Логико-психологический анализ школьных учебных задач - Фридман Л.М.

Author: Фридман Л.М.

Tags: психология педагогика педагогическая психология дошкольная педагогика издательство педагогика

Year: 1977

Similar

Школьная психологическая служба. Работа с родителями

Виды обобщения в обучении. Логико-психологические проблемы построения учебных предметов

Психологическая готовность к школе

Трудовая школа в психологическом освещении

Text

JLM. Фридман
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ
ОБЩЕЙ И ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПСИХОЛОГИИ
АПН СССР
Л. М. ФРИДМАН
Логико-
психологический
анализ
школьных
учебных
задач
МОСКВА
-«ПЕДАГОГИКА»
1977
371.015
Ф88
Печатается по решению
Редакционно-издательского совета
Академии педагогических наук СССР
Фридман Л. М.
Ф88 Логико-психологический анализ школьных учеб-
ных задач. М., «Педагогика», 1977.
208 с. с ил. Науч.-исслед. ин-т общей и пед. психологии
Акад. пед. наук СССР).
В книге представлены некоторые вопросы теоретического анализа
задач на конкретном материале школьных -учебных программ. Анализ
содержит логический, психологический и дидактический аспекты. Задачи
рассматриваются как знаковые модели проблемных ситуаций; анализи-
руется элементный состав и структура задач, для чего вводится особая
форма их моделирования
В качестве параметров, по которым проводится классификация задач,
кроме структуры взяты логическая правильность, степень определен-
ности, уровень обобщенности и полнота постановки Анализ процессов
решения задач ограничен нормативной деятельностью по их решению
Книга предназначена для научных работников — психологов, педа-
гогов, кибернетиков, а также для учителей, интересующихся теорети-
ческими проблемами обучения решению задач,
60300-038 371.015
Ф 005(01)-77 2 ' 7
Издательство «Педагогика», 1977
ВВЕДЕНИЕ
Процессы решения задач, в широком смысле этого слова,
являются предметом исследований многих наук: философии,
психологии, кибернетики, логики, педагогики, науковеде-
ния и др. В последние годы делались попытки выделить эти
исследования в особую область — проблемологию — науку
о задачах и процессах их решения человеком и машиной
(см., например, В. М. Глушков и др., 1971, а также серию
статей на эту тему в сб. «Математические и информационные
модели управления наукой». Киев, 1972).
Особенно большую роль играют задачи в обучении. Ре-
шение задач в обучении выступает и как цель, и как средство
обучения. Вот почему проблема задач является одной из
основных для дидактики, педагогической психологии и
частных методик. Сейчас, когда в педагогической теории и
практике широко обсуждаются вопросы интенсификации
умственного развития учащихся, эта проблема приобретает
особую остроту и актуальность. Как сделать обучение мак-
симально развивающим мышление, все познавательные
способности учащихся, как научить их мыслить — вот те
вопросы, которые стоят в центре большинства дидактичес-
ких исследований последних лет.
Э. В. Ильенков, анализируя этот вопрос, указывает
следующий путь его решения: «Надо организовать процесс
усвоения знаний, процесс усвоения умственной культуры
так, как организует его тысячи лет лучший учитель —
жизнь. А именно так, чтобы ребенок постоянно был вынуж-
ден тренировать не только (и даже не столько) память,
сколько способность самостоятельно решать задачи, тре-
бующие мышления в собственном и точном смысле слова —
«силы суждения», умения решать, подходит ли данный слу-
чай под усвоенные ранее правила или нет, а если нет, то
как тут быть?» (1968, с. 165).
Решение задач как основной метод обучения, как метод
приобретения учащимися новых знаний — таков, на наш
взгляд, путь решения проблемы развития учащихся. В об-
ласти дидактики эта мысль получила воплощение в виде так
называемого проблемного обучения, в основу которого и
3
положено решение задач-проблем учащимися. Многие пси-
хологические исследования обосновывают правомерность
такого подхода. Так, Д. Н. Богоявленский пишет: «Любое
содержание становится предметом обучения лишь тогда,
когда оно принимает для учения вид определенной задачи,
направляющей и стимулирующей учебную деятельность»
(1969, с. 30). К этому же выводу пришел и В. В. Репкин:
«... стать предметом деятельности материал может лишь в
том случае, если он включен в контекст задачи... Задача
является той всеобщей и обязательной формой изложения
материала, в которой он только и может быть включен в
процесс обучения» (1967, с. 3).
Проблемы задач занимают значительное место во многих
разделах дидактики и педагогической психологии, однако до
сих пор объектом исследования этих наук являлись про-
цессы решения задач, сами задачи, как таковые,
находились за рамками психолого-педагогических иссле-
дований, тем более что отдельные виды задач являлись и
являются предметом изучения других наук. Так, матема-
тические задачи и методы их решения рассматриваются в
математике, физические — в физике, социально-экономи-
ческие — в политэкономии и т. д. В психологии исследу-
ются лишь процессы решения задач и особенности этих
процессов при решении отдельных их видов. Предметом
исследования дидактики и частных методик являются во-
просы использования решений задач в обучении.
Однако следует учесть, что решение педагогических
вопросов применения задач в обучении не будет полноцен-
ным без логико-психологического анализа структуры и ти-
пов тех задач, которые в этом обучении используются.
Между тем в психологической и педагогической литературе
имеются лишь отдельные разрозненные высказывания об
особенностях задач и их видах.
Вопрос о необходимости исследования самих задач (а не
только процессов их решения) ставился У. Р. Рейтманом в
монографии, посвященной эвристическому программиро-
ванию мышления: «Как это ни странно,— пишет он,— но,
хотя изучение проблемы решения задач проводится уже
многие годы, до сих пор еще нет общепринятого определе-
ния самого понятия «задачи». Это, несомненно, в значитель-
ной степени связано с тем, что исследованиям поведения при
решении задач уделялось гораздо больше внимания, чем
самим решаемым задачам» (1968, с. 177). И далее: «...если
4
мы пытаемся понять, как люди решают задачу какого-либо
вида, нам необходимо иметь хорошее представление о
структуре решаемой ими задачи». В конечном итоге он при-
ходит к такому выводу: «...исследование различных типов
задач было бы весьма полезным орудием при изучении
мышления человека» (там же, с. 186).
Аналогичные мысли высказывают А. Р. Лурия и
Л. С. Цветкова: «Несмотря на то что решение задач как
предмет школьного обучения имеет опыт нескольких столе-
тий и методика решения выделилась в специальную дис-
циплину, психологический анализ различных типов задач
и их научно обоснованная классификация находятся еще в
самом зачаточном состоянии» (1966, с. 267).
Итак, мы можем сказать, что отсутствие теории задач
тормозит дальнейшее развитие многих разделов педагоги-
ческой психологии и дидактики.
Данная книга и предназначена для того, чтобы, хотя бы
в некоторой степени, заполнить этот пробел: поставить и
попытаться решить некоторые проблемы теории задач и их
типологии, создав тем самым базу для дальнейших психоло-
го-педагогических исследований в этой области.
Заметим, что в теории задач ощущают острую нужду не
только психологи и педагоги, но и представители многих
других наук (кибернетики, логики, науковедения). Поэто-
му, несмотря на то что все исследования, описанные в дан-
ной книге, построены на материале школьных задач, нам
представляется, она будет интересна всем, кто так или иначе
занимается изучением задач и их решений.
Вместе с тем необходимо сказать, что мы ограничились
изложением лишь тех вопросов теории задач, которые в
достаточной мере исследованы только в нашей многолетней
работе по данной проблеме. Таким образом, эта книга не
содержит общего обзора проблемы задач, а является лишь
итогом наших разработок этой проблемы и не претендует
на исчерпывающее рассмотрение всех ее сторон.
В книге изложены результаты исследования следующих
вопросов.
Генезис задач. Рассматривая вопрос о генезисе
задач, мы имели в виду естественный процесс возникнове-
ния задачи в деятельности человека. В своей основе любые
задачи (в том числе и школьные) возникают из каких-
либо реальных проблемных ситуаций. Поэтому основной
вывод, к которому мы пришли в результате изучения гене-
5
Л
зиса задач, состоит в том, что задачи можно и целесообразно
рассматривать как знаковые модели проблемных ситуаций.
Элементный состав и структура за-
дач. Задачи представляют собой сложные системные объ-
екты (т. е. такие целостные образования, которые не своди-
мы к сумме своих составных частей), и поэтому выяснение их
элементного состава и структуры является обязательной
частью исследования
Анализу этих двух первых сторон проблемы посвящена
первая глава книги.
Основные параметры задач. Для выяс-
нения сущности задач необходимо выявить те параметры,
по которым они различаются между собой. Это явится также
базой для научной классификации задач. В качестве таких
параметров во второй главе книги мы рассмотрели логичес-
кую правильность постановки задач, степень их определен-
ности, уровень обобщенности и полноту постановки. Ко-
нечно, указанные параметры не исчерпывают всех возмож-
ных и важных характеристик задач. Так, мы не рассмотрели
такие параметры, как сложность и трудность задач, сте-
пень их проблемности и другие, по причинам, указанным
выше.
Нормативная деятельность по ре-
шению задач. Очевидно, что школьные задачи пред-
решения осуществ образом для того, чтобы в процессе их
назначены главнымлялись определенные цели обучения.
Поэтому анализ проблемы был бы неполным без рассмотре-
ния деятельности по их решению Эта деятельность может
изучаться с разных сторон, на разных уровнях Нас глав-
ным образом интересовала нормативная деятельность (т. е.
оптимальная, всегда приводящая к решению задачи), ее
состав и структура. Особое внимание уделено той ее части,
которая обычно называется поисковой.
Изложению результатов такого исследования посвящена
третья глава книги.
Наконец, в последних двух главах рассмотрены два
частных вида задач: задачи на опознавание и
сюжетные задачи. Выбор этих двух видов опреде-
ляется не только их важностью для обучения, но и тем, что
именно они были предметом многочисленных исследований
автора. Рассмотрение этих видов задач имеет значение не
только само по себе, но и в связи с тем, что в процессе их
изучения удалось установить такие их особенности, которые
6
дополняют результаты общего изучения задач, изложенные
в первых трех главах. Укажем в этой связи на найденный
способ классификации задач на опознавание, на способ
построения алгоритмов для решения задач распознавания,
на семантический анализ сюжетных задач, наконец, на
способ составления сюжетных задач.
При исследовании перечисленных выше вопросов теории
задач мы применяли разные методы, которые в совокупно-
сти можно охарактеризовать как логико-психологические.
Мы отнюдь не уверены в том, что нам удалось найти методы
исследования, полностью адекватные проблеме разработки
общей теории задач. Однако надеемся, что наш опыт и те
результаты, которые изложены в этой книге, окажутся по-
лезными для последующих исследований данной проблемы.
ГЛАВА I
Системно-структурный
анализ задачи
§ 1. ЗАДАЧА КАК ОБЪЕКТ ИЗУЧЕНИЯ
Термин «задача» используется в жизни и науке очень широ-
ко. Этим термином обозначаются многие и весьма различ-
ные понятия, до настоящего времени нет общего определе-
ния понятия «задача».
Рассмотрим кратко отдельные попытки определения этого
понятия, которые имеются в научной и учебной литературе.
Как мы уже говорили выше, задача может рассматри-
ваться в разных науках: психологии, логике, педагогике,
кибернетике и др.
В логике проблема задачи почти не рассматривалась.
Детально изучено лишь родственное понятие — «вопрос».
История изучения этого понятия в логике подробно изло-
жена в работах В. Ф. Беркова (1972) и Ф. С. Лимантова
(1971).
О соотношении понятий «вопрос» и «задача» имеются
интересные соображения в работе Ф. С. Лимантова «О при-
роде вопроса». Автор считает, что следует отличать понятия
проблемной и заданной ситуации от понятий «вопрос», «за-
дача», «проблема». Он полагает, что последние понятия в
отличие от первых являются фактами сознания, формами,
отражающими объективные противоречия познавательного
процесса. Наиболее общим из последних трех понятий
Ф. С. Лимантов считает понятие задачи как требование
выполнить некоторые действия. Исходя из этого, он разли-
чает поведенческие и познавательные (информационные)
задачи. Проблема, с его точки зрения, есть частный случай
задачи, когда поиск информации проводится в форме иссле-
довательской деятельности, при которой неизвестным яв-
ляется не только решение, но и процесс его нахождения.
Вопрос же рассматривается как логическая форма, являю-
щаяся элементом каждой проблемы, но не каждой задачи
(см.: 1971, с. 15—16).
В психологической литературе имеются различные трак-
товки понятия задачи. Г. А. Балл в своей статье «О пси-
хологическом содержании понятия «задача» подробно ана-
8
лизирует этот вопрос. Указав, что «само понятие задачи ни-
как нельзя признать четко определенным», автор отмечает,
что термин «задача» употребляется в психологической и
педагогической литературе «для обозначения объектов,
относящихся к трем различным категориям:
1) к категории цели действий субъекта, требования,
поставленного перед субъектом: в этом смысле термин «за-
дача» («Aufgabe») употребляли, например, психологи
Вюрцбургской школы;
2) к категории ситуации, включающей наряду с целью
условия, в которых она должна быть достигнута;
3) к категории словесной формулировки этой ситуации
(такое понимание термина «задача» наиболее характерно для
С. Л. Рубинштейна и его учеников)» (1970, с. 75).
Г. А. Балл считает, что в психологической литературе
наиболее распространено употребление термина «задача»
для обозначения объектов второй категории. Объекты же
первой категории можно обозначать терминами «цель дей-
ствия» или «требование задачи», а объекты третьей катего-
рии — термином «формулировка задачи». Термин же «проб-
лемная ситуация», широко используемый для обозначения
объектов второй ка!егории, Г. А. Балл считает целесооб-
разным использовать для обозначения лишь некоторого
класса этих объектов.
В конечном итоге Г. А. Балл, анализируя различные
трактовки, дает такую последовательность определений за-
дачи во втором значении этого слова:
1. Задача есть ситуация, требующая от субъекта не-
которого действия.
2. Мыслительная задача — ситуация, тре-
бующая от субъекта некоторого действия, направленного на
нахождение неизвестного на основе использования его свя-
зей с известным.
3. Проблемная задача, или проблем а,—
ситуация, требующая от субъекта некоторого действия,
направленного на нахождение неизвестного на основе ис-
пользования его связей с известным в условиях, когда су-
бъект не обладает способом (алгоритмом) этого 'действия
(см.: там ж е, с. 79).
Заметим, что приведенная Г. А. Баллом последователь-
ность определений, конечно, не охватывает многих точек
зрения на понятие задачи, имеющихся в психологической
литературе. Примером наиболее широкой трактовки поня-
9
тия задачи является определение, данное Я- А. Пономаре-
вым, как «состояние возмущения взаимодействующей си-
стемы (как состояние ее неуравновешенности)» (1960, с. 209).
С этой точки зрения решают задачи планетарные системы и
молекулы (см.: там же, с. НО). Задачи, которые возни-
кают в системе взаимодействия субъекта — объекта и
решаются специфическими для субъекта способами, рас-
сматриваются Пономаревым как частный вид задач.
Примером другого подхода к понятию задачи является
трактовка, данная У. Р. Рейтманом в его книге «Познание
и мышление».
Указав, что термин «задача» используется в весьма раз-
личных ситуациях, например при поиске информации или в
тех случаях, когда задача отождествляется с целью, кото-
рую ставит перед собой кто-либо, У. Р. Рейтман спра-
шивает: «Что, собственно, имеют в виду, когда говорят, что
система информационных процессов имеет перед собой «за-
дачу»?» Отвечая на этот вопрос, У. Р. Рейтман дает такое
определение: «Система имеет перед собой задачу, когда она
имеет или ей дано описание чего-то, но у нее еще нет чего-
либо, что удовлетворяло бы этому описанию». И замечает,
что «это определение охватывает все виды задач, ничуть не
затемняя, однако, возможные различия между ними» (1968,
с. 178—179). Несколько дальше У. Р. Рейтман так уточняет
свое определение: «Мы порождаем задачу, когда связываем
с описанием того, что мы желаем, требование, что должен
быть получен, найден или создан элемент, удовлетворяющий
этому описанию» (там ж е, с. 181).
А. Ф. Эсаулов, рассматривая подход У. Р. Рейтмана к
трактовке задач как весьма удачный, отмечает лишь не-
сколько расплывчатый характер приведенного выше опре-
деления. Желая его уточнить, он дает такую дефиницию:
«Задача — это более или менее определенные систёмы ин-
формационных процессов, несогласованное или даже про-
тиворечивое отношение между которыми вызывает потреб-
ность в их преобразовании». И дальше: «Суть решения как
раз и заключается в поисках преодоления путей такого
несогласования, которое у целого класса задач может до-
ходить до ярко выраженного противоречия» (1972, с. 17).
В кибернетической и научно-технической литературе
встречается весьма интересная трактовка задач, связанная
с понятием перехода (перевода) некоторой системы из одного
состояния в другое. «Задача возникает всякий раз,— ука-
10
зывает Э. Крик в книге «Введение в инженерное дело»,—
когда нужно перейти от одного состояния к другому. Два
состояния могут быть двумя точками в пространстве, рас-
стояние между которыми должно быть измерено... у любой
задачи есть начальные условия, которые называются состоя-
нием А, или в х о д о м, а то состояние, которое нужно
шинство называют состоянием В, или выходом. Боль-
достичь, задач такого рода имеет огромное число ре-
шений, т. е. различных способов перехода из одного состоя-
ния в другое» (1970, с. 7).
Такая трактовка задачи предполагает выделение в ней
элементов: входа А, выхода В, способа Р перехода от А к В,
а также теории (базиса) Т, на основе которой конструиру-
ется способ Р. Очевидно, что по крайней мере один из этих
элементов в задаче дан (известен), другие могут быть неиз-
вестными. В зависимости от того, какие элементы неизвест-
ны, можно получить весьма значимую классификацию задач
в кибернетическом плане.
В учебно-педагогической литературе встречаются самые
разнообразные подходы к понятию задачи.
Пожалуй, наиболее простое определение задачи было
дано известным педагогом-математиком С. О. Шатуновс-
ким. Оно гласит: «Задача есть изложение требования «найти»
по «данным» вещам другие «искомые» вещи, находящиеся
друг к другу и к данным вещам в указанных соотношениях»
(1940, с. 3). При этом предполагается, что понятия «вещь»,
«найти», «данные», «искомые» в каждом отдельном случае
особо определяются.
Специальное внимание в педагогической литературе
уделяется рассмотрению вопроса о задачах-проблемах. Этот
вопрос подробно проанализирован в работе В. Оконя (1968).
Автор утверждает, что «проблема не есть то
же самое, что и задача». И далее поясняет: «Проблемный
характер для данного индивида имеют лишь такие зада-
чи, в которых содержится определенная практическая
или теоретическая трудность, требующая исследователь-
ской активности, приводящей к решению. При преодолении
индивидом трудности задача утрачивает свой проблемный
характер. Проблемой для него является трудность, для
преодоления которой он еще не готов, хотя для кого-нибудь
другого она может и не быть проблемой» (1968, с. 38—39).
Процесс возникновения и решения задач-проблем в обу-
чении В. Оконь характеризует так:
11
а) рассматривается определенная жизненная ситуация
(проблемная ситуация); /
б) в каждой такой ситуации выступает по крайней мере
одна проблема (задача), решение которой связано с трудно-
стями; 7
в) проблема формулируется, возникает гипотез^ ее ре-
шения;
г) весь процесс заканчивается решением проблемы (см.:
т а м ж е, с. 65—66).
А. В. Брушлинский, анализируя книгу В. Оконя и
отмечая, что в ней «далеко не всегда проводится ясное и
четкое различие между проблемной ситуацией и собственно
проблемой» (1969,с. 163), так характеризует это различие:
«Проблемная ситуация, как известно, возникает раньше
задачи и становится первым симптомом того, что в ходе
своей деятельности человек натолкнулся на какую-то серь-
езною и пока малопонятную трудность — практическую
или теоретическую. Затем, на следующем этапе из этой
проблемной ситуации появляется более или менее четко
формулируемая задача (проблема). В ее словесной форму-
лировке в той или иной степени уже выделены условия и
требования, хотя бы предварительно и очень приблизи-
тельно намечающие искомое (неизвестное)» (т а м ж е,
с. 162).
Сущность двух видов проблемных ситуаций — теорети-
ческих и практических — разъясняет А. М. Матюшкин в
послесловии к книге В. Оконя. Теоретическая проблемная
ситуация «заключается в том, чтобы раскрыть общее поло-
жение, обосновывающее те действия, которые приобрета-
ются учащимися, или те факты, которые необходимо объяс-
нить (понять их причину) для понимания новых фактов или
обоснования нового действия» (1968, с. 191). Практическая
проблемная ситуация «заключается в том, что учащийся
сталкивается с некоторым «интеллектуальным» препятст-
вием, которое необходимо преодолеть для выполнения
известного ему действия. При этом возникает необходимость
найти новый способ действия, соответствующий заданным
условиям выполнения действия (данной ситуации)» (т а м
же, с. 192).
В другой своей работе А. М. Матюшкин рассматривает
различные модели проблемных ситуаций. Он выделяет
следующие четыре вида таких моделей: 1) поведенческая
модель проблемной ситуации, 2) гештальт-модель, 3) ве-
12
р^ятностная модель, 4) информационно-семантическая мо-
дель. Главные условия, вызывающие проблему в этих видах
проблемных ситуаций, соответственно следующие: 1) пре-
пятствие на пути к цели, 2) диструктурированность усло-
вий н предмета мышления, 3) «препятствие» выражено в
альтернативе, 4^няесоответствие наличных и требуемых
знаний( (1968а, с. 287).
Уже из приведенных примеров различных трактовок
понятия задачи очевидно, что вряд ли возможно построение
такого общего определения задачи, которое охватило бы
существенные особенности всех имеющихся в настоящее ,
время определений. Одной из причин этого является прин-
ципиально различный подход разных авторов к вопросу об
отношении между субъектом и задачей. Большинство авто-
ров включают субъекта в само понятие задачи (Г. А. Балл,
А. Н. Леонтьев, Я. А. Пономарев, К- А. Славская и др.).
Они рассматривают задачу как ситуацию (проблемную),
в которой должен действовать субъект. Поэтому без субъек-
та задачи нет. И то, что составляет задачу для одного
субъекта, может не быть задачей для другого. Следователь-
но, при таком подходе невозможно объективное изучение
задач, независимое от рассмотрения деятельности субъекта.
По сути дела, эти авторы определяют и изучают не сами
задачи, а процессы их решения.
И лишь некоторые авторы пытаются развести понятия за-
дачи и проблемной ситуации в целях более глубокого ана-
лиза этих понятий (А. В. Брушлинский, А. М. Матюш-
кин). При этом подходе задача рассматривается как некая
реальная система, не требующая для своей характеристики
субъекта действия. Тем самым создается возможность объек-
тивного изучения самих задач, независимо от деятельности
субъекта.
В данной рабою, как было указано во введении, мы хотим
изучить задачи как некие системы и лишь на основе такого
изучения рассмотреть деятельность человека по решению
задач. Мы хотим сделать задачи объектом специального
изучения, предполагающего рассмотрение задач как особых
систем, имеющих определенную структуру. Поэтому нам
более подходит вторая из указанных точек зрения, когда
задача рассматривается независимо от субъекта, решающего
ее. Мы будем различать проблемные ситуации и задачи,
рассматривая первые как генетически исходные понятия
для вторых. Указанное отношение проблемных ситуаций и
13
задач является весьма сложным и требует специального
рассмотрения, которое мы осуществим в следующем пара-
графе. /
§ 2. ГЕНЕЗИС ЗАДАЧ /
•Ш /
Прежде чем перейти к анализу состава и структуры за-
дач, необходимо выяснить их происхождение, установить
их источник. /
Основным источником задач, как мы указывали'выше, яв-
ляются проблемные ситуации. Они возникают тогда, когда
субъект в своей деятельности, направленной на некий объект,
встречает какое-то затруднение, преграду. Например, когда
для удовлетворения некоторой по-
i требности субъекту недостаточно
©\ тех знаний о каком-то объекте, ка-
------\ \А/ кими он располагает, то он оказы-
\ вается в ситуации, являющейся
3/7 проблемной. Таким образом, проб-
Рис. 1 лемные ситуации образуются из
следующих компонентов: действую-
щего субъекта, объекта его деятельности, преграды (за-
труднения) на пути осуществления цели его деятельности.
Схема проблемной ситуации показана на рис. 1.
Здесь С — субъект, О — объект деятельности-субъекта,
П — преграда на пути осуществления цели деятельности
субъекта. Преграда П может быть самой различной природы:
это и недостаток или несоответствие знаний, средств и спо-
собов их применения, и необходимость произвести какие-то
неизвестные действия для достижения цели или сделать вы-
бор между несколькими объектами и т, д.
Однако указанное условие возникновения проблемной
ситуации (преграда, затруднение на пути осуществления
цели деятельности субъекта) является лишь необходимым,
но не достаточным для того, чтобы субъект действительно
«вошел» в проблемную ситуацию. Нужно, чтобы он осознал,
заметил эту преграду и чтобы он захотел устранить ее.
Следовательно, проблемная ситуация — это не просто
затруднение, преграда в деятельности субъекта, а осознан-
ное субъектом затруднение, способ устранения которого он
желает найти.
Только в этих условиях у субъекта возникает активная
мыслительная деятельность. Он пытается «децентрировать»
14
S/ацию (до сих пор он был центром этой ситуации, а те-
fa он хочет выйти за ее пределы, взглянуть на нее со сторо-
Это дает возможность субъекту детально проанализиро-
ватв\ситуацию, выявить все ее составные части, связи и от-
ношения между ними, характер и особенности преграды.
Результат такого анализа субъект закрепляет в языке. По-
лучающееся при этом описание проблемной ситуации на
каком-лцбо языке и есть задача.
Итак,\генезис задачи можно рассматривать как модели-
рование йроблемной ситуации, в какую попадает субъект в
процессе ёроей деятельности, а саму задачу — как м о -
дель проблемной ситуации, выраженную с
помощью знаков некоторого естественного или искусствен-
ного языка.
Естественно, что задача как модель отражает лишь не-
которые стороны моделируемой проблемной ситуации. По-
следняя всегда богаче (многограннее) своей знаковой моде-
ли, хотя в структурном отношении они подобны. Но самое
существенное различие между ними состоит в том, что цент-
ральным элементом проблемной ситуации является субъект,
и поэтому ее нельзя «передать» другому субъекту. Между
тем задача — это уже объект (знаковый), который можно
передать другому субъекту. Поэтому задачи можно приду-
мывать, изменять, переделывать.
В случае, когда субъект получает задачу извне в готовом,
сформулированном виде, процесс мышления начинается с
этапа «принятия» субъектом этой задачи. Субъект по мере
ознакомления с задачей или принимает ее, делает ее «своей»,
или же отвергает ее. В последнем случае субъект может
производить какие-то действия по решению задачи и даже
иногда ее решить (получить ее ответ), но это будут не про-
дуктивные мыслительные действия, а репродуктивное мыш-
ление, выработанное у него при решении предшествующих
задач того же типа. Большей же частью непринятие задачи
явно проявляется в виде отказа от решения.
Показателем «принятия» задачи является стремление
субъекта изменить формулировку отдельных ее условий,
одни слова и выражения заменить другими, переставить
отдельные части и т. д., т. е. переформулировать ее по-
своему.
Большей частью субъект строит «свою» задачу на основе
полученной, на том же языке, на котором она была ему
дана. Однако бывает и так, что в процессе принятия задачи
15
решающий переводит задачу на другой язык, ему более
близкий, или тот, который он считает более удобным для
решения задачи. Если, например, была дана задача н/ка-
ком-то искусственном языке, то субъект пытается ее сфор-
мулировать на естественном языке. Таким образом, в про-
цессе принятия субъектом уже сформулированной/задачи
он строит «свою» задачу, являющуюся как бы субъект-
ной моделью полученной. /
Как в случае, когда субъект сам ставит перед/собой за-
дачу, построив знаковую модель проблемной ситуации, так
и в случае, когда он принимает задачу, данную ему извне,
задача становится тем объектом, на который направлена его
деятельность. И если субъект сразу (с хода) не обнаруживает
возможности применить для ее решения знакомый ему метод,
то он тем самым попадает в новую проблемную ситуацию.
Объектом в этой ситуации является задача, а преградой —
отсутствие у субъекта готового метода ее решения.
Как субъект разрешает подобные проблемные ситуации,
мы рассмотрим ниже, в третьей главе. Предварительно нам
нужно будет произвести всесторонний структурно-систем-
ный анализ самих задач, выяснить их элементный состав,
структуру, основные свойства и виды.
§ 3. АНАЛИЗ СОСТАВА ЗАДАЧИ
Задачи, которые встречаются в жизни ив учебной практике,
настолько разнообразны по содержанию и по форме, что
кажется невозможным в этом многообразии найти общие
черты, инварианты. Однако внимательный анализ позво-
ляет установить, что любая задача состоит из одних и тех же
составных частей. Задача имеет следующие части.
Первой составной частью задачи является ее пред-
метная область. Предметная область задачи есть
класс фиксированных (названных, обозначенных) объектов
(предметов), о которых идет речь в задаче. Приведем при-
меры.
Задача 1. Решить неравенство
х+5<х2.
Предметная область этой задачи состоит из области из-
менения переменной х (множества действительных чисел)
и числа 5.
16
\ 3 а д а ч a 2. Произведите полный разбор слова «пред-
рассветный».
Предметная область состоит из слова «предрассветный»
и ча\тей этого слова.
Задача 3. Доказать, что если в четырехугольнике
среднй^т линия проходит через точку пересечения диагона-
лей и делится ею пополам, то четырехугольник— паралле-
лограмме
В этой задаче предметная область состоит из множества
четырехугольников, их средних линий, диагоналей, точек
пересечения диагоналей, отрезков средней линии, на кото-
рые она делится точкой пересечения диагоналей, и, наконец,
класса параллелограммов.
Второй составной частью задачи являются отноше-
ния, которые связывают объекты предметной области.
В задаче 1 элементы предметной области связаны
отношениями суммы (х+5), квадрата (хI 2), неравенства
(х-(-5<х2).
В задаче 2 заданы такие отношения: первая искомая
часть слова есть приставка, вторая — корень, третья —
суффикс и последняя — окончание; слово состоит из при-
ставки, корня, суффикса и окончания (отношение целого и
частей).
В задаче 3 элементы предметной области связаны таки-
ми отношениями: средняя линия четырехугольника про-
ходит через точку пересечения диагоналей (отношение ин-
цидентности прямой и точки); отрезки средней линии, на
которые она делится точкой пересечения диагоналей, равны
(отношение конгруэнтности); четырехугольник есть парал-
лелограмм (отношение принадлежности).
Элементы предметных областей и отношения в задачах
можно разделить на постоянные и переменные.
Постоянными являются те элементы (предметы) и те отно-
шения, которые вполне определены условием задачи; пере-
менными являются те отношения, которые могут принимать
любые значения из некоторого множества (области измене-
ния переменной).
В рассмотренных задачах некоторые элементы предмет-
ных областей (число 5, слово «предрассветный») и все отно-
шения являются постоянными. Переменными здесь являют-
ся следующие элементы: в задаче 1 — число х (область
изменения этой переменной — множество действительных
чисел); в задаче 2 — искомые части заданного слова (область
17
453597
I Запор1зька обласна
| б: 5л io: еда
. ' . М. Горького
изменения этих переменных есть множества приставок, кор-
ней и т. д. русского языка); в задаче 3 рассматриваемый
четырехугольник и все названные его элементы — паралле-
лограмм (области изменения этих элементов — соответст-
вующие множества указанных геометрических фигур).
Элементы предметных областей и отношения, кро/ie того,
делятся на известные (данные) и неизвестные.
Элементы предметных областей и отношения ^читаются
известными (данными), если в условии задачи точно указаны
их значения. В противном случае они считаются неизвест-
ными. /
В задаче 1 известными являются число 5 и все заданные
отношения. Неизвестным является переменное х.
В задаче 2 данными являются слово «предрассветный» и
все заданные отношения. Неизвестными являются части
слова «предрассветный».
В задаче 3 данными являются четырехугольник, все ука-
занные его элементы и отношения инцидентности средней ли-
нии и точки пересечения диагоналей и конгруэнтности частей
средней линии. Неизвестным является отношение принад-
лежности рассматриваемого четырехугольника к классу
параллелограммов.
Отметим также, что к неизвестным элементам и отноше-
ниям, конечно, относятся и искомые, нахождение которых
составляет цель решения задачи. Однако не все неизвестные
обязательно искомые. Неизвестные, не являющиеся иско-
мыми, будем называть вспомогательными не-
известными.
В задаче 1 единственный неизвестный переменный эле-
мент х является искомым. Искомыми являются и все не-
известные части заданного слова задачи 2. Точно так же
искомым является и неизвестное отношение принадлежно-
сти задачи 3. Примером задачи, имеющей вспомогательные
неизвестные, является задача 4.
Задача 4. Площадь двух участков, засеянных ку-
курузой, равна 60 га. На одном участке с каждого гектара
собрали 85 т зеленой массы, а на втором — 95 т. С первого
участка собрали на 1500 т больше, чем со второго. Найдите
площадь каждого участка.
Предметная область этой задачи состоит из величин
площади двух участков, величин урожайности с гектара
каждого из участков, величин общего сбора зеленой массы
кукурузы с каждого участка. Эти элементы предметной
18
области связаны такими отношениями: отношением между
обп^м сбором зеленой массы с участка, площадью участка
и урожайностью с одного гектара; отношением суммы
площадей участков; разностным отношением между ве-
личинами общего сбора зеленой массы с каждого из двух
участков.
Из перечисленных элементов предметной области и
отношений известными являются величины урожайности с
одного гектара каждого из участков и все три отношения.
Неизвестными являются величины площади каждого из
двух участков, величины общего сбора зеленой массы ку-
курузы с первого и второго участков. Из них первые два
неизвестных являются искомыми, а последние два — вспо-
могательными неизвестными.
В некоторых задачах кроме искомых и вспомогательных
неизвестных встречаются еще особые неизвестные элементы
предметной области. Рассмотрим задачу, содержащую такие
неизвестные.
Задача 5. Одна бригада может выполнить некоторый
заказ за 8 дней. Другой бригаде на выполнение этого заказа
требуется 0,5 времени первого. Третья бригада может
выполнить этот заказ за 5 дней. Во сколько дней будет вы-
полнен этот заказ при совместной работе трех бригад?
Предметная область этой задачи состоит из величин вре-
мени работы каждой бригады и совместной их работы по
выполнению заказа, величины объема всей работы и вели-
чин производительности каждой из бригад и общей их произ-
водительности. Эти девять элементов предметной области
связаны такими отношениями: отношением между объемом
работы, производительностью и временем работы; отноше-
нием суммы: общая производительность есть сумма произво-
дительностей каждой из бригад; кратным отношением между
временем работы второй и первой бригад.
Из девяти элементов предметной области семь являются
неизвестными, при этом одно является искомым (время сов-
местной работы всех бригад), одно — вспомогательное не-
известное (время работы второй бригады) и пять особых
неизвестных (объем работы, производительность каждой
бригады и общая их производительность).
Эти последние неизвестные не являются искомыми, ибо
их значения нам в соответствии с вопросом задачи не нужно
находить. В то же время они не являются и вспомогатель-
ными неизвестными, ибо их значения в процессе решения
19
мы и не сумеем найти. Однако, с другой стороны, без них
мы не можем образовать указанные отношения между объе-
мом работы, производительностью и временем работы/ Вот
такие неизвестные, значения которых не требуется и нельзя
найти по условию задачи и которые служат лишь для обра-
зования отношений между данными и искомыми 'задачи,
назовем неопределенными н е и з в ezc т и ы -
м и.
Заметим, что иногда неопределенные неизвестные можно
рассматривать как известные (данные) объекты. Например,
в задаче 3 переменные объекты предметной области —
четырехугольник и соответствующие его элементы — мы
сочли известными, считая, что в задаче задан произвольный
(а следовательно, неопределенный) четырехугольник, удов-
летворяющий указанным в задаче условиям. Очевидно, что
мы могли рассматривать эти объекты и как неопределенные
неизвестные. Возможность такого двойственного истолко-
вания указанных объектов предметной области связана со
способностью человека к моделированию неопределенности
путем ее конкретизации, а именно, мы моделируем неопре-
деленный объект с помощью произвольного его «представ-
ления». Более подробно этот вопрос мы рассмотрим в треть-
ей главе.
Третьей составной частью задачи является требова-
ние задачи. Требование задачи — это указание о цели
решения задачи — то, что необходимо установить в резуль-
тате решения задачи. Требование обычно формулируется
или в виде вопроса («сколько...?», «чему равно...?» и т. д.).
или в виде приказания («найдите», «докажите», «произве-
дите» и т. д.). Если задача имеет искомые неизвестные, то
требование задачи состоит из указания о нахождении этих
искомых (например, требование задачи 4: «Найдите пло-
щадь каждого участка»). Зачастую требование нахождения
искомых неизвестных формулируется косвенно. Например,
в задаче 1 требование: «Решить неравенство» — означает:
«Найти такие значения х, при которых заданное неравенство
с переменной обращается в верное неравенство», или в за-
даче 2 требование: «Произведите полный разбор слова» —
означает: «Найдите приставку, корень, суффикс и оконча-
ние заданного слова».
Однако не всякая задача содержит искомые неизвестные.
Так, например, в задаче 3 на доказательство нет искомых
в обычном смысле этого слова. В этих задачах требование
20
иного характера: «доказать», «построить», «представить»
И т. д.
Наконец, последней, четвертой составной частью задачи
является оператор задачи. Под оператором задачи
мы будем понимать совокупность тех действий (операций),
которые надо произвести над условиями задачи, чтобы
выполнить ее требование. Так, например, в задаче 1 опера-
тор задачи есть последовательность преобразований задан-
ного неравенства в эквивалентное неравенство (или сово-
купность неравенств) до тех пор, пока не получим простей-
шие неравенства вида x<Za, х>а или а<.х<Ь. Оператором
задачи 4 является последовательность арифметических
действий, которые надо произвести над данными числами,
чтобы выполнить требование задачи и найти искомые ве-
личины.
Здесь, должно быть, надо остановиться на вопросе: что
понимать под условиями задачи? Обычно под условием по-
нимают всю формулировку задачи. Иногда* под условием
понимают лишь ту часть формулировки, в которой указаны
элементы предметной области и связывающие их отношения,
т. е. всю формулировку задачи без требования задачи.
Некоторые авторы говорят не только об условии задачи, но
и об отдельных условиях, понимая под последними отдель-
ные данные и отношения, заданные в задаче. Мы будем тер-
мин «условие задачи» использовать главным образом во
втором смысле, т. е. как часть формулировки задачи без
ее требования, а иногда будем говорить и об отдельных
условиях. Именно в этом смысле использовано понятие
«условия задачи» в указанном выше определении оператора
задачи.
Оператор, в отличие от всех трех других составных час-
тей задачи, обычно не указывается явно в формулировке
задачи, он задается косвенно — требованием задачи («най-
ти», «доказать», «построить» и т. д.). Предполагается, что
решающий знает, что означает каждое из таких требований.
Подлинную их сущность мы рассмотрим в следующем пара-
графе. Необходимо отметить, что наше понимание оператора
задачи в некотором смысле перекликается с тем, что пони-
мает А. В. Брушлинский под «неизвестным» как носителем
определенных отношений (см.: 1967, с. 23).
Итак, всякая задача состоит из следующих четырех час-
тей: 1) предметной области, 2) отношений, 3) требования,
4) оператора. Элементы предметной области вместе с отно-
21
шениями, которые их связывают, образуют условие (или
условия) задачи. Поэтому можно говорить, что задача со-
стоит из трех следующих частей: 1) условия, 2) требования
и 3) оператора задачи.
§ 4. СТРУКТУРА ЗАДАЧ
Мы рассматриваем задачу как систему, т. е. «как комплекс
некоторых объектов или элементов, находящихся в опреде-
ленном отношении друг к другу» (Н. Ф. Овчинников, 1967,
с. 11). Тогда структура задачи есть «инвариантный аспект
системы» (там ж е, с. 13), т. е. то, что остается неизменным
при любых преобразованиях задачи, не затрагивающих ее
основного содержания.
Для того чтобы установить структуру задачи, надо ее
так описать (переформулировать), чтобы выявить все ее
основные части и отношения между ними и отбросить все
лишнее, второстепенное, не влияющее на структуру задачи.
Первым шагом такого описания задачи является построение
ее высказывательной модели.
Обычно задачи формулируются таким образом, что и
элементы предметной области, и отношения между ними, и
требование недостаточно четко указаны, уже не говоря о
том, что оператор задачи вообще не указан. Часто в форму-
лировках задач используются условные сокращенные обоз-
начения сложных понятий. Так, например, требование «раз-
ложить выражения на множители» означает «представить
данные выражения в виде произведения неразложимых
(простых) выражений», а требование «решить уравнение»
означает «найти все такие значения переменной из области ее
изменения, при которых заданная высказывательная форма
превращается в истинное высказывание», и т. д.
Поэтому для определения структуры задачи нужно
предварительно выявить все ее составные части, все ее эле-
менты. Для этого формулировку задачи надо представить
как сложный комплекс высказывания, высказывательных
форм и требований.
Под высказыванием мы понимаем, как это принято,
любое предложение, относительно которого имеет смысл
говорить, истинно оно или ложно, а под высказывательной
формой будем понимать предложение, в составе которого
имеется переменная (или несколько переменных) и которое
при одних значениях переменной является истинным выска-
зыванием, а при других — ложным.
22
Если изложить задачу как систему выск зываний, выска-
зывательных форм и требований, то мы и получим ее выска-
зывательную модель. Приведем примеры построения вы-
сказывательных моделей некоторых задач.
Модель задачи 1 имеет такой вид: «Дана высказыватель-
ная форма: сумма переменной х и числа 5 меньше квадрата
переменной х, где область изменения переменной х — множе-
ство действительных чисел. Найти все такие значения х,
при которых заданная высказывательная форма переходит
в истинное высказывание».
Высказывательная модель задачи 2:
«Даны высказывательные формы: 1) приставкой в слове
«предрассветный» является х; 2) корнем этого слова являет-
ся у; 3) суффиксом в этом слове является г; 4) оконча-
нием в этом слове является Z; 5) х, у, z и t вместе состав-
ляют слово «предрассветный». Найти х, у, z и t такие,
при которых все заданные высказывательные формы пере-
ходят в истинные высказывания».
Заметим, что заданные в этой задаче пять высказыва-
тельных форм можно соединить в одну сложную высказы-
вательную форму. Тогда обнаруживается идентичность
содержания первых двух задач, которые могут быть обоб-
щены в следующем виде: «Дана высказывательная форма с
переменными. Найти все такие значения переменных, при
которых заданная высказывательная форма переходит в
истинное высказывание».
В этих моделях мы не указали оператора задачи. В зада-
че I им является последовательность таких преобразований
заданной высказывательной формы в эквивалентные формы
такого вида, которые явно показывают значения переменной,
удовлетворяющие требованию задачи. В задаче 2 операто-
ром являются такие действия над заданным словом «пред-
рассветный», которые определяют значения переменных
х, у, z и /, удовлетворяющие требованию задачи.
Обобщая, можно сказать, что оператором этих двух за-
дач являются такие действия, которые дают возможность
разыскать все значения переменных, удовлетворяющих
требованию задачи.
Высказывательная модель задачи 3 может быть сформу-
лирована так: «Даны следующие высказывания: 1) ABCD
есть четырехугольник; 2) MN — средняя линия ABCD;
3) О — точка пересечения диагоналей АС и BD; 4) MN
проходит через точку О; 5) отрезки МО и ON конгруэнтны;
23
6) ABCD есть параллелограмм. Доказать, что если высказы-
вания 1—5 истинны, то истинно и высказывание 6».
Смысл требования «доказать» состоит в том, что необ-
ходимо найти правило вывода на основе известных теорем и
определений геометрии из высказываний 1—5 высказыва-
ния 6. Это правило вывода и есть оператор задачи. Более
подробно рассмотрим смысл этого оператора ниже.
Высказывательную модель задачи 3 можно обобщить
следующим образом: «Доказать, что если истинно высказы-
вание А, то истинно и высказывание В», или, иначе: «Вы-
вести на основе некоторой теории истинность высказыва-
ния В как логическое следствие из истинности высказы-
вания А».
Приведем пример построения высказывательной модели
еще одной задачи.
Задача 6. Построить равнобедренный треугольник
по углу при вершине и основанию.
Модель этой задачи такова: «Даны высказывания: 1) тре-
угольник АВС равнобедренный; 2) основание ВС треуголь-
ника АВС есть отрезок а; 3) угол при вершине А треуголь-
ника АВС есть угол а. Найти такую последовательность
элементарных геометрических построений, применяя кото-
рые к отрезку а и углу а получим треугольник АВС такой,
что все высказывания 1—3 будут истинными».
Эту высказывательную модель можно обобщить следую-
щим образом: «Даны высказывания типа: а,- обладает свой-
ством Pj. Найти такую последовательность действий (по-
строений, преобразований), применяя которую к элементам
at получим объект, в котором все заданные высказывания
являются истинными».
На основе обобщенных высказывательных моделей задач
можно построить символические структурные модели. По-
скольку всякая задача состоит из условия, требования и
оператора, постольку ее структуру можно представить в
виде следующей схемы:
Условие1?^^Р тР«бование-
Здесь |?| *есть знак оператора задачи.
Если теперь все элементы этой схемы (условие, требо-
вание и оператор) записать символически, пользуясь обще-
24
известными и вводимыми обозначениями, то мы и получим
структурную модель задачи.
Обобщенную высказывательную модель задач 1 и 2 мож-
но представить в виде следующей структурной модели:
А(х) |?|D:x°A(x°). (1)
Запись эта читается так: «Дана высказывательная форма
А(х). Найти такие действия D, которые дают значения
х° переменной х, при которых заданная форма обращается
в истинное высказывание А (х0)».
Задачи, структурная модель которых имеет вид формулы
(1), будем называть задачами на разыскание
искомого.
Рассмотренные выше задачи 4 и 5 относятся к этому же
виду задач. Приведем еще один пример задачи этого вида.
Задача?. В чем сходство феодального строя в ха-
лифате и в странах Западной Европы?
Восстановим некоторые данные, на основе которых мо-
жет быть найден ответ на этот вопрос.
Элементами предметной области задачи, соответствующей
указанному вопросу, являются феодальный строй в халифа-
те и в странах Западной Европы. Эти элементы обладают
рядом свойств, которые в самом вопросе не указаны, но они
были рассмотрены ранее и поэтому могут быть восстановле-
ны решающим. Кроме того, нужно условиться, что сходство
между этими элементами проявляется в наличии общих
свойств.
Введем переменное свойство х, заданное на множестве
всех свойств, присущих феодальному строю как в странах
халифата, так и в странах Западной Европы. Тогда условие,
что феодальный строй в халифате обладает определенными
свойствами, можно рассматривать как высказывательную
форму А(х), которая обращается в истинное высказывание
при подстановке вместо х тех свойств, которые действитель-
но присущи этому строю. Точно так же условие, что феодаль-
ный строй в странах Западной Европы обладает какими-то
свойствами, можно истолковать как высказывательную фор-
му В(х), которая обращается в истинное высказывание
при подстановке вместо х тех свойств, которыми обладает
этот строй.
25
Все условие задачи можно записать в виде сложной вы-
сказывательной формы:
А(х)/\В(х). (*)
Эта запись означает конъюнкцию форм А(х) и В (х) (чи-
тается: «А(х) и В (х)». Сложная высказывательная форма
обращается в истинное высказывание при тех и только тех
значениях х°, при которых высказывания А(х°) и В(х°)
одновременно истинны. А это означает, что х° есть такое
свойство, по которому феодальный строй в халифате и в
странах Западной Европы сходны.
Вопрос (требование задачи) состоит в том, чтобы найти
эти значения х° переменного свойства х, при которых слож-
ная высказывательная форма (*) обращается в истинное
высказывание. Оператор этой задачи состоит в отборе из
всех свойств х таких свойств х°, при которых требование
задачи выполняется. Поэтому, если сложную высказыва-
тельную форму (*) обозначить через С(х), то всю задачу 7
можно записать следующим образом:
С(х)|? |^7С(Х“).
Как видно, получили структурную модель типа формулы
(I). Это показывает, что задача 7 есть задача вида разыска-
ния искомого.
Прежде чем строить структурную модель задачи 3, надо
рассмотреть понятие логического следствия. Это понятие
довольно сложное. Подробно о нем можно прочитать,
например, в книге X. Карри «Основания математической
логики» (1962). Кратко смысл этого понятия состоит в сле-
дующем .
Рассмотрим некоторую область научных знаний. Выде-
лим из нее совокупность некоторых высказываний, прини-
маемых в этой области знаний за истинные. Эту совокупность
высказываний вместе с правилами вывода из них других
истинных высказываний называют теорией в данной
области знаний. Например, совокупность всех высказыва-
ний относительно окружности в школьном курсе геометрии
вместе с общими правилами вывода геометрических теорем
(высказываний) образует теорию окружности в области
школьной геометрии. Или, например, совокупность всех
высказываний, имеющихся в школьном курсе физики,
относительно явлений магнетизма вместе с известными
26
правилами вывода, принятыми в физике, т. е. то, что обычно
называют правилами рассуждения, есть теория магнетизма
в школьном курсе физики.
Если к некоторой теории Т присоединить какое-то
истинное высказывание А, то, очевидно, получим новую
теорию, которую называют A-расширением теории Т.
A-расширение теории Т будем обозначать таким образом:
(А - Т).
Теперь на основе указанных понятий можно так опреде-
лить логическое следствие: «Высказывание В называется
логическим следствием высказывания А в некоторой об-
ласти знаний, если в этой области существует такая тео-
* рия Т, что ее A-расширение (А — Т) содержит высказы-
вание В».
Мк; Теперь ясно, как записать структурную модель обобщен-
^рй высказывательной модели задачи 3.
И А|?|Тве(А — Т). (2)
В Эта запись читается так: «Дано высказывание А; найти
Накую теорию Т, чтобы высказывание В принадлежало
Нкграсширению теории Т».
К Задачи, структурная модель которых имеет вид формулы
ш, будем называть задачами надоказатель-
Иг в о или объяснение.
“ Приведем еще пример задачи этого вида.
Задача 8. Если жестяную коробку с отверстием в
крышке сильно прогреть и затем плотно закрыть отверстие
пробкой, то после охлаждения коробка сплющивается.
Почему? Объясните.
В данной задаче заданы два высказывания: А (жестя-
ную коробку с отверстием сильно прогрели и затем отвер-
стие плотно закрыли пробкой) и В (после охлаждения ко-
робка сплющилась). Истинность высказывания А мы при-
нимаем, а истинность высказывания В надо доказать, и не
опытным путем (что было сделано в эксперименте), а логи-
чески. Это означает, что требование задачи состоит в сле-
дующем: «установить, что высказывание В есть логическое
следствие высказывания А».
Следовательно, оператор задачи состоит в том, чтобы
найти такую физическую теорию Т, A-расширение которой
содержит высказывание В. Значит, структурная модель этой
27
задачи имеет вид: '
Д|? |ТВ€(Л — Т).
Как видим, получили структурную модель того же
вида (2).
Теперь построим структурную модель задачи 6. Исходя
из обобщенной высказывательной модели этой задачи, мож-
но получить такую структурную модель:
и1.;Р/|?|Ъ>Р7(/7(й,-)). (3)
Эту запись можно прочесть так: «Даны элементы аг и
свойства Р;, найти такую последовательность преобразо-
ваний (построений), применяя которые к элементам at по-
лучим объект П(щ), обладающий всеми свойствами Рр>.
Задачи, структурные модели которых имеют вид форму-
лы (3), будем называть задачами на преобразо-
вание или построение.
Приведем еще пример задачи этого вида.
Задача 9. Разложить на множители многочлен
m?+8m2+19tn+\2.
В этой задаче задан многочлен, который обозначим бук-
вой а. Кроме этого должны быть извесшы все признаки Рг
алгебраического выражения, разложенного на множители.
Разложение на множиюлп производиich с помощью каких-
то преобразований ал!ебраичеекого выражения. Чтобы раз-
ложить на множшели мпоючлеп а, нужно найти такую
последовательность П этих преобразований, применяя кото-
рые к а получим выражение П(а), обладающее всеми свой-
ствами Рг.
Следовательно, структурная модель этой задачи такова:
ъР^ПР^/Ца)).
Получили модель вида (3). Это указывает, что задача
9 есть задача на преобразование.
Итак, мы выделили следующие три вида задач, разли-
чающиеся по своей структуре:
1. Задачи на разыскание искомого.
2. Задачи на доказательство или объяснение.
3. Задачи на преобразование или построение.
28
Заметим, что эти виды задач выделяют многие авторы»
но называют их несколько иначе. Так, Ю. Н. Кулюткин
первый вид задач называет задачами на распознавание, а
|ретий—задачами на конструирование (см.: 1970, с. 19).
(. Пойа первый вид задач называет задачами на нахожде-
ние (см.: 1961, с. 83). Как видим, различия с нашими наз-
ваниями несущественны.
ГЛАВА II
Основные параметры
и виды задач
§ 5. ЛОГИЧЕСКАЯ ПРАВИЛЬНОСТЬ
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ
Под параметрами задач мы будем понимать такие их суще-
ственные свойства, по которым задачи можно разделить на
отдельные виды. Один из таких параметров мы уже рассмот-
рели — это структура задачи. По этому параметру мы выде-
лили три вида задач: на разыскание искомого, на доказа-
тельство или объяснение и на преобразование или построе-
ние.
Теперь рассмотрим другой параметр, а именно: логи-
ческую правильность постановки задачи, т. е. правиль-
ность соединения в задаче отдельных ее частей.
Вопрос о логической правильности постановки задач
был впервые поставлен автором еще в 1955 г. в работе
«О требованиях к решению геометрических задач на вы-
числение» (Л. М. Фридман, 1955). В этой работе мы выде-
лили класс задач, в которых заданные элементы не опреде-
ляют никакой геометрической фигуры, и привели ряд при-
меров таких задач из разных задачников. Вот один из таких
примеров.
Задача 1 (Р. Н. Позойский. Сборник задач по
тригонометрии, 1950, гл. I, задача № 23). Сумма катетов
прямоугольного треугольника равна 16 см, гипотенуза
равна 10 см. Найти произведение синусов острых углов
треугольника.
Можно предполагать, что автор задачника так решал эту
задачу.
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны а и
Ь, а гипотенуза — с. Тогда по условию
а+й = 16; (1)
с=10. (2)
Кроме того, так как треугольник прямоугольный, то
аг+Ь2=с2. (3)
sinA = —; sinB = — •
с с
30
. ° • Л * D
1пгем нам нужно наити sin A-sin В = •
(ля этого возвысим обе части (1) в квадрат
«2+62г2й6^256
(4)
и заменим а2+&2 через <?-’=100. Получим 100+2afe=256;
к/;=78.
Подставив в (4), найдем sin A -sin В = -^ = 0,78.
Такой ответ и приведен в задачнике.
Между тем он неверен, ибо не существует прямоугольно-
го треугольника, у которого сумма катетов равна 16, а ги-
потенуза равна 10. Убедиться в этом нетрудно. Действитель-
но, в ходе решения мы установили, что ab—78, а по условию
н-ЬЬ=16. Очевидно, что нет таких действительных чисел,
которые удовлетворяли бы этой системе уравнений относи-
тельно а и Ь. Причина состоит в том, что если гипотенуза
с -10, то сумма катетов не может быть произвольной. Во-
первых, й+й>10, а, во-вторых, как нетрудно установить,
й4-^10К2«14,1; а в данной задаче a-\-b = 16> 10J/2-
После опубликования нашей работы другиеа вторы обна-
ружили довольно много примеров подобных задач, и даже
В таком серьезном пособии, как задачник Н. Рыбкина
(см. кн.: Д. С. Людмилов, 1961; Я. И. Айзенштат и
Б. Г. Белоцерковская, 1960, с. 252—255; статьи А. Вани-
чева, 1956; А. Я- Маргулиса, 1959 и др.).
Характерной особенностью всех этих задач является то,
что они внутренне противоречивы: сложное высказывание,
е помощью которого задана в этих задачах геометрическая
фигура, ложно, а поэтому эта фигура не существует. И хотя
«решение» этих задач можно произвести и можно получить
определенный «ответ» и такое решение и такие ответы полу-
чали множество раз — эти «решения» и «ответы» не имеют
никакого смысла. Ответ к таким задачам должен быть толь-
ко такой: «Задача неправильно поставлена» или «Решение
задачи невозможно».
Подобные задачи встречаются и в арифметических и
алгебраических задачниках и пособиях. Иногда они при-
водятся как поучительные примеры неправильных задач.
Однако объяснения, даваемые при этом, не всегда правиль-
но вскрывают причину «невозможности» задачи.
Так, в учебнике А. П. Киселева имеется следующее объ-
яснение: «Положительное решение (задачи), удовлетворяя
31
уравнению, вместе с тем удовлетворяет и задаче, из условия
которой уравнение выведено, если только в уравнении
выражены все условия задачи. Но иногда случается, что
не все условия задачи выражены уравнением; тогда поло-
жительное решение может и не удовлетворять задаче. При-
ведем пример.
Задача. Рабочий кружок, состоящий из 20 человек
(взрослых и подростков), устроил сбор на покупку книг для
библиотеки, причем каждый взрослый внес по 3 руб., а
каждый подросток по 1 руб. Сколько было в этом кружке
взрослых и сколько подростков, если весь сбор составил
35 руб.?
Обозначим число взрослых буквой х; тогда число под-
ростков будет 20 — х, и сбор со взрослых окажется Зх руб.,
а с подростков 1 • (20 — х) руб. Следовательно, уравнение
будет:
Зх + (20—х) = 35, откуда х = 7у.
Это положительное решение удовлетворяет уравнению,
но не удовлетворяет задаче, так как по смыслу задачи иско-
мое число должно быть целым. Различие между уравнением
и задачей произошло здесь оттого, что уравнение не содер-
жит в себе подразумеваемого в задаче требования, чтобы
искомое было целым. Предложенная задача не имеет реше-
ний» (1941, с. 117—118).
Конечно, в этом объяснении все верно, но в нем не ука-
зана самая важная особенность рассматриваемой задачи:
условия этой задачи противоречивы. Действительно, так
как общее количество членов кружка число четное (20), то
число взрослых и число подростков или оба четны, или оба
нечетны. Взносы же их есть числа нечетные (3 и 1). Поэтому
в любом случае общий сбор денег есть четное число рублей,
а это как раз противоречит условию, что общий сбор равен
35 руб., т. е. числу нечетному.
Подобные задачи были приведены в задачнике А. Н. Ша-
пошникова и Н. К- Вальцова (1947, гл. XXIII, § 1, за-
дачи № 15, 16). Аналогичный пример приводит и
Н. Н. Круликовский (1952, с. 46).
Все приведенные выше задачи являются примерами не-
правильно поставленных (неправильных) задач. Конечно,
для того чтобы иметь право их так назвать, надо условиться,
что мы будем понимать под правильными (правильно по-
32
ставленными) и неправильными задачами. При этом мы
можем опираться на известные определения более широких
понятий правильных и неправильных вопросов, данные
Ю. А. Петровым (1969).
Задача считается правильной (правильно поставленной),
если она удовлетворяет указанным ниже пяти требованиям.
При невыполнении хотя бы одного из них задача считается
неправильной.
Требования к правильным задачам
1. Все указанные в задаче элементы
предметной области должны сущест-
вовать.
Например, если в задаче по морфологии дается некоторое
слово и требуется найти в нем корень, окончание и «проме-
жуточные части», то такая задача неправильно поставлена,
ибо никаких «промежуточных частей» слова морфология не
знает. Точно так же неправильна такая задача: «Написать
формулу натурального числа, которое при делении на 7
дает в остатке 10», ибо при делении на 7 остаток 10 не мо-
жет получиться.
2. Все указанные в задаче отношения
должны быть действительно опреде-
лены для тех элементов предметной
области, для которых эти отношения
заданы в условии задачи.
Например, если в задаче дано несколько иррациональ-
ных чисел и ставится вопрос, какие из них четные, то такая
задача является неправильной, ибо отношение «быть чет-
ным» не определено на множестве иррациональных чисел.
3. Область значений каждой из за-
данных в задаче переменных должна
быть не пустой.
Задача: «Решить уравнение: У 5—х + Ух—7 — 2»—
неправильно поставлена, ибо область изменения перемен-
ной пустая (х^7 и х^5).
4. Все утверждения, заданные в ус-
ловии задачи, должны быть истинны-
м и.
Например, задача: «Какой сюжетный ход из рассказа
Л. Н. Толстого «Толстый и тонкий» повторяет А. П. Чехов
и рассказе «Хамелеон»?» — неправильно поставлена, ибо
№ 1104/1491
33
имеющееся в ней утверждение, что рассказ «Толстый и тон-
кий» принадлежит Л. Н. Толстому, ложно: в самом деле
оба рассказа—«Толстый и тонкий» и «Хамелеон» — принад-
лежат А. П. Чехову.
5. Если цель задачи состоит в прев-
ращении некоторой высказыватель-
ной формы в истинное высказывание, то
в условии задачи должны быть указа-
ны хотя бы некоторые основания для
этого.
Или по-другому: все высказывания, установление ис-
тинности которых составляет требование задачи, должны
содержаться в виде соответствующих высказывательных
форм в условий задачи.
Приведем пример задачи, где нарушено это требование.
Задача 2- Сумма трех первых членов арифметичес-
кой прогрессии равна 102, а сумма трех следующих членов
равна 21. Чему равен объем пирамиды?
В этой задаче заданное высказывание: «Сумма трех
первых членов арифметической прогрессии равна 102, а
сумма трех следующих членов равна 21» — есть истинное
высказывание; вопрос задачи: «Чему равен объем пирами1
ды?» — есть правильный вопрос (по определению Ю. А. Пет-
рова (1969, с. 48)- Поскольку любую задачу можно рассмат-
ривать как сложный вопрос, то, по К). А. Петрову, эта за-
дача является правильным вопросом. Между тем очевидно,
что назвать эту задачу правильной нельзя. Введение тре-
бования 5 позволяет отнести эту задачу к неправильным.
Конечно, всякая неправильная задача не имеет решения.
Однако отсюда не следует, что эти задачи нельзя использо-
вать в обучений. Разбор некоторых неправильных задач,
установление их «неправильности», выяснение причин этого
является весьма поучительным. Поэтому применение не-
правильных задач в обучении вполне допустимо, однако при
этом предполагается, конечно, что учитель понимает харак-
тер и особенности предлагаемых задач.
Сформулированные выше требования к правильно по-
ставленным задачам не являются общепринятыми. Они,
конечно, нуждаются в детальном обсуждении, и возможно,
что при этом будут предложены какие-то другие системы
требований или уточнены указанные. Однако необходи-
мость введения самого понятия правильно поставленных
задач и, следовательно, какой-то системы требований,
34
t
которым эти задачи должны удовлетворять, представляется
нам бесспорной.
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь правильно
поставленные задачи, если, конечно, не будет оговорено
противное.
§ 6. СТЕПЕНЬ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ЗАДАЧ
Всякая задача предназначена для того, чтобы ее решить.
Допустим, мы уже решили предложенную задачу. Но есть
ли у нас уверенность в том, что мы решили задачу правиль-
но? Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить
найденное решение, установив, что оно удовлетворяет всем
условиям задачи. С этой точки зрения условия задачи вы-
ступают в качестве признаков решения задачи.
Однако мы знаем, что само решение задачи состоит из
двух частей: 1) выявления оператора задачи и 2) осуществ-
ления требования задачи. Хотя эти части решения очень
тесно связаны между собой и зависят друг от друга, ибо
нельзя осуществить требование задачи, не выявив предва-
рительно ее оператор, все же смешивать их нецелесообраз-
но, и поэтому надо различать признаки оператора задачи и
признаки требования задачи.
Рассмотрим, например, такую задачу на построение: «По-
строить трапецию по четырем ее сторонам». Оператором этой
задачи является последовательность элементарных геомет-
рических построений, а требованием — построение искомой
трапеции. Признаками оператора являются следующие по-
ложения: 1) все члены оператора суть элементарные гео-
метрические построения, выполняемые с помощью циркуля
и линейки; 2) эти построения проводятся или над данными
четырьмя отрезками, или над результатами предыдущих
построений. Требование данной задачи определяется такими
признаками: 1) должна быть построена трапеция, т. е.
а) четырехугольник, б) две стороны его параллельны, в) две
другие непараллельны; 2) у этой трапеции стороны долж-
ны быть равны соответственно данным четырем отрезкам.
Как видим, в данной задаче легко различать признаки
оператора и признаки требования.
Конечно, следует иметь в виду, что не во всякой задаче
так легко отделить признаки оператора от признаков тре-
бования, но там, где это можно сделать,— сделать это целе-
сообразно, ибо признаки оператора служат главным обра-
2
35
зом в качестве ограничений, накладываемых на способ ре-
шения, на построение процесса решения задачи, между тем
как признаки требования служат ограничениями для ре-
зультата решения задачи. Как раз эти последние признаки
используются при проверке решения задачи.
Признаки решения задачи могут быть самые различные,
но, пожалуй, наиболее важной их характеристикой является
та, по которой У. Р. Рейтман разделил все признаки на
открытые и закрытые. Признак называется открытым,
«если его определение включает один или более параметров,
значения которых остались незаданными в момент, когда
задача для решения дается системе извне или передается
через систему в течение некоторого времени» (1968, с. 200).
Как можно понять из дальнейших рассуждений автора и
приводимых им примеров, открытыми признаками он счи-
тает такие, удовлетворение которых возможно многознач-
ным образом, а признаки, удовлетворение которых возможно
лишь единственным образом, он называет закрытыми. Так,
он приводит в качестве примеров задач с открытыми приз-
наками такие: «сочинить фугу», «изобрести самоходное тран-
спортное средство» или даже «открыть способ превращения
неблагородных металлов в золото». «Что именно имеется в
виду под словами «фуга» или «транспортное средство»?
Насколько большой должна быть фуга? Все ли фуги долж-
ны каким-то заданным набором признаков согласоваться с
некоторой канонической фугой? Или, в виде другой край-
ности, является ли фу га чем-то, что тем или иным путем
напоминает что-то другое, что решающий задачу избрал
в качестве образа фуги?» (там ж е).
Очевидно, что каждый в отдельности признак сам по се-
бе, без учета всех других признаков, всегда является откры-
тым, и поэтому целесообразно говорить не об отдельных
признаках, а о совокупности всех признаков, характери-
зующих решение данной задачи. Тем самым мы будем гово-
рить не о самих признаках, как таковых, а о том, как опре-
деляют заданные в задаче признаки ее решение.
Именно с этой точки зрения еще, должно быть, от
Дж. Маккарти идет разделение задач на хорошо определен-
ные и на плохо определенные. М. Минский так определяет
задачи, которые с самого начала (т. е. по условию) хорошо
определены: «Под этим мы понимаем, что для каждой задачи
в нашем распоряжении имеется какой-то систематический
метод, позволяющий определить, когда предложенное ре-
36
шение приемлемо» (1967, с. 404). Те же хорошо определен-
ные задачи имеют в виду А. Ньюэлл, Дж. Шоу и Г. Сай-
мон, когда говорят, что «человеку задана задача, если ему
даны множество возможных решений и способ проверки
того, является ли данный элемент этого множества действи-
тельно решением поставленной задачи» (1967, с. 117—118).
Обсуждая вопрос о различии между хорошо и плохо
определенными задачами, У. Р. Рейтман замечает, что
между этими двумя полярными понятиями имеется много
промежуточных. Он пишет: «Таким образом, перед нами
вырисовывается понятие континуума, которое охватывает
всю область от хорошо определенных формальных задач до
таких плохо определенных задач, как сочинение фуги.
Этот континуум тесно связан с понятием двусмысленности,
как это, например, видно из обсуждения двусмысленности
стимулов в тестах по восприятию образов. Другими слова-
ми, в той мере, в какой проблемная ситуация вызывает сре-
ди данной группы решателей задачи согласованное мнение
относительно объектов, соответствующих признакам зада-
чи, дозволенных операций и последствий таких операций,
эта проблемная ситуация может быть названа недвусмыс-
ленной или хорошо определенной по отношению к этой
группе. С другой стороны, в той степени, в какой система
вызывает разноречивые ответы относительно соответствую-
щих признакам объектов, допустимых операций и их пос-
ледствий, задача может считаться плохо определенной
или двусмысленной по отношению к данной группе» (1968,
с. 208—209).
Следует заметить, что между трактовкой хорошо и плохо
определенных задач М. Минским и У. Р. Рейтманом име-
ются некоторые различия. Но и та и другая трактовка не
обладают необходимой четкостью и определенностью. Кроме
того, сами термины «хорошо» и «плохо» определенные задачи
вряд ли можно считать особенно удачными. Нам представ-
ляются более удачными термины «строго» и «нестрого» или
«недостаточно» определенные задачи, а в случае необходи-
мости — говорить о степени определенности или неопреде-
ленности задач.
В качестве определения строго определенной задачи
примем указанную выше формулировку М. Минского, а
именно: будем называть задачу строго определен-
н о й, если существует эффективный метод, с помощью кото-
рого можно установить, осуществимо ли требование задачи
37
или нет относительно каждого из предлагаемых решений.
Если же такой эффективный метод неизвестен или его нельзя
построить, то будем говорить, что задача нестрого
определена или недостаточно опреде-
лена.
Указанный метод в методических руководствах обычно
называют способом проверки решения за-
дачи. Различают полную и частичную, пря-
мую и косвенную проверки задачи.
Покажем на примере частичную и полную прямые про-
верки.
Задача 3. Решить неравенство 2х+5>х+7. (1)
Очевидно, что эта задача является строго определенной,
ибо какое бы решение ни было предложено, мы всегда можем
установить, осуществлено ли при этом требование задачи
или нет. Если, например, предположить, что х=5 есть ре-
шение этого неравенства, то, подставляя это значение х
в неравенство и производя указанные там действия, мы по-
лучим числовое неравенство, истинность которого мы умеем
определять. В данном случае получаем 15>12, что верно,
следовательно, х=5 есть решение неравенства (1).
Но число 5 есть лишь одно из решений (1), между тем
требование этой задачи состоит в том, чтобы найти все числа,
удовлетворяющие данному неравенству. Пусть мы нашли,
что ему удовлетворяют все числа У>2. (2)
Как проверить найденное решение?
Частичная проверка может быть произведена так. Берем
любое число большее 2, например 5, и производим указанный
выше процесс. Убеждаемся, что 5 действительно удовлет-
воряет неравенству (1). Тем самым утверждение, что нера-
венство (2) есть решение неравенства (1), становится прав-
доподобным (по терминологии Д. Пойа). Если мы этот про-
цесс повторим несколько раз и каждый раз будем получать
верные числовые неравенства, то степень правдоподобия ре-
шения неравенства станет несколько большей, однако, ко-
нечно, таким способом убедиться в правильности решения
нельзя.
Полная проверка решения неравенства может быть осу-
ществлена в данном случае следующим образом. Докажем,
что неравенство (2) эквивалентно (равносильно) неравен-
ству (1), а для этого надо доказать, что неравенство (1) есть
следствие неравенства (2) и, обратно, неравенство (2) есть
следствие неравенства (1). Что неравенство (2) есп> следст-
38
вие неравенства (1) было установлено в процессе решения.
Поэтому осталось убедиться, что неравенство (1) есть след-
ствие неравенства (2).
Действительно, пусть х>2. Очевидно, что всегда х—х.
Сложим почленно данное неравенство с этим равенством,
получим х+х>2+% или 2х>х~\-2.
Теперь прибавим к обеим частям полученного неравен-
ства число 5, получаем 2х+5>х+7, получили неравенство
(1). Следовательно, неравенство (1) есть следствие неравен-
ства (2).
Для иллюстрации косвенных способов проверки приве-
дем такой пример.
Задача 4. Какой путь пролетел самолёт за 6 часов,
если его скорость 750 км в час?
Решение: 750-6 =4500 (км).
Проверку можно произвести так. Найдем остатки от
деления на 9 каждого из сомножителей и произведения.
Для этого, как известно, достаточно разделить на 9 сумму
цифр соответствующего числа. Получим, что 750 при деле-
нии на 9 дает остаток 3; 6 при делении на 9 дает в остатке 6,
а 4500 дает в остатке 0. Теперь перемножим полученные
остатки сомножителей, получим 18, которое при делении
на 9 дает в остатке 0; такой же остаток мы получили и для
Произведения 4500. Следовательно, проверка сошлась.
(Этот способ проверки умножения называется способом
«девятки».) Такая проверка является косвенной частичной
проверкой.
Если же проверить правильность решения с помощью
обратной задачи, например такой: «За сколько часов само-
лет пролетит 4500 км, если его скорость 750 км в час?»,
то это будет полная косвенная проверка.
Все виды проверки решения строго поставленных задач
носят объективный характер, т. е. их результат в принципе
не зависит от проверяющего. Проверка же решения нестрого
поставленных задач носит характер экспертной оценки. На-
пример, для проверки решения нестрого поставленной поз-
навательной задачи по истории для учащихся VI класса:
«Перед смертью Мюнцер сказал, что он начал дело слишком
великое, несоразмерное с имеющимися силами. Объясните
эту мысль»,— нет очевидно строго объективного метода,
но любой учитель сможет оценить правильность (полноту и
точность) любого решения, предложенного учащимися.
В данном случае учитель выступает в роли эксперта.
39
Нестрого определенная задача содержит нестрого опре-
деленные отношения, это и меняет характер проверки. Так,
в указанной выше задаче в качестве признаков решения
выступают такие отношения: 1) дело, начатое Мюнцером,
слишком великое; 2) это дело несоразмерно с имеющимися
силами. Совершенно ясно, что эти отношения являются
расплывчатыми, нестрого определенными. В этом и состоит
причина невозможности строго объективной проверки ре-
шения такой задачи.
Заметим, что если наличие в задаче хотя бы одного не-
строго определенного отношения делает саму задачу не-
строго определенной, то наличие в задаче нестрого опре-
деленных элементов предметной области к этому не при-
водит, строго определенные задачи могут содержать и
нестрого определенные элементы предметной области. При-
ведем пример такой задачи.
Задача 5. Один пароход, выйдя из порта А по на-
правлению к порту В, должен прибыть в него через 20 часов
после выхода. В то же время вышел другой пароход из
порта В с тем, чтобы прибыть в порт А через 25 часов после
выхода. Через сколько времени после выхода должны встре-
титься пароходы?
Один из элементов предметной области этой задачи за-
дан совокупностью следующих признаков: 1) он представ-
ляет собой значение величины расстояния; 2) расстояние
от порта А до порта В; 3) это расстояние первый пароход,
идя с неизвестной скоростью, проходит за 20 часов; 4) это
расстояние второй пароход, идя с неизвестной скоростью,
проходит за 25 часов. Как не трудно убедиться, эта сово-
купность признаков определяет не одно какое-либо значе-
ние этого элемента, а, вообще говоря, бесконечное множе-
ство значений. Следовательно, этот элемент определен
совокупностью указанных признаков нестрого (неоднознач-
но).
Заметим, что выше (см. § 3) мы этот элемент задачи
назвали неопределенным неизвестным. Чаще всего методы
решения таких задач состоят в том, что мы превращаем не-
которые из нестрого определенных элементов в строго оп-
ределенные и после этого решаем задачу как обычную,
без нестрого определенных элементов.
Так, для решения задачи 5 принимают расстояние меж-
ду портами А и В за единицу, тем самым превращая этот
элемент в строго определенный. При этом все остальные
40
Iострого определенные элементы становятся так же строго
пределенными. Можно было бы расстояние между портами
ринять не за единицу, а предположить, например, что оно
авно какому-то положительному числу (вообще любому).
Задача: «Найти площадь треугольника, у которого
снование равно 10 см, а высота 8 см» — является также
грого определенной, но она содержит нестрого определен-
ие элементы, в первую очередь сам треугольник является
естрого определенным элементом. Для решения этой задачи
необходимо превратить эти нестрого определенные элементы
в строго определенные, что осуществляется таким образом:
берем, как говорят, произвольный треугольник, но вполне
определенный, фиксированный, и затем решаем задачу, в
которой тем самым уже все элементы стали строго опреде-
ленными.
Таким образом выявляется следующее: если строго опре-
деленная задача содержит несколько нестрого определенных
(неопределенных) элементов, то для ее решения надо некото-
рые из этих нестрого определенных элементов превратить в
строго определенные с тем, чтобы и все остальные нестрого
определенные элементы при этом стали строго определен-
ными, после чего можно решить вновь полученную задачу.
При этом решение этой новой задачи будет решением и для
первоначальной задачи.
То число нестрого определенных элементов строго опре-
деленной задачи, которые надо превратить в строгие эле-
менты, с тем чтобы и все остальные нестрогие элементы стали
строгими, назовем степенью неопределенно с-
т и этой задачи.
Приведенная задача о площади треугольника является
задачей 1-й степени неопределенности. Более подробно по-
добные текстовые задачи мы рассмотрим в пятой главе.
В ряде случаев для решения строго определенных задач,
квсе элементы которых тоже строго определенные, приме-
няется обратное преобразование, а именно: некоторые из
Клементов превращаются (временно) в нестрого определен-
ные. Так, например, решение геометрических задач на
построение методом геометрических мест как раз основано
Ка таком преобразовании (см., например, Б. И. Аргунов,
Г М. Б. Балк, 1955). Сущность этого метода покажем на
| примере следующей задачи.
[ 3 а д а ч а 6. Построить треугольник по данному осно-
| ванию а, одной из боковых сторон b и медиане основания т.
41
В этой задаче все элементы предметной области (основа-
ние а, боковая сторона Ь, медиана т и искомый треуголь-
ник) являются строго определенными, и сама задача так
же строго определена.
Если мы на какой-либо прямой отложим отрезок ВС=п,
то тем самым мы уже построим две вершины В и С искомого
треугольника и, следовательно, тем
самым данную задачу сведем к пост-
роению одной третьей вершины. Эта
искомая вершина определяется сле-
дующими признаками: 1) она уда-
лена от вершины (3 на расстояние,
равное боковой стороне Ь; 2) она
удалена от середины D основания
ВС на расстояние, равное медиане
т (рис. 2).
Эти два признака определяют искомую вершину вполне
строго. Для решения задачи преобразуем это определение в
нестрогое, для чего сначала отбросим второй признак, оста-
вив один первый. Получаем, что искомая вершина отстоит от
точки С на расстояние Ь, следовательно, она принадлежит
геометрическому месту точек, удаленных от данной точки
на данное расстояние, т. е. она лежит на окружности центра
С и радиуса Ь. Теперь, отбросив первый признак, оставив
один второй, мы аналогично убеждаемся, что искомая вер-
шина лежит на окружности центра D и радиуса т.
Атак как искомая вершина должна удовлетворять обеим
признакам, то она лежит на обеих построенных окружно-
стях, т. е. она является точкой их пересечения.
Это же преобразование строго определенных элементов
в нестрогие применяется и при решении систем уравнений.
Задача 7. Решить систему уравнений:
( x2 + xz/ = 2;
I у — Зх = 7.
Искомые элементы этой задачи — числа х и у - строго
определены двумя признаками: 1) они должны удовлетво-
рять первому уравнению и 2) они должны удовлетворять
второму уравнению.
Если мы временно отбросим первый признак, оставив
один второй, то тем самым эти два искомых числа будут уже
определены нестрого. Пользуясь этим, мы можем выразить
42
одно из них, например у, как функцию другого числа х,
получаем у=Зх-\-7.
А теперь, восстановив отброшенный первый признак, мы
подставляем в него найденное выражение у и тем самым полу-
чаем одно уравнение относительно х.
Собственно говоря, это преобразование строго определен-
ных элементов в нестрогие лежит в основе (в явном или в
скрытом виде) очень многих методов решения определенных
задач.
§ 7. ИЕРАРХИЯ ЗАДАЧ
ПО УРОВНЮ ИХ ОБОБЩЕННОСТИ
Мы условились рассматривать задачи как знаковые модели
проблемных ситуаций. Однако очень немногие задачи явля-
ются непосредственными моделями определенных, конкрет-
ных проблемных ситуаций. Подавляющее большинство за-
дач является обобщенными моделями целой группы проб-
лемных ситуаций. Эти задачи — уже модели группы задач и
тем самым — задачи более высокого уровня обобщения.
Рассмотрим, например, ситуации того типа, которые мы
назвали заданными ситуациями (Л. М. Фридман, 1967).
Сущность этих ситуаций состоит в том, что по заданным
количественным характеристикам некоторого явления (со-
бытия, процесса) надо узнать (вычислить) какую-то другую
количественную характеристику того же явления. Первич-
ной моделью таких ситуаций могут являться так называе-
мые предметные задачи, в которых количественные харак-
теристики моделируются с помощью каких-либо предметов
(палочек, пуговиц и т. д.). Предметные задачи можно рас-
сматривать как задачи самого низкого уровня обобщения,
скажем первого. Моделью предметных задач могут являться
обычные текстовые задачи, в которых количественные ха-
рактеристики выражены словами. Они будут задачами более
высокого (второго) уровня обобщения. Моделями текстовых
задач могут быть арифметические примеры (формулы реше-
ния текстовых задач) и уравнения. Поэтому арифметические
примеры и уравнения можно рассматривать как задачи еще
более высокого уровня обобщения, например третьего.
Таким путем можно построить целую иерархию задач по
уровням обобщения.
Конечно, эта иерархия задач весьма условна, ибо ее
можно построить и иначе, например так, чтобы текстовая
43
задача предшествовала задаче предметной и вообще по-
лучались бы не три, а больше уровней обобщения. Приве-
дем пример другого построения иерархии задач.
Задача 8. Расстояние от Москвы до Ленинграда
равно 650 км. В 8 часов утра 15 сентября 1970 г. из Москвы
вышел пассажирский поезд со средней скоростью 60 км в
час, а в 9 часов того же дня из Ленинграда вышел курьер-
ский поезд со средней скоростью 90 км в час. В котором часу
и на каком расстоянии от Москвы поезда встретились?
Будем считать эту задачу первого уровня обобщения,
ибо ей соответствует вполне определенная проблемная си-
туация. Уберем теперь из условия задачи некоторые харак-
теристики конкретной ситуации. Получим новую задачу,
более высокого уровня обобщения: «Расстояние между двумя
станциями 650 км. Из первой станции вышел в 8 часов утра
пассажирский поезд со скоростью 60 км в час, а в 9 часов,
утра с противоположной станции навстречу вышел курьер-
ский поезд со скоростью 90 км в час. В котором часу и на
каком расстоянии от первой станции встретятся поезда?»
Дальнейшее обобщение можно произвести не одним пу-
тем. Можно пойти по линии обобщения числовых данных
и получить задачу, например, такую: «Расстояние между
двумя станциями равно s км. Из первой станции вышел
поезд со скоростью а км/ч, а через t ч ему навстречу со
второй станции вышел другой поезд со скоростью b км/ч.
Через сколько часов после выхода второго поезда и на ка-
ком расстоянии от первой станции встретились поезда?»
Возможно дальнейшее обобщение путем перехода к ал-
гебраической модели задачи, для чего составим такую си-
стему уравнений:
| (/ —8)-60 + (/ —9)-90 = 650;
\ (/ — 8)-60=х.
Эта система уравнений есть модель уже не только при-
веденной задачи, но и, например, следующей: «Двум ра-
бочим поручено изготовить 650 деталей. Первый рабочий
может изготовлять в час 60 деталей, а второй — 90 деталей.
На все подготовительные операции первый рабочий затра-
чивает 8 часов, а второй — 9 часов. Через сколько времени
после получения заказа будет завершена вся работа, если
они будут работать вместе, и сколько деталей изготовит
при этом первый рабочий?»
44
Возможны еще и другие способы обобщения первона-
чальной задачи и построения тем самым различных иерар-
хий задач.
Заметим, что вообще проблемные ситуации можно пре-
вращать в задачи с помощью различных языков. Получае-
мые в результате задачи-модели можно весьма условно под-
разделять на три категории:
1) предметные задачи, когда предметы, с помо-
щью которых строится модель-задача, рассматриваются как
знаки особого предметного языка. Простейшим примером
такого моделирования является построение с помощью
различных предметов (палочек, спичек, орехов, пуговиц
и т. д.) моделей простейших проблемных ситуаций в до-
школьном и начальном школьном периодах обучения ма-
тематике;
2) наглядно-графические задачи, когда в
качестве «строительного материала» для построения задач-
моделей используются различные наглядно-графические
системы. Примерами задач, построенных этими средствами,
могут служить задачи, начиная от задач-рисунков до задач-
графсхем;
3) знаково-символические задачи, когда за-
дачи-модели строятся с помощью различных знаково-сим-
волических языков, начиная от нашего естественного языка
до логико-математического. Эти категории задач отражают
определенную иерархию задач по их обобщенности, притом
уровень обобщенности задач внутри каждой категории
также различен.
В ряде случаев сами задачи порождают проблемы, реше-
ние которых есть задачи более высокого уровня обобщения,
чем исходные задачи. Рассмотрим, например, задачу срав-
нения обыкновенных дробей. При этом возникает проблема
нахождения общего наименьшего знаменателя сравнивае-
мых дробей. Если задачу сравнения обыкновенных дробей
можно рассматривать как задачу некоторого определенного
уровня обобщения, то задача нахождения наименьшего
общего кратного будет уже задачей более высокого уровня
обобщения.
Вообще можно заметить, что задачи, в которых решают-
ся специфические проблемы той или иной науки, возник-
шие при решении каких-то конкретных задач, являются
задачами более высокого уровня обобщения, чем сами зада-
чи, породившие эти проблемы.
45
§ 8. ПОЛНОТА ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
Анализ деятельности по решению задач мы подробно рас-
смотрим в следующей главе. Но сейчас в предварительном
порядке нам необходимо рассмотреть вопрос о компонентах
процесса решения задач.
Процесс решения задачи есть процесс преобразования ее
условий. Следовательно, условия задачи составляют пер-
вый компонент деятельности по решению задач.
Суть же этих преобразований состоит в применении к
отдельным условиям задачи определенных общелогических
правил вывода. С помощью этих правил вывода мы из пер-
воначальных условий задачи получаем преобразованные,
затем, снова применяя к последним правила вывода, полу-
чаем еще другие — и так до тех пор, пока не получим те
результаты, которые удовлетворяют требованию задачи.
Следовательно, общелогические правила вывода составляют
второй компонент деятельности по решению задач.
Но почему мы к данным условиям применяем именно эти
общелогические правила вывода, а не другие? Почему мы
комбинируем условия задачи для преобразования с по-
мощью правил вывода так, а не иначе? Очевидно, что мы
руководствуемся при этом какими-то особыми правилами
интуитивного характера, которые детерминируют весь про-
цесс решения задач. Эти особые правила преобразований
условий будем называть эвристиками. Они состав-
ляют третий, и последний, компонент деятельности по
решению задач.
Таким образом, деятельность по решению задач склады-
вается из трех компонентов: 1) условия задачи, над кото-
рыми производятся шаги-преобразования; этот компонент
назовем специфическим компонентом; 2) общелоги-
ческие правила вывода, по которым производятся шаги-
преобразования условий задачи; этот компонент назовем
логическим; 3) эвристики, которые направляют про-
цесс решения; этот компонент назовем эвристичес-
ким.
Может создаться впечатление, что при реальном решении
задач используются еще и другие компоненты средств реше-
ния, а именно — догадка, интуиция. Но, во-первых, они
не противоречат логике преобразований условий задачи,
их участие лишь означает, что в последовательности этих
преобразований имеются пробелы, провалы; догадка и ин-
46
гуиция заполняют их. Во-вторых, догадку, интуицию
можно также рассматривать как своеобразную эвристику,
ибо последняя и есть выявленная и сформулированная ин-
туиция.
I Все психологи, исследующие процессы решения задач,
обращают внимание на тот факт, что для решения задачи
испытуемому недостаточно усвоить ее условия: ему необхо-
димо иметь еще и другие знания. Эти дополнительные зна-
ния разные авторы называют по-разному: «прошлый опыт»,
«знания и навыки» и т. д. Всякая задача имеет кроме явно
заданного условия еще и неявно заданное. Это те знания,
которые в условии задачи не даны, но без которых процесс
мышления невозможен,— это знания определений, теорем,
законов, знания о физических, химических и прочих про-
цессах и явлениях, полученные в прошлом опыте.
Почему недостаточно знать условие задачи, чтобы ее ре-
шить? Почему одну задачу данный испытуемый решает мгно-
венно, а над другой сидит часами? Почему ту же задачу
другой испытуемый решает сразу?
Чтобы понять это, надо обратиться к постулату
У. Р. Э ш б и, который состоит в следующем: «Любая
система, выполняющая подходящий отбор (на ступень выше
случайного), производит его на основе полученной информа-
ции-)) (1968, с. 38).
Следует иметь в виду, что под системой Эшби понимает
все, что может воспринимать и перерабатывать информацию,
следовательно, человек есть наилучшая система в этом отно-
шении. Затем «подходящий отбор» есть признак «разумно-
сти системы». «Разумной,— пишет Эшби,— следует счи-
тать систему, способную выполнять подходящий отбор»
(там ж е, с. 37). Решение задач, с точки зрения Эшби, и
есть «подходящий отбор».
При этом следует обратить внимание на оговорку, сде-
ланную Эшби: этот отбор должен быть «на ступень выше
случайного», т. е. решение задач не может быть сведено
лишь к чисто случайным пробам.
На основе этого постулата Эшби объясняет видимую
трудность или легкость решения задач: «Математик, решая
задачу трехмерной геометрии, может справиться с ней легко
и быстро; этим создается впечатление, что использованный
объем информации мал. В действительности он очень велик...
Дело в том, что человек располагает колоссальным запасом
информации, имеющей характер предпрограммпрования.
47
Перед тем как взять в руки карандаш, решая геометричес-
кую задачу, человек уже имеет опыт далекого детства, когда
он познакомился с трехмерным пространством, двигая ру-
ками и ногами. Позднее, в школе, он изучал евклидову гео-
метрию, затем занимался столярным делом и научился де-
лать простые коробки и трехмерную мебель. Наконец, за
плечами у человека пять миллиардов дет эволюции, сфор-
мировавшей его представление о трехмерном пространстве.
Таким образом, когда математик решает задачу из трехмер-
ной геометрии, он грубо недооценивает количество ин-
формации, действительно им использованное» (там ж е,
с. 40).
Эту же мысль весьма образно выразил известный фран-
цузский биолог Р. Шовен. Описывая историю одного из
своих открытий, он замечает: «Здесь, как и в других обла-
стях, исчерпывающее толкование может найти лишь тот,
чье подсознание как бы вымощено огромным количеством
материала; нужно знать о своем предмете все, что можно о
нем узнать, тогда, казалось бы, позабытые подробности
чужих опытов внезапно всплывают в памяти» (1965,
с. 71—72).
Как же найти истинный объем информации, необходи-
мый для решения данной задачи? Как установить все усло-
вия, нужные для этого? Эшби дает ответ на этот вопрос:
надо найти все те условия, без которых машина не сможет
решить задачу, надо определить объем информации, содер-
жащейся в программе, которую должна выполнить машина,
чтобы решить данную задачу.
Однако мы рассматриваем процессы решения задач не
машиной, а человеком, и когда говорим об объеме информа-
ции, необходимой для решения задачи, то имеем в виду ту
информацию, которую нужно дать человеку.
Выше мы установили, что деятельность по решению за-
дач состоит из трех компонентов, и следовательно, информа-
ция, необходимая для решения задачи, также состоит из
трех частей: специфической, логической и эвристической.
Очевидно, что когда перед человеком (а не перед маши-
ной) ставится задача, то ему нужно дать лишь первую часть
необходимой для решения этой задачи информации. Что же
касается логической и эвристической частей, то эта информа-
ция, как правило, ему не дается и он должен иметь или
приобрести ее сам. Иначе говоря, у решающего возникает
потребность в так называемых неявных условиях, в прош-
48
лом опыте. В связи с этим задачи можно разделить по сте-
пени полноты или развернутости их постановки, т. е. по
степени полноты информации, явно заданной в условии
задачи.
Все обычно встречающиеся в практике и в учебном про-
цессе задачи — это задачи с неполно заданной (свернутой)
информацией. Такйе задачи будем называть неполно
поставленными или свернутыми зада-
чами. При этом степень свернутости этих задач может
колебаться в больших пределах. Можно представить себе
и крайний случай, когда в условии задачи явно задана
(развернута) вся необходимая для ее решения специфичес-
кая информация. Такие задачи назовем полно по-
ставленными или развернутыми зада-
чами.
Для того чтобы уточнить введенные понятия, обратимся
к положениям о структуре задачи, рассмотренным нами
в § 4.
Вопрос о постановке задачи имеет смысл рассматривать
лишь в пределах той области знаний, в которой решается
данная задача. Выделим из этой области знаний некоторое
подмножество Т высказываний и высказывательных форм,
принимаемых в этой области знаний соответственно за
истинные и тождественно-истинные. В этом случае, как мы
знаем, Т можно рассматривать как теорию в этой области
знаний.
Рассмотрим теперь некоторое высказывание А и выска-
зывательную форму А(х), не вошедшие в теорию Т. Относи-
тельно их можно, вообще говоря, ставить такие требования:
1. Найти те значения переменной х из области ее из-
менения, при которых данная высказывательная форма А(х)
переходит в истинное высказывание, или, иначе говоря, най-
ти область истинности данной высказывательной формы.
2. Установить истинность или ложность высказывания А
как логического следствия другого высказывания.
3. Преобразовать данное высказывание А или высказы-
вательную форму А(х) в другой вид, определяемый некото-
рыми заданными условиями.
Заметим, что выполнение этих требований возможно
лишь в рамках (при учете) выбранной теории Т.
Этим трем требованиям соответствуют три основных
класса задач, структурные модели которых (1), (2) и (3)
были нами рассмотрены в § 4.
49
Задачу будем называть полно поставленной или развер-
нутой, если ее условие удовлетворяет следующим требова-
ниям:
1) заданы все высказывания и высказывательные фор-
мы относительно каких-то переменных, нужные для реше-
ния задачи; для каждой переменной указана область ее
изменения;
2) указана теория Т, в рамках которой следует решать
данную задачу, притом теория Т такова, что на ее основе,
пользуясь формально-логическими правилами вывода, мож-
но однозначно выполнить требование данной задачи. Тео-
рию Т, обладающую таким свойством, будем называть пол-
ной для данной задачи.
Приведем примеры конструирования полно поставлен-
ных (развернутых) задач.
Задача 9. Возьмем теорию Т из книги Э. Ландау:
«Мы считаем заданным: некоторое множество, т. е. сово-
купность вещей, называемых натуральными числами, с
перечисляемыми ниже свойствами, называемыми аксио-
мами... Если задано х и задано у, то либо х и у одно и
то же число; это можно записать также в виде х—у, либо х
и у не одно и то же число; это можно записать также в
виде х^=у».
Мы принимаем теперь, что множество натуральных чи-
сел обладает следующими свойствами.
Аксиома 1. 1 есть натуральное число. То есть наше
множество не пусто; оно содержит вещь, именуемую 1
(читается: единица).
Аксиома 2. Для каждого х имеется точно одно на-
туральное число, называемое его последующим и обозначае-
мое х'.
А’к с и о м а 3. Всегда х'^1.
Ау< с и о м а 4. Из х'=у' следует х—у.
А к с и о м а 5 (аксиома индукции). Пусть М — мно-
жество натуральных чисел, обладающее следующими свой-
ствами:
1) 1 принадлежит множеству М;
2) если х принадлежит М, то и х принадлежит М.
ТогдаМсодержит все натуральные числа (см.: Э. Лан-
дау, 1947, с. 17—19).
Высказывательная форма: x+y=z, где
область изменения предметных переменных х, у, z есть
множество натуральных чисел.
*50
Требование задачи: Найти значение истин-
ности высказывания, получающегося из заданной высказы-
вательной формы при х=2; у=3 и z=5, где 2= Г; 3=2';
5=(3')'=4'.
Эта задача является задачей нахождения искомого.
Приведем теперь задачу того же вида с несколько иным
фебованием.
Задача 10. Дана та же теория Т, что и в задаче 9, и
высказывательная форма х+2=5 с переменной х, область
изменения которой есть множество натуральных чисел.
Требование задачи: Найти те значения пере-
менной х, при которых заданная высказывательная форма
становится истинным высказыванием, т. е. найти область
истинности заданной формы.
В качестве примера развернутой задачи на доказательст-
во приведем задачу из «Оснований геометрии» Д. Гильберта.
Задача 11. Дана теория Т: «Мы мыслим три различ-
ные системы вещей: вещи первой системы мы называем точ-
ками и обозначаем А, В, С, ...; вещи второй системы мы на-
зываем прямыми и обозначаем а, Ь, с, ...; вещи третьей си-
стемы мы называем плоскостями и обозначаем а, р, у, ... .
Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определенных
соотношениях и обозначаем эти соотношения различными
словами, как-то: «лежать», «между», «конгруэнтный», «па-
раллельный», «непрерывный». Точное и для математических
целей полное описание этих соотношений достигается а к-
сиомами геометрии.
Первая группа аксиом: аксиомы сое-
динения (принадлежности):
11. Для любых двух точек А, В существует прямая а,
принадлежащая каждой из этих двух точек А, В.
12. Для двух точек А, В существует не более одной
прямой, принадлежащей каждой из точек А, В.
13. На прямой существует по крайней мере две точки.
Существует по крайней мере три точки, не лежащие на
одной прямой.
14. Для любых трех точек А, В, С, не лежащих на одной
и той же прямой, существует плоскость а, принадлежащая
каждой из трех точек А, В, С. Для любой плоскости всегда
существует принадлежащая ей точка.
1В. Для любых трех точек А, В, С, не лежащих на
одной и той же прямой, существует не более одной плоско-
сти, принадлежащей этим точкам.
51
Ie. Если две точки А, В прямой а лежат в плоскости
а, то всякая точка прямой а лежит в плоскости а.
I,. Если две плоскости а и £ имеют общую точку А,
то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В.
18. Существует по крайней мере четыре точки, не лежа-
щие в одной плоскости.
Доказать: через прямую и точку, не лежащую на
ней, всегда можно провести плоскость, и притом только
одну» (Д. Гильберт, 1948, с. 56—58).
Обратим внимание на следующую особенность этой зада-
чи. Теория Т этой задачи содержит все аксиомы, нужные
для доказательства указанной теоремы, т. е. для решения
этой задачи, но эта теория содержит и аксиомы, не необхо-
димые для решения задачи (например, аксиома 17). Важно
лишь, что принятая теория является полной по отношению к
данной задаче.
Приведенные примеры развернутых задач показывают,
что вообще такие задачи можно построить лишь в такой
Ла области знаний, которая может быть из-
* у/ ложена строго аксиоматически. Если же
данная область знаний в настоящее время
А не может быть построена на аксиоматичес-
кой основе, то в этой области нельзя и сфор-
мулировать задачи в такой идеальной фор-
w ме, но можно сформулировать задачи в
Рис. з форме, близкой к ней.
Однако не нужно себе представлять, что
аксиоматическое построение некоторой области знаний воз-
можно лишь в классической форме системы аксиом Гиль-
берта или Пеано. Чтобы убедиться в возможности друго-
го вида аксиоматического построения некоторой области
знаний, приведем еще один пример развернутой за-
дачи.
Задача 12. Пусть перед нами лежат шесть шаров,
из них три белых А, В, С и три черных а, Ь, с. Далее
представим себе, что определенные белые шары связаны ни-
тями с определенными черными шарами, как это показано
на рис. 3.
Теперь введем соглашение: белые шары будем называть
точками, а черные — прямыми. И далее, если нить идет от
белого шара к черному, то будем говорить: «первый назван-
ный объект (точка) лежит на втором названном объекте»
(на прямой). Напротив, если такое соединение отсутствует,
52
то будем говорить: «точка не лежит на прямой» (см.: Р. Не-
ванлина, 1966, с. 54).
Приведенное описание вместе с рис. 3 демонстрирует
аксиоматическое построение своеобразной «области знаний»
относительно тех шести объектов, которые здесь рассматри-
ваются. Это описание вместе с рис. 3 образует теорию Т на
указанном в описании языке вместе с наглядно-геометри-
ческим языком приведенного рисунка.
Рассмотрим теперь такую высказывательную форму на
указанном языке: на любой прямой х лежат не менее двух
точек X и Y, где области изменения переменных таковы:
х={а, Ь, с}; Х = {А, В, С}; Y={A, В, С}.
Вопрос задачи. Доказать, что заданная высказы-
вательная форма есть тождественно-истинное высказывание
в области изменения своих переменных. Это, конечно, весьма
своеобразный пример развернутой задачи на доказательство.
Первое отличие свернутых задач от разверну-
тых состоит в том, что в условии первых явно не указы-
вается та теория Т, на базе которой следует решать данную
задачу.
При этом следует различать три случая:
1. В условии задачи теория Т не указана, однако чело-
веку, который ставит данную задачу, эта теория известна.
В этом случае можно говорить, что теория Т задана объек-
тивно. Так, любая задача, помещенная в каком-либо посо-
бии или в задачнике, подходит под этот случай, ибо из
текста пособия ясно, на какую теорию Т следует опираться
при решении данной задачи.
2. То, что ясно человеку, поставившему задачу, не обя-
зательно ясно тому, кто должен ее решить. В частности,
решающий может не знать или не осознавать в данный мо-
мент, на какую теорию он должен опираться при решении
предложенной задачи, хотя объективно по своей постановке
эта теория указана. Например, в задачнике по алгебре уче-
ник встречает такую задачу: «Доказать, что сумма трех по-
следовательных натуральных чисел делится на 3». Обьектив-
но теория Т, из которой вытекает решение, задана. По
субъективно, для ученика, который приступает к решению
этой задачи, она может быть и неизвестной. Он может,
например, не знать или не осознавать в данный момент (хотя
раньше он это знал), какие числа называются последователь-
ными; он может не понимать, что значит «делится на 3»,
и т. д. Иначе говоря, хотя и этой задаче объективно теория Т
53

задана, субъективно она может быть неизвестна. Поэтому,
исследуя процессы решения задач, важно каждый раз убеж-
даться, что решающему известна соответствующая теория Т.
3. Возможен и такой случай, когда и объективно не из-
вестна теория, основываясь на которую можно получить
решение данной задачи. Например, известная задача Ферма:
«Доказать, что не существует натуральных чисел х, у, z
таких, что xP+yP=zP (р^З)» — по своей формулировке
должна, казалось бы, опираться на теорию натуральных
чисел. Однако частичное ее решение было получено при
существенном расширении этой теории, а на основе какой
теории может быть найдено полное решение — неизвестно
до сих пор, хотя сама задача имеет более чем трехсот летнюю
давность.
Второе отличие свернутых (неполно постав-
ленных) от развернутых задач состоит в том, что в условии
свернутых задач, как правило, не указаны все особенности
языка, на котором изложена задача. Например, в задаче:
«Расставить знаки препинания в данном предложении...»,
являющейся весьма характерной свернутой задачей, не
указано, о каких знаках препинания идет речь,— это
предполагается известным. Или в задаче: «Неявная функ-
ция y=f(x) определяется уравнением lg(x+z/)+x+2z/=12.
Убедиться, что f(9) = l»— не указано, что обозначает у,
f(x), Igx и т. д. Предполагается, что все это известно решаю-
щему.
Наконец, третье существенное отличие
свернутых задач от развернутых состоит в том, что вопрос в
свернутых задачах формулируется обычно не как требова-
ние установить истинность или ложность определенного
высказывания, а в другой, специфической форме для каж-
дого вида задач. Например, в элементарной алгебре мы
весьма часто встречаем такие задачи: «Решить уравнение
2х2—7х+5=0». Эта задача означает следующее: «На ал-
гебраическом языке дана высказывательная форма 2х2—
—7х+5=0 с переменной х; область изменения х—множество
действительных (или комплексных) чисел. Найти те зна-
чения х из области его изменения, при которых данная фор-
ма становится истинным высказыванием, т. е. найти об-
ласть истинности заданной высказывательной формы» (под-
робнее об этом см.: А. А. Столяр, 1965, с. 126—127).
В § 3 и 4 мы уже приводили много примеров свернутых
задач и видели, что построение их высказывательных или
54
структурных моделей является весьма сложным делом, а
это построение означает не что иное, как переход от сверну-
той специфической формулировки неполно поставленных
задач в данной области знаний к развернутой формулировке,
к выявлению истинного содержания задач. Однако этот
вопрос мы еще обсудим более подробно в следующей главе.
Итак, мы рассмотрели некоторые свойства и особенности
задач и увидели, каким богатством содержания они обла-
дают. Нет сомнения, что дальнейшее изучение вскроет еще
более интересные особенности задач, без учета которых
проводить какие-либо психолого-дидактические исследования
процессов их решения затруднительно. В следующей главе
мы попытаемся проанализировать процессы решения задач
на базе проведенного нами исследования самих задач, при
учете всех тех свойств и особенностей, которые установлены
нами выше.
ГЛАВА III
Анализ деятельности
по решению задач
§ 9. ОБЩАЯ СТРУКТУРА
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Термин «решение задачи» в научной и учебно-педагогиче-
ской литературе применяется в настоящее время в трех
различных смыслах: 1) решение задачи как план (способ,
метод) осуществления требования задачи; так, когда гово-
рят: «Я нашел очень интересное решение задачи», то имеют
в виду именно этот смысл термина «решение»; 2) решение
задачи как процесс осуществления требования зада-
чи, как процесс выполнения плана решения; в контексте:
«Я затратил на решение этой задачи более двух часов» —
имеют в виду именно этот аспект решения, и наконец, 3) ре-
шение задачи как результат выполнения плана ре-
шения, который подразумевают, когда говорят: «Мы нашли
два решения системы уравнений».
Конечно, из контекста обычно всегда более или менее
ясно, какой аспект понятия «решение задачи» имеется в виду
в данном конкретном случае. Однако было бы лучше иметь
три различных термина для обозначения этих по сути дела
разных понятий. В дальнейшем мы по возможности будем
использовать такие термины: «план (способ, метод) реше-
ния», «процесс решения», и лишь решение как результат
будем называть просто решением, и то только в тех случаях,
когда неудобно применять термин «ответ».
В тех же случаях, когда мы будем иметь в виду все то
общее, что объединяет все эти три указанных понятия —
три аспекта решения задачи,— будем пользоваться терми-
ном деятельность. Следовательно, деятельность по
решению задач — это и составление плана решения, и
процесс осуществления плана решения, и результат реше-
ния. При этом мы имеем в виду деятельность человека при
решении задач, а не работу машины, которая тоже может
решать некоторые задачи.
В данной главе мы попытаемся провести анализ деятель-
ности человека по решению предъявленных ему задач.
56
Первое, что мы должны сделать при анализе деятельно-
сти,— это, очевидно, установить общую ее структуру, т. е.
выявить инварианты деятельности при всех различных ее
преобразованиях, зависящих от вида и характера задач и от
особенностей субъектов, осуществляющих эту деятельность.
При этом саму деятельность мы рассматриваем как особую
систему, характер которой зависит, с одной стороны, от
объекта деятельности — задачи, а с другой — от субъекта
деятельности. Следовательно, деятельность по решению за-
дач мы рассматриваем как процесс взаимодействия субъекта
с объектом (задачей).
Изучение деятельности по решению задач возможно с
разных точек зрения. Во-первых, можно изучить деятель-
ность конкретного субъекта при решении различных задач,
пытаясь при этом установить структуру и особенности дея-
тельности именно этого субъекта. Такой подход практику-
ется, например, при изучении индивидуальных особенно-
стей личности, для установления так называемого уровня
развития мышления данного субъекта, для выявления его
способностей и т. д.
Во-вторых, можно изучать деятельность различных субъ-
ектов при решении одних и тех же задач определенного ви-
да. Такой подход характерен для исследования общих за-
кономерностей мышления при решении задач, а также для
выявления структуры и особенностей процесса решения за-
дач определенного вида. В педагогической психологии этим
методом выявляют структуру и особенности деятельности
учащихся при решении учебных задач и упражнений и на
этой основе дают определенные рекомендации по организа-
ции этой деятельности. В эвристике пытаются моделиро-
вать эту деятельность, с тем чтобы потом ее осуществить с
помощью электронно-вычислительных машин.
Как при первом, так и при втором подходах изучается
деятельность по решению задач, исторически сложившаяся
к данному времени, деятельность, являющаяся результа-
том определенной системы обучения. Структура и особенно-
сти этой деятельности приобретаются субъектом в процессе
усвоения им культурно-исторического наследия и опреде-
ляются содержанием и методами обучения.
Однако возможен и третий подход к изучению деятель-
ности по решению задач. Этот подход можно назвать нор-
мативным. Состоит он в том, что, основываясь на опре-
деленных теоретических предпосылках, в частности на тео-
57
рии задач, мы строим идеальную деятельность по решению
задач. Последующее экспериментальное формирование та-
кой деятельности у учащихся позволяет установить, на-
сколько эти теоретические предпосылки верны и является
ли эта нормативная деятельность имманентной для че-
ловека.
Главное отличие нормативной деятельности от традици-
онной (первый и второй подходы) состоит в том, что норма-
тивная деятельность строится нами на основе определенных
теоретических положений, а традиционная складывалась
стихийно в процессе общественно-исторического раз-
вития.
В данной работе при анализе деятельности по решению
задач мы будем придерживаться третьего, нормативного
подхода. При построении нормативной структуры деятель-
ности по решению задач мы будем опираться на то понима-
ние задачи, которое было нами установлено в предыдущих
двух главах, будем исходить из тех особенностей и законо-
мерностей, которые были там изложены.
Итак, пусть человек получил задачу или построил ее
сам. Какова должна быть его деятельность, чтобы решить
эту задачу? Подчеркиваем — должна быть, ибо какова фак-
тически будет его деятельность, зависит от многих и многих
обстоятельств, как общих (какое образование получил субъ-
ект, каковы личностные его особенности, каковы приемы и
методы работы, им усвоенные, и т. д.), так и частных (ка-
ково настроение субьема в данный момент, какова обста-
новка, в которой он находи гея, каковы мотивы его деятель-
ности по решению дайной задачи и т. д.).
Очевидно, что первым этапом деятельности по
решению задач должен являться этап анализа за-
дачи. При этом имеется в виду тот анализ через синтез,
который был указан С. Л. Рубинштейном.
Примерно так же понимает анализ задачи и Д. Пойа,
который пишет: «Разумно решая задачу, человек прежде
всего старается возможно полнее и яснее уяснить себе ее»
(1961, с. 59). И дальше: «Успех в решении задачи зависит от
выбора правильного пути подхода, от того, атакуем ли мы
крепость с доступной стороны. Чтобы выяснить, какой путь
подхода более правильный, какая сторона более доступна,
мы рассматриваем задачу с разных точек зрения, подходим
с разных сторон, мы видоизменяем задачу»
(там ж е, с. 55).
58
Из каких частей, из каких элементов состоит анализ
задачи?
1. В процессе анализа задачи мы должны установить
предметную область задачи, все ее элементы, выявить и ус-
тановить характер каждого элемента: является ли он по-
стоянным или переменным, если переменным, то какова об-
ласть его изменения; известным или неизвестным, и если
неизвестным, то каким — искомым или вспомогательным,
неопределенным или определенным?
2. Необходимо также вычленить из задачи все отноше-
ния, которыми связаны элементы предметной области, вы-
яснить характер каждого из этих отношений.
3. Центральной частью анализа задачи является уста-
новление оператора и требования задачи. Как правило,
оператор задачи в ее условии непосредственно не указан
или указан неполно, свернуто, и поэтому его полное выяв-
ление связано со значительными трудностями. Однако без
преодоления-этих трудностей нельзя надеяться на успех в
последующем решении.
Одним из главных инструментов, с помощью которых
производится анализ задачи, является опознавание — рас-
познавание и узнавание. В процессе анализа нам необходи-
мо распознать отдельные части и элементы задачи, а также
определить все нам знакомое и известное по предшествую-
щему опыту решения других задач. Без этого решение за-
дачи невозможно. «Едва ли можно представить себе совер-
шенно новую задачу, не похожую ни на одну из ранее ре-
шенных задач и не связанную ни с одной из них,— замечает
Д. Пойа.— Если бы такая задача существовала, она была
бы неразрешимой. Действительно, решая любую задачу,
Мы всегда извлекаем пользу из ранее решенных задач, ис-
пользуя их результаты или методы, которыми они решались,
Или опыт, приобретенный нами при их решении. Конечно,
задачи, которые мы используем, должны быть как-то свя-
заны с данной задачей» (1961, с. 91).
Распознавание отдельных частей и элементов задачи и
всей задачи в целом происходит на основе знаний субъекта в
той области, к которой относится данная задача. От того,
каковы знания субъекта, каков его опыт, каков характер
этих знаний, зависит результат анализа.
Вопрос о средствах, с помощью которых производится
анализ задачи, а также и само решение мы более подробно
рассмотрим ниже.
59
Анализ задачи проводится до тех пор, пока не возникни
какая-то идея о плане решения. Это второй этап
деятельности по решению задач. Поэтому в тех случаях,
когда после ознакомления с условием задачи мы распозна-
ем в ней задачу знакомого типа, продолжать анализ этой
задачи нет никакой нужды.
Что представляет собой план решения задачи с психоло
гической точки зрения? Обычно план решения — это
мысль, идея о возможном пути достижения цели за-
дачи. Так, если в процессе анализа задачи мы распознали е
ней задачу знакомого типа, то план решения возникает е
виде мысли о возможности применения известного нам ме-
тода решения задач данного типа. Дальнейшее развертыва-
ние этой мысли — этого плана — происходит уже в про-
цессе его осуществления. Если же встретилась задача не-
знакомого типа, то мы ищем в ней элементы знакомых за-
дач, мы преобразуем ее до тех пор, пока не усмотрим в ней
знакомые черты каких-то ранее решенных задач.
Осуществление найденного плана со-
ставляет третий этап деятельности по решению зада-
чи. Осуществляя найденный план решения, мы должны убе-
диться, что получаемый результат есть действительно реше-
ние задачи, что требование задачи тем самым полностью
выполнено. Поэтому при решении некоторых видов задач
предусматривается проверка решения, а иногда и исследо-
вание этого решения как обязательный этап.
Вот как характеризует проверку решения задач
II. М. Эрдпиев: «Решение математического упражнения не-
редко заканчивают получением ответа, тогда как оно, как
правило, должно завершаться проверкой... Значительное
количество ошибок могло бы быть найдено и предупреждено
самими учащимися (до оценки их работ учителем), если бы
они умели контролировать свои результаты, знали бы при-
емы проверки решения. Проверка ответа означает в некото-
рой степени исследование результата. Элементарные навы-
ки исследования решения полезно культивировать начиная
с младших классов» (1953, с. 8).
А вот как характеризуют исследование решения геомет-
рических задач на построение авторы одного пособия:
«При построении обычно ограничиваются отысканием
одного какого-либо решения, причем предполагается, что
все шаги построения действительно выполнимы. Для пол-
ного решения задачи нужно еще выяснить, не могут ли воз-
60
никнуть такие случаи, когда приведенное построение не-
выполнимо, имеет ли задача решение в этих случаях, и если
имеет, то как его найти. Для каждого случая надо устано-
вить, сколько решений имеет задача. Наконец, следует вы-
яснить, не появятся ли новые решения при каких-либо иных
способах построения. Рассмотрение всех этих вопросов и
составляет исследование» (Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, 1955,
с. 37—38).
Из этих характеристик очевидно, что и проверку и иссле-
дование решения задачи следует рассматривать как органи-
ческую часть самого решения. Проверка и исследование ре-
шения не представляют собой какой-то особый этап дея-
тельности по решению задачи, они должны быть включены
в третий этап.
По-иному обстоит дело в отношении очень редко приме-
няемого анализа (обсуждения) проведенного решения. Про-
смотреть еще раз проделанное решение, проанализировать
его с точки зрения поучительности, рациональности, поис-
кать другие способы решения — все это должно составлять
четвертый этап деятельности по решению задач —
s т а п обсуждения (анализа) решения.
Этот этап имеет особое значение в условиях обучения ре-
шению задач. Для того чтобы решение задач и упражнений
не превратилось в самоцель, а стало действенным средством
обучения, средством развития познавательных способно-
стей учащихся, формирования у них приемов мышления,
очень важно уделить этому четвертому этапу наибольшее
внимание. Обсуждение проделанного решения, его анализ,
выявление недостатков решения, поиски лучшего решения,
установление и закрепление в памяти учащихся тех прие-
мов, которые были использованы в данном решении, выяв-
ление условий возможности применения этих приемов —
Все это и будет в наибольшей степени способствовать пре-
вращению решения задач в могучее обучающее средство.
В Итак, по своей структуре деятельность по решению за-
Ьач должна состоять из следующих четырех этапов:
В 1. Анализ состава задачи.
В 2. Поиск плана решения.
В 3. Осуществление найденного плана решения и доказа-
Игельство, что полученный результат удовлетворяет требо-
ванию задачи.
Е 4. Обсуждение (анализ) проведенного решения.
Е Конечно, в реальном процессе решения задач не все эти
61
этапы должны присутствовать, ибо реальная структура ре-
шения зависит от многих обстоятельств, и в первую очередь
от того, насколько известен решающему способ решения
задачи. Указанные же этапы представляют как бы норму
деятельности по решению задач.
Ниже мы подробнее рассмотрим отдельные вопросы, от-
носящиеся к этим этапам деятельности по решению задач
§ 10. МИКРОСТРУКТУРА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Проведенный в предыдущем параграфе анализ структуры
деятельности по решению задач позволил выявить те основ-
ные части — этапы, из которых должна состоять эта дея-
тельность. Назовем этот анализ макроподходом к проблеме
структуры деятельности. Но пожалуй, еще более важно вы-
явить те элементарные шаги (в смысле — нерас-
членимые дальше), из которых состоят эти этапы деятель-
ности, а для этого надо произвести микроанализ
этой деятельности.
Эти элементарные шаги сложной мыслительной деятель-
ности по решению задач в психологической литературе на-
зываются по-разному: «умственные действия», «умственные
операции» (П. Я- Гальперин, 1966), «мыслительный акт»
(В. В. Давыдов, 1960) и т. д. Однако все эти названия имеют
еще другой, более широкий смысл. Чтобы избежать той не-
определенности, которая имеется в этих общеупотребитель-
ных терминах, будем пользоваться термином «элементарный
шаг» мыслительной деятельности по решению задач.
В большинстве психологических исследований такой ана-
лиз мыслительной деятельности по решению задач прово-
дится для выявления общих закономерностей мышления.
Результаты этих исследований достаточно известны и мно-
гократно описаны (см., например: С. Л. Рубинштейн, 1946;
П. А. Шеварев, 1959; К. А. Славская, 1968 и др.).
Центральным вопросом такого анализа по решению за-
дач является установление структуры, характеристики и
классификации элементарных шагов этой деятельности.
Это можно сделать, например, следующим образом.
Субъект в процессе решения задачи имеет дело со следую-
щими группами высказываний и правил:
1. Группа тождественно-истинных высказываний (тео-
рия Т). Эта теория или дается нам непосредственно в усло-
62
Fbiiii задачи, если эта задача полно поставленная, или же эта
теория имеется у решающего в виде системы знаний той об-
ласти, к которой принадлежит заданная задача, если она яв-
ляется обычной неполно поставленной. Будем в дальнейшем
эту группу называть кратко — группа Т.
2. Группа истинных высказываний — тех частных, кон-
кретных условий (данных), которые заданы в задаче (груп-
па Д).
3. Группа правил логических преобразований высказы-
ваний и образования сложных высказываний (правил вы-
вода) (группа П).
4. Группа особых, специальных преобразований и дей-
ствий по решению задач, которые исторически выработаны
коллективным многовековым опытом людей в процессе ре-
шения задач (группа С).
Рассмотрим характер элементов всех этих групп.
Об элементах групп Т и Д мы уже достаточно много го-
ворили в главе 1 (§ 3 и 4), и нет смысла повторяться. Что же
касается элементов группы П, то среди них надо различать
две подгруппы: к первой относятся все те общелогические
Правила вывода и преобразований высказываний, в резуль-
тате которых из истинных высказываний получаются также
истинные высказывания. Эти элементы группы П образуют
подгруппу дедуктивных логических пра-
вил.
Ко второй подгруппе общелогических правил преобра-
зований высказываний относятся те, в результате которых
получаются вероятные высказывания (не всегда досто-
верно истинные). К этим правилам относятся, в частности,
правила индуктивных выводов и выводов по аналогии. Весь-
ма подробное исследование правил преобразований этой
подгруппы имеется в книге Д. Пойа (1957). Назовем эту
подгруппу П, следуя Д. Пойа, подгруппой правдопо-
добных логических правил.
Если характер и особенности элементов всех предыду-
щих групп достаточно хорошо определены и весьма широко
изучены, то элементы группы С весьма плохо определены и
характер их очень мало изучен.
Большинство этих правил и преобразований для реше-
ния задач создавались эмпирически в опыте многих поко-
лений людей, о чем свидетельствует хотя бы тот факт, что
многие из этих правил приняли форму широкоизвестных
^поговорок и пословиц. Д. Пойа в своей книге «Как решать
63
задачу» приводит несколько десятков таких пословиц на
английском языке. Вот, например, некоторые из них в пере-
воде на русский язык с комментариями Д. Пойа: «О б д у-
май цель, раньше чем начать... К сожалению,
не все считаются с таким хорошим советом, и люди начи-
нают делать предположения, обсуждать и даже суетливо
браться за дело, не поняв как следует, какой цели они долж-
ны добиться.
С началом считается глупец, о конце
думает мудрец. Если мы не уяснили себе конечной
цели, нетрудно при решении задачи сбиться с пути, а затем
и вовсе забросить ее.
Мудрый меняет свои решения, дурак
никогда. Если мы терпим неудачу, приходится пробо-
вать другие средства.
Мы часто напряженно думаем, чтобы припомнить требуе-
мое, однако иногда, когда приходит в голову мысль, кото-
рая могла бы быть полезной, мы не всегда принимаем ее во
внимание, ибо она кажется нам очень заурядной. У знатока,
возможно, не больше мыслей, чем у неопытного человека,
но он лучше взвешивает достоинства своих мыслей и умеет
лучше использовать их... Мудрый превратит
случай в удачу.
Иными словами, преимущество знатока, возможно, в
том, что он всегда начеку и лучше подмечает благоприятные
возможности. Подмечай главную возмож-
ность.
Желаемое мы охот и о принимаем за
действительность. Наш план обычно дает лишь
общий контур решения. Надо убедиться, что детали соот-
ветствуют контуру; поэтому мы должны внимательно рас-
смотреть каждую деталь, одну за другой» (1961, с. 100—102).
Группа С состоит из двух подгрупп: из подгруппы о б-
щ и х преобразований и действий по решению задач и из
подгруппы частных преобразований и действий по ре-
шению отдельных видов задач. Неоднократно делались по-
пытки как-то систематизировать все эти правила преобра-
зований. Попытки систематизации общих правил имеются
в работах Р. Декарта (1936, 1953), Ж- Адамара (1957) и
других, а из современных авторов, пожалуй, наиболее удач-
ной следует считать работу Д. Пойа (1961). Частные прави-
ла систематизировались лишь для решения математических
и в какой-то степени физических задач. Можно указать на
64
работы М. Д. Осинского (1915),; И. А. Гибша (1958),
К. К- Михайловой (1961, 1962), Е. Ф. Даниловой (1958) и
угих.
г др Хар актер элементов группы С отличается совершенно
недостаточной определенностью. Так, например, общее пра-
вило, идущее еще от Б. Паскаля: «Заменить термины их
(определениями», является, пожалуй, более определенным,
[чем многие другие, но и в нем неясно, все ли встречающиеся
термины нужно заменять их определениями, а если не все,
го какие нужно заменять, а какие не нужно. К тому же
эдиы и тот же термин имеет зачастую не одно определение,
1 несколько: каким из этих определений нужно заменить
данный термин? Чем при этом следует руководствоваться?
Никаких указаний по всем этим вопросам в самом пра-
лтле нет.
А вот правило, идущее от Р. Декарта: «Нужно дробить
каждую из трудностей, которые мы разбираем, на столько
«астей, на сколько можно, чтобы их лучше разрешить», или
Весьма близкое правило: «Если вопрос вполне понят, нуж-
но освободить его от всякого излишнего представления,
дать ему самое простое выражение и разделить с помощью
Перечисления на столько частей, на сколько это возможно».
Какие представления являются излишними? Какое выраже-
ние вопроса является самым простым-5 Эти и многие другие ,
Вопросы возникают при попытке применить указанные пра-
вила при решении задач, а ответа и i них мы нигде, к сожа-
лению, не найдем.
Вот другое правило Декарт, важность которого несом-
ненна: «Полезно чертить фигуры и предлагать их чувствам,
чтобы помочь вниманию», по и оно, конечно, весьма неопре-
деленно, ибо неясно, какие фигуры и когда следует чертить.
Несколько более определенны частные правила для ре-
шения отдельных видов задач. Вог как, например, форму-
лируется одно m таких правил:
1. Установить равенство отрезков
ложно, доказав:
а) что при наложении они совпадают всеми своими точ-
ками;
б) что они являются соответствующими сторонами рав-
ных фигур;
Е в) что они являются сторонами треугольника, лежащи-
[ми против равных'углов, и т. д. Всего перечислено 15 пунк-
втов (М. С. Бернштейн, 1941, с. 27—28).
65
В отличие от общих правил — элементов группы С -
это частное правило сформулировано достаточно четко i
определенно. В нем указаны почти с исчерпывающей полно
той все способы, которые можно применить для доказатель
ства равенства отрезков.
Но при каких условиях следует применять тот или ино!
способ? Эти условия нигде пока не сформулированы, хотя
сделать это принципиально возможно. Однако можно так
же предвидеть, что такая формулировка окажется настоль
ко сложной, что вряд ли она чем-либо может помочь в обу
чении. В практике обучения некоторые учащиеся усваиваю!
невысказанные и нигде не сформулированные условия при
менения как общих, так и частных правил преобразована
и действий по решению задач эмпирически — в процесс
решения многих сотен и тысяч задач, в процессе многолет
него обучения. Тем самым у них вырабатывается то качест
во, которое обычно именуется интуицией (в данно
случае — математической). У значительной же части учг
щихся, несмотря на то что они тоже решали многие сотн
тех же самых задач, такая интуиция не вырабатывается ил
вырабатывается в очень малой степени, и при встрече с нс
вой задачей они зачастую становятся в тупик и не знают,
чего начинать поиск ее решения.
Это, конечно, показывает слабость традиционной методи
ки обучения. Но вряд ли поэтому следует впадать в край
ность и вообще отрицать возможность разработки тако;
системы обучения, которая обеспечивала бы формирование
необходимой интуиции (в частности, математической) у по
давляющего большинства учащихся. А такой взгляд в на
стоящее время весьма распространен в среде учителей и ме
тодистов. Так, например, С. И. Туманов в предисловии 1-
своей книге «Поиски решения задачи», в которой показыва
ет, как следует искать пути решения элементарных матема-
тических задач, пишет: «Разумеется, вы не станете думать,
что в этом пособии дается гарантированный метод,^ позво-
ляющий догадываться о путях решения задачи в любых
случаях. Такого метода нет и не может быть» (1969, с. 3).
Ко нечно, такого метода в настоящее время действительно
нет, но почему автор уверен, что его и не может оыть? Ведь
речь идет о методе догадываться, какой путь реше-
ния можно применить при встрече со школьной зада-
чей. В будущем 1акой метод, возможно, будет найден и мы
66
1
научимся так обучать школьников, чтобы необходимая ин-
туиция у них вырабатывалась.
Среди элементов группы С кроме рассмотренных выше
двух подгрупп (общих и частных правил преобразований и
действий по решению задач) имеется еще одна подгруппа,
которую можно рассматривать и как самостоятельную груп-
пу — это подгруппа элементов прошлого опыта субъекта по
решению задач в виде хранимых в его памяти условий задач
и планов их решения (подгруппа личностного опыта субъек-
та по решению задач).
Элементы этой подгруппы представляют собой по сути
дела правила преобразований и действий по решению задач
определенного вида, но явно не сформулированные. Оче-
видно, в памяти субъекта вместе с задачей и планом ее ре-
шения хранится и результат анализа этого решения в форме
общего представления. Соотношение конкретной задачи с
этим общим представлением помогает решающему найти
нужные действия.
Элементарные шаги деятельности по решению *адач со-
стоят из сочетания элементов указанных четырех групп
высказываний и правил. Структура элементарных шагов
определяется характером этого сочетания. Возможны, на-
пример, такие структуры элементарных шагов:
1. Применить к определенному элементу группы Д,
г. е. к тому или иному условию задачи, определенное пре-
образование — элемент группы С.
2. Сочетать какой-то элемент группы Д или некоторую
совокупность этих элементов с элементом подгруппы субъек-
тивного опыта по решению задачи (т. е. с ранее решенной
задачей или ее частью) группы С и, применяя к этому соче-
танию некоторый элемент подгруппы правдоподобных логи-
ческих правил (например, правило аналогии или какое-либо
другое) группы П, получить вероятностный вывод.
3. Сочетать определенный элсмен г группы Д с некоторым
элементом группы ’Г (т. е. с каким-то знанием — тождест-
венно-истинным высказыванием) и, применяя к этому соче-
танию определенный элемент подгруппы дедуктивных логи-
ческих правил множества [ 1 (т. е. какое-то правило логиче-
ского вывода или правило логической операции), получить
достоверный вывод в виде нового высказывания и т. д. и т. п.
Реализация каждого такого сочетания и представляет
собой элементарный шаг деятельности. Их совокупность об-
разует всю деятельность по решению данной задачи.
67
§ 11. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ
И ЭВРИСТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
В ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Можно различать два принципиально различных способа
деятельности по решению задач: алгоритмический и неалго-
ритмический (эвристический). Первый характеризуется тем,
что решающий осуществляет свою деятельность по решению
данной задачи в соответствии с известным ему алгоритмом,
а второй характеризуется отсутствием у решающего такого
алгоритма, и главная составная часть его деятельности со-
стоит в поисках плана, способа или метода решения данной
задачи. То, что найденный им способ решения может пред-
ставлять собой объективно некоторый алгоритм, не меняет
психологической сущности его деятельности.
В предыдущем параграфе мы высказали мысль о том, что
процесс решения задач состоит из последовательности эле-
ментарных шагов.
Элементарные шаги, из которых состоит деятельность
по решению задач, могут быть двух различных типов:
1) шаги, реализация которых представляет собой достовер-
ный вывод; 2) шаги, реализация которых представляет собой
лишь правдоподобный (не гарантированно достоверный)
вывод. Деятельность, состоящая из одних шагов первого
типа, всегда приводит к нужному решению, между тем по-
следовательность шагов, среди которых имеются шаги вто-
рого типа, приводит к нужному решению не всегда.
Последовательность элементарных шагов первого типа,
всегда приводящая к решению любой задачи некоторого
вида, является алгоритмом решения задач этого вида. Отме-
тим, что такое истолкование алгоритма целиком совпадает
с обычно применяемым в математике толкованием. Напри-
мер, А. А. Ляпунов так определяет алгоритм: «Алгоритмом
для решения предложенной задачи называется объединение
элементарных актов и проверяемых условий, которые обес-
печивают такой порядок работы (т. е. проверка условий и
выполнение элементарных актов), который при любых на-
чальных данных, т. е. исходной информации, приводит к
правильному ответу» (1958, с. 8).
Если же в последовательности элементарных шагов, из
которых состоит решение задач некоторого вида, имеются
шаги второго типа (наряду с шагами первого типа), то эту
68
юледовательность можно назвать эвристической
схемой решения задач данного вида.
Алгоритмы, используемые для решения задач в учебной
практике, имеют свою специфику.
Состоит она в том, что эти алгоритмы реализует человек,
в частности ученик, между тем как реализация математиче-
ского алгоритма рассчитана на машину (абстрактную или
фактическую). Чтобы отметить эту специфичность, были
предложены два термина: «учебный алгоритм»
и «предписание алгоритмического т и -
п а», или, кратко, «алгоритмическое предпи-
сан и е».
Оба эти термина не очень удачны. Первый лишь указы-
вает на область использования алгоритма в учебном процес-
се, но не отмечает его специфику. Второй термин содержит
тавтологию.
К сожалению, никакой лучший термин пока не предло-
жен, и поэтому мы будем пользоваться термином «учебный
алгоритм» или просто «алгоритм», имея в виду алгоритмы,
реализуемые человеком.
Основное отличие этих учебных алгоритмов от обычных
математических состоит в том, что в числе элементарных
операций, составляющих отдельные шаги учебных алгорит-
мов, могут быть такие, которые апеллируют к содержанию,
к смыслу рассматриваемых объектов, что, конечно, совер-
шенно недопустимо в математических алгоритмах. Так, на-
пример, операция: «Выбрать среди данных портретов порт-
рет известного вам человека (скажем, А. С. Пушкина)» —
является элементарной для любого учебного алгоритма, а
для математического — это сложнейшая и пока еще цели-
ком не решенная задача.
Под учебным алгоритмом мы будем понимать предписа-
ние, пользуясь которым любой ученик, имеющий опреде-
ленные необходимые знания и точно выполняющий это пред-
писание, правильно решит любую задачу данного вида. Это
предписание состоит из указания определенной последова-
тельности преобразований (операций), которые необходимо
проделать над условиями задачи (шаги алгоритма), и логи-
ческих условий, указывающих, в каком случае следует при-
менять тот или иной шаг алгоритма и в каком порядке.
Отсюда понятно, что не всякое указание (правило) для
решения задач можно назвать учебным алгоритмом. Для
этого оно должно удовлетворять следующим требованиям:
69
' I. В нем точно перечислены все операции, которые сле-
дует произвести, чтобы решить поставленную задачу, и ука-
заны условия, определяющие порядок применения этих опе-
раций.
2. Каждая операция и каждое условие точно определе-
ны.
3. Каждая операция однозначно выполнима.
4. Люди (учащиеся), для которых дается данное ука-
зание, владеют всеми операциями, перечисленными в
указании.
5. Точное выполнение всех указанных операций с уче-
том условий их выполнения и порядка всегда приводит к
решению любой задачи данного вида.
Приведем некоторые примеры операций, из которых мо-
гут состоять шаги учебных алгоритмов:
1. Выполнение известных учащимся действий над дан-
ными предметами
2. Выполнение известных учащимся логических опе-
раций.
3. Измерение предмета с помощью указанной меры.
4. Подстановка указанных данных в известную формулу .
5. Построение чертежа или рисунка фигуры или тела
по его словесному описанию и по известным данным и т. д.
Примеры логических условий, которые могут входить в
учебные алгоритмы:
1. Установление наличия или отсутствия у данного
предмета известного признака.
2. Сравнение двух данных предмсюв по известному при-
знаку.
3. Выбор из данной совокупности предметов такого,
который обладает каким-то признаком, и т. д.
Заметим, что под предметами мы здесь понимаем как
вещи и явления, так и слова и образы, их обозначающие.
Теперь рассмотрим вопрос о том, в каком случае задачу
можно назвать задачей алгоритмического типа. Или, иначе
говоря, в каком случае следует считать, что для решения
задачи нам известен (дан) алгоритм? При этом надо иметь
в виду, что алгоритм решения может быть задан в различ-
ных формах, например в форме словесной программы вы-
полнения всех элементарных шагов по решению задачи с
указанием условий их применения (эту-то форму обычно и
называют алгоритмом), в форме инструкции по работе с таб-
лицей, в виде формулы и т. д.
70
Различие между первым способом задания алгоритма (в
виде ирограммы) и остальными (в виде инструкции, правила,
формулы и т. д.) заключается в том, что первый способ
является развернутым, между тем как остальные являются
свернутыми способами задания алгоритма. Здесь имеется
в виду то, что человек (и машина) может осуществлять свою
деятельность по решению задачи лишь развернуто по вре-
мени, дискретно, выполняя одно действие (элементарный
шаг) за другим. Иными словами, осуществление деятельно-
сти по решению задачи может производиться лишь по той
программе, в которой каждое действие отделено (по време-
ни) от следующего.
Алгоритм, заданный в форме словесной, развернутой '
программы, представляет собой уже готовую программу
деятельности по решению задачи, между тем как алгоритм,
заданный в виде формулы, правила и т. д., такой програм-
мы не представляет: в нем эта программа лишь задана, но
не дана.
Человеку, который осуществляет свою дся!ельность
по формуле, таблице, правилу и т. д., еще надо выявить
и составить эту программу деятельности. *
Однако это различие не является принципиальным, ибо
независимо от того, в какой форме задан алгоритм, деятель-
ность по решению задачи в соответствии с этим алгоритмом
будет носить алгоритмический характер.
Из каких частей состоит деятельность по решению зада-
чи, если известен алгоритм ее решения? Естественно, что
с самого начала необходимо распознать вид задачи, устано-
вить, какой именно алгоритм можно применить для ее ре-
шения. Если алгоритм решения задан в неразвернутом виде,
например в виде формулы, то составной частью этой дея-
тельности является развертывание этого алгоритма —
составление программы. Завершающей частью деятель-
ности является реализация алгоритма — программы реше-
ния задачи.
Рассмотрим простейший пример.
Допустим, ученику известны формулы корней квадрат-
ного уравнения и ему дается задача в такой формулировке:
«Решить квадратное уравнение 2х2+4%—5=0».
Тогда деятельность ученика по решению этой задачи со-
стоит из таких частей:
1. Распознавание вида задачи (в данном случае оно
^водится к узнаванию вида задачи по ее формулировке).
71
2. Затем ученик должен вспомнить формулы корней
квадратного уравнения и выбрать наиболее подходящую
для данного случая. Пожалуй, наиболее подходящей будет
в данном случае формула
— fe ± У^-ас
, Ь
где k = -у .
3. Теперь ученик должен мысленно или явно составить
программу реализации того алгоритма, который задан этой
формулой.
4. Наконец, он должен осуществить эту программу —
реализовать составленный алгоритм и тем самым решить по-
ставленную задачу.
Как обычно, он должен после решения произвести ана-
лиз этого решения.
Теперь пусть та же задача будет задана в такой форму-
лировке: «Решить уравнение 2х2+4х—5=0».
Что изменится в деятельности ученика? Главное изме-
нение будет заключаться в том, что сначала ученик должен
сам установить, что ему дано квадратное уравнение.
Еще более усложнится начало деятельности по решению
задачи, если задача будет задана в какой-либо нетрадицион-
ной форме, например так: «При каких значениях х много-
член 2х2+4,г—5 обращается в нуль?»
Заметим, что распознание вида задачи, выбор наиболее
удобной формулы для ее решения, составление алгоритма —
программы реализации решения — все эти части деятельно-
сти по решению задачи, для решения которой известен ал-
горитм, носят неалгоритмический характер, ибо в них много
эвристических элементов. Вместе с тем отметим, что в дея-
тельности человека по решению задач неалгоритмического
характера, т. е. таких, для которых ему не известен алго-
ритм решения, содержатся, как правило, в виде составных
частей алгоритмические элементы.
Например, для разложения целых многочленов на ра-
циональные множители ученику средней школы не дается
никакого алгоритма. Обучение разложению на множители
производится путем демонстрации разных приемов разложе
ния на примерах. При этом ученикам не дается и никакого
алгоритма распознавания, в каком случае следует приме
нять тот или иной прием.
Представим теперь, что ученику дается задача: «Разло
жить многочлен х*+х24~1 на множители».
72
К Примерный ход рассуждений ученика (хорошо успеваю-
щего) будет таков: «Общего одночленного множителя члены
ГДаиного многочлена не имеют. Ни одна из формул сокращен-
ного умножения непосредственно не подходит... Сделать
группировку членов? Но членов всего три, как же можно
их группировать?.. Вероятно, нужно что-то добавить, не
меняя значения многочлена... Многочлен очень напоминает
квадрат суммы, но средний член не тот. Попробуем приба-
вить и вычесть по х1 2 *, с тем чтобы получить квадрат суммы.
Получим: х4+2х2+1—х2».
До сих пор деятельность ученика носила эвристический
характер, если не считать момента тождественного преоб-
разования многочлена, представляющего собой уже алго-
ритмический элемент. Дальше же, когда ученик первые три
члена заменяет на (х2+1)2, а затем разность (х2+1)2—х2 рас-
кладывает на произведение суммы и разности оснований,
его деятельность носит уже чисто алгоритмический ха-
рактер.
Таким образом, мы видим, что деятельность по решению
;адач как алгоритмического, так и эвристического типа со-
держит и алгоритмические и эвристические элементы. Толь-
ко в задачах первого типа преобладают алгоритмические
элементы, а в задачах второго типа — эвристические эле-
менты .
Что же представляют собой эвристические элементы, ко-
юрые имеются в деятельности по решению любой задачи?
Мы уже указывали, что эвристические элементы деятель-
ности по решению задач представляют собой элементарные
шаги этой деятельности, носящие правдоподобный харак-
iep Е
В первую очередь, должно быть, вступают в действие те
эвристические элементы, которые направлены на поиск под-
ходящего объекта (задачи или ее части) из предшествующе-
го опыта по решению задач для сравнения, сопоставления
с данной задачей.
Если такой объект отыскивается, то дальнейшее дейст-
вие заключается в сочетании найденного объекта с данной
1 Мы не касаемся здесь более общих вопросов о сущности эвристики и
эвристической деятельности, об эвристических программах и эвристи-
ческом программировании. Все эти вопросы являются в настоящее
время предметом широкой дискуссии как’в нашей, так и в зарубежной
печати.
73
задачей путем определенного правдоподобного логического
правила (например, аналогии), с тем чтобы получить правдо-
подобный вывод о возможности использования соответст-
вующего этому объекту метода для решения данной задачи.
Если же в опыте субъекта, решающего задачу, не оты-
скивается подходящий объект для сравнения с данной зада-
чей, то применяются эвристические элементы по ее преобра-
зованию. Это, с одной стороны, преобразования, осуществ-
ляемые по общим правилам преобразований, например:
«вычленить требование задачи», «заменить данный термин
его определением», «расчленить данное условие на части» и
т. д., а с другой — преобразования, осуществляемые на
основе частных правил. При этом последние детерминируют-
ся установленными в процессе предыдущих преобразований
требованием и оператором задачи.
В целом все эти преобразования направлены на анализ
условия задачи и на построение различных моделей данной
задачи.
Конечно, приведенная характеристика эвристических
элементов деятельности по решению задач чересчур обща и
недостаточно определенна. Это объясняется большей, по
сравнению с алгоритмической деятельностью, сложностью
эвристических элементов. Некоторые уточнения этой ха-
рактеристики мы попытаемся сделать в последующих па-
раграфах
§ 12. ОРИЕНТИРОВОЧНАЯ
ОСНОВА ДЕЙСТВИЙ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Деятельность по решению задач можно анализировать с
разных точек зрения. Выше мы ее исследовали с точки зре-
ния макро- и микроструктуры, характера (алгоритмическо-
го и эвристического) действий ее составляющих. Сейчас рас-
смотрим решение задач с точки зрения теории умственных
действий.
Возможность рассматривать деятельность по решению
задач как умственное действие очевидна, так как умствен-
ное действие определяется как некая самостоятельная еди-
ница психической деятельности, состоящая из совокупности
различных операций, выполняемых в определенном поряд-
ке в соответствии с какими-то определенными правилами.
74
Умственное действие всегда направлено на осуществление
какой-то цели (см.: Н. Ф. Талызина, 1969, с. 63—64).
Деятельность по решению задач — психическая дея-
тельность, при этом процесс решения отдельной задачи со-
ставляет самостоятельную единицу этой деятельности. Опе-
рациями, из которых состоит каждое умственное действие,
применительно к решению задач в нашей терминологии, яв-
ляются элементарные шаги, а правилами — рассмотренные
выше алгоритмические и эвристические элементы процесса
решения задачи. Наконец, ясно, что решение задачи имеет
всегда вполне определенную цель — осуществление требо-
ваний задачи, а основной целью процесса решения является
отыскание этого решения.
Рассматривая процесс решения задачи как умственное
действие, мы должны расчленить все операции (элементар-
ные шаги), его составляющие, на три группы: ориентиро-
вочные, исполнительные и контрольно-корректировочные.
В чем состоит содержание и роль каждой из этих частей?
Всякая задача, которую должен решить человек, пред-
ставляет собой поле его деятельности Получив задачу,
человек сначала как бы осматривает это «иоле» со всех сто-
рон, пытается увидеть то, что сразу не бросается в глаза.
По мере ознакомления с задачей, по мере проникновения в
ее содержание, в ее сущность он начинает «примерять» к ней
имеющиеся у него «средства действия». Эта примерка может
проходить разным образом. Человек может спрашивать
себя: «А не встречал ли я раньше такую задачу? Кажется,
да... А как я ее решал? Попробуем и эту так же решить...»
Или: «А к какому виду задач относится эта задача? Кажется,
к такому-то . Но эти задачи я знаю, как надо решать. На-
чнем решение...»
Иногда эта примерка может проходить и так: «Я не
знаю, как решить задачу. Но для отыскания способа реше-
ния задач этого класса надо сделать то-то и то-то... Попробу-
ем...»
После того как тем или другим способом человек найдет
план решения задачи, он приступает к его осуществлению,
все время соотнося выполняемые им операции с условиями
задачи, контролируя результаты операций с конечным тре-
бованием задач и, по мере надобности, внося необходимые
коррективы в процесс решения. Может случиться, что на
каком-то этапе этого процесса или после его завершения ре-
шающий убеждается, что выбранный план, способ решения
75
неверен или нерационален. Тогда снова начинаются поиски
в «поле деятельности», т. е. в условиях задачи, снова начи-
нается примерка «средств действия» и выработка нового
плана, нового способа решения. Заметим, что ошибочное
решение даром, как правило, не проходит: оно помогает
решающему глубже проникнуть в содержание задачи. Но,
конечно, так бывает не всегда. Часто эта ошибка не помо-
гает, а иногда даже запутывает дальнейшие поиски. Проис-
ходит это тогда, когда ошибочные решения не анализируют-
ся в достаточной мере, не вскрываются истоки ошибок.
Сейчас нам важно заметить, что в процессе решения лю-
бой задачи легко выделить все три указанные части: ориенти-
ровочную (анализ’задачи и поиск решения), исполнительную
(осуществление плана решения) и контрольно-корректи-
ровочную (проверка и анализ решения). При этом веду-
щей, главной частью, несомненно, является ориентировоч-
ная часть, которая намечает план, способ решения задачи.
Ориентировочная часть характеризуется в теории по-
этапного формирования умственных действий по многим па-
раметрам: по степени развернутости, полноте, форме зада-
ния, мере обобщения и т. д. Однако нам представляется, что
главным параметром, по которому следует различать ориен-
тировочные основы действий, является их содержание. Но
что следует понимать под содержанием ориентировочной
основы умственных действий?
Ориентировочная основа умственного действия — это,
как известно, совокупность таких указаний и ориентиров,
пользуясь которыми можно безошибочно выполнить данное
действие. При решении задач эта ориентировочная основа
действий выступает в качестве какого-то плана, способа,
метода решения или еще более широко — в качестве некоей
схемы, программы по отысканию плана или метода решения
данной задачи.
Выше мы уже указывали, что под планом мы понимаем
описание хода решения задачи, т. е. достаточно полное и
точное описание процесса ее решения, описание всех тех
преобразований условий задачи, всех тех операций, кото-
рые приводят к ответу задачи. Метод же или способ реше-
ния—это план решения не только данной конкретной
задачи, но и всех задач того вида, к которому мы отно-
сим данную задачу. Поэтому метод в отличие от плана со-
держит не только описание всех необходимых преобразова-
ний условий задачи для ее решения, но и указание всех
75
логических условий применимости каждого из преобразова-
ний (ориентиров) и, главное, указание всех признаков того
вида задач, решение которых может быть найдено этим ме-
тодом. Заметим, что в любом плане решения некоторой за-
дачи содержится в неявном виде некоторый метод решения,
частным случаем которого является этот план, но этот ме-
тод не выявлен, он скрыт.
Метод или способ решения задач зависит от характера
решаемых задач. Если эти задачи алгоритмического харак-
тера, то метод их решения может быть представлен в виде
учебного алгоритма.
Во всех же других случаях, когда учебный алгоритм не
существует или его составление нецелесообразно для ре-
шения задач данного вида, метод их решения может быть
изложен в форме особой эвристической схемы.
Эвристическая схема состоит из системы таких указаний и
ориентиров, пользуясь которыми человек при встрече с
задачей может составить план ее решения или даже алго-
ритмы решения всех видов задач этого класса. Будем первые
эвристические схемы называть схемами построения планов
решения задач некоторого класса, а вторые — эвристиче-
скими схемами построения учебных алгоритмов для задач
определенного класса.
Итак, по своему содержанию ориентировочная основа
действий по решению задач в зависимости от знаний реша-
ющего и характера задач может выступать в виде:
1) плана решения отдельных конкретных задач,
2) учебного алгоритма,
3) эвристической схемы построения планов решения за-
дач некоторого класса,
4) эвристической схемы построения учебных алгоритмов
решения задач каждого из видов некоторого класса.
Каждый из указанных четырех видов ООД (ориентиро-
вочной основы действия) охватывает различные по широте
совокупности задач. Если первый вид охватывает лишь от-
дельно взятые задачи, то последующие виды охватывают
все более широкие классы задач, при этом наиболее широкий
класс задач охватывает четвертый вид ОЭЦ.
От чего зависит выбор того или иного вида ООД для
решения той или иной задачи?
Мы уже говорили, что этот выбор зависит от характера
данной задачи, от того, является ли она алгоритмической
или нет. Но, конечно, этот выбор определяется не только и,
77
пожалуй, не столько характером задачи, сколько некото-
рыми другими обстоятельствами.
В первую очередь выбор ООД определяется тем, в кон-
тексте каких знаний мы рассматриваем данную задачу.
Рассмотрим в качестве примера такую задачу: «Решить
уравнение х3—2=0».
Мы можем эту задачу отнести к разным классам задач, и
в зависимости от этого ООД по решению этой задачи будет
совершенно разная. Например:
1. Если эту задачу рассматривать как задачу решения
приведенного кубического уравнения вида х3+рх+<7=0,
то метод ее решения, т. е. ООД, дается формулой Кардано:
3 / ~ -- - 8 / '
4+/£+£,+/
2. Если эту задачу рассматривать как задачу решения
двучленного уравнения третьей степени вида х3—а=0, то
ООД вместе со своей реализацией состоит в следующем:
а) раскладываем левую часть уравнения на множители,
рассматривая ее как разность кубов:
ijx3 — 2 = х3 — (/2)3 = (х — j/2)(x2 + x /2+ /4)" (
1 (Тогда наше уравнение принимает такой вид:
(х-/2)(х3 + х;/2+,/4) = 0;
б) воспользуемся теоремой о равносильности уравнения
вида PQ=0 совокупности двух уравнений: Р=0 и Q=0.
Получаем совокупность таких уравнений:
х — р/2 = 0 и х2 + х р/2+^/4 = 0;
в) решая теперь полученные линейное и квадратное
уравнения, найдем корни исходного уравнения:
г 3/2- х - У2 ±« /3)
Л1 — V Л2, 3-------2*----- .
3. Если данное нам уравнение рассматривать как общее
двучленное уравнение, то ООД и ее реализация уже имеют
другой характер:
а) преобразуем данное уравнение таким образом: х3=2;
б) представляем число, стоящее в правой части, в три-
гонометрической форме, получим:
x3=2(cos 0+i sin 0); ' -
78
\) отсюда имеем:
х = ^/2(cos0 + t sinO) = f/2 fcos-^-4-i sin-^Й ,
fc-S \ J 'J /
где k — 0, 1, 2.
Можно также эту задачу рассматривать и как задачу ре-
шения целого алгебраического уравнения и находить корни
известными приближенными методами (графическими и чис-
ленными).
Каждая из этих ООД представляет собой систему ука-
заний и ориентиров, обеспечивающую правильное выполне-
ние действия по решению задачи. В рассмотренном примере
каждая из ООД представляла собой учебный алгоритм.
Заметим, что такая неопределенность в выборе ООД воз-
можна лишь для неполно поставленных задач. Если же
нам была дана полно поставленная задача, то уже в самом
условии содержалось бы точное и исчерпывающее указание,
в системе каких знаний надлежит ее решать. В случае же
неполно поставленных задач таких указаний в условии за-
дачи нет и выбор системы знаний, на основе которых мы
будем ее решать, зависит от нас самих.
Чем же определяется сам выбор тех или иных знаний, в
контексте которых мы рассматриваем заданную нам задачу,
г. е. выбор той или иной ООД по решению этой задачи?
Очевидно, что этот выбор определяется тем, какими зна-
ниями обладает решающий, а также .мотивами решения этой
задачи (одно дело, например, когда эта задача решается как
экзаменационная, и совсем иное дело, если субьект решает
ее для себя, как вспомогательную задачу в какой-ю работе).
Если же говорить о выборе ООД для обучения, для фор-
мирования действия по решению задач некоторого класса,
то этот выбор определяется целями и характером обучения,
ролью этих задач в общем процессе обучения и другими об-
щепедагогическими и методическими соображениями и
фиксируется отчасти в программе обучения. Если изучить
современные программы средней школы, то обнаружим, что
для разных видов задач предусмотрено формирование раз-
личных видов ООД. Конечно, наиболее часто можно встре-
тить второй вид ООД (учебные алгоритмы), но встречается
и первый вид, и последние два вида в виде эвристических
схем (естественно, в другой формулировке).
В тех случаях, когда программа предполагает лишь по-
знакомить учащихся с решением задач некоторого класса,
79
не ставя цели овладения методом решения этих задач, т/е.
не ставя целью научить их выполнять во всех случаях те
действия, которые предусмотрены этим методом, можно и
нужно естественно ограничиться формированием ООД пер-
вого вида.
Например, в объяснительной записке к одной из тем
новой программы по математике имеется такое указание:
«Здесь желательно рассмотреть отдельные примеры нели-
нейных неравенств» (Программа по математике для средней
школы. «Математика в школе», 1968, № 2, с. 10).
Если следовать указанию программы, то для решения
нелинейных неравенств мы можем сформировать у учащих-
ся лишь ООД первого вида. При этом не следует думать,
что с точки зрения целей обучения ООД первого вида хуже
ООД других видов. По этому поводу А. Н. Колмогоров
писал: «Интересные и связанные с важными применениями
общие математические представления, закрепляемые разбо-
ром достаточно простых и естественных примеров, прочнее
сохраняются и больше помогут при возвращении к теорети-
ческим занятиям в вузе через несколько лет, чем быстро за-
бываемые узкоспециализированные навыки, относящиеся к
отдельным специальным видам задач» (1967, с. 10).
Конечно, с точки зрения формирования общелогических
и эвристических приемов мышления рассмотренные виды
ООД не равноценны, но ведь они и используются не только
для этого, а для обучения определенным знаниям, умениям
и навыкам — об этом не следует забывать.
Отметим еще следующее обстоятельство. П. Я. Гальпе-
рин различает два вида ООД: Со — «систему указаний и
ориентиров, соблюдение которых обеспечивает правильное
выполнение нового действия», и Од — «то, на что фактически
ориентируется ученик» при выполнении действия (1965,
с. 29—30).
До сих пор, говоря об ООД, мы имели в виду, по сути,
('.о. Как видим, Со умственных действий по решению задач
представляет собой как бы о б ъ е к т и в н у ю, норма-
тивную и программную ООД.
Выше мы установили виды Со, некоторые их особенности.
Что же касается Од, то заметим лишь следующее. Всякая
Од, конечно, формируется на базе некоторой Со — объек-
тивной ООД— и прямо зависит от нее, но, в каком бы виде
ни была дана ученику Со, он ее всегда преобразует и как
бы приспосабливает для себя. Если ему дается Со первого
80
вида, то он обычно стремится ее дополнить, пытаясь само-
стоятельно выявить содержащийся в плане метод решения.
В случае же когда ученику дается Со других видов, то
отдельные шаги он детализирует, разбивая их на более мел-
кие, а другие укрупняет путем их объединения, вносит ка-
кие-то изменения в логические условия и т. д. Короче гово-
ря, ученик всегда производит большую работу по приспо-
соблению для себя тех Со, которые ему д'аются. Без такого
приспособления эффективные Од не могут сформироваться.
Но, формируясь, Од все время меняется, преобразуется. Вы-
явление закономерностей формирования и изменения Од’—
задача будущих исследований.
Рассмотрим вопрос о методах конструирования ООД.
Когда речь идет об ООД первого или второго вида, здесь
особой проблемы не возникает, ибо в случае ООД первого
вида обучение сводится к показу решения отдельных задач,
а в случае ООД второго вида алгоритм решения задач дается
учащимся в готовом виде, а сам этот алгоритм берется из
соответствующей науки.
Иначе обстоит дело, когда мы должны или хотим сфор-
мулировать ООД третьего или четвертого вида.
Науки, соответствующие учебным предметам (математи-
ка, физика, русский язык и др.), не занимаются конструи-
рованием эвристических схем для решения задач. В науке
мы можем найти теорию решения этих задач, если она су-
ществует, и примеры решения отдельных задач рассмат-
риваемого класса. Что же касается эвристических схем,
которые нужно дать учащимся при обучении их решению
задач некоторого класса, то конструирование этих схем —
дело педагогической психологии и соответствующих
методик.
Метод конструирования ООД есть в то же время метод
исследования соответствующего действия и ее главной ча-
сти — ориентировочной основы. Теория конструирования
ООД есть, конечно, новая область общей теории поэтапного
формирования умственных действий. Основная проблема,
которая должна быть решена этой теорией, состоит в сле-
дующем.
Пусть необходимо сформировать у некоторой группы
учащихся определенное действие, при этом нам известны
все программные требования, которые к нему предъявля-
ются. Вот тогда и возникает проблема: как сконструировать
такую ориентировочную основу этого действия (третьего
81
или четвертого вида), на базе которой можно было бы сфор-
мировать у учащихся указанное действие, удовлетворяю-
щее всем программным требованиям?
Первый шаг в конструировании ООД состоит в установ-
лении для данного действия всех программных требований
к нему на основе анализа учебной программы и соответст-
вующих учебных и методических пособий Эти программные
требования показывают, на базе и в контексте каких знаний
и умений должно формиро-
[ Задача) | Программа обучения)
| Программные требования [
[Оператор и теория задачи)
[Модель задачи|
[ Метод решения)
[Указания /ориентиры)
[Эвристическая схема)
Рис. 4
ваться данное действие. Зная
это, мы можем установить
оператор задачи и ту теорию,
на базе которой она может
быть решена (второй шаг).
Третий шаг — построение,
модели класса задач, к ко-
торому относится данная за-
дача. Построение такой мо-
дели, или, по терминологии
П. Я. Гальперина,— общей
схемы (1969, с. 24), необходи-
мо, ибо, как показывают ис-
следования (П Я. Гальпе-
рин, Н. Ф. Талызина, 1968;
В. В. Давыдов, 1968, Л. Ф. Обухова, 1968), полноценное
формирование действий можег быть произведено лишь при
использовании в обучении схем-моделей решаемых задач.
Следующие шаги в конструировании ООД состоят в на-
хождении общего меюда решения, а затем в расчленении
этого метода на отдельные указания и ориентиры.
После этого можно оформить ООД в виде эвристической
схемы. Сконструированная ООД уточняется в процессе фор-
мирования действия, в процессе поэтапной обработки от-
дельных указаний, содержащихся в ООД.
Весь процесс конструирования ООД третьего или чет-
вертого вида можно представить в виде схемы, изображен-
ной на рис. 4.
Покажем теперь на одном примере применение этой схе-
мы для конструирования ООД. Для этого возьмем задачи,
рассмотренные в эксперименте, проведенном Л. Ф. Обу-
ховой.
Л. Ф. Обухова исследовала процесс формирования у
учащихся VI класса действий по решению задач, связанных
82
с давлением силы тяжести. При этом большая часть ее ра-
боты посвящена поискам ориентировочной основы этого
действия. Поиск этот производился Л. Ф. Обуховой эмпи-
рически, и в своей работе (1968) она весьма подробно опи-
сывает тот сложный путь, который ей пришлось пройти в
экспериментальном исследовании, чтобы, наконец, найти
удовлетворяющее ее ООД.
Посмотрим теперь, как можно теоретически сконструи-
ровать ООД для решения задач на давление, пользуясь
описанной выше методикой.
Согласно схеме конструирования ООД (см. рис. 4), надо
сначала установить программные требования к рассматри-
ваемым задачам.
Тема «Давление» занимает в курсе физики VI класса
довольно большое место. Такие понятия, как «сила давле-
ния», «давление силы тяжести», «давление», являются одни-
ми из основных физических понятий, которыми учащиеся
должны глубоко овладеть.
Связанные с этими понятиями задачи весьма разнообраз-
ны по тематике и структуре Учащиеся должны научиться
решать эти задачи быстро и безошибочно. Отсюда понятно,
что для формирования у учащихся действий по решению
этих задач ООД первого вида совершенно непригодна.
В то же время в силу разнообразия рассматриваемых
задач, среди которых встречаются и весьма сложные по сво-
ей структуре, построение для них единого учебного алгорит-
ма вряд ли возможно и наверняка нецелесообразно. Сле-
довательно, искомая ООД не может быть учебным алго-
ритмом.
Таким образом, искомая ООД для решения задач на дав-
ление должна быть сконструирована в виде некоторой эв-
ристической схемы. Характер этой схемы мы уточним в по-
следующем.
Теперь мы должны установить оператор и теорию задачи.
Система понятий и знаний (теория задачи), в контексте
которой решаются задачи, связанные с давлением силы тя-
жести, рассмотренные в эксперименте Л. Ф. Обуховой, из-
ложена в стабильном учебнике (А. В. Перышкии, II. А. Ро-
дина, 1969), и мы не станем ее здесь приводить. Сделаем
лишь одно уточнение.
Л. Ф. Обухова определяет давление следующим обра-
зом: «Давление (Р) — это часть силы давления (F), которая
приходится на 1 кв. см площади опоры (S)» (1968, с. 153).
83
В стабильном учебнике даетея примерно такое же определе-
ние: «Силу давления, действующую на единицу площади по-
верхности, называют давлением» (А. В. Перышкин,
Н, А. Родина, 1969, с. 80). Это определение несколько луч-
ше, но и оно не является вполне удачным.
Эти определения давления аналогичны широко быту-
ющим в школе определениям цены как стоимости единицы
товара, или скорости как части пути, пройденного телом за
единицу времени, или, что то же, как путь, приходящийся
на единицу времени, и т. д. Все эти определения и им по-
добные являются совершенно неудачными по следующим
соображениям.
В подобных определениях используется понятие «часть»
(явно или неявно). Но обычно часть понимается как подоб-
ное целому, лишь меньшее в некотором смысле. Так, часть
отрезка — это отрезок. Между тем часть силы давления
есть уже не сила давления, а давление (совсем другая вели-
чина). Точно так же часть пути, пройденного телом в едини-
цу времени (скорость), есть уже не путь, а совсем другая
величина и т. д.
Формулировка, принятая в стабильном учебнике, имеет
по сути дела тот же недостаток, ибо это определение можн®
так переформулировать: сила давления (обладающая таким-
то свойством) есть давление. Получается, что давление есть
сила давления.
Наконец, если давление есть часть силы давления, то
учащимся непонятно, почему часть имеет совсем иную раз-
мерность, чем целое.
Поэтому мы"будем придерживаться такого определения:
давление есть отношение силы давле-
ния к площади опоры.
Это определение нуждается в следующем разъяснении.
Явление давления возникает лишь тогда, когда имеются
два тела, из которых одно оказывает давление (можно ска-
зать, что это давящее тело) на другое, которое испытывает
давление. Давящее тело давит на другое тело с некоторой
силой перпендикулярно к его поверхности. Мы ограничи-
ваемся лишь случаем, когда силой давления давящего тела
является его сила тяжести (вес). Для того чтобы давящее
тело своим весом оказало давление на другое тело, оно
должно с ним соприкасаться — иметь некую общую поверх-
ность. Эту поверхность соприкосновения тел, участвующих
и явлении, будем называть опорой. Для рассматриваемого
84
случая давления силы тяжести опора всегда горизон
тальна.
Построим теперь модель рассматриваемого вида задач.
В простейшем случае мы имеем одно тело, оказывающее
давление, и одну опору. Этот случай можно изобразить
графически так, как показано на рис. 5, а. Здесь А —- тело,
оказывающее давление, В —
тело, испытывающее давление,
ab — опора, вектор MN —
сила давления (вес тела А).
В дальнейшем вектор силы
давления можно (не изобра-
жать, а величину силы запи-
сывать на графической моде-
ли рядом с обозначением те-
ла, оказывающего давление.
В tN
a f
Рис. 5
Если вес давящего тела -• сила давления — равен F, а
площадь опоры равна S, то давление р по определению вы-
ражается следующей формулой:
L <
F р = г
(1)

В наиболее общем случае давящее тело может состоять
из нескольких отдельных тел и иметь не одну, а несколько
опор.
На рис. 5, б изображен ступай, когда давящее тело со-
стоит из двух тел А и С и имеет три опоры.
Так как мы ограничиваемся случаем'давления силами
тяжести, которые можно считать параллельными и одина-
ково направленными векторами, то результатирующая сила
давления в данном случае раина сумме весов тел, из которых
состоит давящее тело. Общая же площадь опоры также рав-
на сумме площадей отдельных опор.
Пусть давящее тело состоит из п отдельных тел, вес ко-
торых соответственно равен Fb F2, ..., F„, и оно имеет
всего т опор, площади которых равны соответственно St, S2,
.... sm.
Тогда давление р будет выражаться следующей форму-
лой:
„___fit- £;i
Si -f-S2 . . + Sm *
(2)
85
Частными видами этой общей формулы являются не
только случай одного тела и одной опоры (формула (1)), но
и случай, когда мы имеем одно давящее тело и т опор (тогда
р
формула (2) принимает вид: р = „ , д ,-—=г-) или ког-
..................... ' г>! + д2-+-.. н-г> т
да давящее тело состоит из п отдельных тел, но опора одна
(тогда формула (2) принимает вид р — + у
Формула (2) и ее модификации могут рассматриваться
как знаковые модели данного вида задач, а рис. 5 — как
графическая модель этих же задач.
Теперь, когда мы провели анализ задач рассматривае-
мого вида и построк ли для них достаточно удобные модели,
можно приступить к построению ориентировочной основы
действия по решению этих задач, которую мы изложим в
виде эвристической схемы. Указания и ориентиры по ре-
шению этих задач будут указаны в схеме.
Эвристическая схема решения задач
на давление силы тяжести
тел на опору
1-й шаг. Произвести анализ явления, опи-
сываемого в задаче
а) Какие тела оказывают давление? Сколько их?
б) Какое тело испытывает давление?
в) Что служит опорой давящего тела? Сколько опор?
2-й шаг Нарисовать схему (модель) яв-
ления.
Каждое давящее тело изобразить прямоугольником. Ес-
ли тел несколько, то все прямоугольники строятся один над
другим в верхней части схемы. Тело, испытывающее давле-
ние, изобразить прямой ниже прямоугольников. Опоры
изобразить заштрихованными частями этой прямой.
3-й шаг. Расставить данные на схеме.
На схеме у каждого прямоугольника — давящего тела —
поставить его вес, если он дан, если он не дан, но его можно
вычислить, то сделать это; если же он неизвестен, то поста-
вить знак вопроса или какую-либо букву (х, у, .. .). То же
самое проделать у каждой опоры с ее площадью.
4-й шаг. Установить искомое задачи.
5-й шаг. Решить задачу, пользуясь фор-
м у'л ой (2).
88
Если неизвестное в’ задаче одно, то, пользуясь форму-
лой (2), найти его. Если же неизвестных больше одного, н©
они связаны между собой, то исключить сколько возможно
неизвестных; если после этого останется одно неизвестное,
то найти его; если же останется больше одного неизвестно-
го, то задача не может быть решена.
Конечно, каждый шаг этой схемы требует предваритель-
ной отработки с учащимися, а 5-й шаг — еще дополни-
тельных разъяснений для случая физических качественных
задач.
Рассмотренный нами пример эвристической схемы пред-
ставляет собой ООД третьего вида. Методика конструиро-
вания ООД четвертого вида аналогична. В диссертации
Б. А. Гохвата (1970), выполненной под руководством авто-
ра, приведены примеры конструирования таких ООД. Там
же показаны результаты экспериментального исследования
формирования у учащихся указанных ООД, которые ока-
зались весьма эффективными.
§ 13. МОДЕЛИРОВАНИЕ
КАК СРЕДСТВО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Решение задач можно рассм.привап, как процесс познания,
ибо в результате решения задачи субьеы узнает, как пра-
вило, что-то для себя новое.
Рассмотрим теперь, какие средова нотация использу-
ются при решении задач. Выше, в § 8 средства решения за-
дач мы разделили на три вида: специфические, логические
и эвристические. Затем в данной главе мы рассмотрели, как
эти средства образуют макро- и микросфуктуру деятель-
ности по решению задач, как они образуют алгоритмические
и эвристические элементы этой деятельности, ориентировоч-
ную ее основу.
Наиболее важной особенностью всех этих средств яв-
ляется то, что они выступают в форме различных преобра-
зований решаемой задачи и ее отдельных частей. С. Л. Ру-
бинштейн считал, что эти преобразования сводятся к пере-
формулированию задачи, а основная форма мышления,
осуществляющая это «переформулирование», есть анализ
через синтез, когда «объект в процессе мышления
включается во все новые связи и в силу этого выступает во
все новых качествах, которые фиксируются в новых поня-
тиях; из объекта, таким образом, как бы вычерпывается все
87
новое содержание; он как бы поворачивается каждый раз
другой своей стороной, в нем выявляются все новые свой-
ства» (1958, с. 98—99).
Анализируя эту характеристику, В. В. Давыдов указал
на ее недостаточность, ибо она не объясняет: «С помощью
каких средств субъект может ставить объект.в новые отно-
шения, открывая тем самым и новые качества? Какими
субъективными «рычагами» человек поворачивает предмет,
чтобы иметь возможность «вычерпывать» его качества»
(1972, с. 222). В. В. Давыдов считает, что для того, чтобы ха-
рактеристика процесса решения задач стала полной и адек-
ватной, необходимо рассматривать понятия «не только со
стороны уже обнаруженного и фиксированного содержания,
но и как специфическое средство действия субъекта по об-
наружению еще скрытых качеств объекта. Такая функция
принадлежит понятию в силу того, что оно является особым
видом моделей, создаваемых в процессе познавательной
деятельности людей. Перевод некоторого объекта в форму
модели позволяет обнаружить в нем такие свойства, кото-
рые невыявляемы при непосредственном оперировании с
ним» (там же, с. 223).
Для нас в этом высказывании В. В. Давыдова наиболее
важным является его указание, что в процессах решения
задач используемые средства познания выступают в форме
моделирования. Деистш цельно, мы уже говорили о том, что
процесс перехода проблемной ситуации к задаче есть моде-
лирование. Но анализ показывает, что и в процессе реше-
ния шдач субъект очень широко использует моделирование
как средство их решения.
Как показал Нгуен Ван Тханг в своей кандидатской дис-
сертации, выполненной под руководством автора (1975), да-
же в изложении уже найденных решений используется мо-
делирование. Результаты проведенного им анализа двух
пособий (Е. Б. Баховский, А. А. Рывкин, 1969; С. И. Ту-
манов, 1969), в которых изложены полные решения около
700 задач, показывают, что в 75% решений используется
моделирование. (В остальных решение производится по из-
вестным алгоритмам.)
Анализ процесса решения задач испытуемыми в наших
экспериментальных исследованиях показывает, что моде-
лирование используется в основном при решении неалго-
ритмических задач для преодоления возникающих в ходе
решения трудностей. Эти трудности могут быть, во-первых,
88
чисто психологического характера, связанные со слож-
ностью задачи, с тем, что для ее решения необходимо
представить себе все условия задачи, все связи и отношения
между данными и неизвестными в легкообозримой форме.
Для преодоления этих трудностей используются всевозмож-
ные модели в виде схем, чертежей и т. д., которые будем
называть вспомогательными моделями задачи.
При этом поиск решения и само решение проводится при
опоре на построенную вспомогательную модель.
Во-вторых, трудности могут быть содержательного ха-
рактера, когда для решения данной задачи испытуемый не
может найти соответствующего метода, и тогда он заменяет
эту задачу другой — ее моделью, которую можно назвать
решающей.
Заметим, что вспомогательные модели в школьной прак-
тике выступают в форме гак напиваемой краткой записи
условия. Однако это не идеингчные понятия.
Одно дело, когда мы говорим: «Запишите кратко условие
задачи» или «Сделайте чертеж задачи», и совсем другое дело,
когда мы требуем: «Постройте модель (схематическую, гра-
фическую, табличную или еще иную) данной задачи». В пер-
вом случае любая запись, дающая возможность вспомнить
условие задачи, будет уже краткой записью; любой чертеж,
лишь напоминающий ту фигуру, о которой идет речь в за-
даче, будет чертежом задачи. Во втором же случае не вся-
кая запись, естественно, будет моделью задачи и не всякий
чертеж может быть назван моделью. В частности, для по-
строения любой модели необходимо вычленить из задачи
все ее элементы, все ее отношения, установить искомое и
требование. А ведь именно в этом и заключается анализ
задачи. Поэтому-то требование построения модели зада-
чи будет направлять и организовывать подлинный, глу-
бокий ее анализ. А если при этом мы еще выберем удач-
ную форму модели, то тем самым продвинемся в решении,
ибо ведь само решение задачи и есть построение цепи
моделей данной задачи.
Приведем пример.
В одном методическом руководстве к задаче: «Для выпол-
нения некоторой работы нужно было нанять 6 человек на
15 дней. Но для ускорения работы наняты были сначала
9 человек, а через 5 дней еще 6 человек. Во сколько дней бы-
ла закончена работа?» — рекомендуется такая краткая за-
пись условия:
89
Вся работа
Выполнена
Рабочие Дни
6 15
9 5
94-6 ?
(см.: С. В. Филичев, Я Ф. Чекмарев, 1948, с. 8—9).
Если эту краткую запись рассматривать, не зная усло-
вия исходной задачи, то мало что можно понять в ней, и
сама по себе эта краткая запись ничем не поможет нам в
поисках решения задачи. Авторы в погоне за краткостью
потеряли смысл задачи, и тем самым эта запись (а такая за-
пись весьма распространена в школе) в лучшем случае мо-
жет помочь вспомнить условие исходной задачи.
Совсем другое дело, если мы построим модель этой за-
дачи, например, такую:
Объем
работы
Намечено [1
Фактически 1
Число
рабочих
6
9
(9+6)
Время
работы
(дни)
15
5
4 ?
По этой вспомогательной модели наглядно видно, какие
величины и моменты явления рассматриваются в задаче,
какие значения принимает каждая из величин в эти момен-
ты. Пользуясь этой схемой, нетрудно найти план и осущест-
вить решение задачи.
Что касается решающих моделей, то их необходимость
связана зачастую со следующим обстоятельством.
Любая задача требует использования специфических
методов и средств, которые были выработаны человечеством
в процессе исторической практики. Каждое средство реше-
ния задач принадлежит некоторой области знаний и поэто-
му излагается и усваивается субъектом на том языке, кото-
рый является языком этой области знаний. Поэтому каждой
задаче как бы соответствует определенный язык. Однако
та же задача может быть сформулирована и на других язы-
ках. Поэтому следует различать задачу, сформулированную
на соответствующем ей языке, и задачу, сформулированную
на другом языке. Первую назовем подлинной, а вто-
рую — задачей-описанием. Примером задачи-
описания является текстовая задача, широко используемая
90
в школьном курсе математики, а составленное по этой текс-
товой задаче уравнение есть пример подлинной задачи.
Когда необходимо решить задачу-описание, то естест-
венно, что для этого приходится строить соответствующую
ей подлинную задачу, которая и выступает в роли решаю-
щей модели.
В реальном процессе решения задачи применяются как
вспомогательные, так и решающие модели. При этом стро-
ится, как правило, не одна модель исходной задачи, а цепь
моделей. Приступая к решению задачи, решающий обычно
не знает метода ее решения. Он нащупывает его, прибли-
жается к нему в результате развертывания условия, в про-
цессе построения различных моделей задачи.
Вид и характер моделирования определяются главным
образом характером сформированных у субъекта эвристиче-
ских схем поиска решения и характером самой задачи. Эв-
ристические схемы, более общие, охватывающие широкий
класс задач, или более узкие, охватывающие лишь довольно
ограниченный класс задач, логически полные или состоя-
щие из расплывчатых и несистематизированных указаний,
каждый субъект осознанно пли большей частью неосознан-
но вырабатывает в процессе жизненной практики, в процес-
се решения многих задач.
Покажем на примере построение пени моделей задачи,
с тем чтобы выявить отдельные функции моделирования в
процессах решения задач.
Задача. Объем конуса в 2 раза больше объема впи-
санного в него шара. Найти угол между образующей и пло-
скостью основания конуса.
Предметная область этой задачи состоит из какого-то
конуса, шара и элементов конуса: образующей, плоскости
основания и угла между ними, а также величины объема
конуса, шара и упомянутого угла. Элементы предметной
области связаны такими отношениями: шар вписан в конус,
отношение объема конуса к объему шара равно 2. Требова-
ние задачи состоит в том, чтобы найти величину указанного
угла.
Можно предполагать, что данная задача является впол-
не определенной, а вот элементы ее предметной области:
конус и вписанный в него шар — нестрого определены, ибо,
очевидно, существует бесконечное множество конусов и
вписанных в них шаров, удовлетворяющих условию задачи,
а именно, что отношение их объемов равно 2. Ясно, что опе-
91 <
рировать такими бесконечными множествами конусов и
шаров весьма затруднительно, и поэтому необходимо как-то
конкретизировать условие, взяв в качестве объектов задачи
какие-то конкретные представители указанных бесконечных
множеств. Сделать это можно путем построения чертежа, на
котором мы изобразим вполне определенный конус и впи-
санный в него шар, рассматривая его как «произвольный
конус», удовлетворяющий условиям задачи.
Но пожалуй, можно строить не весь конус и вписанный
в него шар, а лишь их осевое сечение, представляющее собой
равнобедренный треугольник и вписанную в него окруж-
ность (рис. 6). Обозначив характеристические точки бук-
вами, мы сможем записать кратко, пользуясь принятыми
обозначениями, все условия задачи.
Дано: ДАВМ — осевое сечение конуса.
Oi(OiO) — сечение шара, вписанного
в конус.
Объем конуса vK.
Объем шара — уш.
(1)
/ \, Jok Найти: АВМ.
А1—Построенный чертеж (см. рис. 6) вме-
Рис. 6 сте с записями «дано - найти» образу-
ет вспомогательную модель данной зада-
чи. Эта вспомогательная модель, как мы видели, слу-
жит, во-первых, для того, чтобы конкретизировать условие,
превратить заданные в задаче нестрого определенные эле-
менты предметной области в строго определенные, а во-
вторых, представить условие задачи в наглядном и легко-
обозримом виде.
Чтобы найти величину угла АВМ, очевидно, нужно как-
то связать этот искомый угол с заданным отношением (1).
Для этого надо выразить объемы конуса и шара через этот
угол. Но одного угла для этого недостаточно. Поэтому при-
мем за известный какой-либо линейный элемент конуса
или шара. Пусть, например, радиус основания конуса
ОВ = г, а АВМ=х.
Тогда из ДСДОВ найдем:
0i0 = Hg| ,
(2)
ибо 01В есть биссектриса угла АВМ.
| Из A OMB найдем: 0M=r tg x. (3)
Теперь мы можем выразить объемы конуса и шара через
/их.
Имеем:
vK — 4- пгЮМ;
к з
с*ш=улО1С3.
Подставляя в эти формулы вместо ОМ и 010 их значе-
ния из (3) и (2), получим:
vs. = ynr3tgx;
kv«,=4^stg«|.
г Подставим найденные значения va и в (1), после уп-
щения получим:
1> tgx = 8lg»|. (4)
Получили тригонометрическое уравнение относительно
угла х, где 0<х<90° (5). г)'к> уравнение представляет собой
решающую модель исходной задачи. Решив это уравнение
при условии (5), мы тем самым решим незадачу 1.
Чтобы решить уравнение (4), надо перейти в левой и пра-
вой частях уравнения к одному и гому^же углу. Для этого
можно выразить tg х через tg *- . По известной формуле по-
лучим
или
ig|»4tg«-J(l-tg3|)'. (6)
Для упрощения решения полученного уравнения (6),
^обозначим tg-4 = t/, где г/>0(7) в силу условия (5).Тогда
: получаем такое уравнение относительно у.
у=4у3(1—у2). (8)
98
Уравнение (8) при условии (7) есть вторая решающая
модель исходной задачи, построенная для упрощения ре-
шения.
Из уравнения (8), учитывая условие (7), получим:
1 — 4г/2(1— уг)
или: 4г/4—4г/2+1 =0.
Отсюда (2у2—1)2=0
Тогда 2г/*—1 =0; г/2 = у; У=±-^-,
К2
л учитывая (7), получаем окончательно: у= 2 ,
Следовательно, tg .
Отсюда х = 2 arc tg .
Это и будет ответом данной задачи.
Заметим, что фактически в решении этой задачи мы ис-
пользовали моделирование не три раза, а более. Действи-
тельно, рассмотрим, например, как мы произвели переход
от уравнения 4г/4—4г/2+1=0 к уравнению (2г/2—1)2=0.
Ход мыслей решающего при этом был, должно быть,
таков: «Левая часть первого уравнения напоминает формулу
квадрата разности. Действительно, 4г/4 можно рассмат-
ривать как квадрат 2г/2, 4г/2 — как удвоенное произведение
2г/2 на 1, а 1 — как квадрат 1. Следовательно, левая часть
этого уравнения есть квадрат разности чисел 2г/2 и 1. Полу-
чаем второе уравнение».
Приведенное рассуждение (зачастую неосознаваемое)
представляет собой построение обобщенной модели левой
части первого уравнения, а именно: она рассматривается
как квадрат разности двух чисел.
Как видим, моделирование в процессе решения задач
выполняет весьма разнообразные функции и играет огром-
ную роль в поисках и осуществлении решения задач. Оно
является основным средством решения задач.
§ 14. О КУЛЬТУРЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
В заключение данной главы рассмотрим вопрос о культуре
решения задач и путях ее формирования.
Когда человек встречает задачу знакомого вида, то, при-
меняя соответствующий учебный алгоритм или эвристиче-
94
скую программу, он находит план решения этой задачи и
затем, осуществляя этот план, находит и само решение за-
дачи. Но что делает человек, когда он встречает задачу не-
знакомого вида?
Экспериментальная психология многократно описы-
вала то беспорядочное, «броуновское» — по выражению
П. Я- Гальперина, движение мысли, которое можно наблю-
дать при попытках испытуемых решить какую-либо задачу
незнакомого типа. Для обозначения такого способа поиска
можно применить известный термин — «метод проб и оши-
бок». Самой важной особенностью такого способа является
отсутствие достаточно полного и развернутого предва-
рительного анализа задачи. Человек, прочтя
задачу, вычленив из пес какую-то ее часть или • •
какую-то ее сторону, построив тем самым неко-
торую модель (не адекватную всей задаче), при-
ступает к решению. Убедившись, что оно яв- • •
ляется неверным, он делает другую пробу и сно- рис. 7
ва ошибается, затем третью, и так до тех пор,
пока или не оставит всякие попытки решить задачу, или
случайно не найдет правильного решения.
Очень показателен в этом oiношении эксперимент
Я. А. Пономарева. Он предлагал более* 600 испытуемым сле-
дующую задачу: «Даны четыре точки (рис. 7); требуется
провести через эти четыре точки три прямые линии, не от-
рывая карандаша от бумаги, так, чтобы карандаш возвра-
тился в исходную точку» (1960, с. 133- 138).
Испытуемые, по утверждению Я. А. 11ономарева, не
смогли в течение 10 минут найти правильное решение зада-
чи: «Все без исключения испытуемые после ряда попыток,
подобных тем, которые изображены па рис. 3, прекращали
решение и признавали задачу нерешаемой» (там ж е,
с. 139). Если рассмотреть рисунок, приведенный Я. А. По-
номаревым, иллюстрирующии эти попытки, то убедимся,
что все испытуемые действовали методом проб и ошибок.
Не произведя полного анализа задачи, уловив в ней одни
из условий и не учтя остальных, они, естественно, не смогли
найти правильного решения. Так, в попытках 1, 2, 3, 7
(рис. 8, воспроизводящий рис. 3 из работы Я. А. Пономаре-
ва) испытуемые не учли условия, что карандаш должен вер-
нуться в исходную точку, иными словами, что искомая фи-
гура должна быть замкнутой; в попытках 5, 6, 9 — забыли
про условие, что надо провести лишь три прямые, и т. д.
95
Результат своего эксперимента Я. А. Пономарев объяс-
няет тем, что «для достижения успеха надо было «вырвать-
ся» за пределы участка плоскости, ограниченного точками,
однако это никому «не приходило в голову» — все остава-
лись внутри данного участка» (там] ж]е). Разъясняя это
свое утверждение, Я. А. Пономарев пишет: «Как гипотеза
1 2 3 И 5 67 8 9 10 11
Рис. 8
было выдвинуто соображение, согласно которому трудность
задачи «четыре точки» возникает по той причине, что эле-
менты наглядно данного компонента ее условий (комплекс
точек) воспроизводят у испытуемого чрезвычайно упрочен-
ные эмпирически обобщенные приемы (глубоко автоматизи-
- рованные сенсомоторные навыки), определяющие собой не
только характер зрительного восприятия комплекса точек
(как вершин воображаемого квадрата), но и особый харак-
тер внешнего действия испытуемого в отношении этих то-
чек» (гам же, с. 152).
> Я. А. Пономарев провел очень сложное и тщательное
экспериментальное исследование для того, чтобы доказать
высказанную им гипотезу. Однако встает вопрос, какую
сторону рассматриваемого психологического явления отра-
жает выявленная им закономерность.
Дело в том, что в психической деятельности, исследуе-
мой в эксперименте, можно, условно расчленяя ее, разли-
чать по крайней мере четыре компонента:
1) родовой компонент — наиболее инвариант-
ный. Это тот компонент рассматриваемой психической дея-
тельности, который является в данное время всеобщим для
испытуемых,— тот способ психической деятельности, ко-
торого достигли на сегодняшний день люди для осуществ-
ления определенной цели деятельности;
2) обучаемый компонент — менее инвари-
антный компонент, который является результатом специ-
фики условий и способов обучения данной деятельности,
принятых в данное время, и который меняется при изме-
нении характера и методов обучения;
06
1
компонент — вариа-
который определяется индивидуаль-
компонен т,— наконец, наи-
3) индивидуальный
ивный компонент,
1ыми особенностями испытуемого;
4) случайный
юлее вариативный компонент, который определяется осо-
бенностями обстановки эксперимента, особенностями со-
;тояния испытуемого в момент эксперимента.
В результате любого эксперимента мы получаем слож-
1ый конгломерат этих четырех компонентов психической
[еятельности испытуемого по решению предложенной ему
адачи. Формулируя на основе результатов эксперимента
•у или иную закономерность, следует отдать себе отчет, к
сакому из указанных компонентов рассматриваемой дея-
тельности относится эта закономерность.
В частности, какую сторону деятельности по решению
|адач отражает закономерность, установленная Я. А. По-
номаревым?
। Чтобы установить это, мы повторили эксперимент с за-
дней «четырех точек» с группой испытуемых. Из всех испы-
туемых этой группы мы отобрали 28 человек, которые не
нали способа решения этой задачи и не могли ее решить
с хода».
Убедившись, что испытуемые не могут за 5—7 минут
гамостоятельно найти правильное решение (а они, конечно,
штались найти его методом беспорядочных проб), мы ста-
нили перед ними такие вопросы: «Какую фигуру вы должны
юстроить?», «Как должны быть расположены данные точки
ю отношению к искомой фигуре?» И если испытуемые мог-
|и правильно ответить на эти вопросы, то в большинстве
!лучаев они затем самостоятельно находили правильное
Решение задачи. Так, из 28 испытуемых 18 человек правиль-
но ответили на эти вопросы, и все они затем самостоятельно
нашли решение задачи, причем половина из них нашла ре-
шение после первого вопроса. Остальные 10 человек не
!могли дать правильный ответ на указанные вопросы. Од-
<ако после того, как им объяснили, что означает «провести
ри прямые линии, не отрывая карандаша от бумаги, и воз-
(ратиться в исходную точку», они также самостоятельно
>ешили задачу.
Приведем несколько примеров из протоколов эксперимента г.
I. Испытуемый К.— ученик VIII класса.
В проведении эксперимента принимала участие 3. С. Попова.
1491 97
После ознакомления с условием задачи испытуемый делает молча
первую попытку решения (рис. 9, а), затем через некоторое время —
вторую попытку (рис. 9, б).
Эксп. Какая должна получиться фигура?
И сп. (после недолгого раздумья). Треугольник... Так, тепер!
знаю... (сразу находит правильное решение, рис. 9, в).
а
X
5
Рис. 9
6
Рис. 10
а
2. Испытуемый Л.— ученик IV класса.
Прочтя условие задачи, испытуемый долго думает, не делая ника-
ких попыток решения. Затем делает первую попытку (рис. 10, а).
И с п. Кажется, не так...
Э к с п. Какая должна получиться фигура?
И с п. Фигура? Какая?., треугольник. Но тогда треугольник не
будет охатывать все точки... (рисует). Вот... (рис. 10, б).
Э к с п. Попытайся все же найти такой треугольник.
И с п. Ага... (делает правильное решение, рис. 10, в).
Анализ результатов эксперимента показывает следую-
щее.
Все испытуемые, так же как в эксперименте Я. А. По-
номарева, начинали решение с беспорядочных попыток
(случайных проб). Характерным для этого этапа решения
является отсутствие или почти полное отсутствие необхо-
димого предварительного анализа задачи. Это подтверж-
дается тем, что вопрос о том, какая должна получиться фи-
гура, был для большинства испытуемых неожиданным. Они
над этим вопросом до этого не думали, хотя, казалось бы,
без установления вида искомой фигуры нельзя и начинать
решение. Это свидетельствует о том, что как наши испытуе-
мые, так и испытуемые Я. А. Пономарева не обладали не-
обходимыми умениями в анализе задачи, они не знали, с
чего надо начинать решение любой незнакомой задачи, как
проводить анализ ее условия, что надо делать, когда выпол-
нена попытка решения, и т. д., т. е. они не обладали всем
тем, что может быть названо культурой поведе-
ния при встрече с задачей. Только этим мож-
но объяснить, что необходимость выйти за пределы квад-
рата никому из них «не приходила в голову». Достаточно
было в нашем эксперименте направить мысль испытуемых
98
на анализ задачи, на поиск основного неизвестного задачи,
как неуспех в первых попытках сменялся в большинстве
случаев успехом в дальнейших попытках.
Следовательно, закономерность, установленная Я. А. По-
номаревым, отражает не только и, пожалуй, не столько
первый, родовой, компонент деятельности по решению за-
дач, но главным образом второй, обучаемый, компонент
этой деятельности, зависящий от методов и содержания обу-
чения.
Культура поведения при встрече с задачей есть по сути
дела овладение некоторой стратегией и тактикой поиска ре-
шения этой задачи. Из чего складывается эта стратегия и
тактика?
К сожалению, этот, казалось бы, наиболее важный во-
прос методики обучения решению задач в нашей психолого-
дидактической и методической литературе освещен совер-
шенно недостаточно. В подавляющем большинстве случаев
исследование методики обучения решению задач проводи-
лось и проводится для какого-то одного вида задач и все
рекомендации относятся к этому виду задач. Общий же во-
прос о задачах вообще, о том, как следует осуществлять по-
иск решения любой незнакомой задачи, рассмотрен совер-
шенно недостаточно. Можно лишь сослаться на работы
,. Пойа (Д. Пойа, 1957, 1961) и некоторых других авторов
<. К. Михайлова, 1961; Е. Ф. Данилова, 1958; Ю. Н. К}-
юткин, 1970; А. Ф. Эсаулов, 1972).
В проведенном нами совместно с К. К- Джумаевым ис-
яедовании (Л. М. Фридман, К. К. Джумаев, 1972) было ус-
ановлено, что значительная часть учащихся школ и сту-
ентов вузов имеют весьма смутные представления о сущ-
ости задачи, о ее составе и структуре, о том, что значит
ешить задачу, что надо делать, чтобы найти решение. Ока-
алось, что учащиеся решают задачи главным образом по
отовому образцу, путем подражания деятельности, демон-
трируемой преподавателем.
Программы обучения не предусматривают формирова-
ия у учащихся общих представлений по решению задач, а
чебники и учебные пособия для учащихся не содержат не-
обходимых для этого сведений.
Известно, что овладению умениями предшествует полу-
чение учащимися системы знаний, пользуясь которыми они
юзнательно производят операции и действия, входящие в
умение. В этом отношении общее умение ре-
формируемое
99
шать задачи стоит особняком: для его формирования уча-
щимся не дается никаких особых знаний.
Считается, что единственный метод формирования у уча-
щихся умения решать задачи — это практика в решении
большого числа задач. «Если хотите научиться решать за-
дачи, то решайте их!» — советует Д. Пойа (1970, с. 13).
Следуя этим советам, учителя математики, физики и других
предметов предлагают учащимся огромное количество задач
(исчисляемое за все годы обучения десятками тысяч) и за-
трачивают на их решение не менее половины всего учебного
времени. А результаты такой титанической работы более
чем скромные: многие учащиеся так и не овладевают общим
подходом к их решению и, встретившись с задачей незнако-
мого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к
ней подступиться.
В чем же заключается культура решения задачи? Во-
первых, поиск решения должен совершаться на базе глубо-
кого и всестороннего предварительного анализа задачи; во-
вторых, каждая из совершаемых проб должна обосновы-
ваться и в случае неудачи должна быть проанализирована и
установлена причина этой неудачи; наконец, в-третьих, по-
сле нахождения верного решения должен быть произведен
ретроспективный анализ с целью выявления общих методов,
примененных при этом решении, и с целью отыскания более
рационального решения, если это возможно.
Каковы пути формирования у учащихся культуры пове-
дения при встрече с задачей, культуры поиска решения не-
знакомой задачи?
1. Полное или частичное (неполное) логическое развер-
тывание условия обычных (свернутых) задач есть способ
предварительного анализа задачи, без которого поиск ре-
шения по сути дела невозможен. И поэтому обучение уча-
щихся логическому развертыванию условия задач, привитие
им навыков в таком анализе задач, выработка у них привыч-
ки не начинать поиск решения незнакомой задачи без пред-
варительного ее анализа являются непременным условием
формирования у них культуры поведения при встрече с
задачей, культуры поиска ее решения.
2. Большую роль в формировании у учащихся культуры
поиска решения задач имеет изучение ими структурных
особенностей самих задач. Только те учащиеся, которые
сумели «уловить» в процессе решения задач общие структур-
ные особенности этих задач, общую структуру деятельности
100
по их решению, сумеют, как правило, самостоятельно найти
решение незнакомой задачи; остальные учащиеся обречены
на слепое подражание образцу, на беспорядочный поиск пу-
тем проб и ошибок.
Поэтому если мы хотим действительно научить учащихся
решать задачи, то необходимо не только показывать им ре-
шение различных задач, заставлять их самостоятельно ре-
шать эти задачи, не только обучать их методам решения за-
дач, но и изучать с ними сами задачи, их структуру и осо-
бенности, характер используемых общих методов решения,
структуру деятельности по решению задач. Такое обучение
поможет выделить в деятельности по решению задач наибо-
лее общие ориентиры, выделить ориентировочную основу
действия по решению задач и тем самым создаст необходи-
мые условия для того, чтобы учащиеся не терялись при
встрече с незнакомой задачей и были подготовлены для
успешного поиска ее решения.
Таким образом, мы считаем, что если мы хотим сформи-
ровать у учащихся общий навык в решении какого-либо до-
статочно широкого класса задач, то сами эти задачи, их
структура и особенности должны стать объектом
изучения и усвоения.
Более того, можно утверждать, что главными объектами
усвоения при этом должны быть не решения отдельных за-
дач и даже не отдельный частные методы их решения (это
второстепенные объекты усвоения), а общие схемы деятель-
ности по решению задач, общие методы моделирования за-
дач как главный метод творческого поиска планов решения
?задач. Решение же отдельных задач должно быть лишь
средством для такого обучения. (Более подробно об этом
• см.: Л. М. Фридман, К. К. Джумаев, 1974.)
3. Особую роль в формировании у учащихся культуры
решения задач имеет заключительный, ретроспективный
анализ решения.
Такой анализ может иметь место и без специально по-
ставленной цели, как звено в общей, принятой субъектом
установке решить задачу. Однако важно, чтобы этот заклю-
чительный анализ проводился организованно, достаточно
глубоко и всесторонне. Между тем ученик самостоятельно,
без руководства учителя, это не сумеет сделать.
В чем же должен состоять этот заключительный анализ?
Укажем его основные части: „ 4
1. Обсуждение выполненного решения с точки зрения
101
его рациональности. Вопрос о рациональности ре-
шения довольно широко обсуждался в методической лите-
ратуре. При этом подчеркивается важность разыскания
различных решений одной и той же задачи, их сопоставле-
ние и обсуждение хороших и слабых сторон каждого из
предлагаемых способов решения. Трудно переоценить пе-
дагогическое значение такого обсуждения. Недаром многие
опытные учителя говорят, что лучше решить одну и ту же
задачу несколькими способами, чем десяток задач одним и
тем же способом.
2. Обсуждение поиска плана или способа решения зада-
чи. Важно выяснить, какие приемы были использованы при
этом поиске, какие из этих приемов способствовали удаче
поисков, а какие привели к неудаче. Все это нужно устано-
вить для того, чтобы учащиеся смогли лучше усвоить полез-
ные приемы поиска решения, смогли обобщить и привести в
систему все эти приемы.
3. Обсуждение возможности обобщения данной задачи,
выявления в ее условии лишних данных или других осо-
бенностей, сопоставление решенной задачи с другими, ра-
нее решенными, выявление каких-то общих закономерно-
стей, выявление теоретических следствий, вытекающих из
этой задачи, и т. д. и т. п.
Конечно, такой заключительный аналш пег необходи-
мости проводить при решении каждой шдачи. Важно лишь
выработать у учащихся привычку и навык в таком анализе.
Таким образом, для того чтобы вся деятельность по реше-
нию задач в целом приобрела черты максимально разумной
деятельности и принесла наибольший развивающий эффект,
нужно, чтобы решающий осознал возможность использова-
ния тех средств и способов, которые он использует в этой
деятельности, а для этого есть лишь один путь — путь вос-
питания у учащихся культуры поиска решения задач, куль-
туры деятельности по решению этих задач.
ГЛАВА IV
Анализ задач опознавании
§ 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВИДЫ
ЗАДАЧ ОПОЗНАВАНИЯ
В научной и учебной литературе используются различные
термины для обозначения задач, которые мы собираемся
Еюанализировать: задачи узнавания, распознавания, опо-
авания. Большей частью эти термины используются как
нонимы, и сами задачи, обозначаемые этими разными тер-
[нами, строго не различаются. Чтобы внести в этот вопрос
которую определенность, мы весь класс рассматриваемых
дач будем именовать задачами опознавания, а задачи у зна-
ния и распознавания будем рассматривать как виды задач
ознавания.
В психологии задачи опознавания (узнавания, распо-
знавания) не определяются, но там можно найти определе-
ния тех психических процессов, которые участвуют в реше-
нии подобного вида задач. К таким процессам относится
прежде всего процесс узнавания. С ./I. Рубинштейн разли-
чал три ступени процесса ушивания:
k- 1. «Самая элементарная первичная его форма — это бо-
fcee или менее автоматическое узнавание в действии. Эта
первая ступень узнавания проявляется в виде адекватной
Итеакции на привычный раздражитель».
2. «Следующей ступенью являются формы узнавания,
Икоторые связаны с чувством знакомости, без возможности,
Еоднако, отождествления узнанного предмета с ранее вос-
к принятым».
I 3. «Третьей ступенью ушивания является отождествле-
лние предмета. Предмет, данным мне сейчас в одном контек-
сте, в одной ситуации, выделяется из этой ситуации и отож-
f дествляется с предметом, данным ранее в другом контексте»
1(1946, с. 302 -303)
I Говоря об оно шаватши, мы будем иметь в виду лишь
I указанную С. Л. Рубинштейном третью ступень узнавания,
| т. е. отождествление.
| Довольно четкое определение процесса опознавания в
F указанном смысле дал М. С. Шехтер. Рассмотрев разные ви-
| ды этого процесса, он делает такое заключение: «Вообще же
103
опознавательный процесс (и простой, и сложный) можно
определить так: это использование полезных признаков
классов в целях квалификации предъявляемого объекта,
в целях его отнесения к какому-либо известному для чело-
века классу» (1967, с. 34)
Исходя из этого определения, приведем несколько при-
меров задач, решение которых представляет собой опозна-
вательный процесс.
Задача 1. Установить, является ли пирамида АВСМ
правильной.
Предметная область этой задачи состоит из пирамиды
АВСМ и класса правильных пирамид. Между элементами
Предметной области в условии задачи указаны отношения
принадлежности и непринадлежности элемента к заданно-
му классу, причем эти отношения являются искомыми. Тре-
бование задачи состоит в том, что надо найти то значение
искомого отношения, каким заданный элемент (пирамида
АВСМ) связан с классом правильных пирамид. Оператор
задачи есть такая последовательность действий (проверки
полезных признаков — по терминологии М. С. Шехтера),
с помощью которых можно будет выполнить требование за-
дачи.
Как видим, эта опознавательная задача есть по класси-
фикации, приведенной в § 3, задача на нахождение искомо-
го. Ее своеобразие состоит в том, что искомым является от-
ношение, которым заданный объект (элемент предметной
области) связан с некоторыми классами объектов.
Задача 2. Укажите, в каком падеже стоит выделен-
ное существительное в предложении: «Мы с приятелем
вдвоем очень весело живем».
Предметная область задачи состоит из выделенного сло-
ва «приятелем», класса существительных и шести подклас-
сов (существительные в именительном, родительном, да-
тельном, винительном, творительном и предложном паде-
жах). Элементы предметной области связаны отношением
принадлежности объекта-слова «приятелем» классу сущест-
вительных и к одному искомому из шести подклассов суще-
ствительных. Требование задачи состоит в отыскании того
из шести подклассов-существительных, к которому принад-
лежит указанный объект. Оператор задачи — это последова-
тельность действий, с помощью которых можно обнаружить
искомый подкласс и тем самым удовлетворить требование
задачи.
104
Проведенный анализ показывает, что и эта задача есть
задача на нахождение искомого. Ее своеобразие состоит в
том, что нужно найти такое множество (в данном случае
подкласс класса существительных), с которым главный эле-
мент предметной области (слово «приятель») состоит в за-
данном отношении.
Будем в дальнейшем этот главный элемент предметной
области задачи опознавания (в задаче 1 — это пирамида
АВСМ, в задаче 2 — слово «приятелем») называть объек-
том опознавания.
Итак, задачами опознавания будем назы-
вать такие задачи на нахождение искомого, в которых ис-
комым является или отношение, которым связан главный
элемент предметной области — объект опознавания с за-
данным множеством, или некоторое множество, с которым
объект опознавания находится в указанном отношении.
Заметим, что некоторые авторы весь класс задач на на-
хождение искомого рассматривают как задачи опознавания
(распознавания). Так, например, Ю. Н. Кулюткин, говоря
о классификации задач, выделяет в качестве первого класса
следующий: «Задачи на распознавание. В качестве искомого
в этих задачах выступает один из компонентов системы объ-
ектов, причем предполагается, что этот компонент в налич-
ной системе имеется и что его значение определяется отно-
шениями, которые присущи данной системе. Элементарный
пример задачи на распознавание — определение значения х
в уравнении х2—Зх+2=0» (1970, с. 19).
Такое расширительное толкование задач опознавания
(распознавания) нам представляется неправомерным, ибо
сущность решения уравнений не в распознавании неизвест-
ного, а в преобразовании самого уравнения.
Исходя из данного нами выше определения задач опозна-
вания, мы делим их на два основных вида:
1. Известно, что объект опознавания принадлежит к не-
которому множеству и к тому же множеству принадлежит
какой-то другой объект (элемент данного множества или его
подмножество). Необходимо установить, связан ли объект
опознавания с данным объектом каким-то определенным от-
ношением или нет (задачи опознавания отно-
шения).
2. Известно, что объект опознавания принадлежит к не-
которому множеству и дана некоторая конечная совокуп-
ность объектов, принадлежащих к тому же множеству (это
105
могут быть элементы этого множества или же его подмноже-
ства). Необходимо из данных известных объектов найти та-
кой, с которым опознаваемый объект связан указанным
отношением (задачи опознавания объектов).
Примерами этих видов задач являются приведенные выше
задачи 1 и 2.
Частным случаем задач опознавания второго вида яв-
ляются задачи на нахождение следствий из некоторого фак-
та. Приведем пример.
Задача 3. Объект ABCD есть параллелограмм. Ка-
кими свойствами он обладает?
На важную педагогическую роль таких задач обратил
особое внимание М. Б. Волович. Он писал: «Пусть объект
принадлежит к понятию На основании этого можно сделать
вывод о том, что объект обладает некоторой вполне опреде-
ленной для данного курса и данного периода его изучения
совокупностью свойств, например, изучая курс геометрии
седьмого класса, учащиеся к определенному моменту вре-
мени узнают, что если объект «параллелограмм», то он об-
ладает свойствами: две противоположные стороны равны,
две противоположные стороны параллельны, другие сторо-
ны равны, другие две стороны параллельны, диагонали
точкой пересечения делятся на равные отрезки и так далее»
(1967, с. 184—185).
Было показано, что подобные задачи на нахождение
следствий из факта принадлежности объекта к понятию
являются задачами распознавания (опознавания).
Чтобы убедиться в том, что задача, указанная Волови-
чем, есть задача опознавания, и выявить все ее составные
части, переформулируем ее, воспользовавшись для этого
следующим известным логическим правилом: если а обла-
дает свойством Р, то это равносильно тому, что а принадле-
жит к множеству А, для элементов которого свойство Р
есть общее (характеристическое) свойство.
Исходя из этого, задачу 3 можно теперь так сформулиро-
вать: «Объект ABCD принадлежит множеству параллело-
граммов. Дана конечная совокупность множеств Вг, В2, ...,
Вп. Найти среди множеств В, такие, для которых множество
параллелограммов является подмножеством (собственным
или несобственным) и, следовательно, каждое из этих мно-
жеств содержит объект ABCD».
Заметим, что совокупность множеств Bj определяется
местом и временем постановки данной задачи. Если эта за-
106
is
дача поставлена в курсе геометрии VII класса, то совокуп-
ность множеств Bt есть совокупность таких множеств, об-
гщие свойства элементов которых были изучены учащимися
|в этом курсе к моменту постановки задачи.
[ Теперь ясно, каковы составные части данной задачи.
I Предметная область ее состоит из объекта опознавания —
параллелограмма ABCD, множества параллелограммов и
ювокупности множеств Въ В2, ..., Вп, общие свойства эле-
ментов которых известны решающему. Элементы предмет-
юй области связаны отношением принадлежности объекта
шознавания множеству параллелограммов и некоторым (не-
сомым) множествам из совокупности Bj, В2, ..., Вп. Тре-
ювание задачи состоит в том, чтобы найти те множества из
сказанной совокупности, подмножеством которых являет-
:я множество параллелограммов и, следовательно, которым
тринадлежит объект опознавания. Классификация задач
(познавания возможна и по другим основаниям.
Если классифицировать задачи опознавания по способу
IX решения, то можно выделить две группы:
1) задачи опознавания, решаемые с помощью проверки
наличия у опознаваемого объекта тех или иных призна-
ков; эти задачи будем называть задачами распо-
знавания, а процесс их решения — процессом распо-
знавания;
2) задачи опознавания, решаемые путем сравнения объ- -
екта опознавания с некоторым эталоном, образцом или
путем проверки по какому-то «целостному признаку» — по
терминологии М. С. Шехтера; эти задачи будем называть
задачами узнавания, а психологические про-
цессы их решения — процессами узнавания.
Процесс узнавания всегда является симультанным,
между тем как процесс распознавания является сукцессив-
ным, развернутым. Кроме того, важно заметить, что ход
(механизм) процесса узнавания не осознается человеком —
Он лишь осознает результат этого процесса, между тем как
ход процесса распознавания осознается человеком и может
им контролироваться и корректироваться.
Необходимое in разделения процессов опознавания на
два вида — на процессы распознавания и на процессы узна-
вания — можно обосновать следующим образом.
Проверка наличия того или иного признака есть реше-
ние некоторой задачи опознавания. Например, решая зада-
чу опознавания параллелограмма, мы должны установить,
107
параллельны ли противоположные стороны. Но установле-
ние параллельности сторон четырехугольника есть задача
установления принадлежности соответствующих им прямых
к множеству пар параллельных прямых, т. е. обычная зада-
ча опознавания.
Поэтому если допустить, что решение всякой задачи
опознавания сводится к проверке признаков, то решение
будет состоять в проверке бесконечной цепи признаков, что,
конечно, невозможно.
Следовательно, должны существовать такие задачи опо-
знавания, решение которых несводимо к проверке призна-
ков. Механизм решения таких задач совсем иной. Это как
бы первичные задачи опознавания, и они-то и составляют
класс задач узнавания.
Таким образом, задачи опознавания делятся на первич-
ные задачи узнавания и на задачи распознавания.
Конечно, это разделение задач опознавания на задачи
узнавания и на задачи распознавания не является абсолют-
ным. Некоторые задачи узнавания после анализа их объек-
тов и установления признаков этих объектов становятся тем
самым задачами распознавания, но зато вместо этих задач
узнавания появляются новые. С другой стороны, некоторые
задачи распознавания после длительного обучения их ре-
шению как бы свертываются, процесс их решения становит-
ся симультанным, и тем самым они уже воспринимаются
как задачи узнавания.
Наконец, можно классифицировать задачи опознавания
по количеству объектов опознавания, заданных в условии
задачи.
В каждой из приведенных выше задач (1—3) задан один
объект опознавания: в задаче 1—пирамида АВСМ, в задаче
2—слово «приятелем», в задаче 3— параллелограмм ABCD.
Между тем встречаются задачи, в которых задается це-
лое множество (конечное или бесконечное) объектов опозна-
вания. Вот примеры таких задач.
3 а д а ч а 4. Дано множество прямых, пересекающихся
с плоскостью а. Установить относительно каждой из пря-
мых указанного множества, является ли она наклонной к
плоскости а.
В этой задаче в качестве объекта опознавания задано
бесконечное множество прямых, пересекающихся с данной
плоскостью а, т. е. в задаче задано бесконечное множество
объектов опознавания.
108
4EV
Искомым задачи является переменное отношение, мно-
жество возможных значений которого состоит из двух от-
ношений: «наклонная» и «ненаклонная», т. е. перпендику-
лярная (прямая к плоскости).
Требование задачи: «Найти то отношение, которым каж-
дый из объектов опознавания связан с плоскостью а».
Заметим, что в отличие от задач 1 и 2 задача 4 не имеет
одного определенного ответа, ибо некоторые из объектов
опознавания этой задачи связаны с плоскостью ос отноше-
нием «наклонная», а другие — отношением «ненаклонная».
3 а д а ч а 5. Дано множество прямых, скрещивающих-
ся с фиксированной прямой /, принадлежащей плоско-
сти ос. Как расположена каждая из прямых заданного мно-
жества относительно плоскости а?
Объектом опознавания является бесконечное множество
прямых, т. е. в данной задаче задано бесконечное множество
объектов опознавания.
Искомым задачи является вид расположения каждого
объекта опознавания относительно плоскости а. Но вид
расположения прямой относительно некоторой плоскости
характеризуется тем, к какому из следующих множеств она
принадлежит: 1) множество прямых, параллельных плоско-
сти а; 2) множество прямых, наклонных к плоскости ос;
3) множество прямых, перпендикулярных плоскости ос.
Требование задачи: «Найти то из указанных выше трех
множеств, к которому принадлежит каждый из объектов
опознавания».
Задача 6. У некоторой пирамиды все боковые ребра
равны между собой. Какими свойствами обладает эта пира-
|:ида?
Объектом опознавания является множество пирамид,
каждой из которых боковые ребра равны между собой.
Искомым задачи являются всевозможные свойства, ко-
орыми обладают заданные пирамиды, или, иначе, всевоз-
южные множества, элементом каждого из которых явля-
ется указанная пирамида.
Требованием задачи является нахождение тех из объек-
тов задачи, т. е. тех множеств, к каждому из которых при-
надлежит любая из заданных пирамид.
Заметим, что задачу 3 можно также истолковать подоб-
ным образом, т. е. считать, что в ней задан не один объект
опознавания, а множество объектов — множество всевоз-
можных параллелограммов.
109
Таким образом, мы видим, что задачи опознавания в за-
висимости от количества объектов опознавания можно раз-
делить на два класса: к первому классу относятся задачи,
в которых задан единственный объект опознавания, а ко
второму классу относятся задачи, в которых задано некото-
рое множество объектов опознавания. Будем задачи первого
класса называть задачами единичного опознавания,
а задачи второго класса — задачами множествен-
ного опознавания.
Классификацию задач опознавания по другим основани-
ям мы рассмотрим после их формализации.
§ 16. СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
ЗАДАЧ ОПОЗНАВАНИЯ
Воспользуемся теперь символическими обозначениями, вве-
денными нами в § 4, для того чтобы построить структурные
модели задач опознавания. Это даст возможность глубже ра-
зобраться в сущности этих задач, произвести дальнейшую их
классификацию.
Рассмотрим сначала примеры построения структурных
моделей задач единичного опознавания.
Задача?. Данный треугольник АВС прямоугольный
или нет?
Проанализируем задачу для того, чтобы выявить все ее
составные части, одновременно вводя обозначения этих час-
тей. Предметная область задачи состоит из треугольника
АВС (объект опознавания) и множества прямоугольных
треугольников. Обозначим объект опознавания (треуголь-
ник АВС) буквой а. По условию задачи предполагается,
что а принадлежит множеству треугольников А, т. е. вы-
сказывание а С А истинно. Это одно из условий задачи.
Кроме того, неявно предполагается еще известным, что мно-
жество треугольников А содержит в качестве правильной
части подмножество прямоугольных треугольников Р, т. е.
высказывание Рс А тоже истинно. Это второе условие зада-
чи. Все условия задачи есть конъюнкция указанных двух
условий, т. е.
(а£Д)А(РсА).
Искомым задачи является значение неизвестного
отношения X между объектом опознавания а и множеством
Р. Область изменения этого неизвестного отношения X со-
110
стоит из двух отношений:
€ или т. е. Х = {€,
Требование задачи состоит в том, чтобы при вы-
полнении условия установить, какое значение должно при-
нять неизвестное отношение X (назовем его Х°), чтобы вы-
сказывание аХ°Р было истинным. Или иначе: требуется
установить, каким из двух отношений £ или (£ связаны а и
Р. Отсюда ясно, что Х° G { £ ,
Оператором задачи является такая последова-
тельность D применения к объекту опознавания а призна-
ков прямоугольных треугольников, которая позволит ус-
тановить значение искомого отношения X, т. е.
П:Х°€{€,С}.
Теперь мы можем записать структурную модель задачи 7
в соответствии с общими правилами построения структур-
ных моделей (см. § 4). Получим:
I (а€Д)Л(РсА) |?|D:XOG{€, 0(аХ°Р). (1)
I Задача 8. Учитель, указывая на портрет, спрашивает
[ученика: «Это портрет Александра Сергеевича Пушкина?»
Учитель поставил перед учеником вопрос, предполагаю-
щий требование решить некоторую задачу опознавания.
Объектом опознавания в данном случае является изображе-
ние какого-то человека. Обозначим объект опознавания
через а.
l Если мы множество людей, образы которых знакомы уче-
ику, обозначим через А, то первое условие, извлекаемое
из постановки вопроса, будет
I a G А.
Неявно вопрос предполагает также, что образ А. С. Пуш-
кина (6) знаком ученику, т. е. b £ А. Тогда все условие за-
дачи можно записать так: (а£А)Д(Ь£А). Из постановки
вопроса также очевидно, что Х = {=, =/=}.
Требование задачи состоит в том, чтобы установить отно-
сительно этих двух элементов а и b множества А, одинаковы
они (являются изображениями одного и того же человека)
или нет. Оператором данной задачи является сравнение
объекта опознавания а (данного портрета) с некоторым об-
разном, эталоном образа А. С. Пушкина, хранящимся в
памяти ученика.
Как видим, оператор задачи 8 принципиально отличен
от оператора задачи 7. Если оператор задачи 7 состоит из
действий по проверке наличия логических признаков }
опознаваемого объекта, то оператор задачи 8 есть сравнение
опознаваемого объекта с некоторым образцом. Отсюда сле-
дует, что задача 7 есть задача распознавания, а задача 8—
задача узнавания.
Структурную модель задачи 8 можно записать так:
(а € Л) Д (b С А) |? |Я:Х° €{--,?} (аХ°Ь). (2)
Задача 9. Эта стена окрашена в зеленый цвет?
Очевидно, что объектом опознавания является цвет а
данной стены, при этом а принадлежит множеству А раз-
личных цветов. Кроме того, постановка вопроса предпола-
гает, что человек, решающий задачу, имеет представление
о зеленом цвете. Иначе говоря, предполагается, что неявно
задано некоторое правильное подмножество В множества А,
причем такое, что каждый из элементов В мы обычно и назы-
ваем зеленым цветом (точнее, предметом, окрашенным в зе-
леный цвет). Требование задачи состоит в установлении,
каким отношением связаны а и В при указанных выше ус-
ловиях: или а С В, или а (£В. Оператором задачи, так же как
и в предыдущей, является действие сравнения объекта опо-
знавания с некоторым образцом. Структурная модель зада-
чи может быть записана так:
(a€A)A(BcA)|?|£):X0€K,f (аХ°В). (3)
Приведенные задачи 7—9 являются задачами единичного
опознавания отношения, при этом задача 7 является зада-
чей единичного распознавания отношения, а задачи 8 и 9 —
задачами единичного узнавания отношения. О различиях
между задачами 8 и 9 мы скажем ниже. Пока лишь заметим,
что каждой задаче единичного опознавания отноше-
ния соответствует некоторая задача единичного опозна-
вания объекта. Приведем такие задачи (соответствую-
щие задачам 7—9).
Задача 10. К какому виду треугольников принад-
лежит данный треугольник АВС?
Ы.
112
Объектом опознавания является треугольник АВС,
оторый обозначим буквой а. Первое условие запишем с по-
ощью высказывания: tzg А, которое истинно, ибо данный
реугольник а, конечно, принадлежит множеству треуголь-
иков А.
Коль скоро нам нужно установить вид данного треуголь-
ика а, то нам должно быть известно, о каких видах (под-
[ножествах множества А) идет речь. Допустим, что речь
дет о таких видах треугольников: остроугольные треуголь-
ики (А), прямоугольные (Ра) и тупоугольные (А). Сле-
довательно, второе неявно заданное условие состоит в сле-
(ующем:
a = auAu А-
Требование задачи состоит в нахождении такого объек-
а — одного из трех подмножеств Pi, Р>, Р3 множества А,
; которому принадлежит объект опознавания а. Оператор
1адачи есть последовательность действий по проверке нали-
гия у опознаваемого объекта а определенных признаков.
Проведенный анализ показывает, что структурная мо-
дель данной задачи такова:
(с € А) А (А = А и р2 и р3) I? I О:Х°е{А; А- аГ
(а€Х°). (4)
' 3 а д а ч а 11. Указывая на портрет, учитель спрашива-
ет ученика: «Кто изображен на этом портрете?»
В этом случае надо установить, с каким из известных
ученику образов людей совпадает образ человека на порт-
рете. Выявляя предпосылки, при которых вопрос имеет
однозначный смысл, мы находим, что неявно в условии за-
дачи входит задание всего множества А образов людей, из-
вестных ученику; допустим, что Л = {А, Ь2, Ьп) и что
(человек, изображенный на портрете, принадлежит к этому
множеству: а£А. Требование задачи состоит в том, чтобы
найти тот из объектов blt Ь2, • ••, Ьп, который одинаков с а.
^Оператор задачи такой же, как и в задаче 8. Поэтому струк-
турная модель задачи имеет следующий вид:
(а € А) Д (Л = Ь2, ..., Al) I? | {А.
(а = Х°). (5)
>, 3 а д а ч а 12. В какой цвет окрашена данная стена?
, Правильная постановка данного вопроса предполагает,
что некоторое множество предметов А разбито на подмно-
113
жества Вь В,, Вп, каждое из которых представляет со-
бой множество предметов одного и того же цвета, а также
то, чго известный нам предмет (стена) принадлежит множе-
ству А, т. е. а£А. Требование задачи состоит в нахожде-
нии того из подмножеств Вь к которому принадлежит объ-
екг опознавания а. Структурная модель задачи может быть
записана так:
(а € А) д ( А = и В,
?|£>:Х°€{В,} (а€Х°). (6)
Сопоставляя структурные модели (1)—(3) задач единич-
ного опознавания отношения, можно общую структурную
модель любой задачи единичного опознавания отношения
представить в таком виде:
(а С Л) Д {ту А) |? | D-.X° С (а, а} {аХ°т). (7)
Эту формулу следует понимать так: объект опознавания
а принадлежит некоторому множеству А и другой объект т
находится в отношении у с множеством А; надо найти такие
действия D, чтобы определить такое отношение Xе из двух
возможных отношений ос или ос (отрицание а, т. е. противо-
положное а), при котором высказывание (аХ°т) (т. е. объ-
ект а находится с объектом т в отношении Х°) является ис-
тинным.
Аналогично, сравнивая структурные модели (4)—(6),
получим общую структурную модель задачи единичного
опознавания объекта:
(а€Л) Л (Л = (щ,})|?|£):ХоС1М (ауХ°). (8)
Эгу формулу следует понимать так: объект опознавания
а принадлежит некоторому множеству А и А представляет
собой множество объектов mj, где I изменяется от 1 до п;
нужно найти такие действия D, чтобы определить тот объ-
ект Х° из множества {mt}, с которым объект опознавания а
находится в заданном отношении у.
Заметим, что структурная модель задачи опознавания
зависит не только от характера задачи, но и от того, как мы
ее истолкуем, ибо ведь построение структурной модели зада-
чи представляет собой перевод данной неполно постав-
ленной задачи в полно поставленную, т. е. логическое раз-
вертывание задачи Приведем пример:
114
Задача 13. Параллельны ли данные две прямые?
Можно считать, что данные две прямые а и b принадле-
жат к множеству А прямых одной и той же плоскости, а
искомым задачи является отношение параллельности или
пепараллельности данных двух прямых. На принятом
нами языке структурная модель данной задачи может быть
записана так:
(а € Л) Л (b С Л) |? |О:Х°€{||, 1} (аХ°Ь).
Можно считать и так, что в данной задаче имеется один
объект опознавания: данная пара прямых; обозначим ее
буквой а. А теперь будет обозначать множество пар прямых
плоскости, а В — подмножество пар параллельных прямых.
Тогда структурная модель этой задачи запишется так:
л (a G Л) Л (Вс Л) |? 1D:XoG{€,£} (аХ°В).
у Рассмотрим теперь на примерах построение структур-
ных моделей задач множественного опознавания отношения
Или объекта.
Задача 14. Дано множество пар не пересекающихся
Прямых. Установить относительно каждой пары прямых
этого множества, являются ли они скрещивающимися.
' В задаче задано бесконечное множество объектов опозна- У
Вания. Обозначим произвольный элемент этого множества
;(т. е. пару не пересекающихся прямых) через у, а само за-
данное множество пар прямых буквой Л. Множество пар
скрещивающихся прямых обозначим буквой В. Искомым
задачи является отношение каждого из объектов опознава-
ния к множеству В (принадлежит или не принадлежит).
Следовательно, данная задача есть задача множественного
опознавания отношения. Ее структурная модель имеет
дакой вид:
(у € Л), В |? |F:X°g{G, С? (уХ°В).
Задача 15. Дано множество треугольников, стороны
которых связаны зависимостью п3=53+с3. Установить,
никакому виду (остроугольных, прямоугольных или тупо-
угольных) треугольников относится каждый из треуголь-
ников заданного множества.
В задаче задано бесконечное множество объектов опозна-
вания: треугольники, стороны которых связаны зависи-
115
мостью a3=b3+c\ Обозначим произвольный треугольник
этого множества через у, а все заданное множество — А.
Обозначим множество всех треугольников — А, множество
остроугольных треугольников—В1( прямоугольных—В-2
и тупоугольных — В3. Искомым задачи является то из
множеств Bi, В г, В3, к которому принадлежит объект опоз-
навания у. Следовательно, данная задача есть задача мно-
жественного опознавания объекта. Ее структурная модель
может быть изображена так:
(У^А) Д (А с А) /\ (А = В, U В2 и В3) |?| D:X° £ В8, Й
Заметим, что некоторые задачи опознавания можно так
переформулировать, что они станут обычными задачами на-
хождения искомого или задачами на доказательство и
т. д. Например, задачу 15 можно так переформулировать:
«Стороны треугольника связаны зависимостью а3=Ь3+с3.
Найти наибольший угол этого треугольника». В таком виде
эта задача приобретает характер задачи на нахождение ис-
комого. Эту же задачу можно сформулировать так: «Дока-
зать, что если стороны треугольника связаны зависимостью
а3 =Ь'+с3, то наибольший угол треугольника является ост-
рым углом». Получили задачу на доказательство. Но, ко-
нечно, при такой переформулировке меняется не только
тип задачи, но и характер ее решения.
Анализируя приведенные примеры структурных моделей
задач опознавания, мы видим, что они различаются по ха-
рактеру объекта опознавания, по характеру известных и
неизвестных отношений и т. д. Наиболее существенные раз-
личия — это те, которые мы указали выше: 1) по количест-
ву объектов опознавания: задачи единичного опознавания
(задачи 7—13) и задачи множественного опознавания
(задачи 14 и 15); 2) по характеру искомого: задачи опознава-
ния отношения (задачи 7—9, 13 и 14) и задачи опознавания
объекта (задачи 10—12 и 15); 3) по характеру решения:
задачи распознавания (7, 10, 13—15) и задачи узнавания (за-
дачи 8, 9, 11 и 12).
Укажем еще одно существенное различие между зада-
чами опознавания, связанное с определенностью задачи
(см. § 6). Во многих из этих задач некоторое множество А
разбивается на конечное число подмножеств (классов).
При этом в одних задачах это произведено так, что получае-
116
Мые классы попарно не пересекаются (все приведенные за-
дачи, за исключением задач 8,9, 11 и 12). Такие задачи яв-
ляются строго определенными. Решение строго определен-
ных задач опознавания всегда объективно достоверно. Это
значит, что если мы имеем строго определенную задачу
^познавания отношения, то опознаваемый объект обладает
)дним и только одним отношением с данным объектом
Элементом или множеством); если же мы имеем строго оп-
еделенную задачу опознавания объекта, то существует
дин и только один объект (элемент или множество),
которым опознаваемый объект связан заданным отноше-
ием.
Поэтому, если в эксперименте мы получаем при решении
грого определенных задач опознавания какое-то число
цибочных решений, то отношение числа ошибочных реше-
ий к общему числу решенных задач, равное р (р^1),
ожно назвать субъективной вероятно-
тью получения ошибочного решения, а тогда 1—р будет
Объективной вероятностью правильного решения этого
ида строго определенных задач опознавания данным
спытуемым.
В других же задачах опознавания множество А есть объ-
цинение таких классов (подмножеств множества А), которые
опарно пересекаются (задачи 8, 9, 11 и 12). Эти задачи опо-
Навания можно назвать нестрого определенными или в е-
оятностными. Решение нестрого определенных за-
ач в силу объективных причин уже лишь вероятностно.
То значит, что если мы имеем такую задачу опознавания
тношения, то относительно опознаваемого объекта можно
твер ждать, что он принадлежит (или равен, тождествен) к
энному классу лишь с какой-то степенью вероятности,
'очно так же в случае нестрого определенной задачи опо-
навания объекта тот или иной класс содержит опознаваемый
Чзбъект с некоторой вероятностью (его-то и считают на прак-
тике содержащим опознаваемый объект).
Тем самым для нестрого определенных задач опознава-
ния наряду с субъективной вероятностью ошибочного реше-
ния появляется и объективная вероятность такого решения.
Как можно оценить объективную вероятность ошибоч-
ного решения нестрого определенной задачи опознавания?
В качестве такой оценки можно предложить отношение
мощности общих частей всех классов (подмножеств) мно-
жества А, т. е. мощность множества попарных пересече-
117
ний подмножеств множества А, к общей мощности множе-
ства А. Это отношение в каждом отдельном случае можно
приближенно оценить и тем самым найти объективную ве-
роятность ра ошибочного решения нестрого определенной
задачи опознавания.
Если провести эксперимент по решению серии нестрого
определенных задач опознавания с одной и той же объек-
тивной вероятностью р0 ошибочного решения, то найден-
ная в этом эксперименте статистическая вероятность оши-
бочного решения рст будет равна по теореме о сложении ве-
роятностей совместных событий: Рст = Ро + (7—Ро<7, гДе ? —
субъективная вероятность ошибочного решения данным
испытуемым данного вида задач опознавания. Из этой фор-
мулы, зная заранее р0 и найдя из эксперимента рст, можно
вычислить q.
§ 17. ПОСТРОЕНИЕ
АЛГОРИТМОВ РАСПОЗНАВАНИЯ
Одним из показателей овладения тем или иным понятием
является умение опознать объекты этого понятия, выделить
их среди множества других объектов. А для этого нужно
уметь решать соответствующие задачи опознавания.
Если это понятие логически определенное, то его опо-
знавание производится с помощью какой-то системы призна-
ков. Обычно та система признаков, которая достаточна для
опознавания объектов такого понятия, выражается в виде
логического определения этого понятия.
Таким образом, опознавание объектов такого понятия
производится с помощью системы признаков, содержащихся
в логическом определении этого понятия (или в эквивалент-
ном этому определению суждении). Поэтому задачи опозна-
вания объектов научных понятий являются задачами рас-
познавания.
В этой связи следует оговорить одно обстоятельство.
А именно, умение опознать объект того или иного понятия
еще не означает, что субъект владеет этим понятием как ло-
гически определенным понятием. Важно, как это опознава-
ние производится, на основе чего, с помощью чего. Напри-
мер, каждый дошкольник умеет обычно опознавать круг,
квадрат, треугольник и некоторые другие фигуры. Означа-
ет ли это, что дошкольники имеют научные понятия об
этих фигурах? Конечно, нет! Ибо опознавание они ведут не
118
на основе логического определения этих понятии: опознава-
ние в данном случае выступает в форме узнавания.
Только в том случае, когда опознавание производит-
ся как распознавание, и притом обязательно на основе
югического определения или на основе эквивалентных
•пределению суждений, только тогда факт опознавания
(вляется показателем (но не единственным, конечно) св-
едения данным понятием.
Для решения задач распознавания можно указать впол-
ie определенные общие правила — алгоритмы рас-
юзнавания. Рассмотрим, как строятся алгоритмы
)аспознавания объектов логически определенных понятий.
Пусть нам надо решить следующую задачу распознава-
1ия отношения принадлежности
(аеЛ)А(Вс=Д)|?|О:Х°е{ё,$} (аХ°В). (1)
- Для решения этой задачи нам необходимо знать логиче-
ское определение понятия класса В. Каким требованиям
должно удовлетворять такое определение для того, чтобы на
его базе можно было построить соответствующий алгоритм
решения задачи (1)? Эти требования следующие.
Требование I: «Родовым понятием для понятия
В должно быть понятие А. Заметим, что, говоря о понятиях
А и В, мы имеем в виду те понятия, объемы которых состав-
ляют соответственно множества А и В».
Если это требование не выполнено, то данное определе-
ние непригодно для построения на его базе алгоритма рас-
познавания для соответствующей задачи. Возможны два
способа преодоления создавшейся трудности. Покажем их
на примере.
Пусть нам надо решить следующую задачу распозна-
вания.
3 а д а ч а 16. Является ли четырехугольник ABCD пря-
моугольником или нет?
Введем такие обозначения: множество четырехуголь-
ников обозначим Ч-к, множество прямоугольников — П-к,
множество параллелограммов — П-м, объект распознава-
ния — четырехугольник ABCD — будем просто писать
ABCD. Тогда данную задачу можно записать так:
(ABCD 6 Ч-к) Д (П-к <= Ч-к) |? |Р:Х° €{€,<}
(АВСОХаП-к). (2)
119
Для решения этой задачи нам надо иметь определе-
ние прямоугольника. Обычное определение прямоуголь-
ника таково: «Параллелограмм, у которого углы прямые,
называется прямоугольником» (А. Н. Колмогоров и др.,
1974, с. 8).
В этом определении родовым понятием для прямо-
угольника является параллелограмм, а не четырехуголь-
ник, как это необходимо по условию задачи 16. Следо-
вательно, это определение не пригодно для построения
соответствующего алгоритма распознавания.
Для преодоления создавшейся трудности можно по-
ступить двояким образом.
1. Построим последовательность родовых понятий для
прямоугольника так, чтобы прийти к четырехугольнику.
Получим:
1) прямоугольник — это параллелограмм, у которого
все углы прямые;
2) параллелограмм — это четырехугольник, у которого
противоположные стороны попарно параллельны.
Тем самым задача 16 разбивается на две задачи:
задача 16 (1):
(ABCD € Ч-к) Л (П-мсЧ-к)\?
(АВСОХ°П-м)\
задача 16 (2):
(ABCD € П-м)/\(П-ксП-м) |? |D:X°g{e,^}
(АВСОХоП-к).
Теперь решаем сначала задачу 16 (1). Для ее решения
можно использовать определение параллелограмма. Если
ответ этой задачи положительный, т. е. ABCD есть парал-
лелограмм, то переходим к решению второй задачи 16 (2);
если же ответ задачи 16(1) отрицательный, то на этом про-
цесс решения исходной задачи заканчивается: ABCD не
является прямоугольником, ибо он не является параллело-
граммом. В первом случае ответ задачи 16 (2) будет и отве-
том исходной задачи 16.
2. Соединим определения прямоугольника и параллело-
грамма в одно сложное определение: «Прямоугольником на-
зывается такой четырехугольник, у которого противопо-
ложные стороны попарно параллельны и углы прямые».
120
Теперь на базе этого определения можно построить ал-
горитм распознавания для решения задачи 16.
Требование II: «Все указываемые в определении
признаки должны обладать свойством фактической прове-
ряемости, или, как говорят, определение должно быть
констр у кти вным».
Вопрос о сущности этого требования в условиях, когда
сдачи решаются человеком, подробно рассмотрен
Б. В. Бирюковым (см.: Б. В. Бирюков, Е. Ф. Геллер,
1973). Поэтому ограничимся лишь примерами.
Задача 17. Параллельна ли прямая а плоскости а?
Пусть А есть множество прямых в пространстве, не ле-
жащих на плоскости а, а В есть множество прямых, парал-
лельных плоскости а. Тогда эту задачу можно за-
писать так:
(аеД)Л(Вс:Д)|?|П:Хо6{6,’5’ (аХ°В). (3),
Но можно -ее записать и иначе:
* <
(абЛ)А(а€Л4)|?|Р:Х°6{||, f) (аХ°а). (4)
Здесь А обозначает множество прямых в пространстве,
М — множество плоскостей.
Для решения этой задачи и построения соответствующе-
10 алгоритма нам нужно воспользоваться определением
Параллельности прямой и плоскости. Как известно, это оп-
ределение таково: «Прямая, не пересекающая плоскость,
называется параллельной этой плоскости» (А. И. Фетисов,
963, с. 131).
В Таким образом, для решения задачи 17 нам нужно про-
*Верить, обладают ли прямая а и плоскость а свойством не-
' пересекаемости. Но как это сделать? Ведь прямая и плос-
> кость бесконечны, поэтому фактическая проверка указан-
ного признака невозможна.
В таких случаях определение понятия заменяется ка-
ким-либо эквивалентным суждением (теоремой).
В данном случае можно поступить так. Воспользуемся
признаком параллельности прямой и плоскости: «Если дан-
ная прямая параллельна другой прямой, лежащей на плос-
кости, то она параллельна этой плоскости». Тем самым про-
верка параллельности прямой и плоскости заменяется про-
веркой параллельности двух прямых. Но определение па-
121
раллельности прямых также не конструктивно. Действи-
тельно, согласно определению для проверки параллельно-
сти двух прямых нам нужно проверить отсутствие у них об-
щих точек, или, что то же самое, их непересекаемость. По-
этому заменим определение параллельности двух прямых
каким-либо известным признаком (теоремой) параллельно-
сти, например, таким: «Если при пересечении двух прямых
третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти
прямые параллельны».
В конечном итоге получаем такое суждение, эквивалент-
ное определению параллельности прямой и плоскости:
«Если через данную прямую а, не лежащую на плоскости
а, и произвольную точку Р плоскости а провести плос-
кость р, которая пересечет плоскость а по прямой PC, и
прямая КР, где К — произвольная точка на прямой а,
образует с прямыми а и PC равные внутренние накрест ле-
жащие углы, то прямая а и плоскость а параллельны».
Пусть оба указанных требования выполняются для дан-
ного определения. Как на его основе построить алгоритм
распознавания?
Для этого сначала надо вычленить из определения родо-
вое понятие, затем все видовые признаки и, наконец, уста-
новить логическую структуру определения. Для такого
полного и точного анализа желательно само определение
записать на каком-либо формализованном языке (по край-
ней мере, на первых порах, до образования твердого навыка
в производстве такого анализа). Кроме принятой нами сим-
df
волики нам понадобится еще знак «-», который означает,
«эквивалентно по определению», или, короче: «по определе-
df
нию»; запись А <-> В означает: «Высказывание А эквива-
лентно высказыванию В по определению». А также, если
объект х обладает свойством Р, то будем писать: х(Р).
Приведем примеры записи на символическом языке неко-
торых определений.
Пример 1. Определение вертикальных углов: «Два
угла называются вертикальными, если стороны одного угла
являются продолжениями сторон другого угла».
Проанализируем это определение:
1) определяемым понятием является понятие «верти-
кальные углы» (обозначим его как ВУ);
2) родовым понятием для вертикальных углов (ВУ)
является понятие «пара углов» (ПУ);
122
3) видовые признаки: а) первая сторона первого угла
НУ является продолжением первой стороны второго угла
ПУ (это свойство обозначим рх); б) вторая сторона первого
угла ПУ также является продолжением второй стороны вто-
рого угла ПУ (свойство р2). При этом отсчет сторон углов
мы ведем по направлению против часовой стрелки, когда
наблюдатель находится в общей вершине углов.
Пользуясь введенными обозначениями, определение вер-
тикальных углов можно записать следующим образом:
df
(х € ВУ) <-» (х е ПУ) Л х (рг) Л X (р2).
Пример 2. Определение имени существительного:
«Именами существительными называются слова, которые
отвечают на вопрос кто это? или что э т о? и обозна-
чают предметы».
Проведем анализ этого определения:
1) определяемым понятием является имя с у щ е с т-
|ительное (ИС);
| 2) родовым понятием является слово (С);
I 3) видовые признаки: а) отвечает на вопрос кто
b о? (КЭ), б) отвечает на вопрос что это? (ЧЭ), в) обо-
ичает предмет (П).
| Эти видовые признаки связаны логическими связками:
;рвые два признака связкой «или» (V) и с третьим приз-
наком — связкой «и» (Л).
Следовательно, данное определение можно записать
так:
(х € ИС) <—> (х еС) А [х (КЭ) \Jx (ЧЭ)] А х (П).
Так как в дальнейшем нас будет интересовать главным
образом лишь логическая структура той части определе-
ния, которая содержит видовые признаки, то используем
краткую символическую запись этих определений. Напри-
мер, определение вертикальных углов запишем так:
ВУ ПУ А [ала,]-
Эту запись можно читать следующим образом: «ВУ (верти-
кальные углы) по определению есть ПУ (пара углов), об-
ладающая свойствами pi и р2».
123
Определение имени существительного кратко можно за
писать так:
df
ИС^С л [(КЭ v ЧЭ) Л П].
Читается: «ИС по определению есть С, которое или КЗ,
или ЧЭ и П».
После того как определение понятия записано на сим
волическом языке, можно приступить к построению алго
ритма распознавания.
Итак, рассмотрим построение алгоритмов распознавания
для решения задач единичного распознавания отношения
принадлежности, используя граф схемы (подробнее
см.: Л. М. Фридман, 1963).
Граф такого алгоритма распознавания имеет один вход,
отмеченный знаком родового понятия — множества А, и
два выхода, отмеченные знаками В (это означает, что рас
познаваемый объект а С В) и В (это означает, что а(£В). Вхо i
графа соединен с выходами с помощью системы отрезков -
стрелок, связанных узлами графа. Каждый узел отмечен
знаком того или иного видового признака, проверка на
принадлежность которого объекту должна производиться
в этом узле. Так как результат проверки любого признаки
в алгоритмах распознавания отношения принадлежности
может иметь только два исхода (признак у распознаваемого
объекта имеется или признак отсутствует), то от каждого
узла всегда идут две стрелки: одна со знаком «+» (это озна
чает, что проверяемый признак имеется у распознаваемого
объекта) и вторая со знаком «—» (это означает, что проверя-
емый признак не имеется).
Алгоритмы единичного распознавания в зависимости от
характера определений, на основе которых они строятся,
могут быть трех видов:
1. Алгоритмы распознавания конъюнктивной
структуры, которые построены на базе определений
содержащих только связку «и». Общий вид такого опреде
ления следующий:
df
ВеэАА[МО--- А Яп].
Здесь А — родовое понятие, а 7?3, /?2, ..., /?п— видовые
признаки понятия В, связанные между собой конъюнктив-
но.
124
В качестве примера построим граф алгоритма распозна-
вания параллелограмма при родовом понятии «четыреху-
'ольник» на основе такого определения:
df
П-м^(Ч-к) Л [(а 1\с)/\(b\\d)].
। Здесь приняты такие обозначения: Ч-к — четырех-
угольник, П-м — параллелограмм, (а||с)— видовой признак:
Параллельность сторон а и с, (fe||d)—признак параллель-
рсти сторон b и d.
Граф соответствующего алгоритма изображен на рис. 11.
ы видим, что граф наглядно показывает ход работы алго-
итма: войдя во вход Ч-к, т. е.
бедившись, что распознавае-
ый объект принадлежит к ро-
овому понятию, мы приходим,
вигаясь по стрелке, к узлу
t||c); проверив этот признак,
ы, если он у распознаваемого
Рис. 11
бъекта имеется, двигаемся по
грелке со знаком «+» и приходим к узлу (&||d);
ели же первый признак у распознаваемого объекта
тсутствует, то мы после первого узла должны двигаться
о стрелке со знаком «—», тогда придем к выходу П-м, и на
том работа алгоритма в этом случае заканчивается (т. е.
етырехугольник не является параллелограммом). Если же
вы двигались от первого узла по положительной стрелке и
ришли ко второму узлу, то от него, идя по стрелке со зна-
:ом «+», придем к выходу (П-м), идя по стрелке со зна-
ом «—», придем к выходу П-м.
Как видим, от входа алгоритма к его выходам ведут раз-
ные пути. Каждый такой путь будем называть исходом
алгоритма.
Для приведенного алгоритма распознавания параллело-
грамма имеем такие исходы: (+, +) ведущий к выходу П-м,
и два исхода (—) и (+, —), ведущие к выходу П-м.
2. Алгоритмы распознавания дизъюнктивной
структуры, построенные на базе определений, со-
держащих только связку «или». Общий вид таких опреде-
лений следующий:
df
В^А At^V tf2V
125
Здесь А — родовое понятие, a 7?i, R2, /?Г1— видовые
признаки, связанные между собой дизъюнктивно.
В качестве примера рассмотрим алгоритм распознава-
ния равнобедренного треугольника на основе такого опреде
ления: «Равнобедренным треугольником называется такой
треугольник, у которого хотя бы две стороны равны»/
Введем такие обозначения: Д — треугольник, Р — рав-
нобедренный треугольник, а, b и с— стороны треугольни-
ка. Тогда указанное определение можно записать так:
df
Р<-> Д A[(a = 6) V (^ = с) V (с = а)].
Граф алгоритма, соответствующий этому определению,
изображен на рис. 12.
Граф показывает, что работа этого алгоритма распоз-
навания происходит так: проверяем признак (ц=Ь), если
. он выполняется (т. е. сто-
L_J рона а и b равны), то, идя
++ по стрелке со знаком «+»,
"д1—приходим к выходу Р, т. е.
——1 Т— данный треугольник рав-
Рис. 12 нобедренный, и на этом
работа алгоритма закан-
чивается; если первое условие не выполняется, то,
идя по стрелке со знаком «—», приходим ко второму узлу,
где необходимо проверить выполнение условия (&=с).
Если это условие выполнено, то, идя от узла по стрелке со
знаком «+», приходим снова на первый выход графа Р, и на
этом заканчиваем работу алгоритма. Если же это условие
не выполняется, то, идя по стрелке со знаком «—», прихо-
дим к третьему узлу, где необходимо проверить выполнение
третьего условия (с=а). Если это условие выполняется, то
стрелка со знаком «+» приводит нас снова к первому вы-
ходу Р; если же нет, то стрелка со знаком «—» приводит
нас наконец ко второму выходу Р, т. е. в этом случае данный
треугольник неравнобедренный.
Рассматриваемый алгоритм имеет четыре различных ис-
хода, соответствующих четырем различным путям от входа
к двум его выходам.
Пути графа Исходы алгоритма
1. А —> (а = Ь) —> (Ь = с) —> (с = а) —+Р
(о =^= Ь) /\ (Ь с) /\ (с =£= а)
126
А -+{а = Ь)—+Р
L A—>(a = fe)AA(fe = c) Л?
I А —(а = Ь) —> (Ь = с) —> (с
(а — Ь)
(а=£Ь) /\ (fe = c)
(афЬ) Л (Ь=^с\ /\ (с =-а)
6 lid
Рис. 13
3. Наконец, рассмотрим построение алгоритмов распоз-
авания отношения принадлежности на базе определений со
мешанной логичес-
; о й структурой.
L В качестве примера пока-
1ем построение алгоритма
рспознавания на основеопре-
рления трапеции: «Четырех-
гольник, две стороны кото-
рго параллельны, а две дру-
ие не параллельны, называ-
йся трапецией» (А. Н. Кол-
югоров и др., 1974, с.
a, b, c,
контуру
I Введем обозначения: Ч-к —четырехугольник,
I — его стороны, указанные в порядке обхода по
:етырехугольника, Т — трапеция. Определение трапеции
южно записать так:
№ #
Т++(Ч-к) Л [(а || с) Л (6 t d) V (a t с) Л (b || d)J.
Г Граф алгоритма, соответствующий этому определению,
изображен на рис. 13.
| Граф показывает, что работа алгоритма распознавания
ррапеции происходит так: войдя во вход Ч-к, т. е. убедив-
шись, что распознаваемый объект принадлежит к родовому
понятию, мы приходим, двигаясь по стрелке, к узлу (а)|с);
проверив этот признак, мы в обоих исходах этого признака
приходим к узлу (Ь | |d); если оба этих видовых признака име-
ют одинаковые исходы, то приходим к выходу Т (не трапе-
ция); если же их исходы разного знака, то приходим к вы-
ходу Т.
Как видим, этот алгоритм имеет четыре исхода, соответ-
ствующих четырем различным путям от входа к двум выхо-
дам.
127
Пути графа
1. Ч-к—>(а || с) Л (6 || d)-^T
2. Ч-к —+ (а || с) -X- (6 || d) Т
3. Ч-к-^(а || с)-А (6 || d)
Исходы алгоритма
(а || с) Л (Ь || d)
(а || с) Л (b f d)
(а 1 с) Д (b t d)
4. 7.K_>(a||c)_Z>(/,||d)_>7’ Ф
В заключение остановимся на вопросе построения алго
ритмов решения задачи распознавания объекта:
(а€Л)/\<Л= ивЛ ?|П:В°е-|в7Г(а€В0). (5)
\ <=1 /
Будем рассматривать лишь тот случай, когда разбиение
множества А на подмножества В] произведено так, что они
попарно не пересекаются:
Bl(]BJ = 0 (i¥=j, 1</<п). (6)
При выполнении этого условия подмножества Bj мно-
жества А называются видами.
Задача (5) при условии (6) есть задача нахождения одно-
го и только одного из видов Bi, к которому принадлежит рас-
познаваемый объект а. Иногда такую задачу называют з а-
дачей классификации распознавае-
мого объекта.
Можно указать два основных способа построения алго-
ритмов для решения задач классификации (распознавания
объекта) (5).
Первый способ применяется тогда, когда известно, по
каким основаниям (признакам) производится классифика-
ция (деление на виды) множества Л, и известно, на какие
виды (подмножества) разбивается А при этом.
В простейшем случае классификация элементов множе-
ства А ведется по одному признаку R. Пусть по этому при-
знаку множество А делится на виды В1( В2, ..., Вп. Тогда
граф алгоритма классификации имееч вид дерева с одним
ярусом.
Например, пусть мы хотим расклассифицировать поня-
тие «река» по признаку, куда она впадает (Вп). Этот признак
имеет всего пять различных исходов:
1. Река впадает в океан (О).
2. Река впадает в море (М).
3. Река впадает в озеро (Оз).
128
Рис. 14
г 4 Река впадает в другую реку (Pi),
к 5. Река никуда не впадает, теряется (Н).
Тогда граф алгоритма классификации имеет вид, изоб-
раженный на рис. 14.
’ Заметим, что в отличие от графов алгоритмов распозна-
вания отношения принадлежности, граф алгоритма распоз-
навания объекта (классификации) может
иметь уже не два, а большее число вы-
ходов из одного узла. По этой причине
стрелки, идущие от признака, уже нель-
зя, вообще говоря,обозначить знаками
«+» или «—»
Если классификация ведется по не-
(Ьгольким признакам, то алгоритм клас-
Ификации будет иметь уже не один шаг,
Кк это было в простейшем случае, а
Врльшее число шагов
В Пусть элементы множества А клас-
Вфщируются по признакам Ri, R2, Rn и при этом
Вэизнак Ri имеет исходов (т. е. по этому признаку эле-
менты множества А делятся на подмножеств). Очевидно,
В?о ri>2.
В Первый шаг алгоритма классификации множества А по
Вризнакам Rb R2, ..., Rn будет состоять в делении Апо
одному из них, например по признаку Rt. В результате
множество А разделится на столько видов, сколько исходов
имеет этот признак.
Второй шаг алгоритма классификации будет состоять в
делении каждого из полученных видов (исходов первого
признака) по какому-то второму признаку; третий шаг ал-
горитма — это деление каждого из полученных на втором
шагу видов по какому-то третьему признаку и т. д.
При этом возможно, что или все признаки независимы
Ьуг от друга, и поэтому для каждого шага алгоритма мож-
Во выбирать любой из них; но они могут быть и зависимы, и
Воэтому выбор признака для того или иного шага алгорит-
ма ограничен этой зависимостью.
В Например, зависимость может состоять в том, что приз-
Вак Ri можно проверять лишь после R j или же лишь в слу-
Вае какого-то определенного исхода проверки этого приз-
Вака и т. д.
В Кроме того, возможны полная и неполная
Влассификация множества А по признакам Ri, R2, .... Rn.
И 129
При полной классификации граф алгоритма классифика
ция представляет собой дерево, у которого все выходы на
ходится на одном и том же последнем ярусе. При неполно,,
классификации граф алгоритма представляет собой дерево,
у которого выходы находятся на разных ярусах.
Неполную классификацию множества А по т признакам
Ri, Rs, .... Rm можно представлять себе так.
Несколько первых шагов классификации ведется так
же, как и при полной. Но затем после какого-то k-vo шага
некоторые из исходов этого шага уже дальше нс
делятся по остальным признакам, а по этим признакам про
изводится дальнейшая классификация лишь части исходен
предыдущих шагов. То же может повторяться и при после
дующих шагах. Поэтому к разным выходам ведут пути раз
личной длины.
Ясно, что общее число выходов при неполной классифи
кации всегда меньше, чем при соответствующей полной клас
сификации.
Второй способ построения алгоритмов классификации
некоторого множества А применяется тогда, когда известии
определения всех видов этого множества.
Пусть нам даны определения видов Bi множества А
Ограничимся случаем, когда каждое из этих определений
представляет собой конъюнкцию высказываний (видовых
признаков). Для того чтобы по этим определениям можно
было образовать алгоритм классификации А, сами эти оп-
ределения должны удовлетворять следующим условиям
1. Среди видовых признаков определений существуй
по крайней мере один, исходы которого входят в определи
ния всех видов В, множества А.
2. Если из всех этих определений образовать дизъюнктив
ную формулу, то она должна быть тождественно истинной
Раньше мы признаки отождествляли с одним из их ис
ходов-высказываний, получающихся при применении при
знака к элементам множества А. Это можно было делать
так как признаки, рассматриваемые выше, представляли
собой совокупность двух альтернативных отношений, в
поэтому, отождествляя признак с одним из двух возможных
исходов-высказываний, мы тем самым представляли его как
проверку истинности этого высказывания. В общем же Слу-
чае, когда признак представляет собой совокупность более
чем двух отношений, отождествление признака с одн им из
его исходов уже невозможно.
130
Рассмотрим, например, разбиение множества углов, оп-
ределяемых как часть плоскости, заключенной между двумя
лучами, исходящими из одной точки, по признаку величины
той части плоскости. Этот признак представляет собой со-
вокупность из шести следующих отношений:
I 1) х — острый угол,
2) х — прямой угол,
3) х — тупой угол,
Н|4) х — развернутый угол,
^15) х — угол, больший развернутого («горбатый»),
Ир) х — полный угол.
Здесь х обозначает переменную, заданную на множестве
^иов. Если х принимает какое-то конкретное значение
^В=а), то каждое из этих шести отношений переходит в
^зказывание, из которых одно и только одно истинное,
^Летальные ложные.
Ир Высказывания, полученные из данных отношений при
|амене переменной конкретным элементом множества А,
В есть исходы признака, по которому производится деление
Ж на виды (подмножества). При этом каждое из этих выска-
ываний входит в определение одного и только одного из
Видов множества А.
I Обозначим высказывания, которые являются исходами
дензнака R, следующим образом: A2(R), A2(R).A4(R).
кждое из этих высказываний истинно для всех элементов
Итого и того же вида Bj множества А. Это высказывание и
Ийдет в определение Вь
И Покажем теперь на примере, как можно, зная определе-
я видов множества А, удовлетворяющие указанным выше
Идовиям, образовать алгоритм классификации А.
И Пусть даны определения следующих видов (подмноже-
^в) множества А (для краткости выпишем лишь видовые
изнаки определений):
В
В B1wA1(R1)A

В ^2 Ах (Rx) А Аа (R2);
В B3wA1(R1)A A3(Ra)A AX(R4);
IF
B4 w Ax (Rj) A A3 (Ra) A Aa (Rt);
df
S6wAa(R1)A Ax(R3);
131
df
B$ А (А) Д A2 (R3);
df
By <-> A (7?j) Д At (A) A A± (A);
df
Be w A3 (RJ a A, (А) л a, (A);
df
Bt^t A3(R1) a A2 (R2);
df
B10<->A(A)A A(A);
df
b^a^rj a A (A);
df
By.2 A (Ri) A A (Ri)’
При этом нам известно, что признак Ri имеет четыре
различных исхода, признак R2—три исхода, признаки
R3 и R*— по два исхода, т. е. формулы высказываний:
Ау (RJ v A (R.) V А3 (R.) V а4 (А);
A(A)V A(A)V А (А);
a;(r3) v Am и Amv Am
все истинные.
Поэтому если из правых частей всех приведенных выше
определений образовать нормальную дизъюнктивную форму,
то легко видно, что она будет тождественно истинной, т. е.
приведенные определения удовлетворяют второму условию
Первому условию они тоже удовлетворяют, ибо во все оп-
ределения входят исходы признака Rr
Для того чтобы образовать алгоритм классификации по
этим определениям, надо установить порядок проверки при-
знаков в качестве оснований деления.
Первым признаком можно взять лишь признак Ri, ибо
только исходы этого признака входят во все определения.
Значит, первый шаг искомого алгоритма есть проверка при-
знака Ri. Этот признак имеет четыре исхода Исход Ai(R,)
входит лишь в определения первых четырех видов, во все
из которых входят еще лишь исходы признака R2. Значит,
исход Ai(Ri) классифицируем по признаку R2. Исход A2(Rj)
можно классифицировать по признаку R3, исход A3(R!) —
по признаку R2 и, наконец, исход A<(Ri)—по признаку
R4. В этом будет состоять второй шаг алгоритма.
Третий шаг применяется лишь для классификации ис-
хода A3(R2) по признаку R4 и исхода Ai(R2) по признаку
132

К, Дерево полученного алгоритма не.ш- юн классификации
и (обряжено на рис 15
Граф классификации А есть одновременно и граф алго-
ритма решения соответствующей задачи распознавания объ-
екта, в данном случае следующей задачи
(а€ А) Л
?|Г):В°е{В,} (а£В°).
Действительно, граф алгоритма классификации (см.
рис. 15) наглядно показывает, что для решения данной за-
Рис. 15
дачи мы должны сначала проверить наличие у распознава-
емого объекта признака Rf, в зависимости от исхода этой
проверки мы должны затем проверить наличие признака
R2, или R3, или R2, или R4, если при первом исходе при-
знака Ri признак R2 имеет так же первый исход, то искомым
объектом будет В1; те а £ В), если признак R2 имеет второй
исход, то искомым объектом оказывается В2, и т. д.
ь Все это показывает, что аппарат графического изобра-
жения алгоритмов (графы) является весьма удобным сред-
твом для построения и использования алгоритмов, легко
Доступным учащимся даже средних классов.
133
ГЛАВА V
Сюжетные задачи
§ 18. СЮЖЕТНЫЕ ЗАДАЧИ
КАК МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ ЯВЛЕНИЙ
Среди многочисленных школьных задач особо выделяются
задачи, которые на разных ступенях обучения называют по-
разному: арифметические задачи, алгебраические задачи, за-
дачи на составление уравнений и систем уравнений. Фак-
тически это один и тот же вид задач, который характери-
зуется следующими чертами: 1) задачи сформулированы на
естественном языке (поэтому их называют т е к с г о в ы-
м и); 2) в них обычно описывается количественная сторона
каких-то явлений, событий (поэтому их часто называют
сюжетным и); 3) они представляют собой задачи на
разыскание искомого и сводятся к вычислению неизвест-
ного значения некоторой величины (поэтому их иногда на-
зывают в ы ч и с л и т е л ь н ы ми).
Эти задачи решаются на протяжении всех лет обучения
в школе с I по X класс, и на обучение их решению затрачи-
вается значительная часть времени, отведенного на изуче-
ние математики. Объясняется это тем, что решение этих
задач является незаменимым средством формирования \
учащихся многих первичных математических понятий (та-
ких, как, например, реальный смысл арифметических дей-
ствий над числами, свойства этих действий, разностное и
кратное отношения величин и т. д.), а главное — формиро-
вания умений и навыков математического моделирования
реальных явлений.
До недавнего времени большое внимание уделялось обу-
чению учащихся специальным арифметическим методам
решения рассматриваемых задач. Сейчас программа предус-
матривает преимущественное использование алгебраиче-
ских методов — составления уравнений и систем уравне-
ний. Но при этом обозначались две новые опасности.
Одна из них состоит в том, что некоторые методисты и
психологи попытались вовсе изгнать из школы арифмети-
ческие методы решения сюжетных задач и начиная с I клас-
са решать их исключительно с помощью уравнений. Весьма
134

четкую оценку этим методическим новшествам дал А. Н. Кол-
могоров: «... мы сейчас можем наблюдать, что исполь- ч
ювание «икса» применяется и тогда, когда это необходимо,
и тогда, когда это попросту не нужно. Порой считают, что -.4
детям будет проще решать, если даже выполнение простей- _•
шей арифметической операции 5+3 записывать с «иксом» А
в виде: 5+3=х. На мой взгляд, это скорее анекдот, чем серь- j
гшая методическая идея» (1974а, с. 8). f
Другую опасность указал Ю. М. Колягин. Он пишет:
«Отрицательная обучающая роль типовых арифметических
задач признана сейчас всеми. Однако не уготована ли та же
часть задачам на составление уравнений? Обучающая
/нкция этих задач кажется предельно ясной — помочь уча-
имся овладеть методом уравнений, т. е. своеобразной фор-
эй аналитического метода мышления. Между тем школь-
тки обучаются не методу уравнений, как таковому, а
^способам составления уравнений по условиям отдельных ти-
рв задач «на совместную работу», «на движение» (встреч-
Иэе, в одном направлении или в разных) и т.п.» (1974, с.
В—59).
V Нам представляется, что одной из главных причин тако-
|го положения в методике обучения решению этих задач
является то обстоятельство, что сама эта методика и боль-
ииинство психолого-методических исследований в этой об-
ласти строятся без необходимого логико-математического
анализа этих задач и психологического анализа механиз-
мов их решения, т. е. не на основе какой-либо теории этих
задач в нашем понимании.
В этой главе мы попытаемся рассмотреть основные во-
просы теории таких задач и механизмы их решения. При
этом, конечно, нет смысла рассматривать арифметические и
алгебраические текстовые'задачи как разные виды задач, ибо
по своей сущности они составляют один общий“вид. Поэто-
му, естественно, им надо найти и одно общее название.
Среди различных названий, имеющихся в литературе,
мы остановились на названии сюжетные задачи,
ибо внешней характерной особенностью текстовых арифме-
тических и алгебраических задач является наличие в их
условии какого-то определенного сюжета.
Выше мы указали основные характерные особенности сю-
жетных задач. Одной из них является то, что”они представ-
ляют собой модели реальных явлений. Рассмотрим этот во-
прос более подробно.
135
Какую бы сюжетную задачу мы ни взяли, в ней всегда
найдем словесное описание какого-то явления, события,
процесса. С этой точки зрения сюжетная задача представля-
ет собой модель этого явления. Но, конечно, как и во вся-
кой модели, в сюжетной задаче описывается не все явление в
целом, а лишь некоторые его стороны, а именно и главным
образом количественная сторона этого явления.
Условие всякой такой задачи состоит в основном из
словесного задания отдельных значений величин, характе-
ризующих количественную сторону рассматриваемого яв-
ления, и из некоторых указаний о зависимостях (отноше-
ниях) между этими значениями. Приведем примеры.
3 а д а ч а 1. Самолет совершил полет из одного пункта в
другой со средней скоростью 180 км в час; если бы его ско-
рость была в^2 раза большей, то на этот же путь он затратил
бы на 2 часа меньше. Узнать расстояние между этими дву-
мя пунктами.
В задаче описывается полет самолета, при этом рассмат-
риваются два эпизода этого явления: полет самолета между
какими-то двумя пунктами со скоростью в 180 км в час и по-
лет этого самолета с повышенной скоростью между этими же
пунктами. Это явление характеризуется тремя основными
величинами: 1) расстояние между двумя пунктами, 2) время
полета, 3) скорость полета. Первая величина задана одним
неизвестным значением. Вторая величина задана двумя не-
известными значениями, а третья — одним известным
(180 км/ч) и одним неизвестным значением.
Кроме этих трех основных величин в задаче заданы зна-
чения еще двух вспомогательных величин: 1) значение ве-
личины кратного отношения между значениями величины
скорости («в 2 раза большей»), 2) значение величины разно-
стного отношения двух значений величины времени («на
2 часа меньше»). Значения этих вспомогательных величин
\ служат связками для значений основных величин.
Всякое реальное явление с количественной точки зре-
ния характеризуется многими величинами. При описании
этого явления в сюжетных задачах могут быть заданы раз-
ные величины и различное их число в зависимости от того,
какая сторона явления служит сюжетом данной задачи.
_ 3 а д а ч а 2. Куплено 6 кг печенья ценой по 1,2 руб. за
1 кг. Сколько стоит вся покупка?
В этой задаче описана покупка печенья. Количествен-
ная сторона этого явления характеризуется тремя величина-
136
ми: весом, ценой и стоимостью. И все эти три величины на-
званы в условии задачи, и каждая из них задана одним
своим значением (известным или неизвестным).
Задача 3. Купили сначала на 7 руб. печенья, а по-
том еще на 5 руб. На сколько всего рублей купили печенья?
В этой задаче описывается то же явление — покупка пе-
ченья. Но в задаче указана лишь одна величина — стои-
мость, заданная тремя значениями. Несомненно, что и при
скупке, описываемой в этой задаче, печенье было опреде-
енной цены и куплено его было определенное количество,
о в задаче рассматривается такая сторона этого явления,
го знание значений этих величин (цены и веса) не обяза-
йльно да и просто излишне.
Задача 4. Если открыть краны с горячей и холод-
ой водой, то ванна наполнится до требуемого уровня за
мин., если открыть один кран с горячей водой, т® ванна
аполнится до того же уровня за 18 мин. За сколько минут
южет наполниться ванна до того же уровня холодной водой,
ротекающей через другой кран?
В этой задаче описан процесс наполнения ванны водой,
фичем рассматриваются три различных эпизода этого про-
веса: наполнение ванны водой, протекающей через оба
фана; наполнение ванны одной горячей водой и одной хо-
одной водой. Каждый эпизод характеризуется тремя вели-
инами: временем наполнения ванны, объемом ванны и про-
ченной способностью труб. Из них только первая величина
!вно названа и задана известными значениями в первых
(вух эпизодах (8 мин. и 18 мин.) и неизвестным значением в
ретьем. Вторая величина — объем ванны — названа лишь
освенно («до определенного уровня», «до того же уровня»),
третья даже не упоминается, и ее наличие вытекает из
шлиза описываемого в задаче процесса, а не из условия
щачи. Между тем для решения этой задачи необходимо ис-
ользовать значения этих прямо не названных в условии
еличин.
Чем же отличается эта задача от задачи 3, где тоже ука-
зана лишь одна из трех величин, характеризующих опи-
сываемое явление? Отличие состоит в том, что в задаче 3
значения заданной величины непосредственно связаны соот-
ношением, не зависящим от размеров значений других ве-
личин; а в задаче 4 значения заданной величины времени
связаны соотношением, которое зависит от размеров значе-
ний других величин: в данной задаче соотношение между
137
значениями времени наполнения ванны нами устанавлива-
ются при условии, что значения величины объема ванны во
всех трех случаях равны, если бы мы этого не знали, то
никакого соотношения между значениями величины вре
мени установить не смогли бы. Совсем другое в задаче 3
каковы бы ни были размеры значений цены и веса, соотно
шенпе между размерами значений заданной величины стоп
мости будет одно и то же.
Значит, число величин, нужных для количественной ха
рактеристики описываемой в задаче стороны явления, зави
сит и от характера соотношения между их значениями.
Значения различных величин (известные и неизвестные)
составляют в совокупности предметную область сюжетных
задач. Эти элементы предметной области сюжетных задач
связаны такими отношениями, в записи которых входят
лишь одни арифметические действия и знаки равенства.
Но что такое арифметическое действие? С формальной
стороны каждое арифметическое действие представляет со
бой бинарную операцию, когда каждой паре чисел из дан
ной области ставится в соответствие по определенном)
правилу некоторое третье число из той же области чисел
Очевидно, что не всякая бинарная операция есть арифмети
ческое действие. Арифметические действия — это основные
бинарные операции над числами, которые были отобраны р
процессе многовековой исторической практики человека )
которые отражают наиболее простейшие количественные
отношения реального мира Все другие операции над чис-
лами (не только бинарные) мы обычно сводим к последова-
тельному выполнению арифметических действий.
Какие же количественные отношения реального мира
отражают арифметические действия? В каких простейших
жизненных ситуациях встречаются эти количественные от-
ношения?
Рассмотрим простейшие формы ситуаций, математичес
кая модель которых может быть записана с помощью число
вой формулы, содержащей только одно арпфметическо!
действие. В деятельности людей возникает много таких си
туаций, но все они могут быть сведены к нескольким основ-
ным группам. Все простейшие ситуации можно подразде
лить на три группы.
Группа I. Ситуации, возникающие в результате не-
которой операции над предметами или над множествами
предметов (значениями величин). В зависимости от харак-
138
юра операций здесь возможны следующие виды ситуа-
ций.
1-й вид характеризуется операцией соединения
нескольких значений величины (предметов) в одно значение
той же величины или нескольких множеств предметов в одно
множество.
2-й вид характеризуется операцией отнимания
от одного значения величины другого значения той же ве-
личины; эта операция является обратной по отношению к
(операции соединения.
3-й вид связан с операцией перехода от о д-
f о й единицы счета или измерения
[ другой.
4-й вид характеризуется операцией разбиения
разложения) какого-либо значения величины (предмета)
га несколько одинаковых значений или множества на оди-
гаковые подмножества
Группа II. Ситуации, возникающие в результате
:равнения двух значений одной и той же величины. Если
три этом значения оказываются равными, то мы имеем си-
туацию равенства; если же значения не равны, то мы
излучаем два вида ситуаций в зависимости от способа срав-
нения этих значений; 1) сравнение с помощью нахождения
) а з н ост н о го отношения (разности) и 2) сравнение с
помощью нахождения кратного отношения.
Группа III. Ситуации, возникающие при количест-
венной характеристике одного момента (случая, эпизода)
какого-то явления несколькими взаимосвязанными величи-
нами, каждая из которых принимает в рассматриваемый
момент определенное значение (известное или неизвестное).
Эта группа ситуаций делится на виды в зависимости от яв-
ления, стороной которого является данная ситуация, и,
следовательно, от величин, характеризующих количествен-
ную сторону этого явления. Основными ситуациями этой
группы являются: 1) движение, характеризующееся вели-
чинами (путь — время — скорость); 2) покупка-продажа
(стоимость — количество — цена); 3) работа (объем рабо-
ты — время — производительность труда) и т. д.
Рассмотренные виды простейших ситуаций — это коли-
чественные стороны реальных явлений. В сюжетных зада-
чах мы имеем дело не с самими ситуациями, а с их словес-
ными моделями. Назовем словесные модели простейших си-
туаций соотношениями. Модели ситуаций группы I
139
будем называть соотношениями операции,
модели ситуаций группы II — соотношениями
сравнения и, наконец, модели ситуаций группы III
соотношениями-зависимостями, Cooi
ношения операции, соотношения сравнения и соотношения
зависимости в свою очередь делятся на виды в зависимое!и
от вида соответствующей этому соотношению ситуации
Рассмотрим примеры простейших задач, в которых задя
ны указанные выше виды соотношений.
Задача 5, В одном куске 12 м материи, а в другом -
8 м. Сколько всего метров материи в двух кусках?
В задаче рассматривается явление измерения длины ма
терии и такая ситуация этого явления, которая характерп
зуется одной величиной — длиной материи. Эта величин.,
задана в задаче тремя значениями: «в одном куске 12м»,
«в другом — 8 м», «в двух кусках» размер неизвестен.
Третье значение величин («в двух кусках») есть резуль
тат операции соединения первых двух значений. Это мы
устанавливаем, мысленно воссоздавая ту ситуацию, которая
описана в данной задаче. Следовательно, в данной задач,'
задано одно соотношение операции соединения.
Задача 6. В двух кусках 20 м материи. В одном кус-
ке 12 м. Сколько метров материи в другом куске?
В этой задаче описано то же явление; ситуация же от
личается лишь тем, что одно из известных значений величи
ны — длина материи — стало в данной задаче искомым, а
искомое предыдущей задачи стало данным. Мы видим, чтс
эта ситуация по своему характеру не отличается от ситуа
ции предыдущей задачи, и следовательно, в этой задаче так
же задано соотношение операции соединения, а именно: зна-
чение «в двух кусках 20 м» есть результат соединения осталь-
ных двух значений величины («в одном куске 12 м» и иско-
мого значения).
Задача?. Было 20 тетрадей, 3 тетради израсходова-
ли, сколько осталось?
Рассматриваемая в этой задаче ситуация явления под-
счета тетрадей характеризуется одной величиной — количе-
ством тетрадей, заданной тремя значениями. При этом из
первого значения («было 20 тетрадей») отнято второе значе-
ние («3 тетради израсходовали»). Искомое есть результат
этой операции. Следовательно, в этой задаче задано одно
соотношение операции отнимания.
Ситуацию отнимания можно всегда истолковывать и
140
как операцию соединения. В данном случае можно говорить,
что 20 тетрадей есть результат соединения трех израсходо-
Еанных тетрадей и искомого остатка. Поэтому можно задан-
ое в задаче 7 соотношение рассматривать и как соотноше-
ие операции соединения. Иногда такое истолкование
Соотношений операции отнимания является более предпоч-
?ительным, чем непосредственное истолкование, и мы им
удем пользоваться.
Необходимо отметить, что соотношения соединения и
отнимания можно истолковать и как разные случаи соот-
ношения целого и частей. Так, в задачах 5 и 6
общую длину материи в двух кусках можно рассматривать
i как целое, а длину материи каждого из этих кусоков — как
части этого целого. В задаче 7 бывшее число тетрадей —
i это целое, а число израсходованных и оставшихся — это
: части целого. Такая трактовка этих задач в некоторых слу-
чаях предпочтительней (например, на первых порах обуче-
ния), чем операционная трактовка. Но последняя является
! более общей, чем трактовка — целое и части, которая может
( быть использована не во всех случаях.
3 а д а ч а 8. Купили 6 коробок карандашей по 12 ка-
’ рандашей в каждой коробке. Сколько всего карандашей ку-
пили?
В задаче рассматривается явление покупки. Та ситуация
этого явления, которая описана в задаче, характеризуется
одной величиной — количеством карандашей. Это количе-
ство сначала подсчитали, приняв за единицу счета коробку
карандашей, а затем встала проблема подсчета того же коли-
чества, когда за единицу счета приняли один карандаш.
При этом известна зависимость между этими двумя единица-
ми счета: в первой единице содержится 12 вторых единиц.
Следовательно, в этой задаче задано одно соотношение
операции перехода от одной единицы счета к другой.
Задача 9. В магазин привезли 24 ящика масла по 20
кг в каждом ящике. Сколько килограммов масла привезли в
магазин?
В задаче описывается явление измерения веса масла.
Ситуация, рассматриваемая при этом, может быть истолко-
вана так: сначала привезенное в магазин масло измерили
крупной единицей — ящиком, а затем встала проблема из-
мерения этого же масла другой единицей — килограммом,
при этом известна зависимость между этими двумя едини-
цами измерения: в первой содержится 20 вторых. Отличие
141
этой задачи от предыдущей в таком случае лишь в том, что в
предыдущей задаче речь шла о единицах счета, а в этой — о
единицах измерения.
3 а д а ч а 10. Купили всего 72 карандаша в коробках по
12 штук в каждой. Сколько коробок карандашей купили?
Ситуация, описываемая в этой' задаче, в некотором
смысле является обратной по отношению к ситуации задачи
8: если в задаче 8 проблема состояла в переходе от большей
единицы счета к меньшей, то в данной задаче проблема со--
стоит в переходе от меньшей единицы счета (карандаша) Ki
большей (коробка). Однако очевидно, что вид соотношения,!
из которого coelom данная задача, тот же, что и в задаче 8,1
а именно: соотношение операции перехода от одной едини-’
цы счета к другой.
Задача 11. 480 кг масла разложили в ящики по 20 кг
в каждом ящике. Сколько ящиков с маслом получи-
лось?
Ситуация, описываемая в этой задаче, является как бы
обратной по отношению к ситуации задачи 9. Отличие состо-
ит еще в том, что внешнее выражение ситуации данной зада-
чи характеризуется операцией разложения (масло разложи-
ли в ящики). Однако ясно, что эту ситуацию можно характе-
ризовать и с помощью операции перехода от одной единицы
измерения к другой: можно считать, что сначала масло из-
мерили килограммами, а затем встала проблема измерения
этого масла ящиками, при этом известно, что во второй еди-
нице содержится 20 первых единиц.
Таким образом, соотношение, из которого состоит дан-
ная задача, можно отнести к виду соотношений операции
перехода от одной единицы измерения к другой; можно от-
нести его также к виду соотношений операции разбиения.
3 а д а ч а 12. Школьники рассадили всего 120 деревьев
рядами по 10 деревьев в каждом ряду. Сколько рядов дере-
вьев посадили школьники?
Ситуацию, описываемую в этой задаче, можно охаракте-
ризовать с помощью операции разбиения множества (120
деревьев) на одинаковые подмножества (на ряды), но можно
характеризовать и с помощью операции перехода от мень-
шей единицы счета (одно дерево) к большей единице (ряд).
Поэтому соотношение, содержащееся в данной задаче, мож-
но причислить или к виду соотношений операции разбиения,
или к виду соотношений операции перехода от одной едини-
цы счета к другой.
142
'W
Как видим, последние два вида соотношений оц»|ы <
(операции перехода от одной единицы счета к другой и <
рации разбиения) весьма близкие и их различение nvini
весьма трудное дело. Но, кроме того, важно заметить, >
любое из этих соотношений можно причислить к coouioiiic
ниям-зависимостям. Так, в задачах 8 и 10 можно говорить,
что в них рассматривается такая ситуация, которая характе
ризуется не одной величиной (количество карандашей), и
тремя: количеством карандашей, количеством коробок и
количеством карандашей в одной коробке. Каждая из этих
величин задана одним своим значением (известным или не-
известным), и ситуация, рассматриваемая в этих задачах,
характеризуется зависимостью между значениями этих
трех величин. Следовательно, имеющиеся в этих задачах
соотношения можно причислить к группе cooi ношений-за-
висимостей.
Точно так же в задачах 9 и 11 можно говор in ь о соотно-
шениях-зависимостях, ибо в них заданы три величины —
общий вес масла, количество ящиков и вес масла в одном
ящике, при этом каждая из этих величин задана одним сво-
им значением.
Таким образом, любое соотношение операций перехода
от одной единицы счета или измерения к другой и разбие-
ния можно рассматривать и как соотношение-зависимость.
Характерным признаком ситуаций, моделью которых
являются соотношения-зависимости, является наличие в их
характеристике значений разных величин. Но какие вели-
чины следует считать разными?
Ясно, что такие величины, как путь и стоимость пли
количество людей и площадь,— это разные величины. А вот
такие величины, как путь, пройденный за один час, и путь,
пройденный за несколько часов,— это разные величины или
это разные значения одной и той же величины пути?
В рассмотренных выше примерах задач 8- 12 мы виде-
ли, что описываемые там ситуации можно трактовать двоя-
ким образом только потому, что эти ситуации характеризу-
ются тремя разными значениями одной величины или тремя
разными величинами, каждая из которых задана одним
своим значением.
Но рассмотрим такую задачу.
Задача 13. Пешеход за один час прошел 5 км, а за
другой — 4 км. Сколько километров он прошел за 2
часа?
143
Очевидно, что здесь путь, пройденный пешеходом за.
один час, и путь, пройденный им за 2 часа, суть значения/
одной и той же величины пути. /
А вот другая задача.
Задача14. Пешеход проходил 5 км в час. Сколько он
прошел за 2 часа? /
Ясно, что путь, пройденный пешеходом за один час, и
путь, пройденный им за 2 часа, суть значения разных вели-
чин: первое — скорости, а второе — пути.
Почему же путь, пройденный пешеходом в один час, яв-
ляется в одном случае значением величины пути, а в дру-
гом — значением величины скорости? От чего это зависит?
Является ли стоимость одного костюма и стоимость двух
костюмов значениями одной и той же величины или разных
величин?
Очевидно, что все зависит от места и времени проявления
рассматриваемых величин.
Место действия величин в сюжетных задачах суть явле-
ния, а время их проявления — одновременное их участие
или неучастие в характеристике ситуаций.
В задаче 13 описывается такая ситуация явления движе-
ния, которая характеризуется одной величиной — путь,
а значения «за один час», «за другой час», «за 2 часа» явля-
ются значениями не величины времени, а значениями диск-
ретной величины, характеризующей моменты движения.
В задаче же 14 значение «за 2 часа» есть значение величины
времени. Таким образом, в характеристике ситуации, рас-
сматриваемой в задаче 14, участвуют две разные величины,
а поэтому появляется и третья величина — величина их от-
ношения — скорость.
Вообще, если в характеристике ситуаций, описываемых
в сюжетных задачах, участвуют две величины — путь и
время, то должна появиться и третья величина — величи-
на их отношения, т.е. скорость, и тогда путь, пройденный
за единицу времени, есть значение скорости; если же в ха-
рактеристике ситуации участвует лишь первая величина,
а другая — время — не участвует, то величина скорость не
может появиться, и в этом случае путь, пройденный в один
час, есть значение величины пути, а не скорости.
Аналогично обстоит дело со стоимостью единицы товара
(ценой), с работой, произведенной в единицу времени (про-
изводительностью), с весом, приходящимся на единицу объ-
ема (удельным весом), и т. д. Все они приобретают характер
144
Значений особых величин, отличных от величин, их поро-
дивших (т. е. соответственно стоимости, работы, веса и т. д.),.
лишь в присутствии других величин — количества товара,
ввемени, объема и т. д., являющихся вторыми членами со-
ответствующей пары величин, связанных отношением-за-
висимостью; в отсутствии же этих величин — цена, произ-
водительность, удельный вес и т. д.— теряют свои специ-
фические черты величин отношения и играют лишь роль
jединичных значений первых величин.
Теперь приведем примеры задач, в которых имеются
'соотношения сравнения.
[ 3 а д а ч а 15. Два поезда выехали навстречу друг другу
одновременно из двух станций. Первый поезд ехал до встре-
f чи со вторым 4 часа. Сколько часов ехал второй поезд до
встречи с первым?
В данной задаче описывается такая ситуация явления
движения, которая характеризуется одной величиной —
время. Эта величина задана двумя значениями: время дви-
жения первого поезда до встречи со вторым и время движе-
ния второго поезда до вс гречи с первым Анализируя эту
.ситуацию, мы должны учесть, что поезда вышли одновре-
менно и в точку встречи они придут также одновременно.
Поэтому если мы сравним эти два значения времени, то они
окажутся равными, и следовательно, в этой задаче задано
соотношение равенства.
Обычно соотношения равенства встречаются в сюжетных
.задачах не как самостоятельные соотношения, а как вспо-
могательные в совокупности с другими соотношениями.
Задача 16. В одной пачке 20 тетрадей, а в другой —
12. На сколько в первой пачке тетрадей больше, чем во
второй?
Ситуация, моделью которой является данная задача,
характеризуется одной величиной — количеством тетрадей,
заданной двумя значениями (20 и 12 тетрадей). Проблема
состоит в том, чтобы найти результат их разностного срав-
нения. Заметим, что этот результат не будет уже шипе-
нием величины количества тетрадей, а есть значение вели-
чины разностного отношения, и этот результат служив связ-
кой в соотношении разностного сравнения, заданною в дан
ной задаче.
Задача 17. С одной грядки мальчик сорвал 5 огур-
цов, а с другой в 3 раза больше. Сколько огурцов он сорвал
со второй грядки?
145
Величина, характеризующая описываемую ситуацию,
задана двумя значениями (5 огурцов и искомое число огур-
цов), и эти два значения сравнивались путем нахождения их
кратного отношения. Результат этого сравнения («в 3 раза
больше») есть связка, с помощью которой заданные два зна-
чения основной величины — количества огурцов — свя-
зываются в соотношении кратного сравнения.
Итак:
1) всякая сюжетная задача представляет собой словес-
ную модель количественной стороны какого-либо явления,
события, процесса;
2) в условии сюжетной задачи рассматриваются один
или несколько моментов (случаев, эпизодов) описываемого
явления;
3) количественная сторона явления характеризуется
одной или несколькими основными величинами, при этом,
если величина одна, она задается не менее чем двумя различ-
ными значениями; если величин несколько, то каждая из них
может быть задана одним или несколькими значениями;
4) кроме основных величин, для характеристики рас-'
сматриваемого явления в сюжетных задачах используются;
еще вспомогательные величины в качестве порядковых ха-
рактеристик отдельных эпизодов рассматриваемого явления
или разных значений одной и той же величины («в первый
раз», «во второй» и т. д.), а также в качестве значений вели-
чины кратного или разностного отношений двух значений
основной величины («в 2 раза больше», «на 15 кг меньше»
И т. д.);
5) значения (известные и неизвестные) основных вели-:
чин связаны между собой соотношениями; значения одной и
той же величины могут быть связаны соотношениями: а)
соединения, б) отнимания, в) перехода от одной единицы
счета или измерения к другой, г) разбиения на равные час-
ти, д) равенства, е) разностного отношения, ж) кратного от-
ношения; значения разных величин могут быть связаны со-
отношениями-зависимостями типа путь — время — ско-
рость, стоимость — количество — цена и т. д.;
6) квалификация тех или иных соотношений, заданных
в условии сюжетной задачи, зависит не только от характера -
самого соотношения, но и от трактовки соотношения решаю-
щим (что определяется уровнем его знаний и характером
обучения); так, соотношения отнимания можно трактовать и
как соотношения соединения, и наоборот; соотношения пере-
146
хода от одной единицы счета или измерения к другой или со-
отношения разбиения можно трактовать как соотношения-
зависимости, и наоборот; соотношения соединения и отни-
мания — как соотношения частей и целого и т. д.
§ 19. СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ
Важней шей особенностью сюжетных задач является то
что это текстовые задачи, т. е. языком этих задач является
наш естественный язык. Поэтому необходимо исследовать
эти задачи с семантической точки зрения. В частности, не-
обходимо установить особенности словесной формулировки
этих задач, выявить, какими языковыми средствами выра-
жаются в них отдельные элементы, как можно на основе ана-
лиза словесной формулировки задачи распознать отдельные
значения величин и их виды, а также соотношения, связыва-
ющие значения величин, и т. д. Такой анализ мы и называем
семантическим.
Однако следует различать два способа семантического
анализа текстовой задачи.
При первом способе текст задачи декодируется в целом,
мысленно воссоздается вся та реальная проблемная ситуа-
ция, словесной моделью которой является анализируемая
задача.
Второй способ анализа направлен на выявление особен-
ностей словесного задания отдельных значений величин,
как известных, так и неизвестных, в том числе и искомых,
а главное — на выявление словесных признаков отдельных
видов соотношений. С помощью этого анализа устанавли-
ваются словесные инварианты каждого вида задач и от-
дельных соотношений.
В настоящее время наиболее широко применяемым в
обучении учащихся является первый способ семантического
анализа.
Во всех методических руководствах по обучению реше-
нию задач обычно указывают на необходимость умения уста-
навливать жизненное содержание задачи, воссоздавать ту
ситуацию, моделью которой является эта задача. Для этого
используются различные методические приемы: драмати-
зация задачи, когда описываемое явление раскрывается в
действиях учителя и учащихся, зарисовка ситуации, изло-
147
женной в задаче, моделирование задачи с помощью разнооб)
разных наглядных пособий и т. д. ’
Второй способ семантического анализа обычно рассмат-
ривается как производный и зависимый от первого. Счита-
ется, что выявление составных частей задачи, отдельных
величин и их значений и соотношений между ними можнс
производить лишь на основе анализа жизненной ситуации,
описанной в задаче. «В условии же задачи,—• пишет
Н. А. Менчинская,— прямо ничего не сказано о том, какук
операцию с числами надо произвести; учащийся должен сам
выбрать арифметическую операцию, исходя из пониманий
характера той жизненной ситуации, какая описана в усло^
вии задачи» (1955, с. 252). |
Поэтому второму способу семантического анализа nq
сути дела не обучают учащихся, они им овладевают сти
хийно, в процессе решения многих задач, ибо решение сю<
жетных задач невозможно без такого анализа.
Следует заметить, что отрицательному отношению ко вто;
рому способу семантического анализа способствовали не
удачи с попытками непосредственного использования текс
та задачи для нахождения ее решения. Так, например
И. Н. Кавун и Н. С. Попова рекомендовали создать ассо-
циации между терминами «прибавить» и «отнять» и тем»
разнообразными выражениями, которые характеризуют
действия сложения и вычитания в задачах. Прибавить —
это придвинуть, принести, подойти, подбежать, подплыть,
подлететь, купить и т. д. Это действие характеризуется так-
же словами:щ, да, еще, всего, вместе и т. д. Отнять — этс
отодвинуть, унести, отойти, убежать, уплыть, улететь, раз-
бить, потерять и т. д. Это действие подсказывают такие сло-
вечки: без, от, из, осталось и т. д. (1936, с. 148)
Такую же рекомендацию мы находим и у О. Т. Бочков)
ской: «Исходным моментом при уяснении первоначального
смысла сложения и вычитания служит зрительное и мотор-i
ное восприятие конкретных действий над предметами, что
дает возможность, используя имеющиеся у детей дошколь!
ные ассоциации между конкретными действиями и счетны-
ми операциями, ввести соответствующее название арифмети-
ческого действия. Для этой цели решаются задачи, в кото-
рых используются слова: «дали, принесли, купили» и т. д.
«ушли, потеряли, отдали» и т. д.» (1949, с. 39).
Анализируя подобные рекомендации, Н. А. Менчинская
указывала: «... для связи, лежащей в основе выбора дей-
148
ствия в задаче, является характерным и то, что чрезвычайно
многообразна возможность соединения одного и того же
арифметического действия с тем комплексом словесных вы-
ражений, какой дан в тексте задачи. И, в частности, очень
широко варьируют слова, обозначающие те жизненные дей-
ствия, которые могут иметь (при условии соответствующего
вопроса) один и тот же арифметический смысл» (1955,
с. 253).
И дальше: «Что же касается операции выбора дей-
ствий, то в этом случае почти неисчерпаема возможность сое-
динения одного и того же арифметического действия с раз-
личными словами, характеризующими различные жизнен-
ные действия. Больше того, одно и то же слово в контексте
условия различных арифметических задач может иметь
различный арифметический смысл. Так, например, слово
«улетели» в задаче: «На дереве сидели 5 птичек, 2 улетели.
Сколько птичек осталось на дереве?»— связано с вычита-
нием. А это же самое слово в задаче: «На дереве сидели
птички, сначала улетели 5 птичек, а потом еще 2. Сколько
всего улетело?»— закономерно связано с действием сложе-
ния» (там же, с. 254).
Эти теоретические соображения Н. А. Менчинская
подкрепляет наблюдениями и экспериментами. В част-
ности, она указывает на следующее важное наблюдение:
«В исследовании, проведенном мною в 1940 г. и посвящен-
ном процессу решения задач учащимися I класса, установ-
лено, что слабоуспевающие ученики I класса неизменно сое-
диняют выбор действия сложения с выражением «прибави-
лось», а действие вычитания — с выражением «останется»
(там ж е, с 255).
Примерно так же критикует указанные выше рекоменда-
ции об использовании текста задачи для выбора действия
и Л. В. Занков (1964, с. 52, 53, 58).
Критика Н. А. Менчинской, Л. В. Занковым и другими
предложений о непосредственном использовании текста за-
дачи для нахождения ее решения вполне обоснована. Одна-
ко возможно и то, что критикуемые рекомендации просто не-
удачны и в них указаны не те особенности текста задачи,
на которые следовало бы обращать основное внима-
ние.
Чтобы убедиться в этом, нам придется рассмотреть, как
может быть проведен семантический анализ сюжетных за-
дач по второму способу, установить, как с помощью такого
149
анализа можно выявить все составные части задачи, вели!
чины и их значения, соотношения, их связывающие. а
Текст любой сюжетной задачи можно разбить на отдел ь-
ные части — отдельные слова или группы слов (словосоче-
тания), каждая из которых является словесным заданием
(словесной моделью) определенного элемента задачи.
Рассмотрим пример.
Задача 18. Расстояние по железной дороге от Ар-
хангельска до Москвы 1132 км, |от Москвы до Баку 2561 км, |
от Баку до Батуми 898 км. | Сколько километров нужно про-
ехать по железной дороге, чтобы из Архангельска приехать-
в Батуми через Москву и Баку?
Разделение текста этой задачи показано с помощью вер-
тикальных черточек. Каждая из полученных четырех групп
слов является словесным заданием отдельного значения
величины.
Анализируя словесный способ задания значений вели-
чин, мы видим, что полное задание состоит из трех частей;
1. Название величины. '•
2. Указание особенностей данного значения, отличаю-
щих его от других значений той же величины. ;
3. Размер этого значения, если это значение известное
(данное).
Например, в рассматриваемой задаче первая rpynnaj
слов: «Расстояние по железной дороге от Архангельска до
Москвы 1132 км», являющаяся словесным заданием опре-
деленного значения величины, состоит из таких частей:
1. «Расстояние» — название величины.
2. «... По железной дороге от Архангельска до Моск-
вы» — указание особенностей данного значения величины. •
3. «1132 км»— размер данного значения. ,
Вторая группа слов: «От Москвы до Баку 2561 км»— то-!
же является заданием известного значения величины, но4
это задание уже не полное, ибо первая часть задания — на-
звание величины — опущена (это название то же, что и для
первого значения, кроме того, наличие у размера наимено-
вания «километры» может заменить подразумеваемое наз-
вание величины). Точно так же и третья группа слов:
«от Баку до Батуми 898 км»— является неполным зада-
нием известного значения величин.
Последняя группа слов: «Сколько километров нужно
проехать по железной дороге, чтобы из Архангельска при-
ехать в Батуми через Москву и Баку?»— является тоже
150
заданием значения величины расстояния и имеет следующие
.особенности:
1. Численное значение в данном случае не указано; это
показывает, что оно является неизвестным.
2. В задание входит указание необходимости найти чис-
генное значение в виде вопроса «сколько?». Поэтому это
неизвестное значение величины является искомым.
3. Первая часть задания и здесь опущена, но в задании
имеется слово «километров», являющееся наименованием
величины расстояния. Наличие этого слова достаточно для
установления названия величины. Следовательно, это слово
может заменить название величины.
В тексте любой сюжетной задачи имеется и словесное за-
дние соотношений, которыми связаны заданные в ней зна-
чения величин. Для того чтобы установить способы задания
соотношений, рассмотрим сюжетные задачи, состоящие из
одного соотношения какого-либо вида. На этих задачах
проще произвести необходимый анализ.
Задача 19. Школьники собрали с одной яблони
20 кг яблок, а с другой — 30 кг. Сколько всего килограм-
мов яблок собрали школьники?
В задаче заданы три значения величины — веса яблок.
Первое известное значение задано группой слов: «Школь-
ники собрали с одной яблони 20 кг яблок». В этом задании
первая часть — название величины — отсутствует, но на-
именование, стоящее у размера значения, вполне его заме-
няет. То же имеем и в задании второго известного значения.
Третье значение задано группой слов: «Сколько всего кило-
граммов яблок собрали школьники?». Третья часть зада-
ния — размер — отсутствует, следовательно, это значение
неизвестное, а так как в задание входит вопрос «сколько?»,
то это значение искомое. Первая часть задана с помощью
наименования «килограммы», а вторая часть — особенно-
сти этого значения — выражена с помощью слов «всего
яблок собрали школьники».
Проведя глобальный семантический анализ этой задачи,
мы устанавливаем, что в задаче задано соотношение опера-
ции соединения.
Для того чтобы выяснить, каким словесным способом
задано это соотношение, изменим условие этой задачи, не
меняя вида соотношения.
3 а д а ч а 20. Первый класс внес на елку 20 руб., а вто-
рой'—ЗО’руб. Сколько всего денег на елку внесли оба класса?
151
Задача 21. В первый день мы прошли 20 км, а во вто-
рой день — 30 км. Сколько всего километров мы прошли за
два дня?
Сравним эти три задачи (19, 20 и 21). В каждой из них
заданы три значения некоторой величины, из которых два
известных и одно искомое Все эти три значения связаны со-
отношением операции соединения. Какие же слова указы-
вают на это?
Для этого найдем те слова, которые являются неизмен-
ными для всех этих задач Мы видим, что во всех трех за-
дачах сохраняются неизменными лишь два слова: «сколько»
и «всего» Слово «сколько» является признаком искомого,
а вот слово «всего» и есть слово-признак данного вида соот-
ношения.
Оно указывает, что значение величины, у которого это
слово стоит, есть сумма остальных значений этой же величи-
ны В задаче 19 слово-признак «всего» стоит у искомого.
Значит, искомое есть сумма данных значений (20 и 30 кг),
и получаем, искомое есть сумма 20 и 30 кг
Задача 22 С двух яблонь сняли всего 50 кг яблок,
причем с одной яблони сняли 30 кг Сколько килограммов
яблок сняли с другой яблони?
В этой задаче так же заданы iри значения величины —
вес яблок, из которых два известных (50 и 30 кг) и одно ис-
комое Слово-признак «всего» входит в задание первого из-
вестного значения величины, следовательно, в этой задаче
задано такое соотношение. 50 кг есть сумма 30 кг и искомого
значения этой величины
3 а д а ч а 23 За два дня туристы прошли 50 км, причем
в первый день они прошли 30 км Сколько километров они
прошли за второй день?
В этой задаче заданы три шачения величины — рас-
стояние (путь), из которых первые два значения известные,
а третье значение искомое. Слова-признака «всего» в тексте
задачи нет, но его можно вставить в задание первого значе-
ния: «За два дня туристы прошли в с е г о 50 км», и тогда
ясно, что в задаче задано соотношение операции соединения:
50 км есть сумма 30 км и искомого расстояния.
Задача 24. У белки было 7 орехов. Она съела 4 оре-
ха. Сколько орехов осталось у белки?
Проанализируем текст задачи. Группа слов: «У белки
было 7 орехов» — есть задание первого значения величины —
количество орехов. Слова «У белки было» составляют вто-
152
рую часть этого задания — указание особенностей данного
значения. Аналогично устанавливаем, Ч1О группа слов:
«Она съела 4 ореха»— есть задание второго известного зна-
чения той же величины, и наконец, слова: «Сколько орехов
осталось у белки?» — есть задание третьего искомого зна-
чения величины.
Если проделать с данной задачей ту же операцию, кото-
рую мы проделали с задачей 13, то убедимся, что словами-
признаками соотношения, заданного в этой задаче, яв-
ляются слова «было — о с т а л о с ь». Эти слова служат
признаками соотношения операции отнимания (вычитания),
при этом то значение величины, в задание которого входит
слово «было», является уменьшаемым, а то значение, в за-
дание которого входит слово «осталось», является остатком,
или разностью. Значит, в данной задаче нам задано такое
соотношение: от 7 орехов отняли 4 ореха и осталось искомое
их число.
Задача 25 У девочки было всего 12 открыток. 8 от-
крыток она подарила подругам Сколько открыток у нее
осталось?
В этой задаче заданы три значения одной и той же ве-
личины — количества открыток Имеются слова-признаки
чО чношения отнимания (было — осталось) и слово-при-
знак соотношения соединения (всего) Поэтому эту задачу
ложно истолковать двояким образом- можно считать, что в
ней задано соотношение отнимания (от 12 открыток отняли
8 осталось искомое значение), а можно считать, что в ней
задано соотношение соединения (12 открыток есть сумма
8 открыток и искомого числа)
Такая двойственность в трактовке задач, в которых за-
дано соотношение отнимания, весьма характерна, и мы уже
однажды это отмечали. Заметим, что и предыдущую задачу
24 можно истолковать иначе, чем мы это сделали. Если в за-
дание первого значения величины вставить слово «всего»
(у’белки было всего 7 орехов), то тем самым получаем, что в
этой задаче задано соотношение операции соединения (7 оре-
хов есть сумма 4 съеденных белкой орехов и искомого числа
оставшихся орехов)
Наконец, заметим, что в некоторых задачах нет совеем
слов-признаков вида соотношения, и для того, чтобы устано-
вить вид заданного в задаче соотношения, надо ее несколь-
ко переформулировать, не изменяя ни числовых данных,
ни явления, в ней описанного, ни ситуации, короче — не
153
меняя ничего существенного, за исключением способа зада-
ния отдельных значений величины.
3 а д а ч а 26. Девочка купила кисточку за 3 коп. Она
дала в кассу 5 коп. Сколько денег она получила сдачи?
Так как в задаче заданы три значения одной и той же
величины (количества денег), то, должно быть, в этой зада-
че задано одно соотношение вида соединения или отнимания.
Для того чтобы убедиться в этом, переформулируем не-
сколько эту задачу. Это можно сделать, например, так:
«Девочка купила кисточку за 3 коп. Она дала в кассу всего
5 коп. Сколько денег она получила сдачи?» Тогда в этой за-
даче задано соотношение соединения (5 коп. есть сумма
3 коп. и искомого числа — сдачи). Но можно эту же задачу
переформулировать по-другому: «У девочки было 5 коп.
За 3 коп. она купила кисточку. Сколько денег у нее оста-
лось?» В этом случае очевидно, что в задаче задано соотно-
шение отнимания: от 5 коп отнять 3 коп , останется иско-
мое число. I
Итак, мы видим, что словесный способ задания соотно?
шений операции вида соединения или отнимания состоит в<
следующем:
1) заданы три значения одной и той же величины (из-
вестные и неизвестные);
2) в задании одного из этих значений имеется или под-
разумевается слово-признак «всего» или слово «было», а в
задании другого значения — слово «осталось»; в первом
случае мы имеем соотношение операции соединения, а во
втором — операции отнимания.
Заметим еще, что слово-признак соотношения соедине-
ния «всего» может быть заменено каким-либо синонимом это-
го слова, например «вместе», «за все», «итого» и т. д. Очень
важно отметить, что слова-признаки «всего» или синоним
этого слова и «было — осталось» являются признаками ви-
да соотношения, но отнюдь не признаками того действия,
с помощью которого может быть найдено искомое. Это дей-
ствие определяется не только видом соотношения, но и
тем, каким членом этого соотношения является искомое.
Что же касается тех слов, которые, по утверждению не-
которых методистов, якобы ассоциируются с определенны-
ми действиями (принесли, унесли, купили, продали и т. д.),
то их ошибка состоит в том, что эти слова являются не при-
знаками действия, с помощью которого может быть решена
задача, а признаками явления, которое смоделировано в
154
тайной задаче Но как мы знаем, характер явления не толь-
о не определяет действие, с помощью которого может быть
найдено искомое задачи, но даже не определяет вида соот-
ношения. Так что эти слова нужны для воссоздания реаль-
ной ситуации по тексту задачи, но они ничем не могут по-
мочь в выборе действия, а могут лишь запутать в этом деле,
как это отмечено многими психологами.
Рассмотрим теперь очень кратко способы словесного за-
тания остальных видов соотношений, те слова-признаки, ко-
торые характеризуют эти соотношения.
Если какая-либо величина задана двумя своими зна-
тениями, то они, как правило, связаны между собой соот-
ношением сравнения
3 а д а ч а 27. В двух корзинах поровну грибов. В одной
орзине 18 грибов, сколько грибов во второй корзине?
В этой задаче рассматривается одна величина — коли-
ество грибов, заданная двумя своими значениями: количе-
тво грибов в одной и во второй корзинах Эти два значения
>дной и той же величины были сравнены между собой, и
жазалось, что эти значения равны, о чем свидетельствует
.лово-признак «п о р о в н у». Значит, эти два значения свя-
заны соотношением сравнения вида равенства.
Словами-признаками соотношения сравнения вида ра-
венства кроме слова «поровну» являются также «столько
не», «одинаково», «то же самое» и т д.
3 а д а ч а 28. В одном шкафу 20 тетрадей, а в другом на
> тетради меньше. Сколько тетрадей во втором шкафу^
Основная величина, рассматриваемая в задаче,— коли-
тество тетрадей — задана лишь двумя значениями: число
тетрадей в одном шкафу (20) и число тетрадей во втором шка-
})у (искомое значение). Имеющееся же в условии задачи еще
тайное: «на 3 тетради меньше»— не является значением рас-
матриваемой величины, а есть значение величины разност-
юго отношения заданных двух значений основной ве-
тчины.
Следовательно, указанные два значения основной вели-
шны связаны соотношением разностного сравнения, а зна-
юние величины разностного отношения («на 3 тетради
меньше») служит связкой в этом соотношении.
Словами-признаками соотношения разностного сравне-
ния являются слова «на ... меньше (больше)». Сочета-
ние предлога «на» с одним из пары слов противоположного
мысла «меньше — больше» может быть заменено сочета-
155
пием того же предлога с одним из слов следующих пар:
длиннее — короче, теплее — холоднее, глубже — мельче,
скорее — медленнее, дороже — дешевле, шире — уже, вы-
ше — ниже, тяжелее — легче, старше — моложе, дальше —
ближе, позже — раньше и т. д.
Соотношения кратного сравнения задаются таким же
образом, лишь вместо предлога «на» используется предлог
«в» и, кроме того, в признак этого отношения входит еще
существительное «раз».
3 а д а ч а 29. С одной грядки мальчик сорвал 5 огурцов,
а с другой в 3 раза больше. Сколько огурцов он сорвал
со второй грядки?
В этой задаче два заданные в ней значения величины —
количество огурцов — связаны cooi ношением кратного
сравнения. Признаком этого соотношения являются слова:
«в ... раз больше».
Существенной особенное 1ыо этого вида соотношения яв-
ляется то, что указанные слова служат признаками лишь в
том случае, когда значение кратного отношения есть целое
(натуральное) число. Если же размер значения кратного
отношения есть дробное число, го используются другие сло-
ва-признаки.
3 а д а ч а 30. Основание прямоугольника равно 9,4 см,
а высота составляет 0,7 основания. Найти высоту прямо-
угольника.
Здесь задано соотношение кратного сравнения между
основанием и высотой прямоугольника. Словами-призна-
ками этого соотношения являются «составляет ...
часть (частей)». Эти слова-признаки используются, когда
размер кратного отношения между двумя значениями ос-
новной величины выражен обыкновенной или десятичной
дробью. Эти же слова, только обычно без частицы «часть
(частей)», используются и в случае, когда размер кратного
отношения выражен в процентах.
Задача 31. Основание прямоугольника равно 8 м, а
высота равна 6 м. Сколько процентов составляет высота
прямоугольника от основания?
Своеобразно задаются соотношения операции перехода
от одной единицы счета или измерения к другой. При пол-
ном словесном задании этого вида соотношения используют-
ся такие слова-признаки: «по ... р а з», «в с е г о».
3 а д а ч а 32. Ваня принес из сарая 6 раз по 2 полена
дров. Сколько всего поленьев дров он принес?
156
Заметим, что слово «всего» относится к тому члену соот-
ношения, который является произведением остальных двух
членов.
Однако во многих задачах встречается неполное словес-
ное задание соотношения и некоторые из этих слов-приз-
наков могут быть опущены. Вот пример такой задачи.
Задача 33. В магазин привезли 5 ящиков банок
сока, а всего 100 банок. Сколько банок сока в каждом
ящике? \
В этой задаче задано соотношение операции перехода
от одной единицы счета к другой, но слова-признаки этого
вида соотношения указаны не все: имеется лишь одно сло-
во «всего», остальные слова можно восстановить при пере-
формулировании задачи.
Эти же слова-признаки используются и для задания со-
отношения разбиения (разделения).
Задача 34. Мальчик разложил всего 6 карандашей
поровну в 3 коробки. По скольку карандашей положил
мальчик в каждую коробку?
Поэтому всякое соотношение разделения можно истол-
ковать и как соотношение перехода от одной единицы счета
или измерения к другой. Но мы знаем, что и то и другое
соотношение можно рассматривать как соотношение-зави-
симость между значениями трех разных величин, каждая из
которых задана одним своим значением.
В том случае, когда в условии задачи нет слов-призна-
ков вида соотношения, а характер соотношения мы уста-
навливаем лишь по наличию в условии значений трех взаи-
мосвязанных величин, решающий должен знать характер
этой зависимости, в частности он должен знать, значение
какой из этих величин есть произведение значений осталь-
ных двух величин.
Подведем некоторые итоги.
1. Каждая сюжетная задача является словесной мо-
делью некоторой реальной проблемной ситуации, и по
тексту задачи можно всегда воссоздать (мысленно или в ви-
де динамической предметной модели) эту ситуацию.
2. Однако для решения сюжетной задачи этого недо-
статочно. Нужно еще с помощью семантическою анализа
текста задачи установить все соотношения, заданные в за-
даче, а зная их, затем найти и решение шдачи.
3. Такой семантический анализ сюжепюй задачи со-
стоит наследующем:
157
а) установить, сколько величин рассматривается в за-
даче. Словесным признаком величины является или ее
название, или же наименование, соответствующее этой ве-
личине, входящее в задание отдельных ее значений; >
б) относительно каждой величины необходимо устано-
вить, сколько и какие ее значения заданы в задаче. Задание
каждого значения величины обычно состоит из трех час-
тей: названия величины, указания особенностей данного
значения и размера значения, если это значение известное
(данное). Если размер значения не указан, то оно является
неизвестным, а если, кроме того, в задание этого неизвест-
ного значения входит вопрос «сколько?» или требование
«найти», то это значение искомое;
в) если какая-либо величина задана тремя (или больше)
своими значениями, то надо поискать в задании отдельных
этих значений слова-признаки «всего» или «было — оста-
лось», а если их нет, то посмотреть, нельзя ли их вставить,
не изменяя характера задачи. Слово-признак «всего» или
его синоним указывает, что значения этой величины свя-
заны соотношением операции соединения, причем то зна-
чение, в задание которого входит это слово-признак,
; является суммой остальных значений. Слова-признаки
«было — осталось» указывают, что значения величины
связаны соотношением отнимания, при этом то значение,
; к которому относится слово «было», является уменьшаемым,
' а то, к которому относится слово «осталось», является
остатком или разностью;
| г) если какая-либо величина задана двумя значениями,
, то можно предполагать, что эти значения связаны соотноше-
j нием сравнения. Если при этом имеется слово-признак
! «столько же» или какое-либо другое того же смысла, то
i имеем соотношение равенства; если имеется предлог «на»
1 в сочетании с одним из слов пары «больше — меньше»
или другой какой-либо пары того же смысла, то данные
значения связаны соотношением разностного сравнения;
если же имеем предлог «в» в сочетании с одним из слов
пары «больше — меньше» и словом «раз» или же слова-
признаки «составляет ... часть (частей)», то это указывает
на соотношение кратного сравнения.
В соотношении разностного сравнения тот член, у кото-
рого стоит предлог «на», есть результат разностного отно-
шения; то же в соотношении кратного сравнения: тот член, у
которого стоит предлог «в» или слово «часть (частей)»,
158
<сть результат кратного отношения. Заметим, что резуль-
тат разностного отношения имеет то же наименование, что
и сравниваемые значения величины, a рс!ульътт крапюго
in ношения есть отвлеченное число;
д) если имеются три (или в некоторых редких случаях—
те) разные величины, каждая из которых задана одним
своим значением, то надо вспомнить, не связаны ли эти
величины определенным образом: если да, то значения
лих величин связаны соответствующим соотношением-
зависимостью.
Наличие соотношения-зависимости указывается также
предлогом «по» в сочетании со словом «всего» и существи-
тельным «раз». В этом случае соотношение можно тракто-
вать и как соотношение операции перехода от одной еди-
ницы счета (измерения) к другой, и кик соотношение опе-
рации разделения. При лом то эничение, у которого сто-
ит слово «всего», есть произведение остальных двух «ка-
чений или есть делимое;
е) следует иметь в виду, что словесному способу »(Дй-
ния отдельных значений величин и соотношений между
ними свойственны все особенности речи. В частности, от-
дельные слова могут быть опущены или заменены другими
словами того же смысла; в ряде случаев могут использо-
ваться какие-то специфические для описываемой ситуации
словесные способы задания отдельных значений величин1
и соотношений. Все это, конечно, необходимо учитывать
при семантическом анализе сюжетных задач.
Приведем пример семантического анализа сложной
сюжетной задачи.
Задача 35. Путешественник ехал 3 часа по желез-
ной дороге| и 2 часа на пароходе. | Сколько километров в
час проезжал он по железной дорого|п| на пароходе, |
если известно,! что всего он проехал 190 км | п что поезд
в час делал на 30 км больше, чем пароход?
В задаче рассматриваются следующие величины: время,
путь и скорость.
Величина времени задана двумя известными значения- .
ми (3 и 2 часа), в словесное задание которых не входит ни-
каких слов-признаков; следовательно, эти дни значения
не связаны между собой никаким соотношением, Обри I им
внимание, что имеющиеся здесь предлоги «по» И «ив» не
являются словами-признаками соотношений, ибо они от-
носятся не к значениям величин, а к характеристикам
159
пути, которые свя
особенностей этих значений (по железной дороге, на па-
роходе) .
Величина скорость задана также двумя значениями,
но уже искомыми, ибо в формулировку этих заданий
входит вопрос «сколько?». Эти два значения связаны соотно-
шением разностного сравнения, на что указывают слова «на...
больше» при значении (30 км/ч) разностного отношения.
Наконец, путь задан одним лишь известным (190 км)
значением, и в задание этого значения входит слово-приз-
нак «всего», что указывает на наличие соотношения опера-
ции соединения. Следует также учесть, что указанные
три величины — время, скорость и путь — связаны опре-
деленной зависимостью (путь есть произведение скорости
на время), и, следовательно, коль скоро даны соответст-
вующие значения времени и скорости, относящиеся к
двум видам движения (по железной дороге и на пароходе),
то должны быть даны и два значения
заны с данным значением пути (190 км) соотношением
операции соединения.
Итак, в задаче заданы следующие соотношения:
1) соотношение-зависимость между временем (3 часа),
скоростью (искомое значение) и расстоянием (неизвестное
вспомогательное) движения по железной дороге; ;
2) соотношение-зависимость между временем (2 часа);
скоростью (искомое) и расстоянием (вспомогательное неиз-
вестное) движения па пароходе;
3) сот ношение разностного сравнения между ис;
комыми значениями скорое)и, при этом результат разност-
ного сравнения дан (30);
4) соотношение операции соединения неизвестных вспо-
могательных значений пути по железной дороге и на паро-
ходе и всего пути путешественника.
Итак, как видим, с помощью семантического анализа
текста сюжетной задачи можно выявить все ее составляю-
щие элементы и связи-соотношения между ними. Зная же
эти соотношения, можно затем найти и решение задачи.
Как это сделать — это уже другой вопрос, который мы
рассмотрим ниже.
Конечно, в процессе решения сюжетных задач необходи-
мо использовать оба способа семантического анализа. И по-
этому необходимо обучать учащихся не только первому
способу (что обычно делается), но и второму (что, как
правило, не делается).
160
Идея о необходимости и возможности использования
при решении сюжетных задач второго способа семантичес-
кого анализа была высказана нами еще в начале 50-х
годов. Однако в то время мы не сумели экспериментально
проверить возможность и эффективность использования
такого анализа в обучении.
Впервые экспериментальную проверку этой идеи про-
вел в начале 60-х годов Е. М. Семенов. Эксперименты
Е. М. Семенова (1964), (1965) проводились в течение ряда
лет и охватывали большое число школ Свердловской об-
ласти, так что выводы, полученные в результате этих
экспериментов, носят достаточно обоснованный характер.
В дальнейшем возможность и целесообразность ис-
пользования такого способа семантического анализа была
проверена в экспериментах Е. Н. Турецкого (1968),
К- У. Асимова (1966), проведенных под нашим руковод-
ством, и в наших экспериментах в последние годы в школе
№ 91 Москвы (Л. М. Фридман, А. Я- Левочкина, Л. М. Та-
равкова, 1973). Заметим, что все эти эксперименты носили
комплексный характер и в них проверялась вся методика
обучения решению сюжетных задач, основанная на рас-
сматриваемой теории этих задач. Обучение способам се-
мантического анализа текста задач служило одним из
первых этапов в этом обучении.
§ 20. ВИДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ
Выше (§ 13) мы показали, что процесс решения задач в ос-
новном состоит из моделирования задачи. Это тем более
относится к сюжетным задачам, ибо они являются зада-
чами-описаниями, и поэтому для их решения необходимо
построить соответствующую математическую модель в виде
арифметического выражения, уравнения или системы
уравнений.
Все виды моделей, используемых в процессе решения
сюжетных задач, можно разделить на два класса: вспомо-
гательные и решающие (см. § 13). Рассмотрим сначала виды
вспомогательных моделей, которые служат
формой фиксации анализа сюжетной задачи и являются
основным средством поиска ее решения.
Предметные модели сюжетных задач.
Под предметной моделью сюжетной задачи будем понимать
6 № 1101/1491
161
любое наглядное воспроизведение той реальной ситуации,
которая описана в моделируемой задаче. Предметные моде-
ли могут строиться из каких-либо вещественных предметов
(пуговиц, монет, спичек, бумажных полосок и т. д.); они же
могут быть представлены различного рода рисунками, раз-
ного вида инсценировками сюжета задачи и т. д.
К этому виду моделей следует причислить и мысленное
воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде
представлений. Мысленное моделирование сюжетных задач
является главным и наиболее важным видом такого моде-
лирования; все остальные виды используются главным
образом для того, чтобы развить у учащихся способность к
мысленному воссозданию сюжета задачи. Такое моделиро-
вание может и должно применяться на всех ступенях об-
учения при решении многих видов задач. Конечно, при
этом характер мысленного воссоздания сюжета задачи бу-
дет качественно иным на разных ступенях обучения, однако
свою значимость он не теряет и по мере обучения должен
закрепляться, совершенствоваться и стать важным приемом
умственной деятельности учащихся при решении задач.
Если на первых порах обучения, при решении простых
задач, надо учить школьников воссоздавать всю ситуацию
задачи во всей ее конкретности, то в дальнейшем ученики
должны воссоздавать реальную ситуацию схематически,
обобщенно.
Наглядно-схематические модели ис-
пользуются для обобщенного, схематического воссоздания
ситуации задачи. Модели этого вида сохраняют нагляд-
ность, присущую предметным моделям, но воспроизводят
реальную ситуацию, описываемую в задаче, обобщенно: они
воспроизводят сюжет задачи в виде какой-либо схемы.
К этому виду моделей в первую очередь относятся раз-
ного рода графические схемы, воспроизводящие условие за-
дачи с помощью отрезков, геометрических фигур и т. д.
Роль графического моделирования сюжетных задач об-
стоятельно исследована М. Э. Боцмщювой. В результат
этого исследования М. Э. Боцманова пришла к выводу, что
поскольку графическая модель (схема) сюжетной задач!
выражает абстрактные отношения, заданные в условии за
дачи в конкретной пространственной форме, эта схема «яв
ляется обобщением, позволяющим учащимся выйти за пре-
делы данной задачи и получить обобщающий способ для
решения любых задач данной структуры. Необходимость
162
перевода абстрактных отношений в конкретно-пространст-
венные формы стимулирует учащихся, с одной стороны,
конкретизировать те абстрактные отношения, которые даны
в условии, а с другой — отвлечься от имеющейся в нем же
сюжетной конкретности. Именно эта сложная двойственная
природа графики и позволяет ей лечь в основу обобщенного
метода решения» (1961, с. 48).
Очень важен вывод М. Э. Боцмановой о том, что наиболь-
шую ценность имеет графическая схема, создаваемая в про-
цессе решения и отражающая анализ задачи, осуществляе-
мый самим решающим.
К наглядно-схематическим моделям относятся и разного
рода схематические записи условия задач. Так, весьма часто
используются схематические модели, в которых условие
задачи воспроизводится с помощью простейших знаковых
обозначений: римские цифры обозначают названия отдель-
ных значений величин; знаки вопроса — неизвестные ша-
чения; фигурные скобки — соотношения соединения; знаки
неравенства — соотношения сравнения и т. д.
Весьма полезным видом моделирования является по-
строение табличных моделей. Этот вид модели-
рования используется главным образом тогда, когда ь за-
даче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая
из которых задана одним или несколькими значениями. При-
ведем пример построения табличной модели.
Задача 36. За 76 руб. куплено 3 м сукна по 12 руб.
за метр и 5 м шерсти. Сколько стоит метр шерсти?
В этой задаче рассматриваются три величины: цена,
количество (длина материи) и стоимость, отнесенные к трем
различным предметам: сукно, шерсть и вся покупка. По-
этому наша таблица будет иметь три вертикальных столбца
(по числу величин) и три горизонтальные строки (по чис iy
предметов). Получаем табличную модель данной задачи (ис-
комое, в отличие от других неизвестных, обозначено знаю>м1
вопроса большего размера):
Количество
Сукно 3 м
Шерсть 5 м
Всего —
Структурные мо
глядно-схематических модел:
Цена Стоимость
12 руб./м ?
? ?
76 руб.
е л и. В разного род • Щ-
ВОСПРОИЗВОДЯТСЯ OCHi'hiioje
6*
163
элементы сюжетной задачи: величины, их значения, соотно-
шения между ними. Но в таких моделях не получают отра-
жения связи между самими соотношениями. Между тем
именно эти связи играют существенную роль в решении
сложных сюжетных задач, содержащих несколько соотно-
шений. Если сюжетную задачу рассматривать как систему,
то эти связи между соотношениями являются главным эле-
ментом ее структуры.
Поэтому встает проблема создания такого аппарата для
моделирования сюжетных задач, с помощью которого можно
было бы построить модель любой сюжетной задачи. Это дало
бы возможность обнаруживать связи между соотношениями,
входящими в сложную задачу, позволило бы сделать эти
связи легкообозримыми. Тем самым были бы созданы усло-
вия для исследования структуры сложных сюжетных задач.
Такой аппарат был разработан нами еще в начале 50-х годов
в двух модификациях: структурных моделей и трехчленных
графов.
Заметим, что сначала этот аппарат был предназначен
для нужд теоретического исследования сюжетных задач, од-
нако затем в ряде экспериментов (см. Е. Н. Турецкий, 1966;
К. У. Асимов, 1966) было показано, что он пригоден и для
обучения решению задач, и не только сюжетных (математи-
ческих), но и физических (см. А. Г. Ярмицкий, 1966).
Предварительно условимся о понятиях, которые нам;
придется применять при изложении вопроса о построении
структурных моделей. Значения величин и связки, входя-'
щие в одно и то же соотношение, будем называть его ч л e-j
нами. Член соотношения, который является результатом
соответствующей операции или действия, будем называть
главным членом. Так, в соотношении соединения;
главный член — это значение величины, являющееся сум<
мой остальных значений той же величины; в соотношении
отнимания — разность; в соотношениях сравнения — ре-
зультат сравнения; в соотношениях зависимости или пере-
хода от одной единицы счета к другой — то значение, кото-
рое является произведением остальных значений.
Введем еще понятие о разрешимых и неразрешимых соот-
ношениях, а именно: соотношение будем называть р а з р е-
ш и м ы м, если в нем имеется лишь один неизвестный член,
а все остальные члены известные (данные); если же в соот-
ношении имеется два или более неизвестных членов (иско-
мых, или вспомогательных неизвестных, или неопределен-
164
ных — это не существенно), то такое соотношение будем
называть неразрешимым.
Для построения структурных моделей сюжетных задач
введем условные обозначения членов соотношений:
।—. — известный (данный) член соотношения (то
СЗ или иное число),
— искомое,
(д) — вспомогательное неизвестное,
(ф) — неопределенное неизвестное.
Сами соотношения будем изображать в виде замкнутых
линий (например, растянутого прямоугольника), объемлю-
щих условные обозначения членов, входящих в данное со-
отношение. При этом неглавные члены будем соединять тем
знаком действия, который соответствует данному виду со-
отношений, а от неглавных членов к главному проведем
стрелку, показывающую направление связи между членами
соотношения.
Если сюжетная задача содержит одно соотношение, то
ее структурная модель совпадает с изображением этого со-
отношения.
Приведем примеры структурных моделей таких задач.
Задача 37. В колхозе всего 1200 га земли, из них
800 га под пашней, 230 га занимает луг, 50 га под садом,
а остальную землю занимают усадьбы. Сколько земли заня-
то усадьбами?
В задаче задано одно соотношение операции соедине-
ния. Структурная модель показана на рис. 16.
Задача 38.
Пети. Сколько лет
Пете 10 лет, а Ваня на 2 года старше
Ване? (Рис. 17.)
Задача 39. Новая цена книги составляет 80% от
прежней цены. Какова новая цена книги, если старая цена
была 0,6 руб.?
165
В этой задаче задано одно соотношение краткого срав-
нения, результат которого выражен в процентах. Структур-
ная модель этой задачи показана на рис. 18.
Рис. 18
Задача 40 Объем комнаты равен 120 куб. м. Како-
ва высота комнаты, если длина ее равна 6 м, а ширина 5 м?
(Рис. 19.)
|~б] • |~5~ • Q -► 120
Рис. 19
Рассмотрим теперь, как строятся структурные модели
сложных задач.
Задача 41. За 3 кг сахара заплатили 3,3руб.
Сколько будет стоить 5 кг сахара?
В задаче рассматриваются два эпизода покупки сахара:
покупка 3 кг сахара и покупка 5 кг. Первый эпизод харак-
теризуется значениями трех величин: весом сахара (3 кг),
ценой (вспомогательное неизвестное) и стоимостью (3,3 руб.);
второй эпизод характеризуется значениями тех же величин:
весом (5 кг), ценой (та же) и стоимостью (искомое). Эти две
тройки значений величин связаны между собой соотноше-
ниями-зависимостями, при этом два соотношения имеют
один общий член (вспомогательное неизвестное — цена
сахара).
Если теперь мы изобразим эти два соотношения, как
было показано выше, и притом так, чтобы неизвестный вспо-
____ могательный член оказался общим, то
j=i г=П получим структурную модель данной
(£) • QJ Е£1 ] задачи (рис. 20).
[А На структурной модели наглядно
LH видна связь между соотношениями: они
А имеют общий член. Такую связь между
>•>4 Рис 20 соотношениями будем называть у зло-
бой связью, а общий член соотно-
шений, связанных узловой связью, будем называть у з-
л о м.
Рассмотрим теперь построение трехчленных гра-
фов сюжетных задач. Эта модель используется тогда, ког-
да нас интересуют главным образом характер связей между
соотношениями сюжетных задач, т. е. ее структура.
166
Как мы видели при рассмотрении соотношении сюжетной
задачи, в каждое из таких соотношений входят обычно три
члена, из которых по крайней мере один неизвестный. Ис-
ключение составляют соотношения равенства (в них входят
два члена), некоторые соотношения соединения и соотноше-
ния-зависимости, в которые могут входить более чем три
члена (см., например, задачи 37 и 40).
Каждое такое соотношение можно разбить на несколько
соотношений с тремя членами. Например, в задаче 37 за-
данное соотношение соединения из пяти членов можно раз-
бить на такие трехчленные соотношения: 1) «В колхозе всего
1200 га земли, из них большую часть занимают угодья, а
остальная часть занята усадьбами. Сколько земли занято
усадьбами?» 2)' «Угодья колхоза состоят из 800 га
пашни и площади лугов и садов. Какова пло- °
щадь угодьев колхоза?» 3) «В колхозе 230 га за- /
нимает луг и 50 га под садом. Какова общая пло-
щадь лугов и сада колхоза?»
Соотношения же равенства можно вообще Рис. 21
исключить из сюжетной задачи, объединив те
два члена, которые связаны этим соотношением, в один.
Поэтому можно считать, что все сюжетные задачи состоят
из трехчленных соотношений.
Будем изображать члены соотношений как вершины
графа, а сами соотношения — как ребра графа. Вершины
графа будем различать двух видов: светлые, обозна-
чающие неизвестные члены соотношений (незаштрихованные
маленькие кружочки), и т е м н ы е, обозначающие извест-
ные члены соотношений (заштрихованные кружочки). Так
как в отличие от обычного графа, каждое ребро которого
соединяет две вершины, граф сюжетной задачи соединяет
три вершины, то будем ребра изображать в виде дуг окруж-
ности, ибо, как известно, через любые три точки плоскости
(вершины графа) всегда можно провести одну и только одну
окружность.
Используя эти обозначения, мы полу чаем граф задачи 41
в виде, изображенном на рис. 21. Более подробно графы
сюжетных задач мы рассмотрим в следующем параграфе.
Перейдем теперь к рассмотрению решающих моде-
лей сюжетных задач.
Пусть сюжетная задача имеет одно разрешимое соотно-
шение. Если при этом искомое задачи является главным
членом, то это искомое можно выразить с помощью числово-
167
го выражения, получаемого с помощью объединения размер
ров известных членов соотношения соответствующим знаЛ
ком арифметического действия, а именно: в соотношении
соединения знаком «плюс» (4-), в соотношении отнимания щ
соотношении разностного сравнения знаком «минус» (—),
в соотношении кратного сравнения и разделения знаком де-
ления (:), в соотношении-зависимости и соотношении пере-
хода от одной единицы счета к другой — знаком умножения
(• или X).
Полученное числовое выражение и есть арифметическая,
модель данной простой сюжетной задачи. •
Задача 42. За детский столик заплатили 15 руб.у
а за стул 5 руб. Сколько стоят стол и стул вместе?
В данной задаче имеем одно соотношение операции соеди-1
нения, притом разрешимое. Искомое задачи является глав-]
ным членом этого соотношения. Поэтому для этой задачи]
можно построить арифметическую модель. Она будет и метка
такой вид: Я
15 руб.+5 руб., или 15+5=? 1
Задача 43. Куплено 5 кг сахарного песку по!
90 коп. за килограмм. Сколько стоит вся покупка?
В задаче имеется одно соотношение-зависимость, оно;
разрешимое, и главный член этого соотношения является
искомым. Поэтому для этой задачи можно построить ариф- '
метическую модель: j
5 кг X90 коп.'кг, или 5x90=? 5
Таким образом, мы видим, что для того, чтобы можно
было построить арифметическую модель задачи, содержащей
одно соотношение, должны иметь место два условия:
1) это соотношение должно быть разрешимым,
2) искомое должно быть главным членом соотношения.
Первое условие является необходимым и строго обяза-
тельным, а вот второе таковым не является, ибо, во-первых,
мы знаем, что одно и то же соотношение часто можно истол-
ковать по-разному, причисляя его к одному или к другому
виду, и тем самым искомое можно сделать главным членом
соотношения, а во-вторых, по мере обучения учащиеся на-
учаются выражать неглавные члены соотношения через ос-
тальные и тем самым опять-таки приобретают навык по-
строения арифметической модели соотношений, в которых
искомое не является главным членом соотношения.
>
168
Приведем пример.
Задача 44. В коробке было всего 12 карандашей, из
которых 8 красных, а остальные зеленые. Сколько зеленых
карандашей было в коробке?
В этой задаче, содержащей одно разрешимое соотноше-
ние, искомое не является главным членом (если это соотно-
шение рассматривать как соотношение соединения), т. е.
второе условие в данном случае не выполняется. Однако
арифметическую модель этой задачи построить можно следу-
ющим образом: 1) выразив искомое, являющееся не глав-
ным членом соотношения соединения, по известному прави-
лу нахождения слагаемого по сумме и другому слагаемому
получим 12—8; 2) истолковав заданное в задаче соотноше-
ние как соотношение отнимания (опираясь на слова-призна-
ки «было — осталось»), получим ту же арифметическую мо-
дель для искомого главного члена этого соотношения.
Для того чтобы можно было построить арифметическую
модель сложной сюжетной задачи, состоящей из нескольких
соотношений, необходимо, чтобы она удовлетворяла таким
требованиям:
1) среди соотношений задачи должно быть хотя бы одно
разрешимое соотношение,
2) процесс последовательного исключения вспомога-
тельных неизвестных путем подстановки их арифметиче-
ских моделей из других соотношений не должен нигде обры-
ваться.
Рассмотрим процесс построения арифметических моде-
лей сложных задач на примере решения следующей за-
дачи.
Задача 45. Мастерская первые 6 дней изготовляла
по 12 машин в день, а в следующие 8 дней на 2 машины в
день меньше, чем в первые дни. После этого мастерская уве-
личила ежедневный выпуск машин вдвое по сравнению с
предыдущими восемью днями и за 5 дней полностью закон-
чила выполнение плана. Сколько машин должна была изго-
товить мастерская по плану?
В задаче рассматриваются три величины: время работы,
производительность (выпуск машин в день) и общее коли-
чество изготовленных машин, отнесенные к четырем пред-
метам (моментам): I (первые 6 дней работы), II (8 дней ра-
боты), III (5 дней работы) и всего по плану. Следовательно,
табличная модель данной задачи должна иметь три столбца
и четыре строки:
MI9
Периоды работы Время (дни) Выпуск машин в 1 день Общее - количество машин
I 6 12
II 8 На 2 < I ?
III 5 В 2 раза >11 ?
Всего по плану — — ?
Из построенной модели, по которой легко выделить все
соотношения, видно, что первое требование — наличие раз-
решимых соотношений — в данном случае выполняется.
Чтобы проверить выполнение второго требования, построим
арифметические модели всех шести соотношений, из кото-
рых состоит данная задача, при этом естественно, что для
всех неразрешимых соотношений мы можем построить ариф-
метические модели, лишь считая промежуточные неизвест-
ные известными. Получаем такую систему простых арифме-
тических моделей:
1) 12-6; 2) 12—2; 3) (2)-8; 4) (2)-2;
5) (4)-5; 6) (1)+(3)+(5).
Числа в круглых скобках обозначают вспомогательные
неизвестные члены соотношений, при этом число обозначает
номер соотношения, арифметическая модель которого есть
это вспомогательное неизвестное.
Для того чтобы построить арифметическую модель всей
задачи в виде сложного числового выражения, надо исклю-
чить все вспомогательные неизвестные. Это производится
путем свертывания системы простых арифметических моде-
лей в одну сложную модель. Для этого подставляем в выра-
жения 3 и 4 вместо вспомогательного неизвестного (2) его
модель, получим:
3) (12—2)-8; 4) (12—2)-2.
Затем в выражение 5 подставим вместо вспомогатель-
ного неизвестного (4) полученную модель:
5) 1(12—2)-2]-5.
Наконец, в выражение 6 подставляем модели вспомога-
тельных неизвестных (1), (3) и (5), получим арифметическую
170
модель всей задачи:
12-2+(12—2)-8+[(12—2)-2]-5.
Как видим, для данной задачи процесс последовательно-
го исключения вспомогательных неизвестных нигде не об-
рывается, и поэтому мы смогли для нее построить арифме-
тическую модель. Приведем задачу, для которой построить
арифметическую модель нельзя.
Задача 46. На 54 коп. купили 8 карандашей и тет-
радей на 3 больше, чем карандашей. Каждый карандаш до-
роже тетради в 2 раза. Сколько стоит одна тетрадь?
Построим сначала для этой задачи табличную модель.
Количество Цена Стоимость
I — карандаши 8 игг. В 2 раза >11 ?
II — тетради На 3 > I ? ?
Всего: — — 54 коп.
Теперь составим арифметические модели для всех пяти
соотношений, имеющихся в этой задаче:
1) 8+3; 2) (!)•(?); 3) (?)-2; 4) 8-(3);
5) (4)+(2)=54.
Оказывается, что имеется одно разрешимое соотношение
(.первое), но процесс исключения вспомогательных неиз-
вестных уже после первого шага (подстановки во вторую
модель вместо (1) найденного решения из первой модели)
обрывается, ибо в эту модель входит искомое (?), которое
неоткуда найти.
Очевидно, что и для сюжетной задачи, в которой нет
разрешимых соотношений, также нельзя составить арифме-
тическую модель.
Наконец, рассмотрим алгебраические моде-
л и сюжетных задач. Для тех задач, для которых нельзя
или неудобно строить арифметические модели, можно соста-
вить алгебраическую модель в виде уравнения или системы
уравнений. Так, для задачи 46, исключив предварительно
первое разрешимое соотношение, мы получим такую алгеб-
раическую модель в виде системы уравнений:
11х=у; 2x=z; 8(2x)=t; t+y=54.
Если же эту систему свернуть в одно уравнение, приняв
за главное неизвестное искомое х, то получим такую алгеб-
раическую модель:
16х+11х=54.
171
Мы рассмотрели основные виды моделирования, исполь-
зуемые в процессе решения сюжетных задач. Конечно, в
этом процессе могут иногда использоваться и некоторые дру'
гие виды. Так, например, в качестве решающих моделе!
могут использоваться графики функций (Л. М. Фридман
1958), геометрические построения (А. И. Островский
Б. А. Кордемский, 1960) и другое, но это говорит лишь с
том, что исчерпать все различные виды моделирования сю
жетных задач невозможно.
§ 21. ТРЕХЧЛЕННЫЕ ГРАФЫ
КАК СТРУКТУРЫ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ
В предыдущем параграфе, рассматривая виды моделирова
ния сюжетных задач, мы указали в числе других и модели
рование этих задач с помощью особых трехчленных графов
Очевидно, что каждой сюжетной задаче соответствует опре
деленный трехчленный граф, но одному графу соответствуем
не одна сюжетная задача, а целое множество, имеющих однс
и то же количество соотношений, связанных между собог
одинаковым образом. Граф сюжетной задачи выступает в
качестве ее структуры. Теперь на вопрос, что такое струк-
тура сюжетной задачи, мы можем ответить так: это соот-
ветствующий ей трехчленный граф.
Поэтому для исследования структуры сюжетных задач
можно рассмотреть трехчленные графы этих задач. Одним
из основных вопросов при таком исследовании является ус-
тановление всевозможных видов структур задач. Для этого
достаточно построить исчисление трехчленных гра-
фов, порождающее все их виды, а следовательно, и все виды
структур задач.
Дадим сначала формальное определение трехчленного
графа.
Определение I. 1. Дуга окружности, с тремя
выделенными точками (две точки на концах дуги и третья
где-то на самой дуге), из которых по крайней мере одна
светлая, а остальные темные, называется трехчлен-
ным графом 1-го порядка.
Эту дугу окружности будем называть ребром, а вы-
деленные точки (светлые и темные) — вершинами
трехчленного графа. Следовательно, граф 1-го порядка мо-
жет иметь три, две или одну светлую вершину и соответст-
венно нуль, одну или две темные вершины.
2. Если Гп — есть трехчленный граф n-го порядка, т. е.
172
Содержащий n(ri^V) ребер, то, присоединяя к любой вер-
шине этого графа любую вершину графа 1-го порядка, и
притом так, что соединяемые вершины сливаются в одну
светлую вершину — узел графа, получим трехчленный граф
(и+1)-го порядка.
Такой способ образования графа (п+1)-го порядка из
графа /г-го порядка будем называть способом присо-
единения. Условимся также светлую вершину, яв-
ляющуюся узлом графа, называть вершиной /г-й степени,
где k (/?^2) есть число ребер графа, проходящих через эту
вершину.
Светлую точку, не являющуюся узлом, будем называть
вершиной 1-й степени (концевой вершиной), а юмпую точ-
ку— вершиной нулевой степени.
3. Если Гп есть трехчленный граф //-го порядка, то, при-
соединяя к любым двум его вершинам две вершины графа
l-ro порядка, и притом так, что соединяемые вершины ста-
новятся светлыми узлами, получим трехчленный граф
(п+1)-го порядка.
Такой способ образования графа (n-f 1)-го порядка из
графа п-го порядка будем называть способом замы-
кания.
Замечание 1 Введенное определение трехчлен-
ного графа дает возможность образовывать графы один за
другим. При этом за исходный граф— граф 1-го порядка
берется простейший, указанный в определении 1.1. Про-
цесс постепенного построения всех графов на основе дан-
ного определения мы покажем ниже.
Замечание 2. Очевидно, что не всем трехчленным
графам, построенным на основе определения 1, будут соот-
ветствовать определенные виды сюжетных задач. Возможно
построение и таких графов, которым не соответствует ника-
кая сюжетная задача. Для того чтобы исключить подобные
трехчленные графы, надо ввести какие-то ограничения.
Как показывает исследование этого вопроса, такими огра-
ничениями являются, в частности, следующие:
1. Через две вершины графа может проходить не более
трех различных ребер.
2. Два ребра графа могут иметь не более двух общих
вершин.
3. Если два (или три) ребра графа имеют две общие вер-
шины, то их третьи вершины не могут принадлежать одному
и тому же ребру
173
4. Всякий граф должен иметь по крайней мере одну верЯ
шину, не являющуюся узлом, т. е. вершину нулевой или
1-й степени. и
Вопрос о том, являются ли эти ограничения достаточньн|
ми, нет смысла ставить, ибо сюжетные задачи не были фор-
мально определены. Во всяком случае, при построении трех-
членных графов мы учтем указанные ограничения и графы,
им не удовлетворяющие, приводить не будем.
Теперь введем понятие об эквивалентности
трехчленных графов. Для этого дадим следующее опреде-^
ление.
Определение II. Пусть даны два трехчленных
графа Г и Г'. Перенумеруем их ребра и вершины (способ
нумерации указан ниже). Ребра графа Г обозначим А,, а
ребра графа Г'— Вь где i — номер ребра; вершины графа Г
обозначим arjt а вершины графа Г'— brjt где / — номер вер-
шины, а / — ее степень. Напомним, что степень темной вер-
шины равна 0, степень светлой концевой вершины, т. е.
вершины, принадлежащей только одному ребру, равна 1,
а степень светлой вершины, являющейся узлом, равна числу
ребер, проходящих через этот узел. 1
Для того чтобы графы Г и Г' были эквиваленты, необхо-
димо и достаточно, чтобы при произвольной нумерации ре-
бер и вершин графа Г нашлась такая нумерация ребер и
вершин графа Г', при которой выполнялись бы следующие
условия:
1) каждой вершине a'j соответствует одна и только одна
вершина brjy и обратно, каждой вершине bj соответствует
одна и только одна вершина aj, притом верхние и нижние
индексы должны у соответствующих вершин совпадать;
2) каждому ребру А! соответствует одно и только одно
ребро Вь и обратно, каждому В, соответствует одно и толь-
ко одно ребро А(;
3) если йд1, arj*, принадлежат одному и тому же реб-
ру Aj, то соответствующие им вершины £»у‘, b^, Ьг,3 должны
принадлежать соответствующе-
L—р5 _ му ребру В,.
in /У yJ Вот примеры эквивалентных
I графов (см. рис. 22). На рисун-
ке показана нумерация вершин
(арабскими цифрами) и ребер
(римскими цифрами), при ко-
Д-ДУ о. < Г
f ! \ 2 5^-*
Рис. 22
174
торон выполняются все усло-
вия эквивалентности графов.
На рис. 23 показаны не-
эквивалентные графы. При
любой нумерации вершин и
ребер графа (2) не выполня-
ются условия определения
эквивалентности, ибо, в част-
Рис. 23
ности, в графе (1) имеется
вершина 3-й степени, а в графе (2) таких вершин нет.
Теперь мы можем, пользуясь определением I, постро-
ить последовательно всевозможные трехчленные графы на-
чиная с графа l-ro порядка. При этом на основе определения
II мы будем исключать графы, эквивалентные уже постро-
енным. Мы также будем исключать графы, подпадающие под
указанные выше ограничения 1—4.
Трехчленные графы 1-го порядка, согласно определе-
нию 1.1, могут быть следующими (см. рис. 24). При этом
взаимное расположение светлых
и темных вершин не учитыва-
ется.
Способом присоединения из
графов 1-го порядка можно по-
лучить всего шесть различ-
ных графов 2-го порядка (рис.
25). Заметим, что графам (1)—
(4) соответствуют сюжетные за-
дачи с недостающими данными,
а графу (6) — сюжетные задачи
с излишними данными.
Способом замыкания можно
построить всего три различных
графа 2-го порядка (рис. 26).
Теперь из графов 2-го поряд-
ка построим графы 3-го поряд-
ка. Способом присоединения по-
лучим всего 37 различных гра-
фов 3-го порядка (рис. 27). Спо-
соб замыкания дает еще 11 (рис.
28) графов, а всего 48 графов
3-го порядка. Доказательства
всех этих утверждений мы здесь
не приводим.
® ® ®
Рис. 26
175
Рис. 28
t
1
Таким же образом можно построить графы 4-го, 5-го и
так далее порядков.
Каждому из построенных графов соответствует множе-
ство сюжетных задач одинаковой структуры. Например,
графу (7) 2-го порядка (рис. 26) соответствуют такие за-
дачи:
1. В двух ящиках было неизвестное количество каранда-
шей, причем во втором ящике было в несколько раз больше
карандашей, чем в первом. Сколько карандашей было в
каждом ящике?
2. В первый день туристы прошли на некоторое число
километров больше, чем во второй день. Какую часть пути,
пройденного в первый день, прошли туристы во второй день?
Все эти задачи с недостающими данными (они вообще не
имеют числовых данных). Вопрос о целесообразности их ис-
пользования в обучении мы сейчас не рассматриваем. Мы
лишь хотели показать возможность образования таких
задач.
Графу (41) 3-го порядка (рис. 28) соответствуют, напри-
мер, такие задачи:
1. Отцу и сыну вместе 52 года, матери и сыну вместе
47 лет. Сколько лет каждому из них, если отцу и матери
вместе 75 лет5
2. За первые два дня туристы прошли 50 км, а за третий
день они прошли на 6 км больше, чем за второй день. Сколь-
ко километров они прошли за третий день, если в этот день
они прошли на 4 км меньше, чем в первый день?
Заметим, что исследование структуры сюжетных задач
с помощью построения трехчленных графов, кроме теорети-
ческого, несомненно имеет и практическое значение. Так,
например, конструируя задачи, соответствующие построен-
ным графам, мы обнаружим такие, которые почти не встре-
чаются в наших задачниках, хотя они представляются до-
вольно интересными. Вот два примера таких задач:
1. За два дня туристы прошли 50 км, причем во второй
день они прошли на 10 км меньше, чем в первый день. Ка-
кую часть пути, пройденного ими в первый день, они про-
шли за второй день?
Эта задача соответствует графу (44) 3-го порядка.
2. В первый день отряд прошел в 2 раза больше, чем во
второй день. Какую часть всего пути, пройденного отрядом
за два дня, прошел отряд во второй день?
Эта задача соответствует графу (47) 3-го порядка.
7 № 1104/1491
177
Другим более существенным использованием данного ис-
следования структуры сюжетных задач является возмож-
ность проведения структурной классификации задач.
Рассматривая трехчленные графы, мы видим, что они де-
лятся на два больших класса: простейшие графы 1-го по-
рядка и сложные графы 2-го и выше порядков. Поэтому и
сюжетные задачи мы разделим на два класса: простые
сюжетные задачи, соответствующие простейшим графам
1-го порядка и, следовательно, содержащие только одно
соотношение, исложные сюжетные задачи, соответст-
вующие графам 2-го и выше порядков.
Для классификации сложных сюжетных задач введем
понятие о движении по трехчленному графу или о
цепном процессе.
Напомним, что темным вершинам графа соответствуют
известные значения величин (данные задачи), а светлым вер-
шинам — неизвестные. Поэтому, если граф имеет ребро,
содержащее две темные вершины, то это ребро назовем
входным или входом графа и соответствующей за-
дачи.
Это название связано с тем, что входному ребру графа
соответствует разрешимое соотношение. Если это раз-
решимое соотношение вычленить из условия сложной зада-
чи, то получим простую задачу, которую можно самостоя-
тельно, без учета остальных соотношений, решить и тем
самым найти размер значения неизвестного, входящего в
это соотношение. А это означает, что мы как бы разрушаем
узел входного ребра, превращая его в известные (темные)
точки тех ребер, которые входят в этот узел.
Между тем если бы мы вычленили из сложной задачи
какое-либо неразрешимое соотношение, соответствующее
не входному ребру, то получили бы простую задачу, кото-
рую самостоятельно решить нельзя.
Это показывает, что наличие в графе входного ребра по-
зволяет как бы войти в него и разрушить узел входного
ребра, превратив его в известные вершины. При этом может
оказаться, что некоторые из ребер, входящих в этот узел,
станут также входными, и тогда движение по графу можно
будет продолжить.
Исходя из этого, введем следующие правила движения
по графу:
1. Если в графе имеются входные ребра, то можно войти
в них и, двигаясь по ним, прийти к узлам этих ребер.
178
2. Если, дингйисъ но входному ребру, мы пришли к его
узлу, то узел можно pmpyinirib, шмснин его известными
темными вершпнпми ио всех ребрах, входящих в этот
узел.
3. Если в ребре все вершины стали темными (известны-
ми), то такое ребро можно отбросить.
Движение по графу в соответствии с этими правилами
будем называть цепным процессом.
Теперь мы можем все сложные сюжетные задачи разде-
лить на следующие классы:
1. Сложные сюжетные задачи со входами. Им соответст-
вуют графы, имеющие входные ребра. Среди графов 2-го
порядка это графы (5) и (6) (рис. 25). Среди графов 3-го
порядка это графы (5), (6), (8), (9), (10), (14), (17), (19), (20),
(21), (22), (26), (29), (31), (35), (37) (рис. 27).
Заметим, что графу (6) 2-го порядка и графам (6), (9),
(10), (22), (31) 3-го порядка соответствуют сюжетные задачи
с излишними данными. Эти сюжетные задачи не будем рас-
сматривать.
Если же к остальным графам со входами применить цеп-
ной процесс, то в некоторых случаях мы сможем пройти по
всему графу до конца, т. е. полностью решить соответствую-
щую^'сюжетную задачу. Это графы (5) 2-го порядка и (8),
(20),*(21), (29) 3-го порядка.
Будем такие сложные сюжетные задачи со входами, при-
менение к которым цепного процесса приводит к полному их
решению, называть открытыми задачами.
В других случаях движение по графу после нескольких
шагов обрывается, и остается граф без входов, но, конечно,
меньшего порядка. Это означает, что применение к соответ-
ствующей сюжетной задаче^со входами цепного процесса
после нескольких шагов обрывается и остается задача без
входов. Такие сложные задачи будем называть смешан-
ными.
Среди указанных графов смешанным задачам соответст-
вуют следующие: (5), (14), (17), (19), (26), (35), (37) 3-го по-
рядка.
2. Сложные сюжетные задачи без входов. Такие задачи
будем называть замкнутыми или з а к р ы-
т ы м и.
Значимость введенной классификации сюжетных задач
станет ясна после того, как мы рассмотрим механизмы их
решения.
7*
179
§ 22. МЕХАНИЗМЫ РЕШЕНИЯ
СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ
Решение сюжетных задач представляет собой очень слож-
ный процесс. Этот процесс можно рассматривать с разных
точек зрения: с математической — какие матема-
тические операции следует произвести, чтобы ответить на
вопрос задачи, с логической — из каких логических
операций состоит процесс решения задач различных типов,
с психологической — из каких мыслительных
операций (действий) состоит процесс решения, с педаго-
гической — каковы те приемы обучения, которые фор-
мируют у учащихся умение решать задачи. Наконец, можно
рассматривать весь процесс решения или исследовать лишь
отдельные этапы этого процесса, в первую очередь анализа
задачи и нахождение пути ее решения и т. д.
Нас в первую очередь интересует логико-психологиче-
ская сторона процесса решения сюжетных задач, при этом
в основном лишь первых этапов этого решения — этапов
анализа и поиска решения. С логической и математической
точек зрения решение всякой сюжетной задачи представляет
собой построение по ее условию арифметической или алгеб-
раической модели. Нас интересует, из каких умственных
действий должен состоять процесс построения модели сю-
жетной задачи, в чем своеобразие этого процесса для разных
видов задач. Поэтому мы рассмотрим именно в этом аспекте
механизмы решения основных видов задач, установленных
нами в предыдущем параграфе.
' - I. Механизмы решения •
простых задач
В психолого-методической литературе уже давно ведутся
споры по поводу сущности механизмов решения простых
сюжетных задач. Методист Ф. А. Эрн так раскрывал сущ-
ность процесса решения:
«Пусть, например, ученик решает задачу: сколько стоят
15 фунтов товара, фунт которого стоит 6 коп.? Постараемся
разложить на составные элементы ту умственную работу,
которую должен произвести ученик, чтобы установить, ка-
ким действием решается данная задача:
1) Прежде всего ученик должен разобраться в зависимо-
сти’между искомым и данными в нашей задаче; он должен
180
заметить, что стоимость всего товара представляет собой
целое, стоимость каждого фунта — часть одного целого, а
число фунтов указывает число частей в целом; в данном слу-
чае все части равны, число частей и величина каждой части
известны и требуется определить целое.
2) Ученик должен подвести этот частный случай под
общее понятие об умножении, согласно которому умножить
значит найти целое, зная величину каждой из равных ча-
стей и число частей.
3) Из этих двух посылок ученик делает вывод: для ре-
шения данной задачи нужно произвести умножение, а имен-
но 6 коп. умножить на 15» (1912, с. 132—133).
Таким образом, Ф. А. Эрн считал, что у ученика сначала
формируется отвлеченное понятие о всех арифметических
действиях, а лишь затем — умение выбрать то или иное
действие для решения дайной простой задачи.
Такого же взгляда придерживался и другой известный
методист А. И. Гольденберг, который полагал, что примеры
должны предшествовать задачам.
В наше время аналогичную трактовку сущности процес-
са решения простых сюжетных задач дает Н. А. Менчинская.
Так, она пишет в своей работе «Очерки психологии обучения
арифметике»: «Решение простой задачи сталкивает ученика
с необходимостью выполнить новую умственную операцию:
выбор арифметического действия». И дальше: «В условии
задачи ничего не сказано о том, какую операцию с
числами надо произвести. В задаче описана конкретная
ситуация (например: «У Вани было 2 яблока, ему дали еще
3 яблока. Сколько яблок стало у Вани?»). Ученик ее дол-
жен осмыслить... перед учеником в данном случае стоит та-
кая психологическая задача — перевести конкрет-
ную ситуацию, описанную в задаче, в
план арифметических операций» (1950,
с. 60).
В своей монографии «Психология обучения арифметике»
Н. А. Менчинская отмечает сначала, что «в практике учеб-
ной работы учащихся решение примеров несколько пред-
шествует решению задач, а затем, осуществляясь параллель-
но с ним, оказывается для учащихся более легким видом
работы» (1955, с. 252). Затем Н. А. Менчинская снова проти-
вопоставляет решение примеров решению задач: «При реше-
нии примера ученик выполняет ту арифметическую опера-
цию, которая определена или указана имеющимся в тексте
181
примера знаком. В условии же задачи прямо ничего не ска-
зано о том, какую операцию с числами надо произвести;
учащийся должен сам выбрать арифметическую опе-
рацию, исходя из понимания характера той жизненной си-
туации, какая описана в условии задачи. Учащийся в этом
случае как бы «переводит» на язык арифметического дейст- '
вия ту или иную конкретную жизненную ситуацию, опи- ,
санную в условии задачи» (т а м ж е). ‘
Эти утверждения Н. А. Менчинской вызывают следую- ;
щие возражения:
1. Наличие в примере знака действия объективно детер- >
минирует деятельность ученика по выполнению соответст-
вующего арифметического действия; субъективно же дея- ’
тельность ученика будет различной в зависимости от степени
овладения им этим действием. На первых ступенях обучения
учащийся выполняет пример путем перехода к некоторой
предметной или даже словесной сюжетной задаче.
2. Утверждение, что в условии задачи «прямо ничего не
сказано о том, какую операцию с числами надо произвести»,
неточно, ибо как же тогда все-таки ученик решает задачу,
если в условии «ничего не сказано»? В условии задачи все
сказано, но сказано не так, как в примере, сказано другим
способом, более сложным. Об этом мы уже подробно гово-
рили выше. Да и сама Н. А. Менчинская правильно заме-
чает, что «операция выбора действия, несмотря на всю ее
сложность, является закономерным ответом на тот «внеш-
ний агент», который реализован в условии задачи» (там
ж е).
3. Противопоставление числового примера задаче неза-
кономерно еще и потому, что пример есть модель задачи;
пример — это обобщенная задача, и в таком виде примеры
и выступают (или должны выступать) на первых порах обу-
чения арифметическим действиям. Больше того, сначала
решение примера производится путем построения его моде-
ли — сюжетной задачи, т. е. задача выступает как конкре-
тизация примера.
Р. И. Плинер, разбирая трактовку сущности решения
простых задач, данную Ф. А. Эрном, указывает: «Суть ре-
шения задачи состоит не в двух врозь стоящих и друг за
другом следующих этапах: из установления сначала кон-
кретного соотношения, воплощенного в данной задаче, а
затем подведения этого отдельного соотношения под общий
закон. Здесь имеет место взаимообусловленность, взаимо-
182
определенность между отдельным отношением и общим за-
коном... На деле же оба сопоставляемые здесь процесса не-
отделимы друг от друга: улавливая условие, улавливается
отношение, и при этом именно определенное отношение...
и тем самым закон, с которым, однако, учащийся заранее
знаком» (1948, с. 93—94).
В современных методических руководствах также нет
четкости в понимании механизмов решения простых задач.
Так, Л. Н. Скаткин по сути дела придерживается изложен-
ной выше точки зрения Ф. А. Эрна. Он пишет: «Выбор дей-
ствия, необходимого для решения простейших задач на сло-
жение и вычитание, дети производят на основе аналогии с
операциями над множествами предметов, которые они вы-
полняли при изучении сложения и вычитания чисел в пре-
делах первого десятка» (Методика начального обучения ма-
тематике. Под ред. Л. Н. Скаткина, 1972, с. 103).
Как видим, Л. Н. Скаткин считает, что школьники снача-
ла усваивают сложение и вычитание чисел, а уже затем ре-
шают задачи. В процессе решения они выбирают действия
по аналогии с теми операциями, которые они производили
с множествами. В чем состоит эта аналогия, как на ее осно-
ве производится выбор действия, автор не объясняет.
Авторы другого методического руководства, говоря об
обучении учащихся решению простых задач, указывают, что
сначала должна быть проведена подготовка в форме выпол-
нения операций над множествами (объединение и удаление
части множества). При этом они замечают, что эти опера-
ции по форме не отличаются от решения задач, но выпол-
няются чисто практически. В процессе выполнения этих опе-
раций «дети уясняют соотношение: если прибавили, то стало
больше, а это и должно явиться в дальнейшем основой для
выбора действия при решении задач на нахождение суммы»
(М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, А. М. Полевщнкова, 1973,
с. 198).Здесь опять-таки сделана попытка онер< п>ся и выбо-
ре действий на слова вроде «принесли», «улеют» и им по-
добные, что, конечно, не является правомерным.
Вопрос о выборе действий для решения простых сюжет-
ных задач мы уже обсуждали в § 19. Здесь следует еще отме-
тить, что выбор действия, являясь основным шеном меха-
низма решения простых задач, не исчерпывает его, ибо
понимание этого механизма связано также с |рактовкой
арифметических действий и во многом определяется этой
трактовкой. Собственно говоря, формирование у учащихся
183
того или иного механизма решения простых задач есть од-
новременно и формирование у них той или иной трактовки
соответствующих арифметических действий.
В формировании арифметических действий следует раз-
личать две стороны: математическую и предметную. Если
говорить лишь о математической стороне арифметических
действий, т. е. об их логическом определении в виде не-
которого эквивалента определений Грассмана и о законах
этих действий, то для ее формирования решение сюжетных
задач просто излишне и совершенно не нужно. В этом слу-
чае можно ограничиться лишь одними так называемыми
примерами для закрепления знаний’о законах действий и
для выработки навыков в выполнении действий над кон-
кретными числами.
Математика как наука занимается лишь математической
стороной изучаемых ею явлений, но математика как учеб-
ный предмет не может и не должна ограничиваться лишь
этим, а должна выяснить генезис математических понятий,
их предметное содержание, ибо в противном случае ребенок
может усвоить не сами понятия, а лишь их словесные обо-
лочки. Ведь и математика как наука приходит к своим
абстрактным'понятиям, пройдя длительный путь их предмет-
ного изучения. Математика имеет такое широкое практиче-
ское применение потому, что за каждым ее понятием скры-
вается многообразное предметное содержание, разные сто-
роны которого проявляются при применении этих понятий
в различных областях науки и техники. Поэтому мы счи-
таем, что математика как учебный предмет
должна выявить предметное содержание
каждого изучаемого математического
понятия, и усвоение учащимися этого
предметного содержания является не
менее важной задачей обучения, чем
усвоение математического содержания
этого понятия.
Каждое арифметическое действие имеет весьма разно-
образное предметное содержание. Что из этого содержания
должно быть усвоено учащимися? В каком порядке? На ка-
кой ступени обучения? Все эти вопросы требуют специаль-
ного изучения. Но каков бы ни был ответ на эти вопросы,
очевидно, что основным средством изучения предметного
содержания арифметических действий будет решение сю-
жетных задач.
184
Исходя из этого, в дополнение к тому, что было нами
установлено в § 19 относительно механизма выбора действия
для решения простых сюжетных задач, можно высказать
следующие соображения:
1. Сущность процесса решения простых сюжетных за-
дач, механизмы этого процесса различны на разных этапах
обучения учащихся, на разных этапах овладения учащими-
ся понятием об арифметических действиях.
2. Сначала решение простой задачи происходит как вы-
полнение предметной операции. Ученик еще не осознает,
что он в данном случае произвел то или иное арифметиче-
ское действие. Само выполнение арифметических действий
(решение отвлеченных примеров) воспринимается учениками
как некая предметная операция.
3. Лишь постепенно вырабатывается обобщенное поня-
тие о каждом арифметическом действии, и эти действия,
теряя черты предметных операций, приобретают черты аб-
страктных операций, выполняемых по особым правилам и
таблицам сложения и умножения над абстрактными чис-
лами.
4. Только после этого может быть выработано понимание
сущности решения простой задачи как выбора арифметиче-
ского действия, или, точнее, как построения арифметиче-
ской или алгебраической модели, т. е. как подведение кон-
кретного отношения под общий закон. Значит, процесс
овладения учащимися умением решать простые задачи есть
в то же время процесс формирования у них понятия о пред-
метном содержании арифметических действий. И в этом со-
стоит основная познавательная ценность решения простых
сюжетных задач.
Что касается вопроса о построении арифметической или
алгебраической модели простой задачи, то его мы доста-
точно подробно рассмотрели в § 19 и 20.
II. Механизм решения
к сюжетных открытых задач
Механизм решения этих ьадач ясен и< самого их определе-
ния. По определению в каждой такой задаче имеется по
крайней мере одно разрешимое соотношение. Это соотноше-
ние (вход задачи) можно выделить в самостоятельную про-
стую задачу. После ее решения условие исходной задачи
1преобразуется путем исключения решенного соотношения и
185
замены вспомогательного неизвестного — узла этого соот-
ношения — найденным числом. В результате такого преоб-
разования мы получим задачу (п—1)-го порядка, причем
опять-таки открытого типа. К этой новой задаче снова при-
меним указанные операции, т. е. выделение разрешимого со-
отношения в самостоятельную простую задачу, ее решение и
последующее исключение из сложной задачи. Все это будем
повторять до тех пор, пока не получим задачу 1-го порядка,
решив которую мы и решим окончательно исходную слож-
ную задачу.
Таким образом, ясно, что решение открытых задач мо-
жет быть произведено чисто арифметическим способом.
III. Механизмы решения задач
с неопределенными неизвестными
Замкнутые задачи, не имеющие разрешимых соотношений
(входов), могут быть двух видов: 1) задачи, содержащие
неопределенные неизвестные (см. § 3 и 6); 2) задачи без не-
определенных неизвестных.
Рассмотрим сначала механизмы решения задач с не-
определенными неизвестными.
Основной характеристикой сюжетных задач с неопреде-
ленными неизвестными является степень неопределенности
задачи, т. е. разность между общим числом неизвестных и
числом соотношений, которыми они связаны между собой и
с известными значениями. О б щ и м способом решения
этих задач является следующий: заменяем столько
неопределенных неизвестных произволь-
ными числами, сколько единиц содер-
жит степень неопределенности данной
задачи.
Рассмотрим несколько примеров.
Задача 47. На первой и второй полках лежало вме-
сте 90 книг, а на первой и третьей полках лежало вместе
75 книг. На сколько книг лежало на второй полке больше,
чем на третьей?
Анализ задачи показывает, что она является задачей
первой степени неопределенности (в ней имеется четыре не-
известных, из которых три неопределенных, и три соотно-
шения). Значит, нам надо заменить один из трех неопреде-
ленных неизвестных членов произвольным числом. В дан-
ном случае можно заменить любой из них. Например, пусть
186
на первой полке лежало 30 книг (заметим, что это неопре-
деленное неизвестное можно, однако, заменить произволь-
ным числом, не большим 75). Тогда данная задача становит-
ся задачей открытого типа, ибо в ней сразу два соотношения
превращаются в разрешимые, которые можно выделить в
простые задачи и решить.
1. На второй полке лежало 90—30=60 (книг).
2. На третьей полке лежало 75—30=45 (книг).
Теперь становится разрешимым последнее соотношение,
в которое входит искомое.
3. На второй полке лежало на 60—45=15 книг больше,
чем на третьей.
Задача 48. На первой полке лежало в 2 раза боль-
ше книг, чем на второй. Во сколько раз на обеих полках вме-
сте лежало книг больше, чем на одной первой полке?
Эта задача тоже первой степени неопределенности, и,
значит, надо заменить произвольным числом (в некоторых,
конечно, пределах) один из трех неопределенных членов.
Однако такую замену можно произвести лишь в отношении
числа книг на первой или второй полках, а вот неопределен-
ное неизвестное — число книг на обеих полках вместе —
заменить произвольным числом нельзя, ибо решения задачи
в этом случае не получим. Замену неопределенных членов
произвольными числами надо производить так, чтобы в ре-
зультате хотя бы одно из соотношений превратилось в раз-
решимое.
Если мы, например, примем, что на первой полке лежа-
ло 100 книг, то получаем такое решение:
1. На второй полке лежало 100 : 2 = 50 (книг).
2. На обеих полках вместе лежало 100+50=150 (книг).
3. На обеих полках вместе лежало больше книг, чем на
одной первой полке, в 150 : 100=1,5 раза.
Модификацией общего способа решения задач с неопреде-
ленными неизвестными является способ, когда необходимое
число неопределенных неизвестных, равное степени неопре-
деленности задачи, обозначается буквами, затем соеiявляет-
ся уравнение или система уравнений, и < которых введенные
буквенные параметры исключаются
Задача 49. К моему приезду па станцию за мной
обычно высылали машину. Приехав однажды на 1 час рань-
ше, я пошел пешком и, встретив посланную за мной маши-
ну, прибыл с ней на место на 20 мин. раньше обычного срока.
Во сколько раз машина едет быстрее, чем я иду пешком?
187
Анализ этой задачи (который мы не воспроизводим) по-
казывает, что она является задачей второй степени неопре-
деленности. Поэтому два из всех неопределенных неизвест-
ных обозначим буквами, например: путь от места до станции
пусть будет s км, а скорость машины — v км/ч. Кроме того,
обозначим искомое отношение скорости машины к скорости
пешехода через х. Тогда скорость пешехода будет равна у .
Обычно машина совершает путь 2s км со скоростью
2s
v км/ч, затрачивая на это -у часов. В указанный день ма-
шина проехала путь 2 s------д-г с той же скоростью и за-
\ х~г1 /
2 fs--
тратила на этот путь — -----—— часов, что, по условию
задачи, на 4- часа меньше обычного времени:
О
2 s____-—
2s у x-pi; _ i
v v 3
Получим одно уравнение с тремя неизвестными. Однако
неопределенные неизвестные s и v при решении этого урав-
нения исключаются, и мы находим, что х=5.
Другой модификацией общего способа решения задач с
неопределенными неизвестными является общеизвестный
способ приведения к единице, когда неопреде-
ленное неизвестное принимается за единицу (измерения) и
остальные неизвестные выражаются в частях этой единицы.
Кроме того, в некоторых частных случаях для решения этих
задач могут использоваться некоторые свойства арифмети-
ческих действий, свойства пропорциональных величин.
IV. Механизмы решения
замкнутых задач
Если говорить о замкнутых сюжетных задачах без неопре-
деленных неизвестных (конечно, без недостающих и лиш-
них данных), то основным методом их решения является
метод алгебраический, а механизмы их решения связаны с
разными способами составления уравнения или системы
уравнений. Что же касается так называемых типовых (арпф-
188
метических) методов решения задач, то в данное время вряд
ли стоит их возрождать.
Следует иметь в виду, что сюжетные задачи были, не-
сомненно, первыми математическими задачами, которые соз-
даны людьми в процессе познания окружающей действи-
тельности и трудовой деятельности. Во всех наиболее древ-
них математических памятниках культуры зафиксировано
много сюжетных задач и различные методы их решения.
Первоначально были разработаны методы решения про-
стых и сложных открытых задач. Решение последних сво-
дилось к разбиению сложной задачи на последовательность
простых, которые постепенно, одна за другой, начиная с не-
которой разрешимой, решались, создавая тем самым воз-
можность для решения последующих. Сложные задачи, таким
образом, напоминали какую-то незамкнутую цепь простых.
Если же встречались такие сложные задачи, которые
представляли собой как бы замкнутую цепь простых (замк-
нутые задачи), то изобретались методы, дающие возможность
искусственно разрывать эту замкнутую цепь и превращать
тем самым замкнутые задачи в открытые. В древнем Китае,
Египте, Индии и других центрах древней культуры были
известны методы ложного положения, двух ложных поло-
жений, «тройное правило» и другие искусственные методы
решения замкнутых задач.
Искусственные приемы решения замкнутых задач ока-
зались очень живучими. Они широко использовались в
школах до недавнего времени. И это несмотря на то, что в
математике уже давно были разработаны общие алгебраиче-
ские методы решения подобных задач. В работах Ньютона и
Декарта эти общие математические методы приобрели окон-
чательную современную форму.
Такая живучесть искусственных приемов решения замк-
нутых задач объясняется главным образом тем, что для при-
менения алгебраического метода их решения учащиеся
должны владеть началами алгебры, уметь решать уравне-
ния и системы уравнений. Между тем считалось, что реше-
ние замкнутых задач является весьма важным как в прак-
тическом, так и в образовательном отношении, и поэтому
эти задачи предлагались учащимся, которые алгебру не
изучали и в большинстве своем не буду! ее изучать, ибо
их образование заканчивалось в начальной школе.
Сейчас положение дел коренным образом изменилось.
У нас введено всеобщее обязательное среднее образование,
189
I
it все учащиеся изучают алгебру, решения уравнений и сис-
тем уравнений. Кроме того, как показали многочисленные
психологические исследования, начала алгебры и решение
уравнений вполне доступно младшим школьникам. Совре-
менные программы это уже учитывают.
Поэтому нет никаких причин для сохранения в нашей
школе искусственных приемов решения замкнутых задач.
Что же касается якобы большого развивающего эффекта
решения этих задач искусственными приемами, то, как по-
казали психологические исследования, алгебраические-ме-
тоды оказываются во всяком случае не менее, если не бо-
лее, развивающими умственные способности учащихся (см.,
например, сб.: «Психологические возможности младших
школьников в усвоении математики». Под ред. В. В. Давы-
дова, 1969).
Алгебраический метод решения сложных задач состоит
в том, что строится математическая модель задачи в виде
уравнения или системы уравнений. Следует иметь в виду,
что этот метод применим ко всем сложным задачам, в том
числе и к открытым, но получающиеся при этом системы
уравнений принципиально отличаются от систем, соответст-
вующих замкнутым задачам.
Задаче открытого типа соответствует такая система
уравнений, среди которых имеется по крайней мере одно
уравнение с одним неизвестным (при этом в некоторых слу-
чаях явно выражаемое через известное число), и решение
всей системы идет «цепным способом», т. е. из имеющихся
уравнений с одним неизвестным находим значения этих
неизвестных; подставляя найденные значения в остальные
уравнения, обращаем некоторые из них в уравнения с одним
неизвестным и т. д.
Покажем это на примере следующей задачи.
Задача 50. Квартира состоит из трех комнат. Пло-
щадь первой комнаты 22 кв. м, площадь второй на 10 кв. м
меньше площади первой, а площадь третьей составляет
125% от площади второй. Какова площадь квартиры?
Если площади второй и третьей комнат и всей квартиры
обозначить соответственно через х, у и г, то получим такую
алгебраическую модель задачи:
' 22—х = 10;
. г/:х=1,25;
22+х+у = г.
190
Решение этой системы уравнений возможно следующим
образом. Из первого уравнения находим х=12. Подставля-
ем это число вместо х во второе уравнение, оно становится
после этого уравнением с одним неизвестным, и тогда нахо-
дим, что t/=15. Наконец, подставляя 12 и 15 вместо х и у в
третье уравнение, находим г=49.
Совсем иные алгебраические системы мы получаем при
решении замкнутых задач.
Задача 51. Ученик за 3 общие тетради и 2 каран-
даша заплатил 66 коп. Другой ученик за такие же 2 общие
тетради и 4 карандаша уплатил 52 коп. Найти цену тетради
и карандаша.
В этой задаче шесть неизвестных, каждое из которых
обозначим буквой: х коп.— цена тетради, у коп.— цена ка-
рандаша, z коп.— стоимость 3 тетрадей, и коп.— стоимость
2 карандашей, v коп.— стоимость 2 тетрадей, t коп.— стои-
мость 4 карандашей. Тогда алгебраическая модель задачи
представляет собой такую систему уравнений:
3x~z; 2у = и; 2x — v; 4y-=t-,
z + u = 66; t'~H = 52.
Характерной особенностью этой системы является то,
что в каждом из уравнений не менее двух неизвестных, а по-
этому решение этой системы невозможно «цепным спосо-
бом».
Из этого примера можно сделать еще один весьма важ-
ный вывод: наиболее простым и всеобщим способом построе-
ния алгебраической модели замкнутых задач является спо-
соб составления системы уравнений, когда каждое из неиз-
вестных задачи (вспомогательное и искомое) обозначается
своей буквой, а каждое из соотношений записывается в виде
уравнения. Однако в результате получается весьма громозд-
кая система с многими уравнениями. Поэтому уже давно
ведутся разработки методов непосредственного составле-
ния одного уравнения с одним неизвестным по условию зам-
кнутой задачи без предварительного составления системы
уравнений и ее свертывание в одно уравнение.
Мы не будем приводить достаточно широкоизвестные ме-
тоды Ньютона (1948, с. 79 и сл.), Декарта (1938, с. 14), а
также их современные методические модификации. Ограни-
чимся показом лишь одного метода — метода вспомо-
гательной задачи, близкого к методу Декарта.
191
Все методы составления уравнения по условию замкну-
той задачи состоят в том, чтобы каким-то образом преобра-
зовать замкнутую задачу в открытую. Методом вспомога-
тельной задачи это делается следующим образом.
Примем одно из неизвестных замкнутой задачи (не обяза-
тельно искомое) за главное неизвестное и обо-
значим его какой-либо буквой. Затем одно из данных задачи
примем за основное данное. После этого составим
вспомогательную задачу, в которой главное неизвестное
исходной задачи считается данным, а искомым является
основное данное исходной задачи. Если полученная вспомо-
гательная задача окажется открытой, то, решив ее цепным
способом и приравняв полученное выражение к значению
основного данного, получим нужное уравнение.
Так как выбор главного неизвестного и основного дан-
ного для одной и той же задачи может быть произведен не
одним способом, то тем самым можно, вообще говоря, для
этой задачи получить много разных уравнений.
Задача 52. Ваня, Коля и Петя нашли вместе 63 гри-
ба, Коля нашел на 8 грибов меньше, чем Ваня, а Петя в 3 ра-
за больше, чем Коля. Сколько грибов нашел каждый из них?
Анализ задачи показывает, что в ней имеется три неиз-
вестных (искомых) и три данных. Следовательно, выбор
главного неизвестного и основного данного можно произ-
вести, вообще говоря, девятью различными способами. При-
ведем некоторые из них.
1-й выбор. Примем за главное неизвестное число гри-
бов, найденных Ваней, обозначим его буквой .г, а за основ-
ное данное примем число 3. Тогда получаем такую вспомо-
гательную задачу: «Ваня нашел х грибов, а Коля на 8 гри-
вов меньше, чем Ваня. Ваня, Коля и Петя нашли вместе 63
гриба. Во сколько раз Петя нашел грибов больше, чем Коля?»
Эта задача открытая. Решив ее цепным способом,
найдем, что Петя нашел грибов больше, чем Коля, в
{63—[% + (х—8)]}:(х—8) раз. Приравняв полученный от-
вет вспомогательной задачи к основному данному, получаем
уравнение: {63—[х+ (х—8)]} : (х—8)=3.
2-й выбор. Примем за главное неизвестное число
грибов, найденных Колей (обозначим его буквой у), а за
основное данное — число 63. Получаем вспомогательную
задачу: «Коля нашел у грибов, Ваня нашел на 8 грибов боль-
ше, чем Коля, а Петя в 3 раза больше/чем^ Коля. Сколько
всего грибов нашли они вместе?»
192
Решив эту задачу и приравняв полученное выражение к
основному данному, получим уравнение: (t/+8)+z/+3t/=63.
Однако не все из девяти возможных выборов главного
неизвестного и основного данного дают возможность по-
строить таким способом алгебраическую модель задачи.
Например, если за главное неизвестное выбрать число гри-
бов, собранных Ваней (х), а за основное данное — число 8,
то получаем такую вспомогательную задачу: «Ваня, Коля
и Петя нашли вместе 63 гриба. Ваня нашел х грибов, а Петя
в 3 раза больше, чем Коля. На сколько грибов нашел Ваня
больше, чем Коля?»
Эта задача, так же как и исходная, замкнутая, и цепным
способом ее решить нельзя, а значит, и нельзя таким спосо-
бом составить уравнение для исходной задачи.
Более того, имеются такие замкнутые задачи, в которых
при любом выборе главного неизвестного и основного дан-
ного все получающиеся вспомогательные задачи оказывают-
ся замкнутыми, и следовательно, составить одно уравнение
для них невозможно. Вот пример такой задачи.
Задача 53. Трем братьям вместе 45 лет. Пять лет на-
зад старшему брату было столько лет, сколько было осталь-
ным двум братьям вместе, а через 7 лет среднему брату будет
в 2 раза меньше лет, чем остальным двум братьям вместе.
Сколько лет каждому из братьев?
Анализ показывает, что в данной задаче имеется девять
неизвестных и четыре данных. Всего, таким образом, суще-
ствует 36 различных способов выбора главного неизвестного
и основного данного. Но, как легко убедиться, ни один из
этих способов не приводит к открытой вспомогательной за-
даче, и поэтому составить одно уравнение не удается. В та-
ких случаях проще всего составить систему уравнений, на-
пример, так: примем, что старшему, среднему и младшему из
братьев соответственно х, у и z лет. Тогда получаем такую
систему:
x + y + z = 45;
х —5 = (у— 5) + (г — 5);
2 (у | 7) =(х + 7) + (г+7).
Необходимо сделать следующие замечания:
1. Изложенный выше способ одной вспомогательной
задачи, конечно, не единственно вошожпый способ состав-
ления уравнения с одной переменной по условию замкну-
193
той сюжетной задачи. В практике школы широкое примене-
ние имеет и другой способ, называемый иногда методом
словесного уравнения, заключающийся в том, что предва-
рительно выбирают величину, заданную в задаче двумя
значениями, которые или равны, или их легко уравнять.
Затем выбирают главное неизвестное и, обозначив его бук- .
вой, выражают через него указанные два значения выбран- '
ной величины (поэтому этот способ можно назвать способом '•
цъчх. вспомогательных задач). Приравняв найденные вы-
ражения, получают искомое уравнение. Можно указать
еще и другие частные способы составления уравнения по
условиям сюжетных задач.
2. Представление, широко бытующее среди учителей и
методистов, что любую замкнутую задачу можно решить
с помощью составления одного уравнения с одной перемен-
ной, основано на том, что в конечном итоге любое алгебраи-
ческое решение задачи сводится к решению уравнения
с одной переменной. Однако при этом не учитывают, что
для многих задач такое сведение связано с искусственными
способами составления этого уравнения, сущность которых -
состоит в неявной (умственной) свертке системы несколь- •
ких уравнений в одно с одной переменной. Например, по- :
следнюю задачу, 53 мы могли бы решать так. Пусть среднему
брату у лет. Так как через 7 лет ему будет в 2 раза меньше
лет, чем остальным двум братьям вместе, то это значит,
что этим братьям вместе через 7 лет в 2 раза больше лет,
чем среднему брату. А так как за 7 лет сумма лет этих
братьев увеличилась на 14 лет и на столько же увеличился
удвоенный возраст среднего брата, то и в данный момент
указанное соотношение между их возрастами такое же,
т. е. сумма возрастов этих братьев равна 2у. Следователь-
но, общая сумма возрастов всех трех братьев есть у+2у,
а по условию эта сумма равна 45. Получаем одно уравнение
с одной переменной: г/+2«/=45.
Если внимательно проанализировать приведенное ре-
шение или любое другое, подобное этому, то заметим, что
оно представляет собой свертку в уме неявно составленной
системы уравнений.
Так что, когда мы говорили о невозможности составить
для задачи 53 одно уравнение с одной переменной, то
исключали такие искусственные способы составления,
представляющие неявное составление системы уравнений
и ее мысленную свертку в одно уравнение.
194
Итак:
1. Общая схема всех различных методов решения сю-
жетных задач состоит в том, что на основе декодирования
условия задачи (воссоздания — мысленного или фактиче-
ского — реальной ситуации, словесной моделью которой яв-
ляется данная задача) и специального семантического ана-
лиза условия строится последовательность моделей задачи,
конечным звеном которой является математическая модель
(числовое выражение, уравнение или система уравнений).
Вся трудность решения связана с построением указан-
ной последовательности моделей.
2. Для большинства сюжетных задач, особенно слож-
ных, приходится строить разного рода вспомогательные мо-
дели (схематические, табличные, графические и т. д.).
С одной стороны, эти модели являются фиксацией результа-
тов анализа задачи, а с другой — построение таких моделей
организует и направляет детальный и глубокий анализ за-
дачи.
3. Имеются такие сюжетные задачи, для которых воз-
можно непосредственное построение математической модели
в виде числового выражения для искомого. К ним относятся
простые и сложные открытые задачи.
4. Для остальных сюжетных задач приходится строить
математические модели в виде уравнений и систем уравне-
ний. При этом составление системы уравнений является бо-
лее легким делом, чем составление одного уравнения.
5. Существует много различных способов решения сю-
жетных задач, и это разнообразие является большой образо-
вательной ценностью, ибо в процессе овладения ими у уча-
щихся формируются такие механизмы мышления, которые
важны для решения не только сюжетных, но и любых задач.
Однако за этим разнообразием нельзя упустить глав-
ное — общность всех этих способов: все они суть способы
построения цепи моделей исходной задачи. Обучение мето-
дам решения сюжетных задач только тогда будет играть раз-
вивающую роль, когда главным в обучении будет именно по-
строение моделей задач.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основной целью настоящей работы было изучение задачи
как некоего реального объекта, независимого от деятель-
ности субъекта, решающего задачу.
Мы рассматривали задачу как знаковую модель проблем-
ной ситуации. Исходя из этого, мы установили, что всякая
задача состоит из условия (предметной области и отношений,
связывающих элементы предметной области), неявно за-
данного оператора (последовательности действий) и требо-
вания. В плане этого определения была охарактеризована
структура трех основных видов задач (задач на разыскание
искомого, на доказательство или объяснение и на преобра-
зование или построение), а также параметры задачи как
объекта: логическая правильность условия, определен-
ность, обобщенность и полнота постановки задачи.
При этом обнаружилось, что используемые обычно в
жизненной практике и в обучении задачи являются неполно
поставленными (свернутыми), имеют разный уровень обоб-
щенности и различную степень определенности.
Такой принцип подхода к изучению структуры задач и ее
видов открывает, на наш взгляд, перспективу дальнейшего
плодотворного изучения задач как особых знаковых объек-
тов.
В связи с вышесказанным можно, как нам кажется,
подойти к решению вопроса об определении понятия «за-
дача».
Многие авторы, как известно, пытались выработать об-
щее определение задачи, рассматривая ее, естественно, с
разных точек зрения. Предлагались разные формулировки,
вокруг которых нередко завязывались длительные споры.
Как установлено нашим исследованием, понятие задачи
настолько многогранно и многопланово, что передать его
сущность в одном кратком определении невозможно.
Поэтому мы и не станем давать такое определение.
Правда, к имеющимся определениям задачи (А. Н. Леонтье-
ва, У. Р. Рейтмана, С. О. Шатуновского, Э. Крика и др.)
мы можем добавить еще и такое (если рассматривать задачи
как знаковые объекты): задача есть изложенное на каком-то
языке (естественном или искусственном) требование выпол-
196
нить некоторый явно или неявно указанный оператор (по-
следовательность действий) по отношению к заданному ус-
ловию. Однако это определение не претендует на то, чтобы
заменить собой существующие и другие возможные опре-
деления.
Более плодотворным для решения проблемы эксплика-
ции научного понятия задачи является путь разработки
формализованных языков для описания задач (метаязыки
задач). В этой книге мы изложили некоторые попытки раз-
работки таких метаязыков. Это язык высказываний, с по-
мощью которого мы строили высказывательные модели за-
дач, и язык, на котором были записаны структурные модели
задач. Кроме того, для формализованного описания сю-
жетных задач мы разработали особый язык трехчленных
графов.
Свойством этого последнего языка является то, что он
дает возможность построения особого исчисления, с по-
мощью которого, в частности, можно образовать все сюжет-
ные задачи, начиная с простейших и кончая самыми слож-
ными. Однако пока неясно, можно ли разработать аналогич-
ный язык для описания других видов задач.
Таким образом, в книге намечены лишь подступы к соз-
данию метаязыка задач. Полное решение этой проблемы по-
требует еще многих усилий.
Наряду с вопросами разработки метаязыка задач мы рас-
смотрели и вопросы, связанные с изучением языка, на кото-
ром изложены задачи (языки задач). Особенно подробно мы
рассмотрели язык сюжетных задач. В результате было уста-
новлено, что язык задач весьма своеобразен, имеет свои осо-
бенности. Не зная этих особенностей, нельзя правильно объ-
яснить процессы решения задач, основные закономерности
протекания этих процессов, а значит, и пути обучения ре-
шению задач.
Исследование языка задач, как и метаязыка их описа-
ний, только начато, здесь еще много неизвестного.
Много внимания в этой книге мы уделили вопросу клас-
сификации задач. Этот вопрос имеет в науке долгую исто-
рию. До сих пор все усилия ученых направлялись на то,
чтобы построить классификацию задач в виде некоего еди-
ного дерева, т. е. по принципу разветвления. Как мы стре-
мились показать, это едва ли осуществимо, ибо понятие за-
дачи настолько сложно и многопланово, что никакое «клас-
сификационное дерево» не сможет охватить все виды задач.
197
Поэтому в данной работе наши усилия концентрирова-
лись на выявлении тех параметров задач, на основании кото-
рых возможна и целесообразна их классификация. Это —
язык задач, их структура, полнота их постановки, логиче-
ская правильность, уровень обобщенности, степень опре-
деленности, а также характер ориентировочной основы дей-
ствий по их решению.
Таким образом, выяснилось, что возможны и имеют пра-
во на существование не одна какая-либо классификация за-
дач, а много разных классификаций по многим различным
основаниям.
При рассмотрении процесса решения задач нас главным
образом интересовал вопрос о месте и роли моделирования
в этом процессе. Представляется бесспорным, что вся твор-
ческая деятельность субъекта при решении задач в той или
иной степени связана с моделированием. Поэтому мы могли
с полным правом охарактеризовать процесс решения задач
как процесс построения цепи моделей задач, имея в виду,
конечно, творческую часть этого процесса.
В данной книге затронуты в той или иной мере разные
аспекты рассмотрения проблемы задач и процессов их ре-
шения: психологический, логический, дидактический. При
этом мы не ставили своей задачей разделять эти аспекты,
наоборот, мы стремились найти комплексный подход к ука-
занной проблеме на стыке психологии, кибернетики, логики
и педагогики, иными словами, наше намерение заключалось
в осуществлении проблемологического исследования.
Остановимся вкратце на том, какое значение могут
иметь результаты исследований, кратко изложенные в дан-
ной книге, для психологии и дидактики.
Для психологии это значение мы видим в возможности
иного, по сравнению с традиционным, подхода к объясне-
нию психологического содержания мышления. Традицион-
но психологическое содержание мышления в процессах
решения задач сводится к операциям анализа, синтеза,
абстрагирования, обобщения. Так, С. Л. Рубинштейн,
характеризуя мышление, указывал, что решение задачи
оно (мышление) производит посредством многообразных
операций, составляющих различные взаимосвязанные и
друг в друга переходящие стороны мыслительного процесса:
операции анализа, синтеза, абстракции, обобщения (см.:
С. Л. Рубинштейн, 1946, с. 354).
Между тем на страницах данной книги мы неоднократно
198
отмечали, что с психологической стороны процесс решения
задач представляет собой последовательный переход субъек-
та из одной проблемной ситуации в другую путем модели-'
рования первой ситуации и принятия построенной модели
за объект второй ситуации. Субъект строит последователь-
ность моделей первоначально поставленной или принятой
задачи. При этом переход от проблемной ситуации к ее
модели совершается путем децентрации ситуации, т. е.
мысленного выхода субъекта из ситуации и ее активного
изучения им как бы со стороны. В случае, когда задача
становится мысленной моделью, эта децентрация принимает
форму мысленного «раздвоения» субъекта: он изучает свою
собственную мысль, ее преобразования, процесс ее проте-
кания. Иначе говоря, субъект как бы раздваивается на два
«существа»: одно из них строит и преобразует модели ис-
ходной задачи, а другое — изучает получающиеся модели
и соотносит их с моделью конечной или промежуточной
цели деятельности.
Это позволяет нам выдвинуть такую гипотезу: подлин-
ным психологическим содержанием мышления является
процесс динамического моделирования объектов мысли-
тельной деятельности, состоящий в построении потока
внешних и мыслительных моделей исходного объекта и
мысленного соотнесения их с моделью цели деятельности.
Анализ, синтез, обобщение и абстрагирование являются
лишь логическими характеристиками тех действий и опе-
раций, которые производятся над моделями, т. е. характе-
ристиками отдельных шагов динамического моделирования.
Отсюда следует, что при психологическом исследовании
мышления нужно в первую очередь установить, какие мо-
дели строит субъект в процессе решения тех или иных задач,
каков поток внешних и мыслительных моделей в процессе
решения этих задач, как и почему он строит эти модели.
Если принять высказанную здесь гипотезу, то становится
ясно, что процесс формирования и развития мышления как
.способности решать задачи должен содержать в качестве
одной из главных составных частей обучение методам и
приемам моделирования. При этом предполагается, что
обучение будет содержать специальное ознакомление уча-
щихся с моделированием как методом познания. Деловтом,
что и сейчас в неявном, скрытом от учащихся виде модели-
рование в обучении используется. Когда, например, уча-
щиеся изучают построение графиков функций, то они фак-
199
тически изучают моделирование; когда они составляют
уравнение по условию сюжетной задачи, то они исполь-
зуют моделирование Используя повседневно моделирова-
вание, учащиеся да и учителя не осознают данный факт,
а поэтому само обучение в этом отношении не носит доста-
точно целенаправленный характер. Проведенные нами
эксперименты показывают, что ознакомление учащихся
с понятиями «модель» и «моделирование», с разными мето-
дами и приемами моделирования вполне возможно и целе-
сообразно начиная по крайней мере с IV класса (см.: Л. М.
Фридман, А. Я. Левочкина, Л. М. Таравкова, 1973).
В области дидактики, как мы считаем, необходимы су-
щественные изменения в характере обучения решению за-
дач. В настоящее время это обучение сводится в основном
к формированию частных умений и навыков в решении от-
дельных видов задач путем решения многочисленных конк-
ретно-практических задач этих видов. Между тем резуль-
таты исследований, изложенные выше, убедительно пока-
зывают, что подлинный успех возможен лишь при опоре
на формирование общих способностей к решению любых
задач. При этом формирование таких способностей должно
сделаться целью обучения, тогда оно станет той основой,
на базе которой возможно будет успешно формировать
частные умения в решении задач у всех учащихся.
Формирование способностей к решению любых задач
данной области знаний предполагает изучение самих задач,
их элементного состава и структуры, особенностей, сущ-
ности и структуры процесса решения, общих методов ре-
шения. Такое изучение возможно с помощью системы осо-
бых учебных задач, составной частью которых являются
обычные конкретно-практические задачи данного учеб-
ного предмета. Эти учебные задачи должны использоваться
на протяжении всех лет обучения и стать основой для фор-
мирования способностей и умений в решении задач. Сам
процесс формирования способностей и умений должен
приобрести целенаправленный и управляемый характер.
Необходимо четко представлять, какой компонент общих
способностей к решению задач, какое умение формируется
в данное время с помощью решения определенной системы
учебных и конкретно-практических задач, какую роль при
этом играет каждая из используемых задач.
Нужно изменить и сам подход к решению задач. Вместо
того чтобы бездумно решать большое количество задач, по-
200
лезнее решать в несколько раз меньшее количество задач,
но при этом само решение должно содержать глубокое
изучение этих задач, сущности их решения, выявление
общих методов и приемов, используемых в этом решении.
Задачи и механизмы их решения должны стать объектами
глубокого и постоянного изучения на протяжении всех лет
обучения. Особое внимание должно быть также уделено
формированию культуры решения задач, привитию разум-
ного подхода к поискам и конструированию методов реше-
ния, выработке дисциплинированного мышления в процессе
решения, привитию эстетического взгляда на -решение за-
дач, предполагающего оценку этого решения не только
с точки зрения ее безупречной логической правильности,
но и красоты и изящества.
Необходимость совершенствования методов обучения
решению задач поставлена сейчас самой жизнью, из-
менением целей и условий работы школы. Хочется наде-
яться, что данная книга поможет в этом деле.
ЛИТЕРАТУРА
Адамар Ж- Элементарная геометрия. Ч. I. М., Учпедгиз, 1957.
Айзенштат Д. И., Белоцерковская Б. Г. Решение задач по триго-
нометрии. М., Учпедгиз, 1960.
Аргунов Б. И., Балк М. Б. Геометрические построения на плоско-
сти. М., Учпедгиз, 1955.
Асимов К. У- Современные проблемы методики обучения математике
в 4—6 классах таджикских школ. Автореферат канд. дис. Душанбе,’
1966.
Балл Г. А. О психологическом содержании понятия «задача».—
«Вопросы психологии», 1970, № 6.
Бантова М. А., Бельтюкова Г. В., Полевщикова А. М. Методика
преподавания математики в начальных классах. М., «Просвещение»,
1973.
Берков В. Ф. Вопрос как форма мысли. Минск, Изд-во БГУ, 1972.
Бернштейн А4. С. Задачи на доказательство в курсе геометрии.—
«Математика в школе», 1941, № 4.
Бирюков Б. В., Геллер Е. Ф. Кибернетика в гуманитарных нау-
ках. М., «Наука», 1973.
Богоявленский Д. Н. Приемы умственной деятельности и их фор-
мирование у школьников.— «Вопросы психологии», 1969, № 2.
Банковская О. Т. Решение задач как средство развития логического
мышления учащихся. В сб.: «Решение арифметических задач в началь-
ной школе». Под ред. А. С. Пчелко. М., Учпедгиз, 1949. '
Боцманова М. Э. Психологические вопросы применения графи-!
ческих схем учащимися начальных классов в процессе решения ариф-
метических задач. В сб.: «Применение знаний в учебной практике школь-
ников (психологические исследования)». Под ред. Н. А. Менчинской.
М., Изд-во АПН РСФСР, 1961.
Брушлинский А. В. К психологии творческого поиска. В сб.:
«Человек, творчество, наука». М., «Наука», 1967.
БрушлинскийА. В. Психология мышления и педагогическая прак-
тика.— «Вопросы психологии», 1969, № 3.
Брушлинский А. В. О некоторых методах моделирования в психо-
логии. В сб.: «Методологические и теоретические проблемы психологии».
М., «Наука», 1969 а.
Ваничев А. Задача.— «Математика в школе», 1956, № 1.
Баховский Е. Б., Рывкин А. А. Задачи по элементарной мате-
матике. М., «Наука», 1969.
Волович М. Б. К вопросу об алгоритмах в обучении.— «Вопросы,
психологии», 1967, № 4.
Гальперин П. Д. К исследованию интеллектуального развития
ребенка.— «Вопросы психологии», 1969, № 1.
Гальперин П. Д. Основные результаты по проблеме «формирование
умственных действий и понятий». М., Изд-во МГУ, 1965.
Гальперин П. Д., Талызина Н. Ф. Предисловие к сб.: «Зависи-
мость обучения от типа ориентировочной деятельности». М., Изд-во
МГУ, 1968.
202
Гибш И. А. Активность учащихся как условие, необходимое для
развития их логического мышления. В сб.: «Развитие логического
мышления учащихся в процессе преподавания математики в средней
школе». М., Учпедгиз, 1958.
Гильберт Д. Основания геометрии. Пер. с нем. М., ГИТТЛ, 1948.
Глушков В. М. и др. Человек и вычислительная техника. Киев,
«Наукова думка», 1971.
Гохват Б. А. Формирование у учащихся общих методов построения
алгоритмов преобразования. Канд. дис. М., 1970.
Давыдов В. В. Анализ структуры мыслительного акта.— «Доклады
АПН РСФСР», 1960, № 2.
Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М., «Педагогика»,
1972.
Давыдов В. В. О соотношении абстрактных и конкретных знаний
в обучении.— «Вопросы психологии», 1968, № 6.
Данилова Е. Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению
геометрических задач. М., Учпедгиз, 1958.
Декарт Р. Геометрия. М., ГИТТЛ, 1938.
Декарт Р. Правила для руководства ума. М.— Л., Соцэгиз, 1936.
Декарт Р. Рассуждения о методе. М.,'Изд-во АН СССР, 1953.
Занков Л. В. Новое в обучении арифметике в I классе. М., «Про-
свещение», 1964.
Ильенков Э. В. Об идолах и идеалах. М., Политиздат, 1968.
Кавун И. И., Попова Н. С. Методика преподавания арифметики.
Изд. 3. М.— Л., Учпедгиз, 1936.
Карри X. Основания математической логики. Пер. с англ. М.,
«Мир», 1969.
Киселев А. П. Алгебра. Ч. II. Изд. 19-е. М., Учпедгиз, 1941.
Колмогоров А. И. Новые программы и некоторые основные вопросы
усовершенствования курса математики в средней школе.— «Математика
в школе», 1967, Кв 2.
Колмогоров А. Н. Новые программы, специализированные школы.
В сб.: «Математическое образование сегодня». М., «Знание», 1974 а.
Колмогоров А. И. и др. Геометрия. Учебное пособие для 7 класса
средней школы. Изд. 3-е. М., «Просвещение», 1974.
Калягин Ю. М. Функции задач в обучении математике и развитии
мышления школьников.— «Советская педагогика», 1974, № 6.
Копнин П. В. Рассудок и разум и их функции в познании.— «Воп-
росы философии», 1963, № 4.
Крик Э. Введение в инженерное дело. М., «Энергия», 1970.
Круликовский И. Н. К вопросу об исследовании задач на квадрат-
ные уравнения,—«Математика в школе», 1952, Ks 1.
Кулюткин Ю. Н. Эвристические методы в структуре решений. М.,
«Педагогика», 1970.
Ландау Э. Основы анализа. М., ИЛ, 1947.
Лимантов Ф. С. О природе вопроса. В сб.: «Вопрос. Мнение. Че-
ловек». Л., изд. ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1971.
Лурия А. Р., Цветкова Л. С. Нейропсихологический анализ реше-
ния задач. М., «Просвещение», 1966.
Людмилов Д. С. Задачи без числовых данных. М., Учпедгиз, 1961.
Ляпунов А. А. О некоторых общих вопросах кибернетики.— «Проб-
лемы кибернетики», вып. I, 1958.
Маргулис А. Д. Об исследовании задач.— «Математика в школе»,
1959, № 3.
203
Матюшкин А. М. Актуальные вопросы проблемного обучения.
В кн. - Оконь В. Основы проблемного обучения. М., «Просвещение», 1968.
Матюшкин А. М. Основные психологические модели проблемных
ситуаций. В сб.: «Основные подходы к моделированию психики и эври-
стическому программированию». М., 1968а.
Менчинская Н. А. Очерки психологии обучения арифметике.
Изд. 2-е. М., Учпедгиз, 1950.
Менчинская Н. А. Психология обучения арифметике. М., Учпед-
гиз, 1955.
Минский М. На пути к созданию искусственного разума. В сб.:
«Вычислительные машины и мышление». Пер. с англ. М., «Мир», 1967.
Михайлова К- К- Система указаний при решении задач на доказа-
тельство. В сб.: «Из опыта преподавания некоторых разделов элемен-
тарной и высшей математики». Красноярск, изд. пед. ин-та, 1961.
Нгуен Ван Тханг. Функции моделирования в процессах решения
школьных задач. Канд. дис. М., 1975.
Неванлина Р. Пространство, время и относительность. М., «Мир»,
1966.
Ньютон Исаак. Всеобщая арифметика, или Книга об арифметиче-
ских синтезе и анализе. М., Изд-во АН СССР, 1948.
Ньюэлл А., Шоу Дж., Саймон Г. Эмпирические исследования ма-
шины «логик-теоретик»; пример изучения эвристики. В сб.: «Вычис-
лительные машины и мышление». М., «Мир», 1967.
Обухова Л. Ф. Формирование системы физических понятий в при-
менении к решению задач. В сб.: «Зависимость обучения от типа ориен-
тировочной деятельности». М., Изд-во МГУ, 1968.
Овчинников Н. Ф. Категории структуры в науках о природе. В сб.:
«Структура и форма математики». М., «Наука», 1967.
Оконь В. Основы проблемного обучения. М., «Просвещение», 1968.
Осинский М. Направляющие элементы математического исследо-
вания. В сб.: «Доклады, читаемые на 2-м Всероссийском съезде препо-
давателей в Москве». М., 1915.
Островский А. И., Кордемский Б. А. 1еомстрия помогает арифме-
тике. М., Физматгиз, 1960.
Перышкин А. В., Родина 11. А. Физика. Учебное пособие для ше-
стого класса. Изд. 2-е. М., «Проснещение», 1969.
Петров Ю. А. Опыт формализации вопросительных предложений
(вопросов). В сб.: «Вопросы алгоритмизации и программирования обу-
чения». Вып. I. М., «Просвещение», 1969.
Плинер Р. И. Задачи как метод обучения в начальной школе.
Канд. дис. М., 1948.
Позойский Р. И. Сборник задач по тригонометрии. М., Учпедгиз,
1950.
Пойа Д. Как решать задачу. Изд. 2-е. М., Учпедгиз, 1961.
ПойаД. Математика и правдоподобные рассуждения. М., ИЛ,
1957.
Пойа Д. Математическое открытие. М., «Наука», 1970.
Пономарев Д. А. Психология творческого мышления. М., Изд-во
АПН РСФСР, 1960.
Рейтман У. Р. Познание и мышление. М., «Мир», 1968.
Репкин В. В. Психологическая организация учебного материала и
успешность обучения. Автореферат канд. дис. М., 1967.
Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. М.,
Изд-во АН СССР, 1958.
204
Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. Изд. 2-е. М., Уч-
педгиз, 1946.
Семенов Е. М. Арифметические упражнения как средство воспита-
ния логического мышления учащихся восьмилетней школы (решение
арифметических задач, I—IV классы). Свердловск, изд. Института усо-
вершенствования учителей, 1966.
Семенов Е. М. Развитие логического мышления учащихся в про-
цессе решения арифметических задач. Канд. дис. М., 1964.
Середа Г. К. Влияние стратегической цели в системе действия на
эффект непроизвольного запоминания их продукта. Материалы III Все-
союзного съезда Общества психологов СССР. Т. 1. М., 1968.
Славская К. А. Мысль в действии (психология мышления). М.,
Политиздат, 1968.
Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики.
Минск, «Вышэйшая школа», 1965.
Талызина Н. Ф. Теоретические проблемы программированного обу-
чения. М., Изд-во МГУ, 1969.
Туманов С. И. Поиски решения задач. М., «Просвещение», 1969.
Турецкий Е. Н. Формирование у учащихся восьмилетней школы
навыков алгебраического метода решения текстовых задач. Канд. дис.
Ташкент, 1968.
Уемов А. И. Логические основы метода моделирования. М , «Мысль»,
1971.
Фетисов А. И. Геометрия. М., Изд-во АПН РСФСР, 19(>1.
ФиличевС. В., Чекмарев Л- Ф- Руководство к решению арифметче-
ских задач. М.— Л., Учпедгиз, 1948.
Фридман Л. М. Графическое решение юкстовых задач. В сб.:
«Из опыта преподавания алгебры в средней школе». М., Учпедгиз, 1958.
Фридман Л. М. Логико-маюмашческая модель распознавания
в учебной деятельности. В сб.: «Вопросы теории и практики оптимально-
управляемого (программированного) обучения». Душанбе, Изд-во ТГУ,
1963.
Фридман Л. М. О механизмах решения арифметических задач,—
«Вопросы психологии», 1967, № 2.
Фридман Л. М. О требованиях к решению геометрических задач
на вычисление.—«Математика в школе», 1955, № 4.
Фридман Л. М., Джумаев К- К- О некоторых вопросах использо-
вания задач в обучении.— «Советская педагогика», 1974, № 6.
Фридман Л. М., Джумаев К. К. Представления учащихся о зада-
чах.— «Новые исследования в психологии и iioipacinoil физиологии»,
1972, № 1 (5).
Фридман Л. М., Левочкина Д. >/., Таравкова Л. М. Опыт формиро-
вания у учащихся общего подхода к решению ickciobwx задач. В сб.:
«Актуальные психолого-педагогические проблемы обучения и воспита-
ния». М., изд. НИИ общей и педагогической психологии АПН (.(СР,
1973.
Шавен Р. От пчелы до гориллы. М., «Мир», 1965.
Шапошников Н. А., Вальцов'Н. А. Сборник алгебраических .задач.
Ч. II. Изд. 26-е. М.— Л., Учпедгиз, 1947.
Шатуновский С. О. Геометрические задачи и их решение с помощью
циркуля и линейки. В кн.: Адлер А. Теория геометрических построе-
ний. М., Учпедгиз, 1940.
Шеварев П. А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школь-
ника. М., Изд-во АПН РСФСР, 1959.
205 4
Шехтер М. С. Психологические проблемы узнавания. М., «Про-
свещение», 1967.
Эрдниев П. М. Проверка решения как необходимый элемент обу-
чения математике.— «Математика в школе», 1953, № 4.
Эрн Ф. А. Очерки по методике арифметики. Рига, 1912.
Эсаулов А. Ф. Психология решения задач. М., «Высшая школа»,
1972.
Эшби У. Р. Что такое разумная машина. В сб.: «Кибернетика ожи-
даемая и кибернетика неожиданная». М., «Наука», 1968.
Ярмицкий А. Г. Алгоритм и графсхема как способы задания ориен-
тировочной основы действия. В метод, сборнике № 12 (19). Днепропет-
ровск, 1966.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................ 3
ГЛАВА I. СИСТЕМНО-СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ.............. 8
§ 1. Задача как объект изучения...................... —
§ 2. Генезис задач.................................. 14
§ 3. Анализ состава задачи ........................ 16
§ 4. Структура задач................................ 22
ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ВИДЫ ЗАДАЧ............... 30
§ 5. Логическая правильность постановки задачи ... —
§ 6. Степень определенности задач.................. 35
§ 7. Иерархия задач по уровню их обобщенности ... 43
§ 8. Полнота постановки задач...................... 46
ГЛАВА 111. АНАЛИЗ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ... 56
§ 9. Общая структура деятельности по решению задач —
§ 10. Микроструктура деятельности по решению задач 62
‘ §11. Алгоритмические и эвристические элементы в дея-
тельности по решению задач ...................... 68
§ 12. Ориентировочная основа действий по решению
задач ............................................ 74
§ 13. Моделирование как средство решения задач ... 87
§ 14. О культуре решения задач..................... 94
ГЛАВА IV. АНАЛИЗ ЗАДАЧ ОПОЗНАВАНИЯ..................... 103
§ 15. Определение и виды задач опознавания.......... —
§ 16. Структурные модели задач опознавания......... ПО
§ 17. Построение алюритмов распознавания ......... 118
ГЛАВА V. СЮЖЕТНЫ1. ЗАДАЧИ ............................. 134
§ 18. Сюжетные задачи как модели реальных явлений —
§ 19. Семантический анализ сюжетных задач......... 147
§ 20. Виды моделирования сюжетных задач.......... 161
§ 21. Трехчленные графы как структуры сюжетных задач 172
§ 22. Механизмы решения сюжетных задач.......... 180
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................. 196
ЛИТЕРАТУРА ............................................ 202
ЛЕВ МОИСЕЕВИЧ ФРИДМАН
Логико-психологический анализ
школьных учебных задач
Заведующая редакцией
А. В. ЧЕРЕПАНИНА
Редактор
И. П. РУМЯНЦЕВА
Художник
В. ТОГОБИЦКИЙ
Художественный редактор
И. И. СУСЛОВ
Технический редакюр
Т. Е. МОРОЗОВА
Корректор
Р. П. СЕМЧЕ НКОВА
ИБ К» 98
Сдано в набор 27.12. 1976 г. Подписано п почать 28.03. 1977
А13020. Формат 84х108х/ва- Бумага тин. № 2. Печ. л. 6,5. У
печ. л 10,92. Уч.-изд. л. 11,09. Тираж 15 000 экз. (Т. п. 197'(
№ 22). Заказ № 1 104/1491 Цена 45 коп.
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР
и Государственного комитета Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Москва, 107066, Лефортовский пер , 8
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знам
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли
Москва. М-54, Валовая, 28
Отпечатано в типографии НИИМАШ, г. Щербинка