СБОРНИК ЗАААЧ
ПО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Под редакцией
А. С. ФЕДЕНКО
Издание второе, переработанное
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по специальности «Математика»
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1979

22.151
С 23
УДК 513.73
Коллектив авторов:
И. В. БЕЛЬКО, В. И. ВЕДЕРНИКОВ, В. Т. ВОДНЕВ, А. А. ГУСАК,
А. И. НАХИМОВСКАЯ, А. П. РЯБУШКО, Л. К. ТУТАЕВ,
А. С. ФЕДЕНКО
Белько Иван Васильевич, Ведерников Василий Иванович,
Воднев Владимир Трофимович, Гусак Алексей Адамовичу
Нахимовская Анна Ионасовна, Рябушко Антон Петрович,
Тутаев Леонид Кондратъевич, Федепко Анатолий Семенович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Мм 1979 г., 272 стр. с илл.
Редактор Л. Ф. Лапко
Техн. редактор Н. В. Кошслева
Корректоры Г. С. Плетнева
Сдано в набор 22.09.78. Подписано к печати 22.03.79. Бумага '84x108'/.,:,
тип. М1 3 Обыкновенная гарнитура Высокая печать. Условн. печ. л. 14,28.
Уч.-изд. л 14,26. Тираж 35 000 экз. Заказ 288. Цена книги 65 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физиьо-математичесьой литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография изд-ва «Наука»
630077, Новосибирск 77, ул. Станиславского, д. 25
г 20203 — 068
г^оТпГ—15-79 1702040000
(О)Главная редакция
^ физико-математической
литературы
издательства «Наука», ДУ79.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Обозначения 6
сведение . • . • • • . • • • • • *
Отображение 7-
Пространство ^п 8
Вектор-функция . 12
Кривая и линия 16
Поверхность 18
Глава 1. Вектор-функция. Понятие криво», линии и по-
поверхности 22
Глава 2 Плоские линии и кривые 21
§ 1. Различные способы задания . ' . . . . . 27
§ 2. Касание. Касательная и нормаль 31
§ 3. Асимптоты. Особые точки. Исследование и по-
построение линий (кривых) 37
§ 4. Семейство линий. Огибающая 44
§ 5. Длина душ. Кривилна 47
§ 6. Эволюты и эвольвенты. Натуральные уравнения 51
Г л а * а 3. Пространственные кривые и линии . ♦ , . 54
§ 7. Уравнения кривых и линий ..... # 54
§ 8. Репер Френе. Длина дуги 56
§ 9. Формулы Френе. Кривизна и кручение. Натураль-
Натуральные, уравнения , , . . , 61
лава 4. Поверхности • . • 68
§ 10. Уравнения поверхности , 63
§ 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Линейчатые поверхности. Касание линии с по-
поверхностью 72
§ 12. Семейство поверхностей. Огибающая ... 78
§ 13. Первая квадратичная форма 81
§ 14. Сферическое отображение» вторая квадратичная
форма 89
§ 15. Сопряженные сети и асимптотические линии , 98
1*

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 16. Линии кривизны 101
§ 17. Геодезические линии .- 103
§ 18. Метод подвижного репера в теории поверхностей 107
§ 19. Разные задачи 114
Глава 5. Аффинные свойства линий и поверхностей . . 117
*
Глава 6. Элементы теории поля 120
§ 20. Скалярное поле 120
§ 21. Векторное поле ., 125
V Т В 6 Т Ы . . . . . . . . . . . 4 . . . 1оЛ,
Предметный указатель 26В

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник содержит более тысячи задач и
упражнений по основным разделам курса дифференци-
дифференциальной геометрии, читаемого на физико-математических
факультетах университетов. При подготовке этого издания
авторы стремились учесть те изменения, которые проис-
происходят в настоящее время в преподавании математики.
Переход средней школы на новые программы по ма-
математике привел к изменениям в стиле преподавания,
терминологии и обозначениях. В нашей книге мы стара-
старались закрепить и развить эги новшества. Мы используем
без оговорок все термины и обозначения, принятые в
средней школе. Особое внимание обращено на четкое
определение основных объектов, изучаемых в курсе диф-
дифференциальной геометрии. Для кривой (линии) даются
два определения. А именно, кривая определяется как
класс эквивалентных параметризованных дотей. С другой
стороны, вводится понятие линии как одномерного мпо-
гообразия. Поверхность рассматривается как двумерное
многообразие и задается обычно с помощью своей пара-
параметризации. Большинство задач решается в локальном
аспекте, т. е. геометрические фигуры рассматриваются
в окрестности фиксированной точки.
В своем изложении авторы стремились увязать курс
дифференциальной геометрии с другими математическими
курсами. Существенно используется аппарат линейной
алгебры, математического анализа и дифференциальных
уравнений. Особое внимание обращено на связь с курса-
курсами геометрии средней школы и аналитической геометрии.
Книга содержит введение, 6 глав и 21 параграф. В
конце книги помещен предметный указатель.
Настоящая книга может быть рекомендована в каче-
качестве учебного пособия для физико-математических фа-
факультетов университетов и пединститутов.
Авторы

ОБОЗНАЧЕНИЯ
{а, Ь, с,...} — множество, состоящее из элементов
{х\х обладает свойством Р} —множество-всех элементов,
обладающих данным свойством Р;
х&А — х есть элемент множества А (х принадлежит А);
А с: В — множество А есть подмножество множества В
А \] В —объединение множеств А и В;
А [\ В — пересечение множеств А и В;
А \ В — разность множеств;
0— пустое множество;
К—множество всех действительных чисел;
V— каждый;
3— существует;
р =^ </ —- из р следует ^\
р <=>. д — р и д равносильны;
а*Ъ — скалярное произведение векторов;
а X Ь —векторное произведение векторов;
аЬс— смешанное произведение векторов.
Все другие обозначения объясняются в тексте.

ВВЕДЕНИЕ
Отображение
Пусть X и У — произвольные непустые множества.
Если каждому элементу множества X поставлен в соот-
соответствие некоторый элемент множества У, то говорят/
что задано отображение множества X в множество У.
Обозначив отображение буквой /, пишут при этом
/: Х-+У, ■*!-*/(*). (I)
Элемент у = }(х) называется образом элемента х, и ес-
если Л с X, то множество
называется .образом множества А. Множество }(Х) на-
называется образом отображения /.
Если }(Х) = У, то говорят, что / есть отображение
мнолсества X на множество У или / есть сюръекция. Ото-
Отображение / называется инъекцией, если
Х2 => 1(Х\) Ф
Отображение /, являющееся одновременно сюръекцией п
инъекцией, называется биекцией. Про такое отображе-
отображение говорят, чю оно устанавливает взаимно однозначное
соответствие между элементами множеств X и У. Для
биекции / существует обратное отображение:
которое также является биекцией.
Если А а X, то можно рассмотреть сужение отобра-
отображения D) на Л:
/1Л:Л->У, п\-+На), где а <= А.

ВВЕДЕНИЕ
В случае, когда в качестве У берется множество К дей-
действительных чисел, отображение A) называется функ-
функцией.
Пусть /: Х-+У и § \ У -> % — отображения. Тогда
можно определить отображение
которое называется композицией отображений / и §
Для двух множеств X и У их прямое (или декартово)
произведение есть множество
XX У =
всех нар (л, у), где х е X, у е У.
Пространство К"
Множество
К» =
состоящее из упорядоченных наборов (х\, #2, ..., хп) п
действительных чисел, можно наделить различными
структурами. Кп есть п-мериое действительное векторное
пространство. В соответствии с этим элементы из Кп
можно называть векторами и обозначать их а, 6,х, у, ..,
Базис пространства ^п, составленный из векторов
1^A,0^.^0), гя = @, 1, 0, ...,0), ...
называется каноническим. Будем обозначать канониче-
канонический базис в '^3 через (^, /, Л).
Можпо расехматривать Кп как точечное аффинное
пространство, связанное с векторным пространством Кп.
В этом случае элементы из '^п можно считать как точ-
точками и обозначать Му N...., так и векторами а, х, ...
Вектор г=(хъ . .., Л"п) имеет координаты д:1, Х2, ..., хп
относительно канонического базиса. Точка А (х\,..., хп)
имеет те же аффинные координаты относительно репера
(О; /ь г2, ..., гп), где 0= @, 0,..., 0) — начало координат.
Если любым двум векторам х = (хъ х21 ..., жп) и
У = (^1» Уг> * * -1 Уп) пространства Кп поставить в соответ-

ВВЕДЕНИЯ 9
ствие число
= г,?/, -1
называемое скалярным произведением векторов х и у,
то Кп станет п-мериым евклидовым пространством. В
этом пространстве вводится понятие расстояния между
двумя точками М = (х\, сс2,.. ., хп) и /V = (г/ь т/2,..., /у„):
г 1
В частности, плоскость и пространство, изучаемые в
курсе школьной математики, можно отождествить с К2
или К3 соответственно, если выбрать в них системы де-
декартовых координат.
Шаром радиуса е > 0 с центром в точке А называет-
называется множество
В(А, г) =
Этот шар называется г~окрестностыо точки А.
Подмножество II из Кп называется открытым, множе-
множеством, если оно вместе с каждрй своей точкой А содержит
некоторый тар с центром в А. Всякое открытое множе-
множество, содержащее точку Л, называется окрестностью о'игл
точки.
Точка ^1еКп называется точкой прикосновения
множества I/а Кп, если любая окрестность этой точки
содержит по крайней мере одну точку из II. Совокуп-
Совокупность всех точек прикосновения множества V называется
замыканием множества ГУ и обозначается 0. Множест-
Множество II называется замкнутым, если [/=[/.
Множество V сг Кп называется связным, если пе су-
существует открытых непересекающихся множеств 1/\ и С/г»
разбивающих множество V на два непустых подмноже-
подмножества У\ и У2 таких, что У, с: (/,, Рг^С/г. Открытое и
связное множество называется областью. Замыкание об-
области называется замкнутой областью.
Точка множества II называется внутренней, еслп она
принадлежит V вместе с некоторой своей окрестностью.
Совокупность всех внутренних точек множества II назы-
называется внутренностью этого множества.

ВВЕДЕНИЕ
Точка М е К? называется граничной точкой множе-
множества V с: '^п, если в любой ее окрестности существуют
точки, как принадлежащие множеству II, так и не при-
принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек мно-
множества II называется его границей и обозначается Ы].
Фигурой Ф в пространстве К" называется всякое'
подмножество точек в нем. Уравнения, содержащие
Х\, Х2, .. ., хп, которым удовлетворяют те и только те точ--
к и Кп, которые принадлежат Ф, называются уравнениями
фигуры Ф. Пусть / : ^Ш-Ич" —линейное отображение,
(/ь /2, .. .,1т) — канонический базис К™, (%, '/
2>
п
— канонический базис К , и пусть / (**) = 2
= 1, 2} ..., т). Матрица
столбцы которой являются координатами векторов
называется матрицей линейного отображения I. Если
х - {хъ х2, ..., х]п) ее кт и / (х) = (уг, г/2, ..., уп) е И^^
То
т
у. — 2^ а]-ьхк.
Два базиса (е^ в2, ..., ет) ~ [е] и (аи аъ .. ., ат) •= \а]
т-мерного векторного пространства V называются эквива-,
лентными, «ели определитель матрицы перехода от базиса
М к базису [а\ (т. е. матрицы линейного преобразовав
ния пространства V, переводящего базис [е] в базис
[а]) положителен. Класс эквивалентных базисов прост-
пространства V называется ориентацией этого пространства.
Во всяком векторном пространстве существуют только
две ориентации, одна из которых называется положи-
положительной, другая — отрицательной. Выбор ориентации про-
пространства равносилен выбору базиса в этом пространстве.
Если V — двумерное подпространство в К:\ {еъ ^2)"~
базис У, а т— ненулевой вектор из К3, не принадлежа-
принадлежащий У, то (еъ е2, т) — базис К3. Если вектор т выбран,
то базис (еь е2) называется положительным, если базис
(еъ еъ т) эквивалентен каноническому базису в. К3. Та-

ввьдьнш;
ким образом, задание ориентации в V равносильно за-
заданию вектора т, который часто выбирается ортого-
ортогональным к У и единичным.
Линейной формой а на векторном пространстве Кп
называется линейное отображение а: КП->К. Пусть
а (ьк) = аЛ. Тогда для вектора к = (Ль ..., Нп)
п
а(Л)== 2
Примерами линейных форм являются координатные
функции
(ии щ%..., ип) |-> и4 ("г = 1, 2,..., га).
Билинейной формой на векторном пространстве
называется отображение .Р: Кп X К" "^ К, удовлетво-
удовлетворяющее условиям:
Если РA'ь, *г)=Рй1, Л = (АЬ ...,йп), р=»."(Л, •мдРп), то
Билинейная форма Р называется симметрической, если
Р {Ь,р)= Р(р?^)» и кососимметрической (или 2-формой),
еслиР(й, /?) = — р (р, А). Для симметрической билинейной
формы §м =Р/а, для кососимметрической Р** = — р/й. Ото-
Отображение д 1 Кп ->• К называется квадратичной фор-
формой на векторном пространстве К-г, если существует би-
билинейная симметрическая форма Р такая, что д(й)--=Р(А,Л)."
В координатах ^(й) выражается следуТощей формулой:
Квадратичная форма д называется соответствующей би-
билинейной форме р. Пусть а и р — две линейные формы

12 ВВЕДЕНИЕ
на векторном пространстве Кп. Внешним произведением
этих форм называется 2-форма
определенная следующим образом:
(а Л Р) (К Р) =4 (а (й) Р (Л - « (Р) Р (*))
_1_
2
а (Л) а(р)
(Л) Р (р)
Пусть М — произвольная точка пространства К3. Ка-
Касательным вектором к К3 в точке М называется пара
(М, й), где к—произвольный вектор пз К3. Касатель-
Касательный вектор (Л/, й) можно представить в виде упорядо-
упорядоченной пары точек (М, Л^) такой, что соответствующий
ей вектор совпадает ей (т.е. М + й = ТУ), а также в
виде вектора й, отложенного в точке М. Множество Тмиз =
= {(Л/, й) | й е К3} всех касательных векторов к К3
в точке М называется касательным векторным простран-
пространством. Операции над векторами из Оч3 переносятся на ка-
касательные векторы в одной и той же точке по правилу
(М, Н) 4 (Л/, р) = (М,к + р)
а (М, Н) = (М, аи),
Относительно этих операций Тм К3 является евклидовым
векторным пространством, а векторы (Л/, I), (Л/, у), (Л/, к)
образуют его ортонормированный базис. Когда точка ка-
касания М указана, касательный вектор (М, й) можно обо-
обозначать просто через й.
Векторным полем на К3 (или на некотором подмно-
подмножестве из К3) называется задание в каждой точке К3
(или его подмножества) касательного вектора к К3.
Вектор-функция
Пусть I] — некоторое множество точек в пространстве
Кт. Отображение
г: Ц->Ппм B)

ВВЕДЕНИЕ 13
сопоставляющее каждой точке (и\, иг,..., ит). е V век-
вектор г (нь и2, . .., мт) еКп, называется вектор-функцией
т скалярных переменных. Задание одной вектор-функции
равносильно заданию п скалярных функций, называемых
ее составляющими:
V \и\ч и2, ..., ипь) = (х^ (и,!, ..., мт), ... г ^ (г/^, ..., ит)).
Предположим, что вектор-функция г определена в
некоторой окрестности точки Мо е К?/г, кроме, может
быть, самой точки Мо, и а — некоторый фиксированный
вектор. Вектор а называется пределом вектор-функции г
и обозначается а — Нт г(Л/), если для V е > 0 3^ ==
= б(е) > 0 такое, что
О < | Л7Л/„ | < б =Ф | г (Л/) - а |< е.
Вектор-функция B), определенная в некоторой окрест-
окрестности точки Л/о, называется непрерывной в этой точке,
если
1нп г(М) =г(А/0).
В общем случае, для произвольной точки Мо ^ V, вектор-
функция B) называется непрерывной в точке М^ если
для любой окрестности \У в К'1 точки г (Л/о) найдется
такая окрестность V в К точки Л/о, что г (V (]11) аЖ.
Отображение г:С/->У, где С/ — подмножество в Кт,
V — подмножество в К", называется гомеоморфизмом,
если оно биективно и г непрерывно вместе с г~{.
Рассмотрим вектор-функцию г = гA;), заданную на
открытом множестве прямой К, т. е. вектор-функцию од-
одной действительной переменной и Если эта функция оп-
определена в точке 1о и существует предел
то он называется производной данной вектор-функции
в точке ^о п обозначается г'(^0) или ^(^о)- Таким об-
образом, возникает вектор-функция гг, которую будем на-
называть производной вектор-фунщии г. Производная
функции гг называется второй производной вектор-функ-

14 ВВЕДЕНИЕ
ции г. Производной г^к) к-го порядка вектор-функция
г называется производная функции г^к~4>. О функции,
имеющей непрерывную к-ю производную, говорят, что
она принадлежит классу С\ Функция, имеющая произ-
производные любого порядка, называется функцией класса С00.
Часто функции класса Ск называются гладкими. Произ-
Производную г' (г0) вектор-функции г = г (г) можно отож-
отождествлять с линейным отображением ^'(*о): К->И<П,
сопоставляющим каждому тбК вектор %г! A0). Это
отображение удовлетворяет равенству
'(г)[
= и.
Линейное отображение г' (^0): К->КП часто называют
дифференциалом и обозначают йг^= гг {10)й1.
Вектор-функцию г— г(Ь), заданную на отрезке/ —
= [а, Р], называют гладкой, если существует гладкая
вектор-функция р = рB), заданная на интервале / =
= ]а, Ь[, содержащем отрезок /, такая, чтор!/ = г.
Для вектор-функции г одной действительной пере-
переменной, принадлежащей классу С*, имеет место формула
Тейлора:
гA + М) =* г @ + Д^ г' @ + ^ г' @ + .. .
где Нт е(г, АО = о.
Рассмотрим теперь вектор-функцию B), заданную на
подмножестве К2 переменных и, V. Частные производные
этой функции в точке [и0, 1?0), определяются следующим
образом:
= гии = ац (ги),
*и) === ™и V и)>

ВВЕДЕНИЕ 15
Вектор-функция г: С/-^К?\ {и, и) |-> г (и, I?), где II —
область в К2, называется дифференцируемой в точке
Л/ое ^, если существует линейное отображение
/ : К2 -> Кп такое, что
\г(М'0+к)-г(М0)-1(Н)\
Вектор-функция, дифференцируемая в точке Л/о, будет
непрерывной в этой точке, а линейное отображение
I : К2-^71 будет единственным и называется диффе-
дифференциалом (или производной) вектор-функции г =г (и, V)
в точке Мо и обозначается йгм0. Дифференциал й
можно представить в виде отображения Гм0К2 в ^
отождествляя вектор йеК2 с касательным вектором
(Д/о, й) к К2 в точке Мо, а вектор AгМо (А) *=•/ (й) е Кп
— с касательным вектором (г (Л/о), ^гл/о (А)) к Кп в
точке г(Л/0). Тогда, если вектор-функция р = р]0 удов-
удовлетворяет условиям р(го)^Д/о, рЧ^о)"^» то вектор
йгМй01) совпадает с производной (г°р)л(^о) вектор-
функции (^р). Вектор-функция г~г(и,р) называется
дифференцируемой, если она дифференцируема в каждой
точке из 0. Координаты и и V можно понимать как функ-
функции на С/,, и: (м, у).1-*м, г: (ц, и)\-+р. Эти функции бу-
будут дифференцируемыми, а их дифференциалы йи, и йи
сопоставляют касательному вектору {М, А), где А =
•, числа к\ и /*2 соответственно, т. е. д,им (А) = Ах,
2. При таком представлении дифференциалов
и й*; имеет место формула
дсг .
Для касательного вектора А=*(А1, А2)
с/г (А) ==■ диг с1и (А) + 9уг йо (А) =- ^,А
Если г (/7, г) = (/, (щ V),. .., /п(ц, г)) п Л/о = (»о, ^о), то
дифференциал с/гМо задается матрицей Якоби
,А («
о»

16 ВВЕДЕНИЕ
Пространство «^(К2, К^) линейных отображений К2 в
Кп можно отождествить с пространством К2п, задавая
линейное отображение его матрицей. Тогда для диффе-
дифференцируемой вектор-функции г — г (и, V) возникает вектор-
функция йг: С/-^К"П. Дифференциал вектор-функции Aг
в точке М называется вторым дифференциалом вектор-
функции г в точке М'\\ обозначается <12гм. Вектор-функ-
Вектор-функция г=г{и, V) называется дважды дифференцируемой,
если с12г существует в каждой точке из II; непрерывно
дифференцируемой (или класса С1), если йг непрерыв-
непрерывна; класса С2, если (Рг непрерывна. Таким же образом
последовательно определяются дифференциалы порядка
к и вектор-функции класса Ск, которые для краткости бу-
будем называть гладкими. Линейное отображение
: К2 -> З7 (К2, К"), к /-> й2гм (к)
можно отождествить с билинейным отображением К2 X
X К2 в &п, обозначаемым также й2глг, по правилу
&гм(Н, р)=--A2гм{к)(р).
Билинейное отображение д2гм является симметриче-
симметрическим, а соответствующая ему квадратичная форма часто
записывается в виде
= дииг йиг + 2дигг йи йг -\- дГ1г
Пусть II, V — области в Кп. Отображение / : II -> V
называется диффеоморфизмом класса Ск, если / биектив-
биективно и принадлежит классу Ск вместе со своим обратным /~!.
Кривая и линия
Пусть / — интервал, отрезок или полуоткрытый ин-
интервал на прямой К . Путем (или параметризованной
кривой) класса Ск в пространстве К3 называется вектор-
функция г: /->К8 класса- С\ которую будем обозна-
обозначать (/, г). Путь (/, г) называется:
1) простым, если отображение г инъективио;
2) регулярным, если для всякой внутренней точки

ВВЕДЕНИЕ 17
3) бирегуляриым, если для всякой внутренней точки
г7 Со) * г"
Два пути (/, г = г(()) и (/, р = р ($)) класса С\ где
/,, ] — интервалы, называются эквивалентными, если су-
существует диффеоморфизм X: /-►/ класса Ск такой, что
г (/) — р (X (/)). Классы эквивалентных путей (параметри-
(параметризованных кривых) называются кривыми, а каждый пугь
этого класса — параметризацией • кривой. Функция ^:
/->/, задающая эквивалентность двух путей, называется
заменой параметра. Если (/, г) —путь, то множество
г(/)СИК!3 называется образом этого пути. Все эквива-
эквивалентные пути, образующие данную кривую, имеют один
и тот же образ, который называется образом этой кривой.
Часто образ кривой называют кривой, хотя различные
кривые могут иметь один и тот же образ. Кривая, образ
которой содержится в некоторой плоскости, называется
плоской. Кривая называется простой [регулярной, бире-
гулярной), если существует ее параметризация, которая
является простой (регулярной, бирегулярной).
Пусть задан путь г~г{1). Рассмотрим все такие
эквивалентные ему пути, которые получаются заменой
параметра 5 = \{1) с положительной производной А/(/)>
> 0. Класс таких путей называется ориентированной
кривой. Параметризация г~г($) кривой называется
натуральной, если |г'(#)]н==1. Всякая регулярная кривая
допускает натуральную параметризацию, Натуральный
параметр, обозначаемый обычно через .?, есть длина дуги
кривой, отсчитываемая от некоторой начальной точки, и
взятая со знаком -{- или —. Подмножество / из К3 назы-
называется линией (или одномерным многообразием) класса
С\ если для всякой точки М <= / существует окрестность IV
этой точки в К3 и регулярный путь (/, г) класса СА,
удовлеторяющие условиям:
г (/) = И7 П / и г : 7->И7П I является гомеоморфизмом.
Путь (/, г) называется параметризацией линии I. Линия
/ называется элементарной, если существует такая ■ ее
параметризация (/, г), что гA) = 1. Если (/, г) и (/,р) —
две параметризации линии /, то пути (/, г) и G, р) яв-
являю ЧСЯ Т

13 ВВЕДЕНИЕ
Если подмножество I содержится в некоторой плос-
плоскости, то линия / называется плоской.
Пусть М — некоторая точка линии /, (/, г) —парамет-
—параметризация I такая, что М *= г (/). Касательной прямой ли-
линии / в точке М называется прямая, проходящая через
точку М и имеющая своим направляющим вектором пек-
тор гг (г). Аналогично определяется касательная прямая
для кривой и для пути. Пусты = г (я) —• натуральная
параметризация кривой (или линии). Тогда вектор г" ($)
называется вектором кривизны кривой (линии) в точке
5, а его длина |г"(*)| — кривизной и обозначается к (я)
(или А:).
Соприкасающейся плоскостью бирегулярной кривой
(лиЬии) р = р @ в точке ^ называется плоскость, прохо-
проходящая через точку р (^0) и имеющая своими направляю-
направляющими векторами векторы р' B0) и р"(^0).
Для натуральной параметризации г = г(8) бирегуляр-
бирегулярной кривой (линии) вектор г" ($) ортогонален касатель-
касательной в соответствующей точке. Соприкасающейся окруж-
окружностью бирегулярной кривой (линии) в точке 5 этой кри-
кривой (линии) называется окружность радиуса 11к(в), ле-
лежащая в соприкасающейся плоскости и центром которой
является точка
Репером Френе ориентированной бирегулярной кривой
(линии) г ~ г (х) в точке .9 называется ортонормирован-
ный репер (г (.9); г (я), п {$), Ъ{$)), где $ ($) = г7 ($),
п (з) \\ г4 E) и тройка векторов (г ($), п ($)г Ь ($)) — правая.
Поверхность
Подмножество 5 из К3 называется поверхностью (или
двумерным многообразием) класса Ск, если для всякой
точки А ^8 существует окрестность ТУ этой точки в К3 и
пара (С/, г), где II — область в К*, г: [/->К31 удовлет-
удовлетворяющие условиям:
1) отображение г: [/-*&3, (и, у)!->г(ц, V) принад-
принадлежит классу Ск;
2) г (С/) - \У П ^ и г : [/-> IV Г) 5 является гомео-
гомеоморфизмом;

ВВЕДЕНИЕ 19
3) для всякой точки (и, V)&^ векторы диг (и, V) и
д1)г(и, г) не коллинеарны, т. е. гап^ йг(и1г))= 2.
Пара A7, г) называется параметризацией поверхности
5, а параметры и, V — криволинейными координатами на
ней. Поверхность 5 называется элементарной, если су-
существует ее параметризация (С/, г) такая, что г (II) =* 5.
Пусть 5 — поверхность в К3 класса С\ Если A7Ч г) —
ее параметризация, У— область в К2 и Я: У-+17 — диф-
диффеоморфизм класса С\ то пара (V\ г о X) также является
параметризацией *5. С другой стороны, если A7г, гг) и
№ы гг) — ДВ0 параметризации поверхности «? такие, что
гг A7г) = г2([72), то отображение X — г2 ог11^1-^^2
является диффеоморфизмом класса Сн и называется заме-
заменой параметризации. Отображение р: 1-+-8, где / — интер*
вал на прямой, называется гладким путем (линией) на
поверхности 8 в К3, если отображение 7-*-К р явля-
является гладким (соответственно, если р(/) является линией
в К3, а (/, р) — ее параметризацией). Пусть р: 1-**8 —
гладкий путь (линия) на поверхности *5, A7? г) — пара-
параметризация 5, причем рA)С2г([7). Тогда гладкая век-
вектор-функция ц: 1-*»[7 такая, что г(|л(^))^р(^), называ-
называется внутренним заданием пути (линии), при этом
(/, \х) является путем (линией) на области 17. Линии на
поверхности «5, внутренние задания которых имеют вид
и = щ + I, V = ио или и = щ, V = г>о + и называются
координатными линиями. Для заданной точки М на по-
поверхности 5 касательный вектор Н к К3 в точке-Л/ назы-
называется касательным вектором к поверхности 8 в точке М,
если на поверхности 5 существует путь,(/, р) такой, что
р(го) = М, р'(^о)=й. Множество всех касательных векто-
векторов к поверхности 5 в точке М является двумерным век-
векторным подпространством в Г а/К3, обозначается Тм8п
называется касательным пространством в точке М к по-
поверхности 8. Если М=г (и, V), где A7% г)—параметриза-
г)—параметризация 5, то векторы диг (и, и) и дсг(и, у), которые будем
обозначать также дигм и дсгм- соответственно, являются
касательными к координатным линиям, проходящим че-
через точку М, и образуют базис касательного пространст-
пространства Тм8. Базис (диг, диг) называется подвижным базисом
на поверхности 5, при этом ТМ8 ?= с?^и,1?)(К2). Плоскость
в К3, проходящая через точку М и имеющая ТМ8 своим
направляющим подпространством, называется касателъ-

20 ВВЕДЕНИЕ
ной плоскостью к поверхности 5 в точке М. Прямая, про-
проходящая через точку М и ортогональная касательной
плоскости, называется нормалью к поверхности 5 в точке
М. Векторным полем \ на поверхности *5 (или подмно-
подмножестве () си 5) называется отображение, сопоставляющее
каждой точке М^8 (или М^(?) касательный вектор |л
к поверхности 5 веточке М. Примерами векторных полей
на подмножестве г (II) С 5, где (V', г) — параметризация
5, могут служить ноля диг и дгг, которые называются ба-
базисными векторными полями. Для векторных полей | и
Т] и функции / на поверхности 5 определяются операции
суммы векторных полей и произведения векторного поля
на функцию по формулам
(Б + Т]Ь/ ~ &АГ + Чл1, №м = / Ш)
где в правых частях равенств участвуют операции, оп-
определенные в векторном пространстве ТмУ. Если вектор-
векторное иоле задано на подмножестве г (/У) С1 5, то имеет
место разложение ^ == %1диг-\-%2дсгу где ^, ^2 — функции,
определенные на г(С7). Эти функции называются состав-
составляющими поля | относительно подвижного ба-шса
(диг, дйг). Если поле | задано на всей поверхности «?, то
его составляющими относительно подвижного базиса
{даг, дГг) называются составляющие сужения поля | на
подмножество г (II). Векторное поле § называется непре-
непрерывным, если его составляющие относительно любого
подвижного базиса являются непрерывными функциями.
Ориентация поверхности 8 — это выбор ориентации в
каждом касательном векторном пространстве ТМ8, что
равносильно выбору единичного вектора пгм, ортогональ-
ортогонального Тм8 для всех М&8. Параметризация (II, г) поверх-
поверхности 5 называется согласованной с ориентацией, если
подвижный базис положительно ориентирован во всех
точках, т. е. если базис(диг, д„г, гп) эквивалентен канони-
каноническому базису в К3. Ориентация поверхности 5 называ-
называется непрерывной, если для всякой точки М из 5 най-
найдется параметризация (II, г), согласованная с ориента-
ориентацией и такая, что М е г (II). Как правило, рассматрива-
рассматриваются только непрерывные ориентации. Поверхность вместе
с непрерывной ее ориентацией называется ориентиро-
ориентированной.

ВВЕДЕНИЕ 21
Отображение /: 5-* К* поверхности 5 в пространство
Кл называется гладким, если для любой параметризации
(С/, г) этой поверхности вектор-функция /°г:?7->[Кп,
определенная на области 11 из К2, является гладкой.
В частности, при п = 1 получаем определение гладкой
функции на поверхности. Пусть (? — другая поверхность
в К3. Отображение /:*§'->(? можпо рассматривать также
как отображение 5 в К3, учитывая то, что <? является
подмножеством в К3. Отображение /: 8-**B называется
гладким, если оно является гладким как отображение б7
в К3.
Векторное иоле | на поверхности 5 называется глад-
гладким, если его составляющие относительно любого под-
подвижного базиса являются гладкими функциями. Базис-
Базисные векторные поля диг и дог являются гладкими.
Пусть /: 5->(? — гладкое отображение поверхностей,
р = р(О —гладкий путь на поверхности , проходящий
через точку М = р A0). Тогда / ° р = (/ ° р) {г) — гладкий
путь на поверхности •(?, проходящий через точку М' ===
= /(Л/) = /°р(г0). Отображение Тм8 в ТМ'(), которое
касательному вектору р'(^о) сопоставляет касательный
вектор (/°р)^о), называется дифференциалом (или
производным отображением) отобраэюения / в точке М и
обозначается с?/м. Дифференциал с?/м: Т^З-*- Тм'() явля-
является линейным отображением.

ГЛАВА 1
ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ.
ПОНЯТИЕ КРИВОЙ, ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
1. Покажите, что составляющие вектор-функции
г *= г (Л/) находятся по правилу
где (^1, г'2> •••/^п)— канонический базис пространства
2—6. Докажите^ что из существования пределов
Пт гг(М) ^аъ A = 1,2,3),
М-*М0
Ит
вытекают существование указанных ниже пределов п со
ответствующие формулы:
B) Ит (гг (М) ± г2 (Л/)) =
C) Нт (/ (М) ^ (М)) = Хах.
М->М0
D) Ит (гх (М) • г2 (Л/)) - а,. а2.
E) 1]т (гх (М) X г2 (М)) = ах X а2.
F) Пт {г, (М) г2 (Л/) г3 (М)) -
1/
7. Докажите, что непрерывность вектор-функции рап-
носильна непрерывности ее составляющих.
8. Следует ли из непрерывности вектор-функции г —
== г (М) непрерывность функции | г \ = | г (М) |? Верно ли
обратное?
9—13. Докажите, что непрерывность вектор-функции
г1{М) и функции 1(М) в точке Л/о влечет непрерывность

ГЛ. 1. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ 23
в отой точке следующих функций:
(9) г1(АТ)±г2(М). A0) ПМ)гх(Л1).
A1) гх (М) • г2 (Л/). A2) гг (М) X г2 (Л/).
A3) г1(М)г1(Л/)г3(Л/).
14. Докажите, что гладкость вектор-функции равно-
равносильна гладкости ее составляющих.
15. Докажите, что
-(к).
16—20. Докажите, что для вектор-функций г4:
и функции /: /->- К класса С1-имеют место следующие
формулы:
A6) (
A7)
A8)
A9) (
B0)
г, ± г.гу
игу = /'
(гх • г,)'
Г V Г V
(ггг2гзу
=: Г, -4- Го
У . '1 7 /*
= Г] « Г2 + Г
= г! X г2 +
= г'^оГз + Г;
Г' ^2-
1Г2Г3 "Ь
21—26. Найдите производные следующих функций од-
одной действительной переменной г:
B1)
B3)
B5)
г2.
г'
(г'
X
X
г"
г
• ■
") X г"'.
B2)
B4)
B0)
г'8
г'/
.
,"г>"
27. Докажите биссекториальное свойство касательной
к эллипсу: касательная к эллипсу в произвольной его
точке М является биссектрисой угла,' смежного с углом
между фокальными радиусами точки касания.
28. Для вектор-функции г (*) = (I2 + 8, 4^ — 7, I + 5)
найдите значение *о, при котором линейное отображение
г' A0) переводит число 2 в вектор D, 8, 2).
29. Следует ли из гладкости вектор-функции г~г(г)
гладкость функции | г \ = | г (!) |?
30. Можно ли утверждать, что для функции г (г) име-
имеют место равенства:
а) |Г'|=:|Г|'? б) г . г' -|г||г'-|?

24 ГЛ. 1. ВЕКТОР-ФУНКЦПЯ
31. Для того чтобы вектор-функция г = г {I) имела на
некотором интервале нулевую производную, необходимо
п достаточно, чтобы вектор г (I) был постоянным, т. е. не
зависел от I. Докажите.
32. Для того чтобы во всех точках некоторого интер-
интервала векторы г (I) и г'B) были ортогональны, необходимо
и достаточно, чтобы |г(/)| —сопя!. Докажите.
33. Пусть г = гA)— вектор-функция класса С\ г A)Ф
фо. Для того чтобы вектор г (I) имел постоянное направ-
направление, необходимо и достаточно, чтобы, в области изме-
изменения I векторы г {V) и г' [I) были коллинеарны. Дока-
Докажите.
34. Пусть для вектор-функции г = г (^) класса С1 во
всех точках области ее определения имеют место соотно-
соотношения
г @ г! (/) /•" (/) - 0, г (Г) X г' (I) ф о.
Докажите, что образ кривой, определяемой всктор-фупк-
цисй г =г @, является плоским.
35. Пусть для вектор-функции г — г (/) класса С2, оп-
определенной на интервале ]#, Ь[, производные г' {I) и г"(/)
отличны от нуля и-коллинеарны при всех 1^]а, Ь[. До-
Докажите, что образ кривой, заданной вектор-фупкцией
г = гA), есть интервал прямой.
36. Докажите, что образ кривой, заданной вектор-
функцией г = г0 + 1г1 + 1Ъ\, I ее К, где г0, ги г2 —
постоянные векторы, есть парабола, если векторы гх и г2
не коллинеарны. Что будет в случае коллинеарности
векторов гх и г2?
37. Докажите, что образ кривой, заданной вектор-
функцией
СО5 I Гг + 51П I Г2, ^ е [О, 2Я],
есть эллипс, если векторы г1 и г2 не коллинеарны. Что
будет в случае коллинеарности векторов г1 и г2?
38. Докажите, что образ кривой, заданной вектор-
функцией
г = г0 + сЬ I г1
есть ветвь гиперболы, если лекторы г{ и г2 не коллине-
коллинеарны. Что будет в случае коллинеарности векторов
гх и г?

ГЛ 1 ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ 25
39. Докажите, что траектория материальной точки,
движущейся под действием центральной силы, является
плоской.
40. Докажите, что две гладкие параметризованные
кривые г (*) = (*, 0, 0) и г1(г) = A3, 0, 0) не эквивалентны,
хотя образом каждой из них является прямая.
41. Докажите, что следующие плоские фигуры явля-
являются линиями, и укажите какие-либо их параметризации:
а) прямая, б) окружность, в) эллипс, г) парабола, д) ги-
гипербола.
42. Докажите, что окружность 51 не допускает пара-
параметризации (/, г) в смысле определения линии такой,
что г(/>)==5'1.
43. Покажите, что всякая регулярная кривая (/, -г)
локально является простой, т. е. для любого го^1 сущест-
существует интервал ^ с= / такой, что ^о^/ и (/4 г |^)— простая
кривая.
44. Докажите, что образ регулярной кривой локально
является линией.
~45. Докажите, что всякая регулярная кривая опреде-
определяет ровно две ориентированные кривые.
46. Для того чтобы вектор-функция г= г (ц, V) имела
в некоторой области нулевые частные производные или
нулевой дифференциал, необходимо и достаточно, чт.обы
вектор г (и, V) был постоянным. Докажите.
47. Для того чтобы в каждой точке некоторой области
изменения параметров и и V вектор г (и, и) был ортогона-
ортогонален векторам диг (и, V) и диг (и, у), необходимо и доста-
достаточно, чтобы | г (и, V)\ = сопзЪ. Докажите.
48. Пусть г~г(и, у)— вектор-функция класса С1. Для
того чтобы вектор г (и, и) имел постоянное направление,
необходимо и достаточно, чтобы в области изменения па-
параметров и и V вектор г (и, и) был коллинеарен вектору
диг(и1 у) и вектору д€г(и1 V). Докажите.
49. Для того чтобы образ гладкой вектор-функции
г = г(и1 V), удовлетворяющей условиюдиг%диг^ принад-
принадлежал некоторой плоскости, необходимо и достаточно, что-
чтобы векторы диг и дьг были параллельны этой плоскости.
Докажите.
50—53. Пусть г0, гь г2, г3— постоянные векторы, при-
причем векторы ги г21 г8 не коллинеарны. Найдите образы

26 гл. 1. вектор-функция
следующих вектор-функций:
E0)
E1)
E2)
E3)
Г =
г =
г =
г =
- г -4— //?".. —1— /у*/* -4- 7?т*
—• Т л ~т СОЬ 6/^ Л*1 "Т" эШ с/ 1 о ~\ 1/ш
= го + ^ + V/Г1 + Vм ~ ~
■«.
/ * о г и'ч»
54. Покажите, что плоскость является элементарной
поверхностью. Напишите какие-либо две ее параметри-
параметризации.
55—63. Покажите, что следующие фигуры являются
поверхностями в К3, и построите их параметризации:
C5) Сфера.
E6) Эллипсоид.
E7) Эллиптический параболоид.
E8) Однополостныи гиперболоид.
E9) Двуполостный гиперболоид.
F0) Эллиптический цилиндр.
F1) Параболический цилиндр.
F2) Гиперболический цилиндр.
F3) Конус без верщины.
64. Пусть II— область в К2 и /: {/->К — функция
класса С\ Покажите, что график функции /, т. е. мно-
множество 5= {(*, у, 2)еКз|(<г;5 у)(=С7, 2 =/(ж, у)}; яв-
является элементарной поверхностью класса Ск, а вектор-
функция г (и, V) ~%(и, V, /(и, г)) — ее иарамотризацпен.
65. Покажите, что всякая поверхность 5 локально яв-
является графиком некоторой функции, т. е. для всякой
точки Ме5 найдется, окрестность И7 в К3 этой точки
такая, что ЗПМ7 является графиком некоторой функции.
66. Пусть г : У~> К3, где V — область в К2, дпг % д{ г
для всех точек из V. а) Является ли поверхностью мно-
множество г (V)? в) Покажите, что для любой точки
(и, у)еУ существует область С/ в К2 такая, что
(и, 1>)е II а V и г (О) — поверхность класса С\
67. Пусть вектор-функция г (и, V) = (и, г, 0), где
(и, и) е= К2\ {(а, V) |у = 0, и > 0},— параметризация по-
поверхности 5. а) Установите вид поверхности 5. б) Най-
Найдите область, на которой вектор-функция р(г, <р) =
= (гсозф, г 81и ф, 0) является параметризацией поверх-
поверхности 5. в) Постройте замену указанных параметризаций.

ГЛАВА 2
ПЛОСКИЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ
§ 1. Различные способы задания
Если вектор-функция г: /->К2, г~>г(г) является
параметризацией линии или кривой, то равенство
Г = гA) A)
называется векториым уравнением линии ( кривой). Если
(хA), у (г)) — составляющие вектор-функции A) относи-
относительно системы прямоугольных декартовых координат в
К2, то уравнение A) равносильно двум параметрическим
уравнениям:
х = хA), У = УA). B)
Частным случаем параметрического задания B) является
явное задание линии (привой):
C)
Линия (образ кривой) может быть задана также с
помощью уравнения
Р(х,у) = 0 D)
— неявное задание.
Вместо декартовых прямоугольных координат можпо
использовать и полярные координаты.
68. Напишите уравнение плоской фигуры, состоящей
из всех точек, произведение расстояний которых до двух
данных точек Р\ и /^ (|^1^2| = 26) есть величина по-
постоянная, равная а2 (овалы Кассини). Какие из этих фп-
гур являются линиями и какие могут быть образами
кривых?

28 ГЛ. 2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ Й КРИВЫЕ
69. Дана окружность с диаметром ОА длины 2а и ка-
касательная к ней в точке А. Через точку О проведен луч
ОС, и на нем отложен отрезок ОМ, конгруэнтный отрез-
отрезку ВСУ заключенному между окружностью и касательной
АВ. При вращении луча ОС вокруг точки О точка М дви-
движется по траектории, которая называется циссоидой Дио-
клеса. Составьте уравнений этой траектории. Является
ли циссоида Диоклеса линией?
70. Произвольный луч ОЕ пересекает в точках О и Е
окружность
и касательную к ней, проходящую через точку С, диамет-
диаметрально противоположную О. Через точки О и Е проведе-
пы прямые, параллельные соответственно осям Ох и Оу,
до пересечения в точке М. Составьте уравнение линии,
образованной точками М {локон Анъези).
71. Точка М равномерно движется по прямой ОХ,
равномерно вращающейся вокруг точки О. Составьте
уравнение траектории точки М {.спираль Архимеда).
72. Прямая ОЬ вращается вокруг точки О с цостоян-
пой угловой скоростью со. Точка М движется по прямой
ОЬ со скоростью, пропорциональной расстоянию |6Ш|.
Составьте уравнение линии, описываемой точкой М {ло-
{логарифмическая спираль).
73. Отрезок АВ постоянной длины 2а скользит сво-
своими концами по осям прямоугольной системы координат
хОу. Из начала координат к прямой АВ проведен перпен-
перпендикуляр ОМ. Составьте уравнение фигуры, образованной
точками М {четырехлепестковая роза). Является ли эта
фигура линией? Может ли она быть образом кривой?
74. Вокруг некоторой точки О окружности радиуса а
вращается луч. На этом луче по обе стороны от точки А
его пересечения с окружностью откладываются отрезки
АМ\ и АМч длины 2Ь. Составьте уравнение фигуры, опи-
описываемой точками М\ и Мч {улитка Паскаля; в частности,
при а = Ь — кардиоида). Любая ли улитка Паскаля яв-
является линией?
75. Прямая х = а пересекает ось Ох в точке Л, а про-
произвольный луч ОВ — в течение В. На луче по обе стороны

§ 1. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ 29
от точки 5 отложены отрезки ВМ\ и ВЛ/2, конгруэнтные
отрезку АВ. Напишите уравнение фигуры Ф, состоящей
из всех точек М\ и М2 {строфоида). Являются ли линия-
линиями фигуры Ф и Ф\Л ? Могут ли эти фигуры быть об-
образами кривых?
76. Через точку Е(а, я/2), заданную полярными ко-
координатами, проведена прямая, параллельная полярной
оси. Произвольный луч ОК пересекает эту прямую в точ-
точке К. На луче по обе стороны от точки К отложены кон-
конгруэнтные отрезки КМ\ и КМ2 длины /. Напишите урав-
уравнение фигуры, состоящей из всех точек М\ 11-М2 (конхои-
(конхоида Никомеда). Является ли конхоида Никомеда линией?
А может ли она быть образом кривой?
77. Отрезок АВ длины а скользит своими концами по
осям прямоугольной системы координат. Прямые АС и
ВС, параллельные координатным осям, пересекаются в
точке С, из которой проведен перпендикуляр СМ к прямой
АВ. Напишите урав-иение фигуры, состоящей из точек М
(астроида). Является ли астроида линией?
78. Составьте параметрические уравнения развертки
окружности, т. е% траектории конца туго натянутой нити,-
сматываемой с неподвижной круглой плоской катушки.
79. Круг радиуса а катится по прямой без скольже-
скольжения. Составьте уравнения траектории точки Л/, жестко
связанной с крутом и находящейся на расстоянии с1 от
его центра . (при й = а — циклоида, при й<а~ укоро-
укороченная циклоида, при й># — удлиненная циклоида).
80. Окружность радиуса г катится без скольжения по
окружности радиуса Д, оставаясь вне ее. Составьте урав-
уравнения траектории точки М катящейся окружности {эпи-
{эпициклоида). Что будет при г = /??
81. Окружность радиуса г катится без скольжепия по
окружности радиуса В, оставаясь внутри нее. Напишите
уравнения траектории точки М катящейся окружности
(гипоциклоида). Что будет при В = 4г, В — 2г?
82. Дана кривая
Лежат ли на ее образе точки М(—1, —1), ND, 2),
РA, 2)? Найдите точки пересечения образа кривой с ко-
координатными осями. Запишите неявное уравнение образа
кривой.

30 ГЛ. 2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ
83. Найдите параметризации окружности х2-{-у2—2ах=
= 0, приняв за параметр: а) угловой коэффициент пря-
прямой, проходящей через начало координат и точку окруж-
окружности; б) угол между осью Ох и прямой, проходящей че-
через точку окружности и ее центр.
84—91. Постройте образы следующих кривых:
(84) х = 12-1 + 1, у = 12 + г+\.
(85) х = I2 - 21 + 3, у = ** - 2* + 1.
(86) х = аып2!, у = 2
(87) х = а , у <=• —
(88) * =
(89) * =
(90) а =
А 11 *■ 1 Г *
92. Параметризации гиперболы можно взять в виде
Как движется точка по гиперболе, когда параметр I ра-
растет от —с» до +°°? Какую замену параметра нужно
сделать, чтобы параметризация правой ветви гиперболы
приняли вид
х = а сЬ ф, у = Ь зЬ ф?
93. Покажите, что уравнения
я = а соз 0, г/ == Ь зт 0
и
являются параметризациями одной и той же линии. Сде-
Сделайте рисунок этой линии. Как движется точка по линии,
когда параметр / растет от —оо до +°°?
94 — 104. Укажите, какие линии задаются в полярных
координатах следующими уравнениями:
(94) г = 4.
(95) г = 2а соз ф. (90) г = —2-.
(97) г=* (98) г- 13
5-Зсозф#

§ 2. КАСАНИЕ. КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ 31
(99) г
г = хг A0°) г = 4 •
3 —5со8ф х ' 1— сой ф
A01) г2сой2ср-а2. A02) г = Ь81Пф.
(ЮЗ) г = §ес2 (ф/2). A04) г - собес2 (ср/2).
105. Кривая, имеющая параметризацию гA) =
= (#@» !/(*!» ГД° ^@ и #@ —рациональные функции
параметра ^ называется унику реальной. Покажите, что
кривая является уникурсальной, если ее образ может
быть задан уравнением вида
фп(#, У) +фп-1(^, У) —0,
где фр(#, г/) — однородный многочлен степени р.
106—110. Покажите, что фигуры, заданные приве-
приведенными ниже уравнениями, являются образами уня-
курсальных кривых, и найдите соответствующие пара-
параметризации:
A06) 2 2
A07)
A08)
A09) г = а(ф
A10) (х2 + у2)х + а2 (х2-у2) = 0.
§ 2. Касание. Касательная и нормаль
Уравнения касательных к линиям (кривым), задан-
заданным уравнениями A) — D) § 1, имеют соответственно
вид
X ~~ х __ Г — у
х'
где X, У — текущие координаты" точки на касательной,
р — радиус-вектор этой точки, х, у — координаты точки
касания. Уравнения нормалей соответственно имеют вид
з,'в 0,
Х-х+(У-у)Г(х)=0,
X —х У — у
Р ~~ Р '
х 1 V

32 ГЛ. 2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ
Если для двух линий, имеющих общую точку Л/о, су-
существуют такие их натуральные параметризации гх =
( = Г2 E), ЧТО Г1 {80) = Г2 E0) = М
причем /с — наибольшее из чисел, удовлетворяющих это-
этому условию, то говорят, что эти линии в указанной точ-
точке имеют касание к-го порядка. Две линии имеют в об-
общей точке Мо касание к-го порядка тогда и только тог-
тогда, когда существуют такие их натуральные параметри-
параметризации ^ = ^E), Г2 = Г2E), ЧТО Г1E0) = Г2E0)=М0И При
(IйгI (Iмг'2
к
с1з
Если для двух линий, имеющих общую точку Л/о, суще-
существуют такие их параметризации
что гх (г0) - г2 (^0) = Мо и при I =
то эти линии имеют в точке Мо касание к-то порядка.
Пусть для одной линии задана параметризация х=хA)>
//== */ @» а вторая линия задана в неявном виде:
р(х, у) = 0. Если в некоторой точке, принадлежащей
обеим линиям, выполняются соотношения
то линии имеют в этой точке касание к-го иорядка..
111 — 127. Составьте уравнения касательной и норма-
нормали к следующим линиям и кривым:
A11) у = х2 + 4х + 3 в точках А, В, С с абсцисса-
абсциссами — 1, 0, 1.
A12) у =*= хг в точках Л, В с абсциссами 0 и 1.
A13) у = 8тх в точках с абсциссами 0, я/2,« я.
A14) у — \$х в точках с абсциссами 0, я/4.
A15) х = *3-2/, у = 12+ 1 в точке 4(* = 1).
X116) # = асоз3/, у = B8т3^.
A17) х = а{Ь — ш\1), у = аA — соз^)'.
A18) х == асоз^, г/ =

§ 2. КАСАНИЕ. КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ 33
A19) *= а1' ' П Ъ '• 1
A20) хг + у3—Ъаху = 0 в точке Л (За/2, За/2).
A21) (#2 + У2)х—ау2 = 0 в точке Л (а/2, а/2).
A22) (*2 + #2J-2а2(я2-г/2) = С.
A23) ~ + ^=1. A24^-^ = 1.
A25) у2 = 2рх. A26) г = аф.
A27) г=2асо8ф в точке Л, для которой ф = я/4.
128. В какой точке касательная к параболе у = х2
образует с осью Ох угол 45°?
129. Может ли угол наклона касательной в некоторой
точке линии у = хг к оси Ох равняться Зя/4?
130. Покажите, что угол ф наклона касательной в
произвольной точке линии
у = хъ + 2х* + х - 1
к оси Ох заключен в пределах я/4 < ф <С я/2.
131. Найдите касательную к параболе у = х2, парал-
параллельную прямой
132. В какой точке касательная к параболе у =
= х2 — &х + 5 перпендикулярна прямой х — 2г/ + 8 = 0?
133. В уравнений параболы у = х2 + Ъх + с постоян-
постоянные Ъ и с подберите так, чтобы парабола касалась пря-
прямой у = Ъх — 5 в точке с абсциссой х = 2.
134. В каких точках с одной и той же абсциссой (не
равной нулю) касательные к линиям у = х2\ у = х3 па-
параллельны?
135. Докажите, что только одна нормаль линии у =
== хп (п — целое положительное число) проходит через
начало координат.
136. Найдите касательные к кривой х = 12 — 1, у ==
= г3 + 1» параллельные прямой 2х — у + 3 = 0.
137. Найдите касательные к кривой х = г3, г/ =
проходящие через точку Л/ (— 7, — 1).
138. Покажите, что линии
у = азт (у:/а), # = а 1% (х/а), г/ = а 1п (я/а)
пересекают ось Ох под углом, не зависящим от величи-
величины а.
2 Под ред. А. С. феденко

34 ГЛ 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ
139. Найдите, наиболее удаленные от начала коорди-
координат касательные к астроиде
Х2/3 + г/2/3
140. Докажите, что для любой точки М равносторон-
равносторонней гиперболы х2 — у2 = а2 отрезок нормали от точки М
до точки пересечения с осью Ох конгруэнтен отрезку ОМ.
141. Докажите, что все нормали развертки окружно-
окружности х = а(со8* + 1$тг), у = а(8т I —■ ^ сой ^) одинаково
удалены от начала координат.
142. Покажите, что если все нормали плоской линии
проходят через фиксированную точку, то линия есть
окружность или некоторая ее часть.
143—146. Найдите точки пересечения и углы, под
которыми пересекаются следующие линии:
A43) у2 = Ах, х2 = 4у.
A44) . х2 + у2 = 9, х2 + у2 - Сх = 9.
A45) х2 + у2 + 2х = 7, у2 = Ах.
A46) у = 8111 X, у — СО8 X.
147—149. Докажите, что следующие линии пересека-
пересекаются под прямым углом:
A47) у = х — х2, у — х2—х.
A48) у2 = 2ах + а2, у2 = - 2Ь + й2.
A49) х2 — у2 = а, ху = 6.
150. Покажите, что тангенс угла, образованного каса-
касательной к кривой г=г(ф) с радиус-вектором, проведен-
проведенным в точку касания, задается формулой
151. Покажите, что угол между касательной и ради-
радиус-вектором в произвольной точке кардиоиды равен по-
половине полярного угла.
152. Докажите, что касательные к кардиоиде г =*
= 2«A — созср), проведенные в концах хордыг прохо-
проходящей через полюс, взаимно перпендикулярны.
153. Докажите, что угол между касательной к спи-
спирали Архимеда г = ац и радиус-вектором, проведенным
из полюса в точку касания, стремится к 90° при ф[-* оо.
154. Докажите, что угол ^х, составленный касатель-
касательной в произвольной точке логарифмической спирали
г = саф, а >> 0, с радиус-вектором точки касания, по-
постоянный,

§ 2. КАСАНИЕ КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ
155. Докажите, что только логарифмические спирали
и окружности обладают свойством, указанным в за-
задаче 154.
156. Докажите, что угол |я, составленный касательной
в произвольной точке лемнискаты Бернулли г2 =
= 2а2 соз 2ф с радиус-вектором точки касания, равен
тс
2ф +у, где ф — полярный угол точки касания. На ос-
иове этого свойства укажите способ построения каса-
касательной и нормали в произвольной точке лемнискаты.
157. Пусть даны кривые в полярных координатах:
г=г(ф) и г1 = г1(ф). Покажите, что они пересекаются
под прямым углом, если п\ -{- г'г± = 0.
158—159. Докажите, что следующие кривые пересз-
каются иод прямым углом:
A58) г = ае*, г = Ье~\
|A59) г = а{{ + соз ф), г = аA — соз ф).
160. Пусть касательная к линии у = у(х) в точке М
пересекает ось Ох в точке Т, а нормаль — в точке Л^,
и пусть Р — проекция точки М на ось Ох. Докажите,
что длины касательной МТ, нормали МN1 подкасатель-
ной РТ и поднормали РN выражаются формулами
,2
1
У
У_
У
161 — 162. Найдите длины касательной, подкасатель-
ной, нормали и поднормали линий:
A61) у = 1%х в точке М с абсциссой я/4.
А
A62) у = -у-(ех + е~х) в произвольной точке.
163. Найдите линии, у которых длина поднормали
постоянна и равна к.
164. Найдите линии, у которых длина подкасатель-
ной постоянна и равна к.
165. Покажите, что единственными линиями, у кото-
которых длина нормали есть величина постоянная, являются
окружности с центрами на оси Ох.
166. Найдите линии, у которых длина касательной
есть постоянная величина а.
167. Покажите, что площадь 5, ограниченная тракт-
трактрисой (см. ответ задачи 166) и осью абсцисс, конечна.
2*

36 ГЛ. 2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ
168. Пусть касательная к кривой г= г(ф) в точке М
пересекает прямую, проходящую через полюс и перпен-
перпендикулярную радиус-вектору точки касащш, в точке Т,
а нормаль — в точке N. Докажите, что длины полярной
касательной МТ, полярной нормали ММ, полярной под-
касательной ОТ и полярной поднормали ОМ выражаются
формулами
г
г-2
У г* + г'\ \ММ\ =
169. Найдите кривые, у которых длина полярной под-
касательной постоянна и равна к.
170. Найдите кривые, у которых длина полярной под-
поднормали постоянна.
171. Найдите кривые, у которых длина полярной нор-
нормали постоянна и равна к.
172. Докажите, что длина отрезка касательной
астроиде
#2/3 I „2/3 __ а2/3
#
заключенного между координатными осями, равна а.
173. Покажите, что касательные к лемнискате Бер-
нулли г2 = 2а2соз2ф, проведенные в концах хорды, про-
проходящей через полюс полярной системы координат, па-
параллельны.
174. Докажите, что каждая касательная пересекает
астроиду в двух точках, касательные в которых пересе-
пересекаются в точке, лежащей на описанной около астроиды
окружности.
175. Для того чтобы две линии имели в общей точке
касание порядка не ниже первого, необходимо и доста-
достаточно, чтобы в указанной точке у них была общая ка-
касательная.' Докажите.
176. Докажите, что линия у = екхзттх касается
каждой из линий у = еы и у = е~кх.
177—178. Найдите порядок касания в начале коор-
координат следующих линий:
A77) у = 81П х,
A78) у = х3,

§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ (КРИВЫХ) 37
179. Докажите, что линии
У = 51П .Г, у = X4 — ~ X3 + X
имеют в начале координат касание третьего порядка.
180. Выясните, какой порядок касания имеют линии
х2 + у2 - 6* - Ьу + 10 = 0, /я + /</ - 2 = 0
(х>0% у>0)
в точке Л A, 1).
181. Найдите уравнение параболы вида у — х2 +
«ж + й, касающейся окружности х2 -}- г/2 = 2 в точке
(
182. Найдите уравнение окружности, имеющей с па-
параболой у = х2 в начале координат касание второго по-
порядка.
183. Составьте уравнение параболы, имеющей с ли-
линией г/ ===== 1п о: в точке Д/ A,0) наивысший порядок ка-
касания,
184. Найдите линию у = а0 + п\Х + а2х2 + ... + апхп,
имеющую с линией у = /(х) в точке А @, /@)) касание
/г-го порядка.
185.. Найдите уравнения: а) эллипса, б) гиперболы и
в) параболы, вершины которых совпадают с вершиной
А(пК, 2Н) циклоиды х = /?(/ — д'щ I), // = ДA —соз*)
и которые имеют с циклоидой наивысший порядок ка-
касания.
§ 3. Асимптоты. Особые точки.
Исследование и построение линий (кривых)
Если линия (кривая)
A)
допускает асимптоту при I -*■ 20, уравнение которой У
= кХ + 6, то
Если линия (кривая) A) допускает вертикальную асимп-
асимптоту при г ->• ^о, то уравнение последней имеет вид х = а,
где
а == Нт х A)х Нт у (г) = оо#

38
ГЛ. 2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ
Пусть кривая задана параметризацией г = г (I) и
— г (*о) —такая ее точка, что г'A0)=о. Такую точ-
точку М будем называть нерегулярной.
Пусть г(р) (/0) — первая отличная от нуля производ-
производная и ^(9)(^о) ~~ первая из производных, не коллинеар-
ных вектору г(р)Aц). Тогда возможны следующие
случаи:
1) ^—-нечетное,
2) р — нечетное,
3) р — четное,
4) р — четное,
В первом случае образ кривой в окрестности точки М
имеет такой же вид, как и в окрестности регулярной точ-
точки. Во втором случае точка М является точкой перегиба.
В третьем случае точка М называется точкой возврата
первого рода В ее окрестности кривая ведет себя так,
^ — четное;
~ нечетное;
— нечетное;
— четное.
Рис. 1.
Рис. 2.
как показано на рис. 1. В четвертом случае точка М на-
называется точкой возврата второго рода. В ее окрестности
кривая имеет такой вид, как на рис. 2.
Пусть плоская фигура /, заданная уравнением
B)
где Р — гладкая функция, обладает свойствами:
а) существуют точки Ми ..., Мк фигуры / такие, что
фигура 1Х = Ч!^., ..., Мк) является линией;
б) никакая из фигур 1\\]{^1) {1=1, 2, ..., к) не
является линией.

§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ (КРИВЫХ) 89
Тогда фигура / называется линией с особыми точка-
точками М[, М2, ..., Мк. Особыми могут быть только те точки,
в которых Рх(х, у) = О, Ру(х, у) = 0. Особая точка М
линии B) называется двойной особой точкой, если в ней
по крайней мере одна из вторых частных производных
от функции Р(х, у) отлична от нуля.
Если через двойную особую точку М проходит эле-
элементарная линия, принадлежащая линии B), и в этой
точ#е РуУ Ф 0, то угловой коэффициент к касательной к
этой элементарной линии находится из уравнения
Рхх + 2Р^к + Руук> = 0.
Если в двойной особой точке выполняется условие
Рху — РХхРуу> 0, то в окрестности этой точки можно вы-
выделить две элементарные линии, проходящие через нее.
Такая точка называется точкой самопересечения. Если
О
Рху —- РХх^уу < 0 в точке М, то в некоторой ее окрест-
окрестности, кроме самой этой точки, не существует других
точек, удовлетворяющих уравнению B). Такая точка на-
называется изолированной. Если Рху— РХХРУУ — 0 в точке Л/,
то она может быть точкой возврата первого или второго
рода или точкой самоприкосновения. В последнем случав
в некоторой окрестности то^ки
линия имеет вид такой, как на
рис. Зг
Исследовать линию — значит
выявить , совокупность важней-
важнейших свойств линии, позволяющих
достаточно точно построить ее.
К важнейшим-свойствам можно
отнести наличие или отсутствие Рис. 3.
особых точек, точек перегиба,
асимптот, точек самопересечения, точек, в которых ка-
касательные параллельны координатным осям и в которых
линия пересекает эти осн.
186--191. Найдите асимптоты линий, заданных урав-
уравнениями в явном виде:
A86) 2/ = ^- A87) У=~
A88)
A90) У-

40 гл 2. плоские линии и кривые
192—194. Найдите асимптоты кривых, заданных
уравнениями в параметрическом виде:
2/ I2
A92) х = {( _ 1} (/ _ У
2) I
О/ 4 /2
A93) * = 7Г^Т> У==Г=
A94) а: = ^-^р у = ^^
195—197. Найдите асимптоты линий, заданных неяв-
неявными уравнениями:
A95) ху* — у*-4х = 0.
A96) хуг = х2 + 2х - А.
A97) (*»-»2)(«-у) = 1.
198—199. Найдите асимптоты кривых, заданных
уравнениями в полярных координатах:
A98) г = -: }- / (конхоида Никомеда).
A99) г = !—- (циссоида Диоклеса).
200—204. Найдите особые точки линий, заданных
следующими уравнениями:
B00) у2'=х* + х2. B01) х2 =
B02) у* = х*-х2. B03) х2уг =
B04) Ау2 = хъ + 5л;4.
205—209. Найдите особые точки и напишите уравне-
уравнения касательных в них для следующих линий:
B05) (х2 + у2) х—2ау2 = 0 (циссоида Диоклеса).
B06) {х2 + у2) (у-аJ-12у2 = 0 (конхоида Лико-
меда).
B07) Bа — х)у2 = х(х — аJ (строфоида).
BС8) (л:2 + г/2J = 2а2(я2 - г/2) (лемниската Бер-
нулли).
B09) (л;2 + ?/2-2^J = 4а2(л;2 + г/2) (кардиоида).
210—212. Существуют ли касательная и нормаль в
указанных точках у следующих линий?
B10) у = х 8шAАг) в точке х =*= 0.

§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ (КРИВЫХ) 41
'B11) у = хA +ех/х)~г в точке я = 0.
B12) у = A + еи{*-1))-1 в точке х = 1.
213. Покажите, что координаты точки перегиба ли-
линии, заданной уравнением Р(х1 у) = 0, удовлетворяют
уравнению
р р2 _ 9 р р р л. р р2 — о
214. Найдите уравнение, которое определяет точки
перегиба кривой, заданной уравнением г = г(ф) в по-
полярных координатах.
215—222. Исследуйте и постройте линии, заданные
уравнениями в явном виде:
B15) У = -^=тг B16) </=-р4т-
(9\7\ и = ** /еллг\к \ х &
а?
B19) У = /^зГ^. B20) у
B21) г/=(?^§. B22)
223—238. Црследуйте и постройте образцы кривых,
данных параметрическихмп уравнениями:
B23) х = ^-^ТТ» У = Г+7^ (декартов лист).
B24) я = р^7, у = {
B25) х = 1
B27) «=
B2У) х. — ^
;B30) х =
B31) г ===

42 М. 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ Й КРИВЫЕ
<232) *=
B33)
B34)
а /у
Bо/) ^ = ,
B38) х =
2 -г со§* '
239—274. Исследуйте и постройте линии (с особыми
точками), заданные уравнениями:
B39) х*-у2 + 1 = 0.-
B40) ху2 -у2-4х = 0.
B41) х(?2 + у2) -у2 + х = 0.
B42) ху2 = х* + Чх — -^г,
B43) х4 + у' = а4.
/о//\ 4 /оо /** о /о /ч
(<;44) х* — Ьх^у* — Ьх^ — 4^^ = 0.
B45) (х2 — у2J = 2х.
B46) (х2~у2)(х-у) = 1.
B47)
B48)
B49) х3 + хг/2 — х2 — у2 = 0.
B50) х2 + у2 = х2г/2.
B51) х4 - г/4 + х2 + 2г/2 = 0.
B52) х3 — х^2 + х2.+ у2 »= 0.
/ОЕГО\ /9 2\9 ~9/
B54) хг/2 = - (-|- -
B55) х (х2 - Ъу2) - 4 (х2 + У2) = 0.

§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ (КРИВЫХ) 43
B5(>) .г4 + у4 = х2 + у2.
B57) х3 + ху2 + х2 - у2 = 0.
B58) х4 + у< + х2-у2 = 0.
B59) ху2=(х-[J.
B60) я4 + г/4 - 2^г/ = 0.
B01) х2 = у2 + х\ "
B62) (х+[)(х + 2)у2 = х2.
B63) I/2 = х*-2х2 + х.
B64) (х2 + у*J = ху.
B65) а:3 + г/3-^2 = 0.
B66) х3-27(х-уJ = 0.
B67) х3 — ху2 + #г/2 = 0-
B68) а:5 - хА +' 4д;2(/ - 4(/2 =' 0.
B69) х4 — х2у + I/3 = 0-
B70) .г4 + ^2У2 - 18.г2у -{- 9{/2 = 0.
B71) х* + у* = 8ху2-
B72) х6 - х4 + 2/2 = 0.
B73) • х4 — у4 + лг/ = 0.
B74) (х2 + у2K = 27х2у2.
275—281. Исследуйте и постройте образы кривых, за-
заданных уравнениями в полярных координатах (иногда
обобщенных):
B75) г=?1§(ф/2).
B76) г2 = я2ср {а ф 0) (спираль Ферма).
B77) г2ср = а2, а =7^ 0 (жезл).
B78) г2 = я2ср4, я =т^= 0 (спираль Галилея).
B79) г = в + ^-, а>0, г>0, Ф > 0.
B80) г = й8ш (ф/2), а>0.
B81) г = а&шЗф, а>0 {трехлепестковая роза).

44 гл. 2. плоские линии и кривые
§ 4. Семейство линий. Огибающая
Пусть задано уравнение однопараметрического се-
семейства линий
Р(хч у, С) = 0, A)
где С — параметр. Множество всех точек, удовлетворяю-
удовлетворяющих системе уравнений
Р(х,у,С)=0', Гс(х,.у,'С)=0, B)
называется дискриминант ой семейства A).
Если Рх и Ру в точках дискриминанты одновременно
в нуль не обращаются, то дискриминанта совпадает с
огибающей семейства, т. е. такой линией, которая в каж-
каждой своей точке касается некоторой линии семейства.
В противном случае дискриминанта может не быть оги-
огибающей. Этот случай требует дополнительного исследо-
исследования.
Дискриминанта семейства, заданного уравнением в
векторном виде г=гA, С), определяется системой урав-
уравнений
г — г (г, С), гг X гс = о.
282—284. Исследуйте семейства линий и сделайте ри-
рисунки:
B82) С2х2 + у2 = Сх.
B83) х2 + 2Су=2ху.
B84) х = соз и сЬ у, у = 81ПИ51и; при а) и =
= сопз1, б) и = сопз1.
285. Докажите, что каждая линия семейства
#? у) = а ортогональна лю(бой линии ^семейства
х, у) = Ь в их общей точке, если выполняется условие
д(р д дф
дх ду ду
286. Покажите, что семейство линий, ортогональных
линиям семейства ф(#, у) = а, задается дифференци-
дифференциальным уравнением
д йу
д<р/дх ~~ дЦ)/ду *
287. Найдите семейство линий, ортогональных пучку
прямых.

§ 4. СЕМЕЙСТВО ЛИНИЙ. ОГИБАЮЩАЯ 45
288. Найдите семейство линий, ортогональных семей-
семейству окружностей, касающихся оси Ох в начале коор-
координат.
289. Найдите семейство линий, ортогональных семей-
семейству парабол у2 = 2ах.
290. Найдите семейство линий, ортогональных семей-
семейству окружностей, проходящих через две фиксирован-
фиксированные точкц.
291—299. Найдите огибающую следующих семейств
линий (с особыми точками):
B91)
B92) (х-СJ
B93) X СО8 С + у 8111 С — р = 0.
B94) у= (х-С)\
B95) у2- (х-СK =
B96) у3- (х-СJ =
B97) 3(у - СJ - 2(я - СK = 0.
B98) A - С2)х + 1Су - а = 0.
B99) С2(х-а) -Су-а = 0.
300. Найдите огибающую семейства, прямых, образу-
образующих с координатными осями треугольники постоянной
площади *$.
301. Окружность х2 + у2 = К2 является огибающей
семейства прямых Ах + Ву + С = 0. Какому соотноше-
соотношению должны удовлетворять коэффициенты Л, 5, С?
302. Найдите уравнение огибающей семейства пря-
прямых, на которых лежит отрезок постоянной длины а,
если его концы скользят по осям прямоугольной систе-
системы координат.
303. Найдите огибающую семейства прямых, являю-
являющихся сторонами прямого угла, перемещающегося на
плоскости так, что одна из его сторон проходит через
фиксированную точку Р, а прямой угол описывает;
а) прямую; б) окружность.
304. Прямая вращается с постоянной угловой ско-
скоростью вокруг точки, равномерно движущейся- по второй
прямой. Найдите огибающую этого семейства прямых.

46 ГЛ. 2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ
305. Найдите огибающую семейства окружностей ра-
радиуса г, центры которых описывают окружность радиу-
радиуса /?.
306. Найдите огибающую семейства окружностей, по-
построенных, как на диаметрах, ..на фокальных радиус-век-
радиус-векторах данной параболы.
307. Найдите огдбающую семейства окружностей, по-
построенных, как на диаметрах, на фокальных хордах
параболы у2*= 2рх.
ОС ?У
308. Дан эллипс — + тг = 1. ^а Х0РДах, параллель-
и С/
ных одцой из осей симметрии, как на диаметрах, строят-
строятся окружности. Найдите огибающую каждого семейства
окружностей.
ОС* М
309. На. хордах гиперболы — — ^г — 1, параллельных
одной из координатных осей, строятся, как на диаметрах,
окружности. Найдите огибающую каждого семейства.
310. Найдите огибающую семейства, окружностей, по-
построенных, как на диаметрах, на хордах параболы у2 =
= 2рх, перпендикулярных к ее оси.
311. Дано семейство парабол параметра /?, оси кото-
которых параллельны Ох, а вершины описывают параболу
у2 = 2^x. Найдите огибающую этого семейства.
312. Найдите условия, которым должны удовлетворять
точки огибающей семейства линий Р(х, у, а, Р) = 0, где
связаны соотношением ф(а, (}) = 0.
о о
ОС \1
313. Найдите огибающую семейства линий 1-т—= 1,
314. Найдите огибающую семейства прямых —+-?-= 1,
параметры а, |3 связаны соотношением а + (}т—ат = 0,
а = сопз1. Отметьте случаи т = 2, 1, —2.
315* Из данной точки под разными углами к горизон-
горизонту в одной вертикальной плоскости и с одной и той же
начальной скоростью ^о выбрасываются материальные
точки. Найдите огибающую их траекторий (парабола
•безопасности).
316.^ Радиусы окружности х2 + У2 = я2 проектируются
на координатные оси. На проекциях, как на полуосях,
строятся эллипсы. Найдите огибающую этого семейства
эллипсов.

§ 5. ДЛИНА ДУГИ. КРИВИЗНА 47
§ 5. Длина дуги. Кривизна
Длина дуги кривой, заданной уравнениями
х = хA)л У =
г=г(ф),
вычисляется соответственно по формулам
и
о —~~ I
Ф2
Ф1
Кривизна кривой вычисляется соответственно по фор
мулам
1 г^ + 2г'* - гг"
Соприкасающаяся окружность кривой «в заданной точке
имеет с кривой касание не ниже второго порядка. Центр
соприкасающейся окружности называется также центром
кривизны кривой в заданной точке. Ее радиус, называе-
называемый также радиусом кривизны кривой в заданной точке,
находится по формуле. Я — 1/А. Круг, ограниченный
соприкасающейся окружностью, часто называют кругом
кривизны кривой.
317—322. Вычислите длину дуги между двумя про-
произвольными точками М\ и М2 следующих кривых:.
C17) у = хш. .C18) у = 1пх.
C19) г/ = асЬ—. ' C20) ?/-
а

48 ГЛ. 2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ
C21) х =^а(соз^ + *зш*)', у = а"(вт *—
C22) х = аAп 1%(Ц2) + соз г), у = а зш *.
323—328. Вычислите длину дуги между указанными
точками следующих кривых:
[C23) г/ == 1п соз х, х\ = О, х2 = я/3.
C24) I/ = -^-ху х —у ж,точки пересечения с осью Ох.
C25) у = -*-*»:- -±-!п*, ^ = 1, гс2 = 4.
|C26) г/ = 1п зес #, XI = — я/3, хч = я/3.
C27) *=* — -~8Ь2^, г/ = 2сЬ^, ^ = 0, *2 = 2.
C28) а: = 8а^3, у = За B*2 — ^4), ^ = 0, 12 = У2!
329. Найдите длину дуги параболы г = азес2((р/2),
отсекаемой осью Оу.
330. Найдите длину одной арки циклоиды.
331. Найдите длину одной ветви эпициклоиды (гипо-
(гипоциклоиды) (см. задачи 80, 81).
332—335. Найдите длину всей кривой:
C32) х=аьо&г1, у = а$т31, C33) г==аA+созф).
C34) г = а соз4 (ф/4). C35) г = а зш3 (ср/3).
336. Найдите длину дуги первого витка спирали Ар-
Архимеда г = аф.
337. Покажите, что длина дуги логарифмической спи-
спирали г = саф от произвольной точки до полюса равна дли-
длине полярной касательной, проведенной к спирали в этой
точке.
338. Найдите уравнение линии, длина дуги которой,
отсчитываемая от некоторой фиксированной точки А до
произвольной точки Ж, пропорциональна угловому коэф-
коэффициенту касательной, проведенной в конце дуги.
339. Докажите, что длина дуги цепной линии у =»
«= а сЬ (х/а) от ее вершины до некоторой точки равна
проекции ординаты этой точки на касательную, прове-
проведенную в Этой точке.
340. Покажите, что площадь, ограниченная цепной
линией, двумя ординатами ее точек и осью абсцисс, про^
порциональна длине соответствующей дуги, причем ко-

§ 5. ДЛИНА ДУГИ. КРИВИЗНА 49
эффициентом пропорциональности служит параметр
цепной линии а.
341. Докажите, что произведение длин дуг, отсчиты-
отсчитываемых от вершины цепной линии до точек касания
двух взаимно перпендикулярных касательных, является
величиной постоянной.
342. Составьте натуральную параметризацию окруж-
окружности.
343. Составьте натуральную параметризацию цепной
линии
у = а сЪ(х/а).
344—353. Найдите кривизну следующих кривых:
C44) у = $[пх. C45) у = а сЬ (х/а).
C46) у2 = 2рх. C47) х = 1\у
C48) # = асо8г,
C49) # = асЬг, г/
C50) х = а{1 — 51П г), у = аA — соз^).
C51) х = асо831, у = азш31.
C52) г=а<р. C53) г = аA+со8ф).
354. Найдите кривизну линии, заданной уравнением
355—356. Найдите кривизну следующих линий:
Т2 ,,2
C55) ^г + -?г = 1.
по
C56) ^--тг^1-
357. Вычислите кривизну линии у = хА в точке
0@,0).
358. Линии даны своим дифференциальным уравнени-
уравнением Р(х, у)йх -\- (}{х, у)йу = 0. Найдите их кривизну.
359. Докажите, что в произвольной точке линии спра-
справедливо
2Н
где к — расстояние от точки линии при значении пара-
параметра 5 + А$ до касательной, проведенной в точке линии
при значении параметра $.

50 ГЛ. 2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ
360. Докажите, что радиус кривизны кардиоиды
г = 2а A — созф) в любой точке раве1Г 2/3 длины поляр-
полярной нормали в той же точке. Укажите способ построения
центра кривизны для люсгой точки кардиоиды.
361. Докажите, что радиус кривизны параболы
у = х2/2р равен Н = /?/соз3 ее, где а — угол наклона ка-
касательной к оси абсцисс.
362. Докажите, что радиус кривизны логарифмической
опирали г = с#ф в любой точке равен длине полярной
нормали для этой точки. Используя это свойство, дайте
способ построения соприкасающейся окружности в лю-
любой точке логарифмической спирали
363. Вычислите радиус кривизны и укажите способ
построения центра кривизны в произвольной точке
трактрисы х = а Aп 1^(^/2) + соя I), у = а зш I.
364..Докажите, что отрезок, соединяющий произволь-
произвольную точку циклоиды с центром кривизны, соответствую-
соответствующим этой точке, делится базой циклоиды пополам. Ука-
Укажите вытекающий отсюда способ построении центра
кривизны для любой точки циклоиды.
365. Покажите, что ордината любой точки цепной ли-
линии есть средняя пропорциональная между*ее парамет-
параметром и радиусом кривизны в этой точке.
366. Покажите, что радиус кривизны лемнискаты
Бернулли г2 = 2а2 соз 2ср в любой ее точке в три раза
меньше длины полярной нормали в этой точке. На осно-
основании этого свойства укажите способ построения центра
кривизны в произвольной точке лемнискаты.
367. Дайте геометрический способ построения центров
кривизны, соответствующих вершинам эллипса.
368. Напишите уравнения соприкасающихся окружно-
окружностей в вершинах А (а, 0), 5@, Ъ) эллипса.
369. Напишите уравнение соприкасающейся окружно-
окружности линии у = зшя в точке А (я/2, 1).
370. Найдите соприкасающуюся окружность равносто-
равносторонней гиперболы ху = 1, радиус которой имеет мини-
минимальное значение.
371—373. На кривых найдите точки, где кривизна
принимает экстремальное значение {вершины кривых):
| х = а1 — йзш I,
C71) у = е*. C72) , .
4 ; у ч ' \ у = а — а соз I.
C73) г = азт3(ф/3).

§ 6. НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 51
374. Для того чтобы две лшшп в общей точке имели
касание порядка не ниже второго, необходимо и доста-
достаточно, чтобы они имели общую касательную и равные
векторы кривизны. Докажите.
375. Покажите, что в точке линии, в которой радиус
кривизны имеет максимум или минимум, линия имеет
с соприкасающейся окружностью касание, не ниже третье-
третьего порядка.
376. Найдите координаты центра и радиус соприкаса-
соприкасающейся окружности параболы у2 = 2рх.. В какой точке
параболы окружность имеет с ней касание третьего по-
порядка?
377. Пусть линии 1\ и 1ъ, касающиеся в точке М,
в окрестности этой точки расположены по одну сторону
от касательной и О <С к\ < &2, где к\, к<±— кривизны ли-
линий в точке М. Докажите, что в окрестности М линия 1\
объемлет линию Ц.
378. Если в точке А радиус кривизны имеет макси-
максимум, то линия в окрестности точки А лежит внутри круга
кривизны. Докажите.
379. Если в точке А радиус кривизны имеет мини-
минимум, то линия в окрестности точки А лежит вне круга
кривизны. Докажите.
380. Найдите параболу у = ах2-{-Ъх-\-с, имеющую с
синусоидой у = 5№х в точке А (л/2,1) общие касатель-
касательную и кривизну.
381. Окружность х2 + у2 = 5 является соприкасаю-
соприкасающейся в точке А A,2) к параболе, ось которой парал-
параллельна оси Ох. Найдите уравнение этой параболы.
§ 6. Эволюты и эвольвенты. Натуральные уравнения
Эволюта, т. е. фигура, состоящая из центров кривизны
кривой, заданной уравнениями B) § 1, имеет уравнения
х -1 у ЛГ . , х -4 !/
ху' — ху' " ' х у' —х'у
Эвольвентой датщой кривой *у называется кривая ^*> по
отношению к которой у является эволютой. Если кривая
7 задана уравнением г~г(в), то уравнение семейства
ее эвольвент имеет вид р = г + (X — зI, где X — еданин-

Г2 ГЛ. 2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ
ный вектор касательной к кривой у, а X — произвольный
параметр.
Будем приписывать кривизне кривой определенный
V , 1 </а
знак, вычисляя ее по формуле к = -тг — -^— = а,
где а — угол, который образует касательная к кривой с
осью Ох. Всюду в дальнейшем точки над буквой означа-
означают дифференцирование по параметру, за который при-
принята длина дуги. Натуральными уравнениями кривой
называют уравнения вида
и = к{$), Р(к, 8) = 0,
к = кA), 8 = 8A).
Если заданы натуральные уравнения кривой, то парамет-
параметризация кривой может быть задана в виде
х = ^ соз а ($)&, у = ^ 81П а ($) A8.
382. Что представляет собой эволюта окружности?
383—392. Составьте уравнения и начертите эволюты
следующих кривых:
C83) х = а со81, у = Ь з1п I.
C84) х = асЪ{, г/ == 6 зЬ ^. C85) у = х2.
C86) у = #2\ к — натуральное число, большее еди-
единицы.
C87) у = х2к+\ к — любое натуральное число.
C88) у=1пх. C89) у = зшх.
C90) у = 1%х, —л/2 < х < л/2.
C91) х = аAп 1г(*/2) +со8 *), у = азтг.
C92) г = аA + со8ф).
393. Докажите, что эволюта циклоиды есть циклоида,
конгруэнтная данной.
394. Покажите, что эволюта астроиды есть астроида,
подобная данной, с коэффициентом подобия 2, повернутая
относительно данной на угол я/4.
395. Покажите, что эволютой логарифмической спира-
спирали г = саф является логарифмическая спираль, получен-
полученная из данной поворотом вокруг полюса на некоторый
угол.

§ е. натуральные уравнения 53
396. Найдите такое условие для параметра а логариф-
логарифмической спирали г = са?, чтобы эволюта спирали совпа-
совпала с самой спиралью.
397. Составьте уравнения эвольвент окружности
х2 + у2 = о? и сделайте рисунок.
398. Составьте уравнение и сделайте рисунок эволь-
эвольвенты цепной линии у = а сЬ(.г/а), проходящей через ее
вершину.
399. Составьте уравнения эвольвент параболы
400—402. Найдите длины дуг нижеперечисленных
кривых, представляя эти кривые в виде эволют некото-
некоторых других кривых:
D00) Астроиды х = а со831, у = а 8Ш31.
D01) Одной арки циклоиды х = аA — 8ш ^), у =
D02) Кардиоиды г = а(\ + созср).
403—407. Составьте натуральные уравнения кривых:
D03) у = хш. D04) у = 1пж.
D05) х = а (соз Ь + 18ш I), у = а (зт * — I соз *).
D06) х = а{1п 1_в(^/2) + со8 *), г/ ~ а зт I.
D07) г = аA + со8ф).
408—411. Какие кривые задаются следующими нату-
натуральными уравнениями?
D08) к = а. D09) Н = аз.
D10) /?= (а2 + 52)/а2. D11) 52 + Д2 = 16а2.
412—415. Составьте параметризации кривых, для ко-
которых:
D12) Дзт3а = а. D13) Н = ае*.
D14) Н = аа. D15) 5==а1^а.
416. Докажите, что циклоида является изохронной
линией. Это означает, что если арку циклоиды располо-
расположить в вертикальной плоскости вершиной А вниз, то
время, затрачиваемое материальной точкой на передвиже-
передвижение по циклоиде под действием силы тяжести Земли из
некоторого начального положения М до вершины Л, не
зависит от начального положения материальной точки.

ГЛАВА 3
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ И ЛИНИИ
§ 7. Уравнения кривых и линий
Параметризацию
A)
кривой (или линии) в К3 будем называть векторно-пара-
метрическим уравнением этой кривой (или линии). Если
г (г) = {х{1), уA)~, я(^)), то уравнения
х = хA), У = у{1), 2 = 2@ B)
называются параметрическими.
Пусть Р{х, у, 2.) и С(х, г/, 2) — две гладкие функции
и / — множество решений системы
Р(х,у,г)=0, 6{х,у,г)=0. C)
Если в точке М&1 векторы
уР, дгР) и «гас!С= {дхв, дуС, дг0)
не коллинеарны, то в окрестности точки М каждое из
уравнений C) задает поверхность, а пересечение этих
поверхностей является линией, содержащейся в множе-
множестве ./.
417. Круговой цилиндр задан относительно прямо-
прямоугольной системы координат уравнением х2 + у2 = а2.
Пусть М движется по этому цилиндру гак, что ее проек-
проекция на ось От* перемещается по этой оси с постоянной
скоростью, а проекция на плоскость хОу равномерно вра-
вращается по окружности. Траектория точки М называется
винтовой линией. Составьте параметрические уравнения
винтовой Л1цтии и найдите ее проекции на координатные
плоскости.

1. УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ # ЛИНИЙ 55
418. Точка М движется вдоль образующей кругового
цилиндра со скоростью, пропорциональной пройденному
пути; при этом цилиндр вращается вокруг своей оси с
постоянной угловой скоростью. Найдите параметрические
уравнения траектории точки М.
419. Найдите кривую, образ которой есть пересечение
сферы радиуса В и кругового цилиндра диаметра Л, одна
из образующих которого проходит через центр сферы.
Эта кривая называется привой Вивиани.
420. Прямая ОЬ, не перпендикулярная оси Ог, равно-
равномерно вращается вокруг нее с постоянной угловой ско-
скоростью со. Точка М движется по прямой ОЬ: а) со ско-
скоростью, пропорциональной расстоянию ОМ подаижной
точки до ТОЧ1КИ О; б) с постоянной скоростью. В" первом
случав точка М описывает коническую спираль, во вто-
втором — коническую винтовую линию. Напишите парамет-
параметрические уравнения этих линий.
421. Оси двух круговых цилиндров радиусов а и Ъ
пересекаются под прямым углом. В пересечении цилинд-
цилиндров образуются две замкнутые линии, совокупность ко-
которых называется бицилиндрикой. Запищите неявные
уравнения бицилиндрики, укажите одну из ее параметри-
параметризаций. Что будет в случае а = Ь?
422. Покажите, что образ кривой х = агсозг, у***
= а{§\пг1 % = а212/2р лежит на параболоиде вращения и
его проекция на хОу является спиралью Архимеда.
423. Найдите проекции образа кривой х = г, у = I2,
% = I3 на координатные плоскости.
424. Покажите, что образ кривой х — а сЬ г, г/ == 6 зЬ ^,
2 = с1 лежит на гиперболическом цилиндре. Найдите его
проекции на координатные плоскости.
425. Найдите проекцию на плоскость хОу линии пе-
пересечения гиперболического параболоида ъ = х2 — у2 и
плоскости х + у — ъ — 0.
426. Докажите, что проекцией на плоскость уОг ли-
линии пересечения эллиптического параболоида #=г/2 + 22
и плоскости х — 2г/ + 4г — 4 = 0 является окружность
радиуса В = 3 с центром в точке Д/@, 1, —2).
427. Покажите, что образ кривой х = а соз3 ^, у =
«=» а 81П3 ^, 2 = а со8 21 лежит на ограниченной части ци-
цилиндра, направляющая которого — астроида, а образую-
образующая параллельна осы 02.

56
ГЛ. 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ Й ЛИНИЙ
428. Представьте образ кривой х =* *, у = г2, я = е1
в виде пересечения двух поверхностей.
429. Покажите, что образ кривой х = зш 2ф, у = 1 —
— соз 2ф, 2 = 2 соз ф лежит на сфере и является пересе-
пересечением параболического и кругового цилиндров.
430. Покажите, что образ кривой х = а зш2*, у
= Ь 81п I соз *, 2 = с соз * лежит на эллипсоиде.
431. Покажите, что образ кривой х = *соз^ у = 2зт
г = с* лежит на круговом конусе.
432. Что получается в пересечении однополостных ги-
перболоидов х2 — у2
= 1 и I/2 + 2
2 — х2
1?
§ 8. Репер Френе. Длина дуги
Для кривой (линии), заданной в пространстве г
векторы репера Френе обозначаются г, п и 6, а коорди-
координатные оси и плоскости носят специальные названия:
ось вектора г является касательной, ось вектора п назы-
называется главной нормалью, ось вектора Ь— бинормалью,
плоскость векторов п и I является соприкасающейся,
плоскость векторов п и Ъ называется нормальной, пло-
плоскость векторов I и Ъ— спрямляющей.
Уравнения касательной к кривой, заданной уравнения-
уравнениями A) и B) § 7, имеют соответственно вид
У
х'
У'
где й — радиус-вектор текущей точки касательной, а Х%
У, Ъ — координаты вектора Д.
Уравнения главной нормали:
{{г' х г*) X г'),
или
2 - г -}- X [у'
ъ"
х'
х"
у'
у"
х'
х"
у'
у"
ъ"
— у
— г'
— X
х'
X»
У'
г/
ъ'
г"
%'
г"
х'
х"

§ 8. РЕПЕР ФРЕНЕ. ДЛИНА ДУГИ
57
Уравнения бинормали:
или
X
у'
у"
— X
ъ
г"
У
з'
1*
— у
х'
х"
2
х!
х"
— 2
у'
у"
Уравнение соприкасающейся плоскости:
(Я - г) г'г" = О,
или
ЛГ — х У —у
X
х'
У
у'
2'
г'
= 0.
Уравнение нормальной плоскости;
или
(X - х)* + (Г-у)у'+&-*)*'
Уравнение спрямляющей плоскости'.
(В - г) г' (г' х г") = О,
= 0.
или
X-
х'
У'
у"
• X
У
ъ'
ъ"
г'
г"
у'
У
г —
ъ'
х'
х"
х'
х'!
г
у'
у"
0.
Единичные векторы касательной, главной нормали и
бинормали находятся по формулам
П ™
(г'хг№)хг'
\г'хг"\
Длина дуги линии, или натуральный параметр, опре-
определяется формулой
433—435. Составьте уравнения касательных к следу-
следующим кривым в указанных точках:
D33) х =зес ^ у = Щ *, г = аЬ при I = я/4.

58 гл. з. пространственные кривые и линии
D34) х = е\ у = е~\ г = I2 при I = 1.
D35) х = е1 соз г, у = е1 зш I, ъ = е1 при I = 0.
436. Составьте уравнения касательной к кривой*
х = аA — 81п ^), у = аA — соз^), 2 =
в точке I = я/2. Какой угол образует эта касательная
с осью О%1
437. В каких точках касательная к кривой х = 3^ —
2 5= 3^ + 1Ъ параллельна плоскости Ъх +
438. Составьте уравнения касательной прямой и нор-
нормальной плоскости винтовой линии х = 2 сс« I, у —
= 2 5Ш I, 2 = 41 в точке I -= 0.
439. Задана кривая х = г, у — I2, 2 = г3. Напишите
уравнения касательной прямой и нормальной плоскости
в точке 2 = 1. Какая линия получается в пересечении
касательных с плоскостью хОу!
440. Докажите, что линия ;г=е''^2со5 #, у~е1'*2§\п1^
2 — е1'^2 лежит на конусе х2 + у2 = 22 и пересекает его
образующие под углом 45°,
441. Напишите уравнения касательной прямой и нор-
нормальной плоскости к кривой Вивиани (см. задачу 419).
442. Сферической индикатрисой линии называется
фигура, состоящая из концов единичных векторов каса-
касательных, отложенных от начала координат. Найдите сфе-
сферическую индикатрису винтовой линии.
443. Докажите, что если все нормальные плоскости
пространственной линии проходят через фиксированную
точку, то линия лежит на сфере (такие линии называ-
называются сферическими).
444. Составьте уравнения касательной прямой и нор-
нормальной плоскости линии, заданной пересечением двух
поверхностей:
Р(х,у,г) =0, Ф(.г, у, г) = 0,
Р Р Р
Ф'х Фу Фг - '•

§ 8. РЕПЕР ФРЕНЕ. ДЛИНА ДУГИ
445. Напишите уравнения касательной прямой и нор
мальной плоскости линии х2 = 2&г, г/2 ===== 2Ьг в произволь
ной точке.
446. Найдите уравнения нормальной плоскости в про
извольной точке линии х2 + у2 = 1, у2 + г2 = 1 (у
)
447. Покажите, что нормальные плоскости кривой
х = я 8Ш21, у = а 8)п I соз г, г = а соз 2
проходят через начало координат.
448. Пусть г = г (я) — натуральная параметризация
кривой, я — прямая, проходящая через точку Мо(зо) кри-
кривой, и с?(А$) — расстояние от точки М(#о + Д$) до пря-
прямой л. Для того чтобы прямая п была касательной к
кривой т = г (я) в точке ЛУо, необходимо и достаточно,
чтооы пгп —-— = 0. Докажите.
449. Докажите, что соприкасающуюся плоскость би-
регулярной кривой г = г (I) в заданной точке Мо(*о)
можно определить любым из следующих условий:
а) Плоскость, проходящая через точку Мо и имеющая
направляющие векторы г'(г0) и г"(*оу.
б) Пусть я — плоскость, проходящая через касатель-
касательную прямую кривой в точке Мо, р = р E) — натураль-
натуральная параметризация кривой, точка Мо соответствует зна-
значению параметра $о и й(Д$) —расстояние от точки
Л/($о + Д5) Д° плоскости я. Плоскость п является сопри-
соприкасающейся плоскостью кривой в точке Мо тогда и толь-
только тогда, когда
-^тг- = 0.
в) Плоскость, имеющая с кривой в точке Мо касание
не ниже второго порядка. (Определение касания кривой
с поверхностью см. в § 11.)
450. Докажите, что если все соприкасающиеся плос-
плоскости бирегулярной линии проходят через фиксирован-
фиксированную точку, то эта линия плоская.
. 451. Найдите соприкасающиеся плоскости кривой
х ==■ ^ у = *2, 2 == *3, проходящие через данную точку
Л/о B, -1/3, -в).

СО ГЛ. 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ И ЛИНИЙ
452. Покажите, что прямая, проведенная из произ-
произвольной точки М кривой х = I, у == I2, г = I* парал-
параллельно плоскости 2 = 0 до встречи с осью 02, лежит в
соприкасающейся плоскости кривой в точке М.
453. Напишите уравнение соприкасающейся плоскости
кривой х = а соз I, у = Ъ зт 2, г = е1 в точке I = 0.
454. На бинормалях кривой .г = соз а соз 2, у —
= соз а 8111^, 2 = ^81п а, а = СОП81, в положительном на-
направлении отложены отрезки постоянной длины, равной
единице. Напишите уравнение соприкасающейся плоско-
плоскости кривой, состоящей из концов этих отрезков.
455. Составьте уравнение соприкасающейся плоскости
линии пересечения сферы х2 + у2 + г2 = 9 и гиперболи-
гиперболического цилиндра х2 — у2 = 3 в точке М B, 1, 2).
456. Докажите, что образ кривой х = е1 соз ^ у =
= е' 81П ^, 2 = 22 расположен на поверхности х2 + у2 —
— ег = 0 и соприкасающаяся плоскость кривой совпа-
совпадает с касательной плоскостью поверхности.
457—458. Составьте уравнения главной нормали и би-
бинормали, следующих кривых в указанных точках:
D57) х = г, у = Л 2 = е* при I = 0.
D58) я = *, у = I2, 2 = *3 при I — 1.
459. От каждой точки кривой х = а{1 — зт^), I/ ■=
— аA — созО» 2 == 4аз1П (^/2) на главной ее нормали в
направлении вектора п отложен отрезок длины
ау/г\ -\- зт2 (*/2). Докажите, что линия, составленная из
концов этих отрезков, есть синусоида.
460. Найдите точки на кривой х = 2/2, у = 1п I, г =
= —I2, в которых бинормаль параллельна плоскости
х - у + 82 + 2 = 0.
461. На бинормалях винтовой линии отложены отрез-
отрезки равной длины. Докажите, что концы этих отрезков
лежат на другой винтовой линии.
462. Найдите единичные векторы касательной, глав-
главной нормали и бинормали кривой х = X зт 2, у = I соз 2,
г = 1е1 в начале координат.
463—464. Найдите единичные векторы касательной,
главной нормали и бинормали в произвольной точке сле-
следующих кривых:
D63) х = соз3 2, . у = зт3 2, г = соз 22.
D64) я = а(* —зтО, у = аA—созО, г = 4асоз(*/2)[.

§ 9. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ. ЙАТУ^АЛЬЙЫЁ УРАВЙЕЙЙЙ 61
465. Докажите, что векторы I, п, Ь кривой х = I,
у — /2, г = *3 в точке О@, 0, 0) совпадают с единичными
векторами координатных осей.
466. Составьте уравнения касательной, нормальной
плоскости, бинормали, соприкасающейся плоскости, глав-
главной нормали и спрямляющей плоскости винтовой линии
х =д соз I, у = а зт г, г = Ы.
Докажите, что главная нормаль пересекает ось винтовой
линии под прямым углом, а бинормаль образует с ней
постоянный угол. Найдите векторы репера Френе.
467. Напишите векторные уравнения кривых, описы-
описываемых точками пересечения касательных, главных нор-
нормалей и бинормалей кривой г = г (а) с плоскостью хОу.
468. Найдите длину дуги винтовой линии х = а соз *,
у = а зт I, г = Ы от точки пересечения с плоскостью
хОу до произвольной точки М.
469. Напишите натуральную параметризацию винтовой
линии.
470. Найдите длину дуги одного витка кривой
х = аA — 31П г), у = а(\ — соз I), г = 4асоз (^/2)
между двумя ее точками пересечения с плоскостью хОг.
471. Найдите длину, дуги линии хг = 3а2у1 2хг = а2
между плоскостями у = а/3, у = 9а.
472. Покажите, что замкнутая кривая х = сое3 2, у =
= 81П3 г, г = соз 21 имеет длину 5 = 10.
473. Найдите длину дуги кривой х = асЬ*, у = азЬ^,
г = аг, заключенной между точками, соответствующими
значениям параметра 0 и I.
474. Найдите выражение дифференциала длины дуги
кривой в цилиндрических координатах.
475. Найдите выражение дифференциала длины дуги
кривой в сферических координатах.
§ 9. Формулы Френе. Кривизна и кручение.
Натуральные уравнения
Формулы Френе ориентированной бирегулярной кри-
кривой в пространстве К3 имеют вид
с1п

ГЛ. 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ Й ЛИНИЙ
где А: и х — первая и вторая кривизны, называемые соот
ветственно кривизной и кручением.
Кривизна кривой, заданной уравнениями A) и $
§ 7, вычисляется его формулам
или
V
у
У
"
2" х"
к
Формулы для вычисления кручения:
2
или
у'
у"
г'
гп
х'
х"
мг г г
X
1
1
г'
ъп
У
У"
г г г
У
х'
' х"
ъ'
с"
/ / Г
2
'л
*
х'
х"
У
У"
В частности, если в качестве параметра взят нату-
натуральный параметр 5, то
= | /: |, А- = У х*
х - (гг"гIг'
X =
* У 2,
х у г
х у 2
х
2
где точками обозначены производные по параметру 5.
Уравнения к — к(з), к = к(з) называются натуральны-
натуральными уравнениями линии.
476. Проверьте, что для кривой г =/*($) выполняются
следующие соотношения:
м »»
г- г = 0, г- г = — А:2, гг
477. Докажите, что формулы Френе
п = — Ы + хЬЛ Ь =

§ 9. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ. НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 63
можно записать в виде * = сох$, л = о>Хл, Ь =
Найдите вектор со (вектор Дарбу) и выясните его кине
матический смысл.
478. Докажите, что
а) 1ЬЬ — х.
б)
в) а г =
479. Для того чтобы линия была прямой или ее откры-
открытым подмножеством, необходимо и достаточно, чтобы
к = 0. Докажите.
480. Для того чтобы бирегулярная линия была плос-
плоской, необходимо и* достаточно, чтобы х = 0. Докажите.
481. Докажите, что в точке Мо кривизна линии Ь рав-
равна кривизне проекции I/* линии Ь на ее соприкасающу-
соприкасающуюся плоскость в точке Мо.
482—483. Докажите, что для следующих кривых кри-
виона и кручение равны:
D82) х — а сЬ I, у = азЪи г = а1.
D83) х = 3* — г3, у = Зг2, * = Зг + Р.
484. Найдите кривизну и кручение винтовой линии
х = а со» гу у = а зт I, ъ = Ы.
485. Найдите кривизну конической винтовой линии
х = I со» и у = 181П 1% 2 = а1 в начале координат,
486—489. Найдите кривизну и кручепие следующих
кривых:
D86) я = ас11^ у = аъ\\1^ я =
D87) х = е\ У = е-\ * =
D88) я = 21, у = \Ш, г = 12.
D89) л; == соз3 /, г/ = 81П3 ^, 2 = со8 2^.
490. Найдите, при каких а и Ъ кручение кривой
= а сЬ ^, г/ = а зЬ ^, ъ = Ы во всех точках равно ее кри-
кривизне.

64 ГЛ. 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ И ЛИНИИ
491. Найдите точки на кривой # =
% = соз 2^, в которых кривизна имеет минимальное значе-
значение (локальное).
492. В каких точках радиус кривизны кривой
х = а(* — 51П^), у = а{\ — сов*), 2 — 4асоз(//2)
достигает локального минимума?
493. Докажите, что радиус кривизны конической спи-
спир
рали х = а соз ф • ещ, у = а зт ф • еАф, г = &еАф пропорци-
пропорционален расстоянию точки спирали до оси конуса.
494—495. Докажите, что следующие кривые плоские,
и составьте уравнения плоскостей, в которых расположе-
расположены их образы:
D94) х=—ь,
D95) а; = а{12
496. Найдите такую функцию /B)„ чтобы кривая # =,
•= а соз I, у = а зт ^, 2 = /(^) была плоской.
497. Обобщенной винтовой линией называется прост-
пространственная линия, касательные которой образуют посто-
постоянный угол с фиксированным направлением. Докажите,
что линия будет обобщенной винтовой тогда и только тог-
тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
а) главные нормали перпендикулярны фиксированно-
фиксированному направлению;
б) бинормали образуют постоянный угол с фиксиро-
фиксированным направлением;
в) отношение кривизны к кручению постоянно.
***** (и. \
498. Покажите, что условие г г г =0 необходимо и
достаточно для того, чтобы линия была обобщенной вин-
винтовой.
499. Докажите, что линия х2 = Зт/, 2ху = 9х~ является
обобщенной винтовой.
500. Покажите, что линия х = 21, у = 1п I, г = I2 яв-
является обобщенной винтовой линией, лежащей на цилин-
цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны
вектору а@,1, 1).
501. Найдите условия, при которых линия х = а1%
у = Ы2) г = с1ъ будет обобщенной винтовой линией.

§ 9. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ. НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 65
502. Если все нормальные плоскости бирегулярной
линии содержат постоянный вектор е2 то линия плоская.
Докажите.
503. Если все соприкасающиеся плоскости бирегуляр-
бирегулярной линии перпендикулярны некоторой фиксированной
прямой, то линия плоская. Докажите.
504. Если между точками двух линий можно устано-
установить такое соответствие, что в соответствующих точках
касательные параллельны, то отношения кручения к кри-
кривизне в этих точках одинаковы по модулю. Докажите.
505. Линией Бертрана называется такая линия, глав-
главные нормали которой являются одновременно главными
нормалями некоторой второй линии, отличной от первой.
Докажите, что линии Бертрана характеризуются зависи-
зависимостью Хк + [м — 1, где X, |л — сопз*.
506. Покажите, что угол между касательными в соот-
соответствующих точках линий Бертрана постоянен.
507. Докажите, что расстояние между двумя соответ-
соответствующими точками линий Бертрана постоянно.
508. Докажите, что линия с постоянной кривизной яв-
является линией Бертрана. Покажите при этом, что соответ-
соответствующая линия имеет ту же кривизну и что каждая из
этих линий состоит из центров кривизны другой. Покажи-
Покажите, что в соответствующих точках касательные перпенди-
перпендикулярны.
509. Между точками двух линий установлено взаимно
однозначное соответствие таким образом, что касательные,
главные нормали и бинормали в соответствующих точках
к^ с1$ н*'8
параллельны. Докажите, что -^ => ^ = —, где к, х,
5 — кривизна, кручение и длина дуги одной линии, к*,
и*, 5* — соответствующие величины другой линии.
510. Назовем эвольвентой неплоской линии Гм=»г
линию р=г — з1. Выразите кривизну и кручение этой
линии через кривизну и кручение линии г= г (в). Дока-
Докажите, что если линия г=г(8)— обобщенная винтовая, то
линия р = г — 8г плоская.
511. Покажите, что если кривизна и кручение линии
постоянны, то линия является винтовой.
512.. Зная кривизну к и кручение к винтовой линии,
составьте ее параметрические уравнения.
3 Под ред. А. С. Феденко

66 ГЛ. 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ И ЛИНИИ
513. Покажите, что из всех линий Бертрана только для
винтовой линии существует бесконечное множество ли-
линий с общими главными нормалями.
514—515. Составьте натуральные уравнения следую-
следующих кривых:
E14) х = а сЬ I, у = а зЬ I, г = а%.
E15) х = с1, г/=|/2с1п^ % = с1~ ♦
516. Линия задана натуральными уравнениями к =
= к(з), х = %($)/ Покажите, что натуральными уравне-
уравнениями линии, симметричной данной относительно начала
координат, будут к — к(з), и = — х($).
517. Докажите, что в случае касания двух линий не
ниже третьего порядка кручения в их общей точке равны.
Верно ли обратное?
518. Найдите порядок малости кратчайшего расстоя-
расстояния между касательными линии относительно расстояния
между точками касания. Решите аналогичную задачу для
главных нормалей и бинормалей.
519. Докажите, что линия и ее соприкасающаяся ок-
окружность в данной точке имеют касание не ниже второго
порядка.
520. При каком условии ценгр кривизны винтовой
линии лежит на том же цилиндре, что и сама винтовая
линия?
. 521. Сфера, имеющая с кривой в данной точке касание
порядка не ниже третьего, называется соприкасающейся
сферой в этой точке (определение касания линии с по-
поверхностью см. в § 11). Докажите, что если кривая задана
уравнением г = г ($)> то радиус-вектор центра соприка-
сающейся сферы задается формулой гс = г + Нп + тг
а радиус соприкасающейся сферы — формулой Яс
522—523. Найдите радиус соприкасающейся сферы в
произвольной точке следующих кривых:
E22) х = е\ У^е~\ г=
[E23) х = е1 §1п I, у = е1 соз г, ъ = е\

§ 9. формулы френе. натуральные уравнения 67
524. Покажите, что две кривые, имеющие в некоторой
точке касание не ниже третьего порядка, имеют в этой
точке одну и ту же соприкасающуюся сферу.
525. Если радиус соприкасающейся сферы постоянен,
то линия является сферической (лежит 'на сфере) или
имеет постоянную кривизну. Докажите.
* 526. Найдите множество центров соприкасающихся
сфер винтовой линии х = а соя ^, у = а зт ^, г = Ы.
527. Докажите, что соприкасающаяся плоскость кривой
пересекает ее соприкасающуюся сферу по соприкасаю-
соприкасающейся окружности.

ГЛАВА 4
ПОВЕРХНОСТИ
§ 10. Уравнения поверхности
Пусть 5 — поверхность, (С/, г) — ее параметризация.
Уравнение
г ==г{и, и) A)
называется векторным уравнением области г A7) на по-
поверхности 8. Если существует вектор-функция A) на
множестве IV = {(и, V)} такая, что образ г (И7) равен 5,
то A) называется векторным уравнением поверхности,
хотя пара A^, г) может и не быть параметризацией 5.
Если г (и, I?) = (х(щ и), у (и, V), г (и, г)), то уравнения
= у(и,и), г = г(и,и) B)
называются параметрическими уравнениями поверхности.
Часто параметризация поверхности .задается в виде
х = м, у = у, 2 ■= /(м, у), где / — гладкая функция. В
этом случае уравнение
г = /(ж, у) C)
называется уравнением поверхности в явном виде.
Пусть Р(х, у, г)—гладкая функция, 5 — множество
решений уравнения
Р(х,у,г) =0. D)
Если в точке М^8 вектор %1'&йР= {дхР, дуР* дгР) отли-
отличен от нуля, то 6' в окрестности точки М является поверх-
поверхностью и D) называется неявным уравнением поверх-
поверхности.
528. В плоскости хОг задана линия х=}(и), 2=^A*),
не пересекающая ось 02. Найдите параметризацию по-

§ 10. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ 69
верхностп, полученной при вращении этой линии вокруг
оси От,.
529. Напишите уравнения тора, который получается
при вращении окружности
х = а + Ь соз и, у ■= 0, г = Ъ зт и (Ъ < а)
вокруг оси Ог.
530. Напишите уравнения катеноида, который полу-
получается при вращении цепной линии х = асЬ(н/я), у = О,
2 = М ВОКруг ОСИ 02.
531. Напишите уравнения псевдосферы, которая по-
получается при вращении трактрисы х = а зт и, у = 0,
2 = #Aп1^ (ы/2) +созы) вокруг оси 02.
532. Напишите параметрические уравнения гипербо-
гиперболического параболоида
приняв за координатные лилии его прямолинейные обра-
образующие. Как запишутся эти уравнения, если уравнение
поверхности взято в виде ъ = рху?
533. Напишите параметрические уравнения цилинд-
цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны
оси Оъ, а направляющая задается уравнениями х =
= /(н"), у = ф(и), 2 = 0.
534. Напишите параметрические уравнения гипербо-
гиперболического и параболического цилиндров.
535. Напишите уравнение цилиндрической поверхно-
поверхности, для которой линия р = р (и) является направляю-
направляющей, а образующие параллельны вектору е.
536. Напишите параметрические уравнения цилиндри-
цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны
вектору а A,2,3), а направляющая задана уравнениями
х = и, у = и2, ъ »= иъ.
537. Напишите неявное уравнение цилиндрической
поверхности с направляющей линией х =? соз и, у =**
= 31П и, 2 = 0 и прямолинейными образующими, парал-
параллельными вектору а(— 1,3, —2).
538. Докажите, что уравнение цилиндрической поверх-
поверхности, направляющие которой ^параллельны вектору
а (^ ?п1 пI имеет вид /(л# — /2, пу — тг) •== 0.

70 ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
539. Найдите уравнение цилиндрической поверхности,
направляющая которой есть линия х2 -\- у2 = ау, 2-= 0,
а образующие параллельны вектору а (/, т, п).
540. Дана поверхность
х = Зи + V2 -Ь 1, У = 2п + V2 - 1, 2 = - и + 2у.
а) Покажите, что эта поверхность цилиндрическая.
б) Напишите уравнение какой-нибудь ее направляю-
направляющей линии.
в) Найдите прямолинейную образующую, проходя-
проходящую через точку М(и = 2, V = 3),
541. Задана точка М(г/, 6, с) и линия Ь
Напишите в параметрическом и неявном виде уравнения
конуса с вершиной в М и с направляющей линией Ь.
542. Составьте уравнение конуса, образуемого прямы-
прямыми, проходящимц через точку М(а,Ъ,с) и пересекающи-
пересекающими параболу у2 = 2рх, ъ = I).
543. Составьте уравнение конуса, имеющего вершину
в точке М ( —1,0, 0) и описанного около параболоида
2у2 + ъ2 = Ах.
544. Дана поверхность х = и' -\- V, у = и — V, т, = гп\
Проверьте, принадлежат ли ей точки Л D, 2, 3), В( 1, 4, —2).
545. Какая поверхность задается уравнениями
х — и + §ш у, у = и ~|- сиз г, 2 = г/
546. Найдите неявное уравнение поверхности, задан-
заданной параметрическими уравнениями
х = хц-\- а соз и еоз I', г/ = г/о
Ы.
547. Покажите, что уравнения
и . V 1
X = —5 ;, У = —; * ~=
и: -г V- " -и- -,- г-7 и- -г г-
х = и соз у, г/ == и 81П у, 2 = ц2
задают одну и ту же поверхность.
548. Задано уравнение конуса г = ие (ц), \ е \ = [ ег \ =-• 1.
Какой геометрический смысл имеют параметры и и у?

§ 10. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ 71
549—551. Выясните вид координатных линий на.пло-
на.плоскости:
E49) х = и, у = у, 2 = 0.
E^0) х ~ и соз у, У = и зш у, 2 = 0.
E51) Я = СОЗ и сЬ V, у = 51П и зЬ У, 2 = 0.
552. Покажите, чго параметрические уравнения одно-
полостного гиперболоида можно представить в виде
ни ! 1 7 и — V т> — 1
х = а—■—, у=Ь , 2 = —:—.
и -\- V и | V и -\- V
Каковы координатные линии поверхности при указанной
параметризации?
553. Напишите параметрические уравнения круговою
цилиндра таким образом, чтобы координатными линиями
служили: а) винтовые линии и окружности; б) винтовые
линии и прямолинейные образующие; в) два семейства
винтовых линий.
554. Напишите параметрические уравнения фигуры,
образованной касательными к данной линии р — р(а).
555. Напишите параметрические уравнения фигуры,
образованной касательными к винтовой линии
х — а соз и, у = а зш а, 2 = Ъи.
Является ли эта фигура поверхностью?
556. Геликоидом общего вида называется фшура, об-
образованная некоторой линией (профилем), вращающейся
около оси и одновременно поступательно движущейся в
направлении этой оси, причем скорости этих движений
пропорциональны. Составьте уравнения геликоида обще-
общего вида.
557. Геликоид, профилем которого служит прямая, пе-
пересекающая ось, называется прямым, если прямая пер-
перпендикулярна оси, и косым, если прямая не перпендику-
перпендикулярна оси. Напишите уравнения этих геликоидов, при-
принимая за ось вращения ось От,.
558. Найдите уравнение поверхности, образованной
главными нормалями винтовой линии.
559. Прямым коноидом называется фигура, полученная
вращением прямой вокруг ортогональной ей оси и одно-
одновременным переносом этой прямой вдоль оси. Напишите
уравнение коноида, ось которого совпадает с осью От,.
560. Напишите в неявном виде уравнение прямого
коноида, у которого перемещение вдоль оси Оъ определя-

72 ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
ется формулой ъ = а зт 2г;, где г; — угловая скорость
вращения прямой.
. 561. Напишите параметрические уравнения поверхно-
поверхности х2ъ2 =* а2(х2 + У2)» Докажите, что это прямой Коноид.
562. Окружность радиуса а перемещается так, что ее
центр движется по заданной лин1.'ир = р($),а плоскость,
в которой она расположена, является в каждый момент
нормальной плоскостью этой линии. Составьте уравнение
фигуры, описываемой окружностью (поверхность такого
вида называется трубчатой).
563. Поверхность, допускающая нараметризацию вида
г = гх(и) +г2(и), где гх, г2— гладкие вектор-функции, на-
называется поверхностью переноса. Покажите, что поверх-
поверхность переноса может быть получена поступательным пе-
перемещением некоторой линии.
564. Покажите, что поверхность, состоящая из §,ере-
дин отрезков, концы которых принадлежат двум данным
линиям, есть поверхность переноса.
565. Докажите, что часть прямого геликоида
х = и соз V, у = и зш у, ' 2 =
для и ^ с (где с — некоторое положительное число) яв-
является поверхностью переноса.
566. Покажите, что эллиптический и гиперболический
параболоиды являются поверхностями переноса.
567. Докажите, что координаты х, у, % произвольной
точки поверхности второго порядка можно всегда выра-
выразить рациональными функциями двух параметров и и и.
§ 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Линейчатые поверхности.
Касание линии с поверхностью
Уравнения касательной плоскости, соответствующие
заданиям поверхности A), B), C), D) § 10, имеют со-
соответственно вид
х — х у— у г —
О,
о

. Касательная плоскость п нормаль к поверхности 73
дг
дг
где р = •
{Х-х)Рх+ (У-у)Р
уравнения нормали:
Н = г+"к(ги X гг),
X -~х У — у 2 — 2
0;
Уи
Уи
*и
"и
"'о
хи
X
г
X
и
X
V
Уи
?/„
X - х У
У
У-у __2-г
х
Р
У
Поверхность, допускающая параметризацию вида
В = г (и) -\- га(и), где г и а — гладкие вектор-функции,
называется линейчатой. Координатная линия и = сопвЪ
является прямой или ее частью и называется образующей.
Линия г = г (и) называется направляющей. Линейчатая
поверхность называется развертывающейся, если во всех
точках произвольной образующей касательная плоскость
к поверхности одна и та же. Линейчатая поверхность,
не являющаяся развертывающейся, называется косой.
Пусть М — некоторая точка линейчатой поверхности
5, я = п(и) — прямолинейная образующая, проходяпдая
через точку М. Придавая параметру и некоторое прира-
приращение Аи, мы получим прямолинейную- образующую
зт/ = я'(ц -^ Дм). Пусть ММ' — общий перпендикуляр
прямых я и л'. Если при Дц~>0 точка N стремится по
прямой я к некоторому предельному положению, то эта
предельная точка называется горловой точкой образую-
образующей я. Множество всех горловых точек линейчатой по-
поверхности *$ в общем случае образует линию, которая на-
называется горловой-линией. Уравнение горловой линии ли-
линейчатой поверхности имеет вид
йг . да
Пусть кривая
имеет с поверхностью
A)
B)

74 гл. 4. поверхности
общую точку М{и). Рассмотрим функцию
Корда точка МA) стремится по кривой A) к точке М(/о),
Ф@ будет бесконечно малой величиной при 1-+-1<ь. Если
порядок малости этой величины относительно 1-го ра-
равен к +1, то говорят, что кривая A) имеет с поверхно-
поверхностью B) касание к-го порядка.
568. Если через точку М поверхности проходит прямая,
лежащая на поверхности, то касательная плоскость в точ-
точке М к поверхности содержит данную прямую. Докажите.
569. На поверхности х — и -{- соз V, у = и — в\п V,
г = Ки дана точка М(и = 1, и = я/2).
а) Напишите уравцения касательньыд прямых и нор-
нормальных плоскостей к линиям и = 1, V = л/2 в точке Д/«
б) Найдите угол между линиями и=\, V = л/2.
в) Покажите, что касательная в точке М к линии
и = 81П V является касательной к линии и = 1 в той же
точке.
570. Покажите, что нормаль в произвольной точке
поверхности, образованной касательными к винтовой ли-
линии, образует постоянный угол с осью линии.
571. Напишите уравнение касательной плоскости к
поверхности х = 2ы — у, у = и2 -)- г;2, ъ = и3 — у3 в точ-
точке М C, 5, 7).
572. Напишите уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности х = и -\- V, у = и — V, 2 = ии
в точке М(и = 2, у == 1).
573. Напишите уравнения касательной плоскости и
нормали в точке М([, 3, 4) поверхности я = и, г/ = и2 —»
574. Дана поверхность х — исозVу у = изхпр, & = и.
Напишите уравнения касательной плоскости, нормали
к поверхности и касательной к линии и = 2 в точке
М(и = 2, г; = я/4) поверхности.
575—578. Напишите уравнения касательной плоско-
плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных
точках:
E75) г = хг + уъ в точке Л/A, 2, 9),
E76) х2 + г/2 + 22 = 169 в точке МC, 4,12).
E77) х2 - 2у2 - Ът2 «■ 4 = 0 в точке Л/C, 1, -

§ 11. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ II НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 75
E78) ^г + у + --г = 1 в точке М (<г0, г/0, 20).
579. Напишите уравнение касательной, плоскости
к псевдосфере
х = а зт ц соз у, у = а зт и зт у,
соз
580. Составьте уравнения касательной плоскости и
нормали к прямому геликоиду
х = и соз ^, у = й 31Н ^, г =
Исследуйте повеление нормали при смещении ее вдоль
координатных линий.
^5&1<- Напишите уравнение касательной плоскости
к тору
х = G + 5 соз и) соз у, * г/ = G + 5 соз и)зт V,
2 = 5 3111
в точке М(и, у), для которой
соз и = 3/5, соз и = 4/5 @ < и, V < л/2).
582. К поверхности хут, = 1 проведите касательную
плоскость, параллельную плоскости ж + у + 2 — 3 = 0.
583. Докажите,что касательные плоскости к поверхно-
поверхности хуг = аъ образуют с плоскостями координат тет-
тетраэдр постоянного объема.
584. Покажите, что касательная плоскость в произ-
произвольной точке конуса проходит через его вершину.
585. Покажите, что все плоскости, касательные к по-
поверхности 2 = хъ + у3 в точках Л/(а, —а, 0), образуют
пучок плоскостей.
586. Найдите точки тора
х = (а + Ъ соз ц)соз *;, у = (о, ~\- Ъ соз и)ш\ V,
2=6 8111 п,
в которых нормаль перпендикулярна плоскости Ах
+ % + Съ + О = 0.
587. Дана поверхность я" + уп + 2П — с1п = 0 и точка
Л/(а, 6, с) на ней (а, 6, с, й — положительны). Покажите,
что если Л, 5, С — точки, в которых касательная плос-

76 ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
кость в точке М пересекает оси Ох, Оу, Оз, то -.п А-. +
° < с л
\ов\ ' \ос\
588. Покажите, что касательная плоскость в произ-
произвольной точке поверхности {(х — ат,, у — Ьт>) = 0 парал-
параллельна фиксированному направлению.
589. Докажите, -что касательная плоскость к трубча-
трубчатой поверхности (см. задачу 562) параллельна касатель-
касательной к направляющей линии, а нормалями к ней являют-
являются нормали направляющей линии.
590. Покажите, что касательные плоскости - поверх-
поверхности
г = хср(у/х)
проходят через начало координат.
591. Докажите, что касательные плоскости поверхно-
поверхности переноса г = гг (и) + г2 (и) вдоль каждой линии и =
= сопз1 или V = соп81 параллельны некоторой прямой.
592. Поверхность 8' называется параллельной поверх-
поверхности 5, если она состоит из концов отрезков постоянной
длины, отложенных на нормалях поверхности 5 от точек
этой поверхности. Будем считать соответствующими точ-
точками поверхностей 8 и 8' концы отрезков, о которых
идет речь в определении.
Покажите, что: а) касательные плоскости в соответ-
соответствующих точках параллельных поверхностей 5 и 8/ па-
параллельны; б) свойство параллельности взаимно (т. е. ес-
если 8/ параллельна 5, то 5 параллельна 5/).
593. Пусть поверхность есть часть фигуры, образо-
образованной касательными к линии г~г(з). Напишите
уравнение касательной плоскости в произвольной точке
поверхности. Исследуйте ее поведение при смещении
точки касания вдоль" прямолинейных образующих по-
поверхности.
594. Докажите, что поверхности т, = ^ (ху), х2—у2 =
в= а ортогональны б точках их пересечения.
595—597. Докажите, что следующие семейства поверх-
поверхностей попарно ортогональны (А, (I, V — параметры се-
семейств) :
E95) /ах + г/ + 22 = Я, у = цг, у2 + 22 = \е\
E96) х* + у2 + г2 = К ^2 + у2 + т2 =
X2 + У2

§ 11. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 77
E97) ху =
598. Покажите, что касательная плоскость, проведен-
проведенная в любой точке линии V •= с на поверхности # =
= и соз у, у >— и 31П у, 2 = /(у) + аи, проходит через
фиксированную прямую.
599. Докажите, что если все нормали поверхности про-
проходят через одну точку, то эта поверхность есть сфера
или область на сфере.
600. Докажите, что нормаль поверхности вращения
совпадает с главной нормалью меридиана и пересекает
ось вращения.
601. Если все нормали поверхности пересекают одну
и ту же прямую, то поверхность будет поверхностью
вращения. Докажите.
602. Докажите, что линейчатая поверхность!? = г(и)-{-
+ па (и) является развертывающейся тогда и только
тогда, когда
т'аа! = 0.
603. Докажите, что поверхность, параллельная раз-
развертывающейся, есть также развертывающаяся поверх-
поверхность.
604. Докажите, что любая развертывающаяся поверх-
поверхность может быть разбита на следующие части:
а) часть плоскости;
б) часть цилиндра;
в) часть конуса;
г) часть фигуры, состоящей из касательных к некото-
некоторой неплоской линии. В последнем случае указанная ли-
линия называется ребром возврата.
605. Пусть 5 — развертывающаяся поверхность типа
г) из задачи 604. Докажите, что касательная плоскость
в произвольной точке поверхности 5 совпадает с сопри-
соприкасающейся плоскостью ребра возврата в соответствую-
соответствующей точке.
606. Поверхностью К от алана называется косая линей-
линейчатая поверхность, все образующие которой параллель-
параллельны некоторой плоскости, называемой направляющей. До-
Докажите, что необходимыми и достаточными условиями
того, чтобы линейчатая поверхность
г = р(м) + иа(и)

78 гл. 4. поверхности
была поверхностью Каталана, являются условия
аа'а" == 0, а ф о.
607—610. Найдите горловую линию следующих по-
поверхностей:
F07) Прямого геликоида.
F08) Однополостного гиперболоида вращения.
F09) Поверхности, образованной бинормалями про-
пространственной линии.
F10) Поверхности, образованной главными нормаля-
нормалями пространственной линии.
611. Докажите, что поверхность, образованная норма-
нормалями, проведенными в точках .одной образующей косой
линейчатой поверхности, есть гиперболический параболо-
параболоид или его часть.
612. Покажите, что линия у г = .г, хъ = у + 1 имеет
с поверхностью т, = ху в точке Л/@, —1, 0) касание
второго порядка.
613. Найдите порядок касания линии
х = 1\ у = I* + 21, г == I2
с поверхностью
в начале координат.
614. Прямая, имеющая с поверхностью второго поряд-
порядка касание не ниже второго порядка, целиком лежит на
этой поверхности. Докажите.
615. Если линия в каждой своей точке имеет с сопри-
соприкасающейся плоскостью касание не ниже третьего по-
порядка, то эта линия плоская. Докажите.
616. Пусть линия Ь имеет с поверхностью 5 в точке
Л/о касание порядка п. Покажите, что проекция V линии
Ь на 5 параллельно некоторому направлению, не лежа-
лежащем^ в касательной плоскости к 5 в точке Мо, имеет
с линией Ь в точке Мо касание порядка п.
§ 12. Семейство поверхностей. Огибающая
Пусть
Р(х,у,г)=С A)
--- уравнение однопараметрического семейства поверхно-.
стей. Множество всех точек, удовлетворяющих системе

§ 12. СЕМЕЙСТВО ПОВЕРХНОСТЕЙ. ОГИБАЮЩАЯ 70
уравнений
*•(*, у, 2, С) = 0, 6сР{х, у, г, С) = О, B)
называется дискриминант ой семейства A).
Огибающей семейства A) называется поверхность,
которая в каждой своей точке касается некоторой поверх-,
ности семейства (т. е. имеет с ней общую точку и общую
касательную плоскость в ней), ^асть дискриминанты,
являющаяся поверхностью, будет огибающей. Точки каса-
касания огибающей семейства A) с некоторой фиксирован-
фиксированной поверхностью семейства образуют в общем случае
линию, которая называется характеристикой и задается
системой B) при фиксированном значении С, соответст-
соответствующем рассматриваемой поверхности.
Множество точек, удовлетворяющих системе уравне-
уравнений
Р(х,у,г,С) = 0, дсР{х,у,г,С) = 0,
дссР (*, У, *, С) = 0, .
называется ребром возврата огибающей. Если семейство
характеристик имеет огибающую, ,то эта огибающая при-
принадлежит ребру возврата.
Пусть
Р(х,у,г,СиС2)=0 (ЗУ
— уравнение двухпараметрического семейства поверхно-
поверхностей. Множество решений системы
Р (х, у, гх Си Сл) = 0, 0С/ (*, у, г, Съ С,) = 0,
дс,Р {х, у, г, Си С г) = 0
называется дискриминант ой семейства C). Огибающая
семейства C) определяется, как и выше.
617—619. Найдите огибающую семейства поверхно-
поверхностей:
F17) х2 + у2+ B-СJ-1 = 0.
F18) х + С2у + *-2С = 0.
F19) (х - СJ + {у - СJ + (г - СJ - С2 = 0
620. Приведите пример семейства поверхностей, ди-»
скриминанта которого есть линия.

80 ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
621. Приведите пример семейства поверхности, ди-
дискриминанта которого есть точка.
622. Цаидите огибающую и характеристики семейст-
семейства сфер
Существует ли ребро йЪзврата огибающей?
623. На хордах эллипса
х2 г/2
параллельных одной из осей симметрии, как на диамет-
диаметрах, строятся сферы. Найдите огибающую этих сфер. Та
же задача для гиперболы.
р24. Найдите ребро возврата огибающей семейства
плоскостей
х 81п а — у соз а + ъ = Ьа,
где Ь = сопз1, а — параметр.
$25. Найдите огибающую семейства плоскостей, каж-
каждая из которых образует с координатными плоскостями
тетраэдр заданного объема У.
626. Составьте уравнение семейства сфер, для кото-
которого огибающей поверхностью является конус без вер-
вершины
х* + у2 = аЧ* (г ф 0).
627. Найдите огибающую семейства, сфер постоянного
радиуса, центры которых расположены на данной линии
р,«ар($) [трубчатая поверхность).
628. Найдите огибающую, характеристики и ребро
возврата семейства сфер радиуса а, центры ноторых рас-
расположены на окружности
629. Найдите огибающую, характеристики и ребро
возврата семейства поверхностей
Ц* _ СJ+. B/~ ДJ + 2* - Я*] ><

§ 13. ПЕРВАЯ КЁАДРАТИЧНАЙ ФОРМА
630. Найдите огибающую соприкасающихся плоско-
плоскостей пространствепной линии и ее характеристики. Су-
Существует ли ребро возврата огибающей?
631. Найдите огибающую нормальных плоскостей про-
пространственной линии, ее характеристики и ребро возврата.
632. Найдите огибающую спрямляющих плоскостей
пространственной линии, ее характеристики и ребро
возврата.
633. Найдите огибающую семейства одинаковых кру-
круговых конусов (с углом осевого сечения, равным. 2а),
имеющих вершину в начале координат и касающихся
плоскости 2 = 0.
634. Докажите, что развертывающиеся поверхности
и только они являются» огибающими однопараметрйческо-
го семейства плоскостей.
635. Развертывающаяся поверхность о пересечена се-
семейством параллельных плоскостей. Докажите, что эво-
эволюты сечений лежат тоже на развертывающейся по-
поверхности.
636. Найдите огибающую семейства сфер постоянного
радиуса я, имеющих центры в плоскости ъ = 0.
637. Если все касательные плоскости некоторой по-
поверхности касаются ее по линиям, то эти линии прямые
или их части. Докажите.
638. Найдите огибающую семейства плоскостей, для
которых сумма расстояний до п фиксированных точек
постоянна.
§ 13. Первая квадратичная форма
Первой фундаментальной формой поверхности 8 в &3.
обозначаемой фь называется скалярное произведение, ин-
индуцированное в каждом касательном векторном прострай-
стве поверхности скалярным произведением в К3. Таким
образом, каждой паре А, р касательных векторов к поверх-
поверхности (в одной и той же точке) форма ф1 сопоставляет
число фх(А, р)= А -~р.Соответствующая ф1 квадратичная
форма называется первой квадратичной формой поверх-
поверхности и обозначается й$2 (а также и ф1). Задание били-
билинейной формы ф1 равносильно заданию квадратичной
формы й$2. Для касательного вектора А к поверхности
с/52 (й) — Фг (Л, А) = Л • А = | Л |*. Если (У, г ) — парамет-
параметризация поверхности, диг, д1г— соответствующий под-

82 ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
вижный базис, то функции
Е(и, V) = дйг(ит, V) - диг(и,
р (щ и) = диг(и, V) • дсг (и, у),
О (и, V) =дсг{и, и) - диг(и, /?)
называются коэффициентами первой квадратичной (фун«
даментальной) формы. Если А, р — касательные векторы
к поверхности в точке г (и, V) и
А = кхдиг {и, V) + й2дрг {и, V),
Р = Рхдиг {и, V) + р2д1 г {и, и)
(т. е. (к\, к-2) —координаты вектора к в подвижном ба-
базисе, а (/?!, ръ) —координаты вектора р), то
Й52 (к) - Я (а, у) кг + 2Р (и, V) к,к2 + С (и, V) к\,
Ф1 (й^ Р) .= Е (и, у) к1Р1+р (и, у) УЧРЛКР!) +0 (и, и)
Часто Й52 записывают в виде
2Р йп (IV + С
имея при этом в виду, что й и (к) = кх, (^V(к) = к2.
Если линия на поверхности задана внутренними урав-
уравнениями и = иA), г = г({I то длина дуги этой линии
находится по формуле
г
Если ср — величина угла между линиями на поверхности
(заданными внутренними уравнениями и = и\A),
V = VI (I) II и = М2@> V = У2{1)) В общей ТОЧКв С 1фИВО-
линейными координатами (щ, г;0) = (^1 (^о), ^1 (^о)) =
(() М» Т0
008 ф Т^
где
2

§ 13. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 83
Площадь о замкнутой области О на поверхности, яв-
являющейся образом замкнутой области /)' относительно
вектор-функции г (т. е. г {О') ^-О), вычисляется по фор-
формуле
%) »•
1У
Диффеоморфизм / поверхности 5 на поверхность () назы-
называется изометрией, если длина дуги любой линии I на по-
поверхности 5 между точками М и /V равна длине дуги
линии 1A) на поверхности () между соответствующими
точками. Поверхность 5 называется наложимой на по-
поверхность (?, если для всякой точки М е 5 существует
нзомстрия окрестности \У точки М на поверхности 5
на некоторую часть поверхности ().
Диффеоморфизм / поверхности 5 на поверхность ()
называется конформным отображением, если угол между
любыми двумя линиями на поверхности $ равен углу
между соответствующими линиями на поверхности ().
Пусть ({/, Г\). и ({/, г2) — параметризации поверхно-
поверхностей 5 и. () соответственно,
/: г1 ({/)-> г, (II), гг(и, «;I->г2(м, у)
— отображение, сопоставляющее точки с одинаковыми
криволинейными координатами. Отображение / является
нзометрией (конформным) тогда и только тогда, когда
коэффициенты первых, квадратичных форм поверхностей
относительно указанных параметризаций совпадают (со-
(соответственно пропорциональны).
639-649. Найдите первую квадратичную форму сле-
следующих поверхностей вращения:
F39) х =/(и) с08 V, у = }(и) вт ь\ г — ${и) — по-
поверхность вращения с осью вращения Ог.
F40) х = Я сой и соз ъ\ у = Н соз и зщ у, г = Н зш и —
сфера.
F41) х = а соз и сой и, у = а сой и з'п) V, 2>==с^ти —
эллипсоид вращения.
F42) х = а с\\ и соз V, у = а с\\ и 81П V, ъ = с 8п и —
однополостный гиперболоид вращения.
F43) х = а 8Ь и соз V, у ?= а зЬ и 8]'п у, 2 = с сЬ гг — дву-
полостпый гиперболоид вращения.
F44) л; = и соз у, у = и зш ^, 2 = и2 — параболоид
вращения.

84 ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
F45) X = Е СОЗ V, У = В 5111 У, 2 = п — КРУГОВОЙ ЦП-
линдр.
F46) х = и соз и, у = и зш у, 2 = &м (а ^ 0) — кру-
круговой конус без вершины.
7) х = (а+6соза)созг;, г/ = (а-\-Ъ соз и) §т и, 2 =
зт а — тор.
F48) х = а сЬ (м/я) соз у, I/ = а сЬ (ц/а) зт у, г = а —
катеноид.
F49) х = д §11] а со8 у, г/ = а8т г/ 81П у, 2 =
«= а Aп 1в(ц/2) +соз гг) (гг ^= я/2) —псевдосфера.
650. Найдите первую квадратичную форму прямого
геликоида # = ггсо5^ у — ггз1П у, г = аи.
651. Найдите первую квадратичную форму геликоида
общего вида х = и соз у, г/ = гг 81П г^, 2 = /(гг) + ау.
652. Поверхность 5 является частью фигуры, образо-
образованной: а) касательными, б) главными нормалями,
в) бинормалями линии г —г (и), где и — натуральный
параметр. Найдите первую квадратичную форму поверх-
поверхности 5.
653. Найдите первую квадратичную форму поверхности
2 = г (я, у)9
654. Укажите, какая из приведенных квадратичных
форм не может служить первой квадратичной формой
некоторой поверхности:
а) й$2 = йи2 ~\- Ыи Ли -\- Ли2;
б) <к2 = Ли2 -\-Ыид,и -\-Ыи2;
в) д,82 = Ли2 — Ыи йи + 6йу2;
г) Аз2 = йи2 + Ас1и йи — 2йи2.
655. Найдите формулы преобразования коэффициен-
коэффициентов первой квадратичной формы и "выражения
г
Н - у ЕС - Ьг
при переходе к новой криволинейной системе координат.
656. Покажите, что при соответствующем выборе кри-
криволинейных координат на поверхности вращения ее пер-
первая квадратичная форма может быть приведена к виду

§ 13. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 85
657. Сеть координатных линий на поверхности навы-
вается чебышёвспой, если отрезки координатных линий
одного семейства, заключенные доежду двумя линиями
другого семейства, имеют равные длины. Докажите, что
сеть координатных линий на поверхности является чебы-
шёвской тогда и только тогда, когда д»Е = 0, дь0 = 0.
658. Первая квадратичная форма поверхности име-
имеет вид
= Ли2
Что можно сказать о криволинейных координатах в этом
случае?
659. Приведите первую квадратичную форму сферы,
тора, катеноида и псевдосферы к виду
660. Система криволинейных координат на поверхно-
поверхности называется изотермической, если первая квадратич-
квадратичная форма поверхности в этих координатах имеет вид
из2 = А(и, V) (Ли2 + йи2).
Найдите изотермические координаты на псевдосфере.
661. Найдите угол, под которым пересекаются прямо-
прямолинейные образующие гиперболического параболоида
2 = аху.
662. Покажите, что площади областей на параболои-
параболоидах 2 = а(х2 + у2)/2 и ъ = аху, проектирующиеся на од-
одну и ту же область плоскости*#0г/, равны.
663. Найдите уравнения линий; пересекающих мери-
меридианы поверхности вращения под постоянным углом а
{локсодромы).
664. Найдите уравнение локсодром на сфере.
665. Если семейство линий на поверхности задано
дифференциальным уравнением А йи -\-В Ли = 0, то урав-
уравнение ортогональных траекторий, т. е. линий, пересекаю-
пересекающих заданные линии под прямым углом, имеет вид
(ВЕ - АР) Ли + {ВР — АС) йу = 0.
Докажите.
666. Найдите ортогональные траектории прямолиней-
прямолинейных образующих конуса.
667. Поверхность 5 есть часть фигуры, образованной
касательными - к некоторой линии. Найдите ортогональ-

86 ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
ные траектории прямолинейных образующих поверх-
поверхности 5.
668. Составьте дифференциальное уравнение линий,
пересекающих прямолинейные образующие поверхности 5
кз задачи 667 под постоянным углом а.
669. Составьте дифференциальное уравнение ортого-
ортогональных траекторий семейства линии ср(ц, и) = сонзЪ
на поверхности.
670. Найдите ортогональные траектории семейства ли-
линий и + V = сопз1, лежащих на сфере
х = Н соз и соз и, у = В соз и зш о, г = Н зш и.
671. Найдите ортогональные траектории семейства ли-
линий и = Сё°, лежащих на косом геликоиде х = и соз у,
у = и 81П V, г = и + V.
672. На круговом конусе х = гг соз у, // = а з1н у,
т, — и рассматривается семейство линий и = и2 + а, где
а — параметр. Найдите семейство их ортогональных тра-
траекторий.
6-73. Запишите уравнения косого геликоида х = а соз 1%
г/ = ггзт у, 2 = ц + у, приняв линии ^ = сопз1 и их ор-
ортогональные траектории за координатные линии.
674. Выведите условие ортогональности двух семейств
линий на поверхности, определяемых дифференциальным
уравнением
Р(и, V) Аи2 + (?{и, ь") Ли Ли + Н(и, р) йи1 = 0.
675. Докажите, чта на прямом геликоиде х =
у = изти, г = аи дифференциальное уравнение
— (и2 + а2) Ли2 = 0
задает ортогональную сеть.
676. На поверхности % = аху найдите ортогональные
траектории ее прямолинейных образующих.
677. Докажите, что линии, которые в каждой своей
точке делят пополам углы между координатными линия-
линиями, задаются дифференциальными уравнениями
УЕйи ±УС<Ли = 0.
678. Найдите уравнения линий на прямом геликоиде
х = а соз и, у = изт V, ъ = аи, делящих пополам углы
между координатными линиями.

§ 13. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 8?
679. Найдите уравнения линий на сфере х =
= а соз и 81П у, у = а зт и зт V, г = а соз у, "делящих уг-
углы между параллелями и меридианами пополам.
680. Найдите уравнения линий, делящих пополам уг-
углы между прямолинейными образующими в каждой точке
поверхности г = аху.
681. Дана поверхность
а) Найдите первую квадратичную форму.
б) Вычислите дифференциал длины дуги для линий
и = 2, V = 1, V = аи.
в) Вычислите длину дуги линии V = аи между точка-
точками ее пересечения с линиями и = ], и = 2.
682. Найдите, под каким углом пересекаются линии
и + V = 0, и — г; = 0 на прямом геликоиде х = и соз г;,
у = ггзт у, 2 = я у.
683. Найдите периметр и внутренний углы криволи*
нейного треугольника и = ± аг;2/2, у = 1, расположен-
расположенного на поверхности, у которой
684. На поверхности с первой квадратичной формой
= йи2 + $Ъ2и (IV2
найдите длину дуги •линии и = и между точками
М\(ии VI) и Д/2(И2, ^2).
685. Найдите угол между линиями и = 2и и ^ =» —2гг
на поверхности, -имеющей первую квадратичную форму
686. Найдите угол между линиями V = гг
п у = 3 — ц на поверхности х = и соз у, у — и зш
2 = и2.
687. На прямом геликоиде х =- и соз у, г/ = и зт у,
г — (IV заданы линии
V = 1п (и±
Вычислите длины дуг этих линий между двумя точка-
точками М1(ии VI) и

ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
I. На псевдосфере
х ■= а з1п и соз у, г/ = а зШ и зт у,
ъ = а Aп 1$ (и/2) + соз
задань! два семейства линий
V= ±аЪП%(и/2)
Вычислите длину дуги линии каждого семейства между
ДВУМЯ ТОЧКаМИ М\{Ы\, V]) И Мо(п2, 1^)-
Докажите, что длины дуг всех линий одного семейст-
семейства между двумя фиксированными линиями второго се-
семейства одинаковы.
689. На сфере задан прямоугольный треугольник, сто-
сторонами которого являются дури больших окружностей
сферы. Найдите: а) соотношение между сторонами тре-
треугольника; б) его площадь.
690. Найдите площадь четырехугольника на прямом
геликоиде х ■= и соз и, у =* и зт у, г = аи, ограничен-
ограниченного линиями и «= 0, и = а, V = 0, и = 1.
691. Найдите площадь криволинейного треугольника
и = ±аи, V = 1, расположенного на поверхности с пер-
первой квадратичной формой
692. Найдите площадь выпуклой сферической обла-
области, Ограниченной петлей кривой Вивиани.
693. Сферическим двуугольником называется фигура,
образованная двумя большими, полуокружностями, имею-
имеющими общие концы. Найдите площадь 5 сферического
двуугольника с углом сро при вершине.
694. Докажите, что любая цилиндрическая поверх-
поверхность наложима'на плоскость.
695. Докажите, что любая коническая поверхность на-
наложима на плоскость.
696. Докажите, что наложима на плоскость поверх-
поверхность, являющаяся частью фигуры, образованной каса-
касательными к некоторой линии.
697. Докажите, что прямой геликоид наложим на ка-
катеноид.
698. Повершоетъю Диувилля называется поверхность,
первая квадратичная форма крторой может быть приве-

§ 14. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
дена к виду
Ж2= (/(и)
Докажите, что поверхность, наложимая на поверхность
вращения, есть поверхность Лиувилля.
699. Докажите, что любую поверхность вращения
можно локально конформно отобразить на плоскость.
700. Отображение одной поверхности на другую на-
называется эквиареальным, если соответствующие при этом
отображении области имеют одинаковые площади. Дока-
Докажите, что если отображение одной поверхности на дру-
другую конформно и эквиареально, то оно изометрическое.
§ 14. Сферическое отображение,
вторая квадратичная форма.
Пусть 5 — ориентированная поверхности, ориентация
которой определяется полем т единичных векторов на
поверхности, ортогональных ей. Отображение поверхно-
поверхности 5 в сферу 52, которое точке М е 5 сопоставляет точ-
точку М' сферы, радиус-вектор которой равен т(М), назы-
называется сферическим (или гауссовым) отображением по-
поверхности 8. При этом касательное пространство Гд/5
можно отождествить с касательным пространством Тм'§2%
отождествляя касательный вектор (М, к) с (М', к). Сфери-
Сферическое отображение является гладким, а его дифференци-
дифференциал в точке Л/, рассматриваемый как линейное преобразо-
преобразование пространства Т.м$1 называется основным оператором
поверхности (в. точке М) и обозначается $$*. С помощью
основного оператора в каждом касательном векторном
пространстве к поверхности 5 определяется билинейная
симметрическая форма ф2, называемая второй фундамен-
фундаментальной формой, по правилу ФгС^Р) = —$$>{к)'Р*=*
= — к'^ф{р). Соответствующая фг квадратичная форма на-
называется второй квадратичной формой поверхности и
обозначается также фг. Если (G, г) — параметризация
поверхности и
д гхд г
и г
д гхд г Г
и V I
ТО

90 ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
и для касательных векторов к = дагк1 + диг к2 и р =
(к) = дит кх + д1)т к
п
— дст> диг Кр1 — дот • дьг к2р2.
Функции
Ь (и, у) = — Змт (и, у) • 0иг (г/, у) = т (и, ь) • ^иГ (гг, у) =
г д г д}, г
и V ни
у ЕС -
и)-диг(и, V) = —дит{и, и)-диг (и, у) =
д г д г д},г
гг (и,
Л7' (м, у) - — ^/» (и, у) • ^г (и, и) = т (и, у). с??^г (а, у)
д г д г д;г
и V гг
У ЕС ~ р*
называются коэффициентами второй квадратичной, {фун-
{фундаментальной) формы поверхности. Имеет место формула
ф, (А, р) = Ьк1р1 + М (кхр2 + к»рх) + Мир,.
4>сто вторую квадратичную форму записывают в виде
ф2 = Ь Aы2 + 2Л/ аи Аи + N аи2.
В подвижном базисе (диг, дог) поверхности матрица
основного оператора (линейного преобразования) $$> име-
имеет вид
1
ЕС ~ /'?
ГМ — 01 1-Х — СД/
VI-ЕМ ГМ -Е:\>\'
В каждой точке поверхности определяются (вещест-
(вещественные) собственные значения Х\, }*2 основного операто-
оператора $Ф и взаимно ортогональные единичные собственные
векторы еъ е2 такие, что $ф (е{) -• ^в,, ,й/ (^2) ~ ^2 в>- Па-
правления, определяемые в каждой касательной плоско-
плоскости поверхности векторами е1 и е2, называются главны-
главными. Точка поверхности, в которой основной оператор

§ 14. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА §1
является нулевым, т. е. М = 0, %2 = 0, называется точ-
точкой уплощения.
Точка, в которой основной оператор является подоби-
подобием, т. е. Х\ = >.2 Ф 0, называется точкой округления (или
омбилической).
Нормальной кривизной А\, линии на поверхности
в точке Л/ называется величина проекции вектора кривиз-
кривизны кп этой линии в точке М на нормаль к поверхности,
ориентированную вектором пг (Л/). Если две линии на по-
поверхности имеют в точке М общую касательную прямую,
то их нормальные кривизны в этой точке совпадают.
Поэтому нормальную кривизну в точке М можно рассмат-
рассматривать как функцию от направления в касательной плос-
плоскости в точке М и назвать нормальной кривизной поверх-
поверхности в данном направлении. Нормальная кривизна
линии, имеющей в точке Л/ касательный вектор й, вы-
вычисляется по формуле
Если через нормаль к поверхности в точке Л/ провести
плоскость, то в окрестности точки М пересечение этой
плоскости с поверхностью является линией и называется
нормальным сечением. Кривизна нормального сечения
совпадает с модулем его нормальной кривизны. Кривиз-
Кривизна к линии на поверхности связана с кривизной ко нор-
нормального сечения, имеющего с данной линией общую ка-
касательную, формулой
/г0 = /с | соя 6|,
где 9 — угол между вектором пг и вектором п главной
нормали линии. Нормальные кривизны поверхности
в главных направлениях называются главными нормаль-
нормальными кривизнами и обозначаются к\ и А*2.
Имеют место формулы
к[ = —Ль к2 = —?Сг,
и А,*1, &2 являются корнями уравнения
{ЕО - Я)к2 - (ЕМ + СЬ — 2РМ)к + Ш-М2 = 0.
Если касательный вектор А образует угол ф с вектором ег
главного направления, то .
А*
— формула Эйлера,

гЛ. 4 поверхности
Полная (или гауссова) кривизна поверхности в точке
определяется формулой
средняя кривизна поверхности — формулой
А-о Е<Х л 6^ -2РМ
и 1
я — 2
Если /Г >• 0, то точка поверхности называется эллип-
эллиптической; если К < 0 — гиперболической; если А' = 0 —
Если от некоторой точки Л/ поверхности отложить
на касательной к каждому нормальному сечению отрезок,
равный корню квадратному из радиуса кривизны этого
сечения, то получится линия, которая называется инди-
индикатрисой Дюпена.
701—714. Найдите множества точек на сфере, в кото-
которые отображаются указанные ниже поверхности при их
сферическом отображении:
G01) Сфера.
G02) Эллипсоид.
G03) Эллиптический параболоид.
G04) Одноиолостный гиперболоид вращения.
G05) Двуполостный гиперболоид вращения.
G06) Эллиптический цилиндр.
G07) Параболический цилиндр.
G08) Гиперболический цилиндр.
G09) Круговой конус.
710) Катеноид.
711) Псевдосфера.
712) Тор.
G13) Цилиндр у =.л;3.
G14) Прямой геликоид.
715. Пусть поверхность 5 является частью фигуры,
образованной касательными пространственной кривой
г =* г (г). Докажите, что образом поверхности 5 при сфе-
сферическом отображении является кривая на сфере.
716—726. Найдите вторую квадратичную форму сле-
следующих поверхностей вращения:
G16) я = /(в)*08Р, у*»/(и)зн11;, г = #(ц) —по-
—поверхность вращения с осью вращения Оъ.

§ 14. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
G17) х = К соз и соз у, у=П соз и зт у, 2=
сфера.
G18) я = а соз и соз у, г/ = а соз цзт у, 2 =
эллипсоид вращения.
G19) х = а сЬ и соз г;, у = асЪи§т V, г = с зЪ и —
однополостный гиперболоид вращения.
G20) х = азЬ.й соз у, у = азЬ изт V, г —ссЬи —
двуполостный гиперболоид вращения.
G21) х — и соз V, у — иши\ г — гг2 — параболоид
вращения.
G22) х = П соз у, I/ = Я зт V, % = и — круговой ци-
цилиндр.
G23) х = и соз V, у = и зт V, % = ки (и Ф 0) —.
круговой конус без вершины.
G24) х = (а + Ь соз и) соз^, г/ = (а + Ь соз и) зШ у,
г == 6з1П и — тор.
G25) лг = а сЬ (ц/а) соз у, у ==- а сЬ(ц/а)зтг;, г = ».—
катеноид.
G26) ж = язт ы,соз у, г/ = а зт и 81П у, 2==
= аAп 1^ (ц/2) + соз и) — псевдосфера/
727. Найдите вторую квадратичную форму прямого
геликоида х = и соз уг г/== ц з1п у, г = яу.
728. Покажите, что при любом выборе криволиней-
криволинейных координат на плоскости вторая квадратичная форма
тождественно равна нулю.
729. Если вторая квадратичная форма поверхности
* =/(я. у)
тождественно равна нулю, то поверхность является пло-
плоскостью или ее г/астью. Докажите.
•730. Покажите, что уравнения катеноида (задача 530)
можно представить в виде
2 1 9
%К? ^^ у 14/ [ КЛ/ ^\ЛЭ С/.
у «= ]/ и2 + а2 81П V,
г = а 1п (и т{- у^ц2 + а2).
Найдите вторую квадратичную форму катеноида при
указанной параметризации и подсчитайте нормальную
кривизну координатных линий.

§4 ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
731. Поверхность 5 является частью фигуры, состоя-
состоящей из касательных к пространственной линии. Найдите
главные кривизны поверхности 5.
732. Вычислите главные кривизны в вершинах дву-
двуполостного гиперболоида
733. Найдите главные направления и главные кри-
кривизны прямого геликоида х = и соз V, у = и 8Ш V,
734. Докажите, что главные направления прямого ге-
геликоида делят пополам углы между направлениями об-
р'азующей и винтовой линии.
735. Вычислите главные кривизны поверхности 2 =
в точке МA, 1, \).
736. Вычислите главные кривизны поверхности
'У1 — 11 ~
р
в точке Л/@, 0, 0).
737. Покажите, что в любой точке поверхности х =
= исоы\ у = и 8ш у, 2 = Ам одно из главных нормаль-
нормальных сечений есть прямая.
738. Найдите кривизны нормальных сечений поверх-
поверхности у = .г*2/2 а) в произвольной точке; б) в точках
линий, получающихся в сечениях поверхности плоско-
плоскостями, 2 = А*, в направлениях, идущих по касательным
к этим линиям*; в), в л'очке МB, 2, 4) в направлении ка-
касательной к лпшш у = х212, ъ = о:2.
731К На поверхности л* = и2 + ^2, /У = г/2 — г;2, 2 = гп;
дана точка Р(и == 1, V = 1).
а) Вычислите главные кривизны поверхности в точ-
точке Р.
б) Найдите уравнения касательных РТ\, РТ2 к глав-
главным нормальным сечениям в указанной точке.
в) Вычислите кривизну нормального сечения в точ-
точке Р, проходящего через касательную к линии V — и2.
740. Дана поверхность
2
а) Найдите в начале координат уравнение индикатри-
индикатрисы Дюпена.

§ 14. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 95
б) Вычислите в начале координат радиус кривизны
нормального сечения, касательная к которому составля-
составляет угол 45° с осьщ Ох.
741. В касательной плоскости в точке М поверхности
проведено п прямых, образующих между собой равные
углы л/п. Покажите, что
++ ••• + т"
п\гх
где 1/п — нормальные кривизны линий на поверхности,
касающихся данных прямых.
742..Через вершину М эллипсоида вращения прово-
проводятся по нему всевозможные линии. Найдите фигуру, со-
состоящую из центров кривизны этих линий в точке М.
743. Покажите, что развертывающиеся поверхности
характеризуются тем, что их полная кривизна во всех
точках равна нулю.
744. Найдите поверхности, для которых вторая квад-
квадратичная форма есть полный квадрат.
745. Покажите, что один из главных радиусов кри-
кривизны поверхности вращения равен отрезку нормали, за-
заключенному между поверхностью и осью вращения.
746. Найдите полную кривизну поверхностей, указан-
указанных в задачах 639—649, как произведение главных кри-
кривизн (не вычисляя квадратичных форм).
747. Если вращать параболу вокруг директрисы, то
получится поверхность, у которой \Я\\ == 217?2!, где Я\
и По — главные радиусы кривизны. Докажите.
748. Найдите выражение полной кривизны поверхно-
поверхности, отнесенной к изотермическим координатам.
749. Найдите выражение полной кривизны поверхно-
поверхности, отнесенной к полу геодевическим координатам, т. е.
к таким, в которых первая квадратичная форма имеет
вид
750. Найдите полную кривизну поверхности, первая
квадратичная форма которой имеет вид
751. Найдите полную кривизну параболоида
Я

98 ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
752. Покажите, что если первая квадратичная форма
поверхности имеет вид
Й52 = Ли2 + 2 соз со Ли йу + йг;2,
то ее полная кривизна вычисляется по формуле
к и
8Ш 0)
753. Найдите полную кривизну поверхности, задан-
заданной уравнением Р(х, г/, г)=* 0.
754. Докажите, что полная кривизна поверхности с
первой квадратичной формой
шостоянна.
755. Поверхность 5 есть часть фигуры, образованной
главными нормалями (бинормалями) пространственной
линии. Найдите полную кривизну поверхности 5.
756. Найдите полную и среднюю кривизну прямого
геликоида х =» и сой у, г/ «= и §т у, 2 =* #у. На каких ли-
линиях полная кривизна постоянна?
757. Найдите полную и среднюю кривизну поверхно-
поверхности 2 =/(я, у).
758. Найдите полную и среднюю кривизну поверхно-
поверхности вращения г = /(р), где р » т/^2 + у2.
759. Найдите среднюю кривизну круглого цилиндра
радцуса а.
760. Пусть поверхность получена от вращения вокруг
оси I линии Ь, не имеющей точек с нулевой кривизной.
Если линия Ь обращена вогнутостью к оси /, то поверх-
поверхность состоит из эллиптических точек; если же она об-
обращена к оси / выпуклостью — из гиперболических то-
точек. Докажите.
761. Найдите эллиптические, гиперболические и пара-
параболические точки на торе.
762—766. Исследуйте характер точек на поверхно-
поверхностях, полученных вращением следующих линий:
G62) Синусоида у = §тх (х ф кя) вращается во-
вокруг оси Ох.
G63) Синусоида у = §тх (х Ф кп) вращается во-
вокруг оси Оу.

§ 14 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 97
G64) Линия у = 1пх (х ф 1) вращается вокруг
оси Ох.
G65) Линия у = \пх вращается вокруг оси Оу.
G66) Ветвь гиперболы ху = 1 (х > 0^
вращается вокруг прямой Ах + Ву = 0.
р
767—775, Исследуйте характер точек иа следующих
поверхностях второго порядка:
G67) Эллипсоид.
G68) Однополостный гиперболоид.
G69) Двуполостный гиперболоид.
G70) Эллиптический параболоид.
G71) Гиперболический параболоид.
G72) Эллиптический цилиндр.
G73) Параболический цилиндр.
G74) Гиперболический цилиндр.
G75) Конус без вершины.
776. Выясните характер точек поверхности-2 =
где и = /х1 —
777. Покажите, что все точки поверхности х + у = 23
параболические.
778. Докажите, что единственной связной поверх-
поверхностью с ненулевой полной кривизной, состоящей целиком
из точек округления, является сфера или часть сферы.
779. Для того чтобы точка поверхности была точкой
округления, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке
выполнялись условия
Ь__ __ М __7\Г
е — р ~~ а •
Докажите.
780. Укажите геометрический способ построения точек
округления поверхности вращения.
781. Синусоида у = ъи\х [х Ф кл) вращается во-
вокруг оси Ох. Найдите на поверхности вращения точки
округления.
782—786. Найдите точки округления следующих по-
поверхностей:
G82) Эллипсоида вращения.
'G83) Параболоида вращения.
G84) Эллиптического параболоида.
'G85) Трехосного эллипсоида.
'G86) Двуполостного гиперболоида.
4 Под ред. А. С. Федеыко

98 гл 4. поверхности
787. Покажите, что точки округления поверхности
ъ = ии
и2 . , и2
находятся н'а линиях
и = V, и -\- и -\- [ = 0.
788. Докажите, что точки округления характеризуют-
характеризуются равенством
Ы2 = К.
789. Приведите пример поверхности с единственной
точкой уплощения.
790. Приведите пример поверхности, на которой точ-
точки уплощения образуют линию.
791. Докажите, что единственной поверхностью, со-
состоящей целиком из точек .уплощения, является пло-
плоскость или часть плоскости.
§ 15. Сопряженные сети и асимптотические линии
Однопараметрическюе семейство линий на поверхно-
поверхности, заданное уравнением
1{щ V, С) = 0,
называется правильным, если через каждую точку ^
сматриваемой области проходит одна и таолько одна ли-
линия семейства. Сетью линий на поверхности называется
совокупность двух правильных семейств, линии которых,
пересекаясь, не касаются друг друга.
Два направления в касательной плоскости поверхно-
поверхности определяемые векторами к и р, называются сопря-
сопряженными, если ф2 (А, р) = 0, т. е. если
Ькхрх + М (Л1Р2 + к2р\) + N^2 = 0,
где к =*(кик2), р = (р1,р2).
Сеть линий на поверхности называется сопряженной,
если в каждой точке касательные векторы к линиям раз-
разных семейств этой сети сопряжены.
Направление, определяемое вектором к, называется
асимптотическим, если ф2 (й1й) = О. Асимптотическое н'а-

§ 15. СОПРЯЖЕННЫЕ СЕТИ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 99
правление характеризуется тем, что нормальная кривиз-
кривизна поверхности в этом направлении равна нулю. Линия
на поверхности называется асимптотической, если в каж-
каждой точке ее касательная имеет асимптотическое направ-
направление. Внутренние задания асимптотических линий на-
находятся как решения дифференциального уравнения
йи2 + 2МйийV + N ^2 == 0.
На поверхности, состоящей из эллиптических точек,
асимптотических линий нет. На поверхности, состоящей
из гиперболических точек, через каждую точку проходят
две асимптотические линии. На поверхности, состоящей
из параболических точек, не являющихся точками упло-
уплощения, через к*аждую точку проходит одна асимптотиче-
асимптотическая линия.
792. Составьте дифференциальные уравнения семейств
линий на поверхности, образующих сопряженную сеть с
семейством координатных линий и = сопзЪ и V — сопз*.
793. Найдите условие сопряженности двух семейств
линий на поверхности, определяемых дифференциальным
уравнением
щ V) <1и (IV + В(щ V)йV2 =
794. Линии у2йи2—и2№ = 0, лежащие на геликоиде
х = и соз V, у = и зш V, я = аух образуют сопряженную
сеть. Докажите.
795. Составьте дифференциальное уравнение семейства
линий на поверхности, образующих сопряженную сеть с
семейством линий у(иг V) = С.
796. Покажите, что координатные линии поверхности
переноса г = гг (и) + г2 (у) образуют сопряженную сеть.
797. Эллиптический параболоид
- + ^ =
пересечен плоскостями х +' У == С, где С — произвольная
постоянная. Найдите семейство линий, образующих с эти-
этими сечениями сопряженную сеть.
798. В точке МA, 1, 1) поверхности хуг = \ найди-
найдите направление, сопряженное с направлением а A2 *-221),

ЮО ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
799. Однопараметрическое семейство линий на по-
поверхности задано дифференциальным уравнением
А (и, р)йи-\- В (щ и) Лр = 0.
Найдите дифференциальное уравнение семейства линий,
сопряженных с данными.
800. На развертывающейся поверхности семейство
прямолинейных образующих сопряжено с любым одно-
п'араметрическим семейством линий. Докажите.
801. Найдите линии, сопряженные семейству линий
и-\- V = С на косом геликоиде х = и соз V, у = V зт г;,
802. Докажите, что линия на поверхности является
асимптотической тогда и только тогда, когда она удовлет-
удовлетворяет одному из следующих условий:
а) в каждой ее точке касательная имеет асимптоти-
асимптотическое направление;
б) в каждой точке нормальная кривизна линии рав-
равна нулю;
в) в точках линии, где ее кривизна отлична от нуля,
соприкасающаяся плоскость линии совпадает с касатель-
касательной плоскостью к поверхности.
803. Для того чтобы координатные линии на поверх-
поверхности были асимптотическими линиями, необходимо и до-
достаточно, чтобы N = Ь = 0. Докажите.
804. Найдите 'асимптотические линии псевдосферы.
Докажите, что они образуют чебышёвскую сеть.
805. Пусть I — асимптотическая линия на поверхно-
поверхности Ф. Докажите, что характеристики однопараметриче-
ского семейства касательных плоскостей к поверхности
Ф вдоль линии I совпадают с касательными к линии /.
806. Составьте дифференциальное уравнение асимпто-
асимптотических линий поверхности вращения.
807. Найдите асимптотические линии катеноида х =
= сЬ и соз V, у = сЬ и зт у, г = и.
808. Исследуйте асимптотические линии тора.
809. Найдите асимптотические линии прямого гели-
геликоида.
810. Найдите асимптотические линии однополостного
гиперболоида.
811. Прямая перемещается параллельно плоскости
хОух пересекая ось Оъ я линию х = щ у = и2, г = а3.

§ 18. ЛИНИИ КРИВИЗНЫ Ю1
Найдите асимптотические линии поверхности, описывае-
описываемой этой прямой.
812. Покажите, что линия
является асимптотической линией поверхности
~~ х'1. у-:
813. На поверхности, образованной главными норма-
нормалями пространственной линии, эта линия является
асимптотической. Докажите.
814. Поверхность называется минимальной, если ее
средняя кривизна тождественно равна нулю. Покажите,
что на минимальной поверхности сеть асимптотических
линий ортогональна, т. е. во всех точках линии одного
семейства ортогональны линиям другого.
815. Если в некоторой точке поверхности средняя кри-
кривизна равна нулю, то асимптотические направления вза-
взаимно перпендикулярны* Докажите.
816. Покажите, что на плоскости любая линия явля-
является асимптотической и, обратно, поверхность, на кото-
которой любая линия является асимптотической, есть пло-
плоскость либо часть плоскости.
817. Покажите, что на поверхности, параллельной
данной, линии, соответствующие асимптотическим ли-
линиям данной поверхности, будут асимптотическими тогда
и только тогда, когда данная поверхность развертыва-
развертывающаяся.
818. Докажите, что линия I поверхности и ее сфери-
сферическое отображение V имеют в соответствующих точках
перпендикулярные касательные тогда и только тогда,
когда I есть асимптотическая линия.
§ 16. Линии кривизны
Линия на поверхности называется линией кривизны,
если в каждой точке линии ее касательная имеет глав-
главное направление. Внутренние задания линий кривизны
находятся из дифференциального уравнения
ЕЗи-\-Рс1и Р йи + С с!и
= 0.

102 гл. 4. поверхности
Через каждую точку поверхности, не являющуюся точ-
точкой уплощения или округления, проходят две взаимно
ортогональные линии кривизны.
819. Докажите, что линия на поверхности является
линией кривизны тогда и только тогда, когда выполняет-
выполняется одно из следующих условий:
а) линия в каждой своей точке идет по главному на-
направлению;
б) нормальная кривизна в каждой ее точке равна од-
одной из главных кривизн;
в) нормали к поверхности вдоль линии образуют раз-
развертывающуюся поверхность.
820—826. Найдите линии кривизны следующих по-
поверхностей:
(820) Произвольной цилиндрической поверхности.
(821) Произвольной конической* поверхности.
(822) Произвольной поверхности вращения.
(823) Поверхности х = и2 + ^2, У = и2—и2, % = г.
(824) Произвольной развертывающейся поверхности.
(825) Прямого геликоида.
(826) Эллиптического параболоида.
827. На плоскости и сфере любая линия является ли-
линией кривизны. Докажите.
828. Докажите, что координатные линии поверхности
являются линиями кривизны тогда и только тогда, когд'а
829. Покажите, что координатные линии поверхности
х = Зы — и3 + Зии2, у = V* — ЪиЪ — Зи, 2 = 3 (и2 — V2)
являются линиями кривизны.
830. Докажите, что прямолинейная образующая косой
линейчатой поверхности не может быть линией кривизны.
831. Найдите огибающую семейства нормалей поверх-
поверхности, проведенных в точках линии кривизны.
832. Докажите, что в области гиперболических точек
поверхности линии кривизны в каждой точке делят по-
пополам углы между асимптотическими линиями.
833. Покажите, что линиям кривизны поверхности 5
на параллельной ей поверхности также соответствуют ли-
линии кривизны.

§ 17. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ ЮЗ
834. Выясните, при каких условиях ортогональной се-
сети на данной поверхности будет соответствовать ортого-
ортогональная сеть на параллельной ей поверхности.
835. При каком условии система круговых сечений
эллипсоида является системой линий кривизны?
836. На любой поверхности существует единственная
сопряженная ортогональная сеть, совпадающая с линия-
линиями кривизны поверхности. Докажите.
837. Для того чтобы линия кривизны некоторой по-
поверхности, по которой она пересекает другую, поверх-
поверхность, была линией кривизны и этой последней, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы эти поверхности пересекались под
постоянным углом. Докажите.
838. Докажите, что сферическое отображение плоской
линии кривизны поверхности есть окружность.
839. Докажите, что при сферическом отображении по-
поверхности линия / на поверхности и ее образ V будут
иметь параллельные касательные в соответствующих точ-
точках тогда и только тогда, когда / — линия кривизны.
§ 17. Геодезические линии
Геодезической линией на поверхности пазывают ли-
линию, в каждой точке которой выполняется одно из усло-
условий:
а) кривизна линии равна нулю;
б) нормаль к поверхности является главной нормалью
линии.
Если координатная сеть ортогональна, то дифферен-
дифференциальные уравнения внутренних заданий геодезических
линий имеют вид
,,йи
A)
Считая, что йи ф О, эту систему можно заменить одним
уравнением:
У1 ()л.(л1^
20 \ (IV ) ~*~ \ 1Е О )
дЕ д О \ аи д О
Е 20 ]1и 2Е

104 гл. 4. поверхности
Будут ли при этом линии V = соп§1 геодезическими, сле-
следует проверить, исходя из системы A).
Через каждую точку поверхности в заданном направ-
направлении проходит единственная геодезическая линия.
Геодезической кривизной линии на поверхности в дан-
данной точке называется длина проекции вектора кривизны
линии Лина касательную плоскость к поверхности в этой
точке.
Геодезическим кручением, соответствующим данному
направлению, называется кручение геодезической линии,
проходящей по этому направлению. Если на поверхности
криволинейные координаты выбраны так, что одно се-
семейство координатных линий состоит из геодезических,
а второе — из их ортогональных траекторий, причем од-
одна из криволинейных координат совпадает с длиной дуг
координатных линий первого семейства, ^то система ко-
координат является полугеодезической. В такой системе ко-
координат первая квадратичная форма имеет вид
840. Докажите, что геодезическая линия на поверхно-
поверхности вполне характеризуется одним из следующих
свойств:
а) В каждой точке линии, где ее кривизна отлична
от нуля, нормаль к поверхности является главной нор-
нормалью линии.
б) В каждой точке линии, где ее кривизна отлична
от нуля, нормаль к поверхности лежит в соприкасаю-
соприкасающейся плоскости линии.
в) В каждой точке лщши ее геодезическая кривизна
равна нулю.
г) В каждой точке линии ее кривизна равна абсолют-
абсолютной величине нормальной кривизны.
д) В каждой точке линии, где ее кривизна отлична
от нуля, ео спрямляющая плоскость совпадает с каса-
касательной плоскостью к поверхности.
841. Докажите что всякая прямая на поверхности яв-
является геодезической линией.
842. Две поверхности касаются по'линии /. Докажи-
Докажите, что если I — геодезическая линия на одной поверхно-
поверхности, то она должна быть геодезической и на другой по-
поверхности.

§ 17. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИЙ 105
843. Покажите, что дифференциальное уравнение гео-
геодезических линий поверхности/' ~г (и, г;) можно предста-
представить в виде N йг д?г — О, где N — вектор нормали по-
поверхности. ^
844. Докажите, что геодезическими линиями плоско-
плоскости являются прямые и только они.
845. Докажите, что геодезическими линиями цилинд-
цилиндрической поверхности являются прямолинейные образу-
образующие и обобщенные винтовые линии и только они.
846. Докажите, что меридианы поверхности вращения
являются геодезическими линиями.
847. Докажите, что параллель поверхности вращения
будет геодезической тогда и только тогда, когда каса-
касательная к меридиану в ее точках параллельна оси вра-
вращения.
848. Найдите геодезические линии на сфере.
849. Докажите, что геодезическая линия является
асимптотической тогда и только тогда, когда она прямая.
850. Докажите, что геодезическая линия является ли-
линией кривизны тогда и только тогда, когда она плоская.
851. Огибающая спрямляющих плоскостей геодезиче-
геодезической линии на развертывающейся поверхности есть дан-
данная поверхность. Докажите.
852. Вектор Дарбу геодезической линии на разверты-
развертывающейся поверхности направлен по образующей в -дан-
-данной точке. Докажите.
853. Н'а поверхности, огибающей спрямляющие пло-
плоскости пространственной линии, эта линия является гео-
геодезической. Докажите.
854. Докажите, что геодезическая кривизна линии на
поверхности может быть вычислена по формуле
. •»
кд = тгг,
где т —единичный вектор нормали к поверхности.
855. Докажите, что геодезическая кривизна равна
кривизне проекции линии на плоскость, касающуюся по-
поверхности в данной точке линии.
856—858. Найдите геодезическую кривизну:
(856) Окружности радиуса г, лежащей на сфере ра-
радиуса Я.
(857) Винтовых линий и = оопз!, лежащих на пря-
прямом геликоиде х = и соз V, у = и зт ь\ г = аи.

108 Гл. 4. поверхности
(858) Линий и = сопз! и V = сопз1 на поверхности
X = и СО5 У, у = I/ 81П У, 2 = / ( У) .
859. Покажите, что геодезическая кривизна в точках
асимптотической линии равна ее кривизне.
860. Докажите, что геодезическое кручение линии на
поверхности может быть вычислено по формуле
# •
к§ — г т т,
где т — единичный вектор нормали к поверхности.
861. Для того чтобы линия на поверхности была ли-
линией кривизны, необходимо и достаточно, чтобы в каж-
каждой ее точке геодезическое кручение равнялось нулю.
Докажите.
862. Покажите, что геодезическое кручение в точках
асимптотической линии равно кручениф асимптотической
линии.
863—864. Найдите геодезические линии:
(863) Прямого гелик<,шда.
(864) Псевдосферы.
865. Покажите, что геодезические линии поверхности
Лиувилля задаются уравнениями
V/ (и) + а } Т/ф (V) - а
где а и Ь — произвольные постоянные.
866. Докажите, что на поверхности вращения вдоль
любой геодезической линии выполняется соотношение
С р соз |^ = с,
где р — расстояние точки геодезической от оси вращения,
|я — угол между геодезической и параллелью, с — посто-
постоянное для данной геодезической число (теорема Клеро).
Верна ли обратная теорема, т. е. следует ли из вы-
выполнения указанного соотношения вдоль некоторой ли-
линии на поверхности вращения утверждение о том, что
эта линия геодезическая?
867—869. Пользуясь теоремой Клеро, исследуйте по-
поведение геодезических линий следующих поверхностей:
(867) Эллипсоида вращения.
'(868) Однополостного гиперболоида вращения.
1869) Тора.

§ 18. МЕТОД ПОДВИЖНОГО РЕПЕРА Ю7
870. Если через точку Мо поверхности по всевозмож-
всевозможным направлениям провести геодезические линии и от-
отложить на них, начиная от точки Л/о, дуги равной дли-
длины, то концы этих дуг образуют ортогональную траек-
траекторию геодезических. Докажите.
§ 18. Метод подвижного репера в теории поверхностей1)
Линейной дифференциальной формой (или {-формой)
на поверхности 5 называется отображение о, которое
каждой точке М ^ 8 сопоставляет^ линейную форму сом
на векторном пространстве ТА18; 1-форма о сопоставля-
сопоставляет каждому векторному полю | на поверхности функ-
функцию со (|) на поверхности, определяемую формулой
1-форма со называется гладкой, если для любого гладко-:
го векторного поля | функция со(|) является гладкой.
2-формой на поверхности 5 называется отображе-
отображение й, которое каждой точке Де 5 сопоставляет 2-фор-
му Йм на векторном пространстве ТМ8\ 2-форма п сопо-
сопоставляет каждой паре |, г\ векторных полей на по-
поверхности функцию Щ|, т)) на поверхности, определяе-
определяемую формулой
2-форма называется гладкой, если для любых гладких
векторных полей |, г| функция й(§, г|) является глад-
гладкой. В дальнейшем будем рассматривать только гладкие
1-формы и 2-формы.
Внешним произведением 1-форм со и 9 на поверхно-
поверхности 5 называется 2-форма соЛЭ, определяемая формулой
(со Л^)м = ®м/\®м1 где внешнее произведение сод/Л^м
рассматривается на векторном пространстве' ТМ8. Пусть
(?7, г) —параметризация поверхности 5 с криволинейными
координатами (и, V) и V? = г (С7). Тогда дифференциалы
йа, йу криволинейных координат можно рассматривать
как 1-формы на И7 по правилу
(А) = Ни ^м (к) =
1) В § 18 дана сплошная нумерация формул, используемая
и в ответах.

108 гл. 4. поверхности
где к — касательный вектор поверхности в точке Л/,
а (йь А2) — его координаты в подвижном базисе (диг,дь.г)и
Всякая 1-форма со на И7 однозначно представляется в
виде
где аг « со (диг), я2 = со (д^г) — гладкие функции на IV,
Дифференциал А] функции /, заданной на И7, является
1-формой на И7. Эту функцию / можно рассматривать
также как функцию на II по правилу
/(и, V) = /(г(и, и)).
Тогда й] представляется в виде
й/ = ди] йи +
Внешним дифференциалом 1-формы со, заданной
на И7, называется 2-форма йсо, определяемая формулой
йсо =
Подвижным репером на ориентированной поверхно-
поверхности И7 = г (?/) называется отображение, сопоставляюи^ее
каждой точке М из И7 репер (М, еДМ), е2{М), е»(Л1)),
где векторы е] (Л/), е2(М) принадлежат ТЛ1\У, а
(в1(М),е2(М),в3(Л/)) — ортонормированный базис в К3,
согласованный с ориентацией поверхности И7. Величины
Л/, е1% е2, е.д можно рассматривать как вектор-функции
на И7 со значениями в К3 по правилу: вектор-функция М
сопоставляет точке N поверхности ее радиус-вектор,
а вектор-функция е$ — вектор е${Щ G = 1, 2, 3).
Вектор-функции М и е3 — гладкие, будем также пред-
предполагать, что еъ е2 являются гладкими. Запишем диффе-
дифференциалы этих вектор-функций в виде
(Л) ех (ЛГ) +(*Ъ (Л) е2 (.V) +со^ (А)
(Л) вх (]У) + о)ш (Л) е ?
т, >A)
(Л) е
где ЛеГ^И7. Тогда со{, щ {I, /=»1, 243) являются 1-фор-
мами на поверхности И/. Уравнения A) записываются

§ 18. МЕТОД ПОДВИЖНОГО РЕПЕРА Ю9
в виде
з з
Уравнения B) называются уравнениями движения
подвижного репера. Подвижный репер (Л/, вх, е2, е3) на-
называется репером Картана поверхности И7, если, в каж-
каждой точке Л^ из IV векторы ех(Щ и е2{Ы) имеют
главные направления
Пусть | — гладкое векторное поле на поверхности IV
и
тогда а\, #2 — гладкие функции на ТУ. Векторное поле
можно также расс К
записывать в виде
можно также рассматривать 1чак векторное поле в К3 и
где (/ь г2, г3)~"кан0Н11чесК11й базис в К3- Для гладкой
регулярной кривой ^@ на поверхности \У обозначим
через |(^) вектор |Т@. Тогда
где |ь 52, Ь — гладкие функции. Вектор
называется производной векторного поля | б(9оль кривой у.
Пусть А — касательный вектор поверхности \У в точ-
точке Л/, у(^) —регулярная кривая на IV, проходящая че-
через точку М при ^ = ^о, такая, что Т'(^о) =й. Ковари-
антной производной векторного поля \ в направлении
вектора А называется ортогональная проекция на каса-
касательную плоскость поверхности в точке М вектора §'(^о)
производной векторного поля ^ вдоль кривой у. Ковари-
антная производная векторного поля ^ в направлении А
обозначается 1)н\ и является касательным вектором к
поверхности в точке М. Если 1 = а1е1 + ^2е2> то имеет
место формула
(А) ^ + йаа (А) е2 — а2оI (А) ех + а^\ (А) в2.

НО гл. 4. поверхности
Векторное поле ^ называется параллельным вдоль кри
вой 7, если для всех I
т. е. ковариантная производная поля | в направлении
любого касательного вектора кривой у равна нулю.
871. Из условия ортонормированности подвижного ре-
репера следует, что матрица (о)^) кососимметрическая. До-
Докажите.
872. Так как векторы еъ е2 подвижного репера явля-
являются базисом в касательной плоскости поверхности, то
в формулах A) и B) фор*ма о3 = 0. Докажите.
873. Пусть 7 @ — линия кривизны на поверхности IV.
Если вектор ег подвижного репера является касатель-
касательным к линии 1, то (Оз7(/)(^1) — 0. Аналогично, еслие2—к&-
сательный к у, то 0K7@ (^г) = 0- Докажите.
874. Покажите, что во всех точках поверхности вы-
выполняются условия
1, если I = /,
0, если
.875. Если в каждой точке поверхности И7 векторы
ех \\ диг, е%\\ д„г, то о1 = '{Ейи, о2 =1/СAи, гдеЕ; С —
коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.
Докажите.
876. Предположим, что координатные линии парамет-
параметризации {II, г) поверхности IV являются линиями кри-
кривизны и С\\\диг, ег\\дог. Докажите, что 1-формы
ог, о); задаются в виде
о1 =УЕйщ о2 ^
? == — со2 =
= — (оз =
©| = — со| = р2 У О с1и.
877. Система дифференциальных уравнений вида
диЪь - 2 1\Ьи диЬг - 2 8% A-1,2...., п)
5-1 ' 5=1
C)

§ 18. метод подвижного рейера ш
называется вполне интегрируемой, если выполнены ус-
условия
Она характеризуется существованием единственного ре-
решения при заданных начальных условиях
/Л
г
Если формы сог, со] заданы в виде. C), то уравнения
движения подвижного репера равносильны следующей
системе уравнений:
= У О е„
D)'
Покажите, что. условия полной интегрируемости систе-
системы D) имеют вид
ди(я*Уе)=Р1р2УЕС,
= о, ди(р„уд)'
E)
Выясните геометрический смысл начальных условий.
878. Покажите, что если 1-формы сог, со] удовлетво-
удовлетворяют условиям C), то условия полной интегрируемо-
интегрируемости E) равносильны условиям
с/со1 = — оJ Д со?, Ло2 = со1 Д -л
= (О? Д С0|, Й(й? = О)? Д СО^ С/ОJ = ©о" Л ©
879. Если 1-формы со\ С0| удовлетворяют условиям C),
то первая квадратичная форма поверхности задается
в виде
Докажите

112 ГЛ. 4. ПОВЕРХНОСТИ
880. Если 1-формы со щ со* удовлетворяют услови-
условиям C), то вторая квадратичная форма поверхности за-
задается в виде
Ф2 = — Ш • йе% — рхЕ йи* + р26 ЛД
Докажите.
881. Покажите, что р\ и /?2 в уравнениях C) являют-
являются главными кривизнами поверхности.
882. Покажите, что линейчатая поверхность, состоя-
состоящая из касательных к линиям кривизны и, в точках ли-
линии кривизны V — развертывающаяся и ее ребро возвра-
л
та касается оси Ме1в точках с радиус-вектором М е1.
Аналогично, поверхность касательных к линиям V в точ-
точках линии и — развертывающаяся и ее ребро возврата
касается осп Ме2 в точке с радиус-вектором М -\ е2.
883. Докажите формулу Эйлера
кп = Р\ соз2 ф + Р2 зт2 ф.
884. Покажите, что уравнение индикатрисы Дюпена
можно представить в виде р\Х2 + Р2У2 = ±1.
885. Покажите, что полная кривизна поверхности за-
зависит только от коэффициентов первой квадратичной
формы и может быть выражена формулой
886. Докажите, что квадрат кручения асимптотиче-
асимптотической линии поверхности в каждой ее точке равен полной
кривизне поверхности в этой точке, взятой с обратным
знаком (теорема Белътрами — Эннепера).
887. Покажите, что геодезическая кривизна линий
кривизны в точке М выражается по формулам
888. Докажите, что имеет место формула
где К — полная кривизна поверхностп.
889. Докажите, что при параллельном перенесения
векторов по поверхности длины векторов и углы между
ними сохраняются.

§ 18. МЕТОД ПОДВИЖНОГО РЕПЕРА {{%
890. Для того чтобы линия на поверхности была гео-
геодезической, необходимо и достаточно, чтобы ее единич-
единичный касательный вектор был параллельно переносимым
вдоль этой линии. Докажите.
891. Если единичное векторное поле на поверхности
г = соз
параллельно переносится по поверхности вдоль некото-
некоторой линии, то в точках этой линии
' Е Ли + д217 О Лл (С)
Докажите.
892. Угол поворота вектора на поверхности при па-
параллельном обнесении его по границе Ь односвязной об-
области В на поверхности равен интегральной кривизне
этой области, т. е.
Аф = \ | К Аа.
п
Докажите.
893. Интегральная кривизна односвязной области В
поверхности, ограниченной гладким контуром Ь, и инте-
интегральная геодезическая кривизна этого контура связаны
соотношением
«.' %) .'
л /,
Докажите.
894. Пусть В —односвязная область на поверхности,
ограниченная криволинейным многоугольником Ь. Тогда
п
\ \ К Ао + (I) кмз + 2л а1 = 2^1
В Ь г
где аь «2. . •., а„ — внешние углы многоугольника Ь
{теорема Гаусса — Бонне). Докажите.
895. Если область В на поверхности ограничена гео-
геодезическим треугольником АВС (к^АВ, уиВС, \^СА —
геодезические) и его внутренние углы соответственно
равны а, (}, 1, то
Докажите.

114 гл. 4. поверхности
896. На односвязных поверхностях, во всех точках
которых полная" кривизна не положительна, не сущест-
существует замкнутой геодезической линии. Докажите.
§ 19. Разные задачи
897. Все точки поверхности
— 2ху — 4х+ 18у - 16* == О
ортогонально проектируются на координатные плоскости.
Найдите образы проекций.
898. Если поверхность касается плоскости вдоль не-
некоторой линии, то каждая точка этой линии является па-
параболической точкой поверхности. Докажите.
899. Покажите, что если нормали к поверхности вдоль
линии / параллельны, то все точки линии / являются па-
параболическими точками поверхности.
900. Если при сферическом отображении поверхно-
поверхности 5 каждая асимптотическая линия одного семейства
изображается большой окружностью, то 5 — косая ли-
линейчатая поверхность. Докажите.
901. Докажите, что плоскость и катеноид являются
единственными минимальными поверхностями вращения.
902. Докажите, что среди линейчатььх поверхностей
единственной минимальной поверхностью (отличной от
плоскости) является прямой геликоид.
903. Найдите все минимальные поверхности, которые
могут быть заданы уравнением вида 2 = }(у/х).
904. Пусть г = г (м, у) — уравнение поверхности 5, а
г* = г -\- ат — уравнение параллельной ей поверхно-
поверхности 5*. Выразите полную и среднюю кривизну поверхно-
поверхности*!?* через полную и среднюю кривизну поверхности 5.'
905. Дана поверхность постоянной средней кривиз-
кривизны Я, отличной от нуля. На всех ее нормалях отложены
отрезки 1/27/. Докажите, что полная кривизна построен-
построенной таким образом параллельной поверхности постоянна.
906. Докажите, что для средней кривизны поверхно-
поверхности 5 имеет место формула
ТТ л. с1а
а->0
где йо и йо* — соответствующие элементы площади па-
параллельных поверхностей 5 и 5*.

§ 19. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ Ц5
907. Докажите, что площадь любого куска минималь-
минимальной поверхности не может быть мбйыпё площади соот-
соответствующего куска параллельной поверхности.
908. Докажите, что предел отношения площади сфе-
сферического изображения поверхности 5 к площади соот-
соответствующей области поверхности 5 по величине и зна-
знаку равен полной кривизне поверхности.
909. Докажите, что если один из главных радиусов
кривизны поверхности постоянный, то поверхность есть
огибающая семейства сфер постоянного радиуса, центры
которых лежат на некоторой линии.
910. Дана система прямых
х = П + Рх У = Р* +
где I и р — переменные параметры. При какой зависи-
зависимости между риг эти прямые образуют развертываю-
развертывающуюся поверхность? Найдите фигуру, образованную ре-
ребрами возврата таких поверхностей. Найдите линии пе-
пересечения этих поверхностей с плоскостью хОу.
911. Круговой цилиндр переоечен плоскостью, не па-
параллельной его оси. В какую линию перейдет линия пе-
пересечения при наложении цилиндра на плоскость?
912. Даны сфера и прямая й. Найдите ортогональные
траектории сечений, образованных на сфере плоскостя-
плоскостями, проходящими через прямую й.
913. Если на материальную точку, принужденную
двигаться по некоторой поверхности, не действуют внеш-
внешние силы, то она будет двигаться по геодезической. До-
Докажите.
914. Подэрой поверхности по отношению к данной
точке называется фигура, состоящая из оснований пер-
перпендикуляров, проведенных из данной точки на касатель-
касательные плоскости поверхности. Найдите подэру поверхно-
поверхности Р(х, г/, т.) = 0 по отношению к началу координат.
915—917. Найдите подэры следующих поверхностей
по отношению к началу координат*
(915) 5 + е|; + е'| = 1, г, г' = ±
(916) *-+*-=* 2г.
,(917) ху = аг.

116 гл. 4. поверхности
918. Докажите, что только развертывающиеся поверх-
поверхности наложимы на плоскость.
919. Что можно сказать о поверхности, у которой
первая квадратичная форма имеет вид
920. У каких поверхностей коэффициенты первой
квадратичной формы могут быть преобразованы в по-
постоянные?
921. Докажите, что при наложении поверхностей гео-
геодезические линии переходят в геодезические.
922. Если на поверхности существуют два семейства
геодезических линий таких, что геодезические линии од-
одного семейства пересекают под постоянным углом геоде-
геодезические линии другого семейства, то поверхность есть
развертывающаяся. .Обратно, у любой развертывающей-
развертывающейся поверхности существуют семейства геодезических ли-
линий, обладающие указанным свойством. Докажите.
923. Докажите,* что соприкасающиеся плоскости гео-
геодезической линии на конусе одинаково удалены от вер-
вершины конуса. Обратно, линии на конусе, обладающие
указанным свойством, являются геодезическими.
924. Докажите, что две поверхности одинаковой по-
постоянной полной кривизны наложимы друг на друга.
925. Докажите, что всякая поверхность постоянной
положительной полной кривизны наложима на сферу.
926. Докажите, что всякая поверхность постоянной
отрицательной полной кривизны наложима на псевдо-
псевдосферу.
927. Докажите, что при наложении геликоида на ка-
катеноид линии кривизны одной поверхности переходят в
асимптотические линии другой и наоборот,

ГЛАВА 5
АФФИННЫЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ
И ПОВЕРХНОСТЕЙ
Мы изучаем линии и поверхности в евклидовом про-
пространстве К3, которое отличается от аффинного прост-
пространства наличием в нем метрики. Все рассматривавшие-
рассматривавшиеся ранее свойства лищш и поверхностей инвариантны
относительно движений в К3 и называются метрически-
метрическими свойствами. Однако многие из этих свойств инвари-
инварианты также относительно более общих преобразований
пространства К3, а именно аффинных преобразований,
и называются аффинными свойствами. Всякое аффинное
преобразование, переводящее точку М(х, у, я) в точку
•М' (х\ у', г'), задается в виде
апу
= а2\х + а22у
г' — аЪ\х
где матрица (а^) невырожденная. Если же матрица
ортогональная, то это преобразование является движе-
движением.
928. Пусть $$> — аффинное преобразование пространст-
пространства К3, г=*г(г)— кривая в К3. Тогда композиция ^© г (г)
является кривой в К3. Докажите.
929. Докажите, что аффинное преобразование пере-
переводит линию в линию, т. е. понятие линии — аффинное.
930. Докажите, что аффинное преобразование пере-
переводит поверхность в поверхность, т. е.- понятие поверх-
поверхности — аффинное.
931. Если {11Ж г) — параметризация поверхности 5 и
•^ — аффинное преобразование, то(С/, $ф ° г) — параметри-
параметризация поверхности $4-(8). Докажите.

118 ГЛ. 5. АФФИННЫЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
932. Покажите, что понятие касательной к линии —
аффинное.
933. Покажите, что понятие касательной плоскости к
поверхности — аффинное, т. е. касательная плоскость к
поверхности при аффинном преобразовании переходит в
касательную плоскость к преобразованной поверхности.
934. Если однопараметрическое семейство линий на
плоскости или поверхностей в пространстве имеет огиба-
огибающую., то семейство, получающееся в результате аффин-
аффинного преобразования, также имеет огибающую, которая
является образом огибающей исходного семейства. Дока-
Докажите.
935. Покажите, что понятие линейчатой поверхно-
поверхности — аффинное.
936. Докажите, что развертывающаяся поверхность
при аффинном преобразовании переходит в разверты-
развертывающуюся поверхность, причем ребро возврата исходной
поверхности переходит в ребро возврата преобразован-
преобразованной поверхности.
937. Докажите, что косая линейчатая поверхность
при аффинном преобразовании переходит в косую ли-
линейчатую поверхность.
938. Покажите, что понятие соприкасающейся плос-
плоскости линии — аффинное.
939—957. Выясните, какие из указанных понятий яв-
являются аффинными, а какие метрическими:
(939) Плоская линия.
(940) Кривизна линии.
(941) Эволюта плоской линии.
(942) Кручение линии.
(943) Нормаль линии.
(944) Бинормаль линии.
(945) Нормальная плоскость линии.
(946) Спрямляющая плоскость линии.
(947) Сопряженные и асимптотические направления
в* данной точке поверхности.
(948) Асимптотические линии на поверхности.
(949) Линии кривизны на поверхности.
'(950) Геодезические линии на поверхности.
'(951) Полная кривизна поверхности.
(952) Средняя кривизна поверхности.
'(953) Поверхность нулевой полной кривизны.

ГЛ. 5.' АФФИННЫЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ Ц9
(954) Поверхность нулевой средней кривизны (мини-
(минимальная поверхность)'.
(955) Эллиптические, гиперболические и параболиче-
параболические точки поверхности.
(956) Точки округления поверхности.
(957) Точки уплощения поверхности.
958'. Найдите огибающую семейства прямых, соединя-
соединяющих концы пар сопряженных диаметров эллипса.
959. Найдите .уравнение огибающей семейства пря-
прямых, проходящих через пары таких точек эллипса
П. -|_ О. —• 1
а? ^ 65 — хх
что вместе с центром эллипса они определяют эллиптиче-
эллиптические секторы постоянной площади #.
960. Найдите уравнение огибающей семейства пря-
прямых, отсекающих от двух пересекающихся под углом 2а
прямых треугольники постоянной площади 5.
961. Найдите огибающую семейства прямых, отсека-
отсекающих от данной параболы у = ах2 сегменты постоянной
площади 5.
962. Докажите, что фигура, образованная касатель-
касательными к асимптотическим линиям косой линейчатой по-
поверхности вдоль одной образующей поверхности, есть
однополостный гиперболоид или гиперболический пара-
параболоид.

ГЛАВА 6
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 20. Скалярное поле
Скалярное поле определяется скалярной функцией
и=и (Р) = и (х, у,г)=и (г),
где Р(х, у, г) — точка пространства и
г = хг + у] + ък
— ее радиус-в-ектор.
Поле ц — и(Р) называется плоским, если существует
такая система координат, что функция и не зависит от г,
т. е.
и = и(х, у).
Такое доле принимает одинаковые значения на каждой,
прямой, параллельной оси Оъ, поэтому его обычно рас-
рассматривают только в плоскости хОу.
Поверхности
и(х, у, 2) =С,
где С = сопз!, называются поверхностями уровня ска-
скалярного поля.
В случае плоского поля поверхности уровня
и(х,у)=С A)
являются цилиндрическими поверхностями с образующи-
образующими, параллельными оси Оъ.
Если плоское поле рассматривать только на плоско-
плоскости хОу, то уравнение A) определяет совокупность его
линий уровня. Если функция
= и

§ 20. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 121
определяющая скалярное поле, непрерывно дифференци-
дифференцируема, то градиентом этого поля называется векторное
поле
Градиент поля и в данной точке Р(х, у, %) направлен по
нормали к поверхности уровня
и(х, у, 2) = С,
проходящей через точку Р. Этот вектор для каждой точ-
точки поля по величине
"й^пI "г I яТ, 1 "г I л~
и направлению дает наибольшую скорость изменения
функции и. Градиент скалярного поля обозначают также
символом \щ где знак V читается: «набла». Таким
образом,
да ♦ . ди . , ди
дх ' ду* ' дт,
V можно рассматривать как дифференциальный оператор
{оператор Гамильтона):
дх * ду ' с?2*
который, будучи применен к скаляру и, дает §гас1ю. Этот
оператор удобно рассматривать как символический вектор
и применять к нему обычные правила векторной алгеб-
алгебры. Например,
Vд . 5 д
дх { * ду [ дг
Производная скалярного поля и(Р) по направлению I,
заданному'вектором
а = ахг + ау]
вычисляется по формуле
ди ди , ди о , ди
Ж = ТхС03 а + Ц С05Р + Ъ С03 V.

122 ГЛ б ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
где
й о., а
**
Производная по направлению связана с градиентом ска-
скалярного поля формулой
ди
щ
где а0 — единичный вектор заданного направления.
Точка, в которой производная скалярного доля в лю-
любом направлении равна нулю, называется стационарной
точкой этого поля.
963—967. Найдите линии уровня плоских полей (рас-
(рассматриваемых только на плоскости хОу):
(963) и=х2+у2. (964) и = х2~-у2.
(965) и = у1х\ (966) и = 2х/(х2+г/).
(967) и=Bх-у+1Iх2.
968—971. Найдите поверхности уровня следующих
скалярных полей:
(968) и=х+у+г.
(969) и = ' '
(970) и =
(971) и = /^2 + у2 + B + 8J + т' ^2 -I- г/2 + B — 8)а.
972. Найдите производную скалярного ноля
= г3
в точке МA,2) в направлении вектора, соединяющего эту
точку с точкой Л^D,6).
973. Найдите производную скалярного поля
и = ху2
в точке Л/A,1,2) в направлении, образующем с осями
координат углы а = 60°, р = 45°, ^ = 60°,
974—975. Найдите стационарные точки следующих
скалярных полей;

20 СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 123
{(974)' и = хъ + г/3 - Ъху.
г(975) ц = 2г/ + 22 - ху - у*
976—979. Найдите градиенты следующих скалярных
полей:
(976) и = х2 + 2у2 + 322 — хг + уъ —
(977) и = хг + уъ •+ 23 -
(978) и =
(979) ц =
— уг — XI
980. Найдите градиент скалярного поля и = #3 + У3 —
— Зху в точке МB,1).
981. Найдиге величину и направление градиента ска-
скалярного поля и = х2 + У2 + 22 в точке МB, —2,1).
982. Найдите величину и направление градиента ска-
скалярного .поля и = х2 + 2г/2 + Згг + ^г/ + Зх — 2г/ — бг в
точках 0@,0,0), А B,0,1). В какой точке градиент ра-
равен нулю?
983—984. Найдите угол между градиентами указанных
скалярных полей в данных точках:
(983) и = 1п(у/х)9 А A/2,1/4),
A,2, 2), В (-3,1,0).
985. Найдите угол между градиентами полей и = х2
+ г/2 — 22, у = агсз1п ^т в точке М A, 1, "|/7).
986. Установите характер роста скалярного поля
и = 5х2уг — 1ху2ъ + 5хг/22 в направлении вектора а =»
= 8^ — 4у+8& в точке МA,1,1); найдите величину ско-
скорости изменения данного поля.
987. Найдиге точки, в которых градиент функции
1 \ 25 .
-1 равен ~*
988. Найдите производную поля и == ^?+1| + *& в т04"
ке М (я, I/, г) в направлении ее радиус-вектора г.
В каком случае эта производная будет равна величине
градиента?
989. Найдите производную скалярного поля и =.
= и (х, у, ъ) в направлении градпента поля V = V (#, у,:
В каком случае она будет равна нулю?

124 гл. б. элементы теории поля
990—996. Докажите справедливость следующих фор-
формул:
(990) &гас! с = о, с — сопзЪ.
|(991) #гас1 (и + г;) = §гай ю + ^гаД V.
(992) §гас1 (ии) = у #гас1 и + и
(993) %г&й(си)=с ^гай и, с —
(994)
(995)
(996) ^гаД 1гп = пип~1
997—1004. Найдите градиент скалярного поля, зави-
зависящего от г — | г |г в каждом из следующих случаев;
(997) 2гай г.
(998) вгаа/(г).
(999) ^гайгп, уг — натуральное число.
A000)
A001)
A002) дгай(с'Г), с — сопзЪ.
A003) дгаа ((а• г)/(Ъ• г)), а, & — сопя!;.
A004) дгас! (схгJ1 с — сопз(.
1005—-1007, Докажите справедливость следующих
формул:
A005)
- ^ §гаE и + ^ ^гаЛ у +
A006) (г-У)гп = пгл. A007) (г• V) г » у.
1008. Найдите формулу для вычисления градиента
скалярного поля /(гг, у, и;), заданного функцией от трех
криволинейных ортогональных координат.
1009. Найдите формулу для вычисления градиента
скалярного поля в цилиндрических координатах.
1010—1014. Найдите градиенты следующих скалярных
полей в цилиндрических координатах:
11010) »™* + пр, 11011) и =

§ 21. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 125
A012) в = 28Шф + г. A013) и =
A014) и = ъ зш2 ф + г3.
101*5. Найдите формулу для вычисления, градиента
скалярного поля в сферических координатах.
1016—1020. Найдиге градиенты следующих скаляр-
скалярных полей в сферических координатах:
(Ю16) ю = рср. A017) и =
A018) и = р9ф. A019) в =
(Ю20) 1г =
§ 21. Векторное поле
Векторное поле определяется вектор-функцией точки
а = а (Р) = а (г) ^ах (хх у1г)г + ау (хх ух г) / +а, (х} ух г)кх
где Р(х, у, %) — точка пространства и
Г = XI + у]
— ее радиус-вектор.
Векторной линией поля называется такая линия, в
каждой точке которой касательная имеет направление
вектора #(Р).
Векторные линии (силовые линии, линии тока) век-
векторного поля находятся из системы дифференциальных
уравнений
их йу йч
Дивергенцией (расходимостью) векторного поля
а {Р) « ахг + ау] + агк
называется скалярная функция
да да., да
Ротацией (вихрем) векторного поля #С?) называется
векторное поле
г у , л ш дау да
а = + +(

126
ГЛ. 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
или в символическом виде
I / к
Л Л Л
дх ду дг
а а „ а
х У г
Потопом векторного поля а{Р) через поверхность 3
в сторону, определяемую единичным вектором нормали
л (соз а, соз р, соз
к поверхности 5, называется интеграл
= ] ] (ах соз а + ау
соз
где ап — величина пр(Текции вектора а на направление
вектора п.
Если 5 — замкнутая поверхность, ограничивающая об-
область У, а п — единичный вектор внешней нормали к ней,
то справедлива формула Остроградского
С03
ау С03 Р
или в векторном виде
Ш
V
8
Линейный интеграл от вектора а по линии Ь опре-
определяется формулой
а-йг = I а
ь
где а3 — проекция вектора а на касательную к Ь. Ли-
Линейный интеграл выражает работу векторного поля а
вдоль линии Ь. Если линия Ь замкнутая, то линейный
интеграл называется циркуляцией векторного поля а
вдоль контура Ь.

§ 21. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 127
Если замкнутая линия Ь является краем ориентиро-
ориентированной поверхности 5,« то справедлива формула Стокса
| п-то1
5
где п — единичное векторное поле нормалей к поверхно-
поверхности, определяющее ориентацию 5, а ориентация Ь согла-
согласована с ориентацией 5.
Векторное иоле а (г) называется потенциальным, если
а =5=
где и = и (г)— скалярная функция (потенциал векторно-
векторного поля а).
Для потенциальности векторного поля а, заданного в
односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы
а =г о.
В этом случае потенциал и Определяется из уравнения
йи = ахйх + иуду + агЛгш
Если потенциал и определяется однозначно, то
| = и {В) — и (А);
в частности, циркуляция векторного поля а вдоль любого
замкнутого контура равна нулю.
Векторное поле а (г) называется соленоидалъным, ес-
если в каждой его точке
<Ну а — 0;
в этом случае поток вектора через любую замкнутую
поверхность равен нулю.
Если .иоле является одновременно потенциальным и
соленоидальным, то
(Цу(§гаЙ1г) = 0
и потенциальная функция и является гармонической, т. е.
удовлетворяет уравнению Лапласа
^ 4-— — О
или
Аи =. 0,

128 гл. в: элементы теории поля
где
— оператор Лапласа
1021—1025. Найдите векторные линии следующих
векторных полей:
A021) а «=* —сух + сх]ч с —- сопз!,.
A022) а=*
A023) а -
A024) а =
A025) а = ** + у/ +
1026—1027. Найдите дивергенцию следующих вектор-
векторных полей:
A026) г = яг/2* + Bх + Зг/ + 2) У + (^2 +
A027) г = F^2 - 23 +куг - 5) /
1028—1032. Докажите справедливость следующих
формул:
A028) (Нус=0, с —соп81.
A029) сИу (а + Ъ)^ сИу а + (Ну Ь.
A030) сЦу(са) = сс11уа, с
A031) (Ну (иа) = и сИу а +
A032) (Ну(мс) =* с-§гас1 и, с — сопз1.
1033—1040. Найдите дивергенцию векторного поля в
следующих случаях;
A033) <Нуг. A034) сИу (/(г) г).
A035) Аи (г/г). A036) Й1У (г«г).
И037) сИу(^гай/(г)). {A038) Й1у(^гас1 и).
A039) (ИуAг^гаЙ1г). A040) Ич(и%1*&([г).
1041—1046. Считая, что с и ^ — постоянные векторы,
найдите дивергенцию векторного поля в следующих
случаях:
A041) А\у(ге). A042) &и{г2с).
A043) Аи(Цг)с). A044) й!у(гХс).

21 ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 129
A045) А1У{г-сх)с. A046)
1047—1048. Считая е постоянным единичным векто-
вектором, вычислите:
A047) Цу{е-г)е. A048) А\у (еХ(гХе)).
1049. Найдите
а\\ г.
1050—1051. Найдите функции /(г), удовлетворяющие
следующим уравнениям:
A050) Й1у(8гаA/(г)) =0.
A051) 2г <Иу (§гаа / (г)) = «Ну {г/г).
1052. Найдите формулу для дивергенции вектора а в
ортогональных криволинейных координатах и, у, ьи, если
его прямоугольные декартовы координаты «г, г/, г выра-
выражаются формулами
я = /(и, у, м?), г/ = ^(гг, у, ш), 2 = /г(гг, у, м?),
1053. Найдите выражение для (Ну а в цилиндрических
координатах.
1054. Найдите выражение для Ну а в сферических
координатах.
1055—1056. Найдите ротацию следующих векторных
полей:
A055) а = уНг + ъ*х] + х2ук.
A056) а - .гг/2/ + Bл + Зу — а) у + (д:2 + г2) й.
1057—1059. Докажите справедливость следующих
формул:
A057) го1 (а + Ь) = го! а + го1 &.
A058) го! (иа) == и го1 а + §гай и X а.
A059) (Ну (а X Ь) = Ь • го! а — а - го* &.
1060—1067. Считая, что с и С! —постоянные векто-
векторы, найдите ротацию векторного поля в следующих
случаях:
A060) го! с. A061) го* г.
A062) го* (г х с). A063) го* ((г . с) г).
Дод ред. А. С. Феденко

130 гл. е. элементы теории поля
A064) го1((г- с,) с). A065) го1 ((с X г) Хсх).
A066) го* (/ (г) г). A067) го! (/ {г) с).
1068—1071. Докажите справедливость следующих
формул:
A068) го1(^гас! и) -о.
A069) <Цу(го1а) = 0.
A070) Ич^тъйи) = \и.
A071) го1 го< а =* §гас! сЦу а — Аа,
где
Аа = кахг + &ау] + Да2й.
1072. Пользуясь формулой Остроградского, докажите,
что поток векторного поля а —г через замкнутую по-
поверхность, ограничивающую произвольный объем V,
равен ЗУ.
1073. Вычислите поток векторного поля а = л:г/Ч +
+ х2У] + 2& через замкнутую поверхность, образован-
образованную координатными плоскостями х = 0, г/ = 0, 2 = 0 и
частью поверхности параболоида .4 — 'ъ = я2 + У2, лежа-
лежащей в первом октанте.
1074. Вычислите поток векторного доля а = х31 -\-
У3] + ^3^ через поверхность сферы жа-+ ^/
1075. Вычислите поток поля напряженности
точечного заряда д через сферу радиуса а с центром в
точке заряда.
1076* Вычислите поток прля напряженности
р
?1
г3
точечного заряда д через замкнутую поверхность 5, не
содержащую внутри себя заряда ^,
1077. Вычислите поток векторного поля а = ху(
+ (У + 2) У + (# + 2г)& через часть плоскости 2.г + 2/
+ 2 = 2, лежащую в первом октанте.
1078. Вычислите поток вектора а = А' + г/3/
а) через боковую поверхность конуса
б) через полную поверхность указанного конуса.

§ 21. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 13Д
1079. Если 5 — замкнутая поверхность, ограничиваю-
ограничивающая объем У, а а и Ь — постоянные векторы, то
[ |а . г)Ьпйа = (а •
Докажите.
1080. Вычислите линейный интеграл, вектора й •=*
Л" г/3увдоль первой четверти окружности г = Л соз ^
1081. Вычислите линейный интеграл вектора г вдоль
одного витка винтовой линии ах.= #созф, г/ = #зтф,
2 = 6ф от ф = 0 до ф = 2я.
1082. Вычислите циркуляцию векторного поля а =*
= У1 — х] вдоль замкнутой линии Ь, образованной осям;*
координат и первой четвертью астроиды г = 3
8
1083. Вычислите циркуляцию векторного поля а = у21
по замкнутой линии, составленной из правой шУЙовины
эллипса г= бсоз И-\- с${п I ] и отрезка оси Оу.
1084. Вычислите циркуляцию векторного поля а = уг
по контуру окружности г = 6соз ^ + (Ь + Ъ$т г) у.
1085. Вычислите циркуляцию векторного поля а =
= — У* + х] + сЛ, где с — сопз1:
а) вдоль окружности х2 + у2 — 1, ъ = 0;
б) вдоль окружности (х — 2J + у2 = 1, 2 == 0.
1086. С помощью формулы Стокса вычислите цирку-
циркуляцию векторного поля а = :г2г/3/ -{- У + з& вдоль окруж-
но.сти х2 + г/2 = /?2, 2 = 0, приняв в качестве поверхно-
поверхности, ограниченной данной окружностью, полусферу
1087—1089. Вычислите, имеет ли данное векторное
поле потенциал и, и найдите ц, если он существует:
A087) а = {5х2у — 4^) I + (З*2 ~< 2у) у.
A088) а * (у + 2) г + (ж + 2) у + (х + у) к.
A089) а = угBх + у + г) г + хг(х + 2у + г) 1 +
ху(х + у + 22)
1090. Будет ли соленоидальным векторное - поле
я = г (с X г), где с — постоянный вектор?
1091. Докажите, что векторное поле а = /(г) г будет
соленоидальным только при /(г) = /с/г3, где к — сопз1.

ОТВЕТЫ
8. Да. Обратное неверно. В самом деле, вектор-функция, за-
заданная на открытой полуплоскости формулой
г (*, у) »
У
^
**
если х 5? О, у > О,
х
===|, если х<0, у>0,
разрывна в точках полуоси Оу, хотя\г(#, у) |=1» т. е. функция
1Г (*» у) \ непрерывна.
21. 2г . г'. 22. 2г; . г". 23. г' х г'",
24. г>г/гD). 25. (г' х г'") х г'" + (г' х г") х гD).
26. (г . г') :
27. Обозначим гх = ГХМ", г2 = ^2Л/ (рис. 4). Тогдагх
+ гг. Дифференцируя это равенс-
равенство, получаем
•г1
Г?+П
определению эллипса
2а. Дифференцируем:
2 = 0. Тогда
= 0,
где
Рдс 4.
Из равенств (*) и (#») следует
Вектор г]+ г^ идет по биссектрисе угла между прямыми /^Л/ и
Р2М. Но в силу (***) вектор йгх перпендикулярен вектору г\-\- г|
и, следовательно, идет по второй биссектрисе указанного угла,

ОТВЕТЫ 133
28. 1.
29. Не следует. Если г (*0) = о при некотором I = ?0, то произ-
производная г' A0) не существует.
30. а) Нет, как показывает пример вектор-функцип гA) =
= (соз 7, 51П г); б) да.
33. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть
Ф0@ И
Положим
гA) = \|> (*)*(/), М
где 1 е (/) | == 1. Дифференцируя равенство (*#) и используя (*),
получаем
2
Умножив это равенство скалярно на е\ найдемте' = 0. Так как
О, то (*?'J = 0 и е — сопз1.
34. Обозначим через а единичный вектор, ортогональный
трем компланарным векторам г', г", /•'". Тогда а-г'^0, а-г"=0,
а.г'г/ = 0, откуда а'-г' + а «г" = 0, или а'-г'=0, и аг.г/г-Н
-{- а г'" --= 0, или а'.г" = ; значит, а'1г' и а' _^ г7/, т. е. а||а'
и, следовательно, а — сопя1. Теперь из соотношения а-г'=0 на-
находим (а-г)'=0, т. е. а«г =-соий1;; следовательно, кривая распо-
расположена в плоскости (перпендикулярной вектору а).
Замечание. Вектор-функция а имеет производную, так как
а =(г'хг")/| г'хг" |, а по условию вектор-функция г имеет произ-
производные до третьего порядка включительно.
35. Согласно задаче 33 г' (I) -=ф (/) а, а — сопз*. Отсюда
г (I) = | ф (/) б?/а + &. (*)
Если I меняется на сегменте \Х\, ^], то уравнение (*) задает от-
отрезок прямой.
36. Возьмем начало системы координат в точке с радиус-век-
радиус-вектором г0, а векторы г^\ г2 примем за базисные векторы осей Ох
и Оу (система координат, вообще говоря, не прямоугольная).
Тогда параметрические уравнения кривой будут х = г, у = I2.
Следовательно, у = х2. Это уравнение параболы. В случае кол-
коллинеарности векторов г1 и г2 получим полупрямую или прямую.
37. Отрезок прямой.
38. Луч, если гх Ф о, и прямая, если г1 =о.
39. Если траектория г= г (I) материальной точки массы т опи-
описывается под действием центральной спль! Г, то Р = тг"—аг, где

134
ОТВЕТЫ
Рис. 5.
Рис. 6.
Рис. 8>

ответы 135
а =. аA) —некоторая скалярная функция. Остается показать, что
если гA) некоторой движущейся точки удовлетворяет условию
тг" = аг1 (*)
то траектория движения плоская.
Дифференцируем равенство (*) по I:
тг'" = а г -г а г' = т — г" 4- аг\
т.е. в каждый данный момент векторы г',г\ г'" компланар-
ны. Если векторы г' и г" не коллинеарны, то траектория будет
плоской в силу задачи 34. Если же г' и г" коллынеарны, то в силу
задачи 35 траектория прямолинейна.
40. Доказательство следует из того, что для функции у =х3
обратная функция не является гладкой.
45. Пусть (/, г = г (()), где /-=] а, Р [, —параметризация кри-
кривой 7- Тогда параметризация (/, р = р (т)), где / = ] — р, — а [,
р(т) — г(— т), эквивалентна(/, /^.Параметризации (/, г) и (/, р)
определяют различные ориентированные кривые. Любая парамет-
параметризация кривой у связана заменой параметризации с положитель-
положительной производной либо с (/, г), либо с (/, р).
49. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть
г0 — произвольное фиксированное значение заданной вектор-
функции, п, —единичный вектор, ортогональный заданной плоско-
плоскости. Тогда д г-п — 0, д г-п = 0. Рассмотрим функцию / (и, и) =
ее " С/
«=(г (и, и) — го)*п. Имеем д / = д- г-п = 0, д [ = д г*п = 0; зна-
чит, /(м, у) = сопй1. Но/(м0, г^0)—(гоГ-гп) ••/*—0, поэтому /(м, у) =
0, т. е. (г — г0) • п ~ 0. Это есть уравнение плоскости.
50. Параболический цилиндр.
51. Эллиптический цилиндр.
52. Гиперболический цилиндр.
53. Эллиптический параболоид.
65. х = В. со5 и со5 V, у = Н СО5 г/ §т у, 2«=Й $т и (рис. 5)
56. X = Я СО5 М СО8 У, У = Ь СО5 М 51П У, 2 = С 5Ш и (рИС. б)
57. х ~ Ур и С05 у, г/ =]'? гг зш у, г = гг2/2 (рис. 7).
58. х = а сп и со5 у, у = 6 ск а зт у, г = с §Ь и (рис. 8).
59. х = а 5П гг сой у, у = 6 зЬ и з1п у, г = с сЬ V (рис. 9).
60. х = а соз у, г/ = 6 51П у, г = и (рис. 10).
61. # = и, у = и2, % = V (рис. 11).
62. х ев а сЬ гг, ?/ = 6 зЬ гг, г = V (рис. 12).
63. г ав ам соз у, у — Ьи зт у, г = си (рис. 13),

136
ОТВЕТЫ
66. а) Не является. Например, для вектор-функции
2а и*
1 г м
аи (и* — 1)
у
г
указанное множество есть иилиндр, направляющей которого яв-
является строфоида.
Рис. 9.
Рис. 10.
Рис. И.
Рис. 12.
67. а) Плоскость с выброшенным лучом; б) 0 < г < в©,
0 < Ф < 2л; в) и = г соб ф, V = г зш ф..

бТВЕТЬ*
[ 68. Выберем в качестве оси Ох прямую, проходящую через
точки Р\, Р2 (рис. 14) и имеющую направление от точки Р\ к
точке р2. За начало координат примем середину отрезка Р^2.
Рис. 13.
Рис. 14.
Тогда: Р\(—Ъ, 0), Р2(Ь, 0). Для произвольной точки М(х, у) иско-
искомой фигуры имеем
По условию задачи
г у
■ (*)
Это и есть уравнение искомой фигуры. Освободимся от иррацио-
иррациональности:
Очевидно, что уравнения (#) и (**) равносильны. Раскрывая
скобки и приводя.подобные члены, получаем
а* + г/2J — 2ЬЦх2 — ^/2) « а4 — б4
— уравнение овалов Кассини (см. рис. 14). Подставляя сюда вы-
выражения декартовых прямоугольных координат через полярные
х = гсозф, у = гзшср, получаем
Ь
-1 Г л А4
1/ сой 2ф ± I/ р- — 31 и2
2Ф
*- уравнение искомой фигуры в полярных координатах. При а « Ь

133
ОТВЕТЫ
фигура называется лемнискатой Бер.нулли (рис. 15). Ее уравне-
уравнения:
(х2 + у2J = 2а2 (х2 ~ у2), г2 = 2а2 соз 2<р.
При а < Ь фигура не будет ни образом кривой, ни линией Лем-
Лемниската Бернулли (а = Ь) является образом кривой, но не явля-
является линией. Овал Кассини при а >
> Ъ является линией и образом
кривой.
Рис. 15. Рис. 16.
69. а--3 = у2Bа — х), г = 2а зт2 ср./соз ф (рис. 16). Парамет-
Параметрические уравнения можно привести к виду
х = 2а зш2 ф, у = 2а зт3 ф/соз ф,
2а 2а
или
х =
У =
Циссоида Диоклеса линией не является.
70. у
а
з
(рис. 17).
71. г = аф (рис. 18).
72. г = гоек*, где ф = а)/ (рис. 19).
73. (х2 + У2K — 4а2*2у2 = 0, г = а 81П 2ф "(РИС- 20). Четырех*
лепестковая роза является образом кривой, но не является линией.
74. г = 2а соз ср ± 26,. (я2 + у2 — 2а*J = 4Ь2(г2 + у*) (рис. 21)
для кардиоиды Ь = а (рис. 22). Улитка Паскаля является линией
при Ь > а.
а A + 51П ф) о гг (у — аJ
сой Ф '
75. г =
2а — х '
«с *—
Гг ^'
2/ =

ОТВЕТЫ
139
Рис. 17.
\
\
\
Рпс. 13.
Рпс. 19.
Рис 20.

р
Ь<й
Рнс. 21.
М,
Рис
1< а
X
Рис. 23.
Рис. 24.

ответы 141
Строфоида Ф (рис. 23) является кривой, но не является линией.
Фигура Ф\Л является линией, но не является кривой.
76 г ~ 5ПГф ± /; {х2 + У2)(У-аJ- 1*У2 = ° (Рис 24).
Никакая конхоида Никомеда образом кривой не является. Кон-
Конхоида является линией при I < а.
77. я = асо5Ч у = а51П3*; *2/3 + у2'* = а2/3 (рис. 25). Нет.
78. я = а (соз * + * 81П 0, г/ = а (зт г — I соз /).
Указание. До сматывания конец нити находился в точ-
точке А (рис. 26). При сматывании натянутая нить совпадает с ка-
касательной к окружности, причем длина касательной
\ВМ\ = ВА = аи
79. Составим уравнение циклоиды. Примем указанн^*ю пря-
прямую за ось Ох, и будем считать, что в начальном положении точ-
точка М совпадает с началом координат (рис. 27). Рассмотрим про-
произвольное положение точки М(х, у). Пусть центр окружности в
рассматриваемый момент находится в точке С, I — угол, который
образует радиус СМ с перпендикуляром №, проведенным из
точки С к оси Ох. Пусть 5 — проекция точки М на ось Ох, а ТУ —
на СР.
Тогда
х = 05 = ОР — 5Р = Л/?"— 5Р = а1 — а $т I = аA — 5т г).
Аналогично
у = 5М = РУ = РС ~ 1\ГС = а — а соз Ь = аA - сое *)•
В общем случае
х — а1 — ^51П^, у = а — <1соъг (рис. 28).
80. Поместим начало координат в центр неподвижной окруж-
окружности. Будем считать, что в исходном положении точка М совпа-
совпадает с точкой А, в которой катящаяся окружность касается не-
неподвижной, а ось абсцисс направим через точку А (рис. 29). Вве-
Введем обозначения: I = МОХ1У, т = г/Н. Так как
^ ^ /\ /\ г
4ЛГ = Ь^Т> или Я • Лг0Л = Н% то ОЛ
Имеем
х^ОР = 00 +ИР = 0^ + Ю/ = (/? + /•) соз те* + г зт
/\
у = МР = 0^ — ОХЕ = (Я + г) 5Ш т^ — г соз

Рис. 25.
Рис. 26.
Рис. 27.
X
У
й<а
х
Рис. 28.

ОТВЕТЫ
143
Так как
5Ш МО^Е
= 51П A-
= 51П
Л-тт
/\
то
— соз (г + га/), соз МО^Е = 31П (г +
а; = (Я + тиД) соз т^ — тл* соз (г + тп1),
51П т; — тЯ зт
Исключая т, получаем
г Л + г
-}- г) соз ^- ^ — г соз —ъ—
г Л + г
Г) 81П "^ ^ — Г 81П -дГ~ Ь (рИС. 30).
При г — В получаем кардиоиду (рис. 31).
81. х = (л* — т#) соз т
зт (^ — т/), г =
у т== (К — тпВ) зт
При /? = 4г получаем астроиду, при Л = 2г — отрезок прямой
(рис. 32).
82. Точки Л/ и Л7 лежат на образе кривой, точка Р не лежит.
Кривая пересекает ось Ох в точке О@» 0), ось Оу — ъ тачках
О@, 0) и Л@, —2). Неявное уравнение: уг + 2у2 — х2 = 0.
83. а) х
2а
2ак
б) х = а + а соз ф, г/ = а зш ф.
84. Парабола.
85. Часть прямой х —- у — 2 = 0, где х ^ 2.
86. Отрезок прямой — + -г = 1, заключенный между коорди^
натными осями.
87. Полуокружность.
88. Ветвь гиперболы.
89. Прямая х + 2у — 1 =0.
90. у = а сп (х/а)— линия называется цепной линией (рис. 33),

144
отвтсты
Рис. 29.
Рис. 3.0.
Рис. 31.

ОТВЕТЫ
145
Рис. 32.
/=-
Рис. 33.
Рис. 34,

140
ОТВЕТЫ
91. Окружность (х — аJ + (г/ — ЪJ = Я2.
92. * =» сп ф + зЬ ф (рис. 34).
X*'
У
2
93. Эллипс  + р" = 1; переход от одного представления к
другому получим, полагая I = \% @/2) (рис. 35),
94. Окружность х2 + у2 = 16.
95. Окружность (х — аJ + у2 = а2.
96. Прямая * = а. 97. Прямая у = Ь.
л д^2 ^#2
98. Эллипс ^ + т^ = 1.
о о
м/ С/
99. Гипербола -д- — -у^ == 1.
100. Парабола у2 = Ах + 4. 101. Гипербола х2 — у2 = а2.
102. Окружность х2 + г/2 — Ьг/ = 0.
103. Парабола г/2 = —4х + 4. 104. Парабола у2 = 4^ + 4.
105. а? = —
Рис. 35.
\
Рис. 36.
Указание. Примите за параметр угловой коэффициент пря-
прямой у == гх, проходящей через начало координат и точку линии.
2а
106. х
1Ю7. х
I-!-/2.'
За/
Зй/2
листом (рис. 36).
1/ =
■; кривая называется декартовым
2д/ 2д/
108. х = | I /а > !/ = л л, /а — циссоида Диоклеса.
109. а: == аA + соз ф). соз ф, у = аA + соз ф) зш ф.

ответы 147
Полагая 1§(ср/2) = г, получаем уравнения кардиоиды
Ш
+ г2J '
ПО. я = ■■ р , ; ■, ?/= —/2~П—~~ стР°Ф0ИДа- Указанные
уравнения получаются из уравнений задачи 75 преобразованием
х = х' + а, У — У1.
111. В точке Л касательная 2 л — у + 2 == 0, нормаль х -\-2у +
+ 1 = 0; в точке 5 касательная Ах — г/ +,3 = 0, нормаль я + Ау —
— 12 =0; в точке С касательная 6# — у + 2 = 0, нормаль я + 6г/ —«•
- 49 = 0.
112. В точке А касательная у = 0, нормаль х = 0; в точке 5
касательная Зя — г/ — 2 == 0, нормаль х + 3// — 4 = 0.
ИЗ. В точке Л @,0) -касательная у = х, нормаль х = —у\ в
точке 5 (л/2, 1) касательная у = 1, нормаль ж = л/2; в точке
С (л, 0) касательная х + у —л — 0, нормаль х — у — л = 0.
114. В точке Л@, 0) касательная у = х, нормаль у = — х\
л
в точке ^5(л/4, 1) касательная 2^ — ?/+1 — у^О, нормаль х-\-
^ = 0.
115. Касательная 2х — г/ + 4 == 0, нормаль я + 2у — 3 — 0.
116. Касательная 2.г 51П ^ + 2у соз ^ — а зт 2^ = 0, нормаль
X СО8 * — у 81П 2 — Л СО8 21 = 0.
117. При 1= Bк + \)п, где А; —любое целое число, касатель-
касательная у = 2а, нормали ж = BА: + 1)ал. Во всех остальных точках
касательная х — у 1§(*/2) + аB1%{1/2) — 0 = 0, нормаль # 1§(*/2) +
+ у-аИёA/2) = 0.
118. Касательная а; = а(соз / — Я 51П I), у = 6(§т ^ + Ясоз 0»
плп 6х соз I + а# 81П I — а& = 0, нормаль х = (а + ЪХ)соз1, у =
т ^, или
ах зт ^ — 6^ соз I + (б2 — а2) зт г со8 ^ = 0.
-а [ 1 \ а / 1 \
119. Касательная х = -у (^ + у I + ^у! 1 — ^Г Ь У =
+ ^^+'ТЗ-) пли т
о / 1 \ и I , 1 \ / 1 \ г
нормаль х = у Н- Т]""!"!1 + Р")' у = Т( ^ ~~ 7 Н"
^-А или ^-

14Я ответы
120. Касательная х + У — За = 0, нормаль х — у = 0.
121. Касательная Ах — 2у — а = 0, нормаль 2х + Ау — За = 0.
122. Касательная
нормаль
у(х2+у2 + а>) (Х-х) -х(х* + у*-а*)(У-у) = 0.
123. Касательная
нормаль
- а?) д«(Г - у)
* г/
124. Касательная
■«0.
а? — Ьз -= 1»
- нормаль
(.Г - X) Я2 (у - у) 62
= 0.
х ' у
125. Касательная уУ = р(Х + х), нормаль
у(Х-х) +р(У-у) =0.
126. Касательная (зш ф + ф соз ц)х — (соз ф—ф зш ф)у —
НОрМаЛЬ (СО5 ф — ф 51П ф) Я + EШ ф + Ф СО5 ф) у — Йф = 0.
127. Касательная г/ — а == 0, нормаль «г — а = 0.
128. Л A/2, 1/4).
129. Нет.
131. у = Ах — 4.
132. Л B, -3).
133. Ь = -1, с = -1. 134. Л/^2/3, 4/9), 3/2B/3, 8/27).
49
136. г/ = 2.Г + 3, у = 2а; + 27-
137. у + 1 = (ж + 7)/3.
139. (з?±у)/2 = —а, (г ± у) У2"=* в.
143. 3/1@,0), Л/2D,4); ф, = л/2, ф2 = агс^C/4).
144. М{ @, 3), Л/2 @,-3); ф1 = ф2 = я/4.
145. #1A,2), Л/2A, —2); ф1 « ф2 =

ОТВЕТЫ
149
146. М
Ля, (— 1)
2
= агс(& 2 У2, где к - лю-
люоое целое число.
162. Из АМ]М:Л получаем
(рис. 37) Ц1= сг/2 (см. задачу
/\
151), ц2 = (ф + я)/2, Л/1ЛЛ/2 =
160. Полагая У = 0, X =
= хт в уравнении касатель-
касательной У — у = у'{Х — х), полу-
получаем ^г — х = — у///'. Следо-
Следовательно, 1^1 = 1^//! (рис.
38). Остальные формулы полу-
получаются аналогичным образом.
161. | Л/Г | = 1/5/2, |ГГ|==
— 1 /4> I Л/Лт I = Т/5
162.
5Ь2х-|/2.
Рис. 37.
|РГ|
сЬ2^
ЮЗ. ^2 == ±2кх + с, где с — произвольная постоянная.
К54. у з= се±х/к, где с — произвольная постоянная.
166. я: = а Aп 1& (*/2) + соз /) + с, у = я зт /, где I — угол,
образуемый касательной с положительным* направлением оси абс-
абсцисс. Это — семейство конгруэнтных линий, называемых трактри-
трактрисами. На рис. 39 изображена трактриса, соответствующая с = 0.
167. 5 = яа2/2.
168. Из прямоугольного треугольника МОТ (рис. 40) имеем
\ОТ\ = \ОМ\\%\ь. Учитывая, что 1& м- — \Г1Г'\ (см. задачу 150),
получим
\ОТ\ = г2/1 г' |.
Остальные формулы получаются аналогичным образом.
к
169. г = ±
ф —
где фо — произвольный >тол (на рис. 41
угол фО= 0). Такие линии называются гиперболическими спи»
ралями.
170. Спирали Архимеда.
171* г = ±к зш (ф — фо) — окружности (см. задачу 102).
177. Касание второго порядка.
178. Касание первого порядка. 130. Третий.
181. у = х2 — Зх + 3. 182. х2 + у2 — у = 0.
183. {х + 2уJ — 20* + Ну + 19 = 0. Касание третьего порядка.

150
ОТВЕТЫ
Рис. 38.
Рис. 39.
Рис. 40.

151
184. Если }(х) имеет при х = 0 производные до гс-го порядка
включительно, то задача имеет решение
.п
•У = / @) + /' @) х.+ /" @) 2]- + ... + Г} @)
В противном случае задача решения не имеет.
Рис. 41.
(х — л/?J (у-*- ИJ
185. а) ■'. ,Од2— + " д^о—= 1, касание пятого порядка;
~ ^' касание пятого порядка;
— ЯЙ)«
9^
в) (х — л/?J ==
186. я- = 3, у
188. у = 0.
190. у = х — 2,
192. х-
193. г/ = -
1 и -г. •*- —«-
—&Н(у — 2Щ, касание третьего порядка.
= 0. 187. х = ±4, у = 0.
189. • у = х — 4, * = 0.
191. * = 0.
1 1
1
2.
1
/,. Ч — п ^^:л ?# =в 4- 9 гг = 1
196. 1 = 0. 197. у =
198. у = а.. 199. а-=? 2а.
200, 201. 0@,0) —точка самопересечения.
202, 203. О@,0) —изолированная точка.
204. О@,0) — точна самоприкосновения.
205. О@,0) —точка возврата первого рода. Касательная у = 0.
206. 0@, 0). При / > а — точка самопересечения с касателыш-
ох
ми у = + , =-. При I < а — изолированная точка. При 1 =
V I': — а2
= а — точка возврата первого рода с касательной х = 0 (см
рис. 24).

152
ОТВЕТЫ
у-
207. Л (а, 0) — точка самопересечения. Касательные у
(х — а).
208. О@, 0) — точка самопересечения. Касательные у
209. А @,0) — точка возврата первого рода. Касательная
0.
210 — 212. Не существуют (рис. 42—44),
\
Рис. 42.
в(и)
Рис. 44.
х
Рис. 43.
и\
х
Рис.
214. гг-2/'2-г2- 0.
215. Функция определена для всех значений х. кроме х =
= =Ы. Особых точек нет. В начале координат линия касается
оси Ох. Асимптоты х = ±1, у = I, Линия симметрична относи-
относительно оси Оу (рис. 45),

ОТВЕТЫ 153
М у е3,
216. Функция не определена лишь при х =±1/3, г/т»х **
=* У(—3) = —9/2, утт = */C) == 9/2. Здесь и в дальнейшем име-
имеются в виду локальные экстремумы. О@, 0)..-— точка перегиба с го-
горизонтальной касательной. Асимптоты 1/= #, х = ± "]/3 (рис. 46).
217. Функция не определена лишь при х = —1. На-
Начало координат — точка перегиба с касательной у = 0. В точке
Л/(—3> —27/8) касательная также параллельна оси Ох. Асимпто-
Асимптоты я + 1 = 0, х — 2у — 2 = 0 (рис. 47).
218. Функция не определена при х = ±2; 0@,0) —точка пе-
перегиба с касательной у = 0. Асимптоты х = ±2, г/ = 0 (рис. 48).
219. Область определения ]0, 5]; Л/E/>/4, 5/^4)— точка пе-
перегиба с касательной, наклоненной к оси Ох под 135е. Асимптота
х = 0 (рис. 49).
220. Функция определена при х > 0; у щах = у(е) *■= 1/е;
3 \
7^ — точка перегиба. Асимптоты х = 0, г/ = О
2 |/ е3 I
(рис. 50).
221. Функция определена и положительна при всех х\ утах ■»
== у@) = 1; Л/х (— 1/1/2, 1/1/^) Яа A/]/2, 1/)'в) — точки пере-
перегиба. Асимптота у — 0 (рис. 51).
222. Функция определена при всех значениях х, кроме х = 0;
точка М(—1/2, \/е2) — точка, перегиба. Асимптоты у = 1, я = О
(рис. 52).
223. Кривая симметрична относительно биссектрисы первого
и третьего координатных углов. Асимптота х + у + а = Ц; 0@, 0) —
точка самопересечения с касательными х = 0, у == 0 (см. рис. 36).
224. Кривая замкнутая, особых точек нет. Точки пересечения
с осями 0@,0), Л/,A/2,0). В точках Л/2(* = — 1 +1/2), Л/я(* =
«= —1—1/2) касательные параллельны оси Ох. В точках О (г = 0),
Л/4 (^=±оо) касательные параллельны оси Оу. Записав уравнение
кривой в неявном виде, легко доказать, что это эллипс (рис. 53).
225. Кривая симметрична относительно оси Ох и расположе-
расположена в полосе 0 ^ х < 1. Асимптота х «= 1; 0@,0) —точка возврата
первого рода (рис. 54).
226. Кривая симметрична относительно оси Ох и расположе-
расположена в полосе 0 ^ х < 1. Асимптота х = 1. Кривая пересекает
оси координат в точках 0@,0), МА A/2,0). Через точку М\ кривая
проходит дважды (при I = ±1), угловые коэффициенты каса-
касательных в ней к — ±2. Особых точек нет. Касательная к кривой
параллельна оси Оу & начале координат, оси Ох — в точках

154
ОТВЕТЫ
Рис. 45
Рис. 47.
У
м
5 х
Риг. 49.
Рдс. 50.

ОТВЕТЫ
155
Рпс. 51.
У'
0
1
X
Рпс. 52.
Рис. 53.
Рис. 54

156
ОТВЕТЫ
/ г=
и Л/3, соответствующих значениям параметра X = ± ] "\/Ъ — 2
(рис.55).
227. При * = 0 касательная в точке 0@,0) совпадает с осью
Оу. В точках Л/1 A,4/3) и Л/2A,—4/3) (при I = ±1) касательные
параллельны оси Ох. Через точку М3 C, 0) (г = ±"|/3) кривая про-
проходит дважды. Асимптоты нед1 (рис. 56).
лло л 111
228. Асимптоты а; = -тр, у —~ х — -г, у ~ х -{- \, Оси коорди-
координат кривая пересекает только в начале координат. 0@, 0) —точка
возврата первого рода. Касательная параллельна оси Ох в точке О
в точках Ми М2 (* = ±}3). Касательная параллельна оси Оу в
точке М* (Г = 2) (рис. 57).
Рис. 55.
Рис. 56.
229. Кривая симметрична относительно оси Ох. Асимптоты
% =* — 1, г/= ±(х — тН. Первая асимптота не пересекает кривую,
вторая и третья пересекают в точках М\ (I = —1/2) и М2 (* =3
= 1/2); О@,0)—точка возврата первого рода. Касательные па-
параллельны оси Ох в точках М31 Мх (/ = ± /3) (рр1с. 58).
230. Кривая симметрична относительно оси Ох. Асимптот и
особых точек нет. Точки Мг -о", -тг } 31 и Л/21 —, — -% у о),
получаемые при I » ±}'3/3, являются точками перегиба. В начале
коордяжат кривая касается оси Оу (рис. 59).

ОТВЕТЫ
157
Рис. 57.
Рис. 58.
Рис. 59,

158
ОТВЕТЫ
231. Асимптот нет. О@,0) — точка возврата второго рода с
касательной в ней х = 0. Кривая пересекает ось Ох в точках О и
(з \
I = — у1 0,8; — точка перегиба. В точке
(з -—— \
/ = у/0,4; касательная параллельна оси Ох (рпс. 60).
х
Рис 60.
Рис. 61.
232. Асимптота у = 1; О@,0) — точка перегиба, касательная
в которой совпадает с осью Оу. Касательная параллельна оси Оу
в точке М {г = 5/4) (рис. 61).
233. Асимптоты х = 0, х + у ± 2 = 0; 0@, 0) - точка перетпба
с касательной х — у = 0 (рис. 62).
234. Начало координат является точкой возврата второго рода.
Точки пересечения с осями координат — 0@,0) и Л/A,0) (рис.63).
235. Кривая симметрична относительно прямой у = х. Асимп-
Асимптота х 4- у — 1 = 0. Начало координат — точка возврата первого
рода (при I «= 0) с касательной Ох. Кроме того, кривая входит
в начало координат, касаясь оси Оу при I = ±оо (рис 64).
236. Асимптоты 2я + 9 = 0, 2х — 9 = 0, я—г/ —6 = 0;
М\ D, —4) -*- точка возврата первого рода с касательной х + у = 0.
Ось Ох касается кривой в точке АГ2 A6/3,0), ооь Оу — в точке
Д/3@,—16/3) (рис. 65).
237. Кривая симметрична относительно оси Оу. Асимптоты
у = ±я — 1; 0@,0) — тройная особая точка с касательными в
ней х — 0 и у = 0. Точки перегиба М 1%г{±2\ 27, 2)/з) (рис. 66).

ОТВЕТЫ
159
238. Кривая симметрична относительно оси Оу; Мь2(±2,
0) — точки возврата первого рода с касательными ±л +
у — 2 = 0. В точках Л/3@, 2/3) и Л/4@, 2) касательные па-
/2 2 \
раллельны оси Ох\ МЬА ±-д-~1/б, -д-) — точки перегиба (рис. 67).
239. Ох — ось симметрии. Асим-
Асимптот п особых точек нет. Линия пе-
пересекает ось Ох в точке М\(—\, 0),
ось Оу — в точках Л/2.3@, ±1). Ка-
Касательные к линии параллельны оси
Рис. 62.
Рис. 63:
Ох в точках Д/2,з, осп Оу — в точке М\. Точки М2,ъ являются точ-
ками перегиба (рис. 68).
240. Линия симметрична относительна оси Ох. Асимптоты
х = 1, у = ±2. Линия касается оси Оу в начале координат. В по-
полосе плоскости, определенной неравенствами 0 < х ^ 1, не су-
существует точек, удовлетворяющих заданному уравнению (рис.69).
241. Линия симметрична относительно оси Ох. Асимптота
х = 1. Вертикальная касательная х = 0. Линия существует толь-
только для значений х в интервале 0 ^ х < 1, что видно из представ-
ления уравнения линии в виде у'й = —, __ х (рнс. 70).
242. Линия симметрична относительно оси Ох. Асимптота
х = 0. В точках М\ (—5/2,0) и М2A/2, 0) касательные параллель-
параллельны осп ординат. Есть две точки перегиба (рис. 71).
243. Линия целиком располагается внутри квадрата с цент-
центром в начале координат и со сторонами, равными 2а и парал-
параллельными осям координат. Линия симметрична относительно осей
координат и биссектрис координатных углов (рис. 72).

Рис. 64.
Рис. 65.
Рис. 66.

ОТВЕТЫ
ш
Рис. 67.
Рис. 68.
Рис. 69.
6 Под ред. А. С. Феденко
О
Рис. 70,

Рис. 71.
Рис 72.
Рас. 73.
Рдс. 71
Рис. 75.
Рис. 76.

ОТВЕТЫ 163
244. Линия похожа на гиперболу. Асимптоты 2у ==
Для .г2 < 6 не существует точек, удовлетворяющих заданному
уравнению, кроме точки О@.0), которая является изолированной
(рис. 7:)).
245. Асимптоты у = ±.г. Касательные параллельны оси Оу в
точках 0@,0) и Мг\у 2, о). Есть две точки перегиба Л/2 и Мг
(рис. 7'*).
240. Асимптоты у = ±х. Касательные параллельны осям ко-
/ 1 3 \ / 3 1
ординат в точках Мх I —г. , —. 1 и Л72 -^ , — ч
I ] о^ )' о: / V > 61 у/ 6
(рис. 17)).
247. Асимптоты .г = О, у — 0, /у = х\ 0@. 0) — точка перегиба
с касательной у = —.г. Касательные параллельны оси Од; в точках
Л/р(а,(|'2-!-1)а), ^ (-а>()/2-1) о); а = ±1 (рис. 76).
248. Асимптоты х = 0, [/ = 0. Касательная параллельна осп
Ох в точке Л/-@, 1) (рис. 77).
249. Прямая х = 1 и изолированная точка 0@,0).
250. Асимптоты х = ±1, ?/ = ±1; 0@, 0) — изолированная
точка (рис. 78).
251. Асимптоты у — ±.г; 0@, 0) — изолированная точка. Ли-
Линия пересекает ось О*/,.в точках М{ о@; + Т/2), в которых каса-
касательные параллельны оси Ох (рис. 79).
252. Линия симметрична относительно оси Ох. Асимптоты
у = х + 1, !/ = —ж — 1, л- = 1; асимптоты у = ±(я -+- 1) пересе-
пересекают линию в точке Л/](—1,0); 0@,0)—изолированная точка.
Кроме точки О, других точек в полосе — I < х ^ 1 нет. Каса-
Касательная к линии параллельна оси Оу в точке ЛЛ, оси Ох — в точ-
1 + 1/5
ках Л/г и Л/"з с абсциссой # ~—^ (рис. 80).
а а
253. Асимптоты у — х ± -т-г = 0, у ■{- а; + —г^ — 0. Начало коор-
координат — изолированная точка. Касательпая параллельна оси Ох в
точках Л/ьг(О, ±а), оси Оу — ъ точках Л/з,4(±я, 0) (рис. 81).
254. Линия симметрична относительно оси Ох. Точка Л/о B, 0)
изолированная. В точках М± 2(— 2, ± 1/2) касательная парал-
параллельна оси 0^. Имеются две точки перегиба Л/3.4 и асимптота х =0
(рис. 82).
256. Асимптоты Зя + 4 = 0, Зх ± 3 /3 у — 8 = 0; 0@,0) — изо-
изолированная точка. В точке Л/D,0) линия пересекается с осью
Ох. Касательная в этой точке х = 4 (рис. 83).
6*

Рис. 77.
Рис. 79.
Рис. 78.
\
О
х
Рис. 80.
Рис. 81,

ОТВЕТЫ
165
о
Рис. 82,
X
\
И
О
Рис. 83.

166 ответы
256. Линия целиком располагается внутри квадрата с центром
в начале координат п сторонами, равными у 2 + \ 8 и параллель-
параллельными осям координат. Линия симметрична относительно осей
координат и биссектрис координатных углов. Начало координат—
изолированная точка. Касательные параллельны оси Ох в точках
/ 1 \2 + УЪ \
@» ± 1)> ^з—б I — ТГ^' 2 Г Касательные парал-
/ >2ЧТ/8 1
лельны оси Оу в точках ЛГ7 в(±1, 0), М"д —12 I ± о ' — ^
\ У ^
(рис. 84).
257. Линия симметрична относительно» оси Ох и вся лежит
в полосе —1 ^ х < 1. Асимптота х = 1. Начало координат — точ-
точка самопересечения с угловыми коэффициентами касательных
к = ±1. Касательная параллельна оси Оу в точке Мх(—1,0). Ка-
Касательные параллельны оси Ох в точках М2,ъ с абсциссой
X =
(рис 85).
2
258. Линия симметрична относительно координатных осей.
Точки пересечения с осями координат — О@, 0), Л/Ь2@, ±1).-Ка-
±1).-Касательные параллельны оси Ох в точках Л/1?2 и оси Оу — в точках
У
/2-1
2 I 2 ' О (I), и) — точка самопересечения
с касательными у = ± х (рис. 86).
259. Линия симметрична относительно оси Ох; Л/A,0) —
точка самопересечения с касательпыми у = ±(х — 1). Асимптота
х = 0 (рис. 87). -
260. Линия симметрична относительно биссектрис координат-
координатных углов. О@,0)—точка самопересечепия с касательными
х = 0, у = 0. Других точек пересечения с осями координат нет.
Касательные к линии параллельны оси Ох в двух точках
и оси Оу — в
точках М3 (^27/Тб, у^ЗТТб), Ж4(-^27/16, —^3/1б). Асимптот
нет (рис. 88).
261. Линия симметрична относительно координатных осей и
расположена внутри прямоугольника, ограниченного прямыми
« «= ^1^ у == ±1/2; О@,0) —точка самопересечения с касатель-
касательными у ее ±дг. Касательные параллельны оси Ох в точках
У2/2, ± 1/2)и оси Оу — ъ точках М1|2(±1, 0) (рис. 89}.

Рис 81
Рис. 85.
Рис. 86.
Рис. 87.
х
М.
Рис. 88,
Рис. 89,

168 ответы
262. Линия симметрична относительно оси Ох. Асимптоты
у — ±1, х — — 1, х = —2; 0@,0) — точка самопересечения с ка-
касательными у ]/2= ± .г (риг,. 90).
263. Касательные параллельны оси Ох в двух точках
Л/2,зA/3, ±2/3K); точка Л/|A, 0)—точка самопересечения с касатель-
касательными у=±(х—\). Касательная параллельна оси Оу в точке
О@, 0) (рис. 91).
264. Линия симметрична относительно биссектрис координат-
координатных углов; О@,0) —- точка самопересечения с касательными х =*= О,
ъ\ 3, о| 27/
и оси Оу — в точках М3л (о I 21, о угъ), где 4а = ±1 (рис. 92). .
1
265. Асимптота у =* —ж + у пересекается с линией в точке
; 0@,0) — точка возврата первого рода с касательной
х = 0. В точке Л/2A,0) касательная параллельна оси Оу н в точ-
точке Л/3BД | 4/з) — оси Ох (рис 93).
266. Асимптот нет. О@,0).— точка возврата первого ро-
рода с касательной у = х. Линия пересекает ось Ох в точке
Л/1 B7,0). Касательная параллельна оси Ох в точке Л/2A2,4)
(рис. 94).
267. Линия симметрична относительно оси Ох; О@, 0) — точка
возврата первого рода с касательной у == 0. Асимптоты * = а,
х ± у — —а 12 В полосе плоскости 0 < х < а нет точек, удо-
удовлетворяющих уравнению линии (рис. 95).
'268. О@,0) — точка возврата второго рода с касательной
. /64 28672 \ /16 2Г;6\
у ~0; МЛ 2^, 7о9375/~ точка пеРеги^а- в точке Л/,1^, ^г
касательная параллельна оси Ох. В точке Л/зA, 0) линия пересека-
пересекает ось Ох (рис. 96).
269. Линия симметрична относительно осп Оу\ О@,0) — осо-
особая точка, через которую проходят три дуги. Касательные в ней
у = 0, х ± у — 0. Точек перегиба и асимптот нет. Точки, в которых
касательные параллельны осям координат, Л/1,2 (±1/2/4,1/4),
^3,4 Ш 6/9, 2/9) (рис. 97).
270. Ллния симметрична относительно оси Оу\ О@,0) — точ-
точка самоприкосновения с касательной у = 0. Касательные парал-
параллельны оси Ох в точках Л/ь2(±6, 12) и оси О у —в точках
Л/з,4^ 6 ~У2» 8). Есть две точки перегиба Л/5б (рис. 98),-

ОТВЕТЫ
109
Х=-4 Х=:
/=-/
\
Рис 90.
Рос. 91.
Рис. 92.
Рис. 93.
о
Рис. 94
Рпс. 95.

170
ОТВЕТЫ
Ряс. 96.
Рис, 97.
м,
Рис. 98.
Рас. 99.
Рис. 100.
Рис. 101.

ОТВЕТЫ
171
И
м
271. Линия симметрична относительно осп Ох; 0@,0) —
тройная особая точка с касательными х — 0, у = 0. Касательные
параллельны осп Ох в точках М± 2 \1/12, +у 6~[/[2I остз^Оу —
в точках Л/3 4 D, ±4) (рис. 993-
272. Линия симметрична относительно осей координат; 0@,0) —
точка самоприкосновения с касательной у = 0. Линия пересекает
ось Ох в точках Л/1 2(±1>0), в которых касательные параллельны
осп Оу. В точках Л/3—6^— 1/б''3, ± 2 "|/3/9) касательные парал-
параллельны оси Ох\ Мт-ю — точки пере-
перегиба (рис. 100).
273. Асимптоты у = ±аг; О@, 0) —
точка самопересечения с касатель-
касательными х — 0, ?/ = 0. Есть пять точек
перегиба (рис. 101).
274. Линия целиком располагает-
располагается внутри квадрата с центром в на-
начале координат и сторонами, равны-
равными 4 и параллельными осям коордн-_
нат. Линия симметрична относи-
относительно осей координат и биссектрис
координатных углов. О@, 0) —четы-
—четырехкратная особая точка с касатель-
касательными а? = 0, у = 0. Касательные
параллельны4 осп_Ох в точках Л/1_4(±]2, ±2), оси Оу — в точках
М5-8 (± 2> ± У2) (рис. 102).
275. Поскольку функция 1# ^)/2) периодична с периодом 2я,
то достаточно рассмотреть значения ф в пределах 0 ^ ф ^ 2я.
Так как' точка Bл—-ф,—г) тождественна с точкой (л — ф, г),
а точки (ф, г) и (я — ф, г) симметричны относительно прямой
Ф = л/2, то эта прямая является осью симметрии кривой. При
изменении полярного угла в пределах О^ф^я г = Ъ^ (ф/2)
Судет положителен, поэтому при указанных значениях ф кривая
будет лежать выше полярной оси. В силу симметрии относитель-
относительно прямой ф = я/2 кривая будет располагаться^ выше полярной
осн. Кривая имеет точку самопересечения (я/2, 1). Есть асимпто-
асимптота; параллельная полярной оси и удаленная от нее на две еди-
единицы. По формуле 1% ,и = г\г' (см. задачу 150) получаем
1^ |Я = 51П ф. (#)
Следователт но, кривая касается радиус-вектора точки касания
только для ф = 0. В точке А/о самопересечения касательные пере-
пересекают ось симметрии под углом 45°, Так как касательная к кри-
Рис. 102.

172
ОТВЕТЫ
вой параллельна полярной оси, если ц + Ф = Ал, то в этих точ-
точках 1д ^ = —-1^ф Сопоставляя это с равенством (*), получаем
Ф = кп; следовательно, искомой касательной служит полярная
ось. Так как касательная перпендикулярна полярной оси, если
л
II -{- ф == кп + -у, то 1§ ц = с!^ ф, а в силу (*) с*§ ф = 81П ф, отку-
да со8ф=("]/5—1), 2, 1& (с*/2) « 1/2. Вводя декартовы координаты
по формулам # = гсозф, г/ = гзтф, получаем две точки М{ и
Л/2, в которых касательные перпендикулярны цолярной оси:
х\ « 0,3, г/1 « 0,4; х2 « —ОД г/2 « 0,4 (рис. 103).
Рис. 103.
276. Рис 104. В полюсе спираль имеет точку перегиба По
мере удаления о г полюса расстояние между витками неограничен-
неограниченно убывает.
277. Если г, ф — обобщенные полярные координаты (т. е г мо-
может принимать значение любого знака), то уравнение г2ф = а2
гадает две кривые, симметричные относительно полюса. Каждая
из кривых неограниченно приближается к полюсу и асимптоти-
асимптотически приближается к полярной оси (рис. 105).
278. Рис. 106. Полюс является точкой возврата первого рода.
Полярная ось в этой точке является касательной.
279. Пусть а > 0. При ф —>- 0 линия асимптотически подхо-
подходит к прямой, параллельной полярной оси и отстоящей от нее
на расстоянии I. Когда ф неограниченно возрастает, линия дела-
делает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, асимптоти-
асимптотически приближаясь к окружности г = а (рис. 107). При а = 0
получается гиперболическая спираль (см. задачу 169, рис. 41),
280. Кривая симметрична относительно осей декартовой систе-
системы координат, ось Ох которой совпадает с полярной осью. Кри*

ОТВЕТЫ
173
Гис. 104.
Рис. 105.
Рис. 107.
Р
Рис. 106.
Рис. 108.
Рис. 109,
Рис. ПО,

174 ответы
вая пересекает ось Ох в точках ^ <,(±я. 0), 0@. 0), причем точ-
точка О является точкой самоприкосновения с касательной у = 0. Кри-
Кривая имеет две точки самопересечения:Л/3 @, а ~|/~) и ^Л (о, —а/| 2)
(рис. 108).
281. Рис. 109.
282. Семейство сое гонт из эллипсов, касающихся оси Оу вна-
вначале координат, и прямых у = 1/2 и у — —1/2. В семейство вхо-
входит также ось Ох (рис. 110).
283. При С = 0 — пара прямых .г = 0, .г — 2у = 0. При С Ф 0—
подобные гиперболы, асимптоты которых параллельны указанным
прямым. Центры гипербол О*(С, С) заполняют прямую х — у = 0.
Одиа из ветвей гипербол касается осп Ох в начале координат
(рш\ 111).
28\. а) Семейстпо софокуспых эллипсов; б) семейство софо-
кусных гипербол (р!тс. 112).
287. Концентрические окружности с центром в центре пучка'
(рис. 113).
288. (х — С)* + у2 = С* (рис. 11
289. *2 + тг =--С (рис. Но).
200. Семейство пересекающихся окружностей, линия центров
которых направлена по общей хорде заданного семейства. По-
Поместив начало коопдшип» в середине общей ходры и направил
ось Ох по данной хорде, получим уравнение (я — СJ + у2 =■
= С2 — й2 (рис. Ш).
291. у == ±а (риг. 117). 292. д: = 0. // = 0 (рис. 118).
293. х*+у2 ==-- />2 (рис. 1Н)). 294. // = 0 (рис. 120).
2116. Дискриминанта у = 0 состоит из особых точек линий
семейства (рис. 121).
296. Дискриминанта // = 0 состоит из особых точек линий се-
семейства (рис. 122).
297. Дискриминанта распадается на пару прямых х = у а
х — у — ~— 0. Первая состоит из особых точек кривых, вторая
является огибающей (рис. 123).
298. Окружность \х — -^ 1 -{- ?/2 = -^ (рис 127|).
299. Парабола у2 + 4а(.г— а) =0 (рис. 125).
300. Гиперболы ху = ±672 (рис. 126).
301. (Л2 + В2)Л2 = С2\
302. Астроида ж2/3 + у2/3 = а2^ (рис. 127).
303. а) Парабола у2 — 4ах (рис. 128),

Рис. 111.
Рис, ЦЗ,

Рис 114
Рис. 115.
Рис. 116.
у=а
у-а
Ряс. 117.

Ряс. 118.
Рис. 119.
Рис. 120.
Рпс. 121.
Тис.

х
Рпс. 123.
Рис. 125,

ОТВЕТЫ
179
Указан и е. Примем фиксированную прямую за ось Оу,
а ось Ох направим через точку Р. Пусть Р(а, 0). Записав уравне-
уравнение пучка прямых, проходящих через Р, в виде у = С(х-^-аI
мы получим, что прямые указанного в задаче семейства
Гяс. 127.
Рис. 128.
проходят через точки оси Оу с координатами @,~Са), имея уг-
угловой коэффициент —1/С. б) Если Р(а, 0), а окружность имеет
х у2
уравнение х2;\-у2^_г2} то прц г>а получим элдидс Л""Ьгг"^."а1аз8

180 ответы
при г < а — гппероолу рг — а2 гг — 1> а при г = а огибающей
нет (рис. 129).
304. Циклоида (рис. 130).
305. х2+у2= {Я —гJ, х2 + у2= (Я + гJ (рис. 131—133).
306. Касательная в вершине данной параболы (рис. 134).
/ 3/?\2 /3/з\2
307. Огибающая состоит из окружности Ь-т +г/2 = т 1
и директрисы параболы х = — р/2 (рис. 135).
308. Запишем уравнения эллипса в параметрическом виде:
х = а *О5 ф, у = Ь 51П ф, 0 ^ ф < 2я.
Рассмотрим случай, когда хорды параллельны оси Оу. Координаты
центра окружности семейства х0~&-со5ф, у о = 0, радиус Я =
= 6-5Ш ф, 0 ^ ф ^ я Уравнение семейства^
(х — а СО5 фJ + У2 — Ъ2 51П2 ф.
Дискриминанта задается уравнениями
(х — а соз фJ + 2/2 — ^>2 51 п2 ф,
а (х — а соз ф) = Ь2 соз ф*
Так как из первого уравнения слгдует |.г —лго?ф| ^ Ъ рш ф,
то из второго уравнгкия находим Ь2|соз ср| ^ аЬ зт ф, или |1б ф| ^г
^ Ъ/а, т. е. дискриминанта определена лишь для тех окружностей,
для которых |1&ф| ^ Ъ/а. Исключим параметр ф:
ах _ ^7?^2
'л2 -у- У2)"?
Уравнение семейства примет вид
откуда б4*2 + ^2 (а2 + Ъ2J - б2 (а2 + Ъ2J + а2&2^2 = 0,- или
а* -|г б2 "^ Ь'2 ~~ 1ф
Легко проверить, что при указанпых значепиях параметра ф ди-
дискриминанта будет огибающей (рис. 136).
Если хорды параллельны оси Ох (рис. 137), то аналогичными
рассуждениями найдем
л»2

ОТВЕТЫ
181
г>а
Рис. 129.
г<а
Рмс. 130,

182
отвьты
г<П
Рис. 131.
Рис. 132,

Рис. 133.
Рис. 134
Рис. 135.

Рис. 136.
Рпс/137.
Рис. 138,

ответы' 185
309. Указание Задача решается гак же, как и предыду-
предыдущая. Параметрические уравнения гиперболы нужно взять в виде
х = а сЬ I, у = Ь йЬ I. Если хорды параллельны оси Оу, то огибаю-
х2
щая существует только при Ь < а. Ее уравнение д2 _ ^2 ~ а? = 1-
Она огибает лишь те окружности, для которых |1Ьг| ^ Ь/а
(рис. 138). Если хорды параллельны оси Ох, то огибающая су-
существует при любых значениях а и Ъ.
хл у1
При Ь Ф а она задается уравнением ^ + Д2 _ ^з — 1» ПРИ~
чем при Ь "> й она огибает все окружности (рис. 139), а при
Ъ < а — лишь те, для которых |1Ь/| ^ Ь/а (рис. 140).
При Ь =± а огибающая не существует (рис. 141).
/ />\
ЗШ. Парабола у2 = 2/И х + "о" * ^на является огибающей
окружностей семейства, для которых С ^ р/2 (рис. 142)
311. у2 = 2(р + д)х (рис. 143).
312. Точки огибающей должны удовлетворять системе урав-
/)(/, ф)
пений Р {х, 2/, а, р) = 0, <р (а, р) = 0, ^(а^ ^ =0.
313. Четыре прямые х-^у == ±1 (рис. 144).
314. хк + ^* = а\ ^ = /тг/Gтг + 1); при т = 2 — астроида; при
т == 1 — парабола (х — г/J — аBх 4* 2^ — а) = 0; при т = —2 —
окружность х2 + У2 = а2.
315. Выберем в заданной' вертикальной плоскости систему ко-
координат хОу, поместив начало координат в заданную точку и на-
направив ось Оу вертикально вверх. Тогда параметрические уравне-
ния линий семейства будут х = V^^ соб а, у = V^^ зш а — -у'
где а — параметр семейства. Имеем
дх бу
(ц=»о сое а, -щ в у0 §1п а — ^,
~
/
а, ^г =1^о^ СО8 06.
Л (*. 1/) о
Приравнивая нулю якобиан ^л ау получаем у^ — ^^3у0 81П а=0,
откуда I = ^8-па и параметрические уравнения дискрими-
дискриминанты имеют вид
9 9 9
х = ~Н стг а, у = _2 — °

186
ОТВЕТЫ
Я
Рис. 140.

ОТВЕТЫ
187
/у
Рис. 141.
Рис. 142.
Рис. 14а
Рис. 144.

188
ОТВЕТЫ
Исключив а, получим
V
о
У =2!
о
Итак, дискриминантой является парабола, ось которой направлена
вертикально вниз по оси Оу, параметр равен ^^, а вершина
находится в точке М0@, 1^/2#). Дискриминанта является огиба-
огибающей (рис. 145).
О
х
Рис. 146.
Рис. 145.
Рис. 147.
316. Уравнения семейства (рис. 146): х = а соз V соз и, у =
а 81П V 5ш и. Приравнивая нулю якобиан
(лг>
получаем
8Ш2усоз2а — соз2 V зЦ2 и = 0, или 5ш(ц + и)зт(и — V) = 0, или
у =8 —щ V == л —и, V = и, V == —я + и. Дискриминанта состо-

ОТВЕТЫ
189
ит из четырех отрезков прямых
х ± у = ±а.
Это четыре стороны, квадрата, вершинами которого служат точки
пересечения диаметров окружности, лежащих на осях координат,
с самой окружностью. Каждая из сторон квадрата является оги-
огибающей (рис. 147).
317. * = ^[D
* - D
318.. 8 = VI +х~-]/Г1 -г-*?—
х,
1 + VI + х\
1 + У 1 + х\
СХсу
8Ь^
320. 8 = 1п
321.
322.
ж,
„ ^ <
323. 5
324. 5
325.
= а Aп 81 п 12
5 1п1§гEл/12).
2}'3.
15
1п 31П /х), где 0 <
< л/2 или я/2<
326. 5=1
327. 5
329. «=
331. 5 =
333. 5 =
334. 5 =
5 я
(сЬ4 —
328. 5 = 24а.
330 .5 = 8а.
332. 5 = 6а,
8а.
16а/3.
3
335. 5 = ~2
336. 5 - у [2я
338. Цепная линия. Точка 'Л является вершиной.
342. х = /
. * = АгзЬ (в/а), у = У а2
344. Л= |зтх|/A + со52^K/2.
345. Аг= а/1/2.
346. к = 1р1(р + 2*K/2 = р2/(у2 + р2)ъ/\

190
ОТВЕТЫ
347. к =
349. к *=
351. к = 2
6
348. к =
аЬ
330.
352.
(^ЗП1^-Г^С
1
81П (//2)|*
*~ B
шоA
353. к
4а | соя(ср/2)
354. к =
Г
л-х л: ЗУ
Л'
У
355, 356. Л =
триситет.
357. к = 0.
х
где е - эксцен-
эксцен358. л —
359.. У к а з а н и е. Л= | * X Дг |, Где I — единичный вектор ка-
сательной.
363. Н = а
367. Центр кривизны эллипса «т =
= а соз /, у = 6 З1п ^ в вершине Л (* =
= 0) есть П(с2/а, 0), а в вершине Я
(^ == л/2) есть Е@, — с2[Ь), где <?2= а2—
— Ь2. Точки В и Е находятся на пере-
пересечении перпендикуляра, проведенного
из точки С (а, Ь) к АВ, с осями коорди-
координат (рис. 148).
/ с* л
368. ... ц
369. ^- у
370. (х-
-2J=2, (х+2J+
Ч-(</+2J=2.
371.
11п 2, ^).
Рис. 148.
872. Точки, в которых кривизна минимальная:
(Bп .+ 1) ел, а + ^); точки, в которых кривизна максимальная:
BлаЯ, а —- й) (л — любое натуральное число).
373. ЛCя/2,а) и В @,0).

ответы 191
(у2 '- р2)''4'2 %2 ул
376. г = - -г ; х0 = р -г -1Г-, у() = — -г,. Касание
третьего порядка — в вершине О@, 0) параболы.
377. Пусть линия /1 задана своим векторным уравнением
Г1 = Г1 (•*)! где 5 —длина'дуги этой линии, отсчитываемой от точ-
точки Л/, а за начало О отсчета радиус-векторов взята точка Л/.
Запишем уравнения линии /] относительно репера Френе., взятого
в точке Л/. Подставляя в разложение гх ($) _ у/^ -\- ~^г1 -|-... выра-
жения гу — 1±, 1\ ~ куПу, получаем
А,
Аналогично, для линии /2
2_ (**)
Пусть Р —точка на касательной I, близкая к точке .1/. п перпен-
перпендикуляр к /, проведенный в точке Р, пересекает линия ^, 12 в точ-
точках Л/ь Л72. Тогда из уравнений (*), (**) соответственно полу-
получаем
1 1
РМУ\ = у к^ +..., | РЛ/1
Так как Л, < А-2, то |/М/,| < |РЛ/2| (рис: 149).
/я2 лх я2
380. ^/^ 1 ±["Т--2" +
/ 8\^ 2/7 \
381. [У—Я) -Т[Т~Х)'
382. Точка — центр окружности.
а2 — б2
383. X -= —-— сов31, У
л2 4- ^2
384. Аг = —-—с1г} /, У ь
385. X '=* - 4х'\ У = За;2 + 4" (Рис- 152)-
386. Х-. ^Л'BА:^ 2) а; —
(Р }-
а*
Ь
к
б2
51П3 1
811'*
(рис.
(рис.
150).
151).

192
ОТВЕТЫ
Р * X
Рис. 149.
Рис. 150.
Рис. 151.
Рис. 152.

ОТВЕТЫ
193
387. X = -~- [BЛ - 1) я? -
388. X = 2
389. X =*
390. X =
< х < л/2 (рис. 157),
У
BА
—,
сов
81П X
1 + ^оз4 х
,2 <* '
Рис. 154.
1)?
Г =в —
2 соз- я?
81П X
-1 (рис. 155),
(рис. 156).
X
Рис. 155.
Рис. 156.
(*/2), У = а/81П/ или Г=а сЬ(Х/а)(риС. 158)
391.
392. X = -^ (со§ф—соя2ф+2), У « -у A — соз <р) 51П ф.1
Это — кардиоида (рис. 159). Для доказательства достаточно про-
7 Под ред. А. С. Феденко

194
ОТВЕТЫ
извести замену параметра <р — я — I и преобразование координат
2
по формулам X' = — ( Л'
1Г/
У.
393. Рис. 160.
394. Рис. 161.
Рис. 157.
Рис. 158.
395. Рис. 162. 396. 1п а
397. X = а(соз*-Ь (^ —
где С — параметр семейства эвольвент (рис. 163).
398. X = аAп 1д (^/2) + соз I), У = а 31П I — трактриса (см.
рис. 158).

ОТВЕТЫ
195
Р
Рис. 159.
Рис. 160.
X
Рыс. 161.
Рыс. 162.
X
Рис. 163.
7*

196
ОТВЕТЫ
399. X =.
- 1п
-1п
400. 5 « 6а.
Указание. Воспользуйтесь следующим свойством эволюты:
если радиус кривизны линии меняется монотонно, то длина дуги
эволюты между двумя ее точками равна разности значений ради-
радиуса кривизны исходной линии в этих точках.
401. 402. 5 = 8а.
. 36Д2 13
403. B75 -и 8)- =
B7*-г 8)?.
404.
О
зес а + 1п тд (а/2), А: = 8тасоз2а, где
405. П2 = 2аз.
406. Я2 + а2 = а2е^\
-г 407. з2 + Ш2 = 16а2.
408. Окружность радиуса 1/а,
если а Ф 0, и прямая, если а = 0.
409. Логарифмическая спираль.
410. Полагаем 5 == 1^а. Тогда
а 1 + 81 п а а
~~ 2 1 — 81П а* ^~~соза*
Рис. 164.
отсюда у = а сЬ (х/2) ?— цепная линия.
411. а: = аB^ + зш20, г/ = аB — соз2/) —циклоида..
412. х=~ — » . 2 ■ у = — а с1§ а — парабола.
413. а? —
у 31П а), у = у еа (соза — §ш а)— ло-
логарифмическая спираль.
414. х = а (а зт а + соза), у = а (зт а — а соз а) — эвольвен-
эвольвента окружности.
ру
415. х = а 1п 1^ (~ + -^-), у
\ 4 2 /
— цепная линия.
созот
416. Если осп координат выбрать так, как указано на рис. 164,
то параметрические уравнения нужной нам циклоиды запишутся
в виде
х = аA — 31П I), у = аA — соз г).
Скорость падающего тела определяется по формул» V
В нашей эадачв
к = у — #о = а (соз ^о — соз I),

ответы 197
где *0 и I соответствуют точкам Мо и Л/. Поэтому
V = ]/ 2§а (соз /0 — соз *)•
Но скорость V есть производная пути « по времени Т;
Замечая, что для циклоиды
= 2а 51П (//2)
получаем дифференциальное уравнение для определения врсмо-
ги Г;
2^7 81П (//2)
} 2§а (соз 10 — соз
Интегрируя его, находим время Г, затрачиваемое материальной
точкой на перемещение из Л/о в А:
V 2да (соз 10 ^ соз
п
, -__ A012) — соз2
что и требовалось доказать.
417. х =■ а соз *, у == а 31П ?, г = Ы .(рис. 105). Проекции;
1) г2 + I/2 == а2'» 2) у = а зш B/6); 3) х = а соз (г/6).
418. я = а соз ф, г/ = а зш фт ъ = Ье/{(р.
419. Выбирая соответствующилг образом систему координат,
уравнения образа кривой Вивиани (рис. 160) запишем в виде
х*-{-у* — Нх = 0.
Принимая за параметр и долготу точки И иа сфере, пз тре-
треугольников АОР, ОРМ и ОР(? находим
х = Д соз2 и, у «= Д соз м зш и, г = ±/? зт и.
Возможны и другие параметрические уравнения. В частности,
переписывая уравнение
у2 — Л* — 0.

198
ОТВЕТЫ
в виде
2 У ^ У 4
и полагая
получаем
«С — -77- «= -пГ" СОЗ ?,
н в
■у A -Г СОЗ 0. У == "у
7?
2 = ± /? 51П
420. а) Введя полярную систему координат, положение точки
М определим ее расстоянием г от точки О, широтой 1|э = РОЬ и
/\
долготой ф = хОР (рис. 167). По ус-
ловию г|з= — -— Я, где Я = гОД а
Ф = ш/. Определяя г из условия
Рис. 165.
Рис. 166.
ёг
т*
][~= 'яг и подставляя найденное значение г = гоет* в уравнения
я = г соз 1)) со&ф,
у = г СОЗ \|) 51П ф,
г == г 51П \р,
ползаем
х = аек* соз ф, у == о^^ф зт ф, г =
где А: = т/со, а = г0 вт К, Ъ = го соз X,
б) я = а^ соз ^ у = а1 зт ^, г = 6^.

ОТВЕТЫ
199
421.
= а2,
У"
х «= а С1
Ъ ~ а 5111 г.
При а = Ъ получаем два эллипса (рпс. 108).
422. Указание. Исключите пара-
параметр I.
423. у = .г2, 2 = 0; г = г3, у =я
« 0; г2 = г/3, * == д.
Рис. 167.
Рис. 168.
424. а;2 - у2 « а2, 2 = 0; ж == а сЬ(г/с), у = 0; у^а$Ъ(г!с)\
425. а:2 ~ у2 - а: - у + 1 = 0, ъ = 0.
Указание. Исключите г из данных уравнений.
428. Например, у = ж2, г = <?*.
429. Уравнения искомых цилиндров:
2 + {у __ 1J ^ ^
432. Прямые а: = у, г == 1;
у
2
= 1.
— у, г *» 1; а: = У, г = — 1;
433.
434.
- Уг у-
~~ 2 - а
х — е у — е г — 1
1Г

200
ОТВЕТЫ
435. х
436. *
437. Л/! (
438.
439.
у + 1 =■- *.
а ^__
2 .±~"Л ~?/~~ У'2"-
-2,12, 14), ЛГ2(—2, 3, —4).
1 ?/ —1
1
х
~ 2 "" 3 '
В пересечении касательных с плоскостью
3 .
+ Зз — 6 = 0.
получается парабола
441.
^х *"■""" 37
0.
2уг
2 (Л — 2л:) ~ —Лу'
+ ъ (Я - 2л?) Г
442. Окружность
(уравнения винтовой линии взяты в виде х
444. Пусть х = хA), у = г/@. 2 = г
0,
а соз (, у — а 81П-^
параметрические
уравнения линии. Справедливы тождества
откуда получаем
дф
0?2 = 0.
Эти соотношения определяют отношения дифференциалов в
виде
пг
др дР
ду дъ
дФ дф
~дъ
дР
дъ
дФ
дъ
дР
дх
дф
дх
дх ду
^Ф дФ
дх
Таким образом, уравнения касательной принимают вид
Х-* У— у
ОК. ~
ду дъ
дф дф
17
дР
дъ
дф
!Г
дР
дх
дф
~дх~
дР
дх
дф
дР
ду
дф

а уравнение нормальной плос
дР
ду
дф
ду
или
44о
ау
дР
дъ
дф
~дГ
Х-х
ш *У ~
(X-
-*) + *
дР
дъ
дф
~дГ
Х — х У
др
дх'
дф
дх
У-у
Ьх
)х(У
-у)
ОТВЕТЫ
КОСТИ
дР
дх
дф
дх
— у
дР
ду
дф
~ду
2~
Ху
+ ху
(У-
2 —
дР
дг
дф
дъ
»
201
у) +
дР дР
дх ду
дф дф
дх ду
1 2)— »
1
= 0.
г)
= б
«1
, х* + у*
#0.
451. Ъх + Зу + ъ + 1 = 0, З.г - Зу + ъ - 1 = О,
108^ — 18у +2 — 216 = 0.
453. ЪХ + аУ + аЬг = 2аЬ.
454. [X 51П(ь — а) — У соз (^~а
455. Ах — у + 2 — 9 = 0.
х у т, — 1
4" ~ >_> 1 ~~ Уравнения главной нормали,
г — 1
= г 81п а + соз а.
457.
1
.г
у
г 1
= 2 """ УРавненпя бинормали.
458.
х — 1
у — 1 г — 1
>:—^— = __ д • — уравнения главной нормали,
._ А л% , .„ \
\
3>== з ^ I
460. А({, 1п2, —4).
Ш. * =
УРавненця бинормали.
3
463. $ = —-^-
21 — /-! к
3
Гз
Ъ ~ — с08 / г — -р- 31П ^ 1
0 0
к.
464. < =
я =соз1 «-йп*
2, 2
П— I -г- С05 —
2 г 2

202 ОТВЕТЫ
466. Касательная:
Л7 — а сои Г У — а н\п Г 7, — Ы
— а 51П I а соз Ь Ь '
нормальная плоскость:
(а 5Ш 1)Х — (а сой /) У - Ы + Ь?^ == 0;
бинормаль:
Аг — лг сов * У — лг .«III ? 7, — Ы
а&[\\1 ~ —Ь сои I ~~ а *
соприкасающаяся плоскость:
Х— (Ь со$ I) У+ аг — аЫ == 0;
главная нормаль:
Лг — а соз г -У — а 81 п
5Ш Ь '
спрямляющая плоскость:
X соз / + У 81П I — я = 0;
1
а Ш1 ? I -1- Я СОЗ / 7 -р ЬЩ) П —
A- -р О".
1
6
г (^ 81 и ^ / — Ь соз / у -|- а/с).
^' й 1 -р и ~
г. /г г. к
г'к . .. 1
гт: (гхг),
где точка над буквой означает дифференцирование по парамет
ру *.
468. 5 =. Уа* ~г ЬЧ.
.9
469. X — а соз г7====, У = а 51 п
470. ^ = 8У 2а.
471. 5 = 9а. .
473, 8 = а УГ
,474.

ОТВЕТЫ
203
Указание. Цилиндрические координаты г, ф, г связаны с
декартовыми прямоугольными координатами #, г/, ъ формулами
475.
X = ГС05 ф, Ц = Г 51П ф, 1 = I
= е*р2 + р2сЮ2 + р2 51п20с/ф2.
(рис. 169).
о
Рис. 169.
Рис. 170.
Указание. Сферические координаты р, 0, ф связаны с де-
декартовыми прямоугольными координатами х, у, ъ формулами
X *= р 81П 0 СО5 ф, у = р 5Ш 0 51П ф, 2 = р СО5 0
(рис. 170).
476. Указание. Применяя формулы Френе
и принимая во внимание, что г = ^, находим
г = / = (Ля)- = — кЧ -{
Ля,
477. Записывая искомый вектор в виде
со = аг + Ьп + сб
п используя условие задачи, находим
со = кг + кЪш
Вектор со есть вектор мгновенной угловой скорости репера
Френе при движении точки по линии со скоростью, равной единице.
484. А=а/(аН-Ь2), к =Ь/(а2 + Ь?). 485. А = 2/A + а2).
1
486. к = к =-
2а
487. А ==• — * =
488. А = — х = 21/A + 2/2J.
3
489, А =
25 81П I СО5
X ==
25 31П I СО5 ^ §

204 ответы
490. « = Ъ.
491. Точки, соответствующие значениям параиетра
1*=-^ + кл (Л —0, ±1, ±/2, ...)•
492. Точки, соответствующие значениям параметра
**= 2А-л (Л = 0, ±1, ±2,,,.).
494. * — 4у + 2г + 1 = 0. ■»•
495. х — с± у — с2 я — с3
496. /(О жа С\ + С2 51П < + С3 СО8 I.
497. а) Пусть а — единичный вектор фиксированного направ-
направления. Тогда
а • г «в соз у (у » соп51). (♦)
Дифференцируем равенство (#) по «:
а . ^ = 0.
Следовательно» А-а • п=0. Исключая случаи, когда к в 0 (прямые),
получаем
а • п = 0.
Следовательно, главные нормали перпендикулярны фиксиро-
фиксированному направлению.
Обратно, если вектор п в текущей точке перпендикулярен
фиксированному направлению, то верно равенство (#).
б) Предполагая х Ф 0 и учитывая третью формулу френе,
получаем из (* *)
а . Ь = О,
откуда
а • 6 = сопзЬ (***)
Обратно, дифференцируя (***), получаем (**)•
в) Дифференцируя (**), получаем
ка • г =
откуда
— = (а •
Обратно, из первой и третьей формул Френе следует
• .
г ь
т+а=°>

ОТВЕТЫ 205
Откуда
X • • X
-^^~^ -1-Ъ — о, -^1-\-Ъ?= сопз1 = а.
Умножая скалярно на п, получаем а • д=0. Следовательно, выпол-
выполняется условие (**).
498. Указание,
• • • • » • •
Гу* ж* — А'Ь I ——
далее воспользуйтесь задачей 497.
501. Пусть A, и, г>) — фиксированное направление. Угол между
касательной к линии и этим направлением задается равенством
а + 2Ыи +
У /1 + иЧ + ^ Уа'^ +
Условие независимости ф от I состоит в том, что дробь
+ 2Ъи1 + а)»
9с?*4 + 4Ь?*2 + а* *"
Засу)
^ 9с?/4 + 46?** + аЗ
не зависит от г. Для этого достаточно, чтобы
2 B62^2 + Засу)
.= 0, 12Ьсм1; = 0, .
откуда
и « 0, V2 = 1, 2Ь2 = ± Зас.
502. Указание. В этом случае в • * = 0. Продифференцируй-
Продифференцируйте это соотношение и воспользуйтесь формулами Френе.
505. Уравнения линий можно записать в виде
Из условия р' ±.п находим, что % = сопз1, из условия комп-
компланарности векторов р', р", п получаем
(кк — ку) =г 0.
Разделим последнее равенство на х2:
1
откуда .
Л А + ЦК = ■ 1, (***)

206 ответы
Обратно. Из (###) следует (**). Подставляя значение X из
(**) в (*), получаем уравнение искомой линии.
509. По условию I* = г* Дифференцируя это равенство по 5,
получаем
к*п* —т— = Ал.
ад*
Но так как я* = п, то
Л» ^ГГ ~ *. С)
Далее, дифференцируя по 5 равенство-Ь* =■ Ъ, получаем
(!*}*
откуда
Наконец, сравнивая (#) и (**), находим искомые соотношения:
А-* с! я х*
/с ~ <1$* ~~ к '
4-
Л/к'1
510. *•=—|7рГ| и вА.(А.2^Х2Дк]. Если
то х* = 0.
512. * = р-
513. Кривизна и кручение винтовой линии постоянны; следова-
следовательно, существует бесконечное число пар значений Л и [г, при ко-
которых %к + ци = 1. Им соответствуют винтовые линии, лежащие
на цилиндрах, коаксиальных данному.
Обратно, пусть линии Бертрана С соответствуют две линии,
имеющие с данной общие главные нормали. Тогда
где К\ ф Хг и, следовательно, Ц1 Ф \хч. Не может быть
= [Х1/|12, ибо тогда из (#) следовало бы 2ц— Яг, М-1== |Хг.
Таким образом, , ^0 и из соотношений (*) мы полним оп-
определенные значения к и х (постоянные), т. е. линия является
винтовой линией.
а с У 2
2 а- + ^

ОТВЕТЫ 207
517. Обратное не верно, так как в выражение вектора г вхо-
ДПТ X.
518. Так' как расстояние между двумя точками линии эквива-
эквивалентно длине дуги Л$ между ними, то задача сводится к вычисле-
вычислению кратчайшего расстояния между прямыми
р - г (з) + е (8) К
р = г (.V + Д.?) + е (.«? + Д.?) Я,
где е (з) последовательно равен 1, л, Ь.
Кратчайшее расстояние вычислим по формуле
При е =■ г
_ 1(Аг, 1(з)ч гМ-А«))| |(Лг, 1, М)\
1"~~ )"G()х/(д))а *"" Д (/ - ДО2' '
1 1
Аг = Мл + — Ь* А*2 -г "у (хЛ-6 -г ккп - кЧ) Д5-3 + ...
А1 ~ кп <
откуда
Ал3
б/, - — А-и + ...;
с?! третьего порядка малости, если к у, ф 0. Аналогично находим,
что &ч и йъ первого порядка малости.■
520. Если шаг винта равен длине окружности цилиндра.
' - <J
522. И = {е1 Н- е- <J У± л. (е< _ е- ■/)*
523. /?-=3
526. Винтовая линия, шаг который равотт шагу исходной вип-
/-овой линии, лежащая па круговом цилиндре с осью Ох и радиу-
радиусом Ь2/а.
528. х = /(м) соз у, у == {(и) 81П у, г = ^(н) (рис. 171).
529. я = (а + Ь соз и) соз у, 1/ = (а + Ь соз и) зш у, г = 6 31П и
(рис. 172).
530. # = ас\\(и^а)со5V, у = а сЬA//л)81'п г;, % — и (рис. 173).
531. я = а 31П и соз V, у = а 5]"п г/ з]п у, 2 = аAп 1§(м/2) +
+ соз и) (рис. 174).
532. Написав уравнения двух семейств прямолинейных ооразу-
ющпх и выразив из них г, г/, г, получим
—и), г = 2иу (рнс. 175).

208
ОТВЕТЫ
Рис 171.
Рис. 173.
Рис. 174.
Рис. 175.

ОТВЕТЫ 209
Параметрические уравнения поверхности г = рху:
X = и,' у = V, ■ 1 аи /ШР.
533. я = /(м), у = ф(и), ««у..
534. х = а сЬ м, у = Ь §Ь м, а в» у — гиперболический пи-
лиядр (см. рис. 12);
д: = ы, у = и2, § ж* V — параболический цилиндр (см.
рис. II).
Г* «>"" х ^ / \ I
*УдО» I — 19 {и ) ~~ Ь\!»
536. х = и + у, г/ = гг2 4- 2у, 2«=м' + Зу.
537. Параметрические уравнения поверхности:
л: = со:> и — у, г/ = зт гг
откуда
538. Указание. Если направляющая линия задана уравне-
уравнениями
то парамет})ичес1»ие уравнения цилиндрической прверхности б^дут
Исключая отсюда ?. и I, получаем уравнение вида
1(пх г- 1г, пу — тг) ** 0.
539. {пх — 1гJ + (/?^ — тгJ = ап(пу — тг),
540. о) Например, .г = V2 + 1, у = V2 — 1, 1 = Ъ\
х — 1И у — 12 2 — 4
= 2 = _ 1 .
541. я — а = у[/(м) — а], 1/ — Ь
Исключая параметры и и р из этих уравнений, получаем урав-
уравнение вида
\ 2 "™~* С 2 "■"■"■ С
542. {Ьг — суO = 2р(г — с) (аз —
543. (х + 1J = 2у2 + г2.
544. Л принадлежит, 5 не принадлежит.
545. Эллиптический цилиндр.
546. —^г + —^г + —^а =■ 1 — эллипсоид.
547. Параболоид вращения г « х2 + {Л
8 Под ред. А. С. Феденко

210
ОТВЕТЫ
548. и — расстояние точки от вершины конуса, V — длина дуги
линии, все точки которой удалены от вершины на расстояние 1.
549. Два семейства параллельных прямых (рис. 176).
550. Лучи, выходящие из начала координат, и семейство кон-
концентрических окружностей с центром в начале координат
(рис. 177)..
О
и ~ С0П51
X
и - сопз!
Рис. 176.
= сопз!
Гис. 177.
Рис 178.
551. Лпмии V « сопз! — семейство софокусных эллипсов л от-
отрезок [—1, 1] оси Ох; линии и =. сопз! —- семейство софокусных
гипербол и промежутки ]—с», 1] и [1, оо[оси Ох (рис. 178).
552. ПрямолиЕедные образующие.

ОТВЕТЫ
211
553. а).я =* а соз(и + у), у=газт(ы-{-
б) а: а» а соз и, I/ а» а 8т и, г « Ьи + I
в) я = а соз(ы + у), у»азш(и
554. г = р(и) + гр'(м).
555. Уравнения фигуры:
х = а (соз и — у зт и), [/ = <
== ^(и
Не является. Однако, если из фигуры выбросить точки исходной
винтовой линии, ТО/получится поверхность.
556. Если за ось вращения принять ось Ог, то уравнения ге-
геликоида будут иметь вид
х
и соз V, у = и зш
/(«) +
где а — расстояние \МК\ точки М геликодида до оси; V
ворота плоскости профиля, отсчи-
отсчитываемой от плоскости хОъ\ а —
постоянная величина — отношение
скорости поступательного движения
к угловой скорости (рис. 179).
557. х ак и соз у, у = и зт у, г аа
«■ ау — прямой геликоид (рис.180),
а; ■« и соз V, у = ц зт у, х =«
а« ти + аи — косой геликоид
(рис. 181).
558. х « а({ — и) соз у, г/ =
«= аA — и) зт у, х — Ьу — прямой
геликоид.
559. я « ц соз V, у ш* и зт у, х
угол по-
поВ частности, если
аи +
получается прямой геликоид.
560. ;
561. .
Рис. 179.
и соз у, у == и зт
562. г =
х аа а/соз V.
где а - угол
Р1 I Р X р I
между главной нормалью линии и радиусом окружности,
идущим в произвольную точку поверхности трубки,.

212
ОТВЕТЫ
565. Введем вместо и и V новые переменные ц, и $ по фор-
формулам
саз
V =
-ф
2
0<ср
я
и подставим эти значения в векторное уравнение геликоида
г=и (соз V I -р 51 п V ;) -г агк.
Полагая
с (соз I г ~т 51п / /) + а/А",
Рис. 180.
получаем уравнение геликоида в виде
1 1
г « — р(ф) +
566. Уравнения параболоидов
2;
можно представить в виде
Рис. 131.
567. Пусть Мо(хо, у о, «о) — некоторая точка поверхности вто-
второго дорядаа 1{хх у, «) *■ 0. Произвольная прямая, проходящая че-

ОТВЕТЫ 213
рез точку Л/о:
х хо У
и V 1
ч
пересекает эту поверхность в точке Л/, аппликата которой г опре-
определяется из уравнения второй степени
/"(#о + и (г — 20), 1/о + р (* — 20), 2) = 0.
Это уравнение "имеет, по предположению, корень 20. откуда следу-
следует, что второй корень, который есть аппликата точки Л/, будет вы-»
ражаться рациональной функцией и и V, что и доказывает ут-
утверждение.
569. а) Касательные прямые:
х — 1 у ъ — л
у = 0, г = к и — = — = —;
нормальные плоскости:
*-1 =0, '(*-1) +^ + Л.(г-Я) -0;
б)" сова = —1//2 1-Я2.
571. 18л + 3г/ —42 —41 = 0.
х — 3 у — 1 2—2
572. 324 0;
573. 6^ + Зу —22 —7 = 0; ^1 в Ц^
57'*. х лг у — У2 2=0; нормаль
1 1
2—2 —
~г\ касательная к линии и == 2: я + ^ = 2[2, 2 = 2.
575. З.г + 12у - 2 — 18 *= 0; —у- = ^т^ = ЗУ
# з V 4 2 1°
576. З.г + 4у + 12г — 169 = 0; —3— = —^- = ~12"~Г
577. З.г - 2/у + Зг - 4 = 0;
579. « соз а соз у + у со5 и зт у— 2 зт и + яAп
580. ла 81П V — уа соз у + хи — аыу == 0;
— исови у — и $[п V 2 — аи
а 8Ш у в — а соз у в и

214 ответы
Вдоль линии и = и0 нормали сохраняют постоянный угол с
осью Ог. Вдоль линии и = г0 нормали параллельны постоянной
плоскости.
581. \2х + 9у + 20^ - 230 = 0.
582. 2+1/4-2-3 = 0.
586. Криволинейные координаты точек задаются уравнениями
, & V = В'А9
593. (Я - г (.9)) г (*) г (*)- 0.
Касательная плоскость неизменна вдоль образующей 5 =
она совпадает с соприкасающейся .плоскостью линии г-= г
при 5 = $о.
598. Уравнение касательной плоскости можно представить в
виде
/'(С) (X 81П С — у СОЯ С) — 1/[д.Г СО8 С + Д[/ 81П С — 2+/(с)]=0,
откуда следует, что все плоскости проходят через прямую
у = х \% С, 67^ СОЯ С + 67у 81П С — 2 + /(с) = 0.
599. Возьмем точку пересечения нормалей за начало отсчета
радиус-векторов. Тогда
г-д г ^ 0, г-д г т- 0,
откуда следует г*2 — сопя1.
601. Если а — направляющий вектор заданной прямой .и на-
начало радиус-векторов взято на этой прямой, то векторы г, а и
^иГ х ^1>г лежат в одной плоскости и
г. (ах (диг х дрг)) = о.
По правилу двойного векторного произведения получаем
(г-8иг)(а.арг)-(г.8ог)(а.аиг) = 0.
Но это можно записать в виде равенства нулю функциональ-
функциональною определителя:
д г*д (а-г)-д г*-д (а.г) = 0.
Отсюда следует, что между величинами г? и а-г существует функ-
функциональная зависимость
Выбирая ось Ог вдоль вектора а, получаем
X2 + У2 «
— поверхность вращения.

ОТВЕТЫ 215
605. Пусть
Я -■=>(*) ~- и1 {б-)
— уравнение поверхности, причем г {&) — ребро возврата. Имеем
дЯ -- I г икп, дП -•_ I,
о Со
Вектор нормали к поверхности
У =шд И X д Я = ик{п х I)
и
направлен по бинормали к линии/'($), что н требовалось доказать.
606. Необходимость. Пусть « — вектор ортогональный на-
направляющей плоскости. Тогда еа = 0. Отсюда е' >а = 0, е" >а — 0.
Следовательно. ее'е'~0. Если бы е"~ о, то е был бы постоянным
вектором. Но е»е' = 0 и е«а — 0. Тогда е постоянен и поверх-
поверхность вырождается в цилиндр.
Достаточность, Пусть ее'е" — 0, е" Ф о. Тогда вектор
с - (е х в')/| в' |— постоянный, так как с' — о. Нектор е ортогона-
ортогонален постоянному "вектору с, т. е. параллелен посчоянной плоское!п.
607. Ось геликоида.
С08. Наименьшая параллель поверхности.
609. Исходная линия.
Л:
610. И — г г тт"——-, п, где А: — кривизна исходной линии, а
ль" ,~ /С"
х — ее кручеппе.
611. Примем за направляющую косой поверхности
Я = г (з) -,"- ие (.у)
горловую линию. Тогда 1-е' ~0. Вектор нормали вдоль фиксиро-
фиксированной образующей есть *ух е0 -~ и(е'{) х е^\ полому уравнение
поверхности, образованной нормалями исходной поверхности, мо-
может быть записано в виде
Я - г0 -г- ые() -;- и {1{, X е0 + и (е'о X е0)).
Векторы в0, ^оч<^о' е0ч<«?овз&имно ортогональны. Выберем прямо-
прямоугольную систему координат та];, чтобы начало ее находилось п
точке е0, а направления осей координат совпадали с указанными
векторами. Тогда уравнения полученной поверхности будут
х = и1 у — йу, 2 =
или
2 = XV.
а *
Это — гиперболический параболоид. Его вершина — точка г0, т. в.
лежит на горловой линии.

216
ОТВЕТЫ
612. Записывая уравнения линии в параметрическом виде:
получа-ем
613. Величина Ф@ имеет второй порядок малости относитель-
относительно Ь и, следовательно, порядок касания первый.
615. Пусть линия задана уравнениями
х = хA), у = г/@, г = 2A);
-* Со) 2/@ —2/Со) 2
*" Со)
Представляя разности
Со)
" Со)
по формуле Тейлора и приравнивая в выражении Ф(/) кооффицн
ент-при (I — /0K к нулю, получаем
,'П
"
- 0.
Следовательно, кручение линии равно нулю.
617. х2 -\- у2 = 1 — круговой цилиндр.
618. ху + уг = 1 —гиперболический цилиндр.
619. я2 + у2 + 22 ~ 2дгг/— 2хг— 2уг — 0 — конус без вершины.
620. Например, (х -СJ + у* = С2, С Ф 0.
621. Например, (я - СJ+ у2 + г2 = С2, С ?* 0.
622. Огибающая — цилиндр г/2 + г2 == 1; характеристики — ок-
окружности у2 + 22 = 1, ж — С = 0; ребра возврата не существует.
623. Для сфер, построенных на хордах, параллельных оси Оу,
а? -г Ь2
1.
Эллипсоид огибает сферы, для которых
метр эллипса в уравнениях
х = а со? ф, у ~ Ь 8\ ф
Для сфер, построенных на хордах, параллельных оси
Ь/а, где ф — пара-
парах
2 _:_
а
Для гиперболы х ==> -а сЬ ф, у ~ Ь &Ъ ср получим;

ОТВЕТЫ 217
а) если хорды параллельны оси О//, то при Ь ^ а огибающей
нет, при Ъ < а огибающая задается уравнением
х* у2 -'- с2
1
Она огибает сферы, для которых |*&ф| ^ Ыа;
б) если хорды параллельны оси Ох, то уравнение огибающей
при Ь ф а имеет вид
х* -4- г2 V2
1
Если /; > а, она огибает все сферы, при Ь < а — сферы, для кото-
которых |1&ф|^/■>/«• Если Ь = а, огибающей является плоскость г/ = О
(ср. с задачами 308, 309).
624. Винтовая линия
а- = Ъ со8 а, у ~ Ь г<Iи а,* г = Ьа.
2
С25. :п/с - — Г.
626. х2 -\--у2 + (з - ГJ == д2С2/(я2 +1).
Указание. Сферы об1>азованы вращением окружностей взя-
взятых в плоскости хОг, которые касаются прямых х « ± аг и име-
имеют центры на оси Ог.
627. Уравнение семейства:
(Д-р (*))? = в?.
Дифференцируя по 5, получаем
(/Г—р) • * = О,
откуда
Д - р ■= лЬ-!-цл, Я,? +Н2 ~а«.
Полагая
Я = а со? а, [I «= а 31Б а,
получаем уравнение дискриминанты в виде
Н = р -\- а (Ь соз а 4- « «1п а).
628. Уравнение семейства:
(х — Ь со§ фJ + (?/ - 6 31п фJ 4- *2 — а2 а. 0.
Уравнение дискриминанты:
^ 2 2 ^ 2 = 0.
Ребро возврата в случае а > Ъ сводится к двум точкам
@, 0, ± У <х1 — Ь2) или к одной точке @, 0, 0), если а =■ 6,

218
ОТВЕТЫ
629. Огибающая
представляет собой два цилиндра. Ребра возврата нет (рис. 182).
630. Дискриминанта задается системой.уравнений
(Я -Г (8)) • Ь(*Г= 0,
(Я — г (а-)) • п (а) = 0.
Характеристиками являются касательные к заданной линии,
ребром возврата — сама линия.
Рис. 182.
631. Дискриминанта задается системой уравнений
(Л-г (в)). *(*)=0,
(Я —г (з)) • »(*)*(*) —1 -0.
Характеристики параллельны бинормалям и проходят через цент-
центры кривизны линии. Ребро возврата
И
п
к " ' к
состоит из центров соприкасающихся сфер линии.
632. Дискриминанта задается уравнениями
{Я — Г (8)) • П (8) * 0,
(Я -Г («)) • (X (*) Ь {8) - к {8) % {8)) « 0.
Характеристики направлены по векторам Дарбу (см. задачу
477). Ребро возврата:
кк
I
кк
/ — /с'х
633. Уравнение конуса с осью Ох:
— х21^2 а + у2 + г2
к*
' — к'
0.

ответы 219
Сделаем поворот вокруг оси Оу:
— (х соз а + г зт аJ1#2 а + (—я зт а + г- соз аJ + у2 — О,
или
у1 соз2 а + г2 соз 2а — хг зт 2а = 0.
Повернем этот конус вокруг оси Ог на угол р (р — параметр
семейства):
(— .г'зт р + у соз рJ соз2 а + 22 соз 2а —
— 1{Х СОЗ [} -\-.у 31П р) 51П 2а = 0. (*)
Дифференцируя равенство (*) по р, получаем
(— х 51П р + у соз р) {х соз а соз р + у соз а зт р + г зт а) — 0
Плоскость
х соз а соз р + у соз а зт р + г зт а = 0
перпендикулярна оси конуса и имеет с ним лишь одну общую
точку. Исключая р из уравнения
— х зт р + у соз р — 0
и уравнения семейства (#), получаем уравнение огибающей
2 {г соз 2а — Ух1 -, у? зт 2а) — 0.
Таким образом, плоскость г — 0 и конус .г2 + у2 — г2 с1§2 2а= 0
образуют огибающую поверхность.
635. Рассмотрим одну из прямолинейных образующих / дан-
данной поверхности а. Во всех ее точках касательная плоскость л
к о будет одна и та же. Построим касательные ко всем линиям се-
сечения о параллельными плоскостями в точках, лежащих на обра-
образующей /. Очевидно, все эти касательные будут параллельны друг
другу.. Но тогда и нормали к этим плоским сечениям во всех точ-
точках образующей / будут друг другу параллельны, а значит, будут
лежать все я одной плоскости я*. Следовательно, поверхность, па
которой лежат эволюты плоских сечений, есть огибающая плоско-
плоскостей я*, т. е. она тоже развертывающаяся.
636. I = Я, % = — п.
637. Возьмем на поверхности произвольную линию Г и постро-
построим в каждой ее точке касательную плоскость. Тогда поверхность
можно рассматривать как огибающую этих плоскостей, так как но
условию каждая из них касается данной поверхности по линии.
С другой стороны, эти касательные плоскости образуют семейство
с одним параметром (дуга 5 линии Г). Следовательно, огибающей
может быть только развертывающаяся поверхность, т. е. линии ка-
касания суть прямые,

220 ОТВЕТЫ
638. Пусть Л/г(.г?, //;, 2,г) (I = 1, 2, ..., п) — данные точки.
Возьмем уравнение плоскости в нормальном виде:
х соз а + у соз р + г соз ^ — /? = 0.
Ратояния от точки Л/, до плоскости
их = Х{ СОЗ а + Уг СОЗ.р + ~1 СОЗ ^ — /?.
Из условия задачи
п п п
соз а 2 ^ + С(Э5 Р 2 У^ "Ь С05 V 2 г« — пр — Ъ ~ соты.
Запишем это соотношение в виде
Г» ?? 77
сов а -р сой В -р со^ V — р — —.
Это условие выражает тот факт, что точка с координатами
1 -1 г-- 1 I --1
п ' /г *
находится на одном и том же расстоянии от всех плоскостей се-
семейства; следовательно, огибающая есть сфера с центром в эюй
точке.
639. г/52 = (/'2 + О^ +
640. г/52 = КЦсЫ2 + соз 2 гг
641. (/я2 = (^2 81П2 гг + с2 соз2 м)б/а2 + а2 соз2
642. (П2 = (а2 зк2 и + с2 сЬ2 и) /?и2 + а2 сЬ2 и
643. (.и2 = (л2 сЬ2 и + с2 зЬ2 и) е/м2 + а2
646.
646.
647. с/52 = Ь2с1и2 + (а + Ь соз м
^648. а*2 = с\\2(и1а)аи2 + а2с\12 (и/а)аи2.
649. <7.92 == а2 сЧд2 и аи2 + а2 51П2 и аи2.
660. с/52 = с/а2 + (гг2 + а2) с/^2.
651. г/52 = [1 + //2(н)]<*и2*+ 2а]'(и)аийь +(а2 +
652. а) Для поверхности Л = г (и) ~\- г1 (и), образованной ка
сательными ь1 линии г ~ г (и),
сЬ2 «* A + к2и2)аи2 + 1аи аи + аи2,
где к — кривизна исходной линии.

ОТВЕТЫ 221
б) Для поверхности И — г (и) -^ оп (и), образованной главными
нормалями,
дз2 = [A - к аJ + х2и*]<1и2 + №.
в) Для поверхности П -г(и)\ь-Ъ(и), образованной бинормалями,
№ = A + х2и2)с1и2 + №%
где х — кручение линии г = г (м),
653. № = A + /^2)^2 + 2/>д ^ Лу + A + д2)Лу2, где р - ^х«,
654. В случаях а), б), г).
655.
(дии')% - 2/'^и^ V +
1
иг
где
и, V)
658. Криволинейные координаты выражают длины дуг коорди-
координатных линии, координатная сеть чебышёвская.
659. Сфера: й*2 = <й2 + Л2 ^^
Тор: <*52 = йи2 + (^ + Ь со
Катеноид: й«2 = Ли2 + (^2 + 'и*)
Псевдосфера: й$2 = йа2 + е~2и/а№.
Указание, и — натуральный параметр меридиана. -
660. с(82 = с?м2 + е-2*/ойи2. Полагая м = у, у = аеи/а, получаем
У*
661.
| 1 -- а-х-у 1 -- агу"
663. Возьмем первую квадратичную форму поверхности в виде
Тогда
С05
(и)

222 ответы
откуда
и
а = ± \
Л/О (и)'
664. Взяв первую квадратичную форму сферы в виде
получим
" я
4 ~'2/<]*
666. Записывая уравнение конуса в виде г = ие (и), ] е (и) | = 1,
получаем
а 1п V —
667. Если уравнение поверхности взягь в виде указанном в
задаче 652, получим и + V = сопзЬ.
668. Записывая первую квадратичную форму поверхности 5
в виде
получаем
СО82 а) й^2 + 2з1п2 а Аи ^ + ь1п2 а с?у2 » 0.
€69. (Яд.ср — ?диу)йи + фд^ — Од^йи = 0.
670. V — 1# и «= соп«1.
671. и2 + и +Ч1
Ч
672. у -= 2^2 ~г
^7/
673. X = —^ соя V, Г =.
г , ^ — 2
где I/ «= 2и +* », У « ^
674. #Я -^ + С/)«0.
л^у/» / I I 2 2\ 2 У*4* /41 2 2\ ^ ^^
я/ # \)# I I ™Т™ О/ **/ \ XI ясп ^, | V *. ""г" ^* V I «^ "«■■ С/ о»
678. 1и (и + /м?.-г а2) + V =« соп§1.
679. м гЬ ш 1^(^/2) = сопр!.
680. ау - У1 -+- агу* = С (ах + '\/'т^I
<>У -г 1/1 + а V
\ 1
вту,

ОТВЕТЫ
223
681. а) <Ь2 = (8а2 + V2) Аи1 +2ии йи йи + (8у2 + и2) <
б) б/5-2
= 2У2а4 — а- -Г2 и йщ
в) * =
* -г а* -г 2.
С82. соз а = ±A-а2)/A + а2)г
10 2 2
,683. р — -«- а; соза = 1, соз р — у, соз?—~з"
684. 5 = |зЬ щ — §Ь ^11. 685. соз а = —3/5.
686. соз а = 2/3. 687. я = J]м2 - "
688.
? "Г а? 81П2 и
5 = п
и,
С пи
] 3111 и
и
= а
1п \$ ~ - 1п
и
Рассмотрим семейство
Точка Л/1(мь 1>1) лежит на линии
а точка М2(и2, 1^2) —на линии
т. е.
а 1п
а 1П 1в (ц2/2)
а 1п
а 1п
значит,
поэтому
2
С2-\-С
2 ;
а
т. е не зависит от С»
689. а) Возьмем уравнения сферы в виде
х = Л соз и соз у, у = К соз и зт у,
/? 31П и.
Расположим один из катетов на линии и » 0, второй — на ли-
линии г; = а, одну из вершин — в точке В (и =» 0, у = 0), вторую —
в точке Л (и = Р, у = а) (рис. 183). Тогда длины катетов равны
соответственно а = Яа, Ь = /?р. Для вычисления с надо найти

224
ОТВЕТЫ
длину дуги линии
Ау +В2 = 0
(на поверхности сферы) между указанными топками. Уравнение
гипотенузы в криволинейных координатах: Л сох и зт г-Ь
+ В зш и » 0. Так как она проходит через точку (и = р, V = *а),
Рис. 183
то
где
81П У я А* 1% И,
зт а
С «=
Л } 1 -г
соз и с1и
V^ ~ (I-^ к*) Бы* и
Н агсз1Б
к* 31 п Р) = Н агсз1п "V7! — соз- а соз-
отсюда
б) 5
со? (г/Л) = соз а соз
^ Л?
=а соз (а/Л) со? {Ь/В)
а АО
I I со? и 4и и» «* Л? 1 е/г со? и с?и,
О 0
0
где
31П V

ОТВЕТЫ
225 '
ос
а
= Я2
О
О
Отсюда
А' __ У^п- а - - А'2 — А- г о? а __ з1п а 81 п р
Пользуясь соотношением
соз
получаем
со* а
з\ъ(а/Н)*1п(г/Н)
1 + соз(с/Л) *
а
51П
8[и а н[\\
\ * / , 1 -р сой
Сравнивая г предыдущим, находим
8 = ПЧА±В~тл
690. 5 = 4" 11/2+ !"(!■
69Ь " з з
692. 5 = 2л2(я — 2), где а — радиус сферы.
693. 5 = 2«|о#2, где Д — радиус сферы.
695. У к а з а и и е. Возьмите уравнение конической поверх-
поверхности в виде г -- ге (и), где \ е (и)\ ~ 1, и сравните ее первую
квадратичную форму с первой квадратичной формой плоскости
в полярных координатах.
696. Как показано в задаче 632, первая квадратичная форма
такой поверхности может быть записана в виде
V2к2(и)}йи2 + 2йи
где к [и) — кривизна линии /,

226 ответы
Будем деформировать линию / без растяжения так, чтобы в
каждой ее точке сохранялась кривизна. Так как в выражение й$2
не входит кручение линии, то соответствующая деформация по-
поверхности, образованной касательными к линии /, будет наложе-
наложением исходной поверхности на деформированную. Превратив ли-
линию / в плоскую, мы наложим тем самым поверхность касатель-
касательных на плоскость.
697. Первая квадратичная форма прямого геликоида
х = и со» V, у = и яш у, ъ = аи
имеет вид
Пусть катеноид получен вращением цепной линии
х = а сЬ (г/а), у = О
вокруг оси О:. Параметрические уравнения цепной линии можно
представить в виде
—р о, г-«1п *
а
в чем можно убедиться непосредственной проверкой. Тогда пара-
параметрические уравнения катеноида будут
х — ~\/и* -р а'2 соя V,
у ~"\/и'2 -г а1 81 п у,
а
Вычислив теперь первую квадратичную форму катеноида, полу-
получим (#).
701, 702. Сфера.
703. Полусфера без граничной окружности.
704. Шаровой пояс без граничных окружностей (рис, 184).
705. Два шаровых сегмента без границ (рис. 185).
706. Большая окружность.
707. Половина большой окружности без концов.
708. Две симметричные дуги большого круга.
709. Две параллели (если нормаль направлять вне конуса).
710. Сфера без двух диаметрально противоположных точек.
711. Сфера с исключенной большой окружностью.
712. Дважды взятая сфера; если ось тора представлять вер-
вертикальной, то самая верхняя и самая нижняя параллели тора
отображаются в полюсы сферы.
713. Дважды взятая четверть большой окружности без одного
конца.

ОТВЕТЫ
227
714. Полусфера без полюса, взятая бесконечное число раз,
716. *
717. ф2 =. Я (Aи* + соз2
718.
й2 81Г12 а -р 6>2 СО82 I*
Рис. 184.
Рис. 185.
719.
720.
721.
722.
723.
724.
725.
726.
727.
729.
— ас
У \ ~\- Аи*
ки
Ь2 и (/у2).
и*2 -1- вЬа м
ф2
Ь Аи* -\- соя и (а + Ь СО8 и) с1иг.
а
— а с1# и (<1и1 — 5Ш?и (IV2).
2а Аи пи
У и* + а*. '
- 9 1 Л у*
Из условия задачи

228 ответы
Общее решение эюй системы:
/= ах + Ьу -\- с.
а
730. сг2 = — —2 г с1и2 4- а
^2 а1 -,- а2 '
ки ; , «еоп»» — —а,1 (и2 + л2), А*„ | „,Гг,П;1 = а!(и2 + а2).
731. Если уравнение поверхности взять в виде, указанном
в задаче 554, то
Л1 = 0, к2 — х/г/г,
где /тих — кривизна и кручение заданной линии.
732. кх = а1Ъ\ к2 = а/с2.
г/;/. , а
4- I
' (IV
375. *," = 1^3/9, А-
736. Л1==
738. а) А- = г - -— 0 , где м
б) Аг„ = ^ 1/A 4- а2K/2;
в) кп = — 1/2П5.
739. а) к{ == 1/215", к2 == 0;
г-2 г—1
б) я - 2 ~- 0, 2-1-0; —г— - ——, у =. 0;
/с = 2/9}'5.
740. а) 4г2 +V = 1;
Г») П = 2/13.
741. Указание. Запишите формулу Эйлера в виде
1 П, I- Но К, — Н2 ( /- 1
77 = 2Пхп2 ~~ "ЩИТС082 \ф Ч" ~^~
где 1//?1, 1/Л2 — главные кривизны, г = 1, 2. ..., п.
742. Сфера..
744. Развертывающиеся поверхности.
746. 1) Для поверхности, полученной при вращении линии
X ааг /(у), ?/ = 0, 2 = #(«) ВОКруГ ОСИ Ог,
■ /
2) Для сферы Л: =-- I//?2.
3) Для эллипсоида вращения
(а2 соз2 и --,- ^ МП2 и)'-? *

ОТВЕТЫ 229
4) Для однополое Iного гиперболоида вращения
К = -
(а*вЬ? и -- с2 сЬ2 иJ '
5) Для двуполостного гиперболоида вращения
Г'
~ (аЧЪ2 и т с2&Ь*м)а§
6) Для параболоида вращения*
Л. —
A-
7) Для кругового цилиндра
8) Для кругового конуса
9) Для тора
А — ^
10) Для катеноида
11) Для псевдосферы
А
К--
К-
Ь(а
я*
■ Т -
Г 4маJ *
- 0
- 0.
с 05 и
+ 6 СО8 {/)
1
с\1*(и/а)
1
747. Один из главных радиусов кривизны поверхности равен
радиусу кривизны параболы у2 = 2/?,г:
Второй главный радиус кривизны равен отрезку нормали па-
параболы до директрисы:
р1
Таким образом, |/?]| = 2|/?2|.
1
748. А" = — ^р" Eии Ь Л + ^0 1п ^4) (см. задачу 660).
д У О
1111 '
и и
749. К~~ -V- . 750.

230
ОТВЕТЫ
ТО
751.
573.
1
д Г д Р д Р д Р
XX У I X
XX
2х
д Р
л:
ХУ
XI
дР
У
■ гг
д Р
г
X
д Р д Р д р д Р
Ух УУ У1 У
д Р д Р д Р д Р
2 гУ ■ гг г
г
О
754. К = 4с.
755. Если поверхность главных нормалей задана уравпенисм
Р ^ Г (б") + VII F-),
[A-
где к и х — кривизна и кручение линии г =.- г(л-).
Если поверхность бинормалей задана уравнением
р ^ г (а) -|- ьЬ (б),
ТО
К -=
где х — кручение линии г =*= г (л
756. // = 0. К = —й2/(«2 + ы2J, полная кривизна постоянна на
винтовых линиях.
A
V2
757. Я
A -г- Р? + «V '
м ==
г ~
2A гт»Ч-
3/2
758.
/7"
Р A 4- /' У
»'
759. //==-1/2а. -
761. Если ось тора вертикальна, то самая верхняя и самая
нижняя параллели тора состоят из параболических точек; эти
параллели отделяют внешнюю часть тора, состоящую из эллипти-
эллиптических точек, от внутренней части с гиперболическими точками.
762. Все точки поверхности эллиптические (рис. 186).
763. Вершины синусЬиды описывают линии, состоящие из па-
параболических точек; точки перегиба синусоиды описывают линии,
не принадлежащие поверхности. Оба указанных семейства линий
разбивают всю поверхность на пояса с одинаковой по знаку

ОТВЕТЫ
231
Рис. 186.
Рис. 187.
Рис, 188.

232
ОТВЕТЫ
полной кривизной, два смежных (сверху или снизу) пояса имеют
разные по знаку кривизны (рис. 187).
764. Точка х = 1, # = 2 = 0 является особой и разбивает по-
поверхность нач две части: для х > 1 точки поверхности эллиптиче-
эллиптические и для х < 1 — гиперболические (рис. 188).
765. Все точки поверхности гиперболические (рис, 189).
Рис 180.
766. Если произведение А В ^ 0, то все точки поверхности
гиперболические (рис. 190); если АН < 0, на поверхности могут
быть точки всех трех типов (рис. 191).
767. Эллиптические. 768. Гиперболические.
769, 770. Эллиптические.
771. Гиперболические.
772—775. Параболические.
776. Если /'/" < 0, точки эллиптические; если /7" > 0, точки
гиперболические; если /7" = 0, точки параболические.
778. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть
I = ).Е, М = ).Г, Лт = КО.
Подставляем значения коэффициентов квадратичных форм:
— дт>д г = Ьд г*. К'
и
и
ИЛИ
/.гц)
и
и
и
V
и
0.
Присоединяя сюда равенство
( +

ОТВЕТЫ
233
Рис. 190.
Рис. 101.

234 ответы
получаем
Т1Ь ~\~ Л/* == О,
и ' и
Аналогично доказывается равенство нулю вектора т^ -г
Итак,
от = — Кг , от = — Кг . (*)
Дифференцируя первое уравнение по V и второе по а, полу-
получаем
откуда
от = — л г — Хг , л* — — л г — Лг
а о V и ту 1п и и ии
X г — л г —о.
V и и и
Если хотя бы одна из величии >*и, А» была отлична от нуля,
векторы г и г были бы коллинеарны, что невозможно. Исключая
этот случай, получаем X = соп»1. Интегрируем уравнения (*):
от 1
+ г«» 11ЛИ (г ~ гоJ - м
(сфера).
780. Строим эволюту какого-либо меридиана п находим точки
Рь ^2, • • • встречи ее с осью вращения. Пусть Л/ь М2,... — соот-
соответствующие им точки эвольвенты (меридиана). Тогда параллели,
проходящие через эти точки, состоят из точек округления.
781. Параллели, описываемые вершииами синусоиды, и только
они (см. задачи 780 и 389).
782. Две точки — точки встречи эллипсоида с осью вращения.
783. Вершина параболоида.
784. У параболоида
р>Я>0,
имеются две точки округления:
1|2 ±
785. У эллипсоида
V2 **
+ ^а^1' *>Ь>С>®>
есть четыре точки округления:
а1 - Ь1 т/ла- г«\

ОТВЕТЫ 235
786. У двуполостного гиперболоида
имеются четыре точки округления:
, ±ь\ ГГу-21 ±с
789. Например, поверхность, полученная от вращения пара-
параболы у == х4 вокруг оси Оу.
790. Например, на цилиндре у =*= х4 ось Ог состоит из точек,
уплощения.
791. Воспользуйтесь задачей 729.
792. М йи + Лг йи = 0, Ь йи + М йи = 0.
793. Ш — МО 4- ХР = 0.
795. и^—
Л и
707 -^- Г
797> а ~ Ь ~°1'
798. 6A,0,-1).
801. у « агчЧ^ и + С.
804. Взяв уравнения псевдосферы в виде
х — а зт ?( со» у, у = а §1П м зш у, 2 « а 1п 1^.(и/2) + а со?
получим
1п 1% (и/2) ±и=*С.
Если ввести новые параметры
и' = 1п 1г (м/2)
у' = 1п 18 (и/2) — V,
то координатная сеть будет асимптотической и коэффициенты
первой квадратичной формы будут удовлетворять требованиям
задачи 657.
806. Если исходить из уравнений
х = {(и) сов V, у = {(и) §щ V, г «■ ф(ц)
поверхности вращения, то получим
(/У - /V) <* + /ф'<Ь2 - 0.
807. и ± у = сопз1.
808. Если взять уравнение тора в виде
г * (а + Ь со.з и)соз ь\ у = (а + Ь соз и)зш у, г =* 6 51П а,

236
ОТВЕТЫ
то дифференциальное уравнение асимптотических линий будет
Ь йи2 + со§ и (а + Ь соз и) йи2 = 0.
Оно имеет общее решение
Л/'ыы
$и (а-гЬ со» и)
при л/2 < и < Зл/2.
Линии и = л/2, ы « Зл/2, очевидно, также являются решени-
решениями дифференциального уравнения (его особые решения). Оли
огибают семейства асимптотических линий, расположенных на
внутренней часты поверхности тора (рис. 192),
Рис. 192.
800. Прямолинейные образующие и их ортогональные траек-
траектории, т. е. винтовые линии.
810. Прямолинейные образующие.
811. Уравнение поверхности имеет вид *Л — у8 == 0. Диффе-
Дифференциальное уравнение асимптотических линий:
2уЧх2 — Ъху Aх йу + *2Aу2 = 0,
или
(х д,у — у их) B// их — х йу) = 0.
Следовательно, существуют два семейства асимптотических
линий:
у
г --== с;;
2) у = сгх~, г =
814. Если Агж + к2
= 0, то из формулы Эйлера следует, что
СО*«2 ф ~ 51П2 ф = 0,
где ф — угол, образованный асимптотическим и главным направле-
направлениями. Отсюда следует, что ф = ±л/4, т. е. между асимптотиче-
асимптотическими направлениями угол равен л/2,

ОТВЕТЫ 237
817. Примем сеть асимптотических линий данной поверхности
ва координатную сеть. Тогда Ь = О, N = 0. Для того чтобы со-
соответствующая сеть на параллельной поверхности также состояла"
из асимптотических линий, должно выполняться условие Ь* = 0,
Л7* = 0. Так как
Ь* = аКЕ + A —
Дт* = аКО+ A —
то при К ф 0 коэффициенты &*, Дт* не равны нулю, что и доказы-
доказывает требуемое в задаче.
820. Прямолинейные образующие и их ортогональные траек-
траектории, которые-являются плоскими сечениями.
821. Прямолинейные образующие и линии пересечения сфер
произвольного радиуса с центром в вершине конической поверх-
поверхности с конической поверхностью.
822. Параллели и меридианы.
823. Координатные линии.
824. Прямолинейные образующие и их ортогональные траек-
траектории.
825 Если уравнение геликоида взять в виде
х = и сов V, у = и 8Ш V, г = аи,
то дифференциальное уравнение линий кривизны есть
а -\- и*) аи* — аи1 = О,
откуда
V = ±\\\{и \- Уиа-га2) + с.
О о о о о
**^ V ** т ■ "* ТУ
а также сечения эллиптического параболоида плоскостями х =» О
и у = 0.
831. Л = г (^) + 7?^ (^), где к{ = 1/7?! — главная кривизна
вдоль данной линии. Таким образом, огибающая нормалей поверх-
поверхности вдоль линии кривизны состоит из центров главной кривиз-
кривизны. Ее соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью нор-
нормального сечения линии кривизны в соответствующей точке.
834. Примем ортогональную сеть на данной поверхности за
координатную сеть. Тогда Р » 0. Для соответствующей ортого-
ортогональной сети на параллельной поверхности должно быть Р* =* 0.
Возьмем уравнения рассматриваемых поверхностей в виде
Г ж г (ы, и) и г = г (ц, у) 4- ат (и, у).

238
ОТВЕТЫ
Тогда
Р* = 2я (л# - I) Л/,
откуда следует, что Р* = 0 в двух случаях: а) М = 0; тогда орто-
ортогональная сеть на данной поверхности состоит из линий кривиз-
кривизны; б) а «я 1///; тогда данная поверхность имеет постоянную
среднюю кривизну, и любой ортогональной сети на ней будет
соответствовать также ортогональная сеть.
835. Это возможно только для эллипсоида вращения.
845. Предположим, чю прямолинейные образующие парал-
параллельны оси Ог. Тогда уравнение поверхности можно взять в виде
Г = /(ИI -!- ф (И)/ -}-«>*,
где и будем считать натуральным параметром направляющей
линии. Будем искать уравнение геодезической в виде
V
Тогда
Ь <Г7
и уравнение для определения геодезических линий будет
ф' -/' о
/' ' Ф' V
п ,.гг
/7 ф" V
о,
ИЛИ
'2 + /'V - (ф'ф" + /7")"' = о.
Но ф' +/' = 1; следовательно,
ф'ф'+/7* .= у(ф'§+ /'*)' = о.
Таким образом, у" = 0; следовательно, V
уравнение семейства геодезических будет
г == / (м) I + Ф (м) ; + (схи + с,)
откуда
СО5 6 = СОЗ(Гц,
^ + с2. Векторное
37Г
З VI-г-4
Следовательно, найденные геодезические являются обобщен-
обобщенными винтовыми линиями.

ОТВЕТЫ 239
Кроме того, геодезическими являются прямолинейные образу-
образующие. Они выпали из общего решения, так как их уравпения
нельзя представить в виде (*).
Так как через каждую точку цилиндрической поверхности в
любом направлении проходит или обобщенная винтовая линия,
или прямолинейная образующая, то каждая из этих линий явля-
является геодезической.
848. Большие окружности сферы.
852. См. задачи 477, 632, 851.
856. к^ЩЕ?. 857.
8 Я
и
863. Возьмем уравнения прямого геликоида в виде
х = и сой и, у — и зт V, ъ = аъ\
Прежде всего заметим, что геодезическими линиями являются пря-
прямолинейные образующие, т. е. линии V = сопз1. Считая теперь,
с1и Ф 0, получаем дифференциальное уравнение геодезических
линий
(Пи 2и
Для решения уравнения введем новые переменные, полагал
с! и
и независимой переменной, а р = ^г —- функцией от и. Тогда
уравнение примет вид
Р т~ — ~з 5 Р - — и
1 аи а\--р ц« ^
Полагая 2=р2, получаем
^з 4?г
йи
Общее решение этого уравнения есть
а\-г а*1'
откуда
Г <1и
V «= \ * ■===
Г (Ц -т-

240 ответы
864. Возьмем первую квадратичную форму псевдосферы в виде
(см. задачу 660). Тогда дифференциальные уравнения геодезиче-
геодезических будут
с/**- у [а*
у Aз из ~
Этой системе удовлетворяют линии х = соп?Ь.
Если же х ф СОП51, то систему можно заменить уравнением
общее решение которого есть
у2. = С\.
865. Указание. Рассматривая вдоль геодезической V как
функцию и, получаем дифференциальное уравнение геодезических
линий поверхности Лиувилля
А { [ ~Т* Ч-') л .. 9 _7 .. I ,7 .. I ~~ Г1 \ г] и \ /7 /7 ""
или
(/ + у)йиЧ{<1и2) « (<2а2 + ^2) ((/«г
откуда
Интегрируя это соотношение, получаем искомые уравнения.
866. Указан и е. Проверьте сначала, что
где в-—единичный вектор, направленный по оси вращения; г —
радиус-вектор текущей точки геодезической, отсчитываемый о г
начала О, выбранного на осп вращения; I — единичный касатель-
касательный вектор геодезической. Проверьте затем, что дифференциал по-
полученного смешанного произведения равен нулю. Обратная тео-
теорема неверна, так как вдоль любой параллели указанное соотно-
соотношение выполняется, однако не всякая параллель является геоде-
шической,

ОТВЕТЫ
241
867. Пусть г0 — радиус самой широкой параллели Ь эллипсои-
эллипсоида вращения, а Л/о — точка на этой параллели. Рассмотрим геоде^
зическую, проходящую через точку Мо под углом |ЛО = 0 к па^
раллели Ь. По теореме Клеро вдоль этой геодезической
р соз |л = г0;
отсюда следует, что
р = г0, соз |х = 1.
Таким образом, \х = 0 и геодезическая совпадает с параллелью Ь.
Возьмем теперь геодезическую, пересекающую параллель под
прямым углом, т. е. Aо~ я/2. По теореме Клеро р соз \х = 0; следо-
следовательно, \х = я/2 и геодезическая совпадает с меридианом.
Пусть теперь ^8 < A0< я/2. Обозначим
г0 соз цо = Со, получим, что вдоль геодези-
геодезической р соз [I = Со. Отсюда следует, что
она пересекает все параллели эллипсоида
с радиусами р < Со под ненулевым уг-
углом и далее, касаясь параллели с радиу-
радиусом р = Со, снова уходит в сторону парал-
параллели Ь (рис. 193).
868. Пусть го — радиус самой узкой
параллели Ьо однополостного гиперболоида
вращения, а М\ — точка, лежащая на па-
параллели 1/Ь отличной от 1/0.
Очевидно, что для геодезических, про-
проходящих через точку Ми постоянная С в
теореме Клеро может принимать значения
в пределах 0 < С < гь где г\ — радиус
параллели Ь\. Если С < г0, то геодезиче-
геодезическая пересекает все параллели поверхнос-»
ти под ненулевым углом.
При С ^* г0 вся геодезическая будет
располагаться в той части поверхности,
которая ограничена параллелью Ь радиуса С и содержит точку М\л
и пересекать все параллели этой части поверхности, кроме парал^
лели Ь. Если С > г0, геодезическая касается параллели Ь\ если
же С = го, то геодезическая неограниченно приближается к па-
параллели Ц делая при этом неограниченное число витков на по-
поверхности (рис. 194).
869. Пусть г0 и г\ — радиусы самой узкой и самой широкой
параллелей. Постоянная С в теореме Клеро может принимать зна*
чения в пределах 0 ^ С ^ г\. Геодезическими тора являются все
меридианы (при С = 0), самая узкая параллель (при С ==. г0) и
9 Под ред. А, С, Феденко
Рис. 193.

242
ОТВЕТЫ
самая широкая параллель (при С = г\). Если С не равно указан-
указанным значениям, геодезическая колеблется между двумя паралле-
параллелями радиуса С подобно синусоиде. Наконец, на торе существу-
существуют геодезические (при С — г0), которые навиваются на тор, не-
неограниченно приближаясь к самой узкой параллели с обеих сто-
сторон и делая неограниченное число оборотов (рис. 195).
870. Указание. Воспользуйтесь
полугеодезической системой координат.
871. Условия ортонорми^рованности
репера имеют вид
Г 1, если * -.'- /,
е.*е< ~ о.. -~ <
1 -1 и 10, если ,
Дифференцируя эти равенства и ис-
используя формулы B) § 18, получаем
е. •да • - 0
з
Л-1
Рис. 194. 0I
872. Так как М является радиус-вектором точки поверхности.
то йМ принадлежит касательной плоскости и полому является
линейной комбинацией векторове1 и е2.
Рис. 195.
873. Вектор-функция е3 определяет сферическое отображение
поверхности, поэтому с1е3(Н) = $4- (/*), где зФ — основной оператор.
Для вектора Л, имеющего главное направление, э1 (к) = кк. Если
е1 является касательным к линии крнвизпы 7^ то
со
(ех) = со] |
будет коллинсарным #Х1 т. е. со^ (ек) ~ 0 в точках линии

ОТВЕТЫ 243
874. Так как М является радиус-вектором точки поверхности,
то вектор-функция М будет тождественным преобразованием по-
поверхности и с1М (к) = /* для любого касательного вектора Л,
В частности,
с!М (ех) = со1 (ех) е1 + со2 (ек) е2 = ех,
с1М (е2) = со1 (е2) ег + со2 (е2) е2 = е2.
875. Так как векторы ег, е2 единичные, а | диг | — УЕ{ \ дсг |=
, то 1Г^ условия задачи получим д^г = }/"Ее^ дог ~ ^8^в
Далее,
со1 - ///^ + /.//г,
1 {е2) = 0.
Поэтому со1 ~ уЕЛи. Аналогично для формы со2.
876. Для 1-форм о1, со2 требуемые выражения получены в за-
даче 875. Для Щ ~ к йи -\- \к (IV из задачи 874 следует, что \х — 0.
Обозначая к ~ рх Л/Ь\ получаем со^ = рг У Е йи. Аналогично,
со^ = р2 Ус (IV.
Для формы со^ == / Аи -\- § Aо обозначим 1—Ях ~\/ Е, § = ^2 У О»
877. Рассмотрим некоторый ортонормированный репер
(Л/о, е?, е\ч е1)
с началом в точке М. Если система D) § 18 вполне интегрируема,
то существует единственное решение
М = М (и, у), <?. = е( (и, у),
удовлетворяющее начальным условиям
М (м01 V;)) = Д/
о, е. (»0| р0) = в..
Геометрически это означает существование поверхности,
с каждой точкой которой связан ортонормированный репер
(М, е1У е2, е3).
878. Пусть выполнены условия C), тогда
</о>2 - (ди {д2 УС) - ди (Ч1 У Ж))
со4?Л(Щ = —
поэтому из условий E) следует, что йиу\ =■ ^\/\т\. Аналогично
для остальных форм и для: обратного утверждения.
9*

244 ответы
881. Нормальная кривизна линии 7> заданной внутренними
уравнениями и = и($), р = р($), находится по формуле
Если у — координатная линия у = 0, то р' = 0 и Л] = рь Анало-
Аналогично для второй координатной линии.
882. Смещение точки с радиус-вектором Р = М + Яе1? принад-
принадлежащей прямой Л/ех, равно
Когда точка М смещается'по первой координатной линии м = сопз(;1
то д^М твв ~уОед, а точка Р смещается по ребру возврата, т. е. век-
вектор д1)(М-\-Ке1) коллинеарен вектору е1ч откуда
Аналогично получим 1 — Я^1 = 0.
883. Пусть Н — единичный касательный вектор кривой на по-
поверхности. Тогда
СОЗ ф
соз ф ех + 51п-ф е2 = —щ дцг
СОЗ ф 81 П ф
СОЗ2 ф 81П2ф
(Н)=
884. Выберем в касательной плоскости к поверхности в неко-
некоторой ее точке М декартову прямоугольную систему координат
(Л/, е1} е2) и координаты произвольной точки в этой системе бу-
будем обозначать х и у. Если ф — угол между первой координатной
линией и произвольным нормальным сечением, то из определения
индикатрисы Дюпена следует
СО8ф 81П ф
Тогда из формулы Эйлера
получим
Р\ СО52 ф + ?2 81П2 ф
Р2У2

ОТВЕТЫ 245
885. Указание. Формула следует из первых трех уравнений
системы E) § 18.
886. При смещении по асимптотической линии
е3с12М = рхЕ <1и* + р2О йи = 0.
Поэтому из уравнений B) и C) § 18 и формулы К = р\р2 следует
К а А2 + йе\ = о,
откуда
Так как вдоль асимптотической линии вектор бинормали Ь совпа-
совпадает с вектором е3, то
Следовательно, К + у-2 = 0.
887. Указанные выражения получаются из формул B) и C)
§ 18 и
^ Из задачи 878 имеем с^со^= со^ Д со|, а по формулам
C) § 18
(/0J = — Рхр2 УШ (Ли Л йи, со1 Д 0J = |/^ ^ д ^
откуда
| = — /со1 Д ОJ.
889. Рассмотрим на поверхности векторы а = ааеа, Ь = Ьа^а
При их параллельном перенесении по поверхности имеем
аа
Так как е3 » еа= 0, то а? (а • 6) = 0, и, следовательно, скаляр-
скалярное произведение векторов при их параллельном перенесении со-
сохраняется. А поэтому сохраняются также длины векторов и углы
между ними.
891. Дифференцируя соотношение § • е2 = соз ф, находим
•— 81П <р с?ф = о?§ • ех + § • йе1 = аасо^е3 • е1
Если вместо вектора | брать другие параллельно переносимые
вдоль данной линяй векторы, то углы ф, образуемые ими о век-

246 ответы
тором |, будут отличаться друг от друга на постоянную величину,
так как углы между векторами при их параллельном перенесении
сохраняются. Следовательно, е?ф при любом выборе параллельно
переносимого вектора будет иметь одно и то же значение. Выби-
Выбирая в качестве вектора | вектор е2, получаем
2 \ У О
892. Из формулы F) § 18 имеем
Аф = & - (дх У'Е им + д2
по формуле
используя "E) § 18, найдем
Л Л К Л/ЕС йи (IV
Так как
К = Р1Р21 йо = У ЕС йи
до
Дф = Г Г
в
В
йА
893. Пусть -г- — единичный вектор касательной к контуру Ь
в точке А; 8 — длина дуги линии Ь\ а — единичный вектор на по-
поверхности, параллельно обносимый по контуру Ь. В этом случае
соз ф = а • -г-, йа = аасо^вч.
Отсюда
~-81П
Пусть в некоторой точке Л о контура Ь
Тогда

ОТВЕТЫ 247
или
. После полного обхода точки Л по границе Ь из начального по-
ложения л0 вектор — повернется на угол 2л; угол поворота
ал
вектора а относительно вектора
ь
Следовательно,
Лф + Л*ф = 2л.
896. Из формулы
Г Г К с!о + ( к& Лз =г 2л
4 в I.
при кё = 0 следует
К Aо — 2л,
Г Г
А это равенство не может иметь места, если во всех точках
поверхности К ^ 0.
897. На плоскости хОу — внутренняя область эллипса
2х2 + Зу2 - 2.гу- ~ Ах + 18.у — 16 = 0, 2 = 0;
на плоскости уОг ~~ внутренняя область эллипса
Бу2 + 8г2 + 32у - 322 — 4 = 0, х = 0;
на плоскости-хОг — внутренняя ооласть эллипса
23.Г2 + 54г2 + 18дг -~21Г« - 324 = 0, г/ == 0.
900. Покажем, что каждая из рассматриваемых асимптотиче-
асимптотических линий I — прямая. Положим противное. Нормали к поверх-
поверхности вдоль линии I параллельны фиксированной плоскости, по-
г
этому те = 0, где е — постоянный вектор. Так как на асимптоти-
асимптотической линии вектор бинормали Ъ = ± т, то&-#=0. Дифферен-
Дифференцируя это равенство, получаем
хпе = 0.
Но х ф 0, ибо в противном случае Ъ ~т— постоянный вектор
и сферическим изображением асимптотической линии будет точ-
точка. Итак,
Ъ»е = п>е ==0;

248 ответы
следовательно, I = ± е, откуда
си
, ^ = кп = о и Л = О
вопреки предположению. Итак, поверхность 5 — линейчатая. Она
не может быть развертывающейся, так как в этом случае сфери-
сферическим изображением асимптотической линии является точка.
901. Если записать уравнения поверхности вращения в виде
X = ф(ы) СО8 У, у = ф(ы) 81П У, 2 = И,
то обращение в нуль средней кривизны дает
Произведем измену переменных, взяз за новую функцию
дф
р в"й^ и за новую независимую переменную <р. Тогда
A п
0
откуда
Переходя к прежним переменным, получаем
= в, /'(и) =а/
Интегрируя это уравнение, получаем
Следовательно,
г-\- Ъ у 2-4- Ъ
а ' х ° а
Это неявное уравнение прямого геликоида
х = и сов и, у — и 8т V, ж = аи — Ъ.
904. Коэффициенты первой и второй квадратичных форм по-
поверхностей 5и5* связаны соотношениями
2й(<7# —
2а(я#-
С* = A - <Л
М* = аКР+ {1 — 2аН)М,

ответы 249
Отсюда получаем искомые выражения:
К Н
Л —
905. Подставляя а ~ 1/2// в формулу
К
2аН-\-а*К'
К* =
1 ~2аН -таЧС
получаем
К* = 4Я2 = сопз1.
906. Пусть на поверхности 5 координатные линии совпадают с
линиями кривизны. Используя основной оператор, получаем
*
ги = A - ак,) ги, гу = A - а/г2) гр.
Следовательно, коэффициенты первых квадратичных форм по-,
верхностей 5 и 5* связаны соотношениями
Отсюда
и
907. Пусть л — минимальная поверхность, а 5* — параллельная
ей поверхность, причем расстояние между ними по нормали рав-
равно а. Как следует из задачи 906, соответствующие элементы,пло-
элементы,площадей поверхностей 5* и 5 связаны соотношением
где К — Полная кривизна поверхности 5. Следовательно,
Так как на минимальной поверхности К ^ 0, то
Г Г До* < Г Г йо.
I) I)
910. Для того чтобы прятые имели огибающую (т. е. образо
вали развертывающуюся поверхность), нужно положить
р = с ± -х, с = сопз1.
Фигура, состоящая из ребер возврата, определяется уравне
нием
-у)* ~

250Г ОТВЕТЫ
Уравнения ребер возврата:
Линия пересечения с плоскостью хОу:
Цх-с)* - V = 0.
911. Примем ось цилиндра за ось Ог, а ось Ох расположим в
секущей плоскости. Тогда уравнения цилиндра будут иметь вид
X = а СО5 *, у = а 81П ^, 2 = И,
а уравнение секущей плоскости.—
ъ = 4 г/.
Разрежем цилиндр по образующей, пересекающей ось Ох, и
наложим его на плоскость хОг. Так как после наложения роль абс-
абсциссы будет играть длина дуги перпендикулярного сечения ци-
цилиндра 5 = аЬ, то уравнение искомой линии будет
2 = аЛ 8111 (в/п)
— синусоида.
912. Пусть плоскость б, проходящая через прямую й, пересе-
пересекает сферу по окружности Ч- Рассмотрим круговой конус, касаю-
касающийся сферы вдоль 7- Его образующие касаются ортогональных
траекторий окружности. Но вершины всех таких конусов лежат
на прямой й', полярной ,й. Следовательно,, ортогональными траек-
траекториями будут окружности, образованные пересечением сферы с
пучком плоскостей, проходящих через й''.
913. Общее уравнение движения точки по поверхности имеет
вид
где Р — внешняя сила, Н — нормальная реакция поверхности, )л —»
коэффициент трения, г — единичный вектор касательной к траекто-
траектории и т — единичный вектор нормали к поверхности. Так как
с1з>
то при Р =■ 0 уравнение движения примет вид
Умножая его скалярно на ^хш, получаем
йг с12г
т. е, точка движется по геодезической линии (см. задачу 843)«

914.
а точка
915.
916.
917.
X =
М(х,
(
2г (,
2{Х
-■ Р>
У,
Х2-\
2 +
*)
1~ У
\~ У
У2
ОТВЕТЫ
V = РУФ, 2 = РгФ, где
* х ~ # у ' 7 г
удовлетворяет уравнению
1 / «V
+ 22) + йхг/ = 0.
251
919. Поверхность развертывающаяся.
920. Только у развертывающихся.
922. Примем одно из заданных семейств геодезических за ко-
координатные л-инии и полугеодезической системы координат. Тогда
Если ф — угол между координатными линиями и и геодезическими
линиями второго семейства, то
с(и
СО8 ф — г
У У аи2 + О с1и2
Из условия постоянства угла ф получим
-г — а у 6, где а = сопэ!;.
Подставляя это в дифференциальное уравнение геодезических
линий, получаем Си = 0; следовательно, О — С (и) и первая квад-
квадратичная форма приводится к виду
из2 = их2 + йу2.
Обратно, пусть 5 — развертывающаяся поверхность. Так как
она наложима на плоскость, а при наложении геодезические линии
переходят в геодезические и углы между линиями сохраняются,
то достаточно отметить, что на плоскости указанные семейства гео-
геодезических существуют.
923. Образующая конической поверхности, на которой нахо-
находится точка геодезической линии, лежит в спрямляющей плоскости
этой линии. Поэтому перпендикуляр, опущенный из вершины ко-
конуса на соприкасающуюся плоскость, пересекает касательную.
Длина его
д, = р 8Ш а,
где р — отрезок образующей, а — угол между последней и каса-
касательной, При наложении конической поверхности на плоскость

252 ответы
геодезическая линия превращается в прямую, и расстояние й
вдоль нее постоянно. Но величины р и а имеют то же самое зна-
значение, что и на конусе, поэтому и на конусе р 5т а = й также по-
постоянно.
Чтобы доказать обратную теорему, достаточно установить, что
линии о указанным свойством при наложении конуса на плоскость
превращаются в прямые.
924 Возьмем на поверхности полутеодезическую систему ко-
координат. Тогда
На линии и = О имеем У#[и_0 = 1. Из уравнения геодезических
=0. В полугеодезической си-
линий получим, кроме того,-
ди
стеме координат
[Г —. *■
ус
(см. задачу 749).
1) Если К = 0, то
и решением этого уравнения, удовлетворяющим указанным выше
начальным условиям, будет \О = 1. Поэтому для всех поверхно-
поверхностей нулевой полной кривизны первая квадратичная форма при-
приводится к виду
и, следовательно, все они наложимы друг на друга,
2) Если К = ^ (а =* соп$1), то
*\/Сг = соз (и/а) и й$2 = Ли2 + соз2 (и/а)
Ъ) Если К «* — 1/а* (а « сопз!), то
из2 « йи2 + сЪ2(и/а
933. Касательная плоскость к поверхности 5 в точке М ямеет
своими направляющими векторами векторы дцг и д^г, где (#, г)—
параметризация 8. Для аффинного преобразования зФ A7, зФ<г)
является параметризацией поверхности зФ(8) ~ 5', 'а направляю-
щща векторами касательной плоскости поверхности 8' в

ответы 253
^Ф(М)~ М' будут векторы д^^ог) и до(зфсг). Но ди
^ ^ (^иг)' ^о 1«^сГ) = ^ (^0* Поэтому под действием $4< каса-
касательная плоскость к 5 переходит в касательную плоскость к 8'.
939. Аффинное.
940. Метрическое, так как, например, окружность с помощью
аффинного преобразования можно перевести в эллипс.
941 —946. Метрическое.
947 — 948. Аффинные. 949 - 952. Метрические.
953. Аффинное.
954. Метрическое, так как, например, при аффинном преоб-
преобразовании
х — х, у = у, г = кз
катеноида
х = а сЬ (и/я)соз V, у = а с\\ (и 'а) зт V, г = н
одно из главных нормальных сечений (окружность в плоскости
огОу) не меняет своей кривизны, а второе сечение (меридиан ка-
катеноида) — меняет. В результате средняя кривизна изменится.
955. Аффинное, так как типы точек различаются количеством
асимптотических направлений в данной точке поверхности.
956. Метрическое.
957. Аффинное.
958. Воспользуемся аффинным хорактером задачи. Переведем
данный оллипс в окружность
х'' + ,/ = 1
аффинным преобразованием
х =7Г>- у =Т2/'<
Тогда сопряженные диаметры перейдут во взаимно перпенди-
перпендикулярные диаметры окружности, а окружность
х>* + >* = 1/2
будет огибающей образов хорд эллипса. Поэтому искомой огибаю-
огибающей будет эллипс
(рис. 196).
959. Воспользуемся аффинным характером задачи. Переведем
данный эллипс в окружность

254
ОТВЕТЫ
аффинным преобразованием
х' = х/а, у' = у/Ъ
и воспользуемся известной формулой 5' = 5А, где Д — определи-
определитель аффинного преобразования. В нашем случае Д = 1/аЬ иУ =
= 8/аЬ. Огибающей образов данных прямых будет окружность
радиуса Н' = соз 8'. т. е.
х + у = К' ,
Следовательно, искомое урав-
уравнение будет
Х1.^
а2 * Ь'2
аЬ'
Рис. 106.
Это эллипс, подобный данно-
данному, с коэффициентами подобия
сов {8/аЬ).
960. Примем заданные пря-
прямые за оси аффинной системы ко-
координат, а за масштабные векто-
векторы па них — векторы единичной
длины (рис. 197). Возьмем пря-
прямую АВ семейства, перпендику-
перпендикулярную одной из биссектрис координатных углов. Рассмотрим ги-
гиперболу, имеющую асимптотами координатные оси и касающуюся
прямой АВ в точке М(а, а). Ее уравнение имеет вид ху = с\
Выразим с через 6":
ОЛ = ОВ = 2а, 8 = 2«2зш 2а.
Так как точка М принадлежит гиперболе, то а2 = с и мы получим
8
с ~
2 зш 2а'
Следовательно, уравнение гиперболы будет
ху
2 з1п 2а*
(*)
Совершим теперь гиперболический поворот, переводящий ги-
гиперболу (*) в себя, а точку М — в какую-либо точку М. Как из-
известно, при этом хорда АВ перейдет в касательную к гиперболе
в точке М, отсекающую от координатного угла треугольник той же
площади 5, т. е. в произвольную.прямую заданного семейства.
Таким образом, гипербола -(*) является огибающей семейства
прямых, отсекающих треугольники площади 5 от первого и третье-

ОТВЕТЫ
255
го координатных углов. Аналогично, сопряженная гипербола
ху в "~ 2 зш 2а
является огибающей семейства прямых, отсекающих треугольники
площади 5 от второго и четвертого координатных углов,
Рис. 197,.
961. Рассмотрим прямую Ш семейства, перпендикулярную оси
Оу и пересекающую ее в точке М (О, Ь). Выразим Ь через 5:
= 2 Г ахЧхх
Откуда
2 \1/3 .
Построим параболу, получающуюся из данной сдвигом на Ъ вдоль
оси Оу (рис. 198). Ее уравнение:
у
? -}-
/*\
Совершим теперь параболический поворот, переводящий пара-
параболу (*) в себя, а точку М — в какую-либо точку Л/. При этом па-
парабола у = ах2 также перейдет в себя, а хорда Ь№ —- в касатель-
касательную к параболе (*) в точке М, т. е. в произвольную прямую за-
заданного семейства. Таким образом, парабола (#) является искомой
огибающей,

256
ОТВЕТЫ
962. Пусть
— уравнение косой линейчатой поверхности. Ее вторая квадратич-
квадратичная форма имеет вид
ф2 = I Ли2 + 1М йи йи%
где
V2 {е'ее") + V (е' ег" + г'ее") + г'ег"
У Ев
М
г'ее'
Из условия
+ 2М
= О
найдема что асимптотическое направление, отличное от направле-
направления прямолинейной образующей, ха-
характеризуется вектором
и
Р„ + Р
V
= г
- ±- е
±-
(М ф 0 по условию задачи).
Уравнение поверхности, образо-
образованной касательными к асимптоти-
асимптотическим линиям вдоль образующей,
соответствующей и — и0, имеет вид
х
2Л/
о
Рис. 198.
(*)
Выберем аффинную систему координат с началом в точке Ло, с ра-
радиус-вектором г0 н с масштабными векторами координатных осей
го> ^01 ео- Введем обозначения:
(а, Ь, с — постоянные). Тогда уравнения поверхности (*) можно
ваписать в виде
хх = ш,
IV
V —
4" с),

ОТВЕТЫ
257
Отсюда
± 2 А
*1*2 - *з — 2 *з ~~ 2
Преобразуя координаты ио формулам
— с Ъ
-х2
2 1"
получим
а
Если а =5^= 0, получим однополостный гиперболоид; если а = 0 —
гиперболический параболоид (условие а = 0 означает, что исход-
исходная поверхность состоит из прямых, параллельных некоторой
плоскости).
963. х2 + у2 — С — концентрические окружности и точка
О@, 0).
964. х2 — у2 — С — соасимптотическпе равносторонние гипербо-
гиперболы и их асимптоты (рис. 199).
Рис. 199.
905. у = Сх2 — параболы п прямая у = 0.
966. <?Сх2 + у2) = 2# — окружности и прямая (рис. 200).
967. Ся2 = 2# — г/ + 1 — параболы с осями, параллельными оси
Оу, проходящие через точку @, 1) и касающиеся в этой точке
прямой 2х — у + 1 =0,и сама эта прямая (рис. 201).

Рио, 200.
Рис. 201.
Рио. 202,

ответы 259
968. х + у-+2 — С — параллельные плоскости.
969. х2 + у2 -\-г2 = С2 — концентрические сферы.
970. х2 + у2 — 22 = С — однополостные и двуполостные гипер-
гиперболоиды с общим асимптотическим конусом и сам этот конус
(рис. 202).
971. - АСЦх2 + у2) + 4B56 - С2) г2 = <?*B56 - С2) (С > 0).
При С = О получается плоскость хОу, при 0 < С < 16 — двуполо-
двуполостные гиперболоидБГ вращения с осью вращения Ог (рис. 203), при
С = 16 — ось Ог, при С > 16 — эллипсоиды вращения с осью вра-
вращения Ог (рис. 201).
972. 1.
973. 5.
974. (О, 0), (I. 1).
975. #G, 2, 1).
976. Bх — у — г) I - {- D*/ + г - #) у + F* - # +
977. 3 (#2 — аУ1) I -у 3 (.V2 — ахз) / + 3 (г2 — ауж) Л.
978. ех+У+2 [уз (д? -г 1) * + м (// + 1) ; + ху (г + 1) к\.
1 1 1
980. 9* - 3/.
981. |^гай и\ = 6; соз а = §/3, со? ^ = — 2/3, со§
982. §гас! « (О) =г 3* — 2/ — 6А', | $гаA м (О) | = 7,
сова = 3/7, совР =- —2/7, сой у = —6/7;*
81§ас1 и (А) = 7/, | §таA м (А) | = 7,
соя а = 1, соз Р -- 0, сой ^= 0;
с точке ^(—2, 1, 1).
983. соз ф == 3//10.
984. соз ф = -- 8/2023.
985. я/2. 986. Возрастает; 12.
987. Л/1 D/5, -1/4), Л/2(—4/5, 9/4).
988. 2м/г, где г = ТА2 + 2/2 + *1\ если а = Ъ = с.
ста аI I ' вС Л И ?Г а "
997. Так как г =* V»'*? Н~ У2 *г ^2, то
г 5г дг х у % г
-^ И- ^-У -г х * = - г 4 у У + Т* - 7
'
998. 1'{г)г1г. 999. пгп~2г. 1000.. - г/г*,

О
СМ
•
о
о
о

ОТВЕТЫ 261
1001. г/г3. 1002. Пусть с = сх/ + с2/ + с3к. Тогда и
* дм. дм- дм
« с- г = схх + С2У + сз2> откуда -^ = сх, -^- = с2, -^- =* с3.
Поэтому %тад. и = &гас1 (с-г) = сх1 + с2/ + с3к =
а(Ьг) — Ь(аг)
1003.
1004.
1008. Пусть е . в , е — орты подвижного репера. Векторы
е , е лежат в плоскости, касательной к координатной поверхно-
сти и? = сопб!; поэтому вектор е^ ортогонален этой плоскости и,
следовательно, ортогонален к координатной поверхности ю = сопз!;.
Поэтому этот вектор коллинеарен градиенту скаляра ю, т. е.
где ^з — некоторый множитель. Рассмотрим линию и = ы($), V
зав у E), ю = ш(§). Дифференцируя радиус-вектор
Г= Г [Ц (в), У E), Ш{*)]
ее произвольной точки, получаем
йг йи
Ги
Умножим это равенство скалярно на #гас! ю\
—1— = —т—г -дгаа ш.
аз а$ ю & ?
откуда г^-^гао1 м; = 1. Заметив, что ги) — \ги)\еш* и умножив ра-
равенство (*) скалярно на г^, получим I г^. | = &3. Из того же ра-
равенства (*) находим 1 = Л3|§гай ш\. Применив аналогичные рас-
рассуждения к координатным поверхностям и = сопзЪ иг?» сопз*,
получим в итоге
кг ди к2 ди кд дш
2
где
5гг 1 ди ди
1009. §гаа^-5Г0г + — — * +
1010. срег+вф + в2. ЮН.
2С03 ф
1012. е + —

262 ответы
2 81П ф
1013. 2гет — —— еф + соз
2 81П 2ф
1014. ЪЧ +^
5 , 1 ,1
1015. Н + +
Ю16. +
1018. 6 + +
фсозб ,1
1019. ер+ е +
СО8ф 6
1020. в + в_
1021. »? + уа = G^ 2 = С2. 1022. у = С&, х =
1023. у — х = С\ху, х — г = С2х2,.
1024. а2 - у2 = Си ъ '== G2ж2.
1025. х = ^г/, а? = С2г. 1026. ^ + 3 + 2г.
1027. 12л:?/2 + 4ж3 - 6л:2. 1033. 3.
1034. <Ну (/ (г) г) = / (г) (Ну г + г-^гай / (г). Так как (Ну г
3, егаа / (г) = /' (г) -~, то
1035. 2/г. 1036.
1037. Й1 у (егай / (г)) = Й1 у (СМ. А = /Л (
Г (г)
г2
г г г
Г I \ ) г
5ы дЧ д2и
1038. Ли = +
1039. и Аи + (§гаA иJч 1040. и Аи + &гас! и
1041. ~^-. 1042. 2с г. 1043. /' (г) ^-.
1044. 0. 1045. ссх. 1046. 4^-^. 1047. 1.
1048. 2. 1049. -

ОТВЕТЫ
263
1050.
т (8гаA / (г)) = /" Н + ~Г (г) = 0.
с*
Общее решение этого уравнения есть / (г) = сх
I
г 2 2
1051. Так как (Ну — = — и (Ну (дгай/(г)) =/* (г)+—/'(г),
2 сх
то по условию 2г{" (г) +4/' (г) =—, откуда / (г) = 1п г + — + с2.
1052.
ди
где аи, лг, аи, — проекции вектора а на касательные к соответст-
соответствующим координатным линиям,
+
ди
дн \2
-д7) %
дш
дк
2
Величины Ь, Л/, N называются коэффициентами Ламэ.
д да„ да
1053.
(Гпг)
д(р
1
81
1054. Й1Уа =
Р2 51П в
А II^\^ / 1У*2) О у*п\ 1 . I 1л»
\\}%}К1« ^*С — &А/4>] Щг у" С с/
1056. I + (ж/у — 2я) у + B — хг) к.
1060. о. 1061. о. 1062. -2с.
10 в) + Р ^ (вв 81П в) +Р ^
1063. с X г.
1064, 1065. с, х с. 1066. о. 1067. Ц^- (г х с).
1073. Для вычисления потока воспользуемся формулой Остро
градского П = I | апс!о — I I I сИу а 4ш. Так как (Ну а=г/2+х
5 V
1, то
П = Г Г \ (х2 + т/2 + 1) ах ау с!г =
V

264 ОТВЕТЫ
Перейдем к полярным координатам:
П = Г Г (г2 + 1) D — г2) г а г 4ф =
V
зт/2 2
«= Г о?ф (* (— г5 + Зг3 + 4г) с/г = 1^1
*) л з
0 0
1074. сПу а = 3 (х2 + у2 + я2)- По формуле Остроградского
П = | '[ [3(о:2+г/2 + 22)^-3-8 | Ли* + у» + 5«
где \\ — объем части шара, заключенной в первом октанте Перей-
Перейдем к сферическим координатам:
X = р СО5 ф 81П 9, У = р 5Ш ф 51П 9, 2 = р СО5 9,
= р2 зт 6 йр с^ф сШ, л:2 + г/2 + 22 = р2,
п==241
Н «/2 я/2
Г Г Л Г
= 24 рЧр зт 0с/в.
^ ^ .'
0 0 0
1075. 4яд. 1076, 0 1077. 10/3.
1078. а) -^л
3
б) "Т7Г Ял'Я ( п^
1080. На окружности и = Н* сой3 * г ~- Я3 зтя
1
-/? 51П ^ о?/1 г Я соз ? «^ /> Следовател^^но, а>аг~ —-^- /У4 зт 2/ ^/.
При движении по дуге окружности Ь в направлении, противопо-
противоположном вращению часовой стрелки, параметр I изменяется в пре-
пределах от 0 до я/2. Поэтому линейный пптеграл вдоль Ь будет равен
я/2
А- К* 8ш 2иП = - -1- /?4,
о
1081. 2л2Ь2.
1082. Линия Ь состоит из двух отрезков ВО (на оси Оу), О А
(на оси Ох) и дуги АВ астроиды. Обход по Ь нужно совершать
против часовой стрелки. Поэтому циркуляция вектора будет равна
АВ ВО ОА

ответы 265
Вычислим каждый из интегралов правой части отдельно. На астро-
астроиде
а = Я 51п3 Н—В соз3 г /\
6.Г = — ЗЯ СО52 I 51П * С?* 1-\- ЗН 51П2 *СО5 * йг /.
Поэтому а ^г = — _К2 8ш22Ы*. При движении по дуге
4
в направлении от А к 5 параметр * изменяется в пределах от 0 до
я/2. Будем иметь
л/2
Г а^г = - А Я2 Г 51П2 21 йг = - А ллз.
лв о
На отрезке 0.4 а=—х/, йг—йхг и а-йг—О. Поэтому | а«й?г = 0.
Аналогично \ а-о?г = О. Следовательно, искомая циркуляция рав-
БО
на — */]блВ2.
1083. 0. 1084. — л&2. 1085. а) 2л; б) 2л.
1086. — яЛ6У8. 1087. Не имеет.
1088. го1 а—о, поэтому поле а потенциальное, и его потенци-
потенциал и определяется из уравнения
йи = (у + г) их + (я + г) с?г/ + (ж +г/) <й.
Это уравнение равносильно спстеме уравнений в частных произ-
производных
ди
ди
щ
ди
Из первого уравнения системы следует, что и — (у + г)х +
Подставляя во второе уравнение, получаем дер (у, ъ)\ду = 2, от-
откуда <р(у, г) = гу + г|)(г). Подставляя м = ху + ^^ + *у + ^(г)
в третье уравнение, получим г|/(г) = 0, т. е. ${г) = С « соп51.
Таким образом, и — ху + уъ + гх -\- С%
1089. и == л;г/2(л; + у +
1090. Да,

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ1)
Асимптота кривой (линии) 37
Астроида 77, 810, И6, 139, 172,
174, 3020, 335, 351, 394, 400
Базис канонический &
— на поверхнбсти подвижный
19
— положительный 10
( 1» 2' >0
Базисы эквивалентные 10
Биекция 7
Бинормаль 56, 609, 944
Бицилиндриьа 421
Вектор 8
— бинормали единичный 57
— главной нормали единичный
57
— Дарбу 477, 852
— касательной единичный 57
к поверхности 19
— касательный к К3 12
— кривизны 18, 374
— собственный 90
Вектор-функция 12
гладкая 16
дважды .дифференцируе-
.дифференцируемая 16
дифференцируемая 15
класса С\ Ск, С°° 16
непрерывная в точке 13
непрерывно Дифференци-
Дифференцируемая 16
т скалярных переменных
13
Векторы рапера Френе 56
Вершина кривой 50
Вихрь 125
Внутренность множества 9
Геликоид косой 557, 671, 673, 801
— общего вида 556, 561
— прямой 557, 5580, 5590, 565, 580,
607, 650, 675, 678, 682, 683, 687,
690, 691, 714, 727, 733, 734, 756,
794, 857, 863, 902, 927
Гипербола 38, 92, 101, 119, 124,
140, 3000, 349, 356, 384
— равнобочная 101, 370
Гиперболоид вращения двупо-
лостныи 643, 705, 720, 7460
однополостный 608, 642,
704, 719, 7460, 868
—* двуполостный 590, 732, 769,
786"
— однополостный 580, 552, 768,
810
Гипоциклоида 81, 331
Гладкость вектор-функцпи 14,
29
Гомеоморфизм 13
Градиегт скалярного тюля 54,
121, 990-1020, 1031, 1032,
1037—1040, 1050, 1051, 1058,
1068, 1070, 1071
Граница множества 10
Движепие 117
Двуугольник сферический 693
Дивергенция 125. 1028—1054,
1059, 1069-1071
*) В предметном указателе цифрами светлого шрифта обозна-
обозначены номера страниц, цифрами жирного шрифта — помера задач.
Индекс «0» означает ссылку на ответ к соответствующей задаче.
В обоих случаях полезно смотреть как условия указанных задач,
так и ответы к ним,

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
267
Дискриминанта 44, 79
Диффеоморфизм класса Ск 16
Дифференциал 14
— вектор-функции второй 16
( I5
(, )
— внешний 1-формы 108
— отображения 21
Дифференцирование вектор-
функции 15—26, 31
— по параметру 52
Длина дуги кривой 47, 82, 474,
475
I линии 57, 3300, 3310, 3330,
3360
на поверхности 82
— касательной 160, 166
— нормали 160, 165
— подкасательной 160, 164
— поднормали 160, 163
— полярной касательной 168
нормали 168, 171
подкасательпой 168, 169
поднормали 168, 170
Жезл 277
Задание кривой (линии) неяв-
■ ное 27
явное 27
— пути (линии) внутреннее 19
Замена параметра 17
— параметризации 19
Замыкапие множества 9
Значение собственное 90
Изометрия 83
Индикатриса Дюпепа 92, 740,
815, 884
— линии сферическая 442
Интеграл векторного поля ли-
линейный 126, 1080, 1081
Интервал ]а, Р[ 14
Инъекция 7
Исследование кривых (линий) 39
Кардиода 74, 800, 1090, 151, 152,
159, 209, 333, 353, 360, 392, 402,
407
Касание 31
<— кривой с поверхностью 74,
612-616
— линий 32, 175-182, 374-377.
517-519, 524
Касание линий к-то порядка
32 •
Касательная 31
— к кривой (линии) 18, 31, 56,
150, 444, 932
пути 18 '
Катеноид 530, 648, 697, 698, 710,
725, 730, 7460, 807, 901
-Композиция отображений 8
Коноид прямой 559—561
Конус 630, 775
— круговой 646, 709, 723, 737,
7460
Конхоида Никомеда 76, 198, 206
Координаты изотермические 660,
748
— криволинейные 19
— полугеодезпческие 749
— сферические 4750, 1015
— цилиндрические 4740, 1009
Коэффициенты второй квадра-
квадратичной (фундаментальной)
формы 90
-~ Ламэ 10520
— первой квадратичной (фунда-
(фундаментальной) формы 82
Кривая 5, 17, 22
— бирегулярная 17
— Вивианп 419, 441
— ориентированная 17
— параметризованная 16, 17
— плоская 17, 21
— простая 17
— регулярная 17
— уникурсальная 105
Кривизна 18, 62
— вторая 62
— гауссова 92
— геодезическая 104, 854—859,
887
интегральная 892—894
— кривой 18, 47, 61, 62, 354, 358,
359, 479, 481, 940
нормальная 91, 741
главная 91, 881
— области интегральная 892—
894
— первая 62
— поверхности в данном на-
направлении нормальная 91
« гауссова (полная) 92, 743,
748-750, 752-754, 757, 758,
885, 896, 924-926, 951, 953

268
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кривизна поверхности главная
нормальная 92
средняя 92, 741, 757, 758,
814, 815, 905, 906, 952, 954
Круг кривизны 47, 378, 379
Кручение геодезическое 104,
860-862
— кривой 62, 480, 942
Лемниската^Бернулли 680, 156,
173, 208, 366
Линии координатные 19
— силовые 125
Линия 5, 16, 22
— асимптотическая 99, 802, 803,
805, 813-815, 817, 818, 849,
859, 862, 886, 900, 948, 962
— Бертрана 505-508, 513
— винтовая 54,-417, 442, 454, 461,
466, 468, 469, 484, 511-513, 520,
526, 1081
коническая 420, 431, 485
обобщенная 497—501, 510
— геодезическая 103, 840—843,
849, 850, 853, 866, 870, 890, 895,
913, 921, 922, 950
— горловая 73, 607—610
—изохронная 416
— класса Ск 17
— координатная 19
— кривизны 101, 819, 828, 830,
836-839, 850, 861, 873, 949
— на поверхности гладкая 19
— плоская 18, 27, 450, 480, 502,
503, 939
V — поля векторная 125
— с особыми точками 39
— сферическая 443, 525
— тока 125
— уникурсальная 105—110
— уровня 120, 158
— цепная 900, 319, 3380, 339—341,
343, 345, 365, 3910, 398, 4100, 4150
— элементарная 17
Лист Декарта 1070, 223
Локон Аньези 70, 188
Локсодрома 663, 664
Матрица линейного отображе-
отображения 10
*~ Якоби 15
Многообразие двумерное 18
*- одномерное Д7
Множество замкнутое 9
— открытое 9
— связное 9
Наложимость поверхностей 83
Направление асимптотическое
98, 815, 947
— главное на поверхности 90
Направления сопряженные 98,
947
Направляющая линейчатой по-
поверхности 73
Начало координат 8
Непрерывность вектор-функции
13, 7-13
Нормаль 31
— главная 56
— к линии 31, 943
: : поверхности 20, 72, '599—
601
Область 9
— замкнутая 9
Образ кривой 17
— множества 7
— отображения 7
— пути 17
— элемента 7
Образующая линейчатой поверх-
поверхности 73
Овалы Кассини 68, 122
Огибающая семейства линий 44,
312, 934
поверхностей 79, 934
Окрестность точки 9
е-окрестность точки 9
Окружность 89, 91, 95, 102, 142,
155, 1710, 342, 382, 397, 4080
— соприкасающаяся 18, 47, 375,
519
Оператор Гамильтона 121
— Лапласа 128
— поверхности основной 89
Ориентация поверхгости 20
непрерывная 20
— пространства 10
отрицательная 10
положительная 10
Отображение 7
р— гладкое 21
■ — конформное 83
*— линейное 10
•— множества X в множество У 7

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
269
Отображение множества X на
множество У 7
— обратное 7
— поверхностей изометрические
(пзометрня) 83, 694-698, 700,
911, 918-921, 924-927
конформное 83, 699, 700
сферическое 89, 701—715,
818, 838, 839, 900, 908
— — эквиареалыюе 700
— поверхности в пространство
21
< гауссово 89
гладкое 21
— производное 21 .
Отрезок [а, |5] 14
Парабола 36, 100, 125, 346, 361,
376, 385, 399, 412
— безопасности 315
Параболоид вращения 644, 6600,
721, 7460, 783
— гиперболический 532, 566,
661, 676, 680, 771
*— эллиптический 53, 570, 566,
703, 736, 740, 751, 770, 784, 797,
. 826
Параметр натуральный 17, 57
Параметризация кривой 17
натуральная 17
*— линии 17
— поверхности 19
•— согласованная с ориентацией
20
Плоскость 549-551, 728, 729, 791,
816, 844, 901
•— касательная к поверхности
20, 74, 568, 588, 933
— направляющая 606
— нормальная 56, 443, 444, 502,
945
— соприкасающаяся 18, 56, 449,
450, 503, 527, 615, 938
— спрямляющая 56
Площадь замкнутой области на
поверхности 83
Поверхности наложимые 83
— параллельные друг другу 592
Поверхность 5, 18, 22
— вращения 528, 600, 601, 639,
656, 663, 698, 699, 716Т 745, 7460,
760, 780, 806, 822, 846, 847, 866,
901
Поверхность касательных к ли-
линии 554, 593, 604, 605, 652, 667,
696, 731
виптовой 555, 570
— Каталапа 606
— класса Ск 18
— коническая 541, 548, 584, 604,
666, 695, 821, 923
— линейчатая 73, 602, 882, 935
косая 73, 611, 830, 900, 937,
962
— Лиувилля 698, 865
— минимальная 814, 901—903,
907, 954
— ориентированная 20
— параллельная 592, 603, 817,
833, 834, 904, 905, 907
— переноса 563-566, 591, 796
— развертывающаяся 73, 602—
605, 634, 635, 715, 743, 800, 817,
824, 851, 852, 918, 9190, 9200,
922 963
— трубчатая 562, 589, 627
— уровня 120, 1093—1096
— цилиндрическая 533, 535, 538,
604, 694, 820, 845
— элементарная 19
Подэра поверхности 914—917
Поле векторное 12, 20, 121
— — базисное 20
на поверхности 20
гладкое 21
непрерывное 20
нормальное вдоль кривой
110
параллельное вдоль кривой
на поверхности 110
потенциальное 127, 1087—
1089
соленоид ал ьное 127, 1090
— скалярное 120
плоское 120
Построение кривой (линии") 37
Потенциал векторного поля 127
Поток векторного поля 126,
1072—1078
Предел вектор-функции 13, 2—6
Преобразование аффинное 117
Принадлежность функции клас-
классу Ск 14
Произведение векторов скаляр-
скалярное 9
■и» прямое (декартово) 8

270
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Произведение форм внешнее 12
—1-форм внешнее 107
Производная вектор-функции
13, 15, 16-26, 30-35
к-то порядка 14
— векторного поля вдоль кри-
кривой 109,
ковариантная 109
— отображения 21
— скалярного поля по направ-
направлению 121, 972, 973, 988, 989
Пространство векторное дейст-
действительное гс-мерное 8
• касательное 12
— касательное к поверхности 19
.— п-мерное евклидово (Кп) 8, 9
— точечное аффинное 8
Профиль геликоида 556
Прямая 96, 97, 4080, 479
Псевдосфера 531, 579, 649, 659,
660, 688, 711, 726, 7460, 804, 864,
926
Пути эквивалентные 17
Путь бирегулярный 17
— класса Ск 16
— на поверхности гладкий 19
— простой 16
— регулярный 16
Работа векторного поля 126
Радиус-вектор центра соприка-
соприкасающейся сферы 521
Радиус кривизны кривой 47, 375,
378, 379
— соприсакающейся сферы 521
Развертка окружности 78, 141,
321, 397, 405, 4140
Расстояние между точками 9
Расходимость 125
Ребро возврата огибающей 79,
936
— — поверхности касательных
604, 605, 936
Репер 8
@
— Картана 109
— подвижный 108
— Френе 18
Роза трехлепестковая 281
— четырехлепестковая 73, 109,
281
Ротация (ротор) векторного по-
поля 125, 1055-1071
Свойства аффинного преобразо-
преобразования 928-938
— аффинные 117
— метрические 117
Свойство касательной к эллип-
эллипсу биссекториальное 27
— линий 44
Семейство линий на поверхнос-
поверхности однопараметрпческое 98
правильное 98
— поверхностей двупараметры-
ческое 79
однопараметрическое 78
Сеть координатных линий чебы-
шёвская 657, 658., 804
— линий 98
ортогольная 834, 836, 870
сопряженная 98, 792—797,
799-801, 836
Сечение нормальное 91
Система дифференциальных
уравнений вполне интегриру-
интегрируемая 877
— координат на поверхности
изотермическая 660
— — полугеодезическая 104 .
Соответствие взаимно однознач-
однозначное 7
— форм 11 V '
Составляющая поля относитель-
относительно подвижного базиса 20
Составляющие вектор-функции
13, 1
Спираль Архимеда 71, 126, 153,
1700, 336, 352
— Галилея 278
— гиперболическая 1680, 1690,
2790
— коническая 420, 435, 440, 493,
523
— логарифмическая 72, 154, 155,
337, 362, 395, 396, 4090, 4130,
4230
— Ферма 270
Строфоида 75, 110, 207
Сфера 55, 509, 604, 640, 664, 670,
679, 689, 701, 717, 7460, 7780, 779,
827, 848
— соприкасающаяся 521—527
Сюръекция 7
Теорема Бельтрами — Эннепера
886

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
271
Теорема Гаусса — Бонне 894
— Клеро 866—869
Тор 529, 581, 586, 647, 712, 724,
7460, 761, 808, 869
Точка 8
— внутренняя 9
-г возврата второго рода 38
первого рода 38
— гиперболическая 92, 832, 955
— горловая 73
— изолированная 39
— множества граничная 10
— нерегулярная 38
— округления (омбилическая)
91, 778, 780-788, 956
— особая 37, 39, 200—209
— — двойная 39
— параболическая 92, 898, 899,
955
— перегиба 38, 213, 214
— прикосновения множества 9
— самопересечения 30
— самоприкосновения 39
— стационарная скалярного по-
поля 122
— уплощения 91, 789—791. 957
— эллиптическая 92. 955
Траектории ортогональные 665—
667, 669-676
Трактриса И>60, 167, 322, 363. 391,
398. 406
Треугольник геодезические 895
Угол между линиями на поверх-
поверхности 82
Улитка Ласкал я 74
Уравнение бинормали 57
— гиперболического параболои-
параболоида 532
— главной нормали 56
— касательной кривой (линии)
31, 56
— — плоскости 72
— катеноида 530, 730
— кривой (линии) векторно-па-
раметрическое 54
— Лапласа 127
— линии (кривой) векторное 27
неявное 27
явное 27
— нормали 73
<—I — к кривой (линии) 31
■« нормальной плоскости 57
Уравнение области поверхности
векторное 68
— поверхности векторное 68
— — неявное 68
— — явное 68
— прямого геликоида 558о, 580,
650
— псевдосферы 531, 579
— сцприсакающейся плоскости
57
— спрямляющей плоскости 57
— тора 529,. 586
— трактрисы 531
— цилиндрической поверхности
538
Уравнения движения подвижно-
подвижного репера 109
— кривой (линии) натуральные
52, 62
— параметрические 27, 54
— поверхности параметриче-
параметрические 68
— фигуры 10
Условие сопряженности двух
семейств линий на поверхно-
поверхности 7930
Фигура 10
Форма билинейная 11
кососпмметрическая B-
форма) 11
симметрическая И
— гладкая 107
— квадратичная 11
— линейная 11
дифференциальная
A-форма) 107
— поверхности вторая квадра-
квадратичная (фундаментальная)
89, 728, 729, 880
— — первая квадратичная
(фундаментальная) 81, 653—
658, 879
2-форма 11
— на поверхности-107
1-форма гладкая 107
— на поверхности 107
Формула Остроградского 126.
1072, 10730
^Стокса 127, 1086
— Тейлора \А
»- Эйлера 91, 883
Формулы Френе §1, 476—478

272
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Формы па поверхности A-фор-
ма и 2-форма) 107
Функция 8
— векторная 13
— гармоническая 127
— гладкая 14
на отрезке 14
— класса Ск, С°° 14
— координатная 11
Характеристика семейства 79
Центр кривизны кривой 47
Циклоида 79, 117, 3040, 330, 350,
364, ?93, 401, 4110
— удлиненная 79, 372
— укороченная 79, 372
Цилиндр гиперболический 52,
620, 534, 708, 774
— круговой 553, 645, 722, 7460,
759, 911
— параболический 50, 610, 534,
707, 773
Цилиндр эллиптический 51, 600,
5450, 706, 772
Циркуляция векторного поля
126, 1082-1086
Циссоида Диоклеса 69, 1080, 199,
205
Шар 9, 550
Эвольвента 51, 65, 78, 510
— окружности 414
Эволюта 51, 400—402, 941
Эквивалентность базисов 10
— путей 17
Эллипс 27, 37, 93, 118, 123, 348,
355, 383
Эллипсоид 560, 5460, 578, 702, 767.
785, 835
— вращения 641, 718. 742, 746О,
782, 817 '
Эпициклоида 80, 331