Author: Садовничий В.А. Олехник С.Н. Виноградова И.А.
Tags: анализ математический анализ функциональный анализ математика учебник по математике издательство дрофа
ISBN: 5-7107-4294-5
Year: 2001
Text
И.А. Виноградова
С.Н.Олехник
В.А. Садовничий
ЗАДАЧИ
И УПРАЖНЕНИЯ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Часть 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Издание третье, исправленное
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям и специальностям
физико-математического профиля
гфофа
МОСКВА • 2001
УДК 517.1(075.8)
ББК 22.161
В49
Рецензенты:
чл.-кор. РАН Л. Д. Кудрявцев,
академик РАН В. А. Ильин
Серия «Высшее образование: Современный учебник»
основана в 2001 году
Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А.
В49 Задачи и упражнения по математическому анализу: Посо¬
бие для университетов, пед. вузов: В 2 ч. / Под ред. В. А. Садов-
ничего. — 3-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2001. — Ч. 1: Дифферен¬
циальное и интегральное исчисление. — 725 с.: ил. — (Высшее
образование: Современный учебник).
ISBN 5-7107-4294-5 (ч. 1)
ISBN 5-7107-4296-1
Учебное пособие (2-е изд. — 2000 г.) соответствует программе курса мате¬
матического анализа для студентов механико-математических и математических
факультетов университетов, педагогических и технических вузов. Задачник
отражает современные тенденции развития математики. Большинство задач
в пособии сопровождается решениями, поэтому оно может быть полезно при
самостоятельном изучении предмета. В книге содержатся следующие разделы:
графики, пределы, дифференциальное и интегральное исчисление.
Для студентов университетов, педагогических вузов, вузов с углубленным
изучением математики.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Отечественную школу преподавания математики всегда отли¬
чало сочетание четкости рассуждений с глубиной содержания и
в то же время с простотой, доступностью, конкретностью изло¬
жения материала, которые всегда предпочитаются формальным
конструкциям. Математическое образование и математическая
культура составляют стержень научного знания, и значение мате¬
матики как основы фундаментальных исследований постоянно
возрастает. Для решения этих задач требуются учебники, отра¬
жающие современное состояние и мировоззренческие принципы
данной области науки.
Издавая новые книги по математике, особенно для исполь¬
зования в учебном процессе, важно помнить слова Н. И. Лоба¬
чевского из предисловия к его «Алгебре»: «Новая книга начал ма¬
тематики не должна напрасно умножать число существующих,
потому что и без того уже много». Эти слова навеяны известным
изречением Екклесиаста и несут в себе мудрость, данную от века.
Предлагаемое вниманию читателей учебное пособие «Задачи и
упражнения по математическому анализу» является руководством
для проведения семинарских занятий по основному курсу матема¬
тического анализа для вузов, оно также удобно для самостоятель¬
ной работы студентов.
В книге обобщен и методически переработан опыт препода¬
вания предмета на механико-математическом факультете МГУ
им. М. В. Ломоносова за последние десятилетия.
Пособие содержит широкий круг задач и упражнений по ос¬
новным темам курса. В отдельные разделы выделены теоретиче¬
ские задачи. Изложение каждой темы предваряется полной систе¬
мой определений, формулировкой основных теорем и подробным
решением типовых задач. Все задачи снабжены ответами и указа¬
ниями к решению.
Третье издание задачника, так же как и его второе издание, вы¬
ходит в двух частях. Часть 1: «Дифференциальное и интегральное
исчисление». Часть 2: «Ряды, несобственные интегралы, ряды
Фурье, преобразование Фурье».
Серия «Высшее образование: Современный учебник», в ко¬
торой он выпускается, кроме практической ценности, призвана
подвести некоторые итоги работы российских ученых и педаго-
гов-математиков по созданию базовых учебников по высшей мате¬
матике.
Академик
Российской Академии наук
В. А. Садовничий
Часть I
ГРАФИКИ, ПРЕДЕЛЫ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава I
ПОСТРОЕНИЕ ЭСКИЗОВ ГРАФИКОВ
ФУНКЦИЙ
§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ
Основными элементарными функциями считаются: степенная
функция у=ха, показательная функция у=ах, а>0, аФ 1, лога¬
рифмическая функция y = \ogax, а>О, а=?^1, тригонометрические
функции i/ = sirut, у = сosjc, у = tgx, у== ctg*\ обратные тригоно¬
метрические функции t/=arcsinjc, i/=arccosx, i/=arctgx, i/=*
= arcctgx.
Элементарной называется функция, полученная из основных
элементарных функций конечным числом их композиций и ариф¬
метических операций.
Рассмотрим построение эскизов графиков фуикций путем ка¬
чественного анализа с наименьшим числом вычислений. Мы выде¬
лим некоторые классы элементарных функций и установим их
главные свойства, опираясь на известные свойства основных эле¬
ментарных функции и правила преобразования графика при опре¬
деленных операциях с функцией. Техника дифференцирования
практически применяться не будет; она либо излишняя (нет необ¬
ходимости пользоваться производной для определения положения
вершины параболы или максимумов синусоиды), либо слишком
громоздка, например, при анализе рациональных дробей. Но не¬
которые утверждения, которые строго доказываются с помощью
дифференциального исчисления, будут сформулированы, и соот¬
ветствующие свойства функций и их графиков будут использо¬
ваться. Более конкретно о том, что именно должен иллюстриро¬
вать в поведении функции эскиз ее графика, будет сказано в со¬
ответствующих замечаниях и при разборе примеров.
Допустим, что построен график фуикции */ = /(*). х^Х. В сле¬
дующей таблице описано, как изменяется этот график при опре¬
деленном преобразовании функции f(x) или ее аргумента.
Построение графика функции y = Cj(ax+b)+D в общем случае
сводится к ряду преобразований (сдвиг, сжатие, отображение
и т. д.) графика функции /(*).
Представим у в виде
4
Таблица
Функция
Преобразование, которое следует провести
с графиком у ■* /(х) на плоскости X0Y
t(x) + A АФО
Сдвиг вверх по оси OY графика функции
у = f(x) на А единиц, если А>0, и сдвиг вниз
на | А | единиц, если А <10
/(х — а) аф 0
сдвиг вправо по оси ОХ на а единиц, если
а>0, сдвиг влево на |а| единиц, если а<0
kf(x), k>0 кф 1
растяжение вдоль оси OY относительно осн ОХ
в k раз, если Л>1, сжатие вдоль оси OY в 1/Л
раз, если 0< 1
f(kx), *>0 кф 1
сжатие вдоль оси ОХ относительно оси OY в k
раз, если Л>1, и растяжение в 1/Л раз, если
0<Л< 1
— f(x)
симметричное отображение графика относительно
оси ОХ
l/WI
часть графика, расположенная ниже оси ОХ, сим¬
метрично отражается относительно этой оси, осталь¬
ная часть остается без изменения
f(-X)
симметричное отображение графика относительно
оси OY
К1«и
стереть часть графика функции у — f(х), лежа¬
щую слева от оси OY; оставить часть графика
у f(x), лежащую справа от оси OY и на ней;
часть графика функции y = f(x), расположенную
в области х > 0, симметрично отобразить относи¬
тельно оси OY в область х<0
Из такого представления у видно, что для построения графика
этой функции достаточно построить график функции
Для построения графика функции у, достаточно построить график
функции + т)]в свою очередь для построения
графика функции у2 достаточно построить график функции г/з =
= [(ах). Итак, для построения графика функции ^ х +
+ — j J + D необходимо с графиком функции f(x) произвести
следующие преобразования:
1. Сжать или растянуть график функции j(х) вдоль оси ОХ
относительно оси OY, если а>0; симметрично отобразить отно¬
сительно оси OY и сжать или растянуть вдоль оси ОХ относитель¬
но оси ОУ, если а<0.
2. Сдвинуть по оси ОХ полученный график функции f(ax) на
I ь I ь . п ь . Л
— : влево, если — >0, и вправо, если — <0.
I a I а а
3. Сжать или растянуть полученный график функции
вдоль оси OY относительно оси ОХ, если С>0;
симметрично отобразить относительно оси ОХ и сжать или растя¬
нуть вдоль оси OY относительно оси ОХ, если С<0.
4. Сдвинуть полученный график функции Cf
а(х + ±)
\ а I
на
D вверх, если Z)>0, и вниз на |D|t если D<0.
Последовательность этих преобразований при построении
графика функции y~Cf(ax + b) +D можно представить символи¬
чески в виде цепочки
f М -+f(ax) -► f [a (* + -£-)
—► Cf (ax -f- b) -f- D.
== f (ax + b) Cf (ax+ b)-
На практике удобнее построение графика функции y = Cf(ax +
+ 6)+D начинать с написания цепочки
Cf (ах + b) + DCf (ах+ b)+-f (ах + Ь) э
•f(ax)+-f(x).
Отсюда видно, график какой функции в этой цепочке является
базовым для построения графика последующей функции.
Пример 1. Построим эскиз графика функции
«/ = log3 (1—2*).
Решение. Напишем цепочку преобразований:
log,(l— 2x) = logs [—2 (jt —-j-j сд,"г ” 1/2 впр,во
logs (— 2дг) X- log, (2д:) Ч- Iog3 X.
Итак, построение эскиза графика функции t/ = log3(l—2х) начи¬
нается с построения графика */i = log3*, затем сжатия этого гра¬
фика вдоль оси ОХ относительно оси OY в два раза, затем сим¬
метричного отображения относительно оси О У и, наконец, сдвига
полученного графика на 1/2 вправо вдоль оси ОХ (см. рис. 1).
Рис. 1
Чтобы избежать ошибок при построении графиков, следует
подчеркнуть еще раз, что величина сдвига вдоль оси ОХ опреде¬
ляется той константой, которая прибавляется непосредственно
к аргументу *, а не к аргументу ах. Поэтому для нахождения
этой константы выражение ах+b сначала преобразуется к виду
7
В связи с этим рекомендуется операцию сдвига вдоль оси ОХ
проводить после операций сжатия или растяжения вдоль оси ОХ
относительно оси OY.
Пример 2. Построим эскиз графика функции
У — —2 tg Д”-4" .
Решение. Напишем цепочку преобразований
Последовательно эскизы смотри на рис. 2.
8
Пример 3. Построим эскиз графика функции
У =Ysin(3x + l") +L
Решение. Напишем цепочку преобразований:
-i-sin (а* + -J-) + 1 - -i-sin (Зх + Ч-sin (а* + -5-) -
е= sin ^3 Н—j -<-sin3jC4-sinx.
Последовательно эскизы смотри на рис. 3.
Рис. 3
Аналогичным методом строятся эскизы графиков функций
с применением и других преобразований.
Пример 4. Построим эскиз графика^ y = logjJ 1 — 2| |*| —1||.
Решение. Напишем цепочку преобразований:
log!/* 11 - 211* 1 ~ 111 log,/211 - 21х -111 *-сд,нг на 1 впр,во
logi/211 —2|дг| logi/211 —2дг|= logi/212х — 11 =
сдвиг на 1/2 вправо 10^1^ *>0
-log./S|2(,-f)|
- log,/2 2х 2--Р— log ~
Эскизы смотри на рис. 4.
■ logi/2 |2д:|-
Разберем следующий пример, где потребуются несколько иные
рассуждения.
Пример 5. Построим эскиз графика функции у — 2]/х.
Решение. Графики функций g= 1/х и у^2е смотри на
рис. 5, а, б. Функция i/ = 21/JC определена на объединении множеств
(—оо, 0) и (0, +оо), т. е. на множестве (—оо, 0)U(0, +оо). На
множестве (—оо, 0) функция g(x) монотонно стремится к 0 при
—оо и монотонно стремится к —оо при х-И); на множестве
(0, +оо) функция g(x) монотонно стремится к +оо при х-й)
и монотонно стремится к 0 при х-^ + оо. Отсюда легко заключить,
что функция у = 2е определена на множестве (—оо, 0)U(0, + оо).
10
На множестве (—оо, 0), когда х стремится к —оо, функция
у = 28 стремится к единице, оставаясь меньше 1, а когда х->0, то
стремится к 0. На множестве (0, +оо), когда *-*0, функция
у = 2е стремится к +оо, а когда х-* + оо, то стремится к единице,
Рис. 5
оставаясь больше 1. Теперь рисуем эскиз графика функции у = 2и*
(см. рис. 5, в).
Замечание. Полученные исследования полезно свести в
таблицу и потом строить график
X
— оо /0
0 / + оо
участки монотонности функ-
1
ции
X
1
*=Т
0 — оо
Ч-ооЧО
изменение g(x) на этих учас¬
тках
1
у = 2я
140
+ 1
изменение у = y(g(x)) на этих
участках
Пример 6. Построим эскиз графика функции y = \og\/2(x2+x).
Решение. Построим графики g = x2 + x и y = \og\/2g (см.
рис. 6, а, б). Так как при —функция g = x2 + x не поло¬
жительна (рис. 6, а), то функция у = logi/2(*2-fx) определена при
х^(—оо, —1)U(0. +оо). Составим таблицу.
X
— оо / — 1
0/ + оо
g = X* + X
-1- оо\0
0 f 4"00
У = log 1/2*
— оо / 4* оо
оо\ — оо
11
Переходим к эскизу графика функции y=\ogm(x2 + x) (см.
рис. 6, в).
Одной из существенных качественных характеристик функции
является ее поведение у «границы области определения», т. е.
при х-+а, где а — граничная точка области определения и при
х-> + оо или х—* — оо, если область определения не ограничена слева
или справа. Введем некоторые количественные оценки этого поведе¬
ния. Если при х-> + оо или х-+ — оо разность f(x)-g(x)->0, то
говорят, что функции f(x) и g(x) на плюс или минус бесконечности
ведут себя асимптотически одинаково. Если g(x) по структуре более
«проста», чем /(*), то говорят, что f(x) асимптотически ведет
себя как #(*)•
х4 4- ***
Пример 7. Рассмотрим функцию у = ---j-----.
После тождественных преобразований получим
*+•" _*■+и——)■■ I— + 0 —'+ •
ж* + V е* ) \ е*1 ) х* + е«
Х^ х^ х^ *
Поскольку lim = lim lim — 0 (показательная
X-^-f-oo £ах JC-*+oo в*
функция у = ах, д>1, на плюс бесконечности растет быстрее сте¬
пенной у = )с“, а>0, это строго доказывается позже) и lim =
= lim -^-=0, то видно, что у(х) на плюс бесконечности асимп-
£-*-{-00
тотически ведет себя как ех и на минус бесконечности — как х2.
Если g(x)=kx + b и f(x)—g(x)^ 0 при х-*+оо (х-+—оо),
то говорят, что график функции f{x) имеет правую (левую)
асимптоту, наклонную при кФО, горизонтальную при А|в0. Пра¬
12
вая асимптота существует тогда и только тогда, когда сущест¬
вуют оба предела: fc+= lim -^2- и 6+ = lim (у(х) — k+x), ле-
Д-Иоо X r-#-f-oo
вая —когда существуют £_ = lim и L= lim (i/(jc)—fc_x).
JC-»— oo X JC-#—o©
Если правая и левая асимптоты совпадают, то говорят, что гра¬
фик функции имеет асимптоту (наклонную или горизонтальную).
Пример 8. Рассмотрим функцию f(x) =х+ (sinх)/х. Так как
{sinх)/л-*0(х->оо) (почему ?), то прямая у=х есть асимптота
графика этой функции. Обратите внимание, что график данной
функции пересекает свою асимптоту в бесконечном числе точек:
х=kn для каждого целого kt k=£0. Эскиз графика данной функции
приведен на рис. 7.
Если при д:-*а (х-*а+, х-+а~) функция f(x) стремится к беско¬
нечности, тогда прямая х = а является вертикальной асимптотой
(двусторонней или односторонней). В таком случае иногда ис¬
13
пользуется следующая характеристика фуикции: если в некоторой
окрестности (правой или левой полуокрестностях) точки х=а име¬
ет место соотношение 0< Cl < \f(x)/g(x) | <С2, то говорят, что
f(x) имеет при х-+а (*->а+, х-+а~) порядок роста g(x).
§ 2. ГРАФИКИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Определение. Рациональной функцией (рациональной
дробью) называют отношение двух многочленов:
R(x) =ТГ7Т WmW^O).
Qm {X)
Простейшим после многочленов подклассом рациональных функ¬
ций является класс дробно-линейных функций
У(*) =
ах 4- b
сф 0.
Если числитель
ах -f- b
У =
cx + d '
и знаменатель дробно-линейной функции
имеют общий множитель х—а, то функция всюду,
кроме точки х = —d/c, есть постоянная а/с и график ее имеет вид,
У j
0
с
► 1 ^
1
1
— +
. ±
0 x
с
Рис. 8
изображенный на рис. 8. Обратите внимание на отличие этого
графика от графика функции у=а/с\
В дальнейшем предполагаем, что рассматриваемая дробь несо¬
кратима (т. е. ЬсФай). После тождественного преобразования
be — ad
k
ox-f b a
cx + d с
-=-2- + -
С
d
x +
с
14
видно, что график дробно-линейной функции — кривая обратной
пропорциональности y = k/x (гипербола), сдвинутая по оси ОХ на
\d/c\ вправо или влево в зависимости от знака d/c и по оси OY
на |а/с| вверх или вниз в зависимости от знака а/с. Таким обра¬
зом, чтобы построить эскиз графика дробно-линейной функции,
достаточно знать ее асимптоты и расположение относительно них
одной из ветвей гиперболы, так как вторая ветвь симметрична
с первой относительно точки пересечения асимптот. Асимптотами
являются прямые х = —d/c и у = а/с, полученные соответствующим
сдвигом асимптот кривой y = k/x, а положение одной из ветвей оп¬
ределяется точкой пересечения гиперболы с осью ОХ или OY.
Пример 1. Построим эскиз графика функции у .
5х -|- 2
Решение. Асимптотами являются прямые: дс=—2/5, у = 3/5.
Точка пересечения гиперболы с осью OY есть (0, |/(0)) = (0, 1/2).
Итак, одна из ветвей гиперболы лежит в четвертой четверти от¬
носительно асимптот; вторая, симметричная с первой, — во вто¬
рой. Эскиз графика смотри на рис. 9.
Из эскиза графика рациональной дроби должны быть видны
следующие свойства: знак, нули и точки неопределенности функ¬
ции, ее поведение около точек неопределенности и асимптотичес¬
кое поведение на бесконечности.
Всякая рациональная дробь /?(*) представляется в виде сум¬
мы многочлена и правильной дроби (степень многочлена числи¬
теля меньше степени многочлена знаменателя), т. е.R (*) = Тя(*) +
^t fc<m, где TQt Pft, Qm — многочлены. Правильная
Qm (х)
дробь при х-+оо стремится к нулю (почему?), поэтому R(x) на
бесконечности асимптотически ведет себя как многочлен Гя(х),
в частности, при *-*-+оо и —оо или уходит в бесконечность,
или имеет один и тот же конечный предел. Если рассматривать
только несократимые дроби, то через каждую точку неопределен¬
ности (нуль знаменателя) проходит вертикальная асимптота; если
х = а нуль знаменателя кратности kt т. е. знаменатель имеет вид
(х—a)*Q(x), Q(a)^=0, то порядок роста функции около такой
точки есть \/(х—а)к.
Если а — корень числителя кратности т, то функция в окре¬
стности точки х = а имеет вид С(х—a)m.
Пример 2. Построим эскиз графика функции
= 4 л* + 13s4
У~ (х + 2)* (1 —хг)
Решение. Запишем соотношения
4^+13х« It I 3 I 25х» + 4дС-12
(* + 2)»0-*) (лс + 2)* <1 — ле) (1+Дс)
_ x«(4x+13)
“ (х + 2)г(1— х*)
15
Отсюда заключаем, что точки
* = 0, х=—13/4 — нули функ¬
ции, прямые х——2, х=—1,
х=1 — вертикальные асимпто¬
ты, прямая у= —4jc-h 3 — на¬
клонная асимптота. Перемена
знака функции происходит в
точках х=—13/4, х——1, х= 1;
точка х=0 — корень четного
порядка числителя, точка
=—2 — знаменателя, поэтому в-
этих точках знак функции не
меняется. Эскиз графика пред¬
ставлен на рис. 10. Заметим, что
па промежутке (—1, 1) кри¬
вая дважды пересекла асимп¬
тоту у==—4jc + 3. Так как мно¬
гочлен 25х2-\ 4х—12 более двух
корней иметь не может, то боль¬
ше точек пересечения графика
функции с этой асимптотой нет.
Вообще, точное положение та¬
ких точек чаще всего находить
не обязательно, достаточно ог¬
раничиться качественным ана¬
лизом, как в этом примере.
Точно так же чисто качест¬
венные рассуждения о поведе¬
нии функции приводят к вы¬
явлению экстремальных точек
на промежутках (—2, —1), (1„
+ оо).
§ 3. ГРАФИКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В этом параграфе рассматриваем функции вида у — Р?‘(*) *
РъЧх).. ,Р^*(х), где Р ..., Pk(x) — многочлены, а <ц, а2, ...
..., а* — рациональные числа, или конечные суммы таких произ¬
ведений. После выделения всех множителей вида (л*—а)р, |3>0
произведение Р?1 ... Р*к примет вид
(X —а,)а»(х — дг)а' ... (x—apfp ^ ^
(х_{,1)е-(д _б,)0.... (х-ьУ«
где а,>0, l^i^p, Р/^0, 1^/'^7, Т(х) всюду определенная и не
обращающаяся в нуль функция. Если в (1) все а, — натуральные
числа, все р, равны нулю и Т(х) — многочлен, то числа a[t a2, ...
..., ар называются корнями, а числа а2, ..., ар называются
16
кратностью соответствующего корпя; в общем случае принято го¬
ворить о порядке корня в числителе и в знаменателе.
рень х = 0 порядка 4/3, а в знаменателе корень х = —2 поряд¬
ка 2/3.
Отметим основные свойства степенной функции у — ха с поло¬
жительным. рациональным показателем а=т/п, где m^Nt n^N.
Если п четное, то функция у=хХ1п определена для х>0 и
>» = Х" = (*"■)"= \/хт.
Если п нечетное, то функция у = хт/п определена для всех дей¬
ствительных х, причем для х>0 имеем
у — (Vх )т =угхт
Отсюда видно, что функция у=хт/п нечетна, если тип нечетны,
и четна, если п нечетно, а т четно. Поэтому для любого рацио¬
нального а достаточно рассматривать поведение функции у=ха
на положительной полуоси, а ее поведение на отрицательной по¬
луоси, если она там определена, обусловливается свойством чет¬
ности или нечетности.
Так как а>0, то график функции у=ха проходит через начало
координат, точку (1, 1) и функция стремится к плюс бесконеч¬
ности при х-^+оо. Чем больше а, тем ближе к оси ОХ график
функции у = ха на промежутке (0, 1) и дальше от оси ОХ на про¬
межутке (1, +оо). Пользуясь техникой дифференцирования, мож¬
но показать, что при а> 1 график функции у = ха не только лежит
ниже прямой у = х на (0, 1), но имеет в нуле горизонтальную ка¬
сательную, а если 0<а<1, то график функции у=ха лежит выше
прямой у=х и имеет в нуле вертикальную касательную.
Эти характерные свойства степенной функции используются
для построения эскизов графиков.
Отметим еще, что график функции у=(х—a)a /i(jc) (если
Н(а)Ф0, и график функции h(x) не имеет в точке х=а верти¬
кальной касательной) имеет в точке х = а вертикальную или гори¬
зонтальную касательную одновременно с графиком функции
у=(х—а)а.
Пример 1. Для функции у=Ух2 (х3 — 1) поведение в окрест¬
ности точки х = 0 определяется множителем (—Ух2), поскольку
у = У х2 •{/ х3 — 1 и У х9 — 1 Ф 0 при х = 0. Поведение функции
у = У x2(xz — 1) в окрестности точки *=0 показано на рис. 11. В
точке х = 1 поведение функции у = определяется мно*
имеет в числителе ко-
и
у (—х) = (У — х )т = (—Ух)т = (— х^п)т.
17
жителем у/л: — 1 , поскольку у^уХ — \ • у/х2 (х2 + д: + 1) и
у/х2 (х2 + х+ 1) =т^0 при * = 1. Эскиз графика данной функции при¬
веден на рис. 11.
Пример 2. Для функции у = Vх2—х3 поведение в точке х=0
определяется множителем yx2~\x\t так как # — V х2*—х* — Ух2X
XV 1 —х, а в точке дс=1 определяется множителем У1 —х. Эс¬
киз графика данной функции приведен на рис. 12.
Если у = у\(*)+уг(х) и функция У\(х) имеет в точке jc=jc0
вертикальную касательную, а функция уо(х) не имеет такой каса¬
тельной в точке x = JCo, то функция у имеет в точке х~х0 верти¬
кальную касательную. _
Пример 3. График функции у — 1/х—cos jc ка£ается оси ОY
х
Рис. 11
Рис. 12
в точке (0, —1), поскольку график функции {/ = У* имеет в точке
jc=0 вертикальную касательную (рис. 13).
На эскизе графика функции
У
Ty-tfr-сюх видны асимптоты этой кривой,
точки пересечения с осями коор-
0
(04)
я динат, расположение кривой от¬
носительно осей координат, точ¬
ки, в которых кривая имеет вер¬
тикальную или горизонтальную
касательную.
Рис. 13
18
Пример 4. Построим эскиз графика функции
У"(х-!)»(< +2) • Ух-2
хУ(х+ 1)4(дс + 4)
Решение. Функция определена при х^ —2 и jc^O, хф — 1. Точки
х = —2, х=\, х—2 — нули функции, прямая jc= — 1 и ось OY —
вертикальные асимптоты, перемена знака функции происходит
в точках х=0 и дс=2, график имеет вертикальные касательные
в точках х= —2 и х=2, точка х= 1 — угловая (т. е. в окрестности
этой точки данная функция имеет вид Су/(х—1)2 = С\х—\\). После
преобразования, тождественного для х>\ имеем
у..У (1-1/*)»<»+273Г-^1-2/х
V (1 + I/*)4 (1 4/ж)
Отсюда видно, что при прямая у= 1 — горизонтальная
асимптота. Эскиз графика функции представлен на рис. 14.
При построении подобных эскизов, вообще говоря, не требует¬
ся ответа на вопрос, пересекается ли график функции со своими
асимптотами. В данном примере можно ответить на этот вопрос.
Пусть —1<*<0, тогда \х— 2|>2, |jc — 111 \х + 2 | > 1*
1*1 V (*+ I)4-(jc-Ь4) <]/4 и уУ у^2 / у^4 = 1, т. е. график функ¬
ции на этом промежутке лежит выше асимптоты. Пусть х >2, тогда
Рис. 14
Рис. 15
19
{x— l)e (х + 2)3 (х—2)2 - (х— 1)в (*а—4)2(* + 2) < (JC 4- 4) (*а—4)а <
<х*(х+4)(х2 + 2х +1)2, следовательно, у=^jt
^ х«(х+ 1)«(* + 4)
т. е. кривая лежит ниже асимптоты.
Пример 5. Построим эскиз графика функции у = х+ }^х2—4.
Решение. Функция определена при х^2 и х^—2. Рассмот¬
рим функцию при х^2. В точке л-=2 график имеет вертикальную
касательную, проходит через точку (2, 2) и монотонно растет
к плюс бесконечности с ростом х. Проверим, имеет ли график
наклонную асимптоту
lim
Лсю
— = lim ( 1 + Л/ 1 =2; lim (у —2х) =
X Х-*-\-оо \ У Х% ) Х-* + °°
= lim (]/х2 —4 —х) = lim —.tz =0.
*-►+00 х-+-\-<я> ух2 — 4 X
Следовательно, прямая у = 2х — правая асимптота. Для рассмот¬
рения функции на промежутке х<—2 удобно сделать замену
2 = —х, тогда у = \^г2—4 —г и видно, что для z>2, у>—2, при
z-*+- оо, с/—>-0; в точке х=^—2 график имеет вертикальную каса¬
тельную, проходит через точку (—2, —2), и так как у —
= —- , то функция монотонно убывает при z-*-+oo (х-и
у г* — 4 -f- г
-*оо). Эскиз графика функции представлен на рис. 15.
При построении эскиза графика сложной функции, в опреде¬
ление которой входят функции
/ ^ п [ 1» х > 0;
х, х^О;
1*1 = ^ Л и sign*= о, х= 0;
1-*•»<» 1-1. *<0.
21аиболее естественно выделить и рассмотреть отдельно промежут¬
ки, на которых выражение под знаком модуля или sign не меняет
знака. Стоит обратить внимание на то, что функция у = \х\ — эле¬
ментарная (почему?) й непрерывная, но имеет в нуле угловую
точку, так что и в композиции с этой функцией непрерывность не
нарушается, а угловые точки могут появиться; функция у = sign*
разрывна, и при композиции с чтой функцией также могут появить¬
ся точки разрыва.
§ 4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И ИХ ГРАФИКИ
Рассмотрим функцию у — sin*. Эта функция, рассматриваемая
•на всей числовой прямой, не является монотонной. Чтобы гово¬
рить об обратной функции, выделим участок монотонности функ¬
ции г/ = sin дг. Одним из участков монотонности этой функции яв-
20
ляется отрезок —л/2<*<я/2. Функцию, обратную для функции
y = s\nx9 jcg[-д/2, я/2], обозначим через t/ = arcsinx, т. е. у =
= arcsinjt означает, что x = sin у и —л/2^у^л/2. Если рассмотрим
функцию y = s\nz на другом участке, например я/2<2<Зя/2, то
существует обратная функция, которая выражается через функ¬
цию f/=arcsinz следующим образом: у=л—arcsinz (почему?).
Аналогично, рассматривая функцию у = cos* на промежутке
[О, л], определяется обратная функция у=arccosx, т. е. запись
у = arccosx означает, что x = cos у и О^у^п.
Для функции y = tgx на промежутке (—я/2, я/2) определяется
обратная функция у=arctgx, т. е. запись у=arctgx означает, что
jc=tg у и —я/2<#<я/2. Для функции у=cigx на промежутке
Ряс. 16
(О, я) определяется обратная функция t/—arcctgx, т. е. запись
i/*=arcctg х означает, что x=ctg у и 0<у<п.
Приводим графики обратных тригонометрических функций
(см. 16).
Пример 1. Построим эскиз графика функции
х — 2
i/=arcsin .
3
21
Решение. Пишем цепочку преобразований:
у =arcsin arcsin |-L (х-2)] ^виг и,!-2-вправо
1
ч-arcsin —х+- arcsin х.
3
Последовательно эскизы графиков смотри на рис. 17.
Пример 2. Построим эскиз графика функции
^ = arccos | (1 —21 х | )/31.
Решение. Пишем цепочку преобразований:
arccos|(l —2|х|)/3| arccos | (1 —2х)/3 | гз
эarccos |-у (*~т) 1«~СДВ"Г "*,1/2 -прав- arccos[т*1
arccos х J+- arccos х.
Последовательно эскизы графиков изображены на рис. 18.
! [г
! ! г
,-т-т •)
j ] у* arccos ||х|
X^^-arccosb-x / /
W ' /
Л \ 11
о
у• arccos | jfx- jj|
] \ \ / I
. ! \ \ ^ I i
^ i)
ж
2
'l^S\
1 \
i \
J -/
0 I 1 3 X 3 4
0 1 J 2 x -2 _1
>
0 1 2 z
'2
\ г ~г
2 2 2
2
у =arcosa:
11 - 2lxll
y=QrcC0S\ j 1
Рис. 18
22
Справедливы следующие формулы:
«arcsin(—х) = — arcsine, |х|<[1;
arccos(—x) - n —arccosx, \x\ ^ 1;
arctg (— x) = — arctg x, 1^1 <
arcctg (—x) = я — arcctg x, | x | < oo;
arcsin x -j- arccos x = л/2, |x| ^ 1;
arctgx + arcctgх = я/2, \x\ <oo;
arcsin (sin x) = x, \x\^ я/2;
sin (arcsin x) = x,r l*K 1;
arccos (cos x) ==x, 0 ^ x я;
cos (arccos x) = x, | x | ^ 1;
tg (arctg x)==x, |x|<oo;
arctg (tgx)s=x, | x|< я/2;
•ctg (arcctg x) =x, | x | < oo;
arcctg (ctg x) г x, 0 < x < я;
arcsin x = arccos 1 —xa = arctg * - - =
У 1 — x2
= arcctg — -, 0 < x < 1;
X
/-j ^5
arccos x = arcsin V1 —x% — arctg ~ -- =
x
= arcctg , 0 <*< 1;
/1 —X*
1 JC 1
arctgx = arcctg — = arcsin . ... = arccos ,> ■ , x > 0;
Б Б x У** + 1 V** + 1
arctg лг + arctg у = arcctg -1 у > 0;
arctg * — arctg у = arctg -f--- , * > 0, у > 0;
1 +*!/
arcctg x + arcctg у = arcctg -, x > 0, у > 0.
* + y
Докажем некоторые из них.
23
1. arccos (-—x) = я — arccosxy |*|^1.
Пусть arccos (—x) = а, тогда cos a = —x и О^а^я. Из соот¬
ношения 0^ я следует О^я —а^я, а из соотношения cos a =
=—х следует, что cos (я—а) — х. Поэтому я—а = arccos х, откуда
а = я—arccos х, т. е. arccos (— х) = я—arccos *.
2. arcsinx-f arccosх = я/2, |*|г^1.
Пусть arcsin х = a, arccos л: — Р, тогда х — sin а = cos Р и — я/2 ^
^ я/2, О^р^я. Имеем sin а = cosр = sin (я/2—Р). Из соотно¬
шения О^р^я следует, что —я/2^ я/2—р^я/2. Итак,
sin а = sin (я/2—Р) и —я/2 я/2, —я/2^ я/2—р^я/2.
Поэтому а = я/2 — р, откуда получаем, что
а + р = я/2, т. е. arcsin х + arccosх = я/2.
3. arcsinх = arccos V\-x\ 0 < ж < 1.
Пусть 0<*< 1. Обозначим arcsinх — а, тогда * = sina, 0<a<
< я/2. Значит, cosa= +|^1 —х2, откуда
a^arccosV^l—х2, т. е. arcsinх = arccos У\—х2,
что и требовалось доказать.
4. arctg х -f- arctg ы = arcctg ■1 ~ x > 0, у > 0.
x -Ь у
Обозначим arctg;c = a, arctg^ = p, x > 0, у > 0. Тогда jc = tga,
^ = tgP, 0<а<я/2, 0<Р<я/2. Поэтому
0 < a + P < я, clg(„ + |l) = LLteM-_-J^L.
tg a -f tg P x + У
Так как 0 < a-f P <я, то а + Р = arctg -1—^-, т. е.
* + у
arctg х + arctg у = arcctg -1 ~ ху .
* + у
Пример 3. Вычислим arcsin (sin 10).
Решение. Поскольку arcsin (sin х) =х при |л:|^я/2, то,
пользуясь свойствами функций у = sin jc и у = arcsin.*, а также пе¬
риодичностью функции £/ = sin лг, имеем arcsin(sin 10) =
=arcsin sin (10—2я) =arcsin sin [я— (10—2я)]=3я-10, поскольку
|3я—101 <я/2.
Пример 4. Построим эскиз графика функции у =
= arccos (sin jc2).
Решение. Областью определения функции является вся ось
ОХ. Из тождества arcsin х+ arccosх = я/2 при имеем
arccos (sin х2) = я/2—arcsin sin jc2 (так как 0^sin2jc^l для любо¬
го х). В силу четности функции arcsin sin х2 достаточно построить
ее график в области х^0. Поскольку arcsin sin х=х, если
^я/2, то arcsin sin х2==л:2 при х2^я/2, т. е. при 0^х^л/2. Следо-
24
вательно, при 0^х^Уя/2 имеем, что arccos sin х2 = я/2—х2 (см.
рис. 19, а). Если хе(Ул/2, уЗя/2), то х2е(я/2, Зя/2), а поскольку
х2—ле(—я/2, я/2) и sin (а:2—я) =—sin*2, то arcsin(sin х2) =
= arcsin(—sin(jc2—я)) = —arcsin(sin(x2—я)) = — (х2—я) =я—х2.
Поэтому при хе(Кя/2, УЗя/2) график исходной функции совпада¬
ет с графиком функции я/2 — (я —х2) = х2 — я/2 (см. рис. 19,6).
При х €= (УЗя/2 , V5я/2) имеем, что хае(Зя/2, 5я/2), х —2я е
е(—я/2, я/2), и так как sin*2 =sin(х2—2я), то arcsinsinx* =
=х2—*2я. Поэтому при ге(^Зя/2, У 5я/2) график исходной функ¬
ции овпадает с графиком функции я/2 — {х2 —2я) 5я/2х2 (см.
рис. 1'9,в). Аналогично при х е(К2£ — 1) я/2, 1) я/2), fc>3,
имеем, что график исходной функции совпадает с графиком функции
у = я/2 + (— 1)*+1 (ха — Ля).
Окончательный вид эскиза графика функции у = arccos sin х2 пред¬
ставлен на рис. 19, г.
§ 5. КРИВЫЕ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Кривой, заданной параметрически, называется множество то¬
чек плоскости ЛГОУ, координаты которых определяются из соотно¬
шений * = *(/), y=y(t) при каждом фиксированном t из некото¬
рого множества Т. Обычно в качестве множества Т берется неко¬
торый промежуток. Если от функций x(t) и y(t) потребовать
только непрерывность на промежутке 7, то образом этого проме¬
жутка при отображении x = x(t)t y = y(t) может быть1 множество
в плоскости XOY, совсем непохожее на интуитивное представле¬
ние о кривой. Например, можно задать такое отображение, что
25
образом будет внутренность квадрата. Не углубляясь в теорию
кривых, предполагаем, что рассматриваемый промежуток Т изме¬
нения параметра t разбивается на конечное число промежутков,
на каждом из которых функция x(t) строго монотонна. На таком
промежутке определена обратная функция 1(х) и y(t) -y(t(x)).
Итак, каждому промежутку строгой монотонности x(t) соответ¬
ствует однозначная функция у(х), график которой называется
ветвью данной кривой. Количество ветвей определяется количест¬
вом участков строгой монотонности x(t). Если точка
у (to) ) не является общей для нескольких ветвей данной кривой,
то в окрестности этой точки можно определить функцию у = у(х),
заданную параметрически, график которой проходит через эту
точку.
Для построения эскиза кривой, заданной параметрически, на
плоскости XOY необходимо отдельно рассматривать участки мо¬
нотонности *(/), а затем проводить рассуждения, аналогичные
тем, которые проводятся при рассмотрении сложной функции.
Пусть t возрастает Тогда если x(t) и y(t) возрастают, то движе¬
ние по кривой происходит направо вверх; если x(t) убывает, а
y(t) возрастает, то движение по кривой происходит влево вверх
и т. д. Если при t-+t0 имеем х-+а, a y(t) стремится к бесконечнос¬
ти, то кривая имеет вертикальную асимптоту х = а. Если при
t-+t0 имеем, что x(t) стремится к бесконечности, a y(t)-+b, то
кривая имеет горизонтальную асимптоту у = Ь. Наклонная асимп¬
тота может быть только тогда, когда при t-+t0 функции x(t) и
y(t) одновременно стремятся к бесконечности. Коэффициенты
асимптоты у—kx + b вычисляются, как было указано вуше, с за¬
меной условия х-+со (*-► + оо, х-+ — оо) на условие t-+t0(t-+to»
о )•
Из всего вышесказанного видно, что для построения эскиза
кривой, зада.нной параметрически, важно точное определение
участков монотонности, по крайней мере функции x(t). Иногда
это можно сделать из качественных соображений, но часто прихо¬
дится обращаться к помощи производных.
Рис. 20
26
Пример 1. Построим эскиз кривой х = //(1 -f /3), у = t2/(\ -f /3).
Решение. Эскизы графиков функций x(t) и y(t) смотри на
рис. 20, а, б. Примем без доказательства, что точка t0 — единст¬
венная точка экстремума x(t). Тогда участками монотонности
х(/) будут промежутки (—оо, —1), (—1, /0), (^о, +оо). Оценим
положение точки t0. Поскольку *//* = /, то для 0<t<\ имеем, что
О<у<х, т. е. исследуемая кривая лежит в первой четверти ниже
прямой у = ху а для t> 1 — выше. Так как х(\/t)=y(t), y(\/t) =
=jc(/), то кривая симметрична относительно прямой у=х (вместе
с точкой (х, у) на ней лежит и точка (у, х)). Если f0>l, то точка,
симметричная с точкой (x(t0), у{*о))» лежащей выше прямой
у = ху имеет координату x = y(t0) =x(\/t0), большую, чем дг(/0), что
противоречит условию. Итак, 0</о<1-
Проверим, имеет ли кривая наклонную асимптоту. Имеем
lim yjx = Vimt = — 1; lim (у + х) = lim / (/ •+ 1)/(*3 + 1) =
i t-*-\ t~+—\ t-*~ i
= lim t/(t2—t + 1) = —1/3,
— i
поэтому прямая y = —x—1/3 есть наклонная асимптота исследуе¬
мой кривой. Кривая проходит через начало координат: х(0)=^0,
у(0)=0. Когда t растет от 0 до to, значения функций x(t), y(t)
растут, движение по кривой происходит направо вверх до точки
(*(*о), У(*о))- Когда t убывает от 0 до —1, движение по кривой
происходит налево вверх, асимптотически приближаясь к прямой
у = —х—1/3. В точке (*(/0), У(1 о)) начинается вторая ветвь кри¬
вой, соответствующая изменению t на промежутке (/0, -f оо).С рос¬
том t функция x(t) убывает и движение по кривой происходит
влево, сначала вверх до точки (x(\/t0)y y(Uto)), а затем вниз;
при t-++ оо имеем х(/)->0, y(t)-+Q. Наконец, при росте t на про¬
межутке ( — оо, —1) функция x(t) возрастает, y(t) убывает. При
/-*■—оо получаем, что х(/)-*0, y(t)-*0> при /-►—1 движение по
кривой происходит вправо вниз, асимптотически приближаясь
к прямой у = —х—1/3. Как уже говорилось, кривая симметрична
при замене t на 1//, поэтому можно было бы ограничиться рас¬
смотрением t на промежутке (—1, 1), а оставшуюся часть нарисо¬
вать по симметрии относительно прямой у=х. Эскиз кривой пред¬
ставлен на рис. 20, в.
Пользуясь техникой дифференцирования, покажем теперь, что
утверждение о монотонности функции x(t) верно, и определим
точно значение /0. Имеем
= /3 + 1 -3/3 _ 1 — 2/а
** ('3+1)а ~(/3+1)2’
При t < у/1/2 , t Ф — 1, имеем xt > 0 и поэтому х (t) строго воз-
растает на промежутках (—оо, —1) и (—1, $/ 1/2); при /> \/1/2
имеем xi < 0 и поэтому x(t) строго убывает на промежутке (у/1/2 ,
27
-f °°). Так как функция x(t) непрерывна в точке t0 = l/1/2 , то эта
точка есть точка экстремума (точка максимума).
Пример 2. Построим эскиз кривой x=acos3/, у=а sin31, а> 0.
Решение. Так как точка (x(t0 + 2n), y(t0 + 2n)) совпадает
с точкой (*(^о), У (to)) у то достаточно рассматривать t на проме¬
жутке (0, 2л). Построим эскизы графиков функций x(t) и y(t)
(см. рис. 21, а, б).
Промежутками монотонности x(t) являются (0, я) и (я, 2л).
Когда t растет от 0 до л/2, движение по кривой происходит влево
вверх от точки (а, 0) = (х(0), у(0)) до точки (х(л/2), у(к/2)) =
— (0, а); когда t растет от л/2 до л, движение по кривой проис¬
ходит влево вниз до точки (*(л), у(л)) = (—а, 0). В этой точке
начинается вторая ветвь кривой. Когда t растет от л до Зл/2,
движение по кривой происходит вправо вниз до точки (х(Зл/2),
«/(Зл/2)) = (0, а). Когда t растет отЗл/2 до 2л,движение по кривой
происходит вправо вверх до точки (х(2л), у(2п)) — (а, 0). Гак
как *(2л—10) —x(to), y(2K—t0) = —y(t0), х(л—/0) =—x(tQ)r
у (л—t0)=y(t0), то вместе с точкой (х0, Уо) на кривой лежат точки
(—хо, уо) и (jc0, —уо), т. е. она симметрична относительно обеих
координатных осей. Пусть t меняется на промежутке (0, л/2). Со¬
ответствующие точки кривой лежат в первой четверти. Рассмот¬
рим множество точек x = acos2f, y = asin2t. Это отрезок прямой
i-fу — ау лежащий в первой четверти. Так как при любом /,
0</<л/2, х<х, у<у, то исследуемая кривая лежит ниже этой
прямой. Эскиз кривой представлен на рис. 21, в.
Пример 3. Построим эскиз кривой x = acos2/, i/ = asin3£,
а> 0.
Решение. Так как точка (х(/0 + 2л), y(to+2n)) совпадает
с точкой (х(/0), У (to)), то достаточно рассматривать t на проме¬
жутке длины 2л. Отметим еще следующие соотношения: х(—/) =
= *(0. У(—0 =— y(t), x(n—t) =x(t), у (л—0 —y(t)\ из них видно,
что при изменении t на промежутке {0, л/2] получаются те же
точки кривой, что и при изменении t на [л/2, л], а при изменении
t на промежутке [—л, 0] получаются точки кривой, симметричные
относительно оси ОХ с точками, полученными при изменении t
28
на [0, я]. Таким образом, достаточно рассматривать / на проме¬
жутке [0, я/2]. Построим графики функций x(t) и y(t) (см.
рис. 22, а, б).
Рис. 22
На промежутке [0, я/2] х (t) монотонно убывает, следователь¬
но, этому промежутку соответствует одна ветвь кривой. Когда t
растет от 0 до я/6, движение по кривой происходит влево вверх от
точки (*(0), 1/ (0)) = (а, 0) до точки (*(я/6), у (п/6)) = (а/2, а).
Когда t растет от я/6 до я/2, движение по кривой происходит вле¬
во вниз до точки (лс(я/2), у(я/2))==(—а, —а), пересекая ось OY
в точке (х(я/4), г/(я/4)) = (0, а У2/2) и ось ОХ в точке
(дг(я/3), £/(я/3)) = (—а/2, 0). При дальнейшем росте I от
я/2 до я, как было отмечено выше, точки (*(/), у(0) лежат на
той же самой кривой. При изменении t от 0 до —я получаем вто¬
рую ветвь кривой, симметричную с первой относительно оси ОХ.
Эскиз кривой представлен на рис. 22, в.
§ 6. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
И УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ В ЭТОЙ СИСТЕМЕ
Полярная система координат определяется заданием некоторой
точки О, называемой полюсом, луча ОР, выходящего из этой точ¬
ки, называемого полярной осью, масштаба для измерения длины
и направления отсчета углов. Положительными называем углы,
отсчитываемые от полярной оси против часовой стрелки, а отри¬
цательными — по часовой стрелке.
Полярными координатами г и ср точки М, не совпадающей с по-
люсомх называются: расстояние г от точки М до полюса О и угол
ф от полярной оси до луча ОМ. Для полюса О полагается, что
г== 0, а ф — не определен. Полярный угол точки М, отличной от
О, имеет бесконечно много значений, главным значением угла ф
называется его значение, удовлетворяющее условию 0^ф<2я.
Если полюс О принять за начало декартовой прямоугольной
системы координат, направление полярной оси за положительное
направление оси ОХ, а за ось OY принять такую ось, что угол от
29
положительного направления оси ОХ до положительного направ¬
ления оси OY равен л/2 (такие системы назовем совмещенными),
то между декартовыми координатами х, у точки М и ее поляр¬
ными координатами г и <р имеют место соотношения:
х — г cos ф, f/ = г sin ф.
И обратно, г = Yх1 4- у2, coscp=*/r, sin ф — у/г.
Замечание. Если хфО, у¥=0, то угол ф можно найти из ус¬
ловия tg ф == г//лг, причем за главное значение ф взять угол из
[О, 2л) такой, что знак sin ф равен знаку у.
Пример 1. Пусть точка М (х, у) имеет декартовы координа¬
ты (—1, —1). Найдем полярные координаты этой точки, если
системы совмещены.
Решение, г = Y {—1)2 + (—О2 = К2 ;
cos ф = —1^2/2, 5Шф = —К2/2, откуда ф = 5л/4-ь2л£, k е Z,
т. е. полярные координаты точки М есть г = У2, ф = 5л/4 + 2л/г,
k<=Z.
Пример 2. Нарисуем кривую, заданную в полярной системе
координат уравнением r = cos Зф.
Решение. Функция соэЗф — периодическая с главным пе¬
риодом 7, равным 2л/3, поэтому достаточно построить кривую для
0^ф<2л/3, а затем, используя периодичность, построить ее для
2л/3<ф<4л/3 и, наконец, для 4л/3^ф<2л. Построим ту часть
кривой, которая расположена в угле 0^ф<2л/3. Функция г = со$Зф
на отрезке [0, л/6] монотонно убывает от 1 до 0; на интервале
(л/6, л/2) г<0, поэтому нет точек линии, расположенных внутри
угла л/6<ф<л/2; на отрезке [л/2, 2л/3] кривая монотонно воз¬
растает от 0 до 1. Для фе [0, л/6] U [л/2, 2л/3] эскиз кривой пред¬
ставлен на рис. 23, а. Осталось построить кривую в других двух
углах: 2л/3^ф<4л/3 и 4л/3^ф<2л, используя при этом периодич¬
ность функции cos Зф. Эскиз кривой приведен на рис. 23, б.
30
Пример 3. Определим вид кривой на декартовой плоскости
XOY, уравнение которой в полярной системе координат, совме¬
щенной с декартовой, имеет вид /- = cos<p.
Решение. Поскольку г = Ух2 + у2, cos ф =х/угх2 у2 , то в
декартовой системе координат уравнение кривой имеет вид
Vx2-\-y2 =х/Угх2-\-у2 или х2Лу2 = х, откуда (х—1/2)2Ч-у2— 1/4,—
это есть уравнение окружности радиуса 1/2 с центром в точке
(1/2, 0).
Замечание. Из условия r = cos<p следует, что г2 —г coscp,
откуда х2-\-у2 = х.
Пример 4. Построим эскиз кривой, задаваемой в декартовой
системе уравнением (x2 + y2)zl2 = 2xy.
Решение. Ясно, что кривая
располагается в I и III квадран¬
тах симметрично относительно на¬
чала координат (если точка
М(*о, у0) лежит на кривой, то и
точка М'(—х0, —у о) лежит на кри¬
вой). Поэтому достаточно построить
кривую в первой четверти.
Перейдем к полярной системе
координат, совмещенной с декар¬
товой, тогда имеем г3=2г2 cosqp
sinqp или г=siп2ф. При изменении
угла ф от 0 до я/4 г возрастает от Рис. 24
0 до 1 (на рис. 24 это движение от
точки 0 до гочки А — путь I). При
изменении угла ф от я/4 до я/2 г убывает от 1 до 0 (на рис. 24 ?то
движение от точки А до точки 0 — путь II). Используя замеча¬
ние, приведенное выше, получаем эскиз кривой (см. рис. 24).
§ 7. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ НЕЯВНО
Пусть задано уравнение F(xt у)= 0. Если множество точек
плоскости XOY, координаты которых удовлетворяют этому урав¬
нению, состоит из конечного числа непрерывных кривых, каждая
из которых есть график однозначной функции у=у(х)у то гово¬
рят, что это уравнение неявно определяет соответствующее семей¬
ство функций у 1 (jc), У2(х), .... Ук(х). Если точка (л0, Уо) лежит
только на одной из этих кривых, то условие у(хо)=уо позволяет
однозначно выбрать эту кривую из всего семейства, т. е. уравне¬
ние F(jc, у) =0 и условие у(х0)=у0 определяют (или задают) од¬
нозначную неявную непрерывную функцию в окрестности точки
(х0> Уо) такую, что F(x, у(х)) = 0, у(х0)=у0.
Простейшим уравнением вида F(x, у) = 0 является уравнение
*—/(*/)= 0, определяющее функцию, обратную к / : y=f'~l(x). Ось
OY меняется местами с осью ОХ при симметричном отображении
плоскости XOY относительно биссектрисы первого координатного
31
угла. Таким образом, кривая y = f(x) симметрична кривой x = f(y)
или y = f~l(x) относительно этой биссектрисы. При этом отображе¬
нии непрерывная монотонная функция перейдет в непрерывную
монотонную функцию, т. е. обратная функция однозначна, непре¬
рывна и монотонна. Если же непрерывная функция x = f(y) не мо¬
нотонна, то кривая, определяемая уравнением х—I{у) = 0, уже не
будет графиком функции у = у(х), так как нет однозначной зави¬
симости функции от аргумента.
Если уравнение F(х, у) = 0 можно разрешить относительно од¬
ной из переменных, то построение множества точек (х, у)у для
которых это уравнение справедливо, следует из предыдущих рас¬
смотрений. Иногда можно ввести параметр t так, что уравнение
F(x> */)=0 равносильно соотношению {*=*(0» t&T)
(или нескольким таким соотношениям).
Пример 1. Нарисуем в системе XOY эскиз кривой, заданной
уравнением х = у—sin г/.
Решение. Имеем, что x(kn)=кл, k^Z\ ху' = 1—cos
х(у) — монотонная нечетная функция. Эскиз кривой в системе
YOX представлен на рис. 25,а, а эскиз кривой, определенной урав¬
нением х = у—sin у (т. е. в системе XOY), представлен на
рис. 25, б.
Рис. 25
Пример 2. Нарисуем эскиз кривой, заданной уравнением
х = у cos у.
Решение. Функция х (у) — нечетная; для у^ 0 имеем
М^Л *(л/2 + £л)=0, x(2kn)—2kny х ((2k-\~ 1)я) = — (2&+1)ti.
Эскиз кривой х(у) в системе YOX представлен на рис. 26, a, a
эскиз кривой у(х) — в системе XOY, определяемой уравнением
x = ycosyy представлен на рис. 26, 0.
32
Рис. 26
Пример 3. Нарисуем в системе XOY эскиз кривой, задан¬
ной уравнением х5+уъ = 2х2у2.
Решение. Заметим, что точка (0, 0) принадлежит данной
кривой. Других точек вида (0, у) на этой кривой нет. Для по¬
строения кривой введем параметр t = y/x. Тогда данное уравнение
преобразуется следующим образом:
*5(1 + *5)=2Лс*.
Отсюда видно, что уравнение х5+у5~2х2у2 равносильно соотноше¬
ниям x(t) =2/2/(1 + /5), y(t) =2/3/(1 + /5), так как точка (0, 0) так¬
же принадлежит этой кривой при /=0. Построение таких кривых
было проведено выше. Кривая представлена на рис. 27.
33
Пример 4. Нарисуем в сис¬
теме XOY эскиз кривой, задан¬
ной уравнением
х* + уА = х2+у2.
Решение. Перейдем к по¬
лярной системе координат, сов¬
мещенной с декартовой, полагая
х = г cos ф, I/ = г sin ф. Тогда урав¬
нение данной кривой принимает
вид
г2 = 1 /(cos4 ср -I- sin4 <р), г=0, т. е.
г2 =4/(3+cos 4ср), г=0.
Построение таких кривых также было приведено выше. Эскиз
данной кривой представлен на рис. 28.
ЗАДАЧИ
В одной и той же системе координат построить эскизы графи¬
ков следующих функций:
1. у=х, у = х2, у = х\
2. у = х, {/ = г\ у = х5.
3. у = х, y = Vxt y=yrx, у = yfx.
4. У=—, У-
5. у=Ух2, у= у/х2% у=у/х2.
в. у = 2х> у = 32х, У=22\ у = х.
7’ у=(т)Х* У^Ъ~Х' У = 2~и’ У=х-
8. у=х, у = Iog3ЛГ, y = logtx.
9. у=Х, у = logl/2*, y = \ogu3x.
10. у = xt y = sinxf у = cosх»
П. у=х, y = tgx, у= ctg*.
Используя правило построения графика функции y^Afix) по
графику функции «/ = /(*), построить эскизы графиков следующих
функций:
12. у = —х2.
13. у =
х
14. у = —cos х.
34
15. = tgx. 16.1/= 3 log,дс. 17. «/ = 2,1 Ух.
18. y= Г'5*' 19, y =YIogi/3JC‘ 20‘ y = 0<2ciSx-
Используя правило построения графика функции y = f(—х) по
графику функции y = f(x), построить эскизы графиков следующих
функций:
21. y = loga(—jc). 22. у = ^~х. 23. у =~[/~х.
24. у = sin(—*). 25. y = ig(—x). 26. «/ = ctg(—*).
27. у = 2~“. 2Ъ.у = {±ух 29. у = (2,\)~х.
30. у = ——х. 31. у = cos(—*). 32. ^ 5*.
Используя правило построения графика функции y=*f(kx)
(fc#0) по графику у = Цх), построить эскизы графиков следующих
функций:
33. у = sin2jc. 34. у — cos-^-x. 35. y = cosnx.
36. I/ == sin -i- дг. 37. у == loga 2х. 38. у = logi/2 •
39. у = ctg — х. 40. t/ = tg3jt. 41. y = V2*.
4
42. t/ = ^/r—0,5x. 43. £/ =1 —2x. 44. у=у/Г4x.
45. r/ = log3(—3*). 46. y = sin (—2*). 47. y = ctg (—2*).
Используя правило построения графика функции y = f(x+a)
(аФ0) по графику функции y = f(х), построить эскизы графиков
следующих функций:
48. у = (х— 2)а. 49. г/ = (дг+ I)3. 60. у = У2+х.
Б|. £/ = (*4-4)*. 52. £/ = cos^jc—j-j. 53. y = sin ^х + j.
54. = 55. |/ = tg(l—jc). 56. y = (2, 2)1-.
57. y = \f\—x. 58. y = y х + Ъ. 59. y = \ogUi (лг-f 1).
Используя правило построения графика функции y=f(ax+b)
по графику функции y = f(x), построить эскизы графиков следую¬
щих функций:
60. у = log3(2х + 3). 61. y = ctg(2x + -j-j. 62. у = tg (Зх + -у j.
35
2пх -f- л
64. у — cos !—
* 4
64. у = cos
«« блх — л
66. y = s 1П
* 3
68. y = tg^5.t—
70. y = V 2—3*.
71. у--=У(1—3.х)3.
72. у=1\2х-Ь)*. 73. y = _J_. 74. у = (л—З)2*-1.
75. г/ = sin jc -h cos jc. 76. у=х2-\-2х—5. 77. у = 2х—л2 4-4.
Используя правило построения графика функции y = j(x)+A
по графику функции */ = /(*), построить эскизы графиков следую*
щих функций:
78. у = 14-sin*. 79. у = 2—3cos*. 80. у—2— Y—х.
81. £/ = 2 4- loga(l 4-х). 82. у = sin2*. 83. y = cos2x.
84. у = 1 j-log,/2 (1+2*). 85. у = 2-з '/^2х.
2. о
86. у — sin4х 4- cos4*. 87. у = 2—3 (*—I)2.
88. г/ — а2 4~ 4* 4* 8. 89. у= 1 —3*—4*а.
Построить эскизы графиков следующих дробно-лииейных
функций:
Построить эскизы графиков следующих рациональных функ*
ций:
101. у = ( 1—*4)(*4-3)(*—2)2. 102. £/ = (1 ■-*)(!— *2)3 (2 4- ж)ь-
99. у = (х—2) (**—4).
100. у = (* 4 2) (*— I)3.
36
113. у=
115. у =
117. у =
119. у
121. у
х» -f 4лс« + 4х
х> — 9
(х-1) (х + 2)"
(2х— 1)* '
x*-4x»+2xJ
(дс-2)а(лг-(-1)
(х-4)»(х+1)(х + 3)
(** — 4) (*+ 2)*
_ х* + 2х» — Зх«
“ (ж* —4) (х+ 1)* ’
114. у=-
116. (/ = ■
118. у =
120. у =
122. «/ = •
(* + 2)* (*-10)
(4х— 1) (х+1)«
(д_1)*(2х+1) '
(х + 1)-(ж —2)«
(х-3)(х»+1) '
х< —9х»
(х-4)* (*+!)’ '
(х —2) (х4 + 2ха + 3х«)
(4х* —4х + 1) (4х* — 1)
Построить эскизы графиков следующих алгебраических функ¬
ций:
123. у = У(х— 1)а(*—2).
125. у = у^?—*.
127. у = Ух*Т9-\-Уз^9.
124. у — у^{х+ 3)6(х—2)г(л+1).
_1 J_ 2
126. у = (jc + 1)2 (Jt— 1)3 (*—2)а (*—3)Т.
128. у = дг2/3 + У (х—1)а.
129. у — s
т/(х + 2)»(х-3)
130. у-
у (x-f 1)2(х — 2)*-Ух+\0
У(х + 4)’ (ж-2)»(х + 1)~
/(х + 2)»(х + 5)
Построить эскизы графиков следующих функций:
131.
н
\_
х
II
132.
У-\x\-iVx)2-
133.
У=\х\—Ух*.
134.
135.
У — 1 |2х—11—2|.
136.
т
j_
н
II
137.
У=\х\ + |*+1|.
138.
У=\х\ — 1*+1| — \х+2\.
139.
У = х*—\х\.
140.
|дс»—11—л*.
141.
У = х*—3| дг| + 1.
142.
у=\хг + х\ —X + 1.
143.
у=|жа + 3*| +2х— 8.
144.
У = (\х\ — 1) (* + 1).
145.
|2х— 11
у—\ •
146.
11 — Зх|
у = - L.
|Зх+2|
;2х+ 1
147.
ни,~ч
148.
|2х + 3|
1 * 1
1 х 1 1
149.
у = sign cos дг.
150.
^ = x-fsign sin*.
37
151. у =*- sign °°s nx-. 152. у = x1 sign cos nx.
1 + X1
153. у = sign sin nx -f- sign cos nx. 154. у = sign (sin juc-f cos ях).
Вычислить:
155. cos (arcsin 1). 156. sin (arccos 0,8)'.
157. sin ^2 arccosу 158. tg ^arcsin
159. cos ^arcsin-g—arccos-—-^. 160. sin^arctg
161. sin ^arcsin + arcsin -i-j. 162. tg ^2arctg ^ 2”))’
163. arcsin (sin 11). 164. arccos (cos 7).
165. arcsin (cos 8). 166. arctg(tg25).
167. arctg (ctg 4). 168. arcctg (ctg 17).
Доказать, что:
4 3 4 3
169. arcsin — — arccos — = arctg — = arcctg—.
(9 \ 40
1 = л— arcsin .
41 / 41
171. arcsin ( = —arctg
\ 25 ) 6 24
172. 2arctg —-barctg -Z- = JL
b 4 Б 23 4
173. я—arcsin 0,9 = 2 arctg 4.
174. arctg — + arctg—= — .
3 5 4
175. cos(2arccosx) = 2xa—1, |x|<l.
176. sin(3arcsinx) =3x—4x3, |x|^l.
177. arccos-y^^== 21arctgx|, |x|<oo.
178. ctg (arctgx) = —, 0<|x|<oo.
38
Построить эскизы графиков следующих обратных тригономет¬
рических функций:
181.
г/= arcsin (2jc + 1).
182.
у = arccos (3x—2).
183.
*/ = arctg (2—Зх).
184.
y = arcctg (1 — 2*).
185.
/1 — 5jc\
у= arcsin /—-—J.
186.
/1 +3*\
у = arccos ^ ^ j
187.
( 1 — 1*1 \
л 1 О ГЛЛЛГ 1 1 1 1
188.
• /2 + 3|x|
И — аГ1ЛЛ» 1 1 #
\ 2 /
Ц —-altolll I
l 4
189.
и — arctr ( ‘+1*М
190.
i/—arcctc / 3
у—arctg ^ ■ J.
У — d* CClg 1 ■
191.
£/= arcsin —-—.
* * + 2
192.
2
у = arccos .
* x —3
193.
е/= arctg —.
194.
у = arcctg —.
*
195.
. х + 2
У = arctg —
196.
у=arcctg .*.~LL
* W-2
197.
* 1 1 —*1
у = arctg .
е УЗл + 2
198.
1 + *
v = arcsin ——.
l-x
199.
1
200.
l
arctg ||*|-1 Г
• I1-1*1!*
arcs,n| 3 |
201.
у = arcsin (sin jc).
202.
y — arcsin (cos x).
203.
у = arccos (cosjc).
204.
у = arccos (sin x).
205.
у = arctg (tgx).
206.
y = arcctg (tg*).
207.
у = arcsin (tg*).
208.
t/ = arccos (ctgjt).
209.
£/= sin arcsin 2x.
210.
у = cos ^arccos —j
211.
у = sin (arctg *).
212.
у = sin (arcctg jt).
213.
y = tg (arcsin x).
214.
y = ctg (arctg *).
215. f/ = tg(arccosjc).
217. */ = arccossin х3.
219. r/ = cosarcsin—.
X
221. f/— arcsin-*-—-1-.
x* -f l
223. i/ = arcctg
l +l
X*-f 1
216. 9
218. у
220. ^
222. у
224. t/
= ctg (arcsin x).
= arcsincos Y x.
=arctg (tg (2л:-h 1)).
=arctg
= arctg
л:а — I
X2 — 4
2 *-H
2'— 1*
225. у = arcsin +
(*+•)*
226. у = arccos
227. у = arctg -
-4x
(x—i)* (x+l)
x3 + 4jc3 -f 4jc
jc«—9
228. i/ = arcctg ——ffirh2*1..
b(*-2)4*+l)e
229. y = arctg^-‘)(jt + 4)l<l.
(**+ 1) (дс-3)‘
230. y = arcctg
231. у = arctg
(JC_4)* (x-h 1)»
Xs — x
<x -f- 2)*(x— 10) ’
232. y = arcctgii±..1),.(J:-?-)--
(*-3)>(**+l)
Построить эскизы графиков следующих функций:
= У21о*'х.
__ 2 |1о*,ж|
=sinjc—}^3 cos х.
233. у = (Идг)2—|дс|.
235. у = logj/2 (х 1)*.
237. у sin a: cos jc
* 2
239. у = У I —sinax.
241. у = sinajt + cosa х.
243. у = 2l0‘‘“n*
245. 4г=*1ов*(д,_,).
234. у
236. у
238. у
240. у
242. 1/
244. у
246. у
= tgx*ctg х.
=sina х—cosaJc.
= COSJt-hl/cOSa*.
40
247. у -
249. у -
251. у-
253. у -
255. у
257. у
259. у
261. у
263. у
265. у
267. у
269. у
271. у
273.
275.
277.
279.
281.
283.
285.
= sinx—|/sinaJt.
= —!— + Ctg I дс I.
‘g*
= (Ksin3x)M.
tg*
/ l+tg*x •
_ 1 -1- I cos x\
sin | x|
= |*a—x*\ +4.
= Ухг(х— \)*(x—2).
= у/х* (2 +*)4 (1 — дс).
— \r2x2 (дс— 3)’ (xa— 2л:)4.
_ |х~з|-Чх+П
|x+3| + |*-l|
= | >Лк*—дс|+ I.
I* + 2| (х — 1 )а
х» + 1
(г1— 1) (х— 2)
г =
1 =
(|х|-1)«(х-4)
I
х1 — 4 |х| + 3
I
logj (х — 3) — 1
f = logi/2|**— JC|.
/ = lQga
1*1
*+2
l* + 2|*
2 — x
j = 2,slnJt,+,cos*1
Sr = log»r-^7.
1 — JC*
248. y =
250. y =
252. y =
254. y =
256. y =
258. y =
260. y =
262. i/ =
264. y =
266. y =
X — 1 X
X + Г X
sin4 x—cos4 x.
(Ycosx)19.
1
Y1 + tg*x *
\x*—x* + 2\.
(\x\+l)(x-3)*.
у X 3—3 va.
l
|1 — |x| —2|
12|x— 11 — 31
Ix— 1 i+ 2
11*— H— 21
268. if-
270. y~-
272. у:
274. у
276. у
11*1 — 11 — 2
tyx2 + x—2\.
(s»-l) (x + 4)\x\
(* + 2) (*-3)
1
12* — 11
1
sin x + cos x
1
/l-2|x|-l
= log1/Jtsin2*.
Зядс — n
278. у
280. у = log t/у cos
□
*>*• »-(тЙ
|i-ax|
284. y = 2ix+* .
286. y = Iogt|l — 2“*|.
41
287. у = cos3 ^ 2х + —j.
=г(“)
288. у — sin* ^ 5л:
289. у
291. у
293. у
295. у
296. у
= S1F1—.
X
290. у-
292. у — cos -
= X* — (1 — х)*.
х 4-1 х
294.
N П-*|
297. i/ =
299. у =
301. у -
303. у =
305. у~-
307. у =
Ха -J- X , х2 — X
И |1-*1
и'1”1-
ха — 1
|1 + *|
298. = 3s,n4 x+cos"
sln*x—cos'*
= Х + Sinx.
:x + 2*.
= xa sinx.
ex sin ях.
309. 1/ = е-*,8т2ях.
311. ^ = (x2— l)cosJ
313. */= arctg Igx.
315. # = arcctg lg
317. y =
319. y =
321. у
42
=arccos
* + 1
X— 1
2x— 4
xt — 4л + 5
1 +■ 1
300. у
302. у
304. у
306. у -
308. у--
310. у-
312. у =
314. у
316. у
318. у
Х*—\
= 2*—.
= х—sinx.
— (т)‘-
-xsin х.
= €ГХ COS ЯХ.
COS лх
sin* х cos* х
1 1 + 1
320.
1) Sill— .
X
= arccos .
lg*
i x* — 8
= arctg——.
x* — 9
_1
cosx
x» — 1
у — arcctg
X® — 1
x x — 1 x-f 2
322. у
323. у
325. у
327. у
329. у
331. у
333. у
335._у=
337. у
339. (,
341. ,
343. i
345. I
347. I
349. 1
351. I
21—1 — 1
х + 2
X—)
2*+' — 1
= ,(2-sinX).
1
= *arcsin—
X
W х' — 1— V\X* — 4|
,= Ух2 + 2x-j-1.
' = V^ (x—l)4—x.
=V? + -
1
y—i
* + 2 .. Ух.
X— 1
f =1^ 1—*2COS—•
!/ = V'W+ty* (*— !)•
1
324. y = (sin 7)
cos(2|x|—1)
326. y -
328. y .
(т Г-'
ззо. y = — У72 + х.
332. (/ =
334. у .
336. «/
338. у
340. у
342. у
■-х+ у (х— 1)*.
-У7*~ 1
= ^ + -
х — 2
|дс + 3|
К
х« —4
3/
У~Х
1
/(*-!)* •
/ = |/ ** -*3 + v=W- 344* y = V{x- 2)а + 6*-10.
г дс 4" 2
/=’/(*_1)*_’/(дГ+1)». 346. y = ^+^(l+*)«.
348. у -
У* + 1
У~*-\
X I sin ЖI
2*»— 1
У ~ /1 ха — 41
360. у:
/дг* + 1
1
jk* — Ъх — 4
[, = Ух24-*4- 1 — Ух2—х+ 1.
43
352. V*4*+ 04*-2)
— 7л; -1- 12
353. г/ = arctg— . 354. у = log, (л: 4 Ух2—4*).
2 * — 1
. у=аresin — ]/~х* "-|-
355
356. у = J/л: arctg -J—3-LiiL..
2х — 1
357. y = e-ioo(i-x). + e-ioo(i+x)\ 358. у = \f~-Z— 4 l’/^±1.
у ж 4- 1 К х— I
359. 1/ = (дг— 1) 1^(jc + I)3(2—ж) • (*/ж+/Т7| +1).
360. »= L^l-.^. + З)
* х—5
361. ^ = (V"9—х2—х—3)ех х(х—1).
362. ы =
х —2
X
363. у = 2~(\х\ — 2— ||х| — 2|).
X
364. (/=2^[sgn(4—**)4 1].
365. y = xV\x* —1|—'Ух*+ 1 +1.
366. у = arcsin (х Ух2—1—V\х*—2|).
Построить эскизы графиков следующих кривых, заданных па¬
раметрически:
367. x(t)=—ly(t) = - '*
t*-\ 1
4 /2 t%
368. JC (0 = , y(t)=—
w 1 41* ■ * w 1 41*
369. * (0 = —, у (/) = ——
w <s + l l -f <*
/3 + 4- f
370. *(0 = *2. у (0 =
/42
44
372. x(t
373. jc (/
374. л: (t
375. x(t
370. x (t
377. x(t
378. x(t
379. дг (/
380. x(t
381. x(t
/) = -*-
4 p _ i) * w / + !
/
I —t'1
t*
t)
■. *(0 =
/ (1 — 4/2)
I — /*
f2 + 1
t2 — 1 /+2
= arcsin (sin t)f у (/) =arccos (cos/).
= arctg/, y(t)=t3—t.
= (In/)sin/, у (t) = cos t.
= e*sin/, y(t) =e*cost.
= sin2/, y(t) =sin4/.
= sin4/, у (t) —cost.
= cos4/t ^(/) = cos3/.
Построить эскизы графиков кривых, заданных в полярной си¬
стеме координат уравнениями:
382. г = 2ф.
385. r = sin ф.
388. г=соз5ф.
391. г = 2.
383. г = —.
Ф
386. r = cos<p.
389. г ——-—
cosq>
392. q> = л/3.
384. г = е5<».
387. r = cos2<p.
390. г =—- .
sin ф
393. г =
1
394. г2 — а2 соб2ф. 395. r = sin3—.
3
cos® ф -4- sin3 ф
396. г = 1 + 2созф.
Преобразовать к полярным координатам уравнение линии (си¬
стемы совмещены):
399. *2+(/а = 5.
402. х = 3.
397. х2 + у2=х. 398. х2 + у2 = у.
400. у— 2х. 401. у = 4.
403. х + у = 2. 404. (х2 + у2)2 = ху. 405. (х* + у2)2 =хш— у*.
406. jc4 -f уА = х2 -f (/а. 407. х2 + у2 = (х2—у2)2.
408. ху2 4- ух2 = (лса -f у2)2.
Преобразовать к декартовым координатам уравнение линии
(■системы совмещены):
409. гсо5ф = 3. 410. rasin2<p = 2. 411. rsinq> = 2.
45
412. г--^2 cos ф. 413. r= 1 + cos q>. 414. r = cos2q>.
415. r = V2- 416. <p=—. 417. r = -
4 cos ф + sin ф
Нарисовать эскизы графиков следующих кривых:
418. \у\=х— 1. 419. \у\=\—\х\. 420. |х|4-М=1-
421. [*] + [у] = 1. 422. \х + у | = — х + \у \.
423. | |лг| — |г/| | =1.]
424. ||*|+ ||^|-3|-3| =1.
425. \у\ =¥Л(]х\-х).
426. |у + |t/| | = 11*| —х\. 427. хг уг —х + 2.
428. ха4-*/а=х4-*Л 429. ——\-ч2 ^ 1.
4
430. ——Уг = 1 • 431. х3 + у3 =\. 432. х4+(/4 = 1.
433. Vx + Vy = Va. 434. У7*+У1/*=1/сР.
435. у2— х—х3. 436. х = у—у3. 437. ха = у—у3.
438. у2=х + х*—2х2. 439. х2у2 + у = 1.
440. х4—у*—х2—2 у2. 441. у3—х2ухъ — 0.
442. х6 41/5 =ху2. 443. х2 = у* 4- у*- 444. 2ху2— Зха 4- у4 =0.
445. х2—ху f r/a = 1. 446. 4г/а — 4x2i/ + хв.
447. х34*/3 — Зх2. 448. */3—2#2х—х2~0.
449. х4 I/4 х8 4 г/8. 450. z/6 4 х* = ху2.
451. шах{(144—25ха—9у2—54у), (min(у, 25—-by—х2))}=0.
452. (ха + (/2— 25)(16ха + //а— 4)(ха + 16</2— 96^4-140) X
X (4ха — 16xsignx + 4у2—16# + 31) = 0.
453. {(42-38signAr)y + x^3/Ч-1)} X
X {9УЬу—х(х— 1) Vх + 2} - {4ха 4 16(/а -f 56х—64i/4-
4- 259} = 0.
46
454. {(4у + *J)J + sign (л:* + 2дг) + 1} • {(a* + у8)5/2—
—4x (x2—y2)} = 0.
455. {x2—si gn (3y— y2) + 1 > • {(л* + у2)*'2 — 2 (| у | + у) (х* - у2)) X
X {(•*1 + </а— 2у + 1)5'2— 2(|у—1| +у— 1) (х*— у* + 2у— 1)} х
X {(х2 + у2—6«/ + 9)а—2\ху— 3*|) =0.
456. {х2 +1 - sign (6+5у-у2)} {х2+(у - 6)2} х
X {(у— 5)* + (х— 2sign*)*— 1} х
X {(у—6)а + (*—sign*)»—2sign (у—6)+ 1} X
х {(дс2+у2)2 -16у | х 1} • {min [ (4дс2 -16-у), (9у+18 -
— 15дса—2|)]} = 0.
457. {min [(х* + у2-2х), (х* + 16у*-1), у]} х
X {8у + хУ\х+ 11 (2 +- х— л:1)}- {2х* + 2у*—2х—2у + 1} =0.
458. |27у— д:* (лг-Ь 2)* (2—х) (V9^x2 х
X [шах [(^/-KFTзг/^2(e-,00<x+,,, + 6e-,00(*-2,,)),
sign (х— 2) + j j • {9jc3 + 48* f 9у2 + 64} = 0.
459. (max{(2—|x|—2|2у—x+3|), (min[(jt* + j/*—4лг),
(3jc*— «/* + 9— 4дсУ 9— «/*), (12у2-х2 + Зле+4- 8 д/4 + Зле-лс2) х
X (16x»—32л:+16</2—32у + 31) = 0.
460. [(jc + 4)а + 1 — sign (1 — */»)] • [(дс + 3)» + у2 +
+ 2 sign (лс + 3) + 1] [(2л: + 3)* + «/*— 1] X
X [(*а—х)2— sign (1 — у2) + 1] • [у2 + sign (ж*—л:) + 11 X
X £(дг— 3)а + у* + 2 sign (дс— 3) + 1 ] • [(*—2)* + (у— 1)* +
+ sign (2— л:) + sign (у— 1) + 1] • [(**—9л: + 20)*—
— sign(1 — </*) + 1] • |у + |дс—4[ + \х—5|)*—
(,_4)(-2L_,)j + i]=0.
— sign
47
Глава 11
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пусть а — точка расширенной числовой прямой, т. е. число
или один из символов + оо, —оо, оо. Обозначим через U(а)
окрестность точки а и через 0(a) — проколотую окрестность:
U (a) =U (а)\{а). Пусть функция f(x) определена на множестве
Е, для которого точка а есть предельная точка (точка сгущения).
Определение. Число А называется пределом функции f (х)
при х-+а (обозначение: Л = Пт/(х)), если для любого положи-
х-*а
тельного числа e(Ve>0) существует окрестность U(а) точки
а ('Л (У (а)) такая, что для любого х из проколотой окрестности,
принадлежащего E(Vx^U (а)(]Е), выполнено неравенство
\{(х)-А\<г (Ve > О ЗВД : Yx^U(a){]E\f (х)-Л| < е).
В таком случае иногда говорят: функция f(x) при х-+а имеет
предел, равный А (f(x) стремится к А при х-+а).
Если а — собственная точка числовой прямой (т. е. число), то
окрестностью U(а) является интервал с центрам в точке а. Тогда
определение предела записывается в таком виде: Л = Пт/(х),
х-+а
если для любого положительного числа e(Ve>0) существует та¬
кое положительное число 6(36 = 6(е)), что для любого x(Vx) та¬
кого, что 0< | jc — а| <6, х€е£, выполнено неравенство | j(х) —
Проколотой окрестностью несобственной точки ( + °°) яв¬
ляется любой луч х>«; проколотой окрестностью несобственной
точки (—оо)—любой луч х<а; проколотой окрестностью несоб*
ственнои точки (оо)—объединение двух лучей: {x>a}U{*<—a}-
Тогда определение предела записывается (с использованием сим¬
волов) в таком виде:
lim / (лг) = Л ( lim f(x) = A; \imf(x)=A),
X~¥ — oo X-*ao
если
Ve >0 3C = С(e) > 0: Vx, * > С, xe=E(x< — C, *<=£;
|jc| >C, дгеЯ) \f(x)-A\ < e.
Внимание! В определении lim/(*)=/! нет никаких условий
х-*а
на значение f(a)\ более того, нет даже требования, чтобы функ¬
ция f(x) была определена в точке а. Поэтому ни неопределен¬
ность в точке а, ни значение /(а), если ае£, не влияют на су¬
ществование и величину lim/(x).
x-*-a
48
Пример: Пусть /(*) = ( *’ Хф5,
(О. х = 5.
Так как разность /(х) — 1=0 для всех значений jc, кроме jc=5
(т. е. в любой окрестности #(5)), то из определения предела сле¬
дует, что lim/(jc) = l.
В частности, если две функции f(x) и g(x) совпадают в неко¬
торой проколотой окрестности точ^и а, то либо обе они не имеют
предела при х-+ау либо lim / (х) = lim g (х).
х-+а х-м
Пусть а — собственная точка числовой прямой. Если в опреде¬
лении предела функции /(jc) заменить множество Е на множест¬
во £+ = £П{*>а}(£_=£П{*<а}), т0 получим определение односто¬
ронних пределов в точке lim / (х) (lim / (*)). В терминах
х-+а—
окрестностей это значит, что берется правая (левая) полуокрест¬
ность точки а, т. е. интервал вида (а, а + 6), 6>0, ((а — 6, а),
6>0); в терминах неравенств это значит, что рассматриваются
значения х, удовлетворяющие неравенству
0<х — а<6, 6>0 (0<а — jc<6, 6>0).
Для простоты изложения в дальнейшем считаем, что f(jc)
определена всюду в некоторой, быть может проколотой, окрестно¬
сти точки а, тем более что при вычислении пределов имеет место
именно это.
Пример 2. Покажем, что lim sin jc= 1.
Х-+Я/2
Решение. Оценим разность |1 — sin jc | (см. определение).
Имеем 1 — sinjc = 2cos(ji/4 + Jc/2)sin(jx/4— х/2). Так как для лю¬
бого jc: | cos (jt/44-jc/2) | с 1 и | sin (jx/4—jc/2) | -с | л/4—jc/2 |, то 11—
— sin.v|^|n/2 — х\. Следовательно, если б = е, то из неравенства
0<|х — я/2|<6 следует неравенство |1 — sin jc| <е. Таким обра¬
зом, для Ve>0 36 = 8, Ух: 0<\х — п/2 | <6 = > 11 — sin jc| <е,
т. е. lim sinjc= 1.
х-*п{2
Следует обратить внимание на то, что мы не решаем неравен¬
ства |1 — sinjc|<e, т. е. не находим множества всех тех и только
тех значений jc, для которых оно верно. Нас интересует только
определение такой окрестности точки а=я/2, в которой это нера¬
венство выполняется. Выполняется оно вне этой окрестности или
нет, нас не интересует. В такой ситуации бывает удобно заранее
выделить некоторую окрестность точки а, в которой и проводить
дальнейшие оценки. Необходимо только следить за тем, чтобы
окрестность, найденная в результате этих оценок, не оказалась
больше, чем выделенная заранее.
Пример 3. Покажем, что limjc*=9.
х—ф—3
Решение. Необходимо оценить разность \х2 — 9|. Имеем
\х2 — 9| = |х — 3|-|jc + 3|. Так как на всей числовой прямой мно¬
49
житель \х — 3| не ограничен, то оценку произведения сделать
проще, если выделить некоторую, например, 1-окрестность точки
а — —3 — интервал (—4, —2). Для всех х^ (—4, —2) имеем \х —
—31 <7, следовательно, |*2—9|<7|*4-3|. Так как 6-окрестность
точки а-—3: (—3 — 6, —3 + 6) не должна выходить за пределы
1-окрестности, то берем 6 = min(l, е/7), и из предыдущих оценок
видно, что из неравенства 0<|* + 3|<6 следует неравенство
\х2—9|<е. Таким образом, lim*2 = 9.
х—►—3
Пример 4. Покажем, что lim —- — — 0.
r r X- +-оо х* — ЮОх -f- 3000
Решение. Так же, как в предыдущем примере, выделим
удобную для дальнейших оценок окрестность точки 4-оо (луч
jc>а): именно л^ч *>200. Для *>200 имеем *2—100* 4 3000 >
> *(*— 100) > -у-, следовательно,
1х sin х I х 2
ха — 100x-f3000 I ~ x '
2
Таким образом, если a = max{200, 2/e}, то из неравенства *>а
следует
Ixsinx I . х sin х л
< е, т. е. пт —0.
х2 — ЮОх 3000 | ж-н-оо ха —100x4-3000
Пример 5. Покажем, что функция /(*) =sin(l/*) не имеет
предела при *->0.
Решение. Запишем с использованием символов утверждение
«число А не является пределом функции /(*) при *->а (а — соб¬
ственная точка числовой прямой)»:
Зе0 >0 : V6 > 0 Э*в = *(6): 0 < |*в— а\ <6, *йе£,
1/(*а)-Л|>е0.
Если i4 = 0, то возьмем £0= 1/2 и хк= 1/(2яА:4-я/2), тогда V£>0 3ке
eN:0<xk<6 и |/(x*)-0| = |/(jc0|=1>£o, таким образом, нуль не
есть предел /(jc) = sin(l/*) при *-»0. Если же Л^0, то возьмем
е0 = |Л|/2 и хк=\/2пк. Тогда V5>0 Н keN:0<xk<6 и \f(xk)-A\ =
= | А | > е0, таким образом, и любое отличное от нуля число не есть
предел функции /(*) = sin(l/x) при *-*0.
Из приведенных примеров видно, что, пользуясь определением
предела, мы проверяем, является ли данное число пределом дан¬
ной функции или нет, но не имеем конструктивного метода вы¬
числения предела данной функции.
Непосредственно из определения предела можно получить
утверждения: если у(х) есть постоянная функция, т. е. y(x)^=Ct
то limу(х)—~С; если */(*)==* и а — собственная точка числовой
х-ш
50
прямой, то Пт//(дг) — \\тпх = а. Несмотря на тривиальность этих
х~*а х-*а
равенств, они являются отправными точками для вычисления пре¬
делов.
Основные утверждения, используемые для вычисления пре*
делов.
Если существуют lim (х) и lim то
х-*а х-*-а
a) 1 im (ft (х) + /, (х)) = 1 im /х (*) +1 im /, (x);
x-*-a x-+q x-*a
b) lim (fx (x) • /, (*)) = lim ft (x) • lim /, (*);
x-*a x-*a x~.a
lim fx (x)
с) если lim/a (jc) Ф 0, to lim —= -r^ ;
х-*а х~*а /2 (*) 1*ГП /2 (*)
x-*a
d) если в некоторой проколотой окрестности точки х = а имеем
/1 (x)<g (*)</»(*) и lim/, (x) = lim/, (x)=A, то limg(x) = Л
x-*a x-*-a x-*a
(принцип двустороннего ограничения).
Пример 6. Найдем lim (<а^ + а1*л“| + ... + an-ix + а„) (а—
x-t-a
собственная точка числовой прямой).
Решение. Пользуясь утверждениями о пределе суммы и про¬
изведения, получаем, что
lim (ссо*" + с^х"-1 + ... + а„-\х + оп) = а„а" + о^а"-1 +
х-*а
+ аЛ_\d -J-
т. е. предел многочлена при х, стремящемся к числу а, существует
и равен значению этого многочлена в точке а.
В дальнейшем постоянно пользуемся тем, что для любой ос¬
новной элементарной функции f(x) и точки а из ее области опре¬
деления справедливо соотношение
lim /(*) = /(а).
х-+а
Определение. Если функция f{х) определена всюду в не¬
которой окрестности точки а (правой полуокрестности, левой по¬
луокрестности) .и lim f(x)=f(a) (lim / (х) —f(a)f lim f (x) = /(a)),
x~*a x-+a~\~ x-*a—
то функция f(x) называется непрерывной в точке а (непрерывной
справа, непрерывной слева).
Пользуясь этим определением, можно предыдущее замечание
сформулировать так: каждая основная элементарная функция не¬
прерывна в каждой внутренней точке своей области определения
и непрерывна справа (слева) в крайней левой (крайней правой)
точке области определения.
При вычислении пределов постоянно применяется теорема о
пределе композиции:
51
если функция /(jc) непрерывна в точке х — а и существует
lim x(t)=a9 то верно утверждение
<~>и
\imf(x(t))=f(\\mx{t))=f(a).
t-+l,
Пример 7. Найдем lim In(1 + V1 + sin2 (jc/2)).
Х-4Я
Решение. Напишем цепочку соотношений
yl=x/2, yt=--sinylt у,=у\, yt = l+y»,
= У.= 1+г/б. Уп ~ 1° У*-
Применяя последовательно теорему о пределе композиции, по¬
лучим
Игл ух(х)= 2л; lim у2(х) — lim s\nyl= 0;
х-*4л х-+4п у,-# 2л
lim у3{х) — lim i/|--0; lim у4(х) =
Х-НЯ уг-+ О Х-*4Л
= lim (1 +у3) = 1; limj/j (л:) — lim }ГуА — 1,
^,-►0 Х-*4Д 1/4-И
lim yt(x) = lim(1 +уъ)=2,
х-Нл уь+\
lim In (1 + У~\ + sin2 (*/2)) = lim у7 (jc) = lim Iny% = In 2.
Х-*-4л Х-*4Л У%-*'±
Заметим, что условие непрерывности функции / в точке х — а
в теореме о пределе композиции нельзя заменить на условие су¬
ществования предела функции / при *->а. Дело в том, что если
Umf (х) =А, limx(i) -^a и Iim/(*(/)) существует, то верно ра-
X-MI t-*tt t-*t9
венство lim f(x(t)) = lim/ (л) =A, но существование предела
Мо х-*а
f{x(t)) не вытекает из существования пределов функций f(х) и
*(0.
Пример 8. Пусть
(i \ • a f 1
*(0 -
t, xG(l/2k, 1/(2^— 1)), fee2, k=£Q\
— t, jce (l/(2fc+1), \/2k), kz=Z, k=£Q\
0, x — \/k, kt=Z, кф 0.
Пусть e>0—произвольное число и 6 = е. Так как |*(01^М1»
то из неравенства 0< | ^| <б следует неравенство |jc(/)|<e, т. е.
limx(/) = 0. Так как для любого jc=^=0 имеем f(x) — 1=0, то
м
lim / (jc) = 1.
л-+0
52
Рассмотрим /(*(/))• Для любого 6>0 в интервалах (—б, 0) и
{О, 6) найдется бесконечно много равных \/kt /г#0, для
которых х(0=0 и, следовательно, f(jt(/))=0. С другой стороны,
при всех значениях tr отличных от нуля, и чисел вида 1/fc,
кФ0, имеем х(1)ф0, следовательно, f(x(t) ) = I.
Таким образом, в любой проколотой окрестности точки /=0
функция f(x(t)) принимает как значение 1, так и значение 0. От¬
сюда следует, что f(x(t)) не имеет предела при 0.
Пример 9. Найдем lim х2 sin (\/х).
х-+0
Решение. Пользуясь неравенством —х2^х2 sin (l/x)<x2 и
принципом двустороннего ограничения, получаем, что
lim jc® sin (1/jc) ^0.
X-*-0
X3- 1
Пример 10. Найдем lim
.-l х2 — 4х 4 3
Решение. Пользуясь результатом первого примера и утвер¬
ждением о пределе отношения, получаем, что
з . Игл (х3 —1)
Пт — !— = — = —! = —.
*—1 хг — 4x+3 lim (хг — 4х + 3) 1+4+3 4
Х—+— 1
Определение. Функция f(x) при х-+а называется бесконеч¬
но большой, если для любого положительного числа С существует
окрестность U (а) такая, что |/(х)|>С для любых х^О(а)(]Е
(Е—множество определения функции /(*))•
Заменяя в этом определении неравенство \f(x)\>C на f(x)>
>C(f(x)<—C), получаем определение положительной бесконеч¬
но большой (отрицательной бесконечно большой) функции.
Сравнивая определение бесконечно большой функции с опре¬
делением функции, имеющей предел, видим большую общность:
если в первом определении требуется, чтобы все значения функ¬
ции в некоторой проколотой окрестности точки а оси ОХ попада¬
ли в заданную окрестность несобственной точки оси OY, во вто¬
ром определении требуется, чтобы все значения функции в неко¬
торой проколотой окрестности точки а оси ОХ попадали в задан¬
ную окрестность собственной точки А оси OY.
Коротко утверждение, что функция f(x) при х-+а является
бесконечно большой (положительной бесконечно большой, отри¬
цательной бесконечно большой) записывается так:
lim/ (jc) = оо (lim f(x)= -f оо, lim/(jt) —— oo).
x-+a x-*a x-*-a
Основные соотношения для бесконечно больших функций:
е) если ПтДдг)=0, f(x)=£ 0, то lim —-— = оо,
х->-а х-*а f (X)
обратно, если limf(x) = oot то liml//(jt)=0;
х-*а x-+q
53
f) если lim /х (дг) = оо и lim f2 (х) =А, то lim (Д (д:) + (*)) = оо;
х-+а х-*-а х-*а
g) если \imfl(x) = + оо и lim/,(дг) = + оо, то lim(/ (.r) +
х-*й х~*-а х—* а
+ f-i (*)) ^ + °°;
h) если lim^ (а)---оо и Пт/г (д:) =А ^0, то lim (/ (x)ft(x)) = oo.
х -а х->а х-+а
Из соотношений a) — h) следует, что если I i гп Д (х) = А Ф 0>
х~*а
12{х)ф 0, lim/2(x)=0, то lim (*)//а (х) = оо; если же lim / (х) =А,
х-+а х-*-а х-+а
lim/e(*) = oo, то lim/j (x)jf2(x) -0.
x-+q х-+а
Пример 11. Найдем lim —п+ 4х + 2)
ж—*-0 1п (х10 -f- х3 + х2)
Решение. Пользуясь соотношением е) и утверждением о
пределе произведения, получим
In (хг -I- Ах 2) .. | , « *
lim — Jim In (х2 -f- 4x 4- 2) x
«-♦о 1п(х,04-**4 xl) x-*-o
X lim ! — In2 • 0=0.
jc--o 1п(х104 x* j x2)
Пример 12. Найдем lim —
X—+ —ao 2X
Решение. Рассмотрим обратную величину -^- = 2r —. Приме-
X X
няя соотношение е) и утверждение о пределе произведения, получаем
lim f2х • — | — lim 2х • lim — =0,
Х-+—00 \ X J х-* — оо X—*-—оо X
откуда, применив еще раз соотношение е), следует, что lim х/2х = —- оо.
Пример 13. Найдем lim (У 4х24х + х).
оо
Решение. Из соотношения g) следует, что
lim (V 4х2 -t- 4х -f х) = 4- оо.
Х-*.-|-оо
Пример 14. Найдем lim (х 4- cos х).
X—* ОС
Решение. Так как 0 ^ | (cos *)/.* | ^ 1/|х |, то применяя соот¬
ношение е) и принцип двустороннего ограничения, получаем, что
lim | (cos jc)/jc | = 0, т. е. lim (cos jc)/jc=0, следовательно, в силу утвер-
х-*оь х-*ос
ждения о пределе суммы lim (1 4- (cos x)jx) = 1, применяя соотноше¬
ние h), получаем что х~*л
lim (jc4-cos*) = lim л:(1 + (cosx)/x) = оо.
x -■* 00 X *30
Рассмотрим теперь, как находится предел степенно-показа¬
тельной функции [и (х ) ]и(х) (и (х) >0).
54
Пользуясь непрерывностью показательной функции, получаем .
Urn [р(х) In ц(х))
lim и (*)“<*> = lim “<*> = ем
x—*~q х-*а
Таким образом, нахождение предела степенно-показательной
функции сводится к нахождению lim [и (х) In и (х)].
х-*-а
Рассмотрим подробнее отдельные случаи (I—III).
I. Если limu(x)=i4, limlnu(x)=B, то limи(х)=ев, так как
х-+а х-*а х-+4
lim In и(х)
lim и (х) = lim eln и(х) = ех~ыг = ев
ж-#а х-#а
и
11т (<Кх) In и(х)] lim v(x)
е=еА ° — (ев)А = [Пт и (*)]X~WI
х-+а
Другими словами, если limu(x)=u, u>0 и lim&(x)=0, то
х—а х-+а
lim и (х)0(ж> = uv.
ж-+а
II. Если lim (о(х) 1пм(х)] = + оо, то и еИ*)1ам(ЛГ,] —f оо, ес-
х-*-о х~*а *
ли lim [и (х) In и (х)1 = — оо, то о.
Х—¥ Q
Отсюда видно, что если lim [и (х) In и (х)] = оо и произведение
х-+а
i;(x)lnu(x) не сохраняет знак ни в какой проколотой окрестности
точки а, то функция и (х)°<ж) = 1п “(*) не имеет предела при х-*а.
Пример 15. Найдем lim (—-—\с1вяж>
х-+\ \ *» + 1 )
Решение. Так как
ж1 1
lim In In—, a limctg лх = оо
#-.1 хм-1 2 x-+l
то
..Г. х» .
оо.
lim [ in—-— • ctg ях
L *+1
При 1 < jk< 1 имеем, что
In ■.** . ctg JVC > 0,
X% + 1
3
при 1 <x< - имеем
In —-— • ctg nx < 0,
*•+1 b
55
таким образом, бесконечно большая функция 1 С^ЯЛ:
в любой проколотой окрестности точки а=1 принимает значения
разных знаков. Поэтому функция
’ г* ' ctg ях лх In
х \ к _ е X» -f 1
1 /
не имеет предела при х-П и не является бесконечно большой при
х-+\. (В то же время
/ X2 \ ctg ях / х2 \ ctg ях \
ml ——1 =+<»• limf——] =0.
х^+\х*+\) ж^х-\#+\) /
ях \ *Ч-з
Пример 16. Найдем lim (sin
х-1 \ 4 /
Решение. Так как
lim sin lim (*а 4-3) =4,
х-+\ 4 Y 2 х—► 1
то
й(-^Г=(тг)‘=Т'
(X 4- 1 \ ctg* лх
— I
х + 3 )
Решение. Так как
lim 1- = —t limctg2 лх = + оо,
х-9-1 х -J- 3 2 х—► 1
то
lim ctg2 тех In -* 1 = — оо
Х-1 *43
следовательно,
( X + 1 \ctg«nx
lim ——— I =0.
\ х + з /
tg —
Пример 18. Найдем lim (sinajt) 2 .
х-> я+
Решение. Так как
lim In sin2 х =— оо, lim tg — = — оо,
Х-*-Л+ Х-*-Я-|- 2
TO
tg —
lim (lnsin**) • tg— = + oo, lim (sin*x) 2 = + oo.
Х-*Л-г 2 X-+ Л+
56
III. Пусть в произведении v(x)\nu(x) предел одного из сомно¬
жителей при х-+а равен нулю, а второй сомножитель является
бесконечно большой функцией. Такое положение возможно в трех
случаях:
а) limu(jc) =0, limu(jc)=+oo (символически оо°),
х-+а x-wI
б) limu(*)=0, limu(*) = 0 (символически 0°),
х-*-а х-*а
в) Пти(дг) = оо, lim и (лг) «= 1 (символически 1®).
х~*-а x-+q
Непосредственное применение теорем о свойствах пределов и
бесконечно больших функций не дает возможности вычислить та-
/ (*)
кие пределы. Так же обстоит дело с вычислением lim когда
x-fl g(x)
lim f (x) = lim g (x) = 0. Этот предел нельзя найти, пользуясь
х-*а х-+а
теоремой о пределе отношения, так как предел знаменателя ра¬
вен нулю, нельзя использовать и соотношения е)—h), так как
предел числителя равен нулю. В этом случае говорят, что имеется
0
неопределенность —.
Аналогично вводятся символические обозначения неопределен¬
ностей 0- оо, оо—оо.
оо
В тех случаях, когда имеет место неопределенность, для вычи¬
сления предела — «раскрытия неопределенности» — преобразовы¬
вают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.
Для таких преобразований используются или тождественные (в
проколотой окрестности точки а) соотношения, либо сравнение
поведения функций при стремлении аргумента к предельной точке.
Пример 19. Найдем lim 1 (неопределенность ти¬
х-i Xе — 4х -f з \
па
т)-
Решение. В проколотой окрестности точки 1 функции
х3 — 1 X* + X + 1
и ' — тождественно равны, значит, имеют
X»—4x4-3 х —3
1 i-г 1 • х* -f х 4-1
при один и тот же предел. Предел пт — вычис-
х-* 1 х — 3
ляется с использованием утверждения о пределе частного и пре¬
деле многочлена. Итак,
lim (х* 4- х 4-1)
lim = lim .*+* + '— -.l А
ж*_4* + 3 х-»-1 х — 3 lim (х— 3)
X—1
57
Пример 20. Найдем
<^ + ^-1+ ... +«„-,* +ап.. (m>n>h а&фО)
fLr"4.e.i"-14- ... 4-в. .1+8. ' '
х-гоо + Pi*””1 + ■ • • + Pm-l* + ft
^неопределенность -~j-
•Р» CL(yXn -j- OLiXn~* CLn-lX ~h
Решение. --——--
fc*« + P1*m"1+ .. + Pm-i* + Pm
1 1 l
*0 • ~^T ■+■•••+ On-1 * + «Л xm
Po + Pi * — + ... + Pm-1 • + Pm —
следовательно, lim а°хП gft — —=0 (правильная рациональ-
x->oo род^-f ... + Pm ft,
ная дробь при x oo стремится к нулю).
Если в числителе такой дроби стоит многочлен нулевой степе¬
ни, т. е. константа, то стремление дроби к нулю при х-^оо сле¬
дует непосредственно из соотношения е) для бесконечно больших
функций.
Пример 21. Найдем lim (j/xa-f 4*-f 5 4-х) (неопределенность
X-#—оо
типа оо — оо).
Решение. Если х < 0, то (Кхг + 4х + 5 + х) = . -4*-.+ L=— =
\ W т -Г -г ;
5
4 +
х — , следовательно, lim {Ухг + Ах+Ь -f х) =
= —2.
Пример 22. Найдем lim У1 -f cosх • tg — (неопределенность
Х-+П+ 2
типа 0 • оо).
Зл , X
Решение. Если я < *< -у, то У1 + cos л: = у 2 cos2— =
— —У2 cos-~, следовательно,
lim У 1 ~j~cosх • tg — = lim [ — У 2 cos — tg— \ = —У2 .
х->*л+ 2 \ 2 2/
Пример 23. Найдем lim -1п ^ 4x / неопределенность
Х-юо In (jC*® -J- X* -f" X) \
OO J
типа
58
Решение. Имеем
2 In | х | + In ^ 1 -f j
In (x» + 4* + 2)
In (x10xs 4-x) / x3-|-x \
10ln|*|+ln(l + —±— J
2-h
ln I
In I JC I
10 +
Применяя соотношение e) для бесконечно больших функций и со¬
отношение Ь) для вычисления лределов, получаем
lim — — = lim In (1 -f 2 Л • lim —l-— =0,
X“*oa In | JC | jr-^oo \ X* J x+0 If! \X |
lim i ?—L= 0,
In I X I
откуда, применяя соотношения а) и b) для вычисления пределов,
получаем
Ит 1п(* + 4* + 2) _ 2 + Q _ i
«-►оо In (х10 х9 х) 10 0 5
Пример 24. Найдем lim —(неопределенность типа
X * f оо 2х \ оо /
Решение. Методом математической индукции доказывается,
что для всех натуральных чисел п имеем п<2Л. Пользуясь моно¬
тонностью показательной функции 2х, отсюда получаем, что для
х>0 имеем х/2< [х/2] + 1<2[эс/21+1<2ж/^1, где [а]—целая часть
а. Следовательно, для х>0 имеем *2/4<2х+2 и 0<х/2х<\6/х. При¬
меняя соотношение е) для бесконечно больших функций, полу¬
чаем, что
lim —=0.
*-++оо 2х
Пример 25. Найдем lim jcx (неопределенность типа 0°).
х-»(Н"
Решение. Необходимо найти lim х\пх. Положим х = 2~а,
*-►0+
тогда условие эквивалентно условию Пользуясь
результатом предыдущего примера, получаем, что
— aln2
следовательно,
lim х In x
lim xx =ex-°+ = e°—1.
Сравнение поведения функций при х-+а.
Определения.
1. f(x)wg{x) при х-+a(f(x) эквивалентна g(x) при х-+а)у
если /(*) = a(x)g(x), где а(*)->1 при х-+а.
2. f(x)=0(g(x)) при х-+а, если f(x) = a(x)g(x), где а(х)
ограничена в некоторой проколотой окрестности точки х — а.
3. f(x)--=o(g{x)) при л*->а, если f(x) =а(х)-g(x), где а(*)-^0
при х-+а.
Замечание. Если g(x) не обращается в нуль в некоторой
проколотой окрестности точки х = а, то
f {х)
f(x)<\>g(x) при х->а, если lim = 1;
х ^а Я (*)
fix)
f(x) = 0(g(x)) при х ->а9 если отношение ограничено в
Z (■*)
некоторой проколотой окрестности точки х — а;
f(x)—o(g(x)) при х-*а, если lim--— =0.
х+а g (*)
Отметим, что символом 0(1) обозначается ограниченная в не¬
которой проколотой окрестности точки х — а функция, символом
о(1) обозначается функция, имеющая нулевой предел при х-+а
(бесконечно малая функция при х-+а).
Свойства введенных соотношений. (Везде подразумевается, что
х-^а.)
I. Если f(x)<x>g(x)9 то g(x)<х f(x) (симметричность соотноше¬
ния эквивалентности).
2. Если /(*)оо g (x) и g(x)r\zh(x), то f (х)оо fi(x).
3. Если f(x)ozg(x), то / (а) = 0(g(x)).
4. Если f(x)=o(g(x)), то f(x)=0(g(x)).
5. Если f{x) (vgW, то о (/(*))= о (£(х)).
6. Если постоянная С Ф О, то
С • 0(g(дс)) == О(g(х)). C o(g(*)) - о(g(х)).
7. О (О (g (х)) =0 (g (*)), О (о (g (х)) - o(0(g (*))) = о (* (дс)),
»(<>(£(*))) =o(g (*)).
8. h(x) 0 (g (x)) =- 0 (A (a) ■ g(x)), h (x) ■ о (g {x)) r.-, o(h(x)g (дс)).
9. 0 (jf (*)) • 0 (g (*)) =0 (г* (дг)), 0 (g M) • о (g (jc))=e (g* (*)),
0(?W) • 0(g(x))--=0(g*(x)).
10. 0 to (*)) + 0 (jr (at)) ---- 0 (g (x)). 0 (g (x)) + о ^ W) = 0 (g (*)).
о to M) + oto W)=o(g (a)).
II. Если f(x)rvg(x) ii h (.<) c\j s (*), to f (x) • h (x)c^> g (x) ■ s (x).
12. Если lim/(*) —k=£0, to f (x) ^ k.
x-+a
Из этих свойств следует, что если / (д:) <^>g(x), то f (х) —g(x) =
(б М) или / М £ (Л) + о (g (х)). Если функция f (х) представлена
в виде такой суммы, то говорят, что g(x) есть главная часть f(x)
при х-+а.
60
Пример 26. Рассмотрим соотношение
lim а°*П + gl*n 1 ^ 9 * * ап-'х + а" —
«-►оо аол'*
oti a., ап
«о + — 4-"“Г-Н ... 4--f
XX9 хп . . л
— 1 i m — 11 0Cq i/- 0.
x-+oo 0C0
Следовательно, ао*п есть главная часть
+ a^’1 4- ... +ая_1х + ая (ao^=0) при *-*oo.
(Обращаем внимание, что, например, функции
у = olqX* -f a^"1 и у = а,^ 4- а^'1 4- а**л‘2
также являются главными частями данной функции при х-*оо.)
Пример 27.
lim во*п 4- +■•■+ ап-тхт _
х-о a„wn*m
= lim -g^m4 а‘жП:т:•-+-5?.-.?- = 1 (ая.т^0, а„Ф0, 1<
х—*0 Ctn-m
^ m ^ л),
следовательно, an_m*m есть главная часть а0д^ 4 а^"1 4- ... 4- Un-mx'n
при х-*0.
Справедливы следующие соотношения (два основных предела):
sin х , е* — 1 .
Iim — 1; lim = 1.
*-► 0 х х-0 х
В другой записи:
sinjcoD*, ех — 1 <^х при дг-*0.
Отсюда получаем, что при х-*0:
1 — cosJc = 2sina~- (свойство 11);
tgx = ^HLLcvx (свойства 11 и 12);
COS X
arcsinх csd sin (arcsinx) =x;
In (14*)^ eln (1+ж) — 1 =.*.
Сведем полученные и аналогичные им соотношения в таблицу
(с. 62). Из разобранных примеров следует, что при х-*-4оо
1) а**" 4-«i*"-1 4- ... 4 «л—i* 4 ап =
= о(Р»*т + Р1дс,п-|+ ... 4-Рт_,дс + р„) (аоРо^О. т > п)'
2) х = 0(2').
61
Эквивалентность при х -► О
Равенство при х О
sin X CO x
sin x = x 4 o(x)
1 *a
X2
1 — COS X CO
2
cos x = 1 — — 4 0 (x2)
tg X со X
tgx---x4-o(x)
arcsin x oox
arcsin x = x 4 о (x)
arctg x oo x
arctg x = x4o(x)
ex — 1 •o x
ex = 1 4- x-\-o(x)
In (1 4- *) 00 *
In (1 4- x) = X 4 o(x)
(1 4-x)m— 1 *o mx
(\ 4- x)m = 1 4- mx 4 о (x)
Пример 28. Справедливы соотношения:
1.m_2±tg5i-cosx
= lim
х-0
уТТТ
5х4-о(х)
- = lim
х-0
1 + 5х + о (х) — 1 4- — + о (х«)
l-^4-o(*1)-l--f- + o(x)
-т+о,,)
lim ■
ж-0
54-o(l)
1 1
-т+0(,) -Т
- = -25;
Цщ ln(g*4-*) —sin3x _ цт 1п (I 4- 2*4- о (*)) —3x4- о (х) __
х~*о arctg 4х х-*о 4х + о(х)
-lim + =цт-■ + .(» L;
*-►0 4* + о(х) *-.0 4 + о (1) 4
Пт =Пт .а.10=|{т L-^
х-*-0 X3 Х-+-0 Xя х-*-0 Xs
— + 0<*)
= lim-
«-►О
х3 2
Для упрощения выкладок полезно заметить, что из соотноше¬
ния fcvg при х-+а следует, что \\т h (х) f (х) = lim h (х) g (х) или
х-кх *->а
оба эти предела одновременно не существуют, т. е. при вычисле¬
нии предела произведения f(x) g(x) один из сомножителей f(x)
или g(x) (или оба) в этом произведении можно заменить эквива¬
лентной функцией. Пользуясь этим свойством, решение предыду¬
щего примера записывается короче:
х*
X •
tgx — sinx .. tg х (1 — cosx) 2
lim — = lim - = li
X-+0 x3
lim
x-0
62
В этом примере ясно видно, что соотношение f(x)=o(x) при
/ (*)
х ►() определяет только то, что lim — =0, поэтому из соот-
х-0 X
ношений sin х=х+о(х), tgjc = jc + c>(jc) (jc-й)), следует только, что-
!ц х—sin х=о(х), х-+0 (свойства 6 и 10), т. е. lim-^—5*!1£-=о,
Х-*-0 х
по эти соотношения никак не дают сравнения функции tgx—sinx
( функцией jc3. Для такого сравнения требуется более глубокий
анализ.
Внимание! Одна из самых распространенных ошибок при вы¬
числении предела некоторого выражения заключается в замене
функции, не являющейся множителем всего этого выражения, на
эквивалентную функцию (чаще всего такая ошибочная замена
делается в отдельном слагаемом алгебраической суммы).
Пример 29. Справедливы следующие соотношения:
2—2cos2x — sin2 2* j.^ 1—2 cos 2x -f- cos2 2x
x-*0 Xх x-*-Q X4
= lim .<1-cos2jc)1 =iim-^ = 4.
x-+0 X4 X-+0 X4
Если же заменить функцию у = 2 — 2cos2jc при х-+0 эквивалент¬
ной функцией 4х2 и функцию £/ = sin2 2jc эквивалентной функцией
4*2 __ ^2
4jc2, то получим lim =0, что не совпадает с ранее полу-
х-* 0 х4
ченным верным результатом.
Пример 30. Пользуясь тем, что lim —= 0 (см. с. 59) и
Х-*-+оо 2х
соотношением е) для бесконечно больших функций, получаем, что
X 1
2Х* , 2х о*1-*
lim -2-ТЛ - lim 1 =0.
Х-Н-оо 2Х*^~Х Х-* + оо 2Х
Если же в функции у = 2х**х заменить показатель эквивалент¬
ной при х->+оо функцией y = x2t то получим
Hm ^±i-=lim fl -Ь ^ Г—)=,.
Х-+ОС 2х х-+оо \ 2х 2х ~х 1
что не совпадает с ранее полученным верным результатом.
Если ищется предел функции «при х-+а, аф0, то для удобства
можно перейти к новому аргументу у== х — а, предел которого ра¬
вен нулю три х-+а.
Пример 31. Найдем lim (jc — я/4)tg2jc.
х-^я/4
63
Решение. Положим х — я/4 = у, тогда
lim (х — 4Л tg2x = lim у • tg (2у + =lim t/(—ctg2«/) =
V 4 ; у-.о \ 2 ) „-о
4
= — lim (— cos 2у\ = — lim —-— • lim cos 2// =
y-+0 \ ein 2y / y->0 sin 2y y-*o
= — (lim • 1 = —.
\ V-+Q 2y ) 2
Пример 32. Найдем
3n*“
lim .
In (2* — Vx )
Решение. Положим y=x — 1, тогда
Зях®
cos I -
2
= lim-
cos | —■ (1 + 0)“)
lim
*~x ln(2* — \fT) <'-° In(2y + 2 — ^l.+ у )
( Зя Зя \ . / Зя \
cos — + — ay + о (у) I sml—ау + о(у)
= lim X— = =lim —
"-0 In ^2у + 2-1--уУ+ «(»)) I" (l + -y-y+ о(У))
"!S [(-т'ч,+0<!')): (-f »+»<»>)] ”15"“-
Пример 33. Найдем
tg—
lim (sin я* + x) 2 .
jr—► l
Решение. Вычислим
lim In (sin nx + x) j,
полагая y = x — 1. Имеем
lim [tg-^- In (sin nx + x) — lim in (sin л (у + 1)4-
*-=►1 L
+ j/+l)] = —lim fctg-^-In(l + y— sinny)] =
J IM-O L 2 J
= —lim Г—(y—sin ity)] = — lim
У-* о L лу J y, 0
2 {y — ny + o(y)) __ 2 (я — 1)
ny л
64
Следовательно,
tg ПХ 2(я—1)
lim (sin jxjcH- jc) 2 =e 31
Ж -*-1
Отметим, что при x-+a утверждения «f (x) cc g {x)» и «#(*) есть
главная часть f(x)» равносильны. Так как функция f(x) при х-+а
имеет бесконечное множество эквивалентных функций, то при по¬
становке задачи выделения главной части f (jc) при х-+а, т. е. на¬
хождении эквивалентной функции, указывается, какой именно вид
»та главная часть должна иметь.
Пример 34. Найдем главную часть вида Сха для функции
/ (jc) = х 4- у'' jc* • In ** при х —► 0.
Решение. Имеем
V х + у/х* • In 1~Х' =Ух + 1&3 - Inf 1 \ =
к 1 + *» I 1 + х* /
1
= |х| з ]/*‘/з + 1 • lnjl — c\d|jc 11/3 • (— 2*l) =
= — 2\x\^ (*-*-0).
Следовательно, главной частью /(jc) при jc—>-0 является функ¬
ция
g(x) =—21 х |7/3.
Пример 35. Найдем главную часть вида С(1 — х)а для функ¬
ции
4/— Ъг—
/ (jc) = 4 у jc — by х -fl при х 1.
Решение. Если ввести новую переменную 2=1 — х, то полу¬
чим, что
/(А) =4(1 _z)'/«-5(l —z),/5 + l=4(l ^--f-o(z)j -
— 5^1 g- + o(z)^ + l=4—z + o(z)—5 + г + о(г) + 1=о(г),
таким образом, этим методом мы не получили функцию, эквива¬
лентную данной. Введем переменную t так, чтобы избавиться от
иррациональности: x=t20. Тогда так как jc-И, то t-+1 и
1-jc = 1 — = + + ... + t19) сх) 20 (1 —0»
65
и
/ (л:) = 4/Б — 5/4 + 1 =(1 —/)*(4/® + 3/*-h2/ + 1)(Х) 10(1 —О2-
Следовательно,
/Wcoi1^11. ю =-11^11.
7 400 40
Итак, главной частью функции f (*) является функция
/ ч (I—*)2 / 14
Пример 36. Найдем главную часть вида Сха для функции
/ (х) = arctg х — arccos — при х -+ 4- оо.
X
Решение. Имеем
lim (arctg*—arccos— >l=0f
*-+оо \ X J
следовательно, при * 4 оо
x — Vx1— 1
^ arctg х — arccos — j го tg ^ arctg х — arccos — j j = —
4- x/x2— l
{±+V'-±)
-Co
1 1 1
oc . — ■ OO
x1 / f , \ 2jcs
* 14-
/■-7
Итак, главной частью функции является функция g (х) = —— (х
2х3
-> 4- °°)-
Пример 37. Найдем асимптоты графика функции у = х 4- 1 4-
+ Vx' + Зх + 7.
Решение. При х -> 4- оо имеем
У=х+ 1 + *|/" 1 + ~+~Г =х + 1 +•* + ~~ +
2х
+-£-+°(т))=2х+т+от-
66
л при х= — оо
2х
Итак, график данной функции имеет правую асимптоту у = 2х +
и левую асимптоту у = —1/2.
§ 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Последовательность {ап} есть функция, заданная на множестве
натуральных чисел N = {1, 2, 3,...}. Это множество имеет един¬
ственную предельную точку — несобственную точку +оо. Пере¬
формулируем определение предела функции на случай последова¬
тельности: A =lim ап, если для любого положительного e(Ve>0)
П-+ ОО
найдется такой номер iV (Э[7V), что для любого п, п>М (Vn>N),
справедливо неравенство |А—ап|<е. Если вместо множества
асех натуральных чисел взять некоторое его бесконечное подмно¬
жество {я*}, &=1, 2, nk<nk+1, то получим подпоследователь¬
ность {аПк}. Предел подпоследовательности {ап^> если он су¬
ществует, называется частичным пределом данной последователь¬
ности.
Если последовательность ограничена сверху, то и множество
всех ее частичных пределов ограничено сверху. Тогда доказы¬
вается, что это множество обязательно содержит максимальный
элемент. Этот максимальный элемент называется верхним преде¬
лом данной последовательности и обозначается lim ап. Другими
Л—►оо
главами, А = lim ап, если Ve> О 3N : \n>N : ап<Л-+е
П-¥ ОО
и a {а„ }: lima„ =А.
* k-*oo *
Если последовательность не ограничена сверху, то lim а„ =
л-*ао
' = +оо.
Аналогично определяется lim ап — нижний предел последо*
Л -►оо
вательности {an}. Если последовательность не ограничена снизу,
то limart = — оо, в противном случае В= limап есть наименьший
П—► сх) П чОО
из частичных пределов, т. е. £=liman, если Ve>0 ЗА1 :Vn>Nt
П-+оо
ап>В—г и 3 {аПк}: lima^ = В.
к+оо
Условие существования предела последовательности эквива-
67
лентно условию равенства верхнего и нижнего пределов этой .по¬
следовательности.
Так как последовательность есть функция, заданная на множе¬
стве натуральных чисел, то все рассмотренные выше методы вы¬
числения пределов функций применяются и для вычисления пре¬
делов последовательностей.
Рассмотрим еще один метод вычисления предела последова¬
тельности. Разберем его на примерах последовательностей, задан¬
ных рекуррентно.
Пример 1. Рассмотрим последовательность ^ = 1, fln-ы =
— -^-+1, Уле N. Прежде всего выясним, существует ли Iirnart.
2 П-fOO
Методом математической индукции проверяем, что для любого п
справедливо неравенство ап<2. Отсюда получаем, что а„.н—
—ап=\— а„/2>0. Таким образом, {а„} монотонно возрастает и
ограничена сверху, следовательно, последовательность {ап} имеет
предел. Обозначим его через А. Для определения А перейдем к
пределу в рекуррентном соотношении an+i = ап/2 + 1, имеем Л =
= Л/2 + 1, откуда А = 2. Итак, lim an = 2.
• n-f-oo
Пример 2. Рассмотрим последовательность
ап = ]f 2 ->г V 2 -\ ...4 1/1
(п корней). Возрастание ап с ростом п следует непосредственно
из формулы для ап. Для того чтобы сделать вывод о суще¬
ствовании предела а„, необходимо проверить, что последова¬
тельность ап ограничена сверху. Действительно, заменив в по¬
следнем радикале число 2 на 4, тем самым увеличив выражение
для ап% получим, что для любого п выполняется ап<2. Итак,
lim ап существует. Обозначим его через А. Для определения А
П-*- оо
перейдем к пределу в рекуррентном соотношении ап ^Y2 + ап~\г
имеем А — Y'2 + А, откуда Л = 2. Итак, liman^2.
tl-foo
Пример 3. Рассмотрим последовательность ап= (—1)п, ле
Так как a2k — 1* 02*4-1 — — 1» то Jima„ —1, lirrifln — — 1, от-
л-“°°
куда следует, что данная последовательность предела не имеет.
Члены ее удовлетворяют рекуррентному соотношению ап = —an_1.
Если формально перейти к пределу в этом соотношении, то полу¬
чим Jimart = —limfln-i, откуда liman = 0. Этот пример показы-
П-*-ао П—►во Л—юо
вает, что возможность перехода в рекуррентном соотношении к
пределу должна быть обоснована, т. е. существование предела
должно быть установлено заранее.
Вычисление верхнего и нижнего пределов последовательности
сводится к тому, что выделяют сходящиеся подпоследовательно¬
сти и сравнивают их пределы — частичные пределы исходной по¬
следовательности.
68
Пример 4. Пусть дана последовательностьart=n<*_1>nf n&N.
Так как для любого п имеем, что an>0, то любой частичный пре¬
дел этой последовательности неотрицателен. Поскольку а2п = 2л и
<1ая+| =—-—, то limalrt = lima„= + оо и lim а2п+\ = liman = 0.
2П -j~ 1 П-и» П~*оо П-+оо п-*-оо
Пример 5. Пусть дана последовательностьап= ^2-f cos^~j X
X ^1 4- ~cos“jp)» ле^. Так как для любого п имеем, что ап^
<3(1 4-1/л), то lima„^3. С другой стороны, ai2*=3(14-l/12fc]>,
fV—►оо
откуда следует, что liman = 3. Точно так же из соотношений an^
П~Фоо
>1 — 1/я, для n^N и авм-з= 1, k^N, следует, что lima„ = l.
П-* СО
Замечание. В этом примере кроме подпоследовательностей
{am} и {абм-з} существуют и подпоследовательности, сходящиеся
к пределу, отличному от 1 и 3, например {двь+г}. Ее предел ра¬
вен 3/2.
Используя понятие предела последовательности, можно дать
определения верхнего и нижнего пределов функции f(x), х^Е:
число А есть верхний предел функции f(*) при х-+а (обозна¬
чение А = lim/ (*)), если У е > 0 3 U (a): V х е U (a), xgE, f (х) <
х-+а
< A 4- е и существует последовательность хдля которой А =
= lim/(**). Число В есть нижний предел функции /(*) при х-+а
к-*-оо
{(обозначение В = lim/(*)), если Ve > 0 ЯU(a): VxeO(a), хеЕ
х-*-а
f(x)>B—t и существует последовательность для кото¬
рой B=\imf(xk).
ft—► оо
Условие существования предела функции при х-+а эквивалент¬
но условию равенства ее верхнего и нижнего пределов при х-+а.
Пример 6. Рассмотрим функцию f(x)=sin— при х-*0.
С одной стороны, —l^sin— ^1 для любого х% хфО; с другой
стороны, если = —-—^, k^N, то ^-+-0 и sin-^- = l; если
2Л 4- 1/2 Xk
= , k & N, то Хъ —0 и sin—= — 1. Отсюда следует,
2k —1/2 ж*
что lim/(x) = lt lim/(jc) = — 1. Следовательно, данная функция
х-*>0
предела при *-*0 не имеет.
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ
ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
Иногда соотношения эквивалентности могут оказаться недо¬
статочными для определения главной части функции при х-+а.
В таком случае одним из методов определения главной части яв¬
ляется разложение функции в многочлен Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано. При этом важно, с одной стороны, не по¬
терять членов нужного порядка, взяв слишком малую степень
многочлена Тейлора, а с другой — не выписывать лишних членов,
так как это загромождает и затрудняет выкладки. Поэтому при
вычислении пределов полезно оценить заранее, какого порядка
малости погрешность уже не влияет на предел соответствующего
выражения.
Многочленом Тейлора порядка п функции f в точке а является
п
многочлен Tn(f, а) вида £ ck (х—a)k такой, что /—Tn(ft а\ =
к-о
= о(х— а)п. Приведем следующие основные формулы:
а) ех = 1 +* + -£- + -“- 4- ... + — + о(хп), х->0\
2! 31 п\
б) sin*-* — + — 4- ... H-C-l)""1 ——- + 0(jt2n), х -► 0;
' 3! 5! ; (2л- 1)!
у2
в) cosх = I — + — + ... +(—1)"— +0(ХМИ) х^0;
’ 2! 4' ; (2п)!
Г) in(1 + х) —х—^ + + +<,(*»). *-*0;
2 3 п
д) (1 -f x)m = 1 + mx + хг+ ...+
+»>.^+0{xn)t
п\
Обратим внимание на то, что степень многочлена Тейлора
Гп(/. а) может быть и меньше его порядка (больше не может
быть по определению), т. е. любые его коэффициенты, в том чис¬
ле и при старших степенях, могут быть равны нулю. В частности,
один и тот же многочлен может быть многочленом Тейлора раз-
ных порядков функции / в точке а. Например, многочлен х —
6
является многочленом Тейлора как третьего, так и четвертого по¬
рядков функции sin* в нулевой точке.
Пример 1. Пусть у(х) = (х*—2х10)ех\ Так как у(х)оэдс6 при
*-►0, то все многочлены Тейлора ниже шестого порядка функции
у в нулевой точке представляют собой тождественный нуль (с0=
=с1=с2=сз=с4=с5=0). Так как у—х6=о(х6), х-+0, то многочлен
Тейлора шестого порядка Т6(у9 0) функции у в нулевой точке
70
tcTb jc6, а так как e*4 = l +jc« + o(*4) и, следовательно, #(*) = (х?—
.-2jc1®)(H-jc* + o(jc4))=jce-jc1® + o(jc10), то T.to, О)=Г7(0, 0) =
~Тв(у, 0)=Т9(У> 0)=^ и Т10(у9 0)=х«-х">.
Из всего вышесказанного следует, что если в многочлене Тей¬
лора порядка п функции у ъ точке а все коэффициенты с номе¬
рами меньше, k (k<n) равны нулю, а скф0, то при х->а имеем,
что уоэТп(у,а)оэск(х — а)\
Используя формулы а)—д) для нахождения многочлена Тей¬
лора, необходимо правильно оценивать отклонение полученного
многочлена от данной функции, иначе можно допустить грубые
ошибки.
Пример 2. Найдем многочлены Тейлора первого, второго,
третьего и четвертого порядков функции у=\п(\+х+х2) в нуле¬
вой точке.
/ 1 \
Решение. Воспользуемся формулой 1п(1 4- а)= Л — 1-
4-о(ап), а-►О. В нашем примере a=jc4-jc2. Заметим, что асо
сох, jc-й), следовательно, o(an) =o(jcn), jc-*0, n^N. Поэтому
In (14- x 4-x2) = a4- о (a) = x 4- jc2 4- о (x) = jc4-о (x). Итак, многочлен
Тейлора первого порядка функции у в нулевой точке будет равен
ЛСУ, 0)=х.
Обратим внимание, что поскольку ^=jc4-jc24-o(jc), то нельзя
утверждать, что многочлен второй степени jc4-jc2 является много¬
членом Тейлора второго порядка функции в нулевой точке. Пока¬
жем, что это неверно. Действительно, при jc-*0 In (1 4-*4-*2) =
= In (1 +a) =a—+ о (a2) * (x + *»)--±- (x + л»)» +o (*»); при
раскрытии скобок используем то, что хк = о(х2), если Л>2, k^N,
следовательно, (х 4- jc2) (jc 4- jc2)2 4- о (jc2) = jc 4* х* jr2 4- 0 (jc2) .
Итак, многочленом Тейлора второго порядка функции у в нулевой
х%
точке является многочлен Т%(у, 0)=х+ —. Таким же образом
получаем
In (1 + * + **) = X + X* L ( * 4. **)* + -L (* 4. *»)* + о (Xя) =
2 3
= jc4-Jc2 — (дс24-2дга)——jc84-o(x8)=jc4- — х2— - jc84-o(jc3),
2 3 2 3
следовательно,
ТАУ, 0)=х+±х>-±х*
In (1 + х + ж*) = x + х% (дс + Xs)» + — (х + х*)» (х + *»)« +
2 3 4
+ 0(*«)=* + -i-x»—*-х'
2 3 4
71
следовательно,
Т4(у. 0)=x + -i-x>—i-x>—Lx*.
Пример 3. Найдем главную часть вида С|х|а функции
j при х->-0.
Решение. Пользуясь формулами б)’ и г), пишем последова¬
тельно многочлены Тейлора функции у(х) в нулевой точке увели¬
чивающегося порядка, пока не получим многочлен, отличный от
нуля.
Для первого порядка имеем
у (х) = sin х— In ^ 1 -f х +
= o(jc), х-*0,
т. е. Тх(у, 0)эв0.
Для второго порядка
у (дс) = (х + о (х2))— ^х 4- -у yх2 4- о (х2)j = о (ха), х-+0,
т. е. Т2(у, 0) =0.
Для третьего порядка
У (х) = у + о (х3))— + у (Хг + X3) + у X3 + о (*s) j -г
= 0(А»), (X —0).
т. е. Т3(у, 0) =0.
Для четвертого порядка
,« . (, - i+»М)-(, + (*+—*■) +
l ^г)~Т '' + «(О)-о<д:‘). л-0.
т. е. ТА(у, 0) =0.
Для пятого порядка
у‘w “ (* - Т + -Ш + "ю)~ (* + Т~Т~Т (*■+ *■+
+т-т)+т(*,+х+^)Ч<^>+т‘‘+‘'<''>)"
= — X6 -f о(д^), х-+0,
15 7
72
-2—y) =(х + °(х))—(х + °(х)) =
т <\ Tb(yt 0) = --х6 и степенная функция ~-хб есть главная
(X® X* \
1 Н- хН- — — J при х->0.
Пример 4. Найдем главную часть вида С\х—1|а функции
^ з
у —ух2—*4-1— у ех'~1 при х —► 1 •
Решение. Чтобы воспользоваться формулами а) —д), сде¬
лаем замену переменного x = f4-l. Тогда задача сводится к на¬
хождению главной части вида С|/|а функции у (t) = (1 +1 -f t2)l/4—
2 Ж«
—e 8 при /->0. Пользуясь формулами а) ид), пишем последо¬
вательно многочлены Тейлора функции y(t) в нулевой точке уве¬
личивающегося порядка, пока не получим многочлен, отличный от
нуля.
Для первого порядка
у (t) = (1 + * + **)1/4—«*/«+<■'• = (1 + -±- t + о #)) —
-(l + ^- + о(0)=о(0. /-*-0.
т. е. T{(yt 0) =0.
Для второго порядка
»(')“(' +Т<' + р)-^-р + »<''))-(1 + Т + Т + ТТб +
+ о(/2)) = о(Я), <->-0,
т. е. Т2(у, 0) =0.
Для третьего порядка
»«> = (• + -J-<' + ‘‘)—|-«Ч-2<’) + -щ-'■ + <>«*))-
_(,+ _L + _!L+_L (JL +JLU -L.JL + ) =
\ 4 8 2 V 16 32 / 6 64 /
= L*a + o(/*), t-+ 0,
т. e. Тъ (у, 0) = — t* и степенная функция —*3 есть главная
часть функции y(t) = (l + t + t2)1/4—e1/4+ttJ8 при” /0. Возвращаясь
к переменному х, получим, что функция —1/6 (л:—1)а есть главная
часть функции у(х)=У х2—*4-1 — l/V*"-1 при х-*1.
73
Пример 5. Найдем предел
ljms!n(sin*) — хг/\— х»
X-+Q хъ
Решение. Так как в знаменателе стоит х5, то достаточно
найти разложение числителя в многочлен Тейлора с погрешностью
лорядка о(х5) при х->0. Так как sinx<x>x, то о(х5) =*o(sin5x), х-*
->0. По формуле Тейлора имеем
. . v . sin3 лг , sinbx , / • ц ч
sin (sin х) = sinx ho(sin*x).
7 6 120 4 /e
sinx^x—— -f о (x*).
6 120 47
Тогда
sin* * = (x — + о (*»))’ = (x + a (x))* =
= x8 4- 3x*-a (x) 4- 3xaa (x) 4-a8 (x),
где a(x) = —— 4-—— 4- о (хБ). Поэтому a(x)^>— —, x->0; xaa (х):\э
6 120 6
oo x о (x6), x-*0; a3(x)c\> =o(x*), x-^0, и, следова-
36 ’ 216 '
тельно, sin3x = x3 ^-x64o(x5), x-^0. Так кака(х)сс—— =o(x),
2 6
x-^0, to x4-a(x)ocx, и sin6x = (x + a(x))5c^x5 x->0, т. e.
sinex=x*4-o(x6), x-*0. Итак, при x-*0
sin(sinjc) =x— 1 +-^- fo(*b)—^(д;Э—^) +
+ °(ДС#) +120" * + ° (*6) = x~ T + ~кГ + 0 ^
Аналогично
_i_
x 1 — x* = x(l —x2)3 —x ^ 1 i- x2 x4 4-o (x4) j —
— x — x3 — x6 4 о (x5).
3 9 '
Итак,
sin (sin x)—x V 1“ *2 = x ^ x3 -f x6 4- о (x3) — x 4-
4- — xe 4- — x5 4- 0 (x6) = x6 4 0 (x5),
3 9 V 1 90 V
74
и. (лс\довательно,
Inn —
я *0
sin (sin дг) — х \ — x2
п/_19_ о^Ч
х-.о V 90 х* )
19
90 *
Приведем еще ряд примеров разложения по степеням х неко¬
торых функций.
Пример 6. Найдем разложение функции y=tgx при jc—^0 до
порядка о(х5).
Решение. Первый способ. Имеем
Второй способ. Надлежит найти разложение функции tg jc по
степеням х с погрешностью о(х5) при jc-*0. Ищем это разложение
в виде
tg х = а0 + ахх + а%х* + а^х* + а#* + aftjc* о (дс6).
Из того, что у=igx — нечетная функция легко показать, что а0=»
=а2=Д4=0. Поскольку tgxr^x при
*-►0 и ахх + а%хъ + аъхь -f о (jcb) ооахху х-^0, то ах = \.
Для нахождения остальных коэффициентов имеем соотношение
sin jc= (x+а3д^+аБ^5 + о(*5)) -cosjc.
+ -2- [jc + о (дг)1» + о (jc5) = *— + -|г + 0 (-к*) +
о о uU
+ — *»—— + о (х‘) + — Jt5 + о (*5) =
2 4 8
ИЛИ
= (дс + аздс» + а&х5 + 0(х5)) _-£- + -£L + 0(x«)^,
73
т. е.
г*
х—-—|——— + о (хь) =х + х3 (а3 М 4-
6 120 ' \ 3 2 /
Поделив это равенство на х3, получаем
— + — о (ха) = а3 — 4- х3 (аь— — Н——) 4- о (ха).
6 120 4 ; 3 2 \ Ь 2 24 ; V '
Переходя к пределу при х->0, получаем
1 1 1
= До , т. е. а3= —
6 3 2 3 3
Аналогично из соотношения
+ О (*») = ж2 (а6 |S- + + о (х*)
120
получим, что а5 = 2/15.
1 2
Итак, при х-*0 имеем tgx = x-\ х3Н—— Xе + о (х6).
3 15
При разложении рациональных дробей удобно пользоваться
методом деления многочлена на многочлен углом.
Пример 7. Найдем разложение функции
у= - - 2-— до порядка о(х7) при jc—►О.
1 3jc 4- х2
Решение. Имеем
1 -f Зх 4- х2
14- х—4х2 + 2х3
14-Зх-Ь х2
—2х—5х2 + 2х3
—2х—6ха—2х3
х2 4- 4х3
ха4 3x3-f х4
X3— X4
х3 + 3х4 + х6
1 —2х 4-х24- х3—4х4 4-11 Xs—29хв 4- 76х7 4-о(х 7)
—4х4—хб
11хЧ-4хв
—29хв—Их7
76х7 + о(х7).
Пример 8. Найдем разложение функций i/ = shx и i/ = chx
до порядка о(х7) при х->0.
76
Решение. Получаем, что
-х + — + — +— + о(х7) (х-*0).
31 51 71 '
Аналогично
ЗАДАЧИ
1. Доказать соотношения (х-*а):
а) если f(x)oog(x), то g(x)oof(x).
б) если /(x)c\og(x) и g(x) ooh{x), то f (х) ooh(x);
в) если f(x)oog(х), то f(x)=0{g(x))\
г) если f (х) = о (g (х)), то / (х) = О (g (к));
д) если f(x)oog(x), то о (/(*))= о (g(x));
е) если С — константа (C^tO), то С О (g(x)) —О (g (х)),
C-°(g (x))=o(g (х));
ж) О (О (g (х)) = 0(g (х)), О (о (g (х))) = о(0 (g (х))) =о (о (g (х))) =
= o(g (х));
з) h(x)-0(g(x)) = 0(h(x)-g(x)), h(x)-o (g (x)) = o(h(x)-g (x));
и) 0(g(x)) 0(g(x))=0(g2(x)), 0(g(x))o(g (x)) =0 (gi (x)).
« (g W) •0 (g (*)) = 0 (g* <*))'.
к) 0(g (x))+0 (g (x)) = 0{g (x)), 0(g (x))+o(g (x)) =0(g (x)),
о (g (*)) + о (g (*)) = о (g (x));
л) если /(x)cv>g(x) и A(x)<x>s(x), то f(x)h(x) с\э g(x)s(x);
м) если lim/(x)=A, fc^O, to f(x)rvk.
2. Показать, что для любых а>1 и р>0 при х-»-+оо х? =
=о(а1), 1пх = о(хр) и что lim (ctgx)tg*= 1.
3. Показать, что для любого р>0 при х-*-0 1п|х| =о(1/хР).
4. Показать, что х — sinx=0(x3) при х-+-0.
5. Найти главные части вида Сха при х->-+оо следующих
функций:
ач а0Ап+а|х"-1+.. . +fln-i*+an
Mm+Mm'1+-.+W+A
а А ^ 0.
б) х + У х + У х ;
в) (х— /х3— 1)° + (х +
г) х2 arc ctg х;
д) х* arcctg (—х);
+ /хг— 1)° (а>0);
ж) In (Xs + 4 + 4х');
е) (х*—4х+ 10) в * ;
з) (х* + 2) 1п(х + 2)—х*1пх;
к) arcsin—i£+J—
**+10*
77
6. Найти главные части вида Сха при х->-0 следующих функ¬
ций:
а) (1 + тх)п — (1 + пх)т, б) /1 — 2х— 4*а + х—\;
т,пе N
. _ г) у' 1 + ах-у 1 + Ьх— 1;
х-\-У х + У х ;
е) ах—Ьх, афЬ\
Д) In cos лх;
ж) 1 -f sin ax— cos ах; 3) cos х'cos ‘cos ^»
и) In (ха -f 4х); к) ctg лх.
7. Найти главные части вида С(1—х)а при х-*1 следующих
функций:
а) х3 + 5ха —Зх—-3; б) х + х2 -f ... -f хп— п\
в) (х*— х*—х* -|-1) tgjix; г) arccos*;
лх
А) х*—1; е) In sin
' 2
ж) 3-2Х— 2-3‘; ^
1 . , tg”T
лх
Intg —
ч ха — хь . , ч
к) - ■— (а Ф Ь).
arctgx — я/4
8. Найти главные части вида для следующих последо-
п
вательностей при п-+оо:
а) ап = У п* + ап-\-Ь—п\
б) а„= ln-2±l -sin—;
п -f 5 п
в) a„ = sin (я/ла -ьЛ), к-£0.
— 1 — -
г) а„ = ап—— (b п +с"), а>0, 6>О, с>0, а*фЬс\
д) a„ = ctg — 1;
4л —2
е) а„ = sin —— 1;
' п 2л + 1
ж) an=(Vn + 2 — >/n~) arc tg —;
vr-V
я я
з) ал="/ГУГ;
к) а,-In (1+3").
78
D. Проверить, что при х-+0:
а) xarctg — = 0(х) и х =0 (х arctg —р
X \ X f
б) XCOS ==0(x), НО ХфО^Х cos—j.
10. Проверить, что при х-^оо:
а) y/A;, + 4arctgx=0(x) и х = О (}fx2 4- 4 arc tgх);
б) ln(x*-f2x) = 0(*), но хфО (In(jc* 4* 2*)).
Вычислить:
U. lim . 12. lim——
x-*—1 x* — Зх 4- 2 jr-^2 х1 — Зх 4- 2
13. lim-iLt£nl. ,4. Пш
x1 —3x-j-2 ж-2 x® —4,
15. lim ■. **~1—. 16. lim -*-^2l~x
, ** 3* 2 ’ ‘ J-GT^T3 + 2
17. ito.V*+*-j№=i' 18 Птэу—х,-4Уш+Л
*-.2 x —V2x x-+o 2 —2 у 1 — *
19. lim (У x* + 5* + x). 20. lim (/x* + 5x + x).
I-+"foe oo
21. lim (y^x* + 2x — x). 22. Ит(Ух2 + 2х—x).
JC-*4o© X-+—00
23. lim x(yf x2 4* 1 4- x). 24. lim x (/x* 4- 1 4-*).
x—>4® x ►—-oo
25. lim ()/1 H-2jc4- x8 —Vx2—4x+ 1).
X-++OQ
26. lim (/Ц-2х + х» — /x>— 4x + 1).
X-* OO
27. lim (yrxa-\-x2 4* + 1 — y^x8—x% + x — 1).
X-*oo
28. limy'x” (yr(x + 4)2 — yf(x— l)a ).
I-+00
29.
■.I 2 — 2/1+*+*
« lim з’/Т+^-ДГм-!-.
x-*o 2 — 2 у 1 —x — x
79
лх
sin
sin лх 2
30. lim. 31. lim
Jt—О x X—♦ I X
ЛХ
sin
32. lim 2—. 33. lim JHSJ<LL
Х-ЮО X X-*0 . 2x
34. lim-^1^. 35. lim^^-.
x-,1 2x X-*oo 2x
36. lim x f——arctgxV 37. lim х(л—arcctgA).
X —♦ oo \ 2 / x-* —oo
38. lim^l^L. 39. lim ■ ^M^)-cos(x^)
x-*-i sin4nx x-+o arc sin5 x
ACk cos 2nx -f- cos nx J_ 1
1п(дгг — 2x -r 2) ’ 41. limx*(e* — e^').
42. lim (xigx 2—V 43. lim «т.*8"2*....
n \ 2 cos x / x-+o x4-sin3x
x~*
2
AA sin x cos x -H 1 14*sinx— cos 2x
44. lim —. 45. lim —1 .
x-*n sin 2x — cos 2x-|- 1 *-*o arctgsin2x
sin2 ax — sin- ftx arc sin 3* — sin2 x
46. lim 1—. 47. lim .
x^o arc tg2 x 4 x* x-*-0 tg2x f In (1 + Ix)
48 lim lnO + * ~ *2)+arc s‘n 2*— 3x3
X^o sin 3x 4- tg2 x 4- (ex — 1 )10
,. cos x -4- cos 2x 4-■ ■ • • + cos nx — n
49. lim - .
x -*-0 sinx2
_Л .. sin x 1- sin 2x 4- ... 4* sin nx
50. lim —~7=J= .
jc^o /1 2x - I
51. lim-^-^g2x.
x^o arc tg x
52 lim + ^ 1 + 3x — V * + 5*~ У1 ~ 6*
*-o b/\ + x — \r I + 2x
ro I* arctg2x
53. lim * .i=r.
x_,o V 1 4- x sin x — V cos x
54. lim-
1+*"*.+co.M... 55. lim -e--
*-+n V nx% —71 *->-2 X 4- 2
3
psin x _ gsln 2* y'l-3x-Kl-2*
56. lim 4 — . 57. lim—
*-+n /nx1 — я *-*0 1 — cos ЛХ
80
58. lim
x-*-0
/1 — 3jc — У 1 — 2*
я -j- x
59. lim-
(q* —a)8
*-•+ /** — 1 — ?2x — 2
In sin -
60. lim
62
In COS 71 JC
a) lim
X-+-+oo
Vx2+ 4 — Vi#+ 1 .
6) lim
61. lim-
x-^2 /^Т4-УТГ
Уха + 4 — V4x«+1
63. lim
64. lim
/<» + 2
X
65
. lim ж3 (V^ Jt2 + I/jc* + 1 —xV 2 ).
X-+4-00
66. lim + + 1 —л/2-).
X-*-—oo
67. lim
ex — e%
x->2 (jc—4)e*4-jcea
i/o Я* \
In I x2 -f- cos —— J
68. lim
X—► 1
70. lim-
Yx -l
In cos 4jc
x-*0 jra
72. lim-
x 4/1 —** — l
ln(2x2 — jc)
69. lim '"(** + «*> .
x-0 ln( 1 -f- Jte*)
71. lim --ln<2*’-.*>■■■
x-*0— lfl<jr* -H jc* — x)
x-*-i ln(x* -J- x* — x)
73. lim-
In sin* ax
74. lim
In(x2 — 4x4-4)
x^-o In sin* bx
— n*
x-^+oo ln(xl® -j- 5x7 4- 2)
a* — f
75. lim-
х-+Ъ у/ bx2 — b
(a> 0).
76. lim
x-*-0 X
(a>0, p>0).
77. lim
2» -16
X-+2 ln(jt2 — JC,—1)
21/
78. lim
a*2-**2 (a>0,
x-»-o lncos2x £>0).
79. lim /»+Чпа«-.1 + *«.
x-+0 *“
80. lim-
x-+o arc sin x
Г In In jc
2x — 2e
81. lim-
JC«-X*
yi-1
81
32. lim — — (a > 0).
x-+a x —a
«о 1- Л/\ —eK — 1 — cosx ол t. sinnxa /Q .
вЗ. lim-1 7=b= . 84. lim r (p =?£= 0).
x.+0-f psinx x-i sin2nxp
[sin X sin x 1 _1_
~ — * (a > 0, b > 0).
2 J
$6. limf Slna-M *-P (ctfi^kn, keZ).
x-*fl\ sin /5a /
ПХ
*7. lim (2——V e~ 88. lim (21 + sin x)ctg*.
x-mx V a / * ayMJ.
x->0
89. lim (1 + tg»x)lncos‘ . 90. lim[ln(e' + x— 1)]/* - '.
x-*>0
*91. lim [ln(x2 + exfl)]ctg *•
x-»-0
«2. limf^-i^--^——(a, >0).
*-►0 \ n !
93. lim' t/c-°-s-a-> ' >/cos^-. 94. lim (1 + x*ex) ‘-cosx.
*_►() ЯГС tg2 X *->-0
*95. lim*2 (cos —
v x у l + x»;
ЛХ 1
Я6. lim f 97. lim (*a -f sin2 nx)ln* .
x-.iV *-3* J x-*l
i
98. lim (cos2nx) ln(i*_2x+2) .
X-+1
з _ L.
99. lim (3y x — '2 Ух )lnV
X—► 1
100. lim [In(jt-bev)] arct«x .
x-+-0-(-
Ml. 102.
nx . . 1
103. lim**~. 104. lim (■ — ■;*- )
*_1 x-.ji \ cos 3,t /
тех
105. lim (2—e~x)clgx. 106. lim(4x— Ух+ 8) ‘2
x~*0
82
1
107. Iim(3* -f x) •inx . 108. lim [cos (sin *)] *rc sln*
*-►0
109. lim -У..е--1 , 110. lim Y e“ ~l
*-►0+ arc sin x x-+o— arc sin x
111. lim V!±cosx ■, 112. lim
COS X
X->nf X — n X-**l— X — Jl
113. lim /-рЛ - V
~ЛУх-1 з/-_1 j
114. lim^iin^Iiii^. 115. lim
jr* x->0 \ arc tg x f
116. lim ( l+arctg2N). 117, lim |thx|sh 2x.
X-»-foo У X/ x-*Q
118. lim—. 119. lim (th*)'h2*.
x-*-0 Xs x-^-foo
120. Iiin arccos* I2i. |im (tg —\ "ccwx
r_,_ V-\nx x^i-\ 4 )
Найти следующие пределы:
122. lim . 123. lim (a > 1).
n\
,24. lim .P+H)1" .
П—► oo 3n In П
125. lim f— + —— + ... 4- - V
n-^oo \ 4-7 7• 10 (Зл4- l)(3n + 4) )
126. lim (—! 1 - h...H V
ft—►«> \ 1*2*3 2-3*4 , я(п+ 1)(л42) I
127. lim(>^z-}-2 — 2>Ai + 1 + }fn ).
n—foo
128. lim /^3«+1 -KnM_3n-l__
n->oo 1п( 1 4 — ln(2 4" ft)
129. lim f3 ;= 1 ,-=\.
п^сс\1/п + 3-/п /л + 2-/л+1 j
130. limnarccos . 131. limn^a —1).
П-+ОО n3-f I n-tOD
132. Iimnln(l Mcos л An2 4-10).
п->оо \ Л /
133. lim (— arc tg плЛс*кя ^n‘+l (*>0).
п—юо \ Я J
134. Доказать сходимость и найти пределы следующих после¬
довательностей:
а) аЛ = sin (sin (sin ... sin лс))...) (n скобок);
б) an=x„+,—xn, где 0<х1<аг,<...<х„<... и x„ = tgx„;
\ On “f" A r\
в) an+i= i—, ax = 0;
r) an+i == arc tg an, a1=25;
Д) ап+1=у(2ап + -^-|, at = M > 0;
€) 3, 3 -1——, 3 H j—, 3 -( г , ....
3 3 + — 3 + j-
3+T
135. Найти lima„ и lim a„ последовательностей:
n_► OO П-+ОО
«) a„ = ((-l)" ) l)-2n; 6) a„ = nln(l + (~l)B-);
в) a„ = (n + 1): (n + 1 + n-(~ 1)");
r) a„ = (l + sln-^-)(1 — cos-y-j.
136. Найти lim/(;t) и lim/ (а:) следующих функций:
*) /W=-$7V; 6> /(*) = «"*V + 4*+l);
в) / (x) = (sin n*)cos —.
x
137. Найти lim/(x) и lim/(jc) функции /(*)= arctgsi n-^-.
x-*2 ' x_^2 X—^ X—2
138. Проверить следующие формулы (*-*0):
а) (1+*)* = 1+л:а-у + -5-х< + о(д4);
<5) In (1 + л:3 + -у-j = лг3 —+ о (л12);
в) ch(sinx) = 1 +y~Y + 0^’
r) cos (sh x) = 1 — -7—+ 0 (*♦);
2 о
1 1
л) (*,)--.> .[i_-£ + -2_*+<)M]i
е) sin(tgx) = *+-£. 1_*» + о(**);
о 40
jK)tg(th*)=* + о (**).
15
139. При найти главные части вида Сх? для следующих
функций:
а) (cos*)2s,nx—вгх%\
1
б) е—(1 +х) х ;
L+J х
в) (1 +jc) * 2 12 —е\
г) tg (sin л:)—sh*;
д) (cos х4— 1) arctg ха • 2*V,nx;
е) sin*3— In ^1 -f x8 H-
ж) [sh (sh x)—tg *] arcsin x2;
з) ^со&(хУЬ ) — 1 — In(1 —x*)\
з Г ^jr[
и) V cos(3*£ 2)—cos(|/3 jc);
к) j^sh ^sh*— tgx-f J *tgx*.
jj) eltg(slfUf)-sln(tgx)J _ \J\ +sin7 x.
Вычислить пределы, используя формулу Тейлора:
140. lim ,41. Нт»1пЫпх)-Шдс
x~*Q X5 х-*0 Xе
142. lim VZZr-Sr' ,43. lim Incos^ + frl + a»*-!
x-*o X* x®
-2x4- 4" *4 —2**— x«
144. lim ™-2-x-~-e . 145. lim -«•**=• —.
x-#0 tgX4 x-*0 tgX4
—+6 — 1/ i±-L
146. lim -(1±-ж,) * 147. Hm e 3 ~У- ■
x-»0 In COS X X-+0 x9
3v
148. lim.!ex.-x'ri + * . ,49. Km 18/3ln^ "“W.
x->o x6 x-й) xl#
85
150. lim .
x->0 x*
151. .
x ->0 Xе
152. lim .co?<?.q.*)-/.1—«*+** .
X-0 x*
153. lim. Wslnx)—shx
x~*° (У'Г Q os x — 1)a arctg x
i• ex* cosx — ch x — e~x%ch x 4- cos x
154. lim
x-*-0 Xе
дгЗ
x* У 1 x — sin3 x — — tg x
155. lim• 2
*-►0 In(1 xa)(y'l-|- 2xa — 1)
156. lim V‘+3
x->0 arcsin x3
157. lim ^-^x3/l+3x+6i!_
x-*-o arcsin 2x-tg x-sh 3x
(1
158. lim —
x-*-0
X»
" 6
I59. lim s!n.(”-6
x-o xa • In (1 -f- X3)
sm x -г-
In l-e 6 — 1
160. lim
x-rO In cos x 4- yf 1 + x* — 1
—X»
. e 2 —t/cos2x «chx3
161. lim
*-►0 lna(cos2x)
162. lim
ex*-cos x — ch x
x-+0 xb + x3 sin8 x
,63. lim. -COil * ~ift-fLt-fl
x-^o x* -}- x* sin° x
,64. ,im
X-+0 X—SUl^+X3)
165. lim +
t-*Q ln(x 4-cosx)—x
86
.3/1 +ж>_ I)
IM. lim -r «“”»* + «-
*-o (/ 1 + 3* — У 1 + 2x)tg*(sin x)
167. lim
xY 1— x* — cosxln(l + *)— ~
168. lim
x-+o tg x — sin x
sin* x— x% e~x — x*
X-M) 1 — V1 + ** cos x
169. lim
sin(slnx)— x —■
3
*-►<) sh(shx)—tgx
Xе 3,
170. lim
x-+0
ln( 1—X+Xa—X*-f X4)—ln( 1 — Х4-Х*)4-Х* cos x— — */ 1+3*
171. lim ^2x*ln (l— -±-J + yr8x* + 12** + 14*’ + 15л^+ Hue1 j.
—2jr*— — *«
172. lim cos^-~< 1—.
tg(3x*)— 3 thx*
из. ilmjg=E-”a»l.
*-#o (sin2x — 2tgx)*
174. Найти наклонную асимптоту для графика функции:
*)Г У — Vх% + 2* + 3 —х;
1
б) у = (2х + 3)ех ;
в) ^ = уг*4-\-х* —**;
г) j> = x*sin—;
X
д) у=хcos—;
X
е) 4/ = In (1 +с**);
v х* 4- sin х
ж) «/- 1
*+/**-1
ОТВЕТЫ
7. а)-10(1-х); б) 2lttlL(i_*);B)-8n(l—дс)*;г)/2(1-дс)
д)— (1 — х); е) (1 — х)а; ж) 61п-|-(1 — х); з) —>/7 (1—х)
О Z Я
_1_
2 -
и) (1-х)-'; к) 2(а-6) » (1-х)-/5. 8. а) -2_; б) ^
я 4ла п*
в> Чгnk: г) т,п тг; д> ^ е) -t: ж) -к' 3)
и) !; к) 1п3(-^-) '• П. —1. 12. 5. 13. 1. 14. 0. 15. оо. 16. у
17.—. 18.0. 19. +оо. 20. —. 21. 1. 22. +оо. 23.+оо
27 2
24. -. 25. 3. 26. —3. 27. —. 28. —. 29. а) —; б) —. У ка
2 3 3 6 6
зание: x = <ia— 1. 30. я. 31. 1. 32. 0. 33.—. 34. —. 35. 0. 36. 1
2 8
37. —1. 38. -. 39. -2. 40. —. 41. 1. 42.—1. 43. -
4 2 4
44. 45. 3. 46. аа—Р». 47,— . 48. 1. 49. я("+1)(2п+1)
2 7 12
50. n(n+.LL. 51. -(—52. -12-. 53. - .54. — —. 55. я. 56. —
2 2 3 3 2 2
57. —. 58. 0. 59. 0. 60. 0. 61,—2/f"na. 62. a) 1 — */Т
Я2
6)^4—1 63. —2. 64. 0. 65.-ij-. 68. — оо. 67. оо. 68. 4—я. 69. 1
70.—12. 71.1. 72. —. 73.1.74.—. 75. ЗаМпа ?6 ]п_^ 77.1п 2
5 Ь 2 р 3
78. -In—. 79. —. 80.—. 81. 5(а— Р). 82. а° In—. 83. 1
2 Ь 7 2е е
|_
84. —. 85. Vab . 86. с®'1*»». 87. е я . 88. 2s. 89. е~
2Р
3 ['И—М п, в* а* —9
90. е \ е>. 91. е. 92./а.,сеа ... а„ . 93. р.. а . 94. е3. 95.
2т Ю
2_
96. Зя. 97. е8. 98. е~2я*. 99. 1. 100. 0. 101. 1. 102. е2я.
—2- _L
103. е я . 104. еи. 105. е. 106. е “ V 6 >. 107. Зе. 108. е 2 .
169. 1. 110.—1. 111. 112.--^-. 113. -. 114. —.
2 2 2 2
115. е 2. 116. #. 117. 1. 118. —1. 119. erK 120. /2 . 121. е 4 .
122. 1. 123. 0. 124. 0. 125. —. 12в. —. 127. 0. 128. -1 129. 0.
12 4 •
— А
130. -/Т. 131. 1па. 132. —1. 133. e~^x 134. a) 0; б) я; в) —;
3
г) 0; д) 3/М ; е) Тр3 . 135. а) 0, + <х>; б) -1; 1; в) -Ь + оо;
г) 0; 4. 136. а) 1;—1; б)+°о;0; в) 0; 0. 137- j.
139. а) — х7-, б) в) — л:3; г) — **; д)—х1а; е)
40 2 24 7 30 7 7
— х12; ж) —х7; з) —л:®; и) —х*; к) —х1
8 30 7 30 7 20 7 8
л) -х1. 140. —. 141. —. 142. Ь.. 143. 1L
6 45 30 24 24
144. -. 145. 0. 146. —10. 147. —. 148. —. 149. — 1
81 45 180
150. —. 151. —. 152. 153. —. 154. —. 155. —
4 360 6 3 45 16
156. —. 157. —. 158. -е. 159.-^-. 160. —. 161. 1
3 2 2 180 25 12
162. 0. 163. 1. 164. 165. — —. 166. —. 167. -
5 4 12 3
168. -. 169. —3. 170.—. 171.0. 172. —. 173. —3
2 24 225
174. а) у = \ при х —оо; у = —2х— 1 при *->—оо; б) у = 2х+5;
X 1
В) у = — Г) у=х; д) у = х; е) у = 2х при х-*~+оо; у = 0 при
Z о
х-+—оо; ж) У = ~ при оо.
Глава Ш
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Пусть f : (a, b)-+R определена на интервале (a, b)^R и x0g
€=(a,f>).
Определение. Число lim - — ~ ^ ^ ■ называется
Дх-*0 А*
производной функции f в точке xQ и обозначается f'(x0). Операция
89
нахождения производной называется дифференцированием. Функ¬
ция, имеющая производную в данной точке, называется диффе¬
ренцируемой в этой точке. Необходимым условием дифференци¬
руемости в точке является непрерывность функции в данной
точке.
Бели функция f дифференцируема в каждой точке интервала
(а, Ь), то на этом интервале определяется функция значение
которой в точке хе(а, Ь) равно производной f'(x) функции f в
этой точке.
Формулы дифференцирования основных элементарных функ*
ций:
1. (1)' =0.
2. (х°)' =ах°~].
3. (ахУ =ах \па
(в частности, (ел)'=ех).
8. (ctg*)' =
1
sin2 х
9. (arcsin х)'
/1 — JC*
4. (lOge *)' :
x In a
частности, (1пл:)'=—J.
5. (sin x)’ = cos x.
6. (cosx)' = —sin*.
7. (tg*)'
10. (arccosx)’ = — —_L_,
11. (arctg x)' =
l
COS3*
12. (arcctg x)' = —
13. (shx)' =chx.
14. (chr)'=sh;t.
15. (th .*•)'=- 1
16. (cth x)’ =
I + X2
cha x
— 1
shaJt
Заметим, что ъсе эти формулы справедливы для точек, являю¬
щихся внутренними точками промежутка, на котором зависимость
f от х задана соответствующей функцией, если в этой точке ана¬
литическое выражение f (х) имеет смысл.
Основные правила дифференцирования
Если fug функции, дифференцируемые в точке х0, а и р по¬
стоянные, то в этой точке
1) (а/+Р*)'=а/' + Р
2) <Jgy=f'g + g'r.
3) (l~) =Ll^gl (g(;e«>)^0);
00
4) если h(x) дифференцируема в точке х0, a f{h) дифференци¬
руем;» и точке ho = h(xo), то в точке хо
индекс h в выражении fh показывает, что производная берется по
npiументу h, т. е.
; / (/10 + Aft) — I (ftp)
' Д/1
Для дифференцирования степенно-показательной функции
|// (х) | ,;(х)(и(лг) >0), где ы(х) .и и(х) дифференцируемы в точке
а„. пользуются тождеством [м(д:)]1,(зс>=в1Хаг>|пм(х>.
Степенная функция у--=ха при 0<а<1 определена, но не диф¬
ференцируема при * — 0; и именно при х^-0 аналитическое выра¬
жение ее производной теряет смысл. Точно так же аналитическое
иыражен-ие производной функций г/ == arcsin л' и i/= arccos х теряет
смысл, если |*|>1, т. е. именно при тех значениях аргумента,
мри которых соответствующие функции либо не определены, либо
не дифференцируемы. Все остальные основные элементарные
функции дифференцируемы во всех точках множества определе¬
ния, и аналитические выражения их производных имеют смысл во
нсех точках соответствующего множества. Поэтому любая эле¬
ментарная функция f дифференцируема во всякой точке, в кото¬
рой аналитическое выражение ее производной имеет смысл. Если
же аналитическое выражение производной (т. е. функция /') не
определено для некоторого значения лг0 из множества определения
/, то это говорит о том, что какая-то из основных элементарных
функций, композицией которых является функция /, не дифферен¬
цируема при соответствующем значении аргумента; и, следова¬
тельно, вопрос о существовании и -величине производной / в этой
точке требует дополнительного исследования. _
Пример. Пусть f(x)=x\f(\ — *)2sinjt2, х <= (—- ]/3, |/3). Фор¬
мально применяя правила дифференцирования, получаем
г = у (1 - у)* siп~7+ г • 2*со***; (1 - *)а-2 (1 - «> (,)
Г 4 ' 2/(1 —л)а*п*а
Функция f' не определена только при л: = 0 и *=1. Поэтому для
всех х из множества {(—УЗ, У3)\{0}\{1}} производная сущест¬
вует и ее значение вычисляется по формуле (1). Вопрос о сущест¬
вовании и величине производной данной функции при * = 0 и при
х=\ решаем непосредственно исходя из определения производной
в точке.
Рассмотрим отношение ^ при л0 —0 и х0= 1. Если
х0 = 0, то —"-~ = У (1 — /i)a'sin/t2, следовательно,
h
lim = f (0).
h^O h
91
Если дг0 = 1, то + Л*—= (1 + А) Vsin (1 + Л)я • ^h%. Эта функ-
h h
ция не имеет предела при h-+0.
Итак, функция f (х)=хУ (\—*)asinjta не дифференцируема
при х= 1, а при jc = 0 имеет производную, равную нулю.
Пример 2. Найдем производную функции
4х* — 2х-\~ 10
У
V *
Решение. Имеем
y = W2— 2х''2 + \0х-]'2,
У' = 4 ~ х''2—2 ~ х~'/г + 10• (— 1 /2) лг-з/2 =
= -■7^.1"-, д: >0.
Пример 3. Найдем производную функции у=х(cosx —
— 4sin*).
Решение. Имеем
у' = (cos х— 4 sin х) + х (— sin х— 4 cos х) =
= (1 — 4x)cqsjc—(4-f л:) sin лгэ x^R.
arcsin х
Пример 4. Найдем производную функции у —
1 —• л-
Решение, Получаем
7^-—i (1 — хг) — (— 2х) arcsin х г-
, у \ — х* УI — х9 4" 2х arcsin х , , . ,
у—- = - . \х\ < 1.
* (1-ха)а (1-х2)* 1
Пример 5. Найдем производную функции у = Уtg32x + 2f
w<f.
Решение. Запишем у(х) в виде цепочки суперпозиций ос¬
новных элементарных функций: y=h^2; h=tz+ 2; f = tgz; z = 2х,
Следовательно,
У',=У1К = Унк\'*'ж=УкК<-г',=
=—Л—,/2-3<* ! 2 — — • (tg* 2х + 2)-,/2 • 3 tg* 2х 2,
2 COS* z 2 V-6 -г / Б cos%2x t
т. е.
3 tg* 2х
Уя /tg»2x + 2 • cos*2x ’
02
Пример 6. Найдем производную функции
у-. In3 arctg2 ^ —~
Решение. Получаем
у' = 3 In2 arctg2 У Х—— ■ 2 arctg ^X
arc‘g’ у
9 In2 arctg2
X
1 +— ' « / 1
jc3 arctg у —
х°
Пример 7. Найдем производную функции у = хх, х>0.
Решение. Имеем y = exlnxt
у' =ех]п х (х \пх)' = ехХп х ^In jc -f *• — j =
= гх1пх(1пх + 1) =jt*(Inx+ 1).
Числа
Ijm /(*.+ Ах) —J (х0) _ /+ К) и ,.т /<х0 + Дх) -/(*.) = :
Лх-VO-f- Ах Дх-+0— Ах
назьшаются соответственно правой и левой производной функции
I в точке хо. Условие /'+ (jc0) = (х0) эквивалентно дифференци¬
руемости функции f в точке х0у при этом f'(x0) =f'+(x0) =f'-(x0).
Пример 8. Найдем /'+(*), f'-(x) для функции
f(x)=VT=7^.
Решение. Имеем
2 / 1 — в-** К 1—е_х*
Функция {' определена для всех хфО. Если х-*-0, то
/PF'nVa
следовательно,
,• /ЛЧ /(*) — / (0) Vi-*-** ,• ^Га I
/+ (0) = lim = lim — = lim = 1
х—►0-f- X jt—^O-f" X x—►0~}~ x
Итак, U W = /- (*) = 'у^—гтг . ^ ^ (°) ■= 1 '• f- (0> — 1.
Так как то в точке х = 0 рассматриваемая непре¬
рывная функция не дифференцируема.
Пример 9. Найдем f\ (л), /_ (х) для функции /(а*)--хУ \п (1 -\-х2).
Решение. Имеем
/' (*) = КМ1 +хг) + -
/|п(1+х*) (Ц-х*) '
Функция f'(x) определена для всех хФО. Для х-^0 находим
t' /лч 1- г дс y^ln (1 + jc2) ■» 'Г—rj—;—о\ л
/+ (0) = lim = lim —-—------ = lim \ In 0 •+ х2) = 0
«-►04- х х x->ot-
и
/1(0) =0.
Так как f+ (0) =/1 (0) =0, то /'(0)=0.
Итак, функция /(*) дифференцируема на всей числовой пря¬
мой и
У1п(1 -+*2) -f-—— W= , а:^0;
U(x)=f- (*)=/'(*) = /МП-**)
I 0, x 0.
Пример 10. Найдем /'+(*), /'-(*) для функции
1х sin—, хф 0;
*
0, х = 0.
Решение. Заметим, что функция f непрерывна на всей чис¬
ловой оси (почему?). Если д^0, то
/+ М =/- (х) =/' (*) = sin дс ~ COS — =
X X
1 1 1
= sin COS .
хх х
Найти производную f'(0), пользуясь формулами и правилами
дифференцирования, нельзя, так как точка 0 не лежит внутри ин¬
тервала, на котором зависимость / от х задана элементарной
функцией. Так как --- ^ ^ -=sin — и функция sin-— не име-
XX X
ет предела как при х->0 + , так и при —, то функция f не
имеет в точке д:=0 ни левой, ни правой производной.
На практике удобно пользоваться следующим свойством: если
функция f непрерывна в точке а, производная /' существует в не¬
которой правой (левой) полуокрестности а и существует Iim /'(л)
x-»af
94
(lim /'(*)), то этот предел равен /'+(а) (f'_(a)). Обратим вни-
* KJ—
мание, что условие непрерывности функции / в этом утверждения
существенно. В самом деле,
пусть
/ W -
Тогда
— п/2 = lim /(*)</ (0) < lim / (х) = л/2,
х->0— JC-+0+
т. е. функция f в точке * = 0 .не является непрерывной ни справа,
ни слева, откуда видно, что функция / не имеет в точке х = 0 нл
левой, ни правой производной. В то же время для хфО
г W = “Tгт-
1 + X
и существуют оба предела
lim /'(*) = — 1, lim f'(x) = — 1.
х-*0— х-»-0+
Пример 11. Найдем производную функции
= ( arctgx, х>0,
I ха 4- х, х<0.
Решение. Заметим, что функция f(x) непрерывна на всей
числовой прямой. Для х>0 имеем /'(*)=—‘—. Для х<&
1 + X9
f'(x)=2x+l, следовательно,
f+ (0) = 1 im = 1, /1 (0) = 1 im (2х + 1) = 1.
*->0+ 1 + X2 х-*0—
Итак, функция f(x) дифференцируема на всей числовой прямой и
1
1, * = 0;
2х + I, х < 0.
Пример 12. Найдем производную функции
( (-*—4) arctg—, хф 4;
Ж= *~4
( 0, х = 4.
95
Реше-ние. Заметим, что функция f(x) непрерывна на всей
числовой прямой. Если хф4, то
р (х) = arctg
х — 4
■ +
х — 4
1 + (х - 4)а ’
откуда получаем
U (4) = lim Г
х-*4+ 2
fl(4)=Iim f'(x)=\— -5-.
дг-П— ^
Итак,
/' (*) = /+ М = f- (*) = arctg ■
так как
1 + (*-4)*
/1(4)= — у, /V(4) = . то в точке *=4
функция / (х) не дифференцируема.
Пример 13. Найдем производную функции
fW =
х9 sin—, хФ О,
О, х = 0.
Решение. Имеем /' (дг) = 2л:sin — —cos—, если хфО.
X X
Значение /'(0) вычислим по определению:
р (0) = lim = lim дг sin — =0.
x-*Q
Итак, функция f дифференцируема на всей числовой прямой, и
m =
2jc sin — cos — , хф0\
X X
0, JC = 0.
Заметим, что пределы lim /' (х) и lim f'(х) не существуют.
*-*•0+ х-»-0—
Пример 14. Пусть
Ну\ _ \ 8(х), х^а;
1 Л(х), х < а.
Какому условию должны удовлетворять непрерывные функции g
и Л, чтобы функция / была дифференцируемой на всей числовой
прямой?
96
Решение. Так как f(x)=g(x) для х>а и f(x)—h(x) для
*<а, то условие дифференцируемости g для х > а и h для х<а
необходимо и достаточно для дифференцируемости f на множестве
[х < a) U {х > а). Для дифференцируемости f в точке а прежде всего
необходимо условие непрерывности h (а) = 1 im f (jc) = / (а), т. е.
то fja + А*)—USL =.!*.(а rh А*)—Таким образом, для дифферен-
Лх Лх
цируемости f в точке а необходимо и достаточно, чтобы g(a)=h(a)
и £+ (я) = (о), поскольку
Найдем такие значения а и bt чтобы f была дифференцируе¬
мой на всей числовой прямой.
Решение. Заметим, что так как f должна быть непрерывна в
точке 0, то lim/ (лг) = lim /(*)= lim f(x) = \t т. е.
Далее, /+ (0) = (х* + ах + Ь)' |х=я0 = а и (0) = (е*)' |Хат0 = 1, следова¬
тельно, /'(О) существует, если а= 1 и Ь=1. При этих значениях
а и Ъ функция f дифференцируема на всей прямой.
Перейдем теперь ко второй производной и производной л-го по¬
рядка.
Производная функции /'(*) называется второй производной
функции f и обозначается f". Далее определение идет по индук¬
ции: производная п-го порядка (п-я производная) — {п — есть
производная от производной (л— 1)-го порядка: /<'»)= (/(Л—1))
Пример 16. Покажем, что л-я производная функции t/*=
Согласно принципу математической индукции формула доказана.
lim h(x)=g(a).
Если Ах > 0, то _Н1±А*>-Ж = 81* + &-Л*>-;
Лх Лх
; если Дх<0,
/;<«)= lim g(a + Ax)-g(a)
ДЖ-+0+ Ах
и fL (о) = <im +
Дх-^О— Лх
Пример 15. Пусть
lim ax-f 6) =6 — е°= 1? откуда 6= 1.
**sinx есть
Решение. Имеем = cos л* = sin [х -f — V Если у{п~~и (х) =
\ 2 /
(*) = (у'"-') (*))' = cos (х + -у (л — 1) j = sin ^ + -у я j.
97
Справедливы следующие формулы:
(ах){п) = ах 1пп а (а > 0); (<ех)<п) = е*\
(sinx)<n> = sin + ~nV>
(cosx)(n) — cos ;
(xm)(n> = m(m — 1) (m — 2) ... (m—n -f 1) xn
(inx)W== (-jr .(у-.»).'.,
xn
Для нахождения л-й производной функции f в некоторых слу¬
чаях полезно функцию предварительно преобразовать, например,
рациональную функцию разложить в сумму простейших дробей,
понизить степень тригонометрической функции с помощью крат¬
ных углов, перейти к комплексным переменным и т. д. Так, на¬
пример, при нахождении л-й производной от функций
1 1 I х
у— , v = sin4x, у = In , у - sin 2х cos2 Зх,
* — 1 * ' * Зх 4- 1
у=ех cos х
представим их соответственно в виде
__ 1 _ 1 / i 1
У ” 2 U-l Х+] )'
= — (cos4x—4 cos 2х + 3);
8
у = In — In 11 -h лг| — In 13x-f-11; y— sin 2*cos* 3x =
у 3x + j i i i
= —■ (sin 8*—sin Ax) sin2x; y=ex cos x = Re^(1+i).
При нахождении производных высших порядков от произведе¬
ния двух функций полезно пользоваться формулой Лейбница:
если каждая из функций u = f(x) и v = g(x) имеет в точке хо
производную л-го порядка, то их произведение u-v также имеет
л-ю производную в точке х0, причем
у = sin4 л* =
(и ■ I>)<"> = £ CnUm с/'
k^O
здесь
ui0) = u(x), vlQ) = v(x)t Сп = - п!
ft! (л — Л)!
98
Пример 17. Найдем у{10\ если у(х) = (х34-4х24-2)е2зс.
Решение. Обозначим и(х) =x3-f4х24-2, v(x)=e2x, тогда, при¬
меняя формулу Лейбница, имеем
[(*3 + 4х2 4- 2) ё*х]№ = С?0• (*3 4- 4jc* -+- 2)(С) ,(еа')(,0) +
4- C!o (jc* -f 4х% 4- 2)(1) • (еа')(9) + С\о'(х3 + 4х2 4- 2р • (е»*)8 4-
4 С? о • (xe 4- 4дс2 4- 2)<3> • («**)(7> = 210 • егх • (*8 4- 4** + 2) +
4- 2е • 10 • (З*1 + 8*) «** + 2в-45-(6х + 8) е%х 4- 27- 120-6-в1*.
Здесь мы воспользовались тем, что все производные порядка бо¬
лее трех от функции у=хъ+4х2+2 равны нулю.
Поясним теперь, как находятся производные функций, задан¬
ных параметрически.
Пусть функция у(х) задана параметрически: x=x(t)t y = y(t),
t&T. Если в некотором промежутке (а, Р)с:7 функции x(t) и
y{t) дифференцируемы и *'(/)=/=0, то в промежутке (а, 0) функ-
у\
ция у(х) однозначно определена, дифференцируема и уя = —7-.
Производная ух* связана с аргументом х так же, как и исходная
функция у через параметр t:yx'=<р(0» * = *(0- Поэтому при вы¬
полнении соответствующих условий вторая производная у по х
/ . . (Ух)] y”pxt — *py't
равна ухШ = (ух)я = —— = ; и т. д.
*t (*<)■
Пример 18. Найдем уж% ух% и у” для функции y(x)t заданной
параметрически:
x = a(t — sin /), у=а( 1 — cos /)•
Решение. Так как jc/ = a(l — cost) неотрицательна для /Ф
ф2nkt k^Z, то в соответствующих точках
Рассмотрим теперь дифференцирование функции, заданной не¬
явно, т. е. соотношением F(xt у(х))= 0. Предположим, что такая
функция определена и дифференцируема на некотором интервале
(a, Р). Тогда при формальном дифференцировании соотношения
y'=iL = _
2 sin» —
2
2a sin* —
2
cos —
2
cos —
2
4a* sin* — • sin8 —
2 2
4a* sin7 —
2
99
F(x, y{x)) =0 по переменной x получим линейное относительно
yx' уравнение, из которого находим выражение этой производной
(условие существования и дифференцирования заданной таким
образом функции у{х) рассматривается в теории функций многих
переменных).
Пример 19. Пусть функция у(х) определяется из уравнения
х*+у3 — у6 — х = 0.
Найдем r/x'U). если у( 1) = 1.
Решение. Заметим, что значения х=1 и у= 1 удовлетворяют
данному уравнению. Дифференцируя соотношение
Xs 4-у*(х) +у*(х) —х=0
по переменной х, получаем
Зха4-3 у2ух' — 5 у4ух' — 1=0.
При х= 1 и у= 1 имеем
3 + 3</х'(1)-5^(1) -1=0,
откуда ух'( 1) = 1.
При соответствующих условиях функция у(х) будет иметь и
производные высших порядков, которые определяются уравне¬
ниями (F (х, у (*)));,=о, (F (х, у (*)));'; = о и т. д.
Пример 20. Пусть функция у(х) определяется из уравнения
1п(х* + у%) =х—у и х0 = у0 = —' . Найдем у' (хи) и у" (х0).
v 2
Решение. Дифференцируя соотношение 1п(х2+у2(х)) =х —
— у(х), имеем
2* + 2у Сх) у'х(х)
1 +У .(*) = о.
ИЛИ
2х+2</ (х)у' (х) - (1 - у' (*)) (*2+</2 (*) Н 0, (2)
х* 4- У* (х) 2х
откуда следует, что у (х) , следовательно,
X* + 0» (х) -f 2у (х)
(1 \ j л/" 2
—7=г]= it. Дифференцируя по х равенство у'=
У 2 j 1 -h/2
х1 4-1/» _ 2х „ 0
— —L , получим у . Заметим, что в соотношение, опреде-
4- Vх 4- 2у
ляющее у", входит (/', которое уже найдено. Технически проще
вычислить у'\ дифференцируя соотношение (2). В нашем случае
имеем
2 + 2 (у' (х))* + 2у (х) у' f t/' (х* + v2 (jc)) -
—(1 —у’ (*)) (2* + 2у (ж) у' (ж)) = 0.
100
Откуда
и
* 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
И ИНВАРИАНТНОСТЬ ЕГО ФОРМЫ
Пусть / определена в некоторой окрестности точки хо. Если
приращение функции / имеет главную часть, линейную относи¬
тельно приращения аргумента, т. е. если справедливо представле¬
ние Af=f(x0+Ах) — f(x0) =ЛДх+ о(Ах), Адс-^0, где АфО, то эта
главная часть ААх называется дифференциалом df функции f в
точке хо и говорят, что / имеет в точке х0 дифференциал. В случае
Л = 0 дифференциал функции по определению считается равным
нулю.
Для функции одного переменного существование производной
« точке хо и существование дифференциала в точке х0 эквива¬
лентны. Поэтому термин «дифференцируемая в точке Хо функция»
означает одновременно существование и производной, и диффе¬
ренциала у функции / в точке Хо. Если функция дифференцируе¬
ма в точке *о, то ее дифференциал в этой точке равен fx'(xо)Ах.
В частности, для функции у = х имеем dy = Axt т. е. дифференциал
независимого переменного х совпадает с приращением Ах. Поэто¬
му дифференциал функции f записывается в форме df = fxdxt и
производная fx может быть записана как отношение дифферен-
Основные правила вычисления дифференциалов функций те
же, что и для вычисления производной.
Если функции fug дифференцируемы в точке х0, то в этой
точке имеем
1. d (а/ -f pg) = adf -f $dg (а и р—постоянные);
Главным свойством дифференциала является инвариантность
его формы относительно композиции функций, а именно если
=у(х) и x=x(t)t то dy = y/dt = yx/-dx. Необходимо только иметь
в виду, что если х—независимая переменная, то dx есть прираще¬
r'l df
циалов: /ж = ——
2. <Ufg)=gdf + fdg.
101
ние Лх, а если * = *(/), то dx есть главная часть приращения Ах,
линейная относительно At.
Свойством инвариантности дифференциала широко пользуются
при преобразовании выражений, содержащих производные.
Пример 1. Пусть дано выражение (1—х2)ух' — ху(у = у{х)).
Положим x = s\nt, тогда, переходя в этом выражении к новой не¬
зависимой переменной t и считая, что y = y{t)> имеем
У1 = , dx = cost dt, i/' = .
Уя dx ’ 9 dt
Следовательно,
(1 — x*) dy — st/ds _
(1— — xy = -
( — sin / • и • cos /df
= cost • yt—ysint.
dx ,
(1 — sin* t) yt • dt — sin / • у • cos tdt
cos t • dt
В данном случае, вместо того чтобы использовать понятие диффе¬
ренциала, можно было пользоваться только правилами диффе¬
ренцирования сложной функции: у/ = ух'*xt', откуда у’х= но
xt
при более сложной замене переменной и функции использование
дифференциалов дает более простой путь при вычислениях.
Пример 2. В выражении (1 +х2)у''—у> где у=у(х), перей¬
дем к функции u(t), если у = —-—, x — tgt.
cos t
Имеем
du - . <i(‘ix) . dt
УЖ~~Т~’ У*‘ = (У*)*=——. dx=—— •
dx dx cos* /
, cos / • du и sin / • dt , cos du + и sin t • dt w
dy = — ; у = ! x
cos* t COS* t • dt
X cos* t = cos / • u\ + «sin/; d (y'x) = —sin t • dt • u\ +
-b cos t • d (u't) -f du sin t + и cos t dt = —sin t • и\dt -f
-t- cos t • + sin tu't- dt + ucost * dt\
d (Ух) (— sin t - ufit -f cos t • u\tdt -f- sin / • ujd/ и cos tdt) cos* t
dx d t
= cos*t (uit -f u).
Подставляя выражения для у и у" в исходное выражение, полу¬
чаем
, л i\ / ft ч о, и и" cos* t — usin2/
(1 -Ь tg21) (ы,2 + u)cos4 —
cos t cos t
102
Пример 3. В выражении 2(/"+ (х+у) (1 — у')*9 у=у(х) пе¬
рейдем к функции v(u)y если х = и+ vt y = v — а.
Решение. Имеем dx=du + dv — du(\ + vu');
du - d (v> + l) — d (t>') (»' — 1)
(V +1)* ’
<* (yx) 2 dv’
2dv'
dx {vf + l)a da (1 + v')
(1 + u')3 ’
Подставляя выражения для xt у, y\ у" в исходное выражение, по¬
лучаем
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
1. Касательные и нормали к кривым
Пусть L — непрерывная кривая и точка М0 лежит на L. Пусть
1м—полупрямая, выходящая из М0 и проходящая через несовпа¬
дающую с Мо точку Л4, лежащую на L. Рассмотрим множество по¬
лупрямых 1м, когда точки М лежат на по одну сторону от М0.
Если существует полупрямая /о, выходящая -из точки М0 такая,
что угол между /0 и 1М стремится к нулю, когда М-+М0, то полу¬
прямая /о называется односторонней полу касательной к L в точке
Mq. Если в точке М0 существуют односторонние полукасательные
к L как с одной, так и с другой стороны и угол между ними ра¬
вен п (т. е. эти две полупрямые сливаются в прямую), то эта пря¬
мая называется касательной к кривой L в точке М&
Если кривая L на плоскости является графиком непрерывной
функции у = у(х), то дифференцируемость у в точке х0 эквива¬
лентна существованию невертикальной касательной в точке
Мо(хо, у(хо)) кривой и уравнение у—уо=у/(хо)(х—х0) является
уравнением этой касательной.
Если^ункция у непрерывна в точке х0 и =
»+оо (или —оо), то в точке Мо(*о, у(хо)) соответствующая кри¬
вая имеет вертикальную касательную, уравнение которой есть
=хо. Локальное поведение кривой в окрестности такой точки по¬
казано на рис. 29, а и б.
Если в точке хо непрерывная функция у не дифференцируема,
однако существуют у'+(х0) и у'-(хг0), то соответствующая кривая
имеет в точке М0(х0, у(хо)) односторонние полукасательные: ле-
Х-+Хщ X Xq
103
вую —полупрямую у— Уо = у/-(х0)(х — Хо), х^.Хо и правую —по¬
лупрямую у — уо=у'+(х0)(х — х0), х^х0. Тогда точка х0 назы¬
вается точкой излома или угловой точкой кривой (см. рис. 29 в,
г> д).
Если функция у непрерывна в точке х0 и lim У — = + оо,
lim У(*>-У(*.) = _р., ( Iim
Ж ■ > Х|— X Xq \х—X Xq X-+Xq— X Xq
= + oojt то соответствующая кривая в точке M0(xQt у(х0)) имеет
левую и правую полукасательные, каждая из которых является
вертикальной полупрямой, направленной вверх: х — х0, у^уо
(вниз: jc=jc0, у^уо). Точка кривой, в которой односторонние по¬
лукасательные являются одинаково направленными полупрямыми,
называется точкой возврата. Поведение кривой в окрестности та¬
кой точки показано на рис. 30, а, б, в. Отметим, что для графика
непрерывной функции возможен только один из вариантов: а)
или б).
Если две кривые имеют общую точку М0 и в этой точке каж¬
дая из этих кривых имеет касательную, то углом между этими
кривыми называется угол между их касательными в точке М0.
Для краткости в дальнейшем вместо слов «кривая, являющаяся
графиком функции !/=*/(*)*» говорим «кривая ужу(х)*.
Пример 1. Напишем уравнения касательных к кривой г/=
=*х2гх в точках с абсциссами: а) х = 0, б) х=—1.
Решение. Имеем у(0)=0, у(—1) =—2, ух' = 2~х — In2=
—х In 2), £/'(0) = 1, у'(—1) = 2(l-f In 2).
104
Следовательно, уравнения касательных соответственно будут:
а) у=х, б) #+2=2(1 +In2) (ж+1) (см. рис. 31).
Рис. 30
Пример 2. Напишем уравнения касательных к кривой у =
=х/ (1—X) в точках с абсциссами: а) *=0; б) jc=1; в) х=9.
Решение. Имеем у(0) =0, ^(1) =0, у{9) = —18,
У' = (l-*)"2'3 = -L (1 _х)-2/3 (3—Ах), (3)
У' (0) = 1, У' (9)=
Следовательно, уравнения касательных будут «в случаях а) и в)
соответственно у=х и р+18 = (jc—9); в случае б) при *=
106
= 1 формула (3) теряет смысл. В данном случае можно непосред¬
ственно вычислить, что
1- У (*) — У (1) 1- *
lim^—L—= lim —з - ■ = — оо.
х — 1 х-1 _/(!_*)*
Заметим, что проще использовать утверждение: если f(x) непре¬
рывна в точке *0 и lim /' (*) = оо, то lim (/ (*) — f (xQ))/(x— х0) = оо
х-*-х, х-+х0
(соответственно 4-оо или —оо). Таким образом, в точке (1, 0) не¬
прерывная кривая y = x\f 1—х имеет вертикальную касатель¬
ную х=\ (см. рис. 32).
Пример 3. Напишем уравнения касательных к кривой х =
= 2cos t — cos 21, y = 2s\nt—sin 2/ в точках:
a) t = n/2; 6) t = n\ в) / = Зя/2.
Решение. Имеем
t = я/2 у = 2; t = n*$x = — 3, у = 0;
t = Зл/2->* = 1, у = — 2;
3/ t
sin — sin —
2 2 * 3/ ., ,. •, i
3, t ~ ^ 2 ’ ^х^=”л/2 ~~ * ^*1/=Зя/2 ^
cos — sin —
2 2
Следовательно, уравнения касательных будут в случаях а) и в)
соответственно у — 2 = —(х—1) и 1/4-2 = *—1; б) в точке t =
=п (х=—3, #=0) функция ух' не определена.
Рассмотрим кривую в окрестности точки * =—3. Параметриче¬
скую связь хну можно рассматривать и как определение функ¬
ции у(х), и как определение функции х(у). Так как в окрестно¬
сти точки t = n имеем у/<0, то в этой окрестности * есть непре¬
рывная однозначная функция у и xv' = xt'lyt' = ctg (3t/2), т. е. урав¬
нение касательной к графику этой функции в точке г/ = 0, * =—3
есть *4-3=0• у или *=-3 — касательная параллельна оси OY.
Если же рассматривать функцию у(х), то точка * = —3, у = 0 яв¬
ляется общей точкой графиков двух однозначных непрерывных
функций у 1 (*) и г/2(х), соответствующих участкам монотонного
изменения x(t): при /е(я/3, я) * убывает от 3/2 до —3, при te
е(я, 5я/3) * возрастает от —3 до 3/2. Так как *^—3, то обе
ветви у\ (*) и У2(х) кривой * = *(/), y = y(t) лежат справа от пря¬
мой * = —3, и в этой точке можно говорить только об односто¬
ронних полукасательных к каждой из ветвей. Имеем
3/ 3/
lim у\ (*) = lim tg — = 4-°°, lim у' (х) = lim tg — ==— оо.
х-*-— 3-f t-*n— 2 x->—34- 2
Отсюда, рассматривая кривую в целом, видим, что полукасатель-
ная «сверху» в точке (—3, 0) является вертикальной полупрямой,
направленной вверх: * = —3, у^0; полукасательная «снизу» —
106
иертикальной полупрямой, .направленной вниз: х=—3, у^О. Так
кик угол между этими полупрямыми равен я, то кривая в точке
имеет вертикальную касательную х — —3 (см. рис. 33).
Пример 4. Напишем уравнения касательных к кривой х =
«=21—/2, y = 3t—t3 в точках a) t =— 1; 6) t= 1; в) t = У2.
Решение. Имеем t = — 1 д; = —3, у = —2; t = \ =$х = \,
у = 2; / = /2->х = 2 К2—2; у==К2;
4=3ji^)=A
х, 2(1 — /) 2 7
f/'jtIг—1=0- I«—v'2 = “1“(1 + 1^2)-
Следовательно, уравнения касательных будут в случаях а) и в)
соответственно у + 2 = 0 и у—]/2 =-~(l -f |^2)(х—2J/2 + 2);
случае б) в точке /=1 функция ^ не определена. В отли-
2(1 — t)
чие от предыдущего примера при /=1 и yt' = 0, и х/ = 0. Поэтому
нельзя утверждать, что в окрестности точки (1, 2) переменная у
является однозначной функцией х или переменная х является од¬
нозначной функцией у. Функция jc(x) имеет два участка монотон¬
ности: на (—оо, 1] она возрастает от —оо до 1, на [1, + оо) — убы¬
вает от 1 до (— со). Соответственно имеем две однозначные не¬
прерывные ветви рассматриваемой кривой ух (х) и у2 (х) каждая с
областью определения 1. Точка М0(\, 2) — общая для них. Так
107
как jc^I, то можно определить только односторонние полукаса-
тельные к каждой из ветвей в точке М0. Имеем
lim у—-~ 2 = lim у (jc) = lim — (1 4- /) = 3;
ж-и — х—1 ж—► I — /-*1 2
lim = lim у' (х) = lim — (1 4- /) =3.
*-►1— Ж—1 ж—► 1 — f —♦ 1 2
Итак, полупрямая у—2 = 3(х—1), х^1, является общей полука-
сательной для обеих ветвей рассматриваемой кривой в точке
(1; 2). Точка (1; 2) — точка возврата (см. рис. 34).
Пример 5. Напишем уравнения касательных к кривой ху(х4-
+ у)+х2 = 2у2 в точках с абсциссами а) х = 4; б) х = 0.
Решение. Из данного уравнения получаем
Хш± Ух* + 8х* — 4х*
У 4 — 2JC
т. е. кривая состоит из двух ветвей
х» 4- Ух4 4 8х* — 4х3 х» — х/х4 + 8х2-4х3
4 — 2* " 4 — 2х
Таким образом, значение х = 4 определяет две точки, лежащие со¬
ответственно на двух ветвях кривой: Мх(4, —2^2—4) и
(4,2^2—4), а при х=0 имеем У\^У2=0, т. е. точка Мо(0, 0)
является общей для обеих ветвей. Пользуясь правилом диффе¬
ренцирования неявной функции, находим, что
2ху 4- хгу' 4 2уу'х 4- уг 4- 2х = 4уу', (3)
откуда у' = -2х--. Угловые коэффициенты касательной в
4у — х* — 2ху
точке М1 и в точке М2 равны нулю, и уравнения соответствующих
касательных есть у — 2 У"2—4 и у = —2^2—4. В точке Afo(0,
0) уравнение (3) вырождается — превращается в тождество 0 =
= 0. Найти касательную к каждой из ветвей в этой точке можно,
например, дифференцируя каждую из явных функций yi(x) и
£/а(*), однако сделаем это другим способом, поскольку часто урав¬
нения ветвей неявно заданной функции не выражаются аналити¬
чески в явном виде у = у(х) или х=х{у).
В некоторых случаях удается разделить ветви кривой, задан¬
ной уравнением F(xt у) =0, введением параметра. Так, для нашей
кривой введем параметр t = —, тогда параметр t и переменная
х связаны уравнением tx2(x+tx) 4-х2=2/2х2, откуда х = 2/ ~ 1
М 14-_0
Точке АЬ(0, 0) соответствуют два значения параметра /= 1/У2 и
— 1/Y2. Легко проверить, что функция x(t) строго монотонна
108
как в окрестности точки /=1/У2, так и в окрестности точки t=*
•• — 1/У2. Так что действительно при изменении t в соответствую¬
щей окрестности этих точек мы получаем две различные ветви на¬
шей кривой. Имеем
у (0) = lim -—= lim — = lim t.
X-+Q X — 0 ж-*0 X х-+0
X-+Q X — 0
Поскольку условие х-+0 на одной из ветвей эквивалентно усло¬
вию /-*1/у2, а на другой — условию t—1/У2, то касательная к од¬
ной из ветвей _в точке (0, 0) имеет уравнение у=х/У2, а к дру¬
гой — у=—х/У2. Отметим, что особая точка М0(0, 0) кривой
*f/(x + y) +х2 = 2у2 представляет собой точку пересечения двух ее
гладких ветвей, образующих между собой угол a = arctg2V2.
Пример 6. Найдем угол, под которым пересекаются кривые
хг + у* = \2х и у=\/г(х—6)а.
Решение. Чтобы найти точку пересечения кривых, надо ре-
з,
шить уравнение (х—6)*4-у (*—6)4=36. Положим (х—6)2 = z3,
тогда z3 + z2 = 36. Так как z34-z2—36 = (z—3) (z24-4z4-12), то урав¬
нение имеет единственный корень z^=3, откуда x = 6±jK27.
Итак, точками пересечения кривых являются точки Afi (6+V27,9)
и Мл(6 —V^27, 9). Для первой кривой имеем 2х+2уу/=12, откуда
/—(6—х)/у. Следовательно, угловые коэффициенты касательных
к ней в точке есть —КЗ/З, а в точке М2 есть У13/3. Для
второй кривой у' = 2(х—6)|/3/3, следовательно, в точке Afi угло¬
вой коэффициент касательной есть 2/3 |/3, а в точке М2 есть
— 2/ЗУЗ. Углы, под которыми пересекаются кривые в точках
М1 и М2, одинаковы и равны
/3 2
+
arctg—- = arctg (см. рис. 35),
Пример 7. Найдем угол между левой и правой полукаса-
2х
тельными к кривой у = arcsin j в угловой точке (см.
стр. 104).
Решение. Имеем
„'= 1 2 + 2*»-4*«_ . 2(1 х1) (
У r (if**)* /(1-**)»(1 + **) 1 ’
109
Следовательно, угловыми точками могут быть только точки
МД1, я/2) и М2 (— 1, —п/2). Имеем
/+(1)= lim у'х= lim -~=-1; /_(1)= lim y'z= 1.
х—* 1 + х —+1 + 1+ДГ х-1-
Угловые коэффициенты левой и правой полукасательных в точке
М, равны 1 п -1, угол между ними равен л/2. Так как функция
у(х) нечетная, то кривая симметрична относительно начала коор¬
динат и угол между левой и правой полукасательными в точке М2
также равен я/2 (см. рис. 36).
2. Возрастание ■ убывание функции
Определение. Пусть функция f определена на интервале
(а, Ь). Если произведение (/(*i)—f(x2))(*i—х2) не меняет знака
на (а, Ь), то говорят, что функция f монотонна на (а, Ь). Если
(/(•*0—7(**)) (*l—*2)>0 ((f(x,)—f(x2))(x,—Xt)<0) для любых
х,, Х2, л:, ^х2, из (а, Ь), то I строго возрастает (строго убывает)
на (а, Ь), если же это произведение обращается в нуль для несо¬
впадающих хи х2, то говорят, что монотонность нестрогая.
Если монотонная на (а, Ь) функция дифференцируема на
(а, Ь)> то ее производная не меняет знака на (а, b). Если f диф¬
ференцируема на (а, Ь) и /' (jc) >0(/'(х) <0) для всех хе(а, b)t
исключая, быть может, конечное множество (на котором f'(x) = 0),
то f строго возрастает (строго убывает) на (а, Ь).
Определение. Функция /, заданная па (а, b), имеет в точ¬
ке х0е(а, Ь) локальный экстремум, если существует такая окре¬
стность U(x0)^(a, Ь), что разность f(x)—f(x0) не меняет знака
для x^U(xо).
Если f(x)—f(x0)^0 для любого x^U(х0), то точка х0 называ¬
ется точкой максимума; если f(x)—f(xо)>0 для любого хе
et/(jc0), то Хо называется точкой минимума. Заметим, что точка
110
локального экстремума обязательно есть внутренняя точка облас¬
ти определения функции.
Точки, в которых f(x) определена, a f'(x) равна нулю или не
существует, называем критическими точками f. Всякая точка ло¬
кального экстремума является критической точкой, но, как пока¬
зано ниже на примерах, не всякая критическая точка есть точка
экстремума.
Достаточные условия локального экстремума
1. Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности
критической точки х0 и дифференцируема в ее проколотой окрест¬
ности, причем /'(*) в левой (0'_(х0)) и правой (U+(x0)) полуок¬
рестностях сохраняет знак. Тогда если /'(л)>0 для x^U-(x0), а
;'(л')<0 для x^U+(x0)y то точка х0 есть точка максимума; если
/'(*)<0 для x^U-(xq) и /'(*)>0 для x^U+(x0), то точка х0 —
точка минимума. Требование непрерывности функции {(х) в точке
х0 существенно.
Пример 8. Пусть
( 1 + х, х < 0;
f(x)=\ 0, * = 0;
(—1 —х, х > 0,
тогда f'(х) = 1 при х<0 и /'(*)= — 1 при х>0, т. е. при переходе
через точку х = 0 производная меняет знак, но точка х—0 не яв¬
ляется точкой локального экстремума.
2. Пусть } имеет в точке х0 производную порядка п, f'(x0) =
= Г(хо) =.. .=/(п_1)(*о) =0 и f{n)(xо)фО. Если п — четное и
/(л)(*о) >0, то х0 — точка минимума; если /(я)(*о)<0, то х0 —
точка максимума; если п — нечетное, то критическая точка х0 не
будет точкой экстремума.
Если функция f рассматривается на отрезке [а, Ь] или луче
[а, +оо), то кроме локальных экстремумов / может иметь крае¬
вой экстремум: точка а (точка Ь) является точкой краевого экст¬
ремума, если существует такая ее правая (левая) полуокрест¬
ность, в которой разность f(x)—f(a) (f(x)—f(b)) не меняет
знака.
Пример 9. Найдем точки экстремума и промежутки моно¬
тонности функции
у (*) = 1 + arctg Ух+ 1.
х + 2
Решение. Имеем
«/'(*)=—-—(х >— 1).
(х + 2 )*Ух+ 1
Функция у(х) определена и непрерывна на луче х^—1, а функ¬
ция у!{^) — на луче х> — 1; г/'(л*)>0 для — 1<х<0, */'(0)=0,
111
у'(х)<0 для *>0. Итак, на интервале —1<х<0 функция у(х)
возрастает, на луче х>0 — убывает, lim у(х)= —; в точке х =
Х-*+оо 2
= — 1 — краевой минимум у(—1) = 1, в точке х=0 — локальный
и абсолютный максимум у(0) = 1 jx/4.
Пример 10. Найдем точки экстремума и промежутки моно-
3/
тонности функции у (х) = х* • у Xя— 1 .
Решение. Имеем
,, ч х* (11х* — 9)
У (*) = ==г.
3 /<1 — **)*
3 3
Точки Х= 0, X = 1, Х = — 1, ДС=-7=-, х =——р=~ ЯВЛЯЮТСЯ крити¬
ки’ У\Х к
ческими точками данной непрерывной функции. Функция у'(х)
меняет знак только в точках Xi——3/^1 i и х2 = 3/У 11, причем
у'(х)>0 для_ х<— 3/У 11, у'(х)<0 для —3/^11 <х<3/у 11, у'{х)>0
для jc>3/У 11. Таким образом, функция у(х) возрастает на проме¬
жутках^—оо, —З/УИ), убывает на (—3/У 11, 3/У 11), возрастает
на (3/У 11, -f оо), в точке хх = —З/УП имеет локальный максимум,
в точке jc2 = 3/У 11 — локальный минимум. Критические точки
х =— 1, х = 0, х=\ не являются точками локального экстремума.
Пример 11. Покажем, что функция у(х) = ^\ Н—— j строго
возрастает при х>0.
Решение. Имеем
Так как ^1 -f — j > 0 для х > 0, то знак у' (х) совпадает со знаком
X I 1 1
функции g (х) = In — . Имеем lim g (х) = 0, g' (х) =
X X-f'l ' *-►+«>
= <0, х > 0. Итак, функция g (х) стремится
(* + !)* х (х -f 1)
к нулю при х—►’-Ь оо, монотонно убывая, следовательно, для всех
х>0 функция g(x)>0 и, значит, у'(х)>0, х>0. Откуда вытекает,
что у(х) строго возрастает при х>0.
Пример 12. Доказать неравенство 1+21пх^х2 для х>0.
Решение. Рассмотрим фуикцию /(х)=х2—21пх—1. Имеем
/(1) =0, Гх = ~ **. Для х>1 имеем /'(х)>0, а для 0<х<1
имеем /'(х)<0. Таким образом, f(x) на интервале (0, 1) убывает,
на интервале (1, + оо) возрастает, и так как f(x) непрерывна при
х= 1, то точка х=1 является точкой-минимума. Следовательно,
для х>0 /(х)=х2—21пх—1>/(1)=0, откуда и вытекает неравен¬
ство х2>1+21пх, х>0.
112
Пусть непрерывная функция / задана на отрезке [а, Ь]. Тогда:
на отрезке [а, Ь] существуют точки Х\ и х2 такие, что
f(jc,)= max f(x) и f(x,) = min f(x).
x£ia,b\ *й{а.Ь\
Если хотя бы одна из этих точек лежит внутри отрезка, т. е. на.
интервале (а, 6), то в этой точке функция / имеет локальный
экстремум. Таким образом, точки хх и х2 входят в множество,
состоящее из всех точек локального экстремума функции f на
(а, Ь) и концевых точек х = а и х = Ь.
В свою очередь это множество есть подмножество множества,
состоящего из точек х—а, х = 6 и всех критических точек функцию
/ на (а, Ь). Сравнивая значения функции / во всех точках этого
множества (т. е. в концевых и критических точках), находим
шах /(х) и min f(x).
*€la,bj
Пример 13. Найдем max f (х) и min /(х),если /(х) =
*61-4,41 *€1-4.4!
= х34-3х2—9x-f5.
Решение. Так как функция f(x) дифференцируема на всей
прямой, то критические точки данной функции есть те точки, где
/'(х)=0. Поскольку /'(х) = 3х24-6*—9 и /'(*)= 0 при х = —3 и
х= 1, то критические точки есть х\=—3 и х2=1. Эти точки при¬
надлежат отрезку [—4, 4]. Следовательно, надо сравнить значение
функции в точках х0=—4, Х| =—3, х2=1 и х3 = 4. Поскольку
/(—4) ==25; f(—3) =32, f( 1)=0 и /(4) =81, то max /(х) =/(4) =81,
min f (*)=/(—1)=0. 1 М1
I-4.4J
Пример 14. Найдем max / (х) и min /(х), если / (х) = | Зх4—
1-2.31 1-2.3!
— 16х34-24х2— 431.
Решение. Функция / (х) может быть недифференцируема
в тех точках, где Зх4—16х34-24х2—43=0. Имеем Зх4— 16х34-24х2—
—43= (х4-1) (Зх3—19х24-43х—43). Положим g(x) = 3х3—19х24-
4-43х—43. Тогда g'(x)=9x2—38х4-43>0 для всех х, т. е. g(x)
монотонно возрастает, и так как g(3) =—4, то #(х)<0 для всех.
xg[—2, 3). Следовательно, х =— 1 единственная возможная точка
недифференцируемости f(x) на [—2, 3|. Для х<—1 имеем /'(х) =
= 12х(х—2)*, для х>—1 имеем f'(x) = —-12х(х—2)2, следователь¬
но, критическими точками f(x) на отрезке [—2, 3] будут точки
Х\ =—1, х<г=0, х3 = 2. Вычисляя значения /(х) для х0=—2, Х\ =—1,
*2 = 0, х3=ь2, х4 = 3, получаем /(—2) =229, /(—1) =0, /(0) = 43,.
f (2) =27, f(3) = 16, т. е.
max f (х) = /(-—2) =229, min / (х) =/(— 1) =0.
1-2,31 1-2,31
3. Формула Тейлора, правило Лоттам
Пусть функция / в некотором интервале (а, Ь) имеет п произ¬
водных. Тогда для любой точки х0е(а, Ь) можно написать мно•
ИЗ
гочлен Тейлора Tn(U *о) = ^ ^ k'~°~ (x~xo)k- Разность
fc-0
Rn{f, x0)=f(x)— Tn(f, Xo) называется остаточным членом формулы
Тейлора f(x)=Tn(f, x0)+Rn{ft х0).
При данных условиях, налагаемых на функцию fy Rn(ft *о) =
=о(х—х0) п(х-+х0) и Rn называется остаточным членом в форме
Пеано. Если потребовать, что на (а, Ь) существует fin+l)(x), то
для любого х из (а, Ь) Rn(f, *0) = т~Л'л'(*—■*о)'’+'• где & —
(Л -j- 1)!
некоторая точка интервала (х0, х), и Rn называется остаточным
членом в форме Лагранжа.
Использование формулы Тейлора с остаточным членом в фор¬
ме Пеано для выделения главной части функции f в окрестности
некоторой точки и для вычисления пределов было подробно рас¬
смотрено выше. Выражение Rn в форме Пеано в отличие от Rn
в форме Лагранжа позволяет оценить величину погрешности, до¬
пускаемой при замене функции f многочленом Тп(х) на некотором
промежутке.
Пример 15. Оценим погрешность при замене функции /(*)==
= arctgх многочленом Тейлора Tb(ft 1) на отрезке [1/2, 3/2].
Решение. Поскольку
Г =—{-—, f{n)(x)=-—- s*n (п arcctg х), л >2
'* 1 + х* ' W (1 + x*)nU Ъ '
го можно показать, используя тождество
——=—(— Ц).
1 4- 2i \х — i X -f i J J
TO
Так как точка £ лежит между х и 1, \х—11 < 1/2 и
|sin(n arcctg £) |^1, то
5! < 1 43 1
(1+£а)3 2*-6 53 6-53 7 50
Итак, многочлен
приближает функцию arctg х для всех хе[1/2, 3/2] с погреш¬
ностью не более чем 1/750.
Правило Лопиталя. Пусть функции / и g определены и диффе¬
ренцируемы в некоторой правой полуокрестности точки а:(/+(а) =
—{х : а<х<а+6}, 6>0, причем g'(х)¥*0, хе[/+(а) и lim - ^ =А~
*-*»+ g' (X)
Тогда, если
1) lim /(*) = lim ^ (jc) = 0
*-+а+ я—
или
2) lim f(x) = lim g(x) =00,
Д-Ю+ J-H+
TO
lim Ш- = А.
»-«+ «(*)
Правило верно и тогда, когда А есть один из символов оо, +оо„
ОО.
Аналогичное утверждение справедливо и для lim ^ —• и для
дм*- $(*)
lim ----- (в первом случае функции fug должны удовлетяо-
*-+а g (*)
рять соответствующим условиям в некоторой левой полуокрестно¬
сти точки а, во втором случае — в некоторой проколотой окре¬
стности точки а).
Пример 16. Найдем
lim (—- я ctg лх \.
х-и \ 1пдс * )
Решение. Чтобы иметь возможность применить правило Ло¬
питаля, представим данную разность в виде отношения функций
_J nctg пх== sin ях я In х- cos ях
lnx In x-sin их g (x) ’
Функции / (*) = sin я*—я \nx cos лх и g (x) — In jc• sin лх удовлет¬
воряют условиям применимости правила Лопиталя при х из окре¬
стности Oj_(l) = (l/2, 3/2) \{1). Отношение производных
2
Г(х)1в'(х) равно
Я COS их — — COS ях + яа In х- sin ях
X
— sin лх -f- я cos ях- In х
X
ях cos ях — я cos ях -f яах In х sin ях
sin ЯХ 4“ ЛХ COS ях* In X
1 IS
Это отношение опять представляет собой неопределенность типа
—. Применим правило Лопиталя к нему. Отношение производной
числителя к производной знаменателя равно
я cos ях — я*х sin ях 4- я1 sin яде 4~ я* In x-sin ях 4- я1 sin ях 4- я*х In х cos ях
я cos пх -\- Я COS ЯХ In X 4- я cos ях — я*х In х sin ях
Предел этого отношения при х->1 равен 1/2. Следовательно,
&' (*) 2 ’
Таким образом,
.. / 1 1 \ *« sinяx — я cos лх * 1 п х
lim [ — я ctg лх) = lim =
*-►1 \ lnx / 1 sin ях* In х
ях cos ях — я COS ЯХ 4- яах lnx-sin ях
X-*-1 sin ЯХ 4- ях cos ЯХ-1ПХ
j. я cos ях — яах sin ях4-яа sin ях 4-я» lnx sin ях 4-я* sin ях 4-я1* In х cos ях
Х-*\ я COS ЯХ 4- Я COS ЯХ In X 4- я cos ях — я*х lnx sin ях
_ J_
~ 2 *
По смыслу эта цепочка равенства должна читаться с конца: так
как предел последнего отношения существует, то существует и ра«
вен ему предел предпоследнего отношения и т. д.
Если же предел отношения производных не существует, то это
ничего не говорит о существовании или несуществовании предела
отношения функций. Приведем соответствующий пример.
Пусть
f(x) =х* sin — 4- 2sin* и g(x) =х.
X
Тогда
lim = lim (х sin — 4- 2 -1П* \ =2,
л-0 g (*) х-+0 \ * * /
2х sin — —cos —— 4- 2 col х
ff (х) X X
а отношение ----- ■ равно и не имеет пре-
*'<*)■ 1
дела при ж-►О.
Применяя правило Лопиталя, необходимо также следить за
тем, чтобы было выполнено либо условие 1), либо условие 2).
Так, например, пусть
/(x)=sinAH-cosx и g(x)=x4-2.
116
Тогда
HmiiiL = -L. [a limJli£b = iiml£2i£^fi!liL = i.
jr-^o g (x) 2 Ж+0 g' (X) x-*0 [I
(Здесь не выполнены ни условие Пт/(лг) = Пту (х) =0, ни условие
х-»0 др—►О *
Нт /(jt) = limg(x) = 00.)
*-►0 *-►()
4. Исследование функций ■ построение кривых
Считаем, что исследовать функцию — это означает:
1) найти область определения;
2) отметить (если они есть) особенности функции (периодич¬
ность, четность и нечетность, сохранение знака), найти точки пе¬
ресечения графика функции с осями координат;
3) если граничные точки области определения функции при¬
надлежат ей, то найти значения функции в этих точках, в против¬
ном случае — выяснить поведение функции в окрестности этил
точек (включая и несобственные точки —оо и + оо);
4) найти наклонные асимптоты (вертикальные и горизонталь¬
ные определяются в пункте 3) или убедиться в их отсутствии;
5) найти участки возрастания и убывания функции, определить
локальные и краевые экстремумы;
6) найти интервалы, на которых функция выпукла вверх или
вниз, определить точки перегиба.
По результатам такого исследования функции строится ее
график.
Пример 17. Исследуем функцию у — — ^и построим
(х—1)*
ее график.
Решение.
1) Хф\\
2) при х = 0 у= 1, при х — — 1 у = 0, при х>—1 у>0, при
*<—1 у< 0;
3) lim у(х) = + оо, lim у(х)= + оо( lim у(х)= + оо,
*-►1+ *-►+<»
lim у (х) = — оо;
Д-*- —оо
4) k+= lim -^- = 1, Ь+= lim (у(х) — х)=5,
Х-+ -f-00 X X-*- -f-oo
= lim - -x) = 1, b- — lim (y{x)—x) = 5;
X-*- —00 X X-*- —00
5) У' (*) = ■(<-t1>,("~5) » *Ф1, У’>0 ПРИ *< 1 и x > 5;
(JC—l)*
yr < 0 при 1 < x < 5;
€) x+l> У’>° "Ри X>~1> *+l'> <°
при x< — 1.
117
Итак, функция у (х) = ||д определена на множестве
(—оо, 1)(J (1, +о°). Графкк ее пересекает ось О У в точке (О, 1)
и ось ОХ в точке (—1, 0). Вертикальная асимптота х=1, наклон¬
ная асимптота у = х+Ь. На промежутках х<\ и х>Ъ функция
возрастает, на промежутке 1<х<5 убывает, в точке ^5, 13-^-j
имеет локальный минимум. На промежутке х<—\ функция вы*
пукла вверх, на промежутках —1<х<1 и х> 1 — вниз, (—1, 0) —
точка перегиба. График данной функции представлен на рис. 37.
Отметим, что у'(—1)=0, т. е. график функции имеет в этой точке
горизонтальную касательную, точка х = — 1 является критической,
но локального экстремума у функции в этой точке нет.
3 г
Пример 18. Исследуем функцию у = (х — 5) у х2 и построим
ее график.
Решение. Имеем
1) *<=/? ;
2) у = 0 при х = 0 и х = Ъ\ у у 0 при""* >5; г/ < 0 при х<
<5, хфО;
3) lim у(х)= + оо, lim у(х) = — оо;
X-*• -foe x-f —оо
118
4) k+ = lim y = 4-00, k_ = lim y ^ ■ = -f oo;
*-►4-00 X *-*•—ao X
5) y'(x) = , *#0, у'(дс)>0 при дг< О и д: > 2;
z/' (ж) < 0 при 0 < дг < 2;
6) tf (х) =—- х 3 (х + 1), хфО, у" (х) >0 при —1 < х< 0 и
х > 0; у’ (х) < 0 при х < — 1.
з г
Итак, функция у(х) = (х — 5) /х2 определена на всей числовой
прямой. График ее пересекает ось ОХ в точках х = 0 и х = 5.
Асимптот нет. На промежутках —оо<л;<0 и 2<х< + оо функция
возрастает, на промежутке 0<х<2 — убывает, в точке (О, 0)
з ,—
имеет локальный максимум, в точке (2, —3 у 4) — локальный
минимум. На промежутках —1<х<0 и 0<х< + оо функция вы¬
пукла вниз, на промежутке —оо<д:< — 1 — вверх. Точка
(—1,—6) — точка перегиба. Поскольку f(x) непрерывна в нуле и
lim »<«)-у<°)
х-М)4- х — О
ЦП,
х — О
I- х — 5
= lim =— оо,
V*
= lim х = -foo,
то полупрямая х=0, у^О является и левой и правой полукаса-
тельной к графику функции в точке (0, 0). Следовательно, точка
(О, 0) — точка возврата кривой. График данной функции пред¬
ставлен на рис. 38.
Пример 19. Исследуем и построим график кривой, заданной
параметрически
*<0=-г*Ц-. y(t) =
1 ^ ' Г3+1
Решение. Параметрические соотношения определяют функ¬
цию y(x)t однозначную и непрерывную на тех промежутках изме¬
нения параметра /, на которых функция x(t) непрерывна и строго
монотоннаи Выделим такие промежутки. Имеем
' _ -У ' /(2-/3)
' (**_ !)>* У* (^4-1)»*
Графики функций x(t) и y(t) изображены на рис. 39,а, б. Функ¬
ция x(t) строго монотонна на четырех промежутках: (—оо, —1);
(—1, 0], [О, 1), (1, 4-оо). Так как формальное дифференцирова¬
ние на рсех промежутках производится одинаково, то имеем при
0 и —1
119
Уж
_ / (2 — /3)(/а — I)8 _ (*» —2) (/- 1)«
(/8+ 1)2(—2/) 2 — / + 1)*
. _ (/»— 1)8 (/»— 3/» + 9/ — 8)
х‘ 4 (/2 — / -J- 1 )3
Пусть t<—1, тогда:
1) х>\ (см. рис. 39, а);
2) У<0 (см. рис. 39, б);
0, — 1.
Рис. 39
3) условие х ->• 1 + эквивалентно на промежутке t < — 1 условию
—оо, поэтому lim у (jc) = lim y(t)=0\ точно так же lim у(х) =
/-*—ОО JC—♦‘-■J-оо
= lim y(t) = —oo;
/—►— i—
a\ и l* У (x) г У (О и— 1—I 2
4) k+= lim ■ ■ = lim —
■= lim
*(/) <—1- />-/+1 3
6+= lim (y(x) + — x\= lim ** ) ^=—;
+ Г,тз ) 3 (/ — 1) (**-* + l) 6
5) так как f<—1, то yx'<0\
6) обозначим через g(t) многочлен 3/2+9/—8; так как
^(—1) =—21 <0 и g'(t)=3t2—6/ + 9>0, то £(0<0 для /<—1.
Отсюда следует, что для t<—1 имеем у” >0. Итак, ветвь кривой,
соответствующая изменению t на промежутке (—оо, —1), пред¬
ставляет график непрерывной, отрицательной, монотонно убыва¬
ющей, выпуклой вниз на луче дс>1 функции с асимптотой
2 1
у = х-\ и краевым условием lim#(jt)=0.
3 6 х-и-j-
Пусть —1</<0, тогда:
1) jc<0 (см. рис. 39, а);
2) i/>0 (см. рис. 39, б);
3} условие оо эквивалентно на промежутке —1</<0
условию t->—1+, поэтому lim i/(jc)= lim у (i) = -f оо, значе-
«-►—ао t-*—l-f
нию jc=0 соответствует значение * = 0, следовательно, значение у
при х = 0 равно 0;
4) = lim
IH-I+ * (О
5) так как — 1 < ^ < 0, то ух < О,
Иту' = ■
t-+Q-
1;
120
6) Ух. < 0.
Итак, ветвь кривой, соответствующая изменению t на проме¬
жутке —1</^0, представляет график непрерывной, неотрица¬
тельной, монотонно убывающей, выпуклой вверх на луче х^О
функции с асимптотой у =—— x-f— и краевым минимумом
3 6
х = 0, г/ = 0, имеющей в точке (0, 0) левую полукасательную: луч
г/=—х, х<0.
Пусть 0</<1, тогда:
1) х^О (см. рис. 39, а);
2) у^0 (см. рис. 39, б) ;
3) условие х-#-—оо эквивалентно на промежутке 0^/<1 усло¬
вию —, поэтому lim у (х) = lim y(t) . Значению х=0
*-► —оо — 2
соответствует значение у = 0;
4) наклонных асимптот нет, так как при х-*—оо у(х) не яв¬
ляется бесконечно большой величиной;
5) так как 0 < t < 1, то у' <0, lim у’ = — 1;
t-+o
6) УхШ<0.
Итак, ветвь кривой, соответствующая изменению t на проме¬
жутке 0^/<1, представляет график непрерывной, неотрицатель¬
ной, монотонно убывающей, выпуклой вверх на луче х^0 функции
с асимптотой */=1/2 и с краевым минимумом х = 0, у = 0, имеющей
в точке (0, 0) левую полукасательную — луч у = —х, х^0.
Таким образом, точка (0, 0) является общей точкой двух
ветвей кривой, которые подходят к ней слева и сверху, и обе эти
ветви имеют в точке (0, 0) общую левую полукасательную: луч
t/=—х, х<0. Точка (0, 0) является точкой возврата кривой.
Пусть />1, тогда:
1) х>1 (см. рис. 39, а);
2) у>0 (см. рис. 39, б);
3) условие х~И4- эквивалентно на промежутке />1 условию
i-^+oo, поэтому lim у (х) — lim y(t)= 0.
JT—*-1 -f- <-*-4-oo
Аналогично lim y(x) = lim y(t) = —;
*-►+00 ^1+ 2
4) наклонных асимптот нет;
5) Ух > 0 для f >-^2", т. e. для 1 < x < y'T / (у^Г — 1); y'x < 0
для 1 < t 2 , т. e. для дс> v^4 / (у'Ч — 1), точка (y^4 /(y^4 —
— 1); v 4/3)—точка локального максимума;
6) для многочлена g(t)=t3—3/s+9/—8 имеем £(1)=—I<0,
g(V2) = -3^4" +9 —6 = — 3 (у^2 — 1) (\^2 —2) > 0,
&' (0 > 0.
121
3 r—
Следовательно, на промежутке (1, \ 2) существует единственная точ-
з
ка <0 такая, что у'х,<0 для 1 <<</„ и у"х,>О для t0<t<y 2 .
Итак, ветвь кривой, соответствующая изменению t на промежутке
/> 1, представляет собой график непрерывной положительной на лу¬
че х > 1 функции. Эта функция имеет горизонтальную асимптоту
0=1/2 и краевое условие lim у(х)= 0. На промежутке (1, /4 /(>^4 —
з < з
— 1)) функция возрастает, на промежутке (>х4 / (у 4 —1), + оо) убы¬
вает, точка (VihV4-D, ^т/з) —точка локального максимума.
3 / з
Существует точка *0= *(/<>)» *о > V 4 / (/4 — 1) такая, что на проме¬
жутке (1, х0) функция выпукла вверх, на промежутке (*0, + °°)
з
выпукла вниз, точка (x(t0), y(t0)f /0е(1,у2))—точка перегиба. За¬
метим еще, что при параметрическом задании кривой, если существуют
пределы lim x(t)=at lim y(t)=b, то точка (а, b) также считается
/-*00 t-*oо
принадлежащей этой кривой. Таким образом, в нашем случае точка
(1, 0) принадлежит кривой. Имеем lim у' = lim у' — —оо для
/- -оо
< — 1 и lim у = lim у'=+оо для t > 1.
Ж-*1+ t-* + ОО
Таким образом, ветвь кривой, подходящая снизу к точке (1, 0),
в этой точке имеет правую полукасательную — луч х=1,
ветвь кривой, подходящая сверху к точке (1, 0), имеет в этой точ¬
ке правую полукасательную — луч х=\у i/>0. Угол между этими
лучами равен п, следовательно, кривая имеет в точке (1,0) верти¬
кальную касательную х=\. Объединяя все сказанное, строим кри¬
вую (см. рис. 39, в).
ЗАДАЧИ
Найти производную следующей функции:
1.
(*+?/*)■
У х-
2.
у = (3х— 5)в.
3.
1
У~ 3
У (3* + 4)*
4.
II
1
М
б.
„ _ 1 - V' 1 + *
б.
1
ft
X У1 — X
У
sin3 2х
7.
у = х 1п (х + У X* + 1 )■
8.
</ = ln tgx + -J-Ctg 2х.
0.
у = еах ■ (дс + 3).
10.
у — е~х (cos л: + sin л:).
11.
</=3sin*T.
12.
, _ cos х + х sin х
У =■ log* .
Sin X — X COS X
13.
»-агс*«/ ,+!1-
14.
у = x2 arctg x.
122
15. у = х ■ 2
17. у = 2^'г 5*-Н.
19. i/=3ln’(,+‘-I).
16. у =-■
18. у =
sin 2jc 4- 1
20. у = arccos
sin X — COS X
In (x +V 1 4- *2)
V1
1 -X3
1 -b*3
23.
21. у = x2 • arccos Здг.
(1 \ arcsin Xя
Tj •
sin X
25. j/ = (arcsin x) *
(. X \ •* ercsln 2x
27. i/ = (tg—)
29. t/
-(*t)
* tg -
22. у = 4 2 .
24. у = 2,rccl® v'iI+T.
26. j/ = (arctg 4x)v"1 + **.
28. y = (e* + e-x)COi 2x.
30. y — arcsin (sin x).
sin X
X
1,
x, x 0,
31. y = [
x = 0.
( (x + 1) arctg8 —! 1- 2x, x ф — 1,
I = I * + 1
32. y-
1 -2,
33. Найти Г(О), если
a) /(*) = I*| (1 — cos*);
в) / (x) =
x — — 1.
6 )/(*)
I sin ^x4 sin—j, хфО,
0,
x2 соз ———|—“, x 0;
3x 2 ^
I 0, x = 0.
34. Найти числа aj, 6b a2, так* чтобы следующие функции
были дифференцируемы на всей числовой прямой:
(
а) У =
б) у
V Г *1.
*>т-
COS X,
а2х + Ьг,
. я
Ж<-Т:
ахх2 +
X >1,
xsill лх,
хе[—1, 1],
а,х + Ьг,
х < —1;
123
В) У =
г) у =
MJ(—2)* + ft1, х>1,
**arctg*, |*|<1,
я» (* + 2)а-Ь 6|( х <d—1;
а^ + Ьу, х<—,
е
х2 Inх, — ^ х^. е,
atx + blt х > е.
35. Найти многочлен наименьшей степени g(x) такой, чтобы
функция f(x) была: 1) непрерывна на всей прямой, 2) дифферен¬
цируема на всей прямой, если
5х \Х\>1.
\х\^. 1 или |х\^ 2.
(только пункт 1)
Найти у'_(х) и у+{х) для следующих функций:
I — X1
36. у = arccos -
1 + х>
38 • у — \ 2 х — 1
О,
40. у = arcsin ег*%.
хфО,
х = 0.
37. t/ = ;c|sinjc|.
(jtarcsincos —,
х
0,
41. у= arccos V 1—х2
хфО,
х = 0.
42. Для каких значений р и q функция
у= |jt|pcos-2-, хфО, у(0) — 0 (<7 >0)
1*1*
а) непрерывна в точке х = 0;
б) дифференцируема в точке jc = 0;
в) функция у'(х) непрерывна в точке х = 0.
Найти производную л-го порядка следующих функций:
43. y = cos*x. 44. у = 1- . 45. у=(х2 + х+\)е~**.
46. у = е~х sin jc. 47. у =
х* — Ьх -ьб
х -\-2
\гт=г
48. у =
1 + 2х
3.v — 1
124
49. 0 = siiu-cosa2jc. 60. y=jpsin*x.
51. y=x% In
l
l + *
52. y = e3x sin4x. 53. y = arctg x. 54. y — ex cos*jc.
Найти производные указанного порядка следующих функций,
заданных параметрически, если:
55. у
56. у
57. у
58.
59. у
60. (/
61. у
62. у
: х (/) = е* (cos t + sin t)9 у (t) = e* (cos t — sin t).
: x (t) =a ^cos* —In ctg y-j, у (t) =asint.
:x(t)=ln (i + l/J+fl), y{t)=y=L^.
: x(t) =a (1 + cost) cost, y(t) =a (1 —cos t) sin t.
': x (0 = a cos t + (at + b) sin t, y(t) = a sin t — (at + b) cos t.
: x (t) = a cos® t9 y(t)=a sin61.
:x(t)= t2t у (t) = In sin t — t ctg t.
• x (t) = t* + ЗЛ y(t)=t arctg t — \nV\ +12.
Найти производные y’x и y'x% следующих функций, заданных
неявно, если:
63. х + у = г*"*. 64. х2 — 1 + cos ху = 0.
65. хъ + 4у3 —Зух2 = 2. 66. х2 + 2jci/ + (/а — 4х + 2у = 2,
JC = 1.
68. xcosny— (/sin я* = х—1,
67. х (х2 4- У*) =а (х2 — у2),
а
х=у= .
* 2
Сделать указанную замену переменных в следующих уравне¬
ниях:
69. х2у” — 4*(/' + 6|/ = 0, * = *', £/ = г/(0-
70. (/и')'+an/° = 0, s = lnf, h=h(s).
71. if+iiL + |i_u^VTv, u=uit).
72. u' + -jj-a = 0, u=yt z, < = e*, z = z(s).
73. (** — !) u' + 2jw' -JUl—a = 0, *- е* + е'‘
**-l 2
74. и'—q(t)u = 0, u~yTv, s=-i-ln/, v = v(s).
75. (<V)' + fsul = 0, s = —f\ u=—, o = r(s).
2 s
76. (l/Гц')'—<v‘a» = 0, s =2уГ, u = 4t>, o = o(s).
77. / + 2у(у'), = 0, *=дф).
u=u(0-
78. у'
:0, x=rcosq>, ^=rsin<p, г = г (<р).
125
79. (*» 4- У2)3 у - 2 (ху' - у) (yyf +*)■=(),
x = rcos<p, t/=rsinq), г = г(ф).
Написать уравнения касательной и нормали или полукасатель-
ной к кривой в заданной точке:
80. у = 2~х* • sin лх а) * = 0; б) х = \.
81. x(t) =e-*sin/, у (t) = е~г cos t a) t= 0; б) t= —;
4
82. x(t)=nt—sinn£, y(t)=t—arctgf a) t = 0; 6) / = 1;
в) t= 2.
83. y = x%arcsin-—- a) jc = 1; 6) x = Y3 .
84. 2x* —y% —x% -f- 2t/ = 0, jc=—L-.
^ |/ 2
85. y = V\—cos32jc a) x = 0; 6) * = —.
6
86. у = x*oignx a) —; 6) .
4 2
87. -sc* — 4- 2^a 4- дс: — г/ — 14=0, x = \.
x_ _2y_
88. 2" + 2 * =6 x = 2, y = l.
89. x(t) —t3 —3/; y(/)=/a + 2< a) <= —1; 6)/=0;
в) f = VX
Найти углы между кривыми:
90. y=x2lnx, у = 4—4*3.
92. х(0 + y{t)=(t + l)ln(l+t), 1/ = rf-7*
1 “Т" X
93. у = 4 4- 2 у^х—2, у — 2х.
94. г = а, ra=2aacos2q).
95. r = 5acoscp, г—а(4—3cos<p).
96. Найти такое значение /?, чтобы окружности jc24-{/2=1 и
(*—2)24-у2 = /?2 пересекались под прямым углом (были ортого¬
нальны).
97. Показать, что семейство гипербол х2—у2 = а2 иху = Ь об¬
разуют ортогональную сетку, т. е. любая кривая первого семейст¬
ва пересекает любую кривую второго семейства под прямым уг¬
лом.
98. Найти угол между левой и правой касательными в угловых
точках кривых:
126
a) y=^Y\n(\ +9дга) ;
в) у = arccos(sinх), *€?.[—2я, 2л].
99. Доказать, что любая касательная к логарифмической спи¬
рали г = ает* образует постоянный угол с радиусом-вектором точ¬
ки касания.
ж* у2
100. Проверить, что любая касательная к гиперболе
аа Ь%
*= 1 образует с ее асимптотами треугольник постоянной площади.
101. Проверить, что у астроиды л:2/3-h f/2/3 = а2/3 для любой ка¬
сательной длина ее отрезка, заключенного между осями коорди¬
нат, постоянна.
«аsin/, 0</<л, для любой касательной длина ее отрезка от
точки касания до оси ОХ постоянна.
103. Найти угол между двумя окружностями одного радиуса,
если центр одной из них лежит на другой.
104. Проверить, что кривая ху sin (дИ*у) ^2х2—у2 касается
с прямой у = х во всех общих точках, кроме начала координат.
105. Проверить, что расстояние от начала координат до любой
нормали к кривой x(t) =a(cos/-И sin /), y(f)=a(sint—tcost) пос¬
тоянно.
106. Проверить, что касательные к кривой x(t)—a(t—sin/),
y(t)=a( 1—cos/), проведенные в точках, соответствующих значе¬
ниям to и /о+л, перпендикулярны при любом /0^6л, fceZ.
107. Найти промежутки возрастания и убывания, выделить
точки экстремума и выяснить их характер для следующей функ¬
ции:
102. Проверить, что у трактрисы
а) у = х*егх\
6) у = (х — 2)3 • ух*;
In»*
д) у= -arcsmv/l-4r2 +
е) */ = arctgjc— lnx;
4-2 У1 — 4*а ;
ж) у=хх\
и) In л2;
з) у=х—sin2.r,
к) —*arctgx.
108. Доказать неравенства:
а) х у- < In (1 + х) < *, х > 0;
б) х — < sin ху ху 0;
6
в) (х?+ (/*)“ >(х> +у»)ь , дг > 0, «/>0, 0 < а < ft;
127
г) е* + е~*^х* + 2;
д)1Ш>а,аех'х>0:
. *>0;
е 2
ч sinx . sin у л .
ж ) > 2_, 0 < х < у < я;
* У
з) ctgx<- ctg у, 0 < х < «/ < я.
109. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)
иа отрезке [а, 6], если
I- /(*)=*3 + 3jc*—9jc-h2: a) a = —4, 6 = 2; б) a =— 1, 6 = 0;
в) а = — 6, 6 = 4;
II. У (х) (jc* —л: — 1): а) а = —3, 6 = 0; б) а = —3, 6 = 2;
в) а = — 1, 6 = 0.
110. Найти sup/(x) и inf/(x), если
х££ *££
L /W="jTlO~i: Э) £ = <*:*>2}; б> £=<*: |Х| < оо);
в) £={х: |х| < 2).
И. f(x) =i!±^i+il: а) £={*:* > 0}; б) £ = {х: \х\ < оо};
3 -f х*
в) £ = {х: |х| < 1}.
111. Средней порядка s для двух положительных чисел а и b
называется функция, определяемая равенством
J.
Л5(а, 6) * * если
Доказать, что
а) min(a, 6) <As<max(a, 6);
б) функция Д5 (a, 6) при аФЬ есть возрастающая функция пе¬
ременной 5;
в) найти:
1) lim As(a, 6).
S-> —ao
2) lim As(a, 6).
3) limAs(a, 6).
s->0
112. Найти вертикальные касательные к кривой r = a(1 + cos <p)
и показать, что кривая лежит между этими касательными.
113. По углам прямоугольной пластинки со сторонами а и 6
вырезаны четыре равных квадрата. Из оставшейся фигуры обра-
128
эована коробка, высота которой равна стороне квадрата. Найти
длину стороны вырезаемого квадрата, при которой получается
коробка наибольшего объема.
114. Прочность бруса с прямоугольным поперечным сечением
пропорциональна произведению основания на квадрат высоты
*того прямоугольника. Найти форму такого бруса, вытесанного
из бревна, поперечное сечение которого есть круг радиуса а, до¬
пускающего наибольшую нагрузку.
115. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного
симметрично в сектор круга радиуса а с центральным углом 2а.
116. Найти наибольший объем конуса с данной образующей
длины /.
117. Найти наименьший объем конуса, описанного около полу-
шара радиуса а.
118. Из сектора круга радиуса а свертывается коническая во¬
ронка. При каком центральном угле она имеет наибольший
объем?
119. Две точки равномерно движутся по осям координат. Ско¬
рость первой точки равна v\, скорость второй — v2. В некоторый
момент времени точки занимали положения А (а, 0) и В(0, Ь)
соответственно. Найти возможное кратчайшее расстояние между
ними.
120. Точка движется по плоскости со скоростью ui, а по оси
ОХ со скоростью v2l v2>v\. Найти путь из точки А (0, а) в точку
В(Ь> 0), требующий наименьшего времени на его прохождение.
121. Рычаг второго рода имеет точку опоры на одном конце и
уравновешивается силой F на втором. Вес единицы длииы рычага
равен т. На расстоянии а от точки опоры к рычагу, подвешен груз
Р. При какой длине рычага / сила F будет наименьшей?
122. Чашка имеет форму полушара радиуса а. В нее опущен
стержень длиной /, />2а. Найти положение равновесия стержня.
123. Стержень длиной 2b опирается концами на две прямые
в вертикальной плоскости, наклоненные к горизонтами под угла¬
ми а и р. При каком положении стержня его середина находится
выше всего?
124. При каком наклоне боковых сторон равнобедренной тра¬
пеции ее площадь будет наибольшая, если меньшее основание тра¬
пеции равно а, а боковые стороны равны Ь.
125. Сечение канала представляет равнобедренную трапецию
площадью S и высотой h. Каким должен быть угол между боко¬
вой стороной и основанием, чтобы сумма длин нижнего основания
и боковых сторон была наименьшая?
126. От канала шириной а под прямым углом к нему отходит
канал шириной Ь. Стенки каналов прямолинейны вплоть до вер¬
шины угла. Найти наибольшую длину бревна /, которое можно
сплавлять по этим каналам из одного в другой.
127. Яркость освещения выражается формулой / — •—^-п— *
где q> — угол наклона лучей, г — расстояние от площадки до ис¬
129
точника света, т — постоянная (сила источника света). На какой
высоте h надо поместить фонарь на столбе, чтобы освещение гори¬
зонтальной площадки на расстоянии а от столба было наиболь¬
шим?
128. Под каким углом к оси ОХ надо провести прямую через
точку Л (а, b) (а>0, Ь>0), чтобы отрезок ее между положитель¬
ными полуосями координат имел наименьшую длину?
129. Под каким углом к оси ОХ надо провести прямую через
точку Л (а, Ь) (а>0, Ь>0), чтобы треугольник, образованный
этой прямой и положительными полуосями координат, имел на¬
именьший периметр?
130. На оси ОХ найти точку Л (х, 0) (х>0) такую, что отрезок
[1, 4J оси OY виден из точки Л под наибольшим углом.
131. Написать многочлен Тейлора ТА(/, 0) четвертого порядка
для следующих функций:
а) У=у -^р-; б) </ = (1+х)‘; в) у = arcctgдг.
132. Написать многочлен Тейлора Т„({, х0) порядка п и оце-
нить разность этого многочлена и функции на указанном отрезке,
принимая в качестве х0 середину этого отрезка:
а) у= у х на [ — 9, — 7], п = 4; б) t/ = tg jc на [— я/6, я/6], п= 5;
0, л =6; г) у = хе~х на [0, 2], п = 6;
д) j/=xln(l+x) на [1, 3], л =4.
133. Вычислить с точностью до 10-3:
а) КТО; б) у^26;
в) arcsin-—; г) arccos^ ^-j;
д) In 10 (In 3 ~ 1,0986); е) In 15 (In 2 с-0,6932).
134. Написать многочлен Тейлора третьего порядка в указан¬
ной точке для следующей функции у(х), заданной неявно:
а) х*—4ах2у + 2ау3 + агу2 =0, х = у = а (а > 0);
б) х34-*/3—аху—а8, х = 0, у = а\
в) у3— х2у + х5 = 1, х = \, у = 0;
г) xcosy + ycosx = 2x, х = у = 0.
Найти следующие пределы, используя правило Лопиталя:
sin (ех~~х — I) 1пх
135. lim - . 136. lim
в) у = cos х на
In х 1 + 2 In sin x
137. lim ‘nQ+H-xM+InU—*+**) m ,im
X-O 1 —COSJC x~»Q x — sinJC
X
In ( 1 + x) + — — sin X
«оо l- 2 -arcsinx — arctgx
139. lim . 140. lim -—
x-+o arctg* x x-»o In (1 -f x*)
130
141. lim (—! -—V 142. lim (— - \
x-#o \ tgx ex — \J x-+o \ sin1* 1 — cos* /
I4>. Нш + 144.
2
Я
— - arctg x
145. lim (я— 2arctgx) In x. 146. lim
147. lim (— —). 148. lim *ln
Я \ ctgx 2 COS X) X^+oo
2 x+ 1
ex — e~x
e* + e~
2
149. lim Г—- H 2-£ 1. 160. lim
x-*o I 2x* x(e27lx-\)\
i
ex* — \
x .oo 2 arctg x1 —я
lim :
*-♦04- X x-*-0+
151. limxlnln—. 152. lim sinx-lnx.
153. lim *lntg ( — + —). 154. lim (* + 2*)*.
X-»—)-oo \ 4 X ) X-*—|-oo
J_
155. Jim^_ arctg*) * . 156. lim
I I
157. lim xln<**-l>. 158. lim (—) *,n"* .
X^\ \ X )
x-0+
159. lim (sinjc)n \ 160. lim ( —arcctg^V.
Х-*-Л— x-+—оо V 71 J
161. lim (2 —^ 20. 162. lim (lnctgx)te*.
x-a \ a ) x-»>o+
_i_ 1
163. lim (2Kx + x)ln*. 164. lim (ctg—V.
X—*0 Х-+—00 \ \ -\~ X)
165. Найти такое значение а, при котором функция f(x) непре¬
рывна в точке х = 0. Проверить существование и найти величины
производных /'(0), /"(0), /'"(0), /'v(0), если
х фО,
а) /(*) = х
I а . х = 0;
г* — 1 , „
, хфО,
б ими *
а , х=0;
* tt 1 1“ Ctgx’ Хф0'
В) /(*) = *
! а , х ~ 0.
131
Исследовать функции и начертить их графики:
166. у =
х5—2
3
168. ■/-[/-
'"■«-Vrh
169. «/ =
170. У = ух(х—гу.
172. у=-?-<3* + 4>
(х+1)3
171. {/ =
173. «/ =
I —X4
(х+2)(х» + 6х-М)
<*+Пг
х3(х + 2)
(х+ l)s '
х3 (х + 3)
<х+ I)3 '
174. у= $/ (х + 2)г + ^(х— 2)\ 175. у = У(х^2)*— У(х + 2)*.
_ 2х 1
176. </ = ^х*е 3.
178. //=Ух lnx.
180. у ~ х 1п2/3 х.
177. у = (х—6)б *
179. (/ = х2 In2 х.
1п2/3*
182. у = х2е~х\
184. г/ = 2jc -Ь 4 arcctg х.
186. # = arccos
188. у = arcsin
2jc
2х
2*
17
183. у=х2е~х.
185. у=хarctgх—^^-4-
187. у= 2 + |/ -
189. = arcctg -
X — 6
1 _L
2
Исследовать и начертить кривые, заданные параметрически:
t* t2
190. х (0 =-
191. х (/) =
/а4- 1
t
3 - /а
1/(0 =
1/(0 =
/3 + г
<(2-<«)
192. х(<)= (^+2,~, у(0==
3—/а
(/ — 2)а
193. *(/) =
194. х (t) =
195. *(/) =
196. *(/) =
197. х(0 =
/4-1
2(
14-/*
2/
14-<*'
2/
1 4- /а*
In t
”7*”’
t2
/—1
/— I
y(t)=t3—t.
y(t) = t*—et.
y(t)=t*—3t.
y(t)=t2 Int.
t
у (0 =
/2 -1
132
198. x(t) y(t):
/41 / -f 1
199. x(0 = —^—, y(t)= —
W — 1 * W f — I
ОТВЕТЫ
3A- , 3/-—
1. —~^x + 10'/**±.1. 2. 18(3*—5)*. 3. у- 2 4. -r~ 6 ■
Зх«/* у/ (3x + *)<• V8^-3
g 6 — 5,t— 7x2 + 3(3*— 2)( 1 + х)2/3 g _6 cos 2x
6jc* {1 —jc)3/2 (I ' sin‘2* '
7. In(x + V^T1)4- 8. — !—. 9. eix (3* + 10).
K**+l *>n2x sin* 2x ' '
1n Я s,n* x* 9
10. — 2e-*sinjt. 11. -!Iii-sm*-3 2. 12 '
2
13. —■-L-1 14. 2* arctg x +-
Vi — 4x*' ' e 1+x»'
5/
lg (C°s * + sin *) (s*n 2* — 3) jy 2^lg5Jt+l
1 — sin 2x
|R V 1 + X1 — x In (x + У I + X») Jfl 4!n*(l +
(i + **) /ГТ*5 ■ i+«
20. 3 ^* . 21. 2xarccos3;c --3— 22.4 *2ln4/tg —+
1 + xs V1 — 9<* 2
2 (1— xa)sin2x-
- 2x cos 2x'
15. 2I—■**(1 —
-x2 In 4).
In 2
1
(tg5x+l)4''5
cos2 5x
Г*) 2 In 3 In (1 +•
г_х>
/ 1 \arcslnjr* 1
( — I -In •2x
—V 23. '--3 ' —. 24. 2*rcc'®/l+i, ln2 x
9 f
+ - V 23. ,
2 cos* — VX~
2
sinz
(2 x2) y\ -f x*
25. (arcsin*) z ^ JL£21£_!1ILL In arcsin *4-
+^dnrr'Trb)- 26- <-W~‘(|*u x
x'na'de^ + X^.—l—). 27. (tei)"“”'(arcsin2J:lnl6i +
+ —г2*- Intg—+ --arc-sin2jc). 28. (e* + e—*)cos2Jt (— 2sin 2лг-In (e* +
V1 — 4x* 6 2 sin x / 4 ’ ' v
—ж tx_t—x _ JL
+ e~«) + cos 2x• j. 29. (ct6-y) ***> 3 X
133
х (ех + е~х) lnctg ■
1 3 \
__—е*—е~х J. 30. у'=■ sign cos х,
хф
у+ **, y^fJL + kn^ =( — !)*, y'-(jY + я*) =(—l)*4'1.
AeZ.
31. у9 =
xcosx — sin X
~h 1, x Ф 0;
. jc = 0.
32. y' =
-2(x + 1) arctg
* + 1
x* + 2x -f 2
- +
+ arctg2 -f 2, хф — 1;
* + 1
-f+2, *=-1.
4
33. a) 0; 6) 0; B)-L 34. a) a1=-l. 6x=-p a, = 1, = 6) ax =
= ——, 6j= —, a2 = я, b2 = л; в) a, = — — bx - — + —,
2 • 1 2 ’ 1 .2 /1 4 4 2 4
я 1 « Я 1 4 1 , 1 0
aa = , b2 = ; r) a.^ , b. = , a2 3e,
Я 4 4 ’ 2 2 4 2 1 2еа ’ 2
6, = —2eа. 36. а) 1) x, 2) — jc3-f — x\ 6) 1) e-—^-x-\-——,
2) (^r-*’-T-)-', + <!'’+ (те_!+т,!’)'г+(т--т);
в) 1) -±* + 2. 36. y\=y_^^ ■, *#0, ^(0)^2, y_{())--=
= —2. 37. y'+= y'_— \$inx\ f ^cos jcsign sin x, x Ф kn, y'v (0) =
= yl_ (0) =[0, y' (kn) = kn sign k, y’_ (kn) = — foisignfc, feeZ,
38. у =y'_ = -
■to+“h
(2 1 — I)»
хфО, y+( 0)=0, £/1(0)--=—1.
39. y\ = y_ = — sign (sin —) + arcsincos —, хф——, хфО, у' (0)
r X \ X I X kn
и f/l(0) не существуют, y'_ =(—1)* (-у + #+ (~^г) =
= (_!)*+> (лА-JL). 40. y+=y'_ = ^^L-, хфО, y+ (0) =
= -V2, J/1(0) =V2. 41. j/1
sign*
/Г
, *#0, if' (0) = I,
y‘_ (0) = — 1. 42. a) p > 0; 6) p > 1; в) /> > q + 1. 43. 2" 1 cos ^2* +
7") +22n‘3cos (4* + f«). 44. ( —l)"nl ( (х_з-п-н--
+
134
-'{х_1)Я+х )• 4S- (-l)'-23'-V3* (9ж»4-*(9-6п) + Л*-4п+9).
46. (l/2)',e-*sin^+-^-j. 47. (1 -4-7-...-(3n— S))(x—
~ 1)Т~Л- (1 -4 ... (3n — 2)) (x — 1)” , n>2.
48. M)"-5-3;i11-n-1, 49. J-,in ilsinf3x+^U
(3x-l)n+I 2 \ 2 / 4 \ 2 У
-I- sin ^ 5* 4- j. 50. y' =x—x cos 2x 4- jc2 sin 2x, y” = 1—cos 2x 4-
4x sin 2* 4- 2x2cos2x, y<n> = — 2"“3 ^4x*cos^2x + 4nxcos ^2x-h
+ "<nT.l)..j +(rt2—n)cos [2x + n^3. 51. y'=*
= -2xln(l + \f = —2 In(1 + x) У1п' =
(* + 1)"
(2x*-|-2jcп + ла—л), n>3. 52. 5Vxsin (4* 4-яф),
<p = arcsin—. 53. -— ^-/2■1 sin (narcctg*). 54. — 4- — 5n/2X
5 (l + xa)n/2 ' & ' 2 2
. . / о i 2 \ pp cos / 3 sin t со sin t
X cos ( 2x + n arcsi n ■ - j. 55. . 56. .
\ У 5 ] Ae2t cos5t a cos41
t% — 1 ^ _3 cos2l gp 3 (at -j- b) sin t — a cos t
(1 4-<a)/T+l»‘ ~~ 16a* t 3/ ’ ’ (at 4- b)3 cos61
cos5— sin3 —
2 2
/4-2/ cos2 14- — sin 21
60. ei. I_2 e2. ^
25a* cos13/«sin/ 4f3sin4/ 9(1 4~ ^а)а
вз. у у’ =_i£±i£_ 64. „'=_i JL y- = -^_
x 1 +Х + У y,x (l+j + j,)»' y* sinxy X ’ XX X>
1 _4f-c°s xy 65 -=_£_ • = 2xy + 4^-x^ eg .
xsinJtt/ sin**y * *4-2y’ xx (x 4- 2y)* x
= —2; y’XI=Y при x=l, у = — 5; ^ =0, ^ = — 1/3 при x = l,
»“'• ,7' np“ *=T- y-VB’ y’-~
~~J7f •'"~4r -P-'-f’ »—■ЙГ- *9' '■“T+j’
y' = я3 + 2я1, + 8д 69. t/* —5(/' + 6y = 0. 70. u" + e*a+l> un =0.
“ (л + 2)» » » -r »
71. ц*+ (l — —~^1/4 ju = 0. 72. 2Г+ (ц ^-)z=r°- 73‘ “' +
135
+ -—и' — ы = 0. 74. t;'— [1 + 4e'*q (e**)]v = 0. 75. гГ + — = 0.
sh/ sh»/ 1 s2
76. iT—sV = 0. 77. x*—2x'y =0. 78. r'cos ^2ф -f j — г cos ^2ф —
——) =0. 79. r"—r— 0. 80. a) t/ = nx, y-—-x\ 6) y= — — (x—1),
4 / я 2
y = —(Jf—1). 81. a) у—1=—x, у— l=x; б) x = ^-е-п>\ у =
n 2
J’b V2 - — */"2 - — 2
= 2^-e-^4; в) y = «,x = Z_e * 82.a)y = — x, y =
= —y-*; 6) y + ^—i=-L-(x— „)t jii—I = —4jx(x— л);
в ) x = 2 n . 83. a) y-*r 1), у -
(x-1); б) у-л = (yU f 3)(x- 1/3). у-я =
— I
Я
~Г + Уз
2л
/3 +3
<*-m 84. iT“ —pr(x—w)- (x—tj)
при x.-L-, ,-0; ,-2--^-(*--i-). j,_2 = -V2(,--L)
3 _
при x = —-J=-, (/ = 2. 85. а) полукасательная x=0, y^0\ б) у—— =
у 2 2
\ 6 / 2 УЗ I 6 } 64
32 V 4 / 64 л — 6 V 4 / ' У 8 \ 2 /
jj-j. 87. </=3, х=1 при x = l, «/=3, y+2=jM),
у i-2 — —2 (x— 1) при x = 1, */ = —2. 88. у— 1 = - (x— 2), у—1 =
— —2(x—2). 89. а) полукасательная у1— (x—2), x^2;
б) У- —X, У=\х\ в) y—(3 + 2 V3) = y-53+ lx, y— (3 + 2V3)^
3 9
— -x. 90. arctg—. 91. arctg3. 92. arctg2. Указание. Пока-
✓ з+l 7
зать, что точка (0, 0) единственная точка пересечения. 93. ф =
= arctg 4/7 в точках (1; 2) и (3; 6); ф = arctg 1/2 в точке (2; 4).
94. л/3. Указание. Уравнение данных кривых представить в виде
х = х(ф), у=у(ф), полагая х=г(ф)созф, y=r(y)s\ny. 95. arctg 2 УЗ.
136
Указание. См. предыдущую задачу. 96. /? = УЗ. 98. a) arctg (3/4);
б) arctg(4/3); в) л/2. 103. я/3. 107. а) на промежутках (— оо, 0),
(2, + оо) убывает, на промежутке (0, 2) возрастает; при дг=0 минимум,
х—2—локальный максимум; б) на промежутках(—оо, 0), (4/11, -foo)
возрастает, на промежутке (0, 4/11) убывает, х = 0—локальный мак¬
симум, * = 4/11 — локальный минимум; в) на промежутках (— oof —1),
(1/9, 1), (3, 4- оо) убывает, на промежутках (—1, 1/9), (1, 3) воз¬
растает, а: = 1/9 и х =3— локальные максимумы; г) на промежутках
(0, 1), (е4, 4-оо) убывает, на промежутке (1, г4) возрастает, х = 1 —
минимум, х = е4—локальный максимум; д) на промежутках (—1/2,
— 1/4), (0, 1/4) возрастает, на промежутках (—1/4, 0), (1/4, 1/2)
убывает, при jc = ztl/2 краевой минимум; при х= ± 1/4 максимум,
х = 0—локальный минимум; е) на промежутке (0, 4-<») убывает; ж)
на промежутке (0,1 /е) убывает, на промежутке (1/е, 4- оо) возрастает,
а: = 1/е минимум, з) на промежутках 4- я& < х -f я&у
возрастает, на промежутках (—я/64-я&<л'< я/6 4- я£), Ле Z убывает,
х = —я/64лЛ, ie 2,—локальные максимумы, х = я/б4-я&, fteZ,
— локальные минимумы; и) на промежутках (—oot —1), (0, 1) убы¬
вает* на промежутках (—1, 0), (1, 4- оо) возрастает, * = ±1 —
— минимум; к) на промежутке (—оо, 4- оо) возрастает. 109. I. а)
шах/(л') = 29, minf{x) = — 3; б) max/(jt) —13, min/(jt) = 2; в)
max/j» = 78, min / (*) = — 52. II. a) max/(*) = Ъег2, min/(;t) =
=—1; б) таxf(x)=e24 minf(x) =—e; в) max/(x) = l/e, min/(jc) =
= -1. 110. I. a) sup/(x) =/(5)=7/5, inf/(x)-l; 6) sup/(x)=7/5,
inf/(x)=0;B) supf(x) =8/7, inf / (дг) = 0. II. a) supf(x)=2, inf/(.t)=0,
6) sup/(x) = 2, inff(x) = — 1/4; в) sup/(a:) =3/4, inf/(jc) = — 1/4
111. в) 1) min (a, b)\ 2) max (a, b); 3) ~\/ab. 112. x = 2 a, x = —a/4.
113. a + ь~У^а%~ afr + fct 114. 2a/V3—ширина, 2аУ2/УЗ—высота.
6
115. a2 tg —. 116. 117. 118. 2я л[—
2 9КЗ 2 \ 3
,19. Iat‘» fctlil_ |2о. Если* =—■■■Ul■ <Г Ь. то ломаная АСВ,
Vt'l + T'l Vt'2 —
где С = С(х, 0); если х^Ь, то прямая АБ. 121. I =V2ap/mt если
рута/ 2; / =а, если р^.та/2. 122. При 4а угол наклона стерж¬
ня к горизонту равен arccos' - ^1 128а*. 123. ф = arctg —п-(а~ ^
16а 2 sin а-sin 0 ’
где ф—угол наклона стержня к горизонту. 124. ф = arccos — Ра~д
46
125. ф = — при , ф = arctg— при S<—. 126. / = (а2/3 4-
3 3 (S3
+ ftS/3)3/2 127 л== а 128 q) = arctgy J_ 129 ^arcsin-** —
V 2 f а
137
^ cP b%
18 3240 ’
б) е- -2L +
х4; в) -—х + — х*.
; 2 3
132. а) - 2 + -1- (* + 8) + -^ (* + 8)» + ^ <х + 8)’ +
е) 2,708. 134. а) а+(х— а) 7—(•*—а)* ———; б) а+ — х—
4 а 8а2 3
—Xs; в) 5(х— 1) + 130 (х— I)3; г) х+х3. 135. 1. 136. 1/2.
81
137. 2. 138. 1. 139. 1/2. 140. 1/2. 141. 1/2. 142. 1/2. 143. 0.
144. _L. 145. 0. 146. —1. 147. —1. 148. 0. 149. яа/6. 150. —1/2.
3
151. 0. 152. 0. 153. 2я. 154. 2. 155. 1. 156. е~1'3. 157. е. 158. е^я.
J. _ -L
159. 1. 160. ея. .161. е л. 162. 1. 163. Уё. 164. 1. 165. а) а = 1,
ПО) =0, Г(0) = — 1/3, Г(0)=0, /(,v>(0)=-g-; б) а = l; /' (0)=1/2;
ПО) = 1/3; Г (0) = 1/4; fm( 0) = 1/5;_в) а = 0, /' (0) = 1/3. Г(0)=0,
/"'(О) =2/15, /(1У) (0) = 0. 166. хф 1/2; асимптоты у=х и х = у/ 2\
локальный минимум ^2, локальный максимум (0, 0); на(—оо, 0)
и (2, -f оо) возрастает; на (0, J/2) и (у^2, 2) убывает; ^ — V4,
^“>^4 j —точка перегиба; на (— оо, —у^4) и (y^2t + оо) выпукла
вниз; на (—>^4, у^2) выпукла вверх. 167. хФ±.\\ четная; асимп-
+ T-T(*_2)a + ^‘^(*_2)S + ir ^~(*_2)4> SRAf' 2)К
133. а) 3,162; б) 2,963; в) 0,340; г) 1,823; д) 2,303;
51 32 100
тоты x — — \t х=\ и у = — 1; локальный минимум (0, 0); на (0, 1)
и (1, + оо) возрастает; на (—оо, —1) и (—1, 0) убывает; (0, 0)—
точка возврата, вертикальная полу касательная х = 0, у^0\ (—1/3, 2);
(1/3, 2) — точки перегиба; на (—оо, —1), (—1/3, 0), (0, 1/3),
(1, -}- оо) выпукла вверх; на (—1, —1/3) и (1/3, 1) выпукла вниз.
168. хф0\ четная; асимптоты х=0 и у = — 1; в точках (—1, 0)
и (1,0) вертикальная касательная; на (—оо, 0) возрастает; на (0, -foo)
убывает; точки перегиба (— V5/3, у^4/5), (/5/3, ->/4/5), (1, 0)
и (-1, 0); на (-ОО, -1), (-у 573, 0), (0, уТ/З) и (1, + оо)
выпукла вниз; на (—1, —1/5/3) и (1^5/3, 1) выпукла вверх.
169. хф—1; у = 0 при х = —/5— 3, х——2, х = У5—3; асимпто¬
ты х=—1 и у=х + 6; локальный максимум (—3, 5/4); на (—оо, —3)
и (—1, -f оо) возрастает; на (—3, —1) убывает; точка перегиба
(0, 8), на (—оо, —1), (—1, 0) выпукла вверх; на (0, + оо) выпукла
вниз. 170. у — 0 при х=0 и х = —3; асимптота у — х—2; локальный
максимум (1, /4); локальный минимум (3, 0); (3, 0) — точка возвра¬
та; вертикальная полу касательная х — 3, у^ 0; на (—оо, 1) и (3, -f оо)
возрастает; на (1, 3) убывает; точка перегиба (0, 0); на (0, 3) и (3, + оо)
выпукла вверх; на (—оо, 0) выпукла вниз. 171. хф—1; у = 0 при
х = 0 и х = —2; асимптоты х= — 1 и у=х—1; возрастает на (—оо, —1)
и (—1, -foo); точка перегиба (0, 0); на (—оо, —1) и (0, -foo)
выпукла вниз; на (—1, 0) выпукла вверх. 172. хФ—1; у = 0 при
х = 0 и х = —4/3; асимптоты х — — 1 и у = 3х—5; возрастает на
(—оо, —1) и (— 1, -foo); точки перегиба (—2, —16), (0, 0);
на (—оо, —2) и (—1,0) выпукла вверх; на (—2, —1) и (0, + оо)
выпукла вниз. 173. хф—1; у = 0 при х = 0 и х = — 3; асимптоты
х = — 1, у = х; возрастает на (—оо, —1) и (—1, + оо); точки пере¬
гиба (0, 0) и (3, 81/32); на (— оо, —1) и (0, 3) выпукла вниз;
на (—1, 0) и (3, -foo) выпукла вверх. 174. Четная; положительная.
локальный максимум (0, 2уЧ); минимум (—2, 2/2) и (2, 2/2);
возрастает на (— 2,0) и (2, -foe); убывает на (—оо, —2) и (0, —2)\
в точках (— 2, 2/2) и (2, 2/2) вертикальные полу касательные
х = — 2, у^2у/2 и х = 2, i/>2-/2; выпукла вверх на (—оо, —2),
(—2, 2), (2, -foo). 175. Нечетная; у — 0 прих = 0; асимптота у=0.
Максимум (— 2, 2у 2); минимум (2, —2/2); возрастает на (—оо,
— 2),(2, -foo); убьшает на (— 2, 2), в точках (—2, 2 у 2) и
(2, —2/2) вертикальные полукасательные х = —2, у^.2у2 и х=
= 2, (/>-2/2, точка перегиба (0, 0); на (0, 2) и (2, -f оо) выпукла
вверх,на (— оо,—2), (—2,0) выпукла вниз. 176. Неотрицательная;у = 0
при х = 0; асимптота у — 0 при х-+ -f оо; локальный максимум (1, /е~2)\
минимум (0, 0); возрастает на (0, 1); убывает на (—оо, 0) и (1, -foo);
в точке (0, 0) — вертикальная полукасательная х = 0, у^ 0; точки
перегиба (*lt у,) и (хг, yt), где хх = 1 — /= х, = 1 +
139
+ "I". У2=У(Хi). Ha (*i, 0) и (0, x2) выпукла вверх; на (—oo,^)
(x2, -f оо) выпукла вниз. 177. хфО, y = 0 при x —6; наклонная
асимптота у = х— 7; вертикальная асимптота х = 0, у^.0; lim у(х) =
х-0+
= 0; локальный максимум (— 3, —9}/е); локальный минимум
(2, —4/|/е); lim у'= 0; точка перегиба (*0, (/„), где лг0-=6/13, у0=--
х-0 +
= у(х0)\ на (— оо, 0) и (0, 6/13) выпукла вверх; на (6/13, + оо)
выпукла вниз. 178. *>0; у— 0 при * = 1; lim*/(x)=0; минимум
х-*0 +
(1/е2, —2/е); возрастает на (1/еа, -foo); убывает на (0, 1/еа);
lim у' = — оо; точка перегиба (1, 0); на (0, 1) выпукла вверх; на
(1, +оо) выпукла вниз. 179. х > 0; неотрицательная; у = 0 при
х=\\ lim у = 0; локальный максимум (\/е, 1/е2); минимум (1, 0);
на (0, 1/е) и (1, -f оо) возрастает; на (1/е, 1) убывает; lim у'= 0;
_ х-»0-Ь
точки перегиба (xlt yj и (x2, y2)t где ln*1=(—3—^5)/2, ln*2 =
= ( — 3 + ]/5)/2, «/,=</(*,), yt=y(xt); на (0,^) и (лга, + оо) выпукла
вниз; на (х19 х2) выпукла вверх. 180. х > 0; неотрицательная; у = 0
при х = 1; lim у(х) =0; минимум в точке (1, 0); локальный максимум
в точке (е-2/3, е~2/3 \f 4/9); в точке (1, 0) вертикальная полукасатель-
ная х = 1, у^ 0; точка перегиба (у/~е, у^е! 9); на (0, 1) и (1, >/е)
выпукла вверх; на (j/e, 4- оо) выпукла вниз. 181. *>0; неотрица¬
тельная; у = 0 при х = 1; jc = 0, 0—вертикальная асимптота; асимп¬
тота у = 0 при*-*- 4- оо; минимум в точке (1, 0); локальный максимум в
точке (е2/3, е“2/3^4/9); убывает на (0, 1) и (е2/3, f оо); возрастает на
(1, е2/3); в точке (1, 0) вертикальная полукасательная х=\% 0;
точка перегиба (xlt уг) и (х2, у2), где lnjCj=(3—]/13)/6, у1=у(х1),
1пх2 — (3 + У 13)/6, у2=у(х2)\ на (0, хх) и (х2, + оо) выпукла вниз;
на (х1э 1) и (1, х2) выпукла вверх. 182. Четная; неотрицательная;
у = 0 при х — 0; асимптота у = 0; максимум в точках (—1,1/е) и (1, 1/е);
минимум в точке (0, 0); возрастает на (— оо, —1) и (0, 1); убывает
на (—1, 0) и (1, foo); точки перегиба (хиУ1), (х2, у2), (x3f y3)t
(Xt,yt), где х^-±Уь + У\7, xt = - -±- Vb-VTT,
= VT7, х4 = -!-}/'5 f 1/17, y^yixj, уг=у{хг), t/,=
— У4==у(ха)’ на (—°°. *i). (*2. *з). (*i. -Ь оо) выпукла вниз;
на (*ь х2) и (х3, х4) выпукла вверх. 183. Неотрицательная; у = 0
при х=0; асимптота у — 0 при х-++ оо; минимум в точке (0, 0);
локальный максимум в точке ^2, ~j’> возрастает на (0, 2); убывает
на (—оо, 0) и (2, 4-оо); точки перегиба (*lf ух)% (х2, z/2), где хх =
140
*51 =
= 2—1/2, yl = y(.x1), xt = 2 + У2, yt=y(xt)\ на (— oo, дс,), (дг„ + oo)
выпукла вниз; на (jclf х2) выпукла вверх. 184. у = 2л при л: = 0, асимп¬
тота у -- 2jc при х —► оо; асимптота у = 2х -Ь 4л при х -► — оо; локаль¬
ный максимум в точке (—1, —2 -f 3л); локальный минимум в точке
(1,2 +л); возрастает на (—оо, —1), (1 +ос); - убывает на (—1, 1);
точка перегиба (0, 2л); на (—с», 0) выпукла вверх; на (0, + оо)
выпукла вниз. 185. у— 0 при jc = 0; асимптота у— i-) х—1
(1 Зл '
— j X—1 при Х-+—оо; мини¬
мум в точке (1, —1/2); убывает на (—оо, 1); возрастает на (1, + оо);
выпукла вниз. 186. у= л/2 прих = 0; асимптота у = +
локальные минимумы в точках ^—2, я + —arccos-g-j, (1, —2/5);
(2 \ / 4 4 4
— 1* п "j--) * arccos— — J;
точки ^—1, n + ^1» — угловые; в точке ^—1, я +
левая полукасательная ^ тс -|—н—2- (jc -h 1), х ^—1, правая по¬
лукасательная у = ^л-f j ~(л+ 1), — 1; в точке (1, —2/5)
2 7
левая полукасательная у= (х — 1), правая полука-
5 5
2 3
сательная у = 1 (jc—1), х^\\ убывает на (—оо, —2),
5 5
{— 1, 1), (2, + оо); возрастает на (—2, —1), (1, 2); точка перегиба
<0, л/2); на ( — оо, —1), (0, 1) выпукла вниз; на ( — 1, 0) и (1, + оо)
выпукла вверх. 187. х>6, jc^O; у = 2 при х = 0; асимптота у =
=—х—1 при х —► — оо; асимптота у =х + 5 при *-*-+- оо; локальный
минимум в точке (9, 2 + 9 V 3), краевой минимум в точке (0, 2); убы¬
вает на ( — оо,0) и (6,9); возрастает на (9, -Ь оо); выпукла вниз
на (— оо, 0) и (6, + оо). 188. У = ~~ ПРИ * = 0; асимптота у =
2х я
= — —; локальный минимум в точке (—4, 8/17—arcsin 15/16);
локальный максимум в точке (0, л/2); точка (0, л/2)—угловая, левая
л , 32 • я 36
полукасательная */ =— -f правая полукасательная У = — — х;
убывает на (— оо, —4) и (0, +оо); возрастает на (—4, 0); выпукла
вниз на (— оо, 0), (0, 4- оо). 189. хфО; lim у(х)= 0, lim у(х) =
= я; асимптота у = (п—х)/2\ локальный минимум ^ — 1, +
141
локальный максимум ^1, i-j; убывает на (— оо, —1), (1, +00) •
возрастает на (—1,0) и (0, 1); выпукла вниз на (— оо, 0); выпукла
вверх на (0, + оо). 190. у= 0 при х=0, асимптота у=—х+1/3;
локальный минимум в точке (0, 0); локальный максимум в точке
(2/3, уЧ/З); на (— оо, 0) и (2/3, Ч-о°) убывает; на (0, 2/3) воз¬
растает; (0, 0) точка возврата; вертикальная полукасательная х = 0,
у^ 0; (1, 0) точка перегиба; на (— сю, 0) и (0, 1) выпукла вверх;
на (1, + оо) выпукла вниз. 191. Кривая состоит из трех ветвей. Для
первой ветви у (—х) = ,—у (дг); при х = 0, х = d= ]/2f у = 0; локальный
минимум в точке (—1/2, —1/2); локальный максимум в точке (1/2,
1/2); правая асимптота у = —х+ 1/3; левая асимптота у= —х—1/3;
на (— оо, —1/2) и (1/2, Ч-о°) убывает; на ( — 1/2, 1/2) возрастает;
(О, 0)—точка перегиба; на (— оо, 0) выпукла вниз; на (0, + оо)
выпукла вверх. Вторая ветвь: х > 0, асимптота * = 0, у=—х — КЗ;
максимум в точке (V2/3, —4 l/2/З); выпукла вверх. Третья ветвь
симметрична со второй относительно начала координат. 192. Кривая
состоит из четырех ветвей. Первая ветвь х^4, — 9/2<//^—4;
асимптота у^=—9/2; краевой максимум (4, —4); на (4, + оо) убы¬
вает; выпукла вниз. Вторая ветвь симметрична первой ветвн отно¬
сительно прямой у = —х. Третья ветвь х > 9/2, у^ 0, у--= 0 при
л: = 16/3, асимптоты л: = 9/2 и у = к—6, минимум в точке (16/3, 0)„
выпукла вниз. Четвертая ветвь симметрична относительно прямой
у= —х третьей ветви; (4, —4)—точка возврата кривой с полукасатель-
ной у=—ху х^4. 193. Кривая состоит из трех ветвей. Первая
ветвь — 1^х< 1, у( — х) = —у(х), у = 0, при д: -=0, х=- \ и х-= — 1,
(— ^3/2, 2/3 V 3)—точка максимума, ()/3/2,— 2/3 J/3)—точка мини¬
мума, на ( — 1, —-1/3/2) и (/3/2, 1) возрастает, на (— I/3/2, J/3/2)
убывает, (0, 0) — точка перегиба, на (—1, 0) выпукла вверх, на (0, 1}
выпукла вниз. Вторая ветвь 0 < х 1, // 0 ; у = 0 при х = 1;
асимптота х = 0; (1, 0) — краевой минимум; на (0, 1) убывает;
(|/l5/4, j/5/3 j —точка перегиба; на (0, 1/15/4)j выпукла вниз;
на (V15/4, 1) выпукла вверх. Третья ветвь симметрична со второй
относительно начала координат. Кривая в точках ( — 1, 0) и (1, 0)
имеет вертикальные касательные х= —1 и х — 1. 194. Кривая состоит из
трех ветвей. Первая ветвь — l^x^l, у(—х) = —у(х)\ у = 0 при х = 0,
у (— 1)— 5, £/ (1) = —5; краевой максимум (— 1, 5); краевой минимум
(1,-5); на (— 1, 1) убывает; (0, 0)—точка перегиба; на (—1,0)
выпукла вниз; на (0, 1) выпукла вверх. Вторая ветвь 0<л^1;
у(\) = — 5; (2 1/6/7) = 0; асимптота х=0; (2 1/2/3, 4У2)—точка
минимума; на (0, 21/2/3) убывает; на (2 l/2/З, 1) возрастает; выпукла
вниз. Третья ветвь симметрична со второй ветвью относительно начала
координат. Кривая имеет в точках (— 1, 5) и (1, —5) вертикальные
касательные х= — 1 и 1 и две двойные точки—пересечение первой
ветви со второй и третьей. 195. Кривая состоит из трех ветвей. Первая
142
ветвь —1<х<1, у{\) = —2; у(—х) = —J/(x); у(0)-=0, */( —1) =2;
краевой максимум ( —1, 2); краевой минимум (1, —2); на (— 1, 1)
убывает; (0, 0)—точка перегиба; на (—1,0) выпукла вниз; на (0, 1)
выпукла вверх. Вторая ветвь 0 <*<1,у(Т/3/2) = 0; асимптота дг = 0;
(1, —2)—краевой минимум; на (0, 1) убывает; выпукла вниз. Третья
ветвь симметрична со второй относительно начала координат. Точки
возврата кривой (—1,2), (1,2); полукасательные у — 2 — 6 (*+1),
х> — 1 и у= —2— 6 (х— 1), x^I 1. 196. Кривая симметрична относи¬
тельно прямой у — —х; при х = 0. На промежутке (—оо, 0] имеем у = 0
при х = 0, асимптота у — 0, минимум в точке (—е/2, —1/2е), на ( —оо,
—е/2) убывает, на (--е/2, 0) возрастает, (—V2e^2l2% — V2l2eV2)—
точка перегиба, на (— оо, —Y2eyr2f2) выпукла вверх, на (—У2е^/2,
0) выпукла вниз. 197. Кривая состоит из пяти ветвей. Первая ветвь
х< —1/2, у< 0; асимптоты у = 0, х= —1/2; на (— оо, —1/2) убы¬
вает и выпукла вверх. Вторая ветвь х^0, у^0; у(0) = 0; асимптота
1 3
у — —х ; возрастает и выпукла вниз. Третья ветвь —1/2<х^0,
2 4
х/^0; (0) = 0; асимптота х——1/2; убывает и имеет точку перегиба
х0, соответствующей /0 такому, что /о + 3/0-f-1=0; на (—1/2, х0)
выпукла вниз; на (х0, 0) выпукла вверх. Четвертая ветвь х>4, у^
2 13
> 2/3; у (4) ; асимптота у =— х — —, возрастает и выпукла вверх.
Пятая ветвь х>4, у^ 2/3; асимптота у= 0; убывает и выпукла вниз.
Кривая имеет вертикальные касательные в точках (0, 0) и (4, 2/3)
соответственно х = 0 и х = 4 и двойную точку—пересечение первой
и второй ветвей. 198. хф 1; у = 0 при х = 0; асимптоты х=1, у =
= Зх+1; локальный минимум в точке (27/19, 27/4); на (— оо, 1)
и (27/19, + оо) возрастает; на (1,27/19) убывает; (8/133, 8/175) —
точка перегиба; на (— оо, 8/133) выпукла вверх; на (8/133, 1) и (1, + оо)
выпукла вниз. 199. Кривая состоит из четырех ветвей. Первая ветвь
х ^ 0, — 1/2 < у <1 0; у (0) = 0; асимптота у= —1/2; возрастает;
выпукла вниз. Вторая ветвь х<!0, у^. 0; у(0) = 0; асимптота */ = 2х-Ь
+ -J-; возрастает; выпукла вверх. Третья ветвь х > 1, г/>0; асимптоты
.X = 1, у = 2х + —; минимум в (4/3, 4); на (1, 4/3) убывает; на (4/3,
+ оо) возрастает; выпукла вниз. Четвертая ветвь х > 1, */< 0;
асимптоты х = 1, у——1/2; возрастает; выпукла вверх; (0, 0)—точка
возврата кривой с полукасательной у=х, х^0.
Глава IV
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
§ 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ
НА ПРЯМОЙ
Множества обозначим большими буквами латинского алфа¬
вита. Знак «и» обозначает объединение, знак «П» — пересечение,
а знак «\» — разность множеств. Для любого множества М
через СМ обозначим дополнение множества М до всей прямой.
1. Доказать, что каждое из условий А[\В=А и А[)В = В необ¬
ходимо и достаточно для того, чтобы АаВ.
2. Доказать, что если A\B = D, то Aa(B\JD).
3. Привести пример таких множеств А и В, что АфВ'^ (Л \В).
4. Доказать, что если A = B’\jD, то A\BczD.
5. Привести пример таких множеств Л, В, D, что A = B\jD, но
A \ВФ&.
6. Доказать, что А\(В[}Е) = (А\В)\Е.
7. Привести пример таких множеств Ау Ву £, D, что D = A'J
U(В\Е), но ОФ(А[)В)\Е.
8. Доказать, что если D = A'J(B\E), то (A[]B)\Ea:D.
9. Доказать, что (Ai{jA2)\(Bl\jB2)a:(A\\B])[)(A2\B2).
10. Привести пример таких множеств А\, Л2, В\у В2, что
(А1[)Л2)\(Вх[}В2)Ф(А1\В1)[ЦА2\В2).
11. Доказать, что
а) С{А[]В)-=СА f]CB;
б) С (А (]В)=СА[}СВ.
12. Доказать, что
а) С ((A U В)\(А П В)) =(С(А[) В)) [}(Af\B)y
б) (ЛиС£)П(СЛиД)=(ЛПВ)и(СЛПСД).
Пусть Е — подмножество числовой прямой. Через £' обозна¬
чим множество предельных точек множества £, через Е — замы¬
кание £, т. е. пересечение всех замкнутых множеств, содержащих
Е, через 0Е — множество граничных точек Е.
13. Привести примеры множества Е, удовлетворяющего соот¬
ношению:
а) Е = Е'\ б) £' cz Е и Е\Е' Ф 0 ; в) Е cz Е' и Е'\ЕФ0;
г) Е' \ ЕФ0 и Е\Е'Ф0\ д)£П£' = 0; e)sup£c=£;
ж)$ир£е£; з) sup£e£\£'.
14. Привести пример множества, имеющего:
а) ровно одну предельную точку; б) ровно шесть предельных то¬
чек.
15. Дано множество £ на прямой, причем
inf \хп — хт\ =а > 0,
п,т,пфт
144
где хПу х,п ~ любые точки Е. Доказать, что множество £ не имеет
предельных точек.
16. Может ли множество, состоящее только из изолированных
точек, иметь предельные точки.
17. Доказать, что, для того чтобы множество было замкнутым,
необходимо и достаточно, чтобы оно содержало все свои точки
прикосновения, т. е. точки, любые окрестности которых имеют не¬
пустые пересечения с множеством.
18. Доказать, что для любого множества Е имеем Е = Е\}Е'.
19. Доказать, что если множество включается в производное
(т. е. в множество всех предельных точек этого множества), то
оно не содержит изолированных точек.
20. Является ли замкнутым множеством множество рациональ¬
ных точек отрезка [0, 1].
21. Найти множество предельных точек множества рацио¬
нальных чисел.
22. Привести пример множества, не являющегося ни замкну¬
тым, ни открытым.
23. Найти множество предельных точек множества ирра¬
циональных чисел, больших чеял два.
24. Привести пример множества, являющегося одновременно
открытым и замкнутым.
25. Доказать, что изолированная точка множества Е является
граничной.
26. Доказать, что если предельная точка не принадлежит мно¬
жеству, то она является граничной.
27. Доказать, что d(A[)B)czdA\JdB.
28. Доказать, что д(А(]В)адА[}дВ.
29. Привести пример множества А такого, что А" непусто, а
Апусто, где А"=(А')' и Л'"=(Л")'.
30. Пусть f отображает отрезок [0, 1] на множество {cj, Сг, £з>
съ> с6}.
Доказать, что по крайней мере для одного из чисел Ci (l^i^
<6) множество f~l(Ci) имеет предельную точку. Построить при¬
мер отображения f такого, чтобы только одно из таких множеств
имело предельную точку; чтобы ровно три таких множества имели
предельную точку.
N N
31. Пусть Е = у Еп. Доказать, что £'=- [J £„.
п=1 1 п=1
32. Привести пример последовательности множеств Еп таких,
оо
что для любого п £л'=0, а Е'ф0, где Е = у Еп.
Л=»1
33. Доказать, что непустое пересечение любого семейства замк¬
нутых множеств замкнуто.
34. Доказать, что сумма конечного числа замкнутых множеств
замкнута.
145
35. Привести пример последовательности замкнутых множеств
оо
Гп такой, что множество А — \J Fn не замкнуто; в частности,
П=1
•чтобы множество А было интервалом.
36. Доказать, что сумма любого семейства открытых множеств
является открытым множеством.
37. Доказать, что непустое пересечение конечного числа откры¬
тых множеств является открытым множеством.
38. Привести пример последовательности открытых множеств
оо
Юп такой, что множество А = Q G„ — не открытое; в частности,
п= 1
множество А — отрезок.
39. Найти замыкание множества {2p/q}y где р и q натуральные.
40. Доказать, что множество граничных точек любого множе¬
ства замкнуто.
41. Какова мощность множества всех квадратов на плоскости
с рациональными координатами вершин?
42. Доказать, что множество непересекающихся интервалов на
прямой не более чем счетно.
43. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точ¬
ками множества А больше единицы, то множество А не более чем
•счетно.
44. Доказать, что множество всех многочленов Р(х) =а0 +
+ а{х+ ... + апхп с рациональными коэффициентами счетно.
45. Известно, что множество предельных точек множества А
■счетно.
Доказать, что множество А счетно.
CD
46. Пусть Е= U Еп и каждое из Еп содержит только изолиро-
п = 1
ванные точки. Доказать, что Е не более чем счетно.
47. Доказать, что для любого счетного множества А = {хп} су¬
ществует число а такое, что множество {хп + а)[\А пусто.
48. Представить множество натуральных чисел как счетное
объединение непересекающихся счетных множеств.
49. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1]
на интервал (0, 1).
50. Построить взаимно однозначное отображение [0, -f-оо) на
(а, Ь).
51. Доказать равномощность отрезка |0, 1] и квадрата с вер¬
шинами 0(0; 0), /4(0; 1), 5(1; 0); С(1; 1).
52. Доказать, что всякое несчетное множество содержит не¬
счетное ограниченное подмножество.
53. Привести пример счетного множества, каждое ограниченное
подмножество которого конечно.
54. Привести пример счетного множества, имеющего ровно три
предельные точки.
146
55. Доказать, что все точки счетного множества граничные.
56. Привести пример последовательности вложенных интерва¬
лов, имеющих одну точку пересечения.
57. Привести пример последовательности вложенных интерва¬
лов, содержащих в пересечении отрезок.
58. Привести пример последовательности вложенных интерва-
00
лов (ап> Ъп) такой, что Q (а„, 6П) = 0. При каком дополнительном
л=1
условии можно утверждать, что последовательность вложенных
интервалов имеет непустое пересечение?
оо
59. Пусть [а, Ь] = у Fn, где Fn — замкнутые множества. До-
Л = 1
казать, что существуют отрезок [а, р] а [а, Ь] и число По такие,,
что Fn.fl [а, Р] =[а, Р].
60. Привести пример последовательности вложенных отрезков-
оо
[Дл, Ьп] такой, что множество р| [ап, Ьп] содержит не менее двух
П — 1
точек.
61. Доказать, что для последовательности вложенных отрезкоа
оо
[ап, Ьп\ множество [ап, Ьг\ есть или точка, или отрезок.
п = 1
62. Дано множество Е = {0; 1; —; —; —, ... , —..Ли си-
\ 2 4 8 2я /
стема интервалов (—с, е) и ((1 —е)/2п, (1+е)/2л), n^O, 1, 2, . ..
где 0<е< 1/2. Выделить конечную подсистему, покрывающую Е.
63. Дано множество £= |l; у; ... , ...J и система
интервалов (—8, е) и ((1 — e)/2n, (1 Н- в)/2п), п= О, 1, 2, ... , 0<
<£<1/2. Можно ли выбрать конечное подпокрытие из этой системы
интервалов?
64. Дано множество £ = {1, 2, 3, ..., л, ...} и система интерва¬
лов (п—е, л + е), п=~-1, 2, ..., 0<е< 1/2. Можно ли выбрать конеч¬
ное подпокрытие из этой системы интервалов?
65. Привести пример покрытия отрезка системой отрезков, из
которых нельзя выбрать конечную систему покрытия.
66. Привести пример покрытия интервала системой интервалов,
из которых нельзя выбрать конечную систему покрытия.
67. Привести пример покрытия интервала бесконечной системой
отрезков, из которых нельзя выбрать конечного покрытия.
68. Привести пример покрытия числовой прямой интервалами,
не допускающего конечного подпокрытия.
69. Доказать, что если из всякого покрытия множества системой
интервалов можно выбрать конечное подпокрытие, то множество
ограничено (т. е. содержится в некотором отрезке числовой пря¬
мой).
147
§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА
70. Какое свойство последовательности определяет следующее
высказывание:
Vn-eiV 3/4>0, такое, что \ап\<А.
71. Доказать, что если некоторая подпоследовательность мо¬
нотонной последовательности ограничена, то и сама последова¬
тельность ограничена.
72. Привести пример неограниченной последовательности, у
которой есть ограниченная подпоследовательность.
73. Привести пример последовательности, у которой нет огра¬
ниченной подпоследовательности.
74. Доказать, что у любол последовательности есть монотонная
под последов ател ьность.
75. Доказать, что если у последовательности {ал} нет конечных
частичных пределов, то последовательность {|Дл|} стремится
К -f ОО.
76. Привести пример последовательности {а„} такой, что
lim |ап| =Л, а предел последовательности {ап) не существует.
«-►ОО
Пусть {а,,} — некоторая последовательность и А — множество
значений этой последовательности.
77. Показать, что предельная точка А является частичным пре¬
делом последовательности {ал}.
78. Привести пример последовательности {ап} такой, что точка
a = lima„ не является предельной точкой множества А.
П_*.оо
79. Привести пример последовательности {ап} такой, чго ни
один из ее частичных пределов не принадлежит А.
80. Показать, что если b есть частичный предел последователь¬
ности {ал}, то b принадлежит А.
81. Дана последовательность {ап}. Построить последователь¬
ность {&„}, для которой каждое из а, является ее частичным преде¬
лом. Может ли последовательность {Ьг,} иметь частичные пределы,
отличные от а,?
82. Пусть последовательность {а„} сходится. Является ли схо¬
дящейся последовательность {а„-ц—ап}?
83. Построить пример сходящейся последовательности {а„}, для
которой последовательность {—1йп расходится. При каком ус-
1 али J
ловии на {ап} последовательность I —— 1 обязательно сходится?
I опп )
84. Привести пример последовательности {а„} такой, что ап
—»--foo И
а) lim(a„n — ап) -10;
П->оо
б) lim(ann—an)=+оо;
П-ЮО
в) последовательность {ал-н—Яп} не имеет предела ни конеч¬
ного, ни бесконечного;
148
Г)
lim •
=0.
Л-* oo
On
Д)
lim
on+, =3;
n-+oo
On
e)
lini¬
ng OO
°n*1 = + oo;
an
ж) последовательность не имеет предела.
Оп
85. Привести пример сходящейся последовательности {а*}, для
которой п(ап+1—ап) стремится к бесконечности.
86. Доказать, что если \iman = A, то lim \ап\ = |>4|.
П-»оо П-*-оо
87. Доказать, что если у последовательности {ая} есть две под¬
последовательности и {amJ, причем объединение индексов
пк и гпь есть все N и amfc-*a, то и а*-+а.
88. Доказать, что для сходимости последовательности {а„} не¬
обходимо и достаточно, чтобы сходилась любая ее подпоследова¬
тельность.
89. Доказать, что для сходимости монотонной последователь¬
ности достаточно сходимости некоторой ее подпоследовательности.
90. Дана последовательность {а„}, у которой все подпоследова¬
тельности a2i, a3<2t, a52i, ... , i= 1, 2, ... сходятся к одному и
тому же числу Ь. Что можно сказать о сходимости последователь¬
ности {an}?
91. Привести примеры последовательностей, удовлетворяющих
соотношениям:
а) infan <liman;
П-*-оо
б) Пт an = supa„;
Л-* ОО
в) infап = limart.
П->оо
92. Доказать, что для любой последовательности
inffln^ Hmaa ^ liman^supan.
П-+оо п-*л
93. Доказать, что сходящаяся последовательность достигает
либо своей нижней грани, либо своей верхней грани, либо той и
другой.
Построить примеры последовательностей этих типов.
94. Доказать, что если lim ап < supa„, то существует такое
П-* оо
что a„, = supan.
95. Доказать, что
а) lim gn-t- \\mbn^ lim (an + bnlim an -f lim bn\
П-КЗD П-+ОО П-+0О fl-r ОО П-*°0
149
б) lim ап • lim bn^.\im (an • bn) ^ lim aa • lim 6n (a„ >0, *„>0);
Л-* оо П-+-00 П-ФОО Л—► ao n-*-Oo
в) lim an -f lim bn ^ lim (an + bn) ^ lim an -f lim6a;
П^ао П-+оо П-^оо Л —► ao Л -*-od
r) lim fl„ • lim 6n ^ lim (art • £„) ^ liman • lim bn (an> 0, ^a^0).
^ ( П-»-аО Г1 —*- ao П-f оо Л -► oo
96. Привести примеры последовательностей, для которых в со¬
отношениях предыдущей задачи имеют место строгие неравен¬
ства.
97. Доказать, что если последовательность {ап} сходится, то
для любой последовательности {Ьп} имеем
а) lim (a„ + 6a) = lim aa -f lim ba\
П-*оО П—*<£> П-*-аО
б) lim (ап • Ьп) ■■= Пт ап • lim bn (lim ап > 0).
П—». оо П-¥ Оо Л-ЮО П-+СО
98. Доказать, что если последовательность {ап} такова, что для
любой последовательности {6„} или
а) lim (a„ + £„) = lim a„ + lim bn,
П-*-ао П-+ЩО Л -»oo
или
б) ПпТ (а„ • 6„) -== lima„ • lim bn (,a„ > 0),
П—*• ОО Л -» ОО П-+О0
то последовательность {a„} сходится.
99. Пусть дана последовательность положительных чисел {а„}
и lim ></>0.
Л-*аО
Доказать, что существуют числа С и N такие, что an>Cqn для
любого n>N.
100. Пусть дана последовательность положительных чисел {а„}
иТТт
Л-*-®
Доказать, что an^o(qn), п-+оо.
101. Пусть последовательность {ап} сходится, а последователь¬
ность {Ьп} расходится. Что можно сказать о сходимости последо¬
вательностей {ап + Ьп} и {ап Ьп}?
102. Привести примеры двух последовательностей {ап} и {Ьп}
таких, что последовательность {ал} расходится, а последовательно¬
сти {Ьп} и {апЬп} сходятся. При каком условии на предел {Ь„} пос¬
ледовательность {ап Ьп) может сходиться, если последовательность
{ап} расходится.
103. Доказать, что если lim cin=At то
п-* оо
lim a>+g* + ••• +Д- =Аш
П-+оо П
150
104. Доказать, что если ап > 0, n&N и \\тап = А, то
П-*-оо
lim v7 аха2 ... ап =А.
Л->оо
105. Доказать, что если ап > 0, n^N и lim —= Л, то
п—+со ап
lim y^a7 = Л.
«-►оо
106. Последовательность {an} называется последовательностью
с ограниченным изменением, если существует число С такое, что
для любого n^N
п
£ |a*+1-a*|<C.
А=п1
Доказать, чтд последовательность с ограниченным изменением
сходится. Привести пример сходящейся последовательности с не¬
ограниченным изменением.
107. Доказать, что последовательность ап = 1 н—!—1—-—Ь ...
2 3
, 1
... Н расходится.
п
108. Пусть последовательность {ап} такова, что:
а) некоторая ее подпоследовательность {artjk} сходится,
б) lim max \ар —ап. | =0.
fr^oo пк<р<пш
Доказать, что последовательность {а„} сходится.
109. Пусть последовательность {а„} такова, что:
а) некоторая ее подпоследовательность {a„ft} сходится,
б) существует число М такое, что для любого k^N
|nA+i — пк\<М,
в) Jim(art+i — ап) = 0.
П-*оо
Доказать, что последовательность {ап} сходится.
110. Пусть fn: (0, 1]-*/?. Для натуральных пит и числа е>0
обозначим через Вшп,т множество {хе [0, 1] : \fn(x)—fn+m(x) |^е}.
оо
Пусть Attn= f] Be.n.m- Доказать, ЧТО ДЛЯ СХОДИМОСТИ fn(x) на
т=1
(0, 1) необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 выполня¬
лось 0 Ле.п=[о, 1].
П = 1
111. Доказать неравенство Бернулли
<1 +*)"> 1 -\-пх, n&N, х>—1.
151
112. Доказать, что последовательности аЛ=^1 -f — и Ьи=-
Л 1 \п+1 ^ п
= М Н J монотонны и имеют общии предел:
lim ап = lim bn =е.
л-»ао п-+ оо
113. Доказать неравенство
(f)*<”'<'-(i)*' »«*•
114. Доказать неравенства:
а) —~г < In (1 Н—— ^ < —, neN;
п + 1 \ п / п
б)-j-<e—(l + neJV.
4 п \ п } п
§ 3. ФУНКЦИИ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
115. Пусть у — хъ—Зл\
I. Найти множество на прямой ОУ, являющееся образом множест-
ва: а) [О^УТ]; б)_[0, 1J; в) (-1^1); г) (-2, 2); д) (-5, 5)
с) [-J/3. 0]U(V3, 2); ж) [-1/3, 01 U 0/2. УЗ).
II. Найти множество на оси ОХ, являющееся прообразом мно¬
жества:
а) (-2, 2); б) [-2, 0]; в) (0, 110).
116. Пусть [0, 1], У = [0, 1]. Какие из следующих функций
У — f (х) задают отображение X на У; какие — X в У; какие зада¬
ют биективное отображение (взаимно однозначное), если
а) /W=-^-tg-2T-; б) f(x) = sin пх; в) /(*) =2 (х —*»);
Z 4
г) f{x) =cos-y-; д) /(*)=х3; е) /(*) =
117. Пусть А — любое множество из области определения
функции /(*). Как соотносятся множества А и f~l(f(A))?
118. Пусть А — любое множество из области значений функ¬
ции f(x). Доказать, что /(/~!И)) =А.
119. Пусть А — любое множество из области определения
строго монотонной функции /(*). Как соотносятся множества А
И f-'(f(A))?
120. Пусть А и В — множества из области определения функ¬
ции f(x).
Доказать, что f(A[)B) =f(A)\)}(B).
121. Пусть А и В — множества из области определения функ¬
ции f(x).
Доказать, что /(ЛГ|£)czf(A)(]f(B).
152
122. Пусть А и В — множества из области определения функ¬
ции f(x), причем f(x) осуществляет взаимно однозначное отобра¬
жение. Тогда f(A(]B) =f(A)()f(B). Доказать.
123. Пусть R — область определения функции }(х) и А — лю¬
бое множество из R. Как соотносятся множества
f(R\A) и f(R)\f(А)? '
124. Пусть В — область значений f(x) и Лс=В. Доказать, что
125. Доказать, что для любых множеств А и В из области зна¬
чений функции f(x) верно
а) f-] (A(]B) =/-> (Л) П/-1 (В);
б) f-'(AUB)=f-4A)Uf-'(B).
126. Функция / отображает отрезок [а, Ь] в отрезок [а, Ь\.
Доказать, что если /(/(*))==*, то график функции симметри¬
чен относительно прямой у = х.
127. Функция / определена па всей числовой прямой и ее гра¬
фик симметричен относительно точки Л (а, Ь) и прямой х^С
(Сфа).
Доказать, что функция f периодическая.
128. Сформулировать, что означает, что функция f не является
четной на промежутке (—/, /)*.
129. Функция f определена на симметричном промежутке
<-ч о.
Доказать, что ее можно представить в виде суммы четной и
нечетной функций.
130. Сформулировать утверждение: функция f не является ог¬
раниченной на множестве М.
131. Какие из следующих функций являются бесконечно боль¬
шими при x-М, какие ограниченными, какие неограниченными:
а) «/ = —Ц-sin2—б)у = —Ц- (sin—+ 2);
X— 1 X— 1 X— 1 \ X— 1 /
v sinn(x— 1) v sinn(x— 1) я
в) у = -г-1’ г) у= —icos г-
X — 1 X — 1 X — 1
132. Привести пример функции, определенной на [0, 1], но
неограниченной на любом [a, p]cz[0, 1].
133. Сформулировать, что означает, что функция f(x) не яв¬
ляется монотонной на промежутке [а, Ь\.
134. Является ли произведение двух монотонных на
(—оо, -foo) функций монотонной на (—оо, -foo) функцией.
* Всюду в дальнейшем требование сформулировать отрицание некоторого
утверждения означает, что соответствующую формулировку надо записать на
языке символики с использованием кванторов. Так, например, отрицание утверж¬
дения «число А является пределом последовательности {а„} при л-*-оо» должно
быть сформулировано следующим образом: существует положительное число е
такое, что для любого натурального числа N существует натуральное число л,
большее числа N, для которого \ап—Л|>е, т. е.
He>0: yiVeN 3 n>N : |а„—А | >е.
153
Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки
х0, называется монотонно возрастающей в точке, если существует
такое 6>0, что для любого х из левой б-полуокрестности точки хо
(х : хо—б<х<х0) имеем /(х)^/(хо) и для любого х из правой
6-полуокрестности (х : х0<х<х0+б) /(х)>/(х0).
135. Привести пример функции, определенной на [—1, 1], воз¬
растающей в точке х0 = 0 и не являющейся монотонной на отрезке
[—6, 6] для любого 6>0.
136. Доказать, что функция, монотонная в каждой точке отрез¬
ка [а, Ь], монотонна на этом отрезке.
137. Следует ли из равенства inf /(х) = sup / (х), что / постоянна
*€(а.&) *£(а,Ь)
на (а, Ь)?
§ 4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
138. Пусть f(x)=x2 cos—, #(*/) = sign2у. Показать, что Iim/(x) =
X х-+0
= 0, lim g (у) = 1, но lim g(f (х)) не существует. Объяснить, почему
У-+0 х-+0
неприменима теорема о пределе сложной функции?
139. Доказать, что равенство lim/(x) = lim/(x) необходимо и до¬
лг ^-*Х0 х-*х0
статочно для того, чтобы \\mf(x)=A.
х-*хл
140. Доказать, что существует lim о)[/, (х0—б, х04-б)] для лю-
бой /, ограниченной в некоторой окрестности х0, где а)[/, (а, Р)] есть
колебание / на (а, Р):
4f> (“• Р)1 = sup \f (*i)
*».*«€ (а. p)
Этот предел называется колебанием f в точке хо и обозна¬
чается о)(/, Хо).
141. Доказать, что функция /(х) непрерывна в точке х0 тогда
и только тогда, когда w(f, Хо) =0.
142. Привести пример ограниченной в некоторой окрестности
точки хо=0 функции, для которой lim/(x) не существует, а
х-*0-Ь
lim /(х) существует.
ж-*0—
143. Доказать, что
<o(f, лс0) = max (Urn / (х) —/(*„), Tim / (*) —lim f(x),
X-+I, ж—х,
f(xe) — \imf(x)).
Х-Х,
144. Пусть lim f (х) ф0, a limqp(x) не существует. Доказать, что
X-*Xe Х-*Х,
lim / (.г) • <р(х) не существует.
Ж-+Х,
154
145'. Пусть Wmf (х)ФО, а ф(х) —бесконечно большая при х —► дг0.
х-+х0
Доказать, что / (л) ф (дг) —бесконечно большая при jc-*jc0.
146. Что можно сказать о непрерывности в точке х0 функций
f(x) + g(x), f(x) —g(x) и f(x)g(x), если:
а) функция f(х) непрерывна в точке хо, а функция g(x) раз¬
рывна в точке хо\
б) функции f (x) и g(x) разрывны в точке хо?
147. Построить пример функций f(x) и g(x) таких, что f(g(x))
непрерывна в точке хо, a g(f(x)) разрывна в точке х<>.
148. Функция f(x) определена в некоторой окрестности точки
х0. Пусть {ап} — некоторая числовая последовательность неотрица¬
тельных чисел и для любого n^N существует бп>0 такое, что из
неравенства \х—л0|<бл следует неравенство \f (x)—f(x0) \<ап.
Какое свойство функции описывается этим условием? Каким свой¬
ством должна обладать последовательность {ап}, чтобы из этого
условия следовала непрерывность f(x) в точке jto?
149. Доказать, что функция Римана
*<*) =
1, jc = О,
—, х = — и дробь — несократима,
п п п
О, х —иррациональное
разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой
иррациональной.
150. Доказать, что функция Дирихле
0, х—рациональное,
\l, х — иррациональное
разрывна в каждой точке.
151. Привести пример функции непрерывной только
а) в одной точке, б) в двух точках, в) ,в п точках.
152. Доказать, что если
/<=С[а, Л], g<=C[a, />]
И
<р,=шах{/, g}, =min{/, g},
го ф! (х) и ф2(а:) — непрерывные функции на [а, Ь].
153. Пусть/(а:) — непрерывная функция на (—оо, +оо) и
f(x, п) =
f(x), *:|/(*)|<п,
п, x :f(x)> п,
—л, *:/(*)<—л, neAf.
Доказать, что для любого л функция f(x, л) непрерывна на
(—оо, +оо).
155
154. Доказать, что если f(x) непрерывна на [а, Ь], то
т(х)= inf f(l) и М(*) = sup /(£)
также непрерывны на [а, Ь].
155. Может ли разрывная функция удовлетворять условию
V е > 0 3 6 > 0: V |Л| < 6 |/(х, + A) -/ (х0 -А) | <е?
156. Может ли разрывная функция удовлетворять условию
Уе>0Я 6>0: V |Л| <6 I/(хл 4-Л) -2/ (х0) 4 / (х0 -А) | < е?
157. Может ли разрывная функция удовлетворять условию
Уе>03 6 > 0: V |А| < б, V |Л#| < в |/(*0 + А) —
— 2/(*0) + / (*0 — А')| <е?
158. Найти все непрерывные на (—оо, 4-оо) функции, удовле¬
творяющие условию
a) f(x)=f (2*); б) / (*x + х2) = f (xj • / (*2).
159. Функция f(x) определена на (а, Ь) и удовлетворяет ус¬
ловию
/ (X*! 4- (1 —Ь) *t) < X /(дс1) 4- (1 — l)f (*2)
для любых х\, х2е(а, Ь) и любого 0<А,<1. Доказать, что f(x)
непрерывна на (а, Ь). Верно ли утверждение, если вместо интер¬
вала (а, Ь) взят отрезок [а, 6]?
160. Привести пример разрывной в каждой точке отрезка
[0, 1] функции такой, что ее квадрат является непрерывной на
[0, 1] функцией.
161. Пусть f(x) непрерывна на отрезке (а, Ь] и не принимает
на нем нулевого значения. Показать, что существует положитель¬
ное число т|>0 такое, что для любого хе[а, 6] |/(х)|>г]. Пока¬
зать, что для интервала это утверждение неверно.
162. Пусть /(*)—непрерывная на (а, Ь) функция и х\, х2,
*з — любые точки из этого интервала. Тогда существует точка £
на интервале (а, Ь) такая, что
/<6) =-£-</(*.)+/(**)+fM).
Доказать.
163. На плоскости задан произвольный многоугольник и неко¬
торый вектор. Показать, что найдется прямая, параллельная это¬
му вектору, рассекающая многоугольник на две части одинаковой
площади.
164. На плоскости задан произвольный многоугольник и неко¬
торая точка. Показать, что найдется прямая, проходящая через
эту точку и рассекающая многоугольник на две части одинаковой
площади.
156
165. Доказать, что любой многочлен нечетной степени имеет
хотя бы один действительный корень.
166. Доказать, что если /еС[а, 6], geC[a, b] и f(a)>g(a)t
/(&)<£(*>). то найдется точка Хое(а, Ь), в которой f(x0)=g(x0).
167. Доказать, что для любой непрерывной функции /: [0, I]-*-
“►[О, 1] существует точка Jtc>e[0, 1], в которой f{xо)=*о (непо¬
движная точка отображения /).
168. Привести пример непрерывного отображения /:(0, 1)-^
—>-(0, 1), у которого не существует неподвижной точки.
169. Функция f(x) непрерывна на (—оо, +оо) и /(/(*) )==*
для всех хе(—оо, ~г оо).
Доказать, что существует хо такое, что f(xo) =х<>.
170. Функция f(x) непрерывна на окружности. Доказать, что
существуют две диаметрально противоположные точки а и b та¬
кие, что /(а) = /(&).
171. Привести пример функции f(x), определенной на отрезке
[0, 1], принимающей на любом отрезке [a, 6]cz[0, 1] все проме¬
жуточные значения между /(а) и /(6), но не являющейся непре¬
рывной на [0, 1].
172. Привести пример функции, ограниченной на отрезке
[0, 1], но разрывной на этом отрезке.
173. Доказать, что непрерывная на отрезке функция, не имею¬
щая на этом отрезке ни одного внутреннего экстремума, монотон¬
на. Привести пример, показывающий, что для разрывных функ¬
ций это утверждение неверно.
174. Доказать, что если f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и
имеет обратную функцию, то f(x) — монотонная функция на
[а, Ь].
175. Привести пример функции f: [0, 1]-*[0, 1], не являю¬
щейся монотонной, для которой существует обратная функция
g(y) : [0, 1]—[0. 1]-
176. Привести пример разрывной функции, для которой об¬
ратная функция является непрерывной.
177. Привести пример монотонной на [0, 1] функции с беско¬
нечным числом точек разрыва.
178. Доказать, что для функции, определенной на [а, Ь], мно¬
жество точек строгого локального экстремума не более чем счет¬
но. Построить пример функции, непрерывной на [а, Ь], с беско¬
нечным множеством точек строгого локального экстремума.
179. Существует ли функция /(*), непрерывная на отрезке
[а, Ь], взаимно однозначно отображающая [а, Ь] на (—оо, +оо)?
180. Существует ли функция /(*), непрерывная на отрезке
[а, Ь], взаимно однозначно отображающая [а, Ь] на (с, d)?
181. Существует ли функция /(*), непрерывная на отрезке
[а, Ь]у взаимно однозначно отображающая [а, Ь] на [0, 1]U[3, 4]?
157
182. Существует ли функция f(x), непрерывная на интервале
(О, 1), для которой множеством значений является множество
а) (0; 2); б) (0; 2)U(3; 5); в) (1, +оо); г) [0, 2]?
Если нет, то почему, если да, то привести примеры.
183. Существует ли функция f(x), непрерывная на интервале
(—1; 2), для которой образом интервала (0; 1) является множе¬
ство а) (0; 2) ; б) (0; 2)U(3, 5) ; в) (1, -f оо); г) [0; 2]. Если нет,
то почему, если да, то привести примеры.
184. Существует ли непрерывное биективное отображение
(—1; 2) в R такое, что образом (0, 1) является множество а) (0;
2); б) (0; 2)U(3; 5); в) (1; + оо); г) [0; 2]? Если нет, то почему,
если да, то привести примеры.
185. Доказать, что функция f{x) непрерывна на отрезке [а, Ь]
тогда и только тогда, если для любого с множества {х, хе[а, Ь]у
f(x)>c} и {х, хе [а, b], f(x)<c) открыты относительно [а, Ь].
Что можно сказать о функции, если таковыми являются только
множества вида {х : хе [а, Ь), /(л:) >с}? Привести пример разрыв¬
ной функции, для которой все такие множества открыты относи¬
тельно К Ь).
186. Пусть функции fn(x) непрерывны на отрезке [0, 1] и
f(x)=\\m fn(x) для любого хе [0, 1]. Доказать, что f(x) имеет на
П-*- CD
[0, 1] хотя бы одну точку непрерывности.
187. Доказать, что если f(x) непрерывна на [а, b], то множе¬
ство £ill£3U£5L) • ’ * замкнУТ0> гДе £п — множество тех точек из
[а, Ь], для которых л^/(х)^л+ 1. Показать, что в случае интер¬
вала (а, Ь) предыдущее утверждение может быть неверно.
Рассмотреть пример у = —, (а; Ь) = (0; 2).
X
188. Сформулировать, что означает, что функция f(x) не яв¬
ляется равномерно непрерывной на множестве М.
189. Привести пример функции непрерывной, но не равномер¬
но непрерывной на множестве a) 0<jc<1; б) х^0.
190. Привести пример функции неограниченной и равномерно
непрерывной на множестве х^0.
191. Доказать, что равномерно непрерывная на ограниченном
множестве функция ограничена на нем.
192. Привести пример ограниченной и непрерывной на (0; 1)
функции, не являющейся равномерно непрерывной на нем.
193. Доказать, что функция /(*), равномерно непрерывная на
каждом из двух отрезков, равномерно непрерывна на их объеди¬
нении. Привести пример, показывающий, что для интервалов это
утверждение неверно.
194. Доказать, что функция f(x) равномерно непрерывна на
интервале (а, Ь) тогда и только тогда, когда существует непре¬
рывная на отрезке [а, Ь\ функция g(x), совпадающая с f(x) на
интервале (а, Ь).
195. Известно, что f (х) непрерывна при х^0 и lim f(x)=C.
Х~* -» оо
158
Доказать, что a) j(x) ограничена при х>0; б) f(x) равномерна
непрерывна на х>0.
196. Является ли функция У* равномерно непрерывной на
а) [0, 1); б) (0; 1); в) [5, + оо); г) [0, + оо); д) [0, + <»)-
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
197. Привести пример двух недифференцируемых функций в
точке jc0:
а) произведение которых дифференцируемо в точке jc0;
б) сумма которых дифференцируема в точке х0\
в) частное которых дифференцируемо в точке х0.
198. Привести пример функции, дифференцируемой в точках
*1=0, Х2 = — 1, *з=1 и разрывной в остальных точках отрезка
199. Имеют ли производные в точке х = 0, следующие функции;
a) y = x\s\nx\; б) у = х\х*\.
200. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0 и
f(xо) =т^0, а функция g(x) не является дифференцируемой в Jto, но
является непрерывной в хо.
Доказать, что функция f(x) g(x) не является дифференцируе¬
мой в х0.
202. Привести пример монотонной функции, производная кото¬
рой не является монотонной функцией.
203. Пусть функция f(x)—нечетная, дифференцируемая на
(—оо, +оо). Доказать, что f'(x) —четная функция.
204. Доказать, что производная периодической функции яв¬
ляется периодической функцией. __
205. Доказать, что функция / (а) = sin х -f cos 1/2 х не является
периодической.
206. Привести пример функции f(x) такой, что /'(*) существует
всюду на (—1; 1), ограничена и разрывна только в точке х = 0.
207. Привести пример функции }(х) такой, что f'(x) сущест¬
вует всюду на (—2; 2), ограничена и множество
208. Известно, что f (х) дифференцируема в точке * = 0 и ф(*) =
[-2, 2].
п
201. Найти /' (0), если / (*) = ["! (х 4- k).
есть множество точек разрыва f'(x).
дс2 sin —, хфО,
Доказать, что j(<р(дг)) имзет в точке дс = 0 производную, рав¬
ную 0.
209. Привести пример функции f(x)y дифференцируемой на
(а, +оо), у которой существует lim /(дг), но не существует пре-
дела производной при дс-> +оо.
210. Привести пример ограниченной функции f(x), дифферен¬
цируемой на (а, +оо), такой, что существует lim /'(*)» но не
существует lim f(x).
оо
211. Привести пример функции /(*), дифференцируемой на
(0; 1), такой, что lim/(x) = oo, но предела производной не су-
х-*-0
ществует при х-+0.
212. Привести пример функции f(x)t дифференцируемой на
(0; 1), такой, что lim/' (х) = оо, но f(x) является ограниченной
*-►0+
на (0; 1).
213. Показать, что если для непрерывной в точке х0 функции
/ существует lim /'(.*)= Л, то существует f'+(x0)=A.
214. Привести пример непрерывной на [—1, 1] функции f(x)
такой, что для всех л:е(— 1, 1) производная J'(x) существует, но
не существует lim /' (дг) и lim f'(х).
ж —►О—Х-+0—
215. Привести пример функции, непрерывной в a:0 = 0, но не
имеющей в хо = 0 ни левой, ни йравой производной.
216. Рассмотрим функции у\(х) = \х\, У2(х)=х и Уз(х)- Vх2 •
На отрезке [—1; 1] у этих функций нет точки, в которой произ¬
водная обращается в нуль.
Какое условие теоремы Ролля нарушено?
217. Доказать, что если все корни многочлена Рп(х) степени п
действительны, то все уравнения Pn(ft)(x)= 0 (fc=l, 2—1)
имеют действительные корни.
218. Доказать, что функция /: (a, b)-+R, имеющая ограничен¬
ную производную на (а; 6), равномерно непрерывна на (а; Ь).
219. Пусть функция /(х) дифференцируема на [0; 1] и /'(0)Х
Х/'(1)<0. Тогда на интервале (0, 1) существует с такое, что
f'(c) =0. Доказать.
220. Пусть f{x)=F'(x) для любого хе [а, Ь]. Доказать, что
для любых ае[о, Ь]9 Ре [а, Ь], если /(а)</(Р) и /(а)<с</(р),
то существует точка у такая, что \е(а, р) и f(y)=c (свойство
Дарбу).
221. Пусть функция f (х) дифференцируема на [хи х2] и 0<
<х\<х2. Доказать, что
(xj(xt) -V('(|)) = Дб) —If' (I).
хг — xi
где se(*i, х2).
160
222. Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема на
(а; b). Верно ли, что для любого 0^(а; Ь) существуют x{^(at b)y
хЬ) такие, что 0с: (хь *2) и
у (0) _ f (хг) — f (*i)
хг — хх
223. Нарисовать график такой непрерывно дифференцируемой
функции /(jc), что множество £, удовлетворяющее соотношению
/(1) —/(0) =/'(6), состоит ровно из трех точек.
224. Известно, что функция f (х) непрерывна на [0; If, диффе¬
ренцируема на (0; 1), /(0)=4, /(1)=2, г(х)>—2. Доказать, что
f(x) —линейная функц-ия.
225. Функция f (x) имеет на (0, -foo) непрерывную производ¬
ную и /(0) = 1, \f(x)\^e~x для х>0. Доказать, что существует
точка .v0 такая, что f'(х0) =—е~х\
226. Пусть функции f(x) и <р(х) дифференцируемы при х>х0
н l/'U) |<ф'(*)-
Доказать, что для х>х0 имеем |/(х) —/(х0)| W —ф(*о)-
227. Пусть (реС"^^^), г|> €= Сп (х > х0); qp(/t) (хэ) = \|)(Л) (х0) для
Л = 0, 1, 2, , п—1 и (л:)> я1?<а> (лг) для х>х0.
Доказать, что для х>х0 имеем <р(х) >t|)(x).
228. Функция /(х) для всех х удовлетворяет условию
/ (х + Ах) —/ (х) = Л Ax -f- а (х, Ах),
где |а| |Дх|8.
Доказать, что f (х) = Ах -f В.
229. Пусть f (х) определена на [а, Ь] и для любых ^Еа, Ь],
х2е[а, Ь] |/ (хх)—f(x2)\^K\xl—ха|а, где /С—константа и а>1.
Доказать, что f(x) постоянна на [а, Ь).
230. Пусть /(х) дважды непрерывно дифференцируема на [0;
+ оо), lim f(x)= 0, |/"(х)|<1.
JC—*--оо
Доказать, что lim /'(х)=0.
X * { оо
231. Пусть f(x) дважды дифференцируема на всей оси и огра¬
ничена.
Доказать, что существует х0 такое, что /"(х0) =0.
232. Функция f(x) непрерывно дифференцируема, не меняет
направление выпуклости на (0, -foo) и lim /(х)=Л.
оо
Доказать, что lim /'(х)=0.
X -►-{-оо
233. Известно, что функция f(x) дифференцируема для х>а,
не меняет направление выпуклости на [a, -foo), прямая y = kx+b
является асимптотой /(х) при х-*+оо и график f(x) расположен
ниже асимптоты.
Доказать, что при этих условиях lim f'(x) — k и f (х) выпукла
Х — -ТОО
вверх.
161
234. Привести пример двух выпуклых вверх функций таких,
что их произведение не является выпуклой вверх функцией.
235. Функция f(x) дифференцируема на [0, 1], f(0)=0, и для
некоторого £>0 справедливо неравенство |/'(*) |^|f(х) I•
Доказать, что f {х)=0, л:еЕ[0, 1].
236. Пусть /еС°°( — оо, + оо) и существует L> 0 такое, что
I/(п) (*)| ^ L для любых п и любых х.
237. Пусть f (х) дважды непрерывно дифференцируема на [0, 1],
/ (0) = / (1) = 0 и min /(*) = — 1. Используя формулу Тейлора, до-
*€[0; 1J
казать, что шах /"^8.
*€10; 1]
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
3. Например, Л = (0;3); Б = (1; 5). 5. Например, А = [0; 10];
В = [0;7]; D = [5; 10]. 6. Пусть х^А\(В[]Е) = D. Это значит, что
хеЛ, но хШВ\]Е, т. е. 1) ^еЛ, но 2) хШ В и 3) х!=Е. Из 1) и
2) следует, что х^А\В, а отсюда и из (3) следует, что х е (Л\
\£)\£ Итак, А\{В[)Е) а (А\В)\Е. С другой стороны, пусть
хе (Л\В)\£, тогда х^(А\В), но хё£, е. 1 )*еЛ, но
2) хБВ и 3) х!=Е. Из 2) и 3) следует, что xi;(£(j£)> отсюда н
из 1) следует, что х^А\(В[)Е), т. е. (А\В)\Е cz A\(B\J Е).
Тем самым доказано равенство множеств (А\В)\Е и А\(В{] Е).
7. Например, Л = [0,1]; В = [1/2, 2]; £=[2/3, 3/4]; D = [0;2].
10. Например, Л. = [0; 2]; Л2 = [2; 4]; J51_== [ 1; 3]; В2 = [5/2, 5].
1 lj_ а) Пусть хеи(Ли^З), это значит, что хё= {A\J В), т. е. х&Л и
*<=£; отсюда следует, что х^СА и х^СВу т. е. х^СА{\СВ.
С другой стороны, если х^СА[\СВ, это значит, что xgCA и
лгееСВ, т. е. х^А и хШВ, следовательно, х!БА\]В, т. е. х&
еС(Ли^). Итак, С (А[)В) сиСАОСВ и СА[)СВ аС {A\J В), т. е.
С(А\)В) = СА[\СВ. 13. Например, \а) £ = [0;1]; б) £ = [0, 1]U
U{— 1} U {2}; в) £ = (0;1); г) £ = (0, 1) U {2} U {3} U И, 5]; д) £ =
= л = 1, 2 или £ = {1}U{2>; е) Е = (- 1, 1)U{2>, или
£ = (—1, 1]; ж) [£ = [0,2); з) £ = [0, 2] U {4> U {5}. 14. Например,
20. Нет (см. следующую задачу). 21. Все действительные числа.
22. Например, множество всех рациональных чисел или промежуток £ =
= (0, 10]. 23. Все действительные числа не меньше чем два. 24. Вся
Доказать, что если / ] =^0 при n^N, то /(*) = 0.
прямая и пустое множество. 29. Например, Л =
4 (я + I)2 к \ '
162
n.kGEN. Указание. Показать, что А' = j~J UW, 4"= {О}, /4"' = 0.
SO. Например, а) /(0)=^, f f (у) =с3, f (y-)=ci.
/(•) ^^5. f(*)=ct для x€=[0, l]\JO;-i-; -y'* y-; lj; 6) /(0)=^;
Цх) — сг для *<=(0; -±-j; / ^-L) = c„; f(x)=ct для xe= (-у, -у);
f =c6* f(x) =ce Для 1^> 32. Например, En состоит из
одной точки —, n^N. 35. Например, Fn = [ n"~1 , л ~ — ,
n [пп J
Указание. Показать, что в любом интервале (а, Р), если 0<а<р,
найдется точка х0 = 2р/(?. 41. Данное множество счетно. Указание.
Каждый такой квадрат характеризуется упорядоченным набором вось¬
ми рациональных чисел. 42. Указание. Показать, что это множество
эквивалентно некоторому подмножеству рациональных чисел. 43. Ис¬
пользовать утверждение задачи №42. 45. Указание. Рассмотреть мно¬
жество А\А\ предположив, чго А несчетно, прийти к противоречию.
46. Применить утверждение задачи №42 к каждому из Еп. 47. Ука¬
зание. Так как А—счетное, то множество В значений \хп—хт\9 где
х„еЛ, хт<=Л, не более чем счетно (почему?); следовательно, най¬
дется число а, не входящее в В, т. е. хп + афхт ни для каких
дгпеЛ, хт^А. 48. Например, N= (J ((J (2л+ 1)2*). 49. Напри-
fc=0 л=0
мер, обозначим х0 = 0, хх = 1, хп =--- ■ 1_■ - для п= 2,3, ... . Положим
ф(^) =Xk+2, k=0, 1, ...; q>(z) = z, если г^-J-, k — 0, 1 Tor-
2*
да <p—искомое отображение. 50. Например, пусть ф1(х) взаимно одно¬
значно отображает [0, 1] на ^а, (сравнить с предыдущей
задачей), а ф2 (х) = arctg (х-^-1) —. Нужное отображение
я 2
есть Фх(х) на [0, 1] и ф2 (х) на (1, +оо). 51. Указание. Каждая точ¬
ка квадрата характеризуется двумя действительными числами. 52. Ука¬
зание. Если Ап есть пересечение множества А с отрезком [— п9 гг],
оо
ne N, то А = у Аь. $3. Например, множество натуральных чисел.
п—\
54. Например, Е = Ег\] Е2 (J £3» ГДе = п е 1 =
= 1,2, 3. 56. Например, ( —-f 2, 2 + —^=гЛ, n^N. 57. Наири-
\ п У п I
мер, ^ 4, —2н +Т’)’ Например, ^1,
163
п 2,.... 38. Например, Gn =
леЛ/. Последовательность вложенных интервалов имеет непустое пе¬
ресечение, если замыкание последующего интервала полностью входит
в предыдущий интервал. 59. Предположим противное. Тогда на лю¬
бом отрезке [а, Р] с [а, Ь\ найдется точка, не принадлежащая Flt сле¬
довательно, найдется интервал (а\Р'), целиком входящий в дополне¬
ние Fv Возьмем отрезок [alt pj, лежащий в этом интервале, тогда
в этом отрезке найдется интервал (aj, pi), целиком входящий в допол¬
нение F2. Таким образом, строится последовательность интервалов
аЛ , Рл) так,что для любого п (an, Р„) лежит в дополнении к множе¬
ствам Flt F3, ... , Fn+1 и замыкание (art,p„) — отрезок [а^,Рп] — ле¬
жит внутри интервала (a^Li, p„_i). Используя результат предыдущей
СО
задачи, получаем, что [a, Р] П {П(а*. Рл)}=#0. Это противоречит то-
п~\
му, что П (<*п, рл) с: С 0 Fn, а (С0 Fn) (1 [a, Р] = 0. 60. Например,
п«е1 ля=»1 п» 1
Г J?1.7“-L -4—1 n&N. 62. Система состоит из интервала (—е, е)
I л* -1-1 л3 + 1 J
/ 1 —е 1+е\
и интервалов I ^ J с номерами п, удовлетворяющими условию
2«+i ^ _1_ ^ да> хотя множество Е незамкнуто. Сравнить с пре-
6
дыДущей задачей. 64. Нет. 65. Например, отрезок [0, 1] и совокуп¬
ность отрезка [—1,0] и системы отрезков j'-—-, --Д j, N.
Указание. Показать, что если Лт = [— 1, 0] U ( U [“JT* '2n-i )» 70
для любого т имеем [0, 1 ]\АтФ0. 66. |Например, интервал (0, 1)
и система интервалов , 1 jл е ЛЛ Сравнить с анализом преды¬
дущей задачи. 67. Например, интервал (0, 1) и система отрезков
, 2j, n&N. 68. Например, система интервалов (—п + 2, Ул + 100)*
n^N, 70. Это свойство выполнено для любой последовательности.
72. Например, ап = л(-1>п. 73. Например ап — п2. 76. Например, an =
= 1)л. 78. Например, ая = [ 1 + ( — 1)*]- ■ Указание. А =
я
= | —2-f —| U{0}, n&N. 79. Например, ап=-(— Ука¬
зание. Частичными пределами последовательности {art} являются точ¬
ки 1 и — 1. 81. Частичными пределами последовательности {Ьп} бу¬
дут, например, все частичные пределы последовательности {а„} (срав¬
ните с результатом задачи №80). 82. Да. ап+1—ПРИ л-^-f оо.
Л(П-1)
а J.
*
п
ример, а) а„ = 10га + —; б) ап = п\ в) ап = п + (— 1)"; г) такой
1 8 1
83. Например, а) ап = — или ап = (— 1) б) lima„=/=0. 84. Нап-
л! п Л->оо
164
последовательности не существует, так как условия ап -*• + оо и
lim
QW+1
On
■ 0 взаимно противоречат (см#
№ 100), д) ап = За -f-
+ sinn; |) ^ = 2"; JK) ,а„=л (2 + (— 1)Л). Ь5. Например, ап =
(— 1)"
—, или ап =
yji
с- ly»
VW\
90. Такая последовательность или
сходится к числу Ь или расходится. Указание. Рассмотреть последова¬
тельность аь гдеак = 1, если ft = (2p + 1)-2* peiV, q^N\ ak= 0,
если ft =3%, neJV, и ak = 2, если ft не входит ни в одно из выше¬
указанных множеств. 91. Например, а) ап = 1-—- , или ап = {~\)
<*»=—«, ИЛ1Г а„:
Ю+Т’ гее96. л) Пусть lim ап = Л,
— n-fOO
= В, (an 4- 6n| =Cf* lim ЬП = В1Л Ограничимся случаем, когда
fl М w м
Л, 5, Blf С конечны (если хотя бы одно из эти
доказательство аналогично). 1) Существует прдпос.
такая, что artft + bnk-+C. Йз подпоследователы
сходящуюся подпоследовательность {QnkJ f тогда I
[X чисел бесконечно,
ледовательность {nk}
[ости выберем
m ап = А' > Л, так
кр
как A = lim ал. Так как Ьп = (ц,. +6„. )—Опь то С— А' = lim Ь- ,
л-*оо "о *Р V ' „..Г кР
а так как B = lim Ьп, то С—Итак, С
>£ + Л'>В + Л.
п-мо
2) Существует подпоследовательность а„ Из последовательности
(Ъ- \ nU^OnOtt ЛУолттгтллгт .«к. ч -т- п
{\} выберем сходящуюся подпоследовательность
^ПпГфп> то 6п -*£'<ВГ Тогда a„ +V
П-+-Л "»5 V5 ?|
lini ifln 4s A*)t то С ^ A -f-1В' ^ Л + В1# 96. Напр
П-+оо ^
пунктов а) и в)
1, п = ЗЛ; j _2
an— — 1. n = ik—1; 6„ = 0,
0,тп=М^2; АГ«=ЛГ; ( 1,
длц неравенств пунктов б) и г)
r-Lt /i = 3ft;
2, n = 3k—1;
-it n=3ft— 2; А'еЛ>
4.-
в)
{6„ }. Так как Bj =
+ В' Так как С =
имер, для неравенств
n = 3ft;
n= 3ft—1;
гс = 3ft—2; ft е
3, | = 3ft;
1/2, /| 3ft— 1;
4, rt 3ft—2; N.
165
98. Указание. Если последовательность {ап} расходится, то для
последовательности bn = —ant nejV не выполняется условие а), а
для последовательности bn=——, n^N не выполнено условие б).
ап
99. Указание. Воспользоваться равенством: ап=а1 • • . . .
а\ йг
... • —~ . 100. См. указание к задаче №99. 101. Последователь-
Дп-1
ность {аа4-^п} расходится, последовательность {ап-Ьп} тоже расходит¬
ся, если Iim апФ 0. Если же ап-+ 0, то эта последовательность может
п-коо
как сходиться, так и расходиться (см. ответ к задаче № 102). 102. На¬
пример, а,г — ( — 1)п, Ьп ---—-—. Такое положение возможно, только
j г—
у п
если Ьп -+■ 0. Сравните с ответом к задаче № 101. 103. Пусть lim ап — 0.
Тогда для любого е > 0 найдется Nl (е) такое, что —е < ап < е для
2 | Cl I -\- CL-1 . . . {- (2 .. | / с \
всех п > Ny. Возьмем Nt > — M=NX fy 1 и N=
~max{M, iV2}, тогда для п > N имеем
Qi 4~ дг i~ • • • + ап
п
I fli -f . .. f aN | | aN , , | + .. . -f | an I e
< — 1 < h — = e,
N2 n — Ni 2 2
что доказывает утверждение задачи. Случай Л^=0 сводится к разоб¬
ранному. 104. Указание. Отдельно рассмотреть случай Л=0, а случай
ЛфО свести к рассмотрению случая А = 1. 105. Использовать резуль¬
тат задачи № 104. 106. Примером может служить последовательность
/ пп
ап = — —. Указание. Применить критерий Коши. 107. Показать,
it]
что последовательность S.,„ —S.2n-i не етрзмится к нулю с ростом л,
и применить критерий Коши. 108. Для такой последовательности вы¬
полняется критерий Коши. Действительно, для произвольного е > 0
существует К (е) такое, что для ^ > К, 62 > К I яnkt —cmki | < е.
В силу условия б) существует такое /С, что \ар —аПк|< е/3 для Vp:
nk <P^nk4-1 и V6 > К. Пусть N ---max (п , е *, п~к). Для любого
'Т)
m > N единственным образом определяется К (т) так, что пцт\ <
<т< п*(тЖ. Если т1 > N, т2> N, то /г(ш1)>К, k(m2)>K и
> А: (е/3), fc(m2) > Д' (е/3), | аШ1 — ат, | < | аПх — аПк{тх) I +
+ I аПк{тх) —аПк(т2) | + | ank{mt) —а™, I < е. 109. Указание. Использо¬
вать результат задачи № 108. 110. Указание. Показать, что условие
166
задачи эквивалентно выполнению критерия Коши для последователь¬
ности fn(x0) при любом л:0е[0, 1]. 111. Указание. Использовать
метод математической индукции. 112. Указание. Применить неравен¬
ство Бернулли к отношениям — +l и Ьг}--- . 113. Указание.
Использовать метод математической индукции. 114. Указание: а) ис¬
пользовать результат задачи № 112; б) использовать неравенство
^1 4- У"<е< ^1 Н——(см. задачу № 112) и применить
неравенство Бернулли для оценки разности ^1 + + ~j •
115. I. а) [-2, 0]; б) [-2, 0]; в) (-2, 2); г) [-2, 2]; д) (- ПО,
ПО); е) [0, 1] U [0, 2); ж)_[-2,2]. II.J) (—2, —1) U (—1. 1)U0.2);
2) [-2, -1/3] U [0, 1/3]; 3) (-КЗ, 0) U (КЗ, 5). 116. 1) X в К;
2) X на К; 3) X на У\ 4) X биективно отображается на Y; 5) X биек¬
тивно отображается на У; 6) X в К. 117. Л с/"1 (/(Л)) (сравните с
задачами № 115 и № 118). 119. Л=/_1(/(Л)). 121. Рассмотреть при-
мер / (,*) = sin дс: на R: А = |х: дгеЕ |о, 2я-Н~- |, В={х: х& [2л, 4л]}.
122. Пусть y0Gf(A[)B), тогда у0 есть значение функции f(x0), где
х0 е А П В, т. е. х0еЛ и ^0еЙ. Следовательно, y0^f(A) и */0е
е/(£), т. е. у0 е/(Л) f]f(B). В силу биекции х0 —единственная
точка, для которой f(x0)=yQ. Если х0^А(\В, то или .г0еЛ, или
х0 е 5. _Если х0 е Л, то f на множестве Л не принимает значения у0,
т. е. y0(=f{A). Если x0gB, то i/0e/(£). Полученное противоречие
показывает, что х0е ЛрВ. 123. См. задачу № 120. 126. Указание.
Вместе с точкой (дг0, у0) графику функции принадлежит и точка
(Уо> хо)' 127. Указание. Пусть точка М (дг0, у0) лежит на графике
функции. Рассмотрим результат последовательных симметрических
отображений точки М относительно точки Л, прямой х = С, снова
точки Л и снова прямой х = С. 128. Существует х0 е (—/, /), что
f(x0)=£f(—*0). 129. Указание. Рассмотреть ф (х) = (/ (х) + / (—х))/2
и yp(x)=(f(x) —/(—х))/2. 130. Для любого С>0 существует х0^М
такое, что |/(*0) I > С- 131. а) неограниченная; б) бесконечно боль¬
шая; в) ограниченная; г) ограниченная. 132. Например, f (дг) =
1 , если х = 0;
п2, если х=—, т и п взаимно простые, л> 0;
п
0, если х иррационально. 133. Сформули¬
руем утверждение, что означает, что функция / {х) не является неубы¬
вающей: существуют х0е[а, Ь] и хх^[а, Ь\ такие, что д:0<дг1, но
/ (*o) > / (*i). 134. Не обязательно, например, ух(х)—х, у2(х)=х.
[ 2-f W 2 +sin —V *=^0;
135. Например, f(x) = | \ * )
I 2 л: = 0. 136. Указание.
167
Рассмотрим случай неубывающей функции; если /(х) не является
таковой на [а, Ь\, то найдутся точки а! е [а, Ь], 6'е[а, Ь] такие,
что а' < Ь', но /(а') >/(&') (см. ответ к задаче N° 133). Показать,
что в точке c = sup{A:, jcc=[a', Ь'], f (х)^ f(ar)} не выполняется усло¬
вие неубывания. 137. Да. Указание. Провести доказательство от про¬
тивного. 140. Указание. Показать, что со [/, (jc0—б, *0 + 6)] есть
монотонная и ограниченная функция б в некоторой правой полуокрест¬
ности нуля. 142. Например, /(,с) =
sin — , jc > 0;
X
cos ху х < 0
5, х = 0. 143. Указание.
Рассмотреть три случая: а) / (*0) > lim f (,r); б) lim / (jc) ^ / (.v0) ^
<Пш/(дс); в) f (x0) < Mm f (x). 146. a) f (x) + g (x) и f(x) — g(x)
x—►JCq
разрывны; f (x) g (.с) может быть как непрерывной, так и разрывной,
например: 1) f(x)=x% g (х) = signer; 2) /(*)=* 4-1, g (-с) = sign x\
б) рассмотреть примеры: 1) /(*) = sign v, g(x) = —sign л:; 2) / (jc) =
i arctg —, jc=^0;
* g {x) =
0, x - 0;
( 0, хф 0;
\ 1, x = 0. 147. Например, g(x) =signx, f(x)=x(x2 — 1), *o = 0.
148. Функция ограничена в некоторой окрестности точки х0. Более
того, можно сказать, что для любого б>0 найдется такая окрест¬
ность точки х0, что для любого х из этой окрестности \f(x)-f(x0)\ <
<e + infa,,. Условие infa„=0 необходимо и достаточно для эквива¬
лентности сформулированного условия и непрерывности f(x) в точке
х0. 149. Указание. Показать, что для любого натурального N и лю¬
бой иррациональной точки найдется такая ее окрестность, в которой
не будет ни одной рациональной точки вида -, где n^N. 150. Ис-
п
пользовать результат задачи № 141.151. Например, а)/(*)=* £>(*);
б) /(*) = * (х— 5) D (jc); в) /(*) = ( jc-1) (x — 2)...(x — n)D (х)
I cos —, Хф§\
ИЛИ f(x) = \ X х^ = 0
0, х = 0, 156. Да. Например, f (х) =
arctg—, хф 0;
х
*о = 0.
{ 0, х = 0, 157. Нет. Указание. Рассмотреть h' =
= — h. 158. а) / (д) = С. Указание. Для любого х = R f (х) ~
= ^(т)=/(т)= б)/(*) =a*-Указание-
168
Рассмотреть / (2) =/ (1 + 1), затем / (n), затем / j, пеЛ/,
затем /(“j» затем / (с), где с иррационально. 169. Пусть
х0 е (а, 6) и а <х0—Л0 <д:0—hx <х0 <а0 -}- h2 <х0 -f Л0 <6, положим
Х = (Л0—Aa)//i0, х, =х0, дг2 = х0 + Л0. Тогда из условия задачи получим
неравенство (—/(*0) + /(*0 + Л9))/Л.< (—/ (*о) + / (*о + Ло))/Ло- Анало¬
гично получается неравенство (/ (д;0) — / (х0 — hj)/^ ^ (/ (*0) —
— / (*0 — h0))!hQ. Обозначив Л = (/ (х0 + А0) — / (лг0))/Л0. Б = (/(*0) —
— f(xо—А0))/Л0, получим, что на интервале (jr0—h0, дг0-1-Ло) Функ¬
ция f удовлетворяет неравенству В(х—х0) f (xQ) — f {х) ^ А (х—х0)9
откуда следует непрерывность / в точке х0 Если же х0=а или х0=Ь,
то разностное отношение (f (х0)—/(*))/(х0—х) ограничено только с
одной стороны, откуда непрерывность не вытекает. Рассмотрите функ-
[О, 0<А'<1; 1
цию /(*)={
11, х = 0, х = \, 160. Например, f(x)=D(x)— 2 (см.
задачу № 150). 162. Указание. Пусть х1<х2<г3, показать, что
min f (x)^.f шах /(*). 163. Пусть /—прямая, параллельная
данному вектору, не пересекающая данный многоугольник; ось ОХ
перпендикулярна /; S(x0)—площадь части многоугольника, лежащей
между прямой / и прямой х = х0. Поскольку данный многоугольник
можно заключить в прямоугольник, стороны которого параллельны I и
ОХ, то | AS (х)|^ | Лаг | К. Далее надо воспользоваться теоремой
о промежуточном значении. 164. Пусть /—произвольная прямая, про¬
ходящая через данную точку. Выберем на ней положительное направ¬
ление и обозначим направленную прямую 7. Пусть / (а) есть направ¬
ленная прямая, образующая с 7 угол а (7 (я) =—/, 7(2я)=/).
Обозначим 5(a) площадь той части многоугольника, которая лежит
спраЕа от 7 (а). Показать, что S(a)—непрерывная функция на [0, я],
и воспользоваться теоремой о промежуточном значении. 165. Показать,
что найдется отрезок [а, Ь\, на котором многочлен меняет знак.
166. Указание. Рассмотреть функцию ф (*)=/(*)—g(x). 167. Указа¬
ние. Если {ф)=аф® и/(1) = 6^Г, то функция <p(x)=^f(x) — х
должна принять на [0, 1] нулевое значение. 168. Например, f(x)=xа.
169. Указание. Показать, что f (х) принимает все значения от — оо
до + оо и применить результат задачи № 126. 170. Предположим
для определенности, что радиус окружности равен 1. Пусть М0 —
фиксированная точка окружности и М(х) — точка, полученная из точ¬
ки М0 поворотом на угол х в положительном направлении (против
часовой стрелки). Рассмотреть функцию ср (jc) = / (М (лг)) — / (М (х + я))
на отрезке" [0, я]. 171. Например, /(дс) = sin / хФ-^-%
169
/ ^ -у- ^ = 0. 172. Например, / (х) =
_1_
2
173. Указание. Доказательство провести от противного. Пример: f (х) =
f*+l, —1^jc<0;
' “ если х рационально;
аг"8(тг^)'хф^’
* f х
х, 0<х^1; 175. Например, Д*)=| ’
i/o л и—*»
\/2 х 0 1*—л> если х иррационально.
176. Любая монотонная, но разрывная функция, например, f(x)=x+
-f sign x. 177. Например, /(*)={ Х
W 1 1/2", l/2n < jc < 1/2ал, яе#.
178. Указание. Пусть Еп есть множество тех х из (д, 6), что /(*)>
>/(* + *) для всех / таких, что 0<|/|<— и а^.х—t <х-И <6.
п
Доказать, что множество Е точек строгого локального максимума есть
оо
У Еп и каждое из множеств Еп состоит только из изолированных
п=1
точек. Далее применить результат задачи № 46. Пример: / (х) =
i(x— a) sin—-—, х Ф а.
х — а
0, х = а. 179. Нет, в силу теоремы об ограни¬
ченности непрерывной на отрезке функции. 180. Нет, в силу теоремы
о максимуме и минимуме непрерывной на отрезке функции. 181. Нет,
в силу теоремы о промежуточных значениях непрерывной на отрезке
функции. 182. а) /(*)= 2х; б) нет, в силу теоремы о промежуточных
значениях непрерывной на отрезке функции; в) /(*) = —?—; г) /(*) =
= 1 + sin2jut. 183. a) /(jc)=2jc; б) нет, см. ответ к задаче № 182;
в) нет, так как f((0, l))d/([0, 1]), а на [0, 1] / непрерывна,
следовательно, ограничена; г) / (jc) = 1 + sin 2лх. 184. a) f (х) — 2х;
б) нет, см. ответ к задаче № 182; в) нет, см. ответ к задаче № 183;
г) нет, так как непрерывная на отрезке и биективная на нем функция
монотонна, т. е. если 0<х<1, то / (0) </ (х) < /(1) (см. задачу
№ 174). 185. Открытым относительно отрезка [а, Ь\ называется мно¬
жество, являющееся пересечением [а, Ь] с открытым множеством на
прямой. Пусть / sC[fl,6], £](с) ={*, х е [a, b\% f (х) <с}, xQ е Е (с).
Так как f (x0)<c, то в силу непрерывности f в точке х0 существует
такая окрестность U(xQ), что /(*)<С для всех х ^.U(x0) f| [а, b],
т. е. Е(с) есть множество, открытое относительно [а, Ь\. Точно так
же доказывается ьэто свойство для множеств E(c)={jt, jcg [а, b],
f(x)>c}. С другой стороны, пусть все множества Е (с) и Ё(с) откры¬
ты относительно [а, Ь]. Возьмем точку х0 е [а, Ь]9 число е>0 и рас¬
смотрим множество Е(х0, е) ={*, х^[а, Ь\, |/(лг)—/(*0)|<е}. Имеем
170
Е (*о, в) =E(f (х0) + е) П Ё (f (*0) —е), поэтому Е (*0, е) — открытое от¬
носительно [а, Ь] множество (ср. с утверждением задачи № 37).
Так как х0 е Е (jc0, г), то существует окрестность U (х0) такая, что
U (х0) П [а, Ь]аЕ (дт0, е), т. е. |/ (х) — / (х0) | <е для всех л; <= U(x0) f|
П [а, b], что доказывает непрерывность / в точке х0. Пример: f {х) =
0, х е [0, 1/2]; '
1, хе(1/2, 1]. 186. Из утверждения предыдущей задачи сле¬
дует, что для любого в > 0 и любых me jV, n^N множество
Вп,т,е = {ху *е[0, 1], l/nW--/n+fflWI<8} замкнуто. Применяя
оо
результат задачи №33, получаем, что и множество Лп>е— |~| Вп,т,в
т=1
замкнуто. Для г имеем | fn(x)—f (х) |^г. Используя резуль¬
таты задач №59 и 110, получаем, что для любого отрезка [а, Р] cz
с: [0, 1] найдется число п0 и отрезок [а', Р'] с= [а, Р] такой, что
\fn0(x)—f(x)\ <е для лее [а', Р']. В силу равномерной непрерывности
fn0 (x) на [а, Р] найдется отрезок [a, b] с: [а', Р'], на котором коле¬
бание /Пф (jc) меньше е, следовательно, на этом отрезке колебание /
меньше Зе. Итак, для любого е > 0 и любого отрезка [а, Р] с= [0, 1]
найдется отрезок [ае, Ье] cz [а, Р], на котором колебание / меньше Зе.
Построим систему вложенных отрезков [ад, b \ для е = — соответст-
я
венно. Если с—общая точка этих отрезков, то со(/, с)=0 (см. усло¬
вие задачи № 140) и, следовательно, f непрерывна в точке с (см.
задачу № 141). 187. Указание. Использовать результат задач 185 и 34.
188. Существует е> 0, что для любого б> 0 найдутся хх^ М, ^2еМ,
что, хотя \хг—х2\ <6, но !/(*,)—/(*2)|>е. 189. а) Например,
у = sin—, или у = —; б) Например, у = jccosx, или у = sin*2.
х х_
190. Например, у~ V* , или у =х + sinx. 191. Указание. Предста¬
вить множество Е в виде объединения множеств Еп таких, что Encz
1111, ».ш.
} 2 2
n^N, где 6(1) — число, удовлетво¬
ряющее условию: из неравенства 1^—*а|<6 (1) следует неравенство
I/(*i)—/(**)1 < 1- Например, i/ = cos —. 193. Пример: f =
= | sin jc | /а:, Ех =( — 1, 0), E2 — ( 0, 1). 195. Решение, а) В силу
lim f(x)=c имеем, что для е = 1 существует дг0>0 такое, что для
X—►-(-оо
любого х>х0 с — 1 </(jt)<c-f 1. На отрезке [0, х0] /(jc) непрерывна,
значит, по теореме Вейерштрасса ограничена, т. е. |/(х)|^М, а тогда
для любого х^0 |/(jc)|^max{M, |с —1|, |c-f 1|}. б) Возьмем любое
е>0. Существует а> 0 такое, что для любого х > а | f (х)—с| < е/2,
т. е. для любых ххУа% х2>а |/(jq) — f (х2) | <е. На отрезке [0,о+1]
f непрерывна, поэтому для данного е существует такое б> 0, что для
любых х1 е [0, a -f 1], хг е [0, а + 1] таких, что \хг—*2|<
I/ (АЧ)—/(*г)Ке- Отсюда следует, что если — min{6, 1}, то для
любых хг и л2 из [0, + ОО) таких, что 1^ —х2|<6, имеем |/ (^х) —
171
— /(*») I <e- I96- a) Да; б) да; в) да; г) да; д) да. 197. Например,
а) /(*) = И, g(-v) - М. *0 —- 0; б) f(x) = ^J\ g(x) = 1 -Р'7\
х0 =-0; в) / (х) = \х\ f 1, g(x) ■-= (|х| 4- 1) (л: 4-2), хо = 0. 198. Напри¬
мер, f (х) =х2 (х2 — \)2 D (х) (см. задачу № 159). 199. Да. 201. п\.
202. Например, f (х) = л* — sin х. 206. Например, f (л:) =
__ | xasin (п/х), хфО;
~~ I 0, л- = 0.
207. Обозначим g(x) = х(х— l)asin
Ф»W=?(—ггтг)’
\ п (п f 1 ) 7
(х- 1)* ’
положим Ф (х) — (1 — A')2, JC = [1, 2]; ф (х) =
.(*). -te . — ); Ф(0) == 0; фИ=%(-х),
L п + 1 п / \ п
, ф(х) = (*4- 1)а, хе (—2, 1], тогда функция/(х) =х2ф(х)
.(п f 1)
<Р ni
1
я + 1
на интервале (—2, 2) удовлетворяет поставленным условиям* Прове¬
рить это. 209. Например, Дх) = --- -х . 210. Например, /(х)-= cos(lnx).
211. Например, f(x)=——(-cos — . 212. Например, / (х) = 1/Т.
X X
! х2 sin —, х ф0\
214. Например, / (х) = j *
( 0, х = 0. 215. Например, f (х) -
(xsin—, х^=0;
* или f (x)=xD (v).
I 0, x = 0, 219. Указание. Пусть /' (0) > 0,
тогда /'(1)<0. Так как / непрерывна на [0, 1], то существует
точна с, в которой функция f достигает максимума, причем с е (0, 1).
221. Указание. Применить теорему Коши о среднем значении к
функциям и = f (х)/х и и = — на [xlf х2]. 222. Нет. Пусть / (х) =х3;
(a, b)=( — 1, 1), 0 = 0. Для любой пары хг е= (— 1, 0), ха е (0, 1)
имеем /' (0) = 0, но (f (х2) —/ (х1))/(ха — х,) Ф 0. 224. Указание. Рас¬
смотреть функцию g (х) = /(х) 4- 2х—4. 225. Указание. Рассмотреть
функцию g(x)—f(x)—е~х. 233. Указание. Доказать, что в условиях
задачи /'(х) монотонна и ограничена. 2 34. Например, fl (х) = 1 — ха,
f% (х) =—8х. 235. Решение. Пусть | 0, J f|[0* 1]. Тогда,
применяя неоднократно теорему Лагранжа^ получаем |/(х)| = |/(х) —
-/( 0) I = I пи I *<*!/№.) !*<-£- 1/(Ь)1 = т\Г1Ь)
|/(|«)| < ... I/(&.)!, где (0, х), (i =
2* z
= 1,2,... ,n-1). Так как М*) ограничена на [0, 1] "и п— любое
натуральное число, то отсюда следует, что f (х) — 0 для любого
172
°. ^jn[0, 1]. Если k^-L, то [о, -£-]П[0. 1] = [о, 1]
и утверждение задачи доказано. Если же k то проводим те же
Г 1 — 1 i 1
рассуждения последовательно на каждом из отрезков ———, ,
1—2, 3, ... , [2k] и на отрезке | ^**6. Решение- Дока¬
жем, что для любого целого существует сходящаяся к нулю
последовательность точек {ыа}, в каждой из которых fik) (ип) = 0.
Доказательство проведем методом математической индукции. Для к = 0
утверждение следует из условия задачи. Пусть предположение верно
для k—m, т. е. существует последовательность точек {хп} такая, что
lim*n = 0 и /(/п) (jea)=0. Тогда для любого i, i <= N, в силу теоремы
П-*-оо
Ролля между точками х{ и Х{+\ найдется точка у{ такая, что
/(т+1> (*/<) =0, а это означает, что существует последовательность {*/„}
такая, что limi/n=0 и fim*X) (у{) =0. Итак, утверждение доказано.
а-оо
Отсюда следует, что f{h) (0)=0 для любого натурального k (так как
/еС°°). Применяя формулу Тейлора к отрезку [0, x0]t имеем / (х0) =
-/(»>+/■ <0)„+ ... iilSLxj. о<
21 л! п!
< 1£1 < Uo I • Следовательно, | f (х0) | ^ L | xQ | п/п\ для любого натураль¬
ного п и любого дг0, т. е. откуда следует, что f(*)=0
при любом х.
Часть II
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ
И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава I
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ
ЕЕ НАХОЖДЕНИЯ
Определение. Функция F (х) называется точной первооб¬
разной для функции f(x) на (а, Ь), если F'(x)=f(x), х^ (а Ь),
или, что то же самое, f(x)dx служит дифференциалом для г(х).
dF(x) =f(x)dx.
Определение. Функция F(х) называется обобщенной пер¬
вообразной ал* f(x) на (я, Ь), если F(х) непрерывна на (а, Ь) и
для любого х^ (а, Ь)\Кп, где Кп — множество, состоящее не бо¬
лее чем из п точек, имеем F'(x)—f(x). Если нет^необходимости
подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной^или обобщен¬
ной первообразной, то называем F (х) первообразной.
Пример 1. Функция In (* + У1-Ъ *2) есть первообразная для
функции l/1/l -+-*2на всей числовой прямой, т. к. (1п(* + У1-г х2))'
= 1/уГТ72. Функция | х| есть обобщенная первообразная для
функции signд: на (—1, 1), так как |х|еС(—1, 1) и |x|' = signx,
хфО.
Соотношение F/(x)=f(x) определяет F(x) неоднозначно.
Пример 2.
a) (cos 2х)' = —2sin 2х,
(—2sin2 х)' = —-4sin х cos х = —2sin 2х\
Основным свойством первообразных является следующее: если
F(x) и G(x) —первоооразные для одной и той же функции f(x)
на одном и том же промежутке, то их разность постоянна на этом
промежутке.
Определение. Множество всех первообразных для данной
функции f(x) на промежутке (а, Ъ) называется неопределенным
интегралом этой функции и обозначается $f(x)dx (промежуток
б) [2 ln(V4 + Jfa —Jr)]' =-р===.
[,П
174
(а, b) обычно можно определить из контекста, чаще всего это
промежуток непрерывности f(x) и поэтому не указывается).
Следовательно, если F (х) есть первообразная для f(x) на
(а, Ь), то
Sf(x)dx = F(x) + C.
Пример 3. Найдем точную первообразную для функции
f(x)=e]x{ на всей числовой прямой.
Решение. При х^О имеем е1х> = ех, и для этой функции в
области jc>0 одна из первообразных будет ех. При х<0 имеем
= e *, для этой функции в области х<0 первообразной будет
функция (—e~x + k) при любой постоянной k. Так как первооб¬
разная функции еы по определению должна быть функцией не¬
прерывной, то должно выполняться условие
lime*= lim (—e~x + k)y
х-04- jc-*-0—
т. е. 1= — 1+fc, откуда k = 2.
Итак, функция
( ех, х > 0;
^ (х) = | 1, х = 0;
I — егх + 2, л: < 0
является непрерывной на всей числовой оси. Для х>0 имеем
F'(x) =е* = е1х1, для х<0 имеем F'(x) =е~х=*еы. Докажем, что эта
функция будет точной первообразной для функции е,х1 на всей
числовой прямой. Для этого осталось проверить, что /г'(0)=е°=1.
Имеем
F' (0) = lim = Пт -g-1 = 1,
+ *_►()+ X jr-^0+ X
F(0)= lim - lim -^ + 2--1-==1, x. e.
x-*-0— X X—0— X
F\ (0) = F'_ (0) = f' (0) = 1 = e101.
Следовательно, можно записать
\e™dx=F(x)+C = j eX + C’ X>0;
3 \— e~* + 2 + C, x<0.
Доказывается, что любая непрерывная на [а, Ь] функция
имеет на (а, Ь) точную первообразную, но в отличие от производ¬
ной первообразная элементарной функции не всегда представ¬
ляется элементарной функцией, например, первообразные для
функций
-А ,ех\ в-**.
X * X
175
I
Основные свойства неопределенного интеграла
1) djf(x)dx = f(x)dx;
3) \dHx)=U'(x)dx = f(x)+C.
I аблица простейших интегралов
jc*+1
Л“Л = ;Т.'+С (а#_1)' Г —*Т~Г = ~arctg — (а*0).
^ J а1 -}- л2 а а
— = 1п|х| +С (xsjfcO). Г—-—=JLin|2±f +с (а^О).
х ' J а» —ж* 2а |а-* ' ^ '
a'dt + с(а >0, a^l). [ -^= =arcsin — + С (а^-0).
In a J /а2— X* а
e'dx = e‘ + C. j p^L=. = ln|x+V'xi+ft'|+С (А^О).
sin xdx^ — cos x + С. j* sh v d* = ch .v -f C.
cosxdx = sin jc -f C. j ch jt djc = sh x -b С
= tgx + C. f-^-= — cthx + C.
J sh2 a:
COS* X
dx . , ^ Г dx
= — ctgx+C.
■=th.« + C.
sin2jc J ch2 a:
Нахождение первообразной или вычисление неопределенного ин¬
теграла в основном состоит в преобразовании подынтегрального
выражения так, чтобы получить интегралы из этой таблицы
(«табличные интегралы»).
Правила вычисления неопределенных интегралов
1. \kf (x) dx—k\f (дг) dx (k Ф 0).
2. j [/ (jc) ± g (*)] dx =-- J f(x) dx±$g (x) dx.
3. Если j f (jc) dx — F (x) \- С и и — cp (*) непрерывно дифференци¬
руема, то f / (и) du — F (и) + С.
Правило 3 показывает, что таблица интегралов справедлива
независимо от того, является ли переменная интегрирования неза¬
висимой переменной или функцией. Заметим, что
1 dxn+l
dx --- — d (ах f- b), xndx -
a n-\- 1
dx_
x
= d\nx, —— dx — —d(—\, cos xdx = dsinx,
x2 \ ;
sinxdv^—d cos*, = d V* .
2/x
Пример 4.
^ (jc + 1) dx = J (x -f 1) d (x + 1) = J udu = ~—\-C — —h C.
176
Пример 5.
J (5 -Здс)31 dx= - -i | (5- 3*)«d (5-3*) = - -jL- (5- 3*)и + C.
Заметим, что под знаком интеграла выражение в скобках можно
возвести .в степень 51 и взять интеграл как линейную комбина¬
цию интегралов от степенных функций. Понятно, что этот метод
здесь крайне громоздок, и наглядно видно преимущество предло¬
женного здесь метода.
Пример 6.
j* х (1 — 2х)37 dx = (1 — [2х) -j- -~J (1 —2x)a7dx =
= —i-J(l — 2x)*>dx+yJ(1 — 2xY4x = ( jr)2J(l~ 2лг)»^(1— 2x) +
+ y -(-y) f(1 -*хГ<1(1-2х) =^(1-2дг)»-^(1-2*)“+С.
Пример 7.
Пример 8.
Г 1 dx = I d~ = г du —
J sinx I sin —cos— ' sin U cos u
V 2 2 <
=i^T=ln|tgu|+c=lnltgf|+c-
Пример 9.
Idx 1 _ f* d arcsin x __ 1 ^ p
arcsin5 x Y1—x2 J arcsin5 x 4 arcsin1 x
Пример 10.
[^-dx ■7===<;s*±±-'/~idx =±[yiTTdx-
J /х+t+Vx-l J 2 2 J
”"2” 1VCTdx = -j (x + I)3/2 — -j (x—1)3/2 + C.
ЗАДАЧИ
Найти интегралы:
1. j(2-3 VT)*dx. 2. ^ уГ'Ху^Т ) dx-
177
-I-.*
COS2 и
sin u- cos и =
COS2 и
з.
S. Jiitfilrfx.
Ч
dx.
dx.
4 •— x*
dx.
9.
3 + x*
dx
x4— 1
"+x)i dx.
*(!+*»)
Vx* + 1 — /xa
dx.
"I
13. Г
J Vx*- i
15. С—£—.
J 3*» —7
17. f d* *.
J /2**+ 5
19. ^ (5‘—2x)2dx.
21. ^ 2X • 3* • 5* dx.
— 1
djc.
M
M
'4
(*■+ 1)(ж» —3)
1+2*’ dx.
X*( 1 + X*)
V\ + *a + / i — *»
V\ — X*
dx.
dx
16.
18.
20.
22.
2xa-f 3
Г dx
J /2^5*
f dx
J КЗх2— 7 '
p o2x—1 o2x+3
23. Г-i^lr1
J e* —
I
ь
dx.
25. \sina —dx.
dx
27.
29.
sin2 x-cos2 x
^ ctg2 x dx.
«. Jvr -f sin 2x dx,
24
26. J
28. J
62X
2X•3tx•4SX
5X;62X
22* — 1
dx.
dx.
/ 2X
dx.
cos
? — dx.
2
cos2 x
dx.
30.
x e
.33. ^ th* x dx.
sin* 2x
L ^ tg2 xdx.
y)- 32- ^(2chjc —3shx)dx.
34.
J JK-l
-35.
37.
39.
dx
2x + 3
x+3
(x + 2)(x- 1)
xdx
dx.
36
38.
(x + 2)(x + 3)
dx.
b
41. f (2л + 5)17 dx.
«. Li_.
J /1-2*
4- 2x
s-
P 24
J H
40. ^ (a; — l)10dx.
•I
■ dx.
42
44
(1 — Зх)зо
dx
V^(l.+ 3x)*
178
45. ^v^(l+4x) dx. 46. —2)6dx.
47. j л VY^Tx (x. 48. j (x + 2) Vx^J dx.
49. e-^-7 dx. so. e-i+Ld*.
J Kl+з* J
51
53.
67.
*+ 1
. J **+| dx. 52. ^(2x + 3)2(I —дг)8dx.
Г—*~4 - dx. 54. [■ *3dx
J /F=l J **-<
55. f—/ xdx 56. Г Лг
J /1 — J Ул> + 4
1—4*
57. Г — x + 2--dx. 58. С dx.
J /x2— 10 J /1 — 2.x3
59. j * VI — Jta dx. 60. j * (1 — *a)5 dx.
61 Г —^— 62. С —*-
J l + *‘ ' J **-5
64. f
/3 + x* J X In* x
65. f =—. 66. Г
J * v In* J
dx
x(lnjeJ+3)
f—^ 68. f ^-dx.
J x(2 + \n*x) J *
69. f-£±*Ld*. 70. f_£l-dx.
J 1 — г* J l+f1
71. Jsin5xdje. 72. Jcos-^-dx.
73 j cos ax sin fix dx, 74 j cos ax cos fix dx,
a^p, аФ—p. a^p, аф — p.
rg JsinaAtsinpJtdx, 7g |sin2xcosaxdx,
a^p, a Ф—p. " a Ф±2, афО.
77• ^°5.Х™*ХЛ’ о 78- f*sinx*dx.
р Ф ± 1, р т*= ±3. J
79. Г ‘ cos VTdx. 80. f_«£*L.
J yx J 1 -f sin x
SI. ^ sin2 xdx. 82. j*cos2xdx.
83. J(sinjc + 2cosx)2djc. 84. jVcosexdx.
85. f 86. Г
J 1 COS* X J
sin2 7x
179
ST.
89.
91.
$3.
•95.
97.
99.
101.
103.
105.
dx
cos2 8x
—— dx.
COS X
ctg x dx.
dx
sin x -f" cos x
sin 2x
88. —
J sin 3x
90. ftgxdx.
92 . f —L
j 1 +*
^ (x+sinx)
dx.
У 1—4 sin2 x
1 dx
dx.
COS2 X 1 -J- tg X
sin x cos x dx«
^ УЗ — sin4 x
С x+ V arctg 2x ^
J 1 -H 4xa
r.-*±--^2*.dx.
J К1 — 4x2
^ (sh x—ch.v)2 dx.
94.
96.
98.
100
COS x
1+COS x
dx.
dx.
I
J-=
P ar
J~i
/2 — sin2x
- dx.
l
1 -f- tgx
- dx.
dx.
102. J
104. J
106.
arcctg 3x
9x2
arcsin x — arccos x
/—
dx.
J
V 1 - X2
dx
sh2 x ch2 x
dx.
TO
§ г ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Если и(х) и v(x)—непрерывно дифференцируемые функции,
]udv = u-v — J vdu.
Суть применения этого метода интегрирования состоит в том, что
интеграл \vdu может быть «проще» интеграла ]udv. Этот метод
часто применяется, когда под интегралом стоит произведение
«разнородных» функций, например, еах и хр, е®* и sinpx, х и lnx,
х и arctg х и т. п.
Пример 1.
J xcos xdx=\xd sinx= xsinx—J sinxdx = x sinx-f cos x + C.
Здесь в интеграле Jsinxdx подынтегральная функция не является
произведением «разнородных» функций х и cosx.
Пример 2.
Jx arctg xdx = j*arctg x d = ~“arctg x J — ■ dx =
= — arctgx — f - + ? гг 1 dx= / — + —) arctgx-r» — x + C.
2 & 2 J 1-fx2 \ 2 2/ 5 2
Здесь в интеграле f—-—-dx подынтегральная функция является
J 1 “1~
180
алгебраической функцией, а не трансцендентной, как в данном
интеграле.
Иногда, применяя метод интегрированйя по частям, удается
получить нетривиальное уравнение для нахождения первообраз¬
ной функции.
Пример 3. Вычислим Jех cos xdx.
Решение. Имеем
/ = j ех cos xdx = J cos xdex= cos jc + Jsin xdx—ex cos x+
+ J sin xdex = ex cos x + ex sin x — У ex cos xdx«
= ex(cos x+ sin jc) —I.
Поэтому
j* e‘cos* dx = + c.
П p и м e p 4. Вычислим J Yx2 + kdx, k=£Q.
Решение. Имеем
/ = J У** +kdx — jcVjc2 + —J —p^===— =jc y,va + &—
— f ~dx — xVjc2 + k+ k\n\x + Ух2 + fc| + /,
J >/ X* + k
поэтому
j>V^Tfe^= fe- +^->п1л:+Т/^г+*1 +c-
ЗАДАЧИ
Найти интегралы:
107.
jcsin xdx.
108.
j* x cos2 xdx.
109.
xs\nz xdx.
no.
f * djc.
J cos2*
111.
jcctg2 jc dx.
112.
[xsinx dx.
J COS2 X
113.
In2 jcdjc.
114.
$ V "■
115.
jc2 In (1 -f jc) dx.
116.
117.
** d*.
(1 + *»)*
118.
J V2—X* dx.
119
Vjc2 -|- 3 dx.
120.
f arctg jc dx.
181
121. J arccosxdx.
123. Jx arcsin x*h
125. Г eaxs\n$xdx
J eax sinpxdx.
Г I In cos x ^
x arcsin x dx.
124. f --3- —2x- arctg x dx.
J 1 + *2 B
126. Г cos2 (In x) dx.
122. 1 x2 arctg * dx.
|27 c '^ULdx
J COS2 X
COS2 X
128. j* л; arccos — dx.
§ 3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОГО
Пусть функция f(x) непрерывна, функции x(t) и t{x) взаим¬
но обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих
промежутках. Тогда первообразная для f(x) имеет вид’/7(х) =
=Ф (/ (х)), где Ф(0 есть первообразная для функции f(x(t))X
Хх (t). Коротко это утверждение записывается так:
J7W dx = F{x) + C = <t>{t (x)) + C = <b(t)+C = if(x(t))xf (t)dt.
Функция x(t) подбирается таким образом, чтобы подынтеграль¬
ное выражение приняло более удобный для интегрирования вид.
Выбор ее определяется конкретно видом подынтегрального выра¬
жения. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся замены.
Л. Вычисление интегралов Jsinn х cosmxdx; п, m — целые
I. Если оба показателя гг и пг — неотрицательные четные чис¬
ла, то применяются формулы понижения степени:
sin2x=-^-(l—cos 2а), cos2x=~-(1 +-cos2r).
II. Если п и m—натуральные числа такие, что хотя бы одно
из них нечетное, то в случае нечетного m полагают sinx = £, а в
случае нечетного п полагают cos x=t и применяют либо формулу
1 — cos2x = sin2x, либо 1 — sin2x=cos2x.
III. Если п и m — целые отрицательные числа такие, что оба
числа \пг\ и |л| либо четные, либо нечетные, то полагают tgx =
= * либо ctgx=/ и применяют формулы
1 + tga х = —!—, 1 + ctg2х = —-—, cos2x + sin2x = 1.
cos2 x sin2 x
К этому типу сводятся интегралы вида
В самом деле,
f—-(
J COSm X 1
IV. Если n и m — целые отрицательные числа, причем одно из
чисел \п\ или |m| нечетное, то в случае нечетного [т\ полагают
sin* = /, а в случае нечетного \п\ полагают cosx=t. Иногда в
случае больших степеней |п| и \т\ полезно в числителе подынте¬
гральной функции неоднократно заменить единицу суммой sin2*+
+ COS2*.
V. Если п — четное число, а т — целое отрицательное число,
то можно заменить sin2* по формуле sin2*=l—cos2*, и в этом
случае интегралы сводятся к интегралам вида
В случае четного т и целого отрицательного п заменяют cos2*
на 1 — sin2*. В некоторых специальных случаях полагают tgx — t.
VI. Если п нечетное и т — целое отрицательное число, то по¬
лагают cosx = t и применяют формулу sin2x=l—cos2*. В слу¬
чае, когда т нечетное, а п — целое отрицательное число, пола¬
гают sin* = f и применяют формулу cos2*=l — sin2*.
При вычислении рассматриваемых интегралов часто исполь¬
зуются следующие формулы:
sin a-sin р =—- [cos (а—Р) — cos (а + Р)],
cos а ♦ cos Р = --- [cos (а—Р) + cos (а + Р)],
sina-cosP = -i- [sin (а—Р) -f sin(a + P)].
Пример 1.
J sin2 * cos4 xdx — jcos2 * sin* 2* d* = J -
sin2 * cos4 *
cos2 * sin*
1 4~ cos 2x 1 — cos 4x ^
2 ’ 2 X
^ (1 -f cos 2*—cos 4*—cos 2* cos 4*) dx
16
— sfn4£ L Г (cos 2x -f cos6*) dx =—!— *
64 32 J 16
sin 4jc
(cos 2 x -f cos 6*) dx =—— * -h —--2x
16 32
sin 4x
64
sin 2*
64
sin 6* + C= — *H—— sin 2*—
192 16 64
sin 4*
64
sin 6* -f C.
192
183
Пример 2.
J sin6 x cos4* dx=—J sin4* cos4j<d cos x = —J (1 —cos2 x)2 cos4jcd cosx =
= — f (cos4 x— 2 cos8 x 4- cos8jc) d cosx — —E?s*i- 4 —cos7 x —-f С.
J 5 7 9
Пример 3.
f ! dx= f ^ = (*. ***
J sin3 jc cos5 x I sin8* „ \
J — cos2* cosex J
r U
tg* X - 1
COS3 X U ( 1 4 tg3 X)3
f + Hl + a*)1 du_f du |3f du t
J tg® X J U9 J U* J и
+ 3 j* udu + ^ u* d« = —— + 3 In | и | +-1«»+-Ltt« + C =
= “T-l?7 + 3,nitgj:|+Ttg,JC + Ttg4jc + c-
Пример 4.
(1 —cos2 x)3d cos x
cos2 x
Г sin7 jc ^ (* sine xdcosx Г
J cos2* J cos2* J
= -f 1 — 3u> + 3“4 т -* — J_ -). Зц—цз _|_ _ffL + с =
J u2
и 5
1 -4-3 cosx — cos3x 4 --* 4- C.
cos x 5
Пример 5.
f „ r 4+f) . Г 't
J COS’X J sin, + 24 J sin» -J-cos' Y
и /ъ I U \ 4
2
_ 1 Г(14г*)« dz_ 1 P 1 4- 4- бг4 4- 42^ 4 г» ^
16 J z» 16 J 2b
1 z~« -z~* + — ln|z| + — 2* + — z* + C =
8 8 64
64 8
sin*
4 cos4 x
184
о о о о*
—i- JL in I tg (— + —^ I + c.
8cos*x 8 I \ 2 4/|
Пример 6.
Г Г (1 ~J-cost хХ. dx — Г — 2 Г —^ 1- С-^-
.J COS5 X J COS5 X J COS5 X J COS3 X J COS X
+T'"l,8(f+f)|+c
— sin X 5 Sin X
4 cos4 x 8 cosa x
Пример 7.
Г dx Г (sln*x-f cos1*)**!* P sin x
J sin3*cos4 jc J sin8 x cos4 x J cos4*
+ 2Г *£ +f —= + 2 Г J£*±2*±.dx +
J sin x cos®* J sin3* 3cos3x J sin x cos2 x
+^=-^+2(~+ln\^f\) + (-iSt+
+Tln|tgf|)+c=i^+ii7_iSi;+'T,n|tgi|+c-
В. Интегрирование выражений, содержащих радикалы
У а2 ± х2 ; Ух2 ± а2 , а Ф О
I. Если подынтегральная функция содержит радикал У а2—х2 ,
и > 0, то можно положить jc=asin/.
Так как выражение "Уа2—х2 имеет смысл только при |х|^сг,
то и первообразная ищется на промежутке —a<*<a. Для пере¬
менной / промежуток изменения выбирается так, чтобы —a<asintf<
<a, следовательно, можно считать, что ——<* < тогда У а2—х2=
= acos t.
II. Если подынтегральная функция содержит радикал Ух2—а2 ,
а > О, то можно положить х = —2—
cos t
В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче
х < —а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч дру¬
гому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая
запись преобразованного подынтегрального выражения, т. е. луч д:>а,
тогда берем 0<£<— и Ух2—a2 =atgt.
В этом же случае можно сделать замену x = acht, тогда
Ух2—a2 =Vaa(chaf — l)=a[shf|.
III. Если подынтегральная функция содержит радикал Уа2 + х2 ,
а > 0, то можно положить ,v=atg/. Функция x = atgt непрерывно
дифференцируема на интерзале (—я/2, я/2), при этом промежутком
изменения jc является вся числовая прямая, поэтому Ух2 + а2=—-—.
cos t
185
В этом же случае можно положить х=а sh ty тогда У*24-а2=
=а ch t.
Для удобства приведем некоторые формулы, связывающие ги¬
перболические функции между собой:
ihx = , cthx = -^-, ch2x—sh2x=l,
ch х sh x
ch2 x 4- sh2 x = ch 2xy sh 2x = 2 sh x ch xt
. 2 ch 2x 4- 1 , 2 ch 2x — 1
ch2x = , sh2 x = .
2 2
Пример 8. Вычислим
j-
V (* + <?)*
-dx.
Решение. Положим x = atg/, тогда dx =
adt
cos21
f
dx =
\
a3 tg2 / -cos3 / dt
a3 cos2 f
-J
(x‘2 -f- a2)3
= di={— Сcostdt =
J COS t J COS t J
('+i)
r =
J COS t
-sin / = In | +
Так как t= arctg—, to
a
хЧх
У (X* + а"У
= In
tg (^-arctg-h—sin arctg 4- С =
- 4- In | x -г Vx2 -fa2 | 4- С.
У х2 4- a2
Пример 9. Вычислим fya2—*2dx.
Решение. Положим л: = a sin тогда
^ У а2—х2 dx = ^а2 cos2 / d/ = - j* (1 4- cos 2t) dt =
= ±.(t + ±sin 2/J+C.
Так как
t= arcsin—, sin arcsin — = —,
a a a
cos arcsin
. x X2
m —= \f 1 - ,
of a2
\х\Фа,
186
то
[ Vа2—х2 dx = — arcsin — 4- x ^'a* ~ *—|-C.
J 2 a 2
Пример 10. Вычислим J У a2 + x2 dx.
Решение. Положим x = asht, тогда
j* T/a2 + 'V2 dx = J Уа2 (1 4- sh2/) a ch t dt = a2 j* ch21 dt =
= a2 j c-h2' + ^sh2r+ ^ + C = -^(sh*ch/+/)+C\
Так как
ch / = Vl -I- sh21 = 1 + -il
e' = sh t + ch t = x *8
TO
x + V a2 + x2
t = In-
I
У a2 x2 dx — У a2 4- x2 + -y ln|x-f Va24-*2 | 4- C.
C. Вычисление интегралов вида
jfl(ex, e2x, . ..,e"x)dx,
где /? — рациональная функция
Полагая ex = z, имеем #(ех, е2х,..., епх) =R (г, z2, ...,гп) и
» dz
dx = .
z
I„+l
—j—— dx.
Решение. Полагая ex = z, имеем
— In|e| 4-С = 2 In|ex —1| —lne* + C = ln(£x —l)2—x4-C.
D. Интегрирование биномиальных дифференциалов
Так называются дифференциалы вида xm(a4-bxn)^dx, где а,
Ь — постоянные, отличные от нуля, «т, л, р— рациональные числа.
Первообразная для функции хт(а+Ьхп)р является элементар¬
ной функцией в следующих трех случаях: а) р — целое, б) т —
п
187
ч -f-1
целое, в) 1- р — целое;
п
а) если р — целое, то полагают x=zN, где N — общий знаме¬
натель дробей т и п.
Г V7
Пример 12. Вычислим I —dx.
J (1 +/х )2
Решение. Положим x = zs, поскольку р = —2 — целое. Тогда
Уjc = z3, I3/ х = г2, dx = 6z5dz
и
Г V7' djc=6 f——— =6 С/г*—2г2 + 3 ^±i-W =
J (1 + ^Г)* J (14-г2)2 J\ (1-fz*)2 ;
= — zb—4г3 + I82 — I8 arctg г—6 Г ———,
5 J (1 -f z2)2
Г ——— = — fzd —!— = h — arctg г -j- C.
J (l+Z2)2 2 j 1+22 2(1+22) 2
Следовательно,
Г
^x -dx = —z*—4z3+18zH — 21 arctg z + C,
(l+^x)s 5 * + гг
z
=^r;
ш -4- 1
б) если—— целое, тогда полагают a+bxn = zs, где N —
п
знаменатель дроби р.
р xdx
Пример 13. Вычислим \ л/ i *
J V \ + /w
Решение. Положим 1+jc2/3 = z2, поскольку —=3 —це¬
лое. Тогда
— 3 —
x = (z*—1) 2, dx = (z2 — 1) 2 -2zdz.
Следовательно,
(*—у xdx =3f(22—l)2dz=—г5—2г3 + 3z + C,
] J 5
2=У1 + А'2'3,
/71 1 J
в) если h р— целое, тогда полагают ах-п + Ь = г^ где
п
N — знаменатель дроби р.
dx
Пример 14. Вычислим \ ““77
* * J у 1 + *4
188
Решение. Положим z* = 14-лг4, поскольку —= 0 —
целое. Тогда
Jt = (г4— 1)“1/4, dx = —2s (г4 — 1 )-5/4 dz,
/1+*4 =2(2*—
Следовательно,
Г-^— L. )*_
J \'ТТ* J г4-' 4 J ' z + 1 г-1 )
— Г ——— = — InI1 | ——arctgг + С, г = (1 + х~*У*.
2 J г* + 1 4 | 2-1 I 2 т . ' ^ >
Если подынтегральная функция содержит трансцендентную функ¬
цию сложного аргумента <р(х), то полезно для упрощения подын¬
тегрального выражения сделать замену ф(х)=/.
Пример 15. Вычислим
Г arcsin—^=r-d*.
J Vx
Решение. Положим—^=-=*, тогда dx
В Vx tl
и
Г 1 л Г —2 arcsin/
1 arcsin —=- dx = \ dt.
j /* j t*
Интегрируя по частям, имеем
n r arcsin / .. С . , . / 1 \ arcsin t Г & *
—2 \ dt=\ arcsin t d — ) \ =
J t* ) \p j t* J t*V i-*2
arcsint f 1 **(/») _ arcsin/ « f Jl j _j_ q
~~ /2 J 2 Г~х ~ V
V T~x
Следовательно,
^ arcsindx = x arcsin Л-V x—1 +C.
Пример 16. Вычислим J е~^х+1 dx.
Решение. Положим —y^x-fl =t, тогда jr + 1 =—t3, dx =
= —3t2dt. Следовательно,
j e-V^H dx = — 3 J e‘t4t = -3(e'-/2-2j /е<Л) = — 3 (e‘t2—
—2te> + 2e<) + С = — 3<V + 6 te1 r-6el + C, t = —yT+T.
189
ЗАДАЧИ
Найти интегралы:
129. ^sin4* dx.
131. ^ cos*xdx.
133. ^s\n7xdx.
135. f-5!i
J cc
137. ^
m. |
COS5 X
sin1*
cosx
dx
dx.
dx.
cos’ X
141. JctgXxdx.
143.
> j
,45 j
j
149. J
151. Г
dx
153
155.
■j
157
159
sin3 x cos4 x
dx
sin2 x cos4 x
x2 \f a2 —x2
dx
X2
H
(a2 — x2)3/2
и
dx
(x2 + a2)312
dx
У e*+ 1
dx
x >/1 + x’
dx
■I
Vx (1 + Vx )
bVxdx.
30
32.
34.
36
38.
40.
42.
. J sin4* cos2 л dx,
J sin2 xcos3xdx.
Г -J-Лс.
J COS3 X
. Г ^-dx.
J sin4 x
Г cos7;
J sin3;
dx.
sin®*
I
Cii£l£d.v.
J COS'* X
44. J ctgb xdx.
j* x2 Va2 -f- x2 dx.
j*2Vx2— a2 dx.
46.
48
50
dx.
. f
J (*4-a*)*
52. j ye3x + e2(dx
54
56.
58.
60.
•I
Vx
p dx
J v^vT^i
у X3
f
s
dx
х2{2-\-х*у/л
x cos V.v dx.
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ,
СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Рассмотрим интегралы вида
Ах 4- в
ах2 + Ьх + с
•I-
. j (Ах + В) У ах2 + bx + c dx\ IV. J j—
Ах + В
У ах2 ~| - Ьх -г с
dx
dx\
If ax2 -f- Ьх с
190
Выделяя из квадратного трехчлена ах2+Ьх+с полный квадрат,
запишем его в виде ах2+Ьх+с = а(х+ Р)2+?. Если в интегралах 1г
II, III сделать замену х+P = z, то получим интегралы
Г. Г А.г + В, dr п, Г +В, л?.
J аг2 + q J V az* + q
'. j (AyZ + вх) У az2 + q dz.
Ill
Вычисление этих интегралов в зависимости от знака числа а сво¬
дится к вычислению интегралов вида
f-Cf + £> dz, \ dz, С Jjl±JLdz, [{Сг+й)Уг^? dz,
J г2 ± r* J /гг±г* J Vr*-z* JV ,¥
j* (Cz + D)Vza ± r2 dz,
каждый из которых представляет собой комбинацию двух инте¬
гралов, один из которых табличный, а другой сводится к таблич-
ному, применяя равенство d(z2zta2) =2zdz. Интегралы /а2—x2dx
И IV* + k dx не входят в таблицу на с. 176, но они уже были
вычислены ранее. Так как интегралы такого вида часто встреча¬
ются в приложениях, а вычисление их технически сложно, то
предлагается соответствующие первообразные просто запомнить.
Поэтому эти интегралы также называют табличными:
xV а
я*
а2—х*dx = + — arcsin — + С,
2 2 а
1/x2 + kdx = -У-—— + ~k\n\x + Yx2 + k | Ч-С.
2 *•
J2x I 5
7. T :-.=r-dx.
Vx* + 4x + 7
Решение. Так как х2+4х-Ь7= (х + 2)2 + 3, то, полагая =
= z, имеем
Г 2х + 5 Г 2(х + 2)+1 Иг_С * + l_d2 =
J Кх» + 4*-(-7 J + + l J VrM-3
"K**" +S yj+ 3 -П^ + Ы. + У^+С-
= 2 Ух2 + 4x + 7 + In | дет -I- 2 -f- Ух2 + 4x + 7 | + C.
/» |
Пример 2. Вычислим j ^ ■=^=r:***•
Решение. Так как 1—x—jc® =—+ то»
полагая
, 1
x 4 =z, имеем
2
191
ш
— Зх
-±ii)
yf 1 — X — J
—3z 4-
Y г-
+ -if “ -Я|/-1 „
v4- 2J /T17 *
+ — arcsin —^=r 4- С = 3 Vl —*—*2 4- — arcsin —7—1 h C.
2/5 2 У5
Пример 3. Вычислим J (2x 4- 7) Vx2 4- x 4- 1 dx.
Решение. Так как x2 4- x 4- 1 =-= ^ 4- -y- j ”4- to
j* (2a 4- 7) Vx2 + x 4-1 dx 12 ^x 4- j + 6 j Ух2 4- a* 4 1 <2a =
-j[2 (*+ t) +6] |/ (*+ t)' +Td (,+ t) -
= j* (2z + 6) Yz2 +TdZ = 2IZ V"+T d2 +
+С|/^ХЛ-||/гТ“Х„(г.+А), .
2x4- 1
(VET
-f
+ Tln 2 +
}/г2 +
]-С-|(аЧдЧ l)3'2 +
4- 3 (* 4- J K*2 4*4-1 4--^-In 'v+~"-L V^a2 4- x 4- 1
Для вычисления интеграла f 77=
J (х — а) Г ax-
замену x — a = z, тогда получаем интеграл
f dz p dz
J z / az2 4- bxz 4- Cl J
! 4 bx 4 с
4- С.
делаем в нем
, , л/ ьх . гх
гИ у/ »+т-Г—
Подынтегральная функция непрерывна на лучах А>а и х<а. Как
указывалось выше, можно выбрать тот, на котором запись подын¬
тегрального выражения более проста, т. е. луч х>а, а тогда z>
192
>0. Такой же выбор в подобных ситуациях применяется и далее
без особой оговорки. Полагая ~ = и, получаем табличный инте¬
грал
I-
dz
— С *) -_|* du
J _ / h. ~ J Ya + ьiu + C\u%
Замечание. В интеграле IV можно сразу положить
х — а
Пример 4. Вычислим Г =-.
К Г J (х —2)/2х* + 4х + 8
Решение. Полагая дс — 2 = г, имеем при z>0
dx
К 2х» + 4* + 8
dz
УТ .f * /*’ + 6г -)-12
1 С — du
/2 J у 1+6и+12а»
"7гГ
dz
/2 J г/(г + 2)* + 2(г + 2) + 4
dz
У2 ^ _ / 6 ПГ
«1*1 у 1 + т + ^т-
/И
du
y,“'+T“+ir
hi)
^ I / i м* ~
V (и+т) +1г
“+Т+V“, + T“ + -iF
г=г- In
/24
= —г—=r- In
•/24
In
У 24
ЗАДАЧИ
Найти интегралы:
: — 5
+с=
+ с=
T+T+l/ ^ +
_^ + -l+i/“-1_ + _L_+_T
х — 2 4 К (х — 2)» 2 (х — 2) 12
4- С.
161.
Г 2х
J х* +
х -j- 3
dx.
162. С
J 2x* — 4x — 6
193
163. Г 7~3jt dx. 164. Г —4j~~n — dx.
J /x* + x+l J
4x — 1
Ki-m-x1
165.
f , lnJ + 2 dx. 166. Г dx.
J JC К 1 — In x — In* x J У etx eK + 1
167. f-/=:...:C-0S^. dx. 168. f — dx.
J v I — 4 sin x H- cos* x J ttx + 2<?r -f 4
169.
f dx . ■ . 170. Г
J / e*x — 5ec -|- 6 J (х+1)}Л
(*+!)/**+!
171. Г rdx, . 172. f (x + 2) Vx* + л: + 1 dx.
J (x- 1)/4ж«-10* + 7 J' ,v
173. j (1 — Ъх) VI +x—x*dx. 174. j—
175. f—X~x3..-.=r dx. 176. f— x4x
J /!+*•+*< J X*
dx.
x2 -j- 5
177. f *** ■ — 178. f <x+1)l -- dx.
J J xy I + 3* + X2
179. j (jc3 -fr) VI + лг1 dx. 180. j Vcos2xcosxdx.
181. Г ycos2xsinxdx. 182. Г—1 dx.
J J cos x V cos 2x
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
В этом параграфе рассматривается интегрирование функций
вида -LfcL, где Т (х) и R(x) — многочлены от х. Если степень
многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x), то
делением многочлена Т (х) на многочлен R(x) выделяем целую
часть — многочлен Ф(*)> т- Т ^ — Ф (х) -и ^ где степень
R (х) R (х)
многочлена Q(jc) меньше степени многочлена R(x). Интегрирова¬
ние рациональной функции сводится к интегрированию многочле¬
на и правильной рациональной дроби.
Интегрирование правильной рациональной дроби осно¬
вано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой про¬
стейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения
многочлена Q(лг) на множители. Множителям вида (jc—а)* (а —
действительный корень многочлена Q(*) кратности k) соответст¬
вуют k простейших дробей:
Ат , т = \, 2, ... ,k.
(х-а)
где Ат — постоянные.
194
Множителям вида (x2+px+q)1 (трехчлен x2+px+q не имеет
действительных корней) соответствует / простейших дробей вида
Bi*+
(х■ + рх + q)i
, t = 1, 2, ... ,/,
где Bi, Di — постоянные.
Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид
<?(•*) = (*—«,)*■• (х—а,)*'- ... • (х—a,)kt-(xi + p1x + ql)1'- ...
... • (х1 + р,х + ?,)'/.
где си, .... а, — действительные корни многочлена, соответственно
кратности k\9 k2l kit а трехчлены x2+pix+<7b x2+pfx+qi не
имеют действительных корней, то разложение в сумму про¬
стейших дробей ищется в виде
я(х) . »!'> 4»
<3 (*) * — о, (ж — а,)* " ‘ (х — а,)*‘
А? В"'х + С<"
... + h . . . + ‘—j 1 — ; У
* —<*< (х — а,) ‘ * + Pi* + •
В[']х + С<'> В<»х + С<'>
-f - I I- ... Н - - |-
(«* + Pi* +</i)’ " ' (** + Pi* + 9i)‘‘
в »>» + c»> B^>x + c»> + d>>
■■+ + p/x + 7/ + (x' + pix + q/)* + + (x* + Pjx + qi)‘i
Здесь в (1) Л’0, ... , Abj, B\n, ... , B^, C\l], ... , СУ] — некоторые,
пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых бу¬
дет указан ниже.
Итак, интегрирование рациональной функции приводится к ин¬
тегрированию дробей вида
I. ——. И. —-—, 2. III. Вх + С
{х — а)** х* -f рх + q '
IV. £*-^ С /п>2.
(х1 + рх + q)™
(трехчлен x2+px+q не имеет действительных корней). Для дро¬
бей вида I, II, III соответственно имеем
^ А dx = A\n | jc — а | + С;
х — а
R—dx= ! + С, 2;
(jc — а)* к — 1 t(x — а)*“1
195
4(J» + p) + c—v-
(-5l+£_d, = f^-——
J ж» -+ px + q J x« + px + q
В f d(x* + px + q) , ln Bp \ f
-Tj“irp77—+\ ~)j
dx
(c--t)
V<~т "V--f
. P
о I- 9 I X+ о
= — In |*a + pjt + <7| H ■ arctg hС
(так как x2+px+q не имеет действительных корней, то q—>
> О^.При вычислении интеграла IV поступим следующим обра¬
зом: представим линейную функцию в числителе в виде комбина¬
ции производной квадратного трехчлена и константы, т. е.
dx —
В ( Вр \
С Вх + С dx_ С 2 Р« + Р)+(с~ 2 )
J (х* + рх + q)m J (*• + Р* + Я)т
— JL Г d<** + Р* + <?) . (с _ Г dx _
2 J (** + p* + q)m \ 2 ) J (х* + рх + <?)"•
= —.— 1- + (с — 2.
2 1-т (х' + px + q)^ \ 2 )
Рассмотрим интеграл
Выделением полного квадрата x2+px + q =(-f г—-?-
заменой х + ~- = г он приводится к виду J -f z1)^ '
Для вычисления такого интеграла используется подстановка z—
—Ъ tg и или выводится рекуррентное соотношение, позволяющее
понизить степень т в знаменателе интегрированием по частям.
Действительно, представляя 1т в виде комбинации !т-\ и
J Х1 -|- Ь%)т" И ВЫЧИСЛЯЯ последний интегрированием по частям,
получим
/м = Г —= J- Г dz =
J (z» + Ь*)т Ь* J (г» + Ь*)п
1 I ‘Г- _ * /
— ”71" *•*—I ГГ 1 ^ ". . , "ГГ • /п—1
fc* 6* J (z* 4” Ь
196
—LfW 5 1 1 =-'-! +
ft* J V 2 (1 - m) (2* + ft*)"*-* J ft*
J Г dz_
l — 1) b* J (2* + ft*)
2ft* (m — 1) (z* 4- 2 (m — 1) ft* J (2* + ft*)*-*
2 2m — 3
I tn—1 •
2ft* (m — 1) (z* + ft*)"*"1 2ft* (m — 1)
Для нахождения неопределенный коэффициентов при разложении
правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей
правую часть искомого разложения (1) приводят к общему зна¬
менателю (им будет многочлен Q (*)) и у получившегося в чис¬
лителе многочлена, и у многочлена Р(х) приравнивают коэффи¬
циенты при одинаковых степенях х. Таким образом, получается
система линейных уравнений, из которой находятся неопределен¬
ные коэффициенты (в алгебре доказывается ее однозначная раз¬
решимость).
Пример 1. Вычислим Г — жЛ*
3 (*-
{+1)(л-2)"
южение др
дробей ищем в виде
Решение. Разложение дроби в сумму простейших
^ (*+!)(,-2)*
(* + I) (х — 2)» х+1 х-2 (х-2)*
Приводя в (2) к общему знаменателю правую часть, имеем
» _ Л(»-2)» + В(«+1)(х-2) + С(дг+1)
(ж+!)(*-2)* (jf -t- I) (* — 2>»
Приравнивая числители дробей, получаем тождество
х-А (х-2) а+В (*+1) (х-2) +С (х+1). (3)
Перепишем его в виде
х«» (А+В)х*+ [С—В—4А)х+ (4А—2В+С).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
систему уравнений
А + В=0,
С—В—4/4= 1,
4А— 2£ + С = 0,
Л 1 п 1 S' 2
откуда А =»—А= —. C = Y
197
Следовательно,
Г *dx 1 г dx 1 г dx 2 г dx __
J (х+1)(х-2)’ 9 J JT -h 1 9 J x — 2 3 J (x-2)*
1 i I x — 2
= — In
9 | x-f 1
-L.-L.+C.
3 д — 2
Иногда полезно в равенство, полученное приравниванием мно¬
гочлена Р(х) к числителю дроби, полученной после приведения к
общему знаменателю простейших дробей, подставлять вместо х
некоторые специально подобранные числа (обычно действительные
корни знаменателя данной рациональной дроби). В результате по¬
лучаются линейные уравнения относительно искомых коэффициен¬
тов, хотя следует помнить, что при подстановке произвольных чи¬
сел полученные уравнения могут быть зависимыми.
Применим этот метод к предыдущему примеру, полагая в
тождестве (3) х = 2, имеем 2 = 3С, откуда С=2/3. Полагая х= — 1,
имеем — 1 = 9А, откуда Л= —1/9. Полагая х=0, имеем 0 = 4Л — 2В+
+ С, откуда с учетом найденных А = — 1/9 и С=2/3 имеем В~
=4у4 + С/2= 1/9.
Г 3xJ — х 4- 2
Пример 2. Вычислим dx.
J (1+**)*(*-1)
_ _ Зх2-х+2
Решение. Разложение дроби в сумму про-
(1+*2)2(*-1)
стейших дробей ищем в виде
Зх2-х-2 _ А Вх + С Dx+E
(1+jc2)2(*-1)"~*-1 \+х2 (1+jc2)2*
Коэффициенты А, В, С, D и Е определим, исходя из тождества
Зх2 — хЛ-2 — А (1 +:t2)2 + (ifct + C)(jt—1)(1 + х2) + (1>х+ £)(*- 1).*
Полагая х= 1, находим Л = 1. Приравнивая коэффициенты при оди¬
наковых степенях х, приходим к системе уравнений
A + B = Ot
— В + С = 0,
2Л—С + D + £ = 3,
С—В + Е—D = — 1>
Л—С—£ =2,
откуда находим, учитывая, что Л —1, остальные коэффициенты:
В= — 1, С = —1, D-1, £-0.
Следовательно,
r_L+Ldx+f.
J <1+**)»(*-I) J J* — 1 J 1 + ** J
xdx
(1 + X*)»
= In \x—II — In 11 +**| —arctgX—— . —- bC.
I l 2 S 2 l+*a
198
Так как разложение на простейшие дроби часто требует гро¬
моздких выкладок, то иногда при вычислении интегралов от ра¬
циональной функции полезно производить некоторые преобразо¬
вания, делать замены переменных, позволяющие упростить вычис¬
ление данных интегралов.
Пример 3.
_ 1 Г dx _1_ f dx 2_ Г dx _
25 J (х — 3)* 25 J (х + 2)* 25 J (х-3)(х + 2) ~
- ' ' ' ' 4bWr]<~
In 1лг—3| +
25 (X— 3) 25 х + 2 125
11112
25 х — 3 25 х + 2 125
4- — ■ In \х 4- 2| 4-С.
i/o
Пример 4.
С dx I Г ХЧ-2-ДС" dx_
J Jta (2 4- х*)» 2 J X* (2 4- **)»
—Lf—± -If—* =■— Г (— L-)dx~
2 J x* (2 + x*) 2 J (2 + x')» 4 J \ x* 2 + x* /
--i-f= —‘ i з ard x
2 J (2 + x*)« 4x 8(x* + 2) 8/2 6 /2
Пример 5.
Г <*-l ±t_C (x + 2)»-6(x+2)«+12(x + 2)-9
J (*+2)* J (x + 2)*
= f—£ 6 f—^— + 12 Г—^ 9 f ——— =
J (x+2)* J (x + 2)‘ J (x + 2)» J (x + 2)«
M +—2-тт—rA^ + ■; 9 ... + С.
2 (x + 2)* (x+2)* (x+2)‘ 5 (x + 2)»
Пример 6.
I” dx Г dx j* (1 — ?)’ dz
j X* (x — l)« ~J . ( X- 1 ji~~J z»
^ 11 — 7z + 21z« — 35г»+ 35г« — 21г» + 7г« — г> ^
199
+35|-£_2|J^- + 7J*-J^_
1 +-72 -T + TT 21 lnl*l +
6z* 42* *■ 2 z* г
+ 7г—£- + C, z= *-1
2 * *
Пример 7.
P dx __ f* jfldx i_ r 4*»
j Ж(1-.Ж«)* J x*(I — x^« ” 3 J **
= —f =—Г—-—(—+ —-—)du =
3 J (i(l-a)e 3 J l-в \ u 1 — a /
=-Lf—i!_+_Lr/J- + —!_Ъ„-
3 J (1 — £!)■ 3 J V И \-U J
1 1 +4-ln|-^— l+C-
3 1—в 3 I 1—«
1 1 +-Lin I—l + c.
** — 2
3 **—1 3 I I»—1
Пример 8.
f dx Г xdx _ 1 P dx*
J *’(*» —2) J **(** —2) — 2 J *‘(x« —2)
= _Lf *L LT “-2-“, du =
2 J e*(u — 2) 4 J u>(u —2)
1_ f* du 1 p du I_ ,
4 J u» 4 J a (u — 2) ~ 4u
+ Xi„|Jlrl| + c--L- + fin
8 I и | 4jc* 8 x-
Пример 9. Для хф О
f_—d,= f ‘'(‘"л)..*.,
) (»•+»+»• Ц,+х+1у
f ‘{‘+t) f и
J (,+X + i)’ i '“+■»•
+ C.
200
1
+ С=.
и +1
Пример 10.
е_21±!_лс=г
J j^ + 3^+1 J
+ С.
X* + X + 1
-(■+*)
dx —
du
u» + 5 /5
1 1 u
arctg
VI
= arctg *-- i -f C.
К 5 6 x/5
Пример 11.
J JC*~1 J x*—\ J *-1
,f- .dx + ±r-l*-=±[n\
J ** + *■ + 1 3 J *•- 1 3 I
+c =
X» — 1
х» +1
+
s
_-L|„|-£=i| + -S-ln
3 I #+ 1 I 2
x -1- — 1
X
* + —+1
X
+ c
= J-ln|jLzJL| + J-in|
3 | x® + I | 2 | x* + x + 1
+ c.
Пример 12.
p 3x* + 5x» 3 Г
J (*» + 4)» 8 J (x* + 4)*
= _3_ Г du | 5 Г du
8 J u» 4 J (u*
d (<« + 4)
tJ-
dx*
+ 4)a
1 .5 x4 . 5 . x4 n
. arctg b C.
*■ + 4 32 x* + 4 64 2
x*dx
Пример 13. Вычислим f—a -
Решение.
Г xMx С xdx _ 1 f xd(*» — 3)
J (x1 — 3)8 J* ’ (JC* — 3)» ” 2 J (x% — 3)e
= — f * ( -d(xa-3)-2)= — - +— f —;
2 J V 2 V } 1 4 (x* — 3)1 4 J (jc« — 3)*
201
f *1—=-Lf 3-** + *• dx =
J (x* — 3)* 3 J (**-3)*
= LC_i£_ + _L f*—£*£ =
3 J x* — 3 3 J (Ж* —3)*
' JjgULl + Xf, »"•
6/3 I /з_х I 3 J (x* — 3)*
^ In
6/3
1
6/3
1
In
• In
— d (x‘ — 3)
(x* —3)*
lS±i+Tl-(^)-
tS
/3 —X
Кз + х
бКз
Следовательно,
/3-х
Кз + х
/3-;
J
6 X* — 3
1 х
dx
X* — 3
6 X» —3 12Кз
In
V з-н
/З-j
f С.
Г* хЧх 1_ х 1 х
J (х* —3)» ~ 24 ’ х* — 3 4 (х* — 3)*
+ ■
48 /3
•In
Vl + i
V з-j
4-С.
Метод Остроградского
Иногда при интегрировании правильной рациональной дроби
Р(х)
используют метод, суть которого состоит в выделении ра¬
циональной части первообразной. Пусть Q(x) имеет кратные кор¬
ни (включая и комплексные). Составим многочлен Q2(х) так, что¬
бы все его корни были простые и каждый корень (?г(*) являлся
бы корнем многочлена Q(x). Тогда Q (jc) =Q2(jc) Q, (л:) . где корни
Qi(jc) есть корни многочлена Q (jc) с кратностями каждый на
единицу меньше. В частности, все простые корни Q(*) будут кор¬
нями Q2(jc) и не будут корнями Qi(jc).
Справедливо соотношение
Р(х)
Q (х) Qi (х) J (?,(*)
Ф(х)
dx%
(4)
где R(x) и Ф(*) — многочлены с неопределенными коэффициен¬
тами, степени которых соответственно на единицу меньше степе¬
ней многочленов Q\(x) и Q2(х). Неопределенные коэффициенты
многочленов R(x) и Ф (jc) вычисляются при помощи дифференци¬
рования равенства (4). Обычно метод Остроградского применя¬
ется, если многочлен Q(x) имеет несколько корней большой крат¬
ности.
202
Пример 14. Вычислим Г 2-----2 dx.
F J (** + 4* + 8)»
Решение. Полагаем
dx = —a-Z±*— + f cx+-d—dx.
(х* 4 4х 4 8)1 х* Ч- 4х + 8 J х1 + 4х Ч 8
Дифференцируя это равенство, получаем
2х + 12 _ д (х» -f 4х -t- 8) — (2х -f 4) (дх -f Ь) сх -f d
(х2 4 4х -f- 8)* ~ (х* -+- 4х + 8)1 х* -f 4х -f 8 ’
откуда
2х -ь 12 = а (х* -f 4х + 8) — (2х 4- 4) (ajt + 6) 4- (сх 4- d) (х% 4- 4х 4- 8).
(5)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих
частях равенства (5), получим систему уравнений
с = 0,
0 = а — 2а 4- d 4 4с,
2 = 4а — 4а —26 4- 4d 4- 8с,
12 = 8а — 46 4- 8d,
откуда с«=0, a~d=*6-*l. Следовательно,
2x4-12 ^ = х 4- 1 Г
(х»4 4х + 8)> х» 4-4x4 8 J (х + 2)2 4* 4
= '+* + — arctg -i±i. + С.
184. Г
J
186. Г - .
J <*’ -+- 1) (*’ + 2)
188. f——.
J *»+1
190. Г—— dx.
J 1 + *4
192. f .
J .*•(*-2)*
,94. Г
J 1+**
303
X1 f 4x 4- 8 2
ЗАДАЧИ
Найти интегралы:
183.
185.
180.
193.
dx
x (x 4" 1) (x 4" 2)
dx
xa (1 4- X*)*
187. \ — dx.
1 -x4
dx
*4-1
191. I —! dx.
(*• + *+ 1)*
dx
(x*-3x4-2)*
195. С — . 196. Г—-—!—dx.
J л(1 + ж5)* J x* + i*+l
197 f f_ii dx. 198. С—*-—■-1 dx.
J j' + W+I J **-*• +1
199. ^ ОПЛ f dx
I -TTT dx• 200' J
*•(*•+!)
dx. 202. f —
0 + *4)* J (**+i)s
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНЕ НЕКОТОРЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Интегралы вида $/?(sin jc, cosjc)dx, где в общем случае ^ — ра¬
циональная функция, приводятся к интегрированию рациональ¬
ных функций с помощью универсальной подстановки tg — = t,
при этом
2 sin —
о • х х 2 - х
sinх = 2 sin COS = • COS* — =
2 2 X 2
cos
2
2/
2 x 1 +1* '
cos Jt = cos* — sin* — = 2 cos1 — 1 =
2 2 2
1 — tg* —
2 1 — f
X 1 + /* ’
i + !g*Y
л = 2 arctg t, dx^~^-
Обратим внимание, что применение подстановки tg (х/2 )=f воз¬
можно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kn,
AeZ. В дальнейшем это подразумевается.
Пример 1.
Г dx г dx
J 3 sin Х -f COS х J
X X л X , в X
6 sin — cos — -f cos1 — — sin* —
2 2 2 2
dx
204
—I
= -2-
«g^-etgY-1
• = —2
du
(u - 3)* — 10
— In
u — 3 — У10 I { c^
u —3-f/To I
/10
In
tg— -3-У 10
tg’7”'3 + y"r5
Подстановка f=tg(x/2), являющаяся универсальной для инте¬
гралов от рациональных выражений, содержащих функции sinx
и cos х, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже
рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функ¬
ция приводится к рациональной дроби более простым способом.
I. Если /?(—sinx, cosx)— R(sinx, cosx), то применяется под¬
становка cosx—/.
II. Если R (sinx, —cos x)=*—R (sinx, cosx), то применяется под¬
становка sinx=f.
III. Если Л(—sinx, —cosx)-=tf(sinx, cosx), то применяется
подстановка 1 gx=/.
Замечание. Любое рациональное выражение R(ut v) всегда
можно представить в виде суммы трех выражений, рассмотрен¬
ных в пунктах I, II, III:
R(u г) — и) | R(—U'V) — R(—U,—V) |
+
К(-ц, — b) + R(u,v)
Пример 2. Вычислим ^
Решение. /? =
sin xdx
cos* х (sin x 4- cos x)
sinx
cos1 x (sin x -f cos x)
Так как /?(—sinx, —cosx)»»/?(sinx, cosx), то, полагая tgx—t,
имеем
s
sin xdx
Jtgxdtgx
I 4-tg*
COS1 X (sin X 4- COS J
= —In |1 + tgx| +tgx + C.
Пример 3. Вычислим ^
Решение. Пусть R =
sin 2x
4 cos* x 4- 12 coa x —• 7
sin 2x
dx.
4 cos* x 4~ 12 cos x — 7
205
Так как /?(—sinx, cosx)«—R (sin x, cosx), то, полагая cos x=~/,
имеем
f d,=r
J 4 cos* x -f 12 cos x — 7 J
— 2/d/
4^* + 3/ + -^-)-16
1_ Г (d< _1_ Г uda _3_ Г du _
_ 2 J / 3 \* 2 J u»_4 4 J u« —4 _
(/+t) ~4
= — In IЦ» — 41 + —In
4 ' 16
u — 2
u-f 2
+ c =
= _-lln|(cos* + ^-)S-4
16
In
COS X 4 —
+ c.
Пример 4. Вычислим Г —
J cos4 x 4 sin4
cos xdx
x -f 2 sin* x 4- 1
Решение. R =
cos4 x 4 sin4 x 4 2 sin1 x 4 1
— cosx) =—R (sinx, cosx), то, полагая sinx = /f имеем
Так как R (sin x,
s
cos xdx
-It
d sin x
cos4 x 4 sin4 x 4 2 sin* x 4 1 J 14 sin4 x 4 (1 — sin2 x),J 4 2 sin* x
=—f , * =_L-C-.J + /2 dt-
2 J <‘+l 4^2 J <‘ + <V2 + 1
4/2 J /i — /^2 f I
1
8^2 sin* x — / 2 sin x 4 1
4-
H [arctg (У2 sinx 4 1)4 arctg (У2 sinx— 1)1 4 C.
4 У 2
Иногда, если это не нарушает рациональности подынтеграль-
ного выражения, полезно понизить степени sinx и cosx, исполь¬
зуя переход к кратным углам.
Пример 5. Вычислим Г — .
J sin* х 4 c°s* *
Решение. Применяя формулы
. 1 4- cos 2х . . 1 — cos 2х
cos* X =—' , sin* X— ,
имеем cos* х 4 sin* х = — (14 3 cos12х).
206
Полагая tg 2jc=/, находим
f s -f ш .arctg-L+c-
J sin* x -f cos* x J 1 4- 3 cos* 2x J /* + 4 2
= arctg-^ + C.
Рассмотрим некоторые специальные методы.
Пример 6. Вычислим Г sinx —3 cos х ^
J 4 sin х 4-5 cos х
Решение. Представим числитель (sin jc—3cosjc) в виде ли¬
нейной комбинации знаменателя (4sin jc4-5cos jc) и его производ¬
ной, т. е.
sin jc—3cos jc—A (4sin Jt-f 5cos x) 4-В (4cos jc—5sin x).
Для нахождения коэффициентов А и В имеем систему
( 1 =4/4—5В, _ „ 11 D 17
{ откуда А = , В ,
I— 3 = 5А + 4В, 41 ’ 41
поэтому
Jsl п х — 3 cos х ^ 11 Г 4 sin х 4~ 5 соз х ^
4 sin х -f 5 cos х 41 J 4 sin x-|-5 cos x
17 (• d (4 sin x 4- 5 cos x) 11 17 ... . c n
\ — — - = x In 4sinjc4-5c0sjc 4-C.
41 J 4sinx4-5cosx 41 41
Пример 7. Вычислим Г -2 Sin.x.:t-.C.QS 1 fa
J sin X —cos X 4- 2
Решение. Представим числитель (2sinjc4-cosx— 1) в виде
линейной комбинации знаменателя (sin jc—cos *4-2), его производ¬
ной и константы, т. е.
2sin jc4-cos jc— 1 =А (sin jc—cos jc4-2) 4-В (cos jH-sin jc) 4-C.
Для нахождения коэффициентов А, В и С имеем систему
2 = А + В,
1 = — Л 4-В,
— 1 =2Л 4-С,
3 1
откуда В — —, А — С = —2. Поэтому
J2 sin х 4- cos х — 1 ^ __ __1_ С sin х — cos х -f 2 ^
sin х — cos х 4- 2 2 J sin х -- cos х 4- 2
+ -L f cos x 4~ sin x Г -
2 J sinx — cos x 4-2 J sinx — с
dx
- cos x 4- 2
1 3
= — * 4- — In | sin jc—cosjc 4- 21
207
-2S-
dx
X X . X X _ , _ X л X
2 sm — cos — — cos* — 4 sin* — 4 2 sin* — 4-2 cos* —
2 2 2 2 2 2
= — x 4 In sinx—cosx4
2 2
‘i
2| -4 f 1
J x I . X X
cos3 —- 3 tg* 4- 2 tg —- 4-1
1 3 - 3tgT4l
= — x 4- —In|sinx—cosx + 2| —2"1/2arctg — h C.
n or» - P2sin9x4 3sinxcosx4-5cos3x ,
Пример 8. Вычислим \ — — dx.
J sinx—2 cosx
Решение. Представим выражение 2sin2x43sinxcosx45cos2x
в виде
2sin2x43sin х cos x45cos2x = (A sin x4В cos x) (sin x-2 cos x) 4
4C(sin2x4cos2x).
Для нахождения коэффициентов Л, В и С имеем систему
2 = Л 4 С
|2=Л4С д
{ 3 = В—2А, откуда А = —-
15 = —2В + С,
В-
Поэтому
2 sin* х 4 3 sin х cos х 4 5 cos* x
sin x — 2 cosx
dx —
= — COS X
5
3 . 19 Г dx
cosx sin jc 4 \ =
5 5 Jsinx — 2 cosx
2 d tg —-
I . 19 f* 2
- Sin X H \
' 5 ^ If a*— J- 9 to— — 9
2te*—,+ 2tg— — 2
9 з i q
= — cos x sinx 4 7=- In
5 5 5 V 5
ЗАДАЧИ
Найти интегралы:
dx
X 1 Vb
,еТ + Т-“Г
x 1 1/5
,g ~2 + ~2 + 2
+ C.
203.
3 4 sin x '
204.
h
dx
4 5 cos x
208
205.
J sir
dx
sin x 4~ 2 cos x -J- 6
207. С —
J sin3 x— sin
209.
-sin 2*’
sin x dx
cos2 x — 3 cos x 4- 2
cos xdx
Г dx
J 1 4- cosa x
211. J
213. f
J cos2 x — 5 cos x -f 6
215. Г 5i£l2= dx.
J sin1 x + cos4 x
217. Г ! dx.
J 1 4- tg ДС
2,9 j . sin* dx.
22,Sr
mj
225.
2 sin x 4* 3 cos x
cos 2x
dx.
-f cos2 X
COS2 X
sin x 3cos*
dx.
dx.
Г sin 2x
J 1 + cos4 ;
227. [■■■'■ 1 + tg**—dx.
J (4 tg*x) tg8*
229.
2 sin x 4- cos *
(2 cos* — 3sin*)2
dx.
220
Jcov
2-
cos * dx
cos *
dx
206.
208. [ ——
J 1 4- sin1
210.
*
dx
212.
214. f —
J sin4
216. Г —
J sin*
218. f -
J 1+c
(sin * 4- cos* -|- 1)*
sin*d*
sin2* —3 sin *4- 2
cos 2* dx
x 4- cos4 *
*cos*
4- cos *
dx.
dx.
4-ctg*
sin 2*
dx.
4- sin3 *
cos 2xdx
sin5 * cos * 4- cos5 * sin *
St
222. [
J sin3
224. f co^*- dx.
J 1 -f cos* *
226. f - .
J sin4*4-cos4*
228. f »in* + cos* + l dx
J 2sin*-f-cos*4-2
230 f 1 4~ 3sin2* 4- 2з1п*соа* ^
J sin * — 2 cos *
§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ
1. Интегрирование функций вида р (х л/ ,qx + Р | где R — ра-
\ ’ X ух 4- б / '
циональная функция двух аргументов, т — натуральное число,
Р. У* 6 — некоторые константы.
При интегрировании таких функций полагают —= tmf
тогда х будет некоторая рациональная функция <р (t) и интеграл
запишется в виде
//?(Ф(0, tW(t)dt,
где подынтегральная функция есть рациональная функция t.
Пример 1. Вычислим С ^х•
J * — у *
209
^
Решение. Положим Ух»/, тогда —— —dt, т. е. dx=2tdt
2 У х
/*4-1
Г* = Г-Ш-.2/dt =2 С-±±JLЛ.
J x*-Vx J —* J P— 1
Разлагая рациональную функцию —■1- в сумму простейших дро-
t3 — 1
бей, имеем
Г /-.ht'd^jLt-li 2- r_iL±_L_d<=—in|(—1| —
J х* —/х 3 J t— 1 3 J /* + <+1 3 1
—-1п|/* + < + 1| +С = — In <*~2< + * +С--=
з ' 1 з /* + (+1
=— In + с.
® Х+у/х+\
Пример 2. Вычислим Г —.
J Ki+W
v — *~3/4
Решение. Положим у лс—f, тогда ■ dx—dt, т. е. d*=
—4<3d/ и
Г — =4 Г —£1Ё£— = 4 CJ!iL = 4 f (t — i +_L_\^ =
J Vx + /x J <* + < J < + 1 J \ < + 1 /
= 4 f+ ln|/ + l|j +С=2У7—4 >/ * + 4 In |y^x + 11 + C.
dx
По и Me D 3. Вычислим Г —; —
J ^(1Г=Т)У
V(x— 1)* (* + 2)‘
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию к виду
! = _?.
4/(х—1)>(х + 2)‘ (х + 2)« у \x-\j
х 4- 2
Полагая - - — t*t имеем
X — 1
2 , 0 З/4 , — 12/» А.
х — — , х-\-2 = , dx = dt,
t*— 1 /4 —1 ' (/4 — 1)*
тогда
Г dx Г 4 / / х + 2 \8 dx
J V(* — 1)*(х4-2)* J \*—1/ (* + 2)3
210
= Г/».i‘1-«>*. + с=
J 9/» (Z4 —1)* J 3 /* 3 t
= ±l/H± + c.
3 У x + 2
D / \
И. Интегрирование функций вида -7====, где R(x) —
у ах* 4 bx 4 с
рациональная функция.
Выделяя из рациональной дроби /?(*) целую часть — много¬
член Р(х) :R(x) =Р(х)+ — и раскладывая дробь <q(x) \
в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций
Ж*)
—р ■ = приводится к вычислению интегралов следующих
у ах* Ьх + с
типов:
Р * * ^ dx, Р (дг) — многочлен;
У ах2 4 Ьх + с
А4х
а)1
б) С А^х... _-=г-, А — константа;
J (х — а)А у ах2 4- Ьх -\- с
в) С (Mx + N)jix д| W—константы и трехчлен
J (x* + pjc4-<?)m/ax»-h6jc-f-c
х* -j- рх 4" Q не имеет действительных корней.
Укажем методы вычисления этих интегралов.
а. Можно показать, что первообразную для функции
Р (х) г» / \
' где Р(х) — многочлен степени л, следует искать
V ах2 4 Ьх 4- с *
в виде
Г Р(Х) dx _ =Q(^yax, + hx4.c4.i, Г, .d* (1)
J /fljc* 4- Ьх 4- с J V ахг 4- Ьх 4 с
где Q(jc) — многочлен степени (л— 1) с неопределенными коэффи¬
циентами, А, — неизвестная константа.
Коэффициенты многочлена Q(x) и число X находятся при по¬
мощи дифференцирования тождества (1).
(х3 — 2)dx
Г (х3
Пример 4. Вычислим I—у=
J V#
• + Х+1
Решение. Полагаем
с lx*-2)dx_ = (axt ьх + с) Vx* + x + l +Х f' —d-J
J/*« + *+1 К J У** + *+ 1
211
Дифференцируя это тождество, имеем
= (2ах 4 Ь) Ух2 + х f 1 4-
х»—2
W + *+i
^ (ах*4-6х4-с) (2x-f 1)
2 х* 4- х 4- 1 У х% 4- х + Г
откуда
2 (х3—2)«(4ах+2&) (х24-х4-1) + (ах*+Ьх+с) (2х+ 1) 4-2Х.
Для нахождения неопределенных коэффициентов a, bt с и к полу¬
чаем систему уравнений
2 = 4а + 2а,
О = 4а + 26-Ь а -Ь 26,
О = 4а + 2b + b + 2с,
— 4 = 2& + с + 2Х,,
1 , 5 1 - 25
откуда а — —, Ь= , с X ,
J 3 ’ 12 * 24 * 16
Следовательно,
Г -у *. ~2._ dx = f — х* — х —\ Ух* 4- х 4* 1 —
J Ух* + х+ 1 \ 3 12 24 у
—— С — =(—дс»——х—LWF+I+T—
16 J ,/;—гг*—г~ 'з 12 24>
К (ж + т) +т
—ln|i: + -i- + VF+7TT| + C.
б. Интеграл вида Г 4====- подстановкой (дс—а) =■—
J (х — а)* у/ ах* 4- Ьх 4- с /
приводится к виду, рассмотренному в предыдущем пункте.
Пример 5. Вычислим [ dx :.rr,
к к J Xя /х*4-1
Решение. Положим тогда dx =—и для f>0
имеем
f dx Р /а dt _ р t'dt _
*']/ х + т
-_ГЩ^.‘лв_ГуР+Тл+Г
J K<* + 1 J J /1 + <•
312
_ </! + <*
2
= ~< -Ч-ylnW +VI +<al + C, *“-jk
в. Рассмотрим вычисление интеграла
dx.
J /ах* -h bx + с (x1 -f px -f ?)m
Предположим вначале, что
ax2+ЬдН-с«. a (x2+/>*+g).
Тогда
Г Mx + N dr C {M^ + NJdx
J (х' + рх + я)тУам* + Ьх + с J (x* + px + <7)m+1/2 '
Поскольку
Afx* + (2x + p) + ^-^L,
TO
f Д*1* ^1 dr=zC Г ^ (** P* 4- 9)
J <** + px + ?)m+,/2 1 J (** + ps + 4)m+1/J
+ B.J
(** + >* + <?)m+1 /2 ’
Первый из полученных интегралов табличный.
Для вычисления интеграла ^ г_^пГ+ Г/а применяется
подстановка Абеля: t = (Ух9 -+- px + q) .
В общем случае, т. е. если отношение трехчленов ах*+Ъх+с и
x*+px+q непостоянно, в интеграле делают замену переменного
так, чтобы во вновь полученных трехчленах одновременно исчезли
члены с первой степенью. Это достигается, например, с помощью
дробно-линейной подстановки х = —,
* + I
если рф — у и x = t если р~ —.
а 2 а
В результате получаем интеграл
С At + B dL
J (/* + Ji)m /6/* + г
Для вычисления этого интеграла представим его в виде
Г Atdt nf dt
,+ву
(t• + Л)"1 Vbt» + r J (<* + Mm /6<* + r
213
К первому из этих интегралов применяем подстановку и = Y Ы* 4 т
а ко второму—подстановку v = (УЪ^+г)'.
Пример 6. Вычислим [ ---■ - #
J/(**4*4 2)‘
Решение. Полагаем
/ = (Ух* + х + 2) = - ,2д+ 1 ,
2 /л* + * + 2 ’
тогда
4/* (ж* + х + 2) = Ах* + Ах + 1 =4 (х* + * + 2) — 7,
откуда
х» + х + 2 = -~— .
4/* —4
Дифференцируя равенство
<Улг+7Т2==х+ -j-,
имеем
/I/ 1/га + г + 9 -(- -<.2х-.+-Ч.-^5- = dr
V + 2]/i*+~+2
откуда
dt KFTTT2 + t* dx = dx.
Итак,
dx df
/x* 4 * 4 ^ 1 —/* ’
поэтому
Jdx __ r dx
(х‘ + дс + 2)5/3 “J /F+"
x + 2 (*‘ + jt + 2)«
J 1 - /* 49 49 J v 1 49 \ 3 /
= 16 Г 2x4 1 I 2x-fl \»1 r
49 I 2/x* + x + 2 24 \/x*+*4-2/ J
Пример 7. Вычислим f (x + 2) dx__
F F J U*4i)/x*42
Решение. Имеем
f x4-2 dr=( — u f —
J (x*4- 1) J (х*4 1)К^Т2 J (j*+1)/* + 2
xdx 1^ f du С 2z dz
J (x*-H) /^+2 2 J (a4-l)K^T2 ~T J (Zi — 1) z —
— Г dz — 1
J 2*—1 ~ 2
In
2
z+l| 2 I /ж* +2 + 1
f* 2dx
Для вычисления интеграла . \ - положим
J (д«+1)/х*+2
/ = (VF+2)' = -rJ=.
V ' /**+2
Тогда t* — —-—, т. e.
*• + 2
2/»
1— P
, tVx' + 2=x,
x/ dx . dx dt
/**"+2 * /F+"2 1 — <* ■
Следовательно,
2dx (* 2d/ 1 f 2d<
Г 2dU f 2di
J (*»+l)/?+2 J 1-
t* 2 <» J 1 +/•
1—/> +
= 2 arctg / + С = 2 arctg —7=== + С
Vx* + 2— l
/** + 2+1
+
f x +-f- — dx = — In
J (*»+ l)/** + 2 2
+ 2 arctg ■■■ * + C.
\Л?Тъ
P dx
Замечание. Интеграл j j «^ i) у t.j,2 Ha пР°межУтке
{x < 0) заменой u = приводится к виду J ^ ^ ■.
Пример 8. Вычислим Г - ** ———>-х--»■ dx.
Р J (*»+1) Л*+1
1 _1_ 7
Решение. Выделяя из дроби ■■■ правильную часть,
имеем
JC*4-X» + 4X-7==JC+1 + Зх — 8
х* + I х* 4- I
215
g
Разложим дробь в сумму простейших дробей
х* + 1
Зх — 8 __ A Вх + С
х3 Н- 1 х + 1 х* — х + 1
откуда Зх—8=Л (х2—х+\) + (Вх+С) (х+1). Полагая в этом равен¬
стве х~—\, находим Л=— 11/3. Из равенства А+В=0 и Л+С=»—8
в п 11 ^ 13
находим Л = — В= , С = .
3 3
Следовательно,
С ^ + х» + 4*-7 rfr |> х+1 ^ С 3
3 (**+1)/**+1 J./x*+l J <Х + 1) У**+ 1
+ — Г 1!* - j* dx-
3 J (х*-х + 1) Кх»+1
jdx = V*Tl + in\x + yF+i\ + с.
Для x + 1 > 0 имеем
dx
П_ Г dx = И_ Г
з j(x+DKjin- з J
'*+l1' V'-rh+i
_ И С Ли
3 J /1 — 2о + 2а> ~
11/0 О
+с. •
11 ,1 1 , , г.
-==- In h 1/ 1
1К2 x+l 2 V
3К2 |x+l 2 V x+l (x+l)*
Таким образом,
J ■b-V^n-H"l« + V^ni +
I
+ -7^ In
3/2
x+l
+1/-*±l. +±[—IU-13
V (X+l)* 3 J (x*-* + 1) Vx*+ >
-V*-+l + ln|x+^+l| + ^ilfln| ^-| + / £
+1
(x+l)»
2 * + 1 4 ,1 y-6(,4-l)+l^(, + l) I , „
3 6 V (.-1)* *3 I Vee> + i)-/2<* + i) 1
Вычисление последнего интеграла разобрано в следующем при-
Р0‘ г -
Пример 9. Вычислим \ ——dx.
F J (rf-x+i) l/x*+l
мере.
216
Решение. Так как отношение трехчленов х2—дг+1 и хЧ-1 —
erf Р <-р
не константа, полагаем х = ■ • Тогда
х*—х+\ - a't% + 2g/p + ра~ (а/ + Р) (/ + 1 } + '* + 2/ + 1
(* + !)■
Приравнивая к нулю коэффициент при t в числителе полученной
дроби, имеем соотношение между аир:
2ар-а-р+2 = 0.
Поскольку
х% , J _ аа<« + 2а/Е + Ра + /« + 2/+1
<*+1)в
то, приравнивая к нулю коэффициент при t в числителе этой дро¬
би, получаем еще одно соотношение между а и р: 2аР+2=0. Из
системы
| 2ар— а— р -j- 2 =0,
I 2ар + 2=0
находим —а=р=—1.
Следовательно, в данном интеграле надо сделать замену
х = . Тогда имеем
*+ 1
</ + !)** it + W
поэтому
. I 1 о — 2< — 24 . 2 ..
11*— 13= , dx -at,
< + i (<+1)*
-13 о./ггГV+U)dt
f lu~1;. .dx=-2V2[—V±
J (**-* + 1) у X* + 1 J (/* + 3)
V t* +1
Далее, имеем
Г Ш f d / <» -j- 1 _ I* du __
J (/*+3) / <*+1 ) <* + 3 J “* + 2
— arctg —+ С=—^ arctg 1—I- C.
V 2 /2 V 2 /2
Для вычисления f ^ сделаем подстановку z = (V<* f 1)'-
J (f* -H 3> V i* + 1
Имеем -Ji—=. dt . /* + 3= 3_2z>
1 — 2» /F+T' 1—2* '
217
dt
<<* + 3)K<*+i
= f — = !— In
J 3-2 г* 2/6
1
In
/3<» + 3 + /2 t
2/6
Следовательно,
llx— 13
/ 3(* +3 — /2 t
2/6
+ c.
/3 + */2
/3- «/Г
+c=
— dx = —2 arctg ^ 1
(** — x+ l)Vx*+ 1 /2
— 4/3 In
<+ 1
у 3/» + 3 + /2 t
V w + з — /I <
+C,
где t =
i —x
ЗАДАЧИ
Вычислить следующие интегралы:
23b J
233. £
235. J
237. J
239. f
M
243. |
245. J
247. J.
249. j
x* + 2
/** + * + 1
x*dx
dx<
/l — X» '
&±*dx.
x* + 2
x4 —5x3-f 6x—7
/ x* + 2x + 3
• dx
x — / x3 — x—2
x* — 1
232. Г
J **/*•
234. J
+ 4
dx
236.
dx.
f is
J (x* + x)3/l •
J (x>_ 1)^x1 — 2*— 1
238. I **+ 1 - dr
x /1 + 3x> + x«
x* + 3x + 1
(x» + 2x — 1)5/2
dx.
240. j* (x -f 1) Ух1 + 4x + 1 dx.
x—1
dx.
242.
244.
j (jc*+ 1)V3 — x*
dx.
i-
dx
Ух + 3/7
dx
/ * (*+i)*
dx
/ <* + 1)*. (X- 1)»
dx
/2х — 1 — у 2x— 1
2« I/ttt
248. Г - .
J (x-l)3/x
250. f di
J (3 — *) /1-*
218
251
. [хл[-i±i-dx. 252. f L±lf d*.
J У *-3 J (3/I-^r)4/F
} а. ЗАДАЧИ НА РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Применяя различные методы, найти следующие интегралы:
253. Г - . 254. Г—. х+ 1 -dx
J X In X — X J / I’lni-fJ1
255.
f dX ш . 256. f X'dX ■
J (a*-x*)3/a J ^a‘ + x»
f — . 258. Г—— a
J *U + 6 J x*(l-x)
259.
261.
f — . 260. f —
J (1 + *)’ (2 + x)* J (1 +«)> (I — де)«
f - dx. 262. Г -£l=
J V\+* J (X-l)'V X»
281.
-t- x+ 1
263. 264. [^-dx.
J sin*x J sinx
265. f sin>-- dx. 266. Г x2 cos xdx.
J COS4 X J
267. f ——dx. 268. f—— dx.
J sin*x J sin4;
X
269. f jc In—-—dx. 270. f —
J \ + * J (x+l)(l+x*)»
271. f — . 272. f
J (H-x»)*(2 + x*)« J
273. f — . 274. f
J sin*x— 5sinx4-6 J
275. f sin2jcdx. 276. Г
J sin4 x — cos4 x J
dx
2 4- sin x 4- cos x
cos x dx
cos* x — 3 cos x 4- 2
dx
sin x • sin 2x
277. f 2?8 f * arcctg * dx.
J sin* x J
279. ^ x% arcsin xdx. 280. j x3 arctg* x dx.
[■■‘%~dx. 282.
J «" + 4 J Y е%хл
219
283.
285.
287.
289.
291.
293.
295.
297.
299.
301.
303.
305.
307.
308.
309.
311.
313.
Xе (1 -Ь ха) 2 dx.
dx
sin5 x cos* x
dx
sin* x cos* x
С dx
j
Зх 4- 2
dx.
V 3x* — 6x -f 13
V'x — 3 \r x
Vx (3/JJ + 4.3/7)J
dx
(x— l)(x — 2)(x -
3x* 4- x — 2
dx.
(X — 1)3 (X» -4 1)
■ 3)(x 4)
dx.
Г 2x3 — 1
J (2x4- 1 )5
dx
<**-l)*'
dx
dx.
xs (x24- 1)B
xVfx
Xе -4- 1
x*dx
(xM-1)*
I
К/
J
Г
I
x -f 1
dx
+ 1
У
284.
286.
288.
290.
292.
294.
296.
298.
300.
302.
304.
306.
л
j
i
j
j
г
f
i
$
i
dx.
3/- л4/-
/х + 2 /х
/х (/х 4- ^/х)2
5х — 1
dv.
dx.
V3 —4х2 + 8х
dx
2 sin х -}- 3cosx 4- 5
4 \f х f ^x2
v*bW7W)'
dx
dx.
(x — 1) / 4x* - lOx 4- 7
x«+ I
1
dr.
1 4 x4
xa + x — 1
dx.
dx.
xa 4- 4
(x-‘2)<
2x3 -- 1
*(x3 f 1)
x(l 4- 2x2)
1 -r *4
dx
xs (xJ — 4)
dx.
dx.
(x+ 1) /Зх*4-4х ’
dx
(2 sin x — 3 cos x — 5)?
dx
yx* (yx 4- \/x )
X f I
310
dx.
312. f —
J si
xdx
3i + 2) / *a — 4x + 3
cos4 x dx
314.
sin x (cos5 x 4- sin5 x)
1
JxB —
(2x«-
D*
dx.
220
315.
317.
319.
321.
323.
325.
327.
329.
331.
333.
335.
337.
339.
341.
343.
345.
347.
349.
(x*-l)dx
(*• + ,+ !)»
J* dx
JTm
l)*V2 — xa
j x4 Vl 4-*1 dx.
S arcsin 1 / —-—
V x+\
dx.
JC*— 1
^ x Y ** — i
J tge x dx.
J ctg3*^*.
dx.
COS4 X
sinx
3/- —
djc.
Пт^х —2^x)
(•* + 4 y?)*
dx
dx.
(x* + 3x 4- 2) / 3 — 4x + X*
dx
sin x -f- tg x
dx
s
s
f-
J-
sin x + ctg x
сод x dx
cos8 x -f sin3 x
dx
(*« + 3)6/2 '
xdx
x3 4- 1
dx
х» (1 4-x8)
dJC.
(I 4-**)8
316.
318.
320.
322.
324.
326.
328.
330.
332.
334.
336.
338.
340.
342.
344. 1
346.
348.
350.
* + 2
(x«-1)/ 1 + x*
dx
dx.
(x4— l)/l—X* '
dx
X* • V I — I* '
xbdx
2 —x2—jc* *
dx
sinx cos8 x
dx
sin4 x cos2 x
sin* x
cos* x
dx
sin4 x cos4 x
^T+r
г
(*+|)(4-?/ x+l )
cos x dx
sin x — 5 cos x
dx
dx.
COS X 4- tg X
dx
COS X 4- ctg X
f_^±3l±j_dx
J
sinb x dx
cos x (cos3 x 4- sin3 x)
dx
x(/3 e-b/i*
• x*4- 1
x* — Sx4 — 5x* 4* 1
dx
-oa)
dx
ХаФ 0)
*(! + *«)»
x*
(*«_!)»
dx.
221
351. j In (—x 4 /1 4 x2) dx.
353. j (arccos x)2 dx.
355. I— X—— arcsin xdx.
J /1-**
357. j dx.
(sin3 * -J- cos3 *)*
359.
Г *L
J 3 ctg x 4
3 ctg * 4 2 sin x
2 si na x -f- cos2 x
361. \ . т.— -. dx.
sin x -}- cosx
363.
dx
(x + l)*/xa — 2x '
365.
367
Vx*+K + I
dx.
Г dx
■ J (*» + * +1)7/2'
369. f dx.
J \-Vx
371.
373.
It
I
dx
/ Xs (X + l)b
dx.
375
/* + 1
■IV-
1 -x
1 4*
dx.
377. Г -' тУ-Л. dx.
J i + V*-
\—X \ 3/2
379.
и
1 +ДС
381. f 1 ~2*_ dx.
J (1—3 Ух)г
dx.
383. j
Vx + 3
dx.
352. | (ex—sin*)*dx.
354. Г e' dx.
J (I-*)*
cos X dx
356. |
358. Г —
J sin*x —
sin3 x — cos3 x
dx
360.
Г
j Hi
cos*x
2 sin x — cos x -i- 3
3 sin x 4 cos x 4 I
dx.
362. Г co>xsinx~^V- dx.
J 2 sin x 4- 3cosx
364. C-i^±ri-dx.
J / x* 4 2x — 1
366. j x2 Vx2 4 4* d*.
368.
dx
2 4/*'
7“
4/*
372
374.
376
378
4- l)5
Da
dx.
ft
L-/x
dx.
у X 4 1
■Jj/l
J
2 —x
djc.
xdx
380. Г
J у ж —
dx
V *4-2 4/ x 4- 3
dx
382.
1
/ (ж—I)8 (*+-1)
3 /
384. -——— dx.
Ух
222
dx
385. f
J xV~
387. £
386.
VT+T
V ДС+ 1 +2
s
X — I
dx.
389.
(x+l)«-K x+1
Г __ (sinx —cosx) dx
J (sir
388.
ь
/*+1 +3/(1+*)*
dx
dx.
/ (*-2)* <*+!)*
(sinjc + cosx) / sinxcosx + sin*xcos*x
390. f —
J si
39.. j
dx
sin*x + cos8x
dx
COS3 X -j-COS X--|/ sin X COS X
393. [~'Z (X + 2) dx.
J (* + 3)*
395. j" x|x—11 dx.
397. J min(l/x , 2)dx.
399. J max (4—x1, 2) dx.
ОТВЕТЫ*
392.
394.
COS4 X
■ dx.
xsinx-f- cosx
dx.
396. J |1— 4x»|dx.
398. ^max(|x|, 4)d.r.
400. Jmin{5—xa, 1, x2} dx.
12
1. 4x—8jc3/24 xa. 2. —дс5/4Н jc i2 . 3. 1-2 In|jc| -f x,
2 5 13 x 11
4. ln|x| —. 5. — -i- +31n|x| + 3x + —. 6. — x +
x 2x* x 2
+ — In 1 1 + * 1. 7. — x -I —arctg—-—. 8.
2 I1-x| /3 V3
— arctgx. 9. — In 1
4 4 J+l
1
8/3
In
X-/J
X+V3
i-arctgx. 10. arctgx —
11. 2arctgx + In | x|. 12. arcsinx + In | x +Vl +x2 |. 13. In | x+
+ V x> — 1 I — In I X + v x* -H 1
14. —— arctg
Y-t*
15.
2/21
In
/3 x—Vl
/3 x+ Vl
. 16. arcsin-
/6
*—. 17. —i—ln|l/2x+
/2
/2
25*
+ У 2x* + 5 |. 18. —ln| V3 JC + Ka**—7 1. 19. in25
+ 20. 21.
In 10 In 4 2 In 9 \ 9 / In 4 \ 4 /
30*
In 30
* В ответах этого раздела ради краткости произвольная аддитивная по¬
стоянная С опущена.
223
3Jt
\ 2 2
П
1 sin X X 5inx . 1 no 1
22. (—V - . 23. -^- + e‘ + x. 24. —— } f- 2
V 5 / 32 2 in 2 L 3
25. 26. + 27. tgx— ctgx 28. tgдс —
2 2 22 ВБ 4&
— ctgx. 29. —x — ctg.v. 30. tgx—x. 31. —cosx + sinx.
4
32. 2shx—3chx. 33. —ihx + x. 34. In \x —1|. 35. -y ln|2x + 3|.
36. In
* + 3
38. x + In|l+x|. 39. — x
x+2 j 1 1 2
__ JLln| 1 f2x|. 40. &—41. —L (2x f 5)18. 42. — (1 —3x)-*«.
4 11 36 87
i 16
5 /f , лг 15
43. — V 1— 2x . 44. — (1 + 3x 5 ). 45. (1 + 4x) 15 .
3 64
5
46. ± (x~2У + -L (x—2)'. 47. -i-(l - 2x) 2 i-(l - 2x)™.
48. —(*— 2)5/2+ y(* — 2)3/2. 49. -A.(l + 3x)3'2 — (1 + 3jc)'/2.
50. -2xA 2 In| 1 + л |. 51. — Jta + — л: + — In | 2x — 1 I.
2 4 4 8
52. i- (1 — a)11 + 2(1 — *)'» у- (1 —x)\ 53. У хг — 2 —
— 4 In | *-f У**—2 |. 54. ~~—(- 2 In|jca — 4|. 55. arcsin x*.
56. 3/rl + 4 — 1п|д:+у^ + 4 |. 57. У*2 — 10 +2\п\х+Ух*— 101.
W- 59.-
Xs- У 5
58. -p^arcsinx/2 + 2У1 — 2x3- 59.—i-(l — *a)3/2. 60. ^-(1— x*)*.
61. —arctg хг. 62. —- In
^ 6/5
JC34- У 5
. 63. — V34-JC6. 64.
l
5 41n4x
65. 2 yinx. 66. In 1 In-v + 31. 67. JLarctg68. — In5'3*.
У 2 К 2 5
69. — e'— 21n| <?' —1|. 70. 1п(1+е*). 71.—-g-cos5*. 72. 7|sini-i-jc.
73-т[^с05(а_р)д:~^грс05(а+р)4 74-T[^sin(p~a)*+
+ _±_sin(a+P)*]. 75. ^J-±_sin(p_a)x-^-sin(a+P).t].
76. sin ax — [ —!— sin (2 — a ) x -f —— sin (a 4- 2) x
2a 4 j 2 —a n j-2
224
— icp1 3)-C0S(P—^x* ^-cosjc2. 79. 2sinVjc . 80. ln| 1-f sinx|.
81. — — sin2;c. 82. — + — sin2jc. 83. — jc—cos2jc 4-— sin 2jc.
2 4 2 4 2 4
84. sine*. 85. --In
2У2
88. — in I tg —
3 2
89.
I 86. — ctg 7x. 87. — tg8jc.
У2 — sinx j 7 8
,n I tg ( ~ 4- —- ) |. 90. — In | cos jc |.
91. In|sinjc|. 92. tg —. 93. —L^lnl tg /— 4- —) I. 94. — ! .
1 2 >/2 I \ 2 8/1 2(x+sinjc)*
95. —^-Vl —4sin2 jc . 96.—ln|cos jc-f Vl-f cosax |. 97. ln| 1 + tgлг|.
98. —ctg jc -h In 11 4- ctg jc |. 99. — arcsin-^Д-. 100. — arcctg2 3x.
2 f 3 6
101. — In (1 -f 4jc2) -f — arctg3/22x. 102. — (arcsin2jc 4- arccosaJc).
8 3 2
103. — V 1—4x2 4-— arcsin4 2jc. 104. —V1—*2 —— arccos572 jc.
4 8 5
105. — sh2jc — ch2jc. 106. —2cth2jc. 107. —xcos.* 4- sinjc.
2 2
108. h — jcsin2jc 4- — cos 2x. 109. — sin x —— jccosjc — sin3jc4-
4 4 8 4 4 36
1 x%
4- -^-xcos3jc. 110. jc tg jc 4-1 n | cos л: |. 111. - jcctgjc4-lnjsinjc|.
112. —- In | tg ^ ~y -1- ) | . 113. jc In2 jc — 2 jc lnjc 4- 2jc.
COS X
114. —— —. 115.—ln(l+x)—~ + — -x + J_|n(l+x).
x X 3 9 6 3 3 7
116.— Inf 1 + —\ + —x —In II + x |. 117. — arctgx-
2 \ x I 2 2 1 2 b
2(1+**)
tl8.-j-Y2—x* + arcsin119.-^-У*г+3 + -|-1п|х + Уха +3 |.
120. xarctgx—— In (1+x2). 121. xarccosx—\r\—x2. 122. — arctgx—
2 3
— x2 4-— In (1 4- JC2). 123. -^-arcsinjc — arcsin jc 4- — V 1 —Jca.
6 6 2 4 4
124. 2xarctgx— ln(l+x2)H—arctg*x. 125. °sin ft* eix
126. ^- + -ЛС05(21пх) + 2ж5!п(21пх) . 127. tgx- lncos.v 4- tgx — x.
2 10 6
128. arccos — — . Vx2— 1 signx. 129.
3 sin 2* , sin4jc
r „ . _.e . —JC 1 .
2 x 2 ° 8 4 32
225
130.
х
16
sin4x sin32x
64
4- sin 4*. 132.
64
+ ^. 134
48
sin3x
. 131.
sin5x
— x 4- — sin 2x — sin3 2x 4-
16 4 48
133.
-COSX -f COS3Jt COS'1 X f
5
sinx , lil л. / x n
In tg [
L2 cos2 x 2 I \ 2 4
136. — — ctg3jc.
3 s
137.
sin3x
138.
— sin,t 4- In
l
135. J- tg4*.
«(f +V)i'
— 3 In | sin* | +— sin2x — sin4*. 139. -Mn- —
2sinax 2 4 4cos4x
4-
+ т-57+т,пМт +t)|- ho- ctg^-
g-ctg5*. 141.
— ctg3*-|-ctgx 4-x. 142. sin-—•
3 6 6 2 cos2 x
1
In
143.
1
4--
3cos3x COSX
cos x , 5 i
In
2 sin2 x 2
tg“
2
144.
4i+
ctg4* .
,3/2
+ f)|
4-— ctg2x+ln|sinjc |. 145. — ctg x+2 tg *4--——. 146. )-
2 3 4
xV*T* — — In | * 4- V&Tx* |. 147. —- (a2 — A'2)3/2 4-
8
a2
+ ^Lxj/xг
8
8
a4
arcsin—. 148.
x (x* — a2)
3/2
— —ln| ж + Vx2 — a2 |.
8
149.
4-
2 (a* 4- x2)
V\+Z?-\
3a . x
— arctg —
2 a
у a
153. In
155. — In
7
/l+«‘ + 1
151.
154.
2 —X5
X
-J хУх2—a2 —
4 8
— arcsin —. 150. x 4-
a- V a2 -j- x2
12
152. — (ex
з 4
l)3/2.
z*
324.
■= у l +Vx
| + arctg z, z =i/l + x1. 156. — 2 У (x~3/i +1)*.
l 4 + 3**
157. 6 (у/x—arctg yf x ). 158. !—
yr 8 *(2 + *3)2/3
159.
In 5
X 5^ •Vx
■У*
In 5
j. 160. 2(3x—6)cosVx +2{xVx—6yx)sinVx.
161. ln(^+x+3) 1L-arctg-X-±J-. 162. i-ln|jc*—2дс—3| —
I'll К11 2 1
-JLinl
*+i
. 163. — 3Уа-2+л:+1+— In x + — + Vx2+x+l\.
2 2 I
164. — 4Kl+*—*a —9arcsin 2*~* . 165. —V 1 — In л:—lna jc +
У 5
+ — arcsin21"*-^-1. 166. Уегх+ех+1 +— In(ех+—+Уегх+ех +1V
2 Yb 2 \ 2 )
226
167. arcsin—* +2 . 168. — In(e*x + 2e' + 4) ^arctg -fJ-.
V 6 2 ! УЗ /3
160.
U-ln
X In
172
/6
l-x + y/2+2x
—+1ftr*—-e-'-f--
12 V 6 6
2 — x + /4x* — 10x+7
170. i=-X
/2
1+x
171. — In
X — 1
9
'+f+
_L(jt«+x + 1)3/2 + -^-(x + -i-) Vxa + x+l +-J-ln
+ T/x4+x+l . 173. (1 + x — xJ)3/2—i-^x 1 + *—x* —
arcsin
16
175.
176.
X In
2* -Л. 174. — In| — 1—x*+x*| H—-— In
/5 4 ' 4/5
- VTTxrT~xr + — In I x*+ —+ V 1 + X* + x«
2 4 2
2x*—1—/5
2x*—1+/5
— In | x4 — Xa + 5 | +
4
2 + x*
1 , 2x*—1 1 ^
—7=r arctg —7=— . 177. x
2 V 19 /19 2
2x2
— lnl
. 178. J/jc2 4- 3jc 4- 1 + —In
2
X+T +
2 + 3x + 2 / хг + Зх- 1
+ — x*Vl + x« + — ln|x* +1/1 +X4 |. 180. — sinxVcos2x +
4 4 2
4- arcsin (K2 sin x). 181. —cos jc 1/cos 2jc In J1/2 cosjc4-
2 sin x — 1
4-Vcos2jc|. 182. arcsin-^
-/2 (1 — sin x)
183. — In
2
x(x 4- 2)
(x+1)*
184.
. 185. ! arctgx .
x 2 2(1+x*)
1+x
£ + J_ln|^±I
2(1—хг) 4 I x—1
186. arctgx -L- arctg -•* . 187. — In
>/2 /Т 4
188. —In.iI±ii!_ + _L_ arctg189. —^ In
6 l—х+хг Yi У з 41/2
l
+ arctg i.
2/2 x]/2
191. - *+I
190.
1
4/2
• In
x* + x+l / 3
2 . 2x + I
^arctg
Y 3
| — у arctgx.
хЗ+х/2+l
x»—xl/2"+l
■s-(
хг+х 1/2+1
192.
i“ + T +
x—2
193.
+ 10tn|z|— i(fe +z =
2ln|jZT|- 194> -farctgx3—Lln(l+x*). 195.-1-.-^ +
‘ -*-*-±1-1. 197.arctg
x* + x+\ I У 7 6 x/7
I 4-X8
196. — In
2
227
198.
2/3
-In
——ii^L+i. I jag. arctg x + — arctg x3. 200. -—|-
x. + x/3+l| 3 3**
+ —arctg—. 201. — In(1 +x«) + - ■—
3 6 Jt» 4 '4 l+*«
202. L. _L_ +
6 x»+ 1
1 1 1 3tgT + 1
— . 203. -7=^ arctg ^
12 (*•+!)* /2 6 2/2
204. t=-X
2 V 6
X In
/2 tg-|--K3
/2 tg-|- + /3
205.
2 4,вТ+'
2 arctg 2
/зГ
/31
206.
x +
+ -j^=-arctg(/3 ‘g-f-)- 207‘ ”2”ln 1 2ctgx — 1 •' 208, “pT" X
X arctg(y2Ttgx). 209. -y=-arctg 21°- 4"tgi—,n|1 +
+ <g-
1 + l8T
211. lnI ГС-5*-1 I. 212.
cos x — 2
X
2tg——1
d 9
— arctg —— +
/3
/3
+ tg^+n/4j. 213. —-5=-arctg^1/2 tg -£-J+_L-arctg (y3 tg-|-).
214. —Ц ln |^2 + sln2x
2/2 I /2 — sin 2x
215. arctg(2sin2x—1). 216. —ln| sin jc -f-
4
-I-cosx | — cos2x ~sin2x. 217. — ln | sinx + cosx | + — x.
8 8 2 2
218. —x — In|sinx + cosx|. 219. -^-x — ln|2sinx + 3cosx|.
2 2 13 13
sin* 2x
sin‘J2x'
220. ln(l+sin*x). 221. 2x ^ arctg (Д^Л. 222. —ln-^
’ /2 W 2 ) 2 2-sin»
223. cosje + -^- sinx 1-=- In
10 10 10 V10
3 tg — 1 — /10
3 tg — -1 + /10
224. x —
~yrarctg(ff)- 225‘ -arcte(cos2*)■ 226- arctg ('yf"')-
227. —ln(4-ftg2x) — ctg2x — In I tgx|. 228. — x + — ln|2sinx+
32 8 16 5 5
-h cosx -|- 2 | ln
5
*gf+i
‘6т+з
229.
1
13 2 cos x — 3sin*
228
13/13
!=- In
21
!=-in
5 V 5
2tg -£- + 3~/Т3
2lg-^- + 3 + /l3
2 tg +1 — Кб"
2ig-|- + l+/5'
230. — cos x + — sin x +
5 5
231.
2x— 3
V*2 + X+ 1 +
232. —
1 /x« + 4
+ -11 In I X +-L + V ** + X + 1
8 I 2
233. — — yi—xa 5. * j^TZ^T + _L arcsinjc. 234. -^=- X
4 Я fi V 9
arctg yli^L . 236. In | x + Vx* -1-5 | + "у/arctg ^ X
Ул*+б)‘
236.
4*+ 2
/**+7
xVx» + 2x + 3 f-ln|x + 1 + Vx* + 2x+3 |. 238.
+- In | x— 1 -f Vx*—2x—1 l + ^U In
V 2
V 2
l=- X
X arcsin
V 2
* — 1
x+l
1 +
- +
1
x+l (*+1)»
. 239. X—21n|x+2|+l/xs—x—2 —
_ JL in I x +Ух*—х—2
2 2
— 2 In
— — +
x + 2 8
- + — . 240. — (xJ 4- 4x + 1)3/*
(x + 2)« 4 (» + 2) 4 3
_ (x + 2)/x» + 4x+l +J_ln|x+2+yJ(1+4x+1|. 241.-yln|x»+
1-+4-+1/ 4-+4-+11*
r* 2 у x* x* I
—arctg -£=. 243. —5-(x*+2x—1)_3/2—
2 6 УЗ-х» 3
+ — +l/x* + 3x*+l
+ _lh
242. J_ In
4
/3 — x* — 2
УЗ — x» + 2
x+ 1
(x+l)»
4 /х» + 2х—1 12(/xa + 2x — 1 )3'
244. 6|/x — 3 y^x +
+ 2 Vx —61п(1+^х). 245. -Lln--t/ + <1
v r ’ 2 (! — <)’
■ 1/3 arctg 2t^~
/-1/—. 246. -Lln.rt?+» + 2 arctg
J/ x+l 3 (t — 1)* /3 /3 <‘—1
t = v/I+L. 247. J-(3x-5) v/-£±J-. 248. —L 1п*±^±£ +
V x — 1 16 'V (*—l)4 2 (! — <)*
229
+ 1/3 arctg t=Vx. 249. (l+y'iU— 1 )»+ln(>/2x— 1 — l)s.
250. —1/2“arctg - ^ 1 ^1 . 251. 2—■■■ Ух'—x—6 + — In x —
/2 * 8
— Y+VxJ—x—6 I +3 Vx*— x— 6. 252. 12('^T+21nrV*-l|-
— InV/x). 253. ln|lnx—II. 254. 2yinx+x. 255. — ■ —
a* у a* — x*
256. — Уа* + х1 — — lnlx fl/V+x1 I. 257. —x — ln(e*‘+6).
2 2 ' 1 6 12
258. —x ^ 21n|x — 1| + ln|x|. 259. — 1 4
x 1 + x 2 4- x
— 4 In
14-*
2 4- ж
260 3 (x— 1) x_4l (x-1)*
16(x+l) 16 (x — 1) 32 (x 4- 1)*
+ J-ln| -i±L I 261. — u~s — u~s + a-1, a = -
16 | x— l Г 5 3 ’ V l + x* ‘
262. —L У.Ш+1 + -1- ln| -J- +1+ ' < *?±2L±j_ I
3 x — 1 2/3 I x—1 2 1/3 x—1
263. £2i£-4--L]n
2 sin* x 2
tg~ • 264. — cos1 x+In| sinx|. 265. — tgsx.
266. x2sinx 4- 2x cos x — 2sinx. 267. — x ctg x + In | sinx |.
268. — ( — *c-tg-x.- ! 2xctgx + 21n|sinx|l 269. —ln^- +
3 I. sin*x 2 sin*x b 1 '/ 2 1+x*
+ — x* — In (1 +x*). 270. —( 1 + In—* * 11 -f 2 arctg xY
4 2 4 ; 4 \1 +** / 1 +х» & I
rt-1 x 3..1 x ,9 i.x
271. — . arctgx H h —t=~ arctg —rr=- .
2 l+x* 2 & 4 x*4-2 4/2 /2
tg-f + l , 3 tg -|- — 1
272. /2 arctg y=—. 273. ^ arctg +
+ warctg —“w—•274- ) “ ct2 f-
275. — In I cos 2xJ. 276. - — In | 1. 277. —cosx —
2 * 2 sinx 4 | tinx -f 1 I
— In tg—I C--s-X- . 278. — 4- *^arcctgx. 279. —arcsinx4-
2 2 I 2 sin* x 2 2 & 3
_j_ 2 + xg j — x2 280. —x4arctg,x—— arctg* x~— (x3— 3x)arctg x4*
9 4 4 6
+ — — In(1 + x*). 281. —arctg—. 282. —In
12 3 4 2 2 y\ 4_ e2x 4. i
1 1 cosx
283. У 1 +xa 4- -7==. 284. — i—. 285.
у 14-x* sinx 3sin3x cosx 2sin*x
230
-£2i£ L_i2i£_ _|—ILjnltg— I. 286. + 121-^- +
4.ln*x 8 «In** 8 | 6 2 | !/r ... \*/х +
V7+1 Wx+l
+ arctg y'x V 287. — -^LL+—In Itg—I. 288. --]/ 3—4x*+8x+
) «»* 2sln*x 2 Г 2| 4
+ 2arcsin-^^. 289. 12 3< + -i-In U — 11 +-j-In |*+ 2 I +
]. ,-?r. »
3(* + 2)
13
3
291. 1/3*» — 6jc + 13 + In x*— 1 + У x* — 2x +
292. _i! !_ + (^) _jo^ J5 /(1^
8 (2<»+l)* 4 6 ' ' 1+2/» 2 (1 + 2<*)*
t = '{/Г. 293. —-3- _ — arctg * . t =
<* + 4 8 2 4 (<* + 4)
294. -In I ,2-x + t/4x»-10x+7_ I _LIn|£^i
I *-i I e !*-i
j
5Г
’x —3
i л
2
>x-2
296. —In 1 X_1
3 I Jt+1
+ 4-In4- *+■ . 297. -
6 ** + x+l * 2(x—1)* 2(x-l)
—f-ln|x-l|+-Lin(l+x*)-arctgx. 298. + In-^L-
— arctg x. 299. - — (2x +1)~‘ + — (2x + l)“a l- (2x + 1)~J +
8 16 8
+ -i-(2x-l)-«. 300. 1 2
32 ' x —2 (* — 2)» 3 (* — 2)»
SOI. —i- (x-1)-’ +.-L- (X + 1)-» + (x-1)-> + -1- (x + ,l)-> +
+ -Lln|-^1I 302. 1п|1±£| 303. In—-—.
16 | x+l I | * | 2 x% (x1 +1) 1+x*
304.-i-arctgx* + ^-ln(l +*•). 305. ^ arctg In
307. x + — arctgx.
2 (x* + 1) 2 6
306. -±- + -±- In 1 x'~4
8x* 32
m. +«+3i„| 1=11. < *»•
^ . 1 / x — 3 5 i — 1
310. - 2 arcsin / . 311. 7= arctg —7=—
X — 2 V *-1
I - 1
24 Уз **’ Уз
t z = tg—. 312. -Lln|-lg-x I. 313. 21n#±-1)-+
24 **.—2*+4 * 2 5 |l + tg‘x| /* — <+1
231
1 z+ 5
314.
-In
( 12 . 2t — 1 , 12>-
+ ТГ“гс‘8"7Г''=/*
315 -1/3 l ~yj sin4/ + — cos*t— sin 21, l=arctg^=.
•" 9 9 /3
/2 x— 1
8 /2j “ | K2 ж + 1
+ J__L_
4 2x* — I
18
316. —
2/2
In
3T + ^+ V (« - 1)»
4-
x — 1
+ WTln
-4-
/—! 1
V (x + 1)* X +
317.
-(t-
X 4- 1 2 r (x 4- I)*
4- 4--^-w 4--~-j Vй*—2u— 1 ^-ln|a —1 4-]/иа—2ы— 1 |t
u — ■
318. -
2 y—x
*—arctg x
2/2
/1 — x*
319
x* +
+ ^-xs—_L ЛУТ+^+-LinU + yi+xa|. 320.
24 16 J 16
VWi
(1 — xa)3/2
3x8
321. z tga z—tgz+z, z = arcsin
•(t
/1 —X»
322. -X
9
In|(x3—1)(x24-2)2|. 323. — 1п|х24-)Лс4 — 1 |4—— arcsin .
324.
1
— 2ctgx—
ln|ctgx|. 325.
2 cos3 x 4
ctgax
tg**
In | COS X |. 326. tgx-
ctg3x
327. —
329.
COS3 X
331. — —
2 (<24-4)2
= yT. 332
-1
4- cosx 4- In
I 3
tg
t
4 (/*4-4)* 32 t* 4- 4
-In |sinx|. 328. —Ь
330. — 8ctg2x — y ctgs 2x.
— arctg—, t =
64 2
6^ — 3In |4 — <* I —.6 In
I — 2
< t- 2
. f = ^7TT
333.
2/2
— In
1
(*4- 1)*
-—+4"
4- 1 8
1
4“ —7=~
/15 x + 2 15 V (x 4- 2)*
334.—x 4--~ ln|sinx—5cosx|. 335.
8
15 (X 4- 2)
■4--
15
26
! -f —in
2(1 f cosx) 2
A X
gT
336.
338.
/5
1
-In
2 sin x — 1 — /5
2 sinx — 1 4- /5
I
337.
1
/ 5
In
■ 4-—lnltg f— 4-— )
2(1 4-sinx) 2 \ S \ 2 4 )
2 cos x — 1 — /5
2 cos x — 1 -r /5
339. -L In
6 tg2 X - - tg X 4- 1
x 4- 1
4-
+ -^arctg2tg* 340. -(x» + 2x —1)~3'2 L
/3 /3 3 v 4 /x*+2x-l
232
■' + 3 3 (x» + 3)3/2
2
■)'
342. -i-Jn; i+Z|+__L_ z = tg»x. 343. ^-(l_VT^5')3/2_
— 2Vl — /1—x* . 344.—
arccos —
4 a x
/3
L'"(
/3
4fl; \ X X
345. —-ln|l + x| +^-lnl x* — x +/1 I* 346- — arctg ——
3 3 ! 8 1 — x:
+
+ — In
16
JC* —2x— 1
xa + 2x— 1 I
L In I 1 + X4 I +
347. —
350. —In
16
x—l
*+1
— — arctg jc4. 348. In j x j —
_J . 349. JU + W.-J-^bx.
4(l+x<) 4(1+ x*)* 4 e
arctg x - —-—. 351. i jc ln I — x +
8 4 [X4 — 1
+ Vl +*2 J — Vl + x* • 352- — e**j + - sin2x — e'sinx +
X — 1
-f e* cos x. 353. x arccos3 x — 2 ]/l —x% arccosx — 2jc. 354.
355. — У \ — x% arcsin [x 4- x. 356. -A- \n (*8*~ —
1 6 tga x 4- tg X -f 1
1 . 358. JLinl ain;x~ ‘-|-
3(tg3x + l) 3 I sin 2x 4- 1 I
Uarctg21gx^. 357.
V 3 e УЗ
— Jn
6
sin2x —2
sin 2x 4- 2
359. — In
5
cos x — 2
2 cos x 4- 1
360.
2
— In|3sinjc4-c0sjc4-l | -|- -g- In
3t6f+ 1
. 361.
2/2
+
t)
X In
— Y (cosx + sinx). 362. -^-sinx ^-cosx+ -7^7=- X
_ln tg (— +
2 I B\ 2
15
13 /13
X
t6--
2
V13
3
3
2
3 +
Vl3
3
11 1
77= [n
27/3
. 363. —(yu2+~vU+~v)^Зиа—4u + 1 —
(t-+
. и =
x+1
364.
и — + \f иг “ и -f--—
3 К зз
+ — x + — ) \/ x* 4- 2x — 1 — 2 Jn I X + 1 + Vx'4 + 2x — 1
6 6/
365. у x* + x + 1 +—In x+ — + У x2 + x+l
2 2
—■ In
■ x3 4-
+ V-T+T + '' зв6- (т
— 10 ln|x4-24-Vx2+ 4x |. 367.
— jc2 *4-5] V"jc24-4* —
5 6 J
2x + 1 2 / 2x + 1
233
+Нт)1)- m 2VT-4,n(2+V*). 369. _(]/х-1)*-
— 6 УТ— 41n I I — V7\. 370. 6 у'"* + Y x y'x* —
— 2 In (1 + y'T) + In (1 + yGT — ) — 2 V"3 arctg 2 —
Г 3
>7,-4V-7TT- ™ W.+
~J7f f-'-K—U.cy^>u.-f<«+i)'»-
— — (x + l)s/s + 2 (x + 1)J/J — 2(x + I)'/5. 374. ——x yT +
5 7
+ — y^x* + — ¥*- 2 Vx” — 3 V^T +6 y/~x + 3 In | 1 + \Пс I —
5 2
— 6 arctg . 376. arcsin x 4-Vl —*V 376. 1—In I -—-1 —
t*— l 4 | / + l I
i-arctg f, <=]/ YZT' 377' бу/г" —х+61п|1+у/лГ|.
378 . (x + 2)6/8 + — (x + 2)3/2 + -f- (* + 3)V2 _ 2 (x -f 3)»«.
5 3 5
379. —4]/Г*7^ 3arcsinx—l/l — x*. 380. 6^ + -j- + t +
+ ln|l—<|). t = V*. 381. (3/»4-4^—lnJS^ — l |
,=vr. 382. m-!L±i±J--2Kr
383. —-In 1 +1 arctg/=1/7. 384.—(1 —
з (l — o* V3 7
— 07/* — 3(1 — <)4/3. i=¥*. 385. In I X I 1п(^(х + 1)* +
+ Vx + 1 + 1) + уз arctg ^ . 386. —— "j/x + 1 —
— -£=- arctg V3x + 3 . 387. In f ) - -1_ x
3^ V х + 2+Vx + i j у3
X arctg 2Vx+_} +Л. 388. Ari/'-^T. 389. arcsin ! .
1^3 з \ x+\ 1 -f sin 2x
390. In j tg ^ + -J-) |+ "I" arct2 (sin * ~cos *)• 391. 2 Ktgx —
— 2In| 1 +Vtg7|. 392. x (-^- + tgx)+-|-ln|cosx|——
234
Глава П
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
ПОНЯТИЕ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Определение. Пусть функция f(x) определена и ограни¬
чена на отрезке [а, Ь]. Конечную совокупность точек {**}Л0
a=xo<jCi<x2<...<*n=6
назовем разбиением отрезка и обозначим через Г. Положим
Mk = sup /(*), mk = ini^fix),
xk-i^x<xk xk-i<x<xk
Тогда
л
S (f. Г) = (х*—лг*—i) — верхняя сумма Дарбу,
к=\
п
s (/, Г) = Л mfc(jck— av_i)— нижняя сумма Дарбу,
*=1
/(/, [a, ft]) = inf S (Л Г); /(Л [at A])=sups(/, Л-
г т
Для любой ограниченной функции f на отрезке [а, fr] имеем
/(/,[а, 6])<7(f, (я, fc])-
Определение. Если 7=/=/, то функция f называется ин¬
тегрируемой в смысле Римана на [а, Ь] и число I называется ол-
ь
ределенным интегралом от f по [а, 6]. Обозначение: / = J f (х) dx.
а
Это определение эквивалентно такому: пусть Т — разбиение [а, Ь]
я {£*}£_,— совокупность точек таких, что хк-\<£к<хк, k—\t 2,..., п9
тогда f интегрируема на [а, 6], если
lim V /(!*)(**—x*_i) (1)
существует и не зависит от выбора точек {£ь}£=1 и разбиения Т.
Если функция / непрерывна на [а, 6], то она интегрируема
на [а, Ь\.
1
Пример 1. Вычислим j sin6xdx.
-i _
Решение. Так как функция v/jc2sin6jt непрерывна на
[—1, 1], то она интегрируема, т. е. можно найти величину пре-
236
дела (1), выбирая некоторую удобную последовательность раз¬
биений Тя и точек £/, соответствующих данному разбиению Тт.
Пусть Тт — совокупность точек xt= l~m. 0<i<2m, m^N. Вы-
т
берем точки являющиеся серединами отрезка [х*_ь Xi], l<i<
<2 mf тогда
2m
i
и jc» —= —, 1 < i < m.
m
Следовательно, в силу нечетности функции f имеем», что
т
Sm = — V(f (I*) + f (gm-*+l)) = 0.
т
i=1
Условие тах(х/—х^-^О эквивалентно условию тп-+ оо. Итак,
1
\]/х* sin6 xdx = lim Sm = 0.
_j m-*-oo
Если функция f интегрируема на [a, 6], то по определению
$f(x)dx=-\f(x)dx.
Ь а
Для вычисления определенного интеграла основной является
теорема Ньютона — Лейбница: если f непрерывна на [а, Ь] и F
первообразная для { на [а, 6], то
J/(jt)d* = f(6)-F(e)=/f (*)!».
а
Пример 2.
я
2
С ч л ( • sin3x \ |я/2 2
\ cossxdx= [sinx =—.
J l з Ло з
о
Если функция fug отличаются друг от друга только в ко¬
нечном числе точек, то они одновременно интегрируемы или нет
в смысле Римана на [а, Ь], и если интегрируемы, то
ff(x)dx = fg(x)dx.
а а
Поэтому формула Ньютона — Лейбница применима и тогда, ко¬
237
гда функция f совпадает с непрерывной функцией во всех точках
отрезка [a, b]t кроме, быть может, конечного числа точек.
Конечная аддитивность определенного интеграла: если / ин¬
тегрируема в смысле Римана на отрезках [а, 6] и [6, с], то / ин¬
тегрируема на [а, с] и
Ь с с
Критерий интегрируемости Лебега: функция f интегрируема в
смысле Римана на [а, Ь] тогда и только тогда, когда f ограничена
на [а, 6], и множество Е точек разрыва f на [а, Ь] есть множест¬
во меры нуль, т. е. для любого О>0 существует такая счетная
(конечная) система интервалов {(а,, &,)} таких, что
Из критерия Лебега, в частности, следует, что ограниченная
функция, имеющая конечное число точек разрыва первого рода
на [а, 6], интегрируема на [а, Ь]. Для вычисления определенного
интеграла такой функции отрезок [а, Ь] разбивается на конечное
число отрезков [ак, bh] так, что f для хе(а*, Ьк) совпадает с функ¬
цией, непрерывной на отрезке [a*, bh\
Пример 3.
АЯ л 2 П Зл 4л
X* |я X9 2jt X2 |3л Jt* Ия 2 2
2 |о 2 л 2 |2л 2 |зл
Из формулы Ньютона — Лейбница выводятся следующие фор¬
мулы.
1) Если функции и и v непрерывно дифференцируемы на [a, Ь]9
то
ъ ь
j udv— и (х) v (х) \ьа— j vdu
а а
(интегрирование по частям определенного интеграла).
Пример 4.
оо
£<= у (а,.*,).
0 0 Л 2Л Зл
2) Пусть х — непрерывно дифференцируемая функция на
[а, р] и f — непрерывна на отрезке [с, d]=x([a9 fi]) ([с, d] — об¬
раз отрезка [а> 0]). Тогда
Xf f(x)dx = ^f(x(t))x»(t)dt
*(а) а
(замена переменного в определенном интеграле). Заметим, что
в этом утверждении не предполагается монотонности функции х,
более того, не предполагается, что [х(а), *(Р)]=*([а, р]).
Пример 5.
|д:(3*«-4ж»+ l)dx=^-*+-£J_=l8.
С другой стороны,
2 2 6
Г х (Зх4— 4х% + 1) dx = Г (л:3—х) (Зха— 1) dx = | zdz = 18.
-I -1 о
в
Обратите внимание, что замена произведена в интеграле
о
и функция г=хъ—х непрерывно дифференцируема, но не моно¬
тонна на [—1, 2].
При замене переменного в определенном интеграле в отличие
от вычисления первообразной не нужно возвращаться к исход¬
ному аргументу, так как преобразованный интеграл берется по
тому отрезку, по которому изменяется новый аргумент.
При вычислении неопределенного интеграла иногда делались
преобразования подынтегральной функции, тождественные не для
всех возможных значений аргумента. В этих случаях для про¬
стоты подразумевалось, что первообразная находится на тех про¬
межутках, на которых необходимое тождество имеет место.
При вычислении определенного интеграла первообразная
ищется на заданном отрезке, поэтому здесь необходимо следить
за тем, чтобы не произвести преобразование, не являющееся тож¬
дественным.
1
Пример 6. Вычислим Г —.
Y v J (х—10x+ 13
—1
Решение. Делаем замену ==z, тогда
Так как х<2, то z<0, следовательно, \z\ =—z и
1 -I
Г = - С
J (Х-2)2 /х- - Юх ; i3 J
6z — 3 z2
-1/3
-1/3
1__ Г (z I l)dz _J_ Г
/5.-•! ,/т--
dz
f !). -1 уГ-^--<г + »г
= l/ 2г—г
у/3 У 3
~,/3 1 . (г-Ы)/3
i—arcsin
-I /3 2
-1/3
— 1
I .1 2 | ,
■ arcsin —— 1
V 3 /3
-V?)-
Отметим некоторые частные случаи замены переменного в оп¬
ределенном интеграле, позволяющие упростить вычисление.
а. Если f — четная и непрерывная на [—а, а] функция, то
^f(x)dx = 2^f(x)dx.
—а О
б. Если f — нечетная функция, непрерывная на [—а, а], то
jf(x)dx = — j f (x)\dx и j f (x) dx = 0.
—a 0 —a
В частности, для любого натурального нечетного к
я
j* s'\nkxdx = 0.
—я
в. Если f — периодическая функция с периодом 7, непрерыв¬
ная на [0, Г], то / интегрируема на любом отрезке [а, Ь] и
а-гТ
^ / (х) dx = j f (х) dx.
В частности, если к — нечетное натуральное число, р — натураль¬
ное число и a — любое действительное число, то
а+2рл ai’Jr я
Большая часть употребляемых при вычислении неопределен¬
ных интегралов подстановок являются непрерывно дифференци¬
руемыми функциями. Однако, например, универсальная подста¬
240
новка tg(x/2)=/ уже представляет функцию разрывную, если
отрезок интегрирования включает точки вида л(2/г+1),
Пример 7. Рассмотрим J
dx
3 + cos х
о
Найдем неопределенный интеграл, полагая f=*tg(*/2).
г _d*_ Г Ш _ Г dt _
Ь + cos.-j (i+<t) (34-^f) Ь-h/-
= —arctg + С = —^ arctg tg + C.
/2 /2 |/2 S K2
Если формально сделать универсальную подстановку tg(x/2)=f
в определенном интеграле, то, так как tg0=tgn=0, получим
о
г * =0>
J 2 + /а
о
с другой стороны, l/(3 + cosx) >1/4,
и, следовательно,
* >2n-
Такая замена сделана неправильно, так как нарушено условие
непрерывности функции t=tg(x/2) на [0, 2я]. Функция /?(*) =
= —Lr-arctg - " не является первообразной для /=
У 2 6 V2 у у 3 + cosJC
на [0, 2л], так как F разрывна в точке х=л. Чтобы получить пер¬
вообразную для f на [0, 2л], заметим, что функция
YT^(JinL)+С’ »<-«<2я
имеет производную, равную / для всех яе[0, я)11(я, 2я]. Функ¬
ция G{x) — первообразная для f на [0, 2я], если она непрерывна-
в точке х=тс. Для этого постоянная С должна удовлетворять со¬
отношению
Um F <«) - Шп F (л) + С; + С,
откуда С=я/У2. Теперь, применяя формулу Ньютона — Лейбница,
получаем
241
Более простым и общим является следующий метод вычисления
этого интеграла.
Функция
Л(*) =
f(*>--pTarcle “у
Пт Г (*)—2 .
есть первообразная для 1/(3+cos jc) на отрезке [0, я]. Функция
Fr(x) =<
F(j:)=TTarctg ■ я<*<2п:
lim F(x) =——
х-*л+ 2 у 2
X = Я
есть первообразная для 1/(3 + cosjc) на отрезке [л, 2я]. Исполь¬
зуя свойство аддитивности и формулу Ньютона — Лейбница, по¬
лучаем
2 я я ?я
f dx — Г ** + Г At
J 3 + cosx J 3-j-cosz J
3 -j-cosx
= ^1 (Л) — (°) + Fi (2lt) — (Я) =
= lim F (x) —F (0) -f F (2я) — lim F (x) --
x-*n— x-+n+
71 71 71
2)/2 2|/2 Y 2*
Этот метод вычисления является примером применения общего
утверждения: пусть f непрерывна на [а, Ь] и выражение f(x)dx
можно представить в виде g(t(x))dt(x), где функция t непрерыв¬
но дифференцируема на [а, b)t
t (а) = а и lim t (х) = + оо, тогда
х-+Ь—
ь я
f/(x)djc= lim Сg{t)dt= lim (G(q)—G(a)),
V* Я—►4-00 J (7—► 4-00
a r a '
где G — первообразная для g на луче f>inf t(x)> xe[a, b].
Определение. Пусть f непрерывна на луче х>-р и F(x) —
первообразная для / на луче х>>р. Если существует
lim U(x)dx= lim (F(q)—F(p)),
П. » ■ i-oo J <7—►-4-00
q »■ {-00 J q-*--\-oo
p
to этот предел обозначается I / (x) dx и называется сходящимся
p
несобственным интегралом.
Полное рассмотрение свойств несобственных интегралов сдела¬
но позже, здесь ограничимся только теми вопросами, которые воз¬
никают при замене переменного в интеграле Римана. Будем счк
тать, что первообразную функции f можно найти, поэтому вычи¬
сление предела производится непосредственно. Несобственный
+оо р
интеграл вида J* g(t)dt и аналогичный интеграл J g(t)dt по-
Р - — оо
лучаются при замене в интеграле Римана с помощью функции
t = t(x), непрерывно дифференцируемой на полуинтервале [а, b)
(или (а, b]) и являющейся бесконечно большой определенного
знака при х-+Ь— (или Jt-wz-f). Здесь существенно, что особой
точкой функции t является именно конец (левый или правый) от¬
резка [а, Ь]. Если особой точкой t(x) (как в разобранном выше
примере) является внутренняя точка с интервала (a, b)t то
Ь с Ь
|f(x)dx разбивается в сумму J/(.r)dx + J /(jc) dx и переход
4 ас
к аргументу t делается раздельно в каждом из слагаемых.
Пример 8. Вычислим
dx
1
-U32 [V 1 4-V' *s)
Решение. Применяя метод интегрирования дифференциаль¬
ного бинома, сделаем замену / = \/ 1 4- х~г/ъ. Функция t(x) непре¬
рывно дифференцируема на полуинтервалах [—1/32, 0) и (0, 1]„
точка 0 является особой точкой t(x), причем
lim t(x) = —со, lim t (х) = -foo.
Х-*0— x-*-0+
Поэтому в соответствии с изложенным выше интеграл вычисля¬
ется следующим образом:
1 о 1
dx Г dx , С dx
243
уч -ут
= -5 Г —* 5 Г —-— =5 Г d< - +
J (i-<»)« J (i — />)* J
y/^7 +a° —ao
+ 5 T = 5[-L- + -Lln| I-
^ J_ (1~Пг [<>-13 I t*-1 I
V*
__L„clg _Ш_] \-У’~ + sr_L_ + IЛЛ|_
3 /3 J l-oo [/*—1 3 I <J— 1 I
__Laret62!±JJ|+- _JL{/7_5>/2 + 5ln!±i^_
з V3 i\yj 6 y V 2
_5 +ia,ctg il^ti + -f.rctg Щ=!..
Другим видом несобственного интеграла является интеграл
ь
j f(x)dx, если функция f не ограничена на [а, 6], но непрерывна
а
на [a-fe, b] при любом е, 0<г<Ь—а (или на [а, b—е]), т. е. не
ограничена в окрестности точки а (точки Ъ). Этот интеграл суще¬
ствует (сходится), если существует
lim Г f(x)dx=[f (х) dx = F (b)— lim F (Ьг)
*^°+ а+е a **“*в+
(е1 'о+ J f(x)dx = ^f (x).dx) ■
Такого вида интеграл также может получиться при замене пере¬
менного в имтеграле Романа.
Пример 9. Вычислим
р,/ч. (/ ч \х/У\ — Т/1— х2, хфЪ\
\f(x)dx, если /(*)={
J \У 2, х = 0.
Решение. Функция f(x) непрерывна на [0, 1]. После заме¬
ны t =У 1—г1 получаем
0 1
Jtdt Г tdt
КТ=7 ~ J /Т^7 ‘
1 О
В последнем интеграле подынтегральная функция t/yi-t не огра-
244
«ичена на [О, 1). Так как первообразная функции //У 1—t на от¬
резке [0, 1—е] при любом е, 0<€<1 равна
— (1 —0 — 2 VI —/.
3
то
1 1-е
f -тШ=- = lim Г
J У I -/ е-лч- J V ' - '
О о
= lim (— е3/г —2е1/2 + 2 — —\ =—.
е-+0+ \ 3 3/3
Несобственный интеграл может появиться и при интегрирования
по частям.
1
Пример 10. Вычислим ^ arcsinxdx.
о
Решение. Функция arcsinх непрерывно дифференцируема
на отрезке [0, 1—е] для любого е>0, но не является такой ка
отрезке [0, 1]. Поэтому интегрирование по частям допустимо толь¬
ко на отрезках вида [0, 1—е], е>0. Но так как интеграл
J arcsin xdx существует, то
о
1 1—8
J arcsin xdx= lim \ arcsin xdx —
e-*o+ J
о о
1—e
= lim I * arcsin* — \ dx) =
e-0+ \ 0 J V\ — *a I
= lim ((1—e) arcsin (1 —e) + У I — *a|o *) = ——1,
^-►0-f 2
т. e.
1—e
lim С arcsin xdx= lim (^(1—e) — F (0)) = F (1)—F( 0),
J C-+0-+-
где непрерывная функция F (x)=x arcsin x + Vl —*2 — первообраз¬
ная для arcsin x на отрезке [0, 1].
На практике такого рода интегралы можно вычислять без вве¬
дения символа предела, так в нашем случае можно писать
или (поскольку первое слагаемое — непрерывная функция)
1 1
Iarcsin jcdjc = л: arcsin jc I * — Г —т- =
1° J V I-*1
G О
= -—/r^]?|i=J5—l.
2 1° 2
§ 2. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
Пусть XOY — декартова система координат на плоскости.
Стандартной относительно оси ОХ областью D называется множе¬
ство точек М(х, у), для которых а<х<Ь, ух [х)^у^у2(х), где
У\(х) и ij2(х) — непрерывные
функции на [а, Ь]. Геометрически
это означает, что слева и справа
область ограничена отрезками
прямых х = а, х=Ь соответствен¬
но (может быть вырождающими¬
ся в точку); график функции
У—У\(х) является верхней, а гра¬
фик функции у — у2(х) — ниж¬
ней границей области D (см.
рис. 40).
Аналогично стандартная отно¬
сительно оси О У область D есть
множество точек М(х, у), для которых c*cy<d, хх (у) <x^x2(y)t
где Х\(у) и х2(у) — непрерывные функции н?. [с, d]. В этом слу¬
чае область D сверху и снизу ограничена отрезками прямых у = с
и y = d, слева и справа — графиками функций х — хх (у) и х = х2(у)
соответственно.
Рассмотрим частный случай стандартной относительно оси ОХ
области D, когда у\(:с)=0, a y = f(x) — верхняя граница. Такую
область назовем криволинейной трапецией (см. рис. 41, а).
Пусть Т: a = Xo<.X\<x2<L...<.Xi<Xi+\<L...<Xn = b — разбиение
отрезка [а, Ь].
246
а
Рис. 41
Ъ
Обозначим
mi = min / (x), Mt = max f(jc) ,
Л П
sr =£ m, (xt—xt-ti, ST =£ M,
i=l f-1
Тогда sT и ST представляют собой площади фигур, составленных
из прямоугольников, основаниями которых являются отрезки
Xi], а высотами — соответственно наибольшее и наименьшее зна¬
чения функции y = f(x) на этом отрезке. Первая из этих фигур со¬
держит внутри себя рассматриваемую криволинейную трапецию D,
вторая содержится внутри нее (см. рис. 41,6). Естественно требо¬
вать, чтобы площадь SD криволинейной трапеции D удовлетворяла
соотношению sT<5p<:ST при любом разбиении Т. Так как функ¬
ция y = f(x) непрерывна на [а, 6], то
sup sT = inf ST = f f (*) dx.
т т J
Определение. Площадью SD криволинейной трапеции D на¬
зывается величина
Sq =supsj= inf Sj
т т
Из определения следует, что
ъ
Sd = J Уг (*) dx.
a
Площадь SD стандартной относительно оси OX области D:
(D = {(xt у) :a<cx<.b, yx (x) <t/<t/2(^)}) вычисляется по формуле
SD=j‘ kW-^W]dx-
a
Площадь SD стандартной относительно оси OY области D:
(D = {(xt .y) *i(|/)<x<:x2 (*/)}) вычисляется по формуле
d
SD = ^[x2(y) — x1(y)] dy.
С
Если область D можно разбить на конечное число областей
Dlt 1 D = у Df без общих внутренних точек, то SD — пло-
i=i
k
щадь D равна сумме площадей = ^ SD..
247
Пример 1. Найдем площадь области, ограниченной линиями
у=х— 1 и *г = *+ 1.
Решение. Данная область является стандартной как отно¬
сительно оси ОХ, а именно
так и относительно оси ОУ:
£> = {(*, у) :—\<у<2, у2—1 <*<*/ + 1} (см. рис. 42). Площадь
SD данной области можно вычислить одним из двух способов:
Пример 2. Найдем площадь области, ограниченной кривым»
х2-\-2ах—£/2 = 0 и ах—у2 Л- 2а2 = 0, а>0.
Решение. Данная область (см. рис. 43) не является стан¬
дартной относительно оси ОХ. Ее можно разбить на три стандарт¬
ные относительно оси ОХ области:
Dl = {(x, у): —2а^х^. О, — У2аа + ax^Z y^Z У 2аъ + ах),
I>i = {(x, 1/):0<*<а, Ух2 + 2ах<у<У2а2 + ах},
Da = {(*, (/): 0< х ^ а, — 1^2а2 + (/<; —У*2 + 2ах}.
Из симметрии области D относительно оси ОХ видно, что ее пло¬
щадь SD есть удвоенная площадь области, являющейся объедине¬
нием двух стандартных относительно оси ОХ областей
где
з
о
3
+ ^ (Vx+ 1— х + l)dx = -i-(jc+ I)3'212_, +
О
2
-1
D1 = {(xt у): —2a^x^.0t 0^у^У2а2 + ах}
248
Отсюда
о а
S0 = 2 [ J У2a* + axdx + J (У2а* + ах -Ух* + 2алг) dx] =
—2а О
= 2 (ах + 2а*)3/* 11* - (-^ j V^T^x\o +
+ In (х + а + Vx* + 2ax)|“J =2а2 УЗ + а2 In (2 + УЗ).
Рис. 42
Относительно оси ОУ данная область является стандартной:
D = {(*, у): —аУЗ<у<оУЗ, у*~-2°* <.ysg —а 4-У«/* + а»}.
а
Снова, используя симметрию области, получаем
аУг
SD = 2 J ^yy*+~a*-a—-^+2a'jdy =
= 2a* У 3 + (у У у* + a* + a* In | у + У у* + а» | — -)
= 2а21/3+ a2 In (2 + УЗ).
аУ 3
О
(Заметим, что при этом способе решения вычисления проще.)
Перейдем к вычислению площади области, ограниченной кри¬
вой, заданной параметрически.
Пусть область D ограничена непрерывной замкнутой кривой
Г:* = *(0, y=y(t), *е[Гв,7\], х(Т0) =х (7\), 4г(Г0)=г/(7\).
249
Рассмотрим подробно простейший случай: отрезок [Го, Т\] делит¬
ся точкой tee (Го, Т\) так, что на каждом из отрезков [Го, т] и
[т, Г]] функция х строго монотонна и непрерывно дифференцируе¬
ма. Тогда кривая Г состоит из двух ветвей, каждая из которых
есть графпкоднозначной непрерывной функции у=у{(х) н у=уч(х).
Предположим еще, что для любого х выполнено соотношение
Ух (.*) <у2(х), тогда кривая у — уч{х) есть верхняя, а кривая
У = У\(Х) — нижняя граница области D. Если при возрастании t
кривая Г проходится так, что область D остается слева (положи¬
тельное направление обхода), то верхняя граница области D про¬
ходится справа налево (значение х убывает), а нижняя граница
области D проходится слева направо (значение х возрастает),
см. рис. 44. Если SD — площадь области D, то имеем
ъ ъ ь
Sd = { («/а (*) —У1 W) dx = ^yt (х) dx — j ух (х) dx.
а а а
Сделав в первом интеграле замену x = x(t)y /^[Г0, т), а во втором
х = х (/), t & [т, Тг), получаем, что так как у2 (х (/)) =y(t), t g= [Г0, т)
и yl(x(t))=y(t), <€Е [т, 7\), ТО
SD = — J у (t) Xt dt — j у (t) Xtdt = — j У (0 x' (t) dt.
To t T.
Таким же образом получаем, что если отрезок [Г0, Г,] делит¬
ся точкой те (Г0, Ti) так, что на каждом из отрезков [Г0, т] и
[т, Гi] функция у строго монотонна и непрерывно дифференци-
250
г,
руема, то SD=J x(t)y' {t)dt. Объединяя эти две формулы, полу-
т0
чаем следующую формулу:
Тг
So=Y j (* (0 / (0 (0 *' (0) Л-
То
Можно доказать, что все эти три формулы справедливы и в
более общем случае, когда непрерывная замкнутая кривая F:x =
#=1/(0» *^ITo, Fi], проходится при изменении f от Г0 до
Т| таким образом, что ограничиваемая этой кривой область D ос¬
тается слева. Какую из них удобнее применять, зависит от кон¬
кретного вида функций x=x(t) и y = y(t).
Пример 3. Найдем площадь области, ограниченной петлей
кривой
x = a{t2—2t), y = a(t2—\)(t—3), q> 0.
Решение. Петля кривой проходится в положительном на¬
правлении при изменении t от —1 до 3 (см. рис. 45). Для вычис¬
ления площади можно применить любую из jTpex формул, соответ¬
ственно имеем
Тх з
s=-j y{t)x'(t)dt=-Je*«*-l)(<-3) (2t — 2)dt =
To -1
3
= — 2a2^(ti—4t3+2t2 + 4t — 3)dt =
— I
= — 2a* (— <‘+А<з+2^_зЛ P =17 —a2,
I 5 з /l-i 15
Tt 3
5 = 1 x(t)y'(t)dt= 2t)(3P—6i — l)dt =
To -i
= a2 tb —31* + -j-/34- <*']
Tt
S = -L J (x (t) y' (/)-y (t) x' (0) dt =
v.
3
= -i- ^ a2 (f* —4<3 + 7f* —6if + 6) dt =
— 1
=-y <4 + y/3—3/*+6f)
3 = 17 —
-i 15
3 17 1 2
= 17 — a2.
-I 15
251
Пример 4. Найдем площадь области, ограниченной кривой
x = at*!(\ -f/4), y = at3/(\ + /4), а > 0.
Решение. Кривая образует две симметричные петли (см*
рис. 46). Верхняя из них проходится в положительном направле-
г = г (ip)
нии при изменении t от 0 до 4-оо. Найдем площадь области, ек>
ограниченной. В данном случае удобно применить для вычисление
симметричную формулу
7,
S°=~H[x{t)y' {t)~y{ t)x'{t)idt-
T.
Так как y = tx, то ху'—ух' = х(х+ tx')—tx x' = x2t откуда
+®
ь-тУ-
-dt
— аЧ 1+°°
8(1 -М4) |о
Г
J 1 + /'
16 У 2 ’
Следовательно, площадь всей области равна па2!8У2. Отметим, что
рассматриваемая часть кривой есть образ луча />0, поэтому
площадь можно вычислить с помощью несобственного интеграла:
+ OD
J y(t)dt. Об интегралах такого вида см. стр. 246.
о
Рассмотрим на плоскости полярную систему координат. В этом
случае аналогом криволинейной трапеции будет криволинейный
сектор: множество точек
М(г, ф):ф0<ф<ф1, (Ф1— <Р0<2л), 0<Сг<Сл(ф),
где г(<р) — непрерывная функция на [<ро, Ф1] (см. рис. 47).
252
Площадь SD криволинейного сектора Z) = {(r, ф) :<po<<p«ptv
0<г<г(ф)} вычисляется по формуле
<Pi
SD=-^-J г3 (<р) dtf.
Ф*
Пример 5. Найдем площадь области, ограниченной кривой
/■=азтЗф, а>0.
Решение. Кривая образует три симметричные петли, каж¬
дая из которых ограничивает криволинейный сектор (см. рис. 48).
Рассмотрим первый из них:
D1 = {(r, ф) :0^ф^я/3, 0<!r^asin39}.
Площадь его равна 1/3 площади всей области, ограниченной дан¬
ной кривой. Следовательно,
л/ 3
SD=3SDt = j а,$т,3ф^ф= .
о
Пример 6. Найдем площадь области, лежащей внутри петли
кривой x = a(t2—2f), y = a(t2—\)(t—3) и вне кривой r = a{3—
—2собф), а>0 (системы координат совмещены).
Решение. Чтобы выяснить взаимное расположение этих кри¬
вых, сравним их с окружностью
= {(*, у) • *2 + 2о* + у2 —9а2 = 0}.
Для точек первой кривой имеем
х2 -f 2ах 4- у2—9a2=a2t • (t—2) [(fa—21—2)a -f 1] =
= a2x [(**!_2f—2)*+ 1].
253
Следовательно, часть этой кривой, находящаяся слева от оси ОУ
(*<С0), лежит внутри окружности S, а часть кривой, находящаяся
справа от оси OY (*>>0), — вне этой окружности. Для точек вто¬
рой кривой, лежащих слева от оси ОУ, имеем л/2<ф<Зя/2, сле¬
довательно, г7>3а и г2 = 3аг—2агсояф>>9а2—2arcos<p. Переходя к
декартовой системе координат, получим, что для всех точек вто¬
рой кривой, лежащих слева от оси О У, имеем х2-f-у2 + 2ах—9а2>0,
т. е. слева от оси ОУ часть этой кривой лежит вне окружности S.
Если же —л/2<ф<л/2, то г<3а и г2 = 3аг—2arcos(p<9a2—
—2arcos<p, т. е. х2-\- у2 + 2ах—9а2СО, значит, справа от оси ОУ
часть этой кривой лежит внутри окружности. Итак, данная об¬
ласть лежит справа от оси ОУ (см. рис. 49). Так как она симмет¬
рична относительно оои ОХ, то ее площадь SD равна удвоенной
разности площади криволинейной трапеции Di = {(*, у) :0cjc<3a,
ti^y^cy (t(x)), —1</<0} и площади криволинейного сектора
D2 = {(г, ф): 0^ ф^ я/2, 0 ^ г<^а (3—2 cos ф)}.
Следовательно,
о
SD = 2 \ a2(3/4 —12/3 f 1W2 -г 2t)dt —
—1
—1
о
Я'2
0
§ 3. ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Пусть D — криволинейная трапеция:
D = {(x, у) 0<(/<«/(.г), у^С[а,Ь]}\
0 а
Нис. 50
У'0* — тело, полученное вращени¬
ем D вокруг оси ОХ Для раз¬
биения Т: a^x0<x\< '...<xft<xk+l<
<...<xn=b отрезка [a, b] обозна¬
чим через DT фигуру, составлен¬
ную из прямоугольников, основа¬
ниями которых являются отрезки
[Хк, а высотами — наимень¬
шие значения у на [л**, л'л+1]. Фи¬
гура DT содержится в криволи¬
нейной трапецпп D (см.
рис. 50).
254
При вращении. DT вокруг оси ОХ получим тело VT0X, содер¬
жащееся внутри тела Vox. Тело Vtox составлено из прямых кру¬
говых цилиндров, образованных вращением прямоугольников, со¬
ставляющих фигуру DT. Высота каждого такого цилиндра есть
(a**+i—я*), радиус основания — mk= min tj(x)9 поэтому |ктоХ| —
я-i
объем тела VT0X — равен пт2(хь+\—хк). Объемом |У0Х| те-
А«0
ла Vox назовем sup|Vr°*|. Так как \Vt0X\ есть нижняя сумм»
т
Дарбу непрерывной функции пу2(х), то
ъ
| Vox| = sup| = я ^ U) (1)
^ a
Пр*и вращении DT вокруг оси OY каждый из прямоугольников*
составляющих DTy образует цилиндрическое кольцо, высота ко¬
торого есть тку а основанием является кольцо с внешним радиу¬
сом хк+1 и внутренним Хк. Объем такого цилиндрического кольца
равен» лтк(хк+\2—хк2).
Тело VrOYt полученное вращением DT вокруг оси OY, есть
объединение этих цилиндрических колец, поэтому его объем | Vtot I
равен
л-1
£ юп*(*2+,-•*!)•
к-О
Представим разность хц+\2—хк2 в виде
2хЛ(х*+1—хл) + (Xk+i—х*)2.
Тогда
л— I л— I
Е птк (4ц—**) = L 2ят„хк (хк+1—х„) -
Ь-0 *-0
л—I л—1 л—1
+ £ ял* (**+i — **)* = £ гят^д:* ДдгЛ + £ ятк Ьх'к.
0 Д-0 /г-0
Первая сумма есть нижняя сумма Дарбу для непрерывной функ¬
ции 2лху(х).
Если параметр разбиения Т есть Х(Г), то для второй суммы
имеем
/1—1 л— 1
£ птк АхI < X, (Т) £ Jim* Дд:».
*=0 *»0
255
b
Следовательно, при Х(Т)-+ 0 первая сумма стремится к 2л ^ху (jc) dx%
а
а вторая стремится к нулю, так как
л— I Ь
lim £ ятк Ах„ -=\лу (ж) dx.
Mt)-+o ksm0 а
Объемом \V0Y\ тела V0y будем называть sup||. Из предыдущего
т
следует, что
ь
|Vov| =2я ^xy(x)dx.
а
Пусть функция у(х) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Рассмотрим
области
Ав{(*. У)* а<х<Ь<0, 0<*/<:*/(;с)};
Аг = {(х, у): Q<a<x<6, */(*)<*/<0};
/>з = {(jc, у): a<jc<6<0, у(х)<у<0}
и тела У,ох, V2°*. Vzox, Vioy, Vr2oy, V3oy, полученные вращением
областей D,, D2, Z)3 вокруг осей ОХ « ОК соответственно. Повто¬
ряя вышеприведенные рассуждения, получаем, что объемы этих
тел соответственно равны:
ь
|V/«| =п \)yt(x)dx, i = 1, 2, 3;
a
b
I V'f0V | = 2л ^ 1 дсу (дс) | , t = 1, 2, 3.
a
Пусть D — стандартная относительно оси OX область:
° = {(Х>У)* a<x<b, y\(x)<y<y2(x), y\ (x)eC[fl, b),
1/2 (*)€EC[a, 6]}.
Если ось ОХ не пересекает Д то через Vox обозначим тело, об¬
разованное вращением D вокруг оси ОХ; если ось OY не пересе¬
кает Z), то через VOY обозначим тело, образованное вращением D
вокруг оси OY. Объемы этих тел вычисляются как разность или
сумма объемов тел, полученных при вращении соответствующих
областей вида Dь D2 и D3, рассмотренных выше, в зависимости от
знаков чисел a, b и знаков функций у\(х) и у2(х). Например, если
a<ib<c0, уi(jc)<0 1И у2(х)>0 для хe[a, b]t то \ V0Y\ есть сумма
556
объемов |^1ок| и \Vz0Y\ тел VX0Y и Vz0Y, полученных от враще¬
ния областей Z)i={(x, у): a<ix<b, 0<у<у2(х)} и D^{(xy у):
: а<х<Ьу у\(х) <#<0} вокруг оси О У.
Из этих соображений получаем, что
6
\V0X\ =n$|y§(*)-tf(*)|dx, (1)
а
Ъ
W"\ = 2л $|х| («/,(*) — «/, (x))dx.
а
Пусть теперь D — область, ограниченная непрерывной замк¬
нутой кривой
Г :*=*(/), y=y(t), /€=[Го, Г|], *(Г0)=*(Г,), y(TQ)=y(h)t
причем при изменении / от Го до Тх кривая Г проходится так, что
область D остается слева. Так же, как и при вычислении пло¬
щадей, выводится, что если D не пересекается с соответствующей
осью координат и функции х и у непрерывно дифференцируемы
на [Г0, Ti], то
ь р
| Vox| = —я § y%(t) х' (/) dt = 2я J *(0И01/(0<*-
г* т.
т, т,
|V/0v'| = — 2л ^ I jc (01 Л' (') I -ж' СО Л = « ^ x*(t)y' (t)di.
Если кривая Г :x=x(t), y = y(t)y /е[Г0, T\]t не замкнута, но
0(0 >0, *е[Г0, Г,], у(То) =у(Т\) =0,
х{Т0)=Ь> х(Г,) =а, Ь>ау
и область D ограничена кривой Г и отрезком [а, Ь] оси ОХ, то
D можно рассматривать как область, ограниченную непрерывной
замкнутой кривой Г1:x=xi(/), y=y\(t), ^[Г0, Г2], Г2>/1, где
(0 =
Х((), ^То.Тг], (,(0. <е[Тв.Г,].
а + 7г5^-«-7’1),^(Г1,Г«].И yii<)-\0, t<=(TvTt].
Тогда при изменении t от Го до Т\ кривая Г\ проходится так, что
область D остается слева.
Следовательно, объем \V0X\ тела Voxy полученного при вра¬
щении такой области вокруг оси ОХу вычисляется по формуле
257
или по формуле
Тг
|Vox|=2*5|jc(I)!*(OW(OA.
Если область D не пересекается с осью OY, то объем \V0Y\ тела
V0Yf полученного при вращении D вокруг оои ОУ, вычисляется
по формуле
|l/ov| = — 2я $|x,(/)|.yi(0l*'(0A= —2я^ | *(*)«/(01*' (0Л
г, fr.
Точно так же для области D, ограниченной кривой
Г:х = *(0, y = y(t), t<= [Т0, 7\], дс(0>0, *<=[Г0, 7\], л(Г0) =
= jc(T1)=0, y(T0)=ct y(Tl)=d9 d>c, и отрезком [с, d] оси OK,
объемы \V0X\ и |Vov| тел, полученных при вращении D относительно
осей ОХ и 0Y соответственно, вычисляются по формулам
Обращаем внимание, что приведенные формулы справедливы и
для областей, не являющихся стандартными относительно любой
из осей координат.
Если тело образовано вращением области D вокруг оси, не
пересекающей область D и не являющейся одной из осей коор¬
динат, то для вычисления объема полученного тела делают заме¬
ну системы координат так, чтобы в новой системе одна из коор¬
динатных осей совпала с осью вращения.
В частности:
а) если осью вращения является прямая */ = /, не пересекаю¬
щая область
D :{a<.x<b, у, (х) <у<у2(х)),
то объем | К'| тела Vполученного вращением D вокруг этой оси,
вычисляется по формуле
или по формуле
Тг
l^l = X2 (/) у\ (t) dt
b
\V‘\ ^nl\(yt-lf-(yx-lf\dx.
a
258
б) если осью вращения является прямая х=1, не пересекаю¬
щая область
D:{a<x<b, yi(x) <у<у2(х)},
то объем ] Vl\ тела Vполученного вращением D вокруг этой оси,
вычисляется по формуле
ь
\V‘\=2nl(yt-yi)\x-l\dx.
а
Обе эти формулы получаются переносом осей координат так, что¬
бы в первом случае ось / стала новой осью ОХ\, а во втором —
ось I стала новой осью OYх.
Пример 1. Область D расположена в правой полуплоскости
(х>0) и ограничена линиями у=х и у = 2х—л3. Найдем объемы
тел, полученных при вращении области D (см. рис. 51) вокруг:
а) оси ОХ\ б) оси ОУ\ в) горизонтальной касательной к верх¬
ней границе D\ г) прямой у=х.
Решение. Область D является стандартной относительно
оси ОХ:
D = {(x> У).: 0<х<1, х<у<2х—х3},
следовательно,
i 1
а) ((2*-*>)*_*») dc = nj‘ (х*-4х* + Зл:*) dx =
259
1 I
б) | V0Y| = 2 я j* jc (2л —x3—x) dx = 2n§ (x2—x4) dx =
о 0
= 2n(±—Ц=-*Ц
\ 3 5 J 15
в) для функции y = 2x—jc3 горизонтальная касательная к ее
графику проходит через точку (/?• f /т) т е ,этом
случае осью вращения является прямая у = — л/ — Сделаем
3 F 3 '
перенос осей координат, т. е. перейдем к координатам ы, v так,
что и = х, v ---- у тогда ось OU будет осью вращения,
и в новой системе координат область D будет стандартной отно¬
сительно оси OU:
D= |(u, d):0<h< 1, и—i- j/и3—i -|-J.
Следовательно, объем |Vou| искомого тела вычисляется по фор¬
муле
-”i[(“-T |/т)l/T)’]-
о
=:п i (■+4“4-т1/т ы3~3“2+т VT“)du=
о
= „(JL л/^-JL).
\ 3 г 3 35 /’
г) сделаем поворот осей координат на я/4, т. е. перейдем от
переменных ху у к переменным и, v по формулам
и = х cos я/4 + ы sin я/4,
(2)
у = —х sin я/4 + у cos я/4.
Тогда и = -т=- + -77=-. —77=—I—т=-, осью вращения станет
/2 V2 К2 f 2
ось 0£/.
Еще раз обратим внимание, что формула (1) имеет место для
криволинейной трапеции. Поэтому если мы хотим ее использовать,
260
то необходимо показать, что область D и в новой системе коор¬
динат является криволинейной трапецией. Покажем это для на¬
шего случая.
Действительно, отрезок АВ:А=(0, 0), В=( 1, 1) прямой у = х
перешел в отрезок [0, У 2] оси OU.
Покажем теперь, что кривая Г: 0<х<1, у = 2х—х3 является в
новой системе координат графиком некоторой функции v = v(u)
для 0<и<У2, т. е. что каждой точке М0= (а0, 0), 0<Мо<У2, со¬
ответствует единственная точка М(и0, v(u0)) на Г, проекция ко¬
торой на ось OU есть М0. Действительно, в противном случае на
кривой Г нашлась бы по крайней мере одна пара точек
М\(хj, у(х|)), М2(х2, у(х2)) такая, что прямая МХМ2 была бы пер¬
пендикулярна к прямой */==* и, следовательно, выполнялось бы
равенство
JL<A>-*<*»> O^C^l.
Х2 —Xi
Но в силу теоремы Лагранжа имеем у — у'(с), где
*а — *1
X]Cc<Zx2y и так как у'(х)=2—Зх2>— 1 для 0<х<1, то такое
равенство невозможно.
Поскольку
D = {(w, у) :0<и<У2, 0<а<1>(м)},
то объем | Vov\ тела, полученного при вращении области D отно¬
сительно оси OU, равен
VI
\V0U\ = л J ^(м) du.
В данном примере для аналитического выражения функции v от
и необходимо из соотношения (2) найти x(ut и), у(и> v), подста¬
вить их в соотношение у = 2х—хг и из полученного соотношения
между и и v найти v(u). Все это приводит к громоздким выклад-
ь
кам, поэтому преобразуем этот интеграл к виду J q>(x)dx.
а
Величина и (и) есть расстояние точки М{х, у) на кривой
Г : {(х, у), 0«х< 1, у=2х—х3}
от прямой у = х, таким образом,
И«)| =
“4-+-
/2 /2 |
Далее, на оси OUy т. е. на прямой у = х, имеем dy = dx, поэтому
du = (dx 4- dy) = у 2 dx.
261
Итак,
| Vой | = я ^ и* (a) du = я ^ У2 dx =
о о
-^^+**-*(т-т+т)-т£
о
Пример 2. Найдем объем тела, полученного при вращении
области Z), ограниченной петлей кривой
Г:* = /2_2/, «/= (t2—1) (t—3),
а) вокруг оси ОХ\ б) вокруг вертикальной касательной к Г.
Решение. Петля кривой Г проходится при изменении t от
Tq — — 1 до Г|=3 так, что область D остается слева и состоит из
двух частей, симметричных относительно оси ОХ, соответствую¬
щих изменению t от Т0 до 7*2=1 и от Г2 до (см. рис. 52).
Ранее специально оговаривалось, что ось вращения не пере¬
секает область D, иначе не ясно, какое тело вращения рассматри¬
вается. Единственным исключением является тот случай, когда
ось вращения есть ось симметрии областа D. Тогда геометриче¬
ски наглядно, что речь идет о теле, полученном при вращении
вокруг оси симметрии области D одной из тех частей, на которые
эта ось делит D.
а. Итак, надо вычислить объем \V0X\ тела Voxy полученного
при вращении вокруг оси ОХ области D, ограниченной кривой
Ti .x = t2—2t,y=(t2—1)(/—3), —1, 1], и отрезком [—1, 3] оси
ОХ. Имеем
1
|К0Х|=—я J (/*—1)а (<— 3)»(2/— 2) d/ =
-1
1
= —2я j (С— 7/*+ 13/‘ + 5^—29<»+ Ш»+15/— 9)dt = ^j-.
-1
б. Так как на кривой Г имеем = ————, то х/ = 0 при
у у 3/а — 6/ — Г * v
/=1. Следовательно, вертикальной .касательной к Г является пря¬
мая х=х(1), т. е. х= — 1. Поэтому
з
|К|=-2я j v(0(x(0+l)** (0Л =
-1
= — 2я j (t — \у(Р — l)(f—3)2(< — l)d/ =
262
О J
= —4я J 3)Л = —4я J 4(< —l)*]d/=
-1 -1
Пример 3. Эллипс — + — = 1 делится прямой Ах—By
а2 Ь2
{АВФ0) на две симметричные части. Найдем объем тела, полу¬
ченного при вращении одной из этих частей вокруг прямой Ах=Ву
(см. рис. 53).
Рис. 63
Решение. Сделаем поворот осей координат, т. е. перейдем к
координатам м, v так, чтобы ось OU стала осью вращения. Угол
поворота равен <р = arctg —, следовательно,
в
м Вх ^ Ау
и ~~ Va* + b* V А* + В**
и = . ~Ах ‘ ^
/Л« + В* V А2 + В»*
Рассматриваемая область D не является стандартной относитель¬
но оси OU, поэтому удобно рассматривать эллипс в параметри¬
ческом задании, поскольку тогда формула вычисления объема
тела вращения не зависит от того, стандартна или нет область D
относительно оси вращения.
Положим x = acos t, y=b sin t. Тогда область D ограничена
кривой Г:
__ аВ cos t -f ЬА sin t
~ Va* + в»
.. _ — a A cos t -f bB sin / ^ ^ 4 ^ *r
V ... 1 A Г ^ I 1 .
^ i’
263
и отрезком оси OU. Значения Г0 и Т\ находятся из условия v(T0) =
= v(T\) = 0, откуда Т0— arctgГ, = Го 4 я. Следовательно,
ьв
Гг Г,
| Vой I = - я j О* (/) и' (0 dt = - (Л;-^№)з>г j (<А4* cos8 * +
г» 7,
+ ЬРВ* sin3/—2а6 cos/sin/) (ЬА cost—аВ sin t) dt =
7“,
= —_^Л^^з/2 J [aaM3cos/—a62£3sin / 4 sin2/cos/х
г.
x (6МДа — а*ЬА* 4- 2а26 АВ2) —cos2 f sin / • (аМ2£ — ab2B3 4
+ 2абМ’В)] dt = - ?* [a’M»sin Г0 + а&’В3 cosГ0 +
+ Sm"Г< (6МВ»—аЧА3 + 2a2bAB*) +
и
+ —8*г<> (аМ*В—а6»В3 + 2aftM*fl) J =
= (ЛГГ^.з?л» + «.)»/» К3*»* + 4- /W) +
+ аМ» (6МВ*—а*М*+2а*МВ«)+6*В3 (аМаВ-а62В3 + 2а&М*В)] =
= ■ -.-А - ^. М*а* + BW [Лг + ВЦ =
3 (Л* 4 аа)3/2 (i4*a® 4 В*^) J
4яа6 КД*аа 4 W
” З/Ж+В5
Пример 4. Найдем объем тела, полученного при вращении
области D, ограниченной кривой Г :r = a sin Зф, а>0, 0<<р<л/3 во¬
круг:
а) полярной оси; 6) оси <р = я/2 (см. рис. 54).
Решение. Перейдем к декартовой системе координат, совме¬
щенной с полярной. Кривая Г в этой системе записывается в па¬
раметрическом виде: jc = a sin 3<р cos<p, y=*a sin 3<psin<j>, и при изме¬
нении ф от 0 до я/3 проходится так, что область D остается слева.
Осями вращения являются соответственно оси ОХ и О У. Следова¬
тельно,
л
3
а) |У°Х| = — я £ j/*(<P)-*'(<P)d4> =
о
264
(cos 2ф —cos 4ф)а (2 cos 4ф + cos 2ф) dy —
о
о
3 3 3
— cos 2ф—3cos 4фН соэбф Н cos 10ф—
2 2 2
—cos 12ф)Жр = -^[ — Б1п2ф—— 8т4ф + -^-зт 10ф1|я/3 =
Замечание. Есть формула, выражающая объем тела, полу¬
ченного вращением криволинейного сектора D :{(r, ф), 0<фо«р<
<ф1<я, 0<г<г(ф)} относительно полярной оси без перехода к де¬
картовой системе координат. Эту формулу предлагаем вывести са¬
мостоятельно (задача № 90 этой главы).
§ 4. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
Определение. Дугой кривой Г назовем образ отрезка
[Г0, Т\] при непрерывном биективном отображении x — x(t)f
y=y(t), z = z(0, *€Е[Го, 74 и обозначим Г :{*(Q, y(/)v г(*),
/6= [Го. Т\].
Пусть т \ To = U<t\<t2<...<tn = T\ — разбиение отрезка [Т0г
Тх]. Каждой точке разбиения т соответствует точка
y(tk), z(tk))> 0<k<nt на кривой Г. Через Гт обозначим ломаную
с вершинами Мо, Ми ..., Мп> а ее длину обозначим через |Г,|.
Определение. Длиной дуги Г называется число
Заметим, что одна и та же линия может быть образом разных
отрезков при разных биективных отображениях, т. е. может быть
разными способами параметризована. Так, например, возьмем на
8 L 4 4 20 J |о
27яо»/3 .
320
о о
о
го3 г 3 о 3 4,3 «л 1 Iя/3
= cos 2ф cos 4фН coslOp
8 L 4 4 20 ^Jo
яд8 81
40
1Г | = sup | Гх|.
т
265
декартовой плоскости XOY полуокружность с центром в начале
координат радиусом 1, лежащую в верхней полуплоскости. Эту
линию можно представить как отображение у = 1/1—**.
— 1 ^ ^ 1, или как отображение x = cost, I/ = sin 0
или как отображение х=\—t, y = y2t — t2, 0</<2, и т. д. Вопрос
о том, когда разные параметрические задания кривой определяют
одну и ту же линию, здесь не рассматривается. Ограничиваясь
наглядными соображениями, отметим только, что длина дуги кри¬
вой есть ее внутренняя геометрическая характеристика, не зави¬
сящая от способа ее параметризации.
Пусть задана дуга кривой Г:{х(*), у(О» z(0. t^[To> Т\]} и
функции *(/), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на [Го, Т\],
тогда длина Г вычисляется по формуле
т1
|Г|={К(^* + (^« + (2;)*л. (3)
Г.
Если хотя бы одна из функций x(t), y(t), z(t) не является
непрерывно дифференцируемой на отрезке [Го, Гj], но все функ¬
ции x(t), £/(/), z(t) н-епрерывно дифференцируемы на отрезке
[Г0, Г,—е] при любом е, 0<е<Г1—Го, функция (x't)2 -f (£/')* -f (z|)a
имеет непрерывную первообразную на отрезке [Го, T\]t тогда как
и при рассмотрении определенного интеграла можно воспользо¬
ваться формулой (3) для вычисления длины дуги кривой Г, по¬
нимая интеграл в этой формуле как
Л-е
lim \ Y(К)1 + (у,)2 + (гУ dt-
e-Of j-J
Пример 1. Рассмотрим полуокружность Г:х2 + у2= 1, у>0.
Введем ее параметризацию следующим образом: х = х, у —VI—х2.
Тогда Г есть биективный образ отрезка [—1, 1]. Функция
у = У 1—х2 не является дифференцируемой в точках х=1 и
х = — 1, но на отрезке [— 1 + е, 1—е] эта функция непрерывно
дифференцируема для любого е, 0<е<1. Так как у'х=—-у-*-
ла [—i-fe, 1—е],
+ад»=1+ю2. vr+iy?=у=
и первообразная функции — функция arcsin х — непрерыв-
на на [—1, 1], то длина данной кривой Г вычисляется следующим
образом:
1
|Г| = J 7i=ii'=arcsin*l-i=n-
266
Заметим, что можно рассмотреть такую параметризацию этой по¬
луокружности T:x(t), y(t)t z(t), /1], что функции x(t) и
У(О будут непрерывно дифференцируемы на [fo, *i], например
x = cost, y = s\nt, /е[0, я].
Приведем некоторые частные случаи формулы (3).
1. Если кривая Г лежит в плоскости XOY, т. е. г(/)эО, то
2. Если кривая Г лежит в плоскости XOY и является графи¬
ком непрерывно дифференцируемой функции у = у(х), хе[а, 6], то
3. Если плоская кривая Г задана в полярной системе коорди¬
нат как график непрерывно дифференцируемой- функции
Гели кривая Г замкнута, т. е. х(Т0) =л:(7^!), у(Т0)=у(Т\), z(T0) =
-2(7,), то Г есть биективный образ не отрезка [Г0, Тi], а про¬
межутка [Т0. 7\). Все рассуждения и формулы для вычисления
длины данной этой замкнутой кривой остаются без изменения.
Пусть задана дуга кривой Г:х(0, y(t), z(0> t^[T0, 7j], и
функции *(/), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на [Го, Г,].
Рассмотрим функцию
длину части кривой Г от начальной точки М0= (х(Г0), «/(Г0), z(T0))
до точки АТ = (x{t)t y(t)t z(t)). Дифференциал функции s(t) назы¬
вается дифференциалом дуги кривой Г и обозначается ds.
Если задана дуга кривой
Г :*(/), 1/(0, 2.(0, *е[Г0, Тх]9
где функции x(t), y(t) и z(t) непрерывно дифференцируемы на
[Г0, Г,], то
ds = V(xty + («/;)» + (г))» dt, t е [Г„ TJ.
Если кривая Г лежит в плоскости XOY, т. е, z(0==0, то
ds=Y (x'^ + iy'ydt.
b
iri={yi + Q/;)ad.v.
a
267
Если кривая Г лежит в плоскости XOY и является графиком не¬
прерывно дифференцируемой функции у=у(х), хе[а, b]t то
ds = \/r 1 + (у'х)2 dx, х е [а, Ь).
Если плоская кривая Г задана в полярной системе координат как
график непрерывно дифференцируемой функции /' = /'(<р)| <ре[фо,
<Pi], то
ds = J\r^Mr\f]d<p.
Пример 2. Найдем длину дупи кривой Г : г/ = chx от точки
Л (0, 1) до точки B(b, ch b).
Решение. Так как *// = shx, 1 + (l//)2 = 1 + sh2jc и дуга Г
является биективным отображением отрезка [а, Ь], то
ь ь
| Г| = ^ (I +sh2 x)l/2 dx = Jch;tdx = shx|* = sh6.
Пример 3. Найдем длину дуги кривой
Г : х =— у2 -Inу, 1 ^у^е.
4 а 2
Решение. Возьмем в качестве параметра переменную у.
Тогда
Так как для у> 1 имеем xv'>0, то отображение «/=1/, х = х(у)9
1 <у<е, биективно, поэтому
|Г|“тК" + 7Ь“т(т4-'л‘')[-
1
Пример 4. Найдем длину дуги кривой r:x = acos4/, (/ =
=asin4/, a>0.
Решение. Дуга Г является биективным отображением отрез¬
ка [0, я/2]. Так как
х* = —4a cos3 /sin/, t/' = 4a sin3 / cos/,
(x')2-f (t/')2 = 16a2 cos6 / sin2 /+ 16a2 sin6 / cos2 / =
= 2 a2 sin2 2/ (1 -f cos2 2/),
268
Л/2 I
|Г| =ау2 j У1 + cos22/sin2tdt = J У1 + zldz=»
0 —1
= у=-(гУГТР) + 1п (г + УГТР)|o—Д ~f а1"ft
Пример 5. Найдем длину дуги кривой
т . i 2/-/21?
Г :x=/sin/, y = tcost, z = -
3
от точки Л (0, 0, 0) до точки В (0, 2я, 8л)^я/3).
Решение. Так как
х' = sin / +1 cos ty у' = cos /—t sin tf z' = У 21,
(*')2+(</')’+(zT^+O2
и дуга Г является биективным образом отрезка [0, 2л], то
2л
|Г| =| (t+ 1)Л = 2яа + 2я.
о
Пример 6. Найдем длину дуги кривой Г: r=a (I-г-cos ф),
а>0.
Решение. Поскольку Г — замкнутая кривая, она является
биективным образом полуинтервала [0, 2л). Так как
= —a sin ф, г2 + (г')* = а* (2 + 2 cos ф) = 4a2 cos* -у в
2л л
| Г | = ^ 2a|cos-^-|^ = 4a ^ cos-у dq) = 8а sin-у Iя = 8а.
о о
Пример 7. Найдем длину дуги кривой
r:„=-L(,f-L). к,<1.
Решение. Здесь можно явно выразить зависимость г = г(ф),
однако в этом примере это приводит к громоздким вычислениям.
Проще (в некоторых случаях единственно возможно) преобразо¬
вать подынтегральное выражение для вычисления |Г| так, чтобы
269
оно непосредственно выражалось через функцию ф(г), т. е. сде¬
лать замену ф = ф(г). Тогда
Vг2 (Ф) -г dif = \/ г2 + -4- <Ргdr = 1/г*-(ф'), + 1 (sign Ф') dr.
v Г (ФЛ)2
Для данной дуги кривой имеем
ф;=-^- (1 - -L) > о, г» (<л2 +1 =-L (г -к
Следовательно,
Пример 8. Найдем длину дуги кривой
Г : г = ис2и, ф = и24-2и, О^и^.2.
Решение. В этом примере связь между полярными коорди¬
натами г и ф точки М кривой Г задана посредством параметра и.
Преобразуем выражение “1/га + (О2<*Ф так, чтобы оно непосредст¬
венно выражалось через функции г(и) и ср(и), т. е. делаем замегу
Ф = Ф(и). Тогда
У г2 + (г')2 dif = фи du =
= Yг2 ■ (<рц)а + (г')2 (sign фц) du.
Для данной кривой имеем
г'и = *и(\ + 2и), Фц = 2м-h2,
Г2 . (ф')2 (г')2 _ e4u. [4U2 (u2 _|_ 2W _1_ 1) + (1 4W .{_ 4ua) J =■
= е*“ (2w2 + 2u + l)2.
Следовательно,
9
| Г | = J (2и» + 2u + 1) du = -i- [e»“(2ua + 1)] 120 =
0
§ S. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Поверхности вращения составляют один из простейших клас¬
сов поверхностей. Для таких поверхностей общее, весьма сложное,
определение площади поверхности можно заменить более прос¬
тым.
270
Пусть даны кривая Y:x=x(t)y y=y(t), z=z(t); Т0^.^ТХ,
x^C'[TQy 7i], y^C'[T0, Ti], геСЧГо, Tx]t и прямая /, являю¬
щаяся осью вращения, причем Г лежит в плоскости, проходящей
через /. Обозначим через S поверхность, полученную вращением
Г вокруг оси /. Пусть T:T0=t0<tl<t2<. '<tk<tk+\ < — < — <** =
= 7\ — разбиение отрезка [Т0, 7\]; Гт — ломаная, вписанная в Г,
соответствующая разбиению т, Sx — поверхность, полученная вра¬
щением Г вокруг /. Обозначим через р = р(М) расстояние от точки
М до оси /. Отрезок у*=[Л/*_ь MJ ломаной Г, при вращении вокруг
оси / образует поверхность Sk. В зависимости от угла, образованно¬
го отрезком ук с осью /, Sk является либо частью конической по¬
верхности, либо частью цилиндрической поверхности, либо кольцом.
Если |у* I — длина ук, а |о*| — площадь Sk, то
\Sk\ =2я| Y*|p(Mk) =
= 2я У\хк (0 (0)а + (Ук (о -г/*-! (0)а + (г* (0 -г*_, (0)а X
хрЩ,),
где Мк — некоторая точка, лежащая на -у*. Можно показать, что
15*1 =2я VК М* + W, Ш + К (W1*•р М) • (tk-tk-i) +
+ О (**—?*_,).
Тогда для площади поверхности 5, имеем
п п
|ST| = Z\s„\ =2я £ vtTW+TTW+FWx
A-1 Ас=1 '
хр(Мк)(<*—+о(1).
Определение. Площадью поверхности S называется число
\S\ =sup|St|.
X
В наших предположениях о гладкости функций x(t), y(t)t z(t)
имеем формулу
Г.
\S\ = 2я| p(t)ds,
где р(/) есть расстояние от точки М(*(/), t/(0, z(0). лежащей
на Г, до оси вращения /, a ds — дифференциал дуги Г.
Пример 1. Найдем площадь поверхности, полученной враще¬
нием кривой Г : i/=sinx, О^х^я, вокруг оси ОХ.
271
Решение. Введем в качестве параметра переменную х. Тог¬
да для точек кривой Г получаем
p(0=p(*) = y(*)=sinjc.
ds = \/r\ + [yW* dx — У1 f cos2 x dx.
Следовательно,
Пример 2. Найдем площадь поверхности, полученной враще¬
нием ломаной ABC, где Л = (1; 5), В= (1; 2), С= (6; 2) вокруг
оси ОХ.
Решение. Запишем отрезки АВ и ВС в параметрическом
виде:
АВ:х= 1, y = t, 2</<5,
ВС : x = t, у — 2, 1^/^6.
Для отрезка АВ имеем p(t) =y(t) = t,
ds = y<T+T'dt=dt.
Для отрезка ВС имеем р(/) =(/(/) =2,
ds = y\2 + 0dt = dt.
Пример 3. Хорда АВ окружности Г радиусом а находится
на расстоянии Ь (Ь<а) от центра окружности. Найдем площадь
поверхности, полученной вращением вокруг этой хорды каждой
из частей Г] и Г2, на которые хорда делит окружность.
Решение. Введем декартову систему координат так, что ее
начало совпадает с центром окружности, ось ОХ параллельна
хорде АВ (см. рис. 55) и пусть хорда лежит в верхней полуплос¬
кости. Запишем уравнение окружности в параметрическом виде:
я
| S| = 2лГ sin х \/ 1 -ь cos2 xdx -
-Ь соs2 xdx — 2л
COS X г,—; 5—
—-— V 1 + COS2 X —
О
Поэтому
5
6
|5| = |SJ 4- |S2\ - 2л \ tdt + 2л \ 2dt =
2 1
272
x = acost, y = as\nt, 0^/<2я. Тогда точка В соответствует зна¬
чению 70 = arcsin—, точка А — значению Т0. Имеем
а
ri:jc = acosf, f/ = a sin /, /е [Г0, 7 |],
Г2: x = acos ty i/ = asin/, /е [Ti\ 2л + TQ].
Для Ti имеем
p(0 =y—b = a sin f—b,
ds = У a2 sin2 / f a* cos2 f dt = adt.
Следовательно,
П-Т.
\S\ = 2n (asint—b)adt = —2juj2cos/|^ t* — 2abn(n—2T0) =
— 4a2я 1 —j —2а£л2 + 4nab arcsin — =
= 4ал У a2 —b2 — 2abn2 + 4nab arcsin —.
a
Для Г2 имеем p(/)=b—y\ ds = adt. Следовательно,
2n + T.
\S\ = 2л V (6— asint) adt =2лаЬ(л + 2Г0')-f 2а*дcos/1=
n-r.
= 2л2а& + 4ла^arcsin |-4лаУа2—.
а
Пример 4. Найдем площадь поверхности, полученной вра¬
щением кривой Г : г==а( 1+cos ф), а>0, относительно левой вер¬
тикальной касательной к этой кривой.
273
Решение. В декартовой системе координат, совмещенной
с полярной, х и у запишутся как функции параметра <р:
х = г (ф) cos ф, у — г (ф) sin ф,
т. е.
х (ф) =а (1 -f cos ф) соБф, у (ф) =а (1 4- созф) sin ф, 0 ^ ф ^ 2я.
Для дифференциала дуги Г имеем выражение
ds= 1^г2(ф) 4- [гф (ф)]2 ^ф = аУ(1 4 соэф)2-h sin2 ф ^ф--=
= 2a cos — d<p.
2 I
Левая вертикальная касательная к кривой Г проходит через точку
М(х(ф0), г/(ф0)), где х(фо) — наименьшее из значений х(ф*)
таких, что хФ/(ф1г)=0. Производная х/ равна а(—этф—
—2з1пфС08ф), следовательно, лф' обращается в нуль в точках
п 2я 4п п
<Pi = 0, Фг = —. = Чч . Ф6 = 2л.
Наименьшее значение ,х(фл) принимает при к —2 и k-4. Итак,
левая вертикальная касательная имеет уравнение jc = — (см.
4
рис. 56). Расстояние р(ф) от точки х = х(ф), у = у(ф) до оси вра¬
щения ^прямой х= равно л*(ф)4--~. Следовательно,
2л
| S | = 2 л j* ^ а (1 4 cos ф) cos ф 4 j 2a | cos ~ | =
о
— 4ла2 Г (— cos — 4- — cos — cos ) ^ф
J \ 2 2 2 2 2 2 )
о
= 4ла2 (5sin — -i- sin—— 4 — sin \ |л = _®i. Ла2.
\ 2 2 5 2 До 5
Пример 5. Пусть Г — часть кривой у — Зх—х\ лежащая
в правой полуплоскости (х^О) выше прямой у = х. Найдем пло¬
щадь поверхности, полученной вращением Г вокруг прямой у=~-х.
Решение. Из условия задачи следует, что
Г : у — Зх—х3, \!2.
Тогда
Следовательно,
YT
|S|=nl/2 J Vl -1-9(1—xa)“ (2—jc») дг^дг =
0
= j Vl + 9(1—0 dt = (~yi +9<a +
— 1
*VT
4—In 13/ +Vl+9<a|)ll,= e (2VlO+ln(3+VlO)).
6 6
Пример 6. Область, ограни¬
ченная частью спирали г=е*, ^
л/Гхф<7я/6, и прямой, проходя- г"е
щей через концевые точки спира¬
ли, вращается вокруг этой пря¬
мой. Найти объем и площадь по-
иорхностп полученного тела (см.
рис. 57).
Решение. Выберем декарто¬
ву систему координат так, чтобы
начало координат совпало с по¬
люсом, положительная полуось Рис. 57
ОХ с лучом ф=^я/6. Тогда
X ~ Г (ф COS (ф —Я/6) ^^f-л/б cos
у — г [ф sin (у — я/б) = sin ^ф ~j.
Найдем ds по формуле
ds= г2 (ф) (гф)2 dy = ev-y2 dy.
Гак как осью вращения является ось ОХ, то
Р (ф) = IУ (Ф) I = е'р_л/6 sin (q>—^,
следовательно,
7л/6 Я
|S| — 2п ^ 1/2 е2ф4*л/6 sin ^ф—j ^ф = 2яl/2~^gw+я/в sintdt =
Объем тела вычисляется по формуле
7Л/6
|У°*|=_л ^ //*(<p)jcvd«p =
Я/б
7 Л/6 Я
= —л j £2<5p-n/3sina —jpje 6 ^cos ^ф—=
я/6
я я
= л ^e3/(sin3f—sina/cosO^ — л^e3t ^~s*n *—^"cos* —
о о
/ 9
\ / TsirW
J dt = I ле3t
-sin3f 4- —cos 3t
4 4
9313
— sin t ——cost ——cos t——sin /
4 4 4
+
+ ne3i
3 3 3 3
— — sin 3/ + — cos 3/ f — cos 31 4 — sin 3/
4 4 4 4
18
■)
= „(_L(e3n+J) 1_(еЭЛ+1)^
ЗАДАЧИ
Вычислить:
2я
1
О
8/3
3
1. ^ sinх xdx.
xdx
3)* /89 — 60x4- 10**
*• s-
-2/3
5/2
* \
dx
(4+х*)1
dx
л/4
Г
—л/3
2
Я/2
8ж+15) Кб* — ж» — 5
sin8x
cos6 X
dx.
dx
Г* cos*x
J sin* x
dx.
Я/6
2я
7' I х(УТа + Ухг + а*)
sin4 x.cos4 x
—2a
л/2
■ S
-я/2
2 я
b
sin10x 4- 6cos10 x
-dx.
t. f ——.
J 2 —sinx
0
2л
p dx
J 44- COS* X
dx
sin* x 4- cos* x
12.
j
x* 4~ 1
*4-1
dx.
276
Д ft
13. ^ *arctga*d*. 14. ^cosa(ln*)d*.
о о
i i
15. ^ arcsin2 xdx. 16. Jcos* In (* + l/l 4 *a) dx.
—i —i
10 2
17 r —i£L£— dx l8 P —4=L- dx.
J l+x2 J Г \+x*
0.1 1/2
Найти площадь области, ограниченной кривыми, заданными в
прямоугольных координатах *:
19. y=x2e~xt у = 0, х = 2.
20. у=а sin*, у = a cos*.
21. у = х In2*, у = х In*.
22. у — cos *, у = а tg*, * = 0.
23. у = хА—4*3-|-4*2, у = cos я*—1.
24. i/ = ———, = arctg 1—1.
* аа f я I а I
25. */* = jt3—*\
26. х3 = х*—у2.
27. а2у€*=х*(а2—*2).
28. </=*, £/ = —*, —^a-f-2*a —1.
29. *3 = (*—|/)а*а, «/ = 0.
30. *a + 4f/2=8aa, лга—Зг/а = аа (*>а).
31. £/э — «/ = *, у= —(1 4-*)\ У = 0.
32. у*—у = х, у=— (4+*)а, «/-0, «/ = — 1.
33. * = cos nyt 4у2 = 3 (* 4- 3).
34. Найти площадь каждой из частей, на которые парабола
i/2 = a(a — *) разбивает круг *2+у2 = а2.
35. Найти площадь области, заключенной между параболой
у — х2 — 2*4-3, касательной к ней в точке М(2, 3), и осью OY.
Найти площадь области, ограниченной кривой, заданной пара-
метрически **.
36. *=3fa, y=3t — t\
37. *=J-(б-о, y = -!L(6-t).
38. * = acosf, y = 6sinf (эллипс).
39. x = acos3t, y = asin3t (астроида).
• Замечание. Всюду в этом разделе значения буквенных параметров счи¬
таются положительными.
** Замечание. Если y = tx, то yt'x—x/y = x2(t).
277
40. x = asin/, y = as\x\2t ) , „
l (кривые Лиссажу).
41. x = acos3/, у— a sin/ J
via ^ * V”t~ *
42. дс — , y -=-
(1+Г2)2 (1+^)2
л* j o sin21
43. x = a cos /, и = .
2 -f- sin t
Привести уравнение к параметрическому виду и найти пло¬
щадь области, ограниченной петлей кривой:
44. х3 4 у3 = аху. 45. (х 4 у)3 --- аху.
46. х4 — аху2 t ау3. 47. хь 4 уъ -- ах2у2.
Найти площадь области, ограниченной кривыми, заданными в
полярных координатах:
48. r~acos5q). 49. r-asin49. 50. г *= а (1 — sin ф)*
51. г = а tg ф, ф —л/4. 52. г ~ а (2 — cos ф). 53. г2 -• a2 cos 4ф.
54. г -- 2ф, (0<<р<2л), 55. г° . 56. г(1 г sinl2q>)a.
COS ф
ф ~ 0.
57. Найти площадь области, ограниченной кривой r-^flVcos2ф
и находящейся внутри круга г = а/|/2.
58. Найти площадь области, ограниченной кривой г = а( 14
-I cos(p) и лежащей вне кривой г = За cos ф.
59. Найти сумму площадей областей, ограниченных кривой г =
и= cos Ъу и лежащих вне круга г=а/2.
Перейти к полярным координатам и найти площадь области,
ограниченной кривой:
60. хА 4 */4 ~ а2ху. 61. х2 4 у2 -- 2ал, х2 у2 = 2ау>
М (а/2, aj2)^Sf
62. х4-г у4—а2хг. 63. х2-\-у2 — а2, х2 f г/2 = 2ayt
М (0,3a/2)<=S.
64. (л:2 \- у2)3 — ах*у. 65. (х2 -1- */2)3 ~а2х2у2.
66. (х6 + ув) -:а2 (х4 + */4). 67. Xе 4 у* =а2х*.
68. Найти площадь области, являющейся пересечением обла¬
стей, ограниченных кривыми (х2 + у2)2 = а2 (х2— у2) и
(х2+у2)2 = 2а2ху.
69. Найти площадь области, лежащей между кривыми
(х2+у2)2 = а2(х2 — у2) и (х2 + у2)2 = 4а2(х2 — у2).
70. Найти площадь области, расположенной в первом квадран-
те, ограниченной кривой г2 == — sin 2ф и лежащей вне кривой
х44yA = x2-i-y2 (полярная и декартова системы совмещены).
278
71. Найти ллощадь области, лежащей между кривыми
х4 + уА = а2(х2 + у2) и x2/3+t/2/3 = a2/3.
Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограни¬
ченной линиями:
72. у = cos jc, у = 2cosjc, х=±л/2
и) вокруг оси ОХ, 6) вокруг оси OY.
73. у=сх—\, у=2, х=0.
л) вокруг оси OY; б) вокруг прямой у —2.
74 y=Z ' 1 1 г ' {/ = 0- А = ±1
1 -f X2
и) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси симметрии; в) относительно пря¬
мой у= 1.
75. г/ = sin х, х = 0, х = п, у = 0
и) вокруг прямой у = — 1; б) вокруг прямой у— 1; в) вокруг пря¬
мой х——1.
76. Найти объем тела, полученного при вращении круга ра¬
диусом а относительно прямой, лежащей в плоскости круга и от¬
стоящей от его центра на расстоянии b (Ь>а).
77. Дан круг радиусом а и прямая, лежащая в плоскости кру¬
га на расстоянии b от центра (0<Ь<а). Найти объем тела, полу¬
ченного при вращении вокруг этой прямой каждой из частей кру¬
га, на которые его делит данная лрямая.
78. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, огра¬
ниченной линиями уъ — у = х, х = 0 а) (вокруг оси ОХ; б) вокруг
оси OY.
79. Найти объем тела, полученного при вращении параболиче¬
ского сектора с основанием 2а и высотой Н а) вокруг основания;
б) вокруг оси симметрии; в) вокруг касательной, проведенной че¬
рез рершину сектора.
80. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры,
ограниченной линиями у—х(3 — л:), у = х: а) вокруг оси иХ\
б) вокруг оси OY; в) вокруг прямой у = х.
81. Найти объем тела, полученного при вращении части эллип¬
са — + — = 1, лежащего между прямыми y = h и у = —h (0<
а2 Ь2
<h<b) вокруг вертикальной оси симметрии.
82. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры,
ограниченной линиями х*=у2, х = 0, у = —1/27, у — 8 вокруг оси OY.
83. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры, яв¬
ляющейся общей частью кругов х2+у2=2ах и х2+у2 = 2ау:
а) вокруг оси ОХ, б) вокруг прямой у = х.
Найти;объем тела, образованного при вращении области огра¬
ниченной линиями:
84. jt = acos3/, i/ = a sin31
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг прямой х = а.
85. х = a sin /, у = а sin 2t
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY; в) вокруг прямой х = а;
г) вокруг прямой у = а.
279
86. jc = a(*+sin f), I/ = a (1 — cosf), 0<*<2я, y=0
а) вокруг оси OX\ б) вокруг оси симметрии; в) вокруг прямой,
У —2а.
87. Найти объем тела, полученного при вращении области,
ограниченной кривой
jc = 2а sin 2/, t/=2acosf
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси ОУ.
88. Найти объем тела, полученного при вращении области,
ограниченной петлей кривой
x=acos2f, y = acos3t
а) вокруг прямой х=а; б) вокруг оси ОХ;
в) вокруг прямой х =—а.
89. Найти объем тела, полученного при вращении области,
ограниченной кривой г=а( 1 + cosф) вокруг левой вертикальной
касательной к этой кривой.
90. Доказать, что объем тела, образованного вращением во¬
круг полярной оси области О^а^ф^р^я, О^гсг(ф) (ф и г —
полярные координаты), равен
2 Р
V = — я J г3 (ф) sin ф diр.
Найти объем тела, образованного вращением области, ограни¬
ченной кривой, заданной в полярных координатах:
91. г—а( 1-мтаф) вокруг полярной оси.
92. г=асо5аф вокруг полярной оси.
93. г =а \ sin 2ф| вокруг полярной оси.
94. r = ae2(f)t О^ф^я, ф=0, ф = я вокруг полярной оси.
Найти длины дуг следующих кривых:
95. у — 1пх, 3/4^1х^12/5.
96. у = 1—In cos х, 0^х^я/3.
97. г/ = In(1 — х2), 0<х<1/2.
98. i/=arccose~*, 0<х^1.
99. у= Vl—x2-farcsinx, 0^ х^ 7/9.
100. у = V1 —ха-f arccosх, 0^х^8/9.
101. у = Ух—ха -b -1- arcsin (2х — 1).
а
104. х = — ч
3 ‘
—Уау от точки А (0, 0) до точки Б(а/6,а).
280
105. x= —a-f-2—+ от точки Л (a, a) до точки В (5a, 3a).
3 2y 6a1
2
106. Найти длину полукубической параболы у2 =— (х— I)3, за*
3
ключенной внутри параболы у2 = —.
3
107. Найти длину границы области, ограниченной линиями
у = ех, у = 2уТ% jc = 0, у= 1.
108. Найти длину границы области, ограниченной линиями
у = 2Ух , = 2 faT
109. Найти длину линии
х
y(x) = Jy/« — 1 dt, 1<х<2.
1
110. Найти длину линии
х
у(х) = ^Ycos2t dt, 0< х^ л/4.
111. Найти длину линии
х
*/ (х) = ^ ]/sin 2f dt, 0 < х < л/4,
о
Найти длины дуг следующих кривых, заданных параметрически:
112. x = acos8/, y=as\n3t.
113. x=a cos5 t, у = a sin51, 0</<я/2.
114. x=2asin2/, */ = 2acos /.
116. x=ln(l + /2), i/ = 2arctg/— 2/-f 8 от точки Л(0, 8) до точки
fl(ln2, я/2 + 6).
116. х= (f2—2)sin/+2/cos/, у= (2 — /2)cos/ + 2/sin/, 0</<l.
117. x=6at5, y=5at(\—tB) от точки Л(0, 0) до точки
В (6а, 0).
118. x = 2ash3/, y = 3acht от точки Л(0, За) до точки Б(х0, уо).
119. x = acost, f/= — 2alnsin/ отточки Л (0,0) до точки £(х0,*/0).
120. x=-j-sin/(l +2cos2/), y = acos3t от точки Л(0,а) до точ¬
ки В (а/2,0).
121. х = а ^cos/+ lntg-~j> ^ = a sin / отточки Л (0, а) до точки
В(х0,Уо)-
122. x = 2acos/f */ = 2asin/f z = at, 0^/^2л.
123. лг= —<s + —у= —-t* г=—0</<1.
3 2 3 2 3
124. х = е< (cos* -f sin/), y = et(cost—sint)t z = htt 0^/^2л.
281
125. x = acos3t, у— a sin3I, z — acos2t.
126. x — a. (t cos t — sin /), у — a (t sin t 4-cos t), z = ht, 0^t^.t0.
Найти длины дуг кривых, заданных в полярных координатах:
127. r=acos3^, 0<<р<?тг/2. ,28- r=a cos4 (<р/4).
129. т = ф2, 0<ф<я. 130. ф= -у 1/л2 4-2 +1п|г +
+ У?*Т2\, 0<г<2.
131. ф = 1пгн-г, 1^г^5.
132. Найти длину дуги спирали Архимеда г = аф, находящейся
внутри круга радиусом 2ап.
133. Найти длину дуги гиперболической спирали г = , ф>
Ф
>0, находящейся внутри кольца а/4^г^2а.
134. Найти длину границы областей, ограниченных кривыми
г = и г — а (1 + cos ф).
Найти длину дуги кривой, заданной в полярной системе ко-
ординат:
135. г = a cos2 и, у = 2 (и— tgw) от точки А (а, 0) до точки
В (а/2, п/2 — 2).
136. r = a(l ftga), <Р” tgM —In (1-f-tga) от точки Л(а,0) до
точки В(г0, ф0).
Найти площади поверхностей, образованных вращением сле¬
дующих кривых:
,37-^т + -ё- = 1 (а>ь)•
а2 Ьг
а) вокруг оси ОХ, б) вокруг оси О У.
138. у = —у 0 а^х^Ь вокруг оси ОХ.
х
139. у2 4- 4* —2 In у, 1^//^2 вокруг оси ОХ.
140. Найти площадь поверхности тела, полученного вращением
окружности радиусом а относительно прямой, лежащей в ее плос¬
кости и отстоящей от центра на расстояние b (Ь>а).
141. Найти площадь поверхности тела, полученного враще¬
нием вокруг оси ОХ петли кривой 3ау2 = х(а — Л')2.
142. Найти полную площадь поверхности тела, полученного
вращением вокруг оси ОХ области, ограниченной линиями у2=*2х
и 2jt = 3.
Найти площади поверхностей тел, образованных вращением
кривой, заданной параметрически:
143. x = e*sin t, y = elcost, 0^^л/2,
вокруг оси ОХ.
282
144. *=a(/ + sin t)% y=aCl~cos t), 0</<2я,
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY; в) вокруг оси симметрии;
г) вокруг прямой у = 2а.
145. x = a^cost -f lntg—-^, y = asint, я/2</<!Зя/4, вокруг
оси ОХ.
146. jt = 2asina/, y=2acost вокруг оси ОХ.
147. x = a(2cost—cos2/), у — a(2sin/—sin2/) вокруг оси OX.
Найти площади поверхностей, образованных вращением дуги
АВ кривой:
148. х = аР, у= -~аЦЗ— /2), /1(0,0), fl(3a,0),
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY.
149. x = -j-at\ У= а (5/3—З/5), А(0, 0), Я(5а, 0);
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY.
150. х=2at3, </=■ — a(2/8— t<),
4
Л (0,0), В (4а 1/2", 0),
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси ОУ.
151. Найти площадь поверхности тела, полученного при вра¬
щении области, лежащей внутри окружности r = 2asincp и вне
окружности r = a, относительно осей координат.
152. Найти площадь поверхности тела, образованного враще¬
нием области, ограниченной кривой
г2 = a2 cos2 ф + b2 sin2 ф (а> Ь),
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси ОУ.
ОТВЕТЫ
, Зя „ 7 2 + y/i „ ^ .3 1 . 1, v/3+2
1. —. 2. —ян 3. 6—arcsin —=+arcsin——. 4. In-—
4 192 64 J\0 4 ,/l5+4
Я
tg
, * 24
In-
т(/5- т^2 +т1/3+4
* *-¥■
6. — 1/F. 7. - ^5_1пЗ. 8. 9. —^-=. 10.
5 12а 4а /3 5^6 у5
II. 4л. 12. — + arctg13. —(4 — я) + — 1п2. 14. —.
2 3 16 2 5
15. —— 4. 16. 0. 17. 0. 18. 0. 19. 2 —. 20. 2а 1/2 . 21. 1.
2 г*
/з
а /-L + in 23. —. 24. а* (я—2 + —1п2). 25. —•
\ 3 2 / 15 \ л ) 8
22.
\ 3 2/ 15 v я }
283
26. —. 27. — а2. 28. 1/2 In (Г f У2 ). 29. —. 30. а2 (ж —
15 5 10 \
^-ln(2 -t-1/3") V 31. —. 32. —. 33. 6—-. 34. S.=S2 =
/3 У 12 12 n 1 *
= — — a2, S, = — -t- — а2. 35. —. 36. — УЗ. 37. —.
4 3*2 3 3 5 5
38. яаб. 39. 3 ла2. 40. — а2. 41 . ii^-a2. 42.—. 43. -^=(16 —
8 3 2 12 /F
— 9 1/3*). 44. —. 45. —. 46. —. 47. —. 48. 49.
6 60 210 10 4 4
50. 51. —(4 — л). 52.-^-. 53. а2. 54.—л3. 55. — [4 —л).
2 8 2 3 2
56. —ла2. 57. — (л + 6-31/3). 58.—. 59. — + 60. —-
8 6 4 12 8 2
61. — (л —2). 62. —С-. 63. —- + . 64. -—. 65. °’л
О ' I/O ^ О г, 10
2 ' У 2 3 2 512 8
66. \ л а2. 67. —. 68. аг (I —69. За*. 70. — +
3 2 V 2 j 6 3
arctg уТ 71. лаг (У2~ 72. a) б) л2 — 2л.
73. а) я(31па3—6!пЗ (-4); б) л(9!пЗ—8). 74. а) — (2 + л); б) л In 2;
4
в) 75. а)-у- + 4л; б) в) 2*2 + 4я- 76- 2лааа6.
77. -HfLya2 —ft2 (2д2 + b2) —2лa'-b arcsin ь'; l!Lyat—P (2а2 +
3 а 3
+ б2) + л2а*Л + 2ла26 arcsin —. 78. a) -?5-; б) 79. а)-^-лаЯ*
а 15 105 15
б) в) — паН2. 80.а)б)—; в) 8л--—. 81. .2.паЧ^ь2~к^
2 5 15 3 15 36*
82. J2- ( 2’- -1-). 83. а) (л-2); б) ла3 УГ (-1 --5-)
84. а) -Н2Ё_; б) 85. а) — ла3; б) в) г) -И ла’
' 105 7 4 ' 15 7 2 7 3 3
86. а) лаа3; б) 2яа3 ^ в) Злга3. 87. а) 4а3ла; б) ~~~~ q3jt
Qfi 17 27я аъ JUJ3/3"-118 17 22™ViT оп 13я»а»
оо. Кол——— , У х=а = — , У|=-в = 1 • оУ-
32 35 7 4
Указание. Левая вертикальная касательная имеет уравнение х = <p (jc0)
где х (ф0) = min*(q)) на [0,я]. 91. —~ яа3. 92. — яа3. 93.-^-яа8
07 vr/ i . j 35 21 Ю5
284
94. — я а3 (<*я + 1). 95. — + In 2. 96. In (2 +УЗ ). 97. In 3 -.
Ill ' 7 20 ’ 2
98. In (e+ Ve* — 1). 99. Ю0. -4 101. 2. 102. +
' 7 3 3 0»+^
H 0 * . In Указание. Перейти к параме-
(в* + 6*)2/3 а() о*+ а2 —а) ^ к
28
трическому заданию кривой. 103. —— а. Указание. Перейти к пара¬
метрическому заданию кривой. 104. Мб- (^3/2 —
- 23/2). 107. уГГ?^-2 + 21п(1 + |/2~) 4- In (уГТТ2-1).
108. 1/2~ + 1п(1 +V2") + — (103/2 — 1). 109. —. 110. 1. 111. 1.
27 3
112. 6а. 113. у а ^2 М2-ТТ^Г> . j, 114. 2а УГ+а1п (2-f yjT).
115. 2У2"—2. 116. 1/3. 117. 10а. 118. 2ach3<0—3ach<0 + a, *(/„) =
сое <а-1| За
=*о. J’OoHJ'o- 1W- a cos <0+aln -, x(t0)=x0,y(t0)=y0.120. -.
COIf0 + l| 2
121. aln|tg^|. 122. 2as/5n. 123. ^(21 Jb-lyfb). 124. y/h2~+4eiw-
X
la
-y/h2+4+hln^~^-^j-2n. 125. 10a. 126. ‘jja2tl+h2 +
xlnK+Va^+^l—£ln/i. 127. “(гтг + З^/З). 128. у. 129. ‘x
X|(я* + 4)3/2—8J. 130. -j-. 131. ЗУ37—УГ f Yln| 2 +^Г I'
132. а (л У4я» + 1 + -i- In (2л + У4я» + Г). 133. яа х
X |п(?« + 2 *25±М + -£.<у 16я» + 64 — У1 + 16яа). 134. Ll=2(/,+
V n + y «44 / *4
W3 + /4); £j=/1-1-/3! L9 = 2 (/4 + /5) t /1 = 4 У2 a sin —, /, —
8
Зл л
cos COS
8
= 4asin— , /, = —( :—+-L|n|tg — I -f
® 2V 2*n*-f- 2 I 16 I
2 sin2 л/8
8
Зл
- т,n I1* -s-l)- ,<"4“ (-j^rk
8
285
- 4-,n|tg-7r|\ >35. 2a (l- 136. a ( sin.U° +— X
2 I 16 I I V 2 j \ 2 cos* ф0 2
X ln| tg (-**- + 7-) | )• 137 а) 2кЬ> + 2nab arCS‘" 8 . б) 2яа* +
+ ^ln[JL(1 + e)le = -£IHIL ,38. 2nln(-* + >^±g.U
e I * J о V a* + /l + a* )
+ 2n^Jl+^-Jl+^j. 139. y. 140. An2ab. 141. 142. y.
143. 2). 144. а) -яа2; б) 16я2а2; в) 16na2f- + -\ г)
5 3 \2 3/ 3
145. 2яа2^1-^. 146. 2y(53/l-l). 147. 148. a) Зла2;
б) 28’ш__'/? 149. a) 10па1-, 6) l2— I- па2. 150. a) 6na2; 6) — *j2iu£.
5 3 63 V 3 35
151. a) яа2^*я + 4ч/3^; б) 4яа2. 152. a) 2я^а2+ — -— x
. _ / a« . y/7Zb*\
xln J; 6) 2n\ b2+ : arcsm — ).
* J \ Ja'-Ь* * ;
Глава Ш
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Точкой х в пространстве Rm называется упорядоченный набор
Г1к
чисел х— (jcj, х2> ...,хт). Величина 1/ называется нор-
t=i
мой xei?m и обозначается ||д:||; если нужно уточнить, в каком
пространстве находится х, пишут 11*11^, но обычно индекс опус¬
кается, так как из контекста ясно, о каком пространстве идет
речь. Так как
max |дг,К У Уmax | xt |,
то условие ||х||->0 эквивалентно условию max |х;|-*0.
1
286
Норма в пространстве Rm играет ту же роль, что и абсолют¬
ная величина для точек числовой прямой. Расстояние от х до ну¬
ля — d(xf 0)—равно норме x:d(xf 0} = 1М1; расстояние между
точками х и у равно норме (х — у) :d(xt у) = \\х — у\\. В дальней¬
шем расстояние между точками х и у записываем в виде \\х — у\\.
Отображение /:£-W?n, EaRmt записывается в координатной
форме /=(/j, /2,. • •, W. где t=s=U 2, ..., л*. Отображение
l:E-*~R, EaRmt назовем функцией (действительнозначной функ¬
цией) точки x^Rm: х=(хь х2, •••, хт) или функцией т пе¬
ременных /(jc)=/(jci, х2, ..., хт). Исследование многих свойств
отображения f:E-+Rn, EczRmt сводится к исследованию этих
свойств его координатных функций f\, f2t .... fnt fi:E-*-RK Поэто¬
му в настоящей главе более подробно анализируются функции:
f: E-+R, EczRm.
Определение. Пусть f:E-+Rnf Ес:Ят, и Af0 — предельная:
точка Е. Точка A<zsRn называется пределом отображения /(х) при
М0: lim f(x)=At если для любого е>0 существует 6>0 та-
X—►Л!*
кое, что для любого х^Е, удовлетворяющего условию 0< \\х—
— Л101| ,„<6, выполняется ||/(*)—А || < е. Запишем это опре-
деление с использованием символики:
Ve>0 36>0:Vxe£, 0 < Цх-MJI^ < < е.
В терминах покоординатной сходимости утверждение lim / (х) =
= А,М0= (Х|°, хг°,...,х°т), x=(xi, хг хт)", записывается так:
V е > 0 3 б > 0 : V х= (xlt хг хт), ге £,
0 < |х, —х°| < б (t=l. 2 (х) —Л Ц^,, < е.
Отображение f :E-+Rn, EaRm, где в координатной записи /=
= (fi, f2 /п). fi-E-+R имеет точку А=(аи а2 а„) пределом
при х-+М0 тогда и только тогда, когда lim /,(х)=а< для любо-
х -f Af |
гс 1=1, 2,..., п.
Критерий Коши. Пусть f:E-+Rnt EczRm, и М0—предель¬
ная точка Е. Предел lim/ (дс) существует тогда и только тогда,
J
когда для любого е>0 существует б>0 такоег что для любых Х\^
(ВЕ и х2е£ из неравенств 0 < || М0—< 6, 0 < ||М0—xa||Rm<
< б следует неравенство
Ш*|)—/МII <е.
* В дальнейшем пространство R1 будем обозначать просто R.
287
С использованием символов это записывается так:
Ve>0 36>0:V^e£, Vjc2g£, 0< || М0—х, || < 6,
О < IIМ0 -*21| < в -> || / (хг) -f (*а)|| < г.
Определение. Пусть f:E-+Rnt EaRm, и множество Ua
Тогда колебанием отображения f на множестве V назы¬
вается sup ||/(jfj)—/(*а)Н и обозначается o)[/(f). Используя
*,.*,€ </пе
понятие колебания отображения /:£-►/?", EczRmt на множестве
UczRm, критерий Коши существования предела формулируется
так: пусть /:£->/?", £с:/?т, и М0—предельная точка £. Предел
lim f(x) существует тогда и только тогда, когда для любого е>
>0 существует окрестность U=U(M0) точки М0 такая, что
«£/(/)<е, где tf=£/\{M0}.
Вычисление предела функции многих переменных часто сво¬
дится к вычислению предела функции одного переменного либо с
помощью оценок, либо заменой переменных.
Пример 1. Найдем предел lim
sm ху
о V х2 + у2
у—* 0
Решение. Условие (х, 0) эквивалентно условию
Vх2 4- у2 -> 0. Так как
|sinxt/|<Iху\< -j (х* 4- уг),
ТО
о < I I <-4+£_ =-L yF+7,
I /** + »* I 2 Ух* + уг 2
и, следовательно,
]im sin^=0
*^.0 V*1 + Уг
у-+ о
Пример 2. Найдем предел lim ■
, / y2 .1 - ^ -
► 1 \ х2 4- у2 — 2х -f 1
v-0
Решение. Так как z = jc+ у-+\, то lnz~z — 1 = (х + у — 1).
Введем новые переменные г и t\ x=l+rcos/, г/ = г sin /, тогда ус¬
ловие (jc, у)-+'(1, 0) эквивалентно условию г->0 и
Предел функции f(x) =/(хь... >хт) при условии
(хк-++оо; Xk-*—оо) и Xi-+Xi°9 i=l, 2, ..., m, рассматри-
ипстся как предел функции f х2% ..., x*_i, —, хт)
при /-+0 (/->0+, t-+Q—) и Xi-+Xi°9 i=l, 2t=^£. Если бес¬
конечно большой является не одна координата точки х, а не¬
сколько, то аналогично все эти координаты заменяются перемен-
1 1
ними —, — и т. д.
х*
Пример 3. Найдем предел lim (1 + — \
X—► оо \ X J
х+У
у-*- 3
Решение. Обозначим х= 1 It, тогда условие х-+оо у-+ 3 экви¬
валентно условию (/, у) —► (0. 3), следовательно,
|. X* 1 /, , 1 \ In (14- О 1 ,
lim 1п [ 1 4-— )= Inn —— = lim = 1
дс-^оо х + у \ х 1 и,у)-+(о,з) t (1 4- ly) (^.y)-*(o,3) 1 4- ty
v-+ з
и
х1 lim ——ln(l+—)
/ 1 х^х'"у х
lim ( 1 4 у =ey^z = е.
Х-оо \ X )
Определение. Пусть М0 предельная точка Е и М0еЕ.
Отображение f :E-+Rn, EczRm, непрерывно в точке М0, если
lim f(x)=f(M0).
Х->Мо
Отображение f :E-+Rnt EczRm, где в координатной записи / =
= (/ь ^2» • • •»/п)} fiiE->R9 непрерывно в точке М^Е тогда и толь*
ко тогда, когда каждая из функций fi(x)t i= 1, 2, ...,л, непрерыв¬
на в этой точке.
Непрерывность функции многих переменных / в точке х обыч¬
но устанавливается по теореме о композиции непрерывных функ¬
ций. Если, же в данной точке функция / не является композицией
непрерывных функций, то вопрос требует индивидуального иссле¬
дования.
Приведем соответствующие примеры.
Пример 4. Непрерывность функции
х? + ?Ф0;
/(*,*)=/*+И*
I 0 , х2 4- у2 = 0
в любой точке М = (*3, у0), кроме точки Af0= (0, 0), следует из не¬
прерывности многочлена, синуса, квадратного корня и условия
*о2 +УггФ0\ непрерывность f в точке М0 следует из равенства
Пример 5. Непрерывность функции
( ах2 н ^, г/2 -h z2 О,
I ах2 , I/2 4- 22 = О
в любой точке M1(x0t уг0), где t/5 + 2g=^=0, устанавливается так
же, как и в предыдущем примере. Пусть М2 = (х0, 0, 0), л*0^0.
Рассмотрим, как ведут себя значения f (М)у если точка М приближается
к точке М2 по прямым х = х0> у — 0 и х—х0, у —г. Для М(хки 0. z)
имеем f(M)^ax~ и lim / (Л4) =axl =/(М2); для М(х0, у% //), уФ
м-+м.
имеем / (Ж) = ах2 4- — и lim / (М) = ах\ 4 ^-ф\ (М0), так как Л'0^=0.
2 м-л1,
Итак, / разрывна в точке М2, более того, так как в любой окрест¬
ности М2 функция / принимает как значение ах^ так и значение
ах\ 4~~"> т0 колебание / в этой окрестности не менее
Следо-
вательно, в силу критерия Коши, функция f не имеет предела при
М -кМ2.
Исследуем непрерывность / в точке М0 —(0, 0, 0). Так как
+г2), то |/ (л, у, гЖ|о|*2 + ^-|л-| при у2-г*ф 0;
I/O*, У, г)1 ==\а\х2 при г/а -h z2 = 0. Если М(ху i/, г)->Мо(0, 0, 0),
то *->-0, следовательно, lim / (/И) ^0 =/ (М0), т. с. / непрерывна
м-»м,
в М0 = (0, 0, 0).
Итак, множество М точек разрыва / является осью ОХ с выко¬
лотым началом координат.
Обратим внимание, что для доказательства того, что1 функция
f разрывна в точке М2| достаточно найти такие две линии, прохо¬
дящие через точку , что / имеет разные пределы, когда точка М
стремится к точке М2, оставаясь на одной из этих линии. Когда
же проверяется непрерывность функции многих переменных в точ¬
ке Afо, то необходимо рассматривать поведение этой функции не
на отдельных линиях, проходящих через точку Мо, а во всех точ¬
ках некоторой полной окрестности точки М0| причем необходимо,
чтобы при любом стремлении некоторой точки х к точке М0 было
выполнено lim f (х) =f(M0).
x-Afe
Поскольку техника вычисления предела функции многих пере¬
менных аналогична технике вычисления предела функции одного
переменного, то в этом разделе помещены только теоретические, а
не вычислительные задачи, связанные с понятиями предела и не¬
прерывности функций многих переменных.
б 2. ПРОИЗВОДНАЯ, ПЕРВЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ,
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Пусть f:E-+Rnt EaRm, и Хо— внутренняя точка Е. Рас¬
смотрим линейное пространство векторов h размерности га, имею¬
щих начало («приложенных») в точке х0. Такие векторы назовем
лекторами смещения. Каноническим базисом в таком простран¬
стве будет базис из «приложенных> в точке xq ненулевых векто¬
ров, коллинеарных базисным векторам исходного пространства
Rm. В этом базисе координаты вектора h обозначим A*i, Д*2. • • •
.... Ахт.
Определение. Отображение f\E-+Rny EaRm, дифферен¬
цируемо в точке Хо^Е, внутренней для £, если
f(x0+h) — f(x0) =L(x0)h + a{x0t h),
где h—вектор смещения, L(xQ) : Rm^Rn — линейное отображение
и Ца(*0, h)\\цп = о (\\h ||^m) при
Линейное отображение L(x0) называется производным отобра¬
жением f или производной отображения / в точке хо и обозна¬
чается f'(Xo).
Пример 1. Рассмотрим отображение f:R2(x, y)-*R2(u, v),
заданное формулами и = х2+у2, v = xy. Возьмем точку М0=(1, 1).
Покажем, что данное отображение / дифференцируемо в этой
точке. Вектор смещения обозначим h. Его координаты в канониче¬
ском базисе обозначим Ах, Ау. Имеем
/(М0+Л)=/(1+Ах, 1 + А*)={(1 + Ах)* + (\ + At/)2;
(1 + Ajc) (1 -f- Д«/)} = {2 + 2Ак + 2Ay + Ад:2 + Ау2\ 1 Ах -f Ay +
-f- Ад:- А#}.
Разность f (М0 н- И) —/ (М0) представим в виде
{2 + 2Ах-f-2Аг/ +Ал;2 + Ai/2; 1 + Ах + Ау + Ад:- Ау}— (2; 1} =
= {2Ajc4-2A у\ Ах Ay) -f {Ах2 + Ау2, Ах А у).
Отображение L(l; \)h :h = {Ax, Ау}-+{2Ах + 2Ayt Ах + Ау} линейное.
Действительно, если Л1=(А*1, Ау^)9 /1а = (Ддг2, Ау2), то
L(\t \)h1={2Ax1 + 2Ayl, Ахх+Аyj,
^0. \)h2 = {2Ax2 + 2Ay2t Ала 4- Ау2}
и
1)(Л1-гЛ2) = Ц1, l)/ix+L (1, 1)А2>
291
L (1, 1) (ahj — aL/ij (проверьте).
Норма вектора a(M0, h) = {Ах2 -f- Ау2 у Лх • А*/} равна
У(Ал2-н At/2)2 + (AxAi/)2. Так как (АхА*/)^ — ~^--7■, то
У (Ах2 + AyY + (Д* • Д у)2 < j£i (Дха + Ду1) =
= У Ах2 н- А#2-У5/4 (Ах2 + Ai/2) = о {V Ах2 + А#2) = о (|| Л ||)
при || h ||-»- 0, т. е. || а (М0, Л)|| = о (|| h ||) при h-+ 0.
Следовательно, L( 1, 1) есть производное отображение отображе¬
ния /. Всякое линейное отображение в определенном базисе ха¬
рактеризуется некоторой матрицей. Нашему отображению L( 1, 1)
2 2
в каноническом базисе отвечает матрица ( ^ ^ j.
Отображение f:E-+Rnt £cr/?m, дифференцируемое в точке хо,
непрерывно в этой точке.
Основные правила дифференцирования
1. Линейность: если отображения h:E-^Rny /2: £->/?", EczRmf
дифференцируемы в точке х0е£, то их линейная комбинация так¬
же дифференцируема в точке хо и
(a/i + Р/2)' (*о) = «/; (*о) + Р/2 (*о)-
2. Дифференцирование композиции отображений: если отобра¬
жение /: X—*Yy ХсzRm, YaRny дифференцируемо в точке Хо^Х, а
отображение g:Y-+R<i дифференцируемо в точке у0 = f(x0) ^У, то
композиция gof'.X-^R^ дифференцируема в точке хо й производ¬
ная (g°f)/(x0) есть композиция производных g' (yo)0f'(xQ).
Отображение f: £e/?m, где в координатной записи
= (/ь Ь,.--,/п), fi'E-+Ry дифференцируемо тогда и только тогда
в точке х0^Еу когда каждое из отображений fi: £->/?, EczRm>
i = l, 2, ...,гс (т. е. функций /,•), дифференцируемо в точке хо.
Производной функции /: £->/?, EaRmy в точке х0 является ли¬
нейное отображение в /?, определенное на пространстве прило¬
женных в точке х0 векторов к. Такое линейное отображение век¬
тора /i(Axi,..., Ахт) представляет собой линейную форму от
Ах-, ..., Ахт. Эта линейная форма коротко называется первым
дифференциалом функции } в точке х0 и обозначается df(x0). Зна¬
чение этой линейной формы называется значением первого диф¬
ференциала функции / в точке х0 на векторе h и обозначается
df(x0)h.
По этому определению для функции одного переменного
f:(a, b)-+R ее производной в точке хо^(а, Ь) является линейное
отображение одномерного вектора h=Ах в /?, т. е. умножение
этого вектора на такое число а, что
/(хо+Ах) — f (х0).= аАх +о(Ах).
292
Сравнивая это определение с ранее данным определением произ-
модной функции одного переменного, видим, что коэффициент а
ч 1* / (*(I-I-A*) —/ (*о) гт
сеть f (хо) в прежнем смысле: а= Jim — . Другими
д*-0 Л*
слонами, в прежнем определении не само линейное отображение
поктора h = Ax называлось производной, а коэффициент этого ли¬
нейного отображения, т. е. его числовая характеристика. Так как
прямая пропорциональная зависимость взаимно однозначно опре¬
деляется своим коэффициентом, то для функции одного перемен¬
ного производную можно считать как числом, так и линейным
преобразованием векторов смещения, характеризующимся этим
числом. Значение дифференциала df(х0)1г = а-Ах функции f одно¬
го переменного на векторе h = Sx полностью совпадает в обоих
определениях.
Для аналогичной числовой характеристики производной функ¬
ции f: E-+R, £dflm, 2, -вводится понятие частной производной
I по одному из переменных.
Определение. Пусть /:£->/?, EaRm, 2, и х0^Е— вну¬
тренняя точка £. Частной производной функции f в точке х0 =
•**(*1°, ..., х°ш) по переменному xi называется
lim /(*?, *2°. *,-1. *f-M О-
Д*—> О Ахс
—f(r° Г° Г° г° г°
[ (X j, Х2 , xi—i* xi» 1 ’ m'
если этот предел существует. В этом случае говорят, что / имеет
частную производную по Xi в точке хо и эту производную обозна-
чают (*„) или /; (х0), или /;.(*„)•
dxi i
Частная производная /^ (*<>), x0 = (xj, х°, ..., х0., х^), вычис¬
ляется обычными методами дифференцирования функции одного
переменного, считая все координаты точки x(x\t x2,...,xm) (все
аргументы функции) фиксированными, кроме той, по которой бе¬
рется производная, т. е. xj — xj° Цф1).
Если обозначить
/< (*<) = /(*?, *°_,, Xi, -t°+1, X°m),
то
(*?))'•
Пример 1. Найдем частные производные функ-
дх ду дг
ции и(х, у, г) = arctg -хг + у в точке M„ = (*oi Ув< 2о)-
1 — ху
293
Решение. Дифференцируя функцию и\(х)= arctg—-—— по xt
1 — хУо
получаем
-£-<лд=к к»' = , о....
& 1 — 2*„</„ 4- xjyj 4- 2*0</0z0 -f yj; 4- *6 z*
Аналогично
_*f_ (Afe)=- 1+ж°г°
ди ди ди
дх ’ ду ’ дг
ду 1 — 2х0у0 4- x2Qy-Q 4- 2x0y0z0 4- у'~и 4- д^гЦ
дч *о-х1у0
(Мс) — 0 0 , 0 - .
dz 1 — 2xQy0 I- x-Qy-Q 4 2x0y0z0 4 у5 f x0?5
Пример 2. Найдем частные производные
функции
u--=xv + yz + zx (х>0, у>0, 2>0).
Решение.
-- ухУ~' 4- гх In г, a-7 In х 4- zy*~~\ — if In у f лгх~1.
dx Oy dz
Как уже отмечалось в случае функции одного переменного, ис¬
пользовать формулы производных элементарных функций и пра¬
вила дифференцирования можно только в тех точках, для кото¬
рых значения функции в самой точке и в некоторой ее окрестно¬
сти заданы одним и тем же аналитическим выражением. В про¬
тивном случае приходится находить производную другим путем,
например ее непосредственным вычислением через предел. Вычи¬
сление частных производных функции многих переменных в такой
особой точке хо= (*i°,..., х°т) иногда упрощается тем, что для
функции одного переменного
Х1г ДС?+1, Д£)
точка х;° не будет особой.
Пример 3. Найдем , , для функции
Ох ду dz
(ах- + —, уЧ г2 Ф 0;
и(х, у, ?):=--{ у' + *1
I ах2 , /у2 ; г2 "0
в точке М0= (1, 0, 0).
Решение. Так как и* (jc) = и (д:, 0, 0 )—ах2, то -^-(М0) =
1 дх
= ((и\)' (1)) =2л. Так как и* (у)=и( 1, у, 0)а при любом у%
294
то (М0) = ((u\)f (0)) = 0 и аналогично (М0) = ((и\)' (0)) = 0, где
с)i/ - дг
и*(г) = а.
Итак, функция и имеет в точке М0 все три частные производ¬
ные, но, как было показано в примере 5 § 1, разрывна в этой
точке.
Внимание! Для функции f:E-+R, EczRm, 2, существование
мастных производных в точке Мо не гарантирует непрерывности и
тем более дифференцируемости f в точке Л40-
Если функция /:£-►/?, Ea:Rm, 2, дифференцируема в точ¬
ке хто f имеет в этой точке частные производные по всем
переменным, и эти производные являются коэффициентами линей¬
ной формы df(xо), т. е.
df (*<,) Л - /; (*0) Л.гх -f /; W Д*2 + • •. + fm (х0) Ax„.t
где h = (Axlt Д,г2 A.rJ.
Рассмотрим функцию л* (*)=*,•, jc=(jci, х2,..., хт) ^Rmt 1 = 1,
2, . ..,m. Ее приращение Ал,-(.г0) =я,-(дс0+Л)—Лг(л:о)=Дх1 есть
линейное отображение L вектора (Ajcj, ..., Ахт): Ih = A*i, сле¬
довательно, djCi = ^i(x0) = Дяг*(jc0) =Дх<. В силу этого равенства
первый дифференциал функции / в точке *о может быть записан
в форме
т
di (*0) =- /; (^) dxi+h (Ао) dx2 +•••+/„ (-«о) dx„=Е (*<>)d-v
Именно эта форма записи первого дифференциала функции
наиболее употребительна. Удобство ее в том, что в силу теоремы
о дифференцировании композиции эта форма сохраняется и тог¬
да, когда *1, *2, ...,хт являются не только независимыми пере¬
менными, но и функциями некоторых других независимых аргу¬
ментов: Xt.E-^R^, i=l, 2, ..., m. В этом случае символ dxt уже
есть не приращение Ajc», а дифференциал функции хг.
Как уже было показано в примере, существование в точке М0
частных производных функции /: E-+R, EaRmt 2, недостаточ¬
но для дифференцируемости f в точке Мо. Это только необходи¬
мое условие. Дифференцируемость функции многих переменных в
точке хо обычно устанавливается с помощью следующего доста¬
точного условия: если G— область в Rm и функция f :G-+R имеет
частные производные в некоторой окрестности точки х0gG и эти
производные непрерывны в точке xq, то f дифференцируема в точ¬
ке х0.
Класс функций, имеющих непрерывные производные в неко¬
торой области Gcz/?m, обозначается С1^)- Все функции f: G-+R
класса С1 (G) непрерывны и дифференцируемы в каждой точке
области G, но существуют непрерывные и даже дифференцируе¬
мые в каждой точке Af0eG функции, не входящие в класс C^G)
(за счет того, что частные производные будут разрывны).
295
Пример 4. (Функция, дифференцируемая всюду в области
G, но не принадлежащая классу CVfG).)
Пусть
О a R2, G = {(*, у): х2 + у2 < 1}
+Д^/3), х2 + у2Ф0;
*<*•»> = ( о ,* + (* = 0.
В каждой точке М = (х, у), кроме начала координат
аг ■=учъ \W, • Ч-=4- у1 ■'31п +*4/з> + 2!,7/3
а* з (у* + *4/3)' ау з у2 -f *4/3 ’
d? dz
откуда видно, что в этих точках частные производные — и —
дх ду
непрерывны и, следовательно, функция z дифференцируема в этих
точках.
Рассмотрим точку М0= (0, 0), имеем Az(0, 0)=z(x, у) —
-2(0, 0) =у^3 In (f/2+jc^3). Так как для И <1/2, |у|< 1/2, у*+
+ дг4/3< 1, то
1 ln(t/2+x4/3) |<|1пг/г| = 21In|г/11,
откуда
|Дг(0, 0)K|</|-|(/|,/3-2|ln|</|| = o(|*|)=o(y/F+?).
х2 + у2 0.
Следовательно, если L(0, 0)—линейное отображение, переводя-
щее вектор h = (х, у) в нуль, то
Az(0, 0) = L (0, 0)h + o(VJi*Tlj*)9 х2 + */20,
т. е. функция z(х, у) дифференцируема в начале координат и
dz(0, 0) = 0Дх+0Ду. Отсюда следует, что
-§Г-(0, 0) =0, -J-(0, 0) = 0.
дх ду
Покажем теперь, что разрывна в начале координат. Дей-
дх
ствительно, если у = х2/ъФ0, то
dz , х ,/Q 4х1/3 2 1
‘ (xt У)=х*'9-
1/9
дх к з (*4/3 + х4/3) 3 ‘ х
и если точка М(х, у) приближается к точке М0= (0, 0), оставаясь
на кривой у=х2/г, то
дг /wv
Итак, разрывна в начале координат и даже не ограничена
дх
и любой окрестности начала координат.
Если в формулировке задачи, связанной с дифференцирова¬
нием функции /:£->/?, £d/?m, специально не оговорено, что
функция рассматривается в особой точке, где непрерывность са¬
мой функции или ее частных производных не следует непосред-
ггиснно из непрерывности композиции простейших элементарных
Функций, то всегда предполагаем, что речь идет об исследовании
функции / в точках области GczRm такой, что /eC!(G). То, что
тикая область существует, можно усмотреть из самого задания
функции /. Таким образом, дифференцируемость функции заранее
предполагается.
Пример 5. Найдем первый дифференциал функции
/=1п(4 — х2 — y2+2xz+2yz— 2 z2).
Решение. Функция определена в области
G = {(x, у, z) :х2 + у2 — 2xz — 2yz+2z2<4}.
Эта область представляет собой наклонный цилиндр, горизон¬
тальным сечением которого на высоте z=h является открытый
круг (х — Л)2+ (у — h)2<4.
Так как
df 2z — 2х
дх 4 — хг — уг-\- 2хг -Ь 2уг— 2za*
df _ 2z — 2у
ду 4 — х2 — у2 + 2хг -f- 2уг — 2г2’
df 2х 4- 2у — 4г
dz 4 — х2 — уг -f- 2хг + 2уг — 2za ’
то ft=C'{G).
Таким образом, в каждой точке М0= (х, у0, z0)eG функция /
дифференцируема и
__ 2 (Z-- х) dx -f 2 (z — у) dy + 2 (л + y — 2z) dz
4 — x2 — у* + 2xz + 2yz — 2z2
Пусть j^Cl(G)y тогда линейное отображение f' в канониче¬
ском базисе имеет матрицу
dh_ j>h_m
дхг дхг * ' ’ дхт
dfn_ д[п_ dfn_
дхх дхъ * * ‘ дхт
Эта матрица называется матрицей Якоби отображения / и обозна¬
чается (/').
297
Если специально не оговорено противное, то в задачах предпо¬
лагается, что данное отображение / рассматривается в точках об¬
ласти G, для которой f^Cl(G).
Пример 6. Напишем матрицу Якоби отображения
}:(и, v)-^(x1, хг, л-3, л-4),
jc1 = arctg —, х2 — In (и2 + и2), x3 = uv2, xA = u2v,
в области G = {(и, v), | и | < оо ? v > 0}.
Решение. Находя соответствующие производные функций
*2, х3, ха по и и у, имеем
Матрица Якоби отображения f:E-+Rm, EczRm, является квад¬
ратной. Определитель такой матрицы называется якобианом
отображения / и обозначается | (/') |.
Пример 7. Найдем якобиан отображения f: (и, vy w)-+(x,
у, z), x = uv cos w, y=uv sin w, z = u+v+w.
Решение. Находя соответствующие производные функций
х, у, z по и, v n w, имеем
Теорема об обратном отображении
Если область GaRm и отображение f: G-+Rm удовлетворяют
условиям:
1) /сеСЧС);
2) /(хо) =Уо, xq<=G\
3) матрица (/'(*о)) обратима,
то существует окрестность точки х0 U(x0)^G и окрестность точки
yoU(yo) такие, что отображение /: U(х0)-+и(у0) биективно (вза¬
имно однозначно), /_1еС1 (U (у0)); для любого X\^U(X0) и £/i =
=у{х]) выполняется соотношение ((У\)) = {Г (х\) )_1-
Замечание. Условие 3 теоремы эквивалентно условию:
якобиан отображения / в точке х0 отличен от нуля.
Пример 8. Найдем якобиан отображения f: (и, v)-+(x, у)
хи = х2 + у2, XV = у (хфО, уф0).
V
V
и
и2 + I'2
2и
V2
2 UV
vcosw ucosw —uvsmw
| (/')| = usinia wsiпш иисоэш =uv(u—u).
1 1 1
298
Решение. Так как здесь легче записать обратное отобра¬
жение
(*. У)^(и> v): и =
Х2 + у2
V = -
X X
то вычислим сначала его якобиан
1 —
2 у
х
1
=т(1+5
то, используя соотношение между опре-
у и
1 ак как —=v и х =
х 1 + с2
делителями взаимно обратных матриц, получаем
1 х и
1 +
(i)
Если отображение y :X-+Y, XczRm, YczRm, удовлетворяет ус¬
ловиям теоремы об обратном отображении, то, разумеется, мож¬
но найти и матрицу Якоби обратного отображения x:Y-+X, а
именно (х') = (у')~\ и тем самым найти частные производные
i= 1,2,..., ш, /=1, 2, т. Но этот путь ча-
сто сложен. Другой метод нахождения частных производных об¬
ратного отображения будет разобран несколько позже.
Аналогично понятию частной производной функции /:£->/?,
£с/?т, вводится понятие частной производной отображения f:E-+Rn,
EczRm, по подпространству. Пусть
* = (*1, xm)eRm, ы = (и,, ц2,
V = (и,, vt, vm-q) е Rm~\ где и, =xt, 1 < i < q, и = *,+/,
1 < j < m—q.
Возьмем *0 = , х®) е £ и обозначим:
/*(«)=/’К, “а. •••, «,)=/(* 1, х2, .... д£),
Г («)=/*(» 1. «а. •••. »«»-«,)=/(*?. Jcj, *,+i. *т).
Тогда 4тг = (V*)' (“о)) и (*о) = ((/*)' (ч>))- Аналогично опре-
ас/ dv
э/ а/
деляются частные производные и если координаты точки
jc= (xi,..., jcm)e/?m распределяются в координаты точек u^R? и
более сложным способом, а также если пространство /?т
представляется в виде декартова произведения не двух, а более
подпространств.
299
Пример 9. Напишем матрицы отображений и в
каноническом базисе, если
и = х1у1 + х2у2 —х3 (ух + у2),
V = хгх2х3 + x2x3yL 4- х3уху2 + yxy2xv
Решение. Находя соответствующие частные производные,
имеем
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Если зависимость функции, от аргументов задана через неко¬
торые промежуточные переменные, т. е. мы имеем дело с компо¬
зицией функций, то говорят, что задана сложная функция.
Пример 1. Найдем первый дифференциал функции f: G-+R,
область GczE = {(u, у):и>0}, в произвольной точке (ы, o)gG,
если
/(*, у, г) = х3 у7, -f z3—3xyz и x=uv, y = — t z = u + v.
Решение. Разумеется, можно выписать зависимость
/*(«, v)=f(x(u, v), у (и, v)y z(u9 v)) =
= u3v3 -j- ——|- (u + v)3 — За2 (и H- v)
u3
и находить дифференциал f*(u, v). Но при более сложных связях
между переменными проще использовать независимость формы
первого дифференциала от того, независимыми или зависимыми
переменными являются формальные аргументы. Тогда в нашем
примере дифференцирование выполняется следующим образом:
/:ХхК-^(«, а), X = {(*„, *2, дг3)}, Y = <(«/,, у2))
и
V
df — (3x2 — 3yz) dx f (3у2 — 3.rz) dy f (3z2 —3xy) dz =
300
+ U2V — UV2^ vdu----dv- + ((a 4- 4. J0) j =
= 3 —2ы2 4- u2 4- j <iu 4- ^ —^-4- u3v2 4* 2uu 4- v2^ cfo j.
Пример 2. Найдем первый дифференциал функции f:G-+-
+R, область Gc=/?3, Gc=£={(x, у, z) :х>0, t/>0},
гол и
f(X, у, 2)=ф(^, (/«).
Решение. Имеем
df = cpjd (хуг) + q)'d (*/") = q)J {угхуг~1 dx 4- zxyz \nxdy ухуг In х dz) 4
+ % (гУхг У 4" хгухг~х dy н- хухг In у dz) == (yzxv2-1^ 4-
4- zyx* In у ф') dx 4- (zxy* In x <pj + xz*/*2-1^') +
4- (#x*2 In x cpj 4 xyxz In */ ф') dz.
Пример 3. Напишем матрицу Якоби отображения /=A°g,
/: (и, и)-*(Е, Л, С), если
g:x=u cosu, i/=m sin t;, z=uvy
h:l=x2-y2, тi=x2, £=*/z.
Решение. Находя соответствующие производные, имеем
(cost; — asiniA /2х —2у 0V
sinu ucosim; (Л')=1 z 0 x I.
V U J \ Q Z у I
Следовательно,
(2x —2у 0\ /cos и —asiniA
z 0 x 11 sin у ucosv} =
0 z y)\ v и )
(2xcosu—2ysmv —2хи siny —2yu cosu\
z cos v -j' xv — zu sin v 4- xu J =
zslnv\-yv zucosv-\-yu J
(2и cos (2v) — 2u2 si n (!2v) \
2aucosy w2cosy — u2v sinu J.
2«ysint> u2sin v 4- u2u cosvj
Переформулируем общую теорему о дифференцировании ком¬
позиции отображений на случай композиции функций.
301
Пусть f\G-+R, область GczRm, /=/(* ь xm)^Cl (&). Пусть
далее xt:A-+R, область A^Rk, Xi=Xi\tu /*)^C1 (Ai>. Тогда
сложная функция f{t)=f{tu .tk)=f(x\(t), xm{t)) диффе¬
ренцируема в каждой точке t0^A и
_df_
dti
J*L AL
dxY ' dx->
JL
dxm
0*i
dt,
d.u
dti
dxm
dt/
SOI dXj
dxt dtj
(1)
n Ail» ди da du t / x xy \
Пример 4. Найдем , , , если и---f \ху —, —L—\.
н р дх ’ ду д? ’ ' V У г )
Решение. Из формулы (1) получаем
А._я+Г,.± + r,JL. 4-г,.(-4)Ч-г,---.
дх 1 1 у 2 ду \ у- / 2
= f.( L'L'i
дг ,г { z* )'
Можно найти эти частные производные также через выражение
первого дифференциала функции
+ /;■
zy dx 4- zxdy — xij dz
= {l\+j-n + Tr>)dx
Так как частные производные функции и есть соот-
дх ду dz
ветствующие коэффициенты ее дифференциала, то
-г.-
__£L\ г
dz V J V
На практике пользуются как одним, так и другим методами.
302
§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Если функция f:G-*~R, определенная в некоторой области Ga
czRm, в каждой точке x^G имеет частную производную то
df
эта частная производная сама есть функция -^—:G-*-R, частные
производные которой можно рассматривать.
Определение. Если функция -^—:G-+R, GaRmy имеет
д { df \
частную производную ——то эта пР0ИЗВ°Дная называет¬
ся второй частной производной от f по х; и xj и обозначается
, '( или f" , или f"
dx/dxi i '
Теорема. Если функция /:G-W?, Gc=/?m, имеет в области G
частные производные — и — то в каждой точке хе
dxj dXi dxi dxj
eG, в которой обе эти производные непрерывны, их значения сов¬
падают.
Пример функции f(xy у), для которой ГхуФ ГуХ* приведен в
теоретических задачах (см. с. 406).
Если определена частная производная функции f порядка
по переменным *,,, *,,, ..., а^, то частная произ¬
водная порядка (&+1) по переменным xly xliy ...,xik опреде¬
ляется соотношением
f<к+\> _ д /f(fc) \
дх' \[li.it ik)'
Из вышеприведенной теоремы следует, что если все частные
производные порядка к функции f непрерывны в области G, то
значение всех производных / до порядка к включительно не зави¬
сит от порядка дифференцирования. Класс функций, непрерывных
в G вместе со своими производными до порядка к включительно,
обозначается Ck(G). Если при формулировке задачи не оговорено,
что функция исследуется в особой точке, то всегда подразуме¬
вается, что рассматриваются точки такой области G, что
^C*(G). То, что такая область непуста или вытекает из условия
или оговаривается в нем.
Функции класса Ск (G) называют гладкими функциями до по¬
рядка k в G.
Если /eC*(G) для любого £=1, 2, ..., то говорят, что /е
^C°°(G).
Пример 1. Пусть f(x, у) =х In (х+у2). Тогда областью G, для
которой /eC°°(G), является любая область, входящая в множе¬
на/ d*f
ство D:{(x, у):у2>— х). Найдем {— и ——— для произволь-
дх ду2 дх3 ду
303
ной точки такой области. Пользуясь независимостью производных
высшего порядка от порядка дифференцирования, получаем
=
их х У
д
ду
у/
ду дх
d3f _ d*f
дх ду2 ду ду дх
_2у2(3х-у2)
(х 4“ У2)3 9
e*f _ аз/
2ху
x+if
д_
ду
\ дудх I
6 у2
8 и*
dx* ду
т
дх3 ду
дх ду дх
_ а / аз/ \
дх \ дх2 ду )
д ( d*f \
дх \ дудх /
-4уэ
(* -f у2)3
12у8
(x-t-y2)4
Для вычисления производных высших порядков сложных фун¬
кций пользуются формулой (1) вычисления первой производной
сложной функции, учитывая, что все частные производные сами
есть сложные функции данных аргументов.
Пример 2. Найдем
дЧ
дхду
если f = u\n(u2 — о*), и — tg (xy)f
v = sin (х—у).
Решение. Вычисляем частную производную первого порядка
2и2
дх ди дх dv дх [ и2 — v2
2uv
cos2 ху
•cos (X — у).
и U”
Не подставляя выражение и ни через х и у в эту производную,
вычисляем частную производную второго порядка
av
— (—) = —{[1п(иг—Уг) + -^—
дх ду ду дх ду \ дх ) ду \ [ «2 — v2 J cos2 ху J
+ Т“ ( ^ТС0!5(*—=Т~ [|п(“а—у2) +-,■“*,
ду [ и2 — v2 j ду [ w- — v2
X
cos- ху
/—!— + 2g*sin*y'\
иЧ — и3 J \ cos2 ху cos3 ху /
д / 2т; \ . ч 2ac . , ч
—Т~ 1—7 cos — -—Г sin (*—*/) =
ду \ и2 — v* / и2 — v2
/2ы ^ 4 и 4ка \ х ^
\ u2 — v2 и2 — и2 (и2 — и2)2/ cos'- ху
cos* ху
304
+ f in («•-»■) + —2£_].f—!—
[ u2 — ;>2 J V cos2 xy cos3 xy J
( \ Г / 2u 4 u2v \ x
—cos (x—y) ( I h
[ \ U2 — L'2 (и2 — V8)2 / COS2 xy
( 2u , 4uu2 \ , . U1 2uv . / x
— г + — — • (—cos (x—y)) sm (x—y).
\ U2— V2 (u2 — v2)2/ J U2 — IT
+
Для наглядности ответы к задачам такого типа даются боль¬
шей частью без подстановки в окончательный результат выраже¬
ния и и v через х и у, а только указывается еще раз их зависи¬
мость. Ответ к предыдущему примеру:
d2f 2ху и3 — 3uv2 ^2 и2 и2 ^
дхду с os4**/ (и2 — и2)2 (u2 — v2)2
I {х — у) cos (х — у) 2/ ч\ In (a2 — t^)
X V — — 4- W cos2 (х — у) Н 1 -f
\ cos2 xy j cos* xy
. 2xys'mxy , / 9 <*4,2и2 1
H — ln (u2 —v2) H h
cos3 xy U2 — V2 cos2 xy
4xys\nxy u2 2uvs\n(x — y)
cos3 xy u2 — v2 и2 — v2
где u=tgxy, v=sm (x-y).
Пример 3. Найдем —u и если u=f(—t —
у F дхду дхдг* ’ \ У * )
Решение.
_аи__г _1_. д*и д /1 ,,\ Lr4-
дх 1 у ’ дхду ду \ у */ у2 1
+■т('" (■-v) +■f»-r) - -V + т,:-
" IT (t )= T r" (- i) “
-v(r5-K'l-±M-*))-
d2u
dx dz
d2u
dx dz2
= —Г + JL/"'
^ '12 2! /122 •
Определение. Если f\G-+Ry область GczRm, /eC2(G), та
вторым дифференциалом функции f (обозначаемым d2j) называет¬
305
ся квадратичная форма от приращений аргументов ДХ|, Дх2, • *.
. . . , ДхтГ
т
d2f = V1 ——— Ахс Ах..
' LU dxL дх,- 1 '
i./=i
В силу равенства Дxt = dx, второй дифференциал функции обычно
записывается в виде
d2f = У ——— dxL dx:.
1 и dXidXj '
i./=1
Пусть Gc:/?m, f:G-+Rn, f^C2(G)y x0^G. Значение первого диф¬
ференциала функции f в точке xq на векторе Л=(Дх*, Дх2, ...
Ахщ) дает линейное приближение приращения функции с по¬
грешностью о(||/г|1) при ||/i||-vO.
f(xQ+h)-f(x0) =Af(x0) =df(x0)h+o(\\h\\)
при Ц/ill-^O.
Значение второго дифференциала функции f в точке х0 на век¬
торе h дает квадратичное приближение разности
Д/(*о) —df(x0)h
с погрешностью o(\\h\\2) при ||Л||-*-0, т. е.
Дf (Xq) -df (х0)h=d2f (хо) h+o (Ц/ill2) (||Л||-*0).
В отличие от первого дифференциала форма второго диффе¬
ренциала, вообще говоря, меняет вид при замене независимых ар¬
гументов Xi на функции xt:A-+Gy AczRq, 1, 2, ..., m, а именно:
пусть GaRmy f:G-+Ry f^C2(G)y ДсzRqy Xi.A-+Gy x,-eC2(G), i =
= 1, 2, ..., m, g:A-+Ry g(tu t2y .... tq)=f(xi(tut2, . tq)y...
xm(tu ..., tq), тогда g^C2 (А), но выражение
Si
(.1=1
не обязано совпадать с выражением
т
£ dSr(Xitfi* •••Xm(<i’ ••• ••• '*)х
«./=1
Xdx,(tu ... tn).
Пример 4. Пусть /(х, у) =^х sin г/ f у cos х, где х и 1/ — неза¬
висимые переменные. Тогда
df = (sin i/—у sinx) dx -f (xcos у f cosx) dy
306
и
d2f— — у cos xdx2 — x si n ydy2 -f 2 (cos у — s i n x) dxdy.
Пусть теперь
g(u,v)=f(x(utv)y y(u,v))9
где f(x, у) определена, как раньше, и x=^uvy у = и2—v2. Тогда
dx = ыс/и vdu, dy — 2udu — 2vdv
и
dg — [sin (u2 —u2) —(a2—a2) sin tw] (udv 4- vdu) 4-
4 \uv cos (u2 — t?) -|- cos uv] (2udu—2vdv) —
— (v s i n (u2 — v2) -f 2u2v cos (a2—v2) 4- 2u cos uv —
— (u2v — v3) sinuv)du 4- (u sin (a2—v2) — 2wu2*cos (ы2 — v2) —
— 2v cos uv — (a3—ыи2) sin ш>) du,
т. e.
= и sin (w2 —u2) -h 2ы2и cos (u2—u2) 4- 2u cos uv — (u2u—v3) sin uu;
du
= u si n (u2 — t;2) — 2wu2 cos (u2—v2) — 2v cos uv—(u3 — ни2) sin ии.
dv
Тогда
= 6uv cos (a2 —v2) —Au3v sin (a2 —i?) —
du2
—4uv sin ии +- (2 4- u4—u2v2) cos uv;
--■e — 2 (u2—t^)cos(u2—v2) 4- (4u2v* 4 l)sin(u3—v2) —
dudv
— 3 (u2 —v2) sin ни —uv (u2—v2) cos uv;
■yj = —6aucos(u2—u2) —4ttt>3sin(a2—a2) -f
4- 4tfusinui; -f (m2^— 2—w4) cosuu.
Следовательно,
d2g = [6uu cos (u2 —u2) — 4^ sin (u2—v2) —
— 4uusinuu-f (2 4-u4—u2v2) cosuu] du2 +
4- [— 6uucos (и2 —v2) —4ay3sin (u2—u2) 4- 4ausinuu 4-
4- (u2i2 — 2—w4) cosuu] dv2 + 2 [2(u2—v2) cos(u2—v2) 4-
307
+ (4u2v2 + 1) sin (и2 —v2) —3 (и2—у2) sinuu—
—uv (и2 — v2) cos uv] dudv.
Если же формально заменить х, уу dx, dy в выражении
через и, vy duy dvy то получим
d2f = —у cos xdx2—xsin ydy2 + 2 (cos у—sinx) dxdy =
= (— (и2 —v2) cos uv) (ivdu -f udv)2 —uv sin (a2—i^) (2udu—2vdv)2 -f
-h 2 (cos (a2 —v2) —sin uv) (vdu -f udv) (2udu—2vdv) =
= [4tti>cos(u2—v2)—4a3asin (u2—v2)—4uvslnuv -f
+ (u4 —u2v2) cos uv] du2 + [— 4uv cos (u2 —v2) —4uv3 sin (u2 —v2) -f
+ 4uv sin uv 4- (u2xP — a4) cos uv\ dv2 -f 2 [2 (и1—v*) cos (и1 — и2) -f-
-f 4u2uasin (u2—v2)—2 (u2—v2) sin uv — 2uv {u2—o2) cos uv] dudv.
При а = я/2, v = 1 и dv = 0, du^=0 имеем
т. e. d2g^d2f.
Пусть область Gc=/?m. Если функция f: G-W?, f(x) =/(xb ...
.xm) линейно зависит от каждого х„ i=l, 2, m, то все ее
вторые частные производные равны нулю, следовательно, в силу
определения d2/==0; в частности, для функции л*(х)=х,, имеем
d2я^ = d2xi = 0.
Пользуясь теоремой о дифференцировании сложной функции, по¬
лучаем следующую формулу. Если / : G -+■ /?, G с: /?т, / е С2 (G);
х = (х,, х2,... , xmj: Д -+G, Х;: А -*/?, A cz /?7, xi еС2(А), i — 1, 2,
... ,/п; g: Д-*./?,£(0=£(*1Л."- Jq)=f(x1(tlyt2f... JQ)\ x2(tltt2,
• • • » /?)» • • • I Xm (/j, ^2» • • • i tq)) » TO
m
m
Перепишем эту формулу в виде
т
i = I
308
Коротко это соотношение можно записать формальным равенст-
1шм:
** = & (%■*') ~d (S ъ *') ~dm•
1 = 1 1=1
которое удобно использовать при вычислениях.
Пример 5. Найдем первый и второй дифференциалы функ¬
ции z(x, y)=f(u, v, до), если и^=х2+у2, v = x2—у2, w = 2xy, х и у—
независимые переменные и /eC2(G), Ge/?3.
Решение. Так как
du = 2xdx 4 2ydy\ dv = 2xdx—2ydy\
dw = 2ydx 4 2xdy\ d2u = 2dx2 + 2dy2\
d2v = 2dx2—2dy2\ d2w = 4dxdy,
to
dz = fidu 4 f2dv -j- f3dw = f [ (2xdx 4 2ydy) 4
4 /2 (2xdx—2ydy) 4 /3 (2i/dx 4 2xdt/) = (2x/J -f 2x/i 4 2yf3)dx -4
4- (2f//I —2yf2 4- 2xU)dy\
d2z = /»1 (2xdx4 2£/dc/)24 fl2 (2xdx—2ydy)2 4- /33 (2ydx + 2*cty)a 4*
4- 2/;a (2xdx 4- 2ydy) (2xdx — 2ydy) 4 2/[3 (2xdx 4- 2(/ch/) X
X (2ydx 4 2xdy) 4 2/23 (2xdx—2ydy) (2ydx 4 2xdy) 4-
4- /1 (2dx2 4. 2dr/2) 4 /2 (2d*2 —2d*/a) 4 /3 4<toh/ =
= (4x2fu 4- 4x2f22 4- 4y2fs3 4 8x2/i2 4- 8xt//13 4- Sxyf23 4- 2f\ 4- 2/2) dx* +
+ (4y2/u 4 4y2f22 + 4х2/зз—8i/2/i2 4 Sxyfu—8xyf*23 4 2/1 — 2/2) djf* +
4- (8x«//i 1 — Sxyf22 4- Sxyfzz 4 8 (x2 4 y2) + 8 (x2 —y2) f23 4- Afz)dxdy
или
d2z = d \(2xf\ 4- 2x/i + 2yfz) dx 4- [2yf\ —2yf2 4- 2xf3) dy\ =
= [2/idx 4 2xd (/i)4 2f2dx 4 2xd (/2) 4 2f3dy 4-
4 2ydf3] dx 4 [2f [dy 4 2yd (f\) —2f2dy—2yd (f2) +
4 2f3dx 4 2xd (/3)] dy = 2f[dx2 4 2f2dx2 4 4f3dxdy 4
4 {fwdu 4 fndv 4 fndw) (2xdx 4 2ydy) 4 2f\dy2—2f2dy2 4-
4 (f”2du 4 flidv + fltidw) (2xdx—2ydy) 4
309
+ (f’idu 4- flidv + fxdw) (2ydx + 2xdy) =
= 2ftdx2 -f 2f?dx2 + Af'idxdy + (2xdx + 2ydy) x
X [/m (2xdx + 2ydy) + fn (2xdx—2ydy) +
+ /1з (2ydx + 2xdy)] + (2xdx—2ydy)■ \fn (2xdx + 2ydy) +
+ /22 (2xdx—2ydy) + /23 (2ydx + 2xdy)] +
+ (2ydx + 2xdy) ■ [f"i3 {2xdx + 2 ydy) + f‘23 (2xdx—
—2ydy) -f- /33 (2ydx + 2xdi/)] + 2fidy2—2fldy2.
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
Теорема. Если отображение F: U-+R", определенное в окре¬
стности U точки (хо, yo)^Rm+n, x0eRm, y0<=iRn таково, что
1) F(xо, уо) =0;
* U),
— обратимая матрица ()" = {«/, (*о. y)eU),
(хо>Уо)
то существуют (т + л)-мерная область V= VxX Vjczt/, где
Vx :{xy xe=Rm, \\x—x0\\<a}t
Vy :{y, y^Rn, \\y—y0\\ < P),
и такое отображение
f:Vx-^VnYt /еС*(УЙ,
что для любой точки (jc, y)^V соотношение F(jc, у)— 0 эквива-
летно соотношению */=/(jc), т. е. F(jc, /(jc))==0, x^Vxm-
В координатной форме эта теорема выглядит так.
Пусть задана система уравнений
F1 (х1( хг, ... ,хт, уи уг,..., уп) =0,
^*2 *2» • * * * У\у Уя* •••» Уп)
2) /-'еС*
»(£)
(*^|» -^2 ♦ * * * > » l/l> Уъ> • • • » ^/п) ^
и выполнены условия:
1) существует точка
(*о, Уо), = К» - • • .*2,). Уо = (У°{> >У°п)
такая, что F, (jc0, уо) =0, /= 1, 2, ..., п\
2) существует такая окрестность U(x0, i/o)c:/?m+n точки
(*о, l/о), что
^бС*(1/(хв|й)), 1 = 1,2, ... ,п, А>1;
310
3) якобиан
9Ft
dFx
‘
ал»
dFn
001
в точке (х0у уо) отличен от нуля.
Тогда существует окрестность V(x0)czR'n точки х0 и функции
tfii t/,eC*(V(л'о)), /=1, 2, — , я, та'кие, что
Ff(xU Х2, .. • , Хт, У\(хи . i'm), . . Уп(Х\, . . . , Хт))==0,
/=1, 2 л,
е области V(x0).
Функции у\, у2, •.., Уп называют неявно заданными данной
системой уравнений или неявно определенными данной системой
уравнений.
При дифференцировании неявно заданных функций существен¬
но используется независимость формы первого дифференциала от
того, независимые или зависимые переменные являются формаль¬
ными аргументами. Действительно, пусть в некоторой области
GczRm функции у\(х), у2(х), .... Уп(х), х=(х лт), класса
С1 (G) обращают уравнения системы Fj(x, г/) = 0, j — 1, 2, .п,
(х\, ..., xm), t/= (у 1, ..., уп)у в тождество, тогда в этой облас¬
ти справедливы равенства dF,(x, у(х))= 0, / = 1, 2, ..., п. Таким
образом, дифференциалы переменных х\, х2, ..., хт, уи • ••. Уп
в области G связаны системой линейных уравнений
Si^dx‘+b'^"‘y-~o-'~u2 ”•
i=i a—i
Если якобиан
dFx
dFx
dyi
дУп
dFn
dFn
дух
дуп
отличен от нуля, то из этой системы однозначно выражаются
дифференциалы dy\, dy2 dyn как линейные формы относитель¬
но dx 1, dx2, dxm. Коэффициенты полученных линейных форм
являются соответствующими частными производными
0 = 1 2, ... ,л, I* = 1, 2, ... , т.
дх(
311
Пример 1. Функции и(х, у, z) и u(jc, у, г) определяются
системой
JO/—2 cos u cos v = О,
t/z—x cos и • sin v = 0.
Найти
da ды дм д:' du dv
dx dy dz dx dy dz
Решение. Дифференцируя данные уравнения, получаем
ydx + xdy— dz cos и cos v + z sin и cos vdu + z cos и sin vdv = 0,
#dz + zdy—dx cos и sin v + x sin и sin vdu—x cos и cos vdv = 0.
Откуда
da = ——— [(jq/ cos v—z cos и sin2 u) dx -f-
xz sin и
+ (x2 cos v-j-z2 sin v)dy -f (yz sin v—x cos и cos2 v) dz] ,
dv = ——— [(z cos и sin v cos v -j- xy sin u) dx -f
xz cos и
+ (x2 sin v—z2 cos v) dy — (yz cos v -f jc cos и sin и cos v) dz]
и, следовательно,
dw z cos «sin2 и — xycosv du —(x2cos v -f- za sin v)
dx xz sin и dy xz sin и
du x cos и cos3 v — yz sin v dv __ — z cos и sin v cos v — xy sin v
dz xz sin и * dx xz cos и
dv z2 cos v — x2 sin v dv yz cos v -f * cos и cos и sin v
dy xz cos и 1 dy xz cos и
Данная система определяет функции и(:с, у, z) и u(jc, t/, z) в не¬
которой окрестности точки (jc0, уо, z0) такой, что jc0z0 cos Mo sin иьФ
ф0> где н0, v0 удовлетворяют уравнениям
*оУо—гоcosиоcos#ого—*оcosuosin= 0.
Точно так же можно было бы взять в качестве независимых
аргументов любые три из переменных jc, у, z, и, у, а оставшиеся
два переменных считать их функциями, например, рассматривать
z и и как функции z(x, £/, и) и u(xt у, и). При этом система, свя¬
зывающая дифференциалы dx, dt/, dz, da, du, остается той же,
только разрешается уже относительно dz и du.
Если нужно найти производные —yq , <7 = 1, 2, ..., я, не для
dxi
всех t(t=l, 2, m), а только для некоторого i0t то обычно рас-
312
сматривают систему + У 1 = О, 1^/^п, получен-
dxi0 дУя дхц
ную дифференцированием системы тождеств F}(xь ..., хт, уи •••
уп) =0, 1</<л, по переменной х<0, считая yi функциями
от
Точно так же система уравнений для вторых производных
- д Уя имеет вид
дхсдхк ’
dzF/ (X;, х-2, . .. , хт. Vi (*i > ■ - • . хт). У2 (Х1 ■ • • • . *rn). • • • I Уп(х ■ 1 хт) q
d-tjdx*
/ = 1.2 л,
или в форме вторых дифференциалов d2Fj = 0, /=1, 2, .л. При
этом уже необходимо заранее распределить, какие из переменных
являются независимыми, а какие зависимыми, поскольку, как
было показано выше, форма второго дифференциала существенно
зависит от того, независимыми или зависимыми являются фор¬
мальные аргументы соответствующей функции.
Вернемся к уравнениям предыдущего примера. Выберем за
независимые переменные ху у, z, тогда, как отмечалось выше,
d2x = 0, d2y = 0, d2z-= 0. Пользуясь формулой d2Fj = d(dF,), получа¬
ем систему уравнений, связывающих переменные ху у, z, и, v и их
первые и вторые дифференциалы:
2dxdy -f 2dz sin a cos vdu -f 2dz cos a sin udu -r
+ z cos u cos udu2—2z sin и sin vdudv + z sin и cos ud2u +
-f- z cos u sin vd2v + z cos и cos udu2 =0,
2dzdy f 2dxsin u sin udu—.2dx cos и cos vdv + x cos u sin vdu2 +
+ 2x sin u cos ududu + jc sin и sin ud2u —x cos и cos ud2u +
-f x cos u sin udu2.
Подставляя в полученные уравнения выражения du и dv в виде
линейных форм от dx, dr/, dz и разрешая систему относительно
d2w, d2u, получим выражение этих дифференциалов в виде квад-
, . . . D d*U
ратичных форм от djс, dy, dz. Вторые производные ,
dx2 dxdy
и т. д. выражаются через соответствующие коэффициенты этих
квадратичных форм. Эти вычисления в силу их громоздкости
здесь полностью не приводятся. Покажем, как найти одну из част¬
ных производных, например ~д и ■ . Дифференцируя уравнения
дудг
системы в предыдущем примере по «/, получаем
ди ди л
z + xsin и sin у — x cos ы cos v-^- = 0.
ду dy
Дифференцируя эту систему по г, имеем
ди , du du
Sin и cos V f-zcos и СОSV .
ду dz ду
dv ди . dv
—asm и sin v (-cosusini/
dz ду ду
dv ди , dv dv
— 2 sin u sin V (- z cos U COS V h
dtj dz dy dz
d2u , d2v л
4- z sin u cosy \-2cos a sin v = 0,
dydz dydz
. , ди ди du dv
1 -f x sin v cos и b x sin и cos v r
dy dz dy dz
dv du . dv dv
4- x sin и cos V h xcosu sin V h
dy dz dy dz
d'-u d2v ~
4- x sin и sin V x cos и cos V =- 0.
dydz dydz
r, du du dv dv
Подставляя в эти уравнения выражения для , , , „
dy dz dy dz
d*u d'-v
получим систему, решая которую можно наити ----- - и - .
На практике удобнее для нахождения одной из вторых про¬
изводных дифференцировать по соответствующей переменной со¬
отношение, определяющее первую производную, учитывая, какие
из переменных в этом соотношении независимы и какие зависимы.
Так, в нашем случае
d2u __ d / du \
dydz dz \ dy )
12z sin v 4
d I x- cos v + z2 sin v \
dz \ xz sin и
dv л dv \
- cos v — x sin v —-— xz sin и
dz dz )
/ du
(xz cos v 4- z2 sin v) I jc sin u 4- xz cos и -
+
x2z2 sin2 и
ms и
dz
x2z3 sin2u
Подставляя сюда выражения
du x cos и cos2 v — yz sin v
dz xz sin и
И
dv _ yz cos v 4- x sin v cos v cos и
dz xz cos и
314
получаем
д*и 1
[x*z cos и cos v (2 sin2 и sin2 v +-
dydz x3zJ sin3 и
+ cos2 u) -h xZyz2 cos v sin v (sin2 и —cos2 u) +
-f x2z3 (cos2 и cos2 v—si n2 и — si n2 и cos2 v) —
—xyz4 (sin2 и cos2 v + cos2 и sin2 u)].
Методом последовательного дифференцирования находятся
производные высших порядков, но технические трудности при их
нахождении все более возрастают.
Пример 2. Функции и(х, у) и v(xt у) независимых перемен¬
ных х и у определены соотношениями
xeu+v -f 2uv = 1, yeu~v -— = 2x.
Найти du, dv, d2u, d2u в точке jto=l, «/o = 2 при u0 = v0 = 0.
Решение. В тех точках, где выполнены условия теоремы
о неявных функциях, переменные х, у, и> v, их первые и вторые
дифференциалы связаны уравнениями
еи+с dx + хе?+ v (du -f dv) f 2 (udv + vdu) = 0,
e“~v dy f yeu~v (du —dv) -— du H —— = 2dx,
1-1- V (H-r-)*
2eu+v dx (du 4- dv) + xeu+v (du + dv)2 -j-
_l_ xeu+v _j_ d2v) + Adudv + 2udv2 -j- 2vdu2 =0,
2dyeu~v (du—dv) -f ye*-v (du —dv)2 -f
Так как в точке (x0, Уо, u0f и0) условия теоремы о неявных функ¬
циях выполнены, то du( 1, 2), dv( 1, 2), d2u( 1, 2), d2v( 1, 2) удов¬
летворяют уравнениям
dx + du + dv = 0t dy + 2(du—dv)—du — 2dx,
2dxdu -f 2dxdv + (du 4 dv)2 + (d2u + d2v) -f- Adudv = 0,
2dydu—2dydv + 2 (du—dv)2 -b2 (d2u—d2v) —d2u + 2dudv = 0,
откуда
1 fo
+ (<i2a —d2u) ——h
l + «
2dudv . ud2v 2 udv2
315
d2u (1,2)=-—- dy2 —^-dxdy, d2v (1,2) =
= dx2 — dy2 — dxdy.
27 9
В частном случае, когда определяется неявно одна функция
у : G-+R, GaRm, т. е. задано одно уравнение F(хi, х2, ..., хту у) =
=0, формулы для первых частных производных функции у выпи¬
сываются в общем виде:
dF
ду дх(
, /=1,2, ... ,т.
dxi ’ ’ (2)
dy
Пример 3. Найдем первые и вторые производные функции г (ху у),
если г = Ухг-у*- tg
Решение. Перепишем уравнение, неявно определяющее z,
в виде
-tg = 0.
У хг — у* Ух* —у*
Способ 1. По формуле (2) получим
yz 1/2 1
(I' **-»*)* (Ухг-у*)> г
дг С°$ V х- — У2
ду ~ 1 I
У*г — Уг ? „ г
у •cos' yw^'
2 X XZ 1
(x* — y*)3/2 " (ж2 —у2)3/2
dz / х2—у2
~дх~~ 1 1
у Х~ — у* г— -
У х2 — t/2 cos
У — у2
Так как
1
= 1 + tg* —==-=1 +-
z - • ° у хг _ у2 - ■ хг — у1 '
c°s2—7===Г
у х — у
ТО
dz xz dz yz
дх x2 — у2 ’ ду х2 — у2
316
дхду ду \х2—у2) (х2 — у2)2 х'2 — у2 ду (х2 — у2)2
Способ 2. Имеем
dl-,A^-\ ‘ л( *— Uo,
I /*2 — y2 j „ г \ /х2 — у- )
COS ; -
У X2 —у2
следовательно,
d(TW=w)’°
(если cos2 — - 2 ■■ = 1, то также d (—--z~— ) = 0 ). Отсюда?
I Ух*-у2 * I Ух2-у2 ) }
dz (xdx — ydy) z ^
у JTZy* (*а _ ^2)3/2
И
д. — 2 (xdx —ydy)
x2 — у2 “
Далее,
d2z = dz . J^dx-_ydy_ z _
x2 — t/2 JCa — y2
/ j j \ %xdx — 2ydy
— Z (xdx — ydy) =
V (x2-y2)2
- ^ . dx* +. - *F_. dxdy.
(Xi_j,s)s (x2 - У-)1
Отсюда получаем
d2z y2z a d2z x2z # d2z xyz
dx2 ~ {x2—y2)2 ' ”ay* ~ (jc2 — y2)2 * ~~ (*2 —у2)2
Пусть задано отображение /: G-+Rm, GaRm, где в координат¬
ной записи Ы*1, *2, •••, *m)=l/l, . /т(*|, Х2, *т) = */т, * =
= (*i, *2, • • •, Тогда переменные х]у х2, ..., хт, */п»
связаны системой уравнений y—f ,(а,, .Am)=0, -Эта
система при соответствующих условиях представляет неявное за¬
дание обратных функций = Ут), Дифферен-
цировать обратные функции по общему методу дифференцирова¬
ния неявных функций проще, чем находить обратную матрицу
к матрице Якоби отображения /.
Пример 4. Найти условие существования обратных функ¬
ций и(х, у, г), v(xt уу z)y до(a, уу г) и их дифференциалы, если
x=uvcoswy y=uv sin wy z=u+v-\-w.
Решение. Как было вычислено в примере 7, на с. 298 якобиан
отображения f: (иу v,w)-+(ху уу z) равен uv(u — v)y следовательно,
обратные функции определены в окрестности каждой точки (х0, у0у г0),
если х0 ••= u0vQ cos w0f у0 --= uQv0 sin w0, z0 = u0 + v0 + w0 и u0v0 (u0 —v0) Ф 0.
При этом условии переменные a, yyztuyvyw и их дифференциалы
связаны уравнениями
dx = v cos wdu -f и coswdv—uv sin wdw,
dy = v sinwdu i- и sin wdv -l- uv cos wdw,
dz = du -f dv -f dw.
Разрешая эту систему относительно duy dv, dwy получим
du = [(sin a,* — vcosw) dx — (cosw -f-usinaj) dy ruvdz],
v(u — v)
dv— [(u cos w — sin до) dx -f (cosдо -f-и sin до) dy—uvdz],
u(u — v)
1— [—sin wdx cos wdy\.
uv
Остановимся еще на одном частном случае неявного задания
функции, а именно на параметрическом задании функции двух
переменных. Такое задание функции имеет вид
х- = х (и, V), у = у(и, v), z=z(u, V), (3)
х, У.ге С1 (Д), Д aR*(u,v).
Для определенности считаем, что соотношения (3) определяют
переменную г как функцию переменных х и уу тогда переменные
и(ху у) и v(xy у) рассматриваются как промежуточные парамет¬
ры в определении z(xy y)=-z(u(xy у)у и(х, у)). Из общей теоремы
о существовании обратных функций следует, что в окрестности
точки (Хо, Уо). в которой
Оо. vo)
у'и{*о.°о) У’Лио.уо)
определены функции и(ху у) и v (а, у) — обратные к функциям
Ф 0.
318
x = *(u, и), у = у(и, v), где *о> Уо, и0, Vo связаны равенствами х0 =
•**(и0, ио), Уо = у(ио, и0). Следовательно, в этой окрестности оп¬
ределена функция z(xt у) = z(u(x, у), и(х, (/)).
Разумеется, данные соотношения (3) можно рассматривать и
как параметрическое задание функции х=-х{у, z) или функции
у = у(х, г) при выполнении условий существования соответству¬
ющих обратных функций.
Пример 5. Найдем первый и второй дифференциалы функ¬
ции z = z(x, у)у если
jc = ucosy, у = и sin и, z = au \-bv.
Решение. В данном примере кажется возможным аналити¬
чески выразить и(х, у) и v(x, (/), а именно и = ±l/xa + у2 v =
*=arctg—. Но в таком представлении, во-первых, функция v(xfy)
не определена для х = 0 и, во-вторых, функция v принимает зна¬
чения только в интервале (—д/2, я/2), в то время как в соотно¬
шениях х = и cos и, у = и sin и как и, так и v могут принимать лю¬
бые значения на всей числовой оси и для о — -^+л/г, k<=Z,
имеем х = 0. Кроме того, часто функции и(х, у) и v(x, у) вообще
не выписываются в аналитическом виде. Найдем дифференциалы
обратных функций и(х, у) и d (jc, у) из системы
( dx — cos vdu —и sin vdv,
dy — sin vdu + и cos vdv.
Имеем
du = cos vdx + sin vdy, dv — -cos v dy
Sin V f
dx.
и
и
dz = adu+ bdv = [acosv
Подставив выражения du и dv в dz, получаем
» , , u / fcsinu \ /
\
Далее,
•л / . . b cos и , . b sin v j \ ,
aa2 = —a sin vdv dv H du\dx +
\ U и? J
. { . b sin v , b cos v , \ ,
+ [a cos vdv dv du)dy —
\ u J
( b cos v \ ( cos v , sin v , \ ,
= ( —asmv J I dy dx\ +
—as mv
319
. Г / b sin v \ I cos v , sin v \ ,
+ [ros‘'———)*-
— b cos v ^cosvcix sjn ^ sin2u + JL sjn 2v]dx2 4-
u2 \ u u J
4- cos2u—sin dy2 — sin 2u-r-^-cos 2vjdxdy.
§ 6. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Методы дифференцирования сложных и неявно заданных
функций используются для замены переменных в дифференциаль¬
ных выражениях. Эта задача для функции одного переменного
была рассмотрена в разделе «Дифференциальное исчисление
функции одного переменного». Здесь будут рассматриваться
функции многих переменных, и для простоты изложения ограни¬
чимся случаем функции двух переменных.
Постановка задачи. Пусть задано некоторое выражение
Л, в которое входят переменные х, у, функция г и ее частные про¬
изводные по х и у до некоторого порядка к. Пусть далее перемен¬
ные х и у выражаются через новые независимые аргументы
jt=jс(м, и), у— у(и, v). Требуется преобразовать данное диффе¬
ренциальное выражение Л так, чтобы в него входили переменные
uy v, функция z и частные производные соответствующих порядков
функции г по переменным и и и. Предполагается, что все преоб¬
разования делаются в таких областях изменения х, у, и, и, что
существуют обратные функции и = и(ху у), u = v(x, у) и все рас¬
сматриваемые функции достаточно гладкие.
Тогда
дг дг ^4. ^z ^u 4- ^z
дх du dx dv dx ’ dy du dy dy dy
Чтобы выразить вторые производные функции г по х, у через про¬
изводные z по и, v и производные и и v по х, у, дифференцируем
выражения первых производных. Например,
д2г d ( dz \ d ( dz \ du , dz д2и
d I дг \ _ d (dz\du +
дхду dy \ dx j dy \ du ) dx du dxdy
д I dz \ dv dz dzv
~dy J' ИГ
dv dxdy
d2z du , d2z dv \ du dz d2u
/ d2z du ^ d2z dv \ du
\ du2 dy dudv dy J dx
t I d2z + dv ^ d" | dz. d*v
\ dudv dy dv2 dy J dx dv dxdy
du dxdy
4
Аналогично находятся производные любого порядка.
320
Обратим внимание на то, что в приведенных формулах фигури¬
руют не производные функций х(иу и)у у (и, и)у а производные
обратных функций и(х, у), v(xy у). На практике связь между пе¬
ременными ху yt иу v задается как соотношениями вида х = х(иу v)y
у у(иу v)y так и соотношениями вида и = и(ху у)у v = v(xy у) или
<|)i (дс, уу и, v)=0, ф2(х? уу иу и)=0. При любом задании этой связи
удобнее пользоваться при замене переменных именно производ-
ди ди dv dv
IIыми , , , .
дх ду дх ду
Пример 1. Приняв и и v за новые независимые переменные,
преобразуем уравнение
= о,
а*2 ду2
если и —хуу v = —.
у
Решение.
дг дг 1 дг дг ^ дг дг
дх ди у dv ду ди у2 dv *
дЧ _ д ( dz 1 dz \ ( d2z 1 d4 \
dx2 dx V У dv I \ диг у dudv )
dx2
+ ± (Л- у + . ±\ = у,*L + 2 -ZL. + JL *L
у \ dudv dv2 у I du2 dudv у2 dv2
d2z
ду2
j£ х dz \ = / а»г ^ _ а2г \
dy \ du y2 dv ) \ du2 y2 dudv j
x_ / d2z ^ x_ d2z \ 2x dz
y2 \ dudv уa dv2) y3 dv
r1 d2z d2z
Подставляя выражения и в исходное уравнение, полу¬
чаем
d2z 2х dz d2z dz
4* лГ =0 или 2ul^r=
Пример 2. Приняв и и v за новые независимые переменные,
преобразуем уравнение
, aaz , 2 Л
Ь m2z = О,
дх2 dy*
если
x = eucos у, # = sin и.
г. -г du ди dv dv
Решение. Вначале необходимо наити , , , .
дх ду дх ду
321
Запишем соотношение между дифференциалами dx, dy, du, dvz
dx = eu cos vdu —sin vdv,
dy = sin vdu -f e“ cos vdv.
Следовательно,
da = eru cos vdx + e~u sin vdy\ dv = —eru sin vdx -f- cos vdy
и
du ди
= erucosy, = ег~иsm v,
дх ду
dv . dv
— = —e~u si n v, = e~u cos v.
dx dy
Теперь имеем
dz dz d?
= — eru cos v e~u sm irt
dx du dv
dz dz „ . dz
= e~u sin v н er~u cosu,
dy du
d*?
e~u cos v
dx*
/ d*z
{ du2
a*z
cos и sin v
dv
—e~u sin v
dudv
eru cos v eru sin v
dv2 ,
■)-
dv*
er2u cosai> -f <r*2u sin2 о—2
d2z
e~2u cos v si n v
dudv
-f -R— (e~2u sin3 и—e~2u cos2 v) -f 2-^— er2u cos у sin vt
du dv
-f e~u cos v
322
^*г - e“2usin* v + е~2и cos* v + 2 — z e"*2tf'sin v cos v -f
du% dv1 dudv
+ R— (e~2u cos* v—er2u sin2 u) —2-^-e~2a cosusina,
du dv
и данное уравнение преобразуется в уравнение
д'г , дН
du2 dv2
-f e2um*z = 0.
Более общий случай замены представляет собой переход от
функции z(xt у) к функции w = w(u, v) при условиях связи пере¬
менных Ху у t z, и у v, до вида /i(jc, г/, z, иу v, до)=0, /г(*, у, z, u, v,
ш)= 0, /з(*, f/, z, и, и, до)=0. Кроме того, между переменными
jc, t/, z есть зависимость z—z(jc, у)=0.’Итак, имеем систему четы¬
рех уравнений с шестью неизвестными:
fl (x,y,z,u,v,w) = 0,
ft(x,y,z,u,v,w) = 0,
/з (*,{/,г,и,и,ш)=0,
z—z (*,«/) =0.
Предполагая опять, что преобразования делаются в соответствую¬
щей области, считаем эту систему определяющей четыре функции
двух аргументов:
и = и(х,у), v = v(x,y), w = w{x,y), z=z(x,y).
Решая соответствующую линейную систему, связывающую диф¬
ференциалы dXy dy, dz, du, dvt dw, относительно du, dv, dWy dz,
получаем выражения для частных производных функции и, v, до
по х, г/. Подставляя эти выражения в равенства
дш dw du ^ dw dv dw dw du dw dv
dx du dx dv dx dy du dy , dv dy
dw dw dz dz
получаем уравнения, связывающие , с , . из кого-
dw dv dx dy
dz dz dw dw ,, „
рых находим выражения и через —и . Чтобы выра-
dx dy du dv
знть вторые производные функции z по ху у через и, v, w и про¬
изводные до по и и v, либо дифференцируют выражения
dx
dw
по переменным хну, например,
d2w d2w fdu\2 0 d-w / dv du \ d2w ( dv \2
dx8 du%
f du \2 d2w I dv du \ d2w ( dv \2
\ dx J dudv \ dx dx J dv2 \ dx )
_j_ аац ^ dw d2v
du dx* dv dx2 *
323
либо дифференцируют по х и у найденные выражения и
дх ду
в зависимости от конкретной ситуации (см. приведенные ниже
примеры).
Пример‘3. Приняв и и у за новые независимые переменные,
преобразуем уравнение
дг дг х
дх ^ ду г
если
u — 2x—z2t v = —.
г
Решение. В данном примере замена функции z не осуществ¬
ляется, но, поскольку z входит формальным аргументом в выра¬
жения переменных и и у, применяем общий метод. Учитывая за¬
висимость z от хну, получаем
-^- = 2—2г-^-, -^-=-2г-^-.
дх дх ду ду
дг
2 — у
dv у dz dv ду
дх г2 дх ду г2
Следовательно,
— =—(2—2г—) + —(—— ■
дх ди \ дх ) dv \ г2
дг _ _дг_ / j}z\ + _дг_ /_1 5
ди ди \ ду ) dv \ г г
—)■
дх )
дг
• ду
откуда
2 -1- д2
дг ди дг z dv
дх 1+2zJL + JLJL ’ ду ,+22jL+JLJ>L '
ди г2 dv ди г1 dv
Подставляя эти выражения производных и выражения
и + г2
X = и у = У2
2 *
в исходное уравнение, получаем
у-^- (г8 — и2) = z (и2 4 г2).
ди
Пример 4. Приняв и и у за новые независимые переменные,
а до за новую функцию от и и и, преобразуем к новым перемен¬
ным уравнение
324
(ху + г) — + (1 — у*) =х + уг,
дх ду
если
u = yz—xt u = xz—у, w = xy—z.
Решение. Дифференцируя w как непосредственно заданную
функцию w = w(x, у, z(xy y))t получаем = у —. Запи-
дх ' дх
шем теперь выражение дифференцируя функцию w как ком-
дх
позицию w = w(u(x, у, г(х, у)), v(x, у, z(x, у))): . -^- +
дх ди дх
. JlL Подставляя сюда выражения производных =
dv дх дх
dz л dv dz
== у 1 и = z + x , получаем, что
dx dx дх
dw
~дГ
:^L(yJL_i)+JE.(z + xJL)_
да Г дх ) dv \ дх )
Приравнивая найденные выражения получаем уравнение
dz dw I dz , \ . dw [ dz \
у-17=17^1Г-1)+1г(2+х1г)-
из которого находим, что
dw dw
Л У + ~Т~—
dz ди ду
dr dw dw
ди dv
Таким же методом получаем уравнение
dz dw I dz \ . dw I dz ,\
x = z + w н x 1 ,
dy du \ dy J dv [ dy )'
из которого находим, что
dw ^ dw
dz du dv
du ~~ dw dw *
du dv
Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение,
получаем
(— 2xyz—z2-f 1—у2—*2)=0, т. е. -^-=0.
dv dv
325
Пример 5. Приняв и и v за новые независимые переменные»
aw за новую функцию от и и vt преобразуем к новым перемен¬
ным уравнение
•** (f + W -^-)2 = Z2 —. —,
\ дх ) \ ду ) дх ду
€СЛИ
x=uew> у = vewy z=wew.
Решение. Выразим сначала duy dv и dw через dx и dy. Из
системы
dx = ewdu + uewdw,
dy=ewdv+vewdw9
dz=ewdw + wewdw
находим выражения duy dv и dw как функции dx, dy и dz. Заме¬
няя в этих выражениях dz на
дг . . дг .
— dx + — dy,
дх ду
получаем
du--
1
dv — •
dsj =
ew( \ -\-w)
1
e^( I + w)
Следовательно,
|^1 4- w—и —u j i
-vi7dx+{l+w-vit)d 4
dz § dz .
—— dx + —dy
du
dx
dz
~dx
oy
dx
du
*w( 1 + w)
dz
- и
dy
dy ew(\ + w) '
дг
dv
dx
dw
dx
ew( 1 4- w)
dz
17
dv
dy
14- w— v
dz
dy
dx <?*(!+w) ’
dw
dy
dz
dy
ew( \ + w)
Приравнивая выражения -^5-,-^-f полученные дифференциро-
dx dy
326
•лнием функции w, заданной непосредственно как w=w(x, у, г(х„
у)) и как композиция w = w(u(x, 1/, г(х, #)), v(xt у, z(x, у))), по¬
лучаем уравнения
дг дг
l-1-t»—и v
1 дг dw дх dw дх
дх ди ew(\+w) dv ew(\+w)
дг \ л. дг
и 1 -f"w—v
1 dz dw dy dw du
**(14-10) dy dy ew(\ + w) dv «"(l-f-w)
из которых находим, что
dw dw
дг 17{1+W) Зг (1+e’)lT
^ l+u*?L+to ’ ду 1 + |* + * •
du dv du до
Подставляя эти выражения производных и выражения x = uew,
y = vew, z=wew в исходное уравнение, получаем
U* (^L)2 + В» (—Y = W> — . —
\ ди ) [do ) ди до
Пример 6. Преобразуем уравнение (x—z) 4-у-^- =0,
дх ду -
приняв х за функцию, а у и z за независимые переменные.
Решение. Чтобы было удобно пользоваться общим методом,
введем переменные и, и, w так: w=xt и—у, v = z. Приравнивая
выражения полученные дифференцированием функции
дх ду
w, заданной непосредственно как w = w(x, у, z(x, (/)) и как ком¬
позиция w = w(u(x, у, z(х, у)), v(x, £/, z(xt y))t получаем урав¬
нения
j _ дш q дш dz
ди до дх
0 — dw j _|_ dw dz
du dv ду
откуда
dw dx
dz 1 1 dz du dy
dx dw dx ’ dy dw dx '
dv dz do dz
Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение,
получаем
dx
У— = г.
dy
327
Пример 7. Приняв и и и за новые независимые переменные,
a w за новую функцию от и и vt преобразуем к новым перемен¬
ным уравнение
Л 2—^- + -^_ = 0,
дх2 дхду ду2
если
У г
и = х + у, 0 = —, ш = .
JC X
Рг-г дш ддо
ешение. Приравнивая выражения , , полученные
дх ду
дифференцированием функции до, заданной непосредственно как
w = w(xt у, z(x, у)) и как композиция w = w(u(x, у, 2(д:, t/)),
i/(x, е/, z(x, у)), получаем уравнения
z ^ 1 dz дш у dw
х% х дх ди х2 ди
1 dz ^ 1 dw
х ду ди х ди
откуда
дг ^ dw у dw ^ z дг ^ dw dw
дх ди х ди х ду ди dv
Далее,
д2г d / dw у dw z \ dw / d2w у d2w \
дх* дх \ ди х dv х ) ди \ ди2 х2 dudu /
У ^ У / d2w у d2w \ _z_ 1 дг _
х% dv х \ dudv х2 dv2 J х2 х~ dx
d2w 2у d2w , у2 d2w , п dw
= х h— h 2 ;
du2 x dudv x3 dv2 du
I dw , dw \ ( d2w 1 d2w \ .
\ ~da lfo~)~X{ du* ~ dudv)
a*z
d
dy2
ду 1
+(
d*w
h
dudv
d*z'
d
dxdy dy
1 d2w \ d2w 0 d2w 1 d2w
= X h 2 1 .
x dv2 ] du2 dudv x dv2
I dw у dw г \ x I d2w ^ 1 d2w \
\ du x dv x j \ du2 x dudv )
1 dw у I d2w 1 d2w \ ^ 1 dz
x dv x \ dudv x dv2 ) x dy
d2w Л y\ d2w y_ d2w dw
du2 \ x I dudv x2 dv2 du
Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение,
получаем
§ 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Определение. Пусть поверхность S задана в R3 непрерыв¬
ной функцией z=f(x, у), т. е. S:{(*, у% f(xf y))t (xt y)^D) и
точка s0 = (аг0, у о, Zo) eS. Плоскость Р : А (х—х0) + В (у—у0) +
4- С (г—20)=0, проходящая через точку s0t называется касатель¬
ной плоскостью к S в точке s0j если
\f(x,y)— Л =0(V(x—х0)л + (у— Уо)), V(x—Х0)* + (у—у0)я О,
где точка (х, у, f(xt y))^S и точка (х, у, z)^P.
Аналогично определяется касательная плоскость, если поверх¬
ность задана непрерывной функцией х=х(у, г) или y=y(xt z).
Поверхность в данной точке может иметь только одну каса¬
тельную плоскость.
Определение касательной плоскости, вообще говоря, не должно
зависеть от выбора системы координат, так как существование
в данной точке поверхности касательной плоскости к ней есть
внутреннее свойство поверхности. Но поскольку мы занимаемся
не внутренней геометрией поверхностей, а геометрическими прило¬
жениями методов анализа, то наши рассмотрения ограничиваются
такими поверхностями, к которым эти методы применимы, т. е.
поверхностями, аналитически представимыми в некоторой системе
координат.
Если поверхность^ задана функцией z=f(x, y)t /eC!(D), об*
ласть D принадлежит /?2, то касательная плоскость к S сущест¬
вует в каждой точке S0=(x0, уо, f(xо, уо)) и имеет уравнение
2—/(*0,Уо) (*0.Уо) (х—х0) + -У- (х0,у0) (У—Уо).
ох оу
Если поверхность 5 задана уравнением F(xt у, z)= 0, причем
F^Cl(G)t область G принадлежит #3, М0=(х0, уо, z0)^Gr
F(*o, Уо, 2о)=0 и хотя бы одна из производных F*'(M0), Fy'(M0)f
/V(Afo) отлична от нуля, то касательная плоскость к S сущест¬
вует в точке Af0 и имеет уравнение
Fx (М0) (дг—xQ) + Fy (М0) (,у — уо) 4- Fz (М0) (z—z0) = 0.
Если поверхность S задана соотношениями x=x(ut v), у —
= 1/(и» ^)* z—z(ut v), причем jc, у, zeC^A), область А принадле¬
жит /?2(ы, и), М0= (u0t v0)(=A, х0=х(и0, v0), yo=y(uo, v0)*
20 = 2(w0, ^о) и векторы
(хи (А40), уи (Af0), zu (М0)) и (xv (М0), yv (М0), z0 (М0))
неколлинеарны, то касательная плоскость к S в точке So=
= (Хо, Уоt z0) существует и имеет уравнение
X—х0 У—Уо Z—z0
Xu (М.) Уи (А10) 2и (Af0)
Xv (Afe) Уо (М0) zv (Afe)
= 0.
329
При выполнении сформулированных выше условий парамет¬
рического и неявного задания поверхности 5 в полученном урав¬
нении касательной плоскости хотя бы один из коэффициентов при
переменных отличен от нуля, т. е. этому уравнению действительно
отвечает некоторая плоскость в Я3. Равенство нулю коэффициента
при какой-нибудь переменной в уравнении касательной плоскости
в точке М0 геометрически означает, что эта плоскость параллель¬
на соответствующей оси координат. Аналитически это значит, чю
в окрестности точки М0 не выполнены условия теоремы существо¬
вания для этой координаты как функции остальных двух.
Пример 1. Напишем уравнение касательной плоскос1И
к сфере х24у24z2 = а2 в некоторой ее точке So=(*o» i/о, z0), афО
Решение. Пусть сначала г0>0. Тогда в некоторой окрестнос¬
ти точки (х0, у0) сфера задается функцией z = У а2—х2—у2. Так
как Хо2 4 уо2 = а2—z02<a2, то можно считать эту окрестность такой,
что производные
dz —х, и _дг_ = —у
дх V а? — х* — уг ду /а2 — х- — у1
непрерывны в ней. Итак, условия существования касательной
плоскости в точке So=(*o, Уо, ^о), z0>0, выполнены и ее уравне¬
ние имеет вид
2—2о= — — *о) — — (у— Уо)-
2С 20
Точно так же проводятся рассуждения для точки Sd=(*o, г/о* ^о),
если z0<0. Если же z0 = 0, то z уже не является однозначной глад¬
кой функцией переменных х и у ни в какой окрестности точки
(хо, у о). Так как при z0=0 х02 4- Уо2 = а2, то х0 и у0 одновременно
в нуль не обращаются. Если х0ФО, то в окрестности точки (у0, 0)
х определяется как однозначная гладкая функция у и z; если
Уо¥=0, то в окрестности точки (х0, 0) у определяется как однознач¬
ная гладкая функция х и z. В каждом из этих случаев уравнение
касательной находится тем же методом, как и в случае z0>0,
и имеет вид
х—х<>=— — (У—Уо)
*о
при Хоф0 и у —у0 =— ^-(х— х0) при у„ф 0.
Уо
Все эти случаи объединяются, если использовать формулу
уравнения касательной плоскости для неявного задания поверх¬
ности.
Обозначим F(х, у, z) =x2+y2-\-z2—a\ тогда /У = 2л\ /у = 2у,
Fz' = 2z, и так как ни в какой точке сферы х2 41/2 4 z2 = а2 все три
координаты одновременно не обращаются в нуль, то уравнение
касательной к этой сфере в точке So = (*о, Уо, zQ) имеет вид
*0 (X —х0) + у0(у—у0) + г0 (г —z0) = 0.
330
Очевидно, что при соответствующих условиях это уравнение
касательной плоскости совпадает с найденным выше.
Определение. Если поверхность S имеет в точке s0eS
касательную плоскость Р, то прямая, проходящая через точку s0
перпендикулярно Р, называется нормалью к S в точке So, а вектор,
перпендикулярный к Р, называется нормальным вектором к по¬
верхности S в точке s0.
Заметим, что если N\ — нормальный вектор к поверхности S
в точке s0, то и любой вектор N = XN\ (Х^О), будет тоже нор¬
мальным вектором к поверхности S в точке so.
Пример 2. Напишем уравнения касательной плоскости и
I JL
нормали к поверхности 5, заданной уравнением 2a-f-2x=6
в точке Мо=(1; 2; 2).
У г
Решение. Если F (x,y,z) =2 * + 2 *—6,
2
то F = --2“In2,
* Х%
F'y — — 2"*" In 2,
у 2 у
F= — 2^ 1п2-4 21 In2.
2 JC Z
Следовательно, уравнение касательной плоскости есть
— 81n2 (х— 1)-Ип2(у—2) + 31n2(z—2) = 0,
или
8х—у — 3z=0.
Уравнение нормали в параметрическом виде есть
*=1 + 81, y = 2—t, z=2—3/
или в каноническом
х—1 __ у — 2 г — 2
8 ~ —1 — - 3 *
Пример 3. Напишем уравнение касательной плоскости и
нормали к цилиндру у2 = 2рх в произвольной точке s0=(jc0, у0, г0)
этого цилиндра.
Решение. Цилиндрическая поверхность с образующими, па¬
раллельными оси OZ, не может быть задана функцией z=z(xt у).
В данном случае можно рассматривать эту поверхность как опре¬
деленную функцией х = ——, Тогда , -^-=0 и уравне-
2 р ду р uz
ние касательной плоскости в точке s0 имеет вид х—х0 = — (у—yQ)t
Р
331
или р(х—Xq)—уо(у—уо) =0. Можно было бы рассматривать ци¬
линдр и как поверхность, определенную неявным соотношением
у2—2рх = 0.
Уравнение нормали к цилиндру в точке s0 имеет вид
x = x0 + pt, y = y0—y0tt z = z0.
В любой точке цилиндра касательная плоскость вертикальна (па¬
раллельна оси OZ), а нормаль горизонтальна (перпендикулярна
оси OZ).
Пример 4. Напишем уравнения касательной плоскости и нор¬
мали к поверхности 5, заданной соотношениями x=u + v2, у = и2—и8,
z=2uv в точке s0 = (x(u0, и0), у(и0, о0), z(w0l о0)), если и0=2, v0=\.
Решение. Имеем
К = 1, *; = 2и; уи = 2и, уо= — Зо*;
zu=2u, го = 2и; х0 = х(и0, у0)=3,
Уо = 1/ (“о. »о) = 3, г0 = г(и0, о0) =4;
х'и (“о. t'o) = 1, (“о. «о) = 2: < (“о. о0) = 4,
У„(“о. о0) = —3; г'и (м0, и„) =2, го(и0, ц0) = 4.
Следовательно, уравнение касательной плоскости в точке s0 имеет
вид
х—3 у—3 z—4
1 4 2
2—3 4
= 0,
т. е. 2х—z—2 = 0, а уравнение нормали в точке s0 имеет вид
х = 3 + 2/, */ = 3, 2 = 4—t.
Определение. Пусть кривая Г в пространстве R3 задана
соотношениями
х = х(х), у = у(т), z=z(т), tg[o, 0].
Возьмем то^(а, р) и те (то, Р). Полупрямую
X = JC (то) -4- ^ [х (х) —х (То) ],
y = y(*o)+t[y(x)—y(To)],
z=z(x0) + t[z(x)—z(T0)]t
/> о,
проходящую через точки уо=(*(то), */(т0), z(t0)) и y=(*(t), i/(t),
z(т)) кривой Г, назовем правой секущей. Полупрямую, являющую¬
ся предельным положением правой секущей при т-^то, если та¬
кая существует, назовем правой полу касательной к кривой Г
в точке у0. Аналогично определяется левая полукасательная к Г
в точке уо-
332
Определение. Если угол между правой и левой полукаса-
тельными к Г в точке у0 равен я, т. е. объединение этих полука-
сательных является прямой, то эта прямая называется касатель¬
ной к кривой Г в точке у0-
Определение. Если кривая Г имеет в точке уо касатель¬
ную, то плоскость, проходящая через точку уо перпендикулярно
касательной, называется нормальной плоскостью к кривой Г в точ-
ке vo-
Если функции х=х(т), у=у (т), z=z(r), определяющие кри-
ВУ*° Г, Дифференцируемы в точке т0е(а, fi) и вектор (х'(т0),
У (т)> z (*о)) не нулевой, то касательная к Г в точке у0 = (*(то)>
У у о)» 1 Оо)) существует и параллельна вектору (*'(%), /(т0),
z4To))» т- е- ее уравнение имеет вид
* = * (То) + tx' (Го ) , у = у (то) 4- 1у' (то) , 2-2 (то) + tz' (то) .
Пример 5. Напишем уравнение касательной прямой и нор¬
мальной плоскости к кривой Г : х2 f у2 = 2аху x2+y2 + z2 = 4a2 в
Решение. Кривая Г задана как пересечение двух поверхнос¬
тей. Возьмем в качестве параметра кривой Г переменную 2. Диф¬
ференциалы dx, dy и dz связаны уравнениями
2xdx 4- 2 ydy = 2adx,
2xdx 4- 2ydy 4- 2zdz=0.
Разрешая эту систему относительно dx и dy, получим
Определение. Если f: G-+R, область Gdi?", /eC’(G),
называется градиентом функции f в точке х0 и обозначается
grad/(*0).
Градиент функции / в точке хо является нормальным вектором
поверхности уровня функции /, проходящей через точку М0, т. е.
поверхности f(x, у, z)=f(M0) (если gradf не нулевой вектор).
точке
dz, dy=-^a~x) dz.
а
Следовательно, хг'(MQ) = — 1, уг'(М0) = —— и уравнение каса-
V 3
тельной к Г в точке М0 имеет вид
а уравнение нормальной плоскости
x0eG, то вектор с координатами
333
Пример 6. Пусть
/(*i, хг, дг3, x4) = x;x2-f^3 + ^x4 + xjx1—xxxtx2xt.
Найдем градиент функции / в точке х0= (1; —1; 2; —3).
а/ df df df .
Решение. Найдем частные производные , ——, ——, ——.
дх1 дх2 ох9 дхл
-р— = ЗХ2{Х3 + X* — х2х3х^
= х3. + Зх2х3 —XjJCjX*;
дхг 1
-^—=х\ + 3*2*4 — х,х2х4;
а*8
= XI -h 3^хА—х^х2х3.
дх4
Значения производных в точке лг0 = (1, —1, 2, —3) являются коор¬
динатами вектора grad /(*0), т. е. grad f(x0) = (—36, 13, —40, 32).
Определение. Пусть /: G^Ry область G принадлежит
Rm, х0 gG и вектор l=(lu h, ./т). Если существует предел
lim П*о + /0-П*о)
/->о+ Ml/II
то его значение называется производной функции { по направле¬
нию I в точке х0 и обозначается - (х0).
д1
Если [ : G-W?, область G принадлежит Rm и / дифференцируе¬
ма в точке Xo^G, то — (jc0) по любому направлению / существует
д1
и вычисляется по формуле
— (х0) = Г (л0) • —— = ^ (х0) cos at,
di v 07 Zj a*, o; Ц/Ц Zj a*, 4 o;
i=l 1=1
где a, — угол между l и осью OXi. Так как вектор /„^cosoj,,
cosa2, ..., cosаш) ==-p-jj- есть единичный вектор, совпадающий по
направлению с вектором /, то удобно направление, по которому
вычисляется производная, обозначать сразу единичным вектором.
Если /: G->/?, область Gcz/?'" и f^C](G), то для x0eG
f W- -np,graJ/(,,).
dl II /1|
следовательно, производная — (x0), т. e. скорость изменения
dl
функции / по направлению I в точке *0, достигает наибольшего
334
значения, если направление / совпадает с направлением
grad/(x0), и этот максимум равен Hgrad/(дс0)II.
Пример 7. Найти производную функции
/ = arctg -h in (x*za -f- у*)
у
в точке М0=(1, 1, —1) по направлению градиента функции
<р (х, у, z) =xyz—х2—у2—z2 в этой точке.
Решение. Имеем
grad<p(Afe) = (iB—2х, хг—2у, ху—2г)\м, = (—3, —3, 3),
/.= (- ' 1 * '
VI' кз ’ /з
=—• df (М) = 2у~~хг I = JL.
м, 2 ’ ду у* + х*г* U. 2 ’
дх y» + jc*z*
-g/-(M0)= I = —; -^(М0) =
az 07 + 1м. 2 а/ 07
1 з 1 5
” 2/3 2/3 2/3 "" 2/3 ’
Пример 8. Найти производную функции и(х, у, z)=xyz в
Х2 |Л 2“
точке (х0, У о, *о), лежащей на эллипсоиде h—Н =1, по
аг Ьг с1
направлению внутренней нормали к эллипсоиду в этой точке.
Решение. Один из нормальных векторов к поверхности
—• 4 — 4 — = 1 в точке (хо, l/o, Zo) имеет координаты —,
а* Ьг с* \ а* Ь2
Геометрические соображения показывают, что единичный
вектор внутренней нормали должен иметь координаты, противопо¬
ложные по знаку координатам точки, в которой он определяется.
Следовательно, обозначая этот вектор через я, имеем
1
/ *0 Уо Je_\
V а* * Ь* * с* )
V 4+Т-+4-
V а* Ь* с4
ди ( ~^Г + + ~с»~) = ЖцУог, (а»У + аУ + Ус»)
дп |/ *р Т *р + yga4c* + ZqoW
Г fl* + й* + л4
335
§ 8. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение. Функция j : F.-+R, £c:/?m, имеет локальный
максимум (локальный минимум) вз внутренней точке х0 множе¬
ства £, если существует окрестность U(x0)czE точки х0 такая, что
/(*)</(*о) (/(*)>/(*о)) для всех x^U(x0). Если при x^U(x0)\
\*о имеет место строгое неравенство f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0)), то
локальный максимум (минимум) называется строгим, в против¬
ном случае — нестрогим.
Определение. Локальные максимумы и минимумы функ¬
ции называются ее локальными экстремумами.
Точки, в которых функция имеет локальный экстремум, назы¬
ваются экстремальными точками.
Определение. Г1уаь / : область GczRm. Точка a0gG
называется критической точкой функции /, если каждая из част¬
ных производных в этой точке или не сущест-
dxt
вует или равна нулю.
Обратим внимание на то, что критическая точка функции обя¬
зательно есть внутренняя точка множества ее определения.
Необходимое условно экстремума: если область G принадле¬
жит Rm и в точке хо^G функция /: G-+R имеет локальный экст¬
ремум, то х0 — критическая точка функции.
Другими словами, всякая экстремальная точка функции есть
ее критическая точка.
Достаточное условие экстремума: пусть область G принадле¬
жит Rm, f :G-+R, /eC2(G) и хоgG — критическая точка /:
а) если квадратичная форма d2j(х0) положительно определена,
то в точке х0 функция / имеет строгий локальный минимум;
б) если квадратичная форма d2f(x0) отрицательно определена,
то в точке х0 функция / имеет строгий локальный максимум;
в) если квадратичная форма d2f(xо) знакопеременная, то в
точке хо функция / не имеет экстремума; точка х0 в этом случае
называется седловой точкой функции /.
Исследование определенности квадратичной формы d2j(x0)
может быть проведено с помощью критерия Сильвестра: квадра-
m
тичная форма J] я*/*;*/ положительно определена тогда и толь-
*'./« 1
ко тогда, когда положительны все главные миноры матрицы
Я,1
а12
ап .
°1т
а22
а22 •
•• Я2т
>aml
^гп2
^тЗ • •
• ^тт.
и отрицательно определена тогда и только тогда, когда ац<0 и
при переходе от любого главного минора к главному минору сле¬
дующего порядка знак минора меняется.
336
Для функции двух переменных z=/(xt у) критерий Сильвестра
состоит в следующем. Пусть область G принадлежит /?2, f; G-*/?,
f^C2(G) и х0еС — критическая точка функции f. Обозначим
<*•)• c=|J-w-
Тогда:
а) если
Л В
В С
>0 и Л>0, то в точке х0 функция / имеет
строгим локальный минимум;
Л В
б) если
В С
>0 и Л<0, то в точке х0 функция f имеет
строгий локальный максимум •
А В *
в) если
В С
< 0, то точка х0 — седловая точка функции f
(т. е. не есть точка максимума или минимума)
Пример 1. Исследуем на экстремум функцию
и = 2xzyz—х2—у2—г2.
Решение. Координаты ху у, г критической точки гладкой
функции и должны удовлетворять системе
\bx2yz —2х = 0,
2x*z—2y = 0,
I 2х3у—2г = 0
или
3 x2yz = x,
X*Z = l/,
x2y=z.
Отсюда получаем пять критических точек:
Af0 = (0, 0, 0), М, = (1, -^), М, = (1,
"•=(-•• -ут- тт)'м‘-(-'’-7т-
Так как u^C2(G) для любой области GczRz, то возможно даль¬
нейшее исследование поведения функции и в стационарных точках
с помощью достаточного условия экстремума:
.J L\
Vз' VIГ
тт)-
дги
дх2
а*и
\2хуг—2\
д*и
ду2
= _2;^.= _2;
а?2
дхду
dxdz
ду dz
— 2х3.
Отсюда получаем d2u(M0) =—2dx2—2dy2—2dz2. Так как d2u(M0)
является отрицательно определенной квадратичной формой, то
в точке М0 функция и имеет строгий локальный максимум.
337
Для анализа квадратичной формы
4ги (Мг) = 2dx2—2d у*—2dz* + 4 УЗ dx dy + 4 УЗ dx dz +
+ 4 dy dz
применим критерий Сильвестра. Матрица этой формы есть
/ 2 2 УЗ 2 УЗ \
I 2 УЗ —2 2 )•
V 2 УЗ 2 — 2 /
Ее главные миноры есть
2 > 0;
2 2 УЗ
2 У 3 - 2
<0;
2 2 УЗ 2 УЗ
2 УЗ —2 2
2 УЗ 2 —2
>0.
Распределение знаков этих миноров показывает, что данная квад¬
ратичная форма знакопеременная, следовательно, в точке М\
функция и не имеет экстремума: точка Mi есть седловая точка
функции и.
Точно так же устанавливается, что точки М2, Мз и М\ также
седловые точки функции и.
Пусть / : G—+R, область G принадлежит R'n и хоgG — крити¬
ческая точка функции /. Если / не принадлежит классу С2(и(х0))
или квадратичная форма d2f(x0) полуопределена, т. е. неположи¬
тельна или неотрицательна, то приходится непосредственно срав¬
нивать значение f(x0) со значениями f (x) в некоторой, окрестности
точки хо, ибо сформулированное достаточное условие неприме¬
нимо.
Пример 2. Исследуем на экстремум функцию
z = (\—xi)V~yt(\—y).
Решение. Имеем
— = — 2хУу*(1— у); —
дх к » v ду
(|-х») (2-5»)
3 \Гу
{УФ 0).
Пусть Мо=(хо, 0) и M=(jc0, At/), |лс0|^1, тогда
lim
Ду-+0
о)
= lim
Ау^О
(\-х20) 3/ АуМ1-Ау)
Д у
= ОО.
Если же ^ = (1, 0) иМ = (1, А у), то z(M)—следователь¬
но, -^-(М1)= 0. Точно так же -^-(М2)=0, где М2 = (— 1, 0).
ду ду
Таким образом, все точки оси ОХ, кроме точек М\ и М2 являются
такими критическими точками фуикции г, в которых не су-
ду
8Э8
шествует. В точках М\ и М2 -^- = 0 и -^- = 0, т. е. эти точки
дх ду
также критические, но в любой окрестности как точки М\, так и
точки М2 имеются точки, в которых не существует. Итак,
ду
для любой окрестности U(M) произвольной точки М оси ОХ
функция z не является функцией класса C2(U(M)). Рассмотрим
точку Мо={хо, 0), |*о|<1, и такую окрестность 6/(Af0), что для
всех (х, y)^U(Mo) имеем |х|<1, |*/|<1, тогда для всех (х,
^U(Mq) имеем z(xt y)^0=z(x0t 0). Итак, в точке Л10 функция
z имеет локальный минимум (нестрогий). Точно так же проверя¬
ется, что во всех точках М\ = (хи 0), |jti|>l, функция z имеет
нестрогий локальный максимум.
Рассмотрим теперь произвольную окрестность 1)(М2) точки*
М2=( 1, 0). Если (х, !/)<=(/(М2), х>\, 0<|(/|<1, то z{xt у)<0=
=2(1, 0)=2(Af2). Если же (х, y)^U(M2)t 0<х<1, 0<|^|<1, то
z(xf у) >0 = 2(1, 0)=2(Af2),
т. е. в точке М2=(1, 0) функция 2 не имеет экстремума: М2 —
седловая точка функции 2. Точно так же проверяется, что М$ =
= (—1, 0) — седловая точка функции 2.
Кроме точек оси ОХ критическими точками функции z являют¬
ся точки М4= (1, 1), М5=(—1, 1), Л1в= (0, 2/5). Для анализа по¬
ведения функции 2 в этих точках можно применить достаточное*
условие:
-0 2 {/?(!-*>, £ = <!-*•)(—l)jff,i+5!,),
3*2 2 -4-/С m
—— = —-ху 3 (by—2).
дхду 3
Отсюда
Л («.) - -т vW ^-т
Так как квадратичная форма d2z(M6) отрицательно определенная
то в точке М6=(0, 2/5) функция z имеет строгий локальный мак¬
симум. Так как d2z(M4) =4dxdy есть знакопеременная квадратич¬
ная форма, то в точке М4(\, 1) функция z не имеет экстремума:
М4 — седловая точка функции 2. Так же проверяется, что —
седловая точка функции 2. __
Пример 3. Исследуем на экстремум функцию z = (l + *1) у.
Решение. Имеем
JL=_L+i!_ (0*0),
дх ду 3*rp h
следовательно, ни одна точка вне оси ОХ не будет критической.
339
Пусть Р0 = (х0у 0) и Р= (х0, Д(/), тогда
lim - lim
Ду-*0 А У Ду-О Д у
Таким образом, все точки оси ОХ являются критическими точками
функции z, в которых не существует. Из определения z(x, у)
ду
получаем, что если у>0, то 2(лг0, y)>0 = z(x0, 0), если у<0, то
2(дг0, у) <0 = z(xo> 0) для любого хо. Итак, каждая точка оси ОХ
является критической точкой функции z, в которой нарушены усло¬
вия гладкости и каждая такая точка есть седловая точка функ¬
ции 2.
Из рассмотренных двух предыдущих примеров видно, что если
в критической точке функция z не имеет хотя бы одной частной
производной, то эта точка может быть как точкой локального
минимума, так и точкой локального максимума и седловой точкой.
Пример 4. Исследуем на экстремум функцию
2= (х—у)2+ (у3—I)4—1.
Решение. Так как функция z гладкая, то координаты л* и
у ее критической точки должны удовлетворять системе
I 2(х—у)=0,
|-2(*-(/) + 12</2(</3-1)3 = 0.
Отсюда получаем две критические точки М0= (0, 0) и М|=(1, 1).
Найдем
"Т7 =2, |^- = 2+24</(</3-1)’ + 10%<(</»-1)*, = —2.
дх2 дуг дх ду
Отсюда
d2z (М0) = d2z (Mj) = 2dx2 + 2dy2 —4dxdy = 2 (dx — dy)2,
откуда видно, что это полуопределенная квадратичная форма
(неотрицательная). Так как z(Afi)=—1 и z(M)>—1 для любой
точки МфМ 1, то в точке Л11 = (1, 1) функция z имеет строгий ло¬
кальный минимум (даже абсолютный).
Рассмотрим поведение функции z в произвольной окрестности
U(Мо) точки Af0=(0, 0). Если М=(х, 0)^\J(M0), лг^О, то z(M)=*
= х2>0 = z(M0); если же М=(у, j/)et/(M0), 0<у<\, то z(M) =
= (t/3— l)4— KO = z(Af0).
Следовательно, точка М0 — седловая точка функции z.
Итак, если для некоторой окрестности U (M0)czRm точки М0е
еRm функция f^C2(U (М0)), точка М0 — критическая точка
функции f и d2f(M0) — полуопределенная квадратичная форма, то
точка Af0 может быть как точкой локального экстремума, так и
седловой точкой функции f.
340
Заметим, что если для некоторой окрестности U(Af0) czRm точки
M0^Rm функция f^C2(U (М0)) и в точке М0 функция f имеет не¬
строгий экстремум, то квадратичная форма d2f(M0) обязательно
будет полуопределенной.
Пример 5. Исследуем на экстремум функцию
ху
1 +
г» т дг 1 — х2у2 дг 1 — х2у2
Решение. Так как = у- —; = х- -—, то
дх * (1+*V)* ду (l + *V)e
критическими точками функции z является точка М0= (0, 0) и все
точки Af=(x, у):ху=±\. Из неравенства 12ху|^ 1 + х2у2 полу¬
чаем, что |z|^l/2. В каждой точке линии ху= 1 имеем z(x, у) =
= 1/2; в каждой точке линии ху = — 1 имеем z(x, у)— —1/2. Сле¬
довательно, в каждой точке линии ху= 1 функция z имеет нестро¬
гий максимум, в каждой точке линии ху = — 1 — нестрогий мини¬
мум. Найдем вторые частные производные функции z:
*1 = 2хУ»-^3-, *1 = 2х>у xV~3 ,
дх2 (1+xV)* ду2 * (l+*V)e
д*г __ 1 — 6-f
дхду (1+jcV)3
Если М = (ху у)у где ху = 1 или ху = —1, то квадратичная форма
d2z (М) = — slgnJ*^ (уг dx2 Н- х2 dy2± 2ху dx dy) полуопределена, как
и должно быть в точках нестрогого экстремума.
Квадратичная форма d2z(M0) = 2dxdy — знакопеременная, сле¬
довательно, Af0= (0, 0) — седловая точка функции z.
Определение. Пусть переменные Х\у х2у хт связаны си¬
стемой уравнений
Л( хи ..., Хт)—0,
Fk(xu Хт)= 0, k<my
F.eC^G), 1 <i<ky область G принадлежит Rm и точка х0=
= (^1°, *2°, .... xm°)<=G такова, что F/(x0)—0, 1 <i<k. Функция
}:G^R имеет условный максимум (минимум) в точке х0, если су¬
ществует окрестность U(x0)^G точки х0 такая, что f(*o)>
>f(x)(f(xo)<f(x)) для всех x^U(x0)t для которых Fi(x)=*0, 1<
<i<k.
(Другими словами, сравниваются между собой значения функ¬
ции, которые она принимает на множестве тех точек х= (хи х2у ...
хт)у координаты которых удовлетворяют уравнениям связи
Fi(xu ..., Хт)“0, \<i<k<m.)
341
В дальнейшем предполагаем, что функции f и Fi, \<.i<k<mt
принадлежат классу C2(G) и ранг матрицы
dFx dFx
ал
dxt
дх2
tem
df2
dF2
dFt
дхх
dxt
адCm
dFk
dFk
dFk
дХг
дх2
dxm
в каждой точке *о=(*Л *2°,
ности положим, что
хm°)^G равен k. Для определен-
дР' (х0) .... (*0)
dxi
дГк
дх,
(х0) • • •
дхк
dxk
(*о)
Ф 0.
Тогда в некоторой окрестности U(М0) точки Afo=(*°A+i, *°т)
система уравнений Ft(xly х2у хку *m)=0, 1 опре¬
деляет k функций класса C2(U(Mq)) от (m—k) независимых ар¬
гументов:
Х\=Х\ (*fe+i, Xk+2t •••♦ Хт)у
Х2=Х2(Хь+\у Xk+2* ...» Хт),
Xk=xk(xk+U Хк+2, ... у Хт).
Таким образом, в некоторой окрестности U (Л10) точки Мо фун¬
кция f с учетом условий связи /w(jc)=0, 1 представляет
функцию класса C2(U(Mq)) от (m—k) независимых аргументов:
/(*1. *2 *т) =/(*1 (**+1, •••. *т), • <*(*»+!, • ••, *т), *<4-1, ...
= Г(Хк+ \, Хк+2 х,п). Если Х„=(Х°, Х°, Х^)
есть
точка локального условного экстремума функции f при условиях
/Г|(х)=0, то точка (*°+1, *J+2* есть точка
обычного локального экстремума функции /*(х*+ь х*+2, ..., хт).
Итак, исследование условного локального экстремума функ¬
ции f сводится к уже разобранному исследованию обычного ло¬
кального экстремума некоторой функции меньшего числа пере¬
менных.
Дифференциал функции /* имеет вид:
dfl
дха
dxa
df
дха
dXgy
<7=1
<7=1
где dx ь dx2} ..., dxk есть дифференциалы функций x\t х2у ..., хк>
определенных системой уравнений Fi(x) — 0, 1 Выраже-
342
«ие этих дифференциалов в виде линейных форм от дифференциа¬
лов независимых переменных dxk+1, dx*+2, ...> dxm находятся из
системы линейных уравнений: dFi=0, 1 т. е.
R±-dxa = 0, 1<1<£</л.
<7-=1
Подставив найденные из этой системы выражения dxltdxt,... ,dxk в df* =
m
VI df
дха
dxq получим выражение df* в виде линейной формы диф¬
ференциалов dxk+1, Лс;н-2, .dxrr Координатами •**
..., x9J стационарной точки М0 функции f* будут такие значения
*?+,. 4+2< ЧТО в точке х„=(х1 (xjfl, ** (x»+1,...
..., х^ все коэффициенты этой линейной формы равны нулю.
Чтобы окончательно решить вопрос о поведении функции в
окрестности точки М0, нужно исследовать d2f*(M0). Второй диф¬
ференциал функции /* имеет вид
т к
d'r=tl
дхр дхя
Q.P— I Я=\
где d2xu ..., d2xk есть вторые дифференциалы функций хи х2, ...
..., xky определенных системой уравнений Л(*)=0, \<.i<.k<m.
(Обратите внимание, что d2**+i=.. . = d2xm=0, так как хк+и • ••» хт
независимые переменные.) Выражение вторых дифференциалов
d2xи d2x2, d2xk в виде квадратичных форм дифференциалов
dxk+u dxm находятся из системы
г <7-1
Подставляв в выражение
гп к
Я,р=* 1 ?—1
dx 1, dx2, dxk в виде линейных форм и сРхх, (Рх2, (Рхк в
виде квадратичных форм от dxk+l, dxk+2, dxm, получим выра¬
жение d2l* в виде квадратичной формы от dxk+i, dxk+2, .... dxm.
Если полученная форма знакоопределенная, то точка М0=
“(*Vh JC° m ) есть точка локального экстремума функции /*
343
и, следовательно, точка х0 = (xY (x°+1, ..., , .. •, xk (х%+{ , ...,
*m)» *2+1» •••» хп) есть точка локального условного экстремума
функции / при условиях Fi(x)=0, ld*<fc<m.
Пример 6. Найдем точки условного экстремума функции
2=4х—у, если х2—у2—15.
Решение. В этом примере F(х, у)=х2—у2—\5, матрица
есть (2х\ —2у). Из условия jc2—1/2= 15 следует, что в
\ dx ду )
множестве точек, координаты которых удовлетворяют этому усло¬
вию, не содержится точек с нулевой координатой х, следователь¬
но, всюду на этом множестве минор 2х матрицы (2х\ —2у) отли¬
чен от нуля. Поэтому условие связи определяет всюду на этом
множестве функцию х=х(у). Анализируем теперь функцию z как
функцию одного аргумента y:z* (y)=z(x(y)t у)=4х(у)—у. Из
уравнения х2—у2—15 получаем, что xdx—ydy=0, откуда dx = -~dy
и, следовательно, dz*=4dx—dy= lj dy. Итак, для ко¬
ординат критической точки функции 2* (у) имеем систему уравне¬
ний
[ х2—у2 = 15.
Решая эту систему, получим, что возможными точками локального
условного экстремума функции 2=4*—у при условии л:2—г/2= 15
являются точки Mi (4, 1) и М2(—4, —1).
Теперь надо рассмотреть d2z* (у) в точках *=4, у= 1 и х=-4,
i/=—1. Так как z* (у)=4х(у)— у, то d2z*(у) =4d2x, а из условия
связи х2— £/2 = 15 получаем, что xdx—ydy=0 и xd2x+dx2—dy2=0.
Следовательно, в точке jc=4, t/= 1 имеем
| 4dx—dy = 0,
\ 4d2x -f dx2 — dy2 =0,
откуда d2z* (у) = 4d2x = dy2 и точка Mi (4, 1) является точкой
16
локального условного минимума функции z=4x—y при условии
jc2—1/2=15, причем 2(Mj) = 15.
Точно так же получим, что в точке х= —4, у = —1 d2z— —
—dy2t т. е. точка М2(—4, —1) является точкой локального ус-
16
ловного максимума функции 2=4*—у при условии х2—у2=15, при¬
чем 2(М2)=—15.
Замечание. В данном примере значение функции 2 в точке
локального условного минимума больше, чем в точке локального
344
условного максимума; это объясняется тем, что множество, на ко¬
тором рассматриваются значения функции 2, не является связным.
На практике нахождение точек условного экстремума функции
f=f(x 1* •••, хт) с условиями СВЯЗИ Fi(X 1, . .., *m)=0, 1
методом дифференцирования сложных и неявных функций часто
оказывается весьма громоздким. Более простые вычисления полу¬
чаются, если применить следующий метод.
Метод множителей Лагранжа. Пусть область G принадлежит
tfm, функции f:G-+R и Fi:G~+Rt 1 принадлежат классу
C2(G) и ранг матрицы
(dFt ^ дЪ_ \
дхх дхт \
dFk ' ' * dF^ I
dxY дхт /
во всех точках х0eG равен к.
Составим функцию Лагранжа
р
L(x, %) = L(xl, х2 ... хт, К) = f W + £ X,Ft (О.
1 = 1
Точка Хо— (Х|°, ..., Хт°) может быть точкой условного экстремума
функции / при условиях /•’,(*) =0, 1<к£<т, только тогда, когда
существуют числа Xi°, А.2°,... Да0 такие, что точка М0 = (*?, х\% ... ,
Ат, X?, Х2, ... , Я*) является» критической точкой функции
Лагранжа L(x, X). При этом числа К\°9 Х2°, ..., Х*° называются
множителями Лагранжа, соответствующими точке Xq. Дальнейшее
исследование поведения функции f в выделенных точках возмож¬
ного локального условного экстремума проводится анализом вто¬
рого дифференциала функции L(xf К) с учетом условий связи.
Если выражение d2L(x, X) в точке М0 есть знакоопределеппая
квадратичная форма, то и с учетом условий связи выражение для
d2L(xy X) останется таковым, т. е. экстремальной точке функции
L(x, X) соответствует точка условного экстремума функции / при
условиях Л(*)=0, 1 <i<k<m. Обратим внимание, что если вы¬
ражение d2L(x, X) есть знакопеременная квадратичная форма, то
с учетом условий связи выражение d2L уже может быть знаков
определенной квадратичной формой; т. е. не всегда точка локаль¬
ного экстремума функции f при условиях Fi(x)= 0, со¬
ответствует экстремальной точке функции Лагранжа L(x, X).
При.мер 7. Найдем экстремальные значения функции 2=
=х2—у2 на прямой 2х—у—3=0.
Решение. Запишем функцию Лагранжа
L(x> У, Х)=х2-у2+%(2х-у-Ъ).
345
Координаты критических точек функции L(jc, yt X) находятся из
системы
Г 2х + 2\ = 0,
U 2с/—Х = 0,
I 2*— у— 3=0,
отсюда получаем х=2, i/=l, Я=—2. В точке (2, 1, —2) выражение
d2L(jc, yt X), равное 2dx2^-2dy2+2dxdX—dydXi есть знакопеременная
квадратичная форма, следовательно, точка (2, 1, —2) не экстре¬
мальная точка функции /,(*, у, X), но эта точка может быть экс¬
тремальной точкой функции z=x2—y2 при условии связи. В самом
деле, из условия связи имеем 2dx=dy. Учитывая это соотношение,
для d2L получаем выражение 2dx2—&dx2=—bdx2, которое есть от¬
рицательно определенная квадратичная форма, и, следовательно,
точка (2, 1) является точкой локального максимума функции z=*
—х2—у2 при условии связи 2х-у-3 = 0.
Пример 8. Исследуем, имеет ли функция
и(х, У» z)=xy+xz+yz
условный экстремум в точке М0(1, 1, 1), если
2xzy2z+4x2+5y2+6z2—17=0.
Решение. Напишем функцию Лагранжа
L(xy уу z, X)=xy+xz+yz+X(2x*y2z+4x2+by2+§z2—17).
Координаты jc, i/, z, X критической точки функции L(xy у, z, X)
должны удовлетворять системе
у + z + 6 Xx2y2z + 8Хх = 0,
х + z + 4Xxzyz -f 10Ху = 0,
х 4- у + 2Ххгу2 4- 12Xz = 0,
k 2x?y2z -}- 4х2 f by2 4- 6г2 —17 = 0.
Проверка показывает, что jc=1, у= 1, 2=1, Х=—1/7 есть решение
этой системы. Следовательно, в точке Af0= (1, 1, 1) возможен ус¬
ловный экстремум функции и(х, уу z) с условием 2хъу2г-\-4х2+
+5r/2+6z2—17=0, причем соответствующий множитель Лагранжа
X равен —1/7. Находим второй дифференциал функции Лагранжа
d2L (х, yt z, X) = 2dxdy 4- 2dxdz 4- 2dydz-\-dXd (2x3y2z 4- 4jc24-5f/a 4-
4- 6z2 —17).
В силу условий связи
d (2xJy2z 4- 4x2 4- 5у2 4- 6z2— 17) —- 6x2y2zdx 4- 4tjx2zdy 4- 2x3y2dz 4-
4- 8xdx 4- 10ydy 4- 12zdz = 0,
346
поэтому при х = 1, у= 1, 2 — 1 имеем
Ых 4- 4dy + 2dz -\-8dz 4- \0dy 4- \2dz ^=0, откуда dz=—dx—dyt
«, следовательно, в точке (1, 1, 1, —1/7)
<PL — 2dxdy—2 dx2 — 2dxdy 4- 2 dy2—2 dxdy = —2 (dx2 + dxdy-\-dy2).
Тгк как d2L(x, (/, 2, X) в точке (1; 1; 1; —1/7) является отрица¬
тельно определенной квадратичной формой, то функция
L(x, У, 2, А,) имеет в точке (1; 1; 1; —1/7) локальный максимум
и, следовательно, точка (1 * 1, 1) есть точка условного максиму¬
ма функции u=xy-\-yz+zx при условие 2xzy2+4x2+5y2+6z2—17=0.
Иногда можно выяснить характер точек, полученных методом
Лагранжа, не прибегая к анализу второго дифференциала функ¬
ции Лагранжа в этой точке.
Пример 9. Найдем точки условного экстремума функции
2 — 2х3+3а2х+2у6-т3а2у,
если х2 -f у2 = а2 (а > 0).
Решение. Запишем функцию Лагранжа
^ (*» У> М = 2х3 4- 3 а2х 4- 2yz 4 3 а2у + Х(х2 4-у2 — а2).
Координаты х, у, Я критической точки функции L(x, уу ?,) долж¬
ны удовлетворять системе
( 6х2 4 3а2 + 2Хл: = 0,
6у2 4- За2 4- 2Ал/ = 0,
( л*2 4- 0й —а2 = 0.
Отсюда получаем две критические точки (а/У2 , a/V2 , —31/^2а) и
(-а/уТ, -a/V2, 3/У2а).
Множество KczR2, #={(*, у) :х2-\-у2=а2} есть компактное связ¬
ное множество. Следовательно, непрерывная функция 2 на этом
множестве должна принимать максимальное и минимальное зна¬
чения. Из предыдущего рассмотрения видно, что_ эти значения
функция 2 принимает в одной из точек (a/V2 , a/V2 ) и (—а/1/2~,
— a/V2), так как в других точках множества К функция
2 заведомо не имеет экстремума. Так как z (a/V 2 , a/V2)—4а у 2 ,
z (— a/Y2 , —a/V2 ) = — 4а 2 и К — связно, то точка
= (а/]/2~, а/|/2 )— точка условного максимума, а точка
М2 = (—а/ V 2, —a/V2 ) — точка условного минимума функции
z=2x3+3a2x+2y3+3a2y при условии х2+у2=а2.
Пример 10. На сфере S={(xt у, 2) :x2+y2+z2=a2} расположе¬
ны три материальные точки Рi= (*i, уь 2j), Р2=(Х2, У2> 22), Рз—
= (х3э yZt 23) с массами /я1э т2, т3. При таком положении точки
347
3
Р*=(х, у, z) на сфере x2+y2+z2=a2 сумма ^ || Р— Pi ||а-т4- —
i=i
момент инерции данной системы точек относительно точки Р —
будет минимальной?
Решение. Необходимо найти условный минимум функции
з
и(х, у, г)=£т,[(х—*,-)* +(у—у,)2+(*—*,■)*].
1 = 1
если х2+y2+z2=a2.
Запишем функцию Лагранжа
Цх, у, г, X) =£ т, [(*--О2+ (</-</,)2 Мг-г()2] +
1 = 1
4- к (г2 -4- у2 г2—а2).
Координаты х, у, z, X критической точки функции L(x, t/, z, X)
должны удовлетворять системе
2тх (х — хг) 4- 2т2 (х—х2) 2/тг3 (х—х3) -}- 2Хх = О,
ЪтЛу—Ух) 4-2ma(r/ —у2) +2 т3(у — у3) + 2\у = 0,
2т1 (z—Zj) + 2m2 (z — z2) + 2/n3 (z— z3) f- 2Xz = 0,
x2 f y2 + z2 — a2.
Эта система имеет два решения:
~ т1х1 + т?х2 + тэх3 ~ m}!/l I- т2у2 + т9у3 ^
*1.2“= : , У\.ч— ; , г1,2 =
т.\ 4~ wi2 4" ^3 4_ ^i,2 '1_ ffl-i 4" т3 4~ «-1,2
_ 4- m2z2 4- ^Згя
mi 4“ тг 4" тз 4- ^1,2
где
3 3
a2 £ mj + 2 £ mtm, (.х,х,- + i/, </, + г, г,) —
i= 1 *./= I. 1=^/
— (mj 4-m24-m3).
Следовательно, точкой P может быть одна из двух точек: Ро=
= (*ь У1» 2i) и (х2, ^2, г2), а именно та, для которой значение
функции ы(Р) меньше, в зависимости от конкретных чисел jct, уи
z,, т,, В общем виде это сравнение здесь не проводим из-
за громоздкости выкладок.
Выделение точек условного экстремума входит составной
частью в решение задачи нахождения наибольшего и наименьше¬
го значений функции /:£->/?, EczRm, на множестве ExczE. Дейст¬
вительно, если эти значения функция f принимает во внутренней
348
точке Хо множества Elf то точка х0 есть точка обычного локально'-
го экстремума функции /; если наибольшее или наименьшее значе¬
ние функция / принимает в граничной точке х\ множества Еи то
точка Х\ есть точка условного локального экстремума функции f
при условии, что рассматриваются только граничные точки мно¬
жества Е\.
Пример 11. Найдем наибольшее и наименьшее значения
функции
и=х2— 2а* 4 у2— 2ay + z2— 2az (а > 0)
в полушаре
У у г): х2 + У2 + 4аа, z^O).
Решение. Так как непрерывная функция и рассматривается на
компакте, то существуют точки М0 = (х0, y0f гь) и М0 = (х0, ]/0, z0)
такие, что
и (М0) = шах и (М), и (Л10) = min и (М).
M€D M£D
Если эти точки лежат внутри полушара, то их координаты долж¬
ны удовлетворять системе
| 2х—2а = 0,
I 2у—2а — 0,
I 2z —■ 2а — 0.
Отсюда видно, что внутри полушара есть только одна возможная
экстремальная точка М\ = (а, а, а).
Возможную экстремальную точку на полусфере
*5: {(*, у, z) : х2 -f у2 -h z2 = 4а2, z > 0}.
Ищем как точку условного экстремума функции
и = л2 — 2 ах + у2—2 ay +z2 — 2az
при условии
х2 + у2 -f- z2 ~ 4а2, г > 0.
Запишем функцию Лагранжа
L(t, i/, 2, Х)=х2—2ах-\-у2 — 2ay+z2 — 2az + \ (х2 + у2 + z2 — 4а2).
Координаты критической точки функции L(xy г/, г, ^) должны
удовлетворять системе
2х—2а -+- 2Х,дг = 0,
2у—2а 4 2кг = 0,
2г —2а 4 2Xz = 0y
х2 f у2 -Hz2— 4а2 — 0.
349
Отсюда получаем, что возможной экстремальной точкой на полу¬
сфере 5 является точка М2 = (2а/]/гЗ , 2а/УЗ , 2а/КЗ).
Далее ищем возможную экстремальную точку Af3=(x, у, 0) на
круге х2+#2<4а2, z=0. Так как в точках этого круга
У* г)=и(х9 у, 0)=*2 —2а* + */а — 2ш/,
то координаты экстремальной точки, лежащей внутри этого круга,
должны удовлетворять системе
2х—2а = 0,
2у—2а — 0,
. 2 = 0.
Отсюда получаем Af3—(a, а, 0).
Наконец, осталось найти возможную экстремальную точку М4=
У у 0) на окружности Jt2+t/2=4a2, 2 = 0.
Запишем функцию Лагранжа
L{x, у, X)=*2—2a*+-#2 —2аг/+ X, (*2-f #2--4а2).
Координаты критической точки этой функции должны удовлетво¬
рять системе
( 2х—2a-f2A,jt = 0,
I 2у—2a-f2ta/ = 0,
( х2 + у2 = 4а2.
Отсюда получаем две возможные экстремальные точки на окруж¬
ности:
х2 -fу2 = 4a2, z = 0: М4 = (У2 а, У2 а, 0) и М5 = (—Y2 а,
-У2~, 0).
Итак, наибольшее и наименьшее значения в полушаре D функ¬
ция и может достигать только в одной из пяти точек:
М^а, а, а), Мг = (-jtj-. -р=~. мз=(а, а> °). =
= (У2а, К2 а, 0), М5 = (—1/iTa, —У2-а, 0).
Так как
и (Mx) = — За2, и (М2) = — 4 (УЗ" — 1) а2, а (М3) = - 2а2, и (MJ =*
= —4(У2"—1)а2, и (М5) = 4а2 (У2 -h 1),
то
max и (.М) = и (М8) = 4а2 (У2 -\- 1),
MGD
minи(М) — и (А^) = —За2.
мей
350
ЗАДАЧИ
Найти частные производные указанного порядка от следующих
функций:
1. «=cos(*+y); — да“ а‘“
дх ду дх2 ’ дхду
2 и= 1 д*и д*и
ах-\- by ' дхг * дхду * ду2
0 х д9и д*и
3. u=sin—;
у * дх9 дхду2
4. и = 1п(1 +2x + 3i/);
5. и=е'*+»*+г’; ^
дх2ду ' дхдудг
6. «=*+»*; *“ д1“ д'“
дх2 * дхду * <3t/2
Найти якобиан отображений h:Rm-+Rm) если:
7. Л:л: = гсо5ф, ^ = rsincp; Л: (г, ф)-*(х, #).
8. h : и = , и = —, до =z; h : (х, yt z) -> (w, и, ш).
f/2 x
9. h\u— г , a» = -^; /t:(x, y, z)-*-(u, v, w).
X2 4- I/2 JC
10. Л:х = |т)£, у =gT] — 2 = Т|— 1л; Л: (?, rj, Q-^(jc, у, г).
11. Л: л: = rcos<рcos*ф, «/ =rsin<pcosil>, «/=rsitn|>; Л: (г, tp, t|))
-+•(*. У, г).
12. А:и=ху, и= — ; Л: (u, у).
13. Л: ц = х2 4z2, u = i/a + z2, ш = jc2 -h i/2; /i: (a, i>, ro) -*■ (x, y9 z).
14. h: a = x + */4z, ыи = у 4z, иад>=г; Л: (a, и, и;)-ь(х, yt z).
15. /i:x = rcosq), i/ = rsin<p, z = h2; ft:(x, г/, z)-►(/•, (p, a).
Написать матрицу производной отображения ф в каноническом
базисе, если:
16. <р:(и, и)->-(х, у, z); х-uv, i/=u2-hu2, z=u2—у2.
17. <p:(w, и)->-(х, i/); x = wcosi\ */ = wsina.
18. ф:(а, и, oj)-*(xf у); х = и2 4и2 4 ДО2, у =u + v + w.
19. ф : (и, и)-*х; х= —.
V
20. ф:ы-*(х, */); x = atgH, r/ = usina.
/ 1 и I CL» 1 м
21. ф:(и, у, до)-*(х, yt z); х = ы1п—, i/=uln —, z = wnn—.
W и v
Написать матрицу производной отображения <p=/i°g в канониче¬
ском базисе, если:
351
“22. g:x = u2—w2, у = u2—v2\ h:% = xy, r\ = —, £ = arctg—.
у У
23. g: x — u2 + v2 + w2 \ h:^ = x2, r\=x4.
24. g:x = u cosv, j/ = usini;, г = до; h:l = x2— уг, r\=z2—xy.
25. g:x = $\nu, y=cosu, z = eu\ h : £ = arctg xi/z.
26. g:x = uv\ h:£ -sinx, t] = cosx, £ = tgx.
27. g:x=uv, у — и2 —v2\ h : £=arctg —, r\ = In (x2 + */a), £ = x—y.
у
Написать матрицу производной отображения ф=h°g в канониче¬
ском базисе в точке Л40, если:
28. g : и = arctg (у2 — 2х), v *= arctg —;
X
h : l = u2 4 v2, т] =и2 - ьг М0: х0 = 1, у0 = 1/3 .
29. g:u = xyz, v = х2 + у2 4 z2;
h:l = uv, —. С = ~1'-- г--; М0:х0 = 1, yQ = 0t г0=\.
и и и
30. g : и = х2 + у2 4- г2;
Л : I = arcsin —; Мй: х0 = 1, ус = 2, г0 = 3.
U
31. g : и =-- Inx, у = х2, w = х -4- 1пх;
Л:£ = —, r) = w + u \ M0:x0-=1.
и
32. Написать матрицы отображений и в канониче¬
ском базисе, где
ф:ХхК->(и, v), Х = (х,, х,), Y =({/,, J/2, i/3),
если:
а) и =х* + х* + у* + г/| — у*,
v^x]+xt—ylyty3\
б) u = t/, sin х, +//2sinx2 f уз cos (х,— хг),
и = iJi cos (XjXj) + </, sin (х^ — х*) + у3cos (х* + х^);
в) и — У) arctg — + (уг —у3) In (х* + Xj),
!) = (/,(- — ) +У1У-4\П-^-.
\ г, хг / *2
33. Проверить, что в точке М(1, 1, 1, 1, 1) соотношения
х; \-х\ +y]+y% + y'i — 5 = 0,
«1— х-2 + y]— у\ + у\ — I =°.
л-f +2x1 + у,у„ — 4=0.
не удовлетворяют условиям теоремы существования отображения
Ф:(*/з, */2)“М*ь *2, У\)> но удовлетворяют условиям существования
отображения <р: (хи х2)^(уи У2, t/з).
34. Проверить, что данные соотношения однозначно определя¬
ют отображение ф:Л->У в окрестности точки М0% если:
а) хгух ±х2у2 — уъу2— 1 =0,
(х2 —х,) (у2 + t/j) —УМУз—1 = о,
(х] + xl) {у\—у\) + уху» = о,
X: (х,, Xj), Y: (</,, уг, y3),
A*o(*?. *2» y°v У°2' Уз)>
х® = 1, х® = 2, «/® = 1, у® = °, </® = 1;
б) sin (ях,^) + sin (nxzyt) +- sin (ях3у3) = 0,
cos Y (x, — yt) + cos -y (x2—{/,) + COS -J- (xs — yt) - 2 = 0,
X: (x„ x„ x3), Y: (i/„ y2),
Af0(*?. !/?. 0°).
x® = 0, x® = 1, x® = 0, //® = 1, z/P = 0;
в) — arctg х1хгу1уг — 0,
я ж.,у2
X:(x„ xt), K:(t/„ //s).
Л1„ (x®, x®, y®, t/°),
x® = 1, x® =3, I/® = 1/2, = 1/16.
Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих
функций (х, у и z — независимые переменные):
35. и = х2у2.
36. и = ху -h yz -f zx.
37. u = cos(eKy).
38. + г/*.
39. u = In jo/z, jc > 0, у > 0, z > 0.
40. w = arctg
2
41. Найти значение первого дифференциала функции и в топ¬
ке Мо на векторе смещения h; если:
а) u=arcs\nxyt М0( 1/2, 1), Л = (0,5; 0,1);
б) и = т?у-ху\ М0 (1, 2), Л = (—0. б; 0,8);
в) и = х*"9 М0(4, 1), А = (0, 1; 0, 2);
г) и = у4х2 + у2, УИ0(1, 2), А = (—0, 2; 0, 3);
353
Д) u = Xyi+y\ Af0(2, 2), Л = (0; 0,5);
е) Ы=со5(л-^), М0(-^-, Л = (0, 1; 0).
Найти дифференциалы первых двух порядков сложной функции
и, если ср — дважды непрерывно дифференцируемая функция и х, у, z
— независимые переменные.
42. и = ф(/), t =х2 — у2.
43. гг = г|>(^), t=xyz.
44. u = y(t), t = ху + yz + zx.
45. ы = ф(/), / = х2 + у2 -f za.
46. и--= ф (6„ л), £ = х2-ЫД л — *2 —У2*
47. и = ф(£, г|), £ = xi/, л= —•
У
48. ы = ф(£, л), £ = х2 + «/2, Ч = ху.
49. и= ф(5, л), £ = —, л = —.
У *
50. н = ф(*-by, jc2 + «/2).
51. ы=ф(^(/, уг).
53. « = 9(£,П,0, £ = *</, Л =дт—у, £ = * + (/.
54. и = ф(Е,л,0. n = £=*2-
55. и = ф(2х, 3у, 4г).
56. и = ф (х + у + 2, х2 + у2 + z2).
57. ы = ф(х + г2, у+х2у z-\-y2).
58. H=9(sinxz, sinyz, sin xy).
59. u=y(xezt yezt zex~y).
60. и = ф(х2 4- у2, y2-\-z2y x2 + z2).
Проверить, что данное уравнение однозначно определяет функцию
у(х) в окрестности точки М(х0, у0):
61. х2 + ух + у2 = 3, Х0 = у0=\.
62. xy \п xy = 1, = 2, i/0 — 1 /2.
63. е*+»+у— * = 0, *о=-^-. Уо = —1/2-
Проверить, что данное уравнение однозначно определяет функ¬
цию 2 (X, £у) В окрестности ТОЧКИ М(Хо, t/о, г0):
64. x-h«/ + 2 = sinxt/z, х0= r/> -=z0 = 0.
65. x2z3 -h*/322 + z2xs = 8, x0 = 1 , i/0 = — 1, 20 = 2.
66. xy + yz т zx — 3, x0 = (/o= = ^ •
Предполагая, что точка (x0, (/о, 2o) такова, что в ее некоторой
окрестности однозначно определена дважды непрерывно диффе-
354
ренцируемая функция z(x, у)% найти значения указанных произ¬
водных в этой точке:
67. —, —, если дс2 + у2 + z* = .
дх ду дхду ’
ло дг дг д2г « г .
68. , , , если arctg —=z + x + y.
ду 9 дх 9 дх2 ’ х *
69. 4т* "ГГ-* если х + у + г — 1пхуг, х>0, у>0, z>0.
дх дуг дхду
70. Ji- JL. _£i _fi_ если ln (лгу + yz) = ** + у2 + z2 — 2.
дх аг/ dx* ’ дхду *
71. --2z , если x4 i/4 z = cosxyz.
дх ду дхду
•то dz dz d*z fj I у о
72. , , , если ху+уг = 3.
дх 9 ду дхду *
73. , если х = и2—t;2, y=uv, г=и + 2и,
а* ’ ау ’ ахау
74. если x = arctg —, (/ = In (ы2 + v2)t z = w—и.
a* ’ ду дхду 6 у
75. д2 . если jc = eKsinu, y=eucosvt z = uv.
дх 9 ду дх2 дхду
Найти частные производные первого порядка функции 2=-
=z(x, /у), заданной неявно, предварительно найдя ее первый диф¬
ференциал:
76. г4 4 гх3 -f zу3 = а4.
77. xyz = x2 -f у2 Л-z2.
78. —. = In (х 4 у 4 z).
х2 4* у2
79. г cos * 4 у cos 24-х cos у = 3.
80. z(l+x2) = i/(i 4z4).
Найти и если:
dx dx
81. x2 = z24«/2, аг 4-6#-f сг= 1.
82. х*-\-у2 — 3z4-a=0, z2—2у2—х4б = 0.
83. x34-J/34-z8—Зхyz — 0, х + у + z = o.
84. cos х 4- cos у 4- cos 2 = а, x34*/3 + z3 — &
85. sin2 г/—cosxsin2 = 0, 2x —y\gz — 0.
86. Найти если
dx dx dx
u4xa+ t/24 2'a=fl2,
Inxf/ 4 — = b\
X
In — 4 2X = c2.
X
355
Найти первые и вторые производные функций z(xy у) и и(ху у)„
если:
87. Jt + //-fz + i* = a,
хз уЭ _j_ 23 _|_ из _. ъ,
88. х 4-у 4-24-ы = а,
хуги = 6.
ол u 1 ди dv dv
89. Найти , , , , если
дх ду дх ду
X (и2 + V*) —иу= 2, XV—у (и2 4- и2) = 1.
Лп т, « ди ди dv dv i , / n
90. Наити , . —. в точке х=—1, у = 1 ш = 2,
dx dy dx dy
v=—2)y если
xuv -f yxu 4- vxy 4- uvy = 0,
x2 4- y2 + u2 +v2 = 10.
91. Найти и если 2 — — —— , a u(xyy) находится иэ
dx dy у — и
уравнения их—u3+y3 = 8.
Найти первые и вторые производные функций у(х) и z(x) в
точке х0у если:
92. х2—у2 + г2 = \у
уъ—2х + г = 0у х0 = 1 (уо — 1. ^0 = 1).
93. 7х2 + 2у—Зга = —9,
4х + 2у2 — 2z3 f 4 =0, х0 = \ (у0 = —2, г0 = 2).
94. Найти если z=x2+y2y где у=у(х) есть решение урав¬
нения 14-х+у2=ех+у.
Найти первый и второй дифференциалы функции z=z(xy у)г
заданной неявно:
95. х2 f zx 4- z2 4- у = 0.
96. x3 + y3—3xyz—23=1.
97. 2 In (xyz) =x2 -\-y2 —22 — 1, x>0, У>0У ^>0.
98. jc4 + i/4 -f 24 = 4xyz.
99. x = ucosvt y = u sinu, z = uv.
100. x = u + Inu, y=,v — lnu, z = 2u-\-v.
101. х = y = ueu~vy z = u2+v2.
102. Найти первые и вторые дифференциалы функций и(ху у)
и v(xy у)у если xu+yv=ly x+i/4-u+u=0.
Найти второй дифференциал в точке Мо(*о, i/о), z(M0)=2a
функции z(xt у)у заданной неявно, если:
103. xz6 4- y3z—д;3 = 0, М0 = (1,0), 20 = 1.
104. Ъх2 4 Ъу2 -f 5га — 2ху — 2yz—2xz—72 = 0, М0 = (1,1), г0 = 4.
105. 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz—2 4-8=0, М0 = (—2,0), z0=l.
356
106. 2х* + 2у* + * + 4хг—г—8 = 0, М0 = (0,2), z0 = 1.
107. x = cosusint>, y = cosucosv, 2 = sin«,
Л4, = (УГ/4, 1/2VT), z0 = 1//Г, u0 = я/4, u0 = я/3.
Найти вторые дифференциалы функций и(х, у) и и(х, t/) в точ¬
ке M0(xQt у0), если:
108. xu + yv = 0, uv—xy = 5, М0 = ( —1, 4“1), и0 = 2, о0 = 2.
109. jcsinu + ^sin г/ = —, и cosx + ycosv = -^- + x,
4 6
Мо=(0,л/6), ы0 = л/6, V0 = n!2.
Найти указанные производные функции z(x, у), заданной не¬
явно:
ПО. если F(xyzf х + у) = 0.
дх ду
111 ~т~- ~т~> если F(хУ.У2>гх) = 0-
дх ду
112. если F(x2— у2, у2—г2, z2 — лг2) = 0.
дх ду
113. если F (у—zx, х—zt/, г—ху) = 0.
dx dy
Проверить, что функция z(x, */), определяемая соотношением
F(u, у)=0, является решением уравнения
114. F (—? h—. —5 Ь—WO, (x2+i/2)-|?-+2;n/-|i+z2=0.
\* + «/ г х — у г ) дх ду
115. F(z2—y2t х2 -f (у— z)2) = 0, (z—y)2-^--{-xz-^-=xy.
дх ду
116. f(—9 2х—4z — £/2) = 0, ху Л- (x — 2z) ~^— = yz.
\ х дх ду
117. f(x*+i/, —) = 0, ху—х2-^-=уг.
\ х / дх ду
118. F((x-y)(z + 1), (x + </)(z-l))=0, (хг+у)-^- +
дх
+ (Х +гу) -^- = 1 —г2.
ду
Показать, что функция и удовлетворяет данному уравнению:
.«Л / х \ ~~т ди , ди . ди Л
119. ы =—) » , х ——f у ——f-z —— = 0.
\ у } дх ду дг
120. u = ln(xa+J/!!), — + — = 0.
v а дхг ду»
1П1 т / \® d^u d2u 0 du
121. и = егх (х — у)2, 2 = и.
' dx2 at/a df/
«nr» r_L.и / , \ д2и n d2u , д2и п
122. и=ех+у (х +у), 2 =0.
дх2 djcdy dt/2
357
«по У ъ д2и , л д2и „ д2и *
123. ы = х cos—, х2 h 2х£/ hi/2 =0.
х дх2 • dxdi/ dt/2
124 а= cos(x —у)4 cos(x + У) д2ц _ а*ц | 2 аы
х ’ ду2 ах2 х ах
Предполагая, что произвольные функции <р и дифференцируе¬
мы достаточное число раз, проверить следующее равенство:
1ПЕ I ^2 I 1 Я* 7 , а. 9Ч
125 . — + — = —, если г = уф(ха — у2).
х дх У ду уа
126. cos у 4“ cos х = cos х cos у, если z = sin у +
дх ду
4-ф (sinx— sin у).
127. xz + yz-^- = х, если г2 = х(/4ф(— V
ах a*/ V х /
128. (у2 4 г2 —х2) — 2ху 4 2хг = 0, если х2 -f у2 4 za =
дх ду
-ет(т)'
129. ху ——у2-^--Ьх(1 4- х2) = 0, если 4xyz = —x*—2х24ф(х,у).
дх ду
130. х — 4 у — =^ху 4 г, если г=ху 4-*ф(—).
дх ду \ х )
131. — 2-^-4-^- = 0, если г = ф (х 4 «/).
аха дхду ду2
132. — 2 = z, если г=е_*ф(х— у).
дх2 ду*ду
133. — — =2<р*(у-х), если z=(p(y~x)-x(p'(y-x).
ах» аУа г 47
134. а2-^-, = 0, если г = ф (дс—ау) + ф(х—ау).
дх* ду*
135. xa-^-4-2xt/-^-4i/2-^-=0, если г = хф .
ах* * аха«/ ^ а^* \ * /
136. (х—i/) — *-4-*- = о, если
■" дхду дхду х
137. — у2 ——2у = 0, если z = iX — ф (ху) + чр ( —).
дх1 ду* J ду V у \ х )
,38. x2^-2xy-^ + y2*L + x^+y^-=0,
ах* ахау * дУ* ах а</
если г = <р (ху) In у +1|> (ху).
Xх-г у*
>39. -Щ- + У +х -^-+хуг=0, если г=е 2 (ф (х) + У (у)).
дхду дх ду
140.— = — +2+ если z = q>(x + t, y+t) +
dt* дх* дхду ду*
+ ф(х-1, у-1).
358
х+У
Ф(х—у)+ф(*+у) 1 Г
2 2 J
J Ф(ОЛ-
Приняв у за новое независимое переменное, а х за функцию от
0, преобразовать следующие уравнения:
143. у,у///—3(уУ = 0.
144. у"+ (&—х) (у')3 — 0.
145. [у"’ + уу'] (уУ-(у'Г [3у' + *»] = 0.
146. у'—у'—(у')3х* = 0.
Вводя новые переменные, преобразовать следующие обыкновен¬
ные уравнения:
147. уг + (хг—ху)у' = 0, y=tx, y = y(t).
157. (у" —1)(1—х2)* + у = 0, x=th/, у — —Ц—, и = и(0.
СП I
158. хуу'—х(у')2+у-у' = 0, u = ln-^-, u = w(t/).
159. 2t/"-f (х + у) (1 —i/')3 = 0, x — y = ut x + J/=a, u = u(w).
Приняв и за новую функцию v(xt у), преобразовать следую¬
щие уравнения:
148. у' + 2ху = 2х3у3ч и = —, и = и(х).
и*
У
149. (ху Ч-ха£/3)—1 у’ = 1, w = и = и(х).
У'
150. ху0—yf-\-xy = 0, * = —, y = y(t).
4
151. х*у" +3х«/' +у =0, х=е‘, y = y(t).
152. х*ут + 2хгу"—xy' + y = 0, t = lnx, y = y(t).
153. ху" +2у'—ху = ех, у = —, и=и(х).
X
154. / + — у'— а2у =2, 1/ = —, и=ы(х).
X X
155. х*у"—С2у = 0, = -у-, X = -у-, u = u(t).
359
162. Н—н—-—— ^ =о, « = •
дхду х — у дх х — у ду (д: — у)г х — у
, ди ди г
163 . 1 1 = —и. и = ие~х-у.
дхду дх ду
Приняв и и v за новые независимые переменные, преобразо¬
вать следующие уравнения:
164. х2 ——ху — = 2, и = ху, v = -2-.
дх ду х
165. 4-е*-^- = 4уе*, u — y2 + eKt v = у* — е*.
дх ду
166. у -^-4- х-^- +ху =0, и = —, v = yx3.
ду дх х
167. J?L + J?L + 2(, = 0, y = v.x = -uW
дх ду ' 2
168. у-^- + 4-^- = Уху~, x = v2, y = (u—v)2.
ду дх
169. (х + г)-^- -+-(*/ + г) — 0, и=х, и =
дх ду х 4 г
Приняв и и v за новые независимые переменные, а до за но¬
вую функцию от и и и, преобразовать к новым переменным сле¬
дующие уравнения:
170. -J-+-iL + x + «/ = 0,
дх ду
U = y+X, V = y—Xt ДО = Ху — 2.
tnt дг дг л
171 . = 4х.
дх ду
и = х, v — x—у у до = х — у+г.
т ‘(•|- + -|-)+г+'! + !'-0-
u — x + y% v = x—уу w=zx.
173. у — + х— = 0,
* ду дх
и = v = yt w = yz—x.
X
174. -^-sinax4*ctgx-^- = cos2z,
дх ду
и= 2у 4 tgzctgx, v = ctg х (tg z 4“ ctg x), w = igz 4ctgx.
175. yz——xz-^- = e*, u=xa + i/2, u = arctg —, до = (х24*/2)е~в
дх ду у
176. (Xy + z)^- + (\ — У2) -?Z-=x + yzt и = yz xt v = xz у,
dx dy
w = xy—Z.
360
Приняв g, т) и т за новые независимые переменные, a w за но¬
вую функцию от g, г] и т, преобразовать к новым переменным сле¬
дующие уравнения:
177. (у+ z)-^- + (z + x)-^-+(x + y)J£- = u,
дх ду дг
X— «/ = —, у—г = —, х + у-\- г—х, w = u*.
U и
178. 2 cos 2-^- = и sin 2/-^- Ч—^—h 2
дг \ дх ду Г
и COS 2= Н, USinZ = T], x-f^-h« = T, w = u2.
179. Преобразовать уравнение
+z) +(г/—=0?
приняв у за функцию, а дс и z за независимые переменные.
180. Преобразовать уравнение
дг , дг Л
X \-у = 0.
дх ду
приняв х за функцию, а у и г за независимые переменные.
181. Преобразовать уравнение
приняв у за функцию, а u=x+zt v=y—z за независимые пере¬
менные.
182. Преобразовать уравнение
( дг , дг . \ дг
Ч»!Г + х7Г+гН1Г-
приняв jc за функцию, а a=i/z-h*, за независимые пере¬
менные.
Приняв и и v за новые независимые переменные, преобразо¬
вать следующие уравнения:
д2г д*2
183 . = 0, и = х—у, и = х-| «/.
дх2 ду2
|84-5-+!,-^+т|—0 '-2^-
185. (l+^|S. + (l + /)i±+,^. + ,^._o,
дх* оу* дх ду
U = \n{x + V\ +дга), t)=ln(y + Vrl +уа).
,86. 2 ——2 + 5 — — = 0,
дх2 дх ду ду* дх
u = -L(x—у), t» = -i-(2;c + y).
361
IQ7 d*z i o d*z o d2z . n dz ~ дг л
!87‘ TT4'2T^ 3TT+2Т~^6Т“=0» и==х + У>
dx2 dx dy dy2 dx dy
v = 3 x—y.
ICO d2z . d2z . с d2z , dz . n dz л
188. b 4 (-5 1 h 2 = 0, u=2x—y, v = x.
dx2 dxdy dy2 dx dy
,89. ^L_4i!i=0, «/ = ^-. x = ^.
dx2 dy2 * * 2 4
1Пл « d2z „ d2z n dz * и
190. x2 и2 2г/ = 0, u=xy, v = —.
dx2 " d//2 dy x
191. x2-^—-2x- d z 4--^- = 0, u=xeyy v = y.
dx2 dx dy dy2
192. x*-^—2xy — 3y* — =0, u=-^~, v^yx\
dx2 dx dy dy2 x
193. X2 -b 2xy - d-Z + у2-^- = 0, u=—, U = i/.
dx2 57 dxdy * dy2 * x *
194. ——2sinx — 2 + (2—cos2x)-^- = 0, u=xy u = */—cosx.
dx2 dx dy v ; dy2 *
195. tg2x4y— 2У^ХТ~Т~ + У2~ТТ + tg3x-^- =0, u =//sinx,
dx2 dx dy dy2 dx
V = y.
196. x^—2Vry^- + y^- + -L^- = 0, u = Vx+lSy,
dx2 У dxdy * dy2 2 dy J
V = V X.
(A. « d2z , n d2z . d2z л u + t/2
,97. „.— + 2!, —+ —_0. » = », x —.
198. 0. »>o.
dx* * dy- ’ * 2 16
199. 4- + m2z = 0, 2x=u2—и2, y=uv.
dx2 dy2 *
Приняв uy v и w за новые независимые переменные, преобра¬
зовать следующие уравнения:
200. 2^1 + 2-^ + — -2—^ 2 —^—b3 — — = 0,
dx2 ду2 dt2 дх ду ду dt dx dy
u — x 4- У+ t, V=r—у — ty w=—t.
201. + 2—+ —= 0,
dx2 dy2 dxd/ dyd/ dx dy dt
x = 2u—v—w, у = 2v—и—wy t = u + v + w.
Приняв и и v за новые независимые переменные, a w за но¬
вую функцию от и и vt преобразовать к новым переменным сле¬
дующие уравнения:
202. 4- 2 4- = 0, и = х, v=x—yt w = x—у 4-г.
дх2 дх ду ду3
203. ^.AL + #.Al—2xf/ - 2 ■ —0, и = хуу v = yy w—z—у.
дх2 ду- дх ду
362
лп1 д~2 . л д~z д^2 л .
204- ТТ + 2 —-—Ь —— = 0, и = у+х, v = y—x, w = ху —г.
а у2 дх ду дх2
олс , 0 д2г д2г , dz дг .
205. х ь2х х =4, u=x-j-y,
дх2 {дхду ду2 дх ду
V — X — yt W — ZX.
/1 daZ . ,, в «V d22 dz . dz
206. (1—•*)тТ + (1— У )ТТ = Х~7~ + У^~< х=с°*и> У=*cost),
dx2 dy2 ах ду
z = ew.
nn- dz 1 d2z 1 у
207 . x =—, u = —, u = w=uz—x.
dx 2 дх'- у x * *
u = ^1—jc, w = \/2z(V\ —x).
209. i!L_2-^- + -^i = 0, u=x + y9 v = ±t Wsss^
dx2 дхдуду* *' X X
П1Л о o2z п d2z d2z A dz , dz л 0
210. 2 b 2 b 4 h 4 1- z = 0, u = 2y—x,
dx3 dxdy dy* dx dy *
v=x, z=we~x~y.
d'z d-z
dx2 dy2 dx
/i 94 2 a dz 1 л У-f-a y — OL
211. (1— x2) 2jc 2 = 0, u = -——, v=- ,
4 • a w ct w л 1
w
z=—j=t x = cosa.
Vasina
Преобразовать к полярным координатам г и <р, полагая х=*
-=г соБф, t/=r sin ф, следующие выражения:
ftin dz dz
212. х — + у—.
dx dy
n * О ^2
213. у jc .
* dx dy
{%)-{%)•
215. 4,»* + »..
dx2 dy2
2,e- x*i^+2xy-£k+yti£-
tx.n d2z 0 d2z . « d2z / dz dz \
217. *r 2хи r-x2 x b У —i .
* dx* * dxdy dy* v ax * /
218. Найти производную функции f = xz—x2y + yz—1 в точке
Л (2, 1) по направлению, образующему угол я/6 с осью ОХ.
219. Найти производную функции f=x—x2y+yA в точке Л(1, 1)
по направлению вектора АВ, где В(4, —2).
220. Найти производную функции z=f(x, у) в точке Л(хо, Уо):
а) по направлению касательной к кривой <р(х, у) = С в точке
(*ь У\)\
365
б) по направлению нормали к кривой <р(х, у)=С в точке
(*ь 2/1).
221. Найти производную функции f=x2—xy+y2+2z в точке
М(\у 2, 3) по направлению вектора <z(l, 1, 1).
222. Найти производную функции f=x2—xy+y2+2 в точке
М(1, 2, 3) по направлению вектора а(1, 1, 1).
223. Найти производную функции z=ln (х2+у2) в точке
Af(a/8, аЗУЗ/8) кривой х2/г+у2/г=а2/ъ по направлению внутрен¬
ней нормали этой кривой.
224. Дана функция z=z(x, у) из класса С1 (D) и гладкая кри¬
вая C:x — x(t)y y=y(t)y t^[T0, Г|], лежащая в области D. Обозна¬
чим через n(t) непрерывно меняющийся вектор нормали к С на
[Го, 7U Найти
дп
225. Найти производную функции и = ху + — в точке
У
М(2, 1, 2) по направлению градиента функции V=xyz в этой
точке.
Написать уравнения касательных прямых и нормальных плос¬
костей к следующим кривым в заданной точке М0(*о, t/о, 20):
226. 4x = t\ 3y = t\ 2z = t2, -j- т)-
227. x—t—sin/, у—I—cost, z=4sin-^-, M0 = (ji/2—1, 1, 2|/2).
228. x = -*-, 2= 3/
l+f3 (1+*3)2 ’ 1 + /3’
М,-fi. -i. Ц.
* 0 \ 2 ' 4 ’ 2 J
229. y = e\ z-=x2, M0 = (0, 1, 0).
Ann X* u* , z , bx f a b cn \
230 . b — = 1, —=arctg , M0=\—-7zr-t —7=”. •
aa b2 с ay \ V^2 }/ 2 4 /
231. *2 + {/2+z2=r2, 2a'j + i/2 z2 = 0, M0=(^-, 0|).
232. 2x2 + 3y2+z2 — 47-0, + 2y* — z = 0, Л1ф = (—2, 1, 6).
233. y2+z2 = 25, + = 10, M„ = (l, 3, 4).
234. x = «cosu, y—us\nv, z — av, x2 + y2 —Aax,
M0=(a, -a 1/3, ^
235. х = ы2-Ьа2, y^=2uvy z = u2vt —u2u, z2 — 2x — у — 2,
M0 = (5, 4, —2) 0o = 2).
Написать уравнения касательных плоскостей и нормалей к сле¬
дующим поверхностям в заданной точке Мо(*о, r/о, 2о):
236. г=ху, М0 = (5, 1, 5).
237. л2у3—xt/2=z + —. М0 = (2; 1/2; —3/8).
8
364
238. лг® + у13 + 5z = 7, Af0 = (l, 1, 1).
239. x3+z3 — 3.vz = 3, Л40 = (1, 4, 2).
240. ху + хг + уг=*\* + !р-l-z3, Af0 = (l, 1, 1).
241. x3 + y3 J- z3 = — xyz, Af0 = (l, —1, —1).
242. x = u+v, i/ = k2 + m2, z = u3 + v3,
M0 = (x(u0, v0), y(u0, v0), z(ut, vj), и0=1, v0 = 2.
243. x = sin и V \ —m2 sin2:;, у = cos и • cos vt
z = sinv-yr 1 —m2 sin2 v,
Af0 = (*(w0. yo). «/(«о» ^o). 2(a0, o0))f w0 = “-» »о = я/4.
4
244. x=hcosu, */ = usinut z=i;,
M0 = (x(u0, uc), y(u0, v„), z(u0, 0O)), ы0= 1, u0 = я/4.
245. .ic =e“ +iisint), // = e“—и cost), z = uv,
M0 = (*(u0, uo). </(“o. ь’о). 2(“o. °о)). “o=l. у0 = я-
Исследовать на экстремумы следующие функции:
= — л:2 — ху — Уг + Х + (/.
= (2ал— дг») (2Ьу—уг), аФО, МО.
= х2 + лч/ + j/2 + — + —.
X У
= х3 + —3 аху.
= х4 4- у4 —36ху.
= х4 4- //4 —2х2 -f 4х(/ — 2#2.
= х2 — 2ху2 4- у4 — уь.
= £2* (х +1/2 + 2у).
= х2 4-Зх«/—-8 In |х| —6 In 11/|.
= Зх2 у 4- у3 — 18х—30 у.
= х2 — 2ху 4- 4у2 4- 6z2 4- 6(/z—6z.
= х«/4-г/2 4гх.
= f/x3z2 (2—у—2z — Зх).
246
247.
248.
249.
250.
251.
252.
253.
254.
255.
256.
257.
258.
0<х<2я, 0< */<2л.
= х 4- и 4 8 cos — cos —
J 2 2
= In xy— z (x—y)—x2—y24 2xy—y.
= (x2 4-1/2)
= z Inz—z—z lnxy + xy + x2 4- 2y2 — 4x—2y.
= 4 — (x2 4- y2)V3.
259.
260.
261.
262.
263.
264. .
1 4- x4 4- у* — 2x V1
Исследовать на экстремумы в заданной точке следующие функ¬
ции:
265. / = х34-//34-224-Зх#—2z—9х—9у,
а) М, = (2, -1, 1); б) Ма = ( —1, 2, 1).
365
266. / = х5 4- Зх3у 4- Zifx -f if, М0=(—12/5, —12/5).
267. / —л* cos у 4 z cosx, a) M1^=(xc/2, 0, 1); б) /И2 = (л/2, л, —1).
Найти те точки кривой, в которых ордината или абсцисса име¬
ют локальный экстремум:
268. (х2 -{- у2)2 = 2а2 (х2— у2), х2 + у2 ф 0, а > 0.
269. x'J -f if =3аху, хуФ 0, а > 0.
270. х4 Л-f =8хг/а, х//^=0.
271. х1 + у1 -Ь 4х2г/— 2yJ = 0 (исследсзать только ордкнату).
272. (х2
-4;;)2 - 16 (х2 -г //2), х2 + у2 ф 0.
273. г -----a )/sin 2q), с > 0.
Найти экстремальные значения заданной неявно функции у
от переменной х:
274. у2—ay — sinx-=0, 0^х^2д.
275. (г/—х)3 + х -f 6 ■= 0.
276. (у— х2)а = х5, х2 -}- tf ф 0.
277. х2 4 ху 4- у2 = 27.
Найти экстремальные значения заданной неявно функции z от
переменных х и у:
278. 2:;2 4 2//2 4 г2 -f 87Z —2 4 8 = 0.
279. 5г2 4- \zy -4 if — 2у 4 Зх2 —6х 4-4—0.
280. 5х2 -4 5у2 4 5г2—2.ry—2xz—2yz — 72 = 0.
281. х1 4 if 4 z4 - 2 (x2 4- if 4 г2).
282. z2 + xyz—xy2 — x3 — 0.
Проверить существование экстремума у функции z(x, у) в точ¬
ке М0> если
2S3. 21 In (х2 -f- f j z2) = 12х— 18// — 13z, Mc=(2/7, -3/7, 6/7).
284. jc sin izy—ny2 sin nz 4- nz sin яx=^ (7 — 9;y),
yVf0 -- (1/2, 1, 1/6).
Найти точки условных экстремумов следующих функций:
285. f = 2x-\-y—z + 1, х2 4 у2 + 2z2 =22.
286. f = х у, tgх 3 tg */ = 0, |x| < я/2, |//|<л/2.
287. f = ху, х3+*/3—ах^-0, а > 0.
288. f=xyzy х2 + У2 + z2 =а2, а > 0.
289. f=xyz, xy + xz + yz — а2, х > 0, // > 0, z>0, а > 0.
290. f = xyzt х + 1/ 4-2 = 5, xy 4-f/z 4-zx = 8.
291. f=xy+yz, x2 + y2 = 2, г/ 4- z =2, x > 0, i/>0, z > 0.
292. / ~xy2z31 x 4- tny2 -\-пгл = 1, m > 0, /г > 0, x > 0, у > 0,
z > 0.
366
/=1
293. f = x? + xf+...+x?, (m > 1), £x,=o.
n n
294. /=£аЛ, £*Ma.
1=1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в задан¬
ной области:
295. f = xy-x2y—^-, 0<х< 1, 0< f/<2.
296.
297.
298.
= х24-3*/2 —х4- 18t/—4, 0<х< 1, 0<*/:
=х84-3#2—Загг/, 0 ^ х ^ 2, 0^ f/^ 1.
= х>0, «/>0,
2 6 8
xt/2
-ь—<1.
4
299. / = хв4-*/в—3x2-f6xi/—З//2, 0<</<х<2.
300. f — COS X COS I/ cos (x + у), 0< X< Л, 0 ^ ^ Я.
301. f = (x — i/J) J/ (T-—jcj®, уа<х<2.
302. / = x3-ht/3—9xt/4-27, O^x^a, O^i/^a, 3 < a < 9.
303. / = x4 4- */4 — 2x2 4- 4xi/—2(/2, 0 ^y^a, 0^ y^a, a> 1.
304. ,f = xy + yz f zx, x2 4- y2 + z2 < a2.
305. / = x4-*/4-z, x2 4-i/2<^< 1.
306. / = 2sinx + 2 sin у f sin (x 4- у), 0^х^я/2, 0^z/^3t/2.
307. Представить положительное число а в виде суммы пяти
положительных слагаемых так, чтобы их произведение имело наи¬
большее значение.
308. Представить положительное число а в виде суммы п по¬
ложительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наи¬
меньшей.
309. Представить положительное число* а в виде суммы п по¬
ложительных слагаемых х!э х2, хп так, чтобы произведение
z-гх®1, ..., х*п (а, — заданные положительные числа) было наи¬
большим.
310. Определить наибольшее значение корня л-й степени из
произведения положительных чисел хи *2. • • , хп при условии, что
их сумма равна заданному числу а. Используя эту задачу, дока¬
зать, что среднее геометрическое нескольких положительных чисел
не больше их среднего арифметического.
311. Через точку А (а, 6, с), а>0, Ь>0, с>0, провести плос¬
кость, отсекающую от первого октанта (х>0, у>0, z>0) тетра¬
эдр наименьшего объема.
312. Определить размеры прямоугольного параллелепипеда с
заданной суммой длин его ребер а, имеющего наибольший объем.
313. Определить размеры прямоугольного параллелепипеда
данного объема К, имеющего наименьшую площадь поверхности.
367
314. Определить размеры прямоугольного параллелепипеда,
х2 у2 г1 .
вписанного в эллипсоид 1 Н — 1,при которых параллеле-
а1 Ь г с '2 '
пипед имеет наибольшую полную поверхность.
315. Доказать, что из всех четырехугольников, описанных во-
круг круги радиуса /?, наименьшую площадь имеет квалрат.
316. Найти треугольник, периметр которого равен 2р и кото¬
рый при вращении относительно одной из своих сторон образует
тело наибольшего объема.
317. Через точку М, лежащую внутри данного угла, провести
прямую так, чтобы она отсекала от угла треугольник наименьшей
площади.
3Е8. Внутри данного угла В поместить отрезок DE длины Ьу
концы которого — точки D и Е — находятся на сторонах угла, так
чтобы площадь треугольника DBE была наибольшей.
319. В данный круг вписать треугольник так, чтобы сумма
квадратов длин его сторон была наибольшей.
320. Определить положение точки относительно вершин остро¬
угольного треугольника АВСУ чтобы сумма расстояний от этой
точки до вершин треугольника была наименьшей.
321. Определить положение точки относительно вершин тре¬
угольника, чтобы сумма квадратов расстояний от этой точки до
вершин треугольника была наименьшей.
322. На плоскости XOY даны две различные точки Р\(аи b,)
и Р2Ь2)% Д|>Я2>0, Ьo>fri>0. Найти точку Q\ на оси ОХ и точ¬
ку Qo на оси OY, чтобы длина ломаной была наимень¬
шей.
323. Из всех конусов с данной боковой поверхностью найти ко¬
нус с наибольшим объемом.
324. Среди всех четырехугольников с заданными сторонами
найти такой, площадь которого наибольшая.
325. В данный круг радиуса R вписать четырехугольник ABCD
наибольшей площади, если величина угла BAD равна а.
326. Доказать, что в треугольнике радиус вписанной окружно¬
сти не может быть больше половины радиуса описанном окруж¬
ности.
327. Найти кратчайшее расстояние от точки А(р, 4р) до точек
параболы у2=2рх (р>0).
328. Найти длины осей эллипса, полученного в сечении ци¬
линдра х2+2у2=\ плоскостью x+y+z--=0.
329. Найти кратчайшее расстояние между прямыми
х - - а у — b 2 - - с х - ах и — Ь\ г — С\
/ т n li тх п |
330. На плоскости заданы п точек Л (о., Ь,). Найти координа¬
ты точки Р(х, у) такой, что
п
5] т, [(*—ai)* + (J/-A)2J
1 = 1
368
(m; — заданные положительные числа) будет наименьшей. Дать
механическое истолкование полученных формул.
ОТВЕТЫ
. ди . . , ч ди
1. —— — Sin(x4-у), — =
ах о у
д*и
sin (х + у), -^- = —cos (х + у),
дх3
= — cos (х 4- */). 2.
д-и
дхду
д2и
дхду (ах t by)3
41 . лг 2
Sill 1
2 a2
d2w
2b2
d*2
2 ah
3.
(qjc by)3 * dy2
1 .x
dx3
— cos —
i/J J/
216
dxdy2
{ax -f- by)3
JC2 JC
= COS
yb у
x » z 10 e л ri i.j. ,f .
cos—. 4. . 5. =4ыех +*'•* 4-
(1 4-2х -ь Зу)< ^ dx2dy *
= 8xyze*'+y' 6. = у (у — 1) x»-2 +
у*
+ 8лг(уе1;Ч',Ь',1
d2w
*/J У
д*и
dxdydz
4- ук In2 у, — ху 1п2х 4- х (х — 1) у*
ду2
дх2
д2и
-Ь хух~ 1 In у. 7. г. 8.
х*у1
дхду
9.
= yxy~l In х 4- х*-{ 4-
—2jL . 10. Лг£-
* (х2 4* У2)
11.
r2COSl|). 12. ——. 13. 1 ■:=
2v 4 у 2 у (и у и — ю) (и 4- w — и) (Ъ 4- w — и)
(V ик . .
\ cosv —us\nv\
2и 2и )• 17. .
2 и 2v) \sinv и cosv/
,{±-
18
21.
In —
и
и
W
V
w
V
1 w
In
V
u
и
w
w
w
1 u
In
и
V
t'
25.
27.
уz cos u—xz sin и -f- etlxy
1 4- х2у-г2
' t/v — 2 xu
2xv 4- 4uy
X2 4 y2
v — 2 и
369
29.
31.
0 т
о ——
2
30. —
7 У195
7 /195
7 К 19о
дф
ди
:( 2 У
К—УъУз
1 2(/2 2(/s \
Уз —УгУз —УхУг) ’
i>•*■>(*>-ft?)- (-
(“Г") = (!> !”V где У11=у1с08дс1-у,яп(х1-х,), Yl2=y2cosx2+
\ дх ) \Yn Yj
+ у3 sin (xt — хг), У21 = — угх2 sin (хух2) — 2у1х1 cos (*у + ,t§) —
— 2ysxl sin (x2t + xt), Ум = — Угхх sin (хгх2) — 2уху2 cos (xf — x$) —
-2!,Л5|п(,;+й); (-й.)_(я.п“р^ силл cos(>;
!/lx2-t-2xji/o—2x1y3 2x2i/2~2xoi/3 — i/1xl
Sinx'g COS^—X2) \
«£)-
xj 4 x;
yilWi — Уг
x2
*1
*i + *2
Уг —
дф N.
^ )
arctg In (x* 4- x*) —In (x* + x\)
X% 1 35. du - 2xy2dx 4
У* In - —
X2 X!
-4 2yx2dyt d2u = 2y2dx2 4 8xydxdy 4- 2x2dy2. 36. cfo = (t/ 4z)dx 4-
4- (x-f z)dy + (у -j- x)dzt d2u = 2 {dxdy 4- dxdz 4- dzdy). 37. du =
= —sin (ex(/) (ye'dx+eKdy)y d2u=[—cos (exy) &xyl— sin (eKy) exy] dx2 4-
4- 2[—соs(exy)e2'y—sin (exy) eK\ dxdy 4 [—cos (exy) e2<] dy2. 38. du—
= (yxy—1 4- yx In tj) dx 4- (xylnx f xifx~l)dy, d2u = [y (y — l)x^-2 4-
4- yx In2 y] dx2 4- 2 [х*-1 4- x^~]y In x 4- x In у • yx~x 4- yx~l] dxdy 4-
4- [xylnax4-x(x — 1) yx~2] dy2. 39. du=—dx + — dy t — dz, d2u =
x у z
—dx2 dy2 -dz2. 40. du = — (J-dx + — dy —
x- if * Z* Z2 + x'-y1 \ z 2 *
^ dz), cPu= ~2^ dx2±2*=^dxdy ^-tlsztldxdz-
гг j (z'- + x2if)‘ (z*+xV)*
_2Ш ^ 4, 2 .0,55;
(za + x-У2)2 (z3 + xV)J |(** + *V)* - Vi
<6) -7,8; в) 0,8+ 12,8In2; r) -Л д) 2; e) 42. <fc-
30 20
= 2q/xdx— 2$ydy, d2u = (2ф' 4 4ф"х2) dx2 — 8х*/ф"^хЛ[/ 4- ( — 2ф' 4-
370
-f 4cfy2) dy2. 43. du = y'yzdx 4- сy'xzdy -f q'xydz, d2u = (ф"y2z2) dx2 4-
4 ф"x2z2dy2 4 Ф"x2y2dz2 + (2ф'z + 2ф"xyz2) dxdy + (2y'y 4- 2q"xzy2) dxdz 4-
-t- (2ф'хЧ-2ф”yzx2)dydz. 44. du=y'(y 4- z)'dx+4' (x+z) dy\(y+x)dzt
d2u = cp" (у 4- z)2 dx2 4- ф" (x 4- z)2 dy2 4 ф" (у -f- x) dz2-\-2 (ф' +ф" (//4 2) X
X (л' -г г)) dxdy 4- 2 (ф'+ф" {у 4- г) (у+х)) -dxdz + 2(y'+ у”{x+z)(y +х)) X
X dydz. 45. du = 2xy'dx 4- ^yy'dy 4- 2zy'dz, d2u = (2ф' 4- 4х2ф") X
X dx2 -f- (2ф' 4- 4у2 ф") dy2 + (2ф' 4- 4z2 ф") dz2 4- 8ху ф" dxdy 4-
4- 8лгф'dxdz 4- Sztj^'dydz. 46. du = (%2x 4- %2x)dx-\- (Ф[2y —
— ф'2/z) dy, d2u = (ynn4x2 4- 8ф",х2 4- %24x2 4- 2ф', 4- 2ф') dx2 +
4- 2 (фГ, 4xy~^4xy)dxdy 4- (ф',',4у2 — 8ф\2у2 4- ф\Лу2 4-2Ф',—
— 2ф') dy2. 47. du = ( Ф\у 4- % • ^ dx 4 ( %х — Ф2. j dyt dru =
= (ч>;,«/2 + 2(?;'2+<&~) +2 фи-^г+ф!-ф;-^г) dxdy +
+ ( ф;,л2 — 2ф", -р- + ф"2 + q>; ) d(/2. 48. du = (ф|2х + <р’2у) dx +
+ (ф',2г/ f ф2х) dy, d2u = (ф”,4х2 + 4ф”2л7/ + ф’™!/2 + 2ф|) dx2 + 2 (ф'и4ху +
+ ф"2 (2.x2 + 2у2) + ф\2ху) dxdy 4- (ф",4//2 + 4*</ф'2 + Ф22х2) dy2. ,49. du =
= (%-j—b-jr)dx+
— 2«р;а- — + ф’22 • -$- + 4>i~)d*212 (—ф;. ■ + 2ф;2- -
-ф'и- ir-%- 7--% • -^) dxdy+ (фп 7-+
Ф22 • dy2- 50- du = (ф! + 2хФг)dx + (ф| + 2{/Фо) dy, d%u = (Фи +
+ 4хф"2 + 4х2ф22 + 2ф’) dx2 2 (ф', + 2уф"2 + 2хф"2 + 4хг/ф*г) dxdy +
+ (Фп+4(/ф;'2 + 4г/гф22)^г. 51. du = <f[ydx + (ф|х + %z)dy + ф#dz,
d2u = y'lydx* + (ф",хг + 2ф[2хг f ф"2г2) dy2 + %2y2dz2 + 2 (ф’,Х(/ +
+ ф"х2уг Н- ф|) dxdy + 2ф\2y2dxdz +• 2 (ф"l2xy + <f’Mzy + ф2) dydz. 52. du =
-7--
— л • i- + * ^^+»(■f - + “
— 'Pi + (fn “J! 1^- + ^ “•
= (%У+ф;+ф3) dx+(ф;х-ф;+ф3) dy, d2u=(ф;, </a+2ф;2</+2ф;3г/+ф22+
+ 2фгз+ Ф33)dx* + 2 (Фн^— Ф1> + %3У -Н Ф> + Ф1зх — Фи + % +
+ Ф33) dxdlJ + (Фпх2 + 2Фпх— 2Ф!2х + Фи— 2Фгз + Фзз) аУ*- 54, du =
= ф|2xdx + 4.2ydy + ys2zdz, d2u = (ф", • 4x2) dx2 + ф224y2dy2 + ф"34z2dz* +
371
+ <p\28xydxdy + cp;38xzdxdz +■ <p3", • Szydzdy. 55. du = 2<f[dx +- 3%dy +
+ 4<f3dz, d2u = 4cpndx'2 + 9ф2^£/2 + 16<pJ3dza ■+• 1 cJjfv,dxdy +- 16cp"3<ixd3 -f
+ 2i<f,'3dydz. 56. du — (<p, + 2хф2) dx + (<p, + 2y^ dy .l. (ф| _ 2гф') dz,
d2u = (ф'п + 4x<p;; i- 4хг<р;г + 2ф2) dx2 + (ф'2 + 4{Лр”2 + 4г/2ф"2 + 2ф') dy2 +
+ (фп + 4гф”2 + 4z-<p"22 + 2ф2) dz2 + 2 (ф", + ф"22(/о. 2хф"2-)-4х1/ф"2) dxdy +
+ 2 (ф", + q>;,2z + ф;22х + 4х,-ф:.;) dxdz +- 2^ + ф;22г + 2(<2 +
+ 4г/гф"„) dydz. 57. du = (ф; + 2хф^) dx (ф; f 2OT') dy + (ф|2г + ф;) dz,
d*u = К, + % М -г Ф':24х2 + 2ф') dx2 + (<4 + ф":4у + 2ф') dy\+
+ (Ф;,4г2 + ф,'34г +- ф'33 + 2ф|) dz2 + 2 (Ф;2 + у132у + 2x(^ + 4хууп) dxdy +
+ 2 (ф;,2г + ф';з -г ф'|24хг -f Ф232<) dxdz + 2 (ф^2г + + 4(/гФ;з +
+ 2г/Фзз) аУёг- 58‘ du = (ф|? cos xz + Фз//с<)яху) dx (ф'г cos yz +
+ »р'х cos xy) dy + (q»;x cos xz + ф2(/ cos yz) dz, d2u = (ф^г2 cos2 xz +
+2%jy cos xz cosx у -г ф"3(/2 cos 2xy)dx2 + (ф'22г2 cos; ,JZ j. 2ф;зхг cosx (/cos yz +
+ ФззХ2 cos2 xy) dy2 -I- (ф;,х2 cos2 xz + 2ф\Yxy cos xz c:0S yz+ф',г/2 cos2 yz) dz2+
+ 2 (ф;2г2 cos xz cos yz + ф"3хг cos xz cos xy + ^yz cos xy cos yz +
+ Фзз^х cos* ХУ + Ф3 cos ХУ — ХУ% sin xy) d.Kdy + 2 (Ф;,хг cos2 xz +
+ <f\fy cos* xz + ff’l3xy cos xz cos xy + ф;3y2 co5 уz cos xy ±. ф; cosxz __
— хгф, si n xz)dxdz + 2(ф12х^ cis xz cos yz Ь фп2^/- ссц2 yZ ^ ff^3-v2 cos xz cos xy -\-
+ Ф23ху cos xy cos yz + ф; cos yz — ф2zy sin yz) qydz. 59. du = (ф,'е* +
-f %zex-») dx + (ФУ— ф/е*-») dy + (ф|хег + ц>^е‘ + Фзе*-у) dz; d2u —
=.(ф;1е’1г + 2ф;згег+*-*' +Фlf2e-*-*« +Ф3ге*-«') dx* + _ 2ф;зг^+*-»+
+ Ф^г2^^-^ + Фзге*-*) dy2 + (<f’ux2e2‘ + 2^хуе^ + 2ф;'хв»м-* +
+ Я>пУг еЪ+ 2 <р пу е 1+х~>4. <р\хег+ q, ^е2х~Ь) dz2 +
+ 2 (ф;'2 еЪ- <р?ze,Jt*~у + <р", zе**~у- <р", z21,2*"2'_ v' Zex~y) dxdy +
+ 2 (<p';lXe*‘+ <р'{1уеЪ+ <phez+I~y+ q>1,xze‘*^+ (p»liZye‘+x+y +
+ <Ph^eI'tx~y+<p\е+<р'ге’~у) dxdz + 2 (<p'{2xe* + <р’{гУеъ+ <Pne+*~y-
n z + x-y „ 2 + x-y "Ix — ly f x~_v . _
~<pnzxe -(Pnzye -<pnze -q>be y+ <p'2e)dydz. 60. du =
= 2* (<*>;+ (p'i) dx + 2у (<p\ + <p 9 dy + 2Z (<p'2+ y') dz, d2u =
= [ (<p Г, + 2 cp ;'з+ q> i'j) 4 x 2 + 2 (cp i + q>',)] dx 2 + [ (<p I', + 2 <p ;'2 +
+ Ри)4у2 + 2 (^oj + (р'г)] dy2 + [(<Рп + 2ф'п +Щ})4г2+ 2 (ф'г + ф'г)] dz2.
€7 _Ё_= L- d2; = xyi_ gg _^£ X3 + г* .
dx z ' dy z dxdy x __ xa _ 2a ’
dz
* 2,21 Л2, (t*-zJ-z42x2)-b—(x-x2-fz42:x)
dz = x*-t-zM-z . a2z = dx _3z_ _
dx x — X2 — za * dx2 (X — X2 — 2,2)2 * * dx
372
_ г х — \ ' дг __ г у — 1 # d2z _ г (х — 1) (у — 1)
х 1 — г ’ ду у 1—z дхду xy (1 — г)3
дг _ (I — 2у2) (х г) дг _ 1 — 2х2 — 2xz д2г 1 ^
dt/ ~ у (2гх 4- 2z2 — 1) ’ дх ~~ 2гх -г 2z2 — Г dx2 ~(2xz 4- 2z2 — 1 )2
X [ 4х — 4z3 — 4zx2 — 8xz2 4- -^-(4х3—4z 4-4xza—8x2z) , —— =
I дх J дхду
__4x,4-8x2?4-4jfz3—4z ^ дг __ 14-yz sin xyz дг 14-xz sin xyz d2z
(2xz 4-2z2 — 1 )2 * dx 14-xysinxyz’ ду 14-xy sin xyz ’ dxdy
/ dz \ ( дг \ ( dz dz
-юхуг ( + J («ж+ух — )-( г+у—+ x — jsm^z
72.
1 4- sin (xyz)-xy
dz ухУ~1 dz xV In x 4- zy2-1 d2z
dx yz In у dy yz I n у ’ dxdy
__ x^1-х^Чпу—x^^y^lnxlny— x^ylnxlny dz и — 2v dz v+2u
yz \n2y ’ dx 2(u24-t'2)* dy u2-\-v2 '
f du dv \ f du dv \
2 f —-— — 2 —t— I (u2 4- i/2) — 4 (u — 2v) [ и —— 4~ v —;— I
d2z _ \ dy dy ’ \ dy dy
dxdy 4(u24-t’2)2 *
du v dv и dz . dz и — v
где = , = . 74. =u f v. = ,
dy u2 4- v2 dy u2 4- v2 dx dy 2
daz и 4- v dz и CDs v 4- v sin v dz —и sin г 4- v cos v
dxdy 2 dx eu ’ dy
d'z
[ du dv dv dv \ du
—— cos и — и sin i» 4- sin v 4- v cos v — (ucos u4-usin v)
\ dx dx dx dx J dx
dx8 eu
/ du dv dv dv \ du
cosy — wsint' 4- sin i*4- vcos v —
daz _ \ dy dy dy ^ dy ) dy
dxdy eu
du sin v du cos v dv cos v dv
где
dx eu dy eu dx eu ' dy eu
■yg dz 3zxa dz 3y2z ^ dz _ 2x — yz
dx 4z3 4- x3 4- ys ’ dy 4zJ 4- x3 4- y3 * dx xy — 2z
dz _ 2у — xz dz __ (x2 4- y2)2 4- 2xz (x -j- у 4- z) dz __
dy xy — 2z * dx (x2 4~*/2) (* ■+■ У z — x1 — y2) ’ dy
= 4- ya)*4" 2yz (x 4- у 4- z) ^ dz _ zsin X —cosy dz __
(x2 4- y2) (x 4- у 4- z — x2 — y2) * dx cosx —у sin z ’ dy
x sin у — cos z gg dz __ — 2xz dz 1 4- z*
cos x — у sin z dx 1 4- xa — 4yz3 * dy 1 4- *a — ^yz3
Л dz _ xb 4- yc dy _ — zc — xa ^ dz _ 2 ~ dy __
dx z!> — ay * dx zb — ay dx 4 (z — 3) * dx
3 — 6zxa gj dy xy — z2 — yz 4" x* dz yz — ха 4~ Уа — xz
4 (zy—3y) dx z2 — xy — ya 4- xz ’ dx za — xy — y2 xz
373
84. -^ =
du
dx
— x2 sin Z -f- Z2 sin X
85.
yL sin z — zA sin у
— у sin x sin z 4- 2 cos x cos1 z
у sin 2у sin z cos jc cos2 z
dy _ у у — x dz _
dx x x + i/ dx
xz — 1 '
dy
у* sin Z — Zz sin у dx
2 sin 2у cos2 z -}■ sir,2 z sin x cos z
dz — x2 sin x -f x2 sin у
dx
dz
dx
1 — xz
у sin 2y -f- sin z cos x cos2 z
d« 1 Г i/2 x — у
+ —
X xz + 1
du z2 — X2
dx
87.
1 O.
dz
H7
7
x ’ dx
W2 — X2
и
2 — z2
du
dy
d2z
dx2
Э2ц
dx2
и L
dz _
^i/
= 2
xу
и--у2
и* — 2Л
и (х2 — z2)2 4-
(иг —г*у
X (и
d2z
d2u
= 2
и (у2 — Z2) (х2— Z2)
+
4-
88.
и1 — Z*
- Z2)2 4" 2 (u2 — X2)2
(и2—г2)я * ахау ахау (ы2—z2)3
z(a2— х2)(//2 — у2) d2z d2u _ 2 y(w2 — z2)2 4-z(y2—н2)2 4~ u(z2—y2)2
(w2—z2)3 ’ dy2 dy2 (u2—z2)3
dz z (w — x) dz z(u — y) du _ a (z — x) ац _
dx x (u — z) ’ ау у (u — z) ’ ax u(z — u)' dy
и (z — y) a2z а2Ц (и — z)2 -l (ц — JC)2 4- (z — x)2
a2z
dxdy
У (z-
-u) ’
a2u
axdy
ax2
= zu
= zu-
dx2
(U—x) ( U у) 4- (Z — x) (2-
X2 {u
-y)
-zu <“~z)2+ (*-y)3
u(x -
y2 (u — z)1
- 2ry) — 2xv(u2
• f*)
2x2« — xy 4- 2t'ya
(ы24-и2)(2хи—у) 4 2u3y
2x2w — xy 4- 2uy2
au
90.
xy(u-
. 89.
— =
Ox
du
dx
-2)3
а2г
ay2
= — 9/4; — = - 7/4. 91.
dy
du /
(y — “)~ — (* + u) \
dz
~d7
и и
г)? ’ dy1 dy2
du 2xv2 — (x — 2vy) (u2 v2)
dx 2x£u ---xy 4- 2vyl
tjv — 2xuv — 2и2у {и2 -I- и2) dv
dy
dv
dx
du
dx
2x2u — xy 2vy2
du
= - 7/4; = - 9/4;
dy
[ 1 + (</ — «) + (* + И)
dz
ay
ay
au
ay
- 3y2
х-Зл2
379
(«/-«)*
92. y’ = 1; y" = -
' — — 2" = —
125 ’ — 5 ’ ~ 5
где
du
dx
x — 3 u2
93.
du
dy
94.
dz
95. dz =
_ 6x
-(2x4-^
x 4- 2z
dxdy —
dx —
1
x 4- 2z
dy1.
dx
dy, d2z =
= 2xy2 + 2x2y
1 — e'+y
ex*y _ 2y
6.X* — 6zJ — 6x2
(X т 2г)*
dx2 —
96. г/г
XJ + Z‘
i2 dx + dy,
(x+2z)3 (x+2z)2
= б*2*2/++2*z4 - 2гх4 ^2 + 2(лг3+у3)(-*г + z2) -z(z2+xy)2 ^ ,.
(ху + г2)} (ху + г2)-’ J
+ 6x?j* + 2yrf + 2yz<-2y<* dl 97 dz _ ф, _ idx + yl + l г.
(xy + z ) Z2H J2 + 1 >'
374
dh=j^^{[(l + i-){z+TT-(l-v)(x-тЛ"-
“2[("~т)(у-т)(1~^)]^+[(1 + ^)(2+т-),_
1 N‘2 (j dy2, 1 . 98. dz = -x ~zy dx 4—y ~-z*- dy,
J xy — Z3 XIJ — z3
£2Z x*y* — 10x*z3y -f- 2zxy3 + 3x*z2 4- zly2 4- Зг**2 ^ ^ 3zxxy — xyb — z7
(ху—23)3 ' (ху — 23)3
2y'z* — 2rlz3 — x5y 4- 3zVx* -f- x-y2z x2y* —10z3y3x 4 2zx3y 4-zxx2 [
(xy -z3)3 X tJ (xy z3)3
4- —df/2. 99. dz = (a cos и — siny) dx -4 (cost; 4- v smv) dy,
(xy— z3)*
d2z = — sin2 udv2 —2 — sin ocos udxd*/ 4- — cos2vdy2. 100. dz =
и и и
= i™±JL dx 4- ^ dy, d*z = + dx2
1 4- uu I -f- UV (14- uu)3
, 4«Ч» - 2m, + 2ut'2 ^ + Jl!^+.2u^uu±2a ,<,1. dz = x
(1 4- т)л J (14 uv)3 ‘ 1 f u
2/,-ам
X [е““-°(1 4и + v) dx + e*-* (v —w — \)dy], cPz = —^-——— [e~20(14-
4- 3u 4- 3a2 — 2u:<—2ul —v — Зма — 3u2u — u*v) dx2 — (u2 -f- 3u 4 1) dxdy 4-
4- e2v (1 4 3 и 4-3u2— 2 a3— 2 w4 4-uj- 3iw 4 Зы2о 4-tA) d^2]. 102. du —
_ ■ *-u
dx 4- -^——dy, dv= ^=^-dx+ ^^-dyy —d2u = d*o =
x—y x—y y—x у X
= 2j^_—jO dxa + Ai£ziL±JLrJLL ^ + di/2. ,03.
(x —y)* (*-</)* Э (*-</>* 25
104. —dx* f — dxdw —dy'1. 105. — dx2 + — du2. 106.—4dxl—
18 9 ^ 18 15 15 y
—bAdxdy— 132d«/2. 107. dy — \/2dif. 108. d2u =
= J^dx* + —dxdy-—dy2, d2v = — dx2 -h —dxdy+—dy\
32 16 J 32 32 16 32 y
109. d2u = j^(l/3 — l) — l/3 j dx2 + (l/3- -^-(2 К3 — l)^dxdy +
+ (2я - я 1/3) dif, d2v ----- (_/3 ) dx2 + |^- +1/3 Jdxdy +
+ 2ndy*. 110. L.
dx ^ xz/Fj dx
_ yF'i + zF's dz _ ^4-2^ dz хР\-хГъ dz
yF2 4- ’ dy //Fo -f- xF3 d* zF2 — zF3 dy
375
_ yf? —VF\ 113 dz = -zfi + F3 — yfg az _ F\—zF'2 — xF'3
2F'2 — zF3 * dx xF\ 4- yF'2 — F3 dy xF\ + yF2 — F3
143. jc'" = 0. 144. x”+x = e*. 145. + *2 (jc")2—у (jc')3 = 0. 146. x”+
4- (x')2 4- x3 = 0. [147. */' = #. 148. и' — Ахи 4- 4л:3 = 0. 149. —и'—
= 2х(и +х). 150. tyMjry = 0. 151. у" + 2у' + у = 0. 152. у" — у" —
— у'-{-у = 0. 153. и"—и =ех. 154. [и —а2и = 2х. 155. и'—с2и = 0.
156. II —и' +и = 0. 157. u”ch3t = \. 158. уи" + и' = 0. 159. vn-\-v = 0.
160. -^-—— = 0. 161. -^-=0. 162. (х-у)-^— + 2— —
дх2 ду2 дхду дхду ду
dv d*v /— dz . dz
--=0. 163. = 0. 164. v/ш) = -1. 165. — = 1.
dx dxdy dv ou
.. lv dz __ dz 1 dz f X dz I dz\
166. 4 / 4-1=0. 167. —h2v = 0. 168. 4-4 4- ) = .
У] и dv dv 2(u—v) du \2v du 2v dv)
St dw dw dw
= |»(u—»)|. 169. -=0. 170. = u. 171. —=2u. 172. 2-+и=0.
- du , Й du Jbu du
,73. 174. *L=o. 175. In-HL =ll. ,76. ^- = 0.
dv v du dv dv и dv
177. —-T = w. 178. — =2t). П
dt dr]
181. ——(l 182.-^-
2 du \ du J du
+ — =0. 185. - + -^- = 0. 186.
dv2 dw2 ou2
187. ^+_LJi_ = 0. 188.
dw dv 2 du du2
190. 2-^—+- — = 0. 191. —-
du dv v du dv2
193. — = 0. 194. — + — + cosi
dv* dua du*
9.
__ у —2
180.
dx _
X
dx
y + z
dy
У *
-1. 183. a*z =
= 0.
184. —
4-
du dv
du2
d*z
d2z I
dz
2 dz
= 0.
диг
dv2 3
du
3 du
j.i!l
■ 4-^ = 0.
189.
d2z
= 0.
du2
du
du du
dz
U =
II
p
<©
rc
%
Nl
1
1 dz
= 0.
du
du du
4u du
dz
l — =
0. 195. —
— 2
u dz
= 0.
dv
dv2
ua du
d2z
-2±- = 0.
198
. 2 **'
•4-
dv2
du
dudv
+ )=0. 199. —+—+ mJ(ui + u!1)z = 0. 200.— +
u — v \ du dv J du2 dv2 Ou2
+ ^L + ^L + 2^-+^- = 0. 201. = -L 202. =
dy2 diu2 du du du2 dt/2 3 дш du2
= 0. 203. «*.-£“ -211-^ =0. 204. i!E=_L. 205. *£ + 2-^—
du2 du du2 2 du2 du dv
9ha 2 to,+_2y.....=2. 206. -^-+-^- + (yL)2+(-^)a =
= 0. 207. -^-=0. 208. -^-=J £ . 209. -^- = 0.
dv2 и + v du (u 4- u)2 du2 dv2
-^-=0. 208. -^L=J 551-
du* dudv 4 (u — u)* dv2
376
V 2 )
Указание. Вначале перейти к переменным а и у и функции z(а, у),
а затем к переменным и и v и функции w(u, у). 212.
213. —214. f-*_Ycos29—
дф \ dr I г2 \ дф / dr Эф г
215. —+ 216. /•*•-££-. 217. 218. 4/3 —
d/-» г dr г» а<р> аг2 <Эф2
а/ / дф \ df дф
— (*«■ У.) ^ (*г. У.)) -I- (*„■ у.) — (X,. у.)
—219. 220. а)
2 у 2 '
df дф df дф
~Г~ <■*»' Уо) Т~ <*»• У1) + ~Г~ Л) "Г- (*ь с
б) ■■ # . 221. -Д. 222. уз:
«1/5 "£■<*«•)• им) и/.» *;</.)
О К «* 004 0*
223. — 224.
7а
225, ]/т-226> х-т=4'-т=г-т- *+4,+гН1-227-х_
-^+\=у-\=г-у/2-. х + у + У2 г—5 4=0. 228.
_5_
= x—3y—z — = 0. 229. J-, х +
-3 —I * 4 1 1 О
а 6 ся
+ у —1 =0. 230. ¥1- = l£L = « ах—6(/ + 1/2 сг —
а — Ь су 2
.L г г уъ
а*_ | >*_ с«я/2 _0 23 2 _ У~ 2,'2 _ 2/2_
V2 /2 4 ' /ТО —3/5 1
/Н)х—3 V5 у +г = 0. 232. £±2-*'Zli«,L=J* 27х+28у+4г+2 =
27 28 *
= 0. 233. — = ^= -г-~—, —Зх + у—— г + 3=0. 234. =
— 3 1 —3/4 ’ 4 21/3
2я
- — ^ а - 3 -, 2 уз х—2у +г—4а/З— — а = 0. 235. х-^ =
•2 1 з 1
-У-—- = г + 2 , х + 2у—13= 0. 236. х + 5у—z— 5 = 0, -—- =
2 0 1
I —
У-\ г-5 237. х + 4у—4г — = 0, ^ ®-
5-1 21 4 —4
238. 8х + 13(/+5г — 26 = 0, i = . 239. — х + Зг — 5=0,
3 8 13 5
х — 1 и — 4 г—2 п>|л оп 1 У — I г-1
= - = . 240. х +- и + z — 3 = 0, = — = .
-10 3 J 1 1 1
241. 2х + у-г г = 0, ijzl ^ 1+J. .= 1±1 242. 12х—9у+2z—9 = 0,
2 11
V 2 — шг 1 ^ 2 — т2
у-5 г-9 243> 2 2
12 —9 2 m2—1
/2-т2 /2 —г
I,
= 0. 244. х— J/ + 1/2Z—5-Li = 0
4 ’ 1 —1 V 2
— Р ’ 1У — — 1 2 — Я
245. (е I- 1)х — (е + л) у + (е + l)z = 0, —
р -| . 1 _ е _ л е — 1
246. (1/3, 1/3)—точка максимума. 247. (<а, Ь)—точка максимума;
(0, 2Ь), (0, 0), (2а, 0), (2а, 2£)— седловые точки. 248. (1/^3, 1/>/3)—
точка минимума. 249. (а, а) при а >0—точка минимума, при а< 0—
точка максимума; (0, 0) — седлопая точка. 250. (3, 3), (—3, —3) —
точки минимума, (0, 0) — седловая точка. 251. (]/29 —V^)^ (—VX
V 2)—точки минимума, (0, 0) —седловая точка. 252. (0, 0)—седло¬
вая точка. Указание. Рассмотреть {(х, 0) и / (у2, у) в окрестности
точки (0, 0). 253. (1/2, —1)—точка минимума. 254. (1, 2), (— 1,
—2)—точки минимума. 255. (1, 3)—точка минимума; (— 1, —3) —
точка максимума; (3, 1), (— 3, —1)—седловые точки. 256. (— 1,
— 1, 1)—точка минимума. 257. (0, 0, 0)—седловая точка. 258. (2/7,
2/7, 2/7)—точка максимума; все точки плоскости х=0 и точки пря¬
мых z = 0, у + Зх— 2 = 0 и у = 0, 2—2г—Зх = 0 — седловые; при 2 = 0,
уФ 0, х^0 и у + 3x^=2 — нестрогий экстремум. 259. (л/6, л/6) —
точка максимума. (5я/6, 5п/6) — седловая точка. 260. (2, 2, 1/2) —
седловая точка. 261. (0, 0) — точка минимума; все точки окружности
х2+у2 = 1 — точки нестрогого максимума. 262. (2, 1/2, 1) — точка
минимума. 263. (0, 0) — точка максимума. 264. (0, 0) — седловая
точка; все точки гиперболы х2 —у2 = 1 — точки нестрогого мак¬
симума; все точки гиперболы у2 —х2 = \ — точки нестрогого мини¬
мума. 265. а) Седловая точка, 6) седловая точка. 266. Точка мак¬
симума. 267. а) Седловая точка, б) седловая точка.
378
268. a )/3, а^, ^~ а 1/3, ~ aj—точки максимума ордина¬
ты; ^-^-а)/3, —^ а), ^—\aV 3, ——точки минимума орди¬
наты; (a Y2, 0)—точка максимума абсциссы; (— а V 2, 0)—точка
минимума абсциссы. 269. (ар 4, a]f 2 )—точка максимума абсциссы;
(а > 2, a]f 4)—точка максимума ординаты. 270. (4, 4), (4, —4) —
точки максимума абсциссы; (2 j/З, —2у^27)—точка минимума орди¬
наты; (2 1/3, 2 V^Z7) — точка максимума ординаты. 271. (0, 2)—точка
максимума ордин аты, (У~2 (|/5 — 1), 1—1/5), (—У2(Уг5—1),
1—Vb)—точки минимума ординаты. 272. (—1, КЗ), (—1, —V$)—
точки минимума абсциссы; (3,3 ]/13)—точка максимума ординаты;
(3, —3|/3)—точка минимума ординаты; (8,0)—точка максимума
абсциссы. 273. (j/^3/2 ]/2, ^27/2 1^2)—точка максимума абсциссы;
( — ^3/2 1/2, — ^27/21/2) —точка минимума абсциссы; (у1 27/2 \/2,
У'3/2 /2) —точка максимума ординаты; (—1^27/2 У2, —}^3/2У2)—
точка минимума ординаты. 274.^-~-,^-д ■+■ У a2 + 4j—точка максимум а;
а ^-Vaa-f4j—точка минимума. 275.^—6——6 +
+ 1П7з)—точка максимУма» ^—б-f —6—— точка ми¬
нимума. 276. ~3125~)—точка максимума. 277. (—3, 6)—точка
максимума; (3, —6)—точка минимума. 278. (0, —2)—точка локаль¬
ного минимума, г(0, —2) = 1, (0, 16/7)—точка локального максиму¬
ма, 2(0, 16/7)=—8/7. 279. гтлх = 0 при х = у = 1; zmln = — 4 при
х=1, у = 9. 280. zmax=4 при х = у = 1, zmJ„ = —4 при х = у=— 1.
281. Zmin=—'V2 при х = 0, у = 0; г^)ах=У2 при х = 0, £/ = 0;
2max = l/ 1 + Т/3 при X = 1, (/=1 И X = — 1, 0 = — 1; Z^n =
= — V \ + уз при х = 1, (/ = 1 и х= —1, у= — 1. 282. 2гащ =
= —12 Уз при X — —6, у— —вуз, 2тах =12 УЗ при х=—6,
t/ = 6]/3. 285. (4,2,—1)—точка максимума,/твх = 12; (—4, —2, 1)—
точка минимума, /пип=—10. 286. (я/3, я/6)—точка максимума,
/■ах = я/3; (—л/3, —я/6)—точка минимума, /т1п=—я/3. 287. (а/2,
а/2)— точка максимума, /тах = а2/4. 238. (а/УЗ, —alV 3, —a/j/3),
379
( — а/1/3, а/У3, — а/УЗ), (— а/УЗ, — а/УЗ, аД/3), (а/УЗ, а/УЗ,
а/УЗ) — точки максимума, /тах = Д3/3 У 3; (—а/уЗ, —а/УЗ, —а/УЗ),
(-а/УЗ, а/УЗ, а/УЗ), (а/1/3, — а/УЗ-, а/У3), (а/УЗ, а/УЗ,
—а/УЗ)—точки минимума, /т1 п =—а3/ЗУЗ. 289. (а/УЗ, а/УЗ,
а/Уз)—точка максимума, /тах = а3/ЗУЗ. 290. (4/3, 4/3, 7/3), (4/3,
7/3, 4/3), (7/3, 4/3, 4/3)—точки максимума, /тах = 4-^-; (2, 2, 1),
(2, 1, 2), (1, 2, 2)—точки минимума, /min = 4. 291. (1, 1, 1)—точка
максимума, /тах=2. 292. /тах=1/27т/г в точке (l/З, 1/УЗт,
1/^3/г). 293. = в точке (xlf ха, хл), где х,=а/л.
Указание. Воспользоваться тем, что определитель матрицы квадратич¬
ной формы d2f удовлетворяет соотношению Ап= 1 4- Ап~\. 294. fmax =
295. /т1п=— 2 при х = 1, £/ = 2; /тах = 2/27 при х = 1/3, (/ = 2/3.
296. /тах= 17 при Х = 0, 1/ = 1 И Х=1, 0=1; /min — —17/4 при X =
границе. 299. /тах = 27 при х = 2, (/=2; /т|п= — 2 при х=1, [/ = 0.
300. /тах =--1 при х = я, у = 0 и х = 0, у = п\ х=0, г/ = 0 и х = я,
0 = л; /min =—1/8 при х = я/ 3, 0 = л/3 и х = 2л/3, I/= 2я/3.
301. /тах = 2 при х = 2, 0 = 0; fm\n= 0 во всех точках хорды х = 1
и на параболе 02 = х, составляющей часть контура области.
302. /max = а34”27 при х = 0, 0=а и х=а, 0 = 0; /т|П = 0;при х = 3,
0 = 3. 303. /тах = 2а4 при х = а, 0 = а; /т!п=—1 при х = 0, 0=1
и х=1, 0 = 0. 304. /твх = а2 при х = у = z = а]У3, /min = —ая/2 на
всей окружности x2-f 0*4- za = as, x4-04-z = O. 305. /тах=14-У2
при х= 1/У2, 0 = 1/У2, z = 1; /т1п = —1/2 при дг = —1/2, 0 = —1/2,
=а-^—, 0— 0. 297. /тах — 8 при X—2, у—0; /min— 1/16 при X —
= 0=1/4. 298. /тах ~ 2/9 при х = 1, 0 = 4/3; /min = о на всей
*=1/2. 306. /т|п = 0 при х = 0, у = 0; /т„ = 2 ^-5-+У-5 •
5 + /5 1/5 + 3
/г 1
При X — у у COS X — — .407 /i/Я ntfi п /Я /7/Я л/Я —
..., —. 309. х(— , 1=1, 2, ..., п. Указание. Рас-
ai + а* 4\- • • 4- ап
л
380
смотреть lnz. 310. а/п. 311. — И——+ — = 3. 312. Куб со стороной
а b с
з — 2
а/12. 313. Куб со стороной /V. 314. Длины сторон равны —а,
2 , 2 _ Зр Зр р
~с- 316. Стороны треугольника равны ——, —— и —.
317. Если В и С—точки пересечения прямой со сторонами угла, то
| ВМ | = | МС\. 318. DBE — равнобедренный треугольник. 319. Пра¬
вильный. 320. Точка О должна удовлетворять условиям АОВ = ВОС=
—2Я
= АОС~—^~. 321. Центр тяжести треугольника. 322. |ООх| =
— -.}b- ~ а^! ^ |002| = . 323. Квадраты радиуса основа-
^1 + °1 + а3
ния, высоты и образующей конуса относятся, как 1:2:3. 324.
Вписанный в окружность. 325. АС — диаметр, точки В и D
расположены на окружности по разные стороны диаметра
CAB = QAD = ~a. 327. руЕ. 328. Уб 4- У12, V 6 — У12.
329. (g-g,)L+(6-N)A« + (f-„)y L M = nl
Vl* + m* + n* 1 1 1
/1 n
Л /П(Х4 £ t/.rn,
—lnlt N = lml—mlv 330. x = -b! y = — .
i=l («.]
Глава IV
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
§ 1. ПЕРВООБРАЗНАЯ
И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
1. Привести пример функции, определенной на [а, 6], непрерыв¬
ной на (а, Ь), но не интегрируемой по Риману на [а, 6].
2. Привести пример дифференцируемой на всей прямой функ¬
ции, производная которой не интегрируема по Риману [—1, 1].
3. Привести пример функции, интегрируемой по Риману на
С— 1, 1]. но не имеющей на этом отрезке первообразной.
4. Доказать, что функция Римана
381
О , х — иррациональнее;
R (х) = ■ п ' п
—, х-=—у где т—целое, тф О, п — натуральное
число, -n—несократимзя дробь
п
Р
интегрируема на [0, 1] и найти F(а, Р) = J R (х) dxy (а, Р) с: [О, 1].
а
5. Функция Дирихле
отличается от функции Римана только в рациональных точках.
Функция Дирихле не интегрируема по Риману (почему?) на [0, 1].
Таким образом, изменение функции на счетном множестве точек
может вывести ее из класса интегрируемых функций. Доказать,
что изменение интегрируемой функции на конечном множестве то¬
чек не нарушает интегрируемости функции и не изменяет величи¬
ны интеграла.
6. Привести пример неинтегрируемой по Риману на [0, 1]
функции, квадрат которой есть интегрируемая по Риману на [0, 1]
функция.
7. Функция f(x) интегрируема по Риману на [0, 1] и
J f(x)dx > 0. Доказать, что существует отрезок [a, p]czz[0, 1] та¬
кой, что f(x)>>0 для любого хе[а, р].
8. Доказать, что для ограниченной и монотонной на [0, 1]
функции / существует постоянная С такая, что для любого neiV
9. Функция f имеет на [0, 1] ограниченную производную. До¬
казать, что существует постоянная С такая, что для любого ле
€EJV
10. Пусть функция f непрерывна на [а, Ь] и для любых Х\ и ха
из [а, Ь] справедливо неравенство
о
п
п
382
Доказать, что тогда
а
11. Пусть функции f и g непрерывны и монотонно возрастают
на [0, 1]. Доказать, что
I 1 1
5 / М g {*) dx> If (*) dx'l S M dx.
0 0 0
12. Модулем непрерывности функции f на отрезке [а, Ь] назы¬
вается функция
ш; (6) = sup| / (хж) — f(x2)\.
l^i *^al ^ *^1* *^2^ [^» ^1*
Доказать, что для разбиения Тй отрезка [а, Ь] с параметром &
справедлива оценка
S(f. r«)-s(/, T6)<(b-a)w(6).
13. Функция f интегрируема по Риману на [а, Ь]. Доказать, что
существует последовательность непрерывных на (а, 6] функций
фп таких, что
*
ОО.
а
14. Доказать, что интегрируемая цо Риману на [а, 6] функция
f обладает свойством интегральной непрерывности, т. е. для любо¬
го отрезка [а, |3]с:(а, Ь)
lim f\f(x -\-h)—f(x)\dx = 0.
л-о i
15. Привести пример непрерывной на [g, b] и не равной тожде-
ь
ственно нулю функции f, для которой, j {(x)dx — 0.
а
16. Доказать, что если непрерывная на (а, Ь] функция f не
равна тождественно нулю, то найдется отрезок [а, р]с:[а, Ь] та¬
кой, что J / (х) йхфО (ср. с задачей № 4).
а
17. Доказать, что для непрерывной на [а, Ь] функции f из ра-
ь
венства J /а (*) dx = 0 следует, что f есть тождественный нуль на
[я, Ь].
383
18. Функции f и g интегрируемы по Риману на [а, Ь]. Доказать
неравенство
ъ ь ь
II f (х) g (х) dx}2 ^ ^ р (х) dx• j" gi (х) dx.
а а а
19. Функции fug непрерывны на [а, Ь). Найти необходимое и
достаточное условие справедливости равенства
ъ ь ь
[]"/(*)£ М dxf =J/2 (х) dx $g2 (х) dx.
а а а
20. Доказать, что для непрерывной на всей числовой прямой
функции f, периодической с периодом 7, и любого числа а спра¬
ведливо равенство
а 4-Г Т
J t(x)dx = [f(x)dx.
а 0
21. Функция f непрерывна на всей числовой прямой, и для лю¬
бого числа а справедливо равенство
а+Г т
j f(x)dx = $f(x)dx.
а 0
Доказать, что f — периодическая функция.
22. Функция f определена на всей числовой прямой, непрерыв¬
на и периодическая с периодом Т. Найти необходимое и достаточ¬
ное условие для того, чтобы функция
х
F(x) = § f (<) dt
о
была периодической с периодом Т.
23. Функция f непрерывна на [—/, /]. Доказать, что если f чет¬
ная, то
/ /
J / (х) dx = 21 / (х) dx,
а если f нечетная, то
i
j/(x)dx = 0.
24. Доказать, что любая первообразная нечетной функции яв¬
ляется функцией четной, а среди первообразных четной функции
есть, и притом только одна, нечетная функция.
384
25. Доказать, что для непрерывной на (—1, 1] функции справед¬
ливо равенство:
я я/2 я/2 я/2
j/(sinx)dx = 2 j f(sinx)dx — 2 j f(cosx)dx = J f(cosx)dx.
-я/2
26. Функция ф непрерывна на [О, /], н для всех хе[0, /] имеем
ф(/—х) =ф (jc) . Функция f непрерывна ha отрезке <р([0, /1).
Доказать, что:
а) J / (ф (*)) dx=2 J f(<f(x)) dx\
О о
/ I
б) jxf (<р(х))dx = Y^f(я>(*))dx.
27. Функция
— 20 (х4 — 32x3 4- 12х* -f to — 64)
16** — 32*» + 169JC4 — 1056x8 + 6784jc* — 512jc + 256
всюду, кроме точки x = 1, равна —Lif)— Где
1 + /*(*)
4 (1 _дс) (x* + 4)
Найти:
0 4
a) j g(x)dx; б) j g(x)dx.
28. Пусть
jc t 1/2;
1/2<х<1.
Указать, какое из следующих соотношений неверно и почему:
1/2 Я/в
a) j f (х) dx = | f (sin t) cos f df;
bn
1/2 6
6) j f (x) dx = J / (sin cos t dt.
29. Привести пример непрерывных на [0, 1] функций / и g та¬
ких, что g монотонна на [0, 1], g[0, 1]=[0, 1] и функция f(g(x))X
Xg'(x) не интегрируема по Риману на [0, 1].
385
30. Найти:
ь
а) Г е~х* dx\ б) С егх% dx\
da J dx J
a a
b b1 cos a
в) —£e~x‘dx; г) — С In (l+xa) dx; д) — С ln(l+x*)dx.
db J db J da J
31. Пусть
sin x
/(*)=•
x=£0\
0 , x = 0.
X
Доказать, что f интегрируема на [—1, 1] и F (х) = j f(t)d( диф-
—i
ференцируема на (—1, 1). Найти F'(0).
32. Пусть интегрируемая на [а, Ь] функция f имеет в точке д:0е
X
е (а, Ь) неустранимый разрыв первого рода и F (*) = J f (t) dt.
а
Доказать, что F не является дифференцируемой в точке х0.
33. Пусть
(sin—, хфО;
g(x) = \ х
I 0 , х = 0.
Доказать, что существует постоянная С такая, что
х
|*К1.
о
34. Привести пример функции, имеющей неустранимый разрыв
в точке х = 0, интегрируемой по Риману на [—1, 1], такой, что
х
функция F (х) =]’/(<) dt дифференцируема во всех точках ин-
— 1
тервала (—1, 1).
35. Функция f непрерывна и неотрицательна на [0, -foo) н
X
| / (/) dt Ф 0 для любого jc>0. Доказать, что функция
о
х
( ‘I (0 dt
q>W = -.
[ f (0 dt
0
возрастает на (0, -foo).
386
36. Доказать, что для любого Г>л/2 справедливо неравенство
П/2
37. Функция f непрерывна на [0, -foo) и lim f(x) = A. Найти
«-♦-foo
X
lim — С / (0 dt.
*-*+» X J
о
38. Функция f непрерывна и неотрицательна на [а, Ь].
Доказать, что
ь
lim [J /" (x)dx]1/n = M,
где
М = max / (х),
39. Доказать, что
я/2
lim Г cosnхdx = 0.
-п/2
л
40. Сравнить числа Jesln*Mx и Зл/2.
о
41. На отрезке [—я/2, я/2] нет точки £ такой, что
я/2 я/2
]* хsin xdx = g j sin xdx,
—л/2 —л/2
я/2 я/2
так как J sinxdx = 0, a J xsinxdx^O (проверить). Какое условие
—я/2 -я/2
теоремы о среднем нарушено?
42. Пусть
g(x) = signx+ -у.
На отрезке [—3, 1] нет точки £ такой, что
J гМ &=*«) 0-(-з)),
-3
I
так как J g (х) dx = 0f а функция g(x) не принимает нулевого значе-
—з
ния. Какое условие теоремы о среднем нарушено?
387
43. Функция / интегрируема по Риману на [а, Ь]. Доказать ра¬
венство
Ъ 5-е,
Г f(x)dx= lim ( lim ( f(x)dx).
а вг*-0+ e-*>0+ вц_е
44. Функция g неотрицательна на [а, Ь] и интегрируема по Ри¬
ману на (а, 6], функция f непрерывна на (а, Ь) и произведение fg
интегрируемо по Риману на [а, Ь]. Доказать, что в этих условиях
справедлива теорема о среднем, т. е. найдется такая точка
ь ь
<= (а, Ь) .что J / (*) в (.*) dx=/ (|) ( g (.*) dx.
а а
45. Доказать, что
J.-Si.dOO.
0
46. Пусть ф — монотонно возрастающая, непрерывно диффе¬
ренцируемая на [0, +оо) функция, отображающая [0, -foo) в [а, Ь).
Доказать, что для любой непрерывной на (а, Ь] функции f имеем
ь т
§f{x)dx= lim ( f (<p (0) <p' (0 dt.
a T—+00 0 .
47. Функция f непрерывно дифференцируема на [0, 1]. Дока¬
зать, что
1 1 1
Ii/wi max
48. Функция f непрерывно дифференцируема на [0, 1] и /(1) —
—/ (0) = 1. Доказать, что
I
f [/'(*)]*
0
49. Найти дифференцируемую на [0, -Ьоо) неотрицательную
функцию f такую, что при замене независимого переменного х=
я
=*(£), где 5 = [fit)dt, она переходит в функцию е-4.
о
50. Функция f определена на [0, 1] и убывает на нем. Доказать,
что для любого ае(0, 1) имеем
а I
jf(x)dx^a^f(x)dx.
388
51. Доказать, что
V 2п
J sin х* dx > 0.
о
52. Доказать, что для непрерывных функций и(х) и и(х) таких,
что w(jс)>0 и v(x)>0, удовлетворяющих условию
1
и (/)< С + J и (х) V (х) dx, С > 0, * > а,
а
справедливо неравенство
t
a(f)^Cexp(J о(х) dx).
a
53. Доказать, что для непрерывных функций и(х) и t; (jc) та¬
ких, что н(х)>0 и и(х)>0, удовлетворяющих условию
t
ит (t) ^ С -f j и (х) v (х) dx, С> 0, m>lt (>a,
a
справедливо
t
u(0<C,exp(J v(x)dx).
a
54. Доказать, что если интегрируемая на [a, b] функция f стро-
ь
го положительна, то j / (х) dx > 0.
а
55. Для заданного отрезка [а, Ь] и заданных чисел Л, В, k{ ш
Aj обозначим через т и М соответственно числа
min А„ Вь~* ). шах
Доказать, что для любого е>0 существует функция /е
еС1 (—оо, -foo) со следующими свойствами:
а) /(a)—Л,
б) /'(в)-*.. Г(Ь)=А2;
в) m—e<f/(х) <М+е, хе(о, Ь].
Следующее построение используется в задачах 56 и 57. Обо¬
значим через uiA интервал с центром в точке 1/2 и длиной 1/5.
Множество [0, l]\«itl состоит из двух отрезков ри и pi,2- Интер¬
валы и2,|, ц2,2 имеют центры в центрах отрезков ри, pi,2 соответ¬
ственно и длину 1/52. Интервалы их,i, и2,i, «2,2 взаимно не пересе-
2 2
каются и множество [0, 11\ U U ии состоит из четырех отрез-
i-1 /-1
389
ков p2,i, Р2.2, Р2.8, Р2.4- Пусть построены взаимно непересекающиеся
интервалы uij для Множество [0,1]\ U U ui.t
имеют центры в центрах отрезков рк {9 рк 2, рк2к соответ¬
ственно и длину 1/5*+1. Таким образом, по индукции определяет¬
ся бесконечная система интервалов
И/,/, l<i<oo, 1</<2<"1.
56. Доказать, что множество
есть замкнутое множество не меры нуль.
57. Обозначим через ф(Х, (а, Ь), х) (Я<1) функцию, равную
нулю на промежутках
где интервалы U/,/, ld’coo, 1С/С2'"1, определены перед задачей
оо 21~'
№ 56 и Р= [0, 11\ (J U ы,/. Пользуясь критерием Лебега, до-
,■«1
казать, что функция F дифференцируема на всей прямой и функ¬
ция F' ограничена, но не интегрируема по Риману на [0, 1].
58. Привести пример функций /:[0, 1 }-*~R и G:[0, 1 ]-+R таких,
что f непрерывно дифференцируема на [0, 1], G строго монотонна
и всюду дифференцируема на [0, 1] и равенство
1 1
состоит из 2* отрезков рА рк 2 \ р к2к- Тогда интерва¬
лы
Uk+1.1* Uk+1,2* Uk+\,2*
У-i
и равную X (b—a) cos2 на отрезках
[ 2 2 2 2
Положим
J /' (х) G (х) dx = f (х) G (X) |i — J f (X) G' (x) dx
0
0
390
не имеет места из-за того, что интеграл в правой части этого ра¬
венства не существует.
59. Привести пример функций /:[0, \]-+R и <р:[0, 1]-^[0, 1] та¬
ких, что f непрерывно дифференцируема на [0, 1], <р строго моно¬
тонна н всюду дифференцируема на [0, 1], а равенство
f / (*) dx = J / (<р (х)) Ф' (х) dx
не имеет места из-за того, что интеграл в правой части этого ра¬
венства не существует.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1. fix) =
2. F(x) =
3. f (х) =
\N;
О, х = 0.
Функция f интегрируема по Рнману на [— 1, 1], так как она ограни¬
чена и монотонна на [—1, 1]. Предположим, что существует непре¬
рывная на [—1, 1] функция F (х) такая, что F'(x)=f(x) для всех
х[—1,1 ]\КР, где Кр—конечное множество точек из [—1,1].
Тогда найдется такое я0, что на отрезке [3/2а°~2, l/2rt°-1] нет точек
из К0% т. е. F’=f всюду на этом отрезке. Тогда функция f должна
на этом отрезке принимать все значения между = и
= (см. №220 ч. I, гл. IV). Но других значений, кроме
чисел вида 1/2р, функция f(x) не принимает. Следовательно, предпо¬
ложение о существовании первообразной неверно. 4. F (а, р) = 0 для
любого [а, Р] с= [0, 1]. 5. Указание. Пусть ф(х) = ( х ^7*°’ Дока-
I о, Х =5*= Х0.
а
зать, что J<p(x)dx = 0 для любых аир. Если /(*)=&(*) всюду,
а
Ь Ь
кроме точки х = х0, то J [/(x)—g(x)]dx= J [/ (хф) — g (х0)] dx =
391
= * f<p(*)d* = 0. 6. f (*)= ( *• ^-Рациональное; ? указание
J I — 1 * * — иррациональное.
Предположим противно?, т. е. что для любого отрезка [а, Р] а [0, 1]
существует хаР с [а, Р] такое, что / (хаз) < 0. Следовательно,
inf f(x)^. 0. Тогда для любого разбиения Т отрезка [0, 1] имеем
*е[а.Э1
1
* (Л Т) ^ 0 и f / (х) dx = sups (/, 71) ^ 0, что противоречит условию
oJ г
к
I 1
0 0 к—1 Л-1 »—1
л
Пусть /(х) невозрастающая, тогда
е k-~ ■■ , — J. Следовательно, — / j ^ ^ / (х) dx^ - —j.
п л
отсюда получаем, что 0 ^
б-i i
п
^ = — [/(0)■—/(!)]. Аналогично рассмат-
л
ривается случай неубывающей функции f{x). 9. Указание. Для оцен¬
ки] J /М^х применить теорему о среднем. 10. Из непрерывности и вы-
k—\
п
пуклости f (х) следует, что /(х)^ fiW (b—*)+f(b)(x—°). ПрИ х е ^ qt_
Ь — а
сюда следует правое неравенстзэ. Для доказательства левэго неравенст¬
ва сделать замену переменного х = 0 — - + t. 11. Обозначим J f(x) dx
о
= А.
В силу теоремы о среднем существует точка се[0, 1] такая, что
f (с) = А, а в силу возрастания f справедливы неравенства А —f (х) ^ 0
для О^х^с, f(x)—Л > 0 для с<х< 1. Применяя теорему о сред-
392
F S
нем, получаем, что j g (x) (A—f (x)) dx = g (£,) j (A—f (x)) dx, e
«МО, с], и jg(x)(/(x) — A)dx = g(lt)^(f(x)—A)dx, £,(=[<:, 1]. Так
С с
се 1
как 0^ J (Л— f(x))dx = Ac— f f (х) dx = Ac— [A— J /(x)dxj =
0 0 с
= I (/ М — ^4) dx и g (Ь) < g (£,), то J g (х) (A — f (х)) dx <
с О
1 1 1
^ j g (x)'(f (х)—А) dx, откуда следует, что A j g (х) dx = j / (х) dx X
с оо
i ]
х j £ (x)dx< j* g(x)f(*)dx. 13. Так как / интегрируема на [а, Ь], то
о о
для любого е >0 существует такое разбиение Т отрезка] [а, Ь], что
п
/ ^ 5 (/, 7) < / + е, т. е. /< £ Mk (xk — х*_0 < / + e, где =
*—l
= sup f(x). Пусть ф,(х)= ( X e Тогда фе(х) нн-
I Mn, x = b.
b
тегрируема на [a, 6] и j <pe(x)dx = S(/, Г). Функция <pE(x) разрывна в
a
точках x1T x2, ...,x„_i из отрезка [a, b] и inf / = m^ фе (x) ^ M =
*€[a,6]
= sup /. Возьмем отрезки [xfc—6, xk -f 6], где fi< — шах \xk—xA_i|
x-.[a.b) 2
и 6=1,2, ... , л — 1. Отрезки [x* — 6, xh + 6] не пересекаются. Пусть
<Pe.e = Mi для x(= [a, Xj —6], фв(в = M„ для xe [xn_i + 6, 6), фе.в = А!к
для xe [x*-l-6, хл+1— 6],& = 1, 2, ...,n—2, и линейна на отрезках
[хк— 6, Аг=1,2, ...,п — 1; ф,,в определена однозначно, так
как значения на концах отрезка уже определены. Тогда функция
ь ъ
фе.в (*) непрерывна на [а, 6] и |J[/(x)—фе,а(х)^х|^ и (Ж-
а а
— ф.[(х)) dx| + | j (Фе (х) — фе.в (*)) dx| = | J / (х) dx — S (/, Г) | +
а а
Ъ
+ | £ (Фе(х)— ф*.в(х))^х |<е + (л— 1) (|М| + |/л|)б. Отсюда следует
а
утверждение. 14. Указание. Если / непрерывна на [а, 6], то ад(6)-*0
393
при б-*0 (см. задачу № 12). Если / не является непрерывной, то вое-
пользоваться результатом задачи № 13.
18. Указание. Рассмотреть квадратный трехчлен относительно к:
ь
| (/ (x)—kg(x))2dx- 19. Функции f (х) и g(x) линейно зависимы на
а
а+Т Т
[а,Ь]. 21. Пусть Ф(а)= J f(x)dx — J / (х) dx. Тогда по условию
а О
Т
Ф(а) = 0 и, следовательно, Ф'(а)=/(а + Г)—/(а)эО. 22. J f(t)dt = 0.
я/2
25. Указание. В интеграле j1 f(s\nx)dx сделать замену: а) л—x = t\
Л _L
2 2
б) —x = t. 26. Указание. В интегралах j /(ф(*)) dx и | xf (ф (х)) dx
о о
сделать замену / —х = Л 27. а) л/4; б) Обратить внимание на то,
4
что функция arctg/(х) на отрезке [0, 4] не является первообразной
для g(x). 28. а) Верно; б) Неверно, так как образ отрезка [0, 5я/6]
при отображении / = sinx есть отрезок [0, 1], на котором / не интег¬
рируема. 29. Рассмотрим функции / (х) ss 1 и
0, х<0;
[ 2"+i 2" (п + 1) Зп+* J
£(*) =
3*1+1
я (л+ !)»>♦» (*-"5г)
1 , 2 2
1 COS3
Зп+1 зп+1
X
(-J ! , -Ч; п—0,1,...
\ 2" (*+ 1) 3" 2п J
1, х> 1.
Покажем, что справедливы следующие утверждения: a) g непрерывна
на (0, 1J; б) g дифференцируема на (0, 1]; g' (х) неотрицательна и
не ограничена на (0, 1]; в) lim g(x)=0; г) производная функции g
Х-+0+
в нуле существует и равна нулю. Действительно, а) Обозначим хп =
=”^Г' = —(n+'i)3" . л = 0,1 Из определения функции g
394
видно, что она непрерывна на каждом из интервалов (xn+t, хп), (хП9
х„), л = 0,1, и интервале (1, сю). Так как lim g(x) = +
x^xn- 3"+i
4—— = —= g (xn) = lim g(x) и limg(x) = —- 1—— cos8— =
^ 3n+i 3n + 3n+1 *n+l 2
= ——=g(xn) == lim g(x), то функция g непрерывна в каждой из
3"+1
точек xnt xnt n = 0, 1, .... Итак, g непрерывна на (0, 1]. б) Из опре¬
деления функции g видно, что сна дифференцируема на интервале
(1,оо) и на каждом из интервалов (х„+ь хЛ), (хп, хп), л = 0, 1, ... ,
причем #'(*) = 0, х <=(*„+!, хп)% л = 0, 1, ... ; g'(x) = —^-(л4-1) X
X sin л (п +-1) 3n+1|x i_jf *е(хп, х„), п = 0,1,...; g' (х) = 0,
х > 1. Остается проверить дифференцируемость g в каждой из точек
xn, xnt п = 0, 1, Так как g непрерывна в этих [точках, то доста¬
точно показать, что lim g'(x)= lim g' (x) lim g' (x) = lim g' (x).
X~'Xn+r X~*Xn~ X-»-Xn-b X-+Xn—
Действительно, lim g'(x)=0 и lim g'(x)= —JL(n -f 1)sin0 = 0,
x->xn+ Mn- 2
lim ^'(x)=0 и lim g'(x) = —— (n 4-1) sin 3" 1 ^ ^= 0. Если
x^xn~ *4+ 2 3n+l
(*n, xn)9 to . < x—<0, поэтому g'(x)>0 для xe
e(xnt xn), следовательно, g'(x)^Q для xe(0, 1]. Наконец, если
x0 = -~-n-Xn , to g’ (x0) = -^-(n+ 1), т. e. g' не ограничена ка (0, 1].
в) Так как g'(x);>0 для хе(0, 1], то функция g монотонна, следо¬
вательно, предел g (х) при х 0 4- существует, и так как хп -► 0 +-
-f- (л->- оо), то lim g (х) = 1 i m g (xn) = limg - lim — = 0. г) Если
ДГ—►О-}- П-*ос П—уоо \ 2n ) П-юо Зп
, n = 0, 1, ..., то в силу монотонности имеем, что
0 ^ ~ £(??. ^ 2п+х g Так как Условие х 0 4- экви¬
валентно условию л 4- оо, то g (0)= lim =0. Посколь-
^ x-+0-f- х
ку g непрерывна в нуле и g'__ (0) = 0, то g дифференцируема в нуле
и g' (0) = 0. Из условий а) — г) следует, что функции / (х) ш 1 и
g(x) удовлетворяют требованиям задачи. 30. а) —е~с'\ б) 0; в) <гь•
395
2п+1 2п
г) 2Ып(1 + Ь*); д) — sinaln(l + cos*a) — cosa In (1 + sin* a).
—X X
31. ?'(0) = 1.33. Так как g{-x) = -g (x), to | j g (/) dt | = | J g(t) dt |.
0 0
т. e. при доказательстве можно считать, что 0<х^1. Так как
х*
| g (t) | ^ 1, то | j g (t) dt | < ха для любого x e [0, 1 ]. Далее,
о
XX X
^ sin — dt]— J* t2d ^cos—j = t2 cos -y-|* —2 ^ fcos -j- dt. Итак,
X* X* x*
X XX
I Jsin-^-d<|<2xa + 2 ijidt = 3x‘; | J g (t) dt | < 4x*. 34. f (x) =
x» 0 0
sin — , x*jfcO; £ cn*r
x 9 36. Пусть Ф(Г) = f -^-dx. Тогда Ф'(Г) =
О, X = 0. Л/2
С0%Т и точками локального максимума Ф(Т) на [я/2, + оо) будут
т
точки Тк, в которых соsT меняет знак с + на —, т. е. точки
б* 1«
f 2яп
ft 2
7\=-i-+2fei, *еЛГ,Ф(7\) = £ J •^Ldjr*
п=° -=-+2„„
2
Используя теорему о среднем, докажем, что для любого
N
Бя , пв Зя . 5я .
Ь2*я И Ля ■ + 2*я
\ -^dx = f Г
J X J X J JC
~+2*Я —+2Ая —+2*Я
2 2 2
Следовательно, Ф (Т) ^ sup Ф (Тк) < 0. 37. Л. 38. Пусть / (х0) = М.
к
Тогда для любого е > 0 существует такое h > 0, что на отрезке
6„cz[a, b] длины А, содержащем х0, имеем /(х)>М—е. Тогда
Ь _!_
{(6—а) М"}1"’ > {J Г (*) » > {Л (М—е)п)1'п,
« »п
ъ
и в силу произвольности е отсюда получаем, что lim fn (х) dxj1/n = М.
П-*о° ^
396
44. Указание. Применить теорему о среднем к интегралу | f (х) g (х) dx
fl+E
и использовать результат задачи № 43. 45. Указание. См. задачу Ns44.
46. Указание. Использовать результат задачи ЛГд43. 48. Указание.
Воспользоваться неравенством [/' (х)]а > 2/' (х) — 1. 49. По условию
X X
ехр (— J / (/) dtJ = f (х) или J / (О Л = — In / (х). Дифференцируя это
о о
равенство, находим /'(*) =—(/ (jc))*; так как f(0)=e?= 1, то / (х) =
1 а
= —-—. 50. Имеем ——С f(x)dx^.f(а)^— С/(х) dx, откуда
х + 1 1 —a J а J
а 0
1 а 1 а
а J /(х) dx^ (1 —а) j f (х) dx и а J f (х) dx^ С /(х) dx. 51. Указание.
а ООО
Сделать замену переменного х2 = у и полученный интеграл преобразо¬
вать к интегралу по промежутку [0, я]. 52. Из неравенства а(0^
t
С ^ и (х) v (х) dx получаем ^^ v. Проинтегрировав обе час-
<* С -+■ J ии<1х
а
t
ти этого неравенства от а до t, получим неравенство In (С -h ^ uvdx'j —
а
t t t
— lnC^Judx или неравенство uudx<ICexp|^ а(х) dxj.
а а а
53. Указание. Воспользоваться тем, что функция g(u)—u—ит огра¬
ничена сверху и задачей 52. 54. Первое решение. Из неравенст-
ь
ва / (х) > 0 для любого х е [а, Ь] следует, что j / (х) dx > 0. Если
^ / (х) dx = 0, то для любого отрезка [а', 6'] cz [а, Ь] имеем j* / (х) dx = 0
Л а'
Ъ
(почему?). Если j/(x)dx = 0, то существует такое разбиение Т от-
а
п
резка [а, 6], что S (/, T) = V M,(x,—xt_,) < 6 —а, где М,= sup f,
ft I'wV
следовательно, хотя бы для одного отрезка разбиения [xi,_i, х*,] име¬
ем sup / < 1. Обозначим [xu_i,x<e] через [alt 6J. Тем же рас-
суждением получаем, что найдется отрезок [at, bt] а [аи такой,
397
что sup /<—. Продолжая это рассуждение, получим систему вло-
С«..М 2
женных отрезков [а,, £>„], q&N, таких, что sup /< —, следова-
tvv 4
ос
тельно, если се ПК м. то/(с)^0. Итак, предположение, что
с—I
6
j f(x)dx = Op противоречит условию: /(jc) > 0 для любого х*=:[а, Ь\.
а
Ь
Следовательно, J/(x)dx>0. Второе решение. Так как / интег-
а
рируема по Риману, то в силу критерия Лебега множество точек ее
разрыва есть множество меры нуль. Тогда существует точка х0 <=?. (а, &)„
в которой функция непрерывна, следовательно, существует интервал
(с, d) cz (а, b) и число е > 0 такие, что х0 е (с, d) и / (х) ^ е для лю¬
бого хе(с, d), откуда следует утверждение задачи. 55. Ищем функ-
я
цию / d виде f (х) = ^ ц> (t) dt i А. Чтобы функция / удовлетворяла
а
условиям а), б), в), достаточно, чтобы функция <р удовлетворяла сле¬
дующим условиям: 1) феС(--°о, Н-оо); 2) ф(а)--^1, (р(^)=&2;
ь
3) т — Ф (х) ^ М 4- е, хе[а,6]; 4) j* ф (х) dx — В —А. Обозначим
а
k = {B—A)/(b—а). Рассмотрим два случая: I. Пусть kY < k < k2.
Тогда точка с, удовлетворяющая соотношению а — —, лежит
b — с k — kx
строго внутри \at Ь]. Пусть ф (х) = kx для х^а, ф(с) = £, ф(х)=6*
для х>«Ь и ф(х) линейна на [а, с] и [с, Ь]. Условия 1), 2), 3) вы-
ь
Г 1 1
полнены и I ф (х) dx =- — (с —a) (к 4 kx) 4 — (b—c) (k2 f к) ~ k (b —
а
— a) = B—А, так что выполнено и условие 4). II. Пусть кх <Ь2< к.
Возьмем число k'9 удовлетворяющее условиям а) £</?'<& 4 е и
б) k'<C2k—--у-*. Так как —— < k, то 2k—— у к и условия
а) и б) непротиворечивы. Пусть ф (*)=-&! для х^я, ф(х)=&2 для
х^Ь, ф(х)=£' для хе[а4а, Ь — а], ф(х) линейна на [a, a -t- а] и
[Ь—а, Л], где а—некоторое число, лежащее между нулем и (Ь—а)/2,
которое точно определяется позже. Условия 1), 2) и 3) для ф выпол¬
нены. Покажем, что можно подобрать а так, чтобы выполнялось ус-
398
о
ловие 4): ^y(x)dx = k' (6— а) — (&'—kx)a — (£'—k%) a = Ja.
2 2
a
При a-► О-Ь Ja-+k' (b— a) >k(b—a) = B—А, а при a■b
/a-* 2 Q ^ —a)k = B—Л в силу условий на Л'.
Следовательно, в силу непрерывной зависимости Ja от а найдется
такое значение а, 0 < а < -- что Ja~B — Д, т. е. выполнено
условие 4). Заметим также, что это построение <р проходит и тогда,
когда Если же k1=k2 = kt то q>=£, f = kx+A. Все ос¬
тальные варианты соотношений между klt £, и k рассматриваются
.аналогично либо первому, либо второму случаю. 56. Замкнутость Р
следует из того, что Р есть дополнение до отрезка [0, 1] открытого
ОО 2*'1
множества G= (J у uir Предположим, что Р есть множество меры
i=1 /-1
оо
нуль. Тогда существует система интервалов {6*} таких, что M6*czP
Л=1
оо
и |бл| < —. Система интервалов {6ft, ut/h *=1.2 К/<2,
А=1
4 = 1, 2, ... , покрывает весь отрезок [0, 1]. Выберем из нее конечную
подсистему, покрывающую [0, 1], и разделим интервалы этой конеч¬
ной подсистемы на две группы: в первую отнесем интервалы вида 6к,
во вторую—вида и,у. Перенумеруем интервалы первой группы бх, 6а...,
... и второй и19 ка,... ,upt... ,Up. Так как конечное число ин¬
тервалов 6lt..., 6Q, ..., покрывает отрезок [0,1], то должно
Q Р Q оо
<5“ть > 1- С другой стороны, ^|6„| <J]|6,| <-у.
<7=1 1 q=1
2>< Ё
j>=\ i~\ y=i i=i 1 5 a*i
+
p
+ | ир | <-j-. Полученное противоречие показывает, что Р не есть
1
множество меры нуль. 57. Из определения видно, что F непрерывно
дифференцируема на каждом из интервалов uitj9 l^/^2i~l, i =
= 1, 2, ... , F (x) =0 на множестве P, вне отрезка [0,1] и в тех
точках интервала uih которые отстоят от его границы не более чем
399
на \utj\ ^1 — j. Поэтому для х0еР разностное отношение
F (х0 h) — F (xft) , , i' 1
—— или равно нулю, или х0 + h^uih h^\u{jl
тогда
h V .
F (хп 4- h) — F (s0) I F(x0 + h) l< \иц\ i 1
h j A I ^ i lui/'l (•— 1) i —1'
0
2 л cos ——— x
« I “«71
Возьмем произвольное e > 0, найдем /0 так, чтобы ■ 1 ^ < г, i > /,
и положим h0 = —L- . —-—. Тогда для всех х0<=Р и всех h : | h | <
5 0 /0 — 1
< h0 -—■ *°- ^ - - ■ < е. Следовательно, F' (х) существует и рав-
h
на нулю для всех хеР. Вне [0, 1] F'(x)= 0. Итак, F дифферен¬
цируема на всей прямой. Для | F' (х) | =
я/ . 2я/ I .
х sin = л sin—— I где t—расстояние от х до середины ип
Ц“Ц\ i5‘ I
\ui Л 1
при —э а если х отстоит от середины uif больше,
чем на то F' М = 0- Следовательно, с одной стороны, | F' (х) |^л,
x^uift с другой стороны, если t = -то | Т7' (.\г) | = jx.
Итак, \F' (х)| ^ л для любого хб (—оо, + оо). Пусть Д4к = [0, 1]\
к 2‘~1
\ U М иП' И3 построения системы интервалор uih l^/^2l_I, i =
.=1 /-1
= 1,2, ..., следует, что Мк состоит из 2* непересекающихся отрез¬
ков равной длины: р*(1, р*,2, ... , рл 2*, ... и | р*./1 < 1 < j < 2к.
оо
Интервал m*+i./ лежит строго внутри р*,/, Р= f\ Mk9 поэтому для лю-
1
бой точки х0еР и любой ее окрестности U (х0) найдется такой отре¬
зок р*в./, что х0 е р*о у с: U (х0) и, следовательно, найдется интервал
Uk9+i.h лежащий внутри этой окрестности. Так как F'(х0) = 0, а
max IF' (х)| = я, то точка х0 является точкой разрыва функции F'.
Итак, функция F* определена и ограничена на всей числовой прямой
и множеством ее точек разрыва является множество Р. Так как это
множество не есть множество меры нуль (см. задачу 56), то в силу
критерия Лебега Рне интегрируема по Риману на [0, 1]. 58. Напри¬
мер, /(*)=х, G (х) = F (х) 4 2ях, где F(x)— функция из задачи 57.
400
59. Например, f(x) =x, ф(х) = X(F(x) + 2лх), где F(x) — функ¬
ция из задачи 57, а X выбрано так, чтобы ф (1) = 1, т. е. ф(х)=*
= -Цп*) + 2ях).
2л
§ 2. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Какие из следующих функций р(х, у) являются метрикой на
числовой прямой:
а) Р(Х,У) = arctg| у—х|; б) р(х,у) = , |Х(7-у)~;
в) р(х,</) =sin4xy; г) р(х,у)=\ху\;
2. Пусть R(X, р) есть числовая прямая с метрикой р(х, t/)e
=arctg |г/—х| и — числовая прямая с метрикой р(х, у) =
= \у—х\. Доказать, что любое открытое множество в R(Xt р) яв¬
ляется открытым в R[(X)y а любое замкнутое множество в R(X, р)
является замкнутым в Rl(X).
3. Пусть R(X, р) есть числовая прямая с метрикой р(х, у) =
= arctg \у—х\. Доказать, что в пространстве R(X, р) существует
замкнутое ограниченное множество, не являющееся компактом.
4. Доказать, что любое открытое множество в Rn есть объеди¬
нение не более чем счетного числа открытых кругов.
5. Доказать, что объединение двух связных множеств, имею¬
щих общую точку, связно.
Множество MdR2 называется линейно связным, если для лю¬
бых его двух точек тп\ и т2 существует непрерывная кривая, со¬
единяющая эти точки и целиком лежащая в данном множестве
(т. е. непрерывное отображение ф отрезка [0, такое, что
ф(0)=ть ф(1)=т2 и для любого х&[0, 1]ф(х)еМ).
6. Доказать, что любое линейно связное множество связно.
7. Множество MczR2 состоит из точек, координаты (jc, у) ко¬
торых удовлетворяют соотношению у=sin 1/х, и отрезка [х*-
=0, — 1<1/<1]. Доказать, что М связно, но не линейно связно
(определение линейно связного множества см. перед задачей № 6).
Расстоянием между двумя множествами AczRn и BaRn назы¬
вается число
8. Доказать, что расстояние между двумя замкнутыми ограни¬
ченными непересекающимися множествами в Rn не равно нулю.
9. Привести п.ример двух замкнутых непересекающихся мно¬
жеств в R2, расстояние между которыми равно нулю.
ж) Р(*. У) = sin|х — у\.
р (А,В)= inf (||х —
Л ..с а **■
Х£А. уев
401
10. Привести пример двух непересекающихся ограниченных
множеств в R2, расстояние между которыми равно нулю.
ОО
11. Пусть F — непустое замкнутое множество в Rn и F=[]Fm,
m=1
где Fm — замкнутые множества. Доказать, что существует число
т0 и замкнутый шар OczRn такие, что
F(]0=Fm,()0, FWJ+0.
12. Пусть функция f:Rn-+R определена в некоторой окрестно¬
сти U0 точки x0^Rn. Для произвольной окрестности UaUQ точки
х0 через diam U будем обозначать sup ||xt—x2\\Rn— диаметр
х,, хгеи
области, а через ш(/,£/)=-- suo | f (А)—/(В)| — колебание функции
А,веи
на U.
Доказать, что для любой ограниченной функции существует
число о)(/, *о), равное пределу
lim со(/,£/), x0eU
dlam t/-*0
•{число (I)(/, Хо) называется колебанием функции f в точке х0).
13. Доказать, что a)(f, х0) (см. № 12) равно нулю тогда и толь¬
ко тогда, когда / непрерывна в точке х0.
14. Пусть EczRn, / : E-+R,
Ec+—{xt хf(x)>c),
Ec-={x\xt=Et }(х) <c}.
Доказать, что для непрерывности f на Е необходимо и достаточ¬
но, чтобы множества Ес+ и Ес~ были открыты относительно Е для
любого действительного числа с (это значит, что Ес+ и Ес~ есть
пересечение Е с некоторым открытым в Rn множеством)._
15. Пусть U — некоторый открытый шар в Rk и fn 'U-+R —
последовательность функций. Для натуральных чисёл я, т и числа
-с>0 рассмотрим множества
А п,т,г~{х \ XG=.U у | f п{х) f п+т (^)J ^ е} '
И
оо
Вп,е — Р| Ai.m.e .
т=1
оо
Доказать, что условие «для любого е > 0 \J Вп е —U» необхо-
П — \
димо и достаточно для сходимости последовательности fn(x) в
каждой точке x&J. _
Нк Пусть U — некоторый открытый шар в Rk, fn '.U-*~R, fn^
^.C(l7), и для любого x&J fn(x)-+f(x). Доказать, что для любо¬
го замкнутого множества FczU найдется точка х0е/\ в которой
}(х) непрерывна относительно F, т. е.
lim f(x) = f(x0).
x-rx0, x = F
402
17. Пусть на декартовой плоскости задано множество D фФ
*^0). Каждой точке этого множества ставится в соответствие его
ортогональная проекция на ось ОХ. Доказать, что полученное
отображение f:D-*~R непрерывно.
Числовую функцию /=/(*!, *2, • ••» хп) назовем линейно непре¬
рывной, если она непрерывна, как функция каждой из координат
xi, ld’cn, при фиксированных остальных.
18. Привести пример функции f:R2-+Rt линейно непрерывной
в квадрате [—1, 1]Х[— 1, 1], но разрывной в начале координат.
19. Доказать, что линейно непрерывная в некотором круге
UczR2 функция f:U-+R имеет в этом круге точку непрерывности.
20. Привести пример функции f(xt y)t разрывной в каждой
точке квадрата [0, 1]Х[0, 1], но непрерывной как функция х при
любом фиксированном #е[0, 1].
21. Пусть область GczR2 и функция f:G-+R непрерывна в G
как функция переменной х при фиксированном у, таком, что
(х, i/)gG, и удовлетворяет условию Липшица по переменной уу
т. е. существует постоянная L такая, что |f(x, yi)—f(x, у2) |<
<Ljyl—y2j для любой пары точек (х, у\), (х, у2) из G. Доказать,
что / непрерывна в G.
22. Пусть GczR2 и функция f:G-+R линейно непрерывна в G
и монотонна по одной из переменных. Доказать, что / непрерывна
в G.
23. Привести пример разрывной в квадрате А=[— 1, 1]X[— 1 * II
числовой функции /, строго монотонной по каждой переменной и
непрерывной по одной из них на [—1, 1] (при фиксированной дру¬
гой).
24. Привести пример функций f(jc, у) и g(x, у), каждая из ко¬
торых является разрывной в точке (0, 0) и таких, что:
а) их сумма есть функция, непрерывная в точке (0, 0);
б) их произведение есть функция, непрерывная в точке (0, 0).
25. Пусть / (jc, у) = —'\xJry}2 . Показать, что
хг 4- уъ
lim (lim / (х, у)) и lim (lim/(х, у))
х-*-0 I/-+Q у-*-0 х-*0
существуют и равны, но не существует lim f(xty).
0,0)
26. Пусть существуют
lim /(*, у) = А и lim (lim / (jc, у)) =В.
U.A'b+Uo.J/o) х-+х0 у-+у9
Доказать, что А = В.
27. Пусть
f(x,y) = (*2 ±У2) sin —sin—.
X У
Доказать, что существует lim f(xty)t но не существует ни один
(*.У)-*>(0.0)
из повторных пределов:
lim (lim/(*,//)), lim (lim /(x, у)).
v-o у-о \-*Q
403
28. Показать, что
lim (lim * + у WlimAim х-- у*
Х-*0О оо — y)A 1 у-кзо \Х-*оо 1 -}-(* — у)* J
но lim
*24- у2
Х-+-ао 1 + (Х~У)4
у-+оо
29. Найти
lim (lim cosm (л! 2пх)).
n-*-oo т-+оо
30. Показать, что функция
не существует.
х — ум
, х*+у2Ф 0;
/(*.*)=» *2 + *2
( 0, х2 + у2 = 0
в любой окрестности точки (0,0) принимает любые значения из
(-1.1)-
31. Показать, что функция
/(*, У) =
, х*~гУг
, х2 + у2 Ф 0,
0, л2 4- уг = 0
в любой окрестности точки (0, 0) принимает любые положитель¬
ные значения.
32. Пусть /(*, у) —xye~'{y~xt)t. Показать, что f(xt у)-+0, ког¬
да точка (х, у) стремится к оо, оставаясь на фиксированном луче
*-=fcosa, y=t sin а, 0<а<2я, f-^-foo, но / (jc, у) не является бес¬
конечно малой при х-*-оо, у-+-оо.
33. Доказать, что следующие функции непрерывны в начале
координат:
f - х* + у'Ф 0;
а) / = | ^хг+уг б) / = sin (дс2 -н t/2);
1 0, д:* -Н (/»= 0;
хфО;
X
В)
х2 In {х2 + у2), х2 + у2ф0\
0.
г) / =
* = 0;
Д) / =
-ilii*!, х*.+ у*ф0.
х* + у* * е) / =
0.
х2 4- у2 = 0;
у х2 +у2 sin
0.
V**+ у2
х2 + у2ф 0;
х2 4- У2 = 0.
34. Доказать, что следующие функции не являются непрерыв¬
ными в начале координат:
а) /==
sin—, х2 + у2ф0\
X
0, х2 f у2 = 0;
+ У*
** + У
О,
ха-Ц/* =/=<);
ха + у% = 0;
404
в) / =
хД + ц»
** + </’
О,
х* + у
, х* +у*ф О;
х* +Уа = 0;
' *3 4~ у9
г) f =
х2 + у
О,
2 ху
хг + у*
О,
х* + у ф О;
хг + у = 0\
х* + у*Ф О;
ха +у* = 0.
>ЪЁ=, х* + у*Ф О;
д) /= е) / =
О, хг + уг = О;
Обозначим
& = {(х,У): х*+у* < 1}, = ua+ua<4},
Mt = {(u,v): u* + v*<4}(){(utv): (и-4)2 + и2 < 1>,
Л*з = {(и,и): a2+ua<4}, М4 = {(ы,а): i>a < и}.
35. Существует ли непрерывное в D отображение f:D-+R* та¬
кое, что:
a) /(D)-Mi; б) /(£>)—Af3; в) f(D)-Af3; г) /(!>)—Af4?
Если существует, то привести пример, если не существует, то объ¬
яснить почему?
36. Пусть £={(*, у) :х2+у2<4). Существует ли непрерывное в
£ отображение f:E-+-R2t для которого:
a) f(D)=Mu б) /(D)-Л12; в) f(D)-Af3; г) /(D)-М4.
Если существует, то привести пример, если не существует, то объ¬
яснить почему?
37. Пусть £={(*, у)'х2+у2<4}. Существует ли непрерывное и
биективное отображение f:£-W?2, для которого:
a) /(D) =Afj; б) /(£>)—ЛГ2; в) f(D)=M3; г) /(D)=M4.
Если существует, то привести пример, если не существует, то
объяснить почему?
38. Показать, что функция / = sin-^* непрерывна в своей об¬
ласти определения Е и не является равномерно непрерывной на
множестве £fl{(*, у):х2+у2< 1}. Какое условие теоремы Кантора
нарушено?
39. Показать, что функция /*=хЧ-(/2 равномерно непрерывна на
множестве х2+у2< 1.
40. Функция / = -
х*уА
* + у'
непрерывна на множестве 0<жЧ-
2. Будет ли она равномерно непрерывна на этом множестве?
Будет ли она равномерно непрерывна на множестве <дса -f у* <2?
41. Пусть f :R2-*~R равномерно непрерывна на открытом огра¬
ниченном множестве DczR2 и А — предельная точка D, не принад¬
лежащая D. Доказать, что существует lim/(M).
М—*А
42. Пусть D — открытое ограниченное множество вЛ"и/:
Для того чтобы / была равномерно непрерывна на D, необходимо
и достаточно, чтобы существовала функция g, непрерывная в 2J,
такая,что f=g на D. Доказать
405
43. Привести пример функции f:R2-+Rt равномерно непрерыв¬
ной на множестве доО, у>О, непрерывной, но не равномерно не¬
прерывной функцией на всей плоскости.
44. Пусть f = \ х2у . Показать, что функция f непрерывна
в квадрате [—1, 1]Х(— 1, 1], в начале координат имеет частные про¬
изводные, но не дифференцируема.
45. Пусть
Проверить, что функция f в квадрате А=[— 1, 1]X(— 1, 1] всюду
имеет частные производные, эти производные ограничены в А, но
/ не является дифференцируемой в начале координат.
дифференцируема в точке (0, 0), но ее частные производные —
разрывные функции в точке (0, 0).
47. Пусть область GczR2, а функция }:G-+R непрерывна по од¬
ной из переменных и имеет ограниченную производную по другой
переменной в G. Доказать, что / непрерывна в G.
48. Пусть GczR2 — выпуклая область, функция f:G-+R имеет
в G ограниченные частные производные по обеим переменным.
Доказать, что / равномерно непрерывна в G.
49. Область MczR2 состоит из тех точек т, полярные коорди¬
наты которых <рш, гт удовлетворяют условию
<рт>2л, arctg(pm—a<rrn<arctgfpm+a,
Обозначим через О полюс и <p=<p(x, у), то значение угла между
полярной осью и отрезком От, для которого
Показать, что функция ф(х, у) однозначно определена на М, име¬
ет непрерывные и ограниченные частные производные по перемен¬
ным х и у в iVf, но не является равномерно непрерывной в М.
50. Пусть
46. Пусть
Показать, что /
где
a ==■ — (arctg (2л 4- qjJ — arctg фj .
О
arctg q) — a<rM<arctg9 +-a, a-=— (arctg (2л -j- <p) — arctg <p).
8
Показать, что /"гУ(0, 0)^{"ух(0, 0). Какое условие теоремы Швар¬
ца здесь нарушено?
51. Дано уравнение у2—х2( 1—х)=0.
а. Каково множество AaR тех значений х, для которых это
уравнение определяет у(х)?
б. Сколько однозначных функций на множестве А определяет
это уравнение?
в. Сколько однозначных непрерывных на А функций определя¬
ет это уравнение?
г. Сколько однозначных, дифференцируемых во всех внутрен¬
них точках А, функций определяет это уравнение?
д. Сколько однозначных непрерывных функций на отрезке
{0, 1] определяет это уравнение, если добавить условие:
52. Уравнение (x2+i/2)2=x3—Зху2 определяет у как многознач¬
ную функцию х. Какое максимальное количество значений у мо¬
жет соответствовать данному х? Выделить однозначные гладкие
ветви у(х) и найти точки ветвления.
53. Показать, что уравнение x=ky+y(y)t где k¥=0 и ц>(у) —
дифференцируемая, периодическая с периодом Т функция, удов¬
летворяющая условию |<р'(у) | < |&|, однозначно определяет функ¬
цию у(х) = — + Ф(х), где aj)(x) — периодическая функция с пе-
k
риодом \k\-T. Проиллюстрировать результат графически.
54. Пусть
Показать, что:
а) / (х, У) непрерывна в начале координат;
б) / (х, У) не является дифференцируемой в начале координат;
в) для любых x=x(t), y=y(t) :х(0)=0, £/(0) =0;
хеС‘[-1, 1], у<=С'[-1, 1];
x2(t)+y2(t)>0 при 0
/*(0=М*(01 У(0) дифференцируема при любом 1, 1] (в част¬
ности, при /=0).
Найти выражение ft*'\t=o через Xt'\t=o и y/\t=o.
55. Функция f(x, у) определена и непрерывна в некоторой
окрестности точки (х0, уо) и удовлетворяет следующим условиям:
1) существуют производные fx'(x0, у0) и fy'(x0t у0);
2) для любого отображения <р:/?2(и, и)-*/?2(х, у);<р(и0, v0) =
= (хо, //о), непрерывно дифференцируемого в некоторой окрестно¬
сти точки (ио, v ), существуют производные (f°<j))u'(wo, v0)=A и
(f°ф)/(ыо, V0)=B;
0, *J + y» = 0.
407
3) справедливы равенства
Л=Ых„, Уо)х'и (и0> о0) + /*(*„, J/„)«/l(u0, U0),
B = fx(xо, Уо)х'„(и0, v0) + f'y (х0, iy0) y'v (и0, v0).
Доказать, что f дифференцируема в точке (х0, i/o).
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1. а) да, б) нет, не выполнено неравенство треугольника: если
взять, например, х = 10, у= 11, г = 0; в) нет, не выполнено условие
р (jc, у)= 0 тогда и только тогда, когда х = у\ г) нет, так же, как
и в пункте в); д) нет, не выполнено неравенство треугольника, если
взять, например, х = 2, у = 1, г =0; е) нет, не выполнено условие
симметрии; ж) нет, так же, как и в пункте в); з) да. 2. Указание.
Пусть Ux(x0, е) есть с-окрестность точки х0 в R1 (х) и U2(xQ, е) —
г-окрестность в р). Показать, что для любого е>0 существует
> 0 такое, что U\ (х0, 6^ cz U2 (х0, е) и существует б2 > 0 такое,
что U2(x0, 62) с 1)х (*), е). 3. Указание. Пользуясь результатом зада¬
чи 2. показать, что любой компакт в /?(х) есть компакт в R1 (х, р)*
4. Указание. Представить открытое множество G в виде счетного
объединения ограниченных открытых множеств Ga, а каждое из Оа
в виде Ga = UGa,n* [где Ga,n—множество тех хЕСа, для которых
расстояние до границы Ga больше 1/л. 5. Пусть М1 и М2— связные
множества и П М2. Если М = М1 U М2 несвязно, то существует
два открытых непересекающих множества Gy и G2 такие, что М cz
cz Gj U М П G2 Ф 0, М П Gx¥= 0 • Пусть х0 е Gx. Так как Мх связ¬
но и jCoeiVfiflGj, то MlaGl. Точно так же и M2aGv Следова¬
тельно, М = Mj и м2 a Gly и так как G1(]Gl = 0t то М Г) G2 = 0,
что противоречит условию несвязности М. 6. Указание. Воспользовать-
ся тем, что при непрерывном отображении отрезок переходит в связное
множество. 8. Указание. Показать, что для любых двух множеств
Acz Rn, Bcz Rn функция <p : A-+R], <p(*) = inf || x — y |L„ непрерывна.
уев
9. Например, гипербола х2 — у2 — 1 и ее асимптота у — х. 10. Напри¬
мер, два открытых круга {(*, у) : х2 -1- у2 < 1} и {(х, у) : (х— 2)2 -+-
+ 1/а<1}- И- Предположим противное. Тогда в любом шаре иу та¬
ком, что F П и Ф 0, найдется точка хх такая, что хх е F П и, хг е Fx.
Так как Fx замкнуто, то найдется шар uiczu с центром в точке х1У
ul(\F1 = 0, причем можно считать, что радиус шара их не превос¬
ходит 1. Продолжая так же рассуждать, получим последовательность
вложенных и замкнутых шаров uzd их zd u2zd ... zd unzD ... с цент¬
рами в точках хп и радиусами 6П < — соответственно таких, что
л
408
ип(\Еф0, un(]Fn — 0, n = 1, 2, ... . Пусть x0—общая точка всех
множеств un(]F, тогда, с одной стороны, с другой стороны
оо
для любого п имеем x0<^Fn, поэтому x0ef = (J Fn. Полученное
п=1
противоречие доказывает утверждение задачи. 12. Указание. Проверить,
что для последовательности Un(x0) вложенных окрестностей точки х0
последовательность со (/, Un) монотонна и ограниченна. Для произволь¬
ной последовательности Un(x0) окрестностей точки х0 при условии
diam Un (х0) -+• 0 доказать существование последовательности Utn(x0)
/1~»оо
вложенных окрестностей точки х0 такой, что для любого n^N су¬
ществуют ml (п) е N и т2(п)^М такие, что £/т|(П) (х0) =э£/Л (х0) id
idUш,(л)(х0) Hdiam£/m (хо)-*0. 14. Необходимость условия следует из
т-*оо
свойства сохранения знака непрерывной функции. Достаточность усло¬
вия докажем от противного. Если / разрывна в точке х0 е Е, то хд
не является изолированной точкой £ и по крайней мере две из трех
точек расширенной числовой прямой lim/(x), /(х0), limf (х) различны.
х-*х„ х-*х.
Для определенности положим, что lim f (х) </ (х0) (остальные случаи
X >х0
рассматриваются аналогично). Если Игл/(х) <с </(х0), то х0е£*.
^ ~
но в любой окрестности точки х0 найдется точка хе£, х (= EJ.
таким образом, Ef не является открытым относительно множества Е.
Полученное противоречие доказывает достаточность условия задачи. 15.
Указание. Пэкззэть, что условие задачи эквивалентно фундаментальнос¬
ти погледовагельнэсги fn(xQ) для любого х0е£/. 16. Указание. См. зада-
. х» + </*=*0;
чу № 186, ч. I, гл. IV. 18. Например, f(xt у) =| хг + у2
{ 0 х = у = 0.
19. Указание. Показать, что такая функция есть предел последовательности
непрерывных функций и применить результат задачи 16. 20. Например,
f(x>y)={ »• если У Рационально и х е [0, 1]. 2, указание
\ 0, если у иррационально и хе[0, 1].
Представить приращение f в виде / (х + Лх, у -f Дy) — f(xt у) =
= /(х+Дх, у+£ьу)— /(х+Дх, 0) + /(х+ Дх, у) — fjjc, у). 22. Пусть
(х0, yQ) е G. Возьмем некоторое е>0. Выберем Дх > 0 и^ Ку >0
такие, что {(х, у): ха— Ах^ х ^ х0+ Дх, у0— Л</ ^ У<Уо + Ьу}*^ G-
Для определенности предположим, что функция /(х, у) не убывает
по переменной у при фиксированном х. В силу линейной непрерыв¬
ности /(х, у) существуют h и k: 0 </t < Дх, 0 < k < Ду такие, что
I / (*о. Уо) — / (*о + Л** Уо) I < е, | f (х0, 1/0) — / (х0, + Ду) | < в,
409
I/К- Уо+к)—}(хо + &х< </о + *)1<£. I/К. Уо—Ь)—Кх0 + Ах, Уо—к)\<е
для всех Дх и Ду : |Дх|^Л, |Ai/|^£. Тогда для |Дх|<Л, |Ду|<А:
имеем | /(х0 + Дх, у0 4- Д у) - /(*„, y0)\s^ \ /(х0 + Дх, у0 + А у) —
— /К+ Л*, i/о)I + 1/К + А*. Уо) — /к. б'о)! < 1/К + Дх, у0 + Ь)—
—f(x0+Ax, j/0)| +е<|/(х0+д*. {/„ + *)—/К. «/0+А)| + |/К, Уо+k)—
— /К. </о)1 + I/к. Уо) — / К +- д*. Уо)I + е < 4е, т. е. функция
/ (х, у) непрерывна в (х0, у0). 23. Например, /(х, у) = х + у + sign у.
24. Например: a) /=sign(xi/), g=x — sign (х^); б) / = sign(xt/), g=xy.
25. Указание. Рассмотреть f (х, х) и f (х, —х). 28. Указание. Рас¬
смотреть /К X) и /К 0). 29. D(X)=J0, х иррациональное;
11, х — рациональное.
32. Указание. Рассмотреть / (х, х2). 33. Указание, а) |/(х, у) \ ^
^ \хц\ ^ I хг 4- уг 1 у -= 2 ч Ч
^ ^ :— = —Л/х г и ; в) — е) переити к полярной
\ х*--\-у* ^ 2 )/*2 + !/2 2 1 £? » / / Р г
системе координат. 34. Указание, а) Рассмотреть f (х, х); б) рассмот¬
реть / (0, 0); в) рассмотреть / (х, 0); г) рассмотреть /(х, х3—х2);
д) рассмотреть /(х, kx) либо перейти к полярным координатам; е) рас¬
смотреть / (х, х). 35. Необходимые примеры отображений удобно за¬
писывать в виде rl — r1(r, ф), фх г--- фj (г, ф), где (г, ф) —полярные
координаты точки М (х, у), х2 f */2 >0, a (rv ф,) —полярные коорди¬
наты точек Р (и, и), и2 -f d2> 0 (полярная и декартова система коор¬
динат согласованы). Если при отображении / полюс переходит в полюс,
ri и Ф1 — непрерывные функции от г и ф, Jimr^r, ф) — 0 для любого
т—► 0
Ф, Нтф! (г, Ф) = Фх (/", 0)-f 2л для любого г> 0, то отображение /
ф-*2л
будет непрерывным, a. fl : полюс переходит в полюс, г1 — 2г, ф!=ф.
б. Непрерывного отображения D п М2 не существует, так как D связно,
а М2 несвязно, в. /2: полюс переходит в полюс, = 8r (1—г), ф^ф.
г. /3=Я1°^» гДе S2 '■ (*> У)~+'(и> v) полюс переводит в полюс Ф^Ф,
2 г
г — и g ; (w, и) —сдвиг в плоскости UOV на еди-
(1 — т cos ф)
ницу вправо по оси U(g2:(x, «/)-*(ы, у) переводит мнсжестЕО D во
внутренность параболы v2 = u-\- 1). 36. а) Отображение fx из решения
задачи 35; б) такого отображения нет, см. п. б) решения задачи 35;
в) отображение /2 из решения задачи 35; г) такого отображения не
существует, так как по условию отображение / непрерывно на D =
= {(х, у):х* + у* ^1}сг£, следовательно, / (D)—01раниченное мно¬
жество и в силу соотношения / (D) а / (D) f (D) также должно быть
ограниченным множеством. 37. а) Отображение из решения зада¬
чи 35; б) такого отображения не существует, см. п. б) решения за¬
дачи 35; в) такого отображения не существует. Действительно, из
условия задачи следует, что /~1 (М2) = /“1 (/ (D)) = Д т. е. прообраз
замкнутого множества, есть множество открытое, что противоречит
410
непрерывности отображения, г) такого отображения не существует,
см. п. г) решения задачи 36. 38. Указание. Рассмотреть значение
функции на прямых y = kx. 39. Указание. Использовать то, что функ¬
ция f (х, у) непрерывна на множестве х2 4- У2 < 1 • 40. На множестве
0<х2 + #2<2 функция не является равномерно непрерывной (см.
указание к задаче 38). На множестве — <x2 i-у2 <2 функция рав¬
номерно непрерывна (см. указание к задаче 39). 41. Указание. Исполь¬
зовать критерий Коши. 42. Указание. Для доказательства необходи¬
мости надо доказать, что функция f(A)= lim f(M) существует
М-А. М £D
(см. задачу 41) и непрерывна на границе dD = D\D. 43. Например,
/ (jc, у)=х2е~х f у2е~у\ f (х, у) = е~х~у. 44. / непрерывна как компо¬
зиция многочлена и кубического корня. Гак как для любого
^[ — 1» 1]» /(*» 0)^0 и для любого t/<=[ — 1, 1], /(0, у) = 0, то
/х(0, 0) =0, fy(0, 0)^=0. Если / дифференцируема в точке М0 = (0, 0),
то df = 0 и, следовательно, Д/ /(х, у) —/ (0, 0) = /(х, у) =
= о (У Ах2 -f Ay2) (Дх2 + Аг/3 —► 0). Но для у=х имеем: /(х, х)=х,
следовательно, —Ц^==Х=- = У2 signx, а функция 1/2 signx не явля¬
ется бесконечно малой при х -+• 0. Полученное противоречие показывает,
что f не дифференцируема в точке М0 = (0, 0). 45. Так же, как в
предыдущей задаче, доказывается, что fx (0, 0)=fy(0, 0) = 0 и / не
дифференцируема в точке Мо = (0, 0). Если М = (х, у), *>0, у> 0,
то в некоторой окрестности точки М /(х, у) =———, следовательно,
х + у
ц2 , х2
/ж(М) = —: , fu(M) = , т. е. в первом квадранте
{х + у)\ {х + у)2
\fx(M)\^\t |^(М)|<1, так как /(—х, —у) =/(х,у) =—/(х; —у) =
= —f(—1/), то |fx(M)l^l> |ММ)|<1 для любой точки М, не
лежащей -на осях и О У. Непосредственным переходом к преде¬
лу получается, что для точек Му лежащих на осях ОХ и ОУ,
!х(Щ =sign уу fy (М) = signx. 47. Указание. Использовать тео¬
рему Лейбница и результат задачи 21 в 6-окрестности U6(M)
произвольной точки MaG, где 6 выбирается так, чтобы U6(M) a G.
48. Указание. Использовать теорему Лейбница. 49. Пусть Мр =
= {/л: 2лр <ф„, < 2л(р-Ь1), arctg фш—a <r„t < arctg фт -f а}, тогда
оо
М= (J Мр- Если точка т = (х, у) еМр, то ф(х, */) = ф0-ь2лр, где
р=1
% (0<фо^ 2л)—угол между вектором От и полярной осью, совпа¬
дающей с положительной полуосью ОХ. Чтобы установить однознач¬
ную определенность функции ф (х, у), достаточно показать, что мно¬
жества Мр не пересекаются. Пусть /0 есть луч, выходящий из полюса
411
под углом ф0, 0<фо^2л, к полярной оси. Этот луч пересекается с
Мр по отрезку, концевые точки которого отстоят от полюса на
r„ = arctg(ф0 +2яр) (arctg(<р0 + 2л(р + 1)) —arctg(q>0 + 2л/?)) и
о
rp = arctg (ф„ + 2яр) + -i- (arctg (ф0 +2п(р + 1)) — arctg (ф0 + 2пр)).
О
Так как rp<Crp+1, то отрезки /0ПМр и /0 П М,, РФ Я* не пересекают¬
ся. Следовательно, МрП МдФ 0, рфс]. Возьмем последовательность
точек тр с полярными координатами ФР=Ф0+2лру гр =-arctg(%4-2лр).
Тогда шреМрП/0. ]1тгр = л/2, следовательно, существует limтр = т^г
Р~* ОО p—fOO
и в силу критерия Коши для любого е> 0 существует Р такое, что
для любых рхУ рг> Р || mPl— тРш || <е. С другой стороны, из того,
что тРх е MPt П /0, тр, <= MPt f| /0, следует ф (mPi) ф0 4 2nplf ф (mPt) =
= Ф04-2лр2, т. е. |ф (шР|)— ф (тГ|)| =2л|р1— р2\ > 2л. Итак, в мно¬
жестве М имеется пара сколь угодно близких точек, разность зна¬
чений функции ф в которых не менее 2л, т. е. ф не является равно¬
мерно непрерывной на М. Пусть т0 = (х0, (/0)еМ. Если х0ф 0, то
найдется такая окрестность точки m0U(m0)^ М, что ф(ш) = arctg— 4-
4-2лЛ1(т0), для любого т е U (ш0); если у0фО, то найдется
такая окрестность течки m0 U(mQ)t что ф(т) = arcctg — 4 2nk2(m0)>
У
kt^ N. Следовательно, для любой точки т0 е М имеем — (т0) =
•^К)= /° , .
т. е.
(т)
^ 1.
< 1
1у 4 + >Л
дх
$У
для любого те М. 50. (/*)х(0, 0) = 1, (/х)Д0, 0) = — 1. 51. а) А =
= ( — оо, 1]; б) бесконечно много; в) четыре: ух——х“V/1 — х, уг =*
= — |х| - VI —^ , у3=\х \ у 1—х , у4=хУ1— х ; г) две: ух =
- —х У 1 —х . у2 = х VI —х ; д) I) одну: у ^ —х Vl — х ; II) две:
ух=-хУТ^ и у2—хУ 1—х . 52. Указание. Для анализа много¬
значной функции у (х) полезно нарисовать кривую, определяемую
данным уравнением, перейдя к полярным координатам. Точки ветвления:
(-9/16, ЗУТ5/16), (—9/16, —3 VT5/16), (0, 0), (1, 0). Гладкие
ветви: yx = -L\f —х ]/ 16х 4- 9 —Зх— 2х2 ; i/a=—1/А (—9/1б<х<0);
У> = ТУ7уШТ9-Зх-2х*' У*=~У> 53' В си-
лу периодичности ф, применяя теорему Лейбница, получаем шах | ф(у) | =
у е я
= шах |ф(*/)|^ |6|Т4- |ф(0)|, следовательно, переменная х = ky +
412
+ Ф (У) принимает все действительные значения. Так как ху = Ar+qT
то обратная функция у = у (х) определена, непрерывна и дифференци¬
руема на всей числовой оси. Функция g(x) = y(x) — также одно-
k
значно определяется из уравнения б£ + Ф ^ Н- =0 при любом х*
Если хг = х+ \k |7\ то значение g1 = g(x1) должно удовлетворять
уравнению kgx + ф (^i + ^ s*£n ^j = которое в силу периодич¬
ности ф равносильно уравнению kgx + ф ^ j =0. Таким образом,
значения g = g (х) и gx = g (х -f | k | Т) удовлетворяют одному и тому
же уравнению, и в силу однозначности его решения g = g1(-v) =
= £(*+ 1*1 Л. т* е- Функция g периодическая с периодом \k\-T.
54. Так как -^-(*2-Ь*/2), то | f (х, г/) К— \х\, откуда следу¬
ет непрерывность / в начале координат. Так же, как в задаче 44,
находится, что /*(0, 0)—fy(0t 0) = 0. Если / дифференцируема в точ¬
ке М = (0, 0), то отсюда следует, что df = 0 и Д/ = /(х, y)—f(0, 0) =
= /(*. У) = 0 (V** + у*) (x* + t/a-*•()). Но для у = х имеем М^=== =
у х2 X2
X* 1 1
= — ”—signx, а функция — sign* не бесконечно малая
при дг-*0. Следовательно, f не дифференцируема в точке М0 = (0, 0).
Пусть x — x(t), x(0) = 0, y = y(t), У(0) = 0, х (/), у(0ес'[ —1, 1],
х; (0) = A, y't(0) = B, Л* + Б2> 0. Тогда при /->0 x(t) = At + o(t)f
y(t) = Bt + о (/) И /• (0 = / (ж (/), у (0) = —*+ °(л>) =
w 1 w /V Wt »\// БаГ2 + о(/*)
A%Bt
~ Л» + Д» + Т' е' ^ дифференцируема в нуле и (Пг|<=о =
= л; + ва • Если /1 = 0 и В = 0, то x(/) = t ■ е,(0. У(0 = 1 ■ ЪЮ,
где е? (/) + 82 (0 0, при / —0; так как хг (/) + уг (() > 0 при t ф 0,
то е?(/)+еН0 >0 при (ф0. Тогда LilhzUSl ~ JAiL = —llfL.
t t е2 + ,2
е2еа
и, как было показано выше, lim ~— = 0, т. е. /* (/) диффе-
е1 _^е2~*° в1+е2
ренцирусма в нуле и /Г' /=о = 0. 56. Пусть М*„. Уо)=А и /Л*о. 1/о) =
= Я. Функция g(x, y) = f(x0 + х% у0 + у)— Ах— By— f (х0, у0)
дифференцируема в точке Л4о = (0, 0) тогда и только тогда, когда f
дифференцируема в точке (х0, у0). Так как ^(Afo) = 0, ^(Мо) = 0,
то в силу условия задачи для любых x(t), y(t), *(0) = 0, i/(0) = 0,
413
jc(/), {/(/)еС!(-1, 1) имеем g't(x(t), y(t))\i=0 = 0. Предположим,
что g не дифференцируема в точке Мо = (0, 0). Это значит, что су¬
ществует последовательность точек Мр = (хр, ур)-+М0 и число е0>0
такие, что для любого реА/ имеем g (хр, ур) > е„ \^~х\ + yl . Пусть
к — конечная предельная точка множества (Есл11 это множест¬
во не имеет конечных предельных точек, то аналогичное рассуждение
проводится для множества 1-^-1 для которого в этом случае нуль
I Ур 1 ’
будет предельной точкой.) Выберем подпоследовательность Мр. после¬
довательности Мр такую, что хР{ монотонно стремятся к нулю (для
Ур-
определенности хР{ > 0) и —l--+k (i->оо). Положим п1=р1. Так как
Xpi
0, при оо, то найдется такой номер n2 = plt что
Уп 1 У — Уп Уп 1
— <— — < — . Продолжая по индукции такой вы-
х„ 2 хп — х„ х„ 2
П| п | п, д,
бор, построим последовательность точек Mq = (xq, yq) таких, что при
<7-*оо, хд j 0, ^-*0, ——+k и при любом q (q — 1, 2 ...)
xk xq
L< у<* _L# Используя результат задачи 55 § 1
Я xq — xq+x xq q
гл. IV, для каждого q найдем функцию фq :Rx -+RX такую, что ф^е
еС'( — оо, + оо) <р, (*,+,) = уй+1, %(х,)= уя, ф;(х,+1) = Js*L.t
*<7+1
% (**) =—. — < % М < — + —. * е [**+!» хя\ • Положим
q xq Xq я q Xqq
Ф$ (•*)> х ^ (xq-\-h xq),
kx, x^O; Тогда *(/), y(t)e
x(t) = t и у (t) = у (x) =
--X+ ylt X > xv
t X\
gC!( — oot oo), jc (0) —1/(0) — 0, но по построению последовательности
Me = (x„, У,) ё(х„, У (*,)) = g(xq, У„) > е0 V х\ V У а , следовательно,
функция £(*(/), y(t)) не может иметь в точке ^ = 0 производную,
равную нулю. Полученное противоречие показызает, что g дифферен¬
цируема в точке М0 =(0, 0).
Часть III
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава I
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
ОТ ФУНКЦИИ/: R"-*R
Определение. Множество /={*, x^Rn, a^x^bi,
называется стандартным относительно осей координат брусом в
Rn (л-мерным брусом, или промежутком).
Если необходимо отметить точки а=(аь аг, ~,ап) и b=(b\>
b2,..;bn), то применяется обозначение 1а,ь-
Другими словами, промежуток в Rn есть декартово произве¬
дение отрезков, лежащих на координатных осях.
п
Определение. Число П(6*—а,*) называется л-мерным объ-
с=1
емом бруса 1а,ь и обозначается |/а,б|.
Если размерность бруса ясна из контекста, то вместо термина
«л-мерный объем» используется термин «объем».
Определение. Пусть задан брус /а,ьсг/?п. Разбиения Tif
1<1<л, координатных отрезков [aiy 6,], с диаметром
Х(Г<) индуцируют разбиение бруса 1а,ь на более мелкие проме¬
жутки /<*, l^^Q, получающиеся декартовым произведением
промежутков разбиения отрезков [а,, 6г], 1<1<л. Представление
Q
бруса /0,ь в виде 1а,ь= U Iя называется разбиением бруса 1а,ь
<7=1
и обозначается символом Т. Величина Я(Г)= max Х(7\) называ-
ется параметром разбиения Т.
Пусть функция /:/->/? ограничена на / и Т — разбиение /. По¬
ложим
м„= sup /(jc). 1 mq — inf f (x), Is^qs^Q.
xei* xe tq
4 Q
S(T, = s(T, /) = £m,|/»|.
1 <7=1
{(J) \ f (x) dx = inf S (7\ /) = g7, (L) [fdx = sups (T, f) =
f т f т
Для любой ограниченной функции f:I-+R имеем
Определение. Если 2^=2/то функция /:/-►/? называ¬
ется интегрируемой по Риману на / и число 3 называется инте¬
гралом Римана от / по / и обозначается $fdx.
415
Это определение эквивалентно такому: пусть Т — разбиение
и {£*}<?= 1 — совокупность точек £а, l^q^Q, таких, что lq^Iq,
Г " Q
l^q^Q; функция [t I-+Rn интегрируема на /, если lim £ f (^)|/*|
МТ)-*-0 <7—1
существует и не зависит от выбора точек {lq}q=\ и разбиения Т.
Данное определение аналогично определению интеграла Ри¬
мана на отрезке [а, Ь] (а<Ь), т. е. случаю л=1. Сходство опре¬
деления подчеркнуто и формой записи подынтегрального выра¬
жения fdx. Равносильные, но более развернутые обозначения рас¬
сматриваемого интеграла такие:
J/(* 1. хг хn)dxldxt... dx„,
или
$ • • • • j f Х2 хп) dxi dx2 ... dxn
Замечание. Для функции одной переменной f: R-+R и
ь
промежутка [a, b]cnR, a<b, имеет смысл как символ \f dxt так
и символ
а о
^fdx=—^ fdx, т. е. интеграл Римана от функции од¬
ного действительного переменного определяется по направленно¬
му промежутку. В пространстве же Rnt 2, понятие направлен¬
ного промежутка не вводится. Если и в пространстве R рассмат¬
ривать толь; о такие промежутки [а, Ь], для которых а<Ь, то в
дальнейшем при рассмотрении Rn можно считать п любым нату¬
ральным числом, в том числе и единицей.
Чтобы подчеркнуть, что речь идет об интеграле от функции
многих переменных на брусе IczRn (л>2), говорят, что это крат¬
ный интеграл (двойной, тройной и т. д. в соответствии с размер¬
ностью Rn).
Определение. Множество MczRn называется множеством
меры нуль в смысле Лебега (короче, множеством меры нуль),
если для любого е>0 существует покрытие множества М не бо¬
лее чем счетной системой {/*}£Li п- мерных промежутков, сумма
ао
объемов которых ]£j/*| не превышает е.
<7=1
Некоторые свойства множеств меры нуль в смысле Лебега.
1. Точка есть множество меры нуль.
2. Объединение конечного или счетного числа множеств меры
нуль есть множество меры нуль. В частности, всякое не более чем
счетное множество есть множество меры нуль.
416
3. Подмножество множества меры нуль есть множество меры
нуль.
4. Пусть PczRn— замкнутое ограниченное множество и функ¬
ция /: P-+R непрерывна на Р. Тогда множество
М a R , М = {(*^1» • • •» У) • % = (*^1» х2> • • •» ^n) ^ Р*
y=f(x))
(график функции у на Р) есть множество меры нуль.
Заметим, что никакое открытое множество GcuR71 не является
множеством меры нуль. Так, например, интервал (a, b)aR есть
открытое множество в пространстве R и тем самым не есть в
этом пространстве множество меры нуль. Если же взять интервал
(а, Ь) на оси ОХ в двумерном пространстве R2> то он будет мно¬
жеством меры нуль, но этот интервал в R2 уже не есть открытое
множество.
Определение. Пусть множество DaRn. Функция %D:Rn-+*
-+R
\ 1, X ЕЕ D,
Х»<Но, xeD
называется характеристической функцией множества D.
Определение. Множество DaRn называется жордановым
множеством, если D ограничено и функция %D интегрируема по
Риману на любом брусе /с=/?п, таком, что Dal. Величина |XDdx
называется n-мерным объемом или мерой в смысле Жордана
множества D и обозначается |D| или V(D).
Величина ^XDdx не зависит от выбора бруса /, содержащего
множество D, и, следовательно, данное определение корректно.
Можно показать, что для того, чтобы множество DaRn было
жордановым, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниче¬
но и множество его граничных точек было множеством меры нуль
в смысле Лебега.
Приведем теперь эквивалентное определение n-мерного объ¬
ема, не использующее понятие интеграла.
Обозначим через Нк множество всех брусов /а,ьс/?п, для ко¬
торых — bt = 1 < I < п. Для множества
DaRn через Я* (D) обозначим объединение всех брусов из Hkt ко¬
торые целиком входят в Z), через ffh(D) —объединение всех бру¬
сов из Нк, которые пересекаются с D. Объем Hk(D)t равный сум¬
ме объемов составляющих его брусов, обозначим Vft(D); объем
Hk(D)—Vk(D). Если limV\(D)= limVfe(D), то множество D жор-
k-*-oo k~*-oo
417
даново и число V(D), равное значению этих пределов, есть его
л-мерный объем.
Любой брус fa, ьс=/?п является жордановым множеством, и
k
определенный выше его объем \/а,ь\ =П (bi—а*) совпадает с объ-
/=i
емом V(Ia, ь), определяемым по приведенному выше правилу для
объема жордановых множеств.
Используя указанные выше свойства множеств меры нуль,
можно получить следующие свойства жордановых множеств.
1. Дополнение жорданова множества до любого включающего
его бруса есть жорданово множество.
2. Объединение и пересечение конечного числа жордановых
множеств есть жорданово множество.
3. Если М — жорданово множество объема нуль, то любое его
подмножество есть жорданово множество объема нуль.
4. Пусть Мх с:/?1—замкнутое жорданово множество, ф1еС(М,)1
Фа е С (Mi), ф! (jc) ^ ф2 (*), х е Mv. Тогда множество М = {х, х~
= (*ь *2. • • •» *n. *n+i) : т = (хи х2, .... хп) еМ,, ф! (х) < *л+, <
^Ф, (jc)} жорданово.
5. Пусть M,cz/?n — ограниченное множество и С — константа.
Тогда множество М={х:х=(хи х2,..., хп, С):т=(хь х2эх„) е
eMj} есть жорданово множество объема нуль.
6. Множество Мс/?2, границей которого является спрямляе¬
мая (в частности, кусочно-гладкая) замкнутая кривая без само¬
пересечений, является жордановым множеством. Множество Мс
с=/?3, границей которого является кусочно-гладкая замкнутая по¬
верхность без самопересечений, является жордановым множест¬
вом.
7. Если М — жорданово множество, то М (замыкание М) и
М° (множество внутренних точек М)—также жордановы множе¬
ства и объемы множеств М, М и М° равны, т. е.
\М\ = \М\ = |М°|.
Так, например, отрезок [а, Ь] оси ОХ есть жорданово множе¬
ство объема (Ь—а) в одномерном пространстве R и жорданово
множество объема нуль в двумерном пространстве R2 (и любом
/?п, п>2) (свойство 5); круг {(*, у) : jc2-hf/2^a2} и множество Z)=
—{(*» У) : 0<х2 + у2^а2} являются жордановыми множествами
объема па2 в R2 (свойство 6).
Несвязное множество, являющееся объединением двух шаров
{(*» Уу 2) : х2+у2+z2^a2} и {(х, yt z) : jc2+y2-f г2—8az + 15a2<X)},
есть жорданово множество объема — па? в R3 (свойства 2 и 6).
3
Определение. Функция f: Rn-+R интегрируема по Риману
на Dcz/?n, если D — жорданово множество и функция инте¬
418
грируема по Риману на брусе /, таком, что Dal. Число J fXDdx
/
называется интегралом Римана от / по D и обозначается
Можно показать, что существование и величина интеграла
]fdx не зависят от выбора промежутка /, если Dal.
D
Из определения и свойства 7 жордановых множеств следует,
что функция f одновременно интегрируема или нет на всех трех
множествах D, D и Ь°, где D — замыкание множества D, a D0 —
его внутренность, т. е. множество внутренних точек D и
[fdx = lfdx= \f dx.
Ъ о л*
Поэтому в дальнейшем при качественном анализе или вычис¬
лении интеграла по области D мы часто будем переходить к рас¬
смотрению интеграла по замыканию D этой области, не оговари¬
вая специально этого перехода. Множество интегрируемых по
Риману на множестве D функций будем обозначать 91(D).
Внимание! Записывая символ &(D), подразумеваем, что мно¬
жество D жорданово.
Критерий Лебега интегрируемости по Риману
Пусть D — жорданово множество и /: D-+R. Для интегрируе¬
мости по Риману функции f на D необходимо и достаточно, что¬
бы f была ограничена и множество ее точек разрыва было мно¬
жеством меры нуль.
Из критерия интегрируемости Лебега и свойств множеств ме¬
ры нуль получаем
Следствие 1. Ограниченная функция, имеющая не более
чем счетное множество точек разрыва на жордановом множестве
D, интегрируема по Риману на этом множестве.
Следствие 2. Если /e#(D), то f^X(Di) для любого жор-
данова множества D\CzD.
Основные свойства кратного интеграла Римана
1. Если/e#(Z)2) и f^X(D2), то f^9t(Dx\}D2)\ если множест¬
ва D{ и D2 не имеют общих внутренних точек (не перекрывают¬
ся), то
J f dx = J / dx+ J f dx (аддитивность интеграла).
£>,и D, Dt Dt
• Если функция f задана на подмножестве_£с:/?п, то доопределяем ее на
все пространство, полагая /(*)— 0 для любого
419
2. Пусть f^9L(D) и g^M(D), тогда /-ge#(D); для любых
постоянных С\ и С2 (Ci/ + C2g)e#(Z)) и
J (Ci/ + C2g) dx = Cl ^ f dx + C2 § g dx (линейность интеграла).
D D D
3. Если f^%(D), то I/1e 31(D) и
f dx\^\j\f\dx.
D D
4. Пусть / e 31(D), g^ 31(D) и /(*)>£(*), x <= D, тогда
^fdx>\gdx.
5. Если /ge5J(D) и m = inf /, M = sup/, to
d D
m\D\^[fdx^M\D\.
D
6. Пусть /е 31(D), g& 31(D), g(x)^ 0 для любого xgD, m =
= inf/, M = sup/, тогда
D D
m [ gdx-^ | f'gdx < M \gdx.
D D D
Если при этом Dсвязно и / еС(D), то найдется точка ^eD, такая, что
J f gdx = / (0 j g dx (теорема о среднем).
D D
Замечание. Условие связности, как показывает следую¬
щий пример, существенно. В самом деле, для функции [(*) =
=signjc и множества D={x: хе[—2, —1]U[1. 2]} имеем ^ f dx =
Ъ
= 0. Однако не существует такой точки I, принадлежащей мно¬
жеству D, что /(£) = 0.
7. Пусть g^X(D) и ограниченная функция f: D-+R совпадает
с g для всех xeD кроме множества объема нуль, тогда /е
€=Я(0) и
lldx-ledx■
В частности, если на жордановом множестве D функция /:
:D-+R ограничена и совпадает с функцией g^C(D) всюду, кро¬
ме множества объема нуль, то f^9l(D).
Поэтому в дальнейшем функцию, аналитическое выражение
которой теряет смысл в точках множества объема нуль, всегда
будем предполагать доопределенной в точках этого множества;
там, где возможно, — по непрерывности, там, где это невозмож¬
420
но, — произвольным образом, лишь бы полученная функция была
ограниченной.
Замечание. Требование ограниченности функции f(x) на
D в свойстве 7 существенно. Так, например, пусть #(*) = 1,
ж=
1, хФ—, n<=N\
2п
п, х = —, п<= N
2п
и D есть отрезок [0, 1]. Функция f(x) совпадает с интегрируемой
на [0, 1] функцией g(x) всюду на отрезке [0, 1], кроме множе¬
ства Л1={х, *=1/2п, пе#}, объем которого равен нулю (прове¬
рить!) но f(x) как неограниченная функция не является интегри¬
руемой на [0, 1].
Теорема Фубини. Пусть X — брус в Rn, У — брус в Rm
и функция f^&(XxY). Обозначим через Чг(^) функцию Ч'гЛ-*-
-►i?, равную ^ f(x, y)dy для тех значений х^Х, для которых
этот интеграл существует, и равную произвольному числу из от¬
резка [(L) ^ / (х, y)dy, (U)^f(x, y)dy] для тех xgI, для которых
интеграл j /(дс, у) не существует. Обозначим через Ф (у) функцию
Ф: У-к/?, равную |/(*» У)^х Для тех значений r/еУ, для кото¬
рых этот интеграл существует, и равную произвольному числу из
отрезка [(L) ^ / (х, y)dx, (U)\^f(x, y)dx] для тех r/е У, для кото¬
рых интеграл | f (х, y)dx не существует. Тогда Ф(у)&Я(У),
W(x)<=&(X) и
U /(*. y)dxdy=^0 (у) dy=\ V(x) dx.
XXY Y X
Чтобы отличить кратный интеграл по (п + т)-мерному проме¬
жутку XxY от последовательно вычисляемых интегралов
^ Ф (у) dy и ^ ¥ (*) dx
соответственно по брусам X и У, принято эти интегралы назы¬
вать повторными интегралами от /(х, у) и обозначать соответ¬
ственно
^0(y)dy = ldy^f(x, y)dx и ^Ч(х) dx=j^dxp(х, y)dy.
Если n=l, m=l, то теорема Фубини сводит вычисление двой¬
ного интеграла к последовательному вычислению двух одномер¬
421
ных интегралов. В общем случае повторное применение этой тео¬
ремы приводит вычисление n-мерного интеграла к последователь¬
ному вычислению п одномерных интегралов:
\f(xl9 ..., хп) dx1... dxn =
Jai
bt bt bn
=Д dx1 $ dxtl ... J f(xl9 ..., xn)dxn.
Можно сформулировать теорему Фубини и тогда, когда инте¬
грирование производится не по промежутку /c=/?n+m, а по произ¬
вольному жорданову множеству Dc:/?n+m, но формулировка ста¬
новится чрезвычайно громоздкой. Поэтому ограничимся форму¬
лировкой для частного, но наиболее широко используемого слу¬
чая:
Теорема. Пусть PczRn — замкнутое жорданово множество,
функции ф!еС(Р), ф2еС(Р), ф1(*Хф2(дг), хеЯ, множество М=
={х: х= (хи х2,хп, *п-н) •
/Я=(*1. **> *п)£ЕР> <Pi(™X*n+i <ф2 ("*)}•
Если /еС(М), то
lfdx=^f(x 1, х2, ..*n, i) dXi dx% .. dxndxn+K =
м м
ф,(т)
= \ ... d*n J f (*i. Xj ..xn+i)djcn+|.
P <p,(m)
Заметим, что в условиях теоремы множество М жорданово
фш(т)
(см. свойство 4 жордановых множеств, с. 8), интеграл ^ f(xu
Ф| (т)
х%9 хПУ xn+\)dxn+\ существует для всех т= (хь ...,хп)е
еР и является непрерывной функцией на Я, поэтому все входя¬
щие в формулировку теоремы интегралы существуют.
Следствие 1. Пусть жорданово множество Z)={[a, b] X
ХАе}, где Dx—D(){x\=x} жорданово при любом *ej[a, b]t и функ¬
ция /: D-W? зависит только от переменного Х\ :
f(xь х2, ...,хп) ==/*(*0. Тогда в силу теоремы Фубини
ь
\f(x)dx=^dx1 j /’ (jcJ dx, dxt...dxn.
Ъ a dx
Так как функция f*(xj) не зависит от переменных интегрирова¬
ния х2, jcs, то
$ PiXiWXt ...dxс„ = f*(x i) \dxt...dxn = f*(xl) ID, |.
o, Di
422
Таким образом, © этом случае кратный интеграл сводится к од¬
нократному:
ь
^f(x)dx = lf(x)\Dx\dx.
П
Следствие 2. Если на брусе / = П [в», Ьг] функция
<=-1
f(xit ..., *п) = ЛК) • • •. • /„(*») и /<еС[в|, *,]
для всех I, л, то
U(x)dx=п i
Г i=*l ^
f, (Xi) dx,.
Пример 1. Вычислить
Л (-<1 + ** + х» + *<) dxL dXt dxt dxt,
где
M = {x = (x„ xt, х„ jcJ : 1, 0<xt<l,
*i+xt—x, < xt < Xi + xt-f*,} c R*.
Решение.
4Г = £ (*i++ *a +*«) dx, dxt dxt dxt =
Xl+*l+X9
= \ dx, dxt dx, J (xx+xt+xt + *«) dxv
I *\+Xi-x%
где I есть трехмерный промежуток: O^jc^I, 0<ж2<1, 0<*з<1.
Поскольку
\ (*i+*« + *» +*«) <£*4 = (*1+ *» + *»)-2.е,+
Xv+Xr-Xt
+ ~ К*1 + х, + Х»)*—(Х1 + *»—*,)*] =
= 2х, (xt+ *, + *,)+ 2 К+*.).*,=4х, (хк+лс,)+2х\,
ТО
^ [4х, (Xt + xj+2**] dxx dx, dx, =
423
1 1 1
2 j d*! J ^ [2 (д, + *,) x3 + x\] dx3 =
ООО
1
dx 2 =
0
1 1 1
= 2 Jdx, J fj!L±Ji + -LJ dxt = -j J (3xtxz + Y Jf| +2jca j|‘ dx,=
О О о
1
= TI{3Xl + 7/2) dXl = T+ 7/6 = 5/3-
0
Пример. Вычислим
j (a:, + *„ + ... + x„fdxi dx-i... dxn,
где
I = {(*!, ..., x„): 0 < x, < 1, 1 < i < n}.
Решение. Для фиксированных i и /, 1^/^п, 1^/^я, мно¬
жества Iaf =1 П {*1= CLh 0^ flj ^ 1} И Iai,bj =/в| П {*J = bj, 0 < bj < 1 }
есть брусы объема 1 в пространствах Rn~l и соответствен¬
но. Применяя следствие 1, получаем, что
1 1
\ x]dx= \x2(dXi\Jx.\ = Jx]dxt= 1/3,
To о
it it
\ XiX/ <ix = J jc, dx, J Xj dxj | iX{Xj\ =\xt dxx J xJdxj= 1/4, i^j.
I 0 0 0 0
0
Отсюда получаем, что
л— 1 п
xty dx= £^*5<& + 2 jx,x/djc =
«-=1 »=1/ 1=1 /«ifl/
_ _n_ . 2 1 n(n — 1) _ n . n2 — tt 3na + n
_T"+" "T‘ 2 “"T 4 “ 12
Определение. Биективное (взаимно однозначное) отобра¬
жение ф :D-*~DU D]=tp(D)c=/fn, DaRn называется регулярным
отображением, или диффеоморфизмом множества D, если фе
еС*(/)) и якобиан ф (определитель матрицы линейного отобра¬
жения ф') не обращается в нуль на D.
424
Свойства регулярного отображения
Пусть ф — регулярное отображение области D (т. е. связного
открытого множества) на область D\. Тогда
1. Если MciD, то внутренние точки множества М переходят
во внутренние точки множества ф(М), граничные точки М — в
граничные ф(М); отсюда следует, что образ открытого множест¬
ва— открытое множество, образ замкнутого — замкнутое.
2. Если MczD и М — жорданово множество, то ф(М)—жор¬
даново множество.
3. Отображение ф~1: Dx-+D регулярно.
Первая теорема о замене переменных в кратном интеграле
Пусть x=x(t)—регулярное отображение области DtczRn на
область DxczRn. Пусть далее М —жорданово множество, MczDx,
? — якобиан отображения x(t) и Тогда
/(*(0)еЯИМ))н [/d*= I
м х-1(М)
Практически довольно часто возникает необходимость замены
переменных при помощи отображения, которое не является регу¬
лярным на всей области Dt. В этом случае может быть примене¬
на следующая теорема.
Вторая теорема о замене переменных в кратном интеграле
Пусть x=x(t) —отображение жорданова множества DtcnRn в
жорданово множество DxaRn. Если существуют множества ме¬
ры нуль SxcnDx и StdDtt такие, что: \)DX\SX и открытые
множества;
2) отображение х: Dt\St-+Dx\Sx регулярно;
3) якобиан отображения х определен и ограничен на Dt, то
для любой функции f^&t(Dx) функция
(/•*)•£(/> е Л (2>,) и [fdx= l(f°x)-\f\dt.
Dt D,
Отметим, что и в первой, и во второй теореме о замене пере¬
менных в кратном интеграле утверждается не только равенство
исходного и преобразованного интегралов, но и существование
преобразованного интеграла, в частности то, что множество из¬
менения новых переменных жорданово. На практике часто суще¬
ствование обоих интегралов устанавливается непосредственно и
вопрос идет только об их равенстве. В этом случае используется
следующая
Теорема. Пусть D\ и Z)2 — открытые множества в Rn, би¬
ективное отображение ф :D1-+D2t феС1(01). Если для множе¬
ства MciDx оба интеграла С/(ф(0)1ф'(01 dt н j f(x)dx сущест-
М Ф (М)
вуют, то они равны.
425
Переход в кратном интеграле \fdx=\f(xu х2, ..., хп) dxx...
м м
... dxn к переменным г, <рь <р2, ...,фп-ь связанным с переменны¬
ми Хи ^2, формулами
хх = г cos ф1э
х^ = т sin фх cos фа, (1)
Хп-1 = г sin фх sin ф2 ... sin фп—2 cos фл_ i»
дг^гвтф^тфд . . . 5тфП„2 sin фп—
называется переходом к полярным (иногда называемыми сфери¬
ческими) координатам, а переменные г, фи ф2, ...,фп-1 — полярны¬
ми (сферическими) координатами в Rn. Отображение tp: T->Rn
бруса Т={г, фь Фп-i : /">0, О^р^я (1 <i<cn—2), 0^<pn-i^2ji}
в Rn, задаваемое формулами (1), не биективно, например, обра¬
зом грани этого бруса Т{]{г, ф|,...,фп-ь г=0} является единствен-
п—2
ная точка 0(0, 0,...,0). Якобиан ф равен г"-1 Г1 sin" f—1 ф<; он
обращается в нуль на множестве
Т \{г, ф! фл_1: г > 0, 0<ф/<л(1 л—2)}.
Все это показывает, что для произвольного жорданова множест¬
ва М отображение не удовлетворяет условиям первой теоремы
о замене переменных в кратном интеграле. Для обоснования воз¬
можности перехода к полярным координатам в кратном интегра¬
ле отметим следующие свойства отображения >J>.
1) Множество Г*“Г\{г, фь...,фп-1: г>0, 0<ф*<я
— 2), 0<фп-1<2л} есть множество меры нуль.
2) Отображение ф : {Т\T*}-+Rn—ф(7'*) регулярно.
3) Для любого а>0 образом жорданова множества Га=
"Я7’П{/'. фь ...»фп-1: г<а) является открытое жорданово множест-
л
во: Ma = {xlt xt, х„ :
/=1
4) Множество Tl = T* П (г, ф|, фп-1 :г^а} замкнуто, следо¬
вательно, в силу непрерывности отображения множество У(Т*а) замк¬
нуто и в силу свойства 3 множество М*а = Ма \ (Та) открыто.
5) есть множество меры нуль*.
* Свойство 5 есть утверждение теоремы Сарда: если DczRn— открытое
множество; отображение f:I>+Rnt f&Cl{D) и 5*={х, *eZ), det/'(*)«0}, то
f(S) есть множество меры нуль. Но для отображения гр вместо ссылки на тео¬
рему Сарда можно просто заметить, что ф('*) есть подмножество множества
п
Е = N £|, где Ei = {jci, хп:х(=0) (гиперплоскость в Rn), н так
как все Ei есть множества меры нуль, то £ и его подмножество ф(Г*) оть
множества меры нуль.
426
Рассмотрим теперь интеграл J fdx. Так как множество Af
жорданово, то найдется такой открытый шар Ма = {х1$ x2t ..хп>
Vjc^Ca2}, что MczMa. Пусть g(x)—[^X^* Хтогда
Zx 10, х<=М0\М,
^fdx=\gdх. Из свойств 1—5 отображения ф следует, что
М Ма
множество Ма и отображение ф: Та-+Ма удовлетворяют условиям
второй теоремы о замене переменных в кратном интеграле. Сле¬
довательно,
I f (*1. xt x„)dx1dx2... dxn= $£(*!, X„)dxt.. ,dxn=*
м ма
a—2
= \ e' (r> <Pi- • • . Фп-l) rn~l П sin"-'-' Ф, drdcp, ... d<fn-\ =
Ta
n-2
= f /* (r< Ф1. • • •. Фп-l) rn~l П Ф, drdyt... dq>n-i,
Af* /*1
где
Фь • ••» v>n-\)=
= g(rcosaplt rsirKPiCOScpa, rsin9t... sk^n_i),
Г(г> Ф1 фл-О^гсоэфь rsinФхcosФ, rsinv,, ....ИПф^О
и M*aT есть прообраз М на множестве 7*.
Отметим, что все предыдущие рассуждения остаются в силе,
если основным промежутком изменения угла фЛ-1 является не [0,.
2л], а [а, а-f 2л] при любом а.
Пример. Вычислим
jjj (* | 4х\ + х\ + х\) dx1 d.r2 dxz dxk9
где
M = {xf x = (xu xt, x3, xj : x\+x\+x\+x\^2axu лг8>0}» (a>0>-
Решение. Множество M жорданово, так как часть шара в
трехмерном пространстве: M1 = {x, x = (xit х9, х4): х\ + х\-f х* ^ а\
jcB>0} является жордановым множеством и
М = {х, x*=(xlt xit *8, x4):m = (xtt x9t xA)(=Mlt
° Ya* (*2+*! + *4)^*l^se+ -у/я2 —(*2 + *3 + *4)}
427
(см. свойства б и 4 жордановых множеств, с. 8). Сделаем в
данном интеграле переход к полярным координатам:
хх = г cos qy, x2 = r sin cos <p2; x9 = r sin sin cpa cos ф8;
Xj = r sin sin ф2 sin ф8.
Из условий, наложенных на переменные Х\у jc2> х3, х4, учитывая,
что г>0, 0^ф1^я, 0^1ф2^|Я, получим условия для переменных г,
Фи Ф2, Фз^^2асо$ф1, созф!>0, соэфз>0. Если основным про¬
межутком изменения угла фз берется промежуток [0, 2л], то
условие со$фз>0 выполняется на двух отделенных друг от друга
промежутках [0, л/2] и [Зл/2, 2л]; если же взять в качестве ос¬
новного промежутка изменения ф3 промежуток [—л, л], то усло¬
вие соБфз>0 выполняется на связном множестве — промежутке
[—л/2, л/2]. Это обстоятельство делает выкладки более удобны¬
ми. Итак, в качестве прообраза множества М при переходе к по¬
лярным координатам берем множество
ЛГ = {(г, фь ф2, фз): 0 < ф! < л/2, 0<ф2<л,
— л/2 ^ Фз ^ л/2, 0 ^ г ^ 2а cos ф^
и получаем, что
^ (х2\ + хЪ-\ xi \- х\) dxxdx2dx3dxA = ^ г2 • г* sin2 Ф1 sin ф2 ^ф^ф^ф,*
м м*
Так как
М# = {(Л Фь Ф2» Ъ)-т = (Фь Фа» Фз)^Л 0<г<г(т)},
где
^ = {(Ф1» Фа» Фз) • 0<Ф1< «/2, 0<ф2<л, — л/2<ф3< л/2},
г(т) = г(ф1э ф2, фа) = 2асо$фх,
то в силу теоремы Фубини
2а cos <pt
^ г6 sin2 ф! sin фз^ф^ф^фз = ^ sin2 ф2 sin ф2 ^ф^ф^фз J rbdr =
М* 1 о
= ^ sin2 ф! СОБвф1 sin Ф2 ^ф!^ф2^ф3.
/
Применяя следствие 2 из теоремы Фубини к брусу /, получаем окон¬
чательно:
^ (*i + *2 + *з + х*) dxxdx2dx3dxA =
м
428
я/2 я я/2
—i п* фх cos® Ф1 d(pi ^ siп фj с/ф§ • ^ ^Фз =
о О —Я/2
32а* 5л 2я^ 5я2ав
3 2е 12
Пример. Найдем объем л-мерного шара радиусом R:
Д(п,= {(*1
*=1
Решение. Отрезок : х\ < Rа) есть жорданово множест¬
во. Двумерный шар (круг) D(2) = {(хь х2): х\ + А. ^ R*} есть
объединение двух жордановых множеств:
Di - {(*1, *а): *i < R2, 0 < х, < ]/ tfa—х?}
и
£>, = {(х„
(см. свойство 3 жордановых множеств), следовательно, жорда¬
ново множество. Рассуждая по индукции, получаем, что л-мер¬
ный шар Z)(n)— жорданово множество. Прообразом шара D<n>
при переходе к полярным координатам является брус:
/ = 0<ф,<я, 1, 0<фп_, <2л}.
Применяя следствие 2 теоремы Фубини, получаем, что
п—2
|Dw| = Jdxydx% ... dxn = ^г"-1 ^П sin»-'-1 <p,j d<p,d<pt...d%_i =
£><"> i <-i
R 2л n—2 я
= d(pn_, [~| j sin'—'-1 q>tdyt —
-2 T(JL=L\T(±\
2nRn |-j \ 2 ) \ 2 / _ 2if/2Rn *
n 11 „ / n — i +1 \ лГ (n/2)
<-1 Г
■№)
• При решении примеров часто приходится вычислять интегралы вид»
Я/2
\ cos? х sin? xdx (р > — 1, <7 > — I).
о
Для их вычисления удобно использовать формулу
429
Рассмотрим более подробно пространства: R2— плоскость XY
и R3 — пространство XYZ.
§ 2. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И
МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Теорема Фубини
Поскольку в этом параграфе рассматривается интегральное
исчисление функций /: R2-+R, то по большей части не будет спе¬
циально оговариваться, что рассматриваемое множество лежит в
R2. Функцию f:R2-+R будем обозначать /(*, у)\ двумерный про¬
межуток будем называть прямоугольником, в случае равенства
его сторон — квадратом; двумерный объем — площадью.
С целью пояснения понятий верхней и нижней сумм, критерия
интегрируемости Дарбу и определения двойного интеграла рас¬
смотрим следующий
Пример 3. Вычислим интеграл
xydxdy,
D
где D — прямоугольник [1; 2] X [ 1; 3], пользуясь непосредствен¬
но определением двойного интеграла.
Решение. Обозначим через Тп разбиение Dy индуцирован¬
ное разбиениями:
7’i:1<JL±L<JL±2.<... <ilzzl<2 „ т
п п п ¥
< -2±! < < ... < -5^=1 < 3,
п п п
-foo
где Г (ж) = \ y*~le~ydx (дг>0) — функция Эйлера со следующими свойствами!
о
Г (л) = (я —1)1, п е= N\
Г (х + 1) = хГ (jc) , х > 0;
Г [х) Г (I — х) = --- , 0<х< 1.
sin их
т. е. разбиение D на прямоугольники прямыми х=\ + — и у =
п
= 1 + —, 1. Так как А,(Г,) = —иХ(Т ) = —, ТоХ(Г„)=
/1 2 \ 2
= шах (—, — ) = —.
\ я л / п
Обозначим через Dti прямоугольник
j я + i-l n + i j х j- n + 2 (/ 1) п+2/ j
Имеем D=M l)D„, \Dt]\=^-;
<=i /—1 п
М
,7 = sup(x</) = (l + + -?Ljt
mw = mf (*«/) = (l + 1^-) ‘ "
Ste. rj-j |D„! -£ j(. + -i.) (i + Ж)Л,
<—1 /-1 i= 1 /*1
-72(, + т)Ё(,^)-7ЁС^)>‘
(-1 /-1 i-=l
(=1
_2(2n+l)/_, n (n+ 1) \ (2n + l) (3n+l) .
“ и* 1 2n J ^ *
»(*#. r„)-£ £m„ |D„I (| + X
/«.-.I <-1
/-I 1=1
<=-=1
_ (2n— 1) (3я—1)
431
Так как
6 = sup s(f, Т п) ^ sup s(f, r)<infS(/, TXinfS(/, T„) = 6,
n T T n
то, следовательно,
sups(/, T) = infS(/, 7) = 6.
т т
В силу общего определения делаем вывод: функция /(jc, у)=ху
интегрируема по Риману на прямоугольнике D:-[l, 2]Х[1, 3] и
J J xydxdy = 6.
7>
Разумеется, способ вычисления интеграла, рассмотренный в
данном примере, не является практическим методом. На практи¬
ке вычисление двойного интеграла осуществляется применением
теоремы Фубини. Рассмотрение этого метода вычисления являет¬
ся основным содержанием данного параграфа.
Непосредственно из определения двойного интеграла следует,
что если и множество D симметрично относительно оси
ОУ, то из равенства /(*, */)=/(—х9 у) (четности функции /(jc, у)
относительно переменной х) следует, что
у) dxdy=2Hf(x’ у) dxdy>
D D»
где
DX = D П{(х, y):x> 0},
а из равенства f(x, */) =—/(—x, у) (нечеткости /(jc, #) относи¬
тельно переменной х) следует, что f (х, i/)dJcdj/ = 0.
Так, например, сразу можно утверждать, что интеграл
х13 (1 + х2 + у2)22 dxdy,
D
где
£> = {(*, */):*4 + */4<*2 + £2}
равен нулю, а интеграл
(x2 + y2)2x*y*dxdy,
D
где D = {(jc, г/) : (jc2 -f у2)2 ^ 2jc2у}> равен
2 II + У2)2x*ySdxdy,
Dt
где
Di = Df| {(а:, у):*>0}.
432
Аналогичные равенства справедливы, если область D сим¬
метрична относительно оси ОХ, а функция /(х, у) четна или не¬
четна относительно переменной у.
Множество
G = {(*. у):а<х<Ь, <Pi(*)<(/<Ф4(*)},
где
Ф!еС[а, Ь], <р8 е С [а, Ь]
будем называть областью, стандартной относительно оси ОХ;
множество
О = {(*. у) • с < у < d, Xi (у) < X < х2 (у)},
— областью, стандартной относительно оси OY. Стандартная от¬
носительно той или иной координатной оси область и ее замыка¬
ние являются жордановыми множествами. Для стандартной об¬
ласти теорема Фубини формулируется следующим образом:
Геометрически область G, стандартная относительно оси ОХ,
y):a<x<bt q>i(*)<y<<p2(Jt)} характеризуется следую¬
щим образом: если интервал (а, Ь) есть проекция G на ось ОХ,
то для любой точки хо cz (а, Ь) вертикаль, проходящая через эту
точку (прямая х—*о)» пересекается с G по единственному интер¬
валу (а(ж0), Р(*0)), концы которого, вообще говоря, зависят
ОТ Xq.
Утверждение, сформулированное в теореме Фубини, можно
описать так: полагая х постоянным, берем интеграл по интерва¬
ле
XjgCJc, d], d],
Если
Ф,еС[о, b] и feC(D),
то
Л Ф«(х)
Если
£ = {(*1 y)-c<y<d, х,
х2еС [с, d], ка <= С [с, d] и / еС (D),
то
Х,(у)
433
лу (а(х), р(дс)) снизу вверх и получаем функцию Ф(х), которую
интегрируем слева направо по интервалу (а, Ь) изменения х.
Аналогично интерпретируется повторный интеграл по области,
стандартной относительно оси ОУ.
Представление двойного (в общем случае кратного) интегра¬
ла в виде повторного:
Ь Ф»(*) j d %ш(у)
y)dxdy=^dx J fdy = J dy j fdx
D a <p,(*) с x4(y)
называют расстановкой пределов интегрирования в определен¬
ном порядке. Задача расстановки пределов интегрирования до¬
пускает несколько вариантов.
1. Задан двойной (кратный) интеграл по множеству D. Рас¬
ставить пределы интегрирования в том и другом порядке.
Как следует из вышесказанного, равенство
Ь ф,(х) d х,(у)
^dx ^ fdy = ^dy J fdx
а ф|(х) е х»(у)
имеет место для множества D, являющегося замыканием обла¬
сти, стандартной как относительно оси ОХ, так и относительно
оси ОУ:
D = {(x, y):a^x^b, у,(*)<{/<(/2(*)} =
= {(*. *1 («/)<*<-«а(«/)}•
Если D не является множеством такого вида, то прибегают к
представлению его как конечного объединения неперекрываю-
Q
щихся (без общих внутренних точек) множеств D = |J Dqt каж-
дое из которых есть замыкание области, стандартной относитель¬
но той или другой оси. Тогда в силу аддитивности
/(*, у) dxdy = £ ^ {dxdy.
d Ъя
Поскольку область, стандартная относительно одной из осей, не
обязана быть стандартной относительно другой, то разбиение
Q
D = у Dq зависит от желаемого порядка расстановки пределов
интегрирования. Естественно, желательно, чтобы количество ком¬
понент в представлении D= Q Dq было минимальным. Но при
?—1
рассмотрении кратного интеграла по конкретному множеству по¬
является еще дополнительное требование: необходимо, чтобы
функции, определяющие пределы интегрирования, были не толь¬
ко непрерывными, но и гладкими (говоря нестрого, функциями,
434
заданными достаточно простым аналитическим выражением). Это
требование, формально не высказанное, но подразумевающееся,
может привести к необходимости дополнительного разбиения
множества Dq, хотя это множество и является замыканием обла¬
сти, стандартной относительно рассматриваемой оси.
Аналитическая запись области Z), стандартной относительно
оси ОХ или оси ОУ, состоит в представлении заданных условий
на координаты точек этой области системой неравенств специаль¬
ного вида
{а<х<Ь, <Pi(x)<if<<Ps(*)} или {c<y<d, Xi(«/)<*<Х*(!/)}•
Возможно ли такое представление или необходимо разложить
рассматриваемое множество на составляющие, каков конкретный
вид этого представления всего множества или отдельных его ча¬
стей,— ответ на эти вопросы часто существенно упрощается при
изображении множества D на чертеже.
Пример. Область D лежит в правой полуплоскости (т. е.
х>0) и ограничена кривыми:
3у = х2, 3у=—х2, х2 + у2 = 4.
В двойном интеграле / (х, у) dxdy, f е С (D), расставим
D
пределы интегрирования в том и другом порядке.
Решение. Перейдем к неравенствам, которым должны
удовлетворять координаты (jc, у) точек множества D без помощи
чертежа — аналитически. Используем то, что координаты точек,
лежащих по одну сторону от кривой *ф(дс, «/) =0, удовлетворяют
одному из неравенств i|>(x, у)>0 или -ф(jc, у)<0. Так как из нера¬
венства у<—х2/3 следует неравенство у<х2/3, а из неравенства
у>х2/3 — неравенство у>—jc2/3, то условия на координаты точек
рассматриваемой области должны иметь вид —х2/3<у<х2/3, в
противном случае одна из данных парабол окажется лишней. Ес¬
ли к этому неравенству добавить неравенство х2+у2>4, то полу¬
чим неограниченное множество. Учитывая, что D лежит в правой
полуплоскости, получаем окончательно, что
Б={(*. y):x>0,
Приводя полученные неравенства к эквивалентной системе нера¬
венств, характеризующей области, стандартные относительно ко¬
ординатных осей, получаем, что
D= |(*, у):0<х^2, шах — V4—jeaj <
У*4—jc2j J,
или
D = {(xt у):—
435
Как уже делалось раньше, разобъем интервалы изменения пер¬
вой координаты на такие подынтервалы, чтобы границы измене-
ния второй координаты записывались при помощи простой ана¬
литической функции. Именно
D=((x, у) : 0<*<1/3. --U
U{(x, У) ■ — У\—хг < у < У 4—х2}
И
D={(лг, у): У—3(/^x</4-t/2}U
U{(x, }/Зу < дг < I/4— £/2}-
Итак,
/3 Х>/3 2 /w*
$$/(*, y)dxdy= ^ dx I /(х, !/)d(/+ j dx /(x, y)dy =
D 0 —x>/3 у з
О Vх 4— !/• 1 V't-y*
= J dy ^ /(x, 0)d*+Jdy ^ /(x, y)dy.
—1 /=TV 0 Vх 3y
Предлагается самостоятельно сделать чертеж области D и убе¬
диться, что его использование облегчает переход к повторному
интегралу. Вообще, если множество D, по которому берется ин¬
теграл, задано неравенствами на координаты входящих в него
точек, то переход к повторному интегралу может быть проведен
чисто аналитически, хотя чертеж и в этом случае делает некото¬
рые переходы более наглядными. Если же множество D описано
как «область, ограниченная данными линиями», то наглядное
представление D на чертеже дает существенную помощь в пере¬
ходе к повторному интегралу или в переходе к полярной системе
координат. При этом подразумеваются следующие важнейшие
условия: область должна быть ограниченной, т. е. лежать1 в неко¬
тором квадрате; граница области должна содержать не вырож¬
денные в точку дуги всех кривых, указанных в условии, т. е. ни
одна кривая в условии не должна являться лишней. Если при
этих требованиях область все-таки однозначно не определяется,
то либо указывается точка в той области, которую желают рас¬
сматривать, либо определяется расположение области относи¬
тельно осей координат. Наконец, если все эти соображения не
приводят к однозначному определению области, надо рассмот¬
реть все возможные варианты.
Пример. Расставим пределы интегрирования в том и дру¬
гом порядке в двойном интеграле ^y)dxdyt где
D = {(xt у):х* + у*^4) и /gC(D).
436
Решение. Множество D (см. рис. 58) является замыканием
области, стандартной как относительно оси ОХ, так и относи¬
тельно оси OY:
D = {(x, у)
D = {(x. у)
—2 <*<2, — V~4—x*<y<Y*—*2Y<
-У 4- Y 4-Л.
Рис. 58
Поэтому
y)dxdy= j dx ^ f(x,y)dy=$dy J f(x,y)dx.
D —2 _ /4—xi —2 — V4—y*
Пример. Расставим пределы интегрирования в том и дру¬
гом порядке в двойном интеграле f (х, у) dxdy, где
£ = {(*. */):*2 + */3<9, *а + (*/+4)2>25) и /еСф).
Решение. Множество D (см. рис. 59) является замыканием
области, стандартной относительно оси ОХ:
D = {(х, у): — 3<х<;3, 1/25—х2—4< </ </Э—х2}.
Поэтому
1/)dxdy — ^dx j f(x, y)dy.
D —3 Y 2&—x1—4
Так как область Z) не является стандартной относительно оси ОУ
(например, горизонталь (/*=1/2_пересекается с D по двум непере-
секающимся отрезкам ^ ■; —^Г~]’ ; 2^" ] )’ Т°*
для того чтобы расставить пределы интегрирования в другом по-
437
рядке, необходимо представить множество D как объединение
множеств: D^=Di\JD2[)D3t где
Di = {(xf у): 1 ^*/^3, —V9—y2^x^Y^—У2)у
А> = {(х, г/): 0 < у < 1, —"j/9—у2<х<—1/9—8(/—уа},
£>, = {(х, Vr9-8y-®*<x<V9=?}I
Рис. 59
к каждому из которых уже применима теорема Фубини (каждое
Dk Л=1, 2, 3, уже есть замыкание области, стандартной относи¬
тельно оси OY) и, следовательно,
^f{x,y)dxdy=^dy f(x, y)dx +
D 1 _ Y9—v*
1 — / 9—8 у—у1 1 У 9—у*
+ §dy ^ f(x, y)dx+^dy ^ f(x, y)dx.
0 _ v 9—у* о V 9—Ъу—у*
Пример. Расставим пределы интегрирования в том и дру¬
гом порядке в интеграле ^/(*» y)dxdy9 где
D = {(x, у): |дс| + \у\ < 1} и /ес (D).
Решение. Множество D является замыканием области,
стандартной относительно обоих осей координат (см. рис. 60):
D = {(x, у):-1<*<1, —1 + |*|<у<1 —1*|} =
= {(х, у)- —1 + 1 — 1г/1>-
438
Следовательно,
i i—|дс| i 14|/1
f(x, y) dxdy = [dx \ f(x, y)dy= f dy J /(*, y)dx,
-l “1 -1+Ы
но такое представление содержит негладкие функции \±\х\ и
X
Рис. 60
1±Ы. Чтобы избавиться от таких функций, представим D в ви¬
де й=0,иДг, где
Dx = {(*, 4): —1 <дс<0, — 1—1 + *},
£>* = {(•*. (/):0<х<1, —1 + 1—*},
для расстановки пределов интегрирования в порядке х, у и в ви¬
де D=*D]\}D2, где
Di = {(x, t/): — 1 < г/ < 0, — 1— 1 + у),
^1={(х, */):0<у<1, — 1
для расстановки пределов интегрирования в порядке у, х.
В итоге получим, что
\[f(x, y)dxdy= [dx f f(x, tj)dy+\dx \ f{x, y)dy=
D —1 — 1—*
0 14-y в I
= \ dy \ f(x, y)dx + [dy
-1 -1-y 0 -1-fy
0 — 1-M
14-1/
С f (*, y)dx.
fi
Пример. Расставим пределы интегрирования в том и дру¬
гом порядке в двойном интеграле f (х, у) dxdy, где
D={(x, у):х' + у2^ 25, 3*<4|(/|} и /еС(б).
Решение. Множество D есть замыкание области, не являю¬
щейся стандартной как относительно оси ОХ, так и относительно
оси OY. Для каждого из повторных интегралов сделаем свое раз¬
биение множества D (рис. 61).
Рис. 61
Представив множество D в виде D=^D^\jD2\jDzy где
Dj = {(jc, у): - 5<х<0, 1/25— у*},
£. = {(*. У):0<*<4, (3/4)д:25—хг),
D, = {(дг, t/):0<.*<4, — V"25—дг2<{/<—(3/4)х),
получаем, что
О V2&-X'•
j^f(*. y)dxdy= ^dx ^ f(x, y)dy +
Y?Sr-x%
—3/4 x
+ ^ d* j f(x, y)dy + ^dx ^ f (x, y) dy.
0 3/4 x o _ / 25—x*
Представив множество D в виде D=£>i(J02U^3U^4. где
Di = {(x, у) : — 5<i/<—3, —-/25—<1/25—у»),
£>.= ((*. »):-3<»<0, -V25-i/*sSx< g-y|.
440
£>, = |(jc, «/):0<y<3, -/25-1/*<дг<^-1/
D4 = {(x, {/):3<i/<5, -V/25=?<x<]/25=?}.
получаем, что
-3 /25=^
y)dxdy= ^dy J f(x, y)dx +
D "5 - V 26—у•
0 “ty/3 3 40/3
+ $S f(*' y)dx+
—3 _/26—у* 0 — 25—y*
6 V 2&-y*
+Wy $ /(*• 0)d*-
» — V 26-tf«
2. Задан двойной (кратный) интеграл по множеству D. Рас¬
ставить пределы интегрирования в каком-либо порядке.
При такой постановке задачи мы имеем право выбора поряд¬
ка в повторном интеграле и естественно стремимся к наиболее
простому представлению заданного интеграла. Выбор может
определяться как видом множества Z), так и свойствами подын¬
тегральной функции, например, расстановка пределов в одном
порядке требует разбиения множества D на меньшее число со¬
ставляющих, чем расстановка в другом порядке, или подынте¬
гральная функция четна относительно какой-либо координаты и
множество D симметрично относительно соответствующей оси
и т. п.
Пример. Расставим пределы интегрирования в интеграле
fix* y)dxdy, где D — область, ограниченная линиями:
х* + у2 = 10у, у = 2*—5, у — 0 и /<=С(5)
(см. рис. 62).
Решение. Область D стандартна относительно оси ОУ и не
является стандартной относительно оси ОХ. Поэтому для расста¬
новки пределов интегрирования в порядке у, х можно не разби¬
вать D на составляющие области, а для другого порядка расста¬
новки пределов интегрирования такое разбиение необходимо. Ис¬
ходя из этого, выбираем порядок у, х. Самой верхней точкой мно¬
жества D является нижняя из точек пересечения окружности х2+
1x^*4* — 10(/*
у
2л:—5 = (/,
лучаем координаты точек пересечения: (3, 1) и (5,5). Следова¬
тельно,
D = {(*. у):0^у^1,
по-
441
1 <У+Б)/2
Uf(x,y)dxdy=^dy \ f(x, y)dx.
D 0 у Юу—у*
Пример. Расставим пределы интегрирования в интеграле
^f(x2-\-y2)dxdy, где D — область, ограниченная линиями: 3у —
— 4jc=0, 3(/ + 4jc=0, jc2 + */2+ 9= IOjc, содержащая точку М( 1/2, 0)
(см. рис. 63), и /еС[0, 10].
Решение. Область D не является стандартной ни относи¬
тельно оси ОХ, ни относительно оси О У, но симметрична относи¬
тельно оси ОХ. Так как подынтегральная функция <p(x, y)=f(x2+
+у2) четна относительно координаты
у и М = {(jc, у): х2 + у2 < 10} :d D,
то
SS /(*а + У2)dxdy = 2^{(х2 + уг)dxdy,
D D,
442
где Dx=Df\{(xt у), у>0}— верхняя половина области D. Область
D\ уже является стандартной относительно оси 0Y. Из системы
Зу—4дс = 0;
х2—\0х-{-у2 -f-9 = 0
находим, что самая верхняя точка множества D\ есть (9/5, 12/5).
Отсюда получаем, что Dx = |(jc, у): 0 <; у < 3///4<*<5
—Y16—у2j и, следовательно,
^f(x2 + y2)dxdy = 2 \^f(x2 + f)dxdy =
V Dt
12/6 5— У 16—у*
= 2 ^ dy J f(x2 + y2)dx.
О (3/4)^
Sb Ф.(х)
dx \ /(jc, (/)rfy* Переменить
а ф!(х)
в нем порядок расстановки пределов интегрирования.
Для решения такой задачи сначала делаем переход от задан¬
ного повторного интеграла к двойному:
ь ф,(х)
S* J
а фа(х)
Условия на координаты точек (jc, у) множества D получаем ис¬
ходя из заданного повторного интеграла:
£> = {(*. y):a<x<b, <pi(*)<{f<<p2(*)}.
В полученном двойном интеграле приведем расстановку пределов
интегрирования в требуемом порядке так, как было разобрано
выше. Таким образом, считая для простоты записи, что D — об¬
ласть, стандартная относительно обеих осей ОХ и ОУ, получаем
цепочку равенств
Ь Ф«(х) d х. (0)
dx ^ f(х, y)dy=^f(x, y)dxdy = ^dy J /(*. y)dx.
О Ф»(Х) D с х»(0)
Обычно средний член этой цепочки — кратный интеграл — только
подразумевается (как общее значение равных повторных интегра¬
лов), но не записывается.
Пример. Изменим порядок интегрирования в повторном
интеграле
VT _
dy j“ f{x, y)dx, /<=С(£>).
У
443
f(xt y)dy=^f(x,y)dxdy.
Решение. Начнем с того, что запишем условие на коорди¬
наты точек (jc, у) из множества D, по которому берется интеграл:
D = {(x, у):0< у^У2, — У2}\ множество D (рис. 64)
есть замыкание области, стандартной как относительно оси OY
(это видно и из записи повторного интеграла), так и относитель¬
но оси ОХ:
D- {(x, i/):0^jc<2, 0^y^min(jc, V4—x2)}.
Поскольку, как указывалось выше, функции, определяющие пре¬
делы интегрирования, должны быть гладкими, представим мно¬
жество D в виде D=D\(}D2> где
= {(Jf. у): 0 < х < )/2, 0
£>, = {(лг, 1/):У2<*<2, 0<
Итак,
VI Vt—y* V2 х 2 /4—7»
( аУ I f(*> y)dx= [ dx^f(x, y)dy+ ^ dx J f(x, y)dy.
0 0 0 0 y~2 0
Если подынтегральная функция в двойном интеграле зависит
только от одного переменного, то, как было указано в общем п-
мерном случае, при соответствующем порядке расстановки преде¬
лов интегрирования двойной интеграл сводится к однократному.
Пример. Сведем интеграл Wf(x)dxdy, где область D
D*
ограничена линиями 2jc, y=jс, у=2 (см. рис. 65), к однократ¬
ному.
Решение. В силу следствия 1 из теоремы Фубини полу¬
чаем, что
у f (х) dxdy = j f (x) <p (дс) dx,
где <p(a) — длина интервала, по которому прямая х=а, 0<а<2,
пересекается с областью D. Так как
ф(а)=Л 2а-а = а, 0<а<1;
I 2—а, 1^а<2,
то окончательно
1 2
Ц1(х) dxdy = ^ xf (х) dx+y (х) (2—x)dx.
ном^,
Пример. Сведем интеграл ^dx j f(y)dy к однократ-
0 V 2ах—хл
ешение. В силу следствия 1 из теоремы Фубини получаем,
что
2а YWx 2а
$4* J f (у) dy = \f(y)<p(y)dy,
0 VbarJJvi О
УЧах—*
445
где ф(а)—длина интервала, по которому прямая у=а, 0^jg<2а9
пересекается с областью D = {(дг, у) : 0< х < 2а, У 2ах—х2<у<
< У 2ах} (см. рис. 66). Для 0<а<а имеем
Ф(а) = 2а 2/а2-а2; для а<а<2а имеем
2а
ф(а) = 2 а —.
4 7 2 а
Итак, окончательно,
2а У~2ах а
Jd* J f(y)dy = ^(2a-^-2V*r=lF')f(y)dy +
0 V 2 ах—ж" 0
+f t20- -£■) ,(!,)''!'=?'(#) (2“- ■£■) ^ -
а О
а
-2 dt/.
О
Рассмотрим теперь приемы вычисления двойного интеграла
|| /(*» У) dxdy в случае, когда область D ограничена замкну-
D
той кривой, заданной параметрически:
г = {(*. у), Х = х((), y = y(t), <е[Г0, Г,]},
*(0еС‘[Го, Тг], (/(ОеСЧГо, Tj], а:(Г0) = х(Г1), у(Т0)=у(Т^).
Подробно разберем простейший случай: отрезок [Г0. Т\] делится
точкой те(Го, Т{) так, что на [Т0, т] функция x(t) строго убы-
446
вает, а на '[т, Тi] —строго возрастает. Тогда кривая Г состоит из
двух ветвей:
У=УЛх) = у1Ц(х)), х<=[х(т), х(Г„)], t <= [Т0, т]
И
y=y*(x) = y(t (*)). *е[л(т), Дс(Т0)] = [дс(т), х(Г,)], /е [т, TJ.
Предположим еще, что у\(х)>у2(х) для всех хе|х(т), х(Т0)]ш
При этих условиях кривая Г проходится так, что область D оста¬
ется слева (положительное направление обхода), когда t воз¬
растает от Го до Гь и область D стандартна относительно осн
ОХ:
D={(jc, у) : х(т)<х<х(Г.), у2(х)<у<у,(ж)} (см. рис. 67).
Рис. 67
Пусть Ф(*, у) есть первообразная для функции f(х, у) относи¬
тельно переменной у, т. е. Фу (х, у) = f (лг, у), тогда
,, *(Т.) *«)
jу(х, у) dxdy = [ dx j f(x, y)dy —
D xfi) «,(«)
*(Jo)
I (*))— Ф(ж, yt{x))]dx =
\ [ф(*. </l(
*<*)
*(Г.) Х(Г.)
= 5 Ф(*. yAx))dx— С Ф(х, yt(x))dx.
*(т) х(т)
В каждом из полученных однократных интегралов сделаем заме¬
ну x^x(t). Тогда
$]"/(*. У) dxdy = ^ Ф (х (0, у (t)) x'tdt—
D
л* 5*
~1 ф(* (о. у (0) =- j ф (* (о.«/ (<)) (о
447
Пример. Вычислим
х Y\x'+ xydxdy,
где D — область, ограниченная правой петлей кривой:
Г = {(*, у): x = acost, y = as\n2t}9 х>0.
Решение. Правая петля кривой Г проходится в положи¬
тельном направлении при изменении t от —п/2 до я/2 (см.
а
Рис. 68
рис. 68). Заметим, что для точки (х, y)^D справедливо нера¬
венство:
|y|<asin ^2arccos-^-j =2* 1
следовательно,
4х*+ху^4х*—х\у\ = 2ха ^2 — “у/" 1 j >0,
т. е. функция f (х, у) = * УЧдс2 + определена и непрерывна в D.
Первообразная этой функции по переменной у есть функция
(4хв+ху)3/2 • —. Следовательно, используя формулу (1), полу-
чаем, что
Я/2
Qx У 4х* + ху dxdy = (4aacos4 + 4aasin/ • cosa*)3/2x
D -я/2
Я/2
X d(acos0 = -y-e4 ^ (l + sin/)3/2sin/• cos*tdt =
448
V 2 V2
*= -у-e4 J «*(*— 1)(2г»—z*)dz=-^-a* J (3z*—г1»—2z»)dz =
О о
= —а* Г — . 2в/2 — • 2'4, — • 27/* 1 =
3 L 3 11 7 J
= J®tvT (1 * 2 \ _ У» • уТ
3 К V з 11 7 / 9-11-7
Если замкнутая кривая Г = {(*, у) :x = x(t), y = y(t), t^[T09
7\]} проходится в положительном направлении при возраста¬
нии параметра t от Т0 до Ти т. е. область D, ограниченная Г,
остается при этом слева, то, повторяя приведенные выше рас¬
суждения, получим формулу
$$/(*, y)dxdy = \w(x, t), y(t))y’(t)dt,
D Г,
(2)
где у)—первообразная функции f(x, у) относительно пе¬
ременной *.
Формула (1) справедлива и тогда, когда область D ограниче-
яа кривой Г = {(jc, у) : x = x(t), y = y(t)t t е [Г0, 7\]} и прямой
*=С, если кривая Г при возрастании t от Г0 до Тх проходится
так, что область D остается слева. Формула (2) справедлива, ес¬
ли область D ограничена кривой Г = {(*, у): x = x(t), y = y(t), t е
«=[Г0, 7\]} и прямой у*=С при том же условии прохождения Г.
Пример. Вычислим
^хУ2аг—ay dxdy,
где D — область, ограниченная одной аркой циклоиды Г = {(jc, у):
: x = a(t—sin/), у = а(\—cos/), / е [0, 2л]} и осью ОХ.
Решение. При возрастании / от 0 до 2л кривая Г прохо¬
дится слева направо, так что область D остается справа от Г
(см. рис. 69). Поэтому формула принимает вид
2я
$$/(*. y)dxdy=- \ У (*(/). y(t))y’(t)dt.
D О
Первообразной для функции f(xt у)=*хуг2а%—ау относительно
переменной х является функция ¥(*, у) V^a2—ay• Итак,
2я
1f 2а*— ay dxdy = — ^ Kea + fl2cos/-flsin/d/«
449
2Л ZJl
*= у- ^ t* У 1 -f cos / sin tdt + a4 Ц t sin21Y1 + cos / dt—
о 0
2 я
у- ^ sin81 l/T+cosTdt.
Вычислим отдельно каждый из интегралов:
2а 2я
— ^ sin81]/ 1 + cos t dt = ^ (1 — cos* /) Y1 + cos / d cos t = 0,
о o
2я 2я
— ^ t*Y 1+ cos/sin/d/ = y J /*d(l +cos<)3/* =
2n
= — (1 +COS ty/* Г" — — f / (1 + cos 03/2 dt.
3 I о 3 J
Так как
an
J /(1 +cos<)3/2d* = j/(l+cos03/2<ft + J <(l+COS<)3/J^ =
0 О л
Я Я
= jt (1 + cos 03/2 dt + ^ (2n—2) (1 + cos г)3'2 dz =
Я Я
= 2я j(l -f cos<)3/2dt = 2n^2 У2 cos3 -у d/ =
450
то
2я
Г 42пГГ~1 7- 4А4 16 У2 я* 64я/2
— \ t y 1 + COS t Sin t dt
0 3 9
Далее имеем
2ft л
С <sin*^V 1 + cos f Л = jfsin**y 1 + costdt +
о о
2л n
+ ^ tsin2tY\ -f costdt = ^*s*n**УТ+Тоз?dt +
я 0
n H
+ ^(2я—г)sin‘zV'l-+-coszdz=2n^sin*t ]Л + со$*Л =
о Ф
ft
= 161/^^ sin2 cos*-^-d =
о
— 8 \r2 л r(3/2>r(2) -321/2 я
V Г (7/2) 15
Объединяя полученные результаты, окончательно имеем, что
**,-«* (ilf£ - ZnXL + iO^-) -
D
= 20+12)= 8V^."a< (15я—8).
Обратим теперь внимание на наиболее характерные ошибки
при расстановке пределов в двойном интеграле:
$$/(*. y)dxdy=^dx ^ f(x, y)dy.
D а ф4(х)
1. Неправильно, если при некоторых значениях x^[at b]
ф.<*>
нижний предел во внутреннем интеграле \ /(х% y)dy больше
ф»(«)
верхнего: <pi (-^о) >Фг(-^о) - Эта ошибка возникает обычно при от¬
сутствии или неправильности чертежа.
2. Следует четко представлять, что постоянные, не зависящие
от х границы с и d во внутреннем интеграле, бывают только то-
451
гда, когда соответствующая (верхняя или нижняя) граница мно¬
жества D представляет собой отрезок прямой, параллельной оси
ОХ, т. е. одна или обе функции cpi(*), фг(*) представляют собой
константы. Если же эти линии не являются параллельными оси
ОХ, то границы интегрирования во внутреннем интеграле обяза¬
тельно представляют собой функции от х. Является ошибкой, ес¬
ли вместо функций ф1(х) и фг(*) поставить их значения в конце¬
вых точках (ф!(а), фг(а) или Ц)\(Ь)} фг(6)), или тахф2(*), xe[at
Ь] и тшф|(х)у хе|[а, Ь], т. е. границы проекции D на ось ОУ.
3. Неправильно, если границы внутреннего интеграла
*.(*)
^ /(*» y)dy зависят не только от х, но и от у или границы
внешнего интеграла не являются постоянными. Если при этом
провести все указанные операции, то в результате получится не
число, а функция от х или от уу или от обоих переменных х и у
в зависимости от допущенной ошибки.
4. Если множество D симметрично относительно одной из ко¬
ординатных осей, но не дано условие четности функции /(х, у)
относительно соответствующей переменной, то равенство
f(x, у) dxdy = 2 У) dxdy,
D Dt
где Dx часть множества D, лежащая по одну сторону от соответ¬
ствующей оси, вообще говоря, неверно.
5. Если множество D проще представить не в виде объедине¬
ния замыканий стандартных относительно той или иной коорди¬
натной оси областей, а в виде разности таких замыканий:
—D\\D2t то, вообще говоря, нельзя вместо представления инте¬
грала
у
f(x, у) dxdy
D
в виде суммы делать представление в виде разности
y)d*dy=^f(x, y)dxdy—^f(x, у)dxdy,
D D, D,
поскольку условие /&#(D) не дает права интегрировать функ¬
цию / на множестве DxzdD. Если же из условия задачи можно
утверждать, что /е#(/),), то представление
y)dxdy = ^f(x, у) dxdy—^ J / (х, у) dxdy
D Dk D,
законно и может 6еять использовано для упрощения вычислений.
452
2. Замена переменных в двойном интеграле. Переход
к полярной и обобщенной полярной системам координат
Замена переменных в двойном интеграле приводит как к из¬
менению подынтегрального выражения, так и к изменению мно¬
жества, по которому берется интеграл. В отличие от одномерного
интеграла, где связь двух промежутков интегрирования устанав¬
ливается просто, для многомерного интеграла найти множество
изменения новых переменных достаточно трудно, поэтому глав¬
ное внимание при выборе зависимости между новыми и старыми
переменными обращается именно на нахождение этого множест¬
ва. Наиболее простым случаем является тот, когда границами
множества D, по которому берется интеграл, являются линии
уровня достаточно гладких функций: <pi(x, у) и ф2(х, у), т. е.
D = {(x, у) : а<{/)<6. с<ф,(х, t/)<d},
причем отображение <р : D->/?*, Ф : w = у), 0 = фа(х, у) регуляр¬
но. В этом случае отображение ф:и = ф1(х, у), и=^=фа(х, у) перево¬
дит множество D в промежуток
/ = {(a, v): а ^ и ^ 6, c^v^d}.
Пример. Вычислим
^(xt+yt)dxdy,
где
D = ((x, у): l^.xy^.2, 0^х<2у<4дс}
(см. рис. 70).
Рис. 70
453
Решение. Рассмотрим отображение <р: (и, &)->(*, у), об¬
ратное к отображению и = xy, v = у!х : х = УаД/ \ у = Из
формул, выражающих х, t/ через и, у, видно, что для множества
D, лежащего в первом квадранте и отделенного от координатных
осей, существует область GXtV^D, в которой отображение <р яв¬
ляется биективным. Геометрически биективность отображения ф
видна из того, что произвольная линия уровня функции v — пря¬
мая у=С\Х и произвольная линия уровня функции и — гипербола
ху=С2 при условии х>0, у>0 пересекаются только в одной точке.
Как неравенства 1 <ху<2, 1/2 <(//*< 2, так и геометриче¬
ские соображения (гиперболы ху=С2 и прямые у=С{х пересека¬
ются с множеством D тогда и только тогда, когда — ^2 1 ^
2
<С,<2) показывают, что прообразом D при отображении ф
является прямоугольник
/ = |(ы, V) : l<u<2,
Далее, для якобиана ф справедливо соотношение
Итак, отображение ф регулярно и
JJ <«• + л dxdy - JJ (-=- + т) . -JL ЛЛ -
D I
2 2 2
Разумеется, можно было бы вычислить этот интеграл и не
производя замены переменных. Но тогда множество D для пред¬
ставления двойного интеграла в виде повторного нужно разбить
на три: D=Dl\jD2[)Dst где
Dt= [(*, у) : V2,
£>,= ((дс. у) :У2^х^2, JLj.
454
{и•у)еУ-
Пример. Вычислим
^ (х3у -f ху3) dxdy,
где
D = {(xt у)'х^0, О, Ах2—Зу2^.4, 4у2—3jc2^4}
(см. рис. 71).
Решение. Так же, как и в предыдущем примере, для непо¬
средственного применения теоремы Фубини к данному интегралу
необходимо разбить множество D на составляющие, поскольку
оно является замыканием области, не являющейся стандартной
относительно каждой из координатных осей ОХ и OY.
Покажем, что переход к переменным и и v по формулам
и = Ах2—3 у2, v = 4у2—3х2
упрощает вычисление данного интеграла.
Поскольку
,_yjH±±L.
и jc>0, у>0, то отображение <p: (jc, */)-*(н, и) есть биекция D-+
-ир(Я).
Из неравенств 4х2—Зу2^4, 4у2—3jc2<4 следуют неравенства:
д^4, с^4; поскольку
• f 4и -f За ч [ За + 4i>
х=у —г-. у=у-±—.
то необходимо, чтобы выполнялось условие
4а + Зи>0, 3u+4u>0.
455
Объединяя все полученные соотношения, получаем, что образом
ф(£)) множества D является множество
D1 = {(a, v) : 4u + 3t/>0, 3a + 4i/>0, 4, и <4}
8x —6y
(см. рис. 72). Якобиан ф равен
—6л: 8 у
на D этот якобиан обращается в нуль, то условия первой теоре-
— 28ху. Так как
мы о замене переменных в кратном интеграле не выполнены, од¬
нако выполнены условия второй теоремы, если
0i\Si = {(u, и):ы<4, и<4, 4и + 3и>0, За + 4с;>0}.
Итак,
^ (u + и) dudv = ^ (4х*—Зу* + 4у* — Зх2) 28xydxdy =
Dt *D
= 28 J ^ (x3y + дсу*) dxdy.
Следовательно,
О 4
+ = + ^ (u+v)dv +
D D, —3 -4«/3
+ iridu j <«+»>*—£■ J[“(4 + t“)+8“t“’
0 —Зы/4 —3
+IH4+f i(4u+8),i“+
du+
В этом примере фактически рассматривалось не отображение
го: (а, 1>)-*(х, у), а обратное отображение Чг=ф~1: (х, у)-+(и, v).
Хотя в ходе решения были получены явные выражения как функ¬
ций и(х, у), v(x, у), так и функций х(и, и), t/(w, у), но дифферен¬
цирование отображения Ч1* технически проще дифференцирования
отображения ф.
Если связь переменных (х, у) и (и, v) задана соотношениями
вида и=и(х, у), v=v(x, у), то для вычисления якобиана ^ =
= необходимо найти явную зависимость х=х(и, и), i/=w
D (и, v)
(и, и). В некоторых случаях проще найти якобиан обратного
отображения Ч^ф-1: (х, у)-+(и, и) и воспользоваться равен¬
ством =
Пример.
зхц% I 2(/3
—х—~ dxdy, где D — область, ограни-
d
ченная линиями t/=l/x2, у=4/х29 у=х—1, у=х+ 1.
Решение. Граница области D составлена из линий уровня
функций и=ух2 и v=x—у:
D = {(xt у): \<ух2<4, — 1<х—у<\)
(см. рис. 73). Более того, каждая точка (х, у) области D лежит
только на одной кривой вида #х2=Сь и только на одной
кривой вида х—у=С2> —1^С2^1.
Рис. 73
Таким образом, отображение ф :и=ух2, v=x—у есть биекция
области D на область Di = {(ut ti): 1<«<4, —Не
выражая явно переменные хну через и и v (это требует реше-
457
о (*» у)
ния кубического уравнения), найдем якобиан D ^ ^ , равный
l/(det<p'). Так как
det ф' =
то
D(x, у)
2 ху х2
1 —1
= —х(2 у + х),
D (и, и)
1 1
jc (2ух) х% (и, и)-\-2х(и, v) у (и, и)
следовательно, биективные отображения ф и ф-1 есть соответ¬
ственно диффеоморфизмы D-+Di и D\-+D. Итак, условия первой
теоремы о замене переменных в кратном интеграле выполнены, и
поэтому
ДО + W _ до ^ + Л dxdg _
D D
-Я
U (X, у)
D
(-- У) ■ (х2 + 2ху) dxdy =
-я-f
Р1 > лЧи, о) +2<(Ц, у) у (и, у) =
a jc2 (a, v)~\-2x(uf и) у (и, у)
Нахождение прообраза множества D при переходе к поляр¬
ным координатам на плоскости, т. е. при отображении x=rcos<p,
t/=r sin ф, облегчается простым геометрическим смыслом параме¬
тров г и ф. Именно г есть длина радиуса-вектора из начала коор¬
динат в точку (х, у), а ф — угол между этим вектором и положи¬
тельным направлением оси ОХ. Как уже указывалось при общем
рассмотрении полярных координат в л-мерном пространстве
(с. 17), для любого жорданова множества D<z:R2 и функции fez
czC(D) имеет место равенство
§$/(*• у) dxdy = ^ /(геевф, г sin ф) rdrdtp,
D,
где Di=»{(r, ф)} — прообраз D, если г>0, а угол ф изменяется в
промежутке длиной не более 2я:
а ^ ф ^ а + 2л.
(Чаще всего берутся значения а, равные 0, —я или —я/2 в зави¬
симости от расположения множества D.)
458
Расстановку пределов в полярных координатах большей ча¬
стью делают в виде
Р Мф)
jd<P I g(r% ф)dr9
а га(<р)
поскольку зависимость г(ф) чаще всего аналитически выражает¬
ся проще, чем ф(г).
Заметим, что переход от переменных х и у к переменным г и
Ф можно рассматривать как переход к согласованной с декарто¬
вой полярной системе координат, а не как преобразование мно¬
жества D. Поэтому для упрощения записи не будем в дальней¬
шем изложении вводить новое обозначение для множества изме¬
нения г и ф, а будем рассматривать множество D как в виде
={(а:, 1/):...}, так и в виде D={(r, ф)где вместо многоточия
стоят условия на координаты (х, у) и (г, ф) соответственно.
П р и м е р. В двойном интеграле j ^ f (jc, у) dxdy, где
D = {(xt у):х2 + у2^>а\ х2 + у2^2ау, а> 0} и /еСф)
(см. рис. 74) перейдем к полярным координатам и расставим
пределы интегрирования в том и другом порядке.
Решение. Запишем условия на координаты точек (г, ф)еО
в полярных координатах: г2>а2, r2^i2arsinyt т. е. в силу усло¬
вия 0 имеем а^г^2а sin ф. Из чертежа видно, что луч ф=фо
пересекается с множеством D тогда и только тогда, когда я/6 ^
<Фо<5я/6. Каждый такой луч пересекается с D по отрезку
[а, 2а sin ф0]. Итак,
D = {('’» ф) • я/6 < ф ^ 5я/6, а ^ г ^ 2а sin ф}
459
Для расстановки пределов интегрирования в другом порядке сно¬
ва обратимся к чертежу. Минимальное расстояние точек множе¬
ства D от начала координат равно а, максимальное — 2а, следо¬
вательно, имеем а^г^2а. Линия г=С — окружность радиусом С
с центром в начале координат — пересекается с D по дуге (а,
я—а), где a=arcsin (С/2а). Итак,
D={(r, яр): а^г^2а, arcsin(г/2а) ^Ф ^
—arcsin (г/2а)} и y)dxdy =
D
2а л— arcsln(r/2a)
= j dr ^ f (г cos ф, г sin ф) г ^ф.
a arcsln(r/2a)
Пример. В двойном интеграле 15 f(x> У)АхЛУ> где D — об-
D
ласть, лежащая одновременно как внутри кардиоиды г=а( 1 +
Ч-соэф), так и внутри окружности х2-{- у2=3ах, а>0 и f^C(D)
(см. рис. 75), перейдем к полярным координатам и расставим пре¬
делы интегрирования в том и другом порядке (декартова и по¬
лярная системы координат совмещены).
Решение. Запишем уравнение окружности в полярных ко¬
ординатах: г=Засоэф. Так как точки (г, ф)eD лежат внутри об¬
ласти, ограниченной обеими кривыми, то их координаты должны
одновременно удовлетворять неравенствам: г<а( 1+собф) и г<
<3a cos<p. Из условия г>О и второго неравенства получаем, что
—я/2<ф<я/2. Так как и первое, и второе неравенства ограничи¬
вают г сверху, то, объединяя их, получаем, что 0<r<min{a(l +
-bcos ф), 3a cosф}. Как и раньше, разобъем интервал изменения
ф: (—я/2, л/2) на подынтервалы так, чтобы границы изменения
г записывались с помощью простого выражения. Для этого най¬
дем, на каких подынтервалах интервала (—я/2, я/2) функция
тт{а(1 + соБф), За cos ф} совпадает с функцией а(1 + соБф) и на
каких — с функцией 3acosф. Так как неравенство а(1+созф)<
СЗасовф справедливо для —я/3<ф<я/3, а неравенство а(1-Ь
4-со5ф)>Засозф — для я/3<|ф|<я/2, то D=Dx\]D2\]Dz, где
= {(г. ф) :—л/2^ф^—л/3, 0 ^г^ЗасоБф},
D2 = {(r, ф) :—я/3<ф^я/3, 0<г^а(1 Ч-соэф)},
D3 = {(г, ф): я/3 ^ Ф ^ я/2, 0 ^ За cos ф}.
Следовательно,
л/3 3acos(p
Hf(x, y)dxdy= J dy f f (г cos ф, г sin ф) r dr
D —я/2 0
я/З a{ I -4-cosq,)
4- \ dy § / (r cos ф, r sin ф) r dr +
—Jt/3 0
я/2 Засоаф
+ \ d<p f fir cosy, rsiny)rdr.
я/З 0
С другой стороны, из исходных неравенств получаем, что 0<
<r<2a, cos ф>шах {г/За, (г/а)—1}. Опять разобъем интервал из¬
менения г: (0, 2а) на такие подынтервалы, на которых функция
max {r/За, (г/а)—1} совпадает с одной из функций r/За или г/а—1.
Получим, что B-=Di{JD2, где
D1 = {(г, ф): 0 ^ г^ За/2, cos ф > 2/За},
Ai = {(r» Ф) : За/2 ^ г ^ 2а, cos г/а— 1}
и, следовательно,
За/2 arccos(r/2fl)
/(*. y)dxdy= 5 dr J / (г cos ф, г sin <p) r d(p -j-
D 0 —arccos (r/3a)
2a arccoe( г/а— 1)
+ J / (r cos ф, г sin ф) Г ^ф.
За/2 — arccos( г/а— 1)
Ha чертеже все эти рассуждения наглядны. Луч ф=ф0 пересе¬
кает D при —я/2^ф0<л/2. Если л/3^ | фо|^л/2, то этот луч пе¬
ресекается с D по отрезку, начало которого в начале координат,
461
а конец — на окружности r=3acosqp, т. е. 0^>5^3а cos <р, если
же —я/3<кро^я/3, то по отрезку, начало которого в начале коор¬
динат, а конец—на кардиоиде
г=а (1 + cos ф) , т. е. 0^г<а (1 4- cos ф).
С другой стороны, минимальное расстояние точек (г, <р)е/5
от начала координат равно нулю, максимальное — 2а, т. е. 0^
^г^2а; окружность г=С пересекается с D по дуге, концы кото¬
рой при 0^С<За/2 лежат на окружности г=Засо&ф, т. е.
~arccos(r/3a)<<p^arccos(r/3a), а при 3a/2^C^2a — по дуге,
концы которой лежат на кардиоиде г=а( 1 -f cos ф), т. е.
—arccos (г/а—1) ^cp^arccos (г/а— 1).
Пример. Перейдем к полярным координатам и расставим
пределы интегрирования в двойном интеграле у)dxdy, где
D
область D ограничена кривыми
г = а$т(ф/6), г = аф/3л, О^ф^Зя, а> 0, и fc=C(D)
(декартова и полярная системы совмещены).
У А
-а
5а
к . f
\r=asin-i-
^ ау>
J'
f** £
Из г
-а
2 '
5|l£
х
S&y 2
Рис. 76
Решение. Сделаем чертеж области D (см. рис. 76) . По чер¬
тежу видно, что наиболее простые условия на координаты (г, <р)
точек области D выглядят так: 0<ф<3я, а<р/3я<г<аsin(<p/6).
Но такая запись формально нарушает требование, чтобы при пе¬
реходе к полярным координатам длина интервала изменения уг¬
ла <р не превосходила 2я. Это требование связано с тем, чтобы
нарушение биекции при переходе к полярным координатам про¬
исходило самое большее на множестве объема нуль. Однако в
данном случае, как хорошо видно из чертежа, отображение
Di = {(г, ф): 0 < ф ^ Зя, аф/Зя ^ sin (ф/6)} -*■
В = {(х> у):х = г СОБФ, y = rs\nq>, (г, ф)gDJ
462
как раз биективно. При этом все условия первой теоремы о за¬
мене переменных в кратном интеграле выполнены и, следова¬
тельно,
3 я а51п(ф/6)
y)dxdy=^ dy \ f(r созф, г sin ф) г dr.
D 0 аф/Зя
Можно обосновать это равенство и чисто аналитически. Для
этого представим множество D как объединение D=DX\JD2, где
£)1=={(г, ф):0<ф<2я, аф/3я<г<азт(ф/6)},
А» = {(г» ф) : 2д < ф < Зя, аф/За < г < а sin (ф/6)}.
Для каждого из этих множеств переход к полярной системе коор¬
динат уже не имеет формальных препятствий, следовательно,
y)dxdy = \\f(x, y)dxdy+l[f(x, y)dxdy =
D Dt D%
2л asln(<p/6)
= ^ ^ф ^ /(ГСОвф, rsinV)rdT +
О аф/Зя
Зя asln(v/6)
+1 dy | f(r соэф, r sin ф) r dr,
2я вф/Зя
так как внутренние интегралы в первом и втором слагаемом оди¬
наковы, то, пользуясь аддитивностью одномерного интеграла, по¬
лучаем, что
Зл asin(<p/6)
§§/(*• y)dxdy=\j dy j f(rcoscp, rsincp)rdr.
D 0 аф/Зя
Обобщенными полярными координатами называется пара (г,
ф), связанная с координатами х, у формулами х=аг со$аф, */=
=br siпаф. При этом г>О, а ф пробегает либо промежуток [О,
2я] ([—я, я]), либо промежуток [0, я/2] в зависимости от зна¬
чения постоянной а так, чтобы функции соэаф и зтаф имели
смысл и оба равенства sin^0=sin^i, со$афо=со8аф1 одновремен¬
но выполнялись только при
Фо = 0 и ф! = 2я (ф0=—я, Ф1 = я) или фо = 0 и ф1 = я/2.
Переход к обобщенным полярным координатам делается в ос¬
новном тогда, когда уравнение кривой, ограничивающей область
интегрирования Z), в новых переменных при соответствующем
выборе постоянных a, bt а становится существенно более про¬
стым. Так как обобщенные полярные координаты не имеют на¬
глядного геометрического смысла, то границы их изменения для
точек (х, у) из данного множества D определяются аналитиче¬
ским путем. Если при переходе к полярным координатам мы
463
оставляли обозначение множества D без изменения, то теперь,
как и в общем случае замены переменных, будем соответствую¬
щее множество значений (г, ф) обозначать через D\. Якобиан
при переходе к обобщенным полярным координатам равен
aabr cosa_1 ф sin®-1 ф.
Пример. Вычислим
где D — область, лежащая в первом квадранте (х>0, «/>0) и
/ ~ \ А /
ции соэ2ф и эт2ф имеют смысл при любом ф^|[0, 2л], но, чтобы
их значения не повторялись, как было указано выше, необходимо
выполнение условия фе[0, я/2].
ограниченная кривой x2/Z/A + 2y2/z = (2x—представим в виде
повторного, перейдя_ предварительно к обобщенным полярным
координатам (/еС(£>)).
ние заданной кривой примет вид г = (16со$%р—(з1п8ф)/2уг2)1/2.
D
ограниченная осями координат и кривой + = + yaj.
Решение. Положим х=2гсоб2ф, «/=5rsin^, тогда уравне-
Обозначая для упрощения записи #(ф)= f-^-cos4 ф + 25 sin4 ф^1/2.
JJ \ 2 б У 57 J J
D 0 U
0
я/2 я/2
80 Г в . , 1000
0 и
о
81 2 27 162 *
8 625 | 50 __ 50941
Пример. Двойной интеграл у)dxdy, где D—область,
464
Функции cos^p и sin^p имеют смысл при всех фе(—я, л), и на
этом же промежутке выполнено условие неповторяемости их зна¬
чений одновременно. Кроме того, уравнение кривой дает ограни¬
чение на интервал изменения <р: так как левая часть в этом урав¬
нении неотрицательна при всех х и у, то должно выполняться не¬
равенство 2х—i/>0, откуда получаем, что —я + ф0^ф^<Р0, где
Ф0 = arctg(4/>/Л2). Итак, прообразом множества D является мно¬
жество
Di = {(r, ф) : —я + ф0<ф<ф0, 0^г^(16cos3ф — (з1п3ф)/2уг2),/2}
и, следовательно,
у)dxdy —
D
Ф, (16со»«ф-51п*ф/2/2)1 /2
= [ dy ^ /(8гсо$3ф, г (sin3ф)/2 "|/"2) х
—я+ф, 0
x6l/2 cos* ф sin2 ф-г dr, ф0 = arctg (4/у 2).
Если при переходе к обобщенным полярным координатам
значение а меньше единицы, то в условиях первой теоремы о за¬
мене переменных в кратном интеграле нарушается не только тре¬
бование биективности отображения, но и требование его гладко¬
сти. В этом случае, опять применяя вторую теорему, получаем,
вообще говоря, несобственный двойной интеграл по ограниченно¬
му жорданову множеству D\ от неограниченной функции / (аг cos® ф,
Ьrsinaф)atacosa“lфsiпa“, ф. Подробнее вопрос о несобствен¬
ных кратных интегралах рассмотрим несколько позже, здесь за¬
метим только, что в данном случае этот интеграл имеет смысл и
равен повторному интегралу, причем интеграл по переменному ф
будет несобственным. Аналогичным является и общий случай, ко¬
гда при замене х=дг(а, и), у —у (и, v) прообразом жорданова мно¬
жества D={(x, у)} является жорданово множество Di={(u, v)},
но условия гладкости отображения ф: D\-+D нарушаются на
множестве объема нуль. При этом оба одномерных интеграла в
повторном могут быть несобственными, но формула замены пере¬
менных остается справедливой.
Пример. Вычислим
g
D
где D — область, ограниченная кривой (х6+*/6)2 = (х—у)8.
Решение. Функция f(x, у)=-~~--^х=^ ^ формально не
определена в начале координат. Положим F(х9 у)=
f(x, у), х*+у*Ф0;
0 , х* + у* = 0
465
и проверим, что так определенная функция F(x% у) непрерывна
на D. Непрерывность F во всех точках, кроме начала координат,
следует непосредственно из ее задания. Чтобы проверить непре¬
рывность F при х=0, £/=0, проще всего перейти к обычным по¬
лярным координатам
t v г (cos4 ф—cos8 ф sin ф-fcos* ф sin3 ф— cos ф sin3 ф4-з1п* ф)
/ (г COS ф, г sin ф) = 1 — Т -=*=-.— —
У cos* ф sin6 ф
Отсюда получаем оценку
I f ir cos <р, г sin <р) |< у ^ <10г,
У1—3/4 sin 2ф
которая и показывает, что
lim F(x, у) = lim/(г cos ф, /'sinф) = 0 = /7(0> 0).
(х,у)М0.0) /•-►0
Итак, как было указано выше, можно считать, что под знаком
интеграла стоит непрерывная функция
с. . 1/(*. У)< х2 + у*Ф 0,
У)-{ о t хг + у1_- о.
Положим * = гсо$;/3ф, у — г sin1 /3 ф, тогда уравнение заданной кривой
примет вид г3 = cos1/3ф—sin,/3ф. Так же, как и в предыдущем при¬
мере, делаем вывод, что —Зл/4^ф^Ся/4 и в качестве прообраза
множества D получаем множество
D1 = {(rt ф) : —Зя/4^ф^л/4, (сов1/3ф—sin1/3 ф)}.
Итак,
ГГ *У+«*у'-*у* + у*. Иг и =
JJ Ух*+у*
D
я/4 (со§,/3ф— sin 1/3ф)1/3
= -^- ^ dy ^ (С054/Зф — COS ф8Ш1/3 ф-{-
—Зя/4 0
-f cos2/3 ф sin2/3 ф—cos1/3 ф sin ф + sin4/3 ф) г3 cos“2/3 ф sin-2/3 ф dr.
Вычислим внутренний интеграл
, 1/3 . 1/3 1/3
(cos ф—sin ф)
^ (cos4/3 ф—cos ф sin1/3 ф + cos2/3 ф sin2/3 ф—
о
—cos1/3 ф sin ф + sin4/3 ф) г2 cos-2/3 ф sin“2/3 ф dr =
= — (cos5/3 ф + sin5/3 ф) cos_2/3 ф sin“2/3 ф =
3
Заметим, что под знаком внешнего интеграла стоит неограничен¬
ная функция
-j- cos ф sin-2/3 ф + — cos~2/3 ф sin ф.
3 3
Вычислим интеграл от первого слагаемого
Я/4 О
^ cos ф sin-2/3 ф dq> = ^ sin-2/3 ф d sin ф +
—Зя/4 —Зя/4
я/4
Н—^ ^ sin~”2/a ф d sin ф = sin1/3 ф|^_3л/4 4- sin1/3 ф | ”/4 =
Точно так же вычисляется интеграл от второго слагаемого, сле¬
довательно,
ГГ х* — х81/ + ху~ху* + у*\ 4 _ 2У32
У 3 ■ у2 3 •
Пример. Вычислим
D
где
£>= |(х, У) ■■ *>0, у>0, (~)3/г+(_^)3^1]-
Решение. Сделаем замену переменных: х = аи2/3, r/ = fct>l/3.
Из условий на координаты точек (х, y)^D получаем, что множе¬
ством изменения переменных (и, и) является £)1={(м, и) : и>0,
0>О, м + t^l}. Якобиан отображения q>:D\-+D равен
Итак> на 0Трезках у=0, и и=0, 0<и<1,
являющихся прообразами отрезков х=0, 0<у<Ь и «/=0,
условия гладкости нарушаются. Тем самым такая замена приво¬
дит к несобственному интегралу:
D Dt
1 1—и
Xur^9xrm2^dudv=^-^u-[/zdu ^ (1— и—v)v~2f*dv.
467
В данном случае и внешний, и внутренний интегралы — несоб¬
ственные. Вычисляя их, одновременно убеждаемся в их сущест¬
вовании
1—а
J (1 —u—v) xr-w du = 3(1 — u)t>'/3| i““— -|-i>4/3| l~u =
о
= 9/4 (1—и)4/3,
1 я/2
1—и)4/3 игх/3 du = ab ^ sin,/3fcos11/3Mf =
о
—•г (—) г (А\ = 11/1явй.
3 \ 3 j \ 3 / 27
О
_ аЬ J_ _1 _А_.г I J_’i Г (АЛ — 2 уз
2 ' 2 ’ 3
3. Площадь поверхности и ее вычисление
Определение. Множество 5с:/?3 называется поверхностью
в /?3, если для любой точки s^S существует открытое множество
V(s), sgV такое, что V (s) (] S = г (D)t где /5=*{(ы, и): u2-bt>2^l}—
замкнутый круг в R2 и r:R2-+Rb— гомеоморфизм, т. е. биектив¬
ное отображение, непрерывное вместе с обратным.
В курсе анализа ограничимся рассмотрением более узкого
класса — кусочно-гладких поверхностей.
Определение. Поверхность S называется простой глад¬
кой поверхностью, если 5 есть образ замыкания области DczR2:
5={r(w, v); (u, v)^D} и выполнены условия:
1. область D жорданова;
2. отображение г : D-+S гомеоморфизм;
3. отображение r^C'{D);
4. для всех точек Mo=(w0l v0)^D ранг матрицы
..... / (.(-«.Ktw.KW.i I
' '"•’"Uim.KM.KW I равен "у” (,“тор“
неколлинеарны).
Отображение г=г(ы, v) : D-+S называется параметрическим
представлением поверхности S; переменные и и v — параметрами
S; область D — областью значения параметров и, v. Параметри¬
ческое задание поверхности S будем записывать следующим об¬
разом: S={r(u, v), (и, o)gD} или
S = {(*. У* z)’-x = x(u, v), у = у(и, v), z = z{u, v); (и, и)еб}.
Точки являющиеся образами точек D, будем называть
внутренними точками S; точки seS, являющиеся образами мно¬
жества dD=D\D (границы D)—граничными точками S.
Возникает вопрос, может ли простая гладкая поверхность,
рассматриваемая как определенное множество точек трехмерного
пространства, иметь несколько различных параметрических пред¬
ставлений.
468
Определение. Пусть D и Dx— жордановы области в R2.
Отображения г : B-+R3 и р : B{-+R3 называются эквивалентными,
если существует такой диффеоморфизм ф: В-+-Ви что ф(D)=DU
<p(B\D)=Bi\Di (внутренние точки переходят во внутренние, гра¬
ничные— в граничные) и г(М) =р(ф(М)) для любой точки
gD.
Из наглядных геометрических соображений можно заключить,
что эквивалентные отображения г : D-+R3 и р : D|-W?3 задают од¬
ну и ту же простую гладкую поверхность.
Диффеоморфизм ф:Л-^/)ь осуществляющий эквивалентность
г(и, и) и р(и 1, V\), назовем допустимым преобразованием пара¬
метров.
Определение. Поверхность 5, являющаяся конечным объ¬
единением простых гладких поверхностей Sq, называет¬
ся кусочно-гладкой поверхностью, если выполнены условия:
1. поверхности SQ и Sp, рфд, не имеют общих внутренних то¬
чек.
2. если множество Lp, q=Sp(]Sq содержит более одной точки,
то Lp, я представляет собой кусочно-гладкую кривую.
Простые гладкие поверхности SQ будем называть компонента¬
ми 5; кривую Lp,q — линией пересечения компонент Sp и Sq.
Из определения простой гладкой поверхности 5={г(м, и), (и,
о)е/5} следует, что в каждой точке 50е5, 50==г(и0. ^о) поверх¬
ность S имеет касательную плоскость, которая является плос¬
костью, натянутой на векторы г'и(иоУ и0) и r'v(uo, ^о).
Пусть 5={г(ы, у), (и, v)^B] — простая гладкая поверхность;
£c=[ai, b\]x[a2> Ь2] и Ти — разбиение отрезка .Гаь Ь\]: ах=и0<
<и\<и2< ... <un=bb Tv — разбиение отрезка [a2> b2]:a2 = v0<
<vx< ... <vm=b2, Т*=ТихТч—разбиение прямоугольника [alf
bl] X [^2» ^2] •
Возьмем точку (uu Uj)eA 1, 1, и обозна¬
чим Aui=ui+l—uu Avj = vj+l—vj. Линейное отображение r'(uu v;)
переводит множество векторов плоскости /?2, выходящих из точки
(a,, Vj)t в плоскость, касательную к поверхности S в точке
=r{uit uj). Прямоугольник ui^u^tii+u Vj^iv^vj+i переходит
при этом в параллелограмм a*j, построенный на векторах
г«(и/, vj) &uh r9(ult v/)Avj. Площадь |a<j| этого параллело¬
грамма равна Цг^ (uituy) хг' (uit г^)]| Aut Avj ([г]хг'] обозначает век¬
торное произведение векторов г' и г^). Обозначим символом £
и
сумму, распространенную на те индексы i, /, —1, 1^/^
—1, для которых (ии Vj)eD.
Определение. Площадью \S\ поверхности S называется
•
lim £ |o,j|\[r' {uh v,)xr' (uh vi)\\Au, Avj,
мг)-й>,7
где X(7) —параметр разбиения Т.
469
Введем обозначения:
тогда площадь поверхности 5={г(ы, и), (ы, и)е/5} вычисляется
по формуле
(Поскольку в формуле (1) под знаком интеграла стоит непрерыв¬
ная функция и интеграл берется по жордановой области, то в
данном случае интеграл существует.)
Площадь простой кусочно-гладкой поверхности определяется
и вычисляется как сумма площадей составляющих ее простых
гладких поверхностей.
Величина площади поверхности должна быть, конечно, фак¬
том внутренней геометрии поверхности, т. е. не зависящей от
различных способов ее представления. Действительно, при регу¬
лярном отображении ф :D-+D{ величина интеграла в формуле (1)
не изменяется. Следовательно, приведенное определение площади
поверхности 5={г(ы, и); (и, t»)eD} корректно (не зависит от вы¬
бора параметризации).
Заметим, что даются и другие, эквивалентные приведенному,
но более «геометрические» определения площади поверхности.
Пусть 5={г(ы, v), (ы, v)^D}± отображение r:B-+R3 — гомео¬
морфизм и на множестве £, ЕаП, площади нуль нарушены усло¬
вия его гладкости. Пользуясь понятием площади простой гладкой
поверхности, определяется понятие площади и для поверхностей
такого класса. Если при этом интеграл (1) существует хотя бы
как несобственный, то его величина равна площади \S\ поверх¬
ности 5. Точно так же допускается не только регулярное преоб¬
разование параметров в представлении поверхности, но и такое,
при котором условие биекции или условие гладкости нарушаются
на множестве площади нуль. При этом интеграл (1) преобразует¬
ся в условиях второй теоремы о замене переменных в кратном
интеграле (см. с. 15).
Если поверхность 5 задана явным уравнением: z=f(х, у), (jc,
y)^Dt т. е. S = {(x, у), f(xt у), (х, y)^D}t то формула (1) прини¬
мает вид
О)
I S\=llV\ + (z-xr + (zyYdxdy.
D
Пример. Найдем площадь части поверхности
470
у = a sin и (1 —cost;)—-j^= cos и sin vt
у ar b2
, , a2 sin v
z=bu-
Va* + b*'
если
Решение. Имеем
аЪ
х == — a sin и( \ — cos v) -\—. ■ _■ cos и sin с,
и v 7 Ve» + 6*
, ab
х=а cos и sin v -\—у- sin и cos vt
0 уФТь*
, , o’ cos V
ги = Ь, г =
у^гцгр’
y' = atosu (1 — cos у)Н—,аЬ - sin к sin и,
' ' уД2 _|_ b2
ab
y„ = a sin u sin у t= cos a cos a,
у a2 -f- 6>
£ = a2 (1 —cos v)2 H——— sin2 v + b2 —
a2 b2
(a* -f- b2— a2 cosu)9 .
^«1 л О *
a2b2
a2 + b2 a2+b2*
G2 . о , a2b2 о , a4 cos2 и о
= ar sin2 v H cos2 v 4 = a2.
a* -f b* a2+b2
г . 2 a*b ., v . a*b
r = sin2 V T---:: ■ - (1 — COS V) COS V ~\ COS V —
Vo* + 6J [Va2 + ftJ v ' Vo>+6*
a%b
Va* + b»’
•i/ pa a (a* -t~ 6* a* cos p)
V Va* + 6»
Я 2л
I *S | = ^=J=irr=r J du ^ (a2 -f b2—a2 cos v) dv =
о 0
= iT^Ti •2jl (a> + ь%) = 2я2а V a2 + ^2*
у a* -f- b*
Пример. Найдем площадь части сферы x2 + y2 + z2 = R2t если
\х\<а, \У\<Ь, a2+b2<R2.
Решение. Цилиндр, построенный на границе прямоуголь¬
ника {——b^.y^Lb}t вырезает на верхней и нижней по-
471
лусферах части одинаковой площади. Представим уравнение
верхней полусферы в явном виде: г = У/?2—х2—У“• Тогда ==
дх
—х dz —у ~
— _ .—— ■ - , = —7^7 —. Так как на прямоугольнике
У/?2 — х% —у* ду Yr2 - - ха — р 7
|х|^а, |г/1^b(a2 + b2<R2) условия гладкости функции 2 выпол¬
нены, то
|S| = 2 j* S'/1 + “S'-
—a —6
a b a
= 2R Г djc ^- = 4R f arcsin dx =
J J J Уя*-**
—a —6 - a
= 4/? Г jc arcsin — -- * —b Г —7=
I y/?2-x2_fl jy#
д:2 dx
= 8a/?arcsin b.- — + 4bR С—> .
y/?2_a2^ J У#2 —
2 — ft2 — X2 (tf2 — X2)
dx
b*-
-2W f £L===^—2bR2 f 7£=-
J (Я-х) У/?2-fc2-x2 J (Я I х)У^-6а—X2
= 8a/? arcsin -f + 8/;/? arcsin ■ —
„D2/ . 62-tf8 + afl • b2-R'-aR \
—4/?z arcsin .. .-r —arcsin . .--=r)
\ (R - а) У^а- b2 (Я + о) /Яа - b* /
= 4/? 2a arcsin -> if-. +2b arcsin , a —
I Уя9-а2 YR*-b2
— R arccos
(Я*-Ь2)(Я2-а2)
Пример. Найдем площадь части конуса 2 = У*2 + #а, если
— 1 ^y + x^Z5, —3 —х^З.
Решение. Множество D = {—у^. 5, —3 ^у—х<3)
представляет собой квадрат с вершинами: А(—2; 1), В(1; 4),
С(4; 1),D(1; —2). Для поверхности S={(x, у), У*2 + */2» (х» У) *==
^ D} имеем =—— * , -^- =—.. у В точке 0(0; 0) е
1 ах Ух*> у2 ду Ух2 + у2
е£) гладкость отображения (jc, #)-*-(*, у, Уха4 */2) нарушается.
Но так как для любой точки Af=(jt, t/)eD, кроме начала коор-
Аинат> 1 + (‘1‘)а+ (l7)2=2> то функция Vх + (ir)2+("ll
472
доопределяется в начале координат по непрерывности зна¬
чением У2. Таким образом,
j f У1 + «)а + (z/ dxdy = \^Y2dxdy =
D D
= l/2 |D| =V"2 |AS|2= 18/2
и рассматриваемая поверхность имеет площадь |S| = 182.
Пример. Найти площадь части конуса г2=х2—у2, если
2*2_z2</?2.
Как и в примере на с. 61, цилиндр 2л2—z2=R2 вырезает на
верхней z>0, г = Ух%—у2 и нижней z^0, г =—Yх*—Уъ по"
ловинах конуса части одинаковой площади. Поэтому рассмотрим
только верхнюю половину. Она задается формулой г = У*2 + 0а-
Найдем, на какое множество плоскости XY проецируется данная
часть этой поверхности, т. е. найдем множество D изменения па¬
раметров ху у, в задании рассматриваемой поверхности:
s = {(*, У, Ух2—у1), (х, у) ЕЕ £>}.
Проекцией всей поверхности г = Ух2—у3 на плоскость XY
является множество М={(х, у), |х|>|«/|}. Проекция рассматри¬
ваемой части конуса отсекается от множества М проекцией на
плоскость XY линии пересечения конуса z2=x2—у2 и цилиндра
'2х2—z2=R2. Исключая z из системы уравнений ( Z = Vх*
™ I 2д:а—=
получаем уравнение этой проекции х2+y2 — R2. Итак,
£ = {(*> У), \*\>\У\> x2 + y2^R2}.
Далее,
дг х дг — у
17~ * ~ду~ ’
/21*1
1+(г;)2 + (г„)а= 1/ 1 +
*1 — у* ух2 _ у2
На линиях у=х, у=—х, являющихся границами множества Д ус¬
ловия гладкости отображения (х, у)-+{х, у, |/*2—у2) наруша-
CCV2\x\dxdy
ются. Интеграл \ \ — является несобственным. Для его
D Vх — У*
вычисления — и одновременно проверки сходимости — воспользу¬
емся симметрией множества D и четностью относительно х подын¬
тегральной функции и перейдем к полярным координатам
473
_ Л/4
й! МтШг *■
D 0 0
Я/4
= 2/?ауГ2 Г — d sinI y____ _ 2/^a arcsjn (1/2 sin <p)
J "j/l — 2 sin2 ф
Я/4=я/?2.
0
Итак, площадь данной части конуса равна 2л/?2.
Замечание. Выбор в качестве параметров переменных х и
у потребовал некоторых усилий для нахождения множества D их
изменения. Обратим внимание на то, что условие 2х2—z2^.R2y вы¬
деляющее рассматриваемую часть поверхности конуса, связывает
только переменные х и z. Это подсказывает, что удобнее именно
переменные х и z выбрать в качестве параметров. Используя, как
и выше, симметрию поверхностей, получаем, что |Si|—площадь
поверхности S1 = {(xf Уjc2—z2, 2), 2х2—z2<!/?2, х > z>0} —
составляет 1/8 часть всей искомой площади. Имеем
дх Vx' — z2 д* Vx* — z% 1/дг* —;
R УЩ? _ r ysje
|S| = 8 J dz J 'у^2ДСа ^ = dz =
о
я
= 81/Т 5 z2dz = 2n/?1.
о
Общего правила для перехода от неявного задания поверхно¬
сти 5 уравнением вида F(x, у, 2) =0 и некоторыми неравенствами
на координаты х, у, z к параметрическому заданию 5={г(и, и),
(и, t/)e/)}, вообще говоря, не существует. При таком переходе
необходимо учитывать простоту как аналитического выражения
отображения г: D-v/?3, так и описания множества D. В рассмот¬
ренных примерах неявные уравнения части сферы и конуса при¬
водились к параметрическому представлению просто разреше¬
нием этих уравнений относительно выбранного переменного х, у
или г. Как было показано в примере, выбор этого переменного
определяется удобством представления множества D изменения
параметров.
Рассмотрим еще два класса часто встречающихся поверхно¬
стей.
а) Поверхность вращения. Пусть в плоскости XY задана кри¬
вая x=x(t)t y=y(t)f T0^t^Tu не имеющая самопересечений и не
пересекающая ось ОХ. Поверхность S, полученная вращением
474
этой кривой вокруг оси ОХ, чаще всего параметризуется следую¬
щим образом:
S= {х = х{1), у — г/(/)cosф, z = у (^) sin ф.
Параметры / и ф в этом представлении имеют простой гео¬
метрический смысл. Значение to определяет положение плоско¬
сти, перпендикулярной оси вращения, в которой лежит точка
М*о. Фо)^5, находящаяся на окружности, описанной при враще¬
нии точкой (х(/о)» «/(*о))^Г; значение фо есть угол, на который
надо повернуть вокруг оси вращения точку (х(/0), y(tо))» чтобы
получить точку S0(t0t фо).
Для такой параметризации поверхности S имеем E = x't -{-у ;
G = y2(t)% F = 0, следовательно,
где ds есть дифференциал дуги кривой Г. Для поверхности вра¬
щения имеем t&[TQy Тj], фе)[0, 2л], и ее площадь равна
— формула, которая несколько другим путем была получена при
рассмотрении одномерного интеграла.
Пример. Поверхность S получена вращением части трак¬
трисы * = a(lntg//2-f cos/), i/ = asin/, jc^O, —^.y^.a относи¬
тельно оси OX. Найдем площадь ее части S]y заданной условием
у>а/2.
Решение. Параметризуем поверхность вращения 5, как бы¬
ло указано выше:
S = {a(lntg(//2) + cos/), a sin/cos ф, a sin/ sin ф,
я/2 ^ ^ 5л/6, 0 ^ ф ^ 2л}.
Для кривой x = a(ln tg(//2) + cos/), y = as\nt имеем
ds = a —dty \y(t) \ ds — — a2cos tdt.
sin/ Iyv/I
Из условия y^aj2 получаем, что для S\ параметры / и ф должны
удовлетворять неравенству sin/cos<р> 1/2. Поскольку л/2</<
г^5л/6, то
О ^ ф ^ arccos (1 /2 sin /),
2л—arccos (1/2 sin /) ^ ф ^ 2л.
* = [Го. ЛЬ ф<=[0, 2л]}.
YEG—F2dtd<p^= |//(/)| V х\ + у\ dtdy = \у\ dyds,
475
Итак,
5л/6 arccos( 1 /2 sin /)
\S\= ^ dt ^ (—a2cost)]dy =
я/2 —arccos(l/2‘In 0
5Л/6 2
= —2a2 Г arccos (1/2 sin t) cos tdt = а2 Г arccos (1 ;z) dz =
n/2 I
2
= a* arccos (1 /г) \j L_ j = a2 ^— In (2 + -/3) j.
1
б) Цилиндрическая поверхность. Пусть в плоскости XY задана
кривая T:x=x(t)y y=y(t), t^[T0y Тх]. Цилиндрическая поверх¬
ность (или, коротко, цилиндр) S, образованная прямыми, парал¬
лельными оси OZ и проходящими через точки кривой Г, наиболее
часто параметризуется следующим образом:
S = {x = x(t), y = y(t), z — h, t(€i[T0, Г,], Л e/?}.
Геометрически значение /0 определяет ту образующую цилинд¬
ра, на которой лежит рассматриваемая точка So(/o, h0)^S, а
h0 — отклонение точки s0 от начальной (нулевой) плоскости XY.
Для такой параметризации цилиндра S имеем Е—х\ -I- у\ , G=l>
F = 0. Следовательно,
YEG—F2dtdh = |/ jc'* -f- у* dtdh.
Таким образом, площадь части цилиндра S, определенной ус¬
ловием (/, h)^Dy вычисляется по формуле
г
jc, +yt dtdh. (2)
Поскольку дифференциал ds дуги кривой Г равен ]/"х* 4 y^dt>
то приведенная формула (2) может быть записана в виде
И**
D
Пример. Найдем площадь части цилиндра (*2+г/2)2=
■=д2(х2—у2), если х2 + у2—z2+a2>0.
Решение.
Для параметризации кривой (x2-fу2)2=а2(х2—у2) в плоскости
XY запишем уравнение этой кривой в полярных координатах:
r = a"\fcos2<pt откуда получаем, что
* = a y^cos 2ф cos <р, у -- а^/cos 2ф sin ф,
v у cos 2ф
476
Итак, данный цилиндр параметрически записывается следующим
образом:
{a)/cos2<pcos<p, a)/cos2<psin<p, h\ — я/
<я/4, Зя/4^ф^5я/4, h^R)
и при этой параметризации УEG—F2dq>dh = adydhiYсо$2у.
Используя симметрию поверхностей, видим, что |Si| — пло¬
щадь части данной поверхности, лежащей в первом октанте *>0,
у>0, г>0 составляет Ув часть всей искомой площади. Множест¬
во значений параметров ф и h для Sx определяется условиями
*>0, у>0, z>0,
х*+у*—г* + а*>0,
откуда получаем, что 0^ф^я/4, 0^Л^аугЦ-соз2ф. Итак,
5;1 = {аУсоб2фсо8 ф, а l^cos 2ф sin ф, h\ 0^ ф<я/4,
0 ^ h ^ a Y1 + cos 2ф}
и
я/4 а V 1-fcos 2ф
|S| =8 |Sj| = 8 (* с/ф Г -т^==- —
J J V cos 2ф
о о
я/4 я/4
= 8а2 Г -У?”»» dcp = 8а2 ( ^ (V2 Ф> ^
J к cos 2ф J V1 ~ 2 sin2 Ф
= 8а2 arcsin (ylTsin ф) | ?/4 = 4ла2.
В этом и следующих пунктах будем рассматривать плоские
области D, ограниченные кусочно-гладкими замкнутыми кривы¬
ми. Как следует из предыдущего (см. с. 7), такие области яв¬
ляются жордановыми множествами и для любых ограниченных
функций z=f(x, у) с не более чем счетным множеством точек раз¬
рыва, в частности непрерывных, существует
f(x, у) dxdy.
D
4. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела
Площадь |D| плоской области D (из указанного выше клас¬
са) вычисляется по формуле
dxdy
(как объем жорданового множества, см. с. 417).
477
и
Определение. Тело VczR*, ограниченное сверху непрерыв¬
ной поверхностью z=f(x, у), />0 снизу — плоскостью 2=0, а с
боков — цилиндрической поверхностью, с образующими, парал¬
лельными оси OZ, вырезающей на плоскости XOY область D ука¬
занного выше типа, будем называть цилиндроидом. Такое тело яв¬
ляется жордановым множеством и его объем \V\ вычисляется по
формуле
1^1 = У) dxdy.
О
Таким образом, вычисление площадей плоских фигур и объ¬
емов цилиндроидов сводится к вычислению двойных интегралов,
которое подробно было рассмотрено в начале этого параграфа.
Пример. Найдем площадь S области, ограниченной кривыми
*а+*/а=1. х2 + у2 = 2, у = 2х, у = Зх,
находящуюся в первом квадранте.
Решение. Способ 1. Область, площадь которой надо найти,
представлена на рис. 77. Найдем точки пересечения прямых с ок¬
ружностями. Соответственно имеем
^■АИ/Т-тНтт^)'
c(/f /!)•
Заметим, что абсциссы точек В и С одинаковы. Представляя об¬
ласть Dx в виде объединения областей двух криволинейных тре¬
угольников ABC и BDCy находим площадь искомой области сле¬
дующим образом:
47*
1/ Y5 Зх V2/5 Y2-х*
5= J dx ^ dy+ ^ dx j dy —
1/ Ylo YT^T* I/ Yl 2X
\/Yb Y 2/5
= j (3*—-|/n^72)d*+ ^ (/2^7a—2x)dx =
1/ У1о 1/ /5
3** JC ^ 1 — xa 1
—— arcsin x
2 2 2
vVb
1/ /To
X v 2 —X* X
1 .1 1,1
Г7=г = —- arctg —
V 2
^ 2/5
1/ /Б
=— arcsin
2 51/2 2 7 ‘
Способ 2. Граница области D{ составлена линиями уровня
функций /(*, у)=х2 + у2 и g(xt у)=у/х. Введем новые неизвест¬
ные и=х2+у2 и v=yjx. Отображение ср : и=х2 + у2, v=y/x есть би¬
екция области Z), на область
&2 = {(и* w): 1 < w < 2, 2 < у < 3}.
Поскольку
D (и, и)
Д(*, у)
2* 2 2У 1=2 + —= 2 4- 2у2,
-{//дс2 1/дс J х2
D (*, I/) 1
то — = и, следовательно,
D{u,v) 2(1-fua)
f f dxdy = f Г - ^x* y^ dudv — f f dudv•=
JJ * JJ D(u, v) JJ 2(1 + ^)
D| Dt Da
2 3
= [du Г dv = — (arctg3 — arctg2)= — arctg — .
J J .2(1 + v*) 2 2 7
1 2
Способ 3. В полярной системе координат имеем
Di={(r> ф):1<г<У2, arctg2<ср<arctg3}.
Следовательно,
arctg 3 Y 2
5 = j* dy ^ rdr= --- (arctg 3 — arctg 2) = arctg
•rctg 2 1
Из всех предложенных способов третий, как видно, является са¬
мым простым.
479
Пример. Найдем площадь 5 области, ограниченной кривой
bx* -f ау% = 6с2хАу.
Решение. В силу симметрии кривой, ограничивающей дан¬
ную область, относительно оси OY рассмотрим кривую только в
первом квадранте (поскольку «/>0); положим
хшк(у/Т>)~~] г cosl/3 ф, у = (УаГ1 гsin,/3ф,
тогда в обобщенной полярной системе координат уравнение дан¬
ной кривой имеет вид
f = 6са cos4/3 ф —g—sin^3ф = i4 cos1,3 фsin1,3ф,
Поскольку якобиан при переходе к новым координатам равен
Пример. Найдем объем тела, ограниченного поверхностями»
у/ Ь* V а
где
А -
у Ьха
— г cos~2/3фsin—2/3 ф,
то
0
при условии, что k ^ ——Ь ^ k + 1, k El N.
а% Ь%
Решение. Объем данного тела найдем по формуле
V= ^ |г| dxdy, где D= |(jc, у): k < -^г + -^г ^ к f 1} •
D
Введем новые переменные г и ф по формулам
X = Of COS ф, 4/ = sin ф.
Тогда в силу симметрии области D и четности функции
относительно обоих переменных имеем
я/2 УЩ Yk+i
V = 4 j d<p ^ rabc | sin я/-21 dr= Aabc J л |sin яг2|
• Vk Yk
= 2nabc ———— (cos яг2) =
2я ; Yl
= abc(— 1 )*+* (cos я (6 + 1)—cos nk) = 2afc (— 1 )*+2 cos я£ = 2 abc.
5. Механические приложения двойного интеграла
Пусть скалярная величина P(D) распределена на жордановой
области D с плотностью р(х, у), являющейся непрерывной функ¬
цией, тогда
где р(х, у) — плотность распределения массы области D (р не¬
прерывна и неотрицательна в D) и г(ху у) — расстояние точки
М(х, y)^D до некоторой прямой Q, называются моментами по¬
рядка к области D относительно прямой Q.
Масса М пластинки D с плотностью р — момент нулевого по¬
рядка — вычисляется по формуле
Моменты первого порядка называются статическими момента¬
ми, моменты второго порядка — моментами инерции. Координа¬
ты центра масс области D с плотностью р(jc, у) вычисляются по
формулам
Моменты инерции Sox и области D с плотностью р(jc, у) от¬
носительно осей ОХ и ОУ соответственно находятся по формулам
D
Интегралы
&Q1 = J j Р (*, У) rkdxdy, k^N,
D
М = <>/(0) ~ j J p (.t, y) dxdy.
D
y) dxdy.
D
D
481
Иногда рассматривается в приложениях центробежный момент
инерции
tfxv=SJp(x. у) xydxdy
D
и момент инерции относительно точки 0(0, 0)
вХ = (*, У)(х2 -I- уг) dxdy.
Пример. Найдем моменты инерции относительно осей коор¬
динат однородной пластинки плотности р, имеющей форму обла*
сти, определенной неравенствами
(*• + 0*)* <2ап/, *>0.
Решение. Данная пластинка, занимающая область D, изо¬
бражена на рис. 78. Уравнение кривой (х2-\-у2)2=2аху, располо¬
женной в первом квадранте, в полярной системе координат, сов¬
мещенной с декартовой системой, есть
r = aYs\n2(pt л/2.
В силу симметрии пластинки относительно биссектрисы первого
координатного угла имеем
я/2 a Vsln 2ф
&ох = &$ = Р^хгс1х(1у = р ^ dy J г8cos2ydr =
D 0 0
я/2 Я/2
= ^ 51па2фсоз2ф^ф^=ра4^ sin2 ф cos4 ф^ф =
^ Р Д4 Г (3/2) Г (5/2) = яр
2 Г (4) 32
482
Пример. Найдем массу и координаты центра масс однород¬
ной пластинки плотности р, представляющей собой замкнутую об¬
ласть, определяемую неравенствами
+ х —0, х—2у ^ 0, х>0.
Решение. Область D, определяемая данными неравенствами,
изображена на рис. 79.
Перейдем к полярным координатам Jt=rcos<p, t/=r sinqp. Тог¬
да, поскольку
< ВОС = arctg (1/2), < АОС = n/4t
имеем
Я/4 6з1пф л/4
M = = p j Жр ^ rdr=18p J sin*фс/ф =
О arctg<l/2) О
sin 2у ^ |*Л
|arctff(l/2)
arctg(l/2)
= 18р (J-ф—\Г
Р I 2 4 4 Л.
= I8p(i i ^arc,gT+_5")=9f)(ardg‘T i?)-
^ я/4 6sl Лф
*o = — P xdxdy = ^ dip ^ r* cos <pdr =
0 arctg(1/2) 0
я/4
J 12Af |aretg(l/2)
arctg(l/2)
21 ]
л/4 6sl п<р
1 ГГ - . n
Уо
!грй ydxdt/=~ir 1 d<p j r2sin<pdr=
D
Я/4
^ sin 4ф^ф —•
M
D arctg (1/2) 0
6’p Г • 3 arctg —— 25
= ^ i s,n‘9d<p = j —•
arclgU/2) arctg — —
Иногда при решении задач полезно использовать следующие два
утверждения (теоремы Гульдина):
1. Величина поверхности, полученной от вращения кривой от¬
носительно не пересекающей ее оси, равна длине дуги этой кри¬
вой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяже¬
сти кривой.
2. Объем тела вращения плоской фигуры относительно не пе¬
ресекающей ее оси, равен произведению площади этой фигуры на
длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.
Пример. Площадь поверхности S, полученной от вращения
однородной арки циклоиды
L={(x, y):x = a(t—sin/), у-= а (1 — cos/), 0 ^ ^ 2л}
вокруг оси ОХ есть
2Я
|5| = 2л ^ а2 (1 — cos t)Y(l — cos О2 + sin2 tdt —
о
2л
= 2na2J 4 sin3у dt= 64*й‘
О
Площадь фигуры S\, ограниченной кривой L и осью ОХ, есть
| Sx | = Г а2 (1 —cos t)2 dt = Зла2.
2л
-\ё
Длина L есть
2я
|L| = 2a ^ sin-~-<f/ — 8a.
Объем тела V, полученного при вращении фигуры Si относитель¬
но оси ОХ, есть
2 я
\V\ = яа3 ^ (1 — cos /)3dt = 5л2а3.
464
Применяя первую теорему Гульдина, для нахождения коорди¬
наты т] центра тяжести дуги имеем соотношение
64
4
\S\ = 2лг|8а, откуда г\ = -— = — а.
lOTUJ о
В силу симметрии и однородности циклоиды имеем £=яа. Итак,
центр тяжести кривой L находится в точке (яа; 4/зя).
Применяя вторую теорему Гульдина, для координаты г\ цент¬
ра тяжести фигуры Sx имеем соотношение
| V | = Зла3 2ял, откуда г\ = -5—- = — а.
бпаа* 6
В силу симметрии и однородности площадки имеем £=л/а. Итак,
центр тяжести фигуры Sj находится в точке ^яа; -jj- а^.
В тех случаях, когда заранее известно положение центра тя¬
жести, теоремы Гульдина можно использовать для определения
площади поверхности вращения и объема тела вращения.
Рассмотрим, например, тор, т. е. тело, ограниченное поверх¬
ностью
х = (а-{ b cos и) cos и, у= (а + 6 cos и) sin и, z = b sin v, (а>/?).
Это тело получено вращением относительно оси OZ круга с
центром в точке (а, 0, 0) и радиусом Ь. Центр масс окружности
лежит в ее центре, т. е. в точке (а, 0, 0), длина окружности есть
2лЬ. Следовательно, по первой теореме Гульдина площадь по¬
верхности тора есть |5|*»4я2аЬ. Центр масс круга лежит также в
его центре, т. е. в точке (а, 0, 0), и при вращении описывает
окружность длиной 2ла, площадь круга есть лЬ2. Следовательно,
по второй теореме Гульдина объем тора есть |У|=2л2Ь2а.
§ 3. тройной интеграл, его геометрические и
МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Общие свойства. Теорема Фубини
При рассмотрении интегрального исчисления функций f:R*-+
-►/? проблемы, аналогичные тем, которые были подробно проана¬
лизированы в предыдущем параграфе для функций f:R2-+K, раз¬
бираются более бегло, чтобы заострить внимание на особенно¬
стях именно тройного интеграла. Функцию f:D-+R, DczR8 будем
обозначать /(jc, у, z) и по большей части не будем специально ого¬
варивать, что рассматриваемое множество D лежит в R3.
Фактически анализ трехмерного интеграла мало чем отличает¬
ся от анализа л-мерного интеграла для произвольного л>3, так
как наглядные геометрические представления в основном уступа¬
ют место аналитическим соотношениям.
485
Непосредственно пз определения тройного интеграла следует,
что если и множество D симметрично относительно плос¬
кости XY (XZ, YZ), то из равенства f(x, у, z)=f (x, у, —z)
(/(*. У, *) = /(*. —У, г), f(x, у, z) = f (—х, у, г))
следует, что
/ (х> У, г) dxdydz = 2 ^ f(x, у, z) dxdydz,
где
01 = 0Л{(*, У’ *)• г>°)>
(Dt = D П{(*. у, г), у^О), D, = D П<(*. у, z), х^О}),
а из равенства
f(x, у, г)=—1(X, у, —г)
(fix, у, z)=—f(x, —у, z), f(x, у, z) = /( дг, у, г))
следует, что
f(x, у, г) dxdydz = 0.
Вычисление тройного интеграла производится с помощью тео¬
ремы Фубини (см. с. 421). Пространство Rz представляется де¬
картовым произведением двух пространств меньшей размерности
двумя способами: Rz=RlxR2 и R*=*R2xRl. Подробно рассмот¬
рим представления R* = R(X,y) X /?{*> и /?3 = /?{г) х R(X,y), посколь¬
ку все остальные варианты представлений /?3 получаются из этих
двух перестановкой обозначений осей координат. Сформулируем
теорему Фубини для рассматриваемых представлений в простей¬
ших условиях на множество интегрирования и интегрируемую
функцию. За исключением единичных случаев, именно эти условия,
дополненные свойством аддитивности, применяются для вычисле¬
ний.
Теорема Фубини (для представления R* = R2(x.y) х /?}*)).
Пусть D0с= /?(*.у)—замкнутое жорданово множество, ф^Сфо).
ф2еС(Л0),
<M*. yX<Pt(x, У), (*, y)^D0f D = {(*, yt z)\(xy у) e De,
Ф1С*» 0Х*<ф2(*. у)}, fEC(D).
Тогда
J С J f (x, у, г) dxdydz = ^ dxdy ^ f(x, y, z)dz.
D О, ф, (x,y)
486
Отметим, что при данных условиях множество D жорданово
<Р| <*.*)
собой непрерывную функцию на D0, следовательно, все интегра¬
лы, входящие в равенство, имеют смысл.
Пример. Область D ограничена плоскостями
* = 0, £/ = 0, x + y + z = at х -f- у z = а.
Вычислим тройной интеграл
Решение. Найдем систему неравенств, которой удовлетворя¬
ют координаты точек М(х, у, z)eb. Плоскости х+ y + z=a и Jt-b
+у—z=a пересекаются по прямой jc+t/=a, 0, следовательно,
для точек М(х, у, z)^D или х+у>а и —(*+*/) +a<z<x+y—а,
или и х+у—a<z<a—(х+у), иначе одна из плоскостей
х+у+z=at x+y—z=a окажется в условии лишней. Условия
х+у>а, а—(x+y)<z<x+y—а при любом условии на знак коор¬
динат х и у определяют неограниченную область, следовательно,
для характеристики координат М(ху у, г)еО нужно взять нера¬
венства х+у<а, х+у—a<z<a— (х+у). Если при этом хотя бы
одна из координат х или у отрицательна, то опять получаем не¬
ограниченную область. Итак,
(см. свойство 4 с. 8), интеграл
/(jc, у, z)dz представляет
D
пользуясь его представлением в виде
° = У. г)> (*. y)^Do< x + y—a<z<a—(x + y)},
где
Ц> = {(*. у). *>0, У> о, х+у С а) (см. рис. 80).
Применяя теорему Фубини, получаем, что
= (Jc+^arctg (* —dxdy'
487
Применяя теорему Фубини к двойному интегралу, получаем,
+ arctg ^ 1 — у ^ dxdy =
о.
а а—х
=-^-^dx j (х + у) arctg ^1 'jdy.
Далее,
а—х
2 J (х у)arctg ^ 1 dy = ^2t arctg ^1 Л =
О х
- /■ arcfe (1 - i) [ +1 a, + „■ dt jc* arctg (1
X
+ a(a—*)—a*ln ^1 4- f °~X )“) •
j jL arc,8 (l - JL) l„ (I + (^.
0
1
= a ^ [at — a(l — tf arctg / — a In(1 +12)] dt =
dx —
1 1
_Мп(1гм,)1Н|т+?Г<“]=<'*[т + i-j('+9)<«-ln2+
О О
+ -L С_JL_ dt _ JL Г_J"_1 = а» (А _ А1 п 2 _ JL \.
3 J 1+<» 3 J 1 +/* J \ 3 3 3 )
О в
Теорема Фубини (для представления R3 = R\z> х /&,*)).
Пусть D — область, ограниченная кусочно-гладкой замкнутой по¬
верхностью без самопересечений, и f^C(D). Тогда
У< 2)dxdydz = ^dz^f(x, у, z)dxdy,
d' р Dt
где интервал (р, q) есть ортогональная проекция D на ось OZ;
£)*„ = {(*, У, *): (*, у, z)eD, z = z0) есть пересечение D с плос¬
костью z=z0 (сечение D горизонтальной плоскостью z=z0).
Отметим, что при данных условиях множества Dz, ze(p, q)
ограничены кусочно-гладкими замкнутыми кривыми без самопе¬
ресечений (связность Dz необязательна), следовательно, являют¬
ся жордановыми множествами так же, как и область D (см. свой¬
ство 6 с. 8); интеграл У у z)dxdy представляет интегри-
к
руемую (необязательно непрерывную) функцию на (р, q), следо¬
вательно, все интегралы, входящие в равенство, имеют смысл.
Пример. Область D ограничена цилиндрами x2+z2=а2 и
i/2-f z2=a2. Вычислим тройной интеграл
dxdydz
%
2а+2
Решение. Подынтегральная функция f(x, yt z) =l/(2a-fz)
зависит только от переменной z. Представим данный интеграл в
виде ^ ^ - dxdy. Так как ограниченная область D ле¬
жит внутри обоих цилиндров, то координаты точек М(х, у, z)^D
удовлетворяют неравенствам х2+z2<a2, y2 + z2<a2 (рис. 81, а) .
Отсюда получаем, что ортогональной проекцией D на ось OZ яв¬
ляется интервал (—а, а) и
D = {(x, у, г) : —a<z<a, (х, y)t=Dx},
где
£* = {(*. гл «):«=*, \x\<v а*—г* , \y\<Y о*— 2* }
(см. рис. 81, б).
489
Итак,
ffi^r= WH?r-
D -a Dz
Величина ^^dxdy есть площадь квадрата Z5z, следовательно
j-
2a-\- z
-a D
2 a-f z
dz =
= 4 J(2a—z)dz— 12a® ^ 2Д— = 4а* (4~3 ln 3)'
Va2-z?
1§
1
У -Vo5^7
Ip
Я
\
Yaz-z*
s)
Рис. 81
Пример. Тройной интеграл $^/(*» У« *)dxdydz, где D —
область, ограниченная поверхностями a(x2-fy7)=*xz(a—г),
—at/, yz=*ax и содержащая точку Af0(a/8, a/12, a/2) и f^C(B),
представим в виде повторного:
У* z)dxdy-
р оя
Решение. Координаты *о=а/8, |/о=а/^2, z0=*a/2 точки Мо
удовлетворяют неравенствам
л (*о “Ь (/о) ^ (а—*о). х<?о<ау0, Уо£о<^ох0.
490
Следовательно, для координат х, у, z любой точки из области D
должны выполняться неравенства:
а(х2 + У*)<хг(а—z), xz<ayt уг<ах.
Так как левая часть первого неравенства неотрицательна, то от¬
сюда получаем, что или 0<z<a и х>0, или
ze( — оо, 0)U(а, +оо) и х<0. Условия *<0, z<0, xz>ay>
yz<ax и jc <0, z>a, xz<ay, yz<ax
определяют неограниченные области.
Следовательно,
Я = У> z):*>0, 0<z<a, а(л:2+r/a)<jtz(a—z), xz<ay,
yz<ax).
Отсюда видно, что ортогональной проекцией D на ось OZ являет¬
ся интервал 0<z<a. Фиксируем z0e(0, а), тогда пересечением
области D с горизонтальной плоскостью z=z0 является плоская
область
D*, = {(x> У> z)t z = z0, а (*а + у2) ^ xz0 (a —z0), xz0<ay, yz0<ax)f
т. e. часть круга с центром в точке ( Z° —7".?°) , 0, z0j и радиу¬
сом ^ , лежащая в плоскости z=z0 между прямыми
xz0=ay и yz0^ax (см. рис. 82). Итак,
а
Ф
/ (х, у, г) dxdydz— ^dz\^f(x, у, z) dxdy.
0 Dz
Пример. Вычислим тройной интеграл zdxdydz, где Z) —
Ь
область, ограниченная частями плоскостей z—0, z«a, z=3a,
частью параболоида az+ (x2-fy2)=2a2, лежащей между плоско¬
491
стями г=0 и 2=а и частью конуса z2=3(x2+(/2), лежащей между
плоскостями г=а и 2=3а (см. рис. 83, а).
Решение. Из условия видно, что ортогональной проекцией
области D на ось OZ является интервал (0, За), а горизонтальная
плоскость z=z0 пересекает D по кругу, радиус которого равен
У 2а2— аг для 0<z<Ca и z/У3 для а^2<3а. Следовательно,
Ф(2)
лг(2а2 — аг), 0<z<a;
лг3/3, а^2<3а.
Функция Ф(2) разрывна в точке г=а, но интегрируема на (0, За)
(см. рис. 83, б) . Окончательно,
За
пг3 .
dz =
zdxdydz = ^ (D (z) dz = ^ (2ла2г—лаг2) dz + J
ООО a
4 яа4 , 27ЛЯ4 яа4 22 4
= л a4 = ла4.
3 4 12 3
Запишем двойной интеграл в представлении тройного интегра¬
ла как повторный. Тогда тройной интеграл
[ j f (х, у, г) dxdydz = ^ dxdy ^ f С*. У. z) <&="
Ъ(х,у)
^dz^f(x, у, z) dxdy
492
представится в виде трех последовательных одномерных интегра¬
лов:
} *LX) *u.ir)
У• z)dxdydz = § dx \ dy ^ f{xt y9 z)dz =
D a vti x) *t(x,V)
d xt (и) ф %{x,y) Q X.(2) p,(X,2)
= Jdy \ dx ^ f(x, y, z)dz = ^dz | dx ^ f(x,y,z)dy =
« *Jv) *i(*.0) P *»(*) У |(X,2)
f M*) *«(&•*>
= ^ dz j dy ^ f(x, y, z) dx,
p ил*)
где xlt yit <pi=l, 2, — некоторые функции соответствующих ар¬
гументов.
Используя представления R3 = R2(y,z) X R\X) и R* = Я?*,*) X /?{У),
получаем еще две возможные последовательности одномерных ин¬
тегралов:
d *,(У) Xt(y,z) Ъ *,(*) у.(х,*)
^ dy f dz ^ /(х, у, z)dx, ^dx \ dz f(x, y, z)dy,
С *|(У) d *,(*) VtCx.z)
где Zi, jc*, — некоторые функции соответствующих аргументов.
Каждому такому представлению тройного интеграла
yt z) dxdydz соответствует определенная форма записи
условий на координаты точек М(х% у, 2)eZ):
£>={(*. y,z):as^x^b, У1 (х)< у < уа (х), ф1(х,у)<г<ф,(х,у)};
D={( x, у, z):c<y<d, x, (y)< x < x* (y), (x, y)< z < ф, (x, y)};
D = {(x, y, z):p<z<<7, Xj(*x*^*a(z). l/i(*. г)<у<у,(х, z)};
D={(x, y,z):p<z<<7, yi(z)<y<y2(z), x^y, z)<x<x8(y, z)};
D = {(x, y,z):c^y^d, zt(y)<z<z2(y), x^y, z)<x<x2(y, z)};
D = {(x, y, z):a<x<ft, zx(x)<z <z,(*), yt(x, z)<у<y„(x, z)},
и, наоборот, запись тройного интеграла в виде трех последова¬
тельных одномерных определяет соответствующие неравенства на
координаты точек множества, по которому берется интеграл.
Представление тройного интеграла в виде последовательности
трех одномерных будем называть расстановкой пределов в трой¬
ном интеграле. При этом, как и в двумерном случае, подразуме¬
вается требование, чтобы функции, определяющие границы одно¬
мерных интегралов, были гладкими.
493
Каждая последовательность одномерных интегралов, пред¬
ставляющая данный тройной интеграл, может быть получена дву-
Ь у,{х)
тля путями. Рассмотрим, например, интеграл ^ dx dy X
а у i(x)
фЛх.у)
х ^ f (jc, I/, z)dz. Такая последовательность одномерных инте-
гралов получается из повторного интеграла
Ф »(*.У)
^ § dxdy ^ f{x, у, z)dz=W<I>(x, у) dxdy
Ь. ф» {х.у) D#
при представлении двойного интеграла ^ Ф(*, у) dxdy в виде
6 У,1Х> £
^ djc ^ Ф(jc, r/)djc и из повторного интеграла У» z) dydz
a yt{x) * a Dx
при представлении двойного интеграла ^ /(х, (/, z) dydz в виде
D
X
«/•(*) ф»(*.*г)
I dy I f(x< у- z)dz-
0iU) Ф»(*.У)
Эта двойственность позволяет свести решение задачи перестанов¬
ки порядка интегрирования в тройном интеграле к перестановке
порядка интегрирования в двойном интеграле, меняя местами ли¬
бо первые две, либо последние две из трех координат. Преимуще¬
ство такого метода в том, что решение задачи перестановки пре¬
делов интегрирования в двойном интеграле существенно облегча¬
ется наглядным геометрическим представлением соответствующе¬
го множества на плоскости, а геометрическое изображение про¬
странственной области на плоскости страницы или доски из-за не¬
избежных искажений часто не облегчает, а затрудняет переход
к нужным неравенствам на координаты точек рассматриваемого
множества.
Пример. Расставим пределы интегрирования во всех воз¬
можных порядках в тройном интеграле У» z)dxdydz, где
D
D — область, ограниченная поверхностями х=0, х=а,
у = 0, у = У~ах, z= 0, z = х + у, f<=C(D).
Решение. Данные поверхности являются границами ограни¬
ченной области
D = {(x, у, z):Q<x<a, 0<y<Yax, 0«Cz<x+y}.
Из этого представления области получаем, что
a Vox x-j-y
а) у’ z)dxdydz = ^dx ^ dy ^ f(x, y, z)dz.
494
где
где
Запишем:
D = {(X> у. *):(*. !f)eD«, 0<г<х + у},
к
0# = {(х, у) :0<х<а, О<у<Уах)
D={(x, У, г) : О<х<а, (у, 2)eDJ,
Da = {(y. Z): О<У <Yax, О<г<х+у).
Этим представлениям D соответствуют представления тройного
интеграла
/('». У- г)dxdydz = ^dxdy | f(x, у, z)dz= Ф(*. y)dxdy
И
^ f(x, у, г) dxdydz =^dx'\^f(x, у, z)dydz.
Чтобы изменить порядок интегрирования в интеграле
^ Ф(х, у) dxdy, сделаем чертеж множества D0 (см. рис. 84)i f
откуда получим, что D0 = ((x, у): 0<I/<а, у21а<х<а} и, следо¬
вательно,
б) ^ f(x, у, z)dxdydz — dxdy ^ /(дг, у, z)dz =
D Dt О
а а х+у а
= ldy I dx \ НХ'У' z)dz=i\dy\\f(x’ У» i)ixdz,
о ir/a X S Ъи
где
Oy = {(Xf г): */а/а<*<а, O^z^x + y).
495
Сделаем чертеж множества Dy (см. рис. 85) . Из этого черте*
жа получаем, что
D„ = {(xt z): 0<z<f/ + t/2/a, t/2/a<*<a}U
U J(x, г): y+-^-<2<t/ + a, z—y^x^a
и, следовательно,
о У~\~У*1а а
в) У' 2) dxdydz ='\>dy j dz
a p+a a
+ [dy j dz ^ f (x, y, z)dx=^dydz J f (x, y, z)dx-\-
o V+V*!<* z—V D* u*/a
a
+ j^dydz j f{x, y, z)dx,
°’o
где
D0 = {(У, 2): 0 < 1/ < a, 0<2<t/ + у* la),
D’o={(y, 2):0<(/<a, y + yVa^zs^y + a).
Сделаем чертеж множества D0 (см. рис. 86) . Из этого черте¬
же получаем, что
Ц> = {(У> г) : 0<z<2a, */(г)<*/<а},
где y(z) = (У а2-]- 4аг —а)—решение уравнения у2 -f ay — az = О*
удовлетворяющее условию [/(г)> 0.
496
Г /(*, у, Z)<&4-
y'f*
Следовательно.
а
^jdydz ^ /С*. У, z)dx = fdz j dy ^ f(x, у, z)dx.
2 а
D9 y'/a 0 y(z) у%/а
Сделаем чертеж множества D0* (см. рис. 87). Из этого черте¬
жа получаем, что
£>о = {(*Л 2): 0 <z*Ca, ®<:У<У(г)) U
U{(!/• z):a<z<2a, z-a^y^y(z)}
az= ау+у
Рис. 87
к, следовательно,
а л у(2) а
^dydz ^ f(x, у, z)dx = ^dz 5 dy J f(x, у, z)dx +
0 0 z—y
o' *-»
2a y{z) a
+ ^dz 5 dy ^ / (at, y, z) dx.
а г—a z—y
Объединяя полученные равенства, получаем, что
г) 55$/(*. У, z)dxdydz = dydz j f(x, у, z)dx +
D D# y*/a
2a a a
+ J5 dydz 5 /(■*. y, z)dx =5 dz § dy ^ f(x, y, z)dx +
D• *~V о y(z) y*/a
0
a y{z) a 2 a y(t) a
+ ^dz 5 dy 5 f{x, У. z)dx + ldz 5 dy 5 f(x, y, z)dx.
Ш 0 a—|f e z—a
497
Возьмем теперь равенство
U ^ / (X, у, г) dxdydz = j dx j j / (x, y, z) dydz,
d о dx
где Dx = {(y, z) :0^.у^.Уах, O^z^jc + i/} и сделаем чертеж
множества Dx (см. рис. 88) . Из этого чертежа получаем, что
At ={(</. z):0<z<jc, 0<у<Уал:}и
U{(у, г): + . 2—xs^y^Yах)
и, следовательно,
а х V ах
Д) У' z)dxdydz = ldxldz j f(x> У> z)dV +
а х-\- V ах Vах Vах
+ J dx J dz ^ f (дс, у, z)dy= dxdz j /(дс, у, z)dy +
О х г—х D# О
\Гах
+ ^ j dxdz j /(дс, у, z)dy.
где
D0={(x, z) : О^лг^а, O^z^a:}
Do—{(x, z) : 0^.x^.at jc^z^jc + i/ojc}.
Сделаем чертеж множества D0 (см. рис. 89) . Из этого чертежа
получаем, что
D0 — {(x, z) : O^zs^a, z^x^ia}
498
И, следовательно,
YTx
Vox
J^dxdz ^ fix, y, z)dy = ^dz^dx J f(x, y, z)dy.
D9 0 0 2 0
Сделаем чертеж множества D0* (см. рис. 90) . Из этого черте*
жп получаем, что
0Ц = {(х, z):0<z<a, *(z)<a:<z}U
U{(x, г) : a<z<2a, x(zX*<a},
где *(z)==iJL(2z + a—Уа2 + 4аг) —решение уравнения х+ Уах=г*
Следовательно,
Vox
V ах а г Vox
lldxdz J Кх' у■ = I ^ S y* z)dy+
d! * 0 *i2) z—*
2a
/ojc
+ J* j <i* J /(*, y, z)dy.
a *(*) ж— x
Объединяя полученные равенства, получаем, что
а а УТГх
е> У’ z)dxdydz = ^dz^dx J f(x, у, z)dy +
D 0*0
а ж Vox 2a a Vox
+ jdz J dx j f(x, y, z)dy+^dz [ dx J f(x, y, z)dy.
0 *(z) z— x a *f?) *—x
499
Равенства а), б), в), г), д), е) и дают все возможные вариан¬
ты расстановки пределов интегрирования в рассматриваемом
тройном интеграле.
Пример. Функция /eC(D), где D={(x, уу z):0cx<a, Ос
0<2<(/}. Проверим равенство
^ dx ^ dy ^ f (х, у, z)dz=^dz j dy j f (x, y, z)dx.
0 0 0 0 z у
Решение. Задача сводится к изменению порядка интегриро¬
вания в тройном интеграле. Если проводить решение методом пе¬
рестановок соседних переменных, как в предыдущем примере, то
потребуется сделать три перестановки: xyz-+yxz-+yzx-+zyx. В дан¬
ном случае, когда промежуточные перестановки нас не интере¬
суют, а условия на переменные ху уу z достаточно просты — все
неравенства линейны, — можно провести нужную перестановку
аналитически, не прибегая к геометрическим соображениям. Дей¬
ствительно, из совокупности всех трех неравенств следует, что ми¬
нимальное возможное значение 2 есть 0, максимальное — а, т. е.
0Из первых двух неравенств получаем, что максимальное
значение у есть а, а из третьего, — что при фиксированном г
должно быть 2<//, итак, Наконец, из первого и второго
неравенств следует, что у^х^а. Итак,
D = {(xy уу z): 0a, z у^х^.а)
и, следовательно,
^(dx^dy^Kx, у, z)dz —
D U 0 О
а а
dz 1^1 ^х' у' z'>dx"
О г у
Характерные ошибки в решении задач на расстановку преде¬
лов интегрирования те же, что были подробно разобраны при рас¬
смотрении двойного интеграла (см. с. 451).
2. Замена переменных. Переход к цилиндрическим,
сферическим и обобщенным сферическим координатам
Так же, как и в двойном интеграле, основной проблемой при
замене переменных в тройном интеграле является нахождение
множества значений новых переменных.
Пример. Вычислить интеграл Дирихле
хpyqzr (1 — х—у—zfdxdydz,
D
m /(*. У. г) dxdydz
500
где D — область, ограниченная плоскостями x+y+z= 1, jc=0,
у=0, 2=0, полагая x+y+z=u, t/H-z=hu, z=uvw.
Решение. Данные четыре плоскости являются границами
ограниченного множества D = {(jc, у, z), jc>0, i/>0, 2^0, * + */ +
+ z^l}. Так как минимальные значения jc, у и z равны 0, то и
минимальные значения иу v и w равны 0. Из соотношений х+у+
+ z=ut jc-ft/-fz< 1 следует, что и<1. Так как минимальное значе¬
ние х равно 0, то при фиксированном и максимальное значение
уz равно и, отсюда и из соотношения y+z=uv следует, что мак¬
симальное значение v равно 1. Так как минимальное значение у=
=0, то максимальное значение z при фиксированных и и v равно
uvt отсюда и из соотношения z=uvw получаем, что максимальное
значение до равно 1. Итак, точкам (jc, у, г)е5 соответствует мно¬
жество точек (иу и, w) : Di={(ut и, w) : 0^у^ 1, 0s=^m4^1, 0^
Выражая х, уу z через ы, v> w, получаем, что отображе¬
ние ф:D]-+D есть х=и( 1—и), y=uv( 1—ш), z=uvw. Якобиан ф
равен
1 —V —и
0
1—V —и
0
1
0
0
V—VW и — UW
— UV
=
V и
0
=
V
и
0
= U2V.
VW UW
UV
VW UW
UV
VW
UW
UV
Биективность отображения ф нарушается на ребре у—0, 2=0, 0<
<х<\ пирамиды D, при этом точка jc=0, i/=0, z=0 является об¬
разом квадрата: и=0, 0<у<1, 0<ai<l, а точка jc=jc0>0, у=0,
z=0 — образом отрезка и=х0у 0=0, 0<о;<1. Применяя вторую
теорему о замене переменных в кратном интеграле, получаем,
что
^^Pr/V(l—jc — у—zfdxdydz —v)p uqvq X
D Dt
X (1 — w)q urifwr (1 — u)su2vdud.dw =
l l l
= JuP+«+r+2 (1 —u)s du ^(l—v)pdv^uf (1 —w)gdw =
о о и
i i
== ^ цр-та-f —uy du ^ B(r+ 1» Я + l)t^+r+1 (1 =
i
• Бета-функция Эйлера В (x, у) = ^ (1 — dt связана с гамма-фун-
Г (х) Г (у)
кцней соотношением В (х, у) = ;
Г (* + !/)
501
= В(/-+1, Я+ 1)^иР+ч+'+Ц\—иуВ(д + г + 2, p+l)du =
— В(г+1, q-^-\)B(q-{-г-\-2t р-{-\)Ъ(р-\-q-\-r-\-3t s+1) —
= Г (г 4- 1) г (д 4- 1) г (д + г + 2) Г {р + 1) Г (р + д 4- г + 3)Г (s + 1)
Г(г4-<74-2)Г(<7 4-/’4-Р-|-3)Г(р4'<7 + г 4" s 4- 4)
= Г (54-1) Г (г 4-1) Г(</4-1)Г(р + 1)
T(p-h<7 4-r4-s4-4)
Замечание. При вычислении интеграла
мы пользовались тем, что множители, не зависящие от перемен¬
ной интегрирования, можно выносить за знак соответствующего
интеграла по этой переменной.
Рассмотрим наиболее часто применяющиеся преобразования
переменных в тройном интеграле.
1. Границами множества D являются поверхности уровня трех
независимых функций qpt(*, у, z)=a* и <?*(*, у, z)=bit i= 1, 2, 3.
Тогда
£>={(*, у' г):а,<ф1(х, у, г)<6ь а2<Ф2(*, у, z)^b2t
<*з<Фа(*. У• 2)<Ь3}
и отображение ф:к=ф!(х, t/, z), и=ф2(л\ у, г), ш=ф3(дг, у, г) регу¬
лярно. В этом случае переход к переменным ы, v, до переводит
множество D в промежуток
/ = {(а, и, а2<и<Ьа, а8<до<68}
и
о
мр+«+г+2 (1 — u)s (1 —v)p xsf (1 — до)* dudvdw
где
f*(u, V, w) = f(x(u, 0, до), */(и, и, до), z(u, у, до))
и ^—якобиан отображения \|) !.
Пример. Вычислим тройной интеграл
D
где
D = {(х, у, z) : 0 ^ х ^ у ^ Зл:, 0 ^ г ^ 3 (jc 4 //) ^ 6г,
l<4z(jt + t/)<4}.
502
Решение. Рассмотрим отображение
w=z(x + y).
v = -Z±±
х г
Тогда получим 1<и<3, '/з<^<2, lU<w<U отображение
у-1: х = Уии>/(и+ 1), y = uYvw/(u+ 1), z = Vw}vt
якобиан равен
Vtw
(e + l)»
Viw
(« + !)*
о
v\
-s-Vf
2(«+l>
и
2 (« + I)
Tii/i
/т
2(u+l)
1
_ —Vt»
/5" (u + l)*
2 VraT
Следовательно, отображение t|> регулярно и
2 ' (Ю« + Р«) (
' 1 (« + »)
m'+LdtdrnU-tdui dv Г
JJJ XI/ J J J v*uvwv^2 (u -f* 1)*
1/3 1/4
3 2
» r_*Lf _dv_C ^,2dw+[j!LC _*Lf _*L_ =
J и J „7/2 J J a J „3/2 J 1/2
1 1/3 1/4 1 1/3 1/4
-ln3.f(9VT--rir)-L(i-^-) +
+ Ш3.2. (V'3---Jr)2(l 1-)-
\ 200 r 1600 r ]
2. Цилиндрическими координатами точки M(x, yt z)^R3 назы-
вается тройка чисел г, ф, Л, связанная с числами х, у, z формула¬
ми
X = Г COS ф, |/ = Г sin ф, 2=5 Л.
Фактически цилиндрические координаты — это полярные коорди¬
наты в плоскости XY и обычная декартова координата в ортого¬
нальном дополнении плоскости XY — оси OZ. Переход к цилинд¬
рическим координатам в тройном интеграле
4S
f(x, у, z) dxdydz
503
— это переход к полярным координатам в двойном интеграле
f(x, у, г) dxdy,
если тройной интеграл представлен в виде
У. z) dxdydz = ^dz^f(x, у, z)dxdy,
Ь р d2
или в двойном интеграле
Ф(*, у) dxdy,
если тройной интеграл представлен в виде
Ф Лх,у)
(х, у, z) dxdydz = dxdy ^ f(x,y,z)dz =
£>9 ф»(* .у)
Ф(*. у) dxdy.
D,
Этот переход ничем не отличается от подробно разобранного в
предыдущем параграфе перехода к полярным координатам в дву¬
мерном случае. Якобиан перехода к цилиндрическим координатам
равен г. Обратим внимание только на то, что если переход де¬
лается в интеграле вида z)dxdy, где область Dz зави-
Ъг
сит от 2, то и пределы интегрирования по переменным <р и г, во¬
обще говоря, должны зависеть от 2.
Пример. Вычислим тройной интеграл
z (х2 + у2) dxdydz,
где область D ограничена поверхностями x2 + y2=az и (х2 + у2)2=
=агъ, пользуясь переходом к цилиндрическим координатам.
Решение. Поскольку обе поверхности, ограничивающие об¬
ласть D, являются поверхностями вращения относительно оси OZ,
то сделаем чертеж меридионального сечения D (см. рис. 91) .
Линией пересечения заданных поверхностей является окруж¬
ность z—at x2 + y'l=CL2i ортогональной проекцией D на ось OZ яв¬
ляется интервал (0, а), а на плоскость XY—круг х2 + у2<а2, го¬
ризонтальная плоскость z~2q, гое(0, а) пересекает D по круго¬
вому кольцу с центром на оси OZ, внутренним радиусом
Vazl и внешним— Vaz0 . Следовательно,
D = {(*> У> г) : 0<z<a, azl<(x2 + y2)2<a2z2}
V
Д.
JJ
504
и
D={<*, у, z): дс2 + </г <<Л J*±^) г
откуда получаем, что
У^г(х% +у*)dxdydz = \z<iz ^ (x2 + y2)dxdy,
' D* О Ъл
Рис. 91
где
Dz = {(jc, у): flz3 < (jc2 + у2)2 < a2z2}
и
где
Ц> = {(*. У) • x2+y2<a2}.
Переходим к цилиндрическим координатам в обоих представ¬
лениях:
505
Окончательно получаем, что
а
z (х1 -f уг) dxdydz = -i- 2л ^ h (a2h2—all3) dli —
= JLWJ Ц = -^-,
2 \ 4 5 / 40
r8/3
u
яав
J J J г (x« + dxd^2 = 2n j л» (L— —£.) dr =
D
= JIW-L_JL'
\ 20 8 j
40
Пример. Вычислим тройной интеграл ffC ydxdydz, где
D
D — область, ограниченная поверхностями
a(x* + y2) = xz(a—z), xz = ay, yz^ax
и содержащая точку М0(а/8, а/12, а/2).
Решение. В примере (см. с. 490) данный тройной интеграл
был приведен к виду
и
J dz^ydxdy,
о Dt
где
£>,={(*, у) : а(х2 + {/а)<хг(а—z), xz<ay, уг<ах}.
Переходя к цилиндрическим координатам, получаем, что
a arctS(a/h) h{a—h)cos ф
ydxdydz = j* dh ^ dq> j* r2sin9dr =
D 0 arctg(ftfa) 0
a arc tg(a/h)
~ — ^dh ^ h3(a—/i)3cos3<psin<pd<p =
0 arctg(h/a)
a
= ~j^~§h3(a — H)9 COS4 ф
arctg(h/d)
arctg(ft/a)
dh ==
arct g(a/h)
= — С h3(a—h)3 ( ? ! ) dh =
12 J ' \(1 + А*/а»)* (1 + /
506
= dh = -^j (/1*-ЗЛ‘а+Л^* + 5Ляа»-
— 4/iaa4—4/ia5 + 4ae H — ——\ dh =
Л* -fa* Л* -f a* /
= — a7 (- L + _L +J i 2+ 4+2 In2—4—^ =
12 \ 7 2 5 4 3 4 /
= — f _L15?—f-2 ln2—я).
12 V 420 )
3. Сферическими координатами точки M(xt у, z)ei?3 назы¬
вается тройка чисел г, ф, ф, связанная с числами х% у, z форму¬
лами
х = г cos ф cos y = rsinq>cosylpf z = r sin^. (1)
Сравнивая эти формулы с формулами связи декартовых и по¬
лярных координат в n-мерном пространстве (см. с. 16), видим,
что сферические координаты переходят в трехмерные полярные
координаты преобразованием хх = z, xt=x, x9 = yt q>i = —
Ф, = Ф- Отсюда можно сделать вывод, что якобиан ? при перехо¬
де к сферическим координатам есть r2sii^i*=r2cosip и для любо¬
го жорданова множества DczR3 и функции /еС (и) имеет место
равенство
у, z)dxdydz = / (ra^cos^, г sin ф cos гр, rsintf) х
X г* cos ^ drdydty,
где
= Ф» 'Wcftr, Ф. -я/2<К"А
а ^ ф ^ a + 2s}
— прообраз D.
Так же, как полярные координаты (г, ф) точки М на плоско¬
сти, сферические координаты (г, ф, \|>) точки М в пространстве
имеют простой геометрический смысл: г — длина радиуса-векто-
ра из начала координат в точку Af, i|> — угол этого вектора с
плоскостью XY (широта), ф — угол проекции радиуса-вектора на
плоскость XY с положительным направлением оси ОХ, равный
углу вертикальной полуплоскости, содержащей радиус-вектор с
начальной (нулевой) положительной полуплоскостью XZ, t/>0
(долгота).
Иногда сферическими координатами называют непосредствен¬
но трехмерные полярные координаты в такой нумерации:
x = x2 = r sin cos ф, у = х3 = г sin яр sin ф, z — = rcos\|?(r^ О,
0^ф ^ 2л).
При таком переходе от х, у, z к г, ф, якобиан вычисляется по
общей формуле л-мерных полярных координат, т. е.
/=г2 sin tp.
Всюду в дальнейшем будем использовать сферические коор¬
динаты, определяемые с помощью равенств (1).
Переход к цилиндрическим или сферическим координатам в
пространстве так же, как переход к полярным координатам на
плоскости, можно рассматривать как переход к согласованным
с декартовой цилиндрической или сферической системам коорди¬
нат. Поэтому, как и в предыдущем параграфе, для множеств зна¬
чений г, ф, h и г, ф, яр не будем вводить нового обозначения, а
будем рассматривать множество D как в виде
D = {(jc, у, z)}:...}, так и в виде D — {(r, ф, /г):...} и 0={(г,ф*
ip)}:...} с указанием условий на соответствующие координаты.
Пример. Расставим пределы интегрирования в сферической
системе координат в интеграле ш f(x, у, г) dx dy dz, где /е
D
eC(Z)), D — область, ограниченная сферой х2-} у2+ z2=a2, пара¬
болоидом 2(x2 + y2)=3az и плоскостью z=0.
z
2xz = 3az
I /
/С \<>
т~/Ж\\х16
s' S 'S'л \
i х
-а\ aVJ О1
aVTla х
V 2
2 /
Рис. 92
Решение. Так как все поверхности, ограничивающие об¬
ласть D, являются поверхностями вращения относительно оси OZ,
то сделаем чертеж меридионального сечения D (см. рис. 92) . Об¬
ласть D лежит выше плоскости 2=0, вне параболоида 2(х2-\- у2) =
=3az и внутри сферы х2 + y2 + z2^a2, т. е.
D:{(x, у, г): z> 0, .г2 + if + z2 < а2, 2(х2 f y2)>3az}.
508
Перейдем в неравенствах, определяющих условия на декарто¬
вы координаты точек области D, к сферическим координатам. По¬
лучаем, что г, <р, должны удовлетворять неравенствам: г sin
>0, r2<a2, 2r2cos2^>3arsiniji.
Дополнительных ограничений на угол ф эти неравенства не да¬
ют, следовательно, 0<ф<2я, — геометрически это видно из того,
что рассматриваемая область есть тело вращения относительно
оси OZ. Следовательно, если точка MeD, то и все точки Мь для
которых радиус-вектор ОМх получается поворотом радиуса-векто¬
ра ОМ относительно оси OZ, также принадлежит D. Так как г>0
и —л/2<1|><я/2, то система неравенств эквивалентна системе Ос
<r<a, 0<г|хл/2, 2r cos2t|)>3a sin ф. Первое и третье неравенст¬
ва могут выполняться одновременно только при условии 2cos2tf>
>3sin\j), откуда получаем, что sin ^^/г- Учитывая второе нера¬
венство, получаем окончательно, что
D= {(г, ф, г|)): 0 ^ ф ^ 2л, 0 ^ г|) ^ я/6, Зд^ г 1
[ 2 cos2 \|) )
и, следовательно,
55S^(JC' у’ =
D *
2л я/б а
= ^ с£ф ^ \ f (г cos ф cos \|),г sin ф cos г|?, rsintf) r2 cos^dr.
0 0 SaslmJj/^cos^
Пример. Расставим пределы интегрирования в сферической
системе координат в интеграле
У’ 2)dxdydz,
где
D = {(x, у, г):х>0, (x2 + y2 + z‘)3<a2z2(x2—y2), x2 + y2<z2,
z>0} и f (= C(D).
Решение. Перейдем в неравенствах, определяющих условия
на декартовы координаты точек множества D, к сферическим ко¬
ординатам. Учитывая условие г>0, получаем систему неравенств:
г2^ аа5т2\[)со5 2ф, cos2\|)^ sin2\|), sin\|)^0, cos ф cos ^>0.
Из первого неравенства следует, что cos2<p>0, и, учитывая усло¬
вия 0, —л ^ф<я, —я/2я/2, получаем, что
D = {(г, ф, у\>) : —л/4 ^ Ф ^ я/4, я/4 ^ ^ я/2, 0 ^ г ^
^ a sin ^^/cos 2ф}.
509
Следовательно,
m f(x, у, г)dxdydz =
D
я/4 я/2 aslmJ)ycos2<p
—я/4 n/4 0
Xr* cos dr.
Пример. Вычислим интеграл
\jl(xi + zi)dxdydz,
где D — область, лежащая внутри обеих сфер х2 + y2+z2=2ax и
x2+y2+z2=2ayt пользуясь переходом к сферическим координатам.
Решение. Так как точки области D лежат внутри обеих
сфер, то их декартовы координаты должны удовлетворять системе
x% + y% + z2<.2axt x2 + y* + z2<2ay.
Перейдем в этих неравенствах к сферическим координатам. Учи¬
тывая условие г>0, получаем систему неравенств:
<;2acosq>cosi|\ 0 ^ г ^ 2asin <pcos\|>.
В силу условия —л/2<1|хя/2 имеем, что cos\{)>0, следователь¬
но, угол ф должен удовлетворять неравенствам: соэфХ), этф>
>0, откуда получаем, что 0<ф<л/2. Наконец, поскольку оба не¬
равенства ограничивают г сверху, то этой системе эквивалентно
неравенство
r<;2acos\|?min(sir^, собф).
Чтобы границы интегрирования выражались гладкими функция¬
ми, как и выше, разобьем интервал (0, л/2) изменения угла ф
на подынтервалы, где функция тт(со8ф, этф) совпадает с одной
из функций cos ф или sin у. Окончательно получаем, что
D = {(г, ф, \f):—л/2 л/2, 0^ф^л/4,
0<r<;2asir^cosT|)}(J{(/\ ф, Ф):—п/2<\|)<п/2,
л/4 ^ Ф ^ я/2, 0 ^ г ^ 2а cos ф cos tjj}
и, следовательно,
+ z%) dx dy dz
я/2 я/4
= -5L<j» J COS*ll><fy ^ COS* ф sin* <р d<f -f-
—я/2 О
я/2 я/4
Н—y-fl6 ^ cose^sinf^d\|) ^ з1пвфс{ф +
—я/2 е
я/2 я/2
+-у-а* cos’tpd^ J cos* ф dtp -j-
—я/2 x/4
я/2 я/2
+ ^ ^ cose^sin,t|)rf\|) ^ COS® ф dy =
—я/2 Я/4
■(-f-Mi)
5 г (6)
о
32д» Г (7/2) Г (3/2)
о
J cos1 qp (1—cos1 ф)* d cos ф—
0
4
J (1— cos^)edcos9 +
Г (9/2) Г (y) V
+ —а* ^—— J (1— sin4)*dsii^+
Я/4
32 Г (7/2) Г Ш»/*
+ —в* (1—sin*9)^dein9-
Я/4
1 1
-TF(TTT7 J С-^ч,'“+ТТТТ i (,-W‘“+
V2/2 Yl/2
+TTTT i ^*+тттт 5 v-ivm-
Y 2/2 V^2/2
--SSL J
Vl/2
+ _L\l=J2!fL(64- 43 y2).
40 У J 160 r 7
511
4. Обобщенными сферическими координатами точки
М(х, £/, 2)е/?3 называется тройка чисел г, <р, ф, связанная с чис¬
лами х, у, z формулами
jc = arcosaфcos&siпаф cos^ гр, г —crsinP^.
При этом г>О, угол ф меняется в промежутке [0, 2л] или [0, л/2],
угол Ф — в промежутке [—л/2, л/2] или [0, л/2] в зависимости от
параметров аир аналогично тому, как зависел промежуток из¬
менения угла ф в обобщенных полярных координатах (см.
с. 53). Так же, как в двойном интеграле, при переходе к обоб¬
щенным сферическим координатам может возникнуть несобствен¬
ный интеграл от неограниченной функции по жорданову множе¬
ству (который всегда сходится). Якобиан при переходе к обоб¬
щенным сферическим координатам равен abcafir2 cos01-1 ф ята-1ф X
X sin^-1 \])cos2^-1
Пример. Вычислим интеграл zdxdydz, где D — об-
D
ласть, лежащая в первом октанте (х>0, у>0, z>0) и ограничен¬
ная координатными плоскостями и поверхностью
\ а Ь с ) h k 9
Решение. Положим
х = ar cos2 ф cos2 ф, y = br sin2 ф cos2 z = сг sin2
В переменных г, ф, ^ уравнение данной поверхности примет вид
т = ^cos2ф sin2 ф j cos2\|?.
Дополнительных условий на угол $ нет, следовательно, фе
е[0, л/2]. Угол ф должен удовлетворять двум условиям:
Ф^[0, я/2] и — со5*ф -sin^^O,
h k
следовательно, ф^[0, ф0], где фое(0, л/2) и
— cos2 ф0 — sin2 ф0 = 0.
h к
Итак, прообразом множества D при переходе к обобщенным
полярным координатам является множество
D1 = {(r, ф, \р): 0 ^ л/2, 0^ф^ф0, 0^г^г(ф, г|>)},
где через г(ф, -ф) обозначено дл^ краткости произведение
— cos2 ф — sin2 ф ] cos2 tf, и, следовательно,
h k )
я/2 Ф# /ЧФ.Ч1)
^^zdxdydz— ^ dty^dy j* ст5т2г|)4аЬ£:г2со5ф5тф5т>|) X
D ООО
(
512
h k
о о
! _L\sin4)T = м ■
4.6-7-5 / в Ь \ \ Л v h k ) ) w. 840 (ak + bh)
1° — a%bc*k
L— m {ak + bh)’
В этом и следующих пунктах будем рассматривать тела из
/?3, ограниченные кусочно-гладкими замкнутыми поверхностями.
Как следует из предыдущего (см. с. 418), такие тела являются
жордановыми множествами, и для любых ограниченных функций
У» 2) с не более чем счетным множеством точек разрыва
(в частности, непрерывных) существует f(x* У* г)dxdydz.
3. Объем тела
Объем \V\ тела V (из указанного выше класса) вычисляется
по формуле
Пример. Найдем объем тела V, ограниченного поверхностя¬
ми
г = х2+у*, 2(х2 + у*) = г, х = у, у=2х, z = /i,
находящегося в первом октанте.
Решение. Способ I. Проекция тела на плоскость XOY изоб¬
ражена на рис. 93.
Разобьем тело V на два тела V\ и V2: Vj={(jct у, г): (х, у)е
x2+y2^z^2(x2+y2)) и V2«{(x, у, z):(x, y)E=D2y х2+у2<
где область D, ограничена линиями «/«■*, t/=*2x и 2(х2+
+ */2)=Л, а область 02 ограничена линиями ы—х, у**2х, х2+1/2з“Л
и 2(х2+у2)-Л.
В свою очередь область D, представим как объединение двух
областей D,> и Dj2:
IV| = dxdydz (как объем жорданового множества).
513
а область D2 — как объединение трех областей
Dj = {(*. У)-Уто^х</ т> V
*>2 = ((*. У) :
0| = |(х, у): V^T’ ■**}•
Теперь объем тела V найдем следующим образом:
Vh/10 2х 2(л»+И) Vb/A Vh/2—х* 2(x4V)
|У| = Г dx^dy ^ dz+ J dx J dy J dz +
О x жЧ-V* YkjTo x x«+y«
Vhil 2x h Vh/i Yh^xi h
4-$dx ^ dy ^ dz+ ^ dx j dy ^ dz+
Vl/ГО /4/2—xe **+** Yhjl V k/2—x* х9+Уг
1 fT
V 2 Vb-x* h
+ ^ dx ^ dy ^ dz.
y~T * *'+?
He вычисляя интегралов, читатель уже может видеть нерацио¬
нальность предложенного способа решения.
Способ И. Сечением данного тела плоскостью z—а, 0<а<Л,
является фигура ABCD~S(a)t представленная на рис. 93, 5.
514
Тогда искомый объем найдется по формуле
*
IV, =^da^dxdg.
Интеграл \\dxdy равен |S(a)| — площади 5(a). Эту пло*
Site)
щадь можно вычислить как разность площадей двух круговых
секторов с центральным углом <p—arctg2—я/4 и радиусами Yа
и VV2 соответственно, т. е.
|5(a)| =-i- (а 1-) (arctg2—я/4) = -^-arctg
Следовательно,
А
IУI = V “«*8 у<|в=у ^te у.
I
Замечание. Поскольку границами области 5(a) являются
линии уровня функций
и~*2+у2 и v=y/xf
то для вычисления \\dxdy сделаем замену Jt2+y2*»u, y/x=*v.
S{a)
Отображение
у:и=х2+у2, v^y/x есть биекция области
£ = {(*. У) '• а/2<ха + у*<а, 1<у/*<2}
на область
= {(и. u):a/2<u<a, 1 <с;<2}.
Так как
D (х, у) _ Р(к, р)
D(u, о) £>(*. у)
ТО
1
2х 2^
—у 1х% 1/х
= 2+2-»*
О 5(a) О Г а/2
-т1Н2-т)тл-т(-*«2-т)=т“‘«т-
515
Способ III. Перейдя к цилиндрическим координатам, имеем
arc ДО Yhi2 2г* arct*2 Vlf Л
\V\ = С ^ + I ^ ^ rdr^dz =
Я/4 0 г» я/4 'я
-(-*-*) (тГ+(*-т)|>
—т(тЛ*2-т)='1Г arctgT
Способ IV. Сделаем замену переменных
*»+y»=u, -£±JL = e, JL = a).
f X
Отображение
Ф : а = *• + У1. о= w = —
г х
является биекцией данной области V на область
V,= J(u, v, да): 0<ц<Л, 1 <ш<2, и<~< min(2u, Л)|
D(и, у, w)
D(x, у, t)
2х 2у О
2х]г 2 у/г —(Jt* + y*)/z* =
—у/х* 1/х О
jcl+l,i (2 I
*» \ д» J и
Условие u<u/u<min(2u, Л) эквивалентно условиям
4-<о< 1. если 0<и<Л/2;
2
ы/Л<0<1, если h{2^u<h.
Следовательно,
Л/2 I S к 1 2
в 1/2 О л/2 и/Л 1
= (arctg2—5-) (2~ О Т~Т + Т (arcte2—”4") Х
*$ (T-,)“d“==JrarcteT-
2»* (1 +!•*)
516
Пример. Найдем объем тела, ограниченного поверхностью
(■S-+-S-+W-«£ 0,<1
Решение. В силу симметрии тела относительно координат¬
ных плоскостей рассмотрим Vs его часть, находящуюся в I октан¬
те. Перейдем к цилиндрическим координатам, тогда имеем
(ГЧ-.-+-5)■-<-£, Т.е. 2L,
откуда
г = Л/——4s—а\ если — ——а*>0.
У с с1 ее1
Это означает, что
г* , 2г ^ •
—-гН
с* с
ф. е.
1-ут= а* ^ z/c ^ 1 + V 1—а% •
Следовательно,
*+<? /!=«• я/2 V2t/o-*J*-5F
IV| =8 J dx | d<p j rabdr =
с-*УП=о5 0 0
c+c V 1—a*
-Ш.Я/4 J_(-7~ £-«*)*=
-Mf-ir-*) с;^=-т-‘йс(,-“,,’л
Пример. Найдем объем тела, ограниченного поверхностями
Решение. Положим
х = ar cos1 ф cos1 ф,
y=6rsinf фсов*^,
z^crsin1^.
Тогда
(т + т+т)'"'4-
517
Иа условия
А>0
h к
получаем условие на изменение <р
X cos* ф — sin1 ф :> 0, т. е. | tg ф К akjbh
% к
и, медовательно, 0 ^ ф ^ arctg У ak/bh.
Таким образом, имеем, что
«еЦУЗТЙ я/2
\V\ = Aabc ^ dy ^ <Л|> ^ г* cos* if cos фХ
0 0 о
aretC Vak/bh я/2
Х$\пу$[п$dr — ^ dq> J —£-sin^jl5x
о о 4
Я/2
i-|U /*
XcosM^cos9sin9sin^d>|)= —— \ cosw^sin\pd\|)X
wttfKeM*
X ^ ^cos*ф £~sinГф|15^ ^-^-Cos*9 ^-sin^jx
о
1 —ЛЛ
2(fl* + «0 3 34.16 \h
Aabc /
34-16 \
• COS ф —
* i^\ielefctf Vah/bh at* H ( a \ie
* J |0 24-34 a b \ h)
4. Механические приложения тройного интеграла
Пусть скалярная величина P(V) распределена на жордановой
области V с плотностью р(х, у, г), являющейся непрерывной функ¬
цией, тогда
/>('/)=^Р(дг- У> z)dxdydz.
Если тело занимает объем V и р(х, (/, г) — плотность его в точ*
ке (х, у, z)t то по этой формуле вычисляется масса тела.
518
Координаты центра тяжести х0, у0> Zq тела V вычисляются по
формулам
*,== агШр(*’ у' ^xdxdydz'
V
= у. Z) у dxdydz,
г, = —ГГГр(дс, у, z) z dxdydz, где М—масса тела.
Моментами инерции тела относительно координатных плоско¬
стей XOY, YOZ и ZOX называются соответственно интегралы
#хоу=^$Р(*. У, г) z* dx dy dz, iVoz=^P(*, У> z)xldxdydz,
tf«« = $^P(*. У, г)у2dxdydz.
Моментом инерции тела V относительно оси I называется интеграл
У* г)г%*х<1у<Ь*
v
где г — расстояние переменной* точки (х, у, г) тела V от оси /„
р(х, у, г) — плотность тела.
Моментом инерции тела V относительно начала координат на¬
зывается интеграл
р(х, y,z)(xi + y* + z*)dxdydz.
Ньютоновым потенциалом U тела V в точке Р{х, у, г) назы¬
вается интеграл
Ч. 0^-.
где р(х, у, г)—плотность тела и г = уг(|--х)1 + (т]—г/)* + (С—г)*.
Материальная точка массой т притягивает тело с силой
F(X, Y, Z)
dy
^~km —■ = km^p(|, 4, t)'^-jZ-dldr\dZ,
где k — постоянная закона тяготения.
Пример. Найдем координаты центра тяжести однородного
тела, ограниченного поверхностями
x* + y2 = zt x + y + z = 0.
Решение. Проекцией данного тела на плоскость XOY яв¬
ляется область D:x2+i/2<—jc—у, т. е. круг
Поэтому в силу симметрии тела относительно плоскости х=у име¬
ем х0=у0.
Положим jc=rcosq>—1/2, y=r sin<p—1/2. Масса данного тела
равна
2я 1IV2 1— г(созф-Мпф)
м-.
f = ^^pdxdydz = p^ dy ^ dr-r ^ dz =
V 0 0 r*—r(cos*+sliHp)-H/2
2я IIV2
= pj*p J r( 1 — г(со$ф + 5тф)—г® г (cos ф -f- sin ф)—1/2) dr =■
о 0
-2щ> J (,_^_a-,)dr-24>(i—
0
Далее
2я IIV2
=^-pS ^ J
*У(т--)*~-г-(т-т)Г--р
520
2я I I V~2 1— г(со$ф-Мпф)
i * 5 , Ыг~
V 0 0 r>—г(с08ф-г$1пф)+1/2
2я \/ V2
= ~^ J r(l—2r(cos<p+sin<p)+r*+-^-j^l—r*—dr =
.±^'f Ы^т)')*-т-
Итак, координаты центра тяжести: *о=*/о=—-V2, 2о=5/б.
Пример. Найдем массу и момент инерции однородного тела,
ограниченного поверхностями
jc2+j/2=22 и x2+y*=z*
относительно прямой jc=*0, 2=4.
Решение. Масса Af тела равна
2Я 2 г 2
Al = p^^djc<fy(£z = pJ d<pj*dr ^ rdz = 2npj^r8—y-j dr —
V 0 0 r*/2 0
Момент инерции 3f данного тела найдем по формуле
& = pr*dxdydz9
где г—расстояние от точки (х, у, 2) тела К до прямой jc=0, 2=-
«=4. Квадрат этого расстояния находится по формуле г2=х2+
4- (2—4)2, поэтому
«У = Р ^ (х*+(г—4)*) dxdy dz =
= P f I —- Г5 COS2 ф COS2 Ф
0 \
(—-»y
4 (г — 4)4 V 2 )
(r — 4)6
15
+
4-3J 23.4
dw = -^
Y 3
о
Пример. Найдем ньютонов потенциал в точке Р(О, 0, z), z>
>R неоднородного шара дс2 + y2 + z2=R2, если плотность его р(£,
г], £) пропорциональна квадрату расстояния точки (£, tj, £) до
плоскости XOY, т. е. р=££2.
Решение. Потенциал найдем по формуле
1/(0, 0, z) = ACCfC2-7=S£SiS=.
' JJJ Vfc* + V+(£-*)*
Переходя в данном интеграле к сферическим координатам, име¬
ем
£ = г cos ф соБ'ф, Tj = rsir^cos^, £ = r sinty,
2я я/2 R
и (0, 0, z) = k f dq> С drp[~.
V ' J J J V>»cos*H> + (Г sin \f> — I
-a)*
0 —n/2 0
R n/2
= 2nk[r*dr [ -
J J Vr* — 2flr sin 'ф + a*
0 —я/2
Далее находим, полагая f = sini|>, а затем z2 = r2 + a2—2arf
1 e-i-r
г t* dt __ /*
J Vr1 -f-fl1- 2art J
— 1 a—r
4^Г [(Г* + ^ • 2г~ T+ fl,) ((a + r)*~ (a~ Г)8) +
1 e-i-r
f*<« p (r» + e* —
Г iijpLfr
a—r
+ y ((a+r)‘-(a-r)»)] = _LJJr< + 2rV+a‘-
—(3a*r* + Za* + r* + aV) + -i- (5a* + lOaV + r*) ] =
= -*- |>-?- + ,W -4-l =-L [_*. r*+ -2 a*l
2aV* [ 15 3 J a* L 15 3 J
522
Следовательно,
R
4я* С .л ( 2 * . а* \ ^ 4я* / 2 R' , а*Д* \
t/“-р-Г (it ^+т) —(“IT—+—J
о
(-f*1+**•)•
О
4Аот
15а»
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЙ КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение. Последовательность жордановых множеств
{An}m-i* Dm^Rn, называется исчерпанием множества DczRnt
оо
если Dt cz D, с... cz Dm с. D и \J Dm — D.
m*» 1
Определение 1. Если функция f:D-+R неинтегрируема в
смысле Римана на множестве DcRn, но для любого исчерпания
{Dm} множества D, удовлетворяющего условию суще¬
ствует
lim \fdx, (1)
Ш-МХ) р^
то величина этого предела обозначается символом ^ f dx, назы¬
вается несобственным интегралом от функции f по множеству D.
Тогда говорят, что этот интеграл сходится. Если существует
такое исчерпание {Dm} множества D, что для любого m:fG&(Dm)t
но предел не существует, то говорят, что интеграл расхо¬
дится.
Вместо выражения «интеграл J f dx сходится» употребляют¬
ся такие: «интеграл существует в несобственном смысле»
и «функция f интегрируема в несобственном смысле на £>».
Замечание 1. Чтобы определение несобственного интегра¬
ла было корректным, формально надо было бы добавить требова¬
ние независимости величины предела от выбора исчерпания {£т}.
Однако это требование излишне, так как если для двух исчерпа¬
ний {D^} и {Dm} существуют несовпадающие пределы
lim J f dx [и] lim \ f dx,
m-ню I m-М» у
то найдется такое исчерпание {Dm}, для которого предел (1) не
существует. Для иллюстрации рассмотрим
523
Пример. Исследуем сходимость интеграла dxdy, где
Z)—{(х, у):х> 1, —1
Решение. Последовательность
{£«}, Dxm = {(*, у) : 1 —1 1}
и последовательность
{£&}, D2m = D]n\j {(х, у) : m<x<2m, 0<t/<l}
(см. рис. 94) являются исчерпаниями множества D
/П1 \ и Us- 1,\ — У — <з» /п2
f(x, i/) = — ейфи) И f(x,y) = -z- t=Jl(D2m) для любого m<=N.
X X
Но
lim Cf — dxdy= lim Сf ydy = О,
Я» »00 J J X Ш-+-ОС J ДГ J
2m I
lim lim dy\ =”^",n2*
Различие этих пределов уже говорит о том, что интеграл
^—dydx расходится. Действительно, возьмем последователь-
D
ность (Dm) : D2k-1 = E>\k'D%h = D\k. Эта последовательность явля-
ется исчерпанием D; /(*, y)=*ylx&M[Dm) для любого meAf и
524
Замечание 2. Если для функции не сущест¬
вует ни одного такого исчерпания {Dm} множества Z), что для лю¬
бого т:/еЯ(£т), то вопрос, сходится или расходится интеграл
fdx, не имеет смысла; в таких случаях применим только тер¬
мин «функция неинтегрируема в несобственном смысле на D».
Если {Dn} — такое исчерпание множества D, что /еЯ(А») для
любого п, то множество Мп точек разрыва функции / на Dn есть
чек разрыва / на D есть М= U МЛ. Следовательно, М есть мно-
п— 1
жество меры нуль.
Поэтому неинтегрируемость по Риману функции f на D мо¬
жет быть, как и в одномерном случае, обусловлена только дву¬
мя причинами: или множество D не жорданово, в частности неог¬
раничен©, или функция f неограничена на D. Обе эти особенности
могут иметь место и одновременно.
Замечание 3. Если /еЯ(£), то предел существует для лю¬
бого исчерпания {Dm} множества D и равен ffdx.
Таким образом, понятие несобственного интеграла является
обобщением понятия интеграла Римана.
Множество функций, интегрируемых на D в смысле Римана
или в несобственном смысле, обозначим через 91(D). &(D) есть
для любых двух функций f2^X(D) и любых двух чисел
а, р имеем, что
Сравнивая определение кратного (л>2) и одномерного несоб¬
ственного интегралов видим, что в одномерном случае берется в
качестве множества D только промежуток и исчерпание D произ¬
водится только промежутками. Это связано с тем, что в одномер*
о
множество меры нуль. Поскольку D= (J Dnt то множество то-
линейное пространство и функционал
линеен, т. е.
ном пространстве (на прямой) только ограниченные промежутки
являются ограниченными связными множествами и тем самым ес¬
тественно выделяются из остальных жордановых множеств. Вы¬
деление более узкого класса исчерпаний приводит в одномерном
случае к более широкому классу функций, интегрируемых в не¬
собственном смысле, именно появляется понятие условно сходя¬
щегося интеграла.
В многомерном же случае (л>2) имеет место
Теорема. Если для функции f:D-+R, D<=Rn (л>2) сходится
интеграл ^fdx, то сходится и интеграл ]* \ f\dx.
D D
Смысл этой теоремы в том, что в л-мерном (л>2) простран¬
стве понятие сходимости и абсолютной сходимости несобственно¬
го интеграла совпадают, т. е. отсутствует понятие условной схо¬
димости.
В одномерном случае сформулированная теорема выглядит
так.
Пусть функция f:D-+Rf DaR и последовательность {Dm} жор¬
дановых множеств удовлетворяют условиям:
1. f ^ Л (Дп) Для любого m<=N\
00
2. Dx a D2 с ... ci Dn а... <= D, (J Dn= D.
n=»l
Если для любой такой последовательности {Dn} существует пре¬
дел lim \f dx, то существует и предел lim
m-*oo n m-и» £>
пх m
-foo
Итак, обратим внимание на то, что символ ^ f{x)dx имеет
а
два разных определения:
А
lim \f(x)dx
А-+±ао д
Н
lim \ f(x)dx,
где Dn исчерпание луча [а, +оо).
Чтобы пояснить разницу между исчерпанием луча промежут¬
ками и произвольными жордановыми множествами, рассмотрим
следующий
Пример. Пусть
( 1/л, *€=[л— 1, л—1/2),
' 1—1/л, х<=\п—1/2, л), neAf.
526
Тогда для В>О имеем, что
В (В) в в
0<§f(x)dx= ^ f(x)dx+ С f(x)dx = 0+ f f(x)dx^- ■ ^ ■ ,
О 0 ft (В]
следовательно,
в
lim \fdx = 09
В-+ОО tf
т. е. интеграл \ f(x)dx сходится. С другой стороны, так как ряд
о»
— расходится, то существует строго возрастающая последователь¬
ность целых чисел р(т), такая, что
р(/п+1)
р(1) = 0 И 2 -у>т-
ft«p(m)+l
Положим
Р( 2)
D,= U [*->. 1/2].
1
Р( 3)
= р(2)] U ( И [Л-1, Л-1/2])
Ь-р(2)+1
р(т+1)
Dm = [0. p(m)Ju( U 1*-1. Л-1/2]).
ft—р(т)+1
Тогда для любого meW множество Dm жорданово как объедине¬
ние конечного числа отреёков, Dm_,c=[0, p(m)]czDm. Следователь¬
но, {Dm} есть исчерпание луча Я—[0, +оо). Так как
P(m) р(т+1) ft-1/2
^f(x)dx= C f(x)dx+ ^ ^ f(x)dx-
D„ О *-p(m)+l*-l
p(m+l)
=o + — Y
2 U k 2
ft-=p(m)+1
то последовательность J f(x)dx расходится.
Dm
Поскольку для многомерного случая имеет смысл только аб¬
солютная сходимость несобственного интеграла, то все дальней¬
527
шие свойства этого интеграла формулируются для неотрицатель¬
ных функций f:D-+R+t DczRn (л>2).
Теорема. Если f:D-+R+t DaRn, то из существования преде¬
ла для одного исчерпания {Dm} множества D следует его сущест¬
вование для любого другого исчерпания, т. е. сходимость инте¬
грала
Теорема сравнения (мажорантный признак сходимости
несобственного интеграла). Если функции /:D-W?+, g:D-+R+, Dc
aRn интегрируемы на одних и тех же жордановых подмножест-
Решение. Поскольку
Л*1 1/(*. у, г)\ ^ Мг
(*, + У* + *')р (**+!/•+*•)'’ U*+y» + z»)P’
то рассматриваемый интеграл сходится или расходится одновре-
ность {Dm}t Dm={(xt у, г): l«x2 + t/2 + 22<m2} является исчерпани¬
ем множества D. Переходя к сферическим координатам, получа¬
ем, что
откуда получаем, что рассматриваемый интеграл сходится при р>
>3/2 и расходится при р<3/2.
дует сходимость интеграла
D
Пример. Исследуем сходимость интеграла
где
D = {(x, У> 2): x* + y* + za> 1}
(*, rtsD, /eC(D), 0^Mx^\f(xt yt z)|<AIa.
менно с интегралом
D
Последователь-
ш
2я л/2 т т
т
т
dx dy dz
0 — Л/2 1 1
следовательно,
(** + £/* + Z*)P
dx dy dz
528
Пример. Исследуем сходимость интеграла
ff /(дг, у) dxdy
JJ (** + »•)<’ *
D
где
£> = {(*, у): 0<jcl + jrl< 1} и для любого jсеД 0<Л11<
I/. 2ЖЛ1, /^C(D).
Решение. Так же, как и в предыдущем примере, получаем,
что рассматриваемый интеграл сходится или расходится одновре¬
менно с интегралом ГГ——.
о
Последовательность Dm = |(jc, yt z): ^ + ^ 11 яв¬
ляется исчерпанием множества D. Переходя к полярным коорди¬
натам, получаем, что
Dm 0 1/т 1/т
Следовательно,
цт ГГ **dy Ит 2я с *
JJ (* + У )р J Ггр 1 J Г2"-1
Dm 1/т О
откуда получаем, что рассматриваемый интеграл сходится при
р< 1 и расходится при р>1.
Теорема о замене переменных в несобственном
интеграле. Пусть множества DiC=/?\ D2c:R* и отображение
<р:Dx-+D2 удовлетворяют условиям:
1. Множества Z>i и Z)2 открытые.
2. Существуют множества S| и S2 меры нуль, такие, что множе¬
ства D,\5i и D2\S2 — открытые и y:Dl\fSi-+-D2\S2 —
диффеоморфизм.
Тогда для любой функции f:D2-+R+ из сходимости интеграла
следует сходимость интеграла J /(ф(0)|ф* (ОМ* и равен¬
ство величин обоих интегралов.
Пример. Найдем условие на параметры р и q% при котором
ивтеграл й ifi+m* • где
D
£> = {(х, у): 0<|х| + \у\< 1}
сходится.
529
Решение. В силу симметрии множества D и четности подын¬
тегральной функции как по х, так и по у сходимость данного ин-
рг dxdy
теграла эквивалентна сходимости интеграла \\ р—-—где
Dx
£\ = {(*. У): 0<|дгj + |t/|< 1, дс>0, (/>0}.
Если хотя бы одно из чисел р и q неположительно, то функция
/ (х, у) - ^ -^q- непрерывна и ограничена на жордановом
множестве D\, следовательно, интегрируема в смысле Римана на
D\\ поэтому будем рассматривать данный интеграл при усло¬
вии р>0, <7>0. Для любой такой пары (р, q) существует число
а>0, такое, что кривая |х|р + \у\я=а лежит в множестве D.
Пусть
D = {(x, у): \х\'+\у\'<а, *>0, у> 0},
так как для (х, у) ее DX\D
то функция
К*. У) = Т
И Н- Iу\
»ч/
интегрируема в смысле Римана на DX\D, следовательно, сходи¬
мость рассматриваемого интеграла эквивалентна сходимости ин-
Иdxdy
ч.—
хР + у«
О
Переходя к переменным г, <р по формулам дг = (гсо8*ф)|/р, у =
= (/-sirr^)1^, получаем, что
и
—~— = JL. ГГ cos2/p“*! ®sin2/^”! <prl/p+]/Q~2 dwdr,
*Р + УЯ РЯ JJ
D G
где
О-{(г. ф) : 0 < ф < л/2, 0 <г<а}.
Последовательность {Gn},
0п^-{(г9 ф): 1/2п<ф<л/2— 1/2л, а/2д <г<а},
является исчерпанием множества G. Так как
^Jcos27^"1 фз^2'^1 ф rxlp+xiq~2 d(pdr =
Gn
л/2— 1 /2 п а
= ( ^ COS2^1 фБЮ2^-1 фс/ф ^Г,/^+1/^2 dr,
I /2п о/2п
530
то
lim ^ cos2/p—1 <psin2/»-1 <p г1/»+1/г-2 d<pdr=
n[ 2 a
COS2/p“"1 ф Sin2/ff-1 ф^ф) ^ fl/P+l/ff—2
я/2
Первый сомножитель является сходящимся интегралом для любой
пары (р, д), р>О, <7>0. Для второго сомножителя необходимым и
достаточным условием сходимости является выполнение неравен¬
ства 1/р+1/<7—2>—1 (р>0, <7>0). Итак, интеграл ~\х\* + \у\щ
( о
сходится для пары (р, q)t если min(p, <7)<0, или 1/р+1/<7>1, и
расходится, если \/p+\/q<\ и min(p, ?)>0.
Повторный интеграл \dx J f(x, y)dy называется сходящим-
Л М(х)
ся, если интеграл \ f(x9 y)dy сходится для всех х^М\Е, где
Л<Г*)
ЕаМ — множество меры нуль, и сходится интеграл J Ф (x)dx, где
м
\ I /(*. y)dy, X<=М\Е;
Ф (*) = j М(х)
I 0, *<=£.
Сходимость повторного интеграла — это существование предела
lim \\ f(xt у)dxdy по некоторому исчерпанию {Dn} множества
D = {(x. у):х<=М9 у<=М(х)}.
Теорема (сведение несобственного кратного интеграла к по¬
вторному). Пусть
D = {(x, у):х<=М, у*=М(х)} и f(x, i/)>0, (х, y)<=D.
Тогда соотношение
y)dxdy=\dx \ f(X, y)dy (2)
D M M(x)
справедливо в том смысле, что либо кратный и повторный инте¬
гралы одновременно расходятся, либо одновременно сходятся и
равны по величине.
Итак, для неотрицательной функции переход от кратного инте¬
грала к повторному дает возможность или вычислить кратный ин¬
теграл, или установить его расходимость.
531
Пример. Вычислим или установим расходимость интеграла
rr ydxdy > где D={(x, у): 0<г/< оо, — оо<х< +оо}.
Ку + И (ж« -ь </»)
Решение. Функция / (*, у) = у/У у + ув (х2 + у2) неотрицательна
на множестве D. В силу предыдущей теоремы
ОО -f-OO
ГГ ydxdy Г ydy Г dx
JJ Уу+ У* (** + У*) j) / У + У' ** + »*
= ?-—-Larctg^rdy=f—
J V»+ !/* S' » I— J
J V у + </* ^ » I— J Y7+1F
-тв(т; тЬ^Ст)-
Итак, интегоал СГ сходится и равен Г* ^ .
JJ ViTF? (jc» + v*) 2 v 4 /
Пример. Вычислим или установим расходимость интеграла
dxdydz
(** + .,*)<*»+**)(!,' +г») *
D
где
£ = {(*» У> z): x* + y2<z*, 2>0}.
Решение. Функция f(xt уу г) неотрицательна на множестве
D. В силу теоремы
= ?dz ГС ^,
(х' + у'){х' + 2*) («/* + 2*) J JJ (,■ + */■)(*■+ 2я)(у»+г«)
D О Д(*)
где Dx={(x, : *2 +J/2<z2}, и так как интеграл
2я г
ГГ = Г dq) f
JJ (** + !/*) (Jt* -f- 2я) (у* +22) J J Г (2я 4-Г*СОЗ>ф) (2е-f ГЯ Sill* ф)
Dz 0 0
расходится, то, следовательно, расходится и интеграл
СГС dxdydz .
D (** +•/’)(*’ + *■)(!,* + 2>)
Если функция f(x, у) на множестве D не сохраняет знака, то
расходимость повторного интеграла в соотношении (2) показы¬
вает, что и кратный интеграл расходится, а сходимость повторно¬
го показывает только то, что в случае сходимости кратйого инте-
532
грала его величина равна повторному. Поэтому в таком случае
необходимо убедиться в сходимости кратного интеграла. Наибо¬
лее простым и распространенным методом для этого является рас¬
смотрение интеграла y)\dxdy в силу эквивалентности схо¬
димости кратного интеграла и абсолютной его сходимости. Схо¬
димость интеграла от неотрицательной функции \ f(xt у) | иссле¬
дуется или сведением к повторному, как было рассмотрено выше,
или применением мажорантного признака,
Пример. Исследуем сходимость интеграла ^ y dxdy,
d У ^
где
£> = {(*, у):х + у>\).
Решение. Сделаем поворот осей координат так, чтобы коси¬
нус стал функцией одного аргумента; а именно, положим
х+у = uV2 t x—y = vYT. Так как поворот — изометрическое
преобразование плоскости и сумма квадратов координат являет¬
ся инвариантом этого преобразования, то
ГГ co4x+-y).dxdy=[[ COi{V2 u)-dudo,
JJ {х'+У')*> JJ (u' + V*)*
s(V2 и)
...... - _
D Dt
где
Di = {(u, v): u> 1/1/2”, — oo<u< + qo).
Ингеграл f С ?QSСХодится или расходится одновременно о
JJ (а* Ч-
Dt
интегралом
rrkoi£££idudp= 7 \cosy2u\+( d* .
JJ («* + о»)Р J Г 1 J (а» + t*)P
Dt \/Y2 —вв
Делая в интеграле
+00
dv
(и* + О*)*
замену v — utgt, получаем, что
-foo Л/2
Г & = —!— Г cos2p—2
J M2p-1 J
tdt.
-я/2
533
Этот интеграл сходится тогда и только тогда, когда 2—2р<1, т. е*
р> 1/2, и равен при этом условии К(р)1и2*~х. Итак, для р<1/2 ис¬
ходный интеграл расходится, а для р> 1/2 имеем, что
г г Jcosj£Tuj^ dudv — К (р) ? I du,
JJ {u' + V*)P w J ы2р-1
1/ /Г
я/2
/С (р) = J cos2p“2* dt.
—я/2
Этот интеграл сходится тогда и только тогда, когда 2р—1>1,
т. е. р> 1.
Итак, интеграл сходится при р> 1 и расходит-
D
ся при р < 1.
Замечание 1. Обратите внимание на то, что повторный ин¬
теграл
f cos(V2-u)duX = С C°s{V*u)K(p)du
J _ J (ti* + V*)P J tt2p-l VP/
I/V2 i/YT
сходится при p> 1 /2, но при l/2<pd интеграл
cos (yT u)
U2P-1
1/V2
K(p)du
сходится условно. Здесь опять играет роль отсутствие условной
сходимости в п-кратном (п>2) несобственном интеграле.
Замечание 2. Утверждение, что рассматриваемый интеграл
сходится при р>1, можно получить, используя мажорантный при-
|cos(x-fi/)| ^ 1 С С dxdy
знак: — ^— —, а интеграл И—, — схо-
(х2-)-у*)Р {х* + у2)Р JJ {х2 + у*)Р
D
дится при р>1 (см. выше). Но таким образом нельзя проверить,
что этот интеграл расходится для р< 1. Мажорантный признак в
данном случае дает только достаточное условие сходимости ин¬
теграла.
Пример. Вычислим или установим расходимость интегралов
а| Я w И -frir
D D
где
D = {(x, у) : x + y> 1, *>0, t/>0}.
534
Решение. Последовательность
Ai = {(*. y)-*+y>h 0<х<п, Оя<у<п)
является исчерпанием множества Z). Так как множества Dn сим¬
метричны относительно прямой y=xt а подынтегральные функции
как в первом, так и во втором интеграле меняют энак при пере¬
становке местами переменных х и у, то
и, следовательно, если данный интеграл сходится, то он равен ну¬
лю. Итак, для решения задачи осталось исследовать сходимость
интегралов
D D
В силу указанной выше симметрии имеем, что
Dt Dt
где
0i = {(*, У)-х+у>1, х>0, 0< 1/<х}.
Так как подынтегральные функции в обоих интегралах непре¬
рывны при (х, y)^Du то сходимость этих интегралов эквивалент¬
на соответственно сходимости интегралов
dxdy=ЯХ и * +-|~- dxdy =
.. *• + »*
D, Ош
где
&» — {(*• У) -х*+У*> 1. *>0, 0<^<дс}.
Переходя к полярным координатам, получаем, что
Я/4 оо
4Ti = ^ (cos ф—sin <р) dtp ^ dr
— интеграл расходится,
Я/4 оо
j Г _oosy-slny
1 J cos* ф -f- sin4 ф г*
о I
— интеграл сходится.
Итак» интеграл расходится, а интеграл
D D
сходится и равен нулю.
535
Пример. Вычислим или установим расходимость интеграла
iJS (sinx)e-**(*e+*e> dxdydz,
где
D = {(*, у, z):x>0, у>0, z>0}.
Решение. Рассмотрим повторный интеграл
+оо _ +оо Я/2
' rdr.
\ sin xdx e-xt^'+z^dydz= С s'mxdx ^ <*Ф f <
о *>o,z>o a oo
71/2 oo
Интеграл ^ dy^erx*r%rdr сходится для всех jc>0 и равен n/4jc2, а
о о
оо
интеграл I — ^1П* dx расходится. Итак, рассматриваемый интеграл
J 4 Xх
0
расходится.
Пример. Вычислим или установим расходимость интеграла
cos (х + у—г)ег-^ш+у%+*ш) dxdydz,
где
D={(xt у, г):— оо<*<+оо, —оо <у< + оо, — oo<z< + oo}.
Решение. Начнем с проверки сходимости этого интеграла.
Так как
|cos (x + y—z) е-1*ш+Уя+гЛ) | < *-<*ч-«/в+*в)
и интеграл
2л л/2 оо
^ J ^ Г"(dxdydz = ^ 4ф ^ cos ^ r*dr
сходится, то сходится интеграл
cos (jc + y—z) £-<x,-^e+**) dxdydz.
Сделаем поворот координатных осей так, чтобы косинус зави¬
сел только от одного переменного, т. е. ось OU берется перпенди¬
кулярно к плоскости х-\-у—2=0, а оси OV и OW берутся по лю¬
бой паре ортогональных векторов в плоскости х+у—2=0. Так как
поворот координат — изометрическое преобразование пространст¬
ва и сумма квадратов координат является инвариантом этого пре¬
образования, то
536
№
| cos (jc + у—г) dxdydz =
= ? f 'f cos (u уТ)е-^,+с,в+®,> dudvdw.
Переходя к повторному интегралу, получаем, что
JJ ^ cos (и V3) e-(«e+®e-H»e) dudvdw =
2л
rdr =
= J COS (u V3 ) f <*ф ^
—•в о о
= 2л J cos (и 1/3“) е~и* = я У~п е~3/А*.
ЗАДАЧИ**
§ 1. Расстановка пределов интегрирования в двойном
интеграле и его вычисление
В следующих задачах в двойном интеграле y)dxdy*
где функция /(jc, у) непрерывна в области D, расставить пределы
интегрирования в том и в другом порядке для указанных замк¬
нутых областей D (под D всегда будет подразумеваться ограни¬
ченная связная компонента множества {(*, у) : <pi(jc, у)>0, /=*1,
2, ... , п}, если условие на D задано в виде
Фt(x, t/)>0, * = 1, 2, ... , п.
1. D—треугольник с вершинами 0(0, 0), /1(0, 1), Б(1, 0).
2. D—треугольник с вершинами 0(0, 0), А( 1, 1), В( 1, —1).
3. D={(jc, у): jc*+ (/*<*}•
4. D = {(jc, (/): j? + y2^ 1, 0<^< 1, 0<jc< 1).
5. D = {(x, у): |х| + |у|<1}.
в. D={(jc, у): х2 + у*^2х + 2у—1, O^x^l, 0^ i/^ 1},
-f-ов
• Величина интеграла \ в*”"1 cos bxdx находится методом дифференциро-
о
вания по параметру.
** Все буквенные параметры в дальнейшем считаются положительными.
537
7. D = [(x, y):x? + y2^2x + 2y—l, ls^x<2, 0<{/<l}.
8. 0={(дс, у):0<у^1/х, y>0, дс>0, y—2*<0, i/-(1/2)x>0}
». D=[(x, y) :y>x\ +
11. D={(*. y):x* + y*> 1, (*-2)»+j/*>l, (jc—2f+(y—2)* 1,
jc*+(i/-2)*>1}.
12. D = {(*, y): r* + ya < 4a*. (x—+ (x + a)2 + y* > a1}.
13. £> = {*, у): х* + 2у2<8а,1 x2—уг>2а2}, M(2a, 0) е D.
14. D = {(*, у) : хг + 2уг ^ 16аг, х2—у*^.а2}.
15. D ограничена линиями 2x = sinулу у = (\+х)2, у = 0.
16. D ограничена линиями * = cos пу, у% - х = 0.
4
17. D ограничена линиями дс=|у|, у2 = 4(х—1), М( 1/2, 0)eD.
18. D ограничена линиями «/=|дс|— 1, у = cos(nx/2).
19. D ограничена линиями (х—l)Jf(у—1)*=1, х*+у* = 1, у = 0.
20. D = {(*, у) :х* + уг^а\ (х—а)* + (у—а)*^аг}.
21. D = {(дс, у): х—у— 1 <0, х + у— 1 <0, {/*<2x4-1}.
22. 0 = {(дс, 0:(*+1)« + ц»>1, (*-1)» + ^>1, О<0<1).
23. D = {(х, у): х3 + у*>а*, у2^а*—ах/2}.
24. D = {(дс, у): {/»<* +2, |/>дс}.
25. D={(x, у):(ж + 1)* + (у-1)а>1, * + у—1<0,
26. D = {(*. у):х» + у*<1, х + у-1<0, //>0).
27. D = {(х, у): .** +1/* ^ 1, х + у—1^0, х+у +1 >0}.
28. £> = {(*, у): — дг<2х%—
29. D = {(x, у):я* + р^1, (дс + 1)* + (у-1)*> 1. </>0}.
30. £>= {(*, у): у*^2х-]~ 4, 0*>4х + 4}.
Переменить порядок интегрирования в следующих интегра-
10.
/)={(*, у):у>х\ y*z±* + -L, у>-х* + ± дс>0).
лах:
7—х
538
33. jdx ^ f(x, y)dy. 34. \ dy j fix, y)dx.
0 JC*/6—1 0 4- I*'/*
35‘ idxi^x' y^dy' 36' \dy i fix’ ^dx-
Ox4 и и
1 cos(ny/2) 2 U-lj*
”• S d> s f(x, y)dx. 38. ^dx ^ f(x, y)di/.
о -\+Vy ° 0
2 X+2 2 3 V7
39. ^ dx \ f(x, y)dy. 40. ^ dx ^ /(x, y)dy.
— 1 Jc» 0 V2x—j*
1 2+ V l-by-y* 1 >"3- yl
4i- ^dy $ f(x, y)dx. 42. ^dy ^ f(y,y)dx.
43.
~7 2— ^ 7—by—y*
\ V 3 1
( /(*. y)dx+fdy ^ f(x, y)dx.
°" — y' 1 -- y‘
9 9
7 3 9 10—у
44- M f(x, (/) dx j dy f(x, y) dx.
3 9/У 7 9/y
V2 /2 V 1 -y* 0 \ 1~~y*
4S‘ I dy I y'>dx+ I dy 5 ^x' y^dx’
и у — YT/2 —у
2 V 5—jc* а 2а*/(а*+\*)
4e-j"dx j fix, y)dy. 47. ^ dx ^ f(x,;/).iy.
0 -a .4fl-»,<.ig|-x.|
:i , a I
5Л/4 sin x 1 3—2у
48- ^ dx ^ f(x, y)dy. 49. ^dy /tx, y)dx.
n/ 4 cosx 0 y~
— ul
(л, У) dx
n sin Ж 3 1 2b —V
50
°‘ № i к*' y)dy- 5|- idy i ft*’ y>
0 0 0 vgir^i
a Y'2ax—x% a a ~ i uz- xa
«2. J d* j f(x,y)dy. 53. Jdx J f(x, y)dy.
a/2 0 о , ;-u—r
a/2 V a'- v’ a I a*—y*
\dy ^ f(x, y)dx + ^ dy j /(x, y)dx.
0 Y a*—2ay 0
a fl— V аш—у* а 2 а
55- [dy ^ f(x, y)dx + ^dy ^ f(x,y)dx +
® v9/*a 0 fl f
2a VT 2a
+ j dy j /(x, y)dx.
a y*/4fl
Вычислить интегралы:
66. a) f dx f ——— ; 57. а) Г dx С -x-dy-
J J (* + */)* ' J J l+if
13 0 0
4 2 2 1
«)(* -4-. «Uf-iiSu
J J U + i/)1 J J 1 + y*
3 1 0 0
58. Cdjcf — . 59. [ dx f xydy.
J J (l+jra + 1/a)3/2 J J
о 0 V “ ^ f 0 x*— 1
60. JJx*y*dxdyt где D={(*. y) : \x\ + |^|<l}.
D
61. J^x2dxdy, где D = {(x, #): |x| + |y|^l).
62. J^ xydxdy, где область D ограничена осями координат и кри-
D
вой jc = acos3/, г/ = a sin3 0^/^л/2.
63. ^([x] + [y])dxdy9 где область D есть квадрат с вершинами
0(0, 0), А (0, 2), В(2, 0), С (2, 2).
64. J^ sgn^ + y8—A) dxdy, где D={(x, у) : х2 + у2 < 9}.
в5- JJVT^TTdxdy. где £={(*, у): |у|<1, 0<*<2}.
* D
66. JJ[л/*2+.у2] dxdy, где D = {(дг, ^ < 3, х > 0, > 0}.
D
В двойном интеграле J J / (jc, у) dxdy перейти к полярным коорди-
D
натам г и ф, полагая jc = ra^, £/ = г sin ф, и записать интеграл в виде
Ф* г,(ф)
$ $ *(г, ф)<*г.
МФ)
540
«7. D={(x, У) ■ хг + уг^аг}.
68. D = {(x, у):х* + у*^а*, у>0}.
69. D = {(x, у):х* + у**^аг, «/<0}.
70. D = {(x, у) : х*+у*^ах).
71. D = {(x, у): хг + у*^ау).
72. D={(*. у):х* + у*^\, х* + (у-1/2)» > 1/4}.
73. D — треугольник с вершинами 0(0, 0), Л(1, 0), В(0, 1).
74. D — треугольник с вершинами 0(0, 0), Л(1, 1), В(—1, 1).
75. D — треугольник с вершинами 0(0, 0), А (1,0), В (1,1).
76. D —квадрат с вершинами 0(0, 0), Л(0, 1), В(1, 0), С(1, 1).
77. D= j(*, у): х*+у*<1, у—2*<0, у Х— х>0, х>0|.
78. D = {(*. у):(х-1Г + у*<\, х*+(у-1)*<1}.
79. D = {(x, у):(х-1)>+у>^1, 0<*<1}.
80. D = {(x, «/):(*—1 )*+(,* <1, 1<*<2}.
81. D = {(х, у):(х—1)% + у*^.\, *а + «/а>1).
82. D — область, лежащая внутри окружности х2+у2= 1 и вне
кривой r=cosЗф (системы совмещены).
83. D — область, лежащая вне окружности х2 + у2=а2 и внут¬
ри кривой (х2 + у2)2=2а2(х2—у2).
84. D — область, лежащая вне окружности х2+у2=*а2 и внут¬
ри кривой г = 2а8тЗф (системы совмещены).
85. D — область, лежащая вне окружности х2+у2=а2 и внут¬
ри кривой r=2a(l-f соэф) (системы совмещены).
86. D = {(x, У)'-х2 + У2> 1, 1, 0<у<1}.
87. D=|(*, у): 1 <** + ^*<4, y—x^Q, у ^-jc>oJ.
88. D = {(x, y):x* + y*^\t х2 + (у-1)2<1}.
89. D = {(x, y):x2 + (y—l)а<1, —1<х<0}.
90. D = {(*, y):(x— 1)2 + уа<1, y + jc>0}.
91. D = {(xt y) '-(xt + y2)2^:azxy}.
92. D={(xf y):\x-\\ + \y\^\).
93. D= ((x, у):аг^х* + уг^а(у + У*+?)}.
541
95. D — {(x, у): x* + у2 ^ max {2ах, 2ay)}.
96. D = {(*, у):т\п{а(Ух* + у* + х). За (Y у2 + х?—х)\ <
<х2 + (/а<4а2}.
Переходя к полярным^ координатам, вычислить интегралы:
97. ^ cos (х2 + j/*) dxdy, где D = {(х, у): х2 -f у2 < а2}.
Ъ
98. JJ In(1 + x2 + y2)dxdy, где D = {(*, у): х2 + у2 <а*>.
D
99. t dxdy, где D = {(*, у): х2 + у2 < ах}.
D
100. jJyV + y^xdy, где D = {(x, у): х2 + у2 < а«/}.
D
101. ^ylVR2—x2dxdy, где D = {(jc, i/): х2 + у2 </?2}.
|02- '« D“«* Й:«■ + »■<«)■
D
Ввести новые переменные и и v и вычислить следующие ин¬
тегралы:
103. Jj(xy + y2)dxdy, где D = {(х, у): 1/х < у ^ 2/х, х<у<3х}.
D
104. ^ dxdyt Где D = {(х, у): 1 — * <
*Ъ
<у<3—лс, х/2 < у < 2х}.
105. (х3 + у3) dxdy, где D = {(х, у): х2 < у < Зх2,
1/х<2у<3/х},
106. ^ J ху (х + у)dxdy, где D={(x, у): — 1 <х—у< 1.
1/х<у<2/х}.
107. Л x2dxdy, где D—{(x, у): х3 ^ у ^2х\ х^2у^6х).
D
108. ^ xy(x + y)dxdy, где D={(x, у): *— 1 <(/<*+ 1,
D
— X—\ < — X+ 1}.
109. J J xу dxdy, где D={(x, у): ax3 у ^ bx3, px^y2 ^qx).
110. tydxdy, где D = {(x, y): ar2 ^ y3^.bx2, ax^y^fix}.
111. —fo*y. djtdy, где D = {(x, у): ш/ < x2 < by, px^y2^. qx).
D
112. Вычислить И(Ут+/ -yj dxdy, где D есть область,
D
ограниченная параболой VT 4- 'у/Г-^-= 1 и осями координат.
113. Вычислить JJ jc у dxdy, где D — область, ограниченная
_ / хш . у* \а JC8!/
петлей кривой I Ь — =——, находящейся в первом коорди-
\ а2 Ь* ) с3
натном угле.
114. Вычислить У~у dxdy, где D —область, ограни-
D _
ченная осями координат и кривой ^х+^у=\.
115. Доказать, что
1
У Ф (* + У) хР~1 У9"1 ^У = в (Р> Я) ^ Ф (“) ир^~] du,
где ф(ы)—непрерывная на [0, 1] функция и D есть треугольник
с вершинами 0(0, 0) Л(1, 0), В(0, 1).
116. Доказать, что
Я/2 Я/2 я/2
J j cos(22siпфsin0)dфd0 ^ cos (z sin X) dXja.
0 0 о
117. Вычислить fCxpr/*(l—х—y)r dxdy, где D есть область, огра¬
ду (Р>0. <7>0. г>0)
виченная осями координат и прямой х + у= 1.
§ 2. Вычисление площади плоской области
Переходя к полярным координатам х=г cosy, y^=r si Пф либо
обобщенным полярным координатам x=ar cos* ф, y=brsiпаф, вы¬
числить площадь области, ограниченной следующими кривыми:
543
118. (x*+y*)* = 2ajc*.
119. (x* + 0»), = aa(x4 + j/4).
120. (л* + y*)s = 4а1хгуг.
121. х*+у* = ах, x* + y* = by, М (———•———^
\2(aJ +AJ) 2(aJ+A>),
)'-f-
m (-f+!-)'-'■+*•
184. ( —+ J£-V = —,
\ a« ^ V ) c*
\ # P ) c*
126. (J^ + i\e=Ji- + -«L
V * 6* ; л* ft4
127. - *l
at bl c3
128. Ji- + .£L = JL + J!L.
a* b* h% Л*
120. JL + JfL^JL+JL.
130.
a* fe* Л4 ft*
\ 2
(-+t)2=—“T’ ^ = 0‘
\ a 6 / a b
(f+f )‘--S-
«■ (т+т)’"т-т’ »-«■
135 (f+i)'-S—F-’*-0'
'«• (f+r)‘-J- + -5-
138. ~ + l/^"*‘=1, *=0, !, = 0 *r5s0, ^0)
«■ ТШ’+УФ'-'-
137. Ьл*п +ai/," = c3(jci/)n-1.
138. bx*" + ay*" = c8*2"-2 + d?\pn~'1
544
Найти площадь петли кривой:
139. (х + у? = ахгу.
140. (x + yf = axy.
141. (х + у)* = ах'уг.
Производя надлежащую замену переменных, найти площадь,
ограниченную следующими кривыми:
142. ху = р, ху = q, у% = ах, у* = Ьх, 0<Zp<q, 0<а<Ь.
143. ху = р, xy = q, у = ах, y = ftx, 0<p<q, 0<a<p.
144. х2 = ру, x* = qy, у = ах, y = f>x, 0<р<<7, 0<а<р.
146. у —ах*, у = Ьхг, у* = рх, у* = qx, 0<a<b, 0<p<q.
14в. *=-£-, </=-£-. *=7Г* х=-^~л>0’ У>0'
0<а<Ь, 0<c<d.
147. у = —, у=-^~, У* = —, Уг = ~г> 0<а<Ь, 0<c<d.
abedt
148. У=-^~, У — У= —. У = ——, 0<а<Ь, 0<c<d.
а* Ьг С ал
149. у=-^-, У=-^-, ху = с*, ху = (Р, дс>0, у> О,
аг г
О<а<Ь, 0<c<d.
150. х*+у* = ау, >? + у* = Ьу, х—ау, х = Ру, 0<а<.Ь, 0<а<р.
151. у* = 2р(х—p/2), y* = 2q (x—q/2),
y* = 2r(x—r/2), 0 <p<q<r (x>0, y> 0).
152. a) (x+2t/-l)* + (2x+y-2)* = 9;
6) (x—2y+3)* + (3x + 4y— 1)*= 100.
§ 3. Вычисление объема с помощью двойного интеграла
Найти объемы тел:
153. О^Гг^дс*, х + у ^5, х—2у^2, у^О.
154. x + y+z^a, Зх + у^а, Зх+2у^2а, 0, г>0,
155. x + ys^ 1, z^x* + y*, х>0, у^О, г>0.
156. х + у<а, 0<2te<y*. х>0, у>0.
157. z*<2px, ys^x^la, у>0.
545
158. z2>2pjг, z2>2qy, 0<z<a, x!>0, y>0.
159. j/2^2<j(a—x), z2^T2px.
160. O^zj^xj/,
161. x2 + j/2<a2, z>0, x+y+z— 4а<0.
162. x* + «/2^a,1 x + i/ + z^a, z^O.
163. x2 + i/2<a2, 0<аг<аг—2(Д
164. (x2 + y«)2<a2(x2—у2), 0<te<x2 + ^.
vl 111 vl al
165. — - + -?—< 1.
o* 6» ^ a* 6*
166. 4x></2, 4i/^x*, O^z^t/.
167. z^O, x+z^l, x>y2.
168. ax x2+1/2 ^ 2ax, 0^6г^х*у*.
169. x* + y* + z*<3a*, x2 + «/2<2az.
170. x*+ £/’?; аг /i2.
171. 0<z<x, x2 + «/2<2ax.
172. x2<fcy</>2, 0<az<x2 + (/2.
173. —x<y<x, х2 + (/2<аг<2х3 + 2{Д z<A.
174. x2<ai/<bx, x2 + «/2</iz<2x2 + 2y2.
175. x^i^^az ^aj/V + i/2.
176. 0<z<x2 —j/2, 2x + y<l.
177. 0<z<4—x2, x2—«/2>0, x>0.
178. 3x + 4(/<12a, O^az^a2—уг, x^O, y^O.
179. (x—a^ + if^azOa2— 2ax.
180. 0<z< 1—{/2, 0<x<2—z.
181. x2<az<4a2—x2—i/2.
182. 0^az^4a2—x2—y1, az + x2^a2.
183. a2^x2 -+- y2^6s, x2—y2—z2^0, x>0.
184. x2 + y2 + z2^a2, x2+i/2>a(a—2z).
185. a) x2 + </2-f-z2^2cz, х2 + у*^2аг(а<с^ 2а);
6) x2 + j/2+z2<2cz, x2 + (/2>2az (c>2a).
$46
186. 0<z<ce
188. O^z^csin^n VTH)-
,8,• j,>0'!>0-
190. O^z^csin-^-sin-^-, |jt|[^a, \y\
a b
191. 0<г<
(* + a)k {y + b)l
, 0<x<2a, 0<(/<26;
k>l, />1.
192. O^z^xi/el-**-*4)' x4 + y*^K*.
193. О ^ z < (x + y) erx'-*, x3 + ys^R*t *>0, i/> 0.
194. 0<z<i/sln nx^y2^.mx,
Py^x^. ay, m>n> 0, 0<p<a<l.
195. 0^c2z <1 (jc2 + у2), m^y^in,
и*
0<a<p, 0<m<n.
196. r^asin3<p, ra^a2—г2, 0 ^ ф ^ я/2.
197. а) r < a j/cos 2ф, a2— r2, —я/2^ф^я/2;
6) r<a*/2 cos 2ф, 0 ^ az ^ a2—r2, —я/2 ^ ф ^ я/2,
§ 4. Вычисление площади поверхности
Найти площадь поверхности:
198. z2=2xy, если О^дс^а, 0^.у^Ь.
199. z = Yx2 + y2, если xa + y,<2ajc.
200. 2z = xa, если x^L2y^.4x, jc^22.
201. cz = xy, если (x2 + у2)2 ^ 2c*xy, 0.
202. (x2 + y2)9 = Л4, если *2+r/2<^-^-.
16
203. 2аг = хг + у*, если (х*+у‘)л^а3(х*—у*), х^0.
у'
547
204. 2az = x2 + y2t если x2 + y2^.a2, у^х% jc>0, у^ 0.
205. 2az = х2 + у2, если х2 + у2 + г2 ^ 2сг.
206. x2 + y2 + z2 = R2, если x + y^R, х>0, 0.
207. л* + г/3 + г2 = /?2, если jc2 + у2<г2tg2a, z>0.
208. х* + у2 +z2 = R2, если (х2 + у2)2<;R2(у2—jc3).
209 xi + y2+zt = 2Rz, если—+—<•—.
а2 />а с2
210. г3 = дс* + а2, если у3 (2jc2 + а2) ^ a2jc2, О^лгг^а.
211. t/3 + z3 = 2ajc, если у*^ах^.а*.
212. x2 + t/24-z2 = a3, если jc4 ^a3jc2—ti*y2% a<b.
213. jc2 + y14-z3 = aa» если у2>а(а + х).
214. jc3-f-*/a + z2 = Д2> если jc3 + by2 ^ a3jc, b^a.
215. x* + y2 = 2ax% если z2<x2 + i/a.
216. y2 + x% = 2ax, если 0 ^.az ^.x2 + у2.
217. ** = уа + г3, если x2—у2 ^a2,
218. x* = (/3 + z3> если jc2 + y2^a3.
219. д^ = у2 + г2, если x2^.ay.
220. jc2 + z3 = 2ax, если y2^2px.
221. jc2/3 + z2/3 = a2/3, если y2^.2px.
222. jc2/3 + z2/3 = a2/3f если y2/3 +jc2/3 <!а2/3.
223. x2 = 2c (с—z), если О^уг^ах, z>0.
224. jc3 = 2c(c—z)p если z>0, x2y2^.a2x2—c2y2.
225. x = rcosф, y = rsin9, z = kф, если а) О^ф^г,
0<г< 1; б) 0<ф<я/4, 0<г<ф.
226. jc = ucosc/, ^ = wsinz = 4i\ x2+y2^.9, 0О<8я.
227. jc = (a + b cos v) cos u, y=(a+bcosv)sinu, z=b sin v\
л/2 (а > b).
228. x = a cos3 u cos ф, у = a cos3 a sin ф, z = esin3a, 0^ц^я/2#
0<ф<лсоза.
229. jc = a^ln|tg-^- +cos/j, у = a sin/ cos ф, z = as\n t sirup,
0<*з^я/2, 0<ф<л/2.
230. jc = 3u + 3wt/3—u3, y=i>3—3v—3u2v, z = 3(u*—v*)9 0<Zu<Zl,
0<a<u.
548
231. Найти объем и площадь поверхности тела Вивиани
+ + ^4с*, хг-\гд*^:2ах.
232. Найти объем и площадь поверхности тела
x* + za^aa, zs + i/a^a*.
233. Найти объем и площадь поверхности тела
О<z<aarctgAt х* + ^*</?4, х>0.
х
234. Найти объем и площадь поверхности тела
x* + i/2<I2ax, x2^y2 + z2.
235. Найти объем и площадь поверхности тела
х* + у2^г*, az<!2a2—(х2 + у2).
§ 5. Механические и физические приложения двойного
Найти массу пластинки плотности р, ограниченной линиями:
236. у + х2, х + у = 2, у—х = 2 (х > 0), если р = х + 2.
237. x = yt х—3у= 1, у= 1, у = 3, если р = у.
238. х2 + у2 = 4х, x2 + y2 = 4y(xy^0)f если р = х.
239. у2 = )с+ 4, у2 = 4—х, у = 0(у^0), если р = £/.
240. —+ — = 1, -^- + —= 1, если р = 4х2 + 9у2.
9 4 18 8
241. х2 + у2=\, х* + у* = 9, х = 0, г/ — 0 (х>0, у^0), если р =
= * + 0.
243. Найти массу круглой пластинки радиусом /?, если плот¬
ность этой пластинки в каждой точке пропорциональна расстоя¬
нию от этой точки до центра пластинки и равна р0 на краю пла¬
стинки.
244. Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими
окружностями, радиусы которых равны соответственно 1 и 3.
Зная, что плотность материала пропорциональна расстоянию от
центра окружностей, найти массу кольца, если плотность на
окружности внутреннего круга равна единице.
245. Найти массу пластинки, имеющей форму кольца, радиу¬
сы внутренней и внешней окружности которого равны соответ-
интеграла
549
ственно г и R, если плотность пластинки в каждой точке обратно
пропорциональна расстоянию от этой точки до центра кольца.
246. Найти, массу квадратной пластинки со стороной а, если
плотность пластинки в каждой точке пропорциональна квадрату
расстояния от этой точки до одной из вершин квадрата и равна
р0 в центре квадрата.
247. Найти статический момент однородного прямоугольника
плотности р со сторонами а и b соответственно относительно его
сторон.
248. Найти статический момент однородной пластинки плот¬
ности р, занимающей область, ограниченную одной аркой циклои¬
ды, x=a(t—sin 0, */=я( 1—cos 0 и отрезком прямой у=0 относи¬
тельно оси ОХ.
249. Найти статический момент однородной пластинки плот¬
ности р, занимающей область, ограниченную линиями у=х2 и
2
и = относительно оси ОХ.
1 -+ х9
250. Вычислить момент инерции однородного круга массой М
и радиусом R относительно точки на его окружности.
Вычислить моменты инерции относительно заданной прямой
однородной пластинки массой М, ограниченной линиями:
251. x2+y2=R2 относительно прямой, проходящей через центр
круга и лежащей в его плоскости.
252. х2+y2=R2 относительно касательной к окружности этого
круга.
хш и1
253 . f-— = 1 относительно большой и малой осей.
а% Ь*
254. sinx, О^х^я, у=0 относительно прямой у= 1.
255. а(/=х2, х+у=2а относительно каждой из осей координат.
256. *2=2ру, у2=2рх относительно каждой из осей координат.
257. r=*a(l + cos <р) относительно полярной оси.
258. г2=а2 cos 2ф относительно полярной оси.
259. ху=4, ху = 8, х=2yt х=у, (у>0) относительно оси ОУ.
260. Плотность в каждой точке прямоугольника пропорцио¬
нальна квадрату расстояния от этой точки до одной из его вер¬
шин. Найти момент инерции этого прямоугольника относительно
его сторон, проходящих через эту вершину, длины которых соот-
ветвтвенно равны а и Ь.
261. Найти момент инерции относительно начала кеординат
однородной пластинки плотности р, занимающей область, ограни*
ченную линиями
х*+У* = 9, х+у = 0, х—у = 0 (х>0).
550
262. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки,
занимающей область, ограниченную линиями: у=х, у——х, х—\%
если плотность пластинки в каждой ее точке численно равна рас¬
стоянию от этой точки до начала координат.
263. Найти координаты центра тяжести однородной пластин¬
ки, имеющей форму кругового сектора с углом а и радиусом R,
Найти координаты центра масс однородной пластинки плот¬
ности р, ограниченной линиями:
264. у — х2, у = 3х2, у = Зх.
265. у~2х—1, у2 = х, у = 0.
266. у = 4—х2, у + 2х = 4.
267. у = У2х—х\ у = 0.
268. у = 4х+4, у2—— 2х + 4.
269. у = х2, у = 2х2, х = 19 х=2.
2Ж 4+-&=1-х=0- у=° (*>°> у>°>-
а* Ьл
27и 4+7Г=1- У=0 <У>°)•
a* tr
272. -у+-у = 1’ Зх + 2У = 6’ х>0' У>°-
273. JL+X-i, —+ -f = 2,- = — = -f-.
a b a b a b a b
274. у* = ах*—х*.
275. x — acosst, y = asin*t, х = 0, у = 0 (дс>0, у^О).
276. x = a(t—sin<). у = а(1—cos<), t/=0, * = ла (OsQr^jia).
277. x=a(t—sin<). У = а(1—cosf). У=0, 0^х^2па.
278. (х*+у*)' = 2агху, *>0, у>0.
279. x*+y* = 3aic|/, х>0, |/>0.
281. £ + -£. = 2Е£, ж>0, *>0.
a1 tr сг
5J1
284. г -- а {1 -\- cos ф), 0 ^ <р ^ 2л.
285. г2 = a2 cos 2ф, 0 ^ ф ^ л/4, ф — 0.
286. r = 9cos(p, г - -lcoscf.
287. r2 = a2cos2(p, 0^ф^л/2.
288. Найти массу и координаты центра масс пластинки в фор¬
ме прямоугольного треугольника с катетами а и b (а>Ь), если
плотность в каждой ее точке равна расстоянию ее от меньшего
катета.
289. Пластинка лежит в плоскости ХУ, занимая область Dy
ограниченную кривыми х=2, у2=2х, у=0 (у>0). На пластинке
распределен электрический заряд с поверхностной плотностью
а = х + у!2. Найти полный заряд пластинки.
290. Пластинка лежит в плоскости XУ, занимая область D,
ограниченную следующими линиями: х=\у у=0, у = 2^х. На пла¬
стинке распределен электрический заряд с поверхностной плот¬
ностью 0 = 7x4-у. Вычислить полный заряд пластинки.
291. Пластинка лежит в плоскости ХУ, занимая область D,
ограниченную кривыми у=0, у=2, дг = 0, х + у=4.
Удельная теплоемкость пластинки меняется по закону с=2х +
-f3у. Найти количество тепла, получаемое пластинкой при ее
нагревании от температуры /| = 10° до температуры /2=20°.
292. С какой силой плоский диск радиусом R и массой М при¬
тягивает материальную точку массой т, которая лежит на пря¬
мой, перпендикулярной диску и проходящей через его центр, на
расстоянии а от центра.
293. Пластинка в форме треугольника погружена вертикально
в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Осно¬
вание пластинки а, высота к. Вычислить силу давления воды на
каждую из сторон пластинки.
294. Прямой круговой цилиндр погружен в наполненный жид¬
костью сосуд так, что его середина — точка М — находится на
глубине с под поверхностью жидкости, а ось цилиндра состав¬
ляет с вертикалью угол а. Длина цилиндра равна /, радиус осно¬
вания а. Вычислить давление на нижнее и верхнее основания ци¬
линдра, если плотность жидкости равна у0.
295. Пластинка, имеющая форму полукруга радиусом а, по¬
гружена вертикально в жидкость так, что горизонтальный диа¬
метр АВУ служащий ее основанием, находится внутри жидкости,
а вершина О полукруга соприкасается с поверхностью жидкости.
Вычислить давление на пластинку, если плотность жидкости
равна yo.
552
296. Определить силу давления воды на боковую стенку х>0
цилиндрического сосуда х2+у2=а2, 2=0, если уровень воды z=tf.
§ 6. Расстановка пределов интегрирования в тройном интеграле
и его вычисление
Вычислить следующие тройные интегралы:
12 3 1 х хд
297. \dx\dy^xyzdz. 298. \ dx ^ dy ^ (х + у + z) dz.
ООО и о о
1
299. 30°-
1 у 0 —1*0
4 г Уг*=х» 3 3— г Ъ-у-г
301. ^dz ^ dx ^ z2xyldy. 302. ^dz ^ dy ^ *
0 —г О 1 1—* 0
Расставить всеми возможными способами пределы интегриро¬
вания в следующих тройных интегралах в декартовой системе
координат *:
1 1—х \—х—у 1 х у
303. ^ dx ^ dy ^ f (*. У> г) dz. 304. ^dx^dy^f (х, у, z) dz.
1 +—* i—x—y I 2 I—1v—1|
305. ^dx ^dy ^ f(x,y,z)dz. 306. ^dx^dy j f(x,y,z)dz.
2 3 2—'x—1| R VrZ^x• *«+*•
307. ^ dx^dy ^ f(x,y,z)dz. 308. \dx jj dy ^ f{x,y,z)dz.
R V /?*—x* R—VR'—xt—y*
309. [ dx I dy \ f (x, y, z) dz.
-R -ГкП7> о
R У R'—t* /я»-**-**
310. I dz I dy I f(x, y, z)dx.
0 — У R'-z* — V /*•—«*—y*
Расставить всеми возможными способами пределы интегри-
ования в цилиндрической системе координат в интеграле
f(x, у, z)dV, если
ров:
* Всюду в дальнейшем функция f{х, у, г) предполагается непрерывной в
соответствующей области.
553
311. V=((xy у, + О<z<#}.
312. V = {(xt у, 2) :*402<**za, 0<2<#}.
313. V = {(jt, у, z) : хЧ-//2 </?2, jc2 + ya + z2<4/?2}.
314. у = {(*, r, z) : jr + f/2 + z2^2az, x2 + y2 ^z2}.
315. V — {(x, y, z):x2 + y2 + z2^ 4R2y z^ R).
316. V — {(x, у, z) : x2 + y2 + z2 ^ 4/?2, Jt2 +#2 ^27?*}.
Расставить всеми возможными способами пределы инте¬
грирования в сферической системе координат в интеграле
/(*• y^)dV, если
317. V = {(x, у, г): х2 + у2 + г2 ^ 4аг, *а + уа< Зг1}.
318. V = {(*. у, z):x2 + t/а + га<Яа, г>Я/3}.
319. V={(*. У. z):x2 + y2^R2, 0<г<Я,(Я>Я)}.
Записать интеграл У. z)dxdydz в виде одного из по¬
вторных в цилиндрической системе координат, если
320. v=[(x, у, z); y+'F+1"<1, х>0, у>0’ г>0}-
321. V = {(x, у, г): xa + </*<z, 0<2<Я}.
322. {(*, у, г):0<х<1, 0<i/<1, 0^г<1}.
323. ^={(ж, у, z):(x-R)2 + y2 + z2^R2, х2 + (y—R)2 + *а<R*).
324. V = {(jc, у, г): хг + у2 ^ 2ах, х2-\-у2^.а2—аг, г>0}.
325. V = {(x, у, г): 4*а + З^ + za < 48, 0<22<4х* + 3у*}.
326. V = ((jc, у, г) : |г|<5—У3х2 + Ъу2, г2^х2 + у2+ 1).
Записать интеграл У< z)dxdydz в виде одного из по-
вторных в сферической системе координат, если
327. V={(*. у. г):-^- + -|-+-^<1, *>0, у>0, z>о).
328. V={(x, у, z):x* + y> + zi^;4Rz, x% + y2+z*^>Rz, ** + £*<
<z*/3}.
329. V = {(x, у, г) : x2 + y' + z%s^R\ r* + i/* + z*<2z/?}.
330. V = {(xt у, z) : x2 + y2 + z*^R2, x2 + y2 + z2^. 2zR).
331. V = {(x, y, z):x1 + y% + z2^2yRt x' + y'^iz1}.
554
332. V = {(x, у, г) :ха + у*+г»<2у/?, х*+у*>*).
333. К = {(х, у, 2):x* + y* + z»<82—8, 3(х* + у*)<2»}.
В следующих примерах требуется записать тройной интеграл
У’ 2)dxdydz в виде повторного. Так как подынте¬
гральная функция конкретно не задана, то выбор, в какой систе¬
ме— декартовой, цилиндрической или сферической — и порядок
записи этого повторного интеграла производится только из рас¬
смотрения области интегрирования V. Под V всегда будет подра¬
зумеваться ограниченная связная компонента множества {(*, у9
г) у, z)>0, 2,п}, если условие на V задано в виде
у.
2)> 0, i-1,
,2,.
334.
V = {(x,
У.
г):
0^г^4—х*. х*—у*^0, х^0).
335.
у=«*.
У>
г):
0<г<4—х, у*<2х+2}.
336.
V = {(x,
У.
z):
х + у+ г ^2, 0 < 42 < 4—х*—у*, х^0.
У> 0}.
337.
V = {(x,
У,
г):
0<2<4—х*—у», |х + у|<2}.
338.
V = {(x,
У,
г):
**>у* + Л 5х<4 + у» + г»}.
339.
V = {(x.
У.
г):
: (х* + у»)* < в* (х* - у»), 0 < аг < 4 (х* + у*),
x>0).
340.
У.
г)
:0^г^4ху, х + 4у + г^1}.
341.
V=\(x,
У.
г)
: 0<г<3—1/х*+2у*, х<у).
342.
V = «x,
У.
г):
: у* ^ г ^ 4, х* + у® ^ 16}.
343.
V = {(x,
У,
*)
:0^г^х*—у®, х>0, у>2х—1}.
844.
V = {(x,
У.
г):
: а*^х* + у*^й*, х*—у*—2*^0, х^0}.
345.
V = {(x,
У,
г)
:х* + уа>3г*, xa + ya—га<2}.
346.
V = {(x,
У-
2)
: Зх1—y*+3za>0, х* + у* + г*<2ау}.
347.
У = «*.
У.
г)
:x, + ya + z*<2o»:, xa + y*<aa}.
348. a) V={(x, у, 2):4(x»+if)<2*, 1 +Ух* + у»);
б) V = {(х, у, 2):4(х* + у»)<2», х*+у*-га + 2г-1 >0}.
349. V = {(x, у, г): г* + у*<Я*. х» +2* </?*}.
350. У = {(х, у, г):ха+уа + 2«<ЗЯа, *х<2(уа+г*)}.
351. V = {(дс, у, г):ха + у*+ах—хг<10, г>0}.
352. V = {(х, у, г): уа + 2+х<а, x>z>0}.
555
353. V = {(jc, у, z): (JC2 + (/2)2^a2(;c2 —у2), 0 < az ^ 4 (x2 -f- (/*),
x>0}.
Вычислить
354. $JJ(x2 + y2)<i*di/dz, V = {(jc, y, z): x2 + y* < 2z, 0<z<2}
355. Щ(х2 — 4xy + y2)dxdydz, где V = {(jc, y, z):0^jc^1,
0<1/<1, 0^2<1}.
356. l\[ xdxdy dz, V = {(л:, у, z) : O^y^h, jc + 2<a, jc^O,
* v
2>0}.
357. ^\хуг dxdydz, У = {(х, у, z): х* + у* + г*<дУ’Зх, x*-f-
+ 1/2 + г2<ш/, z>0}.
358. ^^(x2 + y2 + z2)dxdydz, K = {(t, y, z): x2-ft/24- г2<Л*.
V
i/2 + z2<x2, x>0}.
359. V=|(x, y, z) : z2^(x2 + y2), 0^2^/iJ.
v
m ДО*"**,*, >-=((«. *>:(-i-)' + (f)4(f)\
V
O^z^c, ’«/>oJ.
361. ^zdxdydz, V = |(*, t/, 2) : + ~ + -^- < 1, 2>oj.
v
«*• IffwTSW''"<'**• >'"{(«• »• »;-£+£ +
363. Ijlz*dxdydz, V = {(x, y, z):x2+y* + z*>tf*, x* + j/» + z»<
<2«z}.
364. (x + l/ + г)*dxdydz, ^ = {(х, у, z): x2 + у* ^ 2az, x*-f-
+ j/2 + z4<3a1}.
556
365. xyz dxdydz, V—тело, ограниченное поверхностями,
yz = ах, уг = ахх9 а>ах> О,
zx = by, zx = Ьху, b>bx>О,
ху — czf xy = cxz, C>Cj>0,
полагая
yz zx xy
u = —, —, w = ——.
xyz
366. xpygzr(l —x—y—z)sdxdydz (p>0, <7>0, r>0, s>0),
V—тело, ограниченное плоскостями x+y+z=\t jc=0, t/=0,* z—0,
полагая, jc+j/+z=h, i/+z=ui>, z=uvw.
Xdxdydz, V = {(x, yt z): a^.xyz^bt cx t^y-z^dx*
my^x^ny), y> 0.
§ 7. Вычисление объема с помощью тройного интеграла
Найти объем следующих тел:
368. V={(x, у, z):x2 + 2y2—z2^aa, х2 + 2у2^ 4z2}.
369. V = {(дг, у, г): 2 (г1 + 2у3Х 2аг < За -/а1—х*— 2г/а).
370. V = {(*, у, г):;с*+404<г*, a2<*2+4</a+z*<9a*}.
371. V = {(х, у, z): хг + уг + z2s^2Rz, г1 tg8а+ у*<2*tg*
0<а<р<я/2}.
372. V = {(*, у, г) : *а + «/* + г8 < Я2, *г + </а + га<2/?г}.
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:
373. (x2 + y2 + z2)2 = a*z.
374. (x2 + y2 + z2)s = a*xyz.
375. (дс2 + у* + z2)2 = axyz.
376. (*а +1/2 + za)a = az (jca + у*).
377. (x2 + (/a + z2)3 = a2z4.
378. (jca + y2 + z2)3 = az(^ + t/a)a.
379. {x2 + у2 + z2)3 = a2t/2za.
380. (x? + y2 + za)3 = a3 (jc3 -f- r/3).
881. (jc* + ^a+z2)3 = a3z(jc2—#s).
557
382. (х2 + у* + z2)* = а3г (х* + у*).
*‘+у‘
383. (x2 + y* + z2)2 = a*ze *'^'+г' .
384. (** + tf + z2)3 = a®sin* [
v -rj т , L У**+ *• + *•
385. (х* + у*)*+ z4 = za*.
386. (je» + 0*)* + z« = a®(y—jc).
387. (x2 + у2)* + z* = 3a3zs.
388. (x2 + y2)* + zs = a*xyz.
389. (x + y + z)2 = ay, x — Ot y = 0, z = 0 (jc>0, г>0).
390. (** + 0*+ *•)• = г*.
391. (*.+ *- + ±)'=*.'
\ k* a* b* J p‘
392. ((jc* + у2)3 + zy = a* (x* + y*)\
393. ((jc* + y2)2 + z4)* = asz (jc* + (/*)*.
\a* b* c* j h*
(£+£)'+£=т-
3M- (£+£+-?-)‘-т”л|
397. (*-+*-+*-)' = ?! .
V a* ^ b* ^ c* ) , * y'\
~ ((fr+tfr+ltrr-T-
“(т+i)
SM- (f+f+f)'-si"(xfrfi;)- '-0’
(*>0, y> 0, z>0).
«Чт+т+т)'-“>[(-Нт+t+t))]
У>o, z>0).
558
I. z = 0
(•* >0»
(x>0, О, z>0).
(дт>0, О, 2>0).
406. дс+у+г = а, *+у+г=2а,
* + j/ = z, x-f i/ = 2z, jc = у, у = 3дс.
407. а*^ху^Р, pz^.xy^qz, ax^.y^L {br,
0<a<b, 0<p<q, 0<а<р.
408. r = asin<p(l + cos\|>).
409. Г — flSHKp У COS^l?.
410. r = sin<p(asin2\|)-f &cos2i|3).
§ 8. Механические и физические приложения тройного
интеграла
Найти массу тела плотностью р, ограниченного поверхностями
413. z = x2+y2t г2-\-х2 + у* = 6, z>0, если p = z.
415. z = х2-\- у*у z = 2у, если р = у.
416. x + y + z = 2, jc = 0, у = 0, z = 0, если p = x + i/ + z.
417. jc = г/*э х= 4, z = 2, 2 = 5, если р=|у|.
418. z = 6—Xя—if, г* = х2 + у*, г^О, если p = z.
xifa' + tflb*
559
419. 2* + z = 2a, x + z = a, y2 = ax, y = 0 (f/^0), если p = y.
420. 2x2 + 2y2—4ax—4ay + az = a2, x2 + y2—2ax—
— 2ay + az = 0t z = 0, M(at at о)еУ, если p = z*.
421. Найти массу куба со стороной а, если плотность его в
каждой точке равна квадрату расстояния этой точки до фиксиро¬
ванной вершины куба.
422. Найти массу шара радиусом/?, если плотность его в каждой
точке равна удвоенному расстоянию этой точки до поверхности
шара.
423. Найти массу сферического слоя между сферами х2 + у2+
+ г2=а2 и х2 + y2 + z2=4a2t если плотность его в каждой точке об¬
ратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат и
на внешней сфере равна ро.
424. Найти массу конуса R2(z—Я)2> (x2-f У2)Н2, ес¬
ли плотность равна р= | jet/1.
425. Найти массу прямого кругового цилиндра, высота которо-
ро равна /У, а радиус основания R, если плотность в любой точке
равна квадрату расстояния этой точки от центра основания ци¬
линдра.
426. Найти статический момент относительно плоскости XY од¬
нородного тела плотностью р, ограниченного поверхностями
*2 -}- у2 + z2 = 2az, л*2 т у2 = z2 tg2 а, х2 + у2 = z2 tg2 р (0<а С р<л/2).
427. Найти статический момент относительно плоскости XY
однородного тела плотности р, ограниченного плоскостями
x~\~y + z= 1» * = 0, у -^ 0, г — 0.
Найти момент инерции относительно заданной оси однородно¬
го тела плотностью р, ограниченного заданными поверхностями
428. х = 0, х = а, у = 0, у = b, z= 0, z = c
относительно осей координат.
429. у=Уху у = 2Ух, z = 0, г + х — 4 относительно осей коор¬
динат.
430. + А- + = 1 относительно осей координат.
431. х2 + у2—ах = 0, г2=2аху г = 0 (z>0) относительно осей ко¬
ординат.
432. г = ~ (l/2 + *2)» z= 1 относительно оси ОХ.
433. х + у + г = 2, z = 0, х2-\-у2 = 2 (z> 0) относительно оси OZ.
560
434. х2 у2 = cz, г = с, относительно оси 0Z.
435. — + — + — =1. jc = 0, {/ = 0, z = 0 (jc>0, 1/>0, z>0)
а Ь с
относительно оси OZ.
437. x2 + y2 + z2 = /?2, х2 + */2 = z2 tg2 a (z ^ 0 jc2 + у2 < z2tg2 а, а<я/2)
относительно оси OZ.
438. х2 + t/2 + z2 = 3, x2 + y2 = 2z, z>0, относительно оси OZ.
439. (х2 + t/a + z2)2 = a3z относительно оси OZ.
440. (x2 + j/a + z2)3 = 3x(/za3(x^0, */>0, z!>0) относительно оси
441. Найти момент инерции однородного тела плотностью р, ог¬
раниченного поверхностью тора х = (а + г cos и) cos а, г/ = (а +
+ г cos ы) si п у, z = rsin«, 0 ^ г ^ 6 <С а, 0 ^ w ^ 2л, 0 ^ у ^
^2л, относительно осей координат.
Найти момент инерции относительно заданных плоскостей од¬
нородного тела плотностью р, ограниченного заданными поверх¬
ностями
442. x2-\-y2 = k2z2> z — ht относительно XZ и XY.
443. az = a1—х2—у2, z = 0 относительно XZ и XY.
относительно YZ.
445. (х2 + у2 + z2)2 = a%xy, x>0, «/>0 относительно XY.
446. a2 = x2 + */2 + z2, b2 = x2 + y2 + z2, x* + i/2 = za, z!>0 (xa + i/2«<
Cz2) относительно XY.
447. x2 + y2 -j- z2 = 2az, x2 + г/2 = 3z2 (x2 + y2 < 3z2) относительно XK.
448. Найти момент инерции однородного прямого кругового
конуса плотностью р, радиус основания которого равен /?, а вы¬
сота равна И относительно его оси.
449. Найти момент инерции однородного шара массой М и ра¬
диусом R относительно точки на его сфере.
450. Найти момент инерции относительно начала координат
тела, ограниченного поверхностями
если плотность в каждой точке обратно пропорциональна рас¬
стоянию от начала координат.
относительно оси OZ.
OZ.
а Ь с
+ =1, JC = 0. i/ = 0, z = 0 (*>0, у>0, 2>0)
561
451. Найти момент инерции относительно оси симметрии кру¬
гового конуса, если высота конуса — Я, радиус основания — /?;
плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию
от этой точки до оси симметрии конуса.
Найти координаты центра масс однородного тела, ограничен*
ного поверхностями
452. 2 = 0, х2 + у2 = 2х, z = x2 + y2.
453. az = a2—x2—у2% 2 = 0.
454. х + у—\% z = x2 + y2% х = 0, i/ = 0, 2 = 0.
455. x2 + y2 + z2 = R2, * = 0, у = 0, 2 = 0 (х>0, у>0, 2>0).
456. x2 + y2 = 3z\ z = H.
457. JL = 4+-£-, JL+J.=±i, z==0.
c a* tr a b a b
458. — + — + — = 1, X = 0, y = 0, 2=0.
a b с
459. z = x2 + y2, 2z = x2 + y2, х+1/ = ±1, x—y = ±\.
*Mt r+(tr+(f)m—
2=0 (x>0, y>0, 2>0.
461. z2 = xy, x = a, y = bt z = 0 (z>0).
462. x2 + y2 + z2 = a2i x2 + y2 = a (a—2z), (x2 + y2< a (a—2z)).
463. x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 = z2 tg2a, (2> 0).
464. (x2 + */2 + z2)2 = ax*/2 (x>0, t/>0).
465. (x2 + y2 + z2)2 = a^z.
466. x + y + z = 2a, x = a, i/ = a, x = 0, r/ = 0, 2 = 0.
467. x2 + y2 + z2 = 3a2, x2 + j/2 = 2a2, (x2 + r/2^2az).
468. x2 + i/2 = 2, x2 +1/2 = 22, xz/ = 1, xi/ = 4, у = x,
y = 2x (x>0, y^0).
Xх . у* , 22 Q X* | У* _ 2z
469.
V+ir+JT=3> -^г+-!г=—(z>°)-
a1 to* c* a* b* 0
470. Найти положение центра масс однородного шарового сег¬
мента плотностью р, радиус основания которого равен /о, а высо¬
та равна h.
562
471. Найти координаты центра масс однородного прямого кру¬
гового конуса плотностью р, радиус основания которого равен R,
а высота равна Н:
R2(z—Н)*^Н2(х*+у*), 0
472. Найти массу и определить положение центра масс шара
x2+y2+z2<2az, если плотность в точках шара:
а) обратно пропорциональна расстоянию этих точек от нача¬
ла координат;
б) обратно пропорциональна квадрату расстояния этих точек
от начала координат.
473. Найти силу, с которой однородный цилиндр плотностью
р притягивается к центру своего основания, если радиус основа¬
ния цилиндра равен R и высота равна Я.
474. Найти силу, с которой однородный конус плотностью р
притягивается его вершиной, если радиус основания конуса ра¬
вен /?, а длина образующей равна /.
478. Пусть f = f(x 1, х2% ...,хп) непрерывная функция в области
О^х^х (i= 1, 2, ... , п).
Доказать равенство
§ 9. Вычисление л-мерного интеграла
Вычислить интеграл
1 1 1
475- И • • • X(*'+**+ • • •+^ dx'dxг • • dx'‘-
0 0 о
‘ J J " J
00 о
1 ... j fdXi.
X»
479. Доказать, что если / — непрерывная функция, то
X
t
л-1
480. Найти объем части л-мерного шара М = {х = (xlfх2,.. . ,Xn^*t^,-
+д,2+_+*2<а2, xl + xl_2^3xl_v *п_2>0}, (п > 2).
481. Доказать равенство (/eC[0, jc])
J f{xn)dxn^f(u) (*я~в^- du.
ООО О
482. Доказать формулу Лиувилля
Л .. ^ f(*i + xt + . ..+хп)х!['~' х*~1 . Д^п_1 dxl...dxn =
*i^*0. -*«^0,... ,хп^0,
*1+*1+- • +*п^1
1
= Г (Pi) Г (Pt) • • • Г (Рп) Г f /ц\ wPlfPl+ +Рд“1 Ди
Г (Pi~bP* + . •. 4- Рп) J
о
где f(u) —непрерывная функция, pt>0 (/—1, 2, ..., л).
483. Вычислить потенциал на себя однородного шара радиу¬
сом R и плотностью ро, т. е. найти интеграл
4 ИЛИ r dxidyidzidx-tdyidz-i
*1+у1+4^*ш
где п,2 = V(*i—**)2 + (t/i—*/2)2 + (zi — z2)*.
484. Пользуясь формулой
|S| = jV1detG| duy
D
где
S={r:r(u), ueD}, r: R*Rn(k<ri),
DczDh, область D жорданова,
G— матрица Грамма (G = (g^), = (rUl ru^) , найти площадь
поверхности л-мерного шара:
п
М =|^z=(JCl, *„): £*?<аг}.
ы\
§ 10. Несобственный кратный интеграл
Исследовать сходимость интегралов
485. С f _sin_UMj£)_ dxd
JJ (** + У*)'
/?«
564
48В. ГС x'-y'..:dxdy.
JJ lrtj-tl*\p
X'+tf*<
_ (** + y*)p
Fir'd
487. (TC —*+У+г+2—дхду dz(p>0, ^>0, r>0).
JJJ \x\p + \y\v + \ Ar
РГ —dxdy,
JJ (2д( +У+1)”
1*|+ы+|*:<1
488.
—x<y<x,x>0
489.
од
cos (jc1 -|- y2 4- za) dxdydz
{x* + y2 + z2)P
D
D = {(x, y, z):x + y + z> 1, x>0, y>0, z>0}.
490. РГГ {x + у + z) dxdydz
iff
(xP 4- yi -f- f) Y** y%г*
D
D = {(x, у, z):x + y + z> 1, *>0, y> 0, г>0}.
491. Г ГГ—■* — dxdydz,
JJJ (** + </* + г‘)Р
D
£> = {(*, у, г): |дс| + \у\ |г| < 1}.
492 fff dxdydz
D=j(x, у, z):x* + y* + z**Z j.
(*» + y* + 2*)«P *
*V
Вычислить несобственный интеграл или установить его расхо¬
димость
493. ^JLdxdy, D={(x, у):х> 1, -1<{/<1}.
D
494. dxdy, £>={(*, у):дс>1, —1 <ху< 1>.
D
495. dXdy> D==^x> У):х>°< У>°< Х + У> U-
D
496. yj'-^^-dxdy, D={(x, у):х>0, у>0, х + 1/>1}.
D
497. ^dxdy, £>={(*, 1/):дс>0, 0<ху < 1}.
56S
498
~D
Jj -yj dxdy, D = {(*, y): x > 0, 0 < x'y < 1}.
D
499. ^e-x*vs\r\2xydxdyt D = {(jc, y):;c>l, */>()}.
D
500. | j e-xus\n2xydxdy, D = {(x, j/):jc>1, t/>0}.
D
501. D = {(*t У)’х> 0, тх<у<пх), 0<m<n.
D
ш- + D==<(JC’ y):jc>0’ ^>0}-
D
боз ГГГ 1~^,(х1+у-,) <******•
JJj U*+ »• + *')*
R*
•* ДО
х*+у*<вг—а
605 Ш
х>1. у> 1, г>1
506. 1 ~~ ^Z^~Z dxdydz, D={(jc, у, z):x> 0, у>0.
D
г>0, л+{/ + 2< 1}.
507. dxdydz, D = {(x, у, г):х + у + г<1,
D
дг>0, у> 0, г>0}.
508. fff dxdydz , D = {(jr, у, z):x• + ? + **£
JiJ У(х* + у* + г*)*
<a2z’/(-*:*+ */»)}.
D
510. Щ e-MW+w dxdydz.
ж>0. у>0, г>0
566
О—часть тела, полученного при вращении трактрисы ж*
“«(lntg(</2) +cost), y=*esinf относительно оси ОХ, лежащая в
I октанте (дг>0, у>0, z>0).
5,2‘ ЩУх2еХ11г<1хаУаг> £* = {(*• У• *):«/>!. г>1,
Ъ
О < xyz < 1}.
613 $-£&}&-***■
>"■ ш j?;;#
R*
б»5- JjJ УD = {(*- У- *): **+*/* +
D
+ г><1).
ОТВЕТЫ
I 1—л I 1—у
I. jd* ^ /(*, г/)Л/ = ^аУ j /(^. «/)<**•
1 х 0 1 11
2- Jdx $/(*. = ^<*«/ J/(x. у)dx +^dy^f(x, y)dk
0 —x —1 — у 0 у
1 Yx^T* 1/2 1/2^-V 1/4—y*
3* I*1* $ /(*> У)dy = \ dy J f(x, y)dx.
0 _/*_*. —1/2 1/2—/1/4—Vе
4. Jd* ^ f(x,y)dy = ^dy J f(x,y)dx.
0 V l—X» 0 /1—i/«
0 x + l 1 1—* o jrfl
5. Jjdx ^ /(*, y)dy+^d* ^ f(x,y)dy=^dy f(x,y)dx+-
— 1 —-t— 1 0 x- 1 —I —у—1
+ \dy \ f(x>
0 у-1
1 1— VI— (x— 1)» 1 1- /1—(v— I)1
S. (dx f f(x, y)dy=^dy j f(x, y)dx.
Si oo
2 1- Yl-(x-l)» 1 2
7. Jdx ^ l(x, y)dy=^dy ^ f(x,y)dx.
1 ® 0 i-ь v i-(t- lY*
14- v 1—(ir— I)1
567
1 XV2+1/2 1/2 Yy
9- ^dx J f(x, y)dy = f dy V f(x, y)dx-{-
-i *• 5
1 — V2y-\ 1 YJ
+ l*y I f(x.y)dx+^dy ^ f(x, y)dx.
1/2 _ vv 1/2
1/2 l/2+*a/2 1 l/24-x*/2
1°. J dx j* f(x, y)dy+ Jdx J f(x, y)dy =
2а V х*—2ал 2 VTa V 4а1— jt*/2
13. J d* ^ /(*, ^ dx ^ f (x, y)dy =
• VT — /х«-2с* 2a _ У4a*—x*/2
а VT V 8fl*—21/1
= I dy I H*'
—fl VT Yw+yb
—a — Yx‘—a* a Y8аш—хш/2
l4' S dx S f(x,y)dy+ I dx ^ f(x,y)d§ +
—aVT — У 8a*—x*/2 —a Yb Vx*—a*
a Y8e*—x9/2 a Yb — Yx\^a*
U r o** / * u r g — г дуц
+ $d* ^ f(x,y)dy+^dx J /(*, r/)dy +
— V 8e*—x*/2 e — V 8a*—Xе/2
a VT V" 8a*—jte/2 —a VT / 16a*-2y*
+ $ d* ^ f(x,y)dy= \ dy ^ f(x,y)dx+-
a Yx»—a» —2a /Г — /16в«—2y*
в /Г V fl«+x« a VT У' 16a1—2^*
+ I dy I f(x> § dy I f(x' y)**-
—a YV — V a»-f x* 2a VT — V 16ae—2y>
1 ,
— sin ny
1 2 0 (lfx)«
iS. [dy ^ f(x, y)dx = ^dx \ f(x, y)dy+
0 -14 Yu -i о
-i+Yi
i/J
1 — arcsin 2x
+ \dx С f(x, y)dy.
0 I
— Ascsln 2x
Я
1/2 cos Щ! 0 Yx+1/4
L \ dy [ f(x, jOd* = f Л С /(*, y)dy I-
-Г/2 „--1/4 -i/« _т^“7ТТГ
1
— arccosx
1 л
+ ldx I f(x,y)dy.
0 1
arccos x
я
1 x 2—2 Yx—T
,7' S^ \f^y)dy+\dx ^ f(x,y)dy+\dx ^ f(x,y)dy
® -* i i 2
О (y*+4)/4 2 (j/«-H)/4
= l<iy ^ f(xt y)dx + \dy J f(x, y)dx.
—2 — у О У
569
Vf VUJ\ АЛ/ ^ f I JU*/ i. )
ie. ^dx ^ f(x,y)dy+^dx ^ f(x, y)dy =
— 1 — x— 1 0 Jt— 1
2
— arccos у
0 £/+1 1л
= \dy I f(x' y^dx+ldy S f(x' y^dx-
1 I и n о
-1 -I-У 0 2
arccos у
О VI—x* 1 1 — 1—(x—I)*
19. ^ dx j f(x, y)dy+^dx ^ f (x, y)dy =
1 1—
= ldy I f(x' y)dx■
o - Y\-y*
a Va*—x1 а У a1—у*
20. ^ dx J f(x,y)dy=^dy ^ f(x,y)dx.
о а— Va«—(x—a)* 0 a_ у
0 V2x+1 1 1—x
21. ^ dx /(x, //) di/ -f ^ djc ^ f(x, y) dy =
—1/2 — V'2x+T 0 X—1
0 y+1 1 1-v
= idy I f(*>y)dx+^dy ^ /(x, y)dx.
-1 iy*—1)/2 U (V*-l)/2
0 1 11
^dx ^ f(x, y)dy + ^ dx ^ f(x,y)dy =
— i ,/z :—— n : rrr-
-1 iy*—1)/2 U (V*-l)/2
0 1 11
22
—1 v'i-u+i)« о V\-(x-\)
i 1- VI-/
= Idy I f(x< y)dx
0 —1 +
a —^ a*—jce a Vr a%—ax/2
23. dx J f (x, y) dy + ^ dx ^ f (x, y) dy +
o/2 __ v a»—ax/2 °/2 V"a*—x‘
2a V a*—ax/2 a/3/2 (2a‘—2y*)/fl
+ ^dx ^ f(x, y)dy= I dy I ^x’ y^dx'
° — Y a*—ax/2 —aVT/2 Ya*—yM
— 1 * Vx+2 2 VTf2
24
— I * V A “f" Л. ^ Г Л
• $ dx ^ /(x, y)di/+ ^ dx ^ /(x, {/)di/ =
“2 - > x+2 -I *
= ldy I f(x' y^dx-
-1 {/*-2
570
• 1— У1—(x+l)* 1 1-х
№* ldx ^ /(х* у)dy + ^dx ^ /(X, y)dy —
= ldy I fix, y)dx.
o —i-l- V i—(i/—1)«
26. ^ dx ^ /(x, y)dy + ^ fix ^ f(x, y)dy =
= ldy $ fix, y)dx.
o — /r=v
27. I dx ^ f(x, y)dy + J dx С f(x, y)dy =
—i -*-i o _ YX^x*
l l—у
e I dy I fix,y)dx+\dy [ f(x, y)dx.
-i -1 -9 0 ->0=55
I x/2 2/VT — YlfclГ
\dx \ fix,y)dy+ [ dx Г fix, y)dy +
If —xf% Г -x/2
V YT x/2 0 VT+p
+ I *** \_^K'y^dy = I dy I f(*>y)<t* +
1 Y —1 /Уз —*v
Y**—\ —1/ Уз
l/У Г УГн?
+ I dy j ^х'y)dx'
о i—/1—(x+i)* 1 УТ=Р
2». J dx ^ fix, y)dy+ jdx £ fix, y)dy =
1 /Г=5*
= 1аУ I f(x> У)**-
S —1+Vi—tif—и»
— 1 Vlx+4 0 — Vix+*
30. ^ dx ^ fix, y)dy+ j dx ^ fix, y)dy +
—2 — Vlx+4 —1 — V2x+4
О /2Х+4 2 (*■—4)/4
+ J /(jc, y)dy = \dy { fix, y)dx.
-I VSTR -2 <»*-«)/3
a a 3 2^—2 7 7—9
31. \dy[fix, y)dx. 32. \dy ^ fix, y)dx+\ dy ^ fix, y)dx.
О у 10 3 0
571
5 ^6*+6
33.
5 V 6И-6 0 2
I dy \ fix, y)dx. 34. J dx ^ f{x, y)dy +
— 1 H-l —4 — V'l—x/2
4 V~K— 1 —
+ \dx I fix>y) dy- 35. \dy ^ I {x, y) dx.
® V 2- x/2 0 /7
^ f{x, y) dy. 37. Idx [ f {x, y)dy +
о I— i/T~t —* и
2
— arccos x
1 я
+ ^dx J fix, y)dy.
i l- Vy i
•\dy ^ fix, y)dx+ ^dy J fix, y)dx.
oo о 1+/~
l YJ 4 vr
. ^ f(x, y)dx+[dy | fix, y)dx.
0 _>/“ 1 p-2
1 1-/И' 1 2
. f dy ^ f{x,y)dx+\dy ^ fix, y) dx +
0 y»/9 o 1_|_ Y\Z.yt
3 YT 2 6 — 3 + ^16—(x—2)»
+ J dy ^ fix, y)dx. 41. ^ dx ^ fix, y)dy.
» 1Г/9 —2 —3— V16—'(x—2)*
1/2 /2* /Г 1
!• ^ d* J /(*, i/)di/+ dx J /(*, t/)d«/ +
/3 / 3—x*
+ j" d* t fix, y)dy.
VT о
l 3 YT
43. \ dx j fix, y)dy. 44. ^dx [ f{x, y)dy.
*0 x I 9/X
YT/ 2 X \ Y 1-X«
4Б. С dx ^ fix, y)dy+ j dx J fix, y)dy.
0 —* YT/2 — VT=7e
1 !+*T vr ^6=^
46. jdt/ ^ f(x, y)dx + I dy ^ fix, y)dx.
0 i— v"7 1 0
572
a a ig(ny/4а) 2а У 2&!и—а*
47. J dy ^ f{x, y)dx + fdy ^ fix, y)dx.
О — a\g(ny/Aa) а _ У2&/у-а*
1/VT •*—arcsin у —1/ YY 2я— arccos у
48. ^ dy ^ f(x,y)dx+ j dy J fix, y)dx +
—1 /VT arccos у —I arccos у
1 я—arcsin у
+ I dy I H*' у)***-
\jYT arcsin у
I x* 3 (3—x)/2
49. ^ dx j f(x, y)dy + *jdx ^ f (x, y)dy.
1 я—arcs|n у 33
50. ? dy J f(x, y)dx. 51. ^ dx ^ f (jc, y) dy +
0 arcsin у 0 Y9— x*
4 3 6 V 25—x*
+ ^dy^fix> y)dy+^dx J f(x, y)dy.
j. VT
82. J dy^f(x,y)dx+ J dy ^ fix, y)dx.
0 £_ £. YT a— Va*—y*
2 2
• V a1—jc* 2a V 2ay—y*
63 -
S f(*. J f(x. y)dx.
0 0 a 0
a Y a*—xe 2a V4ax
“•I41* S f (*,»)<&.“’ S** I n*.y)dy.
0 (a1—x*)/2a 0 Y 2a*^xf
56. a) In—; 6) In —. 57. a) —arctg2; 6) —.58.1n 2 + ^L .
' 24 24 ' 3 6 ' 3 I+УЗ
59. 1-. 60. 0. 61. —. 62. —. 63. 4. 64. я.
24 3 80
5 я л 5я
65. 66. 9 .
3 2 4
2п А па
67." j <f<p ^ /j.(r, <p)rdr. 68. ^ Лф ^ rf, (г, ф) dr.
2я в я/2 a cos ф
69. ^ dtp^rfiir, ф)dr. 70. ^ Лф r^(r, <p)dr.
я 0 —я/2 О
• В задачах 67—96 fi(r, ф) обозначает f(r совф, гв1пф).
573
я asln<p
71. \dy ^ rfi(r, <?)dr. 72. ^ df J rf1(r, ф)dr +
0 0 0 sin ф
2я 1 я/2 l/(cos ф-f-sln ф)
+ J dy^rftir, ф)dr. 73. 5 dq> J rft(r, Ф)dr.
я 0 0 0
Зя/4 1/sln ф я/4 1/cos ф
74. 5 d<f С rfAr, Ф)dr. 75. ^ d(P $ rft(r,(p)dr.
Я/4 0 0 0
Я/4 1/cos ф я/2 1/sin ф
76. j <*Ф $ rfdr, <?)dr+ ^ dy ^ rfAr, Ф)dr.
0 0 Я/4 0
arctg 2 1 я/4 2 sin ф
77. ^ **Ф $ rfi(r, <f)dr. 78. j <*p f гЩг, y)dr+
arctg (1/2) 0 0 0
я^2 2 cos ф —Я/4 2 cos ф
+ ^ <*ф $ r^r> ^dr‘ 79, \ d<p 5 r^r* v)dr+
я/4 0 —я/2 0
я/4 1/cos ф n/2 2 cos ф
+ j dy J rMr, ф)4г + | </ф ( г/, (г, 9)dr.
—Я/4 0 Я/4 О
Я/4 2 cos ф Я/З 2 cos ф
80. 5 dy ^ ф)^г- 81. $ d<p К г^1^’ ^dr‘
—я/4 1/cos ф —я/З 1
я/е 1 Я/2 1
82. 5 dtp $ Г^1 (г* Ф)dr + $ $ rh (г’ Ф)^ +
—я/6 cos Зф я/6 0
бя/6 1 7я/6 I
+ $ d(f> j r^l^r’ <P)dr+ 1 ^Ф ^ rh (г, ф)dr +
n/2 cos Зф Бя/6 0
Зл/2 1 11 л/6 1
+ J dy J /•/,(г, ф)dr+ dy^rfiir, ф)dr.
7я/6 cos Зф Зя/2 0
Я/6 a Y2 cos 2ф 7я/6 а V 2 cos 2ф
83. J dtp ^ rfi(r< ф) dr -Ь ^ dy ^ rf i(r> Ф)^г-
—я/6 а бя/6 а
бЯ/18 2дз1пЗф 17.1/18 2а sin Зф
84. ^ dy ^ г^г’ ff)dr+ ^ dy ^ +
п/18 а 13л/18 а
29я/18 2а sin Зф 2Г./3 2о(1+со5ф)
+ J <*Ф 5 r/i ф) dr. 85. j dy ^ r/i (г> Ф)<^*
25Я/18 а —2я/3 о
я/4 1/cos ф я/2 1/sln ф
86. 5 dy 5 r/j(г, 9)dr + С йф f r/i(г, q>)dr.
0 Г я/4 Г
я/4 2
87. 5 ^Ф ^ r^J (г- Ф)dr-
arctg(l/2) 1
574
я/4 2 sin ф бЯ/6 I
88. J d<p ^ rfx (г, ф)</г + J dy J r/j (г, ср) dr.
о О Я/6 о
Я 2 sin Ф 91/2 2 cos ф
89. J d<p [ rfx (г, if) dr. 90. \ d<f \ rfx(rKy)dr.
я/2 О —Я/4 О
Я^2 о V sin 2ф/2 3lij2 а Vsin 2ф/2
91. \ dtp J rfx{r, <p)dr+ ^ dq> \ rfi(r, <?)dr.
6 0 я о
О 2/(С08 ф— sin ф) Я/4 2/(COS ф+sln ф)
92. ^ d<p j rfx(r, Ф)^+ \ dy ^ r/i (г, у) dr.
—я/4 0 0 0
я a(l+sln<p) я/3 о^ф
93. | dy J rfx(г, у)dr. 94. j *. J гД(г, q>) dr.
я/4 2а cos ф я 2а sin ф
95. J 4ф J rfx(r, ф)dr+ ^ dy [ rfx(г, ф)dr.
—Я/2 0 я/4 О
л/3 2а бл/3 2а
96. ^ dtp ^ rfx (г, y)dr-\- j dtp ^ rfx(r, у) dr.
—л/3 За (11—cos Ф) я/3 а(Н-созф)
97. я sin а». 98. я[(1 +аг) In (1 +а2)—аа]. 99. Зяа2/16. 100.
101. 102. - а*. 103. JL + _Lln3. 104. Ю5. —.
45 2 2 6 3 18
106. 3. 107. 215/2». 108. 0. 109. — {аг*‘ь — Ь~^ъ) (ф'р8'5).
48
110.
112. J-Л. из. 114. JL. 1,7.Г(p+w(Я-ПИ’И-Ц
21 840 £« 15 Г (Р+Ч+Г+3)
118. — яа*. 119. —я а*. 120. — яа*. 121. — +
8 4 2 8
+ *=* arctg JL-JL. 122.^-. 123. — а£(а* 6*).
4 & ft 4 2с* 2 ' 7
-—Я* arctg — а%*
4 ft 4
* 126. — nab (-— + ——V
512 c“ 8 \ /i4 Л4 /
127. “VI "L. la.jU^jt + J^U. ,29.-!**/*+.£).
16 c* 2 V A* ** ; 3 U4 «* /
130. — ab. 131. — -—. 132. a’ 6
124.
2 <*
12 10 ft4 4Л* a b
T + T
133. — +ЗаЬ/ife+36W). 134. — ab I— + ,
6h*(ak + bh)» ^ ' 8 \ ft» A* J
575
135. ab^. 136. 137. « B = 2H1
(2■ >! 4 (2л)! n J*'
2k. 138.- 5 (A')i/2'-/-£!_ +JL\
2n 1/ab n \ a J \ b a /
4 si n
2 n
139.—. 140.—. 141. 142. —(<7 —p) In--.
210 60 1260 3 w a
143. Y (q — p) In 144. (q* — p2) (&» — a3).
145. -i-(fl«/5_p4/6)(a-3/8_fr-3/5). ,46. _|_(a_fc)(c_rf).
147. — (в» - 6») (- L\. 148. — (a* — ft*) (- --Л
15 ' 7 \ d> c* ) 12 \ d4 e* ]
a—6 1
149. 4- (c*—d2) In —. 150. — (a2—fc2) I («-РН'-оФ) +arctg
5 * 4 '[(l+a’Kl+P*) 1+aPJ
151. J-d^-^pJd/F-y^XvT- Vp)(YJ +Vr+Vq)
152. а) Зя. Указание: сделать замену x-\-2y = v, 2х-i // = и; б) 10я
153. 32. 154. а3/18 155. 1/6. 156. 157. —а2 V 2ар
24 Ь 5
158. 159. ла2Уро. 160. 1/3. 161. 4ла*. 162. “-(9л+ 10)
20 pq ^ 12
163. а*(я/4 +1). 164. па*/4Ь. 165. !6а6*/3. 166. 8/5. 167. 8/15
147 в* |ш „„з I ^ /о т/о" oi/ol *
168.
16b1
169. л a3 (3 V3 — 2 У2 ) — ~j. 170. nh4/2o
171. ла3. 172. — —. 173. -^51. 174. —— (7а2 + 56s)
105 а 16 МОа’Л '
175. яа3/6. 176. 1/27. 177. 8. 178. — а3. 179. 180. —
3 2 15
181. 4У2 па3. 182. (вх-4^/3).').
183. -|- у^А(б»_а»)Г2/-^. 184. ^|-а3. 185. а) |л(с—а)*;
б) —л(с — а)3. 186. яabc. 187. 2лabc. 188. Объем части
и
тела, расположенного над п-м кольцом есть (8л — 6) abc.
189. я/4 abc. 190. —abc. 191. . (1О-3'~')
я* (ft— 1) (i — l)a*-V-'
192. — (1_е-«‘). 193. ——_,-(! —e~R'). 194. -m'~— [cosтф4 —
4 9 v 3 12л
— соэяаЧ. 195 Jg!-_^3) ("г - «*). + (”3 - W*) (р2 - а»)
12с2
576
196. ~(Ъп— 4). 197. а) -^-(8—я); б) а
198. -Л-(a + b)Yab. 199. я Т/2 а*.
•И>
3
1423
200. 13. 201. -i-c2[20—Зя].
202. -^-яс2. 203. — аа(20 — Зя). 204. -^(2 /2 — 1).
9720 9 12
205. —па2
3
206. — пЛа(1/2 — 1).
207. 4я/?2 sina — + nR2sin о. 208. 16а* (уТ — 1).
209. АпаЬЮ У (а2 + с2) (Ь2 + с2)“. 210. 4а* (V 2"— 1).
211. (3 уг — l). 212. 8а [aarcsin (a/b)[— Ь + УЬ* — а* ].
213. 4аг. 214. 2а [(2а—b) arcsin У а/b + \ а(Ь—а)]. 21Б. 16а*.
216. 4яа2. 217. 8уТаЬ. 218. 2яа*. 219. яаа. 220. 16а^^.
221. — аУ2ар. 222. — а2. 223. — (зуТ — 1). 224. 4ас.
7 5 3
225. a) -I-Ki+A»)*/*-/,*]; б) з
fts (ла+16Л»)3/г
392
+ JiL [—in(-^-+ г/—+ 1 )1- —lA*+—•
2 L 4 \ 4Л Г 16/iJ /J 2 V 16
226. я (15 + 16 In 2). 227. -^-ab + b2. 228. 229. .
230.—. 231. V = 16а3 (Зя — 4)/9; S = 8яа2. 232. V = — а»;
10 3
S = 16а2. 233. V=— aR2; S = —\RVa2+R2 +
16 4 [
+ а* In
R + V a« + R*
а/?я л/?3
2 4
234. 7”^2
6
; S = яаг(3 + 2 У2 ). 235. V= — яа»; S =
= na2Y 2
2яа*
(5 V5 — 1). 236. —. 237. 21 —.
12
238. 2я—4. 239. Я. 240. 1620я. 241.—. 242. — (я/4 + -|-'\.
3 8 \ 3 /
243. —ptR2. 244. 245. 2яk(R—r), где k — коэффициент
3 3
пропорциональности. 246. ааро- 247. аЬ1 р; ~ аа6р.
248. — яа3р. 249. (— + — \р. 250. 251.
4 r V 2 5 У г 2
MR2
577
252. 253. -^L; 254. —(44 — 9я).
4 4 4 36 4 '
255. J— Ala*. 256. — Mp*; — Mp.
14 10 35 35
267. —Ala*. 258. 3”~? Ma1. 259. 6M
16 48 In 2
где k—коэффициент пропорциональности. 261. 262. (3/4; 0).
8
4 R
263. На оси симметрии сектора на расстоянии] — sin (а/2) от вер*
За
шины. 264. (13/8; 39/10). 265. (23/50; 2/5). 266. (1; 12/5).
267. (1; 4/Зя). 268. (2/5; 0). 269. (45/28; 279/70).
270. (49/Зя; 46/Зя). 271. (0; 4Ь/Зя). 272. (44/(Зя—6); 22/(я—2)).
273. (7а/12; 356/36). 274. (5а/8; 0). 275. (256а/315я; 256а/315я).
276. (п/2+8а/9я; 5а/6). 277. (яа; 5а/6). 278. (яа/8; яа/8).
279. (4 УЗ яа/27; 4угЗяа/27). 280. (Зяа/64; Зп6/64).
/ 2 уз <*** 1 а*** \ / 64 а** 33 а*6* ч
281 • I » — 1 • 282. ( ; I •
\ Зя с8 4 с3/ \ 147я с6 448 с6 /
485 (т-; (туг т(‘+ ^г1"3))-
286. (-^-;<>). Я”- ( 'V*’ : -^-(3l/2ln(l + Vr2)-2)j.
288. —; f—; —V 289. —. 290. —. 291.
2 I 12 6 j 5 5 3
292. -2?mA<a
Л* ‘
ah1
где у—гравитационная постоянная. 293. .
6
294. а*У(,л (2c—/cosa); -у- aJY„Jt (2c + / cos a).
296. Y0a* ( — я 296. аЯ*. 297. —. 298.
ro \ 2 3 j 2 36
299. -^-(1 —ln2). 300. -i-(l—sinl). 301. 0. 302. 2ln3
1 1—X 1—Ж—z I 1-y I—x—y
303.
Jd* ^ dz ^ f(x, y, z)dy = ^dy ^ dz ^ f(x, y, z) dx-
I 1-y \-x-y 1 1—* 1 —X—Z
= \dy\dx f f(x, y, z)dz=[dz J d* J f(x,V, z)dy-
o 0 0 0 0 0
1 I—г 1—z—y
= jdz^dy $ f(x, y, z)dx.
578
304.
306.
307.
1 X X 11 у
j'dxjdzpjx, у, z)dy = ^dy^dxy(x, у, z)dz =
= ^dy^dz ^f(x, у, z)dx = ^dz^dxp(x, у, z)dy =
0 0 у 0 г ж
111 1 4— x 4—x—ж
— ^dz^dy^f(x,y,z)dx.S(№. ^dx J dz ^ f(x,y,z)dy—
3 1 4—x—y f 6 4—y A—x—y
= ^dy ^dx j“ f(x, y, z)dz+jdy ^ dx j ff(x, y,z)dz =
\ f(x,y,z)dy + ^dz\dx \ f(x,y,z)dy =
0—10 3,-10
3 3— у 1 3 Б—у 4—у—z
= ]dy [ dzU(x,y,z)dx+ldy I dz 5 f(x,y,z)dx +
0 (Г — ] 0 3—у —1
+ ^dy 5 dz f(x, y, z)dx = ^dz ^ dy ^f(x, y, z)dx +
3 6—2 4—у—X 16 6—2 4—2—у
+ Jdz^dy | f(x, y, z)dx+^dz ^ dy ^ fix, y, z)dx.
§ dx^ dy\f (*• У, *)d2+^dx^dy ^ f (x, y, z) dz =
= ^dx^dz 5 f(x, y, z)dy=\^dz\ dx J /(x, y, z)dy =
0 0 z 0 0 г
1 2—2 1 11»
= ^dz ^ dy^f(x, y, z)dx = ^dy^dxy (x, y, z)dz +
+ jdyjdx ^ f(x, y, z)dz=^dy^dz^f(x, y, z)dx +
2 2—у 1
+ |Jdjf j dz ^f(x, у, г) dx.
I 3 x+1 2 3 3—я
^ dx^ dy j f(JC’ y' z) dz+^dx^dy J f (*. y, z)dz =
= $<** $ <b'.U(x>y> z).dy + ^dx J dz\f(x, y,z)dy=
0 0 0 1 0 0
У' J ».*)<**=
J79
3 I x+l 3 2 3—jc
= £dyjd* j f(x, y, z)dz + \dy^dx ^ f (x, y,z)dz =
ООО 010
1 2 3 2 3—г 3
= §dz \dx^f(x, y, z)dy+^dz ^ dx^f(x,y,z)dy =
ООО l z—I 0
1 3 2 2 3 3—z
= ^ dz ^ dy (x, y, z) dx + J dz ^ dy ^ / (x, y, z) dx.
R x* / R*-~x* R R* Y R*—x*
. [dx^dz J f(x,y,z)dy + ^dx^d2 ^ f(x,y,z)dy =
0 0 0 Ox» Yz^x*
R x* Yr*~ x* R R• Y R*—x*
308 J J
Yz^x*
R Y&=p x*+y«
= ^dy ^ dx j f (x, y, z) dz =
R y' Y R*—y* R R» YR*-yi
f(x,y,z)dx + jdyjdz ^ f(x,y,z)dx=•
ooo о v» vr^P
R• V7 Y «•—X» «• R S R*—x*
— ^dz^dx ^ f (x, y, z)dy + ^,dz J d* С /(*, у, z) dy=
0 0 / z—x* ^ Yz ®
R% Yl Y R'—y* R» R //?»— y*
= §dz Jdy ^ f(x,y,z)dx+^dz^dy J f(x, y, z)dx.
о о yjzrp о у-г о
R Yr*^ r- YR'-x'-y•
309. ^ dy ^ dx. ^ f(x, y, z)dz =
—R — v» 0
R R- /R»—x« VR*-x>
= ^ dx ^ dz j f(x,y,z)dy +
~~R 0 — //?*—x*
R R —/^»-x*-(/?-z)«
+ ^ ^ dz jj /(jc. y, Z) dy +
—Д R- Yr'—x• — Y R*—x*
R R /R*—x*
+ $ <** J dz J f(x,y,z)dy =
—R R_ /R«—x* (R-z)1
R R— Y R*-y* Y R'-y*
= ^ dy [ dz ^ {(x, y, z)dx +
—R 0 — V R*-y'
R R -
+ $ dy J dz J f(x, y, z)dx +
—Я /R*=Ji - /R«=7
580
310.
R
R
+
\ dy Г dz
$ f(x,y,2)dx =
-R
R-VR*-y• V
R'-y^iR-z)'
R
— VR'-(R-z)*
YR'-x*
=
\dz
S Лс
J f(x,y,z)dy +
U
-я
— /л*—X*
R
УЯ*-(Я-г)*
- /Л*-(г-Я)*-х*
+
№
J dx
§ /(*, У, 2)dy+
0
- Vtf»-(fl-z)*
— V Я«—X*
R
Я,
Y Л*—X*
+
I *
^ f(x,y,z)dy +
и
V/?*-(2-/?)«
Yr*—x*
R
VK*-(2-/?)«
Y R*—X*
+
\<a
j dx
^ f(x,y,z)dy =
0
— УЯ«_(2—Я)*
Yr*—(z—R)*—x*
R
- /Я*-(Я-2)*
=
ldz
S dy
I f(x, У, z)dx +
У
-R
— У Л*—у*
R
VR*—{R-Z)*
-/^«-(2-i? )»-//»
+
i dy
^ f(x,y,z)dx +
0
-YR'-(R-z)*
- YR*-y«
R
R V«‘-|/*
+
\dz
1 dy
J /(jc, y, z)<i* +
u
VR*-(z-R)* -
R
УЛ*-(г-Я)*
/«*-!/•
n~
У2
S ^
f (jc, 1/. Z)d*.
— V Я*—(2—/?)*
У Я*—(2—j?)»—-0*
R VR'—x' VR‘-x‘-y‘
^ dx ^ dy ^ / (jc, y, z) dz —
~R - Y R'-x* 0
R YR*^yi Y R*—x*—y%
= J dy ^ dx J f (jc, y, z)dz =
~R - YR'—y* 0
R YR^r* YR*—x*~ y*
= \dz I dx j f(x,y,z)dy =
0 _ YrTZii — YR*—x*-y*
R V R*—x* Y R*—x*— 2»
= £ dx t dz ^ f(x, y, z) dy —
—R o — x»—2»
R Y R*-v* YR*—уш—z*
= \ dy \ dz ^ f(x, y, z)dx.
—R » _ Y Rt—y*—y*
581
В дальнейшем во всех примерах, где делается замена х = х(и, v> w)9
у = у (и, v, ш), z = z(uf v% w)t через f* (a, vy w) обозначена функция
f* (ut vt w) = f (x (u, V, w), у (ut V, w)t z (ut V, w)).
H 2 л
311. ^dz$ dy Ф, z)dr = Cdz ^ rdr J /*(/% ф, z)dq> =
ООО ООО
2n R H 2n H R
= ^ ^ф^rdr^ /• (л, ф, г)dz = ^ £/ф ^ dz ^ r/*(л, ф, z)dr =
H 2я R 2n //
= ^/<*r С <*z ^ /* (г, ф, г) = J rdr (г, ф, z) dz.
0 U 0 0 0 0
H 2n kz H kz 2 я
312. ^ dz J dфjл/*(r, ф, z)dr = ^ dz ^.rdr J /*(г, ф, г^ф =
Ъп кН H 2я Н кж
= £ rfqp]^ rdr ф, z)dz=jd<p^dz^rf‘(r, ф, z)dr =
кН in Н кН Н 2я
= ^ rdrj dq. ? Г (г, ф, z)]dz = ^ rdr Cdz \j /* (г, ф, z)dф.
О 0 г/л 0 г}к О
— YZr 2 я /4Я»-г* /ЗЯ 2я Я
313. ^ dz ^ dф ^ гГ(г, ф, z)dr+ ^ dz j dф t гх
—2R 0. О _ v^3R О О
2R 2л /4Я«—*«
х/>. ф. 2);dr+ ^ dzj^ ^ г/*(г, ф, z)dr =
/ЗЯ 0 01
— V3R V4R*—z* 2л
= \ dz j rdr ^ f(r, у, z)d<p+
—2Я О О
/ЗЯ R 2 я
+ ^ dz ^ dr J rf‘(r, ф, г^ф+]
—/зя 0 0
2R VaR*—я* 2я
+ ^ dz ^ rdr ^ f‘(г, ф, г^ф] =
Yzr 0 0
R V 4 Я1—/* 2 я
= jrdr J dz^f*(г, ф, г)dф =
О — V 4Я1—Г» 0
Я 2 я V 4Я«—г*
— \rdr j dф ^ Г (Л Ф. z)dz =
О О — У4Я1—/*
2Я Я /4^=7*
= | ^Ф | rdr ^ /* (г, ф, z) dz =
0 0— / 4Я“—r*
582
314.
315.
316.
in -VIR V 4Ra—r*
-*\d<p J dz \ r/*(r, <p, z)dr+
0 —2 R 0
2 Я VT R R
+ ^ dtf j dz^r/*(r, <p, z)dr +
® - V~3R 0
2n 2 R V 4R*-z*
+ ^ d<f j dz ^ r/*(r, Ф, 2) dr.
0 yr$R 0
2n a a+ V a*—r*
f dф^rdr J /’(г, ф, z)dz =
0 0 r
2 n а г 2я 2a V
= | dyjdz^rfir, Ф, z)dr+jdy^d2 J r/*(r, ф, z)dr=«
а г 2п 2a V ax—z* 2n
mz^dz^rdr^ f*(г, ф, 2^ф)+ ^ dz J rdr^ f*(г, ф,г)4ф =»
a 2п 2 2a 2n Уй*—+
— ^ dz \ dy^rf (г, ф, z)dr+ J ^ f d(P ^ Г^ ^dr“
0 0 0 a 0 0
a 2я a+Va*—г» a a^-Va*—/* 2Я
=^rdr^d<p J f'(r, Ф, z)dz=^rdr ^ dz j f*(r, ф, z)dq>.
2R 2n V4R*—Z> 2 R V4R*—* 2 я
|л^йф ^ r/*(r, ф, z)dr=jj dz ^ rdr^ f’(r,<f>,z)d<P’
2IK ViR^-f
= |Лф^ rdr | f'{r, ф, z)dz =
2я 2R V4R*—za
= \ dtp \ dz J rf‘(r, ф, z)'dr=
OR 0
УЗЯ У 4Я*—r* 2я
— J rdr С dz J г/* (г, ф, г^ф =
0 R О
VIR 2я ^4Я*-г*
«* Г rdr Г dф j Г (г, ф, z)dz.
о о я
2J? arccos (л/2Я) /4/?»—г*
Wdr J dф \ Г (г, ф, z)|dz =
О —arccos (г/2/?) у" г*
2Л /4Я“—г* агссо*(г/2Я)
— f rdr ^ dz ^ f*(r, ф, г)Лр =
О _ у AR*—r* —vccos(r/2R)
583
2 R Y AR'—z* arccos(r/2tf)
= J dz JJ rdr ^ /* (r' Ф* z) d(P =
—2Я 0 —arccos(r/2/?)
2/? —arccos V AR*—za/2R 2Лсо$ф
= I dz £ dff J r/*(r, ф, z)dr+
—2R —n/2 0
2R arccos VAR»—Z*/2R Y AR*— ж»
+ j dz J d<? j rf* (г, ф, z)dr —
—2R —arccos V'AR*-z42R 0
2R л/2 2/? cos ф
= J dz 5 dф 5 /•/*(/•, ф, z)dr=
“arccos Y AR*— z*/2R 0
я/2 2Rco<q> V AR*—r1
= ^ d<p J '•dr J /*(г, ф, z)dz =
—л/2 О Ц у4^*_г«
О 2Я sin ф
= Г dф $ dz f rf‘(r, ф, z)dr+
—я/г -« о
я/2 2#з1пф / AR*—z*
IS 5 r/*(r> ф* 2)^г+
0 —Sfi 0
0 — 2R sln> 2R cos ф
+ ^ j d2 ^ r^^r’ ф’ z)dr+
—я/2 2/? sin ф О
n/2 2Я *1пф 2Лсо$ф
+ j d<p ^ dz I rt'(r’ ‘P* 2)dr+
0 —2/Ыпф 0
0 2 R Ya Д*-г*
+ J <*Ф ^ dz j r^*(r- (P’ z)dr +
—Я/2 —2Д sin ф 0
1U2 2R YaR'—z*
+ 5 dtp J dz С r/*(r, ф, z)dr.
О 2R sin ф 0
2 и 71/2 4a sin ф
317. J d9 j cos j г*Г (г, ф, y)dr=
О Я/6 0
2я 2а n/2
cost|)/#(г, ф, ^)d^+
0 О я/б
2л 4a я/2
+ 5 <*ф 5 '*dr 5 cost|>f (г, ф, н>)^ =
0 a arcsln(r/4a)
я/2 2я 4a eln ф
= f cos^dtpf <*p J rT {г, ф, tydr =
я/в 0 0
584
318.
319.
я/2 4а sin ф 2л
= ^ cos С r2dr f‘ (г, ф, rp)d<p =
я/8 О О
2а 2л л/2
= ^ rJdr Г dtp ^ cos\f/* (г, ф, +
О О Я/6
4а 2л я/2
+ §r*dr^ S cost|>/’(г, ф, ij))dt|) =
2а О arcsin (г/4а)
а я/2 2л
= ^ r2dr J cos j* f* (г, ф, я|)) dq> +
4а л/2 2л
+ J Air ^ cos J /• (г, ф, У) dq>.
2а arcsln(r/4o) о
2л л/2 Я
^ dtp ^ cos -*|?d-»|> J rV (г, ф, <|>)dr =
О arcsin (1/3) R/3sln$
2л Я л/2
= ^ d<p I* r2dr С cos^f' (г, ф, -ф) dty =
0 R/3 arcsln(R/3r)
я/2 2л Л
= ^ costfd^J dф J г*/*(г, Ф, i|>)dr=
arcsin (1/3) 0 Я/Зз1п!ф
Л/2 Я 2Я
= J cos tydty ^ r’dr ^ /* (г, Ф, vp) d9 =
arcstn(l/3) ft/3sln$ 0
R я/2 2л
= f r*dr j cos \}>d\|> ^ f*(r, Ф, i|))d9=
Н/3 arcsln(/?/3r) 0
R 2n л/2
= J r*dr ^ dф j cos>|>/* (г, ф, i(»)'di|>.
Я/3 0 arcsin (Я/Зг)
2я arctg(tf/£) Я/cos ^
^ dф j cos %Л|> Г rV*(r, Ф, >|>)dr+
0 0 0
2л я/2 Hf slmj>
+ j d<p J cos^dif J f*r (r> Ф. tydr —
0 arctg кН/R) 0
2Я Я iU2
=S d<p^r*dr ^ cos ij)f* (г, ф, tf)dij> +
oo о
2я H я/2
+ С dtp | r%dr J cos (г, ф, i|>) dif-f-
0 R arccos {R/r)
2 я Y R'+H* arcsin (W/r)
+ J d9 ^ r*dr J cos i|)/* (г, ф, \|))d^ =
0 /У arccos [R/r)
585
arctg (H/R) 2 я Я/cos*
^ cost|>dt|> J dф ^ r*/* (r, ф, t|>)dr+
3V2 2л ///sin*
-f ^ cosi|tft|>t dip \ г*Г(г, ф, tf)dr =
arctg (///Я) У 0
arctg (H/R) R/cos * 2я
= f cosW ^ r*drj f’(r, <p, г|>^ф +
0 0 0
я/2 ///sin * 2л
+ J1 cosi|xii|> ^ r*dr J f(r, <p, 'p)d<p =
arctg (H/R) 0 0
R 2 я я/2
= ^r*dr [ dq> ^ cos^f* (г, ф, t|>)d<|> +
// 2Я Я/2
+ f/*dr j d9 j cos ^*(r, ф, t|>)dt|>-f-
Я 0 arccos (Я/г)
///•+*■ 2л arcsin (H/r)
+ J r*dr J dф J cos*/>. Ф. 'I>)d'|> =
// 0 arccos (R/r)
R я/2 2я
= f r*dr ^ cosTjid't’ Г f‘(r, ф, Ц>^ф-|-
0 0 0
H Ti/2 2 я
+ \ r*dr J cos ^ f (г, ф, tl>)df-t-
Я arccos (Я/г) 0
У//М-Л- arcsln(///r) 2я
+ S r>dr 5 cos^d^ /* (г, Ф, y)dff.
H агссоз(Я/г) 0
4 я/2 (4—*)/41 (cos<p)/2-Hslmp)/3)]
320. \<Ь^ф J rf'(r, Ф, z)dr.
0 0 0
H 2я Yz 1 я/4 1/оовф
321. Jdz^ dф ^ г/’ (г, ф, z)dr. 322. ^ dz^ dф ^ r/'
1 Я/2 1/51ПФ
+ S*$d,P $ rf'{r, ф, z)dr.
0 Я/4 0
*1/4 2J?sln<p У^2гЯ»1пф—r*
323. j dq> \ r^r
® —V 2rfls1пф—г*
t/2 2J?cosq> V 2гЯсо5ф—г*
*1/4 2ffsln<p V 2гЯ»1пф—г*
. $ dф ^ г dr 5 Г(г> ф. 2)dz +
0 о -V2rflsln<p-r«
я/2 гЯсовф V 2гЯсо5ф—г*
+ J <<Ф J ^ J Г (Г, ф, 2)d2.
я/4 0 — V" 2гЯсо$Ф—г*
- /2rRcovp—r*
586
(Г, ф, 2)dr +
324.
325.
326.
327.
328.
329.
330.
331.
332.
333.
—я/3 2ocosq> (а*— г1) /а
\ dф { rdr 5 f'(r' Ф> z)dz +
—я/2 0 О
я/3 а (а*—г*)/а
+ S dy\rdr ^ f'(г, ф, z)dz+
—Я/3 О о
я/2 2лсоз<р (о1—г*)/а
+ ^ </ф J rdr J Г (г, ф, z)dz.
6 2я /(48—^/(З+сс^ф)
[dz[ dy I rf ’ (г, ф, г) dr.
О ® У2г/(3+ соз*ф)
2я /з V7«+f
J аф \ rdr $ /*(г, ф, z)dz+
о V -vZ+i
2я б//3 5—г /3
+ J dф ^ rdr J f (г, ф, z)dz.
О /з г/ 3—5
п/2 njt 12/(6соэфсо5^-|-4»1пфсо«И" aelm^i)
\ с?Ф \ cosit>di|> JJ '*/"('’• Ф. ’t)^'
2я я/2 4/?*1пЧ>
| dф J cos \f> d>p ^ ^‘(г, ф, У) dr.
О я/3 А*1пф
2 я я/0 2Я»1пф
$ <*Ф j cosifd't’ j t*fm(г, ф, S>)dr+
2я я/2 R
+ f dtp $ cos d4> ^ г*/* (г, ф, yp)dr.
О Я/е o
2я П/2 2Ksln4>
\<*ф j cos у dy \ г'Г (Г, ф, ^)dr.
О я/в R
я —я/4 2/ЗДгнрсо«ф
^ <*Ф J cos ydy j r*f (г, ф, \|>)dr +
я Я/2 2/Ыпфсовф
+ 5 ^Ф 5 cost|>d>|> Г г2/* (г, ф, 4>)dr.
О я/4 О
Я Я/4 2ОДПфСО$ф
§ dq> J cos^drf J г2Г(г» Ф* У) dr.
О —я/4 О
О —я/4
2я я^2 4sln\H-
COS ’МЧ’ J 'Т('-. Ф. t)dr
4$1пф—V lesln*^—в
f т
j*'],
587
2 х 4—хж 4 V 2х+2 4—jc
334. ^dx ^dy I f(x, у, z)dz. 335. ^ dx ^ dy^ f (x, y, 2)dz.
0 —x 0 — 1 —V 2x+2 0
2 2— У4—“(jc—2) * ( 4-x*—v*)/4
338. ^dx § dy I f(x, y, z)dz +
0 0 0
2 2—x 2—x—y
+ $d* J dy \ f(x, у, z) dz.
0 2—V^4—(x—2)* ®
0 У4—x1 4—x*—y* 2 2—x
337. J d* ^ dy \ f(x, y, z)dz + $dx [ dy X
-2 —2—x 0 0 _
4— x*—y%
X ^ f(x, y, z)dz. При замене x = (u + v)/Y2, y —
0
/2 /4—u* 4—u*—p«
= (ц—к)/'/2 имеем ^ da \ do ^ f‘(u, v, z)dz.
—V2 —1^4—a* 0
2jx
338. При замене x = xt y = rcos(pt z = rsin(p имеем § dq> X
0
4 r 4 2 Л УбТ^4
x\ r dr J f(rt y, x)dx minjdxj dcp ^ r/(r, ф, jc)dr.
1 (4-f-r*)/3 1 0 x
Я/4 fl Усо«2ф 4г*/л
339. j d(p J г dr ^ Пг, Ф» г)^2*
—n/4 0 0
I (l-x)/4(l+x) 4\xy
340. }dx \ dy\ /(*, у, z)dz +
0 0 0
Ml/4 <J/ К I-t-Sln’<p о — Г Г I -t-Sin*<J>
\ dq> \ г dr I f'(r, cp, z)dz.
л/4 0 0
1 (1—x)/4 1-x—4 у
+ £d* $ dy \ f(x, y. z)dz.
0 (l-x)/4(l+x) 0
5Л/4 3/ V l+sln»«p 3—r lM-bsln*v
341.
л74
3
При замене x = 3r cos ф, у — ^|-rsin(r имеем
H+arctg2 * 3—3r
~фг I dq> ^ r dr С Г(Л Ф, z)dz.
arctg2 0 0
2 / 16—у» 4
342. ^dy J dx^f(x, y, z)dz.
—2 — / 16-»*
588
343.
344.
345.
346.
347.
348.
или
349.
350.
1 /3 X х*—у» I X х*—у*
I dx [dy \ f(x, у, z)dz+ [dx [ dy [ f(x, у, z)dz.
0 —x 0 1/3 2x—1 0
я/4 b г V cos2<p
I d4\rdr l_ f*(r, <p, z)dz.
—Я/4 a —/■/со$2ф
0 2Я Y2+5» I 2я /2+?
$dz]\ d<p ^ Ф. z)^+\d2^ d9 \ r/*(r, <p, z)dr.
-10-/3, « « Vi 2
При замене i/=rsin\|>, x = rcos^cosф, z = rco$ysin<p имеем
2я n/3 2asimt>
^ rfq> ^ cos t|) dip ^ /•*/* (г, Ф, *|>)dr.
—я/3 2асовф Y 2 or с ou(—T%
1 <i<P J rdr I f(r, <p, z)dz +
—я/2 0 — Y 2агсо5ф—r*
_ jt/3 а / 2о/со*ф—/•*
+ $ dф§rdr ^ f'(r, % z)dz +
я/3 а _ /2flrcosa>—/-•
- / 2агсо$ф—r1
я/2 2асо$Ф
+
я/2 2асо$Ф V 2агсовф—г*
I dv I rdr I f(r, Ф,z)dz.
я/3 0 — Y 2а/со*ф—r*
2я I 14r
а) J </ф ^ 'dr $ f'(r, ф, z)dz;
0 0 2r
2л Я/2 1/(»|0ф—С09ф)
б) \ dф \ cost|>di|> § rV*(r» ф»
0 arctg2 1/(»1пЧ4-со*Ч>)
1 2я 7/2 2 2я с/2
d<p I rf*(r,Ф, z)dr+\dz$ dф rf* (r, <f,z)dr.
/3 0 1—* I 0 z—I
2/3
I dz I dx I f(x, y, z)dy, или
-R -vw=z> -ЯР=Т>
2я R Y Л*—г*со*ф
$ dy\rdr J f'{r, <p, y)dy.
0 ® — УК«~Г«С05ф
О 2я
S rfjcS d(p 5 r/’(^. ф. •«)*■+
- Yzr ® о
8Л/2 2я V3/<«—д*
+ S djcS d<p I rf’ (r> ф» *)dr-
® о Vftrj*
Ykxl 2
589
Зя/2 — acos<j> (г+дсоз^/созф
351. f dq> J rdr \ f‘(r, <p, z)dz, или
я/S О 0
a Зя/2 — (a—z)cosq>
$dz J dv ^ ''/* (г- Ф. г) dr.
О я/2 0
^ (a—U*)/2 x
352. I dy ^ dx\f(x, y, z)dz +
—Vo О 0
Va a—у* а—х—ул
+ I dV l ^ S f(*’ У' 2>dz-
~Ya (в-И)/2 0
2я a (2 a*—r«)/a
353. f d<p ^ $ f*(r. Ф. 2)dz +
oo о
2 я 4a/3 4a— 3r
+ f dq> J rdr J f*(r, <p, z)dz.
354. 355. -. 356. —. 357. 358. — (3—У2).
359. -5*!*! 360. — atxfn+— 361. —abcг.
4 4 .m + 3 ' 4
362. — (6/2 in (l + 1/2)— 7). 363. —nR\
9 ab 64
364. ~ Jl8l/3--^-j. 365. JL(a*_ a?)(ft»-tf)(c*-c?>.
Звв. Пр + 1)Г(?+1)Г(г + 1)Г(5+1)
Г(р+Ч +r + s+i)
367. — (bYb—aYa)—r= т=-1п —.
3 r r У с Vd m
368. -29”^a3 . |369. ”^°* (3 + 2-|/5). 370. -^-(2—1/2).
371. —n^(cos‘a—cos1 P). 372. 373. — яа3. 374. —.
3 12 3 6
375. a3. 376. —. 377. 378. 379. -^-a3.
360 60 21 168 315
380. Шяа3. 381. — a3. 382. 383. — (1— e~')a3.
24 3 12 3
384. —a3. 385. ■££-. 386. — яа3. 387. -^=-. 388. 2л
3 6 3 3 Уз 27
389. —. 390. —. 391. 3зшЬ
\/—. 392. —
V р» 9
60 ' 5 5p
393. 394. _!_ 395. HVL .£!*£. 390. -- -2Ё1
12 ‘ 360 A* ‘ 3k' Z к '
590
397.
400.
403.
405.
406.
409.
412.
417.
422.
426.
429.
430.
433.
436.
438.
440.
я1 обе3
3
398. 399. -лаЬс(- —).
k% 80 h 3 \ я л* )
— abc. 401. — abc. 402. — abc (—+—) +
«г 18 64 \ h * / \ A* k* )
a-ebe <04. *-+*-).
64 27 р \ Л1 Л* /
64 - +
h k
4я "j/З abc* [ ас
27 ~р
49
-а*
. 407- L)lnf. «8.«’(?+?}
864
А
—. 410. — (5аъ+6а2Ь+%аЬг+16Ь*). 411. каЬс1.
3 315
— abc. 413. —. 414. 54я. 415. —. 416. —.
35 3 2 3
173/2—1 92я ... а* Аап 31 . .
418. . 419. . 420. яа6. 421. а®.
2 3 12 24
— па*. 423. 12яр0а3. 424. —. 425. -^-(3#* + 2//*).
3 " 10 6
4л^г‘ (cos* а—cos* ft). 427. -^-Р- 428. M = abcp; ffox =
= -^-(6* + с»); #ог = -^ (<** + **); tfoz = -j-(a* + ft*).
^ 2*101 „ 21в-41 л „ 2*41 „
х = бз ,£Гоу==‘^1Г'р> &oz=—iТ~р-
М= -1-яаЬср; 47ох =-^-М(Р+с*); ffor=~M(a,+cr);
о 5 5
= (а*+ <>*). 431. М=^~~р;
О 10 JL1
*да=~<ЛИ; &oz = -^a*M. 432. (£г0х = -^е-.
За 6
&ог= 4яР. 434. &0z= 435. aftcP(fl, + 6,>, .
6 60
^02=1^Р(а» + 6?). 437. &oz—-^- (1 —sina)*(2 sin a).
715 15
Woz = (61/3-10). 439. .
15 r 140
2^9Г*(-М
Л*«=-££.; a01= ■-v 3 ' . 441. м=2я*а*6р; ff0x=tioY~
o 405
= -£-(4а* + Ы?у, &oz = -jr(4a*-\-3tP). 442. M = p;
oa 4© 3
591
nh6k2 З/i* Ал 3h2k2 АЛ лло ш. лрая
<£гху = = М; e/xz = М. 443. М = ——;
ХУ 5 5 * 20 2
&xz = dxY = -^f-- 444. M = -l--abCiK 6JYZ-- Ш*
6 6 10
*V5P p/M.);
445' Л1' 648 V 4 “ л' 627
446. М = д-^1(2-1/2)р, (^_Q6)p,
-447. Л1 = '-5^; #*у= —a2Af. 448. М = р; =
4 40 3 10
449. о7 = ■ 450. М = ~~. ёУ—2М, где k—коэффициент
пропорциональности. 451. М = nHRk, где k—
коэффициент пропорциональности. 452. х0= —; £/0 = 0; z0 =
10 „ео Л а л-л 2 7
= ~9~- 4 3* хо = У»==0> zo = -Y■ 454- Jco = {/o = —. г* = —.
455. *0 = (/0=z0 = -^-. 456. х0 = (/0 = 0, г0=-|//. 457. х0=у0=0,
za — ~zrс. 458. д:0 = 4-а, уй = -^-Ь, г0=~с. 459. хй=у0=
30 4 4 4
л 7 >.*л 21 21 I 21
= 0, 2п = . 460. х0 = а, и0= />, z0 = с.
0 20 0 128 128 0 128
461. АГ0 = -|- а, yo = Yb' = 462‘ ^=</0=0, 20=Yfl-
463. дт0 = Уо= 0; z0 = -5-tf( 1+cosa). 464. ;cn = y0==z0 — 9ла
8 448
465. ха = у0 = 0, г0=^-. 466. *0 = i,0 = -5l( г0 = ^-а.
467. х0 = £/„ = 0. г0 = -|-(б/з + 5)а. 468. М = -^-. *„ =
-Ж(..уг-8). y0=||(/2+4).
469. *:0=t/0=0, z0 = —^i®VLdl5L а. 470. На перпендикуляре,
83
опущенном из центра шара на основание сегмента на рас-
nu
стоянии rg/2/г от центра шара. 471. x0 = yQ— 0; z0 = ——.
472. а) Af = — л/га2, х0 = у0 = 0, z0 = -^-a; б) М=2я/га, х0=у0—
3 5
= 0, где к—коэффициент пропорциональности. z0 = ~.
592
473. Fz = 2ni>{R + h-YRi-h't). 474. (/—ft). 475. А
/ i)
2 477 n(n-l) 480 я"720"
(n — l)l(2n+l) 8
*r(t) '
483. — я>р^. 484. 2a" 1 (Vя)! 485. Сходится при 1 <p<2,
1 cr k «I f П \
г(т)
расходится при pe(~oo, 1 ] U[2, +00). 486. Сходится при
p< 2, расходится при p>2. 487. Сходится при — + — +
Р Я
+ —>1, расходится при —^1- 488. Сходится
г р q г
при р> 3, расходится при р^З. 489. Сходится при р;>3/2,
расходится при 3/2. 490. Сходится при — + — +—<1,
Р Я г
расходится при — + — + — >1. 491. Сходится при р< 2,
Р я г
расходится при р;> 2. 492. Сходится при —3/2ср<с3,
расходится при ре(—00, —3/2] JJ[3, +00). 493. Расходит¬
ся. 494. 0. 495. Расходится. 496. 0. 497. 2|/я. 498. Расхо¬
дится. 499. —. 500. Расходится. 501. п {yjbi — <^/2/я).
502. Расходится. 603. я2. Указание. Использовать, что
+°0
^ .»1п^а*. dx = -^~- sign a. 504. 0. 505. Расходится. 506.
о
607. Расходится. 608. а3/2Г2 j • ®09. Расходится.
510. 511. ~-Г2(“). 612. (—• — 0* 513. 0.
514. Расходится. 516. 2я + 1J.
Глава П
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ
И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
ПЕРВОГО РОДА
§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
ПЕРВОГО РОДА
Определение. Пусть L=AB — кусочно-гладкая кривая в
/?3 с концевыми точками А и В. Набор несовпадающих точек
этой кривой а0, занумерованных в порядке следования
от Л к Б:ао=Л, Оп=Б или от В к А :а0=В, ап=Л, называется
разбиением кривой L и обозначается Т.
Пусть функция f: L-+R определена и ограничена на кусочно¬
гладкой кривой Lcr/?s и Г:ао, — разбиение L. Введем
обозначения: |a/_i, а,]—длина дуги a*_i, at.
= sup /(jc), mi = inf_ /(jc),
X£ai-Val
n
S(ft T) = J] iVf||ai_i, aj| — верхняя сумма Дарбу;
*=i
n
s(/, 7") = £ mili, ai|—нижняя сумма Дарбу;
i=l
*(/, L) = infS(/, Г)—верхний интеграл Дарбу;
т
&(ft L) — sups(ft Т)—нижний интеграл Дарбу.
— т
Определение. Функция f: L-+R, определенная и ограни¬
ченная на кусочно-гладкой кривой Lc:/?3, интегрируема по кривой
L, если 3f(f> L)=^(f, L). В этом случае общее значение интегра¬
лов Дарбу называется криволинейным интегралом первого рода
от функции / по кривой L = AB и обозначается J fds, или ^ f ds.
L AS
Обратим внимание на то, что поскольку в определении сумм
Дарбу используются величины длин дуг щш-1, alt то эти суммы
не зависят от того, в каком порядке следования нумеровались
точки кривой L = AB при ее разбиении — от А к В или от В к
А. Из этого следует, что криволинейный интеграл первого рода не
зависит от порядка следования точек разбиения, или, как приня¬
то говорить, не зависит от ориентации кривой L.
Как видно, определение криволинейного интеграла первого
рода дословно повторяет определение интеграла Римана функции
594
f по отрезку [a, b]ciR. Оно является переносом определения ин¬
теграла с прямолинейного отрезка на криволинейный. Един-
ь
ственным различием интегралов Jf(х)dx = \ fdx и \fds= Ifds
a [a ,b] L АЯ
является «направленность> интеграла j / dx, т. e. ра-
10,61
венство J fdx=— \ f dx и «ненаправленность» интеграла
[e.A] [b,a]
§ f ds, т. e. равенство |/ds= § f ds.
AB AB BA
Основные свойства криволинейного интеграла первого рода
1. Если функция / непрерывна вдоль кривой L, т. е. бесконеч¬
но малому сдвигу по L отвечает бесконечно малое приращение
функции f, то функция / интегрируема по L.
Заметим, что из непрерывности функции f в области D сле¬
дует, что / непрерывна вдоль L, LaD, но не наоборот.
2. Если функции f 1 и f2 интегрируемы по кривой L, то функции
и f=a\f\+ta2f2 при любых числах ai, a2 интегрируемы по
L, причем
I fds = [ (oj/х + Oj/2) ds^-аЛ j! ds + a, j ds
L L L L
(линейность интеграла).
3. Назовем две кривые L\ и L2 неперекрывающимися, если их
пересечение содержит конечное множество точек (может быть, и
пустое). Если функция / интегрируема по двум неперекрываю-
щимся кривым L\ и L2t то / интегрируема по L=L\{JL2 и \ f ds =
= J/ds-f ^f ds (аддитивность интеграла).
Lt U
4. Jl ds-\L\,
где | LI — длина кривой L.
5. Если функция f интегрируема по кривой L, то функция |/|
интегрируема по L и | ^ / ds | ^ j | / | ds.
6. Если функции fug интегрируемы по кривой L и f(xX
<5g(x) для всех ^gL, то ^fds^^gds (монотонность интегра¬
ла).
7. Теорема о среднем. Если функции / и ^ интегрируе¬
мы по кривой L, g(x) >0 для всех xgL,
a = inf / (jc), b — supf(x),
x£L x£L
595
то
aUds<J*/ds<&J gds,
L L L
в частности, a\L\^.^ f ds^.b\L\.
Если к тому же функция / непрерывна вдоль кривой L, то су¬
ществует точка ХоeL, такая, что
^ gf ds = f (х0) J g ds.
8. Если L — простая гладкая кривая, т. е.
L = {r=(х, у, z), r = r(t) = {x(t), y(t), z(t)}, (е[а, 6]},
геС*[а, Ь], |г'(0М0
и функция / непрерывна вдоль L, то
ь
\fds = \f(x, у, z)ds—^f(x(0, i/(0. *(i))Vx'!+y't +zi dt.
L L a
Пример. Вычислим криволинейный интеграл первого рода
j^yds, где L = AB— дуга кривой у = х2+\х2—х\, Л=(—1, 3)э
В=(2, 6) (см. рис. 95).
Рис. 95
Решение. Дуга L — кусочно-гладкая. Представим ее как
объединение неперекрывающихся гладких кусков: L=LiU^2ll^s
L\ = {(*, у):у = 2х2—х, Jtej-l, 0]},
596
Ц = {(Х, У) у = х, х е [О, 1)},
L„ = {(jc, у) : у = 2х2—х, х<=[1, 2]}.
По свойству 3 имеем, что
J yds = \у ds + j yds+^yds.
L L, L, L,
Интегралы по гладким кускам L]t L2, L3 вычисляются на основа¬
нии свойства 8. Соответственно имеем, что
о —1
C//ds= J (2хг-х)у l+(ix-lfdx=-^- J (t*— 1) l/F+1 dt =
Lt -1 -5
= —J-r [(2<3-3)УЩЛ + 3 In (t + 1/F+T)] I- =
Л2-8 I—6
= J_ [—51/2 + 3 In (/2— 1) + 247 /26 — 3 In- (/26 — 5)];
VL.
2 ’
^ г/ Js = ^ x Y1 t 1 dx == -
l, о
2 7
Jyds- j(2;t2-x)/l+(4*-l)2d* = -^- j(/2-l)//2+U/ =
Lt I 3
= —[6831/50 + 3In(7 + /50)—5ГУТ0—3 In (3 + /To)].
2®
fy<fs=J^- + — [247 l/26 + 3410yr2 —51 Vl0] +
j 2 2®
Откуда получаем, что
1/2
t/ uo —
'I
+ 3 In [(/26 + 5) (7 + 5 /2) (/2-1) (yTO - 3)].
Формула вычисления криволинейного интеграла первого рода
и другие формулы, которые появятся позже, требуют представле¬
ния кривой в параметрическом виде (параметризации кривой).
Рассмотрим некоторые наиболее часто употребляемые методы
параметризации.
Пусть уравнение кривой F(x, у)= О имеет явную форму i/=-
=у(х), х^[а, Ь] или х=х(у), t/e[c, d] (или аналитически при¬
водится к такой форме, т. е. разрешается относительно одного из
переменных). Тогда в качестве параметра обычно берется аргу¬
мент полученной явной функции. В первом случае */=*/(*), хе
^[а, Ь] получаем параметрическое представление кривой: L—
У)'х=х* У—У(*)* х^[а, £]}> во втором — параметрическое
представление: /-={(*, y):x = x(y)t у=у, у^[с, d]}.
597
Пусть функция F(xt у) представляет собой линейную комби¬
нацию двух однородных алгебраических функций от х и у. Тогда,
обозначая через t отношение у/х, получаем параметрическое
представление координат х и у кривой L как алгебраических
функций x=x(t), y=y(t). При этом необходимо только проверить,
что не потеряна точка вида (0, i/о), принадлежащая L. Иногда
эта точка соответствует несобственному значению параметра:
0 = lim*(0, У0 = limу(0 (f->* + oo, t-+— 00).
t-+QО /-МО
Пусть уравнение F(x, у)=0 после перехода к полярным коор¬
динатам х—г cos ф, r/ = rsiПф или обобщенным полярным коорди¬
натам x=ar cosaq>, y=brs\naq> разрешается относительно г, т. е.
приводится к явной форме г=г(ф), фо^ф^фь Тогда, принимая в
качестве параметра переменную ф и подставляя выражение г че¬
рез ф в формулы Х^ГСОБф, (/ = Г5Шф, Либо Х~(1Г cos® ф, у =
=brsin2 ф, получаем параметрическое представление кривой
L={(x, у): дг = г(ф)со5ф, !{/ = r(ip)sin<p, ф6е[ф0, ф,]}, или L = {x,
у):х = аг(ф)со5“ф, 1/ = Ьг$таф, фе[<рь, ф^}.
Таким же образом получается параметрическое представление
кривой L, заданной в совмещенной декартовой системе коорди¬
нат, если кривая L задана на плоскости в полярной системе ко¬
ординат.
Насколько полученная параметризация кривой L удобна для
вычислений, зависит от конкретного вида функции F(;с, у).
Пример. Запишем параметрическое представление кривой L,
заданной уравнением jc3+2х2+у2=3 и условием у>0.
Решение. Условие у>0 дает возможность явно выразить
у(х) : у = 1^3—х3—2х2. Многочлен 3—jc3—2х2 убывает на (—оо,
—3/ч), в точке (—3/4) принимает значение 147/64>0, затем воз¬
растает на (—3/4, 0) и убывает на (0, -f <х>). Поскольку этот мно¬
гочлен обращается в нуль при jc=1, то функция у(х) определена
длявсеххе(—оо, 1]. Итак, L=\(x, у):х = х, y=Y3—*3—2х2,
хт(—оо, 1]).
Пример. Запишем параметрическое представление кривой
L, заданной уравнением lnjc—r/-fsint/=0.
Решение. Уравнение lnjc—1/+sin £/=0 аналитически разре¬
шимо относительно jt : x = ey~slny. Функция ф (у) = еу-*1пу пред¬
ставляет собой биективное отображение R-+R. Отсюда получаем,
что L = {(xt у): х = е*-*1пУ, у = у, y^R}-
Пример. Запишем параметрическое представление кривой
L, заданной уравнением х(х—у)2+у=0 и условием х>0.
Решение. Функция F(xt j/)=jc(jc—у)2 + у является суммой
двух однородных многочленов от jc и у — третьей и первой степе¬
ни. Поскольку равенство х(х—t/)2+t/=0 и условие jc>0 показы¬
вают, что значения у неположительны, то обозначим через t от¬
ношение —у/х. Тогда переменные jc и t связаны равенством
дс*(1 + 02-х#.
598
Учитывая условие jc>0, отсюда получаем, что
L=((*. if): jc=V7/(1 +/). y=-tYtl(l + t), />0].
Точка (0, 0) соответствует значению /=0.
Пример. Записать параметрическое представление кривой Lf
заданной уравнением х4—у4—6jc2//=0 и условиями х^О, у^О.
Решение. Функция F(x, у)=хА—у4—6х2у является суммой
двух однородных многочленов от х и у — четвертой и третьей сте¬
пеней. Обозначая через t отношение t//jc, получаем связывающее
xnt равенство: jc4(1—/4)=6jc3^, откуда следует, что x(t) = 6t/(\—t4),
£/ (^) = 6/*/(1 — *4). Условия jc<0, #<0 выполняются для />1,
при этом точка (0, 0) кривой L соответствует несобственному зна¬
чению /:0= lim jc(0, 0= lim y(t). Итак,
t >-4 oo t-^-oo
L = {(X, y):x(t) = 6t,(\-t% y(t) = 6i*Hl—n t>l}-
Параметрическое представление можно получить и переходом
к полярным координатам. Замена jc=rcos<p, y***rsin<p превра¬
щает уравнение х4—ук—6jc2i/=0 в уравнение г4соз2ф—Зг8зт2фХ
Xcos<p=*0, следовательно, в совмещенной полярной системе коор¬
динат кривая L имеет уравнение r=3tg 2ф cos ф. Делая обратное
преобразование, получаем, что
* = tg 2<р (1 + cos2ф), у = -j tg29sin2<p.
Условие jc^O выполнено, если tg2y^.0t а условие |/<0,— если
соб2ф<0. Отсюда следует, что
фе(5я/4, 3n/2jj.
Пример. Запишем параметрическое представление кривой
L, заданной уравнением л2/3 + у21Ъ = а2/3.
Решение. Функция F(jc, у) = х2'г + у2/г является однород¬
ной алгебраической функцией хну. Обозначая через t отноше¬
ние у/х, получаем соотношение, связывающее jc и t: xw (1 + *2/3) =
=а2/3. Это равенство определяет две однозначные функции xx(t) =
=а/(1+/2/3)3/2 и jcs(/) =—а/(1 + f2/3)3/2. Таким образом, кривую L
придется рассматривать как объединение:
L = L, U Ц, где Ц = {(jc, у) :x(t) = а/{ 1 + tv*fn, y(t) =
= at/(l+tv3f2, te=R) и Ц = у): x=-a/(\+tv*)v\
y(t)=-at/(\ + tvY\
В данном случае удобнее воспользоваться переходом к обоб*
щенной полярной системе координат. Положим jc*»arcos^, j/—
599
=ar sin3ф, тогда уравнение кривой L примет вид г= 1. Обратный
переход к х и у дает параметрическое представление кривой:
L = {(x, у): x = acos3yy y = as\п3ф, ф €= [0, 2я)}.
Пример. Запишем параметрическое представление эллипса:
^.+.£. = 1.
а* ' 6*
Решение. Положим х=агcosф, £/=Ьгsinф, тогда уравнение
эллипса примет вид r= 1. Обратный переход к х и у дает пара¬
метрическое представление эллипса: L—{(xt у) : х=а соБф, у=
=а51пф, фе[0, 2л)} (в частности, простейшим параметрическим
представлением окружности радиусом а с центром в начале коор¬
динат является:
L = {(x, у):х = асоэф, «/ = as^> ф е [0, 2л)}).
Пусть кривая Lcz/?3 задана как пересечение двух гюверхно-
о I Fx (х, (/, г) = О,
стеи, т. е. системой { и условиями вида
I F2 (ху у, z) = О
<р(*)>0, ф(у)>0, х(2)>0.
Чаще всего для параметризации заданной таким образом кри¬
вой исключают одну из переменных. Геометрически это означает,
что находится проекция L* кривой L на одну из координатных
плоскостей. Плоскую кривую I* параметризуют методами, рас¬
смотренными выше. После этого любое из двух уравнений, опре¬
деляющих L, дает параметрическое представление третьей коор¬
динаты.
Пример. Запишем параметрическое представление кривой
L, заданной соотношениями х2 + у2 + z2 = 2ax, x2 + y2=z2, 0.
х2 + у2 + z2 -- 2ах,
Решение. Исключая из системы ■ , 9 , пере-
[х2 + у2 = z2 г
менную г, получаем, что переменные х и у связаны соотношением
*2 + */2=ах, т. е. проекцией кривой L на плоскость ЛТ является
( а \2 , з °2 П
окружность lx — j + */—“• Простейшая параметрическая
запись L* есть х = +-~cos/, у = — sin/, t е [0, 2л).
Из уравнения х2+у2=г2 и условия 0 получаем, что
z= "у/ ~- (1 + cos t) = a cos . Чтобы получить гладкое пред¬
ставление переменной z, заметим, что в параметрическом зада¬
нии окружности L* можно взять в качестве промежутка измене¬
ния параметра t любой отрезок длиной 2л; если t е [ — л, л], то
cos— > 0 и, следовательно, z — a cos . Итак,
2 2
Пример. Запишем параметрическое представление кривой!,
заданной соотношениями je2 + z2=a2, i/2-bz2 = a2, х>0.
Решение. Поскольку каждое из уравнений, задающих кри¬
вую L, содержит только два переменных, то каждое из них есть
уравнение проекции L на координатные плоскости: первое — на
плоскость XZ, второе — на плоскость YZ. Так как на переменные
у и z не дано дополнительных условий, то окружность у2+z2 = a2
параметризуется простейшим образом:
y = acost, 2 = as\nt, t е [0, 2л).
Из первого уравнения с учетом условия х>0 получаем, что
jc=a | cos /|. В отличие от предыдущего примера в данном случае
не удалось избежать негладкого представления переменной х.
Итак,
^ = У» г): х = а|cos/1, y = acost, z = as\nt, /е[0, 2л)}.
Пример. Запишем параметрическое представление кривой
L, заданной соотношениями z2=*/2-f х2, ax=zy, z>0, у>0.
( z2 — и2 -4- х2
Решение. Исключая из системы { ’ переменную
[ax = zy
х, получаем, что переменные г и у связаны соотношением a2z2=
*=a2i/2-bz2£/2, т. е. проекцией L на плоскость ZY является кривая
У) -a2z2 = a2y2+z2y2}. Учитывая условия z>0, у>0, полу¬
чаем, что кривая L* записывается явным уравнением
у = az/Y а2 г2.
Из уравнения ax—zy получаем, что х = z2fYa2 + z2. Итак,
!=(<*. у, г«.2>о).
Пример. Вычислим ^(x + y)ds, где 1 = Л£ —дуга цикло¬
иды:
X = a(/—sin/), у=--а( 1—cos/), Л = (0, 0), £=(4ал, 0).
Решение. Кривая L состоит из двух гладких кусков — дуг
циклоиды LX=AC и L2 = CB, где С=(2ал, 0) (см. рис. 96). По¬
скольку
= У) : * = а(/—sin/), i/ = а (1 —cos /), / ge [0, 2л]},
£*={(*. у) : x = a(t—s\nt), у = а(\ — cos/), / е [2л, 4л]},
то для обеих дуг имеем, что
ds-= У х'* + yfdt — a l/2—2cos/d/ = 2a *
sin —
2
С* + У)ds = 2а2 ^/—2sin cos-^- + sina ~
Л,
sin —
2
dt.
601
Следовательно, в силу свойств 3 и 8
2л
f (* + (/)ds = J(x+{/)ds+^(x + y)ds = 2a* J 2sin^-cos^-+
h L, L, 0
4Я
+ sin*—^sin — dt — 2a2 [ (t—2sin — cos-^-+sina—)sin —d/ =
2/2 J \ 2 2 2/2
2я
л л я
= Sa% | J 2z sinzdz—2 J sin2zcoszdz + ^(l—cos*z) sin zdzj +
0 0 0
+ 16ла2 = 8a2 (2я + —) + 16яа2 = -Ц- a2 (1 + 3я).
жа 2 я a Jxa Чп а х
Рис. 96
Пример. Вычислим ^ yV-f у* ds, где L—петля кривой r=a sin Зф,
лежащая в первом октанте х>0, у>0 (декартова и полярная си¬
стемы координат совмещены).
Решение. Пользуясь формулами связи совмещенных декар¬
товых и полярных координат, получаем параметрическое выраже¬
ние кривой L:
L = {(x, у) : х = asin ЗфС05ф, у = asinЗфБШф, фе[0, л/З]}.
Для вычисления ds воспользуемся формулой из интегрального ис¬
числения функции одной переменной:
ds = J/V + r'y dy = a Ysin2 Зф + 9 cos2 Зф dcp.
Итак,
я/З
^ Yх* ~\~ У* ds = ^ а^пЗф’УТ + 8соз2Зф^ф —
VT+s?dz-^ ’j’ утH’di-
-2 Y1
602
-^[т*'|+'*+т|п('+»л+‘‘)]Г’ -
-2/2
—,(i+twM3+21/i>)'
Следует обратить внимание на то, что, вычисляя ds по форму¬
ле ds= Yх'* + у'* dyf получим, конечно, то же выражение: =
= a Ysin2 Зф + 9 cos2 3<p dq>, но применение формулы ds = j/r3 -f r‘* х
X dq> существенно сокращает выкладки.
Пример. Вычислим ^ (х2 + у* + z2) dst где
L = {(x, уу z) 1 х = a(tcost—sin/), */ = a(fsin/+cos/), z = W\
*€=[0, 2я]}.
Решение. Так как
*;=— а/sint, y't = atcostt z' = 2bt, 0,
то
ds = x‘%t + y‘t* + z* dt = Ya2+ \b4dt
и
2 я
j(xi + y3 + z1)ds = j (a* + a*/* + 6*f4)/a* + 4ft*Гd< =
= /a* + 46* ^2a*n* + 4a*n4 + 6*n*^.
Пусть L — дуга линии F(x, y)=*0 в плоскости XY и L кривая
в пространстве, полученная пересечением поверхностей Ф(х, у,
z)—0 и F(x, #)=*0 (см. рис. 97) . Тогда площадь части цилиндри¬
ческой поверхности /•<(*, #)=»0, ограниченной снизу дугой L и
сверху кривой С, вычисляется по формуле
jjz(jc, y)ds,
где z(jc, у) —функция, определяемая соотношением Ф(х, у, z)~0.
Пример. Найдем площадь цилиндрической поверхности х2+
ху
+ t/2*=/?2, ограниченной снизу поверхностью а сверху —
плоскостью jc+i/-hz-=2/?.
603
Решение. Площадь данной поверхности S найдем как раз¬
ность следующих интегралов:
ф (2R—х — y)ds и ф ds.
Поэтому поскольку для окружности радиуса R имеем ds=Rdy, то
2л
5= ф (2/?-Лсожр-
x*+y*=.R* О
R '17'
— R sin ср — cos ф sin ф j dy - R2 ( я — ).
Пусть скалярная величина P(L) (масса, заряд, количество теп¬
лоты и т. п.) распределена на кривой L с линейной плотностью
р=р (X, уу z), тогда Р (L) -= ^ р (л, у, z) ds.
L
Если р — плотность распределения массы на кривой L и
r(m)—расстояние точки m^L до некоторой плоскости или пря¬
мой Q, то интегралы
3q)=- £ 9fk ds, k (= Nt
L
называются моментами порядка k кривой L относительно соот¬
ветствующей плоскости или прямой. Формально можно сказать,
что масса кривой L является моментом нулевого порядка
кривой L относительно любой плоскости или прямой. Моменты
первого порядка называются статическими моментами, моменты
второго порядка — моментами инерции. Используя запись массы
604
как момента нулевого порядка, выпишем формулы для вычисле¬
ния координат *0, Уо» Zo центра масс кривой L с плотностью р:
Пример. Найдем координаты центра масс кривой Вивиани:
L = {(x, у, z) :х2 + у2 = ах, x2 + y2 + zz = a2, z>0}
с плотностью р(х, у, z)=z.
Решение. Чтобы воспользоваться формулами для вычисле¬
ния центра масс, необходимо записать данную кривую в пара¬
метрическом виде. Поскольку кривая лежит на цилиндре х2 + у2=
=ах, начнем со стандартной параметризации цилиндра: окруж¬
ность х2+у2=ах, z=0 может быть параметризована как x = acos2t,
ческое задание цилиндра может быть взято в виде
x = acos2t, у = a cos t sin/, z = z, t(=[ — л/2, л/2], z e /?.
Связь параметров / и z на кривой Вивиани получим, используя
то, что эта кривая лежит и на сфере х2-\- у2 + z2=a2, откуда сле¬
дует, что z2=a2—a2cos2/, и, таким образом, получаем параметри¬
ческое представление кривой L:
L — {(xt у, z) : x = acos2/, f/^acos/sin/, z = a|sin/|,
/е[—л/2, л/2]}.
Из этого представления получаем, что
*'=—a sin 2/, y\ = acos2t% z\ = asgn (sin t)cost,
ds = Y a2 + a2cos21 dt = аУ 1 +cos2/ d/.
Следовательно,
(/ = acos/sin/, —л/2, л/2] и, следовательно, параметри-
л/2
с/ху = #Y°i = q/az = J Р flfs = 5 a2|sin/|V" 1+ cos21 dt
L
— л/2
= 2a2^Y\-j-u2du = a2(uY \+u2+\n{u + У \ + u2)) |* =
= «*(У 2+ln(l +У2)),
я/2
Z.
-л/2
= 2 a3
jVl/1 + -j- l(2u3 + u)/l +
0
605
— 1п(и + /1+«*))!'=-£. (з V2—in (1 + уг)).
О 4
я/2
ojf xz = J ру ds = ^ a3 cos t sin 11 sin 11Y\ -f cos2 tdt = 0,
L —Л/2
Л/2
ffxy = ^ pz dz = ^ a3 sin2/ У \ + cos21 dt =
L -n/2
1 1
= 2a3 J У1 —u2Y 1 + «2du = 2a3jV 1 — w4du =
e о
=^г^з/,(1_„)'/2 dv=*_B(±' (4 )'r(3/2>
2 J 7 2 '42/ 2
Г(7/4)
4 Г* (!, 4) a3!'2 (1 /4)
*o = ■
4 3 Г (3/4) - Г (1/4) ЗУ2п '
Итак,
о3 (31/2-In (1 Ч- 1/2» _ а (31/2-1п (1+1/2))
*° ' 4о3(1/2+1п(1 + 1/2)) ' 4(1/2 + In(1 +1/2)) ’
Уи = о,
оаГ* (1/4) аГ» (1/4)
31/2я4аМУ2 4- In (1 + /2)) ~ 121/2я(1/2 + In(I + 1/2))'
Пример. Найдем момент инерции кривой
L={(x, у, г):у = 2cosx, z — sin 2х, х е [0, л/2]}
с плотностью р(х, у, г) =г относительно плоскости XZ.
Решение. Так как расстояние точки т—(х, у, г) от плоско¬
сти XZ есть 11/1, то
с/ х! = ^ ?y2 ds.
Для данной кривой имеем
ds = УI + 4 sin2 х + 4 cos2 2л = У 3 + 2 cos 2х + 4 cos2 2х dx.
Следовательно,
а/2
j*z*/2 ds = ^ sin 2х 4 cos2 jc l/З + 2 cos 2x + 4 cos2 2xdx =
L 0
n/2 !
= —- ^ (1 + cos 2x) у -j- + (2 cos 2x -f 1 /2)2 d (cos 2x) =
о
606
• +
—1
= Jo+^y -^- + (22 + 1)2* = -1-(3 + 22+4г*)3
-I
+ -f- [(2г + -i-) VS+B+V +
+ —jp In ^22 + -i- + yr3 + 2z + 42*j J |_J =
= 9 _ A yr+J_ f-LL + i-yT+ii-ln—-ij—V
3r 8 V 2 2 4 2 Vs —3 j
Пример. Найдем силу, с которой масса М9 распределенная
равномерно на окружности x2+i/2«»a2, z—О, притягивает массу т,
помещенную в точке А (О, О, Ь).
Решение. Согласно физическому закону две массы Мх и Af*
притягиваются с силой
—►
F = gMiMt —,
И*
где g — гравитационная постоянная и г — расстояние между точ¬
ками, в которых находятся массы.
В нашем случае из соображений симметрии можно сделать
вывод, что Fx=0, Fу-*0, так как точка Л (0, 0, 6) одинаково уда¬
лена от всех точек однородной окружности. В силу этого вектор
F направлен вдоль оси OZ в отрицательном направлении. Пусть
точка Af (jc, у) принадлежит элементу окружности ds. Этот эле¬
мент действует на массу, помещенную в точке А с силой, верти¬
кальная составляющая которой равна
м
g —— dsmb
2па
(6*+.t«+j,*)3/s'
Суммируя по всем элементам ds, имеем
• еч _ gMmb Г ds
2па J (b* -f х9 -|- у9)8/2 '
где L = {(x, у): х* + у* = а2}, переходя к параметрическому заданию
окружности
L = {(*, у) : x = acost, j/ = asin/},
получаем, что
2л
lei gmMb Г а gmMb
11 2na J Т6»-fa1)3/2 (** + a»)3/2,
о
607
§ 2. ПОВЕРХНОСТНЫЙ интеграл первого рода
Определение. Пусть 5 — кусочно-гладкая поверхность, ле¬
жащая в /?3. Конечный набор кусочно-гладких кривых у, лежа¬
щих на 5, назовем разбиением Т поверхности S. Части Si
^.п) поверхности S, полученные при разбиении 7\ назовем участ¬
ками разбиения.
Заметим, что как для поверхности S, так и для всех участков
разбиения Sit 1^л^п, определены площади \S\ и |5,-|.
Пусть функция f :S^R определена и ограничена на кусочно¬
гладкой поверхности 5е/?3 и Т — разбиение S. Введем обозна¬
чения:
М* = sup/ (х), х eSj, m, = inf/(jc),
n
S (/, \Si\—верхняя сумма Дарбу;
{=i
л
s (/, Т)rrii \S,\ — нижняя сумма Дарбу
i=i
<#(/» S)=infS(/, 'Г) — верхний интеграл Дарбу;
т
jr(/f S) = sup s(f, Т)—нижний интеграл Дарбу.
— г
Определение. Функция f:S->~Ry определенная и ограни¬
ченная на кусочно-гладкой поверхности Se/?3, интегрируема по
поверхности 5, если 2f (ft S)=&(f, S). В этом случае общее зна¬
чение интегралов Дарбу называется поверхностным интегралом
первого рода от функции / по поверхности 5 и обозначается
5!ldS
S
Определение поверхностного интеграла первого рода перено¬
сит определение двойного интеграла Римана по плоской лежащей
в /?2, области на кусочно-гладкую поверхность S, лежащую в /?3.
Основные свойства поверхностного интеграла первого рода
1. Непрерывная на поверхности S функция / интегрируема
по 5.
2. Если функции /i и /2 интегрируемы по поверхности 5, то
функции g=f\f2 и /=ai/i-j-a2/2 при любых числах <ц, а2 интегри¬
руемы по S, причем
+ ajt) dS = a, 5 f /,dS + оц J ]72dS
s s
(линейность интеграла).
3. Назовем две поверхности S\ и S2 неперекрывающимися, ес¬
ли их пересечение представляет конечное множество кусочно¬
608
гладких кривых (может быть, и пустое). Если функция / интегри¬
руема по двум неперекрывающимся поверхностям S\ и S2, то /
интегрируема по S=*Si(jS2 и
yfdS = J j fdS +^fdS (аддитивность интеграла).
S| s§
4. JJ 1 • dS= |S|,
где | SI—площадь поверхности.
5. Если функция / интегрируема по поверхности 5, то функция
|/| интегрируема по 5 и 1^1^*
6. Если функции / и g интегрируемы по поверхности S и f(x
g (х) для всех jteS, то
jj gdS (монотонность интеграла),
s s
7. Если функции / и g интегрируемы по поверхности 5, #(*)> О
для всех xeS, а = inf / (jc), b = sup / (x), то a f f gdS < f I g/dS <
*£S x£S JJ
< b J j gdSf в частности
e|S|<JJ/dS<K|S|.
Если к тому же функция / непрерывна вдоль поверхности 5,
то существует точка такая, что
J | gfdS = / (*0) J j* #dS (теорема о среднем).
5 S
8. Пусть S — простая гладкая поверхность, т. е.
5 = {г = (х, у, 2)}: г = г (и, v) = {* (и, и), (/ (а, и), z (и, и)} (и, и) €= Д
где Z) — жорданова область в /?2, геС*(Д) н ранг (г') —2 (([г^ X
хг;])^0).
Если /: S-*/? непрерывна вдоль поверхности S, то
jjfdS = jjf(x(u, v)t у (и, у), z(a, u)) YEG—F2 dudv,
S D
где
£ 0= lral2- G = (fv ■ r,)= l^l*. f = (r« • O'
В частности, если поверхность S задана явной функцией z=z(x,y):
S={(*. 2): г = z (дс, у), (дг, i/)eD},
609
DcR*—квадрируемая область, zeC^D), то
JJMS-JJ/ (х, у, z(x, y))Y\+(zxf + (zyfdxdy.
s
D
Пусть скалярная величина P(S) распределена на поверхно¬
сти S с поверхностной плотностью р=р(*, у, z), тогда
где р(jc, 1/, z)—плотность распределения массы на поверхности
S и г(т)—расстояние точки от meS до некоторой плоскости
или прямой Q, называются моментами порядка к поверхности 5
относительно соответствующей плоскости или прямой. Массу по¬
верхности можно считать моментом нулевого порядка относи¬
тельно любой плоскости или прямой; моменты первого порядка
называются статическими моментами, моменты второго поряд¬
ка— моментами инерции. Координаты х0, y0t z0 центра масс по¬
верхности S с плотностью p(jt, у, z) вычисляются по формулам
Пример. Вычислим поверхностный интеграл первого рода
jjj (x + y + z)dS, где 5 — поверхность тела, ограниченного плос¬
костью z=О, полусферой z = V2a%—х%—у% и конусом z2=*x2+y2
(а> 0).
Решение. Так как все поверхности, заданные в условии, яв¬
ляются поверхностями вращения относительно оси OZ, то сде¬
лаем чертеж меридионального сечения данного тела (см. рис. 98) •
s
Интегралы
Z
610
Рис. 98
Из этого чертежа видно, что поверхность 5 состоит из трех глад¬
ких поверхностей: части плоскости
5i = {(jc, у, г): г = 0, хг + уг < 2а2},
части полусферы
$» = {(*. У> г)-г= У2а2—х%—у*, а*^х? + у* < 2a*},
части конуса
£, = {(*. У, z) :z = V> + (/‘. х*+У* <а*)-
В силу свойства 3
(х + У + 2) dS = J J (х + у + г) dS +
+ ^ (* Л-У + *) dS + ^ (х + у+г) dS.
sa st
Вычислим отдельно каждое из трех слагаемых, пользуясь свой¬
ством 3.
1. Для S1 имеем, что
dS = VI +(zx)i + (z'l/)t dxdy = dxdy,
и, следовательно, в силу симметрии области интегрирования и не¬
четности подынтегральной функции
(* + !/+г) dS = Jf (x + y)dxdy=0.
2. Для S2 имеем, что
2‘„ = --y' dS=Vl+(zxy+(z'ydxdy=-^ dxdy
и, следовательно,
S» as<xs-|-^<Sa*
= a*nV2.
3. Для Ss имеем, что
2x = y. Zv=-J-' dS = Y' +(*i)s+P)ldxdy= V2dxdy
611
и, следовательно,
^(* + f/ + *)dS = V2 (х + у + Ух* + уг) dxdy =
S. х*+у*^а*
= V2 j*” dy J r"*dr = --”-3^—.
0 0
Итак, окончательно,
5аал "l/F
Пример. Вычислим jJz3jti/2dS, где 5 — часть поверхности ци¬
линдра х2+у2=2ах, лежащая внутри конуса */2+22=х2 и выше
плоскости 2=0 (а>0).
Решение. Запишем поверхность S в виде
S:{(x, у, г): хг + у2 = 2ах, у2 + г2^х2, z>0}.
Как уже говорилось раньше, наиболее простым и часто употреб¬
ляемым способом параметризации цилиндра с образующими, па¬
раллельными оси OZ, является следующий:
* = *(/), y = y.(t), z = h, t(=[a9 b], h^Ry
где jс = *(/), y = y(t), t e [a, fc]
— параметрическое задание линии пересечения этого цилиндра с
плоскостью XY. В данном случае таким способом получаем пара¬
метризацию цилиндра:
х = а(1 -f-cosf), y = asintt z = h> t e [0, 2л], h^R.
Чтобы найти область D значений параметров / и ft, перейдем к
переменным t и ft в неравенстве у2+22^х2. Получим неравенство
a2sin2f+ft*<a2(l+cos02» или ft2 ^ 4a* cos / cos2 Последнее не¬
равенство показывает, что cosf>0, т. е. fe[—л/2, л/2]. Итак,
S:(r = r(t, ft)), ^е[-л/2, л/2], ft (= j^O, 2a cos У cos t
r(tt ft) = (a (1 -f cos/), a sin/, ft).
Отсюда получаем, что
r' = (—asin/, acost, 0); r*=(0, 0, 1);
£=|r;|2 = a2; G=|r;|2=l; F = (r;.g = 0;
d«S = Y EG— F*dtdh = adtdh.
612
Следовательно,
j^ z3xy4S = jj" Л3а8 (1 + cos t) sin2 tadtdh --
2a cos — /cos t
2
— a4 j* (1 + cos t) sin2 tdt ^ h3dh =
—я/2 0
я/2
= j* (1 + cos t) sin21 • 16a4cos4 *“cos2 tdt -
—я/2
л/2
Я/2
= a8 J (1 + cos /)8 sin21 cos2 tdt = 2a8 ^ [cos2 / sin3 / +
—я/2 о
+ 3 cos81 sin21 + 3 cos41 sin2 / + cos61 sin2 t]dt =
Г (3/2) Г (3/2) 3 г (2) Г (3/2) 3 Г (5/2) Г (3/2)
Г(3) Г (7/2) Г (4)
Г(3) Г(3/2)
= а°
Г(9/2)
Пример. Вычислим
dS
5я . 20 .
16 + 21 I*
Я
x + VV+z*
где 5 — поверхность, полученная при вращении дуги параболы
jt=acos4/, у=а sin41 относительно оси ОХ (а>0).
Решение. Обозначим во избежание путаницы через **(/)=■
*=acos4/, y*(0“flsin4/ параметрическое задание кривой на плос¬
кости XY, а через х, у, 2 — координаты точек в пространстве
XYZ. Воспользуемся выведенными раньше (при рассмотрении
площади поверхности) соотношениями: если поверхность S, полу¬
ченную вращением вокруг оси ОХ кривой x*=*x*(t), y*—y*(t)t
t&[a, 6], параметризовать следующим образом:
* = *•(0. */=*/’(0 cos <р, г = #•(/) sin ф, /<=Е[а, 6],
фе[0, 2я],
то
dS=YEG—Fzdtd<f=: \у'\chd<f,
где ds~Y(x't')2~\~(у"(')2dt—дифференциал дуги кривой * = **(/), у=
=у*( 0-
В данном случае получаем, что
S = {(x, */, z):x = acos4/, y = asin4/со$ф, z = asin4/sin9,
613
Ге [0, я/2), фе[0, 2я]};
ds = 4а Vcos* t sin11 + sin* t cos1 tdt =
= 4acos f sinf l/cos4f +sin4M/;
dS = 4a2 sin51 cos t Ycos4 / + sin4 / dtdq>.
Следовательно,
2n n/2
_ f ^ Г 4a1 sin» / cos / Vcos41 + sin41 ^ _
x+V?T? ф J cos4f-j- sin41
s oo
n/2 I
‘ ~ /1
dz =
= 1Ш> Г (1 cos2/)*sin41 na' f> (l-г)» <f,_
J f~\ j /2 J V
0 V T+T:cos*2<
-wj'w‘fc-T^|JV'rF?+l"k+v'TT?l111' -
“яв*(1 + 'pV,n(1 + V2) j.
Пример. Найдем координаты центра тяжести части сферы
x2+i/2+z2=a2t лежащей в первом октанте х>0, */>0, 0, если
плотность р(дг, у, z)—z2(a>0).
Решение. Запишем рассматриваемую часть сферы в виде
5 = {(jc, у, г):г='|/га*—дс*—уг, (дс, j)eD,
£) = {(*. 0):*>О, у>0, +
В таком случае
г;= ——. г = —у—, dS = Kl +(?;)»+(zj dxdy = —dxdy,
г v г ¥ г
М,= ^р(х, у, г)dS = ^zJdS = a ]/a*—jc*—y*dxdy =
S S D
n/2 a
= fl ^ dy ^ Yn%—r*rdr= — -^(a1—a*)3/2 ~
a na4
0 6
tfW=Cf*P(*, y. z)dS=ijjzidS = ^a(at—x*—yi)dxdy =
S S D
n/2 a
614
9^1> о
У XY _ За
0 М 4
&S& = f J ? (*, У, г) ydS = С С (/zJdS =
s s
a
= ^ j' ауУа2—х2—у2 dxdy = a ^ (— (a2—x2 — y2))Z/2 • ~
o
а я/2
= -|- j(a*—x*)3'2dx = -j- ^ cos* tdt =
0 0
fl6j J_ Г (5/2) Г (1/2) _ ядь
3*2* Г(3) ~ 16 ’
За
/а1—ж* ,
dx-
о
М 8
«ГУ1 = ^р(х, {/, z)xdS = ^xz*dS =
S 5
= j j ах Va»—х*—у1 dxdy = ,
D
_ За
M 8
ЗАДАЧИ *
§ 1. Параметрическое задание кривой
Написать какое-либо параметрическое задание в виде I—
“={*(0, у(0» ^Г} следующей линии (если кривая задана урав¬
нением в полярной системе координат, то х и у есть координаты
точек этой кривой в совмещенной декартовой системе):
1. отрезка АВ% соединяющего точки
а) А( 1, 2) и Б(—1, 3);
б) А(2, 3) и В (5, 3);
в) А (— 1, 2) и Б (— 1, 5).
2. части параболы у=х2, соединяющей точки /4(1, 1) и В(3, 9).
х% (.8
3. гиперболы — = 1.
• Все буквенные параметры в дальнейшем считаются положительными.
615
4. У — ~ * от точки ^(а, 0) ДО точки В(0, Ь).
5. х2/ъ + у215 = а2/ъ.
6. а) (х + у)2'3 — (х — у)2'3=а2'3\ б) 2 (х +у) = (х—у)2.
7. а2у* = х* (а2 — х2).
8. (у—х)2 = а2—х2.
9. jc4 — |/4 -j-ху = 0 от точки /4(*|/2/15, 2j^2/15) до точки В (0, 0).
10. дс4 = &ху2 -j- ciy3.
11. х3 = аху—ш/2.
12. x*-\-ye = a2x* + b2yl.
13. у2 (а—х) = х2(а + х).
14. г = а соБф.
15. г = а(1 +соБф).
16. г = а совЭф.
17. r= - a(f ■, ср > 0.
I + ср
18. ,» = а2-^.
COS ф
19. (x2 + tf)* = 2xy.
20. (дс2 -f у*)9 — 2а4 (дс2—у2).
Написать какое-либо параметрическое задание в виде L={*=—
=x(t), y=y(t), z=z(t), feT} следующей линии:
21. отрезка АВ, соединяющего точки
а) Л(1, 2, 3) и В( —I, 3, —4);
б) А(—1, 2, 1) и В(—1, 2, 4);
в) >4(1, 3, —1) и В(2, 3, 0).
22. а) x2 + y2=R2, z = 2;
б) x2 + y2 = R2, х + у = г.
23. а) x2 + y2 + z2=R2, х2 + у2=-?у, z>0;
б) дс2 +1/2 + z2 =/?\ jt-f */ + z = 0;
в) ха 4* */2 + 22 = Z?2, jca + t/a = д:/?.
24. jf2 + «/2 = cz, -j = tgj от точки Л У f. Т")
до точки В(хв, у„, z0).
616
25. х2—у2 = 9/8 z2, (x—y)2=:(i(x + y) от точки Л(0, 0, 0) до точ¬
ки В(х0, у0, z0).
26. х2 + y2-\-z2 = a2, Yx2 + y2ch (arctg — j =а (z> 0) от точки
А (а, 0, 0) до точки В(х0, у0, z0).
§ 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Вычислить криволинейный интеграл первого рода по указан¬
ной кривой L:
27. f—L есть отрезок АВ, где А = (0, —2), В = (4, 0).
J х~У
L
28. | yds, L = {(*, £/) :£/ = sin лг, О^х^л}.
29. ^(x2 + y)ds, L есть отрезок АВ% где Л = (0, 1) и В = (—2, 3)•
30. j хyds, L есть контур квадрата, ограниченного линиями х ±
L
dh у= 1, Х±у= —1.
31. |xyds, L есть четверть окружности х2 + у2=\, лежащая в
L
первом квадранте.
32. J y2ds, L = {(jc, у)\у= max (2 Yxt 2x), 0 ^ x < 2}.
33.
^x2yds, L = {(x, y): x = 4cos/, y = sin2/, jc^O, y>0}.
34. J yds, L есть дуга параболы у2 — 2х от точки А(2, —2) до
точки В (8, 4).
35. |(jt + j/)ds, ^={(*. y):x = acost, y = asint, 0 ^л/2}.
36. С (4лг*—i/2)dst L={(x, у): х = а cos8 £/ = a sin3 /}.
39. j^xyds, L = {(x, y):x = t—sin/, y= 1—соsr, /е[0, 2л]}.
40.
Г———, I- = {(jc, y):jt = cos/ + /sin/, i/ = sin/—-/cos/, 0<
J jt' + y*
L
</<2л}.
41. j xdsy L — верхняя половина кривой г = 1 + cos <р (0 ^ у).
L
42. |(;с + 4y)ds, L — правая петля кривой г2 = cos2<p(jt>0).
L
43. ^ y*ds, L — петля кривой r = acos4qp, пересекающая положи¬
тельную ось ОХ.
44. j \у\ds, L—кривая r = a(2 + cos<p).
45. ^(jc3 + y3)ds, L = {(x, y) :(xi + y2)2 = 2aixy, x^0t y^O).
46. 2x+z%y)ds, L={(jc, у, z), х = ~-, У =
L
2 У2
<3/2, 2 = /,
3
47. ^ (je* + j/* + 2*)ds, L = {(x, y, z):x = cost, y = sint, z**t,
<<< 2я).
f* z*ds
48. \ ■■■-■ — , L = {(x, y, z):x = aco$t, i/ = asin/, z — at, t e
e=[0, 2я]}.
49. j (jc* + y*+z*)'ds, L= |(jc, y, z):x = a (t—sin/). y = a(l— cost),
z — 4д sin J от точки i4(0, 0, 0) до точки В(2ая0, 0).
60. jxzds, L= |(r, <p, z):r=a(l-|-cos<p), z = 4a{\—cos)J.
61. £ye~xds, L = {(jc, у):дс = 1п(1 +/*), y = 2arctg/—/ + 3, 0<
618
52. Jy2dsy L = {(x, yy z), x2 + y2 + z2 = a2y x+y+z= 0}.
63. ^Yx2 + y2ds, L={(x, i/, z): х = j^zcos j/z, y~Y2 sin l^z} от
точки Л(0, 0, 0) до точки B( — л, 0t л2).
54. J \y\ds, L = {(xy уу z):x2 + t?=z2y хг + у2 = ах).
§ 3. Механические приложения криволинейного интеграла
первого рода
55. Найти массу участка кривой у=\пху 0<xi^x^x2, если
плотность кривой в каждой точке равна квадрату абсциссы
точки.
56. Найти массу контура треугольника с вершинами Л=(0, 0),
£=(3, 0), С=(0, 4), если его плотность в точке М(ху у) равна
57. Найти массу участка АВ цепной линии у=-(еф+е~х\ если
плотность р в каждой точке равна k/y , Л(0, 0), В(х0, у0(х0)).
58. Найти массу полуокружности х2+«/2=/?2, расположенной в
верхней полуплоскости, если плотность в каждой ее точке про¬
порциональна кубу ординаты этой точки.
59. Найти массу дуги винтовой линии
x = acosi, y = bs\ntf z — bt, 0<:/<2л,
если: а) плотность в каждой ее точке равна квадрату аппликаты;
б) плотность в каждой ее точке равна длине радиуса-вектора точки.
60. Найти статический момент однородной полуокружности
x2 + y2=R2, 0, плотности р относительно оси ОХ.
61. Найти статические моменты однородной дуги эллипса
+ = 1 плотности р, расположенной в первом октанте, от-
а* 6*
носительно осей координат (а>Ь).
Найти моменты инерции однородных дуг L плотности р.
62. L={(xy у): jc + 2t/ = 3, 1^jc<2} относительно оси ОХ.
63. 1 = {(х, у): у2 = ху 1 ^ jc ^ 2} относительно оси ОХ.
619
64. L={(*. y):2y=x2 +1, O^x^l} а) относительно оси OY;
б) относительно оси ОХ.
65. L —ломаная ЛВС, соединяющая точки Л(1, 1), В(2, 3),
С(4, —1) а) относительно оси ОХ; б) относительно оси OY.
66. L = {(jc, у) : х = acost, y-=as\nt, O^t^a) а) относительно
оси ОХ; б) относительно оси ОК.
67. L — {(x, у) : х -- а (/ — sin /), у — а(\ - cos/), 0^/^л./2} отно¬
сительно оси ОХ.
68. L = |(дс, y):Vx + Yy = Ya, О ^ х ^ а) относительно оси ОХ.
69. L = {(х, у) : х2'3 + у2'3 — а2/3, л > 0, г/ > 0} а) относительно
оси ОХ; б) относительно оси ОК.
70. L= |(х, у, z):x = acost, */=asin/t z=-j-t 0^/^2я|
а) относительно оси ОХ; б) относительно оси ОК; в) относи¬
тельно оси OZ.
71. Найти момент инерции витка конической винтовой линии
х = atcosnt, у — at sin л/, z — bt, 0 <С ^ 2л
с плотностью р=£г: а) относительно оси OZ; б) относительно
плоскости ХУ; в) относительно начала координат.
Найти координаты центра масс дуги однородной кривой L,
если
77. L = {(x, у) : x^=a(t—s\nt), tj = а(\ — cos/), 0^/^л}.
78. L = {(x, y):x — a(t — sin*/), у — а(1 —cos/), 0^/^2л}.
79. L=\(x, у): Ух + Уу= /а).
80. £.= {(*• у): *г/3+«/2/3=а3/3, «/>0}.
81. L={(x, y):xV3 + y2'3 = aV3, *>0, 0}.
82. L = {(дс, у): x — acost, y = asint, 0</ ^Р} (0 < (J <2я).
72. L={(x, y):x* + y* = R\ *>0, 0}.
73.
74.
75. £. = {(*, </) : За>»2 = ах2-х3, х>0}.
76. L=|(a-, у): x = -jy-— \пу, 1<г/<2|.
: х = —
4
620
83. L = {(x, уy 2): x — acosty y = as\nt, 2 = bty 0 ^ ^2л}.
84. L = {(Xy yy z):x = ef cos/, y = e<sin/, z = e*, —oo</^0}.
85. L = {(r, <p): г=а (1 + cos <p), О^ф^л}.
86. L = {(xt у, z):x* + y* + z* = a*f \y\=x, z> 0}.
87. Найти координаты центра масс дуги винтовой линии
* = a cos /, y = as\nt, z = bt, 0^/^л,
если ее плотность в каждой точке пропорциональна аппликате,
этой точки.
88. Найти координаты центра масс дуги
L= l(Xy yt z) : x = a(t— sin/), у=^а( 1—cos/), 2=4asin-~-,
если ее плотность в каждой точке пропорциональна аппликате.
89. Найти координаты силы притяжения однородной полу¬
окружностью массой М и радиусом R массы т, помещенной в-
центре соответствующей окружности.
90. Найти координаты силы притяжения бесконечной однород¬
ной прямой плотности р материальной точки единичной массы»
находящейся от прямой на расстоянии h.
91. Найти координаты силы притяжения дугой астроиды
*=acos3/, r/=asin3/, О^/^л/2, единичной массы, помещенной в
начале координат, если плотность астроиды в каждой ее точке
равна кубу расстояния этой точки от начала координат.
Найти площадь цилиндрической поверхности F(xt у)= 0, огра¬
ниченной снизу поверхностью 2=/1(х, у) и сверху — поверхностью
У), если
§ 4. Вычисление площади поверхности с помощью
криволинейного интеграла первого рода
92. F(x, у) = у'-2х, Д = 0, fjx, </) = /2*-4х*.
93. F(x, у) = *•_*•_ **, /, = 0. /,(*, У)^~--
94. F(x, y) = tf-±(x-1)3. /, = 0, 2-VT.
95. F(x, y)=R*-x*-y\ 0, /, = /? + -£
R
621
96. F(x, у) = х2—у, 1<дс<2, fi = 0, f2 = x + y.
97. F(x, у) = у-~х\ 0<*<4, /1 = 0, /, = *.
О
98. F(x, у)=х*+у2-ах, fx= —Уа2-х2-у2, ft=Va*-x2-y2.
99. F(x, y) = y—x\ 0<дс<1,/1 = 0,/2=х.
дг! y%
100. Найти площадь части цилиндра 1—= 1, заключен-
а2 b*
хш
ной внутри цилиндра 1—— = 1.
а* с
§ 5. Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Вычислить интеграл
“■ о (x* + y* + z*)dS,
где S — поверхность, полученная вращением кардиоиды г=а(1 +
+ cos<p) относительно полярной оси (декартова и полярная си¬
стемы координат совмещены).
102. (xy + yz + zx) dS,
S={(x, у, г): г = У х* + уг, х2 + уг < 2ах).
*«»• И (x* + y%)dS, где 5—граница тела
5
V = {(дс, у, г): У х* + у2 < z < 1).
104. ^ J (t/+ г) dS, где S—лежащая в первом октанте (х^О,
S
> 0, г > 0) часть поверхности, полученная вращением арки
циклоиды x — a(t—sin/), у — а( 1—cos/), 0^/^2я, вокруг
оси ОХ.
105 И V»-” - •
S
где 5 есть поверхность, полученная вращением линии L = {(x, у) :
:y = s\nx, О^х^я} относительно оси ОХ.
106. fJi/zdS,
где S — удовлетворяющая условию z>y>0 часть поверхности, по¬
лученной вращением кривой у=*созх, |*Кя/2, относительно оса
ОХ.
622
где S—часть параболоида 2z = 2—х%—у*, z^O.
108. JJ (x’+i/*+z)dS, где S—верхняя полусфера:
х* + i/*+z* = a*, z>0.
109. IJ (3x* + by* + 3z*—2) dS,
s
где S—часть конуса у = /**+2*, лежащая между плоскостями
У = 0, у = Ь.
111. JJ/a*+ya + z*dS,
S
где 5—часть параболоида ах = уг, лежащая внутри цилиндра ((/* +
+ z1)1 = 2b?yz.
где S—часть конуса z* = 2xy, 2^0, лежащая внутри цилиндра
x% + tf = a%.
113. J^(.n/ + j/z + .tz)dS,
5
где S—часть конуса х* + (/*=z*, г>0, лежащая внутри цилиндра
**+#* = 2шс.
,14- Q(* + y+z)dS,
где S—часть конуса xf=*0® + z*, лежащая внутри цилиндра д?+у* =
= 2ах.
5
где 5—ча
JC* I/*
z = —, х > 0, лежащая внутри
цилиндра
= yrjea + 4/2 и параболоидом z=* —
2 а
116. JJ(jc-^ + z»)dSf
s
где S — часть цилиндра x2+y2=a2t jc>0, лежащая между плоско¬
стями x+z=0, x—z=0.
где 5 — часть цилиндра х2+у2=2аху лежащая вне гиперболоида
х2+У2—z2=a2.
где 5 — часть цилиндра х2+у2=а2, лежащая внутри цилиндра
z2=a(a—jc).
119. JJlxi/ldS,
где S — поверхность тела, образованного пересечением цилин¬
дров x2+z2=a2t y2+z2=a2.
120. JJlx + yldS,
где S— часть поверхности геликоида x=ucosv, у*=и sin и,
О<0<2я, 0<ы<1.
121. IS (х + У + z) dS>
s
где S — часть тора x=(b + acosyf>)cosq>9 y=(b + a cos ф) sin ф, z=-
=asini|>> *>0» z>0 (b>a).
§ 6. Механические приложения поверхностного интеграла
первого рода
122. Найти массу части однородного параболоида z=~ (х* + у2),
O^z^l, плотности р.
123. Найти массу части цилиндра jc2+z2=*2azt лежащей внут¬
ри конуса jc2 + t/2=z2, если плотность р= \у\-
124. Найти массу части конуса jc2=t/2+z2, лежащей внутри
цилиндра jc2 + #2=2ajc, если плотность p=jc.
s
s
624
125. Найти массу части конуса x2-hy2=z2, 0^2^4, если плот¬
ность в каждой точке равна квадрату расстояния до вершины.
126. Найти статический момент части цилиндра, x2+y2=2Ryf
лежащей между плоскостями z=0 и z=c, относительно плоскости
XZ, если плотность p=j/4*z.
127. Найти момент инерции однородной поверхности х2+ у2=*
=2ах, x2>>y2+z2 плотности р относительно оси OZ.
128. Найти момент инерции однородной поверхности плотно¬
сти р, полученной при вращении одной арки циклоиды дс=а(<р—
— sinq)), у=а( 1—cos ф) вокруг оси ОХ, относительно оси ОХ.
129. Найти момент инерции части однородного цилиндра х2 +
+ у2=ах плотности р, лежащей внутри сферы x2+y2+z2=a2 отно¬
сительно плоскости XZ.
130. Найти момент инерции части однородной верхней полу¬
сферы х2+//2-f 22=а2, z>0 плотности р, лежащей внутри цилин¬
дра х2 + у2=ах, относительно плоскости YZ.
131. Найти моменты инерции относительно плоскости XY части
однородного конуса x2+y2=z2 tg2 a, x2+y2^.R2 (0<а<л/2), мас¬
сой М.
132. Найти момент инерции однородной поверхности x=(b-f
+ а cost|>) cos ф, y=(b + a cos sin ф, z=a sinty(b>a) плотности p
относительно оси OX.
133. Найти момент инерции однородного параболоида х2 + у2=~
■=2cz, O^z^c плотности р относительно оси OZ.
134. Найти момент инерции однородного сегмента сферы х2-\~
~\~у2~\~z2==sR2, z^H (H<R) плотности р относительно оси OZ.
135. Найти координаты центра масс однородной полусферы
Х2+(/2 + 22*=/?2, Z>0.
136. Найти координаты центра масс части однородной сферы
Х2+ t/2H-е2=/?2, х>0, у>0, z>0.
137. Найти координаты центра масс верхней полусферы х2 +
+ */2+z2=/?2, 0, если поверхностная плотность в каждой ее точ¬
ке равна расстоянию от этой точки до оси OZ.
138. Найти координаты центра масс однородной поверхности,
полученной от вращения дуги кривой у2=*2рх, относи¬
тельно оси ОХ.
139. Найти координаты центра масс части однородной поверх¬
ности x2+y2=2cz, 0^z<c.
625
140. Найти координаты центра масс части однородного ко¬
нуса
*+y* = -l!rzi> 0<2<Я.
П9
141. Найти координаты центра масс однородной поверхности
х=*и cos v, у—и sin v, z=av, О^и^а, О^и^л.
142. По поверхности кругового цилиндра, радиус основания
которого равен R и высота которого равна h, распределена масса
с постоянной плотностью у* Найти притяжение, испытываемое со
стороны поверхности единичной массой, расположенной в центре
основания цилиндра.
ОТВЕТЫ
1. а) *=1-2/, y = 2 + t, *€=[0, 1]. б) *=2 + 31, у=3, /е=[0, 1]
либо х = х, у— 3, х е [2, 5]. в) х= — 1, -г/ = 2 + 3/, t е [0, 1]
либо х = — 1, */ = //, ^ е [2, 5]. [2. X — ху у = х2, х е [1, 3].
3. *=ach/, £/ = 6sh/е( — с», -f оо) правая ветвь; *=— ach/
t/=6sh/, / —оо, -f оо) левая ветвь. 4. x=acos*t, y=bs\nAtf
/е[ 0, я/2], б. х = a cos6 /, (/= asin6 /, /е[0, 2я]. в. а) х =
= -у-(ch*/ -+- sh*/), y = a(-,<7Sh*')’ +°°): 6) *=
= /*+/, y=t1—t, /<=(—oo, +oo) либо jc= 2t, + t’*-t y =
4
= — ~2ь' . oe(—oo,^+oo). 7. x = a cos/, y = acos/V^|sin/| X
X sign (sin/), /е[0, 2я]. 8. a) x = a cos /, </ = a (cos/ + sin /),
/<=[0, 2я]; 6) y = y, x = ye(-oo, +Oo)\{0}.
•• *" VV=7’ Y*e[2, +oo)- ,0‘ JC=a',+a''-
y=a/* + a/\ —oo</<+oo. II. дг = а/—a/*, y = at%—a/*,
— oo</<+oo. 12. x=уa*cos4''3/+6*sin4/3/cos'/3/, 1/ =
= l/в*cos4/*/+fc*sin4/3/sin'/3 /, /<=[0, 2я]. 13. *=acos2/ctg/f
у = a cos 2/, / e (0, л), либо x = g^~ ^ / e
1 + /* * * l +<* ’
s (—oo, +oo). 14. x — acos*(p, ^=acosq>sin<p,
n/2j. 15. Jt=acosq>(l+cos<p), «/=esin<p(l +cos <p), <p e [0, 2n],
626
16. х = a cos ф cos Зф, j/= a sin ф cos Зф, ф <= [0, я/6]и[л/2, 5я/б] (J
и[7я/6, 2п|. 17. х=т^созФ, 0=^sin*,
Ф^[0, +оо). 18. х = а5Шф Т/^фсозф, (/ = аз1п2ф У^Ф.
Ф^[0, я/2)и|л, “~-J. 19- x = Ysin 2фсозф, #=У5т2ф5Шф,
фе[0, я/2] U . 20. х = а У 2 cos 2ф cos ф, у =
=л >^2cos 2ф sin ф, Ф '^[ — я/4, я/4]и[Зл/4, 5я/4].
21. а) х= 1—2/, y=t + 2, 2 = 3 — 7/, / е [0, 1]; б) л: = —1, у=2,
z = t, /ge[1,4]; в) х = 1 + /, £/-=3, 2 = /— 1, /<=[0, 1].
22. а) х = R cos /, у = /?sin/, 2 = 2, /^[0, 2я]; б) jc = /?cos/, (/ =
= /?sin/, z = /?(cos/ + sin/); / е [0, 2я]. 23. а) х = -^=-соs/,
y=-Wsint' г = ^Т’ <ef°’ 2j* 6)x = t(w+cos/)’
y = w (^-cos<)’z= —TT*5*0'’2я1; B) *=
= /?cos2/, у = /?sin/cos/, 2 = /?sin/, / e [0, 2я]. 24 jc =
=суГфсо5ф, ^ = сфБтф, 2 = сф, я/6^ф^г0/с. 25. z = /, x =
_■ ■ /32/3fl „3,2/3 34^3q~1 /3t41,3 X 1 /
4 \ ^ 2 / ’ 4 \ 2
_32/3a1/3<2/3'). <s[0, z0]. 26. * = z = a th«p,
/ ch ф ch ф
фе|0, ф0]. 27. y"51n2. 28. yr2+In(l+/2). 29. 20
30.0 31. J. 32. 3V2-ln(l+V2)+|V5. 33. *[1+^5 +
+3111(2+^/5)]. 34. i(17>/l7 + 5v/5—2). 35. 2a2. 36. -a3.
3 2
37. ^(1+60^+25^5). 38. 2waJ"+1 39. ~n. 40. ln^bH^
41. 42. д/2. 43. 0. 44. 37,2 a2. 45. —. 46. 1-+*^
5 - _ 5 12 297
47- ~(3+4я2)я. 48. ~^ая3. 49. у (я2+9) яа3. 50. 8*а3.
51- (я2 +12я)-1п2. 52. | па3. 53. ^ [(1 + 5п2)т -1].
54. ~(2у/2-1). 55. -Wl^-^ + lA 56. 57. ^
2 а
627
58. 59. а) - b2 ^/а2 + b2 я3;
3 3
б)
«о. 2,#.
(Ь2 а2Ь . у/^-бА
61. J0x=P\- + —гт== arcsm ;
\2 2 JJ-b1 ° '
/а1 аЬ3 a + vV-iA 7 /7
/от“Ч*+^ст ~г;) 24
63. Р ("204 -у/2 — 36 -у/5 + In ——
64 V 17+12^/2/
.. г бтУг+ньо+Уг) з^г-ьо+Уг)
/0х— 192 Р» /or — g Р*
3 3 4
/ог=— (2a+sin2<x). 67. -(128-86^/2).
4 15
68. -2— [139^2 —91n(l+ V2)]- 69. .
70. /0, = Уог=^ (За2+A2) v/4aV+A2, /0z=Р<*2 >ДЛ2+А2.
71. а) а2Л; б) 62Л; в) (а2+Ь2)Л, где
Л = [(4а2я2 + а2 + Ь2)'п (6в2я2 -а2-Ь2)+(а2+ Ь2)>п].
2л (е»+4^_1)в
72. X0=j;0 = - . 73. jco=0, ^0 = — -,— -—••
я 4<(eJ-l)
2а (е*+4е* — 1)а __ 5а
74. w
27 —241п2 20 4а
76. Х0 = , у0 = • 77. х0=у0 = — .
8(3 + 21п2) 3 (3 -ь 21п2) 0 70 3
4* а[7,/2 + 31п(1+У2)]
78. х0 = па, 3/о = ~- 79. ^0=^ = -^
3 16[V2+ln(l+V2)]
2л 2л asin/f а(1— cos/0
80. xo = 0, ^0 = —. 81. -^о==>;о=~7‘ 82. Х0 = —, -Vo~ “ •
5 5 р р
2 1 1
83. *о = 0, _уо = 0, z0 = nb. 84. х0 = -,у0=-5, z0 = -.
4 a Jla 7л
85. х0=у0=--. 86 jco=0, у0= , z0=-.
5 п п
628
87. х0 — у0=-, г0=- пЬ. 88. х0=ап; у0=~; z0=an.
п2 п 3 3
89. 0; . 90. 0; -2--Р. 91. —, —. 92. я/4. 93. R212.
я R2 h 5 5
94. "
95. ЗиЛ2. 96. —v^--v/5+-ln—97. -(lOV^O-1)-
48 96 62 2 + у/5 27
98. 4а*. 99. -~-(5]/5—1). 100. 4г ^ ft + ^ -р- arccos j.
101. 102. _64 V2 a4 (03 JL(I -(_ 1^2). 104.
15 2 15
ЮБ. 4п. 106. J^- + _i-|n(l+-j/2). 107. -^-(9/3—1)-
108. + 109. 2-j/2 я(264—62). ПО. -^-+ лр<? —.
3 2 16
111. — (ва^ + лб4). 112. —а6. 113. — а4 У 2. 114. — яа*.
8а 15 15 6
тш* 4а-* qi/on^/2 8
116. ——. 116. яа* . 117. 3У2я?—. Ц8. а»У2.
2 3 2 3
119. -^-а4. 120. 4-(4— К2). 121. па (а4 + 2b2 + 2ab).
о 3
122. -1-л(1+бКЗ)р. 123. а3 (л+ 4). 124. — а»я.
15 20
125. 256 уТя. 126. Fpc*. 127. 7/2ла4р. 128.
35
129. -^aV 130. tty, Ш. **■«**«
132. 2л2а6р (2а2 -f 3Ь2). 133. ^ " (1 + 6 КЗ) с*р. 134. х
15 3
X(2R*—3R2H + Я8). 135. *0 = у0 = 0, Z0 = ~. 136. х„ = у,=
= z0=4-- 137. *0=</„ = 0,z0 = -^-. 138. *0 =
I ол
Р /53 — 3/3
5 \ 26
). </о = 2о=0. 139. *0 = у0 = 0,
|= ^Тзо^3 с' ,40' *» = г/в=0* г° = -Т-' ,41‘ Жо==0,
*-■=•( ..''-Г' .. )■ .«■F.-F.-0,
2а» 1^2 — а3 \ _
‘К2 + аЧп (1 + У 2)
F, = 2яgyR ( - ).
\ R УR* + Л* )
629
Глава Ш
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ
ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА-
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
$ 1. ОРИЕНТАЦИЯ КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ КРИВОЙ И
КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ScK3
Определение. Пусть L — незамкнутая кривая без точек
самопересечения, лежащая в /?3, с концами в точках Ли В. Вы¬
бор в паре (Л, В) начальной и конечной точек называется ориен¬
тацией кривой L. Выражения L = AB и L=BA являются записью
кривой с противоположными ориентациями.
Наглядно, задать ориентацию кривой L = AB — это значит ука¬
зать, как направлена (или как проходится) эта кривая от точки
А к точке В, или от точки В к точке А.
Замкнутую кривую, которая после удаления любой своей точ¬
ки (сразрезания» кривой в этой точке) становится незамкнутой
кривой без точек самопересечения, часто называют контуром.
Контур можно ориентировать, разрезав его в произвольной точке
и ориентируя полученную незамкнутую кривую. Если контур ле¬
жит на плоскости XY, то он является границей односвязной огра¬
ниченной области DdR2. В таком случае ориентация контура ча¬
ще задается направлением его обхода: положительным направле¬
нием обхода принято считать такое, при котором область D оста¬
ется слева, и отрицательным — противоположное.
Пусть LczR3—простая гладкая кривая, т. е.
£ = {(*. У. 2):x = x(t)t y = y(t), 2 = 2(0, / (ЕЕ [а, Ь]}у
где а<Ь, отображение r={*(/), y(t), z(l)}eG[a, b], |г/1*^0, и
концевые точки А и В кривой L есть соответственно образы то¬
чек а и Ь. Тогда ориентация L=AB соответствует ориентации [а,
b]t а ориентация L=BA — ориентации [6, а] отрезка изменения
параметра t на прямой R. Говорят, что кривая L—AB проходится
при возрастании, а кривая L=BA — при убывании параметра t.
Тогда векторное поле Т = {т}у где т = ——=1 — t J*L.t -^-1 и
\rt\ I ds ds I
ds = Y(xt)2-{-(yt)2 + (zt)2dt— дифференциал длины дуги L — явля¬
ется заданным на L непрерывным полем касательных к L еди¬
ничных векторов, при этом направление векторов т совпадает с
направлением движения по кривой L—AB при увеличении пара¬
метра так как а<Ь. Таким образом, на простой гладкой ориен¬
тированной кривой L=AB однозначно определено согласованное
630
с ее ориентацией непрерывное поле единичных касательных к L
векторов. Векторное поле Г=»{—т} является заданным на L не¬
прерывным полем касательных к L единичных векторов, направ¬
ление которых совпадает, с направлением движения по L при
уменьшении параметра /.
Кусочно-гладкая ориентированная кривая L также однознач¬
но определяет согласованное с ее ориентацией векторное поле Т
единичных касательных к L векторов только уже, вообще говоря,,
определенное не во всех точках L и непрерывное на множестве
своего определения. Ориентированную кривую L вместе с соот¬
ветствующим полем единичных касательных векторов будем обо¬
значать (L, Т).
Пример. Запишем какое-нибудь параметрическое представ¬
ление x(t), y(t) петли кривой х3 + у3=3аху так, чтобы эта петля
проходилась в положительном направлении при возрастании па¬
раметра t (а>0).
Решение. Если положить t=y/x (х>0), то получим, что
х = 3at/(t9+ 1), у = За/2/(*8+ 1). При этом петля кривой х3+г/3=*
=3аху расположена в первом квадранте х>0, у>0 и проходится
при изменении t на луче (0, -hoo). Так как для имеем
О^дг^л/, то обход петли начинается по той ее части, которая ле¬
жит ниже биссектрисы у=х первого координатного угла и, следо¬
вательно, действительно при возрастании t петля обходится в по¬
ложительном направлении.
Пример. Запишем параметрическое представление лемни¬
скаты; (х2+у2)2=2а2ху так, чтобы каждая ее петля проходилась
в положительном направлении при возрастании параметра (а>
Решение. Так как в полярных координатах уравнение лем¬
нискаты есть: г2=а2 sin 2ф, то для правой петли имеем
х — a cos ф|/Г51п2ф, # = а5тфуЛБт2ф, 0^ф^я/2,
а для левой—
х = асозф*|/5т2ф, y = asinф ]/sirT2cpl я^ф<Зя/2.
При этом, когда t возрастает от 0 до я/2, то правая петля
проходится в положительном направлении, поскольку изменению
t на [0, я/4] соответствует часть лемнискаты, лежащая в первом
квадранте ниже прямой у=х. Так же проверяется, что левая пет¬
ля проходится в положительном направлении при возрастании t
от я до Зя/2.
Пример. Запишем параметрическое представление контура
квадрата: \х\ + \у\=а (а>Ь) так, чтобы этот контур проходился
в положительном направлении при возрастании параметра t.
Решение. Подберем функцию x=x(t), такую, чтобы при
возрастании t значения x(t) сначала убывали от а до —а, затем
возрастали от —а до а; например, можно положить x(t)=acos t.
Чтобы точка x(t), y(t) двигалась по верхней границе квадрата
631
|jc| + \y\ =fl, координата yxy{t), fe|[0, я], должна удовлетво¬
рять соотношению у=а—| jc |, т. е.
у(t) = а — а |cos/1 = asgnsin/—a |cos/|.
На нижней границе квадрата координата y=y(t) должна
удовлетворять соотношению (/=—а+ |х|, т. е. у=—a + a|cosf|,
*е=|[л, 2л]. Объединяя обе полученные формулы, запишем пара¬
метризацию контура квадрата следующим образом:
x = acost, y = asgns\nt — acos/sgn (sin 2t)y t^[0, 2л].
Ориентация кусочно-гладкой поверхности в R3
Пусть SczR3 — простая гладкая поверхность, т. е.
£ = {(*, уу z):x = x(u, v)y у = у(иу v)y z = z (uy v), (uy v)^D}y
где область DczR2 жорданова, гомеоморфизм
r = {x(uy v)y у (uy v)y z(uy i»)} czC1^) и [ru x tv]#0, (uy v) eD.
ным на S непрерывным полем единичных нормальных векторов
к S.
Определение. Гладкая (т. е. имеющая в каждой точке ка¬
сательную плоскость) поверхность SczR3 называется ориентируе¬
мой или двусторонней, если на ней можно задать непрерывное
поле единичных нормальных векторов. Такое поле будем назы¬
вать ориентирующим полем нормалей S.
Как следует из вышесказанного, простая гладкая поверхность
ориентируема. Лист Мебиуса является примером гладкой, но не-
ориентируемой — односторонней — поверхности. Это, в частности,
показывает, что лист Мебиуса нельзя задать как простую глад¬
кую поверхность никаким способом параметризации.
Так как в каждой точке гладкой поверхности имеются два и
только два различных единичных нормальных вектора противо¬
положного направления, то для ориентируемой поверхности суще¬
ствуют два и только два ориентирующих поля нормалей и N2,
причем векторы этих полей в данной точке s0eS взаимно проти¬
воположны. Для простой гладкой поверхности такими полями яв-
Определение. Ориентируемая поверхность с выбранным
ориентирующим полем нормалей называется ориентированной по¬
верхностью.
Тогда векторное поле N= п:п — —“ v—
Iru X Г0\
является определен-
ляются поля
632
Ориентированную поверхность будем обозначать парой (S,
/V), где N — выбранное ориентирующее поле нормалей.
Не строго можно сказать, что выбор направления нормали
определяет сторону поверхности. Поэтому ориентацию поверхно¬
сти часто называют выбором стороны поверхности — отсюда тер¬
мин «двусторонняя поверхность». Например, на сфере можно за¬
дать непрерывное поле внешних — направленных от центра —
нормальных векторов или сказать, что задана внешняя сторона
сферы; если же задать поле внутренних — направленных к цен¬
тру— нормальных векторов, то можно сказать, что задана внут¬
ренняя сторона сферы.
Определение. Точку 5 поверхности S назовем внутрен¬
ней, если у нее существует такая окрестность U(s), что множест¬
во U (s) \S несвязно. Точку 5 поверхности 5 назовем гран-ичной
(краевой), если для любой ее окрестности U(s) множество
U(s)\S связно.
Определение. Пусть контур L лежит на поверхности S.
Если часть Si поверхности S, для которой точки L — граничные,
не имеет других граничных точек и является связным ограничен¬
ным множеством, то скажем, что контур L ограничивает часть
Sj поверхности 5 или что поверхность S\ натянута на контур L.
Если незамкнутая поверхность 5 ориентирована, то для любо¬
го контура, лежащего на S, определяется положительное (согла¬
сованное с ориентацией S) направление обхода такое, что огра¬
ниченная этим контуром часть поверхности S оставалась слева
при обходе контура по соответствующей стороне поверхности.
Определение. Пусть незамкнутые ориентированные по¬
верхности Si и S2 пересекаются по кривой L. Возьмем на Si и S2
контуры Ci и С2 соответственно так, чтобы кривая L или ее часть
составляла часть как контура С,, так и контура С2. Если положи¬
тельное направление обхода контуров Сi и С2 индуцирует на L
противоположные ориентации, то ориентации поверхностей St и
S2 называются согласованными.
Q
Определение. Кусочно-гладкая поверхность S = \J Sq,
1
где Sq, — простые гладкие поверхности, называется ори¬
ентируемой (двусторонней), если на каждой из поверхностей Sq,
l^^Q, можно выбрать ориентацию (S^, Nq) таким образом,
чтобы для любой пары S<, Sj, имеющей линию пересечения, ори¬
ентации были согласованными. Векторное поле А/, составленное
полями Nq (l^^Q), назовем ориентирующим полем норма¬
лей S.
Для кусочно-гладкой поверхности S ориентирующее поле нор¬
малей определено и непрерывно на S, за исключением, быть мо¬
жет, конечного числа кусочно-гладких кривых, лежащих на S.
Так же, как и для гладкой ориентируемой поверхности, для ку¬
сочно-гладкой ориентируемой поверхности существуют два и
только два ориентирующих поля нормалей и iV2, составленные
взаимно противоположными векторами.
633
Определение. Пара (S, N), где S — ориентируемая кусоч¬
но-гладкая поверхность и N — выбранное ориентирующее поле
нормалей, называется ориентированной поверхностью.
Так же, как на гладкой незамкнутой ориентированной поверх¬
ности, определяется положительное направление обхода контура
на незамкнутой кусочно-гладкой ориентированной поверхности.
Любая кусочно-гладкая замкнутая поверхность ориентируема.
При этом одна ориентация соответствует выбору внешних норма¬
лей (внешняя сторона поверхности), другая — выбору внутрен¬
них нормалей (внутренняя сторона поверхности).
Для указания ориентации (стороны) поверхности будем поль¬
зоваться следующей терминологией.
Для замкнутых поверхностей, как уже говорилось, определя¬
ются внешняя и внутренняя стороны. Будем считать это опреде¬
ление наследственным для любых частей замкнутых 'поверхностей.
Например, внутренняя сторона полусферы — это сторона, соответ¬
ствующая выбору нормалей, направленных к центру. Для эллип¬
тических цилиндра и параболоида, двухполостного и однополост¬
ного гиперболоидов и эллиптического конуса внутренней нор¬
малью считаем вектор нормали, направленный внутрь полости, и
соответственно определяем внутреннюю и внешнюю стороны.
Определения внешней и внутренней стороны также будем счи¬
тать наследственными для любых частей таких поверхностей. Ес¬
ли (5, М)—ориентированная поверхность и косинус угла векто¬
ра л с осью OZ не меняет знака для n^N, то назовем соответ¬
ствующую сторону 5 верхней, когда cos(n, OZ) >0, и нижней, ко¬
гда cos (л, OZJ^O. Аналогично назовем сторону поверхности (S,
N) правой, когда cos (л, ОХ)>0, леМ, и левой, когда cos (п,
ОХ)^0, n^N. В частности, если поверхность 5 задана явной
функцией z=z(x, у), т. е.
S= {г :/■(*, {/) = (*, у, г(х, у)), (х, y)<=D),
z(x, у) е С1 (D), то поле N = n: п = -1'-* * г'] -- { **" V
ГХ х гу\ 1^1+г'* + *”*
зада¬
ет lruXrx 1 2 , — 1}
ет верхнюю, а поле N = \п: п= —у- — = —■* у
1 \г* х гУ\ 1Л+*;*
нюю стороны S. Точно так же для поверхности
У
— ниж-
5 = {г:л(у, г)={х(у, г), у, г}, (у, г) е D), х(у, г) е С1 (D)
поле N=\n:n= -[Г.*ХГг] = (1, ■ *•'
1 l^x^l Y1 + *? + х*
задает правую, а поле
N =
п :п = —;—т— =—— У . 4=—1—левую стороны S.
634
Пример. Определим, внешняя или внутренняя сторона по¬
верхности S=*{(jc, уу z) : jc2+z2=2az, z<a) является верхней (a>
>0).
Решение. Условие z<a показывает, что ориентирующее по¬
ле нормалей к 5, определяющее верхнюю сторону, есть N={n),
л={—х/a, 0, (а—г) /а). Внешняя и внутренняя стороны поверхно¬
сти 5 как части цилиндра {(jc, у, z) : x2+z2«2az} определяются
полем нормалей, направленных соответственно от оси симметрии
этого цилиндра и к оси симметрии. Осью симметрии цилиндра яв¬
ляется прямая z=a, лежащая выше точек поверхности S, следо¬
вательно, вектор л={—jc/a, 0, (а—z)/a} направлен к этой прямой.
Итак, верхняя сторона 5 — внутренняя (см. рис. 99).
Пример. Определим, правая или левая сторона поверхности
3={(х, у, z): х2=у2+z2, jc>0} является внутренней.
Решение. Поверхность 5 является частью конуса JC2=i/2-f
+ z2, следовательно, внутренняя сторона 5 определяется полем
нормалей jV=»{n}, направленных внутрь полости этого конуса,
т. е. к оси ОХ. Такой вектор лу, лг} в точке (х, уу z)e5,
г>0 должен иметь отрицательную координату пг. Отсюда полу¬
чаем, что ориентирующим полем нормалей внутренней стороны S
является поле А^={п}, л={ 1/У2, — y/xt —z/jc}. Так как л**1/У2>0,
то внутренняя сторона 5 является правой (см. рис. 100).
Пример. Проверим, что сторона поверхности
Л'={(лт, у, г) : x = acosucos*vy y = asinacos4t>, z = asin4t;,
0<ы<л, 0<v<n/2}y
i
2
П
Рис. 99
Рис. 100
определенная полем
635
n ^ 1Ги X rv{
Решение. Координата пг вектора п = равна
\[r'uXr'v)\
• 4a2 cos7 usinu>- 0.
Полученное неравенство показывает, что соответствующая сторо¬
на S— верхняя.
Пример. Поверхность 5 есть часть поверхности тела
={(*, yt z) : 2x2 + 2y2^.az^x2 + y2 + a2}, удовлетворяющая условию
у>-0. Вектор нормали, определяющий ориентацию S, в точке Af=
■= (0, а/2, 5а/4) образует острый угол с осью OZ. Дадим характе¬
ристику ориентаций гладких поверхностей, составляющих кусоч¬
но-гладкую ориентированную поверхность S (а>0).
Решение. Поверхность 5 состоит из части Si параболоида
az=x2 + у2 + а2 и части S2 параболоида az=2x2 + 2y2 (см. рис. 101),
линией пересечения S{ с S2 является полуокружность х2+у2=а2,
z=2a, у>-0. Обе поверхности Si и S2 заданы явными функциями
Поэтому их ориентация характеризуется указанием — рассматри¬
вается верхняя или нижняя сторона соответствующей поверхно¬
сти.
Точка М=(0, а/2, 5а/4) лежит на Si, следовательно, на Si за¬
дана верхняя сторона. Чтобы определить согласованную ориента¬
цию поверхности S2, возьмем на параболоиде аг=х2 + у2 + а2 кон¬
тур L, составленный дугой АВ линии пересечения St с S2 и пара¬
болой Л#(|): az=x2+y2 + a2, у=а/2, а на параболоиде az=2x2 +
+ 2у2 — контур L2, составленный той же дугой А В и параболой
2
X
Рис. 101
Si={(х, у, г):г = —-(х2 + уг + а^), хг + уг^а, 0J,
S2 = |(*. у, z):z = -2-(*a + 0*), х2 + у2^а, у^ oj.
636
ЛБ(2): az*-2x2+2y2t y=aj2. Координаты точек А и В находятся из
системы: у=а/2, х2+(/2=а2, z=2a, что дает j4 = (a*j/3/2, a/2, 2a),
£ = (—аУ3/2, a/2, 2a). На верхней стороне параболоида az=x2 +
+ y2+a2 — поверхности Si — положительное направление обхода
;t2+r/2=a2, z=2a, t/>0 — линии пересечения Sj с S2, следователь¬
но, при согласованной ориентации параболоида az=2x2+2y2—
поверхности S2 — положительное направление обхода контура L2
контур L с положительным направлением обхода находится на
нижней стороне параболоида az=2x2+2y2. Итак, заданная ори¬
ентированная кусочно-гладкая поверхность S состоит из верхней
стороны части параболоида az=*2+r/2 + a2 и нижней стороны ча¬
сти параболоида az=2x2+2y2 (х2+у2^а2, у>0).
Пример. Найдем параметрическое представление окружно¬
сти L={(x, у, z) :х2+y2 + z2=a2, x+y+z=Q}, такое, чтобы направ¬
ление ее обхода при возрастании параметра было положительным
на верхней стороне плоскости х-f + (a>0).
Решение. Точка О=(0, 0, 0) лежит внутри рассматриваемой
окружности, следовательно, на верхней стороне плоскости век¬
тор МО из точки М окружности L в точку О идет налево от век¬
тора т, касательного к окружности L в точке М и направленного
в сторону возрастания параметра. Найдем одну из параметриза¬
ций окружности L. Исключая z из системы x2+y2+z2—a2, х+у +
-hz=0 получаем, что координаты х и у точек окружности связа¬
ны уравнением х2 + у2-\-ху = Это уравнение на плоскости XY
определяет эллипс, главные оси которого образуют угол я/4 с
осями координат, поэтому
где аир — полуоси этого эллипса. Для вычисления аир, под¬
ставив выражения х и у в уравнение эллипса, получаем соотноше-
Для требуемого направления обхода вектор р==*{рх, pv, Рг}в[*Х
ХМО] должен быть направлен в ту же сторону от плоскости х+
+ «/+z=0, что и нормальный вектор этой плоскости, определяю¬
контура L\ индуцирует направление АВ дуги полуокружности
должно индуцировать направление ВА этой дуги. Оказывается,
ние
637
щий верхнюю ее сторону, т. е. должно выполняться неравенство
рг>>0. Так как
{dx dy dz I_f asm/ . a cost
~dT' IT' ~dT)~ \ VY~ V2 9
таким образом, полученная параметризация окружности L дает
при возрастании t от 0 до 2я противоположное требуемому на¬
правление обхода. Заменяя t на — и, получаем следующее пара¬
метрическое представление окружности:
и поскольку сделано преобразование параметра с отрицатель¬
ной производной, то такая параметризация задает противополож¬
ную предыдущей, а значит, требуемую ориентацию окружности
L = {(x, у, z):x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = a2}.
Пример. Найдем параметрическое представление . верхней
петли кривой Вивиани L={(x, у, z) : х2+y2 + z2=4a2, х2 + y2=2axt
z>0}, такое, чтобы направление обхода при возрастании пара¬
метра на верхней стороне верхней полусферы S={(jc, у, г) :jc2+
+ i/2 + z2=4a2, z>0} было положительным (а>0).
Решение. Точка М=(а, 0, ауЗ) лежит внутри той части
верхней полусферы S, которая ограничена кривой L, следователь¬
но, на верхней стороне 5 вектор AM, где А—точка на L, должен
идти налево от вектора т, касательного к L в этой точке и на¬
правленного в сторону возрастания параметра. Найдем одну из
параметризаций кривой Вивиани L. Условию х2 + у2=2ах удовле¬
творяет параметрическое представление координат x=2acos2/ н
*/=2acos/sin/, где te'[—я/2, л/2] или /е[0, я]. Из соотношения
х2+у2+z2=4a2 получаем, что z2=4a2sin2/; учитывая условие z>
>0, получаем окончательно, что
£ = {(*» У> 2): х = 2а cos2 /, у = 2а cos / sin /, z = 2a sin/,
0</<л}.
Для требуемого направления обхода векторное произведение вектора
и МО = {—х, —у, —г}, то рг= ^ — у-^- +
(jc, £/, г): jc = —£=- cos и £=-sina, у=—£=r-cosu +
v ' /6 /2 * уТ
, касательного к L в точке A (jc, j/, z), и вектора
638
АМ = {а—х, —у, аУЪ—г) вектор р = (рх, ру> рг) = [т X AM] дол¬
жен иметь положительную координату рг> так как вектор р дол¬
жен быть направлен в ту же сторону от полусферы S, что и нор¬
мальные векторы, определяющие ее верхнюю сторону. Вычисляя
рг, имеем, что
РН _(a“*)~F)= fl,> °’
т. е. полученная параметризация кривой Вивиани
L = {(x, у, z):x = 2acos%t, y = 2acosts\ntt z = 2as\nt, 0^^я}
является искомой.
Дальнейшее изложение § 2—5 использует понятие дифферен¬
циальной формы, опирающееся на определение и свойства косо¬
симметрической полилинейной формы из курса линейной алгеб¬
ры. Такое рассмотрение криволинейного и поверхностного инте¬
гралов второго рода включено в общие структуры геометрии и
теории интегрирования и широко используется в современной ма¬
тематике. Поскольку в некоторых учебниках изложение темы
«Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода» ве¬
дется без использования аппарата дифференциальных форм, то
в 1-м издании § 2*, 3*, 4* проведен анализ соответствующих по¬
нятий и разбор задач в такой форме. Параллелизм изложения
подчеркивается прямым повторением текста там, где это возмож¬
но, и разбором одних и тех же примеров.
Среди задач, помещенных в конце этой главы, задачи № 1—
35 посвящены непосредственным действиям с алгебраическими и
дифференциальными формами — они относятся сугубо к материа¬
лу § 2. Остальные задачи, начиная с № 36, — это задачи инте¬
грального исчисления; они решаются так же, как разобранные
примеры, и тем и другим методом, в зависимости от формы изло¬
жения темы «Криволинейный и поверхностный интегралы второ¬
го рода».
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В КУРСЕ АНАЛИЗА.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ. ОБЩИЕ
СВЕДЕНИЯ
А) Алгебраические формы
Напомним некоторые необходимые для дальнейшего факты из
курса алгебры.
Определение. Пусть X и Y — линейные пространства. По¬
лилинейная форма Ь:Хя-+У порядка цу определенная на упоря¬
доченных наборах (Ei, £2. •.-,£</) векторов из X и принимающая
значения в У, называется кососимметрической формой, если ее
значение меняет знак при перестановке любой пары аргументов,
т. е. L,(£1,..., ..., £j,..., * Z*(£i,...,£j,...,£4,..., £g).
639
В частности, если £i=£j при некоторых i и /, то независимо от
остальных векторов значение кососимметрической формы равно
нулю, следовательно, кососимметрическая форма, порядок кото¬
рой больше размерности пространства X, равна нулю на любом
наборе векторов (так как среди векторов, на которых она задана,
по крайней мере два вектора обязательно совпадают).
Например, если X — двумерное подпространство /?3, то вектор¬
ное произведение [SiX62] векторов Ъ^Х есть кососимме¬
трическая форма второго порядка со значениями в ортогональ¬
ном дополнении X. В самом деле, во-первых,
[tti+b)xb] = [bxb] + [!ixb]
и
&х (Ь+Ь)]-[ЬхЬЖЬ х~Ы.
т. е. векторное произведение линейно относительно как первого,
так и второго сомножителя и, во-вторых, fgi X^2] =—t[£2X'§i].
Вещественнозначную кососимметрическую форму порядка q
коротко будем называть ^-формой. Множество ^-форм является
линейным пространством.
Линейную форму естественно называть 1-формой.
Определение. Пусть Li, L2,..., Lq—1-формы. Внешнее про¬
изведение LjAL2A ... ALq есть ^-форма, которая на векторах
(£1.62.—.&<?) принимает значение
i-i (?t)
Ц (i.) ■
• Mb)
i-i A V • • A <S,) =
(I2)
^-2 (^2 ) • •
• (£2)
MW
MU-
• • МУ
Из определения следует, что справедливы равенства:
А ^2 • • • Л Li ... Д Lj... Д Lq = Lx Д L2 Д ...
... Д Lj ... Д Li ... Д Lqy
(Lx + L2) Д L3 Д La ... Д Lq = L, Д L3 ... Д Lq +
4* Д L9 Д ... Д Lq.
В силу линейности пространства q-форм всякий однородный
многочлен степени q от 1-форм есть ?-форма. Из свойств внешне¬
го произведения 1-форм следует, что внешнее произведение <7-
форм находится по правилам умножения алгебраических много¬
членов с добавлением условия сохранения порядка сомножи¬
телей.
Пример. Упростим выражение
(L, Д Lx—2Lj Д Ls) Д (2L2-4L8 + 3L4),
где Lj, L2, L3, L4— 1-формы‘.
640
Решение. Раскрывая скобки с сохранением порядка сомно¬
жителей, получаем, что
(L, Л 14-21, Л 1ЛЛ (2Li-4L, + 3L4) = 2I1 Л Lt Л I,-
-41, Д I, Д L.-4L, Д L4 Д Z.. + 8L/A I. А
+ 3Li Д L4 Д L4—6LX Д La Л L4.
Учитывая, что при перемене местами двух сомножителей внеш¬
нее произведение меняет знак, и, следовательно, внешнее произ¬
ведение, включающее два одинаковых сомножителя, равно нулю,
окончательно получаем, что
(Li Л U-2L, Д L8) Д (2L*~4La + 3L4) =
= —2 Lj Д Lj Д L4 + 4Lt AUAU + 4Li Д L3 Д L4
— 6LX Д Le Д L4 = 4Li Д Lj Д Lj 2Lx Д La Д L4 2L\J\ Lj Д L4.
Символом я*, будем обозначать оператор проектиро¬
вания пространства /?п на координатные оси, т. е. для х«(хь
...,*п)е/?п по определению я*(*)«=*<. Проекторы я*,
представляют собой простейшие 1-формы. Всякая ф-форма пред¬
ставляется в виде линейной комбинации простейших ф-форм —
внешних произведений 1-форм щ (однородным многочленом сте¬
пени q от я*):
- Л «V
Такое представление называется координатной записью или
записью в координатном виде формы L.
Из определения следует, что
Я.,ЛЯ|.Л... Л%(5ь Ь 6»)=*
fcu.fcu, • • • ||
Ьы.Ьм. • • • Ъа.1.
Ь = (5/.«. 1/.3 - Ы. !</<?•
Пример. Найдем значение 3-формы
<о=4я, А Я, А я,—Зя, А>чЛ я«+я, А я* Л Я. + 5я, А я, А я*
на векторах
ь = (1, о, 3, 0); Ь = (5, 3, 4, -3), Ь = (2, -1, 1, 2).
Решение. Так как
Я1 Л *4 Л Я*(Ь» £•» 6а) —
03
3 4
-1 1
= ~26,
641
Я1 Л лг Л n«(ii. £г. Ss) =
Я1 Л Я8 А Я4 (Si* £*• is) =
я» Л я» Л я« (Sit l*> 5s) ~
1 о о
5 3—3
2—1 2
= 3,
1 3 О
5 4—3
2 1 2
= -37,
0 3 О
3 4—3
-11 2
= —9,
то
(0= —104—9—37—45= —195.
Пример. Пусть [|i X £,]—векторное произведение векторов ^ =
= (£п> £и> In) s/? и = (£|j, |м, J,*) s R3.
Запишем в координатном виде 2-формы
Щ([1х X Ы), я,®1 X £,]). я,([5, X Ы).
Решение. Так как
«■хЬ|-(1Ь и
Ei а Еп
&28 £si I
Еп Еп
111 Ём
)•
то
"idfciX y) = ||ubal
I fell Ъ2Э I
С другой стороны, по определению
п2 Л яэ (5i* Ег)=
*a(£i) МЫ
Еп iis
яа(£а) яз(£г)
£аа Ёаэ
Следовательно, jix([Ei X E9]) = nt Д ji3(Ei, Еа)-
Аналогично получим, что
*t(l£i X la)) = л, Д я„ я,([£, х Ы) = Д ла.
В) Дифференциальные формы
Пусть область D лежит в Rn. Совокупность всех л-мерных век¬
торов, приложенных в точке x0&D, называют касательным про*
странством в точке Хо и обозначают TDXf. Каноническим базисом
в TDX' является базис е^хо), е2(х0), ...,еп(х0), где е{(х0)—век¬
тор, коллинеарный вектору е{ базиса еи е2,...,еп исходного про¬
странства Rn.
Пусть f^Cl(D)t DaRn. Тогда дифференциал df(x0) опреде¬
лен в каждой точке х0eD и является линейной формой
df (х0) = (*0) dXi + (х0) dx% + ... + -2L (дг0) dxn,
дхх дхг дхп
642
определенной на векторе смещения h = (dxYdx%, ... ,dxn)е TDX%.
При переходе от точки к точке в области D форма df(x0)t вооб¬
ще говоря, меняется. Таким образом, гладкая функция f:D-+R9
порождает поле линейных форм или 1-форм, определенных на
соответствующих касательных пространствах TDX, хе£). С по¬
мощью внешнего умножения от задания 1-форм можно перейти
к заданию ф-форм.
Определение. Дифференциальная форма порядка q (диф¬
ференциальная (7-форма) о задана в области DczRn, если для
каждой точки jceD задана ф-форма
<o(jc) : (TDX)*-+R.
Согласно определению дифференциал df(x) функции f:D-+R,
f^Cl(D)t есть дифференциальная форма первого порядка (диф¬
ференциальная 1-форма), заданная в области D.
Пусть в области DczR3 задано векторное поле A=(AXt Ayt Аг).
Такое поле порождает в D две часто употребляемые дифференци¬
альные формы:
а) если поле А рассматривать как силовое поле, то для мало¬
го вектора h€=TDx смещения от точки jc&D скалярное произведе¬
ние (А • /i) = i4jCn1(/i) + i4pji,(/i) + i4^i,(/i) дает величину работы по¬
ля А, отвечающей этому смещению. Поскольку в R3 h*=*{dx9 dy9
dz)t т. е. Jii(/i)*=dx, nt(h) = dy, n*(h) = dz, то
(A • h) = A^dx + Aydy+Azdz.
Дифференциальная 1-форма с*XA = Ajix + A^y + Ашйг, заданная в
D, часто называется формой работы векторного поля А\
б) если поле А рассматривать как поле скоростей установив¬
шегося течения жидкости, то для двух малых векторов h\&TDX9
/г2еГОх, xeZ), смешанное произведение <A-hrht> дает величину
объема жидкости, протекающей за единицу времени через парал¬
лелограмм, натянутый на векторы Л2.
Так как
(A-hf ft,) =AMAi X hJ+A'fhlhi. x x /4],
то, используя результат примера с. 232, получаем координатную
запись этой 2-формы на векторах hu h2
{А • Л, • А,) (Ахл„ Д п.+Л^я, Д яг + Агщ Д nj(hu Л,).
Поскольку пг(к) = йх, я,(h) = dy, ла(h) = dz, то
K) = dy t\dz,
я» Л (*i, hj=*dz Д dx,
JhAMAi. ht) = dx^dy.
Итак, окончательно
(A-hi- hi) = Axdy Д dz+i4ydz Д dx+i^dx Д dy.
643
Дифференциальная 2-форма со* = А^у Д dz + Aydz f\dx + Azdx Д
Д dy9 заданная в D, часто называется формой потока векторного
поля А.
По аналогии с трехмерным случаем для векторного поля Л—
Л2, ...,Лп}, определенного в области DaRnt формой работы
и формой потока часто называют соответственно дифференциаль-
п п
ные 1-форму Л,<^ и (л—1)-форму = Atdxx Д 4**Д
f=.i i-i
Д ... dxt,.. Д <1*л. (Знак ^ показывает, что именно этот со¬
множитель в данном слагаемом отсутствует.)
Внешнее произведение дифференциалов координат dxtlt ... ,
1 ^ ii < I* < ... < iqt является простейшей дифференциальной
Ф-формой. Представление дифференциальной (/-формы <о в виде
линейной комбинации
® «,(■*) A dxt,... Д
1<<I<IS<..
называется координатной записью, или записью в координатном
виде. Функции f^(jc) называются коэффициентами формы
ю. Порядком гладкости формы <о в области D называется наи¬
меньший из порядков гладкости ее коэффициентов. Множество
дифференциальных <?-форм в D с коэффициентами класса C°°(D)
обозначается Я« (D).
Пример. Приведем к координатному виду дифференциаль¬
ную форму
<a=(xtdx1 Д dXt+XfdX! Д dxt+xtdx1 Д dxt+x,dxt Д dx,+
Решение. По свойствам внешнего произведения имеем, что
a>=x\dxl Adxt/\ dxl + xlxtdxl f\dxt/\ dxx+
+ x4x,dxj A dx4 A dxx + xtxtdxt Д dx, A<£*i +
+ xtxtdxx Д dx4 Д dxx + x*t,dx, Д dx, A dxx+
+ xtxtdxt t\dxi/\dxl + xjxjdx, Д dxt Д dx, +
+ x^d^ A <*x, A + x|dxx A dx, Д dx, +
+xtxidxl Д dx, A dx, + xfdx, Д dx, Д dx,+
+x4x*ix, Д dx4 Д dx, + XjXgdx, A dx4 Д dx, +
+ VA A A dx.+x^dXj /\dxtf\dxti-
+ x%dXi Д dx4 Д dx,+x,x4dx, Д dx, Д +
644
+ x24dxt Д dx4 Д dx3 + xjx4dx, Д dx4 Д dx,-f
+ xtxldx1 Д dx2 Д dx4 + ххх^хг Д dx3 Д dx4 +
+ Д dx4 Д dx4 + x^dxj Д dx3 Д dx4 -f
+ xtx4dx2 Д dx4 Д dx4 + x^dx, Д dx4 Д dx4 =
= (Vi — 4 + ***«) A^jA(iJcs + (x2x4—x,x4 -f- -vcj) x
X dxx Д dx2 Д dx4 + (x1x2—xj + x^dxi Д dx, Д dx4 +
+ Д dx, Д dx4.
Выкладки упрощаются, если сразу учитывать, что внешнее
произведение, содержащее два одинаковых сомножителя, равно
нулю:
(x2dxt Д dx2 + x3dx1 Д dx3 + x4dxl Д dx4 +
+ x3dx% Д dx, + x4dx2 Д dx4 + х^х3 Д dx«) Д (x2dx, + XjdXj, +
+ xtdx3 + X|dx4) = x2x,dx2 Д dx, Д dx, + x2x4dx2 Д dx4 Д dxl +
+ xlx2dx, Д dx4 Д dxj + x|dxt Д dx, Д dx2-f-
+ x3xidxl Д dx4 Д dx2 + xjx,dx, Д dx4 Д dx2 +
+ x4x2dx, Д dx2 Д dx, + ^dxt Д dx4 Д dx, +
+ ^dXj Д dx4 Д dx, + x1x2dx, Д dx, Д dx4 +
+ xlxidxl Д dx, Д dx4 + x,x,dx2 Д dx, Д dx4 =
= (****—*» + ¥s) A dxt Д dx, -f (x2x4—x»*4 -f x,x2) X
x dx, Л d*a Д dx4 + (х,ла —xjj + x,x,) dxt Д dx, Д dx4 +
+ (2x,x,—xj + x,x,)dx2 Д dx, Д dx4.
Пример. Приведем к координатному виду дифференциаль-
ную форму
d(x[4xlx4) Л d(x\—xl + xl—X*).
Решение.
d(x4x3x=x1) Д d(x* —х* + х*— х*) =
= (4rJ х* х* x4dx, + Зх* x\ x| x4dx2 + 2x{ x^ x,x4dx, +
-f xjx|x|dx4) Д (2xjdxx—2x2dx2 + 2x3dx3~2x4dx4} =
= 6x^x2 x^x4dx, Д dx, + 4x*x*x,x4dx3 Д dx,+
+ 2х5хЗхЫх4 Д dx,— 8x|xjx|x4dx, Д dx,—
645
— 4x*lx<x3x,dx3 Д dx2—2x\xi2xjdxi Д dxs +
+ 8x3x3x3x4dxt Д dx, + бх4,x|x|x4dx2 Д dx3 +
+ 2x\x\x*dxi Д dx3—8дс**®х|х^дс,. Д dx4—
— 6x|x2x|xjdx2 Д dx4 —4x}x®x3xjdx3 Д dx4 =
= — 2x^x2x\xt (3x^+ 4дф</х, Д dx2 + 4x®x|xsx4 (2x|—x|) dxt Д dx,—
—2x^x|x| (x* + 4x2) dXi д dXj + 2x{x2 x,x4 (2x* + 3x|) dx2 Д dx, +
+ 2x{x2x2(x| + 3x42)dx„ Д dx4-2x|x3x8(x2 + 2x2)dxs Д dx4.
Пример. Вычислим значение дифференциальной формы
со = x,x4dx, Д dx2 + x3x4dx2 Д dx, + x^sdx, Д dx, + x3x2dx2 Д dx4
на паре векторов
6t = (l, 4, 1, 0) и Ь = (2. 0, 3, 1),
Ь, {,eW(l, 0, 2, -1).
Решение.
dxx Д dx2 =
Ell El2
?21 ?22
=
1 1 4
1 2 С
= —8,
dx2 Д =
£l2 Il8
Ъ22 ^23
=
4 1
0 3
= 12,
Д d*4 =
£ll £14
£*1 &U
=
1 0
2 1
= 1,
d*2 Д dx4 =
£l2 ?14
&22 ^24
=
4 0
0 1
= 4.
*1 = 1, х2 = 0, *3 = 2, х4 = — 1.
Следовательно,
со= — 1 .(-8)—2- 12 + 2- 1+0-4= —14.
Условимся под дифференциальной формой нулевого порядка
(0-формой) в области D понимать функцию f: D-+R.
Определение. Пусть функция /еС*ф). Дифференциалом
(внешним дифференциалом) 0-формы / называется 1-форма в D,
а именно, дифференциал первого порядка df функции /.
Определение. Если коэффициенты (/-формы
<° = £ Д,.., 19 (*) dx,, Л dx(, Л ... Д dxv
заданной в D, дифференцируемы в D, то
646
дифференциал (внешний дифференциал) d& формы со есть диф¬
ференциальная (q+ 1)-форма в D, определяемая равенством
d<o = £ d (а,,.» (х)) Д dxi, A dxt, А ... Л dx,q.
Пример. Найдем dto, где
<o = xfx|x4dx, A Л Лс* +
H-x2jc*x|rfje1 Л dx*—*i*3dx* A dx«-
Решение.
<*i> = d(x*xfx4) Л ^ f\dxt—d (х®х,х4) Д dx, Д dx,+
+ d(xfxtx*) Л dx, Л dx4—d(xfx|) Д dx, A dx4 = (2x,x§x4dx,+
-4- 2xjx#x4dxs + xjx^dxj Л dx, Д dx,—(3x*^x4dx1+x®x4dx,+
4- x®x,dx4) Д dx, A dx,+(2x,x,x2dx, + x2x|dx,+
+ 2x]x,xsdx#) A dx, A dx4—(3x|x|dx1 + 2x®xsdxe) A dx, A dx*=
= 2x2xsx4dx, A dx, A dx, + x*x*dx4 A dx, Д dx,—
—3x2lxixtdxl A dx, A dx3—xjx3dx4 A dx, A dxs+
4-xfxfdx, A <f*j A dx,+2xjx,xgdx, A dx, A dxt—
—3x*x*dx, A dx, A dx<—2x*xsdxa f\dxtf\ dx4 =
= —x*xex4dx, A dx, A dx3—2x\xtxtdxi A dx, A dx4—
—3x*x*dx, A dx, A dx4+x»x,dx, A dx, A dx,.
Если порядок гладкости формы © не меньше двух, то, как
следует из теоремы о равенстве смешанных производных, имеем
d(d<i>)~0.
Определение. Дифференциальная р-форма ю, заданная в
области D, называется точной в этой области, если существует
такая (р—1)-форма Ш|, заданная в D, что du>|-ч».
Из предыдущего равенства следует, что если гладкая форма
<d точная, то d©=d(do)i)=0, т. е. условие d<o*=0 необходимо для
точности гладкой формы.
Покажем, что это условие не является достаточным для точ¬
ности гладкой формы. В качестве примера рассмотрим форму
(D= xdy-ydx
Х* + У*
в области /)**=>{(х, у) : 1<х2+у2<2} (рис.102). Тогда форма ше
efi'(0) и
647
(х2 + у2) dx 2xydy 2хЧх
(•** + У*)1
— (jea + уг) dy + 2xydx + 2уЧу
■ X* + у2
(JC* + у4)’
-dx f\dy-
-Jt’ + y2
Ua +У2)2 U2 + !/2)j
Так как при хфО имеем» что d ^arctg — j
dy Д dx= 0.
xdy — ydx
a - = (o, а из yc-
*2-f У*
ловия dg=0 следует, что g=C, то удовлетворять условию dz=со
может только функция z=f(x, i/)-f С, где /(jc, г/) —гладкая функ¬
ция в D и
/ (*. «/>=
arctg (х, t/) е £>lf D, = {(х, «/): (х, i/)еД х > 0};
JC
arctg — + ft, (х, у) е £»„ D2 = {(х, у): (х, y)<^D, х<0}.
Покажем, что никакой выбор постоянной k не даст функцию /(х,
у)} непрерывную (и тем более, гладкую) в области D. Действи¬
тельно, так как lim /(х, у) = п/2 и lim /(jc, у)=—n/2-{-k9
х->СН-, i/>0 лг-»0—, £/>0
то для непрерывности / в точках интервала (1, У2) оси ОУ, ле¬
жащего в D, необходимо, чтобы k=n. Но тогда
lim /(jc, у)=—л/2, lim f (jc, у) = л/2 + k = Зя/2
*-*•04*» У< 0 дс—►О—. у< О
и / разрывна во всех точках интервала (—У2, —1) оси О У, также
лежащего в D.
Итак, хотя 1-форма ю = ——принадлежит C°°(D), т. е.
coeQ^Z)), и ^а>=Ю, jcgD, однако не существует гладкой функции
z: D-*/?— 0-формы в D, для которой Dz=(o.
648
Определение. Дифференциальная форма со, заданная в
области D и удовлетворяющая условию <ico=0, для всех x^D на¬
зывается замкнутой в этой области.
Теорема (лемма Пуанкаре). Если дифференциальная фор¬
ма замкнута в шаре, то она точна в нем.
Эта теорема является частным случаем более общей теоремы
Пуанкаре о связи свойств замкнутости и точности дифференци¬
альных форм, заданных в области D. В приведенной формулиров¬
ке взята простейшая область — шар. Общая теорема Пуанкаре
выделяет некоторый класс областей, для которых замкнутая диф¬
ференциальная форма, заданная в этой области, является точ¬
ной. Эти классы областей для пространств R2 и Rz будут рас¬
смотрены при изложении интегрального исчисления дифференци¬
альных форм.
Пусть область U лежит в /?ш, область V лежит в R71. Пусть
задано отображение <p:U-+V и функция /: V-W?. Определим
операцию f-np*f соотношением
(Ф*/) (и) = f (ф (и)), и<=и.
Символ <p*f, в отличие от обычной записи композиции функций,
показывает, что мы имеем дело с преобразованием множества
функций, определенных на V, в множество функций, определен¬
ных на (/, т. е. с функционалом, определенным отображением <р.
Пользуясь введенной выше терминологией, скажем, что отобра¬
жение <р:£/-*-К порождает отображение <р* : й°( V)-*Q0(U), пре¬
образующее 0-формы, заданные на V, в 0-формы, заданные на U.
Если ф: U-+V — гладкое отображение, то для каждой точки
u^U определено соответствующее отображение касательных про¬
странств TUu-+TVvs=nu). Каждой ^-форме со, заданной вК, тогда
можно сопоставить ^-форму ф*ю, заданную b*iС/, соотношением
ф*С0 (о) (vl( v2 \) = со(ф(и))(ф» vlt <p'(u)va ф' (v) v„).
Итак, каждое гладкое отображение ф : U-+V порождает отоб¬
ражение ф* : Q^(У)-*1Й«(60, преобразующее ^-формы, заданные
на V, в (7-формы, заданные на U. Это отображение называют пе¬
реносом форм с V на U.
Основные свойства отображения ф* : Q4(V)-+Q<i(U)
1. Ф*((01 + С|)2)=чр*((1)1) +ф*(ш2)-
2. ф* (Рко) = Алр* (со), ^efi.
3. ф* (а(у)ш) = а(ф(1;))ф# (со).
4. (t|? ° Ф)ф = ф* о г|)*, ((*ф(ф))* = ф* (ф*)).
5. фф (dco) = d^\o).
6. Ф '(dvtt Д dvi, Д ... Д dvr) =
- s
I </»</*<•..<;а
д (Vf vi ... vt )
Ни, и, и,) - duli A du/. ...du,q.
649
7. Если форма <о записана в координатном виде
<°= Е Л dvi, л ... A dv,,
1
то координатная запись формы ф*ш получается из координатной
записи с» прямой заменой переменных и=ф(ц) с последующим
преобразованием в соответствии со свойствами внешнего произ¬
ведения.
Пример. Пусть область U лежит в R3, область V лежит в
отображение ф : U-+V задается формулами
D^U^UjU,, Vt = U\—U*+U*,
f3 = u{ + “2 — “з- Vi=ulu22ut, vt = u1uiul;
дифференциальная форма
to = vt dv, Д dv2 Д dv3 + (v2 + v3) dv1 Д du, A dvt +
+ 32vt dVi A dvt A df 6+(«г + »*) *>i A A *>4—
—vldvt A A du4 + (us—v2)dvt A dt), A dt;»
задана в V. Найти форму Ф*со, заданную в U.
Решение.
dvL = 2ulutut du, + u*u, du, + u*u, du„
dt’, = 4u® du,—4u* dut + 4 u\ du3,
dvt = 4 ы® dut + 4u^ du, — 4u\ du3,
dvt = u$u, du, + 2и1игиг du2 + u,u* du,.
do,=u,u| d«! -f UjUl du, + 2u1ujut du8.
Отсюда получаем, что
dv, A df2 A dva =
2и,щи3 u]u3 u\u^
4u* — 4u|
4u*
4u?
■4u| —4u|
d«i A du, A du, =
= 32u* (u< + u\) dut Adu,A dut,
2ихщи3 и |U, u*u,
dt>i A dt\, A dvt =
u\ut 2 u,u,u, UjU*
d«i A du, A <*“» =
= 4u=u2u,(3uJ + u< + u«)du, A A du3,
650
dV\ A dut Д dt>» =
2u,u2u, u^uj u2Uj
им
2и^и, щи*
ли1
u,ui
•П“з ^i^UjUj
= 4ы2ы|ы,(и«—u< — 3u<)dux Д du, Д du3>
d«i A daj Д du3 =
4u3 —4u|
4u|
4u*
4u| —4u|
dvt Д dvs Д dt>4 =
u|u, 2uluJu, u,u*
= 32 u{u2 (u* + 2uJ) du, Д du, Д du„
daj Д dua Д du, =
dua Д dv, Д dvt =
4u^ —4u*
4u?
4u®
4u§
-4u®
“*«3 “lU3
= 32u{u3 (2u« + u«) duj Д du2 Д dug.
dUj Д du, Д du,=
Подставляя выражения переменных t>i, u2, ^з, u4, ^5 через пере¬
менные Ui, a2, ы3 в коэффициенты формы со и заменяя простейшие
дифференциальные 3-формы переменных v]y v2, v3, v4, v5 получен¬
ными выражениями через 3-форму du\^\du2/\duzy окончательно
получаем, что
со = [u^luj • 32 (и\и\ + и\и\) + 2u| (12u|u|u| -f- 4u;u6u, -f- 4u«u2«3) +
+ 32uluiu% • Au*u\u\ + 2u\ (4u*u\u3— 4u*u®u, — 12и*и^ф —
—«»(32u}u» + 64u|ujuj)+2 (u*—u<) (64u}u*u3 + 32u«uf)] x
Xdu, Д dus Д dus= 16u*ue[u*u*—2u*u*uJ-f-8u* + 4u*u< —
—4u«] du, Д du* Д du8.
Если порядок <7 формы ш, заданной в области VczRn, больше,
чем размерность области UczRm, то для любого гладкого отобра¬
жения ф: U-+V форма ф*ш будет нулевой. С другой стороны, ес¬
ли ф: U-+V— диффеоморфизм, т. е. существует обратное глад¬
кое отображение ф~*: V-+U, то отображения ф* : Qp( V)-+Qp(U) и
(ф~!) * : Qp(^/)-hQp(V) взаимно обратны, т. е. отображение ф* :
: Qp(V)->-Qp(£/) биективно.
Определение. Пусть SczR3 — простая гладкая поверх¬
ность. Дифференциальная 2-форма ш задана на S, если на векто¬
рах плоскости TS8t касательной к 5 в точке s, определена 2-фор¬
ма со.
Если поверхность 5 кусочно-гладкая, то дифференциальная
2-форма задана на если эта форма задана на каждой из глад¬
ких составляющих S.
651
Примером дифференциальной 2-формы, заданной на простой
гладкой поверхности 5с:/?3, может служить одна из координат
вектора нормали к S, если этот вектор определяется как вектор¬
ное произведение двух неколлинеарных векторов соответствую¬
щей касательной плоскости.
Пусть гладкая поверхность Sc:/?3 лежит в области DaR3 и
дифференциальная 2-форма со задана в D. Тогда для любой точ¬
ки seS имеет место включение TSsczTD6 и, следовательно, мож¬
но рассмотреть сужение формы (о на TSs. Такое сужение пред¬
ставляет собой форму, заданную на S; эту форму называют су¬
жением со на S и обозначают u)|s. Если S={i<p(u, v), (и, v)^0}—
параметрическое представление поверхности S, то можно сделать
перенос <р*(о и cp*o)|s форм со и o)|s на U, при этом формы <р*(о и
<p*G)|s тождественны. Поскольку отображение qp' :TU{UtV)-+TS9
есть изоморфизм, то можно переносить формы как с S на [/, так
и с U на S; поэтому формы на гладкой простой поверхности обыч¬
но задаются в области изменения ее параметров.
Точно так же определяется задание дифференциальной 1-фор¬
мы на кривой LczR3 и ее перенос на область изменения парамет¬
ра. Покажем это на примере.
Пример. Найдем сужение формы u>=y2zdx—xyzdy + xz*dz на
коническую винтовую линию х = ae-*cost, y = aer~t sint, г = аегг
(а > 0).
Решение, dx =а(—t?~'cos/- £"'sin t)dt,
dy = a(e~tcost — e^is\nt)dt, dz= —ae-*dt.
Следовательно,
(o= —a4e~3t sin2t(eri cos t-j-e-* sint) dt—
—a4e~3t sint cost (е~1 cos t —e~* sin /) dt —
—aie~zt cos t е~1 dt= — alerAt (sin t + cos t) dt.
Пример. Найдем сужение формы со = xy dx Д dy-\- yz dy Д dz +
+ xzdz f\dx на конус x = uv, y — u2 + v2, z=u2—v2.
Решение. dx = vdu + udv, dy = 2uda -f- 2vdvt dz = 2udu — 2vdv.
Следовательно,
dx A dy =
V U
2и 2v
du Д dv = 2 (iv2—u2) du Д dv,
dy Д dz = I ^ I dLl t\dv— — 8uv du Д dv,
dz f\dx =
2 и —2v
V и
du Д dv = 2 (u2 + v2) du Д dv
(o = 2uv (u2 + v2) (v2 — u2) du Д dv — (u4 — v4) Suv du Д du +
-f 2uv (u2 — v2) (u2 v2) du Д dv= — 8uv (a1 — y4) du Д dv.
652
С) Интегрирование дифференциальных форм. Ориентация
пространства R71. Простое ориентированное многообразие
в Rn. Интеграл по многообразию
Множество базисов в пространстве Rn разбивается на два
класса эквивалентности таким образом, что определитель матри¬
цы перехода от базиса одного класса к базису того же класса по¬
ложителен, а к базису другого класса отрицателен. Эти классы
эквивалентности называют классами ориентации базисов.
Определение. Ориентированным пространством Rn назы¬
вается пространство Rn с фиксированным классом ориентации
его базисов.
Поскольку класс ориентации базисов определен указанием
одного из принадлежащих ему базисов, то ориентированное про¬
странство Rn задается как пространство Rnat.at ап с фиксиро¬
ванным базисом а\у а2,..., ап. Для краткости пространство Rn со
стандартным базисом elt е2,...,еп будем называть просто ориенти¬
рованным пространством Rn. Базис фиксирован, когда заданы
составляющие его векторы и их порядок. Базис alt..., а>,..., а„...
...,ап, полученный из базиса аи ...,аь ..., ап перестановкой
любой пары векторов, принадлежит другому классу эквивалент¬
ности, т. е. пространства R%t ап и R2t aj ап ори¬
ентированы противоположно.
В одномерном случае базисами разных классов ориентации
являются ненулевой вектор а и противоположно направленный
вектор >м, Х<0. Геометрически, задать ориентацию на промежут¬
ке <а, b>^R—это указать, проходится ли этот промежуток слева
направо или справа налево, т. е. указать начальную и конечную
точку движения по промежутку. В пространстве Rn (л>2) про¬
стейшим методом перехода от одного класса ориентации базисов
к другому является перестановка векторов стандартного базиса.
В двумерном случае, переставляя векторы базиса, получаем
два противоположно ориентированных пространства R2xy и R\x.
В трехмерном случае имеется шесть перестановок xyzt yzx% zxyy
xzyt yxz, zyx векторов базиса и шесть ориентированных про¬
странств разбиваются на два класса Rjcyz, Ryzxt RzXy И Rxzyt Ryxx*
Rxyx’ таким образом, что пространства в одном классе ориенти¬
рованы одинаково, а ориентация любой пары пространств из раз¬
ных классов противоположна.
Определение. Интеграл от n-формы to=f(x)dxi/\dx2/\...
Если U и V— области в /?п, то диффеоморфизм (регулярное
отображение) <p: U-*-V задает переход от базиса duXy du2,...9dun
к базису dvь dv2idvn. Рассматривая эти два базиса в /?п, ви¬
дим, что отображение <р сохраняет ориентацию Rn, если det (<р')>
... /\dxn по области DczRn обозначается
и определяется ра-
D
венством
653
>0, и изменяет ее, если det(<p')<0. При этом y*(dv\ f\dv2f\ ...
... Adun)=det(9')duiAdu2A ... Дdun.
Формула
j" f(x)dx = J / (ф (/)) det (ф') dt
Dza(f>(Dt) Dt
замены переменных в кратном интеграле при условии, что диф¬
феоморфизм y:D\-+D сохраняет ориентацию Rn (т. е. det(<p')>
>0), получается формальной подстановкой х=ф(/), и ее можно
записать в виде J со=|ф*(о. В таком виде эта формула Cnpa-
^D) D
ведлива и для диффеоморфизма ф, изменяющего ориентацию,
Ь а
т. е. если det(9')<0. В частности, формулу \^f(x)dx =—§f(x)dx
а Ь
можно рассматривать как замену переменного ф:х-*(—jc), ме¬
няющую ориентацию пространства R*.
Определение. Множество Mcz.Rn называется простым
гладким многообразием порядка qy если М есть образ жордано-
вой области (или ее замыкания) DczRя при гладком невырож¬
денном отображении ф : D-+Rn (т. е. феС1 (Л) и ранг матрицы
Якоби ф равен q). Запись Af={<p(jci, jc2, ...,Jcg), (jci, jc2, ...,Jcq) eD}
называется параметрическим представлением М, область D — об¬
ластью значений параметров М.
Определение. Гладкие невырожденные отображения ф:
:U-*-Rn, U^Rv, и ty:V-*Rnt VaRv, называются эквивалентными,
если существует такой диффеоморфизм f:U^Vt что ф(и) =
=^(/(w)) Для всех u^U.
Если ф и -ф — эквивалентные отображения, то выражения
{ф(ыь U2l...tUQ), (Иь U2,...tUg)(=U} и {\|> (Ui, V2, Vq) , (VU V2t ...
—,Vq)> (^ь v2t...tvq)^V] являются различными параметрическими
представлениями одного и того же простого гладкого многообра¬
зия М. Диффеоморфизм /, связывающий отображения ф и г|>, на¬
зывается диффеоморфизмом преобразования параметров, или,
короче, преобразованием параметров.
Понятие многообразия есть обобщение понятий кривой и по¬
верхности. Именно простая гладкая кривая L есть многообразие
первого порядка, простая гладкая поверхность 5 — многообразие
второго порядка.
Пусть
м = {ф ("ж. «2. • • •. “«). («1. и2, Uq) €= U} и
M = v2 v„), (vu Vt,
— два различных параметрических представления одного просто¬
го гладкого многообразия порядка q. Отображение /=^”4 —
диффеоморфизм преобразования параметров, следовательно, яко¬
биан /, det(/'), не меняет знака на U. Все возможные парамет¬
рические представления разбиваются на два класса эквивалент¬
654
ностей так, что якобиан / для представлений одного класса поло¬
жителен, а для представлений разных классов отрицателен. Та¬
ким образом, на простом гладком многообразии М так же, как в
пространстве /?*, определяются две ориентации.
Определение. Простое гладкое многообразие М с выбран¬
ной (заданной) ориентацией называется ориентированным про¬
стым многообразием.
Ориентация многообразия М задается порядком векторов ба¬
зиса, или, что то же самое, порядком записи координат в области
значений параметров. Таким образом, выражения
{ф(«„ uQ), («j, иг ии .... и, u„)ezU}
И
{ф («1 и„), («!, иг и,, щ ич) <= U)
являются записью одного и того же многообразия с противопо¬
ложными ориентациями.
Определение. Пусть в области DczRn задана дифферен¬
циальная ^-форма о) и ориентированное простое многообразие по¬
рядка q : М={ф(ыь..., uq), (иь ...,uje£/} (MczD). Тогда интеграл
от о по М обозначается | со и определяется равенством f (о =
м м
= [ <р\о, где ф*о>— перенос формы со, порожденный отображе-
и
нием ф.
Из соотношений переноса форм и замены переменных в крат¬
ном интеграле следует, что величина интеграла jco не зависит от
выбора параметрического представления многообразия М, т. е.
определение этого интеграла корректно.
Пример. Вычислим
f xtxtdx, Д dxt Д dx7—xlxidxt Д dxe Д dx,-f х{хгdx, Д dxx Д dxtt
м
где
M = {x1 = u\u2u3f л:, = м1и*и„ х^и^и*, хА = и\иъ, xb = u]u2t
X^ — UiU^t Xf^UtU^, Xg = U2U^f X9 — U^U9t (Ui, U2> U$) EE
e Ло.о,о),(1.М)}» т-e- i= 1, 2, 3.
Решение. Делаем перенос ф*(о формы
со = х2х9 dx1 Д dxв Д dx7 —XjX 4dx2 /\dx9/\ dx%+xxx% dx3/\dxAf\ dx%
с R9 на /(o.o.o),(I.l.i), порожденный отображением ф:/?8-*-/?9, кото¬
рое задает многообразие М; ^ :хх = и\и2иь% xt^uxu\ub9 =
хА = л'в = а1м^ = х9=*и\иг. Вычислим
последовательно слагаемые ф\о:
655
*»*. dx, Д dxbf\dx^ = uyu\ul
2и,иги3 u]u3 и\иг
3u*o, u* О
2u,u, u,u, UjUj
3u, Uj О
u| О 3u,u§
= —4u«u«u£du, Д du, Д du3,
x,xldx1 /\dxt/\ dxe = u\u2u23
«з 0 3u,u’
do, A dut Д du,=
u*u, 2u,u,u4 4,11%
u\ Ъи,и\ О
О и» Зи,и*
и, 20,0,0, и,и,
и, Зи,и£ О
О и? Зи§
= 4u*u|u| dtii Д do, Л <&*•
= н«и«и|
du,[\dUb[\ do, =
*i*» dx3 /\ dxt f\ dx, = u*u*u|
u,u| uxu| 2u,nau3
3о*ы, 0
0,0, o,o, 2u,u,u,
3u* 0 uf
О Зо» «;
О Зи^ и*
du, Д du, Д du, =
= 12u«u«u*du, A <*u, A <*“»•
Следовательно,
<р\й= 4и*и*и§ dux Д Д dw8.
Итак, по определению
JXjJt.dx, A a dx7—xlxtdxt Д dr, Д dx8+
Af
+-V»dx9 h dxt f\ dxt= J 4u«u«uJ dut
'(O.O.OMM.l)
и по определению
^ 4u«u«u|do, Ado, Д du,=
'(0.0.0).(I,!.I)
656
do, Д do, Д du,=
dUiA du, A du,=
d«i A 4u, A <*“»=*
Д du, Д du,
= J ^u\u\u\duydu2duji =
1(0,0,0), (1,11)
i i i
- ^u\du^u\du^u\dui = 4-1 • \ ■ 1 = ± .
0 0 0
Наметим, что обобщая понятие касательной плоскости к поверхно¬
сти, дается понятие касательного пространства к многообразию.
Определяются также понятия дифференциальной формы на
многообразии и сужения дифференциальной формы из области,
содержащей многообразие, на многообразие. Но поскольку прак¬
тически всегда мы имеем дело с формами, определенными на об¬
ласти, включающей рассматриваемое многообразие, то на этих по¬
нятиях останавливаться не будем.
§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА
Простая гладкая кривая
L = {r{t), t е \а, Ь\, г<=С' \а, Ь\, \г,\* 0),
как уже говорилось, является простым гладким многообразием
первого порядка. Как многообразие первого порядка кривая L ори¬
ентируется заданием ориентации в области значения параметра /.
Область значения параметра t — отрезок; ориентация fa, Ь\ этого
отрезка соответствует ориентация ЛВ, А = г(а), В = г(6), кривой L,
а ориентация [Ь, а] — ориентации ВА кривой L. Таким образом,
понятие ориентации простой гладкой кривой L как одномерного
многообразия совпадает с введенным в § 1 понятием ориентации
кривой. В дальнейшем под термином «ориентированная кривая L»
будем понимать выбор ориентации на L в обоих смыслах.
Определение. Пусть L — кусочно-гладкая ориенти¬
рованная кривая и L , 1 < д < Q, — простые гладкие ориентиро-
ианные кривые (простые гладкие ориентированные многообразия)
без общих внутренних точек (неперекрывающиеся), составляющие
L, т. е.
О
L- и V
д- 1
Интеграл от 1-формы со по ориентированной кривой L или кри¬
нолинейный интеграл второго рода обозначается Jco и определяет-
L
ел равенством
- £|».
L Я =tLf
657
Определение криволинейного интеграла второго рода по ку-
сочно-гладкой ориентированной кривой корректно, т. е. его вели¬
чина не зависит от способа представления кривой L в виде объ¬
единения простых гладких ориентированных многообразий (про¬
стых гладких кривых La).
Основные свойства криволинейного интеграла второго рода
1. Jo)=— j (о (направленность интеграла).
Хв ва
2. [а1(о1 + ааша = а1 + f со,, где ах и а,—постоянные (ли-
L L) L
нейность интеграла).
3. Если L — A~B\}ErC, то J со = j со+ J со (аддитивность инте-
L А~В ВС
грала).
4. Если форма со точная, т. е. co = d/(Af), то
J ® = /(В)-/(Д).
а' в
В частности, для контура L и точной формы со имеем |со=0
L
(независимость интеграла от пути интегрирования).
Обратно, если для любого кусочно-гладкого контура LczD
верно равенство Jco=0, то форма со точна в области D.
5. Пусть L — ориентированная гладкая кривая, T«=*{cosa, cosp,
cosy} — единичный вектор, касательный к L и направленный со¬
ответственно ориентации L, и со = ах dxx + a* dx2 + а9 dxz. Тогда
\ со = \ (aj cosa+ Ojcosp + a9cosy) ds
(связь криволинейных интегралов первого и второго рода).
Пример. Вычислим
5 (tf + 2xy)dx-j-(x* —2ху) dy,
Хв
где АВ — дуга параболы у=х2 от точки А( 1, 1) до точки В(2, 4).
Решение. Кривая АВ есть простое гладкое ориентирован¬
ное многообразие первого порядка: АВ=(х=х, у*=х2, хе(1, 2)).
Делаем порожденный отображением <р: (1, 2)-W?2: x=xt у=*х2 пе¬
ренос формы &=(y2+2xy)dx+ (х2—2xy)dy на промежуток (1, 2).
Так как у=х2% dy=2xdxt то ф*о>— (xt + 2xz)dx+ (х2—2х3)2xdx=*
658
= (4jc3—3xA)dx и по определению криволинейного интеграла вто¬
рого рода
г
J (у* + 2 xy) dx + (x*—2 xy) di/ = j (4х*—Зх<) dx = j-.
/Г в |
Пример. Вычислим
£ (ху ■+• х* + у*) dx + (х1 — уг) dy,
L
где I — контур треугольника ОЛВ: 0=^(0, 0), Л—(1, 2), В=(0, 2)
с положительным направлением обхода (см. рис. 103).
Решение. Кривая L составлена из трех ориентированных
гладких кривых: отрезков ОЛ, АВ, ВО. Запишем каждый из них
как ориентированное многообразие:
0A = {x = xt у = 2х, х€=(0, 1)};
Л£ = {* = *, у = 2, хе(1, 0)};
В0 = {х = 0, у = у, уев (2,0)}.
Обозначим сужение подынтегральной формы со= {ху + х2+y2)dx+
+ (х2—y2)dy на соответствующие отрезки через а)0а, содв, о>во;
тогда на отрезке ОЛ имеем dy=2dx и —6x2)dx=x2dx
на отрезке ЛВ:*/*/=*0 и <оав=(*2-1-2л:+4)^дс на отрезке £0:djt=0
и 0)^0=*—y2dy. Следовательно,
1 о
J (0+ $о) + [со= f x2dx+ [ (x9 + 2x + 4)dx +
t ОА АВ ВО О Г
o' 1 2
+ J( — y*)dy= — f (2x+4)dx + JVdy = —7/3.
2 0 0
659
Пример. Вычислим
] ydx—xdy,
L
где L — астроида х2/3 + у2/3 =а2/3 с положительным направле¬
нием обхода (а>0).
Решение. Запишем астроиду в параметрическом виде: х^
=acos3/, у=а sin3/, при этом положительному направлению об¬
хода астроиды соответствует изменение / от 0 до 2я. Итак, L—
={jt=acos3/, */=asin3/, /&[0, 2я]} есть запись астроиды как ори¬
ентированного многообразия. Так как
dx= —3a cos2 / sin/d/, dy — За sin2 /cos/,
ydx—x dy = (— 3a2cos2 / sin4/—3a2cos4 / sin2/) dt =
= —3a2cos2/sin21 dt,
TO
2л
Г ydx—xdy= —3a2 f cos2/sin2/dt = —12 a2 — Г ^3/2^ ——- =
J J 2 Г (3)
L 0
—3jia2
~ 4
Пример. Вычислим
j1 (y + x)dx—(x—y)dy,
i.
где L — петля кривой r=a cos Зф, пересекающая полярную ось, с
положительным направлением обхода (декартова и полярная си¬
стемы координат совмещены) (а>0).
Решение. Запишем уравнение кривой L в параметрическом
виде:
х = a cos Зф cos ф, # = асо5 3ф5Шф.
При этом положительному обходу заданной петли соответствует
изменение ф от —я/6 до я/6. Итак,
L= {х = асо5 3фсо5ф, (/ = асо5 3ф5Шф, фе[—я/6, я/6]}
есть запись кривой как ориентированного многообразия. Так как
dx = —a (sin2ф4-2 sin 4ф) dy, dy = a(2cos 4ф—cos2ф) dy,
(х 4-y)dx — (x—у) dy = — a2 cos Зф (cos ф 4- sin ф) (sin 2ф 4-
4- 2 sin 4ф) dy — а2 соs Зф (cos ф—sin ф) (2 cos 4ф—cos2 ф) ^ф =
= — а2с05 3ф(6$т3ф4-2с05 3ф)4ф,
660
то
п/в
^(x+y)dx—(x—y)dy= — ^ а*оо$3ф(б8!п3ф+2со8 3ф)^<р =
L —Я/в
я/в
= —ав J (l-f-cos6<p)rf<p =
—я/в
Пример. Вычислим
^ zdx+2xdy—ydz,
где — кривая
х*+у* = 2вх, аг = ху, г>0, Д = (0, 0, 0), В=(2а, 0, 0) (а>0).
Решение. Так как на кривой имеем дс>0, г>0, то и у>
>0. Следовательно, кривая ЛВ может быть параметризована
следующим образом:
х=х, у=У2ах—х*, z= — Y2ax—xi, же[0, 2а].
а
Запишем АВ как ориентированное многообразие
АВ= |х=х, у=У 2ах—Xs, z =—У2ах—лс\ х<= (0, 2а] j.
Тогда
dv —* dx. dz= (-{°-*1х + J^E*L I dx=
3ax — 2x>
а Yiax—j? (*X'
Делая перенос формы, получаем, что
qp*CD =s — Y2
а
Следовательно,
в у2ах—хя а
2а
^ zdx+2xdy—ydz — ^ *~а У а*—(х—a)*dx +
Xb о
+Ya*-(x-a)*dx+2ya*-(x-a)*dx — dx-
661
Заметим, что при этой параметризации функции у(х) и z(x)
не являются гладкими на (0, 2а), так что формально мы здесь не
имели права применять рассмотренные выше соотношения. Но,
как уже не раз отмечалось в аналогичных ситуациях, если в этих
соотношениях вместо интеграла Римана появляется несобствен¬
ный абсолютно сходящийся интеграл, то они остаются в силе.
Этим утверждением будем пользоваться и в дальнейшем.
Можно параметризировать кривую АВ и так, чтобы все функ¬
ции были гладкими. Например, положим
x=a(l+cos/), y = asin/, z = asin/(l-fcos/).
Тогда точке Л=(0, 0, 0) отвечает значение /=я, точке £*»(2а, 0,
0) —значение /=0; делая перенос формы, получаем
<р\о = а2 (—sin2/—sin2 /cost + 2 cos/ + 2 cos21—sin t cos/—
— 2 sin / cos2 / + sin8 t)dt = a2 [cos t (2—sin21—sin t) -f
+ sin / (1 —2 cos2 0 + 3 cos2 /— 1] dt.
Следовательно,
+ (2cos2/—1)(—sin/) + —cos 2/ + — ] dt =
2 2 |
Пример. Вычислим
Г — ydx + xdy
t x'+yt ’
где L — окружность x2 + y2=a2 с положительным направлением
обхода (a>0).
Решение. Запишем уравнение окружности L в параметри¬
ческом виде: x-=acos/, у—a sin/, при этом положительному на¬
правлению обхода соответствует изменение / от 0 до 2я. Делая
о
перенос формы, получаем, что <р*(о
тельно,
a* sin* / + а* cos* t
а*
dt. Следова-
2л
2л
Полученное равенство еще раз показывает, что замкнутая в
области D: 1— <ха + ^а<2а>) форма = (См.
[2 J
с. 248)) не является точной, так как в противном случае интеграл
LczD и в силу свойства криволинейного интеграла второго рода
(см. с. 248).
Пример. Найдем функцию f: Rz-*-R, если
df = (</+г) dx + (г + х) dy + (х+у) dz.
Решение. Поскольку точность формы
<* = (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz
дана в условии, то в силу свойства 4 криволинейного интеграла
второго рода (см. с. 248) имеем
В этом равенстве символ АВ обозначает произвольную кусочно¬
гладкую кривую, не выходящую за пределы той области, в кото¬
рой (D=*df. В данном примере не дано ограничений на значения
х% у% z и форма о является гладкой на всем пространстве /?3, по¬
этому можно считать равенство сb*=*df заданным всюду в /?3. Точ¬
ка А выбирается произвольно, — положим Л—(0, 0, 0). Так как
равенство d/«=<D определяет функцию / с точностью до произволь¬
ного слагаемого, то значение f(A) выбирается произвольно. В ка¬
честве кривой АВ при решении задач этого типа берется ломаная,
составленная из отрезков, параллельных осям координат. Такой
выбор обусловлен тем, что на таких отрезках все координаты,
кроме одной, постоянны и, следовательно, их дифференциалы
равны нулю, поэтому сужение формы а на эти отрезки получает¬
ся наиболее просто. Итак,
AB = AM+MN+NB,
где Л = (0, 0, 0), Af = (x0, 0, 0), AJ = (*0, у0, 0), В = (х01 у01 г0). Обоз¬
начая ©1^, (й\МАГ, о)|дю сужение формы ю на AM, MN, NB соот¬
ветственно, получаем, что
MN — Х0dy, ю|нв — (*0 + Уо)
н, следовательно,
должен был быть равен нулю в силу того, что
/(*о. г/о. 2„)=f(B)=f (А)+ ^ о.
663
[ Ш= С Ш + J CD+ Г ш=\(Мдс+ [ JCorfi/ + ^(x0 + y0)dz =
Jtb AM MN NB О о О
= Xo0o + XoZo+l/()Zo.
В силу произвольности точки (хо, У о, z0) получаем, что
/(*, у, Z)=Xf/ + XZ + 0Z + C,
где С — произвольная постоянная.
Пример. Найдем функцию f: R*-*~R, если
является определенной и гладкой в области D, замыкание кото¬
рой не пересекается с плоскостями у—О и z—О, и, следовательно,
функция f определяется в точках (х, у, z), не принадлежащих
этим плоскостям. Примем для определенности, что у> О и z<0.
В качестве начальной возьмем точку Л—(0, 1, —1), тогда для
любой точки Д=*(х0, уо, 2о), Уо>0, 2о<0, ломаная AMNB, где Л1—
— (О, 1, Zo), tf=(0, уо. 3>), лежит в области гладкости формы со.
Следовательно,
В силу произвольности точки (х0, уо, z0), ^о>0, Zo<0, получаем,
что
Если дифференциальная 1-форма от п переменных со =£ Д|(х) X
i-i
X dX| точна, то функция /: /?"-►■/?, удовлетворяющая условию
rf/—(о, находится по такой же схеме. Если / — брус в /?л и
Решение. В данном примере форма
где С — произвольная постоянная.
л
664
в /, то для любых двух точек
А - (Гр У2> ••-л)е/ и в-(*,, *2» ••••
имеем равенство:
ДХ\, дг2, ..., хп) -Л^) - /И) + { *i('p Л л) +
У\
Х2 xi
+ J М*Р *2’Л -.Л)Л2 + + { */(*Р *2’ — **-!• *Р
^2 Л
Л+Р •••• л) dti + ... + J (*р *2» •••> *л-Р О dtn-
Уп
Пример. Найдем функцию f: Rs -+ R, если
<// - (2хухг + дг?) dxy + (*? - 2*2х3) dx2 +
+ (2*3*4 - *2) dxz + (х\ ~ 2*yr5) dx4 + (2*^ - дф </r5.
Решение. Положив Л — (0, 0, 0, 0, 0), получаем, что
х\ х2
/(дг,, дг,. *3> х4, xs) ”/(/4) + Jo ■ dt, + jx]dt2 -
0 0
Jfj *4 *5
~fxjd/3 + J x\dt4 + J(2*,/5-*4)a75 -
ООО
” х]хг - х]хг + *3*4 - x]xs + дг,*?.
Отсюда следует, что
/(*,, х2, Ху *4, *5) - xfx2 - х]х1 + х]х4 -*4*5 + *,*5 + С,
где С — произвольная постоянная.
§ 4. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА
Простая гладкая поверхность
S — {г : г — г(и, у), (и, и) е D), Dc^reC1 (D), [ги х rJ^O,
как уже говорилось, является простым гладким многообразием
второго порядка. Как многообразие второго порядка, поверхность
S ориентируется заданием ориентации в области значений пара-
665
■метров —области DaR2. Записью поверхности 5 с противопо¬
ложными ориентациями являются выражения
S = {г : г = г (и, v), (и, d)gD)
S = {r:r= г(и, у), (v, u)^D}.
Поставим в соответствие ориентированной поверхности S век-
параметров (и, и) или (vf и) взаимно однозначно определяет вы¬
бор поля iV или N, то понятие ориентации простой гладкой по¬
верхности как двумерного многообразия совпадает с введенным
в § 1 понятием ориентации поверхности. Если S — простая глад¬
кая поверхность, то под термином «ориентированная поверхность
S* будем понимать поверхность 5 с фиксированной ориентацией
как в том, так и в другом смысле. Кроме того, будем пользовать¬
ся введенными в § 1 понятиями ориентированной кусочно-гладкой
поверхности, положительного обхода контура на незамкнутой ку¬
сочно-гладкой ориентируемой поверхности и терминологией ука¬
зания ориентации поверхности.
В частности, выражение
S = {r:r(x, у) = (х, у, г(х, у)), (х, у)сеО)
задает верхнюю, а выражение
S={r:r(x, у) = (х, у, г(х, у)), (у, i)eD)
— нижнюю сторону поверхности, определенной явной функцией
z=~z(x, у) \ выражение
S = {r:r(y, г)={х(у, г), у, г}, (у, г)еО)
задает правую, а выражение
S = {r:r(y, г) ={*(«/, г), у, г}, (г, у) е D)
— левую сторону поверхности, определенней явной функцией х=
=*(*/, 2).
Определение. Пусть S — кусочно-гладкая ориентирован¬
ная поверхность, S= у где Sq, — простые глад¬
ок
кие ориентированные многообразия (простые гладкие ориентиро¬
ванные поверхности) без общих внутренних точек. Интеграл от
и
торное поле нормалей № = |—7^—7- , а ориентированной по¬
верхности S—поле
Поскольку выбор порядка
Q
666
2-формы о) по поверхности 5 или поверхностный интеграл второго
Q
рода обозначается определяется равенством ^ м =
s s <7-1 sq
Определение поверхностного интеграла второго рода коррект¬
но, т. е. его величина не зависит от представления 5 в виде объ¬
единения непересекающихся многообразий.
Основные свойства поверхностного интеграла второго рода
1. Если 5 и 5 есть обозначения одной и той же поверхности с
противоположными ориентациями, то §§0)==—^ы (направ-
5 s
ленность интеграла).
2. + ^«>i + «2^^,
s *s
где ах и а2 — константы (линейность интеграла).
3. Если S=SiU«S2, поверхности Si и S2 не имеют общих внут¬
ренних точек и их ориентации согласованы, то
$5(0=П(,)+^0) (аААИТИВНОСТЬ.интеграла).
5, S,
4. Пусть 5 — ориентированная гладкая поверхность, А^={л} —-
ее ориентирующее поле нормалей. Тогда
^ со = ^ (al cos a + a2 cos P + a3 cos v) dS,
где a, p, у — углы вектора с осями OX, OY, OZ соответ¬
ственно, т. e. n=s(cosa, cosp, cosy) (связь поверхностных инте¬
гралов первого и второго рода), w=a^dy/\dz + a2dz/\dx+cizdx/\
A dy.
Пример. Вычислим
y*dy Д dz + x2dz f\dx + yzdx Д dy,
где S — внешняя сторона полусферы x2+y2+z2=a2, 0 (a>0).
Решение. Поскольку «/>0, то уравнение полусферы S за¬
писывается в явном виде:
х = х, z = z, у =z Ya2—х2—г2, (х, г) е D,
где область параметров D = {(х, z): х2 + z2 < а2}. Для отображения
Ф :D-+R*:x = x, у = Уа2 — х2 —<
Следовательно, ориентация (х, г) области D определяет вектор
нормали к S, направленный к центру полусферы, т. е. эта ориен¬
тация противоположна заданной. Итак, в нашем случае ориенти¬
рованная полусфера записывается в виде
S -= {х = х, у = Ya2 — x2—z2, z = z, (z, x)eD).
Согласно определениям находим соответствующий перенос <р*«
подынтегральной формы ш:
dy = - ,7*dX r=V’ (Р*<0= —Л d2 +
У а1 — х* — 2
+ x2dz Дdx—z2dx Д dz = (х2 + z2 + xz)dz Д dx.
Следовательно,
<a = ^yzdy Д dz + x*dz Д dx + yzdx Д di/ =
s s
(xa + za + ^)dz Д dx = (x* + z2 + xz) dzdx =
Г D
2я «
= ^ d<p^r*(l +cos9sin9)dr = -^—.
e о
Пример. Вычислим
z1) dy f\dz + 4xydz Д dx + z2dx Д dy,
s
где S — правая сторона части гиперболического цилиндра 4х2—
— у*=а2, лежащей внутри конуса х = W + z2 (а > 0).
Решение. Поскольку задана правая сторона поверхности
S, выразим ее в виде S={(xt yf z), х=х(у, z), у = «/, z=z, (у, z)g
eD}. Используя условие х>0, получаем, что x(yt z) = — 1/а* + *Л
Область D значений параметров является проекцией заданной
части цилиндра 4х2—у2=а2 на плоскость ZY, границу ее находим
как проекцию линии пересечения поверхностей 4х2—у2 = а2 и х =
==V^/a + z2, исключая, переменную х из этих двух уравнений: а2 +
-f #2=4(i/2+z2) или 3j/2+4z2=a2. Итак,
5 = jx = -^ya5+7'. у = у, г = г, (у, г)еО,
D = {(у, г): 4z* + 3i/2 < a'1} j.
Согласно определению находим соответствующий перенос ф*<>>
подынтегральной формы <о:
668
dX <f'<0=(at + y1 + zi)dy A dz + y'dz Ady =
= (a* + z2) dy Д dz.
Следовательно,
И № = И + Z*^dy ^ ^ 4*^г л^ + z*dx A dy =
= ^ (aJ + г2)dy Д dz г1 dydz-
па*
2/3 ’
D D
В полученном двойном интеграле сделаем замену:
У = -y-sin<p, z = ~-cos9.
Тогда
(2л I
й"**-!W i Ж'
D 0 •
Итак, окончательно
32/3 2/3 32/3
s
яд4 яо*1 ял417
|(0 = -^Г77Г +
Пример. Вычислим
^ xdy A dz—ydz A dx + zdx A dy,
где S — внешняя сторона части конуса z2=x2+*/2, лежащей выше
плоскости z=0 и внутри цилиндра х2 + у2=а2 (a>0).
Решение. Внешняя нормаль к поверхности конуса г2—х*+
+у2 направлена от оси OZ, и в точках конуса, лежащих выше
плоскости z=0, образует с этой осью тупой угол (см. рис. 104).
Следовательно, задана нижняя сторона конуса. Используя усло¬
вие 0 запишем S в виде S = {x— х, у —у, z — Yx* + y%, (у, х) е
^D}. Областью D значений параметров является круг {(*, у) :
:x2-fy2<a2}. Находим соответствующий перенос ф*а) подынте¬
гральной формы (о:
. xdx-{-ydy . х* * a
dz = ; , ф a) = dy Д dx—
Vx*T7% '
riii д л^ллГ v-г I „г a* a л#, — 2(/*
rfyAdx+^ЧуМхД dy= y^L^dy/\dx.
669
Следовательно,
j^w = §\xdy Л te—yfo A dx + zdx l\dy =
s s
= cc_2^ _2rr^ =
JJ Vx* + y* JJ /** + .V*
D D
2 я a
— — 2 ^ dy ^r2s\n2 уdr = .
Пример. Вычислим
^ ^ xydy Д dz + yzdz Д </* + xzd* Д dt/,
где S — левая сторона поверхности
x~uz—и8, y = uh), z = uvzt (ut v) e /(o.o). (i,i).
Решение. Проверим сначала корректность задания стороны
поверхности 5, т. е. проверим, что существует непрерывное поле
N нормалей к S, такое, что cos (л, 0j£)<0 для любого вектора пе
еМ Обозначим через <р: Л2-*/?3 отображение x=u*—vzt y=u2vt
z=*uv2t тогда
ц>'и = (3и2, 2uvy у2), yv=(— 3v\ u2, 2uv),
[фы х Фо1= (Зы2^2, — Зу4 — 6u3vt 3и* + 6uv3).
Отсюда видим, что
s = (x = u3 — V3, у = U2Vy Z = UV2у (Vy Ы)е/(0,ОМ1.1))
670
есть задание поверхности 5 с указанной в условии ориентацией.
Находим соответствующий перенос ф*о> подынтегральной фор¬
мы со:
dy Д * = 12“ау 2“° | dv Л du = — 3«Vdu Д du,
dz Д dx = jdv [\du = (6u3v + 3d4) dv Д du,
dx Д dy = j 2uv\dv A du = (—6uv*—3u*)dv Д du,
Ф*(о = — 3uWt; (a3—u3) dv Д dw + uV (ба3^+Зи4) dv f\ du —
— air1 (a3—t^) (6au3 + 3a4) dv [\du = (—3aV* + 3aV +
+ 6aV + 3aV—3uV -f- 6aV—3aV) du Д da.
Следовательно,
A dz + yzdz Д dx + xzdx Д d«/ =
s s
== ^ (—3aV + 3a4i;4 + 6a®u4 + 3a V—3a V +
/(в,0). (1.1)
l l
-f- ба2^8—3a8a2) dv Д da = ^ da ^ (6aV + 3aV + 3a4ue — ЗаV +
6 0
1
+ 6«V—3uV—3aV) dv = и* + -5- и3 + у и*—и* +
О
,6 - 3. . 2,3.3 1,6
—I а® а7—и* da
5 4 j 9 32 35 12 35
3 1 359
32 9 1260
Пример. Вычислим ^ ^ y%dz Д dx + z2dx Д dr/— x2dJ/ Д dz,
*s
где S — часть поверхности тела
У = {(*» У» z): 2х2 + 2r/2 ^ az ^ х2 + г/2 + а2} (а > 0),
удовлетворяющая условию i/>0, и вектор нормали п, характери¬
зующий ориентацию S в точке Л1(0, а/2, 5а/4), образует острый
угол с осью OZ.
Решение. Ориентация поверхности 5, определенная векто¬
ром я, была подробно проанализирована в примере на с. 226.
Этой ориентации соответствует верхняя сторона части параболо-
671
ида Si={(x, у, z) : az=x2-f y2 + a2y x2 + y2^.a2f y>0) и нижняя сто¬
рона части параболоида *S2={(x, У» г) : az=2x2 + 2y2, х2 + у2^.а2,
у>0]. Следовательно, ориентированная поверхность <S=,S,US2, гДе
s,= [Л:г(х> y)=j*, у, * + * + *.}, (*. y)f=D\
S2 = |r:г(x, y) = jx, у, —*--±2у*-|, (у, x)<=d|,
D={(x, y):xa + yJ<a*, y>0}.
Находим ф!*со — перенос формы
a> = y*dz Д dx—x2dy Д dz + z2dx Д dy
С Sx на D:
dz=—(2xdx + 2ydy)t y\u>= — dy Д d* + -^-dy Д dx +
a e a
+ (jrl.+ J 'i!ll dx Д dy ~ —(2ax*—2ay* + (дг* + у* + a*)1)dx Д dy;
a* a*
Ф^со—перенос формы
ю = tfdz Д <7* — x2dy Д dz -f z2dx Д dy
о на D:
dz = — (xd.r + ydy),
a
<P>= — (y3dy Д dx) x*dy Д dx + -i- (x* + y*)2 dx Д dy =
* a a a1
= "V (ay3—ax3—(x2 + y2)2) dy Д dx.
a*
Следовательно,
^ “ = ^ ^ “ = ^ f2ax:,—2ay3 + ^ + a’)2l dx /\аУ +
S S, S, D
+ ^ [ay3 — ax3 — (x2 + y2)2] dy Д = \2ах3—2аУ3 +
D D
+ (xt + y2 + a2)2 + 4ay3 — 4 ax3 — 4 (x% -f- у2)2] dxdy =
n a
= -^-^ф ^ [r4 (2a sin3 ф—2a cos8 ф)-f ra4 + 2r8a8—Зг6] dr =
672
§ 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Пусть в области D <= /?3 задано векторное поле А — {Ах, Ау, Аг}.
Определение. Если координаты Ах, Ау, Az векторного
поля А являются гладкими функциями в Д то
1) скаляр
+ ВА + ВЛ
Эл* ду дг
называется дивергенцией поля А и обозначается div А;
2) вектор
/ j k
А 1 А
дх ду дг
Ах ^ \
(д_А, _ ЭЛ. ,ЪЛу _ дА v
Ч ду dz) Adz dxj *{дх ду)
называется ротором (вихрем) поля А и обозначается rot А;
3) дифференциальная 1-форма
ш1 = Axdx + Aydy + Azdz
называется формой работы поля А и обозначается 0)^;
4) дифференциальная 2-форма
со2 Axdy л dz + Aydz A dx + Azdx A dy
называется формой потока поля А и обозначается
Определение. Пусть в области D заданы векторное поле
А = {Ах, Ау, AJ и ориентированная кривая L. Обозначим через т
единичный вектор касательной к L, направленный соответственно
ориентации L. Интеграл
= J И • Г)
ds
называется работой поля А вдоль кривой L. Если кривая L замкну¬
та, тот этот интеграл обычно называют циркуляцией поля вдоль
кривой L.
Определение. Пусть в области D заданы векторное поле
А = {Ах, А , Az} и ориентированная поверхность S. Обозначим че¬
рез п единичный вектор нормали, характеризующий ориентацию S.
Интеграл
jw2A = JJ (А ■ п) dS
L S
называется потоком ноля А через поверхность S.
673
Определение. Кривая L называется векторной линией по¬
ля Ау если в каждой точке M^L вектор поля касателен к L.
Из определения следует, что векторными линиями поля Л =
■={ЛХ, Ауу Az} являются интегральные кривые системы уравнений
dx dy _ dz
А% Ay Az
Определение. Область, ограниченная поверхностью S, на¬
зывается векторной трубкой поля Л, если в каждой точке MeS
вектор поля ортогонален вектору п нормали к 5.
Из определения следует, что поток поля А через поверхность
векторной трубки равен нулю.
Определение. Векторное поле Ау заданное в области Da
ci/?3, называется потенциальным, если существует функция и:
:D-+R, такая, что grad и = -^-}=А Функция и на-
( дх ду дг )
зывается потенциалом поля А.
Потенциальность поля А эквивалентна точности формы озд1
работы этого поля: сол1=с1и. Следовательно, работа потенциаль¬
ного поля вдоль кривой АВ равна разности значения потенциала
в конечной и начальной точках этой кривой:
^ (А • т) ds Axdx + Aydy -1- Azdz = u(B) — u (Л).
AS AB
Необходимым и достаточным условием потенциальности поля яв¬
ляется равенство нулю работы его вдоль любого кусочно-гладко¬
го контура LczD (см. свойство криволинейного интеграла второ¬
го рода).
Определение. Векторное поле А, заданное в области Dcz
с:/?3, называется соленоидальным, если в области D существует
векторное поле W, такое, что rot W=A. Поле W называется век¬
торным потенциалом поля А.
Соленоидальность поля А эквивалентна точности формы по¬
тока этого поля: со^ = ^(со^). Следовательно, для соленоидально-
го поля справедливо равенство div Л =0, так как
d№>\ = d (Axdy Д dz + Aydz f\ dx + A2dx A dy) =
-(lT+^+v)'‘A*A*-o.
Теорема Пуанкаре показывает, что если область D такова,
что любую замкнутую поверхность, лежащую в D, можно непре¬
рывно стянуть в точку, не выходя из D, то поле Л, определенное
в этой области и удовлетворяющее условию div Л =0, соленои-
дально.Так как для потенциального поля/7 имеем, что rfwj, — d(du) =
— 0, то векторный потенциал соленоидального поля определя¬
ется с точностью до слагаемого, являющегося потенциальным по¬
674
лем. Один из векторных потенциалов W={WXy Wy, Wz} соленой-
дального поля А={АХу Ayt Аг) получают следующим образом: по¬
лагают №*=0; за Wy берут одну из первообразных функций Аг
относительно переменной х; тогда Wz будет та из первообразных
функций —А у относительно переменной х, которая отвечает урав¬
нению
dW2 dwy _ А
ду dz л
Запишем это так:
Выбирая одно из решений этого уравнения, окончательно
определяем функции
Пример. Проверив, что поле А={х— y + z, y + z—xy х + у—2z]
соленоидально, найдем его векторный потенциал.
Решение. Поле А соленоидально, так как
divH =~-(х — y + z) + -2-(yJrz—+ у— 2z) =
ох ду дг
= 1 + 1 — 2 = 0.
Одним из векторных потенциалов поля А является поле W = (W„ W*
W,}, где *
Wy= ^ Azdx, Г2 = — J Aydx + tf{y, z).
где функция ф (yy z) удовлетворяет уравнению
Wx = 0, Wy, Wz.
Wx = о,
у—z)dx + <t(y, Z)=-J yx—zx + tp(y, z),
Итак, векторным потенциалом поля Л={х—y + z, y + z—x, х +
+ у—2г} является векторное поле F=W+ grad м, где
и и — произвольная функция класса С2.
Теорема (формула Грина). Пусть область D лежит в R2 и
граница dD области D состоит из конечного числа кусочно-глад¬
ких контуров dD= Q Lq. Обозначим через 0D+ объединение
контуров Lq (1^?<Q), ориентированных так, чтобы при их об¬
ходе область D оставалась слева. Тогда если функции Р(х, у) и
Q(x, у) непрерывны в D вместе со своими частными производны-
Если через ш обозначить форму Pdx + Qdy, то формула Грина за¬
пишется в виде
Если контур L лежит на поверхности S, то назовем часть 5,
ограниченную L, поверхностью, натянутой на контур L. Если по¬
верхность S ориентируема и контур L ориентирован, то ориента¬
цию S, при которой заданный обход контура L положителен, на¬
зовем согласованной с ориентацией L.
Теорема (формула Стокса). Пусть область D лежит в R91
функции Pt Q, R^Cl(D) \ ориентированный контур LdD и ScD —
натянутая на L ориентированная поверхность, ориентация кото-
рой согласована с ориентацией L. Тогда
На практике поверхностный интеграл второго рода, стоящий
справа, часто переводят в поверхностный интеграл первого рода
и пользуются формулой Стокса в виде
r= jo, —j (-ух 2xz, у- xy—xz + zyJ
Q
$№+<№-$(
dQ ая
дх ду
j dxdy.
iD*
D
JPdx + Qdy + Rdz = —^-j dy Д dz +
cos a cosP cosy
3 P Q R
676
где cos a, cosp, cosy — направляющие косинусы вектора норма¬
ли к S, характеризующего ориентацию S.
Если через о> обозначить форму Pdx+ Qdy+,Rdzt то формула
Стокса запишется в виде
В терминах векторного анализа формула Стокса выглядит
так. Пусть область Z), контур L и поверхность S удовлетворяют
сформулированным выше условиям; п — единичный вектор нор¬
мали к 5, характеризующий ориентацию S, т — единичный век¬
тор касательной к L, направленный соответственно ориентации
L. Тогда циркуляция гладкого в D векторного поля А вдоль кон¬
тура L равна потоку rot А через поверхность 5
Теорема (формула Остроградского— Гаусса). Пусть об-
ласть D лежит в R3 и граница ди области D состоит из конечно¬
го числа кусочно-гладких поверхностей. Тогда если функции Pf
Qt RaCl{D), то
где первый интеграл берется по внешней относительно D стороне
dD.
Если через со обозначить форму
Pdy Д dz + Qdz Д dx + Rdy Д dx,
то формула Остроградского—Гаусса запишется в виде
В терминах векторного анализа формула Остроградского —
Гаусса выглядит так. Пусть область D удовлетворяет сформули¬
рованному выше условию. Тогда поток гладкого в D векторного
поля А через поверхность dD равен интегралу от divi4 по D:
L
S
(AT)ds=\Axdx + A0dy + A2dz= n)dS =
L S
cos a cosP cosy
д д d
s
Ax Ay Ал
yjPdy Д dx + Qch Д dx+Rdy A dx
D
dD
D
677
J[(/4-n)dS = JJ Axdy Д dz + Aydz A dx + A,dx Д dy =
dt> dD
= J div Adx dy dz.
Область DczR2 называется односвязной, если для любого кон¬
тура LczD область DLczR2y ограниченная L, целиком лежит в D.
Если область D односвязна, то любой контур LczD можно
непрерывно стянуть в точку, не выходя из D.
Теорема. Пусть область DczRz (DczR2) такова, что любой
контур LczD непрерывно стягивается в точку, не выходя из обла¬
сти D. Тогда гладкая замкнутая дифференциальная \-форма о,
заданная в D, точна в этой области.
В терминах векторного анализа это утверждение выглядит
так:
Пусть область DczR3 (DczR2) такова, что любой контур LaD
непрерывно стягивается в точку, не выходя из D. Тогда гладкое
векторное поле, заданное в Dy потенциально тогда и только тог¬
да, когда всюду в D rot/4=0. Поле, удовлетворяющее условию
rot /4 = 0, называют безвихревым полем.
Естественная область применения формул Грина и Остроград¬
ского— Гаусса — это интегралы второго рода по замкнутым кон¬
турам на плоскости и замкнутым поверхностям в пространстве.
Не иногда, особенно в пространстве, вычисления упрощаются,
если замкнуть незамкнутую поверхность или кривую и считать
данный интеграл как разность преобразованного интеграла по
замкнутой поверхности или кривой и соответствующего интегра¬
ла по замыкающему множеству. В качестве такого множества
обычно берутся отрезки прямых или части плоскостей, парал¬
лельных координатным, поскольку по таким множествам инте¬
грал второго рода вычисляется наиболее просто.
Пример. Вычислим указанным способом интеграл из при¬
мера на с. 261:
Jj y*dz A dx—x2dy A dz + z'-dx /\ dy,
s
где S — часть поверхности тела V={x, у, z) : 2x2-f 2t/2^a2s^;t2+
-|-^/2-Ьa2} (а>0), вырезанная условием i/>0, и нормаль, характе¬
ризующая ориентацию 5, в точке М=(0, а/2, 5а/4) образует ост¬
рый угол с осью OZ.
Решение. Замкнем поверхность S частью плоскости у=0.
Тогда полученная поверхность 3 будет границей тела: V = {(*, у,
*) : £/>0, 2х2 + 2у2^.аг^.х2-\-у2-{~а2}. Точка М=(0, а/2, 5а/4) ле¬
жит на верхней границе тела V и нормаль в этой точке направле¬
на вверх, следовательно, интеграл берется по внешней стороне
поверхности дР. На поверхности Si — части плоскости у=0, вхо¬
дящей в Р, внешняя нормаль направлена противоположно оси
678
ОУ, следовательно, запись ориентированной поверхности Si есть
S1={x=x, £/=0, z=z, (jc, z)<=D, D = {(*, z) : 2*2 ^ az r2-fa2}}.
Итак, в силу формулы Остроградского — Гаусса
Ц У2 dz Д dx—x2dy Д dz + z2dx Д dy =
s
= JJy3dz Д dx—x2dz f\[dy + ztdx f\ dy—
dV
~~~f \y2dz A dx—x2dz f\dy + z2dx f\dy =
St
= §^{2y—2x + 2z)dxdydz—*\§ y2dz Д dx—x2dy Д dz + z2dx /\dy.
v Si
Находим сужение qp*a) формы &=y2dz/\dx+x2dz/\dy+z2dx/\dy
на S\: dy = 0, q>*a)=0. Так как
V : {(*, у, z): *2+i/a<a2, 2x2 + 2y2 < аг < jc2-f ^2-f-а2, y>0},
то, следовательно,
Д dx—x2dy Д dz + z2d* Д =
s
хМ-уЧ-д*
a
= ^^(2y—2x + 2z)dxdydz = 2^jdxdy ^ (y—x+z)dz =
V D 2jc»+2y>
a
[a(—^х + у)(аг—хъ—уг) +
D
+-L(3x2 + 3i/’ + aa)(al-x2-</J)] dxdy =
я a
Jj^(a8r8—ar4)(—со8ф-Ь$1пф)+-^-(а4г+2аагв—3r*)1 dr=*
о 0
=a‘(“^+f)-
Пример. Найдем поток вектора через:
а) боковую поверхность конуса
£> = {(х, у, z):tf2(x2 + j/2)<z2/?2f 0<г<Я} (/?>0);
б) через полную поверхность этого конуса.
679
Решение. Обозначим через п единичный вектор внешней
нормали к границе dD конуса D.
Начнем с п. б). В силу формулы Остроградского—Гаусса по¬
ток вектора А через поверхность dD есть
^ (А-п) dS =- Ц ^ div A dxdy d? -- dxdy ^ (3*2-|-3r/a +
Вычисление потока вектора А через боковую поверхность ко¬
нуса D проведем двумя способами.
1. Обозначим через 5| и S2 соответственно внешнюю сторону
боковой и верхней поверхности конуса D. Тогда вектор п, харак¬
теризующий ориентацию S2t сонаправлен оси OZ, следовательно,
запись ориентированной поверхности S2 есть
5а = {(*> У. z):x = xt у = у, z=H, (х, y)<=D,
£ = {(*> У) •• x2 + y*<R2}}'
Находим сужение <р*со формы
t> = (An)dS = x*dy Д dz + y*dz Д dx + z*dx Д dy
на St:d2=0, y*a> = H9dx Д dy. Следовательно,
dD
2л R Н
О 0 Нг.ч,
R
и
= ~ R'H (R* + 2/У2).
££.(*■+ 2№)- Нг dx dy =
хг+у*<Яш
ЗяR'H
(Я2 + 2Яа)—л/?2//8 = (З/?2—4//2).
лЯ2//
680
2. Вектор п, характеризующий ориентацию Si — боковой по¬
верхности конуса D, образует с осью OZ тупой угол, т. е. внешней
стороной поверхности Si является нижняя сторона. Поэтому за*
пишем ориентированную поверхность Sj так:
Si=|(x, У, г):х = х, у=у, z=-^-"/F+y, (ц, x)<=D,
D = {(x, «/):*’+ «/*</?*}).
Находим сужение <р*а) формы
(D = (A n)dS = x3dy Д dz + y3dz Д dx + z3dx Д dy
на
R Ух* + у»
Н x*duf\dx , Н у* . А . .
Ф (о =» у. :.\ И . —dy Л dx+
R + R У^ + У*
+ ^(x2 + ^)A d(/ = -^- ( —(JC» + y*)*/*4-
Удса4-у* /
Следовательно,
^ (Л • n) dS = ^ x3 dy Д dz + y3 dz Д dx + z3 dx /\dy =
D
D
2л /?
= ^ S d? J [—Wa + *(«. Ф + sin* <P)] r* dr=(3/?*—4H»).
o e
Пример. Вычислим
где L — часть кривой г=а( 1-hoos ф) (а>0) от точки Л=*(2а, 0)
до точки 0=(0, 0), лежащая в верхней полуплоскости (декартова
и полярная системы координат совмещены).
681
Решение. Замкнем кривую АО отрезком ОА оси ОХ
(рис. 105). Направление кривой АО индуцирует обход полученно¬
го контура так, что область £>={(г, <р) :0<ф<я, 0<r<a(l-f
-f-cosф)}, ограниченная им, остается слева. Следовательно, при¬
меняя формулу Грина, получаем, что
^ (cos у + у sin х + у2) dx — (cos jc -j- jc sin у + x2) dy -f-
i
+ ^ (cos y + у sin x + y2) dx —(cos x -j-xsin y— x2) dy =
6 a
(sint/—sin x — 2y-\- sin x — sin у—2x) dx dy =
D
л o( 1-4 cosy)
= — 2 ^ (jc + y) dx dy = — 2 ^ dy ^ r2 (cos ф + sin ф) dr =
d oo
я
= 3~fl3^Kl + ссвф)35тф + со5ф-Ь 3cos29 + 3cos39 +
о
-f cos4 y]dq>= —a3— (1 +cos ф)4|° — a3x
3 4 In 3
x Г3 Г (3/2) t1 (1/2) Г (5/2) Г (1/2)
L Г (2) Г(3)
= — 8/Зя3-
5яa»
Так как ОЛ ={jc=jc, у=0, 0^х<2а}, то сужением ф*м формы
со = (cos t/-f у sin у + y2)dx—(oos х -fxsiny-f х2) dy «на О А являет¬
ся форма (&=dx. Следовательно,
2а
\ (cos у + у sin у + у2) dx—(cosjc + Jtsin у-\- x2)dy = \dx = 2a
ОА о
682
и, окончательно,
^ (cos у -j- у sin у -f у2) dx— (cos х + х sin у + х2) dy =
L
= а 2а.
з 4
В дополнение к свойству 5 криволинейного интеграла второго
рода (см. с. 248) выведем еще одну формулу связи криволиней¬
ных интегралов первого и второго рода.
Пусть L — простой гладкий контур, лежащий в R2; x={cosa,
sin a} — единичный вектор касательной, направленный соответ¬
ственно положительному обходу L, и n={cosp, sin р} — единич¬
ный вектор внешней нормали к L. Так как вектор л направлен1
вправо от вектора т, то угол поворота от т к л равен (—я/2). От¬
сюда получаем, что cos p=sin a, sin p=—cos a и, следовательно, в
силу свойства 5 для функций a\:R2-+R, a2 :R2->R имеем равен¬
ство
^ (ax cosP + a2sinP)ds= \ (—а2 cos а + a* sin a) ds — aLdy—а^ dx.
LI L
зная обла
(D). Прее
Пример. Пусть D — односвязная область в R2, кусочно-глад¬
кий контур L лежит в D и /eC2(D). Преобразуем в двойной ин¬
теграл криволинеиныи интеграл j ds, где п — вектор внеш-
L
ней нормали к контуру L.
Решение. Не ограничивая общности, можно считать вектор
л единичным, тогда n = {cosp, sinР} и=cosP + -—sinp.
дп дх ду
Применяя полученное выше равенство, получаем в силу формулы.
Грина, что
L *>L
где Dl — область, ограниченная контуром L.
Пример. Вычислим интеграл Гаусса
где L — простой гладкий контур в R2, г={х—х0, у—у0] — вектор
из точки Af0=(*<ъ у о), не лежащей на L, в точку М=(х, у) конту¬
ра L и л — вектор внешней нормали к L.
683
Решение. Не ограничивая общности, можно считать, что
-*о=0, #о=0 и д = (cos р, sinp} — единичный вектор.
Тогда
. ч х cos В -1- у sin В
COS (г, п) = Я
И
и в силу полученного выше равенства
Г cos (г, п) ^s_ Г xcosft-f j/Sin Р С xdy — ydx
J \г I ^ *а + Уа Z х* + у* '
L
Дифференциальная 1-форма со = рассматривалась на
X* + I/*
с. 252. Эта форма замкнута в любой области, не содержащей на¬
чала координат, и
С = Г » = 2я.
J *» + И J
<г*- с+
а а
где Св+— окружность х2+у2=а2 (а>0) с положительным на¬
правлением обхода.
Если начало координат лежит вне области D, ограниченной
контуром L, то в D форма со гладкая и, следовательно, примени¬
ма формула Грина, в силу которой имеем, что
Если же начало координат лежит внутри области D, ограни¬
ченной контуром L, то возьмем область Ьа, границей которой dDa
является контур L и окружность Са: х2+у2*=а2. Число а>0 бе¬
рется достаточно малым, чтобы окружность Са лежала внутри D.
Область Da лежит слева от контура L при положительном его
обходе и слева от окружности Са при отрицательном ее обходе.
Обозначим через Са+ окружность Са с положительным направле¬
нием обхода и через Са“— с отрицательным.
В области Da форма со — гладкая, следовательно, применима
формула Грина, в силу которой имеем, что
Jg,+ j 0)=Ud(0 = 0.
ca a a
Отсюда получаем, что
S«=— ^ СО = ^;(|) = 2я.
Итак, интеграл Гаусса и(х0, у0) равен нулю для любой точки
М=(хо, уо), лежащей вне области, ограниченной контуром L, н
684
равен 2л для любой точки М=(х0, у0), лежащей внутри этой об¬
ласти.
Область применения формулы Стокса — это вычисление кри¬
волинейных интегралов второго рода £со, когда кривая L задана
как пересечение двух поверхностей L:FX(xt у, z)=0, F2(x, у, г)*—
=-=0. Во-первых, при таком условии уже определена поверхность,
натянутая на L; во-вторых, переход к параметрическому заданию
L и нахождение соответствующего сужения <р*а) подынтегральной
формы со требует нетривиальных преобразований.
Пример. Найдем циркуляцию вектора Л={х(*/+г), y(x+z)9
z(x + y)} вдоль кривой L : {х2 + у2 + z2=2Rxt
x2-{-y2 = 2rx, 0 (0<г</?)},
положительно ориентированной на внешней стороне сферы
х2 + у2 + 2а = 2 Rx.
Решение. Кривая L лежит как на сфере х2 + y2+2*—2RxP
так и на цилиндре х2+у2=2гх, но условиям применения формулы
Стокса удовлетворяет только часть сферы, поскольку она являет¬
ся гладкой поверхностью, натянутой на L (см. с. 223).
Следовательно,
^ A„dx + A,dy + At d2 = ^x(y + z)dx+y{x+z)dy+z(x+y)dz =
= d(x(y + z)dx + y(x + z)dy + z(x + y)d2) =
= H(z—y)dy/\d2 + {x—z)dzAdx+(y—x)dx/\dy,
s'
где S есть часть внешней стороны верхней полусферы х2+у2-\-
+ z2=2Rxt z>0, лежащая внутри цилиндра х2+у2*=2гх. Посколь¬
ку на верхней полусфере внешняя сторона является одновремен¬
но верхней стороной, то, выразив явно зависимость г от х и у, по¬
лучаем запись ориентированной поверхности S:
5=|(л\ у, z):x = x, у = у, z = Y2xR—x*—y*1 (дг, у)еД
0={(*, У) : х2 + у2<2гх}\.
Находим соответствующий перенос ф*ю подынтегральной фор¬
мы о:
Лт = — (R — x)dx —ydy
-]/2Rx *— x* — у* г
<р'и>=(г—у) --~- dy Д dx—(x—z) — dy [\dx-\-
+ (y—x)dx Ady= fl) dx Д dy.
685
Следовательно,
= A dz + (x—z)dz Д dx + (y—x)dx Д dy =
s s
-^{JT-R)dxAdl,~SiJT-R)dx^
D D
Так как D симметрична относительно оси ОХ, а функция f (xt у, z)=
= -^-== — _ _ -J/—. нечетна относительно ы, то С Сd* dv = О
z T/2Rx-x*-y2 * JJ 2 *
D
и следовательно,
^ ++Лг^г= — /? | О | = —л/?г2.
Пример. Применяя формулу Стокса, вычислим интеграл
J zdx-\-2xdy—ydz, где Л В—кривая
А~В
х2 + у2 = 2ах, az = xyy z>0, Л = (0, 0, 0), В = (2а, 0, 0) (а>0).
Решение. Так как отрезок ВА оси ОХ лежит на поверхно¬
сти параболоида az=xy, то, объединяя его с кривой АВ, полу¬
чим замкнутый контур L, лежащий на поверхности az=xy. Об¬
ход полученного контура положителен, если рассматривать его
на нижней стороне параболоида. Итак, натянутая на контур L
часть параболоида с согласованной ориентацией есть
S = | (дс, у, z) : х = х, у = у, г = (у, x)<=D, D =
= {(х, у): х2 + у2<Чах, {/>0}).
Перенос <р*(о подынтегральной формы
(о = z dx -f- 2х dy — у dz
на отрезок ВА в силу того, что z== 0, dy=0 и dz=0, дает нулевую
форму, следовательно,
zdx-\-2xdy—ydz=\zdx + 2xdy—ydz=^ со.
/Г в l £
Применяя формулу Стокса, получаем, что
\ со= $$ dco = rfz Д dx~\-2dx Д dy — dy Д dz.
L
686
Находим соответствующий перенос <р*а) подынтегральной формы
со = dz Д dx + 2dx Д dy—dy Д dz,
dz = — (xdy + ydx)t
a
Пример. Проверим, что дифференциальная 1-форма
ю = (cos у + у cos х) dx + (sin х—х sin у) dy
точна и найдем функцию f(x, у), для которой d/=co.
Решение. Так как форма со= (cos у Л-у cos x)dx+ (sinx—
— xsinr/)di/ является гладкой на всей плоскости R2, то необхо¬
димым и достаточным условием ее точности является ее замкну¬
тость, т. е. справедливость равенства d<o=0. Действительно,
d(o = dy Д dx(—sin t/ + cos x) + dx Д d#(cosx—sini/) = 0,
функцию f(x, #) находим по уже рассмотренному правилу (см*
с. 254):
= х0 + у0 sin х0 + х0 cos у0—х0 = у0 sin х0 + х0 cos */0,
откуда /(х, */)=j/sinx+xcosi/-f С, где С — произвольная посто¬
янная.
<р*со =—xdy Д dx + 2[dx Д dy ydy Д dx =
а * а
= —(х—*/—2a)d*/ Д dx;
а
dz Д dx + 2dx Д dy—dy f\ dz = — (x—y—2a)dy A <*•* =
a
s
D
л/2 2acosq>
D 0 0
0
8aa Г 1 Г (5/2) г (1/2)
3 [ 2 Г(3)
2а* 2а9 J_
3 3 2 2
я — а2л = —а2
3
2 *
Уо) = /(0, 0)+ (sin х0—х0 sin у) dy =
687
Пример. Проверим, что векторное поле
А-{ Vi+vh’
потенциально в первом октанте (х>0, у>0, 2>0) и найдем его
потенциал.
Решение. Необходимым и достаточным условием потенци¬
альности поля является выполнение равенства гоМ=0. Действи¬
тельно.
rot Л —
i
д
дх
I
_д_
ду
Г*+-±г V*+-b=
2 Ух 2 У у
k
dz
—, х
У у +
2 уу 2 Уу
2 У г
)+1{2ут~^)+к(л
2 Ух 2 У~х
= О.
Поэтому существует функция и(х, у, г), такая, что gradu=j4,
т. е.
du== iv'z+ih)dx+dy+(v*+wt)
Функцию и находим, пользуясь рассмотренным выше правилом:
“(*0. У». 2,) = И(1, 1, 1)+^1 + —L=-j d* +
I
=*.— i +Y7t— i +у»Ух»—Vx»+Y&.—i +2C У7,—Уу*+
+ Х'УЦ—Х' + и(1, 1, l) = y0l/^ + 2,/^+ACey^—
-3 + u(l, 1, 1).
Итак, потенциалом поля А является функция и(х, у, г) = х^Уз+
Л-^Уу+уУх+С, где С — произвольная постоянная.
688
ЗАДАЧИ
1. Алгебраические и дифференциальные формы
2. Найти значение формы
Л J Л я2 + 2пг А к3 — 571! Л 7Г3
на векторах =(1, 4, 1), £2 = (2, 0» 3).
3. Привести к координатному виду форму
(2п1 А-п2 — лъ + 2л4) А(п1 ля2 —Зя2 Л 7г4).
4. Привести к координатному виду форму
(2п1 Л я3 — ЗяА Л 71* + я3 А я4) Л (5ях — 2я2 -I- Зя3 + пА).
5. Найти значение дифференциальной формы
x\x\dxx л dx2 -I- х]х\dxx Л dxA + x\x\dx2 A <£с3 + x}x\dx2 Л
на векторах ^ = (1, —1, 0, 2) и £2 = (3, 1, —1, 0) из пространства
2, -1, -2).
6. Найти значение дифференциальной формы
x2x\dxx Л dx2 + lxxx2x\dxx A d!x3 A d!x3
на векторах ^=(1, 0, 1), £2(2, -1, 0) из пространства TD$t 2, i>.
Привести к координатному виду дифференциальные формы.
7. (x2dx3 Adx4 + xldx2/\dx3 + x$dxl Л dx4-bx^dxl Adk2)A
689
9. d(2x]x2x3dx2 A dx44- x]x\dx3 A dx^ — lx^xlx^dxy л dx3).
10. d(2x1x2ex'*x* dxx л dx3 + x]ex'*x'dx2 л dx34-
+ 2x1x2e*s+X4dx1 л d^+xje^'d^ Л dx4).
11. d(2xtx2x3x^dxxlx\x^dx2-{-x]x2x^dx2+x^^ldx^).
12. d(x (z2 -^2) Л+у (jc2 - z2) dy4-z {y2 - x1) dz).
13. d(xyz2dx A dy4- x2yzdy hdz+xy2zdz Л dx).
14. d(sin (xx 4- x2 — x3 — dxx Л dx2 4- sin (Xj 4- x2 — x3 - x4) x
xdx2 Adbc44-sin(jc1 + jc2 + x3-f x4)dxl Adx2 +
4- sin (xx + x2 4- jc3 4- x4) dx3 A dx4).
15. d(xxjc2d!x1 4- x2x3dx2 + x3x4dx3 -f x^dxj A
A (x^x^xjdx^xjdxj + xidxj.
Выяснить, замкнуты или нет следующие формы:
16. 2zxdbc+2z>'d>' + (x2+)'2)dz.
17. Ixyzdx + (jc2z — z2у) dy4-x2ydz.
18. {ye*14- xy2zexyx) dx 4- (xe^14- x2yzexyz) dy 4- x2yzeyl dz.
19. (x? + x2x3 —x3xJ)dxx Adx2 + (x2 + 2x3x4-x2x4)d!x1 Ad!x3 +
+ 2x1x4dx1 A d!x4 4- (xtx2 - x3x4) dx2 A dx3 4-
4- ( - 2x2x44-xxx3) dx2 A dx4 4- (xxx2 4- x2x3 - 2^*3) dbc3 A d[x4.
20. z (x—у) cos (x 4- }>—z) dx A d_y 4- x (y 4- z) cos (x 4- >>—z) dy A dz —
—у (jc 4- z) cos (jc 4- >> — z) dz A dx.
21. (x1x2 + x3x4)dx1 л<£с2 + (х^3 + x2x4)dxA A dx44-
-f (xAjc4 4- x2x3) dx2 A dx3 4- (x? 4-x^4-x\4- x]) dx3 A dx4.
22. (х4х, + x\) dx, Д dxt Д dx, + x,x,dx, Д dxt Д dx4 +
+ (x,x4 —x2)dx, Д dx, Д dx4 + x,x2dxj Д dx, Д dx4.
23. 2x,x4x*dx, Д dx3 Д dx4—2x*x.(x3dx, Д dx4 Д dx,+
-f (2x,x2x6—х,хгх4хв) dx, Д dx3 Д dx5 -f (2x,x2x| + x4xj>) dx, Д
Д dxt Д dxi—xlx3xlx6dx1 Д dx2 Д dx6—(x-jx? + 2х*х2ха) dx2 Д
Д dx, Д dx4 + 3x1xix2idx2 Д dx4 Д dx6—x^x^dx, Д dx4 Д dx4.
Найти сужение формы o> на кривую L с указанной параметри¬
зацией:
24. ш = (х + sinx)dy—у (cos х + l)dx,
^ = {(*» у):х = х, у — хcosx}.
25. <o = ydx—xdy,
L = {(x, y):* = ylny, i/ = #}.
26. сo = yzdx—xzdy + xydz,
L = {(xt y, z):x = acos/, y--=as\nt, z = bt}.
27. (o=xzdx + yzdy + (x2-f y2)dz,
£ = {(*, y, z):x = a/sin/, у = at cost, z = bt2}.
Найти сужение формы o> на поверхность S с указанной пара¬
метризацией:
28. (о = xdy Д dz + ydz Д dx + zdx Д dy,
£={(*» 0. г):х=х, У = У, z = xsiny + ysinx}.
29. (о= — z(z2 + y2)dx Д dy + y(z2 + y2)dz Д dx + 2xdy Д dz,
S = J(x, i/, z): x = arctg + 2 = г} •
30. со = zdx Д dy + xdy Д dz + 2ydz Д dx,
S = {(x, y, z):x = x, y = xzln(x2 + z2), z = z}.
31. (o = xdy Д dz + ydz Д dx + zdx Д dy,
S—сфера радиусом 7?:£ = {(х, у, z):х =/? cos <p cos tf, y =
= /?sinфcost]), z = /?sin\|>}.
32. со = z2 (x + y) dx Д dy—z (x2 + y2) (dz Д dx + dy Д dz),
5—геликоид:S = {(x, y, z):x = aucosi\ y = ausinv, z = bu).
691
33. со = yzdy Д dz—xzdz Д dx + xydx + dx Д dy,
5—Top:S = {(x, у, г): x = (6 + a cos ф) cos y = (b +
+ a со5ф)5ш\|\ 2 = a sin ф}, acb.
34. о) = ydx Д dy-^^ A dx — xdy A
5—гиперболический параболоид
5 = {(*, У. z):x = aut>, y = a(u-|-u), z=^a(u—у)}.
35. (0 = 2 (х2 + у2) dx /\dy~x (у2 + z2) dy f\dz + у (х2 -}- z2) dz Л dxf
S— цилиндр, S = {(x, уу z) : х = Rcos<p + R, y = Rsтф, z = h}.
§ 2. Вычисление криволинейного интеграла второго рода
Вычислить криволинейный интеграл второго рода, взятый
вдоль ориентированной кривой L:
36. ^(2—y)dx + xdyt
L = {(xt y):x = t — sin/, t/=l—cos/, 0</<2л},
где кривая проходится при возрастании параметра.
*£7. Г Mdx + где £ есть ОТрезок АВУ Л = (0, 0) и В=( 1, 1).
J 1 4- *V
L
38. jj (—^х + хуЧу)у L=((xt у):х2 + уг = г2),
где окружность проходится в положительном направлении.
39. \ ydx—(y + x2)dyt L—дуга параболы у = 2х—х2 от точки А =
L
= (2, 0) до точки В = (0, 0).
40. ^xdy + 2ydXy L — контур, составленный линиями у = 0, у = х9
у = У1 —ха с положительным направлением обхода.
41. x + y)dx—xydyt где L—дуга кривой xl/4= a1/4 от
точки Л = (0, а) до точки В = (а, 0).
42. ^х • y2dx—x2ydyt L=((xt у): 2 (х + у) = (х—у)2}, от точки Л =
= (0, 2) до точки В = (2, 0).
692
43. ^ xydx — x2dyt L = {(x, у): x4 — 2x*y2 + y* = 0} от точки A =
= (—1/4, —1/8) до точки £ = (0, 0).
44. ^ tfdy—2xy2dx, где L—часть кривой jc3 + 2x2 + У2 = 3 от точки
Л=(—1, }/2) до точки Б=(1, 0).
45. ^ (у + я) dx + x cos ydy, где L—часть кривой я In х—у +
+ siny = 0 от точки Л = (1, 0) до точки В = (е, я).
46. ^ х%dy—xydx, где L—часть кривой х4—у* = 6хгу от точки А —
= ( — 4^2; 4) до точки Б = (0; 0).
47. ^ xdy—ydx, где L— часть кривой х(х—y)a-fy = 0 от точки
Л=(0, 0) до точки Д=(2/5; —8/5).
48. ^ xdy—ydx, где L — петля кривой х4 -f у4 = а2 (х2 + у2) с поло¬
жительным направлением обхода.
Указание. Положить у*=х/. При вычислении соответствую¬
щего интеграла сделать замену 2=1//.
49. ^xydx—x3y*dy, где L —контур квадрата |х—у| + |х + у| = 1
L
с отрицательным направлением обхода.
60. ^ xzdx + axdy—x2dz, где L — часть кривой az—xy, х + у +
+ г = а, х > 0, у > 0 от точки Л = (0, а, 0) до точки В (а, 0, 0).
Б1. ^ yzdx + aydz — azdy, где L — часть кривой x2-\-y*~z2, у* +
х2 = ах, у ^ 0, z > 0 от точки Л = (0, 0, 0) до точки В(ау 0, а).
62. ^ xly3dx + dy + zd2t где L—часть кривой x2+y3 = r2, z = H от
точки (г, 0, Н) до точки (— г, 0, Я), проходящая через точку
(0, г, Н).
Для вычисления следующих интегралов удобно пользоваться
формулами Грина и Стокса, замыкая, если нужно, кривую отрез¬
ком прямой. Все они могут быть вычислены и путем параметри¬
зации кривых, что полезно проделать для проверки, однако вы¬
числения при этом, как правило, становятся существенно более
громоздкими.
693
53. ^ (х2—y2)dx + 2xydy, L—контур треугольника с вершинами
А=(\, 1), В = (3, 1), С = (3, 3) с положительным направле¬
нием обхода.
54. ^ xydx + 2xy2dy, L — контур треугольника с вершинами А =
L
= (1, 0), В = (0, 1), С -= (0, 0) с отрицательным направлением
обхода.
55. х—y)adx + (x + y)2dy, L—ломаная АБС, где Л = (0, 0), £ =
= (2, 2), С = (0, 1).
56. ^xzy9d* + (x—yfdy, L— ломаная ABC, где Л = (2, 1), В =
== (0, 3), С= (—2, 1).
57. ^ (4ху — 15х2у) dx + (2х2—5х3 + 7) dy
а) L—часть кривой у = х3—Зх2 + 2 от точки А = ( 1—Y3. 0) ДО
точки В = (\, 0);
б) L—часть кривой у = х*—Зх2 + 2 от точки А = ( 1—^3, 0) до
точки В = ( 1 +Y3, 0).
58. ^xdy + ydx, L—часть кривой,
У =
x*s\n — + -V* *¥=0;
JC я*
от точки Л= (0, 4/я2) до точки В=(2/л, 8/л2).
Б9. ^ (*jf + jc + 0)djc + (.ty + x—
а) L—часть окружности х2 + у2 = ах (y^L0) от точки Л = (0, 0) до
точки В = (а, 0);
б) L—часть окружности х2 4- у2 = ах (х ^ а/2) от точки А = (а/2, — а\
до точки В = (а/2, а/2).
GO* ^(l 2”) ГД6 ^—верхняя (у^>0) полуокруж¬
ность х2 + у2 = а2 от точки Л = (а, 0) до точки В = (—а, 0).
61. ^(e~xcosy—y^djt + fe^sin у—x2)dy,
694
где L—правая (х^а) полуокружность х2 + у2 = 2ах от точки Л =
= (а, а) до точки В= (а, —а).
62. ^y^dx—x^dy,
где L—положительно ориентированная кривая х2/3 + 1/2/3 = а2/3.
63. Гх|Д*х+(|/а--ха);^,
L
где L — положительно ориентированная кривая r=a (1-f cos <р).
64. ^x2ydx—y2xdy,
L
где L — верхняя (y>0) часть правой петли (х>0) лемнискаты
(х2+у2)2=а2(х2—у2) от точки Л=»(0, 0) до точки £=(а, 0).
65. [(x2 + y)dx + (y2 + z)dy + (z* + x)dz,
где L — эллипс jc2+ t/2=4, x+z=2, положительно ориентированный
на верхней стороне плоскости.
66. ^(xi/ + z)dx + (#z + x)d0 + (xz + y)<&,
где L — окружность x2+y2+z2=a2, x+y+z=0, положительно ори¬
ентированная на верхней стороне плоскости.
67. t (z2—y2)dx + (x2—z2)dy + (y2—x* + x)dzf
где L — эллипс х2+г/2=8х, x+i/+z=0, положительно ориентиро¬
ванный на верхней стороне плоскости.
68. [2xydx + z2dy+x2dz,
i
где L — эллипс 2х2+2y2=z2, x+z=a, положительно ориентиро¬
ванный на верхней стороне плоскости.
69. Пусть К — куб, построенный на единичных положитель¬
ных векторах осей координат. Вычислить
^ y2dx + z2dy + x2dzt
если L есть:
а) контур сечения К плоскостью, проходящей через точки О**
” (0, 0, 0), /3=(0, 0, 1), Л — (1, 1, 0). положительно ориентирован¬
ный на правой стороне плоскости;
695
б) контур сечения К плоскостью, проходящей через точки
«■(1, 0, 0), Q= (0, 1, 0), /?=( 1, 0, 1), положительно ориентирован¬
ный на правой стороне плоскости.
70. J (|у1 + гг) dx + (г> + z2) dy + (У2 + х2) dz,
где L — верхняя (z>2) петля кривой jc2 + i/2=2x, x2 + |/2 + z2=4z,
положительно ориентированная на внешней стороне верхней (z>
>2) полусферы.
71. ^(2—y)dx + {x-\-y+z)dy + (y-\-2x + z*)dz,
где L — кривая y2+z2=x2, х>0, х2 +J/2+z2=2az, положительно
ориентированная на внешней стороне правой (х>0) полусферы.
72. ^Лдс + Л/у + у**,
где L — кривая х2 -f у2 = 2ах, z =
положительно ориентированная на внешней стороне конуса.
73. \^z*xdx +(z + x + y)dy + y*zdz,
L
где L — кривая x2+y2=axt x2=y2 + z2, положительно ориентиро¬
ванная на внешней стороне цилиндра.
74. xyzdx + y2zdy + zx2dzt
где L — кривая x2 + z2=a2, y2 + z2=a2, x>0, положительно ориен¬
тированная на внешней стороне первого цилиндра.
75. ^(xy + z)dx + (yz + x)dy+yYa‘i — x2dz,
I
где L—кривая x2 + y2 + z2=2ax, х2 + у2=а2у положительно ориен¬
тированная на внутренней стороне цилиндра.
Для вычисления следующих интегралов удобно привести их к
криволинейному интегралу второго рода и применить формулу
Грина:
76. С +
J дп
L
где L — кривая 4(дt+a)2+(y—2a)2=4a2, п — направление внеш*
ней нормали к L.
696
77 c_di*±*LzM.dSt
J dn
L
где L — кривая (jc—2)2-f-4(^r-h 1)2=16, n — направление внешней
нормали к I.
78 гн*-ьхy±WidS)
J дп
L
где L — контур, составленный правой (доа) полуокружностью
х2+у2=2ах и прямой х=а, направление внешней нормали
L
где L — контур, составленный верхней ((/> 1) полуокружностью
х2+у2=2у и прямой «/=1, п — направление внешней нормали к L.
Проверив, что подынтегральное выражение представляет со¬
бой полный дифференциал, вычислить интеграл:
(1.0)
80. С (2x—y)dx+(Sy—x)dy.
(-1. -2)
(1.°)
81. \ (Зх2 — 2xy + y2)dx— (х2 — 2xy)dy.
(0.1)
(2.3)
82. \ 2x(y*-2)dx + 2y(x*+\)dy.
(l.i)
(i.i)
83. ^ x(\+6y2)dx + y(\+6x2)dy.
(0,0)
(2.3.4)
84. С (2 ху + у2 + yz2) dx + (х2 + 2 ху + хг2) dy + 2 xyzdz.
(i.i.n
(1.1.2)
85. С х (у2 + z2) dx +у {х2 + z2) dy + z(x* + y*)dz.
(-1. i. -i)
(2.2.2)
86. ? yzx**-1 dx + zx*x In xdy + yx¥* In xdz.
(M,i)
(5.3.1)
87. С ^ xydz ~~yzdx вдоль путей, не пересекающих поверх-
J (* — yz)%
(7.2.3)
ность x = yz.
697
(-2. 3)
88. С —-—-— вдоль путей, не пересекающих оси ординат.
J х* + у*
<-1. -2)
(2.2)
89. С вдоль путей, не пересекающих оси абсцисс.
J * + У
(-1.5)
Найти функцию U, если задан ее дифференциал:
90. dU = (2xcos у—(/* sin х) dx + (2у cos х—х* sin у) dy.
«1. dU=(l+e*'i')dx+ (l — ~'je*'i>dy.
92 dU— xdx+ydy I rdy — ydx
Vx*+y* X*
93. dU = —* + y-f z—{(у*+г*—xy—xz)dx+
+ (г*+хг—уг—yx) dy + (х* + у*—zx—zy) dz).
94. dU= JV
/Г=у JL
dx -|-
V 1 — ** JC* -f у*
+ (У I 1=.+_L_ + _L\
Г ** + »* 9 /
95. dU=(—4==-+ ,1", +g*sin 2(/ + -i-)dx+
V 2 К 1 -f *!/ jc* -j- У sin JC /
+ 4-j—-—I—ГТ-Г + 2e*cos2y) dy.
\ 2 V 1 + xy x* + y* 1
вв. dt/=( +2хУ\ + у - + lnx) dx +
\ ** + y* 1 + * V j
I l 2У i ** * I 1 \ d(/
1** + »* 2К» + У 1+*V )
97. d{/ = ( ч- H + 2x'l dx +
V l+ (*#*)* *• + *» j
+ f 7=—l )dy +
4 1+ (*»*)' 2Vуг )
+ f - + _5_+_tf_+iU.
98. dt/ = ^2*#z + j dx+ j dy +
698
99. dU = (2xy + z4 + yz) dx + (jc® + 2yz + xz) dy +
+ (yi + 2xz + xy)dz.
§ 3. Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Вычислить поверхностные интегралы второго рода
100. JJ(tf+z*)dx{\dy,
где S — часть верхней стороны цилиндра 2=Уа2—х2, О^у^Ь.
101. (jc4 -f у* + 2oa2*) dx Д dy,
где S — часть нижней стороны параболоида az=xyt лежащая в
первом октанте и внутри цилиндра (х2+у2)2=Ьху.
102. С J (jc* + 62 — 2у*) dx Д dy,
's
где S — часть нижней стороны цилиндра y2=6zt
т- II (агх + Ьуг + cz2) dy Д dz,
где S — правая сторона цилиндра y2=2pxt х^.2р, O^z^q.
104. ^(Jc, + 2,)d«/A dz,
где <S — часть внешней стороны цилиндра х=У9—у2, 0^z^2.
105. ^ (x2 + ya + z2) dzsdx,
где S — часть внешней стороны конуса y=yx2+z2,
1°в. ^ ^ (y—z)dy Л d2 + (2—JC) dzAdx +(x—y)dx Д dy,
где S — часть внешней стороны верхней г>0 полусферы х2+
+ y2 + z2=2Rx, лежащая внутри цилиндра х2 + у2=2ах, a<R.
107. J ^ xdy J\dz + y2dz Д dx + z*dx/\dyt
где 5 — внешняя сторона поверхности тела x2+y2^ia2t —Я^г^
^Я.
108. ^ xdy Д dz + ydz Д dx + zdx Д dy9
699
где 5 — внутренняя сторона эллипсоида
а* 6* с*
109. x2dy Д dz + y2dz Д dx + z2dx Д dy,
где a) S — внешняя сторона поверхности тела x2 + y2^z, z^tf;
б) S — часть внешней стороны параболоида x2-fy2=«z, O^z^
110. Л dz + y2dz Д dx + z2dx Д dy,
где S — внешняя сторона поверхности тела x2 + y2<z2, O^z^tf.
111. ^xdy f\dz+ydz /\dx+zdx f\dy,
где S — внутренняя сторона поверхности тела лс+2у+3г^1, х>-
>0, у>0, z>0.
112. ^ (ху* + z2) dy Д dz + (yz2 + х2) dz f\ dx+(zx2 + у2) dx A dy,
где 5 — внешняя сторона верхней (z>0) полусферы x2-+-y2 + z2=»
-а2.
113. ^xydy Д dz + yzdz Д dx-f xzdx Д dy,
где S — часть внешней стороны конуса x2+y2=z2, 0<zs^tf.
114. ^Yx* + y2dy Л dz + ^ х2 + у2 dz Д dx + yT dx Д dy,
где S — правая сторона части поверхности тела x2-fy2^z2, х2 +
+у2<2—z, z>0, удовлетворяющая условию х>0.
116. ^ ^ *dy Д dz + ydz Д dx -f zdx Д dy,
где 5 — правая сторона части цилиндра у2 + х=1, 0^z^2, х>0.
116. ^x3dy Д dz + ysdz Д dx + z3dx Д dy,
где S — верхняя сторона части параболоида х2 + у2=2—z, z>0.
117. jjj (xz2 -f- у2) dy Д dz + (ух2 + z2) dz Д dx-f (zy2 + x2) dx Д dy,
где S—часть внешней стороны конуса 1—z = |/^xa + y*, z>0.
700
48. ^ x3dy /\dz + ysdz A dx + zdx A dy.
где S — часть внутренней стороны гиперболоида х2+у2—гг—\,
0<2<3.
П9. ^ (х + у1) dy Л dz + (у + zJ) dz Л dx + (z + х2) dx Д dy,
где S — часть внешней стороны цилиндра ха + уа = аа, O^z^tf.
120. СС угЧу Л dz + ztfdz Д dx + yx2dx Л 'dy,
\s
где S — внешняя сторона поверхности тела 0 sC z ^ л:2 - j- у2,
х>0, у>0.
121. ^ хгЧу Л dz -f yxadz Л dx + zy2dx A dy,
6
где S—внешняя сторона поверхности тела х2 + у2 + z2 ^ 2az, *а +
-fya>3z2, х>у.
122. ^ (х2 + у2) dy Д dz + (у2 + z2) dz Д dx + (za + х2) dx A dy,
где S — внутренняя сторона поверхности тела х2 + y2-fz2^a2,
>0, у>0, z>0.
где S — внешняя сторона поверхности тела Jt-f y-hz^l, x>0f
>0, z>0.
,м- и ydy Д dz — xdz /\ dx + zdx /\ dy,
где S—часть верхней стороны геликоида x=ucosvt y = us\nvt 2 =
= au, 0 ^ и ^ 2л,
§ 4. Векторный анализ
Найти grad £/, если:
125. /7=yx2 + ya + za.
701
126. U--
** + </*■+ 2г
127. Найти угол между градиентами функций u=\n(x2 + y2+z2)
в v=xy+yz-\-zx—18х—6z—у в точке М=(3, 5, 4).
Найти divf, если:
128. F =
—ix -h iy + kz
120*. F = r.
130. F =—.
Г
m.F=f{x:y z> t+ f(x y z) /—2 k, f <=ci (R).
yz xz xy
I». (-SL) i-2yl (-2.) i-,1 (-a.) *, |eC (Л).
Найти rot/7, если:
133, F=(jc-t-Z)f + (i/ + z)/ + (x* + .z)ft.
134. F = (x* + y2)«+ (t/1 + г*) j + (z* + x*)k.
136. F = z*i + y*j + x*k.
136. F = -±-i + — j+ — k.
^ x у
137. F=?.
138. F = c-f(r)t feCl(/J), с —постоянный вектор.
139. F = 7.f(r)t f<=&(R).
140. F=[cxf(r)r]t f^Cl(R), с—постоянный вектор.
дги , d*a . д*и
Пусть у и = grad и, Д и =
dFx
дх*
ал,
ддс
ay
ay*
afz
аг
. где и—скалярная
дг%
где F—вектор: F = {Z7*,
Fr F,).
Доказать следующие соотношения:
141. a) div(ayu) = u Ди + (уа)2;
б) div (и уи) = и Av + уы • уо;
• Здесь н в дальнейшем г={х, у, z}, г—|г|.
702
в) grad (u + v) = grad и + grad u;
r) div(F + 0) = div F + div Ф;
д) div(Mc) = c-gradu, с — постоянный вектор;
е) grad(wu) = a grad u +и grad a;
ж) div[FxO] = Ф-rotF—F-rotO;
з) div(w/7) = и div F + F grad u;
и) div grad u = Au;
к) rot grad u = 0;
л) rot(f + cP) = rot/7 + rotQ;
m) rot (uF) = и rot F + [grad и • F],
142. Найти div(grad/(r)). Выяснить, когда
div (grad f (r)) «0, f<=C'(R).
143. Найти div(f(r)c), f<=C'(R).
144. Найти div(f(r)r). Выяснить, когда
div(f(r)7) =0, fezC'(R).
145. Электростатическое поле точечного заряда q равно
Т. :Г
Вычислить div£ в точке М(х, у, г) (хдоЮ).
Проверить, является ли поле F* потенциальным, и если да, то
найти его потенциал.
146. F=2xyi + (х*+1)/\
147. F = (y+\)'i + 2x(y+\)j.
148. F — cos у i + х sin у /.
149. F = {y + z)i + (x+z)j + (x+y)k.
150. F = (yz+\)i + xzj-\-xyk.
151. F= -L±J.+ L'
х + У + г
152. F=e*sinyi+e*cosyj+k.
703
154. F = yz (2x + у + z) i -f xz (x + 2y + z)} + xy (x + у + 2z) k.
155. F = 2xyzi + x2zj + x2yk.
156. F= ■ i_ < 7-^—- / — . * k.
Vy-\-z V(y+z)3 Viy + zY
157. Доказать, что поле электрической напряженности £, соз¬
даваемое точечным зарядом <7, помещенным в начале координат,
является потенциальным полем, и найти его потенциал.
158. Найти потенциал гравитационного поля а=—тг/г3, соз¬
даваемого массой т, помещенной в начале координат.
Проверить, является ли поле соленоидальным, и если да, то
найти его векторный потенциал (с точностью до слагаемого
grad U, где U^Cl(D)).
159. F = (y + z)i + (x + z)\ + {x + y)k.
160. F = (6* + 7yz) i + (6у + Ixz) j + (6z + 7xy)k.
161. F = 2yi—zj + 2xk.
162. F = x(z2—t?)i + y(x2—z2)j + — x2)k.
163. F = y2i-(x2 + y3)j + z(3y2+\)k.
164. F={\ + 2xy) i—tfzj + (z2y-2zy +l)k.
165. F = 6y2i -\-6zj + bxk.
166. F = ye**i + 2yzj— (2xyzexi + z2) k.
Найти циркуляцию вектора F вдоль ориентированного конту¬
ра L
167. F = zH + х3j + y3k,
L = {(x, у) : 2x2 + z2—y2=--a\ x + y = 0},.
положительно ориентированная на правой стороне плоскости.
168. F= y2i + ху\ + (х2 + у2)&,
L={(x, у, z): x2 + y2 = az, х = 0у у = 0, г = а, х>0, 0},
положительно ориентированная на внешней стороне параболоида.
169. F = yexyi + хехУ] + xyzk,
£ = {(*. У. Z): х* + у2 = (г—1)а, х = 0, # = 0, г=0, (х^О, i/>0t
г>0)},
положительно ориентированная на внутренней стороне конуса.
704
170. F = xyi + yzj -f xzk,
L = {(x, у, z): хг-\-у2= 1, x + y + z=\},
положительно ориентированная на верхней стороне плоскости.
171. F=xi + xj + zk9
L = {(x, уу z):x* + y* + z* = a\ x + y + z = 0),
положительно ориентированная на верхней стороне плоскости.
172. F = yi—2zj + xk,
£. = {(*, у, z): 2хг—t/» + za = a2, х = у),
положительно ориентированная на правой стороне плоскости.
173. F=xj—yi9 L — окружность (х—Xq)2+(у—yo)2=R2 с поло¬
жительным направлением обхода.
174. F = (x + z)i + (x—y)j + xk,
х* и*
L—эллипс Ь — = 1, положительно ориентированный на верх-
fl* ь*
ней стороне плоскости 2 = 5.
175. F=(x+Зу+2z)i+ (2x+z)j+ (х—y)k, L — контур тре¬
угольника MNPMy где М=(2, 0, 0), JV=(0, 3, 0), Я=(0, 0, 1).
176. F=(x+y)i+ (х—2)/-f (y+z)kt L — контур треугольника
ЛВС А, где Л = (0,0, 0),В=(0, 1,0),С=(0, 0, 1).
177. F=(3x—\)i+ (у—x+z)j + 4zk, L — контур треугольника
ABC А, где Л, В и С — точки пересечения плоскости 2х—у—2 z+
+ 2=0 соответственно с осями координат ОХ, OY, OZ.
178. Найти работу поля F вдоль кривой L, если F=2xyi+x2j
и L есть наименьшая дуга окружности х2+у2=*\ от точки Л=*{ 1,
0) до точки £=(0, 1).
179. Найти работу поля F вдоль кривой L, если F=2xyi+y2j—
— x2k и L — часть_ кривой х2+у2—2г2=2, у=х от точки Л = (1, 1,
0) до точки Я=(У2, ^/2, 1).
180. Найти работу векторного поля F вдоль кратчайшей дуги
эллипса x=acosf, y=*b sin t от точки Л=*(а, 0) до точки В=(0, Ь)%
если:
а) ?={у, а};
б) F = {xy, х + у)\
F={2xy9 х2};
70S
г) F — сила, имеющая постоянную величину F и направление:
1) вдоль оси ОХ\ 2) вдоль оси OY;
д) У7 —упругая сила, направленная к началу координат и про¬
порциональная удалению точки от начала координат.
181. Под действием силы тяжести g, направленной по оси OZt
тело единичной массы скатывается от точки А = (а, 0, 2пЬ) до точ¬
ки В=(а, 0, 0) по спирали
х=а coscp, у=а sin<p, z=6(2n—q>).
Найти работу поля при таком перемещении.
Найти поток векторного поля F через поверхность S в направ¬
лении внешней нормали.
182. F = (х3 + уг) i + (у9 + xz)j + (г3 + ху) k,
5—верхняя полусфера: x2 + y2 + z2 = 16, г>0.
183. F = (ху + х%) i + (2у—2ху) / + (2 —yz) kt
S={(x, у, z): x2 + y2=z2, 0
184. F = (x—y + z)i + (y—z + x)j + (z — x + y)k,
S = {(*. У, г):\х\ + \у\ + \г\ = 1}.
185. F = 2xi + 2yj—zk,
S = ((xt у, 2): 2a = xa + j/a, 0<2<Я}.
186. F=2xi—yj + zk,
S—поверхность тела *в + г/2 + г*<4, 3z у*.
187. /*= — + z*kf
S—поверхноспГкуба 0^jc<a, 0<2*^a.
188. F = x2yi -f xylj + xyzkt
S—поверхность x* + у* + 2а<^а, v>0, #>0, 2>0.
189. A + y*/-fzafc, S —нижняя полусфера: j* -f |/a-fza= lr
z<0.
190. F=yi + zj + xk, S—поверхность пирамиды x+y+z^af
x>0, y>0, 2>0.
191. F=tfj + zkt 5—-часть параболоида z = x2 + y2, 2^2.
192. F = x*i—y%j + z2k, 5—поверхность тела xVf- i/a + 2a S/P,
706
193. F = xi—xyj + zk, S —часть цилиндра x% + yl = R2t ограничен¬
ная плоскостями 2 = 0 и x-{-z — R.
194. F = xzi + yzj + z2k% S—часть сферы х2 + у* + г2 = 9, отсечен¬
ная плоскостью z = 2 (г> 2).
196. F — хН + y*j + z3kt
S=((x, у, г) :x* + j/a = -£-**, 0<г<я).
196. f=(y-x)i + (x+y)j + yk,
S—верхняя сторона треугольника ABC, где А = ( 1, 0» 0), £ =
= (0, 1, 0), С = (0, 0, 1).
197. F = (3x— \)i + (y—x + z)j +4zkt S — поверхность пирамиды,
образуемой плоскостью 2х—у—2г+2=0 и координатными плос¬
костями.
198. F=(x—3y + 6z)i\ S — поверхность пирамиды, образуемой
плоскостью — х + у + 2г—4=0 и координатными плоскостями.
199. Вычислить поток жидкости в направлении внешней нор-
мали через верхнюю половину окружности x=Rcost, y=R sin t,
t/>0, если скорость потока v постоянна по величине и направле¬
на вдоль оси ОХ.
200. Вычислить поток жидкости в направлении внешней нор¬
мали через правую половину окружности jc=/?cos/, y=#sin/, jc>
>0, если скорость потока и образует угол я/4 с осью ОХ (|и|=
—const).
201. Вычислить поток жидкости в направлении внешней нор¬
мали через часть окружности x=acos/, i/=a sin/, лежащую в
первой четверти, если скорость потока v={jc-f у, у).
ОТВЕТЫ
1. —17. 2. 11. 3. — Я! Д яа Д Яв—4nj Дя2Д я4—ЗяаДя3Дя4.
4. 4лх А я„ Д я,+ 16я, А”» А я«—6я, Д Я, А я4—2я, Д я, Д я4.
5. 54. в. —14. 7. (x^ + x^dxi/\dx2/\dxt + (x1xl — xlxl)dx1A
Д dxs Д dxt + (x,xj—V*)*! Д dxa А <**4 + + x]xjdx2 А
А <£х3 А<£х4. 8. 7 , * ■ .[(-Xjx^x\—xlx\x^dxl ?\dx1+2xlx2x
х\х\+х\хJ
x^x^dxi л dxz+(xix2x\-x]xzx4)dxl f\dxi+(x}x3x4-xix2x4) x
dx2 A dxi — Ix^xjx^x^. dx2 A dx+ + (*!*!*♦+*1*2*3) <ix3 A dx J.
9. 4x1xixtdx1 A dxt A dx4+4x1x#x4di1 Д <fxa Д dx$. 10. 0.
707
11. (х*х4 — 2xxx3xt) dxx Д dx2 + (x*x8 — 2xlxlx3) dxx Д dx4 + (x]xA —
—2xxx3xA)dx2 Д —xlxtydx3 [\ dxx. 12. \xzdzf\dx +
-\-4xydx/\dy+4yzdy/\dz. 13. 6xyz dx f\ dy f\ dz. 14. 2cos(xt +
+ x2) cos + x3) [dx, Д dx2 Д dx4 + dx2 Д dxz Д dx4] — 2sin (xx +
+ jc2)sin(xs + jc4)[dj:1 Д dx2 Д dx3 + dx! Д dx, Д dx4].
15. — (xlx2 + x2xA)dx1 Л dx2 Л dx3 — (x3x4 + x2xA) dxA Л dx3 Л dxA — (x3xA +
— x])dxi/\dx2AdxA — (x2xl-\-x])dx2Adx3Adx4. 16. Замкнута. 17. Нет..
18. Замкнута. 19. Замкнута. 20. Замкнута. 21. Нет. 22. Нет. 23. Замкнута.
24. (sinx cosx — x2sinx— x)dx. 25. —у dy.
26. al6(sin/cos/ —t)dt. 27. 3a2bt*dt. 28. —xy(cosx +
+ cos y)dx/\dy. 29. 2arctg — dy Д dz. 30. — 2xzdzf\dx.
31. 2/?3cos34>d<P Д dty. 32. 2b2a3u* (cosy -f-sin v)du Д dv.
33. —a sin <p sin cos (a + b cos Ф)3 dy Д d\34. 2a3 uv du Д dv.
35. [R2 sin ф cos2 ф f /?2 sin ф cos3 ф -f 2R cos2 ф sin ф—h2 sin ф] dyf\dh.
36. —2n. 37. л/4. :38. —. 39. —4. 40. —л/8. 41. — a2—
' 2 35
42. —. 43. ln2~e 44. —. 45. ne. 46. 21.
990 35 ' 64 ‘ 10
47. —In5+ 4/5. 48. 49. 0. 50. a3 (4 In 2—3). 51. -jla3
52. — —. 53. —. 54. 0. 55. 3. 56. — 57. a) 0; 6) 0.
16 3 3
го 16 ГЛ v 7ta3 a1 . а* -ч па3 a3 « na* n
58. —. 59. a) ; 6) -fa2. 60. 2a.
JI3 ' 16 12 2 1 16 J2 2
61. fL(3n+10). 62. — а8/3л. 63. -a3л. 64. —.
3 32 2 32
65. —8л. 66. l/Зла2. 67. —16л. 68. — 2/2 яа». 69. а) 0;
б) —2. 70. —. 71. — а2. 72. — 2лаа. 73. а1
’ 3 3 8
74. — —. 75. ?1а3. 76. — 12лаг. 77. 80л. 78. 4лаг. 79. 0.
2 15
80. —4. 81. 1. 82. 37. 83. 4. 84. 123. 85. 3. 86. 15. 87. -.
2
88. arcctg-—. 89. arcctg^ ~j. 90. х3 cos у + у2 cos х. 91. х +
+ уе*1У. 92. Y*r+7+JL + C. 93. ^+с.
X 2 X* + у% + г*
94. x^l — */2 + уYl — хЧ-Ь arctg — + \ny + C. 95. V\-\-xy +
x
-farctg — -fe*sin2i/ + ln tg-—-+C. 96. ln(x2-f y2)-\-x2 1 + y—
708
— arctg xy + x In x — x — In 1 — f-C. 97. arctg (xyz) +
If
+ ln(jc2 + z2)- Л/ JL+x2-y+z+C. 98. xa£/z-h — r + C*
Г 2 2 2
99. ж2// f ^z + z^ + xi/z + C. 100. Yo6(ft* + 2as). 101.
102. 324. 103. -^(2c2p2<7 + 4bp^ + cp(/3). 104. 88. 105. y-.
106. яа*/?. 107. 2na>H. 108. —4*af>c. 109. a) —nH\ 6) —~nH\
3 3
110. ’i^. Ml. L. 112. -^(8a + 5). 113.
2 12 20 4
114. — + я( —1/2 -V 115. —. 116. 8я. 117.
2 V 15 r 3 } 3 60
118. 104,4я. 119. 2яa2H. 120. —. 121. 122. 3nfl4
125.
7 ' 60 8
123. Г(«+1)Г(Р+1)Г(у+1) ,24 Яа3(1+Я).
Г(а + р + Т+5)
f... * У г , ...1
I Ух2 -f у2 4- z% ’ Vx* 4- y2 4- z% * Ух9 + y2+ z2 J
126. f —
\ {x2 4- y2 4- z2)2 ’ (x2 + y2 4- г2)2 ’ (x2 4- У2 4- **)*
127. arccosJ^-. 128. - x- ~ H !—r^. 129. 3. 130. —
10 (** + !/*) ' J(JK* + sr*)1/2 r •
131. 0.. 132. —2/ 133. {—1; 1— 2x; 0}. 134. {—2z; — 2x\
_* 1_ у 1_
y2 x z* у *
— 2y). 135. 0; 3z2—3x*; 0). 136. j y-
-1. 137. {0, 0, 0}. 138. -Ш-[гхс]. 139. 0.
x2 г } r
140. 2/ (л) Г+ -Г- [с (7 7)—7(Г-?)]. 142. Г» + —m f=ci + ^-.
Г гг
143. ili^l(c.r). 144. 3f(r)+rf'(r); /=—. 145. 0. 148. xbj+y+C.
Г Г
147. х(у+ 1)2 + С. 148. Не является. 149. ху + yz + zx + C.
150. x + xyz + C. 151. ln|x-fy + z\ +C. 152. ex s\r\ у + z + С.
153. — + — + — + C. 154. jn/г (jc + у + г) 4- С. 155. x2yz-\-C,
l56, yf+l+c- ,58‘ T- l59- (y + X{,)i+(~T~zx+yz +
+ 160. He является. 161. x2j-\-(xz-\-y2)k.
709
162. ^zy*x—+ {г*Ух—является-
164. (ггух—2zxy \ x) j -\- (уггх + y)k. 165. Злг2/ + (2у3 — 6zx) k.
166. —(xz* + yze*') j—2xyzk. 167. -^-яа4. 168. -j-. 169. 0.
170. — я. 171. 172. Зла2. 173. 2я£2. 174. nab. 175. —5.
Уз
176. 1. 177. 0. 178. 0. 179. 2^2—7-. 180. a) — ^ +ab;
б) ~~~ Ь ~~ I ~~; в) 0; r) 1) -aF; 2) Fb; д) I,
—^
где k—коэффициент пропорциональности. 181. 2л\g\b.
182. -^- 210. 183. 0. 184. 4. 185. 2nh3. 186. -15я. 187. a6.
188. —. 189. —л/2. 190. 0. 191.— 2я. 192. nR*.
3
193. iiR3(2 + R)/2. 194. 45л. 195. nR'H Ю6. -L.
197. -y. 198. -j-. 199. 0. 200. RY2\v\. 201. -|-(я+1).
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1. Доказать, что замыкание жорданового множества объема
нуль есть жорданово множество объема нуль.
2. Привести пример ограниченного множества меры нуль, за¬
мыкание которого не является множеством меры нуль.
3. Доказать, что компакт К меры нуль есть жорданово множе¬
ство объема нуль.
4. Привести пример несчетного множества, не являющегося
жордановым, замыкание которого жорданово.
5. Доказать, что множество всех внутренних точек жорданово-
то множества жорданово.
Следующее построение используется в задачах 6 и 7.
Обозначим через U]tX интервал с центром в точке 1/2 и дли¬
ной 1/5. Множество [0, l]\l/i,i состоит из двух отрезков ри и
Pi,*. Интервалы U2< i, U2>2 имеют центры в центрах отрезков pi,i
и pi,2 соответственно и длину 1/52. Интервалы U|,ь U2t ь U2t2
2
взаимно не пересекаются (проверить!) и множество [0, 1 ]X
i=i
2<-1
X [J Uu состоит из четырех отрезков р2, i, рз. 2, Рг,з, P2,4- Пусть
/= |
построены непересекающиеся интервалы для 1^/^
710
fcj 2l“l
^2i_1. Множество [О, 1]\И И Чц состоит из 2к отрезков р*.и
i=--i /=*1
Ok,2. • • • t ?k,2k- Тогда интервалы Uk+1,1» *4+1.2. • • • 1.2
имеют центры в центрах отрезков р*,ь р*,2, Р*.2* соответствен¬
но и длину l/5*+I. Проверить, что эти интервалы не пересекаются
ни между собой, ни с ранее построенными интервалами. Таким
образом, по индукции определяется бесконечная система интерва¬
лов Uij:\^.i<oot
6. Пусть
M = fO, 1]\Q И "и и Р = ИХ> У)'х^М9 yt=M}.
i-=i /=1
Показать, что Р есть компакт и не есть жорданово множество.
7. Пусть
D=( 0, 1) X (О, 1)\Р, где Я —множество, определенное в зада¬
че 6. Доказать, что D есть ограниченное связное открытое множе¬
ство, не являющееся жордановым (сравните с тем, что в про¬
странстве /?1 ограниченное связное открытое множество может
быть только интервалом, т. е. жордановым множеством).
8. Привести пример отличной от нуля на множество мощности
континуума функции f :/-*/?, где /=^[0, 1 ] X [0, 1], такой, что
^fdx — О для любого жорданового множества Dczl.
9. Привести пример непрерывной, не равной тождественно
нулю функции f: I-+R, где /=*[0, 1]Х[0, 1], такой, что ^fdx = 0.
/
10. Пусть функция f: /?"-*■/? непрерывна на жордановом мно¬
жестве Dc:Rn, \D\¥*Q, и не равна тождественно нулю. Доказать,
что найдется такое жорданово множество MczD, что ^ fdx^O.
м
11. Доказать, что для непрерывной и неотрицательной на жор¬
дановом множестве DczR” функции f: D-+R из равенства ^fdx = 0
D
следует, что или |Z)|=0, или / тождественно равна нулю на D.
12. Доказать, что если fe^(D), Dei?", \D\ >0 и /(дг)>0,
xeeD, to j /dx>0.
D
13. Пусть /e#(D), DczRn. Пусть x0 — внутренняя точка D9
f — непрерывна в x0, {Ea} — совокупность жордановых подмно¬
жеств D, для каждого из которых точка х0 — внутренняя, и
d{Ea) =sup {||xi—-C2II}, хи x2f=Ea.
Доказать, что
lim -ГГ7 ^ fdx = f{x0).
d(Ea)-+0 I I J
£a
711
14. Установим взаимно однозначное соответствие между мно¬
жеством всех рациональных чисел интервала (0, 1) и множеством
всех нечетных натуральных чисел М и обозначим через гт число,
соответствующее элементу теМ. Положим
хп.р.я = Н -—, ле Nt р^М, q^M.
2п q2n+l
Доказать, что:
а) из равенства xnxtPxtQ% = Xn,.Pl.«e следуют равенства п1=п2,
Pi=P2> qi~q2'
р
V 2-2"
б) Пусть yn p q — rq + ■ 1>~~ ~~и~ , осли эта сумма меньше 1, и
Уп,р,ц= rg + 'j7^ in ^ в ПР0ТИВН0М случае. Тогда множество
£={(*..'.У*.,.* neN• qeM.peM. p<2'}.
лежит в квадрате /=i[0, 1]Х[0, 1], пересекается с любой гори¬
зонтальной прямой у = уо, Ь<уо<-1, и любой вертикальной прямой
х=х0, O^JCo^l, не более чем в одной точке и £=/.
в) Характеристическая функция хе множества Е неинтегри-
руема на /, хотя оба повторных интеграла
it 11
^dx^xudy, ^dy^XEdx
0 0 0 0
существуют и равны нулю.
15. Функция /:/->/?, /=[0, 1]х[0, 1], определяется следующи¬
ми условиями:
1) /(х, 1/2”) = 0, если х€=[0, 1 /2П] U [1/2"—1, 1], neiV;
2) /(5/2"4-2, 1/2") -= 2п~'/гг, /(7/2nf2, 1/2”)-= — 2a~V,
3) /(х, 1/2”) линейна на отрезках [(1/2”; 1/2”); (5/2п+2; 1/2”)], [(5/2п+2
1/2"), (7/2"+2; 1/2")], [(7/2"+2; 1/2"), (1/2'-'; 1/2")] (см. рис. 105);
4) /(*, у) = 0, если 0(1/2" —1/2"^; 1/2"+1/2п+2) и *е;[0,1];
П — 1
5) для каждого хое[0, 11 функция /(x0, у) линейна на отрезках
[1/2" — 1/2пЧ”2, l/2n-f- 1/2мЧ^2] (обратите внимание, что для любо¬
го x0ef[0, 1] функция /(х0, У) может быть отлична от нуля не бо¬
лее чем на одном отрезке вида [1/2п — 1/2п+2; 1/2”+ \/2п*2].
Доказать, что:
а) функция /(х, у) непрерывна и неограничена на D=(0, 1]Х
X (0. 1];
б) для каждого х0с=[0, 1] и каждого у0^[0, 1] функции /(х0,
у) и f{xt у0) интегрируемы на [0, 1];
712
1 1
в) функции Ф (х) = С / (х, у) dy и W(y) = ^ / (х, у) dx непрерывны на
I 1° °*
(О, 1] и ^Ф(х)йх =^(y)dy = О.
16. Привести пример функции, непрерывной и ограниченной
на множестве меры нуль Лебега, но неинтегрируемой на этом
множестве.
17. а) Пусть на прямоугольнике [a, b] Х,[с, d] задана функция
(х, у), такая, что f(x, y)^f(x\ /), если х^х' и у^у*. Доказать,
что Дх, у) интегрируема на этом прямоугольнике.
б) Пусть функция f(x, у) ограничена на круге и удовлетворяет
условию п. а). Доказать, что /(х, у) интегрируема на этом круге.
18. Привести пример таких областей Dxcz/?2, DtczR2 и отобра¬
жения г|: \Dt-+Dx, что ф ^Cl(Dt), якобиан отображения ф отли¬
чен от нуля для всех t^Dt, но ф не является диффеоморфизмом.
19. Доказать, что якобиан для сферических координат в Rn
xx=-r sin 0! sin б2 ... sin 0a_i
п—1
Xm = rcos0m_i П sin0*
к—т
1 хп = г cos e„_i, г > 0, 0, е [О, 2л), |0те|О, я], т = 2, ... , л—1,
п=*1
равен гп~1 sin*—1 Эл.
м
713
20. Показать, что функция }(х, у), определенная в задаче 15„
интегрируема в несобственном смысле на /=[0, 1]Х[0, 1]. Вы¬
числить ^ f (х, у) dxdy.
21. Показать, что характеристическая функция %d множества
Df определенного в задаче 7, интегрируема в несобственном
смысле на /=![0, 1 ] X [0, 1]. Вычислить t^X^xdy.
22. Пусть /=[0, 1] х [0, 1],
Dt = ( 1/2", 5/2"+2) х (1/2", 5/2n+2) U (3/2П+2, 1/2") х (3/2"+2, 1/2”),
ЦТ = (1/2", 5/2"+2) х (3/2"+2, l/2")U(3/2n+2, 1/2") х (1/2", 5/2"+2)
(см. рис. 106) и
2*", (X, </)<=£>+;
-22", (дс, у)<=ДГ;
0, (х, i/) е / \ 0 (Д^ (J ДГ).
Л=» 1
f (X, У) =
Доказать, что
а) интеграл y)dxdy расходится;
б) для любого *о^[0, 11 и любого i/o<= [0, 1] функции {{хо, у)
и Уо) интегрируемы на [0, 1J;
в) ^/(*о, y)dy = 0 для любого хоеЕ[0, 1] и^ /[(*, y0)dx= 0, для
любого уое[0, 1].
23. Пусть
U = {(*, у. 2): (х, 1/, г) - гк (0, / €= [0, 1]}—
714
семейство простых гладких кривых, лежащих в области DaR* и
таких, что:
1) последовательность /'п(О) сходится к точке AaD при Лг->
*■■■►• оо *
2) последовательность r'n(t) на [0, 1] сходится равномерно к
<р(/), причем |<р(01^0, 0, 1].
Доказать, что:
а) последовательность отображений rn;[0, 1]-W?3 сходится к
отображению г: [0, 1 ]—W?3dCl[0, 1],
б) для любой функции f^C(D) имеем равенство
где простая гладкая кривая
£ = {(*. У. *):(*, *) = г (/), /<=[0, 1]}.
24. Пусть /=[0, 1] X [0, 1J и Sn = {(x, //, z):(xt у, г) = гп(м, о),
(а, и) е /}—семейство простых гладких поверхностей, лежащих в об¬
ласти DczR3, таких, что последовательность ая = sup {||г* (а, и)|| +
+ llrn(w» и)П» (w* фундаментальна. Доказать, что:
а) последовательность отображений гп: I-+D сходится к отоб¬
ражению г : /-►DeC1 (/);
б) если [r'u xrjTfcO, (ы, и)е/, то для любой функции f еДС )
имеем равенство
«S—сфера л? + у2 + za = 1 [и /еС(—*|/аа + Ь2 + с2, Yа% +
26. В прямой круговой цилиндр радиусом R и высотой Н впи¬
шем многогранную поверхность Рп>т (сапог Шварца) следующим
образом. Параллельными плоскостями делим цилиндр на т рав¬
ных цилиндров высотой Him. Каждую из т+1 полученных
окружностей — оснований цилиндров — делим на п равных частей
где простая гладкая поверхность
£={(*, у, 2):{х, у, г)-г(a, v), (а, c)ei).
25. Доказать формулу Пуассона
где
715
так, чтобы точки деления на одной окружности находились над
серединами дут ближайшей нижней окружности (см. рис. 107).
Возьмем две соседние точки а и b на одной окружности и точку
с, лежащую на ближайшей окружности над или под серединой
дуги (а, Ь). Треугольник с вершинами в точках а, b, с назовем
Та.ь.с- Совокупность всех таких (равных между собой) треуголь¬
ников образует многогранную поверхность Рп<т.
Если функция u:Rn-+R дважды дифференцируема, то символ
28. Пусть односвязная область DczR2\ LczD — кусочно-глад-
кий контур, п — вектор внешней нормали к L и 5 — фигура, огра¬
ниченная контуром L. Доказать, что для функции u^C2(D) спра¬
ведливо равенство
29. Пусть односвязная область DczR2\ LczD — кусочно-глад¬
кий контур, п — вектор внешней нормали к L и S — фигура, огра¬
ниченная контуром L. Доказать, что для функций ueC2(D) и
v^C2(D) справедливо равенство (вторая формула Грина на плос¬
кости)
Функция и : Rn-+-R называется гармонической в области Da
cz/?n, если u^C2(D) и Ди=0 для всех x^D.
30. Пусть D — односвязцая область в R2. Доказать, что функ¬
ция ueC2(D) является гармонической в D тогда и только тогда,
а) Показать, что если п-+ оо, т-+
—>-оо и т/п2-+ оо, то площадь |Pn.m|
многогранника Рпт неограниченно
растет, хотя длины сторон треуголь¬
ника Та,ь,с, являющегося гранью
Рп,тп> стремятся к нулю.
б) Найти предел |Яп.т|, если л-*-
-►оо, пг->оо и mln2-+p.
27. Доказать неравенство
Рис. 107
[х,у,2) €L
п
А и обозначает
716
когда для любого кусочно-гладкого контура LczD выполняется
31. Пусть функции и и v —гармонические в односвязной обла¬
сти DczR2 и u(x)=v(x) для всех точек х, лежащих на кусочно¬
гладком контуре LczD. Доказать, что и(х) =v(x) для всех
где 5 — фигура, ограниченная L (т. е. гармоническая функция од¬
нозначно определяется в 5 своими значениями на границе S).
32. Пусть функции и и v гармонические в односвязной области
DdR2; LczD — кусочно-гладкий контур и п — вектор внешней
т ту du dv /
нормали к L. Доказать, что если — —■ во всех точках L,
дп дп
то в области, ограниченной L, разность и(х)—v(x) постоянна.
33. Пусть и — гармоническая функция в односвязной области
DczR2\ LczD — кусочно-гладкий контур и п — вектор внешней
нормали к L. Доказать, что для точки х0, лежащей в области
ограниченной L, справедливо равенство
где г — вектор из точки х0 в точку х контура L.
34. Пусть и — гармоническая функция в области DczR2. Дока¬
зать, что для любой точки XqCzD справедливо равенство
где С — окружность с центром в точке х0 и радиусом /?, такая,
что круг S={x : ||х—x0\\^R}czD.
35. Доказать, что гармоническая в области DczR2 функция и,
отличная от постоянной, не имеет □ этой области локальных экс¬
тремумов.
Односвязно-й областью в /?3 назовем такую область D, что для
любой замкнутой поверхности SdD тело V, ограниченное S, цели¬
ком лежит в D.
36. Пусть D -7 односвязная область в Rz\ SczD — кусочно¬
гладкая замкнутая поверхность, п — вектор внешней нормали к
5’ и V — тело, ограниченное поверхностью V. Доказать, что для
функции udC2(D) справедливы равенства
равенство
L
где п — вектор внешней нормали к L.
1п и ds,
on j
L
С
а) Z^dS = №AudXdydZ'’
s V
V
717
37. Пусть D — односвязная область в /?3; SczD— кусочно¬
гладкая замкнутая поверхность, п — вектор внешней нормали к
5 и V — тело, ограниченное поверхностью S. Доказать, что для
функций u^C2(D) и V^C2(D) справедливо равенство (вторая
формула Грина в пространстве)
ди dv
дп дп
и v
dS.
38. Пусть D — односвязная область в R3. Доказать, что функ¬
ция ueC2(D) является гармонической в D тогда и только тогда,
когда для любой кусочно-гладкой замкнутой поверхности SczD
выполняется равенство ^ dS = О,
s
где п — вектор внешней нормали к S.
39. Пусть функции и и v — гармонические в односвязной обла¬
сти DczR3; SczD — кусочногладкая замкнутая поверхность и
V — тело, ограниченное S. Доказать, что если u(x)=v(x) для
всех xeS, то и(х)=и(х) для всех хеК
40. Пусть функции и и v — гармонические в односвязной обла¬
сти DczR3, SczD — кусочно-гладкая замкнутая поверхность, п —
вектор внешней нормали к ,S и V — тело, ограниченное поверхно¬
стью 5. Доказать, что если для всех xeS, то разность
дп дп
и(х)—v(x) постоянна в v.
41. Пусть и — гармоническая функция в однопвязной области
DczR3\ SczD — кусочно-гладкая замкнутая поверхность и п —
вектор внешней нормали к S. Доказать, что для точки х0, лежа¬
щей в области, ограниченной поверхностью 5, справедливо равен-
ство
cos (г, п) +_±_JU_\dS
И2 \Г\ дп
где г — вектор из точки х0 в точку х поверхности 5.
42. Пусть и — гармоническая функция в области DaR3. До¬
казать, что для любой точки х0eD справедливо равенство
6’
где 5 — сфера с центром в точке х0 и радиусом R, такая, что шар
V :{x, \\х—x0IK/?}c=D.
43. Пусть S — кусочно-гладкая замкнутая поверхность, п —
вектор внешней нормали к 5, V — тело, ограниченное поверх¬
ностью S\ г — вектор из точки х0, лежащей вне S, в точку х по¬
верхности S. Доказать, что ^ cos (г, п) dS.
718
44. Пусть S — кусочно-гладкая замкнутая поверхность; п —
вектор внешней нормали к S; г — вектор из точки Хо, лежащей
вне S, в точку х поверхности S. Вычислить интеграл Гаусса
JJ_C0SibJ!LdS.
S
45. Пусть область DcR3; функция иеС1 (D); Lc:D — кусочно-
гладкая ориентированная кривая, проходящая через точку х0е
eD. Найти lim—^— С dx + dy + dz%
| и 1 J дх ду дг
где Le = L[\{x:\\x—х<(|| < е}.
46. Пусть область DczRs; функция ыеС1 (D), SczD — кусочно*
гладкая ориентированная поверхность, проходящая через точку
XqGzzD. Найти
lim—J— ^~dy /\dz +-^-dz Д dx H » dx Д dy,
e-»o I St I JJ дх ду дг
где s, = sn{*:||x — *oll<e}.
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ
2. Например, множество всех точек квадрата (О, 1]Х[0, 1], обе координаты
которых рациональны. 3. Пусть 8>0 и {/"}, ле Nt—система брусов таких, что
оо °°
К с: JJ /п, £ | /п |С е. Поскольку К—компакт, то из системы {/"}, neN, вы-
Я*=1 л —1
Q
деляется конечная подсистема /*, 1 такая, что К с: JJ Iя. Так как
«-1
Q оо
Я l^l<* Е |7"»<е’ ТО жоРданово множество объема нуль. 4. Например,
0-1 л—1
множество М всех точек квадрата /=[0, 1]Х[0, 1], обе координаты которых
иррациональны, поскольку замыкание М есть квадрат I, а характеристическая
функция хм не интегрируема на / (проверить!). 5. Указание. Использовать со*
отношение: д{дМ)адМ, где дМ — множество граничных точек множества Af.
в. Множество М замкнуто как дополнение открытого множества. Если
(хп, Уп)<=Р и (*„, Уп)-+(хо, уо), п-+ оо„ го хп-+х0, уп-+уо, п-+оо. Так как х„еМ,
Уп&М, то ХоеЛ1, i/oeAf, т. е. (*<>, уо)&Р. Итак, Р — замкнутое ограниченное
множество, т. е. компакт. Из построения следует, что длина каждого из отрез¬
ков р*j, 1</<2\ меньше, чем 1/2*, т. е. на любом интервале, длина
которого больше, чем 1/2*, найдутся по крайней мере две точки, не
принадлежащие Af. Отсюда следует, что все точки М и все точки Р — гранич¬
ные. Осталось проверить, что дР=Р не есть множество меры нуль. Предполо¬
жим, что существует система А открытых прямоугольников {/*}, *= 1, 2 ...,
оо »
что (J Р и |/*|< 1/8. Положим <j) — utJ X ( — 1/16, 17/16) я
(—1/16, 17/16) X иц и обозначим В1 систему прямоугольников Blif
и В2 систему прямоугольников В2 • Система Т открытых прямоугольников
Т = А[)В1[)В2 покрывает квадрат [О, 1]Х[0, 1]=/, следовательно, из нее можно
выбрать конечную подсистему Gf, \<q^Q, покрывающую /. Следовательно.
Q
для этой подсистемы выполняется неравенство ^ |Gp|>-1. Разобьем прямо-
<7=1
угольники подсистемы Gq на три группы: первая—прямоугольники из системы
Л; вторая—прямоугольники из системы Вх\ третья—прямоугольники из системы
В2 — и обозначим соответствующие суммы площадей этих прямоугольников че¬
рез 21, 2й, £П1 соответственно. Имеем
2 \/
с=й /-1 /—О
= A._L.A= _L. 2Ш<-9-
8 5 3 8 8
/=1 9=1
-I-Z11 £111 <—. Полученное противоречие показывпет, что ОР^Р не есть
множество меры нуль и, следовательно, Р не есть жорданово множество. 7.
Множество D есть дополнение до открытого множества (0; 1)Х(0; 1)
замкнутого множества Р. Следовательно, множество D открыто и огра¬
ничено. Множество (0; 1) X (0; 1) жорданово (см. свойство 6 жордановых
множеств, с. 8), а множество Р не является жордановым (см. задачу 6). По¬
этому п силу свойства 1 жордановых множеств (см. с. 8) множество D также
не является жордановым Пусть точки М, = (дг,, y\)^D и М2=(х1/2) eD. От¬
резки [Л1Ь А], [А, Я], [В, Л42], где А = (хи 1/2) и В=(х2, 1/2), целиком лежат
в D и составляют ломаную L : MtABM2, целиком лежащую в D. и соединяю¬
щую точки Afj и М-2. Итак D связно, даже линейно связно. 8. Например,
/(*. 40=0, *^[0, 1], уф\12 н f{x, 1/2) = 1, хе[0, 1]. 9. Например, f{x, у) =
=х—у. 10. Поскольку |D|>0, то множество D9 внутренних точек D непусто.
Если f(x)= 0 для всех .reD0, то в силу непрерывности f(x)= 0 и для всех хе
что противоречит условию, следовательно, найдется внутренняя точка х0
множества D, такая, что f{x0)¥i0. Пусть для определенности /(*0)>0, тогда
найдется такой шар (б — окрестность х0) М = {х, ||х—х0||<б}, что MaDP и
fix)>f{xo)l2, х^М. Шар М есть жорданово подмножество D и ^ f {к) dx>
м
f (*0)
> |Af |> 0. 11. Указание. Использовать утверждение задачи 10 и ад¬
дитивность интеграла. 12. Указание. Использовать критерий Лебега и провести
рассуждение, аналогичное решению задачи 10. 13. Указание. Применить теоре¬
му об оценке интеграла. 14. а) Пусть Хпх,рх.рх = xnt,Pt,qt и л = тах(Л|, ла) 1.
Умножая равенство
ft | 1 Рг _|_ 1 , .
2П‘ 1 2"1 Чг-^' ^'
на q\'2n, получим, что отношение qdq2 есть целое число, а умножая это равен¬
ство на q2-2n, получим, что отношение q2\qi — целое число. Следовательно,
720
ql = q2=q. Умножая равенство (•) на q*2я, получим равенство Pi<7-2" л‘ +"
_j_ 2'*—л1—1 = p2q2n~nt -|~ 2Л—Л»~1 Если п\фп2, то одна из частей этого равен¬
ства четное число, а другая — нечетное, что невозможно. Итак, пх = п2. При
<7,=q2 и п\ = п2 из равенства (•) следует, что Pi = Pa.
б) Из построения следует, что 9 < хп pq < 1, 0 < уп pq < 1, леЛ/, p^Nt.
qaN, т. е. £с=/. Если jr0e[0, 1] не входит в множество {xnpq}, л«=Л/, р«=М,
q^M, то вся вертикаль х=х0 не пересекается с £; если же х0 —
= хП9 р# то в силу однозначности определения чисел Яо, ро, <7о (п. а) на
прямой дг--х0 лежит единственная точка из Е, координата уо которой равна
Уп л Л Для доказательства того, что любая горизонталь пересекается с £ не
•*о» * Я о'
более чем в одной точке, надо показать, что из равенства Упх ,рх,я% ~
следуют равенства пх = п2, Pi = P2, <7i = <72. т. е. УПв,р0.?в однозначно определяет
Ра
тройку чисел п0, р0, <70. Действительно, если y„t,PtiQl =Упа,ра,яг т0 ~
Pi
= -f + б, где 6 принимает одно из значений 0, 1, —1, и, сле-
1 Г Pi Pi
довательно, число -р=- |
рационально, что возможно только тог-
Р* Pi
да, когда = 0, а из этого равенства в силу нечетности pj и р\ сле¬
дует, что л, = п2. pi«=p2. Тогда + б, а так как 0<г(/><1 и О С г <
<1, то Осталось показать, что в любом прямоугольнике Д=[а, 0JX
X [у, б] с:/ найдется по крайней мере одна точка множества Е. Действитель¬
но, если l/2*°<(jfc—а)/8, то найдется такое p0t=MQ, р0<2°, «по а<р0/2*°<(р0 +
-f 1) /2”°< р. Так как Ро/^*<p0/2rte + l/<7-2n°+1 < (р0 + l)/^0 Д*ПЯ всех
q^Mt то хПо Ро \а, Р). Далее обозначим через (у, б)* интервал (у — Ро/211*,
б —ро/^0), если у — р0/2/т° > 0, н интервал (у-г-Po/2np + 1, 6 —Ро/2"* -f 1)
в противном случае, тогда (у, б)*П(0, 1)^=0 и найдется рациональная точка
г<70е(у, б)*Г)(0, 1). Тогда (/п0,р0,<70 е lY* Gl (проверить!) и, следовательно, точка
(*пв.р*,ао» Уп9,р0,я9) е ЕП
в) Немедленно следует из утверждения б).
15. Указание. Графически изобразить f(x0, у) и f(дг, (/о)- 16- Например,,
функция /(*, у) определенная в квадрате [О, 1]Х[0, 1], равная нулю, если оба
аргумента х и у рациональны, и равная 1, если хотя бы один из аргументов —
иррациональное число.
18. Например, Dx~{(x, у) : 1/4<х2+{/2<4>, £<-{(*, s) : 1/2</<2, —Ж
<s<Зл), ф : x=t cos s, ^=/sins. 20. 0. 21. 4/9. 22. Указание. Проверить, что
f(*. у)€еЯ(Еп) для любого Еп— (1/2", l)X(l/2rt, 1], neJV, и lim ^ \[ (х, y)\dxX
£п
XdyQ = oo. 23. а) Так как Ln — простая гладкая кривая, то
= (*»('). Уп(*). za(t)) и хя(/)еС'[0, 1], yn(t)e=Ol0. 1], z„(/)eC«[0, 1].
Из условий 1) и 2) следует, что:
1) **(0)-кк0. 1/л(0)-м/о, z„(0)->zo, где х0, y0t z0 — координаты точки А.
2) Последовательности х'л(/), y'n(t), z'rt(/) сходятся равномерно на [0, 1]..
Отсюда следует, что последовательности xn(t), yn(t), zn{t) равномерно схо¬
дятся на [0, 1] к функциям х(/), y(t), z(/)cCl[0t 1], т. е. г„(/)-*г(Л*»
= {*(0. У(0. ^(/)}sC‘l0l 1] и r'(t)=q>(t), /е[0, 1].
б) Так как |г'(01 = |ф'(01=^0, 0, 1], то множество L*»
= {(*. У. г) : {*, У, z)=r(t), /е[0, 1]} является простой гладкой кривой. Тогда
721
J / * — С fds= \{f (x (0. у U). z(0) VX, +У,' +!.’ —
L Ln 0
-M*n(o. yn(‘), z„(0)]/"i(jrn)i],+[(!/n);i, + [Un);i*}^.
В силу равномерной сходим,ости на [0, 1] функций xn(t), yn(t), zn(t), (xn)t%
(yn)t\ (zn)t' к функциям x(/), y(t), z(t), xt(t), zt {t) соответственно
и непрерывности функции f последовательность
f (•» (О, У (0. г (0) К *1 + У, + г, — / (*„ (0. Уп (0 . (/)) X
Х1Л* п (01* -h (У„ (01* + 1*п (01* равномерно стремится к нулю на
[О, 1] и, следовательно, ^ / ds— Jfdsj —*0, п-*оо. 24. Доказательство про-
водится аналогично доказательству утверждения задачи 23. 26. Указание. Сде¬
лать поворот осей координат так, чтобы плоскость ax+by+cz=*0 стала ко¬
ординатной плоскостью и=0. 26. а) Указание
\Tabc\= Rsln — 1/ -J- 4tf*sin« —; б) 2nR VН* + RWp*. 27. Ука-
п F т1 2п
зание. Показать, что \Pdx Qdy R d2\ < YР2 4- Q* 4- Rl ds. 28. Указание.
_ „ Г du
Преобразовать интеграл \а-—ds в интеграл второго рода и применить
J dn
L
формулу Грина. 30. Указание. Применить утверждение задачи 10 и формулу
Грина. 31. Указание. Применить равенство задачи 28 и утверждение задачи 11,
32. Указание. Применить равенство задачи 28 и утверждение задачи И. 33
Указание. Проверить, что в равенстве задачи 29 фигура S может иметь грани
дей конечное число кусочно-гладких контуров, и применить это равенство к об
ласти, ограниченной контуром L и окружностью с центром в точке х0 и произ
больно малым радиусом. 34. Указание. Применить равенство задачи 36. 35. Ука
зание. Применить равенство задачи 34. 36. Указание. Преобразовать интегралы
ГС ди ГГ ди
\ \ \\и — dS в интегралы второго рода и применить формулу Ост-
S S
роградского—Гаусса. 38. Указание. Применить равенство а) задачи 36 и утверж¬
дение задачи 10. 39. Указание. Применить равенство б) задачи 36 и ут¬
верждение задачи 11. 40. Указание. Применить равенство б) задачи 36 и ут¬
верждение задачи 11. 41. Указание. Проверить, что равенство задачи 37 имеет
место и тогда, когда границей тела V является конечное число кусочно-гладких
поверхностей, и применить это равенство к телу, ограниченному поверхностью
S и сферой с центром в точке х0 и произвольно малым радиусом. 42. Указание.
^ ди
Применить равенство задачи 41. 44. 4л. 45
дх
I
нон к L, определяющей ее ориентацию. 46. —г—
дп
к 5, определяющий ее ориентацию
х=х9
, где т —вектор касатель-
где п—вектор нормали
722
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Часть I. Графика, пределы, дифференциальное исчисление функции
одной перемеавой
Глава I. Построение эскизов графиков функций
§ 1. Элементарные преобразования графиков 4
§ 2. Графита рациональных функций 14
§ 3. Графики алгебраических функций 16
§ 4. Обратные тригонометрические функции и их графики 20
§ 5. Кривые, заданные параметрически 25
§ 6. Полярная система координат и уравнения кривых в этой системе 29
§ 7. функции, заданные неявно 31
Задачи 34
Глава II. Вычисление пределов
§ 1. Предел функции 48
§ 2. Предел последовательности 67
§ 3. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора 70
Задачи 77
Ответы 87
Глава III. Дифференциальное исчисление функций одного действительного
переменного
§ 1. Вычисление производных 89
§ 2. Дифференциал функции и инвариантность его формы 101
§ 3. Приложения дифференциального исчисления 103
1. Касательные и нормали к кривым 103
2. Возрастание и убывание функции 110
3. Формула Тейлора, правило Лопиталя 113
4. Исследование функций и построение кривых 117
Задачи ... .... 122
Ответы ... .... 133
Глава ГУ. Теоретические задачи
§ 1. Общие свойства числовых множеств на прямой 144
§ 2. Последовательности и их свойства 148
§ 3. Функции. Общие свойства 152
§ 4. Предел и непрерывность функций 154
§ 5. Дифференцируемость функций 159
Ответы, решения, указания Д62
723
Часть П. Неопределенный н определенный интегралы. Днфферешральвое
исчисление фунющн многих переменных
Глава I. Неопределенный интеграл
§ 1. Первообразная и простейшие способы ее нахождения 174
Задачи 177
§ 2. Интегрирование по частям 180
Задачи 181
§ 3. Замена переменного 182
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен 190
Задачи 193
§ 5. Интегрирование рациональных дробей 194
Задачи 203
§ 6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций 204
Задачи 208
§ 7. Интегрирование выражений, содержащих радикалы 209
Задачи 218
§ 8. Задачи на различные методы интегрирования 219
Ответы 223
Глава II. Определенный интеграл Римана
§ 1. Вычисление определенного интеграла. Понятие несобственного
интеграла 236
§ 2. Площадь плоской области 246
§ 3. Объем тела вращения 254
§ 4. Длина дуги кривой 265
§ 5. Площадь поверхности вращения 270
Задачи ... 276
Ответы 283
Глава III. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 1. Предел и непрерывность 286
§ 2. Производная, первый дифференциал, частные производные 291
§ 3. Дифференцирование сложных функций 300
§ 4. Производные высших порядков. Второй дифференциал . . . 303
§ 5. Дифференцирование неявных функций 310
§ 6. Замена переменных 320
§ 7. Геометрические приложения ... 329
§ 8. Экстремумы функций многих переменных .... ... 336
Задачи 351
Ответы .... 369
Глава ГУ. Теоретические задачи
§ 1. Первообразная и определенный интеграл Римана 381
Ответы и указания ... 391
§ 2. Функции многих переменных .... 401
Ответы и указания ... 408
Часть Ш. Интегральное исчисление функций многих переменных
Глава /. Кратные интегралы
§ 1. Определение и общие свойства интеграла от функции /: Rn-+R 415
§ 2. Двойной интеграл. Его геометрические и механические
приложения 430
1. Теорема Фубини 430
2. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярной и
обобщенной полярной системам координат 453
724
3. Площадь поверхности и ее вычисление 468
4. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела . . . 477
5. Механические приложения двойного интеграла 481
§ 3. Тройной интеграл. Его геометрические и механические
приложения 485
1. Общие свойства. Теорема Фубини 485
2. Замена переменных. Переход к цилиндрическим, сферическим и
обобщенным сферическим координатам 500
3. Объем тела 513
4. Механические приложения тройного интеграла 518
§ 4. Несобственный кратный интеграл 523
Задачи 537
Ответы 567
Глава II. Криволинейный и поверхностный интегралы первого рода
§ 1. Криволинейный интеграл первого рода 594
§ 2. Поверхностный интеграл первого рода 608
Задачи 615
Ответы 626
Глава III. Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода.
Векторный анализ
§ 1. Ориентация кусочно-гладкой кривой LcR3 и кусочно-гладкой
поверхности ScR3 630
§ 2. Дифференциальные формы в курсе анализа. Интегрирование
дифференциальных форм. Общие сведения 639
§ 3. Криволинейный интеграл второго рода 657
§ 4. Поверхностный интеграл второго рода 665
§ 5. Векторный анализ 673
Задачи 689
Ответы 707
Теоретические задачи 710
Ответы, решения, указания ... .... 719