Г.А. ГЕНИЕВ,
> А.С. КУРБАТОВ,

Ф.А. САМЕДОВ

ВОПРОСЫ

ПРОЧНОСТИ и

ПЛАСТИЧНОСТИ

АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Москва
ИНТЕРБУК
1993
УДК 624.046.044:539.4.374

Вопросы прочности и пластичности анизотропных материалов. Гениев ГА,
Курбатов АС., Самедов ФА — М.: — Интербук, 1993. —187 с. ил.

ISBN 5-7664-0991-5

Систематизирован широкий круг вопросов, связанных с описанием прочно-
стных и пластических свойств анизотропных сред. Для общего случая трехосного
напряженного состояния сформулированы критерии прочности и пластичности
ряда анизотропных строительных материалов: древесины, каменной кладки, а
также реальных грунтов, обладающих анизотропными свойствами. Приведено их
сопоставление с имеющимися экспериментальными данными.

Для плоской и осесимметричной задач получены системы разрешающих урав-
нений предельного напряженного состояния анизотропных тел. Даны решения
целого ряда инженерных задач о прочности элементов конструкций из ортотроп-
ных материалов, находящихся в условиях сложного напряженного состояния. Рас-
смотрены некоторые задачи динамики анизотропных телч

Для научных работников, аспирантов и инженеров.

©ГА Гениев, АС. Курбатов, ФА Самедов, 1993
ISBN 5-7664-0991-5

©Макет СП нИнтербук-бизнес"
ВВЕДЕНИЕ

Увеличение производства новых конструкционных материалов
тесно связано с поиском эффективных путей повышения технико-
экономических показателей конструкций, совершенствованием ме-
тодов их расчета. Одним из таких путей является учет особенностей
физической структуры материала, в частности его анизотропных
свойств.

Все существующие в настоящее время критерии прочности и пла-
стичности материалов можно условно разделить на две группы: кри-
терии, являющиеся результатом обобщения критериев прочности и
пластичности изотропных тел, и критерии, разработанные примени-
тельно к анизотропным телам с учетом специфики их деформирова-
ния и разрушения.

Ввиду того, что для изотропных тел ориентация главных осей
тензора напряжений не влияет на предельное состояние материала,
критерии удобно представлять как функциональные соотношения
между инвариантами тензора и девиатора напряжений. Поскольку
для анизотропных материалов в общем случае имеет место несовпа-
дение главных осей тензора напряжений и главных осей прочности
материала, то критерии прочности и пластичности записывают в ви-
де функций между компонентами тензора напряжений, прочно-
стными параметрами материала и параметрами напряженного состо-
яния.

Подробный обзор существующих критериев прочности и пластич-
ности изотропных и анизотропных тел дан в известных монографиях
130, 17].

Не претендуя на систематическое изложение истории вопроса,
следует отметить, что большин^во^ществ\чощих^крмтериев проч-
ности и пластичности не нашло достаточноихшрокого применения в
практике проектирования. К основным причинам, обусловившим
это обстоятельство, можно"отнести сложность математического вы-
ражения, а также необходимость проведения большого числа опытов
для определения входящих в них постоянных. Среди публикаций по
данному вопросу практически отсутствуют работы, посвященные
разработке условий прочности анизотропных материалов, позволяю-
щих определить не только механизм их разрушения, но и направле-
ния опасных площадок, по которым будет происходить разрушение
в случае сложного напряженного состояния.

Критерии прочности и пластичности, предлагаемые авторами в
настоящей книге, в какой-то мере восполняют указанный пробел.
Они построены на основе имеющихся экспериментальных данных и
общих феноменологических представлений механики сплошной сре-
ды.

Анализ картин разрушения различных видов анизотропных мате-
риалов позволяет предположить возможность реализации трех ме-
ханизмов разрушения — разрушения от отрыва, смятия или сдвига
по некоторым опасным площадкам, направления которых, вообще
говоря, не совпадают с направлениями главных нормальных или
главных касательных напряжений. В общем случае критерий проч-
ности представляется в виде трех независимых аналитических выра-
жений, каждое из которых является условием предельного равнове-
сия материала в предположении того или иного механизма разруше-
ния. Следует отметить, что для изотропных материалов критерий
прочности, допускающий, что разрушение может происходить пу-
тем отрыва или сдвига, предложен Я.Б. Фридманом [41 ].

В данной книге излагаются исключительно собственные исследо-
вания авторов, проведенные ими в ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко.

В гл. 1 дается теоретическое обоснование критериев прочности и
пластичности анизотропных материалов в общем случае трехосного
напряженного состояния с учетом различных механизмов разруше-
ния. Сформулированные критерии прочности позволяют в предель-
ном случае не только определить механизм разрушения материала,
но и найти направления опасных площадок, по которым будет про-
исходить разрушение. Здесь же получены определяющие уравнения
предельного состояния.ортотропных тел в случаях сопротивления
отрыву и смятию, а также даны решения ряда задач предельного со-
стояния ортотропных цилиндрических стержней при кручении.

В гл. 2 сформулированы модифицированные критерии прочности
и пластичности ортотропных материалов при трехосном и двухосном
напряженных состояниях, имеющие простую структуру и удобные
для использования в инженерных расчетах. Здесь получены крите-
рии прочности также для материалов, обладающих внутренним ку-
лоновским трением.

В гл. 3 рассматриваются вопросы прочности таких традиционных
строительных материалов, как древесина и каменная кладка. Для
них приводятся соответствующие выражения критериев прочности,
дается сравнение их прочностнчх показателей по теоретическим и
экспериментальным данным.

В гл. 4 и 5 получены определяющие уравнения двумерных задач
статики, кинематики и динамики анизотропных тел при условиях
пластичности общего вида. Приведены решения задач плоской де*
формации и плоского напряженного состояния анизотропных тел
при условиях сопротивления сдвигу и отрыву, а также решения со-
ответствующих динамических задач. Рассмотрена задача плоской
деформации, а также динамическая задача для ортотропного сыпу-
чего тела в случае предельного сопротивления сдвигу.

Гл. 6 и 7 посвящены решению осесимметричных задач цилиндри-
чески анизотропных тел.

В гл. 6 получена система разрешающих уравнений и найдены ее
общие интегралы, исходя из концепции полной пластичности. В
гл. 7 рассмотрено решение осесимметричной задачи пластического
течения цилиндрически анизотропного тела.

В заключительной гл. 8 приводятся решения ряда приклад-
ных задач, наглядно иллюстрирующих результаты, полученные
в гл. би 7.
Глава I

КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
ОРТОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ,
УЧИТЫВАЮЩИЕ РАЗЛИЧНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
РАЗРУШЕНИЯ

I. Теоретическое обоснование критерия прочности ортотропных
материалов при отрыве в случае трехосного напряженного
состояния

•	ч.

Многие конструкционные материалы в соответствии с их физиче-
ским строением обладают свойством ортогональной анизотропии,
предполагающей наличие трех взаимно перпендикулярных плоско-
стей симметрии механических свойств. Такие материалы называют
ортотропными или ортогонально анизотропными. К ним относятся
различного рода слоистые пластики, армированные высокопрочны-
ми волокнами, а также ряд традиционных строительных материа-
лов, таких как древесина, асбестоцемент, каменная кладка и т.п.

Будем рассматривать однородные ортотропные материалы в усло-
виях кратковременного статического нагружения без учета темпера-
турно-временных факторов и ползучести. При построении критерия
прочности этих материалов будем исходить из обоснованного экспе-
риментальными данными предположения, что в общем случае объ-
емного напряженного состояния возможны три различных механиз-
ма разрушения:

1)	от отрыва, проявляющееся при одно-, двух- или трехосном рас-
тяжении;

2)	от смятия, проявляющееся при одно-, двух- или трехосном сжа-
тии;

3)	от сдвига, проявляющееся обычно при смешанных напряженных
состояниях, когда главные напряжения отличаются по знаку.

В связи с этим критерий прочности будет представлен в виде трех
независимых аналитических выражений, каждое из которых опреде-
ляет предел прочного сопротивления материала в предположении
того или иного механизма разрушения. Для материалов, обладаю-
щих пластическими свойствами, критерий прочности' может рас-
сматриваться в качестве критерия пластичности с соответствующей
заменой прочностных констант, входящих в его аналитическое вы-
ражение, на константы, характеризующие пластичность материала.
Рис. 1. Предельное равновесие орто-
тропного элемента при одноосном рас-
тяжении

Введем систему координат х, у,
z, совмещая ее оси с главными
осями анизотропии материала.
При выводе предлагаемого крите-
рия прочности каждую разновид-
ность исследуемого материала бу-
дем определять девятью независи-
мыми прочностными показателя-
ми: пределами прочности на рас-
тяжение соответственно вдоль
осей x,y,z —Rpx,Rpy,Rpz', предела-
ми прочности на сжатие вдоль тех
же осей — Rex, Rcy, Rai предела-
ми прочности на сдвиг по площад-
кам, соответственно ортогональ-
ным осям х, у, z — Сх, Су, Сг. По-
ложительными напряжениями бу-
дем считать растягивающие, от-
рицательными — сжимающие.

В целях обоснования предлагаемых теоретических зависимостей
рассмотрим предельное равновесие плоского элемента из орто-
тропного материала в простейшем случае одноосного растяжения
(рис. 1).

Напряжение а(а) — нормальное напряжение на площадке тк',
является предельным напряжением.

Будем считать, что разрушение элемента происходит по площад-
кам тп и пк , причем направление тп совпадает с направлением
оси х, а направление пк — оси г. Рассмотрим предельное равновесие
участка элемента тпкк’.

Условия равновесия при произвольных значениях угла а будут
выполняться в том случае, если растягивающее усилие на площадке
пк численно равно cosa , а на площадке тп — sina. При этом про-
екция всех усилий на вертикальное направление составляет

cosa cos a -I- sina sina — 1=0,

проекция на горизонтальное направление —
cosa sina — sina cosa = 0.

В состоянии предельного равновесия на площадке пк действует
нормальное напряжение Rpx, на площадке тп — нормальное на-
пряжение Rpz. Таким образом, сечение площадки пк равно
wsa/RpX, сечение площадки тп — sina/Rpt.
Из рассмотрения рис. 1 видно,‘что площадь сечения тк' может
быть представлена суммой

тк' = п'Л' + тп' = пк cosa + тп sina,

откуда следует соотношение

1 cos2** , sin2g	t -

а(а) Rpx Kpz ’	%

Это соотношение в явном виде определяет, значение предела
прочности на одноосное растяжение а(а) в зависимости от направле-
ния растягивающей силы в плоскости главных осей анизотропии х,
z. Оно хорошо согласуется с экспериментальными данными, полу-
ченными в результате испытаний древесины и синтетических мате-
риалов [3, 40 ]. Аналогичная зависимость имеет место также в слу-
чае одноосного сжатия.

Определим положение площадки тп, характеризующееся углом
который составляет нормаль к этой площадке с направление оси х.
Из геометрических соображений (см. рис. 1) следует

tgp =

тп
пк

= tgg

Rpz

или

tgfy> =

_______2 RpxRpz3\n2a_______

(R$x 4" cos 2a — (Rpx ~ Rpz)

* (1.2)

Ниже будет показано, что площадка тп является опасной пло-
щадкой отрыва, именно на ней выполняется условие предельного
равновесия в случае одноосного растяжения или сжатия.

Следует отметить, что в рассматриваемой механической модели
материала разрушение элемента (см. рис. 1) произойдет не обяза-
тельно по площадкам тп , пк или тк. Направление тк следует
трактовать как среднюю линию (ось) многоступенчатой поверхности
отрыва, а площади сечений тп и пк — как суммарные площади со-
ответствующих граней отдельных ступеней, направленных вдоль и
поперек волокон.

Сформулируем основные требования, которым должен удовлет-
ворять критерий прочности ортотропных материалов в общем слу-
чае трехосного напряженного состояния.

1.	Аналитические выражения критерия прочности, относящиеся к
областям отрыва и смятия, при переходе к случаю одноосного растя-
жения (сжатия) должны в явном виде определять значение предель-
ного растягивающего (сжимающего) напряжения в зависимости от
направления действия силы в пространстве главных осей анизотро-
пии материала.

2.	Для общего случая трехосного напряженного состояния долж-
ны быть получены выражения, определяющие в явной или неявной
форме направления опасных площадок отрыва, смятия или сдвига в
пространстве главных осей анизотропии.

3.	Аналитические выражения критерия прочности в областях от-
рыва и смятия в случае одноосного растяжения — сжатия в одной из
главных плоскостей анизотропии ху, yz или xz должны совпадать с
выражением (1.1).

4.	При одноосном растяжении вдоль главных осей анизотропии х,

у, z предельные напряжения должны равняться соответствующим
пределам прочности RPx, Rpy, Rpz.

5.	При одноосном сжатии вдоль главных осей анизотропии х, у, z
предельные напряжения должны равняться по абсолютной величине
соответствующим пределам прочности RCx> Rcy, Rcz.

В случае трехосного напряженного состояния, когда в рассматри-
ваемой точке по крайней мере одно из главных напряжений являет-
ся растягивающим, возможно разрушение материала от отрыва по
некоторой площадке, направление которой зависит от соотношения
между главными напряжениями и ориентации главных осей напря-
жений относительно главных осей анизотропии материала.

Рассмотрим прямоугольный элемент из ортотропного материа-
ла, вырезанный сечениями, параллельными главным осям анизот-
ропии, размеры которого достаточно велики по сравнению с харак-

терными размерами макрострук-
туры материала (рис. 2). Пусть
по его граням действует система
нормальных и касательных на-
пряжений, вызывающих главные
— <71,02, <73, из которых по край-
ней мере си— большее главное
напряжение — является растяги-
вающим. Сформулируем крите-
рий прочности для данного мате-
риала в предположении его раз-
рушения от отрыва [23 ].

В общем случае, когда преде-
лы прочности в направлениях
главных осей анизотропии отли-
чаются друг от друга, очевидно,
что направление нормали к опас-
ной площадке отрыва не будет
совпадать с направлением глав-

Рис. 2. К выводу критерия прочности
ортотропных материалов при отрыве
ного растягивающего напряжения cri. Обозначим соответственно че-
рез Z, т, п косинусы углов между нормалью v к опасной площадке
отрыва (направление которой заранее неизвестно) и главными ося-
ми анизотропии х, у, z.

Предел прочности материала на растяжение по нормали к пло-
щадке отрыва изменяется от своего максимального значения Rpx до
минимального Rpz по некоторому закону Rp — Rp (I, т,п), который
может быть установлен лишь исходя из результатов эксперимен-
тальных исследований ортотропных материалов при одноосном при-
нудительном растяжении. Аналитическое выражение критерия
прочности, записанное для случая одноосного напряженного состо-
яния (о2 = 0, оз = 0) должно совпадать с соотношением (1.1). Как
будет показано ниже, это совпадение имеет место только в том слу-
чае, если представить закон изменения предела прочности на растя-
жение Rp(l, т, п) в виде

Rp (у) - Rp (Z, т, п) = Rpx Z2 + Rpy т2 + Rpz п2.	(1.3)

Направление опасной площадки отрыва в общем случае трехосно-
го напряженного состояния может быть найдено из условия

max 1<7V - Rp (v) ] « 0,	(1.4)

где <ц> — нормальное напряжение на площадке отрыва -

<л> = Sx I + Sy in + Sz n.	(1.5)

Здесь

Sx^axl + txym + txzt,	(1.6)

Sx “ Txy I + oy m + fyz П',
Sz w fxz I + tyz m + oz n.

После подстановки (1.3), (1.5), (1.6) в условие (1.4) последнее
принимает вид

max' [ F (I, т,п)] = max [ ox Z2 + ау т2 + агп2 + 2тугтп + 2tXz In +
4* A(Z + т2 + п2 — 1) Rpx I2 — Rpy ni2 — Rpz n2 ]  0,

(1.7)
где A — множитель Лагранжа.

Условие (1.7) может быть реализовано в форме

^ = 0; |£в0; ^ = 0,
д1 . дт дп

что приводит к следующей системе уравнений для определения на-
правляющих косинусов Z, т, п нормали к площадке отрыва

(ах — Rpx)l + тХу т + tXz Z + AZ = 0;

(<7у — Rpy)m + Тху I + tyz я + Л.т ~ 0;

(oz ~~ Rpz)n + Tjcz / + tyzm + A/i = 0.	(1.8)
Находя из системы (1.8) значение множителя Лагранжа, полу-
чим

Л = Rp(y) — оу,

что по условию (1.4) равно нулю, т.е. Л = 0.

Таким образом, направляющие косинусы Z, т, п нормали к опас-
ной площадке отрыва могут быть найдены из системы линейных од-
нородных уравнений

(o’jc — Rpx) I + тХут +	= 0;

Тху I 4" (оу — Rpy) т 4" ТугП = 0;	(1.9)

Txzl + Tyzm + (o’z — Rpz) n = 0,

которая имеет нетривиальные решения только в том случае, когда
ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных,

равен нулю, т.е.

А =

°х “• Крх тху TXz
Тху оу — Rpy Tyz
Txz Tyz az — RpZ

= 0.

Раскрывая определитель, получим условие, соответствующее пре-
дельному напряженному состоянию на площадке отрыва,
(Rpx — ох)(Лру — оу)(Ярх — o’z) * (Rpx — Ox)TyZ — (Rpy — &y)Txz —
“ (Rpz “ &z)Txy ~ 2ТхуТхгГуг — 0.	(1.10)

Соотношение (1.10) является аналитическим выражением крите-
рия прочности ортотропных материалов при отрыве в общем случае
трехосного напряженного состояния.

При одноосном растяжении нормальные и касательные напряже-
'ния, действующие по граням элемента (см. рис. 2), выражаются по
формулам

ох = си Г:	тХу = сл Zm;

оу = aim2; TXz-o\ln\	(1.11)

az = ai л2; Tyz = ai mn.

Подставляя (1.11) в (1.10), после преобразований получим зави-
симость	Э 7	7

JL _ _L =	+ 22—+	ц 12)

Rp Rpx Rpy Rpz1	'

которая в случае плоского напряженного состояния (п = 0) совпада-
ет с выражением (1.1), хорошо подтверждающимся эксперименталь-
ными данными.

Определим значения направляющих косинусов Z, т, п нормали к
опасной площадке отрыва. Если компоненты напряженного состоя-
1. Выражения для направляющих косинусов I, т, п, предельные условия на отрыв и соотношения между компонентами
напряженного состояния для некоторых площадок отрыва

Схема
разрушения
от отрыва

Косинусы углов /, т, п, наклона нормали площадки отрыва к
осям х, у, z

Условие прочности
для площадки отрыва

Соотноше-
ния между
компонен-
тами напря-
женного
состояния

/2= [(оу “ Rpy)*xz -тухгху]2 {[(оу -Rpyjtxz -ту*тху]2+

+ l(px-Rpx) tyz-txy Txz] 2+ [(ах-Ярх)(оу-Яру)-тху]2}

™2= [(Ox -Rpxjtyz -Гхуок]2 {[(оу -Rpy)TxZ “Ту*гху]2+
+ [(px-Rpx^yz-Txytxz] 2+ [(ох-Ярх)(оу-Яру)-т2у]2 } “1;

[(Ох -Лрх)(Оу- Rpy)~ Т2у]2 {[(Оу -Rpy)Txz “Туггху]2+
+ [(Ox -Rpxytyz -TxyXxz] 2+ [(Ох “Лрх)(оу- Rpy)~ Тху] } “1

(^px“Ox)(/?jry-oy)(/?pz“OZ) -
-(Rpx-°xyryz~ (Rpy~°y)txz~
~-(Rpz-az)txy~ 2rxjTyzrxz=0

а) 1 = 1;	0/ = О; в) Z=0;

т = 0;	т = 1;	т = 0;

и = О	n«0	п=1

a) Rpx - ox = 0;

0 Rpy — ay = 0;

o) Rpz — Oz = 0

zxy = tyz =
= zxz = 0

_ . _	~ »2	____ ^pz ~ Qz

j.	(Rpx -	+ (Rpz - ffz)’

n = 0	’ n2 = Rpx-ax

(Rpx “ ox) + (Rpz ~ oz)

d) Rpy—fJy^O',

0 (^px_ox)(/?pz“Oz)-Txz=0

Txy=Tyz=0
ax< Rpx

	A2	x		/ = 0 m = 1 n = 0	ay — Rpy = 0	тху = 0;  oy — Rpy = 0; ryz = 0
	Az u	• '	Ибо	X	/ = 0 m = vTT/2 л = 1/2	3ay + az + 2yfSryz — 3Rpy — Rpz — 0	тху/тхг = -VJ/3;  3ay + az + 273ryz = 3Rpy + Rpz\ 3ay *- az “ $Rpy — Rpz
AZ				/ = 0  nt = V7 / 2  n = v7/2	oy + az + 2tyz — Rpy — Rpz e 0	*xy/*xz = -1;  cry + az + 2ryz = Rpy + Rpz] ay — az = Rpy — Rpz
Иу	A z .^ь < t" I л£			1 = 0 m = l/2 n = V5/2	ay + 3az + 2yfStyz ~ Rpy — 3Rpz = 0	Txy/^.vz = “^7 ay + 3az + 2^3ryz = Rpy + 3Rpz] ay — 3az == Rpy ~ 3Rpz
ид	Al yS\	Z/Z* X		1 = 0 m = 0 n = 1	az — Rpz ~ 0	s  i s ъ- н N Ъ H H “ 5? Я  О
	fz yn  1		X	/ = 0 m = ^V7/2 n = /2/2	oy + az — 2zyz — Rpy “ Rpz = 0	Txy/r.VZ - И az ~ ay = Rpz - Яру; ay + az “ 2xyz = Rpy + Rpz
ния подчиняются условию (1.10), тогда одно из уравнений системы
(1.9) является линейной комбинацией двух других. Вводя вместо
третьего уравнения дополнительное уравнение

I2 + т2 + п2 = 1,
а также выражая из первых двух отношения 1/т и т/п. получим
окончательную систему уравнений для определения направляющих
косинусов Z, /и, п нормали к опасной площадке отрыва

Z2m 2 = [(оу — -Rpy) tXz — ^xyCyz I2 Цо* Rpx) Tyz ~ txzrxy ] 2;
m2zi 2 = [(<Zx — Rpx) tyz txztxy ]2 l(<Tx “ Rpxfay ~ Rpy) Txy ] 2;

Z2 + m2 + n2=l.	(1.13)

Выражения для направляющих косинусов Z, /и, м, полученные в
результате решения системы уравнений (1.13), в явном виде приве-
дены в табл. 1.

При одноосном растяжении вдоль оси х (рис. 3, а) критерий
прочности (1.10) принимает вид

Rpx — ох = 0,
а площадка отрыва будет перпендикулярна действующему усилию.
При одноосном растяжении вдоль осей у и z критерий прочности
принимает, соответственно, вид:

Rpy — Оу = 0,
Rpz — oz = 0.

Т.е. при одноосном растяжении в направлениях главных осей
анизотропии предельные напряжения ах, az принимают значе-
ния, равные соответствующим пределам прочности.

В случае двухосного напряженного состояния, например в плоско-
сти xoz (рис. 3, б), критерий прочности (1.10) преобразуется к виду

(Rpx ~ &x)(Rpz — oz) “ txz = 0,	(1.14)

а направление нормали к опасной площадке отрыва может быть
найдено по формулам

/2_---------^Pz. ~ az----- zj 15)

(Rpx - ox) + (Rpz - az)’

„ 2 = ...___Rpx^J" Ox_____

(Rpx ““ ox) + (Rpz “ oz)

В системе координат, связанной с главными осями напряжений
ai и аз, критерий прочности (1.14) записывается в виде
Рис. 3. Положение площадки отрыва при одноосном растяжении вдоль оси х (а) и
при плоском напряженном состоянии в плоскости xoz (б)

б

COS2#
Rpx

Sin2# |

«Г Г'

<71<73

RpxRpz

/  2	2

sin # , cos a f Л
— + —— <73 - 1 = 0,
Kpx Kpi

(1.16)

а направление опасной площадки отрыва определяется из соотноше-
НИЯ	_	(<*» - рз) sin 2a_____ п 17.

g 2<Р ~ (<71 - оз) cos 2a - (Rpx - Rpz) ‘	(1Л 7)

где a — угол между направлением наибольшего главного напряжения ai и главной
осью анизотропии л; jp — угол между нормалью v к опасной площадке отрыва и
осью х.

В случае одноосного растяжения, когда аз = 0, из (1.17) следует
выражение, совпадающее с выражением (1.2), полученным в ре-
зультате анализа предельного равновесия элемента из ортотропного
материала. Таким образом, площадка тк (см. рис. 1), направление
которой определяется углом <р в соответствии с выражением (1.2),
в рассматриваемом случае является опасной площадкой отрыва.

При трехосном напряженном состоянии, когда тху = vyz = rXz « 0,
из условия (1.10) следует

(Rpx — ax)(Rpy — ay)(Rpz — az) = 0.

В этом случае возможен отрыв по трем площадкам, перпендику-
лярным главным осям анизотропии, на которых могут быть достиг-
нуты соответствующие предельные условия:

0х e Rpx, оу = Rpy, &z = Rpz*

Действительная площадка отрыва будет определяться тем, какое
из предельных условий будет достигнуто раньше других. При
Rpx > Rpy > Rpz прочность материала будет минимальной в направ-
лении оси z.

Если Тху = txz = 0, то (1.10) распадается на два условия

Rpx — о* = 0, (Rpy — &y)(Rpz “ Цх) — Tyz = О,

которые определяют две возможные площадки отрыва. Аналогичная
картина имеет место при равенстве любой другой пары касательных
напряжений Тху = Tyz, TXz = Tyz.

Следует отметить, что для решения практических задач может
оказаться полезной запись критерия прочности в области отрыва в
следующем виде

Ох^Н-оу/и^ tfzrt2+ 2ту#п п+2тХгГп+

+2тХу1 пт—RpxP" "• RpyWp Rpztt2=0,	(1.18)

где чертой обозначены направляющие косинусы нормали к площадке отрыва,
удовлетворяющие системе уравнений (1.9).

Задаваясь соответствующими значениями Z, 7п, л, из (1.18) можно
определить условие прочности, а из (1.9) — соотношения между
компонентами напряженного состояния, при которых будет проис-
ходить отрыв по любым наперед заданным площадкам.

Предположим, например, что отрыв происходит по площадке,
перпендикулярной оси у (рис. 4). Для этого случая имеем
7=0, m = 1, п = 0. Условие прочности примет вид

оу — Rpy = 0,
а между компонентами напряженного состояния будут выполняться
следующие соотношения

Тху = 0; оу — Rpy = 0; Tyz58 0.

Очевидно, что отрыв по данной площадке определяется нормаль-
ным напряжением оу при отсутствии касательных напряжений
Txy, Txz»

2. Критерий прочности при смятии

В общем случае трехосного напряженного состояния, когда в рас-
сматриваемой точке по крайней мере одно из главных напряжений
является сжимающим, возможно разрушение материала от смятия
по некоторой площадке, направление которой зависит от соотноше-
ния между главными напряжениями и ориентации главных осей на-
пряжений относительно главных осей анизотропии материала. Если
пределы прочности в направлениях главных осей анизотропии отли-
чаются друг от друга, то направ-
ление нормали к опасной пло-
щадке смятия не будет, вообще
говоря, совпадать с направлением
главного сжимающего напряже-
ния <тз. Обозначим через I, т, п
косинусы углов между нормалью
v к опасной площадке смятия, на-
правление которой заранее неиз-
вестно, и главными осями анизот-
ропии — х, у, z.

Предел прочности материала
на сжатие изменяется от своего
максимального значения Rex до

минимального RCg по некоторому Рис*4‘ Пл0“«д*а отрыва, перпецдику-
_	„ ,,	,	i лирная оси у

закону Rc = Re (I, т, п), который
может быть установлен лишь ис-
ходя из результатов экспериментальных исследований ортотропных
материалов при одноосном принудительном сжатии. Аналитическое
выражение искомого критерия прочности, записанное для случая
одноосного напряженного состояния (aj =0, 02 = 0) должно совпа-
дать с соотношением, аналогичным соотношению (1.1), отличаю-
щимся от него значениями пределов прочности — вместо
Rpx» Rpz- Rex, Ra, Как будет показано ниже, это совпадение имеет
место только в том случае, если представить закон изменения пре-
дела прочности на сжатие Rc(l, т, п) в виде

Rc (v) = Rc (I» т, л) = Rex? + Reyn? + Rczi?- (1.19)

Направление опасной площадки смятия в общем случае трехосно-
го напряженного состояния может быть найдено из условия

max [оу +	= 0,	(1.20)

где ор — нормальное напряжение на площадке смятия, определяемое по (1.5) и
(1-6).

После подстановки (1.5), (1.6), (1.19) в условие (1.20) последнее
принимает вид

max [Р (/, т, п) ] = max [ах? + oym2 + ctz«2 + 2tyZm/i + 2tXz In +
+ 2хХу1т + A(/2 + m2 + n2 — 1) + Rex? + Reyn? + Rczt? J = 0,

гДе Д — множитель Лагранжа.

Реализуя (1.21) в форме

^ = 0;^. = 0 .^ = 0

д1 и’ дт и’ дп и’

(1.21)
а также учитывая, что Л = Rc(y) + ov = О, получим систему однород-
ных линейных уравнений'для определения направляющих косину-
сов I, т9 п нормали к опасной площадке смятия

(0Х+Ксх)1+Тхугп +тХгП=0;

тху1+(ay+RCy)rn=0 ;

(1.22)

Система уравнений (1.22) имеет решения, отличные от нуля,
только в том случае, когда ее определитель, составленный из коэф-
фициентов при неизвестных, равен нулю. Записывая и раскрывая
данный определитель, получим условие, соответствующее предель-
ному напряженному состоянию на площадке смятия

—(Rcx+&x)tyZ— (Rcy+&y)TXZ—

— (7?ег+о,г)‘Гх^+2тхуГхг‘Гуг==0.	(1.23)

Соотношение (1.23) является аналитическим выражением крите-
рия прочности ортотропных материалов при смятии в общем случае
трехосного напряженного состояния.

При одноосном сжатии нормальные и касательные напряжения,
действующие по граням элемента, выражаются по формулам (1.11)
с точностью до замены си на -аз. Подставляя их в (1.23), получим

зависимость

11/2	2	2

1__1_I_ ] т । п

оз Rc Rex	Rcy	Rcz

(1.24)

которая в случае плоского напряженного состояния (п - 0) совпада-
ет с выражением, аналогичным (1.1), хорошо аппроксимирующим
экспериментальные данные.

Определим значения направляющих косинусов Z, т, п нормали к
опасной площадке смятия. Если компоненты напряженного состоя-
ния подчиняются условию (1.23), тогда одно из уравнений системы
(1.22) является линейной комбинацией двух других. Вводя вместо
третьего уравнения дополнительное уравнение

I2 + т2 + п2 = I,

а также выражая из двух оставшихся уравнений системы (1.22) от-
ношения 1/т и т/п, получим окончательную систему уравнений
для определения направляющих косинусов Z, т, п нормали к опас-
ной площадке смятия

Z2m 2 = [(оу + Rcy)tXz — Txytyz ]2 [(о^ + Rcx)^yz — txztxyl

гп^п % = [(ох + Rcx)tyz — TxzTXy ]2[(ох + Rcx)(py + Rcy) — т2у] 2;

Z2 + m2 + /i2 = 1.	(1.25)
При одноосном растяжении в направлениях главных осей анизот-
ропии х, у, z, критерий прочности (1.23) принимает, соответствен-
но, вид

Rex + gx = 0; Rcy + Gy = 0; Rcz + <Jz — 0,
при этом опасные площадки смятия перпендикулярны действующим
усилиям.

В случае двухосного напряженного состояния, например в плоско-
сти xOz (см. рис .3, б)критерий прочности (1.23) преобразуется к ви-
ду

{Rcx + &x)(Rcz + txz = 0»	(1.26)

а направляющие косинусы нормали к опасной площадке смятия мо-
гут быть найдены по формулам

>2 Rcz + &z ф 2 Rex + Gx

{Rcx +	+ {Rcz + Gz)' {Rex + <Tx) + {Rcz + (7Z)

В системе координат, связанной с главными осями напряжений
ai и оз, критерий прочности (1.26) записывается в виде

cos2a
Rex

sin2a
Rcz

G\ +

0103
RcxRcz

• 2
sin a

Rcx

cos2a
Rcz

G2 + 1 =0, (1.28)

а направление опасной площадки смятия определяется соотно-
шением

tg2® =________(?_.- gj) sin 2а____

16 (ai - аз) cos 2а + (Rcx - RCz)'	U ’ >

При трехосном напряженном состоянии, когда тХу = tyz = tXz = О,
из условия (Г.23) следует

{Rcx + GX){Rcy + Gy){Rcz + oz) = 0.

В этом случае может произойти смятие по трем площадкам, пер-
пендикулярным главным осям анизотропии, где могут быть достиг-
нуты соответствующие предельные условия

0Х = — Rex’, Gy = — Rcy, Gz = —Rcz-

Действительная площадка, по которой произойдет разрушение от
смятия, будет определяться тем, какое из предельных условий будет
достигнуто раньше других. При RCx > Rcy > Rcz прочность материа-
ла на смятие будет минимальной в направлении оси z.

Если тХу == TXz - 0, то условие (1.23) распадается на два условия

Rcx + ах = 0; {Rcy + оу) {Rcz + Oz) — Tyz = О,
2.	Выражения для направляющих косинусов lt т, п, предельные условия на смятие и соотношения между компонентами
напряженного состояния для некоторых площадок смятия

Схема разрушения от смятия			Косинусы углов lt т, п, наклона нормали площадки смятия к осям х, у9 Z	Условие прочности для площад- ки смятия	Соотношения между компо- нентами на- пряженного состояния
AZ /			Р- [(оу +Rcy)*xz -тухтху]2 {[(ау +Лсу)тхг -Tyzrxy]2+ + [(ах+Лех)гуг-тхугхг1 2+ [(ах+Лсх)(о)’+Лсу)-’’ху]2 } ~1'» /№- [(<7X +Acx)Tyz “TxyTxz] 2 { [(tfy +^cy)r.VZ -Tyzr.vy] 2+ + [(^x+^C.vjTyz-Txjt.rzl 2+ [(<7.г+Лсх)(СТу4-Лсу)-Тху] 2 } “ 1; n2= [(ox +Лех)(<*у+ Леу)- т2у]2 {[(оу +Леу)тхг -ryzrxy]2+ + 1(ох+Лсх)туг-тхугхг] 2+ [(^х+Лсх)(<7у+Л0*)-т^] } ”1	(Лсх+^хХЛп’+оуХЛсг+oz) - ” (Лсх+<7х)т vz- (Леу+сту)тхг- -(Лсг+<7г)тху+ 2rxyrxzryz==0	
		х			
'У					
	Az  I  1	1 1	а) 1 = 1; б) / = 0; в) Z = 0; ш = 0;	т = 1;	т = 0;  н = 0.	/1 = 0.	п = 1.	а)	Лех + <?х в 0;  б)	Леу + оу = 0;  в)	Лег + oz = 0	тху = ryz = = rxz = 0
	Az  <z<i \i	ч 1	_ ,2	&cz + oz  [1 °.’	(Лех + 0х) + (Лег + az)’  п = 0	2 =	Rcx + ах  (Лех + <^х) + (Лег + oz)	а) Лсу+оу=0;  б) (Лсх+^х)(Лсг+^г)-тхг=0	Тху = Tyz = 0
I<7X I < R ex

	Д?  1	Г?/*	/=0 m= 1 п = 0	оу + Rcy ж 0	tjq? = O;  ay + Rcy = 0; tyz = 0
			/ = 0 т = V372 п = 1/2	Зау + <7z + 2/Jryz + 3Rcy + Rcz ~ 0	zxy/txz = -i/J/3;  3ay + oz + 21/Jryz = — 3Rcy — Rcz\ 3oy — oz — Rcz ~ 3Rcy.
ХУ			/ = 0 т = /1/2 п =/272	oy + oz + 2ryz + Rcy + Rcz = 0	Lvy/Txz = -1;  ay + az + 2ryz = -Rcy — Rcz\ oy — oz — Rcz — Rcy
		iz ул  /s.=.	^0* *	/=0 ffl= 1/2 п = V3/2	oy + 3oz + 2yf^tyz + Rcy + 3Rcz 0	rxy/txz = “V3?  ay + 3oz + 2i/3tyz e —Rcy ~ 3Rcz\ oy — 3oz — 3Rcz — Rcy
	X*1	AZ  >*1 < 1 in  1	Г	7 “ " S с	oz + Rcz = 0	txz = 0;  tyz = 0;  oz + Rcz — 0
45*  A	1Z  >Z|'  1	S< 7	/ = 0 т = —VJ/2 n-VT/2	ay + oz ~ 2tyz + Леу + Rcz = 0	тху/txz - 1; oz — oy = Rcy — Rcz; oy + oz — 2ryz = —Rcy ” Rcz
которые определяют две возможные площадки смятия. Аналогичная
картина имеет место при равенстве любой другой пары касательных
напряжений Тху = ryz, txz = ryz.

Как и в случае отрыва, задаваясь соответствующими значениями
направляющих косинусов 7, т, л, для любой наперед заданной воз-
можной площадки смятия, можно получить условие прочности на
ней, а также соотношения между компонентами напряженного со-
стояния, приводящие к разрушению по этой площадке (табл. 2).

3.	Критерий прочности при сдвиге

Рассмотрим вопросы построения критерия прочности ортотропных
материалов для общего случая трехосного напряженного состояния,
когда разрушение материала происходит от сдвига по некоторой
площадке скольжения, и процессу разрушения предшествует накоп-
ление сдвиговых деформаций [14, 15].

Разрушение материала от сдвига, вызванное действием касатель-
ных напряжений, обычно происходит при смешанных напряженных
состояниях, когда главные нормальные напряжения отличаются по
знаку. Вследствие различия пределов прочности на сдвиг в направ-
лениях главных осей анизотропии опасная площадка сдвига не бу-
дет, вообще говоря, совпадать с направлением главных касательных
напряжений. Ее направление может быть найдено из условия

max [ Tv - C(v) ] = 0,	(1.30)

где tv — касательное напряжение на площадке сдвига,

Tv 35 [ (ai - atfPm2 + (аг - <тз)2/и2л2 + (аз — aj)2n2Z2 ] Л (1.31)

Здесь Z, т9 п — направляющие косинусы нормали v искомой площадки сдвига в
осях главных напряжений ai, 02, 03} С(у) — закон изменения пределов прочности
на сдвиг.

Будем считать, что вид зависимости

C(v) = C(Zvy), > = x,y,z	(1.32)

в пространстве главных осей анизотропии установлен из опытов на
принудительный сдвиг образов материала пр различным направле-
ниям. Здесь Ivj — значения направляющих косинусов нормали v
площадки сдвига к осям х, у, z. В целях упрощения процедуры реа-
лизации (1.30) будем исследовать это условие не в осях координат,
совпадающих с главными осями анизотропии, как это делалось
раньше в случаях отрыва и смятия, а в осях, совпадающих с направ-
лениями главных напряжений ai, аг, аз.
Аналитическое выражение закона (1.32) в осях главных напряже-
ний найдем, используя зависимости:

lv] — Uij + mh] + n/з/, j = х, у, z, (1.33)
представляющие собой скалярные произведения единичного вектора
Ри единичных векторов, совпадающих по направлению с осями х, у,
z. Направляющие косинусы lij определяют положение главных на-
пряжений в системе координат х, у, z и их значения известны для
любого момента загружения.

Ниже приведена матрица направляющих косинусов, обусловли-
вающая взаимную ориентацию осей главных напряжений
<?1, <72, оз, главных осей анизотропии х, у, z и нормали v к опасной
площадке сдвига.

С учетом (1.33) зависимость (1.32) может быть представлена в
виде

С(у) = С(1, т, п),	(1.34)

а направление опасной площадки сдвига может быть найдено из ус-
ловия

max [Т (/, т, п) J = 0,	(1.35)

где Т=[(<71 — п)212т2+(р2 - аэ)2*я2л2+(<73 - щ)2п2/2р —С(1, т,«) + А(12 +
+ т2 + п2 - 1); Л — множитель Лангранжа.

Условие (1.35) может быть реализовано в форме

дТ/д1‘, дТ/дт; дТ/дп,

что приводит к следующей системе уравнений для определения на-
правляющих косинусов /, т, п нормали к площадке сдвига

((<71 - <тг)2/т2 + (стз — <7i)2//i2 (т7* — С/ + 2А/ = 0;

[(<72 — <тз)2/ил2 + (ai - <тг)2т/2[т71 - Cm + "^-гп — 0; (1.36)

[(<?3 — а\)гп^ + (<72 — стз^лт2!^1 — Сп + 2Ал 0.

Согласно (1.36) и (1.31) значение множителя А —

А = 0,5 (Cil + Стш + Спп) — Ту,
где Cil, Cmiri, Cnit — производные по I, т, п
от аналитического выражения закона изме-
нения пределов прочности на сдвиг С{1, т, п)
в системе координат, связанной с главными
осями напряжений.

Аналитическое выражение закона
изменения пределов прочности, на
сдвиг должно явным образом опреде-
лять значение С в зависимости от на-

	1	2	3	V
X	11х	1 2х	1 Зх	Ivx
У		12у	13у	Ivy
Z	1 U	/ 2х	13z	Ivz
V	1	т	п	
правления осей анизотропии, а также соответствовать условиям
предельного перехода к изотропному материалу, когда для любого
направления С - const. Настоящим требованиям отвечает следую-
щая форма закона в системе координат, связанной с главными осями
анизотропии материала

= Сх Ivx 4“ Су Йу “Ь Cz ^VZ*	(1.38)

Подобная форма закона для случая двухосного напряженного со-
стояния использовалась в работе [4 ] и удовлетворительно подтверж-
। дается экспериментальными данными.

На основании (1.38) и (1.33) в осях главных напряжений

C(v) = С(/, /п, п) = Cx(ll\x + mhx + л/зх)2 + Cy(ll\y + mhy + н/зу)2 +
+ Cz(ll\z + mh.2 + n/3z)2,	(1.39)

при этом в соответствии с (1.37) и (1.33) множитель! = 0. Подстав-
ляя (1.39) в (1.36), получим окончательную систему нелинейных
алгебраических уравнений для определения направляющих косину-
сов Z, т, п нормали к площадке сдвига и выражающую условие
прочности на ней в неявном виде

I l(ai - <72)2/п2 + (аз — ai)2n2](Ci 1/ + С12Л1 + С1зл)-1 ==

= т |(аг — аз)2п2 + (ai — аг)2/2 ](С21/ + Сггт + Сгзл)”1 =	(1.40)

= п [(аз - ai)2/2 + (аг - аз)2т2](Сз1/ + Сзгт + Сззл)”1 = 2тг;

;2 ।	2 ।	2 __ ,

I + т + п = 1,

Здесь Си = Сх Ixi + Су lyi + Сг /г,; Су = Сх ixi Ixj + Су 1у/ lyj + Cz Ixi Ixj, i,j = 1,2,3.

(1.40,-a)

Исследуем систему уравнений (1.40). Более подробно остановим-
ся на случае, когда главные оси напряжений совпадают с главными
осями анизотропии материала. При этом Ci 1 = Сх, Сгг = Су,
Сзз = Сг> Си = Сгз = Сз1 = 0, а из (1.40), следует

Cx(ai - a2)2L + [Сх(р2 - а3)2-Су(аз - <д)2 ]N-Cy(ai - аг)2М = 0;
(Cy(o’3-ai)2-Cz(ai - аг)2 ]£ - С2(аг - <J3)2N + Су(аг - аз)2М = 0;

L + М + N = 1,	(1.41)

где L - Z2, М = т2, N = л2.

Решая систему линейных алгебраических уравнений (1.41) отно-
сительно L, N, находим

L = I2 = т5з(Схт?2 + Cyril - Схт$з) k$3(Czr?2 + Cyril - Cxri3) +
+ т11(Схт?з + Czriz - CyT$i)+r?2(Cyr3i + Cjcrib - Cztfy г1. (1-42)
Выражения для М = т2 и N - п2 получаются из (1.42) путем за-
мены индексов в числителе по кольцевой подстановке при неизмен-
ном знаменателе.

Аналитическое выражение критерия прочности найдем, прирав-
нивая значение касательного напряжения ту пределу прочности на

сдвиг Cv на площадке сдвига
tv-Cv = 0,	(1.43)

где ту = 2(т?г/2ш2 + т^з/»2л2 + т?1Л2/2)г;	(1.44)

=	1.2,3;	'

Су = СХГ + Cym2 + Сгп2.	(1.45)

Согласно (1.42) — (1.45) критерий прочности при сдвиге —
2(СхСут$зт11 +С/:2т?1Т?2+СгСхт?2^з)-(сМз+СуТ^+Czrh)-
—4т?2*£з^1=0.	*	(1.46)

Выражения (1.42), определяющие значения направляющих коси-
нусов Z, т, п нормали к опасной площадке сдвига, справедливы,
когда числитель каждого из них является неотрицательной величи-
ной, что приводит к следующим условиям:

-Схт5з+Су41+Сгт?2^О;

Схт1з-Сут11+Сгт?2>0;

СхтЗз+Суг31-С2г?2^0.	(1.47)

Вводя систему координат X, Y,
Z = СгтЪ, соотношения (1.47) можно
секающимися плоскостями, образу-
ющими трехгранную пирамиду, ось
которой равнонаклонна к осям X, У,
Z, а грани проходят через биссект-
рисы углов соответствующих коор-
динатных плоскостей XY, YZ, XZ
(рис. 5).

Для напряженных состояний, со-
ответствующих траекториям нагру-
жения, расположенным внутри пи-
рамиды, будут выполняться условия
(1.47), а направление опасной пло-
щадки сдвига в предельном состоя-
нии будет определяться формулами
(1.42). Для состояний, соответству-
ющих одной из граней пирамиды,

Z, где Х = схт3з,
интерпретировать тремя пере-

Рис. 5. Трехгранная пирамида, ин-
терпретирующая условия (1.47)
г* соответствует простому нагруже-
нию
например грани ОВС, из (1.47) и (1.42) следует п « 0, в этом случа<
сдвиг будет происходить в плоскости, параллельной главной оси ани-
зотропии z.

Задача отыскания направляющих косинусов нормали к площадке
сдвига для случая, когда соотношения между at и Ci не удовлетворя-
ют условиям (1.47), т.е. для точек, лежащих вне пирамиды (см.
рис. 5), сводится к отысканию условных экстремумов функции V(l,
т, п), интерпретируемой некоторой поверхностью в декартовой си-
стеме координат I, т, п, на линиях пересечения ее с соответствую-
щими плоскостями Iя 0, т “ 0, п = 0:

F(Z, m, п) — Tv — Cv,

TvkCv определяются соотношениями (1.44) и (1.45).

Для состояния материала, соответствующего точке А, п - 0 и на-
правление опасной площадки сдвига может быть найдено из условия

шах [У (/, т,0)] = 0	(1.48)

или согласно (1.44) и (1.45)

max [(cri — аг)1т — Сх? — Су/п2 + A(Z2 + т2 — 1)1 = 0.

Реализуя условие (1.48) в форме

dV/dl = 0; dV/dm - 0,
приходим к системе уравнений

(<П - О2)т - 2СХ1 + 2X1 = 0;

(ст1 — аг)/ — 2Сут + 2Хт = 0.

Согласно (1.43) — (1.45) значение множителя Лангранжа

X = Cxi2 +'Сут2 — (<71 —, О2)1т = 0.	,

Таким образом, получаем систему однородных линейных уравне-
ний для определения направляющих косинусов Z, т, (п = 0) норма-
ли к опасной площадке сдвига

-2СХ1 + (<71 — ai)m = 0;

(oi — 02)1 — 2Сут — 0.	(1.49)

а также дополнительное уравнение

Z2 + m2=l.	(1.50)

Нетривиальное решение системы уравнений (1.49) возможно, ес-
ли определитель ее равен нулю, что приводит к аналитическому вы-
ражению критерия прочности

(а\ - аг)2 - 4Сх£у = 0.	(1.51).
 Решая первое уравнение системы (1.49) сосвместно с (1.50), а
также учитывая (1.51), получим выражение для определения на-
правляющих косинусов нормали к опасной площадке сдвига в рас-
сматриваемом случае (л « 0)

12 = Су/(СХ + Су);

п2 = СХ/(СХ + Су).	(1.52)

Аналогичную структуру с точностью до перестановки индексов
имеют выражения для направляющих косинусов в случаях, когда
I = 0 или m = 0,

Таким образом, мы рассмотрели один из частных случаев пре-
дельного состояния, когда главные оси напряжений совпадают с
главными осями анизотропии материала. Общая система уравнений
(1.40) при этом значительно упрощается.

Рассмотрим частный случай, когда только одна из главных осей
анизотропии совпадает по направлению с одной из главных осей
напряжений, например ось у — с осью аг.

Из системы уравнений (1.40) следует

(?A--g3)n. = _fei	-7	<» 53)

CnZ+Ciyi Сз1/ + Сззп	U '

Записывая (1.53) в виде

(ci - оз — 201 з)/ - 2Сззп = 0;

—2C11Z + (ст1 — стз — 2С1з)/г = 0,	(1.54)

и раскрывая определитель однородной системы линейных уравнений
(1.54), найдем <7] — аз = 2(СиСзз)Ь2 + 2С13» откуда с учетом
(1.40, а) получим окончательное выражение критерия прочности
при сдвиге для рассматриваемого случая

- стз = [(Сх - Сг)2 sin 2 2а + 4CxCz ]2 - (Сх - Cz) I sin 2а I -

Положение площадки сдвига в плоскости xz определяется соотно-
шением

~ -LI& - с.х I I (1J6)
2(CxSin а + Сусога)

‘™	,„->т g| ~ °Э (Сх - с.) I Sin2q I

18 *<’ "--------(Сх - C.)coL------	“ Л7)

где у, — угод между нормалью v к площадке сдвига и щ; а — угол между осью х и
*1.

При переходе к изотропному материалу Сх = Су — Cz = Си = С,
CtjssQ, при этом уравнения (1.40) упрощаются и их решение сво-
дится к отысканию положений площадок главных касательных на-
пряжений, а также величин максимальных касательных напряже-
ний, определяющих сдвиговую прочность материала,

В общем случае решение системы нелинейных алгебраических
уравнений (1.40) может быть получено только с использованием
приближенных методов. Для этой цели рекомендуется использовать
следующий алгоритм, основанный на итерационном уточнении ре-
шения методом последовательных приближений.

Уравнения (1.40) можно представить в виде
l/i = 1/2 = t/3 = 2тъ	(1.58)

где Uk=AJk (к = 1, 2, 3); переменные Ак соответствуют произведениям много-
членов, стоящих в выражениях (1.40) в скобках, а 1к — значениям неизвестных I
т, п.

Задается начальное приближение 1ко~ На каждой i—й итерации
для заданных значений направляющих косинусов и напряжений вы-
числяются Aid, UKi (к =“ 1, 2, 3), а также проверяется условие ра-
венства величин Un, Uzi> U3il

I Uu - Uzi I e; I Uu - U3l I £ e,	(1.59)

где e — некоторая постоянная, определяющая точность вычислений.

В случае невыполнения хотя бы одного из условий (1.59) решение
уточняется следующим образом:
3	.

t/s/=(Z (7к/)/3; bUKi = Uki - Usf, Ык1 = 0,5^UKiAKi;
к= 1

Z<f+1) = Iki + Д/кЬ к - 1, 2, 3.	(1.60)

Итерационный процесс заканчивается при выполнении условий
(1.59). В качестве начального приближения могут быть приняты
значения направляющих косинусов прямой ai = az —аз равно-
наклонной главного координатного угла.

Данный алгоритм позволяет отыскать направление опасной пло-
щадки сдвига в общем случае трехосного напряженного состояния
при известных соотношениях между главными напряжениями
ст1, 02, <73. Предельные значения главных напряжений могут быт»
найдены из условий равенства касательного напряжения tv и преде-
ла прочности на сдвиг С(у) на этой площадке.

Приведем последовательность поверочного расчета на сдвиго-
вую прочность материалов в случае простого нагружения, когда
соотношения между главными напряжениями известны и в процесс^
нагружения не изменяются.	1

1.	Для заданных значений напряжений из системы уравнений (1.40)
в соответствии с вышеприведенным алгоритмом определяются на*1
правляющие косинусы I, т, п нормали v к опасной площадке сдвига,
В ОСЯХ <71, <72, ОЗ-
2.	По формулам (1.33) определяются направляющие косинусы
А,/(/вХ»У»а) нормали v в главных осях анизотропии материала
х, У, х-

3.	Из выражения (1.38) находится предел прочности на сдвиг C(v) на
рлощадке с нормалью v.

4.	По Формуле (1.31) определяется фиктивное касательное напряже-
ние тТ на площадке с нормалью v для заданных значений
oi, 02, оз.

5.	Находится коэффициент приведения нагрузки к предельной
p = C(v)/r?.	(1.61)

6.	Определяются действительные значения предельных нормальных
напряжений

а/=/хт/, z = 1, 2, 3.	(L62)

7.	Делается проверка критерия прочности: для найденных значений
Z, т, п и ai проверяется выполнение уравнений (1.40) и равенства
ty = C(v).

Рассмотрим несколько числовых примеров.

Пример1. Пусть материал характеризуется относительными прочностными по-
казателями Сх = 4, Су = 1, Сх = 2. В некоторой точке действует система главных
напряжений, принимающих при простом нагружении значения ai=5,25, <72=3,50,
03 s= 1,75. Положение главных осей напряжений по отношению к главным осям
анизотропии материала задано следующей системой направляющих косинусов:
?1л= 0,866, l2xs= О, /зх= — оЗ> /1у= О» ^2у— 1, 1зу= 0, Ziz= 0,5, Itz— О, 1зг— 0,866.

Найдем положение опасной площадки сдвига и значения предельных напряжений
в данной точке.

Численное решение уравнений (1.40), полученное с использованием приведен-
ного алгоритма, дает следующие значения направляющих косинусов нормали к
площадке сдвига: I « 0,6070, т = 0,3292, п = 0,577. Коэффициент приведения для
данного случая р - 1,193, предельные главные напряжения ai=6,266, </2=4,177,
5з » 2,089, касательное напряжение на площадке сдвига и предел прочности на
сдвиг ту = С(у) = 1.945. Уравнения (1.40) для найденных значений Z, /и, л, щ и ту
удовлетворяются.

Пример 2. Пусть для того же материала имеем: <7i=6,<72=4, аз = 2, lu = 1.
kr = 1зх — О, hy = О, hy = 1, hy “О, lix = hz = О, hz = 1» т.е. главные оси напряже-
ний совпадают с главными осями анизотропии материала. Используя то же на-
чальное приближение, что и в примере 1, находим /=0,3537, т=0,7070,
4=0,6124. Далее находим />=1,323, <й=7,937, 02=5,292, оз=2,646, tv=C(v)=
«1,750. Проверка показывает, что уравнения (1.40) удовлетворяются.

В рассмотренных примерах использовался общий подход к решению уравне-
ний (1.40) — с применением вышеприведенного алгоритма их численного реше-
ния. Для примера 2, когда главные оси напряжений совпадают с главными осями
анизотропии материала, проиллюстрируем решение задачи с использованием
полученных для этого случая аналитических зависимостей.

Проверка показывает, что для заданных числовых значений условия (1.47) выпол-
няются, т.е. точка, характеризующая напряженное состояние, лежит внутри пирамиды,
изображенной на рис. 5. Для рассматриваемого случая справедливы соотношения
(1.42), которые дают I - 0,3537, т = 0,7070, п = 0,6124. Для найденных значений
I, mt п по (1.45) определим, предел прочности на сдвиг Су - 1,75, а по (1.44) —
значение фиктивного касательного напряжения на площадке сдвига = 132. Это ка-
сательное напряжение является фиктивным потому, что вычисляется для заданных
значений главных нормальных напряжений, а не для предельных значений. Определим
коэффициент приведения нагрузки к предельной по (1.61):р = 1326. Находя действи-
тельные значения предельных главных нормальных напряжений по (1.62), получим
ai = 7,95, 02 « 5,30, оз = 2,65. Подставляя найденные значения предельных напря-
жений в критерий прочности (1.46), убеждаемся, что он выполняется.

Примерз. Пусть для того же материала имеем oi ~ 6, 02 ~ 2,899, 03 = 2; по-
ложение главных осей напряжений такое же, как и в примере 2.

Проверка условий (1.47) показывает, что третье неравенство обращается в
ноль, т.е. точка, характеризующая напряженное состояние, расположена на грани
ОВС пирамиды (см. рис. 5). Для этого случая справедливы соотношения (1.42),
откуда находим Z = 0,4472, т = 0,8944, п = 0. Далее получаем Су = 1,6, т# = 1,24,
р = 1,2899. Предельные напряжения: щ = 7,/39, ?2 = 3,739, 5з = 2,580, критерий
прочности (1.46) выполняется.

П р и м ер4. Пусть для того же материала имеем = 6, 02 = 1» °3 - 2; положе-
ние главных осей напряжений такое же, как и в примере 2.

Проверка условий (1.47) показывает, что третье неравенство не выполняется,
т.е. точка, характеризующая напряженное состояние, вышла за пределы пирами-
ды. Для этого случая необходимо использовать соотношение (1.52), откуда нахо-
дим I = 0,4472; т = 0,8944, п = 0. Далее получаем Су = 1,6, 1$ = 2,0, р =0,8. Пре-
дельные значения главных нормальных напряжений щ = 4,8: аг = 0,8, аз = 1,6.
Для данного случая следует использовать выражение критерия прочности в виде
(1.51), который для найденный значений напряжений выполняется.

Полученные в настоящем параграфе соотношения, а также алго-
ритм решения системы нелинейных алгебраических уравнений мо-
гут быть использованы для проверки прочности элементов из ани-
зотропных материалов в общем случае трехосного напряженного со-
стояния, когда их прочность определяется сдвигом.

4.	Определяющие уравнения предельного состояния ортотропных
тел при сопротивлении отрыву и смятию

Трехмерная задача теории идеальной пластичности в настоящей
время остается наименее изученной. Анализ общих положений дл*
изотропных материалов проведен Д.Д. Ивлевым [20] в основной
при условии пластичности Мизеса. Вопросы статики и кинематика
анизотропной пластической среды в условиях плоской задачи рас
сматривались в [8, 9 ].
В настоящем параграфе формулируются определяющие уравнения *
предельного состояния ортотропных тел в общем случае трехосного на-
пряженного состояния, когда пластическое течение вызывается дефор-
мациями удлинения, предшествующими явлению отрыва.

Полученный критерий прочности (1.10) в системе координат, свя-
занной с главными напряжениями или компонентами тензора на-
пряжений, описывает некоторую поверхность, называемую поверх-
ностью прочного сопротивления, выход с которой "наружу0 приво-
дит к нарушению прочности, т.е. разрушению материала. Будем
считать, что поверхность текучести находится внутри поверхности
прочного сопротивления и отстоит от последней на исчезающе ма-
лом расстоянии. Перемещаясь по поверхности текучести (путем со-
ответствующих изменений напряженного состояния при неравно-
мерном всестороннем растяжении) можно осуществить значитель-
ные деформации текучести материала, не нарушая при этом усло-
вия прочности.

Таким образом, условие (1.10) можно трактовать как условие
пластичности ортотропных материалов. С количественной точки
зрения можно не делать различия между уравнениями условий
прочности и пластичности, учитывая как угодно близкое совмеще-
ние предельных поверхностей. Аналогичные рассуждения справед-
ливы и в отношении критерия прочности при смятии (1.23).

Интерпретация условий прочности (1.10) и (1.23) как условий
пластичности дает возможность использовать при расчетах массив-
ных элементов, находящихся в условиях всестороннего неравномер-
ного растяжения или сжатия, математический аппарат теории иде-
альной пластичности.

Сформулируем систему определяющих уравнений предельного
состояния ортотропного тела при сопротивлении отрыву. Будем счи-
тать величины RpXt Rpy и Rpz соответствующими пределами теку-
чести материала в направлениях главных осей анизотропии х, у, z.

В общем случае трехосного напряженного состояния имеем следу-
щую систему уравнений: три уравнения равновесия (без учета мас-
совых сил)

$2* . <**2. + о-
дх	ду	дг	’ .

^ + ^ + ^5 = 0;	(1.63)

дх	ду	dz

аГ + "аГ + 17 = 0

и условие пластичности (1.10)

(fipx~<lx)(Rpy~ ay)(Rpz—&z) — (Rpx—Vxytyz— (Rpy—0y)&—(Rpz—&z)Txy—
—2TxyTyzTzX~Q'
Очевидно, что шесть неизвестных компонент тензора напряжений
не могут быть найдены из системы четырех уравнений. Для постро-
ения замкнутой разрешающей системы необходимо привлечение со-
отношений, связывающих девиаторы напряжений и скоростей де-
формаций.

Введем обозначения

<рх — Rpx » ох\
fy = Rpy ~~ ay*
ft = Rpt ~ Ox,

(1.64)

Тогда (1.10) примет вид

fxfyft - <рх*ух ~ fyfxt — ft^xy ~	0.	(1.65)

Будем исходить из ассоциированного закона пластического тече-
ния, принимая в качестве пластического потенциала F условие пла-
стичности (1.65). Получим следующие выражения для компонент
скоростей деформаций

£* = Л-Jjr в Ц-fyft + *ух);

£у -	~ ft + Тхх);

tx ~	~ Л(~Р*Ру + т*у)!

txy - 2дтху ~	~ ту*«)?	(1.66)

ь Л dF	,,	.

ьу* = 2 ~Hiyt ~	” Х*У ***)•

£*« =	= ^ГФУ т*х - Гху Туг).

Выразим компоненты скоростей деформаций через компоненты
скоростей перемещений по формулам

(1.67)
Подставляя (1.67) в (1.66) и исключая параметр Л, получим сле-
дующую систему уравнений

_ gxpy ~ Тху _ 4>ztXy + TyzTZX _

9Vx/dx dVy/ду dVz/dz Q,5(dVx/dy + dVy/dx)
?X*yz + *ХУ*ХХ___________<Py*ZX + TjtyTy,

' 0,5(dVy/az + dVz/dy) 0,5(dVz/dx + dFx/dz)’	U.ooz

где независимыми являются пять уравнений.

Еще одно уравнение получим, выразив неизвестный параметр А
из (1.66). Для этого первые три уравнения системы (1.66) предста-
вим в виде

A tx pxe ~рх $Ру ^z+y>x Тух»
А . Су)Ру=—У’у1Р*У,х+рутгх;
A tz<Pz— ~'f’z fx^ху>

(1.69)

откуда с учетом (1.65) после несложных преобразований найдем
А = -	+	..	(1 до)

"М&хфуфх + TxyTyzTxz)'

Тремя замыкающими уравнениями являются уравнения равнове-
сия (1.63), записанные в виде

дфх в 9тху fltxz.
дх ~ ду	dz ’

fyy _	+ дЪсУ.

ду ~ dz	дх '

dpz _ 9tzx . dTyz
dz dx	dy *

(1.71)

Таким образом, для определения десяти неизвестных
F* ♦ Ру, Pzt *ху, *yz, *zx, Vx, Vy, Vx, А имеем замкнутую систему из
десяти уравнений: пяти уравнений (1.68), уравнения (1.70), трех
уравнений (1.71) я условия пластичности (1.65).

Аналогичная система определяющих уравнений может быть полу-
чена также при рассмотрении предельного состояния ортотропных
тел в случае, когда пластическое течение материала вызывается де-
формациями сжатия, предшествующими явлению смятия.

5.	Задачи о предельном состоянии ортотропных цилиндрических
стержней при кручении

Рассмотрим несколько практических задач, иллюстрирующих
применение полученных выше критериев прочности при исследова-
нии состояния ортотропных цилиндрических стержней при кручении.
Рис. 6. К исследованию прочности кругового ортотропного цилиндра при кручении

Задача 1. Пусть имеем стержень в виде ортотропного кругового
цилиндра (рис. 6), один конец которого закреплен, а на другом дей-
ствуют усилия, приводящиеся к крутящему моменту М. Поместим
начало декартовой системы координат в центре незакрепленного се-
чения, направив координатные оси х, у, z по главным осям анизот-
ропии материала. Определим предельный крутящий момент, приво-
дящий к разрушению стержня.

Решение задачи о кручении ортотропного стержня произвольного
односвязного сечения найдено еще Сен-Венаном. Им показано, что
при заданном крутящем моменте распределение напряжений в орто-
тропном теле не зависит от упругих постоянных и совпадает с их
распределением в таком же изотропном теле. Стержень будет испы-
тывать деформацию, основной особенностью которой является пово-
рот одного сечения относительно другого при одновременном иск-
ривлении сечений (за исключением кругового и кольцеобразного),
причем все сечения будут искривляться одинаково. Подробно напря-
женно-деформированное состояние стержней с анизотропией самого
общего вида рассматривается в [27 ].

Напряженное состояние стержня кругового сечения, изображен-
ного на рис. б, характеризуется тем, что из шести компонент тензо-
ра напряжений только две не равны нулю

л 2Л/	2Л/	Z1 —

Ох “ оу = oi = tyz — 0; Тух —	7 т; Tzx--л У» (1 >72)

xR	xR

где R — радиус цилиндра.
Выражая главные напряжения ai и 03 через компоненты тМ) тух,
получим	!	1

tri = (Тгх + ТуХ)2; оз = -(т?х + Тух)*,

а после подстановки (1.72)

Ш = -^(г2 + У2)1; оз = —(1.73)
xR	xR	X

На поверхности кругового цилиндра при (z2 + у2)2 = R главные
напряжения будут достигать своих максимальных значений

2М	2М

tri - —оз --------й

xR3	xRa

(1.74)

Таким образом, при кручении кругового цилиндрического стерж-
ня в каждой его точке (кроме точек, лежащих на оси цилиндра)
имеет место состояние чистого сдвига, при котором главные растяги-
вающие or и сжимающие 03 напряжения действуют по площадкам,
наклонным по углом 45* к продольной оси стержня.

Полагая, что хрупкое разрушение цилиндра может наступить от
отрыва, смятия или сдвига по некоторой опасной площадке, потре-
буем выполнения соответствующих критериев прочности (1.16),
(1.28) и (1.55). Как и ранее, будем считать, что между прочностны-
ми константами материала выполняются следующие соотношения:

Rpx Rpy Rpz', Rcx Rcy 2: Rcz', Сх 2: Су & Cz.

(1.75)

Подставляя (1.74) последовательное (1.16), (1.28) и (1.55), опре-
делим значения предельных крутящих моментов в предположении
разрушения стержня соответственно от отрыва, смятия и сдвига

М = 0,5дЛ3(ЛрхЛр1)2;	(1.76)

м=q,5xr\r6xRcx)*;	алъ

M = 0,5xR3Cz.	(1.78)

Прочность кругового ортотропного цилиндра будет обеспечена,
если действующий крутящий момент будет меньше значений, опре-
деленных по формулам (1.76) — (1.78).

Задача 2. Рассмотрим ортотропный стержень эллиптического сече-
ния, находящийся под действием крутящего момента М. Как и ра-
нее, поместим начало координат в центр свободного торцевого сече-
ния, ось х направим по геометрической оси цилиндра, а оси у и z —
по главным осям эллипса, совпадающими с главными осями анизот-
ропии материала. Рассмотрим вначале такое положение эллипса в
плоскости yoz, когда его большая полуось совпадает по направлению
с осью z, как показано на рис. 7, а.

Как уже отмечалось, напряженное состояние цилиндрического те-
ла при кручении характеризуется тем, что из шести компонент тен-
зора напряжений только две не равны нулю. Для эллиптического
цилиндра имеем

л 2Л/	2М -

ах = оу = az = Tyz = 0;	=tzx =-------------;y, (1.79)

ла b	nab

где а и Ъ — соответственно большая и меньшая полуоси эллипса.

Выражая главные напряжения спи03 через т^хитгх, с

(1.79) получим

учетом

2м(^_
Ст1 =—- 2-

лаЬ £

а‘

2М (у2
лаЬ

1
z2V

(1.80)

; аз =

Известно, что при кручении.стержней эллиптического сечения
максимальные напряжения возникают в крайних точках, лежащих
на малых полуосях элипса. При z  0, у = b имеем

2Л/	2М	вп

crj =---аз --------г.	(1.81)

лаг	лаЬ

Полагая, что разрушение цилиндра может наступить от отрыва,
смятия или сдвига, потребуем выполнения соответствующих крите-
риев прочности (1.16), (1.28) и (1.55) в самых напряженных точках
Ви В' (см. рис. 7, а).

Подставляя в критерий (1.16) значения напряжений (1.81) и учи-
тывая, что при чистом сдвиге а = 45*, получим выражение для пре-
дельного крутящего момента, приводящего к разрушению от отры-
ва,	£

М = 0,&iab\RpxRpz)^.	(1.82)

Аналогичные выражения получим для предельных моментов,
найденных из условий смятия и сдвига, ।

М = 0,5лаА2(Л«/ги)2;	(1.83)

М = Ъ,5лаЬгСг.	(1.84)

Таким образом, при кручении эллиптического цилиндра проч-
ность его будет обеспечена, если величина внешнего крутящего мо-
мента будет меньше величин, определяемых по формулам (1.82) —
(1.84).

Очевидно, когда большая ось эллипса совпадает по направлению
с осью z, а малая с осью у, можно определенно указать положения
Рис. 7. К исследованию прочности эллиптического ортотропного цилиндра при
кручении

опасных точек, где вероятнее всего произойдет разрушение матери-
ала от отрыва, смятия или сдвига. Они находятся на концах малых
полуосей эллипса. Действительно, именно здесь напряжения дости-
гают своих максимальных значений, а пределы прочности материа-
ла (Rpz, Rcz, Cz) — минимальных.

Иная картина наблюдается при другой ориентации цилиндра,
когда большая ось эллипса совпадает с осью у, а меньшая — с осью

как показано на рис. 7, б.
Для этого случая
л 2М	2М

сгх = оу = az = Tyz = О; туХ —-- г; Xzx —--3“ У»

лаЬ	ла b

(1.85)

1 1

2Л/ (£_ , z2)2 2М z2) 2

<т‘=^К4 + 7 ;’3 = -^К4 + 7 

Максимальные напряжения возникают в точках, лежащих на
концах малых полуосей эллипса, т.е. при у = 0, z = b, однако преде-
лы прочности материала в этих точках не являются минимальными.
В данном случае положение точки, где раньше всего выполнится ус-
ловие предельного равновесия, вообще говоря, зависит от соотноше-
ний полуосей эллипса и прочностных констант материала.

Запишем критерий прочности при отрыве (1.16) в следую-
щем виде

2	. 2

cos a	sin а	_ аюз .

Rpx Rp(y>z) а1 RpxRp(y, z)

• 2	2

sin a cos а

Rpx Rp(y>z)

аз — 1 = 0.

Как видно из рис 7, б в точке С прочность материала при растя-
жении характеризуется постоянными Rpx и Rpy, а в точке D — соот-
ветственно Rpx, Rpz. При движении вдоль контура поперечного се-
чения предел прочности при растяжении в плоскости yz изменяется
от значения Rpy по Rpz по закону

Rp(y,z) + Rpyco^p + Rpz sin2fl,	(1.87)

где fi — угловая координата, определяющая местоположение рассматриваемой
точки на контуре сечения, отсчитываемая от оси г.

Подставляя (1.85) и (1.87) в (1.86) и учитывая, что а — 45’, по-
лучим условие прочности при отрыве в форме

-^14 + 4l =	+ RpzSitfy).

ла b la b j

Полагая	> 'У 9	2 л — О 5

z = ab cos/?(o sin2Д + a2 cos"р) ’ :

у = ab sin/1 (62 sin2р + а2 cos2р)~ ’ ,

приходим к выражению
2

(b4 sin20+a4cosfy) - Rpx(RPyco^+Rpzsia2P)x
лаЬ

X(62sin2j3 + a^os^eQ.	(1.88)
Положение опасной площадки отрыва на контуре поперечного се-
чения может быть найдено из условия

dG(0)/d0 = 0.

После.дифференцирования и преобразований получим выражения
для sin 20 и cos 20, определяющие значения углов 0 = 0 для площад-
ки отрыва

sin 20 = О,

cos 20 —

4M2(b4 - а4) - a2a4b4Rpx(RpJ>2 - RpyC?)
л2а4Ь4(Ь2 - a2)RpJRPy - Rpi\

(1.89)

(1.90)

Находя отсюда значение и подставляя его в (1.88), можно опре-
делить значение предельного крутящего момента, приводящего к
разрушению.

При 0 = 0

£

М = 0,5nab2(RpxRpy)2;	(1.91)

при 0 = л/2	j

М = Q,5na2b(RpxRPt^\	(1.92)

при 0, соответствующем выражению (1.90),

М = чЛЛг/д^К*^2 + *лЛ<>2 - »2) +
2(0 +‘> . • ...

+ 2ab(Rptfi4 - RPyb4)2(RPy - Rpz')2 ]}2(а2 - i2)2.

(1.93)

Таким образом, значение предельного крутящего момента в пред-
положении разрушения материала от отрыва может быть найдено
как наименьшее значение по одной из формул (1.91) — (1.93).

Исследуем выражения (1.91) — (1.93). Если положить, что между
геометрическими и прочностными постоянными цилиндра имеют
место соотношения

R /Л
Rpx^consV, -=^ = ^7-^+1,	(1.94)

Кру <Г a2

то значения предельных моментов, найденные по формулам (1.93) и
(1.91), совпадают. Опасная точка отрыва находится на конце малой
полуоси эллипса, т.е. при /8 = 0.
Если выполняются соотношения

Z?Px = const;	1,	(1.95)

kp* г b

то совпадают значения предельных моментов, найденные по форму-
лам (1.93) и (1.92). Опасная точка отрыва находится на конце боль-
шой полуоси эллипса, т.е. при fl = л/2.

Если имеют место условия

Rpx e constj Rpxt^ — Rpyb^ О,
то в этом случае справедливы только формулы (1.91) и (1.92). Тоже
имеет место при а = Ь.

Анализ выражений (1.91) — (1.93), проведенный при различных
соотношениях прочностных и геометрических постоянных цилинд-
ра, показал, что значение предельного момента, определяемое соот-
ношением (1.93), оказывается минимальной, если отношение длин
полуосей эллипса отвечает условию

1 1
| j0,5 (1 + (4$ - 3)2 J2,	(1.97)

где{»^а> 1.

В противном случае для определения минимального крутящего
момента следует пользоваться соотношением (1.92).

Таким образом, при кручении ортотропного эллиптического ци-
линдра может произойти его хрупкое разрушение от отрыва. Мини-
мальный крутящий момент, приводящий к разрушению, зависит от
соотношений между прочностными и геометрическими постоянными
цилиндра, а также от ориентации его в пространстве главных осей
анизотропии. Для цилиндра, ориентированного так, как показано на
рис. 7, а, опасные точки, где наиболее вероятно произойдет разру-
шение, находятся на концах малых полуосей эллипса и значение
предельного крутящего момента в случае отрыва определяется по
формуле (1.82). Для цилиндра, ориентированного так, как показано
на рис. 7, б, значение предельного момента определяется по форму-
ле (1.93) , если выполняется условие (1.97), и по формуле (1.92),
если это условие не выполняется. Положение опасной точки на кон-
туре поперечного сечения, характеризующейся угловой координатой
Р, определяется соотношениями (1.89) и (1.90).

Рассмотрим числовой пример. Пусть требуется определить минимальный крутящий
момент, приводящий к разрушению цилиндра эллиптического сечения, изображенного
на рис. 7, б, у которого а = 15 см, Ъ = 10 см и материал которого характеризуется сле-
дующими прочностными показателями: Rpx = 100 МПа, Rpy = 10 МПа, Rpz =
5 МПа.
Рис. & К определению предельного пластического момента при кручении ортотроп-
ного цилиндра

Подставляя значения прочностных и геометрических постоянных в условие
(1.97), получаем 1,5 > 1,272, что говорит о необходимости использования форму-
лы (1.93) для данного случая. Из (1.93) получаем М х 70649,99 Н-м. Для сравне-
ния подсчитаем моменты по формулам (1.91) и (1.92). Соответственно имеем
М = 74471,64 Н-м.' и М = 78989,09 H-м., что больше значения, найденного по
формуле (1.93). Положение опасной точки на контуре поперечного сечения опре-
делим из соотношения (1.90), откуда получим Р = 50,77°.

Аналогичные зависимости могут быть получены для кругового и
эллиптического цилиндров в случае их хрупкого разрушения от
смятия и сдвига с использованием критериев прочности (1.28) и
(1.55).

Задача 3. Рассмотрим некоторые вопросы кручения цилиндриче-
ских стержней из идеально пластического материала [26 J. Кручение
изотропных стержней различных поперечных сечений из упругопла-
стического и жесткопластического материалов при условиях пла-
стичности Мизеса и Треска-Сен-Венана рассмотрено в работах [28,
37 ]. Для этих условий пластичности найдены значения предельных
крутящих моментов, аналитические выражения которых приводят-
ся, например, в справочном пособии [31 ]. Определим значения пре-
дельных крутящих моментов для ортотропных цилиндрических
стержней кругового и эллиптического сечений при условии пластич-
ности (1.55), т.е. при условии, когда пластическое течение вызыва-
ется сдвиговыми деформациями.

Рассмотрим цилиндрический стержень кругового сечения, нахо-
дящийся под действием крутящего момента М (рис. 8).
Условие пластичности (1.55) запишем в виде
, , 1
<71-03 = J [Сх ~ С(у, z ) rsin2^ + 4СхС(у, z)}2 - [Сх - С (у, z) J I sin2a |
(1.98)

Как видно из рис. 8, в точке С прочность материала при сдвиге
характеризуется постоянными Сх и Су, а в точке D — соответствен-
но СхиСг. При движении вдоль контура поперечного сечения пре-
дел текучести на сдвиг изменяется от значения Су до Сх по закону

С (у, z) = С(р) = Cycosfy + Czsin2/J,

где fl — угловая координата, отсчитываемая от оси г, cosfl = г/р; sin^ =у/р;
р2 =z j2 + z\	радиус-вектор.

Выражая главные напряжения через г™ и txz по формулам
1 1

<71 = (Тху + Txz)2; 03 = -(Тху + Txz)2,

и подставляя эти выражения, а также соотношение (1.99) в (1.98),
получим при а = 45*

т?у + Txz = (Су cos2/l + Cz sin2/!)2,
откуда найдем значение главного вектора касательных напряжений
в предельном случае (рис. 9)

т = (т2у+t2z)2 = Су cos2^ + Cz sin2/3.	(1.100)

Для кругового сечения главный вектор касательных напряжений
в точке направлен перпендикулярно радиусу.

Рассмотрим бесконечно малый элемент площади поперечного се-
чения стержня, ограниченный двумя произвольными дугами, радиу-
сы которых отличаются на бесконечно малую величину dp, и двумя
радиальными сечениями, отстоящими друг от друга на бесконечно
малый .угол dp (см. рис. 8). Площадь элемента dS =pdfidp, элемен-
тарная сила, действующая на элемент в предельном состоянии
dF =tdS — tpdfidp, элементарный момент dMn — pdF = tp2dpdp.

Интегрируя по всей площади поперечного сечения стержня с уче-
том (1.100), получим выражение для предельного крутящегося мо-
мента в виде

Мп ~ fffl^F — ff(CyCOS2p + Cz's\r?P)p2dpdp,

S s

а после интегрирования	**

Мп = ^яа3(Су + Cz),	(1.101)

J
где a — радиус кругового цилиндра.
Рис. 11

Рис. 9. Векторная диаграмма распределения касательных напряжении по сечению
кругового цилиндра в момент исчерпания несущей способности (Су-10 МПа,
Сг-5МПа)

Рис. 10. Главный вектор касательных напряжений направлен по касательной к кон-
туру сечения

Рис. U.K определению предельного крутящего момента для стержня эллиптическо-
го сечения

Д ля кольцевого сечения предельный момент выражается форму-
лой

мп = 4г(а3 - b3)(Cy + Cz),
О

(1.102)

где а — внешний радиус кольца; Ъ — внутренний.

Перейдем к рассмотрению эллиптического сечения. Распределе-
ние напряжений по сечению, которое удовлетворяет одновременно
уравнениям равновесия и граничным условиям на поверхности,
можно получить только в том случае, если положить, что главный
вектор касательных напряжений совпадает с направлением каса-
тельной к границе контура в рассматриваемой точке, например в
точке Л (рис. 10).
Составим выражение для элементарного момента
dMn — rpdfidppcGSY,

а с учетом (1.100)

= (Су cos2/? + Ctsir?fi)p2dpdp со^;	(1.103)

где pcosy—плечо элементарной силы (рис. 11).

Определим величину cosy. Уравнение эллипса в полярных коор-
динатах	j

х = г cos/?; у = гsin/?; г = аЬ(<?со^р + Ain2/?) 2, (1.104)
где « и Ь соответственно большая и меньшая полуоси эллипса. _ .

Уравнение касательной к эллипсу

ууо/е^ + zzo/b2 — 1,	(1.105)

гдеуо, Zo—координаты точки касания.

Выражая уьихь через соотношения (1.104) получим
_Х
хо » ab cos fl(a2co^/3 + Ain2/?) 2;

_ £

Уо- aisin^Aos2# + Ain2/?) 2.	(1.106)

При у=Ю из (1.105) получим z = K=b2/zo; при
х = 0 у = S » а/уо, с учетом (1.106) имеем

X	X

^(Aosi2/? + Ain2/?)2	^Aos2/? + Ain2)?)2

a cos/? ’	6 sin/?

Как видно из рис. 11,

ctgQ =

К _ Air#.
s Ao#’

OB as Кsind =

К _ a^AoS2/? 4- Ain2/?)0,5
(i + cti&f'5 ~ (Aos2/? + Ain2#)0,5 ’

cosy = — =

Aos2/? + Ain2/?
(Aos2/? + Ain2/?)0,5

(1.107)

При #  0 и /? = л/2, cosy = 1. В этих случаях радиус-вектор
совпадает соответственно с меньшей и большей полуосями эллипса,
а касательная к эллипсу перпендикулярна радиусу-вектору.
Для получения предельного значения момента необходимо проин-
тегрировать (1.103) с учетом (1.107) по всей площади сечения.

Мп - //(Су cos2^ + Ct sit??)——? +~^^p2dpdp.	(1.108)

5	a4cos^5 + i4sin2/J)2

После интегрирования и преобразований приходим к выражению
Мп -1(а3Су/1 + b3Czl2),	(1.109)

х/1.______________________

** * ’ 4{ ^ + ш*)03(^ + «’)°3’

.<#

* в («£2Д + e4)0,5(czg2/J + *2)03’

л> = г, в = — (а > Ь).

6 а 4	'

Приводя интегралы /1 и h к табличному виду, получим

/2-^—
е(е2-1)

Я/2

gj4 — 1
ш4
?-1
£2

, («>2 -1)0’5

,зчМ

(1.110)

ГдепАл.К)-/
А

1 - л sin2/3(l - fc2sin2/?)0,5

полный нормальный эллиптический

интеграл Лежандра третьего рода;

я/2

Л[(в>2 — I)0,5] =®F(—,к) = f——^2^2^03 “ палный нормальный эллиптический
интеграл Лежандра первого рода.

е - е



При а - b формула (1.109) совпадает с (1.101).

Рассмотрим числовой пример. Для стержней кругового (а » 10 см) и эллиптиче-
ского (а == 10,5 см, b - 10 см) сечений подсчитаем предельные значения крутя-
щих моментов. Постоянные материала: Су « 10 МПа, С; « 5 МПа.

Для кругового сечения по формуле (1.101) получаем М » 15700 Н м. Для эл-
липтического сечения значения интегралов А и/2 определим по (1.110) (39]:
/1 • 2,9735079, h = 3,3622506, а по формуле (1.109) получим М « 17077 Н-м.
Глава 2

МОДИФИЦИРОВАННЫЕ КРИТЕРИИ
ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
ОРТОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

1. Модифицированные критерии прочности ортотропных
материалов при трехосном напряженном состоянии -

В инженерных расчетах оказывается целесообразным использова-
ние модифицированного подхода, базирующегося на построении си-
стемы предельных условий, заменяющих критерии прочности
(1.10), (1.23) и (1.40), имеющих более простые аналитические вы-
ражения. При построении таких критериев вводятся допущения, не
носящие принципиального характера и позволяющие, в конечном
итоге, заменить гладкую криволинейную предельную поверхность
многогранной [24, 25].

Сформулируем модифицированный критерий прочности орто-
тропных материалов при отрыве, когда хотя бы одно из главных на-
пряжений в точке является растягивающим.

Как уже отмечалось, при одноосном растяжении компоненты тен-
зора напряжений выражаются по формулам (1.11), а критерий
прочности при отрыве для этого случая имеет вид (1.12). Это выра-
жение при т - 0 совпадает с зависимостью (1.1), хорошо подтверж-
дающейся экспериментальными данными.

В общем случае объемного напряженного состояния в каждой точ-
ке тела можно указать три взаимно ортогональных направления, по
которым действуют главные напряжения сгь сгг, аз. Пусть главные
оси напряжений /, 2, 3 составляют с главными осями анизотропйи
х, у, z углы, косинусы которых обозначим //, /п/, ni.

Тогда в соответствии с выражением (1.12) значения пределов
прочности на отрыв в направлениях осей главных напряжений мож-
но определить по формуле

( /?	и?^-1

Rpi= hr- + 7Г- + -Г- ’I=1>2’3-	(2.1)

IKpx Кру Kpzl

Полагая, что опасное состояние материала наступит тогда, когда
хотя бы одно из главных напряжений достигнет своего предельного
значения (2.1), модифицированный критерий прочности при отрыве
можно записать в форме•

Лр/-ст/ = 0, i = 1, 2, 3

(2.2)

или в развернутом виде

- Ст1 = 0; Rpi — аг = 0; ЛрЗ - оз = 0.	(2.2а)

Прочность материала на отрыв будет обеспечена, если в каждой
точке выполняется условие

Rpi — ai^Q.	(2.3)

В системе координат <?i, <72, <73 область прочного сопротивления
отрыву представляет собой часть пространства, ограниченного тремя
взаимно перпендикулярными плоскостями с уравнениями (2.2а).

Сформулируем модифицированный критерий прочности орто-
тропных материалов при смятии, которое, возможно в случае, когда
в рассматриваемой точке хотя бы одно из главных напряжений яв-
ляется сжимающим.

В случае одноосного сжатия нормальные и касательные напряже-
ния, действующие по граням элемента (рис. 2), выражаются по фор-
мулам (1.11), а критерий прочности (1.23) имеет вид

1 _ 1 _ I2	т2	п2

Rc Rex	Rcy Rei

(2.4)

Это выражение при т “ 0 совпадает с соотношением, хорошо ап-
проксимирующим экспериментальные данные при испытаниях об-
разцов на одноосное сжатие.

Значения пределов прочности на смятие в направлениях осей
главных напряжений можно определить по формуле

И  - (	4-^-4-	/ - 1 7 о

Rcl ~ n + _ I ,1—1,2, 3.

1«сж ' Key Keil

(2.5)

Полагая, что опасное состояние материала наступит тогда, когда
хотя бы одно из главных напряжений достигнет своего предельного
значения (2.5), модифицированный критерий прочности при смятии
можно представить в виде

Rd + ai = 0, i= 1, 2, 3.	(2.6)

Это.выражение (2.6) может быть записано в развернутой форме
/?с1 + <71 = 0; Rc2 + <72 = 0; Rc3 + <73 = 0.	(2.6а)

Прочность материала на смятие будет обеспечена, если в каждой
точке выполняется условие
Рис. 12

Рис. 12. Область прочного сопротивления отрыву и смятию по модифицированным
критериям (2.2) и (2.6)

Рис. 13. К построению модифицированного критерия прочности ортотропных мате-
риалов при сдвиге

Rci + <ri>0.	(2.7)

В системе координат си, оз, оз область прочного сопротивления
смятию представляет собой часть пространства, ограниченного тре-
мя взаимно перпендикулярными плоскостями с уравнениями (2.6а).
Область прочного сопротивления отрыву и смятию можно геометри-
чески интерпретировать параллелепипедом, образованным пересе-
чением трех пар плоскостей (рис. 12).

Сформулируем модифицированный критерий прочности. орто-
тропных материалов в случае их разрушения от сдвига, который
возможен при смешанных напряженных состояниях, когда главные
нормальные напряжения отличаются по знаку. Этот критерий будем
строить в предположении, что нарушение прочности материала от
сдвига происходит по опасной площадке скольжения, параллельной
одному из трех направлений главных напряжений, и нормаль к ко-
торой лежит в плоскости двух других главных нормальных напря-
жений.

Как и ранее, будет считать, что предел прочности на сдвиг в про-
странстве главных осей анизотропии изменяется от своего макси-*
мального значения Сх до минимального Cz по закону (1.38)

C(Z, т, п) = Сх12 + Сутг + Сгп\	(2.8)

где I, mt п — направляющие косинусы радиуса-вектора С в осях л, у, z .

Пусть главные оси напряжений 7, 2, 3 составляют с главными
осями анизотропии х, у, z углы, косинусы которых, как и ранее,
обозначим Z/, /и/, щ. Тогда значения пределов прочности на сдвиг в
направлениях осей J, 2, 3 (т.е. по площадкам, перпендикулярным
этим осям) можно определить по формуле
Cl = Cxft + Cynit + Czn}, i = 1, 2, 3.	(2.9)

.Соотношение (2.8) можно геометрически интерпретировать неко-
торой замкнутой поверхностью, которую главные оси 1,2, 3 пересе-
кают в точках Ci, С2, Сз. Рассмотрим часть поверхности, располо-
женную в первом октанте осей координат 1, 2, 3 (рис. 13).

В плоскости 1-3 радиус-вектор /Э1з изменяется от значения
С1 до Сз в соответствии с законом (2.8). Изменение предела прочно-
сти на сдвиг в этой плоскости можно представить в виде

С13 = pi3 = Сх confix + Cycotyy + Сг cos2^, (2.10)

гдеДг, Ду, fiz — углы, составляемые радиусом-вектором />13 с главными осями ани-
зотропии х, у, z.

Для определения неизвестных углов Дх, ftyvifiz составим скаляр-
ные произведения единичного вектора совпадающего по направле-
нию с р и единичных векторов, совпадающих по направлениям с
главными осями напряжений 1, 2, 3. Имеем

/1СО§ДХ + mi cos Ду + nicos/Jz = cos^»;

Ixos^x + micos Ду + mcosfiz = 0;	(2.11)

1зсо$Дх + тзсояРу + n3cosflz = sin^,

где ip — угол между радиусом-вектором ри и направлением главного напря-
жения <71.

Искомые косинусы углов Дх, Ду иДг найдем по формулам

созДх = Лх/cos Ду -- Dy/D\ совДх = Dz/D,	(2.12)

гдей, Dx, Dy, Dz— соответствующие определители третьего порядка.

Имеем

созДх = Zicos у» + fesin V»;

cos Ду = mi cos у» + mssiny*;	(2.13)

cosfiz — nicosy» + пзз'тф.

Подставляя (2.13) в (2.10), после несложных преобразований по-
лучим аналитическое выражение закона изменения предела прочно-
сти на сдвиг в плоскости а\ о аз в виде

С1з(^) = Ci cosfy + Cssin2^» +./Ci3sin2y»,	(2.14)

где К13™ I Cxhl3 + СуЩтз + Cznln3 I.	<2.15)

Рассмотрим выражение (2.14). Если главные оси напряжений сов-
падают с главными осями анизотропии материала, то ^13 = 0, а из
(2.14) следует зависимость

Ci з(У») — Cxcosfy + Czsin2y»,	(2.16)
которая для некоторых видов анизотропных сред удовлетворительно
аппроксимирует экспериментальные данные [4 ]. Запишем выраже-
ние (2.14) в виде

Ci з(у») = —-у-^3 + С* э ^cos2y> + К\ з sin2y>.	(2.17)

л.	X

Очевидно, что уравнение (2.17) определяет в плоскости 1-3 замк-
нутый овал пределов прочности на сдвиг, симметричный относи-
тельно некоторых главных осей xi и zi. Направление осей симмет-
рии овала определим из условия dC\3<ip)/dip = 0, откуда найдем

'®2* = '«2“ = с^1й

(2.18)

Заметим, что выражения (2.14) и (2.17) совпадают с известными
соотношениями плоской задачи теории упругости.

После подстановки (2.18) в (2.17) получим

С1 з(<Р)тах = £7x1 = —~~ +

Cummin = Gzt = C1	4СЗ>2 + Х?з 2

(2.19)

Рис. 14. К исследованию закона из-
менения пределов прочности на
сдвиг (2.14)

Значения Gxi и Gzi определяют соответственно максимальное и
минимальное значения предела прочности на сдвиг в плоскости 1-3.

Рассмотрим овал пределов прочности на сдвиг в плоскости 1-3
(рис. 14). Положение осей симметрии овала xi hzi по отношению к
осям главных напряжений определяется углом а, отсчитываемым от
направления сп.

Получим выражение закона из-
менения пределов прочности на
сдвиг в осях хь zj. Покажем, что G
изменяется от значения Gxi до зна-
чения Gzi по закону

С(о>) = Gxi cos2^ + GZ1 sin2a>
или

G(cu) =----j------'-----2----coslai.

(2.20)
Как видно из рисунка

ш = ~ а-	(2.21)

Подставляя (2.19) и (2.21) в (2.20) получим

G(cu) = С* +	4. Cl £'3cos2m + /ui3sin2a>,

что совпадает с выражением (2.17).

Таким образом, аналитическое выражение закона изменения
пределов прочности на сдвиг в главных осях анизотропии х, z и
"новых осях" хь zi имеет одинаковую структуру, что свидетель-
ствует об инвариантности этого закона к преобразованиям коор-
динат.

Направление опасной площадки скольжения в предположении,
что прочность материала определяется сдвигом в плоскости aiO аз,
найдем из условия

max [rv — Ci3(V0 1 = 0,

где tv = —-—sin2y>;

(2.22)

(2.23)

у = ip— искомый угол между направлением нормали к площадке скольжения и на-
правлением <п; С1з(У0 — закон изменения пределов прочности на сдвиг в плоско-
сти спОаЗ' определяемый выражением (2.14).

Реализуя условие (2.22) в форме

0-—sin2^ “ Ci cos2^ “ Casin2^ — Ki3sin2^ = 0,
a^p z

получим систему уравнений

(ai — аз — 2/l13)cos2v> = (Сз — Ci)sin2v>;

(ai — аз — 2/fi3)sin2^ = i^icos2^ + Cssin2^), (2.24)

откуда найдем выражение для cos2^, определяющее значение угла
ip = ip для площадки скольжения



(2.25)

а также аналитическое выражение критерия прочности при сдвиге
X

ai -а3 = 2[Хлз± (С1Сз)21.	(2.26)

Исследуем условие (2.26). Будем, как и ранее, считать, что для
главных напряжений выполняется соотношение ai > аг > аз. Можно
показать, что	।

(С1Сз)2 >/Си,
вычислив разность квадратов этих величин с учетом (2.9) и (2.15).
При этом условие прочности (2.26) распадается на.два условия
1

ai - а3 = 2[(С1Сз)2 - *131;	(2.27)

сп - аз = 2[(С1Сз)2 + К13].	(2.28)

Установим физический смысл каждого из них. Для этой цели по-
строим овал пределов прочности на сдвиг и четырехлистник каса-
тельных напряжений по соответствующим зависимостям (2.14) и
(2.23).

Рассмотрим числовой пример. Пусть для некоторого материала СЛ = 30МПа,
СУ = С2 = 10 МПа. Направления главных напряжений определим следующей сис-
темой направляющих косинусов:

Z1 = ч'З'/З = 0,577, h = V^/6 = 0,408, Z3 = v^/2 = 0,707; mi = 7373 = 0,577;
m2=-VS/3 =-0,816, m3=0; щ=^/3=0,577; л2=¥^/6=0,408;л3=-’/Т/2=-0,707.
В соответствии с (2.9) и (2.15) Ci = 16,65 МПа, С3 = 20,0 МПа, Aj3 = 8,16 МПа.

В предельном случае четырехлистник касательных напряжений
должен иметь общую касательную с овалом пределов прочности на
сдвиг. Положение точек касания определит направление площадки,
скольжения.

Направление площадки скольжения можно определить по форму-
ле (2.25), откуда получим хр\ = 42’32', хрг = 137’37', хрз = 222’23',
= —42’23' (317’37'). Очевидно, что площадка скольжения может
равновероятно располагаться по четырем направлениям, определяе-
мым углами \р\—В каком из направлений будет раньше реали-
зовано предельное условие (т.е. четырехлистник касательных на-
пряжений коснется обвала пределов прочности на сдвиг) — в таком
и произойдет разрушение.

Как видно из рис. 15 при увеличении параметра нагрузки четы-
рехлистник касательных напряжений коснется вначале овала пред-
елов прочности в точках А и В, где реализуется предельное состоя-
ние, соответствующее условию (2.27).

Направление нормали к площадке скольжения определится углом
между осью 1 и радиусом-вектором, проведенным из начала
координат через точки А и В. В рассматриваемом случае
= 137’37 '(-42’23'), что соответствует значению, полученному по
формуле (2.25).

Условию (2.28) соответствуют точки касания С и D, которые яв-
ляются фиктивными, так как предельное условие реализовалось ра-
нее в точках Л и В.

Таким образом, в качестве аналитического выражения критерия
прочности при сдвиге следует принять выражение (2.27).
Рис. 15. К исследованию условий (2.27) и (2.28)

I — овал пределов прочности на сдвиг по уравнению (2.14); II. III — четырехлистники каса-
тельных напряжений по уравнению (2.23), соответствующие условиям (2.27) и (2.28)

Отметим, что при использовании обобщенных пределов прочно-
сти Gxi hGzi, определяемых соотношениями (2.19), критерий проч-
ности при сдвиге можно записать также в форме

1

- аз =	- Gzi)2sin22a + 4GxiGzi I2 - (Gxi - Gzi) I sin2а I,

(2.29)
совпадающей c (1.55).

Учитывая простоту аналитического выражения, для дальнейших
построений будем использовать предельное условие (2.27). Рассмот-
рим его геометрическую интерпретацию.

Введем систему координат т/ — £, направления осей которой сов-,
падают с направлениями осей главных напряжений аь аз (рис. 16).
Пусть из двух напряжений и в направлении оси 7 действует
большее главное напряжение, т.е. а^ > а£, тогда в соответствии с со-
отношением а> > 02 £ аз имеем:а^ = ai, 05 = аз. Условие предельно-
го равновесия (2.27) в этом случае интерпретируется прямой I. Если
в направлении оси т/ действует меньшее главное напряжение, т.е.
a^ < of, тогда a$ = ai, а^ = аз. Условие (2.27) интерпретируется
прямой II.

При различных возможных соотношениях между напряжениями
а^ и о£ область прочного сопротивления сдвигу в плоскости 1—3
Рис. 16. Геометрическая интерпретация
условия прочности (2.27) в плоскости
(710(73

будет ограничена двумя парал-
лельными прямыми I и II, рав-
нонаклонными к координат-
ным осям и отсекающими на
них отрезки, равные по абсо-
лютной величине

2[(С1Сз)2-Х-131.

В случае, когда cti = —<73 = т,
т.е. при чистом сдвиге в плоско-
сти очОаз, из (2.27) следует

т = (С1Сз)2-Л13.	(2.30)

В последнее время возникает необходимость более точного опре-
деления прочностных характеристик материалов, в частности, из ус-
ловий чистого сдвига. Широко распространенные в практике методы
испытаний различных материалов, в том числе древесины, на ска-
лывание и перерезывание не соответствуют теоретическим пред-
ставлениям о чистом сдвиге. Эксперименты показывают, что дейст-
вительное значение пределов прочности на чистый сдвиг выше, чем
при стандартных испытаниях на скалывание и перерезывание.

Выражение (2.30) позволяет определить предельное касательное
напряжение т на площадке скольжения при чистом сдвиге. Задава-
ясь значениями направляющих косинусов Ц, пц, л» главных напря-
жений си и аз таким образом, чтобы по рассматриваемой площадке
реализовывалось состояние чистого сдвига, например, как на
рис. 17, из (2.30) можно определить значение предельного касатель-
ного напряженият на этой площадке.

Отметим, что все вышеприведенные результаты относятся к пло-
скости главных напряжений очОоз. Методика получения подобных
аналитических выражений для плоскостей спОсгг и огОстз аналогична,
поэтому ограничимся лишь записью основных зависимостей для
этих плоскостей.

Для плоскости <710<7з:

С12(р) = Ci cos2?» + CisinV + Kitsin2y>;

Kj2 = I Cxhh + Cymim2 + Сгпш2 I ;

_ C2 — Ci
max [tv - Ci2(y>) ] = 0; cos 2y> = C2 + C1'
1

Рис. 17. К определению предела прочности на сдвиг из условий чистого сдвига в
плоскости <и 0 оз

1

oi -02 = 2 ((С1С2)2 -K13J.	(2.31)

Область прочного сопротивления сдвигу в плоскости 01О02 по ус-
ловию (2.31) будет ограничена двумя параллельными прямыми,
равнонаклонными к осям координат аюг и отседающими на них
отрезки, равные по абсолютной величине 2[(С1Сг)2 — Xi2].

Для плоскости 02О03:

СгзСс) = C2cos2x + Casing + K23Sin2/;

/Сгз = I Cxhls + Сугпгтз + Сгпгпз I ;

max [tv - СгзСс) 1 = 0; cos2/ =	&

02 - оз = 2[(СгСз)2 -/С23).	(2.32)

Область прочного сопро-
тивления сдвигу в плоскости
02О03 по условию (2.32) бу-
дет ограничена двумя парал-
лельными прямыми, равно-
наклонными к осям коор-
динат 0203 и отсекающими
на них отрезки, равные
по абсолютной величине

X

2[(С2Сз)2 - А7231.

*3

2(\/С|йз~К|з)

2 G/C2C3-K 23)^









-2(VE73-K13)

Рис. 18. Шестиугольник прочности в девиа-
торной плоскости
Рис. 19. Шестигранная призма, интерп-
ретирующая условие прочности при
сдвиге для материала, не обладающего
внутренним трением

В общем случае трехосного
напряженного состояния условие
предельного равновесия в про-
странстве главных напряжений
можно интерпретировать неко-
торой призматической поверхно-
стью, грани которой пересекают
координатные плоскости
О10аз, ai0a2 и агОаз по прямым,
имеющим в этих плоскостях со-
ответствующие уравнения
(2.27), (2.31) и (2.32). Линии
пересечения этой поверхности с
девиаторной плоскостью очер-
тят так называемый многоуголь-
ник прочности (рис. 18). В деви-
аторной плоскости в направле-
ниях осей 1, 2, 3 отложены от-

резки, пропорциональные отсе-
ченным указанными прямыми.

Отметим, что аналогичный ^пестиугольник текучести для идеаль-
но пластических анизотропных материалов построен в работе [20 ],
где в направлениях осей главных напряжений откладываются преде-
лы текучести при растяжении ki и сжатии $/, определяемые из соот-
ветствующих одноосных испытаний. Указанные точки в девиатор-
ной плоскости соединяются прямыми линиями. Вершины шести-
угольника в этом случае лежат на осях координат.

В рассматриваемом нами варианте получены аналитические вы-
ражения пределов прочности при одноосном растяжении — сжатии
в главных направлениях J, 2, 3 в предположении, что физической
причиной разрушения материала является сдвиг. Вершины шести-
угольника прочности, вообще говоря, не лежат на координатных
осях, что по сравнению с [20 ] несколько увеличивает область проч-
ного сопротивления сдвигу.

Таким образом, условие предельного равновесия в пространстве
главных напряжений си, аг, аз геометрически интерпретируется
шестигранной призмой, грани которой параллельны равнонаклон-
ной главного координатного угла и отсекают на осях ai, аг, аз от-
резки (рис. 19), определяемые соотношениями (2.27), (2.31), (2.32).

Записывая уравнения граней призмы, получим аналитическое вы-
ражение критерия прочности при сдвиге в виде
1

ai - а2 = 2 ЦС1С2)2 - *121; (AB)

X

<73-<72 = 2[(С2Сз)2-/С231; (ВС)

£

оз - al = 2 ((С1Сз)2 - К131; (CD)

£

O2-ai = 2((CiC2)2-Xi2]; (DE)	(2.33)

£

О2-аз = 2[(С2Сз)2-^231; (EF)

£
O1 -03 = 2 [(С1Сз)2-X131. (FA)

Для изотропного материала при Сх = Су = Cz = С из (2.33) следу-
ет условие пластичности Треска-Сен-Венана

о/-о/=2С, /,/=1,2,3.	(2.34)

Область прочного сопротивления ортотропного материала при
возможном разрушении его от отрыва, смятия и сдвига ограничена
поверхностями: прямоугольным параллелепипедом, построенным по
уравнениям (2.2) и (2.6), и шестигранной призмой — по уравнени-
ям (2.33).
2. Модифицированные критерии прочности ортотропных
материалов, обладающих внутренним трением

Пусть рассматриваемая ортотропная среда обладает внутренним
кулоновским трением, характеризующимся постоянным коэффици-
ентом /4 = tgc, где к — угол внутреннего трения.

Как и ранее, будем предполагать, что в предельном случае пло-
щадка скольжения параллельна одному из трех направлений глав-
ных напряжений ai, 02, 03. Полагая, что разрушение материала
происходит от сдвига, например в плоскости агОаз, направление
опасной площадки скольжения ндйдем из условия

max [ту + дау — С1з(^) 1 = 0-	(2.35)

где ту — значение касательного напряжения на площадке скольжения, определяе-
мое по формуле (2.23); оу —значение нормального напряжения на площадке
скольжения

Схз(у>) — закон изменения пределов прочности на сдвиг в плоскости щОоз, опре-
деляемый выражением (2.14); ^ — угол между нормалью к площадке скольжения
И (71. .

Условие (2.35) может быть реализовано в форме

d ai—03 . _ . /ai+стз . 01—03	_ \

2 sin2y>+/z1 2	।	2 cos2t/> j —

—Ci cos2^—Сз sin2y»-Xi3sin2y<] =0,
что приводит к системе, уравнений

(pi — аз — Ki3) cos2y> = slaty [Сз — Ci (ai — аз) р]
(pi — аз — 2Kj3)sin2y> = 2(Cico^ip + Casing) -
— p(oi — аз) cos2y» — p(ai + <73).

(2.37)

(2.38)

Отсюда найдем выражение для cos2?», определяющее значение уг-
ла у» = ip для площадки скольжения

сойр =	+	<3.39>

г Сз + С1 - (<71 - <73)/4’

а также аналитическое выражение критерия прочности при сдвиге в
плоскости О10аз:

(ai - аз - 2К1 з)2 = 4(С1 - ро\)(Сз - раз) (2.40)
Рис. 20. Гиперболы, ограничи-
вающие область прочного со-
противления сдвигу в плоско-
сти ai 0 аз

Рис. 21. К определению значений пределов
прочности при одноосном растяжении-сжатии

или в развернутом виде

а? — 2(1 + 2fi2)a\a3 + о% + 4а1(рСз — К13) +

+ 4аз(/гС1 + *13) + 4(*?з - С1С3) = 0.	(2.41)

В случае, когда сдвиг происходит в одной из плоскостей симмет-
рии механических свойств материала, например в плоскости xz, из
(2.9) и (2.15) следует

Ci = C*cos2a + Czsin2a; Сз = C\sin2« + Czcos2a;

Сх — Cz

*13 e I C^cosa sina + Czsinacosa I =------j---* sin2a I ,

а критерий прочности (2.41) приобретает вид

a? - 2(1 + 2ju2)aia3 + oj + 2/i(Cx + Cz)(ai + оз) - 2(CX - Cz) X

x ( I sin2a I — ^cos2a)(ai — 03) — 4CxCz = 0.	(2.42)

Рассмотрим геометрическую интерпретацию условия (2.41)
(рис. 20). Как и ранее, введем систему координат 7 — £, направле-
ния осей которой совпадают с направлениями осей главных напря-
жений. Исходя из принятого соотношения между главными напря-
жениями ai > аз S 03, определим из выражения (2.41) значения че-
тырех пределов прочности, соответствующих одноосному растяже-
нию и сжатию в направлениях осей 7 и £.

1)	Одноосное растяжение в направлении оси 7 (рис. 21, а).
х

Л13 = <71 (0) = 2{ [C3(u2C3 + 2^13 + Cl) ]2 - («Сз + Х43)}.	(2.43)

2)	Одноосное растяжение в направлении оси £ (рис. 21, б). Для это-
го случая

Cl = СХА + СутЪ + Czr&, Сз = Cxft + СутЗ + Сги?;

' 1

Л31 = ai(y) = 2{[Ci(u2Ci + 2цК1з + Сз) Р - (uCi + Aj3)}.	(2.44)

3)	Одноосное сжатие в направлении оси^ (рис. 21, в)

В31 =03(0) =-2([С1(и2С1 - 2цК13 +Сз)р +(^С1 —Хлз)}-	(2.45)

4)	Одноосное сжатие в направлении оси у (рис. 21, г)

1

В13 =оз(у) =-2(1Сз(и2Сз -^*13 +С1) ]2 +(мС3 -Хлз)}.	(2.46)

В плоскости 7 — £ уравнение (2.41) определяет семейство двух ги-
пербол I и II (см. рис. 20). При различных возможных соотношениях
между главными напряжениями область прочного сопротивления
сдвигу будет ограничена кривой В1зЛз1ЬА1зВз1, отсекающей на осях
координат отрезки, определяемые соотношениями (2.43) — (2.46).
Точка L соответствует двухосному равномерному растяжению
(ai = аг = а). Предельное напряжение в этом случае равно

С1 +Сз- 1 (С!-Сз)2- 4^,312

При Хлз = 0, т.е. когда главные оси напряжений совпадут с глав-
ными осями анизотропии материала, из (2.47) следует
о = Сз//* = Cz//*.

При переходе к идеально пластической среде (/* = t&c = 0) соотно-
шения (2.43) — (2.46), определяющие значения пределов прочности
при одноосном растяжении-сжатии, преобразуются к виду

X	X

Ли = Лз1 = 2((CiСз)2 - К\зI; Я1з = Вз1 = 2[(С1Сз)2 - АлзL

а предельная кривая — к двум параллельным прямым, соответству-
ющим условию прочности (2.27).

Для случая изотропной среды с внутренним трением
(Сх = Су = Cz = С, /* = t&c = 0) из (2.41) следует условие прочности
Кулона-Мора

ai — аз = (aj + a3)siiK — 2 С cost,	(2.48)

ь
а предельная кривая преобразуется в две пересекающиеся прямые.
Точка из пересечения имеет координаты ai = аз = С/р = C/tgx.
Для изотропной идеально пластической среды (Сх = Су =
= Cz = С, fi = t^c = 0) предельное условие (2.41) преобразуется к
условию Треска-Сен-Венана

<71 — стз = 2С,
а гипербола превращается в две параллельные прямые, равнонак-
лонные к координатным осям.

При ai = —аз — тв плоскости <710 аз имеет место состояние чисто-
го сдвига. Для этого случая из условия (2.41) можно определить зна-
чение предельного касательного напряжения на площадке скольже-
ния. Оно находится как наименьшее по абсолютной величине значе-
ние из следующих выражений

т0 = -—“ Сз) + 2*i3 ± ffi2(Ci + Сз)2 +
2(1 + /* У	;

+ 4дК1з(С1 - Сз) + 4(С1Сз -/42*?з)]г}

r° “ 2(i'+7j^(C1" Сз) ~2Kl3 ± ^2(Ci + Сз)2 ~

- 4/4*13(01 - Сз) + 4(С1Сз - /42*?з) 11};

Т = I Tq I min.

(2.49)

(2.50)

Различные значения касательного напряжения т соответствуют
различным точкам пересечения прямой ai = -аз с гиперболами I и

II на рис. 20. При д = 0 из (2.49) и <2.50) следует выражение (2.30).

Методика получения аналитических выражений условий прочно-
сти в плоскостях aiOoz и огОсгз аналогична рассмотренному выше
случаю для плоскости а10аз. Поэтому ограничимся лишь записью
основных зависимостей, соответствующих выражениям (2.35) —
(2.46).	/

Для плоскости ai 0 аз:	{

шах [т. - fiav - Cxzdp) 1 = 0; cos 2^ = c2 + c!-(S'+3?

а?-2(1+^2)ст1О2+<^+4а1(иС2-*12)+4<72(иС1+*12)+4(*?2-С1С2) = 0;
Л12 = <71 (0) = 2{[С2 )Я2С2 + 2цК\2 + Ci) 11 - (иС2 + *12)};	(2.51)

л21 = <71	= 2{ [С1(и2С1 + ^4*12 + с2) 12 - («С1 + *12)};	(2.52)

^21 = 02(0) = -2(1Ci(/42Ci - ^*12 + С2) 11 + (fiCt - *12)}; (2.53)
В\2 =	= -2{[C2(A2C2 - 2цК\г + Ci) ]2 + (uC2 - K\2)}. (2.54)

Для плоскости агОаз:

n,ax|r,-^-C236-)l = 0;

сЗ-2(1+2^2)о2О'з+оЗ+4о'2^<Сз-/С2з)+4стз(«С2+/С23)+4(^з-С2Сз)=0;
Л23 = <72(0) = 2{ [С3(и2Сз + 2U//C23 + с2) Р - («Сз + /С23)};	(2.55)

Лз2 = 02 fej = 2{ [С2(и2С2 + ^*23 + Сз) ]2 - (>С2 + *23)}; (2.56)
' 1

В32 =03(0) =-2( [С2(ц2С2 - 2ЦК23 + Сз) ]2 - («Сг - *23)};	(2.57)

В23 = оз [jI = -2{ [Сз(и2Сз - ty*23 и- С2) ]2 + (дС3 - /С2з)}. (2.58)

Таким образом, формулы (2.43), (2.44), (2.51), (2.52), (2.55),
(2.56) определяют значения пределов прочности на одноосное растя-
жение соответственно в направлениях действия главных напряже-
ний ai, 02, оз в предположении, что физической причиной разру-
шения материала является сдвиг по опасным площадкам скольже-
ния. Формулы (2.45), (2.46), (2.53), (2.54), (2.57), (2.58) определя-
ют значения пределов прочности на одноосное сжатие в тех же на-
правлениях и в предположении той же физической причины разру-
шения.

В общем случае трехосного напряженного состояния условие пре-
дельного равновесия можно интерпретировать шестигранной пира-
мидой, каждая из граней которой проходит соответственно через три
точки в пространстве главных напряжений. Одна из точек соответ-
ствует предельному всестороннему растяжению, а две другие — од-
ноосному растяжению или сжатию по двум главным направлениям.

Для любой анизотропной среды, обладающей внутренним трени-
ем, временное сопротивление всестороннему равномерному растя-
жению Н в предположении разрушения от сдвига является вполне
определенной постоянной величиной. Действительно, записывая ус-
ловие предельного равновесия для случая всестороннего равномер-
ного растяжения, имеем

Ту — fiOy — Cmin = О,

где Ту = 0, ау = Я

Учитывая, что Сх Су > Cz, получим

Н = Cz/д.	(2.59)
Записывая уравнения граней пирамиды предельного состояния
(рис. 22), получим систему уравнений, определяющую аналитиче-
ское выражение критерия прочности материалов, обладающих внут-
ренним трением:

-	р-- ^ + <7з|т7-+	= 1; (АВ)

412	^21	412, В21)	4	'

03	02	(1	1	1 \

432~ Л23 + <Г,(я “ 432 + ^2з) "

-	р--+ <п(4г - ~г~ +	= 1; (CD) (2.60)

431	513	4з1 В13)	4 '

ЗГ‘“7Г; + аз('}7“Т” + ‘йЧ =	(DE>

421 . 512	\Н 421	Bi2)	4	7

-	-р-+	(4 - т-+-/-]	= 1;	(ЕВ)

Л23	В32	\Н Л23	B32J	4 7

+02(77^-/- + -Л-) = 1. (54)

Л13	^31	Л13	В31/ k '

Предельная поверхность в виде шестигранной пирамиды для ани-

зотропных сыпучих тел предложе-
на также в работе [21 ]. В системе
координат аь 02, <73 на осях от-
кладываются пределы прочности
(ty-HUft, полученные из опытов на
одноосное растяжение — сжатие в
главных направлениях /, 2, 3. Че-
рез полученные точки, а также
через точку, соответствующую
пределу прочности на всесторон-
нее растяжение, проводятся пло-
скости — грани пирамиды пре-
дельного состояния, причем ребра
пирамиды пересекают соответст-
вующие координатные оси.

Рис. 22. Шестигранная пирамида, ин-
терпретирующая условие прочности
для среды с внутренним трением
Следуя [21 J, для каждой заданной системы главных напряжений,
характеризующей напряженное состояние в рассматриваемой точке,
необходимо провести шесть опытов на одноосное растяжение-сжатие
для определения пределов прочности отгиа^ в направлениях осей
главных напряжений, что сложно осуществить на практике.

В предложенной нами модели получены аналитические выраже-
ния пределов прочности при одноосном растяжении-сжатии в глав-
ных направлениях 7, 2, 3 в предположении, что прочность матери-
ала определяется сдвиговым механизмом разрушения. Ребра пира-
миды предельного состояния, вообще говоря, не пересекают коорди-
натные оси.

При переходе к среде, не обладающей внутренним трением
(fi = tffc = О, Н = (®), условие (2.60) преобразуется в (2.33), а пира-
мида превращается в призму, равнонаклонную к осям координат
(см. рис 19).

При переходе к изотропной среде с внутренним трением
(Сх = Су = Cz = С, р = tgx * 0) указанная пирамида предельного
состояния преобразуется в пирамиду Кулона-Мора.

Таким образом, область прочного сопротивления ортотропного
материала, обладающего внутренним трением, в случае возможного
разрушения от. отрыва, смятия и сдвига ограничена поверхностями:
прямоугольным параллелепипедом, построенным по уравнениям
(2.2) и (2.6) и шестигранной пирамидой — nd уравнениям (2.60).
3.	Модифицированные критерии прочности ортотропных
материалов при двухосном напряженном состоянии

В настоящем параграфе рассматриваются модифицированные
критерии прочности ортотропных материалов в широко распростра-
ненном случае двухосного напряженного состояния, когда имеют
место два главных напряжения ai и аз, действующие в одной из пло-
скостей симметрии механических свойств.

Очевидно, что вследствие различия пределов прочности материа-
ла в направлениях главных осей анизотропии, направления опасных
площадок отрыва, смятия и сдвига не будет, вообще говоря, совпа-
дать с направлением главных нормальных и главных касательных
напряжений. Действительные направления опасных площадок отры-
ва или смятия будут всегда располагаться в плоскости xz между на-
правлением площадки с минимальным сопротивлением растяжению
или сжатию (Rpz, Rcz) и направлениями площадок главных нор-
мальных напряжений (аь аз). Действительное направление опасной
площадки скольжения будет всегда располагаться в плоскости xz
между направлением площадки с минимальным сопротивлением
сдвигу (Cz) и направлением площадок главных касательных напря-
жений (из).

Указанные обстоятельства позволяют построить системы предель-
ных условий (модифицированных критериев) для главных осей ани-
зотропии и главных осей напряжений [12], полагая, что их выпол-
нение в обеих этих системах координат является достаточным при-
знаком выполнения точных критериев, полученных в главе 1.

В качестве основных прочностных характеристик материала при
построении предельных условий принимаются:

1)	для главных осей анизотропии xz — значения соответствующих
пределов прочности или расчетных сопротивлений Rpx, Rpz, Rex,
Rcz,Cz\

2)	для главных осей напряжений а\аз — значения пределов проч-
ности или расчетных сопротивлений Rp\(a), Rp2(a), Rci(<*),
Rc2(<%), Ci2(a), которые на основании зависимостей (1.3), (1.19),
(1.45), определяются выражениями

Яр1(а) = Rp&o^a + /?p2sin2a; RP3(a) = J?pjcsin2a + Rp^o^a; (2.61)
^cl(a) = Tfexcos2* + T?CzSin2a; RC3(a) = #cjsin2a + Rc^o^a; (2.62)

Ci з(а) = Cxcos2(a ± ~) + Czsin2(a ± j) (2.63)
Или

Clз(а) = |[(Cx + Cz) - (Cjr - Cz) I sin2a I .	(2.64)
Формулы (2.61) и (2.62) определяют значения пределов прочно-
сти или расчетных сопротивлений на растяжение и сжатие в направ-
лениях действия главных нормальных напряжений. Формулы (2.63)
и (2.64) определяют значение предела прочности или расчетного со-
противления на сдвиг в направлении действия главного касательного
напряжения. При использовании формулы (2.63) следует выбирать в
выражении (а±лг/4) знак, соответствующий меньшему из двух
значений' С1з(«). Формула (2.64) непосредственно определяет наи-
меньшее значение С1з(а).

При а = 0 или а = я/2 С1з(а) = (С* + Cz)/2; при а = я/4 или
а в —л/4 С1з(а) в Сх.

Таким образом, полная система предельных условий (модифици-
рованных критериев) может быть записана в следующем виде

~Rcx «Zx £ Rpx",	(2.65)
—Rcz — Cz — Rpi\	(2.66)
1 TXz 1 £ Cz “ (Mz\	(2.67)
-Rc\(a) £ <7i £ Лр1(«);	(2.68)
-ЛсЗ(«) S <тз < ярз(л);	(2.69)
ИЗ £ С1з(а) -/«713,	(2.70)

2	• 2	>2	2

где а* = aicos а + <J3Sin а\ az == aisin а + оз cos а;

Txz= (oi — O3)sina cosa; 013*=

ai +03	ai — 03

пз = —

(2.71)

Некоторые специфические особенности применения системы ус-
ловий (2.65) — (2.70) к конкретным материалам, в частности, к
древесине и каменной кладке, учитывая возможность частичного со-
кращения (или дополнения) этой системы на основе эксперимен-
тальных данных, будут рассмотрены в гл. 3.

4.	Модифицированные определяющие уравнения предельного
состояния ортотропных тел при сопротивлении отрыву

Как было показано выше, при данном виде сопротивления нор-
маль к опасной площадке отрыва не совпадает, в общем случае, с
направлением главного нормального напряжения аь Совпадение
этих направлений имеет место только при коаксиальности главных
осей напряжений и главных осей ортотропии. В этом случае, при ис-
пользовании условия (1.10) для определения скоростей деформаций
исходя из концепции ассоциированного закона течения, имеет место
следующее соотношение между значениями главных скоростей де-
формаций £/:

£i: £г: £з = 1:0:0.	(2.72)

Этот результат — выполнение равенств £2 = £з = О при трехосном
напряженном состоянии является в известной степени не очевид-
ным, поскольку до настоящего времени не нашел эксперименталь-
ного подтверждения для реальных ортотропных материалов в случае
их чисто отрывных течений.

В настоящем параграфе для этого вида течения предлагается иной
вид пластического потенциала, использование которого для опреде-
ления скоростей деформаций не приводит к следующему из (2.72)
результату. Введем пластический потенциал вида

F — 0,5( АхРх + Ауту + Az&z) + Аху^ху + Ayz^yz + AzatJx, (2.73)
определяя компоненты тензора скоростей деформаций зависимостя-
ми

£/ = dF/dai\ in = 0,5 аг/ат//.

На основании (2.73):

ix = Ахох\ Sy = Ауту; £z = Azcrz; & уду
ixy = AjfyTxy; iyz = AyzTyz\ izX = AzjTZjf.

Величины Л/иЛу, являющиеся скалярными функциями коорди-
нат, будем находить из выражений Л/ = iP/RPi\ Ад = 0,5(Л/ + Л/).

или в развернутой форме —

Ал = £р/RPx',	Ay = £р/RPy\	Az = £р/Rp*>

Аху = ip(RPx + RPy)/2; Ayz = iP(RPy + Rpz)/2;

Azx = ip(RPz + RPx)/2>	(2,75)

где Sp — характеристическая скорость линейной деформации, опре-
деляемая по условию пластичности.

На основании (2.74) и (2.75):

= £Р(&х/Грх); Sy = Sp(ay/RPy)> Sz = Sp(az/Rpz),	(2.76)

s _ Sp(RPx + Rpy) fr _ £p(ZW + rp^t . t - Sp(Fpz + Rpx)
?Xy - 2RpxRPy Tx^ & “ 2RPyRPz TyZ9 ^zx ~ ^AR^Rpx^^

Таким образом, в главных осях ортотропии компоненты тензора
скоростей деформаций пропорциональны приведенным (нормиро-
ванным) значениям компонент тензора напряжений. В произволь-
ной ортогональной системе координат х\ у\ zr, не совпадающей с
главными осями ортотропии х, у, z, коэффициенты Аг и Аг/ выра-
жаются через А/ и А// согласно известным формулам преобразования
компонент тензора четвертого ранга, — аналогично преобразованию
модулей деформаций в теории упругости ортотропного тела при ну-
левых значениях коэффициентов Пуассона.

Система определяющих уравнений трехмерной квазистатической
задачи отрывных течений ортотропной среды в рассматриваемой мо-
дифицированной постановке включает в себя дифференциальные
уравнения равновесия, которые на основании (2.76) записываются в
виде:

д (, 2RPy д /£ху\ 2RPz д f £xz\ _ «
дх J (Rpx + Rpy) dy \ $Р/ (Rpx + Rpz) £р )	’

____________L (Sse) + ±	+____2.Rpe___L = о-

(Rpx + Rpy) дх \ $р) ду (Rpy + Rpz) dz	’

2Rpx d	___2R££__^d_f^A	_3/|z\ _ л	(2 77)

(Rpx + Rpz) dx \1p)	(Rpy + Rpz) dy\Jp)	dz u’

где три независимые искомые функции — скорости перемещений Ух» Уу, Уг, че-
рез которые компоненты скоростей деформаций выражаются формулами (1.67).

Четвертой неизвестной функцией, входящей в (2.77), является
величина характеристической скорости деформации удлинения
£р(х, у, z). Четвертым, замыкающим систему определяющих уравне-
ний, является условие пластичности (1.10), записанное согласно
(2.76) в скоростях деформаций

(X„+RP,)S>-

(2.78)

Величина = £р(х, у, г) представляет собой наибольший корень
кубического уравнения (2.78). При предельном переходе к изотроп-
ной идеально пластической среде Rpx = Rpy = Rpz = const = Rp,
Xi—Xij  Sp/Rp и, согласно (2.74) и ( Й.76), имеет место коаксиаль-
ность и подобие тензоров напряжения и скоростей деформаций. В
этом случае нормаль к площадке отрыва совпадает с направлением
максимального главного нормального напряжения 04 = Rp. При этом
упрощаются также определяющие уравнения (2.77) и (2.78) — мно-
жители 2Rpi/(Rpi + Rpj) обращаются в единицу.
Для реализации осесимметричных отрывных течений ортотроп-
ной пластической среды помимо выполнения обычных для осесим-
метричных задач условий — в отношении внешних воздействий на
тело и граничных условий — необходимым является также требова-
ние к определенной ориентации главных осей ортотропии к задан-
ной системе координат г, z. Необходимо, чтобы среда обладала свой-
ством трансверсальной изотропии (частный случай ортотропного те-
ла), когда в плоскостях z “ const предел текучести Rpr был постоян-
ным по всем направлениям.

Для осесимметричной задачи трансверсально изотропной среды
условие пластичности в форме (1.10) принимает вид

(Rpr ~ о<р) [(Ярг “ Or)(Rpt — oz) — trzl « 0.

При < Rpr

(Rpr “ Or)(RPz — Oz) — trz — 0,	(2.79)

Ar —	= $p/Rpri Л* = $p/Rpz] Arz = $p(Rpr + Rpz)/2,

закон пластического течения —

$r — %р(Ог/Rpr)]	= ^р(о<р/Rpr)] $z — £p(az/Rpz)]

j. _ $p (Rpr + Rpr)	(2.80)

Z KprKpz

уравнения равновесия в скоростях —

4. ^Rpr	d (br\ , $r — $<p _ z\.

dr^5pj (Rpr + Rpz) €>z ^^P) $рГ ’
2Rpr d /$rz\ - d	4.	2Rpr $rz _ «.

(Rpr + Rpz) dr^lpj dz \?P/ (Rpr + Rpz) $pF *

t dV'. t _ dV*. к _	t	1 (dVr и.

«'“‘dT’	««=2^Г + “а7|-

Характеристическая скорость деформации удлинения,' согласно
(2.79) и (2.80)	X

t _	+ b + [(lr- ^z)2 ^RprRpz л 2

{'Т 2 I 4 w.+WJ 

В случае плоской задачи условие пластичности имеет вид
(J^px “ ^x)(fipz “• tfz) “	= 0»	(2.81)

(оси x, z совпадают с главными осями ортотропии).

Условие (2.81) вместе с двумя дифференциальными уравнениями
равновесия составляют замкнутую систему трех уравнений с тремя
неизвестными функциями ах, az, txz- Задача эта является статиче-
ски определимой и для ее решения привлечения закона пластиче-
ского течения, вообще говоря, не требуется. Закон течения в пло-
ской задаче следует использовать лишь при определении поля ско-
ростей. Согласно (2.75) и (2.76):

Ах — Rpx", Az = $р/Rpz} Axz e $p(Rpx + 7?pz*)/2;

КрХ	Kpz	4 KpxRpz

(2.82)

Характеристическая скорость деформации удлинения, согласно
(2.81) и (2.82)

%х + |г ,	(£х — |z)2 , tRpxRpz h2

2	[ 4	(»w + W

(2.83)

Угол б, составляемый скоростью $р с направлением максимальной
скорости деформации удлинения £i определяется на основании
(2.83) зависимостью

tg2d ______________2(/?/>x - RpzVixz__________

[(£jc — £г)2(Ярх + Rpz)2 + 1 f)Rpx Rpz ^xzl^

Величины aXt az, ?xz известны из решения статической задачи
[9 ]. Использование любых двух независимых равенств из соотноше-
ний (2.82), например

axRpz^z — OzRpx^xi ^x^PxRpz — OzRpx) = (Rpx + Rpz)txz(£x ~ £z),
приводит к следующим двум дифференциальным уравнениям для
искомых скоростей перемещений Vx и Vz-.

(oxRpz — OzRpx) l-g— +	- (Rpx + Лрг)тхг(Дгт -	- 0;

axRpz~^ ~ a*Rpx~fa = 0*	(2.84)

Обычная процедура получения дифференциальных уравнений по-
лей направлений характеристических линий для системы (2.84)
приводит к зависимости

dz ~~Txz(RpX + Rpz) ±	+ Rpzf ^X^zRpxRpz^1

dx"	2Rp*b

Используя условие (2.81), можно показать, что выражение под
радикалом в общем случае отрицательно и система (2.84) действи-
тельных характеристик не имеет, т.е. является системой эллиптиче-
ского типа. Исключение составляет единственный случай, когда ди-
скриминант (2.85) равен нулю и система (2.84) является системой
параболического типа.

Приведем основные зависимости закона отрывного течения орто-
тропной пластической среды в рассматриваемой модифицированной
постановке для плоской задачи в произвольной декартовой системе
координат х', z', не совпадающей с главными осями ортотропии х, z.

lx'

2 *	2 \

cos ct sin ct I , (Rpx - Rpx) . -

~r— +	— °x' + ?p p /sin

J<px Rpz J	ZKpxKpz

lx'	[ sin2a	cos2**

~£p Rpx	Rpx

_ (RpX~ RPt) • 9 ( , 4. _ A 4. (^px + Rpi) T , ,.

j. -	S,n2“<W+<’!)+ 2JW,.

^±/^lsin2ar^;	(2.86)

ZKpxKpz

где a — угол, составляемый осью x' с главной осью х.

Если локальная система координат х'г'совпадает с направлением
главных^ напряжений cti, аз в рассматриваемой точке, то при
а = (х, cti); тх'х' = 0, и зависимости (2.86) запишутся для системы
/, 3 в виде:

sin2** |	_ ai |з _ [sin2« cos2** _ аз .

Rpx ) * Rpi' Jp Rpx Rpx $ Rp$'

’ ^Rp^Rp^ 2 <ai +

Очевидно, что величины Rp\ и RP3 представляют собой пределы
текучести при одноосном естественном (не принудительном) растя-
жении соответственно в направлении осей сп и аз.

В общем случае, для решения системы определяющих уравнений
(2.77), (2.78) должны использоваться численные или вариационные
методы. Система уравнений, соответствующая осесимметричной за-
даче может иметь некоторые частные замкнутые решения.
Глава 3
ПРОЧНОСТЬ ДРЕВЕСИНЫ И КАМЕННОЙ
КЛАДКИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ И
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

1. Критерий прочности древесины при плоском напряженном
состоянии

Рассмотрим вопросы кратковременной прочности древесины для
общего случая плоского напряженного состояния, наиболее часто
встречающегося при проектировании и поверочных расчетах дере-
вянных конструкций.

В соответствии со строением древесины будем моделировать ее ор-
тотропным материалом, имеющим определенные количественные
показатели прочности в двух характерных направлениях — вдоль и
поперек волокон, не делая при этом различия (во втором случае)
между прочностью древесины в радиальном и тангенциальном на-
правлениях. Такой случай поперечной изотропии называют также
трансверсальной изотропией.

Вопросам прочности древесины при одноосных и двухосных на-
пряженных состояниях посвящено большое количество теоретиче-
ских и экспериментальных исследований, в том числе [3, 40, 7, 18,
29].

Формулируя предлагаемый критерий прочности древесины, будем
определять каждую разновидность материала шестью основными не-
зависимыми прочностными показателями [7 ]:

Rpx, Rpz— пределами прочности на одноосное растяжение вдоль и
поперек волокон соответственно;

Rex, Rcz — пределами прочности на одноосное сжатие вдоль и попе-
рек волокон соответственно;

Сх — предел прочности на скалывание (срез), поперек волокон (по
площадке с нормалью х);

Cz — предел прочности на скалывание вдоль волокон (по площадке
с нормалью z).

_ Кроме указанных показателей следует принимать во внимание
Cz — предел прочности на скалывание поперек волокон (по площад-
ке с нормалью z) из плоскости xz.

Будем исходить из обоснованного экспериментальными данными
положения, что в общем случае плоского напряженного состояния
возможны три различных механизма разрушения древесины.
1)	от отрыва при одноосном или двухосном растяжении;

2)	от смятия при одноосном или двухосном сжатии;

3)	от скалывания, обычно, при смешанных двухосных напряженных
состояниях растяжение — сжатие.

В связи с этим критерий прочности древесины будет представлен
в виде трех независимых аналитических выражений, каждое из ко-
торых определяет предел ее прочного сопротивления при соответст-
вующих видах плоского напряженного состояния. Обозначим, как и
ранее, а — угол, составляемый направлением большего главного
нормального напряжения ai в рассматриваемой точке плоского эле-
мента деревянной конструкции с осью х системы координат xz, где
ось х направлена вдоль, а ось z — поперек волокон.

Сформулируем основные требования, которым должен удовлет-
ворять критерий прочности древесины в общих и частных случаях
плоского напряженного состояния:

1)	аналитические выражения критерия прочности, относящиеся к
области отрыва, смятия и скалывания, должны определять зависи-
мость предельных главных напряжений а> и 03 от угла а;

2)	при одноосном растяжении вдоль волокон (а = 0) и одноосном
растяжении поперек волокон (а = л/2) предельные напряжения
должны равняться соответствующим пределам прочности Rpx и RPz\
3) при одноосном сжатии вдоль волокон (а = л/2) и одноосном
сжатии поперек волокон (а = 0) предельные напряжения I 03 I дол-
жны равняться соответствующим пределам прочности RCx и Rcz:
4) при двухосном равномерном растяжении или сжатии аналитиче-
ские выражения критерия прочности, относящиеся к областям отры-
ва или смятия, не должны содержать в себе параметр а, являющий-
ся в данном случае неопределенной величиной;

5) аналитическое выражение критерия прочности, относящееся к
области скалывания (область смешанных двухосных напряженных
состояний растяжение — сжатие), при переходе к случаям одноос-
ных напряженных состояний растяжения или сжатия вдоль или по-
перек волокон должно определять соответствующие напряжения
ai и аз согласно условиям

aj(a = 0) > Rpx\ ai(a = л/2) > Rpz,

1аз(а = л/2) I > Rcx, 1аз(а = 0) I > Rcz.	(3.1)

Условия (3.1) накладывают определенные ограничения на соотно-
шения между величинами Сх, Cz и Rpx, RPz, Rex, Rcz и выражают то,
что при данных видах одноосных напряженных состояний причиной
разрушения древесины является не скалывание, а отрыв или смятие.
В случае плоского напряженного состояния, когда в рассматри-
ваемой точке, по крайней мере, одно из главных напряжений явля-
ется растягивающим, возможно разрушение древесины от отрыва по
некоторой площадке, направление которой зависит от соотношения
между главными напряжениями и ориентации главных осей напря-
жений относительно направления волокон.

Пусть в некоторой точке действует система нормальных (ах, ах) и
касательных (тхг) напряжений, соответствующая главным напряже-
ниям ai и оз, из которых, по крайней мере, <71 является растягиваю-
щим. Введем следующие обозначения: <р— угол между нормалью
п к опасной площадке отрыва и осью х; ш — угол между нормалью
п и направлением <ri, причем

а/ = — а.	(3.2)

Предел прочности древесины на растяжение по нормали к пло-
щадке отрыва изменяется от своего максимального значения Rpx до
минимального Rpz по некоторому закону Rp = Rp(f>), который в на-
стоящее время может быть установлен лишь исходя из результатов
экспериментальных исследований прочности древесины при одноос-
ном растяжении. Опытные зависимости ai = 01(a) хорошо аппрокси-
мируются соотношением [3, 32 ]:

(oi(a) I-1 = co^a/Rpx + sitfa/Rpz.	(3.3)

Таким образом, аналитическое выражение критерия прочности
для области отрыва, записанное для случая одноосного напряженно-
го состояния (<73 = 0), должно совпадать с соотношением (3.3). Это
совпадение имеет место в том и только в том случае, если предста-
вить зависимость Rp(<f>) в виде, аналогичном (1.3)

Яр(у’) = /?pxcosV + /?pzsinV,
или в иной форме

Лр(у>) e + Лрг) + 0,5(Лрх — Rpz)cos1<f>. (3.4)

Направление опасной площадки отрыва находим, как и ранее, из
условия:

шах (<7д — Rpty) ] = 0,	(3.5)

где а» = 0,5(oi + 03) + 0,5(ai — аз) cos2<a.	(3.6)

Величины <7i, <73 на являются известными.

Условие (3.5) после подстановки в него (3.6), (3.4) и зависимости
(3.2) может быть реализовано в форме:

d {(<71 + <7з)+(<71 - 03) cos2(p - а) -

— [(Лрх + Rpz)+(Rpx ~ Rpz) cos2 <р ] }/<Др=О,	(3.7)
откуда следует выражение для tg 2р, определяющее значение угла

<р = <р для площадки отрыва

tg2p =

(cti — аз) sin 2 ct

(ai - <T3)cos2a - (Rpx - RpzY

(3.8)

Подставляя (3.8) в соответствующие слагаемые в фигурной скоб-
ке (3.7) и приравнивая ее Нулю, получим аналитическое выражение
критерия прочности древесины, относящееся к области отрыва

2	• 2

cos а , sin а

aia3 , | sin2a cos2a

Rpx Rpz I 1 RpxRpz + I Rpx Rpz

а3 — 1 = 0.	(3.9)

В случае одноосного растяжения (аз = 0) из уравнения (3.9) следу-
ет соотношение (3.3).

Уравнение (3.9) удовлетворяет сформулированным выше требова-
ниям к критерию прочности 2) и 4). В случае двухосного равномер-
ного растяжения (ai == аз = ао) уравнение (3.9) не содержит в себе
параметр а и определяет значение ao = Rpz> соответствующее мень-
шему значению его корней.

Аналитическое выражение критерия прочности древесины в обла-
сти отрыва (3.9) в системе координат а\&з представляет собой урав-
нение семейства гипербол, центральная ось которых, вообще говоря,
не совпадает с прямой ai = аз. Эти направления совпадают лишь в
случае а = л/4.

В системе координат xz — главных осях анизотропии — уравне-
ние (3.9) записывается в виде

(Rpx ~~ &x)(Rpz — az) — Txz = 0,	(3.10)

тождественно совпадающем с (1.14).

При Txz = 0 условие (3.10) определяет ах = Rpx; az = Rpz. При
ах = az = 0 txz = (RpXRpz). В том случае, когда одно из напряже-
ний ах или crz является сжимающим, его следует вводить в (3.10) со
знаком минус, что, естественно, приводит к расширению на данном
участке области прочного сопротивления древесины отрыву.

В случае плоского напряженного состояния, когда в рассматрива-
емой точке, по крайней мере, одно из главных напряжений является
сжимающим, возможно разрушение древесины от смятия по некото-
рой площадке, направление которой зависит от соотношения между
главными напряжениями и ориентации главных осей напряжений
относительно направления волокон.

Методика получения аналитического выражения критерия прочно-
сти древесины в области смятия аналогична рассмотренному случаю
разрушения от отрыва. Поэтому ограничимся здесь лишь записью ос-
новных зависимостей, соответствующих выражениям (3.3) — (3.10):
___1	(3.11)
О'з(а) Rex Rcz

RW)^RcX2~^+ (^"^<082 у; (3.12)

max [ей + R&p) ] = 0;

</{(<71 + <тз)+(<71 - <T3)cos2 (<p — <x)+ l(/?cx + Rcz)+(Rcx ~ Rez)cos1<p ]}/d<f>^§

_______________(<7i — <тз) sin 2 a__t
tg ? ~ (ai -,<73)cos2a + (Rex - Rcz)'

(3.13)

cosset sin2a?

Rex Rcz
/

1,2	2

sin a cos a

Rex	Rcz

<73+1=0; (3.14)

(Rex + Ox)(Rcz + <7z) — Txz — 0.

(3.15)

В случае одноосного сжатия (eq = 0) из уравнения (3.14) следует
соотношение (3.11). Уравнение (3.14) удовлетворяет сформулиро-
ванным выше требованиям к критерию прочности 3) и 4).

В случае двухосного равномерного сжатия (<?1 = аз = сто) уравне-
ние (3.14) йе содержит в себе параметр а и определяет значение
сто = — Rcz, соответствующее меньшему по абсолютной величине
значению его корней.

В том случае, когда одно из напряжений ах или az является растя-
гивающим, его следует вводить в (3.15) со знаком плюс, что, естест-
венно, приводит к расширению на данном участке области прочного
сопротивления древесины смятию.

В области смешанных двухосных напряженных состояний рас-
тяжение — сжатие наибольшую опасность представляет разруше-
ние древесины от скалывания, которое может произойти либо вдоль
волокон, либо по некоторой иной площадке, направление которой
зависит от соотношения между главными напряжениями и ориента-
ции главных осей.

Пусть в некоторой точке действует система нормальных (стх, az) и
касательных (txz) напряжений, соответствующая главным напряже-
ниям противоположных знаков: ai >0; аз < 0. Обозначим ip — угол
между нормалью п к опасной площадке скалывания и осью х, совпа-
дающей с направлением волокон, причем

= а + ш.	(3.16)

Предел прочности древесины на скалывание по опасной площадке
С = C(ip) изменяется от своего максимального значения Сх (попе-
рек волокон) до минимального С2 (вдоль волокон) согласно закону,
аналогичному (3.4) и (3.12):

С (#) « 0,5(Сх + Cz) + 0,5(Сх - Cz) cos2 xj>. (3.17)

Направление опасной площадки скалывания находим, как и ра-
нее, из условия

max [Inti - C(v01 = 0,	(3.18)

гдетд-0,5(а1 -оз)$1п2си.	(3.19)

Условие (3.18) после подстановки в него (3.19), (3.17) и зависи-
мости (3.16) может быть реализовано в форме

- сз) sin2 ш - ((Сх + Сг) + (Сх - Cz) cos2 (а + <и) ]} = О,

(3.20)
откуда следует выражение для tg 2 ш, определяющее значение угла
ш = ш для площадки скалывания

=	<3.21)

— vzj COS Z (X

Подставляя (3.21) в соответствующие слагаемые в фигурной скоб-
ке (3.20) и приравнивая ее нулю, получим аналитическое выраже-
ние критерия прочности древесины, относящееся к области скалыва-
ния

С1 - <73 = l(Cx - Cz)2sin22a + ACxCz]^ - (Сх - Cz)lsin2al, (3.22)
которое в системе координат <7103 представляет собой уравнение се-
мейства прямых линий, параллельных прямой а\ = аз.

При Сж — Cz = С из (3.22) следует критерий Треска-Сен-Венана
ai — <тз = 2С.

При чистом сдвиге <71 = —<73 = т(а), причем т(0) = т(л/2) = •
= (СхСг) , т(я/4) = Сг.

При одноосном растяжении (аз = 0)

ai (а = 0) = <т1(л/2) = 2(СхСг)(3.23)

При одноосном сжатии (си = 0)

а3(а = л/2) = <7з(0) = -2(СяСх)''г.	(3.24)

Формулы (3.23) и (3.24) выражают значения соответствующих
пределов прочности в предположении, что прочность древесины оп-
ределяется скалыванием по некоторой площадке, нормаль п к кото-
рой лежит в плоскости xz. Поскольку нет оснований считать, что
при данных видах одноосных напряженных состояний причиной
разрушения древесины является скалывание, а не отрыв или смятие,
.мла

Рис. 23. Области прочного сопротивле-
ния древесины для различных значе-
ний а

а —а = лУ12; б — а—л/6‘9 в—а=л/3;

J — гиперболы по (3.9); // — гиперболы
по (3.14); III — прямые по (3.22)

6

бцМПа

значения пределов прочности, определяемые формулами (3.23) и
(3.24), должны удовлетворять требованию 5) , выраженному услови-
ями (3.1). На основании того, что Rpx > > Rpz и Rcx > > Rcz,
соотношения (3.1) и (3.23), (3.24) определяют:

ЗССхСг)12 > Rpx; 2(CxCz)V1 s Rcx.	(3.25)

При одноосном растяжении или одноосном сжатии поперек воло-
кон возникает также опасность скалывания из плоскости xz по пло-
щадке главных касательных напряжений, не пересекающей волокна
древесины, что определяет для нее предел прочности на скалывание,
равный Cz. Значения главных касательных напряжений составляют:
при растяжении Тщах = 0,5аь при сжатии Тшах = 0,51 аз I. Поскольку
нет оснований считать, что при данных видах одноосных напряжен-
ных состояний реализуется указанный механизм разрушения, появ-
ляется возможность прогнозировать дополняющие (3.25) зависимо-
сти между прочностными показателями древесины:

2CZ > Rpz; 2CZ > Rcz-	(3.26)

В системе координат xz — главных осях анизотропии — уравне-
ние (3.22) записывается в виде

(ах - аг)2 - 4(Сх + Тхх)(Сг - rxz) = 0.	(3.27)
На рис. 23 приведены постро-
енные в системе координат аюз
линии, ограничивающие область
прочного сопротивления древеси-
ны для условных значений ее ос-
новных прочностных показате-
лей Rpx, Rpz, Rex, Rcz, Cx, Cz,
удовлетворяющих зависимостям
(3.25).

Взаимное пересечение линий
I —III —II — Ш — I наблюда-

Рис. 24. Взаимная ориентация главных
осей напряжений /, 3, опасной площад-
ки смятия с нормалью п и главных осей
анизотропии х, z

ется в точках т, т , п', п, где
происходит соответствующая
смена механизмов разрушения:
отрыв —скалывание — смятие
— скалывание — отрыв.

При простом нагружении, ког-

да в рассматриваемой точке а = const, а значения ai и аз возрастают

пропорционально одному параметру к, траектория нагружения в си-
стеме координат <71(73 является прямой линией. В этом случае вид

механизмов разрушения определяется той из линий I, II, III, кото-

рую пересекает траектория нагружения.

При практических расчетах, когда в рассматриваемой точке зада-
ны значения ах, at, txz, удобно пользоваться аналитическими выра-
жениями критерия прочности в форме (3.10), (3.15), (3.27).

Для случая простого нагружения

ах - крх; аг = kpz; tXz - kpXz,

(3.28)

где к > 0 — параметр внешней нагрузки, МПа; рх, рх, Рхг — известные относи-
тельные значения напряжений.

Подставляя (3.28) в уравнения (3.10), (3.15), (3.27) и разрешая
последние относительно к, получим соответственно*.

_ (^PXPz + RpzPx) ~~ \(RpxPz + RpzPx)2 ~ 4RpxRpi(PxPz ~ Pxz)l .

2(₽хРх - pL)	(3.29)

— ~^CXPZ + КсФх) ~ К^слрх + RczPx?" ~ 4RcxRci&PxPz ~ Pxz)
2(pxPz - pxz)	о зо)

=	— Cz)2pxz + CxCz[(px — Pz)2 + 4pxz]} — (Cx — Cz)Pxz

(px — Pz)2 + 4p?z

(3.31)
Рис* 25. Геометрическая интерпретация условия прочности на смятие

I — векторная диаграмма Rp(<p) по (3.4); П — векторная диаграмма Rc(<p) по (3.12); III
— четырехлистник нормальных напряжений при щ = 7,8 МПа, = -4,4 МПа,
а =17°

Из трех величин к, определяемых выражениями (3.29) — (3.31),
действительным предельным значением является его наименьшее
положительное значение. Когда одно из значений к по (3.29) или
(3.30) оказывается отрицательным, это означает, что соответствую-
щее этому случаю разрушение материала (от отрыва или смятия)
принципиально невозможно, поскольку в рассматриваемой точке по
любым площадкам действуют только сжимающие или только растя-
гивающие напряжения.

Пример. Пусть рх =2, pz = -1, pxz =1 (рис. 24), Rpx - 14,4 МПа, Rpz « 2,4 МПа,
Rcx = 22,8 МПа, Rcz = 3,8 МПа, Сх = 20 МПа, Cz = 6,5 МПа, Cz — 3 МПа. При
этом условия (3.25) и (3.26) выполняются. На основании выражений (3.29) —
кр «Х2,25 V s МПа; - 0,9 Rcz = 3,4 МПа; кСк = 0,7 Cz == 4,5 МПа.

Таким образом, fcmin = кс = 3,4 МПа, т.е. при заданном соотношении рх: pz' pxz
разрушение в данной точке произойдет от смятия. Значения предельных напряже-
ний: ах * 6,8 МПа; а2 = -3,4 МПа; тхг = 3,4 МПа. При этом cq = 7,8 МПа; аз -
= -4,4 МПа; а = 17е. Направление опасной площадки смятия может быть най-
дено из выражения (3.13), определяющего tg2^ = 0,234; 2^= 194°; р = 97°.

Таким образом, нормаль п к опасной площадке смятия не совпадает с направ-
лением главного сжимающего напряжения аз, составляющего с направлением оси
х угол а + 90° = 107°, и располагается между направлением поперек волокон и
направлением аз: 90° < у? < 107°. Именно в этом направлении ф = 97е) четырех-
листник (рис. 25) нормальных напряжений (при си = 7,8 МПа, аз = -4,4 МПа)
имеет общую касательную с овалом пределов прочности на сжатие (3.12).

Результаты некоторых экспериментальных исследований прочно-
сти древесины свидетельствуют о влиянии внутреннего трения в ма-
териале на характеристики его предельного напряженного состояния
при разрушении от скалывания.
В связи с этим, помимо критерия прочности (3.22) можно реко-
мендовать также для случая смешанных напряженных состояний
растяжение — сжатие использовать критерий прочности (2.42), учи-
тывающий внутреннее трение. При этом значение »tg/c следует
принимать порядка 0,10 + 0,15. В системе координат xz уравнение
(2.42) записывается в виде

o?-2(l+^2)axtTz+az+4/4(Ciaz+Czax)+4(l+/42)T?z+

+4(Cx-Cz)tXz“4CxCz=0.	(3.32)

2.	Критерий прочности каменной кладки при плоском
напряженном состоянии

Рассмотрим вопросы кратковременной прочности каменной клад-
ки для общего случая плоского напряженного состояния, наиболее
часто встречающегося при проектировании и поверочных расчетах
каменных конструкций.

В соответствии со строением каменной кладки будем моделиро-
вать ее ортотропным телом, имеющим определенные количествен-
ные показатели прочности в двух характерных направлениях — по-
перёк и вдоль горизонтальных швов.

Вопросам прочности каменной кладки при одноосных и двухос-
ных напряженных состояниях посвящено большое количество теоре-
тических и экспериментальных исследований, в том числе [12, 5,
42].

Формулируя предлагаемый критерий прочности каменной клад-
ки, будем определять каждую ее разновидность (марку) шестью ос-
новными независимыми пределами прочности:

Rex, Rcz — на одноосное сжатие перпендикулярно вертикальным
(перевязанным) и горизонтальным (неперевязанным) швам соответ-
ственно;

Rpx, Rpz — на одноосное растяжение перпендикулярно вертикаль-
ным и горизонтальным швам соответственно;

Сх, Cz — на сдвиг по перевязанному (вертикальному) и неперевя-
занному (горизонтальному) сечениям.

На основании существующих экспериментальных данных следу-
ет, что в общем случае плоского напряженного состояния возможны
три различных механизма разрушения каменной кладки:

1)	разрушение от раздробления, проявляющееся при одноосном или
двухосном Сжатии; 2) разрушение от отрыва, проявляющееся при
одноосном или двухосном растяжении; 3) разрушение от сдвига,
проявляющееся обычно при смешанных двухосных* напряженных со-
стояниях сжатие-растяжение.

В связи с этим критерий прочности каменной кладки, как и для
других ортотропных тел, будет представлен в виде трех независи-
мых аналитических выражений, каждое из которых определяет пре-
дел ее прочного сопротивления при соответствующих видах плоско-
го напряженного состояния.

Основные требования, которым должен удовлетворять критерий
прочности каменной кладки в общих и частных случаях плоского
напряженного состояния, аналогичны по своему физико-механиче-
скому смыслу требованиям 1—5, сформулированным в § 1 гл. 3 для
критерия прочности древесины.

Приведенные в этом параграфе выкладки позволяют непосредст-
венно записать выражения для критерия прочности каменной клад-
ки:

в области раздробления

2	• 2 \

cos о sin а

Rcx	Rcz

0103 + fsin2o + cos2c?

RcxRcz I Rcx Rcz

03 + 1 = 0;

(3.33)

в области отрыва

В области смешанных двухосных напряженных состояний сжатие
— растяжение наибольшую опасность представляет разрушение
кладки от сдвига, который может произойти либо по неперевязанно-
му шву либо по некоторой ступенчатой линии, направление которой
зависит от соотношения между главными напряжениями и ориента-
ции главных осей.

Поскольку каменная кладка обладает сильно выраженным свойст-
вом внутреннего трения, для определения ее критерия прочности
при сдвиге должно быть использовано уравнение (2.42), учитываю-
щее это свойство:

о? — 2 (1 + 2^и2) 0103 + о? + 2/z (Сх + Cz) (oi + оз) +

+ 2(СХ - Cz) ( I sin2а I - /«cos2а) (oi - 03) - 4CxCz = 0.	(3.35)

В системе координат xz уравнения (3.33), (3.34), (3.35), записы-
ваются соответственно в виде (3.15), (3.10), (3.32).

Остановимся на случае чистого сдвига. При этом 01	—03 = 1, и

уравнение (3.35) приводится к виду

(1 + дУ + (Сх - Сг)( I sin 2 а I - ц cos 2 «)г - СхСг = 0.	(3.36)
Рассмотрим два характерных случая чистого сдвига: 1) сжатие в
вертикальном и растяжение в горизонтальном направлениях
(а = 0); 2) растяжение в вертикальном и сжатие в горизонтальном
направлениях (а — л/2).

На основании уравнения (3.36)

_ U*2(Cx - Cz)2 + 4(1 + y2)CxCz]V2 4 fi(Cx - Cz).

()	2(1+/<2)

.	_ fr2(Cx - Cz)2 + 4(1 + ^CxCz]^ - MCx - Cz)

(	'	2(1+/?)

Таким образом, при д # 0 т(0) > т(я/2). Этому результату мож-
но дать следующую интерпретацию. В первом случае (а = 0) глав-
ные касательные напряжения способствуют обжатию и уплотнению
горизонтальных (неперевязанных) . швов. Во втором случае
(а = л/2) главные касательные напряжения способствуют их разуп-
лотнению и раскрытию. При а = л/4 уравнение (3.36) опреде-
ляет	|л

г(я/4) .	- (Сх - Cd (3.37)

2(1+/?)

Этот случай соответствует одинаковому углу наклона главных
осей напряжений к направлениям горизонтальных и вертикальных
швов. Система нормальных напряжений ai = —аз = т при а = л/4
эквивалентна системе напряжений в главных осях анизотропии,
равных ох — crz = 0, Txz = т.

При д = 0 значение т по формуле (3.37) составляет
т = т(л/4) = Cz, т.е. в этом случае прочность кладки определяется
пределом прочности на сдвиг по неперевязанному шву.

Определим по уравнению (3.35) значения четырех пределов проч-
ности, соответствующих одноосному сжатию в вертикальном и гори-
зонтальном направлениях, одноосному растяжению по тем же на-
правлениям:

аз(0) = -2{ [СхО2Сх + Сг) ] + дСх};	(3.38)

оз(я/2) = -2( (Cz(/?Cz + Сх) У1 + дСг};	(3.39)

<л(л/2) = 2{ ^СхО2Сх + Сг) - дСх}; (3.40)
а\ (0) = 2{ {Cz^Cz + Сх) J12 - /*Cz}.	(3.41)

Формулы (3.38) и (3.39) определяют значения пределов прочно-
сти на одноосное сжатие соответственно в вертикальном и горизон-
тальном направлениях в предположении, что прочность кладки оп-
ределяется сдвигом по опасным площадкам скольжения. Формулы
(3.40) и (3.41) определяют значения пределов прочности на одноос-
ное растяжение соответственно в вертикальном и горизонатальном
направлениях в предположении той же физической картины разру-
шения. Поскольку нет никаких оснований считать, что при данных
видах одноосных напряженных состояний причиной разрушения ка-
- менной кладки является сдвиг, а не раздробление или отрыв, значе-
ния пределов прочности, определяемые формулами (3.38) — (3.41),
должны удовлетворять условиям, аналогичным (3.1), а именно:

1оз(0) I 2 Rczi 1оз(я/2) I 2: RCx‘,
ст1(л/2) a Rpti cri(O) £ Rpx-

3.	Сравнение прочности древесины и каменной кладки по
теоретическим и экспериментальным данным

Данные по древесине. В 1982 — 1984 гг. в брестском филиале
ЦНИИПромзданий были проведены экспериментальные исследова-
ния прочности чистой древесины при различных видах напряженно-
го состояния. В результате исследований были зафиксированы сле-
дующие физические картины разрушения материала:

а)	отрыв или смятие поперек волокон (характеризуемые значе-
ниями Rpz, Rcz)",

б)	скалывание вдоль волокон (характеризуемое значением Сх)’,
в) отрыв или смятие вдоль волокон, имеющие место при одноос-
ном растяжении или сжатии вдоль оси х

В обгДем случае несовпадения главных осей напряжений си, аз с
главными осями анизотропии х, z явлений отрыва, смятия и сдвига
материала по наклонным к осям х, z площадкам в опытах не наблю-
далось. Это обстоятельство качественно совпадает с выводом, следу-
ющим из теоретических зависимостей, приведенных в параграфе 1
гл. 1.

Действительно, рассматривая систему уравнений (1.54) и преоб-
разуя ее к виду

ах - <Jz = 2 In (Сх + Cz); tXz = Сгп2 - Cxl2, (3.42)

учитывая также, что 2rXz/(ox - az) = tg2a, Z2 + /t2=l, получим
выражение	t

(Cx + Cz)tg2a /(1 - l2)2 + (Cx + Cz)!2 - Cz = 0,	(3.43)

где a — угол между направлением главного напряжения ai и осью х.
Находя экстремум функции, стоящей в левой части (3.43), по пе-
ременной Z, определим значение косинуса I предельного угла накло-
на нормали площадки сдвига к оси х

Йр=Сг/(Сх + Сх),	(3.44)

который имеет место при tgla = 0.

Таким образом, угол наклона площадки скольжения к оси х до-
стигает своего предельного значения (3.44) в случае, когда главные
оси напряжений совпадают с главными осями анизотропии материа-
ла. Во всех других случаях величина г будет меньше значения, оп-
ределяемого по формуле (3.44), а направление площадки сдвига бу-
дет приближаться к направлению волокон. Даже в предельном слу-
чае, когда значение Сх значительно больше Cz, из (3.44) следует,
что 1Пр мало и угол между нормалью к площадке сдвига и осью х
близок к я/2.

В связи с этим может быть сделан вывод о целесообразности со-
кращения для древесины числа поверочных условий в модифициро-
ванных критериях прочности,и установлении ограничений предель-
ных (или расчетных) значений напряжений только для направлений
вдоль и поперек волокон.

Эти ограничения определяются выражениями (2.65) —- (2.67)

—Rcx Ox Rpx\ — Kez ~	< Rpz\ I Txz 1 < Cz — доъ. (3.45)

В то же время, при наличии касательного напряжения TZy (дейст-
вующего из плоскости xz) выявилась необходимость дополнить сис-
тему условий (2.65) — (2.67) условием

I Tzy I — Cz — /WOz,
где Cz — предел прочности (или расчетное сопротивление) при скалывании попе-
рек волокон.

Следует отметить, что при проведении экспериментальных иссле-
дований большое влияние на прочностные показатели древесины
оказывают условия проведения эксперимента, в частности, характер
крепления образцов в испытательной машине. Зачастую не удается
избежать краевого обжатия образца, влияющего на распределение
напряжений в его рабочей части, концентрации напряжений у краев
накладок, да и сами накладки, наклеенные вдоль волокон, стесняют
деформации образца в поперечном направлении»

Поэтому ограничимся здесь рассмотрением данных испытаний
древесины, относящихся лишь к случаям одноосного растяжения и
одноосного сжатия (рис. 26) при различных значениях углов а меж-
ду растягивающей силой и направлением волокон [18 ].
Рис. 26. Зависимость предела прочности <71 от угла а при одноосном растяжении (а)
И |<7з | от угла а при сжатии (б) древесины сосны

1 — по (1.16) при аз = 0; 2 — по (2.66) при оз = 0; 3 — по (2.67) при <73 = 0; 4 —
по (2.65) при <71 == Rpx = const; , Ж — экспериментальные данные [18]; 5 —
граница кривых 2 и 3: а= 250‘, 6 — по (1.28) при <71 = 0; 7 — по (2.66) при
щ =0; 8 — по (2.67) при <71 = 0; 9 — по (2.65) при | <73 | = Rex = const; 10 — гра-
ница кривых 7 и 8: а = 32°

Усредненные значения пределов прочности чистой древесины со-
сны для испытанных серий образцов составляли: Rpx = 76,1 МПа,
Rpz = 3,0 МПа, Rcx = 39, f МПа,Rcz = 4,8 МПа, Cz = 7 МПа, д = 0,15.

На основании (1.1) или (1.16) при аз = 0 (см. рис. 26, а):

при а = 0 ai = Rpx = 76,1 МПа;

при а = л/2 си « Rpz — 3,0 МПа.

Зависимость (2.66) с учетом (2.71) при аз = 0 (2) определяет

ai = <7i(a) = Rpz/sin2a	(3.46)

значение предела прочности при одноосном растяжении и является
модифицированным критерием прочности древесины, соответствую-
щим разрушению ее от отрыва поперек волокон. При
а = л/2 а\ = Rpz =3,0 МПа.

Зависимость (2.67) с учетом (2.71) при аз = 0 (3) определяет

СТ1 = 01 (а) . --Д—---------- (3.47)

v ' (cos а + ^sina)sina

значение предела прочности при одноосном растяжении и является
модифицированным критерием прочности древесины, соответствую-
щим разрушению ее от скалывания вдоль волокон.
Для указанных выше усредненных значений расчетных характе-
ристик древесины сосны ai по выражениям (3.46) и (3.47) оказыва-
ются равными между собой при а ~ 25°. При этом происходит смена
форм разрушения образцов: от отрыва поперек волокон 2 — к ска-
лыванию вдоль волокон 3 (см, рис. 26).

Зависимость (2.65) с учетом (2.71) при аз = О (4) определяет

2

<71 = Rpx/cos а ~ Rpx

(3.48)

значение предела прочности при одноосном растяжении и является
модифицированным критерием прочности древесины, соответствую-
щим разрушению ее от отрыва вдоль волокон при малых значениях
угла а.

Для указанных усредненных значений прочностных характери-
стик древесины сосны ai по выражениям (3.47) и (3.48) оказывают-
ся равными между собой при а ~ 5°. При этом происходит смена
форм разрушения образцов: от скалывания вдоль волокон 3 — к от-
рыву вдоль волокон 4.

Значения пределов прочности ai = ai(a), определяемые точными
и модифицированными критериями прочности, достаточно близки
друг к другу, а также к значениям, полученным из эксперимента
(экспериментальные данные обозначены сплошными прямоугольни-
ками) .

Зависимость предела прочности при одноосном сжатии (см. рис.
26, 6) 1 аз I =аз(а), определяемая соотношением (1.28) при
ai = 0 и а = л/2 — а:

Выражение (3.49) представляет собой точный критерий прочности
древесины, соответствующий разрушению ее от смятия.

На основании (3.49):

при а = 0 (а = л/2) I аз I —Rex - 39,1 МПа;

при а = л/2 (а = 0) I аз I = Rcz = 4,8 МПа.

Зависимость (2.66) с учетом (2.71) при о\=0иа = л/2- а (7)
определяет

I аз I = аз(а) = Rcz/s\rra

(3.50)

значение предела прочности при одноосном сжатии и является мо-
дифицированным критерием прочности древесины, соответствую-
щим разрушению ее от смятия поперек волокон. При
а = л/2 (а = 0) 1аз I = RCz = 4,8 МПа.

Зависимость (2.67) с учетом (2.71) при ai= Оиа = л/2 *- а (8) оп-
ределяет .
I <73 I = <73(5) = 7—_ - Ci. „ . _	(3.51)

4 7 (cosa - jusinajsina

значение предела прочности при одноосном сжатии и является мо-
дифицированным критерием прочности древесины, соответствую-
щим разрушению ее от скалывания вдоль волокон.

Для указанных выше усредненных значений прочностных харак-
теристик древесины сосны величины I аз I по выражениям (3.50) й
(3.51) оказываются равными между собой при а & 32°(а « 58е). При
этом происходит смена форм разрушения образцов: от смятия попе-
рек волокон 7 — к скалыванию вдоль волокон 5.

Зависимость (2.65), с учетом (2.71) при ai = Оиа = я/2 — а (9)
определяет

I аз I = J^cjf/cos^a яг Ксх	(3.52)

значение предела прочности при одноосном сжатии и является мо-
дифицированным критерием прочности древесины, соответствую-
щим разрушению ее от смятия вдоль волокон при малых значениях
угла а.

Для указанных выше усредненных значений прочностных харак-
теристик древесины сосны величины I оз I по выражениям (3.51) и
(3.52) оказываются равными между собой при а ~ 10е (а « 80е).

Значения пределов прочности I аз I = аз(а), определяемые точ-
ным и модифицированными критериями прочности достаточно близ-
ки друг к другу, а также к значениям, полученным из эксперимента
(экспериментальные данные обозначены сплошными треугольника-
ми).

Рис. 27. Схемы опытов для определе-
ния прочности растворных швов на
сдвиг (а) и на отрыв (6)

Рассмотрим числовой пример прак-
тического использования модифициро-
ванных критериев прочности для древе-
сины и связанный с этим вопрос опре-
деления предельной (разрушающей) на-
грузки.

Пусть напряженное состояние в не-
которой точке (или в области конечных
размеров) элемента деревянной конст-
рукции на основании ее статического
расчета определяется следующими зна-
чениями напряжений для главных осей
анизотропии ох = 15^; az = —q\ Ъг = 2q>
где q — параметр внешней нагрузки;
fa] МПа.

Требуется определить предельное
значение q, соответствующее разруше-
нию материала в данной точке или обла-
сти, а также установить физическую
картину (причину) разрушения. Пусть, как и в рассмотренных выше
экспериментах:	Ярх=76,1 МПа, fyz=3,0 МПа, /?сх=39,1 МПа, /?сг=4,8 МПа,

Cz=7,0 МПа, ^=0,15.

На основании рекомендованных для древесины ограничений (3.45), включаю-*
щих в себя условия (2.65) — (2.67), соответственно находим:

<гх = Ярх; 15g = 76,1 МПа; = 5,07МПа;

Oz »	= —4,8 МПа; q = 4,8МПа;

ItjczI =Cz—/гаг; 2# = 7,0 + 0,15у; д = 3,75МПа.

Таким образом gmin = 3,75 МПа и разрушение материала в рассматриваемой .
точке, или области при возрастании внешней нагрузки произойдет от скалывания
вдоль волокон.

Данные по каменной кладке. Проверка приведенных в гл. 1~3 кри-
териев прочности применительно к каменной кладке при двухосном
сжатии осуществлялась на основе экспериментальных данных [42 ].

Проводились серии опытов по испытанию квадратных кирпичных
панелей 360x360 мм при различных комбинациях сжимающих на-
пряжений и различной ориентации панелей по отношению к дейст-
вующей нагрузке. Чтобы исключить влияние трещин и других де-
фектов, возникающих при изготовлении и сушке, кирпичи специ-
ально выпиливались из прессованных образцов большего размера.
Прочность растворных швов на сдвиг и растяжение определялась из
опытов (рис. 27) и составляла соответственно 0,3 и 0.15 МПа.
Прочностные характеристики кирпича, раствора и кирпичной клад-
ки в целом соответствовали установленным стандартам.

Кирпичные панели доводились до разрушения на специальной ус-
тановке (рис. 28). Давление на образец создавалось при помощи
гидравлической системы, при-
чем постоянное соотношение
горизонтальной и вертикальной
нагрузок выдерживалось в те-
чение каждого цикла испыта-
ний, что соответствовало про-
стому нагружению. Чтобы иск-
лючить влияние касательных
напряжений, возникающих при
обжатии образца, в установке
использовались металлические
щетки, через которые действу-
ющая нагрузка передавалась на
панель.

В процессе испытаний отно-
шение горизонтального сжима-

ющего напряжения к верти- Рис» Схема установки для двухосного
. _	сжатия кирпичной кладки

кальному аз принималось рав-
ным оо (одноосное сжатие в направлении ai), 10; 4; 2; Г; 0,5; 0,25;
0,1; 0 (одноосное сжатие в направлении аз), а угол а между направ-
лением продольных швов кладки и направлением ai соответственно
составлял 0*, 22,5’, 45*, 67,5*,90*. Для каждой комбинации
ai, 03 и а выполнялось не менее четырех опытов.

По результатам экспериментальных исследований в [42 ] отмеча-
ется, что разрушение кладки происходило от раздробления и от
сдвига по растворным швам как в плоскости, так и из плоскости об-
разца.

Для построения теоретических областей прочного сопротивления
кирпичной кладки использовались модифицированные критерии
прочности (2.2), (2.6) и (2.60), которые для случая плоского напря-
женного состояния имеют вид

(3.53)

(3.54)

(3.55)

Rpi - ai = 0; Rp3 — оз = 0,
ЛС1 + ai = 0; ЛсЗ + оз = О,

Q1 .	(1	1 . М

Л12	B21J	’

_Z3_4-rr.fi	1	1	1 V	1-

Л32	*\Я”Л32	В23)	’

03	Q1 _	.

Л31	В13	’

СТЗ(я " Й2? + 2?П) " J12 = 15
/1	1	1 \	03	.

at Л23	^32/	В32 ~

Of _ 03	.

Л13	В31	’

гдеRpi, Rei определяются по формулам (2.1) и (2-5); А у, By— по формулам (2.43)
- (2.46), (2.51) - (2.54), (2.55) - (2.58); И - по формуле (2.59).

Кирпичная кладка рассматривалась как ортотропный материал,
обладающий внутренним трением с обобщенным коэффициентом
ц = 1. В соответствии с экспериментальными данными [42] для рас-
четов были приняты следующие значения констант прочности клад-
ки; RpX = 0,3 МПа, Rpz — 0,15 МПа, Rex== Ю МПа, Rcz ” 8,5 МПа,
Сх = Су = 1,45 МПа, Cz = 0,725 МПа.

Отметим, что значение предела прочности на сдвиг по иеперевя-
занному сечению Cz принято несколько выше величины, установ-
ленной из опытов на срез. Как уже отмечалось, есть все основания
предполагать, что значения пределов прочности, полученные в
опытах на срез, являются в известной степени заниженными по
сравнению со значениями, полученными из условий чистого сдвига.

По условиям (3.53), (3.54), (3.55) с использованием приведенных
значений констант прочности построены теоретические области
прочного сопротивления кирпичной кладки (рис. 29). Области проч-
ного сопротивления для углов 90* и 67,5* получаются как зеркаль-
ные отображения областей для а == 0’ и а = 22,5* относительно пря-
мой <71 = аз.

Как видно из рисунков, имеется вполне удовлетворительное сов-
падение опытных данных с теоретическими расчетами. Линии, па-
раллельные координатным осям, обусловливают разрушение мате-
риала от раздробления (или отрыва), а наклонные — от сдвига в
плоскости или из плоскости образца, что соответствует действитель-
ному характеру разрушения, проявленному в эксперименте.

Для построения теоретических областей прочного сопротивле-
ния кирпичной кладки использовались также критерии прочности
(1. 16), (1.28), (2.42), (рис. 29, г).

Используем теперь для построения теоретических областей проч-
ного сопротивления каменной кладки модифицированные критерии
прочности (2.65) — (2.70), учитывая при этом некоторые особенно-
сти данного материала.

' Для каменной кладки Rcx * Ra *» Rc, а значения Rpx и Rpz име-
ют один и тот же порядок. В связи с этим может быть сделан вывод
о целесообразности сокращения для каменной кладки числа пове-
рочных условий и установлении ограничений предельных (или рас-
четных) напряжений только для главных нормальных, главных ка-
сательных напряжений и касательных напряжений вдоль неперевя-
занных швов. Эти ограничения определяются выражениями (2.68),
(2.69), (2.70), (2.67):

—Re S ai S ЯР1(а); -Rc S аз S Лрз(а)Г

T13 С1з(«) - д(а)сиз; I Txz I < Cz - h*jz. (3.56)

На основании экспериментальных данных была установлена за-
висимость коэффициента внутреннего трения ц от направления
опасной площадки скольжения, которая может быть представлена
формулой, аналогичной по своей структуре формуле (2.64)

Д = д(а) = |[(Дх + Pz) - (Нх-Hi) I sin2a I ],	(3.57)

гдедх— коэффициент внутреннего трения при сдвиге по перевязанным швам;
коэффициент внутреннего трения при сдвиге по неперевязанным швам.

При а = 0 ил и а = л/2 р » (/лх + ^)/2.

При а = л/4 или а = -л/4 р = jiz-
ОС «45® *
Рис. 29. Области прочного сопротивления
кирпичной кладки при различных углах а
между ai и направлением продольных швов
• — экспериментальные данные; теоретиче-
ские расчеты по критериям прочности:

а, б, в: 1,2,3 — по (3.53 — 3.55);

г: 4 — по (1.16), 5 — по (L28), 6 — по (2.42);
д, е, ж: 7 — по (2.68), 8 — по (2.69), 9 — по
(2.70), 10 — по (2.67).

t
В последнем случае I txz I = пз; С1з(а) = Cz; д(а) = /zz, а третье
и четвертое соотношения (3.56) тождественно совпадают, поскольку
направление главного касательного напряжения совпадает при этом
с направлением неперевязанных швов. Значения идг составляют
для каменной кладки рх « 0,7, pz » 0,5.

В данном случае при сопоставлении теоретических данных по
критериям (3.56) с экспериментальными были приняты следующие
физические характеристики каменной кладки: Rcx = Rcz -Rc-
= 9 МПа, Ярх = 0,ЗМПа, Rpz = 0,15 МПа, Сх = ЗМПа,
Cz = 1 МПа, рх = 0,7, pz = 0,5.

Прямые 7 (рис 29, д, е, ж), построенные по условию (2.68) с уче-
том (2.61), ai = -Лсиа1 = Rp\(a).

Прямые 8, построенные по условию (2.69) с учетом (2.61) —
аз = -Rc и аз = Ярз(а).

Прямые 9, построенные по условию (2.70) с учетом (2.64), (2.71),
(3.57) — лз == С1з(а) - д(а)а1з.

Прямые /0, построенные по условию (2.67) с учетом (2.71) —

I tXz I = Cz — p&z»

При а = 90° (см. рис. 29, д) область прочного сопротивления
кладки ограничивается, главным образом, критериями прочности на
отрыв и сжатие (раздробление) и только на малом участке (LB)
вступает в силу критерий прочности по главным касательным на-
пряжениям.

При а « 67,5° (см. рис. 29, е) область прочного сопротивления
кладки помимо критериев прочности на отрыв и сжатие (раздробле-
ние) ограничивается значительными по своей протяженности несим-
метрично расположенными участками, соответствующими разруше-
нию от главных касательных напряжений (L23), и разрушению от
среза вдоль неперевязанных швов (DK).

При а = 45° (см. рис. 29, ж) линии 9 и 10 совпадают, поскольку в
этом случае направление главного касательного напряжения совпа-
дает с направлением неперевязанных швов. При этом область проч-
ного сопротивления кладки симметрична относительно прямой
ai = оз.

Несмотря на существенный разброс экспериментальных данных
модифицированные критерии прочности (3.56) достаточно хорошо
аппроксимируют их на всем диапазоне рассмотренных напряженных
состояний.

Рассмотрим числовой пример практического использования модифицирован-
ных критериев прочности для каменной кладки и определения предельной (разру-
шающей) нагрузки.

Пусть напряженное состояние в некоторой точке (или в области конечных раз-
меров) элемента каменной конструкции на основании ее статического расчета оп-
ределяется следующими значениями главных нормальных напряжений и их ори-
ентацией относительно главных осей анизотропии:

<П = -0,5g; <73 = “87; cl = 22,5°, где q — параметр внешней нагрузки, МПа.

Требуется определить предельное значение q, соответствующее разрушению
материала в данной точке или области, а также установить физическую картину
(причину) разрушения.

Пусть, как и в рассмотренных выше экспериментах:

Rcx = Rcz = Rc = 9 МПа, Rpx — 0,ЗМПa, Rpz = 0,15 МПа, Сх = 3 МПа,
С2=1 МПа, = 0,7, ^z = 0,5.

Заданная система главных напряжений на основании (2.71) эквивалентна сис-
теме напряжений в главных осях анизотропии:

ах =	+ 8sin2225’)g = -1,55g;

oz = -(0,5sin2225° + 8cos?223°)g - -6,95g;

(-0,5 + 8)	. 2,,„

txz-' 2 —ч sin245° — 2,65?,

(0,5 + 8)	(-0,5 4-8)	o__

<ri3 = -1—2—* =	T13 =1-----2--- * = 3,75 9-

При этом в соответствии с (2.64) и (3.57)

013(22,5°) =|[(3 + 1) - (3 - l)sin45°] = 1,30;
/<(22,5°) = |[(0,7 + 0,5) - (0,7 - 0,5)sin 45’] = 0,53.

На основании рекомендованных для каменной кладки ограничений (3.56),
включающих в себя условия (2.68), (2.69), (2.70), (2.67) соответственно находим:

ai = -Rc; —0,5? » —9 МПа; q = 18 МПа;

оз = -Re, -8? = —9 МПа; ? = 1,125МПа;

Т13 = С1з(«)-/4(а)<7п; 3,75? = 1,30+0,53.4,25 ?; ? = 0,866МПа;

| txz | — Cz — fizCz', 2,65q <1,0+ 0,5'6,95? при q> 0.

Таким образом, gmin = 0,866 МПа и разрушение материала в рассматриваемой
точке или области при возрастании внешней нагрузки происходит от действия
главных касательных напряжений.
Глава 4

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ
ЗАДАЧ СТАТИКИ И КИНЕМАТИКИ
АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ ПРИ УСЛОВИЯХ
ПЛАСТИЧНОСТИ ОБЩЕГО ВИДА

1. Плоская деформация тел при сопротивлении сдвигу

Будем считать, что анизотропное тело характеризуется предель-
ным касательным напряжением (пределом текучести на сдвиг)
С = С (у»), значение которого в каждой точке тела является функ-
цией угла V* > определяющего ориентацию опасной площадки
скольжения относительно главных осей анизотропии. Как было по-
казано в гл. 1, направление опасной площадки скольжения не будет
в общем случае совпадать с направлениями главных касательных
напряжений.

1. Введем ортогональную систему координат xz, совместив ось х
с одним из главных направлений анизотропии. В случае ортотроп-
ного пластического материала, который и будет рассматриваться в
дальнейшем, ось z совпадает при этом со вторым главным направ-
лением анизотропии.

Обозначим -угол , составляемый направлением нормали п к
некоторой площадке (в дальнейшем — площадке скольжения) с
осью х [8 ]. Касательное напряжение на этой площадке

тй(V>) -^х 2 sin 2V* -Tj»cos2y>,	(4.1)

где o*,oi,txi — соответственно нормальные и касательное напряжения в
системе xz.

Обозначим также С (у») — предельное касательное напряжение
для данного •ортотропного материала на площадке, нормаль к кото-
рой составляет, угол V» с главным направлением анизотропии, сов-
падающим с осью х. Предполагается, что вид зависимости С W) ус-
тановлен из опытов на принудительный сдвиг образцов материала
по различным направлениям.

Положение опасной площадки скольжения, характеризующееся
углом у» = 9» , а также аналитическое выражение условия пластич-
ности найдем, как и ранее, из условия:

max [т nW)- С W) .1 = 0	<4-2>
Подставляя в (4.2) выражение (4.1) и реализуя условие экстрему*
ма в форме

d [(ах ~ az) sin2- 2rxzcos2- 2 С () ]/rf^ = 0,
приходим к следующим двум соотношениям, справедливым на пло-
щадке скольжения:

(<7Х — az) cos 2^ + 2rxzsiri2v? = С 9 ($>);	(4.3)

(ах — <Jz) sin 2 rp — 2 тХ2cos 2 rp == 2 C (rp).

Путем простых преобразований (4.3), найдем:

(сгх —az) = 2С (ip)sin2rp + С 9(rp) со$2гр;	(4.4)

2 TXZ = — 2 С (rp) cos 2 гр + С ' (rp) sin 2 гр.

В дальнейшем, для -краткости, черту над величиной гр будем
опускать.

Из (4.4) следует аналитическое выражение условия пластичности:
(*х - Стх)2 + 4 riz = 4 [С (у») ]2 + [С' (у>) ]2	(4.5)

или в главных напряжениях

<	Т1 - 03 = {4 [с (у,)] 2 + [С '(*»)] 2}V2-	(4.6)

Для изотропного материала С (у») — const, С'(у>) = 0 и из (4.5)
или (4.6) следует условие пластичности Треска-Сен-Венана.

Введем в рассмотрение а — среднее напряжение —

<	т = (ел + аз) / 2 = (о* + ог) / 2.

Тогда из (4.4) могут быть получены выражения для <7Х, az, тХг
через две независимые функции и и у».

<	7х = о + С (у>) sin2у» + С ' (у») cos2y»/2;

•	az = а — С (У’) sin2- С ' (у>) Cos2y> / 2 ;

тх,= - С (У») cos2y> + С ' (у») sin2y»/2.	(4.7)

Из (4.4) можно получить также зависимость между углом а , со-
ставляемым направлением большего главного нормального напряже-
ния ai с осью х , и направлением опасной площадки скольжения

z„2 а = -2т*г = -2C(y>)cos2y>4-C4y>)sin2y>

*	&x-&z 2С (rp)sin2rp + С 9 (tp)cos2rp

Из (4.8) следует, что равенство tg 2а = — ctg2гр — условие
совпадения опасной площадки скольжения с направлением главного
касательного напряжения — имеет место, вообще говоря, только
При С 9(гр) = 0 , т.е. для изотропного материала.
Подставляя выражения (4.7) в дифференциальные уравнения
равновесия плоской задачи, записанные без массовых сил, после со-
ответствующих преобразований, получим

|“ + /(¥’)(f^~cos2^ + ^sin2y>j =0;

4^+l(ip\ f~^-sin2^» — 4^cos2y>l = 0 ,	(4.9)

и z \ / l о x	d z J

где Z(V>) = 2C(V>) + C”(V>)/2.

Соотношения (4.9) представляют собой систему двух дифферен-
циальных уравнений первого порядка гиперболического типа отно-
сительно двух неизвестных функций а « a (x,z) и у» = у» (x,z) .

Дифференциальные уравнения полей направлений двух действи-
тельных семейств характеристик имеют вид:

1-го семейства (si -линий) —

dz—<Zxtgy» = O;	(4.10)

2-го семейства -линий) —

dz + dxctgip = 0.	(4.11)

Таким образом, траектории двух семейств характеристических
линий взаимно ортогональны и направление траекторий характери-
стик 2-го семейства совпадает с направлением опасной площадки
скольжения. Направление траекторий характеристик 1-го семейства
совпадает с направлением нормали к опасной площадки скольже-
ния. В отличие от изотропного тела экстремальные условия (4.2),
(4.3) реализуются в ортотропном пластическом теле, в общем слу-
чае, только на одном семействе линий, совпадающем со 2-м семей-
ством характеристик. Таким образом, для ортотропного пластиче-
ского тела можно говорить о существовании только одного семейства
линий скольжения в общем случае его плоской деформации при со-
противлении сдвигу.

Принимая взаимно ортогональные я и si -линии за новую си-
стему координат, представим систему уравнений (4.9) в канониче-
ской форме

= 0;	— /(У»)= 0.	(4.12)

д S} v ,dsi д S2 KT,dS2

В соответствии с (4.12), соотношения между полными дифферен-
циалами искомых функций ст и у> на характеристиках имеют
вид:

da + /(у») </у» = 0

da — I(ip) dip = 0

(на st -линиях)
(на S2 -линиях).
Из последних зависимостей следуют соотношения, являющиеся
аналогами уравнений Г.Генки для плоской деформации изотропного
пластического тела:

а + J/ (tf>) dtp = const = I (52);

o’ — / /(ip) dip = const =1/ (si),	(4.13)

причем

f/ty) dip = 2 Jc (ip) dip + С ' (У) /2 .

Система (4.13) совместно с уравнениями (4.10) и (4.11) может
быть непосредственно использована для решения конкретных задач
плоской деформации ортотропных идеально пластических тел при
сопротивлении сдвигу при различных законах определения исход-
ной функции С (ip).

В работе [1] приведены решения ряда двумерных задач о пре-
дельной несущей способности ортотропных идеально пластических
тел, пластическое течение которых вызывается сдвигом, а закон из-
менения функции С (ip) определяется выражением С (ip) - С\х
х cos2 (ip) + Cz sin2 ip , где Cx и Cz — предельные сопротивле-
ния материала принудительному сдвигу в направлениях главных
осей анизотропии.

2. Для определения полей скоростей перемещений будем исходить
из ассоциированного закона течения, принимая в качестве пласти-
ческого потенциала F условие пластичности (4.5)

F- (^-ffz)2 + 4r?z-{4 [С (у>) ]2 + [С ' (у>) l2j. = 0. (4.14)

На основании (4.1.4) получим следующие выражения для компо-
нентов тензора скоростей деформаций:

=	(4.15)

где А — скалярная функция координат.

Выражения для частных производных функции по о,х,ог,тХг
Могут быть найдены из первого соотношения (4.3) путем его по-
следовательного дифференцирования по этим величинам. Имеем

_ cos2^. d _ cos2dip _ sin2,
dox" 2/(y»); doz 2l(ipy drxz~ I(ip) ’	(410'
ПРИ,,еМ	/«»	Г

*[''

Подставляя (4.16) в (4.15), получим

£х “A[(ffx - о*) ” с' (У») cos
£г == Л [ (ot — ax'j + С ty) cos

(4.17)

£xz = А [ 2 тХ2 - С ' (у,) sin 2 y>J.

Приведем также другую форму записи выражений (4.17), исполь-
зуя зависимости (4.4)

£xa2AC(y')sin2y>;

& = — 2А С (у») sin2y>;

(4.18)

£хх а - 2 А С (у») cos 2 у».

Таким образом, |х + lz = 0, т.е. материал является несжимае-
мым. На основании (4.18) следует также, что

А = (|1-|з) /4 С (у») = £|/2С (у»),
где и $з соответственно максимальная и минимальная скорости линейных
деформаций.

Обозначим /3-угол, составляемый направлением |i с осью х .
Тогда в соответствии с (4.18)

tg2/J =	-ctg2y».	(4.19)

Из зависимости (4.19) следует, что направление площадки сколь-
жения совпадает с одним из направлений максимальных скоростей
деформации сдвига. Действительно по (4.19) у» = /3 ± л /4.

Сравнение зависимостей (4.8) и (4.19) показывает, что в рас-
сматриваемом ортотропном идеально пластическом теле главные
оси напряжений и главные оси скоростей деформаций, вообще гово-
ря, не совпадают. В соответствии с (4.19) зависимость (4.8) может
быть записана в форме

tg 2а =

2С(у>) tg2/3 + C'(y>)

2C(y,)-C'(yOtg20-

(4.20)

Если положить а = /3 + <5, то на основании (4.20) величина угла
д между направлениями <71 и £i выразится формулой

s _ 1	_ С '(У»)

б = 2 arctg 2С^) •
При С (v>) = const С' (у>) = 0,	6 = 0.

На рис.30 в системе координат xz представлена взаимная ори-
ентация я и 52—линий, направлений главных осей скоростей де-
формаций и главных осей напряжений.

Получим систему разрешающих уравнений в скоростях переме-
щений. Поскольку

>	к	к 1 (dV* 

*х дх' dz * *xz 2 dz + дх) ’
на основании (4.18) имеем

(4.21)

\dz dx) т \ dx dz) r
dVx dVz-fl
dx dz •

Соотношения (4.21) представляют собой систему двух дифферен-
циальных уравнений первого порядка гиперболического типа отно-
сительно двух неизвестных функций Vx — Vx (x,z); Vz = Vz (x,z).

Получим дифференциальные уравнения полей направлений двух
действительных семейств характеристик системы (4.21). С по-
мощью очевидных зависимостей

9VX . , dVx ,	dVz , , dVz,

dVx~~aVdx + ~a7dz’ dVz~~aVdx + ~a7dz'
vX	и Z	uX	uZ

найдем из (4.21) выражения для производных

ЭКс _ _ dVz = dVxdx+dVzdz
дх dz = (dxlgip — dz) (dx ctgip + dz)'

Приравнивая нулю знаменатель (4.22), определим уравнения по-
лей направлений характеристик:

1-го семейства

dz-dxtg^ = O;	(4.23)

2-го семейства

d z + dxctg^ = 0.	(4.24)

Из сопоставления уравнений (4.23) и (4.24) с (4.10) и (4.11) сле-
дует, что 1-е семейство характеристик поля скоростей совпадает с
$1 -линиями, а 2-е семейство характеристик поля скоростей совпада-
ет с 52—линиями. Таким образом, оба семейства характеристик поля
скоростей совпадают с направлениями максимальных скоростей де-
формаций сдвига. Приравнивая нулю числитель (4.22) и подставляя
z

РисЛО. Взаимная ориентация главных осей напряжений О1,аз, главных осей ско-
ростей деформаций £1, £з, опасной площадки скольжения с нормалью п и 51
и 52~линий

в него последовательно (4.23) и (4.24), получим соотношения между
полными дифференциалами функций Vx и Vz на si и $2—линиях:

dVz sin^ + t/vjrcosy» = 0;  JVjCOsV' — dVxsinip = 0.  Каноническая форма уравнений (4.21) имеет вид:	(4.25)  (4.26)
dVz	dVx  dsTsin^+ aJrcos^ = 0;  dVZ	.	t A  -— costf - -— sintf = 0.  d S2	dS2	(4.27)

Зависимости (4.25) и (4.26) или эквивалентная им система (4.27)
могут быть непосредственно использованы при определении поля
скоростей в задачах плоской деформации ортотропных идеально
пластических тел, когда пластическое течение вызывается сдвигом.

2.	Плоское напряженное состояние тел
при сопротивлении отрыву

Будем считать, что анизотропное тело характеризуется предель-
ным нормальным напряжением (пределом текучести на растяже-
ние) 5 = 5 (/>), величина которого в каждой точке тела является
функцией угла у>, определяющего ориентацию опасной площадки
отрыва относительно главных осей анизотропии. Как было показано
в гл.1 направление опасной площадки отрыва не будет в общем слу-
чае совпадать с направлением главного нормального напряжения.

1.	Введем ортогональную систему координат xz, совместив ось
х с одним из главных направлений анизотропии. В случае орто-
тропного пластического материала, который и будет рассматривать*
ся в дальнейшем, ось z совпадает при этом со вторым главным на-
правлением анизотропии.

Обозначим <р—угол, составляемый направлением нормали п к
некоторой площадке (в дальнейшем — площадке отрыва с осью х)
[9 ]. Нормальное напряжение на этой площадке.

(р) — «э	cos2 <р + Txisin2 <р ,	(4.28)

л»	л»

где ax^z^xz — соответственно нормальные и касательное напряжения в си-
стеме xz .

Обозначим также S (<р) — предельное нормальное растягивающее
напряжение для данного ортотропного материала по направлению,
составляющему угол <р с главным направлением анизотропии, сов-
падающим с осью х . Предполагается, что вид зависимости S (<р)
установлен из опытов на принудительный отрыв образцов материа-
ла по различным направлениям.

Положение опасной площадки отрыва, характеризующееся углом
<р = р, а также аналитическое выражение условия пластичности
найдем, как и ранее, из условия:

max [ан (<р) — S (р)] = 0.	(4.29)

Подставляя в (4.29) выражение (4.28) и реализуя условие экстре-
мума в форме

d [(о* + az) + (ах - az) cos 2 + 2 txz sin 2 р - 2 S (y>)j /d <p = 0 ,
приходим к следующим двум соотношениям, справедливым на пло-
щадке отрыва:

(о* - az) sin2^ - 2r.xzcos2p = -S’ (p);	(4.30)

(ax — Oz) cos 2 p + 2 txz sin 2 p = 2 £s (p) - o],

где a — (ai + аз) / 2 = (ox + az) / 2.

Путем простых преобразований (4.30) найдем:

(стЛ - oz) в 2	(5?) - a] cos2p - S ’(р) sin2;	(4.31)

2txz = 2 Is(Jp) - о"| sin2р + S ' (р) cos2р .
В дальнейшем черту над величиной <р будем опускать.

Из (4.31) следует аналитическое выражение условия пластично-
сти

(ах - oz)2 + 4 t?z = 4	(у) - а] 2 + [S ' (/>)] 2,	(4.32)

или в главных напряжениях
г	2	2 1V2

а\ -оз = {4[S(p) -а] + [S' (у>)] } .	(4.33)

Для изотропного материала 5 (у>) = const, 5 ' (<р) = 0 и из
(4.32) или (4.33) следует условие постоянства максимального нор-
мального напряжения aj. Из (4.31) могут быть получены выраже-
ния для ах, az, Txz через две независимые функции — а и <р .

ах = а + [S (у>) — о ] cos 2<р — S ' (<р) sin 2 <р / 2;

azso - [5 (/>) -a Jcos2y> + S ' (<р) sin2 <р / 2;	(4.34)

Тхх = [5 (у>) — а ] sin 2 <р + 5 ' (у>) cos 2 / 2.

Из (4.31) можно получить также зависимость между углом а,
составляемым направлением большего главного нормального напря-
жения ai с осью х и направлением опасной площадки отрыва,

tll 2а- 2тхг - 2[S(y>)~g ]sin2y> + S ' (y>)cos2y>

8 ах-at	2 [S (<p) - a ] cos2 <p - 5 ' (<p) sin2 <	V )

Из (4.35) следует, что равенство tg 2 а = tg 2 <р—условие совпаде-
ния нормали к опасной площадке отрыва с направлением большего
главного нормального напряжения — имеет место, вообще говоря,
только при 5' (<р) — 0, т.е. для изотропного материала.

Подставляя выражения (4.34) в дифференциальные уравнения
равновесия плоской задачи, записанные без массовых сил, после со-
ответствующих преобразований получим

4^ ( 1 - cos
дх \

sin2<р -	( 1 + cos2y>^ - L(<p,a) ^|^cos2p + -|^sln2pj =0,

(4.36)
где Д (jp, a) = 2 [S (fp) - a ] + $ " (y>) / 2 .

Соотношения (4.36) представляют собой систему двух дифферен-
циальных уравнений первого порядка параболического типа отно-
сительно двух неизвестных функций а = a (x,z) и <р = <р (x,z) .

sin2f> - L(<p ,cr) sin2— 4^cos2= 0;
Дифференциальное уравнение поля направлений одного действи-
тельного семейства характеристик имеет вид

dz + dxctgp ж 0.	(4.37)

Таким образом, траектории семейства характеристик совпадают с
направлением опасной площадки отрыва. Основная система уравне-
ний (4.36) путем тождественных преобразований, связанных с пере-
ходом от аргументов тригонометрических функций к <р , а
также с перекрестным умножением каждого из уравнений на
sin <р, cos у> и соответствующим сложением и вычитанием результа-
тов, может быть представлена в форме:

да . да L(<р>а) (д<р , д<р .	\ Л .А аОч

— sin^-~cosp-——M-r^cosp +-r^-sinp =0;	(4.38)

иХ	и Z	Z I иХ	и Z I

sin^ — -“-^-cosp = 0 .
дх	д z т

Введем в рассмотрение систему взаимно ортогональных q\ и qz —
линий, совпадающих^соответственно с направлениями нормалей к
площадкам отрыва п и направлениями самих площадок отрыва.
Из (4.37) следует, что направления qz—линий совпадают также с
направлениями семейства характеристик.

Каноническая форма второго из уравнений (4.38) имеет вид

‘	|^ = 0,	(4.39)

д qz

или на qz—линиях

d <р = 0; <р = <р (?1).	(4.40)

Из зависимостей (4.39) и (4.40) следует, что вдоль каждой из
02 — линий величина <р сохраняет постоянное значение, т.е. каж-
дая из 02—линий — прямолинейна. В то же время при переходе от
одной'характеристики к другой (например, вдоль 01—линии) значе-
ние <р не остается постоянным, т.е. 01—линии являются, вообще
говоря, криволинейными.

На основании (4.37) и (4.40) уравнение семейства характери-
стик (02—линий) может быть представлено в виде

zsiny? + xcosp = /1 (у>),	(4.41)

где /1 (у>) — произвольная функция своего аргумента, определяемая в соответст-
вии с (4.40) из граничных условий.

Для определения функции а используем первое из уравнений
(4.38). Вычислим значения входящих в него производных
(д<р/дх) и (d<p/dz)n& 02-линиях. Дифференцируя (4.41) со-
ответственно по х и по z, находим
ду? _ cosy? dy> _ sin У?
дх~ 42 ' dz Ц2 ’

(4.42)

где да = jc sin у> — 2 cos +/i'(У?)-	„

Подставляя (4.42) в первое из уравнений (4.38), получаем

да . да L(<р,о) _ л	tA &

sin у? -—cosy?-----%—*- = 0.	(4.43)

дх т	dz г	2 42

Обозначая L(<р,а) = 2 [/(у?) — а ], где I(у>) e 5(у?) + 5"(у»)/4,
и имея в виду, что dx = dqi sin у?, запишем уравнение (4.43) на
92—линиях в полных дифференциалах -

d In [Z (у?) — a J + d In 42 = 0.

откуда в развернутом виде

х siny? — z cosy? +/1' (у?)’
где ft (#>)— произвольная функция своего аргумента, определяемая из граничных
условий.

Зависимости (4.40) и (4.44) могут быть непосредственно исполь-
зованы при решении конкретных плоских задач для ортотропной
идеально пластической среды при различных законах определения
исходной функции 5 (р), когда пластическое течение вызывается
деформациями удлинения, предшествующими отрыву.

2.	Для определения полей скоростей перемещений будем исходить
из ассоциированного закона течения, принимая в качестве пласти-
ческого потенциала F условие пластичности (4.32)

^=(a*-ax)2 + 4rlx-|4 [5(у?)-а ]2 + [S • (у?) ]2} = 0.	(4.45)

На основании (4.45) получим следующие выражения для компо-
нентов тензора скоростей деформаций:

= ёх = 4	= л|(ох -oz) + 2 [S (у?) - а] - 2 L (<р,а) S ' (у>)	;

4 а ах I	L	J	0 Чх

$z = £z — ^	» А {(?z ~ ах) + 2 [S (у?) - a J - 2 L (у? ,ст) 5 ' (у?)

4xz = «xz»|	= Л [2Txz — Ь(у? ,а) 5 ' (у?) у^-],	(4.46)

где 1— скалярная функция координат.
Выражения для частных производных функции р по ах, az, тХ2
могут быть найдены из первого соотношения (4.30) путем его после-
довательного дифференцирования по этим величинам. Имеем:
др _ _ sin2p др ~ sin 2^? _ др _ cos2y>	4 ...

дах 2Цр,а)' daz~2L(p,ay drxz L(p ,а) *

причем	2	2

(й-й) +(^) = ^М-2

Подставляя (4.47) в (4.46), получим

^х = А| (ах - az) + 2 [S (<р) - а ] + S' (р) sin2

b = А |(стг - ах) + 2 [S (<р) - а ] - S' (</>) sin 2	(4.48)

%хг - [ 2 txz - 5 ' (<р) cos2 <р j.

Приведем также другую форму записи выражений (4.48), исполь-
зуя зависимости (4.31)

ёх = 2 A IS (<р) - а ] ( 1 + cos 2 <р)\

£z = 2A lSfo>) -о ](1 -cos2y>);	(4.49)

£xz= 2A [S (<р) - a ]sin2y>.

Таким образом, ёх + |z = 4 A [S (у>) — а 1, т.е . материал не яв-
ляется несжимаемым. На основании (4.49) следует также, что

Л = ё1 / 4 [S (<р) - а 1,
где максимальная скорость линейных деформаций, а £з = 0.

Обозначим р—угол, составляемый направлением ё1 с осью х.
Тогда в соответствии с (4.49)

tg2/3 = |^|- = tg2y>.	(4.50)

Из зависимости (4.50) следует, что направления £1 и £3 совпа-
дают соответственно с направлениями q\ и qi—линий. Сравне-
ние правых частей (4.35) и (4.50) показывает, что в рассматривае-
мом ортотропном идеально пластическом теле в условиях сопротив-
ления отрыву главные оси напряжений и главные оси скоростей де-
формаций, вообще говоря, не совпадают. В соответствии с (4.50) за-
висимость (4.35) может быть записана в форме

=	(4.51>

2[S(<p)-a 1-S (p)tg2p
Рис31. Взаимная ориентация главных осей напряжений главных осей ско-
ростей деформаций £1£з, опасной площадки отрыва с нормалью п и qi и
^2—линий

Если положить а = [5 + <5, то на основании <4.51), величина угла

<5 между ai и £i выразится формулой

б - 2 arctg 2	]♦

При 5 (у) = const S' (<р) = О, <5 = 0.

- На рис. 31 в системе координат xz представлена взаимная ори-
ентация qi и 92—линий, направлений главных осей скоростей де-
формаций и главных осей напряжений.

Получим систему разрешающих уравнений в скоростях переме-
щений. Поскольку

t	t_^£. t -1 (dV* x dV* )

** dx’ dz'x: 2 [ dz + dx )'
на основании (4.49) имеем

(dVxdVz\ n	(dVx	ЗУЛ .	.

+ T- cos2p- —-------— sin2p = 0;

I вz dx I	I ox о z I r

~(1-cos2y>) -yj (1+cos2p) =0.	(4.52)
Соотношения (4.52) представляют собой систему двух дифферен-
циальных уравнений первого порядка параболического типа относи-
тельно двух неизвестных функций Vx = Vx (x,z); Vz — Vz (x,z).

Получим дифференциальное уравнение поля направлений одного
действительного семейства характеристик системы (4.52). С по-
мощью очевидных зависимостей

JT/ дУх ! dVx .	dVz . л dVz.

dVx = —dx+ — dz; dVz = — dx + — dz
их и z	ox a z

найдем из (4.52) выражения для производных

dVx (dVxdx + dVzdz) 7 . м _
= —*-----------:со$^ р; (4.53)

°х (dx cos <f> +jl x siny>)

dVz = (dVzdz + dVxdx) 2
$ z (d z sin + dx cos y>)2

Приравнивая нулю знаменатели (4.53), определим уравнение по-
ля направлений характеристик

d г + dxctgy? = 0.	(4.54)

Из сопоставления, уравнений (4.54) и (4.37) следует, что семейст-
во характеристик поля скоростей совпадает с семейством характери-
стик поля напряжений, т.е. с де—линиями.

Приравнивая нулю числители (4.53) и подставляя в них (4.54),
получим соотношение между полными дифференциалами функций
Vx и Vz на де—линиях:

dVz cos<p - dVx siny> - 0.	(4.55)

Интегрируя (4.55), нахрдим

Vzcosp - Vxsinp = gi (p).	(4.56)

Очевидно, что левая часть (4.56) представляет собой проекцию на
направление де—линии полного вектора скорости в рассматривае-
мой точке тела. Действительно, полагая Vz = V sin в, Vx — V cos 0,
где У— модуль вектора скорости, 0— угол между V и осью х ,
получим из соотношения (4.56)

Уде = У sin(0 - р) = gi (р).	(4.57)

Так как вдоль каждой де—линии величина сохраняет посто-
янное значение, на основании (4.57) следует, что проекция вектора
скорости на направление де—линии вдоль этой линии также явля-
ется постоянной величиной.

Проекция вектора скорости на направление q\ —линии
Vq\ — V cos(0 — <p) — Vz sinp + VxCOs/>. (4.58)

Дифференцируя соотношение (4.56) соответственно по х и по z
и складывая результаты, а также имея в виду, что на основании
(4.42)

. д<р .	-1

-^cosp+ -^sinp = 02 ,

получим в соответствии с (4.58) выражение для Vq\ через коорди-
наты рассматриваемой точки тела

У01 = — g'l (р) + #2 (jp) [х sinp — zcos^ + /'1 (р) ],	(4.59)

где g2 (у>)— произвольная функция своего аргумента, определяемая из граничных
условий.

Зависимости (4.57) и (4.59) могут быть непосредственно исполь-
зованы при определении поля скоростей в плоских задачах для ор-
тотропных идеально пластических тел, когда пластическое течение
вызывается деформациями удлинения, предшествующими отрыву.

3. Плоское напряженное состояние ортотропных тел при сопро-
тивлении смятию при условии пластичности общего вида нами здесь
не рассматривается, поскольку математическая и физическая сторо-
на этой задачи (как в отношении статики, так и в отношении кине-
матики) совершенно аналогична изложенным в § 2 гл. 4 результа-
там, касающимся сопротивлению отрыву.

Положение, опасной площадки смятия и аналитическое выраже-
ние условия пластичности определяются из аналогичного (4.29) ус-
ловия

max (ой(р) + Р (у>) 1 = 0,	(4.60)

учитывающего принятое правило знаков, где Р(р)— предельное
нормальное сжимающее напряжение, определяемое из опытов на
принудительное смятие образцов материала по различным направ-
лениям, вводимое в (4.60) по своей абсолютной величине.

3» Плоская деформация ортотропного сыпучего тела при
сопротивлении сдвигу

В § 2 гл. 2 для случая двухосного напряженного состояния был
сформулирован критерий прочности (пластичности) ортотропного
материала, обладающего внутренним трением. Одним из характер-
ных представителей данного класса материалов является ортотроп-
ное сыпучее тело, достаточно хорошо отражающее физико-механи-
ческие свойства реальных слоистых грунтов. Поскольку внутреннее
трение в материале сказывается на структуре условия предельного
напряженного состояния при его сопротивлении сдвигу, то именно
для этого механизма разрушения проведем обобщение результатов
§ 2 гл.2 на случай условия предельного равновесия общего вида.

Будем считать, что ортотропное сыпучее тело характеризуется
постоянным значением угла внутреннего трения к и предельным
касательным напряжением (сцеплением) С = С ftp) , величина ко-
торого в каждой точке тела является функцией угла определя-
ющего ориентацию опасной площадки скольжения относительно
главных осей анизотропии. В ортотропном сыпучем теле направле-
ние опасной площадки скольжения не будет, вообще говоря, совпа-
дать с направлением соответствующих линий скольжения изотроп-
ного сыпучего тела, составляющих угол (я / 4 + к / 2) с направле-
нием большего главного нормального напряжения oi [38 ].

1. Введем ортогональную систему координат xz, совместив ось
х с одним из главных направлений 'анизотропии. Обозначим
ip—угол, составляемый направлением нормали п к некоторой пло-
щадке (в дальнейшем площадке скольжения) с осью х.

Касательное напряжение по этой площадке

Tn(^) =	~ sin2у* - Txzcos2tp;	(4.61)

&

нормальное напряжение —

(V0 =	+ ^~х	cos2+ Txzsin2y>,	(4.62)

где az, ixz — соответственно нормальные и касательное напряжения в системе
xz.

Обозначим также С (у>) — предельное касательное напряжение
(сцепление) для данного ортотропного сыпучего тела на площадке,
нормаль к которой составляет угол с осью х. Предполагается,
что вид зависимости С Ср) установлен из опытов на принудитель-
ный сдвиг образцов сыпучего тела (грунта) по различным направле-
ниям при Оп СР) = О-

Положение опасной площадки скольжения, характеризующееся
углом	а также аналитическое выражение условия предель-

ного напряженного состояния найдем из условия:

max (V1) + сгп (tp) tgic - С СР)] = °-	(4.63)

Подставляя в (4.63) выражения (4.61) и (4.62) и реализуя ус-
ловие экстремума в форме

d {(о* - az) sin2y> - 2tXzCOs2^ + \(ах +(h) +

+ (ах - az) cos2 V» + 2TXzSin2y> ] tg/c - 2 С (V») } /	= 0.
приходим к следующим двум соотношениям, справедливым на пло-
щадке скольжения:

(о* — CTz) cos 2 (у> + к / 2) + 2 Txz sin 2 (?» + к / 2) = С' (?9 cos к;

(о*—л) sin 2 СР+к / 2).- 2 Txz cos 2 Ср+к/2) =2 £c CP) cos к—a sin kJ ,

(4.64)

где a = (<ц + аз) / 2 = (a* + аг) / 2.

Путем простых преобразований (4.64), найдем	*

(аЛ—az) =2 [с СР) cos к—a sin kJ sin 2 (у>+к/2)+

+C' CP) cos к cos 2 Ср+к/2);

2 Txz=:~2 [С (У>)

cosk—asinKjco^C^+K/lJ+C ’CP) cosk sin2(y>+K/2).

(4.65)

В дальнейшем черту над величиной ip будем опускать.

Из (4.65) следует аналитическое выражение условия предельного
напряженного состояния:

(ax - 0z)2 + 4 Txz = | 4 [с (ip) - a tgxj 2 + [С '(tfOj 2} cos2 к »	(4.66)

или в главных напряжениях

«Л — оз == { 4 £с (у») — a tgKj2 +	'(y»)J2|1/2 cosk .	(4.67)

Для изотропного сыпучего тела С СР) = const, С '(ip) = 0 и из

(4.66) или (4.67) следует условие Кулона-Мора.	7

Из зависимостей (4.65) могут быть получены выражения для

ox >oz ,Txz через две независимые функции а и ip.

Ox,z=o ± ГС СР) cosk — оsinKj sin2 (у>+к/2)±С 'СР) cosk cos 2(у>+ к/2)/2

Txz=

:J coS2(y>+<2)+C '(y»)cosK sin2(y>+*/2/2.

J	(4.68)

Из (4.65) можно получить также зависимость между углом а ,
составляемым направлением большего главного нормального напря-
жения oi с осью х и направлением опасной площадки скольжения

_	2 Txz _ —2 [С CP)—otgK ]cos2(y>+K/2)+ С (y>)sin2(y> + к/2)

a“ox-oz — 2 [С(у>)~atgK ]sin2(y»4-K/2)+ С'(у») cos 2(у> + к/2) ’

(4.69)

Из (4.69) следует, что равенство tg 2 a = — ctg 2 (у» + к / 2)— ус-
ловие совпадения опасной площадки скольжения с направлением,
составляющим угол (л/4+к/2) с направлением at— имеет
место, вообще говоря, только при С '(У') = 0, т.е. для изотропного
сыпучего тела.

Подставляя выражения (4.68) в дифференциальные уравнения
равновесия плоской задачи, записанные без массовых сил, после со<-
ответствующих преобразований получим

р -Hsin к sin2 (у» + к/ 2 )j + уу sin к cos2 (у> + к/ 2) +

+ Q (У», «0 4^-cos2 (у» + к / 2) + 4^ sin 2 (у> + к/ 2) cosx = 0 ;
' I ОХ	О Z

(4.70)

sin к cos2 (у» + к/ 2) +	+ sin к sin 2 (у» + к / 2)J +

+ □ (у» ,а) sin2 (у» + к/2) — y^cos2 (у> + к/2) cosk = 0 ,

где Q(v»,a) “/(V') ~ 2®tg*; /(V>) = 2 C(V>) + С "(v>)/2.

Соотношения (4.70) представляют собой систему двух дифферен-
циальных уравнений первого порядка гиперболического типа отно-
сительно двух неизвестных функций а = а (х, z) и у> = у» (х, z).

Дифференциальные уравнения полей направлений двух действи-
тельных семейетв характеристик этой системы имеют вид :

1-го семейства (si— линий )
dz — dxtg(y> +/с) = 0;	(4.71)

2-го семейства (S2— линий )

dz + dxctgy, = 0.	(4.72)

Таким образом, траектории двух семейств характеристических
линий пересекаются под углом (л/2 + к) и направление траек-
торий характеристик 2-го семейства совпадает с направлением опас-
ной площадки скольжения. Направление траекторий характеристик
1-го семейства составляют с нормалью к опасной площадке скольже-
ния угол к . В отличие от изотропного сыпучего тела экстремаль-
ные условия (4.63), (4.64) реализуются в ортотропном сыпучем теле
в общем случае только на одном семействе линий, совпадающим со
2-м семейством характеристик. Таким образом, для ортотропного
сыпучего тела можно говорить о существовании только одного се-
мейства линий скольжения в общем случае его плоской деформа-
ции. Основная система уравнений (4.70) путем тождественных пре-
образований, связанных с переходом от аргументов тригонометриче-
ских функций 2 у, к у», а также умножением первого и второго
уравнений соответственно на sin (у» + к) , cos (у» + к), на
cos у*, sin у», и последующим сложением и вычитанием результа-
тов, может быть представлена в форме :

~ cos (У'+к )+^“ sin (У’+к) +й(у»,

0;

да . да ~ ,	.|ду» . dip	Л

-^sinip - -^cosip - Q (ip ,а) j£siny>--^cosy’ =0.

(4.73)

Принимая si и st— линии за новую криволинейную систему
координат, приведем систему уравнений (4.73) к канонической
форме

+ Q (ip , а) = 0;	— Q (ip , а) ж 0.	(4.74)

д si * ' д si ’ dS2 v ' d S2 I

В соответствии с (4.74), соотношения между полными дифферен-
циалами искомых функций а и ip на характеристиках имеют
вид:

da + Si(ip ,a)dip— Ъ	(на si— линиях ) ;

da — Q (ip, a) dip = 0	(на S2— линиях ) ,

или в развернутой форме

da/dip — 2 a tgK = — I (ip)',	(4.75)

da/dip + 2 a tgK = I(ip).	(4.76)

Из зависимостей (4.75) и (4.76) следуют соотношения, являю-
щиеся аналогами уравнений В.В.Соколовского [38 ] для плоской де-
формации изотропного сыпучего тела:

а +	1 (ip) exp. (- 2у> tgK ) </у> + Л i (s2)j exp. (2 ip tgK) = 0;

a — Г/1 (ip) exp. ( 2 ip tgK) dip + A 2 (si)1 exp. (- 2 ip tgK) = 0 ,

(4.77)

W A 1 (Г2) и A 2(ji)- произвольные функции своих аргументов, определяе-
мые из граничных условий.

Система (4.77) совместно с уравнениями (4.71), (4.72) может
быть непосредственно использована для решения конкретных задач
плоской деформации ортотропных сыпучих тел при различных зако-
нах определения исходной функции С (^) .

'2. Для определения поля скоростей перемещений ортотропного
сыпучего тела, характеризуемого функциями Vx = Vx (х ,z) и
Vz = Vz (x ,z) будем исходить из предположений о несжимаемости
тела и совпадении опасной площадки скольжения (S2- линии) с
направлением максимальной скорости деформации сдвига.

Условие несжимаемости имеет вид

+	=	<4.78)

Компоненты тензора скоростей деформаций выражаются через
скорости перемещений зависимостями

t _ 22k t - 2^. t _ 1 (dV* dV*\
dx’ ‘l dz ’ *xz 2 dz + dx J ’

при этом

tg2£ = -p^j-,	(4.79)

где fl - угол, составляемый направлением максимальной скорости линейной де-
формации с осью х.

Поскольку величина 0 в силу второго предположения связана с
направлением нормали к опасной площадке скольжения (углом )
зависимостью 0 = 1р±л/4,топа основании (4.79) следует

или в скоростях перемещений

(77 + ^)sin2^+	cos2^ = 0.	(4.80)

При предельном переходе к изотропному сыпучему телу уравне-
ние (4.80) определяет условие совпадения направления максималь-
ной скорости деформации сдвига с направлением активного семей-
ства линий скольжения [16].

Соотношения (4.78) и (4.80) представляют собой систему двух
дифференциальных уравнений первого порядка гиперболического
типа относительно двух неизвестных функций' KrsKr(x>z);
Vz= Vz(x,z).

Дифференциальные уравнения полей направлений двух действи-
тельных семейств характеристик этой системы имеют вид:

1-го семейства -

dz — dxtgip = 0;	(4.81)

2-го семейства -

dz + dxcXgy = 0.	(4.82)
Из сопоставления уравнений (4.82) и (4.72) следует, что 2-е се-
мейство характеристик поля скоростей совпадает с S2— линиями —
направлениями опасных площадок скольжения. 1-е семейство ха-
рактеристик поля скоростей (pi — линии) — ортогонально 2-му.

Соотношения между полными дифференциалами функций Vx и
Vz на характеристиках —

rfVzSiny» + dVxcosy = 0;	(4.83)

dVzCos^p — JV^siny» = 0.	(4.84)

Каноническая форма уравнений (4.78), (4.80) имеет вид:
dVz . dVx

-т—siny> + -—cosy, = 0;
dpi	dpi

Засову» — 4^siny» « 0.	(4.85)

ds2 rds2

Зависимости (4.83) и (4.84) или эквивалентная им система (4.85)
мо!ут быть непосредственно использованы при определении поля
скоростей в задачах плоской деформации ортотропных сыпучих тел,
когда пластическое течение вызывается сдвигом.

4. Плоская деформация ортотропного вязкопластического тела

Будем считать, что механическая модель вязкопластического ор-
тотропного тела определяется параллельным соединением вязкого
элемента, описываемого соотношениями ньютоновской вязкой жид-
кости с постоянным коэффициентом вязкости р и пластического
анизотропного (ортотропного) элемента; характеризуемого предель-
ным касательным напряжением С = С (у»), величина которого в
каждой точке является функцией угла у», определяющего положе-
ние опасной площадки скольжения.

Введем ортогональную систему координат xz, совместив ось х
с одним из главных направлений анизотропии. Обозначим, как и ра-
нее, у»— угол, составляемый направлением нормали п к площад-
ке скольжения с осью х. Касательное напряжение на этой площад-
ке определяется выражением (4.1), приведенным в § 1 гл. 4.

Скорость деформации сдвига на площадке п

5лт(У>) = ^*у^ sin2y»-|xzcos2y>,	(4.86)

л»

где £xz — соответственно скорости линейных деформаций и деформации
сдвига в системе xz.
Удвоенная максимальная скорость деформации сдвига у = 2 £13
при условии несжимаемости ортотропного вязкопластического тела
(£х + £z = 0) определяется выражением

У= £ (£х — £ 2 + 4 £xz]	(4.87)

Вид зависимости С (V1) определяется из опытов на принудитель-
ный сдвиг образцов материала по различным направлениям при
у-*0.

Согласно предлагаемой модели вязкопластического тела, каса-
тельное напряжение на площадке скольжения т Я (V0 ПРИ пласти-
ческом течении выражается зависимостью

Т й (V0 = С (V0 +	$ Й7 (V0 '

Положение опасной площадки скольжения, характеризующееся
углом гр ?= гр , а также аналитическое выражение условия пла-
стичности найдем, как и ранее, из условия

max |тн (tf>) - С (у») — 2д (y»)J = 0 •

Подставляя в него выражения Х4.1) и (4.86) и реализуя условие
экстремума в форме

d |	sin 2у<—2(txz—2/z Ixz) cos2y>-2C (y»)|/dУ»=0,

приходим к следующим двум соотношениям, справедливым на пло-
щадке скольжения:

[(CTx-az)-2 ^^x-^Jcos 2 ^+2(rxz-2 /г ^sin 2у?=С'(?’);

J" (ax-a^ -2 Ц ^x-^ J sin 2 -2 (rxz-2 fi £xz) cos 2 ?»=2 C (^).

Путем простых преобразований последних найдем

(ах — o’z)= 2 С (гр) sin 2гр + С '(гр) cos2^ + 2 д (£х — £z);

2Txz = —2 С (гр) cos2^> + С '(гр) з\п2гр + 4 д £xz.	(4.88)

В дальнейшем, для краткости, черту над величиной гр будем
опускать. Из (4.88) следует аналитическое выражение условия пла-
стичности

(Хх - Xz) 2 + 4Л = 4 [С (у-)] 2 + [С ' (у,)] 2 ,	(4.89)

где Хг = Чг-2/*£г; %z = az-2	= ха -
При С (у») = const, С ' (у>) = 0 и из (4.89) следует условие
пластичности изотропной вязкопластической среды [16].

Из зависимостей (4.88) могут быть получены выражения для
Ох, ох, ххг через две независимые функции о и ip.

ох,г = ст ± С (у>) sin2 ip ±С (ip) cos 2 ip / 2 + 2 д lx,z ; (4.90)

Тхж = - С (ip) cos2 ip + С ' (ip) sin 2 ip / 2 + 2 д £xz.

Из (4.88) можно получить также зависимость между углом а ,
составляемым направлением большего главного нормального напря-
жения Ст1 с осью х и направлением опасной площадки скольжения

•	о а = 2тхг _ ~ 2 С (У>) cos2y> + С ' (у>) sin2у» + 4 д Ixz

•	~ ах - Ох ~ 2 С (ip) sin 2 ip + С ' (ip) cos 2 ip + 2 д (|x - lz) '

(4.91)

Из условия совпадения направления максимальной скорости де-
формации сдвига с направлением опасной площадки скольжения в
соответствии с зависимостью (4.19) имеем tg 2/3 = — ctg 2 ip , где
/3—угол, составляемый направлением £i с осью х. При этом ком-
поненты тензора скоростей деформаций запишутся в виде

£х = (у/2)sin2v»; $z = - (y/2)sin2y>; |Xz = - (у/2)cos 2 у»•

(4.92)

Зависимость (4.91) с учетом (4.92)

„ _ —2 [С(у>) + д у ]cos2+ С ' (у>) sin2y>
а ~	2 [С (ip) + д у ] sin 2 ip + С ' (ip) cos 2 ip ’

откуда следует, что равенство tg 2 а = — ctg 2 ip — условие сов-
падения опасной площадки скольжения с направлением главного ка-
сательного напряжения имеет место, вообще говоря, только для изо-
тропной вязкопластической среды — при С ' (ip) = 0.

Условие пластичности (4.89) при использовании соотношений
(4.92) имеет вид”

(ох-oxy + 4т?2= 4 [С(у>) + д у]2 + [С ' (у,)]2 ,
а выражения (4.90) —

ox,z = о ± £с (ip) + д у] sin 2 ip ± С ' (ip) cos 2 ip / 2;	(4.93)

Txz= -ГС(1/О+ДУ| cos 2 ip + C ’ (ip) sin 2ip/2.
В анизотропной вязкопластической среде главные оси напряже-
ний и главные оси скоростей деформаций в общем случае не совпа-
дают. На основании зависимости угла а ту и у, а также зави-
симости /? от у величина угла б = а —	— между направлени-

ями <71 и £1 выразится формулой

. 1	. С'(у)

<5-2arctg2[C(y>)+^y г

«

При С' (у) = 0 или при у -* а» 6 = 0.

Будем рассматривать медленные установившиеся течения среды.
При такой квазиСтатической постановке задачи можно пренебречь,
инерционными членами в уравнениях движения.

Подставляя выражения (4.93) в статические уравнения равнове-
сия плоской задачи, записанные без массовых сил, получим

^ + Т(у»,у) cosl^ + ^sinlV’j +д ^sinlV’-^coslV’j = 0;
|^ + 7’(^,y)^y^sin2V’-^cos2V'j -Д ^cos2y» + |^sin2y»j =0,

(4.94)
где r(V»,y)«2 [С(^)+а<Г l + C"(V)/2.

Для практических расчетов основную систему дифференциаль-
ных уравнений (4.94) удобно записать в криволинейной ортого-
нальной системе координат si sz, где $2—линии совпадают с на-
правлениями опасных площадок скольжения, a si— линии с на-
правлениями ортогональных к ним кривых. .Дифференциальные
уравнения полей направлений этих линий имеют вид

$1 — линий	dz — dxtg у = 0;

S2—линий	dz + dxctg у — 0.

В случае анизотропной идеально пластической среды (д = 0)
эти соотношения являются уравнениями полей направлений двух
действительных семейств характеристик основной системы (4.94),
совпадающими соответственно с уравнениями (4.10) и (4.11).

Коэффициенты Ламе криволинейной системы координат si S2

2

Я1 =

Эх	( dz

dszl Ids2
а дифференциальные уравнения полей направлений si и $2—ли-
ний, записанные относительно зависимых переменных х, z, соот-
ветственно имеют вид

sintf - cosy» = 0;	(4.95)

9 si о si

Эх , , Э z _

-— cosy» + -— sintz» = 0.

Э S2	9 S2

После ряда преобразований система дифференциальных уравне-
ний (4.94) приводится в координатах si st к каноническому виду

=	(4.96)

vir "ds\ г Н2 д S2

9s2	KV,7) 9 S2 PHl 9s\

Для определения поля скоростей следует использовать условие
совпадения направления максимальной скорости деформации сдвига
с S2—линиями и условие несжимаемости среды. Записанные в ско-
ростях перемещений VX,VZ эти условия имеют вид уравнений
(4.21).

' Представляется удобным вместо искомых функций . Vx и Vz
ввести две новые неизвестные функции : V — модуль вектора
скорости и в — угол между направлением оси х и направлением
вектора Т. При этом

Vx = V созв; Vz-V sinO.	(4.97)

После подстановки (4.97) в систему (4.21), выполнения ряда пре-
образований, связанных с приведением ее к симметричной относи-
тельно искомых функций форме и перехода к системе координат
si S21 получим

|£ + t,|£,gft,_e) = 0; (4.,8)

Vy^-ctg(V>-0) = 0.

д S2 dS2

Величина у определяется через функции V и 6 выражени-
Замкнутая система шести дифференциальных уравнений (4.95),
(4.96), (4.98) может быть использована при определении шести не-
известных функций x(si,s2), z(si,si), a (si,si), V>(SI,S2),
V(si ,S2), 6 (si ,S2) в конкретных задачах плоских установившихся
течений анизотропной вязкопластической среды при различных за-
конах определения функции С (ip).

Одним из примеров таких задач может служить задача о течении
связного слоистого грунта, обладающего вязкими свойствами, возни-
кающем при достижении им предельного равновесия в прилегающих
к подпорным стенкам или штампам массивах.

В общем случае для решения указанной системы дифференци-
альных уравнений следует использовать численные итерационные
методы, принимая в качестве первой итерации решение чисто стати-
ческой задачи — определяя функции о и у* из уравнений
(4.96) без последних слагаемых их левых частей и условии
Г(^,у) = Т(У»,0).

По найденной таким образом сетке характеристик si S2 и вели-
чине у*, используя кинематические граничные условия , из урав-
нений (4.98) определяются функции V и в. Далее по выражению
(4.99) вычисляются значения у, вводимые затем в систему
(4.96).

При каждой последующей итерации производится корректировка
базовой системы координатных линий si и si.
Глава 5

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ
ЗАДАЧ ДИНАМИКИ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ ПРИ
УСЛОВИЯХ ПЛАСТИЧНОСТИ ОБЩЕГО ВИДА

1.	Динамическая задача при сопротивлении ортотропного тела
сдвигу

Введем в рассмотрение пять неизвестных функций координат и
времени, характеризующих напряженное состояние и скорости пе-
ремещений в сжимаемом ортотропном теле:од (x,zj); ctx(x,z,/);
Txz(x,z,f); Kr(x,z,O; Vz(x,z,t). Ось x , как и ранее, совместим с
одним из главных направлений анизотропии [10].

1.	Используя соответствующие результаты § 1 гл. 4, будем исхо-
дить из следующей системы уравнений, описывающих неустановив-
шееся движение ортотропного сжимаемого пластического тела при
данном механизме сопротивления в переменных Эйлера

1 {да* . d?xz\ v дУх т/ дКс т/ дУх .  + +Xss~d7+Vx^+Vt~d7^	(5.1)
1 (dTXZ .даЛ	dVz	ЭК	dFz.	(5.2)
(ax-az)2 + 4r?z = 4 [C(tfO]2 + [C'(VO]2;	(5.3)
+ V grad p + po div V — 0;	(5.4)
(dVx dRz\ . ~ , (dVx dFz\	‘ rt  ——1-	sin 2 V» + “Ч	s— cos 2 = 0 ,  1 d z dx J	r I dx dz I	r	(5.5)

где ро — плотность недеформированного тела; X Z— проекции массовых сил.

Уравнение (5.3) является условием пластичности общего вида
при сопротивлении однородного ортотропного тела сдвигу, получен-
ным из условия (4.2) в § 1 гл. 4.

Уравнение (5.4) представляет собой условие сплошности тела,
учитывающее его сжимаемость, заменяющее в системе определяю-
щих уравнений второе из соотношений (4.21), относящееся к стати-
ческой постановке задачи.

Уравнение (5.5), так же как и первое из соотношений (4.21), вы-
ражает условие совпадения направления максимальной скорости де-
формации сдвига с направлением площадки скольжения.
Использование системы определяющих уравнений (5.1)—(5.5)
предполагает, что перемещения в теле ограничены значениями,
обеспечивающими постоянство направлений главных осей анизотро-
пии и вида функции С (у») в каждой его точке.

Компоненты тензора напряжения, тождественно удовлетворяю-
щие условию пластичности (5.3) выражаются через функции а и
у* соотношениями (4.7).

Будем считать тело баротропным, полагая р = р (<т); ро = р (0).
При этом

=	=	=	(5.6)

dt da dt ’ dx da dx' dz da dz'

Подставляя соотношения (4.7) в уравнения движения (5.1), (5.2)
и зависимости (5.6) в условие сплошности (5.4), получаем
э7+/ W fe cos 2 * +	sin 2 *) ~р0	Vx + Vt 7?)+ро х = 0;

а7+/ W fesin 2 " I? cos 2 " р0 Йн + Vx Vt Т?)+ р0 z = 0'
'	'	'	’	(5.8)

+ <5*9)

где 7(v)-2C(V) + C’'(v>)/2; а2= -(da/dp)>0.

Таким образом, неустановившееся движение сжимаемого орто-
тропного пластического тела при сопротивлении сдвигу описывается
основной системой четырех квазилинейных дифференциальных
уравнений первого порядка (5.7)—(5.9), (5.5), содержащей четыре
неизвестные функции <7, у», Vx, Vz.

2.	Перейдем к определению скоростей распространения нестацио-
нарных линий слабого разрыва — линий, при переходе через кото-
рые первые частные производные искомых функций претерпевают
скачкообразные изменения. Определение скоростей распростране-
ния линий слабого разрыва является важным моментом исследова-
ния основной системы дифференциальных уравнений, поскольку ха-
рактер изменения этих скоростей определяет закономерности рас-
пространения возмущений в теле.

Пусть ш (х, z, t) = 0 — уравнение поверхности слабых разрывов в
системе координат х, г, 1, сечения которой плоскостями t ” const
соответствуют нестационарным линиям слабых разрывов. Применяя
к системе (5.7)—(5.9), (5.5) кинематические условия совместности

Гdf "I -1 Га/ "I -1 Га/1 -1 ,
лТ ~ 77	= 77	=Л/»

Iах	laz I idt J
где f = a, ip, Vx, Vz; [df/dj ] — значения скачков соответствующих производных
на поверхности слабых разрывов; ш/ — частные производные уравнения послед-
ней (j = x,z, t) ,

получим для коэффициентов разрывности Л/ однородную систему
уравнений

<5цЛа + <512 А^ + <51з Аух = 0 5

<521 Аа + 522 А^ + <524 Ayz = 0;

<5з 1 Аа + <5зз Аух + <5з4 Ау2 = 0;

<543 Аух + ^44 Ayz = 0.	(5.10)

В уравнениях (5.10)

<5ц = (ох;	<5г1 = (Oz;	<5з1 = d(o / dt = <ot + Vx(ox + Vz(oz;

— <5зз = pQ a2 (Ox; <534 = ~ £0 c? (Oz; <543 = (Ox cos 2 + coz sin 2 ;
644 = (ox sin 2 ip — (Oz cos 2 ip ; <512 = I (co) £43 ; 622 — / (VO <544 5
513 = 524 = -po 5з1;	514= 5гз = 5зг = 541 = 542 = 0.

Определитель однородной системы (5.10)
5ц 512 51з 0
521 522	0	524

5з1 0 5зз 5з4
0	0	543	544

(5.11)

Разрешая (5.11) относительно d(o / dt и имея в виду, что ско-
рость распространения линий слабых разрывов в в плоскости
х, z определяется формулой

/2	2\

в = — (со; + (Oz) (d(o / dt) ,

получаем	2	2

2wzcoxcos2^ - (wx “ wz) sin2

и = z: а------------з----~. 1Z)

(o$ + a>i

Имея в виду очевидные соотношения
п	2	2

2(Oz(Ox . ~ z 74 ч (Ox — (Oz « z 74 ч
— 2----у = sin 2 (х ,т); —2----2 = cos2 (х ,m);

(ОХ + (Oz	(Ох 4" (Oz

sin 2 = sin 2 (х ; cos 2 = cos 2 (х л) •
где т нормаль к линии слабого разрыва; п — нормаль к площадке скольже-
ния (рис. 32),

представим зависимость (5.12) в форме

в = ± a sin 2 (m /1) » ± a sin 2 (р —	,	(5.13)

где р, — угол между осью х , и нормалью т.
Таким образом, в сжимаемом ортотропном пластическом теле при
условии пластичности (5.3) скорости распространения линий слабых
разрывов, вообще говоря, отличны от. местной скорости звука а .

Из зависимости (5.13) и рис.32, следует, что в = ± а только в
том случае, когда угол между нормалью к линии слабого разрыва
и нормалью к площадке скольжения равен л / 4. Скорость распро-
странения линий слабых разрывов в направлении, совпадающем с
нормалью к площадке скольжения, равна нулю.

Можно показать, что нестационарные линии слабых разрывов
совпадают с характеристическими многообразиями системы (5.7)—
(5.9), (5.5). Действительно, условие неоднозначности первых част-
ных производных функций а ,у», Vx ,VZ на характеристиках приво-
дит к определителю, тождественно совпадающему с (5.11).

3. Рассмотрим случай установившегося движения. При этом ли-
нии слабых разрывов (характеристики) будут представлять собой
стационарные линии w (х ,z ) = 0 , скорость перемещения которых
в плоскости х z

У=6 + ут = 0,	(5.14)

где - проекция вектора скорости перемещения V на нормаль к линии
слабого разрыва.	_

Vm = (ухшх + Vza>z) («£ + ю?)	= V cos(m fv),	(5.15)

где V — модуль вектора скорости.

Из зависимостей (5.13)—(5.15) следует

Рис.32. Векторная диаграмма скоростей I 6 I при сопротивлении ортотропного те-
ла сдвигу, построенная по зависимости (5.13)
V
a

sin 2 (m 9n )

-------

cos (m , V .)

(5.16)

Из предварительного рассмотрения (5.16) могут быть сделаны

следующие выводы:

для сжимаемого ортотропного пластического тела в случае уста-
новившегося движения возможно существование действительных
характеристик и при дозвуковых скоростях;

ориентация подей направлений характеристик зависит не только
от направления V и значения ее модуля, но и от ориентации пло-
щадки скольжения в рассматриваемой точке.

Поскольку dw=wxdx + cuzdz = O, е — тангенс угла, составля-
емого касательной к характеристике с осью х, выразится зависимо-
стью

e = dz/dx = — wx/a>z*	(5.17)

Обозначая £ х = Ух/ а z = Vz/ а— относительные значения
проекций вектора скорости на направления осей х и z, исполь-
зуя зависимости (5.12), (5.15) и (5.17), из соотношения (5.16) пол-
учаем алгебраическое уравнение четвертого порядка относительно
искомой величины е.

( sin2 2 V* - £2 ) £4 + 2 ( 2 sin 2 cos 2 у/ + £z ) е3 -

- [2(1-Scos^vO + C^ + S?)] е2"

— 2 ( 2 sin 2 cos 2- £х £z)e + (sin22ip - ) = 0.	(5.18)

Для определения корней уравнения (5.18) может быть использо-
ван следующий практический прием. Пусть например, нормаль к
площадке скольжения составляет с одной из главных осей анизотро-
пии — осью х угол = л / 4 . При этом sin 2i/> = 1 , cos 2у>=0 и
уравнение (5.18) принимает вид

( 1 -£)е4 + 2£х	[2 + (£ + £)]	+ 2£х	+ ( 1	 0.

Путем тождественных преобразований последнее может быть
представлено в форме

(ke-M2(*2+i)-(*2-i)2 = o
или после введения новой переменной к = £хе~ ?z

K=±(e2-l)(e2+l)~V2.	(5.19)

Пересечение параметрических прямых с (5.19) (рис.33) опре-
деляет искомые значения координат е - корней уравнения
РисЗЗ. Зависимость к от е по (5.19) и параметрическое семейство прямых
к = £ хе - iz

(5.19). В зависимости от величин и могут иметь место
три случая:

1)	прямая < =	пересекает (5.19) в четырех точках;

2)	прямая №	— £z пересекает (5.19) в двух точках и имеет с

(5.19)	также точку касания;

3)	прямая к = ?*£ — ?z пересекает (5.19) только в двух точках.

В случае 1) существуют четыре независимых семейства характе-
ристик; в случае 2) — три семейства ; в случае 3) — два действи-
тельных семейства характеристик. Очевидно, что при £x + $z<l
всегда будут иметь место четыре семейства характеристик; при
?х = 0,I = Г- три; при s 0 , l£z I > 1 — два действитель-
ных семейства.

В случае, если нормаль к площадке скольжения совпадает с осью
х, угол V* = 0» cos 2^ == 1, sin 2 ip = 0, и уравнение (5.18) прини-
мает вид

- [4 - (Й + d)] е2-2^ге + ^ = 0.

При этом переменная к =	£ — £z выражается зависимостью

к = ±2е(е2+ 1)-V2,
определяющей, как и зависимость (5.19), возможность существова-
ния трех типов характеристических многообразий.

При переходе к изотропному сжимаемому пластическому телу
С (у>) = const, С ' (V0 = О и направления двух взаимно ортого-
нальных площадок скольжения совпадают с направлениями главных
касательных напряжений. В этом случае, совмещая ось х с на-
правлением главного нормального напряжения ai, следует поло-
жить у» = л / 4 , sin 2 у» = 1, cos 2 у» = 0.

При этом уравнение (5.18) также приводится к зависимости
(5.19), определяющей совместно с уравнением прямой к = £( е — £з
ориентацию характеристик относительно системы координат
<ЛОЗ.

При предельном переходе к несжимаемому ортотропному пласти-
ческому телу

dp / dcr-*O, а-* «►, £x = £z-*O,

и уравнение (5.18) после простых преобразований принимает вид
(е2 + 2е ctg 2у> — 1 )2 = 0.	(5.20)

Корни уравнения (5.20)

«1 = (dz/dx)\ = tgy*; «2 = (dz/dx)2 — — ctgy» (5.21)

соответствуют двум независимым семействам взаимно ортого-
нальных характеристических линий, первое из которых совпадает с
направлением нормали к площадке скольжения, второе — с на-
правлением самой площадки.

Выражения (5.21) совпадают также с уравнениями (4.10), (4.11)
для статической задачи о плоской деформации ортотропного идеаль-
но пластического тела, когда = tz = 0.

4. Приведем каноническую форму основной системы дифферен-
циальных уравнений (5.7)—(5.9), (5.5) для случая установившего-
ся движения ортотропного несжимаемого пластического тела при со-
противлении сдвигу, когда частные производные по времени в урав-
нениях (5.7) и (5.8) dVjc/dteO; д Vz/ 0, а уравнение (5.9)
обращается в условие несжимаемости div V = 0.

эТГ + вл"+р0 V 2)77	+ РоЯ| А (у») = 0;

2^^-р0Я2В(у|) = 0.	(5 22)

д «1	9 «1 tg (У> - 0 ) я О ;

у

9 S2 9^ Ctg (у> - 0) = п

'	•	(5.23)
В уравнениях (5.22), (5.23): я и sz— линии, совпадающие с
соответствующими характеристикам^ (5.21); в = (х,У)— угол
между осью х и вектором скорости У; Ух — У cos#, Vt — V sin#;

Я1 =

— коэффициенты Ламе криволинейной ортогональной системы ко-
ординат я > я;

А (у») = X cosy» + Z siny»; В (у>) = X siny» — Z cosy».

Каноническая форма дифференциальных уравнений полей на-
правлений характеристик (5.21) имеет вид

siny» — cosy» = 0; cosy» + siny» = 0.	(5.24)

# Я г д Я	dS2	dS2 т

Замкнутая система шести уравнений (5.22)—(5.24) включает в
себя шесть неизвестных функций:

*(я ,я); г(я ,S2); <т(я ,я); у»(я ,я); 0(я ,я);^(я ,я) •

В общем случае (у» * const) эта система может быть проинтег-
рирована только с помощью численных методов и может быть ис-
пользована при решении конкретных задач об установившихся дви-
жениях ортотропного идеально пластического тела, протекающих в
условиях плоской деформации.

2. Динамическая задача при сопротивлении ортотропного тела
отрыву

В динамической двумерной задаче при сопротивлении сжимаемо-
го ортотропного тела отрыву имеем пять неизвестных функций:
ax(xtz,t); ax(x,z,(); Txz(x,z,t); Vx(x,z,t); Vs(x,z,t), ось x
совмещена с одним из главных направлений анизотропии [11].

1.	Используя соответствующие результаты § 2 гл. .4, будем исхо-
дить из следующей системы уравнений, описывающих неустановив-
шееся движение сжимаемого ортотропного пластического тела при

данном механизме сопротивления:

1 (дох , д*хх\ , v дУх , v дУх v дУх .
^|77 + -d7j + Х = 77+У*77+Ух77’

1 (дТхх . О Ох
Ро I дх dz

(5.25)

(5.26)

(5.27)

дх	*77 ’

дУх
dt
+ V grad p + pq div V = 0 ;
О t

dVx t ayz\
dz dX j

cos 2 —

dVx dVz\
d x dz j

sin2^> = 0 .

(5,28)

(5.29)

Уравнения (5.25) и (5.26) представляют собой уравнения движе-
ния, записанные в переменных Эйлера.

Уравнение (5.27) является условием пластичности общего вида
при сопротивлении однородного ортотропного тела отрыву, получен-
ным из условия (4.29) в § 2 гл. 4.

Уравнение (5.28) представляет собой условие сплошности тела,
учитывающее его сжимаемость, заменяющее в системе определяю-
щих уравнений второе из соотношений (4.52), относящееся к стати-
ческой постановке задачи.

Уравнение (5.29), так же как и первое из соотношений (4.52), вы-
ражает условие совпадения направления максимальной скорости ли-
нейной деформации с направлением нормали к площадке отрыва.

Использование системы определяющих уравнений (5.25)—(5.29)*
предполагает, что перемещения в теле ограничены значениями,
обеспечивающими постоянство направлений главных осей анизотро-
пии и вида функции 5 (^) в каждой его точке.

Компоненты тензора напряжения, тождественно удовлетворяю-
щие условию пластичности (5.27), выражаются через функции а и
, <р соотношениями (4.34).

Будем считать тело баротропным, полагая р = р (а); р$ = р (0),
выражая частные производные р по координатам и времени зави-
симостями (5,6).

. Подставляя соотношения (4.34) в уравнения движения (5.25),
(5.26) и зависимости (5.6) в условие сплошности (5.28), получаем
4^(1 — со32у>) — “sin2^> — L(<p ,a)(^^sin2y> — ~^cos2p) —
ox	dz r	' Idx T dz )

(5.30)

|-“Sin2y> —	1 + cos2p) - L (<p , ст) [4^cos2«> + 4^sin2y>) +

dx T dz'	T'	'	r dz rJ

где£(у>д) = 2 [$(?)-»] +S"G’)/2 1 “ “ ~(da/dp)>0.
Таким образом, неустановившееся движение сжимаемого орто-
тропного пластического тела при сопротивлении отрыву описывает-
ся основной системой четырех квазилинейных дифференциальных
уравнений первого порядка (5.30)—(5.32), (5.29), содержащей че-
тыре неизвестные функции — ст, р, Vx, Vz.

2.	Перейдем к определению скоростей распространения нестацио-
нарных линий слабого разрыва.

Пусть ш (х, z 4 ) = 0— уравнение поверхности слабых разрывов
в системе координат х ,z ,t, сечения которой плоскостями t =
const соответствуют нестационарным линиям слабых разрывов.
Применяя к системе (5.30)—(5.32), (5.29) кинематические условия
совместности

df "I -1 _ Г*/ 1 -1 _ Гд/1 -1 _ j

77]Шх [7z]Wz -[й]"* ~Л/’

получим для коэффициентов разрывности А / однородную систе-
му уравнений

<511 Ла + <512^ + <5] зЛух = 0 ;

<5г1 Ла + д22Лф + &24&Vz = 0 ;	(5.33)

<5з1 Ас + <5ззАкс + <5з4-Л = 0;

<543Avx + dtiAvz = 0.

- В уравнениях (5.33)	ъ

<511 = шх ( 1 — cos2y>)— wzsin2y>; <5г1 = cwxsin2y> — си2 (1 + cos2^>);
<5з1 = dw/dt = а>г + Kx<wx + Vza)z; <5зз = —роa2 wx; <5з4 = — роа2шг;

<543 = сих sin 2 <р — a>z cos 2 <р;	644 = — ( шх cos 2 <р + wz sin 2 <р ) ;

<512= - £ (у> ,сг) <543;	<522 = £ (р ,о<) ^44;	<513 = - <524=-ро<5з1;

<514= <523 = <5з2 = <541 = <542 = 0.

Записав определитель однородной системы (5.33), разрешая его
относительно d w/dt и подставляя это выражение в формулу для
скорости распространения линий слабых разрывов в в плоскости
х, z

0 = _(ш? + со?) 1/2 (dw/dt),
получаем

в = ± а | [cos 2 (т ?п) — 1 ] cos 2 (т 'pi) j172 =

= ± а | [cos2 (р - <р ) - 1 ] cos2 (р - <р) ,	(5.34)

где т — нормаль к линии слабого разрыва; п — нормаль к площадке отрыва
(рис.34); ц — угол между осью л и нормалью т .
Рис. 34. Векторная диаграмма скоростей 10 I при сопротивлении ортотропного тела
отрыву, построенная по зависимости (534)

Рис35. Зависимость к от е по (5.37) и параметрическое семейство прямых

1-

Рис. 35

Таким образом, в сжимаемом ортотропном пластическом теле при
сопротивлении отрыву так же, как и при сопротивлении сдвигу, ско-
рости распространения линий слабых разрывов, вообще говоря, от-
личны от местной скорости звука а.

В диапазоне углов — л / 4 < (д — р) < л / 4 выражение в фи-
гурных скобках в (5.34) меньше нуля и скорость 6 является мни-
мой величиной, что с физической точки зрения определяет невоз-
можность распространения в этом диапазоне углов линий слабого
разрыва. Последние имеют действительную конечную скорость рас-
пространения в том случае, если нормаль- к фронту линии слабого
разрыва т составляет с нормалью к площадке отрыва п угол,
превышающий по своей абсолютной величине л / 4 и мень-
ший Зл/4.

При ft—tp ® ± 64’ 10 I =а; приц — <р= ±л/2 10 I = 2Wа.

3.	Рассмотрим случай установившегося движения. При этом ли-
нии слабых разрывов (характеристики) будут представлять собой
стационарные линии ш ( х, z ) = 0, скорость перемещения кото-
рых в плоскости х z, определяемая выражением (5.14), равна ну-
лю. Из зависимостей (5.34), (5.14), (5.15) следует

1/2

{[ cos2 ( m л ) - 1 ]соз2(тл)1

а	cos(m,V)
* Так же, как и для случая сопротивления сдвигу (соотношение
(5.16)), при сопротивлении сжимаемого ортотропного пластического
тела отрыву, на основании (5.35), следуют выводы о возможности
существования действительных характеристик и при дозвуковых
скоростях, а также о зависимости направлений характеристик от
ориентации площадки отрыва в рассматриваемой точке.

Тангенс угла — е, составляемого касательной к характеристике
с осью х, определяется зависимостью (5.17). Обозначая, как и ра-
нее ^x—Vx/a; £z=Vz/a, используя зависимости (5.15) и
(5.17), из соотношения (5.35) получаем алгебраическое уравнение
четвертого порядка относительно искомой величины е.

[(cos2y> — l)cos2p-£x]«4-2 [(2cos2p- 1) sin2y>- $x£z]e3 +

+ [2 (2-3cos22F)-(^+ £)]e2 +

+ 2 [(2 cos2 <p + 1) sin2y>+ £x?z]e + [(cos2?> + l)cos2p> “ d j = 0.

(5.36)

Для определения корней уравнения (5,36) может быть использо-
ван следующий практический прием. Пусть например, нормаль к
площадке отрыва совпадает с Одной из главных осей анизотропии
— осью х. При этом р = 0cos 2 <р = 1, sin 2 <р = 0 и уравне-
ние (5.36) принимает вид

£?e4-2k£ze3+ [2 + (^ + d)]e2-2k£ze-(2-^) = 0.

Путем тождественных преобразований последнее может быть
представлено в форме

(ke-$z)2(e2+ 1 ) - 2( 1 -?) = 0

или после введения новой переменной (рис.35) к » е —

к= ± [2(1 —ё2)(1 +e2)-,]'Z2.	(5.37)

Пересечение параметрических прямых с (5.37) определяет иско-
мые значения координат е— корней уравнения (5.37). В зависимо-
сти от величин £х и могут иметь место три случая: 1) прямая
к=£хв~£х пересекает (5.37) в двух точках; 2) прямая к=5хв—£z
является касательной к (5.37); 3) прямая к = ^хе — ^г не имеет с
(5.37) точек пересечения и касания.

В случае 1) существуют два независимых семейства характери-
стик; в случае 2) — одно семейство; ₽ случае 3) действительных ха-
рактеристик не существует. Очевидно, что при £x + £z < 2 всегда
будут иметь место два семейства характеристик; при
Zx = о, Itx I = ( 2 )V2 — одно; при = 0 , I I > ( 2 )Vi — ни од-
ного действительного семейства; при £z = О два семейства харак-
теристик будут иметь место при любых конечных значениях .

В случае, если нормаль к площадке отрыва составляет с осью х
угол ф = л / 4, sin 2 <р = 1, cos 2 <р = 0, и уравнение (5-36) принима-
ет вид

^?-2(1+^z)£3- [4-(Й + Й)]«2-2(1+^,)е + Й-0.

При этом переменная к = £хе — £z выражается зависимостью

к = ± [2е(1 +е)2 (1 +£2)"1]1/2,

(5.38)

определяющей, как и зависимость (5.^7), возможность существо-
вания трех типов действительных или мнимых характеристических
многообразий. Из (5.38) следует также, что направления действи-
тельных характеристик определяются значениями е > 0.

При переходе к изотропному сжимаемому пластическому телу
5 (ф) = const , 5 ' (у>) = 0 , и направление нормали к площадке от-
рыва совпадает с направлением главного растягивающего напряже-
ния. В этом случае, совмещая ось х с направлением главного
нормального напряжения ai , следует положить ф = 0 >cos 2 ф = 1 ,
sin 2 <р = 0. При этом уравнение (5.36) также приводится к зависи-
мости (5.37), определяющей совместно с уравнением прямой
к = £1 е — £з ориентацию характеристик относительно системы ко-

ординат ai аз.

4.	Для случая установившегося движения ортотропного несжима-
емого пластического тела при сопротивлении отрыву для определе-
ния четырех неизвестных функций а, ф ,VX ,VZ справедлива сис-
тема четырех дифференциальных уравнений, состоящая из двух
уравнений движения (5.30), (5.31), в которых dVx/d t = 0;
dVz/<H = 0, уравнения (5.32), которое при р = г const обра-
щается в условие несжимаемости div 7=0, и уравнения (5.29).

Последние два уравнения после ряда преобразований, связанных
с приведением их к симметричной относительно искомых функций
форме, имеют вид

дУх дх	1 snip - j	(ЭУх dVz) ^dz dx )	cosp = 0;	(5.39)
дУг dz	1 cosp — 2	(dVz 0УЛ 1 dx dz j	sinp = 0.	. (5.40)

В уравнения движения входят частные производные по координа-
там функций а ,ф 9VX fVz; в уравнения (5.39), (5.40) — частные
производные функций Vx и Vt. Однако уравнения (5.39),
(5.40) не являются независимыми, так как функция р входит в
коэффициенты этих уравнений.

- В общем случае (у> * const) эта система может быть проинтег-
рирована только с помощью численных методов.

5.	Динамическая задача при сопротивлении ортотропного тела
смятию при условии пластичности общего вида нами здесь не рас-
сматривается, поскольку математическая и физическая сторона этой
задачи совершенно аналогична изложенным в § 2 гл. 5 результатам,
касающимся сопротивления отрыву.

3. Динамическая задача для ортотропного сыпучего тела
при сопротивлении сдвигу

В динамической двумерной задаче для сжимаемого ортотропного
сыпучего тела при условии предельного равновесия общего вида так-
же имеем пять неизвестных функций:

ojc(x,2,t); crx(x,z,t); T«(x,z,t); Vx (x,z,t); Vt(x,z,f),

ось х совмещена с одним из главных направлений анизотропии.

L Используя соответствующие результаты § 3 гл. 4, будем исхо-
дить из следующей системы уравнений, описывающих неустановив-

РО

щееся движение сжимаемого ортотропного сыпучего тела
ном механизме сопротивления

1

Ро

fdax 1 д Txz дх dz	1 +х	-™*+V &S.4.V ~dt +Vx дх + Vt dz ’
д TXz , d&z \ -г— + -т— I . д X д z f	+ z =	dt	dx	dz

(5.41)

(5.42)

+ V grad р + ро div V=0;

^+^kln2v>+

d z	дX I r I d X dz 1	.

при дан-

cos2 к;

(5.43)

(5.44)

(5.45)

Уравнения (5.41), (5.42), (5.44) имеют прежний смысл, уравне-
ние (5.43) является условием предельного напряженного состояния
(предельного равновесия ) ортотропного сыпучего тела, уравнение
(5.45) выражает условие совпадения опасной площадки скольжения
с направлением максимальной скорости деформации сдвига.
Предполагается, как и ранее, выполнение ограничений на пере-
мещения в сыпучем теле, обеспечивающих постоянство направле-
ний главных осей анизотропии и вида функции С ).

Компоненты тензора напряжения, тождественно удовлетворяю-
щие условию предельного равновесия (5.43), выражаются через
функции а и ip соотношениями (4.68).

Будем считать сыпучее тело баротропным, выражая частные про-
изводные р по координатам и времени зависимостями (5.6).

Подставляя соотношения (4.68) в уравнения движения (5.41),
(5.42) и зависимости (5.6) в условие сплошности (5.44), получаем

4^ Г 1 — sin к sin2(v> + к/ 2) 1 + 4^* s’n к cos2 (у> + к/2 ) +
О X L	J и Z

+ Я (у>,а) cos2 (V< + к/2) + sin 2 (у< + к / 2)

Л	dVx + v	У Л-

cos к —

(5.46)

sin к cos2 (У* + к/2) + Г 1 + sin к sin2	+ к / 2) "I +

v X	V Z I	I

COSK —

(5.47Х

где О (у>, о) » 2 С (у») + С "(у) / 2 - 2 a tg к J

(5.48)** '

1 ?

♦

И ' ♦

*	, S,

Таким образом, неустановившееся движение сжимаемого орто-

тропного сыпучего тела при сопротивлении сдвигу описывается ос-
новной системой четырех квазилинейных дифференциальных урав-
нений, первого порядка (5.46)—(5.48), (5.45), содержащей четыре
неизвестные функции — а , Vx, Vz.

2.	Перейдем к определению скоростей распространения нестацио-
нарных линий слабого разрыва.

Применяя к системе (5.46)—(5.48), (5.45) кинематические усло-
вия совместности, приведенные в § 1 и § 2 гл. 5, получим для коэф-
фициентов разрывности Л/ однородную систему уравнений, ана-
логичную (5.10), где

<511 = wx [1 - sin л sin2 (У + к '2)] + aJz sin к cos2(y+ м/2);,
136
З21 = a>x sin к cos2 (ip + к / 2 ) + tot £ 1 + sin к sin2 (ip + к / 2) J ;

З31 = dw/dt — <»t+ Vxcux+ Vta)t; Ззз = — роа2шх; Зз4 = — pq(?wz;

<543 = a>x cos 2 ip + a>z sin 2 ip ;	644 = a>x sin 2 ip — a>z cos 2 ip ;

З12 = О (ip , a) po* cos 2 (y> + к/ 2) + a»r sin 2 (ip + к / 2) J cos к;
дгг — Cl(ip,a)[a)xsia2(ip + *^) - wzcos2(y* + *>i)]cos/c;

313 = 324=—/эо^315 3i4 = З23 = З32 = З41 = З42 = 0.	(5.49)

Записав определитель однородной системы (5.10) при значениях
коэффициентов 3//, определяемых выражениями (5.49), разре-
шая его относительно da)/ dt и подставляя это выражение в
формулу для скорости распространения линий слабых разрывов 6
в плоскости х, 2, получаем

0 = ± а| £sin2 (m л ) + (1 — cos2 (т л ) ) tg * J sin2 (m л) J1/2 =
'; •== ± а { £sin 2ф* - ip ) + 1 - cos 2 (u - ip)) tg к j sin 2 (p - ip) J1/2 ,
Г'/  с' У/,	(5.50)

' 'Vftc га — нормали Клиник слабого разрыва; п — нормаль к площадке скольже-
ния; р — угол между осью х и нормалью т. .

•' Таким образом, в сжимаемом ортотропном сыпучем теле скорости
распространения линий слабых разрывов, вообще говоря, отличны
от местной скорости звука а. В зависимости от величины угла
внутреннего трения к имеют место определенные диапазоны уг-
лов (p — ip), для которых выражение в фигурных скобках в
(5.50) меньше нуля и скорость в является мнимой величиной,
что с физической точки зрения определяет невозможность распрост-
ранения в этом диапазоне углов линий слабого разрыва.

При к = 0 из зависимости (5.50) следует зависимость (5.13),
соответствующая сжимаемому ортотропному телу, не обладающему

внутренним трением .

3.	Рассмотрим случай установившегося движения. При этом ли-
нии слабых разрывов (характеристики) будут представлять собой
стационарные линии ш ( х, z) = 0, скорость перемещения которых
в плоскости xz, определяемая выражением (5.14), равна нулю. Из
зависимостей (5.50), (5.14), (5.15) следует

У
а

{[ sin2(m^t) + (1 - cos2(m tg к ]sin2 (m л ) )
cos(m,V)

(5.51)
На основании (5.51) следуют выводы о возможности существова-
ния для сжимаемого ортотропного сыпучего тела действительных
характеристик и при дозвуковых скоростях, а также о зависимости
направлений характеристик от ориентации площадки скольжения в
рассматриваемой точке.

Величина е — тангенса угла, составляемого касательной к ха-
рактеристике с осью х; определяется зависимостью (5.17). Обоз-
начая, как и ранее £х = VXS а; $z = Vz / а, используя зависимо-
сти (5.15) и (5.17), из соотношения (5.51) получаем алгебраическое
уравнение четвертого порядка относительно искомой величины е.

— sin2y, (1 — cos 2 у») tg ж]И +

+ 2[(2sin2y»cos2^ + Cx £z)-(l + cos2y» - 2cos?2y») tg*j e3-
— £2 (l-3cos22y»^ + (52 + Cz^+6sin2y>cos2y»tgKje2-

-2 [(2sin2y>cos2y»-£xtz)-(l - cos2y» - гсоэ^У’) tgicje +
+ [(sin2 2y>	+ sin 2y» (1 + cos 2 у») tg к j « 0.	(5.52)

В зависимости от значений , £х > tz в рассматриваемой точке
сжимаемого ортотропного сыпучего тела и величины tg к уравне-
ние (5.52) определяет возможность существования четырех, трех
или двух независимых действительных семейств характеристик.

При к = 0 из уравнения (5.52) следует уравнение (5.18), соот-
ветствующее сжимаемому ортотропному телу, не обладающему
внутренним трением.

4.	Для случая установившегося движения ортотропного несжима-
емого сыпучего тела для определения четырех неизвестных функ-
ций а, , Vx, Vz справедлива система четырех дифференциаль-
ных уравнений, состоящая из двух уравнений движения (5.46),
(5.47), в которых дVx/ д I — 0; дVt / д t = 0, уравнения (5.48), ко-
торое при р = ро= const обращается в условие несжимаемости
div V — 0, и уравнения (5.45).

В общем случае (V* * const) эта система может быть проинтегри-
рована только с помощью численных методов.
Глава 6

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
ПРИ КОНЦЕПЦИИ ПОЛНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

1.	Построение кусочно-линейной поверхности текучести
цилиндрически анизотропного тела при осесимметричной
деформации

Будем считать, что оси цилиндрической системы координат
г <р z совпадают с главными направлениями анизотропии

В осесимметричной задаче кольцевое напряжение cty = <7/ всег-
да является главным,z следовательно остальные два главных напря-
жения ai и ok ( i J Л = 1 > 2,3 ; i * / к ) находятся в плоскости
rz (рис. 36,а ). Обозначим через а угол между направлением
большего главного напряжения в плоскости rz и осью г [32,
33].

Для определенности положим, что а/ > а к . Будем исходить из
предположения, что условия пластичности, как и в концепции пол-
ной пластичности для изотропного тела, реализуются в плоскостях
главных напряжений.

Рассмотрим случай, когда одно из условий пластичности реализу-
ется в плоскости,. проходящей через главные напряжения aj и
oj. Обозначим через у , В и у углы между вектором п и на-
правлениями осей г, <р и z соответственно, где п — нормаль к
возможной площадке скольжения в плоскости а/ aj.

Между углами 7 , б и у существуют следующие очевидные ге-
ометрические соотношения

cos?? = sinGcosa ; cosy = sinG sina .	(6.1)

Предположим, что по достижении касательным напряжением на
площадке с нормалью п некоторого предельного значения матери-
ал переходит в пластическое состояние. Как показано в предыдущих
главах, в случае анизотропии плоскость сдвига, вообще говоря, не
совпадает с площадкой наибольшего касательного напряжения.

Введем в рассмотрение, ка£ и ранее, функцию предельного сопро-
тивления сдвигу С, зависящую от физико-механических свойств
материала и ориентации плоскости сдвига относительно главных
осей анизотропии. В рассматриваемом случае направления главных
осей анизотропии и осей системы координат r<pz совпадают, поэ-
140
в

Рис.36. К выводу условия пластичности в плоскостях at a] (a), aj ак (б) и ai ак (в)

тому функция С определяется углами 7, в и у, т.е.
С = С(»/,0,у).

В плоскости ai aj касательное напряжение выражается соотно-
шением

т*(0) = la/ — оу lsin20/2.	(6.2)

Предполагая, что при реализации условия пластичности^ каса-
тельное напряжение на опасной площадке сдвига равно по значению
предельному сопротивлению сдвига по этой площадке, получим сле-
дующие два соотношения:

т*(0) = с(7,е,у);	ат*(0)/а0 = (а/ао)С( 7,в,у). (б.З)

Исключая из соотношений (6.1), (6.2) и (6.3) т&(0) ,17, 6 и у
получим

\at-aj I = 2 Sk (л ) »	(6.4 )

где через 2 S* ( а ) обозначена функция, которая определяется в результате вы-
полнения указанных действий. Для изотропной среды Sk (а) = const и выражение
(6.4) переходит в условие пластичности Треска-Сен-Венана в плоскости aiaj.

Получим условие пластичности, когда последнее реализуется в
плоскости ajuk (рис. 36, б). Не нарушая общности» оставим в силе
обозначения, введенные выше, учитывая, что нормаль п лежит в
плоскости GjOk.
При этом справедливы зависимости
cos»; = - sin в • sina; cosy = sinfl • qosa,	(6.5)

также

Ti(0) = la/ — at I-sin 20/2.	(6,6)

Соотношения (6.3) в этом случае будут также справедливыми при
замене индекса к на I. Выполняя аналогичные действия, пол-
учим

\aj-ak I =25,-(а).	(6.7)

Выражение (6.7) соответствует реализации сдвига в плоскости
а/а*.

В случае, когда условие пластичности реализуется в плоскости
а,ак (рис. 36, в) справедливы зависимости

0 = л/2; у=л/2— т),	(6.8)

tj{ri — a) = la/ - ak I • sin 2(7 — a)/2,	(6.9)

а также

т/(»; — a )=C (7,0 ,y); (д/ду )rj(ij - a )=( д /ду) C (tj ,9 , y) .

(6.10)

•Исключая из (6.8), (6.9) и (6.10)	— a) ,7 , в и у , получим

lai-ak I = 2S/(a).	.	(6.11)

Рис.37. Геометрическая интерпретация соотношений (6.3)

1 - поверхность предельного сопротивления сдвигу с (>» А/); 2 - кривая касательного
напряжения хк (в)
Соотношения (6.3) интерпрети-
руются как условие касания вектор-
ного графика функции т*(0) и
поверхности С (у, 6, у) (рис.
37). Аналогичную интерпретацию
можно дать соотношениям в других
плоскостях.

Выражения (6.4), (6.7) и (6.11)
представляют собой в системе коор-
динат atajok уравнения граней
шестиугольной призмы, сечение ко-
торой девиаторной плоскостью оп-
ределяет неправильный шестиуголь-
ник (рис. 38).

При изменении угла а , ее грани
перемещаются параллельно самим
себе, в результате чего меняется

Рис.38. Поверхность текучести по
выражениям (6.4), (6.7) и (6.11)

форма призмы.

Грани 'шестиугольной призмы параллельны линии ai = оу = ак,
что следует из независимости их выражений от значения среднего

напряжения (гидростатического давления).

Ребра призмы соответствуют состоянию полной пластичности,

когда два условия текучести одновременно выполняются в двух пло-
скостях. Очевидно, что в этом случае осесимметричная задача ста-
новится разрешимой относительно напряжений.

Полученные результаты будут использованы далее при решении
осесимметричной задачи цилиндрически анизотропного тела в ста-
тически определимой постановке.

2.	Система разрешающих уравнений при состоянии полной
пластичности

Итак, состоянию полной пластичности соответствуют ребра шес-
тиугольной призмы, вдоль которых одновременно выполняются два
предельных соотношения.	'

В случае, когда среда является изотропной, условия пластичности
не могут одновременно выполняться в плоскостях aiaj и ajak
при ai > aj > ак • В противном случае, в плоскости aiak главное
касательное напряжение окажется больше предела текучести. В слу-
чае цилиндрической анизотропии этого утверждать нельзя, так как
пределы текучести в разных плоскостях отличаются по своему зна-
чению. Следовательно, когда среда обладает свойством цилиндриче-
ской анизотропии, возможно выполнение соотношений вдоль любого
из ребер поверхности текучести (см. рис. 38).

В состоянии полной пластичности система разрешающих уравне-
ний в напряжениях является замкнутой: два условия вдоль ребра
поверхности текучести, два дифференциальных уравнения равнове-
сия, очевидное соотношение

2тп- (o>-Oz)tg2a = 0,
а также зависимости

а/ = (стг +ctz)/2 + У(ог-<7г)2 + 4т?г/2;

о* = ( о> + ) / 2 - V(CTr_CTz )2 +4t2z/ 2

составляют систему восьми уравнений с восемью неизвестными
функциями: от ,о<р ,az ,тп ><?i &j >ак и а .

Запишем полную систему уравнений для ребра, проходящего через
точку С(С'):

д Or , dtrz Or ~~ Оу _ q.

dr dz	г	~ ’

d г d z	г

2 тгг - (Or - oz) tg 2 a = 0;

ai - (or + oz ) / 2 - V(a>-az)2 + 4 T?2 /2 = 0;

oj — ov = 0;

ok - (ог + ог)/2 + V(CTr_azj2 + 4T2^ /2 = 0;

\oi-aj I - 2 Sk (a) = 0;	(6.12)

lai — ok I — 2 Sj (a) = 0.

Система разрешающих уравнений для ребер, соответствующих
точкам А (А ') или В (В ') получается путем круговой пере-
становки индексов itj,к в последних двух уравнениях.

Систему уравнений (6.12) удобно и целесообразно решать мето-
дом характеристик.

3.	Общие интегралы системы разрешающих уравнений

. Уравнение характеристик для системы (6.12) имеет достаточно
сложное математическое выражение, поэтому целесообразно от угла
а перейти к другой независимой переменной. Из соотношений
(6.8), (6.9) и (6.10) получим следующую зависимость между углами
а и у:
♦„ о л _ Сч sin 4 — 2С • cos 2 я	„ ,„

tg 2а = —f-------L--------------L	(6.13)

С ч cos 2 4 + 2 С • sin 2 4

гДе Ctf^dC/дг/.

Из соотношений (6.8)—(6.11) имеем

S;(а ) = Vc 2 + (С'ч / 2 )2 •

Для величины 2 Sk (<* ) » подставляя вместо угла а его выра-
жение через ij по зависимости (6.13), получим соответствующую
функцию угла q , которую обозначим Р* (т/).

При этом, система уравнений (6.12) после ряда преобразований
приводится к виду

|у ±Z(9) cos 2 4 + sin 2 4} + у [± (Сч • cos 2 4/2 +

+ С • sin 2 4 ) - ^С2 + (С^/2)2 + «В*1 (ст« “ о/) -	(9) 1= 0;

± 1(4) sin 2 4 - f^cos2’l] * “(С ч sin 2 4 / 2 — С • cos 24} = 0.

'	(6.14)

Здесь введены также обозначения:

а = (<тг + а2)/2; I(i/) = 2С +	/ 2.

Выбор того или иного знака в системе (6.14) определяется конк-
ретными условиями задачи.

Тип системы дифференциальных уравнений (6.14) определяется
первыми двумя членами в каждом уравнении и аналогичен случаю
плоской деформации, которая подробно исследована в предыдущих
главах. Как было показано, система относится к гиперболическому
типу и дифференциальные уравнения полей направлений двух дей- •
ствительных семейств характеристик имеют вид:

1-го семейства (si — линий )

dz —dr-tgty = O;	(6.15)

2-го семейства ($2— линий)

dz + dr • ctgij = 0.	(6.16)

Таким образом, траектории двух семейств характеристических
линий взаимно ортогональны и направления характеристик 2-го се-
мейства совпадают с направлениями опасных площадок сдвига.

В соответствии с (6.14) на характеристических линиях выполня-
ются следующие соотношения между полными дифференциалами
искомых функций:
на si— линиях

rf<7±/(9)rf»?+ [±C'tg^±ci/2-7с2 + (с^/2)2+

+ sign (<4-oy)P*(^)j dlnr® 0;	(6.17)

на S2~ линиях

daTI(4)dn + [± C • ctgtiTC'4/2 - >/c2 + (C4/2)2 +
+sign(0? —<7/)P*(7)J </lnr = 0.

Система (6.17) совместно с уравнениями (6.15) и (6.16) может
быть непосредственно использована для решения конкретных задач
осесимметричной деформации цилиндрически-анизотропной иде-
ально пластической среды при различных законах определения ис-
ходной функции С = С(»;,0,у).

В случае, когда напряженное состояние соответствует ребру про-
ходящему через точку В (В') выражение

sing (at - oj) Pk(n)

в уравнениях (6.17) необходимо заменить на sing (cry — ак) Л(»7).
Функция следует из зависимости для 2 Si (а) путем подстанов-
ки вместо угла а его выражения по (6.13).

Поскольку в дальнейшем при решении конкретных задач не будет
использована система разрешащих уравнений, соответствующих ре-
бру призмы, проходящему через точку А(А ’), этот случай здесь не
рассматривается.
Глава 7

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ
ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИ
Анизотропного тела

1. Условие пластичности цилиндрически анизотропного тела

Рассматривается математическая модель цилиндрически анизот-
ропного тела, не обладающего упрочнением, находящегося в услови-
ях осесимметричной деформации.

Цилиндрическая система координат npz ориентирована таким об-
разом, что главные направления анизотропии совпадают с коорди-
натными осями, причем ось z направлена вдоль оси симметрии тела.

В общем случае трехосного напряженного состояния условие те-
кучести для ортотропного тела может быть записано в виде

/(<71, 02, <73, «1, 02, «3,	/?2, УЬ У2, УЗ) = 0,	(7.1)

где ед,	у/ — направляющие углы главного напряжения oi (i = 1, 2, 3).

В случае осесимметричной задачи, как было показано в § 1 гл. 6,
направление главных напряжений полностью определяется одним
углом а. Следовательно, выражение (7.1) может быть записано в ви-
де

/(<71, аг, аз, о) = 0.	(7.2)

Оставим в силе статическую интерпретацию условия пластично-
сти Мизеса для изотропного тела, согласно которой по достижении
октаэдрическим касательным напряжением предельного сопротивле-
ния сдвигу материал переходит в состояние пластичности [13]. В
случае, когда материал обладает свойством цилиндрической анизот-
ропии, значения предельного сопротивления сдвигу на октаэдриче-
ской площадке зависят от ориентации октаэдра главных напряже-
ний, которая определяется углом а. При этом выражение (7.2) при-
водится к виду

Токт=т$(а),	(7.3)

где Токт — октаэдрическое касательное напряжение, ту(а) — предельное сопротив-
ление сдвигу на октаэдрической площадке [13].

Условие (7.3) может быть записано также в виде

T=Ts(a),	(7.4)

где Т — интенсивность касательных напряжений; ТДа) =
Рис. 39. Представление условия пла-
стичности (7.4) в системе а\ о2 аЗ

Выражение (7.4) представляет
собой обобщенную запись условия
пластичности Мизеса на случай
цилиндрически анизотропного те-
ла при осесимметричной деформа-
ции. Функция пределов текучести
зависит от физико-механических
свойств материала и определяется
экспериментальным путем.

Условие пластичности (7.4) в
пространстве главных напряжений
представляет цилиндрическую по-
верхность, образующие которой
параллельны линии ai = аг = <гз
(рис. 39). Сечение этой поверхно-
сти девиаторной плоскостью пред-

ставляет окружность, радиус кото-
рой является функцией угла а.

Между функцией предельного сопротивления сдвигу С (у, в, у),
введенной ранее и rs(a) существует обозначенная зависимость. Зная
С у), можно аналитически определить т5(а). Рассмотрим фун-

кцию

С (?;, 0, у) = Сг cos2?; + Cy>cos20 + Cz cos2y,

(7.5)

где Cr, С^иС2- значения предельного сопротивления сдвигу, когда нормаль к
площадке принудительного сдвига совпадает с осями г, иг соответственно.

Это выражение удовлетворительно аппроксимирует эксперимен-
тальные данные и удобно при математических преобразованиях.

Найдем функцию т$(а), исходя из выражения (7.5). Для этого до-
статочно определить направляющие углы нормали к октаэдрической
площадке, по которой происходит сдвиг, в зависимости от угла а
(рис. 40, а).

Очевидно, что при а = 0 значения предельного сопротивления
сдвигу на всех октаэдрических площадках равны между собой. При
повороте октаэдра на угол а в силу цилиндрической анизотропии
значение предельного сопротивления сдвигу на четырех из них ока-
зывается меньше, чем на четырех других, а токт на всех восьми пло-
щадках имеет одну и ту же величину. Следовательно, условие теку-
чести реализуется только на этих площадках и под т$(а) следует по-
нимать меньшее значение предельного сопротивления сдвигу.

Условимся считать положительным угол а, если поворот октаэдра
относительно оси <р происходит против часовой стрелки.
Рис.40. К выводу зависимостей направляющих косинусов к нормали октаэдриче-
ской площадки от угла а
a—Cz > Cri б—Cz < Сг

В силу симметрии функции C(ij9 у) относительно 17, 0, у для
цилиндрически анизотропного тела следует определить направляю-
щие углы нормали п к одной из площадок. Из рассмотрения скаляр-
ного произведения единичных векторов в направлениях п и z, а так-
же п и 7, получим

cosy = (cosa ± sina)/V3\ COS7 = (cosa^sina)/VJ.

Верхний знак имеет место при Cz > Ст> нижний при Cz < Сг. По-
скольку октаэдр вращается вокруг оси всегда cos в =

Подставляя значения направляющих косинусов в выражение
(7.5) и учитывая четность функции т$(а), придем к зависимости:

т,(а) = (Сг + Ср + Cz - ICZ - Ст I Isin2a I)/3.	(7.6)

2. Система определяющих уравнений осесимметричной задачи

Считая справедливым ассоциированный закон течения, принимая
в качестве пластического потенциала выражение [13]

Ф = Т - 7\(а) = О,
где Т » [(or - ар)2 + (ар — az)2 + (az - аг)2 + 6т» ]^2/V5 — интенсивность каса-
тельных напряжений,
получим следующие соотношения:

i = r, p, z\

— A Trz дТ$(а)
rz ~ 2 Ts(a) " drrz

(7.7)

где A — скалярный множитель; 5/ = а/ - а и irz — компоненты девиатора напряже-
ния;	компоненты девиатора скорости деформации;

= дИг/дг, = Иг/г, fe = dkyaz, 2frz = dVr/dz + дИг/dr, Vr и Vz^ скорости пере-
мещения.

Используя очевидное выражение
tg2a = 2т rz/(ar - 0z)

и производя дифференцирование в соотношениях (7.7) как для
сложной функции, получим

^ = A[s/ + Pt(a)]/2TJ(a);

&z = А [т„ + Prz(a)] /2Ts(a);	(7.8)

где 2/\{а) = Ts' (a) sin 2 а, Р<р(а) = 0, 2Pz(a) = — Ту'(а) sin 2 а,
Prz(a) - -Ts'(fl) cos 2 а.

Здесь Т/(а) = dTs(a)/da; Т = (1/2 + l/v^imax * Tmax.

Из соотношений (7.8) следует, что £r +	+ £z = 0, т.е. материал

является несжимаемым. Таким образом, при пластическом дефор-
мировании объем материала не меняется, а происходит только изме-
нение формы тела.

Множитель Л определяется по условию пластичности следующим
образом:

2Ts(a) „

V47?(a) + (7У(«)Г

(7.9)

гдеН=2(?? + ^ + ^ +£гг)У2 _ интенсивность скорости деформации сдвига.

Подставляя (7.9) в (7.8), получим

$1 _ Sj + Pj(a)
н 'Г4т1(а) + (ТДа))7’

^rz^rz + РгЖ&)

н ~ ^^(аЗТТту^))7

(7.10)

Соотношения (7.10) представляют обобщение соотношений Леви-
Мизеса на случай цилиндрически анизотропного тела при осесим-
метричной деформации.
Из (7.10) очевидно, что коаксиальность девиаторов напряжения и
скорости деформации, вообще говоря, имеет место только в случае
изотропного тела.

Четыре соотношения (7.10), два дифференциальных уравнения

равновесия	+	&trz +	аГ	~ Оу _ Q.  ar	dz	г	*  dlrz .	да?	Trz _	«  dr	+	dz	г	(7.11)
и выражение	2trz — (аг — аг) tg2 а • 0	(7.12)

представляют собой систему семи уравнений с семью неизвестными
функциями:'аг, <Ту>, az, тп, a, Vr, Vz.

Подставляя выражения а/итп из (7.10) в (7.11), получим [35]

где Ufa) = V4T/(a) + (7У(а))2. .

Систему уравнений (7.13), (7.12) и (7.10) можно привести к сле-
дующей системе трех уравнений с тремя неизвестными функциями
Vr, Vina:

^_[l/(a)b^h_p4a) + p,(„)] +
/ я2 ,2	t

+£	- о;

2	- ЭД)] 	- ЭД+ ЭД] " °;

+1? + = 0.
Записывая первое уравнение (7.14) в развернутом виде, почленно
деля на U(a) и ограничиваясь членами, содержащими производные

второго порядка, получим
д2

drdz Н + дг2 дг2 Н

X	/

(7.15)

Тип уравнения, аналогичного (7.15), исследован в работе [6]. Оно
относится к эллиптическому типу. Исключением является случай
г-» оо,когда (7.15) переходит в гиперболическое уравнение (случай
плоской деформации).

Система уравнений (7.14) в общем случае не имеет решения в
аналитическом виде. Однако можно получить ряд ее частных реше-

ний, представляющих теоретический и практический интерес.

3. Исследование частного решения системы определяющих
уравнений при условии = £,(/)

Найдем частное решение системы (7.14) при условии £/ = &(/•) •
(г= г, <р„ z, rz),iT.e.'когда все компоненты скоростей деформации'
являются функциям# только координат г. . ,	;.

Из второго уравнения (7.14)-следует, что функция а при этом-
также зависит только от координаты г, т.е. а = а(г). Следовательно,
первое уравнение системы (7.14) приводится к виду

- М“>] + = °’ <716>

В работе [6 ] показано, что условие = £/(/) при условии несжи-
маемости материала приводит к следующим выражениям для скоро-
стей перемещений и деформаций:

Vr = аг + Ъ/r, Vz = -2az + g(r);	(7.17)

= а - b/r2, £? = a + b/r2,	= -2a,	= g'(r)/2, (7.18)

где а и b — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий для
скоростей перемещений.

Интегрируя дифференциальное уравнение (7.16) и присоединяя к
нему второе уравнение (7.14), получим систему двух уравнений с
двумя неизвестными функциями £rz(r) и а(г):

t/(a) Vг—7—- М«) - (— + «'•) = 0;	(7.19)

Г- 2Pr(a)l tg 2 а - 21 — + nrl = 0,

L k ’ 2хГЗат+ 777+ & J	)

где т и п — постоянные интегрирования.
Исключая из системы (7.19) получим										
~(т . 1  21	+ nrl- 			За-b/r1 !			и2(а)/4-(Ргг(а)+^-+пг)2 -2Pr(a) t  1				:g2a=0.  (7.20)
			\/За£ + й2/г4							
р нач1 нахе	ешение алгебраического уравнения (7.20 1м через а* = а*(г). Подставляя его в пе >дим выражение для %п'  £гг = [A-z(a*) + m/r + •						) относительно а обоз- рвое уравнение (7.19),  ir]/R,	(7.21)			
где R = Vu2(a*y4 - (Рп(а*) + m/r + w)2 / VЗа2 + Ь2/г4 •  . 3. Скорости перемещений и деформаций для различных типов решений в зависи- мости от коэффициентов										
Тип	т	п	а	Ъ	Уг	Уг	(г		Kz	
1	0	•			аг + — г	2fKl(r)dr-2az+A	b  а г2		-2а	W
2		0			аг + — Г	2/ *2(r)dr - 2az + А	ь  “7		-2а	Xi(r)
3			0		Ь г	2fK3(f)dr+A	ъ V	ъ г	0	Хз(г)
4				0	а	2jXt(r)dr-2ax+A	а	а	-2а	K<(r)
5  и	0	0			аг + — Г  г	-2ог + Л	b а~7		-2а	0
6	0		0		Ъ г	5  2/Хб(гХг+ А	ь < г2	ь  7	0	/Гб(г)
7	0			0	аг	2j Ky(r)dr — 2az + А	а	а	-2а	Х7(Г)
8		0	0		Ь г	2$Ktfr)dr+A	ь г2	ь г	0	К8(г)
9		0		0	аг	2jK9(r)dr-2at+A	а	а	-2а	Л(г)
10	0	0	0		Ь г	0	ъ г	ь 7	0	0
11	0	0		0	аг	-2az + Л	а	а	-2а	0
Примечание. Выражение Ki (г) - правая часть соотношения (7.21), подставлены’соответствующие нулевые значения коэффициентов.									в которую	
4. Компоненты девиатора напряжения в зависимости >
от различных коэффициентов

Тип	I т	п	а	ъ		-<7	— a	Trz
1	' 0					(ar*+b)Ri	-2вг2Я1-РХ«Г)	nr
2		0			(er2-ft)«j-/’r(a!)	(ar* + byij	-2ai*R2 -PX«S)	т г
3			0		ТЯз-РКвз)	±Яз	-ЯХОД)	m , —+nr  г
4				0	±/?4 - Рг(аТ)	±/?4	ТЗЯч-ЯХа*)	т , —+ nr  г
5	0	0			(в^-еотхо)	(аг* + г>)7Х0)	-ЗвггГХО)	0
6	0		0		ТЯб-Я^аб)	±/?6	-Рг(аб)	nr
7	0			0	±«7 - P/fl*)	±Я7	nRj-Р^п)	nr
8		0	0		TRs-P^as)	±R&		т  г  —
9		0	•	0	±Я9 - Р/Р9)	±Rg	Т2Я9-РХ«9)	г
to	0	0	0		±7X0)	±7X0)	0	0
11	0	0		0	±7XOyV3T	±TXO)/V^	TirxoyVJ	0

1 » РМ) + (Л(«Г))2/4 - (Рд(а? + т/г + пг)2]7
(За2 + Ь2/г<)1

Из выражений (7.18) и (7.21) находим

g(r) - 2J (1/Я) [ Рп (а*) + m/r + nr 1 dr + А. (7.22)

Постоянная интегрирования А имеет смысл скорости поступатель-
ного движения тела в целом в направлении оси z и находится из гра-
ничных условий для Vz.

Подставляя а* «а а*(г) и выражения (7.18) с учетом (7.21) в соот-
ношения (7.10), получим

Стг — ст = (аг2 - b)R — Рг(а*);

— а = (аг2 + b)R — Р<р(а*)\	(7.23)

аг — а в — 2 ai^R — Р2(а*);

т« « m/r + пг.

Среднее напряжение (гидростатическое давление) а находится из
дифференциальных уравнений равновесия (7.13)

а « -2nz + J [ 2b R/г - Pr(a*)/r ]dr - (а? - b) R + Рг (а*) + В,

(7.24)
где В имеет смысл внешнего гидростатического давления.
Таким образом, система уравнений (7.14) при условии £/ = £/(/*)
имеет решение в замкнутом виде. Как видно из выражений (7.23) и
(7.24) компоненты тензора напряжения при этом линейно зависят
от координаты z.

В общем случае решение содержит шесть постоянных интегриро-
вания: а, Ь, т, п, А и В, которые находятся из соответствующих гра-
ничных условий (табл. 3, 4).

В каждом конкретном случае гидростатическое давление находит-
ся по выражению (7.24).

4.	Исследование частного решения системы определяющих
уравнений при отсутствии деформаций сдвига вдоль
координатных осей

Рассмотрим случай £rz = 0, когда значение скорости деформации
сдвига по направлению осей г и z равно нулю.

Условие £rz = 0 по существу представляет собой дополнительное
уравнение к системе определяющих уравнений (7.14). Такой способ
получения частных решений широко используется в механике де-
формируемого твердого тела.

Условие = 0 при	+ £z = О приводит к системе двух

уравнений с двумя неизвестными функциями Vr и Vz:

^ + ^ = 0; ^ + -^ + ф = 0.	<7.25,

dz dr dr г dz

Введя функцию F(r, z) соотношениями

r dz	r dr

(7.26)

(7.27)

удовлетворяем второму уравнению (7.25). При этом первое уравне-
ние приводится к виду

d2F	d2F . I dF л

dz2	dr2 r dr

Решение уравнения (7.27) будем искать в форме

F(r, z) = l?(r)Z(2) + Q(r).

Подставляя последнее в (7.27), получим

RZ” - (Л" - R'/r)Z - Q” + Q'/r-O.

Уравнение (7.28) распадается на две независимые системы:

R” — R'/r = 0; RZ” - Q” + Q'/r = О, (7.29)

(7.28)
и	RZ" - (R" -R'/r)Z = O; Q" - Q'/r = O. (7.30)

Решая систему (7.29), получим:

Rl = Air2 + Br, Zi = Ciz2/2 + Diz + £1;

Ql = Cir^Air2 + 2Biln(r2/e))/8 + Ri? + £1.	(7.31)

Решение первого уравнения (7.30) приведено в работе [6 ], соглас-
но которому общий интеграл системы (7.30) можно представить в
виде:

1 Rz - г iAzhfXr) + BzKi(Xr) ];
Z2 = Сг ch Xz + D2 sh Xz\	(7.32)

Qz = Rzr2 + £2,

где Л — произвольное число; /i(Ar) иК1(Лг) — соответственно модифицированные
функции Бесселя первого и второго рода индекса »»1.

R3 = гМз/1(Лг) + ВзУ1(Яг) ]; Z3 — Cscoslz + Dasiniz; Q3 = К3Г2 + £3,
(7.33)
где /1(2г) и У1(Аг) — соответственно цилиндрические функции первого и второго
рода индекса » » 1.

На основании выражений (7.31) — (7.33) общее решение уравне-
ний (7.27) запишем в виде

Л(Л z) = Ri(r)Zi(z) + Qi(r), i = 1, 2, 3.	(7.34)

Из соотношений (7.26) и (7.34) получим следующие выражения
для скоростей перемещений и скоростей деформаций

Vr = RiZi’/r, Vz - -(Ri'Zt + Qi'yr, (7.35)
tr = (Ri/ryzi’, = RiZi'/r2, £z = -Ri'Zi'/r. (7.36)

Из выражений (7.36) следует, что отношения l-j/H (j = г, <р, z)
зависят только от координаты г. Из второго уравнения (7.14) видно,
что угол а также зависит только от г. Таким образом, система урав-
нений (7.14) приводится к виду:

Pr2(a) = cr + h/r;	(7.37)

2Ргг(а) +	- 2PK«)J tg 2 a = 0,

гдеRt = rRi'/Ri, с иЛ — постоянные интегрирования.

В результате получена система двух уравнений с одной неизвест-
ной функцией а = a(r). "Лишнее" уравнение получилось вследствие
того, что к системе определяющих уравнений было добавлено допол-
нительное условие ^rz =*0.
Решением системы (7.37) является: с ~ Л - 0 и а(г) = 0. Следова-
тельно, Р«(0) = 0 и 7У(0) = 0. Поэтому, строго говоря, рассмотрен-
ное решение будет иметь место только в том случае, если функция
Ts(a) является гладкой в окрестности точки а = 0.

Подставляя (7.36) и значение а = 0 в определяющие соотношения .
(7.10), получим:	__	__________

аг - а - Ts(Q)(Ri -

с? - <7 » 7Ц0)/Уд? - л/+Т;	(7.38)

стг - ст = - Л(0)Л,/+ j;

— 0.

Удовлетворяя дифференциальным уравнением равновесия, получим:

v = Ts(0) / -  >_2-~=--dr - Ts(0)	----+ В, (7.39)

^Ri2-Rl+1	^Rt2-Ri+1

где В имеет смысл внешнего гидростатического давления.

В табл. 5-10 приводятся частые случаи, когда те или иные коэф-
фициенты положены равными нулю.

Как видно из соотношений (7.38) и (7.39), функции Z^z) и Qi(r)
не входят в выражения для компонентов напряжений. Это означает,
что в случае = 0 одному и тому же напряженному состоянию в
зависимости от кинематических граничных условий могут соответ-
ствовать различные формы деформирования тела.

5. Скорости перемещений в зависимости от коэффициентов по решению (731)

Тип	Л1	В1	С1	Di	Vr	Vz + const	Л1
1	0				Bi(Ciz + Diyr	BiCilnr	0
2		0			Ai(Ciz + Di)r	-А1(Сц? + 2Diz + Cy^/2)	2
3			0		(Air + Bi/r)Di	—2AiDiz	2W2 nr2 + l
4				0	(Air + Bi/r)Ciz	-(AiCiz2 +A.iCir2/2 + BiCilnr)	2nr* nr2 + 1
5	0		0		BiDi/r	0	0
б	0			0	BiCiz/r	—BiCilnr	0
7		0	0		AiPv	—2AiDiz	2
8		0		0	AiCirz _i		-(AiCiz2 +AiCirI/2)	2
158

6. Компоненты девиатора напряжения в зависимости от коэффициентов по решению (7.31)

Тип	И1	В1	С1	Di	Сг + const	Сф + const	<7Z + COnSt
1	0				±27X0) In г	±27Х0)(1пг+ 1)	±27X0)(lnr + Vi)
2		0			0	0	±737X0)
3			0		Л(0)	+1-1  2 ^3n2rA + 1+1	аг+7Х0Ъ==	  *3/Гг4 + 1	°r + J 2 1' “"^X0)  *3л2г4 + 1
4				0	7ХР), УЗпУ + 1 - 1  2 ^Зл2г4 +1+1	*3и2г + 1	, 1 - 3nr2  ar + J " 2™4	  V3/i2r4 + 1
5	0		0		±27X0) In г	±27X0)0" г + 1)	±27X0)(lnr + 1/2)
6	0			0	±27X0) 1п г	±27X0)(lnr+ 1)	±27X0)(lnr + 1/2)
7		0	0		0	0	±V5Ts(0)
8		0		0	0	0	±73’7X0)
7. Скорости перемещений в зависимости от коэффициентов по решению (7Л2)

Тип	А2	В2	С2	£>2	Иг	Vz + const	я2
1	0				(C2sh Az + £>2ch Az) АвгК1(Аг)	(C2ch Az + P2sh Az) A5JCo(Ar)	Argp(Ar) ''  *i(Ar)
2		0			(Cash Az + P2ch Az) A4 2/1 (Ar)	—(C2ch Az + P2sh Az) АЛ г/0(Аг)	Ar/o(Ar) A(^)
3			0		[Л2Л(Аг) +B2X1 (Ar) ]A£>2ch Az	-Иг/о(Аг) - Вг/Го(Аг)]А2>28Ь Az	Ar(m*/o - ^0) mh + Ki
4				0	И 2^1 (Ar) + BJCi(Ar)]AC2sh Az	-Из/о(Аг) - Яг«Ь(Аг)]АС2сЬ Az	Xr (mlo — Ab) m h + Ki
5	0		0		BiD^chhKifAr)	Яг£>2$ЬАгАГо(Аг)	ArKo(Ar) ЛГ1(Аг)
6	0			0	B2C2ishhKi(Xr)	B2C2chAzATo(Ar)	ArXo(Ar) *i(Ar)
7		0	0		AiDdchklifXf)	-j42D2shAz/o(Ar)	Ar/o(Ar) /i(Ar)
8		2		0	/liCaAsh Az/i(Ar)	—Л2С2сЬЛг/о(Лг)	Ar/o(Ar) A(Ar)

* т
& Компоненты девиатора напряжения в зависимости от коэффициентов по решению (7.32)

Тип	*2	л»	Сг	Аг	(Ог-аУТ^О)	(сту>-а)/Л(О)	(аг-оуТ^>)
3			0		{Arfm/o - Ко) - (mh + Ki)]x хрЛдт/о - Ко)2 - Ar(m/o - Ко)Х x(mZi + Ki) + (mli + Ki)2]"	(mh +Ki)x  x[l2r2(mlo - Ko)2 - ir(mlo ~Ko)* x(mZi+Xi) + (m/i+Ari)2) 1/2	-Xr(mlQ -Ko)x х[А2г2(т/о “ Ko)2 - Ar(m/o - Ko)X *(mli + ЛГ1) + (mil + Kl)2]-1'2
4				0			
1	0				. -QrKo + Ki)*	j  *(№& +	+ K?)“ 2	Ki(X2r2Kl + WCoATi + Ki)~ 1	ЛгЛо(А2гМ + AKoATi + kl)~ 3
5	0		0				
6	0			0			
2		0			«rZo-/i)x х(Л2?/б'-Лг/о/1+/Ь 2	/l(A2r2/8 - Moh + ll)~Vi	- Ar/o(A2r2/? - irloh + ll)~1/2
7		Q	0				
8		0		0			
9. Скорости перемещений в зависимости от коэффициентов по решению (7.33)

Тип	Лз	Вз	Сз	Оз	Vr	Vz + const	Лэ
1			0		(-Сз sin Az + />з cos Az) А8зУ1( Ar)	- (C3 cos Az + £>3 sin Az) АВзК>( Ar)	ArFo(lr) П(1г)
2				0	(-Сз sin Az +D3 cosAz)143/i(Ar)	- (C3 cos Az + D3 sin Az) А/1зЛ)( Ar)	hJo(h) 7i(lr)
3	0				|Лз/1(Аг) + ВзУ1(Лг))U)3 coslz	- [Лз/о(Лг) + B3Yo(.ir) J Mh sin 1г	Ar(p*Jo + To) ph + Yi
4	0		0		- [АзЩМ) + B3Yi(ir)]1C3 sinh	- (ЛзЛ)(Аг) 4- ВзКо(Аг) ]АСз cosAz	Xr(pJo 4- To) Ph + Yi
5	0			0	XB3D3 cosAz И (Ar)	- AB3D3 sin Az Уо(Аг)	hY0(h) H(lr)
6		0			-АвзСзяп^У1(Лг)	- A83C3 cos Az УЬ(Аг)	ЯгУо(Лг) У1(Лг)
7		0	0		XA3D3 cos Az Ji (Ar)	- АЛзОз sin Az Jo(Ar)	ArJo(lr) h(h)
8		0		0	- JL43C3 sin Az Ji(Ar)	- АЛ3С3 cos Az/o(Ar)	. ArJo(Ar)

*р=А3/В3
10. Компоненты девиатора напряжения в зависимости от коэффициентов по решению (733)

Тип	Лз	Вз	Сз	Оз	(аг-а)/ГХ0)	(ffy,-<z)/TXO)	(oz-ayT^O)
3			0		[ArfpJo + Го) - (ph + П)]х хрМ(р/0 + Го)2 - АКр/о + Гр)х х(рЛ + П) + (pJi + П)2]	(ph + Ъ)х х[Л2г2(р/о + Го)2 - АН/х/о + Гр)х х(рЛ + У1) + (pJi + Г1)2] V2	-Xr(pjQ + Уо)х * x[A2r2(pZo + Го)2 - Xr(pJo + Го)х *(ph + Ti) + (ph + У1)2] V2
4				0			
1	0				ОгУо - И) х х (А2г2У6-ЛгУ0У1 + У?) **	У1(А2г2У$ - АгУоУ1 + Yl)~V2	-АгУо(А2г2у8 -АгГоГх + ri)-V2
5	0		0				
6	0			0			
2		0			(Аг/о - Л) х х(Л2г2У6-ArJo/i +4) 1/2	h(A3r2J$ -XrJoJi +Jl)~V1	- ArJo(A2r2/? - ArJo/1 + Jl)~ V2
7		0	0				
8		0		0			
Данные, приведенные в табл. 3 — 10, могут непосредственно при-
меняться в расчетах элементов конструкций и сооружений из ци-
линдрически анизотропного материала, находящихся в условиях
осесимметричной деформации, когда граничные условия задачи
обеспечивают реализацию рассмотренных выше случаев.

5.	Сравнение результатов, основанных на концепциях опасных
и октаэдрических площадок сдвига

В предыдущей и этой главах говорилось о двух различных подхо-
дах к критерию перехода материала в пластическое состояние. В за-
висимости от степени анизотропии и ориентации главных напряже-
ний эти два подхода могут иметь расхождение.

Представляет интерес количественное сравнение пределов теку-
чести, определяемых исходя из того и другого подходов.

С этой целью рассмотрим случай одноосного напряженного состо-
яния, когда направление напряжения совпадает с осью х При такой
ориентации предельные значения напряжений, вычисленные исходя
из предположений об октаэдрических и опасных площадках имеют
наибольшее расхождение.

Предположим, что функция предельного сопротивления сдвигу
имеет вид зависимости (7.5). Тогда, согласно выражениям (7.3) и
(7.6),

= (Сг + Ср + Cz)/VI,	(7.40)

где of* — предельное значение напряжения по предположению об октаэдрических
площадках.

Согласно предположению об
опасных площадках имеем
on J27CJC7 при Сг £ Ср
1 e ]2WpCz при Сг 2 С<р,
(7.41)

где с£Л —предельное значение напря-
жения.

Введем * обозначения
Ст/Cjr= Xrz и С^/Cz = Kipz» Из
соотношений (7.40) и (7.41)
получим

Рис.41. К нахождению области АВСД

1 -ПЛОСКОСТЬ ОгК/О?Л = Р;

2 - поверхность	______

Oz* / а/ = (Krt +	+1) / 2 ^2/Tmi'n

3 -граница области АВСД

Oz* Krz 4“ K<pz “Ь 1

(7.42)

гДе = пнп(Кгг» ^y>z)»
Выражение (7.42) в системе координат Кп, Kpt, о?*/о?п пред-
ставляет некоторую вогнутую поверхность (рис. 41).

Отметим, что всегда существует область изменения Кп в
которой OzK/ozn не превышает заранее заданную величину Р 1.

Уравнение границы искомой области ABCD имеет вид:

Krz + K?z+ 1 - 2V2/»VXmin = 0.	(7.43)

Как видно из уравнения (7.43), размеры искомой области зависят
от параметра Р, притом, чем больше значение параметра Р, тем
больше размеры границы. При Р ** 1 область вырождается в точку с
координатами (0,5; 0,5; 1,0).

Таким образом, граница искомой области представляет замкну-
тую кривую, а уравнение (7.43) семейство кривых, находящихся в
параллельных плоскостях.

Случаю изотропной среды соответствует значение Р = (3/2)72.

Полученные в предыдущих параграфах этой главы результаты
могут применяться при решении соответствующих краевых задач.
Глава 8

ИНЖЕНЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ
ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

1.	Задача о вдавливании круглого штампа
в трансверсально-изотропную среду

В трансверсально-изотропную жесткопластическую среду вдавли-
вается абсолютно твердый круглый штамп с гладким основанием
[36] (рис. 42).

Цилиндрическая система координат /y>z ориентирована таким об-
разом, что ось z совпадает с главным направлением анизотропии, а
в плоскости /у> среда является изотропной.

Под воздействием внешней силы Р штамп начинает перемещаться
в направлении оси z, выдавливая материал через свободную повер-
хность Q. Задача состоит в определении давления на основание
штампа в момент начала его движения.

Аналогичная задача исследована А.Ю. Ишлинским [22 ] в случае
, изотропной среды. Автором предполагалось, что при вдавливании
штампа среда переходит в состояние полной пластичности. Оставим
в силе это предположение в рассматриваемом случае трансверсаль-
но-изотропной среды.

При вдавливании штампа состояние полной пластичности возни-
кает в области OABCD	Материал в области АВС

(AiBiCi) всесторонне сжат о><0, ст,, < 0, at < 0. На свободной
границе АВ (AiBi)—

oj = as тгг = 0, ст? = —2VJ7 Ч — arctg(l/VE), (8.1)
где о? = щ/Сг (i = г, <р, z, п), к = Сг/Сг— показатель степени анизотропии.

Система определяющих уравнений при этом имеет вид (6.17) с
принятием нижнего знака.

В случае трансверсально-изотропной среды Сг = С<р и функция
предельного сопротивления сдвигу имеет вид

C(j;) = Cico^ij + Czsin2»/,	(8.2)

где ij — угол в плоскости rz между нормалью к площадке, на которой реализуется
одно из условий пластичности, и плоскостью z = const.

С учетом (8.2) система уравнений (6.17) приводится к виду
dp — (к + l)dtf + [F(7) — кtgiy ]dlnr = 0,	(8.3)
Рис.42. К задаче о вдавливании круглого штампа

вдоль dz — tgqdr = 0 (si — линии);
dp + (к + 1) d if + (£(7) — ctgfl ]d In r = 0,
вдоль dz + ctgi;dr= 0 (st — линии),
где P * a/Cr,

F(if) - -12(k + 1) Г1---(*-l)sin27-------------1 /21и +

l t (2(p + 1) - 2(P - IXosZr;*^-» '

+ { [ (k2 + 1) - (k2 - l)cos 2 9] /2|4

Соотношения (8.3) можно проинтегрировать, следуя от свободной
границы АВ (Л1В1) в направлении к оси z. В области АВС имеет ме-
сто задача Коши: известны значения искомых функций на гранич-

Рис.43. Сетка характеристик для круглого штампа в случае к - 0,2 (а) и к - 1,0 (б)
(изотропная среда)
Рис.44. Распределение давления о? под
круглым штампом в зависимости от по-
казателя анизотропии к

ной линии, не совпадающей с характеристиками. В области АСД
имеет место вырожденная задача Гурса: известны значения функ-
ций на характеристике АС и угол раствора при вершине Л, наконец
в области АОД — смешанная задача: известны функции г, z, т) и р
на характеристике ЛД, а также функции z и у на линии АО (рис. 43,
44, табл. 11).

Размеры пластических областей существенно зависят от степени
анизотропии. Угол раствора 51 — линий при вершине Л (САД) ра-
вен л — 2 arctg (1/VE).

11. Значения приведенного активного давления az в зависимости от показателя
анизотропии k

г°-г/а1	к				
	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
0,0	3,9077	4,9995	5,8096	6,5792	7,2082
0,1	3,3573	4,4053	5,2515	6,0745	6,7113
0,2	3,0920	4,1566	4,9963	5,7379	6,4449
0,3	2,9115	3,9324	4,7817	5,5435	6,2486
0,4	2,7456	3,7673	4,6115	5,3747	6,0853
0,5	2,6067	3,6184	4,4583	5,220	5,9252
0,6	2,4789	3,4759	3,3119	5,0726	5,7895
0,7	2,3531	3,3346	. 4,1646	4,9240	5,6421
0,8	2,2224	3,1886	4,0122	4,7693	5,4895
0,9	2,0794	3,0291	3,8460	4,6043	5,324
1,0	1,9037	2,8439	3,5482	4,4159	5,1416

1а — радиус штампа
Значение к в задаче варьировалось при условии к S 1, поскольку
полученное решение рекомендуется применять к слоистым грунтам,
обладающим сцеплением, для которых к 1.

Путем интерполяции с достаточной точностью можно вычислить
с? при значениях к, не совпадающих с указанными в таблице. Вы-
числения aS следует начинать от края штампа, (r° = 1, z° — 0):

0) = -2vT - (к +	- 2 arctgVT/T). <8.4)

Значения eft в других точках интерполируются в пропорции, со-
ответствующей значениям о? в точке Л (1, 0).

Решение при к “ 1 (изотропная среда) совпадает с результатами
122].

На основании полученных выше результатов можно определять
предельную нагрузку на круглый штамп при заданных значениях
Сг, Сх, на.

2.	Вдавливание кольцевого штампа
в трансверсально-изотропную среду

Задача о вдавливании кольцевого штампа в изотропную среду
рассматривалась в работе [19]. Обобщим решения этой задачи на
случай трансверсально-изотропной среды.

В трансверсально-изотропную жесткопластическую среду вдавли-
вается кольцевой штамп, ограниченный двумя цилиндрическими
поверхностями радиусами а и b (а < W.

Ось z совпадет с осью симметрии и направлена в глубь среды, а
ось г — вдоль ее свободной поверхности (рис. 45). Кольцевой штамп
перемещается в направлении оси z, выдавливая материал через сво-
бодные поверхности Qi и Q2. Задача состоит в определении предель-

Рис.45. К задаче о кольцевом штампе
Рис.46. Сепса характеристик для штампа с круговым вырезом при к-ОД (а) и
к-1,0 (6)

ного давления на штамп и нахождения особой точки О, соответству-
ющей границе двух пластических областей.

При вдавливании кольцевого штампа пластическая область воз-
никает как с внешней (область OEFLMO), так и с внутренней (об-
ласть OABCDO) стороны от штампа.

Поскольку система уравнений (6.17) относится к гиперболическо-
му типу, решение можно построить независимо, начиная от внешне-
го (JEF) и внутреннего (АВ) участков свободной поверхности. Реше-
ние от внешнего участка (EF), по существу, совпадает с решением
задачи о круглом штампе (§ 1).

На свободной границе АВ —

= t?z = 0, ст® = ст® = -2VI7 т} = л - arctg/T/T. (8.5)

Система определяющих уравнений имеет вид (6.17) с принятием
верхнего знака и с учетом (8.2) приводится к виду:

dp + (к + l)d7 + [(/(7) + к tgij ]d In г = О,
вдоль dz — tg 7 dr — .0 (st — линии);

dp - (к + 1)J7 + (17(7) + ctg7 ]Jlnr = 0,	(8.6)

вдоль dz + ctg 7 dr = 0 (S2 — линии),

где U(4) - 12(fc + 1) Г1-j-(fc~l)si"2V---- I	_

I L	(2(k2 + 1) - 2(fc2 - l)cos 2 )V2-I J

r

- {[(fc2 + 1) - (fc2 - l)cos2i7]/2} .

Результаты решения системы (8.6) приводятся на рис. 46, 47 и в
табл. 12. Как видно, размеры пластических областей зависят от сте-
пени анизотропии.
Рис.47. Распределение давления
о? под кольцевым штампом в за-

висимости от параметра к

12. Значения приведенного активного давления а? в зависимости от показателя
анизотропии к

г°	к				
	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
0Л .	1,9037	2,8440	3,6590	4,4159	5,1416
0,6	2,2805	3,2278	4,0425	4,7955	5,5100
0,7	2,6015	3,5559	4,3732	5,1259	5,8310
0,8	2,8810	3,8446	4,6671	5,4201	5,1221
0,9	3,1288	4,1027	4,9326	5,6902	6,3955
1,0	3,3526	4,3377	5,1771	5,9432	6,6605

Для значений к, не совпадающих с указанными в таблице, а? на-
ходится путем интерполяции. Вычисления следует начинать с точки
Л, где

az - -2VT — (к + 1) (л - 2 arctg VT/T).

Значения &z в других точках интерполируются в пропорции, со-
ответствующей значениям о® в точке А.

Единственной геометрической характеристикой в данной задаче
является отношение а/b. Таким образом, при фиксированном значе-
нии к картина распределения напряжений зависит только от отно-
шения alb (рис. 48). Для изотропной среды такая зависимость изу-
чалась в работе (19 ]. В приведенном решении данной задачи прини-
малось а/b = 0,5.

На основании полученных выше результатов можно определять
предельную нагрузку на кольцевой штамп при заданных Cr, Ci9 а и Ь.
Рис.48. Сетка характеристик для кольцевого штампа при к - 0,2 (а) и к -1,0 (б)

3.	Выдавливание цилиндрически анизотропного материала
из сжимающихся коаксиальных цилиндрических втулок

Объектом данной задачи является полый цилиндрический стер-
жень из цилиндрически анизотропного материала внутреннего л и
наружного — п, радиусов, длиной Z, находящийся между плотно
пригнанными к нему коаксиальными цилиндрическими втулками.

Втулки сокращаются в кольцевом направлении, выдавливая мате-
риал стержня на уровне z = /, при условии, что скорости кольцевых
деформаций внутренней и внешней втулок равны между собой. При
этом радиальные скорости перемещения втулок имеют отрицатель-
ный знак (движение к оси симметрии) и их модули прямо пропор-
циональны расстоянию от оси z, т.е. радиусам л и п [34 ].

Будем считать, что удельные силы трения между стержнем и
втулками имеют постоянную величину и на поверхности внутрен-
ней втулки и Т2 — на внешней. Согласно правилу знаков для каса-
тельных напряжений, поскольку стержень выдавливается в положи-
тельном направлении оси z и касательные напряжения направлены
в обратную сторону, следует тГ2(л) > 0, тГ2(гг) < 0.

Ставиться задача об определении полей скоростей перемещений и
напряжений в стержне.

Из условий задачи следует, что скорости деформаций в материале
стержня постоянны. Этому соответствует решение, полученное в
гл. 7 тип 4, случай Ь = 0. Касательное напряжение при этом опреде-
ляется зависимостью

rrz= т/г + пг.	(8.7)

а скорости перемещений соотношениями

Vr = ar. Vz = -2az + g(r)	(8.8)

и поскольку Vr < 0, а < 0.
Подставляя граничные условия для касательных напряжений
Тп(л) = и ит«(г2) = —та в зависимость (8.7), получим

(ТЩ + ТУ1)ПГ2	Т2Г2 + Tin

т~ 4-rl ’	г$-г? '

Функция g(r) в (8.8) определяется формулой

ХО = И2(г, 0) = 2f { [ЛХ«*) + m/r + nr ]/R }dr + Ka. (8.9)

Функция a* = a*(r) является решением уравнения (7.20) при
i-0.

Предел текучести будем определять по формуле (7.6), тогда урав-
нение (7.20) приводится к виду: '

Е2(4 - С2) Isin2a I6 + [(2Е2 + 2ED) с2 - 4Е2 + ZED ] X

X Isin2a I4 —2 ЛЯС2 I sin2a I3 + [ (A2 - 2ED - D2) X

x C2 + 8£Z> + 4Z>2] Isin2a I2 - 4£>2 = 0,	(8.10)

где

Tr + Tv + Tz
3

r _ 3a — 6/r2

В рассматриваемой задаче b  0, следовательно С2 = 3.

Уравнение (8.10) представляет собой алгебраическое уравнение
шестой степени относительно I sin 2 а I. Решение его обозначим
I sin 2 а* I.

Выражение (8.9) приводится при этом к виду

. Xr) в	+ 2?(1 — I sin2a* 12)sign + nrj + Ka,

где	(8.11)

R= [A2—2ED—D2—2AEI sin 2a* I+2E (E + D) I sin 2a* 12-
-B2lsin2a*l4JV2/Vyial.	(8.12)

Постоянная К определяется из условия: количество материала,
протекающего в осевом направлении через поперечное сечение стер-
жня z « const равно изменению объема материала по длине втулки.
Это условие приводит к соотношению

П

2jcfVzrdr- 2л [Иг(п) л - Уг(г2) п. I*.	(8.13)

Л
Подставляя выражения (8.8) и (8.11) в (8.13), получим
frf Г ~+nr+E (1 — I sin 2 a* 12) sign (—+nr]
'l-rf и L	\r )

Из выражений (7.23) и (7.24) получим

Or = — 2 nz — Е f — V1 — Isin2a*l21 sin 2 a* I dr + B;

ofsar + E V1 — Isin2a*l21 sin 2 a* I;

at = ar + 3aR + 2E V1 — I sin 2 a* 121 sin 2 a* I;

(ПГ2 + ryi)nn _ туг 4- ли

‘= (Л-^-4

(8.14)

(8.15)

Постоянная В имеет смысл гидростатического давления и опреде-
ляется из условия, что при z - I выполняется равенство

fazdF = Q,	(8.16)

F
поскольку верхний конец стержня свободен от внешних нагрузок.

Подставляя аг из (8.15) в (8.16), получим
~ п	.

В = 2п1 -	3 J г ГЗаЛ - £/-Vl - lsin2a*P х

П - rfn L r

х Isin2a*l dr + 2£V1 - Isin2a*l2Isin2a*ll dr. (8.17)

Решение задачи проводилось численно, так как связано с решени-
ем алгебраического .уравнения шестой степени (8.10), а также с ин-
тегралами, не выражающимися в элементарных функциях.

На основании полученных результатов проведен анализ зависи-
мости напряжения от анизотропных свойств материала.

Граничные условия в задаче варьировались различным образом,
на основании чего можно сделать следующий вывод: зависимость ра-
диального давления от главных значений анизотропии 7>, Т# и Tz
носит характер, мало отличающийся от линейного (рис. 49).

Следует отметить, что чем сильнее анизотропия, тем больше от-
клонение графика для радиального давления от прямой линии.

Как следует из выражений (8.8) и (8.11) скорость Vz в плоскости
z в 0 отличается от нуля, хотя интегрально равна нулю. Скорость в
плоскости z = I определяется выражением

Vz(r, I) = Vz(r, 0) - 2а/, (a < 0).

(8.18)
a

6

Рис.49. Зависимости or — Т<р (а) и or—Tz (б )

1 — Tr=Tz = 160 МПа; 2 — Tr = Tz = 60 МПа; 3 — Тг = Ту» - 160 МП а;

4— Tr~Tv- 60 МПа
Рассмотрим случай и = тг — 0, когда трение между стержнем и
втулками отсутствует. В этом случае т “ п “ 0 и тп = 0.

Решением уравнения (8.10) является Isin2a*l =0. Скорость пе-
ремещения Vz = —2az.

Компоненты тензора напряжения:

Сг =	= —(Тг + Т<р + Tz)/Oz = trz = 0.	(8.19)

Как видно из (8.19), радиальное давление в этом случае линейно
зависит от Тг, Т?, и Тг.

Полученные результаты свидетельствуют о заметном влиянии
анизотропии на предельную нагрузку аг и необходимости учета это-
го свойства материала в практических расчетах.

4.	Осесимметричная деформация цилиндрически анизотропной
трубы под внутренним давлением

Рассмотрим осесимметричную деформацию толстостенной трубы,
бесконечно большой длины (рис. 50), внутреннего — пи внешнего
— гг радиусов, из цилиндрически анизотропного материала, находя-
щейся под воздействием внутреннего радиального давления. Ось г
цилиндрической системы координат npz совпадает с осью симметрии
трубы.

По достижении внутренним

радиальным давлением пре-
дельного значения, внутрен-
няя поверхность трубы г = п
начинает перемещаться со
скоростью Рг(л) e U.

Требуется найти предель-
ное значение радиального
давления q, а также опреде-
лить поля напряжений и ско-
ростей перемещений точек
трубы.

Очевидно, что при задан-
ных условиях задачи скорость
Vt = 0, a Vr = Vr(r)

Этой задаче соответствует
решение, полученное в гл. 7
(см табл. 3, 4, тип 10, случай

2 >

Рис.50. К определению предельного внут-
реннего давления на толстостенную трубу
т“ п~ а - 0). Согласно этому решению компоненты тензора на-
пряжения и скорости перемещения выражаются зависимостями:

аг = гТХОупг + В; av = 27X0)(lnr + 1) + В;

аг = 2Т,(0)(1пг + Vi) + В; = 0,	(8.20)

Vr — b/r, Уг = 0.	(8.21)

Гидростатическое давление В находится из условия, что на повер-
хности г * п радиальное давление отсутствует: &г(г2) — 0, откуда
В = — 2Т$(0)1ш*2. Подставляя это выражение для В в (8.20), получим
о? = |(1 + Кп + ад1п£; = |(1 + Кп + адрп^ + 1);

о? = |(1 + Кп + ад(1п^ + |);	= 0,	(8.22)

гдеаР = 0l/Tz (/«г, z, rz), Кп = Тг/Т2, Кф-Тф/Т*

Значение предельного давления на поверхности г - л

q = | (1 + Krz + Крг) 1| Тг.	(8.23)

Из выражения (8.23) следует, что предельное значение q линейно
зависит от параметров анизотропии Кп и KpZ.

Значение постоянной в выражении (8.21) находится из гранично-
го условия Уг(л) — U, откуда V? = uri/r. Таким образом, макси-
мальную скорость имеют точки внутренней поверхности трубы.

Полученные результаты позволяют находить предельное внутрен-
нее давление на толстостенную трубу из цилиндрически анизотроп-
ного материала достаточно большой длины.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Алиев М.М. Двумерные статические задачи теории пластично-
сти ортотропных тел. Дис. на соиск. учен. степ, кандидата техн,
наук, М., 1979. — 143 с.

2.	Артемьев И.Т., Григорьев Е.А. О неединственности семейства
линий скольжения при предельном сопротивлении анизотропной
идеально пластической среды//Исследования по краевым зада-
чам и их приложениям.—Чебоксары, 1987.—С. 4-14.

3.	Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных ма-
териалов. — Л.: Машиностроение, 1980. — 247 с.

4.	Бьеррум Л. Проблемы механики и строительства на структурно-
неустойчивых и слабых грунтах. Доклад первый. Генеральные
доклады УШ Международного конгресса по механике грунтов и
фундаментостроению. Пер. с англ. —М.: Стройиздат, 1975. —
С. 98-165.

5.	Воронов А.Н. Статические плоские задачи деформационной тео-
рии пластичности ортотропных тел. Дис.на соиск. учен. степ,
кандидата техн, наук, М., 1985.— 138 с.

6.	Гениев Г.А., Лейтес В.С. Вопросы механики неупругих тел. —
М.: Стройиздат, 1981. — 160 с.

7.	Гениев Г.А. О критерии прочности древесины при плоском на-
пряженном состоянии//Стоит, механика и расчет сооруже-
ний. — 1981. — № 3. — С. 15-20.

8.	Гениев Г.А. Плоская деформация анизотропной идеально пла-
стической среды//Строит, механика и расчет сооружений. —
1982. — № 3. — С. 14-18.

9.	Гениев Г.А. Об уравнениях статики и кинематики анизотропной
пластической среды при сопротивлении отрыву//Строит. меха-
ника и расчет сооружений. — 1983. — №2. — С.14-18.

10.	Гениев Г.А. Об уравнениях динамики анизотропной сжимаемой
пластической среды при сопротивлении сдвигу//Строит, меха-
ника и расчет сооружений. — 1984. — № 3. — С. 31-35.

11.	Гениев. Г.А. Об уравнениях динамики анизотропной сжимаемой
пластической среды при сопротивлении отрыву//Строит. меха-
ника и расчет сооружений. — 1985. — №5. — С. 29-33.

12.	Гениев Г.А., Воронов А.Н. О критериях прочности ортотропного
материала типа каменной кладки при плоском напряженном со-
стоянии//Исследования и методы расчета строительных конст-
рукций. — М.: ЦНИИСК им. Кучеренко, 1985. — С. 94-101.

13.	Гениев Г.А., Самедов Ф.А. Осесимметричная деформация транс-
 версально-изотропной идеально пластической среды//Исследо-
вания по строительной механике и надежности конструкций.
ЦНИИСК им. Кучеренко. — М.: 1986 — С. 49-58.

14.	Гениев Г.А., Курбатов АС. О предельном сопротивлении ани-
зотропных материалов сдвигу при трехосном напряженном со-
стоянии//Строит. механика и расчет сооружений. — 1991. —
№ 3. — С.3-7.

15.	Гениев Г.А., Курбатов А.С. О предельных прочностных зависи-
мостях для анизотропных материалов при сдвиге//Методы рас-
чета и оптимизации строительных конструкций на ЭВМ. — М.:
ЦНИИСК им. Кучеренко, 1990. — С. 60-67.

16.	Гениев Г.А., Эстрин М.И. Динамика пластической и сыпучей
сред. — М.: Изд-во лит. по стр-ву, 1972. — 216 с.

17.	Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластич-
ности конструкционных материалов. — М.: Машиностроение,
• 1968. — 190 с.

18.	Езепов Г.Г. Прочность древесины при двуохсном напряженном
состоянии. Дис.на соиск. учен. степ. канд. техн, наук, М.,
1986. — 142 с.

19.	Жалнин В.А. ', Ивлев Д.Д., Мищенко В.А. О вдавливании коль-
цевого штампа в пластическое полупространство//Прикладная
математика и техническая физика. — 1961. — № 6. — С. 153-
155.

20.	Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука,
1966. — 231 с.

21.	Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. Об основных соотношениях тео-
рии анизотропных сыпучих сред//Прикладная механика и тех-
ническая физика. — 1961. — №2. — С. 116-121.

22.	Ишлинский А.Ю. Осесимметричная задача теории пластичности
и проба Бринеля//Прикладная математика и механика. — 1944,
т. 8, вып. 3.

23.	Курбатов А.С. Об одном критерии прочности ортотропных мате-
риалов при объемном напряженном состоянии//Исследования по
строительной механике и методам расчета. — М.: ЦНИИСК'
им. Кучеренко, 1981. — С. 20-29.
24.	Курбатов А.С. О построении приближенного критерия прочно-
сти ортотропных материалов при объемном напряженном состо-
янии//Строит. механика и расчет сооружений. — 1982. —
№ 4. — С. 26-28.

25.	Курбатов А.С. О построении приближенных критериев прочно-
сти ортотропных материалов при объемном напряженном состо-
янии в областях отрыва и смятия//Исследования по строитель-
ным конструкциям и их элементам. — М.: ЦНИИСК им. Куче-
ренко, 1982. — С. 28-32. *

26.	Курбатов А.С. Некоторые задачи пластического кручения орто-
тропных цилиндрических стержней//Исследования и расчет
строительных конструкций. — М.: ЦНИИСК им. Кучеренко,
1983. — С. 46-53.

27.	Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стерж-
ней. — М.: Наука, 1971. — 240 с.

28.	Падай А. Пластичность. Механика пластического состояния ве-
щества. — М. — Л.: ОНТИ, 1936. — 279 с.

29.	Орлович Р.Б., Езепов Г.Г., Найчук А.Я. К оценке некоторых
критериев прочности анизотропных тел при плоском напряжен-
ном состоянии//Техника, технология, организация и экономика
строительства: Республиканский межведомственный сборник. —
Вып. 10: Строит, механика и строит, конструкции. — Минск:
Выпгэйшая школа, 1984. — С. 124-127.

30.	Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность ма-
териалов при сложном напряженном состоянии. — Киев: Бауко-
ва думка, 1976. — 412 с.

31.	Писаренко Г.С., Можаровский И. С. Уравнения и краевые зада-
чи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие. —
Киев: Баукова думка, 1981. — 493 с.

32.	Самедов Ф.А. Осесимметричная деформация идеально пластиче-
ской трансверсально-изотропной среды при концепции полной
пластичности//Исследования по расчету конструкций и надеж-
ности сооружений. — М.: ЦБИИСК им. Кучеренко, 1987. —
С. 174-180.

33.	Самедов Ф.А. Построение кусочно-линейной поверхности теку-
чести для трансверсально-изотропной среды при осевой симмет-
рии// Строит, механика и расчет сооружений. — 1988. —
№ 4. — С. 57-59.
34.	Самедов Ф.А. Выдавливание идеально пластической трансвер-
сально-изотропной массы из ужимающихся коаксиальных ци-
линдрических втулок//Исследования по прочности и надежно-
сти строительных конструкций. — М.: ЦНИИСК им. Кучерен-
ко, 1988. — С. 112-119.

35.	Самедов Ф.А. Некоторые частные решения уравнений осесим-
метричной задачи статики трансверсально-изотропной сыпучей
среды вне концепции полной пластичности//Исследования и ме-
тоды расчета строительных конструкций и сооружений. — М.:
ЦНИИСК им. Кучеренко. 1988. — С. 100-108.

36.	Самедов Ф.А. Задача о вдавливании круглого штампа в транс-
версально-изотопную среду//Прочность и надежности сооруже-
ний. — М.: ЦНИИСК им. Кучеренко, 1989. — С. 64-69.

37.	Соколовский В.В. Теория пластичности. — М.: Высшая школа,
1969. — 608 с.

38.	Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. — М.: Гос. изд-во
физ.-мат. лит., 1960. — 243 с.

39.	Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамови-
ча, И. Стигана. — М.: Наука, 1979.

40.	Флаксерман А.Н. Влияние наклона волокон на механические
свойства древесины сосны. Тр. ЦАГИ, вып. 78, ГОНТИ, М. —
Л., 1931. — С. 48.

41.	Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. — М.г Гос. из-
дат. оборон, пром., 1952. — 555 с.

42.	Page A.W. The biaxial compressive strength of brick masonry. Proc.
Jnst. Civ. Eng., Part 2, 1981, 71, Sept., — p.p. 893-906.
СОДЕРЖАНИЕ

Введение ............................................ 3

Глава 1. Критерии прочности и пластичности ортотропных
материалов, учитывающие различные механизмы разрушения

1.	Теоретическое обоснование'критерия прочности ортотропных
материалов при отрыве в случае трехосного напряженного
состояния.........................................   6

2.	Критерий прочности при смятии.....................16

3.	Критерий прочности при сдвиге.....................22

4.	Определяющие уравнения предельного состояния ортотроп-
ных тел при сопротивлении отрыву и смятию ......... 30

5.	Задачи о предельном состоянии ортотропных цилиндричес-
ких стержней при кручении...........................33

Глава 2. Модифицированные критерии прочности
и пластичности ортотропных материалов

1.	Модифицированные критерии прочности ортотропных мате-
риалов при трехосном напряженном состоянии .........46

2.	Модифицированные критерии прочности ортотропных мате-
риалов, обладающих внутренним трением ..............58

3.	Модифицированные критерии прочности ортотропных мате-
риалов при двухосном напряженном состоянии .........65

4.	Модифицированные определяющие уравнения предельного
состояния ортотропных тел при сопротивлении отрыву ... 66

Глава 3. Прочность древесины и каменной кладки
по теоретическим и экспериментальным данным

1.	Критерий прочности древесины при плоском напряженном
состоянии...........................................72

2.	Критерий прочности каменной кладки при плоском
напряженном состоянии ..............................81

3.	Сравнение прочности древесины и каменной кладки по
теоретическим и экспериментальным данным  ..........34
Глава 4. Определяющие уравнения двумерных задач статики
и кинематики анизотропных тел при условиях пластичности
общего вида

1.	Плоска^ деформация тел при сопротивлении сдвигу .....96

2.	Плоское напряженное состояние тел при сопротивлении
отрыву.................................................102

3.	Плоская деформация ортотропного сыпучего тела при
сопротивлении сдвигу ...................................ПО

4.	Плоская деформация ортотропного вязкопластического тела 116

Глава 5. Определяющие уравнения двумерных задач динамики
анизотропных тел при условиях пластичности общего вида

1.	Динамическая задача при сопротивлении ортотропного
тела сдвигу............................................122

2.	Динамическая задача при сопротивлении ортотропного тела
отрыву.................................................129

3.	Динамическая задача для ортотропного сыпучего тела
при сопротивлении сдвигу...............................135

Глава 6. Осесимметричная деформация цилиндрически
анизотропного тела при концепции полной пластичности

1.	Построение кусочно-линейной поверхности текучести цилин-
дрически анизотропного тела при осесимметричной дефор-
мации .................................................139

2.	Система разрешающих уравнений при состоянии полной
пластичности.......................................  .	.143

3.	Общие интегралы системы разрешающих уравнений.......144

Глава 7, Осесимметричная задача теории пластического течения
цилиндрически анизотропного тела

1.	Условие пластичности цилиндрически анизотропного тела . 147

2.	Система определяющих уравнений осесимметричной задачи 149

3.	Исследование частного решения системы определяющих
уравнений при условии £/ = £/(г).......................152

4.	Исследование частного решения системы определяющих
уравнений при отсутствии деформаций сдвига вдоль
координатных осей . . . ...............................155

5.	Сравнение результатов, основанных на концепциях опасных
и "октаэдрических" площадок сдвига.................... 163
Глава 8. Инженерные задачи для осесимметричной деформации
цилиндрически анизотропного тела

1.	Задача о вдавливании круглого штампа в трансверсально-
изотропную среду...................................... 165

2.	Вдавливание кольцевого штампа в трансверсально-
изотропную среду.....................  ..............  168

3.	Выдавливание цилиндрически анизотропного материала

из сжимающихся коаксиальных цилиндрических втулок . .171

4.	Осесимметричная деформация цилиндрически анизотропной
трубы под внутренним давлением  ........................175

Список литературы ......................................177
CONTENTS

Introduction ...................................................... 3

Chapter 1.	Criteria of strength and plasticity of orthotropic materials
with the regard for different failure mechanisms

1.	Theoretical substantiation of tension strength criterion of
orthotropic materials under triaxial stress.......................  6

2.	Criterion of compression strength .............................16

3.	Criterion of shear strength ...................................22

4.	Constitutive equations for limit state of orthotropic bodies in
terms of tension and compression resistance . . •..................30

5.	Problems of limit state of orthotropic cylindrical bars in torsion. 33

Chapter 2.	Modified criteria of strength and plasticity of orthotropic
materials.

1.	Modified criteria of strength of orthotropic materials under
triaxial stress .............................................  .	. 46

2.	Modified criteria of strength of orthotropic materials possessing
internal friction..................................................58

3.	Modified criteria of strength of orthotropic materials under
biaxial stress  ...................................................65

4.	Modified constitutive equations for limit state of orthotropic body
resisting tension stress...........................................66

Chapter 3.	Strength of timber and masonry as based on theoretical
and experimental data

1.	Criterion of strength of timber under plane stress.............72

2.	Criterion of strength of masonry under plane stress............81

3.	Comparison of strength of timber and masonry as based on
theoretical and experimental data ...............................  84

Chapter 4.	Constitutive equations of two-dimensional problems of
statics and kinematics of anisotropic bodies in terms of general
plasticity

1.	Plane deformation due to shear stesses . . . ..................96
2.	Plane sterssed state of bodies resisting tension sterss.........102

3.	Plane deformation of orthotropic granular body resisting shear
stress..............................................................110

4.	Plane deformation of orthotropic visco - plastic body...........116

Chapter 5.	Constitutive equations of two-dimensional problems of

-dynamics of anisotropic bodies in terms of general plasticity

1.	Dynamic problem of body resisting shear.........................122

2.	Dynamic problem for tension resistance of orthotropic body . . 129

3.	Dynamic problem for shear resistance of orthotropic granular
body ...............................................................135

Chapter 6.	Axisymmetric deformation of cylindrically anisotropic
body in terms of perfect plasticity consept

1.	Constrution of piecewise yield surface of cylindrically anisotropic
body subjected to axisymmetric deformation..........................139

2.	Set of resolving equations for perfect plasticity state.........143

3.	General integrals of set of resolving equations ................144

Chapter 7.	Axisymmetric problem of theory of plastic yield of
cylindrically anisotropic body

1.	Condition of plasticity of cylindrically anisotropic body.......147

2.	Set of constitutive equations of axisym-metric problem .........149

3.	Analysis of partial solution of set of constitutive equations
in terms............................................................152

4.	Analysis of partial solution of set of constitutive equations in
absense of shear strain along coordinate axes ......................155

5.	Comparison of results based on concepts of "dangerous" and
"octahedral" shear sites ...........................................163

Chapter 8.	Engineering problems for axisymmetric deformation of
cylindrically anisotropic body

1.	Problem on pressing round punch in transversally-isotropic
medium .........................................................    165

2.	Pressing of ring punch in transversally - isotropic medium . . .168

3.	Squeezing out cylindrically anisotropic material from contracting
coaxial cylindrical bushes............................'.............171

4.	Axisymmetric demormation of cylindrical anisotropic pipe due
to internal pressure................................................175

References .......................................................  177
SUMMARY

At present no papers are practically available that would define the
conditions of strength of anisotropic materials determining the
mechanism of their failure and the directions of dangerous sites along
which failure under complex stress would occur.

Strength and plasticity criteria, as suggested in the book, seem to
make up the above deficiency. They are based on test data available
and on general phenomenological concepts of continuum mechanics.

The analysis of failure of different anisotropic materials permits
to suppose that there are three failure mechanisms, such as failures
due to tension, compression or shear stresses at some dangerous sites
whose directions do not generally coincide with those of the main
normal or tangential stresses. In a general case, the strength criterion
can be represented by three independent analytical expressions, each
being the condition of limit equilibrium of the material applicably to
this or that failure mechanism.

Depicted in the book is the investigation carried out by the authors
alone at the V.A.Kucherenko TsNIISK.

The first chapter gives a theoritical substantiation of strength and
plasticity criteria of anisotropic materials for the general case of a
triaxial stress state with due regard for different failure mechanisms.
The strength criteria formulated permit in the limit case not only to
define the failure mechanism of the material but also to determine
the direcsion of dangerous sites where failure. Will occur. Besides,
constitutive equations for the limit state of orthotropic bodies resisting
tension or compression stresses have been obtained together with
solutions of some problems on the limit state of orthotropic cylidrical
bars in torsion.

The second chapter concerns the modified strength and plasticity
criteria of orthotropic materials at tri-or biaxial stresses that have
a simple structure and are easy to use in engineering calculations.
The chapter also contains strength criteria for materials with
internal Coulomb friction.

The third chapter deals with the problems of strength of such
traditional building materials as timber and masonry; appropriate
expressions for strength criteria are given and comparison between
their strength indices is made, as based on theoretical and
experimental data.
The fourth and the fifth chapters contain constitutive equations of
two r dimensional problems of statics, kinematics and dynamics of
anisotropic bodies for the general type of plasticity.' Solutions of
problems of plane deformation and a plane stress state of anisotropic
bodies in terms of shear and tension resistance are given together with
solutions of corresponding dynamic problems. Considered are a problem
of plane deformation and a dynamic problem for orthotropic granular
body for the case of limit shear resistance.

Chapter 6 and 7 are devoted to solving axisymmetric problems of
cylindrically anisotropic bodies. In the sixth chapter a set of resolving
equations has been obtained and its common integrals estimated in
terms of the perfect plasticity concept. The seventh chapter depicts
the solution of an axisymmetric problem of plastic yield of a
cylindrically anisotropic body.

• The concluding eighth chapter considers the solution of some
applied problems that visualize the results obtained in chapters
6 and 7.
Подписано в печать 30.0693. Формат 60x84/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл. печл. Z2. Уч. — изд. л. /Я Тираж <500 экз. Заказ
Издание подготовлено к печати в СП ’’Интербук-бизнес", 101000 Москва, Ста-
росадский пер. 7/10 стр. 5, тел. 921-39-52

Ответственный за выпуск И. Ситникова
Операторы Т. Аносова, Ю. Бодрова
Корректор Л. Рагозина
Компьютерная верстка М. Королева

3-я типография ВО «Наука»
Москва 107143, Открытое шоссе. 28