В. Ф. КАГАН
ОЧЕРКИ
ПО
ГЕОМЕТРИИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1963

Книгу подготовили к изданию И. Н. Бронштейн,
В. А. Гуковская, Г. Б. Гуревич, А. М. Лопшиц,
П. К. Рашевский, Б. А. Розенфельд,
М. Г. Шестопал, И. М. Яглом, С. А. Яновская,
под общей редакцией П. К. Рашевского
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета

ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге собраны общедоступные работы, статьи и
речи известного советского геометра, заслуженного деятеля
науки профессора Московского университета Вениамина
Федоровича Кагана. Написанные или произнесенные в
различные годы на протяжении полувека и преследовавшие
различные цели, эти работы проникнуты стремлением сделать
глубокие геометрические идеи ясными широким кругам
читателей, учащихся, слушателей.
В истории мировой науки встречаются имена ученых,
которые счастливо сочетали в себе качества глубоких
исследователей и замечательных мастеров слова, вовлекавших
своими книгами молодежь в избранную ими область знания.
В нашей стране геология, минералогия, востоковедение
имели своими пропагандистами академиков В. А. Обручева,
А. Е. Ферсмана, И. Ю. Крачковского. Таким же
пропагандистом геометрии был Вениамин Федорович Каган.
Выпуская в свет его избранные «Очерки по геометрии»,
ученики и друзья Вениамина Федоровича надеются, что эта
книга привлечет молодого читателя и, может быть, направит
его интересы в область математики, в область геометрии.

ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
(1869—1953)
Деятельность Вениамина Федоровича Кагана, одного из
основателей советской геометрической школы, педагога и
общественного деятеля, прожившего большую жизнь в эпоху,
насыщенную великими историческими событиями, хорошо
знакома старшему поколению советских математиков и в
особенности его ученикам и товарищам по Московскому
университету. Следующие ниже строки оживят, быть может, в
памяти знавших Вениамина Федоровича его обаятельные черты и
помогут молодому поколению, для которого предназначено
настоящее издание его избранных геометрических работ,
оценить их содержание и цели.
Вениамин Федорович Karafo родился 10 марта 1869 г. в
маленьком городке Шавли бывшей Ковенской губернии (те-
перешний^ Шауляй, в Литовской ССР). Его отец был мелкий
служащий, ^которому с трудом удавалось кормить семью.
С особенной нежностью вспоминал Вениамин Федорович свою
мать; ее влияние на сына было благотворно — ей он был
обязан тем, что, несмотря на материальные затруднения семьи,
он с десятилетнего возраста начал посещать гимназию в Ека-
теринославе (теперешнем Днепропетровске); она же,
внушила ему любовь к литературе, воспитывая его вкус на своей
привязанности к русским и немецким классикам. Эту любовь
Вениамин Федорович пронес через всю жизнь — те, кому
посчастливилось еще на школьной скамье быть учениками
Вениамина Федоровича, хорошо помнят его привычку,
поначалу казавшуюся странной, а потом сделавшуюся необыкно-

6
ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
венно привлекательной — цитировать, поясняя свои мысли,
Пушкина, Шиллера, Гёте.
Окончив в 1887 г. гимназию, Вениамин Федорович был
принят в число студентов физико-математического
факультета Новороссийского университета (в Одессе); однако уже в
1889 г. он был исключен из университета. Поводом к
исключению послужило его участие в «студенческих беспорядках»—
в попытке студентов почтить память Н. Г. Чернышевского,
умершего в этом году. Эта попытка была подавлена
царским правительством. Распоряжением министра народного
просвещения Вениамин Федорович был лишен права
поступления в другое учебное заведение, а по распоряжению
министерства внутренних дел был выслан в Екатеринослав «под
надзор полиции».
Сохранилось письмо (от 19 января 1890 г.), полученное
Вениамином Федоровичем от неизвестного нам
«доброжелателя» 1:
«...Во время пребывания моего в Петербурге я был
у министра и говорил о Ваших способностях и Ваших
занятиях. Он сообщил мне, что хотя еврею трудно
устроиться в другой университет, но, тем не
менее, предложил мне написать особую записку.
Возможно, что Вас примут обратно, но при условии — дать
обещание посвятить себя исключительно научным
занятиям и не нарушать правил университета.
Обдумайте всё, но хорошо; тут колебаний быть не
может; нужна твердая решимость. Если решитесь, то
приготовьте прошение на имя министра, в котором
скажите, что Вы просите о принятии Вас в университет и
обещаете подчиняться всем университетским
правилам... Конечно, если Вы дадите обещание, то, понятно,
обещание должно быть выполнено. Это необходимо и
для меня, и для Вас, и для Ваших товарищей-евреев...»
Вениамин Федорович не принял совета, «необходимого»
ему и его товарищам,— свою последующую жизнь он не
посвятил «исключительно научным занятиям» и в любой
жизненной ситуации оставался верен своему общественному
долгу.
1 Его подписи не удалось разобрать; вероятно, это был один из
университетских преподавателей В. Ф. Кагана.

ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
7
Годы ссылки в Екатеринослав были для Вениамина
Федоровича годами материальных лишений, но и в этих трудных
условиях он не оставил своего призвания — лишенный
математического руководства и окружения, он самостоятельно
изучает предметы университетского курса и в 1892 г.
успешно сдает экстерном государственный экзамен при Киевском
университете.
В эти же годы складываются и научные интересы
Вениамина Федоровича. Они зародились рано: еще будучи
гимназистом, он начал сотрудничать в журнале «Вестник опытной
физики и элементарной математики» (сначала называвшемся
«Журналом элементарной математики») —этим было
положено начало глубокой связи Вениамина Федоровича с
журналом, в котором он опубликовал многочисленные статьи и
редактором которого впоследствии сделался. В 1887 г. на
страницах «Вестника» была напечатана первая научная
работа Вениамина Федоровича «Об обратных фигурах». Но
только в студенческие * годы он вошел в круг тех научных
интересов, которым были отданы его юношеская страсть
и зрелые годы. Это были вопросы, связанные с геометрией
Лобачевского и с проблемами обоснования геометрии.
Уже на втором курсе университета Вениамин Федорович
заинтересовывается мало тогда известной и даже еще
недостаточно признанной геометрией Лобачевского. Начиная путь
исследований, Вениамин Федорович уже тогда черпал
сведения не из сводной литературы вопроса, в то время еще
незначительной, а из первоисточника — из подлинных
сочинений великого русского геометра.
Закончив университетское образование, Вениамин
Федорович отдался своим научным интересам — они приобрели к
этому времени полную определенность. Изучив наследие
Лобачевского, он поставил себе задачу усовершенствовать
первоначальное изложение вопроса и расширить его в
некоторых направлениях. Полученные результаты Вениамин
Федорович начал с 1893 г. печатать в «Вестнике», а также
опубликовал в 1895 г. в «Известиях Казанского
физико-математического общества» и в «Nouvelles Annales des Mathema-
tiques» свои исследования по геометрии на поверхности
постоянной отрицательной кривизны — поверхности, несущей на
себе геометрию Лобачевского.
В 1895 г. Вениамин Федорович приезжает в Петербург —
тогдашний центр математической жизни России — и присту-

8
ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
пает к сдаче магистерских экзаменов. Вступив в общение с
петербургскими математиками (А. А. Марковым, А. И. Кор-
киным и др.) и направляемый ими во всем, что касалось его
общей математической подготовки, он не встретил, однако,
с их стороны поддержки своим научным интересам.
Недооценка основополагающих и революционных взглядов
Лобачевского, идущая со времени Остроградского, еще не была
преодолена.
Мощная петербургская математическая школа оказала
большое влияние на Вениамина Федоровича: он приобрел
глубокие познания в области анализа и на всю жизнь
сохранил любовь к алгорифмической математике. Однако в
области своих геометрических изысканий и в особенности в
возникавшей у него уже тогда потребности глубоко проникнуть
в логические основы геометрии он оставался в тот период
одиноким; друзей и единомышленников в этом направлении
ему удалось встретить только позднее, в Одессе.
Успехи молодого научного работника побудили
акад. А. А. Маркова и проф. К. А. Поссе привлечь Вениамина
Федоровича, сейчас же после сдачи магистерских экзаменов,
к работе в Петербургском университете в качестве приват-
доцента. Однако личное ходатайство этих виднейших
математиков министр просвещения отклонил по причине
еврейского происхождения В. Ф. Кагана; только в 1897 г.
министерство разрешило предоставить ему доцентуру в
Новороссийском университете.
Научная среда, которую нашел Вениамин Федорович в
Одессе, оказалась весьма благоприятной для его научных
устремлений. Вопросы обоснования математических наук,
тогда только начинавшие занимать русских математиков,
были предметом специальных интересов группы одесских
математиков, во главе которых стоял проф. И. В. Слешинский.
Позже (в 1903 г.) к этой группе ученых примкнул С. О. Ша-
туновский, яркое критическое дарование которого нашло
широкое применение в сфере логического анализа основ
математики и, в частности, геометрии,— к этому времени эти
вопросы уже стали центральными и в научной деятельности
В. Ф. Кагана. В этот период закладываются основы глубокой
дружбы двух ученых, разных по возрасту и темпераменту, но
связанных единством научного мировоззрения,— дружбы,
которая благотворно повлияла на формирование каждого из
них и прошла через всю их жизнь.

ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
9
В этой удачно сложившейся научной обстановке
Вениамин Федорович заканчивает начатый им еще в юности цикл
работ по разработке геометрического наследия Лобачевского
и выпускает в 1900 г. свою первую книгу «Очерк
геометрической системы Лобачевского». Ее общее направление, ее план
и многочисленные детали создали ту традицию любовного,
глубокого и тщательного изложения наследия Лобачевского,
которая сделалась с этих пор характерной для русской
математической литературы и нашла особенно полное отражение
в советской математической литературе наших дней.
После выхода «Очерков» Вениамин Федорович
обращается к разрешению трудной задачи логического обоснования-
геометрии. В прежних своих работах он руководился
непосредственным чувством геометра, захваченного новизной к
своеобразием самого содержания неевклидовой геометрии, и:
выработал в себе «интуицию», которая позволяет ему
исследовать геометрические факты в пространстве Лобачевского
с таким же логическим бесстрашием, которое свойственно
геометру, работающему в области евклидовой геометрии. Теперь
его вдохновляет задача построить логически безупречную
геометрическую систему и притом так, «чтобы выполнить весь
этот труд до конца, чтобы действительно доказать каждое
высказанное утверждение» 1.
Оценивая работы, выполненные в этом направлении
предшественниками В. Ф. Кагана, мы действительно видим, что
каждая из них представляет скорее только план
исследования. Даже завершающая работа этого периода, книга
Гильберта «Основания геометрии» (первое издание которой вышло
в 1899 г.), не безупречна в этом отношении; в последующих,
изданиях своей книги Гильберт неоднократно
совершенствовал план, но всё же не завершил его выполнения.
Опубликованная В. Ф. Каганом в 1902 г. «Система
посылок, определяющая евклидову геометрию» существенно
отличается от ранее предлагавшихся систем. В основу построения
кладется «неопределимое» понятие «точки», с его помощью
определяются другие геометрические образы,
рассматриваемые как совокупности точек, вводится понятие «расстояние»
между двумя точками как число, остающееся инвариантным
при движении в пространстве. Это метрическое построение
дает возможность получить полный перечень определений я
1 Из предисловия «В. Ф. Кагана к первому тому «Оснований
геометрии» (1905 г.), см. стр. 523 этой книги.

10
ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
постулатов, достаточных для строго логического, не
использующего геометрическую интуицию, построения евклидовой
геометрии.
Детальному проведению намеченного в предварительных
статьях плана посвящен первый том (вышедший в 1905 г.)
обширной двухтомной диссертации В. Ф. Кагана «Основания
геометрии» *. Около 800 страниц текста понадобилось на-
лисать, чтобы «действительно доказать каждое высказанное
утверждение», чтобы «дать не план работы, а самую работу».
Это было сделано впервые в мировой литературе. Вениамин
Федорович не ограничился только тщательным анализом
выбранной им системы аксиом (логическую независимость
каждой аксиомы от других и их взаимную совместность автор
доказывает путем использования «аналитических
пространств»), но и рассмотрел разнообразные проблемы,
возникающие при строго логическом построении евклидовой
геометрии, например теорию измерения углов, вопрос о
разложении многоугольника (многогранника) на составляющие
треугольники (тетраэдры) и многое другое.
В 1907 г. вышел второй том «Оснований», посвященный
«историческому очерку развития учения об основаниях
геометрии». Глубина и вместе с тем ясность изложения
разнообразных геометрических проблем, яркое описание истории
•открытия неевклидовой геометрии, подробное изложение
трудов по основаниям геометрии, принадлежавших
предшественникам Вениамина Федоровича, создали этой книге в нашей
■стране успех. Она скоро сделалась источником, из которого
черпали знания и те, кто приступал к изучению геометрии
Лобачевского, и в особенности те, кто взял на себя
пропаганду идей Лобачевского. Она послужила также первым
учебным пособием по таким вопросам, как риманова геометрия
многомерных пространств и теория непрерывных групп.
Судьба первого тома «Оснований» не столь счастлива.
В течение первых трех десятилетий нашего века интересы
большинства математиков, работавших в области оснований
теометрии, сосредоточивались на развитии аксиоматики,
•предложенной Гильбертом. Но в тридцатых годах вновь
возникает, в связи с развитием общей теории метрических
пространств, тенденция к построению евклидовой геометрии на
1 Последняя, резюмирующая глава этого тома помещена в настоящей
книге.

ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН Ц
базе понятия «расстояние». И только с этого времени система
•аксиом В. Ф. Кагана, одна из первых, построенных в таком
направлении, стала предметом внимания геометров.
Из работ Вениамина Федоровича, тесно примыкающих к
его исследованиям по основаниям геометрии, особенно
выделяется остроумное и более простое, чем у Дена, решение
проблемы, предложенной Гильбертом. Этому посвящена
статья «О преобразовании многогранников»1; Вениамин
Федорович дает в ней доказательство существования
равновеликих, но не равносоставленных многогранников и условия
разложимости двух равновеликих многогранников на
соответственно равновеликие части.
Оба тома своих «Оснований» автор предложил физико-
математическому факультету Новороссийского университета
в качестве магистерской диссертации. Произнесенная на
защите диссертации речь была напечатана на страницах
«Вестника опытной физики и элементарной математики» и в 1908 г.
вышла отдельным изданием 2.
Это было первое в нашей стране популярное изложение
вопросов обоснования геометрии. Оно оказало
исключительное влияние на приобщение русских математиков к новой
тогда области геометрии. Многие советские геометры
старшего поколения говорят, что эта вдохновенная речь
взволновала их математическое воображение и привлекла их к
работе в области геометрии.
Защита в 1907 г. знаменует завершение важного периода
деятельности Вениамина Федоровича. В эту пору
проявляются основные черты его научного мировоззрения. И даже з
тех его последующих работах, которые лежат в других
областях исследования, явственно проступают сохранившийся
на всю жизнь интерес к геометрии пространств постоянной
кривизны и тенденция к строгому логическому обоснованию
геометрии.
После защиты диссертации именно эта тенденция играла
доминирующую роль в научной деятельности Вениамина
Федоровича. Уже с 1905 г. его внимание было направлено на тот
переворот в наших взглядах на пространство и время,
который шел от физиков и был геометрически формулирован
математиками. Кажущаяся парадоксальность идей специаль-
1 Эта статья вошла в состав настоящей книги.
2 «Задача обоснования геометрии в современной постановке». Этой
речью начинается настоящая книга.

12
ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
ной теории относительности толкала Вениамина Федоровича
на необходимость продумать логические основы новой
концепции. Дополнительный интерес этой проблемы обоснования,,
близкий по своему общему направлению к его работам по
основаниям геометрии, заключался также и в том, что лорен-
цова группа близка к группе движений в пространстве
Лобачевского. Общий план работы и основные результаты были-
намечены уже довольно скоро, но интенсивная
педагогическая деятельность Вениамина Федоровича с 1907 по 1913 г.
и разразившаяся в 1914 г. война помешали ему завершить
начатую работу. Только после Октябрьской революции
Вениамин Федорович снова вернулся к этим вопросам и завершил
свои изыскания книгой «Геометрические основания
исчисления времени», которая была напечатана в 1920 г. в Одессе.
Книга эта, однако, не вышла в свет, потому что весь ее тираж
был по недосмотру работников типографии уничтожен
в 1922 г., когда Вениамин Федорович был уже в Москве. Он
не возвратился, однако, к теме своей утраченной работы* —
в это время его уже занимали геометрические проблемы,
связанные с построением общего принципа относительности.
Вопросами, в которых развитие аппарата тензорного
исчисления шло параллельно с далеко идущими исследованиями
в области римановой геометрии многомерных пространств,
Вениамин Федорович начал заниматься уже с того времени,
когда первые сведения о совершённом Эйнштейном
перевороте в теории тяготения дошли до России. Это были
героические первые годы революции. Трудные условия, в которых
тогда жила страна, не помешали Вениамину Федоровичу
включиться в мощный поток нового направления в
римановой геометрии.
Его оригинальные исследования в этой области
представляют в некотором смысле продолжение работ по геометрии
Лобачевского. Вениамин Федорович ставит задачу
нахождения метрики «субпроективных пространств» — так он назвал
пространства, которые могут быть отображены на плоское
проективное пространство так, что геодезические линии
переходят в кривые, расположенные в двумерных плоскостях,
принадлежащих некоторой связке. Эти пространства, получив-
1 Только одна ее алгебраическая деталь была им опубликована в-
1926—1927 гг. в работе «О некоторых системах чисел, к которым
приводят лоренцовы преобразования». Эта работа была продолжена его уче~
никами.

ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН 13
шие впоследствии в литературе название «пространств
Кагана», являются прямым обобщением пространств постоянной
кривизны.
Глубокие основания для выделения субпроективных
пространств из общего числа римановых пространств выяснились
дополнительно ^последствии; было показано, что после
пространств постоянной кривизны субпроективные пространства
являются наиболее простыми (в смысле возможности
скользить в самих себе).
Работы Вениамина Федоровича по субпроективным
пространствам были продолжены его учениками; дальнейшие
исследования по теории этих пространств принадлежат не
только советским, но и многим видным зарубежным геометрам
(Схоутен, Стройк, Врэнчану и др.)1-
В 1937 г. Вениамин Федорович открыл новую область
исследований по расширению понятия двойственности. В своей
работе «О метрической двойственности» он также
вдохновляется геометрическими фактами геометрии постоянной
кривизны, а именно хорошо известным явлением двойственности,
имеющим место на эллиптической плоскости и, с некоторым
искажением, на плоскости Лобачевского. Плодотворность
этих обобщений была вскоре подтверждена в работе
П. К. Рашевского «О полиметрической геометрии»,
представляющей собой развитие геометрических идей; поднятых в
работе Вениамина Федоровича2.
Научная деятельность Вениамина Федоровича всегда
была тесно связана с его педагогической работой. Особую
любовь и неустанное внимание он отдавал своему
университетскому преподаванию. Оно носило глубоко своеобразный
характер, хорошо знакомый советской математической
общественности, насчитывающей в своей среде многих его
учеников, многочисленных его слушателей и громадное число
читателей его книг. Уже с 1897 г., с самого начала преподаватель-
1 Полная картина этих исследований дана в статье Г. И. Кручковича,
помещенной в книге В. Ф. Кагана «Субпроективные пространства»,
изданной уже после смерти Вениамина Федоровича и содержащей его
работы по субпроективным пространствам и метрической двойственности.
2 Последующее развитие этого направления освещено в статье
П. К. Рашевского, помещенной в той же книге «Субпроективные
пространства».

14
ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
ской деятельности Вениамина Федоровича, установились
основные черты его лекций: негромкая, внутренне
взволнованная речь; она перемежается паузами, в течение которых
лектор, кажется, не столько обдумывает следующую фразу,,
сколько мысленно возвращается к общему плану своего
изложения, снова и снова проверяя его значимость для аудитории,
стремление сделать выпуклым самый замысел теории (слова
«замысел» — любимое слово Вениамина Федоровича, которым
он часто пользовался и в устной речи, и в своих печатных
работах), и наряду с этим любовное изложение тщательно,
подготовленной сложной выкладки, приводящей к
архитектурно стройной формуле — глубокому следствию исходных
посылок.
Эти же черты страстного и вдумчивого педагога
проявились у Вениамина Федоровича в средней школе в
дореволюционный период. В течение полутора десятков лет, с 1903 па
1917 г., одновременно с научной и университетской
деятельностью он вел изо дня в день напряженную и требовавшую
затрат душевных усилий работу инспектора «частной
гимназии»; в ней учились еврейские дети, которые не могли
получить образование в государственной («казенной») гимназии
вследствие существовавшей тогда «процентной нормы».
К преподаванию в этой школе Вениамин Федорович привлек
многих своих коллег по университету и вместе с ними создал
высокий стиль обучения и воспитания, который способствовал
широкому развитию и духовных, и умственных запросов,
школьников.
Но полный размах педагогическая деятельность
Вениамина Федоровича получила только после Октябрьской
революции, в первые годы становления Советского государства.
Содержание многих университетских курсов, прочитанных им,
являлось часто пропагандой новых научных взглядов, еще
не нашедших с^бе должного места в установившейся системе
преподавания. Таким был его курс «Теория
относительности»— первый в истории русских университетов, который он
прочел еще в 1921 —1922 гг. в Одессе. Среди его слушателей
были хорошо знакомые советской науке ученые — будущие
академики Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси, И. Е. Тамм,
А. Н. Фрумкин. Естественным продолжением этого курса был
прочитанный уже в Москве в 1922—1923 гг. курс тензорного
исчисления и римановой геометрии; из слушателей этого
курса вышли последователи Вениамина Федоровича в области

ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
15
теории многомерных пространств, первые ученики тогда
созданной им научной школы. Этот же курс усердно посещали
многие молодые физики, и среди них М. А. Леонтович и
А. А. Андронов; последний вел тщательную запись этого
курса, которой он дал название «Каганиада».
Талантливым, увлекательным лекционным изложением
новых идей Вениамин Федорович добивался того, что они
занимали присущее им место в учебных планах. Учебная
литература этих предметов, созданная впоследствии учениками
Вениамина Федоровича, носит на себе глубокие следы влияния
его лекционных курсов. Это относится и к преподаванию
геометрии Лобачевского и оснований геометрии, и к
преподаванию тензорного исчисления и римановой геометрии, и к
тензорному построению курса дифференциальной геометрии. Все
эти курсы Вениамин Федорович читал у нас впервые — теперь
они читаются в многочисленных университетах нашей страны.
С особенной настойчивостью стремился Вениамин
Федорович ввести в преподавание основы векторного исчисления.
Как это ни покажется странным современному читателю,
векторное исчисление в то время — двадцатые, годы — не
включалось в учебные планы и программы университетов и
высших технических учебных заведений. Более того, оно
встречало сильное противодействие со стороны многих, в том
числе и видных математиков. Вениамин Федорович не только»
прочел на физико-математическом факультете Московского-
университета первый обязательный курс векторного
исчисления, но и оказал активную поддержку тем немногим
работникам высшей школы, которые тогда вели борьбу за
включение основ векторной алгебры и векторного анализа в
математическое образование. По инициативе Вениамина Федоровича
в 1925 г. был издан первый советский учебник векторного-
исчисления проф. Я. Н. Шпильрейна. Первое краткое
изложение основ векторного исчисления в советской учебной
литературе дал сам Вениамин Федорович — это были
специальные главы по векторной алгебре и векторному анализу^
написанные в виде дополнительных глав к его переводу
английских учебников Г. Филипса «Дифференциальное
исчисление» (1926 г.) и «Интегральное исчисление» (1927 т.).
С 1923 г. Вениамин Федорович избирается профессором
физико-математического факультета Московского
университета, а начиная с 1934 г. и почти до своей кончины он
руководит кафедрой дифференциальной геометрии МГУ. Здесь в

!6 ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
полной мере проявились его удивительные качества педагога
и организатора. Его курс оснований геометрии, посвященный
в основном геометрии Лобачевского, с первых лет работы
Вениамина Федоровича в Москве приобрел широкую
популярность среди студентов физико-математического факультета.
Глубокий знаток предмета и его истории, Вениамин
Федорович умел дать прозрачную, можно сказать, художественную
картину неевклидовой геометрии, и в то же время
увлекательную историческую перспективу ее возникновения.
Вениамин Федорович стоял на той точке зрения, что
образовательное значение неевклидовой геометрии далеко не
ограничивается тем, что можно убедиться в непротиворечивости
^е аксиоматики. Суть дела в том, чтобы научиться, так
сказать, двигаться и дышать в этом необычайном пространстве,
освоиться с этим новым миром. И, развертывая одну за
другой картины этого м'ира, он с неотразимой силой увлекал за
собой аудиторию.
В то же время Вениамин Федорович вел широкую
пропаганду нового тогда тензорного направления в области
дифференциальной геометрии. Можно сказать, что это направление
в московской математической школе было первоначально
создано усилиями Вениамина Федоровича и затем развито
работами его учеников и последователей. Вениамин Федорович
читал лекции по тензорному анализу, делал доклады, а также
выступал в печати. Отметим его доклад на первом
всероссийском математическом съезде в 1927 г. «Геометрические идеи
Римана и их современное развитие», в котором дана
широкая историческая перспектива развития римановой
геометрии, насыщенная в то же время богатым фактическим
материалом К
В 1927 г. Вениамин Федорович организовал в МГУ
семинар по векторному и тензорному анализу. В первоначальный
состав семинара вошли тогда еще молодые научные
работники— Я. С. Дубнов, Г. Б. Гуревич, А. М. Лопшиц, П. К. Ра-
шевский, Г. М. Шапиро и др. В последующие годы семинаром
были выращены многие ученые: А. П. Норден, В. В. Вагнер,
Н. В. Ефимов, Я. Л. Шапиро, В. И. Костин, Б. А. Розен-
фельд, И. М. Яглом и др. В настоящее время почти все
научные работники СССР, ведущие работу в области тензорной
дифференциальной геометрии, принадлежат к школе
Доклад помещен в этой книге.

ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
17
Вх Ф. Кагана. Благодаря исключительному личному
обаянию Вениамина Федоровича, его сердечности, отзывчивости
он стал не только учителем, но и старшим другом
большинства членов его многочисленной школы.
При семинаре был организован печатный орган «Труды
семинара по векторному и тензорному анализу с их
приложениями к геометрии, механике и физике». Вскоре же после
выхода первого выпуска «Трудов» (в 1933 г.) они привлекли
внимание русских и зарубежных ученых, работавших в
области многомерной геометрии, и приобрели характер
единственного в то время специального журнала, печатавшего работы в
этой области. В IV выпуске были напечатаны в полном виде
труды Первой международной конференции по тензорной
дифференциальной геометрии и ее приложениям (Москва,
1934 г.), в которой участвовали А. Н. Колмогоров, И. А. Схоу-
тен, Э. Картан, В. Бляшке и многие другие видные советские
и зарубежные математики. Вениамин Федорович б,ыл
организатором этой конференции и ее председателем. При его жизни
вышло 9 выпусков «Трудов»; десятый выпуск, подготовленный
Вениамином Федоровичем, вышел после его смерти К
Вместе с устным преподаванием Вениамин Федорович
активно участвовал в создании научно-педагогической
литературы и написал за свою долгую педагогическую жизнь
замечательные учебные руководства. Выпущенные им еще в 1922 г.
«Основания теории определителей» до сих пор остаются
самым полным изложением этого предмета, имеющимся в
нашей литературе. Первые главы обращены к читателю, только
приступающему к изучению предмета, в последующих главах
автор излагает не только сложные и современные вопросы
теории, но и ее разнообразные приложения. В этом же стиле,
т. е. в стиле всеобъемлющего руководства,
удовлетворяющего и запросы начинающего и нужды специалиста, написано
двухтомное сочинение В. Ф. Кагана «Основы теории
поверхностей». Особенностью книги является то, что изложение
ведется в общей криволинейной системе координат; это удается
благодаря применению тензорного аппарата, основы которого
изложены в книге и который является столь же существенной
принадлежностью книги, какой является теория бинарных
квадратичных форм для классической теории поверхностей
предшествующего периода в книгах Бианки и Дарбу.
Издание «Трудов» (продолжается под редакцией П. К. Рашевского.

18 ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
В последние годы жизни Вениамин Федорович вернулся
к педагогической задаче, которая всегда привлекала его —
написать учебное руководство-монографию по «Основаниям
геометрии». Отдавая этой работе свои последние силы,
вложив в нее более чем полувековой опыт работы в любимой
области, Вениамин Федорович сумел почти в полной мере
осуществить свой давний литературный замысел — первый
том «Оснований геометрии» вышел в 1949 г.; второй том автор
не успел закончить — книга вышла уже после его смерти, ее
подготовили к печати ученики Вениамина Федоровича.
Курс «Оснований» явился последним звеном напряженной
работы, которую вел Вениамин Федорович в течение всей
жизни в области пропаганды идей Лобачевского и их
дальнейшего развития/ Не ограничиваясь этим, он уже давно
вынашивал план всеобъемлющей публикации литературного
наследства Лобачевского, и был глубоко удовлетворен, когда
это удалось осуществить совместными трудами крупнейших
советских математиков. Деятельность В. Ф. Кагана в
качестве главного редактора полного собрания сочинений
Лобачевского представляет собой одно из ярких проявлений его
организационного таланта и общественного темперамента.
В этом издании Вениамин Федорович участвовал также и как
автор — ему принадлежат вводные статьи и комментарии к
работам Лобачевского «Геометрия», «Геометрические
исследования» и «Пангеометрия».
Вениамин Федорович является также и автором обширной
биографии Лобачевского, вышедшей в 1946 г. первым
изданием, а в 1948 г. — вторым, дополненным многочисленными
новыми материалами, изученными Вениамином Федоровичем
за этот короткий период. Эта книга нашла широкую
аудиторию, которую привлекают взволнованное описание
жизненного пути Лобачевского на фоне правдиво и художественно
написанной картины эпохи, отчетливое и по возможности
доступное изложение геометрии Лобачевского, история ее
возникновения и ее влияние на развитие геометрической мысли
в XIX и XX столетиях. Более ранний и краткий превосходный
очерк жизни и деятельности Лобачевского, написанный
Вениамином Федоровичем в 1943 г., выдержал ряд изданий1.
Этот очерк включен в настоящую книгу.

ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
19
Деятельность педагога и ученого неразрывно связана с
его общественной жизнью, и неудивительно поэтому, что
облик Вениамина Федоровича как общественного деятеля уже
во многом определился тем, что сказано было о нем выше.
Остановимся всё же на некоторых сторонах
общественно-организаторской деятельности В. Ф. Кагана, в которых ярко
проявились его общественный темперамент и стремление
принимать активное участие в жизни страны.
Еще в 1906 г., т. е. в период, когда подготовка к печати
магистерской диссертации Вениамина Федоровича отнимала
у него много внимания, он принял деятельное участие в
организации высшего женского образования в России. Небольшой
группе одесских ученых удалось преодолеть препятствия,
которые чинило царское правительство, и организовать Высшие
женские курсы. Вениамин Федорович читал на этих курсах
(в должности профессора) различные лекции и принимал
некоторое время участие в организации учебного процесса в
качестве декана физико-математического факультета. Многие
ученицы Вениамина Федоровича работают в настоящее
время в высшей школе. Их представительницей в Московском
университете является проф. С. А. Яновская.
Мы уже упоминали о деятельности Вениамина
Федоровича в средней школе — он, быть может, не пришел бы к ней,
если бы его не подготовила к этому начатая еще в 1902 г.
работа в редакции журнала «Вестник опытной физики и
элементарной математики». Это был первый в России
устойчивый научно-популярный журнал по математике и физике
(предшествующие попытки издавать такой журнал быстро
кончались неудачей). Он был основан в 1884 г. проф. В. П.
Ермаковым как «Журнал элементарной математики»,
предназначенный «для преподавателей, учеников высших классов и
вообще для всех любителей математики». Вскоре журнал
перешел под руководство физика Э. К. Шпачинского и включил
в свое содержание и название также «опытную физику»!
Вениамин Федорович вошел в состав редакции в 1902 г., через
два года стал его единственным официальным руководителем
и оставался на этом посту вплоть до закрытия журнала з
конце первой мировой войны. На протяжении более чем
тридцати лет «Вестник» был для широкого круга читателей
проводником математической культуры. Особенно многим
обязана «Вестнику» средняя школа. Преподаватели находили здесь
доступное изложение достижений современной науки, статьи

20
ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
по принципиальным вопросам преподавания, информацию
о научных и педагогических съездах, критику и
библиографию учебно-методической литературы. Наконец, не только
для преподавателей, но и для одаренных учеников в каждом
номере журнала помещались интересные, подчас большой
трудности задачи, решения которых печатались с
фамилиями решивших. Во всех сторонах деятельности журнала
Вениамин Федорович принимал участие не только как редактор, но
и как автор десятков статей и рецензий. В этих статьях он
ставил себе главным образом те же задачи,, которые
составляли основное содержание его научной деятельности того
времени: развитие и пропаганду идей Лобачевского и
уяснение логических основ математики 1.
С горечью нужно признать, что несмотря на различные
делавшиеся советской математической общественностью
попытки, мы до сих пор не имеем научно-популярного
математического журнала, который в настоящее время выполнял
важное дело, с успехом осуществлявшееся «Вестником
опытной физики и элементарной математики».
Научный, педагогический и общественный портрет
Вениамина Федоровича остался бы незавершенным, если бы мы не
коснулись еще одной области его деятельности — его
многолетней, полной трудов и упорства работы в области издания
научной и научно-популярной книги.
Без преувеличения можно сказать, что этому делу он
предавался со 'страстью и вкладывал в него весь
накопленный научный опыт и талант организатора.
Начало издательской деятельности В. Ф. Кагана
относится еще к первым годам нашего столетия. Современный
молодой читатель, привыкший к грандиозному размаху советского
научного книгоиздательства с его миллионными тиражами
учебной литературы и широким спектром разнообразных
научных изданий, не представляет себе того скромного места,
которое занимало в девятисотых годах издание научной
математической книги. Достаточно сказать, что научные работы
по математике систематически издавали (небольшими тира-
1 Эта сторона деятельности Вениамина Федоровича освещена в
написанной им редакционной статье «К 25-летию „Вестника опытной физики и
элементарной математики"». («Вестник», 1913, № 598—600, стр. 257—283).

ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
21
жами) только Академия наук и университеты.
Существовавшие в то время частные издательства крайне редко решались
выпустить в свет оригинальные работы русских математиков
и скупо знакомили общество с главнейшими работами иност*
ранных авторов.
Тем более удивительным является возникновение в
Одессе, тогдашнем провинциальном центре юга России, первого в
нашей стране специального естественнонаучного
издательства, поставившего себе задачей систематическое печатание
работ русских математиков, физиков, астрономов и биологов,
а также перевод на русский язык лучшей иностранной
литературы из этих областей наук.
Небольшая группа ученых, работавших в Новороссийском
университете, объединившаяся вокруг Вениамина
Федоровича, решилась организовать научно-издательское объединение,
избрав для него звучное и ставшее в ближайшие же годы
популярным в научных кругах название «Mathesis»
(по-гречески «Матезис» — наука, знание). Вениамин Федорович,
выбранный тогда же председателем научной комиссии
издательства, с увлечением взялся за работу, принесшую с
течением времени плодотворнейшие результаты и успешно
продолжавшуюся в течение почти трех десятилетий. Поколение
математиков, получавших образование в период,
непосредственно предшествовавший Октябрьской революции, хорошо
знает о влиянии, которое на него оказали издания «Матези-
са», например трехтомная «Энциклопедия элементарной
математики» Вебера и Вельштейна, изданная в переводе и с
важными дополнениями Вениамина Федоровича (эта книга
переиздавалась в советское время). Не меньшую роль
сыграла двухтомная книга Чезаро «Учебник алгебраического
анализа». Особую роль сыграла книга Г. Ковалевского
«Введение в анализ» в переводе и с примечаниями С О. Шатунов-
ского, с началами анализа бесконечно малых «в той
формальной постановке, какая дана этой науке упомянутыми
учеными» (Вейерштрасса, Дедекинда, Кантора)1.
Здесь нет возможности обрисовать в полной мере ту роль,
которую сыграло издательство «Матезис» в русской науке
дореволюционного времени 2. Русское общество приняло ини-
1 Из предисловия переводчика к русскому изданию книги.
2 См. Ю. Д. Каценельсон. Издательство «Матезис». (Из истории
книгоиздательского дела в России). В сб.: «Книга», т. III. M., I960,
стр. 360—376.

22 ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
циативу молодого научного объединения, и многочисленные
разнообразные по содержанию книги по математике, физике,
астрономии, истории и философии естествознания не только
зарубежных, но и русских авторов сделались неотъемлемой
частью библиотеки русского студента и ученого.
После небольшого перерыва, вызванного революционными
событиями, сразу же после упрочения в Одессе Советской
власти Вениамин Федорович, ставший с 1920 г.
руководителем научного бюро Одесского губотдела народного
образования и заведующим научным отделом Губиздата, возобновил
деятельность «Матезиса». К этому времени относится
издание книги С. О. Шатуновского «Введение в анализ», в
которой отражена многолетняя пионерская деятельность автора в
области преподавания в нашей стране начал математического
анализа на глубоко логической основе, и упомянутой выше
книги Вениамина Федоровича «Основания теории
определителей».
Дальнейшая деятельность «Матезиса» уже не могла не
объединиться с той мощной работой по культурному
строительству, которая возникла в нашей стране сразу же после
окончания гражданской войны. В 1922 г. Вениамин
Федорович получил от Отто Юльевича Шмидта, которому было
поручено в то время руководство Государственным
издательством, письмо. Приводим его здесь почти полностью.
«Глубокоуважаемый Вениамин Федорович,
нет никакого сомнения, что издательство Mathesis
дало высшие в стране достижения в области книги по
точным наукам. Продолжение этой работы есть
насущная культурная потребность.
С другой стороны, Госиздат чувствует себя
обязанным дать научную и научно-популярную литературу.
Волей-неволей мы очутимся перед необходимостью
выпустить аналогичные книги, а отчасти даже переиздать
те же. Боюсь, не вышло бы плохо: Госиздат, как
экономически подавляюще сильный, погубит возможность
возрождения Mathesis'a, не воспользовавшись его
навыками и традициями.
Поэтому предлагаю следующее. Нам с Вами
объединиться. Госиздат дал бы капитал для возрождения
Mathesis'a под Вашей дирекцией. Это было бы
автономное предприятие Госиздата РСФСР. Аналогичный

ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
23
опыт проделан с издательством «Всемирная
литература» (Горький, Тихонов) и дал прекрасные результаты.
Обе стороны весьма довольны.
Прошу обдумать этот вопрос и сообщить свое
мнение...».
Приглашение О. Ю. Шмидта было принято В. Ф. Каганом.
Он переехал в Москву и возглавил Научный отдел
Государственного издательства. Эта работа настолько его увлекла,
что в течение почти десяти лет она занимала в его жизни не
меньшее место, чем научная и университетская деятельность.
К работе Научного отдела были привлечены молодые
научные работники (многие из них теперь — ученые, хорошо
известные стране) — редакторы математического, физического,
астрономического, биологического разделов. Вместе с
Вениамином Федоровичем они сумели «создать» новых авторов,
побуждая к работе над написанием новых книг не только
основные силы тогдашней науки, но и талантливую
молодежь — ту, которая теперь составляет основу нашей советской
науки. С уверенностью можно сказать, что все лучшие
традиции нашего теперешнего научного издательства, далеко
переросшего рамки Научного отдела Госиздата и воплотившегося
в мощные специальные издательства по основным вопросам
науки, зародились в лоне Научного отдела Госиздата эпохи
двадцатых годов.
С работой В. Ф. Кагана в Госиздате связана еще одна
важная сторона его научно-литературной деятельности.
В 1924 г. Советское правительство поручает Госиздату
осуществить задачу огромного культурного и общественного
значения — создать первый советский многотомный
энциклопедический словарь — «Большую советскую энциклопедию».
Главный редактор БСЭ О. Ю. Шмидт, выдающийся ученый-
энциклопедист и государственный деятель, поручает
руководство отделом точных и естественных наук БСЭ (от матема-.
тики до медицины) В. Ф. Кагану. Вениамин Федорович как
редактор этого отдела привлекает в качестве редакторов
специальных научных дисциплин и в качестве авторов
крупнейших академиков и наряду с ними молодых ученых.
Достаточно раскрыть первые тома БСЭ (первого издания) и
посмотреть на список редакторов подотделов, Отдела точных и
естественных наук, чтобы увидеть, на какой высоте стояла наука
в первой советской энциклопедии.

24
ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН
Вениамин Федорович как редактор всего отдела
внимательно читал все без исключения статьи и заметки, делал в
них существенные исправления или указания для авторов,
вкладывая в это дело всю свою энергию. Многие важные
статьи в БСЭ по математике написаны самим Вениамином
Федоровичем («Аналитическая геометрия», «Бесконечно
большие и бесконечно малые», «Векторное исчисление»,
«Геометрия» *).
В небольшом очерке невозможно полностью отразить
многообразную деятельность Вениамина Федоровича Кагана.
Его жизнь, прошедшая в упорном научном труде, в
самоотверженной работе на благо общества, в трогательной любви
к окружающим, не прошла бесследно. Вениамин Федорович
познал величайшую радость, которую может испытать
человек: ему было дано увидеть плоды своих трудов, он получил
благодарность своих учеников и был нежно любим своими
друзьями. Он оставил после себя богатое научное и
литературное наследство, которым воспользуется молодое
поколение.
А. М. Лопшиц
1 Последняя из этих статей включена в настоящую книгу под
названием «Геометрия в ее историческом развитии».

f

I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
В СОВРЕМЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ!
Речь, произнесенная при защите диссертации2
на степень магистра чистой математики
Много лет тому назад индийский математик Ганеша
указал, что площадь круга равна площади прямоугольника,
основанием которого служит полуокружность, а высотой —
радиус этого круга. В подтверждение он приводит такой чертеж.
Круг разделен на два полукруга, каждый из которых, в свою
очередь, разделен на шесть секторов. Эти секторы с
вытянутыми основаниями размещаются в фигуру, напоминающую
1 Слово «современной» в заглавии следует понимать в историческом
аспекте: эта речь была произнесена в 1907 г. и напечатана в 1908 г.
{Библиогр. сведения см. на стр. 566, № 17).
Магистерская диссертация В. Ф. Кагана «Основания геометрии» была
напечатана в 1904 г. Первая ее часть содержит построение евклидовой
геометрии на базе предложенной автором системы аксиом. На стр. 525—
563 наст, книги в виде приложения помещена аксиоматика В. Ф.
Кагана — резюмирующая глава его диссертации с перечнем аксиом и
доказательством их независимости.
Краткое изложение аксиоматики В. Ф. Кагана (в несколько
измененном виде} имеется в его статье «Обоснование евклидовой геометрии»,
включенной в книгу «Об основаниях геометрии» — сборник классических
работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей (М., 1956, стр. 479—
484). В этой книге читатель найдет также мемуары Лобачевского, Бойаи,
Гаусса, Бельтрами, Римана, Гельмгольца, Пуанкаре, Кэли, Клейна и
изложение сочинений Ли и Гильберта, о которых упоминается в речи
В. Ф. Кагана. (Ред.).
2 В. Каган. Основания геометрии, т. I. Опыт обоснования
евклидовой геометрии, т. II. Исторический очерк развития учения об
основаниях геометрии. [Библиогр. сведения см. на стр. 566 наст, книги, № 15
и 16. (Ред.)].

28
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
две пилы. Если мы сдвинем эти две пилы, то получим
прямоугольник, о котором идет речь. Над этим чертежом, вверху,
помещено одно слово, долженствующее, очевидно, заменить
то, что мы называем доказательством,— долженствующее
удостоверить правильность высказанной истины. Это слово
гласит: «смотр и».
С каким негодованием отверг бы такую наивную
аргументацию не только современный математик, но и всякий, кто
обучался в школе геометрии!
Действительно, с первых же уроков ему твердили, что
математика вообще, а геометрия в частности и в особенности,
есть наука дедуктивная; что истины свои, именуемые
теоремами, она доказывает, т. е. путем ряда умозаключений
выводит их из небольшого числа элементарных истин,
называемых аксиомами, при пособии определений; ему твердили, что
геометрия признает только строгие доказательства, т. е.
логически безупречные, и если бы он высказал сомнение,
нужно ли, в самом деле, доказывать такую ясную истину, что
из точки, взятой на прямой, можно к ней восставить в
плоскости один и только один перпендикуляр,— то это несомненно
вызвало бы строгое осуждение со стороны учителя.
Преуспевал ли юноша в математике или нет, он оставляет
школу с одинаковым благоговением перед строгой логикой
геометрических рассуждений. И если он настолько
любознателен, что склонен заглянуть также и в книгу философского
содержания, то глубокая вера в неотразимую силу
геометрической логики, привитая учебником и учителем, укрепляется
в нем философом. Здесь математика вообще, а геометрия
опять-таки в частности и в особенности, приобретает совер*
шенно исключительный ореол и, что для нас особенно важно,
не столько по фактическому своему содержанию, сколько по
методам исследования. На геометрии выясняет, а часто и
строит свои теории логика, на ней сосредоточены
исследования и сомнения теории познания, ее авторитетом нередка
прикрывает многие бессодержательные рассуждения
метафизика, которой у нас еще гораздо больше, чем это принято
думать.
Но при всей этой вере в безупречную силу
геометрического метода, с тех пор как греческий гений оторвал
геометрию от узких задач, которые ей ставили египетские жрецы, и
сделал ее предметом свободного творчества, наиболее
глубокие мыслители всегда высказывали сомнения если не относи-

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
29
тельно фактической правильности геометрических истин, то
относительно убедительности геометрических доказательств
как строго логических выводов. «Я часто прихожу к
доказательствам,— пишет, например, Гаусс, — которые убедили бы
всякого другого; мне же они не говорят ничего».
И действительно, достаточно лишь немного отрешиться от
вкоренившейся веры в безупречную строгость геометрических
доказательств, чтобы убедиться, что эти сомнения имеют под
собой глубокие основания.
В самом деле, что такое логический вывод? Принимая
известную систему предложений А, мы часто бываем
вынуждены принять другие предложения В, которые явно,
непосредственно в системе А не содержатся. В таком случае
говорят, что предложения В представляют собой вывод из
системы А, следствие этой системы. Доказать
предложение В при помощи системы А — значит обнаружить, что,
принимая систему предложений А, мы вынуждены, в силу
законов нашего мышления, принять предложение В. Если
поэтому система Л не дана, то требование доказать
предложение В сводится к следующему: показать, что, принимая
неизвестно что, я вынужден принять предложение В. При всей
нелепости такого рода задачи трудно поверить, как часто
человеческая мысль, скажу больше, научная мысль замыкается
в этот ложный круг. Совершенно несомненно, что
современная геометрия, как система не интуитивная, а логическая,
представляет собой именно такого рода ложный круг К
Кто хочет в этом убедиться, должен только спросить
себя, — где же та система предложений Л, из которых мы
должны выводить геометрические истины? Эти предложения
с давних пор назывались аксиомами или постулатами, хотя
к ним должны быть отнесены и определения. Где же та
система аксиом, из которых выводится наша геометрия? В
наших учебниках геометрии вы их не найдете. Во всех
руководствах указывается, что такое аксиома, утверждается, что
вся геометрия развивается из небольшого числа таких
аксиом; но списка аксиом мы не находим, всегда указано только
несколько аксиом в качестве примеров. Те же учебники,
которые пытаются действительно положить в основу
геометрии определенную - систему аксиом, обнаруживают только
1 Здесь и далее автор характеризует положение геометрии на
рубеже XIX и XX столетий, когда учение об аксиоматических основаниях
геометрии только зарождалось. (Ред.).

30
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
слабое развитие автора и полное отсутствие знания
литературы. Непосвященному кажется поэтому, что причины такого*
странного положения дел коренятся в дидактических задачах
элементарного учебника; что где-то там, в научной
литературе, эти основные посылки геометрии приведены; что только
школьникам предлагается делать выводы из того, что им
неизвестно. И многие, и притом лучшие из этих юношей,
приходя сюда в университет, действительно настойчиво требуют,,
чтобы им указали сочинения, в которых они найдут эти
посылки элементарной геометрии, которые раскроют перед ними
ту безупречную логическую дисциплину, о которой они так
много слышали от учителя, учили в учебниках, читали в
философских сочинениях. И они уходят от нас глубоко
разочарованными— таких сочинений мы им предложить не можем.
Мы можем только, пожалуй, указать им небольшое число
итальянских и немецких мемуаров, относящихся к
последнему десятилетию и содержащих первые попытки разрешить эту
задачу. К этим мемуарам мне придется еще возвратиться
позже; покамест замечу только, что те, которые решаются в
них заглянуть, обыкновенно оставляют их с поникшей
головой; эти сочинения, относящиеся к основным элементам
науки; очень мало доступны.
Такого же сочинения, которое не только давало бы
полную систему геометрических аксиом, но фактически строго
формально построило бы на них систему геометрии, мы не
имеем и по сей день.
Но что же в таком случае представляют собой обычные
геометрические доказательства?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы рассмотрим здесь,
одно из таких доказательств, заимствованное из наиболее
распространенного у нас учебника геометрии.
Речь идет о теореме, о которой я уже упоминал: из точки
на прямой можно на плоскости восставить к ней один и
только один перпендикуляр. Вот как ведет доказательство этого-
предложения г. Киселев.
Пусть А В будет данная прямая, О—точка на ней (рис. 1).
Нужно доказать, что из точки О в плоскости чертежа можно
провести один и только один перпендикуляр. Предположим
для этого, что луч ОА вращается, оставаясь в плоскости
чертежа, вокруг точки О в направлении к своему
продолжению ОВ. Тогда он образует с начальным своим положением
углы АОА\ АОА\ АОА\ ..., которые сначала остаются мень-

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
3!
ше своих смежных углов, а затем, по мере того как луч ОА
приближается к лучу ОВ, становятся больше своих смежных
углов. Итак, угол АО А' сначала остается меньше своего
смежного угла, а затем становится больше его. В
промежутке, следовательно, будет момент, когда он будет равен
своему смежному углу. Луч займет тогда положение ОС,
перпендикулярное к АВ. В следующий момент угол сделается уже
больше смежного угла, а потому больше одного
перпендикуляра быть не может 1.
Обращаясь к анализу этого доказательства, заметим
прежде всего, что основным орудием доказательства здесь
служит движение. Но что
такое движение?
В ответ на этот вопрос
я отнюдь не иамерен делать
попытку вводить вас в
обширную область неясных
рассуждений, которые
предлагают физиологи,
психологи, метафизики, — область,
в которой, быть может,
только математики
завоевали скромный, но прочный уголок. На это ведь не мог
рассчитывать и автор нашего руководства. Ясно, что на
движение он смотрит как на нечто, дальнейшему пояснению не
подлежащее: процесс, усвоенный нами при помощи внешних
чувств, главным образом путем созерцания, настолько
отчетливо, что он сделался одним из основных элементов нашего
сознания. И против этого решительно нельзя спорить,
поскольку мы пользуемся этим процессом для наглядного
пояснения нашей мысли или факта. Но если мы хотим
воспользоваться движением как орудием дедукции, логического
вывода, то мы необходимо должны указать те свойства движения,
которые могут и будут служить посылками этого вывода,
которые в данном случае нужны геометру. И это не фикция; все
те свойства движения, которые нужны геометрии, были
позднее указаны Софусом Ли; но их вы еще не найдете в
руководствах по геометрии; нет их, конечно, и у нашего автора.
Движение есть для него интуитивный процесс, и, апеллируя к не-
1 В более поздних изданиях учебника А. П. Киселева «Геометрия»
это рассуждение было исключено. (Ред.).

32
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
му, он не имеет мужества сказать нам определенно:
«смотри».
Однако проследим это доказательство дальше. При
движении луча О А угол АО А' остается сначала меньше
смежного угла А'ОВ, а затем, когда движущийся луч приближается
к ОВ, он становится больше его.
Почему, спросим мы. Но ведь это ясно, как божий день;
разве в этом можно усомниться?
Конечно, глазу это совершенно ясно. Но где же тут
логика? Где же тут вывод, где геометрическая дедукция, где те
предпосланные свойства этих углов и движения, от которых
можно к этому факту прийти путем умозаключения? И эти
свойства не фикции. Если бы автор действительно хотел
оставаться на почве вывода, он должен был бы прежде всего
указать, что вложено в самые понятия больше и меньше,
т. е. какими их свойствами в применении к углам может
воспользоваться геометр. Указать такие свойства пытались еще
Больцано и Грассман; в настоящее время это выполнено Ша-
туновским и Гильбертом К Но старая геометрия, т. е., строго
говоря, геометрия прошлого десятилетия, от этого далека, и
наш автор, приводя свою тираду, молчаливо говорит нам:
«смотри».
И вследствие того, читаем мы дальше, что угол АО А' был
сначала меньше смежного угла, а затем стал больше его,
должен был быть промежуточный момент, когда угол АОАг
был равен своему смежному углу.
Но из чего, из каких предпосылок автора это следует?
В надлежащей постановке вопроса это действительно можно
вывести из принципа непрерывности, как его установил Деде-
кинд; но этого, конечно, нет и не может быть в нашем
руководстве.
Таково «строго е» доказательство одного из важнейших
предложений геометрии, такова сила «геометрической
дедукции». Это не слабое доказательство, здесь нет и следа
доказательства; здесь нет даже и попытки произвести
умозаключение, есть только одна интуиция, есть только то, что древний
писатель много веков тому назад просто выразил словом
«смотри». А если так, то не проще ли было отказаться от
1 Теория учения о величине, предложенная С. О. Шатуновским,
изложена В. Ф. Каганом в статье «Введение в учение об основаниях
геометрии» (стр. 83—126 этой книги). (Ред.).

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
33
всякого доказательства, нарисовать вот этот чертеж (рис. 2)
и написать наверху правдивое слово Ганеша?
Может показаться, что я выбрал дурное руководство или
подобрал случайно неудачное доказательство. Но это не так.
Книга, о которой идет речь, всё же представляет собой одно
из лучших сочинений этого рода. Если доказательство этого
предложения не содержит никакого вывода, то в других
доказательствах интуиция уснащает вывод, дополняет его.
Но, что же в этом собственно худого? Что худого в том, что
геометр в своем исследовании и в доказательстве
руководствуется не только синтезом, но
и интуицией, глазом? Разве С
результаты оказались от I
этого менее достоверными?
Разве геометрия при этом |
не разрослась в могучее
здание, служащее
фундаментом всех точных наук и
в то же время гордо возвьп- А 4 -^
шающее свою главу над
ними? Да, это так; но задача ис*
науки заключается не
только в том, чтобы собирать материал, факты, которые
при достаточном накоплении часто забываются раньше, чем
с ними успели познакомиться. Задача науки заключается
также в том, чтобы объединить эти факты в одну систему,
чтобы указать внутреннюю связь между ними, чтобы
установить так называемые принципы науки, т. е. те факты,
которые обусловливают собой остальные; чтобы выяснить
действительное содержание ее истин, не умаляя грубой интуицией
того, что в них содержится, и не присваивая им по традиции
того, что в них не вложено; чтобы отдать себе отчет в
каждом термине, которым мы пользуемся, а не считать ясным
всё то, что мы привычно повторяем. Задача науки
заключается, наконец, в том, чтобы выяснить источник, из которого мы
черпаем ее истины; не те, конечно, истины, которые
логически выводятся из других и, следовательно, в этих последних
имеют свой источник, а те, которые сами служат
предпосылками остальных, так называемые основные
положения науки, в геометрии — ее аксиомы и определения. Но
для того, чтобы выяснить источник основных положений
науки, их нужно знать, их нужно установить.

34
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Я не знаю, привел ли я достаточные основания
неустанных стремлений выяснить основные посылки геометрии и
действительно претворить ее в строго дедуктивную науку. Или,
быть может, я еще должен был сказать, что существуют
стремления, которые сами себе довлеют и, тая в себе несоз-
нанные, сокрытые задачи, обезоруживают противников,
a posteriori неожиданно раскрывая перед ними широкие
горизонты.
Так или иначе, но стремления обосновать геометрию не
прекращались в течение трех тысяч лет ее существования.
Сменялись народы, культивировавшие геометрию. От
египетских жрецов она перешла к греческим философам, развившим
ее в обширную науку; с развалин греческой культуры она
перешла к арабам и ими вновь перенесена в Европу — в
Италию и в Испанию; ее культивировали немецкие монахи и
французские энциклопедисты.
Менялись методы математического исследования. Тонкий
синтез греческих геометров нашел опору у арабских анали-
стов; народилась тригонометрия, выросла алгебра, сложился
анализ бесконечно малых — и все эти методы и исследования
нашли себе широкое применение в геометрии. Была
построена аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия.
И точно в противовес этим алчным стремлениям анализа
народилась новая синтетическая геометрия, игнорирующая
методы, заимствованные из алгебры и из анализа.
Наконец, коренным образом менялись философские
воззрения. На смену древним умозрениям и средневековой
метафизике пришла позитивная философия, предъявлявшая
метафизике определенные положительные требования. И при
всех этих метаморфозах, пред лицом важнейших задач,
разрешения которых настойчиво и неотложно требовали другие
науки, математики не оставляли основ геометрии и притом в
такой мере, что я затрудняюсь назвать выдающегося
геометра, который не отдал бы дани этому направлению.
Первые попытки обосновать геометрикг относятся к
глубокой древности. Гиппократ Хиосский написал уже в этом
направлении целое сочинение в V в. до н. э. Как об этом,
так и о других сочинениях в этом же направлении мы имеем
только косвенные сведения, но глубокий знаток греческой
геометрии Поль Таннери приходит к заключению, что это
были уже глубоко продуманные системы. Ни одно из этих
сочинений до нас не дошло; все они остались в тени, а затем

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
35
были вовсе забыты, когда появилось одно из замечательней-
ылх научных произведений, какое когда-либо было
написано -^ «EuxXei6ot ато1%еГа» — «Начала Евклида».
Говорить здесь об Евклиде подробно я, конечно, не могу.
Кто читал эту великую книгу, кто умел понять те 'трудности*
преодолеть которые было необходимо ее автору, тот
научился удивляться греческому мудрецу и гению народа,
представителем которого он явился 1.
Опираясь на труды своих предшественников, Евклид
создал замечательную геометрическую систему, которая
оставила далеко за собой всё, что было написано в этом
направлении раньше, и конкурировать с которой не решился ни
один из греческих геометров, живших после него. *0 <xtoi-
%eiot"J)c; — «Составитель Начал» сделалось собственным
именем, под которым все позднейшие греческие геометры
разумели Евклида, а самые «Начала» сделались учебником,,
по которому в течение двух тысячелетий учились геометрии*
юноши и взрослые; для математиков же эта книга сделалась,
библией, источником откровения.
Почти каждая из 13 книг «Начал» начинается рядом:
определений всех тех терминов, которые в них появляются;
первой же книге предпосланы постулаты (алуцкхта) и
аксиомы (xoivat evvoiai). Далее следуют одна за другой, без
всяких связующих рассуждений, теоремы с их доказательствами,
со ссылками на предыдущие предложения, постулаты и
аксиомы.
Для Евклида нет мелочей; все детали доказательств,
необходимость которых он умеет предусмотреть, даже
наиболее легкие, он излагает с тем же спокойствием, с каким era
великий соотечественник Гомер описывает каждый шаг своих
героев — людей и богов.
При всей своей замечательной последовательности
система Евклида сугубо страдает, конечно, теми недостатками,,
которых, как я старался выяснить, не мо*уг избегнуть и*
позднейшие авторы; его определения основных терминов:
расплывчаты и часто настолько бессодержательны, что он
сам не в состоянии ими воспользоваться; его постулаты и
аксиомы недостаточны для действительного синтетического
1 Последний русский перевод «Начал» Евклида издан в 1948—1950 гг..
(«Начала» Евклида, перев. с греческ. Д. Д. Мордухай-Болтовского,.
тт. I—III. M.—Л.). (Ред.).

36
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
развития геометрии; его доказательства представляют собой
систематическое сплетение интуиции с выводом.
Вскоре после Евклида почти однозремемно жили и
творили три геометра, занимающие, можно сказать, самое
выдающееся место в истории греческой математики. Это были
Архимед, Эратосфен и Аполлоний. Трудами этих гениальных
людей геометрия была доведена до глубокой степени
совершенства. «Евклид, Архимед, Эратосфен и Аполлоний,—
говорит Мориц Кантор,— довели математику до такой высоты,
дальше которой старыми средствами ее невозможно было
развивать. И не только выше нельзя было подняться, но и
достигнутые вершины науки были вскоре исследованы во всех
направлениях. Оставалось вернуться обратно, осмотреться,
разобраться в частностях того материала, мимо которых
проскользнули творцы науки, быстро взбираясь на ее
крутизны».
С этой именно эпохи начинается усиленное стремление к
обоснованию начал геометрии; оно ослабевало в периоды
падения общего интереса к науке и крепло с ее
возрождением. Оно не прекращалось даже в эпоху такой интенсивной
творческой работы в области математики, какой являются
XVIII столетие и начало XIX. Ампер, Лейбниц, Декарт, Лаг-
ранж, Лежандр, Фурье, Гаусс — все размышляли об
основаниях геометрии, стараясь, по выражению Лобачевского,
«пролить свет на те темные понятия, с которых, повторяя Евклида,
начинаем мы геометрию». «Начала» Евклида представляли
собой ту канву, по которой разматывались эти рассуждения.
Оставить его в стороне и попытаться построить
геометрическую систему независимо от Евклида не решился никто; его
можно было только дополнять и комментировать.
Я не буду останавливаться на этих комментариях,
растянувшихся на полтора тысячелетия. Они совершили
необходимую кропотливую работу отрицательного характера. Они
выяснили слабые стороны Евклида, они разрушили легенду о
логическом совершенстве его системы. Но критиковать легко,
а творить неизмеримо труднее; не только комментаторы
Евклида, но даже Лежандр, который через два тысячелетия впервые
вновь решился написать «Начала» геометрии, не был в
состоянии внести в эту систему коренных улучшений К Для
1 О «Началах геометрии» Лежандра см. в статье В. Ф. Кагана
«Учебная литература по элементарной геометрии в конце XVIII и в начале
XIX столетий», стр. 331—353 этой книги. (Ред.).

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
37
этого нужно было занять совершенно новую позицию,
которая еще не была завоевана.
Это завоевание неразрывно связано с историей пятого
постулата в «Началах» Евклида, который часто называют
короче «аксиомой о параллельных».
Содержание этого постулата заключается в следующем:
если две прямые, расположенные в одной плоскости, при
пересечении с третьей прямой образуют внутренние
односторонние углы, сумма которых не равна двум прямым, то с той
стороны третьей прямой, где эта сумма меньше двух прямых,
эти прямые пересекаются.
Этот постулат неизмеримо сложнее остальных постулатов
Евклида; он предполагает уже известные знания, он даже не
усваивается сразу. Ему, правда, можно придать более
простую форму: большинство присутствующих *, вероятна, знает
его в той форме, в какой он приведен в «Началах» Лежандра:
если из двух прямых, расположенных в одной плоскости,
одна перпендикулярна к секущей, а другая наклонна к секущей,
то они пересекаются со стороны острого угла. Но и в этой
форме это далеко не та элементарная истина, какие мы
привыкли называть аксиомами. И что, быть может, важнее
всего, надобность в этой аксиоме появляется довольно поздно:
у Евклида в 29-й теореме; фактически же ее можно было бы
отодвинуть еще гораздо дальше, в том смысле, что в
«Началах» кроме первых 28 теорем есть еще очень много
предложений, которые могут быть доказаны без помощи пятого
постулата. Геометрический материал, таким образом,
разбивается на две части. Значительная часть этого материала
совершенно не зависит от постулата о параллельных, т. е.
может быть развита без этого постулата; затем появляется этот
тяжеловесный постулат, за которым следует вторая часть, ни
одна теорема которой не может быть доказана без этого
постулата. Сюда относятся, например, теорема о том, что
сумма углов в треугольнике равна 2d, теория пропорциональных
линий, теория площадей и объемов.
Эта своеобразная роль, которую играет пятый постулат
Евклидз, и была причиной того, что явилось стремление
доказать этот постулат, т. е. вывести его логически из. остальных
постулатов. Трудно себе представить, сколько на это была
1 Напоминаем читателю, что это — речь, произнесенная при защите
диссертации. (Ред.).

38
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
затрачено сил. Правда, доказательством евклидова
постулата занимались и по сей день занимаются многие, не только не
имеющие следа геометрического дарования, но и не имеющие
даже серьезных знаний. Но в то же время от Птолемея до
Лежандра вряд ли можно назвать выдающегося геометра,
который не испытал бы своих сил на этой неблагодарной
задаче, который не попытался бы завоевать эту неприступную
крепость. Чтобы вы себе составили представление о том, б
какой мере эта задача овладевала иногда геометром,
позвольте привести вам письмо старика Ббйаи, друга Гаусса,
известного венгерского профессора, по сочинениям которого
свыше полустолетия обучалась вся Венгрия. Это письмо
Фаркаш Бойаи написал своему гениальному сыну Яношу,
когда он узнал, что последний также увлекся задачей о
параллельных линиях.
«Молю тебя, не делай только и ты попыток одолеть
теорию параллельных линий; ты затратишь на это всё
свое время, а предложения этого вы не докажете все
вместе. Не пытайся одолеть теорию параллельных
линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни
каким-либо другим. Я изучил все пути до конца; я не
встретил ни одной идеи, которой бы я не
разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и
всякий светоч, всякую радость жизни я в ней
похоронил. Ради бога, молю тебя, оставь эту материю,
страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений,
потому что и она может лишить тебя всего твоего
времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни. Этот
беспросветный мрак может потопить тысячи
ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и
никогда несчастный род человеческий не будет владеть
чем-либо совершенным даже в геометрии. Это большая
и вечная рана в моей душе...»
Этого довольно, письмо еще длинно и служит
доказательством того, что и родительский совет тоже может быть
неправилен, ибо Яношу удалось рассеять этот мрак в теории
параллельных линий.
Но не в том смысле, чтобы он действительно доказал
постулат Евклида. Все предложенные доказательства были
неправильны; они явно или неявно вводили другой постулат,
равносильный доказываемому. Эти доказательства стали

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
39
предметом специальных исследований, которые обнаружили,
что ни одно из них не выдерживает серьезной критики.
«Многие идеи,— говорит Я. Бойаи,— как бы имеют свою
эпоху, во время которой они открываются одновременно в
различных местах подобно тому, как фиалки весной
произрастают всюду, где светит солнце». '
Бойаи даже не знал, в какой мере он был прав. Вопрос,
представлявший загадку в течение тысячелетий, почти
одновременно был разрешен, правда, не с одинаковой полнотой,
независимо целым рядом геометров. Эти идеи смутно
сознавали уже Саккери и Ламберт. К этим идеям пришел Гаусс,
всю жизнь размышлявший над основами геометрии под
сводами Геттингенской обсерватории; об этих идеях пишет
Гауссу некто Швейкарт, юрист из Магдебурга, состоявший с 1812
по 1817 г. профессором права в Харькове; племянник
последнего Тауринус, безвременно погибший талантливый юноша
Вахтер; к этим идеям пришел де Тилли. Наконец, полное
развитие этих идей дали Янош Бойаи и Лобачевский,
затратившие на это всю свою жизнь, не зная друг друга, не
встречая сочувствия ни с чьей стороны.
Между тем, это было одно из наиболее поразительных
завоеваний человеческой мысли.
Точка отправления у всех этих геометров одна и та же.
Они имеют в виду доказать постулат от противного. Они
исходят поэтому из предположения, что это предложение
несправедливо; иными словами, они принимают, что
перпендикуляр и наклонная к секущей могут и не
пересекаться. Цель исследования, как обыкновенно при доказательствах
от противного, заключается в том, чтобы, развивая следствия
такого допущения, прийти к абсурду, т. е. к явному
противоречию с предыдущими постулатами.
Однако, тонко разматывая выводы этого абсурдного на
первый взгляд допущения, Лобачевский и Бойаи к такому
противоречию не пришли, т. е. они пришли к разительному
противоречию с интуицией, с тем, что доступно глазу; но не
было противоречия логического, не было противоречия с
остальными постулатами Евклида. Напротив, тонкий анализ
этих гениальных людей нанизывал один вывод на другой, и
чем дальше шли эти выводы, тем глубже становилось
убеждение, что здесь противоречия вовсе нет; что возможна другая
геометрия, отличная от нашей,— геометрия, которая
принимает все остальные постулаты Евклида, а вместо пятого по-

40
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
стулата принимает противоположное допущение. Как мы уже
сказали, эта геометрия расходится с интуицией, с тем, что
мы видим: в этой геометрии два перпендикуляра к одной
прямой на плоскости не остаются на равных один от другого
расстояниях, а беспредельно расходятся; в этой геометрии
нет подобных фигур, сумма углов прямоугольного
треугольника всегда меньше 2d и меняется от одного треугольника к
другому; и при всем том она поразительно стройна, она из
себя разматывает свою своеобразную тригонометрию, а
отсюда аналитическую и дифференциальную геометрию.
Чтобы действительно уяснить себе, что такое неевклидова
геометрия, ее нужно изучить. Это поверхностное изложение
в публичной речи имеет только целью лишний раз обратить
внимание на эти в высшей степени замечательные идеи; но
для того, кто проделает эту тонкую работу мысли, кто усвоит
эту замечательную систему, для того это — целое
мировоззрение. «Из ничего,— писал Янош Бойаи отцу,— я создал
целый мир».
Нужно было много таланта, чтобы этот мир создать,
нужно было еще больше смелости, чтобы раскрыть его людям,,
чтобы выступить публично с этими идеями. Гаусс не решался
на это в течение целой жизни, и только ближайшие его
друзья были посвящены в странные идеи великого геометра
относительно основ геометрии. Он откровенно говорит в своих
письмах, что опасается крика беотийцев, что осы, вековое
гнездо которых разоряется, подымутся над его головой \
А между тем только его авторитет и мог преодолеть вековые
предрассудки. Но он этого не сделал; напротив, все мольбы
Тауринуса и Яноша Бойаи не заставили его высказать печат-
но то, что он писал об их сочинениях в письмах. Не к чести
его должно быть сказано, что несомненно по его вине эти
талантливые люди преждевременно погибли для жизни и
науки.
Первое печатное изложение новой геометрии принадлежит
Лобачевскому. 11 февраля 1826 г. он изложил свое открытие-
в заседании физико-математического факультета Казанской*
университета, а в 1829 г. опубликовал в январской книжке
«Казанского вестника» — журнала, издаваемого Казанским
университетом. Не понятый и осмеянный, он не сжег своих
1 См. сборник «Об основаниях геометрии»^ Го_0.техиздат, М., 1956,
стр. 103,'106. (Ред.) " ч

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
AY
работ, как Тауринус, не ушел от людей, как Бойаи. Он
мужественно боролся за свои идеи целую жизнь; он всесторонне
их разрабатывал и развил их неизмеримо глубже и
детальнее, чем Бойаи. Не встретив ни единого человека, которыГг
бы его&юнял, не говорю уже — оценил,— он, слепой, на краю
могилы еще раз продиктовал свое великое научное
завещание.
То была великая трагедия человеческой жизни,
бескровный подвиг ученого.
Гаусс скончался в 1855 г. В следующем году умер
Лобачевский, а в 1860 г. сошел в могилу и Я. Бойаи. Несколько
гениальных людей, стоявших впереди своего века, сошли в
могилу, а их замечательные творения были забыты.
К какому выводу, однако, приводит эта новая геометрия
по отношению к пятому постулату Евклида? Как мы сказали
выше, доказать этот постулат — значило бы обнаружить, что,
принимая остальные постулаты Евклида, мы логически
вынуждены принять и этот. Но если оказывается, что мы вовсе
не вынуждены принять также пятый постулат, что, сохраняя
остальные постулаты Евклида, мы можем построить
геометрию, заменив пятый постулат противоположным допущением,
то это означает, что пятый постулат не представляет собой'
логического следствия из остальных постулатов Евклида, что
он и не может быть доказан. Этот вывод неизбежен, если
правильна геометрия Лобачевского, если , она не приводит к
абсурду, как бы далеко мы ее ни развивали. Итак, мы стоим
перед дилеммой: либо геометрия Лобачевского в своем
развитии необходимо должна привести к абсурду, и тогда
постулат Евклида доказан; либо геометрия Лобачевского не
содержит противоречия, тогда невозможно доказать евклидова
постулата. Если бы Лобачевский доказал, что его
геометрия не может привести к абсурду, сколько бы мы ее ни
развивали, то вопрос был бы решен. «Как это ни странно, —
говорит Оствальд,— но общая черта в психологии всякого-
исследователя заключается в том, что он не доходит до конца
того пути, который он нашел и проложил». У Лобачевского-
здесь дело было не в психологии. Всю жизнь он старался
доказать, что его система не может привести к противоречию,,
но это ему не удавалось. Он был чрезвычайно близок к
этому,— если хотите, в скрытом виде это доказательство у него*
уже есть, но он не может надлежащим образом его форму-
лиооваты ему не хватает для этого еше одной идеи.

42
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
В начале шестидесятых годов Петере начал издавать
переписку между Гауссом и Шумахером. Во втором томе,
появившемся в 1860 г., помещены два письма от 1831 г., из
которых второе содержит краткое изложение взглядов Гаусса
на основы геометрии. В пятом томе, появившемся в 1863 г.,
помещено письмо, в котором Гаусс дает восторженный отзыв
о работе Лобачевского.
Эти письма обратили внимание всего математического
мира на работы Лобачевского, и его «Воображаемая
геометрия» вновь была призвана к жизни. Оставляя в стороне
скромные труды Бальцера, Баттальини и Уэля, имевшие
целью выяснить идеи Лобачевского, мы обращаемся к работе
Бельтрами, появившейся в 1868 г.
Бельтрами много занимался теорией поверхностей; целый
ряд мемуаров, опубликованных им по этому предмету,
относится к обширному циклу тех работ, которые имеют в виду
развить идеи, изложенные Гауссом в его бессмертном мемуа-
ре «Disquisitiones generates circa superficies curvas» К
Как плоскость имеет свою геометрию, которую мы
называем планиметрией, так и кривая поверхность может
иметь свою, геометрию. Наиболее известна в этом смысле
геометрия сферы, на которой окружности больших кругов
заменяют прямые линии плоской геометрии. Сферическая
геометрия изучает образы на сферической поверхности,
сферические треугольники, условия их конгруэнтности, измерение их
площадей. Эта геометрия, естественно, отличается от плоской
геометрии, так как мы имеем здесь другую поверхность,
другие образы. Замечательное свойство сферы заключается в том,
что части этой поверхности могут передвигаться по ней без
разрыва и складок; она везде имеет, как говорят геометры,
одинаковую, или постоянную, кривизну. Исследованием
такого рода поверхностей, на которых возможно такое
передвижение, много занимались еще до Бельтрами; при этом
обнаружилось, что существуют два главных типа этих поверхностей:
один—сферический, другой Бельтрами назвал
псевдосферическим. И вот совершенно неожиданно Бельтрами
обнаружил, что на этих поверхностях имеет место плоская
геометрия Лобачевского. Это значит: на каждой части такой
поверхности образы сохраняют здесь совершенно те же
соотношения, какие имеют место между соответствующими
:Обшие исследования о кривых поверхностях:

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
г43
образами в планиметрии Лобачевского. Подобно тому как
на сфере стороны сферического треугольника связаны
уравнениями сферической тригонометрии, элементы
псевдосферического треугольника связаны теми уравнениями, которые
составляют тригонометрию Лобачевского. Все странности
плоской геометрии Лобачевского находят себе здесь не
только подтверждение, но и пояснение.
Мемуар Бельтрами в короткое время получил широкое
распространение в математическом мире. Впечатление,
произведенное им, было громадно. Причина отрицательного
отношения к неевклидовой геометрии заключалась в том, что
геометры связывали с геометрическими понятиями
определенные представления, с которыми геометрия считалась
неразрывно связанной. Поэтому геометрическая система,
находившаяся в прямом противоречии с теми образами, с
которыми геометрия считалась неразрывно связанной, казалась
непонятной одним и даже нелепостью другим. С появлением
мемуара Бельтрами всё сразу изменилось. Двумерная
гиперболическая геометрия получила реальное истолкование, был
указан ряд образов, к которым она применяется. Говорить о
нелепости этой системы сделалось невозможным; напротив,
построение этой системы a priori и ее подтверждение
-a posteriori служили лучшим подтверждением формального
::арактера геометрии — точка зрения, которую до некоторой
степени признавали, можно сказать, все философы, но
которую довел до конца и имел смелость формулировать во всей
ее наготе Герман Грассман, также не доживший до признания
его идей. Но «мудрец отличен от глупца тем, что он мыслит
до конца».
Ничто так не содействовало выяснению формального
значения геометрии, как открытие неевклидовой геометрии и ее
подтверждение a posteriori. В чем же заключается эта
формальная точка зрения? Она говорит, что мы жестоко
ошибаемся, когда связываем геометрию с некоторыми
определенными образами, в которых нам рисуются точки, прямые,
углы, плоскости,—главное, когда мы думаем, что геометрия
связана с этими образами неразрывно; когда мы себе рисуем
прямую, как беспредельно тонкий бесконечный луч, или
плоскость, как бесконечно тонкую пластинку. Напротив, с
этими образами геометрия совершенно не связана. Она
исходит только из некоторых терминов, с которыми не связывает
^никаких определенных представлений, и из нескольких

44
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
основных предложений, из которых она разматывается по>
законам силлогистики, путем последовательного замещения
терминов, совершенно независимо от того содержания,
которое в эти термщы вкладывается. И если мы этих основных
терминов не умеем выделить, если мы не умеем указать этих
основных предложений, то это только потому, что мы их не
знаем, потому что процесс этот совершался ощупью,
бессознательно, что шел он фактически не по тому пути, которыйг
соответствует его действительному значению.
Ту систему образов на псевдосфере, на которой
осуществляется плоская геометрия Лобачевского, Бельтрами
называет интерпретацией этой геометрии 1. С такой точки зрения
те образы, в которых мы привыкли себе представлять
основные объекты геометрии — точки, прямые, плоскости и т. д.,—
представляют собой также только интерпретацию,
иллюстрацию обыкновенной евклидовой геометрии. Это есть одна
система образов, как теперь говорят — одно многообразие ;%
в котором наша геометрия находит осуществление. Но это н е
единственная совокупность объектов, не
единственное многообразие, к которому применяется наша
геометрия. Возможны другие системы объектов, другие
многообразия, к которым также применяется обыкновенная
евклидова геометрия.
Постараюсь выяснить это на простейшем примере
(рис. 3—7). Выберем определенный радиус, скажем в 1 фут,,
и представим себе все без исключения сферы в
пространстве, имеющие этот радиус. Они представляют собой
некоторую совокупность, комплекс, как мы уже сказали,
многообразие. Забудем теперь на короткое время, что мы прежде-
обычно разумели под терминами «точка», «прямая» и т. д.,.
и условимся под словом «точка» разуметь каждую из наших
сфер; эти сферы мы будем называть точками3. Представим1
себе далее бесконечные цилиндры того же радиуса; эти
цилиндры мы будем называть прямыми. Мы будем говорить,.
1 Интерпретация геометрии Лобачевского, связанная с построением*
«внутренней геометрии» псевдосферической поверхности, имеет один
серьезный дефект, указанный позже Гильбертом. Но в том же сочинении?
Бельтрами указал также и иную математически безупречную
интерпретацию геометрии Лобачевского. (Ред.).
2 В настоящее время вместо «многообразие» принят термин
«множество». (Ред.).
3 Для ясности мы отмечаем курсивом, когда слова «точка» и
«прямая» употребляются в новом значении.

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7

46
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
что точка лежит на прямой, когда соответствующая сфера
целиком лежит внутри соответствующего цилиндра, т. е.
вписана в этот цилиндр: цилиндр касается сферы по окружности
большого круга ввиду равенства диаметров, как это видно*
на рис. 3. Мы будем говорить, что наши прямые
пересекаются, когда они имеют (рис. 4) общую точку, т. е. когда
соответствующие цилиндры имеют общую сферу, и т. д. В таком
случае к этим образам, к этому многообразию вполне
применяется евклидова геометрия. Рис. 3 изображает, что две
наши точки вполне определяют проходящую через них
прямую линию. Рис. 5 изображает, что через одну и ту же
точку проходит множество прямых, имеющих эту общую*
точку. Рис. 6 изображает, что через точку, лежащую вне
прямой, можно к ней провести только один перпендикуляр.
Рис. 7 изображает, что через точку, лежащую вне прямой,
можно к ней провести только одну параллельную прямую-
и т. д. Это, кажется, очень ясно; к этому многообразию-
так же применяется обыкновенная евклидова геометрия,
как она применяется к тем образам, с которыми мы обычно-
соединяем понятия о точках, прямых и т. д. Это другая
интерпретация евклидовой геометрии, другое многообразие,,
к которому она применяется.
Но, может быть, это слишком ясно, может быть, я взял-
слишком тривиальное многообразие, я, так сказать, сохранил
те же точки и прямые, только сделал их толще. Позвольте-
для выяснения этой чрезвычайно важной- идеи остановиться
еще на одном примере, на одном многообразии, указанном
замечательным французским геометром Пуанкаре.
Представьте себе на плоскости всевозможные окружности
всевозможных радиусов, проходящих через одну и ту же
точку О, связку окружностей, как ее принято-
называть. Будем теперь под точками разуметь, как
обыкновенно, точки нашей плоскости, за исключением только
точки О; мы выбросим, мы опустим эту точку, мы исключим ее
из плоскости, ее нет в нашем новом многообразии. Я грубо
это выразил на этом рисунке (рис. 8), вырезав кружок вокруг
точки О. Итак, нашими новыми точками будут служить
прежние точки нашей плоскости, кроме точки О. Но под прямыми-
мы будем теперь разуметь окружности и прямые,
проходящие через выключенную точку О (рис. 8). Как это ни странно
на первый взгляд, но в этом многообразии при этом
понимании точек и прямых безусловно сохраняется евклидова гео~

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
4?
метрия; каждое предложение обыкновенной геометрии
выражает свойство, этому многообразию действительно присущее.
Нужно не много внимания, чтобы уяснить себе, что через
любые две наши точки проходит всегда одна и только одна
наша прямая, т. е. окружность нашей связки (рис. 9), что
две наши прямые могут пересекаться только в одной точке,
что из точки, взятой на прямой, к ней можно провести один
и только один перпендикуляр (рис. 10), что через точку,
взятую вне прямой, можно провести к ней только одну
параллельную прямую (рис. 11) и т. д.
Рис. 8 Рис. 9
Я несколько забегаю, быть может, вперед, но я должен
сказать, что таких многообразий, осуществляющих
обыкновенную геометрию, можно теперь указать множество. В
публичной речи, повторяю, можно разве только охватить самую
идею; но кто продумает эти многообразия глубоко, тому
становится кристаллически ясно, что связывать нашу геометрию
с какой-либо определенной системой образов нет ни
малейших оснований.
Итак, различие между представителями старого дедукти-
визма и строгого формализма заключается в том, что первые
утверждали, что наша геометрия развивается чисто
дедуктивно, и в то же время связывали ее с определенной системой
привычных пространственных образов; последние же
утверждают, что старая геометрия далека от такого совершенства,.

Ц8 I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
но что истины ее, добытые чисто эмпирически, абсолютно не
зависят от того субстрата, с которым ее обыкновенно
связывают, а потому она может и должна быть построена сама из
себя, т. е. из собственных посылок, независимо от всякого
субстрата определенной формации.
Быть может, по существу эта разница только, так сказать,
жоличественная; но при известных размерах количественная
разница сама собой
становится качественной.
Первым решительным
приверженцем строгого
формализма в
математике, как я уже сказал,
был Герман Грассман;
Рис. 10 Рис. 11
юн провел свои идеи через науку чисел и написал первую
.действительно научную арифметику. В геометрию же
твердой и смелой рукой ввели такую постановку вопроса Берн-
тард Риман и Герман ф.-Гельмгольц. Математик и физиолог,
исходя от тонких проблем теории функций — один, а другой—
от вопросов физиологической оптики, пришли к одним и тем
же взглядам на основы геометрии. Вслед за появлением
работы Бельтрами Дедекинд опубликовал посмертный ме-
муар Римана «Ober die Hypothesen, die der Geometrie zu
Grunde liegen» \ а вслед за ним и Гельмгольц напечатал свою
работу под аналогичным заглавием «Ober die Thatsachen, die
der Geometrie za Grunde liegen» 2.
1 «О гипотезах, лежащих в основании геометрии:
2 «О фактах, лежащих в основании геометрии».

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
49
Риману принадлежит и самое слово «многообразие» (Мап-
nigfaltigkeit), которое я уже неоднократно употреблял.
Впрочем, элементом многообразия, к которому
применяется геометрия, у Римана является просто некоторая
совокупность чисел. Если совокупность трех вещественных чисел
х, у, z будем называть точкой, если мы каждой паре таких
точек Х\, у\, z\ и Х2, у'2, z2 отнесем число
V(x2 - xxf + (у2 - угу + (г2 - zx)\
которое назовем расстоянием между этими точками, если
мы будем разуметь под плоскостью совокупность таких точек,
числа которых х, у, z удовлетворяют линейному уравнению
Ах + By + Cz + D = О,
а под прямой — совокупность точек, удовлетворяющих двум
таким уравнениям, то всякому, кто знаком с началами
аналитической геометрии, ясно, что в этом численном многообразии,
или, как теперь чаще говорят, «аналитическом пространстве»,
вполне осуществляется геометрия Евклида.
Но если так, если, принимая известные числовые группы
за точки, известные функции от координат за расстояния, мы
получаем многообразие, к которому применяется евклидова
геометрия, то что собственно связывает нас с этим именно
выражением расстояния? Что будет, если мы иначе
распределим расстояния? Риман, впрочем, ставит вопрос несколько
иначе. Элемент, дифференциал дуги, выражается обычно
формулой
Vdx* + dy* + dz\ (1)
а в косоугольных или криволинейных координатах —
формулой вида:
Vadx2 + bdy2 + cdz2 +fdxdy + gdydz + h dxdy9 (2)
где коэффициенты определенным образом зависят от
переменных х, у, z.
Что же будет, спрашивает Риман, если мы за
дифференциал длины примем любое такое выражение, т. е. корень
квадратный из квадратичной формы от дифференциалов
координат, коэффициенты которой суть совершенно произволь-

50
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
ные функции от координат? Риман обнаружил, что коль скоро
в этом многообразии возможно свободное движение, то
выражение это может быть всегда преобразованием координат
приведено к виду:
/де + до+де
а <3>
1 + -7- (х* + У*+г*)
4
Здесь а есть постоянная, которую Риман назвал кривизной
многообразия. Если эта постоянная равна нулю, то мы
возвращаемся к выражению (1), т. е. мы получаем евклидову
геометрию. Если а имеет отрицательное значение, то мы
получаем геометрию Лобачевского; если же а имеет
положительное значение, то мы получаем третью геометрию,
открытую Риманом. Эта геометрия еще больше отличается от
евклидовой, чем геометрия Лобачевского: все прямые имеют
в этой геометрии конечную длину, все перпендикуляры к
одной прямой пересекаются в одной точке и т. д.
Гельмгольц дополнил этот результат очень важным
указанием; его не так просто выразить в немногих словах, но,
я полагаю, я буду очень близок к истине, если формулирую
идею Гельмгольца так:
Если в пространстве возможно всякое движение,
совместимое с тем единственным требованием, что расстояния не
должны меняться при движении, то дифференциал дуги
необходимо должен выражаться формулой (3), т. е.
мы необходимо приходи** к одной из трех геометрических
систем.
Этому мемуару нельзя достаточно надивиться. Если
хотите, здесь всё неправильно. Неправильна постановка
вопроса, неправильны методы его решения. И через это сплетение
ошибок Гельмгольц благополучно приходит к результату, по
существу совершенно правильному. Софусу Ли принадлежит
заслуга правильной постановки и решения этой задачи.
Риман и Гельмгольц окончательно оторвали геометрию
от того реального субстрата, с которым ее связывали в
течение тысячелетий. Вместе с тем вопросы, связанные с
основами геометрии, принимают аналитический характер, и
излагать их содержание, не предполагая довольно глубоких
специальных знаний, трудно, в особенности имея перед собой
уже утомленных слушателей. Я хотел бы еще поэтому остано-

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
51
виться только на одном вопросе, имеющем большую
важность.
Как мы видели, многообразия, в которых оперируют
Риман и Гельмгольц, чрезвычайно далеки от системы тех
образов, которые мы связываем обычно с геометрическими
представлениями. При всем том они говорят о движении в
этом многообразии. Что же такое эти движения? Каковы те
свойства геометрического движения, которые могут быть
перенесены в любое многообразие, даже в многообразие чисел,
в аналитическое пространство?
Позвольте прежде всего обратить ваше внимание на
следующее обстоятельство. В геометрии мы постоянно
пользуемся движением, оно играет очень важную роль при
доказательствах, а между тем фактически мы его никогда не
производим. Мы не только этого не производим, мы решительно не
в состоянии произвести движений, которые нужны геометру.
В самом деле, движением мы пользуемся для производства
наложения, мы налагаем одно тело на другое. Но если мы
смотрим на тело только как на часть пространства, то взять
часть пространства с одного места и перенести его на
другое — невозможно. Перенести можно только тело,
физическое тело; но тогда как совместить такое тело с другим,
как может оно проникнуть в другое тело?
Если мы вникнем в то, чем мы интересуемся, когда
пользуемся в геометрии движением, то увидим, что нам всегда
важно только знать, с какой точкой совмещается при этом
каждая точка переносимого тела. Иными словами, каждой
точке А первого тела отвечает некоторая точка В второго
тела. Мы устанавливаем таким образом соответствие между
точками первого и второго тела; мы осуществляем это
соответствие при помощи движения, так как точка В второго
тела, соответствующая точке А первого тела, есть та, в
которую движение переносит эту точку А. Но если мы то же
соответствие между точками одного и другого тела установим
как-либо иначе, то роль механического движения будет
исчерпана; оно уже не будет нужно.
Этот процесс не представляет исключительной
принадлежности геометрии; напротив, это чрезвычайно важное,
неотъемлемое орудие нашей мысли в любой области.
«Чрезвычайно важную и характерную способность нашего ума,—
говорит Дедекинд,— представляет собой процесс,
заключающийся в том, что мы относим вещь к вещи, а с с о ц и и -

52
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
р у е м одну вещь другой, отображаем одну вещь на
другой». Этот процесс в логике и психологии издавна
называется ассоциацией] в математике его называют
отображением одного многообразия на другое. Второе многообразие
может совпадать с первым — тогда мы говорим, что
многообразие приведено в соответствие с самим собой, или
отображается на себя.
При этом те соответствия, которые устанавливаются
движениями, имеют три важные особенности.
Во-первых, если некоторое движение совмещает тело А с
телом В, то каждая точка тела А без исключения
приходит в некоторую точку другого тела В; и обратно, в к а ж д у ю
точку тела В приходит некоторая точка тела А. Иначе говоря,
движение относит каждой точке первого тела без исключения
одну и только одну точку второго тела, и обратно, оно
относит каждую точку второго тела одной и только одной точке
первого тела.
Это мы выразим словами: движения суть взаимно
однозначные отображения одного многообразия на другое.
Заметим при этом следующее. Положим, что некоторое
движение совмещает тело А с телом В. Мы всегда можем
представить себе неизменяемую среду, неразрывно связанную
с телом А и охватывающую всё пространство. Движение
совмещает каждую точку этой среды с некоторой точкой
пространства, и мы можем, таким образом, сказать, что
движение есть взаимно однозначное отображение пространства
на себя.
Во-вторых, при движении расстояния между точками не
меняются, т. е. если то.чки А и В совмещаются с точками А'
и В', то расстояние АВ равно расстоянию А'В'. Расстояние
может быть выражено числом; с точки зрения формальной
расстояние только и есть число. Это свойство движения
выражают так: при отображениях пространства на себя
задаваемых движением, каждая пара точек имеет численный
инвариант, и этой системой инвариантов, в этой системе
расстояний исчерпываются все неизменяемые при движении свойства
образов.
В-третьих, каждое тело может быть в пространстве
перенесено из одного положения в другое, т. е. в пространстве
•существует бесчисленное множество различных
преобразований. Но если есть движение, которое совмещает тело А с
телом В, а затем другое движение совмещает тело В с телом С,

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
53
то существует третье движение, которое совмещает тело А
с телом С.
Иными словами, совокупность тех преобразований,
которые составляют систему движений в пространстве, обладает
тем свойством, что каждым двум преобразованиям этой
совокупности всегда отвечает третье, заменяющее
последовательное осуществление первых двух преобразований. Это
свойство системы преобразований очень часто встречается в
математике помимо движений и характеризуется термином:
группа преобразований.
Итак, система движений в пространстве есть группа
взаимно однозначных преобразований, в которой две и только две
точки имеют инвариант и притом только один.
Это единственные общие свойства движений, которые
нужны геометру; онц нисколько не связаны с теми
реальными представлениями, какие с эмпирическим движением
соединяются.
Эта формулировка принадлежит Софусу Ли. Выяснению
этих геометрических свойств движения, трудных и неясных
работ Римана и Гельмгольца, содействовала удивительно
талантливая по своей простоте и изяществу интерпретация
геометрии, указанная Клейном. Исходя из работы Кели,
также довольно туманной по своему содержанию, и принимая
за движения совокупность проективных преобразований, не
меняющих некоторой поверхности второго порядка, Клейи
самыми элементарными средствами построил многообразие,
которое, смотря по выбору неизменяемой поверхности,
воспроизводит евклидову геометрию, геометрию Лобачевского
или геометрию Римана. Это осуществление геометрии может
быть построено как геометрически, т. е. на почве евклидовой
геометрии, так и аналитически — в числах. И возможность
построения аналитических многообразий, как теперь говорят
«аналитических пространств», осуществляющих как одну, так
и другую и третью геометрию, служит доказательством того,
что ни одна, ни другая, ни третья геометрия не содержит
логического противоречия,— доказательство, достоверное
постольку, поскольку достоверна арифметика.
Софус Ли обнаружил, что всякая группа взаимно
однозначных и непрерывных преобразований в непрерывном
пространстве трех измерений, которые имеют один и только
один инвариант — расстояние между двумя точками (при
некоторых весьма ограниченных дополнительных условиях),

54
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
необходимо приводит либо к системе движений евклидова
пространства, либо к системе движений геометрии Лобачез-
ского, либо к системе движений геометрии Римана.
В течение семидесятых и восьмидесятых годов
выяснилось, таким образом, истинное значение геометрических
систем Лобачевского, Бойаи и Римана; выяснилось, что пятый
постулат Евклида не зависит от остальных, не представляет
собой их следствия, не может быть доказан; выяснилось, что
геометрия не связана с той системой образов, которую, быть
может, тоже неправильно, называют эмпирическим
пространством; выяснилось, напротив, что геометрия представляет
лишь ряд соглашений, которыми мы удобно выражаем
обширную категорию соотношений между физическими телами;
что она с успехом выражает и иные соотношения между
иными образами, если последние подходят под основные
соглашения; выяснилось, что таких многообразий, осуществляющих
евклидову геометрию, можно построить множество;
выяснилось, что и логических систем, составленных в том же
порядке идей, что и геометрия, может быть не только одна.
Выяснилось, что неудовлетворительность существующих
геометрических систем, их недостаточная логическая
обоснованность именно в том и коренится, что все основные понятия и
постулаты так определялись, так устанавливались, что они
были пригвождены к одному манекену, к одному
многообразию, к так называемому эмпирическому пространству.
Выяснилось, как должна быть построена геометрия, если
мы хотим, чтобы это была действительно научно логическая
система. Для этого нужно исходить из системы основных
понятий, которые отнюдь не связывают нас с эмпирическим
пространством; нужно положить в основу такие посылки,
которые могут быть перенесены в другие многообразия, даже в
численные, или аналитические.
Установив эти посылки, нужно доказать отсутствие в них
противоречия и взаимную их независимость. Средством для
этого служат арифметика, анализ, численные, или
аналитические, пространства. Чтобы доказать отсутствие противоречия
в системе постулатов, нужно построить аналитическое
пространство, которое удовлетворяет всем постулатам; эта
возможность всем постулатам удовлетворить и служит
доказательством отсутствия в них противоречия. Для того же, чтобы
доказать независимость постулатов, чтобы доказать, что ни
один из них не представляет собой следствия остальных,

ЗАДАЧА ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
55
нужно — по выражению Вельштейна — построить
патологические пространства, по одному на каждый постулат, с одной
патологической особенностью каждое. Чтобы доказать
независимость каждого постулата, нужно построить аналитическое
пространство, удовлетворяющее всем остальным постулатам
и не удовлетворяющее этому постулату. Возможность такого
пространства обнаруживает, что, принимая остальные
постулаты, мы не вынуждены принять и этот постулат,
он поэтому от них не зависит.
Установив таким образом систему независимых
постулатов, нужно построить на них геометрию; нужно вести
доказательство так, чтобы оно оставалось в силе в каждом
многообразии, которое удовлетворяет исходным посылкам.
Эта задача во всем своем объеме общепризнанного
решения еще не получила. Немало нужно было еще затратить
труда и мысли, чтобы подготовить решение общей задачи
тщательным анализом отдельных постулатов, отдельных
вопросов. Сюда относятся вопросы о расположении точек на
прямой, о непрерывности, об измерении длин, площадей и
объемов и т. д.
Однако в девяностых годах начинают появляться работы,
посвященные решению задачи во всем ее объеме. Сюда в
первую очередь относится прекрасная работа Паша,
которая далеко не дает того, что нужно, но имеет большие
заслуги в том отношении, что им в первый раз даны постулаты,
которые действительно дают возможность формально
обосновать теорию расположения точек на прямой. Задача
переносится затем в Италию. По почину Пеано, чрезвычайно тонкого
и глубокого ученого, за эту задачу принимается целый ряд
молодых ученых: Амодео, Фано, Энрикес, Пиери. Последнему
принадлежит, на наш взгляд, заслуга построения первой
системы постулатов, которые действительно дают
возможность формально развить геометрию. Вопрос о независимости
этих посылок остается открытым.
Входить здесь в изложение этих работ, т. е. сопоставлять
и оценивать отдельные постулаты, невозможно. Скажу
только, что все эти работы долго оставались в Европе почти
неизвестными, потому что они были помешены в весьма мало
распространенных итальянских академических изданиях.
В 1899 г., по случаю открытия памятника Гауссу и Вебе-
ру, Геттингенский университет выпустил юбилейный сборник,
состоящий из двух статей, посвященных двум славным

56
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
современникам, обессмертившим эту академию. Первая
работа принадлежит проф. Гильберту и посвящена основам
геометрии. Работа содержит целый ряд оригинальных идей,
в высшей степени талантливо разработанных. Но
предложенная в этом сочинении система посылок, определяющих
евклидову геометрию, на наш взгляд, уступает системе Пиери. Если
постулаты Гильберта вполне достаточны для обоснования
геометрии, то от их независимости, на которой автор
настаивал в первом издании, он вынужден был отказаться во
втором.
Вопрос об обосновании геометрии стоит, как вы видите,
в той стадии, когда еще нужно использовать идеи великих
геометров для удовлетворительного решения вековой задачи.
Заинтересовавшись еще в студенческие годы идеями
Лобачевского, не будучи совершенно знаком с работами
итальянской школы, как их не знал и Гильберт, еще до появления
работы последнего, я поставил себе целью установить
систему посылок, определяющих евклидову геометрию, и развить
ее в согласии со всеми требованиями, которые
формулированы мной раньше и которые вы читаете в этих положениях.
Эту систему посылок, не связанных с эмпирическим
пространством, и независимых, поскольку для меня выяснено
логическое значение этой идеи, я уже в 1901 г. докладывал X съезду
русских естествоиспытателей и врачей. Это есть синтетическое
осуществление идей Римана, Гельмгольца и Ли. Но
действительное выполнение задачи, развитие самой системы
геометрии на основании формальных посылок потребовали гораздо
больше времени и работы, подчас мелочно кропотливой, а
подчас и принципиально трудной, чем я себе мог представить.
Я тем не менее решился выполнить эту задачу до конца и
дать не план работы, а самое работу. Я был бы очень
счастлив, если бы мне удалось оказать некоторое содействие делу
развития и уяснения идей великих геометров, полных
глубокого математического и философского интереса, одним
обширным комментарием которых только и является настоящее
сочинение.

РЕЧЬ НА ТОРЖЕСТВЕННОМ ЗАСЕДАНИИ,
ПОСВЯЩЕННОМ СТОЛЕТИЮ ОТКРЫТИЯ
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИМ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ г
История науки знает множество открытий, поражавших
как современников, так и последующие поколения то
исключительной неожиданностью обнаруженных фактов, то
независимостью и смелостью научной мысли, то глубиной
проникновения и энтузиазмом творчества.
Девятнадцатое столетие было особенно чревато такими
открытиями. На заре этого столетия был открыт закон
сохранения вещества и на нем построена современная химия; в-
этом столетии установлен закон сохранения энергии и на
нем построена современная физика; в этом столетии
установлен закон эволюции и на нем построена современная
биология; в этом столетии установлена микрометодика и открыты
микроорганизмы — на этом построена современная
медицина; в этом столетии открыты спектральный анализ и
фотография и на них построена современная космология. В этом
столетии открыты паровые, электрические и химические
двигатели и на них построена современная техника.
1 Речь была произнесена 25 февраля 1926 г. в Казани на
торжественном заседании правления Казанского университета и совета
Казанского физико-математического общества. В. Ф. Каган выступил с этой речью
от Московского университета, Госиздата и Комиссии по изданию Полного
собрания сочинений Лобачевского.
Впервые напечатана в книге «Празднование Казанским
университетом столетия открытия неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским»
(Казань, 1927, стр. 59—»66), включена в книгу: В. Ф. Каган. Лобачевский
и его геометрия. М., 1955, стр. 11—20. (Ред.).

58
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Все эти открытия произвели полный переворот в нашей
культуре. Они глубоко проникли во все стороны жизни
человека, во все уголки общественных, классовых и
государственных отношений,— они овладели всей жизнью на земле.
И если эти открытия стали завоеваниями, то они этим во
многом обязаны мощному аппарату исчислений, созданному
математиками. В этом столетии творили Лагранж, Лежандр,
Коши, Фурье, Гаусс, Абель, Якоби, Понселе, Галуа, Вейер-
штрасс, Чебышев, Георг Кантор.
И среди всех этих достижений, слепящих своим блеском
взор специалиста и профана, открытие, столетие которого мы
ныне торжественно празднуем, все-таки занимает
исключительное место и навсегда сохранит яркий ореол, отличающий
•его от других завоеваний науки.
Конечно, прикладным знанием оно непосредственно еще
не овладело; хотя есть полное основание на это рассчитывать,
я не возьму на себя смелости сказать, что оно им в
ближайшем будущем овладеет. Но на наших глазах оно уже
поднимается на те командные высоты человеческой мысли, на
вершинах которых сходятся пути и химии, и физики, и
биологии, и медицины, и космологии, и техники, и общественных,
классовых, государственных отношений.
Здесь, при этом открытии, обнаруженные факты по своей
неожиданности напоминали не то фантастическую сказку, не
то бред умалишенного. Здесь независимость открытия,
отделенного пропастью от прошлого, напоминала легенду о
творении. Здесь смелость научной мысли достигла высшего
дерзновения, глубина проникновения и энтузиазм творчества
граничили с самопожертвованием.
И это не только большая неожиданность, большая
независимость и смелость мысли, более глубокое проникновение,
более яркий энтузиазм. Это уже та количественная разница,
которая претворилась в качество,— это уже открытие другого
порядка.
Говорили не раз, повторяя Сильвестра *, что
Лобачевский — это Коперник геометрии. Я беру на себя смелость
сказать, что это сравнение для Лобачевского недостаточно
ярко. Разве идеи Коперника по существу были так неожи-
1 Сильвестр (1814—1891)—выдающийся английский математик, один
из создателей теории инвариантов. (Ред.).

РЕЧЬ НА ТОРЖЕСТВЕННОМ ЗАСЕДАНИИ 59
данны? Разве за две тысячи лет до Коперника им не учил
Аристарх Самосский? И так ли далеки от них были идеи
Гиппарха Родосского?1 Разве был астроном, не знавший
соображений, по которым их отверг Птолемей? Нет, великое
творение Коперника было осуществлением замысла
эллинских геометров, не угасавшего в течение двух тысячелетий и
оплодотворенного открытиями Галилея.
А идеи неевклидовой геометрии в течение этих
тысячелетий и не возникали. Рассуждения Саккери и Ламберта2 —
это лишь весьма слабые зачатки, зародыши, которые
заглохли, удушенные традиционной верой в Евклида, и не оказали
ни малейшего влияния ни на Бойаи, ни на Лобачевского.
Неевклидова геометрия в сознании Лобачевского зачата
самооплодотворением, выношена силами его собственного
гения, отречением от эллинской геометрии, повита и появилась
на свет, как Афина-Паллада из головы Юпитера.
На центральной площади небольшого польского города
Торунь3 стоит памятник Копернику. На нем выгравирована
надпись: «Solis stator, terrae motor» — «Остановивший
солнце, двинувший землю».
Я беру на себя смелость утверждать, что было легче
остановить Солнце, что легче было двинуть Землю, чем
уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к
схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на
расхождение.
История науки не знает открытия, которое по
исключительной неожиданности обнаруженных фактов сколько-нибудь
бы приближалось к тому, столетие которого мы ныне
празднуем.
Какими средствами, какими путями проник Лобачевский
в эти сокровенные тайники «воображаемой» геометрии?
Тривиальный, ни в ком сомнений не вызывающий факт
заключается в том, что математические истины познаются
двумя путями: с одной стороны, интуицией в различных ее
проявлениях, начиная с непосредственного воззрения и
кончая сложными опытами,— и логикой, с другой стороны.
Интуиция намечает, логика проверяет; интуиция предуказует,
1 Аристарх Самосский (IV—III вв. до н. э.) и Гиппарх Родосский
(II в. до н. э.) — великие древнегреческие астрономы. (Ред.).
2 О Саккери и Ламберте см. стр. 400—401 этой книги. (Ред.).
3 Торунь — родина Коперника. (Ред.).

60
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
логика устанавливает; интуиция открывает, логика
доказывает.
Но о какой интуиции может быть речь в неевклидовой
геометрии? Разве каждое ее предложение не есть отрицание
всякой интуиции, не противоречит всякой интуиции?
Отсюда заключали, что в процессе открытия
неевклидовой геометрии действующей силой была только чистая
логика. Открытие неевклидовой геометрии и рассматривается
обыкновенно как победа логики над интуицией. Лобачевский
создал «воображаемую геометрию»; в этом величие его
творения, в этом источник всех нападений, которым оно
подвергалось. Воображаемую геометрию нельзя списать с живой
природы; воображаемая геометрия есть чистое творение
человеческого ума.
«Следовательно, „воображаемая геометрия" есть
творение праздное, ненужное измышление нездоровой
фантазии»,— говорили одни. «Следовательно, всякая геометрия
есть свободное творение человеческого ума», — говорили
другие...
Но, как ни убедительны на первый взгляд эти доводы за
то, что неевклидова геометрия есть победа чистой логики над
интуицией, я беру на себя смелость утверждать, что это всё
же далеко не так просто. Кто читал Лобачевского от доски до^
доски, тот подтвердит, что не только «Geometrische Unter-
suchungen», не только «Новые Начала», но все его работы,,
содержащие аналитические приложения неевклидовой
геометрии, насквозь проникнуты интуицией. Изымите наглядные
представления из его вычислений, и от них не останется
ничего; вернее, останутся результаты, которые нужно будет
воссоздавать иными путями, иными средствами.
Пусть это кажется парадоксом, но я утверждаю, что
Лобачевский интуицией победил интуицию!
И такой ли уж это парадокс? Скажите, разве не с живой
природы списаны все сказки и вымыслы, все эти гении и
демоны, гномы и великаны, феи и чудовища? Разве
человеческая фантазия когда-либо работала, когда-либо могла
работать иначе, чем образами, усвоенными из живой природы?
И волшебная сказка, созданная Лобачевским, есть чудное
сплетение пространственных образов, перевитых прочной
сетью тонких логических рассуждений. Я не знаю, хватит ли
моих сил, чтобы это достаточно осветить. Я хотел бы ярко
изобразить, что не односторонним развитием той или иной

РЕЧЬ НА ТОРЖЕСТВЕННОМ ЗАСЕДАНИИ
61
способности была создана неевклидова геометрия, что все
силы человеческого духа, логика и интуиция, трезвость и
фантазия, анализ и синтез, все формы и силы мысли в своих,
иногда противоположных проявлениях соединились для этого
творения.
«Из ничего,— писал Янош Бойаи своему отцу,— я создал
целый новый м-ир». Да, Гаусс, Бойаи и Лобачевский
несомненно построили целый новый мир, новый мир, который до
них не был ведом, к которому никто до них не проложил
путей; но, конечно, они построили его не из «ничего». Они
построили его из сокровенного материала, накопленного
научной мыслью, конкретной и абстрактной, путем
созерцания и обсуждения, средствами интуиции и логики.
Позвольте мне продолжить свою, быть может, несколько
рискованную аналогию дальше. В ранней молодости в Одессе
мне пришлось быть на лекции известного биолога, покойного
Александра Онуфриевича Ковалевского*. Одна мысль, им
высказанная, глубоко запала мне в голову.
«Можно сказать,— говорил он,— что нет того
сказочного существа, нет того фантастического
измышления народной фантазии, которого естествоиспытатель
бы не обнаружил в живой природе в настоящем или
чаще в прошлом. Все эти летающие драконы,
многоголовые гидры, стоглавые змеи (не помню точно,
называл ли он именно эти чудовища) — всех их видела
история Земли. Более того, все эти фантазии
совершенно бледнеют перед теми причудливыми формами,
которые открывает естествоиспытатель, восстанавливающий
ход эволюции по тем скудным следам, которые нам
сохранила история Земли».
И волшебная сказка, созданная Гауссом, Лобачевским и
Бойаи, оказалась былью. Фантастический мир превратился
в действительность. «Воображаемая геометрия» получила
осуществление на реальных формах. Но эти формы не были
извлечены из далекого прошлого; это было предвосхищение
будущего, предуказание его грядущих этапов. И те формы,
к которым «воображаемая геометрия» может быть отнесена,
были предсказаны в мельчайших деталях качественных и
1 А. О. Ковалевский (1840—1901)—знаменитый русский эмбриолог,
известный своими работами по сравнительной эмбриологии. (Ред.).

62
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
количественных. Такого проникновения библейская сага не
приписывала своим пророкам.
Эллинская геометрия, казалось, должна была составить
изъятие из закона эволюции. Две тысячи лет тому назад она
застыла в своих величавых, прекрасных формах, как
зачарованная красавица в народной сказке. Но сто лет
тому назад пришли три витязя: один из немецкой, другой из
венгерской, третий из русской земли. Они окропили ее
мертвой и живой водой. И геометрия воскресла к новой жизни,
нет, к новой мощной эволюции, которая широко
развертывается на наших глазах и в которой она как будто хочет
захватить и механику, и физику, и космологию.
Пусть это еще фантазия; но, кто знает, так ли мы далеки
от ее осуществления? Неевклидова геометрия ко дню своего
столетнего юбилея еще далеко не сказала своего последнего
слова.
Глубокую эволюцию уже пережило не только содержание,
но и строение неевклидовой геометрии. Риман ее строил из
выражения элемента длины, Гельмгольц — из законов
движения, Софус Ли — по группе преобразований, которыми эти
движения выражаются. Клейн ее выводил из проективной
метрики Кэли, Киллинг ее строил из того принципа, что в
бесконечно малом сохраняется геометрия Евклида, Бельтра-
ми — по постоянной кривизне пространства. Гильберт ее
развертывает при помощи специального исчисления. В наши дни
Леви-Чивита и Вейль ее выводят из своеобразных законов
параллельного перенесения1. Комиссия по изданию Полного
собрания сочинений Лобачевского обратилась к проф. Либ-
ману в Берлине с просьбой дать нам статью о новых методах
построения неевклидовой геометрии2. В ответном письме
Либман замечает: «Я всегда держался того мнения, что по
существу лучшее построение неевклидовой геометрии — это
то, которое дали Лобачевский и Бойаи». Мы сошлись; я тоже
всегда придерживался того же мнения.
В чем же заключается особенность этого построения? Оно
идет через возрождение евклидовой геометрии в недрах
«воображаемой геометрии». Мертвая вода смыла самовластие
1 О всех этих направлениях в развитии неевклидовой геометрии
см. в статьях «Н. И. Лобачевский» и «Геометрические идеи Римана и их
дальнейшее развитие», помещенных в этой книге. (Ред,),
2 Статья Г. Либмана напечатана не была (см. В. Ф. Каган.
Лобачевский и его геометрия, сноска на стр. 18). (Ред.).

РЕЧЬ НА ТОРЖЕСТВЕННОМ ЗАСЕДАНИИ 63
евклидовой геометрии, заставила ее отказаться от того
абсолютного господства, с которым она владычествовала в
пространственных отношениях; живая вода дала ей, самой
евклидовой геометрии, вечное бытие. Насильственно устраненная с
плоскости, она перенеслась на предельную поверхность и
оттуда продиктовала законы пространства. На памятнике
Гаусса, по его завещанию, выгравирован правильный семнад-
цатиугольник, вписанный в круг. Творец новой теории чисел,
способа наименьших квадратов, теории потенциала, методов
вычисления планетных орбит и прочая, и прочая, и прочая
видел в решении этой, как будто мало кому нужной
геометрической задачи перл своего творения. На гробнице
Лобачевского следовало бы выгравировать предельную поверхность;
не сомневаюсь, что это соответствовало бы его заветам. Это
был центральный момент в деле создания неевклидовой
геометрии.
В новой системе геометрии или, вернее, в новой системе
геометрий классическая геометрия Евклида заняла скромное
место одного идеального частного случая. Но, уступив свое
первородство, она этот свой пост заняла с незыблемой
прочностью.
Платон был неправ: по гносеологии, проистекающей из
открытий Гаусса, Бойаи и Лобачевского, геометрия есть не
познание вечно существующего, а вечное средство для
познания существующего. Но вечно меняется всё существующее,
вечной эволюцией охвачено мироздание, и для его познания
должна эволюционировать и геометрия. Через 20 лет после
открытия неевклидовой геометрии Араго 1 писал:
«Говорили, что математический анализ есть
инструмент. Может быть, такое сравнение и можно допустить;
но нужно в то же время признать, что этот инструмент,
как сказочный Протей, должен постоянно менять свою
форму».
Это тоже вещие слова! Но что же это — случайно, что
Араго говорит только об анализе, как бы выключая из этой
эволюции геометрию? Я думаю, нет. До него еще не дошла
весть о возрождении, для него геометрия еще оставалась
1 Араго (1789—1853)—знаменитый французский ученый, автор
выдающихся исследований в различных областях физики и астрономии,
блестящий популяризатор науки. (Ред.).

S{J4 I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
застывшей наукой Платона и Евклида, безызменное знание
безызменно существующего. Иерихонская труба еще не
прозвучала из могилы Гаусса. Новые идеи еще оставались
достоянием своих творцов. Горькие вопли Бойаи, полные
страсти и негодования, еще оставались достоянием старой
военной переписки, на оборотной стороне которой Янош
запечатлел свои одинокие страдания; Н. И. Лобачевский еще
заглушал жестокую драму своей жизни напряженной работой
на пользу родного университета.
Откуда это безграничное море .клокочущей злобы,
поднявшееся вокруг этих отвлеченных идей, казалось бы,
лежащих по ту сторону добра и зла, за пределами людских
страстей и живых интересов?
Позвольте привести еще одну цитату из Араго:
«Математика во все времена была непримиримым врагом всякого
романа в науке».
Между тем неевклидова геометрия так походила на роман,
на фантастический роман в самой прочной цитадели
математических традиций! Это играло огромную роль в том
враждебном отношении, которое она встретила среди наиболее
серьезных математиков и естествоиспытателей. Однако, когда
австрийское министерство народного просвещения в 1871 г.
запретило профессору Фришауфу — одному из пионеров
распространения идей Лобачевского и Бойаи — читать курс
неевклидовой геометрии («несмотря на всю нашу свободу
преподавания и обучения», — замечает профессор), то,
конечно, это произошло не потому, что министерство не
допускало фантастических романов в университетском
преподавании.
Большую роль сыграло самое изложение новых идей в
трудах Лобачевского и Бойаи. Много раз приводились слова
Гаусса, что сочинения Лобачевского напоминают
непроходимый лес, через который не может пробраться ни один человек,
не изучивший предварительно каждое его дерево. А первое
сочинение Лобачевского могло быть доступно только тому,
кто дождался последующих произведений и вернулся к ним
повторно. Да, это играло огромную роль. Но ведь
математики, как никакие другие ученые, привыкли пробираться
через дебри труднейших рассуждений. И тогда, когда уже
существовали прекрасно разработанные изложения
неевклидовой геометрии, я еще лично слышал от лиц с миро-
гвыми именами, что они и читать этих произведений не

РЕЧЬ НА ТОРЖЕСТВЕННОМ ЗАСЕДАНИИ 65
желают. Дело, очевидно, не исчерпывается и трудностью
понимания.
Старый геттингенский геометр 1 из-под сводов своей
обсерватории хорошо изучил человеческую натуру. Он понимал,
как глубоко революционно новое учение, как решительно оно
уничтожает осиные гнезда традиций, унаследованных от
тысячелетий. Против мощных ударов глубокой революции,
беспощадно сносящих старые устои, всегда сплачиваются
самые разнообразные силы, в какой бы области эта
революция ни происходила. А открытие неевклидовой геометрии
было величайшей революцией в области человеческой мысли,
какую только знает история науки. Inde irae2.
1 Речь идет о Гауссе. (Ред.).
2 «Отсюда гнев». (Ювенал.).

ПРЕДЫСТОРИЯ УЧЕНИЯ ОБ ОСНОВАНИЯХ
ГЕОМЕТРИИ1
1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛОГИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ В ГРЕЦИИ
На Востоке, в Индии, в Вавилоне, в Египте в период с
третьего по первое тысячелетие до нашей эры были
накоплены первые сведения по математике вообще, по геометрии в
частности. Еще в начале текущего столетия считалось, что
сведения эти были очень скудны, часто далеко не точны.
Тщательное исследование египетских и вавилонских текстов,
записанных частью в клинописи, частью в иероглифах, привело
к изменению этой точки зрения. Вавилоняне ушли далеко в
области счисления (шестидесятиричная система), алгебры и
геометрических вычислений; египтяне имели гораздо менее
приспособленную систему счисления и в алгебре отстали; но
геометрические задачи, решением которых они занимались,
требовали гораздо более значительных геометрических
познаний, чем это предполагалось ранее, как в отношении
геометрических фактов, так и средств вычисления2. Материал,
которым египтяне располагали, вряд ли мог быть добыт без
1 Этот исторический очерк является введением к сочинению
«Основания геометрии», написанному в последние годы жизни автора
(В. Ф. Kara н. Основания геометрии; библиогр. сведения см. на стр. 569
наст, книги, № 79). Помещается здесь без вступительной рубрики «Задача
учения об основаниях геометрии», так как ее содержание во многом
совпадает со статьей «Задача обоснования геометрии в современной
постановке» (стр. 27—56 этой книги). Заглавие статьи дано редакцией. (Ред.).
2 См., например, О. Нейгебауэр. Лекции по истории античных
математических наук, т. I. Догреческая математика. Перев. С. Я. Лурье,
М.—Л., 1937.

ПРЕДЫСТОРИЯ УЧЕНИЯ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 6?
помощи рассуждений, которые следует назвать
доказательствами. Поэтому и довольно распространенная прежде точка
зрения, согласно которой идея доказательства была
совершенно чужда восточной математике, вряд ли может теперь
поддерживаться. Но два факта можно считать
несомненными. Во-первых, восточная математика в области геометрии в
первом тысячелетии до н. э. всё же ограничивалась
элементарными вычислительными задачами; эти вычисления
выполнялись не так грубо и ошибочно, как это приписывали
Ахмесу *, но они всё же были очень элементарны; во-вторых,
логическая разработка накопленного геометрического
материала стояла еще на очень низком уровне.
По-видимому, от египтян геометрические сведения,
которым^ они располагали, перешли к грекам. По истории
греческой * геометрии в древности существовало обстоятельное
сочинение, принадлежавшее Евдему Родосскому, ученику
Аристотеля, жившему, следовательно, во второй половине
IV столетия до н. э. Сочинение это до нас, к сожалению, не
дошло. Ряд отрывков из него, частью в дословной, частью в
собственной передаче, приводит комментатор Евклида Прокл
(410—485 гг. н. э.). Согласно Проклу, Евдем относит
появление геометрии в Греции к основателю ионийской философской
школы Фалесу Милетскому (VII—VI вв. до н. э.),
полумифическая деятельность которого не может быть точно очерчена.
Достоверно, по-видимому, то, что Фалес много путешествовал
по восточным странам, главным образом по Египту, имел
тесное общение с египетскими жрецами, у них научился
многому, между прочим — геометрии. Судя по тому, что он
предсказал солнечное затмение, происходившее в 585 г. до н. э.,
он располагал уже значительными для того времени
сведениями из математики; это мало вяжется с открытиями
тривиальных вещей, которые ему приписывает Евдем (равенство
вертикальных углов, равенство углов при основании
равнобедренного треугольника и обратное предложение, равенство
треугольников по трем сторонам, деление круга диаметром на
два равных полукруга); заслуга Фалеса, нужно думать,
заключалась в том, что он дал (до нас не дошедшие)
доказательства этих элементарных предложений. Важно, по-видимому,
то, что на рубеже VII и VI столетий до н. э. начальные све-
1 Автор манускрипта, представляющего древнейший памятник
египетской математики.

68
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
дения по геометрии проникли в Грецию, были переданы
народу, который по уровню своей культуры был уже способен
поставить геометрии более широкие задачи, нежели те, при
разрешении которых она первоначально возникла на
Востоке.
Греция была в то время уже в состоянии выделить
достаточный контингент людей, в глазах которых значение
научного исследования вообще, геометрии в частности, не
ограничивалось небольшим числом самых элементарных задач
непосредственной узко утилитарной ценности, которые были уже
способны к далеко идущей абстракции, и от геометрии
измерения земельных участков были в состоянии перейти к
гораздо более общему учению о пространственных образах и их
соотношениях. При таком расширении задач геометрии стал
уже необходим более .глубокий логический анализ. Уже в
следующем столетии после Фалеса большие успехи были в
этом отношении достигнуты Пифагором и его школой; но до
нас дошли только отрывочные сведения о фактических
достижениях пифагорейцев и о методах, которыми они вели
исследования. Несомненно только то, что рядом с крупными
достижениями (если не открытие, то классическое доказательство
знаменитой теоремы, связываемой с именем Пифагора 1)
пифагорейцы впадали в грубо метафизические рассуждения,
приписывали числам мистическое значение и силу. Если
учение Фалеса носило характер ранней материалистической
мысли, то пифагорейцы принадлежали к числу
родоначальников мистического идеализма, оформленного и в некоторой
мере канонизированного Платоном.
2. ВЫСКАЗЫВАНИЯ ПЛАТОНА
В связи с этим, по-видимому, за отсутствием достаточных
сведений о ходе и методах математических и, в частности,
геометрических исследований в первые два столетия после их
появления в Элладе, постановку задачи о логическом
обосновании геометрии связывают с именем Платона (в Византии —
Прокл, в новое время — Таннери, Виндельбанд и многие
другие). Впрочем, никто из историков геометрии не считает, что
требование логического обоснования геометрии не ставилось
1 Самая теорема была, по-видимому, в Египте известна значительно
ранее.

ПРЕДЫСТОРИЯ УЧЕНИЯ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 69
до Платона. Вообще всякая тенденция связать глубокую
идею, широкий замысел с одним определенным лицом, как
с родоначальником этой идеи, этого замысла, обычно по
меньшей мере рискована. Идеи широкого замысла не родятся из
головы Юпитера — легендарного бога — или даже
знаменитого философа. Они всегда представляют собой результат
эволюции, обыкновенно продолжительной, часто очень
разветвленной. И вряд ли можно указать такой замысел, такую
научную концепцию, связываемую с тем или иным ученым
или философом в качестве ее родоначальника, следов,
зачатков начал которой нельзя было бы найти гораздо раньше,
задолго до того, как она была отчетливо сформулирована
тем лицом, которому ее склонны приписывать. Менее всего
тенденцию к логическому обоснованию геометрии можно
приписывать Платону, как первому ее провозвестнику. Как уже
отмечалось выше, доказательства математических
предложений должны были существовать на Востоке; тенденцию к
проведению логических доказательств можно видеть у Фалеса, в
более широком масштабе у пифагорейцев, отчасти даже у
софистов. Уже до Платона составлялись учебники и
трактаты по геометрии; достоверно, что одно такое руководство
принадлежало Гиппократу Хиосскому; трактаты по
математике составлял и Демокрит; от Диогена Лаэрция (греческий
писатель III—IV столетия н. э.) мы знаем, что Демокрит
составил сочинение «О геометрии». Можно думать, что оно
было посвящено вопросам обоснования геометрии, которые
по всем установкам Демокрита были ему не чужды; но о
содержании геометрических сочинений Демокрита мы, к
сожалению, не имеем достаточных сведений. Наконец, в Афинах,
в самой Академии Платона, были уже в ходу курсы
геометрии, а изучение руководства, составленного Февдием из
Магнезии, было, по-видимому, обязательно для лиц, желавших
вступить в Академию.
Прокл, сам геометр по специальности, был видным
неоплатоником; совершенно естественно, что он был склонен
приписать знаменитому основателю школы первостепенное
значение в той специальности, которой он преимущественно
занимался; такого рода тенденция возвеличивать первых
представителей того направления, которое те или иные
ученые сами отстаивают,— черта очень распространенная в
научной среде. Несомненно, что этой тенденции через полторы
тысячи лет отдает дань и Виндельбанд, когда говорит: «Пла-

70
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
тон внес в математические исследования требование, по
которому исходить должно от определений и аксиом...». Виндель-
банд — один из наиболее четко выраженных
философов-идеалистов конца прошлого века; совершенно естественно, что он,
как и Прокл, присваивает родоначальнику идеалистической
философии заслугу постановки логического обоснования
геометрии. Эта заслуга, несомненно, преувеличена; но нужно
отдать себе отчет о том, какую роль Платон действительно
играл в тенденции логического обоснования геометрии.
Деятельность Платона протекала в конце V и главным
образом в первой половине IV в. до н. э. По своим
философским установкам Платон, как уже сказано, был идеалист
с ясно выраженным мистическим умонастроением; более того,
можно сказать, что Платон был родоначальником
объективного идеализма. При всем том в своих сочинениях Платон
требует, чтобы наше знание и вся деятельность были
построены на «научном основании».
Во всех своих диалогах Платон выдвигал требование,
имевшее руководящее значение в его исследованиях,
проникавшее всё его учение, все его сочинения. Это требование
заключалось в том, чтобы вся деятельность нашего ума —
как в деле уяснения мироздания, так и в вопросах
организации жизни отдельного лица, общества или государства —
была основана на научной базе.
Как же, по замыслу Платона, должно было осуществиться
это научное обоснование всякого знания и всякой
деятельности? Платон точно своего замысла не формулирует, но ответ
на этот вопрос отчетливо выступает в каждом его сочинении.
Он заключается в том, что во главу всякой отрасли знания и
деятельности должны быть поставлены понятия и
положения, из которых всё остальное, что к этой отрасли относится,
должно вытекать как их следствия.
Как известно, все дошедшие до нас сочинения Платона
(кроме «Апологии Сократа») представляют собой
беседы-диалоги; их содержание охватывает все вопросы знания, жизни
человека и общества. Диалоги эти построены так, что
ведущее лицо (такое лицо есть в каждом диалоге Платона, чаще
всего это — Сократ) старается убедить других собеседников
в справедливости тех или иных исходных положений и,
достигнув этого, заставляет его признать проистекающие из этих
положений выводы. Идет ли речь о вопросах физики и
биологии («Тимей»), о вопросах морали (в очень многих диало-

ПРЕДЫСТОРИЯ УЧЕНИЯ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 71
гах), о социальных отношениях («Государство»), о вопросах
права («Законы») — Платон всюду принципиально
выставляет основные положения, выводы из которых должны
составить содержание соответствующей теоретической или
практической дисциплины. Положения эти частью наивны,
частью фантастичны, выдуманы, но всюду-они есть, они
выдвигаются, они должны составить научную базу
рассматриваемого вопроса.
Это требование в настоящее время кажется научно
мыслящему человеку совершенно тривиальным; но это только
показывает, в какой мере мы эти требования восприняли и
усвоили.
Через всю историю науки красной нитью проходит
глубокое различие между отношением к формулированному выше
принципу Платона, по которому научное исследование
должно строиться в порядке вывода из основных исходных
положений, и к самому содержанию положений, которые он
принимает. Требование принципиального обоснования всякой
научной дисциплины крепло в течение всей истории науки.
Что же касается содержания тех положений, на которых
Платон пытался строить философские, биологические и
социальные науки, то они, как уже отмечалось, неверны,
идеалистичны и с развитием науки почти во всех своих частях
постепенно отпадали.
Платон понимал трудность выполнения поставленного им
требования, особенно в области физических, биологических и
общественных наук. Но в области математики уже тогда
намечалась возможность осуществления этой задачи. Платон
ставит математические дисциплины в ходе научного
образования («Государство», VII кн.) на первое место — прежде
всего арифметику, а затем тесно с ней связанную геометрию;
он мотивирует это тем, что геометрия, с одной стороны,
особенно приложима к военному делу, а с другой стороны,
чрезвычайно способствует развитию мышления. Известно, что
хорошее знание геометрии было требованием, которое
ставилось всякому, желавшему вступить в Академию Платона.
Не может подлежать сомнению, что это требование
стимулировало как изучение геометрии, так и ее построение по той
схеме, которая намечалась для всякой дисциплины, а в
области геометрии, казалось, уже допускала осуществление.
Платон, таким образом, стимулировал логическое построение
геометрии; в этом заключается его заслуга в деле обоснования

72
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
геометрии. Но общий замысел логического построения науки
у Платона четко не формулирован, и все его учение
построено, как уже сказано, на полумистической базе.
3. АРИСТОТЕЛЬ КАК ОСНОВОПОЛОЖНИК ДЕДУКТИВНОЙ ШКОЛЫ
Глубокие сомнения в установках Платона уже при его
жизни возникали и в самой Академии. Возникла оппозиция к
основам его учения, главным представителем которой был
великий ученик Платона — Аристотель. Он был противником
не только учения об идеях, но и многих других взглядов
Платона. Аристотель был человеком неизмеримо более
конкретной мысли; если идеалистические установки ему еще далеко
не были чужды, то принять мистическую теорию анамнеза
(воспоминаний), которую настойчиво проповедовал Платон,
он всё же не мог. Всем известно изречение, которое ему
приписывают; в средневековой латинской передаче оно гласит:
amicus Plato sed magis arnica Veritas (друг Платон, но
больший друг — истина).
Расхождение с Платоном и его школой шло в этом
отношении так. далеко, что переходило в прямую борьбу и
заставило Аристотеля после смерти Платона покинуть Академию
и даже Афины на продолжительное время. Но основную
установку Платона — научное обоснование всякого знания и
всякой деятельности — Аристотель не только сохранил, но
даже углубил. Более того, отбросив почти всё, что было у
Платона мистического, отказавшись от фантастической
теории идей, вступив даже в некоторой мере на путь
экспериментального исследования, Аристотель, можно сказать, стал
действительным родоначальником настоящей науки.
И если основной замысел, по которому каждая наука
должна развертываться в порядке выводов из ее основных
положений, у Платона можно усмотреть только из хода его
диалогов, то у Аристотеля эта мысль четко выражена со всей
возможной определенностью; и самая теория логического
вывода впервые построена Аристотелем и изложена в его
сочинениях, посвященных логике.
4. УЧЕНИЕ О КАТЕГОРИЯХ И ОБ ИСТОЛКОВАНИИ СУЖДЕНИЙ
По-видимому, Андроник Родосский, выпустивший в
середине I столетия до н. э. первое собрание сочинений
Аристотеля,— после того как его манускрипты, пролежав около

ПРЕДЫСТОРИЯ УЧЕНИЯ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 7$
200 лет в подвалах Малой Азии, были возвращены в
Европу,— объединил сочинения, посвященные логике, в один
кодекс под названием «Органон». В состав этого кодекса вошло
пять сочинений: 1) Категории, 2) Об истолковании, 3)
Первая аналитика, 4) Вторая аналитика, 5) Топика; некоторые
авторы выделяют восьмой раздел последней книги в особое
сочинение под названием «Софистические доказательства».
«Органон» представляет собой, таким образом, собрание
сочинений, которые частично были составлены без прямой
зависимости одно от другого. Трудно даже точно установить
последовательность, в которой они были составлены.
По-видимому, первым по времени была «Топика» — самое большое
по объему из этих сочинений. К вопросам логики, хотя и не
столь систематически, Аристотель возвращается и в других
своих сочинениях, особенно в «Метафизике». Однако по
содержанию указанная выше последовательность, по-видимому,,
установленная Андроником, представляется наиболее
естественной. Дадим весьма краткий обзор сочинений, входящих в<
состав «Органона», как имеющих для нас наиболее важное
значение.
Первое сочинение «Категории»1 имеет целью установить
наиболее общие родовые понятия, т. е. такие понятия,
которые охватывают всё существующее, всё нами мыслимое — как
материальное, так и абстрактное. Всё, что мы называем тем
или иным словом, должно войти в состав одной и только
одной категории. Установление категорий есть, таким
образом, высшая классификация всего сущего. Возникновение
этой классификации, по-видимому, было вызвано точкой
зрения Аристотеля на определение понятий. Определение
каждого понятия, по Аристотелю, осуществляется путем его
включения в ближайшее родовое понятие и указания видовых
отличий. Хорошо известна стандартная формулировка этого
правила, как она была дана средневековыми схоластиками:
definitio fit ex genere proximo ас differentia specifica
(определение составляется из ближайшего родового понятия и
видового отличия). Мы будем называть это «аристотелевым
правилом логического определения»2. Так, определяя ромб
как параллелограмм, в котором смежные стороны равны, мы
1 «Категории» изданы на русском языке в переводе А. В. Кубицкого»
со вступительной статьей и примечаниями Г. Ф. Александрова (М., 1939).
2 Это «правило определения» Аристотель дает в различных своих
сочинениях; особенно четко оно выражено в VI книге «Топики».

74
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
включаем ромб в родовое понятие «параллелограмм» и
выделяем его присущим ему видовым отличием — равенством
смежных сторон. Когда некоторое понятие, согласно этому
правилу, определено, то определение родового понятия, в
которое оно включено, требует более общего понятия; и так как
это восхождение, как указывает Аристотель, не может
продолжаться неограниченно, то мы в этом порядке неизбежно
должны прийти к понятиям, которые уже не могут быть
включены в более общие понятия, по выражению Аристотеля,— не
могут быть включены ни в какое подлежащее, как его часть,
и могут в определенных подчиненных понятиях служить
только предикатами. Эти-то понятия, которые по своей общности
уже определения не допускают, и суть категории.
Установление категорий имеет очень большое значение для науки
вообще, для оснований геометрии в частности. Приведем целиком
четвертую главу этого сочинения..
Глава четвертая
«Из слов, высказываемых без какой-либо связи,
каждое означает или сущность, или качество, или
количество, или отношение, или место, или время, или
положение, или обладание, или действие, или страдание.
Сущностью является, коротко говоря, например,
человек, лошадь. Количество — это, например, в два локтя,
в три локтя. Качество — например, белое, сведущий в
грамматике. Отношение — например, двойной,
половинное, большое. Где — например, на площади, в Ликее.
Когда — например, вчера, в прошлом году.
Положение— например, лежит, сидит. Обладание — например,
обут, вооружен. Действие — например, режет, жжет.
Страдание — например, его режут, жгут. Каждое из
перечисленных слов само по себе не обозначает
никакого утверждения или отрицания, но утверждение или
отрицание получается вследствие связи этих слов друг
с другом; ведь всякое утверждение или отрицание, по-
видимому, или истинно, или ложно; из слов же,
высказываемых вне всякой связи, ни одно не является ни
истиною, ни ложью, как, например, человек, белое,
бежит, побеждает».
Аристотель устанавливает, таким образом, десять
категорий, в которые укладывается всё сущее в самом широком

ПРЕДЫСТОРИЯ УЧЕНИЯ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 75
•смысле этого слова. Следующие главки «Категорий»
«выясняют каждую из этих категорий порознь, выявляют важнейшие
их виды, возможность их сосуществования в месте или во
времени. Автор как бы старается убедить читателя, что это
действительно категории, что ими действительно
охватывается всё сущее. И именно в этой классификации, а не в
формальном делении понятий заключалась цель Аристотеля,
заключалось значение его категорий.
Установлением категорий занимались и до Аристотеля; не
раз возвращался к этому вопросу и сам Аристотель;
неисчислимое множество раз этим занимались философы после него,
вплоть до нашего времени. И классификация Канта (его
12 категорий) не более убедительна, чем 10 категорий
Аристотеля.
Математики хорошо знают, что вопрос, который в течение
тысячелетий не получал разрешения, почти всегда несет в
себе порочность задания; несомненно, что такая порочность
крылась и в постановке вопроса о категориях, как его
понимал Аристотель. Прежде всего можно ли говорить о единой
классификации всего сущего? Однозначна ли задача такой
классификации? Далее, может ли идти речь о постоянной,
устойчивой классификации всего сущего, включая сюда и
отвлеченные понятия, когда самая совокупность этих понятий
постоянно изменяется? Многие понятия эволюционирующей
лауки не укладываются без больших натяжек ни в категории
Аристотеля, ни в какую бы то ни было из позднейших
категорий. Сама постановка задачи является порочной с точки
зрения диалектического материализма. Несомненно, что и сам
Аристотель ощущал порочность такой постановки задачи.
В XIV книге «Метафизики» (гл. II) есть места, которые
можно рассматривать как попытку свести категории к трем
(сущность, состояние, отношение); тенденция к уменьшению
числа категорий проходит через многие сочинения,
относящиеся к учению о категориях. Нужно, однако, уяснить себе,
что с уменьшением числа категорий становится всё труднее
указать видовые отличия входящих в них понятий. Можно
было бы говорить только об одной категории «нечто»; но
тогда не было бы классификации, а установление видовых
отличий наиболее общих понятий неизбежно привело бы к
выделению других категорий. Аристотелево учение о «Категориях»
несомненно дефектно, но оно имело большое значение в деле
выяснения основных понятий науки.

76
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Вторую часть «Органона» составляет небольшое
сочинение «Об истолковании» К Его было бы правильнее называть
учением «О суждениях», к которому оно по существу
сводится. Сочинения «Категории» и «Об истолковании» составили
базу, на которой была построена грамматика: «Категории»
определили схему этимологии, «Об истолковании» — схему
синтаксиса, главным образом простого предложения.
Наиболее существенным в сочинении «Об истолковании» из его
дополнений к обычному содержанию синтаксиса является
деление суждений по количеству (общее, частное, единичное), па
качеству (положительные и отрицательные суждения), по
модальности (категорические — безоговорочно
устанавливающие факт, возможные или гипотетические — условные), а
также противоположение суждений (противоположные и
противоречивые суждения). Эту классификацию можно найти в
любом элементарном курсе логики.
5. АНАЛИТИКИ АРИСТОТЕЛЯ
Основную часть «Органона» составляет теория вывода или
умозаключения: ей посвящены остальные разделы
«Органона»— две «Аналитики» и «Топика»2. Как уже было указано,
различные отделы «Органона» составляют самостоятельные
сочинения; они поэтому в большой мере перекрывают друг
друга; «Топика», которой в «Органоне» отведено последнее
место, как выше уже упомянуто, по-видимому, была написана
раньше других. При всем том в общем каждое из этих
сочинений имеет свои характерные специфические черты.
Содержание Первой и Второй аналитик3, может быть,,
правильнее всего охарактеризовать как теорию
доказательства, основой которого служит силлогизм. Обе книги
посвящены теории силлогизма и общей теории доказательства,
хотя в различном аспекте. «По теории силлогизма,— говорит
сам Аристотель,— я не нашел решительно ничего, что была
бы сказано до меня; я ее разработал путем продолжительных
и трудных изысканий». Это было сделано Аристотелем с та-
1 Имеется русское издание «Об истолковании» Аристотеля. Перев. с
греческ. Э. Л. Радлова. «Журн. мин. нар. просвещ.», 1891, № 1—2.
2 На русском языке «Аналитики» были изданы в 1952 г. (Л., перев.
Б. А. Фохта). (Ред.).
3 Строго говоря, «Первые и вторые аналитики», т. е. методы и
правила аналитического рассуждения; аналогично «Топики», а не «Топика».

ПРЕДЫСТОРИЯ УЧЕНИЯ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 77
ким искусством, что последующие 2000 лет по существу
ничего нового в это учение, т. е. в дедуктивную формальную
логику, не внесли.
Кант и Гегель согласно указывают, что до них после
Аристотеля в логику ничего существенного не было внесено;
конечно, это следует относить только к формальной
дедуктивной логике, которая их только и интересовала.
«Вторая аналитика», которую Аристотель рассматривал
как продолжение «Первой аналитики», представляет собой
сочинение, посвященное тем вопросам, которые в настоящее
время относят к теории познания. Аристотель рассматривает
нх в тесной связи с общей теорией науки; это, естественно,
приводит к соприкосновению с вопросами чистой логики,
которые рассмотрены в «Первой аналитике». «Вторая
аналитика» имеет наиболее прямое отношение к тем проблемам,
которым посвящено настоящее сочинение.
Однако, прежде чем обратиться к содержащею «Второй
аналитики», скажем ещё несколько слов о последней части
«Органона», о так называемой «Топике». Это сочинение
лучше всего охарактеризовать как учение о диспуте. Как
известно, диспуты и диалоги были в ту пору в Греции широко
распространены. Это был путь, которым в то время главным
образом шло установление и распространение знаний и научных
идей. «Топику» можно рассматривать как руководство для
ведения диспута. По существу это сочинение содержит чисто
формальные указания, как вести диспут, чтобы выйти из него
победителем; задача заключается не столько в установлении
истины, сколько именно в торжестве ведущего диспут. При
такой своей задаче «Топика» в настоящее время по существу
интерес потеряла. При всем том и в ней встречаются
рассуждения, относящиеся к общей логике и к теории познания.
Во «Второй аналитике» и в «Топике» выясняются основные
вопросы, которые имеют существенное значение' в учении об
основаниях геометрии; вернее, выясняются те точки зрения
на эти вопросы, которые были установлены Аристотелем и в
течение многих веков в теории науки вообще, в учении об
основаниях геометрии в частности, имели господствующее
значение. Выяснению этих установок именно для обоснования
геометрии в настоящее время посвящено немало сочинений;
мы отметим здесь два, которые наиболее отчетливо этот
вопрос освещают,— во-первых, издание Евклида с
комментариями Хизса и, во-вторых, статью Шольца «Об аксиоматике

78
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
древних» 1. Воззрения Аристотеля, как они изложены в
указанных его сочинениях, главным образом во «Второй
аналитике» и в «Топике», сводятся к следующему.
Наука, как ее понимает Аристотель, представляет собой"
последовательность предложений, относящихся к некоторой
определенной области. Эти предложения распадаются на
основные или исходные положения (а|ко(лата, ар%ац тер юта) и
выводы из них — теоремы (Фесортцлата). Понятия, входящие в
эти предложения, в свою очередь, делятся на основные
понятия (ap%at, jtpcota) и выводные (tasx tootcov). Относительна
основных положений устанавливается следующее требование.
Они должны быть непосредственно очевидны, а потому не
допускают доказательств. Аналогично этому основные понятия-
должны быть непосредственно понятны и потому не
допускают определений. Эта точка зрения Аристотеля, подвергаясь
в наше время существенной модификации, в течение многих
столетий имела общепризнанное и господствующее значение.
Шольц считает, что у Аристотеля к основным положениям и
понятиям предъявляется еще и другое требование: основные
положения должны быть достаточны для доказательства
остальных предложений в том смысле, что для выполнения
этих доказательств требуются только правила логики.
Основные понятия тоже должны быть достаточны в том смысле, что
остальные, выводные понятия могут быть из них формальна
построены по тому правилу определения, которое выше была
формулировано. Однако эти требования достаточности как
для основных положений, так и для основных понятий явна
и отчетливо у Аристотеля, собственно, нигде не
формулированы. Шольц считает, что они вытекают из всей структуры
аристотелевой аксиоматики. Во всяком случае, что к этому
требованию при построении любой науки необходимо
стремиться, действительно ясно следует из всех установок
Аристотеля.
Наконец, к основным положениям (аксиомам)
предъявляется еще следующее важное, характерное для
аристотелевой доктрины требование: эти положения должны быть
аподиктичны, т. е. должны представлять собой утверждения,
выражающие совершенно необходимые факты.
1 Т. L. Heath. The thirteen books of Euclid's elements, t. I—III.
Cambridge, 1908; 2-е изд. 1926; G. Schofz. Die Axiomatik der Alten,
Zeitshz. deutsch. phyl. Gesellschaft, B. 4, 1930.

ПРЕДЫСТОРИЯ УЧЕНИЯ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 79
Точку зрения Аристотеля на определение, его правило
определения, мы выше уже изложили. Восходящий процесс
определения понятий возрастающей общности неизбежно
должен остановиться на некоторых исходных понятиях.
Аристотель ясно видит, что довести этот процесс в отдельных науках
до общих его категорий — задача трудная, если не
невозможная; он признает поэтому необходимым устанавливать
исходные начальные понятия в каждой науке, хотя это неизбежно
до некоторой степени подрывает учение о категориях как
общей классификации сущего; приходится уже устанавливать
исходные категории каждой отдельной науки. При этом
введение каждого такого основного понятия должно
сопровождаться аксиомой или постулатом, устанавливающим
существование соответствующей вещи. «Это вещи,— говорит
Аристотель,— существование которых нужно непосредственно
принять... Так, в геометрии мы должны принять
существование небольшого количества вещей, именно точек и линий.
Существование всего остального должно быть доказано».
Аристотель понимал, конечно, что по той схеме, которую
он устанавливает, построение всякой науки невозможно. Он
отличает поэтому выводные науки (ктахуцлц аяобеьхпхт]) от
индуктивных наук (апауыуц— индуктивный вывод). Он
указывает в самом начале «Второй айалитики», что познание
приобретается не только путем логического вывода, но и
путем индукции. Однако индукция и теория индуктивных наук
играют у Аристотеля совершенно второстепенную роль; им
посвящены только две небольшие главки (23 и 24;) в самом
конце «Первой аналитики». Доминирующее значение у
Аристотеля имеют науки выводные и среди них прежде всего
математика, в частности геометрия. Самое слово «|1&Фтцш»
фигурирует у Аристотеля в качестве всякого точного знания.
Что касается источника основных положений выводных наук,,
то Аристотель его видит только в деятельности нашего ума
(voog), и именно поэтому аксиомы часто фигурируют у
последователей Аристотеля под названием «xoiva? svvoioi»>
т. е. «общие достояния ума».
6. ПОСЛЕ АРИСТОТЕЛЯ
К началу III столетия до н. э., таким образом, была
установлена логическая схема, по которой должна строиться
выводная наука. Не подлежит сомнению, что Аристотель в этом

80
I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
своем построении в некоторой мере руководился ранее
намеченными образцами. Но различные установки были им
приведены в систему, а при том авторитете, которым он
пользовался, эта схема стала, можно сказать, обязательной для
дальнейших авторов, приняла как бы стандартный характер.
Много раз указывалось, что строгие логические
доказательства появлялись и до Аристотеля, что часто они и после него
строились людьми, не владевшими его «Аналитикой». Это
несомненно верно; наша мысль, к счастью, работает быстрее,
чем того требует разветвленная силлогистика. Но творение
Аристотеля своим анализом логического процесса
дисциплинировало научную мысль, сделало осознанным то, что еще
носило характер бессознательного, установило пути, по
которым пошло обоснование- выводных наук. Не подлежит
сомнению, что попытка заковать всю научную мысль в цепи
аристотелевой силлогистики была бы для нее гибельной.
Попытка Спинозы построить «Этику» по точной аристотелевой
схеме, при всей оригинальности, при всем значении этого
сочинения, по методу изложения, производит впечатление
наивности.
Но, с другой стороны, в области математики дедуктивное
мышление несомненно играет существенную, а в ее
обосновании— особенно важную роль; и в деле обоснования
математики, прежде всего — геометрии, схема Аристотеля имела
руководящее значение. Обоснование геометрии
осуществлялось в курсах геометрии. Мы уже указывали, что такого рода
курс был составлен Гиппократом Хиосским до Платона; в
Академии было в ходу руководство Февдия; ученик Платона
Лев составил такое же сочинение; называя эти руководства,
Прокл указывает, что это не были единственные сочинения
этого рода. Однако ни одно из этих сочинений до Прокла уже
не дошло. Все они были забыты, когда появился
замечательный трактат по геометрии — «Начала» Евклида (EoKXei'&o^
2toi%8Ux). Это сочинение по своей структуре несет на себе
явную печать схемы Аристотеля; в течение 2000 лет оно
служило единственным руководством, по которому учились
геометрии юноши и взрослые; от него шли и все замыслы
дальнейшего, более совершенного обоснования геометрии К
1 Это введение автор заканчивает фразой: «С него мы и начнем
изложение учения об основаниях геометрии», и первая глава сочинения
посвящена Евклиду. (Ред.).

f

II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ
И ОБЪЕМОВ

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ »
(Учение о величине)
Вступление
«Для идей,— говорит Янош Бойаи,— как и для растений,
наступает* время, когда они созревают в различных местах
подобно тому, как весною фиалки появляются всюду, где
светит солнце»2.
Такой период зрелости наступил в последние десятилетия
для вопроса об обосновании геометрии.
1 Эта статья, напечатанная в 1917 г. (библкогр. сведения см. на
стр. 566 наст, книги, № 31), была написана лет на десять раньше и
должна была составить первую главу большого сочинения. Статья начинается
предисловием, которое мы приводим целиком:
«Вскоре после выхода в свет моих „Оснований геометрии" я
имел в виду написать сочинение, в котором те же идеи были бы
проведены в гораздо более доступной форме, для более широкого
круга читателей.
К этому я было и приступил, но работы иного рода отвлекли
мое внимание в другом направлении. Написанное, однако, тогда
введение, которое должно было составить первый отдел сочинения,
как мне кажется, может представить некоторый интерес, и я решил
опубликовать его в „Вестнике" в ожидании того времени, когда мне
удастся возвратиться к этим идеям и осуществить свою заветную
мечту — дать широкому кругу читателей доступную книгу по
основаниям геометрии».
Но к осуществлению этой своей заветной мечты В. Ф. Каган смог
приступить только через 40 лет. В 1949 г. вышел в свет первый том его
сочинения «Основания геометрии», второй том ему не пришлось довести
до конца — написанная его часть вышла посмертно, в 1956 г. Последняя
написанная глава «Аксиоматика прямой» начинается параграфом «Учение
о величине» (стр. 252—258), который содержит в сжатом виде изложение
настоящей статьи. (Ред.).
2 См. статью «Янош Бойаи» в этой книге. (Ред.).

84 И. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Исследователь, имеющий предметом своих изысканий
совершенно определенную систему объектов, исходя из свойств
этих объектов, нередко строит теорию несравненно более
общую, охватывающую гораздо более обширный материал, чем
тот, который служил основой для построений его творческой
мысли. Целым дисциплинам приписывали гораздо более узкое
значение, чем* они действительно имели; а это в свою очередь
совершенно сбивало с пути философа, который искал
источник этого познания; и проходили иногда столетия, прежде
чем такого рода ошибка была понята.
С другой стороны, мыслитель, пытавшийся построить
формально дедуктивную систему, в действительности
обыкновенно имел перед собой определенную систему образов,
служивших основой его отвлеченных рассуждений; и в цепь
логических выводов он бессознательно вносил элементы,
неразрывно связанные с витавшим перед ним образом, не
содержавшиеся в его посылках, и тем разрушал дедукцию. И тут
бывало нужно много времени, чтобы уяснить себе ошибки, и еще
неизмеримо больше,— чтобы их исправить.
Геометрия пережила ту и другую эволюцию. Ее творцы,
сознательные и бессознательные, всегда имели перед глазами
определенные пространственные образы и с них писали свою
науку; а в действительности они построили дисциплину,
обнимающую неизмеримо более широкую область идей, чем в нее
вкладывали. Кодификаторы же геометрии пытались
претворить унаследованное достояние в дедуктивную систему, йо не
умели отвлечься от тех образов, которыми руководились эти
творцы, и тем постоянно разрушали свою дедукцию.
Трудно себе представить, сколько ожесточенных споров,
недоразумений и заблуждений возникало на этой почве.
Однако действительно уяснить себе эту работу мысли
нелегко. Цель настоящего сочинения 1 в том именно и заключается,
чтобы детально выяснить те трудности, которые представляла
задача об обосновании геометрии, и те результаты, которые
нужно в настоящее время считать достигнутыми. Но при
сложности вопроса не так просто даже формулировать самую
постановку задачи. Мы считаем поэтому полезным разобрать
здесь небольшую теорию, на которой можно будет выяснить
намеченные здесь общие соображения и затем по аналогии
показать, как ставится задача об обосновании геометрии. Мы
См. сноску 1 на стр. 83. (Ред.).

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 85
имеем в виду обоснование учения о величине, как это
сделано С. О. Шатуновским в статье «О постулатах, лежащих в
основании понятия о величине»1. Самые идеи эти, по
существу своему, необходимы и в учении об основаниях геометрии.
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПОНЯТИЙ «РАВНО», «БОЛЬШЕ»
И «МЕНЬШЕ.
1. Что такое величина? Почти во всех классических
руководствах по арифметике мы находим следующее определение:
«Величина есть всё то, что может быть больше или меньше».
Это определение можно найти даже в знаменитой книжке,
которая многими признается первым действительно научным
сочинением по арифметике,— в «Учебнике арифметики»
Германа Грассмана2.
Но что же такое «равно», «больше», «меньше»? Если мы
станем перебирать все те многообразные случаи, когда мы
эти термины употребляем, то вряд ли мы найдем что-либо
наглядно общее во всех тех различных представлениях и
образах, которые мы с этими понятиями соединяем. Мы не будем
обсуждать здесь вопроса о том, есть ли что-либо общее в тех
образах, которые нам рисуются, когда мы говорим о большей
или меньшей длине, о большей или меньшей плотности,
температуре, белизне, красоте и т. д.; это дело психологов. Для
нас существенно важно не то. В математике мы постоянно
говорим о больших или меньших значениях одной и той же
величины, оперируем над этими понятиями совершенно
независимо от того, идет ли речь о той или о другой величине.
Ясно поэтому, что некоторыми общими свойствами эти
понятия должны обладать, хотя бы эти свойства и не
облекались в какие-либо определенные образы или представления,
и что этими общими свойствами, очевидно, только и
пользуется математика. Постараемся эти свойства отыскать.
2. Прежде всего еще детям объясняют, что «больше» и
«меньше» можно говорить только об однородных предметах;
теперь говорят обыкновенно, что понятия «равно», «больше»
и «меньше» применяются только к «различным значением
1 «Тр. 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики», 27/ХН
1911 г. —3/1 1912 г., стр. 276—281.
2Н. Grassmann. Lehrbuch der Arithmetik, 1861. Грассман,
впрочем, говорит так: «Величина есть всякая вещь, которая может быть
признана равной или неравной другой вещи».

86 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
одной и той же величины». Мы опять-таки не будем входить
в анализ того, что, собственно, такое однородные
предметы; но одно совершенно ясно: всякий раз, как мы говорим
о «большем» и «меньшем», мы имеем в виду некоторую
определенную совокупность или множество предметов,
выделенных теми или иными признаками в особую категорию; к
отдельным элементам этой совокупности, сопоставляя их
между собой, мы и применяем термины «больше», «равно»,
«меньше». Как такого рода множества мы рассматриваем
совокупность всех прямолинейных отрезков, совокупность всех углов,
совокупность весов, скоростей и т. д. Каждое такое
множество и составляет величину, а отдельные его элементы
представляют собой различные значения этой величины. Но
множество только тогда претворяется в величину, когда
установлены критерии, дающие возможность распознать относительно
любых двух его элементов А и В, будет ли элемент А
равен В, больше В или меньше В. Теперь обратимся к самым
этим понятиям.
3. Всякий раз, как мы в математике говорим о величине
и о различных ее значениях, мы всегда предполагаем, что для
любых двух значений А и В имеет место одно и только одно
из соотношений:
А = В, Л>5, А<В. (1)
Воспользуемся установившимся в логике термином. Если
относительно некоторого субъекта высказывается несколько
предложений, из которых каждое исключает все остальные,
а одно из них непременно должно иметь место, то говорят,
что эти предложения образуют полную дизъюнкцию. Если,
например, А есть современная русская монета, то
предложения:
монета Л сделана из золота,
монета А сделана из серебра,
монета Л сделана из меди 1
образуют полную дизъюнкцию. Возвращаясь к
соотношениям (1), мы можем поэтому сказать: понятия «равно»,
«больше», «меньше» таковы, что предложения (1) образуют
полную дизъюнкцию для любых элементов А и В какой угодно
величины.
1 Напоминаем, что статья вышла в свет в 1916 г.; речь идет о
старой чеканке русских монет. (Ред.).

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 87
4. Согласно данному выше определению, из предложений,
образующих дизъюнкцию, во-первых, по крайней мере одно
имеет место, а во-вторых, каждое исключает все остальные.
Сообразно этому, указанное выше свойство понятий «равно»,
«больше» и «меньше» сводится к четырем требованиям,
которым эти понятия должны удовлетворять. Обозначая через
А и В по-прежнему любые элементы нашего множества
(т. е. рассматриваемой величины), мы можем формулировать
эти требования следующим образом:
a) Имеет место по крайней мере одно из соотношений:
А = В,А>В,А<В.
b) Если имеет место соотношение А=В, то не имеет места
соотношение А < В.
c) Если имеет место соотношение А=В, то не имеет места
соотношение А> В.
d) Если имеет место соотношение А> В, то не имеет
места соотношение А < В.
Заметим, что предложения:
Ь') если имеет место соотношение А < В, то не имеет
места соотношение А =В,
с') если имеет место соотношение А > В, то не имеет
места соотношение А=В.
d') если имеет место соотношение А < В, то не имеет
места соотношение А>В
представляют лишь иное выражение предложений Ь), с)
и d). В самом деле, предложения Ь) и Ь'), например,
одинаково выражают, что соотношения А = В и А<В
несовместны, т. е. одновременно' не могут быть истинными К
5. Итак, предложения а), Ь), с) и d) выражают те
свойства понятий «равно», «больше» и «меньше», которые мы
с ними в математике неизменйо связываем. Но этим дело не
ограничивается. Почти во всех сочинениях по алгебре или
геометрии явно (в виде аксиом) или неявно выражены
следующие свойства этих понятий, которые им всегда
приписываются. Пусть А, В, С будут значения некоторой величины
(элементы некоторого множества):
e) Если А = В иВ = С, то А = С.
f) Если А> В и В > С, то А > С.
g) Если А<В иВ<С,тоА<С.
1 Переход от предложений Ь), с), d), к предложениям Ь')> с'), d')
известен в классической логике под названием контрапозиции.

88 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Достаточно посмотреть на самые записи этих трех
предложений, чтобы видеть, что они одно от другого отличаются
только тем, что в одном мы имеем знак =, в другом на его
месте знак >, в третьем — знак <. Они выражают как бы
одно и то же свойство, принадлежащее каждому из трех
понятий: «равно», «больше», «меньше». Это свойство в
настоящее время называют транзитивностью, и заключается оно в
следующем.
Положим, что элементы некоторого множества могут
стоять один к другому в соотношении, которое мы обозначим
через а. Чтобы выразить, что элемент А стоит в
соотношении а к элементу В, мы будем писать АаВ. Если характер
этого соотношения такое, что всякий раз, как элемент А стоит
в соотношении а к элементу В, а элемент В — в том же
соотношении а к элементу С, элемент А находится в том же со-
отношении а к элементу С, то это соотношение называется
транзитивным.
Приведем простые примеры. Положим, что множество
состоит из людей различных поколений: соотношение а
заключается, скажем, в том, что лицо А есть предок лица В.
Ясно, что это соотношение транзитивное: если А есть предок
лица Л, а Л — предок лица С, то А есть предок лица С.
Положим теперь, что множество опять-таки представляет собой
общество людей, из которых одни относятся к другим
враждебно, другие — дружелюбно или нейтрально. Пусть
соотношение АКБ выражает, что лицо А относится враждебно к
лицу В. Если теперь имеют место соотношения АХВ и ВХС, т. е.
если А относится враждебно к Л, а Л враждебно к С, то А
может и не относиться враждебно к С; пожалуй, даже
скорее наоборот; поэтому соотношение X не обладает
транзитивностью.
Возьмем еще пример из геометрии. Положим, что
множество состоит из нескольких прямолинейных треугольников и
что соотношение АКБ заключается в том, что треугольник А
подобен треугольнику В. Ясно, что если А\В и BlC, то АХС;
подобие есть соотношение транзитивное. Если соотношение
А\лВ выражает, что -стороны треугольника А параллельны
сторонам треугольника В, то и это соотношение будет
транзитивное. Но если соотношение AvB выражает, что стороны
треугольника А перпендикулярны к сторонам
треугольника В, то из соотношений AvB и BvC вытекает не AvC, а А\лС;
соотношение v не обладает транзитивностью.

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 89
Итак, предложения е), f) и g) выражают, что каждое из
соотношений, обозначаемых терминами «равно», «больше»,
«меньше», обладает свойством транзитивности.
Вся же совокупность предложений а) —g) выражает, что
соотношения «равно», «больше» и «меньше» суть
транзитивные соотношения такого рода, что предложения (1)
представляют полную дизъюнкцию для любых двух элементов нашего
множества.
6. До сих пор мы еще не указали ни одного свойства
понятий «равно», «больше» или «меньше», которое существенно
отличало бы одно из них от других: каждое из указанных
свойств в равной мере принадлежит всем трем понятиям.
Теперь мы укажем два свойства равенства, которые не
принадлежат понятиям «больше» и «меньше». Первое из этих
свойств есть обратимость.
Обратимость какого-либо соотношения а заключается &
том, что из соотношения АаВ всегда следует
соотношение ВаА. Так, рассмотренное выше соотношение АХВ,
выражающее, что треугольник А подобен треугольнику В, есть
соотношение обратимое, ибо если АХВ, то и ВХА; таким же
образом обратимы и указанные выше в виде примеров
соотношения А\лВ и AvB. Но если в том же множестве
треугольников соотношение АоВ выражает, что треугольник А лежит
внутри треугольника В, то это, очевидно, есть соотношение
необратимое.
h) Равенство есть соотношение обратимое: из
соотношения А=В всегда следует соотношение В=А.
7. Теперь обратим внимание еще на одно обстоятельство.
Мы сказали выше, что предложения (1) выражают полную
дизъюнкцию, если А и В суть элементы множества. Мы не
добавили «д в а элемента» или «два различных
элемента»; мы желали этим сказать, что все упомянутые выше
свойства должны иметь место и в том случае, когда В есть тот
же элемент, что и Л. В частности, следовательно, и в этом
случае предложения (1) должны давать полную дизъюнкцию.
Иначе говоря, должно иметь место одно и только одно из
соотношений:
А = А, А>А, А<А. (2>

90 "• ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Как известно, мы всегда принимаем, что каждый элемент
комплекса (каждое значение величины) равен самрму себе,
т. е. что из соотношений (2) всегда имеет место только
первое, а остальные ложны.
Такое свойство соотношения называют возвратным1.
Некоторое соотношение элементов данного множества
называется возвратным, если каждый элемент множества
находится в этом соотношении к самому себе.
Так, рассмотренное выше соотношение X (подобие
треугольников) есть соотношение возвратное: каждый
треугольник подобен самому себе. И соотношение \i (параллельность
соответствующих сторон) есть соотношение возвратное, если
мы смотрим на совпадение двух прямых как на частный
случай их параллелизма. Но соотношение v (перпендикулярность
соответствующих сторон) не будет уже возвратным.
i) Равенство есть соотношение возвратное: каков бы ни
был элемент А рассматриваемого множества, А=А.
8. Мы еще раз остановимся на соотношении \i
(параллельность сторон). Как мы сказали выше, это соотношение
будет возвратным или не будет таковым в зависимости от
того, как мы понимаем параллелизм,— условимся ли мы
считать две совпадающие прямые параллельными или нет. Ясно,
что это дело нашего соглашения, что это зависит только от
того, какое содержание мы сами в этот термин вкладываем.
Если мы будем настаивать на том определении, что две
прямые в плоскости параллельны, когда они вовсе не имеют
общих точек, то совпадающие йрямые нельзя будет, конечно,
признать параллельными. Но если мы скажем, что мы будем
называть две прямые параллельными, когда они либо
совпадают, либо вовсе не имеют общих точек, то вопрос получит
решение в другом смысле. Важно только вполне ясно отдать
себе отчет в том, что это дело терминов, а потому дело
нашего соглашения. Но когда термины создаются
целыми поколениями или даже рядом поколений, то человек часто
склонен забывать, что он и его предки были творцами этих
понятий, и ищет фактов там, где имеют место только
соглашения. Недостаточное понимание этого обстоятельства вело и
ведет к неисчислимым заблуждениям.
1 В настоящее время вместо «возвратное» принят термин
«рефлексивное». (Ред.).

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ д\
§ 2. ВЫВОДНЫЕ СВОЙСТВА ПОНЯТИЙ «РАВНО», «БОЛЬШЕ»
И «МЕНЬШЕ»
1. Однако указанными свойствами отнюдь не
исчерпываются все те свойства понятий «равно», «больше» и «меньше»,
которыми приходится пользоваться в математике. Но
замечательно, что все такие свойства, которые принадлежат этим
понятиям всегда, т. е. независимо от формы осуществления
в различных величинах, представляют собой уже
следствия свойств а) — i). К выводу этих свойств
понятий «равно», «больше» и «меньше» мы теперь и перейдем.
2. Теоремia Ij. Соотношение А > В исключает
соотношение В > А.
Теорема Ь. Соотношение А < В исключает
соотношение В < А.
Доказательства. 1) Если бы одновременно имели
место соотношения А > В и В > Л, то в силу предложения g"),
которое имеет место, каковы бы ни были элементы А, В и С
(§ 1, 5), существовало бы соотношение А > А. Но в силу
возвратности равенства [предл. i)] A=A; соотношения же
А=А и А>А совместно существовать не могут [предл. с)].
2) Если бы существовали совместно соотношения А < В и
В < А, то в силу предложения g) имело бы место
соотношение А < Л, что несовместимо с соотношением А=А
[предложения i) и Ь)}.
Теорема IIi- Если А > В, то В < А.
Теорема П2. Если А < В, то В > А.
1) Так как А и В суть элементы нашего множества, то в
силу предложения а) должно иметь место по крайней мере
одно из трех соотношений: В = А, В > А, В < А. Если мы
поэтому обнаружим, что первые два соотношения при
условиях задания не могут иметь место, то тем самым будет
доказано, что имеет место третье соотношение.
Но соотношение В = А влекло бы за собой соотношение
А = В [предл. h)], что несовместимо с заданием А > В
[предл. с)]. Соотношение же В > А несовместимо с заданием
А > В в силу теоремы 1ь Следовательно, имеет место
соотношение В < А.
2) И в этом случае должно иметь место по крайней мере
одно из соотношений: В = А, В < А, В > А [предл. а)]. Но
соотношение В = А влечет за собой соотношение А = В

92 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
[предл. h)], что несовместимо с заданием А < В [предл. Ь)];
соотношение же В < А несовместимо с заданием А < В в
силу теоремы Ь. Поэтому имеет место соотношение В > А.
3. Просматривая список предложений из числя, а)—i)„
которыми мы воспользовались для доказательства теорем I
и II, мы не находим в нем только одного — именно
предложения d). Это не случайность; мы хотим сказать, что
причина этого заключается не в том, что предложение d)
ненужно для доказательства предложений I и II, а коренится
глубже. Именно, оказывается, что самое предложение d) есть
следствие из предложений а) —с) и е) —i). Это теперь
нетрудно доказать. В самом деле, предложения I и II, как
мы показали, представляют собой следствия предложений
а)—с) и е)—i); мы можем поэтому и ими пользоваться при
нашем доказательстве.
Теорема III (d). Если имеет место соотношение А > В,
то не имеет места соотношение А < В.
Доказательство. Допустим, что эти соотношения
существуют одновременно, т. е. что А > В и А < В. ИзА<В
вытекает В > А (теорема Н2)- Но соотношения А > В и В > А
не могут иметь места совместно ввиду теоремы 1ь
Итак, предложение d) должно* быть исключено из числа
основных свойств понятий «равно», «больше» и «меньше» в
том смысле, что оно выводится из остальных предложений
а) —с) и е) —i). Но теперь естественно вытекает вопрос, не
представляет ли какое-либо из этих восьми предложений
следствия из семи остальных? Этим вопросом мы займемся
ниже, в § 6. Именно, мы там докажем, что ни одно из этих
восьми предложений не представляет собой следствия
остальных. Если не принять всех восьми, если принять только семь
из них, то этими средствами нельзя будет доказать ни этого
восьмого предложения, ни теорем I—III, ни доказываемых
ниже теорем IV—VIII. Вот почему эти восемь основных
предложений принято называть постулатами сравнения.
4. Уже из транзитивности понятий «равно», «больше» и
«меньше» вытекает очень важное их свойство.
Если а есть какое-либо транзитивное соотношение и если
имеют место соотношения:
ЛхаЛ2, Л2аЛ3, Л3аЛ4, ... , An-iaAn, (1)
то имеет место также соотношение А\аАп.

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 93
В самом деле, при п = 3 это предложение представляет
собой только выражение транзитивности соотношения а.
Посмотрим, как доказывается это соотношение при п = 4.
Даны соотношения: А\аА2, Л2аЛ3, Л3аЛ4. Из первых двух
соотношений в силу транзитивности соотношения а вытекает
соотношение AiaAs: теперь из соотношений AxaAz и Л3аЛ4 по
той же причине вытекает соотношение А\аАА. Ясно, что этот
процесс можно довести до любого числа элементов;
математический прием, который применяется для общего
доказательства предложения, известен под названием «полной (или
математической) индукции», читатель не затруднится применить
его в этом доказательстве. Вместе с тем как частные
случаи этого общего предложения мы получаем следующие
теоремы:
Теорема IV. Если Ах = А2, А2 = Л3,..., Ап-\ = Ап , то
Ах=Ап.
Теорема V. Если А{>А2, А2 > Л3,..., Ап-\ > Ап,
тоЛ!>ЛЛ.
Теорема VI. Если Ах < А2, А2 < Л3,..., An-i<An,
то Ах <Ап.
5. Если а есть соотношение не только транзитивное, но и
обратимое, то оно обладает еще следующим важным
свойством: если существуют соотношения АаС и ВаС, то существует
и соотношение АаВ\ иначе говоря, два элемента Л и В,
находящиеся в соотношении а к третьему элементу С, находятся
и между собой в том же соотношении а. В самом деле,
даны соотношения АаС и ВаС; в силу обратимости
соотношения а имеет место также соотношение СаВ; итак,
соотношения АаС и СаВ существуют совместно; но в таком
случае в силу транзитивности соотношения а имеет место
соотношение ЛаВ.
Применяя этот вывод к соотношению равенства
[предложения h) и i)], получаем:
Теорема VII. Если А = С и В = С, то А = В, г. е.
если два элемента множества (два значения величины) равны
третьему, то они равны между собой.
Теорема VIII. Если имеет место равенство или
неравенство А = В, или А > В, или А < В, то оно не нарушится,
когда мы один из его элементов заменим равным ему
элементом.

94 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Точнее говоря, это предложение распадается на
следующие шесть предложений:
Теорема Villi. Если А = В и А = С, то С = В.
Теорема VIII2. Если А = В и В = С, то А = С.
Теорема VIII3. Если А > В и А = С, то О В.
Теорема VI1I4. Если А > В и В = С, то А > С.
Теорема VIII5. Если А<В и Л=С, то С<В.
Теорема VIII6. Если А<В и В=С, то А<С.
Доказательства. 1) и 2). Заметим, что теорема Vllb
есть не что иное, как выражение транзитивности равенства
[предл. е)] и помещена здесь только для полноты.
Теорема Villi непосредственно сводится к теореме VII. В самом
деле, так как А =■ В и А = С, то по обратимости равенства
[предл. h)] B=A «и С=А\ следовательно, В = С (теорема VII)
и С = В [предл. h)].
3) Даны соотношения А > В и А = С. Согласно
предложению а), должно иметь место по крайней мере одно из
соотношений С = В, С> В или С < В.
Если бы имело место равенство С = В, то из соотношений
А = С и С = В вытекало бы соотношение А = В [предл. е)
или теорема VI1Ь], что несовместимо с соотношением А > В
[предл. с)]. Итак, допущение С = В должно быть отвергнуто.
Таким же образом отвергнуто должно быть и допущение
С < В. В самом деле, так как А > В, то В < А (теорема Hi);
если бы поэтому имело место соотношение С < В, то из
соотношений С<В и В<А вытекало бы соотношение С<А
[предл. g)], что несовместно с равенством С = А [предл. Ь)],
вытекающим из задания А = С [предл. h)]. Так как
допущения С = В и С < В должны быть отвергнуты, то С > В.
4) Даны соотношения А > В и В = С. Согласно
предложению а), должно иметь место по крайней мере одно из
соотношений А = С, А < С, А > С. Если бы имело место
соотношение А = С, то ввиду задания В = С имело бы место и
соотношение А = В (теорема VII), что противоречит
заданию А > В [предл. с)]. Если бы имело место соотношение
А < С, то существовало бы и соотношение С > А
(теорема Иг), и из совместного существования соотношений С > А
и А > В вытекало бы соотношение С > В [предл. f)]; но это
противоречит заданию В = С или С = В [предложения h) и с)].
Итак, допущения А = С и А<С должны быть отвергнуты, и
потому А > С.

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 95
5) Даны соотношения А<В и А=С. Так как А<В,
то В>А (теорема 1Ь); из соотношений же В>А и А = С
вытекает соотношение В > С (доказанное уже предл.. VIII4),
или соотношение С < В (теорема Hi).
6) Даны соотношения А < В, В = С. Из соотношения
А<В вытекает соотношение В > А (теорема Нг); но из
совместного существования соотношений В > А и В = С
вытекает соотношение С > А (доказанное уже предл. УШз). или
соотношение А < С (теорема Hi).
§ 3. ПОНЯТИЕ О ВЕЛИЧИНЕ
1. Постулатами сравнения ia)—с) и е)—i), а также
вытекающими из них предложениями I—VIII, исчерпываются все
те свойства понятий «равно», «больше» и «меньше», которые
в математике с ними связываются и находят себе применение
независимо от индивидуальных свойств того множества,
к элементам коего мы их в различных частных случаях
применяем. Чтобы убедиться в том, что это действительно так,
т. е. что указанными предложениями исчерпываются все
общие свойства рассматриваемых понятий, необходимо
проследить научное развитие арифметики и геометрии и
удостовериться в том, что ни на какие иные общие свойства этих
понятий не приходится ссылаться.
Все свойства понятий «равно», «больше» и «меньше»
распадаются на две категории. Свойства первой категории
выражаются системой восьми предложений, из которых ни одно не
представляет собой следствия семи остальных; мы уже
указали на это выше и докажем это в § 6; эти предложения
мы назвали постулатами сравнения. Вторую категорию
составляют предложения, представляющие собой следствия из
постулатов сравнения; их мы назвали теоремами.
2. Кто вник в выводы этих теорем, тот уяснил себе,
конечно, что они опираются не на те или иные наглядные
представления, которые мы обычно соединяем с понятиями
«равно», «больше» или «меньше», а на присущие им свойства
дизъюнктивности, транзитивности, обратимости и
возвратности. Мы пользовались этими понятиями лишь постольку,
поскольку они характеризуются этими свойствами. Мы
можем стать поэтому, как это и делает С. О. Шатуновский в
упомянутой работе, на более общую точку зрения.

96 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Положим, что мы имеем некоторое множество, элементы
которого могут быть связаны одни с другими различного рода
соотношениями. Наше множество может состоять, например,
из людей, и соотношение, которым лицо А связано с лицом В,
может заключаться в том/что А есть предок, или брат, или
потомок лица В и т. п. Множество может состоять из
треугольников, и соотношения могут заключаться в том, что
треугольник А конгруэнтен треугольнику В, или в том, что
треугольник А подобен треугольнику В, или в том, что
треугольник Л может быть расположен внутри или вне треугольника В.
Совершенно ясно, что в одном и том же множестве элементы
могут находиться в различных соотношениях один к другому,
или, вернее, что мы можем устанавливать, мы можем изучать
различные соотношения.
Итак, положим, что мы имеем некоторое множество
элементов и что мы изучаем в этом множестве три категории
соотношений, которые мы будем обозначать соответственно
через а, р и Y-
Положим далее, что эти соотношения удовлетворяют
следующим требованиям, которые мы будем, впрочем, называть
латинским словом, имеющим то же значение,— постулатами.
Постулаты
I. Каждый элемент множества А стоит к любому элементу
(другому или тому же самому) этого множества, по крайней
мере в одном из соотношений а, р, у, иначе говоря, коль скоро
А и В суть элементы множества, всегда имеет место, по
крайней мере, одно из соотношений: АаВ, А$В или АуВ.
II. Соотношение а исключаем соотношение р. Это значит,
что если имеет место соотношение ЛаВ, то не имеет места
соотношение ЛрВ.
III. Соотношение а исключает соотношение у.
IV. Соотношение а транзитивно. Это значит, что если А, В
и С суть элементы нашего множества и имеют место
соотношения АаВ и ВаС, то имеет также место соотношение АаС.
V. Соотношение р транзитивно.
VI. Соотношение у транзитивно.
VII. Соотношение а обратимо1. Это значит, что если имеет
место соотношение АаВ, то имеет также место
соотношение ВаА.
1 Или «симметрично». (Ред.).

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 97
VIII. Наконец, а есть соотношение возвратное, т. е.
каждый элемент комплекса А всегда стоит к себе самому в
соотношении а (АаА).
Если соотношения а, р, y этим требованиям
удовлетворяют, то имеют место следующие теоремы:
Теоремы
Теорема 1ь Соотношение А$В исключает соотношение
ВрЛ, т. е. если имеет место одно из этих соотношений, то не
имеет места другое.
Теорема \2. Соотношение АуВ исключает
соотношение ВуА
Теорема Hi. Если А$В, то ВуА.
Теорема III. Соотношение р и у исключают друг друга,
т. е. если имеет место соотношение А$В, то не имеет места
соотношение АуВ.
Теорема IV. Если АгаА2, А2аАг,..., Ап_х аАп, то А{аАп.
Теорема V. Если А$А2у Л2рЛ3,..., Ап^Ап, то АфАп.
Теорема VI. Если АхуА2, А2уАг,..., Ап-ХуАп, то АхуАп.
Теорема VII. Если АаС и ВаС, то АаВ.
Теорема Villi. Если АаВ и АаС, то СаВ.
Теорема Vllb. Если АаВ и ВаС, то АаС.
Теорема VIII3. Если ЛрВ и АаС, то СрВ.
Теорема VIII4. Если А$В и ВаС, то ЛрС.
Теорема VIII5. Если АуВ и АаС, то Су В.
Теорема VIII6. Если АуВ и ВаС, то АуС.
3. Теперь приведем различные примеры осуществления
этих общих соображений.
Положим, что наше множество представляет собой
некоторую семью или, вернее, род, а именно состоит из
родоначальника Л, его детей Ви В2у..., Вь, образующих второе поколение,—
из их детей Сь С2,..., Сг, образующих третье поколение, и т. д.
Мы при этом предполагаем, что каждый член этого рода
произошел от брака лица старшей линии с лицом, этому роду
не принадлежащим. Мы будем говорить, что член этого
рода М связан с лицом N соотношением а, или, лучше,
находится к члену N в отношении a (MaN), если он принадлежит
тому же поколению; мы будем дальше говорить, что лицо М
находится к лицу N в отношении р (M$N), если это лицо М
принадлежит старшему поколению, и в отношении у (MyN),

98 Н.ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ "И ОБЪЕМОВ
если оно принадлежит младшему поколению. Нужно не
много внимания, чтобы убедиться в том, что постулаты I—VIII
удовлетворены. Вместе с тем будут справедливы
теоремы I—VIII, т. е. будут справедливы предложения, которые
получатся, когда мы под А, В, С,... будем разуметь членов
нашего рода, а под а, р, y — те значения, которые мы им в
данном случае приписали. Так, например, теорема Hi
выражает следующее: если лицо А принадлежит старшему
поколению относительно лица В, то В принадлежит младшему
поколению относительно лица А; теорема VII, скажем,
выражает: если лицо А принадлежит тому же поколению, что и С,
и В — тому же поколению, что и С, то А принадлежит тому
же поколению, что и В.
Если бы, однако, в этом роду происходили браки между
его же членами, то дизъюнкция, требуемая постулатами
I—III, не имела бы места. Если бы, например, некоторое
лицо М произошло от брака члена В, (поколения В) с
членом Ct (поколения С), то оно по своему происхождению от Вь
должно было бы быть отнесено к поколению С (так что имело
бы место соотношение MaCt), а по своему происхождению
от С/ оно должно было бы быть отнесено к следующему
поколению (так что имело бы место соотношение MyCt)\
постулат III, таким образом, не был бы удовлетворен.
4, Некоторые твердые тела обладают тем свойством, что
при надлежащей шлифовке одно тело режет другое.
Выражаясь кратко, нож, сделанный из одного тела, режет другое.
Положим, что мы имеем группу таких тел. Если тело А
сделано из того же материала, что и тело В, или вообще если
нож, сделанный из вещества А, не режет вещества В и в то
же время нож, сделанный из вещества В, не режет
вещества А, то говорят, что оба вещества имеют одинаковую
твердость, и это отношение вещества А к веществу В и, обратно,
вещества В к веществу А мы будем обозначать через а (АаВ
и ВаА). Если нож из вещества А режет тело В, то говорят,
что тело А тверже тела В; это соотношение мы будем
обозначать через ЛрВ. Если, наоборот, вещество А режется но-
жом из вещества В, то говорят, что вещество А мягче, чем
вещество В; это соотношение мы будем обозначать через АуВ.
Опыт обнаруживает, что при надлежащем составе группы
тел эти соотношения а, р, y удовлетворяют постулатам I—VIII.
Впрочем, справедливость постулатов I—III и VII вытекает

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 99'
уже из прочих чисто логически. Если, например, ни одно из
тел А и В не режет другого, то, по определению, не имеют
места соотношения Р и у\ но имеет место соотношение а;
иначе говоря, соотношение а исключает соотношение р и у.
Если же одно из тел А и В режет другое, то не имеет места
соотношение а, но, по определению, имеет место по крайней
мере одно из соотношений ЛрВ или АуВ. Таким образом,
дизъюнкция, требуемая постулатами I—III, всегда имеет
место. Далее, согласно самому определению, а есть
соотношение обратимое (постулат VII). Что касается постулатов
IV VI и VIII, то их справедливость устанавливается чисто
опытным путем. Опытно устанавливается, например, следую-1
щее: если вещество А режет вещество В, а вещество В режег
вещество С, то вещество А режет вещество С (постулат V),
Именно вследствие того обстоятельства, что эти
соотношения удовлетворяют постулатам I—VIII, и оказывается
возможным установить шкалу твердости. Аналогично
устанавливается шкала температур, шкала потенциалов и т. д.
5. Одной из важнейших систем соотношений
рассмотренного типа является последовательность по времени событий,
происходящих в одной и той же системе отсчета. Положим,
что наше множество представляет собой некоторую
совокупность таких событий А, В, С,... Под соотношением АаВ мы
будем разуметь, что событие А происходит
одновременно с событием В; под соотношением ЛрВ мы будем
разуметь, что событие А предшествует событию В, и,
наконец, под соотношением АуВ мы будем разуметь, что событие Л'
следует за событием В. Очевидно, что эти соотношения
удовлетворяют постулатам I—VIII. Сделанная выше
оговорка, что речь идет о множестве событий, происходящих в одной
и той же системе отсчета, имеет существенное значение.
Согласно теории относительности, не имеет смысла говорить
о временной последовательности событий без указания
системы отсчета.
6. Случаи, в которых приходится для того или иного
множества устанавливать соотношения а, р, у, встречаются в
повседневной жизни необычайно часто. Вследствие этого
язык выработал особую постоянную форму для выражения
такого рода соотношений. Заметим, что нет надобности иметь *
особое название для каждого из соотношений р и у, ибо при:1

100 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
наличности постулатов I—VIII вместо АуВ в силу теорем I
и II можно всегда сказать В$А. Если в некотором множестве
устанавливаются соотношения а, р, у» удовлетворяющие
постулатам I—VIII, то соотношение а обыкновенно выражается
некоторым прилагательным в положительной степени с
присоединением слов «столь же»; соотношение Р— тем же
прилагательным в сравнительной степени; иногда, впрочем,
соотношение р выражают тем же прилагательным с
присоединением слова «более», а у — тем же прилагательным с
присоединением слова «менее» (или наоборот).
Те признаки, по которым для данного множества и данной
системы соотношений а, р, y устанавливается, которое именно
из них имеет место, мы будем называть критериями
сравнения. Выше подробно выяснены критерии относительного
старшинства и относительной твердости. Но в повседневной
жизни не так часто встречаются множества и соотношения
в них, для которых критерии сравнения были бы совершенно
отчетливы; они часто сводятся даже к расплывчатой
чувственной оценке, которая различных людей приводит к
различным результатам. В этом положении мы находимся, когда
судим об относительном уме, красоте, доброте и т. д.
Экспериментальные науки идут в этом направлении гораздо
дальше; в них критерии сравнения бывают выражены
несравненно точнее, но и здесь мы редко располагаем
возможностью произвести дизъюнкцию со всей необходимой
точностью. Когда мы выше говорили о шкале твердости, мы
были вынуждены оговориться; что речь идет «о надлежаще
выбранной группе тел», ибо далеко не для всяких тел
свойства, о которых шла речь, достаточно отчетливо выражены.
Недостаточно отчетливо они бывают выражены и в шкалах,
установленных гораздо более научно и играющих гораздо
более важную роль. Даже в шкале, о которой была речь в
п. 5, часто бывает очень трудно определить истинную
последовательность событий; здесь, как и во всём, существует порог
наших ощущений.
7. От этих несовершенных критериев сравнения
математика восходит к абсолютно точным.
Когда математическое исследование приводит нас к такому
множеству и к таким соотношениям в нем а, Р, у> которые
вполне удовлетворяют требованиям, или постулатам I—VIII,
когда мы имеем для этого совершенные критерии сравнения,

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ Ю1
то такого рода множество обыкновенно называют
«величиной», соотношение а называют при этом термином «равно»,
соотношение р — термином «больше», а соотношение у —
термином «меньше» (или наоборот); элементы множества
называют «значениями» этой величины.
Когда мы в некотором исследовании трактуем некоторое
множество как величину, то это означает, что для элементов
множества установлены критерии сравнения и что мы в своем
исследовании применяем к соответствующим соотношениям
постулаты сравнения и теоремы I—VIII.
Названные постулаты и теоремы содержат всё то, что
относится ко всем без, исключения величинам; пользуясь же
критериями сравнения, мы уже приходим к индивидуальным
особенностям отдельных величин.
Устанавливая критерии сравнения, мы претворяем мно*
жество в величину.
Итак, величиной называют всякое множество, для
элементов, которого установлены критерии сравнения,
удовлетворяющие постулатам I—VIII; иначе говоря, величина есть
множество, элементы которого стоят один к другому в отношении
«равно» (а), «больше» (Р), «меньше» (y), причем
соотношения эти удовлетворяют постулатам сравнения I—VIII.
8. В качестве первого и важнейшего примера
математической величины мы рассмотрим натуральный ряд чисел.
Целые числа, к которым мы приходим при счете элементов
какого-нибудь конечного множества, располагаются, как
известно, в натуральный ряд чисел 1. Если при счете двух
конечных множеств мы приходим к числам а и 6, занимающим
в натуральном ряду одно и то же место, то мы говорим, что
число а равно числу Ь\ если число а следует за числом Ь в
натуральном ряду, то мы говорим, что а больше Ь; если
число а предшествует числу Ь, то мы говорим, что а меньше Ь.
При этом мы принимаем натуральный ряд как нечто нам
известное; в частности, принимаем, что предыдущие критерии
сравнения удовлетворяют постулатам I—VIII, т. е. что
натуральный ряд при этих критериях сравнения представляет со-
бой величину 2.
1 На самом акте построения натурального ряда мы здесь не
останавливаемся; это относится уже к арифметике и может быть выполнено
различными способами.
2 Это утверждение можно обосновать и строго, если опираться на
аксиоматику натурального ряда. (Ред.).

f!02 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
9. Когда арифметика целых чисел установлена, то
дальнейшее расширение множества чисел не представляет уже
и тт ftl
затруднении. Из целых чисел составляют символы вида —>
которые называют «дробями»; в этих символах числитель т
есть какое угодно целое число, а знаменатель п — целое
число, отличное от нуля. Вместе с тем уславливаются на сим-
т
вол — смотреть лишь как на иное начертание символа т;
таким образом, целые числа входят в множество дробей.
Положим теперь, что — и — суть две дроби. Составим про-
п п
изведения тп' и т'п. Так как это суть целые числа, а для
таковых критерии сравнения удовлетворяют постулатам
сравнения, то имеет место одно и только одно из соотношений:
тп! — т'п, тп'^т'п, тп'<^т!п. (1)
Установим теперь критерии сравнения для множества
дробей. Будем говорить, что дробь — равна дроби —, если
п п
имеет место первое из соотношений (1); что дробь— боль-
п
т
ше дроби — , если имеет место второе, и, наконец, что
дробь — меньше дроби —, если имеет место третье из соот-
ношений (1). Так как по крайней мере одно из
соотношений (1) имеет место и каждое из них исключает два других,
то то же справедливо относительно соотношений:
т mr m ^ mr mm' ^о\
п п п п п п
Иначе говоря, установленные критерии сравнения дробей
удовлетворяют постулатам I—III; покажем, что они
удовлетворяют и остальным постулатам. Прежде всего ясно, что
равенство дробей есть свойство обратимое и возвратное. В са-
т тг , ,
мом деле, если — =— , то тп' = т'п; но в таком случае и
п п'
, / mr m mm*,
т'п = тп, т. е. —=—; точно так же — =—, ибо тп = тп.
п' п п п
Постулаты VII и VIII, таким образом, удовлетворены.

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ ЮЗ
Остается обнаружить, что и постулаты IV—VI удовлетво»
рены. Начнем с IV. Положим, что — = — и — = —- . Это
п п' п' пп
значит, что
тп' = т'п и m'ri' = т"п!. (3)
Так как соотношения (3) представляют собой равенства
целых чисел, а арифметику целых чисел мы считаем
установленной, то отсюда следует, что
тп'п" =•-• т'пп" и т'пп" = m"nnf', (4)
ибо равенство двух целых чисел не нарушится, если мы их
умножим на одно и то )ке число. Из соотношения (4), в силу
транзитивности равенства целых чисел, вытекает
тп'п!' = т"пп',
г следовательно,
т т"
тп = т /г, т. е.
п п"
Совершенно так же доказывается транзитивность
соотношений «больше» и «меньше», нужно только в этом
рассуждении вместо «равно» всюду ставить соответственно «больше»
или «меньше».
Итак, установленными выше критериями сравнения
совокупность дробей претворена в величину. Докажем теперь еще
следующую теорему: если мы в некоторой дроби умножим
числителя и знаменателя на одно и то же число, то мы
получим дробь, равную исходной. В самом деле, пусть — будет
я
данная дробь; тогда дробь — равна исходной дроби, ибо
пгр
имеет место соотношение mnp=nmp. Эта теорема выражает
свойство дробей, хотя и связанное с идеей равенства, но
специфически принадлежащее этой величине; оно вытекает из
критериев сравнения.
10. При введении иррациональных чисел мы также
должны начать с претворения нового множества объектов в
величину, т. е. с установления критериев сравнения. Это задача

104 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
более сложная, и мы не будем здесь ею заниматься *.
Заметим только, что правильное установление этих критериев
составляет основу современного построения анализа.
11. Геометрия приносит целый ряд новых величин. На
первом месте появляется совокупность прямолинейных
отрезков. В настоящее время на первых страницах каждого
учебника мы находим критерии сравнения, претворяющие этот
комплекс в величину. Они сводятся к следующему. Пусть
АВ и А'В' будут два отрезка. Наложим первый отрезок на
второй так, чтобы точка А упала в точку А' и чтобы точки
В и В' оказались по одну сторону от точки А; если при этом
точка В упадет в точку В', то отрезок АВ равен отрезку А'В';
если точка В упадет внутрь отрезка А'В', то отрезок АВ
меньше отрезка А'В'; если точка В упадет за пределы
отрезка А'В', то отрезок АВ больше отрезка А'В'. Чтобы
множество' прямолинейных отрезков было при этом претворено в
величину, нужно доказать, что постулаты сравнения здесь
удовлетворены. Этого, однако, обыкновенно не делают.
Насколько это существенно, покажет следующий пример.
Совокупность прямолинейных углов претворяется в
величину. Критерии сравнения сводятся к следующему. Пусть
ABC и А'В'С' будут два прямолинейных угла. Наложим
первый на второй так, чтобы вершина В упала в вершину В'у
чтобы сторона ВС совпала со стороной В'С; если при этом
сторона ВА совместится со стороной В'А', то ZABC= ZА'В'С;
если сторона ВС упадет внутрь угла А'В'С, то ZABC<
<ZА'В'С; если сторона ВС упадет вне второго угла, то
ZABC> ZA'B'C. Это обычные критерии сравнения; и в этом
случае мы опять не находим в руководствах по геометрии
доказательства постулатов сравнения.
Попытаемся теперь установить для множества углов иные
критерии сравнения. Именно, будем говорить, что угол ABC
равен углу А'В'С, если он ему конгруэнтен, т. е. если он
может быть приведен с ним в совмещение; далее, будем
говорить, что угол ABC меньше угла А'В'С, если он может быть
помещен внутри второго угла; наконец, будем говорить, что
угол ABC больше угла А'В'С, если он может быть приведен
в такое положение, чтобы второй угол поместился внутри его.
1 См. R. Dedekind. Stetigkeit und irrationale Zahlen, 3-е изд., 1905.
Имеется русский перевод С. О. Шатуновского: Р. Дедекинд.
Непрерывность и иррациональные числа: Одесса, 2-е изд. 1909; 3-е изд. 1924.

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ Ю5
Это было бы, однако, ошибочно, ибо постулаты сравнения не
были бы удовлетворены, именно не были бы удовлетворены
постулаты II и III, т. е. равенство не исключало бы
неравенства: если два угла конгруэнтны, то первый может быть
совмещен со вторым, может быть помещен внутри его, может
его охватывать (углы с параллельными и сонаправленнымя
сторонами). Между тем эту ошибку несомненно допускали, и
это приводило к большим заблуждениям.
Длины, площади, объемы — все это суть геометрические
величины; как это обосновывается, будет показано во второй
части настоящего сочинения 1.
§ 4. НАИМЕНОВАНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
1. В п. 7 § 3 мы дали определение понятия о величине.
Согласно этому определению, множество, составленное из тех
или иных элементов, претворяется в величину, если мы
устанавливаем между его элементами троякого рода соотношения,
которые удовлетворяют постулатам I—VIII; эти соотношения
мы выражаем в словах так: «Л равно В», «Л больше В»,
«Л меньше В», причем критерии сравнения определяют,
каким из трех соотношений элемент А связан с элементом В.
Однако одно и то же множество может быть часто
претворяемо в величину при различных критериях сравнения. Так,
например, множество, состоящее из людей, может быть
претворено в величину по последовательности моментов их
рождения; но оно может быть претворено в величину также при
критериях сравнения, основанных на относительном
положении, которое примут головы сравниваемых людей, когда мы
поставим их рядом на одной горизонтальной плоскости.
Можно, конечно, указать и много других критериев сравнения для
элементов того же множества. Ясно, что при таких условиях
выражение «Л больше В» будет иметь определенное
содержание только тогда, когда будут указаны те критерии
сравнения, к которым слово «больше» относится. Поэтому по смыслу
определения, содержащегося в п. 7 § 3, мы должны были бы
говорить, например, так: «Л больше В при критериях сравнения,
основанных на последовательности моментов рождения» и т. п.
Для сокращения речи, однако, язык выработал иную форму
1 См. сноску 1 на стр. 83. В. Ф. Каган успел изложить этот вопрос
только для прямых линий (глава «Аксиоматика прямой» во втором томе
«Оснований геометрии», изд. 1956 г.). См. также статью «Этюды по
основаниям геометрии» в наст, книге. (Ред.).

106 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
выражения той же мысли. Именно, он вводит новые термины:
«возраст», «рост» и т. п., и вместо того, чтобы говорить:
«А больше В при критериях сравнения, основанных на
последовательности моментов рождения», говорит короче:
«возраст А больше возраста В», так что вторая фраза есть лишь
сокращенное выражение первой. Точно так же говорят:
«рост А больше роста В», вместо того чтобы сказать:
«А больше В при критериях сраврения, основанных на
положении головы» и т. д.
2. Еще в глубокой древности было хорошо известно, что
звук, издаваемый струной, меняется двояко: в зависимости от
напряжения струны и от размаха вызв-анного в струне
колебания; ухо всегда улавливало различие в изменении звука в
зависимости от изменения того или иного фактора. Изменения
каждого фактора позволяли претворить множество звуков в
величину, так как в одном и в другом случае мы имеем
критерии, удовлетворяющие постулатам сравнения. Сообразно
этому и были созданы два понятия: «высота звука» и «сила
звука». Вместо того чтобы говорить «звук больше при
критериях сравнения, определяемых натяжением струны», мы
говорим: «звук имеет большую высоту», «звук выше»,
аналогично этому мы говорим: «звук сильнее», «звук имеет, большую
силу», вместо того чтобы говорить: «звук больше при
критериях сравнения, определяемых амплитудой колебания».
В связи* с этим, вместо того чтобы говорить, что
совокупность звуков представляет собой одного рода величину при
первых критериях сравнения и другого рода величину при
вторых критериях, говорят, что в первом случае величину
составляет высота звука, а во втором — сила звука.
Величиной, таким образом, признается как бы не самое множество
элементов, а новое понятие, введенное для различения
критериев сравнения. Можно сказать, что вновь введенный
термин становится наименованием величины соответственно тем
критериям сравнения, к которым он отнесен.
Совершенно такое же значение имеют понятия: объем, вес,
температура, электрическое напряжение и т. д. Физические
тела различно себя проявляют в различных условиях, и эти
различные проявления позволяют нам установить различные
критерии сравнения, при помощи которых множество
физических тел (всех или некоторых) может быть претворено в
величину; на одно и то же множество, различным образом пре-

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ Ю7
творенное в величину, мы смотрим как на различные
величины, которым мы даем различные наименования; таким
образом возникают понятия «объем», «вес», «температура»,
«электрическое напряжение» и т. п. При этом, для
математика величина вполне определена, когда указаны множество
элементов и критерии сравнения. Мы постараемся выяснить
это на ряде примеров.
3. Евклид претворяет совокупность отношений элементов
одной и той же величины (например, углов, отрезков и т. д.)
вновь в величину. Это значит, что каждая пара, скажем,
отрезков рассматривается как элемент некоторого множества,
и это множество претворяется в величину, которая именуется
«отношением отрезков». Для Евклида отношение не есть
число; это есть величина, которую он определяет критериями
сравнения1.
4. Рассмотрим множество, составленное из всех плоских
прямолинейных фигур (многоугольников). Будем говорить,
что многоугольник А стоит к многоугольнику В в
отношении а, или что он равновелик многоугольнику В, если он
может быть разрезан на конечное число таких частей, что из
последних, располагая их в надлежащем порядке, можно
составить многоугольник В (в частности, следовательно, если
многоугольник А конгруэнтен многоугольнику В). Будем
говорить, что многоугольник А стоит к многоугольнику В в
отношении р, если он может целиком поместиться внутри
последнего, или если какой-либо многоугольник Л',
равновеликий первому, помещается целиком внутри многоугольника В
или равновеликого ему многоугольника В'. Наконец, будем
говорить, что многоугольник А стоит к многоугольнику В в
отношении у, если внутри первого или внутри
многоугольника А\ ему равновеликого, целиком помещается
многоугольник В или равновеликий ему многоугольник В'.
Можно показать, что эти критерии сравнения
удовлетворяют постулатам сравнения. Это и будет сделано ниже2.
Вместе с тем совокупность многоугольников претворяется в
величину, и этой величине, т. е. величине, этими критериями
сравнения определяемой, дают название «площадь многоугольни-
1 См. об этом в статье «Этюды по основаниям геометрии», стр. 133
наст, книги. (Ред.).
2 Во второй (ненаписанной) части работы. (Ред).

108 И. ИЗМЕРЕНИЕ Д.ЦИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
ка». При этом соотношение а выражают словами: «площадь
многоугольника А равна площади многоугольника В»,
соотношение р выражают словами: «площадь многоугольника А
меньше площади многоугольника В», наконец, соотношение у
выражают словами: «площадь многоугольника А больше
площади многоугольника В».
В этих критериях сравнения заключается все
математическое определение площади, — математику ничего иного не
нужно. И насколько это справедливо, можно видеть из того,
что самого понятия о площади можно было бы не вводить:
можно было бы просто выражать соотношение а словами:
«многоугольник А равен многоугольнику В», а соотношения
Р и у — словами: «многоугольник А больше (меньше)
многоугольника В». Это не внесло бы в геометрию никаких
существенных изменений; только лишь терминология стала бы
несколько иная.
В других случаях геометрия так и поступает: она не
вводит нового термина при претворении множества в величину.
Так, например, устанавливая критерии сравнения для углов,
мы просто говорим, что угол А равен, больше или меньше
угла В. Между тем и тут мы могли бы с таким же успехом
ввести новый термин для наименования величины,— скажем:
«раствор угла». Это, однако, не делается, потому что углы з
геометрии претворяются в величину только при одной
системе критериев сравнения. Напротив, дуги окружностей
претворяются в величину при двух существенно различных системах
критериев, в силу чего возникают две величины: «линейная
величина» дуги и «угловая величина» дуги.
Термин «многоугольник А равен многоугольнику В»
употребляется обыкновенно лишь в том случае, когда
многоугольники ко нгр у энтны; термин же «площадь»
выработался для того случая, когда речь идет о равенстве
многоугольников по критериям сравнения, указанным выше.
§ 5. ОТСУТСТВИЕ ПРОТИВОРЕЧИЯ В ПОСТУЛАТАХ СРАВНЕНИЯ
1. Устанавливая выше основные свойства понятий
«равно», «больше» и «меньше», мы указали 9 таких свойств, а
затем обнаружили, что одно из них является следствием восьми
остальных (§ 2, п. 3). Там же мы указали, что ни одно из
этих восьми свойств уже не представляет собой следствия
семи остальных, т. е. что ни один из постулатов I—VIII не

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 109
может быть выведен логически из семи остальных. К
доказательству этого утверждения мы теперь и должны были бы
обратиться.
2. Однако предварительно мы поставим еще другой
вопрос. Постулаты I—VIII послужили для нас основой
небольшой теории, которая сводится к теоремам I—VIII (§ 3, п. 2).
Эта небольшая теория — учение о величине — играет вряд ли
не важнейшую роль в деле обоснования всей математики.
Спрашивается, имеется ли у нас уверенность в том, что эти
постулаты, а вместе с тем и построенная на них теория не
содержат логического противоречия; и если у нас такого рода
уверенность имеется, то на чем она основана?
Чтобы ответить на этот вопрос, спросим себя прежде,
какое содержание вкладывается в самое утверждение, что
данная система предложений содержит внутреннее
противоречие. Обычный ответ на этот вопрос заключается в том, что
совместное существование этих предложений невозможно.
Но этот ответ можно назвать правильным лишь в том
случае," если его надлежащим образом понимать. Дело в том, что
предложения, как таковые, конечно, совместно
существуют, раз мы совместно их написали или совместно их
произносим. Смысл предыдущего утверждения заключается,
следовательно, не в том, что самые предложения не могут
совместно существовать, а в том, что они не могут быть
совместно реализованы, т. е. что не может быть такой совокупности
объектов, относительно которой предложения были бы
одновременно справедливы. Еще иначе: нельзя приписать
терминам таких значений, при которых эти предложения были бы
совместно справедливы. В противном случае система
предложений непротиворечива. Итак, мы должны обнаружить, что
существуют такие объекты и соотношения, которые
действительно осуществляют постулаты I—VIII. Если такие объекты
и соотношения существуют, если, следовательно,
предложения, выражающие постулаты I—VIII, могут получить
реальное осуществление на одной и той же системе объектов, то
о внутреннем противоречии между ними не может быть речи.
И такого рода примеры осуществления постулатов сравнения
мы уже дали выше (в § 3). Мы указали, что постулатам
сравнения удовлетворяют последовательность событий во
времени, совокупность целых чисел. Мы рассмотрели в п. 3,
§ 3 в виде примера род, составленный из нескольких поколе-

ПО II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
ний; так как такой род состоит из определенного числа лиц,
то мы имеем возможность перебрать все возможные
комбинации и на каждой из них в отдельности убедиться в том, что
соотношения а, р, у удовлетворяют постулатам сравнения.
Мы приведем, однако, еще одну реализацию постулатов
сравнения и именно ту, которую приводит С. О. Шатуновский
в названной выше работе; это есть простейшая их реализация.
3. Как велико должно быть наименьшее число
элементов множества, чтобы при надлежащих соотношениях'
а, р, y могли получить осуществление постулаты I—VIII?
Для того чтобы получил осуществление постулат IV
(транзитивность соотношения а), в множество должны
входить три элемента А, В, С, находящиеся в соотношениях,
требуемых этим постулатом:
АаВ, ВаС, АаС. (1)
Далее, чтобы мог найти осуществление постулат V, в
множество прежде всего должны входить два элемента, из
которых оддн стоит к другому в соотношении Р; оба эти элемента
не могут находиться в числе упомянутых уже трех элементов,
ибо эти три элемента попарно связаны соотношением а,
каковое исключает соотношение р (постулат II). Итак, в
множестве должен быть еще по крайней мере один элемент D,
который находится с некоторым» элементом в соотношении р;
в наиболее благоприятном для нас случае (т. е. в
предположении возможно меньшего чиола элементрв в множестве)
элемент D находится в соотношении р с одним из перечисленных
уже элементов (иначе понадобился бы еще один элемент),
скажем, с элементом А; иначе говоря, имеет место одно из
соотношений A$D или D$A. Но если элементы нашего
множества связаны соотношениями, удовлетворяющими
постулатам I—VIII, то и теоремы I—VIII имеют место. Поэтому, в
силу теоремы VHh и соотношений (1), из соотношения A$D
следует
ЛРД £Р£>, СРД (2)
а из соотношения D$A следует
£>РЛ, DPS, Щ>С.
(2')

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ Щ.
В соотношениях (2) элемент D занимает вторые места,
в соотношениях (2х) — первые. Но если бы имели место
соотношении (2х), то из них, в силу теоремы Hi, вытекало бы, что
AyD, ByD, CyD,
где D занимает вторые места; в этом случае мы могли бы
начать рассуждение не с соотношений р, а с соотношений Y-
Ничего не изменяя по существу, мы можем поэтому считать,
что в множестве имеют место соотношения (2). Но для того
чтобы мог найти себе осуществление постулат V, должно,
сверх соотношений (2), иметь место еще одно соотношение,
содержащее D, а именно такое соотношение, в котором D
стоит в отношении р к некоторому элементу множества.
Таким элементом не может быть ни один из первых трех
элементов, ибо, в силу теоремы 1ь ни одно из соотношений
D$A, DP£, DPC,
несовместно с соотношениями (2). Итак, в нашем множестве
необходимо должен быть еще один элемент Е и должно иметь
место соотношение
D$E. (3)
Для того же, чтобы имел место постулат V, должны ввиду
соотношений (2) и (3) также иметь место соотношения:
ЛР£, ВР£, СР£. (4)
В силу теоремы Hi, соотношения (2), (3) и (4) влекут за
собой соотношения:
DyA, DyB> DyC, ]
£yA (5)
EyA9 EyB9 ЕуС. J
Далее, чтобы был осуществлен постулат VII, наряду с
соотношениями (1) должны были бы существовать
соотношения:
ВаА, ЬаВ, СаЛ. (6)
Наконец, чтобы получил осуществление постулат VIII,
должны иметь место соотношения:
АаАу ВаВ, СаС, DaD, EaE. (7)

112 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Итак, изложенные в этом пункте соображения приводят
к следующему выводу: чтобы в множестве нашли
осуществление постулаты I—VIII, оно должно содержать не менее пяти
элементов и таковые должны быть связаны соотношения-
ми (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7)'.
4. Допустим теперь, что мы имеем некоторое множество,
состоящее из пяти элементов А, В, С, D, Е, и что между
этими элементами имеют место троякого рода соотношения
а, р, у и при этом так, что эти соотношения выражаются и
исчерпываются таблицами (1) — (7). Это значит, что
соотношения а, р, y имеют между элементами этих множеств место
в тех и только в тех комбинациях, которые отмечены в
таблицах (1) — (7); еще яснее, — если X есть одно из трех
соотношений а, р или у, а X и Y — элементы нашего множества, то
соотношение XXY имеет или не имеет место, смотря по тому,
встречается ли оно в перечне (1) — (7) или нет.
Спрашивается, удовлетворяют ли в этом множестве соотношения
а, р, y постулатам I—VIII? Нетрудно убедиться, что они этим
требованиям действительно удовлетворяют.
5. Заметим прежде всего, что в таблицах (1), (2), (3),
(4), (5), (6), (7) имеется 25 соотношений: каждый из пяти
элементов связан с каждым из этих элементов одним из
наших трех соотношений. Это станет особенно ясно, если мы
перепишем эти 25 соотношений в следующем порядке:
ЛаЛ, ЛаВ, ЛаС, ЛР#, А$Е,
ВаЛ, ВаВ, ВаС, B$Dy B$E,
СаЛ, СаВ, СаС, СРД СР£, [ (8)
DyAy DyB, DyC, DaD, D$E,
EyA, EyB, ЕуС, EyD, EaE.
Здесь первая строка показывает, что элемент Л стоит к
каждому из пяти элементов в одном из соотношений а, р, у
и притом только в одном (ибо, "повторяем, соотношения, в
этой таблице не написанные, вовсе не имеют места). Таким
же образом вторая строка обнаруживает, что элемент В стоит
1 Постулаты могут найти осуществление и в множестве с тремя
элементами; но тогда соотношение а будет существовать только в виде
ЛаЛ.

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ ЦЗ
в одном и притом .только в одном из пяти соотношений к
каждому из пяти элементов и т. д. Отсюда ясно, что
соотношения эти удовлетворяют, с одной стороны, постулату I (ибо
каждый элемент стоит в одном из трех соотношений к
каждому из пяти элементов), а с другой стороны, постулатам
II и III (ибо каждое соотношение исключает другое
соотношение между теми же элементами).
6. Чтобы убедиться в том, что соотношение а транзитив-
но, т. е. удовлетворяется постулат IV, заметим, что
соотношение а в табл. 8 имеет место в 11 случаях. Мы должны
перебрать все эти случаи. Начнем с соотношения АаА.
Посмотрим, может ли получить осуществление условие
постулата IV в таком порядке, чтобы соотношение АаА составляло в
нем первое звено. Для этого второе звено должно начинаться
с элемента А, которым заканчивается первое; таких
соотношений (начинающихся с элемента А) в нашей таблице
имеется три (первые три в первой строке). Возможны,
следовательно, только три комбинации, начинающиеся со звена АаА и
осуществляющие условие постулата IV:
АаА, АаА; АаА, АаВ; АаА, АаС.
Постулат IV требует, чтобы сосуществование
соотношений в этих трех комбинациях влекло за собой соотношения
АаА, АаВ, АаС, каковые действительно имеют место. Итак,
всякий раз, как условие постулата IV осуществляется
в нашем множестве с первым звеном АаА, — постулат
оправдывается.
Посмотрим теперь, может ли в нашем комплексе получить
осуществление постулат IV в таком порядке, чтобы первым
звеном служило соотношение АаВ. Ясно, что вторым звеном
в таком, случае должно служить соотношение а,
начинающееся с элемента В; таких соотношений имеется три; это
первые три соотношения во второй строке. Мы получаем, таким
образом, три комбинации:
АаВ, ВаА; АаВ, ВаВ; АаВ, ВаС.
По требованию постулата IV эти соотношения должны
иметь следствиями соотношения АаА, АаВ, АаС, каковые
действительно имеют место. Итак, если условие постулата IV

114 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
осуществляется в нашем множестве с первым звеном ЛаВ,
то постулат всегда оправдывается.
Таким же образом мы должны обозреть, в каких
комбинациях получает осуществление условие постулата IV, когда
первым звеном служит каждое из остальных девяти
соотношений а в нашем комплексе. Мы убедимся, что соотношение,
которое по требованию постулата IV должно сопутствовать
каждой комбинации, действительно имеет место. Для полной
отчетливости мы приведем все возможные комбинации,
помещая за каждой комбинацией требуемое постулатом
соотношение:
ЛаС, СаС; АаС ЛаС, СаЛ; ЛаЛ ЛаС, СаВ;~АаВ
ВаВ, ВаВ; ВаВ ВаВ, ВаЛ; ВаА ВаВ, ВаС; ВаС
ВаЛ, ЛаЛ; ВаЛ ВаЛ, ЛаВ, ВаВ ВаЛ, ЛаС; ВаС
ВаС, СаС; ВаС ВаС, СаЛ; ВаЛ ВаС, СаВ; ВаВ
СаС, СаС; СаС СаС, СаЛ; СаЛ СаС, СаВ; СаВ
СаЛ, СаЛ; СаЛ СаЛ, ЛаВ; СаВ СаЛ, ЛаС; СаС
СаВ, ВаВ, СаВ СаВ, ВаЛ; СаЛ СаВ, ВаС; СаС
DaD, DaD; DaD EaE, EaE\ EaE
Итак, во всех случаях, когда в нашем множестве с
соотношениями (8) осуществляется условие постулата IV,
требуемое им следствие имеет место. Иначе говоря, соотношения
a, p, y в нашем множестве удовлетворяют постулату IV.
7. Совершенно так же можно убедиться в том, что
соотношения а, р, у в нашем множестве удовлетворяют
постулатам V и VI; это делается даже много проще. Начнем с
постулата VI.
Соотношение у имеет место в нашей таблице в семи
случаях: именно это суть первые три соотношения четвертой
строки и первые четыре соотношения пятой. Но если возьмем
три соотношения четвертой строки и первые три соотношения
пятой, то мы легко убедимся, что ни одно из них не может
служить первым звеном комбинации, выполняющей условие
постулата VI: все эти шесть соотношений заканчиваются
одним из элементов А, В, С, которые соотношения типа y не

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ Ц5
начинают,— им не соответствует требуемое второе звено. Но
четвертое соотношение пятой строки EyD в соединении с
каждым из трех первых соотношений четвертой строки
воспроизводит комбинацию, предусматриваемую условием
постулата VI; это суть следующие три комбинации:
EyD, DyA\ EyD, DyB; EyD, DyC\
согласно постулату VI, эти комбинации должны повлечь за
собой соотношения ЕуА, ЕуВ, ЕуС, которые действительно
имеют место: это суть первые три соотношения в последней
строке таблицы (8).
Таким же образом мы видим, что наша таблица дает
только три комбинации, воспроизводящие условие постулата V:
ЛРЯ, DP£; ЯРД DP£; CpD, D$E\
постулат V требует, чтобы при наличности этих соотношений
имели место также соотношения А$Е, В$Е, С$Е; эти
соотношения мы действительна находим в таблице.
Еще проще обнаруживается обратимость соотношения а
(постулат VII). Соотношениям АаВ, АаС, ВаС соответствуют
соотношения ВаА, СаА, СаВ, и обратно. Наконец,
диагональные соотношения в таблице (8) обнаруживают возвратность
соотношения а (постулат VIII).
8. Всё изложенное приводит к следующему результату.
Если в некотором множестве, составленном из пяти
элементов, между последними имеют место троякого рода
соотношения, которые распределены между ними так, как это
указано в таблице (8), то соотношения эти удовлетворяют
постулатам I—VIII. Наш вопрос был бы совершенно исчерпан, если
бы мы обнаружили, что возможно такое множество из пяти
элементов с такими соотношениями в нем а, р, у, которые
выражаются таблицей (8). Но это очень просто обнаружить.
Возьмем пять букв А, В, С, D, Е и составим из них
следующие комбинации:
А
D '
АА, ВВ, СС, DD, ЕЕ,
АВ, АС, ВС,
в с л в с
D ' D ' Е * Е ' Е '
D 1
Е ' )
Будем говорить, что один элемент нашего множества стоит
к другому в соотношении а, если он в таблице (9) написан
с ним рядом с той или с другой стороны. Будем говорить

116 П.ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
далее, что один элемент стоит к другому в соотношении р,
если он написан над ним, и в соотношении y, если он написан
под ним. Тогда тот факт, что в таблице (9) имеется
комбинация АА, выразится через АаА; тот факт, что имеется
комбинация АВ, выразится через АаВ и ВаА; наконец, тот факт,
Л
что имеется комбинация —, выразится через A$D и DyA.
Если мы таким образом отметим соотношения, выражаемые
всеми комбинациями (9), то мы получим таблицу (8).
Итак, соотношения (8) действительно могут быть
реализованы, и потому отсутствие противоречия в постулатах I—VIII
не подлежит сомнению.
Нужно, однако, отметить, что в построении таблицы (9)
в сущности не было необходимости. Мы привели ее
исключительно ради большей ясности; по существу же мы вполне
могли ограничиться таблицей (8). В самом деле, составим из
элементов А, В, С, D, Е и из промежуточных литер а, р, у
таблицу (8) и будем говорить, что элемент А находится, скажем,
к элементу В в соотношении а, если в таблице (8) есть
комбинация АаВ, и т. д. Еще иначе, выражение, скажем,
«элемент D находится к элементу Е в соотношении у» означает,
что в таблице (8) есть комбинация DyE. При такой точке
зрения таблица (8) сама осуществляет соотношения а, р, у,
удовлетворяющие постулатам I—VIII.
Итак, мы обнаружили, что постулаты сравнения не
содержат внутреннего противоречия.
§ 6. НЕЗАВИСИМОСТЬ ПОСТУЛАТОВ СРАВНЕНИЯ
1. Теперь мы обратимся к вопросу о независимости
постулатов сравнения. Метод, которым мы при этом будем пользо-
заться, по существу не отличается от того, которым мы
пользовались в предыдущем параграфе. Если бы один из
постулатов, скажем I, был следствием остальных, то это означало
бы, что всякий раз, как некоторые соотношения а, р, y в
множестве удовлетворяют постулатам II—VIII, они необходимо
удовлетворяют также постулату I. Если мы обнаружим
поэтому, что существуют такое множество и такие три
соотношения в нем, которые удовлетворяют постулатам II—VIII,
между тем как постулат I не выполняется, то этим будет
доказана независимость постулата I от остальных.

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ Ц7
2. Возьмем множество, состоящее из всех треугольников
на плоскости. Будем говорить, что треугольник А находится
к треугольнику В в соотношении а, если треугольник А
конгруэнтен треугольнику В. Будем говорить далее, что
треугольник А находится к треугольнику В в соотношении р,
если первый может быть помещен так, чтобы второй
находился внутри его. Будем, наконец, говорить, что треугольник А
находится к треугольнику В в соотношении у, если первый
может быть помещен внутри второго.
Совершенно ясно, что соотношение а исключает
соотношения р и y» т- е. что постулаты II и III удовлетворены. Ясно
также, что все три соотношения транзитивны: если АЛ
конгруэнтен АВ, а АВ конгруэнтен АС, то АА конгруэнтен АС;.
если АА может охватить АВ, а этот последний может
охватить АС, то АА может охватить АС; если, наконец, А А
может поместиться внутри АВ, а последний — внутри АС, то
АА может поместиться внутри АС. Постулаты IV—VI,
таким образом, также удовлетворены. Не менее ясно, что а есть
соотношение возвратное и обратимое (постулаты VII и VIII).
С другой стороны, наши соотношения, очевидно, не
удовлетворяют постулату I. В самом деле, возможны, конечно,
два треугольника, которые не конгруэнтны и из которых ни
один не может быть помещен внутри другого.
Из сказанного следует, что постулат I не является
следствием остальных.
3. Казалось бы, что вопрос о дизъюнкции, играющий при
установлении критериев сравнения основную роль, всегда
должен был бы исчерпываться до конца в каждом частном
случае. Между тем этим нередко пренебрегают, что приводит
иногда к неправильным выводам. Мы приведем только один
пример.
В п. 4 § 4 мы привели критерии, которые могут служить
для сравнения площадей прямолинейных фигур. В этом
случае проверка постулатов сравнения представляет затруднения
только по отношению к вопросу о наличности дизъюнкции.
Существование таковой казалось, настолько очевидным, что
самый вопрос возник лишь недавно. Итальянский геометр
Лаццери (Lazzeri) в 1895 г., по-видимому, первый доказал,
что дизъюнкция здесь действительно имеет место *.
1 См. стр. 164

П8 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Но совершенно аналогичные критерии можно было бы
предложить для сравнения объемов многогранников. Именно,
можно было бы принять следующие определения: а) будем
считать объем многогранника А равным объему
многогранника В, если первый можно разложить на такие
многогранные же части, из которых можно составить многогранник В;
Ъ) будем говорить, что многогранник А имеет больший объем,
чем многогранник В, если первый можно разложить на
многогранные части и из последних составить многогранник,
внутри которого помещается второй многогранник; с) мы
будем, наконец, говорить, что многогранник А имеет меньший
объем, нежели многогранник В, если первый можно
разложить на многогранные части и из них составить
многогранник, содержащийся внутри многогранника В. Вопрос о том,
дают ли эти критерии дизъюнкцию, настолько труден, что
Д. Гильберт в речи, произнесенной в общем собрании
первого международного математического конгресса в Париже,
отнес его к числу труднейших задач, ожидающих еще своего
решения. Задача эта действительно была разрешена позднее
Деном и именно в том смысле, что эти критерии не дают
дизъюнкции. Ден показал, что постулат I не имеет места;
поэтому для определения объема многогранников эти
критерии сравнения служить не могут, несмотря на аналогию,
которую они имеют с соответствующими критериями для
площадей многоугольников К
4. Переходим к вопросу о независимости постулата II.
Как мы выдели в предыдущем параграфе, существуют такие
множества и такие соотношения в них а, р, y> которые
удовлетворяют постулатам сравнения. Возьмем такое
множество с соотношениями а, р, y и установим в том же
множестве несколько иные соотношения а', Р', у'. Именно,
под соотношениями Аа'В и Ау'В мы будем разуметь
соответственно то же, что и под соотношениями АаВ и АуВ, но под
соотношением Лр'В мы будем разуметь соединение
соотношений и и Р; иными словами, под соотношением Aft'B мы будем
разуметь, что имеет место либо АаВ, либо А$В. [Если,
например, а, р, y обозначают — ,>,<, то а', Р', y' обозначают = ,>,<].
1 См. статью «О преобразовании многогранников», стр. 166 этой
книги. (Ред.).

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ Ц9
Ясно, что соотношения а', Р', у' постулату II не
удовлетворяют. В самом деле, если имеет место соотношение ЛаВ, то
совместно существуют соотношения Аа'В и А$'В. С другой
стороны, остальным постулатам соотношения а', Р', у'
удовлетворяют. В самом деле, так как соотношения а, р, y
постулату I удовлетворяют, то для каждой пары элементов имеет
место по крайней мере одно из соотношений а', Р', у', т. е.
последние удовлетворяют постулату I. Ясно также, что
соотношение а' (т. е. а) исключает соотношение у' (т. е. у)\
постулат III тоже удовлетворен.
Из того обстоятельства, что соотношения а' и у'
совпадают соответственно с соотношениями а и у, следует, что
удовлетворяются также постулаты IV, VI, VII и VIII. Но
легко видеть, что и постулат V также справедлив. В самом
деле, пусть имеют место соотношения Afi'B и Вр'С. Первое
означает, что имеет место либо соотношение АаВ, либо
соотношение А$В\ второе означает, что имеет место либо ВаС,
либо 5рС; таким образом, имеет место одна из четырех
комбинаций:
АаВ, ВаС\ АаВ, ВРС; ЛРВ, ВаС\ ЛРВ, ВРС.
Но при первой комбинации имеет место соотношение АаС
(постулат IV), при второй и третьей ЛрС (теоремы VIII3
и VIII4 п. 2 § 3), при четвертой ЛрС (постулат V);
следовательно, во всяком случае имеет место соотношение Лр'С.
Итак, соотношения а', Р', у' удовлетворяют постулату V.
Вместе с тем доказано, что постулат II не зависит от
остальных постулатов. Читателю будет, быть может, полезно
проследить эти отвлеченные рассуждения на более наглядном
примере. Возьмем множество всевозможных треугольников,
подобных одному определенному треугольнику. В этом
множестве под соотношением Аа'В будем разуметь, что
треугольник А конгруэнтен треугольнику В\ под соотношением AyfB
будем разуметь, что треугольник А может быть помещен
внутри треугольника В; наконец, под соотношением Лр'В
будем разуметь, что треугольник А не может быть помещен
внутри треугольника В. Эти соотношения удовлетворяют всем
постулатам, кроме II.
5. Совершенно ясно, что таким же образом мы можем
доказать и независимость постулата III. Для этого
достаточно определить соотношения а', рх, у' несколько иначе,—именно

120 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
так, чтобы соотношения а' и р' совпадали соответственно с
соотношениями а и р, а соотношение у' было соединением
соотношений ее и у.
6. Займемся теперь вопросом о независимости
постулата IV. При этом вновь воспользуемся геометрическими
соображениями.
Возьмем множество углов, имеющих параллельные
стороны и обращенных отверстиями в одну и ту же сторону. Если
периферия 1 угла А имеет в этом множестве . хотя бы одну
д
Рис. 3
общую точку с периферией угла В, то мы будем говорить, что
угол А стоит к углу В в соотношении ее. Если периферия
угла А не имеет общих точек с периферией угла В и
вершина А лежит вне угла В, то мы будем говорить, что угол А
стоит к углу В в соотношении Р; если периферия угла А не
имеет общих точек с периферией угла В, но вершина угла А
лежит внутри угла В, то мы будем говорить, что угол А стоит
к углу В в соотношении у (рис. 1, 2, 3).
Теперь ясно, что каждый угол нашего множества стоит
к каждому другому углу либо в соотношении а, либо в
соотношении р, либо в соотношении Y- В самом деле, если
периферия угла А не имеет общих точек с периферией угла В, то
вершина угла А лежит либо вне, либо внутри угла В.
Постулат I имеет место. Нетрудно также видеть, что
соотношение АаВ исключает каждое из соотношений ЛрВ и
1 То, что автор называет периферией угла (совокупность двух его
сторон), часто принимают за определение угла (см., например,
Д. Гильберт. Основания геометрии. Гостехиздат, М.—Л., 1948,
стр. 68). (Ред.).

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 121
АуВ, так что постулаты II и III также удовлетворены. Легка
далее видеть, что соотношения р и y транзитивны
(постулаты V и VI) и что а есть соотношение обратимое и возвратное
(постулаты VII и VIII). Но соотношение а не транзитивно,
как это видно из рис. 4, где имеют место соотношения АаВ и
ВаС, но вместо соотношения АаС имеет место несовместное
с ним соотношение ЛрС. Таким образом, постулат IV не
представляет собой следствия остальных постулатов.
Рис. 4 Рис. 5
Для доказательства независимости постулата V нам
придется прибегнуть к примеру, несколько более сложному.
В некоторой плоскости выделим определенную прямую Lr
которую будем называть осью; для наглядности будем
считать, что за ось принята горизонтальная прямая (рис. 5).
Рассмотрим множество 21, состоящее из всех прямых этой
плоскости, кроме прямой L. Если какая-либо прямая А этого
множества пересекает прямую L, то под углом наклона
прямой А к оси L мы будем разуметь угол, который луч,
идущий от точки пересечения по оси в определенную сторону,
скажем вправо, образует с лучом, идущим от точки
пересечения по прямой А вверх от оси. При таком соглашении
угол, под которым прямая Л, пересекающая ось, наклонена к
оси, будет определен однозначно.
Если А и В суть прямые множества 2( и прямая А
совпадает с прямой В или параллельна последней, то мы будем
говорить, что прямая А находится к прямой В в
соотношении а (АаВ).

122 И. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Ясно, что а есть соотношение транзитивное, обратимое
и возвратное, т. е. удовлетворяет требованиям постулатов IV,
VII и VIII.
Если прямая Л пересекает прямую В в одной точке, не
принадлежащей оси, или пересекает прямую В в точке,
принадлежащей оси, но в этом последнем случае наклонена к оси
под меньшим углом, нежели прямая В, то мы будем
говорить, что прямая Л находится к прямой В в соотношении Р
(ЛрВ). Если, наконец, прямая А пересекает прямую В в
точке, лежащей на оси, но наклонена к оси под углом, большим,
нежели прямая В, то она находится к прямой В в
соотношении y (АуВ). На рис. 5 имеют место соотношения:
ЛРВ, АуС, ВРЛ, ВРС СРВ, СРЛ.
Если А и В суть две прямые нашего множества и Л не
совпадает с В и не параллельна ей, то прямая Л пересекаег
прямую В в точке, лежащей вне оси или на оси; таким
образом, если не имеет места соотношение ЛаВ, то необходимо
должно иметь место одно из соотношений ЛрВ или АуВ.
Постулаты I—III удовлетворены; кроме того, как мы видели
выше, постулаты IV, VII и VIII также удовлетворены.
Легко обнаружить, что удовлетворяется также и
постулат VI. В самом деле, положим, что имеют место соотношения
АуВ и ВуС. Это означает, что прямая Л пересекает прямую В
в точке О, лежащей на оси, и что при этом прямая Л
наклонена к оси под большим углом, нежели прямая В; далее,
прямая В пересекает прямую С также на оси и наклонена к
последней под большим углом, нежели прямая С. Но отсюда
следует, что все три прямые пересекают ось в одной и той же
точке и что прямая Л наклонена к оси под большим углом,
нежели прямая С; иными словами, имеет место соотношение
АуС. Постулат VI, таким образом, удовлетворяется.
Но постулат V не удовлетворяется: на рис. 5, мы видим
соотношения ЛрВ, ВрС и АуС.
Итак, постулат V не зависит от остальных. Совершенно
так же можно обнаружить, что и постулат VI не зависит от
остальных. Для этого было бы достаточно в предыдущем
примере обозначать через у то соотношение, которое
названо р, и обратно.
7. В предыдущих рассуждениях мы пользовались
геометрическими соображениями. Нас могут, однако, спросить, вправе
ли мы пользоваться здесь геометрическими примерами: ведь

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 123
может возникнуть вопрос, нет ли противоречия в самой
геометрии? Именно поэтому С. О. Шатуновский в указанной
выше работе пользуется исключительно таблицами вроде той,
которая приведена в § 5 1. Для доказательства независимости
восьми постулатов им составлены восемь таблиц таким
образом, что в каждой из них осуществляются семь постулатов
к один не осуществляется. Мы достаточно выяснили в
предыдущем параграфе, что осуществление каждого из
соотношений АаВ, ЛрВ или АуВ может свестись просто к тому, что
в таблицу занесена та или другая комбинация.
Для доказательства независимости постулата VII
С. О. Шатуновский строит таблицу, которая отличается от
таблицы (8) на стр. 112 только тем, что в ней соотношения
ВаА, СаА и СаВ заменены через ВуА, СуА, СуВ. Таблица
получает, таким образом, вид:
АаА
ВуА
СуА
DyA
ЕуА
АаВ
ВаВ
СуВ
DyB
ЕуВ
АаС
ВаС
СаС
DyC
ЕуС
A$D
B$D
CpD
DaD
EyD
Лр£1
B$E
C$E
D$E
EaE
В этой таблице, как и в таблице (8), имеется 25
соотношений: каждый из пяти элементов стоит к каждому же из них
в одном из соотношений а, i|$, у. При этом никогда
соотношение вида XaY не сопровождается соотношением XfiY или
XyY] постулаты I—III, таким образом, удовлетворены. Вряд
ли здесь будет целесообразно повторять весь ряд
рассуждений, какой был приведен в предыдущем параграфе для
проверки постулатов сравнения. Читатель проделает это сам и
убедится, что постулаты IV—VI и VIII также удовлетворены.
Между тем постулат VII здесь не находит осуществления, как
это видно из того, что соотношениям АаВ, АаС и ВаС
сопутствуют не соотношения ВаА, СаА и СаВ, как это требовал
бы постулат VII и как это имеет место в таблице (8), а
другие соотношения ВуА, СуА, СуВ.
1 Эти таблицы >(в несколько измененном виде) приведены в книге:
В. Ф. iK а г а н. Основания геометрии, ч. II. Гостехиздат, М.—Л., 1956,
стр. 255—258. (Ред.).

124 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
8. Наконец, для доказательства независимости
постулата VIII мы присоединим к элементам, из которых составлена
таблица (8), еще шестой элемент F. Вместе с тем к таблице
присоединяются еще 11 соотношений, которые выражают, что
все остальные элементы стоят к элементу F в соотношении р,
а элемент F стоит ко всем элементам и в том числе к самому
себе — в соотношении Y- Таким образом получается таблица 1:
АаА
ВаА
СаА
DyA
ЕуА
FyA
АаВ
ВаВ
СаВ
DyB
ЕуВ
FyB
АаС
ВаС
СаС
DyC
ЕуС
FyC
A$D
BpD
C$D
DaD
EyD
FyD
A$E
B$E
Cp£
Щ>Е
EaE
FyE
A$F\
B$F\
c$f\
d$f\
£pf]
FyF)
Мы предоставляем читателю убедиться в том, что и здесь
постулаты I—VII удовлетворены; постулат же VIII не имеет
места, так как он нарушается соотношением FyF.
9. Здесь же мы считаем полезным обратить внимание еще
на одно соображение. Нижеследующее рассуждение, вопреки
приведенным выше рассуждениям, как будто обнаруживает,
что постулат VIII представляет собой следствие остальных.
Пусть А будет некоторый элемент множества, в котором
установлены соотношения а, р, у, удовлетворяющие
постулатам I—VIII. Пусть В будет элемент, к которому элемент А
стоит в соотношении а, так что имеет место соотношение АаВ.
В таком случае, в силу постулата VII, имеет также место
соотношение ВаА. Но из соотношений АаВ и ВаА, ввиду
транзитивности свойства а (постулат IV), вытекает
соотношение АаА] это есть именно то, чего требует постулат VIII.
При всей своей простоте это рассуждение все-таки не
лишено, конечно, изъяна. Дело в том, что всё рассуждение
начинается допущением, что в множестве существует
элемент 5, к которому элемент А стоит в соо!ношении а. Эго
допущение не содержится, однако, в постулатах I—VIII.
1 Табл. 6 на стр. 256 книги, указанной в предыдущем примечании.
(Ред.).

ВВЕДЕНИЕ В УЧЕНИЕ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 125
Предыдущее рассуждение, основанное на постулатах I—VIII,
доказывает только следующее. Если элемент А стоит в
соотношении ак какому-нибудь элементу множества, то
он находится в этом соотношении и к самому себе. Но отсюда,
очевидно, отнюдь не следует, что всякий элемент стоит в
соотношении а к самому себе. Таблица (10) потому именно
и доказывает независимость постулата VIII, что в ней
элемент F не находится в соотношении а ни к одному из
элементов комплекса.
11. Нужно сказать что последние соображения приведены
нами не только для того, чтобы выяснить, насколько
осторожно нужно делать каждое умозаключение. Для нас было
важнее доказать, что постулат VIII мог бы быть заменен
другим постулатом VIII': всякий элемент множества стоит в
соотношении а по крайней мере к одному из элементов
комплекса. Тогда из постулатов I—VII, VIII' вытекает
постулат VIII, как и, наоборот, из системы I—VIII вытекает
предложение VIII'. Системы постулатов I—VII, VIII и I—VII,
VIIT эквивалентны в том смысле, что всё содержание одной
системы исчерпывается также другой.
Мы могли бы идти и дальше в этом направлении. Мы
видели, например, что из системы I—VII, VIII (а
следовательно, и из системы I—VII, VIII') вытекает теорема П2 § 3,
согласно которой соотношение АуВ влечет за собой соотношение
ВрА. Покажем, что этим предложением можно заменить
постулат VI. Итак, обозначим через VI' предложение:
соотношение АуВ влечет за собой соотношение В$А. Покажем, что из
постулатов I—V, VI', VII, VIII (или VIII') вытекает
постулат VI.
Для этого заметим прежде всего, что при доказательстве
теоремы Ii § 2 (выраженной в общей форме в § 3) мы не
пользовались вовсе постулатом VI [т. е. предложением g)];
стало быть, раз мы остальные постулаты сохраняем, то
сохраняется и предложение: «соотношение А$В исключает
соотношение врА».
Положим теперь, что имеют место соотношения АуВ
и ВуС. Тогда, в силу постулата VI', имеют место
соотношения В$А и СрВ. Но из соотношений С$В и ВрА, в силу
постулата V, вытекает соотношение СрА; а отсюда, в силу
упомянутой выше теоремы Ii, следует, что не имеет места
соотношение АрС. С другой стороны, соотношение АаС находилось

126 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
бы в противоречии с соотношением СрЛ (постулаты VII и II).
Поэтому имеет место соотношение АуС.
Мы видим, таким образом, что одна и та же теория может
развертываться из различных систем постулатов. Иначе
говоря, постулаты, лежащие в основании той или иной
дисциплины, не представляют собой чего-либо фиксированного,
а допускают вариации, часто весьма многообразные.

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ 1
(Измерение длин прямолинейных отрезков
и площадей прямолинейных фигур)
1. Всё развитие учения об основаниях геометрии сводится
к тому, чтобы освободить систему геометрии от тех
многочисленных, неясных, ничего не выражающих представлений,
которыми изобиловало изложение этой дисциплины в прежние
времена. Представления эти время от времени менялись;
длина без ширины, однородное расположение точек на
прямой линии, наклонение прямых друг к другу,
фигурировавшие у Евклида, сменились представлениями об однородном
и непрерывном пространстве и трех его измерениях,
представлениями столь же неясными, столь же мало пригодными для
формальной науки. Возможно, что с этими представлениями
связаны более или менее ясные, реальные образы; но по
отношению к формальной геометрии вопрос стоит иначе.
Каждый формальный вывод может быть сделан только из
таких посылок, которые имеют вполне определенное
содержание, находящееся в связи с трактуемым вопросом. Если
поэтому мы вводим в формальную систему те или иные
представления, то относительно них возникает такая дилемма:
либо мы имеем возможность определенно установить те их
свойства, к которым мы будем апеллировать,— тогда
совокупность этих свойств и составляет формальное определение
1 Эта статья была напечатана в 1901 г. (библиогр. сведения см.
стр. 565 этой книги, № 9). Во вступлении автор пишет: «...мы решили
написать ряд этюдов, из которых каждый представлял бы собой более
или менее законченный очерк одного из вопросов, относящихся к
основаниям геометрии». Первым из таких этюдов и явилась настоящая статья.
(Ред.).

128 И- ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
образа; либо мы не имеем возможности этого сделать,— тогда
мы не можем и воспользоваться этими представлениями
нашей системы; введение их в геометрию представляет собой
иллюзию, самообман; поэтому именно формальная наука
старается от таких представлений освободиться, старается
опираться только на такие определения и положения,
содержание которых строго установлено.
К числу таких неясных представлений относится процесс
измерения. Еще не так давно в сочинениях по геометрии
совершенно игнорировался вопрос о том, что собственно
значит измерить ту или другую величину. Принималось, чго
существуют образы, которые мы называем длиной,
площадью, объемом,— и геометрия имеет задачей только
указание способа, как эти величины выразить в числах.
Предмет настоящего очерка — выяснить общую идею об
измерении геометрических образов и, в частности, длин
прямолинейных отрезков и площадей прямолинейных фигур.
Мы покажем прежде всего, как обосновывается понятие о
длине прямолинейного отрезка *.
2. Эта теория опирается на следующие положения2.
Определение 1. Если на прямолинейном отрезке
А0Ап расположены точки Аи Л2,-Лз,..., Ап-\ последовательно,
т. е. так, что каждая точка Ai лежит между точками А\-\ и
М+\ , то говорят, что отрезок А0Ап составлен из отрезков
ЛоАи А{А2у /42i43,..., Ап-\Ап или что отрезок А0Ап
представляет собой сумму отрезков А0Аи АХА^ Л2Л3,..., Ап-\Ап и
выражают это равенством
А0Ап = А0А1 + АхАг + А2А3 + ... + Ап-ХАп.
Определение 2. Если отрезок АС состоит из
отрезков АВ и ВС, то говорят, что отрезок АС больше, нежели
отрезок АВ, а отрезок АВ меньше, нежели отрезок АС.
Предложение 1. Если отрезок А0Ап состоит из
отрезков А0Аи АХА2 Ап-\Ап, то он может быть составлен из
тех же отрезков, расположенных в любом другом порядке; и
1 Ср. также Я. С. Дубнов. Измерение отрезков. Физматгиз, М..
1963. (Ред.).
2 Предполагается, что начальная часть планиметрии, предшествующая
теории измерения, уже обоснована. Здесь перечислены те предложения,
которые непосредственно нужны для теории измерения прямолинейных
отрезков. (Ред.).

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ
129
обратно, всякий отрезок, составленный из отрезков А0Аи
А{А2, Л2Л3,..., Ап-\Ап, расположенных в каком угодно
порядке, равен отрезку АсАп.
Предложение 2. Если отрезок А0Ап состоит из
названных выше отрезков и мы разобьем эти последние на
несколько групп, из отрезков каждой группы составим новый
отрезок,— то отрезок, составленный из этих новых отрезков,
будет равен отрезку АсАп.
Предложение 3. Если АВ > CD, a CD> EF, то
АВ > EF. Если АВ < CD и CD^EF, то АВ < EF.
Определение 3. Если отрезок АВ состоит из m
равных отрезков (Q), то говорят, что Q есть m-я часть
отрезка АВ, и обозначают это равенством
АВ = mQ.
Предложение 4. Каждый отрезок может быть одним
и только одним способом разделен на m равных частей.
Устанавливаемая этим предложением однозначность этой
операции имеет тот смысл, что если мы произведем это деление
различными способами, то разобьем наш отрезок на такие
же точно отрезки, какие бы приемы мы для этого ни
употребляли.
Предложение 5. Положим, что отрезок AB = mQ, a
отрезок CD=nQ. Если AB = CD, то т = п; если AB>CD, to
т>п; если AB<CD, to m<n.
Обратно, если тАВ > mCD, то АВ > CD; если тАВ =
= mCD, то AB = CD; если m-AB<m-CD, то AB<CD.
Предложение 6. Если мы равные (или неравные)
отрезки повторим одинаковое число раз, то получим равные
(или соответственно неравные) отрезки, т. е. если AB = CDf
то m-AB = m-CD. Если AB>CD, то m-AB>m-CD.
Принцип Архимеда: если на некотором отрезке АВ
отложим меньший отрезок АА\, затем равный ему отрезок
АХА2 и т. д., то рано или поздно конечная точка
откладываемого отрезка Ап+\ упадет на продолжение отрезка АВ в
сторону точки В.
Определение 4. Если в предыдущем процессе
точка Ап еще принадлежит отрезку АВ, а точка Ап+\ падает за
пределы этого отрезка, то мы будем говорить, что отрезок АА\
содержится в отрезке АВ п раз. Если отрезок ААХ больше
отрезка АВ, то мы будем говорить, что отрезок ААХ не
содержится в отрезке АВ ни разу (или содержится 0 раз).

130 "• ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Перечисленные здесь предложения могут быть без труда
доказаны, хотя доказательство их редко приводится в курсах
геометрии по всей полноте. Предложения 1 и 2 известны под
названием переместительного и сочетательного закона; из них
собственно и выводятся остальные предложения.
Принцип Архимеда носит имя греческого геометра,
которым он был высказан в сочинении «О сфере и цилиндре».
При помощи принципа Архимеда можно доказать
следующее важное для нас предложение.
Предложение 6. Если отрезок Q больше отрезка R,
то всегда можно найти такое целое число п, что п-я часть
отрезка Q будет меньше отрезка R.
Доказательство. Положим, что отрезок R
содержится в отрезке Q (п—1) раз. Тогда nR>Q. Если мы обозначим
п-ю часть отрезка Q через q, то предыдущее неравенство
можно будет представить в таком виде: nq<nR. Отсюда,
согласно предложению 5, следует, что q<R.
3. Положим теперь, что мы имеем два отрезка АВ и CD.
Выбрав произвольно целое число п, разделим отрезок CD
на п частей и пусть Q будет п-я часть отрезка CD, так что
CD = nQ. Будем откладывать отрезок Q на отрезке АВ так,
как это указано в принципе Архиме'да, и положим, что
отрезок Q содержится в отрезке АВ тпп раз (опр. 4); составим
дробь —-. Эта дробь называется приближенным значением
п
отношения отрезка АВ к отрезку CD с точностью до —. Эту
дробь мы будем обозначать знаком Sn.
Составим теперь последовательность Sv S2, S3, ... , Sn,...
или иначе:
ТП\ Л%2 /Пз ГПп
"Г" Т' Т' •",~^,'"
и покажем, что числа этой последовательности стремятся
к определенному пределу, когда индекс п неопределенно
возрастает. С этой целью возьмем два члена из этой
последовательности Sn и S, где р > я, и докажем, что абсолютная
величина Sp—Sn меньше —*
п
Число Sn, равное — , выражает, что п-я часть отрезка CD,

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ
131
которую мы обозначим через Q, содержится в отрезке АВ
тп раз.
Откладывая отрезок Q на отрезке АВ, начиная от
точки А, тп раз, мы дойдем до некоторой точки Е, которая либо
совпадает с В, либо лежит между А и В; в последнем случае
EB<Q. Во всяком случае,
АЕ-=тД, CD = nQ. (1)
Таким же точно образом дробь —£- показывает, что
Р
р-я часть отрезка CD, которую мы обозначим через R,
содержится в отрезке АВ тр раз. Откладывая отрезок R на АВ,
начиная от точки Л, тр раз,
мы дойдем до некоторой f
точки F. Тогда А •"" ^ + ■ в
AF = mpR9 CD = pR. (2) f
A i M •<?
Относительно положения °) Е
точки F могут быть сдела- А | ^
ны следующие предположе- д) ^
кия:
1) Точка F совпадает с Рис I
точкой Е (см. рис. 1,а).
2) Точка Т7 падает до точки £, т. е. между А и Е (см.
рис. 1,6).
3) Точка F падает дальше точки Е (см. рис. 1,в).
Этот последний случай может представиться только тогда,
когда точка Е лежит между Л и В, а точка F падает либо
между В и Е, либо в точку В. Мы рассмотрим все три случая
по порядку.
В первом случае AE = AF, или [см. равенства (1)
и (2)]mnQ = mpR.
Умножая обе части этого равенства на рп (см. предл. 6),
мы получим:
mpnpR = mppnQ,
откуда, на основании соотношений (1) и (2), получаем:
трп - CD = тпр • CD.
Согласно предложению 5, отсюда вытекает, что
тр тп
трп = тпр, т. е. = (I)

132 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Во втором случае, когда точка F падает между А
и Е, AE>AF,T.e.mnQ>mpR.
Умножая обе части этого равенства на рп (предл. 6), мы
получим:
™nPnQ > трпР%1 т- е- тпР ' CD > щп • CD, mnp > трп,
—>-f-. (id
п р
С другой стороны, в этом случае отрезок FB<R.
Согласно предложению 5, R<Q, ибо по условию р>п. Стало быть,
FB<Q. Так как отрезок FE не превышает/'В, то FE<Q. Сле-
довательно:
AE<AF + Q,
или, иначе,
mnQ<mnR + Q.
Умножая обе части этого неравенства на рп, получим
mnpnQ < mpnpR + pnQ,
или в силу соотношений (1) и-(2)
тпр • CD < (трп + Р) • CD.
Отсюда же, согласно предложению 5, вытекает, что
тпР < трП + Р>
и, следовательно, деля обе части неравенства на рп, получим:
^L<^+J_, т. е. ^L_^L<_L (1Г)
п р п п р п
В третьем с л уч а е AF>AE. Отсюда соображениями,
вполне аналогичными тем, посредством которых выведено
неравенство II, мы обнаружим, что
—^>^-. (ш)
р п
Так как в этом случае EB<Q, то
EFt<EB<Q, AF<AE + Q.

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ
133
Из последнего неравенства приемами, вполне
аналогичными тем, посредством которых мы во втором случае нашли
соотношение (II'), мы обнаружим, что
тр тп ^ 1
-Е- <_. (Ш')
Соотношения (I), (II) и (1Г), (III) и (ИГ)
обнаруживают, что абсолютная величина разнрсти
с с гпр тп
р ~ п = ~п 7Г~
р п
1
всегда меньше, нежели —.
п
Так как р>п, то мы положим p = n-f-ft и формулируем
предыдущий результат так:
При всех значениях чисел пик разность Sn+h — Sn
меньше, нежели —, а потому стремится к нулю, когда п не-
п
ограниченно возрастает.
Известно, что это соотношение представляет собой
условие, необходимое и достаточное для того, чтобы член
последовательности
ох, о2, о3, ... , ол, ... (3)
стремился к определенному пределу, когда п неограниченно
возрастает.
Определение 1. Предел, к которому стремятся члены
последовательности (3), называется отношением отрезка АВ
к CD и обозначается символом —.
CD
4. Установив понятие об отношении двух отрезков, мы
обнаружим важнейшие его свойства.
Теорема I. Положим, что мы имеем два отрезка АВ
и CD. Положим далее, что мы будем составлять приближен-
ЛВ 111
ные значения отношения с точностью до —, —, — ,...>
CD n пг п2
где числа п, п\, пч,... составляют неограниченно
возрастающую последовательность. Эти приближенные значения
образуют последовательность
«Ъя> оП1у оП2, . . . (4)

134 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Эта последовательность стремится к пределу, который ра-
АВ
еен отношению отрезков .
Иными словами, если мы вычислим приближенное
значение отношения отрезков с точностью до — и затем станем по-
п
вторять ту же операцию, увеличивая неограниченно число п,
то приближенные значения будут стремиться к пределу,
равному отношению двух отрезков, какому бы закону мы ни
следовали, увеличивая число я.
Доказательство. Члены последовательности (4)
фигурируют в (3) и следуют друг за другом в том же порядке,
в каком они расположены в последовательности (3).
Известно, что если мы из бесконечной последовательности чисел,
члены которой стремятся к определенному пределу, выделим
бесконечную последовательность чисел, входящих в состав
первой, и если эти числа будут следовать друг за другом во
второй последовательности в том же порядке, в каком они
расположены в первой, то члены второй последовательности
стремятся к тому же пределу, к которому приближаются
члены первой; а так как члены последовательности (3) прибли-
ЛВ
жаются к пределу, равному отношению , то к тому же
пределу стремятся и члены последовательности (4).
Теорема II. Отношение двух отрезков никогда не
равно нулю.
Доказательство. Положим, что мы имеем отношение
отрезков . Выберем число п так, чтобы я-я часть (Q)
отрезка CD была меньше АВ (предл. 6). (Если АВ > CD, то
п можно положить равным единице.) Тогда число тПУ
выражающее, сколько раз отрезок Q содержится в отрезке АВ,
не меньше единицы и, следовательно, число S„ = — больше
нуля. Составим теперь последовательность
$п> $п" S„3, ... (5)
Члены этой последовательности стремятся к пределу,
равному отношению (теорема I). Первый член этой
последовательности больше нуля. Поэтому если нам удастся дока-

этюды по основаниям геометрии 135
зять, что члены этой последовательности не убывают, то мы
тем самым обнаружим, что предел, к которому эти члены
стремятся, также больше нуля.
Обозначим nk через v и рассмотрим два соседних члена
последовательности (5) Sv и 5v+i = Sm. Мы знаем, что
sm
v vn
Если мы обозначим v-ю часть отрезка CD через Q,
fz-ю часть отрезка Q через q, то q согласно сочетательному
закону представляет собой vn-ю часть отрезка CD. Поэтому
отрезок q содержится в отрезке АВ по крайней мере mvn раз.
Иными словами, mvn > mv п, т. е.
что и требовалось доказать.
Теорема III. Если отрезки АВ и CD имеют общую
меру Q, которая содержится тп.раз в отрезке АВ и п раз в от-
резке CD, то = —.
^ CD n
Доказательство. Покажем, что в этом случае Skn при
всяком целом значении k равно —. В самом деле, допустим,
п
что, деля отрезок CD на п равных частей, мы получаем
отрезок Q, а деля отрезок Q на k частей, мы получаем
отрезок R. Согласно сочетательному закону (предл. 2) и ввиду
однозначности процесса деления отрезка на равные части
(предл. 4), мы отсюда заключаем, что отрезок R составляет
А/г-ю часть отрезка CD. Так как, с другой стороны,
отрезок АВ состоит из m отрезков, равных Q, а этот последний, в
свою очередь, состоит из k отрезков, равных /?, то в силу
того же сочетательного закона отрезок R содержится в отрезке
АВ mk раз. Отсюда вытекает, что
п
Итак, при наличных условиях все члены последовательно-
сти (5) равны —, а потому то же значение имеет и отноше-
АВ
ние .
CD

136 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Теорема IV. Если отрезки АВ и А'В' конгруэнтны, то
АВ А'В'
CD ~~ CD
Доказательство. Это вытекает из того
обстоятельства, что всякий отрезок Q содержится в конгруэнтных
отрезках АВ и А'В' одинаковое число раз. Поэтому отноше-
АВ АВ'
ния —— и —— определяются одной и той же
последовательностью.
Теорема V. Если отрезок АВ состоит из отрезков АЕ
и ЕВ, то
АВ АЕ . ЕВ
CD CD CD
Доказательство. Приближенные значения отноше-
АВ АЕ ЕВ 1
ний ——-, и с точностью до — мы обозначим через
CD CD CD n *
ont Ьп и Sn.
Мы обозначим п-ю часть отрезка CD через Q и
предположим, что отрезок Q содержится в отрезке АЕ пгп раз, а в
отрезке BE mn раз. Будем теперь откладывать отрезок Q на
F E G
А I f—i 1 \В
Рис. 2
отрезок АЕ, начиная от точки Л, и положим, что, повторив
эту операцию ?пп раз, мы дойдем до точки F (рис. 2).
Точка F либо совпадает с Е, либо лежит до нее, между А и £\
Таким же образом будем откладывать отрезок Q на
отрезке BE, начиная от точки В. Положим также, что, повторив
эту операцию тп раз, мы дойдем до точки G, которая либо
совпадает с Е, либо лежит до нее, между В и Е. Так как
каждый из отрезков EF и EG меньше Q, то отрезок FG
меньше 2Q. Поэтому отрезок Q содержится в АВ либо
тп + тап раз, либо тп-{-тп-\-\ раз, смотря по тому, будет
ли FG<Q или FG>Q. Отсюда следует, что
я*1 + т„ + 8 , „ 8
Sn = = Sn + Sn + —
п п

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ
137
тде е равно либо нулю, либо единице. Отсюда следует, что
lim Sn = lim Sn + lim Sn\
иными словами:
AB _ AF , EB
CD ~ CD ^ CD '
Теорема VI. Если отрезок ААп состоит из ряда
отрезков ААи АХАЪ А2А3, ..., Ап-\Ап , то
ААп __ ААг , АгА2 , А2А3 , , Ап-\Ап
CD CD CD CD CD
Доказательство ведется индуктивно. Предположим,
что теорема справедлива, когда отрезок состоит из п—1
составляющих отрезков. Докажем, что она остается
справедливой и в том случае, когда отрезок состоит из п составляющих,
отрезков.
Соединяя первые п—1 отрезков в один отрезок ААп-\>
мы можем утверждать в силу сочетательного закона, что
ААп = ААп_х + Ап_хАп.
Следовательно, в силу предыдущей теоремы:
ААп ААп—\ . Аг— Ил
+
CD CD CD
Ввиду сделанного допущения,
ААп^г _ ААг , АгА2 , А2А3 Ап-2Ап-х
CD CD CD CD CD
Подставляя это в предыдущее равенство, мы получим:
ААп _ ААг АгА2 , , Ап-гАп
• ^ г • • • ~г "
CD CD CD CD
что и требовалось доказать.
iMbi предлагаем читателю доказать теоремы, выражаемые
следующими равенствами:
AB CD AB A'B' AB
О -^Г=1:-Т^> 2)
CD AB CD CD A'B'
AB A'B' AB CD
3) Если
CD CD' ' A'B' CD'
Мы их не доказываем, так как нам здесь не приходится ими
пользоваться.

138 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
5. Согласимся теперь относить каждому
прямолинейному отрезку некоторое число. Именно, распорядимся
следующим образом. Выбрав произвольно отрезок CD,
отнесем к нему число 1. Ко ©сякому же другому отрезку
отнесем то число, которое выражает его отношение к
отрезку CD.
В силу теорем IV, VI и II, мы можем высказать следующие
утверждения относительно чисел, отнесенных к различным
отрезкам:
a) Конгруэнтным отрезкам всегда отвечает одно и то же
число.
b) Число, отнесенное отрезку, состоящему из нескольких
меньших отрезков, равно сумме чисел, отвечающих
составляющим отрезкам.
c) Никакому отрезку не отвечает число нуль.
Докажем теперь, что соответствие между
арифметическими числами и прямолинейными отрезками может быть
произведено только одним способом, если числа,
отвечающие различным отрезкам, должны обладать свойствами
а), Ь), с) и если произведен выбор того отрезка, которому
мы относим число 1.
Действительно, положим, что мы отнесли отрезку CD
число 1. Пусть /г-я часть отрезка CD будет Q. Тогда
отрезку Q должно соответствовать число —, ибо это должно
п
«быть такое число, которое, будучи -повторено п раз, дает 1
(свойство Ь).
Далее ясно, что, в силу свойств Ь) и с), большему
отрезку отвечает и большее число. Разделим теперь отрезок CD
на п равных частей и допустим, что /г-я его часть содержится
в отрезке АВ тпраз. Если мы отложим отрезок Q тп раз на
отрезке АВ начиная от точки Л, то дойдем до некоторой
точки С, совпадающей с точкой В или лежащей до нее. Во
всяком случае АВ > АС. Если же мы от точки С отложим
отрезок Q еще один раз, то дойдем до точки D, лежащей уже на
продолжении отрезка АВ. Поэтому AD>AB. Положим теперь,
что отрезку АВ отнесено число х. Так как отрезкам АС и AD
согласно свойству Ь) должнь? отвечать ■—— и , то
п п
Л1о_<х<Л!»±1.
п п

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ
139
Иными словами если мы напишем две последовательности
чисел:
Щ\ т2 т3
1 ' 2 ' 3 ,'"
Щ + 1 Щ-^l Щ + 1
1 2 3
то число х должно заключаться между каждым членом
первой последовательности и соответствующим членом второй.
Но так как разность между членом первой
последовательности и соответствующим членом второй с возрастанием
индекса стремится к нулю и члены первой последовательности
стремятся к определенному пределу, то к тому же пределу
стремятся и члены второй последовательности, и х есть значение
этого предела. Так как, с другой стороны, предел, к которому
стремятся члены первой последовательности, есть не что иное,
ЛВ ЛВ
как —, то х= , что и требовалось доказать.
CD CD •
Итак, каждому прямолинейному отрезку может быть
отнесено одно и только одно арифметическое число 1 так,
чтобы определенному отрезку отвечало число 1, чтобы двум
конгруэнтным отрезкам отвечало всегда одно и то же число и
чтобы отрезку, составленному из нескольких отрезков,
отвечало число, равное сумме тех чисел, которые соответствуют
составляющим отрезкам.
Определение. Если сопряжение, удовлетворяющее
названным выше требованиям, установлено, то отрезок CD
называют единицей длины, а число, отвечающее всякому
другому отрезку ЛВ, называют длиной этого отрезка, отнесенной
к отрезку CD как к единице длины.
6. Та же идея, которую мы старались выяснить в
предыдущих пунктах в применении к измерению длин
прямолинейных отрезков, преобладает всюду, где приходится
производить измерение тех или других геометрических образов.
Измерить ту или другую геометрическую величину —
значит отнести каждому образу, представляющему собой одно
значение этой величины, арифметическое число так, чтобы
конгруэнтным образом соответствовали одинаковые числа и
1 Арифметическим числом здесь и дальше автор называет
положительное число. (Ред.).

140 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
чтобы образу, состоящему из нескольких образов того же
рода !, соответствовало число, равное сумме тех чисел,
которые соответствуют составляющим образам.
Обоснование теории измерения той или другой
геометрической величины заключается в доказательстве двух
положений: во-первых, нужно доказать, что каждому образу,
представляющему одно из значений этой величины, можно
отнести число так, чтобы удовлетворить поставленным выше
требованиям, и, во-вторых, что это можно произвести только
одним способом, если выбрано значение той величины,
которой мы относим число 1 (т. е. если выбрана единица меры).
Доказательство это производится различно в различных
случаях. Впрочем, для целого ряда величин обоснование
теории измерения представляет собой почти дословное
повторение тех рассуждений, которые изложены выше для
обоснования идеи измерения прямолинейных отрезков. Так
обосновывается измерение дуг одной и той же окружности,
прямолинейных и двугранных углов.
Так, например, чтобы развить теорию измерения
прямолинейных углов, нужно установить понятие об отношении двух
углов; это делается почти дословно так, как было
установлено понятие об отношении двух прямолинейных отрезков..
Затем доказывается, что достаточно отнести произвольна
выбранному углу w число 1, а всякому другому углу
число, выражающее его отношение к углу w, чтобы выполнить
поставленные выше требования, т. е. конгруэнтным углам
будут отвечать одинаковые числа, а число, соответствующее
углу, составленному из нескольких углов, равно сумме чисел,
отвечающих составляющим углам. Доказывается затем
(таким же приемом, каким это выполнено в п. 5), что это
единственный способ сопряжения прямолинейных углов и
арифметических чисел, удовлетворяющий задаче измерения.
Но когда мы переходим к измерению площадей, то
вопрос значительно усложняется, даже если мы ограничимся
вопросом об измерении площадей прямолинейных фигур.
1 Способ, по которому один образ составляется из нескольких
других образов, должен быть, конечно, предварительно объяснен для данной,
совокупности геометрических образов. Так, например, способ составления
прямолинейного отрезка из других прямолинейных отрезков объяснен в.
определении 1 п. 2 (стр. 128). Этот же вопрос для совокупности
многоугольников (и возникающие при этом трудности) рассмотрен ниже (Ред.)..

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ
141
Дело в том, что отложить одну прямолинейную
фигуру на другой в том смысле, в каком мы откладываем один
отрезок на другом, бывает возможно только в немногих
исключительных случаях К В большинстве же случаев уже
для решения одного только вопроса о том, может ли данная
лрямолинейная фигура быть помещена внутри другой, ее
нужно разрезать на части; возникает, стало быть, вопрос, в
какой зависимости находится результат этой операции от
того, на какие части мы разрезаем нашу фигуру? Вообще
говоря, не исключено, может быть, что, разрезав фигуру А на
части одним способом, мы поместим ее внутри фигуры В, а
разрезав ее на части другим способом и расположив эти
части в надлежащем порядке, мы составим фигуру, внутри
которой поместится фигура В. Коротко говоря, тот прием,
посредством которого мы обосновывали понятие об
отношении двух отрезков и о длине прямолинейного отрезка,
неприменим к вопросу об измерении площадей прямолинейных
фигур.
Эта задача сложнее, и потому неудивительно, что
правильное ее решение в общих сочинениях по элементарной
геометрий даже не намечено. В этих сочинениях излагается
обыкновенно только одна сторона дела. Мы покажем, в чем
заключается дефект и как он пополняется.
7. Определение. Если нам удастся отнести каждой
прямолинейной фигуре число так, чтобы конгруэнтным
фигурам соответствовало одно и то же число и чтобы всякой
фигуре, состоящей из нескольких прямолинейных фигур,
отвечало число, равное сумме тех чисел, которые соответствуют
составляющим фигурам, то мы будем говорить, что мы
установили систему измерения площадей прямолинейных фигур;
число, отнесенное каждой фигуре, мы будем называть
площадью фигуры при этой системе измерения, а ту фигуру,
которой отнесено число 1, мы будем называть единицей
меры площади.
Чтобы развить теорию измерения площадей, нужно
доказать следующие два положения:
1) В евклидовой геометрии возможно установить
систему измерения площадей.
1 Так. например, если бы мы ограничились измерением площадей
прямоугольников, имеющих равные основания, то эту теорию можно было бы
развить совершенно аналогично теории измерения отрезков.

142 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
2) Эту операцию можно произвести только одним
способом, если произведен выбор той фигуры, к которой
отнесено число 1 (которая принята за единицу меры площадей).
Из этих двух положений элементарная геометрия в
обычном изложении доказывает только второе, а первое вовсе
игнорирует; между тем ясно, что второе положение только
тогда получает смысл и определенное содержание, когда
установлено первое положение. Чтобы это утверждение не было
голословно, мы приведем следующий ряд рассуждений: мы
допустим справедливость первого из высказанных
положений и докажем, что оно влечет за собой второе
положение. Затем мы сравним наше рассуждение с обычным
изложением теории площадей элементарной геометрии.
8. Т е о р е м ia 1. Если установлена некоторая система
измерения площадей, то две фигуры, которые состоят из
соответственно конгруэнтных фигур, имеют одинаковые площади.
Доказательство. Это вытекает непосредственно из
определения предыдущего пункта, так как конгруэнтным
фигурам мы относим одинаковые числа (т. е. конгруэнтные
фигуры имеют одинаковые площади) и так как две фигуры,
составленные из нескольких фигур, имеют площадь, равную
сумме площадей составляющих фигур.
Теорема II. Если установлена некоторая система
измерения площадей прямолинейных фигур, то фигура,
расположенная внутри другой фигуры, имеет меньшую площадь.
Доказательство. Это также вытекает из определения
предыдущего пункта, так как фигура с объемлющей
периферией состоит из второй фигуры и еще одной или нескольких
прямолинейных фигур; ее площадь представит, следовательно,
собой сумму нескольких арифметических чисел, отличных от
нуля; площадь же внутренней фигуры представляет собой
одно из этих слагаемых.
Теорема III. Если установлена некоторая система
измерения площадей прямолинейных фигур (см. определение
в п. 7), то площади двух прямоугольников, имеющих равные
основания, относятся между собой, как их высоты.
Доказательство. Пусть Q и q будут два
прямоугольника, Р и р их площади, т. е. числа, отнесенные нашим двум
прямоугольникам при данной системе измерения площадей.
Пусть Н и h будут высоты этих прямоугольников. Высоту
одного из этих прямоугольников, скажем вторую, раз-

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ
14$
дтелим на п равных частей и через точки деления проведем
прямые, параллельные основанию прямоугольника.
Прямоугольник разобьется при этом на п конгруэнтных
прямоугольников, которым, согласно определению предыдущего пункта,,
отвечают одинаковые числа, или, выражаясь иначе,
которые имеют одинаковые площади. Каждый из этих
составляющих прямоугольников мы будем обозначать буквой q'.
Площадь прямоугольника q' равна —, ибо q' должно быть число,.
п
W///,tW/M
\
h'
\
Рис. 3
которое, будучи повторено слагаемым п раз, дает число р.
Положим теперь, что п-я часть h' высоты h содержится
тп раз в высоте Я. Если мы отложим отрезок h' по высоте Я
и через точки деления проведем прямые, параллельные
основанию, то составим тп прямоугольников, конгруэнтных
прямоугольнику q\ а потому имеющих площадь, равную тп-—.
п
Прямоугольники эти целиком расположены внутри
прямоугольника Q и либо покрывают его целиком, либо оставляют
еще некоторый прямоугольник. Поэтому, в силу теорем
1иП,
п
(б>
Если мы отложим отрезок W по высоте Я еще один
(т„+1)-й раз и через конечную точку проведем прямую,
параллельную основанию прямоугольника Q, то составим
прямоугольник, состоящий из тп-{-1 прямоугольников,
конгруэнтных с qr. Этот прямоугольник имеет площадь, равную

144 Н. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
(тп-\-1) • —, а так как прямоугольник Q помещается внутри
п
этого нового прямоугольника, то, в силу теоремы II,
Р<(та+1)-Р-. (7)
П
Соединяя'соотношения (6) и (7), получаем:
тп.^<Р<(тп+1).-Р-,
п п
откуда
тп Р тп +1
^— < •
п р п
Итак, число — заключается между1 соответствующими
Р
членами последовательностей
Шу 171% т3 тп
1 ' 2 ' 3 '•••, п "••
Мы уже знаем, что эти последовательности стремятся к
общему пределу, равному отношению Н: h. Поэтому
Р_ =Н_
р h
Теорема IV. Если установлена некоторая система
измерения площадей, то площади двух прямоугольников относятся
как произведения оснований на высоты.
Доказательство обычное.
Теорема V. Если установлена некоторая система
измерения площадей, и квадрату, сторона которого выражается
числом 1 (сторона которого принята за единицу меры
длины), отнесено число \л, то площадь прямоугольника имеет
вполне определенное значение, равное произведению числа \i на
высоту Н и основание В (т. е. на длину высоты и на длину
основания) прямоугольника.
1 Или совпадает с числом первой последовательности. (Ред.).

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ
145
Доказательство. Из пропорции
Р = ВН
\i 11
получаем
P = \iBH.
Если \х= 1, то Р = В'Н, т. е. имеет место
Теорема Vх. Если установлена система измерения
площадей, и площадь квадрата, сторона которого равна единице
длины, принята за единицу, то площадь всякого
прямоугольника имеет определенное значение: ВН.
Теорема VI. Если установлена некоторая система
измерения площадей прямолинейных фигур, то параллелограмм
и прямоугольник, имеющие равные основания и высоты,
имеют одинаковую площадь.
Доказательство. Обычным приемом доказываем,
что эти фигуры могут быть составлены из конгруэнтных
частей, и тогда высказанное утверждение вытекает
непосредственно из теоремы I,
Теорема VII. Если установлена некоторая система
измерения площадей, то площадь каждого параллелограмма
имеет определенное значение |л • ВН, а площадь треугольника
имеет определенное значение —|л*б#, где |л то же, что и
выше.
Доказательство обычное.
Теорема VIII. Если установлена некоторая система
измерения площади, и квадрату, сторона которого представляет
собой единицу длины, отнесено число \х, то этим вполне
определяется площадь каждого многоугольника.
Доказательство. Многоугольник может быть
составлен из треугольников; так как, с одной стороны, площадь
многоугольника по самой идее измерения площадей
(определение п. 6) должна быть равна сумме составляющих
треугольников; так как, с другой стороны,, площадь каждого
треугольника при названных условиях имеет вполне определенное
значение, то и площадь многоугольника имеет вполне
определенное значение.
9. Изложение предыдущего пункта по существу не
отличается от обычного изложения теории площадей в
элементарной геометрии. Мы его привели с той целью, чтобы явно фор-

146 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
мулировать то допущение, которое в этой теории
обыкновенно делается молчаливо, и чтобы показать, что это допущение
действительно является базисом доказательства.
Действительно, условия всех теорем предыдущего пункта
начинаются с допущения, что установлена некоторая система
измерения площадей. Если это имеет место, то каждой
прямолинейной фигуре соответствует некоторое определенное
число — его площадь при этой системе 'измерения,— и все
теоремы получают благодаря этому определенное содержание.
Если же этого нет, то доказываемые предложения не имеют
содержания.
Даже более того, все теоремы предыдущего пункта
предполагают, что установлена некоторая система измерения
величин, удовлетворяющая требованиям, формулированным в
определении п. 7. Но возможно ли это, возможно ли отнести
каждой прямолинейной фигуре число так, чтобы
удовлетворить требованиям, содержащимся в идее измерения
площадей?
Еще иначе. Если установлена система измерения
площадей, и площадь квадрата, сторона которого равна единице
длины, принята за единицу площадей, то площади
прямоугольника и параллелограмма выражаются произведением
основания на высоту, а площадь треугольника выражается
половиной такого же произведения, площадь многоугольника
равняется сумме площадей треугольников, на которые мы его
можем разбить.
Если М'Ы теперь пойдем обратным путем: площадь
квадрата, сторона которого равна единице длины,, примем за
единицу, площадь всякого треугольника примем равной половине
произведения основания на высоту, каждый
многоугольник разобьем определенным образом на треугольники и
примем за площадь многоугольника число, равное сумме
площадей составляющих его треугольников,— то будет ли этим
установлена система измерения площадей? Не будем ли мъг
при этих условиях получать различные числа, если будем
различным образом разбивать многоугольник на
составляющие треугольники? Будет ли при этих условиях площадь
всякого многоугольника, составленного из нескольких
многоугольников, равна сумме площадей этих составляющих
фигур?
На эти вопросы предыдущая теория не дает никакого
ответа. Обычное изложение геометрии обращается здесь к ин-

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ
147
туиции, к априорному понятию о неизменной площади,
«определению не подлежащему и в нем не нуждающемуся».
Мы потому уже не станем оспаривать этой точки зрения,,
что ее нецелесообразность, ее неправильность станет
очевидной, если мы докажем, что на все поставленные выше
вопросы можно дать определенные ответы, не прибегая ни к какому
специальному постулату.
Это обнаружено работами С. Шату-
новского и Д. Гильберта.
10. Еще в 1895 г. С. О. Шатуновский
сообщил Математическому отделению
Новороссийского общества
естествоиспытателей свою работу «О теории
площадей прямолинейных фигур». К сожале- Рис-
нию, работа эта не была опубликована,
и только в 1898 г. основные ее положения были напечатаны
в «Дневнике X съезда естествоиспытателей и врачей», во»
время которого она была сообщена математической секции.
Позже в книге Гильберта «Основания геометрии» были
изложены те же идеи. К изложению этой постановки вопроса
мы теперь переходим.
Теорема I. Во всяком треугольнике произведение
основания на высоту есть постоянная величина; иными словами,
если а, Ь, с суть стороны треугольника, ha, hb, h*c
соответствующие им высоты, то
a,'ha = b-hb = c-hc.
Доказательство. Из вершин А, В и С треугольника
ABC опустим перпендикуляры АА', ВВ' СС на
противоположные стороны (рис. 4). В данном случае
а = ВС, Ь = АС, с = АВ, ha = АА\ hb = ВВ\ hc = СС\
Из подобия треугольников AfAC и В'ВС мы находим, что
ВС -АА'=АС- ВВ'. Таким же образом из подобия
треугольников С'СА и В'ВА находим, что АВ • СС'=АС-ВВ'. Таким
образом теорема доказана.
Определение. Во всяком треугольнике С. О.
Шатуновский называет постоянное произведение основания на
высоту, умноженное на некоторое постоянное положительное
число \л, инвариантом треугольника; множитель jx мы будем
называть коэффициентом инварианта. Инвариант треугольна-

148 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
ка ABC мы будем обозначать символом J (ABC). Итак,
J (ABC) = |lx - А В- СС.
Вся теория площадей опирается на следующую основную
теорему:
Теорема4 II. Если треугольник каким-либо способом
разбит на треугольники, то инвариант этого треугольника
равен сумме инвариантов всех составляющих треугольников,
в
А К N Р
Рис. 5 Рис. 6
Доказательство этого предложения не может быть
проведено сразу, мы рассмотрим отдельно следующие случаи:
1-й случай. Данный треугольник ABC разбит на
составляющие треугольники прямыми, выходящими из одной и той
же вершины С.
Положим (рис. 5), что это деление производят прямые
CAU CA2/ CAZ,..., САп-\.
Обозначим высоту Лс через Л, а отрезки AAU A\A2, /42-43,...,
Ап_\В через сь с% cz, ..., cnt так что
АВ = с = сх + с2 + с3 + ... + сп\
поэтому
J (ABC) = \i-ch = [х (q 4- c2 + c3 + ... + cn) h =
= \i-cxh + ii-c2h + \JL-c3h+ ... +\i-cnh.
С другой стороны,
J(ACAX) = \i-cxh, J(AXCA2) = \i-c2h, ... , J (An-\CB) =\*>-cnh;
принимая это во внимание, мы можем представить
предыдущее равенство в таком виде:
J (ABC) = J(ACAX) + J(AXCA2) + J(A2CA3) + ... + J(An-XCB).

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ 149
Таким образом, для этого случая теорема доказана.
2-й случай. Вершины составляющих треугольников
расположены исключительно на двух сторонах данного
треугольника.
Такой случай изображен на рис. 6. Все вершины
составляющих треугольников расположены здесь на сторонах АВ
и ВС треугольника ABC.
Доказательство теоремы мы проведем для этого случая
индуктивно по отношению к числу составляющих
треугольников. Прежде всего ясно, что теорема справедлива, когда этих
составляющих треугольников имеется только два. В самом
деле, если на стороне ВС лежит вершина Р составляющего
треугольника, то сторона, выходящая из этой вершины, неиз-.
бежно должна пройти через вершину А треугольника ABC,
ибо в противном случае она отсекала бы не треугольник, а
четырехугольник. Поэтому мы можем сказать, что
треугольник ABC разделен на два треугольника прямой, выходящей
из его вершины. Итак, если имеется только два
составляющих треугольника, то рассматриваемый случай подходит
под предыдущий, и, стало быть, теорема справедлива.
Допустим теперь, что теорема справедлива (для
рассматриваемого случая), когда число составляющих треугольников
есть п. Покажем, что она остается справедливой, когда
число составляющих треугольников есть (/г+1).
Итак, допустим, что треугольник ABC на рис. 6 состоит
из (/г+1) составляющих треугольников, вершины которых
расположены на прямых АВ и СВ.
Легко видеть, что по крайней мере через одну из двух
вершин А или С должна проходить секущая, отсекающая
составляющий треугольник. В самом; деле, в противном случае
через точку Р, представляющую собой вершину
составляющего треугольника, ближайшую к точке А, проходила бы
секущая, отсекающая четырехугольник, а не треугольник. Итак,
допустим, что прямая, отсекающая треугольник, выходит из
вершины А. Может случиться, что имеется несколько
секущих, выходящих из вершины А; но во всяком случае имеется
только одна секущая АР, отсекающая от треугольника ABC
только один составляющий треугольник.
Итак, треугольник ABC делится на два треугольника
ВАР и РАС прямой АР, выходящей из его вершины. Поэтому
J (ABC) = J (BAP) + J (РАС).

150 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Но треугольник ABC разбит на п составляющих
треугольников таким образом, что их вершины лежат на двух
сторонах треугольника ВА и ВС; поэтому, согласно допущению,
J (ВАР) = J (BKL) + J (КШ) + ... + J (NPA).
Подставляя это выражение в предыдущее равенство,
получим окончательно:
J (ЛВС) = J (BKL) + J (KLM) + ...+J (NPA) + J (РАС).
Теорема, таким образом, доказана и для этого случая.
3-й случай. Чтобы удобнее охарактеризовать этот
случай, будем называть трансверсалью треугольника
прямолинейный отрезок, начинающийся в одной из вершин
треугольника и оканчивающийся на одной из его сторон. Таким
образом и самые стороны треугольника могут быть
рассматриваемы как его трансверсали.
Если треугольник разбит на составляющие треугольники,
то стороны этих составляющих треугольников могут иногда
образовать трансверсаль; так, например, на рис. 7 стороны
AG и GD образуют трансверсаль AD, стороны АН и НЕ
образуют трансверсаль АЕ.
3-й случа,й, который мы имеем в виду теперь
рассмотреть, характеризуется тем, что все вершины составляющих
треугольников расположены на трансверсалях, образованных
сторонами составляющих треугольников и выходящих из
одной и той же вершины данного треугольника. Такой случай и
изображен на рис. 7. Все вершины соответствующих
треугольников расположены здесь на трансверсалях АВ, AD, AE, АС.
Треугольник ABC разбит в данном случае на
составляющие треугольники BAD, DAE, EAC прямыми, выходящими
из вершины Л. Поэтому (1-й случай)
J (ABC) = J (ABD) + J (DAE) + J (EAC).
С другой стороны, каждый из треугольников BAD, DAE
и EAC разбит на составляющие треугольники таким образом,
что вершины составляющих треугольников лежат на двух
сторонах того треугольника, который они образуют. Поэтому
(2-й случай)
J (ABD) = J (ABF) + J (FBD)y

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ
151
J (DAE) = J (GAH) + J (GHD) + J (DHE),
J (AEC) = J (AEK) + J (KEL) + J (LEC).
Подставляя это в предыдущее равенство, мы получим:
J (ABC) = J (ABF) + J (FBD) + J (AGH) + J (GHD) +
+ J (DHE) +J (AEK) + J (KEL) + J (LEC).
Теорема доказана и для этого случая. Мы оперировали,
правда, над определенным разложением треугольника,
изображенным на рис. 7, но ясно, что наши рассуждения имеют
вполне общий характер.
4-й случай. Составляющие треугольники расположены
совершенно произвольно. На рис. 8, служащем для иллюстра-
Рис. 7 Рис. 8
ции этого случая, стороны составляющих треугольников, на
которые разложен треугольник ABC, вычерчены сплошными
линиями.
Если бы все вершины составляющих треугольников были
расположены на трансверсалях, выходящих из одной и той
же вершины А и составленных из сторон составляющих
треугольников, то мы имели бы дело с предыдущим случаем. Мы
предположим поэтому, что имеются вершины составляющих
треугольников, не лежащие на трансверсали. Пусть G будет
одна такая вершина. Проведем из вершины А трансверсаль,
проходящую через вершину G составляющего
треугольника EGC. Эта трансверсаль может делить каждый
составляющий треугольник, по которому она.проходит, либо на два тре-

152 Н. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
угольника, либо на треугольник и четырехугольник, смотря
по тому, проходит ли она через вершину составляющего
треугольника или нет. Так, трансверсаль AG делит
треугольник EGC на треугольники EGH и CGH, а треугольник DEC—
на треугольник EFH и четырехугольник DFHC. Если
трансверсаль отсекает от какого-либо составляющего треугольника
четырехугольник, то мы проведем в нем диагональ и таким
образом разобьем четырехугольник на два треугольника, а
составляющий треугольник на три треугольника. В нашем
случае четырехугольник DFHC разбивается диагональю DH
на два треугольника DFH и DHC, а составляющий
треугольник EDC разбивается на треугольники EFH, DFH и DHC*
Итак, если мы проведем трансверсаль AG и во всех
четырехугольниках, которые она отсекает от составляющих
треугольников, проведем диагонали, то мы произведем новое
разложение данного треугольника на составляющие в том
смысле, что некоторые из составляющих.треугольников
разобьются на два, другие на три треугольника. Мы покажем,
однако, что сумма инвариантов составляющих треугольников,
при этом остается та же, В самом деле, если какой-либо
треугольник разбивается на два новых треугольника, то это
производится прямой линией, проходящей через его вершину;
а потому сумма инвариантов этих двух треугольников равна
инварианту всего треугольника (1-й случай). Если
составляющий треугольник разбивается на три треугольника, то
вершины последних лежат на двух сторонах этого треугольника
(именно на тех, которые пересекает трансверсаль; в данном
случае треугольник DEC разбивается на три треугольника,
вершины которых лежат на сторонах ED и ЕС). Поэтому и
здесь сумма инвариантов трех треугольников равна
инварианту всего треугольника (2-й случай).
Посмотрим теперь, каков результат произведенного нами
построения.
Число составляющих треугольников увеличилось, но
сумма их инвариантов осталась та же. Вершины новых
треугольников либо совпадают с вершинами прежних треугольников,
либо лежат на нашей трансверсали. Поэтому в результате
нашего построения не появлялось ни одной новой вершины,
через которую не проходит трансверсаль (из вершины Л); но<
через вершину G, через которую трансверсаль раньше не
проходила, теперь таковая проходит. Итак, наше построение
дает следующий результат:

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ
15$
Число составляющих треугольников увеличилось; сумма
их инвариантов осталась та же; число вершин, через которые
трансверсаль не проходит, уменьшилось.
Возьмем теперь новую вершину, через которую не
проходит трансверсаль, проведем через нее таковую и сделаем
соответствующее построение. Мы вновь увеличим число
составляющих треугольников, сохраним ту же сумму
инвариантов и уменьшим число вершин, не лежащих на трансвер-
сали.
Продолжая этот ряд построений, мы получим такое
разложение, которое имеет первоначальную сумму инвариантов, а
все вершины составляющих треугольников расположены на
трансверсалях. Это подходит под 3-й случай, а потому сумма
инвариантов составляющих треугольников равна инварианту-
всего треугольника.
На нашем чертеже (рис. 8) составляющие треугольники
первоначального разложения, как мы уже говорили,
вычерчены сплошными лициями. Штриховыми линиями
вычерчены проведенные нами последовательно трансверсали;.
пунктирами обозначены диагонали, которыми
дополнялось разложение.
Теорема III. Если мы какую бы то ни было
прямолинейную фигуру разобьем на треугольники, то последние
будут иметь одну и ту же сумму инвариантов, каким бы
способом мы ни производили разложение наших фигур на
треугольники. '
Доказательство. Пусть Р будет прямолинейная
фигура, о которой идет речь. Разобьем ее на треугольники
двумя способами, которые мы обозначим Si и 52. Пусть J\ и
Забудут суммы инвариантов составляющих треугольников,
соответствующие разложениям S\ и 52. Построим- теперь
произвольный треугольник Д таким образом, чтобы
многоугольник Р находился весь внутри треугольника Д. Площадьг
содержащуюся между периферией многоугольника и
треугольника, разобьем на треугольники. Способ разложения мы
обозначим через 5, а сумму инвариантов составляющих
треугольников (определяемых разложением 5) мы обозначим
через /. Легко видеть, что разложения S и S\ разбивают-
треугольник Д на составляющие треугольники, сумма
инвариантов которых равняется /+/г, разложения же S и 52
разбивают треугольник Д на составляющие треугольники, сумма>
инвариантов которых равна /+/2.

154 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Согласно предыдущей теореме как и /+/i, так и /+/г
равны инварианту треугольника А. Поэтому
J + Jx = J + J2, а потому Jx = J2y
что и требовалось доказать.
Определение. Согласно предыдущей теореме, каждой
прямолинейной фигуре соответствует определенное число,
равное сумме инвариантов треугольников, на которые она
может быть разбита. Это число мы будем называть инвариантом
прямолинейной фигуры.
Теорема IV. Если прямолинейная фигура каким-либо
-способом разбивается на составляющие ее прямолинейные
фигуры, то ее инвариант равен сумме инвариантов
составляющих фигур.
Доказательство. Положим, что фигура Р
разбивается на прямолинейные фигуры Р\, Рч, Рз, •••, Рп- Пусть J\,
J2, ..., /п будут инварианты соответствующих фигур. Каждую
из составляющих фигур мы разобьем на треугольники. Тогда
инвариант равняется сумме инвариантов тех треугольников,
на которые разбита фигура Pk. Мы можем это выразить
равенством
Но при нашем разложении и вся фигура Р разбивается на
треугольники, причем в состав фигуры Р входят «се
треугольники, на которые разбивается каждая фигура Pk:
Теорема V. Две конгруэнтные прямолинейные фигуры
имеют одинаковые инварианты.
Доказательство. Положим, что две прямолинейные
фигуры Pi и Рг конгруэнтны. Тогда они могут быть разбиты
на соответственные конгруэнтные треугольники.
Конгруэнтным треугольникам отвечают одинаковые инварианты, так
как они имеют равные стороны и равные высоты, а потому и
суммы инвариантов соответствующих треугольников будут
равны.
11. Теория, развитая в предыдущем пункте, показывает,
что для прямолинейных фигур может быть установлена
система измерения площадей. Для этого достаточно отнести

ЭТЮДЫ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ
каждой прямолинейной фигуре ее инвариант. Согласно двум
последним теоремам конгруэнтным фигурам будут при этом
соответствовать равные числа; фигуре же, разбитой на
несколько составляющих фигур, соответствует число, равное
•сумме чисел, отвечающих составляющим фигурам. Согласно
определению, данному в п. 7, это и значит установить систему
измерения фигур. Возможность этого процесса, таким
образом, установлена и теоремы п. 7 не нуждаются более в том
условии, которое мы предпосылали их формулировке.
Устанавливая систему измерения площадей изложенным
выше способом, мы еще оставляем за собой некоторый
произвол. Именно выражение инварианта треугольника содержит
некоторый постоянный множитель (л. Этим множителем мы
можем распорядиться так, чтобы число, отнесенное к любой
прямолинейной фигуре, было равно единице. Иными словами,
площадь любой прямолинейной фигуры может быть принята
за единицу меры. Но, возвращаясь к теории, изложенной
в пп. 8—9, мы видим, что на этом произвол уже кончается.
Если мы выбрали фигуру, которой отнесено число 1, то
система измерения площадей может быть установлена только
одним способом.

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ1
1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАВНОВЕЛИКИХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
В КОНГРУЭНТНЫЕ
При доказательстве основной теоремы о равновеликое™
двух пирамид, имеющих равновеликие основания и равные
высоты, геометрия искони прибегает к методу пределов,
рассматривая пирамиды как пределы вписанных и описанных
призм. Помимо дидактических трудностей (учащиеся недаром
назвали эту фигуру «чертовой лестницей») появление здесь
метода пределов сначала представляется странным по
существу. Когда мы доказываем равновеликость прямолинейных
фигур в планиметрии, мы не только не прибегаем к
пределам, но, наоборот, пользуемся наиболее элементарными
средствами. Именно для этой цели применяются два приема, из
которых один принято называть методом разложения, а
другой— методом дополнения. Метод разложения заключается в
том-, что для доказательства равновеликости двух фигур одну
из них разрезают на части, из которых в ином расположении
может быть составлена вторая фигура. Так, для
доказательства равновеликости параллелограммов Q (ABCD) и
Q' (A'B'CD) (рис. 1) мы первый разлагаем на
треугольник Pi и трапецию Р% из которых в ином расположении
составляется второй параллелограмм. Можно сказать, что
метод разложения заключается в том, что фигуры представля-
1 Впервые напечатано в 1913 г. в книге: «Труды Всероссийского
съезда преподавателей математики» (конец 1911—начало 1912 г.). Последнее,
переработанное и дополненное издание вышло в 1933 г. Библиогр.
сведения см. стр. 566 наст, книги, № 25. (Ред.).

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
157
ются как суммы соответственно конгруэнтных частей. Метод
дополнения заключается в том, что к обоим многоугольникам
различным образом присоединяются конгруэнтные
многоугольники так, что в результате получаются конгруэнтные
фигуры. Чтобы доказать равновеликость параллелограммов
Q(ABCD) и Q'(A'B'CD) (рис. 2), к ним присоединяют кон-
Я С d С
А Г Т^г Г л В А' В'
Рис. 1 Рис. 2
груэнтные треугольники ВСВ' и ADA' (P{) и таким образом
дополняют их до трапеции Р (AB'CD), так что
P^Px + QvP^Pi + Q',
откуда
Q = P — P1 и Q' = p — pv
Метод дополнения заключается, следовательно, в том, что
оба многоугольника представляются в виде разности
конгруэнтных многоугольников.
Очень часто комбинируются оба приема; в таком случае
дело сводится к тому, что оба многоугольника
представляются в виде алгебраической суммы соответственно
конгруэнтных многоугольников. Применение обоих приемов дает
обыкновенно лучшие результаты в том смысле, что
доказательства получаются наиболее простые.
На этих приемах приведения равновеликих
многоугольников к конгруэнтным путем разложения или дополнения
основана вся классическая теория измерения площадей
прямолинейных фигур, как она заложена, так сказать, в
неметрическом стиле еще у Евклида и получила завершение в
«Началах» Лежандра *.
1 О «Началах» Лежандра см. на стр. 343 наст, книги. (Ред.).

158 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Очень любопытно, однако, что метод дополнения по
существу оказывается ненужным: равновеликость многоугольников
можно устанавливать, пользуясь только методом
разложения. Еще Фаркаш Бойаи1 доказал следующее
предложение:
Если два многоугольника равновелики, то любой из них.
всегда возможно разрезать на конечное число
многоугольников, из которых в ином расположении можно составить его-
рой многоугольник.
Иначе: два равновеликих многоугольника всегда могут
быть составлены из соответственно конгруэнтных частей,
взятых в конечном числе.
В частности, каждый многоугольник можно таким образом
превратить в квадрат, т. е. разрезать на такие части, из
которых, в ином расположении их, составляется равновеликий
этому многоугольнику квадрат.
Доказательство этого предложения помещено Ф. Бойаи-
в I томе его знаменитого руководства («Tentamen»),
которое он выпустил в 1832 г., и в приложении («Appendix»),,
к которому его сын изложил основы неевклидовой
геометрии2.
Рассуждения Бойаи отличаются, однако, необычайной
громоздкостью и в настоящее время утратили интерес. В
следующем, 1833 г. совершенно независимо от Бойаи то же
предложение доказал германский математик Гервин3.
Доказательство Гервина мы здесь изложим.
Предварительно только заметим следующее. Положим', что
многоугольники Pi и Р2 равновелики. Возьмем третий многоугольник Р,
им равновеликий (в качестве такового может быть взят
также один из данных многоугольников). По Гервину, каждый
из многоугольников Pi и Рг может быть разрезан на части;
из которых в ином расположении можно составить
многоугольник Р. Этот процесс и называется преобразованием
равновеликих многоугольников в конгруэнтные.
1 Венгерский математик, отец Яноша Бойаи, открывшего неевклидову
геометрию почти одновременно с Н. И. Лобачевским.
2 См. статью «Янош Бойаи» в этой книге. Сведения о сочинений
«Tentamen» см. на стр. 314. Теорема Ф. Бойаи — «Tentamen», XXXVIII,
20, 50. (Ред.).
3 G e r v i e n. Zerschneidung jeder beliebigen Anzahl von gleichen ge-
radlienigen Figuren in dieselben Stucke. «Journ. fur rein u. angew. Math.»,.
10, 1833.

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
159
Многоугольники, которые могут быть путем разложения
преобразованы один в другой, называются также равносо-
ставленными (zerglechungsgleich). Теорема Гервина в этой
терминологии может быть выражена так: равновеликие
многоугольники всегда являются также равносоставленными К
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ ПО ГЕРВИНУ
Гервин был офицер, занимавшийся математикой в
качестве любителя. Его геометрические дарования были
неизмеримо скромнее тех, которыми обладал его современник,
офицер французской арм'ии Понселе. Печать этого лежит и на
этой работе. Замысел по существу гораздо более простой и
изящный, нежели у Бойаи, изложен все же настолько
громоздко, что чтение работы очень тягостно. Настоящее
изложение представляет обработку его построения,
принадлежащую автору настоящей статьи. Читатель, знакомый с
оригинальной работой, узнает, конечно, построение Гервина; в
настоящем своем виде изложение вряд ли может кого-либо
затруднить.
В основе построения Гервина лежит следующее
предложение:
Теорема 1. Два многоугольника, равно со став ленные
с третьим, равносоставлены между собой.
Доказательство. Положим, что многоугольники Q\
и Q2 равносоставлены с многоугольником Р. Это значит, что
многоугольник Р можно разложить, с одной стороны, на
многоугольники Pi, P2, ..., Pk> из которых составляется
многоугольник Qi, а с другой стороны, на многоугольники
Р1, Р2, ..., Р', из которых составляется многоугольник Q2.
1 Из теоремы Бойаи — Гервина вытекает также, что при
доказательстве равновеликости многоугольников во всех случаях можно обойтись
только методом дополнения: равновеликие многоугольники
всегда являются также равнодополняемыми (т. е. могут быть приложением,
конгруэнтных частей дополнены до конгруэнтных многоугольников).
Доказательство этого почти очевидно: следует заключить равновеликие
многоугольники Pi и Р^ в один и тот же многоугольник Р (достаточно
большой для того, чтобы внутри него можно было поместить как Pi, так и Р2)
и затем воспользоваться тем, что части Р\ и Р2/ многоугольника Р,
дополняющие Pi и Рг до Р, имеют равную площадь и поэтому, вследствие
теоремы Бойаи—Гервина, могут быть составлены .из конгруэнтных частей.
(Ред.).

160 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Рассмотрим теперь многоугольник Pt первой группы и
.многоугольник PJ второй группы. Через Р{ мы обозначим
общую часть этих двух многоугольников. Если, таким
юбразом, многоугольники Pt и Р* покрывают друг друга
(т. е. один имеет точки, лежащие внутри другого), то Pi есть
многоугольник; если же они не покрывают друг друга
Р{ есть нуль. Составим таблицу:
РХиЙ,Ри ...,Pi
^2, Р%> Ръ • • .,^2
ТО
р1р1р1...Л
и вычеркнем из нее те Р% , которые имеют значение 0.
Оставшиеся многоугольники, взятые по горизонталям, образуют
многоугольники Pi, Р2,..., Pk t а
взятые по вертикалям —
многоугольники Р1, Р2,..., Р1 . Из
оставшихся многоугольников Р\ могут
быть поэтому составлены как
многоугольник Qi, так и
многоугольник Q2.
Отсюда вытекает, что
равносоставленность есть свойство,
обладающее всеми формальными
свойствами равенства. В частности,если
в ряду многоугольников Рь Рг,.-., Ри
каждый равносоставлен со
следующим, то любые два из них равносоставлены.
Далее рассуждения Гервина развертываются в следующем
порядке.
Теорема 2. Если равновеликие треугольники (рис. 3)
ABC и ADC «смежны», т. е. имеют общую вершину А, общую
хторону АС и равные основания ВС и CD, расположенные на
одной прямой, то они равносоставлены.
Доказательство. Через точку С, представляющую
собой середину отрезка BD, проведем прямые СЕ || DA и
*СР || ВА. Теперь каждый из заданных равновеликих
треугольников разложен на два треугольника, и легко видеть, что
BE = ЕА = CF; AF = FD = ЕС;
А ВЕС = A CFD\ А СЕ А = Л AFC.

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
161
Рис. 4
v Теорема 3. Два равновеликих треугольника, имеющие
общую сторону, равносоставлены.
Доказательство. Приложим треугольники друг к
другу так, чтобы они были расположены по разные стороны
общей стороны А{А2 и чтобы к вершине А\ прилегали в одном
и в другом
треугольнике острые углы ВАХА2
и САХА2 (рис. 4 и 5).
Диагональ ВС делится
в точке D ее
пересечения с прямой А\А2
пополам, так как высоты
BE и CF треугольников
вследствие
равновеликое™ этих
треугольников равны. Теперь
рассмотрим два случая.
1. Четырехугольник
АХВА2С выпуклый
(рис. 4). Диагональ
проходит внутри
четырехугольника и делит
каждый из данных
треугольников на два
составляющих: первый
треугольник
распадается на треугольники
BAXD и BA2D, второй—
на треугольники CA\D
и CA2D. Треугольники
BAXD и CAiD,
имеющие при общей
вершине равные основания
на одной прямой,
равновелики; как
смежные, они
равносоставлены. На рис. 4 на
каждом из них
нанесены треугольники 1
и 2, на которые они распадаются. По той же причине равно-
составлены треугольники BA2D и CA2D\ на рисунке_
нанесены треугольники 3 и 4, из которых они составлены.
Рис. 5
Вместе

162 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
с тем каждый из заданных двух треугольников AiBA2
и А\СА2 разбивается на четыре треугольника — /, 2, 3, 4,
соответственно конгруэнтных четырем треугольникам, на
которые разбивается другой.
2. Четырехугольник имеет входящий угол при вершине А2
(рис. 5) (при вершине А\ угол не может быть входящим,
потому что по самому построению углы ВА\А2 и СА\А2
острые). В этом случае диагональ ВС проходит вне
четырехугольника А\ВА2С и прежнее разбиение не получается.
На продолжении стороны А\А2 откладываем отрезки А2АЪу
АзЛ4, Л4Л5, ... равные общему основанию А\А2 этих
треугольников. Тогда последовательные смежные треугольники ВА\А2у
BA2Az, ВАзА4у ... равновелики и, в силу теоремы 2,
равносоставлены. Таким же образом равновелики и равносоставлены
треугольники СА\А2, CA2AZ, СЛ3Л4, ....
Пусть Ak будет первая точка в ряду Аи А2> Л3, Л4, ...,
которая падает по другую сторону диагонали ВС, т. е. за
точку D (на нашем рисунке это точка А$). Тогда треугольники
BAk-\Ak и CAk-\Ak равновелики и образуют выпуклый
четырехугольник Ak-\BAhC (на нашем рисунке А4ВА$С).
Мы находимся, следовательно, в условиях уже
рассмотренного случая; поэтому треугольники BAk-\Ak и CAk-\Ak
равносоставлены. А так как треугольник ВАХА2 равносоставлен
с треугольником BAk-\Al и точно так же треугольник СА\А2
равносоставлен с треугольником CAk-\Ak , то и исходные
треугольники ВА\А2 и СА\А2 равносоставлены (теорема 1).
Теорема 4. Всякие два равновеликих треугольника
равносоставлены.
Доказательство. Если даны два равновеликих
треугольника, то всегда можно построить третий равновеликий
с ними треугольник, имеющий одну сторону, общую с одним
из данных треугольников, и
А другую, общую с другим из них.
В самом деле, за основание а
этого треугольника следует
принять самую большую из шести
сторон наших двух треугольни-
8 С ков (рис. 6). Если через h обо-
Рис. 6 значим соответствующую этой
стороне в треугольнике,
которому она принадлежит, высоту, то все остальные высоты, а тем
более стороны треугольников будут больше h. Если на рас-
/х

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
163
для преобразова-
треугольник непо-
етоянии h от отрезка ВС=а проведем прямую, параллельную
ВС, и из точки С радиусом, равным какой-либо стороне Ь
другого треугольника, опишем окружность, то она пересечет
параллель; если А есть одна из точек пересечения, то
треугольник ABC удовлетворяет требованию.
По предыдущей теореме оба данных треугольника равно-
составлены с треугольником ABC, а потому (теорема 1) рав-
носоставлены между собой.
Теорема 5. Всякий многоугольник равносоставлен с не*
которым равновеликим ему треугольником.
Доказательство. Евклидов прием
ния многоугольника в равновеликий ему
средственно приводит к такому
треугольнику. В самом деле, этот
прием, как известно, заключается
в том, что от многоугольника
Р (ABCDEF) (рис. 7) отсекается
треугольник (ABC) и
заменяется равновеликим ему
треугольником (ABfC) так, что стороны
СВ' и CD располагаются на одной
прямой.
Так как эти треугольники ABC
и АВ'С равносоставлены
(теорема 4), то полученный
многоугольник, имеющий одной стороной
меньше, равносоставлен с
исходным многоугольником Р.
Повторное применение этого приема
приводит, таким образом, к
треугольнику, равносоставленному с
данным многоугольником Р.
Теорема 6. Всякие два равновеликих многоугольника
равносоставлены.
Доказательство. В самом деле, если Pi и ?2 суть
равновеликие многоугольники, a Ai и Аг — соответствующие
равносоставленные с ними треугольники (теорема 5), то эти
последние равновелики, а потому равносоставлены между
собой (теорема 4). Вследствие этого равносоставлены и
многоугольники Pi и Pi.
Этими элементарными соображениями, таким образом, до-
Рис. 7

164 Н. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
казана основная теорема, благодаря которой понятия
равновеликости и равносоставленности треугольников становятся
эквивалентными. В несколько ином порядке идей та же
теорема доказана проф. Лаццери в 1895 г.1.
Как уже сказано выше, вся теория площадей
прямолинейных фигур обычно строится путем разложения
многоугольников на конгруэнтные части или путем дополнения их до
конгруэнтных фигур. На основании теоремы Бойаи—Гервина
достаточно одно только разбиение. Это и выполнено
Штольцем в его «Теоретической арифметике» 2.
3. ЗАДАЧА О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РАВНОВЕЛИКИХ
МНОГОГРАННИКОВ В КОНГРУЭНТНЫЕ
Обратимся теперь к учению об измерении объемов
многогранников. Основным моментом здесь является
доказательство равновеликости надлежащим образом построенных
многогранников.
Казалось бы, что и здесь доказательство следует вести в
том же порядке идей — методами разложения и дополнения.
И действительно, при доказательстве равновеликости
многогранников чаще всего и находят себе применение эти приемы.
С помощью их мы доказываем равновеликость
параллелепипедов, имеющих равновеликие основания и равные высоты,
а также равновеликость прямой и наклонной призмы при
известных условиях. Но когда мы обращаемся к доказательству
основной теоремы о равновеликости пирамид, имеющих
равновеликие основания и равные высоты, то эти приемы
отказываются служить: как я уже сказал, геометрия искони
прибегает здесь к методу пределов; по существу мы находим
его уже в XII книге Евклида.
Где источник этого затруднения? Коренится ли оно в
существе дела или оно обусловливается тем, что мы не
умеем применить здесь прежние методы? Иначе говоря,
может ли теорема Бойаи—Гервина быть распространена и на
многогранники или нет? Если каждый многогранник может
быть путем разложения или хотя бы путем разложения и до-
1 G. L a z z е г i. Sulla teoria della equivalenza geometrica. «Periodico
di Matematica», 10, 1895. См. также G. Sforza. A proposito della nota
del prof. Lazzeri. Там же.
2 О. Stolz. Vorlesungen uber theoretische Arithmetik. Leipzig, 1895.
Рассуждения Штольца содержат также независимое доказательство
теоремы Бойаи — Гервина.

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
165
полнения преобразован в любой разновеликий ему
многогранник, то нужно будет только указать, как это выполнить
по отношению к трехгранным пирамидам, и пределы будут
из этого отдела геометрии изгнаны. Если же обнаружится,
что многогранники в этом отношении коренным образом
отличаются от многоугольников, т. е. если будет доказано, что
существуют, скажем, равновеликие пирамиды с
равновеликими основаниями и равными высотами, которые не могут быть
преобразованы одна в другую разложением и дополнением,
то тогда станет ясно, что именно заставило ввести в этом
пункте пределы.
Над разрешением этой задачи немало трудились, но
безуспешно. Не только не удавалось доказать, что всякий
многогранник может быть преобразован в любой другой
равновеликий ему многогранник, но даже построить какую-либо
одну пирамиду, которую удалось бы разрезать на части так,
чтобы из них можно было составить куб,— даже это
оказалось задачей отнюдь не из легких. В математическом
кабинете Геттингенского университета имеются только две такие
модели, из которых одна указана датским математикОхМ
Джюлем, а другая — английским математиком Хиллом К
В 1900 г. на I Международном математическом конгрессе
известный профессор Геттингенского университета Д.
Гильберт произнес речь под названием «Математические
проблемы». В этой речи он концентрировал ряд задач, разрешение
которых поглотило уже немало усилий, не давших еще
благоприятных результатов 2. Он указал важнейшие из этих
проблем, на которых должно быть сосредоточено внимание
математиков. Третья из этих 23 проблем и есть задача о
преобразовании многогранников 3. Задача поставлена здесь
Гильбертом так: может ли всякий тетраэдр быть преобразован в
любой равновеликий тетраэдр методом разложения?
Через короткое время ученик Гильберта М. Ден, про-
1 С. J u е 1. Egalite par addition de quelques polyedres. Kjebenhavn,
Overs. Vid. Selsk, 1903 (небольшой реферат об этой работе под заглавием
«Ober das Volumen der Pyramide» помещен в XII томе журнала «Jahres-
bericht der deutsch. Mathem.-Vereinigung»); Hill. «Proceedings of the
London Math. Society», vol. XXVII.
2 В настоящее время многие проблемы Гильберта решены, а в
решении других достигнуты значительные успехи. (Ред.).
3 D. H i 1 b е г t. Les problemes mathematiques. «Comptes Rendus de
Congres International Mathematique». Paris, 1900. См. также «Gottingener
Nachrichten», 1900.

166 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
фессор в Мюнстере, опубликовал в журнале «Mathematische
Annalen» статью, содержавшую ответ на этот вопрос *.
Статья Дена содержит даже больше, чем один только
ответ на этот вопрос. Он доказывает, что многогранники,
могущие быть преобразованными один в другой путем
разложения или дополнения, должны •удовлетворять условию,
заключающемуся в следующем:
Если си, (Х2, аз, ..., ат суть двугранные углы одного
многогранника, a Pi, Рг, Рз, ..., Рл —двугранные углы второго
многогранника, выраженные в частях прямого угла, то
существуют такие целые положительные числа А\, Л2, ..., Ат и
В\, /?2,..., Вп и такое целое (положительное или
отрицательное) число k, что
(Агаг + Л2а2 + ... + Amam) —
- (ДА + ДА +...+ ВА) = 2Ы. (1)
А так как, далее, существуют равновеликие многогранники,
для которых условие (1) не выполняется, то отсюда следует,
что равновеликие многогранники не всегда могут быть
этим путем преобразованы друг в друга; напротив, как мы
увидим ниже, возможность такого преобразования является
редким исключением.
Работа Дена написана крайне сжато и доступна только
специалистам. Когда она появилась в свет, я поручил одному
из своих учеников, С. Рейтеру, изложить это исследование в
более доступной форме для опубликования в «Вестнике
опытной физики»2. Я должен сказать, однако, что, лишь скрепя
сердце, я поместил эту статью3: она осталась малодоступной,
хотя автор, несомненно, сделал всё возможное, чтобы
изложить эти идеи возможно яснее.
Но ввиду фундаментальной важности теоремы Дена меня
неотступно занимала мысль найти иное, более простое
доказательство этого предложения. Через два года мне
действительно удалось найти неизмеримо более простое
доказательство этой теоремы, основанное на совершенно ином принципе.
Это доказательство было мною опубликовано в 57-м томе
1 М. Dehn. Uber raumgleiche Polyeder. «Gottingener Nachrichten»,
1900; Ober dem Rauminhalt, «Math. Ann.», 55, 1901.
2 Журнал «Вестник опытной физики и элементарной математики»,
издавался в Одессе, редактировался В. Ф. Каганом с 1902 г. (Ред.).
3 С. Рейтер. Преобразование многоугольников и многогранников.
«Вестник...», XXVII семестр, № 322, 323, 324; 1902.

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
167
«Mathematische Annalen» l. Но и после этого я не раз
возвращался к той же проблеме и внес в нее значительные
упрощения. Мне кажется, что в этом упрощенном виде мне удастся
изложить это доказательство очень доступно и сделать из
него необходимые выводы.
4. НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Прежде чем перейти к дальнейшим рассуждениям
геометрического характера, мне необходимо несколько
остановиться на системе линейных однородных уравнений.
Положим, что мы имеем ряд линейных однородных
уравнений, связывающих п неизвестных
а именно:
•^1» ^2» ^3> • • • » %пу
агхх + а2х2 + ... + апхп = О,
Ьгхх + Ъ2х2 + ... + Ьпхп = О,
(1)
&\ХХ \ ^2-^2 "Г • • • "Т" ^п^П — ^»
коэффициенты которых рациональны.
Если система (1) имеет решения, отличные от нуля,
точнее, если всем уравнениям этой системы удовлетворяют
значения, которые не все сводятся к нулю, то число независимых
уравнений в этой системе меньше числа неизвестных (/г);
остальные же уравнения, если таковые существуют,
представляют собой следствия предыдущих. В самом деле, если
допустить, что среди уравнений (1) имеется п независимых, то они
имели бы только одну систему решений2, именно:
Хх = Х2 = Л?з == • • • == %п = *■'•
Если, следовательно, помимо нулевых решений имеются
другие, не сводящиеся все к нулю, то число h независимых
уравнений в системе (1) меньше п.
1 В. К a g а п. Uber die Transformation der Polyeder. «Math. Ann.»,
57, 1903.
2 Эта система п независимых уравнений имела бы определитель,
составленный из коэффициентов при неизвестных, не равный нулю, и, по
формулам Крамера, все решения были бы нулевыми. (Ред.).

168 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Но отсюда следует далее, что такая система уравнений
имеет также бесчисленное множество систем целых решений.
В самом деле, если среди уравнений (1) имеется h<n
независимых уравнений, а остальные представляют собой
следствия этих последних, то из независимых уравнений можно
определить h неизвестных х%9 #2, х3, .., xh в зависимости от
остальных; получим:
хг = Axxh+\ + A2xh+2 +....+ An-hxn, )
х2 = Bxxh+\ + B2xh+2 + ... + Bn-hxn, f0
xh = G^h+i + G2Xh+2 + ... + Gn-hxny )
где коэффициенты Л, В, ..., G суть рациональные
числа. Теперь мы можем дать неизвестным хп+и *п+2> ..., хп
произвольные значения, и тогда уравнения (2) определят
значения остальных неизвестных х\, хч, ..., хп. Если мы дадим
неизвестным Xh+u xh+2 • .... *п рациональные значения, то
при рациональных коэффициентах и остальные неизвестные
получат рациональные значения. Значения всех неизвестных
мы можем привести к одному знаменателю, так что получим:
Но если однородным уравнениям удовлетворяют некоторые
значения неизвестных, то мы получим другие значения,
удовлетворяющие тем же уравнениям, если помножим первые на
одно и то же число. Если помножим поэтому значения (3)
на М, то получим целые числа
хг = Mlf х2 = М2, ... , хп = Мп,
удовлетворяющие тем же уравнениям.
Но для нас имеет важное значение еще одна подробность.
Уравнениям (1) можно удовлетворить иррациональными,
рациональными и целыми значениями для неизвестных. Но если
можно подобрать какую-либо систему решений, хотя бы даже
иррациональных, но составленную исключительно из
положительных чисел (конечно, отличных от нуля), то
уравнения имеют также систему целых решений, составленную из
положительных же чисел (опять-таки, конечно, отличных от

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
169
лнуля). В самом деле, если уравнения имеют систему
рациональных положительных решений, то, умножив их на общего
знаменателя, получим систему целых положительных
решений.
Положим теперь, что уравнениям (1) удовлетворяют
положительные значения
l\> h> U> • • • » h> h+u h+2 * ln> (4)
среди которых имеются и иррациональные. Это значит, если
мы неизвестным
Xh+l, Xh+2, . . . • , Хп
дадим значения
то неизвестные
Х\ f Х^у . . . , Xfo
из уравнений (2) получат значения
l\, l*> • • • » lh- (6)
В первой группе необходимо имеются иррациональные
значения, так как иначе все неизвестные получили бы
рациональные значения. Но формулы (2) обнаруживают, что
значения неизвестных х\, Х2, *з,..., хп изменяются
непрерывно, когда мы непрерывно изменяем значения
неизвестных Xh+i, Xh+2, ..., хп. Если поэтому при положительных
значениях (5) неизвестных Xh+\* *h+2 , ..., хп первые неизвестные
(#ь *2, ..., хп) получают положительные значения, то мы
получим другие положительные же значения для неизвестных
х\, Х2, •••> Хн, если возьмем для Xh+u *h+2 , ..., хп иные
значения, достаточно близкие к числам (5). Но сколь
угодно близко к иррациональному числу имеются
рациональные числа; мы можем, следовательно, второй группе
неизвестных дать рациональные положительные значения,
настолько мало отличающиеся от чисел (5), что остальные
неизвестные сохранят положительные значения, хотя и станут
рациональными. Получив же систему положительных рациональных
решений, мы можем от них перейти к системе целых
положительных решений.

170 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Итак, если система однородных линейных уравнений с
рациональными коэффициентами удовлетворяется значениями,
отличными от нуля, то она допускает также системы целых
решений. Если же она имеет хоть одну систему решений,
составленную исключительно из положительных чисел, то она
допускает систему целых решений, также составленную из
положительных чисел.
5. О СКЕЛЕТЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Положим, что некоторый многогранник каким-либо
образом разбит на составляющие многогранники; ребра этих
последних располагаются в исходном- многограннике по
отрезкам, совокупность которых мы будем называть скелетом
разложения. Мы представляем себе этот скелет как
совокупность натянутых и
а скрепленных между собой
проволок, которые мы
можем при желании
отделить как от исходного
многогранника, так и от
составляющих
многогранников. Поясним это на
примерах.
На рис. 8 изображена
четырехгранная
пирамида ABCDE, разложенная
на четыре трехгранные
пирамиды (ОАВС, OACD,
OADE, О ЛЕВ) и одну
четырехгранную пирамиду
(OBCDE), которые имеют
Рис. 8 общую вершину в
точке О. Ребра
составляющих пирамид располагаются по 13 отрезкам, из которых 8
совпадают с ребрами исходной пирамиды, а остальные 5
сходятся в точке О и расположены внутри исходной пирамиды.
Эти 13 отрезков изображены на рисунке; если себе
представить, что нанесенные на рисунке линии реализованы в виде
бесконечно тонких скрепленных проволок, то скелет будет
реализован: его можно будет отделить от многогранников, в
него можно вложить составляющие многогранники, которые
в совокупности составят исходный многогранник.

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
171
На рис. 9 изображена четырехгранная пирамида ABCDE.
Она разложена на четыре трехгранные пирамиды: ABCF,
ACDF, ADEF, AEBF; из них первая, в свою очередь,
разложена на две трехгранные пирамиды (BACH и BCHF),
а третья — на три пирамиды, сходящиеся в вершине G
(GFED, GEKLD, GAKL); Таким образом, всего получается
7 пирамид (из них 6 тетраэдров), на которые разбивается
наша исходная пирамида. Глядя на этот рисунок, мы
представляем себе исходную и составляющие пирамиды. Но если
мы отрешимся от
телесных представлений и
вообразим себе просто
проволоки, натянутые по всем
линиям рисунка, то они
составят скелет
разложения.
Рассматривая эти
скелеты, мы видим, что на
ребре составляющего
многогранника могут
находиться вершины и других
составляющих
многогранников. Все точки, в
которых находятся вершины
составляющих многогран-в
ников, мы будем называть
сочленениями скелета; в
этих точках должны
быть скреплены наши воображаемые проволоки, чтобы скелет
представлял собой одно целое. На наших рисунках сочленения
отмечены буквами: в разложении, изображенном на рис. 8, их
имеется шесть (А, В, С, Д £, О), а в разложении,
изображенном на рис, 9, их десять (A, Bf Cf D, E, F, G, Н, К, L).
Сочленения разбивают каждый отрезок скелета на части,
которые мы будем называть звеньями скелета. В разложении
на рис. 8 каждый отрезок образует одно звено; в разложении
на рис. 9 отрезок AF распадается на три звена (АН, HG, GK),
отрезок АЕ распадается на два звена {АК и КЕ), отрезок
AD — также на два звена (AL и LD). Весь скелет всегда
состоит из звеньев, скрепленных в сочленениях.
К каждому звену скелета прилегают ребра или части
ребер составляющих многогранников. В разложении, изобра-
Рис. 9

172 И- ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
женном на рис. 8, к звену ОА, скажем, прилегают четыре
составляющих тетраэдра, к каждому из звеньев ОВ, ОС,
OD, ОЕ прилегают по три составляющих многогранника,
к каждому из нижних звеньев ВС, CD, DE, ЕВ и боковых
звеньев АВ, AC, AD, AE прилегают по два многогранника.
В разложении, изображенном на рис. 9, звено HG окружено
четырьмя многогранниками; к звену СН прилегают ребра
L двух многогранников и в то же
время оно само лежит на
грани ACF одного из
составляющих многогранников. Из этих
примеров мы видим, что звенья
могут быть различно
расположены относительно
составляющих многогранников;
сообразно этому мы их разобьем на
три типа.
Мы будем относить звено
к первому типу, если
многогранники, ребра которых к
нему прилегают, окружают это
звено со всех сторон, так
что прилегающие к нему
двугранные углы составляют в
сумме 4d. Таковы внутренние
звенья (ОА, ОВ, ОС, OD, OE)
на рис. 8; таковы звенья АН,
HG и GF на рис. 9.
Рис. 10 и 11 предназначены
для лучшего выяснения
условий, при которых мы относим
звено к первому типу. Рис. 10 изображает часть разложения
некоторого многогранника на составляющие многогранники,
именно ту часть, которая прилегает к звену АВ. К этому звену
прилегают своими ребрами четыре составляющих
многогранника: передняя трехгранная призма ADFCKG, задняя
трехгранная призма AEMBPN, с правой стороны — трехгранная
пирамида BADE, с левой стороны—трехгранная же пирамида
ACGL. Чтобы это можно было отчетливо различить, на рис. 11
изображено то же разложение, причем составляющие
многогранники раздвинуты. Внутри жирным штрихом отмечена
часть скелета и на нем звено АВ. Здесь отчетливо видны дву-
Рис. 10

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
173
гранные углы, прилегающие к этому звену и образующие в
совокупности Ad, как это, впрочем, ясно видно и на рис. 10.
Относительно каждого ребра первого типа мы будем
говорить, что оно имеет аргумент 4d; это лишь иное выражение
Рис. 11
того факта, что облегающие звено двугранные углы
составляющих многогранников образуют в сумме 4d.
Но иногда двугранные углы составляющих
многогранников, прилегая к звену, образуют в совокупности не \d, а
только 2d. Это имеет место в том случае, когда звено лежит на

174 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
грани составляющего или исходного многогранника.
Таковы на рис. 9 звенья FB, FC, FD, FE, GE, KL и др. Такого
рода звено АВ изображено отдельно на рис. 12; к нему
прилегают трехгранная пирамида ABCD и две трехгранные
призмы AHKBGL и AGFBDE. Их двугранные углы, прилегающие
к звену АВ, составляют в сумме 2d.
Рис. 12 Рис. 13
В этом случае мы будем говорить, что звено принадлежит
ко второму типу и имеет аргумент 2d.
Наконец, звено может лежать на ребре разлагаемого
многогранника. Если двугранный угол исходного
многогранника при этом ребре равен а, то сумма двугранных углов
составляющих многогранников, прилегающих к этому звену,
также равна а. Такого рода звено BF изображено на рис. 13;
к нему прилегают ребра двух составляющих призм, так что

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
175
сумма двугранных углов при этих ребрах равна двугранному
углу а, образуемому заштрихованными гранями исходного
многогранника.
Такого рода звенья мы будем относить к третьему типу
и каждому такому звену мы отнесем аргумент, равный
двугранному углу а исходного многогранника, на ребре которого
оно лежит.
Итак, звенья скелета разлагаются на три типа: звенья
первого типа имеют аргумент 4d, звенья второго типа имеют
аргумент 2d, звенья третьего типа имеют аргументы, равные
соответствующим двугранным углам исходного
многогранника.
6. ОБ ОТРЕЗКАХ РАЗЛОЖЕНИЯ
Ребра составляющих многогранников прилегают к звеньям
скелета. Иногда ребро целиком прилегает к одному звену,
иногда же ребро разбивается сочленениями на несколько
частей. Эти части мы будем называть отрезками разложения.
Нужно отчетливо уяснить сейе разницу между звеньями и
отрезками разложения: звенья принадлежат скелету, каждый
же отрезок разложения лежит на одном из ребер
составляющего многогранника. Если мы раздвинем составляющие
многогранники, то звенья останутся на скелете, а отрезки
разложения отойдут вместе с ребрами. Это отчетливо видно на
рис. 11. На отрезке ABC скелета, отмеченном жирным
штрихом, мы видим звенья АВ и ВС. Ребро АВ правой пирамиды
целиком примыкает к звену АВ; это ребро содержит поэтому
только один отрезок разложения. Ребро АС левой пирамиды
разлагается звеньями на два отрезка разложения АВ и ВС.
Точно так же ребро АС передней призмы состоит из двух
отрезков разложения, а ребро АВ задней призмы имеет
только один отрезок разложения. Если мы сдвинем снова
составляющие многогранники, то к звену АВ на скелете примкнут
четыре равных ему отрезка разложения на четырех
прилегающих к этому звену многогранниках.
7. О ДВУХ РАЗЛОЖЕНИЯХ
Положим теперь, что мы имеем два многогранника,
которые составлены из соответственно конгруэнтных
многогранников. Выражаясь нагляднее, можно сказать, что второй
многогранник составлен из тех же составляющих многогранников,

176 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
С*
В
*+
*+
что и первый, но только иначе расположенных. Для большей
простоты и наглядности мы будем называть наши два
исходных многогранника «большими» многогранниками, а те
многогранники, из которых они составлены,— «малыми»
многогранниками.
Итак, оба больших многогранника различным образом
составлены из одних и тех же малых многогранников. Каждый
из малых многогранников фигурирует, следовательно, как в
одном, так и в другом разложении. Большие же
многогранники, являются, таким образом,
равносоставленными.
. Каждому разложению
соответствует свой скелет; звенья
каждого из скелетов разделяют ребра
малых многогранников на
отрезки разложения. Возьмем какое-
либо ребро АВ одного из малых
многогранников; оно фигурирует
в одном и в другом разложении.
В первом разложении это ребро
разделяется звеньями, скажем, на
два отрезка АС и СВ (рис. 14,а),
в другом разложении то же самое
ребро разделяется на иное число
частей, скажем на три {АК, KL и
LB на рис. 14,6). Нанесем
теперь на ребре точки деления,
соответствующие одному и другому
разложению, как это показано на
третьем отрезке АВ на рис. 14, е.
Тогда отрезки разобьются на более мелкие отрезки, которые
мы будем называть элементарными отрезками. Эти
элементарные отрезки определяются уже не одним, а обоими
разложениями.
Мы представим себе теперь, что на каждом ребре каждого
из малых многогранников нанесены элементарные отрезки,
определяемые на этом ребре обоими разложениями. Эти
элементарные отрезки располагаются на ребрах малых
многогранников в одном и другом разложении, причем в обоих
разложениях мы имеем те же элементарные отрезки.
Рис. 15 воспроизводит рис. 11, с тем различием, что на
отрезке разложения АВ каждого из малых многогранников
Cf
В<
с*
в
б
Рис. 14
В

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
177
Занесены элементарные отрезки. На ребре АВ правой
пирамиды мы видим четыре элементарных отрезка. На передней
призме отрезок АВ имеет два элементарных отрезка, а на
Рис. 15
каждом из остальных многогранников отрезок АВ разбит на
три элементарных отрезка.
Каждому элементарному отрезку мы вновь припишем
аргумент, именно — под аргументом каждого элементарного
отрезка мы будем разуметь двугранный угол при том ребре
составляющего многогранника, на котором он лежит. Все
элементарные.отрезки, лежащие на одном и том же ребре, имеют

178 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
один и тот же аргумент, именно — двугранный угол при этом
ребре.
Но мы пойдем дальше и каждому элементарному отрезку
отнесем некоторое положительное число, которое мы будем
называть массой этого элементарного отрезка. Эти
положительные числа мы выберем совершенно произвольно с одним
только условием: если к одному и тому же звену, в том или
другом разложении, прилегают на одном отрезке разложения
элементарные отрезки с массами ть m2l ..., mv на другом
отрезке разложения — элементарные отрезки с массами
юЛ т<2, ..., Щ\ на третьем отрезке разложения —
элементарные отрезки с массами т\", т2", ..., rrik и т. д., то наше
единственное требование будет заключаться в том, чтобы были
равны их суммы:
Щ + т2 + ... + т1 = т\ + т'2 + ... + trif =
= т\ + т\ + ... + т\ ... (7)
Этой группе уравнений должны удовлетворять массы
элементарных отрезков, прилегающих к одному звену; общее
значение М этих сумм мы примем за массу самого звена. Звено АВ
на рис. 15 потребует, таким образом, следующих уравнений
Щ + Щ + Щ + я*4 = т\ + т'2 =
= m\ + m2 + rnz = т{* + щ + т'3"; (8)
общее же значение каждой из этих сумм представит массу
звена.
Каждому звену соответствует, таким образом, группа
уравнений вида (7). Таких групп получится, следовательно,
столько, сколько есть звеньев в обоих разложениях вместе.
Уравнений получится много; можно ли всем этим
уравнениям удовлетворить? Очевидно, возможно: для этого
достаточно принять за массу каждого элементарного отрезка его
длину. Мы сделаем, однако, другой выбор. Согласно
нашему требованию массы должны удовлетворять только
системам уравнений вида (7). Но это суть однородные линейные
уравнения с целыми коэффициентами; и раз они
удовлетворяются одной системой положительных значений, то им
можно удовлетворить также целыми положительными значе-

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
179
ниями для неизвестных (п. 4). Вот такую систему целых
положительных значений мы примем за массы
элементарных отрезков. Вместе с тем массы звеньев также
выразятся целыми числами.
Прежде чем перейти к последней и важнейшей части этих
рассуждений, резюмируем установленные термины и
положения.
Мы имеем два больших многогранника, составленных из
одних и тех же малых многогранников. Каждому разложению
соответствует свой скелет, составленный из звеньев. Каждому
звену приписан аргумент, равный 4d, 2d или одному из
двугранных углов большого многогранника.
Звенья разделяют ребра малых многогранников на
отрезки разложения; соединяя деления одного и того же ребра в
обоих разложениях, мы разбили эти отрезки на меньшие,
элементарные отрезки. Каждому элементарному отрезку мы
приписали аргумент: это есть двугранный угол при том
ребре, на котором этот элементарный отрезок лежит.
Элементарные отрезки, лежащие на одном и том же ребре, имеют один
и тот же аргумент.
Каждому элементарному отрезку мы также отнесли целое
положительное число, которое мы назвали его массой. Эти
числа удовлетворяют следующему условию: если к одному и
тому же зрену прилегают несколько ребер, то массы
элементарных отрезков, прилегающих к этому звену, имеют на
одном ребре такую же сумму, как на другом, третьем и т. д.
Эту общую сумму, выражающуюся, конечно, также целым
положительным числом, мы назвали массой звена.
Итак, каждое звено скелета имеет массу и аргумент.
8. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
Мы введем еще одно — уже последнее — новое понятие.
Под весом элементарного отрезка или звена мы будем
разуметь произведение из его массы на аргумент. Под весом
нескольких отрезков или звеньев мы будем разуметь сумму
весов этих отрезков или этих звеньев. Под весом скелета мы
будем разуметь сумму весов всех его звеньев.
Мы имеем два больших многогранника, составленных из
одних и тех же малых многогранников. Моя основная
теорема заключается в том, что оба скелета имеют один и тот же
вес.

180 И. ИЗМЕРЕНИЕ ^JIHH, #ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Основная теорема. Если два многогранника
составлены из одних и тех же составляющих многогранников, то
скелеты обоих разложений имеют один и тот же вес.
Доказательство. Чтобы доказать эту теорему, мы
покажем предварительно, что вес каждого звена в скелете
равен сумме весов всех прилегающих к нему элементарных
отрезков.
Возьмем звено АВ на рис. 15; к нему прилегают четыре
отрезка АВ на ребрах четырех составляющих
многогранников. На ребре правой пирамиды отрезок АВ состоит из
четырех элементарных отрезков с массами ть тг, m3, m4 и общим
аргументом а. Поэтому сумма весов этих элементарных
отрезков равна
mxa + m2a + m3a + m4a = (тг + т2 + т3 + т4) а =Мх,
где М есть масса звена АВ. Точно так же сумма весов всех
элементарных отрезков, прилегающих к звену АВ и лежащих
на ребре передней призмы, равна [см. соотношение (8)]
Сумма весов элементарных отрезков, прилегающих к тому же
звену со стороны левой пирамиды, равна My, а сумма весов
элементарных отрезков, прилегающих к звену АВ со стороны
задней призмы, равна Мб.
Таким образом, сумма весов всех элементарных отрезков,
прилегающих к звену АВ, равна
Ма + 1Щ + My + Mb = М (а + р + y + 6),
где М есть масса звена, а сумма а+р+у+б равна 4d,
т. е. аргументу звена. Правая часть последнего равенства
представляет, таким образом, вес звена.
Совершенно ясно, что это рассуждение носит общий
характер и может быть применено ко всякому звену. Но если вес
звена равняется сумме весов всех прилегающих к нему
элементарных отрезков, то вес всего скелета равен сумме весов
всех элементарных отрезков этого разложения.
С другой стороны, как мы видели выше, элементарные
отрезки в обоих разложениях одни и те же, так как они
определяются совокупностью двух разложений; при этом каждый
элементарный отрезок имеет в обоих разложениях одну и ту
же массу, один и тот же аргумент и, следовательно, один и

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ J 81
тот же вес. Отсюда следует, что веса обоих скелетов могут
быть представлены в виде сумм одинаковых слагаемых, а
потому они равны между собой.
9. ТЕОРЕМА ДЕНА
Теперь нетрудно видеть, что теорема Дена,
формулированная в п. 3, представляет собой прямое следствие доказанного
предложения. В самом деле, пусть аь а2, аз, ..., с^ будут
двугранные углы первого большого многогранника. В таком
случае, как мы видели в п. 5, звенья его скелета имеют
аргументами эти двугранные углы, а также 2d и 4d. Пусть' М\ будет
сумма масс всех тех звеньев, которые имеют аргументы аг,
пусть М2 будет сумма масс всех звеньев с аргументом аг
и т. д.; пусть, наконец, Mk будет суммой масс тех звеньев,
которые имеют аргумент ak. Далее, через М' обозначим сумму
масс тех звеньев, которые имеют аргумент 2d, а через М." —
сумму масс тех звеньев, которые имеют аргумент 4d. В таком
случае вес скелета в разложении этого многогранника равен
Мхах + М2а2 + ... + Mkak + 2M'd + 4M"d =
= Мгаг + М2а2 + ... + Mkak + 2Mdy
где М=М'-\-2М". Здесь Ми М2, М3, ...,Mk —суть целые
положительные числа. Что касается числа М, то оно может
иногда обратиться и в нуль, так как звеньев с аргументами 2d
и 4d иногда может и не быть; например, если мы разложим
октаэдр на две четырехугольные пирамиды, то таких звеньев
не будет.
Таким же образом вес скелета в разложении второго
многогранника выражается через
NA + N£2 + 7V3P3 + • • • + Nih + 2N<*>
где коэффициенты Nb N2, ..., N\ суть целые положительные
числа, а N есть целое положительное число или нуль. В силу
нашей основной теоремы отсюда следует, что
Мхаг + М2а2 + ... + Mkak + 2Md =
= N& + N£2 + ... + Nfo + 2Nd. (9)
Это и есть теорема Дена.

182 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Итак, если два многогранника с двугранными углами
аь а2, ..., ak и pi, рг, ..., Р/ могут быть составлены из одних
и тех же многогранников, т. е. могут быть преобразованы
один в другой путем разрезания и иного расположения
частей, то существуют целые положительные числа Ми
М2, ..., Mk и Nu N2, ..., N\ и целые неотрицательные числа М
и N, при которых имеет место равенство (9). Если поэтому
мы обнаружим, что двугранные углы некоторых двух
многогранников не могут быть связаны соотношением (9), то они
не могут быть составлены из одинаковых многогранников,
хотя бы они и были равновелики.
10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕТРАЭДРОВ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ
Воспользуемся теперь доказанной теоремой для решения
следующего вопроса. Можно ли правильный тетраэдр и
равновеликий ему прямоугольный параллелепипед составить из
одинаковых многогранников? Иначе, можно ли правильный
тетраэдр разрезать на такие части, из которых в ином
расположении получится равновеликий ему прямоугольный
параллелепипед? Еще иначе, можно ли правильный тетраэдр
преобразовать в прямоугольный параллелепипед методом
разложения?
В правильном тетраэдре все двугранные углы равны, а в
прямоугольном параллелепипеде они прямые. Поэтому
уравнение (9), выражающее необходимое условие
преобразования, примет вид:
ma + 2т'd = nd + 2/z'd,
где а есть двугранный угол тетраэдра, т и п — целые
положительные числа, т' и п' — целые неотрицательные числа.
Это уравнение можно привести к виду:
ma = ld и а = —d. (10)
т
Так как здесь т есть положительное число, то и / есть
положительное число. Этот результат можно формулировать
следующим образом:
Если правильный тетраэдр можно преобразовать в
прямоугольный параллелепипед, то двугранный угол а правильного
тетраэдра соизмерим с d.

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
183
Если мы поэтому обнаружим, что угол а несоизмерим
с прямым углом, то этим будет доказано, что правильный
тетраэдр не может быть преобразован в куб.
Как известно, если а есть двугранный угол правильного
тетраэдра, то1
1 Г /2
cos а = — , sin а = —-—
3 L 3
Если бы имело место соотношение (10), то мы бы получили-
. 1 4. I*.2 т/Т Id , . . Id
cosa ± i sina = —^ y-— = cos ± isin -1- •
3 mm
Возвышая все части этого равенства в степень 2т и применяя
к последней части формулу Муавра, получим:
(cosa±tsinar=(i±i^)2m =
= (cos— ± i sin JfL)2m = cos2/d ± I.sin 2/d = 1.
V m m J
Иными словами, каждое из чисел
l^t-2 l/T 1—7-2уТ
2 И i
есть корень 2т-й степени из единицы, т. е. есть корень
двучлена х2т —1. Но в таком случае двучлен х2т—1 должен
делиться нацело на
{'-l-^L){'-i^Ly"-T'^
(")
Это есть так называемый приведенный рациональный
делитель двучлена х2т —1, т. е. делитель с рациональными
коэффициентами, в котором старший коэффициент равен
единице. Но хорошо известно, что всякий приведенный делитель
1 Из рис. 16 (см. ниже) видно, что AG гесть медиана правильного
треугольника ABC. а EG — радиус круга, вписанного в треугольник BCD.
равный треугольнику ABC, т. е. треть медианы. Следовательно, cosa =
EG l
■ = —. (Ред.).
AG 3

184 П. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН. ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
двучлена х2т —1 имеет исключительно целые коэффициенты.
Поэтому трехчлен (11) не может быть делителем двучлена
х2т —^ а двугранный угол правильного тетраэдра
несоизмерим с прямым углом К Вместе с тем доказано, что правильный
тетраэдр не может быть преобразован в равновеликий ему
прямоугольный параллелепипед методом разложения.
Теперь нетрудно обнаружить, что две равновеликие
трехгранные пирамиды не всегда могут быть преобразованы одна
в другую методом разложения даже и в том случае, если они
имеют равные высоты и равновеликие основания. В самом
деле, допустим, что всякая трехгранная пирамида может быть
преобразована в любую другую трехгранную пирамиду,
имеющую с ней равновеликие основания и равные высоты.
Возьмем, правильный тетраэдр ABCD (рис. 16) и равновеликий
ему прямоугольный параллелепипед, имеющий ту же высоту.
Для этого достаточно за основание призмы взять третью
1 Вот иное, более элементарное доказательство этого утверждения. Пред-
1 Id
положим, что cos а = — , а = ; в таком случае cos (2ma) = cos {2ld) = 1.
3 m
Докажем, что при любом натуральном п (в частности, и при п = 2т)
величина cos па выражается несократимой дробьюу знаменатель которой равен
Ъп\ из полученного противоречия и будет следовать невозможность равен-
ld
ства a = .
т
Доказательство проведем методом математической индукции. При п = 1
наше утверждение имеет место ( ибо cos a — — J; справедливо оно также
f 1 ' 7 \ „
и при п = 2 ибо cos 2a = 2 cos2 a — 1=2- — — 1 = — — . Далее всс-
V 9 9 У
пользуемся следующей легко проверяемой формулой:
cos (п + 1) a + cos (п — 1) a — 2 cos na • cos a.
, - 1 Л В
Подставив сюда] cos^a = — , cos (n — 1) a = , cos na == —
(где А и В, по предположению, не делятся на 3), мы получим
1 В А 2В — 9А С
cos (n -f 1) a = 2 • — • ■ — г = = Г •
3 Зп зп~1 3П1'1 3rt+I
где С = 2В — 9А не делится на 3. Отсюда и вытекает, что если наше
утверждение справедливо для некоторых значений п — 1 и п. то оно справедливо
и для значения п -{- 1. (Ред.).

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ 185
"часть основания тетраэдра. Теперь из вершины А тетраэдра
проведем его высоту АЕ. Тогда тетраэдр разобьется на три
равновеликие пирамиды АЕВС, AECD, AEDB. Разделив
сторону ВС пополам в точке G, мы разделим пирамиду АЕВС
на две трехгранные пирамиды AEBG и AECG. Таким же
образом и каждую из двух других пирамид AECD и AEDB мы
также можем разбить на две равновеликие пирамиды. Таким
образом, правильный тетраэдр может быть разложен на
шесть равновеликих между собой
трехгранных пирамид Дь А2, ..., Дб,
из которых каждая имеет ту же
высоту, что и тетраэдр, а основанием —
шестую часть площади основания
тетраэдра.
С другой стороны, прямоугольный»
параллелепипед, как известно, может
быть разделен диагональной
плоскостью на две равновеликие
трехгранные призмы, а трехгранная
призма может быть разложена на три
равновеликие трехгранные пирамиды,
имеющие ту же высоту и то же осно- Рис. 16
вание К Таким образом, весь
прямоугольный параллелепипед разобьется на шесть равновеликих
между собой трехгранных пирамид Д'ь ..., Д'б, имеющих с
пирамидами Ai, ..., А6 одинаковые высоты и равновеликие
основания. Если бы поэтому каждая пирамида А могла быть
преобразована в пирамиду А', то правильный тетраэдр мог бы
быть преобразован в прямоугольный параллелепипед. А так
как это невозможно, то не всякая трехгранная пирамида
может быть преобразована в любую другую трехгранную
пирамиду, имеющую с ней равновеликие основания и равные
высоты.
1 Трехгранная призма разлагается, впрочем, на три пирамиды Ль Дг,
Аз, из которых только первые две имеют с призмой общие основания и
высоту; третья же пирамида А3 лишь равновелика трехгранной
пирамиде А'з, имеющей с призмой одинаковые основания и высоты. Однако, как
известно из доказательства этой теоремы, пирамиды А3 и А'з также
имеют, при ином выборе вершины, общую высоту и равновеликие основания.
Согласно сделанному допущению, пирамида А3 может быть
преобразована в пирамиду А'з, и в предыдущем рассуждении ничто по существу не
меняется.

186 И. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
11. МЕТОД ДОПОЛНЕНИЯ
Из предыдущего рассуждения вытекает, что равновели-
кость трехгранных пирамид, имеющих равные высоты и
равновеликие основания, не может быть доказана методом
разложения. Но нельзя ли будет это доказать методом
дополнения?
Заметим, что невозможность осуществить требуемое
доказательство методом разложения имеет своим источником то
обстоятельство, что двугранные углы двух многогранников,
которые могут быть друг в друга преобразованы, связаны
соотношением (9). Поэтому, если мы докажем, что это
соотношение остается в силе и в том случае, когда два
многогранника могут быть дополнены до двух конгруэнтных
многогранников или до двух равносоставленных многогранников,
то вопрос будет исчерпан. Это доказать нетрудно.
Положим, что мы имеем две системы многогранников Pi,
Р2,..., Рk и P'i> P'2,:; Pi и что совокупность первых
многогранников может быть составлена из таких же составляющих
многогранников, как и совокупность вторых, т. е. что
существует ряд малых многогранников р\, р2,—у рт, из которых в
одном расположении можно составить всю совокупность
многогранников Р, а в другом расположении — всю
совокупность многогранников Р'.
Ничего не изменяя в рассуждениях пп. 5—8, но только
применяя их не к двум многогранникам, а к двум
системам многогранников, мы докажем, что скелет разложения
первой системы имеет тот же вес, что и скелет разложения
второй системы. Отсюда же вытекает, что равенство (9)
остается в силе, если под <zi, ct2,..., ak мы будем разуметь
двугранные углы всех многогранников Р, а под Pi, Р2,.., Р/ будем
разуметь двугранные углы всех многогранников Р'.
Теперь сделаем еще одно дополнение к тем соглашениям,
которыми устанавливается масса элементарных отрезков. Мы
подчинили эти массы только тому требованию, чтобы это
были целые положительные числа, удовлетворяющие
уравнениям (7) для всякого отрезка разложения.
Это условие мы теперь усилим еще одним требованием,
которое заключается в следующем: если какой-либо
многогранник Р имеет ребро АВ, равное по длине и по
прилежащему к нему двугранному углу (АВ) ребру А'В' некоторого
многогранника Р', то мы требуем, чтобы массы этих частей
скелета АВ и А'В' были равны. Это требование сводится

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
187
только к усилению системы уравнений (7) еще рядом
уравнений того же самого вида. А так как этой обогащенной
системе уравнений также можно удовлетворить, принимая
массы равными длинам отрезков, то уравнения системы (7)
остаются совместными, и им можно удовлетворить целыми
положительными значениями масс.
Но если ребро АВ входит как в одно, так и в другое
разложение с одинаковым двугранным углом и с одинаковой
массой, то и вес этой части скелета будет один и тот же в
обоих разложениях. А в таком случае в равенстве (9) можно
с одной и с другой стороны опустить часть сумм,
соответствующую этому ребру.
Это результат можно формулировать следующим
образом; если в двух разложениях данных многогранников
имеются ребра, равные как по длине, так и по двугранному углу,
то прилегающие к ним части скелета можно опустить в обоих
разложениях, и оставшиеся части все-таки будут иметь
одинаковый вес.
Пусть теперь Р и Р' будут два равновеликих
многогранника с двугранными углами си, ct2,..., ak и Pi, р2,.-., Р/.
Допустим, что, присоединяя к этим многогранникам конгруэнтные
многогранники Qb Q2,..., Qn> мы получим равносоставленные
многогранники. Это значит, что системы
многогранников (Р, Qu Q2,..., Qh) и (Р', Qu Q2,..., Qh ) могут быть
составлены из одинаковых частей и что два скелета разложения
имеют одинаковый вес. Но при этом, как мы видели, части
скелета, прилегающие к ребрам многогранников Q, могут
быть из обоих разложений опущены. Равенство весов
выразится поэтому тем же уравнением (9).
Как уже было выяснено, из этого вытекает, что
правильный тетраэдр и равновеликая ему прямоугольная призма не
могут быть дополнены до равносоставленных тел, а потому
равновеликость трехгранных пирамид не может быть доказана
также методом дополнения.
Теперь ясно, почему для доказательства равновеликости
трехгранных пирамид понадобилась чертова лестница.
12. ИНВАРИАНТЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
И МНОГОГРАННИКОВ
Вся изложенная теория допускает несколько иное
выражение, которое особенно наглядно выясняет различие между
преобразованием многоугольников и многогранников.

188 Н. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Пусть В будет одно из оснований некоторого тетраэдра,
Н — соответствующая высота; объем тетраэдра равен,
следовательно, "т~ ВН. Это произведение инвариантно в самом
тетраэдре в том смысле, что оно не зависит от выбора любого
из четырех оснований и соответствующей высоты.
Если мы разложим этот тетраэдр как угодно на
составляющие тетраэдры и через bt обозначим одно из оснований /-го
составляющего тетраэдра, через ht — соответствующую ему
высоту, то объем этого тетраэдра будет равен ~^~ &Д-, а
потому
2&Д. = £#.
Таким образом, как бы мы ни разлагали данный
тетраэдр на составляющие тетраэдры, сумма 26Д ,
распространенная на все составляющие тетраэдры, остается неизменной;
она не изменится, если мы составляющие тетраэдры
перегруппируем в другой тетраэдр; она представляет собой
инвариант преобразования тетраэдра и притом инвариант
абсолютный, т. е. сохраняющий свое численное значение
совершенно независимо от того, как произведено разложение.
Если любой многогранник разобьем на тетраэдры, то
сумма 26 Д будет представлять собой абсолютный
инвариант преобразования этого многогранника в другой путем
разложения его на тетраэдры и перегруппировки
составляющих тетраэдров. Многогранники, для которых этот инвариант
имеет то же значение, равновелики, и только по отношению к
равновеликим многогранникам может идти речь о
преобразовании одного из них в другой. В соответствии с этим мы
будем этот инвариант называть объемным.
Ясно, что совершенно такой же инвариант имеет всякий
многоугольник при его преобразовании путем разложения
на треугольники и при перегруппировке составляющих
треугольников. Он имеет то же алгебраическое выражение 2&Д ,
только теперь bt есть основание составляющего
треугольника, г ht — соответствующая его высота. Гильберт в своих
«Основаниях геометрии» впервые установил существование
этого инварианта независимо от представления о площади
многоугольника. Более того, Гильберт положил теорему о
существовании этого инварианта в основу учения об изме-

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
189
рении площадей многоугольников К С. О. Шатуновский
выполнил то же по отношению к многогранникам 2.
Теорема Дена устанавливает, что для каждого
преобразования многогранника в равносоставленный с ним
многогранник должен, в известном смысле слова, существовать другой
инвариант, именно: SM^, где Mt — установленные выше
целые числа. Но это — инвариант не абсолютный, а
относительный, и притом в двух отношениях: во-первых, этот
инвариант не сохраняет своего значения в точности, а только
изменяет его на кратное 2d; во-вторых, такой инвариант
устанавливается для каждого определенного преобразования;
мы будем его называть угловым инвариантом.
Поэтому если два многогранника равновелики, т. е. если
их объемные инварианты совпадают, то преобразование
одного в другой может осуществляться только при том
необходимом условии, чтобы объемному инварианту сопутствовал
угловой инвариант. Это есть условие, необходимое для
преобразования одного многогранника в другой; оно
выполняется только в виде редкбго исключения, и именно в виде
такого исключения только и возможно преобразование одного
многогранника в другой. Условия, достаточные для
осуществления преобразования, еще не установлены3.
Как обстоит с этой точки зрения дело с
многоугольниками? Здесь относительным угловым инвариантом служит
сумма его углов (т. е. все коэффициенты Mt равны единице).
Сумма углов одного многоугольника всегда отличается от
суммы углов другого на кратное 2d. Дополнительное условие
всегда имеет место, и всякий многоугольник может быть
преобразован в любой равновеликий ему многоугольник.
Заметим, наконец, что для сферических многоугольников
оба инварианта совпадают: два равновеликих
многоугольника на сфере всегда могут быть преобразованы один в другой4.
1 В элементарной обработке эти идеи Гильберта изложены в кн.:
Ж. Адам ар. Элементарная геометрия, ч. 1. Учпедгиз, М., 1957
(Прибавление D). См. также статью В. Ф. Кагана «Этюды по основаниям
геометрии» в наст, книге. {Ред.).
2 S. Schatounovsky. Uber den Inhalt der Polyeder. «Math. Ann.»,
57, 1903. [См. также: Ж. Адамар, Элементарная геометрия, ч. 2.
Учпедгиз, М., 1958, Прибавление F. (Ред.)].
3 См. дополнение редакции на стр. 191.
4 Ибо сумма углов сферического многоугольника равна площади
я /
многоугольника, увеличенной на целое кратное прямого угла — (точнее,

И/ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
13. ПОЗДНЕЙШИЕ РАБОТЫ ПО ТОМУ ЖЕ ВОПРОСУ
Работы, последовавшие за теми, которые перечислены
выше, по существу внесли мало нового. Мы здесь отметим
только работы В. Зюса. В 1900 г. Зюс для получения звания
доцента Ганноверского университета представил факультету
работу под названием «Обоснование учения об объемах».
Вслед за этим он опубликовал извлечение из этой работы и
дополнение к ней1.
Как видно из этих рефератов, Зюс установил, что
равновеликие многогранники всегда могут быть разбиты на
равновеликие тетраэдры.
Смысл этого предложения заключается в следующем. Если
бы два равновеликих многогранника всегда можно было
разложить на соответственно конгруэнтные тетраэдры, то они
были бы равносоставленными. Как мы видели, это не имеет
места. Но два равновеликих многогранника всегда могут быть
разбиты на одинаковое чш;ло тетраэдров таким образом,
чтобы каждому тетраэдру в разложении одного многогранника
соответствовал равновеликий ему тетраэдр в
разложении другого многогранника.
Помимо этрго исследование Зюса относится к
аксиоматике, к вопросу о том, на каких, собственно, аксиомах
основывается доказательство теоремы Дена. Зюс обнаружил, что оно
не зависит от аксиомы о непрерывности и может быть
перенесено в трансфинитную геометрию. Для той цели, которую
имеет в виду настоящая книга, эта сторона дела имеет мало
значения.
на величину (п — 2) я, где п — число сторон многоугольника; см.,
например, указанную в примечании 2 на стр. 189 2-ю часть книги Ж. Адамара
(гл. II Дополнений) или: Д. И. Перепелки н. Курс элементарной
геометрии, ч. II. Гостехиздат, М.—<Л., 1949, § 154. (Ред.).
1 W. Suss. Begriindung der Inhaltslehre vom Polyederinhalt. «Math
Ann.», 82, Jahersbericht der Deutsch. Math.-Vereinigung V., 31.

ДОПОЛНЕНИЕ РЕДАКЦИИ
Последнее издание статьи В. Ф. Кагана «О преобразовании
многогранников» вышло при жизни автора в 1933 г. Эта статья полно освещает
полученные к тому времени результаты; в течение последующих 15 лет
они оставались последним словом в учении о равносоставленности фигур
и тел. Однако начиная с 1948—1950 гг. в печати начали появляться
многочисленные сообщения швейцарской школы геометров — Гуго Хадви-
гера и его сотрудников Ж.-П. Сидлера и П. Глюра, посвященные тому
же вопросу. Весь этот цикл работ был подытожен в монографии Г. Хад-
вигера «Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрической
задаче» *. Работы Хадвигера и его сотрудников близко примыкают к
исследованиям В. Ф. Кагана, явившимся их исходным пунктом; однако
полученные ими результаты идут дальше.
Прежде всего Хадвигер придал условию равносоставленности
многогранников форму, отличную от деновской; при этом условие Хадвигера
в противоположность условию Дена является необходимым и
достаточным для равносоставленности двух многогранников. Оно
состоит в следующем.
Сопоставим каждому многограннику Р определенное число /(Р),
обладающее тремя свойствами— инвариантности, аддитивности и
линейности:
Г. Равным многогранникам соответствуют равные числа (условие
инвариантности; удовлетворяющее ему число f(P) называется
инвариантом многогранника);
2°. Если многогранник Р разбит на две части Pi и Р2, то
/(Р)=/(Р!)+/(Р2) (условие аддитивности; удовлетворяющий ему
инвариант f(P) называется аддитивным);
3°. Если многогранник Pi подобен многограннику Р с
коэффициентом подобия &>0, то f(Pi)=k'f(P) (условие линейности;
удовлетворяющий ему инвариант называется линейным).
Линейные аддитивные инварианты строятся следующим образом:
выбирается какая-либо (разрывная!) функция g(x) вещественного
аргумента х, удовлетворяющая условиям2.
1 Н. Hadwiger. Vorlesungen fiber Inhalt, Oberflache und Isoperi-
metrie. Berlin — Gottingen— Heidelberg, 1957.
2 Существует множество подобных разрывных функций g(x) (а
следовательно, и множество линейных аддитивных инвариантов
многогранника. См., например, Ю. М. Гайдук. Принцип полной математической
индукции, его эквиваленты и обобщения. «Математика в школе», 1950,
№ 1, стр. 1—20.

192 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛ'ОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
g (х + У) = g М + g {у)\ g(d) = 0[d — прямой угол]
и затем полагается
/(f)-24-*(ч).
где суммирование производится по всем ребрам многогранника, причем
под // понимается длина ребра, а под а/ —соответствующий
двугранный угол. Нетрудно проверить, что определенное таким образом число
f(P) удовлетворяет перечисленным выше условиям Iе—3° [при проверке
условия 2° существенным оказывается условие f(d)=0] и что для двух
равнесоставленных многогранников Pi и Р2 f(Pi)=f(P2J [это следует
из свойств 1° и 2° чисел f(P)]. Таким образом, совпадение какого-либо
одного линейного аддитивного инварианта f(P) для двух
многогранников Pi и Рг является необходимым условием их равносоставленности.
Отсюда, в частности, уже вытекает неравносоставленность правильного
тетраэдра Т и прямоугольного параллелепипеда К\ чтобы в этом
убедиться, достаточно выбрать функцию g(x) таким образом, чтобы было
g(a)=£0, где а — угол правильного тетраэдра, а это возможно в силу
несоизмеримости and.
Но более того — совпадение всех возможных линейных аддитивных
инвариантов двух многогранников является также и достаточным
условием их равносоставленности 1.
Далее, интересные результаты школы Хадвигера связаны с понятием
(/-равносоставленности двух многогранников. Обычная
равносоставленность многогранников означает возможность их разбиения на
соответственно конгруэнтные части, т. е. на части, получающиеся одна из
другой каким-либо движением. Хадвигер называет обычную
равносоставленность /^-равносоставленностью, где D есть совокупность всех
возможных движений. Рассмотрим теперь часть G полной совокупности всех
движений — такую, что все многогранники распадаются на классы
«(/-равных» многогранников, которые получаются один из другого с помощью
движений из совокупности G2. .Если два многогранника Pi и Рч могут
быть разбиты на соответственно «G-равные» части, то они называются
G-равно со став ленными. В работах швейцарских геометров понятие
(/-равносоставленности подверглось детальному анализу, причем было об-
1 Таким образом, это необходимое и достаточное условие является
неэффективным — оно не дает никакого критерия, позволяющего
в конечное число шагов проверить, являются ли два заданных
многогранника равносоставленными или нет. Вопрос об отыскании эффективного
необходимого и достаточного условия равносоставленности
многогранников до сих пор остается открытым.
2 Для этого необходимо и достаточно, чтобы совокупность G
составляла «группу», т. е. чтобы она 1° содержала тождественное
преобразование, оставляющее все точки на месте, 2° наряду с каждым движением ф
и я|) содержала и их «произведение» <pip, 3° наряду с каждым движением
<р содержала и «обратное» ему движение ср—1 (такое, произведение
которого с ф является тождественным преобразованием).

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОГРАННИКОВ
193
наружено много интересных фактов. Так, например, необходимое и
достаточное условие G-равносоставленности двух многогранников родственно
условию обыкновенной равносоставленности (D-равносоставленности),
только вместо инвариантов многогранника здесь приходится говорить
о G-инвариантах (числах, совпадающих для «G-равных»
многогранников).
Рассмотрим, например, совокупность S-движений, состоящую из всех
параллельных переносов и всех симметрии относительно точки 1.
Оказывается, что на плоскости любые два равновеликих многоугольника
являются S-равносоставленными; другими словами, каждые два
равновеликих многоугольника можно разбить на соответственно равные много-
угольные части с соблюдением того дополнительного условия, что
соответствующие стороны этих частей будут параллельны между
собой (теорема Хадвигера — Глюра) 2. Таким образом, понятие S-рав-
носоставленности на плоскости эквивалентно обычной
равносоставленности.
Не так обстоит дело с Т~равносоставленностью, где Г означает
совокупность всех параллельных переносов — понятие Г-равносоставленности
является более сильным, чем понятие D-равносоставленности двух
многоугольников. Вот как формулируются условия Г-равносоставленности
многоугольников. Рассмотрим многоугольник М и (произвольную!)
направленную прямую / и обозначим через М/ число, равное сумме длин
сторон М, параллельных /. (Длина стороны АВ берется со знаком «+»,
если многоугольник расположен справа от АВ, со знаком «—», если он
расположен слева от АВ; направление стороны АВ выбирается таким же,
как и на прямой /.) Оказывается, что необходимым и достаточным
условием Т-равносоставленности двух многоугольников М и N является
равенство величин Mi и Ni для всех (направленных) прямых /; этот критерий
позволяет легко проверить, являются ли два многоугольника Г-равносо-
ставленными, поскольку достаточно проверить, выполняется ли равенство
Mi=Ni для всех прямых, параллельных сторонам М и N. Отсюда
следует, например, что Т-равносоставлвны с квадратом
центрально-симметричные многоугольники (многоугольники, при любом обходе конгура
которых каждой стороне отвечает равная ей по длине параллельная и
противоположная сторона) и только они. Такие (и только такие)
многоугольники можно разбить на части, из которых, после их параллельного сдвига,
можно сложить квадрат.
Аналогично, из критерия Г-равносоставленности двух многогранников
вытекает, что Т-равносоставлены с кубом многогранники с центрально-
симметричными гранями и только они (это — некоторый частный класс
центрально-симметричных многогранников; подобные многогранники
называются зоноэдрами).
Наконец, Ж. П. Сидлер установил, что два многогранника являются
равнодополняемыми в том и только в том случае, если они являются
1 Совокупность S-движений на плоскости и в пространстве
характеризуется тем, что «S-равные» многоугольники или многогранники, кроме
того, что они равны друг другу в обычном смысле слова, обладают еще
и тем свойством, что соответствующие их стороны или грани параллельны.
2 При этом оказывается, что «S есть минимальная совокупность
движений, обладающая этим свойством (последнее было установлено
в 1956 г. В. Г. Болтянским).

194 II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
равносоставленными (ср. п. 1 настоящей статьи). Этот результат
удалось обобщить также и на понятие (/-равносоставленности.
Укажем еще, что почти все перечисленные здесь результаты удалось
перенести на многогранники в я-мерном евклидовом пространстве. Так,
например, удалось установить, что я-мерный куб не равносоставлен
с равновеликим ему правильным симплексом (аналог правильного
тетраэдра).
Часть приведенных здесь результатов собрана в элементарной
брошюре В. Г. Болтянского «Равновеликие и равносоставленные фигуры»
(М.. 1956). Эта брошюра представляет собой хорошее дополнение к
работе В. Ф. Кагана.

f

III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ

АРХИМЕД *
Дай мне, где стать, и я сдвину Землю.
Так, по преданию, характеризовал Архимед
свои открытия в области механики.
В 75 г. до н. э. Марк Туллий Цицерон — известный
римский политический деятель, оратор и писатель-философ — был
сенатом назначен квестором в Сицилию. Должность эта в ту
пору требовала много внимания и труда как по политическим,
так и по экономическим причинам; время было беспокойное.
При всем том среди сложных забот Цицерон вскоре после
прибытия в Сиракузы занялся разысканием могилы
Архимеда. Вот как он сам об этом! рассказывает в своих «Тускулан-
ских беседах» (кн. V, рубр. 23):
«Мне, квестору, удалось разыскать эту могилу,
заросшую сорными травами и репейниками; сиракузяне
не только ее не знали, но даже отрицали ее
существование. Мне помнились некоторые стихи, о которых я
знал, что они написаны на его памятнике; мне было
также известно, что вверху его гробницы были
выгравированы шар и цилиндр. Внимательно всматриваясь —
у Ахродийских ворот находится большое число могил,—
я заметил небольшую колонну, немного выступающую
из кустов репейника; на ней был виден рисунок шара
1 Этот очерк вышел отдельной брошюрой в 1949 г. (библиогр.
сведения см. на стр. 569 наст, книги, № 78). В предисловии к нему автор
пишет:
«Несколько лет тому назад я предполагал прочесть публичную
лекцию об Архимеде и его эпохе. Хотя я составил текст к предполагаемой
лекции, она по случайным причинам не состоялась. Мне кажется, однако,
полезным теперь ее в некоторой переработке издать». (Ред.).
197

198 HI. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
и цилиндра. Я сказал сиракузянам — меня
сопровождали первые лица города,— что это, по-видимому, могила
которую я ищу. Туда были посланы люди с серпами,
которые очистили и раскрыли это место. Когда доступ
стал свободен, мы подошли к подножию памятника.
Обнаружилась стихотворная надпись, последняя часть
которой — примерно половина — выветрилась. Таким
образом, в одном из самых благородных государств
Эллады, некогда наиболее знаменитом по своей
культуре, остался бы неизвестным памятник его
гражданину, отличавшемуся наиболее глубоким умом, если бы
его им не открыл муж из Арпинума» *.
Что же побудило Цицерона в такое трудное время с такой
настойчивостью искать эту могилу?
Человек глубокого и разностороннего образования,
Цицерон благоговел перед греческими философами и учеными (эти
два понятия в ту эпоху были почти равнозначащими). В
поисках того, что красит человека, Цицерон делает много
сопоставлений: он повествует о мрачных годах сиракузского
тирана Дионисия, о его диких жестокостях, о его разнузданной и
преступной жизни, которую тиран должен был бдительно
охранять из-страха справедливого возмездия. Рассказав об
этом, Цицерон продолжает: «Я хочу теперь извлечь из
забвения мужа из того же города, человека бедного, гораздо более
низкого положения, жившего на много лет позже 2,—
Архимеда. Какой человек на всем свете, находившийся в некотором
общении с музами, т. е. обладавший гуманным и
благородным образованием, не предпочел бы быть этим математиком,
нежели тем самовластным тираном? Сопоставляя их жизнь и
деяния, видим, что один был поглощен изысканиями и
исследованиями числовых соотношений, радостями
изобретательных устремлений — этим наилучшим наслаждением души,—
другой жил среди убийств и собственных злодеяний, днем и
ночью в страхе за свою жизнь».
Но в таком тоне пишет об Архимеде не только Цицерон;
трудно найти древнего историка, который, упоминая об
Архимеде, не выражал бы благоговейного отношения к памяти об
этом замечательном человеке. Чем же вызвано такое
всеобщее уважение, такое признание, которым не пользовались
1 Цицерон родился в поместье отца близ Арпинума в Новом Лациуме.
2 То есть после Дионисия.

АРХИМЕД
199
другие математики древности, даже наиболее выдающиеся из
них — Пифагор, Евклид, Аполлоний, Эратосфен и другие?
Об Архимеде рассказывают почти все древние историки
Греции — Полибий, Плутарх, Тит Ливии, историки науки — Дио-
дор, Папп, Прокл, даже в XII в. нашей эры Тцетцес (Tzetzes),
но для всех них Архимед — только гениальный защитник
Сиракуз.
Культурные государства античного мира были
расположены, главным образом по берегам Средиземного моря (см.
карту на стр. 200 *). Господство на Средиземном море означало
господство над Европой, Африкой, Малой Азией. Поэтому к
такому господству всегда стремились наиболее
могущественные государства древнего мира. Такую цель в различное
время преследовали греки, карфагеняне, римляне, упорно
боровшиеся между собой за преобладание на Средиземном
море. Наибольшего напряжения эта борьба достигла в
третьем столетии до нашей эры. К этому времени Греция,
раздираемая междоусобными войнами, можно сказать, выбыла из
строя; так называемая Великая Греция — греческие колонии
на юге Италии — была подчинена Риму; борьба шла между
Карфагеном и Римом; вокруг этих государств группировались
в этой борьбе другие народы. То были так называемые
Пунические войны, которые с небольшими промежутками
продолжались более ста лет (264—146. гг. до н. э.).
Особенно заманчивым было завоевание Сицилии, этой
житницы средиземноморского населения. Остров состоял из
ряда небольших государств, одни из которых имели
республиканское устройство, другие управлялись сменявшими друг
друга тиранами. Наибольшее значение имели Сиракузы,
которые в известной мере являлись центром средиземноморской
торговли. Карфаген и Рим стремились овладеть той частью
Сицилии, где находились Сиракузы; на этой почве и
возгорелась первая Пуническая война (264—241 гг. до н. э.),
которая шла с переменным успехом. Всё же римляне вышли из
этой войны победителями. Сицилия стала римской
провинцией. Но не сладка была жизнь под пятою Рима; когда через
20 лет (в 218 г. до н. э.) карфагеняне под предводительством
Ганнибала возобновили войну. Сиракузы, руководимые пол-
1 Карта заимствована из прекрасной, обстоятельной книги
С. Я. Лурье «Архимед» (Изд-во АН OGCP, М., 1945).

200
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ

АРХИМЕД
201
ководцем греческого происхождения Гиппократом, к ним
присоединились. Римский сенат, придававший очень большое
значение завоеванию Сицилии, расположенной между
Италией и Карфагеном в центре Средиземного моря, направил
туда одного из самых крупных своих военачальников Марка
Клавдия Марцелла. Казалось, что этому опытному
полководцу будет нетрудно овладеть Сиракузами, которые к тому же
еще не успели получить от Карфагена подкреплений. Но эти
надежды не оправдались; в течение более чем двух лег
(213—212 сг. до н. э.) Марцеллу не удавалось проникнуть
в Сиракузы, и не потому, что так умело вел защиту
Гиппократ: город защищал Архимед. Вот как об этом рассказывает
Плутарх (около 46—126 гг. н. э.), посвятивший Марцеллу
одно из своих жизнеописаний.
«Марцелл вполне полагался на обилие и блеск своего
вооружения .и на собственную свою славу. Но всё это
оказалось несущественным против Архимеда и его машин.
Архимед был родственником умершего царя Гиерона.
В свое время Архимед писал Гиерону, что небольшой силой
возможно привести в движение сколь угодно большую
тяжесть; более того, вполне полагаясь на убедительность своих
доказательств, он утверждал даже, что был бы в состоянии
привести в движение самую Землю, если бы существовала
другая, на которую он мог бы стать 1. Гиерон был этим
удивлен и предложил ему показать на деле, как возможно
большую тяжесть привести в движение малой силой. Архимед
осуществил это над грузовым трехмачтовым судном, которое,
казалось, могло вытащить на берег только большое число
людей. Архимед велел посадить на судно множество людей и
нагрузить обычным большим грузом. Поместившись затем
в некотором отдалении на берегу, он без всякого напряжения,
очень спокойно нажимая собственной рукой на конец
полиспаста, легко, не нарушая равновесия, придвинул судно.
Гиерон был этим в высшей степени поражен и, убедившись в-
высоком значении этого искусства, склонил Архимеда
соорудить машины как для обороны, так и для нападения при
любой осаде. Правда, Гиерон сам не использовал этих машин,
так как большая часть его правления прошла в мирной об-
1 «А6£ |ясн лоо crib xai xiv<b tr/v yfjV — «Дай мне, где стать, и я
сдвину Землю», так передает эту фразу греческий математик Папп
Александрийский, живший в конце III столетия нашей эры.

202 HI. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
становке. Но теперь (при наступлении Марцелла) эти машины
и соорудивший их Архимед оказались весьма необходимыми.
Когда римляне начали наступление с обеих сторон
(с суши и с моря), сиракузяне были в высшей степени
поражены и как бы парализованы от страха. Они считали
невозможным противостоять такой большой силе и военной мощи.
Но тогда Архимед привел в действие свои машины и орудия
разнообразного рода; на сухопутные войска посыпались
камни огромной величины и веса, с шумом и невероятной
быстротой. Против этих снарядов, казалось, не было больше защиты.
Целые подразделения войск валились на землю, и их ряды
пришли в полный беспорядок. В то же время и на суда
обрушивались из крепости тяжелые балки, искривленные в виде
рогов; одни из них сильными ударами погружали суда в
глубь моря, другие крюками в форме журавлиных клювов,
точно железными руками, поднимали корабли высоко в
воздух, а затем опускали кормой в воду. В то же время другие
машины швыряли суда на скалы возле стен города, и их
матросы подвергались страшному уничтожению. Нередко
представлялось ужасное зрелище: судно, высоко поднятое над
морем, раскачивалось в воздухе до тех пор, пока его экипаж
не выбрасывался вон, потом либо отсбрасывалось пустым к
городской стене, либо, отпущенное, падало в воду. Марцелл
устанавливал на своих судах машины для противодействия
и нападения, но, как только такое судно приближалось к
стене города, на него падал камень весом в десять талантов \
за которым следовал второй и третий... Эти камни, с
громадной силой и шумом уничтожая машины, находившиеся на
неприятельских судах, разрушали и самые палубы.
Марцелл оказался в чрезвычайно большом затруднении
и должен был со своим флотом отступить. Он велел также
отступить и сухопутным войскам. После этого он держал
военный совет. Было решено еще той же ночью по
возможности подойти очень близко к городу. Расчет состоял в том,
что метательные машины Архимеда вследствие присущей им
большой силы перебросят ядра через головы наступающих
и на малом расстоянии окажутся совершенно безвредными.
Однако на этот случай Архимед еще задолго до того
соорудил машины, приспособленные к действию на любых
расстояниях небольшими снарядами. Вдоль стены непрерывным ря-
То есть около 260 килограммов.

АРХИМЕД
203
дом были устроены не очень большие бойницы, а за ними
стояли метательные машины, невидимые для врагов; снаряды
этих машин были легче, неслись с меньшей скоростью и
поражали врагов на небольших расстояниях. Поэтому, когда
римляне... приблизились к стенам города в полной
уверенности, что их совершенно не заметят, они были тотчас же
встречены массой стрел и снарядов. Сверху на их головы
-посыпались камни и отовсюду со стен неслись снаряды. Они
снова вынуждены были отступить. Тогда машины вновь были
установлены на дальнее расстояние, снаряды неслись вдаль
и настигали отступающих. Потери были велики, велико было
смятение на судах. Было совершенно невозможно каким бы
то ни было способом справиться с противником. Архимед
расположил большинство машин за стеной, и римляне, на
которых с невидимых мест валились тысячекратные бедствия,
казалось, сражались с богами.
Но Марцелл всё же не пришел в замешательство. С
насмешкой он сказал своим строителям и инженерам: «Что ж,
придется нам прекратить войну против геометра, который
подобно сторукому Бриарею уселся у моря, себе на потеху,
нам на позор, и поднимает вверх суда с моря; он даже
превосходит сказочного сторукого великана, сразу бросая на нас
такое множество снарядов». В действительности римляне
становились мишенью для орудий Архимеда. Он один был душою
обороны, приводил всё в движение и управлял защитой. Всё
остальное оружие оставалось в бездействии, и только его
маслинами город тогда пользовался для обороны. Римляне были
так напуганы, что достаточно было показаться над стенами
канату или деревянной палке, как все кричали, что Архимед
направил на них машину, и быстро убегали. Видя это,
Марцелл прекратил сражения и нападения и предоставил
дальнейшую осаду действию времени».
Так рассказывает об этом Плутарх; почти в таком же
виде передает эти события Полибий, писавший примерно
через 30 лет после смерти Архимеда. Другие историки
сообщают об этом в несколько иных вариантах. Не может
подлежать сомнению, что достижения Архимеда сильно
приукрашены. Прокл, греческий геометр и философ, живший в V в. н. э,.
сообщает даже, что во время осады Архимед соорудил еще
зажигательные стекла и отражательные зеркала, при помощи
которых он сжигал корабли противника. Это предание
передается и другими авторами, однако явно со слов того же

204
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Прокла. Между тем наиболее крупные историки древности,
перечисленные выше, об этом нигде не упоминают. По всей
вероятности, эта легенда позднейшего происхождения.
При всем том, однако, несомненно, что именно Архимед
в течение двух лет при помощи своих машин с успехом
защищал Сиракузы от мощной римской армии.
Всё же в конце концов Марцеллу удалось ночью, когда
сиракузяне предавались пьянству по случаю годового
праздника в честь богини Артемиды, пробраться в город через
отдаленные ворота. На утро Марцелл вступил в город са
всем своим войском. Несмотря на меры, принятые Марцеллом„
занятие города сопровождалось грабежом и убийствами, во
время которых погиб и Архимед. Вот как рассказывает об
этом дальше Плутарх.
«Больше всего Марцелла огорчила судьба Архимеда.
Последний сидел, погруженный в размышление над
геометрической фигурой, которую он внимательно созерцал. Он был
этим настолько поглощен, что совершенно не заметил
вступления римлян и занятия города. Внезапно перед ним
появился солдат и потребовал, чтобы Архимед пошел с ним к
Марцеллу. Но Архимед хотел это сделать только после того, как
разрешит задачу и закончит доказательство. Солдат пришел
в ярость, выхватил меч и пронзил им Архимеда».
Другие рассказывают, что, когда римлянин уже подступил
к нему с обнаженным мечом, чтобы убить его, Архимед
настойчиво просил воина предоставить ему короткий срок, чтобы
задача не осталась незаконченной и недоказанной; но солдат
на это не согласился и тут же заколол его.
Передают и третий рассказ, будто Архимед нес к
Марцеллу математические инструменты, солнечные часы, глобус
небесной сферы и угломерный прибор, которым он измерял
видимую величину Солнца К По дороге его встретили
солдаты; подозревая, что в своих сосудах он несет золото, они era
убили.
Легенда о гибели Архимеда различными авторами
передается в очень разукрашенных вариантах. Так, Тцетцес
сообщает, что подошедшему к нему римскому солдату Архимед
сказал: «Отойди, не трогай моих кругов («Noli turbare cir-
culos meos»,— как передает Плутарх). Рассерженный солдат
• 1 Несомненно лишь то, что Архимед построил прибор для измерения
углового диаметра Солнца и небесный глобус (представлявший собой
нечто вроде планетария), который Марцелл увез в Рим.

АРХИМЕД
205
*его убил. Византийский историк Зонарас (XII в.) утверждает
далее, будто Архимед этому солдату сказал: «Бей по
голове, но не по чертежу» (Пара xe(paA,av \ir\ яара ypa|ji]xav).
Трудно сказать с уверенностью, имеют ли эти предания
фактическое основание; но о них определенно можно сказать по
известной итальянской поговорке: если и не правдиво, то
хорошо придумано (se поп ё vero, ё ben trovato). Они хорошо
рисуют представление об Архимеде людей, знавших его,
слышавших о нем.
Единодушно рассказывают, что Марцелл глубоко сожалел
о гибели Архимеда и изгнал из армии его убийцу как
человека, достойного проклятия. Родственникам Архимеда,
которые были разысканы по распоряжению Марцелла, были
оказаны высокие почести.
Таков образ Архимеда, каким его рисуют древние
историки: гениальный военный инженер, который изобретенными им
машинами в течение двух лет успешно защищал свой родной
город от римских войск. Вскользь они при этом называют
его математиком, геометром, с тем платоническим почтением,
с которым часто и в настоящее время относятся к
математикам люди, не посвященные в эту науку. Однако не так
смотрел на себя сам Архимед.
Вот как об этом рассказывает тот же Плутарх.
«Архимед был настолько горд наукой, богатствами
которой он владел, отличался такой силой духа,, что именно о тех
своих открытиях, благодаря которым он приобрел славу, не
только доступную человеку, но почти божественную, он не
оставил ни одного сочинения. Занятия механикой 1 и вообще
любым искусством, имеющим целью практическую пользу, он
считал неблагородными, низменными2. Рвение мысли он
направлял исключительно на такие предметы, которые были
великолепны и прекрасны независимо от своей необходимости.
В области геометрии нельзя найти более трудных
глубокомысленных задач, решенных с такой простотой и ясностью.
Одни приписывают это высоким дарованиям- этого мужа;
другие, напротив того, придерживаются мнения, что
благодаря напряженному труду ему удавалось дать своим открытиям
такое выражение, что они каждому становятся легко
доступными без труда. Если читатель сам и не находит доказатель-
1 Очевидно — техникой.
2 Мы постараемся выяснить далее полную несостоятельность такого
мнения об Архимеде.

*06
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
ства, то при изучении сочинения у него создается
представление, что он и сам мог бы это доказательство найти,— таким
легким и быстрым' путем Архимед приводил к тому, что он
хотел доказать. Поэтому не покажется невероятным, что онг
как рассказывают, всегда околдованный дружеской ему
сиреной, забывал о еде и совершенно пренебрегал заботой о своем
теле. Часто его насильно заставляли принимать ванну,
натираться благовонной мазью; но и в это время он рисовал на
земле геометрические фигуры и пальцем чертил на своем
намазанном теле геометрические линии, охваченный большой
радостью и действительно одухотворенный музами.
Изобретший столь много прекрасного, он, говорят, просил людей и
родственников начертить на его могиле только цилиндр и
содержащийся в нем шар и указать численное соотношение
между объемами этих тел. Таков был Архимед, который,
насколько это зависело от него, охранял город от поражения».
С тех пор прошло свыше двух тысяч лет. Катапульты и
другие сооружения Архимеда совершенно забыты. Камни,
которые они метали, заменены снарядами, извергаемыми силой
взрывчатых веществ; корабли поднимаются в воздух не
журавлиными кранами, а минами сложного устройства. Машины
и технические изобретения Архимеда сохранились в памяти
только как легенды, утратившие практический интерес и
значение. Века и войны снесли памятник Архимеду,
восстановленный Цицероном; но вознесся другой, еще более почетный
монумент великому геометру. Почти через две тысячи лет
после смерти Архимеда в Оксфорде был выпущен в свет
прекрасный фолиант; он носит название: «'Арх^боид та
crco£ojmeva» — «Все сохранившиеся сочинения Архимеда», всё,
что удалось спасти после истекших веков. И эти творения
великого геометра не забыты; они вызывают восхищение всех,
кто может их понять, и, несомненно, всегда будут вызывать
такое восхищение.
Лейбниц писал о нем: «Кто овладел творениями Архимеда
и Аполлония, будет меньше удивляться открытиям самых
великих людей нашего времени» (qui Archimedem et Apollonium
intelligit recentorium summorum virorum inventa parcius mira-
bitur). He раз говорили, что Архимед и Ньютон знаменуют
основные эпохи в истории математики.

АРХИМЕД
207
Кто же собственно был Архимед, в какую эпоху он творил,
что он создал, чем заслужил свою бессмертную славу?
В 332 г. до н. э. Александр Македонский, стремившийся
к созданию мировой монархии, основал в Египте город, в
который он предполагал перенести столицу своей державы,
и назвал его Александрией. При таком назначении город
тотчас же начал привлекать наиболее предприимчивые элементы
как Греции, так и Востока; купцы, ремесленники,
вольноотпущенники стали в большом числе стекаться в Александрию
и очень быстро развернули в ней торговлю и различного рода
производства. После смерти Александра (323 г.) и распада
его монархии Александрия сделалась столицей
греко-египетского государства, которое досталось одному из полководцев
Александра, Птолемею, сыну Лага. Провозгласив себя вскоре
царем, Птолемей Лага стал родоначальником династии,
правившей Египтом до 30 г. н. э.
Желая возвысить свою столицу, Птолемеи
покровительствовали развитию наук и искусств, ассигнуя на это
значительные средства и всячески поддерживая выдающихся
ученых и художников. Эти меры, которые широко применял уже
первый Птолемей, очень быстро привлекли в Александрию
большое число известных греческих философов и их
учеников,— тем более, что в Афинах прежней свободе мысли уже
давно не было места. К концу IV столетия до н. э.
Александрия становится центром интеллектуальной жизни Греции.
Здесь возникла первая школа неоплатоников, здесь
образовалась и геометрическая школа, развернулся золотой век
греческой геометрии К
К эпохе расцвета геометрии александрийской школы
относятся два геометра, различные по своему значению, по силе
своего творчества, но приобретшие наибольшую известность;
это были Евклид и Архимед. О личности Евклида мы имеем
очень мало сведений; они сводятся к нескольким дошедшим
до нас указаниям: Паппа Александрийского и главным
образом к следующим строкам из предисловия Прокла к его
комментариям к первой книге «Начал» Евклида.
«Немногим моложе их (Гермотима из Колофана и
Филиппа из Медеи) был Евклид, который составил «Начала», соб-
1 См. G. Loria. II periodo aureo della geometria greca. Modena,
1895; G. Kowalewski. Grosse Mathematiker. Berlin, 1939.

208
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
рал в одно целое многие предложения, принадлежавшие
Евдоксу, усовершенствовав многое, принадлежавшее Теэте-
ту, и дал неоспоримые доказательства тому, что было слабо
доказано его предшественниками. Этот муж жил во времена
первого Птолемея, ибо Архимед, который жил
непосредственно после первого (Птолемея), упоминает об Евклиде.
Рассказывают также, что Птолемей однажды спросил его
(Евклида) , есть ли к геометрии путь короче того, который проложен
в „Началах", на что тот ответил, что к геометрии нет
особенного пути для царей».
От прежних крупных греческих геометров — Фалеса
Милетского (VII столетие до н. э.), Пифагора (VI столетие),
Гиппократа Хиосского (V столетие), Евдокса (IV столетие) —
Евклид получил в наследие обширный геометрический
материал. Но для него, может быть, большее значение имели
общие требования Платона и Аристотеля по отношению ко
всякой области знания — привести в порядок имеющийся
материал, в частности претворить геометрию в строго
выдержанную синтетическую систему, дать ей твердое логическое
основание. И эту задачу он выполнил со всем тем
совершенством, какое было в то время доступно. Созданные им
«Начала» сделались учебником, по которому в течение двух тысяч
лет учились геометрии юноши и взрослые. Не нужно думать,
однако, что Евклид был просто компилятором дошедшего до
него геометрического материала. Он внес в свое
произведение много усовершенствований и, по-видимому, немало
дополнений. «Очень трудно,— пишет тот же его комментатор
Прокл,— в каждой науке отобрать и расположить в
надлежащем порядке элементы, из которых всё дальнейшее следует,
в которые всё дальнейшее разрешается». «И во всем этом
система элементов Евклида превосходит всё остальное, ибо
польза ее сказывается в том, что она ведет к исследованию
наиболее совершенных фигур; ее ясность и совершенство
обеспечиваются тем, что она восходит от более простого к
более сложному,— тем, что она основывает всё исследование
на аксиомах; общность же доказательства обеспечивается
тем, что оно переходит от начальных теорем, носящих
характер принципов, к (сложным) объектам мышления».
Так характеризовали древние назначение и достоинства
«Начал». Книга Евклида на тысячелетия установила то, что
по настоящее время считается началами, элементами
геометрии,— установила рамки элементарной геометрии.

АРХИМЕД
209
fc Верный Платону, к посмертной школе которого он
принадлежал, Евклид был человеком исключительно абстрактной
мысли; приложения геометрии его не интересовали. Известно
дошедшее до нас предание, будто юноша, пришедший к нему
учиться, спросил его, какую, собственно, пользу он получит
от изучения геометрии. В ответ на это Евклид повернулся к
рабу и сказал ему: «Дай этому человеку три обола, он ищет
от геометрии пользу».
Трудно сказать, сколько правды в этой легенде; но она
выявляет целое мировоззрение; и это мировоззрение для
Евклида действительно характерно.
Евклид завершил эпоху создания элементарной геометрии
и приведения ее в логическую систему. Следующей эпохе
положил начало Архимед. Это был человек не только
неизмеримо более высокой творческой силы, но и существенно
другого миросозерцания, другого взгляда на науку и на ее
задачи.
Хотя об Архимеде, как мы видели, пишут почти все
древние историки, наши сведения об его жизни по существу также
очень незначительны. Некто Гераклид в древности написал
его биографию, но она до нас не дошла; проскользнули только
краткие отрывки из нее, вкрапленные в сочинения других
авторов. Мы знаем уже, что Архимед погиб при взятии
Сиракуз Марцеллом, следовательно, в 212 г. до н. э.. По рассказу
Тцетцеса, ему было тогда 75 лет; таким образом, он родился,
вероятно, около 287 г. до н. э. Происходил он из культурной
семьи; его отец Фидий был астроном; Архимед упоминает о
нем в своем сочинении «Исчисление песка». Есть основания
думать, что это была знатная, но небогатая семья. Архимед
находился в родственных отношениях к сиракузскому царю
(тирану) Гиерону и его сыну Гелону. По рассказу
древнегреческого историка Диодора, он провел продолжительное время
в Александрии, где, по-видимому, учился у последователей
Евклида. К Евклиду, как это следует из собственных
высказываний Архимеда, он относился с большим почтением.
В Александрии он сблизился с рядом математиков, с
которыми поддерживал дружбу всю свою жизнь. Старшим из них
был Конон, который, по-видимому, имел влияние на развитие
геометрических идей Архимеда, но рано умер; другим — До-
сифею, Эратосфену, Дзейксиппу — Архимед посылал свои
работы, сопровождая каждую соответствующим письмом, так

210
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
что сочинения Архимеда до некоторой степени производят
впечатление посланий друзьям.
Возвратившись в Сиракузы, Архимед посвятил себя
исключительно математическим исследованиям, которые привели
его также к открытиям в области механики (статики,
гидростатики) и техники. Относился ли Архимед действительно с
пренебрежением к приложениям математики? Можно с
уверенностью сказать, что это не так. Известный отпечаток
научных традиций платоновской Академии на нем, конечно,
лежит; он проявляется, между прочим, и в той строгой
точности, с какой Архимед доказывает каждую свою теорему, в
той осторожности, с какой он публикует свои замечательные
открытия. Но вряд ли можно допустить, чтобы человек, с
таким увлечением и с таким успехом сооружавший
многочисленные машины, основываясь при этом на своих теоретических
исследованиях, мог презирать этот род своей деятельности.
Плутарх подкрепляет свои утверждения об отношении
Архимеда к его техническим открытиям тем, что он ни одного из
этих открытий не опубликовал, но причиной этого, вероятнее
всего, была «засекреченность» этих открытий. Во всяком
случае работы Архимеда в области механики и в особенности
гидростатики, задачи, которые он себе при этом ставил,
обстоятельства, которые его к этому привели, свидетельствуют,
что это был человек с совершенно иными умонастроениями,
нежели Евклид и его ближайшие ученики. Он несомненно
имел живой и глубокий интерес к прикладным дисциплинам:
без такого интереса не было бы возможно и то творчество,
которое он в этих дисциплинах проявил. Как мы увидим
ниже, он именно в механике черпал даже средства для
доказательства чисто геометрических предложений.
Более трудные, более специальные по своему содержанию,
нежели «Начала» Евклида, сочинения Архимеда были
гораздо менее распространены; в то время как поздние издания
Евклида считаются сотнями, если не тысячами, издания
Архимеда считаются лишь немногими единицами. Имеются три
основные рукописи, по которым эти сочинения
воспроизводятся, но и у них один общий источник — манускрипт, которым
во второй половине XV столетия владел венецианский
профессор Георг Валла. Этот ученый выпустил в 1501 г. переводы
некоторых из сочинений Архимеда со своими примечаниями
(«схолиями», как их тогда называли). В 1544 г. в Базеле
появилось первое печатное издание греческого текста (так на-

АРХИМЕД
211
зываемое editio princeps — главное издание) с латинским
переводом. За ним последовал ряд других изданий. Все
издания, появившиеся до текущего столетия, как и манускрипт
Валла, содержат семь сочинений Архимеда: 1) О шаре и
цилиндре, 2) Об измерении круга, 3) О коноидах и
сфероидах, 4) О спиралях, 5) О равновесии плоскостей, 6) Об
исчислении песка, 7) О квадратуре параболы.
Что же содержат эти сочинения, что дает им право на
такое высокое место в истории науки? Французский издатель
сочинений Архимеда Пейрар перечисляет сорок теорем, в
открытии которых он усматривает наибольшее значение
творчества Архимеда. Это — действительно предложения
капитального значения. Однако не столько в открытии отдельных
предложений, сколько в установлении руководящих идей и:
методов заключается главная заслуга этого великого
геометра.
Начнем с краткой формулировки этих основных идей и:
методов, чтобы читатель при дальнейшем изложении имел
возможность уяснить себе их значение и развитие.
Архимед построил арифметические основы счисления,
которыми мы, с существенными, правда, изменениями,
пользуемся и в настоящее время К
Архимед впервые дал точное выражение длины
окружности, площади круга и его частей по их радиусу и указал
приближенное, но тщательно вычисленное значение
входящего в эти выражения постоянного множителя я. Уже в этих
своих вычислениях он пользовался методом, по существу
совпадающим с основным замыслом интегрального исчисления.
В других своих сочинениях, вычисляя площадь сегмента
параболы, поверхность и объем шара, поверхности и объемы
эллипсоида, сегментов эллипсоида, гиперболоида и
параболоида вращения, он углубил этот прием настолько, что в
основном предвосхитил методы Лейбница и Ньютона, можно»
сказать, заложил первые начала интегрального исчисления.
Архимед установил основы теоретической механики
(статики) и начала гидростатики, не только не утратившие
значения до сих пор, но по настоящее время составляющие
первые исходные основания этих дисциплин.
1 Наша десятичиая система счисления получена из других,
источников.

212
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Архимед дал способы вычисления площадей* и объемов
геометрических тел, основанные на применении начал
механики.
Архимед открыл так называемую винтовую линию и дал
ее применение к построению винтового двигателя, хотя и
примитивного, но всё же служащего элементарным
прототипом всех винтовых двигателей в воде и в воздухе, которыми
мы теперь пользуемся. Эти открытия составили эпоху, позже
служили точкой отправления для работ Леонардо да Винчи,
Галилея и Ньютона. Методы Архимеда составляют античную
предоснову новой математики, ее первого расцвета
в XVII столетии.
Чтобы эту роль Архимеда выяснить, необходимо войти в
рассмотрение важнейших его произведений. Мы не будем
при этом придерживаться их хронологического порядка,
который к тому же нельзя считать строго установленным, но
будем следовать пути, на котором, на наш взгляд, наиболее
выясняются сущность и развитие идей Архимеда.
Архимеда прежде всего считают геометром. Так его
называют и древние историки, повествующие о его технических
изобретениях. Тем не менее мы начнем обзор его творчества
с идей, которые правильнее всего отнести к арифметике.
Учению о счислении и счете Архимед посвятил особое
сочинение «'Apxai» — «Начала», которое, по-видимому,
принадлежало к самым ранним его произведениям и, к
сожалению, до нас не дошло. Мы располагаем только отрывками из
него, сообщенными различными авторами, отчасти и самим
Архимедом в дошедшем до «ас сочинении «Псаммит»
(«Исчисление песка»).
К началу золотого века своей культуры (III столетие
до н. э.) греки были очень сильны в геометрии. Сочетание
наглядных представлений (интуиции) и логики привело их к
открытию и обоснованию далеко идущих геометрических
соотношений. По вопросу, например, о конических сечениях
современные руководства по аналитической геометрии,
предназначенные для наших студентов, содержат значительно
меньше сведений, чем мы находим в трактате Аполлония.
Однако при этом богатстве геометрического материала в
греческой математике искусство счета находилось в убогом
состоянии, что проявлялось, в частности, в весьма
тяжеловесном лисьменном счислении, непригодном для сколько-нибудь

. АРХИМЕД
213
Сложного счета. Греки обозначали числа буквами (или
сочетанием букв) своего алфавита, отличая числовые записи от
обычного словесного текста либо посредством штриха,
поставленного сверху справа от буквенной записи чисел, либо
с помощью горизонтальной черты над нею, либо другим
способом, однако лишенным единого принципа. При этом
первые девять букв греческого алфавита означали числа от
единицы до девяти. Следующие девять букв означали десятки
от десяти до девяноста. Следующие девять —сотни от ста до
девятисот.
Так как для обозначения всех указанных чисел
требовалось 27 букв, а основной греческий алфавит содержал
только 25 (если учесть отдельно д), то пришлось использовать в
качестве «цифр» две архаические буквы q (коппа) и 5 (сам-
пи), которыми обозначили соответственно 90 и 900.
Получилась, таким образом, следующая таблица обозначений:
а
1
i
10
Р
100
р
2
X
20
а
200
Y
3
%
30
т
300
б
4
Ц
40
V
400
8
5
V
50
Ч>
500
S
6
1
60
%
600
С
7
о
70
'Ч>
700
Л
8
я
80
(0
800
Ф
9
. q
90
5
900
А дальше шли тысячи, для обозначения которых к знаку,
выражающему число тысяч, присоединялся штрих с левой
стороны внизу. Так, обозначение ,6' выражало четыре тысячиг
верхний штрих справа отмечал, что это — число, нижний
слева отмечал тысячи. Чтобы написать число, составленное из
тысяч, сотен, десятков и единиц, соответственные буквенные
знаки писались рядом один за другим, так что, например,
число 4327 записывалось в виде ,6Vx'£'.
Некоторые авторы употребляли и другие, но не более
простые обозначения. Ясно, что на основе такой записи чисел
построить сколько-нибудь разумный, удобный общий
алгоритм (правило) счета было невозможно. Даже сравнительно
простое арифметическое вычисление представляло для
древних греков очень большие трудности, а при некотором
осложнении оно становилось невыполнимым или же требовало
специальных приемов и исключительного таланта. Так, в од-

214
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
ном сочинении («Измерение круга»), о котором будет речь
ниже, Архимеду приходится приближенно вычислять j/3.
Архимед действительно дает приближенно меньшее и
приближенно большее значение этого числа; именно, он указывает,
что (в наших обозначениях)
1351 ^ -.лт^ 265
Но ни единым словом Архимед не разъясняет, как он это
замечательное приближение получил. Имеется целая
литература, содержащая попытки разгадать этот способ, но следует
. признать, что все высказанные соображения мало надежны.
В своем сочинении «Псаммит» («Исчисление песка»)
Архимед прежде всего пытается дать способ обозначения очень
больших чисел в словах и в знаках. К этому приводит
Архимеда следующая своеобразная задача. Он хочет вычислить,
сколько песка, точнее — сколько песчинок содержалось бы в
массе песка, если бы таковая заполняла «всю вселенную»,
т. е. сферу, имеющую центром Землю и охватывающую все
неподвижные звезды. Вот что он об этом говорит во
вступлении, обращенном к царю Гелону.
«Есть люди, царь Гелон, которые придерживаются того
мнения, что число песчинок бесконечно велико; я же имею в
виду не только тот песок, который находится у нас вблизи
Сиракуз и во всей Сицилии, но и во всех населенных местах.
Другие люди если и не считают этого числа бесконечным, то
всё же утверждают, что мы не в состоянии указать числа,
которое превосходит его... Но я хочу тебе представить
геометрические доказательства, которые ты можешь проследить,
что между теми числами, которые я поименовал в сочинении,
посланном Дзейксиппу, имеются такие, которые не только
превышают это количество песка, но и такое его количество,
которое заполнило бы так называемую вселенную».
И вот эта задача приводит Архимеда к разысканию
средств составлять и выражать очень большие числа. Как мы
видели, греки считали до тысячи, а тысячи, как особые
единицы, в свою очередь считали от одной до десяти. Таким
образом составлялось наибольшее число — десять тысяч, для
которого греки имели особое наименование; они называли его
мириадой — (jtvpiag, от греческого же слова jiupiog,
означающего «неисчислимо большое». В эпоху Архимеда это число
было пределом греческого счета; в наших обозначениях его

АРХИМЕД
215
можно записать как 104. Но это число совершенно ничтожно
для той цели, которую поставил себе Архимед. Ему нужно
было изыскать средства большого счета. Он прежде всего
замечает, что мириаду можно, в свою очередь,
рассматривать как большую единицу и вести счет этих единиц от одной
до мириады. Таким образом доходим до числа «мириада
мириад» (104 • 104 = 108), которое играет для Архимеда
граничную роль. Обозначим его для четкости через |л. Числа до |л
он рассматривает как числа первого разряда или первого
порядка (Архимед называет их просто «первыми числами»).
Теперь можно считать эти новые единицы; числа, которые
таким образом получаются, Архимед называет числами
второго порядка («вторыми числами»), пока не доходит до
мириады этих единиц. Теперь (л единиц второго порядка
Архимед соединяет в единицу третьего порядка и ведет счет этими
единицами, получая таким образом числа третьего порядка —
«третьи числа», как он их называет. Этот процесс Архимед
продолжает дальше, доводя счет до числа 10810М°3.
Архимед, таким образом, устанавливает устное счисление
по разрядам и порядкам, фактически—счисление десятичного
типа; как он сам сообщает, в недошедшем до нас сочинении
«'Ap%ai» он дает правила (производства счета при этом
счислении. Наше письменное счисление (арабско-индусское)
опирается еще на так называемый позиционный принцип, по
которому место, занимаемое цифрой, указывает разряд
соответствующего числа, а недостающие разряды заменяются
нулями. Этого приема у Архимеда еще нет, но основная идея
нашего счисления — производство счета по разрядам и
порядкам (классам) — уже заложена в этом произведении.
Указав этот способ счета и опираясь затем на
соображения Аристарха о размерах вселенной, а также на свои
собственные соображения по этому вопросу и по вопросу- о
размерах песчинки, Архимед приходит к заключению, что число
песчинок, которые могли бы заполнить вселенную, не
превышает тысячи мириад «восьмых» чисел, т. е. числа
10М04-107-8= 1063.
Эту свою работу Архимед заканчивает следующими
словами: «Я предполагаю, царь Гелон, что эти вещи множеству
людей, не занимавшихся математикой, покажутся
невероятными; но тем, кто в этом кое-что понимает и кто проследит

216
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
изложенные соображения о расстояниях и величинах Земли,.
Солнца, Луны и всей вселенной, в силу доказательства
убедятся в справедливости этого».
Работа Архимеда об исчислении песка при всём
принципиальном ее значении не получила широкого применения^
потому что позже, к тому времени, когда задачи сложного^
счета стали насущными, в математику, в частности в
арифметику, проникли способы арабско-индусского счисления,
которым пользуются с XVI столетия; оно имеет несомненное
преимущество, особенно в письменном счете. Но четко
выраженный замысел двойного счета принадлежит Архимеду и,
вероятно, был им глубже разработан в недошедшем до нас
произведении «'Ap/ai». Вычислительная математика, которой
Евклид совершенно пренебрегал, становится для Архимеда,,
можно сказать, главным предметом разработки, и в виде ряда
частных, глубоких и трудных задач разрешается им при
помощи методов, которые сохранили руководящее значение
до настоящего времени. Ближайшее применение эти
вычисления получили в замечательной работе Архимеда «Измерение
круга».
В XII книге «Начал» Евклид устанавливает
(предложение 2), что площади кругов относятся между собой как
квадраты их диаметров К Это эквивалентно тому, что отношение
площади круга к квадрату диаметра есть число постоянное.
Уже задолго до Евклида было известно, что площадь круга
равна площади прямоугольного треугольника, один из
катетов которого равен длине окружности, а другой — радиусу
круга. В связи с этим было ясно, что отношение длины
окружности к диаметру имеет тоже постоянное отношение; его-
теперь обозначают греческой буквой я. Любопытно, что
Евклид, заканчивая в VI книге планиметрию, ничего о длине
окружности и площади круга не говорит. Это настолько
странно, что некоторые авторы высказывали даже
предположение, будто утеряна часть «Начал», которая была
посвящена учению о длине окружности и площади круга. Между
тем располагать значением числа, выражающего отношение
длины окружности к длине диаметра, было совершенно
необходимо в элементарной практике при изготовлении различных
круглых предметов — диска, круглого блюда, при сооружении
круглых колонн, которые так часто встречаются в греческой
1 По терминологии Евклида — квадраты, построенные на их диаметрах.

АРХИМЕД
217
архитектуре, и т. д. Значение этого отношения пытались
приближенно установить еще в глубокой древности, по-видимому,,
исключительно эмпирически; чаще всего его принимали
равным трем. Сведения об этом мы находим в знаменитом
папирусе Ринда (учебник Ахмеса), в библии, в древнеиндийских
и древнекитайских памятниках. Примерно с V ст. до н. э-
возникают попытки установить это число на основании
теоретических соображений. Вопрос этот сплетается со
знаменитой задачей о квадратуре круга 1. Как рассказывает Плутарх,
математик и философ Анаксагор занимался этим во время-
тюремного заключения. Знаменитый греческий писатель
Аристофан в конце V ст. в одной из своих комедий уже
подтрунивает над людьми, занимающимися этими задачами.
Архимед первый поставил задачу об измерении длины
окружности с полной точностью. Он задается целью не только
найти приближенное значение отношения окружности к
диаметру, но и установить пределы допускаемой при этом
ошибки. Этому и посвящена небольшая, но очень важная работа
«Измерение круга», о которбй мы упоминали ранее.
. Не приходится долго останавливаться на методе, которым
Архимед пользуется для решения этой задачи: его знают все,,
кто учился геометрии в школе. Длина окружности содержится
между периметрами, вписанного и описанного
многоугольников с одинаковым числом сторон 2. Удваивая число сторон
этих многоугольников, мы неограниченно приближаемся к
длине окружности. Начиная с шестиугольников, Архимед с
необычайным искусством доводит вычисление до 96-угольни-
ков; пользуясь указанным выше приближенным значением
числа *|/3, он обнаруживает, что периметр правильного»
96-угольника, вписанного в окружность диаметра 1, больше,
чем 3—, а периметр правильного описанного 96-угольника
меньше, чем 3—. Принимая верхнюю из этих границ в
качестве приближенного значения длины окружности, получим:
22
так называемое архимедово значение гс = —, которое, будучи
выражено десятичной дробью, дает приближение с точ-
ностью до 0,01 (3,14).
1 То есть о построении циркулем и линейкой стороны квадрата,
равновеликого заданному кругу. (Ред.).
2 Архимед установил специальную аксиому, из которой это вытекает..

218
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Мы обычно недооцениваем того, к чему привыкли, что
хорошо усвоено,— недооцениваем трудности задачи, гения
изобретателя. Но если учесть, что и в настоящее время, через
две тысячи лет после Архимеда, его метод излагается в
школьных учебниках, что до позднего периода эпохи Возрождения
не существовало приближенного значения я, которое
существенно бы отличалось от архимедова числа, что и в настоящее
время в подавляющем большинстве случае на практике
пользуются архимедовым числом для вычисления длины
окружности, площади круга, объема шара, то огромное значение
этого великого открытия станет совершенно ясным.
Но ценность и значение метода, которым пользуется
Архимед в этой работе, уяснится еще лучше, если примем во
внимание, что в указанной работе («Измерение круга») он
получает применение только в простейшем виде, что здесь
осуществляется только первая, наиболее простая форма так
называемого метода исчерпывания, который служит
прообразом интегрального исчисления.
Вообще в истории науки очень трудно указать идеи или
методы большого значения, широкого применения, открытие
и провозглашение которых можно было бы приписать только
-одному человеку. Такие идеи развертываются постепенно,
возникая из небольшого ядра и разрастаясь в своих
приложениях. Метод исчерпывания в простейших, но важных случаях
получил применение еще до Архимеда; по существу им
пользовался уже Евклид в XI—XII книгах «Начал», и то
рассуждение, которое изложено выше, служащее в работе
«Измерение круга» средством для приближенного вычисления
отношения длины окружности к диаметру, составляет в
исследованиях Архимеда только первый шаг. Этот метод Архимед
широко развил, дал ему разнообразные, очень углубленные
приложения, получил при помощи его столь же замечательные,
•сколь и ценные результаты, в которых, как уже сказано, с
полным основанием видят предвосхищение интегрального
исчисления — важнейшего метода современной математики.
Чем было вызвано появление метода исчерпывания,
каковы геометрические приемы его приложения, каковы
специфические формы его применения, к которым прибегает Архимед,
каково развитие, которое он получил после Архимеда —
в средние века, в наше время? Дать хотя бы краткие ответы
на эти вопросы — значит действительно выяснить главное

АРХИМЕД
219
значение творчества Архимеда в области геометрии;
постараемся это сделать.
Чтобы ввести читателя в круг этих идей, остановимся на
вычислении площадей и объемов. Учение о площадях и
объемах развертывается в геометрии следующим образом.
На основании учения о пропорциональности доказывается,
что отношение площадей двух прямоугольников, даже
вообще двух параллелограммов, равно произведению отношения
оснований на отношение высот (эллинские геометры
говорили: равно сложному отношению, составленному из отношения
оснований и отношения высот). Благодаря этому, при
надлежащем выборе единицы площади (если для измерения
площадей за единицу принять площадь квадрата, сторона
которого равна единице длины), число, выражающее площадь
параллелограмма, равно произведению чисел, выражающих
длину основания и длину высоты. Древние избегали этой
лрифметической формулировки, но по существу приведенная
выше формулировка в геометрических отношениях ей
эквивалентна, и они практически ек) действительно пользовались.
Площадь треугольника равна половине площади
параллелограмма, имеющего то же основание и ту же высоту;
многоугольник разбивается на треугольники, и его площадь равна
сумме площадей составляющих треугольников; в различных
частных случаях результат получает более простое
выражение. К этому по существу сводится всё учение об измерении
площадей прямолинейных фигур; элементарная простота
этого учения, таким образом, имеет свой источник в том, что
всякий многоугольник может быть составлен из треугольников —
из конечного числа частей, отсекаемых от квадрата прямыми
линиями К Но это исходное положение отказывается служить,
когда требуется разыскать площадь фигуры, ограниченной
криволинейным контуром, и прежде всего — площадь круга.
Круг нельзя составить из конечного числа прямолинейных
фигур (треугольников, квадратов и т. п.). Для определения
площади криволинейной фигуры нужно найти иной путь, и
древние этот путь нашли. Точно установить, кому собственно
принадлежит изобретение этого метода, невозможно; сам
Архимед приписывает его Евдоксу. Сущность его мы выяс-
1 Заметим, что это рассуждение имеет дефект: нужно доказать, что
сумма площадей треугольников, на которые разбит многоугольник, не
зависит от способа разбиения. (См. В. Ф. Каган. О преобразовании мно-
гограников. М., 1933). [Включена в эту книгу. (Ред.)].

220
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
ним на задаче об определении площади круга. Это тем
удобнее, что прием, который для этого применяется,
несущественно отличается от того, которым) Архимед воспользовался для
приближенного вычисления отношения длины окружности'
к ее диаметру.
В круг вписывается правильный многоугольник,
например— как у Архимеда — шестиугольник. Он занимает часть
круга; но остаются шесть сегментов, ограничиваемых дугами
круга и сторонами многоугольника. После этого в круг
вписывается правильный двенадцатиугольник путем надстройки
равнобедренного треугольника на каждой стороне
шестиугольника; этот двенадцатиугольник охватывает уже большую
часть круга — площадь остающихся сегментов уменьшается.
После этого вписывается двадцатичетырехугольник. Повторяя
достаточное число раз этот прием, можно достигнуть того, что
любая заданная точка круга окажется внутри вписанного
многоугольника. В этом смысле вписываемые многоугольники
как бы «исчерпывают» круг. Отсюда и название, возникшее-
в средние века,— «метод исчерпывания». Выражаясь
современным языком, можно сказать, что площадь круга
представляет собой предел площадей вписанных многоугольников,,
когда число их сторон бесконечно возрастает; но эта
терминология древним, конечно, еще чужда.
Схема, по которой Архимед устанавливает площадь
круга, заключается в следующем. Он формулирует основное
предложение: площадь круга равна площади прямоугольного
треугольника, один катет которого равен окружности, а
другой— радиусу круга. Это и дает для площади круга
значение яг2, которое всегда приводится в наших учебниках; но
Архимед, как и все античные геометры, дает этому не
арифметическое, а геометрическое выражение. Его доказательство
распадается на три части. Пользуясь не только вписанными, но
и одноименными описанными правильными
многоугольниками, Архимед показывает, во-первых, что площадь круга
больше площади каждого вписанного и меньше площади каждого
описанного многоугольника; во-вторых, что разность между
площадью описанного и площадью вписанного
многоугольников может быть сделана меньше любой заданной величины1;,
1 Если примем во внимание, что площадь вписанного таким образом
многоугольника с увеличением числа сторон постоянно возрастает, а
площадь описанного многоугольника постоянно убывает, то станет
совершенно ясно, что та и другая площади имеют общий предел.

АРХИМЕД
221
.*[, наконец, после этого он устанавливает, что площадь круга
равна площади треугольника, о котором идет речь; он выпол-
ляет это рассуждением от противного, т. е. доказывает, что
ллощадь круга не может быть ни больше, ни меньше площади
указанного треугольника.
Таков замысел метода исчерпывания. Как уже указано,
Архимед чрезвычайно углубил и расширил применение этого
метода. В работе «О шаре и цилиндре», которую считают са-
мым ранним из дошедших до нас сочинений Архимеда, он
доказывает, что поверхность шара равна четырем площадям
«большого круга, устанавливает объем шара и шарового
сектора, давая этому такое выражение: объем шара в четыре
дзаза превышает объем конуса, основание которого равно
ллощади большого круга этого щара, а высота равна его
радиусу; он устанавливает также объем и боковую
поверхность цилиндра и прямого круглого конуса, а в других
сочинениях, о которых речь будет ниже, далеко расширяет эти
результаты.
Таким образом, размер применения метода исчерпывания
у Архимеда оставляет далеко позади результаты, полученные
до него Евдоксом и, быть может, другими авторами; то были
только первые шаги по этому пути, которые Архимед
расширил и углубил. Метод исчерпывания становится орудием,
посредством которого Архимед вычисляет площади и объемы,
•ограниченные различными кривыми линиями и
поверхностями.
Трудность задачи, очевидно, заключается в том, чтобы,
выражаясь нашим языком, найти предел последовательных
приближений искомой величины. В своих работах о шаре и
дилиндре, о сфероидах и коноидах, о спиралях Архимед идет
к этой цели чисто геометрическим путем, специфическими
средствами в каждом частном случае. Но Архимед хочет
найти для этого общий прием; это ему, конечно, не удалось.
Задача эта постепенно была выполнена средневековыми
геометрами— Кавальери, Валлисом и другими — и получила
первое завершение в трудах Лейбница и Ньютона. Только
в XVII в. были установлены методы дифференциального и
интегрального исчисления, которые Архимед частично,
несомненно, предвосхитил. Но именно изыскание общих средств для
установления тех предельных значений, которыми
выражаются устанавливаемые им величины, явно составляет основную
задачу, которую Архимед себе ставил. Не разрешив этой за-

222
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
дачи полностью, Архимед всё же нашел прием, приводящий
его к цели в очень большом числе случаев, и притом таких
случаев, в которых выполнить требуемое вычисление было-
особенно трудно, за которые никто из его предшественников,
даже не решался приняться. И наиболее замечательно то, что*
основной замысел Архимеда заключается в применении к:
этим геометрическим вычислениям средств механики
(статики).
В наиболее простом виде этот з'амысел осуществляется^ в
работе «Квадратура параболы». Попытаемся изложить зде^сь
эту работу, проследить ход рассуждений Архимеда. По
существу она нетрудна. Познакомившись с основным ее замыслам,,
с ходом рассуждений, читатель не только уяснит себе самый
метод исчерпывания, но и поймет прием Архимеда,
основанный на механических соображениях. Но именно по этой
причине нам нужно предварительно в немногих словах
остановиться на другой работе Архимеда: «О равновесии плоских
фигур».
Это было первое исследование Архимеда, посвященное
началам механики, вернее — элементам статики. Оно состоит из
двух частей, которые посвящены разысканию центров
тяжести плоских фигур: в первой части Архимед устанавливает-
центры тяжести простейших прямолинейных фигур —
параллелограмма, треугольника, трапеции, во второй — центры
тяжести различных сегментов параболы. Таким образом, в
первой части Архимед доказывает, что центр тяжести
параллелограмма лежит в пересечении диагоналей, центр тяжести-
треугольника — в пересечении его медиан. Эти результаты
небыли вполне новыми,- этими вопросами занимались до
Архимеда, в частности Аристотель. Но соображения Аристотеля:
далеко не вполне убедительны. Архимед первый установил
относящиеся сюда предложения с безукоризненной точностью»
(он дал необходимую для их вывода аксиоматику), а
главное он дал им замечательные приложения. Одним из таких,
столь же простых, как и блестящих, приложений и является:
работа «Квадратура параболы».
Парабола — хорошо известная плоская кривая. Она
имеет единственную ось симметрии ОХ (рис. 1), называемую,
главной осью, или главным диаметром. Основное свойство'
параболы, которым она определяется и благодаря которому

АРХИМЕД
223
она пользуется такой известностью, заключается в
следующем. Между ветвями параболы на главной оси есть такая
точка F, называемая фокусом, что все лучи FM, выходящие
из этой точки и падающие на параболу, отражаются (если,
конечно, вообразить, что
кривая обладает зеркальными н
свойствами) в одном
направлении — параллельно главной
оси, и обратно; все лучи,
падающие на параболу
параллельно ее оси, после
отражения проходят через фокус *.
Это свойство влечет за собой /г
различные другие соотношения
между элементами параболы;
одним из таких соотношений
и воспользовался Архимед
для так называемой квадрату-
Рис. 1
Рис. 2
ры параболы, иначе говоря — для разыскания площади
сегмента параболы, т. е. площади, содержащейся между кривой
и какой-либо ее хордой. Чтобы несколько упростить
изложение, мы здесь ограничимся тем случаем, когда хорда
перпендикулярна к оси, хотя по существу это мало меняет дело.
Итак, положим (рис. 2), что хорда параболы АВ
перпендикулярна к ее оси ОН. Следуя Архимеду, в конечной точ-
1 Указанное свойство параболы находит себе практическое
применение при устройстве параболического зеркала, поверхность которого
образуется вращением параболы вокруг ее главной оси.

224 HI. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
ке В дуги параболы проведем к ней касательную ВТ до
встречи с прямой AT, проходящей через другой конец хорды АВ
параллельно оси ОН; образуется прямоугольный
треугольник АВТ. Замечательная теорема, установленная Архимедом,
заключается в том,, что площадь параболического сегмента,
ограниченного хордой АВ и дугой АОВ, составляет ровно
одну треть площади треугольника АВТ.
Рассуждения, которыми Архимед это устанавливает и в
которых, как уже сказано, ясно проявляются два основных
его метода, заключаются в следующем.
Хорду АВ разделим на п равных частей (на рис. 2 /г = 5)
точками #ь #2, #3, •••» Нп (— В) и через них проведем
прямые Н\Ти Н2Т2, #3Г3, •••> параллельные главной оси,—
побочные оси кривой, как говорят проще. Они встречают параболу
в точках Ru #2, Rz, ..., Rn-i , а касательную — в точках Ти Т2у
Тз, ..., Тп-\ , и разбивают треугольник АВТ на полосы —
трапеции АТТхНи HiT\T2H2i H2T2T%H$, ..., которые для краткости
обозначим через Qi, Q2i Q3, ..., Qn !; теми же буквами будем
обозначать их площади. Если теперь соединим точку В
с точками Ru #2, #з, ... прямыми BRU BR2i BRZi ..., то они
с осями тоже образуют два ряда меньших трапеций: /V^i,
F\H2, F2HZ, ..., выходящих за пределы сегмента (обозначим
их через f\, f2, /з, ..., они на рис. 2 заштрихованы
горизонтально),— и трапеции (R\H2), (R2HZ), (RsH4), ,.., входящие
целиком внутрь сегмента (они на рис. 2 заштрихованы
вертикально; обозначим их через г\, г2, г3, ...). Совершенно ясно, что
искомая площадь 5 сегмента АОВА параболы содержится
между суммами площадей входящих и выходящих трапеций:
гх + г2 + • • • + гп-х < S < fx + /2 + ... + /я. (1)
Когда число п частей, на которые мы делим хорду АВ,
неограниченно возрастает, эти две суммы неограниченно
сближаются; очевидно, площадь сегмента 5 служит общим пределом
суммы входящих и суммы выходящих трапеций. Эта
терминология, как мы уже знаем, Архимеду чужда; но он
доказывает, что разность между суммой выходящих и суммой
входящих трапеций становится меньше любого заданного
значения, а это и приводит к тому, что площадь параболы
является указанным пределом. Читателю будет легче усвоить
рассуждения Архимеда, если мы будем пользоваться современ-
Последняя из них представляет собой треугольник.

АРХИМЕД
225
ной терминологией и скажем, что для разыскания площади
рассматриваемого сегмента нужно было разыскать значение
этого общего предела.
Все предыдущие рассуждения по существу, конечно, еще
вовсе не предполагают, что дуга, ограничивающая сегмент,
принадлежит параболе; они остались бы справедливыми и в
том случае, если бы эта дуга принадлежала любой из многих
кривых, идущих от точки А к точке В. Существенно то, что
Архимед здесь, как и во многих других случаях, пользуется
методом: исчерпывания, т. е. постепенного заполнения
площади, ограниченной криволинейным контуром, площадями
прямолинейных фигур, сумма которых в пределе дает площадь
искомой криволинейной фигуры. Но для разыскания этого
предела, конечно, нужно воспользоваться специфическими
свойствами рассматриваемой граничной кривой, в данном
случае — параболы, и изыскать метод, которым находится это
предельное значение.
Как мы уже упомянули выше, парабола допускает
различные определения; она может быть охарактеризована
различными соотношениями между теми или другими ее
элементами. Архимед уже имел в своем распоряжении несколько
соотношений такого рода, найденных его предшественниками; уже
Евклид составил сочинение о конических сечениях, к числу
которых принадлежит и парабола; занимался этим еще в
начале IV столетия до н. э. Аристей; но эти их труды до нас
не дошли. Опираясь на полученные ими результаты, Архимед
устанавливает новое соотношение, приспособленное к его
построению (рис. 2). Именно, он доказывает, что в случае
параболы каждая точка Rt делит отрезок Н{ГЬ , на котором
она лежит, в том; же отношении, в каком соответствующая
точка Н( делит хорду АВ 1:
ВД : RtTt = АН, : Hfl. (2)
После этого он переходит к главной задаче — к разысканию
площади сегмента, т. е. общего предела сумм входящих и
выходящих трапеций; для решения этой задачи он прибегает
к средствам механики.
Хорду АВ он представляет себе горизонтальной,
продолжает ее в другую сторону на расстояние АС=АВ (рис. 3)
1 Мы приводим доказательство этого основного соотношения в виде
приложения I к тексту (стр. 236).

226
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Рис. 3
и рассматривает CAB как равноплечий рычаг с опорой в
точке А. Трапеции Qu Q2, Qz, ..., Qn 0H представляет себе
тонкими однородными пластинками, веса которых
пропорциональны их площадям и, сле-
——^ в довательно, в вопросах
статики могут быть
заменены их площадям»;
сообразно этому он
говорит о площади
треугольника, трапеции, как о
соответствующем весе или
грузе.
Теперь Архимед ставит
себе задачей разыскать
грузы Рь Р2, Рз, ..., Рп
которые, будучи
приложены на другом
конце рычага, в точке С,
могут уравновесить
соответствующие веса (трапеции) Qb Q2, Q3, ..., Qn • Опираясь на
соотношение (2), характеризующее параболу, Архимед
показывает, что каждый груз Р, содержится между ri и ft-l:
rt<Pt<fr (3)
Если поэтому сумму всех весов Pi + Рг + ... + Рп обозначим
через Р, сумму площадей (весов) входящих трапеций
(n -f- г2 -+-... -+- гл_1 ) обозначим через R, а сумму площадей
всех выходящих трапеций (ft + f2 + ... + fn) — чеРез F* T0
получим:
R<P<F. (4)
Но, с другой стороны, грузом Р уравновешивается весь
треугольник АВТ; так как центр тяжести этого треугольника
отстоит от AT на расстоянии трети стороны АВ, то
уравновешивающий его груз Р равен -^-, где Д — площадь (соответ-
о
ствующий вес) треугольника АВТ:
1 Доказательство этого неравенства приводится р приложении 2 к
тексту (стр. 237).

АРХИМЕД .
227
А так как между теми же пределами содержится и площадь
сегмента, сколько бы ни сближались R и F, то отсюда
следует, что S=—. Архимед это доказывает, как обыкновенно, от
противного. Он приходит таким образом к следующему
предложению (о котором мы уже упоминали):
Площадь сегмента параболы в точности равна одной
трети площади треугольника, ограниченного его хордой, осью
параболы, проходящей через один конец хорды, и
касательной, проходящей через другой ее конец.
Любопытно, что теорема остается справедливой и в том
случае, когда хорда не перпендикулярна к оси; Архимед и
устанавливает ее в этом более общем виде, что по существу
не требует значительных усложнений.
Механический прием Архимеда заключается, таким
образом, в том, что слагаемые площади он взвешивает и
суммирует в общей точке — в точке приложения надлежащим
образом установленного рычага. *
Тщательным изучением античных математических текстов
много занимался датский филолог и математик И. Гейберг
(I. Heiberg). Под его редакцией были выпущены наиболее
проверенные издания сочинений Евклида, Архимеда,
Аполлония. Еще в 1879 г. он выпустил исследование, посвященное
различным вопросам творчества Архимеда *. В начале
текущего столетия Гейберг нашел в каталоге Иерусалимской
библиотеки небольшую выдержку из одного древнего
манускрипта математического содержания. Эта выдержка была
приведена приват-доцентом Петербургского университета Пападо-
пуло-Керамевс из не вполне смытого древнегреческого текста,
который он обнаружил на интересовавшем его пергаменте
под текстом более позднего происхождения2. Не будучи
математиком, Пападопуло-Керамевс не придал своему открытию
большого значения, но в его краткой выдержке Гейберг узнал
ex ungue leonem («по когтям льва») произведение Архимеда.
Ему удалось разыскать эту рукопись в Константинополе, и он
обнаружил в ней греческие тексты некоторых сочинений
Архимеда. Манускрипт был составлен в X столетии; между
1 I. L. Heiberg. Quaestiones Archimedeae. Kopenhagen, 1879.
2 См. С. Я. Лурье. Архимед. Изд-во АН СССР, М., 1945, стр. 143.

228
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
XII и XIV столетиями, как это часто бывало, тот же
пергамент был использован вновь для богословского текста.
Старый текст при этом старались смыть, но, к счастью, не с
полным успехом: в значительной части его удалось восстановить.
Кроме уже известных сочинений Архимеда в нем оказались
три «новых» его произведения, из которых два имеют очень
важное значение, так как содержат его гидростатику (две
работы «О плавающих телах») и так называемый «Эфодик».
Последнее из этих произведений («Эфодик») есть
наиболее обширное и, может быть, по геометрическому своему
значению наиболее важное из сочинений Архимеда. Оно не
имеет названия, исходящего от самого Архимеда; все называют
его «Метод обработки механических предложений». Это
замечательное произведение содержит развитие того метода, мы
сказали бы — интегрирования, которым Архимед пользовался
в работе «Квадратура параболы». Обширный мемуар
начинается письмом к Эратосфену Родосскому, при котором он
был последнему отослан. Перечислив те предложения,
которые он считает наиболее важными, Архимед далее пишет:
«Так как, однако, я в твоем лице... ценю очень
серьезного ученого, философа выдающего значения, а
также и любителя математического исследования, то
я считаю целесообразным изложить в этой книге
своеобразный метод и в такой мере его выяснить, чтобы
эта работа послужила и для тебя стимулом к
исследованию некоторых математических вопросов при
помощи механики. Но этот прием, по моему убеждению, не
менее полезен также и для доказательства
геометрических предложений, ибо некоторые вещи я себе
первоначально уяснил именно механическим методом.
Однако потом эти предложения было необходимо доказать
чисто геометрически, потому что обработка их
вышеупомянутым методом, строго говоря, не дает
действительного доказательства. Очевидно, если мы при
помощи этого метода предварительно получим некоторые
сведения об исследуемых вопросах, то найти
доказательство будет легче, чем это можно было бы сделать
без предварительных сведений».
И действительно, Архимед этим новым механическим
способом дает здесь новые доказательства ряда предложений,
которые им уже были доказаны в других сочинениях. Так, он

АРХИМЕД
229
этим способом вновь доказывает, что поверхность шара
равняется учетверенной площади большого круга, что объем
цилиндра, высота которого равна диаметру основания, в
полтора раза превышает объем вписанного в него шара. Это
последнее предложение Архимед особенно ценил; именно
к этому предложению относится тот чертеж, который он
завещал выгравировать на своей гробнице. В этом сочинении
Архимед дает новое доказательство теоремы о площади
параболы, а затем обращается к задачам гораздо более трудным.
Так, он находит поверхности и объемы сегментов эллипсоида
вращения, параболоида вращения, определяет центры
тяжести этих тел и поверхностей, в частности центр тяжести
полушара и сегмента эллипсоида вращения, отсеченного
плоскостью, перпендикулярной к оси вращения.
Все эти вычисления, по существу выполняемые
интегрированием, действительно произведены единым методом. Таким
образом, Архимед несомненно пришел к довольно общему
методу интегрирования, к которому приводится разыскание
поверхностей, объемов и центров тяжести тел вращения,
ограничиваемых поверхностями второго порядка. Можно
четко формулировать, в какой мере он с этими задачами
справился: он осуществил вычисление во всех тех случаях, когда
задача не приводит к эллиптическим интегралам.
Таким образом, совершенно ясно, что Архимед в этой
работе заложил начала интегрального исчисления, что самая
задача интегрирования была ему совершенно ясна, что он
с нею справился в довольно сложных случаях. Но
понадобилось около двух тысяч лет для того, чтобы были созданы
общие методы интегрирования, к простейшим- применениям
которых приводили задачи Архимеда. Если «отцами»
современного интегрального исчисления были Лейбниц и Ньютон, то
родным «прадедом» их несомненно был Архимед1.
1 Об открытии Архимедом методов интегрирования см. также работу
А. П. Юшкевича «О методе исчерпывания древних математиков» («Труды
совещания по истории естествознания 24—26/ХП 1946 г.». Изд-во АН СССР.
М.—Л., 1948, стр. 173—182), в которой показывается, что Архимед
впервые ввел в рассмотрение верхние и нижние интегральные суммы и
фактически рассматривал площади и объемы как общие пределы этих сумм.
За последнее время были изучены и дифференциальные методы
Архимеда в его работах «О спиралях» (нахождение касательной,
дифференциальный треугольник) и «О шаре и цилиндре» (нахождение экстремумов);
см. И. Г. Б а ш м а к о в а. Дифференциальные методы в работах
Архимеда. «Историко-матем. исследования», вып. 6, 1953, стр. 609—658). (Ред.).

230 "I. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Обращаясь ко второму сочинению Архимеда,
обнаруженному Гейбергом в открытой им рукописи,— Гидростатике,
или, воспроизводя название точнее, «О плавающих телах»,
отметим, что это — одно из самых важных, некоторые
считают— самое важное из сочинений Архимеда. Нужно, однако,
сказать, что эту работу знали и раньше, до ее открытия
Гейбергом, правда, в латинском переводе, сделанном
доминиканским монахом Мёрбеке (W. Morbeke). Но так как этого
сочинения не было в рукописи Валла (см. стр. 210), то царило
сомнение, принадлежит ли оно действительно Архимеду.
Когда Гейбергом был обнаружен его греческий текст в
манускрипте, содержавшем и другие сочинения Архимеда, эти
сомнения исчезли. Более того, оно и по сей день вызывает
особенно глубокое удивление, потому что содержит важные
открытия, в которых Архимед действительно не имел себе
предшественников.
Наибольшее значение имеют предложения, на которых
была построена гидростатика, а в настоящее время и
аэростатика. Приведем эти предложения фундаментального
значения.
Предложение 3. Тела, которые при равном объеме
имеют тот же вес, что и некоторая жидкость, будучи
помещены в эту жидкость, погружаются в нее таким образом, что не
выступают над ее поверхностью, но и не спускаются ниже.
Предложение 4. Тело, более легкое, чем жидкость,
будучи в ней помещено, не погружается в жидкость
целиком,— некоторая часть его выступает над поверхностью.
Предложение 5. Тело, более легкое, чем жидкость,
будучи в ней помещено, погружается настолько, что вес
вытесненной жидкости равен весу тела.
Предложение 6. Если тело, более легкое, чем
жидкость, насильно погрузим внутрь этой жидкости, то оно
выталкивается вверх с силой, равной разности между весом
вытесненной жидкости и весом тела.
Предложение 7. Тело, которое тяжелее жидкости,
будучи погружено в эту жидкость, идет ко дну и, будучи
взвешено в самой жидкости, теряет в своем весе столько, сколько
весит вытесненная им жидкость.
Совокупность этих теорем, в частности 5 и 7, сохраняет
по настоящее время название закона Архимеда.
Для прстроения современной гидростатики оказалось по
существу необходимым только прибавить закон, открытый

АРХИМЕД
231
Паскалем, который, однако, нужно сказать, потенциально
содержится уже в предложениях Архимеда.
Большой известностью пользуется легенда, рассказанная
Витрувием, о том, при каких обстоятельствах эти законы
были открыты. Сиракузский царь Гиерон заказал себе корону
из чистого золота. Когда корона была изготовлена, возникло
сомнение, не содержит ли она в себе некоторого количества
серебра. Гиерон потребовал от Архимеда, чтобы он указал
способ выяснить эти сомнения. Архимед долго размышлял
об этой задаче; однажды, находясь в ванне.и почувствовав,
как вес его тела уменьшается при погружении, он уяснил себе
основной закон, носящий в настоящее время его имя. В
восторге он выскочил из ванны и с криком «еорт)ха»
(«эврика»— нашел) нагой побежал по улицам. Весьма вероятно,
что открытие действительно произошло при купании. Так как
закон Архимеда дает возможность, как известно, определять
удельный вес тела, то ключ к ответу на вопрос Гиерона был
найден; но вместе с тем был найден один из основных
законов, на котором в настоящее время строятся гидродинамика
и аэродинамика.
По-видимому, в тесной связи с этими размышлениями
Архимеда находится и открытый им гидравлический винт.
Конечно, винты, которые теперь приводят в движение корабли,
морские и воздушные, представляют собой далеко идущее
усовершенствование винта Архимеда; но замысел этого
основного движителя современных плавательных и
летательных сооружений принадлежит Архимеду.
Мы не будем останавливаться на третьей работе,
обнаруженной Гейбергом; это — так называемый «Стомахион»
(«2tt>|jia%iov») — нечто среднее между геометрической
задачей о делении фигуры на части и забавой. Она к тому же
дошла до нас только в отрывках и не имеет научного значения,
как и приписываемая Архимеду «задача о быках».
Мы остановимся теперь еще на одном вопросе, именно —
рассмотрим логическую базу, на которой Архимед строит
свои выводы, аксиоматику Архимеда.
Сочинение о шаре и цилиндре начинается, как
обыкновенно, письмом к Досифею. Письмо заканчивается пятью
аксиомами, которые Архимед предпосылает этой основной своей
работе; он явно считает необходимым дополнить ими аксио-

232
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
мы и постулаты Евклида. Приведем здесь перевод этих
аксиом.
1) Из всех линий, которые имеют те же концы, прямая
есть самая короткая.
2) Из других линий, расположенных в одной плосковти и
имеющих общие концы, две не равны, если обе они обращены
выпуклостями в одну и ту же сторону и если одна из них
либо вполне объемлется другой, либо же частью объемлется,
а в других частях совпадает с ней; и в этом случае
объемлющая больше объемлемой.
3) Точно так же из поверхностей, которые имеют общую
границу, лежащую в одной плоскости, плоская поверхность
меньше всех остальных.
4) Из других поверхностей, имеющих общую плоскую
границу, две не равны, если обе они обращены выпуклостями в
одну и ту же сторону, и одна объемлет другую; при этом
объемлющая поверхность больше объемлемой.
5) Из неравных линий, неравных поверхностей или
неравных тел меньшее, будучи повторенным достаточное число раз,
превзойдет большее.
Эти постулаты Архимеду действительно необходимы уже
в первом предложении; утверждая, что периметр
многоугольника, описанного около круга, больше длины окружности,
Архимед опирается на первый из этих постулатов. Точно
так же, утверждая дальше, что поверхность призмы,
описанной около цилиндра, больше боковой поверхности цилиндра,
а боковая поверхность призмы, вписанной в цилиндр, меньше
поверхности цилиндра, Архимед ссылается на третий и
четвертый постулаты.
Однако первые четыре постулата Архимеду нужны
потому, что он не дает точного определения того, что надлежит
разуметь под длиной кривой или под величиной поверхности.
В настоящее время эти оцределения точно оформляются, и
тогда все четыре первые аксиомы Архимеда становятся
излишними: их можно доказать. Так, например, длина дуги
кривой определяется следующим образом: в эту дугу
вписывается ломаная линия и около той же дуги (между теми же
концами) ломаная линия описывается. Когда число сторон
каждой ломаной неограниченно увеличивается, а самые
стороны неограниченно уменьшаются, то обычно (т. е. для
значительного большинства кривых, которые нам приходится
изучать) периметры обеих ломаных стремятся к общему пре-

АРХИМЕД
233
делу. Этот предел и принимается за длину дуги
рассматриваемой кривой.
При таком определении длины дуги первые две аксиомы
становятся излишними; содержащиеся в них утверждения
легко доказываются. Таким же образом, при надлежащем
определении величины поверхности допускают
доказательства третья и четвертая аксиомы.
Совершенно иначе обстоит дело с пятой аксиомой.
Читателю прежде всего нужно отчетливо уяснить себе содержание
этого постулата. Хорошо известен прием, служащий для
нахождения общей меры двух отрезков, если таковая
существует, или для установления точного или приближенного
отношения двух отрезков. Этот прием, который теперь обыкновенно
называют последовательным делением, или алгоритмом
Евклида, имеется уже в «Началах» Евклида (кн. VII,
предл. 2) К
Прием этот заключается в том, что меньший отрезок
откладывается на большем столько раз, сколько он там
поместится. Иначе говоря, если а —больший, a b — меньший
отрезок, то находится такое число п, что nb равно или меньше а,
и в то же время (n-\-l)b больше а.
Вопрос заключается, однако, в том, существует ли
такое число п? Другими словами, повторяя меньший отрезок
достаточное число раз, достигнем ли мы того, что превзойдем
больший отрезок?
Пятая аксиома Архимеда именно утверждает, что мы
этого всегда достигнем: повторяя достаточное число раз
меньший отрезок, мы превзойдем больший.
Нужна ли эта аксиома? Нельзя ли обойтись без нее,
нельзя ли доказать содержащееся в ней утверждение? Этот вопрос
был подвергнут в текущем столетии тщательному
обсуждению.
Веронезе и Гильберт показали, что введение такой
аксиомы безусловно необходимо. Было показано, что возможны
как арифметика, так и геометрия, в которых эта аксиома не
оправдывается (трансфинитная арифметика и трансфинитная
геометрия).
Мы не имеем возможности входить здесь в такие
подробности, которые бы это вполне выяснили. Мы только отметим
1 Евклид применяет его, собственно, к числам, но иллюстрирует их
отрезком-

234 . 1П. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
удивительную прозорливость Архимеда, который усмотрел
необходимость аксиомы, не только получившей признание в
современной математике, но и играющей в ней чрезвычайно
важную роль.
Здесь будет уместно сказать об общем методе, которому
Архимед следовал при изложении своих работ. Верный
заветам своих предшественников — Евдокса, Аристотеля,
Евклида,— Архимед признавал только выводы, строго доказанные,
т. е. основанные на исходной аксиоматике — на аксиомах
Евклида, к которым он присоединил свои собственные,
перечисленные выше. Даже свой трактат по гидростатике он
основывает на двух постулатах, изложенных в первой книге работы
«О плавающих телах». Здесь не место входить в обсуждение
того, в какой мере постулаты, на которых Архимед строил
свои выводы, действительно достаточны для логического
обоснования этих выводов,— скажем только, что они в полной
мере стояли на высоте требований того времени. В письме
к Эратосфену, о котором мы говорили выше, Архимед
указывает, что некоторые из излагаемых им предложений уже были
указаны ранее Демокритом:; но наглядные механические
соображения Демокрита его не удовлетворяют, он считает
необходимым дать точные (т. е. логически выполненные) их
доказательства.
Три гениальных геометра характеризуют направление
эллинской математики. Евклид, верный ученик Платона, не
интересуется вовсе практическим значением геометрии. Как
мы видели, он над этим даже трунил; его интересовала
только строгая абстрактная дедукция; в этом стиле построены его
«Начала». В противоположность этому Демокрит, человек
ярко выраженного материалистического мировоззрения,
больше всего интересовался самыми фактами, содержавшимися в
геометрии его времени, их практическими приложениями;
точность логического вывода его, по-видимому, интересовала
гораздо меньше К Архимед несомненно ценил практические
приложения математики и механики; каковы бы ни были
соображения его биографов, об этом свидетельствует вся его
деятельность. Но он в то же время требовал точных
доказательств, строго логического вывода каждого математического
1 См. И. Л. Г е й б е р г. Естествознание и математика в
классической древности. ОНТИ, М.—Л., 1936; С. Я. Лурье. Архимед. Изд-во
АН СССР, М.—Л., 1945 (гл. VI).

АРХИМЕД
235
утверждения. Эта точка зрения наиболее близка к нашим
современным установкам.
Из дошедших до нас сочинений Архимеда совершенно
ясно, какое значение для науки имело его гениальное
творчество. Но целый ряд его сочинений до нас не дошел. Мы
посвятим еще немного места тем из них, содержание которых
может быть более или менее установлено благодаря указаниям
самого Архимеда или других авторов.
Мы уже упоминали выше о его работе «'Ap%ai»,
посвященной основам счета. О ней упоминает как сам Архимед,
так и различные другие авторы.
Несомненно большой интерес представляло сочинение,
посвященное учению о многогранниках. Как рассказывает Папп
Александрийский, Архимед в этом сочинении кроме
известных пяти правильных многогранников (обыкновенно
называемых «Платоновыми телами») указал еще тринадцать
многогранников, которые можно назвать полуправильными. Эти
тела также ограничены правильными многоугольниками,
образующими равные двугранные углы, но между ними имеются
неодноименные (например, треугольники и пятиугольники) х.
Однако наиболее важное значение из утраченных
сочинений Архимеда имела книга, а может быть и несколько книг,
посвященных механике. Об одном из этих сочинений, которое,
по-видимому, называлось «О весах» или «О рычагах»,
упоминают Папп и Симплиций. Есть основания предполагать, что
в этом сочинении Архимед впервые точно установил понятие
о центре тяжести данного тела, как такой его точке, в
которой достаточно подпереть тело, чтобы оно оставалось в
равновесии в любом своем положении.
Меньше сведений мы имеем о содержании его сочинений,
посвященных оптике и астрономии. В одном из этих
сочинений «Катоятрьха» Архимед делает указания относительно
преломления света. Другое сочинение посвящено описанию
изготовленной самим Архимедом механической модели небесной
сферы, на которой можно было наблюдать движения светил.
1 Любопытно, что Архимед, по-видимому, просмотрел еще один (14-й)
тип полуправильного многогранника, впервые указанный лишь в 1957 г.
советским математиком В. Г. Ашкинузе («О числе полуправильных
многогранников», сборник «Математическое просвещение», вып. I. Гостехиз-
дат, 1957, стр. 107—119). (Ред.).

236
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Цицерон рассказывает, что он видел эту модель
собственными глазами. К числу не дошедших до нас произведений
Архимеда принадлежат его рассуждения о календаре.
Нам нет нужды здесь в заключение вновь перечислять
замечательные открытия Архимеда. Каждое из его сочинений
прибавляло нечто новое к совокупности знаний, которыми
владели его предшественники в арифметике, в геометрии, з
механике, в астрономии,— во все отрасли точного знания он
сделал вклады, не только сохранившие свое значение до
настоящего времени, но часто служащие основой современных
дисциплин, теоретических и прикладных. Чрезвычайной
оригинальностью, глубиной мысли и свежестью замысла
отличается каждая из его работ. История науки знает очень мало
произведений такого яркого творчества, такой гениальной
мысли.
Приложения
1. Современное доказательство основного
соотношения, характеризующего параболу
Так как соотношение (2), приведенное на стр. 225, играет основную
роль в решении рассматриваемой задачи, то мы приведем его вывод,
доступный для лиц, владеющих началами высшей математики (вывод
Архимеда хотя и элементарен, но значительно сложнее).
Если мы отнесем параболу, как обычно, к ее главному диаметру ОХ
и касательной OY в вершине, как к осям координат (рис. 4), то ее
уравнение будет иметь вид:
pX=Y\ (I)
где р есть коэффициент, характеризующий данную параболу. Из
произвольной точки М(а,Ь) параболы проведем прямую МН, параллельную
главной оси, хорду MN, перпендикулярную к той же оси, и
касательную ME к параболе; наконец, из произвольной точки Е этой касательной
проведем прямую EG, параллельную главной оси, которая пересечет
параболу и хорду соответственно в точках / и G. Теперь перенесем
начало координат в точку М, направив координатные оси в обратные
стороны, т. е. за ось *-ов примем МН, за ось у-ов примем MN\ тогда
первоначальные координаты (X, У) в новых координатах (х, у) выразятся
разностями Х = а—х, У=Ь—у. Если подставим эти выражения в
уравнение параболы (I) и примем во внимание, что ра = Ь2, то приведем его
к виду:
рх = у(2Ь—у).

АРХИМЕД
237
""Дифференцируя последнее равенство по х, получим
р = 2у'(Ь-у).
Уравнение касательной ME, которая проходит через новое начало
(х=0, у=0), имеет вид
2Ьу = рх.
(Ш)
Если поэтому обозначим MG (общую ординату точек параллели EG)
через Я, то абсцисса Х\ точки / на параболе и абсцисса х2 точки Е на
касательной из уравнений (II) и
Mfad)
(III) получат значения:
h (2b — h)
Х\ — , Х2 —
Р
х2 2b
так что — — ~ :
хх 2b — h
вательно,
х2 — хг h
2bh
Р
и, следо-
2b — h
Последняя пропорция, очевидно, E[&2l>")
и выражает равенство
Архимеда (2), приведенное в тексте,
так как X\ = JG,
x2—x1=EJ, h=MG, 2b—h=GN.
Рис. 4
Строго говоря, теорема Архимеда шире; она остается в силе, когда
MN — произвольная хорда параболы; в общем случае доказательство
проводится совершенно так же в косоугольных координатах.
2. Доказательство неравенства (3),
приведенного на стр.226
Рассмотрим для определенности трапецию Q2 (рис. 3). Если бы
груз Q2 был приложен в точке #2, то для его уравновешивания в
точке С понадобился бы вес Р2, определяемый пропорцией
Р2 : Q2 = ЛН2 : АС или Р2 : Q2 = АН2 : АВ.
С другой стороны, из свойства параболы, выражаемого пропорцией (2)
(стр. 225), вытекает
АН2 : AB = H2R2:H2T2.
Если обозначим это отношение через jx, то, с одной стороны,
Р2=М^2> с другой стороны (см. рис. 2 на стр. 223),
H\F\ : HiT1=H2R2 : H2T2=\it

238
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
т. е. верхнее и нижнее основания трапеции F\H2 (/2) имеют одно и то же
отношение \х соответственно к верхнему и нижнему основаниям трапеции
Т\Н2 (СЫ, а так как обе трапеции имеют общую высоту HiH2, то />=М^2
Это значит, что сила Р2 выражается весом (или площадью) трапеции /2-
Повторим подробнее: если бы вес трапеции Q2 действовал в точке Я2,
то сила Р2, уравновешивающая его на другом конце рычага (в точке С),
выразилась бы площадью f2. Но центр тяжести трапеции Q2, в котором
можно действительно считать приложенной силу, равную ее весу, отстоит
от прямой AT на расстоянии, меньше АН2. Поэтому сила Р2
действительно уравновешивающая в точке С рычага трапецию Q2, меньше /г
(т. е. P2<f2). Таким же образом докажем, что Р2>г2. Совершенно
аналогично этому установим общее неравенство (3), а вследствие этого и
неравенство (4).

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ '
Геометрические знания составили основу всей
точной науки, а самобытность геометрии
Лобачевского — зарю самостоятельного развития наук
в России. Посев научный взойдет для жатвы
народной.
Д. И. Менделеев
Телеграмма, посланная Казанскому
университету по случаю празднования столетней
годовщины со дня рождения Н. И.
Лобачевского.
Чем Везалий был для Галена, чем Коперник
был для Птолемея, тем был Лобачевский для
Евклида. Между Коперником и Лобачевским
существует любопытная параллель. Коперник и
Лобачевский — оба славяне по происхождению.
Каждый из них произвел революцию в научных
идеях, воззрениях, и обе эти революции имеют
одно и то же значение. Причина их громадного
значения заключается в том, что они суть
революции в нашем понимании космоса...
В. Клиффорд. Лекции и очерки
В 1942 г. вся наша страна отмечала сто пятьдесят лет со
дня рождения Николая Ивановича Лобачевского, великого
русского ученого, гениального творца так называемой
неевклидовой геометрии. Это творение представляет собой
совершенно новую науку, для которой старая классическая
геометрия служит, правда, краеугольным камнем, но всё же одним
1 Этот очерк был напечатан з '1943 г. под названием: «Великий
.русский ученый Н. И. Лобачевский и его место в мировой науке» (библиогр
сведения см. стр. 568 наст, книги, № 71). (Ред.).

240 'И- ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
только камнем в ее фундаменте. Идеи Лобачевского привели
к широкой и многообразной эволюции геометрии, которая до
того во всех своих основах казалась наукой, совершенно
застывшей в ее древних эллинских формах. Основы геометрии
до Лобачевского очень многим мыслителям казались инге-
рентными — извечно или во всяком случае «от творения»
свойственными нашему сознанию, единственно возможными,
необходимыми формами нашего мышления, незыблемыми и
неизменными, как ниспосланная свыше вечная истина.
Творение Лобачевского совершенно разрушило эти
идеалистические воззрения. Идеи Лобачевского наложили глубокую
печать на все исходные начала и формы строения математики;
они проникли в качестве руководящих принципов во все
отрасли точного знания — в механику, физику и астрономию;
они заняли очень важное, в некоторых основных вопросах —
решающее место в философии. Английский математик
Клиффорд назвал Лобачевского Коперником геометрии, сравнивая
великого геометра с создателем современной
гелиоцентрической системы мира. Но не подлежит никакому сомнению, что
истины, открытые Лобачевским, были гораздо глубже
сокрыты, были более неожиданны; их выявление требовало гения
более высокого ранга.
В истории математики, в истории точного знания и
философии Лобачевский всегда будет принадлежать к числу
величайших основоположников наряду с Архимедом, Галилеем,
Коперником и Ньютоном.
Впрочем, трудные для понимания и своеобразные идеи
Лобачевского далеко не сразу получили признание. Слова
признания и преклонения в среде людей, которым эти идеи
могли быть доступны, впервые прозвучали только через
полстолетия после того, как они были высказаны Лобачевским.
I
В 1870 г. Г. Гельмгольц, один из крупнейших ученых
прошлого века, произнес в Гейдельбергском университете, в
собрании всех его преподавателей и ученых, речь на тему «О
происхождении и значении геометрических аксиом». Речь
начинается следующим вступлением:
«Тот факт, что может быть построена такого рода
наука, как геометрия, издавна привлекал особенное
внимание всех, кто имел живой интерес к принципиаль-

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
241
ным воцросам теории познания. Среди отраслей
человеческого знания нет другой, которая, подобно
геометрии, казалось бы, явилась перед нами в совершенно
законченном, готовом виде, в полном научном
вооружении, как Афина-Паллада из головы Зевса,— нет
другой, пред эгидой которой так мало решались бы
возвысить голос противоречий и сомнений. Геометрии
совершенно чужда продолжительная и трудоемкая задача
экспериментального накопления новых фактов, которая
стоит перед естествознанием в более узком значении
этого слова. Единственным методом ее научного
продвижения является дедукция; один логический вывод
следует за другим,—и всё же ни один человек со
здравым рассудком не сомневается в том, что
геометрические предложения должны получать чисто
практические применения в окружающей нас действительности;
землемерие, архитектура, машиностроительное
искусство, математическая физика постоянно вычисляют
пространственные соотношения различного рода; царит
уверенность, что результаты построений и опытов
подчиняются этим вычислениям; и до настоящего времени
не было случая, чтобы эти ожидания обманули того,
кто правильно вел вычисления, располагая для этого
точными и достаточными данными» К
Совокупность взглядов, содержащихся в этих
вступительных словах, отнюдь не выражает воззрений самого Гельм-
гольца. Самый тот факт, что наша геометрия существует,
твердо стоит на своей, казалось бы, совершенно непоколебимой
базе и в этом своем строении играет такую исключительно
важную роль, является фундаментом всего точного знания,—
этот факт, указывает Гельмгольц, всегда выдвигался в
качестве убедительного и импонирующего примера того, что
возможно познание конкретных фактов, не имеющее за собой
опытной базы. Отметив, однако, что этот взгляд выдвигают
представители идеалистической философии, и в частности
Кант, который в этом цикле вопросов основного значения
несомненно проводил идеалистические воззрения, Гельмгольц
1 Н. Helmholtz. Uber den Ursprung und die Bedeutung der geo-
metrischen Axiome. См. Vortrage und Reden, Bd. II, Braunschweig, 1884.
Имеется русский перевод этой речи: Г. Гельмгольц. О происхождении
геометрических аксиом. СПб., 1895.

242
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
главной задачей своей лекции ставит опровержение этого
взгляда. Сделать это было тем важнее, что вопрос, о котором
идет речь, принадлежит к числу основных пунктов
расхождения философских систем. Он служил предметом
многочисленных дискуссий; в опровержение взглядов Канта и раньше
приводились многообразные доводы. Но Гельмгольц не
становится на позиции тривиальной уже аргументации, не
повторяет старых доводов,' которые к тому же не всем казались
убедительными. Гельмгольц выступает со специальной
целью — выдвинуть совершенно новые мотивы, которые в то
время еще очень мало кому были известны и поражали своим
своеобразием; это были мотивы, усвоение которых
требовало— и еще в настоящее время требует — сосредоточенной и
напряженной мысли, смелого ума, способного противостоять
самой прочной традиции. Речь шла о новом цельном
развернутом математическом построении, пришедшем из далекой
Казани, о творении русского ученого Николая Ивановича
Лобачевского. Эти идеи в то время, собственно, уже имели
сорокалетнюю давность; но, подавляемые силой эллинской
геометрии, которая прочно и* безраздельно владела умами,
устои которой почитались совершенно незыблемыми, они
долго оставались под спудом математического исследования и
лишь за два-три года до выступления Гельмгольца получили
признание, но тогда всё еще в очень узком кругу
математиков. Новая геометрия, созданная Лобачевским1 и его
последователями, проникает в недра точного естествознания
гораздо глубже, нежели это было доступно геометрии Евклида.
Она и по сей день еще далеко не сказала своего последнего
слова, ее многообразные приложения находятся в стадии
развития и нацряженных исканий. В эпоху, когда Гельмгольц
выступил со своим докладом, новая неевклидова геометрия
была еще достоянием весьма небольшого круга математиков,
но она уже бросила новый, яркий свет на те узловые
вопросы философии, которые составляли главный предмет его речи.
Сделать идеи Н. И. Лобачевского достоянием более широкого
круга научно мыслящих людей и на них обосновать ответ на
вопросы, связанные с темой речи,— такова была задача,
которую Гельмгольц ставил себе в этом своем выступлении. В
печати это была первая статья, имевшая целью популяризацию
идей Лобачевского, и притом не только в их математической
структуре, но и в философских концепциях,— и она имела
успех.

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
243
II
«...Геометрия явилась перед нами в совершенно
законченном, готовом виде, в полном научном вооружении, как Афина-
Паллада из головы Зевса»,— так сказано в приведенной
выдержке из речи Гельмгольца. Конечно, это только образное'
выражение, которым пользовались для противопоставления
геометрии экспериментальному естествознанию. Геометрия
возникла на Востоке — в Ассирии, в Вавилонии, в Индии —
в глубокой древности, отвечая на элементарные потребности
быта, экономических отношений, зачаточной астрономии, имея
своей задачей простейшие измерения на земле и на небе.
С азиатского Востока геометрия проникла в Египет,
культивировалась там жрецами, перед которыми уже стояли более
серьезные измерительные и вычислительные задачи при
установлении земельных участков, при восстановлении границ
этих участков, смываемых разливом Нила, при возведении
больших сооружений, пирамид, при мореплавании.
Вычисления, которые делались на основе результатов измерений,
первоначально производились на глаз, ощупью и часто
приводили к ошибочным результатам. Чтобы их исправить,
необходимо было войти в проверку тех начал, на основе которых эти
вычисления производились,— обосновать их. Разнообразие
объектов и комбинаций, в применении к которым
производились вычисления, аналогичные по своему характеру,
заставило отвлечь наблюдаемые пространственные соотношения от
отдельных объектов, цривело к абстракции, к теории. Эта не
столь уже младенческая геометрия была воспринята греками;
з ионической и в пифагорейской философских школах она
получила широкое развитие. В стране более высокой культуры,
в которой уже развертывалась значительная техника, к
геометрии вместе с тем предъявлялись требования в гораздо
большем многообразии; в этой стране, с другой стороны,
отвлеченая мысль уже стояла на несравненно большей
высоте, абстракция шла в геометрии гораздо быстрее. И всё же
потребовалось свыше трех столетий (VII—IV вв. до н. э.),,
чтобы геометрия сложилась в цельную научную дисциплину.
Так, вследствие требований повседневной жизни и техники, r
ходе общего развития культуры, в течение многих столетий'*
а не внезапно, «как Афина-Палл.ада из головы Зевса»,
возникла и сложилась геометрия. В этом процессе каждое
предложение, установленное путем логического вывода, было за-

244
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
воеванием, освобождавшим от ненадежных результатов
эксперимента; и с каждым таким завоеванием росла тенденция
к синтетическому построению геометрии. В школе Платона
(IV столетие до н. э.) тенденция к логическому построению
научной дисциплины получила значение руководящего
начала философии; геометрия должна была служить для этого
ярким образцом. Аристотелем, при всем общем его
расхождении с Платоном, в его так называемом теперь «Органоне»
была дана для этого общая логическая схема 1.
Сама геометрия в своей дедукции должна была, конечно,
исходить из некоторых начальных положений. По мере того
как одно предложение за другим удавалось доказать,
логически вывести из более простых предложений, неизбежно
оставались такие положения, которые уже доказательству не
поддавались, на которых дедукция останавливалась, которые,
напротив, приходилось рассматривать как исходные
положения этой науки. Эти исходные положения получили у
греческих авторов название аксиом от греческого слова agiog—
достойный (доверия). По схеме Аристотеля всякая
дедуктивная наука, и в частности геометрия, должна начинаться с
определений тех понятий, которыми она оперирует, и с аксиом;
за ними должна следовать непрерывная цепь выводов. Но
через тысячу, а может быть, и через тысячи лет, протекших
от зарождения геометрии на Востоке, до развития, которое
она получила в Элладе, в школе Платона и Аристотеля,
человек не помнил,— более того, не сознавал, что эти положения
лишь выявились из большого числа фактов, накопленных
элементарным повседневным опытом. По их простоте, а
главное— по тдму безусловному доверию, которое они вызывали,
их стали присваивать человеческому сознанию как таковому,
как неотъемлемые достояния ума; идеалистические установки
Платона эту точку зрения утвердили; через две тысячи лет
мы ее находим в несколько других выражениях, но по
существу в чистом виде у Канта.
Нужно сказать, что Кант отнюдь не был таким
безнадежным идеалистом-мистиком, каким был Платон; во многих
вопросах он становился на материалистические позиции.
Но такова была вера в нерушимость наших представлений
о пространстве и времени, что здесь был рубеж, за предела-
1 О взглядах Платона и Аристотеля на геометрию см. в статье
«Предыстория учения об основаниях геометрии» в этой книге. (Ред.).

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
245
ми которого царили неизменные формы эллинской геометрии;
в области гносеологии с ними были связаны идеалистические
воззрения Канта, которые в первую четверть XIX столетия,
когда начала развертываться работа Лобачевского, можно
сказать, дарили в ученой среде. Они были широко
распространены и в России.
Мы вынуждены, однако, возвратиться к эллинской
геометрии. Самая установка на синтетическое построение геометрии
в виде цепи предложений, последовательно выводимых путем
умозаключений, конечно, тоже не беспрецедентно возникла
в голове Платона. И она вырабатывалась столетиями,
осуществлялась, как уже сказано, в среде пифагорейцев и элеатов,
после чего получила выражение в ряде руководств по
геометрии. Эти руководства до нас не дошли, немногие из них нам
известны по именам их авторов. В Академии Платона было
в ходу руководство по геометрии Федия из Магнезии.
После Платона и Аристотеля, в конце IV столетия до н.э.,
центр эллинской культуры переносится из Афин в
Александрию— город, незадолго до того основанный Александром
Македонским. Здесь возникла школа неоплатоников, в которой,
по традициям Платона, широко культивировалась геометрия.
Руководство по геометрии Федия в начале III столетия
до н. э. здесь было заменено сочинением, составленным
членом этой школы, Евклидом. Это было обширное сочинение
в 13 книгах, построенное по общей логической схеме
Аристотеля. На русском языке в установившейся номенклатуре оно
известно под названием «Начал» Евклида. Это название не
вполне правильно передает греческое заглавие «2то1%еГа»—
слово, которое прежде всего означало «буквы алфавита», а в
качестве заголовка сочинения Евклида выражало нечто
большее, чем «начала» геометрии: это — основной материал, из
которого строится вся математика, подобно тому как слова в
письме складываются из букв. «Начала» Евклида — весьма
замечательное сочинение, по. существу компилятивное, в
составление которого, однако, вложено очень много глубокой
самостоятельной мысли. Евклид изложил в своем сочинении
весь основной массив греческой геометрии. Кроме того, три
книги (VII—IX) содержат более или менее связанный с
геометрией материал из области учения о числе, одна (X)
посвящена общей теории иррациональных величин.
«Начала» пдражают силой логической концепции. Это —
та непрерывная цепь, на первый взгляд, безупречных умо-

246
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
заключений, о которой, выражая общее признание, говорит
Гельмгольц в приведенной выше цитате. «Начала» Евклида
оставили далеко позади и вытеснили все руководства по
геометрии, составленные до них. «Начала» дошли до эпохи
Возрождения в различных греческих списках, не вполне
тождественных, и в арабских переводах, еще более отличавшихся
один от другого. С арабского был в XIII столетии сделан
первый латинский перевод «Начал». В конце XV столетия он
появляется в печати — это было первое серьезное печатное
сочинение по математике. С середины XVI столетия, в связи
с развитием книгопечатания, с одной стороны, и с ростом
образования и научных исследований — с другой, появляются
новые печатные издания «Начал», число которых очень
быстро возрастает. Они «выходят сначала на греческом языке и в
латинском переводе, а затем на национальных языках
читателей и учащихся ].
Несмотря на далеко не легкое изложение, «Начала»
безраздельно овладевают школой и до конца XVIII столетия
остаются, можно сказать, единственным источником основ
геометрического познания 2. Установленный в «Началах»
геометрический материал получил всеобщее признание.
Знаменитый итальянский математик Кардано (XVI столетие) в
следующих словах выражает свое восхищение «Началами»
Евклида: «Неоспоримая сила их догматов и их совершенство
настолько абсолютны, что никакое другое сочинение по
справедливости нельзя с ними сравнивать. Вследствие этого в них
отражается такой свет истины, что, по-видимому, только тот
способен отличать в сложных вопросах геометрии истинное от
ложного, кто усвоил «Евклида». Через триста лет, в середине
XIX столетия, английский геометр Де Морган писал:
«Никогда не было системы геометрии, которая в существенных чер-
1 На русском языке выпущено пять изданий «Начал». Из них первые
три появились еще в XVIII столетии в переводах, сделанных с
латинского текста. Первое русское издание было выпущено в 1739 г.; перевод был
сделан хирургом И. Татаровым. В 1819 г. появился прекрасный перевод
Ф. Петрушевского, сделанный уже с греческого оригинала. Это издание
отнюдь не уступает западным переводам. Наконец в 1880 г. профессор
Киевского университета Н. Е. Ващенко-Захарченко опубликовал новый
перевод «Начал». [В 1948—1950 гг. Гостехиздат выпустил новое издание
«Начал» в трех томах, подготовленное проф. Д. Д. Мордухай-Болтовским.
(Ред.)].
2 Учебной литературе по геометрии начиная со второй половины
XVIII столетия посвящена специальная статья в этой книге (стр. 331).
(Ред.).

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
247
чах отличалась бы от плана Евклида, и до тех пор, пока я
этого не увижу собственными глазами, я не поверю, что
такая система может существовать». Так веками
поддерживалась вера в непререкаемые достоинства Евклида по
существу содержания, по общей системе построения «Начал».
Геометрия Евклида признавалась самым незыблемым
творением научной мысли, и общее впечатление, которое выносил
каждый, кто был в состоянии усвоить «Начала», это
подтверждало.
При всем том математики, которые глубже вникали в
содержание «Начал», подвергали тщательному анализу каждое
отдельное предложение, оценивая его не только с точки
зрения его содержания, но и с точки зрения выдержанности
логической концепции, были склонны к критике.
Конкурировать с Евклидом, написать новые начала геометрии в течение
многих веков не решался никто, но в критике общей
постановки и отдельных его рассуждений не было недостатка.
Издатели «Начал» обыкновенно сопровождали их
многочисленными примечаниями, одни из которых имели целью лучше
пояснить мысль Евклида, другие предлагали более простые
доказательства, а часто выявляли слабые стороны сочинения,
его недостатки,— Евклида комментировали. Комментаторы в
своих изданиях присоединяли к тексту «схолии» —
замечания, которые то помещались на полях манускрипта, то
включались в текст сочинения. Эти схолии обычно переходили из
одного издания в другое; их накопилось очень много:
современный издатель «Начал» Гейберг приводит свыше 1500
зарегистрированных схолий.
В чем же заключались слабые стороны «Начал», которые
выдвигали комментаторы? Одни указывали недостаточность
рассуждения Евклида в том или другом случае; эти указания
часто были справедливы, но дефекты легко выправлялись.
Другие указывали, что доказательства Евклида часто не
представляют собой строго логического вывода, как этого
требовали Платон и Аристотель. Внимательный анализ
обнаруживал, что в «Началах» умозаключение часто подменяется
интуицией, указаниями наглядных представлений,
соображениями, основанными на очевидности, т. е. на ощущениях
глаза. Всякий, кто учился геометрии, конечно, припомнит, как
часто ему помогал чертеж — помогал своей наглядностью,
а не логически установленными признаками. Такого рода
соображения, основанные на наглядной очевидности, в рассуж-

248 "I- ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
дениях Евклида настолько обильны, что «цепь логических
выводов» нарушается на каждом шагу. «Начала» должны
быть признаны пестрой смесью логики и интуиции. Это не
вызывало никакого недоверия к справедливости результатов,
потому что рассуждения, основанные на наглядности, здесь
особенно убедительны и не вызывают сомнений. Но читателя,
требовавшего совершенно строгого логического вывода, они
не удовлетворяли. Где же все-таки коренится источник этой
логической невыдержанности? Без сомнения, он коренится в
слабости той исходной базы, на которой покоится всё
построение «Начал».
Следуя схеме Аристотеля, Евклид начинает свое сочинение
с определения тех понятий (тех объектов), которыми геохмет-
рия оперирует (точка, линия, прямая, поверхность, плоскость
и т. д.), и с аксиом, составляющих исходные ее положения.
Всякий учившийся геометрии знает аксиомы Евклида. Одни
из них относятся к любым величинам, нацример: «две
величины, порознь равные третьей, равны между собой»; «если
к равным придать равные или от равных отнять равные, то
получим равные». Другие аксиомы носят чисто
геометрический характер: «через всякие две точки проходит прямая
(и притом только одна)»; «конечную прямую
(прямолинейный отрезок) можно неограниченно продолжить в обе
стороны». Аксиомы второго рода Евклид называет постулатами.
Мы не можем здесь разбирать причины этого различения,
как не можем приводить весь список аксиом и постулатов
Евклида и входить в обстоятельный их разбор. Существенно
то, что именно на критике исходных определений, аксиом и
постулатов Евклида было главным образом сосредоточено
внимание комментаторов. Благодаря их анализу стало ясно,
что этот фундамент слаб, что крепкое здание геометрии
поддерживается еще другими основаниями, не получившими
выражения в определениях и аксиоматике Евклида.
Достаточно привести первые два-три определения
Евклида, чтобы это стало совершенно ясным.
«Определение 1. Точка есть то, что не имеет
частей (дословно по Евклиду: точка есть то, часть чего
есть ничто).
Определение 2. Линия есть длина без ширины
(что же есть длина? Можно ли говорить о длине, не
установив предварительно, что такое линия?).
Определение 3. Концы линии суть точки».

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
249
А У комментаторов Евклида прежде всего возникает
стремление эти дефекты исправить, укрепить опорные камни, на
которых покоится геометрия, добавить новые. Комментаторы
строго критиковали исходные определения Евклида, но очень
редко заменяли их более удачными, более надежными. Они не
без основания исключали одни аксиомы, иногда не без
основания включали другие; но ничего сколько-нибудь
существенного они в систему Евклида не внесли. Комментаторы
Евклида выявили, что его «Начала» еще очень далеки от той
совершенной дедукции, которую им приписывали, которой
требовал Платон; в этом была главная заслуга комментаторов.
Вера в совершенство «Начал» была поколеблена.
«Евклидовы начала,— говорит Лобачевский в
первом своем мемуаре по геометрии,— несмотря на
глубокую древность их, несмотря на все блистательные
успехи наши в математике, сохранили до сих пор
первобытные свои недостатки. В самом деле, кто не
согласится, что никакая математическая наука не
должна бы начинаться с таких темных понятий, с
каких, повторяя Евклида, начинаем мы геометрию».
И далее:
«Первые понятия, с которых начинается
какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому
меньшему числу. Тогда только они могут служить
прочным и достаточным основанием учения. Такие
понятия приобретаются чувствами; врожденным — не
должно верить».
Однако к этому твердому убеждению Лобачевского
привели не обычные соображения эмпиристов. Он пришел к нему
путем, связанным с теми глубокими идеями, которые
составили предмет его собственного гениального творчества.
III
Один из постулатов Евклида, занимающий в его перечне
последнее (пятое) место, привлекал исключительное
внимание комментаторов — это так называемый постулат о
параллельных линиях. Он также хорошо известен всякому, кто
учился хотя бы началам геометрии. Евклид, руководясь
предложением, в котором этот постулат получает первое
применение, дает ему несколько тяжеловесное выражение. В наших

250
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
учебниках этот постулат обыкновенно приводят в
эквивалентной, но более простой форме: через точку С, лежащую вне
данной прямой АВ, проходит только одна параллельная ей
прямая (т. е. прямая, лежащая в одной плоскости с данной
прямой и не пересекающая ее). Следующие соображения
выясняют, в каком контексте этот постулат появляется.
Из точки С (рис. 1) опустим на прямую АВ
перпендикуляр CD, а затем в плоскости, содержащей прямую АВ и
точку С, проводим к прямой CD перпендикуляр СЕ; последний
не встречает прямой АВ, ибо из точки их встречи, если бы
таковая существовала, выходили
С £"_ бы два перпендикуляра к одной
I ~"\^ прямой CD; но это, как дока-
^ ^ зано значительно раньше, не
^ р £ может иметь места. В
соответствии с обычными определения-
Рис* ! ми, пришедшими к нам от
Евклида, можно сказать, что
через точку С проходит прямая СЕ, параллельная АВ.
Возникает, однако, вопрос, нельзя ли в той же плоскости ABC
через точку С провести кроме СЕ еще какую-либо другую
прямую, также не встречающую прямой АВ, также
параллельную ей? Созерцание — глаз — дает на это явно
отрицательный ответ. Следуя указанию глаза, это первоначально,
по-видимому, безоговорочно принималось; но затем, по мере
того как в ходе развития геометрии крепла тенденция к
логическому обоснованию ее предложений, к сведению исходных
положений к возможному минимуму, естественно возникло
стремление доказать это утверждение, т. е. вывести его из
установленных уже ранее предложений. Это было тем
естественнее, что предложение, о котором идет речь, появляется у
Евклида довольно поздно, в продвинутых уже началах
геометрии. А между тем по своему содержанию оно как будто
не принадлежит к числу тех элементарных фактов, которые с
таким легким сердцем включались в первые аксиомы и
постулаты. Не может подлежать сомнению, что попытками
доказать это предложение занимались еще до Евклида. Так как
эти попытки успеха не имели, то Евклид решил от них
отказаться и включил это положение в число постулатов, т. е.
принял его как допущение без доказательства. Однако те,
которые штудировали «Начала», переиздавали и
комментировали Евклида, с этим очень часто не соглашались, считали

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ 251
недопустимым помириться, вновь выражаясь словами
Лобачевского, «с таким важным пробелом в теории параллельных
линий». В связи с этим очень рано возродились попытки
доказать постулат о параллельных линиях, т. е. логически
вывести его из остальных предшествующих ему аксиом и
постулатов. Такое стремление стимулировалось
особенностями этого постулата. Многие находили, что содержащееся в
нем утверждение — далеко не та элементарная истина, какие
мы привыкли называть аксиомами. Но гораздо важнее то
обстоятельство, что надобность в этом постулате, как уже
сказано выше, появляется в «Началах» довольно поздно, в
29-м предложении. Между тем, все другие аксиомы и
постулаты находили себе применение в первых же предложениях.
К тому же в «Началах» кроме первых 28 теорем есть еще
очень много других предложений, которые могут быть
доказаны без помощи постулата о параллельных линиях.
Геометрический материал, таким образом, разбивается на две части.
Значительная часть этого материала совершенно не зависит
от постулата о параллельных, линиях, т. е. может быть
построена без его помощи; сюда относятся учение об углах
(смежных и вертикальных), условия равенства треугольников,
теорема о внешнем угле треугольника (в той ее
формулировке, что внешний угол больше каждого из внутренних с ним
не смежных углов), соотношения между сторонами и углами
треугольника, свойства перпендикуляра и наклонных к
данной прямой, выходящих ,из общей точки, учение о хордах и
касательных круга, о пересечении и касании окружностей;
сюда относится и ряд предложений стереометрии. Весь этот
материал теперь обычно называют абсолютной геометрией.
Остальная часть геометрии доказывается при помощи
V постулата и притом так тесно с ним связана, что ни одно
из предложений, входящих в эту часть, не может быть
доказано без его помощи. Подобно тому как постулат о
параллельных линиях принято преимущественно называть
постулатом Евклида, эту вторую часть геометрии называют в
настоящее время собственно евклидовой геометрией. В ее
состав входят теорема о том, что сумма углов треугольника
равна 2d, учение о пропорциональных линиях, о подобии
треугольников и многоугольников, теорема Пифагора и ее
следствия, теория площадей и объемов. Эта своеобразная
роль, которую играет V постулат Евклида, и была причиной
того, что стремление «доказать постулат» охватило широкие

252 HI. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
круги математиков. Трудно себе представить, сколько сил на
это было затрачено. Правда, доказательством постулата
Евклида занимались и даже по сей день занимаются многие,
не имеющие не только следа геометрического дарования, но
даже серьезных знаний. Но вместе с тем в течение двух тысяч
лет — от Птолемея до Лежандра — вряд ли можно указать
выдающегося геометра, который не испытал бы своих сил на
этой неблагодарной задаче, не попытался бы завоевать эту
неприступную крепость. Эта задача часто совершенно
овладевала математиком, отвлекала от остальных вопросов
математики, нередко доводила до потери рассудка. Многим
казалось, что они уже достигли цели; некоторые из
предложенных доказательств действительно отличались исключительным
остроумием. Но тщательный анализ неизменно обнаруживал
ошибку, иногда глубоко скрытую. Чаще всего дефект
заключался в том, что автор заменял постулат другим допущением,
явно или неявно опирался на положение, эквивалентное
доказываемому постулату. Так, комментатор «Начал» Прокл
(VI столетие н. э.) доказывает постулат, принимая, что
расстояние между двумя параллельными . линиями всегда
ограничено; между тем это допущение совершенно
эквивалентно постулату о параллельных линиях. Известный
математик XVII столетия Валлис допускает, что, какой бы ни был
задан треугольник, можно в любом масштабе построить
треугольник, ему подобный; между тем достаточно допустить
существование каких-либо двух подобных треугольников,
чтобы отсюда вывести постулат о параллельных линиях, а
вместе с тем и всю евклидову геометрию. Уже в 1763 г.
Клюгель опубликовал в ГетТингене разбор наиболее
значительных доказательств постулата, появившихся до того
времени в печати, и показал, что ни одно из них не выдерживает
критики. Но поток доказательств этим отнюдь не был
остановлен.
К доказательству постулата подходили с различных
сторон и различными путями. Один из этих путей шел через
связь между постулатом о параллельных линиях и суммой
углов треугольника. Теорема о том, что сумма внутренних
углов треугольника равна 2d, как уже отмечено выше,
принадлежит собственно евклидовой геометрии, т. е. всегда
доказывается средствами, которые так или иначе опираются на
постулат о параллельных линиях. Уже в XIII столетии
азербайджанский математик Насир-Эддин ат-Туси показал, что

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
253
постулат о параллельных линиях можно было бы строго
доказать, если бы было возможно к этому прийти обратным
путем, именно, если бы удалось средствами абсолютной
геометрии, т. е. не пользуясь постулатом о параллельных линиях,
установить, что сумма внутренних углов треугольника
равна 2d, то, опираясь на это предложение, можно было бы
безукоризненно доказать постулат. Этим путем, в несколько
различных его разновидностях, независимо друг от друга,
шли три геометра: в первой половине XVIII столетия иезуит
Саккери в Италии, во второй половине того же столетия
философ и математик Ламберт в Германии, в начале XIX
столетия знаменитый французский геометр Лежандр. Все три
ставили своей задачей доказать, не опираясь на постулат о
параллельных линиях, теорему о сумме углов треугольника.
A priori здесь ведь возможны только три предположения —
три гипотезы: либо сумма углов треугольника равна 2d, либо
она больше 2d, либо она меньше 2d. Эти три предположения
совершенно исключают друг доуга, потому что каждое из них,
сделанное для какого-либо одного треугольника, как
оказывается, неизбежно распространяется на все другие
треугольники. Это значит, если допустить, скажем, что в одном
треугольнике сумма углов меньше 2d, то можно строго доказать,
что она меньше 2d и во всяком другом треугольнике. Таким
образом, чтобы обнаружить, что сумма углов треугольника
равна 2d, нужно устранить две другие гипотезы. И вот
устранить вторую из них, т. е. показать, что сумма углов в
треугольнике не может превысить 2d, всем трем
названным-геометрам удалось без труда. Но доказать, не опираясь на
постулат о параллельных линиях, что сумма углов треугольника не
может быть меньше 2d, ни одному из них не удалось. И
Саккери, и Лежандр допустили здесь ошибки, и только
Ламберт не впал в заблуждение: указывая трудности, которые
связаны с третьей гипотезой, он признал их для себя
непреодолимыми.
.«Доказательства евклидова постулата,— говорит
он,— могут быть доведены столь далеко, что остается,
по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном
анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и
заключается вся суть вопроса; обыкновенно она
содержит либо доказываемое предложение, либо
равносильный ему постулат».

254
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
IV
Метод, которым пользовались почти все авторы,
пытавшиеся освободить геометрию от постулата о параллельных
линиях, заключался в доказательстве от противного: исходили из
допущения, противоположного постулату, с целью прийти к
противоречию с установленными уже предложениями и тем
доказать постулат. Так, все три упомянутых выше автора,
пытавшиеся доказать средствами абсолютной геометрии, что
сумма углов в треугольнике равна 2d, исходили из
допущения, что она меньше 2d. Из этого допущения, как обычно при
доказательствах от противного, делались выводы, которые
должны были привести к противоречию с абсолютной
геометрией. Но, в то время как такого рода доказательства обычно
очень быстро приводят к противоречию, допущение, из
которого исходили Саккери и Ламберт, — что сумма углов в
треугольнике меньше 2d,— к такому противоречию не вело.
Саккери выводит из сделанного допущения около 40 теорем,
из которых две приводят к кажущемуся противоречию с
предыдущими предложениями; но при тщательном анализе
оказывается, что и здесь противоречия нет. Ламберт также ведет
такие выводы довольно далеко, но, как уже сказано, к
логическому противоречию не приходит. Наоборот, Ламберта
поражает стройность выводов, к которым он приходит.
«В этом,— замечает он,— есть нечто восхитительное,
что вызывает даже желание, чтобы третья гипотеза
(т.* е. допущение, что сумма углов прямолинейного
треугольника меньше 2d) была справедлива».
Эти выводы в действительности представляли собой
первые, несознательные шаги в область так называемой
неевклидовой геометрии, шаги еще неуверенные, недалеко идущие;
а главное — все эти геометры совершенно не сознавали того,
что третья гипотеза действительно может быть принята.
Авторы были беспомощны перед полученными ими результатами.
Эти результаты не приводят к логическому противоречию
с установленными ранее предложениями, но они приводят
к разительному противоречию с нашими представлениями, с
тем, что доступно глазу. Так, и Саккери, и Ламберт уже
хорошо знали, что при третьей гипотезе расстояние между
двумя перпендикулярами, проведенными в плоскости к одной
и той же прямой, не только не может оставаться постоянным1

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
255
на всем их протяжении, но должно неограниченно возрастать
по мере удаления от общего перпендикуляра. Таких примеров
у них уже было немало.
Где источник этого расхождения, где причина того, что все
усилия доказать V постулат Евклида не привели к цели?
В начале XIX столетия, главным образом после неудачи
исканий Лежандра, одного из самых выдающихся геометров того
времени, этот вопрос стал очень остро. С одной стороны,
люди, затратившие много сил и времени на бесплодные
попытки доказать постулат, впадали в отчаяние и в
суеверный агностицизм. Это ярко выражено в письме венгерского
профессора Фаркаша Бойаи, которое он написал своему
сыну Яношу, когда узнал, что тот увлечен задачей о
параллельных линиях К Но ему все-таки не удалось убедить своего
сына отказаться от попыток доказать постулат о
параллельных линиях. Янош принадлежал к числу немногих людей
тонкой математической мысли, которые приходили к
заключению, что постулат о параллельных линиях вовсе нельзя
доказать, что отрицание его йе ведет к противоречию, а
напротив того, в своем развитии приводит к своеобразной
геометрической системе, отличной от геометрии Евклида.
Новое учение, получившее название неевклидовой
геометрии, впервые было опубликовано Н. И. Лобачевским в 1829 г.,
а еще тремя годами ранее, 23 февраля 1826 г. (по старому
стилю — П/П), доложено им физико-математическому
отделению Казанского университета. Позднее, из опубликованной
переписки Гаусса с друзьями выяснилось, что Гаусс уже
владел основами неевклидовой геометрии и разработал их,
как он выражается, «для самого себя». Но оставшиеся в его
литературном наследии наброски свидетельствуют о том, что
это были только первые, элементарные шаги, которые не идут
ни в какое сравнение с творениями Лобачевского. Это хорошо
сознавал и сам Гаусс. Он познакомился с работой
Лобачевского по небольшой брошюре, опубликованной на немецком
языке, и заинтересовался ею настолько, что изучил русский
язык, чтобы познакомиться со всеми работами Лобачевского.
В очень ярких выражениях он отзывался о них в письмах к
своим друзьям. Но с прозорливостью ученого Гаусс соединял
чрезвычайную осторожность практического человека. Он
отдавал себе ясный отчет в том, что эти идеи, несущие глубокий
Текст письма см. на стр. 38 этой книги. (Ред.).

256
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
переворот в наиболее установившихся воззрениях, вызовут
бурю негодования, которая обрушится на их провозвестников.
Гаусс принял поэтому твердое решение не опубликовывать
свои взгляды на основания геометрии и обязывал тех
немногих людей, с которыми он этими воззрениями делился,
хранить их в безусловной тайне. Своему решению он оставался
верен до конца жизни и этим доводил до отчаяния тех, кто
в этих вопросах нуждался в его поддержке. Так, молодой
математик Тауринус опубликовал две работы о параллельных
линиях, в которых можно было видеть проблески тех же идей.
В предисловии к последней своей брошюре Тауринус
высказал мысль, что математикам следовало бы просить Гаусса
опубликовать свои взгляды на основания геометрии. Гаусс
прекратил с ним какие бы то ни было сношения. Тауринус
дошел до глубокого отчаяния и сжег свою рукопись.
Через три года после Лобачевского Янош Бойаи, молодой
венгерский ученый, о котором мы выше уже упоминали,
опубликовал небольшое, но замечательное сочинение, в котором
также были заложены первые начала неевклидовой
геометрии, очень тщательно разработанные. Он послал свою
брошюру Гауссу, который в письмах к друзьям также дал о ней
благоприятный отзыв. Но поддержки автору Гаусс и в этом
случае не оказал, и талантливый ученый также окончил свою
жизнь в состоянии, близком к умопомешательству. Янош
считал, что Гаусс хочет похитить у него приоритет.
Приоритет, однако, Яношу не принадлежал, потому что за три года
до него новое учение было опубликовано Н. И. Лобачевским
в гораздо более развернутом и углубленном виде;
Н. И. Лобачевский не убоялся нареканий, которые
вызовут его идеи, и смело их опубликовал. Не только не встретив
признания, но жестоко осмеянный, он всё же не сжег своих
произведений и не впал в отчаяние. Развертывая свои
исследования, Лобачевский в ряде мемуаров расширил и углубил
полученные им ранее результаты и развил их настолько, что
в фактическом материале созданной им геометрии немного
что оставалось добавить.
V
Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря (по
старому стилю — 20 ноября) 1792 г. в Нижнем Новгороде. Об
его отце мы располагаем очень скудными сведениями: он был

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
257
мелким чиновником, по-видимому, уездным землемером;
семья с трудом перебивалась. «Бедность и лишения окружали
колыбель Николая Ивановича»,— рассказывает первый
биограф Лобачевского Э. П. Янишевский К Семья по линии
матери состояла в родстве (или свойстве) с неким капитаном
С. С. Шебаршиным, оказывавшим ей поддержку; Шебаршин
даже называл детей Лобачевских своими воспитанниками, но
в 1797 г. он скончался, и жизнь семьи стала еще тягостнее.
По-видимому, вскоре после этого мать Лобачевского, Праско-
зья Ивановна Лобачевская, переехала в Казань, вероятно,
цля того, чтобы дать своим детям, Александру, Николаю и
Алексею, образование. Это тем^ более вероятно, что в 1798 г.
была восстановлена Казанская гимназия, открытая еще в
1759 г., но в 1788 г. прекратившая было свое существование.
Прасковье Ивановне удалось определить в гимназию всех
трех своих сыновей; Николай был зачислен в 1802 г. В 1805 г.
фактически при гимназии был открыт Казанский университет.
Директор гимназии И. Ф. Яковкин был назначен профессором
и инспектором университета; ,один из преподавателей
гимназии, П. Ф. Цеплин, тоже был назначен профессором, четыре
других — адъюнктами (доцентами) университета. Среди
последних был Г. И. Карташевский, образованный математик,
прекрасный педагог и очень отзывчивый человек.
Карташевский, несомненно, имел большое влияние на Лобачевского,
когда тот еще учился в гимназии. Лобачевский поступил в
университет с такой подготовкой по математике, которая и
в наше время была бы признана очень хорошей; она дала ему
возможность очень быстро приобрести углубленное
образование в области точных наук.
Приступая к своей деятельности, совет университета
обратился к родителям старших воспитанников гимназии с
предложением определить своих детей после окончания гимназии
в университет на казенное содержание, что обязывало их
после окончания университета провести шесть лет на
педагогической службе. П. И. Лобачевская с благодарностью
приняла это предложение для своих сыновей. Николай был
зачислен студентом университета в феврале 1807 г. С этого
времени и до конца дней его жизнь была тесно связана с
Казанским университетом.
1 Э. П. Янишевский. Историческая записка о жизни и
деятельности Н. И. Лобачевского. Казань, 1868.

258
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Попечителем Казанского учебного округа, в полном
подчинении которому фактически находился университет, в то
время состоял С. Я. Румовский, человек просвещенный,
известный астроном, очень благожелательно относившийся к
университету. Этот ответственный пост он занял, когда ему
уже шел восьмой десяток; самостоятельностью в своей
административной деятельности он отнюдь не отличался; живя сам
в Петербурге, он всецело доверял Яковкину, карьеристу и
самодуру, третировавшему преподавателей, особенно тех,
которые в чем-либо стояли к нему в оппозиции. Разумеется, что
при первоначальном составе преподавателей организовать
факультеты, поставить в них преподавание и вообще
организовать жизнь университета в соответствии с его уставом было
невозможно. Этого нельзя было сделать и в следующем году,
когда число преподавателей достигло четырнадцати. Не
располагая научными силами, самовластно управляемый
инспектором. Яковкиным вопреки уставу, университет влачил жалкое
существование. Чтобы его оживить, нужно было прежде всего
организовать компетентный состав преподавателей; это
хорошо понимали и в управлении округа, и в министерстве. По
условиям того времени выход заключался только в том, чтобы
пригласить профессоров из-за границы. Это и было сделано
в ближайшие годы. Далеко не все приглашенные лица
оказались при этом на высоте положения — далеко не все они
в трудных условиях своей работы в Казани отдали молодому
университету то внимание и те силы, на которые он был
вправе претендовать. Но не подлежит сомнению, что в состав
физико-математического факультета были приглашены
вполне достойные люди. Может быть, это произошло благодаря
тому, что именно эти ученые были Румовскому как астроному
лучше известны. Это были: М. Ф. Бартельс (по кафедре
чистой математики), Ф. К. Броннер (по физике), И. А. Лит-
тров (по астрономии) и К. Ф. Реннер (по прикладной
математике) . «Преподавание физико-математических наук,—
писал известный лейпцигский профессор Энгель,— было в то
время поставлено в Казани не хуже, чем в любом
германском университете».
Как уже указано выше, еще в гимназии юный
Лобачевский благодаря преподаванию Карташевского серьезно
заинтересовался математикой. Но, когда он поступил в
университет, Карташевский по проискам Яковкина был уже уволен
и должен был даже оставить Казань. Новых же иностранных

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
259
профессоров на физико-математическом факультете еще не
было; учиться математике было не у кого. Следуя,
по-видимому, желанию матери, Лобачевский начал заниматься
медициной. Но уже в январе 1808 г. приехал Бартельс, а в
сентябре прибыл и Реннер. Бартельс был высокообразованный
математик и выдающийся педагог. В Казанском университете
его превозносили еще задолго до его прибытия; еще в 1806 г.
он был избран почетным членом университета. Его встретили
радушно и почтительно; студенты, интересовавшиеся
математикой, поступили под его руководство; Н. И. Лобачевский
оставил медицину и целиком отдался занятиям математикой.
Учитель и ученик подошли друг к другу. Бартельс занимался
с Лобачевским на дому, проработал с ним большую и
трудную классическую литературу. Лобачевский работал с
огромным энтузиазмом. Нужно поражаться тому огромному
материалу, которым он овладел в первые два-три года. Не
подлежит сомнению, что глубиной и разносторонностью
математического образования, точностью математической мысли
Лобачевский был б большой мере обязан Бартельсу.
Литтров и Броннер также оказали на образование
Лобачевского большое влияние. Кроме математики он настолько
овладел также физикой и астрономией, что вскоре после
окончания университета был в состоянии преподавать эти
науки; позже в различное время он даже занимал, кафедры
физики и астрономии.
«Если полного одобрения заслуживали
математические успехи Лобачевского,— рассказывает Н. П.
Загоскин в своей обширной «Истории Казанского
университета»,— то в совершенно ином виде представлялось в
глазах университетского начальства его поведение,
доставлявшее немало забот и огорчений чинам
инспекции; донесения инспекции и записи инспекторских
журналов характеризуют Лобачевского юношей
«упрямым», «нераскаянным», «весьма много о себе
мечтательным», «проявляющим даже признаки безбожия» К
За эти проступки Лобачевский неоднократно подвергался
различным взысканиям, аресту в карцере, занесению на
черную доску, публичному выговору, запрещению отпусков. Это
1 Н. П. Загоскин. История Казанского университета, т. I.
Казань, 1910, стр. 303.

2$) HI. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
было время, когда в передовой русской молодежи получили
широкое распространение настроения, представлявшие еще
отзвук французской революции и связанных с нею
прогрессивных течений в Европе. А в противовес им поднималась
волна реакции, характеризующая вторую половину
царствования императора Александра I. Университеты считались
очагами противоправительственных настроений; за
студентами был установлен строгий надзор, а «высочайшим
повелением» от 8 мал 1811 г. (по старому стилю) университетскому
начальству предписывалось студентов, уличенных в важных
преступлениях, исключать из университета и сдавать в
солдаты» Помощник инспектора П. С. Кондырев, угодливый
карьерист, писал даже в своем донесении, что Николай Ло:
бачевский обнаружил явные признаки безбожия. Это обвине1
ние в то время имело очень угрожающий характер. Против
Лобачевского было возбуждено дело, восходившее к
попечителю и грозившее применением высочайшего повеления;
И нужно сказать, что были члены совета, поддерживавшие
это преследование. Лишь энергичная поддержка Бартельса,
Броннера и нескольких других профессоров спасла
Лобачевского от грозившей ему участи.
Когда это дело затихло, Лобачевский был произведен
в магистры. Магистрами в то время назывались молодые
люди, которые оставлялись при университете для
подготовления к профессорскому званию (как в настоящее время аспи-1
ранты). Вместе с Лобачевским в магистры был произведен
И. М. Симонов; он не достиг потом, конечно, славы
Лобачевского, но занял видное место в истории русской астрономии.
Оба молодых человека были поручены ближайшему
руководству Бартельса. Вот что сообщал этот руководитель совету
университета в середине 1812 г.:
«Как Вам, высокопочтимые и славные мужи,
известно, я в начале настоящего учебного года принял
на себя обязанность руководить углубленным
образованием гг. магистров Лобачевского и Симонова и
представить Вам отчет об их занятиях. Я с тем большей
охотой представляю этот отчет, что счастлив успехом
своей работы. В моих приватных занятиях с ними я
разъяснял им большую часть первого и значительную
часть второго тома замечательного сочинения, автором
которого является преславный Лаплас; наши магистры

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
261
не только занимались этим с замечательным
прилежанием, но, где возможно, старались самостоятельно
продвинуться в вопросе. Их разработки вопросов
небесной механики прилагаю к настоящему отчету и пола*
гаю, что они подтвердят сказанное выше».
К сожалению, это приложение к отчету не сохранилось.
В 1814 г. Лобачевский был произведен в адъюнкты (по
современной терминологии—доценты) университета.
Хотя число преподавателей значительно возросло,
университет всё еще, строго говоря, не был высшим учебным
заведением; его жизнь совершенно не соответствовала уставу.
В 1814 г. произошло «полное открытие университета»,
перешедшего на устав, который предусматривала «утвердительная
грамота» 1804 г. Советом были выбраны ректор и основные
органы управления университетом. Началась более широкая,
сравнительно свободная жизнь университета. На короткое,
правда, время он принял нормальный облик высшего учебного
заведения. Преподавательская деятельность значительно
возросла; Н. И. Лобачевский принял в ней участие. Ему было
только 22 года; задачи преподавания в то время поглотили
все его внимание. Через два года он был избран профессором,
Однако сравнительно спокойная жизнь Казанского
университета продолжалась недолго. Общая реакция в стране*
окрепшая после заключения так называемого «Священного
союза», усиливалась с каждым днем и, как это всегда
бывает, в делах просвещения действовала с особенной силой.
Во главе министерства «духовных дел и просвещения» теперь
стоял крайний реакционер князь А. Н. Голицын.
Правой рукой Голицына был М. Л. Магницкий, бывший
прежде приверженцем и сотрудником Сперанского, рейега.т
и предатель, разнузданная реакционная деятельность
которого не знала удержу 1; в 1819 г. ему было поручено произвести
ревизию университета. Составленный им отчет представлял
собой отвратительную смесь извращенных фактов,
инсинуаций и клеветы и заканчивался предложением подвергнуть
Казанский университет «публичному уничтожению». Это
предложение не было одобрено, но Магницкий был назначен
попечителем Казанского учебного округа и ему было пору-
1 См. П. Н. Б у л и ч. Очерки по истории русской науки и
просвещения. СПб., ч. I, 1902; ч. II, 1905; Н. Феоктистов. Материалы по ис*
тории просвещения в России, I (Магницкий). СПб., 1865.

262
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
чено твердой рукой привести университет в должный порядок
и устройство. Магницкий выполнил это с усердием, которое
ему позже дорого обошлось. Девять профессоров были
уволены, иностранные профессора покинули Россию. Казанский
университет погрузился в атмосферу лицемерия, фарисейства
и мистицизма.
На физико-математическом факультете дела сложились
особенно неблагоприятно. Бартельс и Броннер уехали в
1820 г., Литтров еще раньше, а Реннер умер еще в 1816 г.
Почти вся ответственная работа по преподаванию математики
и физики легла на плечи молодого Лобачевского. Естественно,
что на первых порах она поглотила все его силы. И в этом
была хорошая сторона; увлеченный большой текущей
педагогической работой, Лобачевский имел возможность в большой
мере устраниться от внутренней жизни университета,
требовавшей ханжества и раболепия. Даже Магницкий в своих
отчетах отзывался с похвалой о преподавании Лобачевского.
Это, однако, не помешало обострению их отношений.
VI
Бартельс, который руководил подготовкой Лобачевского,
был человеком широкого математического образования; под его
руководством разностороннее образование приобрел и
Лобачевский, но значительного творчества Бартельс сам не
проявил, не ввел и Лобачевского в тематику современного ему
научного исследования. Лобачевский должен был искать себе
тему сам,'оставленный в полном одиночестве, в очень большом
удалении от европейских центров математической мысли.
Один из курсов, которые Лобачевский читал для
начинающих студентов, носил бы в современной нам терминологии
название «Элементарная геометрия с высшей точки зрения».
Курс имел назначение осветить серьезнее, чем это делается
в школе, основные, руководящие идеи элементарной
геометрии. В основном Лобачевский следовал плану, который был
намечен Даламбером в статье «Элементы геометрии»,
помещенной в знаменитой французской «Энциклопедии» К
Краткое изложение этого курса Лобачевский в 1823 г. представил
к напечатанию под названием «Геометрия». Магницкий его
отклонил вследствие неблагоприятного отзыва академика
Фусса. Препровождая Фуссу рукопись, Магницкий не назвал
1 Об этой статье подробнее см. на стр. 337 наст, книги. (Ред.).

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ 263
автора и изобразил дело так, что книга должна служить
школьным учебником. Для этой цели она действительно не
подходила. Но Фусс обрушивается на автора и за то, что<
он вносит идеи, порожденные французской революцией,—
например, метрические меры, центезимальное деление угла
и т. п.,— за идеи, возникшие в то время, «когда бешенства
нации уничтожить всё прежде бывшее распространялось даже
до календаря и деления круга».
В напечатании рукописи Лобачевскому было отказано.
Она долгое время считалась вовсе утраченной, но в 1898 г.
Н. П. Загоскину удалось открыть ее в архиве канцелярии
попечителя Казанского учебного округа *.
Излагая в своем сочинении руководящие идеи
элементарной геометрии, Лобачевский не мог, конечно, не остановиться
на постулате о параллельных линиях. С этого постулата
начинается VI глава «Геометрии». Приведя его текст,
Лобачевский прибавляет:
«Строгого доказательства сей истины до сих пор не
могли сыскать. Какие были даны, могут назваться
только пояснениями, но не заслуживают быть почтены
в полном смысле математическими доказательствами» 2.
По-видимому, размышления, связанные с этим курсом,
привлекли внимание Лобачевского к теории параллельных
линий. Из приведенной выше цитаты видно, что в 1823 г.
Лобачевский уже отдавал себе ясный отчет в том, что ни
одно из предложенных доказательств постулата о
параллельных линиях не может быть признано удовлетворительным; но
он еще не исключал возможности, что такое доказательство
может быть найдено. Следующие годы были для
Лобачевского временем наиболее напряженного размышления над этим
вопросом и привели его к полному решению проблемы,
составлявшей загадку в течение двух тысяч лет.
23 февраля (по старому стилю— 11/И) 1826 г. Н. И.
Лобачевский сделал на заседании физико-математического
отделения доклад, который представил также написанным на
французском языке под заглавием «Exposition succincte des
principes de geometrie avec une demonstration rigoureuse du*
theoreme des parallelles». («Сжатое изложение принципов:
1 H. И. Лобачевский. Геометрия. Поли. собр. соч., т. II. Гостех-
издат, М.—Л., 1948.
2 Там же, стр. 70.

264
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
геометрии со строгим доказательством теоремы о
параллельных линиях»). Это был, по образному выражению
проф. А. П. Котельникова, день рождения неевклидовой
геометрии. В препроводительной бумаге Лобачевский просил
рассмотреть его работу и в случае одобрения напечатать ее в
намеченных к изданию «Ученых записках университета». Но
одобрения это величайшее произведение математической
мысли у рецензентов не получило; они не представили никакого
отзыва. Только через 8 лет в протоколе заседания
факультета появляется постановление о передаче дела о работе
Лобачевского в архив. Все старания разыскать ее к цели не
привели.
Через три года, в 1829 г., Лобачевский опубликовал в
«Казанском вестнике» — журнале, который издавался
университетскими силами,— статью «О началах геометрии»,
содержащую извлечение из «Exposition succincte» дополненное далеко
идущим развитием этого исследования К За этим последовал
ряд других мемуаров, развивавших эти идеи в различных
направлениях. Мы не будем их перечислять.
Лобачевский, как и многие 'до него, ведет рассуждение
так, как он должен был бы это делать, если бы хотел
доказать постулат от противного. Это значит, что он принимает
зсе остальные постулаты Евклида, а вместе с тем,
следовательно, и всю абсолютную геометрию, и к ним присоединяет
допущение, противоположное постулату; он принимает, что
в плоскости через точку С, лежащую вне прямой А В, можно
провести более одной прямой, каждая из которых не
встречает АВ. Из этого на первый взгляд совершенно нелепого
допущения он делает выводы, и читатель, естественно, ждет,
что они приведут к абсурду, к противоречию с абсолютной
геометрией. Но тонкие выводы, мастерски проводимые,
следуя один за другим, ни к какому логическому противоречию
не приводят, а постепенно образуют законченное
гармоническое целое, которое Лобачевский назвал «воображаемой»,
Гаусс — «неевклидовой» геометрией, а мы теперь называем
геометрией Лобачевского.
Высказанное здесь утверждение, что выводы, вытекающие
из своеобразного допущения Лобачевского, приводят к
гармоническому целому, туманное.по своему содержанию,
читателя, конечно, не удовлетворит. Но тот, кто даст себе труд
1 Н. И. Лобачевский. О началах геометрии. Поли. собр. соч.,
т. I. Гостехиздат, М.—Л., 1945.

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
265
проштудировать начала геометрии Лобачевского, особенно в
современном, более доступном изложении, очень скоро
начинает чувствовать, что строгость выводов и связность
своеобразных результатов подчиняют себе его мысль, постепенно
парализуют его недоверие, поражают силой логической
концепции. Изложение этой геометрии, конечно, не может найти
себе места в этом небольшом очерке. Мы попытаемся,
однако, набросать несколько штрихов, которые в некоторой
перспективе осветят это утверждение К
VII
Возвратимся к рис. 1, которым мы уже пользовались (на
стр. 250), и дополним его (рис. 2). Из точки С опустим на
прямую АВ перпендикуляр CD, а к нему в той же плоскости
через точку С проведем
еще перпендикуляр Е'СЕ
(прямую будем иногда
обозначать тремя
буквами). Допущение
(гипотеза, постулат), которое
Лобачевский вводит в
дополнение к абсолютной
геометрии, заключается в
том, что в той же
плоскости (ABC) через
точки С кроме Е'СЕ
(евклидовой параллели)
проходит по крайней мере еще й
одна прямая G'CG,
также не встречающая
прямой АВ- Отсюда совершенно
мые, как F'CF, проходящие
1 Читателю, который хочет познакомиться с геометрией
Лобачевского по его собственным произведениям, следует начать с небольшого
сочинения, носящего название «Геометрические исследования по теории
параллельных линий» (1840). Оно имело целью дать читателям возможно
более доступное изложение начал неевклидовой геометрии.
«Геометрические исследования» с обстоятельными комментариями автора
настоящего очерка помещены в I томе Полного собрания сочинений Н. !И.
Лобачевского (Гостехиздат, М.—Ш., 1946) (изданы отдельной книжкой в
1945 г.). [«Геометрические исследования» включены также в книги:
Н. И. Лобачевский. Три сочинения по геометрии (Гостехиздат, М.,
1956) иН. И. Лобачевский. Избранные сочинения (М., 1956). (Ред.)].
ясно,
между
D И И,
Рис. 2
что все такие
этими двумя
В
пря
пря

266 HI. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
мым'и Е'СЕ и G'CG, также не встречают прямой АВ,
так как каждая из них располагается относительно АВ
с одной стороны (справа от точки С) над прямой CG,
а с другой стороны (слева от точки С) — над СЕ'.
Допущение приводит, таким образом, к тому, что через
точку С в той же плоскости проходит бесчисленное множество
прямых, не встречающих прямой АВ. Если мы остановимся на
прямых, проходящих внутри прямого угла DCE (и
вертикального с ним), то они, таким образом, разбиваются на прямые
Рис. 3
вида Н'СН, встречающие прямую АВ, и прямые вида FfCF,
ее не встречающие; первые расположены ближе к
перпендикуляру CD, вторые — ближе к СЕ. Ввиду непрерывности
пучка отсюда следует, что должна существовать прямая К'СК,
отделяющая прямые одной категории от прямых другой
категории. Эта прямая должна быть либо последней
встречающей АВ, либо первой, ее не встречающей. Но последней
встречающей прямой быть не может. В самом деле, какова бы ни
была встречающая прямая Н'СН, мы, взяв на прямой АВ
точку #i правее точки Н, получим прямую Н\СН\, лежащую
за Н'СН и всё еще встречающую АВ. Поэтому граничная
прямая К'СК будет прямой, не встречающей АВ. Так как в
углах DCE' и вертикальном с ним, естественно, будет
происходить то же, что и в рассмотренных углах (DCE и
вертикальном с ним), то вся картина представится в таком виде, как
на цветном рис. 3; здесь черным изображены «старые»
прямые, встречающие прямую АВ, красным — «новые» прямые,
не встречающие АВ, зеленым изображены две прямые,
отделяющие прямые, встречающие АВ, от не встречающих АВ.
Эти две прямые Лобачевский называет параллельными А В.

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
267
'Таким образом, термин прямая СК параллельна прямой АВ
имеет у Лобачевского более определенное значение, чем в
геометрии Евклида: он означает, что прямая СК не только не
встречает прямой АВ, но в точке С с той или другой стороны
перпендикуляра CD она отделяет прямые, встречающие
прямую АВ, от не встречающих ее; это — только зеленые прямые;
красные прямые не называются параллельными АВ.
Воображая себе плоскость, в которой осуществляются
допущения Лобачевского, мы будем ее. называть плоскостью
Лобачевского. Мы можем
сказать, что в плоскости
Лобачевского через точку С, лежащую
вне прямой АВ, проходят две
параллельные ей прямые (на
нашем чертеже KfCK и L'CL); они
образуют две пары вертикальных
углов. Прямые, проходящие
внутри вертикальных углов KCL и
/C'CZ/, встречают АВ; по
выражению Лобачевского, они сходятся с АВ; прямые же,
проходящие в углах K'CL и KCL', по выражению Лобачевского,
расходятся с АВ. Если мы имеем две прямые АВ я СИ
(рис. 4), то вторая в каждой своей точке С либо сходится
с АВ, либо параллельна ей, либо расходится с ней.
При этом если прямая в какой-либо своей точке С
сходится с АВ, параллельна ей или расходится с ней, то те же
функции, если можно так выразиться, она выполняет и во
всякой другой своей точке С. Это 'значит, что если она в
точке С расходится'с АВ, то и в другой своей точке С она с
ней расходится; если в точке С она ей параллельна, то и в
точке С она ей параллельна. Последнее означает, что
прямая СН, которая в точке С отделяет прямые, встречающие АВ,
от прямых, ее не встречающих, обладает теми же свойствами
и во всякой другой своей точке. (Заметим, что это
утверждение требует доказательства, которого мы здесь не приводим,
но которое выполняется безукоризненно.) Мы можем, таким
образом, поосто говорить: прямая СН сходится с АВ,
параллельна ей ила расходится с ней, не отмечая при этом, в какой
своей точке она принадлежит к одной, к другой или к третьей
категории. И можно также доказать, что это поведение одной
прямой относительно другой всегда взаимное: если СН
параллельна АВ, то и АВ параллельна СН.

268
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Еще один момент необходимо отметить. Относительно
параллели СК (рис. 3), образующей с перпендикуляром CD
острый угол DCK со стороны DB, говорят, что она
параллельна АВ в сторону АВ, тогда как вторая параллель CL
параллельна ей в сторону ВА. При таком понимании параллелизма
сохраняется основное свойство евклидовых параллелей: две
прямые, параллельные третьей (в одну и ту же сторону),
параллельны между собой (в ту же сторону). В геометрии
Евклида обе параллели к прямой соединяются в одну
прямую, вертикальные углы KCL и K'CL' развертываются
каждый в выпрямленный угол (2d), смежные же с ними углы
K'CL и UCK свертываются, сходят на нет, обращаются в
нуль.
Равные острые углы DCK и DCL, которые параллели с
двух сторон образуют с перпендикуляром CD, Лобачевский
называет углами параллельности в точке С относительно
прямой АВ. Евклидова геометрия выделяется тем, что в ней угол
параллельности всегда есть прямой угол. Если, следовательно,
допустить существование геометрии Лобачевского, т. е.
геометрии, в которой имеют место исходные его постулаты, то
геометрия Евклида составит тот ее предельный случай, когда
угол параллельности имеет постоянное значение — всегда
* равен прямому углу.
Становясь на почву «воображаемой» неевклидовой
геометрии, Лобачевский с безукоризненной строгостью
доказывает, что две параллельные между собой прямые здесь
неограниченно (асимптотически) приближаются одна к другой
в сторону параллелизма, как бы сходятся где-то, в бесконечно
удаленной точке; в противоположную же сторону они друг от
друга неограниченно удаляются (рис. 5). Две же
расходящиеся прямые (рис. 6) всегда имеют общий перпендикуляр EF,
который представляет собой кратчайшее расстояние между
ними — от которого они расходятся, неограниченно удаляясь
одна от другой в обе стороны.
Этот результат, выраставший на первых шагах изучения
неевклидовой геометрии, долго служил для многих
непреодолимым препятствием к усвоению и признанию неевклидовой
геометрии. Но справедливы слова Гаусса: «Мы не можем
смешивать того, что нам кажется неестественным, с
абсолютно невозможным».
Два перпендикуляра к одной и той же прямой всегда
расходятся; отсюда следует, что и всякие две прямые АВ и CD,

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
269
образующие с секущей АС равные соответственные углы ВАЕ
и DCE, также расходятся (рис. 7). В самом деле, если из
середины Я отрезка АС опустим на эти прямые перпендикуля-
с Г
Рис. 5
Рис. 6
ры HF и #G, то из равенства прямоугольных
треугольников AHF и CHG следует, что и углы при вершине Я равны;
прямые HF и HG сливаются в одну; перпендикулярные к ней
прямые АВ и CD расходятся.
Теперь возвратимся к углу
параллельности. В
неевклидовой геометрии — это всегда
острый угол и притом угол
переменный. В самом деле, пусть, как
прежде (рис. 8), CD ±АВ,
СК\\АВ (мы будем, как обычно, '
обозначать слово
«параллельный» знаком ||, придавая ему
теперь смысл,, указанный выше).
KCD есть угол параллельности в точке С
относительно прямой АВ. Возьмем точку С на том же
перпендикуляре CD выше точки С. Если проведем прямую CL под тем же
углом к перпендикуляру, что и СК (/mDC'L=/_DCK), то пря-

270
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
мые СК и CL расходятся, как было сказано выше. Пусть С К!
будет прямая, параллельная АВ (в ту же'сторону АВ). Так
как прямые СК и С'К' параллельны одной и той же прямой
АВ (притом в ту же сторону), то они в ту же сторону
параллельны между собой. Прямая С/С', параллельная СК в ту же
сторону, должна быть ближе к перпендикуляру, чем CL,
т. е. угол параллельности в точке С меньше, чем в точке С
(/_K'C'D</_KCD). Угол параллельности в точке С
относительно прямой АВ, таким образом, зависит от расстояния
точки С от ЛВ, представляет собой функцию этого расстояния.
Если обозначим это расстояние CD через х, то угол
параллельности в точке С есть функция от х. Лобачевский
обозначал ее через П(х) (см. рис. 3 на стр. 266). Предыдущие
соображения обнаруживают, что эта функция убывает с
возрастанием х, возрастает с убыванием х. Так как П(х) есть
острый угол, то отсюда следует, что с убыванием х угол DCK
приближается к прямому углу. Лобачевский показывает, что
он приближается к прямому углу неограниченно; это значит:
сколь бы мал ни был угол а, П(х) отличается от
прямого угла меньше чем на а, когда х становится достаточно
малым.
Сопоставим теперь два обстоятельства: во-первых, то, что
в евклидовой геометрии угол параллельности всегда прямой;
во-вторых, то, что всякий прибор, в том числе, конечно, и
угломерный прибор, имеет предел чувствительности. В эпоху
Лобачевского чувствительность угломерных приборов еле
достигала 1"; это значит, что углы, отличающиеся меньше чем
на 1", не могли быть отличены один от другого. Обозначим
теперь через z расстояние, при котором угол параллельности
отличается от d меньше чем на 1". Если бы мы производили
измерения углов параллельности на расстояниях, меньших г,
то мы бы не отличили их от прямого угла; создавалось бы
впечатление, что в пространстве, в котором мы оперируем,
царит геометрия Евклида. Такое положение должно было бы
наступить неизбежно, если бы мы ограничили круг своих
наблюдений достаточно малой областью. Но какую область
мы должны считать малой? Каково то расстояние, на котором
угол параллельности отличается от прямого меньше чем
на 1"? Теория не дает, не может дать на это никаких
указаний. Не лишено возможности, что при огромных размерах
Вселенной те расстояния, которые мы считаем большими,
даже расстояния Земли от звезд, всё еще меньше этого z.

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
271
«Нельзя не увлекаться,— замечает Лобачевский,—
мнением Лапласа, что видимые нами звезды и
Млечный Путь принадлежат к одному только собранию
небесных светил, подобному тем, которые усматриваем
как слабо мерцающие пятна в созвездиях Ориона,
Андромеды, Козерога и пр. Итак, не говоря о том, что
в воображении пространство может быть продолжаемо
неограниченно, сама природа указывает нам такие
расстояния, в сравнении с которыми исчезают за
малостью даже и расстояния нашей Земли до
неподвижных звезд» 1.
Между тем за истекшие сто с лишним лет обнаружено,
что космические расстояния неизмеримо больше, чем рисовал
себе Лаплас; расстояние между звездами иногда выражается
в сотнях миллионов световых лет. И становится совершенно
естественным думать, что наша вера в незыблемую точность
евклидовой геометрии имеет свой источник в том
обстоятельстве, что все наши измерения и наблюдения производятся в
совершенно ничтожном, исчезающем, по выражению
Лобачевского, уголке вселенной.
Попытку опытной проверки того, имеет ли место, как
выражается Лобачевский, «употребительная или же
воображаемая геометрия», он делал исходя из другого принципа.
Мы знаем уже, что дилемма между евклидовой геометрией и
неевклидовой геометрией Лобачевского эквивалентна тому,
равна ли сумма внутренних углов прямолинейного
треугольника 2d или она меньше 2d. Это Лобачевский и хотел
экспериментально- проверить. С этой целью, опираясь на
параллаксы неподвижных звезд, Лобачевский вычисляет сумму
углов в треугольнике, вершины которого находятся в Солнце^
Земле и неподвижной звезде. Он приходит к следующему
выводу: если взять в качестве неподвижной звезды Сириус»
то эта сумма отличается от 2d меньше чем на 0,000372". В
вычисление Лобачевского здесь вкралась ошибка: эта разницу
получается даже еще в 100 раз меньшей. Само собой
разумеется, что этот результат не может служить основанием для
решения вопроса при учете размеров вселенной. Но
принципиально вера в незыблемость евклидовой геометрии уже была
подорвана, правда, в то время еще у очень немногих матема-
!.Н. И. Лобачевский. О началах геометрии. Поли. собр. соч.»
т. I. 'Гостехиздат, М.—Л., 1946, стр. 209.

272
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
тиков, которые были в состоянии усвоить идеи Лобачевского,
были способны отрешиться от беспросветной косности, всегда
стоявшей на пути смелой научной мысли.
Для выяснения развития, которое Лобачевский дал своей
геометрии, необходимо остановиться еще на двух моментах.
Представим себе окружность и совокупность или, как
говорят обыкновенно, «пучок» прямых, проходящих через ее
центр. Окружность пересекает все прямые этого пучка
ортогонально, т. е. под прямым углом. Можно это представить так,
А
А
А'
А"
В
В'
В"
Рис. 9 Рис. 10
что наблюдатель, двигающийся по 'окружности, всё время
перемещается перпендикулярно к радиусу; его путь
пересекает ортогонально все радиусы. Геометр дает этому такое
выражение: окружность есть ортогональная траектория пучка
прямых, проходящих через одну точку — через центр этой
окружности, через центр пучка. Это происходит одинаково и
в евклидовой плоскости, и в плоскости Лобачевского.
Представим себе теперь, что центр пучка удаляется по одной из
составляющих его прямых; тогда составляющие прямые как
бы приближаются к параллелизму. Если заменим пучок
прямых, пересекающихся в общей точке, пучком параллелей, то
в евклидовой плоскости их ортогональными траекториями
будут служить прямые (рис. 9); расстояние между двумя
параллелями, отсчитываемое по траектории, на всем
протяжении одно и то же. В плоскости Лобачевского дело обстоит
иначе: так как параллели сближаются, то ортогональными
траекториями служат своеобразные кривые (рис. 10), которые

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ 273
Лобачевский называет предельными окружностями или
просто предельными линиями; параллельные линии, для
которых предельная линия является ортогональной траекторией,
носят название осей предельной линии. Если представлять
себе, что параллели пучка сходятся в бесконечно удаленной
точке, то можно сказать, что предельная линия — это
окружность, центр которой лежит в бесконечности. Расстояние
между двумя осями (т. е. параллелями) в различных точках
будем измерять дугами проходящих между ними предельных
линий — соответственными предельными дугами (например,
АВ, А'В\ А"В'\ ...). Различие между геометрией Евклида и
геометрией Лобачевского заключается в том, что в первой это
расстояние между теми же параллелями всюду одно и то же
(рис. 9), в геометрии Лобачевского оно убывает в сторону
параллелизма (рис. 10). Легко доказать,— мы не можем
здесь на этом останавливаться,— что отношение длин этих
предельных дуг АВ и А'В' здесь зависит только от того,
насколько эти дуги одна от другой удалены, т. е. от длины
отрезков АА/=ВВ/. Имея это в4 виду, возьмем между
параллелями две предельные дуги АВ, А'В'У отстоящие одна от
другой на расстоянии АА/=ВВ/, равное единице длины (скажем,
1 см); отношение АВ\А'В' будет некоторым определенным
числом, выражающимся неправильной дробью; обозначим его
через а. Если будем отодвигаться в сторону параллелизма на
расстояние АА'=А'А"=А"А'" = ... ( = 1), то
АВ : А В' = а;
А В : А'В" = а;. АВ : А" ВТ = а2;
А"В' : АтВм = а; АВ : АтВГ = а3;
Если две предельные дуги / и /о, находящиеся между
двумя параллельными линиями, отстоят друг от друга на
расстоянии, равном п единиц длины, то отношение их длин
1:1о=ап, т. е. l=k-an. Обычными приемами нетрудно
обнаружить, что это соотношение остается в силе, когда
расстояние между дугами выражается не целым числом, а любым —
дробным, даже иррациональным числом х: всегда 1=1о-ах-
Это соотношение лежит в основе всей метрики, т. е. в основе
измерения всех геометрических величин в плоскости и в
пространстве Лобачевского.

274
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Какое же значение имеет эта неожиданно появившаяся
постоянная а? Прежде всего ясно, что в евклидовом
пространстве, где всегда АВ=А'В'=А"В"=..., а=1; в пространстве же
Лобачевского а>\. Если бы оказалось, что наше
пространство есть пространство Лобачевского, а за единицу длины мы
взяли бы большое расстояние, скажем световой год, и если бы
мы при этом; были в состоянии произвести соответственные
измерения, то мы могли бы постоянную а определить
опытным путем и тем окончательно зафиксировать метрику
пространства. Но a priori этого сделать нельзя, a priori эта
постоянная может иметь совершенно произвольное значение.
Геометрию, соответствующую определенному значению
постоянной а, называют в настоящее время гиперболической
геометрией (основания, которые привели к этому названию,
будут указаны ниже). Можно сказать, что существует
бесчисленное множество разновидностей гиперболической
геометрии, отвечающих различным значениям этой постоянной.
Геометрия Евклида включается в число их, именно
соответствует значению а=\. Вместо числа а пользуются
обыкновенно его натуральным логарифмом, In а, или (по разным
соображениям это оказывается более удобным) обратной
величиной от этого логарифма, k=\ : In а. Евклидова геометрия
соответствует значению In a = 0 или k =00.
Обращаемся к последнему моменту, на котором
необходимо остановиться, который имеет в неевклидовой геометрии
решающее значение. В собственно гиперболическом
пространстве (т. е. при а Ф 1 или &т^°°) геометрия, как мы видели,
существенно отличается от евклидовой; она уступила место
геометрии Лобачевского. Но и это оказывается не совсем уже
так, когда речь идет о двумерной геометрии.
Планиметрия есть геометрия плоскости; в евклидовом
пространстве плоскость, как говорят, несет на себе двумерную
евклидову геометрию, в пространстве же Лобачевского она
несет на себе гиперболическую геометрию. Но ведь не только
плоскость имеет свою двумерную геометрию; строго говоря,
таковую имеет всякая поверхность. Однако в более узком
смысле можно сказать, что в евклидовом пространстве
специфическую геометрию имеют поверхности только двух типов:
плоскости и сферы. Это нужно понимать следующим образом.
К числу основных приемов, которыми мы пользуемся при
построении геометрии плоскости, относится наложение одной
фигуры на другую, т. е. передвижение фигуры по плоскости.

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
275
Плоскость допускает передвижение в ней фигур без
деформации, причем любая точка фигуры может быть приведена в
совмещение с любой точкой плоскости; зафиксировав же одну
точку, можно плоскость вокруг этой точки вращать. Те же
движения возможны и на сфере. Поэтому на сфере также можно
строить геометрию, пользуясь движением, наложением фигур.
При таком построении прямые заменяются геодезическими
линиями сферы, т. е. теми линиями, которые здесь, подобно
прямым на плоскости, проходя между двумя точками,
представляют кратчайшее расстояние между ними; хорошо
известно, что эту роль на сфере играют окружности больших
кругов. Геометрия сферы была построена уже в древности.
Основные положения, из которых исходит геометрия сферы—
аксиоматика сферической геометрии,— существенно иные, чем
на плоскости: здесь две геодезические линии—две
окружности больших кругов — всегда пересекаются не в одной, а в
двух точках, дуга геодезической линии может быть
продолжена в обе стороны, но всегда возвращается в исходную
точку, геодезическая линия имеет конечную длину,
параллельных геодезических линий на сфере вовсе не существует.
Сферическая геометрия в евклидовом пространстве, таким
образом, существенно отличается от геометрии плоскости. Одно
из существенных ее отличий заключается в том, что сумма
внутренних углов геодезического треугольника (т. е.
треугольника, составленного из дуг больших кругов) всегда
больше 2d.
Итак, в евклидовом пространстве существует два типа
поверхностей, которые допускают внутреннюю геометрию,
основанную на движении без деформации,— это геометрия
плоскости и геометрия сферы. Другие поверхности полностью
такой геометрии, без существенной модификации ее понимания,
не допускают. Например, на трехосном эллипсоиде нельзя
даже говорить о равенстве треугольников, ибо передвинуть
треугольник с одного места на другое невозможно.
Так обстоит дело в евклидовом пространстве. Как это
модифицируется в пространстве, в котором царит геометрия
Лобачевского? Плоскость и сфера и здесь имеют, конечно,
каждая свою «внутреннюю» геометрию — в том смысле, как
мы о ней говорили выше. При этом геометрия сферы здесь
совершенно та же, что и в пространстве Евклида. Это
обусловливается тем, что здесь сохраняются все основные
свойства сферы: две окружности больших кругов также пересе-

276
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
каются в двух точках и т. п. Геометрия сферы в пространстве
Лобачевского та же, что и в евклидовом пространстве.
Напротив, плоскость несет здесь существенно другую
геометрию— гиперболическую планиметрию, основные черты
которой выше уже достаточно отмечены.
Но зато в пространстве Лобачевского существуют еще
другие поверхности, которые допускают внутреннюю
геометрию, развертывающуюся теми же основными средствами —
прежде всего свободным движением. Если предельную линию
вращать вокруг одной из ее осей, то получается
своеобразная поверхность, которую Лобачевский называет предельной
сферой или просто предельной поверхностью. Неточно, но
образно ее можно представить себе как сферу с бесконечно
удаленным центром. Геодезическими линиями на этой
поверхности служат предельные линии. Такая поверхность может
двигаться, скользить по себе самой так же, как плоскость и
сфера; на ней можно строить внутреннюю геометрию теми
средствами, о которых мы говорили выше. Что это за геа-
метрия?
Лобачевский обнаружил, что это — обыкновенная
евклидова геометрия. В пространстве Лобачевского предельная
поверхность несет на себе двумерную евклидову геометрию*
Когда мы отказываемся от евклидовой геометрии на
плоскости, она не прекращает своего существования, она переходит
на другую поверхность—на предельную поверхность.
Это восстановление евклидовой планиметрии в
неевклидовом пространстве имеет чрезвычайно большое значение.
Вместе с нею сохраняются все средства евклидовой
планиметрии и прежде всего ее тригонометрия. В евклидовом
пространстве мы, исходя от плоскости, надлежащей проекцией
ее на сферу получаем сферическую тригонометрию. В
геометрии Лобачевского естественно исходить от предельной
поверхности, несущей на себе наиболее простую — евклидову
геометрию. Проектируя ее «предельные треугольники» на
плоскость, Лобачевский пришел к тригонометрии
прямолинейного треугольника в гиперболической плоскости. «После
этого, — говорит он,—всё прочее в геометрии будет уже
аналитикой» К Располагая тригонометрией гиперболической
плоскости (или, что сводится к тому же, гиперболического прост-
1 Н. И. Лобачевский. О началах геометрии. Поли. собр. соч.,
т. I. Гостехиздат, М. — Л., 1946, стр. 260.

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
277
ранства), Лобачевский получил возможность построить в
своей «воображаемой геометрии», в «пространстве
Лобачевского», или в «гиперболическом пространстве», как мы теперь
говорим, аналитическую геометрию, дифференциальную
геометрию, вести интегральные вычисления—довести
созданную им геометрию до тех высот, до которых в течение трех
тысячелетий и в особенности в течение последних трех
столетий поднялась классическая, «употребительная» геометрия
Евклида. И чем дальше шло это развитие новой геометрии,
не только не наталкиваясь на противоречия, но даже нигде
не встречая на своем пути принципиальных препятствий, тем
тверже крепла уверенность автора в том, что она так же
незыблема, как и классическая геометрия, в расширение
которой она была сотворена и которую она сохранила в своих
недрах как простейший частный (предельный) случай. Была
создана совершенно новая наука, был призван к жизни целый
новый мир идей и фактов, несущий на себе печать гения
своего творца. Прецедента этому история человеческого знания
не имела. *
Всякий, кто был бы в состоянии проштудировать весь
этот ряд работ, овладеть этими идеями и фактами,
несомненно вынес бы такую же уверенность в нерушимой
правильности новой геометрии, какую имел Н. И. Лобачевский. Но ва
всем мире в ту пору был только один авторитетный человек,
который был в состоянии это осилить и оценить,— это был
Гаусс. Однако и он имел возможность познакомиться с
работами Лобачевского только через И лет после появления в
«Казанском вестнике» первого мемуара Лобачевского,—
именно после того как он получил экземпляр выпущенной в
1840 г. на немецком языке небольшой книги «Geometrische
Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien». Мы уже
упоминали о ней выше. Проштудировав это небольшое
сочинение, представляющее один из наиболее блестящих перлов
математической литературы, Гаусс, конечно, оценил его по
достоинству. В письмах к своим друзьям, Герлингу и
Шумахеру, он в восторженных выражениях рекомендует ее их
вниманию. Он разыскал все другие работы Лобачевского, он
научился русскому языку, чтобы их проштудировать в
оригинале, он провел Лобачевского в члены Геттингенского
ученого общества, носившего характер академии, и
собственноручно уведомил Лобачевского об избрании. Но, верный своей
установке, он не проронил ни единого слова об этом в печати,.

278
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
не оказал этим идеям, которые он так глубоко разделял, ни
малейшей поддержки. Боясь «ос, которые поднимутся над
моей головой, если я опубликую мои воззрения», Гаусс своим
молчанием, своим неправильным отношением к другим
математикам, которые искали у него поддержки, фактически
задержал признание новой геометрии на несколько
десятилетий. Но чего так боялся Гаусс в угоду своего благополучия,
не убоялся Лобачевский, несмотря на то что «осы»
кружились над его головой. В русской и немецкой печати появились
статьи о работах Лобачевского, проникнутые
издевательством; грубые выпады людей, которые не были в состоянии
понять идеи Лобачевского, влили много горечи в жизнь
гениального ученого.
VIII
По размерам и характеру настоящего очерка здесь нет
возможности приводить те аналитические соотношения
(формулы), на которых в геометрии Лобачевского основаны
метрические вычисления (измерение длин кривых, площадей
фигур, объемов тел). Однако на немногих важнейших из них
будет полезно остановиться, чтобы пролить некоторый свет
на связанные с ними соображения принципиального свойства.
Это место потребует несколько больше математических
сведений; читатель, который ими не владеет, может его
опустить.
Мы выше выяснили, что угол параллельности,
соответствующий расстоянию х точки от прямой, к которой проводится
параллель, представляет собой функцию от х, в обозначениях
Лобачевского — П(х). Совершенно очевидно, что разыскание
этой функции, характеризующей новую геометрию,
диктующей ее законы, устанавливающей царящие в ней
соотношения, составляло первую основную задачу Лобачевского. И он
преодолел трудности, стоящие на пугги этого решения; он
обнаружил, что эта функция определяется сравнительно
простым уравнением 1:
X X
tg— П(х)=е~~ь или П(х) = 2arctge~T, (1)
1 Очень простой вывод формулы (1), требующий от читателя лишь
знаний самых начал дифференциального исчисления, имеется в заметке
В. А. Ефремовича «Наглядный вывод формулы Лобачевского для угла
параллельности» («Математическое просвещение», вып. 6. Физматгиз, М.,
1961, стр. 255). (Ред.).

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
279
где е — основание натуральных логарифмов, a k — та же
постоянная, о которой шла речь выше1.
По значению х при известном (заданном) значении k
определяется угол П(х). Всматриваясь в это уравнение, мы
видим, что оно подтверждает выводы, к которым мы пришли
выше: угол П(х) возрастает, когда х убывает; когда х
становится весьма малым (по сравнению с k), то угол П(х)
стремится к прямому углу; евклидова геометрия (в которой
n(x)=d) царит на протяжении весьма малом по сравнению
С отрезком, длина которого выражается числом k.
Вместе с этим выплывают новые соображения, имеющие
важнейшее значение. В пространстве Лобачевского
существует некоторый отрезок (k), играющий по сравнению с другими
отрезками исключительную роль. Именно по сопоставлению
с этим отрезком можно говорить о больших и малых
расстояниях. Этот отрезок естественно принять за единицу меры;
формулы и вычисления тогда значительно упрощаются;
Лобачевский так и делает. Но именно это обстоятельство —
существование в пространстве «естественной единицы меры» —
вызывало наибольшие сомнения. Правда, жители Земли
располагают такой «натуральной» единицей меры,
пользуются ею: ведь метр «естественно» определяется на сфере, на
которой мы живем,— на Земле. Но неприемлемым казалось то,
«1то этот исключительный отрезок существует в пространстве.
Гаусс по этому поводу писал:
«Единственно, что в этой системе противится
нашему разуму, это то, что в пространстве, если бы эта
система была справедлива, должна была бы
существовать некоторая сама по себе определенная (хотя нам
и неизвестная) линейная величина. Но мне кажется,
что мы, кроме ничего не выражающей словесной
мудрости метафизиков, знаем очень мало или даже не
знаем ничего, о сущности пространства; мы не можем
смешивать того, что нам кажется неестественным, с
абсолютно невозможным».
И, может быть, вся суть заключается в том, что
пространство в целом имеет не такое строение, как мы себе представ-
1 Число К^ —'— теперь называют кривизной гиперболического
пространства.

280
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
ляем. Такова глубокая мысль, относящаяся уже к
космогонии, к строению вселенной, которая возникла на почве
геометрических идей Лобачевского. Эти соображения вновь
с особенной настойчивостью возникли в наши дни.
Функция П(х), определяемая равенством (1), фигурирует
во всех уравнениях тригонометрии в пространстве
Лобачевского. Так, соотношение в прямоугольном треугольнике
между гипотенузой с, катетом а и противолежащим ему острым
углом А выражается равенством
ctg П (а) = ctg П (с) sin A. (2 )
В силу формулы (1)
tgtf(*) =
2
и уравнение (2) принимает вид:
sh — = sh — sin A (3)
k k
Тригонометрические уравнения геометрии Лобачевского
выражаются, таким образом, в гиперболических функциях.
Отсюда и возникло присвоенное этой геометрии в настоящее
время название гиперболической. С другой стороны,
разложение гиперболического синуса в степенной ряд имеет вид:
**=т+т(т)'+-;
отсюда видно, что для весьма малых значений дроби —в пре-
делах бесконечно малых второго порядка (т. е. пренебрегая
2tg — П(х)
1—1&П(х)
ctg П {х) =
X
ek
X
2е~ k
2х
1-е k
X
-е~ k __
sh-i-
X
_ i
2
— е
X
k
X X
sh—- есть гиперболический „синус аргумента —, т. е. функция,
k k
X Х^
х ek —e k
определяемая равенством sh—— =
к

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
281
степенями этой дроби выше второй) можно sh—заменить че-
k
х
рез— . Вместе с тем тригонометрическое уравнение (3) по
1
удалении множителя — примет вид:
k
a = csin4;
иными словами, оно сводится к соответствующему уравнению
евклидовой тригонометрии. Мы вновь приходим к тому же
заключению, что в весьма малой области соотношения
геометрии Лобачевского совпадают с евклидовыми уравнениями; но
теперь мы видим, в каких пределах это совпадение имеет
место — с точностью до бесконечно малых второго порядка
х ~
относительно —. Это уточнило вывод, который первоначально
к
мог казаться недостаточно отчетливым.
IX
Что принесла с собой новая геометрия, что внесла она в
общую сокровищницу человеческого знания, научной мысли?
Прежде всего начнем с вопроса, при разрешении которого
новая геометрия возникла,— с вопроса о доказательстве
постулата о параллельных линиях. Если геометрия
Лобачевского не содержит противоречия, то это означает, что с основами,
с исходными положениями абсолютной геометрии одинаково
совместимы как постулат Евклида, ведущий к классической,
«употребительной», по терминологии Лобачевского,
геометрии, так и постулат Лобачевского, ведущий к новой,
«воображаемой», или «гиперболической», геометрии. Иными словами,
постулат о параллельных линиях не представляет собой
следствия остальных аксиом и других постулатов Евклида, не
может быть из них логически выведен. Все попытки дать его
доказательство неизбежно обречены на неудачу. Вопрос,
тысячелетиями занимавший научную мысль, был разрешен
совершенно новым, своеобразным путем. Вместе с тем было
заложено начало так называемых «доказательств
невозможности», играющих в настоящее время в математике такую
большую роль.
Затем геометрия, которая казалась окончательно сложив-

282
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
шейся наукой, которая, по выражению Гельмгольца, «явилась
перед нами в совершенно законченном, готовом виде», так
что ни о каких противоречиях или сомнениях в ее области не
могло быть речи, в принципах которой никаким изменениям,
никакой эволюции не могло быть места,— геометрия
совершенно неожиданно, ожила, получила широкое развитие,
разрослась в обширное здание, в котором старая геометрия
Евклида заняла скромный уголок, хотя она и является основ*
ным камнем в фундаменте этого здания.
Очень замечательно, далее, что самое построение
неевклидовой геометрии отнюдь не шло чисто формально-логическим
путем. Это может казаться очень странным, но интуиция
помогала ее творцу совершенно так же, как при создании
классической геометрии. И тот, кому этот процесс был
совершенно ясен, не мог не видеть, что наша мысль способна
работать отнюдь не только в формах .старых, установившихся
пространственных представлений, но и в совершенно иных,
глубоко отличных образах, с некоторым правом
претендующих на преимущество в мироздании как в целом, уступающих
место старым представлениям только в пределах ничтожного,
непосредственно нам доступного уголка вселенной. И
замечательно, что всякий, усвоивший геометрию пространства
Лобачевского, легко привыкал видеть в нем всё так же
отчетливо, как в нашем обычном пространстве, в
«употребительной» классической геометрии. А если так, то какая может
быть речь о пространственных представлениях как об инге-
рентных, нашему сознанию органически свойственных, от
рождения каждому из нас присущих формах мышления?
Если раньше для людей, материалистически мыслящих,
было ясно, что наши геометрические представления
сложились и окрепли в многовековом опыте, то теперь, в свете
открытий Лобачевского, вопрос стал совершенно иначе:
только опыту, измерениям, проникающим гораздо дальше, чем-
это было доступно не только в повседневной жизни, но и в
прежних астрономических наблюдениях, надлежало еще
установить, должны ли быть во вселенной, как в целом, в
макрокосмосе сохранены геометрические соотношения классической
геометрии или они должны быть заменены теми, которые
создал Н. И. Лобачевский, и с каким значением постоянной k
они должны здесь функционировать. Воззрения Канта в их
многообразных модификациях, служившие последним
прибежищем идеалистической философии, разлетались как дым.

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
283
Это блестяще выяснил Гельмгольц в своей знаменитой речи,
рассеяв «идеалистические установки Канта».
Пусть еще твердят явные и неявные неоплатоники, что
неевклидова геометрия — праздное измышление; пусть еще
обращают они свои взоры к идеям Платона или к творцу
вселенной как первоначальным зиждителям пространства и
наших геометрических понятий и представлений; такие
утверждения свидетельствуют только об убожестве ума этих
неоплатоников и неспособности их овладеть новой
дисциплиной, требующей смелой и настойчивой мысли. Мы же, для
которых новая геометрия кристаллически ясна, которые
можем в ней оперировать так же успешно, как и в классической
геометрии Евклида,— мы обращаем наши взоры к
гениальному творцу неевклидовой геометрии, окончательно
разрубившему наиболее прочные узлы идеалистической философии,
и приносим наше преклонение перед его великим умом.
X
Однако это преклонение — дело наших дней. Как уже
сказано выше, при жизни Лобачевского неевклидова геометрия
была встречена враждебно, издевательски. И самые выводы,
приведенные выше, в то время были сделаны только самим
Лобачевским. Как они ни убедительны по существу, они
предполагают допущение, которое сам Лобачевский не мог
считать вполне, до конца оправданным. Как ни далеко провел,
как ни широко развил Лобачевский свою новую
«воображаемую» неевклидову геометрию, как ни тесно связаны между
собой были ее результаты, аналитически и геометрически
всегда оправдывавшие друг друга,— вопрос, можно ли иметь
полную уверенность в том, что где-то в этой системе, в этом
огромном цикле идей и фактов не скрывается противоречие,
которое когда-либо будет обнаружено и разрушит всё это
построение,— это вопрос «о непротиворечивости»
неевклидовой геометрии стоял перед Лобачевским очень остро. Правда,
как сам Лобачевский, так и всякий, кто овладевал
неевклидовой геометрией, приходил к убеждению, что слишком в этом
построении все связно, что эта согласованность соотношений
не может быть случайной, что это действительно такое же
крепкое построение, как и классическая геометрия Евклида.
Она связывает своей логической убедительностью: всякий, кто
сумел ее изучить, ею овладеть, ее усвоить,— а это дело нелег-

284
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
кое,— проникается нерушимой верой в ее незыблемую
прочность, в ее логическую «непротиворечивость», как принято
теперь говорить. Но Лобачевский хорошо понимал, что эта
вера всё же субъективная, что это еще именно вера со всеми
слабыми сторонами всякой веры. Беда заключалась в том,
что неевклидова геометрия действительно предстала перед
математиком в совершенно готовом виде, возникла, конечно,
не из головы Юпитера, но всё же и не из наглядной
действительности. Она находилась в разительном противоречии
с действительностью, как ее себе привычно представляли,
казалась одним — нелепой фантазией, другим — пустым
измышлением. Перед Лобачевским остро стояли поэтому
четыре сложных вопроса, настойчиво требовавших решения.
Во-первых, где источник этого разительного расхождения
новой геометрии с тем, что мы видим, что мы издавна знаем
о пространстве? Во-вторых, как могла целая новая наука
возникнуть таким умозрительным путем? В-третьих, где при
этих условиях уверенность в том, что это умозрение, если его
дальше продолжить, в конце концов в каком-либо
непредусмотренном пункте не сорвется, не приведет к противоречию
и этим вопреки его вере не приведет к устранению
«воображаемой» геометрии, к окончательному утверждению
геометрии Евклида? В-четвертых, какую пользу новая геометрия
может принести математике и науке в целом?
На первые два вопроса Лобачевский дал четкий и
безусловно правильный ответ, содержание которого мы в общем
уже выяснили выше. Этот ответ заключался в том, что наши
геометрические представления создались в результате
наблюдений хотя и чрезвычайно продолжительных, но
происходивших в весьма небольшом участке мироздания, в пределах
которого они возникли в упрощенном виде. Именно эти
представления при попытке распространения их на всё мироздание
составляют иллюзию, порожденную недальновидностью,
подобно тому как иллюзию, порожденную недальновидностью,
в течение веков составляло убеждение, что Земля
представляет собой плоскую пластину. Возникновение неевклидовой
геометрии, происшедшее, на первый взгляд, умозрительным
путем, объясняется тем, что в ее основу положены те же
посылки, что и в геометрии Евклида, с единственным
исключением, что одна из посылок заменена другой, своеобразной
гипотезой, и все выводы, вся теория носят тот же характер,
что и обычное в науке теоретическое построение, основанное

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
285
ни гипотезе. Результаты такого построения в зависимости от
того, оправдаются они или нет, должны подтвердить или
опровергнуть самую гипотезу. И в целях этого оправдания,
как уже сказано выше, Лобачевский производил
астрономические наблюдения, которые не могли, однако, дать
решающего результата, как он считал вероятным, за недостаточной
точностью инструментов. При этих условиях наиболее остро
стоял третий вопрос — о логической непротиворечивости
неевклидовой геометрии. Этот вопрос стоял перед Лобачевским
всю жизнь; в поисках ответа на него были составлены
все дальнейшие, все важнейшие его работы; этот именно
вопрос служил предметом наиболее упорных его
размышлений.
К решению этого вопроса Лобачевский шел своеобразным
путем, который одновременно давал и некоторый ответ на
последний из перечисленных выше вопросов. Он искал
применения «воображаемой геометрии» к вычислению
определенных интегралов. Нахождение точных значений определенных
интегралов в числах или в параметрах, смотря по заданию,
есть трудная и важная задача анализа. В эпоху
Лобачевского, когда еще были свежи традиции Эйлера, эта задача
считалась особенно актуальной. Были выработаны различные
методы для ее решения в частных случаях, геометрические
соображения часто играли в них существенную роль.
Лобачевский применял к вычислению определенных интегралов
такие же соображения, пользуясь, однако, средствами
гиперболической, а не евклидовой геометрии. Заданный интеграл
он рассматривал как значение в гиперболическом
пространстве длины некоторой кривой, как площадь некоторой
фигуры на плоскости или на другой поверхности, как объем или
массу некоторого тела, и, поскольку это были метрические
величины в гиперболическом пространстве, соображения,
основанные на «воображаемой геометрии», давали ему
указание, как разыскать значение рассматриваемого интеграла.
Когда же это значение было найдено, часто бывало возможно
найти и аналитические пути, ведущие к той же цели.
Согласие полученных результатов Лобачевский рассматривал как
подтверждение правильности новой геометрии. Этим путем
Лобачевский разыскал значения многих определенных
интегралов, — соответствующие справочники пестрят указаниями
на Лобачевского. Особенно любопытен один интеграл,
значение которого разыскивал Лагранж. Лобачевский же средст-

286
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
вами неевклидовой геометрии это значение нашел без труда.
Все эти результаты, несомненно интересные с
аналитической точки зрения, дали некоторое приложение
гиперболической геометрии к анализу, усилили субъективную уверенность
в ее логической правильности; но основной задачи о
непротиворечивости новой геометрии они не разрешили, не могли
разрешить, так как это не может быть достигнуто отдельными
примерами ее применений. Лобачевский это хорошо понимал,
размышлял над этим вопросом всю жизнь, но
исчерпывающего его решения не нашел,— это выпало на долю последующих
поколений. Нужно, однако, сказать, что самый вопрос носил
принципиальный, но не практический характер. Совершенно
невозможно себе представить математика, который
действительно усвоил бы геометрию Лобачевского и допускал бы
мысль, что в ней коренится противоречие. Создать такое
научное творение, осознать его огромное значение, его
математическое совершенство и вместе с тем не встретить ни
одного человека, который бы эти мысли усвоил и оценил,—
более того, быть осмеянным, читать отзывы людей,
пользующихся авторитетом, проникнутые издевательством, не иметь
возможности на такие отзывы ответить (возражения
Лобачевского не печатались), — это большая, тяжкая трагедия его
жизни. Такая трагедия лишила разума Тауринуса, ввергла в
глубокую меланхолию Яноша Бойаи. Что спасло от такой
участи Лобачевского? Волевой характер, полный энергии,
неутомимой работоспособности, здоровый интерес к жизни,
беззаветная преданность делу просвещения и, в частности,
Казанскому университету.
С конца двадцатых годов и до последних лет жизни
Лобачевский развернул широкую административную и
общественную деятельность, яркая печать которой до сих пор лежит
на Казанском университете. Вернемся к его биографии.
XI
Режим, установленный Магницким, тяготел над Казанским
университетом в течение семи лет. Во все эти годы в
Петербург— в министерство народного просвещения и даже
выше— со стороны профессоров и других лиц сыпались
жалобы, докладные записки о том, что в университете творилось,
а с другой стороны, сыпались доносы на тех, кто не
подчинялся режиму Магницкого. Недовольство Магницким
охватило широкие круги общества как в Казани, так и в Петербур-

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
287
ге. Император Николай I, сменивший Александра, далеко не
принадлежал к сторонникам высокого и свободного
просвещения, но то, что происходило в Казанском университете,
превосходило всякие пределы. Были и другие причины
личного свойства, вызвавшие раздражение Николая против
зарвавшегося временщика. Не предполагая, что Николай может
занять престол, Магницкий в своих донесениях Александру I
(которые он начал представлять помимо министра народного
просвещения) обвинял великих князей, в том числе и
Николая, в либерализме; один из таких доносов после смерти
Александра попал в руки Николая. Князя Голицына на посту
министра народного просвещения заменил А. С. Шишков.
Генералу П. Ф. Желтухину было поручено произвести новую
ревизию университета, в результате которой Магницкий не
только был отстранен от должности, но и выслан в Ревель.
Вместо него попечителем Казанского округа был назначен
граф М. Н. Мусин-Пушкин, который сам получил образование
и необходимую для службы аттестацию на курсах при
Казанском университете. Может быть, похвалы, которыми его
осыпали некоторые современники и историки, преувеличены; но
не может подлежать сомнению, что это был человек,
искренно преданный делу просвещения и, в частности, Казанскому
университету. Он нашел университет в состоянии полного
разложения как в научном, так и моральном отношении.
«Никогда еще,— говорит Н. Феоктистов, автор монографии о
Магницком и его эпохе,— университет не представлял столь
жалкого и постыдного зрелища, и велика была
ответственность лиц, которые довели его до такого состояния». Ректором
университета в это время был проф. К. Ф. Фукс, медик,
человек отнюдь не плохой; о нем в Казани сохранились
воспоминания как о человеке просвещенном; но он был человеком
совершенно безвольным и потому скоро сделался слепым
орудием в руках Магницкого. После назначения Мусина-
Пушкина он, конечно, не мог оставаться на своем посту.
Нужен был новый ректор, человек, который был бы в
состоянии оздоровить еще молодой, но уже искалеченный
Казанский университет, вдохнуть в него научную жизнь, сделать
из него тот очаг просвещения, который был так необходим
стране. В этом были одинаково заинтересованы как совет
университета, так и новый попечитель. По-видимому, по
соглашению между Мусиным-Пушкиным и наиболее
влиятельными членами совета, в 1827 г. ректором был выбран Н. И. Ло-

288 III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
бачевский. По утверждении в этой должности он -приступил к
исполнению своих обязанностей. Ему тогда исполнилось
только тридцать три года, Он еще имел мало административного
опыта, и всё же он более чем оправдал надежды, которые на
него возлагались. Об уважении, которое он в качестве
ректора университета себе завоевал, можно судить по тому, что он
избирался на этот пост шесть раз и занимал его без
перерыва около двадцати лет (с 1827 по 1846 г.).
Свои взгляды на дело образования и воспитания
Лобачевский вскоре изложил в речи, произнесенной на общем
собрании университета 17 июля 1828 г. (по старому стилю — 5/VII)
и затем опубликованной под названием «Речь о важнейших
предметах воспитания». Нужно перенестись в эпоху
николаевского режима, прочного как никогда крепостничества и
глубокого невежества, царившего на востоке России, чтобы
видеть, что она была для того времени ярко прогрессивной, и
почувствовать в ней колоритные социальные настроения.
Приводим следующий характерный отрывок из этой речи, явно
обращенный к господствовавшим классам:
«Вы, которых существование несправедливый
случай обратил в тяжелый налог другим,— вы, которых ум
отупел и чувство заглохло, — вы не наслаждаетесь
жизнью. Для вас мертва природа, чужды красоты
поэзии, лишена прелести и великолепия архитектура, не
занимательна история веков. Я утешаюсь мыслью, что
из нашего университета не выйдут подобные
произведения растительной природы, даже не войдут сюда,
если, к несчастью, уже родились с таким назначением».
Социалистических взглядов в этих словах усматривать не
следует,— Лобачевский был от них далек. Но что это были
в то время очень прогрессивные воззрения, не подлежит
сомнению. Воспитание человека, по убеждениям Лобачевского,
должно вывести его из невежества, снабдить его знаниями,
утвердить в нем моральные устои, укрепить его физически,
сделать его жизнерадостным членом общества. Школа
должна это выполнять на всех ее ступенях, университет должен
это сделать в высшей стадии. С такими установками
Лобачевский приступил к реорганизации Казанского
университета.
Первой и, может быть, главной его заслугой было то, что
он сумел внести мир и успокоение в возбужденную и расщеп-

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
289
лунную среду профессоров университета. Только на этой базе
могло развернуться здоровое его развитие.
Под руководством Лобачевского университет был
укомплектован новыми силами, поскольку это было по тому
времени возможно. Библиотека университета при его активном
участии стала одним из богатейших книгохранилищ страны.
На всех факультетах были организованы богатые для того
времени коллекции учебных пособий. Лобачевский создал
научный орган университета — «Ученые записки Казанского
университета», с честью существующий по настоящее время.
Первая книжка начинается мемуаром Лобачевского, позже в
нем появились и важнейшие его труды. Лобачевский
развернул широкое строительство университетских зданий, добился
на это значительных ассигнований и сам возглавлял
строительную комиссию. Лобачевский даже изучил архитектуру,
чтобы быть на месте и в этом ответственном деле. Если в
настоящее время спрашиваешь в Казани, когда и кем
университетские здания были приведены в тот вид, в каком мы их
наблюдаем, неизменно получаешь ответ, что почти всё это
сделано Лобачевским. Большой человек наложил яркий
отпечаток на всё, что было предметом его хмногосторонней
деятельности. Казанский университет несет на себе эту печать
по настоящий день.
Останавливаться здесь на деталях деятельности
Лобачевского на посту ректора Казанского университета невозможно.
Двух характерных моментов нельзя, однако, не отметить.
В 1830 г. в Казань проникла эпидемия холеры,
получившая большое распространение. Лобачевский не только принял
очень энергичные меры для изоляции университетских зданий,
но сыграл большую роль в деле борьбы с эпидемией во всей
Казани. Во всяком случае организацией университетского
лазарета, энергичным применением дезинфекционных средств,
за осуществлением которых ректор лично наблюдал во всех
деталях, поддержанием безукоризненной чистоты
Лобачевский достиг того, что на территории университета, где он
сосредоточил всех, кто имел отношение к университету
(около 600 человек), эпидемия унесла только 12 жертв.
Это не шло ни в какое сравнение с тем, что произошло
в городе. Заслуга Лобачевского была отмечена центральной
властью.
Через десять лет Казань постигло новое бедствие. В
августе 1842 г. в городе возник пожар, который вследствие бури

290
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
быстро разгорелся и охватил всю северо-восточную часть
города. Пожар дошел и до университета. Лобачевский
мобилизовал студентов и с ними настойчиво отстаивал
университетские здания. Астрономическая обсерватория всё же сделалась
жертвой огня. Но благодаря энергии защитников здания
удалось спасти главные инструменты и всю библиотеку, которой
угрожала непосредственная опасность. Лобачевскому стоило
большого труда восстановить уничтоженные огнем здания и
коллекции, но при свойственной ему энергии и это ему
удалось.
Просветительная деятельность Лобачевского не
ограничилась его работой в университете. В качестве члена
Казанского экономического общества, в качестве лица, близкого к
управлению учебным округом, он следил за тем, что
происходило в средней школе. Лобачевский настаивал на
организации курсов и классов для внешкольного образования,
ремесленной школы, приюта для бедных детей. Это не были
легковесные затеи досужего либерала; это была, как некогда
у Ломоносова, продуманная система просвещенной мысли,
ставившая себе целью проведение знания в толщу
малограмотных масс населения России того времени вообще, ее
восточной окраины в особенности. Подумать только, что от
Москвы до Тихого океана, на громадной территории России
существовала только одна гимназия в Казани, что одна низшая
школа приходилась на многие сотни тысяч населения,
косневшего в невежестве, а господствовавшие классы вовсе не были
заинтересованы в том, чтобы это невежество искоренять. И в
этой гнетущей обстановке нашелся администратор, все
стремления которого, все силы ума и воли были направлены на то,
чтобы внести в эту среду свет, чтобы поднять просвещение в
родном городе, в округе, в стране на всех его ступенях, от
школы грамоты до высших ступеней университета, до
глубокого научного исследования.
Такова личность Н. И. Лобачевского. И среди этой
кипучей деятельности Лобачевский ни на один час не прерывал
преподавания, принимал на себя в зависимости от
настоятельной нужды то чтение лекций по самым разнообразным
физико-математическим наукам, то по специальным дисциплинам,
то излагал собственные идеи, доступные пониманию лишь
небольшого числа учеников, то выступал с чтением популярных
лекций для широкого круга слушателей.
В 1846 г. исполнилось 30 лет со времени назначения Л оба-

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
291
чевского профессором. По уставу университета это был
самый продолжительный срок, в течение которого профессор
мог занимать кафедру. Совет университета ходатайствовал об
оставлении Лобачевского в профессорской коллегии на посту
ректора. В представлении совета было указано, что это было
бы для университета большой честью. Но Лобачевский от
этой чести отказался и подал в отставку.
Однако Лобачевский был назначен помощником
попечителя Казанского учебного округа; а так как Мусин-Пушкин
к тому времени был переведен в Петербург, то Лобачевский
в течение года фактически самостоятельно управлял округом.
В следующем, в 1847 г. попечителем округа был назначен
генерал Молоствов, а Лобачевский — его помощником. На
этом посту он пробыл до 1855 г.
В 1855 г. праздновалось 50-летие Казанского
университета. К юбилею Лобачевский выпустил последнюю свою
работу, озаглавленную «Пангеометрия». Существенно новых идей
в этой работе уже нет; по существу это была переработка
главным образом того, что изложено в «Воображаемой
геометрии», иногда с более или менее существенными
улучшениями, кое-где сделаны и исправления. К несчастью, к этому
времени Лобачевский ослеп. Свое последнее научное
завещание он продиктовал своим ученикам.
На личной и семейной жизни Н. И. Лобачевского мы здесь
не будем останавливаться; она принесла ему мало радости.
24 февраля 1856 г. (по старому стилю—12 февраля)
Лобачевский скончался. Идеи Лобачевского, не понятые при его
жизни, казалось, были вовсе забыты.
XII
Однако эти замечательные идеи недолго оставались в
забвении. Через 10—15 лет имя Н. И. Лобачевского уже было на
устах почти всех математиков мира. О неевклидовой
геометрии теперь узнали из письма Гаусса к Шумахеру,
опубликованного в 1865 г., после смерти Гаусса1. В ярких выражениях
Гаусс говорит в нем о творении Лобачевского и обращает
внимание на небольшую брошюру, которую Лобачевский
опубликовал на немецком языке в 1840 г. под названием
1 Оно воспроизведено в книге «Об основаниях геометрии». Гостехиз-
дат, М., 1956, стр. 119. (Ред.).

292
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
«Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien».
Это было наиболее доступное широким кругам изложение
элементов гиперболической геометрии, и это — один из самых
блестящих перлов математической литературы. Теперь в нее
внимательно вчитались, теперь прониклись сознанием
глубины и своеобразия этих идей. Гельмгольц первый попытался
познакомить с ними более широкий круг научных работников.
Уэль во Франции, Гельмгольц в Германии, Тилли в Бельгии,
Клиффорд в Англии, Дженокки в Италии —всюду не только
заговорили о неевклидовой геометрии, но были сделаны шаги
к ее развитию. В течение нескольких лет перевод упомянутой
выше брошюры появился на всех культурных языках.
В III томе незадолго до того возникшего в Москве журнала
«Математический сборник» был помещен ее перевод на рус*
ский язык, принадлежавший проф. А. В. Летникову.
Геометрия Лобачевского была теперь призвана к жизни и развитию.
Уже в 1867 г. в совете Казанского университета был
поставлен вопрос об издании полного собрания геометрических
сочинений Лобачевского. Впрочем, осуществить это удалось
гораздо позже. Замечательно, что теперь, когда идеи
Лобачевского возродились, когда они были усвоены, их развитие
пошло очень быстро. Этому не приходится удивляться; эти
идеи были так ярки, так интересны, в них было еще скрыто
так много нового, своеобразного, что крупнейшие геометры
мира заинтересовались, занялись ими и получили
замечательные результаты. Наибольшее впечатление произвела работа
Бельтрами, опубликованная в 1868 г. Она сразу лишила
неевклидову геометрию того фантастического налета, который
вызывал отрицательное к ней отношение.
Мы уже говорили выше о поверхностях, на которых может
быть построена геометрия теми же общими методами, при
помощи которых развертывается геометрия на плоскости.
Мы видели, что в гиперболическом пространстве существуют
три типа такого рода поверхностей: на поверхности шара
действует сферическая геометрия, в небольшой модификации
называемая также эллиптической геометрией1; на плоскости
имеет место геометрия Лобачевского, а на своеобразных
предельных поверхностях — геометрия Евклида. Между тем в
1 Эллиптическая геометрия отличается от сферической геометрии тем,
что в ней две противоположные точки рассматриваются как один элемент
противоположные точки сферы как бы отождествлены — составляют одну
точку эллиптической геометрии.

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
293
нашем обычном евклидовом пространстве существуют только
два типа таких поверхностей: на поверхности шара имеет
место та же сферическая геометрия, на плоскости —
евклидова геометрия. Не естественно ли предположить, что в
евклидовом пространстве должны существовать также
поверхности, несущие на себе гиперболическую геометрию? К ответу
на этот вопрос привели совершенно другие задачи, но
результат оказался положительным. Оказалось, что в обычном
евклидовом пространстве действительно существуют
поверхности, которые несут на себе гиперболическую геометрию —
планиметрию Лобачевского, правда, при некоторой
модификации самой постановки вопроса. Рассмотрим это подробнее.
К выделению поверхностей, несущих на себе ту или иную
геометрию в том: смысле, как об этом шла речь выше,
привело требование, чтобы на них было возможно свободное
передвижение фигур без деформации — чтобы на них было
возможно, оставаясь на поверхности, производить наложение
одной фигуры на другую. В евклидовом пространстве есть
только два типа поверхностей, на которых возможно такое
передвижение фигур,— это плоскости и сферы. Но можно это
требование несколько ослабить, не изменяя его по существу,
и тогда количество поверхностей, ему удовлетворяющих,
значительно возрастает. В этом смысле можно говорить о
наложении фигур на поверхности цилиндра: движение фигуры на
цилиндрической поверхности будет при этом сопровождаться
некоторой деформацией.— изгибанием, но никакие размеры ее
при этом не будут изменяться. Это становится ясным, если
вообразим себе кусок бумаги, навернутый на цилиндр,
который мы можем передвигать по поверхности этого цилиндра,
изгибая его, но не подвергая никаким растяжениям, не
образуя на нем никаких складок. Будем теперь на поверхности
цилиндра считать равными две фигуры, которые могут быть
приведены в совмещение именно таким передвижением, хотя
бы сопровождаемым изгибанием. Это вполне естественно,
потому что такие две фигуры окажутся равными
(конгруэнтными в обычном смысле этого слова), если обе их развернуть
на плоскость. На рис. 11 можно видеть два треугольника,
которые могут таким образом быть приведены в совмещение.
При таком условии окажется, что и поверхность цилиндра
несет на себе обыкновенную евклидову геометрию. Если
с этой точки зрения подойти к другим поверхностям, если
искать поверхности, на которых возможно наложение именно

294
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
в этом смысле слова (при помощи передвижения,
сопровождаемого изгибанием), то число поверхностей, на которых это
возможно, значительно возрастает. И — что для нас важнее
всего — Бельтрами показал, что в обыкновенном
(евклидовом) пространстве существуют поверхности, которые в этом
смысле слова несут на себе двумерную геометрию
(планиметрию) Лобачевского. Выражаясь фигурально, можно сказать,
что на них навертывается гиперболическая плоскость,
подобно тому как на наш обыкновенный
цилиндр навертывается евклидова
плоскость. Части такой поверхности
имеют как бы седлообразный вид: они
в одном направлении обращены,
скажем, вверх (как седло по ребру
лошади), а в перпендикулярном
направлении — вниз (как седло поперек
лошади). Все соотношения
гиперболической геометрии, например
уравнения, связывающие стороны и углы
геодезического треугольника, связь
между радиусом и длиной
окружности, ее площадью и т. п., здесь
выполняются полностью совершенно так
же, как это было предусмотрено
планиметрией Лобачевского. Были
сделаны многочисленные модели таких
поверхностей. Эти поверхности
называют обыкновенно псевдосферическими К Каждый, кто был и в
этом отношении заражен скепсисом (здесь уже неуместным),
мог это проверить прямым измерением. Планиметрия
Лобачевского получила осуществление на реальных образах,
фантазия обратилась в действительность. Кажущееся
расхождение с действительностью, которое вызывало столько
возражений и даже негодования, имело источник в том, что
теоретическую систему, построенную Лобачевским, применяли,
даже применял он сам, не к тем образам, на которых она
получает осуществление, как одежда кажется несуразной,
если ее надеть на человека, которому она не подходит. Это,
конечно, грубое сравнение, но некоторое представление о том,
что здесь имеет место, оно все-таки дает.
1 На рис. 12—14 изображены различные типы псевдосферических
поверхностей.
Рис. 11

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14

296
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Впечатление, произведенное этим открытием, было
громадно. Поражало главным образом то, что чутье
гениального геометра через фантастическую, на первый взгляд,
гипотезу, через тонкие логические рассуждения, через сложные
аналитические вычисления привело к неожиданной реальной
действительности, которой не предусматривал сам автор.
Теория здесь, в чистой математике, предвосхитила опыт.
Развернувшиеся на этой базе изыскания всё еще
оставляли место некоторым сомнениям второстепенного значения,
которые вызывались особым строением псевдосферических
поверхностей (существованием на них особых точек, ребер,
как это видно на рисунках, и т. п.). Однако на этом мы здесь
не будем останавливаться. Гораздо серьезнее стоял другой
вопрос: на псевдосферических поверхностях получила
осуществление двумерная геометрия Лобачевского. Но ведь им
построена геометрия трехмерного (гиперболического)
пространства. Какова же ее судьба, может ли и она претендовать на
конкретное осуществление? Ответ на этот вопрос принесли
идеи другого геометра — Бернгардта Римана.
XIII
В 1854 г. Риман вступил доцентом в профессорскую
коллегию Геттингенского университета. Для этого он должен был
прочесть в общем собрании факультета пробную лекцию.
Следуя принятому обычаю, он представил на усмотрение
факультета три темы, из которых Гаусс выбрал третью,
носившую название «О гипотезах, лежащих в основании
геометрии». При составлении этой лекции Риман в качестве
слушателя явно имел в виду главным образом Гаусса, и потому она
была составлена очень сжато; это скорее конспект, наметки
ряда глубоких идей, нежели готовая к печати работа. Именно
поэтому Риман ее не опубликовал, очевидно, имея в виду ее
развить. Но он не успел этого сделать. Дедекинд извлек
рукопись из наследия Римана и опубликовал ее в 1866 г.
Идеи, в этой работе изложенные, имеют тесное
соприкосновение с работами Лобачевского.
Риман начинает с установления понятия о «многообразии»
как о совокупности элементов — объектов, выделенных,
включенных в ее состав определенными признаками. В настоящее
время термину «многообразие» предпочитают другой — по
почину Кантора его называют множеством. Это — очень
широкое понятие: всякая совокупность конкретных или абстракт-

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
297
'пых объектов, всякий коллектив вещей, понятий, идей
представляют собой множество. Риман изучает множества особой
категории, именно такие, в каждом из которых элемент
может быть определен несколькими числовыми заданиями, или,
просто говоря, несколькими числами. Количество этих чисел
характерно для множества. Если элемент множества
определяется п числами, то говорят, что оно имеет п измерений.
Плоскость есть множество точек, элемент которого
определяется двумя числовыми заданиями (его двумя
координатами)— это есть двумерное множество. В таком же смысле
сферическая, цилиндрическая, да и всякая вообще поверхность
может быть рассматриваема как двумерное множество точек.
Связка лучей в пространстве, выходящих из одной точки,
также есть двумерное множество, потому что элемент этого
множества определяется двумя числовыми заданиями (в
терминах, принятых в астрономии,— высотой и азимутом);
совокупность всех прямых на плоскости также есть двумерное
множество. Каждая точка пространства определяется тремя
числовыми заданиями (тремя координатами); пространство в
обычном значении этого слова есть трехмерное множество
точек; как обычно говорят, пространство имеет три
измерения. Совокупность всех прямых в пространстве есть
четырехмерное множество. В самом деле, зафиксируем каку(ю-нибудь
плоскость Q; прямая в пространстве определяется двумя
координатами ее «следа» на плоскости Q, т. е. точкой М, в
которой она встречает плоскость Q, и двумя числами,
которыми она определяется в связке прямых, выходящих из
точки М. Совокупность всех окружностей на плоскости есть
множество трех измерений; каждый ее элемент — окружность —
определяется координатами центра и радиусом; совокупность
всех сфер в пространстве есть множество четырех измерений.
Совокупность всех эллипсов на плоскости есть многообразие
пятимерное. Но многообразие не должно быть непременно
составлено из элементов обыкновенного геометрического типа
в обычном понимании этого слова. Гельмгольц стоял на точке
зрения, принятой в его время, что все цвета могут быть
составлены из трех основных цветов, в различных количествах
взятых. С его точки зрения совокупность всех цветов есть
трехмерное множество. Представим себе рой материальных
частиц, несущихся в пространстве. В каждый момент элемент
этого роя характеризуется тремя координатами точки, в
которой он находится, а в течение времени — еще четвертым

2Э8
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
числовым заданием: указание времени. Рой несущихся частиц
в пространстве и во времени представляет собой
четырехмерное множество.
Мы остановились подробно на этом понятии потому, что
оно имеет основное значение, играет в настоящее время
огромную роль как в математике, так и в приложениях, в
особенности в физике.
Основной замысел Римана заключался в том, что
геометрия вовсе не представляет собой, так сказать,
исключительного достояния множества точек — двумерного (поверхности)
или трехмерного (пространства). Можно строить геометрию
прямых, геометрию кругов, шаров; можно идти гораздо
дальше, можно строить геометрию множества цветов, геометрию
роя и т. д. Конечно, если говорить об измерительной
геометрии, то прежде всего необходимо установить исходный
принцип для производства измерений в различных множествах;
измерительную геометрию Риман именно и имел в виду.
При такой широкой постановке вопроса, при таком
расширении задачи геометрии возникает вопрос о том, как понимать
измерение в любом множестве, как его производить, какое
«мероопределение» в нем установить. Если не указать для
этого общего принципа, то перспективы становятся
совершенно расплывчатыми, не видно пути, по которому проникновение
геометрии в другие множества должно идти. Риман это хорр-
шо понимал. Центр тяжести его замысла, его главная
заслуга в том именно и заключается, что он дал основной,
исходный принцип для производства измерений в множествах,,
представляющих собой далеко идущее обобщение тех
точечных многообразий, для которых была построена классическая
геометрия. Дать подробное изложение этого принципа в этом
небольшом очерке невозможно К Мы должны только здесь
отметить, что этот замысел представлял собой естественное,
но далеко идущее обобщение той схемы, по которой
измерение ведется в евклидовом пространстве на поверхностях2.
1 Подробнее об этом см. в статье «Геометрические идеи Римана и их
дальнейшее развитие», помещенной в наст, книге. (Ред.).
2 Если х1, х2, х3,..., хп — координаты точки множества (здесь цифры
наверху—не показатели степени, а просто обозначения координат),
xl + dxl, x2+dx2,..., xn+dxn — координаты бесконечно близкой точки, та
Риман принимает, что квадрат расстояния между ними выражается
суммой членов вида gij dxl dxJ, где gi/ суть функции от координат
х\ л:2,..., хп. Это есть непосредственное обобщение обычного
мероопределения на поверхности.

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
299
Построенная на этом принципе геометрия носит название
римановой геометрии (в широком смысле этого слова). Она
получила широкое развитие. Были указаны различные
множества, несущие очень своеобразные геометрические системы,
которые отличаются один от других своим
«мероопределением». И естественно возник вопрос: каковы же наиболее
простые из этих систем? Оказалось, что наиболее простыми
являются те геометрии, с которыми мы уже познакомились:
в двумерной области, т. е. в множествах двух измерений,—
это прежде всего планиметрия Евклида; за этим следуют
геометрии сферическая и гиперболическая — геометрия
Лобачевского. Но Риман показал, что та и другая геометрия
допускают развитие и в трехмерном пространстве. Трехмерная
гиперболическая геометрия — это именно та, которую
построил Лобачевский; трехмерная сферическая геометрия — это
своеобразная геометрия, которую часто называют римановой
геометрией в узком значении слова, в некоторой
модификации— эллиптической. В этой геометрии все прямые
(геодезические) замкнутые, имеют конечную и притом одну и ту же
длину; всякие две плоскости пересекаются, как и всякие две
прямые, на плоскости. Эллиптическая геометрия — это
геометрия конечного пространства. Можно сказать, как над
геометрией Евклида выросли геометрии Лобачевского и Римана
(в узком смысле слова)—гиперболическая и эллиптическая,
так над ними теперь поднялась геометрия Римана в широком
смысле слова. Эволюция идет и дальше, охватывая всё более
разнообразные множества, подчиняя геометрии всё большее
число своеобразных, чисто материальных коллективов. Так
расширилось самое понятие о геометрии, так разрослось ее
содержание, так поднялось далеко ввысь ее здание. Как нами
уже было сказано в самом начале, геометрия Евклида
составляет в этом здании первый краеугольный камень в его
фундаменте. Тысячи лет только он, этот основной камень, и
существовал; Лобачевский первый стал строить это здание
дальше. Это был почин, требовавший необычайной смелости
ума; и когда он был осуществлен, когда была преодолена
косность веков и идеи Лобачевского получили признание,
геометрия была призвана к совершенно новой жизни,
получила обширное, новое содержание, далеко идущие
применения. Эта единственная наука, казавшаяся
застывшей в своих классических формах , стала на путь широкой
эволюции.

300
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Очень любопытны и важны были множества, указанные
Пуанкаре, Кэли, Клейном, в которых геометрия Лобачевского
получила полное осуществление. Никаким сомнениям в ее
логической правильности, в наличии каких бы то ни было
противоречий, которые так склонны были предполагать, больше
не могло быть места. К сожалению, дать здесь изложение,
сколько-нибудь обстоятельное описание этих множеств нет
возможности.
XIV
Как мы видели, весь этот обширный цикл идей возник на
базе обоснования геометрии; к концу XIX столетия эта
задача могла быть разрешена. Более того, были установлены
начала, на которых должна логически строиться всякая
математическая дисциплина, можно сказать больше — всякая
дедуктивная дисциплина. В чем заключаются эти начала?
В основу всякой строго дедуктивной дисциплины должен
быть положен ряд постулатов — требований, предъявляемых
к тому множеству, к той совокупности фактов, понятий или
идей, в которой эта система получает применение, в которой,
как говорят, она осуществляется. Приступая к построению
такой системы на базе определенной совокупности
постулатов, нужно прежде всего показать, что в ней нет
противоречия, нужно решить вопрос, который так настойчиво занимал
Лобачевского всю его жизнь. И, чтобы это обнаружить,
нужно показать такое множество, конкретное, составленное из
материальных элементов, в котором все эти постулаты
осуществляются: то, что конкретно существует, не может
содержать противоречия; и нет иного критерия для доказательства
непротиворечивости совокупности положений-постулатов,
кроме того, чтобы показать реальное множество, в котором
все эти постулаты осуществляются. Так это было
осуществлено по отношению к геометрии Лобачевского.
Но в системе постулатов, лежащих в основе дедуктивной
дисциплины, не должно быть и лишних. Если какЪй-нибудь
постулат может быть выведен из остальных, то ему не
должно быть места среди этих основных положений, он должен
быть перенесен в совокупность выводов — теорем; система
постулатов должна состоять из независимых посылок. Чтобы
доказать независимость какого-либо постулата, нужно
обнаружить существование множества, в котором все остальные
постулаты осуществляются, а этот не оправдывается, не име-

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
301
ег места; нужно поступить так, как сделал Лобачевский для
доказательства независимости постулата о параллельных
линиях. Это нужно выполнить по отношению к каждому
отдельному постулату.
К концу XIX столетия эта программа была в основном
выполнена Гильбертом в Германии, Вебленом и Гентингтоном
в Америке, Уиттекером в Англии; можно сказать, что задача
об обосновании геометрии пришла к первому своему
завершению. Так, на базе идей Лобачевского, получил разрешение
вопрос, тяготевший над математической мыслью в течение
двух тысяч лет. И по этой схеме в настоящее время строятся
все математические дисциплины. Если к этому прибавить, что
Пуанкаре указал еще новое, очень замечательное применение
гиперболической геометрии к анализу (к теории автоморфных
функций), то этим до некоторой степени будет
охарактеризовано состояние, в котором развитие идей Лобачевского
находилось к концу XIX в. Текущее столетие принесло с собой
новый взмах этих идей.
XV
Механика целиком построена на геометрии Евклида;
кинематику обычно называют геометрией движения, и эта
геометрия в классической механике есть геометрия Евклида. С
изменением геометрии, естественно, должна измениться и
механика.
Первые исследования по механике в пространстве
Лобачевского были сделаны Тилли и Дженокки; это были еще
попытки обнаружить несостоятельность неевклидовой
геометрии путем вскрытия ее противоречия с принципами
механики. С первых же шагов мы здесь наталкиваемся на ряд
парадоксальных теорем. Так, в гиперболическом пространстве
невозможно движение, при котором все точки описывают
прямые линии; прямолинейную траекторию может иметь только
одна точка твердого тела; поступательное движение в том
виде, как оно осуществляется в евклидовом пространстве,
не может иметь места в пространстве Лобачевского или Ри-
мана. Однако это парадоксы такого же характера, как и те,
которые возникали в самой геометрии; они не ведут к
логическому противоречию. Верно лишь то, что механика в
неевклидовом пространстве, будь то Лобачевского, будь то Римана,
не та, что в обыкновенном евклидовом пространстве. Теперь
это выяснилось очень быстро, и скоро появились исследования

302
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
по механике неевклидова пространства. Начало им положили
два английских геометра — Клиффорд и Болл. За этим
последовали работы большого числа математиков. Можно сказать,
некоторое завершение этого вопроса принадлежит русскому
геометру А. П. Котельникову К Последний показал, что для
построения механики неевклидова пространства наиболее
целесообразно построить специальную, в известном смысле
сдвоенную теорию векторов, другую теорию комплексных
чисел. Геометрия Лобачевского проникла, таким образом, и
в теорию векторов и в учение о комплексных числах.
Механика гиперболического пространства ждала приложений,—
они не заставили себя долго ждать.
Хорошо известно, что в начале настоящего столетия
благодаря большим успехам в деле точного измерения
физические исследования, главным образом в области учения о
распространении света и электромагнитных колебаний
вообще, привели к некоторым сомнениям относительно абсолютной
достоверности устоев классической механики. Было ясно, что
на относительно небольших расстояниях, при сравнительно
небольших скоростях классическая механика имеет место.
Но были прямые указания на то, что при очень больших
скоростях, порядка скорости света, эти законы не имеют места
даже на сравнительно небольшом протяжении. Чтобы
охватить и эти движения, нужно было построить другую механику;
Как это сделать? Эйнштейн пришел к той мысли, что нужно
построить более общую систему механики, содержащую
скорость движения в качестве переменного параметра, которая'
при малых значениях этого параметра в пределах, доступных
измерению, не отличается от классической механики. Ясно,
что эта идея шла по замыслу Лобачевского, что новая
механика должна была стоять в таком же отношении к
классической, как геометрия Лобачевского к геометрии Евклида.
Теория Эйнштейна, так называемый специальный принцип
относительности, построена именно по этой схеме.
Принцип, составляющий основу этого построения, в
настоящее время доминирует в теоретической физике. В
прежнее время одна теория сменяла другую, стирая прежнюю,
1 См. А. П. Котельников. Теория векторов и комплексные
числа (начала механики в неевклидовом пространстве), в книге: А. П.
Котельников и В. А. Фок. Некоторые применения идей Лобачевского
в механике и физике. Гостехиздат, М.—Л., 1950, стр. 7—47. (Работа
А. П. Котельникова была впервые опубликована в 1899 г.). (Ред.).

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
303
заменяя прежние гипотезы другими, которые исключали
предыдущие. Теперь всюду получила применение другая
схема: теория, объясняющая явления по существу, но всё же
обнаруживающая в тех или иных пунктах дефекты,
заменяется более общей, содержащей численные или
функциональные параметры, при частных значениях которых она
возвращается к установившейся прежней теории. Этот
замысел идет из геометрии, от творения Лобачевского.
Специальный принцип относительности, можно сказать,
вошел во всеобщее употребление. Следующий шаг должен
привести к построению геометрии, охватывающей
гравитационные явления (тяготение). Замысел Эйнштейна
заключается в том, что это должно быть достигнуто введением в
то же четырехмерное множество более сложной, углубленной
метрики. В общих чертах это было Эйнштейном выполнено в
его общей теории относительности; она включает
специальную теорию как частный случай совершенно так же, как
общая риманова геометрия включает в себя как частный
случай геометрию Лобачевского.
Построить геометрию того же четырехмерного множества
таким образом, чтобы она охватила также и
электромагнитные явления, построить общую теорию поля — это задача,
которая усиленно занимала физиков. Но даже общая схема
этого мероопределения еще не найдена К Ясно одно, что
эволюция геометрии, решающее направление которой дал
Лобачевский, проникает во все разделы современной
теоретической физики.
XVI
Предыдущее изложение далеко не охватывает всех форм
развития, которые получили идеи Лобачевского; этого и
нельзя сделать в пределах небольшого очерка, к тому же не
входящего в более глубокие математические рассуждения.
Но огромное значение идей Лобачевского, его творений в
области геометрии, математики, во всей современной науке
мы старались очертить с возможной полнотой.
Лобачевский положил начало широкой эволюции
геометрии, которая казалась в своих основах совершенно
законченной наукой. На основе его идей геометрия разрослась в
1 Попытки этого рода привели лишь к формальным результатам, не
представляющим физического интереса. (Ред.).

304 "I.. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
огромное здание, в котором, как уже было неоднократно
сказано, классическая геометрия Евклида составляет только
фундамент, даже только основной камень в его фундаменте.
На базе творения Лобачевского в основном получила полное
разрешение задача обоснования геометрии Евклида, которая
в течение тысячелетий блуждала в поисках новых путей.
Более того, по этой схеме в настоящее время выполняется
обоснование всякой математической дисциплины, вообще
всякой дедуктивной науки.
Создание неевклидовой геометрии привело к первому
завершению одного из основных вопросов теории познания.
Неевклидова геометрия получила применение в анализе и
теории функций.
По схеме и замыслу Лобачевского строятся теории
современной физи-ки, неевклидова геометрия в широком смысле
этого слова составляет базу новых важнейших ее учений.
Все эти сложные вопросы основного значения еще далеки
от окончательного разрешения. Но исследования, поиски этого
разрешения идут по пути, общее направление которого
предуказано Лобачевским. В ходе развития его творения еще
отнюдь не сказано последнее слово.
Нет тех весов, на которых можно было бы взвесить
сравнительное значение гениальных учений в области
естествознания. М. В. Ломоносов — этот неустанный борец за русское
просвещение и основоположник русской науки, Д. И. Менде-
лев, открывший важнейшую систему в химии, И. П. Павлов —
создатель современной психофизиологии, Н. И. Лобачевский—
творец новой геометрии,— не будем.задаваться вопросом, кто
среди них занимает первое место. Несомненно то, что в
плеяде гениальных русских ученых Лобачевский занимает одно
из первых мест. Одно из самых выдающихся мест
принадлежит ему и в мировой науке.

ЯНОШ БОЙАИ*
Вся жизнь и творчество Яноша Бойаи в такой мере
связаны с деятельностью и влиянием его отца Фаркаша Бойаи,
что дать очерк жизни Яноша, не посвятив несколько страниц
его отцу, вряд ли возможно.
Первая статья, посвященцая отцу и сыну Бойаи, была
написана Францем Шмидтом, венским архитектором, в 1868 г.
Сведения об этих математиках Шмидт имел главным
образом от своего отца Антона Шмидта, также архитектора,
работавшего в городе Марош-Вашаргель, где протекала
большая часть жизни обоих Бойаи. В то время о неевклидовой
геометрии имели понятие лишь очень немногие европейские
математики; архитектор Шмидт, конечно, не имел о ней
представления: статья Шмидта не касалась творчества отца и
сына Бойаи и отражала только уважение к памяти двух за^
мечательных математиков, которое сохранилось в
академических сферах Венгрии. Когда в семидесятых годах прошлого
века возродился интерес к работам Бойаи, Шмидт задался
целью тщательно изучить их жизнь и деятельность и
написать обстоятельную их биографию. Но это ему не удалось,
1 Этот очерк опубликован в 1950 г. в качестве вступительной статьи
к русскому переводу основного сочинения Я. Бойаи «Аппендикс»
(см. стр. 569 наст, книги, № 82). Очерк не содержит изложения содержания
«Аппендикса» — ему посвящена другая статья В. Ф. Кагана: «Краткий
обзор сочинения «Аппендикс», напечатанная там же.
Фамилия Bolyai в русской литературе до начала 50-х годов писалась
в неправильной транскрипции: Больаи или Больэ. В венгерском языке
сочетание букв 1у после гласной буквы читается как «й» (ударение
ставится всегда на первом слоге). Теперь кроме транскрипции «.Бойаи»
пишут также: «Бояи» и «Бойяи». (Ред.).

306
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
и через 30 лет, в 1898 г., он опубликовал о них лишь краткие
биографические сведения К Почти в то же время И. Бедёгаци,
профессор коллегии в Марош-Вашаргеле, в которой в свое
время работал Фаркаш Бойаи, опубликовал обширную
биографию обоих Бойаи 2. Однако она напечатана на венгерском
языке и мало кому доступна. В позднейших работах Штекеля
приведены многие выдержки из нее, но сколько-нибудь ясного
представления об идеях не только Яноша, но даже его отца
Бедёгаци не имел.
На юбилейном торжестве по случаю столетия со дня
рождения Яноша Бойаи германский математик Л. Шлезингер,
уже глубоко изучивший неевклидову геометрию, произнес
речь, которую опубликовал в 1903 г.3; она содержит уже не
только краткие биографические сведения главным образом
о Яноше Бойаи, но и научную характеристику его творчества.
С начала девяностых годов прошлого столетия два
германских математика Ф. Энгель и П. Штекель предприняли
совместно издание обстоятельного труда, посвященного
предыстории и возникновению неевклидовой геометрии. Первый
выпуск этого издания, составленный главным образом Энге-
лем, появился в 1895 г.4. После этого они разделились:
Энгель посвятил следующую работу Н. И. Лобачевскому5,
а Штекель занялся изучением жизни отца и сына Бойаи.
Задача, которую поставил себе Штекель, оказалась
исключительно трудной: работы Лобачевского, которые изучал
Энгель, были напечатаны; между тем Янош Бойаи
опубликовал только «Аппендикс» и оставил около 1500 листов
рукописей — статей и заметок, написанных на различных языках —
на венгерском, латинском и немецком. Штекель тщательно
изучил венгерский язык и в течение свыше десяти лет изу-
1 F г. Schmidt. Lebensgeschichte des ungarischen Mathematikers
Johann Bolyai. Abhandlungen zur Geschichte der Mathematiker, 8, 1898.
2 J. Bedohazi. A ket Bolyai (Два Бойаи). Maros-Vasarhely,
1897. (Апострофы над гласными буквами означают в венгерском языке
не ударение, а долготу слога.)
3 L. Schlesinger. Johann Bolyai. Festrede gehalten bei der von
der ungarischen Universitat veranstalteten Bolyai-Feier an 15. Januar
1903. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 12, 1903.
4 P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis an
Gauss, Eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der nichteuklidischen
Geometric, herausgegeben in Gemeinschaft mit F. Engel. Leipzig, 1895.
5 F. Engel. Nikolay Ivanovitsch Lobatschevsky. Zwei geometrische
Abhandlungen aus dem russischen ubersetzt mit Anmerkungen und mit
einer Biographie des Verfassers. Leipzig, 1898.

ЯНОШ БОЙАИ
307
*1ал всё литературное наследие Яноша, а также
всевозможные материалы и документы, относящиеся к жизни и
деятельности обоих Бойаи. В результате он в 1913 г. выпустил в свет
последнюю часть труда, состоявшую из двух томов и
посвященную жизни и творчеству отца и сына Бойаи К Первый том
посвящен жизнеописанию обоих Бойаи и характеристике их
трудов, второй содержит обширные выдержки из их
сочинений. Весь этот материал разработан с такой исчерпывающей
полнотой, что вряд ли нуждается в дальнейшем в каких-либо
дополнениях. В книгу включены также обширные извлечения
их переписки Гаусса с Шумахером и со старшим Бойаи.
Таковы материалы, на основании которых составлен
настоящий очерк.
В юго-восточной части Венгрии, в так называемой Тран-
сильвании, было местечко, называвшееся Бойа. В этом
местечке большой земельный участок принадлежал семье Бойаи;
она и называла себя «Бойаи из Бойа» (Bolyai de Bolya).
Когда-то это была богатая и знатная семья —крупные
землевладельцы. Штекель имел возможность проследить ее
родословную до XVI столетия. С течением времени семья Бойаи
обеднела и лишилась большей части своих владений. Правда,
мать Фаркаша получила в приданое небольшое имение,
называвшееся Домальд (Domald).
Фаркаш Бойаи родился в 1775 г. в Бойа. В 1781 г.
родители перевезли мальчика в главный город Семиградского
княжества— Надженьед2 и поместили в реформатско-еванге-
листскую коллегию, которая представляла собой среднее
учебное заведение. В нем имелись, однако, два старших
класса, преподавание в которых носило уже характер начал
высшего образования, подготовляло учащихся в университет.
Чрезвычайно одаренный мальчик поражал своей памятью и
способностью производить в уме сложные математические
вычисления. Это и вызвало впервые его интерес к математике.
Но когда он стал требовать и в других предметах точных
доказательств, то его учитель, профессор теологии, убедил его
не заниматься математикой, «так как ее стремления всё до-
1 P. S t а с к е 1. Wolfgang und Johann Bolyai. Geometrische Unter-
suchungen. I. Leben und Schriften der beiden Bolyai. II. Stucke aus den
Schriften der beiden Bolyai. Leipzig und Berlin, 1913.
2 Nadjehyed, ныне Айуд (Aiud) в Румынии.

808
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
казывать, проникавшие и в вопросы богословия, исходят от
дьявола». Фаркаш поддался увещаниям и сначала отказался
от занятий математикой. Его воззрения скоро изменились;
одно время он был даже склонен к атеизму, но и эти
настроения продолжались недолго. Вообще неустойчивость
интересов как в юности, так и в зрелые годы была характерной
его чертой.
Подходило время думать о выборе специальности; Фар-
каш очень колебался. Одно время учитель рисования склонял
его к занятиям живописью. Но заболевание глаз, вызванное
взрывом пороха собственного изготовления, лишило его
возможности пойти по этому пути. Средства его отца к этому
времени были ограничены, и вряд ли он мог бы получить
серьезное образование, если бы не благоприятные
обстоятельства, оказавшие решающее влияние на всю его жизнь: Фар-
каш был приглашен бароном Кемень (К. Кешёпу) в его
семью для совместных занятий с его сыном Симоном; Фар-
каш и Симон стали большими друзьями. К концу средних
классов школы Фаркаш склонялся к поступлению в
артиллерийскую академию; но Симон Кемень его отговорил и убедил
поехать вместе с ним в Германию —в университет. Они
поехали сначала в Иену, а потом в Геттинген, где научные
интересы Фаркаша окончательно склонились к математике.
В этом большую роль сыграло его сближение с Гауссом, с
которым он познакомился в доме профессора астрономии
Зейфера (С. Seyffer). Юный Гаусс был на два года моложе
Фаркаша Бойаи; они очень подружились и даже принесли
друг другу клятву в вечной дружбе. В беседах с Гауссом
окрепли интересы Фаркаша к основаниям геометрии, в
частности к вопросу о доказательстве XI аксиомы (пятого
постулата) Евклида. Кафедру геометрии в Геттингенском
университете занимал Кестнер (A. G. Kastner). Кестнер не был очень
крупным геометром, но он очень хорошо знал Евклида и
обширную литературу, с ним связанную. По инициативе Кест-
нера его ученик Клюгель (S. Klugel) написал диссертацию,
содержавшую обзор важнейших попыток доказать постулат
о параллельных линиях, и показал, что ни одно из этих
доказательств не выдерживает критики. В этой обстановке, в
общении с Кестнером и Гауссом Фаркаш Бойаи, естественно,
заинтересовался основаниями геометрии, в частности
доказательством пятого постулата. С Гауссом они об этих вещах
часто беседовали, и Гаусс с восторгом отзывался о высказан-

ЯНОШ БОЙАИ 309
ных Фаркашем мыслях. В это время Фаркаш уже задумал
доказательство, которое он позднее много раз
перерабатывал— в литературе оно известно под именем «геттингенской
теории параллельных линий» и изложено Штекелем в
указанном выше мемуаре. Гаусс уехал из Геттингена раньше, а
потом, перед отъездом Бойаи, они снова встретились в Гарце и
подтвердили принятую клятву дружбы на всю жизнь.
Бойаи к тому времени был в такой мере стеснен в
средствах, что был вынужден вернуться на родину пешкОм.
Однако, когда он дошел до границы Трансильвании, Симон Ке-
мень, узнав о его затруднениях, прислал за ним экипаж,
который довез Фаркаша до Клаузенбурга 1 — главного
культурного центра Трансильвании. Тут он остался,
заинтересованный общением с венгерской интеллигенцией. По его
воспоминаниям, проведенные здесь три года были лучшими годами
его жизни. В 1800 г. он познакомился на балу с молодой
девушкой Сусанной Аркос, дочерью местного хирурга, и
вскоре женился на ней. Со свойственной ему экзальтацией
Фаркаш пишет Гауссу восторженные письма о своем счастье.
Однако счастье это длилось недолго: молодая жена Фаркаша
была очень больна, страдала тяжелой истерией. От этого
брака—от талантливого, экзальтированного и
непостоянного в своих стремлениях отца и матери-истерички — в декабре
1802 г. родился сын Янош; он превзошел отца в своих
дарованиях и унаследовал от матери ее болезнь, позже еще
усилившуюся вследствие тяжелых переживаний. Семья
переехала в Домальд, в имение, принадлежащее Фаркашу, но здесь
она оставалась недолго.
В Трансильвании было четыре евангелистско-реформат-
ских коллегии, в одной из которых Фаркаш начал свое
образование. В городе Марош-Вашаргель2 функционировала
другая такая же коллегия. В 1803 г. скончался проф. Черна-
тон (V. Csernaton), занимавший там кафедру философии и
математики. Коллегия сочла нужным разделить эти две
специальности, организовав отдельную профессуру по
математике, физике и химии. На эту кафедру в 1804 г. был приглашен
Фаркаш Бойаи. Не без колебаний принял Бойаи это
приглашение. В апреле 1804 г. он переехал в Марош-Вашаргель,
где оставался на своем посту около 50 лет.
1 В настоящее время этот город носит румынское название Клуж.
2 Название означает «рынок на реке Марош». В настоящее время этот
город носит румынское название Тыргу-Муреш.

310
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Со свойственной ему добросовестностью Фаркаш Бойаи
занялся глубоким изучением предметов, входящих в его
кафедру, и подготовкой курсов. Был ли он на высоте своей
задачи? «Из трех качеств ответственного преподавателя, —
говорит Штекель, — он обладал двумя и притом в высокой
степени: он был энтузиастом своей науки и горячо любил
молодежь». Но он не обладал способностями излагать свои мысли
в доступной форме, выбирать материал для своей аудитории.
Он сознавал этот свой недостаток и тяжело это переживал.
В то же время Фаркаш вновь занялся исследованиями в
области математики и, конечно, прежде всего своей геттин-
генской теорией параллельных линий; он отдал этой задаче
много сил и в тщательно обработанном виде прислал свое
доказательство Гауссу. Но в его рассуждениях была
элементарная ошибка, на которую Гаусс ему указал. Фаркашу это
причинило много огорчений. Позднее, в 1821 г., к этому
присоединилось большое семейное несчастье —умерла его жена.
Чтобы найти утешение, которого он не нашел в
математике, Фаркаш обратился к литературному творчеству.
В Венгрии возник театр; одно время Фаркаш предполагал
даже принять в нем участие в качестве артиста, однако от
этого он отказался. С большим рвением он занялся писанием
пьес и написал пять трагедий, но ни одна из них не была
поставлена на сцене. Его произведения, как и всё, что он делал,
носили экзальтированный характер, содержали длинные
беседы о морали при отсутствии действия.
Потерпев неудачу в театре, Бойаи направил свои силы в
другую сторону — весьма неожиданную. Специальной
комиссии в Вене было поручено сконструировать экономическую
печь, но комиссия эта не справилась со своей задачей. Бойаи,
узнав об этом, в качестве химика занялся этим делом и не
без успеха. Его печь получила в Венгрии распространение.
Но главным его занятием была подготовка к печати курса
математики. Он работал над этим курсом около 20 лет,
постоянно возвращаясь то к одним, то к другим его частям.
Тем временем подрастал его сын Янош. Отец лично
руководил занятиями сына, и успехи мальчика были
единственным утешением в безрадостной жизни Фаркаша. В 13 лет
Янош уже владел дифференциальным и даже интегральным
исчислением. В 1816 г., когда Яношу минуло 14 лет, отец на-

ЯНОШ БОЙАИ
311
писал об его успехах Гауссу, но на это письмо не получил
ответа. Это было первым нарушением клятвы, данной
друзьями в студенческие годы.
Между тем разносторонняя одаренность мальчика
сказывалась не только в математике. Семи лет Янош начал учиться
игре на скрипке, а в 10 лет он уже имел свои собственные
композиции. На протяжении всей жизни страстный интерес
как к математике, так и к музыке в нем не угасал. В 1817 г.,
15 лет от роду, Янош выдержал экзамен на аттестат зрелости.
Надо было думать о высшем образовании.
Отец и сын— оба мечтали о том, чтобы Янош продолжал
свое образование под руководством Гаусса в Геттингене. Еще
до окончания Яношем коллегии, 10 апреля 1816 г., Фаркаш
написал об этом Гауссу. Он не решался предоставить
15-летнего юношу самому себе, да и не был в состоянии
расходовать значительные суммы на содержание сына в большом
городе. Он просил Гаусса взять юношу в свою семью с тем,
что он, конечно, оплатит связанные с этим расходы. Фаркаш
уверял Гаусса, что он найде^ в Яноше достойного ученика.
В течение многих месяцев и отец и сын с волнением
ожидали ответа на это письмо. Но ответа не было. «Насколько
горячей была дружба вначале, настолько она успела остыть за
годы», —пишет биограф Бойаи Бедёгаци. Однако Шлезингер,
который не в состоянии принять никакого упрека Гауссу и
готов оправдать любой его поступок, говорит по этому
поводу: «Нужно удивляться не столько молчанию Гаусса, сколько
соображениям, высказанным в письме Бойаи за и против
этого плана». Действительно, Фаркаш спрашивал Гаусса,
нет ли у него дочери, в интересах которой пребывание юноши
в их доме было бы нецелесообразно; он спрашивал, все ли
в семье Гаусса здоровы, живут ли они безбедно, представляет
ли его супруга «исключение из всего женского пола», «не
меняется ли подобно флюгеру ее настроение». Конечно, эти
вопросы лишены такта, но их можно было при желании легко
отвести, простить старому другу неудачные фразы. Во
всяком случае со стороны Гаусса было жестоко прекратить
только из-за этого переписку, продолжавшуюся столько лет.
Так или иначе, от этого плана Фаркашу Бойаи пришлось
отказаться и надо было искать другие пути для дальнейшего
образования Яноша. После продолжительных колебаний отец
решил поместить сына в военно-инженерную академию в
Вене —закрытое учебное заведение, не требовавшее значитель-

312
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
ных расходов. К тому же программа обучения в этой
академии предусматривала значительный курс математики. В конце
жизни Янош горько жаловался на Это решение отца. Он
считал, что отец поступил бы лучше, если бы оставил его у себя
и продолжал сам руководить его занятиями.
В августе 1818 г. Янош отправился в Вену. С особенно-
тяжелым чувством отпускала его мать, не рассчитывавшая
его больше увидеть; и действительно в сентябре 1821 г. она
скончалась.
С августа 1818 г. Янош в течение четырех лет состоял
студентом военно-инженерной академии. Он работал
успешно, всё время занимая второе место в своем классе.
Преподавателем математики состоял Вольтер Эквер (Wolter
V. Eckwer); это был военный, по-видимому, хорошо
владевший теми разделами математики, которые преподавал; но от
научных задач современной ему математики он, конечно,
стоял далеко. Янош получил солидные, но не углубленные
познания. Из академии он вышел дисциплинированным
человеком с серьезными знаниями как в области военного
дела, так и в области математики. Одного, однако,
академия не достигла — она не могла сделать из математика
офицера.
Во время пребывания в Вене Янош познакомился с
Карлом Сасом (К. Szasz)—математиком, который позже
заменил его отца на кафедре в Марош-Вашаргеле. Уже в Вене
Янош некоторое время работал совместно с Сасом над
доказательством постулата о параллельных линиях; оба были
чрезвычайно увлечены этой проблемой и даже дали друг
другу обещание только сообща публиковать свои
дальнейшие достижения.
Отношения Яноша с отцом во время пребывания в
академии были нормальны: отец был вполне доволен успехами
Яноша и возлагал большие надежды «а его будущее. Здесь
будет уместно рассказать о новом увлечении Фаркаша,
относящемся к этому периоду. Венгерским правительством был-
объявлен конкурс на пост заведующего лесничеством. Эта
должность оплачивалась много выше, нежели профессура-
Фаркаш со свойственным ему увлечением занялся
тщательным изучением лесного дела; он имел уже некоторые
познания по лесоводству с того времени, когда занимался
хозяйством в своем имении в Домальд. В связи с конкурсом он
изучил около сорока сочинений по лесоводству и просил сына

ЯНОШ БОЙАИ
313
поддержать в Вене его кандидатуру. Однако должность эта
Фаркашу не была предоставлена.
Первого сентября 1823 г. Янош был произведен в офицеры
и в чине младшего лейтенанта командирован в небольшую
крепость Темешвар 1. Здесь в одиночестве, располагая
значительным досугом, Янош со свойственным ему увлечением
всецело ушел в занятия математикой и был поглощен
главным образом теорией параллельных линий. Вначале он шел
по пути, который они наметили совместно с Сасом, но позже
его мысли приняли другое направление. С 1823 г. Янош
сообщает в письмах к отцу, что достиг в своих исследованиях
значительных результатов. «Правда, — пишет он, — я не достиг
еще цели, но получил очень замечательные результаты — из
ничего я создал целый новый мир!».
Когда отец узнал об увлечении сына теорией
параллельных линий, он пришел в глубокое отчаяние. В своем письме
он умолял Яноша оставить эти занятия 2. Но это письмо на
Яноша не подействовало. Янош продолжал работать над
проблемой о параллельных линиях еще около десяти лет,
пока привел свои исследования в полный порядок. Он посылал
отцу выдержки из своей работы, но тот не сумел уяснить
себе его идей и продолжал настаивать на том, чтобы Янош
оставил эти занятия.
Однако служба в Темешваре была Яношу в тягость. К
тому же и здоровье его пошатнулось; вместе с тем
раздражительность и несдержанность, унаследованные им от матери,
стали всё больше проявляться. Происходили стычки с
товарищами, кончавшиеся поединками. Доходило даже до того,
что в один день он был вызван двенадцатью офицерами. Он
принял все вызовы с тем условием, чтобы после каждого
поединка ему была предоставлена передышка — поиграть на
скрипке. Во всю его трудную жизнь музыка была его
единственным утешением. Из всех поединков он вышел
победителем.
В 1833 г., после десяти лет военной службы, которая
стала для него невыносимой, Янош возбудил ходатайство об
отставке, которая была ему предоставлена с небольшой
пенсией в 280 гульденов в год.
1 Temesvar. В настоящее время этот город называется Тимишоара.
2 Текст письма см. на стр. 38 наст, книги. (Ред.).

314
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Как уже сказано выше, Янош с 1823 г. начал заниматься
проблемой параллельных линий. Несмотря на расхождения
во взглядах на этот вопрос, отец склонился к тому, чтобы
помочь Яношу опубликовать его работу.
К 1830 г. Фаркаш составил свой курс математики и решил
его опубликовать в двух томах. Задача была нелегкая:
объявленная подписка дала только 175 подписчиков; тем не
менее Фаркаш решил довести издание до конца. Янош убедил
его поместить в качестве приложения («Appendix») к
первому тому его собственную работу. Отец согласился с тем
условием, чтобы все расходы по напечатанию этого
приложения Янош взял на себя. Под названием «Аппендикс» 1 это
замечательное произведение геометрической мысли известно
в литературе до сих пор.
Сочинение отца известно в литературе под названием
«Тентамен» (Tentamen). Полное его латинское название:
Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos puraer
elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentiaquae
huic propria, introducendi» в русском переводе гласит: «Опыт
введения учащегося юношества в начала чистой математики,
элементарной и высшей, приспособленным для этого
наглядным методом. Публичного ординарного профессора
математики, физики и химии (Ф. Бойаи). Том I. Марош-Вашаргель,
1832».
Первый том этого сочинения появился в 1832 г. Но
отдельный оттиск «Аппендикса» вышел из печати несколько
раньше, в 1831 г., и экземпляр его тотчас послан был Гауссу.
Однако в Австрии в это время была холера, и посылка до
Гаусса не дошла. Через несколько месяцев отец и сын
послали книгу оказией с письмом, в котором Фаркаш просил
Гаусса сообщить свое мнение о работе сына; «Мой сын ставит на
твой отзыв больше, чем на мнение всей Европы», — пишет он.
Получив это письмо и «Аппендикс», Гаусс сейчас же
написал своему другу Герлингу, что он получил от Бойаи
замечательную работу и считает ее автора «гением первого ранга».
1 Приводим полное латинское название сочинения: «Appendix scien-
tiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI
Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad ea-
sum falsitatis quadratura circuli geometrica». Русский перевод:
«Приложение, содержащее науку о пространстве абсолютно истинную, не
зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori
никогда решено быть не может), с прибавлением, к случаю ложности,
геометрической квадратуры круга».

ЯНОШ БОЙАИ
315
.Однако Фаркашу Бойаи он ответил значительно позже —
только через месяц, 6 марта 1832 г., и в' гораздо более
сдержанном тоне. После приветствия «своему старому
незабвенному другу» и кратких сведений о своей жизни за время
15-летнего молчания, Гаусс обращается к работе Яноша. Эта
часть письма настолько характерна и интересна, что мы
приводим начало ее текстуально:
«Теперь кое-что о работе твоего сына. Если я начну
с того, что я ее не должен хвалить 1, то на мгновение
ты поразишься, но я не могу поступить иначе: хвалить
ее — значило бы хвалить самого себя, ибо всё
содержание этой работы, путь, по которому твой сын пошел,,
и результаты, которые он получил,— почти сплошь
совпадают с моими, которые я частично получил уже
30—35 лет тому назад. Я действительно этим крайне
поражен.
Я имел намерение о своей собственной работе, кое-
что из которой я теперь нанес на бумагу, при жизни
ничего не публиковать. Большинство людей
совершенно не имеет правильного понятия.о том, о чем здесь
идет речь; я встретил только очень немногих людей,
которые с особенным интересом восприняли то, что я
им об этом сообщал. Чтобы быть в состоянии это
понять, надо сначала живо ощутить то, чего собственно
здесь недостает, а это большинству людей совершенно
неясно. Но я имел намерение со временем нанести на
бумагу всё, чтобы эти мысли по крайней мере не
погибли со мной.
Я поэтому очень поражен тем, что я освобожден от
этой необходимости, и меня очень радует, что именно
сын моего старого друга таким удивительным образом
меня предвосхитил».
Ответ Гаусса, конечно, не только не удовлетворил Яноша,
но вызвал в нем естественное возмущение. Первоначальна
Янош даже не поверил тому, что Гаусс независимо от него
пришел к основным идеям неевклидовой геометрии.
К сожалению, в это время Янош еще не знал, что
приоритет открытия неевклидовой геометрии принадлежал уже
русскому математику Н. И. Лобачевскому, «опубликовавшему
Подчеркнуто Гауссом.

316
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
свои результаты в 1829 г. в Казани. Между тем Янош
предполагал, что «жадный колосс Гаусс» хочет похитить приоритет
этого открытия, присвоив эти идеи себе. Более того, он даже
пришел к нелепой мысли, что отец выдал его идеи Гауссу.
Но и позже, когда Янош убедился в том, что эти его
предположения лишены основания, он оставался в убеждении, что
поведение Гаусса по отношению к нему очень неправильно и
несправедливо. И это его убеждение, конечно, имело полное
основание. Вместо того чтобы поддержать замечательные
идеи молодого математика, он больше останавливается на
своих собственных заслугах, а в печати не проронил ни
единого слова в поддержку этого «гения первого ранга». В
наследии Яноша Бойаи сохранилось много заметок по этому
поводу. Мы приведем одну из них, которую сообщает Штекель.
Янош Бойаи пишет:
«По моему мнению и, как я глубоко убежден, по
мнению каждого непредубежденного человека, все
доводы, которые Гаусс приводит в объяснение того,
почему он вовсе не хотел опубликовать при жизни ничего
из собственных работ по этому вопросу, — бессильны и
ничтожны. Ведь в науке, как в действительной жизни,
дело заключается в том, чтобы всемерно выяснить
необходимые общеполезные, хотя еще неясные вещи, и
вместе с тем пробудить еще дремлющее сознание
истины!, укрепить и развернуть его. Понимание
математики, к сожалению, пробудилось еще у немногих людей.
И на этом основании, под таким предлогом Гаусс мог
бы совершенно последовательно скрыть значительную
часть своих прекрасных работ. И то обстоятельство,
что, к сожалению, даже между математиками, в том
числе и знаменитыми математиками, имеется много
поверхностных, — это обстоятельство отнюдь не может
служить для разумного человека основанием и впредь
заниматься только поверхностным и посредственным,
держать науку в летаргии, в унаследованном ее
состоянии. Такого рода умонастроение справедливо
можно было бы назвать противоестественным и чистым
безрассудством; поэтому производит весьма неприятное
впечатление, что Гаусс вместо прямого, честного,
искреннего признания высокого значения «Аппендикса»
и всего «Тентамена», вместо того, чтобы с радостью и

ЯНОШ БОЙАИ
317
участием проложить путь новому учению и подумать
о том, как бы искуснее изложить эти идеи, дать
хорошим мыслям надлежащий путь, — Гаусс, напротив,
старается этого избежать и изливается в
благочестивых пожеланиях и сожалениях по поводу недостатка у
читателей достаточного образования. Не в этом,
конечно, состоит жизнь, деятельность и заслуга ученого».
Штекель отмечает, как много правды в этих словах. Но
Шлезингер, для которого характерно филистерское
благоговение перед всем, что было высказано гениальным ученым,
думает иначе. «Может быть, —говорит он в своей речи, —
Гаусс поступил правильно, когда он молчал, как бы не желая
предвосхищать развития истории; может быть, его
сдержанность, которую мы, не будучи в состоянии проследить путей
его великого ума, находим непонятной, оберегла Яноша от
того, чтобы «беотийцы» охаяли его как дурня и еретика, —
обеспечила ему по крайней мере мир и уединение, хотя он,
как и большинство основоположников науки, и не мог при
жизни увидеть плоды из посеянных им семян».
Шлезингер, конечно, совершенно неправ. В своем слепом
подчинении авторитету Гаусса он готов оправдать любой,
даже неправильный его шаг. Ведь именно отзыв Гаусса,
прозвучавший, к сожалению, уже после его смерти в его
письмах, в значительной мере способствовал возрождению и
признанию замечательных идей Лобачевского и Бойаи. И не
подлежит сомнению, что на Гауссе лежит тяжелая
ответственность за те переживания, которые омрачили жизнь Яноша
и довели его до состояния, граничившего с психическим
расстройством.
Было бы уместно хотя бы вкратце изложить содержание
самого «Тентамена». Но это трудно сделать. «Тентамен» —
сочинение, которое нелегко прочитать, труднее понять, еще
много" труднее изложить. «О нем многие говорили, —
замечает Штекель, — но очень немногие читали!». При всём
стремлении к точности оно несет печать той экзальтации,
которая так свойственна всему, что Фаркаш делал, говорил и
писал. Свое вступление автор начинает с двух основных
понятий, которыми он руководится, — «Истины» (Veritas) и
«Любви» (Amor). «Истина» — это то, что объективно неоспо-

318
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
римо, «любовь» — это то, что субъективно освещает истину в
связанных с нею представлениях. Желая выяснить «истину»,
автор оснащает ее таким количеством «любви», что нередко
истина в этой любви растворяется.
«Тентамен» состоит из двух частей. Первая содержит
общий обзор арифметики, вторая — общий обзор геометрии.
И в той и в другой частях автор стремится построить
«истину» соответствующей науки из неоспоримых ясных понятий и
начал; но эти попытки тонут в большом количестве
отступлений. Но всё же его рассуждения во многих своих частях
представляют интерес как оригинальные попытки построить
строго выдержанную систему арифметики и геометрии. Эта
тенденция, имевшая вековую давность, с середины XIX
столетия принимает новые формы и становится насущной
задачей в ходе обоснования математики; Фаркаш пытается идти
по этому пути; он старается определить понятие о
непрерывном линейном множестве и континууме, привлекая для этого
время не только в качестве примера, но и как средство
исследования. В геометрии Фаркаш впервые выдвинул требование
независимости посылок. Он первый строго доказал, что
равновеликие многоугольники всегда равносоставлетш, т. е. могут
быть составлены из соответственно конгруэнтных частей *.
В нем нельзя не видеть предшественника Фреге, Пеано и др.
Но почти всегда его мысли растворяются в пространных и
рискованных рассуждениях.
В противоположность ему Янош излагает свои мысли
чрезвычайно сжато, не допуская не только лишнего слова, но
даже лишней буквы. Эта сжатость изложения делает чтение
«Аппендикса» очень затруднительным. К тому же, стараясь
уменьшить расходы, Янош 'пользуется одним и тем же
чертежом для различных целей. Несмотря на эти расхождения с
отцом в научном стиле, Янош высоко ценил «Тентамен»; по
крайней мере он не раз отзывался о «Тентамене» с полным
признанием и похвалой, однако недостаточно строгие и
пространные рассуждения отца его раздражали. В свою очередь
Фаркаш, постепенно уясняя себе идеи «Аппендикса», не
овладел ими до конца и многое в них оспаривал.
Вследствие этих расхождений между отцом и сыном
возникали разногласия, которые скоро перешли в острые споры,
а при нараставшей раздражительности Яноша перешли в
См. об этом на стр. 158 наст, книги. (Ред.).

ЯНОШ БОЙАИ
319
раздоры. По-видимому, отношения отца с сыном еще
обострялись материальными и семейными разногласиями. Отец
женился вторично; ко времени приезда Яноша его вторая жена
уже умерла. При Фаркаше оставался его сын от этого брака,
маленький Грегор, которого Янош долго совершенно
чуждался, и это раздражало отца. Еще более осложнились
отношения, когда Янош в 1834 г. сошелся с девицей Розалией Орбаи
и хотел на ней жениться. Однако и в отставке он всё же
оставался в подчинении военному начальству, которое давало
согласие на этот брак только при условии материального
обеспечения семьи. Янош такового предоставить не мог, а отец
отказался выделить сыну некоторую долю своего имущества.
Условия жизни становились всё труднее, Янош становился
всё раздражительнее, его возбуждение принимало
болезненный характер; отцу было трудно это понять.
Неприязненные отношения всё более углублялись; дело
дошло до того, что Янош вызвал отца на дуэль. Вмешался
брат Фаркаша, который их примирил; но Янош должен был
оставить родительский дом. Он переехал сначала в Домальд,
а потом, когда у него появились дети, вернулся в Марош-
Вашаргель. Однако, живя в одном городе с отцом, Янош не
встречался с ним и только время от времени вступал с Фар-
кашем в своеобразную научную переписку.
Янош был поглощен главным образом развитием
геометрических идей, изложенных в «Аппендиксе». Он хотел
развернуть на новых началах всю геометрию и о своих
достижениях сообщал отцу, но они действительно вызывали
возражения и отца не удовлетворяли. Это еще больше увеличило
вражду между ними, которая и достигла наибольшего
напряжения в 1838 г.
Около этого времени был объявлен конкурс на премию
Лейпцигского ученого общества им. Яблоновского. В
качестве темы было предложено усовершенствовать геометрическую
теорию мнимых чисел. Отец и сын оба приняли участие в
конкурсе. Фаркаш представил переработанное извлечение из
«Тентамена», Янош написал на эту тему новую работу.
Между ними разгорелся жестокий спор о преимуществе той
или иной работы, который еще осложнился личными
столкновениями, возникшими на этой почве. Ни один из них не
получил премии; не получил ее и третий претендент проф. Кере-

320
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
кеш (F. Kerekes)1. Жюри дало о работах обоих Бойаи
отзывы, которые, несомненно, не были справедливы.
Особенно несправедлив был отзыв о работе Яноша.
Между тем эта работа, позже опубликованная Штекелем, по
замыслу и построению мало отличалась от теории комплексных
чисел, которая на несколько лет позже (1853 г.) была
изложена Гамильтоном в его «Лекциях о кватернионах» 2 и по
существу сохранила свое значение до настоящего времени. Но,
как и все работы Яноша, она была написана чрезвычайно
сжато. Так, § 8 содержал начало общей теории
логарифмической функции, позже вошедшей в теорию функций
комплексного переменного; однако у Яноша эта теория была скорее
намечена, чем построена. Два параграфа опирались на
неевклидову геометрию, изложенную в «Аппендиксе»;
непосвященному читателю они были совершенно недоступны. Были
и другие недоделки. На оценке сказались, вероятно, и
высказанные Яношем упреки теории Гаусса, хотя и выраженные в
самой почтительной форме.
Может быть, Обществу действительно трудно поставить
в упрек его неблагоприятный отзыв. До некоторой степени
это признавал и сам Янош; но он сознавал высокое
достоинство своей работы, и новая неудача была для него очень
тяжелым ударом. К сохранившемуся экземпляру этой работы
приложена следующая его заметка:
«Жаль, что этот большой клад попал в
недостойные руки. В меру своих сил, Общество выполнило свой
долг и свою обязанность, но теперь очередь за мной
судить Общество. Защищать здесь нечего, поскольку
противник ничего определенно не критикует, не
приводит оснований, по которым он то или другое считает
неважным или для него непонятным, а между тем
своим властным словом он объявляет всё в целом
ничего не етбящим и непонятным. Такого рода осуждение
было бы» уместно относительно работы, в которой
нельзя было бы найти ничего хорошего или понятного; но
утверждать что-либо такое обо мне, который имел слу-
1 Имена претендентов Обществу не были известны: как это издавна
делалось, работа помечалась девизом (условной надписью). Работа Яноша
имела девиз: «Fructus nonnisi maturi decerpendis» («Срывать надлежит
только спелые плоды»).
2 W. E. H a m i 11 о п. Lectures on quaternions. Dublin, 1853.

ЯНОШ БОЙАИ
321
чай в вопросах, гораздо более трудных и глубже
сокрытых, получить высокое признание Гаусса (колосса,
по сравнению с которым вы только карлики)—это
дерзко, и я не могу надивиться, как Общество себе
позволило вынести такого рода приговор вместо того,
чтобы снова и снова изучать работу».
И Янош, несомненно, был прав. «Теория мнимых чисел,
построенная Яношем,—замечает по этому поводу Штекель,—
несомненно была кладом, который, однако, нужно еще было
вычеканить, прежде чем его можно было бы использовать.
Она действительно представляла существенный шаг вперед
после той точки зрения, которую занял Гаусс относительно
направления нового учения о комплексных числах. Однако
то, что нам теперь совершенно ясно, оставалось для Яноша
еще туманным. Гениальной интуицией он предугадал
решение проблемы, но он еще не был в состоянии дать
проработанное, всем доступное изложение предмета».
Всё это, несомненно, справедливо; но гениальный
мыслитель, который и в этом сложном вопросе стоял впереди
своего века, потерпел новое испытание, которое он очень тяжело
перенес.
В последующие годы—почти десять лет — Янош работал
над различными вопросами, относящимися главным образом
к развитию неевклидовой геометрии. Больше всего его
интересовало строгое доказательство того, что она не содержит
в себе внутреннего противоречия. По отношению к геометрии
плоскости это вытекало из известного соотношения между
неевклидовой и сферической тригонометрией; но как доказать,
что к такому противоречию не может привести и
стереометрия, к этому не видно было путей. В посмертных записках
Бойаи Штекель не нашел никаких результатов этого
исследования.
Так прошло десять лет. В 1848 г. произошло событие,
которое для Яноша было новым тяжелым ударом.
В 1840 г. появилась на немецком языке небольшая
книжка Н. И. Лобачевского «Geometrische Untersuchungen zur
Theorie der Parallellinien» («Геометрические исследования по
теории параллельных линий»). Брошюра эта была в свое
время прислана Гауссу, который ее очень высоко оценил.

322 Ш. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
В августе 1843 г. Гаусса посетил Ф. Ментович (Mentovich).
Это был тогда еще молодой венгерский математик (после
Саса он занял кафедру математики в Марош-Вашаргеле).
Приблизительно через год после этого посещения Ментович
опубликовал в венгерской газете содержание своей беседы
с Гауссом. В этой беседе Гаусс расспрашивал его о «своем
старом друге» Бойаи и о его сыне. Вместе с тем Гаусс
показал Ментовичу брошюру Лобачевского, в которой содержатся
те же идеи, что и в работе Яноша Бойаи. «Эта работа, —
сказал Гаусс,— должна для венгерского математика иметь
двоякий интерес, — во-первых, по удивительному сходству его
взглядов с идеями молодого Бойаи, а во-вторых, потому, что
и другие работы Лобачевского, написанные на русском
языке, должны быть венгру доступны». Гаусс, очевидно,
ошибался, считая что венгерский язык близок к славянским языкам.
Эта заметка сначала, по-видимому, ускользнула от
внимания Бойаи; только в январе 1848 г. Фаркаш осведомился у
Гаусса о названии этого сочинения. Гаусс сообщил ему
название; Фаркаш выписал эту книгу и препроводил ее Яношу.
День 17 октября 1848 г., когда Янош получил
«Геометрические исследования» Лобачевского, он считал началом новой
эпохи своей жизни.
Сначала Янош вовсе не хотел верить в существование
«какого-то Лобачевского»; он высказал мнение, что
брошюру эту написал Гаусс, который всё еще претендует на
приоритет открытия неевклидовой геометрии. Эти предположения
сменялись другими. Приводим открывок из «Замечаний»
Яноша, опубликованный Штекелем.
«Дух и результат этого сочинения в такой мере
совпадает с «Приложением» (Appendix) к сочинению
«Тентамен», опубликованному в 1832 г., что этому
нельзя не удивляться. Уже Гаусс, по его словам, был
в высшей степени поражен сначала «Аппендиксом», а
затем замечательным совпадением работ мадьярского
и московского математиков. Воистину, я этим поражен
не меньше!
Конечно, сущность чистой истины как в
Марош-Вашаргеле, так и на Камчатке и даже на Луне, короче
говоря, —на всем свете должна быть одна и та же. Что
открывает одно разумное существо, то может открыть
и другое — это не лишено возможности. К тому же про-

ЯНОШ БОЙАИ
323
изведения ума, как и продукты природы — по ходу раз-,
вития человечества, — имеют свое время, когда они
появляются; так иногда на суше и на море изучается
один и тот же предмет, и появляются родственные
идеи, как это имело, например, место в случае
дифференциального и интегрального исчисления. Наконец, и
самый предмет этот не особенно труден и не так скрыт.
Но если всё же подумать, как мало было
глубокомысленных математиков, даже среди лучших из них,
которые пришли к осознанию этого пробела в геометрии и
стремились к его восполнению, — что со времен
Евклида и даже со времени существования человечества,
несмотря на многие прекрасные глубокие исследования
(между ними в отношении строгости, ясности и
глубины рассуждения «Тентамен», непосредственно
предшествующий «Аппендиксу», бесспорно, занимает пер-
Еое место) в этой области по крайней мере в печати 1
ничего значительного не появлялось, если принять во
внимание, что столь серьезный Эттингаузен2 не был в
состоянии понять «Аппендикс», — если всё это принять
во внимание, то вряд ли можно считать вероятным, что
два или даже три человека, ничего друг о друге не
зная, почти в одно и то же время, хотя и различными
путями, почти полностью исчерпали вопрос.
После этих соображений я не считаю лишенным
основания подозрение — хотя я здесь очень неохотно
его высказываю — не предназначая его для
опубликования, что Литтров3, как почетный член Казанского
университета, может быть в прошлом профессор
математики, находился в переписке с Лобачевским и
послал ему экземпляр «Тентамена», который мой отец
переслал ему в Вену; Лобачевский же, как человек
бесспорно талантливый, уяснил себе цель и значение этой
работы и старался достигнуть той же цели другим
путем. Но еще вероятнее то, что Гаусс — колосс, и без
1 Явный намек на Гаусса.
2 Эттингаузен (Ettinhausen) — один из преподавателей математики,
которого Янош слушал в Вене; Янош послал ему экземпляр
«Аппендикса».
3 И. И. Литтров состоял профессором астрономии с 1810 по 1816 г.
в Казанском университете. Он, таким образом, оставил Казань задолго
до того, как Лобачевский занялся теорией параллельных линий.

324
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
того владевший такими сокровищами — не мог
примириться с тем, что кто-то в этом вопросе его
предвосхитил; и так как он уже не был в состоянии этому
воспрепятствовать, то он сам обработал теорию и
выпустил в свет под именем Лобачевского».
«Геометрические исследования» появились в свет только
в 1840 г., но во вступлении к этому сочинению Лобачевский
указал, что первую свою работу, содержащую эти
результаты, он опубликовал в «Казанском вестнике» в 1829 г., т. е.
за три года до выхода в свет «Тентамена». Бойаи не мог,
таким образом, претендовать на приоритет, который, бесспорно,
принадлежал Лобачевскому.
Янош чрезвычайно тщательно изучил книгу Лобачевского
и продумал каждое его слово. Он написал на венгерском
языке обширные «Замечания», которые сохранились в его
наследии. Штекель и Кюршак опубликовали их в 1902 г. в
оригинале, а в следующем году— в немецком переводе 1. Эти
«Замечания» частью посвящены пояснению мыслей
Лобачевского, частью представляют собой любопытные, но
несущественные, можно сказать, придирчивые упреки; только одно
замечание, относящееся к § 36, действительно содержит указание
на недоделку. Однако в сочинении «Новые начала
геометрии» у Лобачевского этого дефекта нет, а в «Пангеометрии»
он отмечен и исправлен. Во всяком случае, Янош Бойаи
отдает Лобачевскому справедливость, называя некоторые из
его-выводов «гениальными».
Посвятив много времени изучению «Геометрических
исследований», Янош занялся развитием своей «абсолютно
истинной» геометрии, выполнил ряд вычислений, в том числе
вычисление объема тетраэдра в неевклидовой геометрии, и,
наконец, вернулся к «Общим основаниям» геометрии. И тут он
неожиданно усомнился в правильности своей новой
геометрии.
Его привело к этому следующее обстоятельство.
Противоречие, как уже указано выше, можно было искать только в
стереометрии. Имея это в виду, Янош рассматривает тет-
1 P. Stackel und J. Kurschak. Johann Bolyais Bemerkungen
liber Nicolaus Lobatschefskijs Geometrische Untersuchungen zur Theorie
der Parallellinien. «Mathem. und naturwiss. Berichte aus Ungarn», 18,
1903. «Замечания» включены также в работу Штекеля, см. сноску на
стр. 307. [Их русский перевод см. № 82 на стр. 569. (Ред.)].

ЯНОШ БОЙАИ
325
раэдр и вычисляет его двугранные углы (их косинусы) через
шесть ребер тетраэдра. Оказалось, что вычисление каждого
угла возможно провести двумя способами. Полученные в том
и другом случаях выражения содержат гиперболическую
постоянную, которую Янош обозначает через Z. Приравняв два
полученных выражения, он получает уравнение, из которого
должно получиться значение L Основной вывод
«Аппендикса»—что i может иметь произвольное значение — таким
образом, отпадает. Стараясь, однако, это значение i
действительно получить, Янош убеждается, что полученное им
равенство представляет собой тождество. Тогда он обращается к
пентаэдру (к многограннику, имеющему пять вершин и
десять ребер). Вычислив и здесь двугранные углы, каждый
двумя способами, и вновь приравняв полученные два
выражения, Янош пришел к заключению, что получаемое равенства
действительно представляет собой уравнение относительно /.
Стало быть, система S (неевклидова) ложна, а вместе с тем
доказан постулат о параллельных линиях.
Бойаи приступает к составлению работы, заголовок
которой гласит: «Доказательство XI евклидовой аксиомы,
которая до сих пор на земле оставалась сомнительной,
действительно в высшей степени важное, так как она служит
основанием всего учения о пространстве и движении». Введение
содержит важные биографические сведения об авторе и его
отце. Однако дальше Янош не пошел, так как убедился, что
в сложное вычисление вкралась ошибка — уравнение
действительно оказалось тождеством.
«Развертывая эту идею, — замечает Янош, — следовало
бы перейти к системе шести точек; однако трудоемкие
вычисления, которые здесь возникают, способны остановить самого
настойчивого вычислителя». Янош их не продолжает и, таким
образом, как бы остается в сомнении, не возникает ли в
стереометрии неевклидова пространства противоречия. Решение
этого вопроса выпало на долю геометров более позднего
времени. Янош же был отвлечен другого рода задачами.
В начале пятидесятых годов Гаусса посетило еще одно,,
по выражению Яноша, «достойное доверия лицо»; кто это
был — так и не удалось выяснить. Когда в беседе речь
зашла о параллельных линиях, Гаусс в восторженных
выражениях отозвался о работах Лобачевского, но вовсе не
упомянул о Бойаи. Это, по-видимому, объясняется тем, что Гаусс
за это время познакомился с мемуаром Лобачевского в

326
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
XIV томе журнала Крелля; он заинтересовался работами
Лобачевского и даже занялся русским языком, чтобы
ознакомиться с остальными его мемуарами. Это пренебрежение
Яноша очень обидело; в его бумагах Штекель обнаружил
весьма резкое выражение по этому поводу.
Под влиянием этой обиды, нанесенной Гауссом, Янош
Бойаи решил вернуться к математическим исследованиям и
превзойти как Лобачевского, так и Гаусса. Но здесь
сказалось его недостаточно глубокое математическое образование:
он ставил себе явно неосуществимые задачи. Он хотел
доказать, что каждое алгебраическое уравнение допускает
решение в радикалах; очевидно, он не знал уже опубликованной
работы Абеля. Он пытался доказать, что каждая
элементарная функция допускает интегрирование в элементарных же
функциях. Он пытался установить выражения, с помощью
которых можно выразить все простые, даже алгебраические
числа. Выше уже было сказано, что Фаркаш первый доказал
возможность разложения равновеликих многоугольников на
конгруэнтные части. Теперь Янош старался доказать ту же
теорему для равновеликих многогранников. Из
сохранившихся набросков видно, что он затратил много усилий для
решения этой задачи. В настоящее время хорошо известно, что
такое разложение неосуществимо К Любопытно, что над этой
задачей некоторое время бесплодно трудился и Гаусс.
Наброски Яноша, сообщает Штекель, заполняли много
листов. Они всегда начинаются торжественным возвещением
о великих открытиях; читая, однако, дальнейшее, находишь
только пространные рассуждения, в которых автор
запутывается и ничего нового, существенного не дает; в них нет и
следа того глубокого мастерства, которое так характерно для
«Аппендикса».
Годы творчества прошли. Неудачи, обиды, тяжелая жизнь
обессилили Яноша Бойаи. Человек большого проникновения,
Бойаи не мог выдать за достижение то, что действительного
достижения не представляло. А совершенное одиночество
делало его жизнь чрезвычайно тягостной. Реальные задачи
заменяются фантастическими и приносят ему новые
разочарования.
В числе этих фантазий нельзя не упомянуть об одном
замысле, к которому он много раз возвращался в течение своей
См. об этом на стр. 166 этой книги. (Ред.).

ЯНОШ БОЙАИ
327
жизни. Он стремился создать науку наук, которую он назвал
ло-немецки «Allheillehre» — учение о всеобщем благе. В
сохранившихся набросках Штекель нашел свыше двенадцати
обширных заголовков этого учения. Насколько можно судить,
это учение должно было содержать систему правил жизни и
государственного устройства, которая принесла бы благо
всему человеческому роду. И эта система должна была, по
замыслу Яноша, быть построена строго на математической
основе. Это, как-замечает Штекель, — не наука, а скорее
религия, не апеллирующая к божеству; она содержит следы
утопического коммунизма.
Шли годы. Фаркашу было уже свыше 80 лет, и в этом
•преклонном возрасте он тяжело болел. Свои книги он
завещал коллегии, где раньше преподавал. Это распоряжение
вызвало новую, последнюю ссору между отцом и сыном,
который хотел книги отца сохранить для себя.
В своем завещании Фаркаш выразил настойчивое
требование, чтобы его похороны происходили без священника, без
торжественности, чтобы на могиле его не ставили памятника.
Он скончался в 1856 г.
В последние дни его жизни при нем безотлучно дежурили
€го немногие друзья и ученики. 20 ноября 1856 г. при нем
оставался Павел Сас, сын покойного профессора Карла Саса.
Фаркаш находился уже в агонии. И вот что, по словам Саса,
здесь произошло. «В окне внезапно появилась голова
человека, стоявшего во дворе. Я спросил его: „Кого Вы ищете?". —
^,Я смотрю, жив ли еще старик", — ответил мне незнакомец.
Резкий, аффектированный холодный тон, которым он
произнес эти слова, был мне очень неприятен и вывел меня из
себя. Я хотел отойти от него, но неизвестный удержал меня и
продолжал: „Пора ему уже умереть, он достаточно жил. Он
был непрактичным, плохим хозяином, человеком,
непригодным для этого мира. Но, знаете ли, он считал себя большим
ученым, но то, что он знал, не принесло пользы ни ему, ни
другим. Мало пользы принес он человечеству; преподавать
он вовсе не умел. Он мнил себя виртуозом-музыкантом,
Паганини; между тем он, ей богу, не владел даже азбукой этого
искусства".
Пораженный юноша спросил незнакомца, кто он такой.
— „Я — Янош Бойаи, сын этого старого человека"».

328
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Вся эта сумбурная речь, обращенная к человеку, которого
Янош совсем не знал, наводит на мысль, что он в это время
был психически болен.
Янош пережил отца только на три года. Он скончался
27 января 1860 г. В последние годы тяжелые переживания и
неудачи его жизни сломили не только физические, но и
душевные его силы. И ответственность за горькую судьбу этого
гениального страдальца нельзя снять с «геттингенского
колосса».
Прошло сорок лет. За эти годы была установлена
логическая правильность неевклидовой геометрии. Она широко
развернулась и принесла бессмертную славу ее творцам.
В 1903 г. Венгерская академия наук организовала
торжественное чествование памяти Яноша Бойаи по случаю
столетнего юбилея со дня его рождения. Установили
международную премию его имени, «Аппендикс» переведен на различные
европейские языки. Гордость венгерского народа — Янош
Бойаи — справедливо может быть причислен к классикам
мировой науки.

f

IV. РАЗВИТИЕ
ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
ГЕОМЕТРИИ В КОНЦЕ XVIII
И В НАЧАЛЕ XIX СТОЛЕТИЯ *
1. ШКОЛЬНЫЕ ИЗДАНИЯ ЕВКЛИДА
В XVIII в. в качестве серьезной учебной книги по
геометрии еще безраздельно царили «Начала» Евклида. В школе
и вне ее—всюду, где преподавание геометрии выходило за
пределы самых первых начатков этой науки, — оно
проводилось по Евклиду. Это преобладающее значение Евклида в не:
которых странах сохранилось и в ту пору, когда Лобачевский
учился и даже когда он уже преподавал в Казанском
университете. В Англии и в Италии это неизменное тяготение к
Евклиду, как к учебной книге для средней школы, настойчиво
продолжалось еще до последней четверти прошлого века.
Основной причиной этого были, конечно, неоспоримо высокие
достоинства творения Евклида. Еще Кардан дал следующее
выражение своему восхищению «Началами» Евклида:
«Неоспоримая крепость их догматов и их совершенство настолько
1 Этот очерк является вступительной статьей к сочинению Н. И.
Лобачевского «Геометрия» во II томе его Полного собрания сочинений
(Гостехиздат, М.—Л., 1949, стр. 9—29); главным редактором этого
собрания был В. Ф. Каган.
В кратком вступлении (здесь опущенном) автор говорит:
«„Геометрия" — учебная книга; и поэтому, чтобы дать по возможности
отчетливое представление о том месте, которое она могла бы занять в учебной
литературе, о том ее назначении, которое имел в виду автор, о ее
достоинствах и недостатках, необходимо прежде всего сделать краткий обзор
учебной литературы того времени по геометрии; необходимо дать
представление о той научно-педагогической обстановке, в которой эта книга
составлялась». (Ред.).

332 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
абсолютны, что никакое другое сочинение, по
справедливости, нельзя с ними сравнить. Вследствие этого в них
отражается такой свет истины, что, по-видимому, только тот
способен отличать в сложных вопросах геометрии истинное
от ложного, кто усвоил Евклида».
Здесь неуместно, конечно, входить в общую оценку
«Начал» Евклида, высокие достоинства которых
действительно неоспоримы *. Но сам Евклид, по-видимому, не
смотрел на свои «Начала» как на подлинно учебную книгу,
особенно для начинающих; и немного найдется в настоящее
время людей, которые были бы склонны защищать учебное
значение Евклида. Если при всем том в интересующую нас
эпоху «Начала» еще сохранили первенствующее место в
учебной литературе, то это объяснялось главным образом
двумя причинами.
Во-первых, среднее образование, включавшее
значительный курс геометрии, было доступно только господствующим
классам, которые издавна культивировали классическое
образование. «Начала» Евклида представляют собой одно
из величайших произведений античной литературы.
Восхищение, с которым относились к этой замечательной книге в
средние века, получило выражение в приведенной цитате из
книги Кардана; оно сохраняло всю свою силу в XVIII в.
и в первой четверти XIX в. Сопоставление «Начал» с
библией было обычным в педагогической литературе и
придавало «Началам» облик неоспоримого авторитета. «Никогда
ни одно научное сочинение, — писал уже в начале XIX в.
Боссю2, — не имело успеха, сравнимого с «Началами»
Евклида. Исключительно по ним в течение веков учили
геометрии во всех математических школах; они переведены на
все языки и на всех языках комментировались, —
доказательство их исключительного превосходства».
На полвека раньше другой французский историк
математики, Монтюкла, писал3: «Напрасно различные геометры,
которым не нравилось расположение „Начал" Евклида,
старались изменить порядок изложения. Их бесплодные попыт-
1 См. стр. 245 этой книги. (Ред.).
2 Ch. В о s s u t. Essai sur l'histoire general des mathematiques, v. I.
Paris, 1802, p. 45.
3 L. E. Montucla. Histoire des mathematiques, v. I. Paris, 1758, p. 205.
Монтюкла, по-видимому, имеет в виду главным образом Даламбера; об
этом см. ниже.

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 333
щ обнаружили, насколько трудно изменить связь,
установленную этим геометром, не понижая силы доказательства...
Английские геометры, которые, по-видимому, более других
сохранили вкус к геометрической точности, всегда
придерживались этого мнения; Евклид имел между ними
ревностных защитников, и именно поэтому у них мало таких книг,
которые облегчают путь к этой науке только путем ее
снижения. Англичане почти не имеют руководств по геометрии,
помимо Евклида, и поэтому у них никогда не было
недостатка в геометрах». И как бы в новое подтверждение этого
взгляда Монтюкла известный, английский геометр де
Морган уже в середине XIX в., т. е. через 50 лет после Боссю,
писал1: «Никогда не было системы геометрии, которая в
существенных чертах отличалась бы от плана Евклида, и до
тех пор, пока я этого не увижу собственными глазами, я
не поверю, что такая система может существовать». Так,
веками поддерживалась эта вера в непререкаемые
достоинства Евклида. Конечно, если бы де Морган дожил до
нашего времени, то он бы такие сочинения увидел. Но не
подлежит сомнению, что многие формулировки, построения,
доказательства Евклида сохранили свое значение по сей день и
в чистом виде повторяются в современных учебниках.
По существу в тесной связи со всем характером
классического образования находилась и вторая причина
господства Евклида как учебной книги. Она коренилась в самих
задачах, которые связывались с преподаванием геометрии.
Основную цель этого преподавания видели не в том, чтобы
сообщать учащимся фактические сведения о
пространственных образах и соотношениях или развивать в них
пространственные представления. Главную роль геометрии в общей
школе усматривали в том, чтобы при ее посредстве
развивать и укреплять формальную дисциплину ума. В
семидесятых годах прошлого столетия известный германский педагог
Шрадер писал2: «Задача заключается не в том, чтобы учить
математике, а в том, чтобы при посредстве математики
дисциплинировать ум». Естественно, что этой цели формально
1 De Morgan. Short supplementary remarks on the first six Books
of Euclid's Elements. Статья в известном календаре-альманахе «British
Almanac» за 1849 г.
2W. Schrader. Erziehungs- und Unterrichtslehre. Berlin, 1876,
S. 524. Цитировано по книге: H. Schotten. Inhalt und Methode des
planimetrischen Unterrichts, B. I. Leipzig, 1890, S. 5.

334 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
выдержанная система Евклида, даже при всех ее изъянах,
раскрытых комментаторами, могла служить лучше, чем
какая бы то ни было другая книга.
Когда во вторбй половине XVIII в., с повышением роли
буржуазии в социально-экономической жизни, при
назревавших во Франции революционных настроениях, тяготение
к образованию стало охватывать новые, более широкие слои
населения, понадобилась и более доступная учебная книга.
Переходной ступенью к ней явились прежде всего так
называемые школьные издания «Начал» Евклида. Такие
школьные издания отличались тремя особенностями.
Во-первых, это были переводы Евклида на родной язык
учащихся; этот отказ от «классического» — греческого или,
в лучшем случае, латинского — текста представлял уже
существенный шаг вперед, делавший «Начала» гораздо
более доступными.
Правда, переводы Евклида на новые европейские языки
делались и значительно раньше *, но они были чрезвычайно
мало доступны и во всяком случае не предназначались для
начинающих учащихся. На обложке немецкого издания
1694 г. в переводе Пиркенштейна (Ernst Burkh. v. Pircken-
stein) указано, что книга предназначается для генералов,
инженеров и т. п. Новые переводы, о которых идет речь,
выпускались в гораздо более доступных изданиях.
Второй особенностью школьных изданий Евклида
являлось то, что они почти все содержали только восемь книг:
первые шесть планиметрических книг, одиннадцатую и
двенадцатую стереометрические; арифметические книги
(VII—IX) и трудные книги X и XIII вовсе опускались;
сохранялось то, что было строго необходимо при обучении
геометрии.
Третью особенность составлял характер примечаний и
дополнений. В них критика отходила на задний план; они име-
1 Первый перевод Евклида на новый европейский язык (итальянский)
был сделан в 1543 г. известным математиком Тарталья (Nicolo Tartaglia)
и издан в Венеции. Перевод сделан, по-видимому, с латинского издания
Кампануса. Во второе издание, появившееся в 1565 г., внесены
пояснения, которые, как утверждает автор, изложены с такой ясностью, что
всякий «посредственный ум без познаний, без подготовки по другим наукам
будет в состоянии их усвоить». Почти в то же время в 1562 г., Гольцман
(W. Holtzmann, в латинских изданиях именуемый Xylander) выпустил
немецкий перевод «Начал», предназначенный для «художников, архитекторов
и любителей».

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 335
ли целью пояснить текст, сделать его доступным для
учащегося.
Первым школьным изданием Евклида, действительно
получившим широкое распространение, считают английский
перевод Симеона, выпущенный в 1756 г.1. Он выдержал
около 30 изданий. Текст сопровождается большим числом
пояснительных примечаний, по большей части очень
поучительных. Наибольшее число этих примечаний относится к
пятой книге. Эта книга, содержащая так называемую
евклидову теорию пропорции 2, всегда представляла камень
преткновения при изучении «Начал», примечания Симеона
несомненно облегчают ее изучение. Это издание «Начал»
именно в качестве школьного руководства настолько
ценилось, что оно было полностью (со всеми примечаниями)
переведено на немецкий язык3.
Вслед за Симеоном школьное издание Евклида на
английском языке было выпущено Плэйфером4. Он пошел
дальше Симеона и внес уже алгебраические обозначения,
модернизировав этим всю теорию пропорций. К шести
книгам Евклида, таким образом видоизмененным, Плэйфер
присоединил еще три свои статьи, содержащие учение о
спрямлении и квадратуре круга и о пересечении плоскостей;
за этим следовали прямолинейная и сферическая
тригонометрия и арифметика. Примечания, помещенные в конце
книги, содержат указания о причинах, побудивших автора
внести те или иные изменения в подлинный текст Евклида.
Книга Плейфера также получила широкое распространение;
она выдержала десять изданий.
Издания «Начал» Симеона и Плэйфера — таковы были
учебные книги, по которым в начале XIX столетия учились
геометрии в Англии.
Ту роль, которую в Англии играло издание Симеона, в
Германии играл немецкий перевод Лоренца (J. F. Lorenz).
1 R. Sims о п. The Elements^4 Euclid, viz. The first six books
together with the eleventh and twelfth.vJBlasgow, 1756.
2 Строго говоря, эту теорию пропорций неправильно называть
евклидовой, так как она, по-видимому, была разработана еще Евдоксом,
учителем Платона.
3 «Die sechs ersten Bucher nebst dem elften und zwolften des Euclid»,
herausgegeben von R. S i m s о n; aus dem Englischen (ibersetzt von J. M. Re-
der. Padeborn, 1806.
4 J. P 1 а у f a i r. Elements of geometrie, containing the first six books
of Euclid. Edinburgh, and London, 1797.

336 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Первое издание его появилось в 1773 г. Оно содержало
6 первых книг, а в новом издании 1781 г. содержались уже
все 13 книг с присоединением так называемых книг XIV
и XV, составленных, как известно, Гипсиклесом
Александрийским (II в. до н. э.). После смерти Лоренца его перевод был
переработан и переиздан известным астрономом и геометром
К. Мольвейде (Karl Br. Mollweide). Лоренц пошел еще
дальше в видоизменении текста Евклида. Он внес
алгебраическую символику везде, где это возможно. Он сократил
самое изложение предложений, соединив общую
формулировку (фестц;) предложения с его изложением
применительно к чертежу (IxOecrig); он опускает повторные
доказательства, относящиеся хотя и к различным, но мало друг
от друга отличающимся случаям; он иногда вносит
несколько пояснительных рассуждений в самый текст, а еще чаще
он приводит такие пояснения в примечаниях, которые,
однако, у него никогда не развертываются в обширные
рассуждения, как это было обычно у комментаторов. «Хотя
перевод, — замечает Лоренц, — нельзя назвать дословным, но
своеобразный дух „Начал" вполне сохранен». Изменения,
внесенные Лоренцом, — это лишь поправки, подробности
развития текста, несущественные его модификации- Но и они
несомненно оживили текст Евклида, облегчили его усвоение,
сделав «Начала», как считали в то время, учебной книгой.
По Лоренцу учились в Германии, как по Симеону и Плэй-
феру — в Англии. Как мы уже упомянули, в Германии был
выпущен в свет и «немецкий Симеон».
Во Франции школьные издания Евклида появились
значительно раньше. Уже в 1672 г. Дешаль выпустил
французский перевод восьми книг «Начал» с существенной
переработкой, имевшей целью сделать это сочинение значительно
более доступным К Хотя этот перевод, по замечанию Лаг-
ранжа и Даламбера в их отзыве о переводе Пэйрара 2,
сохранил в сущности только последовательность теорем Евклида
и не мог быть признан удачнвй!, он несколько раз
переиздавался и даже был воспроизведен также на итальянском
и английском языках- Это свидетельствует о том, как велика
1 С. F. D e s h а 1 е s. Les elements d'Euclid, expliques d'une maniere
nouvelle et tres facile. Paris, 1672.
2F Peyrard. Les elements de geometric d'Euclide traduits littera-
lement. Paris, 1804.

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 337
была потребность в учебнике элементарной геометрии, более
доступном, нежели подлинные «Начала» Евклида.
Но в тот период, который нас интересует, в конце XVIII
и в начале XIX в., таких школьных изданий Евклида во
Франции не было. Правда, в 1804 г. Пэйрар выпустил в
свет французский перевод восьми книг 1 (как в других
учебных изданиях: I—VI, XI, XII), но не в том стиле, в каком
в Англии и в Германии выпускались издания Симеона,
Плэйфера и Лоренца; это был дословный перевод, очень
тщательно выполненный, послуживший основой для полного
академического издания Евклида на трех языках (греческом,
латинском и французском), который и в настоящее время
считается одним из лучших2.
2. ПЛАН ДАЛАМБЕРА И РЕФОРМИРОВАННЫЕ УЧЕБНИКИ
ГЕОМЕТРИИ
С середины XVIII в. во Франции нарастали настроения,
знаменовавшие глубокий переворот во взглядах на все
общественные отношения в стране; назревала революция. В
области народного образования всё настойчивее становились
требования большего его расширения и придания ему более
живого и конкретного характера. Это, естественно, не могло
не отразиться и на взглядах на преподавание математики.
Как известно, новая идеология того времени в большой мере
получила выражение у «энциклопедистов», которые в
значительной степени и творили ее. «Энциклопедия»3 стала
выходить в 1751 г. Математическим ее разделом руководил
Даламбер в сотрудничестве с Боссю. В 1757 г. появился
VII том «Энциклопедии», в котором была помещена статья
Даламбера «Geometrie»4; значительная часть этой статьи
(раздел «Elements de Geometrie») был посвящен вопросу о
том, как надлежит составлять начала геометрии. По
существу эта часть статьи только подробнее развивала в
применении к геометрии идеи, уже изложенные в статье более
1 См. предыдущую сноску.
2 F. Peyrard. Les oeuvres d'Euclid, en grec, latin et frangais. Paris,
1814.
3 «Encyclopedic ou dictionnaire raisonne des sciences, des arts et des
metiers». Mis en ordre par Diderot et par d'Alembert. Paris, 1751 —
1780.
4 D'Alembert. Geometrie. «Encyclopedic», v. VII. Paris, 1757,
pp. 629—638.

338 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
общего характера — «Elements des Sciences» К Речь идет
о том, как надлежит излагать в учебных целях2 начала
науки вообще и начала геометрии в частности. Читатель,
знакомящийся с этой статьей в настоящее время, может
получить впечатление, что многие утверждения автора
тривиальны. Но это только означает, что идеи Даламбера в
общем получили такое признание и такбе распространение,
что сейчас представляются тривиальными. Не так обстояло
дело почти 200 лет. тому назад, когда статья Даламбера
была опубликована. Отчетливо высказанные идеи Даламбера
были не только новыми, но в известном смысле даже
революционными. Как известно, «Энциклопедия» получила
широкое распространение, внимательно читалась даже
противниками новых течений; на круги педагогов статья Даламбера
имела огромное влияние, она с большим интересом читается
и в настоящее время. Изложим те основные ее положения,
в которых содержалось существо новых воззрений на
составление учебной книги по геометрии.
Даламбер относится к Евклиду крайне, может быть,
даже чересчур сдержанно; он посвящает ему только
следующие строки в начале статьи: «Евклид, живший
приблизительно на 50 лет позже Платона, ...собрал то, что его
предшественники открыли в области начал геометрии; он
составил дошедшее до нас произведение, которое многие из
современных геометров считают лучшим из сочинений этого
рода»3. Даламбер, однако, не считает, что начала геометрии
должны и в его время составляться по плану и методу
Евклида. Он вообще не считает полезным следовать в учебной
книге традициям, освященным веками, или излагать все
перипетии исторического генезиса руководящих идей;
необходимо только сохранить «внутреннюю концепцию понятий».
1 D'Alembert. Elements des Sciences. «Encyclopedic». Paris, 1755,
v. V, pp. 491—498.
2 Это не оговорено достаточно отчетливо, но с несомненной ясностью
вытекает из всего содержания статьи.
3 Еще осторожнее высказываются относительно «Начал»
Евклида Лагранж и Даламбер в своем докладе Академии о переводе Пэйрара:
«Еще в настоящее время находятся некоторые ученые, которые, может
быть, по праву, а может быть, благодаря слишком уже исключительному
вкусу к методам древних, утверждают, что «Начала» Евклида, несмотря
на дарования и достижения современных авторов, остаются лучшим
сочинением этого рода, за исключением разве нескольких отдельных мест
книги». Доклад помещен в указанном выше издании Пэйрара (1814).

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 339
Изложение начал геометрии по плану Даламбера должно
быть прежде всего сообразовано с тем, для какой цели книга
предназначается — для начального ли обучения, имеющего
узко практические цели, для более серьезного изучения
геометрии или для подготовки людей, которые имеют склонность
и способности к специальным занятиям этой наукой; каждой
из этих трех основных задач должна соответствовать
учебная книга особого типа.
С этим должна быть сообразована и степень точности
построения системы геометрии; во всяком случае нужно
избегать той «химерической» точности, которая, оставаясь
сомнительной в научном отношении, в учебной книге
несомненно вредна и часто даже переходит в софистику. Далам-
бер, по-видимому, имеет в виду химерическую точность, на
которую претендуют многие комментаторы Евклида и на
которой часто сосредоточивалось внимание преподавателя.
В соответствии с этим Даламбер считает, что начала
геометрии не следует начинать с аксиом, так как построение
учебной книги на предпосланных аксиомах есть претензия
именно на такого рода химерическую точность. Хорошо
известно, что построение геометрии в «Началах» Евклида
далеко не -носило строго логического характера. Наглядные
представления, указания глаза сопутствуют в этом сочинении
логическим рассуждениям на всем его протяжении;
рассматривать «Начала» как систему строгих выводов из предпос-
ланнных определений и аксиом ни в каком • случае
невозможно К
В эпоху Даламбера попытки построения геометрии на
выдержанной аксиоматике, даже в целях научного
изложения предмета, несомненно, носили еще «химерический»
характер в том отношении, что логическая строгость, которую
хотели в это дело внести, была кажущейся и при сколько-
нибудь внимательном анализе оказывалась иллюзорной, не
выдерживающей критики. «Какая польза в том, — замечает
Лакруа, — чтобы нагромождать аксиомы в начале книги...,
когда мы все равно не можем воспользоваться ими при
доказательствах?». Попытки строить учебную книгу по
элементарной геометрии на основе строго выдержанной
аксиоматики несомненно обречены ка неудачу и в настоящее
1 См. статью «Задача обоснования геометрии в современной
постановке» в этой книге. (Ред.).

340 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
время. Но от точности фактической и притом доступной
учащемуся при серьезном изложении геометрии, по взглядам
Даламбера, ни в коем случае не следует отказываться. Более
того, вот как формулирует Даламбер эти мысли в своей
статье: «Спрашивается, какому из двух качеств следует
отдать предпочтение при составлении начал: доступности или
строгой точности? Очевидно, что самый вопрос содержит
неправильное предположение; он предполагает, что строгая
точность может быть лишена доступности; но имеет место
противоположное: чем строже дедукция, тем доступнее она
для восприятия, ибо точность заключается в сведении всего
к наиболее простым принципам. Отсюда следует также, что
строгость в собственном смысле этого слова необходимо
влечет за собой наиболее естественный и наиболее прямой
метод».
Итак, точность, отчетливая и доступная, свободная от
всякой метафизики и схоластики, часто скрывающейся в
нагромождении аксиом, — таково основное требование, которое
Даламбер предъявляет к составителям «Начал». И в этом
смысле дедукция заключается не в выводе всей системы из
небольшого числа аксиом и определений (по отношению к
которым Даламбер также рекомендует большую
осторожность), а в сведении сложных истин к простым, доступным
и очевидным, сколько бы их ни было, без попытки дать
полный их перечень. Конечно, указать границы, где
кончается «химерическая» и где начинается «действительная»
точность, не так просто, да и вряд ли вообще возможно; но
по существу точка зрения Даламбера ясна; с тенденциями
Евклида и его комментаторов она глубоко расходилась.
Далее, опять в противоположность Евклиду, в началах,
по мнению Даламбера, преобладающее значение должна
иметь метрическая геометрия. Сообразно этому, учебную
книгу по геометрии следует делить не на учение о прямой,
о плоскости, о пространстве (т. е. на лонгиметрию,
планиметрию и стереометрию, как эти термины понимаются в
настоящее время), а на три отдела, посвященные соответственно
измерению длин, площадей и объемов. Даламбер дает
подробные указания, как следует строить учение об
измерении. Всё учение об измерении основано на
'пропорциональности одних величин другим; Даламбер дает подробные
указания, какого рода пропорциональности должны быть
устанавливаемы. Эти указания в такой мере выполняются

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 341
современными учебниками, что вряд ли нужно на этом
останавливаться; достаточно будет сказать, что вся эта схема
идет от Даламбера.
Евклид, как известно, очень осторожно пользуется
движением; он непосредственно прибегает к нему только два
раза. Даламбер рекомендует пользоваться движением
систематически, выясняя, однако, что речь идет здесь не о
«грубом механическом движении», а о геометрическом выяснении
того, какие точки, линии и фигуры могут друг друга покрыть.
Эта точка зрения очень близка к идеям «Эрлангенской
программы» Клейна. Вообще в относящихся к этому
рассуждениях Даламбер очень близко подходит к понятию о группе
геометрических движений.
Что касается самого установления пропорциональности,
то узловым пунктом здесь является случай несоизмеримых
отношений. Даламбер считает, что равенство несоизмеримых
отношений должно устанавливаться доказательством от
противного; он решительно отклоняет совершенную, но очень
сложную, малодоступную ч евклидову теорию пропорций К
В этом есть, конечно, логический дефект, но вряд ли era
можно избежать в преподавании начинающим.
Наконец, в учении об измерении длины окружности,
площади круга, объема пирамиды, поверхности круглых тел
нельзя обойтись без учения о бесконечно малых; по
существу, конечно, они содержатся уже в теории несоизмеримых
отношений. Нельзя сказать, чтобы статья Даламбера
содержала достаточно точные указания относительно того, как, по
его мнению, следует строить учение о бесконечно малых.
Он во всяком случае считает необходимым ввести понятие
о пределе и основных его свойствах, но допускает и
применение метода исчерпывания в различных его формах; он
предлагает, таким образом, пути, совершенно чуждые
Евклиду.
1 Евклид очень охотно пользуется доказательствами от противного.
Если тем не менее он к этому методу не прибегает в учении о
пропорциональности, а создает своеобразную и сложную теорию пропорций, то
это имеет глубокие основания. Даламбер, а за ним и Лежандр исходят
из того, что всякие два значения одной и той же величины имеют
отношение, выражающееся рациональным или иррациональным числом;
доказательство равенства двух иррациональных отношений проводится от
противного. Для Евклида отношение несоизмеримых значений величины
как число вовсе не существовало; он строит тонкий, но сложный аппарат,
не требующий вовсе понятия об иррациональном числе.

342 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
В этом свободном изложении статьи Даламбера
«Geometrie» мы далеко не исчерпали содержащихся в ней
идей; в статье имеются многочисленные ссылки на другие
статьи «Энциклопедии», где эти идеи получают значительное
развитие. Быть может, далеко не всё, что предлагает
Даламбер, действительно должно быть проведено в учебной книге
по геометрии; многое в настоящее время
перекристаллизовалось, многое отпало. Но существенно то, что во всем
комплексе статей по геометрии, помещенных в
«Энциклопедии», Даламбер дал самостоятельно разработанный план
построения начал геометрии как учебной книги, который
почти во всех основных своих частях глубоко отличается от
системы Евклида; он был проникнут новизной, стремлением
отбросить старый шаблон, исканием новых путей в деле
преподавания.
Те же идеи в еще более развитом виде проводятся Да-
ламбером в очень интересном сочинении, опубликованном
им в первый раз в 1759 г.1 Четвертый том этого сочинения
посвящен основным вопросам философии, а глава XV —
геометрии; она содержит суждения о сущности геометрии,
«ее задачах и способах ее построения.
Статьи Даламбера получили широкое распространение в
самой Франции и за ее пределами; с ними не только
считались при составлении новых «Начал» геометрии, но часто
основывали на них построение новой книги. Три сочинения,
относящиеся к концу XVIII и началу XIX в., получили при
этом преобладающее значение: «Курс» Безу, «Начала» Ле-
жандра и «Начала» Лакруа. Эти сочинения в различной
степени выдерживают план Даламбера; они имеют
различное назначение и разную структуру; но все три руководства
отражают тенденцию Даламбера оторвать преподавание
геометрии от традиционной тяжелой схемы Евклида. Все
три книги написаны выдающимися математиками и
талантливыми педагогами; они не снизили уровня преподавания
геометрии, сделав ее гораздо более доступной. Эти три
учебника геометрии получили чрезвычайно широкое
распространение во всех культурных странах и знаменуют собой новую
эпоху в деле преподавания геометрии. И это не случайно:
три эти книги — это именно те три типа учебной книги, о
которых говорит Даламбер.
1 «Melange de litterature, d'histoire et de philosophies. Фамилия
автора на обложке не указана и была установлена позднее.

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 343
Книга Безу была предназначена для артиллерийских и
морских учебных заведений 1. Курс написан очень доступно
и несет на себе отчетливо выраженный отпечаток установки
Даламбера, он явно предназначен для первой из трех
категорий читателей, о которых он говорит: изложение носит
до некоторой степени повествовательный характер и не
претендует на выдержанную точность; задачи и правила
измерительной геометрии составляют почти исключительное
содержание курса; приведены приложения к морским
измерениям и приборам. Учебник предназначен для начинающих
учащихся и как пропедевтический курс геометрии получил
очень широкое распространение; даже англичане перевели
его для своих начальных школ2.
Но именно потому, что учебник Безу можно
рассматривать только как пропедевтическое руководство, была
необходима более серьезная учебная книга, предназначенная
для школ повышенного типа — для средних учебных
заведений, как мы бы сказали в настоящее время, — для второй
категории читателей, по Даламберу. Такую книгу составил
Лежандр. Его «Начала»3 действительно сменили Евклида
на школьной скамье. Правда, следуя тенденции Даламбера
реорганизовать преподавание геометрии, Лежандр всё же
отнюдь не относился к Евклиду пренебрежительно. «Методу
древних — говорит он в предисловии, — обыкновенно
считают наиболее целесообразной, наиболее приспособленной
для отчетливого выяснения геометрических истин. Она не
только приучает учащихся к большой точности рассуждения,
что представляет драгоценное преимущество, но и дает в то
же время своеобразный тип упражнения мысли, по своему
характеру отличный от анализа; это может в важных
математических изысканиях сильно содействовать разысканию
наиболее простых и наиболее изящных решений». В
соответствии с этим взглядом Лежандр сохранил общий остов
1 В е z о u t. Cours des mathematiques a l'usage de la marine et d'ar-
tillerie; seconde partie, contenant la geometrie, la trigonometrie rectiligne
et la trigonometrie spherique. Paris, 1770.
2 После смерти Безу Р е й н о (A. Reynaud) старался приспособить
его курс для лиц, подготовляющихся к экзаменам в Политехническую
школу. С этой целью он снабдил его примечаниями и дополнениями/по
размеру превышающими текст Безу. Такая попытка изменить характер и
назначение учебной книги при помощи примечаний всегда бесполезна.
И всё же книга Безу и в обработке Рейно выдержала несколько изданий.
3 А. М. L e g e n d r e. Elements de geometrie. Paris, 1794.

344 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
«Начал» Евклида и его синтетическое изложение; де Морган
имел все основания смотреть на новые «Начала» как на
переработку книги Евклида. Но это была очень глубокая;
переработка.
Прежде всего Лежандр изменил самый стиль «Начал»:
он заменил формально-эпический язык греческого геометра
живым французским изложением. Он опустил всё, что не
укладывается в рамки первого ознакомления юношей с
геометрией, а доступно лишь людям с высоким общим
развитием; он превратил «Начала» в курс элементарной
геометрии. Этой элементарной геометрии он придал метрический
характер по общей идее Даламбера. Он ввел элементы
алгебры, и вторая книга Евклида отпала, так как в ней уже
не было нужды: она могла только иллюстрировать общие
алгебраические соотношения. Он арифметизировал учение
об отношениях и пропорциях — и • отпала трудная книга V.
Извлечение квадратного корня, введение радикалов
освобождают геометрию от совершенно недоступной книги X.
К тому же Лежандр вовсе не занимается той задачей,
которой посвящена XIII книга «Начал», ему поэтому вовсе не
нужна сложная подготовительная книга X. В теории
пропорций, на которой Лежандр строит учение об измерении по
плану Даламбера, он всегда обрабатывает случай
несоизмеримых отношений общим приемом приведения к абсурду;
евклидова теория пропорций становится ненужной. Тем же
методом доказательства от противного он заменяет и теорию
пределов — прием, несомненно составляющий уже слабую
сторону книги. Лежандр выдерживает возможную для того
времени строгость геометрического рассуждения и лишь
изредка впадает в ту иллюзорную точность, от которой
предостерегает Даламбер К
Лежандр, как уже сказано, превратил «Начала» в
современный курс элементарной геометрии. Влияние его книга
было громадно. Но не хватало третьего типа учебной книги,
не хватало руководства, предназначенного для учащихся,
которые подготовляются к углубленному изучению матема-
1 Таким примером химерической точности служит предложение III
первой книги, в котором Лежандр пытается доказать, что при
совпадении двух точек одной прямой с двумя точками другой совпадут не
только определенные этими точками прямолинейные отрезки, но и их
продолжения.

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 345
гики. Такое руководство составил в начале XIX в. Лакруа 1.
Этот выдающийся математик-педагог составил серию
руководств «чистой и прикладной математики», начиная с
арифметики и кончая дифференциальным и интегральным
исчислениями. Третью книгу этой серии составили «Начала
геометрии» 2. Свои взгляды на преподавание вообще- и на
преподавание математики в частности Лакруа подробно развил
в специальном сочинении3; в нем подробно изложены также
/принципы, на которых построены его «Начала геометрии».
Книга Лакруа предназначалась для так называемой
«Центральной школы», в которой преподавание математики
«было поставлено на высокую ступень со дня ее основания.
По своему строению и изложению эта книга, может быть, не
так глубоко отличалась от «Начал» Лежандра; она даже
несколько меньше по объему, но составлена более
компактно, в ней более тщательно обработаны детали, в ней
действительно видна подготовка к изучению высшей математики.
Книга начинается с дополнения к курсу арифметики,
необходимого для непосредственного перехода к изучению «начал
геометрии». Это уже в большой мере характеризует
установку книги в ту пору, когда спор между «geometriam
geometrice» и «geometriam algebraice» был особенно
интенсивен. Однако это не значит, что Лакруа совершенно оставил
синтетический стиль Евклида и Лежандра; напротив, общее
строение книги синтетическое; но во многих местах
алгебраические вычисления упрощают и значительно углубляют
материал. Так, в отделе о правильных многоугольниках
вычисления проведены так систематично и глубоко, как ни в
1 S. F. L а с г о i х. Elements de geometrie a l'usage de l'ecole centra-
le des auatre nations. Paris, 1803.
2 Как указано выше в тексте, Даламбер считал еще необходимым
составление книги, предназначенной для «более углубленного изучения
геометрии». Книга Лакруа не вполне удовлетворяет этому требованию;
это всё же еще довольно элементарный учебник. Книги, действительно
удовлетворяющие требованию Даламбера, появились уже значительно
позже. Наиболее совершенной из них в XIX в. было известное сочинение Ру-
ше и Комберуса (Е. Rouche etCh. С о m b е г о u s s е. Traite de
geometrie). В XX в. ему на смену пришла книга Адамара: J. Hadamard.
Lecons de geometrie elementaire, 1898—4901; она выдержала уже много
изданий; русский перевод: Ж. А д а м а р. Элементарная геометрия, пе-
рев. под ред. проф. Д. И. Перепелкина. [Последнее изд.: Учпедгиз, ч. I.
М., 1957 (4-е изд.) и ч. II. М., 1957 (3-е изд.). (Ред.)].
3 S. F. Lacroix. Essai sur l'enseignement en general et siir celui
•xles mathematiques en particulier. Paris, 1805.

346 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
каком руководстве того времени. Калькуляционных приемов
в книге очень много. Вообще аналитический метод здесь
систематически приходит на помощь синтетическому, иногда
выдвигается даже на первый план.
Вряд ли здесь целесообразно останавливаться подробна
на различии между книгами Безу, Лежандра и Лакруа,
которое не носит принципиального характера. Может быть,
будет лучше выяснить это различие на одном-двух примерах.
Во-первых, — учение о параллельных линиях. У Безу эта
место изложено поверхностно, и трудность его совершенна
обойдена; доказательства прямых и обратных предложений
одинаково мало выдержаны, апеллируют к наглядности и,
как и вся книга, рассчитаны только на то, чтобы
начинающий учащийся усвоил фактическую сторону дела. Лежандр
формулирует предложение, играющее роль V постулата,
отмечает его связь с суммой углов треугольника и старается
его доказать; от издания к изданию он изменяет
доказательства, то «уточняя» предыдущее, то заменяя его новым. Эта
глава всегда доставляла большие затруднения при
преподавании по Лежандру. Лакруа, следуя Даламберу, аксиом
не приводит нигде; но, формулировав предложение, что
перпендикуляр и наклонная к одной прямой непременно должны
встретиться, он говорит: «В трудности непосредственного
доказательства этого предложения заключается
несовершенство теории параллельных линий. Многие авторы делали
для достижения цели бесплодные усилия; другие, как Безу,
маскировали дефектное рассуждение; мне кажется, это
противоречит обязанности точного рассуждения, которую несет
автор каждого элементарного руководства. Я счел более
правильным выявить этот тонкий пункт, допуская его в
качестве постулата, как это делает Евклид, только в более
доступной форме».
Другой пример — учение о длине окружности. Безу
поясняет, что на окружность можно смотреть как на
многоугольник с бесконечным множеством сторон; мы приближаемся
поэтому к длине окружности, вычисляя периметры
правильных вписанных многоугольников с возрастающим числом
сторон. Лежандр рассматривает окружность уже как предел
периметров вписанных и описанных правильных
многоугольников, но почти этого не обосновывает. Лакруа доводит это
обоснование почти до полной точности: доказывает, что
периметры вписанных многоугольников постепенно возрастают,

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 347
-описанных — убывают, что периметры описанных остаются
больше периметров вписанных многоугольников, что разность
между теми и другими стремится к нулю, что они, таким
образом, имеют общий предел. Осталось бы только
определить длину окружности как общий предел тех и других
периметров. Этот последний шаг сделан в «Геометрии»
Лобачевского.
Наиболее существенным было то обстоятельство, что все
три книги были составлены очень талантливо. Они получили
широкое распространение по всей Европе, выдержали
огромное число изданий; ни в каком случае не будет
преувеличением сказать, что все последующие учебные книги по
геометрии в XIX в. в большей или меньшей степени копируют
Безу, Лежандра и Лакруа, смотря по своему назначению,
или заимствуют отдельные части то у одного, то у другого
автора. Не пошел по этому установившемуся пути только
Лобачевский.
Многие немецкие авторы стоят на той точке зрения, что
в Германии Кестнер сыграл ту же роль, что Лежандр во
Франции; вряд ли это, однако, правильно. Кестнер занимал
в Геттингене кафедру «Евклида». Это, несомненно, был
высокообразованный геометр, глубоко знавший античную
геометрию и справедливо почитавшийся во второй половине
XVIII в. как наиболее крупный авторитет по Евклиду. Однако
это не был человек широкого научного кругозора.
Проведший всю жизнь главным образом в изучении Евклида и его
комментаторов, не приобщившись к научному творчеству
своего времени, Кестнер несет на себе печать
комментаторов Евклида; это отчетливо отразилось на его книге и
глубоко отличает его не только от Лежандра, но и от Безу.
Почти в то же время, когда Даламбер опубликовал свой
план реформы начал геометрии, именно в 1758 г., Кестнер
опубликовал руководство по элементам математики К
Вторая часть первого тома посвящена геометрии. Книга Кестнера,.
несомненно, своеобразна, она не представляет собой
переиздания Евклида, но она далеко не имеет того отпечатка
свежести мысли и изложения, которая отличает Даламбера,
Безу, Лежандра и Лакруа. Стремление к той химерической
строгости, с которой борется Даламбер, проникает всю книгу
1 A. G. С а е s t n е г. Anfangsgrunde der Arithmetik, Geometrie, ebe-
nen und spharischen Trigonometrie und Perspektive. Gottingen, 1758«

348 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Кестнера; большое число постулатов и аксиом, научное
значение которых ограничено и зачастую просто ничтожно,
большое число примечаний в самом тексте книги, часто
носящих чисто метафизический характер и во всяком случае
недоступных и не нужных учащимся, отсутствие отчетливого
плана, присущая автору склонность к многословию — всё
это делает его книгу тяжелой и скучной. Книга Кестнера
выдержала в Германии ряд изданий; но как учебная книга
по геометрии она даже в Германии должна была уступить
место «Началам» Лежандра.
Даже крепость английского консерватизма была
сломлена. «Начала» Лежандра появились в английском переводе
Брюстера в 1824 г. \ получили широкое распространение и
положили начало учебной книге по геометрии, постепенно
вытеснившей из школы Евклида. Правда, Хизс, выпустив
уже в 1908 г. прекрасное английское издание Евклида в трех
томах2, а затем томик греческого текста первой книги3,
пишет в предисловии к последней книге: «Я совершил
двойной грех, возвратившись к Евклиду и к его греческому
тексту. Но я уверен, что история повторяется, и мы будем
свидетелями того, как Евклид вновь займет подобающее
ему место в нашей школе». Вряд ли, однако, этим надеждам
суждено сбыться.
Руководства Безу, Лежандра, Лакруа и Кестнера были
переведены на русский язык4 и в преподавании
элементарной геометрии играли руководящую роль.
3. РУССКАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ГЕОМЕТРИИ
В НАЧАЛЕ XIX ВЕКА
Какова же была в ту эпоху русская учебная литература
по началам геометрии?
Прежде всего — об изданиях Евклида. Уже в XVIII в.
1 А. М. L e g е п d r e. Elements of geometry and trigonometry, with
notes. Edites by D. Brewster. Edinbourgh, 1824.
2 T. L. Heath. The thirteen books of Euclid's elements, Translated
from the text of Heiberg with introduction and commentary. Cambridge,
1808.
3 T. L. Heath. Euclid in Grek, Boot I with introduction and notes.
Cambridge, 1820.
4 A. M. Лежа н др. Начальные основания геометрии. СПб., 1819;
Е. Безу. Основы геометрии для назначающих себя по мореплаванию.
СПб., 1794; С. Ф. Лакруа. Основания геометрии. СПб., 1835.

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 349
было выпущено в свет три перевода «Начал» на русский
язык. В 1739 г. был издан перевод Сатарова, сделанный с
латинского текста. Он был выполнен под руководством
англичанина Фарварсона (A. Farwarson). Этот профессор
Абердинского университета был приглашен в Россию
Петром I. Фарварсон выпустил в России ряд учебников по
математике, в том числе перевод «Начал» в сокращенном и
переработанном виде 1. Хотя этот перевод был, таким
образом, предназначен для школы, но вряд ли он для этой цели
служил; распространения он во всяком случае не получил.
В 1769 г. появился перевод Курганова2 с французского, по-
видимому с издания Дешаля, и наконец в 1784 г. Суворовым
и Никитиным был опубликован перевод с греческого3. Эти
переводы вряд ли имели действительное школьное значение
(хотя последний через пять лет вышел вторым изданием);
они предназначались главным образом для
избранников-любителей и высокими достоинствами не отличались. В 1819 г.
появился перевод Петрушевского4. Он был сделан с так
называемого оксфордского греческого издания5 и выполнен
очень тщательно; до самого последнего времени мы не имели
такого хорошего русского издания Евклида; перевод Ващен-
ко-Захарченко6 ему несомненно уступает, и лишь изданный
недавно перевод Мордухай-Болтовского7 стоит на большой
1 «Евклидовы элементы, из двенадцати нефтоновых книг выбранные,
и в осемь книг через профессора математики Ф. Фархварсона
сокращенные, с латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым
переложенные». СПб., '1739.
2 «Евклидовы элементы геометрии», перевел с французского Ник.
Курганов. СПб., 1769.
3 «Евклидовы стихии», перев. с греческого П. Суворов и В. Никитин.
СПб., 1784; второе издание под тем же названием в 1789 г. (по-гречески
название «Начал» Евклида — GTOi%eia — «стойхейа»).
4 «Евклидовых начал восемь книг, а именно: лервые шесть,
одиннадцатая и двенадцатая, содержащие в себе основания геометрии». Перев.
с греческ. Ф. Петрушевского с прибавлениями и примечаниями. СПб.,
1819.
5 Оксфордское издание Евклида, обработанное Давидом Грегори, в
XVIII в. и в первой половине XIX в. считалось наиболее точной
передачей текстов Евклида: EVKAEIAOY ТА 2QZ0MENA. Euclidis quae supersunt
omnia. Ex recensione Davidis Gregorii. Oxoniae,'1703.
6 M. E. Ващенк о-З ахарченко. «Начала» Евклида с
пояснительным введением и толкованиями. Киев, 1880.
7 «Начала» Евклида. Перев. с греческ. Д. Д. Мордухай-Болтозского
при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. Гос-
техиздат. М.—Л., книги I—VI, 1948; книги VII—X, 1949; книги XI—XV,
1950. (Ред.).

350 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
высоте- Издание «Начал» в переводе Петрушевского
получило значительное распространение в математических
кругах, но учебником эта книга, конечно, не служила:
переводчик и сам говорит в предисловии, что его перевод
предназначается для «любителей» геометрии. Таким образом,
настоящего школьного издания Евклида в России не было.
Петрушевский, впрочем, не рекомендуя своего перевода в
качестве учебной книги, считался, по-видимому, только с
фактическим состоянием русской школы в то время. По
существу он принадлежал к числу тех почитателей Евклида,
которые совершенно безоговорочно признавали «Начала»
наиболее совершенным, непревзойденным учебным
руководством по геометрии. В своем предисловии он оспаривает
решительно все указания, которые делались на недостатки
«Начал», хотя бы как учебной книги. Не называя Далам-
бера, он оспаривает все его положения и даже сложную
евклидову теорию пропорций считает достаточно
приспособленной для преподавания учения о геометрической
пропорциональности: «Обыкновенная, т. е. арифметическая, теория
пропорций совершенно недостаточна, ибо она нарушает
главнейшее и необходимое качество математики — точность».
Теория пропорций Евдокса — Евклида действительно
представляет собой совершенное логическое построение; и
нужно сказать, что некоторые замечания Петрушевского
относительно современного ему арифметического изложения
предмета далеко не лишены оснований. Но школьного ее
значения никто, конечно, в настоящее время поддерживать
не будет, и поэтому здесь нет надобности оспаривать его
аргументацию. Для нас важно то, что тяготение к
Евклиду даже как к учебному руководству, хотя еще и
недоступному для школы, было в России в начале XIX в. очень
сильно.
Это тяготение особенно настойчиво проявлял акад.
С. Е. Гурьев. В 1798 г. он опубликовал большое сочинение,
посвященное научной обработке начал геометрии !, а затем
в 1811 г. он издал также обстоятельный курс элементарной
геометрии 2.
1 С. Гурьев. Опыт о усовершении елементов геометрии,
составляющий первую книгу математических трудов. СПб., 1798.
2 С. Гурьев. Основание геометрии, 674 стр. и 20 листов чертежей.
СПб., 1811.

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 35Г
В предисловии к этому руководству Гурьев приводит
план Даламбера, но соглашается, строго говоря, только со
следующими его словами, которые мы в переводе Гурьева
и приводим: «Дабы составить превосходные элементы
геометрии, Декарт, Ньютон, Эйлер, Лейбниц, Бернулли и
другие не были бы через меру велики»; и поэтому, «нигде не
находя ни начал сея науки, отличительным образом
означенных и потом сходственно с сим отличением на самое дело»
употребленных, ниже предмета оной, в надлежащем виде
представленного и потом соответственно сему виду
изложенного, мы принужденными нашлися столь известную науку
излагать снова». Гурьев считает, что Евклид стоит бесспорно»
выше всех его критиков, в том числе и Даламбера; но
совершенным он его творение не признает и поэтому считает
нужным его усовершенствовать как с научной, так и с
учебной стороны. Это — лейтмотив всех комментаторов Евклида,
к числу которых Гурьев, несомненно, принадлежал. И нужно
сказать, что некоторые существенные улучшения- он
действительно вносит, но именно в тех частях, где он все-таки
следует Даламберу и Лежандру; он по существу арифме-
тизирует теорию пропорций, вводит начала учения о
пределах, отводит большое место метрической геометрии'. Но по
всему складу сочинения, по интересующим автора моментам,
по самому изложению — это чрезвычайно тяжелая книга,-
менее всего пригодная для школы. Та химерическая точность,
которая по существу носит чисто внешний, формальный
характер, от которой так настойчиво предостерегает Даламбер,
составляет наиболее отличительную черту этого сочинения.
Казалось бы, уже самые размеры книги Гурьева — около
700 страниц убористого шрифта — говорили за то, что для
обучения геометрии в школе она непригодна. И при всем том
«Основание геометрии» Гурьева было признано основным
руководством; это произошло при следующих
обстоятельствах.
В начале XIX в. требования к серьезной постановке
обучения математике в России шли главным образом от
военного ведомства. В 1804 г. адмирал Чичагов представил
императору Александру I план, по которому наиболее
выдающимся специалистам должно было быть поручено
составление курсов наук, преподававшихся в кадетском корпусе.
Этот, несомненно разумный, план был одобрен. Когда дело
дошло до составления руководства по геометрии, в качестве

352 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
такового было рекомендовано руководство Гурьева. Трудно
себе уяснить, чем это было вызвано: тем ли, что книга была
посвящена «державнейшему великому государю-императору
Александру Павловичу», или здесь сыграл роль авторитет,
которым пользовался автор в руководящих учебных кругах.
Так или иначе, книга была перепечатана с самыми
незначительными изменениями в качестве учебного руководства. Эта
книга, несомненно, уступает краткому и доступному
учебнику Безу, который был переведен на русский язык и, может
быть, был в большем ходу, нежели официально
рекомендованное руководство Гурьева.
Остановимся еще на руководстве, составленном акад.
Фуссом К Книга Фусса также предназначалась для военных
учебных заведений, но только сухопутных. Нужно сказать, что
она, несомненно, гораздо доступнее, нежели книга Гурьева.
На ней лежит явный отпечаток влияния Безу и не без
пользы для дела. Но той «неупустительной» строгости, которой
Фусс требует от учебника геометрии в своем отзыве на
«Геометрию» Н. И. Лобачевского, в его книге нет и следа2.
К этому нужно прибавить, что оригинал был написан по-
французски и очень скверно переведен на русский язык.
Книга в этом виде производит неприятное впечатление, не
соответствующее научному авторитету Фусса.
Останавливаться на разборе других русских руководств
того времени по элементарной геометрии, входить в
рассмотрение каждого из них вряд ли целесообразно. Мы должны
отметить выдающийся для того времени курс профессора
Харьковского университета Т. Осиповского3. В
противоположность учебникам Гурьева и Фусса он был составлен не
для военных, а для гражданских учебных заведений, издан
Главным правлением училищ и, нужно сказать, составлен
гораздо тщательнее, гораздо лучше не только в
педагогическом, но и в научном отношении. Однако он несет на себе
ясно выраженную печать влияния Лежандра и Даламбера.
Вообще Осиповский несомненно принадлежал к наиболее
прогрессивным и просвещенным педагогам того времени.
1 Н. И. Фусс. Геометрия в пользу и употребление обучающегося
благородного юношества в императорском сухопутном шляхетском
кадетском корпусе. СПб., 1812.
2 См. стр. 262 наст, книги. (Ред.).
3 Т. Осиповский. Курс математики, изданный от Главного
правления училищ. СПб., 1814 (второе издание).

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 353
Существенным выводом из настоящего обзора является
то, что в России в первую четверть XIX в. в вопросе об
учебнике геометрии были распространены те же взгляды,
что и во Франции. В наиболее влиятельных академических
кругах преобладало тяготение к Евклиду; в педагогических
кругах было сильнее влияние Даламбера, Лежандра и
Лакруа. Это были самые крупные авторы того времени. Их
учебные руководства, как уже указано выше, были в
переводах распространены в России.

«
ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ i
Геометрия (греческое, от ge — земля и metrein —
измерять) — наука о пространстве, точнее — наука о формах,
размерах и границах тех частей пространства, которые в нем
занимают вещественные тела. Таково классическое
определение геометрии, или, вернее, таково действительное
значение классической геометрии. Однако современная геометрия
во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы
этого определения. Развитие геометрии принесло с собой
глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том
значении, в котором пространство как математический
термин широко употребляется современными геометрами, оно
уже не может служить первичным понятием, на котором
покоится определение геометрии, а, напротив, само находит
себе определение в ходе развития геометрических идей.
1. ГЕОМЕТРИЯ НА ВОСТОКЕ
Родиной геометрии считают обыкновенно Вавилон и
Египет. Греческие писатели единодушно сходятся на том,
что геометрия возникла в Египте и оттуда перенесена в
Элладу. В передаче Прокла до нас дошел отрывок одного
из первых, по-видимому, сочинений, посвященных истории
науки (его приписывают обыкновенно Евдему Родосскому,
1 Статья была написана для «Большой Советской Энциклопедии» и
напечатана под названием «Геометрия» в 15-м томе первого издания БСЭ
{стр. 323—385), который вышел в свет в 11929 г. Последующий период
развития геометрии освещен в соответствующей статье второго издания
БСЭ. (Ред.).

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 355
хотя это не вполне бесспорно), начинающийся следующими
словами:
«Так как нам необходимо здесь обозреть начало
наук и искусств, то мы сообщаем, что геометрия, по
свидетельству весьма многих, была открыта
египтянами и возникла при: измерении земли. Это измерение
было им необходимо вследствие разлития реки Нила,
постоянно смывавшего границы. Нет ничего
удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла
из потребностей человека. Всякое возникающее
знание из несовершенного состояния переходит в
совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия,
оно постепенно становится предметом нашего
рассмотрения и, наконец, делается достоянием разума».
Первая половина этого отрывка (ко второй мы
возвратимся ниже) обычно приводится как историческое
удостоверение того, что геометрия возникла из потребностей
практической жизни. Тот же рассказ, по-видимому, из вторых
рук, обычно с большими, но сомнительными подробностями,
повторяют и многие другие греческие авторы (Герон
Александрийский, Диодор, Страбон).
Первые шаги культуры всюду, где она возникала, в
Китае, в Индии, в Ассирии, в Египте, были связаны с
необходимостью измерять расстояния и участки на земле, объемы
и веса материалов, продуктов, товаров; первые значительные
сооружения требовали нивелирования, выдержанной
вертикали, знакомства с планом и перспективой. Необходимость
измерять промежутки времени требовала систематического
наблюдения над движением светил, а следовательно,
измерения углов. Всё это было неосуществимо без знакомства с
элементами геометрии, и во всех названных странах
основные геометрические представления возникали частью
независимо друг от друга, частью — в порядке преемственной
передачи. Однако точных сведений о познаниях египтян в
области геометрии мы не имеем. Единственным
первоисточником, дошедшим до нас, является папирус, написанный при
фараоне Раусе ученым писарем его Ахмесом (Ahmes) в
период между 2000 и 1700 г. до нашей эры. Это—руководство,
содержащее различного рода математические задачи и их
решения; значительное большинство задач относится к
арифметике, меньшая часть — к геометрии. Из последних почти

356 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
все связаны с измерением площадей прямолинейных фигур
и круга, причем Ахмес принимает площадь равнобедренного
треугольника равной произведению основания на половину
боковой стороны, а площадь круга — равной площади
квадрата, сторона которого меньше диаметра на 7э его часп>
(это дает я=3,160...); площадь равнобочной трапеции он
принимает равной произведению полусуммы параллельных
сторон на боковую сторону. Как видно из нескольких других
задач Ахмеса, египтяне в эту пору знали, что углы
прямоугольного треугольника определяются отношением катетов.
Как они пришли ко всем этим правилам, знали ли наиболее
просвещенные жрецы — хранители египетской науки, — что
их данные являются лишь приближенными, об этом мы не
имеем никаких сведений. Столь же мало знаем мы о том,
что прибавило к этим познаниям египтян следующее
тысячелетие; сколько-нибудь значительных успехов они во всяком
случае не сделали. Трудно сказать вполне точно, что из этих
сведений египтяне открыли сами и что они заимствовали от
вавилонян и индусов. Несомненно лишь то, что
геометрические сведения вавилонян были столь же отрывочны и столь
же скудны. Им принадлежит деление окружности на 360°;
они имели сведения о параллельных линиях и точно
воспроизводили прямые углы; всё это было им необходимо при
астрономических наблюдениях, которые, по-видимому,
главным образом и привели к их геометрическим знаниям.
Вавилоняне знали, что сторона правильного вписанного в
круг шестиугольника равна радиусу, и принимали я=3.
Характерным для этого первого, в известном смысле
доисторического, периода геометрии являются две стороны дела:
во-первых, установление наиболее элементарного
геометрического материала, прямо необходимого в практической
работе, а во-вторых, заимствование этого материала из
природы путем непосредственного наблюдения («чувственного
восприятия», по словам Евдема Родосского). Наиболее
характерное выражение этого непосредственного
апеллирования к интуиции как единственному удостоверению
правильности высказанной истины мы находим у индусского
математика Ганеши. Утверждение, что площадь круга равна
полупроиззедению длины окружности на радиус, он
подтверждает чертежом (см. рис. 1), над которым значится
лаконическая надпись: «Смотри!». В действительности
прямолинейного параллелограмма, показанного на рисунке, не

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 357
получается, радиус при этом построении не представляет
собой высоты параллелограмма, и только тонкая интуиция
прозорливого автора через компенсацию ошибок приводит к
правильному выводу. Далеко не всегда интуиция так удачно
устраняет ошибки глаза, и этот элементарный метод
непосредственного созерцания, неизбежный в первобытной науке,
порождает противоречия, появляющиеся в расхождении
различных наблюдений и сделанных из них заключений. Эти
ГЛУУУШ
^Z7 АААААА
Рис. 1
противоречия сказались в ошибочности почти всех правил
индусской, вавилонской и египетской геометрии.
Социальный уклад древнего Египта привел его к засток>
и упадку. Поэтому приложения геометрии оставались в
рамках, в которых расхождения правил Ахмеса с
действительностью еще не становились достаточно заметными. Надписи
на египетских храмах, относящиеся уже к I в. до н. э.,
свидетельствуют, что египтяне в эту пору всё еще вычисляли
площади прямолинейных фигур по правилам Ахмеса. Этому
несомненно способствовало и то, что все эти познания
оставались достоянием замкнутой касты жрецов. Египтяне
передали зачатки геометрических знаний грекам, но остались
в стороне от того, что из них сделали греческие ученые.
2. ГРЕЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Геометрия в греческих философских
школах. Греческие авторы относят появление геометрии в
Греции к концу VII в. до н. э.'и связывают его с именем
Фалеса Милетского (639—548), вся научная деятельность
которого изображается греками в полумифическом свете, так
что точно ее восстановить невозможно. Достоверно,
по-видимому, то, что Фалес в молодости много путешествовал по
Египту, имел общение с египетскими жрецами и у них
научился многому, в том числе геометрии. Возвратившись на

358 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
родину, фалес поселился в Милете, посвятив себя занятиям
наукой, и окружил себя учениками, образовавшими так
называемую Ионийскую школу. Фалесу приписывают (Прокл)
открытие ряда основных геометрических теорем (например,
теорем о равенстве углов при основании равнобедренного
треугольника, равенстве вертикальных углов и т. п.).
Важнее, по-видимому, другое. Трудно допустить, чтобы наука,
хотя бы в зачаточном своем состоянии, была перенесена на
греческую почву одним человеком. Важно то, что в Элладе
в иных условиях экономических отношений и социальной
жизни образовался класс, для того времени несомненно
прогрессивный, не только усвоивший восточную культуру, но
:и развивший ее до неузнаваемой высоты, создавший, таким
образом, уже свою высокую эллинскую культуру. В условиях
быстро развивавшейся архитектуры, мореплавания,
гражданской и военной техники, в условиях развертывавшихся
уже в связи с этим исследований в области астрономии,
физики, механики, требовавших точных измерений, не только
очень скоро обнаружились противоречия и неправильности
египетской геометрии, но и в исправленном виде ее скудный
материал перестал удовлетворять возросшим потребностям.
Элементарные приемы непосредственного наблюдения
восточной геометрии были бессильны перед новыми задачами.
Чтобы их разрешить, было необходимо оторвать геометрию
ют непосредственных задач измерения полей и постройки
пирамид, — задач, узких при всей их важности, — и
поставить ей неизмеримо более широкие задания. Этой тенденции
и положено было начало Фалесом. Ионийская школа
перенесла геометрию в область гораздо более широких
представлений и задач, придала ей теоретический характер и сделала
ее предметом тонкого исследования, в котором наряду с
интуицией начинает играть видную роль и абстрактная
логика. Абстрактно-логический характер геометрии, который в
Ионийской школе только намечался, подернулся, правда,
несколько мистическим флером у пифагорейцев, принял у
Платона и Аристотеля более здоровые формы и в
Александрийской школе нашел свое завершение. Была создана наука,
широкая по замыслу, богатая фактическим материалом и,
несмотря на свой абстрактный характер, дающая ряд
чрезвычайно важных практических применений. Больше того,
можно сказать, что именно в абстрактной структуре,
которую получила геометрия в трудах греческих ученых с VI по

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 359
III в. до н. э., и коренится возможность ее многообразного
конкретного использования.
Самое слово «геометрия» недолго сохраняет свое
первоначальное значение — измерения земли. Уже Аристотель
ъвел для такого измерения новый термин — геодезия.
Однако и содержание этой новой дисциплины скоро тоже
-стали понимать в более широком смысле, который может
быть лучше всего передается современным термином
«метрическая геометрия». В трудах Фалеса, Пифагора, Платона,
Демокрита, Гиппократа, Динострата, Никомеда, Аристотеля,
Евдокса, Менехма, если назвать только важнейших, с
необычайной быстротой производятся установление и
систематизация фактического материала классической геометрии.
Нужно отметить, что нам известны лишь разрозненные
звенья в цельной цепи развития геометрии; многие звенья и
имена совершенно утрачены. Около IV в. до н. э. уже стали
появляться сводные сочинения под названием «Начал
геометрии», имевшие задачей систематизировать добытый
геометрический материал. Такие «Начала» по свидетельству
Лрокла, составили Гиппократ Хиосский, Феодосии из
Магнезии, Гиероним Колрфонский и др. Ни одно из этих
сочинений до нас не дошло: все они утратили свое значение и
были забыты, когда появилось замечательное руководство
но геометрии — «Начала» Евклида, жившего в конце IV —
начале III в. до н. э.
Первый Александрийский период. Евклид.
Евклид жил в Александрии в эпоху, когда там образовался
наиболее крупный центр греческой научной мысли.
Опираясь на труды своих предшественников, Евклид создал
глубоко продуманную систему, сохранявшую руководящую
роль в течение свыше двух тысяч лет. «Составитель
Начал» — это прозвище сделалось как бы собственным
именем, под которым все позднейшие греческие математики
разумели Евклида, а его «Начала» сделались учебником, по
которому в течение двух тысячелетий учились геометрии
юноши и взрослые. Даже те учебники, по которым ведется
первоначальное обучение геометрии в наше время, по
существу представляют собой переработку «Начал» Евклида.
Материал, содержащийся в «Началах», по существу
охватывает элементарную геометрию, как мы ее понимаем в
настоящее время. Метод построения геометрии у Евклида
позже характеризовали словами «geometriam geometrice» —

360 -IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
строить геометрию исключительно геометрическими
средствами, не внося в нее чуждых ей элементов. Это означает
прежде всего, что Евклид не прибегает к арифметическим
средствам, т. е. к численным соотношениям. Равенство
(конгруэнтность) фигур у Евклида означает, что они могут
быть совмещены движением, неравенство — что одна фигура
может быть целиком или частями вмещена в другую. Рав-
иовеликость фигур означает, что они могут быть составлены
из конгруэнтных частей. Именно этими средствами, не
прибегая даже к пропорциям, Евклид
доказывает, что каждый многоугольник
может быть преобразован в
равновеликий треугольник, а треугольник —
в квадрат. Установив при помощи
движений (наложений) условия
равенства фигур, Евклид стремится з
дальнейшем только на эти условия и
опираться, не возвращаясь к
движениям. Теорема Пифагора у Евклида
имеет только то содержание, которое
устанавливается его доказательством:
квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного
треугольника, может быть разложен на части, равновеликиеквадратам,
построенным на его катетах; связанное с этим алгебраическое
соотношение численных значений гипотенузы и катетов ему
совершенно чуждо. Но мало того, что Евклид не пользуется
числовыми соотношениями,—он устанавливает геометрические
соотношения, эквивалентные основным алгебраическим
тождествам, установленным гораздо позже; этому посвящена
почти половина второй книги «Начал». Так, теорема о
квадрате суммы получает у него выражение в разложении
квадрата, построенного на отрезке h-\-b, на два квадрата а-а и
b'b и на два прямоугольника a- b (рис. 2). Евклид дает
12 таких теорем и таким образом строит своеобразную
«геометрическую алгебру». Эта «геометризация» у Евклида
отнюдь не представляет собой искусственного подхода,
каким она может представляться современному читателю.
Напротив, наглядные формы этих предложений, в которых
мы их находим в «Началах», в то время только и были
известны. Процесс отвлечения дошел до геометрической
абстракции, но не дальше. Когда мы обращаемся к
пропорции, то мы в настоящее время себе таковую не мыслим иначе,
а а
да
ад
дд

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 361
'как в виде равенства двух чисел — отношений. Для
греческого математика того периода отношение как число не
существовало; самое предложение, что два отрезка могуг
быть несоизмеримы, доказанное впервые, по-видимому,
Пифагором, толковалось в том смысле, что такие отрезки
вовсе не имеют отношения. Вообще число — для грека той
эпохи — означало целое число; учение о дробях было
крайне сбивчиво, а идеи об иррациональном числе не
существовало вовсе. Поэтому об отношении двух несоизмеримых
отрезков греческий математик того времени говорить не мог.
Задача заключалась, таким образом, в том, чтобы учение
о пропорциональности и подобии, главные черты которого
были интуитивно ясны, облечь в такую форму, которая,
сохраняя всю необходимую точность, не создавала бы
затруднений для случая несоизмеримых элементов
отношения. Эта задача была решена Евдоксом.
Эта теория пропорциональности сводится к следующему. Пусть А
и В будут два значения одной и той же величины, например два отрезка;
А' и В' — два других значения той же или иной величины. Мы берем
произвольно два целых числа шипи составляем кратные тА и пВ и в
то же время кратные тА' и пВ'. Если при любом выборе коэффициентов
тип каждое из соотношений тА=пВ, тА>пВ, тА<пВ влечет за
собой соответствующее соотношение тА' = пВ\ тА'>пВ\ тА'<пВ\ то
мы будем говорить, что значения А и В пропорциональны значениям
А' и В' или что А находится в том же отношении к В, как А' к В'\
в современных обозначениях: А : В = А/: В'. Из этого определения,
совершенно не оперирующего отношениями как числами, со всею
строгостью выводится вся обычная теория пропорций. Должно быть
присоединено только определение сложного отношения. Если А : А/ и В : В*
суть два отношения (в нашем понимании — два числа), то под
составленным из них сложным Отношением мы разумеем произведение этих
чисел. Если А и В суть основание и высота прямоугольника S, а А/ и В'—
основания и высота прямоугольника S', то отношение площадей 5: S'
равно отношению, составленному из отношений А : А/ и В : В'. Обычное
доказательство этого предложения заключается в том, что строится
третий прямоугольник Т таким образом, что
A :A'=S:T и В:В'=^Т : S'.
По Евдоксу, предложение «5 находится к S' в отношении, составленном
из отношений А : А/ и В : В'» только и означает, что существует такое Г,
при котором имеют место эти пропорции. Таким образом, и в
терминологии Евдокса остается справедливым предложение, что два
прямоугольника находятся в сложном отношении, составленном из отношений
оснований и высот, но понятие о численном значении отношения исключается.
По словам Евдема Родосского, Евклид усовершенствовал
и уточнил теорию пропорций Евдокса; это и составляет
содержание пятой книги «Начал», на основании которой в
шестой книге построено учение о подобии плоских фигур.

362 TV- РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Теорию пропорций и подобия мы привыкли завершать
учением об измерении площадей — выражением площади
числом. Евклид этим не занимается, его геометрия не
метрическая. Задача выражения значения величины числом
остается ему чуждой; приведенным выше предложением об
отношении площадей двух прямоугольников в его
геометрической форме исчерпывается то, что у него заменяет наше
выражение площади треугольника. Одно от другого лежит
очень близко, но точки зрения существенно различны.
Если первые шесть книг Евклида излагают «геометрик>
геометрически», то в следующих трех, так называемых
арифметических книгах Евклид действительно занимается
геометризацией учения о числе. Можно сказать, что эти книги
охватывают те части учения о числе, которые проистекают
из последовательного деления. Этот процесс и начинает
седьмую книгу, конечно, в геометрической форме, в порядке
нахождения общей наибольшей меры двух соизмеримых
отрезков; он отсюда и получил название алгорифма
Евклида. Переходя далее к числам, Евклид изображает их
всегда отрезками. Он дает теперь арифметическую теорию
пропорций, но только в порядке применения теории Евдокса
к отрезкам, изображающим целые числа. Даже самые
термины — плоские, прямоугольные, квадратные, телесные,
кубические числа — отчетливо говорят о геометрических
аналогиях, которые руководят изложением. Но нужно
сказать, что очень часто эта аналогия остается чисто внешней
и глубоко не идет. Зато десятая книга настолько глубоко
проникнута геометрическим методом, что ее и в настоящее
время обычно относят к геометрии. Она содержит теорию
иррациональных выражений; в нашей терминологии можно
сказать, что она содержит классификацию иррационально-
стей, составленных из квадратных радикалов. Но у Евклида
речь идет исключительно об отрезках, построенных
циркулем и линейкой, и в последовательности приемов
построения он находит критерии для установления несводимых друг
к другу типов иррациональностей. Это — самая большая,
наиболее глубокая книга, но вместе с тем она в большей
мере, чем другие книги «Начал», утратила в настоящее
время интерес, так как алгебраическими средствами эта
классификация осуществляется неизмеримо более просто.
Книги 11 — 13 содержат стереометрию, и в них проведены*
те же методы.

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
36&
"Таким образом, строго выдержанная геометрическая
обработка, в конечном счете опирающаяся на сравнение
геометрических объектов путем наложения и имеющая явно
выраженную тенденцию к геометризации всей
математики,— таков метод всех рассуждений в «Началах» Евклида.
Причины, вызвавшие такое преобладание геометрии,
несомненно заключаются в том, что она соединяет достаточна*
глубокую абстракцию, приводящую к выводам большой,
общности, с конкретными представлениями, дающими
широкий простор интуиции. Геометрия счастливо объединяет эти-
противоположные стороны научной мысли, и в порядке
укрепления этой связи развертывается ее многовековая
эволюция.
Каждую книгу Евклид начинает определением тех
терминов, которые он в этой книге вводит. Первая книга
начинается 23 определениями; за ними следуют постулаты и
аксиомы. Далее идут одно за другим, без всяких связующих
рассуждений, предложения: каждое предложение
формулируется, затем указывается, что' дано и что требуется
доказать; далее следует самое доказательство со ссылками на-
предыдущие предложения, определения, постулаты и
аксиомы. Через всё сочинение, таким образом, проходит
стремление не только привести весь материал геометрии в
последовательно продуманную систему, но и логически вывести^
его из небольшого числа определений и предпосылок —
постулатов и аксиом. Самую систему выводов Евклид
понимает так, как это изложено Аристотелем во «Второй
аналитике»: они должны разворачиваться в непрерывную цепь,
силлогизмов. Но, чтобы это было возможно, самые
предпосылки должны давать для этого достаточный материал.
Предпосылки Евклида этому далеко не удовлетворяют. Его*
определения основных терминов настолько расплывчаты,
что он нигде на них не ссылается; его аксиомы и постулаты
недостаточны для того, чтобы на них основывать
формальные выводы, и последние постоянно чередуются у него с
интуитивными заключениями. Интуиция, — то же «смотри»
Ганеши, — играет у Евклида коренную роль, но она более
тонко замаскирована. С первого же предложения он
оперирует понятиями «внутри» и «вне», «между», «по одну» и<
«по другую сторону», не давая их определения; он ссылается
на пересечение линий или на их расположение, не
оправданное предыдущими рассуждениями. Можно сказать, что>

364 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
«Начала» Евклида содержат слишком много логики для
того, кто только желает приобрести субъективную
уверенность в истинности высказанного предложения, и слишком
много интуиции для того, кто ищет в них формально
выдержанную логическую систему. В соответствии с этим одни
старались упростить систему Евклида, но почти неизменно
впадали в ошибки, в особенности при усложнении задачи;
другие ставили себе целью уточнить и пополнить цепь
рассуждений, но часто запутывались в мелких звеньях
обширного ряда силлогизмов, не освобождаясь от интуиции. В
порядке преодоления этих противоречий то в ту, то в другую
сторону шла эволюция геометрии. «Начала» Евклида были
той школой, в которой учились те и другие. Силой
геометрического созерцания, которым проникнуто всё сочинение,
«Начала» растили интуицию; стройностью своих
рассуждений они учили строгой математической мысли. Через эту
школу прошли все математики вплоть до нашего времени,
и прежде всего из этой школы вышли геометры второй
эпохи эллинского творчества, возглавляемые Архимедом и
Аполлонием.
Классические задачи Александрийского
периода. «Начала» Евклида отнюдь не охватили всей
геометрии первой Александрийской эпохи. Менехм в
середине IV в. уже открыл конические сечения: они не вошли
в «Начала», по-видимому, потому, что Евклид посвятил им
особое сочинение, до нас не дошедшее. В эту первую эпоху
уже возникли три знаменитые задачи — об удвоении куба,
о трисекции угла и о квадратуре круга, составляющие в
течение многих веков камни преткновения человеческой мысли.
И в сущности в ту же эпоху были даны исчерпывающие
решения всех трех проблем при помощи соответствующих
кривых. Никомед придумал для решения первых двух задач
конхоиду, Диоклес — циссоиду; Гиппократ показал, что
задача сводится к разысканию двух средних
пропорциональных (т. е. двух отрезков х и у, образующих с данными двумя
отрезками а и b пропорции а : х = х : у, х: у = у : Ь). Менехм
показал, что эти средние пропорциональные можно
получить, разыскав пересечения двух парабол. Фактически в этом
содержалось полное геометрическое решение уравнения
3-й степени, полное же решение уравнения 2-й степени
содержится во второй книге Евклида. Всё это есть
геометрическое предвосхищение будущей алгебры. Задача о квадра-

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
365
туре круга ведет дальше; Гиппий Элидский придумал для
этого трансцендентную кривую — квадратрису. Не было
только доказано, что эти задачи не могут быть разрешены
теми элементарными средствами (циркулем и линейкой),
какими этого хотели достигнуть. Можно сказать, что к
концу того периода, которому Евклид подвел итоги, греки
владели всеми геометрическими средствами, которыми мы
владеем в настоящее время для решения задач до 4-й
степени включительно 1.
Эпоха великих геометров (второй
Александрийский период). Наиболее характерной
чертой второй Александрийской эпохи является то, что она
принесла с собой метрику, которой геометрии Евклида не
доставало. Ту задачу, которую Евклид, может быть,
сознательно обходил, — измерение, — Архимед поставил во главу
угла. Это не случайно, а связано с тем прикладным
направлением, которым проникнуто все творчество Архимеда,
жившего в эпоху (III в. до н. э.), когда борьба между
отдельными греческими государствами за независимость и за
гегемонию достигла величайшего напряжения; старость же
его протекла в годы, когда началась решительная борьба
Эллады за самое ее существование. Легенды связывают всю
защиту Сиракуз с именем Архимеда, который изобретал
все новые и новые метательные орудия, отражавшие суда
осаждавших. Сколько в этом правды, судить трудно.
Но Плутарх свидетельствует, что деятельность инженера-
практика Архимеда никогда не прельщала, он и не написал
по этому предмету ни одного сочинения. В III в. до н. э.
прикладные задачи стояли уже перед эллинскими учеными
во весь рост. Заслуга Архимеда заключалась не в том, что
он построил значительное число катапульт, а в том, что он
установил теоретические основы, на которых в конечном
счете и по сей день покоится машиностроение, — он
фактически создал основы механики. Механика требовала
вычисления масс, а следовательно, площадей и объемов, а также
центров тяжести; механика настоятельно требовала
метрической геометрии; на этом и сосредоточено внимание
Архимеда в геометрии. Трудности несоизмеримых отношений он
преодолевает в том порядке, который по настоящее время
1 То есть задач, сводящихся к решению алгебраических уравнений
4-й степени или ниже. (Ред.).

366 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
остается по существу единственным средством не только
практического вычисления, но и теоретического построения
учения об иррациональных величинах, — путем составления
последовательных приближений. Но на этом-то пути и было
необходимо исключительное искусство, ибо тяжеловесная
система счисления представляла самое слабое место
греческой математики. Архимед пытался найти радикальные
средства для преодоления трудностей счисления — этому
посвящена его книга «Исчисление песка». К цели это не
привело. Это сочинение представляет собой лишнее
свидетельство исключительного остроумия Архимеда, но не дает
хороших средств для практического счета. Наиболее важным
было приближенное вычисление квадратных корней,
необходимое для приближенного же вычисления длины
окружности; этому посвящено особое, небольшое сочинение, по
существу заключающее приближенное вычисление
периметров правильных 96-угольников, вписанного в окружность и
описанного около нее. Всё это вычисление исходит из
приближенных значений:
265 ^,/о^ 1351
Как Архимед нашёл эти приближения, остается
неразгаданным по настоящее время. Но если осуществление этих
расчетов, которые в геометрической форме скрыты уже у
Евклида, требовало только искусства приблизительного
вычисления, то более сложные задачи — вычисление
площадей, ограниченных замкнутыми кривыми, и объемов тел,
ограниченных кривыми поверхностями, вычисление их
центров тяжестей — требовало уже принципиально новых
методов. И Архимед их дал; он изобрел метод исчерпывания и
этим положил начало исчислению бесконечно малых,
которое довел, если не систематически, то на частных случаях,
до средств современного интегрального исчисления. Общих
приемов для вычисления определенных интегралов, к
которым сводятся эти задачи, Архимед не имел. И тем
удивительнее искусство, с которым он их разрешал. В послании
к Эратосфену Киренскому Архимед рассказывает о своем
методе (которому послание собственно посвящено) и
сообщает, что для тонких вычислений он нередко прибегал к
механическим средствам; он как бы взвешивал
(теоретически, по правилу рычага) элементы одной фигуры элемен-

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
367
-тами другой, измерение которой не представляло уже
затруднений.
«Многое, — говорит он, — становилось мне ясным
благодаря механическим соображениям, хотя
результаты нуждались еще в геометрическом доказательстве,
ибо исследование их этими средствами такого
доказательства еще не содержит. Но когда этими
средствами некоторые сведения о вопросе уже
приобретены, дополнить доказательство становится уже
гораздо легче».
В этом искусном соединении противоположных средств—
механических представлений, гораздо более конкретных,
чем чисто геометрическая интуиция Евклида, и тонких
логических рассуждений — заключается сила творчества
Архимеда, ставящая его неизмеримо выше всех остальных
творцов классической геометрии. Этими средствами он
вычислил площадь сегмента параболы и спирали,
поверхность и объем, шара и шарового сегмента, объемы
различных тел вращения, центры тяжести параболического
сегмента, полукруга и полусферы и других тел вращения; но
наиболее крупные достижения заключались в той общей
формулировке, которую он дал законам статики и
гидростатики; только общую формулировку придуманного им
метода исчерпывания он еще не был в состоянии дать.
Таким образом, творения Архимеда существенно
отличаются от геометрии Евклида и по материалу и по методу;
это — огромный шаг вперед, это — новая эпоха. В
изложении этих достижений, однако, выдержана система Евклида:
аксиомы и постулаты в начале каждого сочинения, тонко
продуманная цепь умозаключений, претендующая на
совершенство сети силлогизмов. Но, как и система Евклида,
геометрия Архимеда постоянно отдает щедрую дань интуиции,
причем только рядом с геометрической интуицией здесь
появляется интуиция механическая.
Переходя к Аполлонию (вторая половина III в.), нужно
сказать, что творчество его, конечно, не идет в сравнение с
талантом Архимеда, и тем не менее оно представляет
чрезвычайно важную и блестящую страницу в истории
греческой геометрии. Славу Аполлония составляет его сочинение
о конических сечениях (в восьми книгах). Как уже было
сказано, конические сечения были открыты Менехмом, хотя

368 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
остается совершенно неизвестным, как он пришел к этим
кривым. Во всяком случае Аполлоний располагал уже двумя
трактатами по коническим сечениям (Аристея и Евклида).
Тем не менее его сочинение является совершенно
оригинальным. Мы располагаем предисловиями автора к семи книгам
(сопроводительные письма к Евдему и Атталу), в которых
он сообщает, что именно в каждой книге принадлежит ему.
Аполлоний претендует лишь на небольшую часть всего
сочинения, но ему принадлежат, с одной стороны, самые
сложные отделы, например разыскание пересечений конических
сечений, условия их касания в
одной и двух точках и т. п., а с
другой стороны, чрезвычайно
своеобразный и плодотворный метод.
Как и его предшественники,
Аполлоний получает все три
кривые сечением конуса плоскостью,
перпендикулярной к образующей.
В зависимости от того, имеет ли
осевое сечение при вершине
конуса острый, прямой или тупой
угол, мы получаем в сечении
соответственно эллипс, гиперболу
или параболу, с вершиной на образующей.
Если коническое сечение (рис. 3) в терминологии
аналитической геометрии отнесено к главной оси ОХ и к
касательной в вершине OY, так что х = ON есть абсцисса, а
у = MN есть ордината произвольной точки М кривой, то
в случае параболы yz = 2px, где p = FG есть ордината ее
фокуса, это — уравнение параболы. В терминологии
Евклида — Аполлония это выражается геометрически так: квадрат,
построенный на ординате NM, равновелик двойному
прямоугольнику, имеющему основанием расстояние ON, а
высотой — постоянный отрезок FG. В случае гиперболы разность
между квадратом и тем же прямоугольником имеет
положительное значение, а в случае эллипса — отрицательное;
в том и в другом случае эта разность пропорциональна
квадрату, построенному на абсциссе. Установив это
предложение, Аполлоний фактически дает общее уравнение
конического сечения в форме:
Рис. 3
2px + hx2.

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 369
Так как это отправная точка всех рассуждений
Аполлония, то ясно, что его метод — это по существу метод
современной аналитической геометрии, облеченный только
внешним образом в геометрическую форму. Насколько близко
Аполлоний подходит к приемам аналитической геометрии,
можно судить по тому, что первые его шаги после
установления основного предложения представляют собой
фактически не что иное, как преобразование координат
(перенесение начала в другую точку кривой). Та же печать
геометрической аналитики лежит и на другом, весьма
замечательном сочинении Аполлония «О плоских геометрических
местах», дошедшем до нас только в восстановленных
отрывках. Не располагая алгебраическими обозначениями,
Аполлоний проявляет огромный талант, чтобы
скомбинировать получающиеся соотношения в необходимые выводы.
При всем том он пришел к очень громоздкой системе, в
которой гораздо труднее разобраться, чем в значительно более
глубоких рассуждениях Архимеда. Существенно, однако, то,
что Аполлоний несомненно в той же мере является
предшественником Ферма и Декарта, в какой Архимед является
предшественником Кавальери, Лейбница и Ньютона. Таким
образом, если в первый эллинский период была создана
элементарная геометрия, то во второй были заложены начала
высшей математики, дифференциальной и аналитической
геометрии.
Эпоха великих астрономов. За эпохой
«великих геометров» следует третий период греческой геометрии,
который было бы правильнее всего назвать
астрономическим. Этот период открывает еще Эратосфен, произведший
в конце III в. первое измерение длины земного меридиана;
но главную роль в эту эпоху играют Гиппарх, Менелай и
Птолемей. Гиппарх (II в. до н. э.) и Птолемей, отделенные
друг от друга, правда, почти тремя столетиями, построили
систему мира, основанную уже на продолжительных
наблюдениях и вычислениях. Сочинение Птолемея «Канон
математики», известное больше под своим арабским названием
«Альмагест», содержало сводку всего математического
знания, необходимого для понимания системы мира, в том
же сочинении изложенной. Для астрономии
калькуляционная сторона играла особо важную роль, и прежде всего
важное значение имело решение треугольников,
прямолинейных и сферических. В соответствии с этим главный вклад,

370 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
внесенный в геометрию в этот астрономический период, есть
создание тригонометрии прямолинейной и сферической.
Построение тригонометрии приписывается Гиппарху,
который составил также таблицы синусов, до нас не дошедшие.
Синус дуги фигурирует в тригонометрии этого времени как
полухорда двойной дуги. Менелай выделил учение о сфере,
ее геометрию и тригонометрию в особую дисциплину —
сферику, которой и посвятил особое сочинение в трех
книгах, носящее то же название. Первая книга представляет как
бы основные предложения Евклида, перенесенные на сферу,
третья посвящена тригонометрии. Первое предложение этой
книги, на котором основано всё сочинение, заключается в
следующем. Если стороны сферического треугольника ABC
пересечены дугой большого круга в точках: АВ в D, АС в Е
и ВС в Т7, то
sin СЕ _ sin CF __ sm BD
sin ЯЛ sin FB sin DA
Это замечательное предложение остается также в силе для
прямолинейного треугольника, если заменить синусы дуг
соответствующими отрезками (т. е. в предыдущей формуле
всюду отбросить знаки синуса); оно известно под названием
теоремы Менелая. Из него вытекает, что на сфере и на
плоскости ангармоническое отношение четырех точек остается
инвариантным при проектировании их. Греческой геометрии
принадлежит, таким. образом, и основное предложение
проективной геометрии. Не случайно и то, что оно открыто
на сфере раньше, чем на плоскости, ибо, как будет показано
ниже, именно в эллиптическом 1 пространстве проективная
геометрия осуществляется целиком и безупречно.
Птолемей извлек из сферики Менелая то, что
необходимо для астронома, и снабдил тригонометрию таблицей
синусов, вычисленный через V20. Эта таблица долго играла
весьма большую роль. Птолемей положил также начало
картографии; он предложил стереографическую проекцию2
для изображения северного звездного неба; за центр проек-
1 В двумерном случае эллиптическое пространство возникает из
сферы путем отождествления ее диаметрально противоположных точек.
(Ред.).
2 Стереографической проекцией называется проекция сферы на
«плоскость экватора» из какого-либо ее «полюса» (разумеется, по существу
«плоскость экватора» — любая плоскость, проходящая через центр сферы,
а «полюс» — любой конец перепендикулярного к ней диаметра). (Ред.).

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 371
тйрования он, естественно, выбрал Южный полюс мира, а
за плоскость проекций плоскость экватора. Нет, таким
образом, такой отрасли современной геометрии, основные начала
котор<эй не были бы заложены эллинскими геометрами.
«Евклид, Архимед, Эратосфен и Аполлоний, —
говорит М. Кантор, — довели математику до такой
высоты, дальше которой старыми средствами ее
невозможно было развивать. И не только выше нельзя
было взобраться, но и достигнутые вершины науки
были вскоре исследованы во всех направлениях.
Оставалось вернуться обратно, осмотреться,
разобраться в тех частностях материала, мимо которых
проскользнули творцы науки, быстро взбираясь на ее
крутизны».
Источники тех трудностей, которые стояли на пути
дальнейшего развития геометрии, несомненно коренились в
самом геометрическом методе; из него росли препятствия,
которых он не был в состоянии преодолеть. Его особенность
заключается в том, что каждая проблема разрешается
средствами, нарочито к ней приспособленными. В этом сила
геометрического метода, но в этом же и его слабость, ибо он
требует изготовления специального орудия для каждого
случая. Так, для решения задачи о построении круга,
касающегося трех данных кругов, Аполлоний построил
специальную теорию подобия окружностей (расположение центров и
осей подобия). Это было, конечно, ценное приобретение, но
чем глубже становилась геометрия, тем труднее было эти
специальные средства создавать. Геометрический метод
уперся, таким образом, в тупик: преодоление содержавшихся
в нем противоречий могло быть найдено только на
противоположном пути, на пути изыскания мощных общих приемов
исследования, что было сделано гораздо позже.
Геометрия в эпоху упадка греческой
культуры. Греческие геометры следующей эпохи были
заняты преимущественно приведением в порядок огромного
накопленного материала. Здесь выдвигаются главным
образом два имени: Герон и Папп (оба из Александрии). Если
Евклид систематизировал и обработал чисто геометрический
материал, скопившийся до него, то Герон сделал то же
самое по отношению к метрике. Этому посвящено самое
крупное его сочинение «Метрика»; книга носит прикладной

372 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
характер; в ней объединено всё, что относится к делу
измерения, внесены и крупные собственные результаты. Гораздо
значительнее, однако, сочинение Паппа «Математическая
библиотека» («Synagoge»), суммирующее весь материал
современной Паппу геометрии (III в. н. э.). Оно написано с
явной целью оживить классическую геометрию и до
некоторой степени представляет собой руководство к чтению в
оригинале «великих геометров». Каждая основная задача
решается всеми методами, которые были предложены
различными классическими авторами. По материалу «Synagoge»
неизмеримо богаче «Начал» Евклида; это — уже
энциклопедия, охватывающая и Евклида, и Архимеда, и Аполлония,
и Птолемея. Но система изложения та же: то же стремление
к выдержанному синтезу, столь характерное для греческой
геометрии, и та же интуиция, постоянно его нарушающая.
Это стремление установить основы науки, из которых всё
остальное выводится чисто логически, это своеобразное
гносеологическое направление, характерное для всей греческой
философии, имело в геометрии наибольший успех. Здесь,
казалось, логика Аристотеля получила свое наиболее
совершенное осуществление, служившее на многие века образцом
строения точной науки,'вплоть до стремления Спинозы гео-
метризировать этику.
Именно после Паппа, когда дальнейшее накопление
геометрического материала приостановилось, начинается то
усиленное стремление к углублению логического анализа
начал геометрии, о котором говорит. М. Кантор. Однако в ту
эпоху быстрого упадка греческой философии эти
рассуждения были мало плодотворны. Во II в. до н. э. «Начала»
Евклида были уже классическим произведением; оставить
его в стороне и построить основы геометрии независимо от
Евклида не решился никто. Его можно было только
дополнять, разъяснять, исправлять, вообще комментировать.
Сочинения, посвященные истолкованию «Начал»
появились рано. Первым комментатором Евклида был,
по-видимому, еще Гемин Родосский, живший во II в. до н. э.;
занимались этим позднее Герон и Папп, а также Теон и другие,
но их комментарии до нас либо вовсе не дошли, либо
сохранились только в отрывках в передаче Прокла, который писал
уже в V в. н. э. Комментарии Прокла сделались вскоре
классическим произведением, с которым долго никто не
конкурировал в деле истолкования «Начал». К тому же

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
373
"Прокл жил уже в эпоху полного упадка греческой науки, и
на его долю выпало лишь подвести общий итог
деятельности его великих предшественников. Значение комментаторов
Евклида заключается главным образом, в том, что они
выяснили слабые места его логической схемы. Не сделав
еще ничего для существенного улучшения этой схемы, они
указали те пути, по которым проникают в систему Евклида
рассуждения, нарушающие выдержанную нить логических
выводов. Немало было высказано насмешливых замечаний
по поводу комментаторов Евклида: говорили, что они
переливали из пустого в порожнее, делали ясное неясным. В этих
упреках, конечно, много правды. Комментирование
элементарного сочинения не требует больших знаний, и потому
было написано много легкомысленных и бессодержательных
сочинений по поводу «Начал» Евклида и по вопросу об
основаниях геометрии вообще. Но никак нельзя отрицать
того, что комментаторы Евклида, тщательно изучавшие
«Начала» и глубоко их продумавшие, указали множество
темных пунктов этого сочинения и отметили целый ряд
свойств пространственных образов, которые должны лечь
в основу логической системы геометрии.
Ни одно из основных положений Евклида не вызывало
столько споров, возражений и исканий, как пятый его
постулат, относящийся к теории параллельных линий. В
простейшей своей формулировке этот постулат гласит:
«в плоскости через точку Р, лежащую вне данной
прямой АВ, можно провести не больше одной прямой, не
встречающей данной прямой АВ». У Евклида постулат имеет
более сложное выражение; но и в этой упрощенной форме
он несравненно сложнее остальных постулатов Евклида.
Первые 28 предложений «Начал» от этого постулата вовсе
не зависят. Он появляется в 29-м предложении как-то
неожиданно, и отсюда возникло стремление «доказать»
постулат, т. е. логически вывести его из остальных положений
Евклида. Доказательством пятого постулата занимались
все комментаторы Евклида. Гемину приписывается первое
из этих доказательств; Прокл останавливается на теории
параллельных линий очень обстоятельно; он уже
рассматривает доказательства, данные до него, обнаруживает их
несостоятельность и сам дает новое доказательство, столь
же несостоятельное. Таким образом, анализ постулата о
параллельных линиях, приведший через два тысячелетия к

374 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
открытиям, глубоко изменившим все взгляды на сущность
геометрии, также имеет свои глубокие корни уже в
греческой геометрии.
3. ГЕОМЕТРИЯ НОВЫХ ВЕКОВ
Геометрия у арабов. Прокл был уже,
по-видимому, последним представителем греческой геометрии.
Римляне не внесли в геометрию ничего существенного.
Гибель античной культуры, как известно, привела к
глубокому упадку научной мысли, продолжавшемуся около
1000 лет, до эпохи Возрождения. Это не значит, однако, что
математика в этот период совершенно заглохла.
Посредниками между эллинской и новой европейской наукой явились
арабы. Когда несколько улегся ярый религиозный
фанатизм, царивший в эпоху арабских завоеваний, в условиях
быстро развивавшейся торговли, мореплавания и городского
строительства стала развертываться и арабская наука, в
которой математика играла очень важную роль. Евклид был
впервые переведен на арабский язык, по-видимому, в IX в.
За этим последовал перевод сочинений других греческих
геометров, многие из которых только в этих переводах до нас
и дошли. Однако математические интересы арабов были
сосредоточены не столько на геометрии, сколько на арифметике
и алгебре, на искусстве счета в широком смысле этого слова.
Арабы усовершенствовали систему счисления и основы
алгебры, заимствованные от индусов; но в области геометрии
они не имели значительных достижений К
Геометрия эпохи Возрождения. Этот интерес
к счету перешел и к европейским математикам раннего
Возрождения. Медленно — с начала XIII в. (Леонард Пи-
занский) и до конца XV в. (Лука Пачоли) — в борьбе
абацистов с алгорифмиками устанавливается современная
система счисления, а в следующем, XVI в. начинает
выкристаллизовываться и современная алгебра. Система
символических обозначений современной алгебры ведет свое
начало от Виеты, которому принадлежат и первые
приложения алгебры к геометрии. Записав квадратные уравнения в
общей форме и рассматривая неизвестную как отрезок, а
1 Исследования последнего времени показали, что арабы и другие
народы Ближнего и Среднего Востока внесли большой вклад во многие
разделы геометрии (геометрические построения, вычисление площадей и
объемов, теория отношений и теория параллельных линий). (Ред.).

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 375
коэффициенты уравнения как данные отрезки или
отношения данных отрезков, Виета дает общие методы построения
неизвестного отрезка с помощью циркуля и линейки. Он
показывает далее, что решение таких же задач 3-й и 4-й
степени всегда может быть приведено к построению двух
средних пропорциональных. Во всем этом как будто нет ничего
нового; по существу все это было известно Евклиду, Герону,
Проклу. Но новая, более общая схема дает возможность
объединить цикл разрозненных. задач, интересовавших
греческих геометров, установить общую их характеристику,
рационально классифицировать их по характеру уравнения,
к которому приводит алгебраический метод решения задачи.
Все эти приемы в дальнейшем своем развитии составили
небольшую дисциплину, известную в настоящее время под
названием «Приложения алгебры к геометрии».
Характерным для нее является сведение решения геометрической
задачи к определенному алгебраическому уравнению или к
определенной системе алгебраических уравнений. В этих
применениях нет какого-либо специального, для геометрии
придуманного замысла. Это — прием, проходящий через
приложения алгебры во всех дисциплинах, где она
применяется для разыскания неизвестных величин: задания
выражаются определенной системой уравнений, решение которых
дает значения неизвестных. Это объединение алгебры с
геометрией вскоре привело к гораздо более углубленному и
своеобразному применению алгебраического метода в
геометрическом исследовании. Промежуточное значение (во
всяком случае хронологически) имеют идеи Орезма (точнее,
Орема), относящиеся к XIV в. Схоластики были очень
склонны к установлению соотношений между различными
величинами, соотношений иногда действительно существующих, но
чаще иллюзорных. В этом коренилась, конечно, идея
функциональной зависимости, которой Орезм первый пытался
дать графическое выражение — в виде того, что мы в
настоящее время называем диаграммой. Вероятно, туманные
рассуждения, с которыми этот метод, столь простой по
существу, был связан у схоластиков, повели к тому, что метод
Орезма в ту пору значительного распространения не получил
и прямого влияния на дальнейшую эволюцию геометрии не
оказал. В эпоху Возрождения зародилась и так называемая
изобразительная геометрия, но к этому мы возвратимся
ниже.

376 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Аналитическая геометрия. Основным
препятствием для дальнейшего развития геометрии было
отсутствие общих методов геометрического исследования,
которые содержали бы указания, как подойти к каждой частной
геометрической задаче. Нужда в таком общем методе
чрезвычайно назрела. С развитием алгебры, принесшей с собой
средства математического исследования очень широкой
общности, было естественно в них искать и путей к
геометрическому исследованию. Действительно, в XVII в. два
гениальных французских математика, Ферма и Декарт,
почти одновременно выдвигают идеи, приведшие к новому
и очень широкому расцвету геометрической мысли. Эти идеи
были изложены Ферма в сочинении «Введение в учение о
геометрических местах на плоскости и в пространстве»
(«Ad locos pianos et solidos isagoge»), которое было
известно в кругу парижских математиков еще в 1637 г., но
опубликовано было только после смерти автора (1679 г-).
В письме к Робервалю Ферма изложил сущность своих идей
еще почти на 10 лет раньше. Взгляды Декарта изложены в
небольшом его сочинении «Геометрия», появившемся в
1637 г. в качестве приложения к сочинению «Рассуждение
о методе» («Discours sur la methode»). Оба геометра явно
находились под большим влиянием Аполлония; но
установленный ими метод, ныне широко известный под названием
аналитической геометрии, все-таки остается вполне
своеобразным. От приемов Аполлония он отличается тем, что
соотношения, определяющие геометрическое место, выражены в
форме уравнений символической алгебры; от методов
применения алгебры к геометрии, предложенных Виета, он
отличается тем, что здесь преобладающее значение приобретают
неопределенное уравнение и неопределенная система
уравнений; коренной его особенностью является метод координат,
в применении которого заключается наибольшая его сила.
Координатами по существу пользовался и Аполлоний. Но у
него ордината точки параболы есть ее расстояние от оси
этой параболы; координация всегда неразрывно связана с
самой кривой. Декарту (более чем Ферма) принадлежит
ясно выраженный замысел координации точек плоскости
относительно произвольно выбранных осей, а это и есть
самая существенная сторона дела. В совокупности
получился метод, дающий возможность выразить те соотношения,
которыми определяется геометрическое место, при помощи

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
377
уравнений, связывающих координаты его точек.
Геометрические соотношения были уложены в общие схемы
аналитической функциональной зависимости, и были даны общие
методы изучения этой зависимости средствами алгебры и
анализа. Был найден ключ к широкой новой постановке
геометрического исследования. Ферма дал систематическую
сводку уравнений важнейших кривых. У Декарта этого нет,
но зато у него шире и глубже очерчены общие идеи метода:
самое сочинение должно было служить примером того,
какое значение имеет метод. Конечно, на то, чтобы провести
этот метод систематически, понадобилось значительное
время. У Декарта речь идет только о координации точек на
плоскости; естественное обобщение — определение точки в
пространстве тремя координатами—было сделано Ла-Гиром,
много содействовавшим развитию метода Декарта («Nou-
veaux elements des sections coniques». Paris, 1679). Первое
же систематическое изложение аналитической геометрии как
целого дал Эйлер во втором томе своего «Введения в анализ
бесконечных» («Introductio in analysin infinitorum»).
Аналитическая геометрия прежде всего дала критерий,
характеризующий те пределы, которыми была ограничена
греческая геометрия. По существу это было изучение линий
и поверхностей 1-го и 2-го порядка. Это как будто
предуказывало и ход дальнейшего развития геометрии, которое
должно было прежде всего поставить целью изучение
кривых более высокого порядка. Этим действительно
занимались многие геометры начиная с Ньютона. Наиболее
плодотворными, однако, оказались эти методы при объединении
их с самым мощным орудием новой математики — методом
■бесконечно малых.
Исчисление бесконечно малых и его
приложения к геометрии. Самое открытие этого метода
было чрезвычайно тесно связано с задачами геометрии.
Составляемые по данной функции дифференциальным путем
ее производные различных порядков служат для
исследования хода функции: ее возрастания и убывания, быстроты
се изменения, достижения ею наибольших и наименьших
значений, вообще всего ее «поведения». Для заданной
плоской кривой ордината есть функция абсциссы, и ход
изменения этой функции представляет собой аналитическое
выражение хода кривой. Поэтому общие средства изучения
изменения функций служат для изучения кривой, ее подъе-

378 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
ма, падения, большего и меньшего искривления,
направления ее выпуклости, перегиба, имеющихся на ней особенных
точек и т. д. Таким образом, объединение аналитической
геометрии с дифференциальным исчислением дало
совершенно общие приемы для разрешения этих вопросов.
Проведение касательной к кривой в данной ее точке, служившее
для всех этих вопросов точкой отправления и
осуществлявшееся ранее особыми приемами для каждой кривой,
оказалось самой элементарной в этом ряде задач и получило
общее разрешение, доведение которого до конца, вообще
говоря, не представляет затруднений. С другой стороны,
метод исчерпывания, для применения которого к самым
простым частным случаям Архимед писал целые книги, теперь
развился в интегральное исчисление, в котором все задачи
метрики получили общее решение. Более сложные задачи
этого рода упираются только в трудности интегрирования,
выполнение которого нам во всяком случае доступно с
любой степенью точности. Но, может быть, наиболее
существенную сторону дела составляет приведение вопросов геометт
рии к дифференциальным уравнениям. Функция и ее
последовательные производные, естественно, тесно между собой
связаны. Для обширных категорий (классов, семейств)
функций эта связь выражается уравнениями, в которые
вместе с переменными и функцией входит определенное число
ее производных; это так называемые дифференциальные
уравнения. В соответствии с этим и различные категории
геометрических мест характеризуются дифференциальными
уравнениями различного типа; интегрирование этих
дифференциальных уравнений приводит к разысканию этих
геометрических мест. Если аналитическая геометрия Декарта —
Эйлера дала возможность алгебраическими средствами
устанавливать и исследовать геометрические места, которые
задаются свойствами и соотношениями, непосредственно
выражающимися в виде зависимостей между координатами, то
средства современного анализа бесконечно малых дали
возможность вскрывать эти соотношения в тех случаях, когда
непосредственные задания облекаются только в форму
дифференциальных уравнений. Сюда относятся свойства
геометрических мест, которые зависят от положения касательных
и касательных плоскостей, от кривизны и т. п.
геометрических элементов, выражающихся через производные от
координат в различных весьма многообразных комбинациях.

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 379
.Важнее всего то обстоятельство, что этого рода заданиями
почти всегда определяются те геометрические места, к
которым приводят задачи прикладного знания — механики,
астрономии, физики — и от разыскания которых часто
вполне зависит решение этих задач. Геометрические
элементы играют в этих дисциплинах огромную, часто
доминирующую роль. Разыскание траекторий движения тел, в
частности орбит небесных светил, силовых линий электрических и
магнитных полей, поверхностей уровня, изотермических
изобарных, изоклинических линий и поверхностей, всё это —
основные задачи механики, астрономии, физики, тесно
связанные с геометрией. К началу XIX в. в трудах Лагранжа,
Лапласа и Фурье эти науки получили уже известное
завершение. Все эти ученые были геометрами; вернее, в методах
этих творцов нового прикладного знания геометрия играла
настолько доминирующую роль, что в обиходе французских
ученых исчезло слово «математик», уступив место более
почетному званию «геометр». Первое систематическое
изложение всех применений исчисления бесконечно малых к
геометрии дал Монж в сочинении «Feuilles d'analyse appliquee a
la geometrie» (Paris, 1795). По общей схеме Монжа до сих
пор составляются главы курсов анализа, посвященные его
приложениям к геометрии, так что с этой схемой до
некоторой степени знаком всякий, кто серьезно учился высшей
математике.
Изобразительная геометрия. С именем Монжа
связано такое же завершение другой геометрической
дисциплины — начертательной геометрии, или, как ее
правильнее называют немцы, изобразительной геометрии
(«Darstellende Geometrie»). Задача изобразительной
геометрии заключается в таком графическом воспроизведении
образа заданного объекта, по которому можно было бы с
точностью воспроизвести геометрические формы этого
объекта. Такие изображения почти всегда приходится
воспроизводить на плоскости (на листе бумаги, полотне, камне,
стене); сообразно этому и изобразительная геометрия
представляет собой почти исключительно теорию изображения
предметов на плоскости; в этом изображении
пространственных образов на плоскости и заключается трудность задачи.
Ни одна отрасль геометрии не возникла так
непосредственно из практических задач, как изобразительная геометрия.
Первые попытки воспроизведения (рисования) природных

380 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
объектов относятся к временам доисторической древности;
в античном мире это искусство уже достигло высокой
степени совершенства, но оставалось только искусством, и
лишь с того момента, как условия жизни предъявили к
этому изображению требования точности, возникает
специальная наука — теория графического изображения. Основ для
этой теории естественно было искать в способах восприятия
зрительных ощущений — в оптике, точнее — в
геометрической оптике. Прямолинейность светового луча имеет здесь
решающее значение. Если объект находится между глазом и
некоторой %плоскостью, например стеной, то глаз является
центром, из которого предмет проектируется пучком лучей
на плоскость. Это обстоятельство, на которое указывал уже
Евклид в своей «Оптике», сделало центральную проекцию
основой всей изобразительной геометрии. Первые
систематические шаги в этом направлении принадлежат римскому
зодчему и инженеру Витрувию, написавшему незадолго до
христианской эры трактат об архитектуре в десяти книгах.
Однако идеи Витрувия не оказали большого влияния на
развитие изобразительной геометрии, и она заново начала
строиться в эпоху Возрождения. Три имени играют здесь
решающую роль: величайший представитель итальянского
Ренессанса Леонардо да Винчи (1452—1519), немецкий
художник Дюрер (1471—1528) и французский архитектор,
инженер и математик Дезарг (1593—1662). В своем
трактате о живописи («Trattato della pittura»), который в печати
появился только в 1701 г., Леонардо дал в математической
форме систематические указания о том, как нужно
использовать центральное проектирование для получения
изображения, не дающего искажений; эти идеи легли в основу
дисциплины, позднее получившей широкое распространение и
развитие под названием учения о перспективе. Дюрер в
своем сочинении «Untersuchungen der Messungen» (1525)
пользуется не центральной, а параллельной проекцией,
составляющей, собственно, частный случай центральной.
Чтобы определить положение тела в пространстве, должны быть
заданы три координаты каждой его точки, т. е. ее проекции
на три плоскости. Но если нас интересует только форма
тела, а положение его в той или другой части пространства
значения не имеет, то достаточно располагать проекциями
всех точек тела только на две плоскости. Этим и пользуется
Дюрер. Однако идея координат ему еще совершенно чужда.

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 381
Он проектирует пространственную кривую (например,
винтовую спираль) на горизонтальную плоскость («Grundriss»)
и на вертикальную («Aufriss»); обе проекции в
совокупности дают полное и точное изображение кривой, которую
можно по этому изображению воспроизвести, если известны
плоскости проекций. Но эта необходимость всё же
пользоваться двумя плоскостями проекций находится в
противоречии с основной задачей — дать изображение
пространственного объекта на одной плоскости. Друг и последователь
Декарта, Дезарг, много занимавшийся перспективой,
относит пространственный объект к трем взаимно
перпендикулярным плоскостям, как это обычно делается в
аналитической геометрии, и проектирует его на одну из плоскостей
координат (так называемая первая проекция). После этого
он проектирует объект вместе с осями и первой проекцией
на плоскость изображения, на которой, таким образом,
получаются две проекции — самого объекта и его первой
проекции; по ним уже возможно восстановить в точности
изображаемый объект; развитие этого метода получило название
аксонометрии. Целый ряд позднейших геометров занимался
развитием этих идей, применяя их к изображению отдельных
объектов. При этом, однако, аксонометрия, казавшаяся в
своей первоначальной схеме очень сложной, в ту пору
применялась мало — развитие изобразительной геометрии шло
по линии перспективы и двух проекций.
Заслуга Монжа троякая. Во-первых, он решил вопрос о
построении изображения на одной плоскости, перенеся
вторую (вертикальную) проекцию также в первую
горизонтальную плоскость; при этом вторая плоскость с нанесенной на
ней проекцией поворачивается на 90° вокруг линии
пересечения обеих плоскостей (линии земли); получаемые таким
образом в горизонтальной плоскости две проекции образуют
так называемый «эпюр», по которому уже можно с
точностью воспроизвести изображаемый объект; учение о
построении и «чтении» эпюра и составляет содержание
начертательной геометрии Монжа. Во-вторых, Монж свел весь
материал, собранный в применении к многообразным
отдельным объектам, в стройную систему. В-третьих, он попытался
использовать эти графические методы для целей
общегеометрического исследования: так как изображаемый объект
вполне определяется эпюром, то геометрическое
исследование этого объекта может быть сведено к изучению эпюра.

382 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Эта последняя идея, однако, существенных результатов не
дала.
Книга Монжа представляла собой учебник
начертательной геометрии для парижской Политехнической школы;
печать этого сочинения и по сей день лежит на всех
руководствах по начертательной геометрии.
Комментаторы Евклида. В области элементарной
синтетической геометрии вся эпоха Возрождения была
занята продолжающимся комментированием «Начал» Евклида.
Азербайджанский геометр Нассир-ад-Дин, германский —
Клавий, итальянский — Саккери, англичане Симеон и
Грегори— таковы имена важнейших комментаторов этого
продолжительного периода. Под различными
широковещательными названиями — «Восстановленный Евклид» («Eiiclides
restitutus»), «Обновленный Евклид» («Euclides renovatus»),
«Евклид, освобожденный от всяких пятен» («Euclides ab
omni naevo vindicatus» — выходят комментированные
издания, обыкновенно, однако, ничего существенного в
истолкование «Начал» не вносящие.
Конец XVIII в. принес с собою и завершение
комментирования Евклида. В 1794 г. знаменитый французский геометр
Лежандр выпустил сочинение под названием «Начала
геометрии» (Elements de geometrie»). По существу это было
первое сочинение, в котором основы геометрии изложены по
плану, значительно отличному от плана «Начал».
Существенные его особенности заключаются в следующем. Из
«Начал» устранено всё, что к геометрии не относится и без чего
можно обойтись при элементарном обучении геометрии.
Система арифметизирована: всюду введена метрика, теория
пропорций изложена в арифметической схеме; учение о
несоизмеримых отношениях обойдено. В связи с этим достигнуты
значительные упрощения, хотя утрачен принципиально
геометрический подход Евклида. У Лежандра нет
геометрической алгебры — напротив, алгебраические методы
облегчают изложение геометрии. Если в наших учебниках
элементарной геометрии чувствуется прообраз «Начал» Евклида, то,
читая Лежандра, каждый в настоящее время выносит
впечатление, что он учился по его руководству. Элементарная
геометрия вылилась в форму, научно и логически более
слабую, но более доступную: геометрии стали учиться не
философы, а дети, и для них была приспособлена эта
учебная книга.

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
383
Таким образом, к концу XVIII в. оформились и получили
завершенное выражение те течения геометрической мысли,
которые возникли в эпоху Возрождения и постепенно
развивались в течение шести веков. Существенные черты новой
геометрии этой второй (после эллинской) эпохи расцвета
заключались в исследовании тех же вопросов, которые
занимали греческих геометров, но при помощи совершенно
новых методов. Принцип «geometria geometrice» отпадает;
напротив, в геометрии находят широкое приложение две
новые, математические науки — алгебра и исчисление
бесконечно малых. Новые методы геометрического исследования
носят гораздо более абстрактный характер, они дальше от
непосредственной интуиции. Вместе с тем, они дают более
общие средства для решения конкретных задач; часто
вопрос разрешается механически, если он надлежащим образом
поставлен. От геометризации алгебры делается переход к
алгебраизации геометрии, и только изобразительная
геометрия строится старыми, чисто геометрическими методами. Чем
шире развиваются эти методы, тем глубже становятся их
практические применения. Не случайно, что именно во
Франции основные геометрические дисциплины получают в
эту пору свое завершение, что в лице Монжа они имеют
наиболее яркого своего выразителя. То было время разгара
Французской революции и борьбы за ее лозунги. Монж
принадлежал к числу вождей революции; он был якобинцем и
министром революционного правительства. Человек
широкого ума, он в предисловии к своей «Начертательной
геометрии» следующим образом формулировал задачи научного
образования:
«Чтобы вывести французскую нацию из той
зависимости от иностранной промышленности, в которой
она до настоящего времени находилась, необходимо,
в первую очередь, направить национальное воспитание
к познанию вещей, требующих точности, — что до сих
пор находилось в полном пренебрежении, — и приучить
руки наших специалистов («artistes») к употреблению
всевозможных точных инструментов».
Если Монж является инициатором этой реформы
образования, то другие французские ученые находились
под его влиянием, и это определяло направление их
творчества.

384 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
4. КЛАССИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ XIX ВЕКА
Возрождение синтетических методов. Могло
казаться, что развитие, которое новая геометрия получила
в трудах французских геометров конца XVIII в., привело к
некоторому завершению ее и что для нового толчка остается
ждать эпохи нового Возрождения. Этого, однако, не
случилось: XIX век принес с собой новый глубокий переворот и в
содержании геометрии, и в ее методах, и в самых взглядах
на ее сущность. Наиболее характерной чертой новой
геометрии была ее алгебраизация. Но из самых корней
алгебраического метода росли противоречия, имевшие двоякий
источник.
Во-первых, сама алгебра не так уж сильна. Границы
классической геометрии определялись теми вопросами,
которые алгебраически сводятся к уравнениям 1-й и 2-й
степени. Эти уравнения в чрезвычайно простой форме
разрешаются в радикалах. В этом содержится ключ к
исследованию кривых линий и поверхностей 2-го порядка, источник
простоты и изящества, с которыми геометрия древних
переводится на алгебраический язык. Но при изучении более
сложных кривых, хотя бы даже алгебраических, средства
алгебры в общем исследовании утрачивают свою простоту.
Формулы Кардано и Феррари, служащие для выражения
корней уравнений 3-й и 4-й степени, с их мнимыми
радикалами, от которых нельзя избавиться, почти не находят себе
применения. За пределами 4-й степени таких формул для
общего решения уравнений не существует. Приходится
оперировать такими свойствами алгебраических уравнений, в
широкой общности которых расплываются отдельные
частные задачи. Именно эти общие вопросы алгебраической
геометрии всё же получили разрешение, а для решения
многих отдельных задач методы Декарта дали меньше, чем
от них можно было ожидать.
Вторая сторона дела заключается в том, что в цепи
уравнений и алгебраических выкладок теряются
наглядность и пространственная интуиция; этот мощный рычаг
синтетической геометрии здесь совершенно отказывается
служить. К этому присоединялось то обстоятельство, что
некоторые части алгебры и анализа не были еще достаточно
обоснованы и содержали противоречия в самих себе. Эти
противоречия вызывали не только сомнения, но и прямое

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
385
раздражение у тех, кому неотчетливость мысли невыносима;
а математику, привыкшему к строгости логической мысли,
такое умонастроение было особенно тягостно. Выдающийся
ученик Монжа Карно считал, что даже учение об
отрицательных числах, играющее в методе координат такую
важную роль, полно противоречий; он требовал освобождения
геометрии от «иероглифов анализа». Стремление к
преодолению возникших таким образом противоречий привело и к
возрождению чисто геометрических методов.
Этот процесс развертывался в различных направлениях;
наиболее плодотворный путь был связан с методами
изобразительной геометрии. Его исходные пункты коренятся еще
в исследованиях Менелая. Теорема Менелая об отрезках, на
которые большой круг на сфере и прямая на плоскости
рассекают стороны треугольника, привела к простому
доказательству замечательного предложения, что при
центральном проектировании ангармоническое отношение четырех
точек (ABCD) ! на большом круге в сферической геометрии
и на прямой в плоскости сохраняет свое значение, т. е. то
же значение имеет ангармоническое отношение (A'B'C'D')
проекций этих точек. Точное выражение этого
предложения— не в этих, конечно, словах — имеется уже у Паппа; но
через 1000 лет в терминологии Дезарга оно формулируется
уже следующим образом: при перспективном изображении
четыре точки на прямой имеют ангармоническое отношение
своим инвариантом. К этому предложению Дезарг
присоединил другое, на первый взгляд мало с ним связанное, но в
действительности имеющее к нему, как увидим ниже,
непосредственное отношение: если два треугольника ABC и А'В'С
имеют, как указано на рис. 4, перспективное расположение,
то точки пересечения соответствующих сторон АВ и А'В\ ВС
и £'С, АС и А'С расположены на одной прямой. Это пред-
1 Ангармоническим, (или сложным) отношением четырех точек
Л, В, С, Л на прямой линии называется число (АС: СВ) : (AD : DB)\
при этом под АС понимается величина направленного отрезка (т. е.
длина отрезка со знаком «+» или «—»; АС=—С А). Если же точки Л, В,
С, D расположены на окружности большого круга в сферической
геометрии, то их ангармоническим отношением называется число
(sin АОС : sin СОВ) : (sin AOD : sin D.OB) (О — центр окружности; углы
также считаются направленными). Ангармоническим отношением четырех
лучей а, Ь, с, d, образующих плоский пучок (т. е. лежащих в одной
плоскости и проходящих через общую точку О), называется число
(sin aOc : sin cOb) : (sin aOd : sin dOb). (Ред.).

386 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
ложение, получившее название теоремы Дезарга, послужило
точкой отправления новой синтетической геометрии.
Идеи Дезарга вообще не пользовались при его жизни
признанием; к числу немногих геометров, которые высоко
ценили Дезарга и его методы, принадлежал Паскаль (1623—
1662). Он сосредоточил свое внимание на том, что
образующие круглого конуса при пересечении секущими плоскостями
дают перспективное изображение одного конического сечения
на плоскость другого; любое коническое
сечение может быть, таким образом,
рассматриваемо как перспективное
изображение другого. Паскаль доказал свою
знаменитую теорему о том, что точки
пересечения противоположных сторон
шестиугольника, вписанного в коническое
сечение, расположены на одной прямой.
Брианшон (родился в 1785 г.)
использовал теорему Паскаля для построения
конического сечения по пяти точкам или
по пяти касательным. Так постепенно
шло накопление своеобразных фактов, к
которым помимо прямых задач
изобразительной геометрии приводили методы
перспективы. Это были сопутствующие
ей теоретические результаты, о которых
говорил позже Монж, но которые
развертывались не путем изучения эпюра, а непосредственными
методами центрального проектирования. Эти теоретические
результаты были в XIX в. объединены в стройную синтетическую
систему, получившую название проективной геометрии,
которая связана с именами Понселе (1788—1867), Штейнера
(1796—1863) и Штаудта (1798—1867).
Проективная геометрия. После Французской
революции пришла эпоха Наполеона. Французский военный
инженер Понселе во время похода в Россию очутился в
плену в Саратове. Вдали от Франции и от задач ее
индустриализации он сосредоточил свои интересы на теоретических
результатах, к которым приводит центральное
проектирование. Ученик Монжа по Политехнической школе, Понселе
исходит из метода центрального проектирования и ставит
себе общую задачу — разыскать все те свойства
геометрических образов, которые «остаются инвариантными», т. е. не
Рис. 4

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 387
изменяются при центральном проектировании. Эти свойства
он находит в эллинской геометрии, у Дезарга, Паскаля,
Брианшона, в теории конических сечений, у многих геометров
вплоть до Карно, которые, как уже сказано, порой
независимо друг от друга, порой в известной связи, накопляли этот
материал. Все такие свойства Понселе называет
проективными-, собрав в одно целое все проективные свойства,
открытые как его предшественниками, так и им самим, Понселе
дал первую схему проективной геометрии. Три идеи
выдвигаются этим построением на первый план: идея
геометрического преобразования, в частности коллинеации, идея
корреляции и идея инвариантов преобразования. Отображая
центральным проектированием плоскость Р на плоскость Р\
мы каждой точке А плоскости Р относим в качестве ее
изображения точку А' на плоскости Р'. Это как бы
преобразует точку за точкой плоскость Р в плоскость Р'. Теперь
мы можем каждую точку А' проектировать из другого центра
на плоскость Р"; ее изображением будет точка А"\
следующая проекция преобразует плоскость Р" в плоскость Р"\
относя каждой точке А" точку А'" на плоскости Р"'. Этот
процесс можно продолжать неограниченно и в любой момент
перебросить изображение вновь на исходную плоскость Р,
проектируя, скажем, плоскость Р"' на Р. Изображение
первоначальной фигуры на плоскости Р в конечном счете
переносится на ту же плоскость Р, так что каждой ее точке А
отвечает другая точка А\ той же плоскости в качестве ее
изображения; это и есть геометрическое преобразование
точек плоскости Р. Если теперь из точки О, не лежащей на
плоскости Р, проведем связку (О) лучей, идущих каждый к
некоторой точке Л, а из другой точки О' проведем связку
лучей (О7), идущих к тем же точкам А или к точкам Аи и
каждому лучу О А связки (О) отнесем луч О'А или 0'А\
связки (О7), то мы отобразим связку (О) в связку (О')
или преобразуем связку (О) в связку (О'); точка О
может совпадать с О', и тогда мы преобразуем связку (О)
в себя самое, относя каждому лучу ОА некоторый луч той
же связки ОЛ1. Но теперь каждой точке А плоскости Р
отвечает также луч 0АХ связки (О); устанавливаемая таким
образом зависимость между точкой и прямой представляет
собой корреляцию. Если мы выделим четыре точки А на
одной прямой, то их ангармоническое отношение есть в то
же время ангармоническое отношение соответствующих

388 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
четырех лучей; это есть инвариант корреляции. Все эти идеи,
несколько иначе формулированные, принадлежат Понселе.
В его «Трактате о проективных свойствах фигур» («Traite
des proprietes projectives des figures»), который был написан
в 1813 г., а опубликован в 1822 г., как уже сказано, собраны
инварианты проективных преобразований и корреляций;
собраны, но не объединены, не систематизированы. Такое
объединение осуществил Штейнер.
Этот гениальный швейцарский крестьянин, до 20 лет
работавший на земле, пробивший себе в качестве
последователя Песталоцци дорогу через крестьянскую школу в сред*
нюю и высшую, до Академии наук, является самым выдаю*
щимся представителем новой синтетической геометрии XIX в.,
наиболее ярким борцом за частоту геометрического метода.
Элементарными средствами геометрии он справляется с
труднейшими задачами анализа, в частности с задачами изо-
периметрического типа. Штейнер показал, что все
инварианты проективных преобразований Понселе, как числовые,
так и геометрические, проистекают из инвариантности
ангармонического отношения. Исходя из этого, он определил
проективные соответствия как те преобразования и
корреляции, которые оставляют инвариантным ангармоническое
отношение четырех элементов. Из этого уже вытекает, что-
проективные преобразования представляют собой коллинеа-
цииу т. е. превращают каждую прямую в прямую же. На.этом
фундаменте он строит всю проективную геометрию,
конструируя проективные образы различных ступеней и
всевозможные формы их проективной зависимости. Самое
заглавие сочинения Штейнера, в котором его система
изложена, отчетливо говорит о его задаче: «Систематическое
развитие зависимостей геометрических образов друг от
друга с учетом работ древних и новых геометров о поризмах,
проекционных методах, геометрии положения, трансверса-
ляху двойственности и т. д» («Systematische Entwickelung*
etc.», 1832).
И все-таки в самой основе построения Штейнера
оставалось, с точки зрения тех тенденций, по которым проективная
геометрия развивалась, слабое место: понятие об
ангармоническом отношении дает единую точку отправления для
построения всей проективной геометрии; но ангармоническое
отношение есть число, и, таким образом, новая
синтетическая геометрия построена Штейнером в конечном счете не

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
389
*на геометрическом, а на арифметическом фундаменте. Выход
из этого противоречия нашел Штаудт.
Если ангармоническое отношение четырех точек (ABCD)
равно —1, т. е. если точка С делит отрезок АВ внутренне в
таком же отношении, в каком точка D делит его внешне, так
что численно AC:BC=AD:BD, то расположение точек на*
зывается гармоническим. Уже Штейнер показал, что если
установить геометрическое преобразование таким образом,
чтобы четырем гармоническим точкам всегда соответствовали
также четыре гармонические точки, то преобразование будет
проективным, т. е. и
ангармоническое отношение
любых четырех точек на
прямой останется
инвариантным. С другой
стороны, в так называемом
полном четырехугольнике
KLMN с
дополнительными вершинами А и В
(пересечениями противопо- А с д &
ложных сторон)
диагональ АВ делится гармо- ис*
нически двумя другими
диагоналями NL и МК в точках С и D (рис. 5).
Сообразно этому Штаудт определяет гармоническое
расположение четырех точек Л, В, С, Д лежащих на одной
прямой, тем, что АВ представляет собой одну диагональ
полного четырехугольника, а через точки С и D проходят
две другие его диагонали. Основываясь на теореме Дезарга,
Штаудт обнаруживает, что по трем точкам А, В, С прямой,
заданным в определенном расположении, четвертая
гармоническая определяется однозначно, т. е- ке зависит от того,
как мы построим вспомогательный четырехугольник. Таким
образом, понятие о гармоническом расположении четырех
точек может быть установлено чисто геометрически. Теперь
проективное соответствие определяется как преобразование,
или корреляция, при котором четырем гармоническим
элементам (точкам на прямой, прямым пучка и т. п.) всегда
отвечают снова четыре гармонических элемента; этим
геометрия совершенно освобождается от связи с арифметическими
элементами и становится геометрией положения (Ch. von.
Staudt, «Geometrie der Lage», 1847). Эта дисциплина в такой
А^

390 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
мере чужда метрике, что она не оперирует даже понятиями
о равенстве и неравенстве. Тем не менее она дает очень
своеобразный метод для построения геометрических мест.
Так, например, коническое сечение в проективной геометрии
определяется как геометрическое место точки Л, лежащей
в пересечении соответствующих лучей двух проективно
сопряженных 1 пучков (S) и (S') (рис. 6). В общем случае
определенное таким образом коническое сечение задается
пятью своими точками — двумя центрами пучков (S) и (S')
и точками А и Л2, Л3, которые должны быть заданы для
полного определения проективного соответствия пучков (S)
и (S'). В частных случаях сечение
может выродиться в прямую; тог-
\4/ да соответствие пучков (S) и (S')
является просто перспективным.
Таким образом, конические
сечения Аполлония оказались
кривыми второго порядка в системе
Декарта и геометрическим местом
Рис б точки пересечения
соответственных лучей двух проективно
сопряженных пучков в геометрии Штей-
нера-Штаудта. Эта новая система, этот новый метод
исследования привел к обнаружению новых, чрезвычайно
замечательных свойств этих кривых, к теории двойственности, к
теории полюсов и поляр и т. д.; этот же метод вскрывает
эти свойства и на поверхностях 2-го порядка; развитие идей
Паскаля приводит к их построению по девяти точкам.
Дальнейшим своим развитием проективная геометрия
обязана французскому геометру Шалю (Chasles), который
показал, как с помощью трех проективных пучков строятся
кривые 3-го порядка; возникает проективная теория
алгебраических кривых, которая приносит с собой своеобразные
методы их исследования и новые результаты,
развертывающиеся с поразительной быстротой. Вышедший в 1862 г.
трактат Рейе (Th. Reye, «Geometrie der Lage») привел это
построение к некоторому завершению; но уже следующее его
издание (1886) потребовало почти удвоенного объема.
1 Перспективными называются пучки, между которыми установлено
соответствие так, что соответствующие лучи пересекаются на одной
прямой. Более общее соответствие, полученное через произвольную цепь
перспектив, называется проективным. (Ред.).

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 391
.Возникшие из изобразительной геометрии проективные
методы дают новые средства графического изображения,
построения кривых по точкам, построения очертаний
поверхностей и т. д. Более того, плодотворность этих методов
приводит к тому, что они проникают в механику. Подобно тому
как в свое время аналитическая геометрия привела к
созданию аналитической механики, теперь методы изобразительной
и проективной геометрии ведут к построению графостатики,
ставящей себе задачей установление графическими методами
условий равновесия сочленового механизма. Эти методы в
настоящее время получили в этой области преобладающее
значение.
Алгебраическая геометрия. При всем том
значении, которое синтетические методы геометрии получили в
XIX в., не следует думать, что они вытеснили аналитические
приемы. Напротив, аналитическая геометрия продолжала
широко развиваться в самых разнообразных направлениях.
Прежде всего ответвляется алгебраическая геометрия, т." е.
учение об алгебраических кривых, алгебраических
поверхностях и их пересечениях. Чрезвычайно углубленные
исследования в этом направлении развертываются по трем путям.
Первый путь через развитие методов аналитической
геометрии, применявшихся к исследованию кривых 2-го порядка,
ведет к кривым 3, 4, 5, 6-го порядка как плоским, так* и
пространственным. По различным основаниям
устанавливается их классификация, строятся их эпюры (в случае
пространственных кривых), исследуется их форма.
Относящиеся сюда результаты чрезвычайно многообразны и
дифференцированы-
Второй путь ведет свое начало главным образом от
Плюкера и характеризуется тем, что в нем ставится задача
не исследовать отдельные алгебраические кривые и
поверхности, а разыскать общие средства для геометрической
интерпретации алгебраических уравнений.
«Я склонен приобщиться к тому взгляду, — говорил
Плюкер, — что анализ представляет собой науку,
самостоятельно стоящую независимо от каких бы то ни
было приложений, а геометрия как другая сторона
механики является только наглядной интерпретацией
известных соотношений этого огромного
величественного целого».

392 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Эта точка зрения представляет собой полное
противоположение воззрениям на геометрию Штейнера. Тем не менее
Плюкер, более чем кто-либо другой, в своих работах
объединил методы аналитической и проективной геометрии.
Основной замысел Плюкера заключается в следующем. Когда мы
следим за ходом кривой, то мы выделяем ее часть в особую
ветку либо в том случае, когда она уходит в бесконечность,
либо тогда, когда она пересекается с собой самой, т. е.
образует двойную, кратную, вообще особую точку. В своих
особых точках кривая разветвляется, и потому число,
расположение и характер этих точек в значительной мере
определяют самый ход кривой. Сообразно этому Плюкер
сосредоточил внимание на особых точках алгебраической кривой.
Он установил замечательную зависимость между порядком,
классом кривой и числом особых точек различного типа.
Именно идеи и методы проективной геометрии привели
Плюкера к введению однородных координат, т. е. к
приведению уравнения алгебраической кривой к однородному виду.
Это делает уравнение симметричным и открывает
возможности очень существенных упрощений. Доминирующую роль
в алгебраической геометрии играют инварианты тех форм,,
через которые выражаются уравнения кривых. Таким
образом, от общей теории алгебраических кривых ведет свое
начало теория инвариантов, получившая такие
разнообразные применения в современной математике. Продолжателями
Плюкера на этом пути были Клебш, Сильвестр, Сальмон;
в трактате Сальмона «Higher plane curves» (1852),
впоследствии глубоко переработанном и дополненном Фидлером,.
это направление получило в известном смысле свое
завершение.
Третий путь представляет собой наиболее тесное
объединение геометрии с алгеброй и теорией функций. Если
алгебраическая кривая выражается уравнением f(x, y)=0 в
рациональном виде, то у представляет собой то, что мы
называем алгебраической функцией от х. Отсюда ясно, что общая
теория алгебраических кривых и теория алгебраических
функций представляет собой одно целое: первая
представляет собой интерпретацию второй с точки зрения Плюкера,.
вторая представляет собой алгебраическое выражение
первой с точки зрения Штейнера. В дальнейшем этот
плодотворный путь ведет от Якоби, через Римана и Гессе к
современной теории функций комплексного переменного; он дал

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
393
те приложения геометрии к теории функций, которые Курант
объединил под общим названием геометрической теории
функций.
Во всех областях математики влияние геометрии XIX в.
очень сильно. В работах Минковского оно проникло даже в
такую область, как теория чисел, являвшуюся цитаделью
арифметических и алгебраических методов. Некоторые
математики, в особенности Шаль, утверждали, что алгебраи-
зация геометрии XVIII в. сменилась в XIX в. геометризацией
алгебры, но геометризацией несравненно более совершенной,
нежели это имело место в эллинскую эпоху. Вряд ли, однако,
это так. Справедливее сказать, что доминирующая роль,
которую аналитическая геометрия играла в период от
Декарта до Монжа, уступила место тесному и глубокому
объединению аналитических и геометрических методов.
О том, в какой мере это справедливо, свидетельствует
разрешение многовековых задач, которое принесла с собой
аналитическая геометрия в XIJC в. Речь идет о задачах,
требующих построения тех или иных фигур по определенным
заданиям. Циркуль и линейка, эти простейшие из точных
инструментов, представляли собой те средства, при помощи
которых должно было быть выполнено построение. В этой
области, как уже указано выше, еще в пору ранней
греческой геометрии возник ряд задач, в известном смысле
составлявших камни преткновения человеческой мысли. Сюда
в первую очередь относятся задачи об удвоении куба
(делийская задача), о трисекции угла и о квадратуре круга. В то
время как одни геометры утратили веру в возможность
решения этих задач циркулем и линейкой и применяли для
этого более сложные кривые, другие продолжали искать
прямого решения этих задач в их первоначальной
постановке, т. е. решения их с помощью циркуля и линейки.
Литература средних и новых веков изобилует сочинениями,
посвященными этим, казалось бы, безнадежным задачам. Если
многие из этих сочинений не имеют никакой цены, то другие
принесли с собой очень ценные результаты, на первый взгляд
даже мало связанные с самыми задачами. Первые
бесконечные произведения и бесконечные непрерывные дроби были
открыты Виетом и Валлисом на почве изыскания такого
выражения числа я, которое было бы доступно построению.
При всем том и эти более серьезные исследователи должны
были прийти к мысли, что решение этих задач циркулем и

394 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
линейкой неосуществимо. Строгая постановка вопроса была
тем достижением, которое эти изыскания с собой принесли^
Она заключается в том, что решить математическую
задачу — значит Л'ибо выполнить содержащееся в ней требование*
либо обнаружить, что выполнение его невозможно.
Алгебраическая геометрия дала ключ к такому решению
конструктивных задач. Если конструктивная задача решается
циркулем и линейкой, то, отнеся всю конфигурацию этого
построения к ортогональным декартовым координатам >и написав,
уравнение прямых и окружностей, в нее входящих, мы
определим путем решения линейных и квадратных уравнений
координаты отдельных построенных точек, которые должны
служить пересечениями этих прямых и окружностей. Очень
существенно при этом то обстоятельство, что совместное
решение уравнений двух окружностей всегда приводится к
решению одного линейного и одного квадратного уравнений.
Эти соображения, при надлежащем их уточнении, приводят
к тому выводу, что циркулем и линейкой могут быть
построены только такие отрезки, которые выражаются в
заданных величинах рядом последовательно извлекаемых
квадратных корней, связанных между собой рациональными
операциями. Между тем сторона куба, вдвое превышающего по
з —
объему куб со стороной 1, выражается числом у 2. Вопрос
о возможности решения задачи об удвоении куба сводится*
3/—
таким образом, к тому, можно ли У 2 выразить
рациональной комбинацией последовательно извлекаемых квадратных
корней с рациональными основаниями. По-видимому, Ван-
цель (Wantzel) впервые обнаружил, что такое сведение
кубической иррациональности к квадратным корням невозможно»
и тем доказал невозможность решения циркулем и линейкой
задач о трисекции угла и об удвоении куба. Таким образом»
здесь алгебраизация задачи имела решающее значение.
По отношению к квадратуре круга дело обстояло горазда
сложнее. Здесь задача требует построения отрезка, длина
которого выражается числом я, и вопрос сводится к тому,
можно ли число выразить в квадратных радикалах, т. е.
может ли оно служить корнем такого алгебраического
уравнения с рациональными коэффициентами, которое решается
в квадратных радикалах- Решение этого вопроса привело к
понятию о трансцендентном числе, т. е. таком числе, которое
не может служить корнем никакого алгебраического урав-

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
• 395
йения с рациональными коэффициентами. В 1873 г. Эрмит
доказал трансцендентность числа е, а в 1882 г. Линдеман,
опираясь на теорему Эрмита и на эйлерово соотношение
е"* =—1, доказал трансцендентность числа я. Этим была
установлена невозможность осуществления квадратуры круга
при помощи каких бы то ни было алгебраических кривых, и
многовековая задача была доведена до конца. Вместе с тем
были установлены общие методы, дающие всегда
возможность определить, решается ли данная задача циркулем и
линейкой. Более того, стало возможным поставить вопрос о
простейшем решении каждой конструктивной задачи.
Относящиеся сюда многообразные вопросы в настоящее время
выделены в особую дисциплину, получившую название гео-
метрографиьС. Наиболее обстоятельное сочинение по этому
поводу принадлежит Фалену (Th. Vahlen, «Konstruktionerr
und Approximationen», 1919). Задача получает более общую
постановку: речь идет о построениях заданными средствами,
например одним только циркулем (Маскерони), линейкой и
одной начерченной окружностью (Штейнер). Геометрография
ищет путей для решения вопроса о возможности выполнить
требуемое построение заданными средствами. Нужно
заметить, что проективную геометрию можно рассматривать как
совокупность построений, которые могут быть выполнены
одной только линейкой.
Дифференциальная геометрия. Как ни
любопытны все* эти результаты, значение их совершенно
стушевывается перед тем развитием, которое в XIX в. получил в-
применении к геометрии метод анализа бесконечно малых.
В трактате Монжа связь между геометрией и исчислением
бесконечно малых носила характер приложения анализа —
главным образом разложения Тейлора — к геометрии. В
небольшом сочинении, носившем название «Общие
исследования кривых поверхностей» («Disquisitiones generates circa
superficies ciirvas», 1827), Гаусс дал новые методы, развитие
которых привело к созданию обширной и самостоятельной
дисциплины — дифференциальной геометрии. Эти
исследования Гаусса относятся к периоду расцвета теоретической
физики в ее классической форме (Пуассон, Фурье, сам Гаусс).
Руководящая идея этих исследований заключалась в том,
что в отношении каждого явления в бесконечно малой
области царят.упрощенные законы, которые гораздо легче вскрыть
и которыми в то же время по существу определяется явле-

396- IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
ние в целом. С этой точки зрения Гаусс подошел к изучению
кривых поверхностей. Его замысел заключался в следующем.
Положим, что на кривой поверхности точка определяется
двумя координатами и1 и и2, связанными некоторым образом
с самой поверхностью (например, на сфере координаты и1 и
и2 могли бы означать долготу и широту точки). Если
поверхность занимает определенное положение в пространстве
и мы отнесем последнее к ортогональным декартовым
координатам (л:1, л:2, л:3), то каждой точке М на поверхности, т. е.
каждой паре значений координат и1, и2, отвечают
определенные значения координат х1, х2, хг той же точки в
пространстве; иными словами, х\ х2, хг суть функции от и1 и и2:
х1 = fx (и1, а2), х2 = /2 (и\ а2), *» = /3 (и1, а2). (1)
Это так называемые конечные уравнения поверхности в
параметрической форме (и1 и и2—параметры). Ими
определяются и форма поверхности и положение ее в пространстве.
Если рассмотрим на поверхности точку ЛГ, бесконечно
близкую к М и определяемую значениями параметров ul-\-du\
u2-\-du2y то декартовы координаты точки М' в пространстве
будут иметь значения xl-\-dx\ x2-\~dx2t xz-\-dxz, где
dx*= -^-du1+ *k-du* = fuxdu>+fiz&tf (i = 1,2, 3).
ди1 ди2
Если примем во внимание, что fi,\ и Д,2 суть функции от
параметров и1 и и2, и на основании этого вычислим длину
элемента дуги ММ' на поверхности по формуле (ds)2 =
= (dxl)2-\-(dx2)2-\-(dx3)2, то получим:
(ds)2 = gn (du1)* + 2g12du4u* + g22 (da2)2, (2)
где g"n, gi2, g22 суть некоторые функции от и1 и и2. На языке
анализа это означает, что квадрат элемента дуги на любой
поверхности выражается через параметры (координаты, с
этой поверхностью связанные) дифференциальной
квадратичной формой, т. е. однородным выражением 2-й степени
относительно дифференциалов параметров. Эту форму
называют первой основной формой поверхности] для каждой
поверхности ее коэффициенты имеют свои специфические
значения. С помощью этих же коэффициентов выражается
и угол между двумя направлениями на поверхности.
Именно, если ММ' и ММ" суть два линейных элемента с указан-

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
397
ными на рис. 7 координатами конечных точек, а 6 есть угол
между направлениями этих элементов, то
ds • 6s • cos 6 = gndutbu1 + gl2 (dul6u2 + йиЧи1) + g22du26u2. (3)
Если теперь по той же основной форме вычислить квадрат
длины (Ds)2 элемента М'М", имея в виду, что разности
координат его конечных точек суть dul — Ьих и du2 — 6н2,
то окажется, что (Ds)2 отличается от суммы (ds)2-\-(8s)2 на
двойную величину второй части равенства (3), так что
(Ds)2 = (ds)2 + (6s)2 — 2 ds 6s • cos 9. (4)
Это есть, очевидно, выражение того факта, что в бесконечно
малом криволинейном треугольнике на любой поверхности
сохраняются соотношения обыкновенной плоской
тригонометрии. Таковы те упрощенные соотношения, которые имеют
место в бесконечно малой
области и которые дают Mf(ut+dut> az+*ezJ
всё же возможность уста- j ^М (*$+№$* °гф ttz/
новить метрику
поверхности в целом.
Первой основной
формой поверхности
определяются длины и углы на м7и,и)
ней, а следовательно, и '' г
вся метрика поверхности. Рис- 7
в Координаты и\ и2 на по-
' верхности можно выбирать произвольно; при переходе от
одних координат к другим меняются коэффициенты
основной формы, но метрика поверхности от этого, конечцр* не
зависит; она остается при преобразовании координат
инвариантной; можно сказать поэтому, что изучение метрики
поверхности есть изучение инвариантов ее основной
квадратичной формы. Гаусс показал, что к числу этих инвариантов
принадлежит и установленная им кривизна поверхности в
каждой ее точке. Однако если поверхность допускает
изгибание без растяжений и складок, то длины нанесенных на ней
кривых, а вследствие этого и вся ее метрика, не меняются;
не меняется, следовательно, по существу и основная
квадратичная форма, которая в своих инвариантах дает всё то, что
остается неизменным при изгибании поверхности; весьма
замечательно, что при этом остается неизменной и кривизна
поверхности в каждой ее точке. Для Гаусса поверхность

398 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
представляет собой как бы бесконечно тонкую гибкую
пленку; при помощи исследования основной квадратичной формы
эта пленка изучается во всех геометрических формах,
которые она при изгибании может принимать.
Однако попутно Гаусс вводит еще одну квадратичную
дифференциальную форму, которая в современных
обозначениях имеет вид:
Ри (du1)2 + 2pudu4u2 + p22 (du2)2. (5)
Коэффициенты первой основной формы выражаются через
первые производные функций f\, f2 и /3> входящих в конечные
уравнения (1) нашей поверхности, а, коэффициенты второй
формы—и через вторые производные тех же функций. Эта
вторая форма у Гаусса играет чисто вспомогательную* роль.
Но позже русский геометр /О М. Петерсон, а также
итальянские геометры Майнарди и Кодацци показали, как велико ее
значение. Они обнаружили, что вторая форма вместе с
первой определяют не только метрику, но и форму поверхности.
Получается следующая система. Если даны конечные
уравнения поверхности (1), то известны как метрика и форма
поверхности, так и положение ее в пространстве; основанная
на них геометрия есть дифференциальная геометрия Монжа;
это — приложения исчисления бесконечно малых к трем
функциям /ь /2, /з> входящим в конечные уравнения
поверхности. Но если нас интересует не то или иное положение
поверхности, которое может многообразно меняться при
движении поверхности в пространстве, а только ее форма и
размеры, то конечные уравнения не нужны: они содержат
лишние элементы, которые только осложняют исследование;
для этой цели достаточно располагать двумя основными
дифференциальными формами поверхности; на их изучении
основана дифференциальная геометрия Петерсона, Майнарди,.
Кодацци, Бельтрами. Если же нас и самая форма
поверхности не интересует, а интерес сосредоточен только на ее
метрике, т. е. если мы допускаем всякую деформацию, не
меняющую метрики поверхности (изгибание), то эти ее
свойства содержатся в одной лишь первой основной форме. Ее
исследование составляет дифференциальную геометрию
Гаусса. Эта геометрия содержит учение о геодезических линиях
поверхности, о ее изгибаниях, о кривизне поверхности в
каждой ее точке, о линиях кривизны, об определении поверхности
в каждой ее точке, в частности о поверхностях, имеющих

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 399
во всех точках одну и ту же кривизну. В геометрии Петер-
сона—Майнарди—Кодацци сюда присоединяется учение об
асимптотических линиях, которые собственно и
характеризуют форму поверхности (даже когда они мнимые). Комплекс
идей и фактов, в этом порядке устанавливаемых,
чрезвычайно обширен. Он получил углубленное развитие и
систематически изложен в трактатах Дарбу и Бианки (G. Darboux,
«Legons sur la theorie generale des surfaces». Paris, 1896;
L. Bianchi, «Lezioni di Geometria differenziale», изд. 2. Пиза,
1902—1909).
Гаусс имел немного прямых учеников. Самым ярким из
них, до некоторой степени напоминавшим своего великого
учителя по многообразию творчества, был Риман,
скончавшийся от туберкулеза в 40-летнем возрасте в 1866 г.
Известный германский математик Дедекинд извлек из наследия
Римана рукопись, носившую название «О гицотезах, лежащих
в основании геометрии» («Ober die Hypothesen, die der Geo-
metrie zu Grunde liegen», 1868). Это была вступительная
лекция, которую Риман прочел в заседании философского
факультета Геттингенского университета в 1854 г. в присутствии
Гаусса для получения звания приват-доцента. Риман этой
рукописи не опубликовал, так как она нуждалась в
значительной разработке. Дедекинд ее опубликовал в 1868 г. со
своими комментариями. Этот небольшой мемуар содержал
ряд чрезвычайно глубоких геометрических идей,
представлявших собой развитие дифференциальной геометрии Гаусса.
Но эти идеи находились уже, как показывает самое заглавие
мемуара, в тесной связи с другие направлением в
геометрии— с учением об основаниях геометрии, представляющим
замечательное достижение геометрии XIX в.
5. НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
Предшественники неевклидовой геометрии»
В истории геометрии нового времени, при огромном
накоплении фактов, при смене задач и методов, интерес к логической
стороне дела, к обоснованию геометрии, можно сказать,
никогда не ослабевал. Он выражался прежде всего в стремлениях
исправить Евклида, восполнить те дефекты, которыми
«Начала» как строго логическая система изобилуют. Если
аналитическая геометрия старалась избавиться от интуиции,
перелагая исследование на формальные методы алгебры и
анализа, то логическое направление стремилось преодолеть ин-

'400 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА-ГЕОМЕТРИЮ
туицию путем построения логически выдержанной, чисто
геометрической системы. Вопросы, над которыми с этой точки
зрения размышляли комментаторы Евклида, чрезвычайно
многообразны, но несомненно главный из них — это брешь
в теории параллельных линий. Начавшиеся уже в эллинскую
эпоху попытки доказать постулат о параллельных линиях,
т. е. вывести его как логическое следствие из остальных
постулатов, в средние и новые века неизменно продолжались.
Кестнер, занимавший кафедру геометрии в Геттингене во
второй половине XVIII в., и его ученик Клюгель имели уже
возможность составить большой перечень 'Предложенных
доказательств, анализ которых, однако, неизменно
обнаруживал их ошибочность. Трудно указать выдающегося
математика, начиная с Птолемея и кончая Лежандром, который не
прилагал бы усилий к тому, чтобы, по выражению
Лобачевского, заделать брешь теории параллельных линий. Ошибки
доказательств иногда заключались в прямых погрешностях,
которые допускали авторы, запутавшиеся в сложных
построениях, чаще же всего в том, что вместо доказываемого
постулата явно или неявно вводился другой постулат, ему
равносильный. Между тем весь смысл задачи заключался в
том, чтобы доказать постулат, т. е. вывести его строго
логическим путем из остальных постулатов Евклида, не
вводя вместо него никаких других допущений. Обычно эти
рассуждения проводились по схеме доказательства от
противного: принимали положение, противное доказываемому, и
старались привести проистекающие из этого выводы к явному
логическому противоречию с предыдущими, уже
установленными предложениями. Однако геометры, подходившие к
этому вопросу с тонким геометрическим чутьем, такого
противоречия не получали. Если иным казалось, что они этой
цели достигли, то это заблуждение чаще всего коренилось в
том, что авторы в ту пору еще не вполне сложившегося
анализа оперировали недостаточно четко с бесконечно
большими или бесконечно малыми величинами, чрезмерно
свободно пользуясь которыми можно доказать всё, что
угодно.
В 1733 г. итальянский иезуит Саккери выпустил сочинение
под названием «Евклид, очищенный от всях пятен» (I. S а е-
•cheri, «Euclides ab omni naevo vindicatus»). Задача этого
сочинения, как показывает самое название, состоит в том,
чтобы исправить все недостатки «Начал» и прежде всего,

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 40k
конечно, обосновать теорию параллельных. Теория эта
действительно получила в этом сочинении совершенно новое
освещение. Исходя, как и другие, из противоположного
допущения с целью доказать постулат о параллельных, Саккери,
однако, не впадает в ошибку так легко, как другие, а,
напротив, очень тонко выводит ряд предложений, которые
имели бы место, если бы постулат о параллельных не был
справедлив. Он устанавливает таким образом 32 предложения,
которые по существу представляют собой как бы первую
глазу неевклидовой геометрии. Обычное доказательство того,
что сумма углов треугольника равна двум прямым, как
известно, коренным образом опирается на постулат о
параллельных линиях. Саккери независимым способом
обнаруживает, что сумма углов треугольника не может быть
более двух прямых; если принять постулат о параллельных
линиях, то она равна двум прямым; если его отвергнуть, то
она должна быть меньше двух прямых. Из допущения, что
сумма углов треугольника меньше двух прямых, Саккери и
исходит в своих построениях, но в 33-м предложении он
запутывается на элементарных соображениях, относящихся к
бесконечно удаленным точкам. Сочинение Саккери в ту
пору осталось мало кому известным.
Немецкий математик и философ Ламберт в середине
XVIII в. опубликовал сочинение «Теория параллельных
линий», содержащее почти все выводы Саккери; но он уже не
запутался в своих рассуждениях, а просто констатирует свое
бессилие достигнуть намеченной цели. Особенно много этой
задачей занимался Лежандр, предлагавший в различных
изданиях своих «Начал» доказательства постулата, в
недостаточности которых он сам затем убеждался. В начале XIX в.
целый ряд частью начинающих, частью опытных геометров
(Швейкарт, Вахтер, Тауринус) углубляют результаты
Саккери и Ламберта, не владея сочинениями этих авторов.
Открытие неевклидовой геометрии.
Чрезвычайно замечательно, что в конце двадцатых годов XIX в.
задача о параллельных линиях получила разрешение
независимо друг от друга в трех различных местах Европы: Гаусс в
Геттингене, Янош Бойаи в небольшом городке Трансильвании
и Н. И. Лобачевский в Казани почти одновременно пришли
к необычайно своеобразному решению этого вопроса. Но
Гаусс не решился опубликовать эти идеи из опасения, что
они будут встречены недоброжелательно людьми, совершен-

402 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
но сросшимися с геометрией Евклида. Он не согласился
даже высказаться публично о присланных ему работах Вахтера
и Тауринуса, приближавшихся к его идеям, хотя он их
чрезвычайно высоко ценил; для обоих это имело роковое значение.
Гаусс не дал также отзыва в печати и о присланных ему
печатных сочинениях Бойаи и Лобачевского, содержавших
уже обстоятельное изложение неевклидовой геометрии.
Лобачевский первый опубликовал (1829) систематическое
изложение «воображаемой геометрии», как он ее называл, не
отступив перед пренебрежительным отношением к ней
современных ему математиков, доходившим до прямого
издевательства, и всю жизнь продолжал ее разрабатывать.
Сущность этого замечательного открытия
охарактеризована в следующем письме Гаусса:
«Допущение, что сумма трех углов треугольника
меньше 180° (это допущение противно постулату
Евклида.— В. /С.), приводит к своеобразной, совершенно
отличной от нашей (евклидовой) геометрии. Эта
геометрия совершенно последовательна, и я развил ее
для себя совершенно удовлетворительно; я имею
возможность решить в этой геометрии любую задачу, за
исключением определения некоторой постоянной,
значение которой a priori установлено быть не может.
Чем большее значение мы придадим этой постоянной,
тем ближе подойдем мы к геометрии Евклида, а
бесконечно большое ее значение приводит обе системы к
совпадению. Положения этой геометрии отчасти
кажутся парадоксальными и непривычному человеку
даже несуразными. Но при строгом и спокойном
размышлении оказывается, что они не содержат ничего
невозможного. Так, например, все три угла
треугольника можно сделать сколько угодно малыми, если
только взять достаточно большие стороны; площадь же
треугольника не может превысить и даже не может
достичь некоторого предела, как бы велики ни были
его стороны. Все мои старания найти в этой
«неевклидовой» геометрии противоречие или
непоследовательность остались бесплодными, и единственно, что в этой
системе противоречит нашему разуму, это то, что
в пространстве, если бы эта система была
справедлива, должна была бы существовать некоторая сама

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 403
по себе определенная, хотя нам и неизвестная,
величина. Но мне кажется, что мы кроме ничего не
выражающей словесной мудрости метафизики знаем очень
мало или даже не знаем ничего о сущности
пространства. Мы не можем смешивать того, что нам
представляется неестественным, с абсолютно невозможным».
В этом, для неосведомленных лиц несколько туманном,
очерке фактически изложена вся сущность того, что в ту
пору получило название неевклидовой геометрии.
Рис. 8 Рис. 9
Допущение, из которого исходит Лобачевский, состоит в
том, что в плоскости из точки вне прямой можно провести
несколько прямых линий, не встречающих данной прямой.
Если прямые ОС и OD (рис. 8), проходящие через
точку О в плоскости ОАВ, не встречают прямой Л О, то ее не
.встречают и прямые OL, проходящие между этими двумя
лрямыми в вертикальных углах D'OC и COD. Вследствие
этого весь пучок прямых, проходящих в нашей плоскости
через точку О, разбивается на два «подпучка». Прямые,
лежащие вне указанных углов, «сходятся» с АВ, т. е. пересекают
ее в некоторой «точке схождения»: прямые типа OL
«расходятся» с АВ, а две прямые ОС и OD отделяют один подпучок
от другого. Эти первые, не встречающие АВ (с одной и
другой сторон) прямые Лобачевский и называет параллельными
прямой АВ в новом, свойственном неевклидовой геометрии
значении этого слова. Более углубленный анализ
обнаруживает, что в этих условиях прямые, параллельные АВ,
асимптотически к ней приближаются с обеих сторон, а каждая
прямая, расходящаяся с АВ в некотором месте, имеет с нею
общий перпендикуляр, от которого обе прямые «расходятся»,
неограниченно друг от друга удаляясь, точно две ветви
гиперболы. Возможны, таким образом, три типа расположения
двух прямых на плоскости, которые изображены на рис. 9.

404 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Точно так же и две плоскости в геометрии Лобачевского либо
пересекаются по прямой линии, либо асимптотически друг к
другу. приближаются, либо имеют общий перпендикуляр, от
которого симметрично и неограниченно расходятся во все
стороны.
Эти первые и основные предложения неевклидовой
геометрии были уже хорошо известны Саккери и Ламберту,
позднее Вахтеру и Тауринусу. Существенным шагом вперед
явилось открытие так называемой предельной линии и
предельной поверхности. Если в евклидовой плоскости
проводить окружности, имеющие центры на
, оси абсцисс и проходящие через начало
м? координат О (рис. 10), и на каждой
Э окружности взять точку, отстоящую от
точки на одно и то же расстояние
ОМ'=1, то с увеличением радиуса, како-
~* во бы ни было расстояние /, точка М'
будет неограниченно приближаться к
точке М на оси ординат, отстоящей от О
на расстояние ОМ = 1. В этом смысле
говорят, что в евклидовой плоскости
Рис. Ю окружность с увеличением радиуса
неограниченно приближается к прямой
линии; часто это выражают так, что в евклидовой
плоскости прямую можно рассматривать как
окружность бесконечно большого радиуса. В геометрии
Лобачевского дело обстоит иначе: при том же построении
окружность приближается не к прямой ОМ, а к некоторой
своеобразной кривой ON, которую Лобачевский называет
орициклом, или предельной линией. Это бесконечно
простирающаяся в обе стороны разомкнутая кривая, основное свойство
которой заключается в том, что она, подобно прямой и
окружности, может скользить по самой себе без деформации-
Точно так же в новой геометрии и сфера с увеличением радиуса
стремится не к плоскости, а к особого рода «предельной
поверхности». Эта замечательная поверхность, будучи
разомкнута и бесконечна во всех направлениях, всё-таки сохраняет
то свойство сферы, что она может быть рассматриваема как
поверхность вращения вокруг любой своей нормали; при этом
ее меридианами служат предельные линии, а параллелями,
конечно, окружности. Предельная поверхность может
передвигаться по самой себе совершенно так же, как плоскость

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
405
или сфера: любая точка ее может быть совмещена с любой
другой точкой, и вокруг каждой точки может происходить
свободное вращение. Геодезическими линиями предельной
поверхности служат предельные линии, и через каждые две
точки на предельной поверхности проходит одна и только одна
предельная линия. Сумма углов геодезического треугольника
на. предельной поверхности всегда равна 2d. Результатом,
этого является то обстоятельство, что на предельной
поверхности имеет место евклидова геометрия, т. е. каждое
предложение евклидовой планиметрии будет справедливо, если в
нем под прямой разуметь предельную линию. Это
возрождение евклидовой планиметрии в недрах неевклидовой
геометрии, к которому с различных точек зрения пришли все
творцы неевклидовой геометрии, составляет наиболее важный
момент в ее развитии. Так как на предельной поверхности:
остается в силе евклидова планиметрия, то на ней
сохраняется и евклидова тригонометрия. Это значит, что здесь так
же, как в евклидовой планиметрии, определяются основные
гониометрические функции, значения этих функций
выражаются теми же рядами, а стороны и углы геодезического
треугольника связаны уравнениями плоской тригонометрии..
В евклидовой геометрии имеется возможность, пользуясь-
плоской тригонометрией, установить соотношения,
связывающие стороны и углы сферического треугольника; плоская
тригонометрия служит точкой отправления, из нее
выводится сферическая тригонометрия. Совершенно аналогично в
неевклидовой геометрии точкой отправления служит
тригонометрия предельной поверхности, исходя из которой строится
плоская и сферическая тригонометрия неевклидова
пространства. Это есть третий и очень важный этап в построении
неевклидовой геометрии. Так называемая теорема синусов-
плоской планиметрии выражается соотношением
sin A sin В sin С
Если числители этих дробей умножить на 2я, то они выразят
длины окружностей радиусов а, Ь, с. Если поэтому через
О (/') будем обозначать длину окружности радиуса г, то
соотношение (6) можно написать в виде:
О (а) = РФ) = О (с) ,7ч
sin A sin В sin С

406 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
В сферической тригонометрии евклидова пространства
теорема синусов имеет вид:
a b с
sin — sin — sin —
R R R
sin A sin В sin С
(8)
<если через a, b и с обозначим длины сторон сферического
треугольника, а через R — радиус сферы. Умножая все части
равенств на 2ziR и принимая во внимание, что на сфере
длина окружности, геодезический радиус которой на сфере есть
.г, выражается числом 2n/?*sin—, мы видим, что соотношение
R
(8) принимает вид (7); только на сфере самая функция О (г)
выражается не так, как на плоскости. Пользуясь тем, что на
предельной поверхности, как и на сфере, геодезическая
окружность в то же время представляет собой и плоскую
окружность, Бойаи обнаружил, что соотношение (7) остается
в силе и в неевклидовом пространстве как на сфере, так и
:на плоскости.
Двумя уравнениями (7) тригонометрия не исчерпывается;
sk ним необходимо еще присоединить соотношение,
заменяющее пифагорову теорему евклидовой геометрии. В
сферической тригонометрии она, как известно, заменяется
соотношением
cos — = cos — • cos — , (9)
R R R w
^если a, b и с суть длины катетов и гипотенузы
прямоугольного треугольника. Так как на сфере 0(r) = 2nRsin—, то
R
производная этой функции О' (г) =2ncos—. Если поэтому
через Q(r) обозначим-— О'(г), то соотношение (9) можно
написать в виде:
Q(c) = Q(a).Q(b). (10)
Замечательно, что и это соотношение в точности сохраняется
в неевклидовой геометрии; только другое выражение функции
О (г) приводит, конечно, к другой производной, к другой
-функции Q(r). Весь вопрос, таким образом, сводится к тому,

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
407
чтобы установить, какова же эта функция О (г) в
неевклидовой геометрии. Лобачевский вместо функции О (г) вводит
несколько иную функцию. Разыскание этих функций
составляло для творцов неевклидовой геометрии наибольшие труд-
кости. Оказывается, что в неевклидовой геометрии на сфере
О (г) имеет совершенно такой же вид, как и в евклидовой
геометрии; поэтому в неевклидовой геометрии сферическая
тригонометрия вполне совпадает с той, которая имеет место
в евклидовой геометрии. Иначе обстоит дело с плоской
тригонометрией. В неевклидовой плоскости функция О (г) имеет
вид:
г г
0(r) = 2nk e ~~е =2nksh— (11)
~и отличается от формулы для сферы только тем, что sin—
■ k
заменяется гиперболическим синусом от —. Эта роль
гиперболических функций в геометрии Лобачевского привела к
тому, что самую эту геометрию в настоящее время называют
гиперболической.
Число &, входящее в формулу (11), и есть та постоянная,
о которой говорил Гаусс. Это — периметр, которым
определяется метрика гиперболического пространства. Каждому
значению k соответствует несколько иная геометрия, во
всяком случае иная метрика. Если г весьма мало по сравнению
с &, так что высшими степенями дроби — можно пренебречь,
k
то формула (11) дает евклидово выражение для функции
О (г), и соотношения (7) принимают обычную форму (6).
Иными словами, и в гиперболическом пространстве (т. е. з
лространстве, которое имело бы гиперболическую геометрию)
в бесконечно малом царит геометрия Евклида.
Основываясь на этом, можно установить выражение для
элемента длины. Если определить положение точки М в
гиперболической геометрии ординатой у (т. е. ее расстоянием
МК от оси абсцисс) и абсциссой х (расстоянием ОК)
(рис. И), то
ds* = dx*[Q(y)]2 + dy\
где Q(y) та же функция, что и выше. Это равенство дает нам
основную форму для гиперболической плоскости, и ее диф-

408 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
ференциальная геометрия может уже развиваться дальше по
методу Гаусса. Лобачевский прошел по этому пути очень
далеко.
Таковы основные черты этого замечательного построения.
Несмотря на ее логическую цельность, как бы исключающую
возможность логического противоречия, Лобачевский
упорно искал объективного доказательства логической
правильности открытой им геометрии. Он старался найти это
доказательство в приложениях воображаемой геометрии к
вычислению некоторых определенных интегралов. Хотя он дал
такие применения в большом числе, исчерпывающего
доказательства непротиворе-
М чивости геометрической
I геометрии они не заклю-
I чали.
1^ Интерпретация
I Бельтрами. Гаусс
х скончался в 1855 г., в-
О " д! Л следующем, 1856 г.
скончался Лобачевский, а в-
Рис- и 1860 г. умер и Бойаи.
Творцы неевклидовой
геометрии сошли в могилу, а их замечательное творение
было забыто. Современников парадоксальность новых
идей отпугивала даже от серьезного ознакомления с
этой системой. Опубликование переписки Гаусса с
Шумахером, особенно одного письма, в котором Гаусс
восторженно отзывается о работах Лобачевского, снова
обратило внимание математического мира на работы
Лобачевского. К числу лиц, ознакомившихся с
неевклидовой геометрией и овладевших ею, принадлежал
итальянский геометр Бельтрами, занимавшийся, как уже была
упомянуто выше, дифференциальной геометрией Гаусса,
т. е. исследованием поверхностей, поскольку они
определяются первой квадратичной формой. В середине шестидесятых
годов интересы Бельтрами были сосредоточены
преимущественно на одной из. важнейших задач изобразительной
геометрии— на картографии. Бельтрами в своих картографических
работах искал способов построения таких изображений
поверхности на плоскости, при которых все геодезические
линии поверхности изображаются на плоскости прямыми. Для
шара, например, это означает, что все большие круги его

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
409
должны изображаться на карте прямыми линиями.
Бельтрами дал чрезвычайно изящное решение этой задачи,
обнаружив, что такое изображение возможно только для
поверхностей, имеющих во всех точках одну и ту же кривизну. Это
привело Бельтрами к исследованию поверхностей постоянной
кривизны и к изучению их геометрии. Поверхности, имеющие
во' всех своих точках -нулевую кривизну, были хорошо
известны еще Монжу; это — поверхности, развертывающиеся на
плоскость; их геометрия совпадает с геометрией плоскости.
Поверхности, имеющие во всех своих точках одну и ту же
положительную кривизну, представляют собой либо сферы, ли-
<бо различные поверхности,
получающиеся при изгибании и
развертывании частей сферы; их
геометрия, естественно, совпадает с
геометрией сферы. Интерес
новизны представляли поэтому только
поверхности постоянной
отрицательной кривизны, имеющие до
некоторой степени седлообразный вид. Если через любую
точку такой поверхности провести два взаимно
перпендикулярных нормальных сечения, то одно из них будет
обращено вогнутостью в одну сторону от касательной
плоскости, другое — в другую, как это имеет место на
^седле (рис. 12). Бельтрами назвал эти поверхности
псевдосферическими. Миндинг еще в 1840 г. установил по
существу тригонометрические соотношения, имеющие место на
таких поверхностях, но его краткие указания остались
незамеченными. Бельтрами занялся этим вопросом заново и
установил, что геометрия поверхностей постоянной отрицательной
кривизны совпадает с гиперболической геометрией. Во всяком
случае каждому участку псевдосферы соответствует участок
гиперболической плоскости, имеющий ту же геометрию.
Впечатление, произведенное этим открытием, было
громадно. В евклидовой геометрии оказались реальные образы,
на которых выполняется плоская геометрия Лобачевского.
Абстрактным логическим процессом была создана
геометрическая система, реальное осуществление которой пришло уже
a posteriori, последовало за ее созданием, а не
предшествовало ей. Этот факт вызвал напряженный интерес к
неевклидовой геометрии. В большом числе появились сочинения,
элементарно излагающие геометрию Лобачевского и углубляю-

410 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
щие ее содержание. Авторитет Гельмгольца создал интерес
к ней и среди естествоиспытателей. Недавно еще почти
никому не известная, осмеянная теми, кто кое-что о ней слышал,,
неевклидова геометрия в начале семидесятых годов
оказывается в центре внимания геометров. При всем том люди-
точного мышления все еще не были вполне удовлетворены.
После работ Бельтрами субъективная уверенность в
логической непротиворечивости гиперболической геометрии
овладела всеми, но объективно дело так благополучно не обстояло.
Осуществление получила не вся гиперболическая геометрия,,
а только планиметрия, и то не целиком, а лишь, так сказать,,
участками. Начались поиски псевдосферы, на которой
гиперболическая геометрия осуществлялась бы целиком; такая'
псевдосфера должна была бы иметь бесконечное протяжение
во всех направлениях, сохраняя правильность (отсутствие
ребер, особых точек). Такой псевдосферы не находили; гораздо*
позднее (в 1901 г.) Гильберт обнаружил, что такой
псевдосферы и не может быть. Вместе с тем возникли глубокие
философские вопросы. В каком отношении стоит неевклидова
геометрия к реальному пространству? Что представляет собой
геометрия, если она допускает многообразные формы? И
каковы выводы относительно постулата Евклида, к
которым приводит самый факт возможности неевклидовой
геометрии?
РаЗ-витие идеи об интерпретации
геометрии. Группа движений. Однако в первую очередь
необходимо было дать полное объективное доказательство»
отсутствия в гиперболической геометрии каких бы то ни была
логических противоречий. Сочинение Бельтрами, в котором:
получили выражение изложенные выше идеи, носило
название «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» («Saggio-
di interpretazione della geometria non-euclidea», 1868). Этот
термин «интерпретация» получил принципиальное значение.
В дальнейшем развитии идей Бельтрами под интерпретацией
геометрической системы разумеют создание такой системы
образов, к которой она применима. Геометрическая система
выливается в определенное словесное выражение, в котором
фигурирует ограниченное число основных геометрических
терминов. При самом построении системы с этими терминами
с большей или меньшей отчетливостью соединялись
определенные объекты, которые под этими терминами разумелись.
Эту систему объектов называют исходной интерпретацией

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 411
геометрической системы. Наши обычные представления о
точке, прямой, поверхности и т. п. составляют исходную
интерпретацию евклидовой геометрии. В историческом ходе-
развития геометрии царило молчаливое убеждение, что это-
и есть единственная система образов (объектов), которые
надлежит под терминами геометрии разуметь.
В своем трактате о проективных свойствах фигур Понселе
впервые ввел так называемый принцип двойственности,
заключавшийся в том, что каждое предложение проективной*
геометрии (для простоты будем иметь в виду геометрию
плоскости), при надлежащей его формулировке, остается
справедливым, если заменить друг другом те объекты, которые
мы разумеем под терминами «точка» и «прямая». Это имеет
двоякий результат. Во-первых, это обнаруживает, что
исходная интерпретация проективной геометрии не единственная;,
она допускает другую — дуальную интерпретацию. Во-вторых,,
если содержание того или иного предложения,
соответствующее новой интерпретации, перевести на язык исходной
интерпретации, то получим новое предложение, дуальное с
исходным. Будем, например, говорить, что прямая и точка
«инцидентны», если точка лежит на прямой, или, что то же, если
прямая проходит через точку. Предложение «две прямые
определяют инцидентную с ними точку» остается, очевидно,,
справедливым, если под терминами «точка» и «прямая»
разуметь соответственно то, что первоначально разумелось под
терминами «прямая» и «точка». В этом виде предложение
будет в первоначальной терминологии означать «две точки?
определяют инцидентную с ними прямую». Другой пример.
Основное предложение Дезарга гласит: «Если прямые,
определяемые парами соответствующих вершин двух
треугольников, имеют общую точку (пересекаются в одной точке), то*
соответствующие стороны попарно определяют три точки,,
имеющие общую прямую (лежащие на одной прямой)».
Дуальное предложение: «Если точки, определяемые попарно
соответствующими сторонами двух трехсторонников, имеют
общую прямую (лежат на одной прямой), то соответствующие
вершины трехсторонников попарно определяют три прямые^
имеющие общую точку (проходящие через одну точку)» —
представляет собой то же предложение в иной интерпретации
терминов. Учение о полюсах и полярах представляет собой
обширный отдел проективной геометрии, в котором с
особенной отчетливостью сказывается как принципиальная сторона

.412 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
дела — формальный характер самих предложений, в которые
при различной интерпретации терминов можно вложить
различное содержание, — так и практическое его значение,
дающее возможность, так сказать, удвоить геометрический
материал. Учение Гаусса о поверхности как о гибкой пленке,
сохраняющей свою геометрию при всевозможных изгибаниях,
по существу представляет собой развитие того же принципа.
Различные формы, которые поверхность может путем
изгибания принимать, дают различные интерпретации единой
геометрической системы. Геометрия псевдосферы представляет
«собой интерпретацию гиперболической планиметрии; по
терминологии Гаусса можно было бы сказать, что
гиперболическая плоскость представляет собой одно из изгибаний
псевдосферы. По более правильной современной терминологии,
каждая псевдосфера однозначно отображается на части
гиперболической плоскости. Всё расхождение теории с
интуицией в процессе создания неевклидовой геометрии,
вызывавшее к ней столько недоверия, имело своим источником то
обстоятельство, что ей присваивалась неподходящая
интерпретация, что с ее терминами связывались объекты, к которым
применялась евклидова, а не гиперболическая геометрия.
Бельтрами указал другую интерпретацию, другую систему
-объектов, в применении к которым предложения плоской
гиперболической геометрии справедливы. Она перестала
вызывать сомнения.
Но интерпретация гиперболической геометрии, данная
Бельтрами, была все же несовершенна, так как она не
охватывала гиперболической плоскости целиком и совершенно
не была пригодна для трехмерной гиперболической
геометрии. Более совершенную интерпретацию дали Ф. Клейн и
Б. Риман. Неевклидова геометрия была построена
Лобачевским по той схеме и примерно в том объеме, в котором
классическая геометрия развивалась до Монжа. Бельтрами
связал ее с изобразительной геометрией, Клейн подвел под нее
проективную базу, Риман же в своем посмертном мемуаре
развернул ее по замыслу дифференциальной геометрии
Гаусса. Все пути, направления и средства классической геометрии
соединились, таким образом, в создании системы неевклидо-
еой геометрии. Мало того, потребовались новые средства
анализа, и на помощь пришли только что начинавшие
развертываться идеи Софуса Ли, принесшие с собой развитие
замечательных идей Галуа—теорию непрерывных групп пре-

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
413
Ю' й'
образований. Эти новые идеи понадобились для расширенной
интерпретации понятия о движении.
Когда мы говорим о движении фигуры по поверхности
постоянной кривизны, например, в простейшем случае, о
движении прямоугольника по поверхности цилиндра, то это
движение приходится понимать не так, как мы себе
представляем движение фигуры по плоскости. В то время как на
плоскости движение фигуры (того же прямоугольника)
происходит без ее деформации, с тремя
степенями свободы, на круглом цилиндре
такое скольжение неизменяемой
фигуры возможно только вдоль оси или
параллельно круговому сечению; если
же, например, прямоугольник из
продольного положения A BCD
поворачивается в поперечное положение
A'B'C'D' (рис. 13), то он меняет свою
форму; прямолинейные стороны АС и
BD обращаются в дуги окружностей
и, наоборот, дуги АВ и CD
обращаются в прямолинейные отрезки. Эта
деформация происходит путем
изгибания, т. е. при ней не меняются ни
длины линий, ни углы, ни
расположение частей. Тем не менее это не то
движение, которое имел в виду
Евклид.
Аналогично при движении фигуры по псевдосфере она
подвергается деформации. В терминологии, которой мы выше
пользовались, можно сказать, что геометрическое движение
по-разному интерпретируется в геометрии Евклида и в
геометрии Гаусса—Бельтрами. Интерпретируя гиперболическую
планиметрию на псевдосфере, Бельтрами связывает иные
представления не только с геометрическими образами и
величинами, но и с движением. Клейн подверг анализу те
основания, которые дают нам возможность навязывать новые
интерпретации такому основному понятию, как движение.
Нужно иметь в виду, что в обыкновенном построении геометрии
мы систематически пользуемся движением, но фактически
никогда его не производим. Когда мы говорим «наложим
треугольник ABC на треугольник А'В'С», мы этого
механического процесса не осуществляем; для нас важно только сооб-
Рис 13

414 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
разить, с какой точкой при этом совместится каждая точка
треугольника. Когда мы производим движение плоскости в
самой себе, то каждая ее точка М приходит в некоторую
точку М'\ движение относит к каждой точке М
соответствующую ей точку М'. Иначе говоря, движение плоскости в самой
себе осуществляет в ней некоторое геометрическое
преобразование. Для геометрии только это преобразование и имеет
значение; там же, где значение приобретает уже не только
преобразование, а самый процесс, которым оно механически
осуществляется, начинается механика. Такое
преобразование представляет собой движение в геометрии Евклида и
движение по псевдосфере в рассуждениях Бельтрами. Эта
точка зрения на движение как на геометрическое
преобразование и была выдвинута Клейном; ее развитие нашло себе
опору в теории Ли.
Геометрические преобразования чрезвычайно
многообразны, и возникает вопрос, можно ли любое преобразование
принять за интерпретацию движения. Прежде всего
необходимо отметить, что когда мы говорим о движениях, то речь
идет не об одном преобразовании, а о бесчисленном
множестве их. Так, когда речь идет о движениях поверхности по
себе самой, то такие движения имеют три степени свободы,
т. е. каждое из возможных движений определяется тремя
заданиями. Положим, что одно из этих движений 5
совмещает какой-либо образ 91 с образом ЭГ ; другое возможное
движение 5' совмещает образ ЭГ с 31". В таком случае
непременно должно существовать движение, совмещающее образ
31 с 31", это есть лишь иное выражение того положения,
которое обычно выражается аксиомой: если образ %
конгруэнтен образу 31', а образ ЭГ конгруэнтен образуЭГ, то образ 31
конгруэнтен образу ЭГ. Иначе говоря, геометрические
преобразования, выражающие всю совокупность движений,
таковы, что каждым двум из них в этой же совокупности всегда
соответствует третье преобразование, заменяющее
последовательное производство этих двух. Совокупность
преобразований, обладающую таким свойством, С. Ли, в обобщение
идей Галуа, назвал группой преобразований; он пришел к
идее о непрерывной группе преобразований около 1870 г.,
нашел особый метод их исследования средствами исчисления
бесконечно малых и в короткое время так широко развил
учение о непрерывных группах, что в восьмидесятых годах оно
составляло уже цельную дисциплину.

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
415
Ф. Клейн воспользовался идеями Ли, как только они был»
опубликованы, и установил, что геометрические
преобразования, осуществляемые движениями, представляют собой
группу с тремя степенями свободы при движении по
поверхности, с шестью степенями свободы при движениях в
пространстве. Он прежде всего обратил внимание на то, что»
группа движений обладает еще своеобразными
особенностями. Прежде всего группа движений транзитивна. Это значит,
что, как бы мы ни выбрали две точки М и М', всегда
существуют движения, приводящие точку М в точку М':
движением можно любую точку привести в совмещение с любой
другой точкой. Мало того, любым двум точкам М и N в
геометрии соответствует число (MN), выражающее в выбранной
единице меры расстояние между этими точками. Если какое-
либо движение приводит точки М и N в М' и N'9 то (MN) =
= (M'N'); расстояние остается при движении неизменным.
На языке теории групп это выражается так: в группе
преобразований каждые две точки имеют численный инвариант.
Других инвариантов нет, ибо все метрические свойства
определяются расстояниями. Этим группа движений вполне
охарактеризована. Совокупность движений в геометрии
фигурирует только как транзитивная группа преобразований, в
которой две точки имеют численный инвариант, а других
независимых инвариантов не существует. Известные формулы
преобразования декартовых координат от одной
ортогональной системы к другой представляют собой не что иное, как.
аналитическое выражение этой группы преобразований в
евклидовом пространстве. Развивая эту идею, Клейн пришел^
к заключению, что вся геометрия по существу определяется-
группой тех преобразований, которые осуществляются
движениями, имеющими место в пространстве, его группой
движений. Этими движениями определяются условия
конгруэнтности, ее инвариантами определяются растояния, а сле--
довательно, и вся метрика. Геометрия, по воззрениям!
Клейна, есть теория инвариантов геометрических
движений.
Проективное построение неевклидовой
геометрии. Но при этих условиях естественно возникает
вопрос, не может ли другая группа быть принята за
интерпретацию геометрических движений? Ближе всего лежали
проективные преобразования, совокупность которых также
образует группу. Но группа всех проективных преобразований на*

416 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
плоскости имеет не 3, а 8 степеней свободы; в пространстве
не 6, а 15 степеней свободы. Инвариант здесь имеют не 2, а
4 точки, расположенные на одной прямой (этот инвариант
есть их ангармоническое отношение). Группа слишком
обширна, и было естественно искать в ее составе меньшую
подгруппу с тремя степенями свободы на плоскости. Указания
для этого Клейн нашел в мемуарах английского математика
Кели, которые были посвящены теории линейных
преобразований квадратичных форм. В исследованиях Кели Клейн
вскрыл следующие результаты: если задано какое-либо
коническое сечение, то в его плоскости существует группа
таких проективных преобразований, которые это коническое
сечение преобразовывают в себя самое, причем его
внутренняя и внешняя части также преобразуются каждая в себя
самое; эта группа имеет как раз 3 степени свободы.
Инвариантное коническое сечение, по терминологии Кели,
называют «абсолютом», а проективные преобразования,
оставляющие его инвариантным* называют «группой Кели».
Положим, что абсолютом служит эллипс. Его внутренняя
часть при преобразованиях соответствующей группы Кели
как бы движется в самой себе. В соответствии с этим
допустим, что область, находящаяся внутри абсолюта, этим
последним отделена от остальной части плоскости таким
образом, что для ее обитателей проникновение за пределы
абсолюта и даже на самый абсолют недоступно. С
математической точки зрения эта внутренняя область представляет
собой все пространство, геометрию которого мы строим. Когда
мы будем говорить о точках в этой геометрии, мы будем
разуметь только точки этой области, т. е. точки, лежащие
внутри абсолюта. Группу преобразований Кели, имеющую этот
эллипс своим абсолютом, примем за движения,
происходящие в нашем пространстве. Это значит, что каждый образ
а (например, треугольник ABC) мы будем считать
конгруэнтным образу а' (треугольнику А'В'С), если существует
преобразование этой группы, преобразующее образ а в а'
(в обычной терминологии— совмещающее образ о с а').
Конгруэнтные в этом смысле фигуры с обычной точки зрения
(с точки зрения евклидовой геометрии) имеют различную
величину и форму; они конгруэнтны только в той новой
геометрии, которую мы строим. Далее, за прямые в новой
геометрии примем те отрезки обыкновенных прямых, которые
лежат внутри абсолюта (его хорды).

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
417
Пусть теперь М и N (рис. 14)—две точки; прямая MN
встречает абсолют в точках Р и Q, которые уже
определяются точками М и N; ангармоническое отношение
{МК) = Ш.:Ж = Ж:Ж. (13)
MP
NP
QN
PN
определяется точками М и N; мы его поэтому и обозначаем
через (MN). Но в преобразовании Кели, приводящем точки
М и N в М' и N', точки Р и Q
переходят в Р' и Q'.
Ангармоническое отношение сохраняет
свое значение, т. е.
(MN) = (M'N')U
Это и есть инвариант двух
точек, присущий группе Кели.
При всем том число (MN)
само нельзя рассматривать
как интерпретацию расстояния
между точками М. и N.
Действительно, если возьмем
точку L, лежащую между М и N, то
Рис 14
V ' MP LP ' K ' LP
NQ
NP
(14)
Но расстояние должно представлять собой аддитивную
величину, т. е. для того, чтобы числа (MN), (ML) и (LN) можно
было рассматривать как расстояния между соответствующими
точками, должно иметь место соотношение
(MN) = (ML) + (LN). (15)
Между тем выражения (13) и (14) обнаруживают, что
(MN) = (ML).(LN). (16)
Мы, очевидно, превратим этот инвариант в аддитивный, если
положим
/ MQ . NQ \ Л ( MQ J MP
[MN] = lg (MN) = lg
MP
NP
= h
QN
PN
так как теперь действительно
[MN] = [ML] + [LN].
(17)
(18)

418 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Это число [Л1ЛГ| и примем за расстояние между точками
М и Nв новой геометрии.
В выражении (17) под знаком логарифма стоит число,
большее 1; поэтому [MN] всегда представляет собой
положительное число, которое обращается в нуль в том и только в
том случае, когда точка М совпадает с Л\ Если же точка М
остается неподвижной, а точка N приближается к Р, то [MN]
неограниченно возрастает. Таким образом, абсолют
представляет собой геометрическое место бесконечно удаленных точек
плоскости. Когда отрезок MN
растет в пределах абсолюта,
его длина может возрастать
неограниченно.
Если теперь мы станем
развивать геометрию из
установленных выше положений,
то легко убедимся, что она
сохраняет основные свойства,
выражаемые первыми
постулатами Евклида. В этой
двумерной геометрии движения
представляют собой
транзитивную группу с тремя степенями свободы. Это значит, что
каждую точку можно привести в совмещение с любой другой
точкой и вращением вокруг любой точки можно каждое
направление совместить с любым другим направлением.
Через каждые две точки можно провести одну и только одну
прямую; каждую ограниченную прямую можно продолжить
в обе стороны на сколь угодно большое расстояние. Но
если мы возьмем теперь точку К (рис. 15) вне прямой, то
через нее будет проходить целый пучок прямых, не
встречающих прямой MN; это будут все прямые, расположенные
внутри углов PKQ' и QKP'. Внутри углов PKQ и P'KQ'
проходят прямые, пересекающие MN. Мы находимся,-
таким образом, в условиях гиперболической геометрии. КР
и KQ — это те прямые, которые Лобачевский называет
параллельными прямой МЛ': они сходятся с ней в
бесконечности. Вся гиперболическая планиметрия осуществляется в
этой схеме целиком; в евклидовой плоскости построена
интерпретация гиперболической геометрии, в которой
справедливо каждое ее предложение без исключения. Более того, если
обратиться к трехмерному пространству и принять за абсо-

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
419
лют эллипсоид, а за движения — группу Кели, оставляющую
этот эллипсоид инвариантным, то в совершенно том же
порядке идей можно построить интерпретацию, полностью
осуществляющую трехмерную интерпретацию геометрии
Лобачевского.
Таким образом, Клейн дал интерпретацию
гиперболической геометрии, осуществляющую ее полностью как в
двумерной, так и в трехмерной области. Каждое возможное
противоречие в гиперболической геометрии привело бы к
противоречию в соответствующей системе образов евклидовой
геометрии. Таким образом, гиперболическая геометрия
приобретает не меньшую логическую достоверность, чем геометрия
Евклида. Отчетливость и доступность идей Клейна привели
к их широкому распространению; в семидесятых и
восьмидесятых годах они находились в центре внимания
геометров. Конкретные приложения к анализу не заставили себя
ждать.
Приложения неевклидовой геометрии к
теории функций. В области анализа в ту пору
интересы математиков были сосредоточены на широко
развертывавшейся теории функций. То было время, когда Вейерштрас,
Эрмит и Пуанкаре построили глубокие общие основания этой
обширной дисциплины. Сюда и проникли методы
гиперболической геометрии. Если изображать геометрически
какую-либо периодическую функцию вещественной переменной y = f(x)
(например, y=cosx) и значения независимой переменной, по
обыкновению, наносить на оси абсцисс, то последняя
разобьется на равные отрезки, на которых последовательно
повторяются значения функций; это есть геометрическое
выражение их периодичности. Задача изучения функций такого
рода сводится к установлению их значений в пределах одного
основного отрезка (периода); определение значения функций
в любой другой точке на оси абсцисс сводится к разысканию
той точки основного отрезка, в которой функция имеет то
же значение. Теория эллиптических функций привела к
понятию о функции комплексной переменной с двойным
периодом. По отношению к этим функциям плоскость комплексной
переменной разбивается на конгруэнтные параллелограммы,
и исследование функции сводится к установлению ее
значений в пределах одного параллелограмма; в каждом другом
параллелограмме повторяются те же значения. Это разбиение
плоскости на параллелограммы, в которых повторяются зна-

420 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
чения функций, составляет основной момент в геометрической
теории двояко-периодических функций. Эти идеи Пуанкаре
старался распространить на более широкий класс так
называемых автоморфных функций комплексной переменной; так
называются функции, не изменяющие своих значений при
ах + Ь £
замене х через , т. е. при надлежащих дробно линеи-
сх -\- d
ных преобразованиях независимой переменной. Так как и
здесь значения функции, таким образом, повторяются, то
Эрмит уже искал такое разбиение комплексной плоскости,
которое давало бы всю совокупность значений функции в
одной основной области и воспроизводило бы их в любой
другой области. Такое разложение Пуанкаре разыскал для
широкого класса автоморфных функций (так называемых фук-
совых функций). Пуанкаре создал для этой цели свою
замечательную интерпретацию гиперболической геометрии и
обнаружил, что при этой интерпретации плоскость разбивается
на треугольники, конгруэнтные с точки зрения
гиперболической геометрии и воспроизводящие все значения функции.
Эти идеи дали значительное развитие так называемой
геометрической теории функций, ведущей свое начало от Лиу-
виля и Римана.
Естественно было ждать и приложений новой геометрии
к точному естествознанию. Клиффорд построил с этой целью
механику гиперболического пространства (1870); Цельнер,
Тилли, Бельтрами, Болл развивали это построение. Пути к
плодотворному применению этих идей наметились только в
XX в. на почве более широкого взгляда на неевклидову
геометрию, который ведет свое начало от небольшой, но
чрезвычайно глубокой работы Римана, опубликованной
Дедекиндом в том же 1868 г., в котором появилось «Saggio»
Бельтрами.
Геометрия Римана. Мемуар Римана,
представляющий собой лекцию, составленную Риманом для Гаусса и
изложенную чрезвычайно сжато, без всяких вычислений
(часть этих вычислений дал в виде приложения Дедекинд),.
открыл в развитии идей неевклидовой геометрии новую
эпоху. Каждая интерпретация геометрии имеет под собой
некоторый субстрат: совокупность точек пространства,
плоскости или поверхности, совокупность точек, лежащих внутри
абсолюта, и т. д. В проективной геометрии начало
двойственности дает возможность строить ее как геометрию прямых;

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 42f
субстратом служит, таким образом, совокупность прямых;
можно строить геометрию, субстратом которой служит
совокупность плоскостей. Другие интерпретации оперируют с
иными субстратами. Риман широко обобщает эту идею.
Субстрат геометрии Риман представляет себе в виде какого
угодно «многообразия» (Mannigfaltigkeit), т. е. какой угодно-
совокупности объектов, конкретных или абстрактных,
каким-либо признаком выделенных в обособленную группу. По
взгляду Римана, такое многообразие может состоять не
только из точек, прямых, плоскостей, но и из звуков, цветов,
из всех тех физических объектов, к которым применяется
геометрическое исследование, в особенности в том более
широком значении этого слова, которое ему придает Риман;
оно может состоять и из чисто абстрактных объектов, из
чисел или числовых групп. Подходя к построению геометрии
аналитически, Риман принимает, что для данного
многообразия установлены некоторые средства, дающие
возможность численно координировать в нем элементы, т. е.
определять элемент некоторой группой чисел. Если элемент
многообразия определяется п упорядоченными числами, то
Риман называет его /г-мерным многообразием или
многообразием п измерений. Если упрощенно представлять себе-
совокупность звуков, отличающихся только амплитудой и
частотой колебаний, то это и будут два численных задания,,
которыми определяется элемент этого двумерного
многообразия. Точно так же совокупность всех цветов, которые
можно получить смещением трех красок, представляет
многообразие двух измерений; координатами каждого
элемента (цвета) этого многообразия являются числа,
выражающие процентное содержание двух основных красок
(содержание третьей этими числами определяется).
Совокупность цветов, которые могут быть получены смешением
пяти красок, образует многообразие четырех измерений
и т. д. Совокупность точек плоскости представляет собой
многообразие двух измерений, а совокупность всех прямых
в пространстве— многообразие четырех измерений.
Совокупность всех комплексных чисел вида а-\-Ы есть многообразие
двух измерений, совокупность более сложных комплексных
чисел вида a-\-bi-\-cj-\-dk, так называемых кватернионов.
образует многообразие четырех измерений. Числа,
определяющие элемент n-мерного многообразия, его координаты,
мы будем обозначать через х\ х2, ..., хп.

422 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
В различных многообразиях можно говорить об удалении
двух элементов или о расстоянии между ними, различно эти
расстояния понимая. Это расстояние мы себе одним
способом представляем в многообразии точек, другим — в
многообразии прямых; можно говорить о взаимном удалении двух
цветов или двух звуков и, выразив это удаление численно,
называть его расстоянием этих элементов. Всякое
многообразие, между элементами которого численно установлены
расстояния, Риман называет пространством, а его элементы—
точками. В этом смысле пространство представляет собой
широкое обобщение того понятия, которое с этим термином
соединяла традиционная геометрия. Таким образом, когда
мы говорим о многомерном пространстве, то этот термин
нужно понимать в этом новом значении слова, в котором
ле содержится ничего метафизического.
Положим, что в /г-мерном пространстве заданы две
бесконечно близкие точки (х\ х2у ..., хп ) и (xl-\-dx\ x2-\-dx2, ...,
jcn + dxn). Расстояние между ними, очевидно, есть функция
от (хх, х2у ..., хп ) и (dxl, dx2, ..., dxn). Если речь идет о
двумерном пространстве, которое представляет собой некоторую
поверхность в обыкновенном трехмерном пространстве, то это
расстояние выражается основной формой поверхности (2),
которую можно представить в виде (ds)2 = 4Lga&dxPaxP9
где суммирование распространяется на значения индексов
аир (а=1, 2; ,6 = 1, 2).
В обобщение этого Риман ставит себе задачей изучить
все возможные пространства любого числа измерений, в
которых элемент длины определяется формулой
{dsy = ^gazdx*dx*y (19)
где суммирование в случае пространства п измерений
распространяется на все значения индексов а и р от 1 до п;
самые коэффициенты ga& представляют собой функции от
координат х1, х2, ..., хп . Здесь правая часть представляет
собой в каждой точке положительную квадратичную форму,
так называемую основную форму этого пространства,
определяющую его геометрию. Когда эта форма задана, то из
нее можно развить всю геометрию соответствующего
пространства, подобно тому как, по Гауссу, строится геометрия
поверхности по ее первой основной форме. Геометрия,
построенная в этом порядке идей, носит по настоящее время
название римановой. Так как основная форма может быть

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
423
выбрана чрезвычайно многообразно, то столь же
многообразны различные системы римановой геометрии, причем
каждая система имеет свою метрику 1-мерных, 2-мерных, ...,
л-мерных образов соответствующего пространства.
Геометрия, основная форма которой может быть приведена к виду
(ds)2 = (dx1)2 + (dx2)2 + ... + {dxnfy
«есть евклидова геометрия /г-мерного пространства. Все
другие римановы геометрии суть неевклидовы.
Так как в гиперболической геометрии квадрат элемента
длины также приводится к виду (19), то она представляет
собой одну из разновидностей римановой геометрии. Понятие
«о неевклидовой геометрии получило, таким образом,
широкое развитие, и геометрия Лобачевского заняла в этом
комплексе геометрических систем лишь скромное место.
Хотя Риман не ставил еще в общей форме вопроса о
значении евклидовой и гиперболической геометрии в общей
системе геометрий, тем не менее в его мемуаре содержится
по существу ответ на этот вопрос.
Особенностью риманова пространства с произвольной
основной формой является то обстоятельство, что оно
неоднородно в различных своих точках и в различных своих
направлениях вокруг каждой точки. Подобно тому как
кристалл отличается от изотропного тела тем, что его
свойства — оптические, магнитные и механические — в каждой
точке различны для различных направлений, и основные
свойства риманова пространства меняются от точки к точке
<и от направления к направлению. В римановом
пространстве в различных направлениях (точнее — в различных
площадках вокруг каждой точки) меняет свое значение
некоторая геометрическая величина, выражающаяся через
коэффициенты основной формы и ее производные первого и
второго порядка; эту величину Риман назвал кривизной
пространства в соответствующем двумерном направлении.
Чрезвычайно частные случаи представляют собой те
римановы пространства, в которых кривизна в каждой точке
ке меняет своего значения от направления к направлению.
Как показал Шур, в таких пространствах кривизна не
меняется и от точки к точке; это — пространства постоянной
кривизны, которые можно назвать изоморфными, или
одного п(п-\-\)
родными. В них и только в них возможны движения с —

424 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
степенями свободы (п — число измерений пространства);
только в них можно говорить о конгруэнтности, о группе
движений. Если эта постоянная кривизна равна нулю, то
риманово пространство обращается в евклидово. Если эта
1
кривизна имеет постоянное отрицательное значение ^
k2
мы получаем гиперболическое пространство, причем число k
и есть та характерная для пространства постоянная, к
которой пришли иным путем и Гаусс, и Лобачевский, и Бойаи.
Возможны и римановы пространства с постоянной
положительной кривизной — . Они имеют свою геометрию, которук>
k2
часто называют римановой в узком смысле слова, или
эллиптической, в противоположность гиперболической. Прототипом
эллиптической геометрии служит геометрия сферы с
отождествленными диаметрально противоположными точками, но
эта ее интерпретация пригодна только для двумерного
пространства. Между тем возможна эллиптическая геометрия
пространства любого числа измерений. В этом пространстве
вовсе нет параллельных линий, все его расстояния
ограничены, каждая прямая замкнута и имеет постоянную длину,
как окружность большого круга на сфере; каждые две
прямые пересекаются в двух полярных точках; сумма углов з
треугольнике всегда больше двух прямых. Замечательно, что
именно в эллиптическом пространстве проективная
геометрия может быть построена более стройно, чем в евклидовом.
Ряд исследователей (Бельтрами, Христофель, Липшиц,
Фосс, Киллинг, Шур) еще в восьмидесятых годах прошлого
века многообразно развил замысел Римана. К концу XIX в.
Бианки дал систематическое аналитическое построение
геометрии пространств постоянной кривизны. Точка зрения, на
которой в свое время стоял Клейн, заключалась в том, что'
в основе всякой геометрии лежит группа преобразований,
осуществляемых ее движениями. Эта точка зрения
обстоятельно изложена Клейном в его вступительной лекции в
Эрлангене, получившей широкую известность под названием
Эрлангенской программы (1872); ее широко развил Софус
Ли. По воззрениям Клейна — Ли, геометрия представляет
собой изучение того, что остается неизменным при
движениях, имеющих место в пространстве; задача геометрии
заключается в установлении той совокупности инвариантов
группы движений в пространстве, которая количественно'

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
425
характеризует различные образы пространства. Эта точка
зрения охватывает только пространства постоянной
кривизны; точка зрения Римана неизмеримо шире, она
охарактеризована Христофелем и Липшицем следующим образом:
риманова геометрия определяется основной квадратичной
-формой; когда мы переходим от одних координат к другим,
то при этом преобразовании меняет свой вид и основная
форма. Риманова геометрия устанавливает те величины,
которые при этом преобразовании не изменяются, которые
выражают, стало быть, внутренние свойства пространства,
не зависящие от выбора координат. Риманова геометрия
^есть учение об инвариантах всевозможных преобразований
основной квадратичной формы. Риманова геометрия шире,
ло то, что выигрывается в объеме, теряется в содержании.
Риманова геометрия того времени неизбежно
ограничивалась кругом более общих идей и не получила того развития,
какое получила в трудах геометров от Лобачевского до
Бианки геометрия пространств постоянной кривизны.
Мы видим, таким образом, что геометрия, вступившая в
JXIX в. с уже обширным материалом и разнообразными
методами исследования, чрезвычайно видоизменилась.
Классическая геометрия к концу XIX в. удержала за собой лишь
небольшой участок, хотя всё же основной по своему
значению — командную вершину.
6. ГЕОМЕТРИЯ НАЧАЛА XX ВЕКА
Топология. Истекшие годы первой четверти XX в. не
только подводили итоги всему этому обширному циклу идей,
но дали новое их развитие, новые применения, которые
довели их до расцвета. Прежде всего XX век принес новую
ветвь геометрии. Нельзя сказать, чтобы она в этом веке
возникла. Но подобно тому, как проективная геометрия
создалась из разрозненных материалов, скоплявшихся с Дезарга
в течение двух веков, так из многообразных отрывочных
идей, рассеянных по всей истории геометрии, в XX в.
складывается особая дисциплина — топология.
В понимании Клейна — Ли, геометрия есть учение о тех
свойствах образов, которые не изменяются при движениях;
это есть геометрия недеформируемых образов. Геометрия
Гаусса — Римана изучает все те свойства пространственных
образов, которые остаются инвариантными при изгибаниях,

426 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
т. е. при таких деформациях геометрических образов, при
которых сохраняется их метрика—длины и все другие
величины, длинами определяемые. Существуют, однако,
геометрические свойства, которые сохраняются при неизмерима
большем просторе допускаемых деформаций. Сюда относит*
ся, например, инцидентность, т. е. принадлежность одной
части образа другой. Приставим себе, что мы на сфере
проводим окружность. Она разделит сферу на две области
I и II; пусть точка К принадлежит части I (инцидентна с
областью I). Станем подвергать сферу деформации, не
считаясь с тем, что мы будем при этом растягивать или
сокращать длину ее линий, лишь бы эта деформация выполнялась
непрерывным процессом. При такой деформации могут
чрезвычайно измениться области I и II и разделяющий их контур.
Мы можем, например, такой деформацией превратить шар
в эллипсоид, делящую окружность в эллипс, но
принадлежность точки к части I или II остается инвариантной в том
смысле, что точка, принадлежавшая области I на сфере,,
будет принадлежать деформированной области I на
эллипсоиде. Совокупность таких свойств чрезвычайно велика, и
в истории геометрии издавна возник ряд задач именно
такого свойства. Сюда относится, например, так называемая
задача о четырех красках, заключающаяся в том, чтобы
поверхность, разделенную контурами на отдельные области
(например, карту, охватывающую ряд стран), раскрасить
четырьмя красками так, чтобы две смежные области всегда
оказывались окрашенными в различные цвета. На практике,
в частных случаях, это всегда возможно, но общего решения
этой задачи, доказательства того, что такая раскраска
всегда возможна, не было. Ясно, что форма областей и
отделяющих их контуров не имеет здесь значения; если
требование это осуществимо, то ©но будет выполняться и при
непрерывной деформации областей и их контуров. Такого
рода свойства геометрических образов, которые сохраняются
при всякой непрерывной их деформации, носят название
топологических. С особой остротой топологические вопросы
стали после того, как получили развитие идеи Римана,
относящиеся к другой области, к тому построению теории
функций, которое в последнее время называют геометрическим.
Если z = f(x) есть однозначная функция комплексной
переменной х, то каждой точке так называемой комплексной
плоскости (т. е. плоскости, в которой отображены значения

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 42?
независимой переменной х) отвечает одно и только одно-
значение функции. Для теории функций очень важно уни-
формировать это соответствие, т. е. распределить значения
независимой переменной на поверхности так, чтобы каждой
точке поверхности отвечало только одно значение функции.,
Риман дал для этого своеобразное построение поверхностей,
несущих значения независимых переменных, но для теории
функций имеет значение только топологическое строение этих.
римановых поверхностей; для построения же этих по
существу чрезвычайно многообразных поверхностей было
необходимо углубленное изучение их топологических свойств.
Для этого цикла вопросов пространство остается
многообразием, но более гибким, более свободно деформирующимся.
В теории множеств, построенной впервые Георгом Кантором,,
были найдены пути и средства для углубленных
геометрических исследований в этом направлении. Разрозненные
результаты, полученные в этой области еще Риманом, Бетти,
Пуанкаре, были развиты голландским математиком Брауэ-
ром, который свел их в цельную дисциплину, получившую*
название топологии. Ден, Титце, Веблен и другие
развертывали ее в другом направлении средствами так называемого*
комбинаторного анализа. За последние годы топология
чрезвычайно разрослась и по охваченному ею материалу и*
по методам исследования. Русские математики —
безвременно погибший П. С. Урысов и П. С. Александров —.
создали свою школу топологов и топологического
исследования.
Обоснование геометрии. Обратимся теперь к тем
логическим и философским выводам, к которым к началу
XX столетия привела эволюция геометрии, столь широка
развернувшаяся в XIX в. Неевклидова геометрия возникла,,
как мы видели, в результате неутомимых попыток доказать
постулат о параллельных линиях, который будем обозначать
через Е. Задача заключалась в необходимости вывести era
как логическое следствие из совокупности 2 всех остальных,
постулатов Евклида. Лобачевский заменил постулат Е
противоположным положением Л. Система Евклида, таким
образом, покоится на положениях (2Е), система Лобачевского-
на положениях (2Л). Если бы соединение системы
посылок 2 с допущением Л привело к абсурду, то этим было бы
доказано, что Е есть неизбежное следствие системы 2.
Напротив, коль скоро установлено, что система (2Л) про-

428 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
тиворечий в себе не заключает, т. е. что совокупность
положений 2 совместима как с добавочным положением Е, так
и с противоположным ему положением Л, то отсюда следует
или, вернее, это означает, что ни одно из двух
противоположных положений Е и Л не представляет собой следствия
из системы 2; каждое из них представляет собой положение,
от системы 2 логически не зависящее; следовательно,
основываясь на остальных постулатах Евклида 2, нельзя
доказать ни положения Е, ни положения Л. Вопрос о
доказательстве постулата о параллельных линиях был окончательно
решен в том смысле, что такого доказательства дать нельзя,
ибо оно неизбежно разрушило бы гиперболическую
геометрию (2Л), столь же справедливую, как и система Евклида
(2Е). Доказательства невозможности выполнения
определенного задания, которые XIX век принес с собой по
отношению к неодолимым конструктивным и логическим
заданиям, составили одно из величайших достижений этого века.
Оно освободило человеческую мысль от неодолимых проблем
и указало такую постановку каждого вопроса, при
которой он должен получить решение. Этот метод дал также
чрезвычайно плодотворные результаты в алгебре и
анализе.
Вместе с тем и задача о логическом обосновании
геометрии получила совершенно отчетливую формулировку. Дать
логическое обоснование той или иной геометрической
системы — значит установить совокупность
непротиворечивых и независимых положений, из которых эта система
развертывается в порядке строгих логических выводов. Нужно
установить непротиворечивость этой системы, так как без
этого нет уверенности в том, что в развитии основанной на
этих посылках геометрии мы не придем к выводу,
противоречащему предложениям, ранее установленным. История
гиперболической геометрии после Лобачевского есть главным
образом история пошыток доказательства ее
непротиворечивости. Для такого доказательства существует только один
путь: нужно указать многообразие, совокупность объектов,
реальное существование которых не вызывает сомнений и
в применении к которым эта система положений
справедлива. То, что получает реальное осуществление, не может
содержать в себе противоречий. Именно тогда, когда была
установлена система объектов, по отношению к которым
гиперболическая геометрия справедлива, исчезли сомнения

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
429
в ее логической правильности. Однако и здесь оставалось
слабое место. В отношении гиперболической геометрии эта
система образов найдена в недрах евклидовой геометрии.
Отсюда вытекает, что гиперболическая геометрия
справедлива в той же мере, как и геометрия Евклида. Где же
объективное доказательство логической непротиворечивости
самой евклидовой геометрии? Удостоверением этой
непротиворечивости служит, конечно, ее неизменно
оправдывающееся осуществление на неисчислимых реальных объектах,
к которым мы ее применяем и от которых она была
первоначально отвлечена. Как ни сильна эта аргументация, она
имеет всё же слабые стороны. Во всех этих объектах
геометрия Евклида осуществляется лишь приближенно, и
возникает вопрос: нельзя ли установить такое многообразие,
в котором геометрия осуществляется полностью?
Эту роль сыграли аналитические пространства, т. е.
пространства, элементами которых служат системы чисел. Мы
выше показали, как может быть построено аналитическое
пространство, в котором полностью осуществляется
геометрия Евклида; такие же аналитические пространства могут
быть построены для всех известных нам геометрических
систем. Удостоверение логической правильности
геометрической системы сводится, таким образом, к арифметизации,
оно опирается на достоверность арифметики, выходя за
пределы геометрии и перенося рассуждения в дисциплину, более
общую, но по строению своему гораздо более простую. О
существующих доказательствах непротиворечивости
геометрических систем можно сказать, что они делают геометрию
достоверной постольку, поскольку достоверна арифметика.
Тенденция заключается в сведении более сложного
построения к более простому; но она естественно ведет к разысканию
исходных положений самой арифметики. В этом направлении
философская мысль продолжает работать в поисках тех
положений, на которых покоится вся современная
математика. И для математики и для теории познания необычайно
важно отодвинуть эти положения до простейших элементов
и там искать их источники. Современная теоретическая
арифметика имеет уже в этом направлении глубокие
достижения. Но в одном отношении не следует заблуждаться: те
последние камни, на которых покоится всё здание
современной математики, в существовании которых кроется конечное
удостоверение ее логической правильности, суть все-таки на-

430 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
стоящие камни, — может быть, очень тонкие, но всё же
реальные материальные объекты наших ощущений.
Абстрактная мысль, тонкая цепь соглашений и умозаключений играет
в этом деле всю созидающую роль; но она черпает для нее
материал в мире реальных вещей и имеет своей задачей
применение всей системы к реальным вещам. Именно то
обстоятельство, что непосредственное применение интуиции,
старого «созерцания» Ганеши доводится до простейших, уже
тривиально ясных элементов, порождает у некоторых
тенденцию— эту интуицию, это обращение к материальному
миру как источнику и цели математического познания, вовсе
устранить. Глубокая иллюзия! «В рассуждениях,
направленных к доказательству постулата о параллельных линиях, —
писал Гаусс Бойаи-отцу, — часто упускается из виду
тривиальная мелочь; но при тщательном обсуждении оказывается,
что в этой мелочи вся суть дела». Построение математики
может быть основано на тривиально простых утверждениях;
ко установление логической правильности этих тривиальных
положений не может быть выполнено вне связи с опытом.
В этом основном моменте кроется ее ненарушимая связь с
материальным миром.
Построение неевклидовой геометрии сыграло в деле
обоснования геометрии еще одну важную роль. Развертывая
чисто логическими средствами геометрическую систему,
которая расходилась с непосредственными указаниями
интуиции и в которой чертеж неизбежно играл меньшую роль, чем
в классической геометрии, невозможно было обойтись без
строгого обоснования многого, что прежде указывалось
глазом. Понятия «внутри», «вне», «между» подверглись анализу,
как раньше было подвергнуто анализу понятие о движении.
Этот анализ всякий раз устанавливал, какими свойствами
каждого из этих понятий мы в геометрическом рассуждении
действительно пользуемся. Так накоплялись идеи и опыт для
действительного обоснования геометрии. К самому концу
XIX в. и эта задача стояла у своего завершения. Ставилась
она теперь следующим образом.
В основу геометрической системы должен быть положен
ряд непротиворечивых и независимых посылок. Если всего
этих посылок есть п, то для обоснования их
непротиворечивости и независимости должно быть построено п-\-\
вспомогательных аналитических пространств. Одно из этих
пространств должно представлять собой осуществление всех п

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 431
посылок и таким образом служить для доказательства
непротиворечивости системы. В каждом из п. остальных
вспомогательных пространств должны осуществляться п—1
посылок, а /г-я посылка в нем должна быть несправедлива;
этим устанавливается независимость последней посылки от
совокупности остальных. Такими рассуждениями
устанавливается, так сказать, необходимость принятой системы
постулатов; установить ее достаточность — значит обнаружить, что
эти посылки действительно дают достаточное средство для
логического построения геометрии. Чтобы это обнаружить,
надо это логическое построение действительно выполнить.
По этому замыслу в девяностых годах уже строили свои
системы итальянские геометры Пеано, Пиери, Фано, Энриквес.
В 1899 г. появилась работа Гильберта .«Основания
геометрии» (D. Hilbert, «Grundlagen der Cecmetrie»), в которой
были отчетливо формулированы изложенные выше идеи и
была предложена система, состоящая из пяти групп
независимых постулатов, достаточных для обоснования
евклидовой геометрии. Нужно было еще много труда и внимания,
чтобы этот замысел действительно полностью осуществить.
Это сделали ученики Гильберта — Цен, Шур, Вален, Веблен
и др. По этой же общей схеме, но не по замыслу Гильберта,
а скорее в развитие идей Клейна, Гельмгольца и Ли
построение системы евклидовой геометрии было выполнено также
В. Каганом («Основания геометрии», 1905) К
В настоящее время совокупность относящихся к этому
вопросу идей и фактов, систематизация посылок, служащих
для обоснования евклидовой и неевклидовой геометрии,
классификация этих посылок и сведение их к простейшей схеме
составляют особую дисциплину — учение об основаниях
геометрии.
Другой, еще более глубокий и сложный вопрос, имеющий
чисто философский характер, это вопрос о том, что же
собственно представляет собой геометрия. Уже самый факт
возникновения различных геометрий проливает на этот
вопрос новый свет. По схеме Римана можно построить
неограниченное число несводимых друг к другу геометрических
систем, произвольно выбрав основную форму. Выйдя из тех
границ, которыми оградил свой замысел Риман, и допустив,
что основная форма может быть незнакопостоянной, Пуан-
См. приложение (стр. 515 этой книги). (Ред.).

432 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
каре умножил даже число возможных пространств
постоянной кривизны. Мюнц показал, что в трехмерном пространстве
их может быть 27. Эти системы растут очень быстро и
принимают самые причудливые формы, не только сохраняя,
но даже расширяя свое прикладное значение. Очень важно
то, что геометрия Евклида стоит не в стороне от этих систем,
а занимает среди них определенное место простейшего
частного случая. Совершенно ясно, что в основе этого
построения лежит широкий произвол, заключающийся в свободном
выборе постулатов при синтетическом (построении той или
иной геометрии или в выборе основной формы при
аналитическом его построении. Каждая построенная таким образом
геометрия выражает соотношения, имеющие место в тех или
иных многообразиях. Прикладное значение каждой
геометрии зависит от того, в какой мере выражаемые ею
соотношения существенны для изучения тех многообразий, для
исследования которых она создана. При построении одних
геометрий выбором посылок руководили, как мы уже
видели, те или иные задачи классической геометрии, аналогии
и тенденции к обобщению в различных направлениях.
Многообразия, в которых эти системы находят себе применение,
были построены a posteriori. В других случаях указания для
выбора посылок непосредственно черпались в наблюдении
изучаемых многообразий. Здесь объект стоял в центре
внимания до построения соответствующей геометрической
схемы. Именно так, конечно, возникла классическая
простейшая и важнейшая геометрическая система — геометрия
Евклида. Положения, лежащие в основе этой геометрии,
выдвигались постепенно, путем созерцания физических тел,
их формы и расположения. Но схема остается схемой, и ее
существенное отличие от чисто естественной науки
заключается в многоразличности тех осуществлений, которые она
может получить в применении к различным многообразиям.
Геометрия представляет собой не только схему, служащую
для описания тех или иных объектов (многообразий). Если
постулаты, положенные в основу той или иной геометрии,
правильно выражают соотношение некоторого многообразия,
то все выводы, из этих постулатов проистекающие, будут с
такою же точностью выражать свойства, этому многообразию
действительно присущие. ' Таким образом, развертывание
геометрии есть в то же время мощное средство для изучения
этого многообразия. Так как классическая геометрия выра-

ГЕОМЕТРИЯ В £Е ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
433
жает свойства объектов, особенно часто встречающихся в
природе, то геометрия Евклида есть чрезвычайно мощное
орудие изучения природы.
Те соотношения, которые мы изучаем средствами
евклидовой геометрии, могут быть всегда выражены и исследованы
также при помощи гиперболической геометрии. Мы видели,
что гиперболическая геометрия весьма малых образов
совпадает с геометрией Евклида. Однако термин «малый» в
объективном его значении не является строго установленным.
Мы можем считать все протяжения, доступные в природе
нашему наблюдению, весьма малыми по сравнению с
размерами вселенной. Не обусловливается ли совпадение наших
наблюдений с результатами евклидовой геометрии только
тем, что мы охватываем лишь незначительный уголок
вселенной? С другой стороны, давая достаточно большое
значение параметру k гиперболической или эллиптической
геометрии, мы можем достигнуть того, что в пределах,
доступных нашему измерению, ее результаты не будут
отличаться от результатов евклидовой геометрии.
Таким образом, геометрия представляет собой схему,
служащую для выражения и изучения особого типа свойств
различных многообразий. В зависимости от характера этих
многообразий для этой цели может применяться та или иная
геометрия. Объекты и соотношения, в процессе изучения
которых развивалась евклидова геометрия, особенно часто
встречаются в природе и в прикладных науках; средства,
которые она для этой цели дает, отличаются исключительной
простотой.
Геометрия Эйнштейна —Ми нковског о.
Заканчивая свою лекцию, Риман отмечает, что его идеи стоят на
рубеже геометрии и физики и, в соответствии с этим, могут
получить и в этой науке широкое приложение. Чрезвычайно
глубоко продуманную попытку осуществить эти приложения
сделал А. Эйнштейн. Геометрическая сторона построенной
им теории относительности, особенно оттененная Минковским,
заключается в гом, что мироздание, не в его статическом
состоянии в определенный момент, а во всей его извечной
динамике, Эйнштейн и Минковский рассматривают как
многообразие, элемент которого определяется четырьмя
координатами. В. простейшем своем виде три из этих координат
х\ л:2, х3 должны определять положение элемента в
пространстве, а четвертая — t—во времени. Вместо этих простей-

434 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
ших координат, может быть, целесообразно пользоваться
четырьмя функциями от них:
х. = cpt.(x\ *\x3,t) 0 = 1,2,3,4).
В этих новых координатах в определении «элемента мира»,
«мирового момента», по Минковскому, пространство и время
тесно спаяны между собой; существенно лишь то, что мир
в этом его понимании представляет собой четырехмерное
многообразие.
Руководясь тем, что гравитационные силы в мире
действуют всегда, тогда как другие силы (электрические,
магнитные) в каждом месте то появляются, то исчезают, Эйнштейн
поставил себе целью построить риманову геометрию этого
четырехмерного многообразия так, чтобы охватить одной
общей схемой как пространственные, так и гравитационные
соотношения, царящие в мироздании. Задача заключалась,
следовательно, в таком выборе основной дифференциальной
формы, при которой система правильно отображает эти
соотношения в бесконечно малом элементе мира и в порядке
интегрирования дает возможность выразить процессы
конечные во времени и пространстве.
В работах Лоренца, в физических соображениях весьма
общего характера, в геометрических идеях Минковского, в
общей теории римановых пространств Эйнштейн нашел
источники для составления дифференциальных уравнений,
которым должны удовлетворять коэффициенты основной
формы. Руководящее требование при этом заключается в
том, чтобы выражаемые этой своеобразной геометрией
соотношения мира были инвариантны по отношению к
преобразованию переменных, т. е. независимы от той системы
координат, к которой они отнесены. Трудности, с которыми
связано составление исходных дифференциальных уравнений, не
говоря уже об их интегрировании, имеют следствием то, чго
схема Эйнштейна скорее намечена, чем действительно
построена. Лишь в самых простейших предположениях
относительно состояния среды удается придать основной
форме такое выражение, чтобы ею можно было действительно
воспользоваться для проверки всей теории. При всей
заманчивости этой идеи и серьезности тех оснований, которые
вселяют в нее веру в широком кругу выдающихся физиков,
мы еще далеки от того, чтобы иметь возможность признать
ее окончательное торжество. Но принципиальная сторона

ГЕОМЕТРИЯ В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ 435
э*гой постановки вопроса в истории геометрических идей
имеет огромное значение. Роль геометрии в естествознании
достигла в этом замысле своего кульминационного пункта.
Был поставлен вопрос о геометризации физики. Самая
возможность такой постановки вопроса достаточно показательна.
Более того, возможность и тех достижений, которые
Эйнштейну удалось получить, основана, если можно так
выразиться, на геометризации самой римановой геометрии.
Векторный и тензорный анализ. По Риману,
геометрия многообразия развивается из основной
дифференциальной формы аналитическими средствами. Вследствие
этого на пути развития римановых идей стояли те
препятствия, которые аналитический метод несет с собой:
сложность аналитических переделок, отсутствие наглядных
образов, расхождение между методом исследования и его
объектом. Эти дефекты обнаружились и в области механики,
в теоретической физике и в других прикладных дисциплинах.
Всюду анализ давал незаменимые средства получения
результатов, когда задача уже выливалась в определенные
дифференциальные уравнения; и всюду, в то же время,
формальный характер анализа скрывал геометрическую сторону
дела. Преодоление этих диалектических противоречий
приводило к временному преобладанию то аналитических, то
чисто геометрических методов. В связи с этим в конце XIX в.
в прикладных дисциплинах получили чрезвычайно важное
значение так называемые прямые исчисления, в которых
математические операции производятся не над
координатами, а непосредственно над теми объектами, которые
изучаются. В области геометрии такого рода исчисления
представляют собой векторное исчисление, развитие и обобщение
которого, ведущее свое начало от итальянских геометров
Риччи и Леви-Чивита, составило современную новую и очень
обширную дисциплину—тензорный анализ — творение XX в.
Это — прямое исчисление, самое содержание которого
сводится к установлению инвариантных операций и величин.
В связи с развитием римановой геометрии строился и
тензорный анализ; его развитие привело к созданию
своеобразного дифференциального и интегрального исчисления;
объектами этого исчисления служат не функции, а геометрические
величины, почему и результаты (производные и интегралы)
носят инвариантный характер, не зависящий от системы
координат — свойство, которым классический анализ не

436 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
обладает. Именно поэтому тензорный анализ в приложении
к геометрии Римана оказался необычайно плодотворным и
как в теории, так и в приложениях вывел ее далеко за те
пределы, в каких она была задумана Риманом. В последнее
время чрезвычайно возросло число его приложений в
различных областях физики, в гидродинамике, электродинамике,
изучении магнитных и оптических свойств кристаллов и т. д.
В 1929 г. Эйнштейн сделал попытку охватить новой
геометрической схемой риманова типа не только гравитационные,
но и электромагнитные явления. Математическую разработку
этих идей дал Леви-Чивита. О результатах этой попытки
сейчас еще судить преждевременно.
. Геометрия претендует в качестве наиболее мощного
орудия точного естествознания на овладение механикой и
физикой, она стоит у вершины человеческого знания. Удастся ли
ей действительно выполнить этот замысел, сохранит ли она
это доминирующее место или в порядке иного преодоления
разрастающихся противоречий она должна будет его
уступить, — это вопрос будущего, быть может, не столь
далекого К
1 Со времени написания этой статьи прошло более 30 лет, и «не
столь далекое будущее» уже наступило. Теперь можно сказать, .что хотя
роль геометрии в общей теории относительности Эйнштейна остается и
навсегда останется исключительно важной, однако в квантовой теории,
составляющей основу современной физики, значение геометрии не столь
велико: здесь она уступила первое место своего рода «геометрии
бесконечно-мерных пространств» — функциональному анализу. (Ред.).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА И ИХ
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ1
1. ВОЗРОЖДЕНИЕ ИДЕЙ РИМАНА В СВЯЗИ С УЧЕНИЕМ
ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Когда сквозь зарево еще не затихшей мировой и
гражданской войны до нас донеслись первые сведения о научных
достижениях западных ученых, то первое место среди них
по неожиданности замысла, по широте научного охвата, па
глубине производимого переворота воззрений, по
захватывающему научному и философскому интересу занимало
учение об относительности. Правда, в первоначальной своей
форме, в виде так называемой «специальной теории
относительности», исходные начала этого учения появились на
1 Это — доклад, прочитанный в начале мая ЛШ1 г. на Всероссийском
съезде математиков в Москве. (Он назывался «Геометрические идеи Ри-
мана и их современное развитие.) Библиогр. сведения см. на
стр. 567 наст, книги (№ 49).
Статья в доступной форме знакомит читателя с основными идеями
тензорного исчисления и римановой геометрии. Особо ценными являются
содержащиеся в ней сведения по истории создания указанных теорий.
Дано также представление об их дальнейшем развитии вплоть до 1932 г.
Обстоятельное изложение теорий, затронутых в статье, читатель найдет
в кн.: П. К. Р а ш е в с к и й. Риманова геометрия и тензорный анализ.
Гостехиздат, М., 1953.
С современным состоянием возникших на базе римановой геометрии
разделов дифференциальной геометрии'можно ознакомиться по следующим
статьям и книгам: Тензорное исчисление. БСЭ, 2 изд., т. 42. В. Ф. К а-
г а н. Основы теории поверхностей в тензорном изложении, т. I.
Гостехиздат, М., 1947; т. II, 1948. А. П. Норде н. Пространства аффинной
связности. Гостехиздат, М., 1950. J. A. S с h о u t e n. Ricci-Calculus, 1954.
А. Лихнерович. Теория связности в целом и группы голономии. Пе-
рев. с франц. ИЛ, М., I960. (Ред.).

438 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
15 лет раньше, в 1905 г.1. Знаменательная речь Минковского
«Пространство и время»2 была произнесена на 80-м съезде
германских естествоиспытателей и врачей еще в 1908 г.
Более того, остов общей теории относительности именно в
геометрической своей форме был уже опубликован перед
самой войной в 1913 г.3, но только в годы войны эта теория
сложилась в цельное учение, многосторонне охватывающее
физику, тесно связывающее ее с геометрией, и получила
отчетливое выражение в основном мемуаре Эйнштейна
1916 г.4.
Это своеобразное построение, может быть, более, чем
какое-либо другое, представляло собой результат
чрезвычайно тесного сотрудничества физиков и математиков.
Достаточно сказать, 4то физики стали говорить о физикализа-
ции геометрии, а математики — о геометризации физики. Но
особенно своеобразной в той роли, какую математика играла
в развитии этой дисциплины, является ее неевклидова
геометрическая база. Здесь приходится говорить, однако, о
неевклидовой геометрии в широком значении этого слова и в
той системе ее построения, которая связана с именем Римана.
Чрезвычайно замечательно, что эта физическая база
послужила импульсом к такому развитию идей Римана, какого
они до того не получили за 70 лет своего существования.
Отнюдь не будет преувеличением сказать, что риманова
геометрия находится теперь в центре внимания, служит
главным предметом геометрического исследования, и, каковы бы
ни были судьбы самого учения об относительности,
математики будут высако ценить тот взмах, который благодаря ему
получили геометрические идеи Римана.
Современное состояние этих идей в такой мере тесно
связано с различными моментами их эволюции, что мне
1 См. A. Einstein. Zur Elektrodynamik bewegter Korper. «Annalen
der Physik», 17, 1905. {Русский перевод в кн.: «Принцип относительности»,
сборник работ классиков релятивизма (М., 1935): А. Эйнштейн.
К электродинамике движущихся тел, стр. 133—174. (Ред.)].
2 Н. Minkowsky. Raum und Zeit (доклад, сделанный 21
сентября 1908 г.) [Русский перевод в той же кн.: Г. Минковский.
Пространство и время, стр. 181—202. (Ред.)].
3 См. A. Einstein und M. Grossman n. Entwurf einer verall-
gemeinerten Relativitatstheorie und einer Theorie der Gravitation. Leipzig,
Teubner, 1913, также «Zeitschr. fur Math, und Phys.», 62, 1914.
4 A. Einstein. Die Grundlage der allgemeinen Relavitatstheore.
«Annalen der Physik», 49, 1916. {Русский перевод в той же книге: А.
Эйнштейн. Основы общей относительности, стр. 231—305. (Ред.)].

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
439
казалось целесообразным изложить здесь вкратце все
важнейшие этапы в ходе развития этого учения, (тез чего вряд ли
могла бы быть достигнута необходимая ясность.
2. МЕМУАР РИМАНА
В 1854 г. Бернхард Риман получил звание приват-доцента
Геттингенского университета. Для вступления в
профессорскую коллегию ему нужно было прочесть перед факультетом
лекцию (Habilitationscolloquium). Он предложил для этой
цели три темы, из которых Гаусс избрал третью: «О
гипотезах, лежащих в основании геометрии». Вряд ли правильно
мнение Дедекинда, что доклад был составлен так, чтобы он
мог быть доступен всем членам факультета, значительное
большинство которых математикой не владело. Я думаю, это
была лекция, составленная Риманом для Гаусса. Этим,
действительно, объясняется форма изложения. На протяжении
нескольких страниц изложен, вернее намечен, ряд глубоких
идей, получающих строго ^математическое выражение.
Однако вычисления отсутствуют; указаны только результаты,
и притом в неясной, сжатой форме. Это не был мемуар,
приготовленный автором к печати, это — незаконченное
исследование. Риман сам его не опубликовал, находя его
недостаточно обработанным. По смерти Римана рукопись
эта была извлечена Дедекиндом из его наследия и
опубликована им в 1866 г.1
1 В. Riemann. Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grun-
de liegen. Лекция, прочитанная Риманом 10 июня 1854 г. на заседании
философского факультета Геттингенского университета. Впервые
опубликована в «Gottingenen Abhandlungen», 13, 1866. В 1876 г. мемуар вошел в
полное собрание сочинений Римана (Д. Riemann. Gesammelte mathe-
matische Werke, ст. XIII). Мемуар переведен на французский, английский,
польский и русский языки. Первый русский перевод, принадлежащий
Д. М. Синцову, помещен в сборнике «Об основаниях геометрии»,
выпущенном Казанским физико-математическим обществом в 1893 г. В связи
с интересом' к идеям Римана, вызванным работами по теории
относительности, Вейль выпустил вновь отдельное издание мемуара Римана,
снабдив его многочисленными примечаниями. (В. Riemann. Uber die
Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Neu herausgegeben und er-
lautert von H. Weyl. Berlin, 1919, 3. Aufl. 1923).
(Новый перевод мемуара Римана вместе с примечаниями Бейля,
сделанный В. Л. Гончаровым, помещен в книге: Б. Риман. Избранные
произведения. М.—Л., 1948, стр. 279— 293, и воспроизведен в книге: «Об
основаниях геометрии», сборник классических работ по геометрии
Лобачевского и развитию ее идей. Гостехиздат, М.—Л., 1956, стр.309—341. (Ред.)].

440 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Идеи Римана при всем своем своеобразии представляют
собой развитие методов исследования поверхности,
изложенных Гауссом в «Disquisitiones generates» (1827) К
Руководящая мысль Гаусса, как известно, заключается в том, что
точка на поверхности (конечно, в обыкновенном евклидовом
пространстве) определяется двумя координатами, которые
мы будем обозначать, модернизируя символику, через х\ х2,
а элемент длины определяется квадратичной формой от
дифференциалов этих координат, именно:
ds* = gn (dx1)2 + 2g12 dx1 dx* + g22 (dx2)2; (1 >
коэффициенты gu, g\2, g22 представляют собой вообще
функции от переменных х1, х2. Формой (1) определяются все
свойства поверхности как гибкой нерастяжимой пленки, т. е.
остающиеся инвариантными при изгибании поверхности.
К числу этих инвариантов принадлежит и установленная
Гауссом мера кривизны поверхности. По образному
выражению Гельмгольца, основной гауссовой формой (1)
устанавливается геометрия поверхности в том виде, в каком ее
строил бы обитатель этой поверхности, которому недоступно
третье измерение пространства.
В развитие этих идей Гаусса субстратом геометрического
исследования у Римана является многообразие любого числа
измерений, скажем, п измерений, т. е. совокупность
объектов, каждый из которых определяется п численными
заданиями, координатами х1, х2, ..., хп. Существенным здесь
является задание элемента многообразия п числами беа
всякого предварительного указания на то, какие средства
дает самое строение многообразия для нахождения этих чи-
1 'С. F. Gauss. Disquisitiones generates circa superficies curvas.
Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores,
vol. VI, 1827 («Commentationes clasis mathematicae»). Этот
замечательный мемуар, положивший начало современной дифференциальной
геометрии, переведен почти на все европейские языки. Русский перевод,
принадлежащий М. Филиппову, помещен во 2-м издании юбилейного
сборника «Об основаниях геометрии». Казань, 1895. Обратим также внимание
на немецкий перевод, принадлежащий Вангерину и помещенный в Ост-
вальдовой серии классиков; этот перевод снабжен яесьма ценными
примечаниями (С. F. G a u s s. Flachentheore, Deutsch herausgegeben von
A. Wangerin. «Ostwalds Klassiker der exacten . Wissenschaften», № 5).
[Первый перевод на русский язык был сделан П. Красновым под ред.
К. А. Поссе и издан отдельной книжкой: К. Ф. Гаусс. Основные
исследования о кривых поверхностях. СПб., 1887. Этот перевод, заново
отредактированный А. П. Норденом, включен в сборник: «Об основаниях
геометрии» (см. сноску на стр. 439), стр. 123—161. (Ред.)].

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
441
сел: у Римана исследование многообразия начинается с того
момента, как эти числа заданы. Этот первый шаг к арифме-
тизации геометрии является характерным для риманова
замысла. Клейн дал ему уже выражение, чуждое какой бы
то ни было попытки укрыться при построении многообразий
произвольного числа измерений за реальные
пространственные представления; для него элемент многообразия есть
совокупность п чисел (х\ х2у ..., хп), а самое многообразие
лолучило название численного многообразия («Zahlenman-
nig'faltigkeit»); такое многообразие теперь принято
обозначать (Схоутен, Вейль) символом Хп. С этого момента
начинается 'Процесс глубокого синтеза двух
противоположных тенденций: с одной стороны, происходит арифметизация
геометрии, т. е. такое развитие идей Декарта, при котором
в науку чисел переносятся не только методы геометрического
исследования, но и самый его объект; с другой стороны, идет
хеометризация анализа, т. е. внедрение чисто арифметических
объектов в пространство, хотя, бы даже численное, но
дающее простор геометрической интуиции оплодотворить
арифметическое исследование. Синтезу этих тенденций мы
обязаны наиболее плодотворными исследованиями в той
отрасли математики, которую я имею 'в виду здесь
развернуть. И именно, чтобы ярко этот процесс в своем изложении
•осветить, я счел нужным уже здесь его отчетливо отметить.
Возвратимся к Риману. Основное положение,
определяющее все (развитие его идей, заключается в установлении
расстояния между двумя бесконечно близкими элементами
М (х* ) и М' (х' -\-dxl ). Руководясь выражением (1),
установленным Гауссом для элемента длины на поверхности в
евклидовом пространстве, когда эта поверхность отнесена к
произвольным с нею же связанным координатам, Риман
полагает:
ds\= ^8ц**<Ы = gapdx«dxP l , (2)
и
1 Последнее выражение написано в символике Эйнштейна,
заключающейся в следующем: всякий раз, когда в одночленном выражении при
переменных дважды появляется один и тот же индекс, нужно произвести
по этому индексу суммирование для всех его значений. Этой символикой,
получившей широкое распространение, мы здесь пользуемся во всем
изложении, обозначая индексы суммирования греческими буквами. В
последней части настоящего равенства суммирование должно быть
произведено по индексам а и р от 1 до п, причем каждый индекс принимает все
эти значения независимо от другого.

442 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
т. е. выражает квадрат элемента длины определенной
положительной квадратичной формой от разностей координат dx?y
коэффициенты которой суть функции самих координат (х*).
Это положение представляет собой не только обобщение
формулы Гаусса на многообразие п измерений; оно привносит
совершенно новую идею установления метрики многообразия
путем фиксации ее в бесконечно малой его части. Таким
образом, эта идея, с одной стороны, прокладывает в область
геометрии тот самый путь, которым шла теоретическая
физика,— путь изучения сложного процесса через установление
упрощенных законов, по которым он протекает в пределах
бесконечно малого элемента в пространстве или во времени;
с другой стороны, она устанавливает общий прием для
построения на основе исходного положения (2) беспредельно
многообразных геометрических систем. При целесообразном
подборе эти системы могут служить действительными
средствами для изучения явлений природы путем их
геометрического отображения. Этим замыслом, предуказанным Риманом,
и воспользовался Эйнштейн. Но мы вновь возвратимся к
Риману.
Положением (2) многообразие претворяется в
«пространство», его элементы именуются точками. Такое риманово
пространство п измерений в настоящее время принято обозначать
символом Rn . Элемент длины в Rn определяется в каждой
точке п числами, составляющими квадратную матрицу:
II gll <§12 • • • gin II
£21 5*22 • • • §2п /оч
II ёгй ёп.2 • • • ёпп ||
Впрочем, так как gtf =gfi , то число независимых
элементов матрицы равно
п (п + 1)
2
Следуя Грассману, будем называть такого рода
протяженные величины экстенсивами («extensive Grosse»); в данном
случае мы имеем экстенсив второго порядка, поскольку он
определяется комплексом п2 чисел, которые можно называть

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
443
координатами или компонентами экстенсива1. Физики
увековечили имена творцов своей науки, назвав их именами —
кулонами, фарадами, джоулями — меры, лежащие в основании
физической метрики. Позвольте мне по аналогии, хотя бы
неполной, последовать их примеру! и назвать матрицу (3)
гауссовым экстенсивом, а ее компоненты g^ —гауссами. Это
сократит мне речь и будет полезно для четкой ассоциации
экстенсивов, которыми изобилует эволюция римановой
геометрии, с их творцами.
Вы могли заключить из предыдущего определения, что
гауссов экстенсив — понятие, тождественное с матрицей (3).
Если бы это было так, не было бы нужды вводить новый
термин: можно было бы просто говорить о гауссовой матрице.
Определение экстенсива еще нуждается в существенном
коррективе.
Если мы перейдем от системы координат (х')у к которой
было отнесено наше. Rn, к другой системе — я предпочитаю
говорить: к другой системе референции {у1), — то в силу той
инвариантности, которую мы, естественно, должны наложить
на значение элемента длины, мы должны в новых
координатах выразить ds2 той квадратичной формой, в которую
переходит форма (1) при преобразовании координат х£ в у1; мы
получим:
ds2 = hklldybdy»;
£ар dx" dxP = hkll dyk dy», (4)
где коэффициенты Ляц зависят от у1, у2, у3, ..., уп и образуют
матрицу:
til
[21
■т
«12 •
«22 •
«Я2-
■К
■ К
■ ■ Кп\
Под гауссовым экстенсивом мы понимаем протяженную
величину, которая одинаково определяется матрицами (3)
или (5); эти матрицы являются только различными формами
его задания в соответствующей референции; иначе говоря,
1 Термин «экстенсив» не получил распространения; его заменило
более общее понятие геометрического объекта; см. дополнение редакции в
конце статьи, стр. 515—516. (Ред.).

444 IV- РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
самый экстенсив есть протяженная в грассмановском смысле
слова величина, которой определяется элемент длины в
пространстве при любой системе референции. Вместе с тем
соотношение (4) выражает главное свойство основной дифферент
циальной формы (1), она остается инвариантной при
преобразовании координат К
И поскольку я уже стал на путь модернизации
терминологии, отнюдь, впрочем, не выходя за пределы точного
содержания мемуара Римана, позвольте мне идти в этом
направлении далее. В состав основной формы фактически входит
еще один экстенсив, элементами которого служат парные
лроизведения диффренциалов координат:
\dx1dx1 dx1dx2 . . . ,dx^dxn\
dx2dx1 dx2dx2'
, dx2 dxn
\dxndx^ dxndx2 . . . , dxndxn
в переменных у1 тот же экстенсив имеет вид:
dy1 dy1 dy1 dy2 . . . dy1 dyn
dy2 dy1 dy2 dy2 . . . dy2 dyn
(6)
dyndy1 dyndy2 . . . dyndyn
(7)
Этот экстенсив, конечно, много старше гауссова; он
фигурирует уже в строке Тейлора в членах второго порядка, и вы
позволите называть его тейлоровым экстенсивом второго
порядка, а его компоненты dxi dx1 в любой системе
референции— тейлорами2. Посмотрим теперь, как получается основ-
1 В силу формул (4)
V-^ap dtX
дха дх$
дук ду» '
таким образом, гауссов экстенсив есть ковариантный тензор второй
валентности (см. дополнение редакции, стр. 515). (Ред.).
2 Так как
dtp dy» = dxa dxP
дух ду»
дха дх$
то тейлоров экстенсив является контравариантным тензором второй
валентности; ср. дополнение редакции на стр. 515. (Ред.).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
445
ная квадратичная форма из этих двух экстенсивов,
выраженных в одной и той же системе референции. Каждый гаусс
умножается на соответствующий тейлор, и все произведения
складываются. Этот процесс мы будем называть полным
свертыванием двух экстенсивов одного и того же порядка. Мы
можем теперь сказать: от свертывания гауссова экстенсива
с тейлоровым того же порядка получается инвариантная
основная квадратичная форма риманова пространства.
Возвратимся вновь к Риману. В немногих словах он
намечает путь самого построения метрической геометрии
пространства Rn. Позвольте для единства изложения уделить
минуту этим хорошо известным идеям. Риман разумеет под
линией в Rn совокупность точек, координаты которых зависят
от одной независимой переменной t, так что
х< = /(0(*) *=1,2, ...,/г; (8)
выражая дифференциалы координат по кривой через t и dt
и подставляя их в выражение (1), мы получаем для этой
кривой:
ds = I (t) dt, (9)
а длина дуги кривой в данном интервале выражается
интегралом:
t
s = J / (*) dt. (9a)
h
Теперь нетрудно обыкновенным вариационным путем
разыскать кривые, для которых этот интеграл между
заданными двумя точками достигает минимума — геодезические
линии пространства. Площадь бесконечно малого
треугольника нужно вычислять по той же формуле, как это в
криволинейных координатах делается в евклидовом пространстве,—
мы к этому еще придем ниже; интегрируя это выражение по
двумерной поверхности, можно определить площадь любой
двумерной фигуры.
Итак, постоянство значения длин и площадей, поскольку
они определяются гауссовым экстенсивом, достигается
инвариантностью основной формы (2). Действительное различие
геометрических систем, которые в этом порядке идей могут
быть построены, может корениться только в различии
соответствующих основных форм. Это нужно понимать следую-

446 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
щим образом. Положим, что даны две системы геометрии,
которые определены одна в координатах х\ х2, ..., хп, другая
в координатах у1, у2, ..., уп соответственно основными
формами:
ga^dxadx^ (10а)
h^dtfdifi. (10b)
Если существует преобразование переменных
Х'=<РЧУ\У2> ...,0я), £ = 1, 2, ...,/г, (И)
которое преобразовывает формы (10а) в (10Ь), т. е. влечет
да собой равенство (4), то на две системы переменных (х*)
и (у*) можно смотреть как на различные системы координат
в одном и том же пространстве 1. Если же такого приведения
одной из форм (10) к другой выполнить невозможно, то они
существенно различны, а вместе с тем существенно
различны и определяемые ими геометрические системы. Вопрос
о классификации пространств, определяемых квадратичными
дифференциальными формами, сводится к задаче о том,
может ли одна квадратичная форма быть приведена к другой
или нет. С этой точки зрения простейшими являются
пространства, в которых основная форма может быть приведена,
как в евклидовой геометрии, к сумме квадратов
дифференциалов; Риман называет эти пространства плоскими. Следуя
своей руководящей идее — изучать пространство в его
бесконечно малых элементах,— Риман ищет средство численно
охарактеризовать отклонение каждого Rn от плоского
пространства в пределах элемента, окружающего заданную
точку. Риман хорошо понимает, что, оперируя, как это делал
Гаусс, инвариантами, т. е. величинами, не меняющими своих
значений при переходе от одной системы координат к другой,
он действительно остается в сфере геометрических свойств
пространства. Но оттого ли, что это ему не всегда давалось
или требовало чрезмерно сложных вычислений, Риман
предпочел в решении последней задачи следовать принципиально
1 При этом предполагается, что стоящие в правых частях равенств (11)
функции (р1(у1. у2,—, уп) имеют непрерывные частные производные до
&-го порядка включительно, где k — данное натуральное число, и что
уравнения (11) разрешимы однозначно относительно переменных у1, у2, ..., уп
в некоторой области их значений. Преобразования (11), удовлетворяющие
указанным условиям, называют допустимыми. (Ред.).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
447
щэюму пути. Этот путь заключается в том, чтобы вперед
зафиксировать некоторую специальную систему координат,
определяемую структурой пространства, т. е. ее гауссовым
экстенсивом, и к ней отнести все вычисления. В соответствии
с этим Риман и начинает с установления специальной
системы координат и именно такой, которая в любом Rn ближе
всего подходит к ортогональной декартовой системе. В этой
системе координатными линиями в каждой точке должны
были бы служить попарно ортогональные геодезические линии.
Тогда самый отсчет координат в евклидовом пространстве мог
бы быть сделан так, чтобы в любой точке
ds2 = (dx1)2 + (dx2)2 + ... + (dxn)2, (12)
т. е. чтобы гауссов экстенсив имел вид:
110 0.
0 10.
0 0 1.
0 0 0.
.. 0 |
.. 0
.. 0
.. 1 1
Гауссы здесь имеют постоянные значения, и их
производные равны нулю. Эти именно значения гауссов мы будем про-
визорно обозначать прописными буквами GИ- .
Таким образом,
G„=l (i= 1,2,3, ... ,/г), Gu = 0, если 1Ф\. (14)
Ht> соотношением (12) определяется евклидово
пространство. Поэтому ни в каком неевклидовом пространстве гауссы
не могут удовлетворять этим требованиям. Но можно достичь
того, чтобы в любом пространстве Rn гауссы удовлетворяли
всем этим требованиям в одной и притом произвольно
заданной точке М. Так именно Риман и выбирает свои
координаты; в настоящее время их называют геодезическими
ортогональными координатами в точке М. Таким образом, в этой
точке
yl у\ у2 yl уП уП
л> *^q, л, — л-q, . . . , л, — 0'
8ц (4- *§,....*») = Gtt,

448 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
dxk " U>
и длина бесконечно малого отрезка,— можно сказать:
бесконечно малого вектора, выходящего из этой точки М,—
ds2 = Gafidx*dxZ = (dx1)2 + (dx2)2 + ... + dxn)2. (15)
Теперь выберем другую точку N, бесконечно близкую к М,
так что вектор MN имеет компоненты бл:/, и перенесем в нее
вектор ЛШ', т. е. построим вектор NN\ который в наших
геодезических координатах имеет те же компоненты dx1, что и
вектор ММ'. Длина вектора NN' уже не выразится
формулой (15), потому что в точке N гауссы не имеют значений Gr/
Длина вектора AW' будет
Разлагая функции ga$ (*o + 6*') по степеням 6xi и имея
в виду, что первые производные гауссов обращаются в
точке М в нуль, получим:
ds2 = Gap dx* dxfi + GaJl ^dx* dx* 6x* 6x^. (16)
Так как дальнейшее исследование, хотя и недостаточно
строгое, приводит Римана к заключению, что
Ga,a, цр = — Gab, ц0> GaK, ц0 = — Gah, рц, (17)
а потому,
Gba, цр = Gab, рц, (17а)
то четыре члена, содержащие тейлоры:
dx? dx& 6хк 8х*\ dxadxllbxK8xPy dx% dxP Ьх0, бх*1 и dx% dx^hx^bxP,
соединяются в один, и равенство (16) принимает вид.
ds2 = GafidxadxP +
+ °ак, рц (dxa 6х* — dx% 6xa) (dxP 6х* — dx* Ьх^' (16а)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
449
Если бы пространство было евклидовым, то разложение
оборвалось бы на первом члене. Можно поэтому считать, что
следующий член ближайшим образом характеризует
отклонение пространства от евклидова. Так как этот член
четвертого измерения в дифференциалах dx£ и 6х*, то, разделяя его
на квадрат площади бесконечно малого параллелограмма
MNN'M', мы получим конечную величину. Риман называет ее
кривизной пространства в поверхностном элементе,
определяемом векторами ММ' и MN. В R2 это есть элемент
самого R2\ риманова кривизна имеет в каждой точке одно
значение, обращается в скаляр, который только численным
множителем— 3Д отличается от гауссовой кривизны пространства
в этой точке.
Таким образом, мы прежде всего замечаем, что Риман
ввел новый экстенсив уже четвертого порядка:
IIGaMnll-
Мы будем называть его римановым экстенсивом, а его
компоненты — просто риманами. Вы возразите, что это,
собственно, не экстенсив, а только матрица, потому что
компоненты пригвождены к определенной системе координат; но
это возражение будет очень скоро устранено. Свертывая ри-
манов экстенсив со смешанным тейлоровым экстенсивом
четвертого порядка:
|| dxadx$ 8**8л*||
смешанным потому, что он составляется из
дифференциалов dx£ и 8л:'', мы получаем риманову форму четвертого
порядка; разделяя же ее на квадрат площади бесконечно
малого параллелограмма [dx£, 8х*\ и умножая на — 4/з,
получаем риманову кривизну пространства в площадке, этим
параллелограммом определяемой.
Риман останавливается на том случае, когда кривизна
пространства имеет постоянное значение во всех его точках и
в каждой точке во всех элементарных площадках, через нее
проходящих. Это постоянство кривизны должно иметь место,
замечает Риман, во всяком Rn, если в нем возможны
свободные движения, так что каждая точка может быть приведена
в совмещение с любой другой точкой и в каждой точке
каждое направление — с любым другим направлением. Риман

450 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
указывает, что пространство постоянной нулевой кривизны
есть евклидово пространство; пространство постоянной
отрицательной кривизны приводит при п = 3 к геометрии
Лобачевского—Бойаи 1. Пространство постоянной положительной
кривизны при п = 2 по своей геометрии не отличается от
евклидовой сферы, а при п>2 дает своеобразное развитие
сферической геометрии, которое мы теперь называем римановой
геометрией в узком значении этого слова2.
Как мы уже сказали выше, все эти идеи у Римана только
намечены, и с опубликованием его мемуара возник ряд
вопросов, одни из которых разрешаются сравнительно просто,
а другие оказались сложными. Как преобразовать любые
координаты в геодезические? Как выражаются риманы в этих
координатах? Есть ли необходимость действительно
специфицировать эти координаты? Как получить общие формулы, от
этой спецификации не зависящие? Как отличить одну рима-
нову геометрию от другой? Как глубоко возможно здесь
разнообразие? Какое место среди различных Rn занимают
пространства постоянной кривизны?
Что эти последние пространства занимают совершенно
исключительное место, было совершенно ясно, и развитие
идей Римана шло поэтому по двум существенно различным
руслам. Одно течение занималось изучением пространств
постоянной кривизны; оно шло через Бельтрами, Гельмгольца,
Кели, Клейна, Софуса Ли, Киллинга, Шура и у каждого из
этих авторов получало особую постановку, особые черты,
характеризовавшие его эволюцию. Второе течение шло через
Христофеля, Липшица, Фосса, Штеккеля и имеет своей
задачей развитие общих римановых идей без специального уклона
в сторону пространств постоянной кривизны.
Четверть века эти исследования шли почти совершенно
раздельно; в трактате по дифференциальной геометрии Биан-
ки (1894) они не только получили некоторое завершение, но
и были объединены чрезвычайно удачным синтезом в одно
целое.
1 То обстоятельство, что пространство постоянной отрицательной
кривизны при п=3 совпадает с пространством Лобачевского, стало ясным
значительно позднее, после работ Бельтрами и Клейна (стр. 453). (Ред.).
2 Геометрию пространства постоянной положительной кривизны
называют геометрией Римана (в узком смысле слова); при п=2 она
совпадает с геометрией евклидовой сферы, у которой каждая из пар
диаметрально противоположных точек принимается за одну точку. (Ред.).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
451
3. РАЗВИТИЕ ИДЕИ РИМАНА. НАПРАВЛЕНИЕ КЛЕЙНА-ЛИ
Первое течение пользуется очень широкой известностью.
Свою идейную характеристику оно получило еще в 1872 г.
у Клейна в Эрлангенской программе1. Это — схема, которая
после Гаусса, Лобачевского и Римана является важнейшим
этапом в эволюции взглядов на сущность геометрии. Согласно
воззрениям Эрлангенской программы, в основе всякой
геометрии лежит группа преобразований, выражающих движения
пространства в самом себе. Геометрические величины суть
инварианты этой группы, и их разыскание, таким образом,
составляет основную задачу геометрий. Геометрия сделалась
только главой в общей теории групп непрерывных
преобразований, и притом небольшой ее главой.
Однако здесь нельзя не отметить, что родоначальником
всего этого направления является Гельмгольц. В том же
1868 г., в котором появился в печати мемуар Римана,
Гельмгольц опубликовал чрезвычайно замечательное, исследование
под заглавием «О фактах, лежащих в основании геометрии»2.
Гельмгольц начинает свой мемуар сообщением, что он уже
давно пришел к тем идеям, которые изложены в
опубликованном посмертном мемуаре Римана. Он пришел к ним
совершенно иным путем, как физиолог, путем сопоставления
пространства с другими многообразиями, с которыми ему
приходилось встречаться в физиологической оптике. Наименование
его мемуара отличается от названия риманова мемуара толь-
1 F. Klein. Vergleichende Betrachtungen tiber neuere geometrische
Forschungen. Programm zum Eintritt in die philosophische Fakultat und
den Senat Erlangen, 1872. Вновь воспроизведено в «Mathem. Annalen», 43,
1893, а затем в I томе полного собрания сочинений Клейна: F. Klein.
Gesammelte mathem. Werke, Bd. I, 1921. Мемуар переведен на
французский, английский, польский и русский языки. Русский перевод выполнен
Д. М. Синцовым и опубликован под названием «Сравнительное
обозрение новейших геометрических исследований» в «Известиях Казанского
физико-математического общества» в 1895—1896 гг.; выпущен также
отдельным изданием. [Новое издание — в сборнике: «Об основаниях геометрии»
(см. примеч. на стр. 439), стр. 399—434. (Ред.)].
2 Н. v. Н е 1 m h о 11 z. Uber die Tatsachen die der Geometrie zu
Grunde liegen. Nachrichten der Wissenschaften und der G. A. Universi-
tat zu Gottingen, XV, 1868. Мемуар переведен на русский, французский,
английский и итальянский языки. Русский перевод, принадлежащий проф.
А. В. Васильеву, помещен в Казанском юбилейном сборнике (см. сноску х
на стр. 439). [Воспроизведен в сборник: «Об основаниях геометрии» (см.
сноску на стр. 439), стр. 366—382. (Ред.)].

452 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
ко одним словом «факты» вместо «гипотезы» у Римана; и это,
конечно, не случайно,— это принципиальная установка.
Полученные Гельмгольцем результаты не покрываются вполне
исследованиями Римана. Он ищет те фактические
экспериментальные основания, которые оправдывают исходную
точку зрения Римана, которые естественно приводят к
квадратичной дифференциальной форме, как к выражению
квадрата дифференциала дуги. Гельмгольц показывает, что к этому
неизбежно приводят свойства движений, имеющих место в
пространстве. Именно, он обнаруживает, что в силу основных
свойств движения (к числу их он относит свою своеобразную
«аксиому монодромии»: всякое тело полным поворотом вокруг
оси может быть приведено в исходное положение, в каких бы
координатах ни были выражены точки пространства) при
движении всегда остается инвариантной некоторая
квадратичная форма от дифференциалов координат; это и есть
основная риманова форма.
Но Гельмгольц, строго говоря, не был математиком, что,
конечно, отразилось на его работе. Не только его
рассуждения, но и самая постановка вопроса вызывала серьезные
возражения. Позднее эта задача была строго формулирована
Софусом Ли. Этот замечательный норвежский геометр первый
построил и развил общую теорию групп непрерывных
преобразований. Те группы, которыми могут выражаться движения
в пространстве, по вполне обоснованным воззрениям Ли
характеризуются тремя основными свойствами: во-первых,
одна точка инварианта не имеет (это следует из того, что
всякая точка может быть приведена в совмещение с любой
другой точкой); во-вторых, две точки допускают один и только
один инвариант (расстояние между этими точками);
в-третьих, совокупность трех или большего числа точек не имеет
вовсе инварианта (т. е. в£я метрика пространства
исчерпывается расстояниями между точками; так, три точки
допускают инвариант — площадь определяемого этими точками
треугольника; но она выражается через стороны
треугольника, т. е. через расстояния между его вершинами).
Ли дал общие методы разыскания всех инвариантов
конечной группы непрерывных преобразований, но в то же
время показал, что в трехмерном пространстве существуют
только три различные группы, имеющие инварианты того типа,
которые характеризуют геометрию — группы, допускающие в
качестве инварианта положительную определенную диффе-

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
453
ренциальную квадратичную форму. Этим трем группам и
соответствуют три типа римановых пространств постоянной
кривизны 1.
По существу Ли сделал больше: он как бы завершил
замысел Римана в деле инфинитезимализации геометрии. Если
Риман расщепил пространство на его бесконечно малые
элементы и показал, как из упрощенной метрики элемента
разворачивается метрика всего пространства, то Ли расщепил
движение на составляющие его бесконечно малые смещения.
Этим он в сущности предуказал весь путь дальнейшей
эволюции риманова замысла. Но в ту пору это еще не было ясно,
потому что Ли исследовал только такие бесконечо малые
смещения, которые соединяются в группу преобразований.
Геометрия Клейна и Ли была более конкретна, носила более
определенный характер, нежели общие соображения Римана.
Ее выводы, всё ее содержание были ближе к традиционной
геометрии, и после работ Бельтрами2 и Клейна она, как
известно, получила всеобщее признание. Лед, сковывавший идеи
Лобачевского и Бойаи, был сломан. Теперь интерес был
сосредоточен на пространствах постоянной кривизны в узком
смысле этого слова. Задача заключалась главным образом
в том, чтобы распространить на пространство п измерений те
свойства, которые в ту пору уже были хорошо известны для
трехмерного пространства. Трудности коренились в большем
многообразии инвариантов, но они были вскоре преодолены
авторами, которых я уже назвал раньше, а геометрия
пространств "постоянной кривизны получила весьма широкое раз-
1 Работы С. Ли по основаниям геометрии получили выражение в
целом ряде мемуаров, которые собраны в переработанном виде в III томе
сочинения: S. Lie. Theore der Transformationsgruppen, bearbeitet unter
Mitwirkung von Dr. F. Engel. Leipzig, 1888—1893. Изложение работ Ли
можно найти в сочинении В. Кагана «Основания геометрии».
Исторический очерк развития учения об основаниях геометрии. Одесса, 1907.
[Обстоятельный отзыв Ф. >Клейна на сочинение С. Ли включен в сборник:
«Об основаниях геометрии» (см. примеч. на стр. 439), стр. 383—434.
(Ред.)].
2 Основные работы Бельтрами, сюда относящиеся: 1) Е.
Beltrami. Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea. «Giornale di
matemat...», 6, 1868. Имеются переводы на французский и русский языки;—
2) Е. Beltrami. Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante.
«Annali di Matem.», 1868. Имеются французский и русский переводы.
[Русские переводы обоих мемуаров помещены в сборнике: «Об
основаниях геометрии» (см. примеч. на стр. 439), стр. 180—212 и 342—365.
(Ред.)].

454 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
витие в большом ряде других работ. Задача в этих пределах
была исчерпана, и Бианки 1 оставалось только собрать и
систематизировать материал в одно целое.
4. ВТОРОЙ МЕМУАР РИМАНА
Не так обстояло дело с эволюцией общих идей Римана.
Их разработка была начата уже самим Риманом и нашла
себе место в работе, которую он представил Парижской
академии наук в 1861 г. в ответ на тему, объявленную академией
в 1858 г. на соискание премии. Работа была написана на
латинском языке2; подготовка ее для опубликования в общей
математической печати требовала значительной обработки,
выполнить которую Риману уже помешало состояние его
здоровья.
Заключительные слова первого мемуара сводились к тому,
что изложенные в нем соображения ведут в область физики.
Это оправдалось, хотя в несколько ином смысле, нежели это
разумел Риман, уже при решении задачи, поставленной
Парижской академией. Она заключалась в следующем:
«Разыскать, каково должно быть тепловое состояние
неограниченного однородного твердого тела для того, чтобы кривые
изотермической системы, заданной в определенный момент,
оставались изотермами в любой последующий момент, чтобы
температура в каждой точке могла, таким образом, быть
выражена в функции времени и дву;х других независимых
переменных».
Смысл последней фразы в формулировке темы
заключается в следующем. Если изотермы не меняются с течением
времени, то температура в каждой точке в момент t
определяется изатермои, на которой эта точка лежит; изотерма же, в
свою очередь, зависит от двух параметров, например от
координат ее следов на одной из плоскостей декартовых
координат. Если через и(х\ х2, л:3, t) обозначим температуру в точ-
1 L. Bianchi. Lezioni di geometria differenziale. Pisa, 1894; 2-е изд.,
1902; 3-е изд. в четырех полутомах, 1927. Немецкое издание в
переработанном виде: L. Bianchi. Vorlesungen tiber Differentialgeometrie, 1896,
2-е изд., 1910.
2 «Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab
Ill-ma Academia Parisiensi propositae», «B. Riemanns mathematische
Werke», ст. XXII. [Русский перевод: Б. Риман. Сочинения, XXIII,
стр. 399—413. (Ред.)}.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
455
ке х1, х2, хг в момент t, то дифференциальное уравнение
теплопроводности, которому функция и должна удовлетворять,
в современных обозначениях выражается так:
-ТК-Т) = А¥-' ^=1,2,3,..., (18)
дхк V дх* J dt
где акц —так называемые коэффициенты теплопроводности,
a h — теплоемкость, отнесенная к единице объема. Задача
сводится к тому, чтобы установить, при каких условиях в
уравнении (18) переменные х\ х2, х3 могут быть заменены
другими таким образом, чтобы интеграл и 'зависел кроме
времени от двух, а не от трех переменных.
Таким образом, преобразование дифференциального
уравнения (18) становится центральным пунктом всей проблемы.
Риман показывает, что это сводится к установлению условий,
при которых одна квадратичная дифференциальная форма
может быть преобразована в другую, т. е. к основной
проблеме мемуара «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».
Вторая часть этой небольшой по объему работы носит
название «О преобразовании выражения 2^«- ds,dsr в данную
IV
форму 2а«" dx( dxr1.
i,V
Риман начинает с того случая, когда вторая форма имеет
постоянные коэффициенты, т. е. с установления условий, при
которых основная квадратичная форма выражает плоское
пространство; он приходит к заключению, что компоненты
кривизны (риманы, по нашему наименованию) должны быть
равны нулю. Затем Риман обращается к общему случаю и
дает выражение меры кривизны в заданном двумерном
направлении в самом общем виде.
Фактически в этой работе выполнены те вычисления,
которые намечены в первом мемуаре, но только в том смысле, что
в явной форме приведены их результаты. Самые вычисления
отсутствуют или намечены настолько схематически, что
академия не была в состоянии в них разобраться, и Риману было
по этой причине отказано в премии.
1 «De transformatione expressionis 1, bu, dsids^ in formam datam
w
2au, dstdSj,». [См. стр. 409—413 русского перевода сочинений Римана
"(Ред.)].

456 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Дедекинд, публикуя в 1866 г. мемуар, уже сопроводил его
примечаниями, в которых вычисления, непосредственно
указанные Риманом, были выполнены. Дедекинд показал, как
выполняется переход от лкпых координат к геодезическим.
Он вычислил риманов эксте^сив, вернее, он показал, как
риманы выражаются в гауссах. Именцо, в геодезических
координатах, как указано было Риманом:
GaX = — Г d2g& + *gw _ *g«P _ ^Mi "
° ' ^ 2 [ дхадх* дх$дхк дх^дх* дхадх$ _
откуда непосредственно вытекают «соотношения (17).
Итак, риманы выражаются в гауссах, но выражаются во
вторых производных. Риманы составляют второе поколение
после гауссов. Куда девалось предыдущее? Оно исчезло
вместе с промежуточным членом (третьего измерения) в
разложении (16а). Как восстанавливается оно при отказе от
специальных координат? Ответ на это уже был дан, когда
мемуар Римана появился в печати.
5. РАЗВИТИЕ ИДЕИ РИМАНА. НАПРАВЛЕНИЕ ХРИСТОФЕЛЯ
И ЛИПШИЦА
В 1869 г. в журнале Крелля появились рядом два больших
исследования, одно — Христофеля, другое — Липшица1,
ставившие независимо от Римана основную задачу: при каких
условиях геометрия, заданная формой gaedxad)fi, совпадает
с геометрией, определяемой формой h^dtp dyv ? Как уже
было выяснено выше, вопрос сводится к тому, существует ли
преобразование вида (11), обращающее первую форму во
вторую. И как весь замысел Римана представляет собой
развитие гауссовой теории поверхностей, так и задача
Христофеля представляет собой не что иное, как обобщение задачи
о возможности наложения в евклидовом пространстве одной
поверхности на другую. В работах Миндинга, Казорати,
Бонне и Бельтрами Христофель имел уже образцы, которым он
следовал.
1 Е. В. Christoffel. Ober die Transformation der homogenen
Differentialausdrucke zweiten Grades. «Journ. fur reine und angew. Math.»,
70, 1869; R. L i p s с h i t z. Untersuchungen in Betreff der ganzen gomogenen
Funkzionen von n Differentialen, там же.
, (19)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
457
Подвергая первую форму этому преобразованию и
отождествляя результат со второй формой, Христофель приходит
к полной системе дифференциальных уравнений в частных
производных второго порядка, в которых переменные х1
являются искомыми функциями от переменных у1. Эти
дифференциальные уравнения распадаются на п систем линейных
уравнений относительно вторых производных. При решении
этих уравнений приходится иметь дело с минорами
определителя гауссова экстенсива и притом разделенными на самый
определитель g. Приведенные этим делением миноры будем
обозначать через giJ . Их совокупность приводит к новому
экстенсиву второго порядка:
g11
g21
gnl
g12 ■
gi2 .
gn* .
• • gln 1
• • g2n
• • gnn \
Свертывая этот экстенсив gij с первоначальным
гауссовым экстенсивом g{j , мы в результате всегда получим п.
Иными словами, результат полного свертывания этих двух
экстенсивов представляет собой инвариант — постоянное
число п. Два экстенсива одного и того же порядка, которые при
полном свертывании дают инвариантный результат, которые,
следовательно, преобразовываются к новым переменным
таким образом, что изменение значений элементов одного в
результате свертывания аннулируется изменением значений
элементов другого, в настоящее время, следуя Сильвестру,
называют контраградиентными. Из двух контраградиентных
гауссовых экстенсивов мы назовем исходный, преобразование
которого непосредственно следует за преобразованием
координат,— ковариантным; контраградиентныи с ним экстенсив
называется контравариантным. Разрешая себе
модернизировать терминологию, я тем самым в естественном порядке
прокладываю путь к современной обработке этих идей.
Если вторые производные функции х1 по у1 в
первоначальной форме дифференциальных уравнений имеют своими
коэффициентами ковариантные гауссы, то члены,
содержащие первые производные, имеют своими коэффициентами
некоторые агрегаты первых производных от гауссов. Эти
агрегаты встречаются необычайно часто; мы находим их во вто-

458 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
ром мемуаре Римана; но Христофель первый оценил их
значение. Он ввел для них особое обозначение («скобки Христо-
феля»):
Г ij ] г 1 [ д&к dgjk dgij ] i
и образовал, таким образом, новый экстенсив третьего
порядка, который мы теперь, естественно, будем называть христо-
фелевым экстенсивом, а его элементы — просто христофелями.
Эти христофели составляют промежуточное поколение между
гауссами и риманами. И действительно, первые производные
гауссов непосредственно выражаются через христофели,
именно:
^L = GikJ + G/w; (20a)
ясно, что во всякой точке, в которой уничтожаются
производные всех гауссов, обращаются в нуль все христофели, и
обратно. Можно поэтому сказать, что геодезические координаты
Римана в данной точке характеризуются уничтожением всех
христофелей. При разрешении первоначальных линейных
уравнений относительно вторых производных они
умножаются на приведенные миноры и складываются. Это приводит
к новым агрегатам христофелей:
в*Ч?,Ав = G?,. (21)
Закон образования вторичных христофелей из
первоначальных несет в себе новый весьма важный формальный
процесс — частичное свертывание. Он заключается в том, что в
каждом из свертываемых экстенсивов мы выбираем индекс
свертывания, сохраняя постоянными значения остальных
индексов (в рассматриваемом случае i и /); затем каждый
элемент одного экстенсива перемножаем с элементом, несущим
тот же индекс в другом экстенсиве, и эти произведения
складываем (повторяющийся греческий индекс в силу общего
соглашения содержит уже указание на это суммирование).
1 Христофелю принадлежит собственно символ [V]. которым многие
пользуются и по настоящее время. Однако несомненно более удачным
является позднейшее обозначение G^ (Вейль, Схоутен).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
459
При этих обозначениях дифференциальные уравнения
искомого преобразования принимают вид:
lM+a*~^~ = Hi'W' 9t9l = u* (22)
где Я»/ суть христофели преобразованной формы.
Преобразование, естественно, предполагает, что
определитель g= \gtj\ отличен от нуля. Это содержится в
требовании Римана, чтобы основная форма была определенной.
Теперь для решения геометрического вопроса на помощь
приходят дальнейшие аналитические средства — условия
интегрируемости системы дифференциальных уравнений (22). Этот
'прием установления условий интегрируемости играет
доминирующую роль как у Христофеля, так и в дальнейших
исследованиях вплоть до Бианки. Самый процесс, как известно,
заключается в том, что по данным вторым производным мы
составляем третьи, отличающиеся друг от друга только
порядком дифференцирования; приравнивая полученные
выражения, мы получаем необходимые условия интегрируемости.
Заслуга Христофеля заключается в том, что он привел
результат этого исключения к чрезвычайно замечательной
форме:
GaK fr dx« djfi bx* Ьх» = HaK Р|1 dy« dyt by* 6^, (23)
где все //аМм. совершенно так же составлены из
коэффициентов преобразованной формы Ааз> как величины G ах,зи —
из коэффициентов исходной формы. Элементы же этого эк-
стенсива непосредственно образуются из христофелей, а
именно:
бхх. nv = -^^ ^^- + AGm -G^G^ ]. (24)
dxv дх^
Если мы, однако, выразим христофели через гауссы и
соответственно этому развернем первые два члена, то получим:
**зщ , **ху dfrxii *gxv 1 _,_
дх*дх* ' дхкдх» дхКдх" дх*дх^ I
Gy.
я, ,uv
+ [GxvGjijtjj - GxiiGvx.3 I-
(25)

460 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
В случае геодезических координат в точке М христофели
в ней обращаются в нуль, вместе с тем все G^^v
принимают те значения (19), которыми мы определили риманы в
геодезических координатах. Теперь перед нами полный риманов
экстенсив, и риманы вычислены в любой системе референции.
Риманы выражаются в христофелях, а христофели в гауссах;
как вы видите, Христофель интерполировал новый экстенсив
между гауссами и риманами. Из приведенного общего
выражения для риманов видно, что соотношения (17) и (17а)
имеют место для риманова экстенсива независимо от системы
референции. Христофель прибавил к этим соотношениям Де-
декинда еще две группы:
Gab, Зи = G&\i. а\ И Ga\t ^ + Gap, jxx + Gap, \3 == 0- (26)
Вместе с тем теперь сделалось возможным сосчитать
число независимых компонентов риманова экстенсива; оно
оказалось равным
12
Теперь возвратимся к соотношению (23), выражающем}
•главный результат Христофеля. Он заключается в том, что
необходимое условие интегрируемости уравнений (24)
заключается в инвариантности дифференциальной формы:
GaK^dxad)fi№bx». (27)
Может быть отчетливее будет формулировать результат
Христофеля следующим образом: инвариантность основной
гауссовой квадратичной формы влечет за собой
инвариантность формы четвертого порядка (27).
Теперь стало ясно, что риманова кривизна пространства в
данной точке и в данной площадке представляет собой
отношение двух инвариантных форм: римановой формы и другой
формы, представляющей квадрат площади бесконечно
малого параллелограмма. Надобность в специальных координатах
исчезла, и развитие римановой геометрии пошло по
естественному руслу разыскания инвариантов основной квадратичной
формы при преобразовании системы референции.
Здесь будет уместно еще раз отчетливо подчеркнуть
различие между геометрией Клейна—Ли и общей геометрией
Римана. У Ли геометрия сводится к разысканию инвариантов

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
461
[Некоторой определенной группы преобразований. Общая же
геометрия Римана устанавливает инварианты всякого
преобразования переменных1; ее задача заключается в разыскании
тех величин, которые вовсе не зависят ни от системы
референции, ни от системы движений.
Возвратимся к исследованию Христрфеля. Он хотел пойти
дальше и получить условия, не только необходимые, но и
достаточные для преобразования одной формы в другую. Это
привело его к широкому развитию полученного результата;
чрезвычайно искусным, но всё же очень сложным
вычислением он обнаружил, что за формой (27) следуют инвариантные
же формы пятого, шестого, седьмого порядка и т. д.,
для-последовательного составления которых им указан "общий
закон.
Однако в ряду инвариантных форм Христофеля не
хватало одного звена — формы третьей степени. Естественно было
спросить себя, не воспроизведут ли эту форму христофели,
т. е. не будет ли инвариантной форма
Gafrydxvdifidxv.
Нетрудно, однако, обнаружить, что это не" так. В самом
деле, мы видели, что в каждой точке в геодезических
координатах все христофели обращаются в нули. Если бы эта
форма была инвариантна, то она была бы равна нулю
тождественно во всякой системе референции. Мы видим, таким
образом, глубокое различие между гауссовым и римановым
экстенсивами, с одной стороны, и христофелевым — с другой.
В то время как гауссы и риманы, свертываясь с тейлорами,
дают инварианты, христофели такого инварианта не дают.
При неограниченном ряде инвариантных форм
становилось особенно загадочным выпадение промежуточной формы
третьей степени. В сущности в мемуаре Христофеля причины
этого выпадания уже выяснены; они не получили, однако, у
него еще той отчетливости, которая была достигнута позже
Риччи. Не удалось Христофелю также дать исчерпывающий
ответ на вопрос о достаточности условий, обеспечивающих
возможность преобразования одной квадратичной формы в
другую. Эту задачу Липшиц решает для того случая, когда
1 Точнее: всякого допустимого преобразования переменных (см.
примеч. на стр. 446). (Ред.).

462 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
одна из данных форм определяет евклидово пространства,
т. е. приводится к сумме квадратов. Это условие, как
известно, заключается в том, что риманова кривизна должна быть
равна нулю во всякой точке и во всех направлениях, т. е. чго
в нуль должны обратиться все риманы. Нужно, однако,
сказать, что эта задача была уже раньше (1859) решена Ламе в
его трактате «О криволинейных координатах» К
Все дальнейшие исследования в сфере общей римановой
геометрии, до Бианки, по существу вращались в рамках
результатов Христофеля. Они имели целью дать этим результат
там возможно более простое выражение и упростить
громоздкие вычисления Христофеля, дать общие методы для
разыскания тех инвариантов, в которых заключается
существо римановой геометрии. Бианки не только искусно
использовал все эти материалы, не только объединил их в одно
целое, но. и получил еще» один существенный результат,
В 1886 г. Шур доказал замечательную теорему,
заключающуюся в том, что риманова кривизна пространства остается
неизменной от точки к точке, если она в каждой точке
сохраняет постоянное значение при всех направлениях площадки2.
Однако доказательство Шура, как это не раз бывало в
математике, представляло собой скорее чрезвычайно глубокую и
талантливую интуицию, нежели современное строгое
математическое рассуждение. Оно носит чисто геометрический
характер, опирается на проективное отображение связки линейных
элементов одной точки на такой же связке другой точки.
Теорема требовала чисто аналитического доказательства, и
Бианки такое доказательство дал, присоединив к четырем
группам алгебраических соотношений между риманами (17)
и (26) пятую дифференциальную3. Она имеет вид:
^Оц.ш+-Тгё1/.як + -±-01/.ы-0\ (28)
1 С. Lame. Legons sur les coordonnees curvilignes et leurs diverses
applications. Paris, 1859.
2 Cm. F. S с h u r. Ober den Zusammenhang der Raume constanten
Krummungsmasses mit den projectiven Raumen. «Math. Annalen», 27, 1886.
3 Cm. L. Bianchi. Sui simboli a quatro indici e sulla curvatura di
Riemann. «Rendiconti accad. Lincei» (V), II П, 1902. Самое тождество
было уже раньше опубликовано Падова: Е. Р a d о v a. Sulle deformazio-
ne infinitesime, там же (IV), 51, 1889.
4 Формула (28) записана в геодезических координатах (см. стр. 447).
(Ред.).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
463
Однако как этот результат, так и всё углубленное
развитие, которое мы находим в последующих изданиях трактата
Бианки, по существу развернуты настолько, насколько это
автору необходимо для обоснования геометрии пространств
постоянной кривизны. Соотношение (28) сохранило название
тождества Бианки.
Таким образом, развитие, которое идеи Римана получили
примерно за 35 лет (с 1866 г. до начала текущего столетия).*,
характеризуется двумя особенностями: во-первых,
подавляющим преобладанием аналитических методов, а во-вторых;
преобладанием геометрии Клейна и Ли над общим замыслом
Римана. На протяжении всего этого периода анализ служит
геометрии. Это расцвет ее арифметизации, которая
упирается, однако, в необычайную сложность аппарата, и
руководящая идея тонет в море громоздких формальных вычислений.
6. НАПРАВЛЕНИЕ ШЛЕФЛИ
Скрестившись на трактате Бианки, оба направления рима-
новой геометрии после этого вновь разошлись. Еще гораздо
раньше, в 1871 г., Шлефли показал \ что всякое
пространство Rn может быть, так сказать, вмещено в евклидово
пространство достаточно большого числа измерений. Иными
словами, всегда существует такое число ky что заданное
пространство Rn можно рассматривать как n-мерный образ в
пространстве En+k • Нужно, однако, сказать, что рассуждения
Шлефли не могут считаться исчерпывающими. Более того, до
последнего времени условия интегрируемости
дифференциальных уравнений, к которым Шлефли эту задачу привел, нельзя
было считать установленными. В тридцатых годах Жане,
Картан и Бурстин дали полное решение этих вопросов 2, и
теорему Шлефли нужно считать строго доказанной.
В предположении, что данное риманово пространство Rn
вмещается в евклидово пространство En+k, наименьшее
значение k, удовлетворяющее этому требованию, Риччи назвал
1 L. Schlafli. Nota alia memoria del Sign. Beltrami. «Annali di
Matem.» (2), 5, 1871.
2 Janet. Sur la possibilite de plonger un espace riemanien donne
dans un espace euclidien. «Annales de la Societe polonais Mathematique»,
10, 1926; E. С art an, там же, 6, 1927; С. В u r s t i n. Ein Beitrag zum
Problem der Einbettung der Riemannschen Raume in Euklidische Raume.
«Матем. сб.», 38, 1982.

464 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
классом пространства. Как показал уже Шлефли, это число k
п(п— 1) ЛГ ~
не может превышать — -. У Римана среди недоказанных
утверждений имеется место, остававшееся неясным. Он
дважды вскользь утверждает, что пространство Rn
определяется — функциями точки. По-видимому, в теореме
Шлефли и заключается разгадка этого утверждения. В самом деле,
если пространство Rn(x\ x2,..., хп) &-го класса включается
в En+k (z\ 22,..., 2л+*),то оно выражается в нем уравнениями:
zf^flx1,**, ... ,**), i = 1,2,3 ... , n + k.
Исклю*Гая отсюда п параметров х1, х2,..., хп, мы выразим
наше Rn с помощью k уравнений:
^+h = цт ^ ^ ... , f)9 h = 1, 2, ... , k.
Наше пространство действительно определяется k
функциями и(/1); так как по теореме Шлефли k не превышает *"* ,
то этим числом функций всякое Rn действительно
определяется. Так ли понимал свое утверждение Риман, в настоящее
время вряд ли можно выяснить; но мысль по существу
верна.
Итак, всякое риманово пространство можно рассматривать
как образ в надлежащем плоском пространстве, и евклидова
геометрия, таким образом, вновь заняла свое доминирующее
место. Своеобразный процесс эволюции шел таким образом,
что неизмеримо более общая геометрия была включена в
старую прародительскую схему. К двум направлениям Клей-
на-Ли и Христофеля присоединилось третье, которое мы
будем называть направлением Шлефли. Полученные этим
методом результаты содержат материал, который можно более
или менее непосредственно перенести из евклидовой геометрии
в любое риманово пространство. Одни из этих результатов
имеют содержание только в той мере, в какой это Rn остается
вложенным в евклидово пространство. Сюда относятся,
например, обобщение теорем Эйлера и Менье, учение о главных
кривизнах многообразия и т. п. Другие результаты относятся
к пространству RnJ как таковому. Сюда относится, например,
учение о геодезических линиях, о геодезической кривизне
линий в многообразии и т. д. Во всяком случае в 1892 г. Кюне

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ й£Й* РЙМАНА
имел уже возможность дать сводное построение римановой
геометрии по схеме Шлефли 1. При всем том метод Шлефли
всё же оставался как будто зачарованным традицией и всегда
отражал только классическую дифференциальную геометрию,
главным образом французской школы, идущей от Монжа
через Лиувиля, Ламе, Коши, Серре к Дарбу. И только в
текущем столетии, именно в сочетании с направлением Христо-
феля, он привел к существенно новым результатам.
Родоначальником новых идей является итальянский геометр Грего-
рио Риччи Курбастро2.
Впрочем, Риччи начал свои исследования с результатов
Шлефли. Он поставил себе задачей непосредственно по
основной форме, т. е. по экстенсиву g^, определить класс
заданного пространства Rn. Если Христофель хотел
классифицировать пространство по несводимым друг с другом типам, т. е.
по несводимым квадратичным формам, то Риччи хотел
распределить самые типы по классам. Ему, однако, удалось подойти
к решению этой задачи только в смысле установления
пространств Rn первого класса,-т. е. тех Rn , которые можно
рассматривать как так называемые гиперповерхности в
пространстве Еп+\. Необходимое для этого условие заключается
в особенном строении риманов: именно все риманы должны
выражаться минорами второго порядка некоторого экстенси-
ва, т. е. должен существовать такой, будем говорить, риччи-
экстенсив:
чтобы
Yu Y12 • • • Yi„
Уп Y22 • • • Y
Уп1 Y„2 • • • Y
(jyih, ц/v =
2„
nn
Y>
Y*
• Ъ)
= Y/*,
»
1 H. Kuhne. Beitrag zur Lehre von der n-fachen Mannigfaltigkeit.
«Archiv der Math, und Phys». (2), И, »1892. Его диссертацию,
посвященную тому же предмету, автору не удалось видеть.
2 G. Ricci. Principii di una teoria della forme differenziale quadratiche.
«Ann. di Matemat.» (2), 12, 1884.

466 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
условия достаточные заключались в том, чтобы риччи, в свою
очередь, имели особое строение, выяснение которого и
привело автора к тем идеям, которые получили капитальное
значение.
7. НАПРАВЛЕНИЕ РИЧЧИ И ЛЕВИ-ЧИВИТА
Тенденция к сведению идеи Римана к общим методам
изыскания дифференциальных инвариантов квадратичной
формы упирается в препятствие, которое, по мнению Риччи,
заключается не столько в сложности формальных
преобразований, сколько в той первопричине, которая эту сложность
вызывает.
Эту причину Риччи относил к одной невязке
классического анализа с теорией дифференциальных инвариантов.
Положим, что при преобразовании вида (11) функция
(р(х\ х2,..., хп) переходит в ty(yl, У2,-.., Уп), так что
Ф^1,*2,*3, ...,xn) = y(y1,tf, ...,уп).
Если через ф;, Ф£/, Ф,/*,..., ф„ %•, %•* >••• будем
обозначать производные этих функций по соответствующим
переменным, а через dyl —дифференциалы, которые соответствуют
дифференциалам dxl, то 1
Аф = {fadx^ -\ (fapdxadxfi Н фару dxadx^dxy + ... ,
2! «3!
А* = <bady« + ~ yafidtfdyt + ~^у dy«dyt dyy+...,
Дф = Д-ф.
При расчленении последнего равенства имеем:
Фа dx? = tyadya или ^ф = dty. (29)
Иначе говоря, при свертывании экстенсива первого
порядка ф, с тейлорами первого порядка
II <Pi, ф2, . •. > Фл II с || dx\ dx\ ...,dxn\\ (30)
1 Через Аф обозначено приращение функции <р, соответствующее
приращениям dxa независимых переменных ха (а=1, 2, ..., п)\ аналогичный
смысл имеет и Дг|?. (Ред.).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
467
мы получаем инвариант, носящий название дифференциала
функции. Но следующие члены разложения уже такой
инвариантностью не обладают: равенство
Фар dxa dx$ = а|>лц dy%dy^ (31)
может иметь место только в исключительных случаях.
В самом деле:
Только в том случае, когда все yk выражаются линейно
через х1, последние члены правой части отпадают, и
равенство (31) имеет место. Это обстоятельство, между прочим,
составляет причину того, что понятие d2(p, имеющее значение
только в определенной системе референции, мало привилось.
Если, однако, воспользуемся им для функций у1 от
независимых переменных х\ то, умножая последнее равенство на
dxkdxl и суммируя (заменяя соответственно этому латинские
индексы греческими), получим:
ФаЭ dxa dx& = ^m dyK dy» + ifo" dV- (32)
В том, что последний член справа не обращается в нуль,
что этим нарушается инвариантность второго
дифференциала, и заключается невязка, о которой шла речь. Чтобы ее
устранить, Риччи становится на геометрическую почву, он,
так сказать, внедряет функции ф и г|) в пространство. По
существу в этом как будто не было ничего нового:
рассматривать функцию от координат как функцию точки в
пространстве было совершенно обычно, особенно в теоретической
физике. В настоящее время такую функцию принято называть
скаляром. Особенность точки зрения Риччи заключалась
только в том, что функция была локализирована не в евклидовом,
а в римановом пространстве. В первый раз роли
изменились— риманова геометрия пришла на помощь анализу.
В работе Липшица Риччи уловил соотношение, явно у него
не выраженное, но непосредственно вытекавшее из его
формул:
G& ФУ dxa dx? = Hi» *v dyK dtf +фх d*yK. (33)
Вычитая теперь равенство (33) из (32), получаем:
(Фар - G^ Фу) dxa dxP = (ifo, - Hi», iM dy% dy». (34)

468 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Теперь ясно, что экстенсив второго порядка
ЦФ,/Н.
где
Ф;/=Ф/у-С//фу> (35)
при свертывании с тейлорами дает инвариантную
квадратичную форму.
Так как первые производные функции ф непосредственно
дают инвариантный дифференциал, то Риччи называл их
абсолютными производными. Что касается вторых
производных, то они инвариантного второго дифференциала не дают,
а потому Риччи назвал абсолютными вторыми производными
функции ф элементы нового им полученного экстенсива.
Абсолютные производные принято в настоящее время
обозначать символом у с индексами, отмечающими переменные, по
которым мы дифференцируем. Таким образом,
™ = ^^/Ф = ^-<^. (36)
Никогда удачная мысль не была связана с таким
неудачным наименованием: производные Риччи менее всего
заслуживают названия абсолютных; это именно производные
относительные-, производные, отнесенные к определенному рима-
нову пространству, если говорить геометрически, к
определенной квадратичной форме, если говорить языком анализа.
Абсолютность Риччи понимал в том смысле, что эти
производные дают дифференциалы, инвариантные по отношению к
системе референции, к которой пространство отнесено К Риччи
дал также правила, по которым в том же порядке идей
составляются производные высших порядков. Нам удобнее
будет познакомиться с ними в связи с дальнейшей эволюцией
этих идей. Здесь нужно всё же сказать, что достаточное
условие того, чтобы данное пространство принадлежало первому
классу, заключается в том, чтобы его риччи удовлетворяли
соотношению
1 В настоящее время абсолютные производные Риччи именуются
обычно ковариантными производными. (Ред.).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
469
Нам остается только сделать еще одно существенно
важное указание, что производные Риччи сохраняют формальные
свойства обыкновенных производных в том смысле, что
производные линейных агрегатов функций и их произведений
составляются по тем же формальным правилам, что и в
классическом анализе.
Все эти идеи Риччи относятся еще к периоду 1887—
1893 гг.1. Однако они не были замечены, во всяком случае
не были достаточно оценены. Но Риччи продолжал их
разрабатывать в сотрудничестве со своим талантливым учеником
Леви-Чивита. В 1901 г. в «Mathematische Annalen» появился
их обстоятельный совместный мемуар об абсолютном
дифференцировании, в котором эти идеи уже были скомпанованы
в довольно цельную дисциплину, получившую в своем
дальнейшем развитии наименование тензорного анализа 2. То, что
за десять лет здесь было привнесено нового, заключалось в
претворении метода Риччи в так называемое абсолютное
исчисление. Словом «абсолютный», как вы видите, немало
злоупотребляли, и Схоутен был совершенно прав, когда
заменил этот термин более целесообразным — Direkte Analysis —
«прямое (или непосредственное) исчисление»-
8. ПРЯМЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
С тех пор как получила право гражданства аналитическая
геометрия, различного рода объекты — геометрические,
механические, физические — выражались численно определенным
количеством координат, и аналитические операции
производились над этими координатами, а не над . определяемыми
ими объектами. Говорить здесь о той пользе, которую этот
метод принес теоретической и прикладной математике,
конечно, неуместно. Но, к сожалению, каждый метод, как бы
1 G. R i с с i. Sulla derivazione covariante ad una forma quadratica dif-
ferenziale. «Rendiconti Ac. Lincei», (4), 3, 1887; G. Ricci. Delle derivazione
covarianti e contravarianti. В юбилейном сборнике: «Studii editi della
University di Padova a commemorare l'ottavo Centenario della origine della
Universita di Bologna». Padova, 1888; G. Ricci. Di alcune applicazioni
del calcoli differenziale assoluto. «Atti del Reale Istituto Veneto», (7), 4,
1893; G. Ricci. Resume de quelques travaux sur les systemes variables
des fonctions associees a une forme differentielle quadratique. «Bull, des
sciences mathemat.», (2), 16, 1892.
2 G. Ricci et T. Levi-Civita. Methodes de calcul differentiel ab-
solu et leurs application. «Math. Ann.», 54, 1901.

470 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
ни были сильны его средства, обыкновенно несет в себе также
элементы, ослабляющие его мощь и на известной ступени
даже парализующие его действие подобно тому, как
поляризация постепенно сводит на нет действие гальванического
элемента. В координатном исчислении эти поляризующие
силы кроются в усложнении формул, в расщеплении одного
соотношения между объектами на ряд соотношений между
координатами, в утрате наглядности вследствие чрезмерной
арифметизации.
Уже приблизительно через 40 лет после опубликования
«Геометрии» Декарта Лейбниц с чрезвычайной
прозорливостью предусмотрел и слабые стороны аналитического метода.
Он не только высказал убеждение, что ему на помощь
должны прийти «прямые» операции «геометрического анализа», но
даже наметил первую схему начатков своеобразной
геометрической алгебры. В письме к Гюйгенсу от 8 сентября 1679 г.
Лейбниц пишет следующее: «Но при всех успехах,
достигнутых мною в этих вещах (в теории некоторых уравнений)...,
я еще недоволен алгеброй в том отношении, что она не дает
ни наиболее коротких путей, ни наиболее изящных построений
геометрии. Именно поэтому, когда об этом идет речь, я
считаю, что нам необходим еще другой анализ, собственно
геометрический или линейный, который бы прямо (directement)
выражал положение (situm) подобно тому, как алгебра
выражает величину (magnitudinem). Я полагаю, что вижу для
этого средство, которым можно было бы представлять фигуры
и даже машины и движение знаками (characters) подобно
тому, как алгебра выражает числа и величины; посылаю вам
опыт, который я считаю значительным». Этот опыт носил,
однако, еще зачаточный характер. Это и неудивительно:
аналитические методы еще только разрастались, плодотворное
их применение быстро охватывало одну область за другой;
их достижения были настолько велики, они еще так много
обещали, что внимание математиков было сосредоточено на
усовершенствовании именно этих средств исследования. В
новых путях еще не чувствовалось острой нужды, к ним еще не
предъявляли настойчивых притязаний прикладные
дисциплины. И именно поэтому в XVIII столетии в геометрическом
исследовании почти безраздельно царил так называемый
классический анализ.
Но когда средства анализа дошли до известного
завершения, а задачи всё разрастались, когда различные отрасли

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
471
математики и прикладные дисциплины -начали фактически
предъявлять требования прямых методов исчисления, их
стали развертывать очень напряженно, то отвечая на прямые
запросы, то предвосхищая их. И тогда лозунг Лейбница от
аналитической геометрии к прямому геометрическому
исчислению оказался пророчески верным.
Но от возникновения этой идеи у Лейбница до появления
настоящего прямого исчисления прошло около 180 лет.
Только в XIX столетии начинается некоторая реакция
против координатного исчисления; возникают прямые
исчисления, которые оперируют непосредственно со сложными
объектами. Комплексные числа представляют собой,
по-видимому, первые объекты такого рода, над которыми
устанавливались формальные операции. Данная Гауссом
интерпретация комплексных чисел уже несла с собой в зародыше
теорию векторов на плоскости. Барицентрическое исчисление
Мёбиуса 1 и метод эквиполленций Беллавитиса не только
заложили начало прямым операциям над геометрическими
объектами, но представили собой уже глубоко
разработанные прямые исчисления. Объектами алгебраических операций
у Мёбиуса служили точки (точечное исчисление — Punktrech-
nung), у Беллавитиса2 — отрезки (первое векторное
исчисление) на плоскости. Наконец, кватернионы Гамильтона в
своей геометрической интерпретации положили начало
векторному исчислению. Это прямое исчисление, сложившееся
после продолжительных и довольно жестоких споров и
контроверз в совместной работе физиков, механиков и
математиков, оказалось наиболее плодотворным и получило
широкое применение во всех отраслях прикладной
математики. К началу текущего столетия уже трудно было бы указать
сочинение по механике или теоретической физике, которое
не оперировало бы средствами векторного анализа.
Векторный анализ тоже не всегда обходится без
координат; скажу больше, чрезмерные тенденции чистокровных
векторников совершенно устранить координаты нередко при-
1 А. М 6 b i u s. Der barycentrische Calcul; ein neuer Hilfsmittel zur
analytischen Behandlung der Geometrie. Leipzig, 1827. Переиздано в I
томе собрания сочинений Мёбиуса: A. F. Mob i us. Gesammelte Werke,
Bd. I. Leipzig, 1885.
2 Начала метода эквиполленций Беллавитис опубликовал в ряде
мемуаров начиная с 1835 г. Обстоятельно разработанное сводное изложение
опубликовано в 1854 г.: G. Bellavitis. Espozitione del metodo della
Equipollenze. Modena, 1854.

472 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
водят к обратному результату в смысле тяжеловесного
усложнения специального аппарата. Штуди совершенно прав, когда
борется с этой тенденцией; но действие над компонентами
векторов всегда служит отражением некоторой операции над
самими векторами. Этой особенности векторное исчисление
не должно утрачивать никогда, в ней коренится его характер
прямого исчисления. И вот именно координатное выражение
прямой операции над векторами привело к идее
инвариантности с новой точки зрения. Известной операцией над
координатами действительно определяется действие над
векторами, если геометрический смысл этой операции не зависит от
системы координат, в которой эта операция производится.
Эта инвариантность сблизила векторное исчисление с рима-
новой геометрией в её христофелевом направлении.
При всем своем углубленном развитии векторное
исчисление в сущности располагает весьма небольшим числом
основных операций. Из них скалярное умножение двух векторов
играет особую роль. Если векторы равны, то скалярным их
произведением определяется квадрат их общей длины; если
известны длины обоих векторов, то скалярным произведением
определяется образуемый ими угол. Таким образом,
скалярное произведение двух векторов, аналитически различно
выражаемое в различных координатах, представляет собой
инвариант, определяющий длину и угол — две основные
величины геометрической метрики. Векторное исчисление
развертывалось, конечно, в евклидовом пространстве. Долгое время
аналитические вычисления векторного анализа проводились
при этом почти исключительно в ортогональных декартовых
координатах. Скалярное произведение векторов А и В
выражается в этом случае в компонентах векторов формулой
АВ = АХВХ + АуВу + AZB2. (37)
Широкое развитие векторного анализа и многочисленные
его применения в дисциплинах, развертывавшихся в
криволинейных координатах, потребовало перечисления векторных
операций на любую систему референции, конечно, в
евклидовом пространстве. Со всей полнотой это было выполнено^
мне кажется, в первый раз Бурали-Форти в 1897 г.1 в
сочинении, посвященном векторному построению дифференциаль-
1 С. В о ur a li-Fo rti. Introduction a la geometrie differentielle
suivant la methode de H. Grassman. Paris, 1897.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
473
ной геометрии поверхности в евклидовом пространстве.
В криволинейных координатах квадрат элемента дуги в
евклидовом пространстве также выражается основной гауссо-
римановой формой. Если X1, X2, Хг и У1, У2, Yz суть
компоненты векторов 1 X и Y, взятые по осям криволинейных
координат в данной точке Af, то скалярное произведение их
выражается формулой
X\ = gafiXaX^ (38)
В римановом пространстве мы можем смотреть на два
элемента (dx\ dx2,..., dxn) и (6х\ 6х2,..., 8хп) как на
бесконечно малые векторы, выходящие из точки М(х\ х2,... хп).
Произведение длин этих векторов на косинус угла между ними,
т. е. то же скалярное их произведение и здесь выражается
формулой
g^d&djfi. (39)
Положением Римана, или-, иначе, гауссовым экстенсивом,
таким образом, по существу определяется скалярное
произведение двух бесконечно малых векторов. Вы видите, что
векторный анализ естественно пришел в тесное
соприкосновение с основными положениями римановой геометрии.
Итак, построение прямого исчисления, связанная с этим
инвариантность аналитических операций, в частности
инвариантность скалярного произведения, общие выражения
операций векторного анализа в любой системе референции —
вот тот комплекс идей и формул, который в соединении с
абсолютным дифференцированием Риччи привел от
векторного анализа к тензорному. Но тут привходит еще одна
схема, ведущая свое начало от Грассмана.
9. УЧЕНИЕ Г. ГРАССМАНА О ЛИНЕЙНОМ ПРОТЯЖЕНИИ
Произведением, в котором замысел Лейбница был
осуществлен в наиболее совершенном виде, является учение
«О линейном протяжении» Германа Грассмана. В
первоначальном своем виде оно было опубликовано в 1844 г.2, а за-
1 Вектором на поверхности в данной ее точке М называется вектор,
приложенный к точке М и лежащий в касательной плоскости к
поверхности в этой точке. (Ред.).
2 Н. Grassman. Die lineale Ausdehnugslehre, ein neuer Zweig der
Mathematik. Leipzig, 1844.

474 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
тем в гораздо более глубокой обработке — в 1862 г.1.
Построенная Грассманом широко развернутая система прямой
геометрической алгебры охватывала исчисления Мёбиуса,
Беллавитиса и даже Гамильтона как отдельные частные
случаи. Это обусловливается тем, что Грассман имел смелость
ставить вопрос о всех возможных системах геометрической
алгебры во всей его общности. Именно в широкой общности
замысла заключается значение этого замечательного
произведения; но эта же широта замысла, в изложении часто
облеченная в туманные формы философских рассуждений, стояла
на пути его признания. Идеи Грассмана слишком сложны,
чтобы здесь можно было на них остановиться подробно; мы
ограничимся простейшими положениями, которые послужили
точкой отправления также при построении тензорной алгебры.
Объектами прямого исчисления в тензорном анализе
явились экстенсивы. Основные алгебраические операции над
экстенсивами можно определить непосредственно, каковы бы
ни были эти экстенсивы. У Грассмана фактически эти
основные определения даны. Под суммой двух экстенсивов одного
и того же порядка
U = \\At,k\\, V = \\Bf'k\\ (40)
Грассман разумеет экстенсив того же порядка:
U + V = \\Ai/k + Bi/k\\, (41)
который получается путем сложения соответствующих
компонент этих экстенсивов, в какой бы системе координат они
ни были заданы. Так же определяется и вычитание.
Произведение экстенсива на скаляр получается (по определению),
если на этот скаляр умножим все его компоненты:
cU = \\cAifk\l (42)
Эти определения совпадают с определениями тех же
операций для векторов, если их рассматривать как экстенсивы
первого порядка. Определение произведения двух
экстенсивов выходит за эти пределы. Именно в определении
умножения всегда коренились трудности построения новых
алгебраических систем, поскольку к нему предъявлялось требова-
1Н. Grassmann. Die Ausdehnungslehre, vollstandig in neuer Form,
bearbeitet. Berlin, 1862.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
475
ние, чтобы оно обладало всеми формальными свойствами
арифметического умножения. Именно этот вопрос Грассман
исследовал с наибольшей общностью. Ему принадлежат
определения внутреннего (в случае векторов — скалярного) и
внешнего (в случае векторов — векторного) произведений,
данные притом в очень общей форме. Но для тензорной
алгебры наибольшее значение имеет то, по существу самое
простое, умножение, которое дает экстенсив более высокого
порядка, чем перемножаемые экстенсивы. Сюда относится
следующее определение: если один экстенсив /л-го, а
другой — я-го порядка, то под произведением обоих экстенсивов
разумеют экстенсив (т + я)-го порядка, который получается
путем перемножения каждой компоненты первого экстенсива
на каждую компоненту второго. Таким образом, если
U = \\AiJ\l V = \\Bklm\\, (43)
то
UV = \\AifBklm\\. (44)
Сложение и умножение, таким образом определенные,
обладают сочетательностью, умножение —
распределительностью относительно суммы.
Экстенсив называется симметричным относительно двух
индексов, если в любой системе референции ни одна его
компонента не меняет своего значения при транспозиции этих
двух индексов. Так, экстенсив Alik симметричен
относительно второго и третьего индексов, если всегда
Ai/k = Aik/.
Экстенсив называется просто симметричным, если его
компоненты не изменяются ни при какой перестановке
индексов. Всякий экстенсив можно симметрировать, т. е.
составить из него экстенсив, симметричный относительно двух
индексов или даже относительно всех индексов. Так, если
мы в экстенсиве £/=||Л1'*|| заменим каждый элемент Al/k
через
— (Ai/k + AikI) = Am\
то получим экстенсив, симметричный относительно второго
и третьего индексов. Как продолжить этот процесс, совершен-

476 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
но ясно. Для обозначения симметрирования соответствующие
индексы заключаются в круглые скобочки.
Экстенсив называется знакопеременным относительно
двух индексов, если каждая его компонента меняет знак при
транспозиции этих индексов; он называется просто
знакопеременным, если каждая его компонента меняет знак при
транспозиции любых двух индексов, т. е. при любой нечетной
перестановке индексов. Экстенсив Al'k будет
знакопеременным относительно второго и третьего индексов, если всегда
yj'/* Aik*\
Любой экстенсив можно альтернировать, т. е. получить из
него экстенсив, знакопеременный относительно двух индексов
или даже относительно всех идексов. Так, проще всего
альтернировать экстенсив относительно индексов / и k,
заменив каждую компоненту A ifk через
j^ik j^kj __ д [jk]
Альтернирование обозначается прямыми скобочками.
И здесь ясно, как идти в этом направлении дальше.
Грассман пришел к определителям путем
альтернирования экстенсива, элементом которого служило произведение
а1 Ыch... pm.
Такова совокупность идей, которые подготовили почву и
легли в основу замечательного прямого исчисления, которое
охватило векторный анализ как небольшой частный случай и
в своем развитии получило наименование тензорного
исчисления.
10. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Как мы видели выше, экстенсив второго порядка,
составленный из вторых производных ф;/ функции ф^1, х2,..., хп)У
при свертывании с тейлорами дает квадратичную форму
ф«р dxa dx$, не инвариантную при преобразовании
независимых переменных, но из этого экстенсива можно составить
другой —Ф;/ (35), который дает инвариантную форму
Фа§йха dx$. Этот процесс предполагает функцию ф
локализированной в качестве скаляра в риманово пространство с
основной фррмой ga& dxa dx&, коэффициенты которой (гауссы)
входят в состав компонент Фц- Это различие экстенсивов
Ф»у и ®ц послужило для Риччи и Леви-Чивита точкой от-

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
477
правления при установлении того типа экстенсивов, которые
ойи назвали тензорами. Под тензором k-го порядка Риччи и
Леви-Чивита в первую очередь разумеют такой экстенсив &-го
порядка Fi/...т в римановом пространстве п измерений,
который при свертывании с тейлоровым экстенсивом того же
порядка дает инвариантную дифференциальную форму
Fa$...»dxadx&...dx*1; число независимых переменных х19 х2,..., хп,
таким образом, равно п (числу измерений пространства), а
число индексов г, /,..-, m равно k\ число компонент равно nk.
Экстенсив (pt/, таким образом, тензора не образует, а
построенный Риччи экстенсив Фц образует в соответствующем
римановом пространстве тензор второго порядка.
С точки зрения этого определения первые производные (ft
скаляра ф образуют тензор первого порядка, так как они
дают инвариантную форму <padxa = dq>. Но производные ф,- в
евклидовом пространстве суть компоненты вектора —
градиента скаляра ф. Вообще если р-ь суть компоненты вектора,
то в евклидовом пространстве padxa есть
инвариант—скалярное произведение векторов pt и dx£'. В обобщение этого
тензор первого порядка в любом римановом пространстве
называют вектором. К другому замечательному тензору первого
порядка приводит основная риманова форма ga&dxadx&.
Ей, как всякой квадратичной форме, соответствует п
сопряженных линейных форм gaidxa\ если соответственно этому
положим:
dxi = SaLd^> (45)
то в каждой точке величины dxt не только определяются по
значениям дифференциалов dxa, но сами определяют
значения этих, дифференциалов; в самом деле, определитель g
основной формы мы считаем отличным от нуля, и потому из
системы п уравнений (45) дифференциалы dxa определяются
по значениям dxc. Вместе с тем самая основная форма может
быть при этих обозначениях представлена в виде:
ёаЗ ^ ^хЭ = dxb dx%* (46)
Так как основная форма инвариантна, то экстенсив dxn
свертываясь с дифференциалами dxl\ дает инвариант, т. е.
он контраградиентен экстенсиву dxl (см. стр. 457), еще
иначе — он представляет собой тензор первого порядка.
Значения dxi можно рассматривать как своеобразные дифферен-

478 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
циалы координат, которые в нормальном римановом
пространстве (т. е. при g=£ 0) определяются обыкновенными
дифференциалами dxl и сами их определяют. Риччи и Леви-Чи-
вита назвали их ковариантными дифференциалами в отличие
от обыкновенных дифференциалов, которые они для
противопоставления назвали контравариантными.
Дифференциалы dxl можно рассматривать как компоненты бесконечно
малого вектора, выходящего из точки х*\ в новой терминологии
их называют контравариантными компонентами того же
вектора, а величины dx{ — ковариантными его компонентами.
Эти новые своеобразные дифференциалы мы отнесем к тей-
лорам, расширив, таким образом, тейлоровы экстенсивы.
С этой новой точки зрения тейлоровы экстенсивы могут
составляться из одних контравариантных дифференциалов (как
мы это и делали вначале), из одних ковариантных
дифференциалов или из тех и других:
dx£bxJ' ... Qxm (контравариантный тейлоров экстенсив),
dxt&Xj ... Qxm (ковариантный » » ),
dxtbxjrxk ... Qxm (смешанный » » ).
Вот обобщая таким образом понятие о тейлорах и
формально сохраняя прежнее определение тензора, Риччи и Леви-
Чивита тем самым чрезвычайно расширяют это понятие:
тензором называется экстенсив, который при свертывании с тей-
лоровым экстенсивом какого угодно типа дает инвариантную
форму. Таким образом, тензоры, с которых мы начали,
скажем Fifk, дающие инвариантную форму FGpv dxa 6x&bxy,
при свертывании с контравариантными тейлорами,
называются ковариантными тензорами; каждый индекс, по которому
идет свертывание с верхним индексом Дифференциала,
помещается при обозначении компоненты тензора внизу.
Тензор Fijk, который дает инвариантную форму Fa$y dxa блгр Ьху
при свертывании с козариантными тейлорами, называется
контравариантным; наконец, тензор вида F\'/k , который
дает инвариантную форму F%'y dxa ЬхР Ьху, называется
смешанным, и з данном случае именно однажды
контравариантным и дважды ковариантным. Детали наименования и
обозначения отсюда достаточно ясны. Два тензора
называются однотипными, если соответствующие компоненты на
соответствующих местах несут одновременно верхние или нижние

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
479
индексы; так, F-'fk и G-Дсуть однотипные, F]}k и Н}£—
уже разнотипные тензоры. Таким образом, гауссы gif
образуют ковариантный тензор второго порядка — основной
тензор пространства; риманы Gt-/,fe/, как они были
определены выше, образуют ковариантный тензор четвертого
порядка — риманов тензор или тензор кривизны. Христофели
Gjk образуют экстенсив, не представляющий собой тензора К
Эта терминология не везде выдерживается. Она была
введена Риччи и Леви-Чивита в мемуаре в 1901 г. (см. стр. 469);
но многие авторы предпочитают для экстенсивов
установленного типа термин аффиноры, сохраняя наименование
тензоров только для симметричных аффиноров. Но и термину
«аффинор» многие авторы (Схоутен, Стройк, Вейль) в
настоящее время придают более узкое значение, а в
установленном выше широком смысле они предпочитают общий термин
«Grosse» или «geometrische Grosse». Однако Леви-Чивита в
книге, выпущенной в 1926 г., предпочитает остаться при
термине «тензор» в прежнем, общем значении этого слова; мы
склонны его сохранить.
Общие определения грассмановой алгебры
непосредственно приводят к понятию о сумме и разности однотипных
тензоров, причем в результате сложения :\ вычитания получается
всегда тензор того же типа. Сложнее обстоит дело с
перемножением тензоров; оно производится по тому типу
перемножения грассмановых экстенсивов, который мы изложили
в предыдущем параграфе. Оно приводит, таким образом,
всегда к тензорам более высокого порядка. Перемножая тензор
&-го порядка с тензором /-го порядка, получаем в результате
тензор (&+/)-го порядка (например, тензор F\)4 однажды
ковариантный и однажды контравариантный, при
перемножении с тензором F'kv* дважды ковариантным и однажды
контравариантным, дает в произведении тензор пятого
порядка F -/kim , дважды контравариантный и трижды
ковариантный).
Тензор первого порядка, как мы видели, рассматривается
как вектор и тоже может быть задан своими ковариантными
или контравариантными компонентами. Перемножая k
векторов, получаем тензор &-го порядка. Так, например, перемно-
См. дополнение в конце статьи (на стр. 515). (Ред.).

480 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
жая два ковариантных вектора р{ и q/ и три контравариант-
ных rk, sl, tm, получаем смешанный тензор р-д^ЧЧ™.
Такого рода тензор, представляющий собой произведение
векторов, называется мультипликативным тензором.
Не надо, однако, думать, что всякий тензор &-го порядка
представляет собой произведение k векторов. Всё развитие
тензорного исчисления значительно бы упростилось, если бы
это имело место, если бы каждый тензор был
мультипликативным. Учитывая это обстоятельство, Схоутен и Стройк
претворяют каждый тензор в мультипликативный, вводя так
называемые идеальные векторы, путем перемножения
которых можно получить любой тензор. Этот прием ведет свое
начало от известного метода Клебша и Аронгольда в теории
инвариантов. Однако как там, так и здесь этот метод не
может считаться достаточно обоснованным и в тензорной аглеб-
ре может играть только вспомогательную роль для
наводящих соображений К
Знакопеременный тензор второго порядка носит название
бивектора. Если он получается путем альтернирования
мультипликативного тензора, то он называется
мультипликативным, или простым бивектором. Альтернируя произведение
двух ковариантных векторов рс и qjf получим простой
бивектор Рц=Р-Д\ — Pfii- Таким же образом, альтернируя
произведение трех векторов, получаем простой тривектор и т. д.
Все алгебраические операции, устанавливаемые, таким
образом, над тензорами, представляют непосредственное
применение общих идей, содержащихся в алгебре Грассмана. Они
не носят на себе никакого специфического отпечатка
тензорного исчисления помимо того, что сумма или произведение
тензоров всегда представляет собой также тензор. Но
дальнейшее развитие опирается на основную теорему, уже
специфически вытекающую из тензорного характера экстенсива.
Положим, что мы имеем смешанный тензор &-го порядка,
F-k'i'm ; выбрав один из верхних индексов, например /,
ассоциируем ему какой-либо нижний индекс, скажем, /, и
произведем по этим двум индексам свертывание, т. е. составим
сумму F^'k'am- Результат будет содержать уже только
(k—2) индексов; основное предложение, о котором мы гово-
1 Введение идеальных векторов может быть обосновано вполне
строго; см., например, 'Г. Б. Г у р е в и ч. Основы теории алгебраических
инвариантов (§ 18). Гостехиздат, М.—Л., 1948. (Ред.).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
481
рим, заключается в том, что получаемый таким образом
экстенсив F-km=FL-kdm представляет собой тензор (k—2)-го
порядка, причем оставшиеся индексы сохраняют свои
места (наверху или внизу). Этот процесс называется
свертыванием тензора по двум ассоциированным индексам.
Теперь мы можем произвести новое свертывание,
ассоциировав какой-либо из оставшихся верхних индексов с нижним.
Каждое свертывание понижает порядок тензора на две
единицы. Если порядок тензора выражается четным числом 2k и
тензор имеет k верхних и k нижних индексов (тензор k раз
ковариантный и k раз контравариантный), то после k
свертываний мы получим скалярный инвариант.
Все эти соображения еще не находятся в прямой
зависимости от риманова пространства, в котором локализованы
тензоры (помимо различения ковариантных и контравариант-
ных тензоров). Мы теперь переходим к последней части
тензорной алгебры, которая на это именно обстоятельство
существенно опирается.
В основе этой части лежит следующее предложение.
Гауссы пространства gC]-, как мы видели, образуют ковариантный
тензор второго порядка, причем определитель g отличен от
нуля. Приведенные миноры glf определителя g (т. е.
миноры, разделенные на значение самого определителя, см.
выше) представляют собой контравариантный тензор второго
порядка. Это предложение в связи с умножением и
свертыванием тензоров приводит к своеобразному процессу, который
Вейль остроумно назвал «жонглированием индексов». Он
заключается в том, что заданный тензор всегда можно
преобразовать таким образом, чтобы любой верхний индекс
«опустился», т. е. занял нижнее место, и наоборот. Возьмем,
например, тензор четвертого порядка с компонентами F ..mn
(дважды контравариантный и дважды ковариантный);
помножив его на основной тензор g(/-f получим тензор gijF,,mn
(четырежды ковариантный и дважды контравариантный).
Теперь свернем этот тензор по индексам / и k. Мы вновь
получим тензор четвертого порядка:
* i . mn~- gla* . .mm \^Ч
в котором, однако, вместо верхнего индекса k появился
нижний индекс L Чтобы, далее, опустить индекс /, помножим
полученный тензор вновь на gkj\ получим gkjF:rm'n и свер-

482 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
нем его по индексам k и /; получим тензор четырежды кова-
риантный:
*а/ЯГ™. (48)
Чтобы обратно поднять, скажем, индекс т вверх,
помножим этот тензор на контравариантный основной тензор gPQ\
получим тензор gpq Fijmn; свернув его по индексам q и т,
получим:
F;;pn=gpaFi/an. (49)
Таким образом, каждый из индексов может быть помещен
вверху или внизу, по усмотрению. Каждый тензор k-vo
порядка может быть поэтому выражен в 2k формах, которые
рассматриваются как различные способы задания одного и того
же тензора.
Основной тензор мы уже знаем в двух формах — в ковари-
антной gij и контравариантной gkl; чтобы привести его
к смешанному виду, составим их произведение gif gkl и
свернем, скажем, индексы / и /; получим gi =giagka- Но так
как gV есть приведенный минор элемента gtj в
определителе g, TO g/agka = l При k = in giagka = 0 ПрИ Ьф1.
Мы получаем, таким образом, своеобразный смешанный
тензор g\, который при любой системе референции имеет
постоянные значения: 1 при i = k и 0 при i=£ k\ такой тензор
мы будем называть выродившимся тензором. Умножая его на
вектор, получаем выродившийся тензор третьего порядка
Fvi = giPh который в чисто ковариантной форме имеет
вид gik Pt. Можно поэтому сказать, что выродившийся
тензор третьего порядка есть произведение основного тензора на
вектор; он сохраняет это название и в том случае, когда он
альтернирован.
Положим теперь, что тензор F задан одной из своих
2k форм, скажем Fi.k- Другой тензор £, того же порядка,
может быть также задан в 2k формах. Если мы эту форму
выберем так, чтобы каждому индексу тензора, занимающему
нижнее место, соответствовал верхний индекс тензора F, и
наоборот, то мы будем говорить, что два тензора заданы
в дополнительных формах; так, приведенной выше форме
задания тензора F соответствует для тензора Е
дополнительная форма задания Е\)\. Теперь свернем оба тензора до
конца по соответствующим индексам: F%y E'£\\ получим

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
483
скаляр. Можно доказать, что скаляр этот не зависит от
того, в каких формах заданы тензоры, лишь бы это были
формы дополнительные. Так, для наших тензоров F и Е скаляр
F'ah'v E..y. имеет то же значение, что и полученное выше. Этот
скаляр называется скалярным произведением двух тензоров.
Если мы возьмем два вектора F{ и Е1, то их скалярное
произведение равно FaEa. Так как Ft = gi$F&f то FaEa = ga$FaEV,
т. е. совпадает со скалярным произведением, как его
понимали в векторном исчислении. Мы имеем, таким образом,
обобщение понятия о скалярном произведении векторов на
любые тензоры. Скалярное произведение тензора на самого
себя, например Fa^yFa^y9 называется нормой этого тензора.
Можно показать, что при определенной положительной
основной форме ga& dxa dx& норма всякого тензора имеет
положительное значение. Норма вектора есть квадрат его длины.
Положительное значение квадратного корня из нормы
называется модулем тензора.
Перемножение векторов часто бывает полезно
сопровождать альтернированием. Альтернированное произведение
векторов Ft и Ej имеет компонентами FtEf — FjElf которые
обыкновенно обозначают символом Fy Е/у9 прямые
.скобочки служат знаком альтернирования по тем индексам, которые
в эти скобки включены. Это альтернированное произведение
представляет собой простой бивектор; его диагональные
компоненты равны нулю, число же независимых его компонент
п( п — 1) ~ 0
есть ——-—- . В трехмерном пространстве это число равно 3,
и это обстоятельство дало возможность заменить бивектор
обыкновенным вектором. Скрывающаяся здесь особенность
была замечена давно, и такого рода векторы были названы
«осевыми» в отличие от обыкновенных «полярных» векторов.
Общая алгебра тензоров проливает на это полный свет.
То, что в векторном исчислении называли векторным
произведением векторов, есть не что иное, как бивектор,
представляющий собой альтернированное их произведение.
Альтернированное произведение трех векторов представляет собой
тривектор и т. д.
Мы видим, таким образом, что все основные понятия и
операции векторной алгебры получили обобщение и
естественное развитие в тензорной алгебре, охватившей векторную
алгебру как простейший частный случай. Мало того, идеи, кото-

484 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
рые связывались неразрывно с евклидовой геометрией,
перенесены в любое риманово пространство. По существу все эти
идеи уже были развиты в основном мемуаре Риччи и Леви-
Чивита 1901 г. Дальнейшая литература содержит ллшь
дополнения второстепенного значения.
11. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
С точки зрения установленных таким образом новых
понятий Риччи и Леви-Чивита подошли к тем вопросам, которые
послужили импульсом к построению тензорного анализа. Если
Ф есть скаляр, то d(p = cpadxa есть инвариант. Следовательно,
производные ф; = —-у- образуют ковариантные компоненты
тензора первого порядка, градиента функции ф.
С другой стороны, вторые производные %j не дают
инвариантной формы <pa&dxa dx&,r. е. не образуют тензора второго
порядка. Но, как мы видели (см. стр. 468), Риччи показал,
что экстенсив
представляет собой симметричный ковариантный тензор
второго порядка, так как он дает инвариантную форму
Oapdx0, dx&. Здесь ф, есть компонента градиента функции ф.
Дальнейшее обобщение этого результата заключалось в том,
что для любого ковариантного вектора (Xt) экстенсив
образует ковариантный тензор второго порядка. Этот тензор
Риччи и Леви-Чивита назвали абсолютной производной
ковариантного вектора Xt\ это выражают в настоящее время
положением
*|/ = УЛ = -|7--ФГх. (50)
Отсюда уже легко перейти формальным преобразованием
к составлению контравариантных компонент той же
производной и к абсолютной производной контравариантного вектора;

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
485-
именно ковариантная компонента X/ абсолютной
производной вектора X1 выражается формулой
Х1 = ЪХ1=-^Г+<ЪХХ- (51)'
Неудачен только термин «абсолютная производная». Мы
имеем здесь именно производную относительную —
производную, отнесенную к тому риманову пространству, которое
определяется основной формой ga$ dxa dx$: христофели этой
формы фигурируют в выражении производной.
Следующим шагом должно было служить составление
производных от тензоров высших порядков. Риччи и Леви-
Чивита руководствовались при этом презумпцией, что
производная произведения должна составляться по обычным
правилам дифференцирования произведений, и в соответствии
с этим начинали с составления производной
мультипликативного тензора второго порядка X ц = XCYу.
X,*/ = V/Xi* = V/ (XtYk) = Xt Jjj£ - Xflbr*. +
+ П -ту- - Yfii,Xk = -^f - Ф/Ха - GfjXu- (52>
dxJ dxJ
Результат, таким образом, не содержит отдельных
множителей Xt и К/, а содержит только компоненты тензора ХГг.
Напрашивается предположение, что полученное
выражение (52) всегда, т. е. и в том случае, когда Х(1- есть тензор
немультипликативный, представляет собой тензор третьего
порядка; простое исследование это вполне подтвердило.
Дальнейшее развитие этих идей совершенно ясно: были
установлены производные тензоров высших порядков таким
образом, что дифференцирование тензора й-го порядка
приводит к тензору (&+1)-го порядка. Распространение этих
идей на тензоры всех типов представляло уже чисто
формальное преобразование. Такими же формальными
преобразованиями было обнаружено, что тензорные производные суммы,
разности, произведения составляются по тем же правилам,
как и в классическом анализе. Производная основного
тензора всегда равна нулю:
V;ft* = 0. (53)

486 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
В этом, если не непосредственно, то по существу
коренится источник исчезновения третьего члена в римановом
разложении (15), отсутствия первого поколения, следующего за
гауссами, на что мы уже указывали выше.
Альтернирование и симметрирование тензорных
производных приводит к новым операторам, представляющим собой
обобщение тех, которые характерны для векторного
исчисления. Так,
v£' >1 дх' дх1 V '
Мы, таким образом, естественно приходим к вихрю
вектора, выражение которого, как оказывается, от основной формы,
от характера риманова пространства воЬсе не зависит.
Дальнейшее развитие этих идей приводит к более сложным
операторам, на которых здесь останавливаться невозможно.
Наиболее существенной особенностью тензорного
дифференцирования является то обстоятельство, что порядок
дифференцирования влияет на его результаты. Теорема о порядке
дифференцирования скаляра
д ду д дф ^
дх1 дх' dxJ дх1
может быть представлена в виде:
Но если мы от скаляра перейдем к векторам, т. е.
составим альтернированную вторую производную от вектора Xkiro
результат оказывается отличным от нуля. Эта
альтернированная производная оказывается линейной функцией от
компонент вектора, т. е. может быть представлена в виде
суммы GVXV , где коэффициенты Gv зависят, конечно, от
индексов U k, l, определяющих производную. Давая этому явное
выражение, получим:
V[A^** = Glik ?*v
Так как слева мы имеем ковариантный тензор третьего
порядка, a Xv есть произвольный ковариантный вектор,
то Glik представляет собой тензор четвертого порядка.
Прямое вычисление его компонент обнаруживает, что это есть не
что иное, как риманов тензор, заданный только в
компонентах, трижды ковариантных и однажды контравариантных.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
487
Основные тождества (17) и (26) теперь принимают простую
форму
Giyj£ = 0, Gp,'^ = 0, (55)
а тождество Бианки (28) имеет вид:
Vr-Gfoi? = 0.
Так развернулся анализ, который формально в щироких
пределах следует правилам дифференциального исчисления,
но объектом своим всегда имеет тензоры и в результате
дифференцирования приводит к тензорам более высокого
порядка.
Как уже указано, тензорный анализ был в существенной
своей части построен Риччи и Леви-Чивита и опубликован
ими в мемуаре 1901 г. Ему не было уделено достаточно
внимания, и в начале десятых годов текущего столетия эти идеи
были мало кому известны. Они возродились к новой жизни,
когда Эйнштейну в ходе развития общей теории
относительности понадобилось орудие, дающее возможность составлять
инвариантные дифференциальные уравнения физических
явлений, т. е. такие уравнения, которые не зависят от системы
референции. Эти средства он нашел в тензорном анализе,
которому он уже в 1913 г. в сотрудничестве с М. Гроссманом
дал новое развитие К Развитие теории относительности было,
таким образом, тесно спаяно с тензорным анализом, и в
первые годы после появления названного мемуара его
разработкой занимались преимущественно физики и астрономы.
Основная работа Эйнштейна 1916 г.2 содержала уже чрезвычайно
изящное, краткое, но углубленное изложение тензорного
анализа, сохраняющее свое классическое значение до настоящего
времени. За ним последовали обстоятельный реферат Паули
в «Энциклопедии математических наук»3 и хорошо известные
книги Вейля4 и Эддингтона5. С этого времени тензорный ана-
1 См. сноску 3 на стр. 438.
2 См. сноску 4 на стр. 438.
3 W. P a u 1 i. Relativitatstheorie. «Enzykl. der math. Wiss.». Выпущено
также отдельным изданием (Leipzig, 1921). [Русский перевод: В. Паули.
Теория относительности. Гостехиздат, М.—Л., 1947, VII. (Ред.).]
4 Н. W е у 1. Raum, Zeit, Materie, Berlin, 1918; 5-е изд., значительно
переработанное, выпущено в 1923 г.
b A. E d d i n g t о n. The mathematical theory of Relativity.
Cambridge, 1923. [Русский перевод: А. С. Эддингтон. Математическая теория
относительности. М.—Л., 1933. (Ред.).]

488 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
лиз постепенно откалывается от физики и в ряде сочинений
получает самостоятельное развитие. Появляется ряд
обстоятельных сочинений по тензорному исчислению, даже прямые
учебники 1. В какой мере тензорное исчисление завоевало себе
место в прикладных дисциплинах, можно судить по тому, что
Аппель нашел нужным выпустить изложение тензорного
анализа в виде пятого тома «Курса механики»2.
12. РАЗВИТИЕ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ СРЕДСТВАМИ
ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
С Декарта геометрия развивалась аналитическими
средствами в координатах. Дифференциальная геометрия Гаусса и
Римана принесла с собой ту особенность, что все
геометрические величины, которые рассматривала классическая
геометрия,— длины, углы, площади, объемы — по данной основной
квадратичной форме были выражены общими формулами, не
зависящими от выбора координат, а геометрические
отношения— инвариантными уравнениями. Таким образом,
дальнейшее развитие римановой геометрии требовало углубленных
общих методов для составления инвариантов и инвариантных
уравнений, которые сопутствуют основной дифференциальное
форме, определяющей пространство. Тензорное исчисление
принесло с собой общие методы доставления таких
инвариантов— алгебраических и дифференциальных.
Два положения играют здесь основную роль. Во-первых,
скалярное произведение двух тензоров представляет собой
инвариант; инвариантными поэтому остаются также норма и
модуль тензора. Во-вторых, если компоненты тензора все
обращаются в нуль в одной системе координат, то они
обращаются в нуль и в любой другой системе референции;
приравнивая поэтому тензор нулю, мы получаем инвариантное урав-
1 Наиболее обстоятельным из этих сочинений является книга:
J. Schouten. Der Ricci-Kalkul, 1924. Более доступное изложение
предмета содержат сочинения: Т. L e v i-C i v i t a. Lezioni di calcolo dif-
ferenziale assoluto. Roma, 1925. Особенно хорошо и обстоятельно изложено
это сочинение в его немецкой обработке: Т. Lev i-C i v i t a. Der
absolute Differenzialkalkiil, Berl., 1928; J. В. Р о m e y. Principes de calcul vectoriel
et tensoriel. Paris, 1923; T. J. Thomas. The elementary theory of tensors.
New York and London, 1931; McConnell. Application of the abso-
lut Differential calculus. London, 1931. [К этим сочинениям необходимо
добавить книгу П. К. Рашевского, см. сноску на стр. 4Э7. (Ред.).]
2 Р. А р р е 1. Traite de Mecanique rationelle, t. V. Elements de calcut
tensoriel. Applications geometriques et mechaniques.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
489
зение или инвариантную систему уравнений. На этом
основаны все приложения тензорного исчисления к развитию рима-
новой геометрии.
Если (dxl, dx2, ..., dxn) есть линейный элемент, выходящий
из точки М, то норма этого вектора ga&dxadxP выражает
квадрат его длины ds2. Впрочем, норма действительно дает
для ds2 всегда положительное значение только в том случае,
•если основной тензор glf приводит к определенной
положительной квадратичной форме. Риман это всегда предполагал,
и такие пространства поэтому называются собственно рима-
мовыми. В случае же, когда ga$dx?djfl есть неопределенная
форма, мы получаем, приравнивая ее нулю, инвариантное
уравнение
g^dxodxt^O,
которым определяется конический пучок линейных элементов.
Этот конус разделяет окрестность точки М на две полости:
в одной из них ds2 имеет положительное значение, в другой —
•отрицательное. В первой полости элементу приписывается
положительная длина ds, во втором—мнимая ds=ids'(ds'>0).
Проходящая в таком пространстве кривая может иметь на
всем протяжении положительную длину или на всем
протяжении мнимую, или положительную длину на одних участках
и мнимую на других. Игнорировать риманову геометрию
с неопределенной основной формой нельзя уже потому, что
именно с этим типом римановой геометрии мы встречаемся в
теории относительности. Однако в дальнейшем мы будем
иметь в виду преимущественно собственно римановы
пространства, поскольку не будет оговорено противное.
Пусть (dxl) и (бх') будут два* элемента длины (два
бесконечно малых вектора), выходящие из точки М. В
собственно римановом пространстве отношение их скалярного
произведения ga$ dxa 6jcp к произведению их длин ds 6s
представляет собой правильную дробь, остающуюся инвариантной при
преобразовании координат. Поэтому уравнением
gnR dxa дх$
cosfl = -^ (56)
ds ds
инвариантно определяется число Ф — угол между этими
двумя линейными элементами; число Ф не меняет своего
значения, если заменим (dxl) и (6*0 через (hdx*) и (h'bx*).

490 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
где h и h-—произвольно выбранные положительные числа;
таким образом, Ф есть угол собственно не между векторами
(dx1) и (6x0, а между определяемыми ими направлениями.
Эти идеи, ведущие свое начало еще от Римана и Бельтра-
ми, теперь получают чрезвычайно широкое развитие. Те же
два элемента (dx1) и (6х1) определяют бесконечно малый
параллелограмм и бивектоо dxV 8лЛ= dx1 bxj — dxJ' Ьх£. В
евклидовом пространстве модулем этого бивектора
определяется площадь параллелограмма, построенного на векторах
(dx1) и (8лг7); в соответствии с этим половина этого модуля
принимается в любом римановом пространстве за площадь
треугольника, определяемого теми же линейными элементами.
Этим установлен элемент площади двумерного образа в
любом римановом пространстве, и, таким образом, достигается
возможность путем интегрирования вычислить площадь
любого ограниченного двумерного образа.
Тот же бивектор имеет и другое значение. Если линейные
элементы dx* и 6х1 не коллинеарны (т. е. не имеют места
равенства вида dxi = hbxi при произвольном i), то линейная
форма
Ъх* = ае1х* + Ь6х'
определяет при всевозможных значениях коэффициентов
а и Ь одномерное многообразие направлений, выходящих из
точки М и образующих двумерный элемент в нашем Rn. Если
мы возьмем два любых вектора, принадлежащих этой
площадке,
Ьх* = adx' + b Ьх£ и хх' = a'dx1 + bf6xJ,
то определяемый ими бивектор
fop т*Л = fo' хх* — fo' хх1 = (abf — a'b) (dx1 Ы — dx* bxl)
отличается от бивектора dx& 6x/] только постоянным
множителем ab'—a'b. Такие два бивектора мы называем сонаправ-
ленными и притом обращенными в одну и ту же сторону, если
этот множитель положительный, и обращенными в
противоположные стороны, если этот множитель отрицательный.
Таким образом, каждому двумерному элементу, проходящему
через точку М, отвечают только сонаправленные бивекторы.
Положим теперь, что через точку М проходят два двумерных

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
491
^элемента. Возьмем произвольно два бивектора: один на одной
площадке, а другой — на другой. Разделив скалярное
произведение этих бивекторов на произведение их модулей, мы
получим правильную* дробь. Эта дробь не только инвариантна
при преобразовании координат, она не зависит также и от
того, как выбран бивектор на каждой площадке. Этой дробью
определяется косинус угла между этими двумерными
элементами. Заметим, что бивектор площадки всегда можно выбрать
таким образом, чтобы составляющие его векторы были
взаимно перпендикулярны; при этом один из них может быть взят
произвольно, а другой уже однозначно определяется (до
направления в одну или другую сторону).
Дальнейшее развитие этих идей напрашивается само
собой. Три линейных элемента, выходящие из точки Ми не
лежащие в одной двумерной площадке, определяют трехмерный
элемент, проходящий через точку М. Вместе с тем они
определяют тривектор. Модуль этого тривектора, разделенный
на 6 (т. е. 3!), дает объем пирамиды, ребрами которой
служат исходные три вектора. Два тривектора, этим путем
образуемые в одном и том же трехмерном элементе, всегда сона-
правлены. Тривектор данного элемента всегда может быть
составлен из трех взаимно перпендикулярных векторов
(может быть ортогонирован)\ и если два взаимно
перпендикулярных вектора выбраны, то третий, к ним перпендикулярный,
определяется (по направлению) однозначно. Если через
точку М проходят два трехмерных элемента, то косинус угла
между ними определяется отношением скалярного
произведения их тривекторов #к произведению модулей этих
тривекторов.
Дальнейшее обобщение этих идей тривиально.
Совершенно ясно, что этим путем устанавливается метрика любого ри-
манова пространства во всем многообразии его образов.
Здесь нужна, однако, оговорка. В этом порядке идей
получили непосредственное обобщение все те элементарные
инварианты, которыми оперировала классическая геометрия.
Не лишено, однако, возможности, что метрика многомерного*
пространства дает место и существенно новым инвариантам;
так, угол между многомерными площадками не определяет их
положения друг относительно друга, и для его установления
нужны еще другие угловые инварианты.
Следующим отделом дифференциальной геометрии
является учение о геодезических линиях. В римановом прост-

-492 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
ранстве геодезическая линия определяется вариационным
уравнением
■iVi
gapdxadxt = 0.
Классическими методами отсюда получаются известные
дифференциальные уравнения геодезических линий
+ 6^-^—v- = 0, t = 1,2, 3, ... ,/z. (57)
ds2 ds ds
По геометрическому своему значению эта система
дифференциальных уравнений непременно должна быть
инвариантна; в чем же заключается аналитический источник этой
инвариантности?
Положим, что в нашем пространстве Rn проходит
некоторая кривая х*=х*(s), где 5 — длина дуги кривой, отсчитывае-
dx
мой от некоторой точки О на ней. Производными опре-
ds
деляется вектор, модуль которого равен единице. Этот
единичный вектор мы будем обозначать через t и будем
называть тангенциальным вектором в данной точке кривой.
Тензорное дифференцирование в нашем пространстве приводит
от вектора X с контравариантными компонентами X1 к
тензору второго порядка, смешанные компоненты которого
определяются формулами (51). Этот тензор свернем с
тангенциальным вектором (—-)'» мы получим вектор Xх, компоненты
которого
v,£ vt dx& дХ1 dx$ . ri Va dx$ dx1 ri v dx?
x =Xp-^=i^^r+G«pX e-*r =-£-+ °*Ae-A-•
Этот вектор мы будем называть производной от вектора
Х\ взятой в направлении нашей кривой. Мы будем его
обозначать через Х'или через . Если за X примем вектор t, то
ds
его производная =t будет иметь компоненты
ds
*П dti . ri 4a d^ d*xt I Г* ^ d^
Этот вектор t' перпендикулярен к вектору t, ибо t2=l и
.потому tt' = 0; его называют главным нормальным вектором

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
493
кривой в данной точке. Уравнения (57) выражают, что на
геодезической кривой главный нормальный вектор равен нулю в
каждой ее точке. В этом тензорном характере уравнений,
которые можно записать просто в форме t'=0, кроется источник
их инвариантности.
На негеодезической кривой модуль а вектора f вообще
отличен от нуля (т. е. обращается в нуль разве лишь в
отдельных точках); это число а называется кривизной кривой в
соответствующей точке. Единичный вектор, сонаправленный
с вектором t', обозначим через tb так что t/=>ati. Вместе с тем
бивектор [ttx]=cr[t11 ]. Вектор t1 определяет направление
кривизны (радиуса кривизны) в точке М кривой.
Пусть теперь t" будет производная вектора V по кривой,
т. е. пусть t"=—. Теперь тривектор [t,t',t"] однозначно орто-
ds
тонируется до единичного тривектора [t, tbt2] и тогда из
уравнения
[tft/fH = aicT1[tftlft,]
определяется вторая кривизна в\ кривой в точке М. Иначе,
если Ti есть модуль тривектора [t, t', t"], то вторая кривизна
определяется уравнением ti = g2g\\ это приводит в случае
евклидова пространства к обычному значению второй
кривизны, как это определяется в классической геометрии. Радиусу
второй кривизны присваивается направление t2.
Дальнейшее развитие этих идей напрашивается само
Собой. Составляем третью производную Y" = — и квадри-
вектор [t, t', t", t"1; последний определяет четырехмерную
площадку, в состав которой входит тривектор [t, tbt2].
Исходя из этого тривектора, мы ортогонируем наш квадри-
вектор и полагаем
[tft/frfr] = oeofa2[t>t1>ta>t8];
здесь <Т2 есть третья кривизна кривой в точке М, a t3 —
направление радиуса третьей кривизны. Вместе с тем уравнение
для определения сгг может быть написано в форме
т2 = &d\a2,
где т2 есть модуль квадривектора [t, V, t", t'"].

494 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
В этом порядке в каждой точке М кривой в n-мерном
пространстве Rn тангенциальный вектор однозначно дополняется
до ортогонального /г-вектора [t, ti, t2,..., fcz-i], который в
дальнейшем развитии дифференциальной геометрии риманова
пространства должен играть ту же роль, что и триэдр Дарбу
в классической геометрии. Векторы tx,t2, t3, ...,tn-i определяют
направления радиусов рь р2, рз,-, P/z-i кривизн 0i, <72, аз,...,
сгл_1, при этом РЛ=1. Три последовательных, вектора tj_i,
tt-, tz+i связаны соотношением
db j. x
—- = aftt+i — ty-14-ь
as
обобщающим известные формулы Серре — Френе
дифференциальной геометрии.
Если Rm расположено в пространстве Rn (m<n), то
уравнениями
х! = % (z\ z\...y zm),
определяющими это Rm з параметрах zl, 22,..., zm и основной
формой нашего Rnds2 = ga& dx0, dxP определяется так
называемая наведенная основная форма ds2 = hxii dz^ dz^ в этом
Rm, а вместе с тем определяется и его наведенная метрика.
В частности, кривой, расположенной в Rm> этим присваивается
наведенная кривизна в каждом из (т—1) направлений
основного ортогонального m-вектора. Соотношения между
наведенной и «абсолютной» кривизной (т. е. кривизной в Rm
и Rn) приводят к широкому развитию теорем Эйлера и Менье.
Останавливаться подробнее на развитии этих идей не
позволяют ни время, ни место. Обратим лишь внимание на
задачу о геодезических многообразиях.
Многообразие Rm называется геодезическим в Rn, если
каждая геодезическая линия в Rm есть в то же время
геодезическая линия объемлющего пространства Rn. В евклидовом
пространстве плоскость есть единственная геодезическая
поверхность. Риччи показал, что каждому R т отвечает лежащий
в нем тензор третьего порядка Ну, *, исчезновение которого
есть условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
это Rm было геодезическим многообразием К
1 См. G. R i с с i. Sulle superficie geodetiche in una varieta qualunque
in particolare nella varieta a tre dimensione, «Rend. Academia dei Lincei»,
(5), 12, 1903.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
495
Весь цикл вопросов, до сих пор рассмотренных,
разрешается без помощи риманова тензора. Последний появляется
в учении о кривизне самого пространства Rn.
Прежде всего новое освещение получил весь замысел
самого Римана. Если возьмем риманов тензор в ковариантных
компонентах G\/, ы и определим двумерный элемент
бесконечно малыми векторами {dxl)y (6xf), то свертывание дает
нам инвариант GaK зм- djfi dxP 6хх 6х*. Это — результат Хри-
стофеля, формулированный в параграфе 5 (стр. 459 (23)).
Вследствие соотношений (55), не отличающихся по существу
от (17), этот инвариант совпадает со вторым членом в правой
части равенства (16а), как это было указано еще Риманом.
Разделяя этот инвариант на квадрат площади треугольника,
определяемого нашими двумя линейными элементами, мы
получаем риманову кривизну пространства в данной точке и в
данном двумерном элементе, через эту точку проходящем; это
есть скаляр, представляющий собой отношение двух
бесконечно малых инвариантов четвертого порядка.
Если теперь возьмем некоторое Rm в нашем
пространстве Rn> то наведенная основная форма приводит также к
риманову тензору многообразия Rm в пространстве Rn. Мы
получаем теперь возможность сравнивать в каждой точке и в
каждом двумерном элементе, через нее проходящем, кривизну
многообразия Rm с кривизной самого пространства Rn в той
же точке и в том же элементе. Сравнение этих кривизн
привело Риччи к понятиям об абсолютной, относительной и
наведенной кривизне многообразия Rm. Эти различные виды
кривизны суть инварианты изгибания многообразия Rm9 и
классическая задача об изгибании поверхностей получает
теперь широкое развитие.
Тензорный характер риманов естественно приводит,
однако, к новому развитию учения о кривизне. Написав
компоненты риманова тензора в смешанной форме Gi},k.f мы можем
свернуть его по индексам I и /; мы получим тензор второго
порядка Gjk = Gy/,'k.. Этот тензор часто называют тензором
Риччи, который пришел к нему еще в 1904 г. Выбрав теперь
произвольный линейный элемент, составляем инвариантную,
форму Gap dxa dxP\ деля ее на ds2> получаем инвариантное
число
п dxa d*P
^aft—— —-— •
<te ds

496 IV- РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Это — кривизна пространства в направлении, этим
элементом определяемом. Наконец, если возьмем компоненты
тензора Риччи в смешанной форме G{[ , то свертывание приведет
к скаляру G = Ga? — скалярной кривизне пространства в дан-
ной его точке. Эйнштейн очень искусно использовал все эти
новые понятия в своем построении; дал ли он им правильное
физическое истолкование или нет, должна будет решить
физика. Герглоц дал геометрическое истолкование этих
понятий К Мы не будем здесь на этой интерпретации
останавливаться, чтобы сохранить время для более важных моментов
на пути развития идей Римана.
Обстоятельное изложение римановои геометрии
средствами тензорного анализа дано Стройком 2. Его книга содержит
чрезвычайно обширный и тщательно разработанный
материал; он довел символизм до таких крайних пределов,
что изучение этого сочинения связано с большим трудом.
Более свежая книга Эйнзенхарта 3 несравненно доступнее;
она охватывает даже больший цикл вопросов, но в гораздо
менее детальной обработке. Вышел из печати заключительный
выпуск III тома «Математической энциклопедии»,
составленный Бервальдом и содержащий учение о дифференциальных
инвариантах в геометрии, а вместе с тем и обзор развития
римановои геометрии4. Наконец в 1928 г. появилось
обстоятельное сочинение по римановои геометрии, принадлежащее
одному из наиболее выдающихся современных геометров —
Картану 5.
1 G. Н е г g 1 о t z. Zur Einsteinschen Gravitationstheorie. «Sitzungsbe-
richte der Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften», 68, 1916.
2 D. J. Struik. Grundzuge der rnehrdirnensionalen Differentialgeo-
metrie in direkter Darstellung. Berlin, 1922. См. также: Схоутен и
Стройк. Введение в новые методы дифференциальной геометрии, т. II.
3 L. P. Eisenhart. Riemanian geometry. Princeton, 1926. [Русский
перевод: Л. П. Э й з е н х а р т. Риманова геометрия. Гостехиздат, М.,
1948. (Ред.)].
4 L. Berwald. Differentialinvarianten in der Geometrie. Riemannsche
Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen. «Enzyklopadie der Ma-
them. Wissensch.», Ill, D. 11, 1927.
5 E. С а г t a n. Lemons sur la geometrie des espaces de Riemann.
Paris, 1928. [Русский перевод: Э. К а р т а н. Геометрия римановых
пространств. (Ред.)]. См. также: Д. С а г t a n. La geometrie des espaces de
Riemann. Memorial des sciences -mathematiques. Fasc. IX. Paris, 1925.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
497
13. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ
В евклидовом пространстве в декартовых координатах все
христофели равны нулю, а потому тензорная производная
вектора обращается в обыкновенную его производную:
Производная вектора X по кривой (X') представляет
собой —в классическом значении этого термина в векторном
ds
исчислении, т. е. предел отношения АХ [приращения
вектора X при переходе из точки M(s) в точку M'(s-\-As)] к As.
Можно ли придать то же значение производной и в римано-
вом пространстве?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно прежде всего
проанализировать, что представляют собой числитель и
знаменатель этого отношения в римановом пространстве. Впрочем,
знаменатель здесь имеет то же значение — приращение длины
дуги кривой As при переходе от точки М к точке М'.
Числитель АХ должен представлять разность приложенных в
точках М' и М векторов:
AX = X(s + As) — X(s).
Однако тензорное исчисление устанавливает разность двух
тензоров (в частности, векторов) путем вычитания
соответствующих компонент только для того случая, когда оба
тензора приложены к одной точке; это находится в полном
соответствии с правилом Грассмана. Разность тензоров, даже
векторов, приложенных в двух различных точках, не
установлена. В евклидовой геометрии исход находится очень просто:
вектор X(s) переносится параллельно самому себе в
точку M'(s-\-As)t и после этого требуемую разность нетрудно
построить и вычислить. При таком перенесении вектора
компоненты его в декартовых координатах не изменяются. В
других координатах дело обстоит иначе: если X1' суть контрава-
риантные компоненты вектора в точке .M(s), то по
перенесении его в точку M'(s-\-As) его компоненты получают значения:
Х1-в^ХаАх* или Х' — &<фХ*(1хР,

498 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
если отбросить бесконечно малые более высоких порядков.
С другой стороны, вектор поля, приложенный в точке ЛГ,
имеет координаты X1 + dXl\ таким образом, разность векторов
имеет компоненты:
АХ' = (X* + dX*) — (Х<* — G^X" djfi) = dX* + G^X* dx*. (58)
Этот результат послужил для Леви-Чивита 1 точкой
отправления для перенесения этих идей в любое риманово
пространство.
Леви-Чивита принимает, что в любом римановом
пространстве разность между двумя смежными векторами поля,
т. е. между векторами, приложенными в точках М(х1) и
М'(х*-\-dxl), выражается формулой (58). Это равносильно
тому, что в любом римановом пространстве допускается
параллельное перенесение вектора X1 из точки М в точку М'
и что оно приводит к приращению его координаты X* на
— GapXa<£r, как в выражении (58). Сообразно этому на хри-
стофели Gap Леви-Чивита смотрит как на компоненты
параллельного перенесения. Это соглашение приводит к двоякому
результату. Во-первых, на производную —— мы теперь деи-
ds
АХ
ствительно можем смотреть как на предел отношения —-
совершенно так же, как в классическом анализе. Во-вторых, в
векторном поле вектор, приложенный в точке М'(х* -\-dxl),
представляет собой только результат перенесения вектора X*
из точки М, если
dX* + GapXa dx$ = 0, i = 1, 2, ... , п. (59)
Еще иначе: п уравнений (59) распадаются на п2
уравнений:
-^+Ga/X« = 0. (60)
OXJ
Если в некоторой точке поля эти соотношения
удовлетворены, то векторы поля, приложенные в любой бесконечно
малой окрестности точки М, представляют собой результат
1 Т. Levi-Civita. Nozione di parallelismo in una varieta qualunque
e consequente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana. «Ren-
diconti del Circolo mat. di Palermo», 42, 1917.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
499
параллельного перенесения вектора, приложенного в точке М.
Если эти соотношения имеют место во всем поле, что все
векторы поля «равны», т. е. каждый из них представляет собой
результат параллельного перенесения во все точки поля
одного и того же вектора. В силу соглашения,
устанавливающего понятие о параллельном перенесении вектора, в
дифференциальном исчислении, отнесенном к любому риманову
пространству, утверждается теорема, что вектор, производная
которого во всем поле равна нулю, имеет в этом поле
«постоянное значение», т. е. векторы этого поля равны в том
смысле, что каждый из них представляет собой результат
перенесения в соответствующую точку любого вектора поля.
Однако вывод, что этим путем однозначно установлено
правило для параллельного перенесения вектора в любом рима-
новом пространстве из одной точки Мо(х*о) в любую другую
точку Mi(xli), оказывается поспешным. В самом деле, если Хо
есть вектор, приложенный к точке М0> и мы желаем разыскать
компоненты вектора, который представляет собой результат
перенесения вектора (Х0 ) в точку Ми то мы должны
интегрировать систему уравнений (60) при начальных значениях
Х'=Хо и разыскать значение интегралов в точке М\. Однако
условия полной интегрируемости системы (60) выражаются
равенством
^ая.рц = 0
при всех значениях индексов; они устанавливают, что такое
полное интегрирование возможно только в евклидовом
пространстве. Таким образом, только в евклидовом пространстве
может быть речь об однозначном параллельном перенесении
вектора из одной точки в любую другую точку. В римановом
же пространстве речь может быть только об однозначном
интегрировании системы уравнений
-^- + <&рХ«^Г-=0. ' = 1,2 п (61)
ds dx
по данной кривой, т. е. в предположении, что х\ х2,..., хп суть
заданные функции от s. Таким образом, в римановом
пространстве может быть только речь о перенесении вектора из
одной точки М0 в другую М\ по данной кривой. При
перенесении того же вектора из одной точки М0 в другую точку М\
по разным кривым мы получим в результате различные
векторы.

500 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Если результат перенесения вектора из одной точки в
другую зависит от пути, по которому мы производим
перенесение, то это значит, что при перенесении вектора вдоль
замкнутой кривой он по возвращении в точку исхода вообще
не приходит в первоначальное положение; угол между
первоначальным и конечным положением вектора называется
отклонением вектора на этом контуре. Замечательное
соотношение, найденное Леви-Чивита, заключается в следующем.
В римановом пространстве проведем через точку М
двумерный элемент и в нем обведем точку М бесконечно малым
замкнутым контуром. Если dq> есть отклонение вектора при
обходе этого контура, da— площадь, огибаемая этим
контуром, то имеет место соотношение
dip = К do, (62)
где К есть кривизна пространства в данной точке и в данном
двумерном элементе, через эту точку проходящем. Этот
результат приводит к следующему определению римановой
кривизны пространства в данной точке и в данной площадке:, это
Аф
есть предел отношения —- , когда контур, охватывающий дан-
Асг
ную точку, стремится к нулю. Эта теорема интересна не
только своим изяществом; она впервые дала чисто
геометрическую интерпретацию римановой кривизны. При параллельном
перенесении вектора длина его не изменяется; при
параллельном перенесении двух векторов не меняется угол между ними.
Если мы из какой-либо точки кривой перенесем ее
тангенциальный вектор в какую-нибудь другую точку кривой, то он
по перенесении, вообще говоря, не совпадет с
тангенциальным вектором в новой точке; но особенность геодезической
линии заключается в том, что при перенесении
тангенциального вектора вдоль кривой он остается тангенциальным во
всех ее точках. Это свойство геодезической линии часто
формулируют так, что в любом римановом пространстве
геодезическая линия на всем протяжении сохраняет свое
направление.
14. РАЗВИТИЕ ИДЕЙ РИМАНА. ЗАМЫСЕЛ ВЕИЛЯ
Итак, с точки зрения Леви-Чивита, христофели G\i
представляют собой компоненты параллельного перенесения.
Следующий шаг в ходе развития этих идей заключается в том,

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
501
лто параллельное перенесение было выдвинуто в качестве
основного исходного момента в построении римановой
геометрии. Замысел Вейля \ которому эта постановка принадлежит,
сводится к следующему. Значительная часть римановой
геометрии зависит только от христофелей, а не непосредственно
от гауссов. Так, риманы выражаются непосредственно через
христофели, а не через гауссы; вследствие этого учение о
римановой кривизне может быть построено непосредственно
в христофелях, т. е. в компонентах параллельного перенесения.
Учение о геодезических линиях также зависит только от
христофелей. А главное, только от христофелей зависит
дифференциальное исчисление Риччи и Леви-Чивита в заданном
римановом пространстве. А если так, то нельзя ли
непосредственно начинать с компонент параллельного перенесения;
иначе говоря, нельзя ли определить параллельное перенесение
вектора экстенсивом третьего порядка Ты , выбрав последний
произвольно, т. е. не выводя его из гауссов по схеме Христо-
феля. На эту точку зрения Вейль и стал. Риман начинал
построение дифференциальной геометрии с метрики — с выбора
менсора (гауссов); Вейль начинает с выбора компонент
параллельного перенесения Г^, которые мы будем называть
вейлями. Риманово пространство определяется гауссами; по
новому замыслу пространство определяется вейлями.
В какой же мере широк произвол, который нам здесь
предоставляется: могут ли быть вейли выбраны совершенно
по усмотрению или развертывание геометрии налагает на
них те или иные ограничения? Вопрос имеет две стороны.
Во-первых, как должны быть выбраны вейли в определенной
системе референции, во-вторых, как должны они
преобразовываться при переходе от одной системы координат к другой,
т. е. чем определяются вейли как экстенсив? На первый
вопрос Вейль отвечает, что выбор компонент параллельного
перенесения Ты должен быть в исходной системе отличен только
тем, что Г[£/] =0, т. е. что эти компоненты должны быть
симметричны относительно индексов к и /; позднее и это
ограничение оказалось излишним. Что касается преобразований
1 Н. Weyl. Reine Infinitesimalgeometrie. «Mathem. Zeitschr.», 2, 1917,
а затем в цитированном выше сочинении «Raum, Zeit, Materie», особенно
с 3-го изд. (1919 г.).

502 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
компонент при переходе от одной системы координат к
другой, то оно должно определяться тем, что приращение
ДХ< = dXl + Т1а$Ха djfi, (63)
которое. при этих условиях будет получать вектор
Х*(х1,х2,...,хп), при переходе от точки М(х£) к бесконечно
близкой точке М'(х*-\- dxl) должно представлять собой вектор.
Если риманова геометрия была по самому замыслу
своему метрической, то геометрия, определяемая параллельным
перенесением,— фактически, следовательно, соотношением
(63),— становится аффинной1. Это обусловливается тем,
что приращение АХ', определяемое параллельным
перенесением, а не изменением поля (т. е. ra$XadxP), выражается
линейно в дифференциалах dxl\ как это имеет место в
классической аффинной геометрии. Нужно сказать, однако, что
определения аффинной связности у различных авторов
(Вейль, Схоутен, Картан) не вполне совпадают. Но в этом
понимании (Вейля) метрическая риманова геометрия
становится частным случаем аффинной дифференциальной
геометрии совершенно так же, как евклидова геометрия является
частным случаем аффинной геометрии Эйлера-Мёбиуса.
Так как соотношение (63) можно написать в виде:
AX'-Xfcdj*, где хЪ = -^ + Т1акХ\ (64)
то требование, чтобы ДА7 было вектором, сводится к тому,
чтобы Х\ было тензором второго порядка (однажды кова-
риантным и однажды контравариантным). Это будет
тензорная производная ykX* в нашем аффинном пространстве.
Таким образом, абсолютное дифференциальное исчисление
Риччи определяется не гауссами, как это первоначально
казалось, а вейлями: не метрикой пространства, а его
параллельным перенесением; оно свойственно не столько римановой,
сколько аффинной геометрии.
Геодезические линии в римановом пространстве
определяются дифференциальным уравнением (57); если перейти от
параметра 5 (длина дуги) к любому другому /, то эти
уравнения примут вид:
d4l , ni dxa dx$ ,,,ч dxl /ar\
-* + G«-г ^г-№-*-> (65)
1 В современной математической литературе принято наименование:
геометрия аффинной связности. (Ред.).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
503
где функция f(t) зависит от выбора параметра. Аффинное
пространство имеет свои геодезические линии, которые
определяются дифференциальными уравнениями
d4l , „/ dxa dbfi -/Л dxl
dfl H dt dt dt
Они сохраняют то свойство, что во всех точках каждой
геодезической линии касательная имеет то же направление
в том смысле, как это установлено выше для риманова
пространства.
Аффинная геометрия сохраняет свой риманов тензор; его
смешанные компоненты Гая.рГ выражаются в вейлях
совершенно так же, как в римановой геометрии они выражаются
в христофелях:
Г...т их li ux Ik -pm-pd , тлгп -pa /aa\
ikl =~T~k T~i 1оД** + 1а*1н. (OO)
В аффинную геометрию может быть введен основной
тензор второго порядка gkl; он может служить для
жонглирования индексами; но до тех пор, пока он не обращен в менсор,
пока вейли не отождествлены с христофелями, из этого
тензора выводимыми, пространство остается аффинным, а не
метрическим, не римановым.
Дифференцирование вектора в аффинном пространстве
определяется формулой (64). Отсюда • делается переход к
дифференцированию тензоров высших порядков на тех же
основаниях, что и по замыслу Риччи.
Итак, главное отличие аффинной геометрии Вейля от
римановой заключается в том, что она не имеет метрики, как
ее не имеет и классическая аффинная геометрия. Это
обусловливается тем, что геометрия Вейля не имеет менсора, т. е.
не имеет гауссова тензора второго порядка, служащего для
установления длины. Этот тензор играет в геометрии Римана-
Риччи троякую роль: во-первых, он является менсором, т. е.
устанавливает метрику пространства; во-вторых, он является
вертором, т. е. служит основным тензором второго порядка
для претворения ковариантных компонент тензора в контра-
вариантные и обратно; в-третьих, он служит для образования
христофелей. В геометрии Вейля последняя его роль
отпадает прежде всего: компоненты параллельного перенесения—
вейли, заменяющие христофели, задаются непосредственно; но

504 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
отпадает и первая роль: менсора в аффинной геометрии
Вейля не существует, так как она вообще не имеет метрики.
Но поскольку геометрия Вейля развертывалась тензорными
средствами, она не может отказаться от того, чтобы
оперировать ковариантными и контравариантными компонентами
тензора. Ей нужен поэтому вертор, основной тензор второго
порядка, служащий для поднимания и опускания индексов.
Таким вертором может служить любой для этой цели
выбранный тензор второго порядка. Итак, вейлева геометрия вводит
свой основной тензор второго порядка, но не в качестве
менсора; его компоненты, за которыми сохраняется
обозначение gify не служат гауссами, а являются только средством
для жонглирования индексами. В установлении тензорного
дифференцирования они не участвуют; поэтому и тензорные
производные S/ieki не обращаются в нуль. По обозначению
Схоутена
ViSki = — Qiki> (67)
гДе Qiki есть тензор третьего порядка. Когда вейли
обращаются в христофели, выводимые из тензора gkl, все
компоненты Qikl обращаются в нуль.
15. ЗАДАЧА СХОУТЕНА
Итак, параллельное перенесение устанавливает в
многообразии некоторую геометрию, претворяет его уже в
пространство. В этом пространстве компонентами параллельного
перенесения устанавливается свое, этому пространству
свойственное дифференциальное исчисление. Такова глубокая
связь между геометрией и анализом, к которой приводит
развитие идей Римана. Но эта связь идет дальше. Выше мы
уже говорили о тех ограничениях, которые должны быть
наложены на компоненты параллельного перенесения Г*/.
Ограничения эти, естественно, зависят от тех требований,
которые мы предъявляем к созидаемой геометрии. Схоутен
сделал точную сводку этих требований, поскольку они
диктуются замыслом Вейля. Они сводятся к следующему: 1)
выражение (64) должно представлять собой смешанный тензор
второго порядка, определяющий тензорную производную в
нашем пространстве; 2) дифференцирование суммы и
произведения должно следовать формальным законам
классического анализа и 3) производные от скаляра должны совпа-

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
505
лйтъ с обыкновенными его производными. Эти требования
сами по себе уже очень любопытны. В заданном
многообразии строится геометрия, и строится она таким образом, чтобы
в результате получить анализ определенного типа. Схоутен *
поставил себе задачей определить, каковы должны быть
компоненты Tkh чтобы удовлетворить этим требованиям; эту
задачу он решил до конца. Это решение заключается в
следующем.
В нормальном римановом пространстве компоненты
симметричны относительно нижних индексов; иными словами,
разность Ты—Tik всегда равна нулю. Когда мы выйдем за
пределы римановой геометрии, эта разность будет
представлять собой экстенсив третьего порядка, компоненты которого
Схоутен обозначает через 2S 1 :
Далее, в случае риманова пространства параллельное
перенесение ковариантного и контравариантного вектора
выражается формулами:
ДХ<* = dX* + Т^Ха dx* и АХС = dXi — ГфХ« djfi,
где
Г&/ = Ты — Gkh
так что
г£,-г£ = о.
В новом развитии римановой геометрии эта разность
представляет собой экстенсив третьего порядка:
Ы —А Лг/ = Ь£/.
Если, наконец, мы введем основной тензор gik, как
выяснено выше, не претворяя его в менсор, то в соотношении
(67) Qm будет тензор третьего порядка. Эти три экстенси-
ва Ckh Ski, Qiki назовем схоутенами.
Результат, к которому пришел Схоутен, заключается в
следующем. Чтобы параллельное перенесение, определяемое
1 J. S с h о u t e n. Uber verschiedene Arten der Obertragung. «Mathem.
Zeitschrift», 13, 1922.
2 По терминологии Картана Clkl определяет кручение пространства
(torsion de l'espace). Симметричное параллельное перенесение, при
котором Y 1Ы =T\ky определяет пространство, не имеющее кручения. (См.
сноску на стр. 512.)

506 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
компонентами Г*/, удовлетворяло поставленным выше
требованиям, необходимо и достаточно, чтобы три его экстенсива
Cku Ski и Qikl (схоутены) были тензорами. Соответственно
этому за схоутены могут быть приняты совершенно
произвольные тензоры; и когда это сделано, то компоненты
параллельного перенесения этим вполне определены: вейли
однозначно (линейно) выражаются в схоутенах.
По характеру схоутенов классифицируются различные
геометрии, построенные по этому замыслу. Каждый из трех
схоутеновых тензоров может быть нормальным,
вырождающимся или нулевым; для каждой категории схоутенов
возможны три типа — всего, таким образом, получается 27
комбинаций, 27 типов пространств. Геометрия Римана стала
таким же частным случаем в комплексе пространств Вейля
и Схоутена, каким пространство постоянной кривизны
является среди римановых пространств, каким геометрия Евклида
является среди классических неевклидовых геометрических
.систем. Однако гго первоначальному замыслу Вейля
тензоры Ski и Cki тождественно равны нулю. Его системы
отличаются, таким образом, только типом тензора Qikl . Если
этот тензор нормальный, мы получаем аффинную
дифференциальную геометрию, о которой шла речь выше. Если этот
тензор выродившийся, аффинная геометрия обращается в
конформную, о которой речь будет ниже. Наконец, когда этот
тензор равен нулю, мы возвращаемся к римановой геометрии.
Такова схема современного развития идей Римана. Остается
еще рассмотреть некоторые замечательные частные случаи.
Геометрические системы, построенные в порядке развития
замысла Вейля, часто называют также неримановыми
системами геометрии. Лучшее изложение этих идей содержит
книга Эйзенхарта «Нериманова геометрия» К
Заметим еще, что существуют также работы, ставящие
себе целью развитие идей Римана в порядке установления
элемента длины не на основе формулы (2), а при помощи
других выражений однородных первого измерения в
дифференциалах координат. Инициатива в этом направлении идет
от Финслера 2.
1 L. Eisenhart. Non-Riemanian Geometry. New York, 1927. [См.
также книгу А. П. Нордена, указанную в сноске на стр. 437. (Ред.).]
2 P. Fin si е-г. Uber Kurven und Flachen in allgemeinen, Raumen. CM*
tingen, 1918. Автору не удалось видеть эту монографию.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
507
16. КОНФОРМНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Мы видим, таким образом, что из 27 возможных типов
пространств Вейля и Схоутена наибольшее значение имеют те
три, для которых тензоры Сы и Ski обращаются в нуль и
которые отличаются друг от друга только тензором Qlkl.
И здесь между аффинным пространством, соответствующим
нормальному тензору Qlkl и римановым, для которого
Qiki ~ 0» лежит конформное пространство с выродившимся
тензором:
Qiki = QiSki-
Это конформное пространство играет особенную роль
потому, что оно было первым обобщением риманова замысла.
В теории относительности, как она была построена
Эйнштейном, гравитационное поле, как известно, входило в
геометрическую схему четырехмерного риманова многообразия.
Электромагнитные явления в эту схему не укладывались,
потому что тех величин, которыми располагала риманова
геометрия четырехмерного пространства, было недостаточно,
чтобы охватить и эти явления. Вейль пришел поэтому к
мысли ввести в метрику риманова пространства еще одну
произвольную функцию. Процесс, которым это осуществляется, он
интерпретировал как своеобразную «эталонизацию» метрики
(«Eichung»), заключающуюся в свободном выборе единицы
длины в каждой точке пространства. Изменение единицы
длины вводит множитель в выражение линейного элемента, и
сообразно этому точный смысл замысла Вейля заключается
в том, чтобы не считать различными римановы пространства,
определяемые менсорами gik и gik, если gik^vgik > где а —
произвольный скаляр, не зависящий от I и k (коэффициент
эталонизации); переход от пространства Rn (glk) к Rn (agik)
он и рассматривает как эталонизацию. Еще иначе, геометрия
вейлева пространства сохраняет всё то, что при эталонизации
остается неизменным. Прежде всего ясно, что длина с этало-
низацией существенно изменяет свое значение. Можно
поэтому сказать, что вейлева геометрия вовсе не знает длины
линии; но зато углы, как это явно следует из формулы (56),
при эталонизации не меняются. Бесконечно малые
треугольники остаются подобными в смысле равенства углов; это —
конформные преобразования, правда, в несколько ином смыс-

508 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
ле, чем это понимала классическая геометрия; отсюда и
наименование конформной геометрии для всей той совокупности
свойств риманова пространства, которые не меняются при
конформных преобразованиях этого рода. Переводя это на
язык параллельных перенесений, мы придем к тому
определению конформной геометрии, которое было дано выше по
схеме Схоутена. Таким образом два различных римановых
пространства могут оказаться эквивалентными, как геометрии
конформные: это имеет место, если одно может быть
получено из другого путем конформного преобразования 1.
Отсюда возникает близкий к этому вопрос: каковы те
римановы пространства, которые конформно преобразуются
в евклидовы пространства? Иными словами, при каких
условиях гауссы g£j- риманова пространства могут быть
представлены в виде:
Su = *g'ir
где тензор gi/ определяет евклидово пространство? Такие
пространства называются конформно-евклидовыми.
Окончательное выражение, данное Вейлем, решение этой задачи
получило в его мемуаре 1921 г.2. Самое решение сводится к
следующему. В конформной геометрии существует свой тензор
четвертого порядка, играющий здесь роль риманова тензора.
Он, впрочем, существенно отличается от риманова тензора:
так, для него не существует соотношения, соответствующего
тождеству Бианки. Но поставленный вопрос этим тензором
конформной кривизны решается: данное пространство
является конформно-евклидовым, когда его конформная кривизна
обращается в нуль. Впрочем, это предложение нуждается в
в уточнении. Всякое риманово пространство одного или двух
измерений является конформно-евклидовым. В случае /г = 3
дело уже обстоит сложнее. Для решения вопроса нужно
составить тензор
где G£j —тензор Риччи данного риманова пространства, а
G — его скалярная кривизна в рассматриваемой точке.
1 Определенные в этом параграфе обобщенные римановы
пространства называют обычно пространствами Вейля. (Ред.).
2 Н. Weyl. Zur Infinitesimalgeometrie: Einordnung der projektiven
und der konformen Auffassung. «Gottingen Nachrichten», 1921.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
509
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы ри-
ма'ново пространство трех измерений было
конформно-евклидовым, выражается дифференциальным соотношением
ViLlk = vA* ПРИ *• U k = 1. 2, 3.
Наконец, при п>3 необходимо построить тензор
4
cih hi = Gu, ki -^—^ {gikLn — g]kLa + gtJLkl — gltLjk}.
Это и есть тензор конформной кривизны. Пространство будет
конформно-евклидовым, если Q/, kl = 0.
17. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В том же мемуаре Вейль ставит иную задачу; она может
быть формулирована следующим образом: каковы те
пространства, в которых геодезические линии могут быть в
надлежащей координации выражены линейными уравнениями?
Пространства, удовлетворяющие этому требованию, он
называет проективными. Мы имеем, таким образом, новое
обобщение замысла Шура, но обобщение далеко идущее, так как
здесь речь идет о разыскании всех пространств, заданных
компонентами параллельного перенесения и
удовлетворяющих формулированному выше требованию. Координаты, в
которых геодезические линии выражаются линейными
уравнениями, называются проективно-геодезическими. Вейль
показал, что в проективных координатах компоненты
параллельного перенесения проективного пространства выражаются
формулами
rii-elPj + eto, (68)
где 6i-l при i=l, 2, 3,..., k\ b\=0 при i ф ft, a Pi, P2,..., Рп
суть компоненты вектора. В произвольных координатах те же
компоненты имеют вид:
где Eki — компоненты параллельного перенесения в
евклидовом пространстве при той же координации.
Условие, при котором параллельное перенесение
определяет проективное пространство в наиболее широком значении
этого слова, устанавливается следующим образом.

510 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
По компонентам Ты данного параллельного перенесения
вычисляем компоненты соответствующего риманова тензора
(риманы) Tijtkl или Г/k, ь а затем тензор Риччи Г/;-. По
тензору Риччи определяется вспомогательный тензор второго
порядка положением
-{n*-l)Pu = nrtl + Ttr
Теперь полагаем:
pint = v\ik - (Pt, - я,,) fti + (в{рм - ь)р1к).
Это и есть тензор проективной кривизны. При /г>2
условие, необходимое и достаточное для того, чтобы пространство
было проективным, заключается в том, что этот тензор
должен обращаться в нуль. При п = 2 это условие заменяется
тем, что вспомогательный тензор Рц должен удовлетворять
дифференциальному соотношению
ViPjk = V;Ptk-
Эти идеи Вейля получили дальнейшее развитие по
инициативе автора настоящего доклада. В обобщение замысла
Шура-Вейля будем называть пространство, заданное
компонентами параллельного перенесения, k раз проективным, если
его геодезические линии в надлежащих координатах могут
быть выражены уравнениями, среди которых есть п — k
линейных.
С этой точки зрения проективное пространство
Шура-Вейля нужно считать (п— 1) раз проективным. К нему ближе
всего стоят пространства (п — 2) раза проективные. При трех
измерениях двукратно проективные пространства (т. е.
обыкновенные проективные пространства) могут быть отображены
на евклидовом пространстве таким образом, чтобы
геодезические линии изображались прямыми линиями. В случае
однократно проективных пространств трех измерений это
отображение может быть выполнено таким образом, чтобы
геодезические линии изображались плоскими кривыми (чтобы
они лежали в плоскостях Е2). Вообще в пространствах (п—2)
раза проективных геодезические линии по отображении на
евклидовом пространстве располагаются в двумерных
плоскостях Е2.
Разыскание всех (п — 2) раза проективных поверхностей
представляет задачу сложную. Автор выделил поэтому из

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
511
щх те пространства, в которых все плоскости Е2> содержащие
геодезические линии, проходили через одну точку — полюс
пространства.
С известной точки зрения это ограничение является вполне
естественным; эти пространства автор назвал
субпроективными. Компоненты параллельного перенесения субпроективного
пространства в проективных координатах (л:1, л:2,..., хп) имеют
вид:
где 8k и Р/ имеют те же значения, что и в формулах (68),
а fki СУТЬ функции, которые при аффинных преобразованиях
ведут себя как ковариантные тензоры второго порядка. Автор
установил все римановы субпроективные пространства 1.
Эти идеи получили развитие в работах П. К. Рашевского
и Г. М. Шапиро2. Первый установил тензорные признаки
субпроективных пространств. Второй обнаружил, что
субпроективные пространства принадлежат к числу так
называемых эйнштейновых пространств (риччи Gtj
пропорциональны гауссам), и показал приведение их менсоров к двум
основным типам.
18. ВОЗВРАЩЕНИЕ К ИДЕЯМ ЛИ
Мы видели, что направление, которое римановой
геометрии дали Клейн и Ли, замкнуло ее в сравнительно узкую
область пространств постоянной кривизны. Направление
Христофеля и Липшица вывело замысел Римана на более
широкую дорогу, развернув для идей Римана большой простор.
Любое риманово пространство получило разветвленную
метрику, и пространства постоянной кривизны заняли в этом
построении лишь очень скромное место. Но зато риманова
геометрия в широком смысле слова утратила идею движения.
Замысел Леви-Чивита, развитый Вейлем и Схоутеном,
перебросил мост между этими двумя направлениями.
Параллельные перенесения суть движения, и так как на бесконечно
1 В. К a g а п. Sur les espaces sous-projectifs. «C. R. de l'Academie
des Sciences», 19b 1930. {См. книгу: В. Ф. Каган. Субпроективные
пространства. Физматгиз, М., 1961. (Ред.)].
2 См. П. К. Рашевский. Caracteres tensoriels de l'espace sous-
projectif; Г. М. Шапиро. Uber die Metrik der subprojektjven. Raume^
«Тр. семинара по вект. и тензорн. анализу», 1933, вып. 1.. .. ,.

512 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
малом протяжении они выполняются однозначно, то в
пространство Римана не только было вновь введено движение,
но — более того — движение сделалось в нем основным
методом исследования, как в античной геометрии. Правда, это
движение бесконечно мало; но всё построение теории групп
у Ли заключается в разложении движения (преобразования)
,на бесконечно малые элементы. Разница' заключается лишь
в том, что бесконечно малые преобразования Ли соединяются
однозначно в конечные преобразования (допускают полное
интегрирование); в схеме же Вейля эта однозначность места
не имеет.
Однако параллельные перенесения воспроизводят в
римановом пространстве только один тип движения. В
классической геометрии движения слагаются из параллельных
перенесений и вращений. Может ли быть речь о вращении в
любом римановом пространстве? Вейль и Картан дали на этот
вопрос утвердительный ответ. Вот в чем заключается
результат, к которому они пришли.
Из произвольной точки О проведем замкнутый контур.
Если мы линейный элемент, выходящий из точки О, обведем
вокруг контура, то по возвращении его в исходную точку О
юн займет некоторое новое положение. Если мы себе
представим, что этот процесс проделан над всеми линейными
элементами, выходящими из точки О, то все они займут, вообще
говоря, другие положения; в связке выходящих из точки О
.линейных элементов (бесконечно малых векторов) произойдет
преобразование — это есть вращение связки вокруг точки О.
Совокупность всех таких вращений явно образует группу;
:идеи Ли вновь претендуют на руководящую роль в построении
геометрии, даже в этом широком ее понимании.
Самое любопытное в этом деле заключается в том, что
параллельное перенесение индуцирует группу вращений в
.каждой точке пространства. Исследование этих групп
составляет заслугу главным образом Картана К В существенном
результат этого исследования сводится к следующему.
Совокупность вращений, индуцируемых параллельным
перенесением, всегда представляет собой конечную группу, порядок
которой никогда не превышает класса пространства. Группы
вращений, соответствующие различным точкам одного и того
1 Е. С а г t а п. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de
a-elativite generalisee. «Ann. de I'EcoIe Normale», 40, 1923 и 42, 1925.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ РИМАНА
513
же* пространства, имеют один и тот же порядок и подобны
(изоморфны) между собой. Как мы видели выше, Гельмгольц
показал, что если движения в пространстве удовлетворяют
некоторым определенным свойствам, то они допускают
инвариант, выражающийся квадратичной дифференциальной
формой. Картан и Вейль возвратились и к этому вопросу.
Параллельные перенесения и индуцируемые ими вращения
определяют движения в каждой точке пространства. Каковы те
параллельные перенесения, при которых этот комплекс
движений допускает в каждой точке инвариантную квадратичную
форму? И этот вопрос получил исчерпывающее решение.
Изложение результата потребовало бы развития терминологии,,
введенной Картаном и Вейлем в теорию групп. Я вынужден
поэтому отослать интересующихся этим вопросом к
оригинальным работам Картана.
19. О ПРИКЛАДНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ В ХОДЕ ЭВОЛЮЦИИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИДЕИ РИМАНА
Как было указано в начале доклада, возрождение геомет-
рлческих идей Римана связано с теми приложениями, которые
они получили в теории относительности. Эти прикладные
тенденции в последние годы разрастались в различных
направлениях; обстоятельному их изложению должен быть
посвящен специальный доклад. Однако два направления в этого
рода исследованиях в последнее время заняли такое
значительное место, что на них необходимо обратить здесь
внимание читателей.
По существу основной замысел Вейля, изложенный в
параграфе 14, возник на почве стремления создать такую
геометрическую систему, которая отображала бы не только
гравитационное, но и электромагнитное поле *. Предложенные
Вейлем пути привели к расширению замысла Римана, но не
дали решения поставленной физической задачи. К этой же
задаче возвратился Калуца2 и наметил ее решение,
сохраняющее схему Римана в чистом виде, но в пространстве пяти
измерений. Вопрос остается еще в стадии разработки; к теме
о «единой теории поля» возвращается Эйнштейн и в ряде
1 См. «Raum, Zeit, Materie», § 40, а также указанный на стр. 487
реферат Паули, п. 65.
2 Th. К а 1 u z a. Zum Unitatsproblem der Physik, «Sitzungsberichte
der Preuss. Akad. der Wissenschaften», 1921.

514 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
работ дает последовательно меняющиеся схемы для ее
решения 1. Эти исследования нашли живой отклик в среде
геометров (Леви-Чивита, Картан). Особенно нужно отметить
работы Схоутейа и Ван-Данцига2, использовавшие для этого
своеобразную схему проективной дифференциальной
геометрии.
Другое прикладное направление римановых идей
относится к области классической механики. В своей «Механике»
Герц фактически уже указал схему римановой геометрии,
способной служить для изучения движения голономной системы
материальных точек. В последнее время к этим идеям
возвратился Синж3, распространивший замысел Герца и на не-
голономные системы. В последние годы построением
геометрических схем для «неголономных пространств» успешно
занялись многие авторы — Врэнчану, Горак и др.4. Гораку
принадлежит применение этого метода к решению конкретной
задачи из теории ударов. Развитие связанных с этими
вопросами чисто геометрических идей приведено в самое последнее
время в работах Схоутена и Ван-Данцига.
1 A. Einstein und W. Mayer. Einheitliche Theorie von
Cavitation und Elektrizitat, там же, XXV, 1921.
2 J. Schouten und G. van Danzig. Zum Unifizierungsproblem
der PJiysik. Skizze einer generellen Feldtheorie. «Proceedings Akadem.
Amsterdam», 35, 1932.
3 S у n g e. On the geometry of dynamics. «Phylos. Transaction
R. Soc», A, 226, 1926; Geodesies in nonholonomie geometry, «Math. Ann«»t
99, 1923.
4G. Vranceanou. Studio geometrica del sistemi analonomi. «Ar_-
nali di Matematica» (4), 6, 1929; M. H о г a k. Theorie generate du choc
dans des systemes materiels. «Journal de l'ecole Polytechnique» (2), 28,
1931.

Дополнение редакции (к стр. 477—478)
Порядок тензора принято теперь называть его валентностью.
Определению тензора, приведенному на стр. 478—479, можно придать еще и
нижеследующую, общепринятую форму.
Компоненты тензора dxa при переходе от координат ха к
координатам у* преобразуются так:
' дха
В соответствии с этим контравариантным тензором первой
валентности называют совокупность п функций qx, q2,..., qn от координат точки,
изменяющихся при произвольном допустимом1 преобразовании
координат [(11) на стр. 446] по правилу:
?-*■•-£' <"
в (1) qa—компоненты тензора в старой системе координат, q^—его
компоненты в новой системе.
тт <*Ф
Для градиента ——z~ имеем:
ах
дф дф дха
dtf дха д# '
аналогично, в силу (46) на стр. 477
А И dX*
и вообще для любого ковариантного тензора первой валентности
~ дха
Р^Ра-^Г' (2)
1 О допустимых преобразованиях см. сноску на стр. 446.

516 IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
Как нетрудно убедиться, исходя из формул (1) и (2), свертывая ко-
вариантный тензор ра с контравариантным тензором qa, мы получим
инвариант (скаляр) paqa.
Обобщая сказанное, приходим к понятию любого тензора. Тензор
валентности k+l, k раз ковариантный и / раз контравариантный,
определяется заданием nk~^1 его компонент F'^jy"^ (снизу — k индексов,
сверху—</ индексов, i, j,..., p= 1,2,..., п), значения которых в данной точке
пространства являются функциями от ее координат ха (а = 1,2,..., п); при
переходе от системы координат ха к системе координат у1 компоненты
тензора преобразуются по правилу:
J.h...p. = „.в...*. **_ *L _дх^__ду^ Jyf_
U-M ^....1* dyl dlJJ •• дут дхг •'• дхп • I/
где ^i./V/..m —компоненты тейзора в новой системе координат (ср.
формулы в сносках на стр. 444 и (1), (2) настоящего дополнения).
Легко показать, что указанное определение тензора стоит в согласии
с данным в тексте на стр. 478—479.
В современной дифференциальной геометрии важную роль играет
также и более общее понятие геометрического (дифференциального)
объекта. Геометрический объект в данной системе координат определяется
в каждой точке пространства заданием N функций от координат точки —
компонент геометрического объекта и законом их преобразования при
всяком допустимом1 преобразовании координат; согласно этому закону
компоненты геометрического объекта в новой системе координат
выражаются как данные функции от компонент объекта в старой системе и
от .производных до &-го порядка включительно от новых координат
точки по ее старым координатам. Число k называется классом
геометрического объекта. Подробнее см.: В. В. Вагнер. Теория дифференциальных
объектов и основания дифференциальной геометрии (дополнение к
русскому переводу книги: О. Веблена и Дж. Уайтхеда. Основания
дифференциальной геометрии, 1949).
dxa
Так как производные могут быть выражены через производ-
dyl
dyh
ные , то по (3) тензор есть геометрический объект класса 1. Сог-
dxz
ласно (22) христофели образуют геометрический объект класса 2.
См. сноску на стр. 446.

f

Приложен tie-
АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
РЕДАКЦИЯ И ПРИМЕЧАНИЯ
Г. Б. ГУРЕВИЧА

ОТ РЕДАКТОРА
В истории геометрии переломной датой является 1826 год,
когда Н. И. Лобачевским была открыта первая из
неевклидовых геометрий, носящая его имя. Гениальные идеи
Лобачевского были поняты и оценены широкими кругами
математиков лишь в шестидесятых и семидесятых годах XIX столетия.
Перед ними встала задача доказать непротиворечивость
геометрии Лобачевского; решение ее потребовало точного
установления тех основных предпосылок, на которых строится
геометрия; внимание математиков было привлечено к вопросу
о полном обосновании евклидовой геометрии. После ряда
попыток, носивших предварительный характер (Паш, Пеано и
его школа), в 1899 г. появились две работы — Пиери [I]1 и
Гильберта [2], в каждой из которых было дано полное
перечисление аксиом, на основе которых может быть построена
евклидова геометрия, и указаны пути для установления на
базе этих аксиом всех важнейших ее предложений 2. Более
удачной из них оказалась работа Гильберта, содержащая ряд
замечательных результатов; аксиоматика Гильберта является
в настоящее время общепринятой.
Однако книга Гильберта [2] не исчерпала вопроса, и после
нее появились многочисленные исследования, посвященные
задаче построения системы евклидовой геометрии; из них
особого внимания заслуживают работы Вениамина
Федоровича Кагана [3] — [8]. Изучение вопроса об обосновании
геометрии было начато В. Ф. Каганом задолго до выхода в свет
1 Цифры в квадратных скобках указывают номер цитируемой работы
в списке литературы, приведенном на стр. 564.
2 Подробнее см. {2], предисловие П. К- Рашевского, стр. 17—32.

520
П РИЛОЖЕНИЕ
книги Гильберта [2]; система аксиом В. Ф. Кагана,
определяющих евклидову геометрию [4], была опубликована в
1902 г., полное изложение построенной на них системы
геометрии [6] — в 1904 г. Том второй того же сочинения [7]
содержит весьма обстоятельный исторический очерк развития
учения об основаниях геометрии; оба тома составили
диссертацию В. Ф. Кагана на соискание степени магистра чистой
математики.
Как указано в предисловии к работе [6], монографии^
посвященные задаче обоснования евклидовой геометрии, дают
обычно все «основные определения и посылки, и затем
намечают план, следуя которому, по мнению автора, возможно-
-доказать независимость этих посылок и построить на них
геометрию». В. Ф. Каган ставит своей целью «выполнить весь
этот труд до конца», «дать не план работы, а самую работу»,,
«доводить каждое доказательство до элементов, опуская
иногда только такие детали, которые действительно не могут
представить затруднения ни для кого»1. Специальное внимание-
уделено вопросам взаимного расположения частей фигур на
плоскости и в пространстве. В части, относящейся к
двугранным и многогранным углам и к многогранникам, это сделано»
исключительно подробно (стр. 529—715 книги [6]);
соответствующие исследования представляют, несомненно, весьма
значительную ценность.
В. Ф. Каган ставит своей задачей также и установление
полной независимости своих исходных посылок друг от друга;
такая цель в других работах или совсем не ставится, или же
решается неудовлетворительно. Полученные им в этом
направлении результаты являются почти исчерпывающими2.
Исследование В. Ф. Кагана нашло ряд откликов в
последующей литературе; здесь прежде всего отметим подробные
отзывы В. Циммермана [9] и И. Слешинского, бывших
оппонентами на защите диссертации В. Ф. Каганом, И. С. Черну-
шенко [10] наряду с работами Веблена [11], Мура [12] и Ген-
тингтона [13] подвергает детальному анализу и книгу [6]
В. Ф. Кагана (стр. 96—101); он приходит при этом к такому
выводу: «Особенно... ценна работа В. Ф. Кагана,
единственная дающая полное развитие системы и наиболее удачная в
отношении независимости постулатов». При этом И. С. Черну-
шенко делает ряд возражений против утверждений В. Ф. Kara-
1 См. стр. 523 наст, книги.
2 См. примечание на стр. 541.

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
на в связи с вопросами, связанными с независимостью
исходных посылок; однако некоторые из этих возражений необосно-
ваны, вследствие чего согласиться с ними невозможно.
Работа В. Ф. Кагана привлекла к себе внимание и
авторов, исследования которых относятся к теории топологических
пространств; это связано с той ролью, которую играет в
«системе В. Ф. Кагана расстояние между двумя точками.
В монографии Л. М. Блюменталя [14] приведены постулаты
В. Ф. Кагана и проанализированы с точки зрения топологии
метрических пространств.
Ниже приводятся предисловие В. Ф. Кагана к-его
книге [6] и последняя, LVIII глава этой книги. В этой главе
рассматривается вопрос о независимости постулатов. Чтение
этой главы дает достаточное представление и об общих
установках аксиоматики В. Ф. Кагана. Подстрочные примечания
редакции имеют одной из своих целей сделать возможным
для читателей не обращаться к остальным главам 1.
Г. Б. Гуревич
1 Примечания редакции здесь не отмечаются указанием «Ред.»;
напротив, примечания, сделанные В. Ф. Каганом, отмечаются: «Примечание
автора».

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее сочинение имеет целью обоснование
евклидовой геометрии. Сущность и пределы задачи выясняются в
самом сочинении и в особенности в заключительной его главе !-
Здесь мы ограничимся лишь следующим кратким указанием.
Задача об обосновании геометрии заключается в том,,
чтобы дать ряд независящих друг от друга определений и
постулатов, исходя из которых можно было бы формально
развить всю геометрию.
Сообразно этому настоящее сочинение распадается на две
части. Одну часть составляет построение самой
геометрической системы, другую — доказательство независимости
основных посылок. Но эти две части не отделены одна от другой,,
а развиваются параллельно. Вводя каждый постулат, мы
доказываем его независимость от предыдущих, а в
заключительной главе даем доказательство полной независимости
посылок. Это доказательство требует построения определенных
аналитических систем, так называемых аналитических
пространств; вследствие этого приходится иногда посвящать целые
главы аналитическим соображениям 2.
Мы считаем излишним говорить здесь о самом характере
изложения, он выясняется при чтении самого сочинения. Мы
сделаем только два замечания.
Во-первых, чтобы выяснить лучше постановку вопроса и
преемственную связь идей, к сочинению будет приложен
1 Эта заключительная глава «Независимость постулатов» помещена
в настоящей книге на стр. 525—563.
2 Здесь нами опущено несколько строк, которые касаются
технической стороны изложения и не имеют отношения к помещенной в настоя-
щем сборнике заключительной главе.

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
523'
исторический очерк развития учения об основаниях
геометрии К Очерк этот выделен в отдельное приложение
исключительно вследствие больших размеров самого сочинения; это
приложение целесообразно прочесть раньше, чем приступить
к чтению самого сочинения.
Во-вторых, мы хотели бы сказать несколько слов о тех
причинах, вследствие которых настоящее сочинение получило
такие большие размеры.
В течение последнего десятилетия появилось немало
монографий, имеющих своей задачей не разрешение
отдельных вопросов, относящихся к основаниям геометрии, а самое
обоснование геометрии во всем ее объеме. Каждая из этих
монографий устанавливает основные определения и посылки
и затем намечает план, следуя которому, по мнению автора,
возможно доказать независимость этих посылок и построить
на них геометрию. Некоторые из этих работ, как указано а
историческом очерке, имели решающее значение для
трактуемого ими вопроса. Однако при попытке воспроизвести
намеченные авторами доказательства часто обнаруживались
совершенно непреодолимые затруднения, требовавшие
переработки всей системы; а переработанная система вновь
излагалась столь же отрывочно и вызывала те же сомнения.
Единственный выход из такого положения вещей, на наш
взгляд, заключается в том, чтобы выполнить весь этот труд
до конца, чтобы действительно доказать каждое высказанное^
утверждение. Иными словами, нужно дать не план работы, а>
самую работу. Настоящее сочинение и представляет собой;
попытку выполнить эту задачу. Мы решили поэтому доводить
каждое доказательство до элементов, опуская иногда только,
такие детали, которые действительно не могут представить
затруднения ни для кого. Это потребовало много
пространных и подчас очень кропотливых рассуждений, но мы не ви-
дим иного пути к действительному выяснению вопроса о воз*
можности формального обоснования геометрии.
Что касается системы изложения, то мы старались исчер*
пать каждый постулат раньше, чем вводить новый; иными
словами, введя, скажем, первые два постулата, мы старались
изложить весь тот материал, который можно из них получить,
не прибегая к последующим постулатам. Остаться, однако,
верным этому принципу безусловно в том смысле, чтобц
1 Сочинение [7] в списке литературы на стр. 564,

524
П РИЛОЖЕНИЕ
после нового постулата не излагать ни одной такой теоремы,
которая от него не зависит, т. е. которая могла бы быть
доказана раньше,— мы не были в состоянии. С одной стороны, это
требовало такого нарушения единства изложения, это так
невыгодно отразилось бы на логической последовательности
излагаемого материала, что вряд ли это можно было бы
признать целесообразным. Вследствие этого мы помещали иногда
ту или другую теорему после постулата, к которому она не
апеллирует, руководствуясь логической последовательностью
материала. С другой стороны, точно установить, зависит ли
каждое отдельное предложение от той или иной совокупности
посылок, задача очень трудная; вряд ли она в настоящее
время близка к разрешению.

НЕЗАВИСИМОСТЬ ПОСТУЛАТОВ
(Заключительная глава сочинения)
Бросим теперь ретроспективный взгляд на те положения,
на которых покоится изложенная в настоящем сочинении
попытка обосновать геометрию.
Точкой отправления служило для нас понятие о
многообразии. Выбрав определенное многообразие, мы относим
каждой паре его элементов (точек) некоторое определенное
арифметическое число (расстояние) и устанавливаем ряд
сопряжений многообразия с самим собой (движений),
которые мы в пределах известного ряда рассуждений намерены
производить *.
Выполнив этот процесс, мы претворяем многообразие в
пространство.
С этой точки зрения пространство представляет собой,
следовательно, многообразие с установленными в нем
расстояниями между его элементами (точками) и с
установленными движениями, которые в нем могут иметь место.
Выбирая различные многообразия, назначая различным
образом расстояния между точками, устанавливая
различным образом движения, мы можем получать различные
пространства.
1 Согласно определению 10 гл. II сочинения, точками называются
элементы некоторого множества 31 (по терминологии В. Ф. Кагана —
«многообразия»); каждой паре различных точек А, В сопоставлено
положительное действительное («арифметическое») число АВ—ВА,
называемое расстоянием, между ними. В множестве 31 установлена, кроме того,
некоторая система однозначных преобразований этого множества в себя
(«сопряжений многообразия 31 с самим собой»); движением называется
любое преобразование, принадлежащее к указанной системе.

526
П РИЛОЖЕНИЕ
Исследование тех взаимоотношений между
пространственными образами, которые определяются расстояниями между
его точками и царящими в нем движениями, составляет
учение о пространстве — геометрию.
Однако понятие о пространстве само по себе в такой мере
широко, что вряд ли может служить объектом значительного
исследования; геометрия всякого пространства не
содержательна. Это учение получает содержание, когда мы
подвергаем исследованию ту или иную категорию пространств
или даже одно определенное пространство; чем уже та
группа пространств, которую мы изучаем, тем больше
может быть общих взаимоотношений в пространствах,
образующих эту группу, тем больше она дает материала для
геометрии.
Здесь возможен, однако, двоякий путь исследования.
Пространство может быть непосредственно задано, т. е. могут
быть даны расстояния между его точками и движения,
которые в нем имеют место К Этому именно пути мы следовали
в настоящем сочинении при изучении различных
аналитических пространств 2.
Возможен, однако, и другой путь. Можно указать
известные соотношения между расстояниями, движениями и
образами в том пространстве, которое мы желаем подвергнуть
изучению. Такого рода соотношения, такие свойства могут
быть присущи одним пространствам и не присущи другим; они
выделяют определенную группу пространств, а в
достаточном числе, как мы увидим ниже, могут даже в известном
смысле фиксировать пространство, т. е. могут определить
расстояния между его точками и существующие в нем движения.
Эти именно свойства пространства с древних времен
называют «аксиомами» или «постулатами».
Установить систему постулатов, определяющих так назы-
1 Пространство непосредственно задано, если множество,
элементами которого являются точки, построено средствами некоторой
математической дисциплины, которую мы принимаем за вполне обоснованную;
определив в этом множестве расстояния между точками и движения, мы
претворяем его в пространство.
2 В аналитическом пространстве точкой называется
совокупность п действительных чисел (хи х2,-.., хп). Расстояние между
точками (*i, *2>..., хп) и (у\, У2>..., Уп) принимается равным некоторой данной
функции от х\, х2,..., хп ; у\, у2,-, уп> значения которой всегда
положительны. Движениями считаются элементы данного множества
преобразований точек. Ср. сноски 1 на стр. 529, 1 и 2 на стр. 530 и 4 на стр. 534.

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
527
ваемую евклидову геометрию, составляет задачу «учения об
основаниях геометрии».
Относительно этих постулатов требуется, чтобы они были
независимы друг от друга, т. е. чтобы ни один из них не
представлял собой логического следствия остальных, иными
словами, не мог быть доказан при помощи остальных.
В настоящем сочинении дана система постулатов, из
которых развивается геометрия Евклида. Постулаты эти
следующие.
I. Между любыми двумя точками пространства С и D на
всяком расстоянии, меньшем CD, от любой из них имеется
точка, прямолинейно относительно них расположенная К
II. Если две точки в пространстве расположены каждая
прямолинейно относительно двух других точек, то они
образуют с последними прямолинейный образ.
III: Если некоторое движение приводит две различные
точки М и N в совмещение с двумя различными же точками
пространства М' и N', то расстояния MN и M'N' равны 2.
IV. Никакое движение не совмещает всех точек
пространства с одной и той же точкой.
V. Каковы бы ни были движения S и S', в пространстве
имеется движение SS', заменяющее последовательное
производство ихг.
1 Точки А, В, С расположены прямолинейно, если расстояния между
ними связаны соотношением
IB + ВС = АС\
в таком случае точка В лежит между точками Л и С (определение I
гл. VI). Прямолинейный образ есть такое множество точек пространства,
в котором любые его три точки расположены прямолинейно
(определение 1 гл. VII). Прямой АВ называется множество, составленное из точек
А, В и всех точек, расположенных относительно них прямолинейно
(определение 1 гл. XI); если точки С и D принадлежат прямой АВ, то она
совпадает с прямой CD (теорема 2 гл. XI).
2 Движение 5 приводит точку А в совмещение с точкой А\ если А'
есть образ точки А в преобразовании S; если точка А' отлична от А, то
говорят, что движение S перемещает точку А\ если же точки А' и А
совпадают, то 5 оставляет точку А в покое (определение 13 гл. II).
Движение, оставляющее точку А в покое, носит название вращения вокруг
точки А; если 5 оставляет в покое все точки некоторого образа (множества
точек), то оно оставляет в покое весь образ (определение 13 гл. II).
3 Через SS' обозначено произведение движения 5 на движение S',
согласно постулату V множество всех движений есть полугруппа.

528
П РИЛОЖЕНИЕ
VI. Вращением вокруг двух точек А и В1 всякая третья
точка С может быть приведена в совмещение с любой
точкой С, коль скоро
АС = АС' и ВС = ВС'.
VII. В пространстве существует плоскость2.
VIII. Если три точки А, В и С расположены в одной
плоскости и из трех пар точек АВ, ВС и СА две пары
расположены в этой плоскости по одну сторону точек М и N, то точки
третьей пары также расположены по одну сторону точек М
и N*.
IX. В пространстве существует плоскость, в пределах
которой всяким трем точкам, не имеющим прямолинейного
расположения, отвечает по крайней мере одна точка
пространства, одинаково от них удаленная 4.
X. В пространстве существует плоскость, при
неподвижности которой всё пространство остается в покое5.
Первый вопрос, который возникает относительно этих
постулатов, заключается в том, совместны ли они, не
находятся ли они во внутреннем противоречии друг к другу.
Для доказательства совместности этих постулатов нами
исследовано аналитическое пространство £3, т. е. численное
плоское пространство трех измерений первого рода, принад-
1 О вращении см. сноску 2 на стр. 527.
2 Определение 1 гл. XV: «Если геометрическое место (множество)
точек, равноотстоящих от двух точек Л и В, в некотором пространстве
содержит точки, не расположенные на одной прямой, то мы будем называть его
плоскостью; точки А и В мы будем называть полюсами плоскости».
3 Определение 3 гл. VI: «Образ (множество точек) в каком-либо
пространстве, который состоит из двух точек А и В и всех точек,
расположенных между ними, мы будем называть отрезком». Определение 1
гл. XXIII: «Положим, что в некотором пространстве имеется плоскость R
и в ней две пары точек Л, В и Р, Q. Если в этом пространстве нет
прямой, проходящей через точки Р и Q, расположенной целиком в
плоскости. R и встречающей отрезок АВ, то мы будем говорить, что точки А
и В расположены в плоскости R по одну сторону точек Р и Q».
Постулат VIII представляет собой, таким образом, несколько
видоизмененную аксиому Паша.
4 Постулат IX есть известное допущение Фаркаша Бойаи (в
несколько отличной формулировке), эквивалентное пятому постулату
Евклида.
5 Плоскость является неподвижной при движении 5, если это
движение оставляет все точки плоскости в покое [ср. сноску 2 на стр. 527]'.

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
529
лежащее области всех действительных чисел1. В этом
пространстве все постулаты оказываются справедливыми, что не
могло бы иметь места, если бы в них содержалось внутреннее
противоречие.
Справедливость постулата I удостоверяется предл. 6 гл. VI;
II пост. — предл. 2 гл. VII; III пост.— предл. 5 гл. Ill; iV пост.—
предл. 4 гл. III; V пост. — предл. 2 гл. III; VI пост. — предл. 15
гл. III; VII пост. — предл. 2 гл. XV; VIII пост.—предл. 5 гл. XXIII;
IX пост. — предл. I гл. LV; X пост. — предл. 1а гл. LVII.
Доказав таким образом отсутствие противоречия в нашей
системе постулатов, мы обратимся к вопросу об их
независимости. Независимость постулатов заключается в том, что ни
один из них не должен быть логическим следствием
остальных, не может быть доказан с помощью остальных.
Вводя каждый новый постулат, мы уже показали, что он
не зависит от всех предшествующих постулатов; именно,
вводя каждый постулат, мы показывали, что существуют такие
пространства, в которых как предшествующие, так и этот
постулат справедливы, но существуют и такие пространства,
в которых предшествующие постулаты справедливы, а
вводимый новый постулат несправедлив. Нам, собственно, остается
только доказать, что каждый постулат не зависит от
последующих постулатов. Таким образом, мы можем считать уже
установленной независимость постулата X от всех остальных
постулатов, так как за ним никаких последующих постулатов
уже нет. Тем не менее для цельности восстановим полное
доказательство независимости как этого постулата, так и
каждого из предшествующих.
1 В пространстве Еп («плоском пространстве п измерений первого
рода, принадлежащем области всех действительных чисел») точка есть
совокупность п действительных чисел (хи х2,..., хп)\ две точки (x\t x2,..., хп
и (уи У2>—> Уп) считаются совпадающими тогда и только тогда, когда
х{=уи х2=уъ~-> хп =уп. Расстоянием между точками (хи x2i..., хп) и
(Уи У2,~>, Уп) пространства Еп называется положительное число
/C*i-#i)a + (*2-#2)2-i> ... + (хп-Уп)2; (1)
движениями являются преобразования точек пространства Еп, заданные
уравнениями:
х\ = afXl + af>x2 + ... + afxn -f щ, (2)
(i = 1, 2, ... n)
где aff\ai— действительные числа, матрица \\а1^ ||— ортогональная;
определитель этой матрицы равен +1.

530
П РИЛОЖЕНИЕ
Для доказательства независимости постулата X мы
исследовали 'пространство 89 \ т. е. плоское пространство трех
измерений второго рода, принадлежащее области всех
действительных чисел. В этом пространстве первые 9 постулатов
справедливы; это удостоверяется теми же приведенными
выше предложениями, в которых справедливость тех же
постулатов устанавливается для пространства Ег. Но
постулат X в этом пространстве несправедлив, как видно из
предложения 2 гл. LVII. Отсюда следует, что постулат X не
зависит от остальных постулатов.. Пространство £3 отличается
от Ег только тем, что в нем существуют симметричные
перемещения относительно любой плоскости; симметричных, но
не конгруэнтных образов в этом пространстве не существует.
Постулат X при наличности остальных постулатов служит,
таким образом, для того, чтобы отделить плоское
пространство трех измерений первого рода от плоского пространства
трех измерений второго рода.
Обратимся теперь к постулату IX. Для доказательства его
независимости исследовано аналитическое пространство L3,
т. е. гиперболическое пространство трех измерений2. В этом
пространстве справедливы постулаты I—VIII и X.
1 Пространство §п («плоское пространство п измерений второго рода,
принадлежащее области всех действительных чисел») отличается от Еп
(см. предыдущее примечание) только тем, что в нем в качестве движений
допускаются и те преобразования (2), для которых определитель
ортогональной матрицы ||а^|| равен —1.
2 В пространстве L3 точкой называется совокупность трех
действительных чисел (*i, *2, *з), удовлетворяющих неравенству
*? + д| + *з<1; (3)
условие совпадения двух точек — такое же, как и в £3. Расстояние
между точками (хи х2, х$) и (уи #2, Уз) равно
1+/1-у(*,у) ' (l-*?-*!-^)(l-f/?-^-$
ш где v (x ii)=- ■
1— У 1— V(*, у) ' ' (I— *!*/!— Х2у2 — Х3Уз)*
[если точки х(хи х2, xz) и у (уи #2> Уз) различны, то в силу (3) число
v(x> #)<*]• Движения в L3 задаются уравнениями
afXl + afx2 + gVXa-af ^
где а>1' (/, / = 1, 2, 3, 4)—действительные числа. Матрица ||а^|| превра-

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
531
Справедливость постулата I удостоверяется предложением 21
гл. VI; пост. II — предл. 8 гл. VII; пост. III — предл. 8 гл. V;
пост. IV— предл. 7 гл. V и теор. I гл. II; пост. V — предл. 9 гл. V;
пост. VI — предл. 18 гл. V; пост. VII—лредл. 6 гл. XV; пост. VIII—
предл. 32 гл. XXIII; пост. X—предл. 5 гл. LVII.
С другой стороны, постулат IX в пространстве L3
несправедлив (предложение 4 гл. LV). Этим установлена
независимость постулата IX от остальных. Постулат IX при
наличности остальных постулатов служит для выключения
гиперболического пространства.
Для доказательства независимости постулата VIII изучено
пространство Е^ т. е. плоское пространство четырех
измерений первого рода, принадлежащее области всех
вещественных чисел. В этом пространстве сохраняют свою силу
постулаты I—VII, IX и X. Это удостоверяется теми же
предложениями, которыми устанавливается справедливость этих
постулатов в пространстве Ег (см. выше). Что касается
постулата VIII, то он в пространстве Е± оказывается
несправедливым (предложение 7 гл. XXIII).
При помощи постулата VIII мы устанавливаем, что
прямая в пространстве Qe1 делит плоскость на две
полуплоскости. Но в плоском пространстве четырех измерений
плоскостью служит плоское пространство трех измерений, и в нем
прямая этого деления не производит. Таким образом, в нашей
системе .постулат VIII служит для устранения плоских
пространств, число измерений которых больше 3.
Обращаясь теперь к постулату VII, заключающемуся в
том, что в пространстве существует плоскость, заметим
прежде всего, что о независимости этого постулата от
постулатов VIII—X в известном смысле не может быть и речи.
Постулаты VIII—X имеют целью характеризовать плоскость и
могут найти себе применение лишь в таком пространстве, в
котором плоскость существует. Самое понятие о
независимости постулата VII от постулатов VIII—Хне имеет содержания.
Если остановимся на постулате X, то можно, конечно, ска-
щается в ортогональную после умножения последней строки и последнего
столбца на i=V—1; ее определитель равен —1.
Пространство L3 есть аналитическое пространство Лобачевского трех
измерений.
1 Через Qn обозначается пространство, в котором справедливы все п
постулатов, начиная с постулата I и кончая /г-ым.

532
П РИЛОЖЕНИЕ
зать, что он содержит уже требование, выраженное в
постулате VII. Но если принять постулат X, не формулируя
отдельно постулата VII, то в нем будут содержаться два
требования: во-первых, что в пространстве существуют плоскости
(одна или больше), а во-вторых, что существует такая
плоскость, при неподвижности которой всё пространство
остается в покое. Первое из этих утверждений выделено нами в
постулат VII, а второе выражено в постулате X. Первое из этих
требований, как мы показали выше, не обусловливает
второго, но второе может найти себе применение лишь в том
случае, если принято первое 1.
Итак, по существу дела, не может быть речи о
независимости постулата VII от постулатов VIII—X. Для
доказательства же независимости постулата VII от остальных
постулатов служит пространство 82i т. е. плоское пространство
второго рода двух измерений, принадлежащее области всех
вещественных чисел. Что в этом пространстве справедливы
постулаты I—VI, видно из тех же предложений, которыми
удостоверяется справедливость тех же постулатов в
пространстве Ег. Постулат же VII в этом пространстве несправедлив
(предложение 4 гл. XV).
Можно сказать, что в нашей системе постулаты VII и VIII
устанавливают число измерений плоского пространства:
постулат VII исключает плоские пространства, число измерений
которых меньше 3; постулат VIII исключает пространства,
число измерений которых больше 3.
Для доказательства независимости постулата VI
исследовано пространство ег. Это пространство отличается от
пространства Ег только тем, что в нем сохранены лишь
поступательные движения. В этом пространстве справедливы
постулаты I—V и VII—X.
Справедливость постулата I удостоверяется предложением 8
гл. VI; пост. II — предл. 3 гл. VII; пост. III — предл. 26 гл. III;
пост. IV—предл. 25 гл. III; пост. V — предл. 27 гл. III; пост. VII —
предл. 3 гл. XV; пост. VIII — предл. 6 гл. XXIII; пост. IX — предл. 2
гл. LV; пест. X — предл. 3 гл. LVII.
1 Изложенные здесь соображения, относящиеся к постулату VII,
неубедительны: формулируя требование: «существует плоскость, обладающая
данными свойствами», мы тем самым утверждаем, что в пространстве
имеется хотя бы одна плоскость. Поэтому постулат VII является
непосредственным следствием каждого из постулатов IX и X; указанное обстоя-
тельство отметили В. А. Циммерман [9] и И. С. Черкушенко [10].

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
533
Постулат VI в пространстве е3 несправедлив
(предложение 28 гл. III), потому что в нем вовсе нет вращательных
движений, кроме того движения, которое оставляет всё
пространство в покое.
Заметим, что легко указать пространство, в котором
вращения существуют, даже вокруг любых двух точек, а между
тем постулат VI несправедлив. Такое пространство можно,
например, получить, если в пространстве Е$ сохранить лишь
те движения, которые выражаются уравнением (3) гл. III, но
с алгебраическими коэффициентами 1. Оно также
удовлетворяет всем постулатам, кроме VI. Независимость этого
постулата таким образом доказана.
Для доказательства независимости постулата V служит
пространство e$\ Это пространство отличается от Еъ только
тем, что в нем сохранены одни только вращения; оно
удовлетворяет требованиям постулатов I—IV и VI—X.
Справедливость постулата I удостоверяется предложением 8
гл. VI; пост. II—предл. 3 гл. VII; пост. III — предл. 30 гл. III;
пост. IV—лредл. 29 гл. III; пост. VI —предл. 32 гл. III; пост. VII—
предл. 3 гл. XV; пост. VIII — предл. 6 гл. XXIII; пост. IX — предл. 2
гл. LV; пост. X —предл. 3 гл. LVII.
Между тем постулат V ввиду предложения 31 гл. III
в этом пространстве несправедлив; его независимость от
остальных постулатов таким образом доказана.
Для доказательства независимости постулата IV
рассмотрим пространство Я3/2. Это пространство удовлетворяет
требованиям, выраженным в постулатах I—III, V—X.
Справедливость постулата I удостоверяется предложением S
гл. VI; пост. II — предл. 3 гл. VII; пост. III — лредл. 23 гл. III;
пост. V — предл. 21 гл. III; пост. VI —предл. 24 гл. III; пост. VII —
предл. 3 гл. XV; пост. VIII —предл. 6 гл. XXIII; пост. IX —предл. 2
гл. LV; пост. X — предл. 3 гл. LVII.
1 Оставляя определения точек, расстояний между ними и движений
такими же, что и для пространства £з» требуем дополнительно, чтобы в
уравнениях (2) все числа aj \ а/ были алгебраическими.
2 В пространстве #з' точки и расстояния между ними определяются
так же, как в пространстве Е3\ движениями же называются
преобразования вида
х\ = ix (а[% + 4°*. + 4{)х3) + щ, (1 = 1,2,3), (4)
где uj , а/ удовлетворяют тем же требованиям, что и в Ег, а число \i
равно 0 или 1. См. сноску 1 на стр. 529.

534
П РИЛОЖЕНИЕ
Постулат же IV в этом пространстве несправедлив
(предложение 22 гл. III); он не зависит поэтому от остальных
постулатов.
Для доказательства независимости постулата III
обратимся к пространству Я3 *. Это пространство отличается от
пространства Ег тем, что в состав его движений кроме обычных
входят еще все возможные подобные преобразования. Это
пространство удовлетворяет требованиям, выраженным в
постулатах I, II и IV—X.
Справедливость постулата I удостоверяется предложением 8
гл. VI; пост. II—лредл. 3 гл. VII; пост. IV—предл. 17 гл. III;
пост. V — предл. 18 гл. III; пост. VI — предл. 20 гл. III; пост. VII —
предл. 3 гл. XV; пост. VIII — предл. 6 гл. XXIII; пост. IX — предл. 2
гл. LV; пост. X — предл. 3 гл. LVII.
Между тем постулат III ввиду предложения 19 гл. III в
этом пространстве не оправдывается.
Постулаты III—VI характеризуют движения евклидова
пространства. Постулат III присваивает каждым двум точкам
инвариант движения; постулат IV устраняет несовершенные
движения2; постулат V устанавливает, что движения
образуют группу3; наконец, постулат VI определяет существующие
в пространстве вращения.
Для доказательства независимости постулата II
исследовано эллиптическое пространство /?3- В этом пространстве
справедливы все постулаты, кроме II4.
1 Пространство #з отличается от Н/ лишь тем, что в уравнениях (4)
множитель \i может быть любым положительным действительным числом,
2 Автор называет совершенными взаимно однозначнее
преобразования. Согласно теореме 3 гл. XIV, в пространстве ih (т. е. в пространстве,
в котором справедливы постулаты I, II и III) движение, переводящее
две его различные точки М и N в одну и ту же точку О, преобразует
в О любую точку пространства. Поэтому в силу постулата IV движения
являются взаимно однозначными преобразованиями.
3 По современной терминологии — полугруппу (ср. сноску 3 на
•стр. 527).
44 Пространство /?з есть единичная сфера в ЕА\ координаты
Х\, х2, *з, *4 любой его точки (х\, х2, хз, л-4) удовлетворяют уравнению
*1 + *2 + *з + *4-"= 1;
расстояние о) между двумя различными точками (х\, x2t *з, х4) и (у\, у2>
г/з, Уа) определяется формулой
COS (0 = ХгУХ + Х2У2 -ф- *ЗУЗ + *4#4 (0 < (0 < 7l)\

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
535
Справедливость постулата I удостоверяется предложением 15
гл. VI; пост. III — предл. 9 гл. IV; пост. IV — предл. Т гл. IV;
пост. V — предл. 6 гл. IV; пост. VI—предл. 22 гл. IV; пост. VII—
предл. 5 гл. XV; пост. VIII — предл. 25 гл. XXIII; пост. IX —
предл. 3 гл. LV; пост. X — предл. 4 гл. LVII.
Между тем постулат II в этом пространстве не
оправдывается (предложение 4 гл. VII);'этим доказана независимость
постулата П. Постулат IX в нашей системе устраняет
гиперболические пространства, а постулат II — эллиптические.
Обратимся теперь к постулату I. В этом постулате
содержатся два утверждения: во-первых, что между любыми
двумя точками С и D имеются промежуточные точки и,
во-вторых, что промежуточная точка имеется на любом расстоянии,
меньшем, нежели CD, от каждой из них. Исследуем,
зависит ли каждое из этих утверждений от остальных постулатов.
Покажем прежде всего, что из постулатов II—X не
вытекает, что в пространстве, в котором они имеют место,
существуют какие-либо три точки, имеющие прямолинейное
расположение.
С этой целью рассмотрим новое пространство, состоящее
из конечного числа (п) точек, причем, однако, /г>6 К За
расстояние между любыми двумя точками примем одно и то же
-арифметическое число. За движения примем все возможные
перемещения этих точек четного порядка, т. е. состоящие из
•четного числа парных перестановок. Эти перестановки
образуют, как известно, так называемую знакопеременную
группу.
При этих условиях в нашем пространстве прямолинейное
расположение трех точек не может иметь места. Посмотрим,
удовлетворяет ли это пространство требованиям, выраженным
в остальных постулатах.
Так как расстояния между любыми двумя точками имеют
в этом пространстве одно и то же значение, то постулат III
в этом пространстве справедлив.
В этом пространстве имеют место исключительно
совершенные движения, а потому постулат IV также справедлив.
Так как перестановки, которыми в этом пространстве
движениями являются вращения пространства Е4 вокруг центра (0,0,0,0,)
сферы.
Если Л—любая точка пространства /?з, то три точки Л, В (0,0,0,1)
и С (0,0,0, —1) расположены прямолинейно; поэтому постулат II з
пространстве /?з несправедлив.
В современной терминологии пространство /?з называется сферическим.
1 Это пространство обозначим через 2 (см. следующую сноску).

536
П РИЛОЖЕНИЕ
определяются движения, образуют группу, то постулат V
здесь также справедлив.
Обращаясь теперь к постулату VI, заметим, что в нашем
пространстве любые две точки Си С относительно двух
других точек А и В удовлетворяют условию постулата.
Следовательно, чтобы доказать, что постулат VI в этом
пространстве справедлив, нужно обнаружить, что вращением вокруг
произвольных двух точек А и В можно любую третью точку С
привести в любую четвертую точку С. Так как в нашем
пространстве имеется больше шести точек, то в нем во всяком
случае имеются еще две точки D и D', отличные от
названных выше четырех точек. Перестановка (СС) (DD') имеет
четный порядок и, следовательно, выражает движение в
нашем пространстве, производящее требуемое совмещение.
Постулат VII в нашем пространстве также справедлив,
ибо геометрическое место точек, равно отстоящих от любых
двух точек, представляет здесь совокупность п—2 остальных
точек; так как между последними прямолинейного
расположения не существует, то они образуют плоскость.
В каждой плоскости в нашем пространстве имеется, таким
образом, не меньше пяти точек. Так как здесь любые две
точки расположены в плоскости по одну сторону любых двух
других точек, то постулат VIII здесь также справедлив.
Постулат IX также справедлив, так как от любых трех
точек любая четвертая точка отстоит на одном и том же
расстоянии.
Обращаясь к постулату X, рассмотрим плоскость,
имеющую полюсами точки А и А'\ плоскость, как сказано выше,
состоит из п—2 остальных точек. Если некоторое движение
оставляет все точки этой плоскости в покое, то оно могло бы
еще разве перемещать точки А и А'. Но так как
перемещение \АА') в состав знакопеременной группы не входит, то
это движение оставляет все точки пространства в покое.
Таким образом, в нашем пространстве все постулаты
III—X справедливы. Постулат II не может найти себе
применения, потому что в нашем пространстве не имеет места
его условие1. И иначе оно и не может быть в пространстве, в
котором прямолинейное расположение точек не имеет места.
Но при условном характере этого постулата в нем отнюдь не
1 Если бы можно было установить, что первая часть постулата I
зависит от остальных девяти постулатов II—X, то в соответствующем
рассуждении могли бы встретиться ссылки лишь на постулаты III—X. В са-

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
537
содержится требование, чтобы в пространстве существовали
точки, имеющие прямолинейное расположение. Таким
образом, мы можем сказать, что из постулатов II—X не вытекает,
что в пространстве вообще существуют точки, имеющие
прямолинейное расположение.
Однако если мы даже примем, что в пространстве
существуют точки, имеющие прямолинейное расположение, то из
постулатов II—X не следует, что между любыми двумя
точками имеется промежуточная точка 1.
Чтобы это показать, рассмотрим пространство, точки
которого распадаются на две категории. Первую категорию
образуют три точки А, В и С, г вторую четыре точки X, X',
Y, Y'. Расстояния распределены в этом пространстве
следующим образом:
Д£ = 5С = СЛ=1;
ХР = Х7У' = 1, FT'= 2, Х7Р = ЛУ'=3, ХХ7 = 4;
W = W==CV==AY'=W'=='CY' = 5;
АХ=Ш = СХ = АХ' = ВХ' = СХ7 = 10.
Движения, которые мы присвоим этому пространству,
заключают и несовершенные сопряжения. Именно, обозначим
через Si, S2,..., S6 все совершенные сопряжения группы Л,
В, С с самою собой, через Si, S2, ... ,S2i все.несовершенные
сопряжения той же группы с самою собой2. Пусть Т будет
перестановка (XX') {YY').
мом деле, непосредственно перед первой ссылкой на постулат II должно
было бы фигурировать утверждение, что в пространстве имеются две
точки, прямолинейно расположенные относительно двух других точек. Но в
пространстве S, рассмотренном на стр. 535—536, для которого
справедливы все восемь постулатов III—X, такое обстоятельство невозможно;
следовательно, в нашем рассуждении уже до указанной ссылки допущена
ошибка. Таким образом, для установления независимости первой части
постулата I от постулатов II—X нет надобности проверять справедливость
постулата II в пространстве 2.
* Как показано в предыдущем примечании, построение пространства,
исследованного на стр. 537—540, не является необходимым для
установления независимости постулата I (как в целом, так и в первой части) от
остальных постулатов II—X.
2 Если А', В\ С есть некоторое размещение элементов Л, В, С с
.повторениями или без них, то этому соответствует сопряжение
(АВС\
\А'В'С) '
относящее элементам Л, В, С, соответственно элементы А', В', С (или

538
П РИЛОЖЕНИЕ
Движения в нашем пространстве состоят из всех
сопряжений вида Sj, S/ и S/T, т. е. из всех как совершенных, так и
несовершенных сопряжений группы точек А, В, С с самою собой
и из несовершенных сопряжений той же группы,
сопровождаемых перестановкой Т.
Рассмотрим теперь, удовлетворяет ли это пространства
нашим постулатам; именно, покажем, что оно удовлетворяет
постулатам II—X.
Во-первых, ясно, что точки А, В и С не расположены
прямолинейно и что ни одна из этих точек не расположена
прямолинейно относительно двух точек второй группы, равна
как ни одна из точек второй группы не расположена
прямолинейно относительно двух точек первой группы. Что же
касается точек группы X, X', Y, Y', то они образуют прямолинейный
образ. Таким образом, в нашем пространстве имеет места
прямолинейное расположение точек, и постулат II при этом
справедлив.
Обращаясь к постулату III, заметим, что в нашем
пространстве имеются и несовершенные движения; но если какое-
либо движение приводит две различные точки в две
различные же точки, то расстояние между ними остаётся то же; эта
видно из того, что движения эти всегда совмещают точки
движение, приводящее точки А, В, С в точки А\ В\ С; определение 10
гл. II). Если между элементами А\ В\ С нет повторяющихся, то это
сопряжение совершенное; если же между ними есть повторяющиеся, то
сопряжение несовершенное (определение 8 гл. II); выражаясь
геометрически, если в ряду А', В', С нет повторяющихся точек, то движение при-
водит все точки в различные же точки; если же есть повторяющиеся
точки, то оно приводит некоторые точки в одну и ту же точку. Всех
размещений из трех элементов по 3 (с повторениями) есть 27; этому
соответствует 27 сопряжений, из которых 6 совершенных и 21 несовершенное.
Существенно важно заметить, что последовательное производство двух
сопряжений, из которых хоть одно несовершенное, представляет собой
несовершенное сопряжение. Действительно, положим, что сопряжение S
относит элементам А, В, С элементы А', В', С, а сопряжение Si относит
элементам А', В', С элементы А", В", С". В таком случае движение SS%
относит элементам А, В, С элементы А", В", С". Если 5 есть
несовершенное сопряжение, то между элементами А', В', О есть повторяющиеся;
соответственно этому повторяются и элементы в ряду А", В", С" (если,
например, В' есть А', то и В" есть А")\ поэтому и SSi есть сопряжение
несовершенное. Если же 5 есть совершенное, a S\ несовершенное
сопряжение, то и в этом случае между элементами Л", В", С" есть
повторяющиеся, а потому SSi есть сопряжение несовершенное. (Примечание
автора.)

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
539
группы А, В, С с точками той же группы, а расстояния АВ,
ВС и СА равны между собой; движение же, имеющее в своем
составе перестановку Г, всегда замещает различные точки
второй группы различными же ее точками; но расстояния
остаются при этом неизменными. Постулат III, таким
образом, справедлив. Совершенно ясно также, что справедлив и
постулат IV.
Далее легко убедиться, что справедлив и постулат V.
В самом деле, два движения 5/ и 5/ дают движение Sh; два
движения 5Д-, или S/Sh или SiS'/ дают движение S*; два
движения 5/ и 5/7" или Si и S/T дают движение ShT;
наконец, два движения S\T и S/T дают движение S/t»
Обращаемся к постулату VI. Если мы выделим две точки
первой группы, то условию постулата отвечают либо точки
X и X', либо точки Y и Y', так как
АХ=Ж' и М=Ш\
W= АР и BY = BY'.
Пусть S' будет движение, оставляющее точки А и В в
покое и приводящее точку С в точку А или В, скажем:
(А В С\
\А В А!'
В таком случае S'T есть вращение вокруг точек А и Ву
приводящее точку X в точку X' и точку Y в точку Y'.
Если мы выделим две точки второй группы, то условию
постулата удовлетворяют любые две точки первой группы;
так, например,
ХА = ХВ и YA = YB.
Движение ( ) оставляет точки X и Y (как и все точ-
ки второй группы) в покое и Совмещает точку А с точкой В.
Если, наконец, мы выделим одну точку первой группы
(скажем, С) и одну точку второй группы (скажем, X), то
условию постулата удовлетворяют две другие точки первой
группы:
ХА = ХВУ СА = СВ.
Движение (АВ) оставляет точки С и X в покое и замещает
точки А и В друг другом.

540
П РИЛОЖЕНИЕ
Таким образом, постулат VI в этом пространстве
справедлив. Легко видеть, что и постулат VII справедлив. В нашем
пространстве имеются четыре плоскости: во-первых,
плоскость, имеющая своими полюсами точки X и X' или Y и Y'\
она состоит из трех точек первой группы; во-вторых,
плоскость, имеющая своими полюсами две точки первой группы,
состоит из всех точек второй группы и третьей точки первой
группы.
Обращаемся теперь к постулату VIII. Ясно, что в
плоскости, состоящей из трех точек А, В и С, он не может найти
себе применения. Обратимся .поэтому к другим плоскостям,
скажем к плоскости, имеющей полюсами точки Л и В и
состоящей, следовательно, из точек С, X, X', Y, Y'. Если мы
выделим две точки второй группы, скажем точки X и Х\ то
из трех остальных точек плоскости никакие две не
расположены по одну сторону их, ибо прямая XX' проходит через
точки Y и Y'. Выделим теперь точки С и Y. Прямая CY,
согласно определению 1 гл. XI, состоит из этих двух точек и
встречает в точке Y отрезки CY' и XX'\ поэтому в числе трех
остальных точек нет двух пар, которые были бы
расположены по одну сторону точек С и Y'. Так же обстоит дело, если
мы выделим точки С и Y'. Если же мы выделим точки С и А'
(или С и А"'), то из трех остальных точек плоскости любые
две расположены по одну сторону их. Таким образом,
постулат VIII в нашем пространстве справедлив.
Легко также убедиться, что требованиям постулатов IX
и X удовлетворяет плоскость, состоящая из точек А, В и С.
Предыдущее исследование обнаруживает следующее. Из
постулатов II—X не следует, что в пространстве имеется хотя
бы одна точка, расположенная между двумя другими
точками. Если же принять, что прямолинейное расположение точек
в нашем пространстве имеет место, то отсюда еще не следует,
что между любыми двумя точками имеется промежуточная
точка. Если же принять и это, то отсюда все еще не вытекает,
что промежуточная точка имеется на любом расстоянии от
каждой из двух точек; это обнаруживает пространство Аъ 1
(предложение 11 гл. VI; справедливость остальных постула-
тов для этого пространства удостоверяется теми же предло-
1 Пространство Аъ отличается от £з только тем, что точкой в
нем называется совокупность п алгебраических действительных чисел, а
в уравнениях (2), задающих движения, все коэффициенты а^', а/ также
являются алгебраическими действительными числами.

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
541
жениями, что и для пространства Ez). Таким образом,
постулат I во всех своих частях не зависит от постулатов II—X.
Если мы не разбили, однако, этого постулата на несколько
допущений согласно указанным отдельным его частям, то
только потому, что каждое допущение содержится целиком в
последующем.
Вместе с тем мы считаем доказанным, что каждый из
наших десяти постулатов не зависит от остальных1.
Однако геометрическая система развивается не из одних
только постулатов, но и из определений. Под определением
мы разумеем предложение, присваивающее определенное
название известному понятию, составленному из других
понятий, определенных раньше или принятых в качестве
основных без определения. Иначе, каждое определение вводит
новый термин, устанавливая его отношение к терминам,
определенным раньше или принятым без определения.
Существенное различие определений от постулатов заключается
в том, что первые имеют своей целью только упрощение речи.
Можно было бы вовсе обойтись без новых терминов (т. е. без
терминов, введенных определениями) и оперировать над
основными терминами. Это сделало бы речь и процесс
рассуждения чрезвычайно громоздкими, но это все-таки только
вопрос удобства, а не вопрос логической необходимости. Так,
например, не вводя вовсе терминов «прямолинейное
расположение» и «между», мы могли бы формулировать постулат I
так:
«Если А и В суть две точки в пространстве, и со есть
произвольное арифметическое число, меньшее АВ, то'
существует такая точка С, что
ЛС = со и АС + 'СВ = АВ».
С другой стороны, число новых терминов можно, не
изменяя рассуждения по существу, произвольно увеличить.
В каком же отношении стоят определения к постулатам?
На первый взгляд может показаться, что никакой зависимо-
1 По отношению к постулату VII это утверждение несправедливо
(см. примечание на стр. 532). Таким образом, установлено, что из
постулатов I—VI, VIII—X каждый не зависит от остальных и что последнее
останется справедливым, если разбить постулат I на две части, так, как
это сделано на стр. 535.

542
П РИЛОЖЕНИЕ
сти между определениями и постулатами быть не может.
Какие препятствия могут оказаться к тому, чтобы назвать ту
или иную совокупность терминов новым именем, новым
термином? Таких препятствий, действительно, быть не может по
отношению к тем терминам, которые не фигурируют в
постулатах. Может даже случиться, что вводимое понятие
(именуемое новым термином) не может существовать при наличных
постулатах, находится в противоречии с ними. Но и это
обстоятельство не лишает нас возможности ввести такой
термин: результатом принятых постулатов и такого определения
будет теорема, что понятие, выражаемое этим термином, не
существует. Так, в гл. XIX настоящего сочинения с целью
упрощения речи введен термин «трансфинитная точка луча»
(определение 1) 1 и затем доказано, что трансфинитных точек
в пространстве Й7 не существует (теорема 6).
Вопрос стоит, однако, иначе по отношению к тем
терминам, которые введены определениями и вслед за тем
фигурируют в постулатах. Пока термин введен определением и
никаких других свойств ему не приписывается, определение не
может представлять собой ничего, кроме условия называть
известное понятие (или известную совокупность терминов)
новым именем. Но если термин фигурирует сверх того в
постулатах, то относительно него кое-что допускается, ему тем
самым приписываются известные свойства. При этих условиях
возникает вопрос, не представляют ли собой те свойства
определенного термина, которые выражены в определениях,
следствия тех его свойств, которые выражены в постулатах;
иначе, не представляет ли то предложение, которое мы именуем
определением, теорему, которая подлежит доказательству и
потому не должна фигурировать в числе основных
предложений (доказательству не подлежащих). Если бы, например,
допустить, что в числе постулатов, сверх наших десяти, был
бы такой: «В подобных треугольниках сходственные стороны
пропорциональны», то определение 1 гл. LVI («Подобными
называются треугольники, имеющие равные углы»)
представляло бы собой следствие постулатов и остальных
определений, т. е. теорему.
Из сказанного следует, что определения тех терминов,
которые фигурируют в постулатах, должны быть независимы от
1 Согласно этому определению, точка К луча, исходящего из точки Р,
называется его трансфинитной точкой по отношению к отрезку Л В, если
не существует такого натурального числа т, что гп- ЛВ>РК.

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
543
прстулатов и остальных определений. К исследованию наших
определений в этом отношении мы и переходим. Чтобы
доказать независимость некоторого определения от остальных
определений и постулатов, нужно указать такую
интерпретацию терминов, чтобы она находилась в согласии со всеми
остальными определениями и удовлетворяла бы всем
постулатам, но чтобы объект, соответствующий термину,
независимость которого мы исследуем, не подходил под его
определение в нашей системе. Этим будет обнаружено, что это
определение не представляет собой логического следствия
остальных определений и постулатов.
Прежде всего установим те определяемые термины,
которые входят в наши постулаты. Термины эти следующие1:
1) Пространство (определение 10 гл. II).
2) Точка (определение 10 гл. II).
3) Движение (определение 10 гл. II).
4) Совмещение (определение 13 гл. II).
5) Расстояние (определение 10 гл. II).
6) Три точки расположены прямолинейно (определение 1
гл. VI).
7) Точка, лежащая между двумя точками (определение I
гл. VI).
8) Прямолинейный образ (определение 1 гл. VII).
9) Движение SS\ заменяющее последовательное
производство движений 5 и S' (определение 7 гл. II).
10) Вращение (определение 13 гл. II).
11) Плоскость (определение 1 гл. XV).
12) Две точки в плоскости лежат по одну сторону двух
других точек (определение 1 гл. XXIII).
13) Покой (неподвижность) (определение 13 гл. II).
К этому списку нужно присоединить те определяемые
термины, которые фигурируют в определениях перечисленных
13 терминов и потому неявно фигурируют в постулатах.
14) Отрезок (определение 3 гл. VI).
15) Прямая (определение 1 гл. XI).
1) 2) 3) 4). Из этого списка мы, однако, исключим
термины «пространство», «точка», «движение» и «совмещение».
Хотя эти термины в настоящем сочинении и определены, но
определения эти носят чисто тавтологический характер. Мы
1 Определения понятий 2) — 15) приведены выше в сносках 1 на
стр. 525, 1, 2, 3 на стр. 527 и 2, 3 на стр. 528. Определение пространства
дано на стр. 525.

544
П РИЛОЖЕНИЕ
хотим этим сказать следующее. За основание для нашего
исследования мы приняли понятия о многообразии
(совокупности), элементах многообразия и ассоциации, или
сопряжении этих элементов. Эти понятия мы считаем за основные,
относя анализ их за пределы настоящего сочинения. Эти
термины: «многообразие», «элементы», «сопряжение элементов»
и «сопряжение многообразий» заменены в пределах
настоящего сочинения терминами «пространство», «точки»,
«совмещение», «движение». Каждый термин заменен равносильным
термином без того, чтобы это имело какое бы то ни было
значение для самого исследования; это сделано с
единственной целью сохранить установившуюся в геометрии
терминологию.
Мы могли бы везде вместо термина «точки» употреблять
термин «элементы»; вместо того чтобы говорить, что
«движение совмещает одну точку с другой», мы могли бы говорить,
что «сопряжение относит один элемент другому», и это не
вызвало бы никаких осложнений; это была бы та же
система, выраженная другими словами.
Правда, определение 10 гл. II определяет «пространство»
как многообразие, в котором установлены расстояния и
движения. Но мы смотрим на это лишь как на определение того
цикла рассуждений, в пределах которых мы будем называть
многообразие «пространством»: мы делаем это в пределах
тех исследований, которые имеют в виду изучение свойств
многообразий, зависящих от установленных в них
сопряжений и расстояний.
Вся система постулатов выражена таким образом, что они
теряют всякий смысл, если мы не. будем разуметь под
пространством «многообразие точек», под «движением» —
сопряжение этого многообразия с самим собой.
Ввиду всего сказанного мы относим термины
«пространство», «точки», «движение», «совмещение» к числу основных
терминов и не считаем возможным говорить об их
независимости от остальных.
5) Обращаясь теперь к термину «расстояние», посмотрим,
необходимо ли мы должны разуметь под расстоянием
арифметическое число, чтобы иметь возможность построить ту же
систему, т. е. сохранить без изменения остальные
определения и постулаты.
Ответ на этот вопрос дает замечательная геометрическая
система, предложенная Д. Гильбертом в сочинении «Grund-

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
545
lagen der Geometrie». Система эта построена следующим
образом.
Пусть t будет независимая переменная, область значений
которой состоит из всех вещественных чисел. Составим
всевозможные рациональные алгебраические функции от t,
принадлежащие этой области, т. е. с коэффициентами,
принадлежащими области всех вещественных чисел; как говорят,
приобщим переменную t к области R всех вещественных чисел.
Полученную область функций обозначим через R'. Выберем
произвольно п из этих функций coi, 0)2, ..., о)л, составим
функцию
+ ^С02 + С02+ ...+0)2
и приобщим ее к области R\ если она не входила в состав
ее раньше. Таким образом, получим область функций R".
Выбрав таким же образом ряд функций со|, Ц, . . . , сот в
области R'\ составим функцию
+ У(ю2)* + ((о2)*+... + ((от)''
и приобщим ее к области R".
Этот процесс можно продолжить неопределенно.
Совокупность всех функций, которые мы можем таким образом
получить, мы обозначим через R(t). Мы можем сказать, что в
состав этой области входят те и только те функции, которые
могут быть получены путем производства рациональных
действий и операции V^\ + ®\ + • • • + <*>£ наД независимым
переменным и вещественными числами, а также над
функциями, полученными тем же путем предварительно.
Совершенно ясно, что каждая из таких функций, если она
не равна нулю тождественно, обращается в нуль конечное
число раз, а потому при достаточно больших положительных
значениях независимого переменного сохраняет постоянный
знак.
Претворим теперь это многообразие функций в величину.
С этой целью установим критерии сравнения ее элементов.
Если о)1 и о)2 суть две из наших функций и разность coi—0)2
равна нулю при всех значениях независимого переменного,
то мы будем говорить, что coi = o)2. Если же разность o)i—0)2
при достаточно больших положительных значениях
независимого переменного получает положительные значения, то мы
будем говорит, что o)i>o)2; если же эти значения отрицатель-

546
П РИЛОЖЕНИЕ
ны, то мы будем говорить, что coi<o)2. Убедиться в том, что
все постулаты сравнения здесь удовлетворены крайне
просто. Полученную таким образом величину мы будем
называть системой трансфинитных чисел Гильберта. Совершенно
ясно, что над этими числами мы можем производить четыре
арифметических действия по тем же формальным законам,
что и над обыкновенными числами. Легко убедиться также,
что в этой области можно построить теорию ортогональных
систем, как это сделано в первой главе, не меняя ничего в
этом изложении.
Рассмотрим теперь плоское пространство трех измерений
первого рода, принадлежащее области гильбертовых чисел,
понимая это в смысле определения 1 гл. III. Расстояние
между двумя точками {х\, х2, хг) и (уи Уъ, Уг) в этом
пространстве выражается гильбертовым числом
V(Xi - Уг)2 + (*2 - </2)2 + (*. - Уз)2-
Это пространство удовлетворяет всем постулатам I—X при
сохранении всех определений, кроме «расстояния» К
Постулат I в этом пространстве справедлив не только в том
смысле, что между любыми двумя точками А, В на любом
расстоянии, выражаемом арифметическим числом, меньшим
числа АВ (вообще говоря, гильбертова), имеется промежуточная
точка, но и на расстоянии, выражаемом любым
положительным гильбертовым числом, меньшим АВ.
Итак, оставаясь при всех остальных определениях и
постулатах, можно построить геометрическую систему, в
которой расстояние между двумя точками выражается не
арифметическим, а положительным гильбертовым числом. Эта
геометрия отличается от евклидовой в тех свойствах
пространства, при доказательстве которых мы опирались на
свойства арифметических чисел, не присущие гильбертовым
числам. В этом пространстве не имеет места принцип Архимеда
и на каждом луче имеются трансфинитные точки. Это
пространство и построено Гильбертом для доказательства
независимости принципа Архимеда от тех постулатов, которые
Гильберт в своей статье устанавливает2.
1 Движения в нем задаются согласно определению 1 гл. III
уравнениями (2), где а{р, а; — г и л ь б е р то в ы числа; матрица ||а/1)|| —
ортогональная с определителем, равным +1. См. сноску 1 на стр. 529.
2 См. [2], стр. 106—110.

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
547
6) Независимость остальных определений доказать
гораздо легче; это можно выполнить, видоизменяя лишь немного
пространство Е3. Обратимся к термину «три точки имеют
прямолинейное расположение».
Согласно определению 1 гл. VI, три точки А, В и С
расположены прямолинейно, если одно из трех расстояний АВ, АС
и ВС равно сумме двух других. Если же три точки
расположены прямолинейно и АВ есть большее из трех расстояний,
то мы говорим, что точка С лежит между точками А и В.
Примем теперь в пространстве.Ег за расстояние между
двумя точками (х\, х2, хг) и (уи У2> Уг) не
VK ~ Уг)2 + (*2 - У2)2 + (*. - Уз)2>
а подкоренное выражение
(*i - Уг)2 + (*2 - #2)2 + (*з - Уз)2-
Мы получим таким образом видоизменное пространство, в
котором" будем считать три точки расположенными
прямолинейно, если корень квадратный из одного расстояния равен
сумме корней квадратных из двух других расстояний, если,
скажем,
УШ= VW+ VW.
Во избежание недоразумений мы будем писать термин
прямолинейно, а также ниже и другие термины, курсивом,
когда будем употреблять их в новом значении слова, и
прямым шрифтом — в прежнем его значении.
По-прежнему мы будем говорить, что точка С лежит
между точками А и В, если три точки расположены
прямолинейно и АВ есть наибольшее из трех расстояний. Точно так же
мы сохраним все остальные определения. Ясно, что все
постулаты будут в нашем пространстве справедливы. Отсюда
следует, что определение «прямолинейного расположения трех
точек» не зависит от постулатов и остальных определений,
ибо, сохраняя все остальные определения и постулаты, нет
необходимости характеризовать прямолинейное
расположение трех точек тем, что одно из трех расстояний равно сумме
двух других.
7) Обратимся теперь к термину «точка С лежит между
точками А и В». Сохранив определения всех остальных
терминов, не исключая, следовательно, термина «прямолинейное

548
П РИЛОЖЕНИЕ
расположение трех точек»* изменим значение термина
«между»; именно, будем говорить, что «точка С лежит между
точками А и В» относительно всякой точки С, прямолинейно
расположенной относительно точек А и В, кроме точки,
равно от них удаленной (т. е. кроме середины отрезка АВ в
обычном смысле последнего слова: эту точку мы будем здесь
для удобства называть «серединой АВ»). Изменяя
определение одного термина и сохраняя остальные определения, мы
всё же тем самым меняем значение терминов, зависящих от
термина изменяемого. В данном случае новое определение
термина «между» отражается исключительно на значении
термина «отрезок» и связанного с ним термина «две точки
расположены по одну сторону двух других точек». Именно,
под отрезком АВ мы, согласно определению 3 гл. VI, должны
будем разуметь все точки прямой АВ, кроме середины АВ.
Так как сверх того, значение термина «прямая» не меняется,
то при новом значении термина «между» точками А и В в
нашем пространстве расположены в плоскости по одну сторону
точек Р и Q, если прямая PQ не встречает вовсе прямой АВ
или встречает ее только в середине АВ.
Относительно всех постулатов, кроме VIII, совершенно
очевидно, что все они остаются в силе при новом значении
термина «между». Обращаясь поэтому к постулату VIII,
предположим, что в некоторой плоскости две пары точек
А и В, В и С расположены по одну сторону точек Р и Q.
Согласно тому, что было сказано выше о значении этого
термина, здесь могут быть три случая: а) прямая PQ вовсе
не встречает прямых АВ и ВС; Ь) прямая PQ встречает
прямую АВ только в середине АВ и вовсе не встречает
прямой ВС; с) прямая PQ встречает прямую АВ только в
середине АВ и прямую ВС только в середине ВС.
Первый случай в пространстве Ег может иметь место лишь
при том условии, что прямые АВ и ВС совпадают; но в таком
случае прямая PQ не встречает и прямой АС, т. е. точки
А и С также расположены по одну сторону точек Р и Q.
Во втором случае прямая PQ проходит через середину АС,
а в третьем случае вовсе не встречает прямой АС; иными
словами, и в этих случаях точки А и С расположены по одну
сторону точек Р и Q. Постулат остается в силе, и
независимость этого термина также доказана.
8) Независимость остальных определений доказывается
гораздо проще. Термин «прямолинейный образ» играет в по-

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
549
стулатах столь незначительную роль, что его, быть может,
было бы лучше и вовсе не употреблять в постулатах. Тем не
менее, если, оставаясь при всех прежних определениях, мы
будем разуметь под прямолинейным образом такой образ, в
котором каждым двум точкам соответствует по крайней мере
одна точка, прямолинейно относительно них расположенная,
то термин получит совершенно другое значение, но все
постулаты останутся в силе.
9) Если мы под термином «движение, заменяющее
последовательное производство движений 5 и 5'» условимся
разуметь не движение 55х в обычном его значении, а обратное
ему движение (55')-1 или движение SS'S~l и т. п., то мы
также удовлетворим всем постулатам, т. е. собственно
постулату V, в котором он только и фигурирует.
10) Если мы под «вращением вокруг точки» будем
разуметь не такое движение, которое оставляет эту точку в
покое, а такое, которое ее перемещает, то мы всё же
удовлетворим постулату VI *, в котором он фигурирует, а подавно и
остальным постулатам.
И) Если мы под термином «плоскость» будем разуметь
то, что мы разумели раньше под термином «полуплоскость»2,
то легко видеть, что мы удовлетворим всем постулатам.
Справедливость постулата VIII требует некоторого размышления,
но мы представим это читателю.
12) Если мы под термином «две точки Л и В в плоскости
расположены по одну сторону точек Р и Q» будем разуметь,
что каждая точка отрезка АВ отстоит от прямой PQ на
расстояние, большее, нежели некоторое определенное
арифметическое число h (скажем 1), то мы удовлетворим
постулату VIII, а вместе с тем и остальным.
13) Если под термином «движение оставляет точку в
покое» мы будем разуметь, что оно перемещает данную точку
на такое же расстояние, на какое оно перемещает всякую
другую точку пространства, то так называемое
поступательное движение будет оставлять в покое все точки пространства
1 В силу теоремы 2 гл. XVI: «В пространстве Q-/ (см. стр. 531)
каждая точка может быть приведена в совмещение с любой другой точкой».
2 Две точки С и D плоскости а лежат по одну сторону от прямой АВ,
принадлежащей той же плоскости, если прямая АВ и отрезок CD не
имеют общих точек; полуплоскостью называется множество всех тех точек
плоскости а, которые лежат с данной стороны от прямой АВ или же на
самой прямой АВ (определения 1 и 4 гл. XXIV).

560
ПРИЛОЖЕНИЕ
и будет представлять собой вращение вокруг любой точки
или любой совокупности точек. Вследствие этого останутся в
силе постулаты VI и X, а вместе с тем и все остальные
постулаты 1.
14) Если, сохраняя все остальные определения, мы под
термином «отрезок АВ» будем разуметь все точки прямой АВ,
кроме середины АВ, то, как мы видели при доказательстве
независимости термина «между», все постулаты остаются
в силе.
15) Наконец, сохраняя все остальные определения,
условимся разуметь под прямой АВ то, что обыкновенно
разумеют под отрезком АВ. Легко видеть, что это не отразится на
значении термина «обе точки А я В расположены в
плоскости по одну сторону двух других точек Р и Q». В самом деле,
ни одна прямая, проходящая через точки Р и Q и
расположенная в плоскости, не встречает отрезка АВ в том и только
в том случае, если прямая PQ (подчеркнем, в прежнем
значении этого слова) не встречает отрезка АВ. Вследствие
этого постулат VIII остается справедливым, а об остальных
постулатах и говорить нечего.
Из всего сказанного мы заключаем, что и определения,
приведенные в настоящем сочинении, не зависят от
постулатов и остальных определений. Иными словами, ни одно из
основных предложений, приведенных в настоящем сочинении
без доказательства в качестве постулатов или определений,
не может быть доказано при помощи остальных.
Итак, для построения евклидовой геометрии нами был
установлен ряд определений и постулатов. Число
определений, как мы сказали выше, может колебаться в зависимости
от нашего усмотрения: в видах удобства речи можно
значительно увеличить число терминов, вводимых определениями;
если же с этим не считаться, то число их можно уменьшить,
и можно даже вовсе обойтись без определений. Постулатов
мы установили 10. Мы показали, что евклидову геометрию
нельзя построить, опустив какой-либо из этих постулатов.
Но в какой мере определительны для пространства эти 10
постулатов? Почему мы полагаем, что ими исчерпывается гео-
1 Существование поступательного движения, совмещающего любую
точку С пространства с любой другой его точкой О, очевидно для
пространства Ез, а этого достаточно для излагаемого доказательства.

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
551
метрическая система? Нет ли надобности присоединить еще
несколько постулатов? Не явится ли такого рода надобность
при решении дальнейших задач, составляющих предмет
геометрического исследования?
Положим, что мы имеем два пространства Е и Е'.
Допустим, что многообразия @ и <5', которыми они образованы,
имеют одинаковую мощность, т. е. между их элементами
может быть установлено однозначное соответствие таким
образом, что каждый элемент одного многообразия соответствует
одному и только одному элементу второго многообразия и,
обратно, каждому элементу второго многообразия отвечает
один и только один элемент первого многообразия; два
элемента одного и другого многообразия, связанные таким
образом, мы будем считать соответствующими друг другу. Мы
допустим далее, что соответствие это может быть установлено
таким образом, чтобы а) расстояние между двумя точками
одного пространства всегда было равно расстоянию между
соответствующими точками другого пространства; Ь) чтобы
каждому движению одного пространства отвечало в другом
пространстве движение, производящее совмещение
соответствующих точек. Такие пространства мы будем называть
сходственными1. Совершенно ясно, что два пространства,
сходственные с третьим, сходственны между собой.
Вследствие этого все пространства, сходственные с одним и тем же
пространством, образуют категорию пространств,
сходственных между собой.
Каждое пространство, удовлетворяющее постулатам I—X,
сходственно с пространством Ег. Действительно, пусть Q
будет некоторое определенное пространство Qio. Если мы
выберем в пространстве Q три взаимно перпендикулярные
плоскости, то каждой точке отвечают три числа — расстояния этой
точки от этих плоскостей 2; иначе говоря, каждой точке
нашего пространства отвечает точка в пространстве Ez. Обратно,
каждым трем числам (х\, Х2, хг) отвечает одна и только одна
точка в пространстве Q, т. е. каждой точке в пространстве Ег
отвечает точка в пространстве Q3- На первых страницах каж-
1 Иначе говоря, сходственными называются пространства, изоморфные
друг другу.
2 Подразумевается: снабженные знаком по известным правилам.
3 Это следует из изложенных в книге (гл. XVI—XXII) результатов;
особенно существенной здесь является теорема 13 гл. XVI: «В
пространстве Qj на любом луче на всяком расстоянии от вершины (т. е. от точки,
из которой исходит луч) имеется одна и только одна точка».

552
П РИЛОЖЕНИЕ
дого учебника аналитической геометрии доказывается, что ъ
пространстве Q расстояние между точками, имеющими
ортогональные координаты (jci, Х2, Хз) и (у и У2, Уз), есть
V(*X - Ух)' + (*2 - У2)2 + (Х3 - Уз)2'
Иными словами, расстояния между двумя точками в
пространстве Q и между соответствующими точками в
пространстве £з равны.
Пусть 5 будет движение в пространстве й, приводящее
точку (х\, хъ, Хз) в точку (xv xv xz). Координатные
плоскости при этом движении совпадут с тремя плоскостями,
которые мы примем за основные плоскости новой системы
координат. Точка (x'v x'v x'v) имеет в новой системе координаты
Х\, Х2, Хз. Принимая во внимание известные формулы
преобразования координат, найдем:
х\ = аМхг + а^х2 + а^х8 + av
. х2 = af% + а22>х2 + а™х3 + а2,
Х3 = а?)Х1 + а2)х* + й3)х* + ^3»
где коэффициенты а} ) образуют ортогональную систему
первого рода. Итак, каждому движению в пространстве Q
отвечает движение в пространстве £з, производящее такое же
совмещение соответствующих точек. Аналогичным
рассуждением можно обнаружить, что и обратно: каждому движению
в пространстве £з отвечает движение в пространстве Я,
производящее такие же совмещения.
Из сказанного вытекает следующий вывод: если
усматривать задачу геометрического исследования в том, чтобы
изучать и такие свойства пространства, которые зависят от
специфических особенностей элементов образующего его
многообразия, то наши постулаты пространства не определяют.
Но если задачу геометрии усматривать только в изучении
таких свойств пространства, которые принадлежат и всем
сходственным пространствам, то наши постулаты вполне
определяют геометрическую систему: это есть геометрия
пространств, сходственных с пространством Ег.
До Декарта за объект геометрического исследования
принималось одно определенное пространство: та совокупность
представлений, которые связывались с понятиями о точках,
их взаимных расстояниях и движениях; это — так называе-

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
553
мое «реальное пространство». Быть может, было бы
правильнее сказать, что и это есть бесчисленное множество
сходственных пространств, так как каждый несет это пространство
с собой, и никакого единого и действительно реального
субстрата за ним нет.
С Декарта то же исследование стали производить,
пользуясь другим представителем той же группы сходственных
пространств, именно численным пространством Ег. И именно
на том, что пространство £з сходственно с так называемым
«реальным пространством», основан аналитический метод
геометрического исследования.
Современная постановка вопроса об обосновании
геометрии заключается в том, чтобы развить геометрическую
систему этой совокупности сходственных пространств, не пользуясь
никаким определенным субстратом. Мы ставили себе ту же
задачу в настоящем сочинении.
В какой мере, однако, автор считает эту цель
достигнутой? Можно ли считать приведенные в настоящем сочинении
посылки необходимыми и достаточными для обоснования
геометрии?
Начнем с вопроса о достаточности посылок. Развитие
геометрической системы можно было бы считать строго
формальным, если бы были формулированы все основные
термины и все основные посылки, из которых можно было бы
делать выводы путем непосредственных замещений терминов
равнозначащими терминами, т. е. если бы с основными
терминами мы не связывали решительно никаких
определенных представлений. Эта конечная цель в настоящем
сочинении достигнута столь же мало, как и в других сочинениях,
имеющих ту же задачу. Рядом с основными терминами,
которые мы указали, мы употребляли много других терминов,
которым несомненно присваивается определенное значение,
нами не формулированное, или которыми устанавливается
отношение одних терминов к другим. Таковы термины:
«существует», «различные точки», «две точки», «три точки» и т. д.,
«многообразие состоит из точек» и т. п. Рядом с постулатами,
нами формулированными, имеются постулаты логические, на
которых основан весь процесс рассуждения, xoivai svvoiai1 в
Общие понятия.

554
ПРИЛОЖЕНИЕ
более широком смысле, чем их понимает Евклид. Наконец,
в основе всей нашей системы лежит арифметика; мы
принимаем, следовательно, все те постулаты, на которых покоится
эта дисциплина. А между тем, как ни глубоко продуманы
начала арифметики, эта наука не может считаться
обоснованной. Мало того, в своей знаменитой парижской речи
проф. Гильберт справедливо указывает, что обоснование
арифметики тормозится тем, что в этой области мы еще не
имеем даже никаких средств для суждения о. совместимосги
посылок.
Итак, кроме тех посылок, которые нами формулированы,
мы опирались еще на другие посылки; мы не можем
признать, следовательно, наших посылок достаточными для
формального обоснования геометрии. Мы формулировали лишь
те термины и постулаты, которые характеризуют
геометрическое исследование, и оставили в стороне те посылки, на
которых покоится каждое рассуждение, к какой бы области оно
ни относилось. Значение того ряда работ, к которому
относится и настоящее сочинение, заключается в том, что они
окончательно отвлекают обоснование геометрии от того
субстрата, который называют «реальным пространством», и
переносят его в сферу несравненно более общих понятий и
рассуждений. Выяснение же этих понятий и основ, на которых
покоятся эти рассуждения, относится более к логике и
психологии, чем к геометрии.
Нам остается только ответить на последний вопрос,
необходимо ли допустить все наши постулаты для обоснования
геометрии? Само собой разумеется, что этот вопрос нужно
понимать только в определенном смысле. Не может быть,
конечно, сомнения, что вся система посылок может быть
заменена другой равносильной ей системой; даже каждый
отдельный постулат может быть обыкновенно заменен другим.
С другой стороны, мы показали, что евклидова геометрия не
может быть построена, если мы опустим один из постулатов.
Но должны ли мы принять каждый из постулатов во всем его
объеме, не можем ли мы заменить его другим, содержащим
меньше по объему своих требований,— это вопрос другой.
Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны сказать, с
одной стороны, что за пределами некоторого минимума
допущения, содержащегося в каждом отдельном постулате, по-види-

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
555
цому, невозможно достигнуть их независимости. При всей
неопределенности этого утверждения, оно все же содержит в
себе факт, хорошо известный всякому, кто занимался
построением системы независимых посылок для обоснования
геометрии. Выяснив посылки, на которых представляется
возможным обосновать геометрию, приходится устранять из каждого
допущения то, что представляет собой следствие остальных
постулатов, и таким путем удается установить некоторый
минимум допускаемого, который от остальных постулатов уже
не зависит.
Но вопрос представляется в совершенно ином виде, когда
мы имеем уже независимые посылки и спросим себя,
содержит ли каждая из них минимум того, что необходимо принять
для нашей цели.
После того как автору настоящего сочинения удалось
установить независящие друг от друга постулаты геометрии,
он имел возможность значительно сократить требования,
содержащиеся в отдельных постулатах, и в этом сокращенном
виде они и формулированы здесь. Но и сейчас мы можем идти
дальше в этом направлении и сделать сокращения, которые
не были произведены раньше, частью потому, что не были
своевременно усмотрены, частью по причинам, которые мы
укажем ниже.
Так, постулат X можно свести к тому, что «в пространстве
имеется плоскость, при неподвижности которой остается в
покое еще одна точка пространства». Что можно
ограничиться этим допущением, совершенно ясно из теоремы 32 гл. XL *,
так как из нее вытекает постулат в его первоначальной
редакции.
Постулат IX требует, чтобы в пространстве существовала
плоскость такого рода, что каждым трем ее точкам, не
имеющим прямолинейного расположения, отвечает точка,
одинаково от них удаленная. Между тем если мы вообразим в какой-
либо плоскости круг сколь угодно малого радиуса и допустим
только, что в пределах этого круга каждым трем точкам, не
имеющим прямолинейного расположения, всегда отвечает
одинаково удаленная точка, то этого достаточно для
обоснования евклидовой геометрии. Более того, если мы фиксируем
1 Теорема 32 гл. XL: «Если некоторое движение в пространстве Qs
оставляет в покое некоторую плоскость ЛВС, то оно либо оставляет в
покое все пространство, либо замещает друг другом два полупространства
ABCD и ABCD', на которые плоскость ЛВС делит пространство».

556
П РИЛОЖЕНИЕ
две точки А и В и одну из них обведем окружностью сколь
угодно малого радиуса, и каждой точке С внутри этого круга,
не расположенной прямолинейно относительно А и В,
отвечает точка, равно удаленная от точек А, В и С, то этого
достаточно для обоснования евклидовой геометрии. Это
следует из того, что в гиперболической плоскости двум точкам
А и В сколь угодно близко к каждой из них отвечают такие
точки С, которые не лежат с Л и В ни на одной прямой, ни на
одной окружности *.
Если мы сохранили в тексте первоначальную редакцию
постулата, то сделали это, с одной стороны, потому, что
нужен ряд сложных рассуждений, чтобы из этого
сокращенного постулата перейти к первоначальной редакции; с другой
стороны, потому, что этим вряд ли достигается существенное
улучшение: весьма вероятно, что в деле этого сокращения
можно идти много дальше и нет никакого критерия, что мы
достигли действительно необходимого минимума.
Сокращение допускает и постулат VIII. Именно,
достаточно допустить, что принцип Паша имеет место в одной
плоскости, чтобы Ътсюда можно было вывести, что она сохраняет
свою силу в каждой плоскости. Действительно, пусть в
пространстве Й7 R будет плоскость, в которой принцип Паша
справедлив, а 5 некоторая другая плоскость. Положим, что
в плоскости 5 две пары точек А и В, В и С расположены по
одну сторону точек Р и Q, а точки А и С расположены по
разные стороны их. В пространстве Й7 это означает, что
прямая PQ не встречает отрезков АВ и ВС, но встречает
отрезок АС. Но из доказательства теорем 26 и 27 гл. XVI видно,
что в пространстве Й7 плоскость S может быть наложена на
плоскость R 2. Пусть А\ В', С, Р', Q' будут точки, с которыми
при этом совмещаются точки А, В, С, Р и Q. Прямая P'Q' не
встречает при этом отрезков А'В' и В'С и встречает отре-
1 См. В. Каган. Очерк геометрической системы Лобачевского.
Одесса, 1900, стр. 73 и ел. {Примечание автора.).
2 Указанное утверждение вытекает из следующих двух теорем гл. XVI:
«Если две точки А и В в пространстве Q7 представляют собой полюсы
некоторой плоскости, то любые две точки А' и В'', принадлежащие
прямой АВ и одинаково удаленные от середины О отрезка АВ, могут быть
рассматриваемы как полюсы той же плоскости» (теорема 25); «Если рас-
стояние А В двух точек А и В в пространстве Q7 равно расстоянию А'В'
точек А' и В', то точки А и В могут быть приведены в совмещение
соответственно с точками А' и В'» (теорема 3).

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
557
зок Л'С; так как в плоскости R это не может иметь места, то
постулат Паша сохраняет свою силу и в плоскости 5.
Но наиболее интересны сокращения, которые могут быть
сделаны в постулате I. Этот постулат требует, чтобы между
любыми двумя точками С и D существовала точка на любом
расстоянии, меньшем CD, от любой из них. Но оказывается
достаточным принять, что а) между любыми двумя точками А
и В имеется точка, одинаково от них удаленная
(середина АВ), и б) в пространстве имеются две точки С и D, между
которыми имеется точка на любом расстоянии, меньшем CD
от каждой из них.
Чтобы это доказать, заметим прежде всего, что вся
глава VIII остается при этом в силе. При доказательстве,
относящихся сюда теорем, приходится прибегнуть к постулату I
только один раз (при доказательстве теоремы 4, вводя
точку Е)1. Но здесь достаточно воспользоваться постулатом а).
Итак, теоремы о расположении точек на прямолинейном
образе остаются в силе. Отсюда следует, что при постулате а)
между любыми двумя точками А и В имеются точки, сколь
угодно мало удаленные от каждой из них. Чтобы это
доказать, достаточно взять середину В' отрезка АВ, середину В"
отрезка АВ' и т. д. Далее нетрудно видеть, что остаются в
силе и все теоремы гл. XI, кроме теорем 4 и 13. Пусть теперь
С и D будут те две точки, между которыми имеется точка на
любом расстоянии, меньшем CD. Пусть Е будет середина CD,
F середина СЕ. Пусть Н будет произвольная точка, не
принадлежащая прямой CD (существование такой точки следует
яз постулата VIII). Как мы видели выше, между Я и F
найдется точка G, отстоящая от F на расстояние GF< —СЕ (т. е.
меньшем FC и FE). Пусть С будет точка на отрезке FC,
отстоящая от F на расстояние GF, и Е' такая же точка на
отрезке FE2. Вращением 5 вокруг точки F и середины
отрезка GE' точка Е' может быть приведена в точку G (посту-
1 Теорема 4 гл. VIII: «Если четыре точки Л, В, С и D в
пространстве Q2 образуют прямолинейный образ, и при этом как точка В, так и
точка D расположены между Л и С, то точка D лежит либо между А и В.
либо между В и С». При рассмотрении одного из возможных здесь
случаев вводится произвольная точка Е, лежащая между С и D.
2 Существование точек С и Е' следует из постулата б) и теорем о
порядке точек на прямой, доказанных в гл. VIII.

558
П РИЛОЖЕНИЕ
лат VI), а вращением S' вокруг точки F и середины
отрезка GC точка G может быть приведена в точку С. Движение
55' (постулат V) приводит поэтому точку Е' в точку С.
Легко показать, что точка D перейдет при этом в точку D' по
другую сторону точки F на прямой CD и расстояние DD'
3
будет равно —CD. Вместе с тем между точками D и D' будут
промежуточные точки на любых расстояниях, меньших DD'.
Продолжая то же рассуждение, мы покажем, что на
прямой CD имеются точки на расстоянии, сколь угодно большем
друг от друга, между которыми имеется промежуточная точка
на любом расстоянии. Можно также легко показать, что
крайние точки такого непрерывного отрезка могут быть выбраны
по обе стороны точек С и D, на сколь угодно больших
расстояниях от них. Это сводится к тому, что любые две точки
прямой CD также удовлетворяют требованию, выраженному
в постулате б). Выбрав на этой прямой точку / так, чтобы
JF = HF, мы совместим точку / с точкой Я вращением вокруг
точки F и середины /Я. Вследствие этого точки F и Я также
удовлетворяют постулату б), а потому прямая FH находится
в этом отношении в тех же условиях, как и прямая CD.
Выбрав поэтому точку К вне прямой НК, мы таким же
образом докажем, что в тех же условиях находится прямая НК.
Так как точки Я и К выбраны совершенно произвольно, то
отсюда следует, что из допущений а) и б), при наличности
остальных постулатов, вытекает постулат I во всем его
объеме.
Заметим, что постулаты а) и б) независимы друг от друга
и от постулатов II—X. Действительно, пространство Л3 х
удовлетворяет постулатам а) и II—X, но не удовлетворяет
требованию постулата б). Напротив, пространство, которое мы
сейчас опишем, удовлетворяет требованиям б) и II—X, но не
удовлетворяет требованию а).
Пространство это состоит из точек двух категорий.
Первую категорию образуют точки Аи А2, Л3,..., Лп (п>6), а
вторую образует, так сказать, отрезок плоского пространства
одного измерения, содержащийся между точками (+а) и
(—а), кроме его середины. Иными словами, вторую категорию
точек образует совокупность значений вещественного
переменного х, содержащихся между (+а) и (—а) и отличных
См. примечание на стр. 540.

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
559
от нуля. Точки этой группы мы будем обозначать буквой С
с различными индексами С\у С2, С3,..., а соответствующей
строчной буквой (й, С2,...) будем выражать обозначаемое ею
значение переменного х1.
Расстояния в этом пространстве мы распределим
следующим образом.
Расстояние между любыми двумя точками А1 и Aj будем
считать равным арифметическому числу 1>2а. Расстояние
между двумя точками второй группы С\ и С2 будем, как и
в плоском одновременном пространстве, выражать числом
\с\ — с2\.
Расстояние между точкой At первой группы и точкой С
второй группы будем выражать числом V °2 + Л2, где h
арифметическое число, большее, нежели /.
Переходя теперь к движениям в нашем пространстве,
обозначим через а произвольную перестановку элементов At
четного порядка, а через т произвольную перестановку тех же
элементов нечетного порядка. Далее, через р обозначим
преобразование элементов С, выражаемое уравнением
хг = — х.
Совокупность движений в нашем пространстве составим
из всевозможных преобразований вида а и тр, т. е.
всевозможных перестановок элементов Ai четного порядка и
всевозможных перестановок тех же элементов нечетного порядка,
сопровождаемых преобразованием р.
Покажем, что это пространство удовлетворяет всем
постулатам II—X.
Прежде всего ясно, что в нашем пространстве три
точки первой группы Ац Aj, Ак никогда не имеют
прямолинейного расположения. Далее, ни одна из точек Аь не
расположена прямолинейно относительно двух точек С\ и Сг второй
группы. В самом деле, если в пространстве Е3 возьмем на
оси х-ов точки С\ и С'2, для которых xi = c\ и x2=c2l и, далее,
точку А. выберем на плоскости х = 0 на расстоянии h от
начала, то расстояния A\CV А'.С2 и С\С2 в пространстве Е3
будут равны расстояниям А( Сь AfC2, С\С2 в исследуемом
пространстве; и так как соответствующие точки в простран-
1 Для наглядности можем себе представлять это пространство так:
в евклидовом пространстве взят отрезок длиною 2а и в плоскости,
перпендикулярной к нему в его середине, взято п точек Аъ А2,..., Лп.
(Примечание автора.)

560
П РИЛОЖЕНИЕ
стве Ег не расположены прямолинейно, то не могут иметь
прямолинейного расположения и точки Alt Cu С2.
Таким же образом ни одна точка С не может быть
расположена прямолинейно относительно двух точек Ai и Aj. Так
как A lC=AJ- С, то точка С могла бы быть расположена
прямолинейно относительно точек Аь и А;- лишь в том случае, если
бы Afi = AjC = —/; но это не так, ибо Afi = *|/с2 + А2, где
h>L
Следовательно, в нашем пространстве точки, имеющие
прямолинейное расположение, могут принадлежать
исключительно второй группе. Но все точки второй группы образуют
прямолинейный образ; как мы сказали, они составляют как
бы отрезок в одномерном плоском пространстве (см.
доказательство предложения 1 гл. VI).
Итак, в нашем пространстве существуют точки, имеющие
прямолинейное расположение; существуют даже такие точки,
между которыми имеется промежуточная точка на любом
расстоянии от каждой из них *; постулат II при этом
справедлив.
Чтобы убедиться, что постулат III также справедлив,
заметим, что всякое движение приводит точки At и Aj в две
точки Ah9 Ag\ следовательно, расстояние не меняется. Далее,
две точки А; и С (с) переходят либо в точки Aj и С (с), либо
в точки Aj и С'(—с); расстояние сохраняется. Наконец, две
точки Ci(ci) и Сг(С2) переходят в точки С[(—С\) и С'2(—с2).
Расстояние и здесь сохраняется.
Так как в нашем пространстве имеют место
исключительно совершенные движения, то постулат IV также справедлив.
Легко убедиться, что преобразования, которыми
определяются движения, образуют группу, а потому постулат V
также справедлив.
Обращаемся теперь к постулату VI. Если мы выделим две
точки At и Aj, то условию
AJC = Ay и Apl = A^Y (1)
удовлетворяют любые две точки Ah и Ak , отличные от At
и A j. Движение (AhAk) p оставляет точки А{ и Aj в покое и
замещает точки Ah и Ak друг другом.
1 Таким образом, в рассматриваемом пространстве справедлив
постулат б) (стр. 557).

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
561
Далее легко видеть, что если за X принять точку Лд, а
за Y точку С второй категории, то условиям (1)
удовлетворить нельзя, ибо AlAh = lt а А1С>1.
Если же за X примем точку С(с\), то уравнениям (1)
можно удовлетворить только, принимая за Y точку С'(—сх). Пусть
Ah и Ag будут две точки, отличные от At и Л/# Движение
(Ah,Ag)p оставляет точки А1 и Л;- в покое и совмещает
точку С с точкой С
Выделим теперь одну из точек первой группы Л, и
произвольную точку второй группы С и посмотрим, можно ли
удовлетворить уравнениям
JjC = AjY, CX = CY. (2)
Если за X принять какую-либо точку Лл, то, чтобы
удовлетворить этим уравнениям, необходимо и достаточно принять
за Y точку первой группы Ag. Так как в первой группе
имеется больше шести точек, то выберем две точки Ak и Л t,
отличные от Aif Agy Ah ; движение (AhAg) {AkAt) оставляет в покое
точки At и С и совмещает точку Ah с точкой Ag.
Если же за I в уравнениях (2) примем одну из точек
второй группы Сх(с\), то первому уравнению можно
удовлетворить только, приняв за Y точку С\(—С\). Эти точки
удовлетворяли бы второму из этих уравнений только в том случае,
если бы число с, определяющее точку С, было равно 0. Но
такой точки в нашем пространстве нет.
Если, наконец, выделим две точки второй группы С\ и С2,
то уравнениям C\X = C\Y и C2X = C2Y можно удовлетворить
только, выбирая за X и Y две точки первой группы At и Af>
действительно, если бы принять за X точку At> а за Y
точку С, то равенство С\А1=С\С невозможно, ибо СИ, >/г>
>/>2а, a CiC<2a. Если Ah и Аа суть две точки, отличные
от Л,- и Л;-, то движение {A^j) (AgAh) производит требуемое
совмещение.
Таким образом, постулат VI в нашем пространстве
справедлив.
Легко, конечно, видеть, что справедлив и постулат VII,
ибо геометрическое место точек, равно отстоящих от двух
точек Ci(c\) и С{ (—С\), содержит все точки первой группы,
образующие плоскость. Точно так же и геометрическое место
точек, равно удаленных от двух точек At и Л/, есть плоскость,
состоящая из всех остальных точек нашего пространства.

562
П РИЛОЖЕНИЕ
В плоскости, состоящей из всех точек первой группы, лю-
бые две точки расположены по одну сторону любых двух
других точек. Поэтому постулат VIII (в упрощенном его виде)
справедлив.
Наконец, легко убедиться, что требованиям постулатов IX
и X также удовлетворяет плоскость, состоящая из всех точек
первой категории.
Итак, в сокращенном виде наши постулаты могут быть
формулированы так 1:
I. а). Между любыми двумя точками имеется точка,
одинаково от них удаленная.
I. б). В пространстве имеются две точки С и D, между
которыми существует точка на любом расстоянии меньшем CD
от каждой из них.
II. Если две точки в пространстве расположены каждая
прямолинейно относительно двух других точек, то они
образуют с последними прямолинейный образ.
III. Если некоторое движение приводит две различные
точки М и N в совмещение с двумя различными же точками
пространства М' и N', то расстояния MN и NVN' равны.
IV. Никакое движение не совмещает всех точек
пространства с одной и той же точкой.
V. Каковы бы ни были движения S и S', в пространстве
имеется движение SS', заменяющее последовательное
производство их.
VI. Вращением вокруг двух точек А и В всякая третья
точка С может быть приведена в совмещение с любой
точкой С, коль скоро АС=АС и ~ВС = ВС.
VII. В пространстве существует плоскость.
1 В этом сокращенном виде постулатами удобнее воспользоваться
для доказательства их независимости и независимости определений. Так,
например, нам не пришлось бы прибегать к пространству, в котором
имеются несовершенные движения (стр. 537—541); ввиду измененной
редакции постулата VIII для той же цели может служить последнее описанное
нами пространство (стр. 558—562). Для доказательства независимости
определения термина «движение оставляет точку в покое» можно было
условиться понимать под этим термином, что движение совмещает эту
точку не с самою собой, а с некоторой другой точкой; вследствие этого
термин «вращение» получил бы то же значение, которое мы ему приписали,
когда доказывали его независимость. Постулаты VI и X остались бы в
силе, а об остальных и говорить нечего. {Примечание автора).

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
563
VIII. В пространстве имеется плоскость, обладающая
следующим свойством: если две пары точек А, В и В, С
расположены в этой плоскости по одну сторону двух других
точек Р и Q, то точки А и С также расположены по одну
сторону точек Р и Q.
IX. В пространстве существует круг, в пределах которого
каждым трем точкам, не имеющим прямолинейного
расположения, отвечает некоторая точка пространства, одинаково от
них удаленная.
X. В пространстве существует плоскость, при
неподвижности которой необходимо остается в покое еще одна точка
пространства К
Мы не имеем, конечно, никакой возможности утверждать,
что мы достигли минимума. Напротив, мы и сейчас могли бы
произвести еще некоторые дальнейшие сокращения. Но, с
одной стороны, эти сокращения отражаются весьма мало на
геометрической системе; с другой стороны, мы не имеем
решительно никаких критериев для суждения о том, каков
абсолютный минимум допущения, который должен быть
сохранен в каждом постулате, и о том, существует ли вообще
такой минимум. С этим вопросом приходилось, конечно,
сталкиваться каждому, работавшему в этом направлении. В
журнале «Jahresbericht der deutscher Mathematiker-Vereinigung»
за 1904 г. йроф. Фален сообщает о том, что он готовит труд,
преследующий те же задачи, что и настоящее сочинение.
Говоря о постулатах, г. Фален замечает, что он старался их
формулировать так, чтобы они, по возможности, не могли
быть только частью справедливы. Мы сомневаемся, однако,
чтобы такую задачу можно было выполнить. Постулат,
который по существу своему, по-видимому, не допускает
сокращения, открывает широкое поле для такого сокращения при
несколько иной формулировке того же содержания.
Вопрос о том, что можно или следует признать за
минимум допущения, еще не обсуждался в литературе. Мы здесь
вновь стоим на границе геометрии и логики, и последней
науке предстоит, по-видимому, пролить свет на этот вопрос.
1 Рассуждения, устанавливающие независимость восьми постулатов
II—VI, VIII—X (стр. 530—535), сохраняют силу, как легко убедиться,
и при новой редакции постулатов VIII, IX и X.

ЛИТЕРАТУРА
1. Pier i M. Delia geometria elementare come sistema ipotetico
deduttivo, 1899.
2. Гильберт Д. Основания геометрии, 1899; перев. с 7-го нем.
изд. под ред. П. К. Рашевского. Гостехиздат, М., 1948.
3. К а г а н В. Ф. Этюды по основаниям геометрии. «Вестн. опытн.
физ. и элем, матем.», № 308, 311, 312 (1901). Включено в наст, книгу.
4. К а г а н В. Ф. Система посылок, определяющих евклидову
геометрию. «Дневник XI съезда русских естествоиспытателей и
врачей (1902)». Перев. на нем. яз.: Ein System von Postulaten, welche die
euklidische Geometrie definieren, «Jahresber. Dtsch. Math.-Ver.», 11 (1902).
5. К a g a n B. Nachtrag zum Aufsatz: «Ein System von Postulaten,
welche die euklidische Geometrie definieren». «Jahresber. Dtsch. Math.-Ver.»„
12 ('1903).
6. Каган В. Ф., Основания геометрии, т. I. Опыт обоснования
евклидовой геометрии. «Зап. Новороссийск, ун-та», 97 (1904), 101 (1905),
Отд. изд.: Одесса, 1905.
7. Каган В. Ф. Основания геометрии, т. II. «Вестн. опытн. физ.
и элем, матем.» (1904). Отд. изд.: Одесса, 1907.
8. Каган В. Ф. Задача обоснования геометрии в современной
постановке. «Вестн. опытн. физ. и элем, матем.», № 457—459 (1908). Отд.
изд.: Одесса, 1908. Включено в наст, книгу.
9. Циммерман В. А. Отзыв о сочинении В. Ф. Кагана:
Основания геометрии». Одесса, 19091.
10. Ч е р к у ш ей к о И. С. Современное положение вопроса об
обосновании евклидовой геометрии. «Сообщения Харьковск. матем. о-ва»,
4-я серия, 2 (1928).
11. Veblen О. A system of axioms for geometry. «Trans. Amer.
Math. Soc», 5 (1904).
12. M о о r e R. L. Sets of metrical hypothesis for geometry. «Trans.
Amer. Math. Soc», 9 (1908).
13. H u n t i n g t о n E. V. A set of postulates for abstract geometry
exposed in terms of the simple relation of inclusion. «Math. Ann.», 7$
(1912—1913).
14. В 1 u m en t h a 1 L. M. Distance geometries (A study of
development of abstract metrics). «The University of Missouri studies», 13 (1938).

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ ТРУДОВ В. Ф. КАГАНА
1 Об обратных фигурах. «Вестник опытной физики и элементарной
математики» ]. Одесса, 1887, № 13, 6-11; № 15, 51-55.
2 Разложение корней квадратного уравнения в непрерывную дрооь.
«Вестник», 1887, № 23, 253-257; № 24, 275-279.
3 Очерк геометрической системы' Лобачевского. «Вестник», 18Ус$— 1оУ«;
JWfb 174 '178, 179, 183, 187-190, 194-196, 198, 199, 201-203, 206, 207, 209,
214, 216, 222, 225. 234, 236, 269, 272, 275, 276. Отд. изд.: Одесса, 1900,
212'стр.
4. Элементы аналитической геометрии на поверхностях постоянной
отрицательной кривизны. «Изв. Казанск. физ.-матем. о-ва», 1895 (2), 5,
111-140, 145-184. Отд. оттиск: Казань, 1896, 70 стр.
5. Demonstration nouvelle des equations fondamentales de la
geometric de l'espace de courbure constante negative, «Nouv. Ann. Math.», Paris,
1895 (3), 14, 20-30.
6. Note sur une formule bien connue de la geometrie imaginaire. «Nouv.
Ann. Math.», Paris, 1895 (3), 14, 251—258.
7. Об одном обобщении теоремы Шенемана. «Тр. С.-Петерб. матем.
о-ва», 1897, вып. 1.
8. Новое доказательство транцендентности чисел я и е
(доказательство Ф. Валена). «Вестник», 1901; № 286, 223-231; № 287, 251-266; № 290,
25-35; № 291, 56-63. Отд. изд.: Одесса, 1901, 32 стр.
9. Этюды по основаниям геометрии. «Вестник», 1901; № 308, 174-185;
№311, 254-260; № 312, 286-292.
10. Одиннадцатый съезд русских естествоиспытателей и врачей
(секция чистой математики и механики). «Вестник», 1902, № 313, 1-7; № 314»
25-30.
11. Система посылок, определяющих евклидову геометрию. «Зап.
матем. отд. О-ва естествозн.». Одесса, 1902, 20, 67-105. Дневник XI съезда
русских естествоиспытателей и врачей. СПб., 1902, 395. Перев. на нем. яз.:
Ein System von Postulaten, welche die euklidische Geometrie definieren.
«Jahresbericht d. Deutsch. Math. Vereinigung», Leipzig, 1902, lb 403-424.
Отд. оттиск из приложения к «Зап. Новороссийск, о-ва испыт. природы».
Одесса, 1902, XIX, 67-105.
В дальнейшем обозначается: «Вестник».

566 СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ В. Ф. КАГАНА
12. Nachtrag zum Aufsatz: «Ein System von Postulates..». «Jahresbe-
richt d. Deutsch. Math. Vereinigung», Leipzig, 1903, 12, 60-61.
13. Uber die Transformation der Polyeder. «Math. Ann.», Leipzig, 1903,
57, 421-424.
14. Д. С. Шор (некролог). «Вестник», 1904, № 363, 50-51.
15. Основания геометрии, т. I. Опыт обоснования евклидовой
геометрии. «Зап. Новороссийск, ун-та», Одесса, 1904, 97, 1-480; 1905, 101,481-804.
Отд. изд.: Одесса, 1905, 793 стр.
16. Основания геометрии, т. II. Исторический очерк развития учения
об основаниях геометрии. «Вестник», 1904: № 380, 176-184, № 381, 201-208;
№ 383, 241-249; № 384, 265-275; .1905: № 387, 49-57; № 391, 153-156; № 392,
169-176; № 395, 248-253; № 396, 272—278; № 402, 121-128; № 403, 145-150;
«Зап. Новороссийск, ун-та», Одесса, 1907; 108, 1-320; 109, 321-567. Отд.
изд.: Одесса, 1907, 558 стр.
17. Задача обоснования геометрии в современной постановке. Речь,
произнесенная при защите диссертации на степень магистра чистой
математики. «Вестник», 1908; № 457, 2-12; № 458, 25-34; № 459, 49-54. Отд.
изд.: Матезис, Одесса, 1908, 35 стр.
18. О бесконечно удаленных элементах в геометрии. «Вестник», 1909,
№ 490, 2!17-224; № 491-492, 241-248. Помещено в качестве приложения к
переводу книги Вебера и Вельштейна (см. № 2 приводимого ниже списка,
«Переводы и редактирование»).
19. Что такое алгебра. «Вестник», 1910; № 498, 121-127; № 502,
225-231; № 503-504, 258-268; № 507, 57-63. Отд. изд.: Матезис, Одесса,
1910, 72 стр.
20. О представлении целого числа в виде суммы одинаковых степеней
целых чисел. «Вестник», 1911, № 548, 196-199.
21. Первый Всероссийский съезд преподавателей математики.
«Вестник», 1912, № 553, 10-18; № 554, 49-54; № 556, 121-122.
22. К статье Н. Извольского «Интуиция в работе Д. Гильберта».
«Вестник», 1912, № 563-564, 322-323.
23. Соображения относительно постановки дела подготовления
учителей математики в средних учебных заведениях. «Вестник», 1912, № 565,
2-11.
24. По поводу интуиции в новой геометрии. «Вестник», 1912, № 569,
122-125.
25. О преобразовании многогранников. «Тр. Всероссийского съезда
преподавателей математики 27/ХП 1911—3/1 1912». СПб., 1913, 579-604. Отд.
изд.: Матезис, Одесса, 1913, 27 стр.; изд. 2, переработ, и доп. ГТТИ,
М.—Л., 1933, 35 стр.
26. О подготовлении преподавателей математики для средних
учебных заведений. «Тр. Всероссийского съезда преподавателей математики
27/ХН 1911—3/1 1912». СПб., 1913, 479-505.
27. О нахождении рациональных корней алгебраического уравнения.
«Вестник», 1913, № 580, 89-91.
28. Арифметическое и алгебраическое деление. «Вестник», 1913, № 596,
215-218.
29. К вопросу о доказательствах теоремы Лагранжа о конечных
приращениях. «Вестник», 1914, № 616, 73-81.
30. Памяти Н. А. Умова. «Вестник», 1915, № 628-629, 75-77.
31. Введение в учение об основаниях геометрии. «Вестник», 1916,
No 662-66G и 669-672.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ В. Ф. КАГАНА 567
32. Геометрия. Энциклопедический словарь Граната, 1919, т. 13,
318-331.
33. Геометрические основания исчисления времени. Одесса, 1920,
320 стр. (Тираж был уничтожен в типографии; сохранился лишь один
достаточно полный комплект отпечатанных листов.)
34. Sur une probleme cartographique de Beltrami. «Журн. чист, и прикл.
знаний», Одесса, 1921, т. I, вып. 1.
35. Основания теории определителей. Гос. изд. Украины, Одесса, 1922,
521 стр.
36. Госиздат и научные издания, В кн.: «Государственное
издательство за пять лет». М, 1924, 99-112.
37. Применение учения о 'параллельном перенесении векторов к
выводу предложения, представляющего собой обобщение теоремы Гаусса об
угловом избытке геодезического треугольника. «Матем. сб.», 1924, 31,
вып. 2, 208-219.
38. Абель. БСЭ, 1926, т. 1, 48.
39. Аксиома. БСЭ, 1926, т. 2, 34-41.
40. Аналитическая геометрия. БСЭ, 1926, т. 2, 609-622.
41. Речь на торжественном заседании, посвященном празднованию
столетия открытия неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским. В кн.:
«Празднование Казанским университетом столетия открытия
неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским». Изд. Казанск. физ.-матем. о-ва,
Казань, 1927, 59-66. [Включено (посмертно) в кн.: В. Ф. Kara н.
Лобачевский и его геометрия. Гостехиздат, М.—Л., 1955, 11-20.]
42. О некоторых системах чисел, к которым приводят лоренцовы
преобразования. Изд. Ин-та матем. и мех. МГУ, М, ч. I, 1926, 24 стр.; ч. II
и III, 1927, 31 стр.
43. Бесконечно большие и бесконечно малые. БСЭ, 1927, т. 5, 723-751.
44. Бесконечный ряд. БСЭ, 1927, т. 5, 757-766.
45. Бугаев. БСЭ, 1927, т. 7, 769-770.
46. Валлис. БСЭ, 1927, т. 8, 65Я-659.
47. Вариационные методы [совм. с А. Я. Хинчиным]. БСЭ, 1927, т. 8,
«06-809.
48. Научное издательство в CGCP. В кн. «Десять лет советской
книги». Госиздат, М.-Л., 1927, 435-463.
49. Геометрические идеи Римана и их современное развитие. «Тр. Все-
российск. съезда математиков в Москве 27/IV—l/V 1927 г.». Госизд.,
М. —Л., 1928, 89-130. Отд. изд., перераб. и доп.: ГТТИ, М. — Л, 1933,
74 стр.
50. Феликс Клейн и его последняя книга. «Научное слово», М.—Л.,
1928, 5, 118-126.
51. Вейерштрасс. БСЭ, 1928, т. 9, 180-182.
52. Векторное исчисление. БСЭ, 1928, т. 9, 243-263.
53. Виета. БСЭ, 1928, т. 10, 685-686.
54. О научном издательстве в СССР. «Печать и революция». М., 1928,
7, 144-160.
55. Гамильтон. БСЭ, 1929, т. 14, 486-488.
56. Гаусс. БСЭ, 1929, т. 14, 687-692.
57. Геометрия. БСЭ, 1929, т. 15, 323-385.
58. Гильберт. БСЭ, 1929, т. 16, 812-813.
59. Теоретические основания математики. Энциклопедический словарь
Граната, 1929, т. 47, ч. 7, 326-469. [Глава из этой статьи «Система евкли-

568 СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ В. Ф. КАГАНА
довой геометрии» включена (посмертно) в сборник классических работ
по геометрии Лобачевского и развитию ее идей «Об основаниях
геометрии». Гостехиздат, М., 1956, стр. 479-484.]
GO. Sur les espaces sous-projectiv, C.-R. de l'Acad, des Sc, Paris,
1930, 191, 548-560.
61. Грасман. БСЭ, 1930, т. 18, 825-826.
62. Движение (в механике). БСЭ, 1930, т. 20, 646-653.
63. Двойственность. БСЭ, 1930, т. 20, 698-699.
64. Uber eine Erweiterung des Begriffes vom projektiven Raume und dem
zugehdrigen Absolut. «Тр. семинара по векторному и тензорному
анализу». М.—Л., 1933, 1, 12-101. [Перевод этой статьи на русский язык
включен (посмертно) в кн.: В. Ф. Каган. Субпроективные пространства.
Физматгиз, М., I960.]
65. Рецензия на кн.: Gino L о г i a. «II passato e il presente delle
principali teorie geometriche». «Арх. ист. науки и техн.», Л., 1934, 3, 313-
315.
66. Рецензия на кн.: Niels Nielsen. «Geometres frangais sous la
revolution». «Арх. ист. науки и техн.», Л., 1934, 3, 315-317.
67. Der Ausnahmefall in der Theorie der subprojeltiven Raume. «Тр.
семинара по векторному и тензорному анализу». М. — Л., 1935, II—III,.
150-173. [Перевод этой статьи на русский язык включен (посмертно) в кн.:
В. Ф. Kara н. Субпроективные пространства. Физматгиз, М., I960.}
68. О целях и задачах конференции (Первая международная
конференция по тензорной дифференциальной геометрии и ее приложениям. М.„
17/V—23/V 1934 г.). «Тр. семинара по векторному и тензорному анализу».
М.—Л., 1937, IV, 31-35.
69. Uber die metrische Dualitat. «Тр. семинара по векторному и
тензорному анализу». М. — Л.,- 1937, IV, 256-268. [Перевод этой статьи
включен (посмертно) в кн.: В. Ф. Каган. Субпроективные пространства.]
70. Лобачевский. БСЭ, 1938, т. 37, 288-292.
71. Великий русский ученый Н. И. Лобачевский и его место в
мировой науке. «Вестн. АН СССР», 7, 1943, 44-83 Отд. изд.: Изд-во
АН GCCP, М.—Л., 1943, 56 стр. Изд. 2, испр.: Гостехиздат, М.—Л., 1948,
84 стр. Перев. на чешек, яз. Прага, 1951, 127 стр. [Включено (посмертно),
в кн.: В. Ф. Каган. Лобачевский и его геометрия. 'Гостехиздат, М.—Л.„
1955, стр. 70-148.]
72. Нина Аркадьевна Розенсон (некролог). «Изв. АН СССР», 1943,
7, № 6, 251-252.
73. Лобачевский. Изд-во АН СССР, М.—Л. (Научно-популярная
серия. Биографии). 1944, 377 стр., изд. 2, доп., 1948, 506 стр.
74. Вступительные статьи, комментарии и приложения к сочинению
Н. И. Лобачевского «Геометрические исследования по теории
параллельных линий». (Вступительные статьи: I. Сочинения Н. И. Лобачевского,,
предшествовавшие «Геометрическим исследованиям», стр. 5-16; II. Обзор
сочинения «Геометрические исследования», стр. 17-22; III. Исследования
Лежандра по теории параллельных линий, стр. 23-34. Комментарии и
приложения, стр. 80-175). В кн.: Н. И. Лобачевский.
Геометрические исследования по теории параллельных линий. Изд-во АН СССР,
М.—Л., 1945, 175 стр. То же в иной редакции в I томе полн. собр. соч.
Н. И. Лобачевского. (Вводные статьи: I. Учение о параллельных линиях
и открытие неевклидовой геометрии, стр. 31-74; II. Обзор сочинений
«Геометрические исследования», стр. 75-77. Примечания к «Геометрическим

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ В. Ф. КАГАНА 569
исследованиям», стр. 128-159. [Включены (посмертно) в кн.: Н. И.
Лобачевский. Три сочинения по геометрии. Гостехиздат, М., 1956.]
Приложения: I. Элементы неевклидовой геометрии у других геометров,
стр. 160-171; II. Историко-библиографические сведения о сочинении
«Геометрические исследования», стр. 172-176). В кн.: Н. И. Лобачевский.
Поли. собр. соч., т. I. Гостехиздат, М. — Л., 1946.
75. Рецензия на книгу С. В. Ковалевской «Воспоминания детства и
автобиографические очерки». «Советская книга», М., 1946, 8-9, 88-90.
76. Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. I.
Аппарат исследования и внутренняя геометрия поверхности; ч. II. Поверхности
в пространстве. Отображения и изгибания поверхностей. Специальные
вопросы. Гостехиздат, М.—Л., ч. I, 1947, 512 стр.; ч. II, 1948, 407 стр.
77. Строение неевклидовой геометрии у Лобачевского, Гаусса и
Бойаи. «Тр. Ин-та истории естествозн.», 2. Изд-во АН СССР, М.—Л., 1948,
II, 323-Э80. Отд. изд. в кн.: П. А. Широков и В. Ф. Каган.
Строение неевклидовой геометрии (серия «Геометрия Лобачевского и развитие
се идей», I). Гостехиздат, М.—Л., 1950, 79-180. [Включено (посмертно)
в кн.: В. Ф. Каган. Лобачевский и его геометрия. Гостехиздат, М.,
1955, 193-294.]
78. Архимед. Краткий очерк о жизни и творчестве. Гостехиздат,
М.—Л., 1949, 52 стр.; изд. 2, 1951, .56 стр.
79. Основания геометрии. Учение об обосновании геометрии в ходе ее
исторического развития, ч. I. Геометрия Лобачевского и ее предыстория,
М. — Л., 1949, 492 стр.; ч. II. Интерпретации геометрии Лобачевского и
развитие ее идей, 1956, 344 стр.
80. Развитие интерпретаций неевклидовой геометрии. «Тр. семинара по
векторному и тензорному анализу». М.—Л., 1949, VII, 187-204.
81. [Вводные статьи и комментарии к сочинению Н. И. Лобачевского
«Геометрия». (Вводные статьи: I. Учебная литература по элементарной
геометрии в конце XVIII и в начале XIX столетий, стр. 9—29; II. Обзор
сочинения «Геометрия», стр. 30—42. Примечания к сочинению «Геометрия»,
стр. 108—123. [Включены (посмертно) в кн.: Н. И. Лобачевский. Три
сочинения по геометрии.] Историко-библиографические сведения о
сочинении «Геометрия», стр. 124—134). В кн.: Н. И. Лобачевский. Пслн.
собр. соч., т. II. Гостехиздат, М.—Л., 1949.
82. Вступительные статьи, примечания и приложения к сочинению
Яноша Бойаи «Аппендикс». (Вступительные статьи: I. Я. Бойаи —
биографический очерк, стр. 9-Э5; II. Краткий обзор сочинения «Аппендикс»,
стр. 39—45). [Включено (посмертно) в кн.: В. Ф. Каган. Лобачевский
и его геометрия. Гостехиздат, М., 1955, 165—192.] Примечания к
сочинению «Аппендикс», стр. 137J188. Примечания к «Замечаниям Я. Бойаи к
„Геометрическим исследованиям" Н. И. Лобачевского» (в сносках),
стр. 137-188. Историко-библиографические сведения о сочинении
«Аппендикс», стр. 230—234). В кн.: Янош Бойаи. Аппендикс. Гостехиздат,
М.—Л., 1950.
83. Вводная статья, примечания и приложение к сочинению Н. И.
Лобачевского «Пангеометрия». (Вводная статья: Обзор сочинения «Пангео-
метрия», стр.431—434. Примечания к сочинению «Пангеометрия», стр.523—
533). [Включены (посмертно) в кн.: Н. И. Лобачевский. Три
сочинения по геометрии.] Приложение — Историко-библиографические
сведения о сочинении «Пангеометрия», стр. 534—535). В кн.: Н. И.
Лобачевский. Поли. собр. соч., т. III. Гостехиздат, М.—Л., 1951.

570 СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ В. Ф. КАГАНА
84. Развитие интерпретаций неевклидовой геометрии. Вводные
соображения и первое развитие интерпретаций геометрии Лобачевского.
(Вступительная статья к циклу работ по интерпретации неевклидовой
геометрии Д. П. Полозкова, А. В. Яблоновского и В. Г. Ямпольского, Н. А. Мел-
лер). «Уч. зап. МГУ», 1951, 4, вып. 148, 3-8.
Переводы и редактирование
1. Журнал «Вестник опытной физики и элементарной математики»^
Одесса, 1902-4904 (член редакции); 1904—1917 (редактор).
2. В е б е р Г. и Вельштейн И. Энциклопедия элементарной
математики, т. I. Элементарная алгебра и анализ, 663 стр.; т. И, кн. 1.
Основания геометрии, 360 стр.; т. II, кн. 2 и 3. Тригонометрия,
аналитическая геометрия и стереометрия, 321 стр. Перев. с нем. под ред. и с прим^
В. Ф. Кагана. «Матезис», Одесса, 1907—1909; изд. 2: «Матезис», 1911—
1913; изд. 3. I тома, испр. и доп.: Гиз, М.—Л., 1927, 263 стр.
3. Борель Э. Элементарная математика, ч. I. Арифметика и
алгебра, 434 стр.; ч. II. Геометрия, 334 стр. (Перев. с нем. под ред., с пре-
дисл. и доп. В. Ф. Кагана. Матезис, Одесса, 1912; изд. 2: Одесса, 1923-
4. Ф и л и п с Г. Дифференциальное исчисление, 320 стр.; его же.
Интегральное исчисление. Перев. с англ. и доп. В. Ф. Кагана, изд. 1—4У
Госиздат—ГТТИ, М.—Л., 1926—1933.
5. К л е й н Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, т. I.
Перев. с нем. Д. А. Крыжановского под ред. В. Ф. Кагана. ГТТИ, М.-Л.„
1933, 469 стр.
6. Лев и-Ч ивита Т. и Амальди У. Курс теоретической
механики, т. I, ч. 1. Кинематика. Принципы механики. Перев. со 2-го итальянск.
изд. В. Ф. Кагана. ОНТИ, М.-Л., «1935, 383 стр.
7. Юнг Д ж. Проективная геометрия. Перев. с англ. под ред-
В. Ф. Кагана. ИЛ, М., 1949, Т84 стр.
8. Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их
приложениями к геометрии, механике и физике. Под ред. В. Ф. Кагана, вып. I—-
IX. Гостехиздат, М.—Л., 1933—1952.
9. Н. И. Лобачевский. Полное собрание сочинений. Главный
редактор В. Ф. Каган, т. I—V. Гостехиздат, М.—Л., 1946—1951.
Непосредственно 'В. Ф. Каганом отредактированы сочинения Н. И. Лобачевского:
«Геометрические исследования по теории параллельных линий» (т. Ц
1946, 29—176. Перев. с нем. В. Ф. Кагана; выпущен также отдельным
изданием в 1945. Изд-во АН СССР, М., 175 стр.); «Геометрия» (т. II, 1949,
9—134); «Пангеометрия» (т. III, 1951, 431-535).
10. Б о й а и Я н о ш. Аппендикс. Приложение, содержащее науку о»
пространстве... Перев. с латинск., вступительные статьи и примечания
В. Ф. Кагана. Гостехиздат, М.—Л., 1950, 234 стр.
11. Серия «Геометрия Лобачевского и развитие ее идей», вып. I—VIL
Под общей редакцией В. Ф. Кагана, Гостехиздат, М.—Л., 1950-1952.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . . 3
А. М. Лопшиц. Вениамин Федорович Каган 5
1. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Задача обоснования геометрии в современной постановке ... 27
Речь на торжественном заседании, посвященном столетию открытия
Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии 57
Предыстория учения об основаниях геометрии 66
II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Введение в учение об основаниях геометрии (Учение о величине) . 83
Этюды по основаниям геометрии (Измерение длин прямолинейных
отрезков и площадей прямолинейных фигур) 127
О преобразовании многогранников 156
III. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРЫ
Архимед 197
Н. И. Лобачевский 239
Янош Бойаи 305
IV. РАЗВИТИЕ ВЗГЛЯДОВ НА ГЕОМЕТРИЮ
И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ
Учебная литература по элементарной геометрии в конце XVIII и
в начале XIX столетия . 331
Геометрия в ее историческом развитии 354
Геометрические идеи Римана и их дальнейшее развитие . . . 437
Приложение. АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ
Редакция и примечания Г. Б. Гуревича
От редактора 519
Предисловие . . 522
Независимость постулатов (Заключительная глава сочинения) . . 525
Литература 564
Список опубликованных работ В. Ф. Кагана 565

Вениамин Федорович Каган
ОЧЕРКИ ПО ГЕОМЕТРИИ
Редактор И. Н. Бронштейн
Технич. редактор Г. И. Георгиеза
Корректор М. И. Эльмус
Сдано в набор 30. XII 1962 г. Подписано
к печати 23. X 1963 г. Изд. № 349
Заказ № 401. Тираж 12 000 экз.
Цена 1 р. 77 к. Л-32121
Формат 60x90Vi6 Печ. л. 35,75+
+ 1 вкл. (0,063 п. л.). Уч.-изл. л. 31,45
Издательство Московского университета
Москва, Ленинские горы,
Администр. корпус
Типография Изд-ва МГУ
Москва, Ленинские горы