cover
series title
title
Оглавлени
Предислови
1 - Функциональные последовательности и ряд
2 - Двойные и n-кратные интеграл
3 - Несобственные интеграл
4 - Криволинейные интеграл
5 - Поверхностные интеграл
6 - Основные операции теории пол
7 - Формулы Грина, Стокса и Остроградског
8 - Мера и интеграл Лебег
9 - Интегралы, зависящие от параметро
10 - Ряды и интеграл Фурь
11 - Гильбертово пространств
12 - Основы теории кривых и поверхносте
Приложение - О вычислении значений функции по приближению заданным коэффициентам Фурь
Алфавитный указател
Text
                    

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Под редакцией А. Н. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА, А. Г. СВЕШНИКОВА ВЫПУСК 2а ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ЧАСТЬ II МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1980
В. Л. ИЛЬИН, Э. Г. ПОЗНЯК основы МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ЧАСТЬ II Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов физических специальностей и специальности «Прикладная математика» университетов ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1980
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ....................................................... 11 Глава 1. Функциональные последовательности и ряды.................... 13 § 1. Равномерная сходимость....................................... 13 1. Понятие функциональной последовательности и функциональ- ного ряда (13). 2. Сходимость функциональной последователь- ности в точке и на множестве (14). 3. Понятие равномерной сходимости на множестве (16). 4. Критерий Коши (17). 5. Доста- точные признаки равномерной сходимости (18). 6. Почленный переход к пределу. Непрерывность суммы ряда и предельной функции последовательности (23). § 2. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов........................ 26 1. Почленное интегрирование (26). 2. Почленное дифференцирова- ние (29). 3. Сходимость в среднем (33). § 3. Равностепенная непрерывность последовательности функций. Тео- рема Арцела....................................................... 36 § 4. Степенные ряды . ............................................ 40 1. Степенной ряд и область его сходимости (40). 2. Непрерыв- ность суммы степенного ряда (44). 3. Почленное интегрирова- ние и почленное дифференцирование степенного ряда (44). § 5. Разложение функций в степенные ряды.......................... 45 1. Разложение функции в степенной ряд (45). 2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (47). 3. Эле- ментарные представления о функциях комплексной переменной (49). 4. Равномерное приближение непрерывной функции мно- гочленами (теорема Вейерштрасса) (50). Глава 2. Двойные и п-кратные интегралы............................. 55 § 1. Определение и существование двойного интеграла............. 56 1. Определение двойного интеграла для прямоугольника (56). 2. Существование двойного интеграла для прямоугольника (57). 3. Определение и существование двойного интеграла для произ- вольной области (59). 4. Определение двойного интеграла при помощи произвольных разбиений области (62). § 2. Основные свойства двойного интеграла....................... 65 § 3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному ... 67 1. Случай прямоугольника (67). 2. Случай произвольной области (69). § 4. Тройные и n-кратные интегралы.............................. 71 § 5. Замена переменных в n-кратном интеграле.................... 75 Дополнение к главе 2. О приближенном вычислении n-кратных инте- гралов ........................................................ 89
6 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Формулы численного интегрирования, оптимальные для клас- сов функций (90). 2. О формулах численного интегрирования, оптимальных для каждой конкретной функции (92). 3. Пример приближенного вычисления кратного интеграла (93). Глава 3. Несобственные интегралы................................... 94 § 1. Несобственные интегралы первого рода (одномерный случай) . . 94 1. Понятие несобственного интеграла первого рода (94). 2. Крите- рий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. До- статочные признаки сходимости (96). 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов (98). 4. Замена перемен- ных под знаком несобственного интеграла и формула интегриро- вания по частям (100). § 2. Несобственные интегралы второго рода (одномерный случай) . . . 102 1. Понятие несобственн о интеграла второго рода. Критерий Коши (102). 2. Заключительные замечания (103). § 3. Главное значение несотстве.тного интеграла.................... 105 § 4. Кратные несобственные интегралы............................... 106 1. Понятие кратных несобственных интегралов (106). 2. Несобст- венные интегралы от неотрицательных функций (107). 3. Несоб- ственные интегралы от знакопеременных функций (ПО). 4. Глав- ное значение кратных несобственных интегралов (113). Глава 4. Криволинейные интегралы.................................. 114 § 1. Определения криволинейных интегралов и их физический смысл 114 § 2. Существование криволинейных интегралов и сведение их к опре- деленным интегралам......................................... 117 Глава 5. Поверхностные интегралы................................... 123 § 1. Понятие поверхности..................................... 123 1. Понятие поверхности (123). 2. Регулярная поверхность (124). 3. Задание поверхности с помощью векторных функций (127). 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Односторон- ние и двусторонние поверхности (128). 5. Вспомогательные лем- мы (130). § 2. Площадь поверхности ........................................ 133 I. Понятие площади поверхности (133). 2. Квадрируемость глад- ких поверхностей (134). § 3. Поверхностные интегралы..................................... 137 1. Понятия поверхностных интегралов первого и второго родов (137). 2. Существование поверхностных интегралов первого и вто- рого родов (139). 3. Поверхностные интегралы второго рода, не зависящие от выбора декартовой системы координат (142). Глава 6. Основные операции теории поля............................ 144 § 1. Преобразования базисов и координат. Инварианты............ 144 1. Взаимные базисы векторов. Ковариантные и контравариант- ные координаты векторов (144). 2. Преобразования базиса и ко- ординат (146). 3. Инварианты линейного оператора. Диверген- ция и ротор линейного оператора (148). § 2. Основные понятия и операции, связанные со скалярным и век- торным полем.................................................... 151 1. Понятия скалярного и векторного поля (151). 2. Дифференци- руемые скалярные поля. Градиент скалярного поля. Производ- ная по направлению (151). 3. Дифференцируемые векторные поля. Дивергенция и ротор векторного поля. Производная векторного поля по направлению (155). 4. Повторные операции теории поля (158).
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 § 3. Выражение основных операций теории поля в криволинейных координатах.................................................... 159 1. Криволинейные координаты (159). 2. Выражение градиента и производной по направлению для скалярного поля в криволиней- ных координатах (164). 3. Выражение дивергенции, ротора и про- изводной по направлению для векторного поля в криволинейных координатах (166). 4. Выражение оператора Лапласа в криволи- нейных ортогональных координатах (168). 5. Выражение основ- ных операций теории поля в цилиндрической и сферической си- стемах координат (168). Глава 7. Формулы Грина, Стокса, Остроградского .................... 170 § 1. Формула Грина.............................................. 170 1. Формулировка основной теоремы (170). 2. Доказательство формулы Грина для специального класса областей (171). 3. Инва- риантная запись формулы Грина (173). 4. Вспомогательные предложения (176). 5. Специальное разбиение области D с ку- сочно-гладкой границей L (179). 6. Доказательство теоремы 7.1 (181). § 2. Формула Стокса.............................................. 182 1. Формулировка основной теоремы (182). 2. Доказательство фор- мулы Стокса для гладкой поверхности, однозначно проектирую- щейся на три координатные плоскости (183). 3. Инвариантная запись формулы Стокса (185). 4. Доказательство теоремы 7.3(186). § 3. Формула Остроградского...................................... 188 1. Формулировка основной теоремы (188). 2. Доказательство формулы Остроградского для специального класса областей (189). 3. Инвариантная запись формулы Остроградского (191). §4. Некоторые приложения формул Грина, Стокса и Остроградского 193 1. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл (193). 2. Выражение объема еерез поверхностный интег- рал (194). 3. Условия, при которых дифференциальная форма Р (х,у) ilx + Q (х,у) dy представляет собой полный дифференциал (194). 4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля (199). Дополнение к главе 7. Дифференциальные формы в евклидовом про- странстве ................................................ 202 § 1. Знакопеременные полилинейные формы....................... 202 1. Линейные формы (202). 2. Билинейные формы (203). 3. Поли- линейные формы (204). 4. Знакопеременные полилинейные фор- мы (204). 5. Внешнее произведение знакопеременных форм (205). 6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм (207). 7. Базис в пространстве знакопеременных форм (209). § 2. Дифференциальные формы................................... 210 1. Определения (210). 2. Внешний дифференциал (211). 3. Свой- ства внешнего дифференциала (212). § 3. Дифференцируемые отображения ............................ 213 1. Определение дифференцируемых отображений (213). 2. Свойства отображения ср* (214). § 4. Интегрирование дифференциальных форм..................... 217 1. Определения (217). 2. Дифференцируемые цепи (219). 3. Фор- мула Стокса (221). 4. Примеры (223). Глава 8. Мера и, инте грал Лебега................................ 224 § 1. О структуре открытых и замкнутых множеств................ 225 § 2. Измеримые множества...................................... 228 1 Внешняя сера множества и ее свойства (228). 2. Измеримые множества и их свойства (230).
8 ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Измеримые функции......................................... 237 1. Понятие измеримой функции (237). 2. Свойства измеримых функций (238). 3. Арифметические операции над измеримыми функциями (239). 4. Последовательности измеримых функций (241). § 4. Интеграл Лебега........................................... 244 I. Понятие интеграла Лебега от ограниченной функции (244). 2. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций (247). 3. Свойства интеграла Лебега от ограниченной функции (248). 4. Интеграл Лебега от неотрицательной неограниченной функции и его свойства (251). 5. Интеграл Лебега от неограниченной функции произвольного знака (255). 6. Предельный переход под знаком интеграла Лебега (257). 7. Классы Лебега Lp (Е) (261). 8. Заключительные замечания (264). Дополнение 1 к главе 8. Необходимое и достаточное условие инте- грируемости по Риману....................................... 265 Дополнение 2 к главе 8. Необходимое и достаточное условие инте- грируемости ограниченной функции по Лебегу................... 266 Глава 9. Интегралы, зависящие от параметров......................... 268 § 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра............... 268 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра (268). 2. Свой- ства непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости ин- тегралов, зависящих от параметра (269). 3. Случай, когда пре- делы интегрирования зависят от параметра (270). § 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра............. 273 1. Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра. Понятие равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра (273). 2. Свойства непрерыв- ности, интегрируемости и дифференцируемости несобственных ин- тегралов, зависящих от параметра (276). 3. Несобственные инте- гралы второго рода, зависящие от параметра (280). § 3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычис- лению несобственных интегралов.............................. 281 § 4. Интегралы Эйлера............................................ 284 1. Область сходимости интегралов Эйлера (285). 2. Непрерыв- ность интегралов Эйлера (286). 3. Некоторые свойства функции Г (р) (287). 4. Некоторые свойства функции В (р, q) (288). 5. Связь между эйлеровыми интегралами (289). 6. Вычисление определенных интегралов с помощью эйлеровых интегралов (291). § 5. Формула Стирлинга...................................... 292 § 6. Кратные интегралы, зависящие от параметров............. 297 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметров (297). 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметров (298) . 3. Приложение к теории ньютонова потенциала (300). Глава 10. Ряды и интеграл Фурье.................................. 302 § 1. Понятие об ортонормированных системах и об общем ряде Фурье .......................................................... 302 §2. Замкнутые и полные ортонормированные системы............... 311 § 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее . . 313 1. Равномерное приближение непрерывной функции тригоно- метрическими многочленами (313). 2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы (316). 3. Следствия замкнутости тригонометрической системы (318). § 4. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного диф- ференцирования тригонометрического ряда Фурье..................... 319 1. Вводные замечания (319). 2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье (321).
ОГЛАВЛЕНИЕ S 3. Простейшие условия почленного дифференцирования тригоно- метрического ряда Фурье (323). § 5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходи- мости в данной точке ............................................ 325 1. Модуль непрерывности функции. Классы Гёльдера (325). 2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье (326). 3. Интегральный модуль непрерывности функ- ции (329). 4. Принцип локализации (333). 5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гёль- дера (335). 6. О сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно-гёльдеровой функции (340). 7. Суммируемость тригоно- метрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических (344). 8. Заключительные замечания (345). § 6. Интеграл Фурье ............................................ 347 1. Образ Фурье и его простейшие свойства (348). 2. Условия разложимости функции в интеграл Фурье (350). 3. Понятие о прямом и обратном преобразованиях Фурье (354). 4. Некото- рые дополнительные свойства преобразования Фурье (356). § 7. Кратные тригонометрические ряды и интегралы Фурье......... 358 1. Понятие кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямоугольных и сферических частичных сумм (358). 2. Модуль непрерывности и классы Гёльдера для функции Л' переменных (360). 3. Условия сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье (361). 4. О разложении функции в У-кратный интеграл Фурье (364). Глава 11. Гильбертово пространство.................................. 366 § 1. Пространство /2............................................. 366 1 Понятие пространства Z2 (366). 2. Общий вид линейного функ- ционала в /2 (369). 3. О слабой компактности ограниченного по норме I'1 множества (372). § 2. Пространство Г2............................................. 375 1. Простейшие свойства пространства L2 (375). 2. Сепарабельность пространства L2 (376). 3. Существование в £2 замкнутой ортонорми- рованной системы, состоящей из счетного числа элементов (379). 4. Изоморфизм пространств L2 и I2 и следствия из него (381). § 3. Абстрактное гильбертово пространство....................... 386 1. Понятие абстрактного гильбертова пространства (386). 2. Экви- валентность понятий полноты и замкнутости ортопормированной системы в гильбертовом пространстве (388). § 4. Вполне непрерывные самосопряженные операторы в гильберто- вом пространстве................................................ 392 1. Понятие линейного непрерывного оператора (392). 2. Понятие сопряженного оператора (394). 3. Понятие вполне непрерывного оператора (397). 4. Существование собственных значений у линей- ного вполне непрерывного самосопряженного оператора (399). 5. Основные свойства собственных значений и собственных эле- ментов линейного вполне непрерывного самосопряженного опе- ратора (403). Глава 12. Основы теории кривых и поверхностей........................ 406 § 1. Векторные функции.......................................... 406 1. Понятие векторной функции (406). 2. Предельное значение векторной функции. Непрерывность (407). 3. Производная век- торной функции (408). 4. Дифференцируемость векторной функции (41 i). 5. Формула Тейлора для векторной функции (412). 6. Интегралы от векторных функций (413).
10 ОГЛАВЛЕНИЕ § 2. Некоторые сведения из теории кривых...................... 1. Регулярные кривые (413). 2. Касательная к кривой (414). 3. Соприкасающаяся плоскость кривой (414). 4. Кривизна кри- вой (416). 5. Кручение кривой (418). 6. Формулы Френе. Нату- ральные уравнения кривой (420). § 3. Некоторые сведения из теории поверхностей................ 1. Первая квадратичная форма поверхности. Измерения на поверхности (422). 2. Вторая квадратичная форма поверхности (425). 3. Классификация точек регулярной поверхности (425). 4. Кривизна кривой на поверхности (428). 5. Специальные линии на поверхности (429). 6. Формула Эйлера. Средняя и гауссова кривизна поверхности. Теорема Гаусса (432). Приложение. О вычислении значений функций по приближенно заданным коэффициентам Фурье ..................................... I. Задача о суммировании тригонометрического ряда Фурье с приближенно заданными коэффициентами Фурье (436). 2. Метод регуляризации для задачи о суммировании тригонометрического ряда Фурье (438). 3. Заключительные замечания о значении ме- тода регуляризации (443). Алфавитный указатель............................................. 413 422 436 444
ПРЕДИСЛОВИЕ В основу этой книги положены лекции, читавшиеся авторами в ЧГУ в течение ряда лег. Как и в части 1, авторы стремились к систематичности изложе- ния и к выделению важнейших понятий и теорем. Кроме основного программного материала, книга содержит ряд дополнительных вопросов, играющих важную роль в различных раз- делах современной математики и физики (теорию меры и интеграл Лебега, теорию гильбертовых пространств и линейных самосопряжен- ных операторов в этих пространствах, вопросы регуляризации рядов Фурье, теорию дифференциальных форм в евклидовых пространствах и др.). Ряд разделов курса изложен с болйшей общностью и при меньших, чем обычно, ограничениях. Сюда относятся, например, условия почленного дифференцирования и почленного интегрирова- ния функциональных последовательностей и рядов, теорема о замене переменных в кратном интеграле, формулы Грина и Стокса, необхо- димые условия интегрируемости ограниченной функции по Риману и по Лебегу. Как и в части I, в данной книге рассмотрен ряд вопросов, свя- занных с вычислительной математикой. В первую очередь сюда отно- сятся дополнение к главе 2 о приближенном вычислении кратных интегралов и специальное приложение о вычислении значений функ- ции по приближенно заданным коэффициентам Фурье (метод регуля- ризации А. Н. Тихонова). Материал данной книги вместе с выпущенной ранее частью I полностью охватывает университетский курс математического ана- лиза. Отметим, что всюду в тексте этой книги при обращении к части I мы называем эту первую часть «выпуском 1». Подчеркнем также, что при чтении этой книги глава 8 «Мера и интеграл Лебега»,
12 ПРЕДИСЛОВИЕ глава 11 «Гильбертово пространство» и все дополнения могут быть опущены без ущерба для понимания остального текста этой КНИГИ. Авторы этой книги приносят глубокую благодарность А. Н. Тихо- нову и А. Г. Свешникову за множество ценных советов и глубоких замечаний, Ш. А. Алимову, труд которого над этой книгой вышел за рамки редактирования, Л. Д. Кудрявцеву и С. А. Ломову за боль- шое количество ценных замечаний, П. С. Моденову и Я. М. Жилей- кину, предоставившим материалы по теории поля и приближенным методам вычисления кратных интегралов. В. Ильин, Э. Позняк 5 декабря 1972 г.
ГЛАВА 1 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ В этой главе будут изучены последовательности и ряды, членами которых являются не числа, а функции, определенные на некотором фиксированном множестве. Такие последовательности и ряды широко используются для представления и приближенного вычисления функций. § 1. Равномерная сходимость 1. Понятие функциональной последовательности и функцио- нального ряда. Если фиксировано некоторое множество {х} *) и если каждому числу п из натурального ряда чисел 1, 2, ..., п, ... ставится в соответствие по определенному закону некоторая функция fn (х), заданная на множестве {х}, то множество занумерованных функций, //х), , fn(x), ... мы и будем называть ср у нкциональной последовательностью. Отдельные функции /л(х) будем называть членами или эле- м е нтами рассматриваемой последовательности, а множество {х} — областью определения этой последовательности. Для обозначения функциональной последовательности будем исполь- зовать символ {/„(х)}. Формально написанную сумму ТО У (-V) = «1 (X) + .'/2 (х) + ... 4- и„ (х) + ... (1.1) « = 1 бесконечного числа членов функциональной последовательности {и„(х)} будем называть функциональным рядом. Члены ип(х) этого ряда представляют собой функции, определен- ные на некотором множестве {х}. Указанное множество {х} называется при этом областью опре- деления функционального ряда (1.1). *) Под {х( можно понимать, в частности, как множество точек прямой, так и множество точек x — (xlt х2, хт) евклидова пространства Ет.
14 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. t Как и для случая числового ряда, сумму первых п членов ряда (1.1) называют л-й частичной суммой этого ряда. Подчеркнем, что изучение функциональных рядов совершенно эквивалентно изучению функциональных последовательностей, ибо каждому функциональному ряду (1.1) однозначно соответствует функ- циональная последовательность Si(x), $2(х), ..., S„(x), ... (1.2) его частичных сумм и, наоборот, каждой функциональной последова- тельности (1.2) однозначно соответствует функциональный ряд (1.1) с членами и1(х) = 51(х), ti„(x) = Sn(x) — S„_i(x) при п Ss2, для которого последовательность (1.2) является последовательностью частичных сумм. Приведем примеры функциональных последовательностей и рядов. Пример 1. Рассмотрим последовательность функций {/„ (х)}, каждая из которых определена на сегменте 0<.xsil и имеет вид (1 — пх) при OsSXsgl/Л, О при 1/л < х ' 1. На рис. 1.1 изображены графики функций Л(х), /^(х) и fn(x). Пример 2. В качестве примера функционального ряда рассмот- рим следующий ряд по степеням х: СО 2yk yft + + »>+• 0-0 a = i Заметим, что (и Ц-1 )-я частичная сумма ряда (1.4) отличается от разложения ех по формуле Маклорена только на величину остаточного члена /?п+1(х). 2. Сходимость функциональной последовательности в точке и на множестве. Предположим, что функциональная последователь- ность (или ряд) определены на множестве {х}. Фиксируем произволь-
5 И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 15 ную точку х0 из множества и рассмотрим все члены последо- вательности (или ряда) в точке х0. При этом получим числовую последовательность (или ряд). Если указанная числовая последовательность (или ряд) сходится, то говорят, что функциональная последовательность (или ряд) схо- дится в точке х0. Множество всех точек х0, в которых сходится данная функцио- нальная последовательность (или ряд), называется областью схо- димости этой последовательности (или ряда). В различных конкретных случаях область сходимости може1 либо совпадать с областью определения, либо составлять часть области определения, либо вообще являться пустым множеством. Соответствующие примеры читатель найдет ниже. Предположим, что функциональная последовательность \fn (х)} имеет в качестве области сходимости множество {х}. Совокупность пределов, взятых для всех значений х из множества {х}, обра- зует вполне определенную функцию /(х), также заданную на множе- стве {х}. Эту функцию называют предельной функцией последова- тельности {/л(х)}. Совершенно аналогично, если функциональный ряд (1.1) сходится на некотором множестве {х}, то на этом множестве определена функция S(x), являющаяся предельной функ- цией последовательности его частичных сумм ' t и называемая суммой этого ряда. ; О Последовательность (1.3) из рассмотрен- ного выше примера I сходится на всем сегменте 0?Сх<; 1. В самом деле, /п(0) = 1 для всех номе- ров я, т. е. в точке х = О последователь- ность (1.3) сходится к единице. Если же фиксировать любое х из полу- * сегмента 0<;x=g:l, то все /л(х), начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, Рис. 1.2. от х), будут равны нулю. Стало быть, в любой точке х полусегмента 0<xsCl последовательность (1.3) сходится к нулю. Итак, последовательность (1.3) сходится на всем сегменте Oi<xsg 1 к предельной функции /(х), имеющей вид ( 1 при х = 0 /(х) = < ( 0 при 0 х--Т 1. График этой предельной функции изображен на рис. 1.2.* Подчеркнем, что эта функция не является непрерывной на сег- менте 0=Cxs^l (она разрывна в точке х = 0). Обратимся теперь к функциональному ряду (1.4) из примера 2.
16 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. J Этот ряд сходится в любой точке х бесконечной прямой и его сумма равна ек. Доказательство можно найти в гл. 13 вып. 1 (см. пример 3 из п. 1 § 1 гл. 13)*). 3. Понятие равномерной сходимости на множестве. Предпо- ложим, что последовательность О-5) сходится на множестве {х} к предельной функции /(х). Определение 1. Будем говорить, что последовательность (1.5) сходится к функции f(х) равномерно на множестве {х[, если для любого е^>0 можно указать такой номер N(s), что при (е) для всех х из множества {х} справедливо неравен- ство **) !ЛИ-/(Д!<е (1-6) Замечание 1. В этом определении весьма сущеетвенно то, что помер N зависит только от е и не зависит от х. Таким образом, для любого е> 0 найдется универсальный номер Д'(е), начиная с кото- рого неравенство (1.6) справедливо сразу для всех х из множества {х}. Замечание 2. Из сходимости последовательности {fn (х)} на множестве {х} вовсе не вытекает равномерная сходимость ее на этом множестве. Так, последовательность (1.3) из рассмотрен- ного выше примера 1 сходится на всем сегменте [0, 1] (это уста- новлено выше). Докажем, что эта последовательность не сходится равномерно на сегменте |0, 1 ]. Рассмотрим последовательность точек хя—2*- (п = 1, 2, ...), принадлежащих сегмен ту [0, 1]. В каждой из этих точек (т. е. для каждого номера п) справедливы соотношения /„ (х„) = 1/2, /(хл) = 0. Таким образом, для любого номера п \fn(xn)-f(xn)\=l/4, т. е. при е «Д 1/2 неравенству (1.6) нельзя удовлетворить сразу для всех точек х из сегмента [0,1] ни при каком номере п. Замечание 3. Отметим, что равномерная иа множестве ]х} сходимость функциональной последовательности {/„ (х)} к функции /(х) эквивалент на сходимости числовой последовательности {е„}, члены е.п которой представляют собой точные верхние грани функции |/„(х)— — /(х) | на множестве {х}. *) Впрочем, это доказательство сразу вытекает из формулы Маклореиа для ех и из того, что остаточный член в этой формуле стремится к нулю для всех х. **) Если под {х} понимать множество точек x = (xt........хт) простран- ства Е’", то мы получим определение равномерной сходимости последователь- ности fn(x) =fa(xlt х2, хт) функций т переменных.
S и РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 17 Замечание 4. Из определения 1 непосредственно вытекает, что если последовательность {/„ (х)| равномерно сходится к f(x) на всем множестве {х}, то {fn (х)} равномерно сходится к /(х) и на любой части множества {х}. Приведем теперь пример функциональной последовательности, равномерно сходящейся на некотором множестве {х}. Рассмотрим все ту же последовательность (1.3), но не на всем сегменте [0, 1], а на сегменте [б, 1], где б — фиксированное число из интервала 0<б< 1. Для любого такого б найдется номер, начиная с которого все элементы /п(х) равны нулю на сегменте [б, 1]. Так как пре- дельная функция /(х) также равна нулю на сегменте [б, 1], то на всем этом сегменте неравенство (1.6) будет справедливо для любого е> 0, начиная с указанного номера. Это доказывает равномерную сходимость последовательности (1.3) на сегменте [б, 1]. Определение 2. Функциональный ряд называется равно- мерно сходящимся на множестве {х} к своей сумме S(х), если последовательность {6’„(х)} его частичных сумм сходится равномерно на множестве {х} к предельной функции <$(х). Докажите сами, что функциональный ряд (1.4) из рассмотренного выше примера 2 сходится к своей сумме ех равномерно на каждом сегменте — г х г, где г — любое фиксированное положительное число *). 4. Критерий Коши. Справедливы следующие две основные теоремы. Теорема 1.1. Для того чтобы функциональная последователь- ность \fn (х)} равномерно на множестве {х} сходилась к неко- торой предельной функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашелся номер Л'(е) такой, что |Л+Р(х)-А(х)|<е (1.7) для всех n^N(e), всех натуральных р (р=\, 2, ...) и всех х из множества {х}. Теорема 1.2. Для того, чтобы функциональный ряд 00 2>,(х) (1.8) равномерно на множестве {х} сходился к некоторой сумме, необ- ходимо и достаточно, чтобы для любрго s > 0 нашелся номер .*) Для доказательства достаточно оценить остаточный член /?л + 1 (х) в фор- муле Маклорсна для функции ех. Этот остаточный член, представляющий собой разность ех и («+1)-й частичной суммы ряда (1.4), сразу для всех х из сег- мента — г<х~а удовлетворяет неравенству 1 /?я+’ w! 55 м+1)(еГ (см. вып. I, формулу (8.62))
18 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ (ГЛ. г /V(e) такой, что У, и„(х) <е (1.9) А = п+1 для всех П(е), всех натуральных р и всех х из множества {х{. Теорема 1.2 является следствием теоремы 1.1: достаточно заметить, что в левой части неравенства (1.9) под знаком модуля стоит разность $п+р(х) — Sn(x) частичных сумм ряда (1.8). Доказательство теоремы 1.1. 1) Необходимость. Пусть последовательность {А А7)} сходится равномерно на множе- стве {х} к некоторой предельной функции /(х). Фиксируем произ- вольное е>0. Для положительного числа е/2 найдется номер N такой, что для всех n^N и сразу для всех х из множества {х} |/„(х)-/(х)|<е/2. (1.10) Если р — любое натуральное число, то для N и для всех х из множества {х} тем более справедливо неравенство !/я+р(х)-/(х)|<8/2. (1.11) Поскольку модуль суммы не превосходит суммы модулей, то в силу (1.10) и (1.11) получим А + Р (X) - А (х) | = ([fn + p (X) -/(X)] + [/(X) - А (X) ] I ==£ ^IA+PW-/WI + !/(x)-/nW; <8 (для всех п N, всех натуральных р и всех х из множества {х}). Необходимость доказана. 2) Достаточность. Из неравенства (1.7) и из критерия Коши для числовой последовательности вытекает сходимость последова- тельности {АС-*7)} ПРИ любом фиксированном х из множества {х} и существование предельной функции /(х). Так как неравенство (1.7) справедливо для любого натураль- ного р, то, осуществив в этом неравенстве предельный переход при р —> оо (см. вып. 1, теорему 3.13), получим, что для всех n^N и всех х из множества {х} справедливо неравенство I Я-*7) - fn С-*7) I =s£ е. В силу произвольности е >> 0 достаточность доказана. 5. Достаточные признаки равномерной сходимости. В зависи- мости от удобства будем формулировать признаки равномерной схо- димости либо в терминах последовательностей, либо в терминах рядов *). Для формулировки первого признака введем новое понятие. Определение. Последовательность функций {fn (х)} называется равномерно ограниченной на множестве (х), если ♦) В силу сказанного в п. 1 обе эти формулировки эквивалентны.
§ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 19 существует такое вещественное число А, что для всех х из множества {х} и для всех номеров п справедливо неравенство |/ч(х).|^ А Теорема 1.3 (признак Дирихле — Абеля). Пусть дан функ- циональный ряд СО У ub(x)-vk(x). 4=1 Этот ряд сходится равномерно на множестве {х}, если выпол- нены следующие два условия: 1) последовательность {Tfe(x)} является невозрастающей на множестве {х} и равномерно на этом множестве сходится к нулю; оо 2) ряд У uk (х) имеет равномерно ограниченную на множе- 4 = 1 стве {х} последовательность частичных сумм. Доказательство почти текстуально совпадает с доказательством соответствующего признака сходимости числовых рядов (см. вып. 1, гл 13, § 5, п. 2). Мы предлагаем читателю провести его самому. Пример 1. В качестве примера изучим вопрос о равномерной сходимости ряда 00 V sin kx 4 = 1 Так как последовательность {1/А} (для всех х) не возрастает и равно- мерно стремится к нулю, то в силу признака Дирихле — Абеля ряд (1.12) равномерно сходится на любом множестве, на котором ряд У sin kx (1-13) 4 = 1 обладает равномерно ограниченной последовательностью частичных сумм. Вычислим и оценим w-ю частичную сумму Sn(x) ряда (1.13). Суммируя тождество 2 sin ~ sin kx = cos (k — x — cos [k 4-^ x 2 \ 2 ! \ 2 / по всем k от 1 до n, получим o .X o . 4 x 2 sin -2- • (x) = cos 2 Отсюда x COS ---Cl Sn (X) =----i 2 sin у -cos ^ + -l^x / . 1 \
20 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. I Стало быть, для всех номеров п справедливо неравенство ^„(х)^ О14) l“n-21 Из неравенства (1-14) очевидно, что последовательность {Sr(x)} частичных сумм ряда (1.13) равномерно ограничена на любом фикси- рованном сегменте, не содержащем точек хт=2л/и (да = 0, ± 1, ± 2, ...), ибо на любом таком сегменте | sin 1 имеет положитель- ную точную нижнюю грань. Итак, мы доказали, что ряд (1-12) сходится равномерно на любом сегменте, нс содержащем точек хт — 2лт, где т = 0, ± 1, ±2, ... Теорема 1.4 (признак Вейерштрасса). Если функциональный ряд £М*) (1-15) * = i определен на множестве {х} и если существует сходящийся число- вой ряд У] ck такой, что для всех х из множества {х} и для 1 любого номера /г справедливо неравенство | uk (х) | сл, (1.16) то функциональный ряд (1.15) сходится равномерно на множе- стве {х}. Краткая формулировка: функциональный ряд сходится равномерно на данном множестве, если его можно мажорировать на этом множестве сходящимся числовым рядом. Доказательство. Согласно критерию Коши для числового ряда У ск, для любого е>0 найдется номер N(е.) такой, что для k = \ всех пУ» N и для любого натурального р справедливо неравенство /г -С р У Q<e. (1.17) k = п -J-1 Из неравенств (1.16) и (1.17) и из того, что модуль суммы не превосходит суммы модулей, получим п + р 2 k — fl 1 Uk (x) < e (для всех n^N(E), всех натуральных p и всех х из множества {х}). Согласно критерию Коши функциональный ряд (1.15) сходится равномерно на множестве {х}. Теорема доказана.
§ 1J РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 21 Пример 2. Ряд 00 2 sin kx s _ п ----—, где о > О, £1+б <4 = 1 сходится равномерно на всей бесконечной прямой, ибо на всей прямой 1 £1+6 ’ а числовой ряд X1 —!—• при 6>0 сходится (см. вып. 1, гл. 13). Д + 6 k — 1 Замечание 1. Признак Вейерштрасса не является необхо- димым. В самом деле, выше установлено, что ряд (1.12) сходится равно- мерно на любом сегменте, не содержащем точек хт = 2л/гг (т = 0, rt 1, ±2, ...). В частности, ряд (1.12) сходится равномерно на сег- менте [л/2, Зл/2]. Однако на указанном сегменте модуль k-ro члена ,, , I sin kx I , ,, ряда (1-12) -I—-—I- имеет точную верхнюю грань, равную 1/л, т. е. мажорирующий числовой ряд представляет собой заведомо рас- 4 = 1 ходящийся гармонический ряд. Теорема 1.5 {признак Дини *)). Пусть последовательное ть {/„(х)} не убывает {или не возрастает) в каждой точке сег- мента \а, Ь] и сходится на этом сегменте к предельной функ- ции f{x). Тогда, если все элементы последовательности fn{x) и предельная функция f{x) непрерывны на сегменте [а, 5], то схо- димость последовательности {/л(х)} является равномерной на сегменте [а. Ь]. Доказательство. Ради определенности предположим, что последовагельность {/„(х)} не убывает на сегменте [а, Ь] (случай невозрастающей последовательности сводится к этому случаю помно- жением всех элементов последовательности на — 1). Положим (*)=/(*)-/„(*)• Последовательность (х)} обладает следующими свойствами: 1) все гп{х) неотрицательны и непрерывны на сегменте [а, Ь); 2) {гя(х)} является невозрастающей на сегменте [а, £]; 3) в каждой точке х сегмента [а, Ь] существует предел lim гп (х) = 0. Z2—*0О Требуется доказать, что последовательность {гл(х)} сходится к нулю равномерно на сегмента [а, Ь\- Достаточно доказать, что для ') Улисс Дини —итальянский математик (1845—1918).
22 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. I любого е > 0 найдется хоть один номер п такой, что гп (х) < е сразу для всех х из [а, Ь] (тогда в силу невозрастания {г„(х)| неравенство гп (х) < 8 будет справедливо и для всех последующих номеров). Предположим, что для некоторого е>0 не найдется ни одного номера п такого, что г„(х)<;е сразу для всех х из [а, Ь]. Тогда для любого номера п найдется точка хп из [а, Ь] такая, что гл(х„)^е. (1.18) Из последовательности {хп} в силу теоремы Больцано — Вейерштрасса можно выделить подпоследовательность |xn/J, сходящуюся к некоторой очке х0 сегмента [а, Ь\ (см. вып. 1, гл. 3, § 4). Все функции гт (х) (при любом номере т) непрерывны в точке х0. Стало быть, для любого номера т lim rm(x„ft) = rm(x0). (1.19) * СО С другой стороны, выбрав для любого фиксированного номера т превосходящий его номер пк, мы получим (в силу невозрастания по- следовательное ги) Гщ (хпк) 5? гпк (хпк)- Сопоставляя последнее неравенство с (1.18), будем иметь гт(хпк)^е (1.20) (для любого фиксированного т и превосходящего его номера пк). Наконец, из сопоставления (1.19) и (1.20) получим гт (х0) 5s 8 (для любого номера т). Последнее неравенство противоречит сходимости последователь- ности jr„(x)} к нулю в точке х0. Полученное противоречие доказы- вает теорему. Замечание 2. В теореме Дини существенно условие моно- тонности последовательности \fn (х)} на сегменте [а, &], ибо немонотонная на ja, b] последовательность непрерывных на этом сег- менте функций может сходиться в каждой точке сегмента [a, t>] к непрерывной на этом сегменте функции /(х), но не сходиться к ней равномерно на [a, Примером может служить последовательность функций /п(х), рав- ных sinnx при O-sZx^-л/п и равных нулю при (п — 1,2,...). Эта последовательность сходится к /(х) = 0 в каждой точке [0, л], но не сходится равномерно на [0, л], ибо |/п(х„) — — —1 при хп = л/2д для всех номеров п. Замечание 3. Сформулируем теорему Дини в терминах рядов: если все члены ряда непрерывны и неотрицательны на сегменте
§ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 23 [а, Ь\ и сумма этого ряда также непрерывна на сегменте [а, Ь], то указанный ряд сходится к своей сумме равномерно на сег- менте [а, Ь\. Замечание 4. Теорема Дини и ее доказательство сохраняют силу, если в этой теореме вместо сегмента [a, ft] взять любое ограниченное замкнутое мно- жество {%}. Такое множество принято называть компактным. Пример 3. Последовательность {хя} сходится к нулю равно- Га 1 I мерно на сегменте 0, у . В самом деле, 1) для любого х из Го, -у! эта последовательность сходится к нулю; 2) все функции хп и предельная функция нуль непрерывны на ^0, у ; 3) последовательность {х'1\ не возрастает на Га 1 Г сегменте 0, у . Все условия теоремы Дини выполнены. 6. Почленный переход к пределу. Непрерывность суммы ряда и предельной функции последовательности. Рассмотрим произвольную точку а бесконечной прямой, и пусть {х} — произвольное множество, быть может, и не содержащее точку а, по обладающее тем свойством, что в любой е-окрестности точки а содержатся точки этого множества *). Справедливо следующее утверждение. Теорема 1.6. Пусть функциональный ряд оо У, 4k (х) «=| (1.15} сходится равномерно на множестве {х} к сумме S(x). Пусть далее у всех членов этого ряда существует, в точке а предель- ное значение lim uk(x) = bk. х -> а Тогда и функция S{x} имеет в точке а предельное значение,, причем lim S (х) = У lim uk (х) = У bk, (1-21) т. е. символ lim предела и символ У, суммирования можно пере- ставлять местами (или, как говорят, к пределу можно перехо- дить почленно) *) Иными словами! точка а является предельной точкой {х}.
24 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. I Доказательство. Прежде всего докажем, что числовой ряд оо У, bh сходится. В силу критерия Коши, примененного к функциональ- А- 1 пому ряду (1.15), для любого е>0 найдется номер А/(е) такой, что И+1(*) + ^п+2 (x) + ... + u„bP(x)|<e (1-22) для всех д2д?/(е), всех натуральных р и всех х из множества {х}. Переходя в неравенстве (1.22) к пределу х->а*), получим, I £»>! + £«+2 + • • • + £«+р! е < 2е (для всех и всех натуральных р). СО Стало быть, для числового ряда У bk выполнен критерий Коши k--= । и этот ряд сходится. Оценим теперь разность 6'(х) — у Ьк для значений х из малой А=1 окрестности точки а. Так как S(x) = У п/((х) для всех точек мпо- *= I жества {х}, то для любого номера п справедливо тождество Из этого тождества для всех х из {х} получаем неравенство Фиксируем произвольное е>0. Так как ряд У Ьк сходится, А = 1 а ряд (1.15) сходится равномерно на множестве {х}, то для фикси- рованного нами 8 найдется номер множества {х} ОО п такой, что для всех н*(х) точек х из (1-24) *) Такой предельный переход можно осуществить по какой-либо последо- вательности точек сходящейся к а.
5 И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 25 Поскольку предел конечной суммы равен сумме пределов слагаемых, то для фиксированного нами е>0 и выбранного номера п можно указать б>0 такое, чго п п 2иk (х) - У k=\ (1-25) для всех точек х множества {х}, удовлетворяющих условию О < | х — а | -< 6. Вставляя (1.24) и (1.25) в правую часть (1.23), мы окончательно получим, что СО ад - h *=1 <8 для точек х множества {х}, удовлетворяющих условию 0 < <|х — а] <6. Тем самым доказано, что функция S(x) имеет в точке х = а предельное значение и справедливо равенство (1.21). Теорема доказана. Сформулируем теорему 1.6 в терминах функциональных последо- вательностей. Если функциональная последовательность {/„(х)} сходится равномерно на множестве {х} к предельной функции f{x) и если все элементы этой последовательности имеют в точке а пре- дельное значение, то и предельная функция f(x) имеет в точке а предельное значение, причем lim /(х) = lim / lim fn(x)\ = lim /lim /(x)\ x—* a a—► a \n -* co J п->х\х~>а J m. e. символ lim предела последовательности и символ lim пре- п -* оэ х -► а дельного значения функции можно переставлять местами {или, как говорят, к пределу при х—*а можно переходить по- членно). Замечание к теореме 1.6. Если в условиях теоремы 1.6 дополнительно потребовать, чтобы точка а принадлежала множеству (х} и чтобы все члены ик{х) ряда (1-15) были непрерывны в точке а (или соответственно непрерывны в этой точке справа или слева), то и сумма S(x) ряда (1.15) будет непрерывна в точке а (или соот- ветственно непрерывна в точке а справа или слева). В самом деле, в этом случае bk — uk{a) и равенство (1-21) при- нимает вид СО lim S(x) = У uk{a) = S{a), х~*а что и означает непрерывность функции 5(х) в точке а (или, если
26 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. I стремление х к а одностороннее, то непрерывность S(x) в этой точке соответственно справа или слева). Применяя указанное замечание к каждой точке некоторого сег- мента [а, Ь\, мы придем к следующей основной теореме. Теорема 1.7. Если все члены функционального ряда {функциональной последовательности) непрерывны на сегменте [а, Ь] и если указанный ряд (указанная последовательность) сходится равномерно на сегменте [а, !>], то и сумма этого ряда (предельная функция этой последовательности) непрерывна на сегменте [а, />]. Замечания к теореме 1.7. 1) В теореме 1.7 вместо сег- мента [а, Ь\ можно взять интервал, полусегмент, полупрямую, беско- нечную прямую и вообще любое плотное в себе множество |х}. 2) В теореме 1.7 существенно требование равномерной сходи- мости, ибо неравномерно сходящаяся последовательность непрерыв- ных функций может сходиться к разрывной функции (см. пример (1.3) из п. п. 1 и 2 настоящего параграфа). Заключительное замечание. Все теоремы этого пара- графа справедливы для последовательностей функций, заданных на множестве {х} пространства Ет. § 2. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов 1. Почленное интегрирование. Имеет место следующая основ- ная теорема. Теорема 1.8. Если функциональная последовательность {/я(х)} сходится к предельной функции f(x) равномерно на сег- менте [а, Ь] и если каждая функция fn(x) интегрируема на сегменте [а, &], то и предельная функция f(x) интегрируема на сегменте [а, д], причем указанную последовательность можно интегрировать на сегменте [а, Ь\ почленно, т. е. предел ь lirn ^fn(x)dx п-<х а Ь существует и равен <\jf(x)dx. а Доказательство. Фиксируем произвольное е>0. В силу равномерной сходимости последовательности {/л(х)} к f(x) для фиксированного е>>0 найдется номер /V(e) такой, что при всех n^N(e) и при всех х из сегмента (а, Ь] справедливо неравенство 1Л(*)-/(-*)1<2^- О-26)
§ 2) ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ЛИФФЕРЕНПИРППАНИЕ 27 Если будет доказано, что предельная функция J(x) интегрируема на сегменте [а, Ь\, то, используя известные оценки интегралов *) и неравенство (1.26), мы получим J/„(x)<Zx- \f(x)dx а а b = \[fn(x)-f(x)\dx «5 а b b IА (х) -/(х) I rfx sg 2 (6_а)- dx=y<e а а (для всех zz^/V(e)) ь Тем самым будет доказано, что предел lim сугнест- n->co J ь вует и равен ^f(x)dx, и нам остается доказать интегрируемость а функции f(x) на сегменте [а, Ь]. Подвергнув сегмент [а, Ь} разбиению при помощи произволь- ных точек а = х0 <х, . <xm = b на т частичных сегментов [х/г-к xk] (А=1, 2, ..., т), договоримся обозначать символом (nk(f) (соответственно ®*(А)) колебание на k-м частичном сегменте xft] функции /(х) (соответственно А(х))**)- Убедимся в том, что для любого е>0 и любого k=l, 2, т найдется достаточно большой номер п, для которого справедливо неравенство <М/)=^МА) + ^. (1.27) В самом деле, каковы- бы ни были х' и х" из сегмента [x*_1( хА], справедливо неравенство I f (*') - f(x'') | < | /(х') - fn (х') | + 1А(х')-А(х")| + + |А(*")~/(*")!• (1-28) В силу равномерной сходимости {AW} к /(х) для любого е>0 найдется номер п такой, что для всех х из [а, 6] будет 6 *) Имеются в виду следующие оценки интегралов, установленные в § 6 гл. 10 вып. 1: 1) если функция F (х) интегрируема на сегменте [а, 6], то и ь ь функция | F (х) I интегрируема на [а, 6], причем j F (х) dx j | F (х) | dx\ а : 2) если f (х) и g (х) обе интегрируемы на [а, Ь} и всюду на этом сегменте ь ь а fW^g (х), то р (х) dx sg, j g (х) dx. а а **) Напомним, что колебанием функции на данном сегменте назы- вается разность между точной верхней и точной нижней гранями этой функции на данном сегменте.
28 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ггл. 1 справедливо неравенство (1.26). Таким образом, для этого номера п 1Ж) -А (*') 1 +1А (*") - Ж') К bh и, стало быть, в силу (1.28) |Ж)-f(x"); <I fn(x')-fn (х") l+y^. Из последнего неравенства и из произвольности точек х' и х" сразу же вытекает справедливость для выбранного номера п нера- венства (1-27). Обозначим теперь для взятого нами произвольного разбиения сегмента [а, Ь} символами S и $ верхнюю и нижнюю суммы функ- ции /(х), а символами Sn и sn верхнюю и нижнюю суммы функции AW. Умножая неравенство (1.27) на длину А-го частичного сегмента Дх/; и после этого суммируя его по всем А=1, 2, ..., т, мы полу- чим неравенство 5 — s -'- 8п— sn-|-e. (1.29) Неравенство (1.29) установлено нами для произвольного разбие- ния сегмента fa, Ь]. В силу интегрируемости функции fn(x) на сег- менте [а, Ь] найдется разбиение этого сегмента, для которого А — sn <7 8 *) и, стало быть, на основании (1.29) S—$<2е. Так как е — произвольное положительное число, то последнее неравенство доказывает интегрируемость f(x) на сегменте [a, h] **). Теорема доказана. Сформулируем теорему 1.8 в терминах функциональных рядов: Если функциональный ряд (1.15) сходится к своей сумме S(x) равномерно на сегменте [а, ft] и если каждый клен этого ряда uk(x) представляет собой функцию, интегрируемую на сегменте [а, Ь], то и сумма S(x) интегрируема на сегменте [а, ft], при- чем указанный ряд можно интегрировать на сегменте [a, ft] почленно, т. е. ряд оо b У, \uk(x)dx k-= 1 а Ь сходится и имеет своей суммой S (х) dx. а *) В силу теоремы 10.1 из гл. 10 вып. 1. **) В силу теоремы 10.1 из вып. 1 существование для произвольного в>0 разбиения сегмента, для которого S — s < 2е является необходимым и достаточным условием интегрируемости всякой ограниченной на данном сегменте функции. Ограниченность f (х) на сегменте [a, ft] сразу вытекает из неравенства (1.26) и из ограниченности интегрируемой на сегменте [a, ft] функции (л).
§ 2J ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 29 Замечание. В учебниках по математическому анализу теорема 1.8, как правило, доказывается при более жестком предположении о том, что каждая функция /п(х) не только интегрируема, но и непрерывна на сегменте |а, &]. При этом дополнительном предполо- жении приведенное выше доказательство упрощается, ибо для дока- зательства интегрируемости предельной функции f(x) на сегменте [а, Ь\ достаточно сослаться на теорему 1.7. 2. Почленное дифференцирование. Докажем следующую основную теорему. Теорема 1.9. Пусть каждая функция fn(x) имеет на сег- менте [а, Ь] производную f'n (х) *). причем последовательность производных {ДДх)} сходится равномерно на сегменте |а, Ь\, а сама последовательность {/„ (х)} сходится хотя бы в одной точке х0 сегмента [а, /»]. Тогда последовательность {/„(х)} сходится к некоторой предельной функции f (х) равномерно на всем сегменте [а, Ь], причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте |а, Ь\ почленно, т. е. всюду на сегменте |а, предельная функция f(x) имеет производную f (х), являющуюся предельной функцией последовательности {Л(х)}. Доказательство. Сначала докажем, что последователь- ность {/„(х)} сходится равномерно на сегменте [а, &]. Из схо- димости числовой последовательности {fn (х0)} и из равномерной на [a, Z>] сходимости {f'n (х)} заключаем, что для произвольного е>>0 найдется номер Д/’(е) такой, что |Л+Р(ХО)-А(Хо)| <|, (1.30) для всех /г^Л/(е) всех натуральных р и (это относится ко второму неравенству (1.30)) всех х из [а, Ь]. Пусть х — произвольная точка сегмента [а, Ь]. Для функ- ции [/„+р (t) — fn (/)] при любых фиксированных п и р выполнены на сегменте [х0, х] все условия теоремы Лагранжа (см. тео- рему 8.12 из вып. 1). По этой теореме между х и х0 найдется точка £ такая, что 1/л+р (-И fn (-^)] [/n+p (хо) fn (Хо)] = [fn 4- р (£) — fn Q)] (x Xo). Из последнего равенства и из неравенств (1.30) с учетом того, что ,| х — х01 b — а, получим, что I fn+p (х) fn (х) I < 8 *) Под термином «функция f (х) имеет производную на сегменте [a, bJ» здесь и ниже подразумевается существование производной f (х) в любой внут- ренней точке [а, &], правой производной f (аф-0) в точке а и левой произ- водной /' (Ь—0) в точке Ь.
30 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 1ГЛ Г (для любого х из [а, Ь\, любого и^А/(е) и любого натураль- ного р). Но это и означает, что последовательность {/„ (х)} равномерно на сегменте [а, £| сходится к некоторой предельной функции f(x) *). Остается доказать, что в любой точке хи сегмента [а, д] предельная функция f(x) имеет производную и что эта произ- водная является предельной функцией последовательности {/«(х)}. Фиксируем на сегменте [а, (>] произвольную точку хв и по ней положительное число 6 такое, чтобы б-окрестность точки х0 целиком содержалась в |а, Ь] (в случае, если хп является граничной точкой сегмента [а, Ь\ под б-окрестностью точки х0 мы будем под- разумевать правую полуокрестность [а, а-фб) точки а или соответ- ственно левую полуокрестность (Ь — б, Ь\ точки Ь). Обозначим символом {Дх} множество всех чисел Дх, удовлетво- ряющих условию 0 < ! Дх | < б при а < х0 •< Ь, условию 0 < Дх < б при х0 = д и условию — 6<Дх<0 при хв = Ь, и докажем, что последовательность функций аргумента Дх (Дх) = сходится равномерно на указанном множестве {Дх}. Для произвольного еф>0 в силу равномерной сходимости {/„ (х)} найдется номер N (е) такой, что |Л+р(х)-Л(х)|<е (1.31) для всех х из {а, £|, всех н^Д/(е) и всех натуральных р. Заметив это, фиксируем произвольное Дх из множества {Дх} и применим к функции (А+р(0~А(0| (ПРИ любых фиксированных п и р) на сегменте [х0, х0-фДх} теорему Лагранжа. По этой теореме найдется число 6 из интервала 0 < 8 < 1 такое, что <ря+р(Дх) - <рп(Дх) = А + л (*о + Дх)-/„ (х„4-Дх)| -t/n +р (х0)- 1п (х0)] == — fn + p (хо -|-вДх) —fn (Хо -ф вДх). Из последнего равенства и из неравенства (1.31), справедливого для всех точек х сегмента [а, Ь], получим, что I Фп+Р (Дх) — <р„ (Дх) I < е для любого Дх из {Дх}, любого я^Д/(е) и любого натурального р. Таким образом, последовательность {<рп (Дх)} сходится равномерно на множестве {Дх} (в силу критерия Коши). Но это позволяет при- менить к указанной последовательности в точке Дх = 0 теорему 1.6 ) В силу критерия Коши т. е. теоремы 1.1.
$ 2’ ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 31 о почленном предельном переходе. Согласно теореме 1.6*) функция f (х0+^х)—1 (хи) Дх ’ являющаяся предельной функцией последовательности {<рп (Ах)}, имеет при Ах—>-0 предельное значение, причем lim = Um I Dm <p „(Дх)1 = = lim Г lim <p„(Ax)l = lim Г lim A.fo+Ajj—fn fall _ fn(x^. n-+<x> I Дх—*0 J г?-*оо[ дх —0 | Это и доказывает, что производная функции /(х) в точке х0 суще- ствует и равна lim fn (х0). Теорема доказана. п-+ со Приведем формулировку теоремы 1.9 в терминах функциональных рядов. Если каждая функция ик(х) имеет производную на сегменте [а, Ь] и если ряд из производных У] uk (х) сходится равномерно А=1 00 на сегменте [ а, />], а сам ряд У, uk (х) сходится хотя бы в одной /г = 1 СО точке сегмента [а, Ь], то ряд У (х) сходится равномерно на fc=l всем сегменте [а, Ь] к некоторой сумме S(x), причем этот ряд можно дифференцировать на сегменте [а, />] почленно, т. е. его сумма S(x) имеет на сегменте [а, Ь] производную, являю- оо щу юс я суммой ряда, из производных У uk(x). k=i Замечание 1. Подчеркнем, что в теореме 1.9 предполагается лишь существование на сегменте [а, д] производной у каждой функ- ции fn(x). Ни ограниченность, ни тем более интегрируемость или непрерывность этой производной не требуется. Обычно в курсах математического анализа теорема 1.9 доказывается при дополнитель- ном предположении о непрерывности каждой производной /„ (х) на сегменте [а, Ь]. Замечание 2. Если в теореме 1.9 дополнительно потребовать непрерывности на сегменте |а, Ь\ каждой производной (х), то в силу теоремы 1.7 производная предельной функции /(х) будет также непрерывна на сегменте [а, Ь]. Замечание 3. Для случая функций т переменных теорема 1.9 принимает следующий вид: если каждая функция А(х) = /П(х1> ..., хт) *) Используется формулировка теоремы 1.6 в терминах функциональных последовательностей.
32 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 1 имеет на ограниченном множестве {х} точек Ет частную производную dfn 1 dfn I , , ~ и если последовательность 1-^-1 сходится равномерно на ;х[, ^xk ( OXfc J а сама последовательность {/«(х)} сходится в каждой точке множества {х}, то последовательность {/„ (х)} можно дифференци- ровать по переменной xk на множестве {х} почленно. Из теоремы 1.9 вытекает следующее утверждение. Теорема 1.10. Если каждая функция fn (х) имеет первообраз- ную на сегменте [а, и если последовательность {fn(x)\ схо- дится равномерно на сегменте [я, Ь] к предельной функции f(x), то и предельная функция f(x) имеет первообразную на сегменте [а, Ь]. Более того, если ха — любая точка [а, &], то последова- тельность первообразных Фл(х) функций fn(x), удовлетворяющих условию Фп (х0) = О, сходится равномерно на сегменте |а, Ь] к пер- вообразной Ф(х) предельной функции f(x), удовлетворяющей усло- вию Ф(хо) = О. Доказательство. Достаточно заметить, что для последова- тельности первообразных Ф„(х), удовлетворяющих условию Фл(х0)—-О выполнены все условия теоремы 1.9. Это обеспечивает равномерную на [а, Ь] сходимость последовательности {Ф„(х)} к предельной функ- ции Ф(х), у которой в каждой точке [а, й| существует производная, равная предельной функции /(х) последовательности {/„(х)}. Замечание 4. Подчеркнем, что в теореме 1.10 не требуется ни ограниченности, ни тем более интегрируемоети функций /л(х) на сегменте [а, £]. Материал последних трех пунктов позволяет сделать следующий важный вывод: равномерная сходимость не выводит из класса функций, имеющих предельное значение (теорема 1.6), из класса непрерывных функций (теорема 1.7), из класса интегрируемых функций (теорема 1.8), из класса функций, имеющих первообразную (теорема 1.10) и (в случае равномерной сходимости производных) из класса дифференцируемых функций (теорема 1.9). В заключение этого пункта приведем основанный на теореме 1.9 пример функции j (х), производная f (х) которой существует всюду на сегменте [0, 1], ио является разрывной в каждой рациональной точке этого сегмента. Пусть ( х'1 cos— при х 0, <pW = ( х I 0 при х — 0, так что функция {sin — + 2х • cos — при х #= 0, х Г % 0 при х = 0 является разрывной при х = 0 и непрерывной во всех остальных точках. Зану- меруем все рациональные точки сегмента [0, 1] в последовательность xlt
§2) ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 33 х2, , хк, ... (возможность этого доказана в п. 3 § 4 гл 3 вып. 1) и поло- жим ик (х) = -^- • ф (x — xk). Тогда каждая производная u'k (аг) = ф' (х—хк) разрывна в одной точке хк и непрерывна во всех остальных точках. Так как для всех х из сегмента [0, 1] I „ (х\ I I х хк 1а 1 I u' (х) I -С I Х Xk I -г 3 k2 ki-, *2 ft2 ’ СО оо то оба ряда У] ик (х) и У u'k (х) мажорируются сходящимся числовым рядом 4=1 4=1 со 3- -^а- и потому сходятся на сегменте [О, 1] равномерно. По теореме 1.9 4 = 1 00 сумма f (х) ряда У, ик (х) имеет на сегменте [О, 1] производную f (х), равную' 4 = 1 оо сумме ряда У uj(x) и имеющую разрыв в каждой точке хк (А=1, 2, ...). 4 = 1 3. Сходимость в среднем. Предположим, что каждая функция fn(x) (/7=1, 2, ...), а также функция /(х) интегрируемы на сегменте [а, £]. Тогда (как известно из гл. 10 вып. 1) и функция [Л (-V) - /(х)]2 = Л (X) +Л (X) - 2/„ (X) • /(X) также является интегрируемой на сегменте [а, Ь\. Введем фундаментальное понятие сходимости в среднем. Определение 1. Говорят, что последовательность {/л(х)} сходится в среднем к функции f(х) на сегменте [а, Ь]Т если ь lim J [/„ (х) —/(х)]2 dx = 0. п-соа Определение 2. Говорят, что функциональный ряд схо- дится в среднем к функции S(х) на сегменте [а, Ь\, если последовательность частичных сумм этого ряда сходится в сред- нем к 8(х) на этом сегменте. Замечание. Из этих определений вытекает, что если последо- вательность (или ряд) сходится в среднем к /(х) на всем сегменте [а, />], то эта последовательность (или ряд) сходится в среднем к /(х) и на любом сегменте [с, d], содержащемся в [а. Ь] Выясним вопрос о связи между сходимостью в среднем и равно- мерной сходимостью последовательности. Докажем сначала, что если последовательность {fn (х)} сходится к функции f\х) равномерно на сегменте [а, Ь\, то |/л(х)} схо- дится к /(х) и в среднем на [а, />].
34 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. 1' Фиксируем произвольное е > 0. Для положительного числа 1/ х г в силу равномерной сходимости найдется номер М такой, что (1.32) при всех х из [а, /?] и всех n^N. В силу (1.32) для всех «Ss N Ь ь § [А (*) - f(x)]2 dx sS 2 (Д-а) • dx = | < е, а -а т. е. последовательность {/„(х)} сходится к f(x) на сегменте [а, Ь\ в среднем. Убедимся теперь в том, что сходимость последовательности на некотором сегменте в среднем не влечет за собой не только равномерной на этом сегменте сходимости, но и сходимости хотя бы в одной точке указанного сегмента. Рассмотрим последовательность сегментов 4, /2, .... принадлежа- щих [0, 1] и имеющих следующий вид: Л = [о, I], /. = [о. 1]. ^1п [О’ 2”!’ ^2” 4-1 I 2Л * 2n J ’ ^2rt+1 —1 И 2”’ AW= Определим я-й член последовательности следующим образом: 1 на сегменте 1п, О в остальных точках [0, 1]. Построенная нами последовательность сходится в среднем к функ- ции f(x')=§ на сегменте [0, 1]. В самом деле, 1 J [А (*) — °]2 dx = fn (*) dx = dx = 0 A 'n — длине сегмента /л -> 0 (при п -> оо). Вместе с тем построенная нами последовательность не сходится ни в одной точке сегмента [0, 1].
§ 2) ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 35 В самом деле, какую бы точку хп из сегмента [О, I]. мы ня фик- сировали, среди как угодно больших номеров п найдутся как такие,, для которых сегмент /„ содержит точку х0 (для этих номеров /я(х0) = 1), так и такие, для которых сегмент/я не содержит точку х9 (для этих номеров ./„(хо)=О). Таким образом; последовательность \fn (хо)} содержит бесконечно много членов, как равных единице, так и равных нулю, т. е. эта. последовательность расходится. Оказывается, сходимость последовательности \fn (х)| к предельной функции /(.г) на сегменте [а, Л] в среднем обеспечивает возможность почленного интегрирования этой последовательности на указанном сегменте. Теорема 1.11. Если последовательность {Ая(х)} сходится в среднем на сегменте Jа, Ь] к функции /(х), то эту последо- вательность можно почленно интегрировать на сегменте [а, />], т. е. предел ь Нт \fn(x)dx а Ь существует и равен ^f(x)dx. а Прежде всего докажем следующую лемму. Лемма 1. Для любых интегрируемых на сегменте [а, Ь] функций f(x) и g(x) справедливо неравенство ь /2 (xj dx g2 (х) dx, а (1.33) называемое неравенством Коши — Буняковског о. Доказательство леммы 1. Рассмотрим следующий квад- ратный трехчлен относительно Л: ь V |/(х) — X g (х)]2 dx = а b b Ъ = \f2 (х) dx — 2Х J /(х) g(x) dx 4- X2 J g2 (x) dx 2s 0. a a a Так как этот трехчлен неотрицателен, то он не имеет различных вещественных корней. Но тогда его дискриминант неположителен, т. е. •ъ \f(x)g(x)dx ь ь 5 /2 (л‘) dx § g2 (х) dx йС 0. а а Лемма доказана.
36 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 1ГЛ г Доказательство теоремы 1.11. Используя неравенство (1.33) при g(x)=l, будем иметь & ь \fn(x)dx- \f(x)dx а а b = J[A(x)-/(x)]dx < а b Г Ь [fn (*) -/С*)]2 dx 5 dx = 1/ (b - a) J [/„ (х) -/(x)J2 dx -> О a V a (при n -* oo). Теорема доказана. § 3. Равностепенная непрерывность последовательности функций. Теорема Арцела Пусть каждая из функций fn(x) определена на некотором сег- менте [а, Ь]. Определение. Последовательность функций {f„(x)[ называется равностепенно непрерывной на сегменте [а, Ь], если для любого е>-0 найдется 6>0 такое, что неравенство \fn(x')-fa(x")\<.l справедливо для всех номеров п и для всех точек х' и х” из сегмента [а, Ь], связанных неравенством I х’ — х" | < 6. Замечание 1. Непосредственно из этого определения вытекает, что если последовательность {fn (х)} равностепенно непрерывна на [а, &], то и любая ее подпоследовательность равностепенно непре- рывна на [а, &]. Докажем следующее замечательное утверждение. Теорема 1.12 (теорема Арцела). Если последовательность функций {/„(х)} равностепенно непрерывна и равномерно ограни- чена на сегменте [а, Ь], то из этой, последовательноети можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на сег- менте [а, Ь]. Доказательство. Рассмотрим на сегменте [a, следующую последовательность точек {х„}: в качестве х4 возьмем ту точку, кото- рая делит сегмент [а, Ь] на две равные части, в качестве х2 и х3 возьмем те две точки, которые вместе с Xj делят сегмент [а, Ь] на четыре равные части (рис. 1.3), в качестве х4, х5, хв и х7 возьмем те четыре точки, которые вместе с х1( х2 и х3 делят сегмент [а, Ь] на восемь равных частей (рис. 1.3) и т. д. Построенная нами последовательность {х„} обладает следующим свойством: какое бы 6 >> 0 мы ни взяли, для этого 6 найдется
3] РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ТЕОРЕМА АРЦЕЛА 37 номер п0 такой, что на любом принадлежащем [а, />] сегменте длины 6 лежит хотя бы один из элементов хх, х2,..хП)) *). Приступим теперь к выделению из последовательности {/я(х)} равномерно на сегменте [а, Ь] сходящейся подпоследовательности. I----1---Ч-----1----1-----1----1----1----1 Д Рис. 1.3. Сначала рассмотрим последовательность {/„(х)} в точке хг Получим ограниченную числовую последовательность {/„ (^х)}> из которой на основании теоремы Больцано — Вейерштрасса (см. вып. 1, гл. 3, § 4) можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которую мы обозначим так: /11 (х1)’ /12 C^i)» • • • > fin (х1), • • Далее рассмотрим функциональную последовательность fn(x), /1г(*)> •••> fm(x), в точке х2. По теореме Больцано — Вейерштрасса из нее можно выде- лить сходящуюся подпоследовательность, которую мы обозначим так: /21 (х2), /22(xi)> • ••> fin (х)> • Таким образом, функциональная последовательность /21 (х), fn(x), > fin(x), ••• (1.34) является сходящейся и в точке х1( и в точке х2. Далее рассматриваем функциональную последовательность (1.34) в точке х3 и выделяем из нее сходящуюся подпоследовательность /si (хз)> /32 (*з)> • • • > fin (хз)> • • • Продолжая аналогичные рассуждения, мы получим бесконечное множество подпоследовательностей /н (х), falx'), /13(*),••>/1п(-г)> ••• /21 (*)> /22 (х), fii (X), • • • > fin (*)> • • • /31 (х), f33 (X), /зз (х), . . ., /з„ (X), . .. /11 Iх), fni(x)> fnilx), ..., fnn (х), .. *) Про последовательность, обладающую таким свойством, говорят, что она является всюду плотной на сегменте [а, Ь].
38 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. г причем подпоследовательность, стоящая в л-й строке, является схо- дящейся в каждой из точек х1; х2, хп. Рассмотрим теперь так называемую «диагональную» последова- тельность /п(-V), /22(•*)>•>/™(*)> Докажем, что эта последовательность равномерно сходится на сегменте [а, Ь\. Ради сокращения записи будем в дальнейшем обозначать эту диаго- нальную последовательность (как и исходную последовательность) символом /1(4 /2(х), .... fn (х), ... (г. е. вместо сдвоенного индекса будем писать одинарный). Фикси- руем произвольное е>0. Так как диагональная последовательность является равностепенно непрерывной на сегменте [а, Ь\, то для фиксированного 0 найдется б > О такое, что, каковы бы ни были две точки х и хт из сегмента [а, Ь], связанные неравенством | х — хт | •< б, для всех номеров п справедливо неравенство I/„(*)- fA*m)\ <(1.35) Заметив это, разобьем сегмент [а, Ь] на конечное число отрезков длины, меньшей б. Из последовательности {хп} выберем конечное число п0 первых членов хх, х2, ..., хЛо настолько большое, чтобы в каждом из упомянутых отрезков содержалась хотя бы одна из точек xlt х2, ..., хПо. Очевидно, диагональная последовательность сходится в каждой из точек х±, х2, хПо. Поэтому для фиксированного выше е > О найдется номер N такой, что l/n + pC-^m) fn. (.хт) I < "з (1.36) для всех n^N, всех натуральных р и всех т—\, 2, ..., и0. Пусть теперь х — произвольная точка сегмента [а, Ь]. Эта точка обязательно лежит в одном из упомянутых выше отрезков длины, меньшей б. Поэтому для этой точки х найдется хоть одна точка хт (т — один из номеров, равных 1, 2, .... п0), удовлетворяю- щая условию | х — хт | < б. В силу того, что модуль суммы трех величин не превосходит суммы их модулей, можем записать | fn+р (•*) fn (•*•) I | fn+Р 0*0 /л + Р ("''Л1) I + +1 /л+р (xm) - А (хт) I +1 fn (хт) - fn (х) I. (1.37) Второй член в правой части (1.37) оценим с помощью неравен- ства (1.36), й для оценки первого и третьего членов в правой части
$ 3) РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ТЕОРЕМА АРЦЕЛА 39 {1.37) учтем, что |х — хт|<6, и привлечем неравенство (1.3о), спра- ведливое для любого номера п (а стало быть, и для любого л-f-p). Окончательно получим, что для произвольного е>0 найдется номер N такой, что |/п+р(-О- Л(*)|<е для всех n^N, всех натуральных р и любой точки х из fa, Ь]. Равномерная сходимость диагональной последовательности доказана. Теорема 1.12 доказана. Замечание 2. В теореме Арцела вместо равномерной ограни- ченности последовательности {/„ (х)} на сегменте [а, Ь] достаточно потребовать ограниченности этой последовательности хотя бы в одной точке этого сегмента. В самом деле, справедливо сле- дующее утверждение: если последовательность \fn (х)| равносте- пенно непрерывна на сегменте [а, Ь] и ограничена хотя бы в одной точке х0 этого сегмента, то эта последовательность равно- мерно ограничена на сегменте [а, />]. Для доказательства этого утверждения заметим, что по определению равностепенной непрерыв- ности для е = 1 найдется б > 0 такое, что колебание любой функции fn(x) на любом сегменте длины, не превышающей 6, не превосходит числа 8 = 1. Так как весь сегмент [а, Z>] можно покрыть конечным числом п0 сегментов длины, не превышающей б, то коле- бание любой функции fn (х) на всем сегменте [а, Ь] не превосходит числа п0. Но тогда из неравенства | fn (х0) | sg А, выражающего огра- ниченность последовательности {fn (х)} в точке х0> вытекает неравен- ство | fn (х) | А «о, справедливое для любой точки х из сегмента [а, Ь] и выражающее равномерную ограниченность рассматриваемой последовательности на этом сегменте. Замечал и е 3. Установим достаточный признак равно- степенной непрерывности: если последовательность {fn (х)} состоит из дифференцируемых на сегменте [а, Ь] функций и если последовательность производных {/«(х)} равномерно ограничена, на этом сегменте, то последовательность {fn (х)} равностепенно непрерывна на сегменте [а, Ь]. Для доказательства возьмем на сегменте [а, Ь] две произвольные точки х' и х" и запишем для функции fn(x) на сегменте |х', х"] формулу Лагранжа (см. вып. 1, гл. 8, § 9). Согласно теореме Лагранжа на сегменте [х', х"] найдется точка такая, что I fn (О -fn (*") I = \fn &,) I • IX' - x" I. (1.38) Поскольку последовательность производных {f’n (x)} равномерно огра- ничена на сегменте [a, b\, найдется постоянная А такая, что для всех номеров п справедливо неравенство (1.39)
'Ю ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ |ГЛ. I Вставляя (1.39) в (1.38), получим 1А(Х')-/п(х")|^ А Iх' -х" |. (1.40) Фиксируем любое е>0. Тогда, если взять 6 = е/А и привлечь (1.40), то мы получим, что для всех номеров п и для всех х' и х" из [а, Ь], связанных условием | х' — х" | < 6, будет справедливо нера- венство IA(-v')-/„(x'')!<e. Разностепенная непрерывность последовательности |/„W} доказана. _ (sin пх\ „ В качестве примера рассмотрим последовательность 7—-—У. Эта последо- вательность равностепенно непрерывна на любом сегменте [а, Ь], ибо на любом сегменте [а, 6] последовательность из производных {cosnx} равномерно огра- ничена. Замечание 4. Понятие равностепенной непрерывности можно формулировать не только по отношению к сегменту [а, Ь], но и по отношению к интервалу, полусегменту, полупрямой, бесконечной пря- мой и вообще по отношению к любому плотному в себе множеству *). Кроме того, это понятие можно вводить не по отношению к после- довательности функций, а по отношению к любому бесконечному множеству функций. § 4. Степенные ряды 1. Степенной ряд и область его сходимости. Степенным рядом называется функциональный ряд вида До+ akxk — «о Ч- а\х + а2хгА~ ...-{- апхп (1-41) 4=1 где а0, аг, а2, ..., ап, ... — постоянные вещественные числа, называе- мые коэффициентами ряда (1.41). Постараемся выяснить, как устроена область сходимости любого степенного ряда. Заметим, что всякий степенной ряд сходится в точке х = 0, причем существуют степенные ряды, сходящиеся только в этой точке / “ I например, ряд k\-xk \ 4 = 1 Составим с помощью коэффициентов ап ряда (1.41) следующую числовую последовательность: *) При этом теорема Арцела остается справедливой, если в ее формули- ровке заменить сегмент [а, 6] любым ограниченным замкнутым множеством.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 41 $ fl Могут представиться два случая: 1) последовательность (1.42) является неограниченной} 2) последовательность (1.42) является огра- ниченной. В случае 2) у последовательности (1.42) существует конечный верхний предел (см. вып. 1, гл. 3, § 4, п. 3), который мы обозначим через L. Подчеркнем, что указанный верхний предел L заведомо неотрицателен (ибо все элементы последовательности (1.42) неотри- цательны, а стало быть, и любая предельная точка этой последова- тельности неотрицательна). Подводя итог, мы приходим к выводу, что могут представиться следующие три случая: 1) последовательность (1.42) является неогра- ниченной; II) последовательность (1.42) является ограниченной и имеет конечный верхний предел L>0; III) последовательность (1-42) является ограниченной и имеет верхний предел L = 0. Докажем теперь следующее замечательное утверждение. Теорема 1.13 (теорема Коша — Адамара). I. Если последовательность (1.42) не ограничена, то степенной ряд (1.41) сходится лишь при х = 0. II. Если последовательность (1.42) ограничена и имеет верхний предел L>0, то ряд (1.41) абсолютно сходится для значений х, удовлетворяющих неравенству | х | 1/L, и расходится для зна- чений х, удовлетворяющих неравенству |х|> 1/L. III. Если последовательность (1.42) ограничена и ее верхний предел L — Q, то ряд (1.41) абсолютно сходится для всех значе- ний х. Доказательство. I. Пусть последовательность (1.42) не ограничена. Тогда при х 0 последовательность I х | • 'J/'l ап | = ^\ап-хп\ также не ограничена, т. е. у этой последовательности имеются члены со сколь угодно большими номерами п, удовлетворяющие неравенству 1 ап хп | > 1 или | а„ • хп | 1. Но это означает, что для ряда (1.41) (при х # 0) нарушено необхо- димое условие сходимости (см. вып. 1, гл. 13, § 1, п. 2), т. е. ряд (1.41) расходится при х ф 0. II. Пусть последовательность (1.4) ограничена и ее верхний пре- дел L > 0 Докажем, что ряд (1.41) абсолютно сходится при |x|< 1/L и расходится при |х|> 1/L. а) Фиксируем сначала любое х, удовлетворяющее неравенству }x:<l/L Тогда найдется е>0 такое, что |х| < 1/(L 4-е). В силу свойств верхнего предела все элементы }/ | ая |, начиная с некоторого
42 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 1ГЛ. J номера п, удовлетворяют неравенству /I г- О V I «П I < L 4- -2 , Таким образом, начиная с указанного номера п, справедливо нера- венство т. е. ряд (1,41) абсолютно сходится по признаку Коши (см. вып. 1^ гл. 13, § 2, п. 3). б) Фиксируем теперь любое х, удовлетворяющее неравенству Тогда найдется е>0 такое, что I х | > 1/(7. — е). По определению верхнего предела из последовательности (1.42) можно выделить под- последовательность ) у | ank (А=1, 2, ...), сходящуюся к L. Но это означает, что, начиная с некоторого номера k, справед- ливо неравенство пк___________________________________ £. 8 у | L -f- 8. Таким образом, начиная с указанного номера k, справедливо нера- венство П Ь /" — —' Tit I р ИЛИ I ач I > *’ т. e. нарушено необходимое условие сходимости ряда (1-41), и этот ряд расходится. III. Пусть последовательность (1.42) ограничена и ее верхний предел L = 0. Докажем, что ряд (1.41) абсолютно сходится при любом х. Фиксируем произвольное х Ф 0 (при х = 0 ряд (1.41) заведомо абсолютно сходится). Поскольку верхний предел L = 0 и последова- тельность (1.42) не может иметь отрицательных предельных точек,, число L = 0 является единственной предельной точкой, а стало быть, является пределом этой последовательности, т. е. последовательность (1.42) является бесконечно малой. По тогда для положительного числа 1/2] найдется номер, начи- ная с которого
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 4? ;§ 4] Стало быть, начиная с указанного номера, Vх I апхп | = | х | • ап | < ~ < 1, т. е. ряд (1.41) абсолютно сходится по признаку Коши (см. вып. 1, гл. 13, § 2, п. 3). Теорема полностью доказана. Доказанная теорема непосредственно приводит к следующему фундаментальному утверждению. Теорема 1.14. Для каждого степенного ряда (1-41), если он не является рядом, сходящимся лишь в точке х = 0, существует положительное число R (возможно, равное бесконечности) такое, что этот, ряд абсолютно сходится при | х | <; R и расходится при I х | > R. Это число R называется радиусом сходимости рассматри- ваемого степенного ряда, а интервал (— R, R) называется проме- жутком сходимости этого ряда. Для вычисления радиуса схо- димости справедлива формула 7 ‘ - (1-43) Um V | ап | Л—>со /в случае, когда lim ]Z|a„| = 0, R = oo). Замечание 1. На концах промежутка сходимости, т. е. в точках X — — R и х = R, степенной ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся *). СО Так для ряда 1 + xk радиус сходимости R равен единице, * = 1 .промежуток сходимости имеет вид (— 1,1) и этот ряд расходится ла концах указанного промежутка. Для ряда промежуток сходимости тот же (— 1, 1), но этот последний ряд сходится на обоих концах указанного промежутка. Замечание 2. Все результаты настоящего пункта справедливы для ряда (1.41), в котором вещественная переменная х заменена ком- плексной переменной z. Для такого ряда устанавливается существование положительного числа R такого, что ряд абсолютно сходится при | z | R и расхо- дится при | z | > R. *) Отметим следующую теорему Абеля: если степенной ряд (1.41) сходится при х = Р, то сумма его S (х) является непрерывной в точке R слева. Без ограничения общности можно считать, что /?=1, но в таком виде теорема Абеля (фактически утверждающая регулярность метода суммирования Пуас- сона — Абеля) доказана в дополнении 3 к гл. 13 вып. 1.
44 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ |ГЛ t Для вычисления R справедлива формула (1.43). Число R назы- вается радиусом сходимости, а область | z | /? — кругом сходимости указанного степенного ряда. 2. Непрерывность суммы степенного ряда. Пусть степенной ряд (1-41) имеет радиус сходимости Лемма 2. Каково бы ни было положительное число г, удов- летворяющее условию r<zR, ряд (1.41) равномерно сходится на. сегменте [—г, г], т. е. при | х | г. Доказательство. В силу теоремы 1.14 ряд (1.41) абсолютно сходится при х = г, т. е. сходится ряд ОО I а01+ У, I аь I • rk. k=i Но последний числовой ряд служит мажорантным для ряда (1.41) при всех х из сегмента [— г, г]. На основании признака Вейерш-. трасса ряд (1.41) сходится равномерно на сегменте [—г, г]. Лемма доказана. Следствие. В условиях леммы 2 сумма ряда (1.41) являет- ся функцией, непрерывной на сегменте [— г, г] (в силу теоре- мы 1.7). Теорема 1.15. Сумма степенного ряда внутри его промежутка сходимости является непрерывной функцией. Доказательство. Пусть S(x)—сумма степенного ряда (1.41), a R — его радиус сходимости. Фиксируем любое х внутри промежутка сходимости, т. е. такое, что | х | < R. Всегда найдется число г такое, что | х | г < R. В силу следствия из леммы 2 функция S(x) непре- рывна на сегменте [— г, г]. Стало быть, 5(х) непрерывна и в точке х. Теорема доказана. 3. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда. Теорема 1.16. Если R>0—радиус сходимости степенного ряда (1.41), а х удовлетворяет условию | х | R, то ряд (1.41) можно почленно интегрировать на сегменте [0, х]. Полученный в результате почленного интегрирования ряд имеет тот же радиус сходимости R, что и исходный ряд. Доказательство. Для любого х, удовлетворяющего условию | х | < R, найдется г такое, что j х i < г R- Согласно лемме 2 ряд (1.41) сходится равномерно на сегменте [— г, rj, а стало быть, и на сегменте [0, х]. Но тогда в силу теоремы 1.8 этот ряд можно по"леппо интегрировать на сегменте [0, х]. В результате почленного интегрирования получится степенной ряд <zox + ^-x’+...+^-x'’+..., радиус сходимости которого, согласно теореме 1.14, является вели»
§ 41 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 45 чиной, обратной верхнему пределу последовательности, о-44) г у п Так как верхний предел последовательности (1-44) тот же, что и у (1.42)*), то теорема доказана. Теорема 1.17. Степенной ряд (1.41) внутри его промежутке, сходимости можно дифференцировать почленно. Ряд, полученный почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходи- мости R, что и исходный ряд. Доказательство. Достаточно (в силу теоремы 1.9 и леммы 2) доказать лишь второе утверждение теоремы. В результате почленного дифференцирования (1.41) получим ряд ai 4" • а2 • х 4-.. • + п • ап • хп 1-|-(л + 1) • Дге + 1 •-Vя + • радиус сходимости R которого (согласно теореме 1.14) обратен верх- нему пределу последовательности {?/(«+1)|а„+1|}. (1.45) Так как последовательность (1.45) имеет тот же верхний предел, что и (1.42)**), то теорема доказана. Следствие. Степенной ряд внутри его промежутка сходи- мости можно дифференцировать почленно сколько угодно раз. Ряд, полученный п-кратным почленным дифференцированием исходного степенного ряда, имеет тот же радиус сходимости,, что и исходный ряд. § 5. Разложение функций в степенные ряды 1. Разложение функции в степенной ряд. Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) на интер- вале (— R, R) (на множестве {х}) может быть разложена в сте- пенной ряд, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на указанном интервале (указанном множестве). *) Ибо lim Yп = 1> Ит |= lim " + |Л|ая| = Л-»СО /I—*00 и-» со *♦) Ибо lim ^n+l = l, lim уг,1ап+11 = п-*оо п—*оо п =* lim = lim |^/ТаП]я “ 1 = ~Ит У\а^\ .. Л-*00 Л —» 00
46 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ |ГЛ. г Справедливы следующие утверждения. 1°. Для того чтобы функция f(x) могла быть разложена в степенной ряд на интервале (— R, Д), необходимо, чтобы эта функция имела на указанном интервале непрерывные производные любого порядка *). В самом деле, степенной ряд внутри его промежутка сходимости, который во всяком случае содержит интервал (—R, R), можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, причем все полученные при этом ряды сходятся внутри того же промежутка сходимости (теорема 1.17). По тогда суммы рядов, полученных сколь угодно кратным диф- ференцированием (в силу теоремы 1.15), представляют собой функ- ции, непрерывные внутри указанного промежутка сходимости, а стало быть, непрерывные на интервале (—R, R). 2°. Если функция f(x) может быть на интервале (—R, R) разложена в степенной ряд, то лишь единственным образом. В самом деле, пусть функция f(x) может быть разложена на интервале (—R, R) в степенной ряд (1.41). Дифференцируя указанный ряд почленно п раз (что заведомо можно делать внутри интервала (— R, R)), получим f'n} (х) = ап-п'.-{-ап+1-(п-\- 1)! х-ф-... Отсюда при х = 0 найдем >(0) = ап-п\ или (1 46) п~ п! Таким образом, коэффициенты степенного ряда (1.41), в который мсжет быть разложена функция /(х), однозначно определяется фор- мулой (1.46). Предположим теперь, что функция /(х) имеет га интервале (— R, R) непрерывные производные любого порядка. Определение 2. Степенной ряд (1.41), коэффициенты кото- рого определяются формулой (1.46), называется рядом Тей- лора функции f (х). Утверждение 2° приводит нас к следующему утверждению. 3°. Если функция f(x) может быть разложена на интервале (—R, R) в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тей- лора функции /(х). В заключение сформулируем следующее утверждение, непосред- ственно вытекающее из § 14 гл. 8 вып. I. *) Отметим, что существуют функции, имеющие на интервале (—7?, 7?) непрерывные производные любого порядка, но не разложимые на этом интер- вале в степенной ряд. Примером такой функции может служить ,. , (е~|/л! при х=^0, /(х) = < Ч) при < = 0.
§ 5) РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 47 4°. Для того чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (—R, R) (на множестве {х}), необ- ходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Мак- ларена для этой функции стремился к нулю на указанном интер- вале (указанном множестве). 2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тей- лора. В вып. 1 (см. п. 2 § 15 гл. 8) доказано, что остаточные члены в формуле Маклорена для функций ех, cos х и sin х стремятся к нулю на всей бесконечной прямой, а остаточный член в формуле Макло- рена для функции 1п(1-|-х) стремится к нулю на полусегменте — 1<х^+1. В силу утверждения 4° из предыдущего пункта это приводит нас к следующим разложениям: '“ИЙ. /1=1 , , V (— 1)пх^п cos х—1+2; (2л)1 ’ /1 = 1 V (— 1)"X2" + 1 slnx= 2 (2п+1)! п = 0 И=1 Первые три из этих разложений сходятся для всех значений х, а последнее — для значений х из полусегмента — 1 <х 1. Остановимся теперь на разложении в степенной ряд функции (1 + х)“ или на так называемом биномиальном ряде. Если f (х) = (1 + х)а, то /(«) (х) — а (а — 1)(а — 2) ... (а — п + 1) • (1 + х)а~п. Поэтому формула Маклорена с остаточным членом в форме Коши имеет вид (см. вып. 1, гл. 8, § 14) (1 + х)“ = 1 + 2 а(а~1} х* + Rn + 1 (х), (1.47) I где Rn +1 (х) = -~-6) хп +1 • Дп + »(Ох) = = —-хп+] - а (а — 1) ... (а — п)(1 + 6х)"~ п~ 1 — = (1^)"• (№~-1) (а=^|2)--'- (а~п) СС( 1 + 9Х)«-> .хп +' (1.48) (6 —некоторое число из интервала О<0< 1).
48 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ Г Сначала убедимся в том, что при а >► 0 всюду на интервале — 1 <х<1 остаточный член /?„ + 1 (х) стремится к нулю (при л->оо). Г/l— в В самом деле, все члены последовательности j- всюду на указанном интервале не превосходят единицы; последовательность ':^а—при любом фиксированном а>0 ограничена *); число а (1 + 0х)а-1 определено при любом фиксированном а>0 и при любом х из интервала — 1 1; наконец, последователь- ность {х"+'} является бесконечно малой для любого х из интер- вала - 1 <х< 1. Таким образом, в силу (1.48) остаточный член Rn +1 (х) стремится к нулю для любого фиксированного а> 0 и любого х из интервала — 1 < х <1. Стало быть, в силу (1.47), при сс>0 всюду на интервале — 1 < х < 1 справедливо разложение (1 -I- Х)“ = 1 + У (a.-fe+l) xk (J,49) лшя Я! 4 = 1 Докажем теперь, что при а>0 ряд, стоящий в правой части (1.49), равномерно сходится к функции (1-[-х)а на замкнутом сегменте— 1 srxsgi. Всюду на указанном сегменте этот ряд мажорируется следующим число- вым рядом; f (1.50) *= i В силу признака Вейерштрасса для установления равномерной на сег- менте— 1 х •.< 1 сходимости ряда, стоящего в правой части (1.49), доста- точно доказать сходимость мажорирующего ряда (1.50). Обозначим k-й член ряда (1.50) символом рь. Тогда для всех достаточно больших k получим Р/г + т >+« Pk k + 1 & + 1 (1-51) Из формулы (1.51) вытекает, что lim fefl — 2*+1\ — (1 _|_а). )[т — 1 -[_к 1, k — со \ Р/г ! k -* со "Г • т. е. ряд (1.50) сходится в силу § 2, п. 5). Тем самым доказано, что при сходится равномерно на сегменте занный ряд сходится на сегменте признака Раабе (см. вып. 1, гл. 13, а>0 ряд, стоящий в правой части (1.49), — l=gxsgl. Остается доказать, что ука- — 1 X -< 1 К функции (1 +х)“. *) Все элементы этой фа—1)(<х—-) ... !">.-(«)) [а)! последовательности по модулю ограничены числом где [а] —целая часть а.
4 51 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 49 В силу доказанного выше сумма указанного ряда S (х) и функция (1 4-х)“ совпадают всюду на интервале — 1 <х< 1. Кроме того, обе функции S (х) и (14-х)“ непрерывны на сегменте —Isgxsgl (функция S (х) как сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций; непрерывность функ- ции (1 4~*)а при а>0 очевидна). Но тогда значения функций S (х) и (14-*)“ в точках х = —1 и х—1 обязаны совпадать, т. е. ряд, стоящий в правой части (1.49), равномерно сходится к (1 -|-х)а на замкнутом сегменте — Is^x^gl. 3. Элементарные представления о функциях комплексной переменной. Выше уже отмечалось, что на случай степенного ряда относительно комплексной переменной z at> + aiz + ачг^ + • • • + &пгП + • • переносятся теоремы 1.13 и 1.14 (о существовании и величине радиуса сходимости). Ряды такого типа используются для опреде- ления функций комплексной переменной z. Функции ez, cos z и sin z комплексной переменной z определя- ются как суммы следующих рядов: ОО 2 ,L52> п = I п = I Sin*= 2 (2л+1)~- (L54) л = О Легко проверить, что указанные три ряда абсолютно сходятся для всех значений z (их радиус сходимости /? = оо). Установим теперь связь между функциями ег, cosz и sinz. Заменяя в формуле (1.52) z на Zz, получим g»_ t । ,, , О»2 ] (1г)3 । <‘г)4 । О’*)8 е _ -t- iz -f- 21 -t- 3( -р- 4| -f- 5] H'-S+ff—-Н'^-з^+г—) <l55> Сопоставляя правую часть равенства (1.55) с разложениями (1.53) й (1.54), придем к следующей замечательной формуле: = cos z 4-1 • sin z. (1.56) Формула (1.56) играет фундаментальную роль в теории функций комплексной переменной и называется формулой Эйлера. Полагая в формуле Эйлера переменную z равной сначала вещест- венному числу х, а затем вещественному числу — х, получим
50 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ (ГЛ. I следующие две формулы: elx = cos х i- sin х, e~lx — cos x — i sin x. Складывая и вычитая эти две формулы, мы получим формулы, выра- жающие cosx и sin х через показательную функцию: . . (1.57) р1Х__p~ix F sin х —----. 2» В заключение остановимся на определении логарифмической функции u) = lnz комплексной переменной г. Эту функцию естественно определить как функцию, обратную показательной, т. е. из соотношения г = еа>. Полагая w = u-\-iv, z = x-yiy, поставим перед собой цель —выразить и и v через г = х-\-1у. Из соотношения z = х + iy = ем+ ,v = е“ (cos и + i sin v) получим, используя понятия модуля и аргумента комплексного числа (см. фор- мулу (7.6) из вып. 1), | z | = Ух~-\-у2 = еи, argz = o —2л7г, где /г =0, ± 1, ± 2,... Из последних равенств находим, что ц = 1п | г | = 1п Ух2-уу2, v = arg z-|-2nk (6 = 0, ± 1, ± 2, ...) или окончательно In z = ln | z | +»(arg z + 2nfe), где fe = 0, ± 1, + 2,... (1.58) Формула (1.58) показывает, что логарифмическая функция в комплексной области не является однозначной: ее мнимая часть для одного и того же зна- чения z имеет бесчисленное множество значений, отвечающих различным /е = 0, ±- 1, ± 2, ... Легко понять, что аналогичная ситуация будет иметь место и при опре- делении в комплексной области обратных тригонометрических функций. 4 4. Равномерное приближение непрерывной функции многочле- нами (теорема Вейерштрасса). В этом пункте мы докажем фунда- ментальную теорему, принадлежащую Вейерштрассу и установленную им в 1895 году. Теорема 1.18 {теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь], то существует последовательное ть- многочленов {Рп (х)}, равномерно на сегменте [а, Ь] сходящаяся к f(x), т. е. для любого е > 0 найдется многочлен Рп (х) с номе- ром п, зависящим от е, такой, что \Pn(x)-f(x)\<t сразу для всех х из сегмента [а, &].
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 51 Иными словами, непрерывную на сегменте [а, Ь] функцию f(x) можно равномерно на этом сегменте приблизить многочленом с наперед заданной точностью е. Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем вместо сегмента [а, Ь] рассматривать сегмент [0, 1]*). Кроме того, доста- точно доказать теорему для непрерывной функции /(х), обраща- ющейся в нуль на концах сегмента [0, 1], т. е. удовлетворяющей условиям /(0) = 0 и /(1) = 0. В самом деле, если бы f(x) не удов- летворяла этим условиям, то, положив g(x)=/(x) -/(0) -х[/(1) -/(0)], мы получили бы непрерывную на сегменте [0,1 ] функцию g (х), удовлетворяющую условиям g(0) = 0 и ^(1) = 0, и из возможности представления g(x) в виде предела равномерно сходящейся после- довательности многочленов вытекало бы, что и f(x) представима в виде предела равномерно сходящейся последовательности много- членов (ибо разность f(x) — g(x) является многочленом первой сте- пени). Итак, пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [0,1] и удов- летворяет условиям /(0) = 0, /(1) = 0. Такую функцию /(х) мы можем продолжить на всю бесконечную прямую, положив ее равной нулю за пределами сегмента [0, 1], и утверждать, что так продол- женная функция является равномерно непрерывной на всей беско- нечной прямой. Рассмотрим следующую конкретную последовательность неотри- цательных многочленов степени 2я: Q„(x) = c„(l-х2)" (л= 1, 2,...), (1.59) у каждого из которых постоянная сп выбрана так, что выполняется равенство । $ Q„(x)<Zx=l (я=1, 2,..,). (1.60) — । Не вычисляя точного значения постоянной сп, оценим ее сверху. Для этого заметим, что для любого номера я=1,2,... и для всех х из сегмента [0,1] справедливо неравенство**) (1 - х2)" Г- 1 - пх2. (1-61) *) Поскольку один из этих сегментов преобразуется в другой линейной заменой х = (&—a) **) Это неравенство вытекает из того, что при любом п^1 функция <р(х)=(1—х2)"— (1—пх2) неотрицательна всюду на сегменте Osgxsil, ибо эта функция обращается в нуль при х-0 и имеет всюду на указанном сег- менте неотрицательную производную <р'(х) = 2пх[1—(Г—х2)"-1].
52 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. г Применяя неравенство (1.61) и учитывая, что 1/]Лл s£ 1 при любом. п1, будем иметь 1 1 \/Vh (1-х2)л</х = 2$(1 -x2)ndx^2 (S-x^dxs? — 1 о и '/V~n 4 11 S-2 (\-nx*)dx=-^>±=. (1.62) (J JVn Vn Из (1.59), (1.60) и (1.62) заключаем, что для всех номеров п = = 1,2,... справедлива следующая оценка сверху для постоянной с,р сл<|/Ля. (1.63) Из (1.63) и (1.59) вытекает, что при любом б>0 для всех х из сегмента б^х^1 справедливо неравенство 0< Q„(x) =с/й(1-б2Г. (1.64} Из (1-64) следует, что при любом фиксированном б>0 после- довательность неотрицательных многочленов {<Эя(-*г)} сходится К нулю равномерно на сегменте б -С х «5 1 *). Положим теперь для любого х из сегмента 0=s;t^1 1 Ря«= $ f(x + t)Qn(()dt — 1 (1.65) и убедимся в том, что для любого и=1,2,... функция Рп(х) есть- многочлен степени 2л, причем |Рл(х)} и является искомой после- довательностью многочленов, равномерно сходящейся на сегменте 0=gtx-sCl к функции f(x). Так как изучаемая функция /(х) равна нулю за пределами сег- мента [0, 1), то для любого х из сегмента [0, 1] интеграл (1.65) можно записать в виде 1 — X Рп(х) = 5 f(x + t)Qn(t)dt- *) В самом деле, достаточно доказать, что последовательность ап — = (1—д2)п • п сходится к нулю, а это вытекает, например, из того, что* поскольку lim p^a„=(l— б2) lim л|/2л =(1 —б2) < 1, п — оо п — со 00 ряд 2 ап сходится по признаку Коши (см, 1еорему 13.6 из вып. 1). а = 1
§ 5) РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 53 Заменяя в последнем интеграле переменную t на t — х, мы при- дадим ему вид Pn(x) = \f(t)Qn(t-x)dt. (1.66) о Из (1.66) и (1.59) ясно, что функция Ра(х) представляет собой многочлен степени 2л. Остается доказать, что последовательность {Рп (х)} сходится к f(x) равномерно на сегменте Osgcx=gcl. Фиксируем произвольное е > 0. Для фиксированного е, в силу равномерной непрерывности /(х) на всей бесконечной прямой, най- дется б > 0 такое, что !/(*)-/Су) 1<у при |Х— _у|<б. (1.67) Заметим еще, что так как /(х) непрерывна на сегменте [0, 1], то она и ограничена на этом сегменте, а стало быть, и всюду на бес- конечной прямой. Это означает, что существует постоянная А такая, что для всех х |/(х)|^А (1.68) Используя (1.60), (1.64), (1.67) и (1.68) и учитывая неотрицатель- ность Q(x), оценим разность Р„(х)—/(х). Для всех х из сегмента 0 sS х sg 1 будем иметь |Рл(х)-/(х)| = 1 I 5 [/(* + 0-/WIQn(0^ —1 5 l/(* + 0-/(*) | Qn(t)dt^2A 5 Qn(0^ + — 1 —1 d 1 + I Qn (0 dt + 2Л £ Qn (0 dt 4A Vn • (1 -62)« + -6 i г Г Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что для всех достаточно больших номеров п справедливо неравенство 44/л (1— б2)«<-|-. Следствие. Если не только сама функция f(x), но и ее про- изводные до некоторого порядка k включительно непрерывны на сегменте [0, 1]*), то существует последовательность многочле- нов {Р„(х)} такая, что каждая из последовательностей {Рл(х)}, {Рп (х)}, .... {Рлг) (х)} сходится равномерно на сегменте [0, 1] соответственно к f(x), f'(x), ..., /(А) (х). В самом деле, не ограничивая общности, мы можем считать, что каждая из функций /(х), f (х), ..., /(А)(х) обращается в нуль при ') Конечно, вместо [0, 1] можно взять [а, Ь].
54 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. I х = 0 и при х— 1 *), а при таких условиях функцию f(x) можно продолжить на всю бесконечную прямую, полагая ее равной нулю вне [0, 1], так что продолженная функция и все ее производные до порядка k включительно окажутся равномерно непрерывными на всей бесконечной прямой. Но тогда, обозначая через Р„(х) тот же многочлен (1.65), что и выше, и повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1.18, мы докажем, что каждая из разностей Рп W - /(X), р'п (X) -f (х), . . ., Р™ (х) -fW (X) является бесконечно малой, равномерной относительно х на сегменте Оь<х«г 1. Замечание 1. Изложенное нами доказательство легко обоб- щается на случай функции /п переменных /(х1( х2, .... хт), непре- рывной в /«-мерном кубе 0sCXi«~l (Z=l, 2, ..., т). В полной аналогии с теоремой 1.18 доказывается, что для такой функции /(хр х2, ..., хш) существует равномерно сходящаяся к ней в /«-мерном кубе последовательность многочленов от /« переменных . Хр х2, ..., хт. Замечание 2. Заметим, что фигурирующие в теореме 1.18 многочлены можно заменить функциями более общей природы, сохраняя при этом утвер- ждение о возможности равномерного приближения такими функциями любой непрерывной функции f. Договоримся называть произвольную совокупность А функций, опреде- ленных на некотором множестве Е, алгеброй, если**) 1) f-j-g^A; 2) f • g е А; 3) a-feA при произвольных /е А и geA и при любом веще- ственном а. Иными словами, алгебра есть совокупность функций, замкнутая относи- тельно сложения и умножения функций и умножения функций на веществен- ные числа. Если для каждой точки х множества Е найдется некоторая функция g е А такая, что g (х) =# 0, то говорят, что алгебра А не исчезает ни в одной точке х множества Е. Говорят, что совокупность А функций, определенных на множестве Е, разделяет точки множества Е, если для любых двух различных точек Xj и хг этого множества найдется функция [ из А такая, что f (xj f (х2). Имеет место следующее замечательное утверждение, называемое теоре- мой В е й е р ш т р а с с а — Сто у н а ***). Пусть А — алгебра непрерывных на компактном ****) множестве Е функций, которая разделяет точки множества Е и не исчезает ни в одной точке этого множества. Тогда каждая непрерывная на множестве Е функция f (х) может быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности функций алгебры А. *) Если бы f (х) не удовлетворяла этим условиям, то мы нашли бы мно- гочлен Pk (х) степени 2k такой, что для функции g(x) = / (х) — Pk (х) эти усло- вия были бы выполнены. **) Напомним, что символ / = /1 означает принадлежность / к А. ***) М. Стоун — современный американский математик. •***) Напомним, что компактным называется замкнутое ограниченное мно- .жество.
ГЛАВА 2 ДВОЙНЫЕ И «-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В выпуске 1 были рассмотрены физические и геометрические задачи, приводящие к понятию однократного определенного инте- грала. Типичными задачами такого рода являются задача о вычислении массы неоднородного стержня по известной линейной плотности этого стержня и задача о вычислении площади криволинейной трапеции (т. е. площади, лежащей под графиком неотрицательной функции^ = f(x) на сегменте [а, £]). Легко указать аналогичные «многомерные» задачи, приводящие к понятию двойного или тройного интеграла. Так, задача о вычислении массы неоднородного тела Т по извест- ной объемной плотности р(/И) этого тела естественным образом при- водит нас к понятию тройного интеграла. Для вычисления массы указанного тела Т разобьем его на доста- точно малые участки Ть Т2, ..., Тп. Приближенно можно считать объемную плотность р(А1) каждого участка Tk постоянной и равной р(А4*), где Mk— некоторая точка участка Тk. В таком случае масса каждого участка Тk будет приближенно равна р (/И*) • vk, где — объем участка Тk. Приближенное значение массы всего тела Т будет равно сумме У, Р (А1*) • vk. А = 1 Точное значение массы естественно определить как предел указанной- суммы при неограниченном уменьшении*) каждого участка 7'й Этот предел и может быть взят за определение тройного интеграла от функции р(7И) по трехмерной области Т. ) Конечно, следует уточнить термин «неограниченное уменьшение».
56 ДВОЙНЫЕ И « КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ ? Совершенно аналогично может быть рассмотрена геометрическая задача о вычислении объема так называемого криводонного цилиндра (т. е. объема изображенного на рис. 2.1 тела, лежащего под графиком неотрицательной функции z = f(x, у) в некоторой двумерной области D). Эта задача приводит к понятию двойного интеграла от функции f(x,y) по двумерной области D. В настоящей главе излагается теория двой- ных, тройных и вообще я-кратных инте- гралов. Для более эффективного использования анало- гии с однократным интегралом мы сначала введем понятие двойного интеграла для пря- моугольника, а лишь затем введем двойной интеграл по произвольной области как с по- мощью прямолинейного, так и с помощью совершенно произвольного разбиения этой области. § 1. Определение и существование двойного интеграла 1. Определение двойного интеграла для прямоугольника. Пусть произвольная функция f(x,y) определена всюду на прямоугольнике R = [а Ь]Х |с d] (рис 2.2). Разобьем сегмент а-^x-^b на п частичных сегментов при помощи точек a — x0<Zx1<Zx2<Z---<.xn = b, а сегмент c^y^d на р частичных сегментов при помо- щи точек с =Jo<y1<J,2C... • • <Ур = d- Этому разбиению при помо- щи прямых, параллельных осям Ох и Оу (см. рис. 2.2), соответствует разбиение прямоугольника R на п р частичных прямоугольников R*/ — \xk .i^x X (Л _i<У^У(1 (k = 1, 2, ..., я; 1=1, 2, ,.., р). Указанное разбиение прямоуголь- ника R обозначим символом Т. Всюду в дальнейшем в этой главе под термином «прямоугольник» мы будем понимать прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. На каждом частичном прямоугольнике выберем произвольную точку (gft, тр). Положив \xk = Хр — xk л, А_щ=у, — _у(1, обозначим через площадь прямоугольника Rkl. Очевидно, ARftz==Axft А_уг.
$ Ц ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 57 Определение 1. Число 0=1 (2.1) *=!/=! называется интегральной суммой функции f(x, у), соот- ветствующей данному разбиению Т прямоугольника R и данному выбору промежуточных точек (£*, гр) на частичных прямоуголь- никах разбиения 7\__________ Диагональ ]/(Ах*)2 + (А_у()2 будем называть диаметром пря- моугольника Rkl. Символом А обозначим наибольший из диаметров всех частичных прямоугольников /?*г. Определение 2. Число I называется пределом интег- ральных сумм (2.1) при А—>0, если для любого положитель- ного числа е можно указать такое положительное число д, что при А < 6 независимо от выбора точек (Е*, гр) на частичных прямоугольниках Rm выполняется неравенство Определение 3. Функция f(x, у) называется интегрируе- мой (по Риману) на прямоугольнике R, если существует конечный предел 1 интегральных сумм этой функции при А —► 0. Указанный предел 1 называется двойным интегралом от функции f(x, у) по прямоугольнику R и обозначается одним из следующих символов: /== y)dxdy=^f(M)d<j. R R Замечание. Точно так же, как и для однократного определен- ного интеграла (см. вып. 1, гл. 10, § 1), устанавливается, что любая интегрируемая на прямоугольнике R функция f(x, у) является ограниченной на этом прямоугольнике. Это дает нам основание рассматривать в дальнейшем лишь огра- ниченные функции f(x, у). 2. Существование двойного интеграла для прямоугольника. Теория Дарбу, развитая в гл. 10 вып. 1 для однократного опреде- ленного интеграла, полностью переносится на случай двойного интег- рала в прямоугольнике R. Ввиду полной аналогии мы ограничимся указанием общей схемы рассуждений. Пусть Mkt и mki — точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, у) на частичном прямоугольнике Rllt. Составим для данного разбиения Т прямоугольника R две суммы: верхнюю п Р А=11=1
58 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. 2 И НИЖНЮЮ п р 3= 2 F, mkr\Rkl. к=\ 1=1 Справедливы следующие утверждения (доказательства их пол- ностью аналогичны доказательствам, приведенным в п. 2 § 2 гл. 10 вып. 1). 1°. Для любого фиксированного разбиения Т и любого е>0 промежуточные точки (£*, гр) на частичных прямоугольниках Rhi можно выбрать так, что интегральная сумма о будет удовлетворять неравенствам 0 sg S — о < е. Точки (£й, можно выбрать и таким образом, что интег- ральная сумма будет удовлетворять неравенствам OsCo — s<ge. 2°. Если разбиение Г' прямоугольника R получено путем добав- ления новых прямых к прямым, производящим разбиение 7', то верх- няя сумма S' разбиения Т' не больше верхней суммы S разбиения Т, а нижняя сумма s' разбиения Т' не меньше нижней суммы s разбиения Т, т. е. s sg s', S' sg S. 3°. Пусть Т' и Т" — любые два разбиения прямоугольника R. Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму другого. Именно, если s', S' и s”, S' — соответст- венно нижние и верхние суммы разбиений Т' и Т", то s' S' s'' sg S'. 4°. Множество {S} верхних сумм данной функции f(x, у) для всевозможных разбиений прямоугольника R ограничено снизу. Множество {s} нижних сумм ограничено сверху. Таким образом, существуют числа 7=inf{S}, 7 = sup{s}, называемые соответственно верхним и нижним интегра- лами Дар б у (от функции f(x, .у) по прямоугольнику R). Легко убедиться, что 7«g7. 5°. Пусть разбиение Т' прямоугольника R получено из разбие- ния Т добавлением к последнему р новых прямых, и пусть s', S и s, S — соответственно нижние и верхние суммы разбиений Т' и Т. Тогда для разностей S— S и s' —s может быть получена оценка, зависящая от максимального диаметра Д частичного прямоугольника разбиения Т, числа р добавленных прямых, точ- ных граней Мит функции f(x, у) на прямоугольнике R и от диаметра d прямоугольника R.
§ I] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 59 Именно S-S’^(M-m)-p^-d, s' — s <: (TH — m) p • A • d. 6°. Верхний и нижний интегралы Дарбу I и I от функции f(x, у) по прямоугольнику R являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при А -> 0 *). Из свойств 1° —6° вытекает следующая основная теорема. Теорема 2.1. Для того чтобы ограниченная на прямоуголь- нике R функция f (х, у) была интегрируема на этом прямо- угольнике, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О нашлось такое разбиение Т прямоугольника R, для которого S — s<Ze. Как и в гл. 10 вып. 1, теорема 2.1 в соединении с теоремой о рав- номерной непрерывности функции позволяет выделить важнейшие классы интегрируемых функций. Теорема 2.2. Любая непрерывная в прямоугольнике R функ- ция f(x, _у) интегрируема на этом прямоугольнике. Определение 1. Назовем элементарной фигурой мно- жество точек, представляющих собой сумму конечного числа прямоугольников (со сторонами, параллельными осям Ох и Оу) **). Определение 2. Будем говорить, что функция f(x, у) обла- дает в прямоугольнике R (в произвольной замкнутой области D) 1 - с в о й с т в о м, если: 1) f(x, у) ограничена в прямоугольнике R (в области D); 2) для любого е > 0 найдется элементарная фигура, содержащая все точки и линии разрыва функции f(x, у) и имеющая площадь, меньшую е, Теорема 2.3. Если функция f(x, у) обладает в прямоуголь- нике R 1-свойством, то она интегрируема на этом прямоугольнике. Доказательство теорем 2.2 и 2.3 полностью аналогично доказа- тельству теорем 10.3 и 10.4 из вып. 1. 3. Определение и существование двойного интеграла для про- извольной области. В п. 1 § 2 гл. 11 вып. 1 были введены понятия квадрируемости и площади плоской фигуры Q. Эти поня- тия без каких-либо изменений переносятся на случай произвольного ограниченного множества Q точек плоскости. *) Понятие предела верхних или нижних сумм определяется в полной аналогии с понятием предела интегральных сумм. Именно, число 7 называется пределом верхних сумм S при Д -- 0, если для любого е > 0 можно указать б > 0 такое, что | S — / \ <е при Д < б. **) Заметим, что сумма конечного числа совершенно произвольных пря- моугольников (со сторонами, параллельными осям Ох и Оу) представима в виде суммы также конечного числа не имеющих общих внутренних точек, прямо- угольников (со сторонами, параллельными указанным осям). Поэтому в опреде- лении 1 можно брать прямоугольники, как имеющие общие внутренние точки, так и не имеющие их.
«о ДВОЙНЫЕ И п КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ 2 Во всех определениях и утверждениях указанного пункта вместо фигуры Q можно брать произвольное ограниченное множество Q. В том же пункте было дано определение кривой (или границы фигуры) площади нуль: Г называется кривой площади нуль, если для любого е>0 найдется многоугольник, содержащий все точки Г и имеющий площадь, меньшую е. Отметим, что в этом определении термин «многоугольник» можно заменить термином «элементарная фигура». Это следует из того, что любая элементарная фигура является многоугольником, а любой многоугольник с площадью, меньшей числа е, содержится в элемен- тарной фигуре, имеющей площадь, меньшую числа 8е *). Легко доказать следующее утверждение. Если Г имеет площадь нуль и если плоскость покрыта квад- ратной сеткой с шагом h, то для любого е>0 найдется /г>0 такое, что сумма площадей всех имеющих общие точки с Г квадратов меньше е. В самом деле, для любого е > 0 можно фиксировать некоторую элементарную фигуру Q, содержащую внутри себя Г и имеющую пло- щадь, меньшую е/4. После этого остается заметить, что при доста- точно малом шаге квадратной сетки h все квадраты, имеющие общие с Г точки, содержатся в элементарной фигуре, получающейся заме- ной каждого прямоугольника Q вдвое большим прямоугольником с тем же центром.- Подчеркнем, что класс кривых площади нуль весьма широк. Этому классу принадлежит, например, любая спрямляемая кривая (см. теорему 11.3 вып. 1). Перейдем теперь к определению двойного интеграла для произ- вольной двумерной области D. Пусть D — замкнутая ограниченная область, граница Г которой имеет площадь нуль, а /(х, ^ — произвольная функция, определен- ная и ограниченная в области D. Обозначим через R любой прямоугольник (со сторонами, парал- лельными координатным осям), содержащий область D (рис. 2.3). Определим в прямоугольнике R следующую функцию: f(x, у) в точках области D, / „ (2.2) О в остальных точках R. F(x, у)= *) В самом деле: 1) многоугольник равен конечной сумме треугольников; 2) каждый: треугольник равен сумме (или разности, двух прямоугольных тре- угольников; 3) прямоугольный треугольник содержится в прямоугольнике, вдвое большем по площади; 4) любой прямоугольник равен сумме конечного числа квадратов и одного прямоугольника, отношение сторон которого за- ключено между 1 и 2; 5) любой квадрат содержится во вдвое большем по пло- шали квадрате со сторонами, параллельными осям Ох и Оу; 6) любой прямо- угольник с отношением сторон, заключенным между 1 и 2, может быть допол- нен до квадрата и потому содержится во вчетверо большем по площади квад- рате со сторонами, параллельными осям Ох и Оу.
s n ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 61 Определение. Функцию /(х, у) будем называть интегри- руемой в области D, если функция F(х, у) интегрируема в прямоугольнике R. При этом число /=ЭД F (х, y)dx dy назовем двойным интегралом R от функции f(x, _у) по области D и обозначим символом /=ЭД/(х, y)dxdy = §f(M)da. D D Замечание 1. Из этого оп- ределения сразу же вытекает, что интеграл ЭД 1 -dxdy равен площади D области D. В самом деле, подвер- гая соответствующий прямоугольник R все более мелким разбиениям, Рис. 2.3. мы получим, что верхние суммы этих разбиений будут равны площадям элементарных фигур, содер- жащих D, а нижние суммы — площадям элементарных фигур, содержа- щихся в D. Замечание 2. Пусть функция f(x, у) интегрируема в огра- ниченной квадрируемой области D, плоскость покрыта квадрат- ной сеткой с шагом h, Сь С2, ... , С„(Л) — квадраты указанной сетки, целиком содержащиеся в области D, Г|л) — произволь- ная точка квадрата Ck, mk=inff(x, .у) (А=1, 2, ... , n(h)). сь Тогда каждая из сумм n(h) n(h) У n*) • h2, У, mk-h2 4=1 4 = 1 имеет предел при h-»-0, равный ЭД/(х, у) dxdy. D Для доказательства достаточно заметить, что указанные суммы отличаются от обычной интегральной суммы (соответственно от ниж- ней суммы) функции f(x, у) в области D только отсутствием сла- гаемых по квадратам, имеющим общие точки с границей Г области D, причем сумма всех отсутствующих слагаемых по модулю меньше произведения точной верхней грани М функции |/(.г, >) | в области D на площадь S элементарной фигуры, состоящей из квадратов, имеющих общие точки с Г. Согласно доказанному выше утвержде- нию, S—>0 при й->0. В отношении данного нами определения естественно возникает вопрос, зависит ли факт существования двойного интеграла и его величина I 1) от выбора на плоскости координатных осей Ох и Оу,
62 ДВОЙНЫЕ И /l-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ ? 2) от выбора прямоугольника R, на котором мы определяем функ- цию F (х, у). В следующем пункте мы дадим другое определение интегрируе- мости функции f(x, у) и двойного интеграла, не зависящее ни от выбора координатных осей, ни от выбора прямоугольника R, и дока- жем эквивалентность этого определения приведенному выше. Пока же мы укажем следующую основную теорему, почти непо- средственно вытекающую из теоремы 2.3 и из данного выше опре- деления. Теорема 2.4. Если функция f(x, у) обладает в области D 1-свойством, то она интегрируема в области D. Доказательство. Для такой функции f(x, у) функция F (х, у), определенная формулой (2.2), будет обладать /-свойством в прямо- угольнике R. В самом деле, функция F (х, у) ограничена в прямоугольнике R и все точки и линии разрыва этой функции либо совпадают с соот- ветствующими разрывами f(x, у), либо лежат на границе Г области D. Поскольку Г имеет площадь нуль, теорема доказана. Следствие 1. Если функция f(x, у) ограничена в области D и имеет в этой области разрывы лишь на конечном числе спрям- ляемых линий, то f(x, у) интегрируема в области D. Следствие 2. Если f(x, у) интегрируема в области D, а g(x, у) ограничена и совпадает с f(x, у) всюду в D, за исключением множества точек площади нуль, то и g(x, у) интегрируема в области D. 4. Определение двойного интеграла при помощи произволь- ных разбиений области. Выше мы определили двойной интеграл, исходя из разбиения области прямыми линиями на конечное число частичных прямоугольников. В этом пункте мы сформулируем дру- гое определение двойного интеграла, основанное на разбиении об- ласти D любыми кривыми площади нуль на конечное число частич- ных областей произвольного вида, и докажем, что это определение эквивалентно данному выше. Пусть О —замкнутая ограниченная область, имеющая границу Г площади нуль. Разобьем область D при помощи конечного числа произвольных кривых площади нуль на конечное число г (не обя- зательно связных!) замкнутых частичных областей Db D2, ... , Dr. Заметим, что каждая область Di квадрируема, ибо граница ее имеет площадь нуль (см. вып. 1, гл. 11, § 2) и обозначим символом AZ), площадь области О,-. В каждой частичной области Di выберем произвольную точку Pi(U Т](). Определение 1. Число i=Zf(Pd^Di (2.3) (И
§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 63 называется интегральной суммой функции f(x, у), соот- ветствующей данному разбиению области D на частичные области Di и данному выбору промежуточных точек Pi в частичных областях. Назовем диаметром области Di точную верхнюю грань расстояний между двумя любыми точками этой области. Символом А обозначим наибольший из диаметров частичных областей О2, • •. , Dr. Определение 2. Число 1 называется пределом интег- ральных сумм (2.3) при А—>0, если для любого положитель- ного числа е можно указать такое положительное число д, что при А <6 независимо от выбора точек Pt в частичных областях Dt выполняется неравенство | 5 - / ] < е. Определение 3 (общее определение интегрируемости). Функция f(x, _у) называется интегрируемой (по Рима- ну) в области D, если существует конечный предел I интеграль- ных сумм о этой функции при А —► 0. Указанный предел 1 назы- вается двойным интегралом от функции f(x, у) по области D. Докажем следующую фундаментальную теорему. Теорема 2.5. Сформулированное общее определение интегри- руемости эквивалентно определению, данному в п. 3. Доказательство. Очевидно, что если функция f(x, у) интег- рируема согласно общему определению интегрируемости и ее двой- ной интеграл, согласно этому определению, равен 1, то эта функция интегрируема и согласно определению п. 3 и имеет, согласно этому определению, тот же самый двойной интеграл I. Остается доказать, что если функция f(x, у) интегрируема в области D согласно определению п. 3 и 1—двойной интеграл от f(x, у) по области D согласно этому определению, то для функции f(x, у) существует равный / предел интегральных сумм о при А —0. Обозначим через 7Й,- и mt точную верхнюю и точную нижнюю грани функции f(x, у) в частичной области Dt и введем в рассмот- рение верхнюю и нижнюю суммы § = ^Mi-bDi и 5=2^;-АО/. ( = 1 Г = 1 Так как для любого разбиения ssg; о S, то достаточно доказать, что обе суммы S и s стремятся к 1 при А->0.
64 ДВОЙНЫЕ И « КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |ГЛ. 2 Требуется доказать, что для любого е > 0 найдется б > О такое, что каждая из сумм S и s отклоняется от I меньше чем на е как только А <Г б. Фиксируем произвольное е > 0. Для этого е найдется раз- биение Т содержащего область D прямоугольника R на час- тичные прямоугольники Rk такое, что для него S-s<|. (2.4) Обозначим через Мо точную верхнюю грань \{(х, у)\ в об- ласти D и заключим все отрезки прямых, производящих раз- биение Т, и границу Г области D внутрь элементарной фигуры, площадь которой меньше числа е/4М0. Тогда заведомо существует положительная точная ниж- няя грань б расстояния между двумя точками, одна из которых принадлежит границе указанной элементарной фигуры, а дру- гая— отрезкам прямых, производящих разбиение Т, или гра- нице Г области D *). Докажем, что для сумм S и s любого разбиения области D, удовлетворяющего условию А < б, справедливы неравенства S<S + |. (2.5) (2.6) Ограничимся доказательством неравенства (2.5), ибо неравен- ство (2.6) доказывается аналогично. Удалим из суммы 5 все слагаемые A4,-AD,-, соответствующие областям Di, каждая из которых не лежит целиком в одном частичном прямоугольнике разбиения Т. Все такие области Dt принадлежат указанной выше элементарной фигуре, а поэтому общая сумма площадей таких областей меньше числа е/4М0. Стало быть, сумма всех удаленных слагаемых Л1;-ДО/ меньше числа е/4. *) В самом деле, рассмотрим два множества: 1) множество {Р} всех точек границы указанной элементарной фигуры и 2) множество {Q} всех точек отрез- ков разбиения Т и границы Г области D. Оба множества {Р} и {Q} ограни- чены и замкнуты. Предположим, ч"о точная нижняя грань 6 расстояния р(Р, Q) равна нулю. Тогда найдутся две последовательности точек {Р,,} и {Q„} такие, что р(Р„, Из указанных последовательностей в силу теоремы Больцано — Вейерштрасса мо?кно выделить сходящиеся подпоследова- тельности {Р^} и пределы Р и Q которых (в силу замкнутости) при- надлежат соответственно {Р} и (Q). Но тогда р(Р, Q) = 0, т. е. точки Р и Q совпадают, что невозможно, ибо множество {Q} лежит строго внутри элемен- тарной фигуры и не имеет общих точек с {Р}. Полученное противоречие дока- зывает положительность д.
§ 2] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА двойного интеграла 65 Таким образом, с ошибкой, не превышающей е/4, справедливо равенство Mr^Dh (2.7) где штрих обозначает, что сумма распространена лишь на области Dit целиком лежащие в соответствующих прямоугольниках раз- биения Т. Заменим теперь в правой части (2.7) точные грани в областях Dit содержащихся в частичном прямоугольнике Rk, точной верхней гранью Мк в прямоугольнике Rk. Тогда получим % Mr^Di^^Mb-tiRb, (2.8) где ARft обозначает площадь области Rk, равной сумме всех обла- стей Dt, целиком содержащихся в прямоугольнике Rk. Все области Rh — Rh принадлежат выбранной выше элементарной фигуре. Поэтому k и, стало быть, Таким образом, с ошибкой, не превышающей е/4, справедливо равен- ство %Mk.bRk=S. (2.9) Сопоставляя справедливые с ошибкой, не превышающей е/4, равенства (2.7) и (2.9) с неравенством (2.8), мы получим неравенство (2.5). Аналогично доказывается неравенство (2.6). Из (2.5) и (2.6) получим (2.Ю) Так как в силу (2.4) каждая из сумм s и S отклоняется от / меньше чем на е/2, то каждая из сумм s и в силу (2.10) отклоняется от 1 меньше чем па е. Теорема доказана. § 2. Основные свойства двойного интеграла Свойства двойного интеграла (и их вывод) вполне аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла, Поэтому мы ограничимся формулировкой этих свойств. 1°. Аддитивность. Если функция f(x, у) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль
65 ДВОЙНЫЕ И «КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. 2 разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области и £)2, то функция f{x, у) интегрируема в каждой из областей Dx и D2, причем ЭД /(аг, у) dx dy = ЭД fix, у) dx dy + ЭД fix, j’) dx dy. ‘iJ Dt D, 2°. Линейное свойство. Если функции fix, у) и g(x, у) интегрируемы в области D, а а и Р —любые вещественные числа, то функция [а-/(х, _р) + Р ' (ас, _>')] также интегрируема в области D, причем ЭД [ а • / (аг, У) + ₽ • g (х, .у)] dx dy = ъ — а ЭД fix, у) dxdyf-fi ЭД g(x, у) dx dy. 'd d 3°. Если функции fix, _y) и g(x, у) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D. 4°. Если fix, у) и g(x, у) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области fix, y)^gix, у), то ЭД /(аг, .У) dx dy ЭД g (х, у) dx dy. D D 5°. Если f{x, ф) интегрируема в области D, то и функция |/(аг, _у)| интегрируема в области D, причем | ЭД /(аг, у) dx dy I ЭД | f(x, у) | dx dy. D D (Конечно, из интегрируемости |/(аг, _у)| в О не вытекает интегриру- емость fix, _у) в D.) 6°. Теорема о среднем значении. Если обе функ- ции fix, у) и g(x, у) интегрируемы в области D, функция gix, у) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, М и т — точ- ная верхняя и точная нижняя грани функции fix, у) в области D, то найдется число р., удовлетворяющее неравенству и такое, что справедлива формула ЭД/(АГ, y)gix, y)dxdy=pS\gix, y)dxdy. (2.11) D D В частности, если функция fix, у) непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется *) такая точка (5, т[), что ) В силу теоремы 14.5 из вып. 1.
§ 31 СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 67 р=/(£, т|), и формула (2.11) принимает вид f(x> УШХ> У) dx аУ=/(?> ’1) g(x> У) dx dy. D D 7°. Важное геометрическое свойство. 1 ‘dx dy равен D площади области D. (Это свойство, как уже отмечалось выше, непо- средственно вытекает из определения интегрируемости, данного в п. 3 § 1.) § 3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному Излагаемое в этом параграфе сведение двойного интеграла к пов- торному однократному является одним из эффективных способов вычисления двойного интеграла. 1. Случай прямоугольника. Теорема 2.6. Пусть для функции f(x, _у) в прямоуголь- нике R = [a--szxxyb\x[cxyy^yd] существует двойной интег- рал f(x, у) dx dy. R Пусть далее для каждого х из сегмента а^Ух-хлЬ сущест- вует однократный интеграл d I(x) = \f(x,y)dy. (2,12) Тогда существует повторный интеграл b b d 5 / (х) dx == $ dx 5 f(x> У) dy а а с и справедливо равенство b d §f(x, y)dxdy=^dx^f(x, y)dy. (2.13) R ас Доказательство. Как и в § 1, разобьем прямоугольник R с помощью точек a—x0<z x1<Z.x2<Z.. .<Zxn — b и =0'2 <.. .<Zyp—d на п-р частичных прямоугольников Км = [хА_£ О х sS xk] X [уi-i =< у (/г= 1, 2, ..., п; 7=1,2,..,,/?). Положим Axk — xh — xA-i, Ayi—У; — yi~i и обозначим через Mkt и ты точные грани функции f(x, у) на частичном прямоугольнике Rkt. Тогда всюду на этом прямоугольнике ты =С f(x, у) < Mkl. (2.14)
G8 ДВОЙНЫЕ и м кратные интегралы 1ГЛ 2 Положим в этом неравенстве x = ik, где — произвольная точка сегмента хк], и после этого проинтегрируем (2.14) по у в пределах от yt_i до уг. Получим щА.г-Дуг< $ f&k, y)dy xz Мы Дуг. (2.15) "i-i Суммируя (2.15) по всем / от 1 до р и используя обозначе- ние (2.12), будем иметь /’ р /«А;.ДЛ^/(^)=ё^/ПА.гДЛ. (2.16) <=1 Далее умножим (2.16) на ДхА и просуммируем по всем k от 1 до п. Получим пр п У, У тк1 &хк Дл 2 I (Ы • dxk < А=1/=1 А=1 п р У ^Mkl.\xk.\yi. (2.17) *=iz=i Пусть наибольший диаметр Д частичных прямоугольников стре- мится к пулю. Тогда и наибольшая из длин Д.гА стремится к нулю. Обрамляющие члены в (2.17), представляющие собой нижнюю и верх- нюю суммы, стремятся при этом к двойному интегралу ЭД f(x, у) dx dy. R Стало быть, существует предел и среднего члена в (2.17), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по определе- нию однократного интеграла равен b b d I (л-) dx = dx f(x, у) dy. а а с Тем самым доказано существование повторного интеграла и равен- ство (2.13). Теорема доказана. Замечание. В теореме 2,6 можно поменять х и у ролями, т. е. можно предположить существование двойного интеграла и су- ществование для любого у из сегмеша c^y^d однократного интеграла ъ K{y)=\f(x, у) dx. Тогда теорема будет утверждать существование повторного интеграла d d л ) К (У) dy --=\dy\ fix, у) dx с с а
§ 3J СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 69 и равенство d Ь f(x> у) dx dy = $ dy $ f(x, j') dx. (2.18) « c a 2. Случаи произвольной области. Теорема 2.7. Пусть выполнены следующие условия: 1) область D ограничена, замкнута и такова, что любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу этой области не более чем в двух точках, ординаты которых суть уг(х) и _У2(х), где 3'1(х)^ф2(х) (рис. 2.4); 2) функция /(У, у) допускает существование двойного интеграла \\f(x,y)dxdy D U существование для любого х однократного интеграла 1/1 <У) f(x, J) dy. При этих условиях существует повторный интеграл х, уг (х) $ dx $ f(x, j) dy Xi Vl (x) (xt и x2 — наименьшая и наибольшая абсциссы точек области D) и справедливо равенство Хг [X] §f(x,y)dxdy=^dx $ f(y,y)dy. (2.19) О Х1 ГТ W Доказательство. Обозначим через R прямоугольник со сто- ронами, параллельными координатным осям, содержащий область D, а через F (х, у) — функцию, совпадающую с f(x, у) в точках обла- сти D и равную пулю в ос- тальных точках R. Для функ- ции F (х, у) выполнены в пря- моугольнике R все условия теоремы 2.7, и, стало быть, справедлива формула (2.13), которая (с учетом того, что F(x, _у) равна нулю вне D и совпадает с /(х, у) в D) пере- ходит в формулу (2.19). Тео- рема доказана. Замечание 1. В теоре- ме 2.7 можно поменять роля- ми х и у, т. е. можно предположить, что выполнены следующие два условия: 1) область D такова, что любая прямая, параллельная оси Ох, пересекает границу этой области не более чем в двух точках, абсциссы
70 ДВОЙНЫЕ И « КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. которых суть хг(у) и х2(у), где xt (у) sg х2(у) (рис. 2,5); 2) функ- ция /(х, у) допускает существование но области D двойного интег- рала и существование для любого у однократного интеграла ЛЧ <!/) 5 f(x> У) dx. <(/) При выполнения этих двух условий существует повторный интеграл Уз Л'Т(.Г) $ dy f(x, у} dx JT xt (у) G't и J’» — наименьшая и наибольшая ординаты точек области D) и справедливо равенство Гг Х,!у) \\f(x, yjdxdy^^dy $ f(x, y)dx. (2.19') ° Уз (v) Пример. Пусть область D — круг х2 4 >2 •.< R2 (рис. 2.6) а / (х, у) — х- (R2 — у2)’/г. Любая прямая, параллельная оси Ох, пере- секает границу D не суть X] = — V R2 — у2 меняя формулу (2.19'), более чем в двух точках, абсциссы которых и х2 = ]//у — yd (см. рис. 2.6). Поэтому, при- получим я /Л2—j2 jjjj/(x, v) dx dy = dy x2(R2 — _у2)а/г dx — A- — Я —/ Я2—J12 R = (R2-v^ — R VR2—y2 x2 dx -VR2-y‘ R dy=~ J W-y^dy^^RK -я
S 4) ТРОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 71 . Замечание 2. В случае, если область D не удовлетворяет требованиям теоремы 2.7 или замечания 1 к этой теореме, часто удается разбить эту область на сумму конечного числа областей такого тина- не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл по области D, в силу свойства аддитивности (см. свойство 1° из § 2), равен сумме интегралов по со- ответствующим областям. Так, область D, изображенную на рис. 2.7, удается раз- бить на сумму трех областей Dv D2 и D9, к каждой из которых применима или теорема 2.7 или замечание 1. § 4. Тройные и «-кратные интегралы Изложенная нами теория двойного р 2 7 интеграла без каких-либо осложнений и с. ... новых идей переносится на случай трой- ного и вообще «-кратного интеграла. Остановимся на основных моментах теории «-кратного интеграла. Прежде всего договоримся считать, что объем «-мерного прямо- угольного параллелепипеда по определению равен произведению длин всех его ребер, выходящих из одной вершины. Далее договоримся называть элементарным телом мно- жество точек «-мерного пространства, представляющее собой сумму конечного числа «-мерных прямоугольных параллелепипедов, не име- ющих общих внутренних точек и имеющих ребра, параллельные осям координат. Объем любого элементарного тела нам известен и равен сумме объемов составляющих его параллелепипедов. Пусть теперь D — произвольная ограниченная область в «-мерном евклидовом пространстве. Назовем нижним о б ъ е м о м области D точную верхнюю грань V объемов всех содержащихся в D элемен- тарных тел, а верхним объемом области D — точную нижнюю грань V объемов всех элементарных тел, содержащих область Т. Легко убедиться в том, что V_^ V *). Область D называется кубируемой, если j/ = V. При этом число V=V_=l/' называется «-мерным объемом области D. В полной аналогии со случаем плоской области доказывается следующее утверждение. *) Неравенство VV доказывается точно так же, как неравенство Р 1 § 2 гл. 11 выв. 1.
72 ДВОЙНЫЕ И « КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ, 2 Для того чтобы п-мерная область D была кубируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа е нашлись два элементарных тела, одно из которых содержит D, а другое содержится в D, разность объемов кото- рых по модулю меньше числа е. Поверхностью (или многообразием) и-м е р н о г о объема нуль договоримся называть замкнутое множество, все точки которого принадлежат элементарному телу как угодно малого «-мерного объема. Очевидно, что «-мерная область D кубируема тогда и только тогда, когда граница этой области представляет собой многообразие «-мерного объема нуль. Сначала «-кратный интеграл от функции п переменных/(xf, х2,... ..., х„) определяется в «-мерном прямоугольном параллелепипеде R, ребра которого параллельны осям координат. С этой целью мы производим разбиение каждого из « ребер параллелепипеда R на конечное число частичных сегментов и таким путем получаем разбиение Т параллелепипеда R на конечное число частичных «-мерных параллелепипедов *). Для указанного разбиения Т в полной аналогии со случаем « = 2 определяются интегральная, верхняя и нижняя суммы любой ограниченной функции f(xb х2, ..., хп). «-кратный интеграл от функции /(х£, х2, ..., хп) по параллеле- пипеду R определяется как предел интегральных сумм при стремле- нии к нулю длины наибольшей из диагоналей частичных «-мерных параллелепипедов. Как и для случая л = 2, теория Дарбу устанавливает необходи- мое и достаточное условие интегрируемости в следующей форме: для интегрируемости функции f в параллелепипеде R необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлось разбиение Т параллелепипеда R, для которого разность верхней и нижней сумм была меньше е. После этого легко определить «-кратный интеграл от функции f по произвольной замкнутой ограниченной «-мерной области D, гра- ница которой имеет «-мерный объем нуль. Этот интеграл определяется как интеграл по содержащему область D «-мерному прямоугольному параллелепипеду R (с ребрами, параллельными координатным осям) от функции г, совпадающей с f в области D и равной пулю вне D. Для обозначения «-кратного интеграла от функции f(xlt х2, ... ..., хп) по области D естественно использовать символ § /(х1; х2, ..., хп) dxx dx2... dxn. (2.20) D *) Можно сказать, что разбиение 7 осуществляется с помощью конечного числа (п— 1)-мерных гиперплоскостей, параллельных координатным осям.
§ 41 ТРОЙНЫЕ И п-КРАТНЫЕ интегралы 73 Однако для сокращения записи там, где это не будет вызывать недоразумений, мы будем обозначать интеграл (2.20) кратким символом \f(x)dx. (2.20') D При краткой записи (2.20') под символом х следует понимать точку х = (л'х, х2, .... хп) пространства Еп, под символом dx — про- изведение dx — dxx dx2... dxn *), а под знаком — «-кратный интег- D рал по «-мерной области D. Точно так же, как и для случая п = 2, доказывается интегри- руемость по «-мерной области D любой функции /, обладающей в области D /-свойством (т. е. ограниченной в области D функ- ции, все точки разрыва которой принадлежат элементарному телу как угодно малого «-мерного объема). Вообще изменение интегри- руемой функции / на множестве точек «-мерного объема нуль не изменяет величины интеграла от этой функции. Для определения «-кратного интеграла можно использовать раз- биение области D при помощи конечного числа произвольных много- образий объема нуль на конечное число частичных областей произ- вольной формы. В полной аналогии с теоремой 2.5 доказывается, что такое общее определение «-кратного интеграла эквивалентно указанному выше определению. В полной аналогии с теоремами 2.6 и 2.7 устанавливается фор- мула повторного интегрирования для интеграла (2.20). Пусть п-мерная область D„ обладает тем свойством, что любая прямая, параллельная оси Ох2, пересекает ее границу не более чем в двух точках, проекции которых на ось Ох2 суть а(х2, х3, ..., х„) и Ь(х2, х3, х„), где а(х2, х3, ..., хп)^й(х2, х3, ..., х„). Пусть далее функция f(x2, х2, ..., хп) допускает существо- вание п-кратного интеграла х2, xn)dx1dx2...dxn и существование для любых х2, х3, ..., хп однократного интег- рала *(Ае’ Ля.хл) $ /(хг, х2, ... , хп)йх{. а(х?хя...ХП' *) Это произведение обычно называют элементом объема в пространстве Еп.
74 ДВОЙНЫЕ И «-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 Тогда существует (п—Гукратный интеграл ь(хгхА, ... sxn) ЭД ... § dx2 dx3... dxn $ /(*!> х2, .... xn)dxi D„ , alx„, x„ ... .- x\ П—1 X 2 3 П/ no (n— Гу мер ной области Dn-i, являющейся проекцией Dn на координатную гиперплоскость Ох2х3. ,.хп и справедлива формула повторного интегрирования ЭД... f (-*i> x-i> • • > хп) dxi dx2... dxn == Dn b(x2, x3. .... xn) = <^...\)dx2dx3...dxn f(xi> x2, .... xn)dxi. (2.21) Dn-1 a(xrx3...xn) Конечно, в сформулированном утверждении в роли xi может выступать и любая из переменных х2, х3, ... , хп. Мы договоримся называть область D простой, если каждая прямая, параллельная любой координатной оси, либо пересекает ее границу не более чем в двух точках, либо имеет на этой границе целый отрезок. Для простой области формулу повторного интегрирования можно применять по любой из переменных xlt х2, ... , хп. Примером простой области может служить «-мерный прямоуголь- ный параллелепипед (ребра которого не обязательно параллельны ко- ординатным осям). В заключение отметим, что для «-кратного интеграла остаются справедливыми свойства 1° — 7°, сформулированные в § 2 для слу- чая двойного интеграла. В частности, ЭД ... 1 dx1 dx2... dxn равен «-мерному объему D V (D) области D. Кроме того, как и для случая «=2, справедливо следующее утверждение. Пусть функция f(xy х2, ... , хп) интегрируема в ограничен- ной кубируемой области D. Пусть далее пространство Еп по- крыто сеткой п-мерных кубов с ребром /г; С\, С2, ... , С„(Л) — тс кубы указанной сетки, которые целиком содержатся в D; (£<А), , ^^—произвольная точка куба Ck; т^ —точная нижняя грань функции, f в кубе Ck (/г = 1, 2, .... «(/г)). Тогда суммы п (ft) п (ft) S/(£<*>, £<«,..., e’H" н s k=l h=l имеют предел при /г->0, равный ЭД..Д/(Лф х2, ..., xn)dxiX D Xdxz... dxn.
§ 5J ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 75 § 5. Замена переменных в n-кратном интеграле Целью настоящего параграфа является обоснование формулы замены переменных в и-кратном интеграле. Устанавливаемая формула является одним из важнейших средств вычисления /z-кратного интеграла. Предположим, что функция f(y{, у2, , J'n) допускает сущест- вование «-кратного интеграла {j f(.y)dy=§...\f(yi, у2, Уп) dyi dy2... dyn (2.2 2) D D по некоторой ограниченной замкнутой кубируемой области D в про- странстве переменных у1г у2, ..., уп. Предположим далее, что от переменных ylf у2, ..., уп мы переходим к новым переменным л'1; хг, ..., хп, т. е. совершаем преобразование 'Л=Фт(-^1> ..., хп), 3/2 = Ф2(^1> -Ч> .... хп), (2.23) = х2, ..., хп). Кратко преобразование (2.23) будем обозначать символом. _У = ф(х), понимая под х и у точки /z-мерного пространства х = (xf, х2, ..., х„), у — (У1> Уг, Уп)> а под символом ф — совокупности п функций фр МЫ, ..., ф„. Обозначим символом D' ту область в пространстве переменных х{, х..., хп, которая при преобразовании (2.23) переходит в D, т. е. положим, что D = ф(ТУ)*). Мы докажем, что если функции (2.23) имеют в области D' непре- рывные частные производные первого порядка и если якобиан & (у) _ (У1, у8, Уп) & (х) & (xt, х2, .... хп) (2.24) отличен в области D' от нуля, то для интеграла (2.22) справедлива следующая формула замены переменных: f/(jz)<y= §/[ф(х)] D D' ^(У) ^(X) dx. (2.25) *) При этом мы предполагаем, что преобразование (2.23) допускает обрат- ное и что £)' = ф_1(£>).
76 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ 2 В подробной записи формула (2.25) имеет следующий вид: 5$ • • 4 У2' У») dyi dy2... dyn = D = § § ••• § ЛФ1(*1> ..., .... Х„)] X х I тс-" ’ -Н Н • • •dx*- <2-25') I «s7 l/'l.’ ” • » лп* I Таким образом, мы докажем следующую основную теорему. Теорема 2.8. Если преобразование (2.23) переводит облаете D' в Du является взаимно однозначным и если функции (2.23) имеют в области D' непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан (2.24) *), то при условии существования интеграла (2.22) справедлива формула замены пе- ременных (2.25'). Доказательство теоремы 2.8 не является элементарным. Основная идея приводимого нами доказательства состоит в том, что мы сначала даем обоснование формулы (2.25) для случая, когда преобразование (2.23) является линейны м, а затем сводим к этому случаю общее преобразование (2.23). Ради удобства, мы будем подразделять доказательство теоремы 2.8 на отдельные пункты. Доказательство теоремы 2.8. 1°. Лемма 1. Если преобразование г = ф(х) является супер- позицией {или, как обычно говорят, произведением) двух преоб- (г\ разований у = Ф1(а) и z — ф2(.у), то якобиан , взятый в лю- о ( о о о \ бой точке x = \xlt х2,...,хп), равен произведению якобианов & (у) S’' (х) О ..., Хп &(г) и I) /И о , взятых соответственно в точках х — х2, ... 0/00 о \ о / о \ J = Уг> >Уп), где у = ^1[х), т. е. & (г) _ & (г) S’ (х) S' (у) ' S (х) ' (2.26) В подробной записи формула (2.26) выглядит так: S’fo. z,, ..., г„) = S'(гп гг..........гя) S (хь х2.......х„) S' (Л, г/2, .... г/„) & (У1. Уч......Уп) S’(x1, х2, ..., хп) • (2.26') *) Заметим, что при выполнении условий теоремы 2.8 уравнения (2.23) можно разрешить относительно х1( х2, ..., хп, причем полученное на этом пути обратное преобразование х = ф^1(г/) будет в силу теоремы 14.2 из вып. 1 иметь в области D непрерывные частные производные первого порядка и S’ (х) отличный от пуля якобиан . " Су/) ifA
§ 5] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В « КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 77 Доказательство леммы 1. Элемент, стоящий на нении г-й строки и /г-го столбца якобиана равен , пересе- причем указанная частная производная берется в точке х. По правилу диф- ференцирования сложной функции (см. § 7 гл. 14 вып. 1), этот эле- мент равен дг,- = у dzt . ду/_ дхк diji дхк ’ 1=1 (2-27) причем в правой части (2.27) все частные производные берутся 11 dz; в точке х, а все частные производные -т-2- — в соответствующей точке Из справедливых при любых j=l, 2, .п и k—1, 2, ..., п равенств (2.27) и из теоремы об определителе произведения двух матриц (см. выпуск «Линейная алгебра») непосредственно вытекает формула (2.26). Лемма 1 доказана. 2°. Прежде чем формулировать следующую лемму, напомним опре- деление линейного преобразования координат. Линейным преобразованием называется преобразова- ние вида .У1 — 4" a12-v2 + ... + alnxn< Уг — auxi 4* а22х2 + ... + а2пхп, (2.28) Уп----^П1Х1 4" ^п2,х2 4“ • • • 4" ^-ппхп> в котором a(fc(/=l, 2,..., л; А=1, 2, ..., п) суть произвольные постоянные числа. Кратко линейное преобразование (2.28) мы будем обозначать сим- волом у—Тх, понимая под х и у точки x — (xlt х2, ..., х„) и Д = (_1'н Vo, уп) пространства Е'1, а под Т — матрицу Т = !| aik || (/= 1, 2?п; й=1, 2, ..., п). Матрицу Г обычно называют матрицей линейного преоб- раз о в а н и я. Если определитель матрицы линейного преобразования det Т отличен от нуля, то линейное преобразование у -- Тх называется невырож- денным. Для такого преобразования в силу теоремы Крамера*) уравнения (2.28) можно разрешить относительно хг, х2,..., х„ и утверждать существование обратного преобразования х -- Т~1у, кото- рое также является линейным и невырожденным. ') Теорему Крамера см. в выпуске «Линейная алгебра».
78 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ 2 Заметим еще, что для линейного преобразования (2.28) якобиан Ж совпадает с определителем матрицы Т указанного преобразо- 42/ \Х) ваниял т. е. = det Т. (2.29) <2/ \Х) Основной целью настоящего пункта и следующих двух пунктов является доказательство того, что для произвольного линейного невы- рожденного преобразования (2.28) справедлива формула замены пере- менной (2.25). В силу соотношения (2.29), достаточно доказать, что для любого линейного невырожденного преобразования у = Тх спра- ведлива формула $/(у)б(у= f (Тх) | det Т | dx (2.30) D T~lD (при условии, что существует интеграл в левой части этой формулы). В настоящем пункте мы докажем, что формула (2.30) справедлива для двух специальных типов линейных преобразований: 1) линейного преобразования Т^, заключающегося в том, что z-я координата умно- жается на вещественное число А 0, а все остальные координаты не изменяются *), и 2) линейного преобразования Тi}-, заключающегося в том, что к Z-й координате добавляется у-я координата, а все коор- динаты, кроме Z-й, не изменяются **). Лемма 2. Если функция f(y) интегрируема в области D, то для каждого из преобразований Tt и Тц справедлива формула замены переменных (2.30). Доказательство леммы 2. Обозначим через Я «-мерный прямоугольный параллелепипед, содержащий область D, а через F — функцию, равную f в области D и равную нулю в R — D. Доста- точно доказать, что для каждого из преобразований и Т ц спра- ведлива формула ^F(y)dy = F (Тх) • I det т Idx’ (2.31) Я T-iR в которой символом Т обозначено одно из преобразований Т1К или Тij. Элементарный подсчет показывает, что det 7"^ = 2,, det Ту = 1. (2.32) *) Символически это преобразование можно записать так: (хь Х2, .... Хп)~^(Х1.Xt_i, \xh х/+1...х„). **) Символически это преобразование можно записать так. (*1> Х2, Хп) —* (Xj, ,,.г Х/_£, Xf-j-Xf, Xj + 1, ...2 хл).
§ 5] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 79 Кроме того, очевидно, что если R — прямоугольный параллеле- пипед ak^yktszbk (А = 1, 2, ..., п), то представляет собой прямоугольный параллелепипед А #/, при (2.33) a [T;j] 1R представляет собой заведомо кубируемую область ak^xk^bk при k^l, 4) П, — X, 1 Xt ^bi — Xj. На основании формулы повторного интегрирования (2.21) J F(>>) cZjz = b\ bi — 1 bi +1 bn bt = $...$ ••• 5 dyi-idyi+i ... dyn\ • .>yn}dyi. ai ai -1 ai 4- 1 an ai (2.35) Применяя к однократному интегралу по переменной yi. формулу замены переменной yt = 7.xz для случая преобразования 7'J' и yt = xt + Xj для случая преобразования Тц (см. § 7 гл. 10 вып. 1) мы получим: а) для случая преобразования bi $ .... yn)dyi = ui b./K $ F(№••.. J'z-i. У1+i, .... yn)Mxt при Z>0, adK = с2-36) jj F(ylt ...,yi_i, 7.Xi,yi+i, ...,yn)(— fydXi при A<0; b:F б) для случая преобразования 7'y bj bi~xf $ F(yt, .... yn)dyi= F(yi, .... yi.i, xt + xj, yi+i, .... yn)dX{. (2.37) Вставляя (2.36) в (2.35), еще раз применяя формулу повторного интегрирования (2.21) и учитывая равенство Уь — Хь при k Z, вид (2.33) области [Г?-]-1/? и первое равенство (2.32), мы получим фор- мулу (2.31) для случая преобразования ТЬ.
80 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТИЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 Аналогично, вставляя (2.37) в (2.35), применяя формулу повторного интегрирования и учитывая равенства = при k^l, вид (2.34) области и второе равенство (2.32), мы получим формулу (2.31) для случая преобразования Т ц. Лемма 2 доказана. 3°. Лемма 3. Всякое невырожденное линейное преобразова- ние Т представимо в виде суперпозиции конечного числа линейных преобразований типа Т} и Тtj. Доказательство леммы 3. Прежде всего проверим, что линейное преобразование Т', заключающееся в перестановке каких- либо двух координат, представимо в виде суперпозиции шести пре- образований типа т} и Tij. В самом деле, пусть Т' заключается в обмене местами z-й и у-й координат (остальные координаты при этом не изменяются). Тогда легко проверить, что*) Г = ТТ'ТцТ-'ТрТТ 'Гц. (2.38) Заметим теперь, что совершенно произвольное линейное невырож- денное преобразование Т путем конечного числа перестановок двух строк и двух столбцов можно привести к линейному преобразова- нию (2.28) с матрицей у которой отличны от нуля все так называемые главные миноры, т. е. все определители aii ••• alk ДА = (А = 1, 2, ..., п). (2.39) . ahk Остается доказать, что последнее линейное преобразование пред- ставимо в виде суперпозиции конечного числа преобразований тина Тк. и ТИ. Докажем это по индукции. Так как Д1 = а11^0, то с помощью преобразования Tf11 мы получим (xlt х2, ..., х„)-> (anXi, х2, .... хп). Предположим теперь, что путем суперпозиции конечного числа преобразований типа Т^ и Г,-у нам удалось привести исходную после- довательность координат (д-р х2, ..., хп) к виду (пи-^т'Г + й1/г-*Т, •••> а!.1х1-,1- ... ..., хп). (2.40) Для завершения индукции достаточно доказать, что путем супер- позиции конечного числа преобразований типа т} и Tij можно при- вести последовательность координат (2.40) к виду (°n-vi+ ••• + ai(fe+i)-vfr+i> •••> akixi + ••• +a/((* + i)'v*+i’ (2 41) а(/г + 1) l-rl + ••• +a(ft+i) (fe + D-^ft+i, Xk-w •••> xn)- *) В самом деле, сохраняя при записи только i-ю и j-ю координаты, мы получим, произведя цепочку преобразований (2.38): х7-) — (х,--|-X/, xj) —< ( Xi Xj, Xj) > ( Xj Xj, Xi) —- ( Xj Xj, Xi) —> ( Xj, Xj) ’ (Xj, Xi).
§ 5] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В « КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 81 ’ Сначала мы для каждого номера I, для которого отличен от пул,! элемент произведем последовательно пару преобразований 7(для тех I, для которых а((А+1) = 0, соответствующую пару преобразований не производим). Суперпозиция всех указанных пар преобразований приводит последовательность (2.40) к виду («U-V1+ + «i(A+i)-^A+i> •••> «Ai-*i+ ••• + + aA(fc + I)-vZ4-l- Xl>+i> Xlt + 2’ •••> ХпТ (2.42) „"Далее заметим, что поскольку минор (2.39) отличен от нуля, то отличен от пуля и равный ему определитель а11 • • • alh а1 (Л + 1) й/,1 ... akk аЛ( А+1) 0 ... 0 1 Но тогда найдутся такие вещественные числа Xf, • ••> ^*+i> 410 линейная комбинация строк определителя (2.43) с этими числами равна *) a(fe+i)i> • • •> a(ft+i)*> a(k +i)(fe +d- (2.44) Это означает, что если мы для каждого номера j = 1, 2, ..., /г-}-1, для которого Ф 0, произведем последовательно пару преобразова- ний Т'(А + 1)/.Т'^ (для тех j, для которых Х7 = 0, соответствующую пару преобразований не производим), то суперпозиция всех произве- денных пар преобразований переведет последовательность (2.42) в (2.41). Тем самым индукция завершена, и лемма 3 доказана. 4°. Лемма 4. Для произвольного линейного невыроз!сденного преобразования (2.28) при условии существования интеграла, стоя- щего в левой части (2.30), справедлива формула замены перемен- ных (2.30). Для доказательства леммы 4 достаточно заметить, что формула (2.30) справедлива для каждого из преобразований типа 1} и Tif (лемма 2) и что произвольное линейное невырожденное преобразование (2.28) представимо в виде суперпозиции конечного числа преобразо- ваний типа Tt и Ttj (лемма 3), причем при суперпозиции линейных преобразований происходит перемножение соответствующих якобианов (лемма 1). Следствие из леммы 4. Если Q — произвольная кубируемая область в пространстве Еп, Т — произвольное невырожденное линейное преобразование, то п-мерный объем V(G) области О а п-мерный объем V(TQ) образа ТО этой области связаны равенством V (ТО) = | det Т | • V (О). (2.45) *) Для доказательства этого достаточно добавить к матрице определите л а (2.43) строку (2.44) и применить теорему о базисном миноре (см. выпоек «Линейная алгебра»).
82 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 Для доказательства достаточно положить в равенстве (2.30) f=\, D=TG и учесть, что при этом T~1D = Q. 5°. Переходим теперь к обоснованию формулы замены переменных (2.25) для совершенно произвольного преобразования у = ф (х), удов- летворяющего условиям теоремы 2.8. Следует подчеркнуть, что при выполнении условий теоремы 2.8 существуют оба интеграла, стоящие в левой и правой частях (2.25), 1» что нам следует доказать только равенство этих интегралов. Договоримся обозначать символом J^fx) элементы матрицы Якоби -Л- (z = 1, 2, ..., и; j — 1, 2, ,,,, л), взятые в точке х — х2,..., хп). CXj Саму матрицу Якоби || (х) || будем обозначать символом J^(x). Удобно ввести понятия нормы точки х = (х1, х2, ..., хп~) и нормы матрицы А —|| || (/ = 1, 2, ,.., л; j = 1, 2, ..., ri). Нормой точк и х = (х1; хг, xn) назовем число, обозна* чаемое символом ||х|| и равное max | xt |. i = 1, 2, . ,. t п Нормой матрицы A = ||a/7-|| назовем число, обозначаемое ~ п символом ||Д|| и равное max V |aZy] . <=!,. 2, ...» Л/Г) Заметим, что при таком определении норм точки и матрицы из равенства у —Ах вытекает, что 1ЬМ1<И- (2-46) Кроме того, легко проверить, что для единичной матрицы Е спра- ведливо равенство ||Д||=1. В этом пункте мы докажем следующую лемму. Лемма 5. Если выполнены условия теоремы 2.8 и если С — п-мерный куб, принадлежащий области D', то п-мерные объемы куба С и его образа ф(С) связаны неравенством V (ф (С)) [max || (х) || |п • V (С). (2.47) LxeC j Доказательство. Пусть С — «-мерный куб с центром в точке x = (xj., х2, ..., хл) и с ребром 2s. Тогда куб С можно определить неравенством |] х — x|sgs. (2.48) В силу формулы Тейлора для функции п переменных ф;(х) (см. п. 3 § 5 гл. 14 вып. 1), найдется число из интервала 0 <; < 9Z < 1 такое, что Ф» (*) - ф< С*) = S Jij (х + 9 (х - х)) {xj - Xj).
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В «-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ сз Из последнего равенства и из соотношения (2.46) заключаем, что II ip (х) — тр (х) || max || Уф (х) || • II х — х ||. (2.49) хес Полагая у = i|j (х), _У = 1р (х), получим из (2.49) и (2.48) Ц.У-J'II < s • max || Уф (х) ||. леС Таким образом, при изменении точки х в пределах п-мерного куба С с ребром 2s образ у точки х не выходит за пределы п-мерного куба, ребро которого равно 2s • шах || Уф (х) ]]. XGC Отсюда сразу же вытекает кубируемость образа ip (G) любого куби- руемого множества О *) (в частности, кубируемость ip (С)) и вытекает неравенство (2.47). Лемма 5 доказана. 6°. Лемма 6. Пусть выполнены условия теоремы 2.8 и пусть О —произвольное кубируемое' подмножество D'. Тогда для п-мер- ного объема образа тр (О) множества G справедливо неравенство **) V (ip (G))-s^ I det Уф (х) | dx. (2.50) о ' Доказательство леммы 6. Прежде всего докажем, что для любого невырожденного линейного преобразования Т и для лю- бого п-мерного куба С, содержащегося в D', справедливо неравенство V(ip(C))=c|det 7’|-Гтах|| 7'-1Уф(х)||1п- V(C). (2.51) Its С J В силу следствия из леммы 4 для любого кубируемого мно- жества О и для линейного преобразования 7-1 справедливо равенство У(7'-Ю)=| det 7^|. V(G). Таким образом, если G = ip(C), то***) V(ip(С)) = | det Т\- У(Г11р(С)). (2.52) Правую часть (2.52) оценим с помощью неравенства (2.47), взяв (2.47) не для преобразования ip, а для суперпозиции преобразований T^-hp. Получим V(ip (С)) । det Г| • [max || JT- ,ф (х) Цр • У(С). (2.53) LxeC J *) В самом деле, граница любого кубируемого множества G является множеством /г-мерного объема нуль, а такое множество, согласно доказанному утверждению, преобразуется в множество, «-мерный объем которого также равен нулю. **) Сам факт кубируемости образа ip (G) вытекает из утверждения, дока- занного в предыдущей лемме. ***) Мы учитываем при этомл что Т •Т~1 = Е1 так что det Т •det7'~1=l,
84 ДВОЙНЫЕ И « КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 Учитывая, что матрица Якоби линейного преобразования совпа- дает с матрицей этого преобразования, мы в силу леммы 1 полу- чим, что Jr- «ц, (х) = 7~1J^ (х). Но это и означает, что неравенство (2.53) может быть переписано в виде (2.51). Тем самым неравенство (2.51) доказано. Теперь для доказательства леммы 6 покроем пространство Еп сеткой и-мерных кубов с ребром h, и пусть С1; С2, ..., СП(Л) —те из этих кубов, которые целиком содержатся в G, а символ ОЛ обоз- начает сумму всех указанных кубов. Выбрав в каждом кубе С,- произвольную точку xit запишем для него неравенство (2.51), полагая при этом T~Jy(xi). Получим V СФ (G)) < | det J* (х^ | • 1 max || (x,)]~1 • (x) ||1«• V (Ct). W; f Суммируя последнее неравенство по всем номерам I от 1 до и (/г) получим n(h) И0|> (ОЛ)) 2 | det (xi) М max || [Уф (х,)]^ • (х) |lf • V(C,). (2.54) /=1 нес, ) Поскольку элементы матрицы Якоби (х) являются непрерывными функциями точки х во всей области D' и тем более в G и произве- дение [Уф (-г)]-1 J,t(x) представляет собой единичную матрицу, норма которой равна единице, то lim max || [^(Х;)]'1 -А(х) ||= 1. Л-»0 гЕС; Но тогда из утверждения, сформулированного в конце § 4 этой главы, следует, что предел при h —> 0 всей правой части (2.54) су- ществует и равен I det (х) | dx. о Из того же утверждения следует, что lim G;, — G, так что в пре- /г->0 деле при /г->0 мы получим из (2.54) неравенство (2.50). Лемма 6 доказана. 7°. Лемма 7. Пусть выполнены все условия теоремы 2.8 и, кроме того, дополнительно предполагается, что функция f(y) неотрицательна в области D. Тогда справедлива формула замены переменных (2.25) Доказательство. Покроем пространство Еп сеткой л-мерных кубов с ребром h, и пусть С1; С2, ..., С, 1(Л) — те из этих кубов, кото- рые целиком содержатся в области D. Пусть далее О, = ф-1(С,).
§ 5J ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 85 Записывая для каждой области О,- неравенство (2.50), будем иметь V (Ct) < j | det (x) | dx. (2.55) Gi Пусть теперь т, — точная нижняя грань функции f(y) на кубе С/ (или, что то же самое, точная нижняя грань функции /[ф (х)] в О,). Умножая обе части (2.55) на /и, и суммируя по всем / от 1 до п (h), будем иметь n(h) n(h) У miV(Ci)^ £ m-i $ | det (x) | dx. (2.56) i~l i = l Gt В силу утверждения, сформулированного в конце § 4 этой главы, левая часть (2.56) имеет предел при Л->0, равный \f(y)dy. По- D скольку сумма всех областей О/ содержится в £)' *) и функция f неотрицательна, правая часть (2.56) при любом /г>0 не пре- восходит интеграла § /[Ф (ас)] • | det Уф (х) | dx. D’ Таким образом, в пределе при /г->0 мы получим из (2.56) нера- венство 5 /(>) dy <5 ’ । det । dx‘ (2-57) D D' В проведенных нами рассуждениях можно поменять ролями области D и D' и вместо функции f(y) в области D рассмотреть функцию ^(х)=/[ф(х)] • | det Уф(х) | в области D'. При этом, исполь- зуя лемму 1 и теорему об определителе произведения двух матриц, мы получим противоположное неравенство $ /[Ф (х)] • | det Уф (х) | Ух J f(y)dy. (2.58) D' D Из (2.57) и (2.58) вытекает формула замены переменных (2.25). Лемма 7 доказана. 8°. Нам остается завершить доказательство теоремы 2.8, т. е. избавиться от наложенного в лемме 7 дополнительного требования неотрицательности функции f(y). Пусть f(y) — совершенно произвольная интегрируемая по области D функция, число М — точная верхняя грань функции |/(_у)| в области D **). п (1Ц *) В силу того, что У] С; содержится в D, D’ =ф-1 (О), (С^. i = 1 ** ) Напомним, что из интегрируемости f (у) в области D вытекает огра- ниченность / (у) в D и существование точных граней.
86 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 В силу леммы 7 для каждой из неотрицательных функций и /2 (.У) = М ~/(У) справедлива формула замены перемен- ных (2.25). Но тогда из линейного свойства интеграла вытекает справедли- вость, формулы (2.25) и для разности Л О)— /2 (_v)=/(y). Теорема 2.8 полностью доказана. Замечание 1. Б условиях теоремы 2.8 можно допустить обра- щение в нуль якобиана (2.24) на некотором принадлежащем D' мно- жестве точек S, имеющем «-мерный объем нуль. В самом деле, мно- жество S лежит внутри элементарной фигуры С как угодно малой пло- щади, причем, согласно доказанному выше, справедлива формула /Су)4у = $ ЛФ(х)]-1 detJ^,(x)|cfx. (2.59) ф (D'— С) D’ — С Осуществляя в формуле (2.59) предельный переход по последо- вательности элементарных фигур {Cft}, п-мерный объем V(Ck) кото- рых стремится к нулю, мы убедимся в справедливости формулы (2.25) и для рассматриваемого случая. Замечание 2. Поскольку интеграл D (2.60) равен «-мерному объему V (D) области D, то величину dy^dy^... dyn естественно назвать элементом объема в рассматриваемой декар- товой системе координат Оугу2.. ,уп. С помощью преобразования (2.23) мы переходим от декартовых координат у1г у2,..., уп к новым, вообще говоря, криволинейным координатам хг, х2,хп. Поскольку при таком переходе (согласно формуле замены переменных (2.25)) интеграл (2.60) преобразуется в /=?(.. Д I У2’_ • ’--У») I dxjdx2... dxn, J J J I S’ (*i, x?.......x„) | 1 ‘ то величину | 6’1.5’2. . Уп) I ^x dx . dx естественно назвать элементом объема в криволинейной сис- теме координат хгх2.. ,хп. Стало быть, модуль якобиана характеризует «растяжение» (или «сжатие») объема при переходе от декартовых координат _ух, _у2, ...,уп к криволинейным координатам хг, х2, .... хп. Подсчитаем элемент объема в сферических и цилиндрических координатах.
§5] Г ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В л-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 87 1°. Для сферических координат (в трехмерном пространстве) ' х = г cos ф sin 6, у = г sin ф sin 9, z — г cos 9 (г О, 0 < 0 < л, 0 ф < 2л). Якобиан имеет вид Sff (х, у, г) & (г, <р, 6) cos ф sin 9 sin ф sin 9 cos 9 г sin ф sin 9 г cos ф sin 9 О г cos ф cos 9 г sin ф cos 9 — г sin 9 = г2 sin 9. Стало быть, элемент объема равен г2 sin 9 dr dO dtp. 2°. Для цилиндрических координат (в трехмерном пространстве) х = г cos ф, • у = г sin ф, z = z Якобиан имеет вид (г 2s 0, 0 ф <Z 2л) <2$ (х, у, г) {г, гр, г) COS ф sin ф О Стало быть, элемент объема равен г dr dtp dz. В частности, для полярных координат на плоскости элемент площади равен г dr d(p. 3°. В «-мерном пространстве сферические координаты опреде- ляются равенствами *) Xi = г sin Qjsin 0а ... sin 9n_j, л —1 < хт = г cos 9m_i sin Qft при m = 2, 3,..., n — 1, I k=tn * xn = r cos 9n_i, в которых сферический радиус г и сферические углы 9V 92, ..., 9Л_£ изменяются в пределах г 0, 0 sC 9Г < 2л, О «С 9т л при т = 2, 3, ..., п — 1. Можно убедиться, что в этом случае якобиан имеет вид л —1 Х2, , Хп) __ л-1 Tl , ft-! Л (Г, 61. 11 £1П 0&- 4 = 1 *) Обратные формулы, выражающие n-мерные сферические координаты через декартовы, имеют вид г = ]/х2 + ...4-х2, sin6m = -^~, cos0m = ^ii, rm+1 ' tii+1 № rOT = ]/х1 + —+х7л1 m=4 2i —i «-1-
88 ДВОЙНЫЕ и л-КРАТНЫЕ интегралы [ГЛ. 2 Таким образом, элемент объема в «-мерных сферических координа- П — ] тах равен г""1 dr sir?'1 6* k = \ Примеры. 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно- стью (х2+ф2 + г2)2 = а3г, (2.61) где а >> 0. Тело симметрично относительно координатных плоскостей Oyz и Cxz и расположено вверх от плоскости Оху. Стало быть, доста- точно вычислить объем четверти тела, лежащей в первом октанте Переходя к сферическим координатам, приведем уравнение (2.61) к виду г — а у/ cos 0. Так как первый октант характеризуется неравенствами то учитывая выражение для элемента объема в сферических коорди- натах, получим, что искомый объем V равен л/2 л/2 еД/cos 6 dtp jj dQ § r2sinOrfr. 0 0 0 Таким образом, л/2 V = a3 C sin 0 cos bd6 = ~, о J «5 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (где h > 0, k > 0, а 0, b ~у> 0). Для вычисления этой площади }гдобпо перейти к так называемым обобщенным полярным координатам х — ar cos ср, (0 дг ср 2л). у = br sin ф Уравнение (2.62) принимает вид а . ь . .п г = J- cos ф + -£ sin Ф, (2.6о) причем, поскольку левая часть (2.63) неотрицательна, следует брать лишь такие значения ф, для которых правая часть (2.63) является неотрицательной.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 2 89 _ / cfi Ь2 Умножив и разделив правую часть (2.63) на |/ и опреде- лив ф0 из соотношений a/h b/k Sin фо = —г —, cos фо =--------- — , -.Ao2 V й2 + й2 V Л2 + й" мы приведем (2.63) к виду /О2 , Й2 . . . , /.л с о Д2 +fe2S1I1(CP + (₽0)- (Z’63) Из условия неотрицательности правой части (2.63г) находим» что О ф + фо - S. л, т. е. — фо ='б ф <-• л — Фо- , (х, у) что якобиан ^(г, ф) Учитывая, равен abr, мы получим для иско- мой площади 5 следующее выражение: 1 /~д2 Ьэ п-ф. J/ft2 + ^sin(<₽ + <p») •5'= dip § abr dr = — ф, О Я Фо ab(a2 , b2\ С . , аЬл [а- , дч = 2 \й2 й2/ j S П 4 \й2 k2 / ’ — Фо Заметим в заключение, что для вычисления ряда площадей удобен несколько более общий вид обобщенных полярных координат х — ar cos“ ф, y=br sin“ ф. Легко убедиться, что для этих координат = aat,r cosa 1Ф sin“-1 ф. ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 2 О ПРИБЛИЖЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ п-КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Займемся вопросом о приближенном вычислении «-кратного интеграла П-М. х2, хп) dxt dx2 ... dx„ (2.64) ’оп по некоторой области Gn в пространстве Еп, причем сначала будем считать, что эта область представляет собой /z-мерный куб. Предполагая существование интеграла (2.64), будем рассматривать вопрос об оптимальных способах численного интегрирования. Этот вопрос имеет два аспекта: 1) построение формул численного интегри- рования, оптимальных на заданных классах функций; 2) построение формул численного интегрирования, оптимальных для каждой конкретной функции из заданного класса.
90 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 2 Рассмотрим каждый из этих аспектов в отдельности. 1, Формулы численного интегрирования, оптимальные для классов функций. Пусть Gn — единичный n-мерный куб k=\, 2, .... п. Будем говорить, что функция f (хг....... х„) принадлежит в кубе G;I классу (/И) (соответственно классу (М)), если при условии сущест- вования всех фигурирующих ниже производных справедливы неравенства <Эх? ... дх„п ~~ 1 в которых п ₽= S а/г < cw, аА < «я 1г =1 (соответственно а^^а). Будем называть кубатур ной формулой выражение вида Jj---Jf(xi, .... хп) dxj, ... dxn = lN (f)-\-RN (i, Gv)t (2.65) ап в котором N W)=S Chf(xW............ xR. 4 = 1 При этом точки (xW, ..., xW) называются узлами, а числа Сд, —весами данной кубатурной формулы, а величина Rn (f, In) — ее погрешностью. Нашей целью является построение кубатур ных формул с оценкой пог- решности, точной по порядку относительно малой величины 1/7V, где N — число узлов кубатурной формулы. Н. С. Бахваловым было показано *), что как на классах £>“ (М), так и на классах /7“ (М) нельзя построить кубатурную формулу (2.65) с оценкой погреш- ности Rn (f, (д,) лучшей, чем С (а, п) • М N~a, где С (а, «) —некоторая постоянная, зависящая от а и п. На классах (М) указанная оценка достигается (по порядку относи- тельно 1/А-г), если в качестве lN взять произведение одномерных квадратурных формул, точных для алгебраических многочленов степени an—-1. Предполагая, что число узлов М равно N—тп, где т— целое, мы можем положить т т S - S ....М, <2'66) 4. = 1 4„=1 где {x*v, Civ}, v=l,2, ..., п — узлы и веса одномерной квадратурной формулы, точной на алгебраических многочленах **). *) Н. С. Б а х в а л о в, О приближенном вычислении кратных интегралов, Вестник МГУ, серия математики, физики, астрономии, № 4 (1959), стр. 3—18. **) Таковыми являются, например, так называемая формула Гаусса или формула Ньютона — Котеса (см., например, курс И, С. Березина и Н. П. Жидкова «Методы вычислений»).
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 2 91 Для погрешности кубатурной формулы с 1^, определяемым равенством (2.66), справедлива асимптотическая (т. е. справедливая для достаточно больших значений N) оценка (2.67) в которой Сг (а, и) — некоторая постоянная, зависящая от а и п. На классах (/„(/И) также существует кубатуриая формула, близкая по порядку величины погрешности к оптимальной. Таковой формулой является тео- ретико-числовая формула Н. М. Коробова *) '«-12 ..(т)]’<(т)-'.(т)' <2-и) * = 1 р которой Ci, ..., ап — целые числа — так называемые оптимальные коэффициенты по модулю N, а та (х)— некоторые специальные многочлены степени а 4-1. Для погрешности кубатурной формулы с lN, определяемым равенством (2.68), спра- ведлива оценка IW- lnP'v (2-69) (С., (а, п) и р — постоянные, зависящие только от а и п). Оценка (2.69) отли- чается от неулучшаемой по порядку оценки только множителем 1п₽Л'. Таким образом, на каждом из классов D“ (М) и Я™(Л1) существуют доста- точно хорошие кубатурные формулы. Разумеется, при практическом использовании этих формул следует учиты- вать их достоинства и недостатки, выявляющиеся в конкретных ситуациях. Так, следует помнить, что при вычислении интегралов с помощью формулы (2.66) ит:ю узлов N не произвольно, а равно тп. Например, для п=10 и функции ./ (>•,, .... х„), примерно «одинаково» ведущей себя по всем направлениям, мини- мальным разумным числом узлов будет W - 210 — 1024. При желании увеличить точность можно взять число узлов равным Л\ = 31п = 59 049, но это приведет к увеличению вычислительной работы почти в 60 раз. Следует также учитывать, что при «малом» и «среднем» числе узлов Ы погрешность кубатурной формулы, полученной с помощью (2.66), может сильно ст я:чаться от правой части (2.67)**). С другой стороны, использование формулы (2.66) более выгодно при вычисле- нии больших серий интегралов, а также при вычислении интегралов от ФхккцнЗ, содержащих выражения, зависящие от меньшего числа перемен- ных чем л. Кубатурные формулы, полученные с помощью (2.68), свободны от недостатка, связанного с выбором числа узлов N. Эти формулы целесообразно использо- *) Н. М. Коробов, Теоретико-числовые методы в приближенном ана- лизе, Физматгиз, Москва, 1963. **) Так при использовании для (2.66) квадратурной формулы Ньютона—Ко- тка правая часть (2.67) близка к левой, начиная с N = (ап)п (например, при а= 1 и л =10, начиная с Аг= 1010), а при использовании для (2.66) формулы Гаусса правая часть (2.67) близка к левой, начиная с М = (ап/2)га (т. е. при а=1 и п = 10, начиная N 107). Таким образом, при построении кубатурных формул с (д,, определяемы х равенством (2.66), формула Гаусса предпочтительнее фор- мулы Ньютона—Котеса.
92 ДВОЙНЫЕ И « КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ.2 вать для недостаточно гладких функций / и при большом значении числа пере- менных п (начиная с п=10). Однако следует заметить, что для погрешности кубатурной формулы, полученной с помощью (2.68), нельзя выделить главного члена, подобного тому, который стоит в правой части (2.67). Это обстоятельство затрудняет как оценку погрешности при проведении вычислений, так и прог- нозирование числа узлов N, требуемого для достижения заданной точности. 2. О формулах численного интегрирования, оптимальных для каждой кон- кретней функции. Сразу же отметим, что вопрос о таких формулах является сложным и мало разработанным. Начнем с уточнения постановки изучаемого вопроса. Предположим, что данная функция f (хг, хг....хп) принадлежит некоторому классу Ап и что задано множество способов численного интегрирования {рл.| этой функции /. Будем искать в этом множестве такой способ численного интегрирования pN, погрешность Rn (/, pNj которого представляет собой точную нижнюю грань погрешностей (? v (/, pNj на множестве {рд,} всех способов численного интегрирования данной функции f. Иными словами, мы ищем наилучшую кубатурную формулу для данной конкретной функции f, а не для всего класса Ля, которому принадлежит эта функция *). Возьмем в качестве класса Ап множество функций, бесконечно дифферен- цируемых всюду в основном кубе Gn, за исключением, быть может, некоторой поверхности S размерности k < п, на которой эти функции могут обращаться в бесконечность как 1/, где гху — расстояние между точкой х=(х1(..., хп) и точкой на поверхности у = (у1( ..., уп), а у<п — k—1. Множество способов численного интегрирования [рЛ.| определим следую- щим образом. Для каждой кубатурной формулы ост, точной на алгебраических много- членах степени т—1, определим элемент р^ множества [pN^ как кубатурную формулу, получающуюся разбиением основного куба Gn на прямоугольные параллелепипеды и применением на каждом таком параллелепипеде формулы от с условием, чтобы общее число узлов во всем кубе Gn было равно N. Естественно ожидать, что узлы полученной таким способом кубатурной формулы будут распределены оптимально при условии, что погрешность на каждом параллелепипеде постоянна. В вычислительном центре МГУ были составлены стандартные программы вычисления двойных и тройных интегралов, реализующие автоматическое дроб- ление областей интегрирования. В основу этих программ была положена пара кубатурных формул от и amt при тг > т. В качестве оценки погрешности формулы ат бралась величина р — = 1- Если s — заданная точность вычислений, то при psge (для всего основ- ного куба Gn) в качестве приближенного значения интеграла берется то, кото- рое определяется формулой а , а при р>е куб дробится на 2п частей и для каждой из этих частей процесс повторяется сначала. Указанный метод дает хорошие результаты для вычисления двойных и тропных интегралов. Однако при увеличении числа измерений п применение указанного метода наталкивается на существенные трудности, связанные с тем, что при фиксированных т и т1 с увеличением п сильно возрастает сложность 11 > а ПРН уменьшении т и т± с ростом п сильно возрастает число дроблений. В заключение отметим, что при вычислении n-кратного интеграла не по «-мерному кубу Gn, а по произвольной области в пространстве Еп следует *) Формула, наилучшая для класса функций, грубо говоря2 является наи- лучшей для самой «плохой» функции из этого класса.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 2 93 сначала сделать преобразование, переводящее эту область в n-мерный куб. Кроме того, существуют кубатурные формулы для некоторых областей специ- ального вида (шар, сфера и т. д.) *). 3. Пример приближенного вычисления кратного интеграла. Рассмотрим вопрос о вычислении четырехкратного интеграла R L 2л 2л F (R, L, j dip j [77-}-p2-|-r2 —2pr cos (ср—ф)]~3/2 rfcp 0 0 0 0 с некоторой точностью е для значений параметров /? = 1; 1,25; 1,5; 1,75; 2; 2,25; 2,5; 2,75; 3; 1 = 0,8; Я=1. Сделав замену переменных, отображающую область интегрирования в единичный куб, мы приведем этот интеграл к виду 1111 /'(/?, L, //) = (2л)2-/?2-Д2 j j j j[772+L2p24-/?2r2- — 2RLpr cos 2л (ср—ф)]—3,/2rp dp dr dty dtp. Подынтегральная функция является гладкой. Поэтому естественно при- менить для вычисления этого интеграла кубатурную формулу, основанную на (2.66). При этом по каждой из переменных г и р естественно взять фор- мулу Гаусса (одномерную формулу, точную на алгебраических многочленах), а по переменным ср и ф лучше взять формулу трапеций (см. вып. 1, гл. 12), ибо подынтегральная функция периодична по каждой их этих переменных, а для периодических функций формула трапеций дает наилучшие результаты. Таким образом, мы получим F (R, L, Н) = mt та т3 т4 2 2 2 2 Ai = 1 А2 = 1 Аа = 1 А4 = 1 — 2LRx. х. cos 2л k, а2 т J (здесь —узлы и веса соответствующей одномерной квадратурной формулы). Для выбора значений т, т1 и /и2, обеспечивающих требуемую точность, проводят отладочные расчеты, последовательно увеличивая число узлов и сравнивая полученные результаты. *) Так кубатурные формулы на сфере изучались в работах советского математика С. Л. Соболева и его учеников.
ГЛАВА 3 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Введенные ранее понятия определенного интеграла (простого и кратного) не пригодны для неограниченной области интегрирования и при неограниченности подынтегральной функции. В этой главе будет указано, каким образом можно обобщить понятие интеграла на эти два случая. § 1. Несобственные интегралы первого рода (одномерный случай) В этом параграфе будет дано обобщение понятия определенного интеграла для одномерной неограниченной связной области ин- тегрирования. 1. Понятие несобственного интеграла первого рода. Одно- мерными связными неограниченными областями являются полупрямые а х < + оо, — и бесконечная прямая —со< х < 4* оо. Ради определенности рассмотрим полупрямую а х < 4~ оо- Всюду в этой главе, не оговаривая этого в дальнейшем особо, мы будем предполагать, что функция /(х) определена на полупря- мой а х < 4" оо и Для любого R а существует определенный я интеграл /(х) dx, который мы обозначим символом F (R): а ' 4 R F(R) = \f(x)dx. (3.1) а Итак, при наших предположениях на полупрямой asgR<4-co задана функция F (R), определенная соотношением (3.1). Исследуем вопрос о предельном значении функции F (R) при R —>-4- оо, т. е. воп- рос о существовании предела » R lim \ f(x}dx. (3.2) Я-+оо 2
§ и НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 95 Для выражения (3.2) мы будем использовать обозначение /(х) dx. а (3.3) В дальнейшем символ (3.3) мы будем называть несобственным интегралом первого рода от функции f(x) по полупрямой а •< х <С 4- со. Если существует предел (3.2), то несобственный интеграл (3.3) называется сходящимся. Если же этот предел не существует, то несобственный интеграл (3.3) называется расходящимся. Замечание 1. Рассмотрим несобственный интеграл (3.3). Если /’> а, то наряду с этим интегралом можно рассматривать интеграл ОО \ f(x)dx. Очевидно, из сходимости одного из указанных интегралов ь вытекает сходимость другого. При этом имеет место следующее равенство: /(х) dx = J /(х) dx + $ /(х) dx. а а b Отметим, что расходимость одного из указанных несобственных инте- гралов влечет расходимость другого. Замечание 2. Если несобственный интеграл (3.3) сходится, то значение предела (3.2) обозначается тем же символом (3.3). Таким образом, в случае сходимости интеграла (3.3) используется равенство оо У? ( /(х) dx — lim \f(x) dx. a R -»4-co a Замечание 3. Аналогично несобственному интегралу (3.3) b -[-со определяются несобственные интегралы jj f(x)dx и J f(x)dx- — со — со Первый из них символизирует операцию предельного перехода ь R" lim f(x)dx, а второй— lim ( f(x)dx. r—^r R' Пример. Рассмотрим на полупрямой а С х < оо (а > 0) функ- цию /(х)=1/хр, р = const. Это функция интегрируема на любом сегменте ax^xxzR, причем R с ах___ J хР ~ х1~Р \—р In х R а R а #1-р — а1-р 1-р при р 1, при р—1,
96 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ. 3 „ . с dx а1~Р Очевидно, при р> 1 предел lim \ существует и равен -----------г, а Р—‘ при р -С 1 этот предел не существует. Следовательно, несобственный ин- теграл \ -- сходится при »>1 и расходится при р^1. Отметим, что J Х‘ при р > 1 со V dx__ а1-Р J хР р—1 ' а 2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости. Вопрос о схо- димости несобственного интеграла первого рода эквивалентен воп- росу о существовании предельного значения функции F(R) = = f{x)dx при /?-> + со. Как известно *), для существования пре- а дельного значения функции F (R) при /?->оо необходимо и доста- точно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого 8 > 0 можно указать такое Д>0, что для любых R’ и R", превосходящих А, выполняется неравенство \F (R")—F (R')\ = R" § f{x)dx R' < 8. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 3.1 {критерий Коши сходимости несобственного интеграла). Для сходимости несобственного интеграла (3.3) необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 можно бы- ло указать такое А > 0, что для любых R’ и R", превосходя- щих А, R" $ f{x)dx R’ < 8. Замечание. Отметим, что из сходимости несобственного интег- рала не вытекает даже ограниченность подынтегральной функции, со Например, интеграл § f{x)dx, где функция равна нулю для нецелых о х и равна п при х — п (целое число), очевидно, сходится, хотя под- интегральная функция не ограничена. Поскольку критерий Коши мало удобен для практических при- менений, целесообразно указать различные достаточные признаки сходимости несобственных интегралов. *) См. вып. 1, гл. 8, § 1.
§ 1] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 97 В дальнейшем мы будем считать, что функция /(х) задана i: i полупрямой а^х<оо и для любого Rys: а существует обычный R интеграл f(x)dx. а Докажем следующую теорему. Теорема 3.2 (общий признак сравнения). Пусть на полу- прямой а-ух < оо \f(x)\^g(x). (3.4) СО Тогда из сходимости интеграла g(x)dx вытекает сходимость а со интеграла ^f(x)dx. а оо Доказательство. Пусть g(x)rfx сходится. Тогда, согласно а критерию Коши (см. теорему 3.1), для любого е>0 найдется такое Д>-0, что для любых R'А и R" у> А, выполняется неравенство R” R' g(x) dx <е. (3.5) Согласно известным неравенствам для интегралов и неравенству (3.4) имеем R" R” R" f(x)dx j | f (х) | dx ---С j g(x)dx. R’ R' R' Отсюда и из неравенства (3.5) вытекает, что для любых R' и R", больших А, справедливо неравенство R" f(x)dx R’ < В- Следовательно, интеграл ^f(x)dx сходится. Теорема 3.3 (частный признак сравнения). Пусть на полу- прямой 0 < a gc х <с оо функция f(x) удовлетворяет соотношению со где с и р— постоянные, рУ> 1. Тогда интеграл ^f(x)dx сходится. а Если же существует такая постоянная с 0, что на полупрямой
98 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 3 0<а=Сх<;оо справедливо соотношение /(х)Уз^, в котором СО Р'5С1, то интеграл § f(x)dx расходится, а Утверждение этой теоремы вытекает из теоремы 3.2 и примера, рас- смотренного в предыдущем пункте (достаточно положить g(x)=clxp}. Следствие (частный признак сравнения в предельной фор- ме}. Если при р 1 существует конечное предельное значе- СО ние lim | f(x} । хр — с, то интеграл \f(x)dx сходится. Если же *- + со а при р --С 1 существует положительное предельное значение СО lim f(x}xp — cy> 0, то интеграл ^f(x)dx расходится. х- + со а Убедимся в справедливости первой части следствия. Для этого заметим, что из существования предела при лг->4-со вытекает огра- ниченность функции х₽|/(х)|, т. е. с некоторой постоянной с0>0 выполняется неравенство |/(х)|===с0/хр. После этого применяется первая часть теоремы 3.3. Справедли- вость второй части следствия вытекает из следующих рассуждений. Так как с>0, то можно указать столь малое е>0, что с — е>0. Этому е отвечает такое А > 0, что при х А выполняется нера- венство с — е <Zf(x)xp (это неравенство следует из определения предела). Поэтому f(x}'y>c-~ и в этом случае действует вторая часть теоремы 3.3. 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интег- ралов. Введем понятия абсолютной и условной сходимости несоб- ственных интегралов. Пусть f(x} интегрируема по любому сегменту \а, Я] *). СО Определение 1. Несобственный интеграл f(x} dx называется а со абсолютно сходящимся, если сходится § |/(х)|dx. а со Определение 2. Несобственный интеграл f(x) dx называется а CQ условно сходящимся, если он сходится, а интеграл $ | f(x) | dx а расходится. *) Тогда и функция х)! интегрируема по любому сегменту [а, Р]. ,
§ 11 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 99 Замечание. Положив в теореме 3.2 g(x) = | f(x) |, мы получим, что из абсолютной сходимости несобственного интеграла вытекает его сходимость. Отметим, что теоремы 3.2 и 3.3 позволяют установить лишь абсолютную сходимость исследуемых несобственных интегралов. Приведем еще один достаточный признак сходимости несобствен- ных интегралов, пригодный и в случае условной сходимости. Теорема 3.4 (признак Дирихле — Абеля). Пусть функ- ции f(x) и g(x) определены на полупрямой a^x<Z<x>. Пусть далее функция f (х) непрерывна на полупрямой а^х и имеет на этой полупрямой ограниченную первообразную F(x) *). Предположим еще, что функция g(x), монотонно не возрастая на полупрямой a^x<Zca, стремится к нулю при х->оо и имеет производную g' (х), непрерывную на полупрямой а^х<ух>. При этих условиях сходится несобственный, интеграл СО $/(x)g(x)dx а (3.6) Доказательство. Воспользуемся критерием Коши сходимости несобственных интегралов. Предварительно проведем интегрирование R" по частям интеграла f(x)g(x)dx на произвольном сегменте [/?', /?"], R' R">R', полупрямой a^x<Zco. Получим R" $ f(x)g (х) dx = F (х) g (х) R' R” R" — jj F(x)g'(x)dx. R' R' (3-7) По условию теоремы F(x) ограничена: | F(x) | sj; К. Так как g(x) не возрастает и стремится к нулю при х—>-|-со, то g(x)^0, a g'(x)^<d. Таким образом, оценивая соотношение (3.7), мы получим следующее неравенство: IR" R” 5 f(x)g(x)dx ^K[g(R’)+g(R")\ + K\ (—g’(x))dx. R’ R' Так как интеграл в правой части этого неравенства равен g(R') — g(R”), то, очевидно, /(x)g(x)dx ^2Kg(R'), (3-8) *) Это означает, что первообразная F (х), которую можно определить как X удовлетворяет для всех х^а неравенству где К по а стоянная»
100 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ 3 Используя это неравенство, нетрудно завершить доказательство теоремы. Пусть е — произвольное положительное число. Так как g(x)->0 при х—>4-со, то по данному е можно выбрать А так, что при R' А выполняется неравенство g(R')<Z Отсюда и из неравенства (3.8) следует, что для любых R' и R", больших А, выполняется неравенство Я" $ f(x)g(x)dx К’ которое, согласно критерию Коши, гарантирует сходимость интеграла (3.6). Теорема доказана. Замечание. Требование дифференцируемости функции g (х) в тео- реме 3.4 является излишним. Теорема 3.4 может быть доказана в пред- положении одной лишь монотонности g(x) и стремления g(x) к нулю при х—> + со, для чего следует воспользоваться второй формулой среднего значения (формулой Бонне). Пример 1. Рассмотрим интеграл sin х , —-—dx, ха (3.9) Полагая /(x) = sinx, g(x')=l/xa, легко убедиться, что для этого интеграла выполнены все условия теоремы 3.4. Поэтому интеграл (3.9) сходится. ОО Пример 2. Рассмотрим интеграл Френеля *) sin х2 dx. Согласно о замечанию 1 п. 1 этого параграфа из сходимости одного из интегра- СО 00 лов Jsinx2dx и J sinx2tfx вытекает сходимость другого. Поэтому о 1 мы обратимся ко второму из этих интегралов. Имеем ОО оо \ sin х2 dx = \ х sin х2 — dx. J J X 1 1 Полагая/(x) = xsin x2 и g(x)= 1/x, мы легко убедимся, что выполнены все условия теоремы 3.4 и поэтому интеграл Френеля сходится. 4. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям. В этом пункте мы сформу- лируем условия, при которых действуют формулы замены переменных и интегрирования по частям для несобственных интегралов первого рода. Рассмотрим сначала вопрос о замене переменной под знаком несобственного интеграла. ') О. Ж. Френель — выдающийся французский физик (1788—1827).
§ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 101 Мы будем предполагать выполненными следующие условия: 1) функция f(x) непрерывна на полуоси а-тух <оо; 2) полуось а CS х < оо является множеством значений неко- торой строго монотонной функции x = g(t), заданной на полуоси a^t <оо (или —оо <а) и имеющей на этой полуоси непре- рывную производную', 3) g(a) — a. При этих условиях из сходимости одного из следующих несобственных интегралов: со со /а \ \f(x)dx и 7(g(0)g'/(g(O)g'(O^ (3-Ю) а а ' — со / вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов. Сформулированное утверждение устанавливается с помощью сле- дующих рассуждений. Рассмотрим произвольный сегмент [а, /Д. Этому сегменту отве- чает, согласно строгой монотонности функции g(t), сегмент [а, р] (или [р, а]) оси t такой, что при изменении t на сегменте [a, pj значения функции x = g(t) заполняют сегмент [а, /?], причем g(p) — R- Таким образом, для указанных сегментов выполнены все условия п. 3, § 7 гл. 10 вып. 1 этого курса, при которых действует формула замены переменной под знаком определенного интеграла. Поэтому имеет место равенство др / а \ $ f(x) dx = j f(g(t)) g' (f) dt {или = — 5 f(g(t)) g' (t) dt\. s(3.11) a a ' p ‘ В силу строгой монотонности функции X = g(t), R-+OO при р -> со, и обратно, р->оо при R->co (или /?->оо при р—► — оо и р—► — со при /?->оо). Поэтому из формулы (3.11) вытекает справедливость сформулированного выше утверждения. Перейдем теперь к вопросу об интегрировании по частям несоб- ственных интегралов первого рода. Докажем следующее утверждение. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на полупрямой а^х <Z<x> и, кроме того, существует предельное значение lim и (х) v (х) = А. х—»оо При этих условиях из сходимости одного из интегралов ОО 03 и (a) v' (х) dx и jj и (л-) и' (a) dx а а (3.12)
102 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ-3 вытекает сходимость другого. Справедлива также формула оо со § и (х) v' (х) dx = А — и (a) v (а) — v (х) и' (х) dx. (3.13) а а Для доказательства сформулированного утверждения рассмотрим про- извольный сегмент [а, R]. На этом сегменте действует обычная фор- мула интегрирования по частям. Поэтому Я R R и (х) v’ (х) dx = [и (х) v (х)] — ( v (х) и' (х) dx. -* a J а а Так как при R -> со выражение [и (х) v (х)]^ стремится к А — и (a) v (а\ то из последнего равенства следует одновременная сходимость или расходимость интегралов (3.12) и справедливость формулы (3.13) в случае сходимости одного из интегралов (3.12). § 2. Несобственные интегралы второго рода (одномерный случай) В этом параграфе будет дано обобщение понятия определенного интеграла на случай неограниченных функций. 1. Понятие несобственного интеграла второго рода. Критерий Коши. Пусть на полусегменте [а, Ь) задана функция /(х). Точку b мы будем называть особой, если функция не ограничена на полусег- менте [а, Ь), но ограничена на любом сегменте [а, Ь — а], заключен- ном в полусегменте [а, Ь). Будем также предполагать, что на любом таком сегменте функция /(х) интегрируема. При наших предположениях на полусегменте (О, b—а] задана функция аргумента а, определенная соотношением F (а) = /(х) dx. а Исследуем вопрос о правом предельном значении функции F (а) в точке а = 0, т. е. вопрос о существовании предела Ь—а lim ? f(x)dx. ' (3.14) а"*+° а При этом для выражения (3.14) будем использовать обозначение ь \f(x)dx. (3.15) а В дальнейшем символ (3.15) будем называть несобственным интег- ралом второго рода от функции /(х) по полусегменту \а, Ь). Если существует предел (3.14), то несобственный интеграл (3.15) назы-
§ 2J НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 103 вается сходящимся. Если же этот предел не существует, то несоб- ственный интеграл • называется расходящимся. Если несобственный интеграл (3.15) сходится, то величина предела (3.14) обозначается тем же символом (3.15). Таким образом, в случае сходимости интег- рала (3.15) используется равенство Ь Ь—а \f(x)dx= lim ( f(x)dx а «-+<> а Заме ч а н и е. Понятие несобственного интеграла второго рода легко переносится на случай, когда функция/(х) имеет конечное число особых точек. П р и м е р. Рассмотрим на полусегменте [а, Ь) функцию 1 /(Ь — х)р, р>0. Ясно, что точка b является особой точкой для этой функции. Кроме того, очевидно, что эта функция интегрируема на любом сег- менте [а, Ь — а], причем _ (b—x)l~P Р-“ _ (Ь — я)1~Р —gi-P dx 1— Р |а ~ 1— р (Ь — х)Р ] , ]*-а Ь—а = 1п~ег при р 1 , при р— 1 . Очевидно, предел lim \ -т?-----существует и равен а-*+о J (о—х)е Ь — а (Ь — а^-Р 1-р при р <Z 1 и не существует при р^ 1. Следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл сходится при р<1 и расходится при р^1. Сформулируем критерий Коши сходимости несобственного интеграла второго рода. При этом мы будем предполагать, что функция f(x) задана на полусегменте [а, Ь) и Ь — особая точка этой функции. Теорема 3.5 (критерий Коши). Для сходимости несобствен- ного интеграла второго рода (3.15) необходимо и достаточно, чтобы, для любого е>0 можно было указать такое 6>0, что для любых а и а", удовлетворяющих условию 0 < а" <; а'<; б, выполнялось неравенство Ь—а" Ь — а' f (х) dx <е. Справедливость этой теоремы вытекает из того, что понятие сходи* мости интеграла по определению эквивалентно понятию существования предельного значения функции F (а), введенной в начале этого пункта. 2. Заключительные замечания. Мы не будем подробно развивать теорию несобственных интегралов второго рода. Это объясняется тем, что основные выводы и теоремы предыдущего параграфа без труда могут быть перенесены на случай интегралов второго рода. Поэтому мы ограничимся некоторыми замечаниями.
104 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 3 1°. При некоторых ограничениях на подынтегральные функции интегралы второго рода сводятся к интегралам первого рода. Именно, пусть функция f(x) непрерывна на полусегменте [а, Ь) и Ь — особая Ь — а точка этой функции. При этих условиях в интеграле J j(x)dx мы а можем произвести следующую замену переменных: В результате этой замены переменных мы получим равенство Ь—а 1/п J f(x)dx = j f^-lj^dt. (3.16) a l/(b—a) Ь Пусть интеграл ^f(x)dx сходится. Это означает, что существует а Ь — а предел lim ? f(x)dx. Обращаясь к равенству (3.16), мы видим, а-+0 i что существует также и предел при 1/а—> + оо выражения в правой части (3.16). Тем самым доказана сходимость несобственного интеграла первого рода со Ь и равенство этого интеграла интегралу ^f(x)dx. Очевидно, сходи- а мость только что указанного несобственного интеграла первого рода ь влечет сходимость интеграла ^f(x)dx и равенство этих интегралов. а Итак, из сходимости одного из интегралов Ъ со ^/(х)Фхи а — следует сходимость другого и равенство этих интегралов. 2°. Для несобственных интегралов второго рода легко доказы- ваются утверждения, аналогичные утверждениям п. 2 предыдущего параграфа, которые можно объединить общим наименованием «при- знаки сравнения». Отметим, что во всех формулировках функция f(x) рассматривается на полусегменте [а, Ь), где Ь — особая точка функции. Частный признак сравнения будет иметь следующий вид. Если |/(х) | с {Ь — х)~р, где р<1, то несобственный интеграл (3.15) сходится. Если же f(x)с(Ь — х)~р, где с>0 и р^1, то
§ 3] ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА Ю5 несобственный интеграл (3.15) расходится. Доказательство вытекает из общего признака сравнения и примера, рассмотренного в преды- дущем пункте. В полной аналогии с п. 3 предыдущего параграфа для несобствен- ных интегралов второго рода формулируются правила интегрирования путем замены переменной и интегрирования по частям. § 3. Главное значение несобственного интеграла Определение. Пусть функция f(x) определена на прямой — со<х<Ссо и интегрируема на каждом сегменте, принадле- жащем этой прямой. Будем говорить, что функция /(х) ин те г- рируема по Коши, если существует предел R lim ( /(х) dx. R-i R Этот предел мы будем называть главным значением несобственного интеграла от функции f(x) в смысле Коши и обозначать символом *) СО R V. р. ? f(x)dx= lim \ f(x)dx. — ОО R-. + mJR Пример 1. Найдем главное значение интеграла от sinx. По- скольку, в силу нечетности sinx, R оо sinxdx=0, то V. р. sinxdx = 0. — 7? — оо Справедливо следующее утверждение. Если функция /(х) нечетна, то она интегрируема по Коши и главное значение интеграла от нее равняется нулю. Если функция f(x) четна, то она интегрируема по Коши тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл \f(x)dx. (3.17) о Первая часть этого утверждения является очевидной. Для доказа- тельства второй части достаточно воспользоваться равенством R R $ /(х) dx = 2 jj /(х) dx, -R о ‘ V. р. — начальные буквы французских слов «Valeur principal», обозна- чающих «главное значение».
106 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. 3 справедливым для любой четной функции, и определением сходи- мости несобственного интеграла (3.17). Понятие интегрируемости по Коши можно ввести и для несоб- ственных интегралов второго рода в случае, когда особая точка является внутренней точкой сегмента, по которому производится интегрирование. Определение. Пусть функция f(x) определена на сегменте [а, Ь], кроме, быть может, точки с, a <Z с <Zb, и интегрируема на любом сегменте, не содержащем с. Будем говорить, что функ- ция f{x) интегрируема по Коши, если существует предел [с—п b \ Ъ lim ? /(х)йх + \ /(х) dx) = V. р. \f(x)dx, а-Н-0\ а с+о. i а называемый главным значением интеграла в смысле Коши. Пример 2. Функция не интегрируема на сегменте [а, Ь], a<Z.c<Z.b в несобственном смысле, однако она интегрируема по Коши. При этом § 4. Кратные несобственные интегралы Этот параграф посвящен обобщению понятия кратного интеграла на случаи неограниченной области интегрирования и неограниченности подынтегральной функции. Напомним, что именно эти случаи исклю- чались нами из рассмотрения при построении теории кратных интег- ралов. Отметим, что мы сформулируем понятие несобственного кратного интеграла так, что будут охвачены как случай неограниченной обла- сти интегрирования, так и случай неограниченной функции. 1. Понятие кратных несобственных интегралов. Пусть D — открытое множество*) /«-мерного евклидова пространства Ет. Сим- волом D мы будем обозначать замыкание D, которое получается путем присоединения к D его границы. Нам понадобится понятие последовательности {£)„} открытых множеств, монотонно исчерпы- вающих множество D. Будем говорить, что последовательность {D„| открытых множеств монотонно исчерпывает множество D, если: 1) для *) Множество называется открытым, если оно состоит лишь из внутренних точек. Открытое множество называют также областью.
§ 4] КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 107 любого п множество Dn содержится в 2) объединение всех множеств Dn совпадает с множеством D *). Отметим, что каждое множество D„ последовательности {О„} содержится в D. Пусть на открытом множестве D задана функция f(x), х = = (х,, х2, ..., х,п), интегрируемая по Риману на любом замкнутом куби- руемом подмножестве множества D. Будем рассматривать всевозможные последовательности {£•„} открытых множеств, монотонно исчерпываю- щих D и обладающих тем свойством, что замыкание Dn каждого множества Dn кубируемо (отсюда, в частности, вытекает, что каждое из множеств Dn ограничено). Если для любой такой последовательности {Dn\ существует предел числовой последовательности f(x)dx\ и этот предел не зависит от выбора последовательности {£)„}, то этот пре- дел называется несобственным интегралом от функции f(x) по множеству D и обозначается одним из следующих символов: ^f(x)dx, х2, ..., хт) dxydx^... dxm. (3.18) D D При этом несобственный интеграл (3.18) называется сходящимся. Отметим, что символ (3.18) используется и в случае, когда пре- делы указанных выше последовательностей не существуют. В этом случае интеграл (3.18) называется расходящимся. 2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Докажем следующую теорему. Теорема 3.6. Для сходимости несобственного интеграла (3.18) от неотрицательной в области D функции }(х), необхо- димо и достаточно, чтобы хотя бы для одной последователь- ности кубируемых областей {£)„}, монотонно исчерпывающих область D, была ограниченной числовая последовательность an=\f(x)dx. (3.19) Dn Доказательство. Необходимость условия теоремы очевидна: последовательность (3.19) неубывающая (£)„ содержится в и /(х) 2== 0), и поэтому необходимым условием ее сходимости является ограниченность. Перейдем к доказательству достаточности условий теоремы. Так как последовательность (3.19) ограничена и не убывает, она сходится к некоторому числу 1. Остается доказать, что к *) Объединением всех множеств Ря называется множество D, содержащее все точки каждого из множеств Dn и такое, что каждая точка D принадлежит но крайней мере одному из множеств Dn.
108 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 3 этому же числу 1 сходится последовательность а'п = dx> D'n где — произвольная другая последовательность областей, монотонно исчерпывающих область D. Фиксируем любой номер п и рассмотрим область D'n. Найдется номер пх такой, что D'n содержится в Dni *). Поэтому ant ==== 1- Отсюда следует, что последовательность сходится к некоторому числу Г 1. Меняя в наших рассуждениях последовательности а'п и ап, мы придем к неравенству I-^Г. Следовательно, Г = 7. Теорема доказана. Пример. Рассмотрим интеграл 7 = e-^-y^dxdy, (3.20) D взятый по всей плоскости. В качестве системы областей {£)„}, моно- тонно исчерпывающих область D, возьмем следующую систему кон- центрических кругов £)„: х2 + т2<«2> я=1, 2,... В каждом таком круге Dn перейдем к полярной системе координат г, <р. Получим 2л п ап = е~х‘~У‘ dxdy — J J е~гг rdr dtp — л (1 — е~"2). Dn 0 0 Отсюда следует, что lim ап = л. Согласно только что доказанной П-»-00 теореме интеграл (3.20) сходится и равен л. Отметим, что интеграл (3.20) может быть представлен в следующей форме **): оо оо / со \2 e~x‘ dx § e~y‘dy — l § e~x‘dxj. — оо — оо \—со < *) Допустим, что это не так. Тогда для любого целого k можно указать такую точку области ЕГ, которая не принадлежит области £>ft. Из после- довательности {Al*} можно (в силу замкнутости и ограниченности D'n) выде- лить сходящуюся к некоторой точке М е D'n подпоследовательность. Точка М вместе с некоторой окрестностью принадлежит одному из множеств Dk . Но тогда этому же множеству Dki и всем множествам О* с большими номерами принадлежат точки с как угодно большими номерами. Но это противоре- чит выбору точек М^. **) В возможности такого представления легко убедиться, если в качестве исчерпывающей системы областей взять систему увеличивающихся квадратов с центрами в начале координат и со сторонами, параллельными осям, а затем применить формулу повторного интегрирования по каждому такому квадрату.
5 4] КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 109 Из этого представления мы получаем значение интеграла, называемого интегралом Пуассона *): ОО § е~х2йх=Уп. — ОО Докажем следующую теорему. Теорема 3.7 (общий признак сравнения). Пусть неотри- цательные функции f(x) и g(x) всюду в открытом множестве D удовлетворяют условию Тогда из сходимости несобственного интеграла j g(x)dx выше- D кает сходимость несобственного интеграла ^f(x)dx. D Доказательство. Пусть ]£)„} — последовательность областей, монотонно исчерпывающих область D. Из очевидных неравенств ап = 5 /(х)dx 5 S (*)dx = bn п п следует, что ограниченность последовательности Ьп влечет ограничен- ность последовательности ап. Отсюда и из теоремы 3.6 вытекает справедливость сформулированной теоремы. Обычно при исследовании несобственных интегралов на сходи- мость используются стандартные (эталонные) функции сравнения, наиболее употребительной из которых является функция g(x) = = |х|-р, р>0**). Пример 1. Пусть а>0, D — шар радиуса а с центром в начале координат, g (х) = | х |-р. В качестве последовательности областей, монотонно исчерпывающих D, возьмем систему кон- центрических слоев Dn, образованных удалением из шара D шаров ра- диуса 1/л с центром в начале координат. Вводя сферическую систему координат (см. п. 3° § 5 главы 2), получим ап— g(x)dx— r~p+m~ldr § dO^ dd2...^ f sin*-1 dQm_i. </« ooo \a=i j Обозначая символом <om положительную величину 2л л л /т — 1 \ СО„, = $ cffix $ 6Й2... U П sin*'10*) dQm-i, 00 0\*=] / *) С. Пуассон—французский математик и физик (1781 — 1840), **) При этом считают | х | =
по НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 3 мы можем записать а ап = ат $ r-p+'n~l dr. \/п Отсюда вытекает, что последовательность ап ограничена и, сле- довательно, сходится тогда и только тогда, когда р <Z гп. В силу теоремы 3.6 несобственный интеграл от функции | х в области D сходится при p<Zm и расходится при р^т. Пример 2. Пусть а>0, D — внешность шара радиуса а с центром в начале координат, g (.г) = | х '“₽. В качестве последова- тельности {£)„} областей, монотонно исчерпывающих D, возьмем систему концентрических слоев Dn, состоящих из всех то-чек х е Е'п, удовлетворяющих условию a < | х | < п. Вводя сферическую систему координат, получим п ап = \ g(x)dx — tom^r~p+m~l dr. Dn \ Из этого равенства и теоремы 3.6 вытекает, что несобственный интеграл,от функции |х|~-₽ в указанной области D сходится при р > т и расходится при р sg т. 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций. В этом пункте мы выясним связь между сходимостью и абсолютной сходимостью кратных несобственных интегралов. При этом, как и в одномерном случае, несобственный интеграл ^f(x)dx мы будем D называть абсолютно сходящимся, если сходится интеграл | f(x) | dx. D Мы докажем, что из абсолютной сходимости интеграла вытекает обычная сходимость. Наиболее удивительным является другое свой- ство кратных несобственных интегралов, не имеющее аналога в одно- мерном случае и заключающееся в том, что из сходимости несобст- венного кратного интеграла вытекает его абсолютная сходимость. Иными словами, мы докажем, что для несобственных кратных интегралов понятия сходимости и абсолютной сходимости экви- валентны. Прежде чем перейти к доказательствам этих свойств, сделаем несколько предварительных замечаний. Из определения несобственного интеграла следует, что если схо- дится несобственный интеграл по области D от каждой из функций /+(х) и /_(х), то сходятся интегралы от суммы пли разности этих функций.
§ 4Т КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 111 Рассмотрим следующие две неотрицательные функции: (3-21) Указанные функции могут быть, очевидно, определены соотношениями /+ (*) = /-(*)= [ /(X), если /(х)^0, если /(х)<0, ( -/(*), если /(х)^0, 1 о, если /(•*)> о. (3.22) Отметим также следующие очевидные соотношения, вытекающие из определения функций /+(х) и /_(х): Лх)=/,.(х)-Г_(х). (3.23) (3.24) Перейдем теперь к доказательству указанных в начале этого пункта утверждений. Теорема 3.8. Из абсолютной сходимости кратного несобст- венного интеграла ^f(x)dx следует его обычная сходимость. D Доказательство. Обратимся к только что введенным функ- циям /+ (х) и /_ (х). Из интегрируемости в собственном смысле функции /(х) по любой кубируемой подобласти области D вытекает интегрируемость по D функции |/(х)|, а отсюда и из формул (3.21) следует, что функции /+(х) и /_(х) также интегрируемы по любой такой подобласти. Используя сходимость интеграла | /(х) | dx, толь- D ко что указанное свойство функций /+ (х) и /_ (х), неравенства (3.23) и теорему 3.7, легко убедиться в сходимости несобственных инте- гралов §/+(х)о?х и ^/_(x)rfx. Отсюда и из соотношения (3.24) сле- D D дует сходимость интеграла ^f(x)dx. Теорема доказана. D Докажем теперь обратную теорему. Теорема 3.9. Если кратный несобственный интеграл ^f(x)dx D сходится, то он сходится абсолютно. Доказательство. Допустим, что утверждение теоремы не- верно. Тогда из теоремы 3.6 вытекает, что последовательность интегралов от |/(х)| по любой монотонно исчерпывающей область последовательности областей будет монотонно возрастающей бесконечно большой последовательностью. Отсюда следует, что по-
112 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 3 следовательность {£)„} можно выбрать так, что для любого п = = 1, 2, ... выполняется неравенство J |/(х) | dx > 3 jj |/(х) | dx-[- 2/г. (3.25) Обозначим через Рп множество /9„+1— Dn. Тогда из (3.25) получим для любого п jj |/(х) | dx> 2 J |/(х); dx-\- 2п. (3.26) рп Dn Так как | /(х) | =/+ (х) 4- /_ (-к), то $ |/(x)|dx= J/+(x)dx4- $/_(x)dx. (3.27) рп рп Рп Пусть из двух интегралов в правой части (3.27) большим будет первый. Тогда из соотношений (3.26) и (3.27) получим для любого п $ /+ (х) dx > J | /(х) | dx 4- п. (3.28) 15 п Разобьем область Рп на конечное число областей Р„ так, чтобы нижняя сумма У /и;Дц/ функции /+ (х) для этого разбиения столь t мало отличалась от интеграла по Рп от этой функции, что при замене в левой части (3.28) интеграла .указанной нижней суммой мы получим следующее неравенство: ^2 |/(х) | <УхЦ-п. (3.29) Так как иг-^0, то в сумме У можно оставить лишь те ела- I гаемые, для которых 0. Объединение соответствующих обла- стей РП1 обозначим Рп. В области Рп функция /(х) положительна, и поэтому в этой области /(х)=/+(х). Следовательно, согласно (3.29), получаем нера- венство /(х) dx > § |/(х) | dx 4- п. (3.30) рп °п Обозначим через D% объединение Dn и Рп. Тогда, складывая нера- венство (3.30) с очевидным неравенством $ /(х) dx > — |/(х) j dx, Dn Da
§ 4J КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 113 получим § /(х) dx > п. (3.31) п* ип Очевидно, последовательность областей {О„} монотонно исчерпывает область D. Но тогда, согласно неравенству (3.31), интеграл ^/(x)rfx о расходится. Так как по условию этот интеграл сходится, то предпо- ложение, что утверждение теоремы неверно, не имеет места. Теорема доказана. 4. Главное значение кратных несобственных интегралов. Определение. Пусть функция f(x) определена при всех х <= £™ и интегрируема в каждом шаре К я радиуса К с центром в начале координат. Будем говорить, что функция f(x) интег- рируема по Коши в Ет, если существует предел lim \f(x)dx. Этот предел мы будем называть главным значением несобственного интеграла от функции f (х) в смысле Коши и обозначать \.р. ^f(x)dx — Пт ^f(x)dx. Ет Kr Пример. Пусть /(х) в сферических координатах имеет вид /(x) = /i(r)^’(01, 02, ..., O^j), где функции 1г и g непрерывны, причем 2л л л !т — 1 \ ^</0! ^92...^(01> 02> 0т-1) ( =0- 0 0 0 \* = 1 / Тогда, очевидно, f(x) интегрируема по Коши и V. р. $ f(x)dx = Q. Ет В частности, при т — 2 функция двух переменных /(х, у) = ==/г (г) cos <р интегрируема по Коши, и интеграл от нее в смысле главного значения равен нулю. ,4 В случае, когда функция f(x) имеег особенность в некоторой точке х0 области D, интеграл в смысле Коши вводится как предел V. р. (х) dx = lim $ f(x)dx> о Я — соПд где Dr — множество, получаемое удалением из области D шара радиуса R. с центром в точке х0.
ГЛАВА 4 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этой главе мы перенесем понятие одномерного определенного интеграла, взятого по прямолинейному отрезку, на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой плоской или пространственной кривой. Такого рода интегралы называются криволинейными. В при- ложениях принято рассматривать криволинейные интегралы двух родов (от выражений, имеющий скалярный и векторный смысл). В этой главе криволинейные интегралы первого и второго родов рассматриваются параллельно. § 1. Определения криволинейных интегралов и их физический смысл Рассмотрим на плоскости Оху некоторую спрямляемую кривую L, не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания. Предположим, что кривая определяется параметрическими уравне- ниями х = ф (/). (4-1) и сначала будем считать ее не А и В. Предположим далее, что замкнутой и ограниченной точками функция /(х, у) две функции Р (х, у) и Q (х, у) определены и непрерывны вдоль кривой L = AB*'). *) Функция f(x, (А называется непрерывной вдоль кривой Lt если для любого е>0 найдется 6>0 такое, что | / (xlT r/j) — f (х2, у2) | < в для любых двух точек (х1( i/J и (х2, у2) кривой L, удовлетворяющих условию ]/ (л-j — х2)2 + (yL—у2)2 <6. Фактически мы определили не непрерывность, а рав- номерную непрерывность функции f (х, у) вдоль кривой L, но так как мно- жество всех точек кривой L ограничено и замкнутог то эти понятия совпадают.
§ U КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 115 Разобьем сегмент a&ct^b при помощи точек <Z.. .<Ztn — b на п частичных сегментов [Zft_x, tk\ Так как каждому значению tk со- ответствует на кривой L определен- ная точка Mk (хк, уh) с координатами = Ш Л = '1-(Д). то при указан- ном разбиении сегмента a-ccf^cb вся кривая L — AB распадается на п час- тичных дуг Мп_гМп (рис. 4.1). Выберем на каждой частичной дуге а — t о 11 t (/г=1, 2, «). Л'1к_1Мк произвольную точку Nk^,k, пД Рис. 4.1. координаты ^к, г\к которой отвечают некоторому значению хк параметра t, так что £& = <р (т*)> 1U =4’(Ts)> причем xk’XCtk. Договоримся обозначать символом Д/й длину А-й частичной дуги Mk_-JVLk (А=1, 2, ..., п). Составим интегральную сумму п * (4.2) Л=Г Составим две интегральные суммы п о2=2/3(^’г1*)(хА“хл-1)> <4-2') Й=1 п а3=2 Q (U Пл) (Л - Л-т)- (4.2”) А=1 Назовем число I пределом интегральной суммы os (s=l, 2, 3) при стремлении к нулю наибольшей из длин \1к, если для любого 8>0 найдется 6>0 такое, что [os — Z|-=<e, как только наиболь- шая из длин Д4 меньше 6. Определения Если существует предел ин- тегральной суммы Ох при стрем- лении к нулю наибольшей из длин Д/А, то этот предел назы- вается криволинейным ин- тегралом первого рода от функции f(x, у) по кривой L и обозначается символом y)dl L ИЛИ 5 /(х, y)dl (4.3) АВ Если существует предел ин- тегральной суммы о2 [о3] при стремлении к нулю наибольшей из длин \lk, то этот предел называется криволинейным интегралом второго ро- да и обозначается символом § Р (х, y)dxl $ Q(x, j)(fyl. АВ L>1B J Сумму $ P(x, y)dx+ $ Q(x, y)dy AB AB принято называть общим к p и -
116 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ. 4 вол инейным интегралом второго рода и обозначать символом Р(х, y)dx-]-Q(x, y)dy. (4.3') АВ Выясним физический интегралов. Пусть вдоль кривой L распре- делена масса с линейной плотно- стью f(x, у). Для вычисления массы всей кривой естественно разбить эту кривую на малые участки и, считая, что на каждом участке плотность меняется мало, положить массу каждого участка приближенно равной произведе- нию некоторого промежуточного значения плотности на длину это- го участка. В таком случае масса всей кривой приближенно будет равна интегральной сумме (4.2). Точное значение массы естественно опре- делить как предел суммы (4.2) при стремлении к нулю длины наибольшего участка. Таким образом, криволиней- ный интеграл первого рода (4.3) дает массу кривой, линейная плотность вдоль которой рав- на f(x, .у). смысл введенных вами криволинейных Пусть материальная точка дви- жется из Л в В вдоль кривой L под действием силы В (х, у), имеющей компоненты Р(х, у») и Q(x, у). Для вычисления работы но такому перемещению естест- венно разбить кривую L на ма- лые участки и, считая, что на каждом участке сила меняется мало, положить работу на каж- дом участке приближенно равной сумме произведений компонент силы, взятых в некоторых проме- жуточных точках, на компоненты вектора смещения. В таком слу- чае полная работа по перемеще- нию из А в В будет приближен- но равна сумме (4.2') и (4.2"). Точное значение этой работы естественно определить как пре- дел указанной суммы при стрем- лении к нулю длины наиболь- шего участка. Таким образом, общий криво- линейный интеграл второго ро- да (4.3') дает работу по пере- мещению материальной точки из А в В вдоль кривой L под действием силы, имеющей ком- поненты Р (х, у) и Q(x, у). Замечание 1. Из вида сумм (4.2), (4.2') и (4.2") очевидно, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к Д) пробегается кри- вая L, а для криволинейного интеграла второго рода изменение направления на кривой ведет к изменению знака, т. е. $ Р {х, у)dx = — Р(х, y)dx, Q(x, y)dy = — $ Q(х, y)dy, АВ BA АВ BA
§ 2J СУЩЕСТВОВАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 117 Замечание 2. Для пространственной кривой совершенно ана- логично вводится криволинейный интеграл первого рода f(x, у, z) dl АВ и три криволинейных интеграла второго рода Р (х, у, z) dx, j Q (x, у, z) dy, § R (x, y, z) dz. AB AB AB Сумму трех последних интегралов принято называть общим кри- волинейным интегралом второго рода и обозначать символом jj Р(х, у, z)dx-\-Q(x, у, z'jdy+Rix, у, z)dz. АВ § 2. Существование криволинейных интегралов и сведение их к определенным интегралам Договоримся называть кривую L гладкой, если функции ф(/) и ф(0 из определяющих ее параметрических уравнений (4,1) обла- дают на сегменте [a, Z>] непрерывными производными <р' (t) и ф' (I) *). Кривую L мы будем называть кусочно-гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. В соответствии с договоренностью принятой еще в гл. 15 и 16 вып. 1, мы будем называть особыми точками кривой L точки, соот- ветствующие тому значению параметра t, для которого обе произ- водные <р' (0 и ф' (t) обращаются в нуль. Докажем, что если кривая L = АВ является гладкой и не содержит особых точек и если функции f(x, у), Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вдоль этой кривой, то справедливы следующие фор- мулы, сводящие криволинейные интегралы к обычным определен- ным интегралам S /(^ == $У[ф(0> ^(0] х ^dx=3 АВ a ft х dt. (4.4) = JР[Ф(t), ф(01 ф'(0dt, (4.4’) а $ Q(x, y)dy*= АВ b = $ Q [<р (О, il> (01М?'(0 (4.4") a *) Под этим подразумевается, что производные q>' (0 и ф' (/) непрерывны в любой внутренней точке сегмента [а, 6] и обладают конечными предельными значениями в точке а справа и в точке Ь слева.
118 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4 Одновременно будет доказано существование всех фигурирующих в этих формулах криволинейных интегралов. Прежде всего заметим, что определенные интегралы, стоящие в правых частях формул (4.4), (4.4') и (4.4”), заведомо существуют (ибо при сделанных нами предположениях подынтегральные функции в каждом из этих интегралов непрерывны на сегменте attach). Для криволинейного интеграла второго рода мы будем выводить только формулу (4.4') (ибо вывод формулы (4.4”) совершенно ана- логичен). Как и в § 1, разобьем сегмент a-syAs^-b при помощи точек a = t0 < tr < t2 .. < tn = b на n частичных сегментов и составим интегральные суммы (4.2) и (4.2'). Учтем теперь, что > ,_________________ - xk_\ == ф (tk) - ф foj) = Д^= $ Пф' (OP + W' (0]2^- *k ‘k-i = j (0 dt. Это позволяет нам следующим интегральных сумм (4.2) и (4.2'): п f °1= U V [ф (г*)> Ч1 (т*)] X А=1 [ *k _____________ 1 X j /toWW(0]W(4.5) zz>-i - ' образом переписать выражения для ff2= U ]Р[ф(1Д), №)] X А —1 ( *Ь *k-l (4.5') (Мы учли также, что £й = ф(Ть)> т]й = ф(тД где гк — некоторое зна- чение параметра t, удовлетворяющее условию 6г~1 =^5 Zft.) Обозначим теперь определенные интегралы, стоящие в правых частях формул (4.4) и (4.4'), соответственно через Кг и /б2. Разби- вая сегмент а t sg b на сумму п частичных сегментов [Ьк_г, 1к], мы можем следующим образом записать определенные интегралы и Ki=S f Лф(0>Ф(0]х h~1 Д-1 x Л[ф'(0]2+[ф'(0]2 dt. Рассмотрим и оценим разности <Гт — Ад = п (k = S 5 Иф (т*)> (т*)] - 4=1 Д-1 -Яф(0, ф(0]} X х У[ф' (0J2 + [Ф' (0]2Л- (4.6) ! п *к /<2= 2 S р[ф(О>Ф(0]ф'(ОЛ. <r2 — /с2 = в S $ {р [ф (т*)> $ (т*)1 - *=1 Д-! ,-Р[ф(0, ф(/)]} <f'(.f)dt. (4.6')
§ 21 СУЩЕСТВОВАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 119 Так как функции x = <p(i) и _у = ф(/) непрерывны на сегменте а t Ь, а функции f(x, у) и Р (х, у) непрерывны вдоль кривой L, то по теореме о непрерывности сложной функции (см. § 3 гл. 14 вып. 1) функции Дф(t), ф(0] ч Р [ф (0> ФСО] непрерывны на сег- менте a^t^b. Заметим теперь, что при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дуг А7Й стремится к нулю и наибольшая из разностей (£* * — tk-i) *)• Но отсюда следует, что для любого е > 0 можно ука- зать 6 > О такое, что при условии, что наибольшая из длин A/ft меньше 6, каждая из фигурных скобок в формулах (4.6) и (4.6') меньше е. Стало быть, при условии, что наибольшая из длин A/ft меньше 6, мы получим для разностей (4.6) и (4.6') следующие оценки; or-KiK n 'fe _______________________ к-11 к-1 b ______________________ = £$ Иф' (ОР + 1Ф' (О]2 = где Z — длина кривой АВ. п Zfe I о2 - е |ф'(01^^ A=1 ‘к-1 п *к ^еМ У dt = zM(b — а), k=ltk-i где М — максимальное значение | ф' (/) | на сегменте а sC t «г Ь. Под- черкнем, что при выводе форму- лы (4.4') нам требуется лишь не- прерывность ф' (£) и спрямля- емость кривой L — АВ (непре- рывность ф' (0 при этом не требуется). В силу произвольности в мы можем утверждать, что интеграль- ные суммы О'! и о2 имеют (при стремлении к нулю наибольшей из длин АД) пределы, соответственно равные Л1 и К2. Тем самым одно- временно доказано существование криволинейных интегралов, стоящих в левых частях формул (4.4) и (4.4'), и справедливость указанных формул. fk _________________ *) В самом деле, &1ь= I У[ф' (0]2+ [ф' WP dt. Так как функции <р'(/) ‘к-1 и ф' It) непрерывны на сегменте a^-t^b и не обращаются в нуль одновре- менно, то функция У[ф'(012+[ф'(О]2 непрерывна и строго положительна на сегменте a-^t^b. Поэтому и минимальное значение т последней функции на сегменте a^t^b положительно. Но тогда &1к^:т *k j dt— m lk-i (th — tk-i)i т. е. tk tk-i^s
120 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ 4 Замечание 1. В случае кусочно-гладкой кривой L криволи- нейные интегралы по этой кривой естественно определить как суммы соответствующих криволинейных интегралов по всем гладким кускам, составляющим кривую L. Таким образом, равенства (4.4), (4.4') и (4.4") оказываются справедливыми и для кусочно-гладкой кривей L. Эти равенства справедливы и в случае, когда функции /(х, у), Р (х, _у) и Q (х, у) являются не строго непрерывными, а лишь кусочно- непрерывными вдоль кривой L (т. е. когда кривая L распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, вдоль каждого из которых указанные функции непрерывны). Замечание 2. Совершенно аналогичные результаты и формулы справедливы и для криволинейных интегралов, взятых по простран- ственной кривой L — AB, определяемой параметрическими урав- нениями х = ф (£), Мы ограничимся лишь написанием формул 5 /(х> У> z}dl — АВ ь = 5/[ф(0. W х(01* а X HtW+14W+[xW dt. J Р (х, у, г) dx — АВ b -$Р[(р(0, W х(01ч>' а 5 Q(x, у, z)dy = АВ b = S QI<P(O> W). а § R (х, у, z) dz = АВ ь -$Я[<р(0,Ш х(О]х'(0Л- а Замечание 3. Выше мы установили, что криволинейный ин- теграл второго рода зависит от направления обхода кривой L = АВ. Поэтому следует принять особую договоренность о том, что мы понимаем под символом Р (х, y)dx-yQ (х, у) dy L (4-7) в случае, когда L — замкнутая кривая (т. е. в случае, когда точка В совпадает с точкой А).
§ 2] СУЩЕСТВОВАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 121 Из двух возможных направлений обхода замкнутого контура L мы назовем положительным то направление обхода, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается по левую сторону по отношению к точке, совершающей обход *). На рис. 4.2 положительное направление обхода изображено стрелками. Будем считать, что в интег- рале (4.7) по замкнутому кон- туру L этот контур всегда обхо- дится в положительном направ- лении. Замечание 4. Легко пока- вать, что криволинейные интегралы обладают теми же свойствами, что и обычные определенные ин- тегралы (доказательства аналогичны изложенным в §§ 5 и 6 гл. 10 вып. 1). Впрочем, при более жестких предположениях указанные свойства сразу вытекают из формул (4.4), (4.4') и (4.4”). Перечислим эти свойства применительно к криволинейным интег- ралам первого рода. 1°. Линейное свойство. Если для каждой из функций f(x, у) и g(x, У) существует криволинейный интеграл по кривой АВ и если а и Р —любые постоянные, то для функции [а/(х, _у)-|-Pg(x, _у)] также существует криволинейный интеграл по кривой АВ, причем 1а/(х, у) + Pg (х, y)]dl = a $ f(x, у) dl +ft J £ (*> J) dl. AB AB AB 2°. Аддитивность. Если дуга AB составлена из двух дуг АС и СВ и если для функции f(x, у) существует криволинейный интег- рал по дуге АВ, то для этой функции существует криволинейный интеграл по каждой из дуг АС и СВ, причем 5 f(x,y)dl= \ f(x, y)dl-\-\ fix, y)dl. АВ АС СВ 3°. Оценка модуля интеграла. Если существует криво- линейный интеграл по кривой АВ от функции f(x, у), то существует и криволинейный интеграл по кривой АВ от функции |/(х, у) |, причем $ f(x, y)dl < $ |/(х, y)\dl. АВ АВ *) Такое направление движения условно можно назвать «движением про- тив часовой стрелки».
122 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ 4 4°. Формула среднего значения. Если функция f(x,y) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка 711* такая, что АВ где Z — длина кривой АВ. Примеры. 1°. Вычислить массу эллипса L, определяемого пара- метрическими уравнениями х = a cos t, у = bsvat (О < t 2л) при условии, что a^>b~y>Q и что линейная плотность распределения массы равна р = | у |. Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла первого рода L С помощью формулы (4.4) получим 2 л _________________ | у | dl = b § | sin 11 sin2t + b2 cos21 dt — l о 2 — b § sin t У a2sin2tA-b2 cos2/dt — b sin t У a2sin2/-f-b2 cos2 /dt — О л = — b $ У a2 — (a2 — b2) cos21 d (cos t) + о 2л -4- b У a2 — (a2 — b2) cos2 / d (cos /) = 2b (b 4- a arcsin e\ J \ e j Л где*) . ^2°. Вычислить криволинейный интеграл второго рода I = (х2 — 2ху) dx + (у2 — 2ху) dy, L в котором L — парабола у — х2 при —Указанную пара болу можно рассматривать как кривую, задаваемую параметриче- скими уравнениями ( х = /, ’ (-Isg/^l). ( у = /2 Поэтому с помощью формул (4.4') и (4.4") мы получим, что 1 1 / = (ta-2ts)dt+ (/4 - 2/») 2/г//= — -j~. — 1 -1 *) Напомним, что величину е в аналитической геометрии называют эксцентр иситетом.
ГЛАВA 5 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этой главе будет рассмотрен вопрос об интегрирования функ- ций, заданных на поверхностях. В связи с этим предварительно исследуется вопрос о понятии поверхности и понятии площади поверх- ности. § 1. Понятие поверхности 1. Понятие поверхности. Отображение f области *) G на плоскости на множество G* трехмерного евклидова пространства называется гомеоморфным, если это отображение представляет собой вза- имно однозначное соответствие между точками G и G*, при котором любой сходящейся последовательности {2ИЯ} точек из G соответствует сходящаяся последовательность {7И*} точек из G* и каждой сходя- щейся последовательности точек {Л4*} из G* отвечает сходящаяся по- следовательность {А4„} точек из G. Иными словами, гомеоморфное отображение области G на множество G* — это взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение указанных множеств. Мы будем говорить, что G* является образом О при гомеоморфном отобра- жении /. Рассмотрим следующий пример. Пусть О —область на плоскости Оху, (и, v) — координаты точек М этой области, z = z (Л4) — непре- рывная в G функция, G* — график этой функции. Очевидно, отобра- жение f области G на G*, задаваемое соотношениями х—а, y = v, z = z(u, v) является гомеоморфным отображением этой области на множество О*. Введем понятие элементарной поверхности. Множество Ф точек трехмерного пространства называется элементарной по верхностью, если это множество является *) Напомним, что областью называется множество, каждая точка кото- рого является внутренней,
124 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ 5 образом открытого круга Q при гомеоморфном отображении О в пространство *)• С помощью понятия элементарной поверхности вводится понятие так называемой простой поверхности. Предварительно введем понятие окрестности точки множества Ф евклидова пространства £'3. Окрестностью точки М множества Ф называется общая часть множества Ф и пространственной окрестности точки /И. Множество Ф точек пространства называется простой поверхностью, если это множество связно **) и любая точка этого множества имеет окрестность, которая является эле- ментарной поверхностью. Отметим, что элементарная поверхность является простой поверх- ностью, но простая поверхность, вообще говоря, не является элемен- тарной. Например, сфера — простая, но неэлемептарная поверхность. Сформулируем понятие общей поверхности. Отображение f простой поверхности О назовем локально- гомеоморфным, если у каждой точки Q есть окрестность, кото- рая гомеоморфно отображается на свой образ. Множество Ф точек пространства называется общей по- верхностью, если оно является образом простой поверх- ности при локально-гомеоморфном ее _______________________ отображении в пространство. ----,> Замечание 1. Отметим, что ок- рестности точек на общей поверхности вводятся как образы окрестностей точек той простой поверхности, обра- зом которой является данная общая -----j поверхность. Замечание 2. Простая поверх- Рис. 5.1. ность, очевидно, является поверхностью без самопересечений и без самонале- ганий. Общая поверхность может иметь самопересечения и само- налегания. Например, изображенная на рис. 5.1 поверхность имеет самопересечения, но является локально-гомеоморфным образом ци- линдрического пояса и поэтому является общей поверхностью. 2. Регулярная поверхность. Введем понятие регулярной (k раз дифференцируемой) поверхности. Поверхность Ф, точки которой имеют координаты х, у, z, назы- вается регулярной (фраз дифференцируемой), если при *) Мы рассматриваем трехмерное евклидово пространство, хотя можно рас- сматривать евклидово пространство любого числа измерений и говорить о дву- мерной поверхности в этом пространстве. **) Напомним, что множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком состоящей из точек этого множества.
§ 1] ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ 125 некотором k 1 у каждой точки Ф есть окрестность, допуска- ющая k раз дифференцируемую параметризацию. Это означает, что каждая указанная выше окрестность представляет собой гомеоморфное отображение некоторой элементарной области G *) в плоскости (и, v) при помощи соотношений х = х(н, v), у=у(и, v), z — z(u, v), (5.1) в которых функции х (и, v), у (и, ц), z (и, v) являются k раз диффе- ренцируемыми в области О. Если k— 1, то поверхность обычно называется гладкой. Мы будем также говорить, что с помощью соотношений (5.1) в окрестности точки на поверхности вводится регулярная парамет- ризация с помощью параметров и и ». Замечание 1. Если вся поверхность Ф представляет отобра- жение области О при помощи соотношений (5.1), то мы будем гово- рить, что па Ф введена единая параметризация. Точка регулярной поверхности называется обыкновенной, если существует такая регулярная параметризация некоторой ее окрест- ности, что в этой точке ранг матрицы А — Уи У» zu' (5-2) равен двум. В противном случае точка поверхности называется особой. Область О на плоскости будем называть простой, если эта область представляет собой простую плоскую поверхность. Например, кольцо без границы является простой областью. Будем говорить, что функция f(u, v) принадлежит в Q классу Ск, если она k раз дифференцируема и все ее частные производные порядка k непрерывны в О. Справедлива следующая теорема. Теорема 5.1. Пусть в простой области G на плоскости (и, v) заданы функции х(и, v), у (и, v), z(u, v) класса Ck, /г^1, причем ранг матрицы (5.2) равен двум во всех точках G. Тогда соотношения (5.1) определяют в пространстве множество Ф, которое представляет собой регулярную, k раз дифференцируемую общую поверхность без особых точек. Доказательство. Очевидно, достаточно убедиться в том, что с помощью соотношений (4.1) осуществляется локально-гомеоморф- ное отображение области G на множество Ф. Пусть Л40 (х0, у0, z0) — любая фиксированная точка множества Ф, отвечающая значениям (и0, v0) параметров (и, v) (рис. 5.2). По усло- *) Область G на плоскости называется элементарной, если она явля- ется образом открыюго круга при гомеоморфном отображении этого круга на плоскость.
126 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 вию ранг матрицы А равен двум в точке (и0, ц0). Пусть, ради опре- деленности, в этой точке отличен рицы А. Поскольку указанный от нуля определитель xv Уи Уу мат- определитель является якобианом D (х, у) , . . , . , . ----- и отличен от нуля в точке (п0, ц0), а функции х (и, v), у (и, г>) (и, V) имеют непрерывные частные производные в области G, то по теореме Рис. 5.2. о разрешимости системы функциональных уравнений (см. теорему 15.2 вып. 1) найдется такая окрестность Н точки (х0, _у0) на плос- кости Оху, что в пределах этой окрестности существует единствен- ное и k раз дифференцируемое решение и=и (х, у), v=v (х, у) (5.3) системы х(и, v) — x=0, у (и, ц)— _у = 0. Из проведенных рассуждений вытекает, что некоторая окрестность Н точки (х0, _у0) представляет собой гомеоморфное отображение некоторой окрестности О точки (и0, va) с помощью соотношений х=х(и, v), у=у(и, v) (обратное отображение Н на О осуществля- ется с помощью соотношений (5.3)). Подставляя выражения (5.3) для и и v в соотношение z = z(u, v), мы убедимся, что некоторая окрестность Ф точки /Ио на множестве
§ 1] ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ 127 ф является графиком k раз дифференцируемой функции z — z (и (х, у), v(x,y))=z (х, у). Но это означает, что с помощью функции z(x, у) осуществляется гомеоморфное отображение окрестности Н точки (х0, j’o) плоскости Оху на указанную окрестность Ф точки УИ0 множества Ф. Очевидно, что окрестность Q точки (и0, ц0) гомео- морфно отображается на окрестность Ф точки Л10 на множестве Ф *). Иными словами, Ф представляет собой образ О при локально-гомео- морфном отображении в пространство и является поэтому общей поверхностью. Теорема доказана. Замечание 2. В процессе доказательства теоремы мы уста- новили, что у каждой точки Мо поверхности Ф без особых точек имеется окрестность Ф, однозначно проектирующаяся на одну из координатных плоскостей и являющаяся поэтому графиком k раз дифференцируемой функции (в доказательстве теоремы этой функцией была функция z (х, у)). На рис. 5.2 указаны точки 7И0 и No, окрестности которых одно- значно проектируются на плоскости Оху и Oxz соответственно. 3. Задание поверхности с помощью векторных функций. Рас- смотрим регулярную поверхность Ф. Эта поверхность представляет собой некоторое множество точек М пространства с координатами (х, у, z) (рис. 5.3). Обозначим через Г(М) вектор, идущий из начала координат в точку М поверхности. Очевидно, Г(М) представляет *)Мы воспользовались здесь очевидным утверждением о том, что последо- вательное проведение гомеоморфных отображений дает в результате также гомеоморфное отображение.
123 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 векторную функцию переменной точки М поверхности *). Эта функция обычно называется радиусом-вектором поверхности Ф. Обратимся к той окрестности точки М, которая представляет собой гомеоморфное отображение некоторой элементарной области G**) при помощи соотношений (5.1) (на рис. 5.3 эта окрестность обведена пунктиром). Тогда, очевидно, координаты х(и, v), у (и, v), z(u, v) точки /И являются координатами вектора г (Л-1). Ясно, что в этой окрестности функция г(М) будет функцией переменных и и v: г(М) = г(и, х>). При фиксированном значении переменной v конец радиуса-вектора г (и, v) описывает в рассматриваемой окрест- ности кривую, называемую линией и (или линией v — const). При фиксированном значении переменной и конец радиуса-вектора г(и, v) описывает линию v (линию и — const). Эти линии и и v называются координатными линиями на поверхности Ф в рассматриваемой окрестности. Таким образом, в некоторой окрестности каждой точки поверх- ности Ф может быть введена система координатных линий и и v. Особая точка Эта система координатных линий называется также системой криволинейных координат на поверхности (точнее — в рассматриваемой окрестности). В § 1 гл. 12 указан геометрический смысл производных г„ и rv векторной функции г (и, и)- Эти векторы представляют собой векторы касательных к координатным линиям (см. рис. 5.3). С помощью векторов га и rv можно уяснить геометрический смысл обыкновенной и особой точек регулярной поверхности. Напомним, что точка 714 поверхности называется обыкновенной, если в окрестности этой точки можно ввести такую параметризацию с помощью уравнений (5.1), что ранг матрицы А (см. соотношение *) Векторную функцию можно рассматривать как совокупность трех скалярных функций. Подробные сведения о векторных функциях даются в § I гл. 12. По мере надобности мы будем использовать эти сведения. **) Область G на плоскости называется элементарной, если она представляет собой гомеоморфный образ открытого круга.
§ 1) ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ 129 (5.2)) в этой точке равен 2. Так как строки матрицы /1 состоят из координат векторов г„ и гг„ и ранг А равен двум, указанные век- торы линейно независимы. Итак, обыкновенная точка характеризуется тем, что в окрестности этой точки можно ввести такую параметри- зацию, что векторы ги и rv в точке М линейно независимы. На рис. 5.3 точка М является обыкновенной точкой поверхности Ф. На рис. 5.4 изображены поверхности с особыми точками. 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Односторон- ние и двусторонние поверхности. Мы уже ввели понятие касательной плоскости к поверхности, представляющей собой график дифференци- руемой функции z~z(x,y) (см. п. 2 § 4 гл. 14 вып.1). Напомним, что касательная плоскость в точке Мо определялась как плоскость, обладающая тем свойством, что угол между этой плоскостью и секу- щей МаМ (Л1 — произвольная точка поверхности) стремится к нулю при стремлении М к Л40. Мы доказали, что если z (х,у) — дифферен- цируемая в точке (хй, j'») функция, то в точке 7H0(x0,_y0, z (x0,_v0)) по- верхности существует касательная плоскость. Убедимся, что в любой обыкновенной точке гладкой поверхности существует касательная плоскость. Для этого, очевидно, достаточно установить, что некоторая окрестность обыкновенной точки поверх- ности представляет собой график дифференцируемой функции. Но в п. 2 этого параграфа (см. замечание указанного пункта) было дока- зано это свойство для любой обыкновенной точки гладкой поверхности. Следовательно, в любой обыкновенной точке гладкой поверхности существует касательная плоскость. Замечание 1. Из определения касательной плоскости к по- верхности Ф следует, что касательная прямая в точке Л10 к любой гладкой линии*), расположенной на поверхности и проходящей через 7И0, лежит в касательной плоскости к Ф в точке 7И0. Так как век- торы г„ и rv являются касательными к линиям и и и, проходящим через Л40, то эти векторы располагаются к касательной плоскости в. точке Л1о. Введем понятие нормали к поверхности Ф в точке Л1о. Нормалью к поверхности Ф в точке 7И0 называется прямая, проходящая через Л1о и перпендикулярная к касательной плоскости в М„. Вектором нормали к поверхности в точке 7И0 будем назы- вать любой ненулевой вектор, коллинеарный нормали в 7И0. Пусть Л40— обыкновенная точка гладкой поверхности Ф и неко- торая окрестность Ф этой точки определена с помощью такой век- торной функции r(u, v), что векторы г„ и rv в точке Л10 не коллине- арны. Тогда, очевидно, вектор Л^=[ГИГ^ (5.4) *) Линия L называется гладкой, если она может быть задана с по- мощью векторной функции г {() класса С1, для которой г' (/) 0 (более под- робно см. § 2 гл. 12).
130 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 является вектором нормали к поверхности, а вектор п (5.5) — единичным вектором нормали к поверхности. Замечание 2. Так как по условию поверхность является гладкой, то векторная функция N(u,v) и векторная функция п(и, v), определенные соответственно с помощью соотношений (5.4) и (5.5), будут непрерывными. Таким образом, в некоторой окрестности каждой точки гладкой поверхности существует непрерывное векторное поле нормалей. Естественно возникает вопрос — на всякой ли гладкой поверх- ности в целом существует непрерывное векторное поле нормалей? Вг------------------------------\В' л!------------------------,----- Оказывается, есть поверхности, на которых не существует в целом непрерывного векторного поля нор- малей. Примером такой поверхности может служить так называемый лист Мёбиуса *), изображенный на рис. 5.5. (Эта поверхность получается из пря- моугольника АВВ'А' путем склеива- ния сторон АВ и А'В' таким обра- Рис. 5.5. зом, что при этом совпадают точки А и В', и точки А' и В, см. рис. 5.5). Поверхности, на которых в целом существует непрерывное век- торное поле нормалей, будем называть двусторонними. Поверхности, на которых в целом такого поля не существует, будем называть односторонними. Плоскость, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид — дву- сторонние поверхности, лист Мёбиуса — односторонняя поверх- ность. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь двусторонние по- верхности. 5. Вспомогательные леммы. В этом пункте мы докажем некото- рые нужные для дальнейшего утверждения. Лемма 1. Пусть Л40 — обыкновенная точка гладкой поверх- ности Ф. Тогда некоторая окрестность точки Мо однозначно проектируется на касательную плоскость, проведенную в любой точке этой окрестности. Доказательство. Убедимся, что указанным в лемме свой- ством обладает, например, та окрестность Ф точки 7И0, в пределах которой нормаль в любой точке составляет с нормалью в Af0 угол, меньший тг/4, и которая однозначно проектируется на некоторый круг *) А. Мёбиус—немецкий математик (1790—1868).
§ I) ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ 13i в одной из координатных плоскостей (например, Оху) *). Отметим, во-первых, что нормали в любых двух точках Ф образуют угол, меньший л/2. Далее, пусть Ф не обладает указанным свойством. Тогда для некоторой точки М из Ф можно найти такие точки Р и Q из Ф, что хорда PQ параллельна нормали я, в М (рис. 5.6). Рас- смотрим линию пересечения Ф с плос- костью, параллельной Ог и проходящей через PQ. В силу выбора окрестности Ф часть PNQ этой линии лежит в Ф и представляет собой график дифференци- руемой функции, заданной на отрезке, являющемся проекцией PQ на плоскость Оху. По теореме Лагранжа касатель- ная в некоторой точке N этой части параллельна хорде PQ и, следовательно, параллельна нормали пн в М. Но тогда нормаль в N, перпендикулярная упомяну- той касательной, образует угол л/2 с нормалью в М. Но этого не может быть, рис 5 6 так как нормали в любых двух точках Ф (в том числе и в точках /ИиЛ;) образуют угол, меньший л/2. Полученное противоречие убеждает нас в справедливости леммы. Лемма доказана. Введем понятие полной поверхности. Поверхность Ф назы- вается полной, если любая фундаментальная последовательность точек этой поверхности сходится к некоторой точке поверх- ности Ф. Плоскость, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид — при- меры полных поверхностей. Круг без границы, любое открытое связ- ное множество на сфере — неполные поверхности. Ограниченные пол- ные поверхности и ограниченные замкнутые части полных поверхно- стей мы будем в дальнейшем называть ограниченными пол- ными поверхностями. Будем говорить, что часть Ф имеет размеры меньше 8, если эта часть помещается внутри некоторой сферы, диаметр которой меньше 8. Справедлива следующая лемма. Лемма 2. Пусть Ф — гладкая, ограниченная полная поверх- ность без особых точек. Существует такое 8 > 0, что любая часть *) Возможность выбора такой окрестности Ф вытекает из следующих со- ображений. В предыдущем пункте мы отметили (см. замечание 2), что в не- которой окрестности обыкновенной точки на поверхности существует непре- рывное векторное поле нормалей. Поэтому в достаточно малой окрестности Ма нормали составляют с нормалью в Мп угол, меньший я/4. Мы также устано- вили, что некоторая окрестность Мо однозначно проектируется на координат- ную плоскость. Очевидно, в этой окрестности есть часть, проектирующаяся на некоторый круг в координатной плоскости.
132 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. 5 Ф, размеры которой меньше 3, однозначно проектируется на каса- тельную плоскость, проходящую через любую точку этой части. Доказательство. Допустим, что утверждение леммы неверно. Тогда для любого 8п=1/п, л=1, 2,... можно указать часть ф„ по- верхности Ф, размеры которой меньше 8Л и которая не проектируется однозначно на касательную плоскость в некоторой своей точке. Выбе- рем в каждой части Фл точку Мп и выделим из последователь- ности {7ИЛ} подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке Мо поверхности Ф *). Рассмотрим окрестность точки Мо, удовлетворяю- щую условиям леммы 1. При достаточно большом п эта окрестность будет содержать каждую часть Фл. Но тогда эта часть должна проекти- роваться на касательную плоскость (в любой своей точке), а это проти- воречит выбору частей Фл. Лемма доказана. Справедлива следующая лемма. Лемма 3. Пусть Ф — гладкая, ограниченная, полная поверх- ность без особых точек. Существует такое б^>0, что любая часть Ф, размеры которой меньше б, однозначно проектируется на одну из координатных плоскостей. Доказательство этой леммы проводится в полной аналогии с доказательством леммы 2. Лемма 4. Пусть Ф — гладкая, ограниченная, полная двусто- ронняя поверхность без особых точек. Тогда для любого е>0 можно указать такое б > О, что для косинуса угла у между единичными векторами нормалей в любых двух точках произволь- ной части Ф поверхности, размеры которой меньше б, справедливо представление COSy=l—0£ф, (5.6) где | осф | е. Доказательство. Рассмотрим непрерывное на Ф векторное поле единичных нормалей п (/И) (такое поле существует, так как Ф двусторонняя поверхность). Векторная функция п является равномерно непрерывной, поскольку Ф — ограниченная полная поверхность и по- этому представляет собой ограниченное замкнутое множество. Поэтому для любого е^>0 можно указать такое б 0, что для произвольных двух точек 7И1 и УИ2 поверхности Ф, расстояние между которыми меньше б, выполняется неравенство ^(^-«(^ЖуТе. (5.7) Так как cosy = 1 —^-(п(/И2) —«(MJ)2**), *) Так как Ф — ограниченная полная поверхность, то такую подпоследо- вательность выбрать можно. **) Мы использовали следующие соотношения: п2 (Mi) — 1, п2(М2) = 1, п (Ms) п (ЛД) = cos у, 4 (п (М2) - п (ЛЬ))2 = * (п2 (Мг) - 2п (М2) п (М^у-п2 (Mi)).
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ 133 то, полагая а® = 4(” (^2) — п (MJ)2 и используя неравенство (5.7), мы убедимся в справедливости со- отношения (5.6). Лемма доказана. § 2. Площадь поверхности 1. Понятие площади поверхности. Пусть Ф — ограниченная пол- ная двусторонняя поверхность. Разобьем Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф(-> каждая из которых однозначно проек- тируется на касательную плоскость, проходящую через любую точку этой части *). Обозначим через Д максимальный из размеров час- тей Ф,-, а через о, — площадь проекции Ф, на касательную плоскость в некоторой точке Mi части Ф,-. Составим далее сумму У о, всех ука- занных площадей. ' Сформулируем следующие определения. Определение 1. Чпело ст называется пределом сумм У ст,- i при Д— 0, если для любого е>0 можно указать такое б2>0, что для всех разбиений Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей для которых Д<6, независимо от выбора точек Mt на частях Ф, выполняется неравенство: 11>-а|<е. (5.8) i Определение 2. Если для поверхности Ф существует предел а сумм Уд,- пРи Д - 0, то поверхность называется квадриру- емой, а число а называется площадью поверхности. Наша ближайшая задача состоит в выяснении достаточных усло- вий квадрируемости поверхности. Мы докажем, что гладкие ограни- ченные полные двусторонние поверхности квадратируемы. Попутно мы укажем вычислительный аппарат, с помощью которого можно вычислять площади поверхностей. На первый взгляд было бы естественно подойти к вопросу о площади поверх- ности, используя аппроксимацию поверхности многогранниками. Однако, этот путь не приводит к цели. Мы укажем пример, принадлежащий Шварцу**) и показывающий, что площади вписанных в гладкую поверхность многогран- ников могут неограниченно возрастать при увеличении числа граней и умень- шении их размеров. Пусть Ф — цилиндрический пояс (рис. 5.7). Разобьем Ф окружностями, параллельными основаниям Ф, на п равных частей Каждую из таких окруж- *) Возможность такого разбиения гарантируется леммой 2 предыдущего пункта. **) Г. А. Шварц—немецкий математик (1843—1921).
134 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ 5- ностей разделим на т равных частей так, как это указано на рис. 5.7. На этом же рисунке изображен многогранник Фпт, вписанный в Ф. При любом фиксированном т площадь указанного многогранника Фпт, очевидно, превыша- ет увеличенную в п раз площадь проекции этого многогранника на плоскость основания цилиндра. Так как эта проекция не зависит от п, то за счет увели- чения п при любом фиксированном т площадь многогранника Фпт может быть сделана как угодно большой. 2. Квадрируемость гладких поверх- ностей. Докажем следующую теорему. Теорема 2. Гладкая ограничен- ная полная двусторонняя поверхность без особых точек квадрируема. Доказательство. Пусть на по- верхности Ф может быть введена единая регулярная параметризация. В этом случае радиус-вектор г (М) переменной точки Ф поверхности представляет собой функцию г (и, v) класса С1 *), заданную в некото- рой замкнутой ограниченной области Q плоскости переменных и и v. Частные производные ги и rv функции г (и, v) пред- ставляют собой непрерывные векторные функции, не зависящие от выбора декарто- вой прямоугольной системы координат в пространстве. Поэтому значе- ние о интеграла Ц | [ru G>] I du dv не зависит от выбора декар- товой системы координат в пространстве. Мы докажем, что по- верхность Ф квадрируема и ее площадь равна о. Пусть е — произвольное положительное число, фиксированное в дальнейших рассуждениях. Определим по этому е>»0 число б>>0, исходя из следующих требований: 1) любая часть Ф, поверхности Ф, размеры которой меньше б, проектируется однозначно на касательную плоскость в любой точке части Ф,-; 2) косинус угла у между единич- ными векторами нормалей в любых двух точках части Ф, может быть представлен в виде cos у = 1 — аф(> (5.9) где |аф. |<е/о и ;аф.|<;1. Возможность такого выбора б>0 гарантируется леммами 2 и 4 п. 3 предыдущего параграфа. Рассмотрим произвольное разбиение Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф,-, максимальный размер А которых не превышает б. Так как на Ф существует единая параметризация, то указанному разбиению Ф на части Ф, отвечает разбиение области *) Под -:тим сл'дуе: понимать что каждая компонента функции г (и, V) принадлежит классу С1.
§ 21 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ 135 £2 на части На каждой части Ф, выберем произвольную точку Mi и обозначим через ст, площадь проекции части Ф, на касательную плоскость в М{. Для вычисления ст, поступим следующим образом. Выберем декартову систему координат так, что ее начало совпадает с Mi, ось Ог направлена по вектору нормали к поверхности в Mi, а оси Ох и Оу расположены в упомянутой касательной плоскости. В указанной системе координат поверхность определяется параметри- ческими уравнениями х = х(и, v), у = у(ц, и), г = г(и, v), а вектор [ги г„] имеет координаты { А, В, С}, где Уи У V (5.10) хи Уи xv yv Отметим, что для точек части Ф,, ввиду выбора 6 и ориентации оси Oz, величина С положительна, С > 0. Отметим также, что коси- нус угла уд, между нормалью в точке М части Ф, и осью Oz равен СО8?Л1 = П^1Г (5.U) Ясно, что угол ул! является углом между нормалями в точках М и Л1, части Ф,, и поэтому для него справедливо представление (5.9). Обратимся к интегралу | [гиг„] [ du dv, который, очевидно не в, зависит от выбора декартовых координат в пространстве. Используя положительность С и третью из формул (5.10), получим [гыгг] [ хи уи Хи Vu I х„ У. Уъ I । du dv. (5-12) Применяя к интегралу в правой части (5.12) первую формулу сред- него значения в обобщенной форме, получим (5.13) В. \ / И; ' Уv I М где М — некоторая точка части Ф,. Так как / [гиг „11 \ = 1 Х„ У и I I COS УЛ ' Уи | м (см. 5.10) и (5.11)), а 1 du dv = ст, *), то из формулы в; *) Мы использовали формулу для площади плоской области при переходе от координат (х, у) к координатам (и, и) с помощью соотношений х = х(и, v), у=у{и, V).
136 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. 5 (5.13) и представления (5.9) для cosy^, найдем О/ = ЭД | [r«r^ I du dv - аФ. I I du dv- (5-14) Й(. S2; ' Складывая равенства (5.14) для всех частей Ф,- и учитывая, что V | [rurv] | du dv — ЭД | [rurj | du dv = о, получим » я; Й 2^=»-.S 5$ “ф. I ir«r^i\dudv- (5-15) i i Q- 1 Оценим последнее слагаемое в правой части (5,15). Имеем 2!ЭД«Ф.1клЛ^^ ^ЛЭД|“ф |||па>1!^^< i a. ‘ I а.1 '1 2 И = • 0 = 8. I й/ Отсюда и из равенства (5.15) получим У О/ - о | < е. Таким образом, поверхность Ф квадрируема и ее площадь равна ст. Мы рассмотрели случай, когда на поверхности Ф может быть введена единая параметризация. В общем случае поверхность Ф может быть разбита на конечное число частей, в каждой из которых может быть введена единая параметризация *). После этого площадь поверх- ности можно определить как сумму площадей указанных частей. Теорема доказана. Замечание 1. Пусть поверхность Ф кусочно-гладкая, т. е. составлена из конечного числа гладких ограниченных полных дву- сторонних поверхностей. Очевидно, поверхность Ф квадрируема — ее площадь может быть определена как сумма площадей составляю- щих ее поверхностей. Замечание 2. В процессе доказательства теоремы 5.2 мы уста- новили, что если на поверхности Ф может быть введена единая параметризация и областью задания радиуса-вектора г (и, v) поверх- ности Ф является замкнутая ограниченная область й плоскости (м, г), то площадь о поверхности может быть найдена по формуле о = ЭД I I du dv. (5.16) Q *) Можно воспользоваться, например, леммой 3 п. 3 предыдущего параг- рафа. Согласно этой лемме Ф можно разбить на конечное число частей, каж- дая из которых однозначно проектируется на некоторую координатную пло- скость и тем самым является графиком дифференцируемой функции.
§ 3] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 137 Если х — х(и, г>), у = у (и, v), z = z(u, т>)— параметрические уравнения поверхности, то вектор frurv] имеет координаты {А, В, С}, опреде- ляемые соотношениями (5.10). Поскольку | [г„гт] | = |А42-|-52-|-С2, то формула (5.16) может быть записана в следующей форме: ст = ЭД 1<42 + Я2 + С2 du dv. (5.17) я Если воспользоваться обозначениями Гй = Е, rurv = F, rl = Q и формулой I [Гаг,] I = уrsurl - (rarv)2, то выражение (5.16) для площади поверхности можно записать также в следующей форме: ст = ЭД }/EQ — F2 du dv. (5.18) й Замечание 3. Площадь поверхности обладает свойством адди- тивности: если поверхность Ф разбита кусочно-гладкой линией на не имеющие общих внутренних точек части и Ф2, то площадь ст поверхности Ф равна сумме CTi-J-ct2 площадей частей Фх и Ф2. Это свойство вытекает из представления площади с помощью интеграла и аддитивного свойства интеграла. § 3. Поверхностные интегралы 1. Понятия поверхностных интегралов первого и второго родов. Пусть Ф — гладкая, ограниченная полная двусторонняя поверхность. Пусть на Ф задана функция f(M) точки М поверхности Ф. Обозна- чим через п(М) непрерывное векторное поле единичных нормалей к Ф. Разобьем поверхность Ф кусочно-гладкими кривыми на части Ф; и на каждой такой части выберем произвольно точку 7И;. Введем следующие обозначения: А — максимальный размер частей Ф(, ст, — пло- щадь Ф;, Xt, Zt — углы, которые составляет с осями координат вектор п (Ж,). Составим следующие четыре суммы: /{Ф,, Mt} = S/(4) Стд i (5.19) /{Фр Mt Zt} = 2/^) C0SZiCT<- i (5.20) ЦФ1, Ml, Yi} = (M;) cos YlOi, I (5-21) 7 {Ф/, Mi, Xi} = £ f (Mi) cos Xi<y, (5.22) с
138 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 5 Для каждой из этих сумм вводится понятие предела при А—>0. Мы сформулируем это понятие для сумм (5.19). Для сумм (5.20), (5.21) и (5.22) понятие предела формулируется аналогичным образом. Определение. Число I называется пределом сумм! {Ф,-, А4,} при А -> 0, если для любого е > 0 можно указать такое 6 2> 0, что для любых разбиений поверхности Ф кусочно-гладкими кри- выми на конечное число частей Ф;, максимальный размер кото- рых А меньше 6, независимо от выбора точек на частях Фд выполняется неравенство 11 {Ф;, А1,} —/| <е. Предел I сумм / {Ф,-> Л4г} при А -> 0 называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) по поверх- ности Ф и обозначается следующим образом: /=^/(34)rfa. (5.23) ф Если (х, у, г) —координаты точки М на поверхности Ф, то для f(M) можно использовать обозначение f(x, у, z). В этом случае формулу (5.23) можно записать в виде l=\\f(x, у, z)do. (5.24) ф Пределы сумм /{Фг, Л4г, Z;}, / {Фг, Mit Yt} и / {Ф,-, Л4,-, Xfi при А -> 0 называются поверхностными интегралами второго рода от функции f(M) по поверхности Ф. Для этих интегралов соответственно используются обозначения ^/(3f)cosZcf<j, ^/(Af)cos Yda, ^/(TH)cosXda ф ф ф или обозначения, аналогичные обозначению (5.24). Замечание 1. Из определения поверхностного интеграла пер- вого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Замечание 2. Поверхностный интеграл второго рода зави- сит от выбора стороны поверхности', при изменении ориентации векторного поля единичных нормалей на противоположную все три поверхностных интеграла второго рода меняют знак на противопо- ложный. Это объясняется тем, что в каждой из сумм (5.20), (5.21) и (5.22) значения и о, не меняются при изменении ориентации, а значения косинусов углов, которые составляет нормаль п (34,) с осями координат, меняют знак на противоположный.
S 3] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 139 Замечание 3. После выбора определенной стороны поверх- ности поверхностные интегралы второго рода могут, очевидно, рас- сматриваться как поверхностные интегралы первого рода по поверх- ности Ф соответственно от функций f(M) cos Z(M), f(M) cos Y (Al), f(M) cos X (Al). Действительно, после выбора определенной стороны поверхности cos Z, cos У, cos X представляют собой функции точки М поверхности Ф. 2. Существование поверхностных интегралов первого и вто- рого родов. Пусть поверхность Ф удовлетворяет условиям, сформу- лированным в начале п. 1 этого параграфа. Выберем на Ф опреде- ленную сторону. Согласно замечанию 3 предыдущего пункта после выбора определенной стороны поверхности Ф поверхностные интег- ралы второго рода могут рассматриваться как интегралы первого рода. Поэтому достаточные условия существования мы будем форму- лировать лишь для интегралов первого рода. Справедлива следующая теорема. Теорема 5.3. Пусть на поверхности Ф можно ввести единую параметризацию посредством функций х = х(и, v), у=у(и, г>), z = z (и, v), (5.25) Заданных в ограниченной замкнутой области Q плоскости (и, v) ч принадлежащих классу С1 в этой области. Если функция f (М) = f(x, у, z) непрерывна на поверхности Ф *), то поверхно- стный интеграл первого рода от этой функции по поверхности Ф существует и может быть вычислен по формуле 1 — j J /(Al) da = ЭД f (х (и, v), у (и, v), z (и, v)) У EG —F2 du dv **). (5.26) ф о Доказательство. Нам требуется доказать, что для любого е > 0 можно указать такое б >> О, что для любого разбиения Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф,, для кото- рого Д<б, независимо от выбора точек Л4/ на частях Ф/ будет выполняться неравенство 1 {Ф/( Mt] — ЭД f(x (и, v), у (и, в), z (и, г»)) EG — F2 du dv а <Z в. (5-27) Пусть е —любое фиксированное положительное число. Выберем по этому е > 0 число б* > О так, чтобы выполнялись следующие два условия: *) Понятие непрерывности функции точки М, заданной на некотором множестве {А!} в пространстве, сформулировано в п. 1 § 3 гл. 14 части 1. В рассматриваемом случае роль множества {А1} играет поверхность Ф. **) f (х (и, v), у {и, v), г (и, г)) —функция, полученная посредством супер- позиции функций f (х, у, г) и х=х(и, о), у — у(и, »), z = z(u, 0. В силу тео- ремы о непрерывности сложной функции эта функция непрерывна в области £2.
140 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. 5 1) Для любых двух точек (й1г у,-) и (иг, у,-) области й, находя- щихся на расстоянии, меньшем б*, выполнялось неравенство | VЕ (Hi, vi) Q (щ, Vi) — F2 (Hi, v^ — У E(Ui, Vi)Q(ui, vt) — F2(iti, v{) | < (5.28) где A — положительное число, превосходящее максимум функции ]/(Л4) |, а Р — площадь области й; 2) Для любого разбиения й кусочно-гладкими кривыми на конеч- ное число частей йг, размер которых меньше б*, и для любого выбора точек (и,-, vt) в пределах каждой части йг выполнялось неравенство У, f(x (iii, Vi), у (iti, vA, z (tij, vA) У E (iii, vA Q (ut, vt) — F2 (иь vt) о * — — 5 v)> У(и, v), z(u, у)) У EQ — F2 du dv (5.29) a в котором о* — площади частей Й/. Возможность нужного выбора б* гарантируется свойством равно- мерной непрерывности непрерывной в ограниченной замкнутой области й функции У EG — F2 и свойством интегрируемости непрерывной в об- ласти Й функции f(x(u, v), y(u,v), z (ti, v)) У EG — F2. Определим по б* > 0 число б > 0 так, чтобы любому разбиению поверхности Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф/; размеры которых меньше б, отвечало бы разбиение области й на конечное число частей Й;, размеры которых меньше б*. Возмож- ность выбора такого б гарантируется тем, что поверхность Ф пред- ставляет собой гомеоморфное отображение области Й, и поэтому каждому разбиению Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф/ отвечает разбиение й кусочно-гладкими кривыми на конеч- ное число частей Й,. При этом, если максимальный размер частей Ф; стремится к нулю, то и максимальный размер частей й, также стре- мится к нулю. Рассмотрим теперь разбиение Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Фг, максимальный размер Д которых удов- летворяет неравенству Д < б, где б > 0 выбрано по б* указанным выше образом. Составим для этого разбиения сумму /{Ф^.ТИД, вос- пользовавшись ее выражением (5.19). Так как площадь а, части Фг равна У EG — F2 du dv, то, обозначая координаты точки Mt в части Ф,- через (х (ut, v^, у (иь Vi), z (uit v;)), получим 2(Ф,, Mi) = ^f(х(щ, vi), y(ub v^, z(iii, Vi))\\yEG — F2dudv. i
§ 3] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 141 Используя теорему о среднем для интегралов в правой части послед- него соотношения, мы можем, очевидно, следующим образом преоб- разовать это соотношение: /{Ф,, уИ,} — ^/(х(и, и), У (и, v), z (и, и)) У EQ — F2 du dv = о j(«<> ®<), ?(«<•> ».)) х X У Е (uit Vi) G (нг, Vi) — F2 (iii, Vi) a* — \f(x (и, v), у (и, v), z (и, »)) X X У EG — vi)> y(lti’ vi)’ z(ut> vi)) X X [У E (Hi, i/i) G (u;, Vi) - F2 (fii, Vi) -УЕ (ub v^ G (uh v^ - F2 (ub г»г)] of. Из последнего равенства с помощью неравенств (5.28) и (5.29) мы легко получим неравенство (5.27). Теорема доказана. Замечание 1. Очевидно, для вычисления поверхностного интег- рала второго рода ^/(х, у, z) cos Z do после выбора определенной ф стороны поверхности Ф можно использовать следующую формулу: $ $/(*> У> z) cos Zdo = ф = J jj/(x (и, и), У (.п> ‘°)> z (H> v) У EG — Е2 cos Z du dv (5.30) Й Аналогичные формулы справедливы для двух других поверхностных интегралов второго рода. Замечание 2. Пусть поверхность Ф является графиком функ- ции z — z (х, у), принадлежащей в области D своего задания классу С1. Выберем на поверхности Ф ту сторону, для которой единичный век- тор нормали п(М) поверхности составляет с осью Oz острый угол, п „ \ дг dz п В этом случае cos Z — —, где » = ъ~, о = . Пусть на поверх- |/1+р2-Н2 дх ду ности Ф задана непрерывная функция R(x, _у, z). Тогда, учитывая, что в качестве параметров и и v на поверхности берутся х и у (поверх- ность Ф определяется параметрическими уравнениями х = х, у=у, z = z(x, у)), и У EQ — F2 = У 1 4- р2 + q2), мы можем переписать фор- мулу (5.30) следующим образом: 5 (х> У> z) cos Z do = WR (х, у, z (х, _у)) У l+p2 + q2 X Ф D Х УтТУ+f2 dxdy=\^R (х, у, z (х, у)) dx dy.
142 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. 5 Это замечание разъясняет следующее обозначение для поверхностного интеграла второго рода: J J R (х, у, z) cos Z da = R (x, у, z) dx dy. (5.31) ф ф Отметим, что обозначение (5.31) используется и в случае, когда Ф не является графиком функции z = z(x, j). Мы будем рассматривать поверхностные интегралы второго рода следующего вида: J J (Р cos X 4- Q cos Y 4- R cos Z) da. Ф Такие интегралы мы будем обозначать также следующим образом: $ j Р dy dz + Q dz dx 4- R dx dy. ф Замечание 3. Понятия поверхностных интегралов первого и второго родов естественно распространяются на случай, когда поверх- ность Ф является кусочно-гладкой. Для таких поверхностей, очевидно, также справедлива доказанная в этом пункте теорема существования. 3. Поверхностные интегралы второго рода, не зависящие от выбора декартовой системы координат. Из определения поверхностных интегралов первого и второго родов следует, что интеграл первого рода не зависит от выбора декартовой системы координат в пространстве, тогда как интегралы второго рода зависят от ее выбора, ибо при изменении системы координат меняются значения косинусов углов, которые составляет нормаль п (Л4) с осями координат. В случае, когда на поверхности задана векторная функция, можно указать более общий подход к понятию поверхностного интеграла второго рода, позволяющий в определенном смысле говорить о незави- симости значения этого интеграла от выбора декартовой системы координат в пространстве. Итак, пусть на гладкой ограниченной полной двухсторонней поверхности Ф задана непрерывная векторная функция г (/И). Выберем на Ф определенную сторону и обозначим через п (Л4) — векторное поле единичных нормалей к Ф. Очевидно, скалярное произведение г(Л4)п(Л4) представляет собой непрерывную скалярную функцию, заданную на поверхности Ф и поэтому не зависящую от выбора декартовой системы координат в пространстве. Следовательно, поверхностный интеграл первого рода от этой функции J Jr(iW)n(41)rfa ф не зависит от выбора декартовой системы координат в пространстве. Обратимся к координатной записи скалярного произведения г (7Й) п (Л4),
§ 3] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 143 считая при этом, что вектор г(М) имеет координаты Р, Q, R. Так как координаты вектора п (Л4) равны cos X, cos У, cos Z, то Г (7И) п (7И) = Р cos X + Q cos У Ц- R cos Z и поэтому J j г (М) п (7И) de = (Р cos X -f- Q cos У + R cosZ)da. ф ф Интеграл в правой части последнего равенства представляет собой сумму трех поверхностных интегралов второго рода и обычно называет- ся общим поверхностным интегралом второго рода. Следовательно, интеграл г (М) п (М) da также можно называть ф общим поверхностным интегралом второго рода. Замечание 1. Если на поверхности Ф заданы три скалярные функции Р, Q и R, то интегралу (Р cos X + Q cos У + R cos Z) da ф можно придать инвариантный (не зависящий) от системы координат вид, считая Р, Qh R координатами некоторой векторной функции г (ЛГ), задан- ной на поверхности, и записывая этот интеграл в форме г (Л4) п (M)da. ф Отметим, что тем самым мы навязываем определенный закон преобра- зования подынтегрального выражения при переходе к новой декартовой системе координат. В этом случае мы получим новые координаты вектора г(М), которые вычисляются по известным из аналитической геометрии правилам. Однако такой инвариантный вид записи поверх- ностного интеграла очень удобен в различных приложениях. Замечание 2. Отметим, что общий поверхностный интеграл второго рода ^r(M) n(M)da численно равен величине, называемой ф в физике потоком вектора г(М) через поверхность Ф.
ГЛАВА 6 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ В этой главе рассматриваются скалярные и векторные поля. Исследуются основные операции теории поля. § 1. Преобразования базисов и координат. Инварианты 1. Взаимные базисы векторов. Ковариантные и контравари- антные координаты векторов. Пусть г,-, /=1, 2, 3—базис векто- ров трехмерного пространства *) (для плоскости индекс I прини- мает значения 1 и 2). Базис rk, k=\, 2, 3, называется взаимным для базиса г,, если выполняются соотношения **) „ ( 1, i = k, r'r в?=(о, 1^4,/'4=1,2,3' <6Л> Символ 6* называется символом Кронекера ***). Возникает вопрос о существовании и единственности взаимного базиса. Ответ на этот вопрос утвердительный: для данного базиса г-i существует единственный взаимный базис г*. Убедимся, например, что вектор г1 определяется единственным образом. Согласно (6.1) этот вектор, ортогонален векторам г2 и гз- Этим однозначно определяется линия действия вектора г1. Затем из условия ^r1 = 1 единственным образом определяется сам вектор г1. Аналогично однозначно строятся векторы г2 и г3. Чтобы убедиться, что векторы г1, г2, г3 образуют базис, достаточно доказать, что г’г2г3 0. Согласно теореме о произведении определителей rtr} (Г]Г,Г:!) (г1г2г3) = г\г2 ГуГ3 Г2Г2 Г2Г3 Г3Г2 Г3Г3 = 1. (6.2) 1 о о 0 1 О 0 0 1 Напомним, что векторы гг, г2, г3 образуют базис, если они неком- планарвы, г. е. если их смешанное произведение гг г., г3 не равно нулю. **) Всюду в этой главе символом ab обозначается скалярное произве- дение векторов а и Ъ, символом abc — смешанное произведение векторов а, Ь и с, символом — векторное произведение векторов а и Ь. ***) Л. Кронекер — немецкий математик (1823—1891).
§ IJ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ. ИНВАРИАНТЫ 145 Так как rtr2r3 Ф 0 (векторы гь г.2, г3 образуют базис), то из соотно- шения (6.2) вытекает, что и г1г2г3 ф 0. Замечание 1. Если базис Г; ортонормирозанный, то взаим- ный базис гк совпадает с данным базисом г(-. Легко убедиться, что векторы г* взаимного базиса в трехмерном пространстве могут быть найдены с помощью соотношений ri = 1ZZ?J Г2 = гз = [Q£sl Г1Г2Г3’ Г,Г2Гз' ГхГ2Гз" Пусть г,-, гк — взаимные базисы, а х — произвольный вектор. Раз- лагая вектор х по базисным векторам, получим X = ХгГ1 -ф Х.2Г2 4- xsr3, X = Х1Гх 4- ХгГ2 + Х3Г3. (6.3) Числа хь х2, х3 называются ковариантными координатами век- тора X, а х1, х2, х3 — контравариантными координатами х. Эти наименования будут разъяснены в следующем пункте. Для сокращения записи формул, в которых фигурируют одно- типные слагаемые (примером таких формул могут служить соотно- шения (6.3)), мы будем пользоваться в дальнейшем соглашением о суммировании, которое заключается в следующем. Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей. Если в этом выражении имеются два одинаковых буквенных индекса, из которых один верх- ний, а другой нижний, то считают, что по этим индексам произво- дится суммирование: индексам последовательно даются значения 1, 2, 3, а затем складываются полученные слагаемые. Например, г;г' = ххг' 4- хгг2 4- х3г3, = 6] 4- б* 4- б3, gikx'x* = (gikxlxK) -г (g2,,x2xk) 4- (a’;«x3x*) = = (gn*1*1 4- gv!xxxi + gia*1*3) -b + (йп*2*1 -h g22*2*2 + g23x2x3) 4- + teal-*-’3-*7' + g:i2*3*2 + gaa*3*3)- С помощью соглашения о суммировании формулы (6.3) записыва- ются следующим компактным образом: х = хр-‘, х=^х‘Г[. (6.4) Замечание 2. Верхние и нижние одинаковые индексы, о кото- рых говорилось в соглашении о суммировании, обычно называются индексами суммирования. Ясно, что индексы суммирования могут обозначаться любыми буквами; при этом не изменится выражение, в которых они фигурирую; Например, ххг1 и xkrk представляет собой одно и то же выражение. Замечание 3. Все рассуждения этого пункта относились к случаю трехмерного пространства. В двумерном случае буквенные индексы принимают значения I и 2.
[46 .. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ, ПОЛЯ (ГЛ. 6. , Получим явное выражение ковариантных и контравариантных координат вектора. Для этого умножим скалярно первое из равенств (6.4) на гк, а второе на гк. Учитывая затем соотношения (6.1),. найдем xr k = Xi (r‘r к)=х&=xk, Итак, Xi — хгь x' = xr’. (6.5) С пЬмошью соотношений (6.5) запишем формулы (6.4) в следующем виде: х=(хг,)г‘, х=(хг‘)гг. (6.6) Соотношения (6.6) называются формулами Гиббса*). Обратимся еще раз к вопросу о построении взаимных базисов. С помощью формул (6.6) получим rft=(rAn)^. (6.7) Введем обозначения gki=rkri, gkt^rkrl. (6.8} С помощью этих обозначений перепишем соотношения (6.7) следую- щим образом: r* = g*V;, rk = gkir‘. (6.9) Итак, для построения базиса гк по базису г< достаточно знать мат- рицу (gkt), а для построения базиса rk по базису г1 достаточно знагь матрицу (gki)- Докажем, что эти матрицы взаимно обратны. Для доказательства умножим первое из равенств (6.9) скалярно на г7-. Учитывая соотношения (6.1), получим Эти соотношения показывают, что матрицы (§*') , и (£*г) взаимно обратны. Так как элементы обратной матрицы могут быть вычислены через элементы данной матрицы, то ясно, что с помощью соотно- шений (6.9) решается вопрос о построении взаимных базисов. 2. Преобразования базиса и координат. Пусть г, и г1, /=1, 2, 3, — взаимные базисы, а г,- и г1' — новые взаимные базисы. Используя соглашение о суммировании, запишем формулы пре- образования базисных векторов. Имеем: 1) формулы перехода от старого базиса г, к новому г,- и фор- мулы обратного перехода: ri,=bii,rh r.^Wr.^ (6.10) *) Д. У. Гиббс —американский физик-теоретик (1839 —<1903).
§ 1J ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ. ИНВАРИАНТЫ 147 2) формулы перехода от старого базиса г1 к потому г1' и фор- мулы обратного перехода г‘'=Ь-г1, /,/'=1,2,3. (6.11) Так как преобразования (6.10) взаимно обратны, то матрицы (/»'.,) и р'') взаимно обратны. По аналогичным соображениям вза- имно обратны и матрицы (b‘t ) и (#'). Докажем, что матрицы (b^) и (/>'-) совпадают. Тем самым будет доказано совпадение матриц (blL ) и \Ь\ ). Для доказательства ум- ножим скалярно первое из равенств (6.10) на гк, а второе из па- венств (6.11) на Г*-. Учитывая затем соотношения (6.1), найдем rlrk- = b\' {r‘'rk-} = b\-$k' = Из этих соотношений получим fc‘, = r,,rz, (6.12) Ь^ — П-г1. (6.13) Поскольку правые части соотношений (6.12) и (6.13) равны, то равны и левые. Иными словами, Ь^ — Ь'у, а это и означает совпа- дение матриц (/>;-) и (/>/<). Отметим, что элементы b‘i' матрицы (b1.,J могут быть вычислены по формулам (6.12). Мы можем теперь утверждать, что для перехода от базиса rit г1 к базису Г/', г1' достаточно знать лишь матрицу (/»/-) перехода от базиса гг к базису г,- (матрица (b1, ) вычисляется по матрице (/>/-))• Приведем полную сводку формул преобразований базисных век- торов: „=«>,. | (6 |4) r''==7>fr', r‘ = bгГ1'. ) Перейдем к выводу формул преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Пусть xt- — ковариантные координаты х в базисе г,-, г1'. Тогда, согласно (6.5), имеем Х,-=ХГц. Подставляя в правую часть этого соотношения выражение для Гц из формул (6.14), найдем Xi- = х (ЬгГ,) — b‘i' (xrj = bi'Xi-
148 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 6- Итак, формулы преобразования ковариантных координат вектора при переходе к новому базису имеют вид Xi'=b‘i’Xi. (6-14') Мы видим, что при переходе к новому базису ковариантные коорди- наты вектора х преобразуются с помощью матрицы прямого пере- хода от старого базиса к новому. Это согласование преобразований и объясняет наименование «ковариантные *) координаты вектора». Подставляя в правую часть соотношения х1’— хг1’ выражение для г‘‘ из (6.14), получим после преобразований следующие формулы: х‘‘=Ь\х1. (6.15) Мы видим, что при переходе к новому базису контравариантные координаты вектора х преобразуются с помощью матрицы ) обратного перехода от нового базиса к старому. Это несогласование преобразований и объясняет термин «контравариантные **) координаты вектора». 3. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор линейного оператора. Мы будем называть инвариантами выраже- ния, не зависящие от выбора базиса. Например, значение скалярной функции в данной точке представляет собой инвариант. Инвариан- том является вектор-объект, не зависящий от выбора базиса. Ска- лярное произведение векторов также представляет собой инвариант. В этом пункте мы познакомимся с некоторыми инвариантами линейного оператора. Пусть А — произвольный линейный оператор, определенный на векторах трехмерного евклидова пространства ( г. е. А(аХ^Р_у) = а Ах+Р Ау для любых векторов х и у и любых вещественных чисел а и р). Докажем, что выражение г'Аг(=г,Аг' ***) (6.16) представляет собой инвариант. Нам нужно доказать, что при переходе к другому базису Гу, гг будет справедливо равенство г1 Аг, = г1'АГг. (6.17) Пусть г,-, г1' — новый базис и — матрица перехода от базиса г,, г‘ к базису г,-, г''. Имеем *) Ковариантный — согласованно изменяющийся. **) Контравариантный —противоположно изменяющийся. ***) В справедливости равенства г'Аг; = г(Аг‘ можно убедиться следующим образом. Имеем, согласно (6.9), rl = g,krk, ri — gur1. Поэтому, учитывая, что матрицы (g‘ft) и (gn) взаимно обратны и симметричны, получим г'Ar i = ё^ёи^Аг1 — tfrkAf‘ = rhArk = r;4r‘.
§ II ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ. ИНВАРИАНТЫ 149 Подставляя эти значения для г,- и г‘ в выражение г'ЛГ/, получим г1 Ar i — ( b^blk, yk 'Аге. (6.18) Так как (#7^) = 6‘k„ то из (6.18) получаем г' Art = &',гк'Аге = r‘'Ari'. Итак, равенство (6.17) доказано, а следовательно, доказана и инва- риантность выражения г'Лгь Инвариант г'Лг,- линейного оператора А мы будем называть дивергенцией этого оператора и будем обозначать символом div А. Таким образом, div А — г'Аг, = г,Лг‘. (6.19) Замечание. В данном базисе г,-, г‘ линейный оператор может быть задан с помощью матрицы, называемой матрицей линейного оператора. Эта матрица представляет собой матрицу коэффициен- тов а* разложения векторов Лг,- по базису rk (можно, конечно, рас- сматривать матрицу коэффициентов разложения векторов Аг‘ по базису г*): Art = aArk\ al — г’Аге (6.20) Дивергенция матрицы А может быть выражена через элементы мат- рицы (а^). Именно div А = al = aj -ф а?. (6.21) Чтобы убедиться в справедливости формулы (6.21), достаточно под- ставить выражение (6.20) для Лгг в выражение (6.19) для диверген- ции и воспользоваться соотношением г'Гь = 6(. п к Докажем, что выражение [г;Лг'] = 1г‘Ап1 *) (6.22) также представляет собой инвариант. Нам нужно доказать, что при переходе к другому базису г,-, г1' будет справедливо равенство [Г/Лг'] = [П'Лг;]. (6.23) Пусть Ге, г1' — новый базис и (bl,) — матрица перехода от базиса г,, г‘ к базису Ге, г1'. Имеем = г1 = Ь‘к,гк'. *) В справедливости равенства [г,Аг‘] = |г‘Лг;| можно убедиться следую- щим образом Имеем, согласно (6.9), rf = g‘*rfe, n=gurl. Поэтому, используя взаимную обратность и симметричность матриц и (gi;), получим (г'Лг,1=g‘kgu Лrzj = lr^Ar‘1 =-- [rkArvl = [г;Лг'].
150 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ (ГЛ. 6 Подставляя эти значения для и г1 в выражение [riAr'l, получим [МИ = (b‘:b‘k.) [reAr^\. (6.24) Так как = б£„ то из (6.24) получаем [rjAr1] = [ГгАг*'} = [г г Ar1']. Итак, равенство (6.23) доказано, а следовательно, доказана и инва- риантность выражения [г^АН]. Инвариант [г,Аг'] линейного оператора А мы будем называть ротором этого оператора и обозначать символом rot А. Таким образом, rot А = [пАг1] = [rxAr«] + [r2Ar2] + [г3Аг3]. (6.25) Укажем выражение для дивергенции и ротора линейного опера- тора А для случая ортонормированного базиса i, J, k. Так как ~в этом случае взаимный базис совпадает с заданным, то, согласно формулам (6.20), элементы матрицы оператора А могут быть найдены по формулам Оц — iAif an=jAi, а31 — kAi, «12 = iAJ, «22 ~JAj, «зг = kAj, a13 = iAk, a23—JAk, a33 = kAk, (6.26) (в отличие от общего случая, мы обозначили элементы матрицы оператора А символами ат1 вместо af). Для дивергенции оператора А получим следующее выражение: з div А = У ан — ап + аг2 а33 = iAi +JAJ ф- kAk. (6.27) i=i Найдем выражение для ротора оператора А. Так как в случае орто- нормированного базиса взаимные базисы совпадают, то из (6.25) для rot А получаем rot А = [Mi] + [JAJ] ф [ЛАЛ]. (6.28) Вычислим первое векторное произведение [Mi]. Поскольку At — — «iii + «2iJ + «зЛ т° [Mi] = [ii] a2i [VI 4~ «з1 [^] = — «з1У 4“ «21&- Совершенно аналогично получаются формулы [УД/] = a32i — a12k, [ЛАЛ] = — a^i 4- «хзУ- С помощью полученных формул и соотношения (6.28) для rot А найдем rot А — (азг — ^23) ~Ь («1з — «з1)У 4* («21 — «1г) (6.29)
§ 2] ' ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ 151 ; § 2.Основные понятия и операции, связанные со скалярным и векторным полем 1. Понятия скалярного и векторного поля. Пусть Й — область на плоскости или в. пространстве. ; Говорит, что д области Й задано скалярное поле, если каждой точке М из Й ставится в соответствие по известному закону некоторое число и(М). ; Отметим, что понятия скалярного поля и функции, заданной в области Й, совпадают. Обычно используется следующая термино- логия; скалярное поле задается с помощью функции и(М). Понятие векторного поля вводится в полной аналогии с поня- тием скалярного поля; если каждой точке М области Й ста- вится в соответствие по известному закону некоторый вектор то говорят, что в области й задано векторное поле. Мы будем использовать терминологию: векторное поле задается с помощью векторной функции р(М). Поле температур внутри нагретого тела, поле плотности массы — примеры скалярных полей. Поле скоростей установившегося потока жидкости, поле магнитной напряженности — примеры векторных полей. 2. Дифференцируемые скалярные поля. Градиент скалярного поля. Производная по направлению. Мы уже отметили, что поня- тия скалярного поля н(Л1) в области Й и функции, заданной в этой области, совпадают. Поэтому мы можем определить дифференци- руемость скалярного поля как дифференцируемость функции, задающей это поле. Для удобства мы сформулируем понятие дифференци- руемости поля, используя терминологию, несколько отличную от обычной. Будем называть линейной формой / (Дг) относительно век- тора Дг скалярное произведение этого вектора на некоторый, не зависящий от Дг вектор g. Будем также использовать обозначения: р = р (М, /И') — расстояние между точками 7И и М', &Г = ММ'— вектор, соединяющий точки М и М’, Mi = u (ЛГ)— и (М)— приращение поля в точке М. Сформулируем следующее определение. Определение 1. Скалярное поле и (М) называется диффе- ренцируемым в точке М области 42, если приращение поля Ьи в точке М может быть представлено в следующей форме: Дп=/(Дг) + о (р), (6.30) где f (hr) представляет собой линейную форму относительно век- тора &г. Соотношение (6.30) мы будем называть условием дифференцируе- мости полй и (Л4) в точке М. Замечание 1. Так как линейная форма f (Дг) представляет собой скалярное произведение g&r, где g—не зависящий от Дг
152 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ (ГЛ 6 вектор, то условие (6.30) дифференцируемости скалярного поля и (М) .в точке М может быть записано в следующем виде: Ди = g- hr+о (р). (6.31) Докажем, что если скалярное поле и (/И) дифференцируемо в точке Л1, то представление (6.30) (или (6.31)) для приращения Ди этого поля в точке М единственно. Пусть Ди = g • Дг + °i (р) и \u = h- Дг-фо2 (р) (6.32) — два представления приращения Ди в точке М. Из формул (6.32) для Дг^О получаем соотношение (^- ft) (6-33) в котором е = —единичный вектор, а о (р) = о2(р)—ог (р). Так как <гДг^~""р^ — бесконечно малая величина при р—>-0, то из (6.33) следует, что (g—h)e — 0 для любого е, т. е. g=h. Единственность представления (6.30) доказана. Мы будем говорить, что скалярное поле и (/И), заданное в области Q, дифференцируемо в этой области, если оно дифференцируемо в каждой точке области Q. Определение 2. Градиентом в точке А4 дифференцируе- мого в этой точке скалярного поля и (714) называется вектор g, определенный соотношением (6.31). Обозначается градиент скалярного поля символом grad и. Замечание 2. Сформулированное выше определение дифферен- цируемости скалярного поля удобно тем, что оно имеет инвариант- ный, не зависящий от выбора системы координат характер. Поэтому градиент скалярного поля представляет собой инвариант этого поля. Замечание 3. Отметим следующее важное обстоятельство: если скалярное поле и (Л4), заданное в области Q, дифференцируемо в этой области, то градиент grad и этого поля определен в каж- дой точке Q и, очевидно, представляет собой векторное поле, заданное в й. Замечание 4. Для скалярного поля вводится понятие поверхно- сти уровня (линии уровня для плоского поля), которая представляет собой множество точек, на котором значения поля и (Л4) одинаковы. Градиент поля в точке М ортогонален поверхности уровня в этой точке. Читатель легко убедится сам в справедливости этого заме- чания. Используя обозначение grad и для градиента скалярного поля, перепишем соотношение (6.31) в следующей форме: Ди — grad и • Дг -J- о (р). (6.34)
§ 2): ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ 153' Отметим, что слагаемое grad и-Аг обычно называется дифферен- циалом du скалярного поля. Таким образом, rfa = grad и • Аг. (6.35) Договоримся называть дифференциалом dr приращение Аг радиуса- вектора г = ОМ, \г — ОМ'— ОМ. Тогда формула (6.35) для диффе- ренциала du скалярного поля может быть записана в виде du — grad и dr. (6.36) Пусть в области Q заданы два дифференцируемых поля и(М} и v (М). Справедливы следующие соотношения: grad (и zt v) = grad и zt grad v, grad((ro) = “grad'u + 'vgrad и, (o.o/) , / u\ egrad u — и grad v , , grad s---- (при v 0). Если F — дифференцируемая функция, то grad F(u) = Fr («) grad u. (6.38) Вывод формул (6.37) и (6.38) однотипен. Для примера убедимся в справедливости второй из формул (6.37). Имеем, используя формулу (6.34) и непрерывность функции и(М), A (iro) — и (АГ) v (44') — и (44) v (44) = = и (TH') A v + v (М) А и = = (и (М) grad v -j-v (44) grad и) А г Ц- о (р). Из этих соотношений вытекает, что приращение &(uv) может быть представлено в форме (6.31). Поэтому uv — дифференцируемая функция и grad (uv) = u grad 'u-f-'ugrad и. Вторая из формул (6.37) доказана. Введем понятие производной по направлению для скалярного поля. Пусть поле и (44) задано в области Q, 44 — некоторая точка Q, е — единичный вектор, указывающий направление в точке 44. Пусть да- лее 44' — любая точка из й, отличная от 44 и такая, что вектор ММ' коллинеарен вектору е. Расстояние между 44 и М' обозначим через р. Если существует предел lim А и о—-О р (Л и = и (44') — и (44)), то этот предел называется производной поля и в точке 44 по направлению е и обозначается символом ~. Таким образом, -^ = lim Au. (б39) де р—>0 р '
154 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. в Справедливо следующее утверждение. Пусть поле и(М) дифференцируемо в точке М. Тогда производ- ди „ , ная поля и в этой точке по любому направлению е сущест- вует и может быть найдена по формуле би . -^^gradu-e. (6.40) Докажем это утверждение. Пусть е — любое фиксированное направле- ние и пусть точка М' берется так, что вектор Дг=Л4/И' коллинеарен е. Ясна, что Дг = ре. Подставляя значение Дг в соотношение (6.34), найдем • Д« = (grad и • е) р -ф о (р). Отсюда получаем формулу -y- = gradM-e + -^-. (6.41) Из соотношений (6.39) и (6.41) вытекает формула (6.40). Утверждение доказано. Найдем выражение градиента дифференцируемого скалярного поля, считая, что в пространстве выбран ортонормированный базис i, J, fe, с которым связана декартова пря- моугольная система координат Oxyz. Так как grad » = /(grad и • i) +y(grad и j) + . , . ди ди ди ди ди 4- к (grad и • k) и зу = j-, -5J- = д-, 5j- = 1 Vb 'di дх' dj ду ’ dk = ~, то с помощью соотношения (6.40) получим j . ди . , ди . . ди grad«=i -д-4-/^—1-fe д-. ь дх 1 J ду 1 дг С помощью выражения (6.40) для производной по направлению получаем картину распределения значений произ- поля и(М) в плоской области Q в дан- ной точке Л1. Пусть grad и 0 (если grad« = O, то из (6.40) вытекает, что ^ = 0 для любого е). На векторе grad и как диаметре (рис. 6.1) построим окружность С. Построим также окружность С*, равную С и касающуюся ее в точке М. Пусть е — произвольное направление. Проведем через М полупрямую по направлению вектора е. Если эта полупрямая касается окружностей С и С*, то = 0 (вектор е орто- гонален grad и). Если же эта полупрямая пересекает С или С* в точке следующую наглядную водных по направлению
§ 2) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ 155. N, то равно длине MN, взятой со знаком-)-, когда /V лежит на С, и со знаком —, когда N лежит на С*. Для поля в пространстве окружности С и С* должны быть заменены сферами. 3. Дифференцируемые векторные поля. Дивергенция и ротор векторного поля. Производная векторного поля по направлению. Пусть в области й трехмерного евклидова пространства задано вектор- ное поле р(М). В дальнейшем будем использовать обозначения: Аг—ММ', Ар=р(М')—р(М). Сформулируем следующее определение. Определение 3. Векторное поле р (Л4) называется дифферен- цируемым в точке Л1 области й, если приращение поля Ар в точке М может быть представлено в следующей форме: Ар — ААг-\-о(\ Аг |), (6-42) где А—линейный оператор, не зависящий от Аг (не зависящий от выбора точки /И'). Соотношение (6.42) мы будем называть условием дифференцируе- мости поля р (7И) в точке М. Докажем, что если векторное поле р (Л4) дифференцируемо в точке Л4, то представление (6.42) для приращения Ар этого поля в точке М единственно. Пусть Ар — А Аг 4- Oj (| Аг |) и Ар = В Аг + о2 ([Аг |) (6.43) — два представления приращения Ар в точке М. Из формул (6.43) при Аг 0 получаем соотношение (А-В)е = -^^-, (6.44) в котором е = -j-r—- — единичный вектор, о (| Ar |) = о2 (| Ar |) — Oj (| Аг |). Так как —бесконечно малый вектор при Аг->0, а е — про- извольный единичный вектор, то из (6.44) следует, что (А — В)е — О для любого е, т. е. А—В. Единственность представления (6.42) доказана. Будем говорить, что векторное поле р(М), заданное в области й, дифференцируемо в этой области, если оно дифференцируемо в каждой точке области Й. Введем понятие производной по направлению для векторного поля р(М). Пусть поле р(М) задано в области Й, /И —некоторая точка Й, е — единичный вектор, указывающий направление в точке /И. Пусть далее М’ — любая точка из Й, отличная от М и такая, что вектор ММ' коллинеарен вектору е. Расстояние между точками М и М! обозначим через р.
1Ь6 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ (ГЛ. б Если существует предел lim Ар р —О р (Др — р {М')—р(М)), то этот предел называется производной поля р(М) в точке М по направлению е и обозначается др символом -4—. де Таким образом, |Р=Ит Др (645) де р— 0 р v ’ Справедливо следующее утверждение. Пусть поле р (Л4) дифферен- цируемо в точке Л4 области Q. Тогда производная поля р в этой точке по любому направлению е существует и может быть найдена по формуле = (6.40) где А—линейный оператор, определенный соотношением (6.42). Докажем это утверждение. Пусть е — любое фиксированное на- правление и пусть точка М' берется так, что вектор Дг = ре и | Дг | = р. Подставляя это значение Дг в соотношение (6.42) и используя свойства линейного оператора, найдем Др = р Ае Д- о (р). Отсюда получаем формулу = (6.47) Р Р v 7 Из соотношений (6.45) и (6.47) вытекает формула (6.46). Утверждение доказано. Пусть р (/И) — дифференцируемое в точке М области Q поле. Тогда Др = ААг 4- о (| Дг |). Найдем матрицу линейного оператора А для случая ортонормиро- ванного базиса i, J, k. Мы будем считать, что с этим базисом связана декартова прямоугольная система координат Oxyz. Обозначим через Р, Q и R координаты векторного поля р(М) в базисе i, j, k. Очевидно, согласно формуле (6.46), fy-fy-Ai д-Р-дЯ—м дР- — дР-—АЪ di ~ дх~ ' д/ ~ ду~dk~ дг~ЛЯ‘ Из этих формул и из соотношений (6.26) для матрицы коэффициен- тов линейного оператора в ортонормированном базисе I, j, k
§ 2] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ 157 следует, что матрица А рассматриваемого оператора А имеет вид 1дР дР дР ' дх ду дг dQ dQ dQ дх ду дг dR.dR.dR \дх ду дг Введем понятие дивергенции и ротора дифференцируемого в обла- сти Й векторного поля р(М), т. е. такого поля, приращение Ар которого в каждой точке М области й может быть представлено в виде Ар = А Аг -ф о (| Аг |), причем оператор А, вообще говоря, меняется при переходе от одной точки области й к другой. Иными словами, оператор зависит от точки М и не зависит, конечно, от Дг. Назовем дивергенцией и ротором поля р (Л1) в точке М обла- сти й дивергенцию и ротор линейного оператора А. Таким обра- зом, по определению div р = div A, rot р = rot А. (6.49) Замечание. При наших предположениях о дифференцируемости поля р(Л4) в области й дивергенция divp и ротор rotр определены в каждой точке Й. Поскольку эти объекты являются инвариантами (не зависят от выбора базиса), то, очевидно, divp представляет собой скалярное поле, a rotp — векторное поле в области й. Найдем выражения дивергенции, ротора и производной по направ- лению для дифференцируемого векторного поля р (Л4), считая, что в пространстве выбран ортонормированный базис i, J, k, с которым связана декартова прямоугольная система координат Oxyz. При этом, как и выше, будем считать, что поле р (М) имеет координаты Р, Q, R в базисе i, j, k. Так как матрица А линейного оператора А определяется в рас- сматриваемом случае соотношением (6.48) и по определению divp = = div A, rotр = rot А (см. (6.49)), то, согласно формулам (6.27) и (6.29), получим (6.50) \ду дг у 1 ' \дг дх ду ) (6.51) Для вычисления производной векторного поля р(Л4) по направле- нию е воспользуемся формулой (6.46) и свойствами линейного опе- ратора.
158 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ |ГЛ 6 Пусть е = i cos a 4-/cos 0 Ц- k cos у *).Тогда, согласно (6.46), получим = Ле = cos a/li + cos 04y-|-cosy4fc = др , одр , др = cosa^ + cos₽^ + cosY^ = = cos а н- + cos 0 ~ cos у . дх 1 г ду 1 ' дг Таким образом, производная может быть вычислена либо по формуле = cos а + cos 0 -|- cos у (6.52) де дх 1 ' ду г г дг ’ ’ либо, учитывая, что Р, Q, R— координаты р(М), по формуле др 1др , ЭР а , дР \ . , 4- = з- cos a + =- cos 0 + cos V + де \дх 1 ду г 1 дг г/ 1 . /д(} dQ о , dQ \ 1 । 4- hr cos a 4- д— cos 0 4- cos у /4- 1 \дх 1 ду г 1 дг ' 1 [dR dR „ . dR \ . + cos « + cos 0 + ^cos yj ft. (6.53) 4. Повторные операции теории поля. Будем считать, что в об- ласти Q евклидова пространства Е3 заданы скалярное поле и(М) класса С2**) и векторное поле /»(уИ) класса С2. При этих предположениях grad и представляет собой дифферен- цируемое векторное поле в (2, div р представляет собой дифферен- цируемое скалярное поле, a rot р — дифференцируемое векторное поле. Поэтому возможны следующие повторные операции: rot grad к, div grad и, grad div/», div rot/», rot rot/,. Докажем, что rot grad и = 0, div rot p = 0. (6.54) Для доказательства вычислим rot grad» и div rot/, в декартовой пря- моугольной системе координат. Так как в этом случае координаты „ . ди ди ди , еп grad и равны > т0 на основании формулы (6.51) получим , , / д2и д2и \ . . / д2и д2и \ . . / д2и д2и \ п rot grad и = -----з-з- 14- 3—-------3—3- /4- 3—5------к = 0. \ду дг дгду] 1 \дг дх dxdzjJ 1 \дхду дудх] Таким образом, первое из равенств (6.54) справедливо для декарто- вой системы координат. В силу инвариантности выражения rot grad и, *) Так как е — единичный вектор, то его координаты имеют вид {cos а, cos Р, cosy}, где а, 0 и у —углы которые составляет этот вектор с осями Ох, Оу и Ог соответственно. **) Функция принадлежит классу Ск в области Q, если все ее частные производные порядка k непрерывны.
ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ ’ 159 § 3J первое из равенств (6.54) доказано. Перейдем к доказательству вто- рого равенства (6.54). Обратимся опять к декартовой системе коор- динат. В этой системе, согласно (6.51), векторное поле rotp имеет fdR dQ\ (дР dR\ /dQ дР\ п ~ ' координаты R —коорди- наты вектора р. Согласно (6.50) дивергенция векторного поля rotр в декартовой прямоугольной системе координат равна сумме произ- водных компонент этого поля по одноименным координатам. Таким образом, ,. , д [dR dQ\ , д [дР dR\ , д fdQ дР\ п div rot Р = V- 5--ТГ + л- а-------а- I + л- А1- — 5“ ) = 0- г дх \ду дг j ду \ дг дх j 1 дг \дх ду / Таким образом, второе из равенств (6.54) справедливо для декарто- вой системы координат. В силу инвариантности выражения div rot/,, второе из равенств (6.54) справедливо в любой системе координат. Одной из основных повторных операций теории поля является операция div grad и. Кратко эту операцию обозначают Дм, причем символ Д обычно называют оператором Лапласа *). Таким образом, Дн = div grad и. (6.55) Вычислим оператор Лапласа в декартовой прямоугольной системе координат. ди ди ди дх ’ ду ’ дг' В такой системе векторное поле grad и имеет координаты Обращаясь к выражению (6.50) для дивергенции вектор- ного поля, получим __<Ри . дги . (Ри дх2 - ”1 дг2 ' (6.56) Повторные операции grad div/, и rot rotр связаны соотношением rot rotр = grad divр — Др, (6.57) где Др представляет собой вектор, координаты которого в базисе I, j, k равны ДР, AQ, Д/? (Р, Q, R — координаты векторного поля р в базисе i, j, fe). В справедливости соотношения (6.57) читатель легко убедится самостоятельно. § 3. Выражение основных операций теории поля в криволинейных координатах 1. Криволинейные координаты. Пусть Q — область евклидова пространства £3; х, у, z — декартовы координаты в этом пространстве. Пусть далее, Q — область евклидова пространства £3; х1, х2, х3 — де- картовы координаты в £3. *) П. С. Лаплас —выдающийся французский астроном, математик и физик (1749-1827). . ' .
160 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ (ГЛ. 6 Рассмотрим взаимно однозначное и взаимно непрерывное отобра- жение области Й на область й, которое осуществляется посредст- вом функций х = х(х1, л'2, х3), у = у(хх, х2, х3), z = z(xx, х2, х3). (6.58) С помощью указанного отображения в области й вводятся криволи- нейные координаты х1, х2, х3. Смысл этого наименования легко уяснить из следующих рассуждений. Во-первых, каждой точке М (х, у, z) области Й сопоставляются три числа х\ х2, х3. Более точно, точка М определяется тройкой чисел х\ х2, х3. Этим объ- ясняется наименование «координаты» точки М для чисел х\ х2, х3. Во-вторых, если в правых частях соотношений (6.58) фиксированы дне какие-либо координаты, например х2 и х3, то при переменном хх эти соотношения определяют в об- ласти й некоторую линию, отлич- ную, вообще говоря, от прямой. Эту линию естественно называть координатной линией Xх, подчер- кивая тем самым, что в точках ука- занной линии меняется лишь коор- дината х1. В полной аналогии опре- деляются координатные линии х2 и х3. Вообще говоря, координатные линии Xх, х2 и х3 не будут пря- мыми. Этим и объясняется термин «криволинейные координаты». Мы выяснили, что через каж- дую точку М области Й проходят три координатные линии Xх, х2, х3 (рис. 6.2). Построим в точке М базис г,-, г', естественным образом связанный с координатными ли- ниями, проходящими через эту точку. При этом мы воспользуемся соотношениями (6.58). Очевидно, производные , вычис- ленные в точке 7И, представляют собой координаты вектора каса- тельной к линии х1 в этой точке. Мы обозначим этот вектор г\. Аналогичным способом мы строим векторы г2 и г3 касательных к линиям х2 и х3 соответственно. Таким образом, j дх ду д г ( (дх* ’ дх* ’ дх* I ’ /г= 1, 2, 3. (6.59) Для того чтобы векторы гъ г2> г3 образовали базис, нужно по- требовать неком планарности этих векторов. Достатрчным условием для выполнения этого требования является, очевидно, условие необ-
§ 3] ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 161 ращения в нуль якобиана дх ду дг дх1 дх1 дх1 (х, у, г) дх ду дг (х1, X2, X3) дх2 дх2 дх2 дх ду дг дх3 дх3 дх3 ибо этот якобиан равен смешанному произведению векторов rj, г3, г3. С помощью построенного базиса гх, гг, г3 стандартным образом строится взаимный базис г1, г2, г3. Итак, если в области й введены криволинейные координаты х\ х2, х3, то с каждой точкой М этой области естественным образом связываются базисные векторы г,-, г‘. Рассмотрим примеры. 1 °. Цилиндрическая система координат. Эта система координат вводится с помощью соотношений х = р cos <р, у = р sin <р, z = z. (6.60) Таким образом, х1 = р, х2 = ср, x3 = z. Известно, что указанные коор- динаты р, ф, z (или, что то же, х1, х2, х3) изменяются в следующих пределах *): 0 р < + оо, 0 ф < 2л, — оо <; z < оо. Эти неравенства определяют в евклидовом пространстве Ё3 с коор- динатами р, ф, z (или х1, х2, х3) бесконечную область й, изобра- женную на рис. 6.3. Мы можем, следовательно, рассматривать введе- ние цилиндрических координат в евклидовом пространстве Е3 как результат отображения области Й пространства Е3 в пространство Е3 с помощью формул (6.60). Очевидно, координатные линии р (или линии х1) представляют собой прямые, проходящие через ось Oz, перпендикулярно этой оси, координатные линии ф (линии х2) — окружности с центрами на оси Oz, плоскости которых параллельны плоскости Оху. Координатные ли- нии z (линии х3) — прямые, параллельные оси Oz (см. рис. 6.3). Найдем векторы г2, г3 и г1, г2, г3. Имеем (дх ду дг\ , . 4’ ^Mcos(p>Sln(₽i 0}> (дх ду дг I . r2=U- 4’ ^М~р5Шф>pcos<₽’ Г3 = №, ду £) 1} 3 (dz1 dz ’ dz) ' 1 ') См. вып. 5 «Аналитическая геометрия» настоящего курса.
162 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ (ГЛ 6 Подчеркнем, что выражения в фигурных скобках представляют собой декартовы координаты базисных векторов г1; г2 и г3. Непо- средственно можно убедиться, что базис rlt г2, г3 ортогональный. Для вычисления взаимного базиса воспользуемся формулами, приве- денными в п. 1, § 1 этой главы. Имеем Г1Г2Г3 = COS ф — р sin ф О sin ф р cos ф О О О =р, 1 [r2r3] = {р COS ф, рЗШф, 0}, [ГзП] = {—sin ф, cos ф, 0}, [r1r2] = {0, 0, р}. Поэтому г1_1£2Гз^_. sin ф, 0k Г2 = 1^11 =1 L sin ф, — cos ф, 0 к ггггг3 ip т р т-’р г3 == {0, 0, 1}. Г1ГаГз 1 2°. Сферическая система координат. Эта система координат вводится с помощью соотношений х = рsin6cosф, у = рsin6sinф, z = pcos0. (6.61)
§ 3) 'ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 165 Таким образом, хх = р, х2 = ф, х3 = 9. Известно, что указанные коор- динаты р, ср, 9 (или, что то же, х1, х2, х3) изменяются в следующих: пределах: 0sCp<C + cO, 0=С(р<2л, (6.62) Неравенства (6.62) определяют в евклидовом пространстве Е3 с коор- динатами р, ср, 9 (или х1, х2, х3) бесконечную область Q, изобра- женную на рис. 6.4. Мы можем поэтому рассматривать введение Рис. 6.4. сферических координат в евклидовом пространстве Е3 как результат отображения области Q пространства Е3 в пространство Е3 с помощью, формул (6.61). Очевидно, координатные линии р (линии х1) представляют собой лучи, выходящие из начала координат, координатные линии ср (линии х2) — окружности с центрами на оси Oz, плоскости которых параллельны плоскости Оху, координатные линии 9 (линии х3) — полуокружности, центры которых находятся в начале координат и плоскости которых проходят через ось Oz (см. рис. 6.4). Найдем векторы г\, г& г3 и г1, г2, г3. Имеем П = { sin 9 cos ф, sin 9 sin <р, cos 9 }, r2 = {—р sin 9 sin ф, р sin 9 cos ф, 0 }, r3= { pcos9 cos<p, р cos 9 sin ф, —psin9}. Непосредственно можно убедиться, что базис t\, г3, г3 ортогональ- ный. Для вычисления взаимного базиса воспользуемся формулами, приведенными в п. 1, § 1 этой главы. Имеем sin 9 cos ф sin 9 sin ф cos 9 Г1Г2Г3 = — p sin 9 sin ф p sin 9 cos ф 0 = — p2 sin 9, p cos 9 cos ф pcos9 sin ф — p sin 9 = 1 — Р2 sin2 9 cos ф, — р2 sin2 9 sin <р, — р2 sin 9 cos 9}, [Г3Г1] = { psincp, рсоэф, 0 }, = {—р cos 9 sin 9 cos ф, — p cos 9 sin 9 sin ф, psin29 }.
164 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 6 Поэтому г1 = _ [Г2Гз] ГуГгГз = { sin 6 cos <р, sin 0 sin <p, COS0 Г2 — _ кзг-11 ГуГ2Гз j 1 sin <p 1 р sin 8 ’ 1 cosq> p sin 8 ’ 0 г3 = _ [пг2] = cos 0 cos <p, — cos 0 sin ф, —-sin 6 о 3°. Ортогональная криволинейная система координат. Криво- линейную систему координат мы будем называть ортогональной, если в каждой точке области й базис Г/, определяемый равенством (6.59), является ортогональным. Только что рассмотренные цилиндри- ческая и сферическая системы координат представляют собой примеры ортогональных криволинейных координат. Получим выражение для векторов rz взаимного базиса для случая ортогональной системы координат. Введем следующие обозначения: = | Г1 |> ^2 — I Г2 |> ^3 — I Г3 [• Величины Ну, Нг, Н3 обычно называются коэффициентами или па- раметрами Ламе *). Так как система координат ортогональная и тройка векторов r2, r3 правая, то Г1Ггг3 = НуН3Н3, [г2г9] = г 1’ 1Гзгi] — г2’ 1Г21 ~ н3 2 г3‘ Используя эти соотношения и формулы, выражающие векторы вза- имного базиса через векторы Гу (см. п. 1, § 1 этой главы), получим 1 1 » 1 о 1 rl = Wfri’ г Я[Г2’ Г==нГ3- 2. Выражение градиента и производной по направлению для скалярного поля в криволинейных координатах. Пусть в обла- сти Й, в которой введены криволинейные координаты х1, х2, х3, задано дифференцируемое скалярное поле и(М). При этих условиях grad и определен в каждой точке Й и в каждой точке й по любому . ди ту направлению е может быть вычислена производная Как гра- диент grad и, так и производную по направлению в данной точке М мы будем относить к базису г у, г‘ в этой точке, построение кото- рого описано в предыдущем пункте. 1°. Выражение градиента скалярного поля в криволинейных координатах. После введения в области Й криволинейных коорди- •) Г. Ламе —французский математик (1795—1870).
§ 3] ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 165 нат х1, х2, х3 скалярное поле и будет, очевидно, функцией перемен- ных х1, х2, х3: м = п(х1, х2, х3). Эта функция может рассматриваться как результат суперпозиции функции п(х, у, z) переменных х, у, z и функций (6.58). Поэтому ди , для вычисления производных мы можем применить правило диф- ференцирования сложной функции. Обозначая через щ, получим ________ди дх , ди ду , ди дг lli дх дх‘ ‘ ду дх‘ г" дг дх‘ ' (6.63) ди ди , , . . — координаты вектора grad и в базисе i, j, к, дх ду дг ' Ы ’ - dF - ^ординаты вектора rit ~ ди Так как х-, х-, х- дх ’ ду ’ дг связанном с системой Oxyz, а ~ то, очевидно, соотношение (6.63) может быть переписано в следую- щей форме: щ = ri grad и. (6.64) Используя формулы Гиббса (см. формулы (6.6) этой главы) для вектора grad и и формулы (6.64), получим grad и — (Г[ grad и) г‘ = и,г!. Итак, градиент скалярного поля и в криволинейных координатах выражается следующим образом: grad и = щг‘ = (6.65) На практике часто встречается случай ортогональной криволинейной системы координат. В предыдущем пункте мы получили (см. п. 3° предыдущего пункта) выражение для векторов г‘ взаимного базиса для ортогональной системы. Используя эти выражения и формулу (6.65), найдем для grad и в ортогональных координатах следующую формулу: , 1 ди . 1 ди . 1 ди grad м — 77г да ri + -77г да >2 + -77г да гз- (6.66) Наряду с ортогональным базисом Г/ рассматривают ортонормирован- ный базис е^г^Н,. Легко видеть, что в базисе е,- выражение для grad и имеет вид , 1 ди . 1 ди , 1 ди ,,, grad и — -н- да в! + е2 + да е3. (6.67) 2°. Выражение производной скалярного поля и(М) по направле- нию е в криволинейных координатах. Пусть е1 — контравариантные координаты единичного вектора е в базисе Г/, так что
166 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ (ГЛ. в Для производной мы получили в п. 2, § 2 этой главы следующую формулу: du , -у- = е grad « де 6 (см. формулу (6.40)). Подставляя в эту формулу выражение для е в базисе Г/ и формулу (6.65) для grad и, получим f1' = {ekr ) (u.r1) = ekui (r.r‘) = e*u,.6‘ = u.el. Таким образом, производная скалярного поля и по направлению е выражается в криволинейных координатах следующим образом: g = uf. (6.68) 3. Выражение дивергенции, ротора и производной по напра- влению для векторного поля в криволинейных координатах. Пусть в области Q, в которой введены криволинейные координаты, задано дифференцируемое векторное поле р (А4). При этих условиях дивергенция и ротор поля р определены в каждой точке области Q, и в каждой точке Q по любому направлению е может быть вычислена dp п производная Дивергенцию, ротор и производную по направлению в данной точке Л1 мы будем относить к базису г,-,г' в этой точке. 1°. Выражение дивергенции векторного поля в криволинейных координатах. После введения в области Q криволинейных координат х\ х2, х3 векторное поле р будет, очевидно, функцией переменных х1, х2, х3: р = р (х1, X2, X3). Эта функция может рассматриваться как результат суперпозиции функции р (х, у, г) и функций (6.58). Поэтому для вычисления про- изводных мы можем применить правило дифференцирования слож- ной функции. Обозначая через pit получим _ д± дХ щ дР 4. дР (Я ROX Pl - дх дх‘ ду дх' дг дх‘ ’ Так как g = Ai> где Д —линейный опера- тор, определенный равенством Др = ДДг + о( |Дг ) (см. п. 3, § 2 этой главы), то из соотношений (6.69) и свойств линейного опера- тора получим '>< = л(й‘ + й>+й‘!) = д'<- <6™> По определению div р = div А — г'Аг^ Поэтому, согласно формуле
§ 3J ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 167 (6.70), в криволинейной системе координат дивергенция векторного поля р(М) может быть вычислена по формуле frjp = rlpt = (6.71) Найдем выражение для дивергенции для случая ортогональной кри- волинейной системы координат. Используя выражение для векторов г1 взаимного базиса для ортогональных криволинейных координат и фор- мулу (6.71), получим divp = ^Pin+ щр2Гг + щР3г3 (6-72) Формула (6.72) записывается также и другим способом. Обозначим через Р координаты поля р в ортонормированном базисе et — j. Тогда после ряда преобразований выражение (6.72) для divр примет следующий вид: d,vP_ > pJ^ + WJ + ®ai], (6.73) г Н^НгНъ ( дх1 1 дх2 1 дх3 J v ’ 2°. Выражение ротора векторного поля в криволинейных коор- динатах. По определению rotp = rot А = [г‘Дг;]. Поэтому, согласно формуле (6.70), получим rot р = [ rlpt\ (pi = . (6.7 4) Найдем выражение ротора в ортогональной криволинейной системе координат. Используя выражение для векторов г‘ взаимного базиса для ортогональной системы и формулу (6.74), получим rotp^^lHPiJ + ^taPiil + ^kaPsl (а’=В)' <6,75) В ортонормированном базисе ег- = ротор векторного поля р имеет координаты 1 1 p(P3Ws) д(Р2Н^ 1 p(Pi/7!) d(P®fls)| \НгН3 [ дх2 дх? J’ Н3НУ дх3 дх1 J’ 1 Р (Р2Н2) _ й (Р1Нг) I дх1 дх2 (6.76) 3°. Выражение для производной векторного поля по направле- нию в криволинейных координатах. Воспользуемся формулой | = (6.46) *) В правой части этой формулы суммирование по индексу i не произво- дится.
168 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ггл в полученной нами в и. 3, § 2 этой главы. Пусть e = e'rt. Тогда из формулы (6.46) и свойств линейного оператора получим де * Так как Art=pi, где то для производной векторного поля р по направлению е получим следующее выражение: = (6.77) 4. Выражение оператора Лапласа в криволинейных ортогональ- ных координатах. Мы определили оператор Лапласа Аи как пов- торную операцию div grad и. Используя выражения (6.67) и (6.73) для градиента и дивергенции в криволинейных ортогональных коор- динатах, мы получим выражение для оператора Лапласа. В рассматриваемом случае векторным полем р, дивергенцию кото- рого нужно вычислить, является поле grad и. Подставляя (6.67) в (6.73), получим А Г (d !Н.Н.ди\ , д fH.Hr ди \ , д (НтНъ аы\) НгНгН.\_дх^\ Нх дх1)'дх2\ Н. дх^^дхА На Эх3;]' ( ' 5. Выражение основных операций теории поля в цилиндри- ческой и сферической системах координат. 1°. Цилиндрическая система координат. В силу результатов в 1° п. 1 § 3 параметры Ламе для цилиндрических координат имеют вид Нг—\, Н2 = р, 7У3=1. В таком случае из формул (6.67), (6.73), (6.76) и (6.78) вытекают следующие равенства: . ди , 1 ди .ди gradzz = ^ep + -- ^e(f+-g2e., 1 а 1 dPw дР2 div p = — (pPp) H----3-^ + -5—, г p ар ' p/ p a<₽ dz ' /1 дРг дР^х ,дРр дРгх /1 а(рРф) 1 дРр} Р \ р а<р aJ ₽р + (аг ар / \ р ар р ад> У е“' к — 4- 1^4-^“ и р ар у ар/ "г р2 а<рг "** ага * 2°. Сферическая система координат. В этом случае параметры Ламе имеют вид /71=1, /73 = р sin G, /7а = р.
§ 3) ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 169 Следовательно, , ди . 1 ди . 1 ди grad и — ч- е0 4----г-r ew 4— ев, ь dp р 1 р sin в dip ф 1 р дв ° Id 1 дР№ Id div р = -5 j- (р2Р0) 4--------— -з-1—-т—г -3J (sin 9 Ре), г р2 dpр7 1 р sm 9 dip 1 р sin 9 d9 v w 1 (d (sin 9P,,) dPe\ P p sin 9 \ d9 dtp )gp , / 1 dPp Id (рРф) /Id(pPe) 1 dPp\ ~T\p sin 9 dip p dp / 0 ' \ p dp p d9 ; e<f” л Id/ 2du\ 1 д ( ди\ 1 d2u — p2 dp dp/ + p2 sin 9 d9 \Sln ° d9/ + p2 sin2 9 dip2 ’ В заключение этой главы приведем сводку формул, связывающих операции взятия градиента, дивергенции и ротора с алгебраическими операциями; 1°. grad {и ± V)— grad и ± grad v. 2°. grad (и • v) — и grad v 4- v grad u. 3°. grad (A) = * “y grad v (v 0) 4°. div (p ± q) = divp it div q. 5°. div (up) = p grad и 4- и div/». 6°. div [/>9] = q rot/» --/> rot q. 7°. rot [p ± q] = rot p ± rot q. 8°. rot (up) = и rot p — [p grad и]. В справедливости этих формул читатель легко убедится само- стоятельно. Заключительные замечания. В этой главе мы познако- мились с основными операциями теории поля. При этом мы не опи- рались на какие-либо физические представления, поскольку нашей целью являлось построение математического аппарата теории. В сле- дующей главе мы получили ряд важных интегральных соотношений, связывающих некоторые из операций теории поля. Эти соотношения позволят нам указать физическую интерпретацию понятий и опера- ций, введенных в настоящей главе.
ГЛАВА 7 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО В этой главе мы получим важные формулы, играющие большую роль в различных приложениях и, в частности, в теории поля. Эти формулы в определенном смысле представляют собой обобщения на многомерный случай формулы Ньютона — Лейбница для одномерных интегралов. § 1. Формула Грина 1. Формулировка основной теоремы. Пусть D — конечная, вообще говоря, многосвязная область на плоскости Оху с кусочно- гладкой границей L *) **). Область D с присоединенной границей L мы будем обозначать D. Справедлива следующая Основная теорема. Теорема 7.1. Пусть функции Р (х, у) и Q (х, J») непрерывны в Ь и имеют непрерывные частные производные первого порядка в D. Если существуют несобственные интегралы по области D от каждой из частных производных функций Р(х, у) и Q(x, j)***), то справедливо соотношение -^dxdy^Pdx^Qdy, (7.1) В L называемое формулой Г рана. При этом стоящий в правой части (7.1) интеграл представляет сооой сумму интегралов по связным компонентам границы L, на которых указано такое на- правление обхода, при котором область D остается слева. Мы докажем сначала формулу Грина для специального, но доста- точно широкого класса областей. Затем мы установим ряд вспомо- *) Дж. Грин — английский математик (1793—1841). **) Граница L называется кусочно-гладкой, если она составлена из конеч- ного числа гладких кривых. Если граница L состоит из конечного числа замк- нутых кусочно-гладких кривых Z,,-, то связную область D обычно называют многосвязной, а кривые Ц называют связными компонентами границы. ***) Так как частные производные функций Р (х, у) и Q(x, у) существуют лишь в открытой области D, то упомянутые интегралы являются несобствен- ными При дополнительном предположении о непрерывности указанных част- ных производных в D упомянутые интегралы переходят в собственные.
§ 11 ФОРМУЛА ГРИНА 171 гательных утверждений, которые понадобятся для доказательства сформулированной теоремы. 2. Доказательство формулы Грина для специального класса областей. Пусть D — односвязная конечная область с кусочно-глад- кой границей L- Будем считать, что каждая прямая, параллельная любой координатной оси, пересекает границу L не более чем в двух точках. Такие области будем называть областями типа К. По предположению, существуют несобственные интегралы от частных производных функций Р(х,у) и Q (х, _у). Это означает, что для любой системы областей -{/?„}, монотонно исчерпывающих область D, спра- ведливо, например, соотношение Л” Dn D (аналогичные соотношения справедливы и для других частных про- изводных функций Р(х,у) и Q(x, у)). Опишем построение специальной системы областей монотонно исчерпывающих область типа К. Эта система понадобится нам при доказательстве формулы Грина для областей указанного типа. Пусть сегмент [а, Ь] оси Ох представляет собой проекцию на эту ось области D. Проведем че- рез точки а и b прямые, параллель- ные оси Оу. Каждая из этих двух прямых пересекается с границей L лишь в одной точке. Эти две точки Л и В пересечения указан- ных прямых с границей L (рис. 7.1) разделяют L на две кривые L' и L", которые, очевидно, пред- ставляют собой графики непре- рывных и кусочно-дифференци- руемых на сегменте [а, й] функций Рис. 7.1. _У1 (х) и _у2 (*) соответственно. Отметим (см. рис. 7.1), что (х) ^у2 (х) (равенство имеет место лишь при х — а и х = Ь). Рассмотрим далее последовательность сегментов [ап, Ьп\ таких, что а < ап < bn < b, ап-> а, bn—>~b при п -> оо . Пусть, кроме того, при любом п сегмент [а„, содержится в сегменте [а„+1, />п+1]. Выберем число е„>0 так, чтобы графики L'n и L", функций J'1(x)-}-e„ и hW-e» были расположены в области D и не пересекались. Границей области Dn является кривая, составленная из линий L'n и L'n и отрезков вертикальных прямых, проходящих через точки ап и Ьп (см. рис. 7.1). Область Z)„+1 строится аналогичным образом,
172 ФОРМУЛЫ ГРИНА. СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 1ГЛ. 7 только вместо сегмента [ап, Ьп\ берется сегмент [an+1, А„+1|, а число 8„ц>0 выбирается меньшим числа ега. Очевидно, что если еп-> 0, то построенная система областей {£)„} монотонно исчерпывает область D. Докажем следующее утверждение. Теорема 7.2. Пусть в области D типа К функции Р(х,у) и Q{x,y) удовлетворяют условиям теоремы 7. 1. Тогда для этой области и для функций Р(х,у) и Q(x,y) справедлива формула Грина. Доказательство. Достаточно убедиться в справедливости равенств И dx dy = <£ Q dy, — И ~ dx dy = § P dx. (7.2) D С V 6 Так как указанные равенства доказываются однотипно, мы проведем доказательство второго из них. Рассмотрим двойной интеграл ^S%dxdy- (7,з) - дР Для области Dn и для подынтегральной функции в интеграле (7.3) выполняются все условия, при которых действует формула повторного интегрирования. По этой формуле имеем Ьп ^~еп J d/ydy=. Dn ап УгМ + еп bn Ьп = 5 р(х- y^x)-e.n)dx- 5 Р(Х, yz(x)+zn)dx. {ТА) Левая часть соотношений (7.4) при и->оо имеет предел, равный интегралу -^-dxdy. В силу равномерной непрерывности функ- D ___ ции Р{х,у) в замкнутой области D, каждое из слагаемых в правой части (7. 4) имеет при и —> оо предел, равный для первого слагаемого ь ь ^P(x,y2{x))dx и для второго § P{x,yi{x)) dx. Первый из этих двух а а интегралов представляет собой при указанном на рис. 7.1 направле- нии обхода границы криволинейный интеграл - j Р (-V, У) dx, L"
ФОРМУЛА ГРИНА 173 а второй интеграл — криволинейный интеграл Р (х, у) dx. L' Мы видим, что правая часть соотношений (7. 4) при и -> оо имеет предел, равный — Р (х, у) dx. L Таким образом, вторая из формул (7.2) доказана. Справедливость первой из формул (7.2) устанавливается аналогично (нужно спроекти- ровать D на ось Оу и повторить проведенные рассуждения). Теорема доказана. 3. Инвариантная запись формулы Грина. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,j>) удовлетворяют условиям теоремы 7.1 в конечной связной области D с кусочно-гладкой границей L. Определим в области D = D-\- L векторное поле р, координаты которого в данной декар- товой прямоугольной системе координат равны Р(х, у) и Q(x, у). Очевидно, при условиях, наложенных на функции Р (х, у) и Q (х, у), поле р будет непрерывным в области D и непрерывно-дифференци- руемым в D. Найдем ротор этого векторного поля. Используя выра- жение rotp в ортонормированием базисе i, j, k, получим Из этого соотношения получим S-^ = *rot₽- (7.5) Замечание 1. Перейдем в плоскости Оху к новому ортонор- мированному базису i', f и к новой декартовой системе координат Ох'у', связанной с этим базисом. Пусть векторное поле р имеет в этом новом базисе координаты Р' и Q'. Очевидно, в новой системе координат функции Кроме того, так как Р' и Q’ удовлетворяют условиям теоремы 7.1, в новом базисе rotP = ^то dQ’ дх' дР’ . , —- == k rot р. ду' ' (7.6) Так как скалярное произведение krotp представляет собой инва- риант, то из (7.5) и (7.6) следует, что выражение — дР -а- не меняет ду ни значения, ни формы при переходе к новому ортонормированному базису, т. е. также представляет собой инвариант. С помощью этого замечания мы можем сделать следующий важ- ный вывод: интеграл, находящийся в левой части формулы Грина
174 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ 7 (7.17, имеет инвариантный характер —его значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Действительно, при таком преобразовании координат абсолютная величина якобиана преобразования равна единице. Согласно же заме- чанию, подынтегральное выражение не меняет ни значения, ни формы. Обратимся теперь к интегралу ф Р dx + Q dy, (7.7) L находящемуся в правой части формулы Грина. Убедимся, что этот интеграл также имеет инвариантный характер — его значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Пусть t —-единичный вектор касательной в точках границы L, направление которого согласовано с направлением обхода на L, cos а и sin а — координаты вектора /.Выберем в качестве параметра на L длину дуги I, причем на каждой связной компоненте границы возра- стание параметра Z согласовано с направлением обхода на этой компо- ненте. При условиях, наложенных на L, функция /(/) будет кусочно- непрерывной. При сформулированных выше условиях векторное поле р будет непрерывным на L, а его координаты Р и Q представляют собой непрерывные функции от I. Заметим, что после выбора направления обхода и параметра на кривой L криволинейный интеграл второго рода (7.7) преобразуется в криволинейный интеграл первого рода. При этом Р и Q вычисля- ются в точках L, a dx — co?a,dl, dy = sin a dl. Таким образом, ф Р dx + Qdy = ф (Р cos а 4- Q sin a) dl = ф pt dl. (7.8) L L L Соотношение (7.8) показывает, что интеграл (7.7) действительно имеет инвариантный характер: скалярное произведение pt — инвариант, пара- метризация с помощью длины дуги не связана с системой координат. Кроме того, в новой декартовой системе координат Ох'у' имеем pt dl = (Р' cos а' + Q' sin а') dl = P'dx’ 4* Q'dy', и поэтому Р dx + Q dy = P' dx' 4- Q' dy'. Итак, мы убедились, что интеграл (7.7) имеет инвариантный характер — его значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Проведенные выше рассуждения позволяют придать формуле Грина (7.1) следующую инвариантную форму. § k rot р da = § pt dl (7.9) D L При этом da означает элемент площади области
5 Ч ФОРМУЛА ГРИНА 175 Замечание 2. Обычно интеграл ф pt dl L называют циркуляцией векторного поля р по кривой L. Из теоремы 7.2 и выводов этого пункта мы можем извлечь важ- ное следствие. Следствие. Пусть функции Р (х, у) и Q(x, у) удовлетворяют условиям теоремы 7.1 в конечной области границей L. Если область D может быть разбита на конечное число областей Dk с кусочно-гладкими границами Lk (рис. 7.2) и при этом каждая из Dk представляет собой область типа К по отношению к некоторой декартовой системе коорди- нат, то для области D и функций Р(х, у) и Q (х, у) справедлива формула Грина. Справедливость следствия вытекает из следующих рассуждений. Ясно, что формула Грина справедлива для каждой из областей Dk. Это следует из инвариантного харак- D с кусочно-гладкой системе координат Dk тера формулы и из теоремы 7.2 (в некоторой будет областью типа К). Далее, очевидно, что сумма интегралов dx dy Dk в левых частях формул Грина по областям Dk представляет собой С С IdQ дР\ , . Г интеграл \ \ dx dy. Сумма же криволинейных интегралов §Pdx-\-Qdy в правых частях формул Грина по границам Lk обла- Lk стей Dk даст интеграл ф Р dx + Q dy, ибо интегралы по общим участ- L кам границы областей Dk сократятся — эти участки в соседних обла- стях Dk обходятся в противоположных направлениях (для пояснения можно обратиться к рис. 7.2). Замечание 3. Произвольную конечную связную область D с кусочно-гладкой границей L нельзя, вообще говоря, разбить на конечное число областей Dk указанного выше вида. Однако из каж- дой конечной области D с кусочно-гладкой границей можно удалить такую как угодно малую часть, что оставшаяся область может быть разбита нужным образом. При этом вклад в правую и левую части формулы Грина, отвечающий удаленной части области D, будет соот- ветственно как угодно мал. Эта идея лежит в основе доказательства формулы Грина в общем случае.
176 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 В следующем пункте мы докажем ряд вспомогательных предло- жений с помощью которых указанным способом будет установлена формула Грина в общем случае. 4. Вспомогательные предложения. Пусть L — кусочно-гладкая плоская кривая без самопересечений, на которой в качестве пара- метра выбрана длина дуги I. Окрестностью внутренней точки Р на кривой L мы будем называть любое, не совпадающее со всей кривой L связное открытое множество точек этой кривой, содержащее точку ^ля граничной точки L вводится понятие полуокрестности *). Длину окрестности (или / X полуокрестности) будем называть ее размером. д | Внутренняя точка Р кривой L разбивает I каждую свою окрестность на две полуокрест- /2> ности. Окрестность точки Р будем называть / д Л-окрестностью, если каждая из полуокрестнос- X в о тей имеет длину X. Лемма 1. Пусть L — гладкая конечная Рис. 7.3. кривая без самопересечений, А и В — гра- ничные точки этой кривой, L — связная часть кривой L, которая вместе со своими концами А и В це- ликом состоит из внутренних точек кривой L (рис. 7.3.) **). Можно указать два таких положительных числа X и б, что точная верхняя грань углов, которые составляют касательные в точках k-окрестности любой точки Р кривой L ***) с каса- тельной в точке Р меньше л/8, а расстояния от точки Р до то- чек кривой L, расположенных вне 'К-окрестности не меньше б ****). Доказательство. Убедимся, что можно указать А.>0, удовлетворяющее условиям леммы. Во-первых, отметим, что для любого а > О для каждой точки Р можно указать такую Х-окрест- ность (Х>0), в пределах которой верхняя грань углов, которые составляют касательные в точках этой Х-окрестности с касательной в точке Р меньше а. Это следует из непрерывности касательных к кривой L. Речь идет об универсальном X, пригодном для всех точек кривой L. *) Если Р — граничная точка кривой L, a Q — любая ее другая точка, то множество всех точек кривой L, заключенных между Р и Q, включающее точку Р и не включающее точку Q, мы назовем полуокрестностью точки Р. **) Кривая может быть и замкнутой. В этом случае L может совпа- дать с L. Если L—замкнутая кривая с одной угловой точкой, то L—любая замкнутая связная часть L, не содержащая эту угловую точку. ***) Окрестность точки кривой L рассматривается как окрестность этой точки на кривой L, **♦*) Очевидно!
§ 1] ФОРМУЛА ГРИНА 177 Допустим, что нет Х>0, удовлетворяющего условия леммы. Тогда для любого Хп=1/я на Z найдутся такие точки Рп и Qn, что длина дуги PnQn меньше %я, а угол между касательными в этих точках не меньше фиксированного а < л/8. Выделим из последователь- ности {Рп} подпоследовательность сходящуюся к точке Р кривой Z. Очевидно, подпоследовательность также сходится к Р. Рассмотрим ту Х-окрестность точки Р, в которой точная верхняя грань углов между касательными в точках окрестности и в точке Р меньше а/2. Ясно, что угол между касательными в любых двух точках указан- ной Х-окрестности точки Р меньше а. При достаточно большом пк точки Рп и попадут в выбранную Х-окрестность точки Р, и поэтому угол между касательными в этих точках должен быть меньше а, тогда как по выбору этих точек этот угол должен быть больше или равен а. Это противоречие опровергает сделанное допущение о не- существовании X > О, удовлетворяющего условиям леммы. Отметим, что требуемое А, меньше каждой из дуг АА и ВВ. Докажем теперь, что можно указать 6 > О, удовлетворяю- щее условиям леммы. Допустим, что нет 6 > 0, удовлетворяющего условиям леммы. Тогда для любого 6л=1/п можно указать на L такую точку Рп и на L такую точку Q„, что длина дуги PnQn больше или равна X *) тогда как хорда PnQn имеет длину меньше Выделим из последо- вательности {Р„} подпоследовательность, сходящуюся к точке Р кривой L и рассмотрим соответствующую подпоследовательность последовательности {Qn}. Из этой последней подпоследовательности выделим подпоследовательность сходящуюся к точке Q кривой L. Ясно, что подпоследовательность сходится к Р. Так как по вы- бору точек Р„к и Qnk длина дуги PnkQnk больше или равна X, то и длина дуги PQ больше или равна X. Поскольку длины хорд PnkQnk стремятся к нулю, то длина хорды PQ равна нулю, т. е. точка Р совпадает с точкой Q и является поэтому точкой самопере- сечения кривой L без самопересечений. Полученное противоречие подтверждает возможность выбора требуемого 6>0. Доказательство леммы завершено. Следствие 1. Пусть кривые L и Z удовлетворяют условиям леммы 1. Тогда можно указать такое число 2Х, что любая дуга кривой L длины меньше 2А однозначно проектируется на одну из координатных осей фиксированной декартовой прямоугольной си- стемы координат Оху. Действительно, возьмем в качестве X число, указанное в лемме 1. Любая дуга кривой L длины меньше 2Х содержится в ^-окрестности *) Существование такого X уже установлено в первой части доказатель- ства леммы.
178 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО (ГЛ. 7 некоторой точки Р кривой Z. Касательная в точке Р составляет с одной из осей Ох или Оу угол, меньший или равный л/4. Тогда, очевидно, касательная в любой точке рассматриваемой дуги состав- ляет с этой осью угол, меньший п/2, и поэтому эта дуга однозначно проектируется на указанную ось (при неоднозначном проектировании были бы касательные, составляющие с указанной осью угол, рав- ный л/2). Следствие 2. Пусть кривые Lui удовлетворяют условиям леммы. 1. Тогда можно указать такое тело 2А>0, что любая дуга кривой L длины меньше 2А, однозначно проектируется на обе координатные оси специально выбранной для этой дуги декар- товой прямоугольной системы координат Оху. Возьмем в качестве А, число, указанное в лемме. Любая дуга кривой Z меньше 2А содержится в A-окрестности некоторой точки Р кривой L. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы касательная в Р с ее осями составляла угол л/4. Тогда каса- тельная в любой точке указанной дуги будет составлять с каждой из осей Ох и Оу угол, меньший л/2, и поэтому эта дуга будет одноз- начно проектироваться на каждую из осей. Отметим, что малые из- менения выбранной системы координат не влияют на возможность однозначного проектирования дуги на обе координатные оси. Лемма 2. Пусть Q — квадрат, R—угол с вершиной в центре Р квадрата Que раствором 2а<.п/^. Обозначим через Г часть границы квадрата Q, заключенную в угле R. Тогда угол между любой хордой линии Г (прямая, соединяющая две точки Г) и бис- сектрисой угла R не меньше а. Ввиду элементарности не будем приводить доказательство этой леммы. Лемма 3. Пусть Q — квадрат, L — гладкая кривая без само- пересечений, выходящая из центра Р квадрата Q. Пусть точная верхняя грань углов, которые составляют касательные к L с полукасательной к L в точке Р, равна а<;л/8. Тогда L пере- секает границу квадрата Q не более чем в одной точке. Доказательство. Построим угол R с раствором 2а, 2а < <;2а<;л/4, биссектрисой которого является полукасательная к L в точке Р, а вершиной — центр Р квадрата. Обозначим через Г часть границы квадрата Q, заключенную в угле R. Очевидно, кривая L расположена внутри угла R (если бы L пересекала сторону угла R в точке, отличной от Р, то нашлась бы касательная, параллельная этой стороне и указанная касательная составляла бы с полукасатель- ной к L в точке Р угол, равный а>а, что противоречит условию). Пусть L пересекает Г в двух точках М и N. Тогда на L нашлась бы точка, касательная в которой параллельна хорде MN и, согласно лемме 3, эта касательная составляла бы с пблукасательной к L в Р угол не меньший а > а, а это противоречит условию. Лемма до- казана.
ФОРМУЛА ГРИНА 179 Следствие из лемм 1 и 3. Пусть кривые L и L удовлет- воряют условиям леммы 1 и 6>0 — число, указанное в этой лемме. Тогда кривая L пересекает границу любого квадрата Q с центром в произвольной точке Р этой кривой и со стороной, меньшей 26, не более чем в двух точках. Убедимся в справедливости следствия. Пусть Р—произвольная точка кривой Z и 0 —число, указанное в лемме 1. Обратимся к Х-окрестности точки Р. Обе граничные точки этой окрестности и часть Z, расположенная вне %-окрестности, согласно лемме 1, лежат вне любого квадрата с центром в Р и со стороной, меньшей 1' 26. Поэтому рассматриваемая ^-окрестность (и только она) пере- секается с границей квадрата Q *). Так как каждая из полуокрест- ностей рассматриваемой %-окрестности точки Р удовлетворяет усло- виям леммы 3, то ясно, что Х-окрестность пересечет границу квад- рата Q не более чем в двух точках. 5. Специальное разбиение обла- сти D с кусочно-гладкой границей L. Пусть D — многосвязная конечная область, граница L которой состоит из конечного числа замкнутых кусочно- гладких кривых; Рь Р2, ..., Рл, — угловые точки границы L. Будем считать, что на плоскости выбрана декартова прямоугольная система координат Оху Мы укажем способ специального разбиения области D на подобласти. Такие разбиения понадобятся нам при доказательстве теоремы 1. 1°. Убедимся, что для любого е> У.. О Рис. / .4, О можно так выбрать квадраты ft, ft,..., Q_n с центрами в угловых точках границы L и со сторо- нами, параллельными осям Ох и Оу (рис. 7.4), что будут выполнены следующие условия'. 1) Граница любого квадрата ft с центром в Рг пересекается с каждой из двух ветвей границы L, исходящих из Р, **) ровно в одной точке (см. рис. 7.4). Указанные точки являю гея единствен- ными общими точками границы квадрата ft с границей L. 2) Сумма площадей квадратов Q, будет меньше е; сумма длин частей границы L, находящихся в квадратах Qit также будет меньше 8. Очевидно, при этом сумма периметров квадратов ft не превышает Де, где А — некоторая константа. *) Здесь используется теорема Жордана, утверждающая, что если две точки непрерывной кривой L являются внутренней и внешней точками области D, то L пересекает границу D. **) Достаточно малая Х-окрсстность угловой точки Р, состоит из двух гладких ветвей, исходящих из этой точки.
180 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ, 7 Возможность указанного выше выбора квадратов Q, вытекает из следующих рассуждений. Рассмотрим Х-окрестности угловых точек, подчиненные требова- ниям: 1. Эти Х-окрестности не пересекаются. 2. Сумма длин всех Х-окрестностей меньше е. 3. Точная верхняя грань углов, которые составляют касательные каждой из полуокрестностей Х-окрестности с соответствующей полу- касательной в угловой точке меньше а < л/8. Возможность выбора таких Х-окрестностей угловых точек очевидна. Отметим, что каждая из полуокрестностей выбранных Х-окрестностей удовлетворяет усло- виям леммы 3. Поэтому каждая из этих полуокрестностей пересека- ется не более чем в одной точке с границей любого квадрата с центром в соответствующей угловой точке. Для каждой угловой точки Р/ определим число 6;>0, равное точной нижней грани расстояний от Р; до части L, полученной удалением из L Х-окрестности точки Рг. Обозначим 6 = min{61, 62, ..., bN}. Ясно, что любой квадрат Qt с центром в Р;, длина стороны которого меньше 26, удовлетво- ряет сформулированному выше условию I), ибо при указанном выборе квадрата Q, для каждой из полуокрестностей точки Р,- выполнены условия леммы 4 и, кроме того, граничные точки полуокрестности лежат вне квадрата Qi (этим обеспечивается единственность точки пересечения полуокрестности с границей квадрата). Ясно также, что за счет уменьшения сторон квадратов можно добиться, чтобы сумма их площадей была меньше е._ Очевидно, сумма длин частей границы L, находящихся в квадратах Qit будет меньше е за счет специального выбора Х-окрестностей угловых точек. Таким образом, условие 2) также выполняется при указанном выборе квадратов Q,. 2°. Удалим из L те части, которые находятся в квадратах Qt-. Оставшаяся после удаления часть L представляет собой набор глад- ких кривых Li без общих точек; при этом некоторые из Li пред- ставляют собой гладкие замкнутые кривые. Отметим, что каждая незамкнутая кривая L,- состоит из внутренних точек гладкой кри- вой Li, граничными точками которой будут угловые точки L (см. рис. 7.4). Для каждой из кривых Li воспользуемся леммой 1 предыдущего пункта. Пусть X, и 6* — числа, гарантированные для Li этой леммой. При этом число 6* мы подчиним еще одному требованию — будем считать, что 6* меньше нижней грани расстояний от точек Z; до осталь- ных кривых Lk- Далее обозначим X=min{X1,X2, ..., Хд?} и 0<6*<; <min{6*, 6J, ..., бдг}, 6*<]/26, где 6 — число, выбранное в 1°. Очевидно, Х^б*. Разобьем каждую кривую Li на конечное число частей длины меньше 6*. Построим квадраты Qit центры которых находятся в точ-
§ 1] ФОРМУЛА ГРИНА 181 ках разбиения кривой L,, со сторонами длины 6*, параллельными осям Ох и Оу. 3°. С помощью квадратов Q, и Q, построим требуемое разбиение области D. 1) Удалим из D части, общие D и квадратам Qi- Оставшуюся часть D обозначим De, а границу Dz обозначим Le. Граница Ьг состоит из кривых Lt и отрезков прямых, параллельных координатным осям. 2) Обозначим через Q, общую часть квадрата Qi и области De. Обла- сти Qi разбивают область De на односвязные части Di*), граница каж- дой из которых состоит из прямолинейных от- резков, параллельных координатным осям и, быть может, одного криволинейного отрезка, содержащегося в одной из кривых Z, и имеющего длину меньше 6. Так как ука- занный криволинейный отрезок проектируется однозначно на одну из координатных осей (длина каждого такого отрезка меньше б* < А, а в этом случае, согласно следствию 1 из леммы 1, этот отрезок однозначно проек- тируется на одну из координатных осей), то, очевидно, любая область Di может быть разбита прямыми, параллельными одной из координатных осей на конечное число частей Dk,. каждая из которых представляет собой либо прямоугольник, либо криволинейную трапецию **), быть может, выродившуюся в криволинейный треугольник. На рис. 7.5 показана одна из областей Dt. Пунктирными линиями показано разбиение на части Dfe. 6. Доказательство теоремы 7.1. Мы только что убедились, что после удаления из D частей, находящихся в квадратах Q,-, получается об- ласть £)6***)с границей Ze, которая может быть разбита на конечное число специального вида областей-D*. Докажем, что для области D& справедлива формула Грина. Со- гласно следствию в п. 3 данного параграфа для этого достаточно- *) Область D называется односвязной, если любая кусочно-гладкая, неса- мопересекающаяся замкнутая кривая, расположенная в D, ограничивает область, все точки которой принадлежат D. **) Напомним, что криволинейной трапецией называется фигура, основа- ния которой параллельны одной из координатных осей, одна из боковых сто- рон параллельная другой координатной оси и на эту последнюю ось однозначно проектируется кривая боковая сторона трапеции. ***) Напомним, что квадраты Qjвыбираются по любому данному положи- тельному е так, чтобы сумма их площадей была меньше е и сумма длин частей границы L, расположенных в Q,-, была также меньше е. Ясно, что при в—О области L>6 исчерпывают область D.
182 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. ? убедиться, что каждая из областей Dk по отношению к некоторой специально выбранной декартовой системе координат будет областью типа К. Если Dk — прямоугольник, то требуемой системой является, напри- мер, система координат, одна из осей которой параллельна диагонали этого прямоугольника. Пусть Dk является криволинейной трапецией или криволинейным треугольником. Из способа построения областей Dk следует, что кривая сторона границы Dk удовлетворяет условиям леммы 1 п. 4 этого параграфа и поэтому, согласно следствию 2 из этой леммы, однозначно проектируется на обе координатные оси специально выбранной декартовой прямоугольной системы координат. Так как малые изменения выбора этой системы не нарушают указан- ного свойства, то, очевидно, мы можем выбрать такую систему коор- динат, на обе оси которой однозначно проектируются и прямолиней- ные части границы Dk- По отношению к этой системе координат будет областью типа К- Итак, для области De справедлива формула Грина S Ш ~ dx dy=$р dx+Q dy- (7.Ю) Из способа построения областей De следует, что при е -> 0 левая и правая части формулы (7.10) имеют соответственно пределы (“ С !dQ дР\ , , Cnjirij т - , \ \ — ду)^х^-У и \ 73 + Q оу. Теорема 7.1 доказана. L § 2. Формула Стокса *) 1. Формулировка основной теоремы. Пусть S—ограниченная, полная, кусочно-гладкая, двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей Г **). Окрестностью поверхности 6' будем называть любое открытое множество Й, содержащее •S’- Справедлива следующая основная теорема. Теорема 7.3. Пусть в некоторой окрестности поверхности S функции Р (х, у, z), Q (х, у, г) и R (х, у, г) непрерывны и име- ют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда -имеет место следующее соотношение: (* Г / dR dQ\ , , 7 дР dR \ , , / dQ дР \ , , и йг)dzdx+\-^--^}dxdy~ S = фР dx + Qdy + Rdz, (7.11) г *) Дж. Г. Стокс—известный английский физик и математик (1819—1903). ♦*) Отметим1 что замкнутая поверхность не имеет границы.
§ 2] ФОРМУЛА СТОКСА 183 называемое формулой Стокса. При этом стоящий в пра- вой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы Г, на которых указано такое направление обхода, при котором, с учетом выбора стороны, поверхности, поверхность S остается слева. Используя замечание 2 п. 2 § 3 гл. 4 о форме записи поверх- ностных интегралов второго рода и обозначения X, Y, Z для углов, которые образуют нормаль к поверхности с осями координат, можно переписать формулу Стокса (7-11) следующим образом: Ш/ dR dQ \ . /' дР dR\ „ , (dQ дР \ „1 , [Tf - -aiY°sX+ cos У+ U “ -V) "sZJ * = = ф Р dx Q dy + R dz. (7.12) г В следующих пунктах мы докажем ряд предложений, которые понадобятся нам для доказательства сформулированной теоремы. 2. Доказательство формулы Стокса для гладкой поверхности, однозначно проектирующейся на три координатные плоскости. Справедлива следующая теорема. Теорема 7.4. Пусть S — ограниченная, полная, гладкая, дву- сторонняя, односвязная поверхность с кусочно-гладкой, грани- цей Г. Будем считать, что S однозначно проектируется на каждую из координатных плоскостей системы Oxyz. Пусть в некоторой окрестности S заданы функции Р, Q и R, непрерыв- ные в этой окрестности и имеющие в ней непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула Сток- са (7.11). Доказательство. Для доказательства обратимся к форме (7.12) записи формулы Стокса. При этом будем считать, что еди- ничные векторы нормали образуют острые углы с осями коор- динат. Очевидно, теорема будет доказана, если будут доказаны равенства С С I дР v дР , £ п , \ \ \~dz~ C0S ---~ду C0S Z^l «о = Р dx, з г И cosZ - cos da = Q dy, . г cos X — -^5- cos Y} do = Rdz. R г (7-13) Поскольку соотношения (7.13) доказываются однотипно, остано- вимся на доказательстве первого из них.
184 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 Обозначим через / интеграл в левой части первого из ра- венств (7.13): <714> 3 По условию поверхность S является гладкой и однозначно проектируется на плоскость Оху. Поэтому S представляет собой график дифференцируемой функции z = z(x,у). В этом случае с учетом ориентации единичных нормалей к S, cos У и cosZ могут быть найдены по формулам cos Y = ,--~Q ... - , cosZ = , . (7.15) V1 + P2 + <72 V1 + P + Я dz dz тде P = -dT’ y = W С помощью формул (7.15) соотношение (7.14) может быть переписано следующим образом: cosZda- S (7.16) Так как на поверхности S значения функции P(x,y,z) рав- ны Р (х, у, z(х, у)), то, используя правило дифференцирования сложной функции, получим д гп/ I \\i i •^[Р(х, У, Z(x, 7/))]= —+ 9 —. Поэтому соотношение (7.16) примет вид У> z(-x> y^cosZda- (7.17) S Пусть D — проекция на плоскость Оху поверхности S, a L — проекция на эту плоскость границы Г этой поверхности. Оче- видно, поверхностный интеграл в правой части (7.17) равен двойному интегралу У> z(x> y))]dxdy (см. замена- о ние 2 п. 2 § 3 гл. 5), и поэтому /= — у' z(-Xt y»]dxdy- (7.18) D Применяя к интегралу в правой части (7.18) формулу Трина, получим J ^Х’ у’ 2 (Х> dxdy = — §P (х, у, z (х, у)) dx. (7.19) D Г Пусть точка М(х, у, z) кривой Г проектируется в точку N(x, у) жривой L. Тогда, очевидно, значение функции P(x,y,z) в точке М
§ 2] ФОРМУЛА СТОКСА 185 кривой Г совпадает со значением функции Р(х, у, z(x, у)) в точке W кривой L. Поэтому справедливо равенство фР(х, у, z(х, у))dx — §Р(х, у, z)dx. (7.20) с г Очевидно, из соотношений (7.14), (7.18)—(7.20) вытекает первое из равенств (7.13). Доказательство второго и третьего из этих равенств проводится аналогично, только при этом нужно рассматривать проек- ции S на плоскости Oyz и Oxz соответственно. Теорема доказана. 3. Инвариантная запись формулы Стокса. Пусть функции Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, г) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка в некоторой окрестности Q поверхности S. Определим в О векторное поле р, координаты кото- рого в данной декартовой прямоугольной системе координат равны Р, Q, R. Очевидно, при условиях, наложенных на функции Р, Q, R поле р будет непрерывным и дифференцируемым в Q. Найдем ротор этого поля. Используя выражение для rotр в ортонормированием базисе i, J, к, получим г \ ду дг / ' \ дг дх ' \ дх ду ] v ' Выберем на поверхности З1 определенную сторону, т. е. укажем на S непрерывное поле единичных нормалей п. Обращаясь к выражению (7.21) для rot/» и используя стандартное обозначение cosA', cos Y, cosZ для координат единичного вектора нормали п к поверхности S, получим. , /dR dQ\ v . I дР dR\ v . n rot p — -5----5^- COS A 4- -5---.-4— COS Y 4- r \ду дг j 1 \дг dx j 1 , / dQ dP \ ~ + --r 5— cos Z. (7.22) 1 \ dx dy J v 7 Из соотношения (7.22) следует, что интеграл, стоящий в левой части формулы Стокса (7.12), может быть записан в виде ^nrot/>rfa. (7.23) $ Итак, находящийся в левой части формулы (7.12) интеграл после выбора определенной стороны поверхности можно рассматривать как поверхностный интеграл первого рода (7.23) от функции л rot/», заданной на поверхности 61. Так как скалярное произведение »rot/» и элемент площади da поверхности 6' не зависят от выбора декар- товой прямоугольной системы координат в пространстве, то при переходе к новому ортонормированному базису i', _/', k’ левая часть формулы (7.12) не изменит своего значения и формы, т. е. эта левая часть инвариантна относительно выбора декартовой прямоугольной системы координат в пространстве.
186 ФОРМУЛЫ ГРИНА СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 Обратимся теперь к интегралу ф Р dx + Q dy + R dz, (7-24) г находящемуся в правой части формулы Стокса. Убедимся, что этот интеграл также имеет инвариантный характер — его значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Пусть t — единичный вектор касательной в точках границы Г поверхности S, направление которого согласовано с направлением обхода на Г, cos a, cosp, cosy —координаты вектора t. Выберем за параметр на Г длину дуги I, причем на каждой связной компоненте границы возрастание параметра согласовано с направлением обхода на этой компоненте. При условиях, наложенных на Г, функция t(l) будет кусочно-непрерывной. Так как поле р непрерывно на Г, то его координаты представляют собой на Г непрерывные функции от I. Заметим, что после выбора направления обхода и параметра на кри- вой Г криволинейный интеграл второго рода (7.24) преобразуется в криволинейный интеграл первого рода. При этом Р, Q и R вычис- ляются в точках Г, a dx = cos a dl, dy —cos ^dl, dz — cosy dl. Таким образом, ф P dx 4- Q dy R dz = ф (P cos a + Q cos 0 -J- R cos y) dl = ф pt dl. г г г (7-25) Соотношения (7.25) показывают, что интеграл (7.24) действительно имеет инвариантный характер: скалярное произведение pt — инвариант, параметризация с помощью длины дуги не связана с системой коор- динат. В новой декартовой системе координат Ox'y'z' имеем pt dl = (R' cos a' -J- Q' cos 0' -f-R' cos y') dl = P' dx' -f-Q' dy' + R' dz'. Поэтому P dx Q dy R dz = P' dx' -j-Q' dy' -\-R' dz'. Отметим, что интеграл ф pt dl г обычно называется циркуляцией векторного поля р по кривой Г. Проведенные рассуждения позволяют придать формуле Стокса (7.11) (или (7.12)) следующую инвариантную форму: ЭД п rot р du = §pt dl. (7.26) S г 4. Доказательство теоремы 7.3. Докажем следующее вспомога- тельное утверждение.
§ 21 ФОРМУЛА СТОКСА 187 Лемма. Пусть S — ограниченная, полная, двусторонняя, глад- кая поверхность с кусочно-гладкой границей Г *). Существует такое б > О, что любая связная часть поверхности S, размеры которой меньше б **), однозначно проектируется на каждую из координатных плоскостей некоторой декартовой системы коор- динат. Доказательство. Убедимся сначала, что некоторая окрест- ность каждой точки /И такой поверхности однозначно проектируется на каждую из координатных плоскостей некоторой декартовой системы координат. Пусть «д! — вектор единичной нормали поверхности в точке /И. Выберем декартову систему координат Oxyz так, чтобы вектор составлял острые углы с осями Ох, Оу и Oz. Тогда, очевидно, в этой системе координат определители Уи zu zu Хи *и уи yv zv ’ zv xv ’ хъ уъ отличны от нуля для значений и и v, определяющих точку Л4, и в силу гладкости S отличны от нуля в некоторой окрестности точки (и, v) (эти определители пропорциональны координатам единичного вектора нормали к поверхности). Обращаясь к доказательству тео- ремы 5.1 и к замечанию к этой теореме (см. п. 2 § 1 гл. 5), мы убедимся, что некоторая окрестность точки однозначно проектируется на каж- дую из координатных плоскостей выбранной системы координат Oxyz. Допустим, что утверждение леммы неверно. Тогда для каждого bn—\jn, п=1, 2, ..., можно указать часть S„ поверхности S, раз- меры которой меньше б„ и которая не проектируется однозначно на три координатные плоскости любой декартовой системы координат. Выберем в каждой части Sn точку Мп, затем из последовательности {Л4Л} выберем подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке /И поверхности А. Рассмотрим ту окрестность точки М, которая одно- значно проектируется на каждую из координатных плоскостей неко- торой декартовой системы координат Oxyz. Эта окрестность содержит одну из частей Sn, которая также будет однозначно проектироваться на три координатные плоскости системы Oxyz. А это противоречит выбору частей Sn. Таким образом, предположение о несправедливости утверждения леммы ведет к противоречию. Лемма доказана. Перейдем теперь к доказательству теоремы 7.3. Разобьем S кусочно-гладкими кривыми на конечное число гладких частей S{, размер каждой из которых меньше б, указанного в только что дока- занной лемме. При этом к числу кривых, разбивающих S, присоединим и ребра поверхности. Так как часть S; проектируется однозначно на три координатные плоскости некоторой декартовой системы координат,. *) Отметим, что замкнутая поверхность не имеет границы. **) Такая часть поверхности может быть расположена в сфере радиуса 6.
188 ФОРМУЛЫ ГРИНА. СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 1ГЛ. 7 то в силу инвариантности формулы Стокса (см. п. 3 этого параграфа) и выводов п. 2 этого параграфа, формула Стокса верна для части S). Просуммируем теперь левые и правые части формул Стокса для частей S;. Очевидно, сумма левых частей этих формул представляет со- бой двойной интеграл ЭД п rotp da, а $ в правой части будет стоять сумма интегралов §pt dl по границам г; частей St- Ясно, что интегралы по общим участкам границы частей St сократятся, ибо эти участки обхо- дятся в противоположных направ- лениях (для пояснения можно обра- титься к рис. 7.6). Поэтому указанная выше сумма криволинейных интегралов равна криволинейному интегралу по границе Г поверх- ности S’. Из наших рассуждений вытекает справедливость формулы ЭД п rot р da = ф ptdl, s г которая и является формулой Стокса. Теорема 7.3 доказана. § 3. Формула Остроградского 1. Формулировка основной теоремы. Пусть V — конечная, вообще говоря, многосвязная область в пространстве Oxyz с кусочно-гладкой границей S*). Область V с присоединенной границей будем обозна- чать V. Справедлива следующая основная теорема. Теорема 7.5. Пусть функции Р (х, у, z), Q (х, у, г) и R (х, у, z) непрерывны в V и имеют непрерывные частные производные пер- вого порядка в V. Если существуют несобственные интегралы по области V от каждой из частных производных функций Р, Q и R, то справедливо соотношение V — ^Pdydz-^Qdzdx-^-Rdxdy, (7.27) s *) Граница S называется кусочно-гладкой, если она составлена из конеч- ного числа гладких поверхностей, примыкающих друг к другу по гладким кривым—ребрам поверхности. Если граница S состоит из конечного числа замкнутых кусочно-гладких поверхностей S,, то S, называют связными компонентами S, а связную область V называют многосвязной.
§ 31 ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 189 называемое формулой Остроградского. При этом стоя- щий в правой части интеграл представляет собой сумму интег- ралов по связным компонентам границы S, на которых выбрана внешняя по отношению к V сторона. Мы ограничимся доказательством формулы Остроградского лишь для специального класса областей. Отметим, что теорема 7.5 может быть доказана путем обобщения метода, который был использован в § 1 этой главы при доказа- тельстве формулы Грина. 2. Доказательство формулы Остроградского для специального класса областей. Односвязную конечную область V с кусочно-гладкой границей S будем называть областью типа К, если каждая прямая, парал- лельная любой координатной оси, пере- секает границу 5 области V7 не более чем в двух точках. Для области типа К будут ис- пользованы специальные системы ис- черпывающих областей {Гга}. Опишем построение такого типа систем. Пусть область D на плоскости Оху представляет собой проекцию на эту плоскость области V. Через граничные точки области D проведем прямые, параллельные оси Oz. Каждая из этих прямых пересекается с границей 5 области V лишь в одной точке. Мно- жество этих точек разделяет S на две части S' и S" (рис. 7.7), которые представляют собой графики непрерывных в D и кусочно-дифферен- цируемых в D функций Zj (х, у) и z2 (х, у). Отметим, что z1 (х, у) s^z2(x, у) (равенство имеет место лишь в точках границы области О). Рассмотрим произвольную последовательность областей {О„}, моно- тонно исчерпывающих область D. Пусть S'n и S"n — графики функций Zj (х, у) -ф- еп и z2 (х, у) — е„, заданных на Dn (число бп выбирается столь малым, чтобы поверхности S'n и S”n не пересекались). Границей области Vn является поверхность, составленная из поверх- ностей S'n и Sn и части цилиндрической поверхности, с образующими, параллельными оси Oz. При этом направляющей цилиндрической поверхности служит граница области Dn. Область Уя+1 строится ана- логичным образом, только вместо области Dn берется область £)n+j и е„+1 выбирается меньше еп. Очевидно, что при е„->0 система {V„} монотонно исчерпывает область V. Докажем следующее утверждение.
190 ФОРМУЛЫ ГРИНА. СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 Теорема 7.6. Пусть в области У типа К функции Р (х, у, z), Q(x,y, z) и R(x,y, z) удовлетворяют условиям теоремы 7.5. Тогда для этой области и для функций Р, Q и R справедлива формула Остроградского. Доказательство. Очевидно, достаточно убедиться в справед- ливости равенств (7.28) (7.29) dxdydz = Р dy dz, S S S dx dy dz= Q dz dx, ф dx dy dz - П R dx dy. Так как эти равенства доказываются однотипно, мы проведем доказательство для третьего из них. Рассмотрим тройной интеграл S S S dz' vn Для области Vn и для подынтегральной функции в интеграле (7.29) выполняются все условия, при которых действует формула повторного интегрирования. По этой формуле имеем у) — еп W^dxdydz^^dxdy $ = Vn Dn + ел = ЭД R(X, у, z2(x, у) — е„) dxdy — ЭД R(x, у, zx(x, у)-ф e„))dx dy. On Dn (7.30) Зевая часть соотношения (7.30) при я—>оо имеет предел, равный \ dx dy dz. В силу равномерной непрерывности функции R(x, у, z) в замкнутой области V каждое из слагаемых в правой части (7.30) имеет при п —> оо предел, равный для первого слагаемого ^R(x, у, z2(x, y))dxdy и для второго слагаемого — ЭД R (х, у, D о zi (х> У)) dx dy- Первый из только что указанных интегралов пред- ставляет собой при выборе внешней стороны поверхности 5, интеграл ЭД R (х, у, z) dx dy, а второй (с учетом стоящего перед ним знака «Ми- S'' нус») интеграл ЭД R (х, у, z) dx dy. Итак, правая часть соотношений S'
§ 3] ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 191 (7.30) имеет при и->оо предел, равный ^R(x, у, z)dxdy. Следова- $ тельно, третья из формул (7.28) доказана. Доказательство первой и второй из формул (7.28) проводится аналогично (нужно рассмотреть проекции V на плоскости Oyz и Oxz соответственно и повторить проведенные рассуждения). Теорема дока- зана. 3. Инвариантная запись формулы Остроградского. Пусть функ- ции Р, Q и R удовлетворяют условиям теоремы 7.5 в конечной связ- ной области V с кусочно-гладкой границей 5. Определим в V вектор- ное поле р, координаты которого в данной декартовой системе координат Oxyz равны Р, Q, R. Очевидно, при условиях, наложенных на эти функции, поле р будет непрерывным в V и дифференци- руемым в V. Найдем дивергенцию поля р. Используя выражение для дивер- генции поля р в ортонормированном базисе I, j, k, получим ,. дР . dQ , dR div р = -ч--h -5s- + . г дх ду дг Замечание. Перейдем к новой декартовой системе координат в пространстве. Пусть Г, j', k' — ортонормированный базис, связанный с этой системой, а Р’, Q', R' — координаты поля р в этом базисе. Очевидно, функции Р', Q', R' непрерывны в V и дифференцируемы в V (эти функции представляют собой линейные комбинации функ- ций Р, Q, R). Так как в новой системе координат .. дР' , dQ' , dR' dlV р = -^-7 -j- + -5-7- , г дх' ' ду' дг ’ то в силу инвариантности дивергенции справедливо равенство <?Р dQ_ . ОД _ дР' dQ' dR' "дх ' ду ' дг дх' ду' дг' ' Таким образом, если Р, Q, R рассматривать как координаты век- dQ dR ду ' дг дР торного поля р, то выражение не меняет ни зна- чения, ни формы при переходе к новой декартовой прямоугольной- системе координат, т. е. представляет собой инвариант. Мы можем поэтому сделать следующий важный вывод: интеграл, находящийся в левой части формулы Остроградского (7.27), имеет инвариантный характер —его значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Действи- тельно, при таком преобразовании координат абсолютное значение якобиана преобразования равно единице. Согласно же замечанию
192 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 подынтегральное выражение не меняет ни значения, ни формы при таком преобразовании координат. Обратимся теперь к интегралу ЭД Р dy dz Q dz dx 4- R dx dy> (7.31) s находящемуся в правой части формулы Остроградского (7.27). Убе- димся, что этот интеграл также имеет инвариантный характер — его значение и форма подынтегрального выражения не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Используя замечание 2 п. 2 § 3 гл. 5 о форме записи поверх- ностного интеграла второго рода и обозначения X, У, Z для углов, которые образует нормаль п к поверхности с осями координат, можно переписать интеграл (7.31) следующим образом: ЭД (Р cos X 4- Q cos Y4- R cos Z) do. (7.32) .s Подынтегральное выражение в интеграле (7.32) представляет собой скалярное произведение пр, и поэтому интеграл (7.32) (или, что то же, интеграл (7.31)) может быть записан в следующем инвариант- ном виде: пр do. s Отметим, что. этот последний интеграл обычно называется потоком векторного поля р через поверхность £ Обращаясь к инвариантной форме записи интеграла (7.31), мы видим, что в новой системе декартовых координат этот интеграл имеет вид ЭД Р' dy' dz' 4- Q' dz' dx’ 4~R' dx' dy'. s Проведенные в этом пункте рассуждения позволяют записать фор- мулу Остроградского (7.27) в следующем инвариантном виде: ЭД$ divp dv = ЭД пр do. (7.33) V S В этой форме через dv обозначен элемент объема области V. Из теоремы 7.6 и выводов этого пункта мы можем извлечь важное следствие. Следствие. Пусть функции Р (х, у, z), Q (х, у, z) и R (х, у, z) удовлетворяют условиям теоремы 7.5 в конечной области V с кусочно-гладкой границей S. Если область V может быть раз- бита на конечное число областей Vk с кусочно-гладкими грани- цами Sk и при этом каждая из Vk представляет собой область типа К по отношению к некоторой декартовой системе коор-
§ 41 ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 193 динат, то для области V и функций Р, Q и R справедлива формула Остроградского. Справедливость следствия вытекает из следующих рассуждений. Ясно, что формула Остроградского справедлива для каждой из обла- стей Vk. Это следует из инвариантного характера формулы и из теоремы 7.6 (в типа К). Далее некоторой системе координат Vk будет областью Ш/ дР . 9Q . \дх~ "I ~ду vb Х У из левых частей формул Остроградского для обла- V •ф j dx dy dz стей представляет собой интеграл Сумма же поверхностных интегралов ЭД Р dy dz -ф Q dz dx -ф R dx dy sk в правых частях формул Остроградского по границам Sk областей даст интеграл ЭД Р dy dz -ф Q dz dx -ф R dx dy, ибо интегралы по общим s участкам границы областей Vk сократятся — эти участки в соседних областях Vk ориентированы противоположным образом. § 4. Некоторые приложения формул Грина, Стокса и Остроградского 1. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл. Пусть О —конечная плоская связная область с кусочно- гладкой границей L. Справедливо следующее утверждение. Площадь о области D может быть вычислена по формуле L в которой криволинейный интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы L, причем на каждой из этих компонент указано такое направление обхода, при кото- ром область D остается слева. Для доказательства утверждения рассмотрим в D функции Р(х, _у)= — у, Q(x, у) — х. Очевидно, эти функции удовлетворяют в D всем условиям, при которых справедлива формула Грина (7.1). По этой формуле имеем ~ dx dy = § < dx + dy- D L Двойной интеграл в последней формуле равен 2ст, а криволинейный интеграл равен §xdy—у dx. Таким образом, формула (7.34) доказана.
194 ФОРМУЛЫ ГРИНА. СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 2. Выражение объема через поверхностный интеграл. Пусть V—конечная связная область в пространстве с кусочно-гладкой границей 5. Справедливо следующее утверждение. Объем v области V может быть вычислен по формуле v = у х dy dz -\-у dz dx A- z dx dy, (7.35) в которой поверхностный интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы S, причем на каж- дой из этих компонент выбрана внешняя по отношению к V сторона. Для доказательства утверждения рассмотрим в V функции Р(х, у, z)~x, Q(x, у, z)=y, R(x, у, z) = z. Очевидно, эти функции удовлетворяют условиям, при которых справедлива формула Остроградского. По этой формуле имеем \ dx dydz=^x dy dz +_y dz dx-\- z dx dy. Тройной интеграл в последней формуле равен Зц. Поэтому из послед- ней формулы вытекает соотношение (7.35). Утверждение доказано. 3. Условия, при которых дифференциальная форма P(x,y)dx-\- 4~ Q (х, j) dy представляет собой полный дифференциал. В этом пункте мы укажем ряд условий, при выполнении которых дифферен- циальная форма Р (х, у) dx + Q (х, у) dy, заданная в связной области О представляет собой полный дифференциал некоторой функции и(х,у). Докажем следующую теорему. Теорема 7.7. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны в области D. Тогда следующие три условия эквивалентны. 1. Для любой замкнутой (возможно самопересекающейся) ку- сочно-гладкой кривой L, расположенной в D, фр dx -j- Q dy = 0. L 2. Для. любых двух точек А и В области D значение инте- грала Р dx + Q dy АВ не зависит от кусочно-гладкой кривой АВ, соединяюшей точки А и В и расположенной в D.
S 41 ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА; СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 195 3. Дифференциальная форма Р(х, y)dx-\-Q(x, y)dy представ- ляет собой полный дифференциал. Иными словами, в D задана такая функция и (Л4) = и (х, у), что du — Р dx 4- Q dy. (7.36) В этом случае для любых точек А и В из области D г для произвольной кусочно-гладкой кривой АВ, соединяющей эти точки и расположенной в D, Pdx + Qdy = u(B)-u(A). (7.37) АВ Таким образом, выполнение каждого из условий 1, 2, 3 не- обходимо и достаточно для выполнения каждого из двух остальных. Доказательство. Проведем доказательство по схеме, т. е. докажем, что из первого условия следует второе, из второго — третье, из третьего — первое. Очевидно, что при этом будет доказана эквивалентность условий 1, 2, 3. Первый шаг: 1 —> 2. Пусть А и В— произвольные фиксированные точки области D, r'Lz АСВ и АС'В — любые две кусочно-гладкие кри- вые, соединяющие указанные точки и расположен- /С/ ные в D (рис. 7.8). Объединение этих кривых Д представляет собой кусочно-гладкую (возможно Рис. 7.8. самопересекающуюся) замкнутую кривую L = — АСВ А-ВС'А, расположенную в 7). Так как условие 1 предпо- лагается выполненным, то ф Р dx-\- Q dy = 0. L "---------------------- Из этого равенства, учитывая, что L = АСВ-\- ВС А и что при изме- нении направления обхода криволинейный интеграл меняет знак, полу- чим соотношение Р dx -|- Q dy — PdxA- Q dy. ---------------------•' ACB AC'B Следовательно, условие 2 выполняется.
196 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 Второй шаг: 2 —> 3. Пусть Л40 — фиксированная точка, а *-- М (х,у) — произвольная точка области D, М0М — любая кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки Л40 и Л4 и расположенная в D. В силу условия 2 выражение и (/И) — Р dx 4- Q dy (7.38) :е зависит от кривой Л10уИ и поэтому представляет собой функцию, жданную в D. Докажем, суще- du и V. ду' (7.39) что в каждой точке М области D ди ствуют частные производные причем ди „, . ди „, . ^ — Р(х, у), = ==Q(x, у). дх v ду Гак как Р(х, у) и Q(x, _у) непрерывны в D, то из последних соотношений сле- дует дифференцируемость функции и и равенство (7.36). Тем самым будет дока- зан второй шаг 2 -> 3. Доказательство существования частных производных функции п(х, у) и равенств (7.39) проводится одновременно. Докажем, напри- мер, существование и первое из равенств (7,39). Фиксируем точку Л1 (х, у). Придадим аргументу х настолько малое чтобы отрезок MN, соединяющий точки М (х, у) располагался в D *) (рис. 7.9). Имеем Ди = и (х ф- Дх, у) — и (х, у) = приращение Дх, и А/(х-|-Дх, у), = Р dx Qdy— Р dx Qdy= Р rfx Q dy. М'„М N М„М ~MN На отрезке /ИА/ величина у имеет 'j Qdy — 0. Следовательно, MN $ Pdx^ PTn постоянное значение, и поэтому х Ц- ьх P(t> У) dt. Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим Д„==Р(.г+ 8Дх, у)Дх, где 0 < О < 1. *) Так как D — область, г. е. множество, состоящее лишь из внутренних точек, то такой выбор Дх возможен.
§ 4] ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 197 откуда Х^ = Р(х-у^\х, у), О<0 < 1. В силу непрерывности Р(х, _у)> правая часть последнего равенства имеет предел при Ах-* О, равный значению этой функции в точке М(х,у). Следовательно, и левая часть тот же имеет предел, равный по определению частной производной Таким образом,существование частной производ- ной и справедливость первого равенства (7.39) доказана. Существование частной производной и справедливость второго равенства (7.39) оказывается аналогично. Докажем теперь соотношение (7.37). Пусть А и в —любые точки из D, АВ — произвольная кусочно-гладкая кривая, соединяющая эти точки и расположенная в D. Эта кривая определяется параметриче- скими уравнениями x — x(t), у —у (В), as^ts^b. Используя правило вычисления криволинейных интегралов, получим ь 5 Р dx -j- Q dy = $ {Р (х (О, У (0) х (0 + Q (х (0, у (0)У (0} dt = *АВ а ь ~ ^u't dt = и (х (Ь), у (Ь)) — и(х (а), у (а)) = и (В) — и (А). а Таким образом, формула (7.37) доказана. Третий ш а г: 3 —> 1. Это утверждение следует из формулы (7.37). В самом деле, для замкнутой кривой L начальная точка совпадает с конечной, и поэтому по формуле (7.37) имеем ф Р dx + Q dy — и (А) — и (А) = 0. L Теорема доказана. Замечание. Мы отмечали, что условия 1, 2, 3 теоремы 7.7 равносильны, и поэтому, в частности, условие 3 представляет собой необходимое и достаточное условие, при котором криволинейный интеграл ^Pdx-\-Qdy не зависит от выбора кривой L, соединяю- L щей любые данные точки А и В области D. Для односвязных областей *) мы укажем удобное для приложе- ний необходимое и достаточное условие того, чтобы дифференциальная форма Pdx -j- Qdy была полным дифференциалом некоторой функции. *) Напомним, что область U называется односвязиой, если любая кусочно- гладкая, лесамопересекающаяся замкнутая кривая, расположенная в D, огра- ничивает область, все точки которой принадлежат D.
198 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 Естественно, это условие будет необходимым и достаточным для независимости интеграла \ Р dx Q dy от выбора кривой L, L соединяющей любые данные точки А и В области D. Теорема 7.8. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) и их частные производные непрерывны в односвязной области D. Тогда каждое из трех условий 1, 2, 3 теоремы 7.7 эквивалентно условию Доказательство. Применим схему Мы уже доказали утверждения 1 -> 2 -> 3. Докажем, что 3->4 и 4—> 1. Первый шаг: 3—>4. Пусть в области D существует функ- ция и (х, у) такая, что du — Р dx Q dy. Тогда -^- = Р, -^ = Q дР д Т ди \ д Т ди \ dQ ду ду \ дх ) дх \ ду ) дх Такшм образом, условие 4 выполнено. Отметим, что для до- казательства шага 3—*4 не требуется условия односвязности области D. Второй шаг: 4->1. Пусть выполнено условие 4. Тогда в каждой точке области D справедливо равенство 4г- — 4^- = 0. (7.40) дх ду ' ’ Если L — расположенная в D замкнутая кусочно-гладкая кривая без самопересечений, ограничивающая область D* (об- ласть D односвязна, и поэтому каждая точка области D* при- надлежит D), то, применяя формулу Грина к области D* и ис- пользуя (7.40), получим $ Р dx + Q dy = (-g- - -g-) dx dy = 0. L D* В случае, когда L имеет конечное число точек самопересече- ния или является ломаной с конечным числом звеньев, то для каждой петли £ кривой L справедливо равенство Р dx+Q dy=0, и поэтому для L справедливо равенство & Р dx + Q dy = 0.
§ 4) ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 199 Пусть L — произвольная замкнутая кусочно-гладкая рем для L число ХЗ>0 так, как это указано на части Lk длины меньше X (к точкам разбиения относятся и угловые точки кри- вой L, см. рис. 7.10). Согласно упомянутой лемме касательные в концах и Nk каж- дой части Lk составляют угол, меньший л/8. Тогда, очевидно, для достаточно малого X криволинейный треугольник MkNkCk (этот треугольник заштрихован на рис. 7.10), в котором МкСк составляет угол меньший л/8 с касательной в Мк, a NkCk — нормаль к L в точке Nk, целиком расположен в D и представ- ляет собой замкнутую кусочно-гладкую кривую без Поэтому кривая. Выбе- 1. Разобьем L в лемме М Рис. 7.10. самопересечений. по дуге MkNk ф Р dx + Q dy = 0. MkNkck Отсюда следует, что криволинейный интеграл равен криволинейному интегралу по ломаной MkCkNk: J Р dx 4- Q dy = § Р dx 4- Q dy. У,-MbCbNb k k Проводя аналогичные рассуждения для любой части Lk, мы полу- чим в результате расположенную в D замкнутую ломаную L, для которой dx-[-Q dy = §P dx-^-Qdy. £ i. (7.41) Выше мы отмечали, что для замкнутой, расположенной в D лома- ной L интеграл ф Р dx 4- Q dy = 0. Отсюда и из (7.41) получаем £ ф Р dx 4- Q dy = 0. L Теорема доказана. 4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Нами были ранее (см. п. 3 § 1, п. 3 § 2 и п. 3 § 3) введены понятия циркуляции и потока векторного поля. Напомним эти понятия. Пусть в некоторой области D задано непрерывное векторное поле р(А1) = р(х, у, z). Определение 1. Циркуляцией векторного поля р по замкнутой кусочно-гладкой кривой L, расположенной в области D, называ- ется интеграл ф pt dl, L
200 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 в котором t — единичный вектор касательной к L, a dl — диф- ференциал длины дуги кривой L. Определение 2. Потоком векторного поля р через ориенти- рованную кусочно-гладкую поверхность S, расположенную в об- ласти D, называется интеграл \\pnda’ s где п — единичный вектор нормали к поверхности S, указываю- щий ее ориентацию, a do — элемент площади поверхности S. Введем понятия потенциального и соленоидалъного вектор- ного поля. Определение 3. Векторное поле р называется потенци- альным в области D, если циркуляция этого поля по любой замкнутой кусочно-гладкой кривой, расположенной в области D, равна нулю. Определение 4. Векторное поле р называется соленой- дальным в области D, если поток этого поля через любую кусочно-гладкую несамопересекающуюся замкнутую поверх- ность, расположенную в D и представляющую собой границу некоторой ограниченной подобласти области D, равен нулю. Для непрерывно дифференцируемых векторных полей и спе- циального класса областей мы докажем теорему, содержащую необходимые и достаточные условия потенциальности поля. Предварительно мы введем понятие трехмерной поверхно- стно-односвязной области. Трехмерная область D называется поверхностно-односвяз- ной, если для любой кусочно-гладкой замкнутой кривой L, рас- положенной в D, можно указать такую ориентируемую кусочно- гладкую поверхность S, расположенную в D, границей которой является L. Отметим, что для упомянутой поверхности S спра- ведлива формула Стокса. Имеет место следующая теорема. Теорема 7.9. Пусть в поверхностно-односвязной области D задано непрерывно дифференцируемое векторное поле р — = {Р, Q, R}. Тогда эквивалентны следующие три условия: 1. Векторное поле р — р(М) является потенциальным. 2. В области D существует потенциальная функция и(М), т. е. такая функция, что р — grad и, или, что то же, du — Р dx A- Q dy -\- R dz. В этом случае для любых точек А и В из области D и для произвольной кусочно-гладкой кривой АВ, соединяющей эти точки и расположенной в D', ^pt dl = u (В) — и (Л), АВ
§ 4] ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА. СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 201 {здесь t — единичный вектор касательной к кривой АВ, a dl — диф- ференциал дуги). 3. Векторное поле р = р (М) является безвихревым, т. е. rotp = 0 в D. Очевидно, условие 3 эквивалентно соотношениям a? _dQ dQ _dR dR _дР dy dx' дг ду ’ дх дг ' Таким образом, каждое из условий 2 и 3 представляет собой необходимое и достаточное условие потенциальности дифферен- цируемого векторного поля р. Доказательство. Применим схему Утверждения 1 -> 2 и 2->3 справедливы без предположения поверх- ностной односвязности области D и доказываются в полной анало- гии с соответствующими утверждениями теорем 7.7 и 7.8. Докажем утверждение 3 -> 1. Пусть L — замкнутая кусочно-гладкая кривая, расположенная в D. По предположению, D — поверхностно-односвязная область. Поэтому в D существует такая кусочно-гладкая поверхность 5, границей кото- рой является L. По формуле Стокса (7.26) имеем ф pt dl — ЭД п rot р do. l s Отсюда и из условия rot р = 0 получаем ф ptdl — 0, L т. е. поле р является потенциальным. Теорема доказана. В заключение этого пункта докажем теорему о необходимых и достаточных условиях соленоидальности векторного поля в так назы- ваемых объемно-односвязных областях. При этом пространственная область D называется обьемпо-односвязной, если любая замкнутая, кусочно-гладкая, несамопересекающаяся ориентируемая поверхность, расположенная в D, является границей области, также расположен- ной в D. Теорема 1.10. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле р было соленоидальным в объемно-односвязной области D, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках D
202 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО (ГЛ. 7 выполнялось равенство div/> = 0. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть М — произволь- ная точка области D. Рассмотрим любую сферу S с центром в М, целиком расположенную в D. Применяя к шару Ds с границей S формулу Остроградского (7.33), получим divр dv = пр do. (7 42) ds s Так как поле р является соленоидальным, то ^пр des = 0, и поэтому, s согласно (7.42), div/?dv — 0. Применяя к последнему интегралу Ds теорему о среднем, мы убедимся, что в некоторой точке шара Ds div/? = 0. В силу произвольности этого шара и непрерывности поля р отсюда следует обращение в нуль div/? в точке М. Таким образом, необходимость условий теоремы доказана. 2) Достаточность. Пусть .S’—любая замкнутая, кусочно-гладкая, несамопересекающаяся, ориентируемая поверхность, расположенная в D. Так как D — объемно односвязная область, то S является границей области Ds, также расположенной в D. Применяя к Ds и вектор- ному полю р формулу Остроградского (7.33), получим соотноше- ние (7.42) из которого и из условия div/? = 0 следует соотношение пр do — 0. $ Так как S— произвольная замкнутая, кусочно-гладкая, несамопересе- кающаяся, ориентируемая поверхность, расположенная в D, то послед- нее равенство, согласно определению, означает соленоидальность поля р в D. Теорема доказана. ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Знакопеременные полилинейные формы 1. Линейные формы. Пусть И — произвольное n-мерное векторное прост- ранство, элементы которого будем обозначать символами |, tj. Предметом нашего изучения будут функции, сопоставляющие каждому элементу И некоторое вещественное число. Определение 1. Функция а называется линейной формой, если для любых | е V, г] е V и любого вещественного числа X выполняются равен- ства О а(5 + п)=о®+а(11), 2) а(Х|)=Ха('£). Определение 2. Суммой двух линейных форм а и Ь назовем линейную форму с, которая каждому вектору g е V сопоставляет число c® = a(S) + Mg).
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 7 203 Произведением линейной формы а на вещественное число К назовем линей- ную форму Ь, которая каждому вектору g е V сопоставляет число b(l) = Xa(l). Таким образом, множество всех линейных форм образует векторное про- странство, которое мы обозначим символом L (И) *). Найдем представление линейной формы а в каком-либо базисе Пусть i = I где числа £' определяются однозначно. Если обозначить а; = а(е,), то искомое представление будет иметь вид а (£) = У / = 1 Докажем, что размерность dim L (Е) линейного пространства L (И) равна п. Для этого достаточно указать какой-либо базис в L (lz), содержащий точно п элементов, т. е. п линейных форм. Фиксируем произвольный базис {еА} про- странства V и рассмотрим следующие линейные формы: e‘(g) = 5ft (/<= 1, 2,..., п), где — коэффициенты разложения вектора § по элементам базиса {£/,}. Иначе говоря, линейная форма ek действует на элементы базиса по правилу В таком случае в данном базисе {е,} линейная форма а имеет вид п a(D=2 а/ = а(е/), i = I it. e. линейные формы e1 (g), e2(g),..., e” (g) образуют базис в L (lz). Этот базис называют сопряженным (а также взаимным или дуальным) к базису {«;}. 2. Билинейные формы. Обозначим через I/ X V' множество всех упорядо- ченных пар (gj, g2), где eV, g2 <s V, и рассмотрим функции а (gx, g2), сопоставляющие каждому элементу из V х V (т. е. каждым двум элементам е V и g2 е V) некоторое вещественное число. Определение. Функция a (g,, g2) называется билинейной формой, если при каждом фиксированном значении одного аргумента она является линейной формой относительно другого аргумента. Иначе говоря, для любых векторов g1( g2, тц, ц2 и любых вещественных чисел Хъ Z2, щ, Цг выполняется равенство а + Н1П1. ^-2^2 + ИаЧг) — = XA2a(g1, g2) +^iP2« (li- hi. k)+lWhi. Лг)- Множество всех билинейных форм легко превратить в линейное простран- ство, вводя в нем естественным образом операции сложения и умножения на вещественное число. Полученное пространство билинейных форм обозначим символом L2 (Е). *) Пространство L (К) обозначают также символом V* и называют сопря- женным (или дуальным) к V,
204 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 Найдем представление билинейной формы а (§1( §2) в каком-либо базисе п ] пространства [/. Пусть $,k — 2 ^keh ^=1> 2* Положим а (е,, е/) — ац /=1 и получим искомое представление п п а(?1> ?2)= У 2 i = 1 / = 1 Для того чтобы определить размерность пространства £2 (Ю> образуем с помощью линейных форм е‘ (£), составляющих в L (V) базис, сопряженный к базису {₽;•}, следующие билинейные формы: = (^)^(|2). Тогда произвольная билинейная форма будет однозначно представимой в виде п п а&, Ь)= 2 1] (Si, 12)- « = 1 i = I Это означает, что формы eiJ J2) образуют базис в £2 (Г) и, следова- тельно, размерность £2 (Ю равна п2 3. Полилинейные формы. Пусть р— натуральное число. Обозначим симво- лом V’P= V'X V X ... X V множество всех упорядоченных наборов (|г, £2, ..., £р) из р векторов, каждый из которых принадлежит V, и рассмотрим функции, сопоставляющие каждому такому набору некоторое вещественное число. Определение. Функция a (gt, S2..... называется полилинейной формой степени р (или р-ф о р мо и), если она является линейной формой по каждому аргументу при фиксированных значениях остальных. Вводя в множестве всех р-форм линейные операции, мы получим линейное пространство, которое обозначим символом Lp (И). Найдем представление произвольной полилинейной формы а (§х, g2,..., в каком-либо базисе {£,-}"_] пространства V. Обозначим а;1Г-2.../р = а(Ог О2, .... %)• п Тогда, если 1{г= ft = 1, 2, ..., р, то z = i р Р а (51,•••,§₽) = 5 - S <4;,...; <р=' Если е1г (|) есть базис в L (И), сопряженный к {в;}, то, очевидно, р-формы е'1<2 - ip (51, ?2, ••• , 5₽) = е‘1 <Ь) е'2 (5s) е'Р (5р) образуют базис в Lp(V) и, таким образом, LP(V) имеет размерность пр. 4. Знакопеременные полилинейные формы. Определение. Полилинейная форма а (Ед, 5а, называется зна- копеременной, если при перестановке любых двух аргументов она меняет знак *). Иначе говоря, а (51, 5г, , 5;, , 5/, , 5₽) = —а (51, ?2, .... 5/,..., 5ь - , 5Д *) Знакопеременные полилинейные формы называют также антисиммет- рическими, кососимметрическими, косыми, внешними.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ, 7 205 Очевидно, множество всех полилинейных знакопеременных форм степени р образует подпространство линейного пространства LP(V), которое мы обозна- чим символом Ар (И) *), Элементы пространства Ар (V) мы будем обозначать символом со = <в(£1( ...£р). Заметим, что если {е,} — произвольный базис в И и Н — 1 <р — 1 то числа coj-j ... ip меняют знак при перестановке двух индексов. Это выте- кает из того, что ... <р = ® (?it...... егр). Естественно считать, что (V) — Lx (I/), а Ло (I/) состоит из всех посто- янных, т. е. совпадает с числовой прямой. 5. Внешнее произведение знакопеременных форм. Рассмотрим две знако- переменные формы а>1’ еЛр (lj и В этом пункте мы введем основную операцию в теории знакопеременных форм — операцию внешнего умножения. Пусть (i)I( и,, ..., т)р), 1); el/, ®’ = ®’(li. •••> £?). Рассмотрим следующую полилинейную форму a = Z.p+9 (И): а (11, ?2> • •• I = (11, • • , §р) ®^ (lp+11 • • • I Ipq-y)- (7-43) Эта форма, вообще говоря, не является знакопеременной. Именно, при перестановке аргументов и где 1 I р и р-\- \ j p-\-q, форма (7.43) может не изменить знака. Этим обстоятельством и вызвана необходи- мость введения внешнего произведения. Для того чгобы ввести внешнее произведение, нам понадобятся некото- рые факты из теории перестановок. Напомним, что перестановкой чисел {1, 2, ... , т} называют функцию о —о (k), определенную на этих числах, и отображающую их взаимно одно- значно на себя. Множество всех таких перестановок обозначается символом Очевидно, существует всего и! различных перестановок из У,т. Для двух перестановок ое иге естественным образом определяется суперпо- зиция ат е Um. Перестановка а-1 называется обратной к а, если а-|а = аа-1=е, где s —тождественная перестановка (т. е. е(/?) = k, k=l, 2,...,т). Перестановка о называется транспозицией, если она переставляет два числа, оставляя другие на своем месте. Иначе говоря, существует пара чисел i и j (1 sc i т, I < j --с т, i Ф j) такая, что о (i) — j, o(j) = i и о (/г) = k для k i и k =# j. Очевидно, если о — транспозиция, то а-1 = о и о-о = е. Известно, что всякая перестановка о разлагается в суперпозицию тран- спозиций, переставляющих числа с соседними номерами, причем четность числа транспозиций в таком разложении не зависит от его выбора и называ- ется четностью перестановки о. Введем следующее обозначение: senn = J если перестановка а четна, “ ] — 1, если перестановка о нечетна. *, Это пространство обозначают также символом Д ?У* и называют р-н внешней степенью пространства И*.
206 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 Заметим, что форма а с= Lp (И) принадлежит Ар (V), если для любой пере- становки о е Sp ° (1<г <1) > ia <21 > • • • > la <р>) ==sSn ° • ° (lii I21 • • • Ip)- Рассмотрим снова полилинейную форму (7.43). Для любой перестановки о Е Sp + ? ПОЛОЖИМ (111 Ip+ч)= 3 (1а<1>| ••> 1а<р+?>)- (7-44) Нетрудно убедиться в том, что если и оeSp+?, то (то)а = т(аа). Введем следующее определение. Определение. Внешним произведением формы со₽ е Ар (V) и формы а>4 е Ая (V) называется форма а> е Ар + ? (V), определяемая равенством со di....1р+?) = 2 sgn а ' ва- (7'45) а где сумма берется по всем перестановкам а <= Sp+g, удовлетворяющим условию а (1) < о (2) < ... < о (р), о (р+1) <...<а (p-R), (7.46) а величина аа определяется равенствами (7.43) и (7.44). Внешнее произведение форм со₽ и со? обозначается символом со = со₽ Д ш?. Проиллюстрируем на примере, как действует перестановка о, удовлетворя- ющая условию (7.46). Предположим, что по некоторой дороге параллельно движутся две колонны автомобилей, в первой из которых р, а во второй q машин. Через некоторое время дорога сужается и обе колонны на ходу перестраиваются в одну. При этом автомобили первой колонны занимают места где-то среди автомобилей второй, однако порядок следования автомобилей внутри каждой колонны сохраняется. В результате мы получаем перестановку, удовлетворяющую условию (7.46). Легко видеть, что и обратно, всякая такая перестановка может быть реализована на нашей модели. Для того чтобы убедиться, что данное нами определение является коррект- ным, необходимо доказать, что ш — а>Р Д ыЧ <= Ap+q (V). Очевидно, в доказа- тельстве нуждается только знакопеременность формы со. Покажем, что при перестановке двух аргументов и £,+1 форма со меняет знак. Отсюда легко будет следовать, что ы ет Лр+Ч (И). Пусть т е Yip-t-q является такой перестановкой. Убедимся в том, что то = —со = (sgn т) со. Из равенства (7.45) получим то = 2 (sgn а) (то) а. а Разобьем эту сумму на две: то = 2' (sgn o') (то) а + S” (5£п о) (та) а- а а К первой сумме отнесем те перестановки о, для которых либо о"1 (() р, о-1 (t + 1) -< р либо о-1 (с) р + 1, о-1 (i+1) 2= р+ 1. Для каждой такой пе- рестановки (то) а=— а а. Для того чтобы сделать это утверждение более очевидным, обозначим k — = o_,(i), Z = o'1 (i-f-1), т. e. i = o (ft), i-|-l=o(/). Форма oa представляет (7.47) (7.48)
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 7 207 собой произведение форм сдР и со?, причем аргументами сор являются векторы Ian,. ёсг<2,.5<г<р>, а аргументами со? — векторы la(p+i>, , lvp+qi- Если fejgp и то 5i=5a<A> и 5i+i =5a<z, являются аргументами формы соР, которая по условию знакопеременна. Следовательно, при перестановке g; и I/H1 форма соР, а значит и аа, меняет знак. Аналогично рассматривается слу- чай, когда k^p-\-\ и/Э=р-|-1. Итак, для первой суммы выполняется равенство 2' (sgn а) (та) а = — J]' (sgn а) аа. (7.49) а а Ко второй сумме отнесем те перестановки а, для которых либо а-1 (i) =g р, а-1 (с 1) р +1 либо о-1 (0 >: р +1, о-1 (i + 1) sg р. Покажем, что множество перестановок {а}, удовлетворяющих этому условию (а также, разумеется, условию (7.46)), совпадает с множеством перестановок вида та, где а е {а}. Обратимся к нашей модели с двумя колоннами автомобилей. Утверждение примет следующий очевидный вид. Если при каком-либо перестроении автомобиль с номером 1г из первой колонны окажется непосредственно перед автомобилем с номером I из второй колонны, то легко можно указать другое перестроение, в результате которого эти автомобили поменяются местами, в то время как порядок движения остальных сохранится. Таким образом, поскольку sgn та =— sgn а 2 (sgn а) (та) а = —J»]” (sgn та) (та) а = —2 (sgn а) аа. (7.50) а а о Подставляя (7.49) и (7.50) в (7.48), мы получим (7.47). Пример 1. Рассмотрим две линейные формы f (§) е At (V) и g (g) е е Ат (У). Внешним произведением будет являться билинейная форма f Л 8 =5 (sgn О) • а/ (51) g (5г) =/ (51) g (5г) -8 (11) f (5J- О Пример 2. Пусть f (g) е А1 (V), g (gb g2, .... g9) s Aq (V). Внешним произведением со = / Д g будет 1-форма, аргументы которой мы обозначим через g0, gb ..., g9, w = У (sgn a) of (go) g (gj, g2, ..., gg) = (Г Q = S (-irfdag^o..... 5i_i, 5i+i,.... 5?)- z=o 6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм. 1) Очевидным свойством внешнего произведения является лине й пост ъ: а) если со₽ е Ар (V), со? = Д (V), то для любого вещественного числа к (ХсоР) Д w? = wP Д (W) = X (шР Д со?); б) если cops Ар (V), сор <= Ар (V) и со? е Ач (V), то (сор + сор) А со? = сор А со? 4-сор А со?. 2) Антикоммутативность. Если со₽ <= Ар (У) и со? е Aq (V), то со? А со? = (— 1)Р?со? А ®р- Доказательство. Пусть cop A co? = co = co(gi, g2, ... . gp+9).
208 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. I Легко видеть, что шЧ /\ СС>Г = U) (gp-i-i, ^р4-2, ••• , 1р+?> 11, •••> ?р)- Убедимся в том, чго перестановку (gp+1..gp+?, Si, §р) можем получить из векторов (gj, .... §р+9) с помощью pq последовательных транспозиций. Вектор |р+1 можно передвинуть на первое место, используя р транспозиций. Затем с помощью такого же числа транспозиций передвинем на второе место вектор g/)l2 и т. д. Всего мы передвинем q векторов, используя каждый раз р транспозиций, т. е. число всех транспозиций равно pq. В таком случае антикоммутативность будет следовать из знакоперемеиности внешнего произве- дения. 3) Ассоциативность. Если <в₽ е Ар (V), ьА е Aq (V), о/ е Ar (V), то (а>Р Д со9) Л = Д (ш? Д с,У). Доказательство. Пусть а е £р+9+л. Рассмотрим следующую вели- чину: ш = У (sgn в) о (11, • • • , Ip) co9(gp+l, • •, §р+у) аУ (^р+9+l, • • •, 1р+?+г)]- (7.51) о Сумма (7.51) будет равна (ч>р /\ со9) Д <тУ, если вначале произвести сум- мирование по всем перестановкам, оставляющим без изменения числа р -|-q-\- 1, р + <7-}-2, .... p + q + r и удовлетворяющим условию (7.46), а затем просум- мировать по всем перестановкам, сохраняющим получившийся порядок первых p-i-q аргументов и порядок аргументов |р+9+1, ..., g„+9+r. Аналогично можно получить величину а-0 Д (со9 Д с,У). Покажем, что в обоих случаях получается сумма по всем перестановкам, удовлетворяющим условиям а(1) <о(2) <...<а(р), ] а(р + 1)<0(р + 2)<...<а(р + с/), ! (7.52) о (р + р+1)<...<о(р + <7 + г). ) Для этого обратимся снова к нашей модели с колоннами автомобилей. Предположим, что по дороге движутся три колонны автомобилей, в первой из которых р, во второй q, а в третьей г машин. Один из способов перест- роения этих трех колонн в одну заключается в том, что вначале сливаются первая и вторая колонны, а затем полученная соединяется с третьей. При другом способе вначале сливаются вторая и третья колонны, а к ним при- соединяется первая. Очевидно, перестановка о, получаемая в результате лю- бого из этих перестроений, удовлетворяет условию (7.52) и, наоборот, любая перестановка, удовлетворяющая условию (7.52), может быть получена как с помощью первого, гак и с помощью второго способа перестроения. Это и означает совпадение (со9 Д со9) Д оУ и со9 Д (со9 Д сог). Ассоциативность внешнего умножения дает возможность рассматривать любое конечное произведение со ,Д со2 Д ... Д co„t, где со,- е= Ар. (V). Пример 1. Пусть a, (g), аг (g), ..., ат (g) — линейные формы. Тогда 01 Л а, Д ... Д am = 2 (Sgn а) а [а, (g,) а2 (g2) ... ат (;.„)), (7.53) о где суммирование производится по всем перестановкам а е £т. Равенство это легко проверяется с помощью индукции. Заметим, что если ввести матрицу {ci,(g,-)}, то равенство (7.53) можно переписать в следующем виде: («1 Д а2 Д ... Д ат) (gj, g2, ... , ?m) = det {a* (gz)}. (7.54)
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 7 209 7. Базис в пространстве знакопеременных форм. Выберем какой-либо базис {е(}”=1 в пространстве V и обозначим через {е'}"=1 сопряженный к нему ба- зис в пространстве L(V). Напомним, что е1 (£) есть линейная форма, которая на элементах базиса {е,} принимает значение е1 (е,) = 6/л В п. 3 мы показали, что всевозможные произведения ех (§i) (s2) •в‘р (|р) образуют базис в Lp (V). Поскольку Ар (V) с LB (V), то каждая знакопере- менная р-форма может быть разложена единственным образом в линейную комбинацию указанных произведений. Однако эти произведения не образуют базиса в Ар (V), поскольку они не являются знакопеременными р-формами, т. е. не принадлежат Яр (И). Тем не менее из них можно сконструировать с по- мощью внешнего умножения базис в Яр(1/). Теорема 7.11. Пусть {ерЛ^—базис в пространстве I/, {е‘}?=1—сопря- женный базис в пространстве L (И). Любая знакопеременная р-форма со е е/1в(1'', может быть представлена и притом единственным образом в виде <•>= У о\2 i е1 Д е‘2 Л ••• Л е‘р (7.55) Каждое слагаемое суммы в правой части (7.55) представляет собой произ- ведение постоянной ... ,• на знакопеременную р-форму е‘> Д й'г /\ ... Д eip. Доказательство. В силу результатов п. 4 мы можем записать го = У У “Д/2...«пй',е'2 <7-56) где числа Гос1;2...(р = го (е'>, е‘г, ..., е‘р) определены однозначно. Так как форма со (t:t, f2, ..., |р) знакопеременна, то для любой переста- новки о е Dp го (Schi)> ?а<г>> ••• , васщ) = (s8n '° (gj, Ег> < Sp) Следовательно, "'•щ1)<'а(2)->-а(Р) = ^па>с',<Т/2-/р- (7'57) Сгруппируем слагаемые в сумме (7.56), отличающиеся перестановкой индек- сов Д, с.,, ..., ip, и воспользуемся равенством (7.57). Получим S и)»Т'г - Г Л (sgn о) е1а<1’ <<«„ [а (7.58) В силу примера из п. 6 сумма, стоящая в квадратных скобках, есть е‘' Л с1’ Л ... Д Др. Теорема доказана. Следствие 1. Элементы e‘' i\ е''- f\ ... [\ e‘v (\ образуют базис в пространстве А„ (V7). Этот базис пуст для р '> п и состоит из одного элемента, если р = п. Следствие 2. Размерность пространства Ар (И) равна Ср.
210 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7! В дальнейшем, как правило, мы будем считать, что выбранный базис «1, е2, ... , еп нами зафиксирован и линейные формы е' (с) будем обозначать символом (£) — £’. Тогда любая форма аеЛр(1'') примет вид ® (Sx, ?2..5₽) = U А - А (7-59) Пример 1. Е1 A Е2= (^ A «2) &, у = 2 (sgn а) а (§,) е2 (§2)] = а = ?* (51) fe)-*1 fe) е2 = где д' есть /-й коэффициент в разложении вектора по базису {в/}. Пример 2. 51 А Е2 А ••• A Bre==det ||(}, п где 5i = 2 5^. /=1 § 2. Дифференциальные формы 1. Определения. Рассмотрим произвольную открытую область О «-мерного евклидова пространства Еп. Точки области G будем обозначать символами х—(х1, х2, .... х"), >' = СИ1, У'1, .... Уп) и т. д. Определение. Дифференциальной формой степени п, определенной в области G, будем называть функцию со (х, Е;1, Е2, ..., Ед), кото- рая при каждом фиксированном, xeG представляет собой знакопеременную р-форму из Ар (Еп). Множество всех дифференциальных p-форм в области G обозначим через QP(G) = QP(G, Е"). Мы будем считать, что при фиксированных |1( ..., gp е Еп р-форма со представляет собой бесконечно дифференцируемую в G функцию. Используя результаты § 1, мы можем каждую р-форму со записать в виде *»= S <о/г...-₽EZ’ A...AE‘p- (7-60) ‘i< -<ер Всюду в дальнейшем вектор | будем обозначать символом dx=(dx1, dx2, ... ..., dx-'1), а векторы Е..,— символами d/;x = (d<(x1, dAx2, .... d-Kxn). В качестве базиса з Еп выберем векторы е1( = {0, 0, .... 1, 0.0}, где единица стоит на k-м месте. Элементами сопряженного базиса будут функции ek (Е) — ek (dx), определяемые равенствами ek (dx) = dx*. Тогда дифференциальная форма (7.60) примет вид со (х, d,x..dpx) — У со^...,^ (х) dx(| Д ... A dx<p- Пример 1. Дифференциальная 0-форма — это любая функция, опреде- ленная в области G (и, в силу наших предположений, бесконечно дифферен- цируемая в G). Пример 2. Дифференциальная 1-форма имеет вид п а> (х, dx) — 2 ш/г (х) dxk. k=i
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 7 211 В частности, когда n = l, со (х, dx)=f (х) dx. Дифференциальную форму сте- пени 1 называют также линейной дифференциальной формой. Пример 3. Дифференциальная 2-форма имеет вид со (х, dxx, d2x) — S и<'* W dxi A dxk. i<k По определению dx‘ Д dxk = (el * Д eft) (dtx, d2x) = =el (dpc) ek (d2x) —e‘ (d2x) eft (drx) = = dlxG/2x&-d2xM1^=|^‘ ^|. В частности, при n=2 получаем co (x, djX, d2x) = f (x) | . Определитель равен элементу площади, соответствующему векторам dYx и d2x. В случае, когда и = 3, обозначая со12 = /?, <о23 = Р, со13 =— Q, получим Р <о = Р dx3 /\ dx3—Qdx1 Д dx3-'rR dx1 /\ dx3 — dpd Q R d-pfl d2x3 d2x3 d2x3 d2x' Пример 4. Дифференциальная 3-форма в трехмерном пространстве имеет вид dtx3 со (х, d.x, d2x, d3x}=f(x) dx1 /\ dx3 A dx3—f(x) d2xy drx3 d2x3 dsx3 dtx3 d^3 d3x3 d3x' Определитель равен элементу объема, отвечающему векторам dAx, d2x, d3x. 2. Внешний дифференциал. Определение. Внешним дифференциалом р-линейной диффе- ренциальной формы сое Пр (G) будем называть форму da>^ Op+1(G), опреде- ляемую соотношением da>= ... К dxh /\... /\dx‘p, где n V da>‘i ... ‘n t dait... i = 7 — ? dxk. p dxP 6=1 Таким образом, если “= S "ч ... ip dxil Л A dx lp, ll Ip TO i —d^" dxk t\dxil к ••h dx‘Pt
212 ФОРМУЛЫ ГРИНА. СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [гл. г Пример 1. Дифференциал формы степени нуль (т. е. функции / (х)) имеет вид п а^х^2^ахк- 6=1 Пример 2. Вычислим дифференциал от линейной формы п (о — io (х, dx) — У] со; (х) dx1. t = i Получим п п d(a = do)(xt dxx, d2x)= dxk A (bd* 6 = 1 i = \ Так как dx^ Д dxl~ — dxl Д dxh и dxk /\ dx/£ = 0, to ^=2 5^ a dx‘+2 2dx*K dxl=* k< i i<k = 7 - . dx" Д dx1 — 7 --- ? ax" A ax1 = Li дхк '' dx1 M k < i h < i = У A dx‘ Z \дхк dx! j ax Л M k<i В частности, когда n = 2, получим для <x> — Pdxl->rQdx'i d<a~l^ — dx1 A dxz. \дх ду/ 3. Свойства внешнего дифференциала. Непосредственно из определения вытекают следующие свойства: 1) если со, е Qp (G), <о2 е (0. то d (®i+<o2) = da>14-d(ti2, 2) если co е fin (G) и X—вещественное число, то d(Xco) = Xdco1 3) если <О| s fi„ (G), сог е fif/ (G), то d (со, Д <о2) = d со, Д (ог -Ь (— 1)Р со, Д dco2. Докажем свойство 3). Пусть ш= У “с, ...iD dx" А ••• A dxP. ч < < lv Введем следующее обозначение: дхк Li dxk м м Тогда dco можно записать в виде , V , „ . ско dco= 2 dx Л ахь. А = 1
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 7 213 Вспомним, что со = Л а>2=(— 1)р?<02 л “1- Далее дш d(i>i й , * дш2 dtoj . , , ,,„пдш« . дх,г ~ дх>< А “2 + «1 Л fak ~ fak А »>2+ (— 1)₽!? Q^k к ®i- Тогда п п da>= dxk A dxk ЛЙ Л ®2 + ^1 Л=1 п + (-1)рч 2 dxh Л § Л ®1 = dtot Л ш24- (- 1)Р’ <fo2 Л tot. А=1 Поскольку do)2 есть (д+1)-форма, то dco2 Д «1 = (— 1)₽(‘?+1)со] Д Ло2. Отсюда dco = dtot Д со2-|- (— 1)ра>1 Д dto2. Справедливо следующее важное свойство дифференциала. Основное свойство внешнего дифференциала: d (dw)=0. Доказательство. Предположим вначале, что го есть форма сте- пени 0, т. е. at (x) = f (х). Тогда d{df)=d 2 &dxi= 2 2 wdxk л dxi- i = 1 k — 1 i = 1 Так как dxk dx' =—dx‘ Д dxk, это равенство можно переписать в виде d (df) = У (ттГй — 7ПТГ7 ) dx> A 4x4, \дх‘охй дхкдх‘ j t<k < откуда и следует, что d(df) — Q. Пусть теперь со= У] cor t dx11 Д ... Д dxlP. '1<.-<гв Р Тогда п dco= 2 У da>i t /\ dx1' Д ... Д dx‘ff. k= 1 it< ... < ip Заметим, что каждый член суммы представляет собой внешнее произве- дение дифференциалов форм степени 0, именно, форм <о; (х), e‘l (dx>, ... ..., elp (dx). Остается применить свойство 3) и воспользоваться тем, что для формы степени 0 основное свойство доказано. § 3. Дифференцируемые отображения 1. Определение дифференцируемых отображений. Рассмотрим произволь- ную m-мсрную область D евклидова пространства Ет и л-мерпую область G cz Еп. Точки области D будем обозначать символами t — (Z1, /2, ..., а точки области G символами х=(%), л2} ..., хп).
214 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [гл. а Будем говорить, что ф отображает D в G, если <р = {ф1, ф2, ..., ф"}, где <fk(t) определены в области D, а векторы х с координатами х* = ф* (t) лежат в области G. Определим отображение ф *, которое переводит (G) в Яр (Г- для любого р, Otg: р sc л. При этом мы будем считать, что каждая ком онента ф* (t) отображения ф является бесконечно дифференцируемой. Определение. Пусть ф—отображение D cz Ет в G ' :п. Обозначим через ср* отображение, которое для всех Osi p -gzn действует Qp (G) в Qp (D) по следующему правилу: если “= 2 «Bdxi' Л ••• Л d>. G < ... <ip то Ф*(<В)= У <OZ1 ... тр(ф(О)ф* (dxh) Д ... Д Ф* (dxlP), li < ... < Ip где tn ф * (</Х*) = (if1. 4=1 Пример 1. Пусть со—форма степени 0, т. е. со = /(х). Тогда ф * (0=7(ф (0)- Пример 2. Пусть ф отображает «-мерную область D с. Еп в «-мерную область G с Еп, и пусть со —следующая «-форма; со = </х4 Д с/х2 Д ... Д (1хп. Тогда V с/?Л д... д / у \ dt' / dt п / \А1 = ‘ / \*п = * / п п = Х у %.^д...л^= dt 1 dt “ *1 = l4n = l = d/1 Л ... Л (sgn a) ^7 •.. ^T = = dfl Д ... Д dtn det /^l. \dtJ f Таким образом, ф* (dxi Д dx2 Д ... Д У df Д Л2 Д ... Д d/« Замечание. Форму ф* (со) называют дифференциальной формой, полу- чающейся из формы со при помощи замены переменных ф. 2. Свойства отображения ф*. Справедливы следующие свойства отображе- ния ф*;
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 7 215- 1) Если СО[ е (G), со2 е Q9 (G), то ф* (о>1 A W2) = <p* (со,) А Ф* (<0г). Доказательство. Пусть “1= У ai i (x)dx‘i /\dxlP, i < <i 1 ₽ ®г= У bk k [x) dxkl /\ ... /\ dxki. 1 0 Тогда “1 A aL...l ^bk,...k(X)X xdx1' A ... A dx‘p Д dxki /\ ... Д dxk4 и, следовательно, Ф* (co, A coj = У У at (Ф (/)) bk (Ф (/)) <p* (dx'1) A • • • А Ф* (dxkp) = I k = 2ja«(‘P)<P*(dx<1) A---A Ф*^х‘р) А^У Мф)ф*^хМЛ-.-Лф*^хМ^= = ф* (CO!) А Ф* (it's)- 2) Если co e Qp (G), to Ф* (dco) == dtp* (co). Доказательство. Докажем вначале это равенство для р — 0, т. е. для a> — f(x). Получим п dto= У -X dx1, гр* (со) = / (ф (/)), *** дх1 i = 1 tn т п п dtp*(№)= У -~ f (ф (/)) dtk — У У dtk— У — - ф* (dx1) = ф* (dco). dtk ™ дх1 д(к дх' t=l ft = l i = l i = l Для произвольного р проведем доказательство по индукции. Пусть со = = /, .• (х) dx‘l А ••• A dx‘p. Тогда dw = df,- , A dx’1 А ••• A dx*P. По свой- !••• р с р ству 1) и только что доказанному соотношению ф* ^со) = ф* (d>) А ф* (dx'1) А А Ф* (dx'p), С другой стороны, dtp* (со)= dtp* Ц/ № А A dx'p-1) A dx'r] = = d^*(/dx'* A ... A dx'p-1 А ф^Ох"?)]. Далее в силу свойства 3) внешнего дифференциала dф* (со) = dtp* (f dx'i А ••• A dx'p-1) А Ф*(<2х‘р)-|- + (— 1)° 'ф* (/dx*1 А ... A dx'p-1) А dф*(dx'p). Заметим, что ф* (dx‘р) — dtp* (х‘р) в силу только что доказанного, а тогда по основному свойству внешнего дифференциала dtp* (dx'p)=0.
216 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО (ГЛ, ъ По предположению индукции, справедливому для р— 1, d(p* (jdx1 Д ... Д <p*(d/ Д dx1 /\ ... Д dx1?-1). В результате получим Лр* (со) = <£*(<# Д dx1 Д ... Д dx1?-1) Д <р* (dx'p) и по свойству 1) Ар* (й) = ф* (df /\ dx1 Д ... Д dx1?). Следующее важное свойство называют транзитивностью. 3) Рассмотрим открытые области U cz El, Р'с Em, W с Еп, точки кото- рых соответственно u = (ux, а2, ..., и1), о = (гД, о2, ..., vm), io = (w1, го2, ..., wn). Пусть отображает U —» Р, а ф отображает V —- W. Через гр ° ф обозначим отображение, называемое композицией, которое действует по правилу (Ф»ф) (и)=ф [ф (и)]. Аналогично введем композицию ф* »ф*, которая для любого р переводит Qp(W) в QP(U), т. е. (ф* «ф*) (а) = ф* [ф* (ш)]. Справедливо следующее равенство; (ф » ф)* = ф* ° ф*. Доказательство. Обозначим р = ф • ф. Эго означает, что 0 = (Р1, Р2, ... ..., рл), где Pft = фй (ф1, ф2, ..., фт). Проведем сначала доказательство для линейной формы dwk cz Q, (W). Получим i l m p*(<*w*)=dp*(^)=dp*(u)= у ^dui= 2 2 Ы ди1 ш ш du1 7= J i=J 7=1 .Далее (ср* о ip*) (dw= tp* [гр* (dw^)] — ip* [dip* (оЛ)]==<р* (dip*) — (tn \ tn /=1 ' /=1 Ho i <p* (dy;) = dcp* (^) = d(p7= V dur, du1 r = i и тогда m i (ф* "ф*)(йа!/г)= У У 4J й/ ди1 /=1 i= 1 и равенство доказано. Отсюда следует справедливость свойства 3) для любой линейной формы. Далее доказательство проведем по индукции. Пусть <о = / (w) dw11 Д ... Д dw‘? е Qp (W).
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 7 21/ Тогда р* н = р* (f dw1 Д ... Д Л Р* Wp) = = (<p* »ф¥) (fdw1 /\ ... Д cfa/p-1) Д (ф* ° ф*) (с/ш’р) = = (ф* ’ф*)(/ dw'1 Д ... /\ </ш‘р) = (ср* " ф*) (со).. § 4. Интегрирование дифференциальных форм 1. Определения. Обозначим через 1т единичный куб в евклидовом прост- ранстве £т: /и = {1е£Я1, OsSZ'sg 1, i=l, 2....т\. Под отображением ф куба 1т в n-мерную область G с Еп мы будем по- нимать отображение в G некоторой области D с Ет, содержащей внутри себя /т. Аналогично дифференциальной р-формой со, определенной в 1т, будем называть р-форму, определенную в некогорой области D с Е'п, содержащей 1т. Определение 1. Интегралом от р-ф о р мы <o = f(t) dt1 Д d/2 Д ... Д dtP, определенной в кубе IP, по кубу IP будем называть величину 1 1 j w=^...j/(Z)dZ1 dt*...diP. ip о о Нашей ближайшей целью является определение интеграла от дифферен- циальной формы по любой поверхности. Естественно, что при этом степень формы будет совпадать с размерностью поверхности. Под поверхностью мы будем при этом понимать отображение единичного куба той же размерности (напом- ним, что понятие отображения включает в себя как область значений, так и закон соответствия). Впрочем, иногда мы будем называть поверхностна только лишь образ куба. Определение 2. Назовем т-м е рны м сингулярным кубом в прост- ранстве Еп (т п) дифференцируемое отображение куба 1т в Еп. Таким об- разом, обозначая сингулярный куб через С, мы можем записать С=ф: 1т-^Еп. Мы будем говорить, что сингулярный куб С содержится в Сс Еп, если ф (1т) с G. Теперь мы можем определить интеграл от любой р-формы со е fip (G) по любому р-мерному сингулярному кубу С с. G. Определение 3, Интегралом от формы о с Qp (G) по сингуляр- ному кубу С=ф: 1р —► Еп, содержащемуся в G, назовем величину 5 “= j Ф* (“)• С 1Р Убедимся в том, что интеграл от p-формы со по р-мерному сингулярному кубу С зависит лишь от образа ф (IP), а не от закона соответствия ф. Прежде всего рассмотрим подробнее определение интеграла от со по син- гулярному кубу С.
218 ФОРМУЛЫ ГРИНА. СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 Пусть со е Qp (G) имеет вид a—f(x) dx1 Д ... Д dx'p, тогда ф* (<£>) = — f [ф (Q] <р* (dx11 Д ... Д dx^). В силу примера 2 к п. 1 § 3 <₽*и=/ 1ф«]р рг1; У’-Чъ--atl/\dt*K... д dtp. LJ у * > , iff Следовательно, 5 ю=//[ф(01Р^^-;;-ф214д д ... д dtp. С /Р Определение 4. Пусть Сг = ф): 1Р—-Еп и С2=ф2: 1р — Еп—два сингулярных куба. Будем говорить, что С]=С2, если существует взаимно однозначное отоб- ражение х куба IP на себя такое, что 1) Ф1 (0 = ф2[т (/)], Ясно, что если С1 = С2, то и C2 = Clt так как обратное отображение т-1 будет удовлетворять необходимым требованиям. Мы будем говорить, что С\ =—С2, если в условии 2) функциональный определитель всюду меньше нуля (очевидно, при этом С2 = —СД. Иногда в этом случае говорят, что С2 и С2 отличаются ориентацией. Справедливо следующее утверждение: если СГ = С2, то ш= со. Ci С, Доказательство. Мы проведем доказательство для случая, когда со = f (х) dx1 [\dxl Д ... Д dxP. По определению JP D (ф1, ф2 .. фР) “=J сг tp По условию существует отображение х куба IP на себя, удовлетворяющее условиям 1) и 2). Сделаем в интеграле замену переменной t=x (s), s е IP. Получим ф2 (О = = ф2[Т (в)] = ф1 (s), ;(• О(ф1, <р2, ... , фР) D (т1, Т2, ..., хР) “= J dslлdsaл ••• л= Сг 1Р =J ................Sdsi л - A^"=J /•" с, Аналогично можно показать, что если Сг = — С2, го $ <о=- $ со. с, с,
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 7 219 2. Дифференцируемые цепи. Нам понадобятся поверхности, которые рас- падаются па несколько кусков, каждый из которых является образом некото- рого m-мерного куба. Примером такой поверхности может служить состоящая из двух окружностей граница кольца, лежащего на двумерной плоскости. При этом мы будем различать ориентации этих окружностей. В связи с этим весьма полезным оказывается введение линейных комбинаций сингулярных ку- бов с вещественными коэффициентами. Определение 1. Будем, называть р-м е р но й це пью С произвольный набор {%!, ?.2, ..., Хд., Ci, С2, ..., C/j}, где г..; — вещественные числа, а С[ — р-мерные сингулярные кубы. При атом, будем использовать обозначение С= k-fii + ... -(-X/jC/j,. Будем говорить, что С принадлежит G, если все С/ принадлежат G. Множество р-мерных цепей образует линейное пространство, если ввести естественным образом операции сложения и умножения на вещественные числа. Определение 2. И нтег р ало м формы <о по р-м е р но й цепи С, содержащейся в G, назовем величину св = Х2 <о -|- Х2 <о Xд со. с с, с2 ck Теперь мы можем определить границу произвольного сингулярного куба. Для этого определим вначале границу единичного куба. Определение 3. Границей куба IP назовем (р—1)-мерную цепь р д!Р= £ («)]> /=] еде /ц (!) есть пересечение куба /₽ с гиперплоскостью х=а, (а = 0,1). Для того чтобы это определение было корректным, необходимо разъяс- нить, какой смысл мы вкладывали в утверждение о том, что /JJ (I) является (р—1)-мерным сингулярным кубом. Построим каноническое отображение <р = ср?’ р куба 1Р~1 на lpa (i). Пусть s = (s1, sa.s₽-1) е /₽-1. Положим ф" (s) = sft, а, s*"1, если если если 1 5 k < i, k = i, I <k^p. Очевидно, <p=(cp1, ф2, ...,ф₽) отображает взаимно однозначно IP 1 на Ip (i). В частности, при а —0 и i — p отображение ср является сужением на 1% (р— 1) тождественного отображения пространства Ер на себя. Определение 4. Г р ан и це й р-мерного сингулярного куба С — <р: 1р —< Е'1 назовем (р-Г)-мерную цепь . <>С= S (- 1)‘ [ф W (0)~ф(/? («))]• с = 1
220 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО (гл. г Таким образом, граница образа куба IP есть образ границы IP с естест- венной ориентацией. Пример 1. Рассмотрим па плоскости квадрат /2. Очевидно, этот квад- рат мы можем рассматривать как сингулярный куб, взяв в качестве ф тож- дественное отображение. На рис. 7.11 указана граница этого квадрата, при- чем направление стрелок совпадает с направлением возрастания параметра tk( по которому производится интегрирование, в случае, если эта сторона квад- рата входит в цепь д!2 со знаком +, и направление стрелок является проти- воположным, если сторона берется со знаком —. Мы видим, что наше согла- шение о знаках приводит к обычному обходу границы против часовой стрелки. Рис. 7.11. Рис. 7.12. Пример 2. Рассмотрим сингулярный куб С = <р: /2 — R2, где <р имеет вид ф1 = (а + A?/1) cos 2л/2, ф2 = (а-(-Д/1) sin 2л/2. Легко видеть, что ф (/2) есть кольцо, граница которого образована ок- ружностями радиусов а и а-}-/?. Выясним, что является границей сингуляр- ного куба С. Очевидно, ф (ZJ (1)) есть окружность Ф1 = a cos 2л/2, ф2 = a sin 2л/2. Далее, <p(Z^(l))— это окружность радиуса а+Д. Наконец, <р (Z2 (2)) и Ф (/'; (2)) —это отрезок x2 = 0, a^xl^a-\-R. На рис. 7.12 стрелками указано направление обхода границы дС, если обход границы д!2 совершается против часовой стрелки. Поскольку ф (/§ (2)) — ф(/^(2))=0, мы можем считать, что 5С = ф(7? (1))-ф (Z2 (1)), что совпадает с обычным пониманием границы кольца. Выясним, каким образом связаны интегралы от формы со по границе куба С и формы ф* (со) по границе IP. Утверждение. Пусть C = cp: IP —>• Еп — произвольный сингулярный куб, содержащийся в G, и пусть со е (С). Справедливо равенство j СО = j ф* (со). дС д[Р
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 7 221 Доказательство. Очевидно, в силу определения интеграла по цепи достаточно доказать равенство $ со = J <р* (со). ч> (/£«•)) /£(0 Рассмотрим каноническое отображение (р — ф?’ р ; (I). По опре- делению $ ф*(со) = $ Ф* [ф* («)]. 1р (/) 'р~1 В силу свойства 3) дифференцируемых отображений (см. п. 2 § 3) ф* «ф*=(ф»ф)*. Таким образом, J ф* («>) = $ (ф > ф)* (СО) = j <0= СО, 1р (<> ,р~1 (<р«ф) (/р-1) <р (/£(/)) поскольку (ф ° ф) (/р-1) =ф (/Р (О). 3. Формула Стокса. Основная теорема. Пусть С = ф : IP —► Еа — произвольный сингулярный куб, содержащийся в G, и пусть со е Q;,_, (G). Справедлива формула Стокса dco = о 'С дС Докажем формулу Стокса сначала в следующем частном случае. Пусть <о — дифференциальная форма степени р — 1, определенная в /р. Тогда справедливо равенство j rfco = j со. (7.61) /Р дП’ Доказательство. Пусть ы = f (/) dl2 Д ... /\ dtP. По определению $ со = У (— 1)' I $ со— j со'}. д/Р \ip (/) ip (i) / Вычислим следующий интеграл: со, где 1 = 1, 2, ... , р, а = 0,1. ,Ра Рассмотрим каноническое отображение ср : !Р~Х — (с). В силу резуль- татов п. 1 этого параграфа /2(0 /р’1 По определению канонического отображения ср?’р якобиан имеет вид ,_O(s2, ...si-1, ex, s', ..., sP~l) J ~ D(s\ s2, ... sP'1) ~ ’
222 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО [ГЛ. 7 если I Ф 1, и Таким образом, отличными от нуля могут быть только интегралы по /р (1), и мы получаем j w = (— 1) / j (0— j = sip \/P (О ip (i) / = j Hl. S1, S®........sP"1) ds1 Д ... Д dsP-1 — ii>-i - J f (0, s1, ..., sP~l) ds1 Д ... Д dsp-1. i'p-i По определению интеграла по кубу IP 1 ( w=(... f [f (1, s1, .... sP"1)—HO, sl, .... sP"1)] ds’ds2...dsP-1 = e/P о 6 i i i = ds“ dsl — dsP~l = js« ds“ л л dsP1' О О О /Р С другой стороны, du>=^d<‘A dt2/-, ... Д dtP. Стало быть dco = ••• A dl,‘- ip /Р Равенство (7.61) доказано. Доказательство теоремы Стокса. По определению интеграла по сингулярному кубу $ da — J <p* (da). с ,Р В силу свойства 2) дифференцируемых отображений (см. п. 2 § 3) j <р* (dco)= J d<p* (<о). /Р i'p Далее воспользуемся уже доказанной формулой Стокса для куба IP j dtp* (ш)= J <₽*(©). /Р д/Р Остается заметить, что по свойству интегралов по границе сингулярного куба (см. конец п. 2 настоящего параграфа) j Ф* (ш) = ш. 5/Р
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 7 223 Теорема полностью доказана. 4. Примеры. 1) Рассмотрим случай р = 1. Одномерный сингулярный куб С в Еп—это некоторая кривая, концы которой обозначим через а и Ь. Формула Стокса приобретает вид ( df= Г f=f(b) —f(a). С оС В частности, когда п=1, получаем формулу Ньютона—Лейбница ь р' (х) dx=f (b) — f(a). а 2) Пусть теперь р = 2. Двумерный сингулярный куб С—это двумерная поверхность, форма ое Qj имеет вид п а> -- У, dxk. 4 = 1 Используя пример 2 п. 2 § 2, получим С У |'^‘_^ЪХ4Л V 3 Z [дх* д^)ах лах L С k<i дС 4 = 1 Если п = 2, то, обозначая a> — Pdx1-{-Qdx2, получим формулу Грина \[&-d^)dxl^dx2-\Pdxl+(idx2- С Sc Если п = 3, то получим обычную формулу Стокса. 3) Пусть р = п. Тогда со е ОЛ-1 имеет вид си = У шк dx1A ... /\ dxfc-1/\ dxk+1A ... Д dxn. 4 = 1 Далее п п п dw= 2 2 I? dxih dxlh - Л dxn = 2 (~ 1)W ах1Л^А-А dx-. 4 = 1 ( = 1 4 = 1 В частности, при п—3 а> = Р dx2A dx?—Q. dx1 A dxs-\-R dx1 A dx2, \dx* dx2 dx3/ v и мы получаем формулу Остроградского.
ГЛАВА 8 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В главе 10 вып. 1 и в главе 2 настоящего выпуска был изучен интеграл Римана от функции одной и соответственно п переменных. Понятие интеграла Римана охватывало класс функций, либо строго непрерывных в рассматриваемой области, либо близких к непрерыв- ным (множество точек разрыва которых имеет равный нулю и-мерный объем). Этого понятия оказывается недостаточно в ряде фундамен- тальных разделов современной математики (в теории обобщенных функций, в современной теории уравнений с частными производными и в других). В настоящей главе излагается теория более общего интеграла — так называемого интеграла Лебег а*), для чего предварительно раз- вивается теория меры и так называемых измеримых функций (являющихся широким обобщением непрерывных функций). Основная идея интеграла Лебега, отличающая его от интеграла Римана, заключается в том, что при составлении лебеговской инте- гральной суммы точки объединяются в отдельные слагаемые не по принципу близости этих точек в области интегрирования (как это было в римановой интегральной сумме), а по принципу близости в этих точках значений интегрируемой функции. Эта идея и позво- ляет распространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций. Следует отметить, что многие математические теории, допускающие понимание интеграла в смысле Римана, принимают более законченный характер при использовании интеграла Лебега. Примером такой тео- рии может служить теория рядов Фурье, излагаемая с пониманием интеграла в смысле Римана в гл. 10 и с привлечением интеграла Лебега в гл. 11. Все изложение в настоящей главе ведется для случая одной пере- менной, но без каких-либо затруднений переносится на случай любого числа п переменных (соответствующее замечание сделано в конце главы). *) Анри Лебег —французский математик (1875—1941).
5 1] О СТРУКТУРЕ ОТКРЫТЫХ И ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ 225 § 1. О структуре открытых и замкнутых множеств Будем рассматривать произвольное множество Е точек бесконеч- ной прямой (— оо, оо). Назовем дополнением множества Е множество, обознача- емое символом СЕ и равное совокупности тех точек бесконечной прямой (— оо, оо), которые не принадлежат множеству Е. Если назвать разностью множеств А н В совокупность тех точек множества А, которые не принадлежат множеству В, и обоз- начить разность множеств А и В символом Д\Е, то дополнение СЕ множества Е можно представить в виде СЕ=(—оо, оо)\Е. Напомним некоторые определения, введенные еще в вып. 1. 1°. Точка х называется внутренней точкой множества Ег если найдется некоторая окрестность точки х (т. е. интервал, содер- жащий эту точку), целиком принадлежащая множеству Е. В дальнейшем произвольную окрестность точки х мы будем обозначать символом v (х). 2°. Точка х называется предельной точкой множества Е, если в любой окрестности v(x) точки х найдется хотя бы одна точка х* множества Е, отличная от х. 3°. Множество G называется открытым, если все точки этого множества являются внутренними. 4°. Множество F называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки *). Совокупность всех предельных точек произвольного множества Е договоримся обозначать символом Е', а с у м м у, или объединение двух множеств А и В будем обозначать символом А-\-В или A (J В **). Договоримся далее называть замыканием произвольного множе- ства Е множество, обозначаемое символом Е и равное сумме ЕА-Е'. Очевидно, что для любого замкнутого множества F справедливо равенство F = F. Совокупность всех внутренних точек произвольного множества Е будем обозначать символом intE***). Очевидно, что для любого открытого множества О справедливо равенство intG = G. Для совершенно произвольного множества Е множество int Е является открытым, а множество Е —замкнутым. *) В частности, множество, не имеющее предельных точек, замкнуто (ибо пустое множество содержится в любом множестве). **) Суммой или объединением множеств А и В называется множес- тво С, состоящее из точек, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. ***) int первые три буквы французского слова interieur (внутренняя часть). 8 В, А. Ильин, Э. Г, Позняк
226 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА (ГЛ 8 Замечание. Можно показать, что ititЕ является суммой всех содержащихся в Е открытых множеств, а Е является пересечением *) всех содержащих Е замкнутых множеств. Таким образом, int Е явля- ется наибольшим содержащимся в Е открытым множеством, а Е является наименьшим содержащим Е замкнутым множеством. Остановимся на простейших свойствах открытых и замкнутых множеств. 1°. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто. Доказательство. Любая точка х множества CF не принад- лежит F и (в силу замкнутости F) не принадлежит множеству F' предельных точек F. Но это означает, что некоторая окрестность ю(х) точки х не принадлежит F и поэтому принадлежит CF. 2°. Если множество G открыто, то его дополнение CQ зам- кнуто. Доказательство. Любая предельная точка х множества CQ заведомо принадлежит этому множеству, ибо в противном случае х принадлежала бы G, а поскольку G—открытое множество, то и неко- торая окрестность о(х) точки х принадлежала бы G и не принадле- жала бы СО, т. е. точка х не являлась бы предельной точкой CG. 3°. Сумма любого числа открытых множеств является откры- тым множеством. Доказательство. Пусть множество Е представляет собой сумму какого угодно числа открытых множеств Ga (индекс а, вообще говоря, не является номером), и пусть х — произвольная точка Е. Тогда (по определению суммы множеств) х принадлежит хотя бы одному из множеств Ga, и поскольку каждое множество Ga является •открытым, то найдется некоторая окрестность v(x) точки х, также принадлежащая указанному множеству Оа, а стало быть, и множес- тву Е. 4°. Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством. Доказательство. Пусть множество Е является пересечением открытых множеств G1; G2, ... , Gn, и пусть х — любая точка Е. Тогда для любого k(k—\, 2, ..., п) точка х принадлежит Gk, и потому найдется некоторая окрестность vk (х) = (х — eft, x-j-efe), 8ft>0, точки х, также принадлежащая Gk. Если е — min { ех, е2, ..., ел}> то окрестность v(x) — (x — е, х-|-е) точки х принадлежит всем Gft и вследствие этого принадлежит Е. 5°. Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством. Доказательство. Пусть множество Е представляет собой пересечение какого угодно числа замкнутых множеств Fa (индекс а, *) Пересечением А и В называется множество точек, принадлежа- щих и А, и В.
§ 1| О СТРУКТУРЕ ОТКРЫТЫХ И ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ 227 вообще говоря, не является номером). Заметим, что дополнение СЕ представляет собой сумму всех дополнений CFa, каждое из которых, согласно 1°, представляет собой открытое множество. Согласно 3° множество СЕ является открытым, а поэтому на осно- вании 2° множество Е является замкнутым. 6°. Сумма конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством. Доказательство. Пусть Е представляет собой сумму зам- кнутых множеств Flt F2, ..., Fn. Тогда СЕ представляет собой пере- сечение множеств CFlt CF2, ..., CFn, каждое из которых в силу 1° является открытым. Согласно 4° множество СЕ является открытым, а поэтому на основании 2° множество Е является замкнутым. 7°. Если множество F замкнуто, а множество О открыто, то множество F\Q замкнуто, а множество О \ F открыто. Доказательство. Достаточно заметить, что множество F \ G является пересечением замкнутых множеств F и СО, а множество G\F является пересечением открытых множеств О и CF. С помощью установленных свойств докажем теорему о структуре произвольного открытого множества точек бесконечной прямой. Договоримся всюду ниже в этой главе называть интерва- лом любое связное открытое множество точек бесконечной прямой (не обязательно ограниченное). Иными словами, интервал — эго либо открытый отрезок a <Zx<Zb, либо одна из открытых полупрямых а<х<оо или — оо <Zx <Z.b, либо вся бесконечная прямая — оо < х < оо. Теорема 8.1. Любое открытое множество точек бесконечной прямой представляет собой сумму конечного или счетного*) числа попарно непересекающихся интервалов. Доказательство. Пусть G — любое открытое множество, а х — произвольная фиксированная точка G. Так как G является откры- тым, то найдется некоторая содержащаяся в G окрестность v (х) точки х. Сумму всех содержащихся в Q окрестностей v(x) данной фиксированной точки х обозначим через 1(х). Докажем, что 1(х) представляет собой интервал. Обозначим через а точную нижнюю грань множества всех точек 1(х) (в случае, если множество всех точек 1(х) не ограничено снизу, мы положим а = — оо), а через b точную верхнюю грань множества всех точек 1(х) (в случае, если множество всех точек 1(х) не огра- ничено сверху, мы положим b — со). Достаточно доказать, что про- извольная точка у интервала (а, Ь) принадлежит I (х). Пусть у — произвольная точка (а, Ь). Ради определенности будем считать, что а <у < х (случай х <zy < b рассматривается совершенно аналогично). *) Напомним, что с ч е т н Ым.ч1азывастся бесконечное множеств», элементы которого можно перенумеровать, <. е. поставить во взаимно однозначное соот- ветствие с натуральным рядом 'чисел 1, 2, 3, ... (см. вып. 1, гл. 3, § 4, п. 6).
228 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ 8 По определению точной нижней грани найдется принадлежащая ! (х) точка у' такая, что а ^у' <бу- Но это означает, что найдется неко- торая окрестность т>(х) фиксированной нами точки х, содержащая точку у'. В силу неравенства у' <бу<б.х эта же окрестность v(x) содержит и точку у. Отсюда следует, что и / (х) содержит у, и дока- зательство того, что /(х) — интервал, завершено. Можно сказать, что I (х) представляет собой наибольший интервал, содержащий точку х и содержащийся в О. Убедимся теперь в том, что если интервалы /(xj и /(х2) по- строены для двух различных фиксированных точек хх и х2 множес- тва О, то эти интервалы либо не имеют общих точек, либо сов- падают между собой. В самом деле, если С. я интервалы / (xj и /(х2) содержали общую точку х, то они оба содержались бы в /(х) и потому совпадали бы. Построив для каждой точки х свой интервал /(х), мы отберем теперь интервалы, не содержащие общих точек (г. е. попарно непере- секающиеся). Каждый такой интервал содержит хотя бы одну рацио- нальную точку (это известно из гл. 2 вып. 1). Поскольку множество всех рациональных точек счетно (см. вып. 1, гл. 3, §4, п. 6), то число всех попарно непересекающихся интервалов I(х) не более чем счетно. Так как сумма всех таких интервалов составляет мно- жество G, то теорема доказана. Следствие. Всякое замкнутое множество точек бесконечной прямой получается удалением из бесконечной прямой конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов. § 2. Измеримые множества I. Внешняя мера множества и ее свойства. Вся излагаемая в этом параграфе теория принадлежит А. Лебегу. Отправным пунктом этой теории является привлечение в качестве основного (исходного) мно- жества интервала А = (а, Ь), длина или мера которого считается известной и равной числу |Л|=£ — а>0. Пусть Е — произвольное множество на числовой прямой. Покрытием S=S(E) множества Е назовем всякую конечную или счетную систему интервалов {А„}, сумма которых содержит множес- тво Е. Сумму длин всех интервалов {Ап}, составляющих покрытие <?=6’(£'), обозначим символом o(S). Итак, a(S) = 2|A„|=^ оо. п Определение. Внешней мерой множества Е называется точная нижняя грань a (S) на множестве всех покрытий S=S(E) множества Е.
<> 2] ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 229 Внешнюю меру множества Е будем обозначать символом |Е|*. Итак, по определению | £ |* = inf <r(S). S(E) Очевидно, внешняя мера любого интервала совпадает с длиной этого интервала. Выясним основные свойства внешней меры. 1°. Если множество Ег содержится в £2*), то | Ег |* | Ег |*. Для доказательства достаточно заметить, что любое покрытие Ег является одновременно покрытием и Ег. 2°. Если множество Е представляет собой сумму конечного ОО или счетного числа множеств {£*} {символически Е = J Ek), то (8-1) 4 = 1 Доказательство. Фиксируем произвольное е>0. По опре- делению меры | Ek |* как точной нижней грани, для каждого номера k найдется покрытие Sk(Ek) множества Ek системой интервалов {А*} (w= 1, 2, ...) такое, что ОО 2 |Д^|ДА|* + ^. (8.2) п = 1 Обозначим через S покрытие всего Е, объединяющее все покрытия Sk(k=l, 2, и состоящее из всех интервалов {А*} (Л=1, 2, л=1, 2, ...). Так как S является покрытием Е, то | Е j* о (А), ОО со НО о (5)-2 2 1^1- Ь = \П=1 Из последних двух соотношений и из (8.2) получим оо оо 4 = 1 4 = 1 Неравенство (8.1) доказано. Договоримся называть расстоянием между множествами Е{ и Ек точную нижнюю грань расстояний между двумя точками множеств fj и Еъ соответственно. Будем обозначать расстояние между множествами Et и Е2 сим- волом р(Д1, Ег). 3°. Если р(Еь Д2)>0, то | Ег J Д2|*==| Е1|*-|-| Д2|*. *) Символически тот факт, что множество содержится в Ег, обозна- чается так: Ег cz Et.
230 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА (ГЛ. В Доказательство. Положим S = — р(Ev Е2). Для произволь- ного е>0 и выбранного нами б>0 найдется покрытие S(E) множества Е = Et |J Е2 такое, что о (5) «С | Е |* -J- е и длина каждого интервала покрытия | Д„ | меньше 6 *). Очевидно, что интервалы Ап, покрывающие точки Еь не содержат точек Е2 и, наоборот, интервалы, покрывающие точки Е2, не содержат точек Е±. Иными словами, взятое нами покрытие S(E) распадается на сумму двух покрытий S(E) = = 5i (Ех) 4-S2 (Е2), первое из которых покрывает Еь а второе 5а покрывает Ег. Итак, мы получаем, что ^1(^1) + 52(Е2)<|Е|* + е- Отсюда следует, что | Ег |* 4-1 Е21* | Е |* 4- е и, стало быть (в силу произвольности е), | Ех |* 1 Е21* | Е |*. Так как на основании свой- ства 2° справедливо и обратное неравенство | Е |* | Ех |* 4-1 Ег |*, то | Е |* = | Е-! |* 4-1Е21*. Свойство 3° доказано. В частности, свойство 3° справедливо, если Ег и Е2 ограничены, замкнуты и не содержат общих точек. 4°. Для произвольного множества Е и произвольного числа е > 0 найдется открытое множество О, содержащее Е и такое* что | G |* С | Е |* 4-е. Доказательство. Достаточно взять в качестве О сумму всех интервалов, составляющих покрытие 5(E) множества Е, для которого о(5)^ |£|*4-е. 2. Измеримые множества и их свойства. Определение 1. Множество Е называется измеримым, если для любого положительного числа е найдется открытое множе- ство О, содержащее Е и такое, что внешняя мера разности G\E меньше е. Внешнюю меру измеримого множества Е назовем мерой этого множества и обозначим символом | Е |. Из этого определения следует, что мера множества Е равна нулю тогда и только тогда, когда равна нулю внешняя мера этого множе- ства. Докажем ряд утверждений, выясняющих основные свойства изме- римых множеств. Теорема 8.2. Всякое открытое множество измеримо, причем мера его равна сумме длин составляющих его попарно не пере- секающихся интервалов. *) Это вытекает из того, что для произвольных е >0 и 6 > О существует покрытие S (£) множества Е такое, что о (S) < j Е |* 4 е и | Ап < 6 (для каждого интервала покрытия S). Чтобы убедиться в этом, достаточно, g взяв покрытие S', для которого a (S') < | Е |* Ч--^, разделить каждый интервал покрытия S' на интервалы длины, меньшей б, и концы этих последних интер- валов покрыть интервалами, общая сумма длин которых меньше е/2.
3 2) ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА •231 Доказательство очевидно (достаточно в определении измеримости взять Q = E и заметить, что точная нижняя грань o(S) достигается на покрытии S, совпадающем с разбиением Е на сумму попарно непе- ресекающихся интервалов). Теорема 8.3. Сумма конечного или счетного числа измеримых множеств является измеримым множеством. ОО Доказательство. Пусть Е = J причем каждое Еп изме- п =1 римо. Фиксируем произвольное е>0. Для каждого множества Еп найдется содержащее его открытое множество Оп такое, что \Оп\Еп\*<г-2-". (8.3) ОО Положив 0= J Оп, заметим, что множество Е содержится в G п = 1 и что разность О \ Е содержится в сумме U (О„ \ Е„). Но тогда из п — 1 свойства 2° внешней меры (см. предыдущий пункт) и из неравенства (8.3) получим ОО 00 |G\£|*^Z;!Ore\£nl*<eS2-« = e. /1=1 П = 1 Теорема доказана. Теорема 8.4. Всякое замкнутое множество F измеримо. Доказательство. Проведем доказательство в два шага. 1°. Сначала предположим, что множество F ограничено. Фиксируем произвольное е > 0. Согласно свойству 4° внешней меры (см. предыдущий пункт) найдется открытое множество G, содержащее F и такое, что |G|*s£|F|*4-e. (8.4) Согласно свойству 7° из § 1 множество 0\F является открытым. Поэтому, согласно теореме 8.1, множество G\F представимо в виде СО суммы G\F= U Д„ попарно не пересекающихся интервалов Дп. п = 1 Теорема будет доказана, если мы установим, что |G\F|*= (8.5) /i=i Для каждого интервала Д = (я, Ь) и для каждого числа а из интер- вала 0 <СаС 2 а договоримся обозначать символом Д“ интервал Д“ = (а4-а, Ъ — а), а символом Д“ сегмент Да = [а-(-а, Ь — а]. Если же а -• то Да будет обозначать пустое множество, для которого
232 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА (ГЛ. 8 |Д“| = 0. Для каждого номера и положим £“ = J Д“. Очевидно, что п ]£“[* = 2 Множество , согласно свойству 6° из§ 1, является замкнутым. Так как это множество не имеет общих точек с замкну- тым множеством F, то (в силу свойства 3° внешней меры) |Ё« + Д|* = |£«|*+ |F|* (8.6) С другой стороны, поскольку множество E^-\-F (при любом а>0 и для всех номеров п) содержится в О, то (в силу свойства 1° внеш- ней меры) + (8.7) Из (8.4), (8.6) и (8.7) получим, что |Ea|* + |Fj*^|F|*+e (8.8) (для всех а>0и всех номеров и). Так как множество F ограничено и его внешняя мера |F|*-<oq, из (8.8) получим, что |£“|*<е (8.9) (для всех а>0 и всех номеров и). Переходя в (8.9) к пределу сна- чала при а-* 0-}-0, а затем при л—>оо, мы получим неравенство (8.5). Тем самым для случая ограниченного множества F теорема доказана. 2°. Если замкнутое множество F, вообще говоря, не является ОО ограниченным, то мы представим F в виде суммы F= J Fn, где П-1 Fn — пересечение замкнутых множеств F и [—п, п\. Согласно доказан- ному в первом шаге каждое Fn измеримо (ибо оно замкнуто и огра- ничено), а поэтому в силу теоремы 8.3 измеримо и множество F. Теорема полностью доказана. Теорема 8.5. Если множество Е измеримо, то и его дополне- ние СЕ измеримо. Доказательство. По определению измеримости множества Е для любого номера п найдется содержащее Е открытое множество О„, для которого (8.Ю) Пусть Fn = CQn. Поскольку CEt \ СЕг = Et \ Е1 для любых множеств Ег и Е2 (проверьте это сами), то СЕ\СО„ = О„\Е и, стало быть, СЕ \ Fn = Gn \ Е. Из последнего равенства следует, что для любого
<5 21 ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 233 номера п 00 СЕ \ U Fk cz Qn \ Е. Й=1 (8.11) (Напоминаем, что запись Ех с Е2 означает, что Ej принадлежит' Е2.) Из (8.11) и из свойства 1° внешней меры получим, что для любого номера п СЕ\ U Fk fc=i а из последнего неравенства и из (8.10) получим, что ОО * ce\[Jf, <J *=1 (для любого номера и). Но это означает, что внешняя мера, а стало ОО быть, и мера множества Е0 = СЕ\ J Fk равна нулю, т. е. множе- *=1 ОО ство СЕ равно сумме измеримых множеств Ео и (J Fk (последнее А = 1 множество измеримо в силу теорем 8.4 и 8.3). Теорема доказана. Следствие. Для того чтобы множество Е было измеримо, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа е нашлось замкнутое множество F, содержащееся в Е и такое, что внешняя мера разности E\F меньше е. Доказательство. Измеримость множества Е эквивалентна измеримости СЕ (теорема 8.5), т. е. эквивалентна требованию, чтобы для любого е > 0 нашлось открытое множество G, содержащее СЕ и такое, что |G\CE|*<;e. Но указанное требование (в силу тож- дества СЕу \ СЕ2 = Е2 \ Е\) эквивалентно требованию, чтобы для любого е >> 0 нашлось замкнутое множество F = CG, содержащееся в £.и такое, что | Е\ F | * = | CF \СЕ | * = | G\CE | * < е. След- ствие доказано. Замечание 1. Содержащееся в только что доказанном след- ствии условие измеримости может быть принято за новое определение измеримости, эквивалентное определению, сформулированному в начале этого пункта. Теорема 8.6. Пересечение конечного или счетного числа изме- римых множеств является измеримым множеством. Доказательство. Будем обозначать пересечение множеств Elt оо оо Г со 1 Е2, ... символом П Еп. В силу тождества Q Еп = С J СЕп (про- п=1 п = 1 Ln = 1 J верьте это тождество сами) доказываемая теорема сразу вытекает из теорем 8.3 и 8.5.
234 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА (ГЛ 8 Теорема 8.7. Разность двух измеримых множеств является измеримым множеством. Доказательство вытекает из тождества А \ В = A f) (СВ) и из теорем 8.5 и 8.6. Переходим теперь к доказательству основной теоремы теории меры. Теорема 8.8. Мера суммы конечного или счетного числа попарно непересекающихся измеримых множеств равна сумме мер этих множеств. СО Доказательство. Пусть Е — (J Еп, причем множества Еп п = \ измеримы и попарно не пересекаются. Рассмотрим отдельно два. случая. 1) Сначала предположим, что все 'Еп ограничены. Заметим, что для случая, когда все Еп замкнуты и их конечное число, доказы- ваемая теорема сразу вытекает из свойства 3° внешней меры (см. п. 1 этого параграфа). Пусть теперь Еп — произвольные ограниченные попарно не пере- секающиеся множества. В силу следствия из теоремы 8.5 для любого е > 0 и для каждого номера п найдется замкнутое множество Fn, содержащееся в Еп и такое, что*) | Е п \ Fn | < ~. Так как все множества Fn ограни- чены, замкнуты и попарно не пересекаются, то для любого конеч- ного т в силу сделанного выше замечания т U Рп Я=1 т (8.12) С другой стороны, из равенства Еп = (Еп \ Fn) (J Fn вытекает (в силу свойства 2° внешней меры), что | Еп | | Еп \ Fn\ Д- | Fn | < |Fn | Д- „ так что т т Z Л 1^1 + е п=1 П=1 (8.13) (для любого конечного т). любого конечного т Из (8.12) и (8.13) заключаем, что для т 2 \Еп]^ /2 = 1 т U Fn Л=1 + е. (8.14> *) Так как измеримость всех фигурирующих в доказательстве множеств, нами уже установлена, то мы можем всюду вместо верхней меры писать про- сто меру.
$ 21 ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 235 Учтем теперь, что сумма всех множеств Fn содержится в Е. Отсюда следует, что для любого номера т т U Fn ^|£|. Л = 1 так что (в силу (8.14)) для любого номера т т £ |£п|^|£| + в. (8.15) П = 1 Переходя в (8.15) к пределу при /к->со, мы получим, что S\Еп\^\Е\ + г, П=1 и, стало быть, на основании произвольности в > О (8.16) п = 1 оо Теперь остается заметить, что из равенства суммы (J Е„ множеству Е п = 1 и из свойства 2° внешней меры вытекает обратное неравенство (8.17) п = 1 Из неравенств (8.16) и (8.17) вытекает утверждение доказываемой теоремы (для случая ограниченных множеств Еп). 2) Пусть теперь множества Епне являются, вообще говоря, ограниченными. Тогда мы обозначим символом Е„ ограниченное множество En — En(](k— 1 |х| <k) (напомним, что знак f] озна- чает пересечение). ОО 00 Из равенства Е= U (J Еп и из рассмотренного выше случая п=14 = 1 следует, что ОО ОО 00 l£i=S 2ЖЫЖ1- П = 1 4 = 1 п — 1 Теорема полностью доказана. Замечание 2. Фундаментальное свойство меры, устанавливае- мое теоремой 8.8, называется о-a д дити в но ст ь ю меры. Для того чтобы сформулировать еще одно свойство меры, введем новое понятие.
236 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. 8 Определение 2, Назовем множество Е множеством типа Об, если Е представимо в виде пересечения счетного числа открытых множеств Оп, и м н о ж е с т в о м типа Fa, если Е представимо в виде суммы счетного числа замкнутых мно- жеств Fn. Теорема 8.9- Если множество Е измеримо, то найдутся мно- жество Ег типа Fa, содержащееся в Е, и множество Е2 типа 0§, содержащее Е, для которых | Ег | = | Е | = | Е21. Доказательство. В силу измеримости Е и следствия из теоремы 8.5 для любого номера п найдутся открытое множество 0п, содержащее Е, и замкнутое множество F„, содержащееся в Е, такие, что (8j8> 00 оо Положим £\= U Fn, Е2 — П л = 1 п = 0„. Так как для любого номера п Е\fi с Е\Fn, Е2\Е cz Оп\Е, то в силу (8.18) и свойства 1° внешней меры В силу произвольности номера п отсюда следует, что |f\f1l=0 и | Е2 \ Е | = 0. Теорема доказана. Замечание 3. Отметим, что существуют неизмерим ы е множества. Для их построения достаточно принять во внимание, что на единичной окружности существует счетное число попарно непере- секающихся и конгруэнтных *) друг другу множеств, объединение которых равно множеству всех точек этой окружности. Таковыми являются множество Ео всех точек окружности, любые две из кото- рых нельзя совместить друг с другом поворотом на угол п-а, где п — любое целое, а а — фиксированное иррациональное число, и все множества Еп, которые получаются из Ео поворотом на угол п-а. Если бы Ео было измеримо, то были бы измеримы и все множества Еп, причем | Еп | = | Ео I для всех целых п. Но тогда в силу теоремы 8.8 ОО мы получили бы, что 2л = У] | Еп i, что невозможно ни при каком п — — со значении I Еп |. *) Под термином «конгруэнтные» в данном случае нужно понимать мно- жества, одно из которых может быть совмещено с другим посредством пово- рота в плоскости окружности на некоторый угол.
§ 31 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 237 § 3. Измеримые функции 1. Понятие измеримой функции. Договоримся называть рас- ширенной числовой прямой обычную числовую прямую — оо <_ х < оо с добавлением двух новых элементов — оо и + со. Для распространения арифметических операций на расширенную числовую прямую договоримся считать, что а -4(4 оо) = 4 оо, а-4(—оо) = — оо (для любого конечного а); (4 оо)4-(4 оо)= оо, — оо 4 4 (— оо) = — оо; (4- оо) — а = 4 со, (— оо) — а = — оо (для любого конечного а), (4 со) —(—оо)=4°°, —оо —(4оо) =—оо; а • (4 оо) = 4 оо при а> 0, 0 •(+ оо) = 0, а (4 оо)= — оо при a <_ 0; (4 °о) (4 °о) =4-00, (4- оо) • (— оо) = — оо, (— оо) (— оо) — = 4 оо, 0 (— оо) = 0, а • (— оо) — — оо при а 0, а • (— со) = 4 оо при а < 0; - = (± со) • при любом конечном а 0, —— 0 при любом конечном а. Неопределенными остаются только следующие операции: (4 00)4- + (—оо), (4 оо) —(4 оо), (— оо) — (— oo),-|-S. Всюду в дальнейшем в этой главе мы будем рассматривать функ- ции, определенные на измеримых множествах обычной число- вой прямой и принимающие значения, принадлежащие расширен- ной числовой прямой. Примером такой функции может служить — со при x<Z — 1, 0 при — 1 sg 1, 4 со при I. Договоримся всюду в дальнейшем обозначать символом E[f удов- летворяет условию А\ множество всех принадлежащих Е значений х, для которых f(x) удовлетворяет условию А. Например, Е [/а] — множество тех принадлежащих Е значений х, для которых /(х)^а. Определение. Функция fix), определенная на измеримом мно- жестве Е, называется измеримой на этом множестве, если для любого вещественного числа а множество Е [/5S= а] изме- римо. Теорема 8.10. Для измеримости функции fix) на множестве Е необходимо и достаточно, чтобы одно из следующих трех мно- жеств' Е|/^а| (8.19) было измеримо при любом вещественном а.
238 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГГЛ 8 Доказательство. 1)Из определения измеримости функции j (х) из элементарных соотношений ОО Е[/>а]= [J + п = 1 00 п = 1 и из теорем 8.3 и 8.6 вытекает, что измеримость (при любом веще- ственном а) множества £[/> а] является необходимым и достаточным условием измеримости функции f(x) на множестве Е. 2) Из соотношения = и из теорем 8.3 и 8.7 вытекает, что измеримость (при любом вещественном а) множе- ства E[f<ia] является необходимым и достаточным условием изме- римости функции f(x) на множестве Е. 3) Наконец, из соотношения Е [/^ а] = Е \ Е [f> а], из тех же теорем 8.3 и 8.7 и из доказанного в 1) вытекает, что измеримость (при любом вещественном а) множества Е а] является необхо- димым и достаточным условием измеримости функции f(x) на мно- жестве Е. Теорема доказана. Замечание. В силу теоремы 8.10 измеримость (при любом вещественном а) любого из трех множеств (8.19) можно принять за новое определение измеримости функции f(x) на множестве Е, экви- валентное определению, сформулированному выше. 2. Свойства измеримых функций. 1°. Если функция f(x) измерима на множестве Е, то она измерима и на любой измеримой части Ег множества Е. Доказательство непосредственно вытекает из тождества £x[/^a] = = Ег П Е [/2== д] и из теоремы 8.6. 2°. Если множество Е представляет собой конечную или счетную сумму измеримых множеств Еп и если функция f(x) измерима на каждом множестве Еп, то fix) измерима и на мно- жестве Е. Доказательство непосредственно вытекает из тождества E\fx^a\ = ОО = U ^n[f^a] и из теоремы 8.3. п = 1 Зэ. Любая функция f(x) измерима на множестве Е меры нуль. В самом деле, любое подмножество множества меры нуль изме- римо и имеет меру нуль. Определение 1. Две определенные на измеримом множестве Е функции f(x) и g(x) называются эквивалентными на этом множестве, если множество E[f g\ имеет меру нуль. Для обозначения эквивалентных (на множестве Е) функций f(x) и g(x) часто используют символику f № g.
§ 3] ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 239 4°. Если функции /(х) и g(x) эквивалентны на множестве Е и функция f{x) измерима на Е, то и функция g(x) измерима на Е. Доказательство. Положим Ео = Е [f g], £’1 = Д\£'О. Так как на Ег функция g(x) совпадает с f(x), то (в силу свойства 1°) g(x) измерима на Et. Согласно свойству 3° g(x) измерима и на Ео, а поэтому, согласно свойству 2°, g(x) измерима и на Е. Определение 2. Мы будем говорить, кто некоторое свой- ство А справедливо почти всюду на множестве Е, если множество точек Е, на котором это свойство несправедливо, имеет меру нуль. Следствие из свойства 4°. Если функция f(x) непрерывна почти всюду на измеримом множестве Е, то f(x) измерима на Е. Доказательство. Заметим сначала, что если функция f(x) непрерывна на замкнутом множестве F, то /(х) измерима на F, ибо множество F[f^a} при любом вещественном а замкнуто, а стало быть, и измеримо. Предположим, что /(х) непрерывна на произволь- ном измеримом множестве Е почти всюду и обозначим через R под- множество всех точек разрыва /(х), имеющее меру нуль. В силу свойств 2° и 3° достаточно доказать измеримость /(х) на множестве £1 = £'\/?. Согласно теореме 8.9 найдется множество /?2 типа Fa (см. п. 2 § 2), содержащееся в Ех и такое, что | Ег J = = | Е± | = | Е |. В силу тех же свойств 2° и 3° достаточно доказать, что /(х) измерима на множестве Е2. Но Е2 (как множество типа Fa) представимо в виде счетной суммы замкнутых множеств Fn, на каждом из которых /(х) непрерывна и потому (в силу сделанного выше замечания) измерима. А тогда в силу свойства 2° функция /(х) измерима на Е2. Замечание. Подчеркнем, что непрерывность функции /(х) почти всюду на множестве Е следует отличать от эквивалентности /(х) на множестве Е непрерывной функции. Так функция Дирихле /(х)= 1, если х рационально, и /(х) = 0, если х иррационально, не является непрерывной ни в одной точке сегмента [0, 1] (см. гл. 4 вып. 1), однако эта функция эквивалентна на сегменте [О, 1J непрерывной функции g(x) = 0, ибо /(х)^^(х) только на множестве всех раци- ональных точек сегмента [0, 1 ], которое счетно и потому имеет меру нуль *). 3. Арифметические операции над измеримыми функциями. Прежде всего докажем следующую лемму. Лемма 1. 1) Если функция f(x) измерима на множестве Е, то и функция |/(х)| измерима на этом множестве. 2) Если f(x) *) Тот факт, что счетное множество точек имеет меру, равную нулю» вытекает из теоремы 8.8 и из того, что мера множества, состоящего из одно» точки, равна нулю.
240 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ 8 измерима на множестве Е, а С — любая постоянная, то каждая из функций f (х) 4- С и С • f(x) измерима на множестве Е. 3) Если f(x) и g(x) измеримы на множестве Е, то множество E[fy>g\ изме- римо. Доказательство. 1) Достаточно учесть, что для любого неот- рицательного а E[\f\^a} = E[f^a\\}E[f^-a} и привлечь теорему 8.3. Если же а-<0, то £[|/| >а] совпадает сЕ и также измеримо. 2) Достаточно для любого вещественного а воспользоваться соот- ношениями Е [ f+ С а] = Е [а - С], E\C-f^a\ = при С>0, при С>0. Если же С = 0, то С-/(х) = 0 и также измерима. 3) Пусть {г*} —все рациональные точки бесконечной прямой (— со, оо). Достаточно учесть, что ОО £[/>£]= и (£[/>г*]fifteen]). *=1 и воспользоваться теоремами 8.3 и 8.6. Лемма доказана. Опираясь на лемму 1 докажем следующую теорему. Теорема 8.11. Если функции f(x) и g(x) принимают на мно- жестве Е конечные значения и измеримы на этом множестве, то каждая из функций f(x) — g(x), f(x) + g(x), f(x)-g(x) и f(x)lg(x) (для частного f(x)jg(x) дополнительно требуется чтобы все значения g(x) были отличны от нуля) измерима на мно- жестве Е. Доказательство. 1) Для доказательства измеримости разности /(х) — g(x) достаточно заметить, что для любого вещественного а множество E[f— совпадает с измеримым (в силу леммы 1) множеством Е [/> g+ а\. 2) Для доказательства измеримости суммы /(x)4-g(x) достаточно учесть, что f-\-g = f— (—g) и что функция —g(x) измерима согласно лемме 1. 3) Чтобы доказать измеримость произведения двух измеримых функций, убедимся сначала, что квадрат измеримой функции является измеримой функцией. В самом деле, если а < 0, то множество Е [/2 а] совпадает с £ и потому измеримо. Если же а 0, то множество £[/2>»а] совпадает с измеримым (согласно лемме 1) множеством Е[ i f 1У'а]. Из измеримости квадрата измеримой функции и из
§ 31 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 241 измеримости суммы и разности измеримых функций, в силу соотно- шения /•g=-^-(/+g)2 — j (/— g)2, вытекает измеримость произведе- ния f(x)g(x). 4) В силу измеримости произведения двух измеримых функций для доказательства измеримости частного f/g достаточно доказать измеримость 1/g, но она вытекает из теорем 8.3 и 8.6 и из соотно- шения Е [g> °] Л Е [g < -^] при £[g>0] при £[£> °] U £[g< “] при а 2> О, а = 0, а <0. Теорема полностью доказана. 4. Последовательности измеримых функций. Докажем несколько важных утверждений, относящихся к последовательностям измеримых функций. Теорема 8.12. Если {fn (х)| — последовательность измеримых на множестве Е функций, то как нижний, так и верхний пре- делы этой последовательности *) являются измеримыми на мно- жестве Е функциями. Доказательство. Сначала убедимся в том, что если после- довательность {g„(x)} состоит из измеримых на множестве Е функ- ций, то каждая из функций**) <р (х) = inf gn (х) и ф (x) = sup gn (х) п п является измеримой на множестве Е. Достаточно принять во внимание соотношения со £[<р<а]= U E[g„<al П=1 оо Е [ф>а] = J £[gn>a] п = I и использовать теорему 8.3. Обозначим теперь нижний и верхний пределы последователь- ности {/п(х)( соответственно через /(х) и /(х). Для доказательства *) В гл. 3 вып. 1 доказано существование нижнего и верхнего пределов у любой ограниченной последовательности. Здесь мы договариваемся считать, что если последовательность не является ограниченной снизу (сверху), то ее нижний (верхний) предел равен — оо (+ оо). **) Запись ф (х) = inf g„ (х) означает, что . каждой точке х значение ф (х) п является точной нижней гранью значений в этой точке gt (х), gs(x), ... Анало- гичный смысл имеет запись ф (х) =sup gn (х).
242 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 1ГЛ Я измеримости /(х) и /(х) на множестве Е достаточно заметить, что- /(х) = sup | inf л (х)), /(х) = inf I sup fk (х)\, и воспользоваться доказанным выше утверждением. Теорема доказа