снизу, а не-
убывающая последовательность будет ограниченной с двух сторон,
если она ограничена сверху.
Рассмотрим примеры монотонных последовательностей.
. гт	. .	1	1	11
1.	Последовательность 1, 1, у, у,	... невозрастаю-
щая. Она ограничена сверху своим первым элементом, равным еди-
нице, а снизу числом нуль.
2.	Последовательность 1, 1,-2, 2, ..., я, и,... неубывающая. Она
ограничена снизу своим первым элементом, равным единице, а сверху
не ограничена.
12 3 п
3.	Последовательность у, у, у, ... — возрастающая. Она
ограничена с обеих сторон: снизу своим первым элементом у,
а сверху, например, числом единица.
§3]
МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
71
2.	Признак сходимости монотонной последовательности. Имеет
место следующая основная теорема.
Теорема 3.15. Если неубывающая (невозрастающая) последо-
вательность {хп} ограничена сверху (снизу), то она сходится.
Согласно предыдущему пункту последовательность {х„}, удовлет-
воряющая условию теоремы 3.15, является ограниченной. Поэтому
теорему 3.15 можно кратко сформулировать так: если монотонная
последовательность {хп} ограничена с обеих сторон, то она схо-
дится.
Доказательство. Так как последовательность {х„} ограни-
чена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю и нижнюю
грани х и х (см. теорему 2.1). Докажем, что если {х„}—неубываю-
щая последовательность, то ее пределом будет указанная точная
верхняя грань х, если же {х„} — невозрастающая последовательность,
то ее пределом будет указанная точная нижняя грань х. Мы ограни-
чимся случаем неубывающей последовательности, поскольку для
невозрастающей последовательности рассуждения аналогичны.
Поскольку Зс — точная верхняя грань множества элементов после-
довательности {х„}, то для любого s > 0 можно указать элемент Ху
такой, что хдг>х —& и х^^х (любой элемент хп не больше точ-
ной верхней грани х, хп^х). Сопоставляя указанные неравенства,
получим неравенства OeCx — xN<3.$. Так как {хп} — неубывающая
последовательность, то при n^N справедливы неравенства
<zxn^x. Отсюда следует, что при n^N выполняются неравенства
О х — xnsxz х — xN. Выше мы отмечали, что х—Хдг<е, поэтому
при n:>N справедливы неравенства 0 х — х„ < е> из которых
вытекает неравенство | х„ — х | < г.' Таким образом, установлено, что
х —предел последовательности {х„}. Теорема доказана.
Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последо-
вательности представляет собой необходимое и достаточное
условие ее сходимости.	.. 
В самом деле, если монотонная последовательность ограничена,
то в силу теоремы 3.15 она сходится; если же монотонная последо-
вательность сходится, то в силу теоремы 3.8 она ограничена.
Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и не
быть монотонной. Например, последовательность {хя}, для которой
(— 1)"
хп = —-— сходится и имеет пределом число нуль. Так как знаки
элементов этой последовательности чередуются, то она не является
монотонной.
Замечание 3. Если последовательность {хл} неубывающая и
ограниченная и х—ее предел, то для всех номеров п справедливо
неравенство x„sgx. Элементы невозрастающей ограниченной после-
довательности {хп}, сходящейся к х, удовлетворяют неравенству
х^хя. Справедливость этого утверждения была установлена в про-
цессе доказательства теоремы 3.15.
72	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	[ГЛ. 3
Следствие из теоремы 3.15. Пусть дана бесконечная система
сегментов [an [а2, Л2], [а3, />3|, ..., [ап, Ьп], каждый после-
дующий из которых содержится в предыдущем *) и пусть раз-
ность Ьп—ап (будем называть ее длиной сегмента [а„, &„]) стре-
мится к нулю при п—>оо (систему сегментов, обладающую этими
свойствами, будем называть стягивающейся). Тогда существует,
и притом единственная, точка с, принадлежащая всем сегмен-
там этой системы.
Доказательство. Прежде всего заметим, что точка с, при-
надлежащая всем сегментам, может быть только одна. В самом деле,
если бы нашлась еще одна точка d, принадлежащая всем сегментам,
то весь сегмент ** ***)) [с, d] принадлежал бы всем сегментам [cz„, йп].
Но тогда для любого номера п выполнялись бы неравенства Ьп — ап
d — с > 0, а это невозможно, ибо Ьп — ап -* 0 при п -> со. Дока-
жем теперь, что существует точка с, принадлежащая всем сегмен-
там [ап, Ьп]. Так как система сегментов является стягивающейся, то
последовательность левых концов {ал} является неубывающей, а по-
следовательность правых концов {/>„} невозрастающей. Поскольку обе
эти последовательности ограничены (все элементы последовательностей
{а„} и {Ьп\ находятся на сегменте [ар Z^]), то по теореме 3.15 обе
они сходятся. Из того, что разность Ьп—ап является бесконечно
малой, вытекает, что указанные последовательности имеют общий
предел. Обозначим этот предел через с. Из замечания 3 вытекает,
что для любого номера п справедливы неравенства ап^с^Ьп, т. е.
точка с принадлежит всем сегментам [ап, 5„].
3.	Некоторые примеры сходящихся монотонных последова-
тельностей. Рассмотрим примеры последовательностей, для нахож-
дения предела которых будет использована теорема 3.15 о пределе
монотонной последовательности. Кроме того, в этом пункте мы поз-
накомимся с одним общим приемом нахождения пределов последова-
тельностей, задаваемых рекуррентными формулами »**).
Пример 1. Рассмотрим последовательность {х„}, элемент хп
которой равен
х„ = |/^ я-|-	а4-]/Га-р...-|-]/ла, а > 0.
Эту же последовательность можно, очевидно, задать следующей
рекуррентной формулой:
Xi = ]/a,	= У a+xn_v
*) Это означает, что ап_г ^ап^Ьп^ Ьп^.
**) Ради определенности мы считаем, что d>c.
***) Рекуррентная формула (от латинского recurrens — возвращающийся) —
формула, позволяющая выразить (п + 1)-й элемент последовательности через
значения ее первых п элементов.
§ 3]
МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
73
Для того чтобы установить существование предела последователь-
ности {хп}, докажем, что эта последовательность возрастающая и
ограниченная. Первое усматривается непосредственно. Докажем, что
последовательность {хп} ограничена сверху числом А, где А — наи-
большее из двух чисел а и 2. Если хп^1а, то требуемое доказано.
Если же хп > а, то, заменив в правой части неравенства Хп — аА-
4- хп-г sSia-]-xn число а превосходящим его числом хп, мы получим
х„ < 2хя, откуда хп < 2. Итак, мы доказали, что последовательность
\хп\ ограничена сверху. По теореме 3.15 она имеет предел. Обоз-
начим этот предел через с. Очевидно, с >» 0. Из рекуррентной фор-
мулы имеем соотношение
х'п — о, 4~ хп_^,
которое означает, что последовательности {х„} и {а-Ь-х^-т} тождест-
венны. Поэтому их пределы равны. Так как первая из этих последо-
вательностей имеет предел с2, а . вторая а А-с, то сг = а-\-с. Отсюда,
n	1 + /1 4-4а
поскольку с > 0, находим, что с = —	2 — •
П р имер 2. Рассмотрим теперь последовательность {х„}, с помощью
которой обычно вычисляют квадратный корень из положительного
числа а на современных быстродействующих электронных машинах.
Эта последовательность определяется следующей рекуррентной фор-
мулой:
где в качестве хг может быть взято любое положительное число.
Докажем, что эта последовательность сходится и имеет своим
пределом число Прежде всего докажем существование предела
последовательности {хя}. Для этого достаточно установить, что после-
довательность {хя} ограничена снизу и, начиная со второго номера,
является невозрастающей. Сначала докажем, что последователь-
ность {_гл} ограничена снизу. По условию хг > 0. Но тогда из рекур-
рентной формулы, взятой при л=1, вытекает, что х2>0, а отсюда
и из той же формулы, взятой при п =2, вытекает, что х3 > 0. Про-
должая эти рассуждения, мы докажем, что все хп > 0.
Докажем теперь, что при п^2 все хп удовлетворяют неравен-
ству хпА^уа. Переписав рекуррентную формулу в виде хл+1 =
Уа / хп	У а \
= -к-	4-L— , воспользуемся почти очевидным неравенством
2 \У а	хп /
I 4--г^2 *), справедливым для любого />0(мы берем
I	\	1/ п
*) Для доказательства этого неравенства достаточно заметить, что при t >• 0
оно эквивалентно неравенству Z2 — 2Z 4- 1 2= 0.
74
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 3
Получим, что х„+1 при любом и^1, т. е. x^r^jAz, начиная
с номера п = 2.
Докажем, наконец, что последовательность {х„} при п^2 не
возрастает. Из рекуррентной формулы получим ^^ = 471 + -^),
хп	\ хп)
а отсюда, учитывая, что хл^рла, найдем *-+д	1, или xn5=x„ + !
Хп
(при n^s2).
' Так как последовательность {х„} при п^2 невозрастающая и
ограничена снизу числом ]Az, то она имеет предел, не меньший У а
(см. теорему 3.15 и теорему 3.13). Обозначая этот предел через с и
учитывая, что lim хл+1 = с и lim|-^(x„ + —H = -i-(c + —), получим
п —оо	n-»oolJ \ хп1> 1 \ С/
c =	+	*). Следовательно, с — У~й.
Замечание 1. В рассмотренных примерах использовался сле-
дующий часто употребляемый прием разыскания предела последова-
тельностей. Сначала устанавливается существование предела, а затем
находится его числовое значение из уравнения, которое получается
из -рекуррентной формулы путем замены в ней хп и хл+1 искомым
значением с предела последовательности {хл}.
Замечание 2. Рекуррентные формулы часто используются
в современной вычислительной математике, поскольку их применение
приводит к многократному повторению однотипных вычислительных
операций, что особенно удобно при проведении вычислений на быстро-
действующих электронно-вычислительных машинах.
Рассмотренная нами рекуррентная формула определяет, как мы
убедились, алгоритм вычисления (мы доказали, что lim х„ = ]/а).
Я —* СО
В дополнении 2 к настоящей главе изучается вопрос о скорости
сходимости последовательности {хл} к ]/а. Мы доказываем, что для
любого а > 1 при определенном выборе первого приближения xt
уже четвертое приближение х4 дает нам число с ошибкой, не
превышающей 10~10.
Пример 3. Докажем, что последовательность {сл}, для которой
хп + 1
сп= имеет ПРИ Л1<Иб°м фиксированном х предел, равный нулю.
Так как при достаточно большом л
ДрОбь-Д<1,
ТО,
с некоторого номера N, имеем | сп+11 < | ся |, поскольку
|х|п _И__|Г I и
п1 ’п + 1	1 лГп + Г
начиная
I Сп+1 I =
*) Это равенство вытекает из рекуррентной формулы
__ 1 /	। а\
Хп +1 — л \ Хп, “Г v J •
* \ ЛП1
§ 3]
МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
75
Следовательно, начиная с номера N, последовательность {\сп | }
будет монотонно убывающей и ограниченной снизу (например, нулем).
По теореме 3.15 последовательность {| сп 1} сходится, Пусть с—пре-
'	I X I
дел этой последовательности. Из соотношения | сп+11 = | сп | • 	~
следует, что с = 0, так как предел последовательности {| сп+1 [} равен
I 1*1 1
с, а предел последовательности j । равен нулю;
4. Число е. Применим теорему 3.15 о существовании предела
монотонной последовательности для доказательства существования
предела последовательности {хя}, элемент хп которой определяется
формулой
Хп
Докажем, что эта последовательность возрастает « ограничена
сверху. Применив формулу бинома Ньютона, найдем
V- _ 1 , „ 1 , п(п — 1) 1 , п(п— 1)(л — 2) 1 ,
хл-1+«- + —2|------+----------------3!-+	+
. п(п — 1) (п — 2)... [п — (п — 1)1	1
.	nl	пп ’
Представим это выражение в следующей форме:
Совершенно аналогичным образом запишем элемент хя+1:
Непосредственным сравнением убеждаемся, что *)
Хп <~Z Хп+1>
т. е. последовательность возрастающая.
Для доказательства ограниченности этой последовательности сверху
заметим, что каждое выражение в круглых скобках в соотношении (3.6)
меньше единицы. Учитывая также, что ~ ПРИ ^===2, получим
*п<2 + у + 52 + --- + -2лЧ~=3—2й=г<3-
*) Ибо	——j < U—771^7) для любого	и, кроме того,
хл+1 содержит по сравнению с хп лишний положительный член.
76
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 3
Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху. По
теореме 3.15 последовательность {хл} имеет предел. Этот предел
называют числом е. Следовательно, по определению,
е = lim (1 + —
Замечание. В дальнейшем выяснится, что число е играет важ-
ную роль в математике. В настоящем пункте мы даем только опре-
деление числа е, но .не указываем способа вычисления этого числа
с любой степенью точности. Это будет сделано в пп. 1 и 2 § 16
главы 8.
Здесь мы лишь отметим, что поскольку хп < 3 и из (3.6) непо-
средственно очевидно, что 2 < хп, то число е заключено в пределах
2^е=<гЗ
(3-7)
(в силу следствия 2 из теоремы 3.13).
§ 4.	Некоторые свойства произвольных последовательностей
и числовых множеств
1.	Подпоследовательности числовых последовательностей.
Пусть xv х2, ..., хп, ...— некоторая числовая последовательность.
Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых
положительных чисел kv k2, ., kn, .... Выберем из последователь-
ности элементы с номерами kt, k2,	k„... и расположим их
в таком же порядке, как и числа /гп:
xki, xks, .... хкп, ...
Полученную числовую последовательность будем называть подпо-
следовательностью последовательности {хл}. В частности, сама
последовательность {х„} может рассматриваться как подпоследова-
тельность (в этом случае kn — ri). Отметим следующее свойство под-
последовательностей сходящейся последовательности: если последо-
вательность сходится и имеет своим пределом число а,
то и любая подпоследовательность этой последовательности
сходится и имеет своим пределом число а. В самом деле, так как
{хл} — сходящаяся последовательность и а — ее предел, то для любого
е>0 можно указать номер N такой, что при n^N выполняется
неравенство | хп — а | <; е. Пусть {хк } — некоторая подпоследователь-
ность последовательности {х„}. Так как	то, начиная с но-
мера элементы подпоследовательности удовлетворяют нера-
венству | xk/t — а | << е. Поэтому подпоследовательность {-х^} сходится
и имеет пределом число а. Справедливо и обратное предложение:
§4]
СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
77
если все подпоследовательности данной последовательности {.гп}
сходятся, то пределы всех этих подпоследовательностей равны
одному и тому же числу а; в частности, к этому же числу
сходится и последовательность {хп}. Действительно, так как по-
следовательность {х„} также является подпоследовательностью, то
она сходится и имеет пределом некоторое число а. Но тогда и лю-
бая другая подпоследовательность также сходится и имеет тот же
предел а.
Подпоследовательности бесконечно больших последовательностей
обладают аналогичным свойством. Именно, каждая подпоследователь-
ность бесконечно большой последовательности также будет
бесконечно большой. Доказательство этого утверждения аналогично
доказательству соответствующего предложения о подпоследователь-
ностях сходящихся последовательностей.
Замечание. Из каждой сходящейся последовательности можно
выделить монотонную сходящуюся подпоследовательность. В самом
деле, если — сходящаяся последовательность и а — ее предел,
то имеет, место по крайней мере один из следующих трех случаев:
1) имеется бесконечно много равных а элементов последовательности,
2) в любой е-окрестности точки а имеется бесконечно много элемен-
тов, удовлетворяющих неравенству хп <Za, 3) в любой е-окресрности
точки а имеется бесконечно много элементов, удовлетворяющих нера-
венству	В первом случае сходящейся монотонной-подпосле-
довательностью является подпоследовательность равных а элементов.
Второй и третий случаи рассматриваются одинаково, поэтому ограни-
чимся рассмотрением второго случая, т. е. будем считать, что в любой
е-окрестности точки а имеется бесконечно много элементов хп, удо-
влетворяющих неравенству xn<za. Иными словами, рассмотрим слу-
чай, когда в любом интервале (а — г, а) содержится бесконечно много
элементов последовательности. Пусть — один из этих элементов,
Xkt < а. Из бесконечного множества элементов последовательности
{.г,,}, находящихся на интервале (х*р а), выберем какой-нибудь эле-
мент Хь2, номер k2 которого больше kr Затем из бесконечного мно-
жества элементов последовательности {хп}, находящихся на интервале
(х*2, а), выберем элемент х*3, для которого k3> k2. Продолжая этот
процесс неограниченно, мы получим монотонно возрастающую подпо-
следовательность	последовательности {хп}, которая, в силу
указанного в этом пункте свойства подпоследовательностей сходя-
щейся последовательности, сходится к а.
Отметим, что из каждой бесконечно большой последовательности
можно выделить монотонную бесконечно большую подпоследователь-
ность.
*) Если бы ни один из этих случаев не имел места, то в некоторой
e-окрестности точки а находилось бы лишь конечное число элементов после-
довательности, т. е. точка а не была бы пределом последовательности.
78
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 3
2.	Предельные точки последовательности.
Определение 1. Точка х бесконечной прямой называется
предельной точкой последовательности {хя}, если в любой
^.-окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов
последовательности {хя}.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 2. Если х— предельная точка последовательности
{хя}, то из этой последовательности можно выделить подпосле-
довательность {х*л}, сходящуюся к числу х.
Доказательство. Пусть х — предельная точка последова-
тельности {хя}. Рассмотрим систему е-окрестностей точки х, для
,	11	1	D
которых е последовательно равно 1, —, -у,	В первой из
этих окрестностей выберем элемент х^ последовательности {хя}, во
второй окрестности выберем элемент х*2 такой, что А2>АГ В третьей
окрестности выберем элемент х*3 такой, что й3>/г2. Этот процесс
можно продолжать неограниченно, так как в любой \е-окрестности
точки х имеется бесконечно много элементов последовательности {хя}.
В результате мы получим подпоследовательность х^, Хьг< .х*л,...
последовательности {хп}, которая сходится к х, так как (х* — х|<
. Лемма доказана.
Замечание. Справедливо и обратное утверждение: если из по-
следовательности {хя} можно выделить подпоследовательность, сходя-
щуюся к числу х, то число х является предельной точкой последо-
вательности {хя}. В самом деле, в любой е-окрестности точки х
имеется бесконечно много элементов выделенной подпоследователь-
ности, а стало быть, и самой последовательности {х„}.
Таким образом, можно дать другое определение предельной точки
последовательности, эквивалентное определению 1.
Определение 2. Точка х называется предельной точкой после-
довательности {хп}, если из этой последовательности можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся к х.
Отметим следующее утверждение.
Лемма 3. Каждая сходящаяся последовательность имеет
только одну предельную точку, совпадающую пределом этой
последовательности.
Доказательство. Отметим, во-первых, что предел а сходя-
щейся последовательности {хя} является предельной точкой этой по-
следовательности, поскольку в любой e-окрестности точки а содер-
жатся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.
Убедимся, что у сходящейся последовательности нет других предельных
точек. Действительно, пусть b предельная точка сходящейся последо-
вательности. В силу леммы 2 из {хя} можно выделить подпоследова-
тельность {х*п}, сходящуюся к Ь, но любая подпоследовательность
§fl
СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
79
сходящейся последовательности имеет предел а (см. пункт 1 этого па*
раграфа), и поэтому Ь = а.
Приведем пример последовательности, имеющей две предельные
точки. Докажем, что последовательность
1, 2, 1, 2, 1, 2, ..., 1, 2, ...
Z	О	/I
имеет только две предельные точки 0 и 2. Очевидно, что эти точки
являются предельными точками рассматриваемой ' последовательности,
,111
поскольку подпоследовательность 1,	-х-...—, ... этой последова-
£ о . П
тельности имеет предел нуль, а подпоследовательность 2, 2, ..., 2,...
имеет предел 2 *). Других предельных точек у этой последователь-
ности нет. В самом деле, пусть -х — любая точка числовой оси, от-
личная от точек 0 и 2. Рас-
смотрим неперекрывающиеся	,
е-окрестности точек 0, 2 и х	it ее
(рис. 3.1). В е-окрестностях
точек 0 и 2 содержатся, на-	Рис. 3.1.
чиная с некоторого номера,
все элементы последовательности, и поэтому в указанной е-окрест-
ности точки х находится лишь конечное число ее элементов, то есть
х не является предельной точкой.
3.	Существование предельной точки у огранйченной после-
довательности. Справедливо следующее замечательное утверждение.
Теорема 3.16. У всякой ограниченной последовательности
существует хотя бы одна предельная точка.
Доказательство.. Так как последовательность {х„} ограни-
чена, то существуют вещественные числа т и М такие, что все эле-
менты хп последовательности {хп} удовлетворяют неравенствам
т хп М. Рассмотрим множество [х\ вещественных чисел х
таких, что правее **) каждого из этих чисел либо вовсе нет
элементов последовательности {х„}, либо таких элементов лишь
конечное число. Множество {х\ имеет хотя бы один элемент (напри-
мер, число М) и ограничено снизу (любым числом, меньшим т).
В силу теоремы 2.1 у множества {х} существует точная нижняя
грань, которую мы обозначим через х***).
Докажем, что это число х и является предельной точкой после-
довательности {хл}. Пусть е—любое положительное число. Число
х— е заведомо не принадлежит множеству {х}, а поэтому правее
*) См. определение 2 предельной точки.
**) Мы говорим, что число а лежит правее числа Ь, если а~> b (см. § 3
главы 2).
***) Целесообразность обозначения этой ниЖней грани символом X будет
выяснена ниже.
80
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ: 3
числа X — е лежит бесконечно много элементов последователь-
ности {х„}. По определению точной нижней грани найдется число х'
из множества {х}, удовлетворяющее неравенствам Х^х'
(рис. 3.2). По определению множества {х} правее х' лежит не более
чем конечное число элементов последовательности {х„}. Стало
быть, на полусегменте (х—е, х'], а тем более и в е-окрестности
точки х содержится бесконечно много элементов последовательности,
т. е. х является предельной точкой последовательности {хп}. Теорема
доказана.
Замечание 1. Обратимся еще раз к множеству {х}, введен-
ному при доказательстве теоремы 3.16. Мы доказали, что точная
нижняя грань х этого мно-
х-£ х х' х+е	жества представляет собой
* предельную точку последо-
вательности {х„}. Докажем,
Рис. 3.2.	что ни одно число х, пре-
восходящее X, не является
предельной точкой последовательности {хп}, т. е. X ‘является наи-
большей предельной точкой этой последовательности. Пусть х —лю-
бое число, превосходящее X. Выберем е>0 столь малым, чтобы
число х— е также превосходило число X (рис. 3.3). По определению
точной нижней грани найдется число х' из множества {х}, лежа-
щее левее х—е. По определению множества {х}, правее х',
а стало быть, и в e-окрестности точки х лежит не более чем конеч-
ное число элементов после-
довательности {хп}. Это и	х	х'	х t
доказывает, что число х не	с	°
является предельной точкой.
Определение. Наиболь-	Рис. 3.3.
мая предельная точка X
последовательности {х„} называется верхним пределом
этой последовательности и обозначается символом X = lim х„.
п —* 00
Замечание 1 позволяет утверждать, что у всякой ограниченной
последовательности существует верхний предел.
Совершенно аналогично вводится понятие нижнего предела х
последовательности {х„}, который определяется как наименьшая пре-
дельная точка этой последовательности. Для нижнего предела исполь-
зуется обозначение х= lim хп.
л-+со
Существование нижнего предела у любой ограниченной после-
довательности {хп} доказывается в полной аналогии с рассужде-
ниями теоремы, 3.16 и замечания 1 к этой теореме. Только на этот
раз следует рассмотреть множество {х} вещественных чисел х таких,
что левее каждого из этих чисел лежит не более чем конечное число
элементов этой последовательности.
S 4]
СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
81
Итак, мы приходим к следующему утверждению.
У всякой ограниченной последовательности существуют верх-
ний и нижний пределы.
Извлечем еще ряд следствий из рассуждений теоремы 3.16 и за-
мечания 1.
Следствие 1. Если (а, Ь) — интервал, вне которого лежит
лишь конечное число элементов ограниченной последователь-
ности {хл}, а х и х — нижний и верхний пределы этой последо-
вательности, то интервал (х, х) содержится в интервале (а, Ь)
и поэтому х— х^Ь— а.
Доказательство. Так как правее точки b находится не более
чем конечное число элементов последовательности, то Ь принадлежит
указанному в доказательстве теоремы 3.16 множеству {х} и поэтому
х^Ь. Рассуждая аналогично, убедимся, что а^х. Это и означает,
что интервал (а, Ь) содержит интервал (х, х).
Следствие 2. Для любого положительного числа s ин-
тервал (х—е, -? + е) содержит все элементы последователь-
ности {х„}, начиная с некоторого номера (зависящего, конеч-
но, от е).
Доказательство. Так как х является точной нижней гранью
множества {х}, указанного при доказательстве теоремы 3.16, то для
любого е > 0 найдется число х', меньшее х + е и принадлежащее {х}.
Но это означает, что направо от х', а стало быть, и направо от
интервала (х—е, х-ре) может лежать лишь конечное число
элементов последовательности {хл}. Аналогично доказывается, что
и налево от интервала (х—е, х + £) может лежать лишь конечное
число элементов последовательности {х„}.
Замечание 2. Выясним вопрос о том, сколько предельных
точек может иметь ограниченная последовательность {хп}.
Обозначим через х и х соответственно нижний и верхний пре-
делы этой/последовательности. Очевидно, что все предельные точки
последовательности {х„} (сколько бы их ни было) лежат на сегмен-
те [х, х].
Если х = х *), то последовательность имеет только одну пре-
дельную точку. Если же х <х, то последовательность имеет по край-
ней мере две предельные точки х и х. Отметим, что последователь-
ность может иметь любое и даже бесконечное число предельных
точек. Последовательность 1, 2, у, 2, ...,	2,..., рассмотренная
в предыдущем пункте, имеет только две предельные точки: нижний
предел х = 0 и верхний предел х = 2. Приведем пример последова-
тельности, имеющей бесконечно много предельных точек. Рассмотрим,
*) Ниже мы докажем, что равенство х = X и условие ограниченности
являются необходимыми и достаточными условиями сходимости последова-
тельности.
82	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	[ГЛ. 3
например, последовательность, элементы которой без повторений про-
бегают все рациональные числа сегмента [0, 1] *). Очевидно, любая
точка этого сегмента будет предельной точкой указанной последова-
тельности.
4.	О выделении сходящейся подпоследовательности. Результаты
предыдущего пункта приводят к следующей основной теореме.
Теорема 3.17 (теорема-Больцано — Вейерштрасса**)). Из
любой ограниченной последовательности можно выделить сходя-
щуюся подпоследовательность.
Д о к аз ат е ль с тв о. Так как последовательность ограничена, то
она имеет хотя бы одну предельную точку х. В таком случае из
этой последовательности можно выделить подпоследовательность, схо-
дящуюся к точке х (см. определение 2 предельной точки).
Замечание 1. Из любой ограниченной последовательности
моэкно выделить монотонную подпоследовательность. В самом
деле, в силу теоремы Больцано — Вейерштрасса из любой ограничен-
ной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследова-
тельность, а из этой подпоследовательности, в силу замечания пункта
1 этого параграфа, можно выделить монотонную подпоследователь-
ность.
Замечание 2. Пусть {хп} — ограниченная последовательность,
элементы которой находятся на сегменте [а Ь]. Тогда предел
с любой сходящейся подпоследовательности {х fcn} также нахо-
дится на сегменте [а, Ь]. Действительно, так-как a^xkn^b, то
в силу следствия 2 из теоремы 3.13 выполняются неравенства
а с Ь. Это и означает, что с находится на сегменте [а, &].
Отметим, что в отдельных случаях и из неограниченной последо-
вательности также можно выделить сходящуюся подпоследователь-
ность. Например, последовательность 1, у, 2, у,..., в, ~	.
неограниченная, однако Подпоследовательность у, у,..., у,... ее
элементов с четными номерами сходится. Но не из каждой неограни-
ченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследо-
*) Рациональные числа сегмента [0, 1] можно расположить в последова-
тельность без повторений, например, так. Рассмотрим группы рациональных
чисел этого сегмента, причем в первую группу отнесем числа 0 и 1, во
1	Р	п
вторую — число у, в третью — все несократимые числа — со знаменателем 3
и вообще в п-ю группу — все несократимые рациональные дроби из сегмента
[О, 1] со знаменателем п. Очевидно, каждое рациональное число попадает
в одну группу и в каждой группе будет лишь конечное количество рациональ-
ных чисел. Выпишем теперь подряд элементы первой группы, за ними элементы
второй группы, затем третьей и т. д. В результате мы и получим нужную
нам последовательность.
**) Бернгард Больцано — чешский философ и математик (1781—1848),
Карл Вейерштрасс— немецкий математик (1815— 1897).
5 4]	СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ	83
вательность. Например, любая подпоследовательность неограниченной
последовательности 1, 2........ п,...	расходится. Поэтому теорему
Больцано — Вейерштрасса, вообще говоря, нельзя распространить на
неограниченные последовательности.
Аналогом этой теоремы для неограниченных последовательностей
является следующее предложение.
Лемма 4. Из каждой неограниченной последовательности можно выделить
бесконечно большую подпоследовательность.
Доказательство. Пусть {х„}— неограниченная последовательность.
Тогда найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий усло-
вию |	| > 1, элемент xki этой последовательности, удовлетворяющий усло-
виям |	| >• 2, k2 > klt..., элемент xk этой последовательности, удовлетво-
ряющий условиям | Xhn | > п, kn> kn_r и т. д. Очевидно, подпоследователь-
ность xkt, xks...xkn,... является бесконечно большой.
Из леммы 4 и из теоремы Больцано — Вейерштрасса вытекает следующее
утверждение.
Лемма $. Из совершенно произвольной последовательности можно выделить
либо сходящуюся, либо бесконечно большую подпоследовательность.
Замечание 3. Результаты настоящего пункта позволяют несколько
расширить понятие предельной точки и верхнего и нижнего пределов после-
довательности.
Будем говорить, что -J- со (— оо) является предельной точкой последова-
тельности {хп}, если из этой последовательности можно выделить бесконечно
большую подпоследовательность, состоящую из положительных (отрицатель-
ных) элементов.
При таком расширении понятия предельной точки у последовательности
кроме конечных предельных точек могут существовать еще две предельные
точки + со и — со. В таком случае лемма 5 позволяет утверждать, что
у совершенно произвольной последовательности существует хотя бы одна предель-
ная точка *), а стало быть, и верхний и нижний пределы.
5.	Необходимое и достаточное условие сходимости последо-
вательности. При выяснении вопроса о сходимости последователь-
ности \хп] при помощи определения сходимости нам приходится
оценивать разность элементов хп этой последовательности и ее пред-
полагаемого предела а. Иными словами, приходится предугадывать,
чему равен предел а этой последовательности.
Естественно указать «внутренний» критерий сходимости последо-
вательности, позволяющий выяснить вопрос о ее сходимости лишь по
величине ее элементов. Такой внутренний критерий и будет установ-
лен в настоящем пункте. Для формулировки этого критерия введем
понятие фундаментальной последовательности.
Определение. Последовательность {хп} называется фунда-
ментальной, если для любого положительного е найдется
номер N такой, что для всех номеров п, удовлетворяющих
условию n^N, и для всех натуральных чисел р (р — \, 2,...)
) Либо конечная, либо бесконечная.
84
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 3
справедливо неравенство
I хп+р хп ] е.
Основной задачей настоящего пункта является доказательство
следующего критерия сходимости последовательности (так называемого
критерия Коши *)): для того чтобы последовательность была
сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фунда-
ментальной.
Прежде чем перейти к доказательству критерия Коши, мы дока-
жем несколько вспомогательных предложений, имеющих и самостоя-
тельный интерес. >
Теорема 3.18. Для того чтобы последовательность {хп}
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была
ограниченной и чтобы ее верхний и нижний пределы х и х сов-
падали.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть последова-
тельность {*„} сходится. Тогда она ограничена (в силу теоремы 3.8)
и имеет единственную предельную точку (в силу леммы 3 п. 2).
Таким образом, х = х.
2) Достаточность. Следствие 2 из теоремы 3.16 утверждает,
что для любого е>0 интервал (х— е, х-|-е) содержит все элементы
последовательности {хп}, начиная с некоторого номера. Так как
х = х — х, то указанный интервал совпадает с e-окрестиостью точки х,
т. е. число х является пределом последовательности {хп} (см. заме-
чание 1 п. 1 § 2).
Установим теперь важное свойство фундаментальной последова-
тельности, непосредственно вытекающее из ее определения:
Для любого положительного числа г можно указать такой
элемент xN фундаментальной последовательности, в г-окрест-
ности которого находятся все элементы последовательности,
начиная с номера N. Иными словами, вне интервала (х^— г,
xn+s) находится не более чем конечное число элементов после-
довательности **).
В самом деле, из определения фундаментальной последовательности
следует: для любого е > 0 можно указать такой номер N, что
для всех натуральных р(р = \, 2, 3, ...) выполняется неравенство
\ху+р — хЛг|<е, которое и означает, что в e-окрестности элемента х^
находятся все элементы последовательности, начиная с номера N.
Отмеченное свойство позволяет установить ограниченность фунда-
ментальной последовательности. В самом деле, пусть е — некоторое
фиксированное положительное число и Хдг— элемент, в е-окрестности
которого находятся все элементы последовательности, начиная с но-
*) Огюстен Луи Коши — французский математик (1789—1857).
**) Отметим, что указанное свойство эквивалентно определению фунда-
ментальной последовательности.
§ 4]	СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ	85
мера N. Тогда вне этой e-окрестности могут находиться только эле-
менты хг, х2, ..., Хх^!- Положим А — max{ | хх |, |х2|, ..., IJCjy.xl,
|jQy—е|, Ix^+e |} *). Тогда на сегменте [—А, + А] находятся
числа хг, х2, Xjv_x, Хдг—е, Хдг+е, а следовательно, и все точки
е-окрестности элемента xN. Отсюда вытекает, что все элементы фун-
даментальной последовательности находятся на сегменте [— А, + А],
что и означает ее ограниченность.
Переходим к доказательству основного утверждения этого пункта.
Теорема 3.19 (критерий Коши сходимости последователь-
ности). Для того чтобы последовательность была сходя-
щейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундамен-
тальной.
Доказательство, 1) Необходимость. Пусть последова-
тельность {хл} сходится и х — ее предел. Требуется доказать, что
эта последовательность является фундаментальной. Возьмем любое
положительное число е. Из определения сходящейся последователь-
ности вытекает, что для положительного числа ~ найдется номер N
такой, что п; и n>iN выполняется неравенство	»
I хп х I "ту •
Если р — любое натуральное число, то при n^N выполняется также
и неравенство
I хп+р X I < ~2 •
Так как модуль суммы двух величин не больше суммы их модулей,
то из последних двух неравенств получим, что при n^N и для всех
натуральных чисел р
I Хп+р хп I = I (хп+р х) 4" (X Хп) I -4 I хп+р X I 4" I хп ~ X | < е-
Тем самым фундаментальность последовательности {хл} установлен].
2) Достаточность. Пусть {— фундаментальная последо-
вательность. Требуется доказать, что эта последовательность сходится.
Согласно теореме 3.18 для этого достаточно доказать ограниченность
последовательности {хл} и равенство ее верхнего и нижнего преде-
лов X и х. Ограниченность фундаментальной последовательности уже
установлена нами выше.
Для доказательства равенства верхнего и нижнего пределов X и х
воспользуемся доказанным выше свойством фундаментальной последо-
вательности: для любого положительного числа е можно указать эле-
мент Хдг такой, что вне интервала (xN— е, x^y-J-s) находится не
*) Геометрически это означает, что А равно максимальному из расстояний
от начала отсчета 0 до точек ху, х2, .... xN l, xN—t,
86
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 3
более чем конечное число элементов последовательности. На основа-
нии следствия 1 из теоремы 3.16 интервал (xN — е, x,v +е) содержит
интервал (х, х), и поэтому х —~х^2е, откуда, в силу произволь-
ности е, х — х. Тем самым сходимость последовательности установ-
лена. Теорема полностью доказана.
Пример. Применим критерий Коши для установления сходимо-
сти следующей последовательности {х„}:
хп — а1 + а2 + •  • + ап>
где а-ь (k—\, 2, 3, ..^ — произвольные вещественные числа, удовле-
творяющие условию | ak | гС qk, а # —некоторое число из интервала
0<9<1.
Пусть п— любой номер, р — любое натуральное число. Тогда,
очевидно,
I хп+р ~ Хп I = I ал+1 + ап+2 + • • • + ап-р I I ап+11 +
-Нал+2|Ъ.. + |^|^п+1 + 9я+2 + ---4^+р =
qn+i__qn+1+р qn+i
1— q <1 — q’
Учитывая, что последовательность {<?”} является бесконечно малой
(см. пример 1 из п. 3 § 1), мы можем утверждать, что для любого
е > 0 найдется номер N такой, что
gn+1 < е (1 — q) (при п N).
Стало быть, при n^N и для любого натурального р
ап+1
\xn+p-xn\<Y^<e’
т. е. последовательность {хя} является фундаментальной и сходится
согласно теореме 3.19.
6. Некоторые свойства произвольных числовых множеств. В этом пункте
мы рассмотрим некоторые свойства произвольных числовых множеств. Часть из
этих свойств аналогична свойствам числовых последовательностей.
В п. 5 § 1 главы 2 мы ввели понятие множества, ограниченного сверху
(снизу). Договоримся теперь называть множество {х} ограниченным с обеих
сторон или просто ограниченным, если это множество ограничено и сверху и
снизу, т.' е. если найдутся такие два вещественных числа т и М, что каждый
элемент х множества {х} удовлетворяет неравенствам т х =< М, Множество {х}
будем называть конечным или бесконечным в зависимости от того, является ли
число элементов, входящих в состав этого множества, конечным или бесконечным.
Точку х бесконечной прямой назовем предельной точкой множества (х(,
если в любой ^-окрестности точки х содержится бесконечно много элементов'
этого, множества.
Точку х (точку х) назовем верхней (нижней) предельной точкой множе-
ства {х}, если эта точка является предельной точкой множества {х}, но ни
одна точка, большая X (меньшая х), не является предельной точкой этого
множества.
Дословно повторяя доказательство теоремы 3.16 с заменой термина «по-
следовательность {хл}> на «множество {х}», мы придем к следующему утвер-
§ 4]	СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ	87
ждению: у всякого ограниченного бесконечного множества существует, хотя бы
одна предельная точка.
Дословно повторяя рассуждения замечания 1 к теореме 3.16, мы полу-
чим, что всякое ограниченное бесконечное множество имеет верхнюю и нижнюю
предельные точки. Следствием указанных утверждений является следующий
факт: из элементов всякого ограниченного бесконечного множества можно выде-
лить сходящуюся последовательность.
Наряду с понятием множества часто пользуются понятием подмножества.
Множество называется подмножеством множества {х}, если все элементы
множества (х'} входят в состав множества {х}. Например, множество всех
четных целых чисел является подмножеством множества всех целых чисел.
Два множества {х} и {</} называют эквивалентными, если между элемен-
тами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие *).
Заметим, что два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда,
когда число элементов у этих множеств одинаковое. Приведем пример двух
эквивалентных бесконечных множеств. Легко видеть, что множество {х},
элементами которого служат четные положительные числа 2, 4, 6.....2п, ....
эквивалентно множеству {р}, элементами которого служат натуральные
числа 1, 2, 3, ..., п, ... В самом деле, мы установим взаимно однозначное
соответствие между элементами этих множеств, поставив й соответствие эле-
менту 2п множества {х} элемент п множества {у}. Обратим внимание на то,
что рассмотренное нами множество {х} является подмножеством множества
{</}• Таким образом, бесконечное множество {р} оказывается эквивалентным
своему подмножеству {х} **).
Из всевозможных множеств выделим следующие два важных типа:
Р. Всякое множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел 1,
2, 3....п, ..., будем называть счетным. Из определения счетного множе-
ства вытекает, что все элементы этого множества можно занумеровать.
2°. Всякое множество, эквивалентное множеству всех вещественных чисел
интервала (0, /), будем называть множеством мощности континуума.
Приведем примеры счетных множеств и множеств мощности континуума.
Первым примером счетного множества может служить рассмотренное выше
множество четных положительных чисел 2, 4, 6, ..., 2п ... Другим примером
счетного множества может служить множество всех рациональных чисел
сегмента [0, 1], ибо, как доказано в сноске на стр. 82, это множество можно
расположить в последовательность без повторений, т. е. занумеровать. При-
мером множества мощности континуума может служить множество всех ве-
щественных чисел (бесконечная прямая). В самом деле, функция p=ctgwx***)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками интервала
О < х < 1 и точками бесконечной прямой.
В заключение докажем, что множество мощности континуума не эквива-
лентно счетному множеству. Для этого достаточно доказать, что множество
всех вещественных чисел интервала (0, 1) нельзя занумеровать. Допустим
противное, т. е. предположим, что все вещественные числа интервала (0, 1)
*) Взаимно однозначным соответствием между элементами двух множеств
называется такое соответствие, при котором каждому элементу первого мно-
жества отвечает только один элемент второго множества так, что при этом
каждый элемент второго множества отвечает только одному элементу первого
множества.
**) Легко показать, что любое бесконечное множество эквивалентно не-
которому своему подмножеству, не совпадающему со всем множеством. Этот
факт может быть принят за определение бесконечного множества.
***) Читатель имеет представление о функции p = ctgitx из элементар-
ного курса. Вопрос о строгом построении тригонометрических функций вы-
ясняется в главе 4.
88
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 3
можно занумеровать. Тогда, записывая эти числа в виде бесконечных деся-
тичных дробей, мы получим последовательность
Xi = 0, Яц Ди ... ain
= 0, а21 Й22 ... о2л
= 0, ап1 ап2 ... апп ...
Рассмотрим теперь вещественное число х = 0, Ьг b2...bn..., где 6j—
любая цифра, отличная от аи, 0 и 9, Ь2— любая цифра, отличная от а22, О
и 9, и вообще Ьп — любая цифра, отличная от апп, 0 и 9.
Так как число х не содержит после запятой нулей и девяток, то это
число не принадлежит к классу рациональных чисел, представимых двумя
способами в виде бесконечных десятичных дробей *). Но в таком случае
число х заведомо отлично от всех чисел х1( х2, ..., хп, ..., ибо совпадение
числа х с каким-либо хп означало бы совпадение Ьп и апп.
Математиков долгое время занимал вопрос о существовании бесконечного
множества {х}, не эквивалентного ни счетному множеству, ни множеству мощно-
сти континуума, но эквивалентного части множества мощности континуума.
В 1963 году американский математик П. Коэн доказал, что гипотеза о суще-
ствовании такого множества не зависит от остальных аксиом теории множеств.
Это означает, что возможно построить внутренне не противоречивую теорию
множеств, постулирующую как факт существования такого множества, так и
факт его отсутствия (см. книгу П. Дж. Коэна «Теория множеств и контину-
ум-гипотеза», Мир, 1969).
ДОПОЛНЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ 3
ТЕОРЕМА ШТОЛЬЦА
Во многих случаях для исследования сходимости частного -I—I после-
\Уп'
довательностей {хя} и {уп} оказывается полезным следующее предложение.
Теорема Штольца. Пусть {у„}—возрастающая бесконечно большая
последовательность, и пасть последовательность !—------сходится и
\Уп~ Уп-il
имеет предел а. Тогда последовательность j—| сходится и имеет предел а.
Таким образом,
lim = lim
п-*а>Уп п->оаУп Уп-1
Доказательство. Поскольку последовательность I—------------------
Уп-1'
сходится и имеет пределом число а, то последовательность {«п}. где
ап = —----—— а, бесконечно малая. Пусть N — любой фиксированный но-
Уп
мер и п > N. Используя выражение для ап, рассмотрим серию равенств:
' ХАГ+ 1 - XN = а (^+ I ~ М +	+ 1 (^+ 1 - yN>
Хй+ 2 ~ ХАГ + 1 = ° (^+ 2 ~ yN+ l) + “аг-1- i (yN+ 2 — %+ 1)’
хп-1 хп-з = а (Уп-1 — Уп-?) 4" ап-1,(Уп-i — Уп-г)>
хп — хп-1 — а (Уп — Уп-1) 4" ^п (Уп — Уп-1)-
*) См. п. 3 § 1 главы 2.
ДОПОЛНЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ 3
89
Складывая эти равенства, найдем
Хп - ХЫ = йУп -ayN + aN+X <yN+ 1 - М + aiV + 2 (^+2 ~ Уй+ 1) +
+’••• + ап-1 (Уп-1 — Уп-2> + ап (Уп — Уп-1)‘
Так как {(/„}— возрастающая бесконечно большая последовательность, то,
начиная с_некоторого номера, ее элементы положительны. Будем считать, что
при n^>N уя>0. Тогда из последнего равенства получим
v	Xjn—ay^
^ — а= —--------" +
Уп	Уп
I aN+1 (yiV4-1 ~ У n)	aV + 2 (^V+2 — yN+ t) + • • • + an (У« — (/л-1)
Уп
Поскольку последовательность {//„} возрастающая, то разности
k=^N, N 1, п—1, положительны. Поэтому из последнего соотноше-
ния имеем
хп
Уп
XN~ayN
Уп
| алГ-(-1 | (^+1 УДг) | aN+2 | (^ЛЧ-2	^N+ 1) + ••' ~Ь I g« I (y”	У«-1)
Уп
(3-8)
Докажем теперь, что последовательность | сходится и имеет предел а.
Для этого достаточно доказать, что для любого положительного е можно
указать номер N такой, что при п'^ N выполняется неравенство | —aj_<e.
Во-первых, по данному е > О выберем номер N так, чтобы при п М вы-
полнилось неравенство | ап [ <; — (это возможно, поскольку последователь-
ность {ал} бесконечно малая). Далее, выберем номер N N так, чтобы при
у. Такой выбор номера N
ХН~аУх
Уп
п 5s (V выполнялось неравенство
возможен, поскольку число X—— ау~ фиксировано, а последовательность {у„}
бесконечно большая, и поэтому последовательность | W  —j- бесконечно
малая. Пусть теперь n^zN. Из неравенства (3.8) имеем
е , е (^V+l “ ^jv) (УУ+2~~	Уп-^
2	2 ‘
I Уп
или
Уп
e У"-УК
Уп
Уп — У„
Так как при n^N yn — y-^yn и «/„>0, то —------------^1. Поэтому при
п N из последнего неравенства имеем
— — а I < е.
Уп I
Хп
— —а
Уп
2
Уп
Теорема доказана.
90	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	[ГЛ. 3
Замечание. Если {</„}—возрастающая бесконечно большая последова-
тельность. а последовательность 1——также бесконечно большая и
\Уп — Уп-1>
стремится к бесконечности определенного знака, то последовательность
бесконечно большая. В самом деле, пусть
ХП ХП-1 _ д
Уп Уп-i
Последовательность {Д„} бесконечно большая. Имеем при
Xn+i~ xn = Лу+1 (Un+i~ Xv)’
%п ХП-1 — -Ал (Уп   у п-1)’
Складывая эти равенства, найдем
Хп -	= Ллг+к(^+1 - М + • • • + Ап (Уп - ^-1)-
Отсюда
= Л*+ 1 (^+ 1 ~ ^) + '" ~
Уп	Уп	Уп
Из этого соотношения имеем
хп I	ЛАЦ-1 (Ху +1 ~ yjv) + ''' Лп	~ Уn-i)
Уп I	Уп
Будем для определенности считать, что при N элементы последователь-
ностей {(/„} и {Дл} положительны. Выберем, далее, по заданному положи-
тельному А номер N такА чтобы при n^N выполнялось неравенство
Ап>4А, затем такое jVSsA', что при n^N
XN
Уп
(3.9)
Возможность выбора такого N обеспечивается тем, что последовательности
{Ап} и {р„} бесконечно большие и их члены, начиная с некоторого номера,
положительны. Очевидно, при n^N из неравенства (3.9) имеем
или
^|>4Л^У+1 М.
+	+	— Уп-1) хй
Уп	Уп
\
— А > А.
Таким образом, последовательность !—> бесконечно большая.
'Уп'
Рассмотрим несколько примеров.
I9. Докажем, что если последовательность {ал} сходится и имеет пре-
[ а, 4- а» -4- ... + а„ )
дел а, то последовательность	;——=------!) средних арифметических
значений элементов последовательности {ал} сходится. к тому же самому
ДОПОЛНЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ 3
91
пределу о *). В самом деле, если положить at + а2 + ••• + ап = хп, a уа — п,
то ——^^Д = ая. Так как lim ——= Нщ Qn существует, то по тео-
Уп Уп-l	п-»соУп Уп-1 л-»со
реме Штольца
..	Qi “I- По “1“ • • ‘"Н- &П 1 •
lim	1—— = lima„ = a.
л—-со	п	п->а>
24. Рассмотрим теперь последовательность {ап}, где
lfe + 2ft + -.- + nfe
°п	пГг+1
и k — целое положительное число.
Обозначим lfe + 2* + ... + п* через хп, a nft+l через уп. Тогда последо-
вательность {а„} приобретает вид 'Исследуем сходимость последователь-
ности	Имеем
УУп — Уп-1 >
Хп—Хп-1	_________________
Уп—Уп-i n*+i-(n-l)*+i (fe + nk  (fe + 1) k nk_± + _	(_])fe+i ’
Поделив числитель и знаменатель последнего выражения на nft, получим
хп ~ Xn-1 _________1_______
Уп Уп-1 ь ,  । 1 r 1 ’
где в знаменателе в квадратных скобках опущено выражение, предел кото-
Г (k +1)	. .
рого при л—-со равен —i—'2~~	послеДнеи формулы находим
л—оо Уп Уп-1 “Ь 1
Следовательно,. по теореме Штольца имеем
lfe + 2* + ... + nft 1
hm -----•----!1.
п — оо nft+1	fe -|- 1
✓	п
3”. Рассмотрим, наконец, последовательность , а > 1. Полагая ап=хп
и п = уп и исследуя последовательность	> находим
УУп Уп~ 1'
lim Хл-1 = lim (an — an-i) = lim ап fl — —) = + co.
п-*-саУп Уп~1 co	n-^co \	O')
Поэтому, в силу замечания к теореме Штольца, имеем
ап
lim — = + оо.
П-+ СО ft
*) Это предложение было доказано Коши.
92
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Ц Л. 3
ДОПОЛНЕНИЕ 2 К ГЛАВЕ 3
О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,
ПРИБЛИЖАЮЩЕЙ /а
В пункте 3 § 3 этой главы мы доказали, что предел последовательности
{хл}, определяемой рекуррентной формулой
хл+1 = 4- (хп +	, п = 1, 2,	(3.10)
где а>0, а — любое положительное число, равен Уа. В качестве прибли-
женного значения У а мы можем взять любой элемент хл+1 этой последова-
тельности. При этом, естественно, нужно выяснить вопрос о выборе числа п
итераций *), обеспечивающих приближение У а с заданной погрешностью.
Обратимся к последовательности {х„}, определяемой реккурентной формулой
(3.10). Будем называть элемент хп этой Последовательности n-м приближением
числа т = Уа. Величину
=	(3.11)
назовем относительной погрешностью п-ro приближения.
Справедливо следующее утверждение об оценке относительной погрешности
ел+1 через относительную погрешность первого приближения.
Пусть х1 выбрано так, что | е, ] С -%, Тогда при любом п 1 имеют
место неравенства
0^sn+1^ef	(3.12)
Доказательство. Из формулы (3.11) имеем
хя=7(1+ел)-	(3-13)
Обращаясь к формулам (3.10), (3.13) и к равенству у- — 7, получим
1 / . а\ 1 Г /1 , , .	“1 Г, .	1
хл+1- 2	2 [V(l	+2(1+ел)]-
(3-14)
п-
Так как хл+1 = 7 (1	ел+1) то, очевидно,
1
е«+1-2(1 + ел)
По условию hi|<4-. Отсюда следуют неравенства 0 <	-----<1. Но
2	2 (1 -f- sj
тогда из (3.14) при п = 1 вытекает неравенство е25:0. Используя далее со-
отношение (3.14) при п = 2, 3,..., убедимся в неотрицательности ел+1 для
любого п 1.
Из равенства (3.14), из соотношений 0<—-—:—г < 1 и из неотрица-
2 (1 + ej
тельности ел для любого п >• 1 вытекает неравенство en+1sge’ для любого
п>=1. Отсюда сразу же получаем правое из неравенств (3.12). Утверждение
доказано.
*) Итерация (от латинского iteratio — повторение) — результат повтор-
ного применения какой-либо математической операции. В рассматриваемом
случае одной итерацией является вычисление хл+1 по хп с помощью рекуррент-
ной формулы (3.10).
ДОПОЛНЕНИЕ 2 К ГЛАВЕ 3
93
Обращаясь к неравенствам (3.12), мы видим, что относительная погреш-
ность еп+1 вычисления Va после п итераций оценивается через относительную
погрешность первого приближения xt и число п итераций. Ниже мы убедимся,
что при a 1 *) первое приближение можно выбрать так, что ej по абсолют-
ной величине не будет превышать 0,05. Очевидно, что при таком выборе хг
относительная погрешность будет удовлетворять условиям доказанного нами
утверждения. Ясно также, что тем самым будет решен вопрос о выборе числа
п итераций, обеспечивающих приближение к /а с заданной относительной
погрешностью е: это число п может быть найдено из формулы**)
(0,05)2" < г.	(3.15)
Итак, пусть а> 1. Представим число а в следующей форме:
а = 22*+гМ,	(3.16)
где k — целое неотрицательное число, число- i равно либо нулю, либо единице,
а число М удовлетворяет условиям
1<Л4<2.	(3.17)
Отметим, что представление числа а в форме (3.16) единственно.
Выберем Xi следующим образом:
х1 = 2*(12<М + ^).	(3.18)
Убедимся, что для любого М, удовлетворяющего условиям (3.17), первое при-
ближение хх, вычисляемое по формуле (3.18), дает относительную ошибку ех
при вычислении 7 = Va, не превышающую по абсолютной величине числа 0,05.
Для доказательства обратимся к точному выражению относительной ошибки
ех = —----. Так как, согласно (3.16), 4 = 2kV%‘M, то из выражения для sx
и формулы (3.18) получим
'	1 •	17	,----
2>Л1+ yW
Поскольку число i равно либо нулю, либо единице, а М 1, то |/г2/44 ^1.
Отсюда и из (3.19) вытекает неравенство
| ех I < 112‘М + g - Гй’лГ |.	(3.20)
Обозначим V^fM через X. Поскольку 1^M<2 и i равно либо нулю, либо
единице, то все допустимые значения X наверняка находятся на сегменте
II. 2]:
ls=Xsg2.	(3.21)
Используя введенное обозначение X для 1^2’41, перепишем неравенство (3.20)
*) Если a < 1, то а = -7-, где b > 1, и Va равен —т=.
"	V b
**) Справедливость этой формулы непосредственно вытекает из соотноше-
ний (3.12).
94
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 3
в следующей форме:

(3.22)
В силу (3.22) максимальное значение I е, 1 не превышает максимального зна-
I 1	17 I
чения X2 — X -J- jr-j- для значений X, удовлетворяющих условиям (3.21). Для
выяснения вопроса об этом максимальном значении обратимся к графику функ-
1	17
у.	ции f (X) = -g-X2 —Х-J- —. Из курса элемен-
тарной математики известно, что графиком этой
функции является парабола, вершине которой
/	3	_
-------1 —	отвечает точка X = -g- (рис. 3.4)*). Так как
1 li	f(l) = f(2)=^, a = — то ясно, что
’-у-------Д	—г,---J" для значений X, удовлетворяющих условиям
\ ' /	(3.21), значения f (X) заключены между —
-L-------и 1 _ Иными словами,
2ч	24	’
Рис. 3.4.	|/(Х)| = |1х2-Х+^|^1
Из последнего неравенства
неравенство для ej
и неравенства (3.22) вытекает интересующее нас
Ы^й<0’05-
Замечание. Отметим, что если заданная относительная погрешность s
равна 10~10, то для вычисления с такой точностью квадратного корня из любого
числа а>1 после выбора по формуле (3.18) потребуется всего лишь три
итерации (п = 3), поскольку (0,05)г3 < 10~10.
*) На рис. 3.4 масштаб по оси Оу в 20 раз больше масштаба по оси Ох.
ГЛАВА 4
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ.
Эту главу мы начнем с уточнения важнейшего понятия матема-
тического анализа—понятия функции. Опираясь на понятие предела
числовой последовательности, мы введем новую форму операции пре-
дельного перехода, основанную на понятии предельного значения (или
предела) функции. В этой главе вводится также важное математиче-
ское понятие непрерывности функции.
Значительное место в главе отводится выяснению свойства непре-
рывности и других свойств простейших элементарных функций.
Вопрос о приближенном вычислении значений элементарных функ-
ций рассматривается в Дополнении к главе 8.
§ 1.	Понятие функции
1.	Переменная величина и функция. В главе 1 мы уже отме-
тили, что со всяким реальным физическим процессом связаны по меньшей
мере две переменные величины, изменение которых взаимообусловлено.
Рассматривая реальные физические переменные величины, мы при-
ходим к выводу, что эти величины не всегда могут принимать произ-
вольные значения. Так, температура тела не может быть меньше
— 273° С, скорость материальной точки не может быть больше
3-1010 см/сек (т. е. скорости света в пустоте), смещение _у мате-
риальной точки, совершающей гармонические колебания по закону
у = A sin (со/ -j- 8), может изменяться лишь в пределах сегмента [— А,-|- А].
В математике отвлекаются от конкретных физических свойств
наблюдаемых в природе переменных величин и рассматривают аб-
страктную переменную величину*), характеризуемую только числен-
ными значениями, которые она может принимать.
Множество {х} всех значений, которые может принимать данная
переменная величина, называется областью изменения этой переменной
величины. Переменная величина считается заданной, если задана
*) Уместно отметить, что понятие величины относится к числу начальных
математических понятий (см. сноску на стр. 18).
90
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
область ее изменения. В дальнейшем мы, как правило, будем обозна-
чать переменные величины маленькими латинскими буквами х, у', и,
а области изменения этих переменных символами
{4 {4 {“}>•••
Пусть задана переменная величина х, имеющая
областью изменения некоторое множество {х}.
Если каждому значению переменной х из
множества {х} ставится в соответствие по
известному закону некоторое число у, то го-
ворят, что на множестве {х} задана функ-
ция у—у(х) или y=f(x).
При этом переменная х называется а р гу-
мен т о м, а множество {х} — областью за-
дания функции у—f(х). j
Число у, которое соответствует данному значению аргумента х,
называется частным значением функции в точке х. Сово-
купность всех частных значений функции образует вполне опреде-
ленное множество {у}, называемое множеством всех значе-
ний функции.
В обозначении y=f(x) буква f называется характеристикой
функции. Для обозначения аргумента, функции и ее характеристики
могут употребляться различные буквы.
Приведем примеры функций:
1°. у = х2. Эта функция задана на бесконечной прямой —оо <
<х<-|-оо. Множество всех значений этой функции—полупрямая
0<у<-|-оо (рис. 4.1).
2°. у = У1' — х2. Функция задана на сегменте —1<х<4-1.
Множество всех значений функции — сегмент 0 <_у < 1 (рис. 4.2).
3°. у — п\. Эта функция задана на множестве натуральных чисел
п= 1, 2,... Множество всех значений этой функции — множество
натуральных чисел вида л! (рис. 4.3).
4°. Функция Дирихле *)
( 0, если х — иррациональное число,
у — <
( 1, если х—рациональное число.
*) Петер Густав Лежен-Дирихле — немецкий математик (1805 — 1859).
§ п
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
97
Эта функция задана на бесконечной прямой —оо<х< -j-oo,
а множество всех ее значений состоит из двух точек 0 и 1.
5°.
у = sgn Х =
4- 1, если
О, если
— 1, если
х > О,
х = 0,
х < 0.
У
4
(Термин sgn происходит от латинского слова signum — знак.) Эта
функция задана на всей бесконеч-
ной прямой —ОО < X < + оо,
а множество всех ее значений
состоит из трех точек: — 1,
и + 1 (рис. 4.4).
0
г
~з -г -}
—<
/
-Z
-2
Рис. 4.5.
А
Рис. 4.4.
6°. у — [х], где [х] обозначает целую часть вещественного числа х.
Читается: «у равно антье х» (от французского слова entier — целый).
Эта функция задана для всех вещественных значений х, а множество
всех ее значений состоит из
целых чисел (рис. 4.5).
2.	О способах задания
функции. В этом пункте мы
остановимся на некоторых
способах задания функции.
Часто закон, устанавли-
вающий связь между аргу-
ментом и функцией, задается
посредством формул. Такой
способ задания функции на-
зывается аналитическим.
Следует подчеркнуть, что функция может определяться разными фор-
мулами на разных участках области своего задания.
Например, функция
( sin х при xgO,
I х2 при х > 0
задана аналитическим способом на всей бесконечной прямой (рис. 4.6).
98
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
(ГЛ. ♦
Довольно распространенным способом задания функции является
табличный способ, заключающийся в задании таблицы отдельных
значений аргумента и соответствующих им значений функции. При
этом можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице зна-
чения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента.
Для этого используется способ интерполяции, заключающийся в замене
функции между ее табличными значениями какой-либо простой функ-
цией (например, линейной или квадратичной). Примером табличного
задания функции может служить расписание движения поезда. Распи-
сание определяет местоположение поезда в отдельные моменты вре-
мени; Интерполяция позволяет приближенно определить местополо-
жение поезда в любой промежуточный момент времени.
В практике физических измерений используется и еще один спо-
соб задания функции — графический, при котором соответствие между
аргументом и функцией задается посредством графика (снимаемого,
например, на осциллографе).
§ 2.	Понятие предельного значения функции
1.	Определение предельного значения функции., Рассмотрим
функцию у — f (х), определенную на некотором множестве {х},
и точку а, быть может, и не принадлежащую множеству {х}, но обла-
дающую тем свойством, что в любой е-окрестности точки а имеются
точки множества {х}, отличные от а. Например, точка а может быть
граничной точкой интервала, на котором определена функция.
Определение 1. Число Ь называется предельным значе-
нием функции y=f(x) в точке х = а (или пределом
функции при х—► а), если для любой сходящейся к а последо-
вательности Xj, х2,..., хт ... значений аргумента х, элементы х„
которой отличны от а *) (х„	а), соответствующая последо-
вательность /(XJ, /(х2),..., f(xn),... значений функции схо-
дится к Ь.
Для обозначения предельного значения функции используется сле-
дующая символика: lim f(x) = b.
х-+а
Отметим, что функция y—f(x) может иметь в точке а только
одно предельное значение. Это вытекает из того, что последователь-
ность |/(хя)} может иметь только один предел.
Рассмотрим несколько примеров.
1°. Функция /(х) = с имеет предельное значение в каждой точке
а бесконечной прямой. В самом деле, если Хр х2,хт любая
сходящаяся к а последовательность значений аргумента, то соответ-
ствующая последовательность значений функции имеет вид с, с,...
*) Это требование объясняется, в частности, тем, что функция f(x) может
быть не определена в точке а.
§ 21	ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ	99
...,с,... и поэтому сходится к с. Таким образом, предельное значе-
ние этой функции в любой точке х — а равно с.
2°. Предельное значение функции f(x) — x в любой точке а бес-
конечной прямой равно а. Действительно, в этом случае последова-
тельности значений аргумента и функции тождественны, и поэтому,
если последовательность {хп} сходится к а, то и последовательность
{/(х„)} также сходится к а.
3°. Функция Дирихле, значение которой в рациональных точках
равны единице, а в иррациональных—нулю, не имеет предельного
значения ни в одной точке а бесконечной прямой. Действительно,
для сходящейся к а последовательности рациональных значений аргу-
мента предел соответствующей последовательности значений функции
равен единице, а для сходящейся к а последовательности иррацио-
нальных значений аргумента предел соответствующей последователь-
ности значений функции равен нулю.
В дальнейшем мы будем использовать понятия односторонних пре-
дельных значений функции, которые определяются следующим образом.
Определение 2. Число b называется правым (левым)
предельным значением функции f(x) в точке х = а, если
для любой сходящейср к а последовательности хг, х2,..., хт...
значений аргумента х, элементы хп которой больше (меньше) а,
соответствующая последовательность f (Xj), f (х2),.... f(xn),...
значений функции сходится к Ь.
Для правого предельного значения функции используется обозна-
чение
lim f(x) = b или /(а + 0) = А
х-ю+О
Для левого предельного значения употребляется обозначение
lim f(x) — b или f(a~ Q) = b.
О
В качестве примера рассмотрим функцию/(x) = sgnx*). Эта функция
имеет в нуле правое и левое предельные значения, причем sgn (0 -f- 0) =
= 1, a sgn(0—0) = —1. В самом деле, если {х„}—любая сходя-
щаяся к нулю последовательность значений аргумента этой функции,
элементы х„ которой больше нуля (х„>0), то sgnx„=l и поэтому
lim sgn хп = 1. Таким образом, справедливость равенства sgn (0 + 0) =
= 1 установлена. Аналогично доказывается, что sgn(0—0) = —1.
Замечание. Если в точке а правое и левое предельные зна-
чения функции f (х) равны, то в точке а существует предельное
значение этой функции, равное указанным односторонним пре-
дельным значениям. Этот наглядный факт мы снабдим доказатель-
ством.
*) Определение функции p = sgnx дано в n. 1 § 1.
100
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
Пусть {х„} — любая сходящаяся к а последовательность значений
аргумента функции /(х), элементы которой не равны а. Пусть {х^ } —
подпоследовательность этой последовательности, состоящая из всех
ббльших а элементов последовательности {хя}, а {х/т} — подпосле-
довательность, состоящая из всех • меньших а элементов последова-
тельности {хл} *). Так как в силу п. 1 § 4 главы 3 подпоследова-
тельности {xfem} и сходятся к а, то из существования правого
и левого предельных значений функции f(x) в точке а вытекает,
что последовательности {/(х*т)} и	имеют пределы, которые
по условию равны. Пусть b — предел этих последовательностей. Для лю-
бого е> 0 можно указать номер N такой, что все элементы последова-
тельностей {/(х/гт)} и {/(х<т)}, для которых km^N и lm N, удов-
летворяют неравенствам |/(х*ш) — b | < s и | f(xitn) — b | < в. Следо-
вательно, при n^N выполняется неравенство |/(хя) — b ] < в, т. е.
последовательность’ {/(х„)} сходится к Ь. Тем самым доказано, что
предельное значение функции /(х) в точке а существует и равно Ь.
Сформулируем определения предельного значения функции при
стремлении аргумента х к бесконечности и к бесконечности опреде-
ленного знака.
Определение 3. Число b называется предельным значе-
нием функции f(x) при х—оо (или пределом функции
при х—>оо), если для любой бесконечно большой последователь-
ности значений аргумента соответствующая последовательность
значений функции сходится к Ь.
Для обозначения предельного значения функции при х —со
используется следующая символика:
lim f(x) — b.
л'-»со
Определение 4. Число b называется предельным значением
функции f (х) при стремлении аргумента х к положительной (отри-
цательной) бесконечности, если для любой бесконечно большой
последовательности значений аргумента, элементы которой,
начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны),
соответствующая последовательность значений функции схо-
дится к Ь.
Символические обозначения:
lim f(x) — b (lim f(x) = b).
X —♦ CO	x —> — co
В качестве примера рассмотрим функцию f(x) =—. Эта функция
*) Мы исключаем из рассмотрения случай, когда у последовательности
{хд} лишь конечное число элементов лежит правее (левее) точки а. В этом слу-
чае сходимость {/ (ХлД очевидна.
§ 21	ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ	101
имеет равное нулю предельное значение при х—>-оо. Действительно,
если хг х„, хп, ... — бесконечно большая последовательность
значений аргумента, то последовательность —, —, ..., —, ... беско-
Xj Х2	%п
нечно малая и поэтому имеет предел, равный нулю.
2.	Арифметические операции над функциями, имеющими пре-
дельное значение. Убедимся, что арифметические операции над функ-
циями, имеющими предельное значение в точке а, приводит к функ-
циям, также имеющим предельное значение в этой точке. Справедлива
следующая основная теорема.
Теорема. 4.1. Пусть заданные на одном и том же мно-
жестве функции f(x) и g(x) имеют в точке а предельные зна-
чения b и с. Тогда функции f(x)-\- g(x), f(x) — g(x), f(x)-g(x) и
(x)
имеют в точке а предельные значения (частное при условии
с jb Оф равные соответственно Ь-\-с, Ь — с, Ь-с и — .
Доказательство. Пусть хх, х2, ..., хп, ... (хп уЬ а) — про-
извольная сходящаяся к а последовательность значений аргумента
функций f(x) и g(x). Соответствующие последовательности /(х,),
/(х2), .... /(х„), ... и g(x1), g(x2), ..., g(xn),... значений этих функ-
ций имеют пределы Ь и с. Но тогда, в силу теорем 3.9—3.12, по-
следовательности {/(x„) + g(x„)}, {/(x„)-g(x„)}, {/(x„)-g(x„)} и
имеют пределы, соответственно равные b-Ус, Ь — с, b-с и
В силу произвольности последовательности {хя} это означает, что
lira [/(x) + g(x] = & + c, lim t/(x)-g-(x)]=Z>-c, lim [/(x)-g(x)] =
л--» о	x -* a	x a
= b-c, lim	Теорема доказана.
Применим доказанную теорему для отыскания предельных значе-
ний многочленов и несократимых алгебраических дробей *). Имеет
место следующее утверждение.
В каждой точке а бесконечной прямой предельные значения
многочленов и несократимых алгебраических дробей существуют
и равны частным значениям этих функций в указанной точке
(в случае алгебраической дроби а не должно быть корнем знаме-
нателя).
Действительно, в силу теоремы 4.1
lira x2 = lim x-x = lim x-lim x = a2.
x-+a x-+a	x-*a x—*a
Аналогично можно убедиться, что
lim х" = ап.
х^.а
*) Несократимая алгебраическая дробь — частное двух многочленов, не
имеющих отличных от постоянной общих множителей.
102
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
(ГЛ. 4
Следовательно, для многочлена Z>ox“ 4- Ьгхп 14- • - • 4* Ьп-гх 4- Ьп полу-
чим (используя теорему 4.1 для произведения и суммы)
lim (bax" +	4-• • • 4* Ьц-уХ + й„) = Ьоап 4- Ь^а? 1 4-... 4- Ьп-Га 4- Ьп.
х —* а
В случае несократимой алгебраической дроби, когда а не является
корнем знаменателя, получим (применяя теорему 4.1 для частного)
b<jXn 4~ Ь^хп~1 4~ • • 4~ ^n-ix 4~ Ьп_Ьаап 4~	1 4~	4~ Ьп_уа. 4- Ъп
х 4-CiX"*-14- • • • 4-ст_1* + ст-саат 4- с1ат-1 4-... 4- с^а 4- ст'
3.	Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функ-
ций. Функция y=f(x) называется бесконечно малой в точке
х = а (при х-+а), если lim f(x) — 0. Легко убедиться, например,
х~> а
что функция f(x) = (x—a)m, где т — целое положительное число,
является бесконечно малой в точке х — а. В самом деле, в пре-
дыдущем пункте мы установили, что предельное значение много-
члена f(x) = (x — а)т в любой точке бесконечной прямой существу-
ет и равно частному значению многочлена в этой точке. Поэтому
lim (х — а)т = 0.
х -+ а
Отметим, что если функция у = f(x) имеет равное b предельное
значение в точке а, то функция a.(x) — f (х) — b является бес-
конечно малой в точке а. Действительно, предельные значения
каждой из функций f(x) и b в точке а равны Ь, и поэтому в силу
теоремы 4.1
lim а (х) - lim (/(х) — b) = lim f (х) — lim b = 0.
х-*а х -* а	ха
Используя полученный результат, мы получаем специальное представ-
ление для функции, имеющей равное b предельное значение в точке
х = а:
f (х) = b 4- я (х), где lim а(х) = 0.	(4.1)
Представление (4.1) оказывается весьма удобным при дока-
зательстве различных предложений и будет неоднократно исполь-
зовано нами ниже.
Наряду с понятием бесконечно малой функции часто используется
понятие функции, бесконечно большой в точке а справа или беско-
нечно большой в точке а слева. Именно, функция f(x) называется
бесконечно большой в точке а справа (слева), если для любой
сходящейся к а последовательности xv х2, ..., хп ... значений
аргумента х, элементы хп которой больше а (меньше а), соот-
ветствующая последовательность /(xj, /(х2),..., /(хп), ... зна-
5 21
ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
103
пений функции является бесконечно большой последовательностью
определенного знака.
Для бесконечно больших функций используются следующие обо-
значения:
lim fix)= оо или /(а + 0) = -{- оо,
ж—а+0
lim f(x) =4-оо или /(а — 0) = 4~ °°>
х-*а—О
lim f(x) ——со или /(а 4-0) = — оо,
ж->а4-0
lim /(х) = —оо или /(а —0) =— со.
л-»я —О
Познакомимся с методикой сравнения бесконечно малых функций
и употребляемой терминологией.
Пусть а (х) и р (х) — две заданные на одном и том же множестве
функции, являющиеся бесконечно малыми в точке х — а.
1)	Функция а(х) называется бесконечно малой более высокого
порядка, чем р (х) (имеет более высокий порядок малости), если
.	а (х)
предельное значение функции j^y в точке а равно нулю.
2)	Функции а(х) и Р(х) называются бесконечно малыми одного
порядка (имеют одинаковый порядок малости), если предельное зна-
,	а (х)
чение функции в точке а существует и отлично от нуля.
3)	Функции а(х) и Р(х) называются эквивалентными бесконечно
малыми, если предельное значение функции у^у в точке а равно
единице. .
Часто бесконечно малые функции сравнивают с какими-либо
стандартными бесконечно малыми функциями. Обычно в качестве
функции сравнения берут функцию (х — а)т, где т — целое положи-
тельное число. В этом случае употребляется следующая терминоло-
гия: бесконечно малая в точке а функция а (х) имеет порядок
,	а (х)
малости т, если предельное значение функции	в точке а
отлично от нуля.
При сравнении бесконечно малых функций часто употребляют
символ о (о малое). Именно, если функция а = а(х) представляет
собой бесконечно малую в точке а функцию более высокого порядка,
чем бесконечно малая в этой же точке функция р = р(х), то это
условно записывают так:
а = о(Р)
(читается: а равно о малое от р). Таким образом, символ о(Р) озна-
чает любую бесконечно малую функцию, имеющую в точке а более
высокий порядок малости, чем бесконечно малая в этой точке функ-
ция р = р (х).
104
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
Отметим следующие очевидные свойства символа о: если^ = о(Р),
то о (В) ± о (у) = о (Р), о (Р) ± о (Р) — о (р).
Заметим также, что если а и р — бесконечно малые в точке а
функции, то функция ар имеет более высокий порядок малости, чем
каждцй из сомножителей, и поэтому
ар = о (а), ар = о (р).
Для бесконечно больших в точке а справа (или слева) функций
используется аналогичная методика сравнения.
Пусть А(х) и В (х) — бесконечно большие в точке а справа
функции, и пусть, например, обе эти бесконечно большие функции
положительного знака, т. е.
lim Л(х)=-]-оо и
х—а-ГО
Мы будем говорить, что функция А (х) имеет в точке а справа
более высокий порядок
А (х)	Л
-~А- является бесконечно
В (х)
lim В (х) — + оо.
л-»а4-0
роста, чем функция В(х), если функция
большой в точке а справа. Если же правое
.	А (х)
предельное значение функции в точке а конечно и отлично от
D (X)
нуля, то в этом случае мы будем говорить, что А (х) и В (х) имеют
в точке а справа одинаковый порядок роста.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Функции а(х) = 3х2ф-х3 и р(х) = 2х2 являются бесконечно
малыми функциями одного порядка в точке х = 0. Действительно,
при х 0	+ 4- х. Так как lim4-x = 0, то в силу тевремы 4.1
Р W z х	х-*о 2
lim	& это означает, что а(х) и р (х) — бесконечно малые
одного порядка.
2. Функции а(х) = х2— бх3 и р (х) = х2 — эквивалентные беско-
нечно малые в точке х = 0. В самом деле, ^|=1 —бх. Так как
р \Х)
Нтбх = 0, то в силу теоремы 4.1 lim	Это и означает
х 0	х — 0 Р W
эквивалентность бесконечно малых а (х) и р (х).
j I х	J
3. Функции А (х) = и В(х)=— имеют одинаковый порядок
роста в точке х = 0 справа и слева. Это следует из того, что
lim4r^= lim(l +х)= 1.
§ 3. Понятие непрерывности функции
1. Определение непрерывности функции. Пусть точка а принад-
лежит области задания функции /(х) и любая е-окрестность точки
а содержит отличные от а точки области задания этой функции.
§ 31
.. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
105
Определение 1. Функция f(х) называется непрерывной
в точке а, если предельное значение этой функции в точке а
существует и равно частному значению f{a).
Таким образом, условие непрерывности функции /(х) в точке а
символически можно выразить следующим образом:
lim/(x)=/(a).
х —*а
Так как a = lim х, то этому равенству можно придать следую-
щую форму: х ""а
lim/(х) =/( lim х).
х^а
Следовательно, для непрерывной функции символ «lim» предельного
перехода и символ «/» характеристики функции можно менять
местами.
Определение 2. Функция f(х) называется непрерывной
справа {слева) в точке а, если правое {левое) предельное зна-
чение этой функции в точке а существует и равно частному
значению f{a).
Символические обозначения непрерывности справа (слева):
lim f{x)=f{a) или f{a + 0) =f{a)
( lim f{x)=f{a) или f {a - 0) = f {a)).
x-*a — 0
Замечание. Если функция f{x) непрерывна в точке а и слева
и справа, то она непрерывна в этой точке. В самом деле, в силу
замечания п. 1 § 2 этой главы в этом случае существует предель-
ное значение функции в точке а, равное частному значению этой
функции в точке а.
Рассмотрим примеры.
1°. Степенная функция f{x) = xn с целочисленным положительным
показателем п непрерывна в каждой точке бесконечной прямой. Дей-
ствительно, в п. 2 § 2 мы .доказали, что предельное значение этой
функции в любой точке бесконечной прямой равно частному значе-
нию а".
2°. Так как многочлены и несократимые алгебраические дроби
имеют в каждой точке области задания предельное значение, равное
частному значению (см. и. 2 § 2), то они являются непрерывными
функциями.
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности,
называются точками разрыва функции *). Например, функция/(х) =
= sgnx имеет разрыв в точке х = 0 (в п. 1 § 2 мы доказали, что
правое и левое предельные значения этой функции в точке х = 0
*) В § 8 мы дадим классификацию точек разрыва.
106
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
(ГЛ. 4
существуют, но не равны друг другу, и поэтому не существует пре-
дельное значение функции в этой точке). Функция Дирихле разрывна
в каждой точке бесконечной прямой, поскольку она не имеет предель-
ного значения ни в одной точке этой прямой (см. п. 1 § 2).
Мы будем говорить, что функция f(x) непрерывна на множестве
{х}', если она непрерывна в каждой точке этого множества. Если
функция непрерывна >в каждой точке интервала, то говорят, что она
непрерывна на интервале. Если функция непрерывна в каждой внут-
ренней точке сегмента [а, Ь] и, кроме того, непрерывна сйрава в точ-
ке а и слева в точке Ь, то говорят, что она непрерывна на сегмен-
те [а, Ь\.
2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
Убедимся, что арифметические операции над непрерывным^ функциями
приводят к непрерывным функциям.
Докажем следующую основную, теорему.	>
Теорема 4.2. Пусть заданные на одном и том же множестве
функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а. Тогда функции f(x) +
г (х)
+ g(x), /(х)— g(x)> f(x)'g(.x) н непрерывны в точке а (част-
ное при условии g(a) 0).
Доказательство. Так как непрерывные в точке а функции
f(x) и g(x) имеют в этой точке предельные значения f (а) и g(a),
то в силу теоремы 4.1
f(x)-g(x), f(.x)-g(x)
f(a) + g(a), f(fi)-g(a),
и равны частным значениям перечисленных функций в точке а. Тео-
предельные значения функций f(x)-\-g(x)
7W
и существуют и равны соответственно
f(a)-g(a), Но эти величины как раз
рема доказана.
§ 4. Некоторые свойства монотонных функций
1. Определение и примеры монотонных функций.
Определение. Функция y—f(x) называется неубывающей
(не в о з р а с та ю щ е и) на множестве {х}, если для любых
хх и х2 из этого множества, удовлетворяющих условию х1<х2,
справедливо неравенство /(х1)^/(х2) (/(xj Э=/(х2)).
Неубывающие и невозрастающие функции объединяются общим
наименованием монотонные функции. -
Если для любых хг и х2 из множества {х}, удовлетворяющих
условию х1<х2, справедливо неравенство /(х1)</(х2) (f(x1)>
>/(х2)), то функция y=f(x) называется возрастающей (убываю-
щей) на множестве {х}. Возрастающие и убывающие функции назы-
ваются также строго монотонными.
Приведем примеры монотонных функций.
1. Функция /(х) = х + sgn х возрастает на всей числовой прямой
(рис. 4.7).
5 41	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИИ	107
2. Функция / (х) = sgn х является неубывающей на всей числовой
прямой (см. рис. 4.4).
2. Понятие обратной функции. Монотонные функции, имеющие
обратную. В этом пункте формулируется понятие обратной функции
и устанавливаются условия существова-
пия обратной функции для монотонной	/
функции.	/
Пусть функция y=f (х) задана	/
на сегменте [а, &], и пусть множе-	1 *
ством значений этой функции яв-
ляется сегмент [а, £]. Пусть, да- ___________________,_______
лее, каждому у из сегмента [а, р]	°	х
соответствует только одно значе-
ние х из сегмента [а, Ь], для кото-
рого f(x)=y. Тогда на сегменте	/
[а, р] можно определить функцию	/
х=(у), ставя в соответствие	рис 4
каждому у из [а, р] то значение х из
|о, Ь], для которого f(x)=y. Функция x = f~l(y) называется
обратной для функции y=f(x).
В указанном определении вместо сегментов [а, Ь] и [а, р] можно
было бы рассматривать интервалы (a, b)-u (а, Р). Можно также до-
пускать, что один или оба интервала (а, Ь) и (а, р) превращаются
в бесконечную прямую или в открытую полупрямую.
Отметим, что если x=f~x (у) — обратная функция для у=/(%),
то, очевидно, функция y=f(x) является обратной для функции х =
= /-1(у). Поэтому .функции y = f(x) и х==/-1(у) называют также
взаимно обратными.
Взаимно обратные функции обладают следующими очевидными
свойствами:
Л1(Г(х)) = х.
Рассмотрим примеры взаимно обратных функций.
1°. Пусть на сегменте [0,. 1] задана функция /(х) = 3х. Множе-
ством значений этой функции будет сегмент [0, 3]. Функция (j) =
= у у, определенная на сегменте [0, 3], является обратной для за-
данной функции /(х) = 3х.
2°. Рассмотрим на сегменте [0, 1] функцию, определенную следую-
щим образом:
,	( х, если х — рациональное число,
у = /(х) = {
( 1 — х, если х— иррациональное число.
Функция x = f~1(y), заданная на сегменте [0, 1] и определенная
равенствами
| у, если у — рациональное число,
(у) =! ,
( 1 — .у, если у — иррациональное число,
108
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
(ГЛ 4
будет обратной к данной. В этом нетрудно убедиться непосредствен-
ной проверкой.
Замечание 1. Пусть на сегменте [a, ft] задана строго монотон-
ная функция y—f(x), и пусть множеством' значений этой функции
является сегмент [а, р]. Тогда, в силу строгой монотонности функции
у = /(х), каждому у из [а, р] соответствует только одно значение
х из [a, ft], для которого f(x)=y, и поэтому на сегменте [а, [5]
существует функция х—/~1(у), обратная для функции у =f(x\ Бо-
лее того, если функция у —f (х) является возрастающей на-сегменте
[a, ft], то функция x=f~1(y) также является возрастающей на сег-
менте [а, р], если же y~f(x) — функция, убывающая на [a, ft], то
x=/-1Cv) является убывающей на сегменте [р, а]. Убедимся, напри-
мер, что если у =f(x) — возрастающая функция, то и x=f~1(y) —
также возрастающая функция. Действительно, если У1<^у2, то и
xi <х2 (xi1 (.У1) и х2 — f1 (Уъ))’ ибо из неравенства х}у^х2, и
из возрастания функции у =f(x) следовало бы, что	а это
противоречит неравенству уг <Zy2.
Лемма 1. Для того чтобы строго монотонная на сегменте
[a, ft] функция у =-f(x) являлась непрерывной на этом сегменте,
необходимо и достаточно, чтобы любое число у, заключенное
между числами а=/(а) и	было значением этой функции.
Иными словами, для того чтобы строго монотонная функция у =f(x)
была непрерывна на сегменте [a, ft], необходимо и достаточно, чтобы
множеством значений этой функции был сегмент [а, р] (или [р, а]
при р < а), где а=/(а) и p=/(ft).
Доказательство. 1) Необходимость. Ради определен-
ности рассмотрим возрастающую непрерывную на сегменте [a, ft] функ-
цию y = f(x) (для убывающей функции доказательство аналогично).
Покажем, что если а <; 7 <; р, то существует внутренняя точка с сег-
мента [a, ft], в которой f(c) = 7 (в силу возрастания функции f(x)
на сегменте [a, ft] такая точка с будет единственной). Обозначим
через {х} множество точек сегмента [a, ft], для которых f(x)^i
(этому множеству принадлежит, например, точка а, ибо f(a) = а < 7).
Множество ]х] ограничено сверху и поэтому имеет точную верхнюю
грань с. Докажем, что f(c) = 7. Отметим, что любое число из сегмента
[я, ft], меньшее с, принадлежит множеству {х} *), а любое число,
превосходящее с, не принадлежит этому множеству **). Покажем, что
с — внутренняя точка сегмента [а, Ь]. В самом деле, пусть, например,
с = Ь. Рассмотрим сходящуюся к ft возрастающую последовательность
{х„} значений аргумента функции y=f(x). Так как f(x) непрерывна
в точке ft слева, то lim/(x„) = p. С другой стороны, f (хп)^7 ***),
________________ fl—* 00
*)	Ибо по определению точной верхней грани для любого к, меньшего
с, найдется х' такое, что х<_х' и (Д’) ^7. Но тогда из возрастания f (х)
следует, что и f(*)=S 7. т. е. х принадлежит {х}.
**	) В силу определения точной верхней грани.
**	*) Так как все хп меньше с и, стало быть, принадлежат {х}.
« 41
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ
109
и поэтому в силу теоремы 3.13 lim /(x„)^7. Таким образом,
л—* со
Р7, что противоречит условию 7 < Р- Полученное противо-
речие доказывает, что с<^Ь.- Аналогично можно убедиться, что
a <Z с. Так как с—внутренняя точка сегмента [а, Ь], то найдутся {х„|
н {х„} — сходящиеся к с возрастающая и убывающая последователь-
ности значений аргумента х. Поскольку /(х)4непрерывна в точке с,
io lim/(x'„) = lim/(x£)=/(c). Ho/(x„)<7, а /(х')>7*). По-
л-►со	я-►со
этому lim/(х'п)	7, lim/(х„) 2а 7, откуда следует, что /(<?) = 7.
Л—►СО	л-*оо
2) Достаточность. Проведем доказательство для возрастаю-
щей на сегменте [а, Ь] функции y=f(x) (для убывающей функции
рассуждения аналогичны). Пусть с—-любая точка сегмента [a, и
7 =/(с)—значение функции _у=/(х) в этой точке. Убедимся, что
число 7 является правым и левым предельным значением функции /(х)
и точке с (если с—граничная точка сегмента [а, Ь], то 7 является
соответствующим односторонним
предельным значением в этой гра-
ничной точке). Пусть а<^с^Ь;
докажем, что 7 является левым
предельным значением функции в
точке с. Пусть е — столь малое
положительное число, что а <7 — е
(рис. 4.8). Поскольку по условию
леммы число 7— е является значе-
нием функции /(х), то на сегменте
|«, />] можно указать точку d та-
кую, что f(d) = 7— е. Так как функ-
ция f (х) возрастает, то d <; с. Рассмотрим теперь любую сходящуюся
к с последовательность {хя} значений аргумента X, элементы которой
меньше с. Начиная с некоторого номера N, все элементы хп этой
последовательности удовлетворяют неравенствам d<_xn<Zc (один
такой элемент изображен на рис. 4.8), так что в силу возрастания/(х)
при n^N справедливы неравенства f(d) </(хя) <Zf(c). Так как
/(rf) = 7 —е и f(c) = 7, то из последних неравенств вытекает, что
при n^N справедливы неравенства 0<7 — /(х„)<е. Иными сло-
вами, последовательность {/(хп)} сходится к 7, а поскольку {х„}—
произвольная сходящаяся к с слева последовательность значений аргу-
мента, то тем самым доказано, что левое предельное значение в точке с
существует и равно 7 =/(<?)**). Если а	то, рассуждая ана-
логично, можно доказать, что 7=/(с) является правым предельным
*) В силу того, что х'п < с < х"п для любого номера п.
**) Мы рассмотрели случай столь малого е > 0, что а < 7— е. Если
—е, то достаточно положить d = а и повторить проведенные рассуждения,
используя очевидное неравенство 7 — е f {d).
по
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
значением функции в точке с. Мы доказали, что правое и левое
предельные значения функции _у—/(х) в любой внутренней точке
с равны частному ее значению f(c), а это, в силу замечания в п. 1 § 2,
означает непрерывность f(x) во внутренних точках сегмента. Непре-
рывность этой функции в граничных точках сегмента следует из того,
что соответствующие односторонние предельные значения f(x) в гра-
ничных точках сегмента равны частным значениям функции. Лемма
полностью доказана.
Следствие. Пусть на сегменте [а, Ь] задана строго монотон-
ная непрерывная функция у = f\х), и пусть a=f(a), $=f(b).
Тогда эта функция имеет на сегменте [а, ЭД (или $, а], если р < а)
строго монотонную и непрерывную обратную функцию x=f~1(y).
Доказательство. В силу только что доказанной леммы мно-
жеством значений функции y=f(x) является сегмент [а, ЭД, а тогда,
согласно замечанию 1 этого пункта, на сегменте [а, ЭД существует
обратная строго монотонная функция x=/-1(j), множеством значе-
ний которой является сегмент [а, Ь] и которая пбэтому, в силу той
же самой леммы, непрерывна на сегменте [а, ЭД.
Замечание 2. Отметим, что монотонные функции имеют пра-
вое и левое предельные значения в каждой внутренней точке области
задания. Доказательство этого предложения предоставляем читателю.
§ 5. Простейшие элементарные функции
Простейшими элементарными функциями обычно называют сле-
дующие функции: у = хх, у = ах, _y = logax, у = sinх, у = cosx,
у = tg х, у = ctg х, у = arc sin х, у — arc cos х, у = arctg х, у — arcctg х.
Йз элементарного курса читатель имеет представление об этих
функциях и об их графиках. Некоторые из этих функций, например
у = ах, без труда определяются для рациональных значений аргумента х.
Мы выясним вопрос об определении простейших элементарных функ-
ций для всевозможных вещественных значений их аргументов. Этот
вопрос не является простым: неясно, например, как возвести произ-
вольное вещественное число х в произвольную вещественную сте-
пень а.
Мы изучим также вопрос о непрерывности простейших элемен-
тарных функций во всех точках области их задания. Нами будет
обосновано то поведение простейших элементарных функций, которое
наглядно вырисовывается из рассмотрения их графиков.
В дополнении к главе 8 приводятся алгоритмы вычисления зна-
чений простейших элементарных функций.
1. Рациональные степени положительных чисел. Возведение
любого вещественного числа х1 в целую положительную степень п
определяется как n-кратное умножение числа х самого на себя. Сле-
.довательно, при целом п мы можем считать определенной степенную
функцию у = хп для всех вещественных значений х. Некоторые
ПРОСТЕЙШИЕ элементарные ФУНКЦИИ
Ill
% 5]
свойства этой функции будут нами использованы для определения
рациональных степеней положительных чисел.
Докажем следующую лемму.
Лемма 2. Степенная функция у = хп при х^О и целом
положительном п возрастает и непрерывна.
Доказательство. Докажем возрастание этой функции. Пусть
О xt < х2. Так как х” — х* = (х2 — хг) (х^1 -ф х^~2х± +... 4- х^1),
.г?"1 + х^~2х1 4-... 4- х"-1 > 0, то х" > х". Непрерывность этой функ-
ции была нами установлена ранее (см. пример 1 пункта 1 § 3).
Следствие. Рассмотрим степенную функцию у — хп на сегменте
|(), N], где Af—любое положительное число. Так как эта функция
непрерывна и возрастает на указанном сегменте, то она имеет в силу
следствия из леммы 1 этой главы на сегменте [О, А/"] возрастающую
и непрерывную обратную функцию, которую мы обозначим через yiln.
Поскольку N можно выбрать как угодно большим, то и Nn также
будет сколь угодно большим. Следовательно, функция x=yiln опре-
делена для всех неотрицательных значений у. Меняя для этой функ-
ции обозначение аргумента jz на х, а обозначение функции х на у,
мы получим степенную функцию y = xi!n, определенную для всех
неотрицательных значений х.
Определим а)/п как число Ь, равное значению функции у = х}/п
и точке а. Мы можем теперь определить любую рациональную сте-
пень г положительного числа а. Именно, если г = -> где тип —
п
целые положительные числа, то мы положим
т / 1 \ т
аг = а п —\ап) .
Договоримся, кроме того, что
а°=1, a_r=f-L\r
\ а ]
Нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств рациональ-
ной степени положительных чисел:
(аУ .= ars, arbr = (ab)r, aras = ans.
Убедимся, например, в справедливости последнего свойства, считая,
„	т< т, m	т.п.
что первые два уже доказаны. Пусть г — S = Тогда г =
5 = —^, и поэтому
(1	/ Г \4-т^гц
I \aninsj sz\anin»j
(справедливость последнего равенства следует из того, что т1-п2 и
— целые числа). Итак,
^ТП171g	ЯЦ /Wg
aras — а	= a ni = ar*s.
112
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
Докажем, что при а > 1 и рациональном г > 0 справедливо нера-
венство аг>1. В самом деле, пусть г = — и ar = amin 1. Пере-
множая почленно п указанных неравенств, получим ат^1. Послед-
нее неравенство противоречит неравенству ат>1, полученному по-
членным перемножением т неравенств вида а>1. Отметим, наконец,
что если рациональная дробь т = имеет нечетный знаменатель п,
то определение рациональной степени можно распространить и на
отрицательные числа, полагая
(— а)г = аг, если т четное,
и
(— а)г = — аг, если т нечетное.
2. Показательная функция. Из рассуждений предыдущего пункта
вытекает, что если а — положительное число, то функция у — ах
определена для всех рациональных х.
Легко убедиться в том, что функция у — ах, а>1, определенная
на множестве {х} всех рациональных чисел, монотонно возрастает
на этом множестве.
В самом деле, пусть хх и х2 — любые два рациональных числа,
удовлетворяющие условию х2> хх. Тогда
ДХ» _ axt — aXt (дХц - X, _ 1)
Так как х2 —л\>0 и а^>1, то aXs~xi>l, т. е. правая часть
последнего равенства положительна, и поэтому аХа > a*i. Возраста-
ние функции ах на множестве рациональных чисел доказано.
Переходим к определению функции ах на множестве всех ве-
щественных чисел.
Фиксируем произвольное вещественное число х и рассмотрим
всевозможные рациональные числа а и р, удовлетворяющие неравен-
ствам
а<х<р.	(4.2)
Определим ах при а > 1 как вещественное число у, удовлетво-
ряющее неравенствам
а“^у^аУ.	(4.3)
Ниже мы докажем, что такое число у существует, и притом только
одно. Мы докажем также, что определенная нами функция у = ах
обладает следующими важными свойствами: 1) возрастает на всей
бесконечной прямой, 2) непрерывна в любой точке х этой прямой.
1°. Прежде всего докажем, что для любого фиксированного х и любых
рациональных чисел аир, удовлетворяющих неравенствам (4.2), существует
вещественное число у, удовлетворяющее неравенствам (4.3).
ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
113
§ 5]
Фиксируем произвольное рациональное число р, удовлетворяющее пра-
вому неравенству (4.2), и рассмотрим всевозможные рациональные числа а,
удовлетворяющие левому неравенству (4.2).
Так как а < р и показательная функция, определенная на множестве
рациональных чисел, возрастает, то аа < а?. Таким образом, множество {а1}
ограничено сверху и число а? является одной из верхних граней этого
множества. Стало быть, это множество имеет точную верхнюю грань, кото-
рую мы обозначим через у. Остается доказать, что у удовлетворяет нера-
венствам (4.3). Из определения точной верхней грани вытекает справедли-
вость левого неравенства (4.3), а справедливость правого неравенства (4.3)
вытекает из того, что а?— одна из верхних граней, а у — точная верхняя
грань множества {а1}.
2°. Установим теперь, что существует только одно вещественное число у,
удовлетворяющее неравенствам (4.3).
Достаточно доказать, что для любого е > 0 найдутся такие рациональ-
ные числа аир, удовлетворяющие неравенствам (4.2), для которых а? — а“ < е.
В самом деле, тогда любые два числа уг и уг, удовлетворяющие неравен-
ствам (4.3), обязаны совпадать, ибо разность между ними по модулю меньше
любого наперед взятого положительного числа е.
Фиксируем произвольное е > 0 и некоторое рациональное р0, удовлетво-
ряющее правому неравенству (4.2). Тогда, так как ах<а|5°, получим
а? — а = а — 1) -< t?’	— 1).
Неравенство цР —будет доказано, если мы установим возможность
выбора таких а и р, что — 1 <
Из главы 2 вытекает, что для любого натурального п можно выбрать
рациональные числа а и р, удовлетворяющие неравенствам (4.2), так, что
разность р — а будет меньше —. Таким образом, достаточно доказать суще-
ствование такого натурального п, для которого
(4.4)
Убедимся в возможности выбора такого натурального п. Пусть
а'/п = 1 + 8„.
Так как а'^л>-1, то 8„ положительно. Используя формулу бинома Нью-
тона, будем иметь а = (а^п)п = (1 -ф 8„)” — 1 -ф пЪп -ф (положительные чле-
ны) > 1 -ф пЪп. Отсюда а — 1 > п8„ и 0 < 8Я <а \ Стало быть, а1/п — 1 =
= 8„ <; — 1, Неравенство (4.4) будет справедливо, если мы выберем п,
,	а—1 с	(а—1)в?“ г,
удовлетворяющим требованию -------< -й- или п^------------, Доказатель-
п дГо	е
ство однозначной определенности числа у, удовлетворяющего неравенствам
(4.3), завершено.
Заметим, что если х— рациональное число и ах— значение в точке х
показательной функции, первоначально определенной лишь на множестве
рациональных чисел, то ах и является тем единственным вещественным чис-
лом у, которое удовлетворяет неравенствам (4.3).
3°. Докажем теперь, что построенная нами функция ах (при а > 1) воз-
растает на всей бесконечной прямой.
114
’ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
Пусть и х2— любые вещественные-числа, удовлетворяющее нера-
венствам хг < хг. Очевидно, найдутся рациональные числа а и 0, удовлетво-
ряющие неравенствам *!< а < (3 <Сх2 (см. утверждение, доказанное в конце
п. 1 § 2 главы 2). Из определения показательной функции и из возрастания
ее на множестве рациональных чисел вытекают неравенства a*’о1 < t/
^ах*, т. е. ах'<.ах‘. Возрастание функции ах доказано.
4°. Остается доказать непрерывность построенной нами функции ах в лю-
бой точке х бесконечной прямой.
Пусть {хя} — любая сходящаяся к х последовательность вещественных
чисел. Достаточно доказать, что для любого е>-0 найдется номер N такой,
что при n^N справедливо неравенство | ахп — 0х | <в.
Фиксируем произвольное е > 0 и выберем рациональные числа а и р,
удовлетворяющие неравенствам (4.2), так, чтобы было справедливо неравен-
ство а-3— а’-<е (возможность выбора таких а и р доказана в 2°). Так как
последовательность {хя} сходится к х и a<x<jp, то найдется номер М
такой, что при N справедливы неравенства а-<хя<р. Из неравенств
a<z<f.Ha<xn<p и из свойства монртонности показательной функции
вытекает, что аЛ<ахп<:а^ и o' <Zax<.сР (при п>: N '). Так как разность
между числами и меньше г и оба числа ах и ахп заключены между
o’ и а®, то [ахп — ах | <; е (при n^N). Доказательство непрерывности за-
вершено.
Замечание 1. Если 0 < а < 1, то а — ^-, где b >» 1. Поэтому
функцию у = ах при 0 < а < 1 можно определить как функцию
~у = Ь~х, b> 1.
Установим некоторые свойства показательной функции у = ах,
а> 1.
1)	Все значения показательной функции положительны. Действи-
тельно, пусть х~ произвольная точка числовой прямой, а х' — ра-
циональная точка, такая, что х'<Zx. Так как, по определению,
а*' > О и ах' <z ах, то ах > 0.
2)	lini 6х =0, lim ах —<х>.
Л-ч. — ОО
В самом деле, так как а>1, то а=1-}-а, где а>0 и ап~
= (1 +а)л> 1 ф-ла. Следовательно, lim ап= + ех>. В силу моно-
л—00
тонкости функции lim а* =4-00. Так как а-л = -5, то lim а-л = 0,
X—-4"03	°	л—-оо
и поэтому lim ах— Q.
X —►—СО
3)	Из свойств 1) и 2), а также из монотонности и непрерывности
функции у — ах вытекает, в силу леммы 1, что значения у этой
функции заполняют всю положительную полупрямую _у>0.
4)	Для любых вещественных чисел хх и х2 справедливы соотно-
шения
(а*1)*» -= a*1*2, ax'bXi = (а • b)x', fl*!fl*» = а*1+*».
Действительно, мы уже отмечали справедливость этих соотношений
для рациональных показателей. Чтобы. убедиться в справедливости
этих соотношений для любых показателей, достаточно рассмотреть
§5)
ПРОСТЕЙШИЕ элементарные ФУНКЦИИ
115
последовательности {х„} и {Хд} рациональных, чисел, сходящиеся соот-
ветственно к Xj и х2. Тогда, например, аХпаХп = аХп + *п. Переходя
к пределу при и->сои используя свойство непрерывности показа-
тельной функции, мы получим ax4iXt = aXi+Xi. Аналогично можно убе-
диться в справедливости и других из перечисленных выше соотно-
шений.
Замечание 2. Мы установили свойства 1)—4) показательной
функции у — ах, а также непрерывность и монотонное возрастание
этой функции на бесконечной прямой для случая а >1. Отметим,
что при 0<а<;1 функция у = ах, в силу замечания 1, непрерывна
и монотонно убывает на бесконечной прямой. Кроме того, для этой
функции сохраняются свойства 1), 3) и 4), а свойство 2) модифици-
руется следующим образом:
lim ах = + оо, lim  ах = 0.
л*-► — со
На рис. 4.9 и 4.10 изображены графики показательной функции
у — ах для случая а > 1 и 0 < а -< 1.
Замечание 3. Свойство а*» + *> = может быть положено
в основу функционального определения показательной функции у — ах.
Можно доказать, что существует, и притом единственная, функция
/(х), определенная на всей бесконечной прямой и удовлетворяющая
следующим трем требованиям:
1)	для любых вещественных хг и х3 соотношению /(х2 + х2) =
2)	соотношениям /(0)= 1,/(1) = а, где а>0;
3)	непрерывная при х=0.
Такой функцией и является построенная выше функция ах.
3.	Логарифмическая функция. Рассмотрим произвольный сег-
мент [с, d] бесконечной прямой. На этом сегменте функция у=-ах
строго монотонна и непрерывна. Поэтому, в силу следствия из леммы 1,
функция у =/(х) = ах имеет на сегменте [а, р J, где а = ас, р » ad,
обратную функцию х=/'1(>), которую мы будем называть логариф-
мической. Логарифмическая функция обозначается следующим образом:
x=\ogay.
116
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ГГЛ. 4
Меняя для этой функции обозначение аргумента у на х, а обо-
значение функции х на у, мы получим функцию
У = loga X.
Отметим следующие свойства логарифмической функции, непо-
средственно вытекающие из ее определения:
1°. Логарифмическая функция определена для всех положительных
значений х. Это следует из того, что ее аргумент представляет собой
значения показательной функции, которые, в силу свойств 1) и 3)
этой функции (см. предыдущий пункт), только положительны и за-
полняют всю положительную полупрямую х > 0.
2°. Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на всей
открытой полупрямой х^>0 при а>1 (убывает при а<;1), при-
чем при а > 1
lim logax = — со, lim logax=4-co.
х-»0-|-0	x_-|-oo
Справедливость этого свойства вытекает из свойств показательной
функции и из замечания 1 п. 2 § 4.
3°. Для любых положительных хг и х2
loga (*1 • *2) = 10ga X-L + 10ga х2.
Замечание. Следует особо отметить логарифмическую функ-
цию J' = logex, где е — lim (1-|-— V. Мы будем для этой функции
использовать обозначение _у = 1п х. Подчеркнем, что логарифмическая
функция _у = 1пх играет важную роль в математике и ее приложе-
ниях. Логарифмы по основанию е принято называть натуральными.
На рис. 4.11 и 4.12 изображены графики логарифмической функ-
ции у = logoх для случая а > 1 и 0 < а <; 1.
§5)
ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
117
4.	Гиперболические функции. Гиперболическими функциями назы-
ваются следующие функции *):
1°. Гиперболический
синус
ч	рх —— р~- %
shx = g /
2°. Гиперболический
косинус
chx = ^-
3°. Гиперболический
тангенс
,. sh х
th х = -г-
спх
4°. Гиперболический
котангенс
Из определения гиперболических функций следует, что гипербо-
лический синус, гиперболический косинус и гиперболический тангенс
заданы на всей числовой прямой. Гиперболический котангенс опреде-
лен всюду на числовой прямой, за исключением точки х = 0.
Гиперболические функции непрерывны в каждой точке области
задания (это вытекает из непрерывности показательной функции и
теоремы 4.2).
Гиперболические функции обладают рядом свойств, аналогичных
свойствам тригонометрических функций. Например, для гиперболиче-
ских функций имеют место теоремы сложения, аналогичные теоремам
сложения для тригонометрических функций. Именно:
sh (х + j) = sh х ch у -ф ch х sh_y,
ch (x -f-ф) = ch x ch_y -|- sh x shj.
На рис. 4.13—4.16 изображены графики гиперболических Функций-
S.	Степенная функция с любым вещественным показателем а.
Пусть а — произвольное вещественное число. Определим общую сте-
пенную функцию у = хл, х>0, следующим образом:
у = х = [а а ) =а &а (а>1).
Из определения степенной функции следует, что при а>0 она
представляет собой возрастающую, а при а<; 0 убывающую функцию.
*) Наименование «гиперболические функции» объясняется тем, что гео-
метрически функции y = shx и y = chx могут быть определены из рассмот-
рения равнобочной гиперболы по тем же правилам, по которым функции
у — sin х и у = cos х могут быть определены из рассмотрения единичной окруж-
ности.
118
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
Рис. 4.16.
§ 51
ПРОСТЕЙШИЕ элементарные ФУНКЦИИ
119
Рассмотрим предельное значение степенней функции при х -> 0 + 0.
Докажем, что
{О при а > О,
. 4
+ ОО при а<0.
Действительно, пусть {хл} —любая сходящаяся к нулю справа
последовательности значений аргумента х. Так как lim log0x„ ——оо,
д-*оо
то из свойств показательной функции вытекает, что lim aaloga*« — о
44	л-юо
при а>0 и lim	=-{-оо при а<0. Естественно положить
д—*со
теперь 0а = 0 при а > О и считать это выражение неопределенным
при asgO.
Докажем непрерывность степенной функции в любой точке х
положительной бесконечной полупрямой (х>0). Для этого достаточно
установить, что эта функция непрерывна в каждой точке х указанной
полупрямой слева и справа (см. замечание в п. 1 § 3). Докажем,
например, непрерывность этой функции в точке х слева (непрерыв-
ность справа доказывается аналогично). При этом ради определенности
будем считать а>0. Обратимся к формуле у = № = actlogaJC, а>1.
Пусть {хп}—любая сходящаяся слева к х последовательность значе-
ний аргумента степенной функции, так что xn<Zx. Так как лога-
рифмическая функция непрерывна, то последовательность {«„}, где
ип = a log0 хп, сходится к и = a loga х, причем все элементы ип отличны
от и (в самом деле, поскольку при а > 1 логарифмическая функция
возрастает, то справедливо неравенство ил<^«). В силу непрерывно-
сти показательной функции последовательность {а“л} сходится к а“.
Иными словами, последовательность {alllog<xJC«}, представляющая собой
последовательность [х1^ значений степенной функции, соответствующую
последовательности {х„}, сходится к aalog®*, т. е. к х*. Непрерыв-
ность степенной функции в точке х>0 слева доказана. Аналогично
доказывается непрерывность этой функции в точке х>0 справа.
Но непрерывность функции в точке х слева и справа означает, что
функция Непрерывна в этой точке. Отметим, что если а>0, то сте-
пенная функция у = № непрерывна такЖе и в точке х=0.
Замечание. Отметим, что если показатель а степенной функции
представляет собой рациональное Число где « — нечетное целое
число, то степенную функцию у-х* можно определить на всей чис-
ловой оси, полагая для х<0	'
I la	т
у = | х |, если a — — и т четное,
у — — I х |, если a — — и т нечетное.
120
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
(ГЛ 4
На рис. 4.17—4.20 изображены графики степенной функции у — х*
для различных значений а.
6.	Тригонометрические функции. В курсе элементарной матема-
тики с помощью наглядных геометрических соображений были введены
тригонометрические функции _y = sinx и _y=cosx*).
Перечислим некоторые важные для дальнейшего свойства триго-
нометрических функций:
*) Остальные тригонометрические функции y = tgx, y = ctgx, y = secx
и у = cosec х определяются через указанные:
1 sin х , cos х	1	1
tg х =----, ctgx=-;—, secx =--------, cosec x = ——.
cos x ’	sin x ’	cos x ’	sin x
Подчеркнем, что определение функйий sin х и cos х с помощью нагляд-
ных геометрических соображений не является логически безупречным, ибо
при этом возможность определить эти функции для всех вещественных значе-
ний аргумента х сводится к возможности установления взаимно однозначного
соответствия между всеми точками единичной окружности и всеми веществен-
ными числами из сегмента [0, 2л].
§ 5]	ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ	121
V
1°. При любых вещественных х', х" и х справедливы следующие
соотношения:
sin (х' + x") = sin x'cos х" + cosx' sin х",
cos(x' + х") = cos х' cos х" — sin х' sin х",
sin2x + cos2x= 1.
sin 0 = 0; cos 0=1, A
siny = 1; cos у = 0. J
(4.5)
(4.6)
3°. Если 0 < x < у, то
0 < sin х < х.
Указанные свойства устанавливаются посредством геометрических
рассуждений. Мы не будем давать здесь известные из курса элемен-
тарной математики геометрические выводы
свойств 1° и 2°. Остановимся лишь на гео-
метрическом выводе- неравенств (4.7). Кро-
ме (4.7) мы установим неравенство x<tgx
^при 0<х<уУ
Рассмотрим окружность радиуса 1 с цент-
ром в точке О и точку А на этой окружности
(рис. 4.21). От точки А против часовой
стрелки будем отсчитывать дуги окружности.
Пусть М — точка окружности, находящаяся
в первой четверти, их — длина дуги AM,
(4.7)
0 < х < (х — радианная мера угла АО/И), N — основание перпен-
дикуляра, опущенного из М на О А, 5—точка пересечения пер-
пендикуляра к ОА, восставленного из точки А, с продолжением
отрезка ОМ. Тогда AW=sinx, ON= cos х, AB = tgx. Так
как треугольник ОМА содержится в секторе ОМА, который
в свою очередь содержится в треугольнике ОБА, и площади пере-
численных фигур соответственно равны у sin х, у и у tg х, то имеют
место неравенства sinх<х<tgх, 0<х<у. При указанных зна-
чениях х, sinx>0. Таким образом, справедливость неравенств
0 <sinx<x<; tgx ^при 0<х<|) установлена.
Свойства 1°, 2°, 3° могут быть положены в основу определения
функций sinx и cosx. Можно доказать, что существует, и притом
единственная, пара функций, определенных для всех вещественных
122
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
(ГЛ. 4
значений аргумента, первою из которых мы обозначим sin х,
а вторую cos х, удовлетворяющих требованиям 1°, 2°, 3°.
Доказательство этого утверждения приведено в дополнении к этой
главе.
Подчеркнем, что из свойств 1°, 2° и.3° функций sinx и cosX
можно- вывести все известные из элементарного курса свойства три-
гонометрических функций *).
' Докажем непрерывность тригонометрических функций в каждой
точке области их задания. Установим сначала непрерывность функ-
ции у = sin х в точке х = 0. Пусть {хп} — произвольная сходящаяся
к точке х = 0 справа последовательность значений аргумента х. Из
неравенств (4.7) имеем 0 <sinx„<x„. Отсюда, в силу теоремы 3.14,
вытекает, что последовательность {sinx„} имеет предел, равный нулю.
Такйм образом, lim sinх = sin 0 = 0. Так как при —-к-<х.<;0
х-0+0	2
справедливы неравенства х < sinx<Z 0 **), то рассуждая аналогично,
получим lim sinx = sin0. Мы установили, что в точке х = 0 функ-
х —0 —0
ция _y = sinx непрерывна справа и слева, т: е. является непрерывной
в указанной точке. Для доказательства непрерывности функции у = sin х
в любой точке х бесконечной прямой воспользуемся формулой sinx"—
,— sinx = 2cos—фг- sin——, которая может быть получена из
формул (4.5). Пусть {х„}—произвольная сходящаяся к х последова-
тельность значений аргумента. Полагая в последней формуле х" —хп
и х' = х, получим
lim (sin хп — sin х) = 2 lim cos	—sin	— = 0.
«-►OO	«-*00	*
Справедливость этого заключения вытекает из того, что последователь-
ность {cos ограниченная ***), а последовательность {sin~ ,
в силу доказанного выше, бесконечно малая.
Непрерывность функции y=wsx устанавливается с помощью
аналогичных рассуждений из формулы
,,	 i п • х"-\-х' . х" —,х'
COS X — COS X = — 2 SIH----g-----Sin-g—.
Непрерывность остальных тригонометрических функций (tg х,
ctgx, sec .г, cosec х) в каждой точке области их задания следует из
теоремы 4.2.
*) Например, равенства sin (— х) = — sin х, cos (— х) — cos х.
**) Эти неравенства получаются из неравенств (4.7) путем замены х на
— хи учета формулы sin (— х) — — sin х.
***) Третья из формул (4.5) позволяет заключить, что | cosх| 1 и
| бшх | sg 1. Отсюда очевидна ограниченность последовательности [cos—+у—к
§ S]
ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
123
Рис. 4.23.
124
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
Область задания каждой тригонометрической функции разделяется
на участки монотонности этой функции *). Функция у = sin х возра-
стает на каждом сегменте рАж —у, 2Лж-|-у^**) и убывает на
каждом сегменте ^(2й + 1) ж — у, (26 Д- 1)	. Функция у = cos х
возрастает на каждом сегменте [(2/е —1)к, 2£ж] и убывает на каждом
сегменте [2/е~, (26 +1)11]- Функция _y = tgx возрастает На каждом
интервале ^Аж—Лж -|- . Функция у = ctg х убывает на каждом
интервале ((А—1)ж, /гж). Для функций _y = secx и _y=cosecx чита-
тель без труда установит области возрастания и убывания.
На рис. 4.22—4.27 изображены графики тригонометрических
'функций.
7.	Обратные тригонометрические функции. Функция j/ = arcsin х
определяется следующим образом. Рассмотрим на сегменте —у, у
функцию _y = sinx. В предыдущем пункте мы отметили, что на этом
сегменте функция у = sinx возрастает, непрерывна и имеет в ка-
честве множества значений сегмент [—1, 1]. В силу следствия из
*) Монотонность функций sinx и cos х на соответствующих сегментах
легко установить из формул
• ,,	 , п Л" + х' . х" — х'
sin х" — sin х' = 2 cos —---sin ——
и
„	, о . х" + х' '. X" — х'
cos х — cos х = — 2 sin —— sin —.
**) Здесь под k мы понимаем любое целое число.
§ 6]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИИ
125
леммы 1 для функции _y = sinx на сегменте [—1, 1] существует непре-
рывная возрастающая обратная функция. Эту функцию мы будем обоз-
начать x=arcsin_y. Меняя для этой функции обозначение аргумента^
на х и обозначение х для функции на у, мы получим функцию
> = arcsinx. На рис. 4.28 изображен график этой функции.
Совершенно аналогично определяется функция у = arccos х. Обла*
стью ее задания служит сегмент [—1, 1], а множеством значений
сегмент [0, тг]. Указанная функция убывает и непрерывна на сег-
менте [—: 1, 1]. На рис. 4.29 изображен график функции _у = arccos х.
Функции у — arctg х и у = arcctg х определяются как обратные
для тангенса и котангенса. Эти функции определены, монотонны и
непрерывны на бесконечной прямой. На рис. 4.30 и 4.31 изображены
графики этих функций.
§ 6.	Предельные значения некоторых функций
. 1. Предварительные замечания. В главе 1 было указано, что
для вычисления производных функций у = sin х и у = loga х нужно
доказать существование предельных значений (или пределов) функ»
. Дх	х
Sin 2	/ Дх\дх
ции при Дх—>-0 и функции (^1+-) при Дх—>0 и фиксиро-
ванном х>0. Этому вопросу и посвящен настоящий параграф. Нам
понадобится предложение о предельном значении функции, заключенной
между двумя функциями, имеющими общее предельное значение в
данной точке. Это предложение представляет собой функциональный
аналог теоремы 3.14.
Лемма 3. Пусть в некоторой Ъ-окрестности точки а (за ис-
ключением, быть может, самой точки а) заданы функции f(x),.
g(x) и h(x), причем функции f(x) и g(x) имеют в точке а оди-
наковое предельное значение, равное Ь. Если в указанной окрест-
ности точки а (за исключением, быть может, самой точки а)
выполняются неравенства f(x)^,h(x)^g(x), то предельное зна-
чение функции h (х) в точке а существует и равно Ь.
Доказательство. Пусть {х„}—произвольная сходящаяся к а
последовательность значений аргумента х, элементы х„ которой
126
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[ГЛ. 4
лежат в указанной S-окрестности точки а и не равны а, и {/(х„)},
{g(x„)}, {h (хя)} — соответствующие последовательности значений
функций f(x), g(x) и h(x). По условию
lim f(xn) = Hm g (хя) = b и f (x„) h (xn) g (x„).
Д-4-00	n-* *co
Но тогда, в силу теоремы 3.14, limft(xn) = 6. Поскольку {хя} —про-
n-*co	•'
извольная сходящаяся к а последовательность значений аргумента, то
последнее равенство означает, что lim ft (х) = ft. Лемма доказана.
х -* а
2.	Предельное значение функции	в точке х — 0 (пер-
вый замечательный предел). Докажем следующую теорему.
Теорема 4.3. Предельное значение функции в точке х = 0
существует и равно единице'.
lim—=1.	(4.8)
х —О х
Доказательство. Мы уже отмечали, что при 0<х<у
справедливы неравенства 0 <sinx< х< tg х (см. п. 6 предыдущего
параграфа); Деля почленно Эти неравенства на sinx, получим
-i-< —
sinx cos*
sin х
X
Последние неравенства справедливы также и для значений х,
удовлетворяющих условиям — -^-<х<0. Чтобы убедиться в этом,
достаточно заметить, что cosx = cos(—х) и =	Так как
cosх — непрерывная функция, то limcosx=l. Таким образом, для
функций cosx, 1 и ?— в некоторой S-окрестности точки х = 0 вы-
полняются все условия леммы 3 (для того чтобы убедиться в этом,
обозначим /(x) = cosx, g(x)=l и й(х) = ^^и положим 8 = yj.
Следовательно, lim^S2E = limcosx= l. Теорема доказана.
х-. о х х-.О
. Ьх
ЯП у	Дх
*) Выше мы говорили о функции . Если обозначить через х, то
мы и получим функцию —. Условие Дх — 0 при этом обозначении сводится
к условию х-»0.
§6]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИИ
127
3.	Предельное значение функции	ПРИ х->со (второй
замечательный предел)*). Докажем следующую теорему.
/ 1 \*
Теорема 4.4. Предельное значение функции /(х) = 11+ —I
при х -* сю существует и равно е:
lim (14-— 'j = е.	(4.9)
Доказательство. Нужно доказать, что, какова бы ни была
бесконечно большая , последовательность {xk} значений аргумента
функции f(y) = (1 +y I , соответствующая последовательность {/(xft)}
значений этой функции имеет своим пределом число е. Рассмотрим
следующие четыре группы бесконечно больших последовательностей
значений аргумента X'. .
1°. Бесконечно большие последовательности элементами ко-
торых являются целые положительные числа. К указанной группе
относится, например, последовательность
2, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 4, 4, ..., иф-1, пф-1, п, п, ....
2°. Бесконечно большие последовательности, элементы которых,
начиная с некоторого номера, состоят из' положительных веществен-
ных чисел.
3°. Бесконечно большие последовательности, элементы которых,
начиная с некоторого номера, состоят из отрицательных веществен-
ных чисел.
4°. Бесконечно большие последовательности, содержащие беско-
нечно много как положительных, так И отрицательных вещественных
чисел **).
*	/ Дх\—
♦) Упомянутая ранее задача о предельном значении функции (1 + —
при Дх, стремящемся к нулю, и фиксированном х > 0, сводится к указанному
вопросу. Действительно, ' если положить ~	, то при Дх —> 0 и —> со и
/1 ,	А , 1
(1 + —Iйх = 11 + ~) , а эта функция только обозначением аргумента отли-
(	1 \х
чается от функции II-)-—1 •
/ 1 \*
*♦) Так как функция (1-|- —I не определена на сегменте [—1, 0] (по-
скольку для значений х из этого сегмента выражение -|- -i-j либо отрицательно,
либо не имеет смысла), то естественно считать, что элементы последователь-
ностей 2”, 3‘ и 4° не принадлежат сегменту [— 1, 0].
128
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. ♦
Заметим, что совершенно произвольная бесконечно большая после-
довательность значений аргумента относится к одной из групп 2°, 3°
или 4°. Поэтому теорема будет доказана, если мы проведем доказа-
тельство для каждой группы 1°, 2°, 3° и 4°. (При этом последова-
тельности группы 1° имеют вспомогательный характер.) Пусть
-- какая-либо последовательность первой группы. Докажем, что
lim (1-Ь — । к—е. Пусть е— любое положительное число. Так как
й-оо\ «*/
/	1 \п
lim 11 4-= е (см. .пункт 4 § 3 главы 3), то можно указать такой
п -♦ оэ ' П '
номер №*, что при n^N* выполняется неравенство
К'+Я-'И
Поскольку последовательность {пк} бесконечно большая и ее эле-
менты — целые положительные числа, то для положительного числа
N* можно указать такой номер N, что при k^N выполняется усло-
вие nk^N*. Но для таких целых иА, как уже указывалось, выпол-
няется неравенство
1КтГЧ<’-
Следовательно,
lim (1 +— *) к = е.
Перейдем теперь к последовательностям второй группы. Пусть
— любая последовательность второй группы и N—номер, начи-
ная с которого все элементы этой последовательности больше еди-
ницы. Считая k^N, обозначим через пк целую часть хк, пк = [хк].
Тогда
пк^хк <и*+1.	(4.10)
Отметим, что последовательности {«*} и {лй-(-1} представляют собой
последовательности первой группы. Из неравенств (4.10) имеем
«А + 1 хк Пк
ИЛИ
14----^-7 < 1+-=С 1 + —.
«А + 1	' Хк ' Пк
Отсюда, используя еще раз неравенства (4.10), получим
/	1 \пи	!	1	/	1 \л.+1
<П+г) < 1+^-) •	(411)
\	пк Т V	\	xk)	\	пЬ/
§6)
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИИ
129
Пределы последовательностей ((1 + i|_ tи' {(1 4~) * | равные.
Действительно, первая из этих последовательностей может быть пред-
ставлена как произведение последовательностей {(* +я j .* } и
{(1 +я" J г|. пределы которых равны соответственно*) е и I.
Вторая последовательность представляет собой произведение последо-
вательностей |(1	и {(1 + пРеделы которых также равны
соответственно е и 1. В силу неравенств (4.11) по теореме 3.14
имеем
lim (l+XVft = e.
^да\ xk)
Рассмотрим последовательности третьей группы. Если {xft}—бес-
конечно большая последовательность, элементы, которой, начиная с
некоторого номера, отрицательны, то последовательность {?*}, где
Zk~—1 — Xk, бесконечно большая и ее элементы, начиная с неко-
торого номера, состоят из положительных вещественных чисел. По-
этому {Zk} представляет собой последовательность второй группы.
Так как
V1
и
* —оо\ Ч! л-от\ zj \ 'zkj
то
lim (1+— P =
Л —со' xki
Для завершения доказательства нам нужно рассмотреть последо-
вательности четвертой группы. Пусть {х*} — такая последовательность.
Обозначим через {х*} подпоследовательность этой последовательности,
состоящую из всех неотрицательных элементов **) последовательности
{хД, а через {х*} — подпоследовательность, состоящую из всех отри-
цательных элементов последовательности {хД ***). Так как по дока-
занному
lim f 1 +	= е и lim (1 + 4W = е.
ft —оо\ xk)	A—co \ Xk)
*) При этом учитывается, что {nfc} принадлежит к первой группе.
**) Эти элементы, начиная с некоторого номера, строго положительны.
***) Здесь мы, в отличие от главы 3, выбранные подпоследовательности
отмечаем знаками ' и ", сохраняя при этом у элемента подпоследовательности
тот номер, который он имел в последовательности
130	- ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ	(ГЛ. 4
то для любого е > 0 можно указать номер N такой, что при k W
т. е. при k^N
Следовательно,
lim (l+ip = e.
k — ОО \ XkJ
Теорема доказана.
Замечание. ИЗ доказанной теоремы следует, что
lim (1 +х)}1х = е.
jc —О
В самом деле, пусть {хп} — любая сходящаяся к нулю последователь-
ность значений аргумента функции (1 + хУ/х, элементы хп которой
отличны от нуля. Тогда последовательность {zn}, где zn = —, бес-
хп
конечно большая (см. теорему 3.6). Так как’
1
(1+Хл)ж» = (14-1р и lim (l+lV« = e,
\ гп!	а-оо\ г«/
ТО
lim (1 + х^У>хп = е,
П СО
и поэтому
lim (1	=
§ 7. Понятие сложной функции
1. Определение сложной функции. Функции, полученные в ре-
зультате суперпозиции *) двух или нескольких функций, мы будем
называть сложными.
Сложные функций определяются следующим образом. Пусть функ-
ция х = <р (t) задана на множестве {/}, и пусть на множестве {х} зна-
чений этой функции задана функция y = f(x). Тогда на можестве {£}
задана сложная функция
y=f(x), где х = ср(/)^
или
_y = F(f)=/[?(O].
Докажем следующую теорему.
*) То есть последовательного наложения.
ПОНЯТИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
131
§ Л
Теорема 4.5. Пусть функция x = y(t) непрерывна в точке а,
а функция y—f(x) непрерывна в точке Ь = <?(а). Тогда сложная
функция y=f(x), где x = <f(t) (у = F(£)=/[<p (ЭД), непрерывна
в точке а.
Доказательство. Нужно доказать, что предельное значение
сложной функции у = F (f) = f [с? (ЭД в точке а равно частному ее
значению F(a) = f [<р(Д)] = f(b) в этой точке. Пусть ЭД	—
произвольная сходящаяся к а последовательность значений аргумента t
сложной функции. Вычисление элементов соответствующей последо-
вательности значений F(t^, F(t2).. F(t„),	... сложной функции
может быть проведено следующим образом. Вначале вычисляются
элементы последовательности {хп} значений функции х = ср(ЭД хп —
— <р (£„), а затем по этой последовательности \хп] вычисляется после-
довательность {/(х„)} значений сложной функции. Эта последователь-
ность {/(хл)} как раз и представляет собой искомую последователь-
ность {Д(ЭД)}. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что
f (xn)—f\(p ((„)] —F(t„). В силу непрерывности функции х = <?(£)
в точке а, последовательность {х„} сходится к & = <р(а). Если эта
последовательность содержит только конечное число отличных от
Ъ = 9 (а) элементов, то, начиная с некоторого номера, элементы этой
последовательности равны Ь. Начиная с этого же номера, элементы
последовательности {/(хл)} равны f(b), и поэтому ее предел равен
/(&)=/[ср(а)] = F(a). Если же отличных от b элементов последо-
вательности {хп} бесконечно много, то они образуют сходящуюся к b
подпоследовательность Соответствующая подпоследовательность
{/(хлА)} последовательности |/(хл)}, в силу непрерывности функции
/(х) в точке Ь, сходится к f(p). Но тогда и вся последовательность
{/{*,)} сходится к f(F), так как отличные от /(хл^) ее элементы
равны f(b). Итак, мы доказали, что последовательность значений
сложной функции, соответствующая любой сходящейся к а последо-
вательности значений ее аргумента, сходится к частному значению
этой функции в точке а. Теорема доказана.
2. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных
функций. Докажем непрерывность некоторых сложных функций.
1°. Пусть х = <р(0 и у =f(x) — простейшие элементарные функ-
ции (см. § 5), причем множество значений {х} функции х = <р(0
является областью задания функции y—f(x). Из результатов § 5
следует, что простейшие элементарные функции непрерывны в каж-
дой точке- области задания. Поэтому, в силу теоремы 4.5, сложная
функция у =f [ср (ЭД, т. е. суперпозиция двух элементарных функций,
непрерывна. Например, функция у = siny непрерывна, в любой точке
х 0. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть функции
x = t~1 и y = sinx. Сложная функция у = sin V1 только обозначением
аргумента отличается от функции у = sin у и, в силу сказанного выше,
132
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
непрерывна в любой точке t ф 0. Рассуждая аналогично, легко
убедиться, что. функция _y = lnsinx непрерывна в любой точке каж-
дого интервала (2£л, (2k -|- 1)гс) *).	<
2°. Степенно-показательные .выражения u(x)V(JCX
-Очевидно, имеет смысл лишь случай, когда и (х) > 0. Легко убе-
диться, что если и (х) и т>(х) непрерывны в точке а и zz(x)>0
'в окрестности точки а, то функция и (xf < также непрерывна
в точке а.
В самом деле, и (х)® W = е®,А| 1п “ Поскольку In и (х) представ-
ляет собой непрерывную в точке а функцию, то и функция v (х) In и (х)
также непрерывна в точке а. Но тогда функция ev W 111 “(Х| непрерывна
в точке а. Отметим, что установленное свойство непрерывности по-
зволяет утверждать, что при сделанных предположениях lim и (x)v =
х -» а
= и (a)v <й>.
3°. Предельные значения степени о-показательных вы-
ражений.
Выясним вопрос о предельных значениях степенно-показательных выра-
жений и (х)'и 1X1 при х —<• а. При этом мы будем предполагать, что и (х) > 0
в некоторой окрестности точки а.
Из соотношения и (х)®	= g®(-r>lnuW видно, что предельное значение вы-
ражения и (x)v ,х' при х — а зависит от предельного значения выражения
V (х) In и (х).
1.	Пусть lim v (х) In и (х) = Ь.
X -> а
Убедимся, что в этом случае limu(x)® •*’ = еь.
х а
В самом деле, функция
( o(x)lnu(x) при xzia, ‘
ш (х) = <	.
I	о	при х — а
непрерывна в точке х — а. Поэтому и сложная функция ew tx' непрерывна
в этой точке. Следовательно, lim ew 1Л') = ете ,а’ = е*. Так как lim =
х -» а	х а
= lim a® (JC) 1п ” <х\ то lim и (х)® существует и равен еь.
х—^п	х -» а
Используя полученные в этой главе сведения о-предельных значениях ew
при W-— — оо и to — 4-со, легко убедиться в том, что
II.	Если lim v (х) In и. (х) = — со, то lim и (x)v 1X1 = 0.
х—>а	х-*а
III.	Если lim y (х) In и (х) = -|- со, то lim и (х)® '•*’ = |-со.
х-+а	х-+а
Установленная связь между предельными значениями выражений и (х)™ ’•*’
и v (х) 1п и (х) позволяет в ряде случаев легко найти предельное значение
функции и (х)® 1А|, если известны предельные значения функций и (х> и и (х).
Рассмотрим для примера следующие случаи:
1) Существует lim и (х) > 0 и lim v (х).
2) lim и (х) = b, b> 1,
, 3) lim и (х) = b, b > 1,
х-*а
х-+а
lim v (х) = + оо.
х—* а
lim v (х) — — oj.
*) Там, где sinx>0.
§ 7J
ПОНЯТИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
133
lim v (х)
Убедимся, чтов случае 1) lim и (х)°= [lim « (х)]*-*®	. Действитель-
х—*а	х-*а
но, так как lim и (х) > 0, то, в силу непрерывности логарифмической
х^>а
функции, lim In и (х) существует и равен In [lim и (х)]. Поэтому существует
х-*а	х-*а
lim v (х) In и (х) = lim v (х) In [lim и (х)[.
х-*а	' х—>а х-*а
Согласно I отсюда вытекает, что
lim v (х) In u (х) lim v (x) In [lim и (x)[	lira » (X)
lim u (x)® (’v) = e*-”®	=zgx~*a x~*a = [lim u (x)]*-"®
х-»а	x~*a
В случае 2) lim v (x) In и (x) = + co, и Поэтому, согласно III,
lim и (x)® 1X1 — 4- co.
x->a
В случае 3) lim v (x) In и (x) = — co, и поэтому, согласно II,
lim и (x)® l*> = 0.	X~^a'
x-a
В заключение укажем три случая, для которых нахождение предельного
значения и (х)® <X1 требует дополнительных исследований.
1.	Неопределенность типа /°°:
1imw(x) = l, limv(x)=co.
х—а	х—а
2.	Неопределенность типа 0°:
lim и (х) = 0, lim v (х) = 0.
х-*а	х-*а
3.	Неопределенность типа со0:
lim и (х) = 4-оо,-
Нт о(х) =0.
х—>а
Для первого из этих случаев мы приведем формулу, удобную для прак-
тических приложений^
Преобразуем выражение и (х)® ,А’1 следующим образом:
и (x)v •*>
I	। Пи (x) — 1| » (X)
= Ш + («(х)-1)]“1л>-Ч
Положим, далее,
1
U (х) = [1 4- (и (х) — 1)1“ w - 1 и V (х) = [и (х) — 1] v (х),
так что
«(х)® w = 17 (х)и«
Поскольку Hmt/(x)=e (см. замечание к теореме 4.4) и то зна-
х-+а
чеяие lim a (x)v = lim U (х)v зависит от предельного значения функции
х^*а	х^а
k (х) в точке а, т. е. от lim [и (х) — I] v (х). Именно:
х-^а
134
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
если lim [и (х) — 1] v (х) = lim V (х) = с, то lim и (х)	= lim U (x)V() =
х^а	х-*а	х-*а	х-*а
— ес (см. случай 1));
если lim [и (х) — 1]у (х) =+со, то lim и (х)® '*> = + со (см. случай 2));
х-*а	х->а
если lim [и (х)— 1]и(х) = —со, то lim и (x)v (Xi = 0 (см. случай 3)).
х-*а	х-*а
Таким образом, мы получаем следующую формулу:
lim [« (х) — 1] v (х)
lim и (х)ъ <*> = ех^а
х-*а
Неопределенности типа 2 и 3 приводятся к неопределенности типа 1 еле*
дующим образом.
Положим
U (х) = е® <*>, V (х) = In и (х).
Очевидно, lim U (х) = 1 и lim V (х) = ± со. Кроме того,
х-*а	х-*а
и (х)® (JC) = [е v (JC)]In u (ж) = e,n u (JC) V W = U (x)v
1 '
Пример. Найти lim [cosx]sln‘x. Так как limcosx=l, a lim------------------=
x—o	x-»o	x-»osin2 x
= co, то налицо неопределенность типа 1ет. Используем формулу
„ W limJ“ w - 11 ®
lim«(x) = ех~*'>	, полученную нами выше. Имеем
X -»0	4
lim [и (х) — 1] v (х) = lim [cos х — 1] —1— =
х-»0	х—О	sin2 X
= lim Г—2 sin2 —1--------1-------= —L lim —J—
X— 0 L	2 ] л  x a X 2 X—*0 „ „ x
J 4 sm2 ycos2 -g-	cos2
Поэтому
1
2 ’
lim [cosxjsina x = e 2 =-^=.
x-»o	V e
4°. Предельные значения некоторых сложных
функций. Докажем справедливость следующих равенств:
/1+х_1 1
lim !----— = —
х~о х	п
ех__1
lim^---- = 1,
х^о х
1п (1 + х) .
lim —-—!—- = 1
х—о х
1—COSX
11т„т—
х->0 х
1
~2'
(4.12)
§ 7]
ПОНЯТИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
13а
1) Рассмотрим первый из этих пределов. Имеем
^Г+7-l  (1 + х)д -1 _
X	X
Г 1	1[ Д — I	д —2	1
_[(1+а)П_1][(1+х) Д +(1+х) п +...+ (1+х)Д + 1| _
Г п ~'	д—1 I
4(1+хРГ + (1+*)~+-+ (1+х)" +1J
=__________[(1 +х)"| -1 ___=
Ira — 1	га — 2	1	1
(1 4-х)~ + (1 + ^~+...+ (1 +х)’+ 1]
1
'	га — 1	га — 2	1
(1 + х)“ + (1 + х)~ +...+ (1 + xf* + 1
Так как знаменатель последнего выражения при х—>0 имеет пре-
д
дел, равный п (функция (1 -\-х)п непрерывна в точке х = 0 и поэтому
lim (1+х) я= 1), то lim•——х~— = —.
Л->0	х-*0 к	п
2) Перейдем к доказательству второго равенства (4.12). Имеем
-п = In (1 + х) < Доопределим функцию /(х) = (1 + х)х, пола-
= 1п/(0) = In е = 1. Итак, lim
3) Докажем
х= In (1 4-и) и
к нулю. Имеем
гая /(0) = lim/(x) = lim (1 -f-x)x = e. В результате мы получим
х -> О	Л* —* О
непрерывную в точке х — 0 функцию f(x). Тогда и функция 1п/(х)
также будет непрерывна в нулевой точке, и поэтому lim In (1 +х)х =
х-0
In (1 + х)  J
ЛГ—-0 Х
справедливость третьего равенства (4.12). Положим
.заметим, что при х—>0
= In (!+»)-• °ТСЮДа
переменная и стремится
следует, что
1	и
-= lim	—г
и^о1п(1 + «)
4) Докажем справедливость последнего равенства (4.12). Имеем
о . , х	. „ х	• о х
,	2sm3—	sin2—-	sin2 -н-
1—cosx	2	1	2 т,	2	, ,	.. Q4.
----5---—--------=~х~—пг. Так как 1>т -—г- = 1 (см. (4.8)), то
х2 2 (у)	(4)	'
136
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
(ГЛ. 4.
Используя соотношения (4.8), (4.12), равенство (4.1) и символ о (х)
(см. п. 3 § 2), легко убедиться в справедливости следующих формул:
sin х = х + о (х),
+х= 1 + -i- + o(x),
1п(1 +х) = х + о(х),
ех = 1 + х + о (х),
cos х = 1 — у + о (х2).
(4-13)
Докажем, например, справедливость первой формулы. Так как
lim ^2-^=1, то в силу (4.1) ^^=1-|-а(х), где а (х)—бесконечно
ж-о *	z х
малая в точке х = 0 функция. Из последней формулы вытекает, что
sin х = х + ха (х). Поскольку ха (х) = о (х), то sin х = х + о (х).
3. Понятие элементарной функции. Класс элементарных функ-
ций. В приложениях важную роль играет класс функций, получае-
мых посредством конечного числа арифметических операций над про-
стейшими элементарными функциями, а также получаемых путем
суперпозиции этих функций. Например, функции х3 + 3 cos 2х,
1п | sin Зх | — еагс& *, принадлежат этому классу. Мы будем Называть
этот класс функций классом элементарных функций, а каждую
функцию этого класса — элементарной.
Отметим следующее свойство элементарных функций — они непре-
рывны в каждой точке области задания *).
Это свойство непосредственно вытекает из теорем 4.2 и 4.5
и непрерывности простейших элементарных функций в каждой точке
области задания.
§ 8. Классификация точек разрыва функции
1. Точки разрыва функции и их классификация. В п. 1 § 3
мы определили точки разрыва функции как точки, в которых функ-
ция не обладает свойством непрерывности. Мы будем называть также
точками разрыва функции точки, в которых функция не определена,
но в любой е-окрестности которых имеются точки области задания
функции.
Рассмотрим возможные типы точек разрыва функции.
1°. Устранимый разрыв. Точка а называется точкой устра-
нимого разрыва функции у = f(x), если предельное значение функ-
ции в этой точке существует, но в точке а функция f (х) или
*) Если при этом область задания функции окажется состоящей из отдель-
ных изолированных точек, то естественно считать, чТо функция по определе-
нию непрерывна в каждой из этих точек.
§ 8)
КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА ФУНКЦИИ
137
не определена, или ее частное значение f(a) в точке а не равно
предельному значению.
Например, функция
(sin х	,
— при х О,
х
2 при х = 0
имеет в нулевой точке устранимый разрыв, поскольку предельное
значение этой функции в точке х = 0 равно 1, а частное равно 2.
Если функция /(х) имеет в точке а разрыв указанного типа, то этот
разрыв можно устранить, не изменяя при этом значений функции
в точках, отличных от а. Для этого достаточно определить значе-
ние функции в точке а равным ее предельному значению в этой точке.
Так, если в рассмотренном примере положить /(0)= 1, то lim f(x) =
= /(0) и функция будет непре-
рывной в точке х = 0.
Замечание. На практике
точки устранимого разрыва встре-
чаются при сосредоточенных рас-
пределениях физических. величин.
2°. Разрыв 1-го рода. Точка
а называется точкой разрыва
1-го рода, если в этой точке
функция f(x) имеет конечные,
но не равные друг другу правое и левое предельные значения:
lim / (х) 7S lim f(x) (или f(a 4- 0)— 0)).
-» a 4- 0	x —♦ a — 0
1. Для функции /(x)~ sgnx точка x = 0 является точкой раз-
рыва 1-го рода (см. рис. 4.4). Действительно, так как
sgn X —
то'
1 при
0 при
. — 1 при
х> 0,
х = О,
х<0,
lim sgnx=l, lim sgnx = —1.
X — O-I-O	x -> 0 — 0
2.
имеет
Функция f (x)
1
1 + 21/JC
определенная всюду, кроме точки х = 0,
в точке х = 0 разрыв 1-го рода (рис. 4.32). В самом деле,
если {хп} — сходящаяся к нулю последовательность, элементы кото-
рой положительны, то j—} — бесконечно большая последовательность
с положительными членами, и поэтому {1 4~ 21/Л/1} — также бесконечно
138
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
большая последовательность. Но тогда последовательность. Г-—1
Д1+2Мя/
бесконечно малая, и поэтому lim f(x) = 0. Если же {хп} — сходя-
jc->-0 + 0
щаяся к нулю последовательность, элементы которой отрицательны,
то ]—1 — бесконечно большая последовательность с отрицательными
членами, и поэтому lim 21/JC« = 0. Следовательно, lim/(x) = l.
л->со	х-»0 — 0
3°. Разрыв 2-го рода. Точка а называется точкой разрыва
2-го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней
мере одного из односто-
ронних предельных значе-
ний или если хотя' бы
одно из односторонних
предельных значений бес-
конечно.
Рассмотрим, напри-
мер, функцию /(x) = siny
(рис. 4.33) *). Эта функция
в точке х — 0 не имеет ни
правого, ни левого предель-
ного значения. Действитель-
нулю справа последователь-
К
но, рассмотрим следующие сходящиеся
ности значений аргумента:
2_ 2_ 2_	________
л ’ 5л ’ 9л ’ ' ‘’ (4п — 3) л ’
2
и
_L ± ±	1
л ’ 2л’ Зл ’ ' ’ ’ ’ пл’
Соответствующий последовательности значений функции _y = sin-i
имеют следующий вид:
1, 1,
и
О, 0, 0, ..., 0, ...
Первая из этих последовательностей имеет предел, равный еди-
нице, а вторая имеет предел, равный нулю. Следовательно, функция
/(x) = sini- в точке х = 0 не имеет правого предельного значения.
Так как sin-^ = — sini, т0 эта ФУНКЦИЯ не имеет и левого пре-
дельного значения в этой точке.
*) Рис. 4.33 носит чисто иллюстративный характер.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 4
139
Другим примером функции, имеющей точки разрыва 2-го рода,
может служить функция у = ctg х (см. рис. 4.25). Эта функция имеет
разрыв 2-го рода в каждой из точек т.п, п = 0, ±1, ±2,...
2. Кусочно непрерывные функции. Функция y=f(x) называется
кусочно непрерывной на сегменте [а, Ь], если она непрерывна во всех
внутренних точках [а, £>], за исключением, быть может, конечного
числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет
односторонние предельные значения в точках а и Ь. Функция называется
кусочно непрерывной на интервале или бесконечной прямой, если она
кусочно непрерывна на любом принадлежащем им сегменте. Напри-
мер, функция f (х) = [х] *) кусочно непрерывна как на любом сег-
менте, так и на бесконечной прямой.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 4
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ ИЗ П. 6 § 5
В настоящем дополнении дается доказательство утверждения из п. 6 § 5.
Для удобства сформулируем здесь это-утверждение в следующей форме.
Существует, и притом единственная, пара функций S (х) и С (х), опре-
деленных на всей бесконечной прямой и удовлетворяющих следующим трем
требованиям:
1°. Для любых вещественных чисел х', х” и х выполняются соотношения
2».
S (х' + х") = S (х') С (х") + С (х') S (х"),
С (х' + х") = С (х') С (х") — S (х') S (х"),
S3 (х) + С2 (х) = 1.
<$ (0) = О, С(0) = 1,
3°. При 0 <; х < ~ справедливы неравенства
0<S(x)<x.
(4.5) **)
(4-6)
(4-7)
Доказательство этого утверждения мы разделим на две части. Именно:
сначала мы докажем единственность, а затем существование функций S (х)
и С (х), удовлетворяющих требованиям 1°, 2° и 3°.
1. Доказательство единственности. Для доказательства единственности
достаточно убедиться в справедливости следующих двух утверждений:
1) Функции S (х) и С (х), обладающие перечисленными свойствами, непре-
рывны на всей числовой прямой.
*) Напомним, что символ [х] обозначает целую часть числа х.
**) Нумерацию формул мы оставили такой же, как и в п. 6 § 5. Заметим,
что в этих формулах мы заменили обозначения функций sin х и cos х на 3 (х)
и С (х) соответственно.
140
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
2) Значения функций S (х) и С (х) определяются единственным образом на
некотором всюду плотном множестве точек бесконечной прямой *).
Действительно, в силу непрерывности функций 3 (х) и С (х) их частные
значения в каждой точке х бесконечной прямой равны их предельным зна-
чениям в этой точке. Если теперь мы рассмотрим сходящуюся к х последова-
тельность значений аргумента, элементы которой принадлежат указанному
выше всюду плотному множеству точек, то соответствующие последователь-
ности значений функций 8 (х) и С (х), в силу сформулированного выше
утверждения 2), определяются единственным образом, а поэтому и пределы
этих последовательностей определяются также единственным образом. Но эти
пределы как раз и являются частными значениями функций 3 (х) и С (х)
в точке х. Следовательно, функции 3 (х) и С (х) определяются единственным
образом на всей бесконечной прямой.
1) Прежде чем перейти к доказательству непрерывности функций S (х)
и С (х), установим некоторые формулы.
Полагая в первых двух из соотношений (4.5) х'= х, х" ——'х и учиты-
вая, что 3(0) = 0, С (0) = 1, получим
0 = S(x)-C(-x) + C(x).S(-x), у
1 = С(х)<С(—х) —3(х)-3(—х). J	' ?
Умножим соотношения (4.14) соответственно на 3 (х) и С (х) и сложим полу-
ченные при этом соотношения. Учитывая, что S2 (х) С2 (х) = 1, получим
С(—х)=С(х).
Совершенно аналогично, умножая соотношения (4.14) соответственно на
С (х) и —3 (х) и складывая их, получим 3(—х) = •—3 (х). Таким образом,
С (х) — четная функция, а 3 (х) — нечетная функция **).
Но тогда, используя первую из формул (4.5), получим
3 (х") = S	=
/х'+х"\ _ /х'' —х'\	_ /х' + х"\ „/х" —х'\
5 \ 2 ;С\	2	2	\ 2 ]
и аналогично

Вычитая почленно последние две формулы, получим
3 (х") - S (х') = 2С	S	•	(4-15)
Докажем теперь непрерывность функций С (х) и 8 (х) в любой точке х
бесконечной прямой. Заметим, что непрерывность функции 3 (х) в точке
х — 0 справа • непосредственно вытекает из соотношения (4.7) и из равенства
8 (0) = 0. В самом деле, если {хга} — произвольная последовательность зна-
чений аргумента, сходящаяся к нулю справа, то из соотношения 0 < S (х„)<
< хп заключаем, что и соответствующая последовательность значений функ-
ции {S (х„)} сходится к нулю, т. е. к частному значению 8 /0).
*) Множество {х} точек бесконечной прямой называется всюду плотным
на бесконечной прямой, если в любой е-окрестности каждой точки этой пря-
мой имеется бесконечно много точек множества {х}.
**) Функция f(x) называется нечетной, если f(—x) — — l (х), и четной,
если f (— х) = f (х).
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 4
141
Из нечетности функции 5 (х) вытекает непрерывность этой функции в
точке х=0 слева. Таким образом, функция S (х) непрерывна в точке х = 0.
Непрерывность S (х) в любой точке х вытекает из соотношения (4.15).
В самом деле, пусть х — любая точка бесконечной прямой, {х„} — произволь-
ная сходящаяся к х последовательность значений аргумента. Положив в (4.15)
х' = х, х" =хд, будем иметь
S (х„) - 5 (х) = 2С S	.	 (4.16)
В силу того, что 5 (х) непрерывна в нуле и 5 (0) = 0, получим, что
о /Хп—х\ п „	(„!х -]- Х„\ 1
lim 5	—j = 0. Поскольку последовательность i—ограничен-
ная*), правая (а стало быть, и левая) -часть (4.16) имеет своим пределом
нуль. Но это означает, что lim 5 (хп) = S (х), т. е. функция S (х) непре-
П—*00
рывна в точке х.
Аналогично доказывается непрерывность функции С (х). Для этого вместо
(4.15) нужно получить формулу
С (х") - С (х') = - 25	S	'
2) Докажем, что значения функций S (х) и С (х) определяются единствеи-
рл
ным образом в точках g- , где р — целое положительное или отрицательное
число, а п — целое положительное число. Отметим, что такие точки обра-
зуют всюду плотное множество точек числовой прямой. Предварительно уста-
новим некоторые свойства функций 5(х) и С(х). Установим, во-первых, что
эти функции периодические и имеют период 2л**). В самом деле, полагая
в (4.15) х" == х -j-2n и х' = х, получим
5 (х 4- 2л) — S (х) = 2С (х 4- л) S (л).
Так как 5 (к) = 5 (у += 25 С = О,
то из последнего соотно-
шения вытекает, что
5 (х + 2л) = S (х),
т. е. функция 5 (х) периодическая и имеет период 2л. Отсюда, в частности,
следует, что S (2л) = 0.
Полагая во второй формуле (4.5) х' = х и х" = 2л и учитывая, что
5 (2л) — 0, найдем
С (х + 2л) = С (х) С (2л).
Так как С (2л) = 1 (в этом легко убедиться, применяя формулы (4.5) сначала
л ' л	,
для х = -£- и х = -g-, а затем для х = п и х = л), то
С (х + 2л) = С (х).
Таким образом, периодичность С (х) также установлена.
Свойство периодичности функций S (х) и С (х) позволяет в наших рас-
суждениях ограничиться сегментом [0, 2л]. Мы установим сейчас, какие знаки
*) Из соотношения S2 (х) + С2 (х) = 1 вытекает, что | С(х) |1 для всех х,
а отсюда вытекает ограниченность последовательности -(С I—g-—Д.
**) Функция f (х) называется периодической с периодом а>0, если для
любого х справедливо соотношение / (х 4- а) = f (х).
142
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
имеют значения функций S (х) и С (х) в различных точках этого сегмента.
Из (4.6), (4.7) и непрерывности S (х) следует, что на сегменте [о, значе-
ния функции 3 (х) неотрицательны, причем на этом сегменте функция S (х)
обращается в нуль только в точке х=0. Так как 3 (л—х) = 3 (л) С (—х) —
— С (л) 3 (х) *) и 3 (л) = О, С (л) = — 1, то 3(л — х) = 3 (х). Поэтому на сег-
менте л] значения, функции 3 (х) неотрицательны, причем на этом сег-
менте функция 3 (х) обращается в нуль только в точке х = л. Из формулы
3 (2л— х) = — S (х), которая может быть получена аналогично формуле
3 (л — х) = 3 (х), вытекает, что на сегменте [л, 2л] значения функции 3 (х)
неположительны, причем функция S (х) обращается в нуль лишь на концах
этого сегмента. Рассуждая совершенно аналогично, можно убедиться, что
функция С (х) неотрицательна на сегментах |^0, и |^-,2л^ и неположи-
[л Зл-]	л Зл
”2~ ’ "2 И °°Ра1Чается в НУЛЬ только в точках -g- и
Для завершения доказательства единственности функций S (х) и С (х)
нам понадобятся некоторые формулы, к выводу которых мы и переходим.
Во-первых, отметим, что из (4.5) вытекают следующие формулы **)
S2 (Й = ~~2~' ’ С2 (Й =	(Х) -	(4.17)
Полагая в этих формулах х — х'-\-х" и еще раз применяя формулы (4.5),
мы и получим интересующие нас соотношения
/х' + х"\ _ 1 - С (х') С (х”) + S (х') 3 (х")
\ 2	'	2
(х'+х"\ _ 1 + С (х') С (х") — 3 (х') 3 (х")
\ 2	)	2
Эти формулы показывают, что если известны значения функций 3 (х) и С (х)
в точках х' и х", то значения этих функций в точке —-------- определяются
единственным образом, поскольку из приведенных выше рассуждений сле-
дует, что нам известны знаки функций S (х) и С (х) в каждой точке сег-
мента [0, 2л], а следовательно, в силу их периодичности с периодом 2л, и
в любой точке х числовой прямой. Исходя из известных и единственным
71
образом определенных значений 3 (х) и С (х) в точках 0, -g-, л, 2л сегмента
[О, 2п], мы можем, применяя последовательно только что полученные фор-
мулы, вычислить единственным образом значения этих функций во всех точ-
D71
ках вида сегмента [0, 2л] (р и п — целые неотрицательные числа, причем
p=g2n+1). Так как множество точек вида всюду плотно на сегменте
[О, 2л], то, в силу сказанного в начале доказательства единственности, функ-
ции 3 (х) и С (х) единственным образом определены на всей числовой прямой.
*) Эта формула вытекает из первой формулы (4.5) и нечетности функции
3 (х).
**) Достаточно во второй формуле (4.5) взять х' = х" = -i-, а в третьей
а
%
формуле (4.5) взять вместо х.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 4
143
2. Доказательство существования. Мы докажем более общее утвер-
ждение.
Существуют функции S (х) и С (х), определенные и непрерывные на всей
числовой прямой, удовлетворяющие требованиям:
Is. Для любых вещественных чисел х', х" и х выполняются соотношения
S (х' + х") = S (х') С (х") + С (х') S (х"), '
С (х' + х") = С (х') С (х") — S (х') S(x"),
S2 (х) + С2 (х) = 1.
S(0)=0, С (0) = 1, )
S (О) = 1, С (d) = 0, J
(4.51)
(4.61)
где d — некоторое заданное положительное число.
3°. Существует положительное число L такое, что при 0<х <d спра-
ведливы неравенства
0<S(x)<Lx,	(4.71)
причем, если d — -%, то L = 1.
Доказательство. Определим, во-первых, значения функций S (х) и
С (х) на множестве {s} точек сегмента [0, d], каждая из которых может
быть представлена в виде s = —, где р и п — целые неотрицательные числа,
причем р < 2”. Предварительно мы определим значения этих функций в точ-
ках sn = ^, п — 0, 1, ... Так как sn+1 = ^-’, то, используя формулы (4.17),
можно положить
S (5Л+1) = S	—g (s-n), с м = С fe) = +	1-+£М.
(4.18)
Из соотношения С (d) = С — С (s0) = 0 с помощью рекуррентных
формул (4.1-8) определяются значения S (х) и С (х) во всех точках вп — ^.
Дополнительно к указанным значениям S (х) и С (х) в точках sn мы опре-
делим значения этих функций в точках 0 и d так, как это указано в (4.61).
Перейдем теперь к определению значений S (х) и С (х) во всех точках
множества {s}, s — р и п—целые неотрицательные числа, р <2П. Изве-
стно, что любое целое положительное число может быть единственным обра-
зом представлено в виде суммы целых степеней числа 2 *);
р = У] а#"4 **),
/=1
где а(- равно либо нулю, либо единице. Поэтому
(4.19)
*) В двоичной системе счисления целое число р единственным образом
представляется в виде символа, состоящего из нулей и единиц. Этот символ
и представляет собой краткую запись числа р в виде суммы степеней числа 2.
**) См. сноску на стр. 57.
144
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
Таким образом, каждое значение s представимо в виде конечной суммы
чисел s,, для каждого из которых значения S (s,) и С (s,-) определены выше.
Мы можем теперь, используя формулы (4.51), определить значения S (х) и
С (х) в точках множества {s}. При этом мы должны убедиться, что после-
довательное применение этих формул приводит к одному и тому же резуль-
тату независимо от способа объединения слагаемых S; в группы в форму-
ле (4.19).	•
' Например, мы можем положить s = x'4-x", где х'— и х"—
п
— 2 aiSi, и затем вычислить S (s) по первой формуле (4.51). Но также
п
можно положить х' = ajSi + a2s2 и х" = У, a,-s;. Для того чтобы убедиться,
<=з
что последовательное применение формул (4.51) будет давать один и тот же
результат независимо от способа объединения слагаемых Si в группы в сумме
(4.19), достаточно, чтобы имели место соотношения
S [(х' 4- х") + х'"] = S [х' + (х" + х"')]
и
С |(х' + х") + х'"] = С [х' 4- (х" 4- х'")].
Справедливость этих соотношений устанавливается непосредственно путем
двукратного Применения формул (4.51).
Убедимся теперь, что функции S(s) и С (s), определенные нами на мно-
жестве {«}, обладают свойством I9 на этом множестве. Пусть s', s" и s' 4- s"
принадлежат указанному множеству. Представим s', s" и s'4-®" в виде
сумм (4.19). Объединяя входящие в s' и s" числа sn с одинаковыми п до тех
пор, пока оставшиеся sn не будут иметь различные индексы, мы придем
к группировке слагаемых sn, дающей представление (4.19) для числа s'4-s"-
Но выше мы показали, что результат вычисления S (s) или С (s) для суммы
нескольких аргументов не зависит от способа группировки слагаемых этой
суммы. Следовательно, если s', s" и s'4-s” принадлежат множеству {s}, то
значения S (s) и С (s), вычисленные в этих точках, удовлетворяют Первым
двум соотношениям (4.51). В справедливости третьего соотношения (4.51) для
указанных значений аргумента убедиться нетрудно. В самом деле, из опре-
деления S (х) и С (х) в точках 0 и d следует, что S2 (0) + С2 (0) = 1 и
S2 (d) 4- С2 (d) = 1. Из рекуррентных формул (4.18) вытекает справедливость
соотношения S2 (sn) 4* С2 (sn) = 1 для всех sn, а из непосредственно прове-
ряемой формулы
S2 (х'-+ х") 4- С2 (х' 4- х") = (S2 (х') + С2 (х')) (S2 (х") 4- С2 (х"))
следует справедливость соотношения S2 (s) 4- С2 (s) — 1 для всех точек мно-
жества {s}.
Покажем теперь, что для всех точек множества {s}, отличных от 0 и d,
справедливы неравенства
0<S(s)<l,	0<C(s)<l*).	(4.20)
Доказательство справедливости неравенств (4.20) проведем по индукции.
Для этого каждому п поставим в соответствие группу элементов множества {«},
"	, ,	pd
относя в эту группу все элементы {s}, которые можно представить в виде ,
где 0 < р < 2” и р — нечетное число. Элементы этой группы будут называться
*) Напомним, что в точках 0 и d значения S (s) и С (s) определены фор-
мулами (4.61).
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 4
145
элементами порядка п. Каждый элемент порядка п 4- 1 лежит между двумя
последовательными элементами, порядок которых не больше п и которые
отличаются друг от друга на т. е. на sa. Первый элемент порядка п + 1
равен sn+1. Все остальные элементы порядка л + 1 могут быть получены
прибавлением к sn+i различных s порядка п. Вычислим значения S (sj и С (sj
(st —единственное значение s порядка единицы). Имеем из (4.18) S (sT) =	-i-
и C(S1) =	Таким образом, для элементов первой группы неравенства
(4.20) имеют место. Допустим теперь, что неравенства (4.20) имеют место для
всех элементов, порядок которых не выше п.
Тогда, в силу первой формулы (4.51), значения S (s) во всех точках,
порядка- п + 1 положительны, а в силу третьей формулы (4.51) эти значения
не больше единицы. Полагая в первой формуле (4.51) к’ = d, х = — з и учиты-
вая четность функции С (s), найдем, что С (з) = 5 (d — з), и поэтому для С (з)
справедливы неравенства (4.20) для значений з порядка «4-1, так как, если s
имеет порядок л 4-1. то и d—s также имеет порядок л 4-1- По индукции
отсюда следует, что для всех точек множества {з}, отличных от 0 и d, спра-
ведливы неравенства (4.20).
Докажем, что функции. S (з) и С (s), определенные нами на множестве {з},
монотонны на этом множестве. Именно, покажем, что S (s) — возрастающая
s' ! ~ s'
функция, а С (s)— убывающая функция. Пусть Osgs' <s" < d. Тогда--------------—
5* __g'
и —2— заключены строго между нулем и d. Из формулы (4.15) и из нера-
венств (4.20) следует, что S (s") > S (s'). Следовательно, S (s) — возрастающая
функция. Из соотношения С (s) = S (d — s) следует, что С (з)— убывающая
на множестве {з} функция.
Докажем теперь, что функции S (s) и С (в), определенные на всюду плотном
множестве {s} точек сегмента [0, d], имеют предельное значение в каждой
точке сегмента [0, d].
Рассмотрим, во-первых, последовательность {з„} и покажем, что limS(s„) =
п -► оо
= 0 и limC(sn) = l (существование этих пределов следует из монотонности
п -* со
и ограниченности S (з) и С (s) на множестве {s}). Для доказательства рассмот-
{t (s ))	S (s )
 —- где t (sn) =	. Из (4.18) имеем
J	L \sn)
•2S C (S/Z4-l) — У" 1 — C2 = S (S-n)
и
C (Sn) — С2 ($7В+1)	(5Л+1) <
Поэтому
fen) __	_ 2S (Sft-iri) C (.sn+i) _ t (%-t-i) Ca (Sim) >
$n SnC (Sn) 2S/I+1 C ($n) sn+l	S/24-1
Итак, >. * fa-и) и £1^2 >, о ПрИ любом n, т. e. последовательность
вп sn+l $п	( $п J
убывающая и ограниченная. По теореме 3.15 она имеет предел, который мы
обозначим L:
lim =	(4.21)
д-*оэ
Так как s„ —0 при л —* оо, то lim ((s„) = 0, и поэтому, в силу ограниченности
л -* со
146
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
функции С (s) (см. (4.20)),
lim S (s„) = lim (t (s„) C (s„)) = 0.	(4.22)
n->oo	n-*oo
Поскольку C (s) > 0, из (4.22) и соотношения S2 (sn) + C2 (s„) = 1 вытекает,
что
limC(s„)=l.	(4.23)
л-* co
Отметим, что из (4.21) и (4.23) следует, что
lim =	(4.24)
n-»0O Sn
_ S (sn) 2S (sn+1) C (sn+i) S (s«+i)	(S (s„))
Так как —=> л+1< то последовательность {——>
Sn	^л+1	Sn+l	v Sn J
возрастает. Поэтому из (4.21) и (4.24) имеем
или
(sn) < д t (sn)
sn	Sn
S (sn) L • sn (sn)'
(4.25)
Пусть |s*}— любая сходящаяся к нулю последовательность значений s
из множества {$}. Для любого п можно, очевидно, указать такой номер k,
что Q <_s*<sk. Отсюда, в силу монотонности S (s) на множестве {s}, имеем
0 < S (s*) < S (sft). Поэтому из (4.22) следует, что lim S (s*) = 0.
Докажем теперь, что функция S (s), определенная на множестве {s} *),
имеет предельное значение в любой точке х сегмента [0, d]. Пусть —
монотонно возрастающая, сходящаяся к х последовательность элементов мно-
жества {s}. Так как (S(s^)J— возрастающая ограниченная последовательность,
то существует предел lim S (sn), который мы обозначим S (х). Пусть {s’}—
п—* оо
любая сходящаяся к х последовательность элементов множества {s}(s’t^x).
Тогда последовательность
ному lim S
л-» со
sn~sn
2
j- имеет предел нуль. Согласно доказан-
= 0. Из (4.15) и ограниченности функции С (s) имеем
sn~sn
2
= 0.
Иными словами, lim S (s’) = S (х). В силу произвольности последова-
л-*со
тельности }s"| это означает существование предельного значения функции
S (s), определенной на {s}, в каждой точке х сегмента [0, d]:
lim S (s) = S (x).
S-X
Из соотношения S2 (s) + C2 (s) = 1 и неотрицательности функции C (s) на
множестве {s} следует существование предельного значения функции С (s)
*) Напомним, что {$} — всюду плотное множество точек сегмента [0, d].
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 4
147
в каждой точке сегмента [0, d]. Мы будем обозначать предельное значение
этой функции в точке х символом С (х).
Определим теперь значения функций S (х) и С (х) в любой точке х сегмента
[О, d] как предельные значения в точке х функций S (s) и C(s), определенных
на множестве {s}. Докажем, что так определенные функции S (х) и С (х)
обладают свойствами Г и 2° утверждения, сформулированного в начале дока-
зательства существования функций S (х) и С(х). Предварительно установим,
что определенные указанным выше способом на сегменте [0, d] функции S (х)
и С (х) монотонны и непрерывны на этом сегменте. Во-первых, докажем, что
если х — любое число из сегмента [0, d], a s' и s" — любые числа из мно-
жества {s}, удовлетворяющие неравенству s' < х < s', то 3 (s') < 3 (х) < S (s'),
С (s')> C (х)>С (s'). Установим, например, что S(s')<S(x) (неравенства
S (х) < 3 (s') и С (s') >С (х) > С (s') доказываются аналогично). Пусть (s'n) —
сходящаяся к х, возрастающая последовательность чисел множества {s}, все
элементы s'n которой удовлетворяют неравенствам s' <s'n<.x. Так как на
множестве {s} функция S(s) возрастает, то последовательность (S(s„)— S (s’)|
возрастает и имеет положительные элементы. Поэтому предел 3 (х) — 3 (s’) *)
этой последовательности положителен. Таким образом, S (s') < S (х). Докажем
теперь, что функция S (х) возрастает на сегменте „ [0, d] (доказательство
убывания функции С (х) на атом сегменте проводится аналогично). Пусть х' и
х'— любые два числа сегмента [0, d], удовлетворяющие неравенству х'<х'.
Если s'— некоторое число множества {s}, заключенное между х' и х',
x’<s'<x', то по доказанному 3 (х') < 3 (s') и S(s')<S(x'), т. е.
S (х') < S (х'). Монотонность функции S (х) на [0, d] доказана. Прежде чем
перейти к доказательству непрерывности функций S (х) и С (х), устано-
вим, что предельные значения функций S (s) и С (s) в точках множест-
ва {s} совпадают со значениями этих функций в соответствующих точках
множества {s}.
Рассмотрим произвольное число s множества {s} и две сходящиеся к s
последовательности р'я| и |s’J элементов множества {s} таких, что s„<s<s'.
В силу монотонности функции 3 (s) на множестве {s} справедливы неравенства
3 (s„) < 3 (s) < S (s') **). Так как lim S(s„) = lim 3 (s') и указанные пре-
n — co
целы равны предельному значению в точке s функции 3 (s), то только что
сформулированное утверждение доказано. Убедимся теперь, что функции S (х)
и С (х) непрерывны- в каждой точке сегмента [0, d]. Для этого достаточно
установить, что эти функции непрерывны в каждой точке х указанного сег-
мента слева и справа, непрерывны справа в точке 0 и непрерывны слева
в точке d (см. замечание в п. 1 § 3). Докажем ради определенности непре-
рывность функции 3 (х) в точке х сегмента [0, d] слева (непрерывность справа
и непрерывность С (х) доказывается аналогично).
Пусть (s^J — некоторая сходящаяся к х слева последовательность чисел
множества {s}. Так как lim 3 (s^) = 3 (х), то для любого е > О можно указать
fe—>00
элемент s'k этой последовательности, для которого 0 < S (х) — 3 (s^) < е. Рас-
смотрим теперь произвольную сходящуюся к х слева последовательность {хп}.
Пусть N.— номер, начиная с которого выполняются неравенства s'k<Zxn<,x.
В силу возрастания функции при n^:N выполняются неравенства
3 (s^) < S (хп) <_ S (х). Сопоставляя эти неравенства с неравенствами
*) Поскольку . lim 3 (s„) = 3 (х), а 3 (s') — фиксированное число, то
lim Is («к) - $ («')] = S W - S (s').
n —* 00
**) Ради определенности мы доказываем это утверждение для функ-
ции 3(х).
148
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[ГЛ. 4
О < S (х)— S(s'(i)<e, получим, что при n^N справедливы неравенства
0<S(x)— S(x„)i<e. Иными словами, предельное значение функции S (х)
в точке х слева равно частному ее значению в этой точке. Таким образом,
непрерывность S (х) в точке х слева доказана.
Определим теперь функции S (х) и С (х) на сегменте [d, 2d] с помощью
соотношений S (х + d) — С (х) и С (х + d) = — S (х). Применяя эти формулы
еще раз, распространим эти функции на сегмент [2d, 4d]. Повторяя эти рас-
суждения, мы определим эти функции для всех положительных значений х.
Для отрицательных значений х мы определим эти функции с помощью соот-
ношений S (х) — — S (—х) и С (х) =С(—х). Легко убедиться, что в результате
мы получим функции, непрерывные на всей бесконечной прямой.
Докажем, что функции S (х) и С (х) удовлетворяют требованиям 1°, 2’
и 3° утверждения, сформулированного в начале доказательства существования.
Заметим, что если s', s', s' + s' и s принадлежат множеству {s} сегмента
[О, d], то для этих значений аргумента формулы (4.51) имеют место. Из ука-
занного выше способа продолжения функции S (х) и С (х) следует справед-
ливость этих формул для значений аргумента d + s', s', где s' и s' принадлежат
сегменту [0, d]. Повторяя эти рассуждения, мы докажем, что соотношения (4.51)
справедливы для всех значений аргумента бесконечной прямой вида pd!2n,
где р и п — любые целые числа. Так как эти значения аргумента образуют
всюду плотное множество точек бесконечной прямой *), то в силу непрерыв-
ности функций S (х) и С (х), соотношения (4.51) будут справедливы для всех
значений х.
Поскольку требование 2° выполнено в результате построения функций
S (х) и С (х), остается убедиться в справедливости требования 3°. Отметим,
что если s', s' и s' + s' — элементы множества {s} сегмента [0, d] и справед-
ливы неравенства 0 < S (s') < Ls’ и 0 < S (s') < Ls’, то, в силу первой фор-
мулы (4.51) и неравенств (4.20), выполняются также неравенства 0<S (s' + s")<
< Ls' + Ls’ = L (s' + s'). Используя- это замечание, формулу (4.19) и нера-
венства (4.20) и (4.25),. легко убедиться, что неравенства 0 < S (s) < Ls
справедливы для всех s из множества {s} сегмента [0,d]. Так как это мно-
жество всюду плотно на [0, d], a S (х) — непрерывная функция, то для всех х
из [0, d] имеют место неравенства 0 < S (х) < Lx. Справедливость требования 3’
установлена.
Заметим теперь, что число L зависит от выбора d. Именно, если вместо d
d	s
выбрать число d* = —, то тогда s* = ~, По построению S(s*) = S(sn), и
k	k	' п'
S (s*)	S (s„)	1
поэтому lim—Цт- = lim k--------= kL (см. (4.24)). Выбирая А=— мы опре-
П—уОО	Л-» ОО Sn	L
делим на сегменте [0,' d*] такие функции S (х) и С (х), что будут выполняться
неравенства 0 < S (х) < х.
Геометрические соображения показывают, что если d — -g-, то 2S (sn) —
длина стороны правильного 2п-уголь'ника, вписанного в окружность радиуса
1, 2s„ —длина дуги окружности, стягиваемой хордой длины 2S (sn) и 21 (s„) —
длина стороны правильного 2и-угольника, описанного вокруг этой окружности.
Неравенства (4.25) в этом случае имеют вид S (sn) < srt < t (sn). Поэтому
в указанном случае L= 1. Утверждение полностью доказано.
*) См. сноску на стр. 140.
ГЛАВА 5
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
В этой главе вводится понятие производной и дифференциала,
устанавливаются правила дифференцирования, вычисляются производ-
ные всех простейших элементарных функций, уже выписанные нами
в главе 1. Далее рассматриваются производные и дифференциалы
высших порядков.
§ 1.	Производная. Ее физическая
и геометрическая интерпретация
1.	Приращение аргумента и функции. Разностная форма усло-
вия непрерывности. Пусть функция y~f(x) определена на некото-
ром интервале *) (а, &). Фиксируем любое значение х из указанного
интервала и зададим аргументу в точке х произвольное приращение
Дх такое, что значение х-|-Дх также принадлежит интервалу (а, Ь\
Приращением функции y=f(x) в точке х, соответствующим
приращению аргумента Дх, назовем число
Ду —/(х ф-Дх) —/(х).	(5.1)
Так, для функции у — sinx приращение в точке х, соответствую-
щее приращению аргумента Дх, равно
Ду = sin (х + Дх) — sin х = 2 cos (х + sin у.	(5.2)
Имеет место следующее утверждение: для того чтобы функция
У—/(х) являлась непрерывной в точке х, необходимо и доста-
точно, чтобы приращение Ду этой функции в точке х, соответ-
ствующее приращению аргумента Дх, являлось бесконечно малым
при Дх -> 0.
*) Вместо интервала (а,Ь) можно рассматривать сегмент [а, &], полупря-
мую, всю бесконечную прямую и вообще любое плотное в себе множество {%}.
Определение плотного в себе множества {х} дано в § 3 главы 2.
150'
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 5
В самом деле, по определению, функция у =f(x) непрерывна
в тойке х, если существует предельное значение
lim /(х +Дх)=/(х).	(5.3)
Дх->0
В силу пункта 3 § 2 главы 4 существование предельного значения
(5.3) эквивалентно тому, что функция [/(х + Дх) — /(х)] аргумента Дх
является бесконечно малой при Дх —>- 0.
Доказанное утверждение позволяет выразить условие непрерыв-
ности функции y=f(x) в точке х в новой форме, а именно: функ-
ция y=f(x) непрерывна в точке х, если приращение Ду этой
функции в точке х, соответствующее приращению аргумента &х,
является бесконечно малым при Дх->0, т. е. если
lim Ду = lim [/(х + Дх) — /(х)] = 0.	(5.4)
Дл->0	Дх—>0
Условие (5.4) мы и будем называть разностной формой условия не-
прерывности функции у^—/(х) в точке х. Это условие мы будем
неоднократно использовать в дальнейшем.
С помощью условия (5.4) еще раз убедимся в том, что функция
у = sin х непрерывна в любой точке х бесконечной прямой. В самом
деле, из формулы (5.2), из условия |cos fx-f-^^j 1 и из равенства
lim sin = 0 непосредственно вытекает, что lim Ду = 0.
Ах -* 0	2	А х —>0
2.	Определение производной. Сохраним для функции у = f(x)
предположения и обозначения, сформулированные в начале предыду-
щего пункта.
Считая, что Дх 0, рассмотрим в данной фиксированной точке х
отношение приращения Ду функции в этой точке к соответствующему
приращению аргумента Дх
Ду = f(x + bx)—f(x)	f5
Отношение (5.5) будем называть разностным отношением (в данной
точке х). Поскольку значение х мы считаем фиксированным, раз-
ностное отношение (5.5) представляет собой функцию аргумента Дх.
Эта функция определена для всех значений аргумента Дх, принадле-
жащих некоторой достаточно малой окрестности точки Дх = 0, за
исключением самой точки Дх — 0. Таким образом, мы имеем право
рассматривать вопрос о существовании предела указанной функции
при Дх->0.
Определение. Производной функции y=f(х) в данной
фиксированной точке х называется предел при &х -> 0 разност-
ного отношения (5.5) (при условии, что этот предел существует).
ПРОИЗВОДНАЯ
151
§ 11
Производную функции у — f(x) в точке х будем обозначать
символом у' (х) или f (х). Итак, по определению,
/'(х) = lim lim' /(* + дх)~Ш	(5.6)
Отметим, что если функция _у =/(х) определена и имеет производ-
ную для всех х из интервала (а, Ь), то эта производная будет пред-
ставлять собой некоторую функцию переменной х, также определен-
ную на интервале (а, Ь).
3.	Производная с физической  точки зрения. Понятие произ-
водной мы ввели, исходя из физических соображений, еще в главе 1.
Здесь мы еще раз остановимся на физических приложениях понятия
производной.
Прежде всего, предположим, что функция у = f(x) описывает
закон движения материальной точки по прямой линии *). Тогда,
как известно, разностное отношение (5.5) определяет среднюю ско-
рость точки за промежуток времени от х до х + Дх. В таком случае
производная /' (х), т. е. предел разностного отношения (5.5) при
Дх—► 0, определяет мгновенную скорость точки в момент вре-
мени х. Итак, производная функции, описывающей закон движения,
определяет мгновенную скорость точки.
Чтобы не создалось представление о том, что понятие производ-
ной широко используется только в механике, приведем примеры при-
ложения понятия производной из других разделов физики.
Пусть функция у = /(х) определяет количество электричества у,
протекшего через поперечное сечение проводника за время х. (При
этом момент времени х = 0 берется за начало отсчета.) В таком
случае производная f (х) будет определять силу тока, проходящего
через поперечное сечение проводника в момент времени х.
Рассмотрим, далее, процесс нагревания некоторого тела. Предпо-
ложим, что функция у = f (х) определяет количество тепла **) у,
которое нужно сообщить телу для нагревания этого тела от 0° до х°.
Тогда, как известно из курса элементарной физики, разностное отно-
шение (5.5) определяет среднюю теплоемкость тела при нагревании
его от х° до (х’+ Дх)°. В таком случае производная f (х), т. е. пре-
дельное значение разностного отношения (5.5) при Дх —>- 0, опреде-
ляет теплоемкость тела при данной температуре х. Подчеркнем,
что эта теплоемкость, вообще говоря, меняется с изменением темпе-
ратуры х.	2
Мы рассмотрели примеры приложения понятия производной в трех
разных областях физики. При изучении курса общей физики читатель
*) То есть зависимость пути у, пройденного точкой от начала отсчета,
от времени х.
**) Выраженное, например, в калориях.
152
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 5
встретится с другими многочисленными примерами приложения поня-
тия производной.
4. Производная с геометрической точки зрения. В § 2 главы 1
мы рассматривали задачу о нахождении касательной к кривой, явля-
ющейся графиком функции у — f (х) (на некотором интервале (а, &)).
Там мы дали определение касательной к указанной кривой в точке
/И (х, f (х)) этой кривой. (Здесь х — некоторое значение аргумента
из’ интервала (а, Ь). См. рис. 5.1.) Если через Дх обозначить произ-
вольное приращение аргумента, а символом Р обозначить, точку на
кривой с координатами (х-|-Дх, f(x + ^x)), то касательную, прохо-
дящую через точку М
данной кривой, мы опре-
деляем как предельное по-
ложение секущей МР при
Дх->0. Из рис. 5.1 ясно,
что угловой коэффициент
секущей МР (т. е. тангенс
угла наклона этой секущей
к оси Ох) равен разност-
ному отношению (5.5). Из
этого факта и из того, что
в пределе при Дх —> 0 угол
наклона секущей должен
' переходить в угол наклона
касательной, мы в § 2 главы 1 сделали основанный на наглядных
соображениях вывод о том, что производная f (х) равна угло-
вому коэффициенту касательной в точке М к графику функ-
ции у = f(x).
В настоящем пункте мы уточним указанные наглядные соображе-
ния. Предположив, что функция у = f(xj имеет производную в дан-
ной точке х, мы докажем: 1) что график функции у = /(х) имеет
касательную в данной точке М (х, /(х)), 2) что угловой коэффициент
указанной касательной равен f (х).
Будем доказывать утверждения 1) и 2) одновременно. Обозначим
угол наклона секущей МР к оси Ох. символом ср(Дх). Поскольку
угловой коэффициент секущей МР (т. е. tg <р (Дх)) равен отношению
ср (Дх) = arctg
(5-7)
при любом достаточно малом Дх, отличном от нуля. Из существова-
ния производной f (х), т. е. из существования предельного значения
lim ~' = /' (х) и из непрерывности функции и = arctg х для всех
дх -* о
значений аргумента вытекает существование предельного значения
§ 1)	ПРОИЗВОДНАЯ	153
функции (5.7) в точке Дх = 0 и равенство
lim <р(Дх) — lim arctg = arctg f (х).	(5.8)
дл-сО	дх—>о
Равенство (5.8) доказывает существование предельного значения (при
Дх—>0) угла наклона секущей МР, т. е. доказывает существование
касательной в точке М. Кроме того, из равенства (5.8) вытекает, что
если обозначить угол наклона касательной через <р0, то ф0 = arctg f (х),
т. е. tg«0=/'(x).	'	-
5. Правая и левая производные. В полной аналогии с поняти-
ями правого и левого предельных значений функции вводятся понятия
правой и левой производных функции y=f(x) (в данной точке х).
Определение. Правой {левой) производной функции
y=f{x) в данной фиксированной точке х называется правое
(левое) предельное значение разностного отношения (5.5) в точке
Дх=0 (при условии, что это предельное значение существует).
Правую производную функции y—f(x) й точке х обычно обо-
значают символом /' (х + 0), а левую производную в точке х — сим-
волом f (х — 0).
Если функция y—f(x) имеет в точке х производную, то она
имеет в этой точке и правую, и левую производные, совпадаю-
щие между собой. Если функция y=f(x) имеет в точке х и
правую, и левую производные и если указанные производные совпа-
дают между собой, то функция у — f (х) имеет в точке х произ-
водную *). Вместе с тем существуют функции, имеющие в данной
точке х и правую, и левую производные, но не имеющие производ-
ной в этой точке. Примером такой функции может служить функция
,, ч ,	( + х, если х 2s 0,
f(x)= х
( — х, если ,х < 0.
Эта функция имеет в точке х —0 правую производную, равную
lim — = 1, и левую производную, равную lim —.— = —1,
Дх->0-|-0ДХ	Дх-0 —о
но не имеет в точке х = 0 производной.
6. Понятие производной векторной функции. В математическом ана-
лизе и его приложениях часто встречаются понятия векторной функции и
се производной.
Если каждому значению переменной t из некоторого множества {/} ста-
вится в соответствие по известному закону определенный вектор а, то говорят,
что на множестве {/} задана векторная функция а = а (/).
Так как каждый вектор а в заданной декартовой прямоугольной системе
однозначно определяется тремя координатами х, у и г, то задание векторной
функции а = a (t) эквивалентно заданию трех скалярных функций х = х (/),
У = У (0 и г = г (/).
*) Это утверждение следует из соответствующего утверждения для пра-
вого и левого предельных значений функции (см. замечание из п. 1 § 2
главы 4).
154
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 5
Понятие векторной функции становится особенно наглядным, если обра-
титься к так называемому годографу этой функции.
Годографом называется геометрическое место концов всех векторов а (/),
приложенных к началу координат О. Кривая L на рис. 5.2 представляет собой
годограф векторной функции а = a (f).
Понятие годографа векторной функции представляет собой обобщение по-
нятия графика скалярной функции.
Введем понятие производной векторной функции а (/) в данной фикси-
рованной точке t. Для этой цели придадим аргументу t произвольное прира-
щение St и рассмотрим вектор Да — a (t + St) — a (t) (на рис. 5.2 указан-
ный вектор совпадает с вектором МР). Умножив указанный вектор на число
1/Д/, мы получим новый вектор
Дд 1
= А 1а(< + ДО-а(/>], (5.5*)
ill ill
коллинеарный прежнему. Вектор (5.5*)
является аналогом разностного отноше-
ния (5.5). Отметим, что вектор (5.5*)
представляет собой среднюю скорость
изменения векторной функции на сег-
менте [<, t + S Z].
Производной. секторной функции
а = a (t) в данной фиксированной точке t
называется предел при St — 0 разност-
ного отношения (5.5*).
Производная векторной функции а (/)
da
обозначается символом a (t) или
Из геометрических соображений очевидно, что производная векторной
функции а = а (/) представляет собой вектор, касательный к годографу этой
функции.
Так как координаты разностного отношения (5.5*) соответственно равны
X(t + st)-x(t) у (tМ) ~ у (t) г(Г + Д[)-г(0
St ’	St ’	St
то ясно, что координаты производной a' (t) равны производным функций х' (t)
у' (t), z’(t). Таким образом, вычисление производной векторной функции сво-
дится к вычислению производных ее координат.
Замечание 1. Так как векторная функция а = a (t) определяет закон
движения материальной точки по кривой L, представляющей собой годограф
этой функции, то производная a' (t) равна скорости движения по указанной
кривой.
Замечание 2. Из курса аналитической геометрии известны различные
типы произведений векторов (скалярное произведение, вектор-ное произведение
и смешанное произведение). Выражение всех этих произведений в координа-
тах дает возможность указать правила, по которым вычисляются производные
соответствующих произведений векторных функций. В качестве примера при-
ведем правило вычисления производной скалярного произведения двух век-
торных функций а (/) = {at (/), ц2 (/), а3 (/)} и b (/) = {Ьх (/), Ьг (t), b3 (О}-
{a (f)b(0}' = a'(W) + a(0b' (t) =
= W (0 bi (0 + a, (t) b, (t) + a, (t) (0} + К (0 Ь\ (/) + а2 (0 Ь' (0 + а3 (0 Ь, (/)}.
Аналогичное правило справедливо и для векторного произведения двух век-
торных функций:
[a (0 b (Of = la' (/)b(01 + la (/)Ь' (0].
§ 2]
ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ
155
§ 2.	Понятие дифференцируемости функции
1.	Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
Пусть, как и в п. 1 и 2 предыдущего параграфа, функция y=.f(x)
определена на некотором интервале (а, Ь), символом х обозначено
некоторое фиксированное значение аргумента Из указанного интер-
вала, а символом Дх обозначено любое приращение аргумента, такое,
что значение аргумента х + Дх также принадлежит (а, Ь).
Определение. Функция у, — f(x) называется дифференци-
руемой в данной топке х, если приращение Ду этой функции
в точке jc, соответствующее приращению аргумента йх, может
быть представлено в виде
Ьу==АЬх-\-а Ьх,	(5.9)
где А — некоторое число, не зависящее от Дх, а а, — функция
аргумента Ьх, являющаяся бесконечно малой при Дх->0.
Заметим, что функция а(Дх) может принимать в точке Дх = 0
какое угодно значение (при этом в этой точке остается справедли-
вым представление (5.9)). Ради определенности можно положить
а(0) = 0*).
Так как произведение двух бесконечно малых аДх является бес-
конечно малой более высокого порядка, чем Дх (см. п. 3 § 2 главы 4),
т. е. аДх = о(Дх), то формулу (5.9) можно переписать в виде
Ду = А Дх + о (Дх).
Теорема 5.1. Для того чтобы функция у = /(х) являлась
дифференцируемой в данной точке х, необходимо и достаточно,
чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция
у = f (х) дифференцируема в данной точке х, т. е. ее приращение Ду
в этой точке представимо в виде (5.9). Предположив, что Дх 0 и
поделив равенство (5.9) на Дх, получим
Й = Л + а-	(5Л°)
Из равенства (5.10) вытекает существование производной, т. е. пре-
дельного значения lim т^- = А.
д.^оДх
2)	Достаточность. Пусть функция y=f(x~) имеет в данной
точке х конечную производную, т. е. существует предельное значение
limg=/(x).	(5.П)
*) При этом частное значение функции а (Дх) в точке Дх = 0 будет сов-
падать с ее предельным значением в .этой точке.
156
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(ГЛ. 5
В силу определения предельного значения функция а = ^— f'(x)
аргумента Дх является бесконечно малой при Дх—>0, т. е.
Д^=/'(х)Дх + аДх,	(5.12)
где lim а = 0. Представление (5.12) совпадаете представлением (5.9),
Дх —0
если обозначить через А не зависящее от Дх число f (х). Тем са-
мым доказано, что функция* _у=/(х) дифференцируема в точке х.
Теорема 5.1 доказана.
Доказанная теорема позволяет нам в дальнейшем отождествлять
понятие дифференцируемости функции в данной точке с поня-
тием существования у функции в данной точке производной.
Операцию нахождения производной в дальнейшем договоримся
называть дифференцированием.
2.	Связь между понятиями дифференцируемости и непрерыв-
ности функции. Имеет место следующее элементарное утверждение.
Теорема 5.2. Если функция у =f(x) дифференцируема в дан-
ной точке х, то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. Так как функция y=f(x) дифференцируема
в точке х, то ее приращение 5.у в этой точке может быть представ-
лено в виде (5.9). Но из формулы (5.9) вытекает, что lim Aj = 0,
Ах —0
т. е. функция у— f(x) непрерывна в точке х в силу разностной
формы условия непрерывности (см. п. 1 § I). Теорема доказана.
Естественно, возникает вопрос о том, справедливо ли утвержде-
ние, обратное теореме 5.2, т. е. вытекает ли из непрерывности функ-
ции в данной точке ее дифференцируемость в этой точке. На этот
вопрос следует дать отрицательный ответ, ибо существуют функции,
непрерывные в некоторой точке, но не являющиеся в этой точке диф-
ференцируемыми. Примером такой функции может служить функция
у = | х |. Очевидно, что эта функция непрерывна в точке х = 0,- но
она (как показано в конце п. 5 § 1) не является дифференцируемой
в этой точке. Отметим, что существуют непрерывные на некотором
сегменте функции, не имеющие производной ни в одной точке этого
сегмента *).
3.	Понятие дифференциала функции. Пусть функция y—f(x)
дифференцируема в точке х, т. е. приращение Ьу этой функции
в точке х может быть записано в виде (5.9). Анализируя формулу
(5.9), мы приходим к выводу, что приращение Д_у дифференцируемой
функции представляет собой сумму двух слагаемых: первое из этих
слагаемых А Ьх при А 0 представляет собой функцию приращения.
*) Первый опубликованный пример такой функции принадлежит Вейер-
штрассу. Ранее независимо от него аналогичный пример был построен чеш-
ским математиком Больцано, но этот пример не был опубликован. В Дополне-
нии к главе 11 будет указан пример такой функции.
§ 2J
ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ
157
аргумента Дх, линейную и однородную *) относительно Дх; это
слагаемое представляет собой при Дх -> 0 бесконечно малую та-
кого же порядка, что и Дх; второе слагаемое аДх представляет
собой при Дх -> О бесконечно малую более высокого порядка, чем
Дх, так как отношение = а стремится к нулю при Дх—>0. Таким
образом, при А0 первое слагаемое ЛДх является главной частью
приращения дифференцируемой функции. Эту главную часть прира-
щения называют дифференциалом функции в точке х, соответствую-
щим приращению аргумейта Дх.
Итак, в случае А 0 дифференциалом функции у = /(х) в дан
ной 'точке х, соответствующим приращению аргумента
называют главную линейную от-
носительно &х часть прираще-
ния этой функции в точке х.
Принято обозначать дифферен-
циал функции у = f (x) символом
dy. Если для приращения функции
Ду/ справедливо представление
(5.9), то дифференциал этой функ-
ции по определению, равен
dy = А • Дх. (5.13)
х	л
В случае Л = 0 слагаемое А • Дх	Рис. 5.3.
перестает быть главной частью
приращения Ду дифференцируемой функции (ибо это слагаемое равно
нулю в то время, как слагаемое а-Дх, вообще говоря, отлично от
нуля). Однако договариваются и в случае А — 0 определять диффе-
ренциал функции формулой (6.13), т. е. считают, что он равен нулю
в этом случае.
Если учесть теорему 5.1, т. е. учесть, что A—f' (х), то формулу
(5.13) можно переписать в виде
dy=f (х) Дх.
(5.14)
Формула (5.14) дает выражение дифференциала функции в точке х,
соответствующего приращению аргумента Дх. Следует подчеркнуть,
что дифференциал функции dy в данной точке х, вообще говоря, не
равен приращению функции Ду в этой точке. Это особенно легко
уяснить из рассмотрения графика функции y=f(x) (рис. 5.3). Пусть
точка М на кривой y=f(x) соответствует значению аргумента х,
точка Р на той же кривой соответствует значению аргумента х-ф-Дх,
AIS' — касательная к кривой у— f(x) в точке М. Пусть далее Л'Ш || Ох,
♦) Напомним, что линейной функцией аргумента х называется функция
вида у = Ах + В, где Л и В — некоторые постоянные. В случае В = 0 линей-
ная функция называется однородной.
158	ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. 5
PN || Оу, Q — точка пересечения касательной A1S с прямой PN. Тогда
приращение функции Ду равно величине отрезка NP. В то же время
из прямоугольного треугольника MQN и из формулы (5.14) ясно,
что дифференциал функции dy равен величине отрезка NQ, ибо вели-
чина отрезка MN равна Дх, а тангенс угла / QMN равен /' (х).
Очевидно, что величины отрезков NP и NQ, вообще говоря, различны.
В заключение этого пункта мы установим выражение для диффе-
ренциала функции _У=/(х), аргумент х которой является независи-
мой переменной *).
Введем понятие дифференциала dx независимой переменной х.
Под дифференциалом dx независимой переменной х можно понимать
любое (не зависящее от х) число. Договоримся в дальнейшем брать это
число равным приращению Дх независимой переменной **). Это дого-
воренность позволяет нам переписать формулу (5.14) в виде-
dy = f (х) dx.	(5.15)
Подчеркнем, что формула (5.15) пока что установлена нами лишь для
случая, когда аргумент х является независимой переменной. Однако
ниже, в § 9, мы докажем, что формула (5.15) остается справедливой
и для случая, когда аргумент х не является независимой переменной,
а сам представляет собой дифференцируемую функцию некоторой
новой переменной.
Пока что мы можем сделать следующий вывод из формулы (5.15):
для случая, когда аргумент х. функции y=f(x) является независи-
мой переменной, производная f (х) этой функции равна отношению
дифференциала функции dy к дифференциалу аргумента dx, т. е.
В § 9 будет доказано, что это соотношение справедливо и в случае,
когда аргумент х сам является дифференцируемой функцией некото-
рой новой переменной.
§ 3.	Правила дифференцирования суммы, разности,
произведения и частного
Теорема 5.3. Если каждая из функций и(х) и v(x) дифферен-
цируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и
частное этих функций (частное при условии, что v (х) 0)
также дифференцируемы в этой точке, причем имеют место
*) Подчеркнем, что аргумент х функции у = f (х), вообще говоря, сам
может являться функцией некоторой переменной.
**) Эта договоренность оправдывается рассмотрением независимой пере-
менной х как функции вида у = х, для которой dy = dx = Дх.
§ 3]
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
159
формулы
[и (х) ± V (х)]' = и' (х) ± ъ’ (X),
[и (х) V (х)]' = и’ (х) V (х) + и (х) v’ (х),	(5.16)
Гм (х) V_и' (х) у (х) — и (х) и' (X)
Ь (х) J	О2 (X)
Доказательство. Рассмотрим отдельно случаи суммы (разно-
сти), произведения и частного.
1°. Пусть у (х) = и (х) ± v (х). Обозначим символами Ди, Дд
и Ду приращения функций и(х), д(х) и у(х) в данной точке х,
соответствующие приращению аргумента Дх. Тогда, очевидно,
Ду = у (х 4- Дх) - у (х) =
= [и (х + Дх) zh v (х + Дх)] — [и (х) ± v (х)] =
[н (х + Дх) — и (х)] ± [Д (X ф- Дх) — д (х)] = Ди ± Дд.
Таким образом, при Дх О
Ду=Д«±Дд	(517)
Дх Дх Дх	'
Пусть теперь Дх—>0. Тогда в силу существования производных функ-
ций и(х) и д(х) в точке х существует предельное значение правой
части (5.17), равное и' (х) ± д' (х). Стало быть, существует предель-
ное значение (при Дх—>0) и левой части (5.17). По определению
производной указанное предельное значение равно у' (х), и мы при-
ходим к требуемому равенству
у'(х) = п' (х)±д'(х).
2°. Пусть далее у (х) = и (х) д (х). Сохраняя за Ди, Дд и Ду тот
же смысл, что и выше, будем иметь
Ду = у (х + Дх) —у (х) =
= и (х + Дх) д (х + Дх) — и (х) д (х) =
= [и (х + Дх) д (х + Дх) — и (г 4- Дх) д (х)] 4-
4- [и (х 4- Дх) д (х) — и (х) д (х)]
(мы прибавили и вычли слагаемое и (х 4- Дх) д (х)). Далее можем
записать:
Ду = и (х 4- Дх) [д (х 4- Дх) — д (х)] 4- f (х) [и (х 4- Дх) — и (х)] =
= и (х 4- Дх) Дд 4- д (х) Дм.
Таким образом, при Дх 0
Е = »<* + 4*)п + ’«Е-	<5Л8>
Пусть теперь Дх —- 0. Тогда в силу дифференцируемости функций
160
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(ГЛ. 5
и(х) и v(x) в точке х существуют предельные значения отношений
Ьи \у	, . .	, . . „	, ,
Дл и Д? ’ соответс'гвенно равные и (х) и v (х). Далее из дифферен-
цируемости и(х) в точке х, в силу теоремы 5.2, следует непрерыв-
ность и(х) в этой точке. Стало быть, существует предельное значе-
ние lim /т(х4-Дх), равное и(х). Таким образом, существует пре-
Дх—0
дельное значение правой части (5.18) при Дх —0, равное w(x)©'(x)-|-
-\-v(x)u'(х). Стало быть, существует предельное значение (при
Дх —0) и левой части (5.18). По определению производной указанное
предельное значение равно у' (х), и мы приходим к требуемой формуле
у' (х) = и' (х)v (х) + и (х) ъ' (х)-
3°. Пусть, наконец, у (х) =	. Тогда*)
Д^=>(х + Дх)-у(х)^5^±^-^ =
s 4	1	'	4 ' V (х + Дх) V (х)
и (х У Дх) у (х) — а (х &х) » (х)
~~ у (х) у (х + Дх)
Добавляя и вычитая в числителе слагаемое и(х)и(х), будем иметь:
д __ (u (х 4- Дх) v(x) — u (х),у (х)] — (о (х + Дх) и (х) — и(х)у (х)] _
х	у (х) у (х + Дх)
. у (х) [и (х 4- Дх) — и (х)] — и (х) [у (х + Дх) — у (х)] _
у (х) у (х 4- Дх)
у (х) Ди — и (х) Ду
у (х) у (х 4- Дх) ‘
Таким образом, при Дх 0
. .Ди . . До
Ди’<х>ГГй(х)1й -	(5.19)
Дх у (х) у (х 4- Дх)
Пусть теперь Дх—> 0. В силу дифференцируемости (и вытекающей
из нее непрерывности) функций и(х) и Т'(х) в точке х существуют
предельные значения
lim Хх =
дх—о
lim т— — v' (х), lim v (х 4- ^х) = v (х).
Дд—0ах	Дх —0
*) Так как в дальнейшем в знаменателе фигурирует значение о(х4-Дх),
то следует доказать, что это значение отлично от нуля для всех достаточно
малых Дх. В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы бесконечно
малая последовательность значений Дхп такая, что о (х 4- Дхп) = 0. Но поскольку
функция у (х) непрерывна для значения аргумента х, то мы получили бы из
условия о (х 4-Дхя) = 0, что у (х) = 0, а это противоречит условию теоремы.
'§ 4J	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ	161
~ *
Таким образом, поскольку v (х) # 0, существует предельное значение
при Дх—►О правой части (5.19), равное
v (х) и' (х) — у’ (х) и (х)
Стало быть, существует предельное значение (при Дх—-0) и левой
части (5.19). По определению производной указанное предельное зна-
чение равно у' (х), и мы получим требуемую формулу
z ч _ и' (х) у (х) — у' (х) и (х)
У	у2 (х)	' '
Теорема .5.3 полностью доказана.
§ 4.	Вычисление производных степенной функции,
тригонометрических функций и логарифмической функции
В этом параграфе мы приступим к вычислению производных про-
стейших элементарных функций.
1.	Производная степенной функции с целочисленным пока-
зателем. Начнем с вычисления производной степенной функции у. — Xя,
показатель п которой является целым положительным числом *). Слу-
чай степенной функции, показатель которой является любым вещест-
венным (не обязательно целым) числом, отложим до § 8.
Используя формулу бинома Ньютона, можем записать
Ду = (х + Дх)" — х" =
— [х" 4- лх"-1Дх + ” ^п~ х"~2 (Дх)2 +... + (Дх)" J — х" =
= дх"-1 Дх +	х"“2 (Дх)2 4-... + (Дх)".
Таким образом, при Дх^ДО
= лх"-1 +	х"-2 Дх +... + (Дх)"’1.	(5.20)
Поскольку все слагаемые в правой части (5.20), начиная со второго,
содержат в качестве множителя Дх в положительных степенях, суще-
ствует предельное значение указанных слагаемых при Дх—-0, рав-
ное нулю. Первое слагаемое в правой части (5.20) от Дх не зави-
сит. Стало быть, существует предельное значение (при Дх —0) пра-
вой части (5.20), равное их"-1. По определению производной указанное
предельное значение равно производной функции у = х", т. е.
(х")' = пхя~1.
*) Эта производная уже рассматривалась в главе 1 с помощью интуитив-
ного представления о пределе.
162	ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ 5
Проведенные рассуждения справедливы для любой точки х беско-
нечной прямой.
2.	Производная функции y = sinx. Пользуясь формулой приве-
дения разности синусов к виду, удобному для логарифмирования,
можем записать:
Ду = sin (х + Дх) — sin х — 2 cos ^х + у-) sin у-.
Таким образом, при Дх О
Ду	/ . Дх\£'п\1г)	„
t^=cos х + т,- —~	(5.21)
Дх	\ 1 2 ] /Дх\	k	'
Ы
Так как функция у = cosx является непрерывной в любой точке х
бесконечной прямой *), то существует предельное значение
/ Дх \
lim cos |^x + -2j = cosx.	(5.22)
Далее, в силу основного результата п. 2 § 6 главы 4, существует
предельное значение
Иш	(5.2.3)
“-° Т
Таким образом, существует предельное значение (при Дх—>0) правой
части (5.21), равное произведению предельных значений (5,22) и (5.23),
т. е. равное cosx. По определению производной указанное предель-
ное значение равно производной функции y = sinx, т. е.
(sinx)' = cosx.
Проведенные рассуждения справедливы для любой точки х беско-
нечной прямой.
3.	Производная функция у = cosx. Пользуясь формулой при-
ведения разности косинусов к виду, удобному для логарифмирования,
можем записать:
Ду = cos (х + Дх) — cosx= — 2 sin ^х + sin
Таким образом, при Дх 0
Ду . / Дх\sin \ 2 /	_ о.
f- = — sin х + -s-1—(5.24)
Дх \	2 / 1^х\	'	’
*) Это доказано в п. 6 § 5 главы 4. Впрочем, непрерывность функции
у = cos х легко доказать, используя разностную форму условия непрерывности.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
163
§ fl
Так как функция _y = sinx является непрерывной в любой точке х
бесконечной прямой, то существует предельное значение
/ Дх \
lim sin (х +	) = sin X.	(5.25)
Из существования предельных значений (5.23) и (5;25) вытекает
существование предельного значения (при Дх—>0) правой части (5.24),
равного (—sinx). По определению производной последнее предель-
ное значение равно производной функции у — cosx, т. е. .
(cos х)' = — sin х.
Проведенные рассуждения справедливы для любой точки х бесконеч-
ной прямой.
4.	Производные функций y = tgx и _y = ctgx. Так как нами
уже вычислены производные функций у = sinx и у = cosx и так
как
, sin х . cos х
tg х =---, ctg х = -—,
b cosx’	sinx ’
то для вычисления производных функций у — tg х и у = ctg х можно
воспользоваться теоремой 5.3 (точнее формулой, выражающей произ-
водную частного, т. е. третьей из формул. (5.16)).
Мы получим, что всюду, кроме тех точек, в которых cosx = 0,
,4.„	 (sin х)' cosx—(cosx)' sin х 1
' ®	cos2x	cos2x'
Итак,
^для всех значений х, кроме х =-|-+ ттг, где п = 0, ±1, Ана-
логично всюду, кроме тех точек, в которых sinx = 0,
__________(cos ХУ sin х — (sin х)'cos х 1
(Ctgx) -__-- --	— Ип^х*
Итак,
(ctg х)' = —	= — (1 + ctg2 х)
(для всех значений х, кроме х = г.п, где п=0, ±1,...).
5.	Производная функции у = loga X (0 < а =#:!). Взяв в каче-
стве х любую точку полупрямой х>0 и считая, что |Дх|<^х, мо-
жем записать:
Ду = loga (X + Дх) - loga х = log„ —= loga (1 + v) •
Л	Л J
164
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 6
Таким образом, при Дх =4 О
Д{/	1 	/, , Дх \ ,	/. , Дх\4/А-»
Дх- Дх	Oga\1+T) —
1 ,	[7, . Дх\*/Д*| /К
= V10go U+v •	(5-26)
Л	\	Л ] J
В силу основного результата п. 3 § 6 главы 4 выражение в квад-
ратных скобках имеет при Дх—>0 (и при любом фиксированном
значении х) предельное значение, равное е. Тогда на основании непре-
рывности функции _у= 10gox в точке х = е существует предельное
значение (при Дх—> 0) правой части (5.26), равное у loga е. По опре-
делению производной указанное предельное значение равно произ-
водной функции у == loga х, т. е.
OOga X)'=Y 10ge 6
(для всех значений х, принадлежащих полупрямой х>0). В частном
случае а~е получим
(1пх)' = у.
§ 5. Теорема о производной обратной функции
Теорема 5.4. Пусть функция y=f(x) в некоторой окрестно-
сти точки х0 возрастает (или убывает) и является непрерыв-
ной. Пусть, кроме того, функция у=/(х) дифференцируема
в точке х0 и производная f (х0) отлична от нуля. Тогда суще-
ствует обратная функция х—/~Л(у), которая определена в неко-
торой окрестности соответствующей точки y0—f(x0), диффе-
ренцируема в этой точке и имеет в этой точке производную,
1
раеную Ш'
Доказательство. Прежде всего заметим, что для _ функции
y—f(x) выполнены в окрестности точки х0 все условия следствия
из леммы 1 § 4 главы 4. Согласно этому следствию существует
обратная функция х=/-1(_у), определенная в некоторой окрестности
точки х0=/,(х0) и непрерывная в этой окрестности. Придадим аргу-
менту у этой обратной функции в точке у0 произвольное отличное
от нуля приращение Ду. Этому приращению отвечает приращение Дх
обратной функции, причем в силу возрастания (или убывания) функ-
ции Дх уЬ 0. Таким образом, мы имеем право написать следующее
тождестве:
Дх _ 1
(5.27)
Дх
§61
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
165
Пусть теперь в тождестве (5.27) Ду->0. Тогда, в силу непрерывности
обратной функции х = У"1 (у) в точке _у0 и согласно разностной форме
условия непрерывности, и Дх—>0.
Но при Дх — 0 знаменатель дроби, стоящей в правой части (5.27),
по определению производной, имеет предельное значение, равное
f (х0)	0. Стало
дельное значение,
быть, правая часть (5.27)
1 U
равное Но тогда и
/ (*о/
имеет при Ду — 0 пре-
левая часть (5.27) имеет
при Д_у — 0 предельное значение. По опреде-
лению производной указанное предельное
значение равно *) {У"1 (_Уо)Г- Таким образом,
мы доказали дифференцируемость обратной
функции в точке у0 и получили для ее про-
изводной соотношение
(3.28>
Теорема 5.4 доказана.
Доказанная теорема имеет простой гео-
метрический смысл. Рассмотрим в окрестности
точки х0 график функции у — У(х) (или обрат-
ной функции). Предположим, что точке х0 на этом графике соответ-
ствует точка М (рис. 5.4). Тогда, очевидно, производная f (х0) равна
тангенсу угла наклона а касательной, проходящей через точку М,
к оси Ох. Производная обратной функции {f 1 (у0) у равна тангенсу
угла наклона р той же касательной к оси Оу. Поскольку углы аир
в сумме составляют.тс/2, то формула (5.28) выражает очевидный факт:

§ 6. Вычисление производных показательной функции
и обратных тригонометрических функций
В этом параграфе, опираясь на доказанную выше теорему 5.4,
мы продолжим вычисление производных простейших элементарных
функций.
1. Производная показательной функции у = ах (0<а	1).
Показательная функция у — ах, будучи определена на бесконечной
прямой, служит обратной для логарифмической функции x = logay,
определенной на полупрямой _у>0. Поскольку для логарифмической
функции в окрестности любой точки у полупрямой у > 0 выполнены
все условия теоремы 5.4, то, согласно этой теореме, функция у = ах
дифференцируема в любой точке x = logey и для ее производной
*) Символом {/ 1 (1/0)}' мы обозначаем производную обратной функции а
точке уа.
166
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 5
справедлива формула
(0х}' —___1___=_____!____— у .
doga[/)' |]ogae logee*
Из этой формулы, воспользовавшись известным из элементарного курса
соотношением loga& = |^-^ и учитывая, что у = ах, окончательно
получим
(а*)' = ах In а.
Полученная формула справедлива для всех точек х бесконечной пря-
мой. В частном случае а — е эта формула принимает вид
(ех)' = ех.
2. Производные обратных тригонометрических функций. Нач-
нем с вычисления производной функции у = arcsin х. Эта функция,
будучи определена на интервале — 1 < x<Z + 1, служит обратной для
функции x = siny, определенной на интервале —	+ По-
скольку для функции x = siny в окрестности любой точки у интер-
вала ~выполнены все условия теоремы 5.4, то, согласно
этой теореме, функция у — arcsinх дифференцируема в любой точке
х= siny и для ее производной справедлива формула
(arc sin х)' =	= -— — г J. -.	(5.29)
V	(SHI У) COS У /1 _ Sjn2 у	v 7
Мы взяли перед корнем знак +, ибо cosy положителен всюду на
интервале — у<у<у. Учитывая, что sin у = х, из формулы (5.29)
окончательно получим
(arcsinx),=7T=T-
Полученная формула, как уже отмечалось в процессе ее вывода, спра-
ведлива для всех х из интервала —	+ По аналогичной
схеме вычисляется производная функции у = arccos х. Эта функция,
будучи определена на интервале —	служит обратной
для функции х = cosy, определенной на интервале 0 <у <it. По-
скольку для функции х = cosy в окрестности любой точки у интер-
вала 0<у<тс выполнены все условия теоремы 5.4, то, согласно
этой теореме, функция у = arccos х дифференцируема в любой точке
Л —cosy и для ее производной справедлива формула
(arccos xj — —1— =-----— =------г 1	.	(5.30)
(cos у)' sin у У 1 — cos2 у
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
167
Мы учли, что sin=-f-1 — cos2ибо sin_y>0 всюду на интер-
вале 0<_у<к. Принимая во внимание, что cos_y = x, из формулы
(5.30) окончательно найдем
(arccos х) = — у===.
Полученная формула, как уже отмечалось в процессе ее вывода, спра-
ведлива для всех значений х из интервала — 1<х<1.
Перейдем к вычислению производной функции у = arctg х. Эта
функция, будучи определена на бесконечной прямой — оо <; х < +об-
служит обратной для функции x=tgy, определенной на интервале
—	Поскольку для -функции х — tg_y в окрестности любой
точки у интервала	выполнены все условия теоремы 5.4,
то, согласно этой теореме, функция у — arctg X дифференцируема в
любой точке x = tgy и для ее производной справедлива формула
<=гс‘8х),=1ет=1+тет-
Учитывая, что tgj/ = x, окончательно получим
(arctg
Полученная формула справедлива для всех точек х бесконечной
прямой.
Остается вычислить производную функции _y = arcctgx. Эта
функция, будучи определена на бесконечной прямой — оо < х < -|- оо,
служит обратной для функции x = ctg_y, определённой на интервале
0<_у<т. Поскольку для функции x = ctg_y в окрестности любой
точки у интервала	выполнены все условия теоремы 5.4,
то, согласно этой теореме, функция у = arcctg х дифференцируема
в любой точке x = ctg_y и для ее производной справедлива формула
<агсс|г^=<нЬг=-г+ает-
Учитывая, что ctg_y = x, окончательно получим
(arc ctgx)' = —
Эта формула справедлива для всех точек х бесконечной прямой.
Таким образом, мы вычислили производные всех простейших эле-
ментарных функций, за исключением степенной функции с любым
вещественным показателем.
Откладывая вычисление производной этой последней функции до § 8,
займемся обоснованием правила дифференцирования сложной функции.
168
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 5
§ 7. Правило дифференцирования сложной функции
Целью настоящего параграфа является установление правила, позво-
ляющего найти производную сложной функции у =/[<р (0], если из-
вестны производные составляющих ее функций y—f(x) и х = <о(?).
Теорема 5.5. Пусть функция x — y(t) дифференцируема в не-
которой точке tQ, а функций y—f(x) дифференцируема в соот-
ветствующей точке х0 = ср(/0). Тогда сложная функция /[<p(i)J
дифференцируема в указанной точке t0, причем для производной
этой функции справедлива следующая формула *):
{/[?W=№Wo).	(5.31)
Доказательство. Придадим аргументу t в точке t0 произволь-
ное, отличное от нуля приращение йЛ. Этому приращению соответ-
ствует приращение Дх функции x = f(Z). Приращению Дх в свою
очередь соответствует приращение йу функции y=f(x) в точке хп.
Поскольку функция у =/(х) предполагается дифференцируемой в точке
х0, приращение этой функции в точке х0 может быть записано в виде
(см. §2)
йу = f (х0) Дх + аДх,	(5.32)
где.
lim а = 0.
Ьх — о
Поделив равенство (5.32) на Д/, будем иметь
Дг/ ,,	. Дх . Дх	_
= /(*о)д7- + адг-	(5-33)
Пусть теперь в равенстве (5.33) Д£—>0. Так как из дифференцируе-
мости функций x = <f(t) в точке t0 вытекает непрерывность этой
функции в точке t0, то, в силу разностной формы условия непрерыв-
ности, Дх—-0 (при Д£—>0). Поэтому можно утверждать, что суще-
ствует предельное значение
lim а=0.	(5.34)
д/^о
Кроме того, в силу требования дифференцируемости функции x — <?(t)
в точке t0 существует предельное значение
А г
Hm ^ = <p'(Z0).	(5-35)
ы -> о
Существование предельных значений (5.34) и (5.35) обеспечивает су-
ществование предельного значения (при Д/ —0) всей правой части
(5.33), равного f (х0) <pr (t0). Стало быть, существует предельное зна-
чение (при1 Д^—-0) и левой части (5.33). По определению производной * 1
*) Символом	мы обозначаем производную сложной функции
1) = / If WI в точке t = l0.
§ 7]	ПРАВИЛО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ	169
указанное предельное значение равно производной сложной функции
в точке t0. Тем самым нами доказана дифференцируемость
сложной функции в точке t0 и установлена формула (5.31).
Теорема 5.5 доказана.
Замечание. Мы рассматривали сложную функцию y = f(x), где
x — т. е. брали х в качестве промежуточного аргумента, a t
в качестве окончательного аргумента. Эти обозначения, конечно, могут
быть изменены. Часто удобнее бывает рассматривать сложную функ-
цию вида _у = /(»), где и = ?(х), т. е. брать х в качестве окончатель-
ного аргумента, а некоторую переменную и в качестве промежуточ-
ного. Для этой функции формула дифференцирования (5.31) принимает
вид
У = W(W =/(")?'(*)	(5.36)
(мы опустили у соответствующих значений аргументов- х и и нули,
имевшие вспомогательный характер).
Приведем примеры использования только что доказанного правила
дифференцирования сложной функции.
1°. Вычислить Производную функции у = earct2x. Эту функцию
будем рассматривать как сложную функцию вида у = еи, где
и — arctg х. Используя формулу (5.36), получим
У = (е“У (arctg х)' = еи 	— earct2 * _!—
2°. Вычислить производную функции у = 2х2. Эту функцию будем
рассматривать как сложную функцию вида _у=2“, где и — х2. Исполь-
зуя формулу (5.36), получим
У = (2")' (х2)' = (2° 1п 2) 2х = 2*- + 'х In 2.
3°. При рассмотрении указанных двух примеров мы отдельно вы-
писывали функции, составляющие данную сложную функцию. В этом,
конечно, нет никакой необходимости, и на практике дифференциро-
вание сложной функции производится сразу без расчленения на отдель-
ные составляющие функции. Например,
у — arcsin 7 5л:; У =	1	— (7 5л:)' —	 75 —
V1 — (75х)2	/1 — (75х)2
(здесь |л:|<^1.
4°. Теорема 5.5 и содержащееся в ней правило последовательно
переносятся и на случай сложной функции, являющейся суперпозицией
трех и большего числа функций.
Рассмотрим пример такой функции. Пусть требуется вычислить
производную функции у = 5arccte*х" >. Последовательно применяя пра-
вило дифференцирования сложной функции, получим
У = (5ar«lg(л») ]п 5)	8л:’.
по
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. S
§ 8. Логарифмическая производная. Производная степенной
функции с любым вещественным показателем.
Таблица производных простейших элементарных функций
1.	Понятие логарифмической производной функции. Пусть
функция y=f (х) положительна и дифференцируема в данной точке х.
Тогда в [этой точке существует 1п_у = 1п/(х). Рассматривая 1п/(х)
как сложную функцию аргумента х, мы можем вычислить производную
этой функции в данной точке х, принимая _у —f(x)' за промежуточный
аргумент. Получим
[1п/(х)]' = -^.	(5.37)
Величина, определяемая формулой (5.37), называется логарифмической
производной функции у —f(x) в данной точке х. В качестве примера
вычислим логарифмическую производную так называемой степенно-
показательной функции у —и (х)* Мы уже знаем из. п. 2 § 7
главы 4, что эта функция определена и непрерывна для всех значе-
ний х, для которых и(х) и v(x) непрерывны и и(х)>0. Теперь мы
дополнительно потребуем, чтобы и(х) и v(x) были дифференцируемы
для рассматриваемых значений х. Тогда, поскольку 1пу = г(х)1пи(х),
мы получим, что логарифмическая производная рассматриваемой функ-
ции равна
'J- = [и (х) In и (х)]' = v’ (х) In и (х) + v (х)	.	(5.38)
У	и \Л}
Из равенства (5.38), учитывая, что у = и (х)” получим следующую
формулу для производной степенно-показательной функции:
у' = и (x)v р (х) In и (х) + v (х)	.
2.	Производная степенной функции с любым вещественным
показателем. Приступим теперь к вычислению производной степенной
функции _у = х* с произвольным вещественным показателем а. Мы
будем вычислять производную этой функции для тех значений х, для
которых эта функция определена при любом а, а именно для значе-
ний х, принадлежащих полупрямой*) х>0. Имея в виду, что всюду
на полупрямой х>0 функция у — Х1 положительна, вычислим ло-
гарифмическую производную этой функции. Так как 1п_у = а1пх, то
*) В случае, когда а = —, где т — целое нечетное число, функция у = ха
определена на всей бесконечной прямой. Однако и в этом случае достаточно вы-
числить производную указанной функции лишь для значений х > 0, ибо ука-
занная функция является нечетной и ее производную для значений х <. О легко
получить из этого соображения.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ,
171
логарифмическая производная равна
— —Га In хГ = -.
У L J х
Отсюда, учитывая, что у—ха, получим формулу для производной
степенной функции
(х“)' = ах”-1.
Таким образом, нами вычислены производные всех простейших эле-
ментарных функций. Собирая воедино все вычисленные производ-
ные, мы получим следующую таблицу, уже выписанную нами в
главе 1.
3.	Таблица производных простейших элементарных функций.
1°. (ха)' = ах"'1. В частности, (—=-----(l/’x),=—.
V	’ \х)	Х2’	7	2/х
2°. (loga х)'=logo е (х > 0, Q<Za^ 1). В частности, (In х/ =
= _£
х ‘
3°. (ax)' = axlna (0<a^ 1). В частности, (ех)’ = ех.
4°. (sin х/ = cos х.
5°. (cosx)' = — sinx.
6°. (tg x)’ = -^-x = 1 + tg2 x (x # ~ + rw, где n = 0, ± 1,...).
7°. (ctgx)' = ——= —(1+ctg2x)(x#K«, где n = 0, ±1,...).
8°. (arcsin x)' =	( - 1 < x < 1).
9°. (arccosx)' = — j1 g ( — 1 <x< 1).
10°. (arctg х/=—
11°. (arcctgx)' = —
В § 4 главы 4 мы ввели гиперболические функции _y = shx,
_y = chx, _y = thx и _y = cthx, которые являются простыми комбина-
циями показательных функций. Из определения этих функций эле-
ментарно вытекают следующие выражения для их производных:
12°. (shx)' = chx.
13°. .(chx)' = shx.
14°. (thx)' = -i-.
4	' ch2 x
15°. (cthx)' = -^(x^0).
Указанная таблица вместе с правилами дифференцирования суммы,
разности, произведения и частного (т. е. формулами (5.16)) и правилом
172	ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ'	[ГЛ S
дифференцирования сложной функции составляет основу дифферен-
циального исчисления.
Установленные нами правила и формулы дифференцирования по-
зволяют нам сделать один важный вывод.
В § 7 главы 4 мы ввели понятие элементарной функции как
такой функции, которая выражается через простейшие элементарные
функции посредством четырех арифметических действий и суперпо-
зиций, последовательно примененных конечное число раз. Теперь мы
можем утверждать, что производная любой элементарной функции
представляет собой также элементарную функцию. Таким обра-
зом, операция дифференцирования не выводит нас из класса эле-
ментарных функций.
§ 9. Инвариантность формы первого дифференциала.
Некоторые применения дифференциала
1. Инвариантность формы первого дифференциала. В конце § 2
мы установили, что для случая, когда аргумент х является независи-
мой переменной, дифференциал функции y==f(x) определяется фор-
мулой
dy—f (х) dx.	(5.39)
В этом пункте мы докажем, что формула (5.39) является универсаль-
ной и справедлива не только в случае, когда аргумент х является
независимой переменной, но и в случае, когда аргумент х сам является
дифференцируемой функцией некоторой новой переменной t. Указан-
ное свойство дифференциала функции обычно называют инвариант-
ностью его формы.
Итак, пусть дана дифференцируемая в некоторой точке х функ-
ция y=f(x), аргумент х которой представляет собой дифференци-
руемую функцию х = <р(г“) аргумента t. В таком случае мы можем
рассматривать у как сложную функцию y=f [у (t)] аргумента t, а х
как промежуточный аргумент. В силу теоремы 5.5 производная у по t
определяется формулой
У=/'(х) ?'(/)•	(5.40)
Поскольку переменную t мы можем рассматривать как независимую,
производные функций x = <f>(f) и _у=/[<р(£)] по аргументу t, согла-
сно установленному в конце § 2, равны отношению дифференциалов
этих функций к dt, т. е.
?'W = g. У^[/М)1Г = г?'
Вставляя эти значения производных в формулу (5.40), придадим этой
ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
173
§ 9]
формуле вид
(5.41)
Умножая обе части равенства (5.41) на dt, получим для dy выраже-
ние (5.39). Тем самым доказана инвариантность формы первого диф5-
ференциала функции, т. е. доказано, что как в случае, когда аргу-
мент х является независимой переменной, так и в случае, когда
аргумент х сам является дифференцирумой функццей другой
переменной, дифференциал dy функции y=f(х) равен производной
этой функции, умноженной на’ дифференциал аргумента dx.
По-другому свойство инвариантности дифференциала можно сфор-
мулировать так: производная функции У=/(х) всегда*) равна от-
ношению дифференциала этой функции dy к дифференциалу аргу-
мента dx, т.е.
f'W = %x-	(5-42)
Доказанное равенство (5.42) позволяет нам в дальнейшем использо-
вать отношение^ для обозначения производной функции у =f(x)
по аргументу х.
Заметим в заключение, что после того, как доказано равенство (5.42),
правило дифференцирования сложной функции принимает вид простого
тождества:
dy_dydx	/=4Ч>
dt~dxdt'
Столь же простой вид приобретает правило дифференцирования обрат-
ной функции:
? =	(5.44)
dx dx	'	'
dy
Подчеркнем, однако, что равенства (5.43) и (5.44) нельзя рассматри-
вать как новые методы доказательства теорем 5.5 и 5.4, ибо фор-
мулы (5.43) и (5.44) существенно используют факт инвариантности
первого дифференциала, установленный нами именно при помощи тео-
ремы 5.5.
2. Формулы и правила вычисления дифференциалов. Мы дока-
зали, что дифференциал dy. функции _у=/(х) всегда равен производ-
ной этой функции /' (х), умноженной на дифференциал аргумента dx.
*) То есть как в случае, когда аргумент х является независимой пере-
менной, так и в случае, когда х сам является дифференцируемой функцией
некоторой другой переменной.
174
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 5
Таким образом, таблица производных, выписанная нами в п. 3 § 8,
приводит к соответствующей таблице дифференциалов:
1°. d (х“) = ах®-1 dx. В частности, d(—\=—^, d (Ух) = ***_•.
v	\х)	Х2>	/ 2рлх
* 2°. d (log0 х) —dx (х^>0, 0<^a^l). В частности,
d(lnx)=^.
3°. d (а%) = ах In a dx (0<^а^1). В частности, d (ех) = ех dx.
4°. d (sin х) = cos х dx.
5°. d (cos x) = — sin x dx.
6°. d(tgx) = -^- = (l + tg2 x) rfx (x #:-^-+ то, гдел = 0,±1,
7°. d(ctgx)= -^7= “(1 + ctg2x)(Zx (х^то, где « = 0,
±1, ...).
8°. d (arcsin x) =	(— 1	x 1).
9°. d (arccos x) = —	' С-'У ')•
10°. d (arctg x) = j-^.
11°. d(arcctgx)=
Из формул (5.16) и из соотношения (5.39) непосредственно вытекают
следующие правила для вычисления дифференциала суммы, разности,
произведения и частного:
d (и ± п) — du ± dv, d (ип) — v du + и dv, d
v du — udv
3. Использование дифференциала для установления прибли-
женных формул. Хотя, как мы видели в § 2, дифференциал dy
функции y=f(x) не равен приращению Ду этой функции, но с точ-
ностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем Дх, спра-
ведливо приближенное равенство
Ду «э dy.
(5.45)
Относительная * *) погрешность этого равенства становится сколь угодно
малой при достаточно малом Дх. Формула (5.45) позволяет прибли-
женно заменить приращение Ду функции у=/(х) ее дифференциа-
*) Относительная погрешность этого равенства определяется отношением
^Дх^~ ’ <-)тметим> чт0» по определению дифференциала! Ду — dy — o (Дх).
§ 101
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
175
лом dy. Выгода такой замены состоит в том, что дифференциал dy
зависит от Дх линейно, в то время как приращение Ду, вообще
говоря, представляет собой более сложную функцию от Дх.
Имея в виду, что приращение функции Ду определяется форму-
лой (5.1), а дифференциал dy определяется формулой (5.14), мы при-
дадим приближенному равенству (5.45) следующий вид:
/(х + Дх) -/(х)	(х) Дх
или
/(х + Дх) (х) +/' (х) Дх.
(5.46)
По формуле (5.46) функция / для значений аргумента, близких к х
(т. е. для малых Дх), приближенно заменяется линейной функцией.
В частности, из формулы (5.46) может быть получен ряд уже из-
вестных нам из главы 4 приближенных формул. Так, полагая /(х) =
— (1 4-х)1/'1, х=0, получим, что
(1 +Дх)’/"№ 1 +^,	(5.47)
Полагая /(x) = sinx, х — 0, получим
51пДх^Дх.	(5.48)
Полагая, f(x) = ex, х — 0, получим
eLx «и 1 + Дх.	(5.49)
Полагая /(х) == In (1 + х), х = 0, получим
1п(1-|-Дх)я«Дх.	(5.50)
Каждое из равенств (5.47) — (5.50) .справедливо с точностью до бес-
конечно малой более высокого порядка, чем Дх.
Равенства (5.47) —(5.50) в форме точных оценок уже были уста-
новлены нами в конце § 7 главы 4.
§ 10.	Производные и дифференциалы высших порядков
1.	Понятие производной n-го порядка. Как уже отмечалось
в п. 2 § 1, производная f (х) функции _у = /(х), определенной и
дифференцируемой на интервале (а, Ъ), представляет собой функ-
цию, также определенную на интервале {а, Ъ). Может случиться,
что эта функция f (х) сама является дифференцируемой в некоторой
точке х интервала (а, Ь), т. е. имеет в этой точке производную.
Тогда указанную производную называют второй производной (или
производной 2-го порядка) функции y=f(x) в точке х и обозна-
чают символом /<2) (х) или у<2>(х)*).
*) Вторую производную функции y = f(x) обозначают также символом
Г' (х) или у" (х).
176
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ 5
После того как введено понятие второй производной, можно по-
следовательно ввести понятие третьей производной, затем четвертой
производной и т. д. Если предположить, что нами уже введено по-
нятие (и—1)-й производной и что (я—1)-я производная дифферен-
цируема в некоторой точке х интервала (а, Ь), т. е. имеет в этой
точке производную, то указанную производную называют п-й про-
изводной (или производной п-го порядка) функции y=f(x)n точке х
и обозначают символом (х) или	(х).
Таким образом, мы вводим понятие л-й производной индуктивно,
переходя от первой производной к последующим. Соотношение, опре-
деляющее .я-ю производную, имеет вид
У") =	(5.51)
Функцию, имеющую на данном множестве {х} конечную произ-
водную порядка п, обычно называют п раз дифференцируемой на
данном множестве. Понятие производных высших порядков находит
многочисленные применения в физике. Здесь мы ограничимся тем, что
укажем механический смысл второй производной. Если функция
y=f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой
линии, то, как мы уже знаем, первая производная f (х) дает мгновен-
ную скорость движущейся точки в момент времени х. В таком слу-
чае вторая производная /(2) (х) равна скорости изменения скорости,
т. е. равна ускорению движущейся точки в момент времени х.
Заметим, что методика вычисления производных высшего порядка
предполагает умение вычислять только производные первого порядка.
В качестве примеров вычислим производные и-го порядка некоторых
простейших элементарных функций.
2.	Л-е производные некоторых функций. 1°. Вычислим n-ю про-
изводную степенной функции у = хх (х^>0, а —любое вещественное
число). Последовательно дифференцируя, будем иметь
у'= а.ха~1,	= а(а — 1)ха“2, У3) = а(а — 1)(а — 2)х“~3, ...
Отсюда легко уяснить общий зако’н
(х“)<л> = а (а - 1) (а - 2)... (а - я + 1) хаЛ
Строгое доказательство этого закона легко проводится методом
индукции.
В частном случае а = т, где т — натуральное число, получим
(хт)(т) — от!, (xm)(n) = 0 при п^>т.
Таким образом, л-я производная многочлена т-ro порядка при
я^>т равна нулю*).
*) При этом мы используем еще следующую очевидную формулу [Ди (х) -|-
+ В&(х)['я> = Аи,п> (х) Bvmi (х), где А и В — постоянные.
§ Ю]
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
177
2?. Далее вычислим п-ю производную показательной функции
у = ах (0<а^1). Последовательно дифференцируя, будем иметь
у' = ах\па, у^ = ах1пга, = а*Тп3а, ...
Общая формула, легко устанавливаемая по методу индукции, имеет
вид
(ax)w — ах In" а.
В частности,
(ех)<л> = е\
3°. Вычислим n-ю производную функции _y = sinx. Первую про-
изводную этой функции можно записать в виде _y' = cosx =
= sin^x+y^. Таким образом, дифференцирование функции у —
= sinx прибавляет 'К аргументу этой функции величину тс/2.
Отсюда получаем формулу
(sin Х)(Л) — sin (х -ф п у У
4°. Совершенно аналогично устанавливается формула

(cos х)(л) = coslx
.5°. В заключение вычислим n-ю производную так называемой
дробно-линейной функции у= где а, Ь, с и d г- некоторые
постоянные. Последовательно дифференцируя эту функцию, будем
иметь
У =	= ОЧ - М (сх + 4П
_у(2) = (ad — bc)(—2) (сх + d)~3 с,
_у(3) = (ad — be) (— 2) (— 3) (сх -ф d)~l с2, ...
Легко усмотреть и общий закон
Уп) = (ZT+^Г’ ={ad ~ bc) 1)П~1 п' + ^("+1) с”-1’
который может быть обоснован по методу индукции.
3.	Формула Лейбница для n-й производной произведения
двух функций. В то время как установленное ваше правило вычис-
ления первой производной от суммы или разности двух функций
(и ± v)' — и' ± v' легко переносится (например, по методу индукции)
на случай n-й производной (и ± ц)(я) = и(л> ± возникают боль-
шие затруднения при вычислении n-й производной от произведения
двух функций UV. 
178
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. Б
Соответствующее правило носит название формулы Лейбница
и имеет следующий вид:
(ot)W ^u^v + Cku^v' +Cu<n-2M2> +С^("-8М3)-|-.	(5.52)
Легко подметить закон, по которому построена правая часть фор-
мулы Лейбница (5.52): она совпадает с формулой разложения би-
нома (u4-v)n, лишь вместо степеней и и v стоят производные
соответствующих порядков. Это сходство становится еще более
полным, если вместо самих функций и и v писать соответственно
и г»(0) (т. е. если рассматривать саму функцию как производную ну-
левого порядка).
Докажем формулу Лейбница по методу индукции. При п=1 эта
формула принимает вид (uv)' = u'v + uv', что совпадает с установлен-
ным выше (в § 3) правилом дифференцирования произведения двух
функций. Поэтому достаточно, предположив справедливость фор-
мулы (5.52)'для некоторого номера л, доказать ее справедливость для
следующего номера «+1. Итак, пусть для некоторого номера п
формула (5.52) верна. Продифференцируем эту формулу и объединим
слагаемые, стоящие в правой части, так, как это указано ниже:
(от)(л+‘) = н(я+*)г, + [C°n(nV +C^<"V] +	+ C^(ra-1M2)] +
+ [С2и<”-2М3> +	+.+ OT(n+1).	(5.53)
(При этом мы воспользовались тем, что 1 = С’г.) Из элементарного
курса известно, что для любого номера k, не превосходящего п,
справедлива формула *)
Ck I S-yk — 1 _
Пользуясь этой формулой, мы можем следующим образом переписать
равенство (5.53):
(uv)^ = и<л+1>ц + С'„+	+ С*п+ xu^-^v^ +... + №?(л+1).
Тем самым доказана справедливость формулы (5.52) для номера
(п+1). Вывод формулы Лейбница завершен.
Пример 1. Вычислить n-ю производную функции _y = x2cosx.
Воспользуемся формулой Лейбница, положив в ней и = cosx, v — x2.
В таком случае для любого номера k «(ft) = cos|^x + Ay^, т>' = 2х,
•ц(2) = 2, +3) ==... = 0. Получим
yW = X2 cos (х +	+ 2nx cos [х + (п — 1)	+
+ п (п — 1) cos [х + (л — 2) у
*) Впрочем, эта формула элементарно проверяется.
§ 10] ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 179
Пример 2. Вычислить и-ю производную функции у = х?ех.
Воспользуемся формулой Лейбница, положив в ней и = ех, v = x3.
Тогда для любого номера А =	т>' = 3х2, и(2) = 6х, г»(3) = 6,
^(4) — -у(5) = < 0. Получим
у(п) = (х3 + 3пх2 + 3п(п-1)х + п(п- 1)(п — 2))ех.
Рассмотренные примеры показывают, что формула Лейбница особенно
эффективна в случае, когда одна из двух перемножаемых функций
имеет лишь конечное число отличных от нуля производных.
4.	Дифференциалы высших порядков. В рассуждениях настоя-
щего пункта мы будем использовать для обозначения дифференци-
ала наряду с символом d также и символ 8 (т. е. будем писать там,
где это удобно, вместо dx и dy символы 8х и 8jz).
Предположим, что функция y—f(x) дифференцируема в некото-
рой окрестности точки х0. Тогда первый дифференциал dy этой
функции имеет вид*) dy—f'(x)dx и является функцией двух пере-
менных: точки х и величины dx.
Предположим дополнительно, что функция /' (х) также является
дифференцируемой в точке х0 и что величина dx имеет одно и то
же фиксированное значение для всех точек х рассматриваемой окрест-
ности точки х0.
При этих предположениях существует дифференциал функции
dy—f'(x)dx в точке х0, который мы будем обозначать символом
8 (dy), причем этот последний дифференциал определяется формулой
8 (dy) = 8 \f' (х) dx] |л=АГо = [f (х) dx]' |х=Хо 8х=/" (х0) dx 8х. (5.54)
Определение. Значение 8 (dy) дифференциала от первого диффе-
ренциала dy, взятое при Ъх — dx, называют вторым диффе-
ренциалом функции у = f (х) (в точке х0) и обозначают сим-
волом d2y.
Из формулы (5.54) и из определения второго дифференциала вы-
текает, что
d2y =f" (x0)(dx)2.	(5.55)
Заметим, что так как мы считаем величину dx фиксированной,
то из определения второго дифференциала сразу же вытекает, что
второй дифференциал независимой переменной d2x равен нулю.
Совершенно аналогично последовательно определяются дифферен-
циалы более высоких порядков. Предполагая, что производная по-
рядка (и—1) функции y=f(x) дифференцируема в точке х0 (т. е.
предполагая, что функция y—f(x) имеет в точке х0 производную
порядка п), мы определим дифференциал н-го порядка dny
функции у = f(x) (в точке <х0) как дифференциал 8 (dn~1y) от диф-
ференциала (п— 1)-го порядка взятый при Sx = dx.
*) См. п. 1 §9, формулу (5.39).
180
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ 5
Для дифференциала n-го порядка dny методом индукции элемен-
тарно устанавливается формула
dny = /(") (х0) (dx)n.	(5.56)
В самом деле, при п—.\ и и = 2 формула (5.56) справедлива.
Предположим, что эта формула справедлива для некоторого номера
(н—1), т. е. предположим, что о!"-1)/(x)(dx)"-1.
Тогда, согласно определению dny, получим *)
dny = 8 (d^y) \,x_dx = 8 [/<«-> > (х) (dx)"’1] \ъх-ах =
=/И) (х) (rfx)”-1 6Х =/l?) (х) (dx)n,
т. е. справедливость формулы (5.56) установлена.
Из формулы (5.56) вытекает следующее выражение для произ-
водной порядка п:
=	(5.56-)
Очень важно отметить, что при я>1 формулы (5.56) и (5.56')
справедливы, вообще говоря, лишь тогда, когда х является неза-
висимой переменной (т. е. второй и последующие дифферен-
циалы не обладают, вообще говоря, свойством инвариантности
формы).
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим вопрос о вычислении вто-
рого дифференциала (дважды дифференцируемой) функции у — f (х)
в предположении, что переменная х является дважды дифференци-
руемой функцией некоторого аргумента t. Используя равенство (5.39)
и формулу 8 (uv) — vlii и8и, получим:
d*y = 8 (dy) \ix_dx = 8 \f (x) dx] \ix_dx =
= {dx 8 [/'(x)| + f' (x) 8 (dx)} |г.г_,м = [dx • f' (x) 8 (x)J +f(x) <Px.
Итак, d*y = f'(x) (dx)* 4-/' (x) d*x.
Последняя формула отличается от (5.55) наличием в ней допол-
нительного и, вообще говоря, не равного нулю члена /' (х) d*x.
§ 11. Дифференцирование функции, заданной параметрически
В этом параграфе мы остановимся на методике вычисления про-
изводных функции, заданной параметрически.
Пусть х и у заданы как функции некоторого параметра t:
x = if(t), y = ty(t). При этом мы предположим, что функции <р (t) и
ф(Ч,имеют нужное число производных по переменной t в рассматри-
ваемой области изменения этой переменной. Кроме того, мы предпо-
лооким, что функция x — <f(t) в окрестности рассматриваемой точки
*) Мы опускаем индекс 0 у точки х.
ФУНКЦИЯ. ЗАДАННАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
181
4 н|
имеет обратную функцию t — <р-1 (х) *). Последнее предположение
дает нам возможность рассматривать у как функцию аргумента х.
Поставим задачу о вычисления- производных у по аргументу х.
Эти производные договоримся обозначать символами
у'х, У& У1^, • • •
В силу свойства инвариантности первого дифференциала можем
записать **)
у'х — ~х, dy — ф' (t) dt, dx = (f) dt.	(5.57)
Из этих формул получим следующее выражение для .первой про-
изводной:
Л =	(5.58)
Аналогично вычисляются производные высших порядков. Так, для вы-
числения второй производной у'х'г достаточно представить ее в виде
и воспользоваться формулой (5.58), третьей из формул (5.57) и прави-
лом дифференцирования частного.
Пример. Вычислить первую и вторую производные функции,
заданной параметрически:
{х— a (t — sin /),
у = а(1— cos 0, —оо<^<оо.
Кривая, определяемая этими уравнениями, называется циклоидой ***).
Получим
Ух = ~a(l^cLz)~ = Ctg 4 2ltA> где k ~ целое)-
„<2 _ [Ctg^] _	—1
a(l-coS0 -4asinl| •
*) Это обеспечивается существованием первой производной -/(/), отлич-
ной от нуля в некоторой окрестности рассматриваемой точки t (см. п. 4 § 2
главы 15).
**) При этом мы берем dy и dx в одной и той же точке t и для одного
и того же dt.
***) Циклоида представляет собой траекторию некоторой фиксированной
точки окружности, катящейся без скольжения по прямой линии.
ГЛАВА 6
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В этой главе будет рассмотрена задача о восстановлении функ-
ции по известной производной этой функции. Актуальность этой
задачи была выяснена в главе 1.
§ 1.	Понятие первообразной функции
и неопределенного интеграла
1.	Понятие первообразной функции. - К числу важных задач
механики относится задача об определении закона движения матери-
альной точки по заданной ее скорости, а также задача об определе-
нии закона движения и скорости материальной точки по заданному
ее ускорению *).
Эти задачи приводят к математической проблеме отыскания
функции по заданной производной этой функции.
Переходим к рассмотрению этой проблемы.
Определение. Функция F(х) называется первообразной
функцией (или просто первообразной) для функции f(x)
на интервале (а, Ь), если в любой точке х интервала (а, Ь)
функция F (х) дифференцируема и имеет производную F' (х), рав-
ную f(x).
Замечание. Аналогично определяется первообразная для функ-
ции f(x) на бесконечной прямой и на открытой полупрямой **).
Примеры. 1) Функция F (х) = У1 — х2 является первообразной
для функции f(x) —---у* — на интервале (—1, -J-1), ибо в любой
точке х этого интервала (]/1 — х2)'=--х
*) Вместо ускорения материальной точки можно задать действующую
на эту точку силу (ибо, согласно второму закону Ньютона, сила определяет
ускорение этой точки).
**) И вообще на любом плотном в себе множестве {х}, Определение
плотного в себе множества см. в § 3 главы 2.
5 1)	' ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	183
2)	Функция F(x) = sinx является первообразной для функции
/(x) = cosx на бесконечной прямой (—оо, оо), ибо в каждой точке х
бесконечной прямой (sin х)' = cos х.
3)	'Функция F(x) = lnx является первообразной для функции
f (х) = — на открытой полупрямой х > 0, ибо в каждой точке х
этой полупрямой (1ПХ)'=у.
Если F(x) является первообразной для функции f(x) на интер-
вале (а, Ь), то, очевидно, и функция F (х) + С, где С — любая посто-
янная, является первообразной для функции /(х) на интервале (а, Ь).
Естественно, возникает вопрос, как связаны между собой различ-
ные первообразные для одной и той же функции /(х). Справедлива
следующая основная теорема.
Теорема 6.1. Если Fx(x) и Es(x) — любые первообразные для
функции f (х) на интервале (а, Ь), то всюду на этом интервале
F1 (х) — F2 (х) = С, где С — некоторая постоянная.
Другими словами, две любые первообразные для одной и той же
функции могут отличаться лишь на постоянную.
Доказательство. Положим Ф(х) = F\(х) — F2(х). Так как
каждая из функций Fj (х) и F2 (х) дифференцируема на интервале
(а, Ь), то в силу теоремы 5.3 и функция Ф(х) дифференцируема на
интервале (а, Ь), причем всюду на этом интервале Ф' (x) = Fj(x)—
-К(х)=/(х)-/(х) = 0.
В § 10 главы 8 методами, не использующими результатов этой
главы*), будет доказана теорема 8.13 следующего содержания: если
функция Ф(х) дифференцируема всюду на интервале (а, Ь) и если
всюду на этом интервале Ф'(х) = 0, то функция Ф(х) является посто-
янной на интервале (а, Ь).
Из этой теоремы получим, что Ф(х) = Дх(х) — F2(x) = C = const,
что и требовалось доказать.
Следствие. Если F(x) — одна из первообразных функций для
функции /(х) на интервале (а, Ь), то любая первообразная Ф(х) для
функции /(х) на интервале (а, Ь) имеет вид Ф (х) = F (х) + С, где
С — некоторая постоянная.
2. Неопределенный интеграл.
Определение. Совокупность всех первообразных функций для
данной функции f(x) на интервале (а, Ь) называется неопре-
деленным интегралом от функции f(x) (на этом интер-
вале) и обозначается символом
^f(x)dx.	(6.1)
*) Заметим, что главы 6 и 7 без ущерба для понимания этой книги могут
читаться после главы 8. Мы выдвигаем главы 6 и 7 вперед, чтобы ускорить
знакомство читателя с техникой интегрирования.
184
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. 6
В этом обозначении знак называется знаком интеграла, выражение
f(x)dx — под интегральным выражением, а сама функция f(x)—
подынтегральной функцией.
Если F(x) — одна из первообразных функций для функции f(x)
на интервале (а, Ь), то, в силу следствия из теоремы 6.1,
\f(x)dx = F(x) + C,	(6.2)
где С —любая постоянная.
Подчеркнем, что если - первообразная (а стало, быть, и неопре-
деленный интеграл) для функции f(x) на интервале (а, Ь) сущест-
вует, то подынтегральное выражение в формуле (6.1) представ-
ляет собой дифференциал любой из этих первообразных. В самом
деле, пусть F(x) — любая из первообразных для функции f(x) на
интервале (а, Ь), т. е. для всех х из интервала (а, b) F'(x)=*f(x).
Тогда f(x)dx^F’ (х) dx = dF.
Примеры. 1) х _dx = 1 — х2 + С на интервале — 1 <
k<Z 1, ибо функция F (х) = У 1 — х2 является одной из первооб-
разных для функции f (х) —  -.....на указанном интервале.
У 1 — х2
2)	cos х <Zx = sin х + С на всей бесконечной прямой —оо<х<;
<со, ибо функция F(x) = sinx является одной из первообразных
для функции /(x) = cosx на бесконечной прямой.
В этой главе мы не будем заниматься вопросом о существова-
нии первообразных (или неопределенных интегралов) для широких
классов функций. Здесь мы лишь отметим, что в § 7 главы 10 будет
доказано, что для всякой функции f(x), непрерывной на интервале
(а, Ь), существует на этом интервале первообразная функция
(и неопределенный интеграл).
Операцию нахождения первообразной или неопределенного интег-
рала (от функции /(х)) принято называть интегрированием
(функции f (х)).
3.	Основные свойства неопределенного интеграла. Прежде
всего отметим два свойства, непосредственно вытекающие из опреде-
ления неопределенного интеграла:
1 °, d § f (х)dx—f (х)dx.
2°. dF (x) = F (x) + C.
Свойство 1° означает, что знаки d и § взаимно сокращаются
в случае, если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла.
Свойство 2° означает, что знаки J и d взаимно сокращаются и
в случае, если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала,
но в этом случае к F (х) следует добавить произвольную постоян-
ную С.
ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
185
§ И
Для установления свойства 1° достаточно взять дифференциал от
обеих частей формулы (6.2) и учесть, что dF (х) = F' (х) dx = f\x) dx.
Для установления свойства 2° достаточно в левой части (6.2)
воспользоваться равенством dF (х) = f (х) dx.
Следующие два свойства обычно называют линейными свойствами
интеграла:
3°. $ [/ (х) ± g (х)] dx — \f (х) dx±\g (x)dx.
4°. jj [А/(х)] dx= A ^f(x)dx (А = const).
Подчеркнем, что равенство в формулах 3° и 4° имеет условный
характер: его следует понимать как равенство правой и левой частей
с точностью до произвольного постоянного слагаемого (это понятно,
поскольку каждый из интегралов, фигурирующих в формулах 3° и 4°,
определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого).
Поскольку две первообразные для одной и той же функции
могут отличаться лишь на постоянную, то для доказательства свой-
ства 3° достаточно доказать, что если F (х) — первообразная для/(х),
а G(x) — первообразная для g(x), то функция [F(x)±G(x)] является
первообразной для функции /'(x)±g(x). Это последнее непосредст-
венно вытекает из того, что производная (алгебраической) суммы
функций равна сумме производных этих функций, т. е. [F(x)±G(x)]' =
= F' (х)± G' (х)=/(х)±g(x). Аналогично доказывается свойство 4°.
В этом случае используется равенство [AF(xJ]'= AF'(х) = А/(х).
4.	Таблица основных неопределенных интегралов. В главе 5
мы получили таблицу производных простейших элементарных функций
(см. § 8 главы 5), представляющую собой вычислительный аппарат
дифференциального исчисления. Каждая формула этой таблицы, уста-
навливающая, что та или иная функция F(x) имеет производную,
равную /(х), приводит нас, в силу определения неопределенного
интеграла, к соответствующей формуле интегрального исчисления
J/(x)<Zx = F(x) + C.
Таким путем мы приходим к следующей таблице основных неоп-
ределенных интегралов:
1°. ^O-dx — C.
2°. j 1 -dx = x + C.
3°.	x“dx = ^j + C ,.(а^ -1).
4°. j^ = ln|x| + C; (х^О).
5°. J axdx = ~ + C (0<а#1), J exdx = ex + C.
6°. sin x dx = — cos x + C.
7°. ^cosx(/x = sinx4-C.
186
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл
[ГЛ. 6
8°'	О + tg2x)dx = tgx + C (х^^ + кп, где л—О,
.1 L-Uo Л	1	\	£
±1,...).
С* dx (*
9°. \ ^23с= \ О + ctg2x)dx= — ctgx-фС (х^яи, где n — 0,
± 1, ...).
„ p r/x ( arcsin x 4-C,
10°. \	{	(—l<x<l).
j 1^1— x2	(—arccos х-фС
11° C dx - f arctg* + c>
J 1+x2 I —arcctgx + C.
12°- $/^т=1п^ + /^±Т| + С
|x|>lj.
13". $ст=-Н^|+с (W*
К этим формулам можно присоединить
мулы для гиперболических функций;
14°. sh х dx = ch х + С.
(в случае знака —
1).
и соответствующие фор-
150, ch х dx = sh х -ф С.
16°. ^T^-^thx + C.
j ch2 x 1
17°.	~^~ = —cthx-фС (x#0).
J sh2x	1	\ -r- >
Сделаем замечания в отношении формул 4, 12 и 13. Формула 4
справедлива для любого интервала, не содержащего значения х = 0.
В самом деле, если х > 0, то из формулы (In х)' = заключаем, что
С dx	.	1
\— = 1пх + С, а если х<0, то из формулы [In (—х)] = —
J X	X
заключаем, что ^у = 1п(—х) + С. Тем самым формула 4 оправ-
дана для любого х 0.
Формулы 12 и 13 занимают исключительное положение в нашей
таблице, ибо эти формулы не имеют аналогов среди формул таблицы
производных.
Однако для проверки формул 12 и 13 достаточно убедиться в том,
что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул,
совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.
Наша ближайшая цель — дополнить таблицу неопределенных интег-
ралов основными приемами и методами интегрирования. Но прежде
чем приступить к реализации этой цели, сделаем одно важное за-
мечание.
В § 7 главы 4 мы ввели понятие элементарной функции,
а в п. 3 § 8 главы 5 установили, что производная любой элементар-
ной функции представляет собой также элементарную функцию.
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
187
§ 21
Иными словами, мы установили, что операция дифференцирования
не выводит нас из класса элементарных функций.
Отметим сразу же, что с операцией интегрирования дело обстоит
иначе. Можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных
функций уже не являются элементарными функциями. Примерами
таких интегралов могут служить следующие:
1°. \e~x2dx.
2°. cos (№) dx.
3°. sin (№) dx.
4°.'	(0<х=£1).
J In X Л	7
5°.	(x^O).
6°. £ “Hrfx.
J x
Каждый из указанных интегралов представляет собой функцию,
не являющуюся элементарной. Указанные функции не только реально
существуют*), но и играют большую роль в различных вопросах
физики. Так, например, интеграл 1, называемый интегралом Пуассона
или интегралом ошибок, широко используется в статистической
физике, в теории теплопроводности и диффузии, интегралы 2 и 3,
называемые интегралами Френеля, широко применяются в оптике.
Часто встречаются в .приложениях и интегралы 4—6, первый из кото-
рых называется интегральным логарифмом, а последние два— инте-
гральными косинусом й синусом.
Для всех перечисленных новых функций (интеграла Пуассона,
интегралов Френеля, интегрального логарифма, синуса и косинуса)
составлены таблицы и графики.
Ввиду важности для приложений, эти функции изучены с такой же
полнотой, как и простейшие элементарные функции. Вообще следует
подчеркнуть условность понятия простейшей элементарной функции.'
§ 2. Основные методы интегрирования
1. Интегрирование заменой переменной (подстановкой). Замена
переменной — один из самых эффективных приемов интегрирования.
Этот прием базируется на следующем элементарном утверждении.
Пусть функция t = rz(x) определена и дифференцируема на неко-
тором множестве {х} **), и пусть {t} — множество всех значений
*) Мы уже отмечали, что в § 7 главы 10 будет доказано существование
неопределенного интеграла от любой непрерывной функции. Существование
интегралов 1—6 обеспечивается непрерывностью подынтегральных функций.
**) Это множество представляет собой либо интервал, либо сегмент, либо
полупрямую, либо бесконечную прямую.
188	НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[ГЛ. 6
этой функции. Пусть далее для функции g(t) существует на
множестве {Z} первообразная функция G(t), т. е.
\g(t)dt = G(t)+C.	(6.3)
Тогда всюду на множестве {х} для функции g[<p (х)] <р' (х) суще-
ствует первообразная функция, равная О [<р (х)], т. е.
5 g [? (*)1 ?' (*)dx = ° [? (*)] + С.	(6.4)
Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться
правилом дифференцирования сложной функции *)
{<3 [? (х)]} = G' [ср (х)] ср' (х)
и учесть, что, по определению первообразной, G'(f) — g(t). Предпо-
ложим теперь, что, нам требуется вычислить интеграл
\f(x)dx.	(6.5)
В ряде случаев удается выбрать в качестве новой переменной такую
дифференцируемую функцию f —<р(х), что имеет место равенство
/(*) = £ [ср (х)] ср' (х),	(6.6)
причем функция g(f) легко интегрируется, т. е. интеграл
^(^ = G(0 + C
просто вычисляется. Доказанное выше утверждение позволяет нам
написать следующую формулу для интеграла (6.5):
$/(x)dx = G[<p(x)] + C.	(6.7)
Этот прием вычисления интеграла (6.5) и называется интегрирова-
нием путем замены переменной.
Конечно, такой прием применим не ко всякому интегралу. Кроме
того, следует подчеркнуть, что выбор правильной подстановки в зна-
чительной мере определяется искусством вычислителя. Приведем ряд
примеров, иллюстрирующих только что изложенный метод.
1°. Вычислить Jcos2x dx. Для вычисления этого интеграла сле-
дует сделать простейшую подстановку t = 2х, dt = 2dx. В резуль-
тате этой-замены получим
С о л С 1 \ cos 2х dx = \ у //у 2°. Вычислить \ —:—. J х -|- а замены t — x-\-a, dt — dx. *) См. § 7 главы 5.	cos t dt = sin t + С = у sin 2х + С. Этот интеграл вычисляется посредством
§ 2]
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
189
При этом получим
5т = Ь1|И + С-1п|х + а| + С. (хуЬ — а).
3°. Вычислить § ecos х sin х dx. Легко видеть, что этот интеграл
вычисляется путем замены Z = cosx.
В самом деле, при этом dt =— smxdx и
J ecos х sin х dx = — J e‘ dt = — e* + C = —ecos x + C.
(* (arctg
4°. Вычислить \ д —dx. Для вычисления этого интеграла
удобна замена t — arctg х. В самом деле, при такой замене dt—
dx С (arctg х)100 , _ С ,, _ Z101 . г_ (arctg x)i“ с
— Г+хз J ~1+'х®- ах~ у а1~ 101^	101	+Ь--
5°. Вычислить § (7х— 9)2999 dx. Конечно, этот интеграл можно
свести к сумме трех тысяч табличных интегралов, расписывая подын-
тегральную функцию по формуле бинома Ньютона. Несравненно
проще сделать замену t = lx— 9, dt — ldx, в результате которой
мы получим
J (7х-9)2989 Дг = у jj ^9"^-24ооо + С- 21 000 +С.
6°. Вычислить	.Чтобы усмотреть ту замену, посредством
которой может быть взят этот интеграл, перепишем его в виде \
f dx	\ cos х dx	(* cos x dx
j cos x	J cos2 x	J 1 — sin2 x ’
После этого понятно, что следует положить t = sinx, dt = cos xdx.
В результате получим
7°. Вычислить \ ,9 ,8	. Удобна замена t = (2х)4, dt = 64х3 dx.
При этом
0 х3 dx _ 1 Г dt ________arctg t „ _ arctg (2х)4	„
J (2х)8 + 1 “ 64 J Z2 + 1 — 64 +c—	64
8°. Вычислить £-------——ту. Для вычисления этого интеграла
} (х2 + п2) /а
оказывается удобной тригонометрическая подстановка t = arctg ,
хх,	dt
х — a tg t, dx — a —.	i
b ’	cos2 Z	-1
190
неопределенный интеграл
[ГЛ. 6
В результате этой подстановки интеграл принимает вид
С dx 1 г , ,,_sin/ . г_______________________tg* , г
J (х2 + а2)’/г a2 J	+ а2 /1 4- tg2/ +
=—гХ-^ +£
а2 У х2 + а2
9°. Вычислить С--------—	. Здесь оказывается удобной подста-
J (а2 — х2)3/*
новка t — arcsin — , х = a sin/, dx — a cos t dt. При этом
а	г
С dx = — С di —	4- с =
' (а2 — Х2)3/г а2 ' cos2 / а2 +
— 1 sin z 4- С —___________-________I- С
~ а2 V1 — sin21 "Г ~ а2 /а2 — х2
10°. Вычислить j/^^~~^dx. Для вычисления этого интеграла
оказывается удобной замена 2/ — arccos у, x = acos2/, dx =—
— 2а sin 2t dt. Мы получим
J ]/= cos2/rf/ =
= — 4a + У C0S	— 2a f C°S =
= — 2at — a sin 2t 4- C=
2. Интегрирование по частям. К числу весьма эффективных ме-
тодов интегрирования относится метод интегрирования по частям.
Этот метод основывается на следующем утверждении.
Пусть каждая из функций и(х) и т>(х) дифференцируема на
множестве {х} и, кроме того, на этом множестве существует
первообразная для функции v (х) и' (х). Тогда на множестве {х}
существует первообразная и для функции и (х) и' (х), причем
справедлива формула
и (х) v' (х) dx = и (х) v (х) —	(х) и' (х) dx. (6.8)
Замечание. Определение дифференциала и свойство инвари-
антности его формы позволяет записать формулу (6.8) в виде
^udv = и (х) v (х) — J к du.	(6.9)
Для доказательства сформулированного утверждения запишем фор-
мулу для производной произведения двух функций и(х) и v(x)
[zz (х) V (х)]' = и (х) v' (х) + и' (х) V (х).	(6.10)
5 2)
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
191
Умножим равенство (6.10) на dx и возьмем интеграл от обеих частей
полученного таким путем равенства. Так как по условию для всех х
из множества {х} существует jj v (х) и' (х) dx и [и(х)в(х)]' dx =
= и (х) v (х) + С (см. свойство 2° из п. 3 § 1), то для всех х из
множества {х} существует и интеграл и (х) v' (х) dx, причем спра-
ведлива формула (6.8) (или (6.9)).
Формула (6.9) сводит вопрос о вычислении интеграла J и dv
к вычислению интеграла ^vdu. В ряде конкретных случаев этот
последний интеграл без труда вычисляется.
Вычисление интеграла § и dv посредством применения формулы (6.9)
и называют интегрированием по частям. Заметим, что при конкрет-
ном применении формулы интегрирования по частям (6.9) очень удобно
пользоваться таблицей дифференциалов, выписанной нами в п. 2 § 9
главы 5.	'
Переходим к рассмотрению примеров.
1°. Вычислим интеграл l—^xnlnxdx(nj^ — 1). Полагая и = 1пх,
dx
dv = xndx и используя формулу (6.9), получим du= —, v
vn+1	1 г	v-n+1 /	i \
/ = ——г 1п х — —г-г- \ xndx = —р-г (In х  -—г) + С.
n + 1	(« + 1)J	п +1 \ п + 1у
2°. Вычислим далее интеграл 1= х arctg xdx. Полагая и == arctg х,
dv = х dx и используя формулу (6.9), будем иметь du — f = у,
. х2 ,	1 С х2 , ха ,	1 Г 1(1 + х2) —-11 ,
] = у arctg х - т	dx = 2- arctg х - у --q-^ dx =
х2 ,	1 С ,	. 1 (* dx х2 +1	, х , „
= yarctgx-y \ dx +у \	arctgх-у + С.
3°. Вычислим интеграл I = х2 cos х dx. Сначала применим фор-
мулу (6.9), полагая и = хг, dv = cosxdx. Получим du—2xdx,
v = sinx, / = x2sinx—2 ^xsinxtZx. Для вычисления последнего
интеграла еще раз применим формулу (6.9), полагая на этот раз
и — х, dv = sin х dx. Получим du = dx, v = — cosx, /=x2sinx +
+ 2x cos x — 2 cos x dx = (x2 — 2) sin x + 2x cos x + С. Tаким образом,
интеграл Jx2cosxdx вычислен нами посредством двукратного интег-
рирования по частям. Легко понять, что интеграл хл cos х dx
(где п — любое целое положительное число) может быть вычислен
по аналогичной схеме посредством д-кратного интегрирования по
частям.
192
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. 6
4°. Вычислим теперь интеграл / = еахcosbxdx(a = const, b =
— const). Сначала применим формулу (6.9), полагая и — eeJf, dv =
= cos bx dx. Получим du = aeax dx, v = -in^*,
, eOJC sin bx a ? ax , ,	,
I =---g—- — у \ ea sin bx dx.
Для вычисления последнего интеграла еще раз применим формулу (6.9),
полагая на этот раз и = еах, dv = sin bxdx. Получим dit = аеах dx,
cos bx
b~>
, eax sin bx , a ax . a? ,	.
/ =----b---eax cos bx-^1.	(6.11)
Таким образом, посредством двукратного интегрирования I по частям
мы получили для интеграла / уравнение первого порядка (6.11). Из
этого уравнения находим
а2 + &2
Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся по-
средством интегрирования по частям, может быть разбита на следую-
щие три группы'.
1)	К первой группе относятся интегралы, подынтегральная функция
которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций:
lnx, arcsinx, arccos х, arctg х, (arctg х)2, (arccos х)2, In ср (х), ...
(см. рассмотренные выше примеры 1° и 2°). Для вычисления интег-
ралов первой группы следует применить формулу (6.9), полагая в ней
и(х) равной одной из указанных выше функций*).
2)	Ко второй группе относятся интегралы вида (ах &)" cos (ex) dx,
$ (ах-Ь/>)я sin(cx)dx, § (ах + b)necxdx, где а, Ь, с—некоторые по-
стоянные, п— любое целое положительное число (см. рассмотренный
выше пример 3°). Интегралы второй группы берутся путем «-крат-
ного применения формулы интегрирования по частям (6.9), причем
в качестве и(х) всякий раз следует брать (ах + &) в соответствую-
щей степени. После каждого интегрирования по частям эта степень
будет понижаться на единицу.
3)	К третьей группе относятся интегралы вида § еах cos bx dx,
J еах sin bx dx, § sin (in x) dx, ^cos(lnx)</x, ... (см. рассмотренный
выше пример 4°). Обозначая любой из интегралов этой группы через
*) В случае, если подынтегральная функция содержит в качестве множителя
(arctg*)2, (arccos*)2, ...j формулу интегрирования по частям (6.9) придется
применить дважды.
§ 2]
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
193
I и производя двукратное интегрирование по частям, мы составим
для / уравнение первого порядка.
Конечно, указанные три группы не исчерпывают всех без исклю-
чения интегралов, берущихся посредством интегрирования по частям.
Приведем примеры интегралов, не входящих ни в одну из перечис-
ленных трех групп, но вычислимых при помощи формулы (6.9).
~ xdx
— интеграл не входит
менее, применяя фор-
получим du = dx,
5°. Вычислим интеграл / = \ —z—. Этот
к	J COS2X
ни в одну из упомянутых трех групп. Тем не
мулу (6.9) и полагая в ней и = х, dv=='crfs2x<
v — tg х,
S,	,	, Г sin xdx
tgxdx = xtgx — \----=
°	b J COS X
— x tg xa^SxX) = X tg X + In I COS X I + C-
6°. Вычислим, наконец, весьма важный для дальнейшего интеграл
К\= \———, где а = const, Х=1, 2, ... Этот интеграл также
J (/2 + а2)>ч
не входит ни в одну из упомянутых выше трех групп. Для вычисле-
ния этого интеграла установим для него рекуррентную формулу, сво-
дящую вопрос о вычислении к вычислению Kx.i-
Можно записать (при X ф 1)
1 Р a2 dt _ jf К<2 + °2) ~ /81 dt
а2 ' (/2 + а2^ — а2 J (i!2 +<z2)k
_ ( dt __________________L C t 2tdt
~ a2 J (/2 + a2)k‘‘	2a2 J (/2 + a2)x '
1 {id^ +
a2 2a2 J (/2 + a2)x *
Для вычисления последнего интеграла применим формулу
zc	и / j d (/2 + а2)
рования по частям (6.9), полагая в ней u — t, dv=——1
(/2 + а2)х
1
интегри-
Полу-
чим du — dt, v =	,
(л— 1) (<2 + a2)*-i ’
=1 Кх_х +----------------1------—-------------1----/<х v
a2	2a2 (X — 1) (/2-f-a2)x-1	2a2 (X — 1)
Из последнего равенства получим рекуррентную формулу
К =________________t______________ , 1 (2Х - 3) к
Х 2a2 (X — 1) (/2 + а2)х-1 "Г a2 (2Х — 2) Х v
Убедимся в том, что рекуррентная формула (6.12) позволяет
194
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[гл. е
вычислить интеграл Ку для любого Х = 2, 3, ... В самом деле, инте-
грал вычисляется элементарно
<»	.,	, »	Л-М 1	у
,,	£	dt	If \а 1	-	t	, п
K, =	\	\	FTi ——’ = — arctg--И O.
1 J t2 + a3 a J , j a 6 a
\aj +
После того как вычислен интеграл Klt полагая в формуле (6.12)
X = 2, мы без труда вычислим К2. В свою очередь, зная К2 и полагая
в формуле (6.12) Х = 3, мы без труда вычислим К3. Продолжая дей-
ствовать таким образом дальше, мы вычислим интеграл К/. для любого
натурального X.
ГЛАВА 7
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
В предыдущей главе было указано, что неопределенный интеграл
от элементарной функции, вообще говоря, не является элементарной
функцией. Тем не менее существуют довольно широкие классы функ-
ций, интегралы от которых представляют собой элементарные функ-
ции. (Такие классы функций му будем называть интегрируемыми
в элементарных функциях.) Изучение указанных классов функций
и составляет основную цель настоящей главы. Поскольку среди
указанных классов функций одним из основных является класс
рациональных функций, мы должны прежде всего уточнить на-
ши представления о многочленах и рациональных функциях. Для
этого в свою очередь требуется уточнить наши сведения о комп-
лексных числах.
1. Краткие сведения о комплексных числах
Два вещественных числа х и у мы будем называть упорядо-
ченной парой, если указано, какое из этих чисел является пер-
вым, какое вторым. Упорядоченную пару вещественных чисел х
и у будем обозначать символом (х, у), записывая на первом месте
первый элемент пары х.
Комплексным числом называется упорядоченная пара (х, у)
вещественных чисел, первое из которых х называется действи-
тельной частью, а второе у —мнимой частью этого комплекс-
ного числа.
В случае, когда мнимая часть у равна нулю, соответствующую
пару (х, 0) договариваются отождествлять с вещественным числом х.
Это позволяет рассматривать множество всех вещественных чисел как
часть множества комплексных чисел.
Два комплексных числа zt = (xlt уг) и z2 — (x2, у2) называются
равными, если xt — xit у^^у^- Говорят, что комплексное число
z = (x, у) равно нулю, если х — 0 и у = 0.
196
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 7
Определим операции сложения и умножения комплексных чисел.
Поскольку вещественные числа являются частью множества комплекс-
ных чисел, эти операции должны быть определены так, чтобы в при-
менении к двум вещественным числам они приводили к уже извест-
ным нам из § 2 главы 2 определениям суммы и произведения веще-
ственных чисел.
Суммой двух комплексных чисел z1 — (x1, yj и г2 = (х2, у2)
назовем комплексное число z вида
г = (х1 + х2, л+-Уг)-	(7Л)
Произведением двух комплексных чисел zt = (xv уг) и z2 = (х2, у2)
назовем комплексное число z вида
z = (x1x2-y1y2, х^ + х^]).	(7.2)
Легко проверить, что сумма и произведение комплексных чисел об-
ладают теми же самыми свойствами, что и сумма и произведение
вещественных чисел. Именно справедливы следующие свойства:
1°. zY + z2 = z2 -f- zx (переместительное свойство суммы).
2°. (гх + zs)'+ z3 =	-f-(z2 + z8) (сочетательное свойство суммы).
3°. z -|- (0, 0) = z (особая роль числа (0, 0)).
4°. Для каждого числа z — {x, у) существует противоположное
ему число z' — {—х, —у) такое, что z + z' — (Q, 0).
5°. zL • z2 — z2 • zr (переместительное свойство произведения).
6°. (zt  z2)  z3 = z1- (z2 • z3) (сочетательное свойство произведения).
7°. z-(l, 0) — z (особая роль числа (1, 0)).
8°. Для любого комплексного числа z = (x, у), не равного нулю,
существует обратное ему число у = (	~
такое, что г-у = (1,0).
9°. (Zj-I- z2)- z3— zt • z3 + z2 • z3 (распределительное свойство про-
изведения относительно суммы).
Свойства 1°—9° позволяют утверждать, что для комплексных
чисел полностью сохраняются все правила элементарной алгебры,
относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств.
Кроме того, эти свойства полностью решают вопрос о вычита-
нии комплексных чисел как о действии, обратном сложению, и о де-
лении комплексных чисел как о действии, обратном умножению.
Разностью двух комплексных чисел zx — (хр yj и z2 = (х2, _у2)
называется такое комплексное число z, которое в сумме с z2
daent zv С помощью свойств 1°—4° элементарно устанавливается
существование и единственность разности двух любых комплексных
чисел *).
*) Это делается точно так же, как и для вещественных чисел (см. п. 3
§ 2 главы 2).
§ И
197
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ
Легко проверить, что разностью двух комплексных чисел z± — (xv
и г2 = (х2, j/2). является комплексное число z вида
z = (x1-x2, Л-Л)-	G-З)
Частным двух комплексных чисел z1 = (xl, у^) и z2 = (x2, у2),
второе из которых не равно нулю, называется такое комплекс-
ное число z, которое при умножении на z2 дает zv С помощью
свойств 5° — 8° легко установить, что единственным частным двух
указанных комплексных чисел является комплексное число z вида

— Х1У2\
xl+yl г
(7.4)
В операциях с комплексными числами особую роль играет число,
представимое парой (0,1) и обозначаемое буквой I. Умножая эту пару
самое на себя (т. е. возводя ее в квадрат), получим в силу определе-
ния произведения комплексных чисел:
(0, 1) • (0, 1) = (— 1,0) = — 1, т. е. i2 = — 1.
Заметив это, мы можем любое комплексное число z — (х, у) пред-
ставить в виде
z = (x, у) = (х, 0) + (0, j) = (x, 0) + (j/, 0).(0, 1) = х-Н>.
В дальнейшем мы будем широко использовать для комплексного
числа z = (x, у) представление z — xy-iy. Это представление и рас-
смотрение i в качестве множителя, квадрат которого равен — 1,
позволяет производить операции с комплексными числами так же, как
они производятся с алгебраическими многочленами.
Комплексное число z = (x, — у) = х — iy принято называть сопря-
женным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x.+ iy.
Очевидно, что комплексное число равно нулю тогда и только
тогда, когда равно нулю сопряженное ему число *).
Для геометрического изображения комплексных чисел удобно
пользоваться декартовой прямоугольной системой координат. При этом
комплексное число z = (х, у) изображается или точкой /И с коорди-
натами (х, _у), или вектором ОМ, идущим из начала координат
в точку М.
При таком способе изображения сложение и вычитание комплек-
сных чисел сводится к сложению и вычитанию соответствующих им
векторов (это понятно из формул (7.1) и (7.3)).
Если наряду с декартовой системой координат ввести полярную
систему координат так, чтобы полюс находился в начале О декарто-
вой системы, а полярная ось была направлена вдоль положительного
направления оси Ох, то декартовы координаты (х, у) и полярные
*) Ибо равенства х = 0,) х = 0, ]
) и „ > эквивалентны,
у = 0 // -z/ = 0 /
198	ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ	[ГЛ. 7
Координаты (р, 6) любой точки М, как известно, связаны формулами
Р = Ух2+у2,
x-pcosS, |	(arctg— прих>0,
_У = Р8ш9 J	х	(75)
0=- arctgу4-1С sgnyприx<fi,
у sgn у при х— 0.
Формулы (7.5) приводят нас к тригонометрической форме пред-
ставления комплексного числа z = (х, у)
z = (x, y) = x-\-ly — (p cos 0, р sin 0) = p (cos 0 +1 sin 0).	(7.6)
В тригонометрической форме представления (7.6) число р называют
модулем, а угол 0 аргументом комплексного числа. Аргумент 0 опре-
делен неоднозначно: вместо значения 0 можно брать значение 0 + 2вд
(где л = 0, ±1, ±2, ...).
В тригонометрической форме удобно производить операции умно-
жения и деления комплексных чисел.
Пусть даны два произвольных комплексных числа
г1 = (X1> J1) = (Pl cos PiSinOj) и z2 = (х2, у2) — (р2 cos 02, p2sinO2).
Тогда, по определению умножения (в силу формулы (7.2)), произ-
ведение этих чисел имеет вид
• г2 = (ххх2 -yty2, х^ + х2Уг) =
= (pjp2 cos 02 cos 92 — р2р2 sin 9j sin 02, p1p2 cos 9X sin 02 + pxp2 sin 9г cos 02) =
= [(PiP2)cos(914-92), (pxpa) sin (0X + 92)].	(7.7)
Аналогично из формулы (7.4) заключаем, что частное — двух комплекс-
^2
ных чисел г1 = (х1, J1) = (p1cos01, p1sin01) и z2 = (х2, у2) = (р2 cos 0.2,
р2 sin ©J имеет вид*)
а = cos (0, - 02), (₽J) sin (0j - 02)1.	(7.8)
г2 1_\?2/	\Ра/	J
Из формул (7.7) и (7.8) заключаем, что при умножении двух ком-
плексных чисел их модули перемножаются, а аргументы скла-
дываются (при делении двух комплексных чисел их модули де-
лятся, а аргументы вычитаются). Это свойство последовательно
переносится на случай произведения любого конечного числа комп-
лексных чисел. В частности, если перемножаются п равных комплекс-
ных чисел (т. е. если комплексное число возводится в степень п), то
(р cos 9, р sin 0)" = (рл cos 0л, p”sin 9л).	(7.9)
*) При этом предполагается, что комплексное число г2 не равно нулю, т. е.
§21
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
199
Из формулы (7.9) при р = 1 получим так называемую формулу
Муавра *)
(cos 9, sin 9)я = (cos 0n, sin 9л).	(7.10)
t
Формулу (7.10) можно записать и в другом представлении:
(cos 9 + /sin 9)" = cos 9л +1 sin On.	(7.11)
В заключение заметим, что комплексное число, записанное в триго-
нометрической форме, равно нулю в том и только в том случае,
когда равен нулю его модуль. Отсюда и из того, что при перемно-
жении комплексных чисел их модули перемножаются, вытекает, что
произведение нескольких комплексных чисел равно нулю лишь
в том случае,. когда равен нулю хотя бы один из сомножителей.
§ 2. Алгебраические многочлены
1. Алгебраическим многочленом л-й степени называется выраже-
ние вида
/ (г) = сйгп + qz"-1 +... + cn-rz + сп,	(7.12)
где z = (х, 1у) = х + (у — переменное комплексное число, а с0, cv ...
.. .,сп — некоторые постоянные комплексные числа, первое из которых
отлично от нуля. Как известно, любой алгебраический многочлен сте-
пени п можно поделить «столбиком» на другой алгебраический мно-
гочлен степени не выше чем п. Таким путем мы приходим к следу-
ющему утверждению: каковы бы ни были два многочлена f (z) и
<р (г) такие, что степень ср (г) не выше, чем f(z), справедливо
равенство
fW = 4(zYq(z) + r(z),	(1AZ)
в котором q (z) и г (z) — некоторые многочлены, причем степень
q(z) равна разности степеней многочленов f{z) и <p(z), а сте-
пень г (z) ниже степени <р (z).
По отношению к фигурирующим в равенстве (7.13) многочленам
/(?), ср (г), q(z) и г (z) обычно применяют вполне понятные термины
«делимое», «делитель», «частное» и «остаток».
Говорят, что многочлен f(z) делится на многочлен <p(z), если
в полученной посредством деления столбиком формуле (7.13) остаток
r(z) = 0.
Договоримся называть многочленом нулевой степени любую ком-
плексную постоянную. Тогда совершенно ясно, что любой многочлен
делится на отличный от нуля многочлен нулевой степени.
*) А. де Муавр — английский математик, по национальности француз
(1667-1754).
200
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 7
Изучим вопрос о делимости многочлена f(z) на многочлен первой
степени (z — b).
Определение. Назовем комплексное число b корнем мно-
гочлена f(z), если f(b) равно нулю.
Теорема 7.1. Многочлен нулевой степени f(z) делится на
двучлен (z—b) тогда и только тогда, когда b является корнем
многочлена f(z).
Доказательство. Запишем для многочленов f(z) и <?(z) =
= (z—b) формулу (7.13). Поскольку степень остатка г (г) в этой
формуле обязана быть ниже степени делителя <p(z)^z — Ь, то
г (г) — многочлен нулевой степени, т. е. г (г) = с = const. Таким об-
разом, формула (7.13) принимает вид
f(z)^(z-b)-q(z) + c.	(7.14)
Полагая в формуле (7.14) z — b, найдем, что c=f(b). По определе-
нию f (г) делится на z — b тогда и только тогда, когда остаток
в формуле (7.14) с — f (b) равен нулю, т. е. тогда и только тогда,
когда b является корнем f(z). Теорема доказана.
2. Естественно, возникает вопрос: всякий ли алгебраический мно-
гочлен имеет корни? Ответ па этот вопрос дает основная теорема
алгебры *): всякий многочлен ненулевой степени имеет хотя бы
один корень.
Опираясь на эту теорему, докажем, что алгебраический много-
член п-й степени имеет точно п корней **). В самом деле, пусть
f (z) — многочлен n-й степени. Согласно основной теореме алгебры
f(z) имеет хотя бы один корень bv т. е. для /(z) справедливо пред-
ставление
*	/(г) = (г-^)Л(г),	(7.151)
в котором через (z) обозначен некоторый многочлен степени (я — 1).
Если я 1, то> согласно основной теореме алгебры,(z) имеет хотя
бы один корень Ьг, т. е. для fr(z) справедливо представление
/x(z) = (z-ft2)/2(z),	(7.152)
в котором через/2(z) обозначен некоторый многочлен степени (л —2).
Повторяя указанные рассуждения далее, мы получим представления
A(z) = (z-t3)/3(z),	(7.153)
(7.15")
*) Доказательство этой теоремы см. в выпуске «Функции комплексной
переменной».
**) При этом, конечно, мы считаем, что п>0.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
201
§ 2)
В последнем из этих представлений через fn(z) обозначен некоторый
многочлен нулевой степени, т. е. /„ (г) = с = const. Сопоставляя между
собой равенства (7.1 б1) — (7.15я) и учитывая, что fn(z) — c, Ъул&л
иметь
f(z) = (.z-b^(z-b^ ... (z-bn)c:	(7.16)
Отметим, что комплексная постоянная с не равна нулю, ибо_в про-
тивном случае многочлен f(z) был бы тождественно равен нулю и
не являлся бы многочленом n-й степени *).
Из равенства (7.16) очевидно, что f(bt) =f(b2) = ...—f(bn) — 0,
t. e. каждое из чисел bv b2, ..., bn является корнем многочлена f(z).
Кроме того, из (7.16) очевидно, что, каково бы ни было комплекс-
ное число Ь, отличное от bv b2......Ьп, комплексное число f(b) не
равно нулю**). Таким образом,'многочлен /(г) имеет ровно п кор-
ней: Ьх, Ь2, ..., Ьп.
Равенство (7.16) дает разложение многочлена f(z) на множители.
Если известен вид многочлена f(z) (7.12), то мы можем определить
постоянную с в равенстве (7.16). Сравнивая в равенствах (7.16) и
(7.12) коэффициенты при zn, получим с = с0***). .
Многочлен (7.12), у которого с0= 1, называется приведенным.
Для приведенного многочлена формула разложения (7.16) принимает
вид
/(г) = (г-^)(г-Л)...(г-Ья).	(7.17)
Сравнивая формулу (7.17) с формулой (7.12) (при сй — 1), получим следующие
соотношения:
ci — — (bi + b2 + ... -|- Ьп),
с2 = + (bib2 + Ьф3 + ... + bn_ibn),
cn = (-\)n.bib2 ... bn.
В дальнейшем, если не оговорено .противное, мы будем рассматривать
приведенные многочлены.
*) Здесь мы используем следующее утверждение: если многочлен f (г) =
= аогл + а1гя-1+ an_iz + ап тождественно равен нулю, то все его коэф-
фициенты равны нулю. В самом деле, если f(z) = O, то при г = 0 получим
ал—0. Но тогда f (г) = г [аогп-1 + fljz'1-2-)-... + on_i] = 0. Так как г ^0, то
выражение й" квадратных скобках тождественно равно нулю, откуда при z = 0
получим an_i ~ 0. Продолжая аналогичные рассуждения далее, докажем, что
все коэффициенты равны нулю.
**) Ибо произведение нескольких комплексных чисел равно нулю лишь
в том случае, когда равен нулю хотя бы один из сомножителей (см. § 1).
***) Здесь мы используем утверждение: если два многочлена aoz'l-^-aiZn'~1-\-
+ ... + ап и bazn +	+ •   + bn тождественно равны друг другу, то а0 = Ьо,
«х = bi,	, ап = Ьп. Для доказательства достаточно к разности указан-
ных многочленов применить утверждение, отмеченное в сноске *) на этой
странице.
202
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
[гл. г
§ 3. Кратные корни многочлена. Признак кратности корня
Среди корней многочлена f[z) могут быть совпадающие корни.
Пусть а, Ь, ..., с — различные корни приведенного многочлена /(г).
Тогда в силу результатов предыдущего параграфа для f(z) справед-
ливо разложение
f(z) = (z-a'f(z-b'f ... (z-c)\	(7.18)
В этом разложении а, £....f — некоторые целые числа, каждое из
которых не меньше единицы, причем а-|-р-|-...-|-у = л, где п—
степень многочлена /(z).
Если для многочлена f(z) справедливо разложение (7.18), то
говорят, что комплексное число а является корнем f(z) крат-
ности а, комплексное число b является корнем f(z) кратности
р, ..., комплексное число с является корнем f(z) кратности у.
Корень, кратность которого равна единице, принято называть
однократным, а корень, кратность которого больше единицы,
принято называть кратным.
Можно дать и другое эквивалентное определение корня данной
кратности: комплексное число а называется корнем многочлена
f(z) кратности а, если для f(z) справедливо представление
f(z) = (z-a')^(z), где ф(а)^0.	(7.19)
Наша цель — указать необходимое и достаточное условие для
того, чтобы комплексное число а являлось корнем многочлена /(z)
кратности а.
Назовем производной многочлена f(z) многочлен f(z), получен-
ный формальным дифференцированием *) f(z) по z. Прежде всего
докажем следующее утверждение.
Лемма 1. Если комплексное число а является корнем крат-
ности а многочлена f (z); то это же число а является корнем
кратности (а — 1) многочлена f (z).
Замечание. В частности, при а=1 число а, будучи однократ-
ным корнем f(z), совсем не является корнем f (z).
Доказательство. По условию для /(z) справедливо пред-
ставление (7.19). Дифференцируя формулу (7.19), будем иметь
Г (z) = a (z - а)1"1 <р (z) + (z - о)а <?' (z),
ИЛИ
Г (z) = (z — я)”-1	(z),	(7.20)
где
<f>i (г) = аср (z) + (z - а) <р' (z).
*) То есть дифференцирование f (г) по г производится так, как если бы г
была вещественной переменной.
§ 4] ВЫДЕЛЕНИЕ КРАТНЫХ КОРНЕЙ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА	203
Поскольку срх (а) = а<р (а)	0, то представление (7.20) означает, что
число а является корнем кратности (а — 1) многочлена f (г). Лемма
доказана.
Теорема 7.2. Для того чтобы комплексное число а являлось
корнем кратности а многочлена f(z), необходимо и достаточно,
чтобы были выполнены следующие условия:
f(a)=f’{a) = ...=^{d) = Q, /а’(а)#0.	(7.21)
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть а является
корнем кратности а многочлена f(z). Тогда, согласно лемме 1, это же
число а является корнем кратности (а—1) многочлена f (г~), корнем
кратности (а — 2) многочлена (г), ,.., корнем кратности единица
многочлена (г), т. е.
f(a) (а) = ... =/(“-« (а) = 0.
Согласно замечанию к лемме 1 число а совсем не является корнем
многочлена /(“>(г), т. е. /(а)(а)^0. Выполнение условий (7.21)
доказано.
2) Достаточность. Пусть выполнены условия (7.21). Требуется
доказать, что число а является корнем кратности а многочлена f(z).
Так как (а) — 0, число а является корнем многочлена (?)
кратности не ниже единицы. Стало быть, на основании леммы 1
число а является корнем многочлена (г) кратности не ниже
двух, корнем многочлена (г) кратности не ниже трех, ...,
корнем многочлена f(z) кратности не ниже а.
Остается доказать, что кратность корня а многочлена f(z) не выше а.
Если бы эта кратность была выше а, то, согласно лемме 1, кратность
корня а многочлена /(а-1)(г) была бы выше единицы, откуда следо-
вало бы, что а является корнем (г), т. е. (а) = 0, что проти-
воречит последнему из условий (7.21). Теорема доказана.
§ 4. Принцип выделения кратных корней.
Алгоритм Евклида
1. Принцип выделения кратных корней. Поставим перед собой
цель —для данного многочлена /(г), имеющего, вообще говоря, крат-
ные корни, найти такой многочлен F(z), который имеет те же
самые корни, что и f (z), но все кратности единица. Для достижения
этой цели введем некоторые новые понятия.
Определение 1. Назовем делителем двух многочленов f (z)
и <р (г) любой многочлен, на который делятся оба многочлена f(z)
и <р(2).
Определение 2. Назовем наибольшим общим делите-
лем двух многочленов f(z) и а> (z) такой их делитель, который
делится на любой другой делитель этих двух многочленов.
204
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 7
Договоримся обозначать наибольший общий делитель двух много-
членов /(г) и ср (z) символом D [/(z), ср (z)].
Заметим, что из определения наибольшего общего делителя выте-
кает, что он определен с точностью до произвольного постоянного
множителя.
Возвращаясь к цели, сформулированной в начале настоящего пара-
графа, мы теперь легко можем проверить, что искомый многочлен F (z)
имеет вид
(7'22)
В самом деле, пусть
/ (z) = (z - а)л (z—bf ... (z — с)\	(7.23)
где а, Ь, ..., с —различные корни. Тогда, согласно теореме 7.2, для
многочлена f (z) справедливо представление
Г (г) = (z — о)2”1 (? —	• • • (г — с)т-1 ф (z)<	(7.24)
где ф (z) не содержит множителей (г — a), (z — Ь), ..., (z — с).
Из сопоставления формул (7.23) и (7.24) очевидно, что
D [f(z), f (г)] = (z - аГ1 {г - bf1 ..• (г - с)1’1.	(7.25)
Из сопоставления формул (7,23) и (7.25) в свою очередь очевидно,
что многочлен F (z), определяемый формулой (7.22), имеет вид
F(z) = (z — a)(z — b) ... (z-c).	(7.26)
Тем самым доказано, что многочлен F (z), определяемый формулой
(7.22), имеет те же самые корни, что и многочлен f(z), но все
кратности единица.
Таким образом, задача выделения кратных корней сводится к по-
строению по данному многочлену /(z) многочлена F (z), определимого
формулой (7.22).
Поскольку знаменатель формулы (7.22) содержит наибольший
общий делитель двух многочленов f(z) и f (z), возникает задача
о нахождении наибольшего общего делителя двух многочленов. Пере-
ходим к решению этой задачи.
2. Нахождение наибольшего общего делителя двух многочле-
нов (алгоритм Евклида). Пусть даны два совершенно произвольных
многочлена /(z) и ср (z)' и требуется найти их наибольший общий
делитель. Не ограничивая общности, будем считать, что степень ср (z)
не выше степени f(z). Тогда, поделив /(z) на cp(z) столбиком, мы
придем к формуле (7.13) (см. § 2)
/(Z) = ?(z)?(z)+r1(z),	(7.27’)
в которой, как установлено в § 2, степень остатка rx (z) меньше
степени делителя ср (z). Это дает нам право снова поделить столбиком
§4]
ВЫДЕЛЕНИЕ КРАТНЫХ КОРНЕЙ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
205
<Р (г) на гг (z). В результате этого деления мы получим формулу,
аналогичную формуле (7.13):
<Р (г) = rj (z) (г) + г2 (г),	(7.2 72)
в которой степень остатка г2 (z) ниже степени делителя гг (г).
Далее мы делим столбиком ц (z) на r2 (z) и т. д. В результате
получим
П (г) = r2 (г) (z) + r3 (z),	(7.27s)
Tk-2 GO = rk^ (z) qk^ (z) + rk (z).	(7.27*)
Поскольку при каждом делении столбиком степень остатка будет
снижаться по крайней мере на единицу, повторив описанный процесс
достаточно большое число k раз, мы на (&4-1)-м шагу получим
остаток, равный нулю *), т. е.
rk-Az)^rk(z)qk(z).	(7.27*+1)
Докажем, что последний отличный от нуля’ остаток r*(z) является
наибольшим общим делителем многочленов f(z) и 'f(z).
Достаточно доказать два утверждения:
1) многочлены /(z) и cp(z) делятся на rft(z) (это означает, что
rk(z) является одним из делителей/(z) и cp(z));
2) многочлен rft(z) делится на любой делитель r0(z) многочленов
/(z) и <p(z) (это означает, что rk (z) — наибольший общий делитель
указанных многочленов).
Для доказательства утверждения 1) заметим, что, в силу (7.27*+1),
(z) делится на г* (z), а тогда, в силу (7.27*), rft_2 (z) делится на
rA(z)... Поднимаясь вверх по цепочке равенств (7.271) — (7.27*), мы,
наконец, докажем, что <р (z) и /(z) делятся на rA(z).
Докажем теперь утверждение 2). Пусть r0 (z) — любой делитель
многочленов /(z) и <p(z). В силу равенства (7.271) rx(z) делится на
r0(z), а тогда, в силу равенства (7.272), r2(z) делится на r0(z), в СИЛУ
равенства (7.273) r3(z) делится на r0(z)... Опускаясь по цепочке
равенств (7.271) — (7.27*), мы, наконец, докажем, что rA(z) делится
на r0(z).
Тем самым мы полностью обосновали описанный выше процесс
нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов. Этот
процесс обычно называют алгоритмом Евклида.
Пример. Найдем наибольший общий делитель двух много-
членов **)
/(z) = z4-2z3 + 3z2-2z+l и ср (z) 4z3 — 6z2 + 6z — 2.
*) Если остаток не обратится в нуль в одном из промежуточных звеньев
описанного процесса, то после некоторого количества k шагов мы получим
остаток г* (г) нулевой степени. Тогда следующий остаток rft+1 (г) заведомо
равен нулю (ибо любой многочлен делится на многочлен нулевой степени).
**) Легко видеть, что <f (г) = f (г).
206
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
,[ГЛ. Z
Поделив f(z) на ®(г) столбиком, будем иметь	.
_ г4 - 2г3 + Зга - 2z + 1	| 4г3 - 6га + 6г -2
О	О	1	—'	--------
1 о , 3	2	3	, ,
2	+ 2 г 2	1
1	о , 3	2	3.1
— -A- Z3 + -г- Z2 — -J- Z + -т-
2	4	4'4
	з	2 з	,3 -r-z2 — -г- г + -у 4	4	'4
Далее мы должны были бы поделить <р (z) на обведенный пунктиром
многочлен. Однако, поскольку наибольший общий делитель определен
с точностью до произвольного постоянного множителя, удобно
4
умножить обведенный пунктиром остаток на -х- и поделить <р (г) на
О
многочлен г2 —г + 1. В результате получим
4г3-•’бг2 + 6г - 2 [га-г + 1
4г3 — 4г2 + 4г	4г — 2
_ - 2г2 + 2г - 2
— 2г2 + 2г — 2
остаток равен нулю.
Таким образом, наибольший общий делитель многочленов /(г) и
<р(г) равен г2 —г + 1, т. е.
D[f(z), <р(г)] = г2-г + 1.
Замечание 1. В приведенном выше примере мы для простоты
взяли многочлены /(г) и ср (г) с вещественными коэффициентами.
Та же методика сохраняет силу и для многочленов с комплексными
коэффициентами.
Замечание 2. Следует отметить, что до настоящего времени
практически отсутствуют устойчивые численные методы вычисления
корней произвольных многочленов с заданной точностью. Однако,
имея предварительную информацию о расположении искомого корня
многочлена на некотором сегменте числовой оси, мы можем вычис-
лить этот корень с интересующей нас точностью с помощью мето-
дов, изложенных в § 1 главы 12.
§ 5. Разложение правильной рациональной дроби
с комплексными коэффициентами на сумму простейших дробей
Рациональной дробью называется отношение двух алгебраи-
ческих многочленов. Рациональная дробь называется правильной, если
степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена,
стоящего в знаменателе. В противном случае рациональная дробь
§ 5]
РАЗЛОЖЕНИЕ ПРАВИЛЬНОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ
207
Р (г)	,	,
—правильная рациональная дробь, зна-
Ч (Z)
имеет корнем кратности а комплексное
называется неправильной. Как правило, мы будем обозначать рацио
Р (г)
нальную дробь символом q-^-> понимая под P(z) и Q(z) алгебраи-
ческие многочлены.
Лемма 2, Пусть
менатель которой
число а, т. е.
Q (г) == (г — а)я (г), где у (а)	0.	(7.28)
этой дроби справедливо следующее представление:
Р(г) = А	ф (?)
Q (г) (г — и)" (г — а)и h ср (z) '
представлении А — комплексная постоянная, равная
k —целое число ^1, а ф (г) — некоторый многочлен,
Тогда для
(7.29)
В этом
А = ^-,
У (а)
причем последняя дробь в правой части (7.29) является правильной.
Доказательство. Обозначив через А постоянное число вида
А =	*), рассмотрим разность
? в А
Q(z) (г — а)а'
Приводя указанную разность к общему знаменателю, будем иметь
Р(?) А = Р(г)-А^(г) _ Ф (?)
<2 (z) (z — а)* (г — а)».<р (г) (г — аД ср (г) ’	1
где через Ф (г) обозначен многочлен вида Ф (г) = Р (z) — Ay (z).
Поскольку Ф (а) = Р(а) — Лф (а) — 0, комплексное число а является
корнем многочлена Ф(?) некоторой кратности k~^\, т. е.
Ф (г) = (z — a)k ф (г), где ф(а)^0.	(7.31)
Вставляя представление (7.31) в формулу (7.30), будем иметь
Р (z)_____А _________Ф (z)___ орх
Q (г)	(г — а)1	(г — а)“~л ср (г) ’	1-7
Тем самым формула (7.29) доказана. Остается только убедиться в том,
что дробь, стоящая в правой части (7.32), является правильной. Это
непосредственно вытекает из того, что разность двух правильных
дробей является правильной дробью **).
Лемма 2 доказана.
Из леммы 2 непосредственно вытекает следующая замечательная
теорема, устанавливающая факт разложимости правильной рациональ-
ной дроби на сумму простейших дробей.
*) Число А имеет смысл, ибо ср (а) ф 0 в силу (7.28).
**) В этом легко убедиться, приводя разность правильных' дробей к об-
щему знаменателю.
208
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 7
Р (г)
Теорема 7.3. Пусть —
знаменатель которой, имеет вид
правильная рациональная дробь,
Q (z) = (z - а)“ (z - Ь/ ... (z - с)\	(7.33)
Тогда для этой, дроби справедливо следующее представление:
Р (?)  	। А2 ।	I	।
Q (г)	(г — а)а ' (г — а)а~1 'г ’' * - (г — а) ,
I В1_| Й2 |	[	
^(г —6)? (г —(г —Ь) 
+.................+
+^+(^+---+-Дг <7-34)
В этом представлении А2,..., Аа, BL, В2, ..., В^ ..., Cv С2,...
, Ст — некоторые постоянные комплексные числа, часть из
которых может быть равна нулю.
Доказательство. Сначала применим лемму 2 к дроби
Р(г)
<2(г) ’
имея в виду, что комплексное число а является корнем Q(z) крат-
ности а. При этом получим равенство (7.32). К правой части этого
равенства снова применим лемму 2, имея в виду, что либо комплекс-
ное число а является корнем знаменателя указанной правой части
кратности a — k (при а —А>0), либо, в силу разложения (7.33),
комплексное число b является корнем этого знаменателя кратности 8
(при 4—AsgO). В результате получим равенство, аналогичное (7.32),
к правой части которого снова можно применить лемму 2. Продол-
жая аналогичные рассуждения далее (т. е. последовательно применяя
лемму 2 по всем корням Q(z)), получим
ление (7.34). Теорема доказана.
Замечание. Поскольку в лемме 2
х Р(А
для дроби
представ-
число k может быть больше
единицы и многочлен Р (z) может иметь корни, совпадающие с кор-
нями Q (г), то часть коэффициентов Alt ..., Аа, В±, ..., В&, ..., Cv ...
..., Ст в формуле (7.34) может быть равна нулю.
§ 6. Разложение алгебраического многочлена
с вещественными коэффициентами
на произведение неприводимых вещественных множителей
Выше мы изучали разложение на сумму простейших дробей’ рацио-
нальной дроби с комплексными коэффициентами. Нашей окончатель-
ной целью является разложение рациональной дроби с веществен-
ными коэффициентами на сумму простейших дробей с всэдес/иеелг-
ными коэффициентами.
$ 6J	РАЗЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА	209
Для достижения этой цели мы должны прежде всего найти разло^
жение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами
на произведение неприводимых вещественных множителей. Этому и
посвящен настоящий параграф.
Пусть
/(г) = zn +	+ с2гл-3 + ... + сп	(7.35)
— приведенный алгебраический многочлен с вещественными коэф-
фициентами сх, с2, .сп.
Прежде всего докажем следующую теорему.
Теорема 7.4. Если комплексное число а является корнем
алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами
(7.35), то и сопряженное ему комплексное число *) а также яв-
ляется корнем многочлена (7.35). Более того, если комплексный
корень а имеет кратность, \ то и корень а имеет крат-
ность X.
Доказательство. Прежде всего докажем следующее вспомо-
гательное утверждение: если /(г) —многочлен с вещественными коэф-
фициентами, то комплексная величина f(z) является сопряженной
по отношению к величине f (г). Достаточно доказать, что для любого
номера п величина (2)” является сопряженной по отношению к вели-
чине zn. Это последнее непосредственно вытекает из тригонометри-
ческой формы комплексного числа. В самом деле, пусть
z = р (cos 9 +1 sin 0).
Тогда
z — р [cos (— 9) + i sin (— 9)].
В силу формулы Муавра (7.11)
zn = р" (cos 8п 4- i sin 9/г),
(z)n = р" [cos (— 0л) +1 sin (— 9л)] — р” (cos 9л — I sin 9л).
Из сопоставления двух последних формул вытекает, что (г)” является
величиной, сопряженной по отношению к гп. Вспомогательное утвер-
ждение доказано.
Пусть теперь комплексное число а является корнем многочлена
f (г), т. е. f(a) = 0. В § 1 этой главы мы установили, что ком-
плексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равно нулю
сопряженное ему число. Стало быть, из равенства /(а) = 0 и из
доказанного выше вспомогательного утверждения вытекает, что
/(а) = 0, т. е.-число а является корнем f(z).
*) Всюду в дальнейшем мы будем обозначать комплексное число, сопря-
женное данному, тем же символом, что и данное число, но. с черточкой
наверху.
210
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 7
Пусть дано, что кратность корня а равна X. Тогда в силу тео-
ремы 7.2
f{a) =f (a) =f^ (а) = ... =fW (а) = 0;	(а)	0. (7.36)
Так как комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда
равно нулю сопряженное ему число, то из доказанного выше вспо-
могательного утверждения и из соотношений (7.36) вытекают сле-
дующие соотношения *):
/(й) =/' (й) =JW	(й) = 0,	(й) # 0. (7.37)
В силу теоремы 7.2 соотношения (7.37) означают, что число й яв-
ляется корнем f(z) кратности X. Теорема 7.4 доказана.
Пользуясь теоремой 7.4, найдем разложение многочлена с веще-
ственными коэффициентами **) f(x) на произведение неприводимых
вещественных множителей. Пусть многочлен f(x) имеет вещественные
корни bv b2, ..., Ьт кратности рх, f32, ..., рот соответственно и ком-
плексно сопряженные пары корней аг и йх, а2 и й2, ..., ап и ап
кратности Х1( Х2, ..., Хя каждая пара соответственно.
Тогда, согласно результатам § 3, многочлен f(x) может быть
представлен в виде
f (Х) = (Х- (X - b2fc ... (X — Ь'п/'П (х - йх)х1 (х - йх)х1 X
X (х - «г/2 Iх — sz?2  •  (х- ап)'п (х - й„)хл. (7.38)
Обозначим вещественную и мнимую части корня ak(k = \, 2, ..., ri)
соответственно через uk и vk, т. е. пусть ак = uk + ivk. Тогда
ak = uk — ivk. Преобразуем для любого А=1, 2, ..., п выражение
(х - aktk (х - йА)х* = [(х - ak) (х - й*)]х* =
= [(х — Uk — iVk) (х - Uk + гоА)]х* = [(х — и*)3 + u*]xft =
= (х2+рАх + ^)Ч (7.39)
где
pk = — 2uk, Qk^ul + Vk.
Вставляя (7.39) в (7.38), окончательно получим следующее разложе-
ние многочлена /(х) на произведение вещественных неприводимых
множителей:
/(х) = (х - ix)₽i (х - fc2)p2 ... (х - bm)?™ (х2 +рхх + qrfi X
X (х2 + Рчх + ?2)х2 ... (х2 + рпх + qn)\ (7.40)
*) При этом мы учитываем, что производная многочлена с. веществен-
ными коэффициентами представляет собой многочлен также с вещественными
коэффициентами.
**) В дальнейшем нам придется иметь дело с многочленами от перемен-
ной, принимающей лишь вещественные значения. Поэтому для ее обозначения
удобнее пользоваться буквой хг а не г.
§7]	РАЗЛОЖЕНИЕ ПРАВИЛЬНОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ	211
Мы приходим к выводу, что многочлен f(x) с вещественными коэф-
фициентами распадается на произведение (7.40) неприводимых веще-
ственных множителей, причем множители, соответствующие вещест-
венным корням, имеют вид двучленов в степенях, равных кратности
корней, а множители, соответствующие комплексным парам корней,
имеют вид квадратных трехчленов в степенях, равных кратности этих
пар корней.
§ 7. Разложение правильной рациональной дроби
с вещественными коэффициентами на сумму
простейших дробей с вещественными коэффициентами
Имеют место следующие два утверждения.
Лемма 3.
шественными
вещественное
р /и
Пусть — правильная рациональная дробь с ве-
коэффициентами, знаменатель .которой имеет
число а корнем кратности а, т. е.
Q (х) = (х — а)а <р (х), где ср (а)	0.
Тогда для этой дроби справедливо следующее представление:
Р(х):	А	ф(х)
Q (х) (х — ар (х — ар k ср (х)'
(7.41)
В этом представлении А — вещественное число, равное А =	,
k —целое число ^1, а ф (х) — некоторый многочлен с веществен-
ными коэффициентами, причем последняя. дробь в правой части
(7.41) является правильной. Лемма 3 доказательства не требует,
так как непосредственно вытекает из леммы 2. Следует только учесть,
что, поскольку Р(х) и Q (х) — многочлены с вещественными коэффи-
циентами, а а — вещественный корень, многочлены ср (х) и <р (х)
также имеют вещественные коэффициенты и, стало быть, постоянная
Л = —Н является вещественной.
<р (а)
р АЛ
Лемма 4, Пусть
Q(x)
щественными коэффициентами, знаменатель которой
имеет комплексные числа a = u-\-iv и a = u — iv корнями
ности X, т. е.
Q(x) = (x2+px + #<p(x), где ср(а)^О, ср (й) # 0,
р == — 2«, q — и2 ф- V2.
правильная рациональная дробь с ве-
Q(x)
крат-
(7-42)
Тогда для этой дроби справедливо следующее представление:
Р (х) _ Мх + тУ_________________ф(х)_________
Q (х)	(х2 + рх + qp (х2 + рх + qp~k <f (х)
(7.43)
212
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 7
В этом представлении М и N — некоторые вещественные' посто-
янные, k —целое число 1, а ф (х) — некоторый многочлен с веще-
ственными коэффициентами, причем последняя -дробь в правой
части (7АЗ) является правильной.
Доказательство леммы 4. Договоримся обозначать веще-
ственную часть комплексной величины А символом Re [А], мнимую
часть комплексной величины А символом Im [А]. Положим *)
..	1. ГР(а)1	о ГР(а)1 “i Г Р (“) 1
7И —— Im —И- , N=Re —-----------Im —.
v |_<p(a)J	L ? (a) J v L?(a)J
Нетрудно проверить, что указанные Л и W являются решением сле-
дующего уравнения:
P(a)-.(Ala + N)<P(fl) = O.	(7.44)
В самом деле, поделив это уравнение на ср (а), и приравняв нулю
действительные и мнимые части, мы получим два равенства
Ми + N=Re ИД1,
Мх>=1тГ-^-1,
L<p(o)J
из которых определяются написанные выше М и N. Рассмотрим
теперь разность
Р (х) __ Мх 4- N
V	Q W (ха + Рх 4- <?)х ’
Приводя указанную разность к общему знаменателю, будем иметь
Р(х) Mx + N =Р (х) — (Мх + N) ср (х) _
Q W (^2 + рх 4- <?)х	(х2 4- рх 4- <?)х <f (х)
=--------.	(7.45)
(х2 4- рх 4- <?)х <р W
Здесь через Ф(х) обозначен многочлен с вещественными коэффи-
циентами вида Ф (х) = Р (х) — (Л1х 4- N) <р (х). Равенство (7.44) позво-
ляет- утверждать; что комплексное число а, а стало быть, в силу
теоремы 7.4, и сопряженное ему число й являются корнями много-
члена Ф(х) некоторой кратности А^1. В таком случае для много-
члена Ф(х) справедливо представление
Ф (х) = (х2 4- рх 4- q)k ф (х),	(7-46)
где ф (х) — некоторый многочлен с вещественными, коэффициентами,
не имеющий ^качестве корней числа а и а. Вставляя представление
*) В силу (7.42) <f (а)	0, так что отношение —— рассматривать можно.
§ 71
РАЗЛОЖЕНИЕ ПРАВИЛЬНОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ
213
(7.46) в формулу (7.45), получим представление (7.43). Тот факт, что
последняя дробь, стоящая в правой части (7.43), является правильной,
вытекает из того, что эта дробь равна разности двух правильных
дробей.
Лемма 4 доказана.
Р (х)
Последовательное применение лемм 3 и 4 к дроби по всем
корням знаменателя приводит нас к следующему замечательному
утверждению.
Р (х)
Теорема 7.5. Пусть -—- — правильная рациональная дробь
с вещественными коэффициентами, знаменатель которой
имеет вид
Q (х) = (X -	(х -	... (X — bmft* (х2 +ptx +	...
 (х?+рпх + дпУп.
Тогда для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму
простейших дробей:
Р(х)= В В о	В£
Q(x) (x-bj + (х-fei)2^ "+(х-А)р? + '*
В(«)
д(т)
° 2
(X-6m)2	(X-bJ*
(x2 + PjX + <7i)X1
Al?>x +
 • • H-----2-------V • (7-47)
(x2 + p„X + qn) n
(* — Ът)
Af/’x+A?;11 Afi/’x + W;1'
(х2 4- ptx + <?i),	(x2 + pLx + pj2 '
M^x+N^ M[^x + N^
(x2 + pnx + qn) (x2 + pnx + qn)2
В этом разложении B^\ В^\ ..., ВЬт\ A1W, .... тИ(А М’) —
12	1	1	кп кп
некоторые вещественные постоянные, часть из которых может
быть равна нулю.
Замечание. Для конкретного определения только что указан-
ных постоянных следует привести равенство* (7.47) к общему знаме-
нателю и после этого сравнить коэффициенты при одинаковых сте-
пенях х в числителях.
Примеры и разъяснения.
1°. Разложить на сумму простейших правиллную дробь
2х2 + 4х2 + х + 2’'
(х-1)2(х2 + х+1)-
Убедившись в том, что квадратный трехчлен х2 + х+1 имеет ком-
плексные корни, ищем, согласно теореме 7.5, разложение в виде
2х3 + 4х2 + х + 2 Вг Вг Mxy-N
(х-Г)2(х2 + х+1)~х-1 +(х-1)2+ х2 + х+1 •
(7.48)
214
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 7
Приводя равенство (7.48) к общему знаменателю, получим
2x3 + 4x2 + х + 2 (хз — 1) + В2 (х2 + х + 1) + (Мх + N) (х2 — 2х + 1)
(X— 1)2(х2 4-х+ 1)“	(X — 1)2 (х2 + X + 1)
Сравнивая в числителях коэффициенты при х°, х1, х2 и х3, придем
к системе уравнений*)
B± + M = 2,
B2 + N-2M = 4,
B2 + M-2N=1,
Решая эту систему, найдем Вг = 2, В2 = 3, М = 0, N=l. Оконча-
тельно получим
2х3 Ц- 4хг + х + 2 _	2	.	3	.____1______ . д,
(х—1)2(х2 + х+1) х— 1 (х — 1)2"f" х2 + х+1 •	'	'
Только что проиллюстрированный метод отыскания разложения пра-
вильной рациональной дроби называется методом неопределенных
коэффициентов. Этот метод приводит к цели всегда; доказывать
разрешимость полученной в результате применения этого метода
системы уравнений не нужно — разрешимость вытекает из теоремы 7.5.
2°. Проиллюстрируем метод неопределенных коэффициентов еще
одним примером. Требуется найти разложение правильной дроби
3x4 + 2x3 + 3x2—1
(X-2)(X2 + 1)2 •
Так как квадратный трехчлен х2 + 1 имеет комплексные корни,
ищем, согласно теореме 7.5, разложение в виде
3x4 + 2x2 + 3x2 — 1 в М±х + А\ М2х + Nt
(х —2)(ха + 1)2	—х —2+ х2+1 + (х2 + I)2 *
Последнее равенство приводим к общему знаменателю и после этого
сопоставляем числители. Получим
Зх4 + 2х3 + Зх2 - 1 = В (х4 + 2х2 4-1) +
+ (МiX + Д\) (х3 - 2х2 + х - 2) + (7И2х + NJ (х - 2).
Сравнивая коэффициенты при х°, х1, х2, х3 и х4, придем к системе
*) При этом мы используем утверждение, сформулированное в сноске ***)
на стр. 201.
§ 71
РАЗЛОЖЕНИЕ ПРАВИЛЬНОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ
215
уравнений
В + Afi= 3,
^-2М1 = 2,
25 + тИ1-2^ + тИ2 = 3,
Д^-2^ + ^-27412 = 0, |
B-2Nl-2Ni = — 1, J
Решая эту систему, найдем 5 = 3, тИ1 = 0, Nx = 2, тИ2=1, Лг2 = 0.
Окончательно получим
Зх1 + 2х3 + Зх2 — 1 _ з ,	2 х
(х — 2) (х2 + I)2 — х — 2 + х2 + 1 + (х2+ 1)а '
(7.50)
3°. Метод неопределенных коэффициентов, как видно из рассмот-
ренных примеров, является довольно громоздким. Естественно поэтому
в тех случаях, когда это возможно, найти другой, более простой метод
отыскания коэффициентов в разложении правильной рациональной
дроби на сумму простейших. Пусть знаменатель Q(x) правильной
рациональной дроби \ имеет вещественное число а корнем крат-
ности а. Тогда среди простейших дробей, на сумму которых раскла-
дывается дробь , будет фигурировать дробь
А
(х— а)л'
(7.51)
Укажем совсем простой метод вычисления коэффициента А при этой
простейшей дроби. Привлекая лемму 3 и формулу (7.41), мы убедимся
в том, что коэффициент А равен
. Р(а) . <
Л = 7^) - где
(х —а)а'
Мы приходим к следующему правилу: для вычисления коэффициента А
при простейшей дроби (7.51), соответствующей вещественному
корню а многочлена Q(x) кратности а, следует вычеркнуть в зна-
, Р (х)	-
менателе дроби скобку
(х — а)* и в оставшемся выражении
положить х — а.
Указанный прием нахождения коэффициента А обычно называют
методом вычеркивания. Отметим, что этот прием применим лишь
для вычисления коэффициентов при старших степенях простейших
дробей, соответствующих вещественным корням Q(x).
Метод вычеркивания особенно эффективен в случае, когда зна-
менатель Q (х) имеет лишь однократные вещественные корни, т. е.
когда Q (х) ?= (х — aj (х — а2)... (х — а„). Тогда, как мы знаем,
216
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
1ГЛ. ?.
справедливо разложение
Р (х)___ Лх . А2 .	। Аь .	। Ап
Q (х) х — х — аг ' х —	‘ " х — ап’
все коэффициенты которого могут быть вычислены по метоДу вычер-
кивания. Для вычисления коэффициента Ak следует вычеркнуть в зна-
л Р (х)	,	, ч
менателе дроби скобку (х — ak) и в оставшемся выражении
положить х<=ак.
Пример. Найти разложение дроби
х -р 1
(х — 1)х(х —2) •
Согласно теореме 7.5 пишем
(7-52)
х 4~ 1______ Aj . Д2 । Д»
(х — 1) х (х — 2) х — Р х х - 2 '
/
Для отыскания вычеркиваем в выражении (7.52) скобку (х— 1)
и в оставшемся выражении берем х=1. Получим Аг = — 2. Анало-
.	1	.	3
гично находим Д2 = у, =
Окончательно получим
х-р 1	— 2.1.	3
(х-1)х(х-2):=х-1 + 2х +2(х-2)‘
(7.53)
§ 8. Проблема интегрирования рациональной дроби
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы в общем виде решить
проблему интегрирования рациональной дроби с вещественными коэф-
фициентами.
Прежде всего, отметим, что эта проблема сводится к проблеме
интегрирования только правильной рациональной дроби, ибо всякую
неправильную рациональную дробь можно (посредством деления числи-
теля на знаменатель «столбиком») представить в виде суммы алге-
браического многочлена и правильной рациональной дроби.
Пример.
**-*3 + 1 _	_ 2х) ,	4х+1
х2 + х4-2	-,+ х2 + х + 2’
х4 — х3 + 1
— X4 + х3 + 2х3
—2х3 — 2х3 + 1
— —2х* — 2x2 — 4х
остаток 1 4х
I х2 4- X + 2
х2 —2х
§ 8]
ПРОБЛЕМА ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ
217
Интегрировать многочлен мы умеем (напомним, что неопределен-
ный интеграл от многочлена представляет собой некоторый многочлен
степени, на единицу более высокой). Остается научиться интегриро-
вать правильную рациональную дробь. В силу теоремы 7.5 проблема
интегрирования правильной рациональной дроби сводится к интегри-
рованию простейших дробей следующих четырех типов:
1. -5-г, II.	HL ,	IV-	(7-54)
х — Ь’ (х — Ь)9’	(х2 +рх q) ’	(х2 + рх + v 7
Здесь Р = 2, 3,...; X = 2, 3,...; В, М, N, Ь, р и q — некоторые веще-
ственные числа, причем трехчлен x2-\-px-\-q не имеет вещественных
р2
корней, т. е. q— > 0.
Докажем, что каждая из четырех указанных дробей интегрируема
в элементарных функциях.
Дроби вида 1 и II элементарно интегрируются при помощи под-
становки t — x—b. Мы получим
= B J у = Д1п|1']-|-С = 51п]х-&] 4-С,	(7.55)
f В	о С Л	В
3 (х -Ь)₽ ах ~ J “	(р- 1) /Г» + с -
(7-56>
Для вычисления интеграла от дроби вида III представим квадратный
трехчлен в виде (х2 + рх + q) = ( х -)- ) + \q — и, учитывая, что
п2	7
9 — у > 0, введем в рассмотрение вещественную постоянную а =
—	j/"q — ^. Сделав подстановку t = x-\~, будем иметь
Mt + lNMp\
----dt
12(у+5-. dx=
(Х2 + px+q)
_Л4 г 2/ di / „ Мр\ у dt _
2‘ J /2 + а2 .	2 /' J /2 + а2 ~
М f d(t2 + a2) , ( v Мр\ 1 f
“ 2 J t2a2	2~ / a J ^_Lj2	~
M.	, 2/V — Mp , t .
= y in (t2 + a2) +	2-a arctg - + C =
X -I—~
M , . . ,	...	2/V — Mp '	^2	. _ 
= vln	+ Px + 9) H--7^—-i arctg-- ---- + C. (7.57)
218
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
1ГЛ. 7
Остается вычислить интеграл от дроби вида IV. Используя введен-
ные выше обозначения / = х4-у, л=1/"? —	будем иметь
Mx + N -dx- С \	2 ! dt -
(№ + px + 9)x J (/2 +	“
M. C d (/« + a2)
2 J O2 4- a3)*
Введем обозначения
C d(t3 + a3)
J (/3 + а2)Х >
rz   C dt
x	} (/2 + a3}* ’
Интересующий нас интеграл будет вычислен, если будут вычислены
интегралы I и Кх. Интеграл 1 берется элементарно:
I —______!________*	4- С —_______-___________1	4- С
(X — 1) (/2 + а2)л-1Т'-—	(X— 1)
Интеграл К\ вычислен нами в примере 6 в конце § 2 главы 6. Там
мы получили для этого интеграла рекуррентную формулу (6.12), позво-
ляющую последовательно вычислить для любого Х = 2, 3, ....опи-
раясь на то, что
К,= ?	= -arctg-4-С.
1 J /2 а2 а Ь а I
Итак, нами вычислены интегралы от всех четырех простейших дро-
бей (7.54) и доказано, что каждый из этих интегралов представляет
собой элементарную функцию *). Тем самым мы приходим к следую-
щей теореме, исчерпывающей проблему интегрирования рациональной
дроби.
Теорема 7.6. Всякая рациональная дробь интегрируема в эле-
ментарных функциях.
В заключение этого параграфа мы остановимся на примерах
вычисления неопределенных интегралов от рациональных дробей.
Вычислим неопределенные интегралы от трех дробей, рассмотренных
в предыдущем параграфе (7.49), (7.50) и (7.53). Пользуясь указан-
ными тремя формулами, а также формулами (7.55), (7.56) и (7.57),
*) Точнее, выражается через логарифм, арктангенс и рациональную
функцию.
§ 9)
МЕТОД ОСТРОГРАДСКОГО
219
будем иметь:
2х? + 4х2 + х + 2	,
(х_1)2(Х2 + х+1)а*~
dx
1Д—I-
Г ' (X— I)2
— 2 In х — 1---h-г^arctg—-d=—НС.
1	1	х-1 /3	6 у3
9 f Зх* + 2x3 + 3x2-1
' (х — 2) (х2 + 1)2 х~
С 3 л.. । С 2 dx , f xdx _
— ' X^2dx + J x2 + 1 + J (x2+ 1)2“
= 31n |x - 2 | + 2 arctg x + ~ J yffjr =
= 3 In |x— 2 | + 2 arctg+ C.
3.	7--iT^7~-oV^x— f ~~2. dx+ f ^ +	57 3 -~rdx —
J (x — 1) x (x — 2) J x — 1	1	J 2x 1 J 2 (x — 2)
= — 2 In | x — 1 | + -g- In | X | + -g- In X — 2|+C.
§ 9. Метод Остроградского
M. В. Остроградским*) предложен остроумный метод выделе-
ния рациональной части интеграла от правильной рациональной
Анализируя вид интегралов от четырех простейших дробей (7.54),
можно сделать следующие выводы:
1)	Интегралы от дробей вида I и III, знаменатели которых содер-
жат двучлен или соответственно трехчлен в первой степени, являют-
ся нерациональными функциями (они равны логарифму или арк-
тангенсу).
2)	Интеграл от дроби вида II, знаменатель которой содержит
двучлен в степени (3 > 1, является правильной рациональной
дробью со знаменателем, равным тому же двучлену в сте-
пени р 2- 1.
3)	Интеграл вида IV, подынтегральная функция которого содер-
жит в знаменателе трехчлен в степени X, в конечном итоге **) равен
*) Михаил Васильевич Остроградский — русский математик (1801 — 1861).
**) С учетом рекуррентной формулы (6.12), полученной в конце § 2
главы 6,
220
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
(ГЛ. 7
равным
арктан-
сумме правильной рациональной дроби со знаменателем,
тому же трехчлену в степени X — 1, и приводящегося к
, С dx
генсу интеграла const j_ рх .
Выводы 1), 2), 3) позволяют заключить, чему равна рациональ-
, Р (х)
ная часть всего интеграла от правильной дроби 777-т, которую мы,
х W
кроме того, будем считать несократимой. Пусть знаменатель Q(x)
имеет вид
Q (х) = (х - by)... (х - bm)?"> (х2 +ргх + gx)Ai ... (х2 4- рпх + qrf".
(7.58)
Тогда рациональная часть интеграла от правильной рациональной дроби
Р (х)
равна сумме правильных рациональных дробей, знаменатели кото-
рых соответственно равны
1

.... (х2 +pnx + qn)А«-'.
Указанная сумма *) представляет собой, очевидно, правильную рацио-
пальную дробь , знаменатель которой Qx(x) имеет вид
vi W
Qx (х) = (х- ^-1... (х - Ьт)^~1 (х3 + Рух + ?1)xt-‘...
...(x*+pnx + qn)xn-1. (7.59)
Подсчитаем теперь сумму тех простейших дробей, интегралы от
которых представляют собой нерациональные функции. Из выводов
1) и 3) вытекает, что эта сумма равна правильной рациональной
Р М
дроби -л-Л, знаменатель 02(х) которой равен
V2 (х)
Q2 (х) = (х - by)... (х - bm) (х2 + руХ + <?!)... (х2 +-рпх + qn). (7.60)
Таким образом, мы приходим к следующей формуле, впервые
полученной М, В. Остроградским:
С
' Q(x) Ql{x)
В формуле Остроградского многочлены Qx (х) и Q2 (х) определяются
формулами (7.59) и (7.60) и могут быть вычислены без разложения
многочлена Q(x) на произведение неприводимых множителей.
В самом деле, в силу результатов § 4 (см. формулу (7.25)), мно-
гочлен Qi (х) представляет собой наибольший общий делитель двух
(7.61)
„ т	л р<х)
*) 1о есть рациональная часть_интеграла от дроби
§9]
МЕТОД ОСТРОГРАДСКОГО
221
многочленов Q(x) и Q' (х) и может быть вычислен при помощи
алгоритма Евклида (см. §4).
Многочлен Q2(x), в силу формул (7.58), (7.59) и (7.60), пред-
А „	Q (х)	-
ставляет собой частное д . \ и может быть вычислен посредством
41 w
деления Q(x) на Qx(x) «столбиком».
Остается вычислить многочлены Рт (х) и Р2 (х). Поскольку дроби
Pi (х) Р2 (х)	„ . .
 *; . и  , : являются правильными, многочлен Pi(x) естественно
4i W 4а Vе)
задать как многочлен с неопределенными коэффициентами степени
на единицу ниже, чем 0х(х), а Р2(х) — как многочлен с неопреде-
ленными коэффициентами степени на единицу ниже, чем Q2 (х). Для
вычисления указанных неопределенных коэффициентов следует про-
дифференцировать формулу Остроградского (7.61), привести резуль-
тат дифференцирования к общему знаменателю и сопоставить коэф-
фициенты при одинаковых степенях х в числителях.
Таким образом, метод Остроградского представляет собой остро-
умный прием интегрирования рациональной дроби без предваритель-
ного разложения этой дроби на сумму простейших. Этот прием
особенно эффективен в том случае, когда корни Q(x) в основном
являются кратными или когда вызывает затруднение нахождение кор-
ней Q (х).'
Пример. Методом Остроградского вычислить
Имеем
6 — 7х — х2
х« — 2х» -ф Зх2 — 2х + 1
Q (х) = х4 — 2х3 + Зх2 — 2х + 1,
Q' (х) = 4х3 — 6х2 + 6х — 2.
Ищем (х) как наибольший общий делитель многочленов Q (х) и Q' (х).
Заметим, что наибольший общий делитель именно этих двух много-
членов уже найден нами в примере, рассмотренном в конце § 4.
Он равен
Q* (х) = х2 — хф-1.
Поделив Q (х) на Qj (х) «столбиком», найдем
Q2 (х) = х2 — х + 1.
Pj (х) и Р2 (х) задаем как многочлены первой степени с неопреде-
ленными коэффициентами.
Формула Остроградского (7.61) принимает вид
6 — 7х — х2	, Ах + В , С Сх + D
х* — 2х? + Зх2 - 2х + 1 ах ~ л2 — х + 1 + J X2 —х+ 1
(7.62)
222
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
(ГЛ. 7
Для определения коэффициентов А, В, С, D продифференцируем
формулу (7.62). Получим
6 — 7х — х2
х4 — 2х3	3x2 _ 2х + 1
Л (х2 —х + 1) — (4х + В) (2х—1) CxA-D
(Х2—Хф!)2	+(Х2_х+1)-
Результат дифференцирования приводим к общему знаменателю, после
чего сопоставляем числители. Получим
6 — 7х —х2 =
= Л(х2-х+1)-(ЛхфВ)(2х-l) + (Cx + D)(x2-x+ 1).
Сравнивая коэффициенты при х°, х\ х2 и х3, получим систему
уравнений
С = 0,
— A + D-C = — 1,
— 2B-D + C=— 7,
А + В 4- D = 6.
Решая эту систему, найдем А —2, В = 3, С = 0, D = l. Таким обра-
зом, формула (7.62) принимает вид
С 6 — 7х —- х2 , ____________ 2х + 3 С dx
J X4 — 2x3 + Зх2 — 2х + 1ах ~ х2 — X + 1 + } х2 — х + ! •
Вычислив интеграл в правой части, окончательно найдем
С 6 — 7х — х2	, 2х + 3	,2	. 2х — 1 .
} х4 — 2x3 + 3x2 _ 2х + 1 dx ~ х2 — х + 1 /з arCtg +
§ 10. Интегрирование некоторых иррациональных
и трансцендентных выражений
В предыдущих параграфах мы установили, что интеграл от любой
рациональной дроби представляет собой элементарную функцию.
В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые другие классы
функций, интегрируемых в элементарных функциях. Как правило,
мы будем посредством некоторой подстановки сводить интеграл от
рассматриваемой функции к интегралу от рациональной дроби. Отно-
сительно указанной подстановки мы будем говорить, что она рацио-
нализирует интеграл от рассматриваемой функции.
§ 10]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
223
1. Интегрирование некоторых тригонометрических выраже-
ний. Договоримся всюду в дальнейшем символом R (х, у) обозначать
любую рациональную функцию от двух аргументов х и у *).
В этом пункте мы докажем интегрируемость в элементарных
функциях любой функции вида
R (sin х, cosx).	(7.63)
Докажем, что интеграл от этой функции рационализируется подста-
новкой Z = Действительно,
2 tg 2"	2/	1 — tg2 1/2
sinx=--------Г = ТТК’ cosx =-----------Г=Т+Г2’
i+tg2|	i + tg’y +
х = 2 arctg t, dx =	,
так что
Го/-	хл f п/ 2/	1 —/2\ 2Л
у Я (sin х, cosx)dx=
Поскольку рациональная функция от рациональной функции пред-
ставляет собой также рациональную функцию, то интеграл, стоящий
в правой части последнего равенства, является интегралом от рацио-
нальной дроби.
Подстановка t = tg ~, хотя и является универсальной подстанов-
кой, рационализирующей интеграл от функции (7.63), часто приводит
к громоздким выкладкам. В связи с этим мы укажем несколько част-
ных случаев, в которых интеграл от функции (7.63) может быть
рационализирован с помощью других более простых подстановок.
Прежде всего, отметим два элементарных свойства рациональной функции
двух аргументов R (и, V):
Р. Если рациональная функция R (и, v) не меняет своего значения при
изменении знака одного из аргументов (например, и), т. е. если R (—и, v) =
— R (и, v), то эта рациональная функция может быть приведена к виду
R (и, v) = R1 (и2, v), где R± — некоторая рациональная функция своих двух
аргументов. (Эта функция содержит лишь четные степени и.)
*) Рациональная функция от двух аргументов определяется следующим
образом. Многочленом n-й степени от двух аргументов хну называется вы-
ражение вида
Рп (х, У) — аоо + °юх + апУ + а2о%2 + ОцХу -|- аа2у2 -(-...+ a0Z!J/ra> гДе аоо> а1о>
«01, ..., а0„ — некоторые постоянные числа. Рациональной функцией от двух
R (х и)
аргументов называется отношение вида п\ ’ где Рп(х, у) — произволь-
„	Qm \х> У)
ныи многочлен от двух аргументов степени п, a Qm (х, у) — произвольный
многочлен от двух аргументов степени т.
224
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 7
2°. Если же при изменении знака и функция R (и, о) также меняет знак,
т. е. R (— и, о) = — R (и, v), то она приводится к виду R (и, v) = R2 (и2> v) и-
(Свойство 2° сразу вытекает' из свойства Iй, если применить его к функции
R(u, о) \
и /
Рассмотрим теперь вопрос о рационализации интеграла от функции (7.63)
для некоторых частных случаев.
I.	Пусть R (и, v) меняет знак при изменении знака и. Тогда, согласно
свойству 2й,
j R (sin х, cos х) dx = J R2 (sin2 x, cos x) sin x dx =
= — J R2 (1 — cos2 x, cos x) d (cos x).
Таким образом, интеграл от функции (7.63) рационализируется подстановкой
t — cos х.	у
II.	Пусть, далее, функция R (и, v) меняет знак при изменении знака V.
Тогда, согласно тому же свойству 2°,
J R (sin х, cos х) dx = j R3 (sin x, cos2 x) cosx dx = j Ra (sin x, 1 — sin2 x) d (sin x),
t. e. интеграл от функции (7.63) рационализируется подстановкой t — sin х.
III.	Пусть, наконец, функция R(u, о) не меняет своего значения при
одновременном изменении знаков и и v, т. е.
R (—и, —v) = R (и, v).	<
Докажем, что в этом случае интеграл от функции (7.63) рационализируется
подстановкой t — tg х. В самом деле, в этом случае
R (и, v) — R^~ v, = Ri ,
R(—u, — v) = r[~(—v), — ^ = Ri (-1, —vj.
Таким образом,
Но тогда, согласно свойству Iй,
Окончательно получим
R(u, v) — R2 v^.
Отсюда
J R (sin x, cos x) dx = j R2 (tg x, cos2 x) dx —
= (tg x, 1+tg2x ) dx = R2 [t, J J +p-,
где t = tgx, x = arctgt, dx =
§10]	ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
225
dx
Примеры. 1) Вычислить интеграл /, = \ -гп--------. гДе а>0,
1 н	н 1 j 1 + a cos х ’
а/1. Применяя универсальную тригонометрическую подстановку
,	, X
t= tg у, получим
п	, 2dt	I—/2 *
х — 2 arctg t, dx —	, cos x —	,
®	1	12	1 +12
7 2 C dt _ 2 t dt
1	У(а+1)-Н2(1-а) Hl J , , 1~«,. ‘
Далее нужно отдельно рассмотреть два случая: 1) 0<а<1,
2)а>1. .
В случае 0 <а <1
и=*а,с'в (' / Ы)+с=гт=^1гс‘8(УМ‘8 г) +с-
В случае а > 1
sin х dx
sin2 х + 1 Ф
2) Вычислить интеграл ft =
Так как подынтегральная функция меняет знак при изменении знака
sinx, то, согласно I, следует сделать подстановку 7 = cosx. В результате
получим	/
/2 —
dt
1 — Г- + 1
C dt
J Za —2
-Lin
2 K2
/+ /2
t— /2
1 . cos x + У 2
=-------- In ------!———
2 У 2	cos x — У 2
3)	Вычислить интеграл !3 = \ . .Sln x cos x - dx.
'	J sm4 *x + cos4x
Так как подынтегральная функция сохраняет значение при одновремен-
ном изменении знаков sinx и cosx, то, согласно III, следует сделать подста-
новку t = tg х. В результате получим
- 4 $	- 4 ‘"=‘8 + С - 4 w «I + с-
226	ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ	[ГЛ. 7
2. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. В
этом пункте мы докажем интегрируемость в элементарных функциях
любой функции вида
(7-64)
где а, Ь, с и d — некоторые постоянные, п — любое целое положи-
тельное число. Функцию такого вида мы будем называть дробно-ли-
нейной, иррациональностью.
Докажем, что интеграл от функции (7.64) при ad — be =£ 0 рацио-
нализируется
подстановкой t
ах + Ь
exd
самом деле,
. В
ах -f- Ь _ _ dtn — b , (ad — be) ntn 1
— cx + d ' Х ~ a-c-tn ’ йХ — (а — с/л)2
так что
dtn — Ь
а — cin ’
Д (ad — be) nt™
} (a — ctny-
ГТоскольку рациональная функция от рациональной функции пред-
ставляет собой также рациональную функцию, то интеграл, стоящий
в правой части последнего равенства, является интегралом от рацио-
нальной дроби. Тем самым доказано, что интеграл от дробно-линей-
ной иррациональности (7.64) рационализируется подстановкой t —
__ах-\-Ь
V cx-)-d'	___
Пример. Вычислить интеграл 1— у/~ 127 j- j ~ • Сделав под-
становку
f=l/I+Z /2-1+Л	dx- 4tdt
V 1— х’ 1 — X’ Х~ Р + 1’ (Р + 1)2’
получим
/=2 $	J ^ = 2^-2агс1ё^ + С =
= 2/гЙ-2’'^/^ + с-
3.	Интегрирование биномиальных дифференциалов. Биномиальным диффе-
ренциалом называют выражение вида
хт (а + bxn)P dx,
где а и b — любые постоянные, а показатели степеней т, п и р — некоторые
рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных
функциях биномиальных дифференциалов.
Прежде всего отметим три случая, когда интеграл от биномиального диф-
ференциала допускает рационализирующую подстановку.
§ 10]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
227
1?. Первый случай соответствует целому р. В этом случае биномиальный
дифференциал представляет собой дробно-линейную иррациональность вида
R (х, х) dx, где г — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных
чисел тип. Стало быть, интеграл от биномиального дифференциала в этом
случае рационализируется подстановкой t = у/~х.
2®. Второй случай соответствует целому числу	В этом случае,
„	т 4- 1	,
сделав подстановку г = хп и положив для краткости —----------1 = q, будем
иметь
хт (а + bxn) р dx = (a+bz)Pz9dz.	(7.65)
Подынтегральная функция в правой части (7.65) представляет собой дробно-
линейную иррациональность вида R (г, у/а-^-Ьг), где s—знаменатель ра-
ционального числа р.
Таким образом, во втором случае биномиальный дифференциал рациона-
лизируется подстановкой
/ = уa -J- bz = |/ а + Ьхп-
3°-. Третий случай соответствует целому числу + *- -ф р). В этом слу-
чае подынтегральная функция в правой части (7.65) представляет собой дроб-
-	п ( т /а + bz\
но-линеиную иррациональность вида R I z, у —-—I, так что интеграл от
биномиального дифференциала рационализируется подстановкой вида
В середине прошлого века П. Л. Чебышев*) доказал, что указанными
выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда биномиальный диффе-
ренциал интегрируется в элементарных функциях.
Примеры. 1) Вычислить интеграл
/ = ( —, dx = \ ж"2 (а + &х2)- dXi
ix^a + bx^ J
Г»	л г»	1	/М "4“ 1 •	1
В данном случае /п = — 2, п=2, р = —так что —-------------1- р = — I (тре-
тий случай). Сделав подстановку
.	т/~а t ч ’	я Vatdt
f = I/ т + р, х —	, dx =------ ,
Г х*	yt^-^b	У (/а — 5)3 ’
будем иметь
' “ И-	— •‘° +С “ -	+ &
________________ 1
*) Пафнутий Львович Чебышев —великий русский математик (1821—1894),
228
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ	[ГЛ. 7
2) Вычислить интеграл 1 = J х6 (1 — х2) 2 dx. В данном случае т = 5,
п = 2, р ——	, так что m = 3 (второй случай). Сделав подстановку
/ = /Г^х2, х = /К=Т2, dx = —	,
К1-/2
будем иметь
/ = —J(l —/2)2Л = —+
= - t + | /з _ *L + с = -	~ /(1-хЗ)з-У	х2)6 + с.
О О	о	о	z
4. Интегрирование квадратичных иррациональностей посред-
ством подстановок Эйлера. В этом пункте мы докажем интегри-
руемость в элементарных функциях любой функции вида
R (х, ]/"ах2 + Ьх 4- с ),	(7.66)
где а, Ь и с — некоторые постоянные. Функцию такого вида будем
называть квадратичной иррациональностью. При этом мы, конечно,
считаем, что квадратный трехчлен 1 ах2 4- Ьх 4- с не имеет равных
корней (иначе корень из этого трехчлена может быть заменен рацио-
нальным выражением).
Мы докажем, что интеграл от функции (7.66) всегда рационали-
зируется одной из так называемых подстановок Эйлера.
Сначала рассмотрим случай, когда квадратный трехчлен ах2 4-
-j-bx + c имеет комплексные корни. В этом случае знак квадратного
трехчлена совпадает со знаком а, и поскольку по смыслу квадрат-
ный трехчлен (из которого извлекается квадратный корень) положи-
телен, то а > 0.
Таким образом, мы имеем право сделать следующую подстановку:
t = У ах2 4- ftx 4- с 4- х У а.	(7.67)
Подстановку (7.67) обычно называют первой подстановкой Эйлера.
Докажем, что эта подстановка рационализирует интеграл от функции
(7.66) для рассматриваемого случая. Возвышая в квадрат обе части
равенства У ах2 + Ьх + с = t — хУ а, получим bx-[-c = t2 — 2]Ла tx,
так что
t2 — c
2/«Z4-Z>’
У ах2 4- Ьх 4- с =
dx= 2
Таким образом,
у-а12 + Ы+сУа dt
(2V~at+b)2
Уа12-\-Ь(-\-сУа
2Уа1 + Ь
$ R (х, У ах2 Ьх + с) dx =
Уа^+Ы + сУаХ 2 /о/»4-И4-сУг5 d
2Уа1-]-Ь	)	(2Уа/-\-Ь)2
R(
\2yat + b
В правой части под знаком интеграла стоит рациональная дробь.
§ 10]	ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ	229
Рассмотрим теперь случай, когда квадратный трехчлен ax2A~bx~j-o
имеет вещественные корни хх и х2.
В таком случае ах2 + Ьх -f- с = а (х — хД(х — х2). Докажем, что в
этом случае интеграл от функции (7.66) рационализируется посред-
ством подстановки
(7.68)
X —
называемой обычно второй подстановкой Эйлера. В самом деле,
возводя в квадрат равенство Уах2 + bx -|-с — t (х — xt) и сокращая
полученное равенство на (х — хх), получим а (х — х2) = t2 (х — х^,
так что
dx^(xt-x3) t d
ax— — r-
Таким образом,
j R (x, ax2 + bx + c ) dx =	*
_ С о/—QX2 + a (a — x3) П 2a (xt — x2) t .
J /2 — a ’	/2 — a j (t2 — a)2
В правой части под знаком интеграла стоит рациональная дробь.
Г* dx
Примеры. 1) Вычислить интеграл 7= \ -------—. По-
h+/x! + *+l
скольку квадратный трехчлен х2 + х+ 1 имеет комплексные корни,
сделаем первую подстановку Эйлера х
t = У х2 + х + 1 + х.
Возвышая в квадрат обе части равенства Ух2 + х+ 1 —t — х, полу-
чим х2 +х+ 1 = t2 — 2/х -|-х2 или х + 1 = t2 — 2/х, так что
/2—1	, о /а + / + 1 ,,
Х~~ 1 + 2/ ’ dx~ 2 (1 + 2/)2 dt-
Таким образом,
?—2 f +	ПЛ , В С 7
' Hl + 2/)2 J L t 1 + 2/ "* (1 + 2/)з] al-
Неопределенные коэффициенты А, В и С легко вычисляются:
А — 2, В — — 3, С = — 3. Окончательно получим
7 = 21n |/|-|lnl 1 4-2/1+^р^ + С^
= 21п |Ух2 + х+ 1 + х] -1 In | 1 + 2х+ 2 Ух2 + х+ 1 И
J__________-2___________I Q
2(1 +2x + 2Kx2 + x + о *
230
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 7
2) Вычислить интеграл / = —р - —-. Поскольку ква-
дратный трехчлен 1 — 2х — х2 имеет вещественные корни	= —14-
У 2 и х2 ——1—1^2, сделаем вторую подстановку Эйлера (7.68)
_ У1 — 2х — х2
“ Х+1+/2 ’
Возвышая в квадрат обе части равенства 1 — 2х — х2 = /(х+ 1 4-
4- У 2), будем иметь (—1) (х4- 1 — 1^2) = t2 (х 4- 1 4- У %), так что
Таким образом,
1= — 41/2’f -----------------------—— -------
J (t2 4-1) О2 + 2 К214-1)
Получаем интеграл от рациональной дроби, вычисление которого
предоставляем читателю.
5. Интегрирование квадратичных иррациональностей другими способами.
Хотя подстановки Эйлера всегда рационализируют интеграл от функции (7.66),
но обычно эти подстановки приводят к весьма громоздким и сложным выклад-
кам. Ввиду этого на практике часто пользуются другими способами интегри-
рования функции (7.66). Этим способам и посвящен настоящий пункт.
Вводя обозначение у = у ах2 + Ьх 4- с и имея в виду, что у2 представ-
ляет собой многочлен, мы можем представить функцию (7.66) в виде суммы
R(x, y) = R1(x)+^,
где 7?! (х) и R2 (х) — некоторые рациональные функции одной переменной.
Поскольку интеграл от Rt (х) берется (в элементарных функциях), нам доста-
, R, (х)
точно заняться вычислением интеграла от функции 	.
Мы уже знаем *), что всякую рациональную дробь R2 (х) можно предста-
вить в виде суммы многочлена Р (х) и правильной рациональной дроби R3 (х).
Правильную рациональную дробь R3 (х) в свою очередь можно разложить на
сумму простейших дробей. Имея это в виду, мы можем утверждать, что про-
,	.	J.	7?, (х)
блема интегрирования функции - - сводится к вычислению интегралов сле-
дующих трех типов:
Т ? Р М	П I \
I. \ —— dx, где Р (х) — многочлен.
Л у
В ,	л п
---. -tll ах, где А и В — некоторые постоянные, а — натуральное
71) у
II.
число.
*) См. начало § 8.
§ 101	ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ	231
р Мх ц- jv
III. \	тdx, где М, N, р и а —некоторые постоянные,
J (х* + рх + q)* у	г 7
п2
X — натуральное число, причем q — ^->0.
Остановимся на вычислении интегралов типа 1, II и III в отдельности.
I. Для вычисления интеграла типа I прежде всего установим рекуррент-
ную формулу для интеграла
, С xmdx	п , л
1т = \ -----, где т = 0, 1, 2, ...
J У
Для этого, предполагая, что т2г1, проинтегрируем следующее проверяемое
посредством дифференцирования тождество:
/	1 \	1	v/7t“2
(хт~1 у)' = та — + \m — -^}b — + (т—1)с
Интегрирование этого тождества приводит нас к равенству
хт~яу = malm + {rn — ^b 1т_х + (т — 1) с/т_2.	(7.69)
Беря в равенстве (7.69) т = 1, найдем
'-4 «-s'*	р-70'
Полагая затем в равенстве (7.69) т = 2 и используя уже вычисленное значе-
ние (т.-е. формулу (7.70)), найдем
- ЗЬ) у + ± (36® - 4пс) 19.
Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы придем к следующей общей
формуле:
! т = Р т-1 (х) У "Ь стЛ>»	(? .71)
где Pm-i (х)— некоторый многочлен степени т — 1, а ст — некоторая посто-
янная. Если в интеграле типа I Р (х) представляет собой многочлен степени п,
то интеграл типа I будет равен сумме интегралов 10, Ц,..., 1п с некото-
рыми постоянными множителями (коэффициентами многочлена Р (х)). Стало
быть, в силу равенства (7.71) мы окончательно получим для интеграла типа I
следующую формулу:
(• р м	(• dx
\_¥Ldx = Qn~i (х) у + Со \	(7.72)
V  У	V У
В этой формуле Qn-i (х) есть некоторый многочлен степени п—1, а Со—
некоторая постоянная. Для определения многочлена Qn_i (х) и постоянной Са
используется метод неопределенных коэффициентов. Многочлен Q„_i (х) записы-
вается как многочлен с буквенными коэффициентами
<2л-1 (х) = Ао + AiX 4-... + Лл_1Хл-1.
Дифференцируя равенство (7.72) и умножая результат дифференцирования
на у, получим
Р (х) = О.п-1 {х) (ах2 + Ьх + с) + j Qn-i (х) (2ах -J- Ь) 4- Сс. (7.73)
232
ИНТЕГРИРОВАНИЕ Й ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 7
В обеих частях равенства (7.73) стоят многочлены степени п. Приравнивая
их коэффициенты, получим систему п + 1 линейных уравнений, из которых
определяются Ло, Л1( ..., Лп_1 и Са. Разрешимость полученной системы выте-
кает из справедливости формулы (7.72), уже доказанной нами. Остается доба-
вить, что интеграл, стоящий в правой части (7.72), приводится к табличному
посредством линейной замены переменной ~ х ^а,- При помощи указанной
(* dx
замены интеграл \ — с точностью до постоянного множителя сводится
л У
к одному из следующих двух интегралов:
или
-у-— : = 1П ] / + JA2 ± Й2 J + С
/t2±A2	'
(k = const > 0)
dt	. t
,	= arcsin -г- -f- C.
jA2 —t2	k
Пример. Вычислить интеграл
О х3 .
\ —	— dx.
J VI + 2x — x2
Для рассматриваемого интеграла формула (7.72) имеет вид
С & а
\ г.______, = dx =
J /1 + 2х — х2
= (Ло + А1Х 4- Л2х2) /1 +2х-х2 + Со f	(7.74)
J V 1 + 2х — х2
Дифференцируя эгу формулу и умножая результат дифференцирования на
+ 2х — х2, получим
х3 = (Аг + 2Л2х) (1 + 2х — х2) + (Ло + Лхх + Лах2) (1 — х) + Со.
Сравнивая коэффициенты при х3, х2, х* 1, х° в правой и левой частях, получим
систему уравнений
— ЗЛ2= 1,
5Л2 — 2Лх = 0,
2Л2 + ЗЛ х — Ло == 0,
Лх + Ло + Со = 0.
1	5	19
Решая эту систему, найдем Л2 =-----Лх =--------у, Ло =----Со — 4.
о	и	О
Интеграл, стоящий в правой части (7.74), вычисляем посредством замены
t = x—1. Получим	I
С	С	1 । п • х — 1 , _ '
\ .	= \	_ __ = arcsin -у- + С = arcsin —=—Р С- -
J/1+2X —х2 J У2 —/2	ф2	/2
Окончательно будем иметь
р гз	/	19	5	1	,__________
\ f 	...^dx = -	| х - 4х2 ) /1 + 2х -х2 +
JJ/1 + 2X-х2 \	6	6	3	у'1
J	__ I
4- .4 arcsin —С.
J/2
§ 10]	ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	233
II. Переходим к вычислению интеграла типа 11. Покажем, что этот
интеграл сводится к интегралу типа 1 посредством замены Z =В самом
X — /I
деле, поскольку
, dt 2i а । (А2а 4- Ab с) I2 -f- (2а А 4- b) i 4- а
dx = —. —2, ах2 4- Ьх + с =	11----------!—>.—!—
/2
мы получим
С В	С	Bt“~\dt
\ ------ТТГ- dx = — \	'	. .
J (х — А)л у	J /(Л2в + ЛЬ + с)/2 + (2аД + fc) / + а
III. Займемся, наконец, вычислением интеграла типа Ill. Прежде всего
вычислим интеграл типа III для частного случая р = 0, i!r= 0, т. е. вычислим
интеграл
Мх + N
----------;—,	dx.
(х2 + д)'- у ах2 4- с
Этот интеграл распадается на сумму двух интегралов
(*	х dx	,,	,, С	dx
\ --------;—>—  и К2 = N \ --------------—
J (х2 4- V ах2 4-е	J (х2 4-	1^ах2 4- с
Первый из .этих интегралов может быть записан в виде
л = М С d (х2)
1	2 ' (х2 4- <?)х j/ox2 4- с’
из чего видно, что подынтегральная функция представляет собой линейную
(а не квадратичную) иррациональность относительно х2. В силу доказанного
в п. 2 интеграл Ki рационализируется подстановкой I = \Аах2с. Интеграл
/<2 может быть записан в виде*)
из чего видно, что подынтегральная функция представляет собой линейную
иррациональность относительно —. Стало быть, интеграл К2 рационализи-
руется подстановкой г = ~у а-\-	. Итак, для частного случая, когда у обоих
квадратных трехчленов отсутствуют члены первой степени, интеграл типа III
вами рационализирован.' >
Рассмотрим теперь интеграл типа III в общем случае и покажем, что его
можно свести к интегралу изученного выше частного вида. Если коэффици-
енты квадратных трехчленов удовлетворяют соотношению
Ь = ар,	(7.75),
то для сведения интеграла типа III к интегралу изученного выше частного
вида достаточно сделать замену х = 1—|г. В самом деле, при этом мы
*) Мы считаем, что x^-Q.
234
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 7
получим
г _______(Мх 4- #) dx_________
j (х2 4- рх 4- qY' Vах2 4* Ьх 4- с
+ JV
dt.
Сложнее осуществляется ' сведение интеграла типа III к интегралу изучен-
ного выше частного вида для случая, когда коэффициенты квадратных трех-
членов не удовлетворяют соотношению (7.75). В этом случае мы сначала сде-
лаем дробно-линейную подстановку
р£+д
(7.76)
выбрав постоянные р и м так, чтобы в полученных квадратных трехчленах
отсутствовали члены первой степени относительно t. Покажем, что такие р
и \ выбрать можно. В самом деле, сделав замену (7.76), будем иметь
№ + Р’.1 + ?) t2 + [2р^ + р (р + 4 + 2q] t + (№ -J- pi + q)
х -b px-\-q-------------------------------П~-Нр :	’
r + &P + c)<2 + 12рча 4- & (p + м) 4- 2c]f -j- (ач2 + Ь 4- с)
Un | (/л In c*
(7.77)
(l-H)2
Таким образом, коэффициенты p и м определятся из системы уравнений
2р> 4- Р (Р 4* 4 4- 2<? = 0, )
2рча 4-5(p4-v)4-2c = 0 J
или из системы эквивалентных уравнений
2 (с — aq)
р 4- * =----г----—,
Ь — ар'
ср — bq
Р1 — ~г------•
b — ар
Стало быть, р и м являются корнями квадратного уравнения
г 2£-щ?) г+ер-Ь1=0
Ь — ар Ъ — ар
Остается доказать, что квадратное уравнение (7.77) имеет вещественные
и различные корни. Для этого достаточно доказать, что дискриминант этого
уравнения положителен, т. е. достаточно установить неравенство
(с — aq)2 > (ср — bq) (b — ар).	(7.78)
Легко убедиться в том, что неравенство (7.78) эквивалентно следующему
неравенству:
[2 (с 4- aq) — bp]2 > (4q — р2) (4ас — b2).
(7.79)
Поскольку квадратный трехчлен
4q — р2 > 0.
Неравенство (7.79) заведомо
что это неравенство справедливо
чае q > 0, ас > 0 и 4 J^acq > pb.
(х2 4* рх 4- q) имеет комплексные корни, то
имеет место, если 4ас — Ь2 <. 0. Докажем,
и в случае, когда 4ас — Ь2 > 0. В этом слу-
Поэтому, учитывая, что —у caq,
х =
q —
5 ю]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
235
будем иметь
[2 (с + aq) — 5р]2^ 14 У qac — pb]2 =
= (4q — р2) (4ас — b2) + 4 (р У~ас — b W)2 3“ (4q — р2) (4ас — Ь2).
В написанной цепочке неравенств имеется хотя бы один знак строгого
неравенства >, ибо первый знак Js обращается в знак = лишь при с = aq,
но при с — aq, в силу того, что Ьф ар, заведомо (рУас — ЬУд)^-.О, и по-
этому второй знак не обращается в знак = . Итак, нами доказано нера-
венство (7.79), т. е. доказана возможность выбора таких р. и
в полученных, квадратных трехчленах отсутствуют члены
относительно i. Сделав замену (7.76) с указанными р. и ч, мы
рал типа III к виду
Р (/) dt
(^ + <?i)x/^2 + c1’
V, при которых
первой степени
приведем интег*
(7.80)
где а<, Ci и — некоторые постоянные, а Р (t)— многочлен степени 2Х—1.
рн\
Разложив *) дробь------	?  на сумму простейших, мы сведем вопрос о вы-
числении интеграла (7.80) к вычислению суммы интегралов вида
С -----Mkt ±Nk  dt =	2...
J (t2 + qi)kVa1t2 + cl
Каждый из этих интегралов относится к изученному выше, частному виду.
Тем самым мы доказали интегрируемость (в элементарных функциях) интег-
ралов всех трех типов I, II и III. Таким образом, еще раз помимо подста-
новок Эйлера доказана интегрируемость функции (7.66) в элементарных
функциях.
Пример. Вычислить интеграл I — V--------Этот ин-
J (х2 — х + 1) Кх2 + х + 1
теграл относится к типу III. Поскольку для него нарушено соотношение
(7.75), мы должны прежде всего сделать замену (7.76). В результате этой
замены получим
,2 л , l | _ (р2 + р+1)/2 + [2^ + (F+^) + 2]/ + fr8 + ^+l)
-t- х -t -	(1 + I)2
v2 r,|_ (^-P+I^+^-^+vJ + ^+^-^+I) '
X X + 1 “	(1 + t)2	*
Постоянные p. и v находим из системы уравнений
2(^4* (1х + *) + 2 = 0,
2^_((1+v) + 2 = 0.
Легко убедиться в том, что **) р= 1, м = — 1. Таким образом, замена (7.76)
имеет вид х = —_р-р так что
. х +1	.	2d/	з<2 + 1
Z-l—х’ dx (1+Z)2’ Х	- (1 + /)2’
Рассматриваемый интеграл принимает вид
/ = 2 f (1 + dt
J (/2 + 3)/3/2+ 1
Z2 + 3
(1 + 02
*) При X > 1.
♦*) Можно было бы положить наоборот р = — 1л v = 1,
236	ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ	[ГЛ. 7
где
р	t dt	р	dt
/1 = 2 \	/2== 2 \	------г
J (/2 + 3) /З/2 + 1	J (/2 + 3) /З/2 + 1
Для вычисления интеграла /* делаем подстановку ц = ]/ З/2 + 1, а для вы-
числения интеграла /2 делаем подстановку v =	3 + , В результате по-
лучим
— 2 f du - = —arctg + C = arctg
J u2 + 8	/2	/8	/2
—+ с
Х)2
+ 1/A
/ (x+ I)2 Г 3
i/~x2 + x+1	-./T
V (x + 1/’ V 3
§ 11. Эллиптические интегралы
К интегралам от квадратичных иррациональностей естественно примы-
кают следующие интегралы:
J R (х, /ах» + bx2 -^-cx + d) dx,	(7.81)
\R(x, Vах* + Ьхз ex* + dx + е )dx,	(7.82)
подынтегральные функции которых содержат корень квадратный из много-
членов третьей или четвертой степени.
Эти интегралы весьма часто встречаются в приложениях. Отметим сразу
же, что интегралы (7.81) и (7.82), вообще говоря,' не являются элементарными
функциями.
Оба эти интеграла принято называть эллиптическими в тех случаях,
когда они не выражаются через элементарные функции, и псевдоэллипти-
ческими в тех случаях, когда они выражаются через элементарные
функции *).
Ввиду важности для приложений интегралов (7.81) и (7.82) возникла не-
обходимость составления таблиц и графиков функций, определяемых этими
интегралами. При произвольных коэффициентах a, b, с, d и е такие таблицы
и графики составить очень трудно. Поэтому возникла задача о сведении всех
интегралов вида (7.81) и (7.82) к нескольким типам интегралов, содержащих
по возможности меньше произвольных коэффициентов (или, как говорят,
о приведении интегралов (7.81) и (7.82) к канонической форме).
Прежде всего, заметим, что интеграл (7.81) сводится к интегралу (7.82).
В самом деле, кубичный трехчлен заведомо имеет хотя бы один веществен-
*) Эти названия происходят оттого, что впервые с этими интегралами
встретились при решении задачи о спрямлении эллипса (см. пример 3 п. 6 § 1
главы 11).
§ Н]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
237
ный корень х0, а поэтому его можно представить в виде ах3 -ф Ьх2 -\-cx-\-d —
= а (х — xfl) (х2 -ф рх + <?)•
Сделав подстановку х — ха = ±t2, мы, как легко видеть, ' преобразуем
интеграл (7.81) в (7.82).
Таким образом, нам достаточно рассмотреть лишь интеграл (7.82).
В силу результатов § 6 многочлен четвертой степени можно разложить
на произведение двух квадратных трехчленов с вещественными коэффициен-
тами
ах* -ф Ьх3 -ф сх2 -ф dx -ф е = а (х2 -ф рх -ф д) (х2 + р'х -ф д').
Всегда найдется некоторая линейная или дробно-линейная подстановка, уни-
чтожающая у обоих квадратных трехчленов линейные члены *). Сделав такую
подстановку, мы с точностью до слагаемого, представляющего собой элемен-
тарную функцию, преобразуем интеграл (7.82) к виду
f __________R(t2\ dt________
J /А (1 -ф mt2) (1 -ф m'<2) ’
(7.83)
где R— некоторая рациональная функция. Далее можно показать, что при
любых комбинациях абсолютных значений и знаков постоянных Д, т и т‘
найдется замена, сводящая интеграл (7.83) к так называемому каноническому
интегралу	г
( — Мг - —,	(7.84)
J К(Г^г2) (1 _ *2Z2)
в котором через k обозначена постоянная, удовлетворяющая условию 0<k< 1.
Любой канонический интеграл (7.84) с точностью до слагаемого, пред-
ставляющего собой элементарную функцию, может быть приведен к следую-
щим трем стандартным интегралам:
и
______dz_____ р__________г2 dz___
/Д — Z2) (1 — k2Z2) ’ J	/(1 —22)71^*222)
£ -----7=^==	(0 < * < 1).
J (1 -ф hz2) /(1—22) (l—/i222)
Интегралы (7.85) принято называть эллиптическими интегралами соответст-
венно 1-го, 2-го и 3-го рода. Каждый из этих интегралов, как показано
Лиувиллем •*), представляет собой неэлементарную функцию. Эллиптические
интегралы 1-го и 2-го рода содержат только один параметр ft, принимающий
вещественные значения из интервала 0 < ft < 1, а эллиптический интеграл
3-го рода, кроме того, содержит параметр h, который может принимать и
комплексные значения.
Лежандр ***) подверг интегралы (7.85) дальнейшему упрощению, сделав
/	я \
замену z = sin ср 10 <р -й- -% ).
С помощью этой замены первый из интегралов \ (7.85) преобразуется
к виду
_______dtp ________
Y1 — ft2 sin2 ср
(7.86)
*) Это доказывается точно так же, как в п. 5 § 10.
**) Жозеф Лиувиллъ — французский математик (1809—1882).
***) Адриан Мари Лежандр — французский математик (1752—1833).
238	ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ	[ГЛ. 7
Второй из интегралов (7.85) при этой замене с точностью до постоянного
множителя оказывается равным разности интеграла (7.86) и следующего ин-
теграла:
$ /1 — й3 sin3 <р d?.	(7.87)
Третий из интегралов (7.85) преобразуется к виду
d<f
(14-ft sin3 <р) У I — й2 sin <р ’ k
(7.88)
Интегралы (7.86), (7.87) и (7.88) принято называть эллиптическими интегра-
лами соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода в форме Лежандра.
Особенно важную роль в приложениях играют интегралы (7.86) и (7.87).
Если считать, что оба эти интеграла обращаются в нуль при <р = 0, то по-
лучатся две вполне определенные функции, которые обычно обозначают
символами F (k, ср) и Е (k, tp). Для этих функций составлены обширные таблицы
и графики. Лежандром и другими математиками изучены свойства этих функ-
ций, для них установлен ряд формул.
Наряду с элементарными функциями функции Е и F прочно вошли в се-
мейство функций, часто используемых в анализе. Здесь еще раз стоит отме-
тить условность понятия элементарной функции. Вместе с тем следует под-
черкнуть, что задачи интегрального исчисления вовсе не ограничиваются
изучением функций, интегрируемых в элементарных функциях.
ГЛАВА 8
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ
И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
Понятия непрерывной функции и дифференцируемой функции уже
известны нам из глав 4 и 5. В настоящей главе будет установлен ряд
важных свойств произвольных непрерывных и дифференцируемых
функций. Для вывода этих свойств мы введем новое определение
предельного значения функции и докажем эквивалентность этого опре-
деления старому определению, данному в главе 4.
§ 1. Новое определение предельного значения функции
1. Новое определение предельного значения функции. Его экви-
валентность старому определению. Пусть, как и в § 2 главы 4,
функция _У=/(х) определена на некотором множестве {х}, и пусть
а — некоторая точка, быть может, и не принадлежащая множеству {х},
но обладающая тем свойством, что в любой е-окрестности точки а
имеются точки множества {х}.
Напомним старое определение предельного значения функции,
введенное в главе 4: число b называется предельным значением
функции f(x) в точке х = а, если для любой сходящейся к а по-
следовательности хр х2, ..., х„, ... значений аргумента х, эле-
менты которой отличны от а, соответствующая последователь-
ность /(хх), /(х2), ..., /(хп), ... значений функции сходится к Ь.
Сформулируем теперь
Новое определение предельного значения функции. Число b
называется предельным значением функции /(х) в точке х = а,
если для любого положительного числа в найдется положитель-
ное число В *) такое, что для всех значений аргумента х, удов-
летворяющих неравенству 0<;|х — а|<;8, справедливо неравен-
ство |/(х) —&|<е**).
*) Так как 6 зависит от е, то иногда пишут 6 = В (е).
**) Старое определение предельного значения функции называют также
определением предельного значения по Гейне, а новое определение — опре-
делением предельного значения по Коши.
240
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 8
Замечание I. Ограничение 0 <; | х — а | означает, что рассматри-
ваются значения аргумента х, отличные от а. Это ограничение
становится понятным, если вспомнить, что изучаемая функция f(x)
может быть не определена в точке а. Отсутствие этого ограниче-
ния сделало бы невозможным определение производной f (а) как
, с / \ f (х) — f(a)
предельного значения функции г(х) = х~а ' в точке а-
Замечание 2. С логической точки зрения главным в новом
определении является то, что для каждого е > 0 найдется отве-
чающее этому е положительное число В, гарантирующее справед-
ливость неравенства |/(х)—/>| <; е для всех значений аргумента х,
удовлетворяющих неравенству 0 < ] х— а | < 8.
Замечание 3. Привлекая идею приближения функции /(х) в ок-
рестности точки х = а с наперед заданной точностью е, мы Можем
следующим образом переформулировать новое определение предель-
ного значения функции: число b называется предельным значением
функции f(x) в точке а, если для любой наперед заданной точ-
ности е, можно указать _ такую ^-окрестность точки а, что
для всех значений аргумента х, отличных от а и принадлежащих
указанной ^-окрестности, число Ь приближает значение функции
f(x) с точностью s (рис. 8.Г).
Теорема 8.1. Старое и новое определения предельного значе-
ния функции эквивалентны.
Доказательство. 1) Пусть сначала число b является пре-
дельным значением /(х) в точке а по новому определению. Докажем,
что это же число b является предельным значением /(х) в точке а
и по старому определению. Пусть {х„} —любая сходящаяся к числу
а последовательность значений аргумента, все элементы которой от-
личны от а. Требуется доказать, что соответствующая последователь-
ность {/(х„)} значений функции сходится к числу Ь. Фиксируем
любое е > 0. Согласно новому определению предельного значения
§ I] НОВОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 24J
функции, для этого s найдется 8>0 такое, что |/(х) — й|<е для
всех значений аргумента х, для которых 0<|х — а] <8. Так как
последовательность {хп} сходится к числу а, то для указанного чис-
ла 8>0 найдется номер N такой, что 0<|хл —а|<8 при n^N.
Стало быть, |/(х„) — b | < s при N, а это и означает сходимость
последовательности {/(х„)} к числу Ь.
2) Пусть теперь число b является предельным значением /(х)
в точке а по старому определению. Докажем, что это же число Ь
является предельным значением f(x) в точке а и по новому опреде-
лению. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого поло-
жительного числа е не найдется гарантирующего положительного
числа 8, указанного в новом определении, т, е. для этого в и для
сколь угодно малого положительного 8 найдется хотя бы одно
значение аргумента х такое, что 0<|х — а|<8, но \f(х)— Ь\^г.
В силу сказанного мы. можем взять последовательность 8Л = -^-
(п = 1, 2, 3, ... ) и утверждать, что для каждого ее элемента 8Л=-^
найдется хотя бы одно значение аргумента хп такое, что
0<|хя-а[<1, н0
(8.1)
Левое из неравенств (8.1) означает, что последовательность {хя} схо-
дится к числу а и состоит из элементов, отличных от а. Но тогда,
согласно старому определению предельного значения функции, соот-
ветствующая последовательность {/(хя)} значений функции сходится
к числу Ь, а этому противоречит правое из неравенств (8.1), спра-
ведливое для всех номеров п. Полученное противоречие доказывает
теорему.
Новое определение предельного значения функции позволяет нам
сформулировать
Новое определение непрерывности функции в точке х = а*).
Функция f (х) называется непрерывной в точке х = а, если для
любого положительного числа е найдется положительное число 8
такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих
неравенству | х — а | < 8, справедливо неравенство
|/(х) —/(а) | < е.
(8.2)
Замечание 4. В этом определении нет необходимости накла-
дывать ограничение 0<|х—а|, ибо при х — а левая часть нера-
венства (8.2) обращается в нуль и неравенство (8.2) заведомо спра-
ведливо.
По аналогии с вышеизложенным формулируется новое определе-
ние предельного значения функции и доказывается эквивалентность
*) Конечно, при этом предполагается, что функция у = f (х) определена
и в самой точке а.
242
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. 8
этого определения старому определению и для случая, когда одно
или оба числа а и b обращаются в -|-оо или—со. Ограничимся
тем, что сформулируем новое определение предельного значения
функции для случая, когда а= -|-оо: число b называется предель-
ным значением f(x) при х->4-оо, если для любого положитель-
ного числа е найдется положительное число А такое, что для
всех значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству xZ> А,
справедливо неравенство \f(x) — b | < е.
Рис. 8.2 разъясняет указанное определение.
В заключение сформулируем новое определение правого и левого
предельных значений функции f(x) в точке а: число Ь называется,
правым (левым) предельным значением функции f(x) в точке а.
если для любого положительного числа е найдется положитель-
ное число 8 такое, что для всех значений аргумента х, удовлет-
воряющих неравенству 0 < х — а <; 8 (0 < а — х <; 8), справедливо
неравенство |/(х) — b | < е.
Доказательство эквивалентности этого определения старому опре-
делению правого (левого) предельного значения совершенно анало-
гично доказательству теоремы 8.1.
2. Необходимое и достаточное условие существования пре-
дельного значения функции (критерий Коши). Пользуясь эквива-
лентностью старого и нового определений предельного значения
функции, установим необходимое и достаточное условие существова-
ния у функции f(x) предельного значения в точке а.
Определение. Будем говорить, что функция f(x) удовлетво-
ряет в точке х = а условию Коши, если для любого положитель-
ного числа е найдется положительное число 8 такое, что, каковы
бы ни были два значения аргумента х' и х", удовлетворяющие
неравенствам 0 < | х' — а | < 8, 0 < | х’ — а | < 8, для соответст-
вующих значений функции справедливо неравенство

§ 1] НОВОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 243
Теорема 8.2 (критерий Коши). Для того чтобы функция
f(x) имела конечное предельное значение в точке х = а, необхо-
димо и достаточно, чтобы функция f(x) удовлетворяла в этой
точке условию Коши.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть существует
конечное предельное значение lim/(x) = b. Докажем, что функция
х -* а
f(x) удовлетворяет в точке х — а условию Коши. Возьмем произ-
вольное е > 0. Согласно новому определению предельного значения
функции для положительного числа е/2 найдется положительное
число 8 такое, что, каковы бы ни были значения аргумента х' и х",
удовлетворяющие неравенствам 0 < | х' — а | < 8, 0 <; | х" — а | < 8,
для соответствующих значений функции справедливы неравенства
]/(х')—|/(х") — b | < Так как модуль суммы двух вели-
чин не превосходит суммы их модулей, то из последних неравенств
получим
]Ж)- /(х") I = I [/(х')- Ь\ - [/(ХЭ -b] I
</(x')-£| + |/(x’)-&l<s-
Тем самым доказано, что функция /(х) удовлетворяет в точке х — а
условию Коши.
2) Достаточность. Пусть функция f (х) удовлетворяет в точке
х = а условию Коши. Докажем, что функция /(х) имеет предельное
значение в точке х = а. Пусть {х„} — любая сходящаяся к а после-
довательность значений аргумента, все элементы хп которой отличны
от а. В силу старого определения предельного значения функции
достаточно доказать, что соответствующая последовательность {/(х„)}
значений функции сходится к некоторому числу Ь, причем это число
Ъ одно и то же для всех сходящихся к а последовательностей {х„}
таких, что х„ а.
Докажем сначала сходимость любой последовательности {/(хл)}.
Пусть задано произвольное е > 0. Возьмем то положительное число 8,
которое соответствует этому е согласно условию Коши, и, пользуясь
сходимостью последовательности {хй} к а, выберем для этого 8
номер 7V такой, что
0 < | хп — а | < 8 при n^N.
При этом для любого натурального р(р—1, 2, ...) и подавно
0.< Iхп+р — а | < S при n^N.
Последние два неравенства в силу условия Коши приводят к нера-
венству |/(х„+р) — /(х„) | < s при n^N, т. е. доказывают фунда-
ментальность последовательности {/(х„)}. Ц силу критерия Коши
244	ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ	[ГЛ. 8
для последовательности (т. е. теоремы 3.19) последовательность {/(х„)}
сходится к некоторому числу Ъ.
Докажем теперь, что все последовательности {/(х„)}, соответст-
вующие всевозможным сходящимся к а последовательностям {хя},
имеют один и тот же предел Ь.
Пусть {хя} и {Хп} —любые две сходящиеся к а последователь-
ности значений аргумента, все элементы которых отличны от а.
В силу доказанного выше обе последовательности {/(хя)} и {/(х„)}
сходятся. Обозначим предел первой из этих последовательностей
через Ь, а второй — через Ь'. Докажем, что b = Ь'. Рассмотрим схо-
дящуюся к а последовательность
Xj, *^2’	• • • >	^П9 • • •
В силу доказанного выше соответствующая последовательность зна-
чений функции
/(Xi), /(xj), /(x^, /(х0.../(хл),	/(хД ...
является сходящейся. Но тогда в силу п. 1 § 4 главы 3 все подпо-
следовательности этой последовательности, в том числе {/(хя)}
и {/(хя)}, сходятся к одному и тому же пределу, т. е. b = b'.
Теорема 8.2 доказана.
Аналогично формулируется условие Коши и устанавливается необ-
ходимое и достаточное условие существования предельного значения
функции /(х) при х—>-4-оо и при х —> — оо. Ограничимся формули-
ровками для случая х->4-оо.
Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет при
х -> 4~ условию Коши, если для любого положительного числа е
найдется положительное число А такое, что для любых двух
значений аргумента х' и х", превосходящих А, справедливо нера-
венство | f (х') — f (х') | < е.
В полной аналогии с теоремой 8.2 доказывается следующее утвер-
ждение: для того чтобы функция /(х) имела конечное предельное
значение при х—>4-оо, необходимо и достаточно, чтобы она
удовлетворяла при х-> 4-°° условию Коши.
§ 2. Локальная ограниченность функции, имеющей
предельное значение
В полном соответствии с определением множества вещественных
чисел, ограниченного сверху (снизу) *), введем понятие функции,
ограниченной на данном множестве сверху (снизу)."
Определение 1. Функция f(x) называется ограниченной
сверху (снизу) на множестве {х}, если найдется такое веще-
*) См. п. 5 § 1 главы 2.
§ 21	ЛОКАЛЬНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ ФУНКЦИИ	245
ственное число М (число т), что для всех значений ар-
гумента х из множества {х} справедливо неравенство f(x)^,
az M(f(x)^ т).
При этом число М (число т) называется верхней (нижней) гранью
функции f (х) на множестве {х}.
Определение 2. Функция f (х) называется ограниченной с обеих
сторон или просто ограниченной на множестве {х}, если
она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу, т. е. если
найдутся такие вещественные числа т и М, что для всех зна-
чений аргумента х из множества {х} справедливы неравенства
m^f(x)^M.
Таким образом, ограниченность функции f (х) на множестве {х}
фактически означает ограниченность множества всех значений этой
функции.
Примеры. 1) Функция f(х) = secх — на полусегменте
|^0э сверху не ограничена, а снизу ограничена (в качестве нижней
грани может быть взято любое число m'^sz 1).
2) Функция Дирихле *) ограничена с обеих сторон на любом
сегменте [а, (в качестве нижней грани можно взять любое число
т '<0, а в качестве верхней грани любое число Л1 1).
Теорема 8.3. Если функция f(x) имеет конечное предельное
значение в точке х = а, то существует некоторая ^-окрест-
ность точки а * **), такая, что для всех значений аргумента из
указанной Ъ-окрестности функция /(х) ограничена ***).
Доказательство. Пусть &= lim/(x). Согласно новому опре-
х -* а
делению предельного значения функции, для некоторого положитель-
ного числа s найдется положительное число В такое, что \f(x) — b\ <е,
как только 0 < | х — а | < 8, или
Ь — е</(х)</>ф-е, как только а — 8<х<а+8 и х # а.
(8.3)
Если значение х=а не входит в область определения функции,
то теорема доказана (ибо неравенства (8.3) означают, что для всех
значений аргумента х из 8-окрестности точки а значения функции
/(х) заключены между b — е и b ф- е).
' *) Напомним, что функцией Дирихле называется функция, равная еди-
нице для всех рациональных значений аргумента и нулю для всех Иррацио-
нальных значений аргумента.
**) Напомним, что 8-окрестностью точки а называется интервал (а — 8,
а ф- 8), где В > 0.
***) Мы не исключаем случая, когда функция у = f (х) задана на некото-
ром множестве {х}, не заполняющем сплошь никакой 8-окрестности точки а.
246
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 8
Если же функция f(x) определена и при х = а и принимает
в точке а некоторое значение /(а), то, обозначив через т наимень-
шее из двух чисел (Ь — е) и
/(а), а через М наибольшее из двух
чисел (# + е) и /(а), мы можем
извлечь из неравенств (8.3) сле-
дующие неравенства:
m^f(x)^M, как только
а — 8 < х < а 4- 8.
Последние неравенства означают,
что функция f(x) ограничена всю-
ду в 8-окрестности точки а. Теоре-
ма доказана. Иллюстрацией к тео-
реме 8.3 может служить рис. 8.3.
Замечание. Свойство функции, устанавливаемое теоремой 8.3,
называют локальной ограниченностью функции, имеющей предель-
ное 'значение.
Следствие из теоремы 8.3. Если функция f(x) непрерывна
в точке х = а, то эта функция ограничена для всех значений
аргумента из некоторой Ъ-окрестности точки а. (Непрерывная
в точке х — а функция имеет в этой точке конечное предельное
значение.)
§ 3. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции
Теорема 8.4. Если функция f(x) непрерывна в точке х = а и
если /(а)^0, то существует такая ^-окрестность точки а,
что для всех значений аргумента из указанной Ъ-окрестности
функция f(x) не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий
со знаком f(a).
Доказательство. Так как функция непрерывна в точке а,
то существует lim f(x) = b, причем b=f(a)^Q. Согласно новому
х -» а
определению предельного значения функции, для любого е >0 най-
дется 8 > 0 такое, что
Ь — е</(х)<С& + е> как только*) a — 8<x<a4-8.	(8.4)
Возьмем в качестве е положительное число, удовлетворяющее требо-
ванию е < | b |. При таком выборе е все три числа b — е, #-|-е и Ь
будут одного знака. Стало быть, в силу (8.4) всюду в 8-окрестности
*) При этом нет необходимости исключать значение х = а, ибо для непре-
рывной функции f (х) значение / (а) = b также удовлетворяет левым из нера-
венств (8.4).
S -t]
ПРОХОЖДЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ
247
точки «функция f(x) сохраняет знак числа b=f(a). Теорема доказана.
Иллюстрацией к теореме 8.4 может служить рис. 8.4.
Замечание к теореме 8.4. Теорему 8.4 можно перенести на
случай функции f(x), непрерывной в данной точке х = а справа
(слева). Пусть 8 — некоторое положитель-
ное число. Договоримся называть полу- &‘
сегмент [а, «4-8) правой по лу-
окрестностью точки х=а, а полу-
сегмент (а—8, а] ле в ой по лу окрест-
ностью точки х = а. Имеет место сле-
дующее утверждение: если функция f(x)
непрерывна в точке х= а справа (слева) и
если /(а) 0, то найдется правая (левая)
полуокрестность точки х = а такая,
что для всех значений аргумента из
указанной полуокрестности функция f(x) не обращается в нуль
и имеет знак, совпадающий со знаком f(a).
Доказательство этого утверждения почти дословно повторяет дока-
зательство теоремы 8.4, только вместо правых неравенств (8.4) мы
получим неравенства а х «< а 4- 8 (а — 8 <; х а).
§ 4. Прохождение непрерывной функции через любое
промежуточное значение
1. Прохождение непрерывной функции через нуль при смене
знаков.
Теорема 8.5. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте
|а, Ь], и пусть значения этой функции на концах сегмента f(a)
у.	и f(b) суть числа разных знаков. Тог-
н	да внутри сегмента [а, Ь] найдется
такая точка В, значение функции в
которой равно нулю.
Доказательство. Ради опреде-
ленности предположим, что /(«)<; О,
/(b) >0. Рассмотрим множество {х} всех
значений х из сегмента [а, Ь], для ко-
торых f(x)<Z0. Это множество имеет
хотя бы один элемент х = а (ибо f(a) <Z 0),
и ограничено сверху (например, значе-
нием х = Ь). Согласно теореме 2.1 у мно-
Рис. 8.5.
жества {х} существует точная верхняя грань, которую мы обозначим
через В.
Прежде всего, заметим, что точка В является внутренней точкой
сегмента [а, Ь], ибо из непрерывности функции f(x) на сегменте
[а, Ь] и из условий /(а)<0, /(b) >0 в силу замечания к теореме
8.4 вытекает, что найдется правая полуокрестность точки х = а,
248	ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ . О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ, 8
в пределах которой /(х)<;0, и левая полуокрестность точки х—Ь,
в пределах которой /(х)>0. Докажем теперь, что /(£) = 0. Если
бы это было не так, то по теореме 8.4 нашлась бы 8-окрестность
£ —8<;х<;£ + & точки £, в пределах которой функция f(x) имела
бы определенный знак. Но это невозможно, ибо, по определению
точной верхней грани, найдется хотя бы одно значение х из полу-
сегмента 5 — 8 < х sg I такое; что f(x) < 0, а для любого значения х
из интервала !; < х <; £ + 8 /(х)^0. Итак = Теорема дока-
зана. Иллюстрацией к теореме 8.5 может служить рис. 8.5.
2. Прохождение непрерывной функции через любое проме-
жуточное значение.
Теорема 8.6. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте
[а, Ь], причем f(a) = A, f(b)=B. Пусть далее С —любое число,
заключенное между А и В. Тогда на сегменте [а, Ь] найдется
точка Н такая, что —
Доказательство. Следует рассмотреть лишь случай, когда
АаВ и когда С не совпадает ни с одним из чисел А и В. Пусть
ради определенности A<zB, A<^C<ZB. Рассмотрим функцию
<р (х) = f (х) — С. Эта функция непрерывна на сегменте [а, Ь} (как
разность непрерывных функций) и принимает на концах этого сег-
мента значения разных знаков
<р(а)=/(а)-С = Д-С<0, ?(b)=f(b)-С=^В-С> 0.
По теореме 8.5 внутри сегмента [а, Ь] найдется точка $ такая, что
<f> (I) =/(Е) — С = 0. Стало быть, /(;) = С. Теорема доказана.
§ 5. Ограниченность функции, непрерывной на сегменте
Теорема 8.7 (первая теорема Вейерштрасса). Если функ-
ция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь], то она ограничена на
атом сегменте.
Доказательство. Докажем, что функция f(х) ограничена
сверху на сегменте [а, Ь] (ограниченность снизу доказывается совер-
шенно аналогично).
Предположим противное, т. е. допустим, что f(x) не является
ограниченной сверху на сегменте [a, £>].
.Тогда для любого натурального числа п(п=1, 2, ...) найдется
хотя бы одна точка хп из сегмента [а, Ь] такая, что /(х„)>л
(иначе /(х) была бы ограничена сверху на сегменте [а, £>]).
Таким образом, существует последовательность значений хп из
сегмента [а, Ь] такая, что соответствующая последовательность зна-
чений функции {/(х„)} является бесконечно большой. В силу теоремы
Больцано — Вейерштрасса (см. теорему 3.17 из п. 4 § 4 главы 3)
из последовательности {хл} можно выделить подпоследовательность,
§6]
ТОЧНЫЕ ГРАНИ ФУНКЦИИ
249
сходящуюся к точке принадлежащей, в силу замечания 2 к указан-
ной теореме, сегменту [a, Z>], Обозначим эту подпоследовательность
символом {-£лп}	2, ...). В силу непрерывности функции f(x)
в точке £ соответствующая подпоследовательность значений функции
{/(х*л)} обязана, сходиться к /(I). Но это невозможно, ибо подпо-
следовательность {/(**„)}> будучи выделена из бесконечно большой
последовательности {/(хл)}, сама является бесконечно большой (см. п. 1
§ 4 главы 3). Полученное противоречие доказывает теорему.
Замечание. Для интервала (или полусегмента) утверждение,
аналогичное теореме 8.7, уже несправедливо, т. е. из непрерывности
функции на интервале (или полусегменте) уже не вытекает ограничен-
ность этой функции на указанном множестве. Рассмотрим, например,
функцию /(x) = -i- на интервале (0, 1) (или на полусегменте (0, 1]).
Эта функция непрерывна на указанном интервале (или полусегменте),
но не является на нем ограниченной, ибо существует последователь-
ность точек хл = -^ (л = 2, 3, ...), принадлежащих указанному интер-
валу (или полусегменту), такая, что соответствующая последователь-
ность значений функции {/(хл)} = {л} является бесконечно большой.
§ 6. Точные грани функции и их достижение функцией,
непрерывной на сегменте
1. Понятие точной верхней и точной нижней граней функции
на данном множестве. Рассмотрим функцию f(x), ограниченную
на данном множестве {х} сверху (снизу) *). Используя для множества
всех значений этой функции введенное в п. 5 § 1 главы 2 понятие
точной верхней (точной нижней) грани, мы придем к следующему опреде-
лению. Число М (число т) называется точной верхней (точ-
ной нижней) гранью функции f(x) на множестве {х}, если
выполнены следующие два 'требования: 1) для каждого значения х
из множества {х} справедливо неравенство f (х) М (f (х) т), 2)
каково бы ни было положительное число е, найдется хотя бы
одно значение х из множества {х}, для которого справедливо
неравенство
f(x)>M-z (f(x)<m + s).
В этом определении требование 1) утверждает, что число М (число tri)
является одной из верхних (нижних) граней функции f(x) на мно-
жестве {х}, а требование 2) говорит о том, что эта грань является
наименьшей (наибольшей) и уменьшена (увеличена) быть не может.
♦) Определение функции, ограниченной на данном множестве сверху
(снизу), было дано в начале § 2 этой главы.
250
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ 8
Для обозначения точной верхней и точной нижней граней функции
f (х) на множестве {х} употребляют следующую символику;
М = sup {/(х)}, т = inf {/(х)}.
{*> {*}
Из доказанной в п. 5 § 1 главы 2 теоремы 2.1 непосредственно
вытекает следующее утверждение: если функция f(x) ограничена
на множестве {х} сверху (снизу), то у функции f(x) существует
на этом множестве точная верхняя (точная нижняя) грань.
Естественно, возникает вопрос, является ли точная верхняя
(точная нижняя) грань функции достижимой, т. е. существует ли
среди точек множества {х} такая точка х, значение функции в кото-
рой равно этой грани. Следующий пример показывает, что точная
верхняя и точная нижняя грани, вообще
говоря, не являются достижимыми.
Рассмотрим на сегменте |^0, у]
функцию
/(*) =
sinx при0<х<у,
1	г,	ГС
-% при х = 0 и х = у.
Эта функция ограничена на сегменте |0, yj и сверху и снизу и имеет
на этом сегменте точную верхнюю грань М = 1 и точную нижнюю
грань т — 0. Однако ни в одной точке сегмента ^0, yj эта функция
не принимает значений, равных этим граням (рис. 8.6). Таким образом,
рассмотренная нами функция не имеет на сегменте |j), yj ни макси-
мального, ни минимального значений.
Обратим внимание на то, что рассмотренная нами функция не
является непрерывной на сегменте £о, yj. Это обстоятельство не
является случайным, ибо, как мы докажем в следующем пункте, функ-
ция, непрерывная на сегменте, обязательно достигает в некоторых
точках этого сегмента своих точных верхней и нижней граней.
2. Достижение функцией, непрерывной на сегменте, своих
точных граней. Пусть функция f(x) непрерывна на некотором сег-
менте [а, &]. Тогда в силу теоремы 8.7 эта функция ограничена на
этом сегменте и сверху, и снизу. Стало быть, в силу утверждения,
сформулированного в предыдущем пункте, у этой функции сущест-
вуют на сегменте [а, Ь] точная верхняя грань М и точная нижняя
грань т. Докажем, что эти грани достижимы.
§6]
ТОЧНЫЕ ГРАНИ ФУНКЦИИ
251
Теорема 8.8 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функ-
ция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь], то она достигает на
этом сегменте своих точных верхней и нижней граней (т. е.
на сегменте [а, Ь] найдутся такие точки хх и х2, что ф(хг) = М,
f(x2)=m).
Доказательство. Докажем, что функция f(х) достигает на
сегменте [а, Ь] своей точной верхней грани М (достижение точной
нижней грани доказывается аналогично).
Предположим противное, т. е. предположим, что функция f(x)
не принимает ни в одной точке сегмента [а, значения, равного М.
Тогда для всех точек сегмента [а, Ь] справедливо неравенство
f(x) < М, и мы можем рассмотреть на сегменте [а, Ь] всюду поло-
жительную функцию
F (х) = —Цтт •
v ’ М — f (х)
Так как знаменатель M—f(x) не обращается в нуль и непрерывен
на сегменте [а, />], то по теореме 4.2 функция F (х) также непрерывна
на сегменте [а, Ь]. В таком случае, согласно теореме 8.7, функция
F (х) ограничена на сегменте [а, &], т. е. найдется положительное
число В такое, что для всех х из сегмента [а, Ь]
F(x)
1
M-f(x)
Последнее неравенство (с учетом того, что М— /(х)>0) можно
переписать в виде
Написанное соотношение, справедливое для всех точек х из сег-
мента [a, h], противоречит тому, что число 714 является точной
верхней гранью (наименьшей из всех верхних граней) функции
f(x) на сегменте [а, Ь]. Полученное противоречие доказывает
теорему.
Замечание 1. Для интервала и полусегмента утверждение,
аналогичное теореме 8.8, не имеет места. В самом деле, в замечании
к теореме 8.7 (см. § 5) мы привели пример функции, непрерывной
на интервале (полусегменте) и не являющейся на нем ограниченной
(у такой функции точная верхняя (или нижняя) грань не только не
достигается, но даже не существует!).
Замечание 2. После того как доказано, что функция f(x),
непрерывная на сегменте, достигает на этом сегменте своих точных
верхней и нижней граней, мы можем назвать точную верхнюю грань
максимальным значением, а точную нижнюю грань минимальным
значением функции f(x) на этом сегменте и сформулировать теорему
252
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 8
8.8 в виде: непрерывная на сегменте функция имеет на этом
сегменте максимальное и минимальное значение *).
Замечание 3. К числу других свойств функции, непрерывной
на сегменте, относится свойство, называемое равномерной непрерыв-
ностью. Это свойство мы изучим в § 4 главы 10. Здесь мы лишь
отметим, что весь материал пп. 1 и 2 § 4 главы 10 может быть
прочитан непосредственно вслед за материалом настоящего параграфа.
§ 7.	Возрастание (убывание) функции в точке.
Локальный максимум (минимум)
1.	Возрастание (убывание) функции в точке. Будем предпо-
лагать, что функция /(х) определена всюду в некоторой окрестности
точки с.
Определение. Говорят, что функция f(x) возрастает
(убывает) в точке с, если найдется такая окрестность
точки с, в пределах которой
f(X) > f(c) при х>с uf(x) cf (с)
при X<z с (f(x) <.f(c) при Х> с
и f(x)>f(c) при X<Zc).
На рис. 8.7 изображена функ-
ция, возрастающая в точке с и
убывающая в точке d.
Установим достаточное ус-
ловие возрастания (убывания)
функции f(x) в точке с.
Теорема 8.9. Если функция
f(x) дифференцируема в точке
с и f'(c)>0 (/'(с)<0), то эта функция возрастает (убывает)
в точке с.
Доказательство. Докажем теорему для случая f(c) > 0 (слу-
чай f (с) < 0 рассматривается совершенно аналогично). Поскольку
г, , .	.. f(x) — f(c)
f (с)= lim
Х—С х с
то, по новому определению предельного значения функции, для лю-
бого s > 0 найдется положительное S такое, что
/' (с) — е <	< f (с) + е при 0<|х—с|<8.	(8.5)
*) Отметим, что и разрывные на некотором сегменте функции могут иметь
на этом сегменте максимальное и минимальное значения. Так, например, уже
известная нам из § 1 главы 4 функция Дирихле
(1, если х рационально,
(0, если х иррационально,
разрывна в любой точке любого сегмента [а, &], но имеет на этом сегменте
максимальное значение, равное единице, и минимальное значение, равное нулю.
§ 7]	ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
253
Возьмем в качестве е положительное число, меньшее /' (с). Тогда
/' (с) — е > 0 и, стало быть, из (8.5) получим
(с)
х — с
>0 при 0<|х—с|<5.
(8.6)
(8.6) означает, что всюду в ^-окрестности точки с /(х)>/(с) при
х>с и f{x)<Z.f{c) при х<с. Возрас-
тание функции /(х) в точке с доказано.
Замечание. Подчеркнем, что поло-
жительность {отрицательность) про-
изводной f (с) не является необходимым
условием возрастания {убывания) функ-
ции f{x) в точке с. В качестве примера
укажем на функцию f{x) — x3, которая
возрастает в точке х = 0 и тем не ме-
нее имеет в этой точке производную
f (0) = 0 (график этой функции изобра-
жен на рис. 8.8).
2. Локальный максимум и локаль-
ный минимум функции. Пусть снова
функция f{x) определена всюду в неко-
торой окрестности точки с.
Определение. Говорят, что функ-
ция f{x) имеет в точке: с локаль-
ный максимум {минимум), если найдется такая окрест-
ность точки с, в пределах которой значение f{c) является наи-
большим {наименьшим) среди всех
значений этой функции.
На рис. 8.9 изображена функция
f {x), имеющая локальный максимум в
точке с.
Локальный максимум и локальный
минимум объединяются общим назва-
нием локальный экстре му м.
Установим необходимое условие экс-
тремума дифференцируемой функции.
Теорема 8.10. Если функция f{x) дифференцируема в точке с
и имеет в этой точке локальный экстремум, то f'{c) = O.
Доказательство. Так как функция f{x) имеет локальный,
экстремум в точке с, то f{x) не может в этой точке ни возрастать,
пи убывать. Стало быть, в силу теоремы 8.9 производная f {с) не
может быть ни положительна, ни отрицательна, т. е. /' (с) = 0.
Теорема 8.10 имеет простой геометрический смысл: она утверждает,
что если в точке кривой _у=/(х), которой соответствует локальный
экстремум функции f{x), существует касательная к графику функ-
ции y—f{x), то эта касательная параллельна оси Ох (см. рис. 8.9).
254
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 8
§ 8.	Теорема о нуле производной
Теорема 8.11 (теорема Ролля * *)). Пусть функция f(x) не-
прерывна на сегменте [а, Ь] и дифференцируема во всех внутрен-
них точках этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a)=f(b). Тогда
внутри сегмента [а, Ь] найдется 'точка £ такая, что значение
производной в этой точке f (?) равно нулю.
Кратко можно сказать, что между двумя равными значениями диф-
ференцируемой функции обязательно лежит нуль производной этой
функции.
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на
сегменте [а, &], то, согласно теореме 8.8, эта функция дости-
гает на этом сегменте своего макси-
мального значения /И и своего мини-
мального значения т. Могут пред-
ставиться два случая: 1) М = т,
2) М>т. В случае 1) f(x) — M =
= т — const. Поэтому производная
/' (х) равна нулю в любой точке
сегмента [а, Ь]. В случае М > т, по-
скольку f(a)=f(b), можно утверждать,
что хотя бы одно из двух значений
М или т достигается функцией в неко-
торой внутренней точке ? сегмента [а, Ь]. Но тогда функция f(x)
имеет в этой точке ? локальный экстремум. Поскольку функция f(x)
дифференцируема в точке ?, то по теореме 8.10 f (?) = 0. Теорема
полностью доказана.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если край-
ние ординаты кривой y=f(x) равны, то, согласно теореме Ролля,
на кривой у — f(x) найдется точка, в которой касательная к кривой
параллельна оси Ох (рис. 8.10).
Как мы увидим ниже, теорема Ролля лежит в основе многих фор-
мул и теорем математического анализа.
§ 9.	Формула конечных приращений (формула Лагранжа)
Большое значение в анализе и его приложениях имеет следующая
теорема, принадлежащая Лагранжу**).
Теорема 8.12 (теорема Лагранжа). Если функция f(x) не-
прерывна на сегменте [a, Z>] и дифференцируема во всех внутрен-
них точках этого сегмента, то внутри сегмента [а, Ь] най-
дется точка ? такая, что справедлива формула
 f(b)-f(a)=f(\)(b-a).	(8.7)
*) Мишель Ролль — французский математик (1652—1719).
**) Жозеф Луи Лагранж — великий французский математик и механик
(1736—1813).
§ 9]
ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ
255
Формулу (8.7) называют формулой Лагранжа или формулой ко-
нечных приращений.
Доказательство. Рассмотрим на сегменте [а, Ь] следующую
вспомогательную функцию:
F (х) =/(х) —/(а) -	(х - а>-	(8-8)
Проверим, что для функции F (х) выполнены все условия теоремы
Ролля. В самом деле, F (х) непрерывна на сегменте [а, Ь] (как раз-
ность функции f(x) и линейной функции) и во всех внутренних точ-
ках сегмента [а, Ь] имеет производ-
ную, равную
Fr(x)=f'(x)-f{bl~fa(a\
Из формулы (8.8) очевидно, что
F(d) = F(b) = O.
Согласно теореме Ролля внутри сег-
мента [а, Ь] найдется точка 5 такая, что
=	(8.9)
Из равенства (8.9) вытекает формула Лагранжа (8.7). Подчеркнем,
что в формуле (8.7) вовсе не обязательно считать, что b > а.
Замечание. Мы получили теорему Лагранжа как следствие
теоремы Ролля. Заметим вместе с тем, что сама теорема Ролля
является частным случаем теоремы Лагранжа (при /(а) =/(/>)).
Для выяснения геометрического смысла теоремы Лагранжа заме-
тим, что величина	есть угловой коэффициент секущей,
проходящей через точки A (a, f(a)) и В (b, f(b)) кривой у —f(x),
a f (£) есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x),
проходящей через точку С (£, /(£)). Формула Лагранжа (8.7) означает,
что на кривой у =f(x) между точками А и В найдется такая точка С,
касательная в которой параллельна секущей АВ (рис. 8.11).
Часто бывает удобно записывать формулу Лагранжа в виде, не-
сколько отличном от (8.7). Пусть f(x) удовлетворяет условиям тео-
ремы 8.11. Зафиксируем любое х0 из сегмента [а, £] и зададим ему
приращение Дх произвольное, но такое, чтобы значение (х0 4- Дх)
также лежало на сегменте [а, £]. Тогда, записывая формулу Лагранжа
для сегмента [х0, х0 -ф Дх], будем иметь
/(х0 + Дх)-/(х0) = Дх/'(5),	(8.10)
где 5 — некоторая точка, лежащая между х0 и х0 + Дх. Можно утвер-
ждать, что найдется такое (зависящее от Дх) число 6 из
256
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 8
интервала 0 < 9 < 1, что
£ = х0 + 9 Дх.
Таким образом, формуле (8.10) можно придать вид
/(х04-Дх) -/(х0) = Дх/,(х04-9Дх),	С8-11)
где 9 — некоторое число из интервала 0 <9 <1. Формула Лагранжа
в виде (8.11) дает точное выражение для приращения функции через
вызвавшее его произвольное конечное приращение Дх аргумента.
Этот вид формулы Лагранжа оправдывает термин «формула конечных
приращений».
§ 10.	Некоторые следствия из формулы Лагранжа
1.	Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю
производную.
Теорема 8.13. Если функция f (х) дифференцируема на интервале
(а, Ь) и если всюду на этом интервале /'(х) = С>, то функция f(x)
является постоянной на интервале (а, Ь).
Дока.зательство. -Пусть х0 — некоторая фиксированная точка ’
интервала (а, Ь), а х — любая точка этого интервала.
Сегмент [х0, х] целиком принадлежит интервалу {а, Ь). Поэтому
функция /(х) дифференцируема (а стало быть, и непрерывна) всюду на
сегменте [х0, х]. Это дает право применить к функции /(х) на сег-
менте [х0, х] теорему Лагранжа. Согласно этой теореме внутри
сегмента [х0, х] найдется точка $ такая, что
/(х)-/(х„) = (х-хо)/'(О.	(8.12).
По условию производная функции /(х) равна нулю всюду в интервале
(а, Ь). Стало быть, /'(£) = 0 и из формулы (8.12) мы получим
/(х)=/(х0).	(8.13)
Равенство (8.13) утверждает, что значение функции /(х) в любой
точке х интервала (а, Ь) равно ее значению в фиксированной точке х0.
Это и означает, что функция /(х) постоянна всюду на интер-
вале (а, Ь). Теорема доказана.
Теорема 8.13 имеет простой геометрический смысл: если касатель-
ная в каждой точке некоторого участка кривой y — f(x) параллельна
оси Ох, то указанный участок кривой _у=/(х) представляет собой
отрезок прямой, параллельной оси Ох.
Замечание. Теорема 8.13 уже-была использована нами в главе 6
при доказательстве теоремы 6.1. Здесь мы еще раз подчеркнем, что
весь материал настоящей главы (в том числе и теорема 8.13) совер-
шенно не использует результатов глав 6 и 7. При повторном чтении
этой книги главу 8 можно читать непосредственно вслед за главой 5,
а уже затем возвратиться к чтению глав 6 и 7.
§ 10] НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА	257
2.	Условия монотонности функции на интервале. В качестве
второго следствия формулы Лагранжа рассмотрим вопрос об условиях,
обеспечивающих неубывание (невозрастание) функции на данном ин-
тервале.
Прежде всего, напомним определения неубывания, невозрастания,
возрастания и убывания функции на данном интервале.
1°. Говорят, что функция f (х) не убывает (не возрастает) ш
интервале (а, Ь), если для любых двух точек хх и х3 интервала
(а, Ь), удовлетворяющих условию хг < х2, справедливо неравенство
2°. Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) на интервале
(а, Ь), если для любых точек хх и х2 интервала (а, Ь), связанных
условием xt < х2, справедливо неравенство
f (*1) < f (х2)	(J (хх) > f (х2)).
Теорема 8.14. Для того чтобы дифференцируемая на интервале
(а, Ь) функция f(x) не убывала (не возрастала) на этом интер-
вале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции
была неотрицательной (неположительной) всюду на этом ин-
тервале.
Доказательство. 1) Достаточность. Пусть /'(х)^0
(^0) всюду на интервале (а, Ь). Требуется доказать, что f(x) не убы-
вает (не возрастает) на интервале (а, Ь). Пусть хх и х2 — любые две
точки интервала (а, Ь), удовлетворяющие условию хх < х2. Функ-
ция f(x) дифференцируема (а стало быть, и непрерывна) всюду на сег-
менте [хх, х2]. Поэтому к f(x) можно применить на сегменте [хх, х2]
теорему Лагранжа, в результате чего получим
f(x2) -/(хх) = (х2 - xjf О,	(8.14)
где хх<$<х2.
По условию /’(5)^0 (s^O), х2 — хх > 0. Поэтому правая часть
(8.14) неотрицательна (неположительна), что и доказывает неубывание
(невозрастание) /(х) на интервале (а, Ь).
2) Необходимость. Пусть функция f(x) дифференцируема на
интервале (а, Ь) и не убывает (не возрастает) на этом интервале.
Требуется доказать, что /' (х)^0 (=С0) всюду на этом интервале.
Так как f (х) не убывает (не возрастает) на интервале (а, Ь), то эта
функция не может убывать (возрастать) ни в одной точке интер-
вала (а, Ь). Стало быть, в силу теоремы 8.9, производная fr(x) ни
в одной точке интервала (а, Ь) не может быть отрицательной
(положительной), что и требовалось доказать.
Теорема 8.15. Для того чтобы функция. f (х) возрастала
(убывала) на интервале (а, Ь) достаточно, чтобы производная f’(x)
была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале.
258
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 8
Доказательство проводится по той же схеме, что и доказа-
тельство достаточности в теореме 8.14. Пусть А\ и х2 —любые две
точки интервала (а, Ь), удовлетворяющие условию xl<Z.xi. Запи-
сывая для сегмента [хр х2] формулу Лагранжа, получим равенство
(8.14), но на этот раз в этом равенстве /'(?)>О (<0).
Вследствие этого левая часть (8-14) положительна (отрица-
тельна), что и доказывает возрастание (убывание) f(x) на интер-
вале (а, Ь).
Замечание. Подчеркнем, что положительность (отрицательность)
производной f'(x) на интервале (а, Ь) не является необходимым
условием возрастания (убывания) функции f(x) на интервале (а, Ь).
Так, функция _у = х3 возрастает на интервале (—1, +1), но произ-
водная этой функции f (х)~3хг не является всюду положительной
на этом интервале (она обращается в
нуль в точке х = 0). Вообще, легко
доказать, что функция f(x) возрастает
(убывает) на интервале (а, Ь), если
производная этой функции f (х) поло-
жительна (отрицательна) всюду на
этом интервале, за исключением ко-
нечного числа точек, в которых эта
производная равна нулю. (Для дока-
зательства достаточно применить тео-
рему 8.15 к каждому из конечного
числа интервалов, на которых f (х)
строго положительна (отрицательна) и
в тех точках, в которых производная
учесть непрерывность f(x)
равна нулю.) Установленную теоремой 8.15 связь между знаком произ-
водной и направлением изменения функции легко понять из геометри-
ческих соображений. Поскольку производная равна угловому коэффи-
циенту касательной к графику функции у =f(x), знак производной
указывает острый или тупой угол с положительным направлением
оси Ох составляет луч касательной, лежащий в верхней полуплоскости.
Если /' (х) > 0 всюду на интервале (а, Ь), то всюду на этом интервале
луч касательной, лежащий в верхней полуплоскости, составляет с Ох
острый угол, стало быть и кривая y—f(x) идет вверх всюду на этом
интервале (рис. 8.12).
3. Отсутствие у производной точек разрыва 1-го рода и
устранимого разрыва. Применим теорему Лагранжа для выяснения
одного замечательного свойства производной. Прежде всего докажем
следующее утверждение. Пусть функция f(x): 1) непрерывна в точке с
справа (слева), 2) имеет конечную производную всюду в правой
(левой) полуокрестности точки с и правую (левую) производную
в самой точке с. Тогда, если производная Г(х) имеет в точке с
правое (левое) предельное значение, то это предельное значение
равно правой (левой) производной в точке с.
§ 10]	НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА	259
Для доказательства этого утверждения рассмотрим любую после-
довательность {хп} значений аргумента, сходящуюся к с справа (слева).
Учитывая, что, начиная с достаточно большого номера я, все хп при-
надлежат той полуокрестности, в которой функция f(x) имеет конеч-
ную первую производную, применим теорему Лагранжа к функции
f(x) по сегменту *) [с, хп] ([хда с]). При этом получим
(8.15)
где через обозначена некоторая точка, лежащая между с и хп.
Пусть теперь в равенстве (8.15) я —оо. Тогда, очевидно, —"С справа
(слева). Поскольку по условию fr(x) имеет в точке с конечное правое
(левое) предельное значение, правая часть (8.15), по определению
предельного значения, обязана при я—-оо стремиться к указанному
предельному значению. Стало быть, существует предел при я — оо
и левой части (8.15). По определению правой (левой) производной
этот предел равен f (с 4- 0) (f (с — 0)). Итак, в пределе при я —оо
равенство (8.15) дает
Г(с4-0)= lim f'(x\	(/'(с—0) = lim f'(х)).
Jf-»c + o	х — с- 0
Тем самым доказано, что функция /' (х) непрерывна в точке с справа
(слева).
Применяя только что доказанное утверждение в каждой точке с
некоторого интервала (а, Ь), мы придем к следующему утверждению:
если функция f(x) имеет конечную производную всюду на интер-
вале (а, Ь), то f (х) не может иметь на этом интервале ни
точек устранимого разрыва, ни точек разрыва 1-го рода.
В самом деле, если в некоторой точке с интервала (а, Ь) сущест-
вуют конечные правое и левое предельные значения/'(х), то fr(x) не-
прерывна в точке с (в силу доказанного выше утверждения). Если же
хотя бы одного из указанных двух предельных значений не существует,
то /'(х) имеет в точке с разрыв 2-го рода. Приведем пример функ-
ции, производная которой существует .и конечна всюду на некотором
интервале и имеет в некоторой точке этого интервала разрыв 2-го
рода. Рассмотрим на интервале (—1, 4-1) функцию
Дд.)=/ *2 cos Т ПРИ х °’
[	0 при х = 0.
*) Все условия теоремы Лагранжа выполнены, ибо функция ((х) диф-
ференцируема (а стало быть, и непрерывна) в любой точке сегмента [с, хп]
(|хп, с]), за исключением точки с. Непрерывность / (х) в точке с справа (слева)
предполагается.
260	ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. 8
Очевидно, что для любого х ф 0 производная этой функции суще-
ствует и определяется формулой f {х) = 2х cos — -J-siny. Суще-
ствование производной /'(0) в точке х — 0 непосредственно вытекает
из существования предельного значения
,.m f(0 + y-f(0) =
Дх — 0	^Х
lim Дх cos т- = 0.
дл-о &х
Производная f (х) не имеет в точке х = 0 ни правого, ни левого
предельного значения, ибо у слагаемого 2xcosy существует в точке
х = 0 равное нулю предельное значение, а слагаемое sin-^ не имеет
в этой точке ни правого, ни левого предельного значения (см. пример
в конце п. 1 § 8 главы 4).
4. Вывод некоторых неравенств. В заключение покажем, как
с помощью теоремы Лагранжа могут быть получены некоторые весьма
полезные неравенства. В качестве примера установим следующие два
неравенства:
|sinx1 — sin ха | sg | хг — ха|,	(8.16)
| arctg Xj — arctg хя [ «С | xx — xa	(8.17)
(Здесь под хг и xa можно понимать любые значения аргумента.)
Для установления неравенства (8.16) применим теорему Лагранжа
к функции /(х)= sin х по сегменту [хр r2J. Получим
sin хг — sin ха = (хх — х2)/' ($).	(8.18)
Учитывая, что /'(£)= cos £ и что ] cos $ |	1 для любого 5, получим,
переходя в (8.18) к модулям, неравенство (8.16).
Для установления неравенства (8.17) следует принимать теорему
Лагранжа по сегменту [х1, ха] к функции /(х) = arctg х и учесть,
что /'(?) = г-к5^1.
§11. Обобщенная формула конечных приращений
(формула Коши)
В этом параграфе мы докажем теорему, принадлежащую Коши и
обобщающую установленную выше теорему Лагранжа.
Теорема 8.16 {теорема Коши). Если каждая из двух функ-
ций f(x) и g(x) непрерывна на сегменте [а, 6] и дифференцируема
во всех внутренних точках этого сегмента и -если, кроме того,
производная g' (х) отлична от нуля всюду внутри сегмента [a, £>|,
то внутри этого сегмента найдется точка 5 такая, что спра-
ведлива формула
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
261
$ 12]
Формулу (8.19) называют обобщенной формулой конечных прираще-
ний или формулой Коши.
Доказательство. Прежде всего докажем, что g(a) g(b).
В самом деле, если бы это было не так, то для функции g(x) были
бы выполнены на сегменте [а, Ь] все условия теоремы 8.11 (Ролля)
и по этой теореме внутри сегмента [а, Ь] нашлась бы точка $ такая,
что g' (?) = 0. Последнее противоречит условию теоремы. Итак,
g(a) g(b), и мы имеем право рассмотреть следующую вспомогатель-
ную функцию:
F(x)=/(x)-/(n) -	[g(x) - g(a)].	(8.20)
В силу требований, наложенных на функции f(x) и g(x), функция F (х)
непрерывна на сегменте [а, Ь] и дифференцируема во всех внутрен-
них точках этого сегмента. Кроме того, очевидно, что F (а) = F (&)== 0.
Таким образом, для F(x) выполнены все условия теоремы 8.11 (Ролля).
Согласно этой теореме внутри сегмента [а, &] найдется точка $ такая,
что
F'C) = 0.	(8.21)
Имея в виду, что F' (x)~f (x') — ^~^~^g' (_х), и используя равен-
ство (8.21), будем иметь
(8М)
Учитывая, что	из равенства (8.22) получим формулу Коши
(8.19). Теорема доказана.
Замечание 1; Формула Лагранжа (8.7) является частным слу-
чаем формулы Коши (8.19) при g(x) = x.
Замечание 2. В формуле (8.19) вовсе не обязательно считать,
что Ь>а.
§ 12. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя)
1. Раскрытие неопределенности вида Будем говорить, что
отношение двух функций представляет собой при х -> а неопре-
0
деленность вида -д-, если
lim У(х) = lim g(x) = 0.
л-+а	х-+а
Раскрыть эту неопределенность — это значит вычислить предельное
262
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. 8
,. f (х) ,
Um (при условии, что это предельное значение суще-
х-.аё W
значение
ствует).
Следующая теорема дает правило для раскрытия неопределенности
О
вида -у.
Теорема 8.17 (правило Лопиталя*)). Пусть две функции
f(x) и g(x) определены и дифференцируемы всюду в некоторой
окрестности точки а, за исключением, быть может, самой
точки а. Пусть, далее,
Um /(х)= lim g(x) = 0
х->а
и производная g' (х) отлична от нуля всюду в указанной выше
окрестности точки а. Тогда, если существует (конечное ила
бесконечное) предельное значение **)
lim Ш
х~аё'(х)'
(8.23)
f (х)
то существует и предельное значение lim , причем справед-
х а ё W
лива формула
.. f(x) ..	f'(x)
lim -Д-Д= lim '.
х~аё(х) х-аё'Ю
(8.24)
Теорема 8.17 дает нам правило для раскрытия неопределенности
О
вида -у, сводящее вычисление предельного значения отношения двух
функций к вычислению предельного значения отношения их произ-
водных.
Доказательство. Пусть {хл} — произвольная последователь-
ность значений аргумента, сходящаяся к а и состоящая из чисел,
отличных от а. Будем рассматривать эту последовательность, на-
чиная с того номера п, с которого все хп принадлежат окрест-
ности точки а, указанной в формулировке теоремы. Доопре-
делим функции f(x) и g(x) в точке а, положив их равными
нулю в этой точке. Тогда, очевидно, f(x) и g(x) будут непрерывны
на всем сегменте [а, и дифференцируемы во всех внутренних
точках этого сегмента. Кроме того, g' (х) отлична от нуля всюду
внутри этого сегмента. Таким обра'зом, для f(x) и g(x) на сегменте
*) Гильом Франсуа де Лопиталь — французский математик (1661—1704).
**) Отметим, что предельное значение (8.23) может не существовать, тогда
f (х)
как предел отношения функций lim существует. Например, можно взять
х—аё W
а — 0, f (х) = х2 sin —, g (х) = sin х. Таким образом, правило Лопиталя «дей-
ствует» не всегда.
§ 12]
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
263
(8.26)
[а, хп] выполнены все условия теоремы 8.16 (Коши). Согласно этой
теореме внутри сегмента [а, хп] найдется точка Чп такая, что
f (хп) — f (а)  Г (%л)	го 9 кч
g(xn)-g(a)~g'(^Y	1	'
Учитывая, что, по нашему доопределению, f(a) = g(а) = 0, мы можем
следующим образом переписать формулу (8.25):
f(xn) _Г(Ц
g(xn) g'(in)'
Пусть теперь в формуле (8.26) в->оо. Тогда, очевидно, Ея->а. Так
как мы предположили существование предельного значения (8.23),
правая часть (8.26) при л—>оо обязана стремиться к этому предель-
ному значению. Стало быть, существует предел при п —>оо и левой
части (8.26). По определению предельного значения функции этот
.. f (х) гг	л
предел равен lim -у-у. Таким образом, в пределе при я—>оо равен-
х -*• a g (х>
ство (8.26) переходит в равенство (8.24). Теорема доказана.
Замечание 1. Если к условиям теоремы 8.17 добавить требо-
вание непрерывности производных f (х) и £ (х) в точке а, то при
условии g' (a)yi О формула (8.24) может быть переписана в виде .
НтШ = 4^.	(8.27)
g (а)
Замечание 2. Если производные /' (х) и g' (х) удовлетворяют
тем же требованиям, что и сами функции f(x) и g(x\ то правило
Лопиталя можно применять повторно (т. е. предельное значение отно-
шения первых производных функций /(х) и g(x) можно заменить
предельным значением отношения вторых производных этих функ-
ций). Мы получим при этом
f (х) f' (х)	.. f" (х)
lim 44= lim -44 = lim ,,, <
X~ag(x) х~а& (x) x-.ag W
Замечание 3. Теорема 8.17 легко переносится на случай, ког-
да аргумент х стремится не к конечному, а к бесконечному пределу
а=-|-оо или а=—оо. Ограничимся тем, что сформулируем теорему 8.17
для случая, когда a = -f-oo. Пусть две функции /(х) и g(x) определе-
ны и дифференцируемы всюду на полупрямой с<х<со. Пусть,
далее, lim /(х) = lim g(x) = 0 и производная g' (х) отлична от
х—+а>	х — 4-00
нуля на указанной полупрямой. Тогда, если существует предель-
Р (х)
ное значение lim \, то существует и предельное значение
г 7W	а
Jim 4-т, причем справедливо равенство
X--ycog W
.. И*) 1im f' (x)
lim — = lim .  . . .
^+oogW x- + oog W
264
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. В
sinx 1
1™— -т-
Примеры.
' 1 — cosx
1) lim---»—
х — 0	х
2) Следующее предельное значение вычисляется двукратным при-
менением правила Лопиталя:
.. х — sin х
lim —
z-0
3) Трехкратным
дельное значение
х‘
---------= lim„
л х -> О
применением
1 — cos х ,. sin х
правила Лопиталя
вычисляется пре-
lim , , о--------п
х_0 х2 + 2cosх — 2
,.	4хз
lim-75---п	'
2х —2sinx
12*2
— 2 cos х
..	24х
= lim^—= 12.
02 sin х
1
6 '
(8.28)
2. Раскрытие неопределенности вида Будем говорить, что
/ (х)
отношение двух функций '-^4 представляет собой при х -> а неопре-
ё У.Х)
деленность вида —, если
оо
lim/(x) = lim g (х) = оо *).
Для раскрытия этой’ неопределенности, т. е. для вычисления пре-
,. f (х)
дельного значения lim . : , справедливо утверждение, совершенно
х-^а& W
аналогичное теореме 8.17, а именно: если в формулировке тео-
ремы 8.17 заменить требование lim/(x) — limg(x) = 0 на уело-
х—а	х — а
вие (8.28), то теорема 8.17 останется справедливой.
Для доказательства рассмотрим произвольную последовательность {хп}
значений аргумента, сходящуюся к а справа (или слева). Пусть хт и хп —
любые два элемента этой последовательности с достаточно большими номе-
рами т и п, удовлетворяющими условию п > т.
Применяя формулу Коши (8.19) по сегменту [хт, х„], мы можем утвер-
ждать, что на этом сегменте найдется точка Еотп такая, что
,___ f (*Л1)
f (хп) — f (хт) _ f (хп)__f (хп) _ f (Smn)
ё (хп) — ё (хт) ё (хп) ,  ё(хт) ё' (Ъпп) ‘
ё (Хп)
, ё (Хт)
f (хп) _ f (%тп)___ё (хп)
ё (хп) ё' (^тп) < _ f (хт)
f(Xn)
(х)
Если существует lim - ,) '  = Д, то для любого е>0 можно фиксировать
х-*а ё (х)
Отсюда .
*) Вместо со можно брать 4- оо или — оо.
§ 12]
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
265
номер т СТОЛЬ большим, ЧТО при любом п > т дробь  будет откло-
няться от числа А меньше чем на -у-. Далее, учитывая (8.28), мы можем
для данного фиксированного т найти номер п0 такой, что при