Введение в Геометрию - Коксетер Г.С.М.

Глава 3. ДВИЖЕНИЯ В ЕВКЛИДОВОЙ плоскости

§ 5. Сводка результатов, относящихся к движениям

§ 7. Задача Сильвестера о коллинеарных точках

Глава 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ В ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ

§ 4. Центрально-подобное вращение и центрально-подобная симметрия

§ 3. Образы прямых и окружностей при инверсии

Глава 7. ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 4. Произведение трех симметрии относительно плоскостей

§ 7. Круговые преобразования в пространстве

$§ 5. Формула $е^{\pi i}+1=0$$

§ 3. Задача Сильвестера о коллинеарных точках

§ 4. Четырехугольные и гармонические множества

§ 8. Дискретные группы, порождаемые инверсиями

§ 2. Непротиворечивость гиперболической геометрии

§ 6. Окружности, орициклы и эквидистанты

ЧАСТЬ 4
Глава 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

§ 2. Векторные функции и их дифференцирование

Глава 19. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

§ 5. Главные направления и линии кривизны

Глава 20. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ

§ 2. Дифференциальные уравнения геодезических линий

§ 3. Полная кривизна геодезического треугольника

§ 6. Достаточное число красок для раскраски произвольной поверхности

§ 7. Поверхности, для раскраски которых необходимо полное число красок

§ 2. Необходимое условие существования политопа ${р,q,r}$

$§ 5. Формула $е^{\pi i}+1=0$$ § 6. Корни уравнений

Author: Коксетер Г.С.М.

Tags: математика геометрия

Year: 1966

Similar

Новые встречи о геометрией

Математическое эссе и развлечения.

Геометрия

Text

ВВЕДЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЮ
Г. С. М. КОКСТЕР
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
А. Б. КАТКА и С. Б. КАТОК
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬДА и И. М. ЯГЛОМА
Ifflf
ИЗДАТЕЛЬСТВО сНАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966

513
К59
УДК 513.0
INTRODUCTION
ТО GEOMETRY
Н. S. М. COXETER, F. R. S.
Professor of Mathematics,
University of Toronto
NEW YORK • LONDON,
JOHN WILEY & SONS, INC.
1961
Гарольд Скотт Макдональд Кокетеp
ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ
М., 1966 г., 648 стр. с илл.
Редактор Л. П. Баева
Техн. редактор С. Я» Шкляр
Корректор Н. В. Гераськина
Сдано в набор 30/VI 1966 г. Подписано к
печати 2/ХП 1966 г. Бумага 84х108,/32. Физ. печ.
л. 20,25. Условн. печ. л. 34,02. Уч.-изд. л. 33,53.
Тираж 10 000 экз. Цена книги 2 р. 49 к.
Заказ № 254.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Измайловский
проспект, 29.
2-2-3
«6-66

ОТ РЕДАКТОРОВ
РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Автор этой книги Гарольд Скотт Макдональд Кок-
стер (Harold Scott Macdonald Coxeter) *) — один из
крупнейших современных геометров, член английского
Королевского общества, профессор университета в Торонто
(Канада). Кроме этой книги и переведенной не так
давно на русский язык «Действительной проективной
плоскости» (М., Физматгиз, 1959), Г. С. М. Кокстер
является также автором «Проективной геометрии»
(Projective Geometry, New York, 1964) и неоднократно
переиздававшихся «Неевклидовой геометрии» (Non-
Euclidean Geometry, 4-е изд., Toronto, 1961),
«Правильных многогранников» (Regular polytopes, 2-е издм
New York, 1963) и посвященной теории
кристаллографических групп книги «Образующие и соотношения для
дискретных групп» (Generators and relations for discrete
groups, 2-е изд., Berlin, 1965), совместной с Мозером
(W. О. J. Moser). Для всех этих шести книг характерно
мастерское сочетание аналитических и синтетических
методов; однако наибольшей симпатией автора явно
пользуются синтетические методы, благодаря чему все
книги Г. С. М. Кокстера могут служить школой
геометрического мышления.
*) Более правильной является русская транскрипция «Коксе-
тер», противоречащая, однако, уже установившейся в нашей
литературе традиции.

4
ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Последнее особенно важно теперь, когда во всем
мире, в том числе и в нашей стране, идут активные
дискуссии о судьбах геометрического образования в
средней и в высшей школе, причем традиционная система
изложения подвергается ожесточенной критике, а пути
модернизации преподавания во многом еще не ясны.
В предисловии к настоящей книге автор жалуется на
то, что за последние годы «многие американцы как-то
потеряли интерес к геометрии», и эти слова вполне
можно повторить в применении к нашей стране. В США
имеются активные приверженцы той точки зрения, что
геометрия вообще должна быть исключена из курса
математики в старших классах средней школы; у нас
аналогичная идея находит меньше поддержки, хотя и она
высказывалась некоторыми учеными во время недавних
обсуждений содержания математического образования в
средней школе. Много недовольства вызывает
традиционное построение курса геометрии в системе
подготовки будущих учителей — в наших педагогических
институтах или в американских учительских колледжах
(teachers colleges), при котором этот курс разбивается
на ряд отдельных учебных предметов, в значительной
степени независимых между собой, что сильно
затрудняет восприятие геометрии как единой науки.
Настоящая книга представляет собой существенный
вклад в эти дискуссии, сделанный выдающимся
геометром и видным педагогом. Автор рассматривает свою
книгу как единый учебник геометрии, который должен
дать представление читателю о разнообразии
используемых в геометрии идей и методов, об основных
направлениях геометрической науки и стоящих Ьеред геометрами
задачах и в то же время показать все то общее в этих
задачах и методах, что, собственно, и понимается под
термином «геометрия». Общие установки автора лучше

ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
5
всего передает заглавие немецкого перевода этой
книги — Unvergangliche Geometrie, т. е. «непрерывающаяся
геометрия», «геометрия как единое целое». Автор писал
нам, что и в русском переводе своей книги он охотнее
всего сохранил бы немецкое название; однако ввиду
отсутствия подходящего русского термина, способного
выразить мысль, которую несет немецкий заголовок
книги, нам пришлось сохранить в переводе название
английского оригинала книги.
«Введение в геометрию» представляет собой
популярное изложение основ почти всех разделов геометрии.
Книга состоит из четырех частей, отражающих
содержание основных курсов, читающихся в наших
педагогических институтах: элементарной геометрии;
аналитической геометрии; так называемой высшей геометрии (в
том смысле, который придается этому названию,
скажем, известным учебником Ефимова [1]*)),
включающей в себя элементы оснований геометрии, аффинной,
проективной и неевклидовой геометрий;
дифференциальной геометрии, к которой отнесены также начала
топологии и первые понятия простейшей многомерной
геометрии — геометрии четырех измерений. Для обработки
своих педагогических воззрений Г. С. М. Кокстер
неоднократно выступал с лекциями в США перед учителями
математики и будущими учителями; содержание этих
лекций и излагает настоящая книга. Украшением книги
являются яркие и интересные задачи, доставляющие
читателю возможность самоконтроля и удачно
дополняющие материал, изложенный в основном тексте.
Стержнем, связывающим всю книгу воедино,
являются геометрические преобразования — симметрии,
движения общего вида, подобия, инверсии, аффинные и
*) Числа в квадратных скобках отсылают читателя к списку
литературы, помешенному в конце книги.

6
ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
проективные преобразования. Много внимания уделяется
приложениям геометрии к механике, кристаллографии,
биологии и архитектуре. «Введение в геометрию»
является весьма ценным пособием по геометрии для студентов
математических отделений университетов и
педагогических институтов, и мы надеемся, что
преподаватели геометрических дисциплин в нашей высшей школе
не пройдут мимо интересного опыта замечательного
канадского геометра. Эта книга несет на себе слишком
явную печать яркой личности автора (см., в частности,
главы 4, 10 или 11, включение которых в настоящий
элементарный учебник было подсказано Г. С. М. Кокстеру
его научными интересами), чтобы ее можно было принять
в качестве основного учебника для какого угодно из
наших вузов; некоторые частности ее структуры можно
критиковать с точки зрения ощущающегося в последние
десятилетия стремления к разрушению границ между
отдельными ветвями математики — алгеброй, геометрией
и анализом (так, аналитическую геометрию, видимо,
нецелесообразно излагать в отрыве от линейной алгебры,
а основания геометрии — в отрыве от оснований
арифметики или анализа). Однако стремление автора к
объединению всего комплекса геометрических дисциплин в
единый учебный предмет представляется нам весьма
актуальным и чисто методические достоинства этой
интересной книги — совершенно бесспорными.
При переводе книги наибольшие затруднения у
переводчиков и редакторов вызвал вопрос о выборе
наиболее рациональной системы наименований. Г. С. М. Кок-
стер относится к этому вопросу с большим вниманием;
им разработана глубоко продуманная геометрическая
терминология, которой он придерживается во всех своих
книгах. Однако принятая автором терминология
зачастую довольно далека от применяемой в русской лите-

ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
7
ратуре; ее использование способствовало бы еще
большему увеличению терминологического разнобоя, от
которого и так страдают наши читатели. Эти соображения
заставили нас заменить терминологию Г. С. М. Кокете-
ра более привычной русскому читателю; в нескольких
местах это обстоятельство повлекло за собой
необходимость внесения редакционных изменений в изложение
автора.
При этом в основу нами была положена
терминология книги Яглома [1] (подобно тому как в
английском переводе названной книги по инициативе
Г,СМ. Кокстера терминология была заменена
терминологией английского оригинала книги «Введение в
геометрию»).
Одно существенное отступление от привычной
русскому читателю терминологии заслуживает того, чтобы
быть отмеченным специально. В книге «Введение в
геометрию», как и в большинстве зарубежных книг, термин
«гомотетия» означает точечное преобразование,
переводящее каждую прямую в параллельную ей прямую, т. е.
то преобразование, которое называется гомотетией и в
русской литературе, или параллельный
перенос. В противоположность этому в русской литературе
параллельный перенос не принято относить к числу
преобразований геометрии. Это словоупотребление
представляется нам столь же неудачным, как, например (также
бытующее в русской литературе!), исключение
параллелограммов из множества всех трапеций; оно лишает нас
возможности говорить о группе гомотетий, так как
произведение двух «центральных» гомотетий может
представлять собой параллельный перенос» В настоящем
переводе слово «гомотетия» употребляется в том смысле,
который придается этому термину в английском оригинале
книги.

8 ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Автор «Введения в геометрию» с большим
вниманием следил за подготовкой к печати русского издания
его книги. Он прислал нам полный комплект чертежей,
а также 12 писем с поправками, учитывающими все
изменения, внесенные в немецкое издание книги, и
содержащими ряд новых усовершенствований изложения.
Нам приятно выразить здесь Г. С. М. Кокстеру
искреннюю благодарность за это внимание.
В русском переводе ссылки на популярные
английские учебные пособия пополнены (а частично заменены)
ссылками на русские учебники. Все немногочисленные
дополнения переводчиков и редакторов книги в тексте
отмечены угловыми скобками ( ); принадлежащие
редакторам и переводчикам подстрочные примечания
отмечены звездочками, в отличие от нумерованных сносок
автора. Звездочками же отмечены в списке литературы
книги, включенные в этот список редакторами. Часть
эпиграфов к отдельным разделам книги переведена
Ю. М. Гельпериным.
«Введение в геометрию» рассчитано на учителей
математики средней школы и лиц, готовящихся к
профессии учителя. Эта книга будет также интересна всем
любителям математики, пожелавшим составить
представление о предмете геометрии и свойственных ей идеях и
методах; первые разделы книги смело можно
рекомендовать и интересующимся математикой учащимся
старших классов средней школы.
Б. А. Розенфельд
Я. М. Яглом

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Рьен,
без терпеливой помощи которой
эта книга никогда не была бы
закончена
За последние 30—40 лет многие американцы как-то
потеряли интерес к геометрии. Эта книга представляет
собой попытку оживить этот предмет, находящийся в
досадном пренебрежении.
Четыре части примерно соответствуют четырем
курсам колледжа. Однако многое из II части можно читать
до I части, а многое из IV части можно читать до
III части. Первые одиннадцать глав (т. е. I и II части)
предназначены для студентов, знакомых с началами
евклидовой геометрии и элементами аналитической
геометрии*), но не решившихся еще специализироваться
по математике, или для активных учителей старших
классов школы, желающих знать, что стоит за тем
материалом, который они излагают своим ученикам.
III часть трактует об основаниях геометрии, включая
проективную геометрию и гиперболическую неевклидову
геометрию. IV часть содержит введение в
дифференциальную геометрию, комбинаторную топологию и
геометрию евклидова четырехмерного пространства.
Несмотря на большое число перекрестных ссылок,
каждая из двадцати двух глав книги является более или
менее самостоятельной. Многие из них можно опустить
*) Элементы аналитической геометрии в США и в Канаде
входят в курс математики, изучаемый в средней школе.

10
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
при первом чтении без ущерба для усвоения других
глав. Например, 1, 3, 6, 8, 13 и 17 главы могли бы
составить хороший краткий курс. В конце почти каждого
параграфа приведены относящиеся к нему упражнения;
наиболее сложные из этих упражнений снабжены
указаниями для решения. Ответы к некоторым
упражнениям приведены в конце книги. Ответы к большинству
оставшихся упражнений собраны в отдельной книжке*).
Красной нитью, объединяющей всю книгу, является идея
группы преобразований, или, короче, идея симметрии.
Обычное преимущественное внимание к
аналитической геометрии создает у учащихся впечатление, что
геометрия — это только часть алгебры или анализа. Это
можно подкрепить тем, что имеются важные примеры
(такие, как диаграмма Аргана, описанная в 9 главе), в
которых геометрические идеи используются как
существенное орудие для развития этих других ветвей
математики. Область геометрии была значительно расширена
Клейном в его «Эрлангенской программе» 1872 года,
подчеркнувшим тот факт, что помимо плоской и
пространственной геометрии Евклида имеется много других
геометрий, заслуживающих внимания в равной степени.
Например, многие предложения самого Евклида
относятся к более широкой области аффинной геометрии,
которая справедлива не только в обычном пространстве,
но и в пространстве-времени Минковского, столь
успешно использованном Эйнштейном в его специальной
теории относительности.
Геометрия применяется не только в алгебре, анализе
и космологии, но и в кинематике и кристаллографии
(где она сочетается с теорией групп) и даже в
ботанике. Топология (21 глава) получила столь широкое
развитие, что теперь стоит на своих собственных ногах
*) В русском переводе эти ответы приведены в конце книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
II
и более не рассматривается как часть геометрии. Но
она охватывается идеями Эрлангенской программы, и
ранние этапы ее развития получили дополнительный
стимул благодаря знаменитой не решенной до сих пор
задаче о том, возможно ли правильно*) раскрасить
любую мыслимую карту с помощью четырех красок.
Материал этой книги вырос из курсов лекций,
читанных автором в летних институтах для школьных
учителей в Стилуотере (Оклахома), Луненбурге (Новая
Шотландия), Энн Арборе (Мичиган), Станфорде
(Калифорния) и Фредериктоне (Новый Брауншвейг), а также из
нескольких публичных лекций, организованных
журналом «Scripta malhematica» в Нью-Йорке по инициативе
его покойного редактора И. Гинзбурга. Наиболее по*
пулярной из этих лекций была лекция о золотом
сечении и филлотаксисе, включенная в 11 главу книги.
Помимо общей идеи преобразования и выделения в
качестве самостоятельных объектов изучения таких
необычных пространств, как аффинное и абсолютное
пространства, главными новинками этой книги являются: простая
трактовка понятия ортоцентра (§6 гл. 1), использование
домино для иллюстрации шести из семнадцати плоских
кристаллографических групп (§4 гл. 4), построение
неподвижной точки центрально-подобной симметрии (§ б
гл. 5), описание общего кругового преобразования (§7
гл. 6) и центрально-подобного вращения (§ 6 гл 7),
разъяснение филлотаксиса (§5 гл. И), трактовка проблемы
Сильвестера с точки зрения геометрии порядка (§ 3
гл. 12), экономная система аксиом аффинной геометрии
(§ 1 гл. 13), «абсолютная» трактовка групп вращений
(§ 4 гл. 15), элементарная трактовка орисферы (§ 8
гл. 16) и экстремальной тернарной квадратичной формы
*) То есть так, что никакие две соседние страны не будут
закрашены одной краской.

12
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
(§4 гл. 18), исправление распространенной ошибки о
форме обезьяньего седла (§ 8 гл. 19), применение
геодезических полярных координат к обоснованию
гиперболической геометрии на плоскости (§ 6 гл. 20),
классификация регулярных отображений на сферу,
проективную плоскость, тор и бутылку Клейна (§ 3 гл. 21)
и обзор исследований статистических сот (§ 5 гл. 22).
Я приношу искреннюю благодарность М. В. ад-Да-
риру, И. И. Буркхардту, Вернеру Фенхелю, Л. М. Кел-
ли, Петеру Шерку и Ф. А. Шерк за критическое чтение
различных глав, X. Г. Фордеру, Мартину Гарднеру и
С. Дж. Скрибс за их помощь в чтении корректур,
С. X. Гоулду, Дж. Э. Литтлвуду и Дж. Л. Сайнджу за
разрешение процитировать некоторые места из их
опубликованных работ, М. К. Эшеру, И. Китроссеру и
канадскому Королевскому обществу за разрешение
заимствовать для этой книги некоторые иллюстративные
материалы.
Торонто, Канада,
март 1961 г.
Г. С. М. Кокс тер

Математика владеет не
только истиной, но и
высшей
красотой—красотой холодной и суровой,
подобной красоте
скульптуры, не обращающейся
ни к чему в нашей слабой
натуре,... возвышенно ни-
стая, способная к такому
строгому совершенству,
которое доступно только
величайшему искусству.
Бертран Рассел (род. 1872)

ЧАСТЬ
ГЛАВА 1
ТРЕУГОЛЬНИКИ
Содержание этой главы составляет обзор некоторых
хорошо известных предложений элементарной
геометрии; при этом мы особо подчеркиваем роль симметрии.
Для предложений Евклида мы сохраняем принятую в
его «Началах» нумерацию, знакомую всему миру вот
уже более двух тысяч лет. Со времен Ф. Коммандино
(1509—1575), который переводил работы Архимеда,
Аполлония и Паппа, было открыто много других теорем
такого же типа. Эти результаты служили объектом
пристального внимания ученых в девятнадцатом столетии.
Так как современная тенденция настаивает на отказе от
них в пользу других областей математики, то мы
упомянем лишь о нескольких предложениях из числа тех,
которые кажутся нам наиболее интересными.
§ 1. ЕВКЛИД
Труд Евклида будет жить еще долго после того,
как все учебники наших дней будут заменены
другими и забыты. Это один из самых
замечательных памятников античности.
Томас Л. Хизс (1861-1940) [1], стр. VL
Около 300 года до н. э. Евклид из Александрии
написал трактат из тринадцати книг, озаглавленный
«Начала». Об авторе (которого иногда путают с жившим
несколько раньше философом Евклидом из Мегары)
мы знаем очень мало. Прокл (410—485 гг. н. э.) говорит,

16
ТРЕУГОЛЬНИКИ
1ГЛЧ1
что он «составил „Начала", собрав много теорем
Евдокса, усовершенствовав многое, принадлежащее Теэ-
тету, а также дав неопровержимые доказательства
предложений, которые не были полностью доказаны его
предшественниками. Этот муж жил во времена первого
Птолемея, [который] однажды спросил его, нет ли более
короткого пути в геометрию, чем путь „Начал", на что
Евклид ответил, что в геометрию нет царского пути».
Хизс цитирует рассказ Стобея о том, как кто-то, начав
изучать геометрию у Евклида, спросил его: «Что я
получу, изучая эти вещи?» Евклид подозвал своего раба
и сказал: «Дай ему динарий, потому что он хочет иметь
выгоду от того, что он изучает».
Из тринадцати книг первые шесть можно очень
кратко охарактеризовать как трактующие о треугольниках,
прямоугольниках, кругах, многоугольниках, пропорциях
и подобии. Следующие четыре.книги посвящены теории
чисел и содержат два замечательных достижения: (IX. 2)
и (X. 9), где доказано, что имеется бесконечно много
простых чисел и что число У 2 иррационально (см.
Харди [2], стр. 32—36). Книга XI содержит введение
в стереометрию, книга XII трактует о пирамидах,
конусах и цилиндрах, а книга XIII — о пяти правильных
многогранниках.
Согласно Проклу, Евклид считал венцом всего
своего сочинения построение так называемых Платоновых
тел, т. е. правильных многогранников*). Это понимание
основной установки сочинения Евклида поддерживалось
теорией Платона о мистическом соответствии между
кубом, [ землей,
тетраэдром, и четырьмя ] огнем,
октаэдром, «элементами» J воздухом,
икосаэдром { водой
*) Известный английский естествоиспытатель и геометр д'Арси
Томпсон шутливо заметил как-то, что Евклид, видимо, вовсе и не
собирался писать систематический учебник геометрии. Он задался
целью написать сочинение о правильных многогранниках,
рассчитанное на начинающих, в силу чего ему пришлось подробно
изложить все необходимые сведения.
четырьмя
телами

* 2] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ 17
(ср. Ко к с тер [1], стр. 18). Доводом против такого
толкования целей Евклида является включение в его
«Начала» чисто арифметических книг VII—X, которое,
безусловно, произведено из-за их внутренних достоинств,
из-за интереса и значения развиваемых в них теорий,
а вовсе не из-за приложения изложенных в них
результатов к стереометрии *).
§ 2. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ
«Когда я употребляю какое-нибудь слово, —
сказал Шалтай-Болтай довольно презрительно, —
оно обозначает только то, что я хочу, чтобы оно
обозначало, — ни больше, ни меньше»**).
Льюис Кэррол (1832—1898) [2], гл. 6, стр. 72.
При строго логическом построении любой ветви
математики определение каждого понятия или отношения
содержит другие понятия и отношения. Поэтому
единственная возможность для того, чтобы избегнуть
порочного круга, состоит в том, чтобы принять некоторые
понятия и отношения (число которых, как правило,
стараются свести к минимуму) за первоначальные и
оставить их неопределяемыми (С а й н дж [1],стр.32—34;
(Рашевский [1], стр. 82—83)). Подобно этому
доказательство любого предложения использует другие
предложения, называемые постулатами или аксиома-
м и, которые должны остаться недоказанными. Евклид
не останавливался подробно на используемых им пер*
воначальных понятиях и отношениях, довольствуясь
тем, что определял их в терминах, которые должны
*) Впрочем, классификация иррациональностей, которые можно
построить циркулем и линейкой, проведенная в X книге «Начал»,
существенно применяется в посвященной правильным
многогранникам XIII книге, где ребра правильных многогранников
выражаются через диаметр описанной сферы в соответствии с этой
классификацией.
**) Шуточное имя Humpty-Dumpty передано здесь как
«Шалтай-Болтай», подобно тому, как переводил это имя С. Я. Маршак*
а не как «Ванька-Встанька», как это сделано в русском переводе
В. А. Азова книги К э р р о л а [2].

18
ТРЕУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. I
были быть понятными каждому. Его пять постулатов
таковы:
1.21. Из всякой точки к другой точке можно
провести прямую линию.
1.22. Конечную прямую линию можно продолжить
непрерывно по прямой линии.
1.23. Из всякого центра и всяким радиусом можно
описать окружность.
1.24. Все прямые углы равны между собой.
1.25. Если прямая линия встречает две другие
прямые линии таким образом, что с одной стороны они
образуют два внутренних односторонних угла, в сумме
меньших двух прямых углов, то эти прямые линии, если
продолжить их неопределенно, пересекутся с той
стороны, с которой односторонние углы составляют меньше
двух прямых углов 1).
Совершенно естественно, что теперь, по прошествий
почти 2250 лет, видно, что некоторые детали здесь
могут быть усовершенствованы. [Например, в
предложении Евклида (1.1) строится равносторонний треугольник
с помощью пересечения двух окружностей, но откуда
мы знаем, что эти окружности пересекутся?]
Удивительно не это, а то, что так много из труда Евклида
сохраняет до сих пор свою ценность. В современном
изложении его геометрии (см., например, Кокстер [3],
стр. 161 —187; (Рашевский [1])) обычно принимают
за первоначальное понятие точку, а за
первоначальные отношения — между (здесь имеется в виду идея
о том, что точка может находиться между двумя
другими точками) и конгруэнтность или равенство
(идея о том, что два прямолинейных отрезка могут быть
равны, т. е. могут иметь одну и ту же длину). Имеются
также различные варианты аксиомы
непрерывности, один из которых гласит, что всякая сходящаяся
последовательность точек имеет предел.
Евклидов «принцип наложения», применяемый в
доказательстве его предложения (1.4), поднимает вопрос
о том, может ли фигура двигаться, не меняя при этом
*) В гл. 15 мы увидим, как далеко можно продвинуться, не
употребляя этого слишком сложного V постулата,

$ 2) ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ 19
своих внутренних свойств*). Этот принцип в настоящее
время заменяют более точным предположением,
например таким, как аксиома о «жесткости треугольника с
хвостом»:
1.26. Если ABC— треугольник и точка D лежит на
продолжении стороны ВС, а точка D' аналогично
С Л Л' С
Рис. 1.
расположена по отношению к треугольнику А'В'С
(рис. 1), то из того, что
ВС^В'С, СА = С'А\ АВ=А'В\ BD = B'D\
следует, что
AD=A'D'.
Аксиому 1.26 можно использовать для
распространения понятия равенства отрезков на более сложные
фигуры, как, например, углы, что позволяет указать
точный смысл отношения
L АВС = £ А'В'С'.
После этого нам уже не понадобится сомнительный
принцип наложения для того, чтобы можно было
доказать предложение Евклида (1.4):
Если два треугольника имеют две соответственно
равные стороны и равные углы, содержащиеся между
равными сторонами, то они должны иметь равные третьи
стороны и соответственно равные оставшиеся углы, т. е%
они должны быть равными треугольниками.
*) Возможно, что странный постулат 1.24 Евклида, который
легко доказывается с помощью «принципа наложения», связан с
неосознанным стремлением уточнения «степени произвола»
допускаемых движений.

2а
ТРЕУГОЛЬНИКИ
1ГЛ. I
§ 3. PONS ASINORUM *)
М ино с: Предлагается доказать /. 5 (теорему
о равенстве углов при основании
равнобедренного треугольника) таким образом: равнобедренный
треугольник поднимается, переворачивается и
опускается сам на себя.
Евклид: В таком доказательстве слишком
много нелепицы, чтобы его можно было поме"
стить в строго философском трактате; не напо*
минает ли оно о том человеке, который спускался
вниз по собственной глотке?
М ино с: Я полагаю, защитники этого
доказательства могут сказать, что треугольник остав*
ляет после себя след и, будучи поднят и пере"
вернут, опускается именно на этот след.
Ч. Л. Додж с он (Льюис Кэррол **), 1832-1898) [3],
стр. 48,
(I. 5) Углы при основании равнобедренного треуголь*
пика равны.
Название этой знаменитой теоремы Pons asinorum,
вероятно, происходит от того, что чертеж Евклида
(вместе с дополнительными линиями, требуемыми в его
несколько усложненном доказательстве) напоминает
мост, и от мнения, что тот, кто не способен перейти
через этот мост, должен быть ослом. Значительно более
простое, чем у Евклида, доказательство было
предложено Паппом из Александрии около 340 года н. э«
(рис. 2).
Пусть ABC — равнобедренный треугольник, так что сторона
АВ равна АС. Будем рассматривать этот треугольник, как два сов*
падающих друг с другом треугольника ABC и АСВ, и рассуждать
таким образом: так как АВ=*АС и АС=АВ, то две стороны АВ и
АС равны двум сторонам АС и АВ. Также угол ВАС равен углу
CAB, так как это тот же самый угол. Поэтому все соответственные
элементы треугольников ABC и АСВ равны. В частности,
£ ABC^Z. лев.
Педагогическую трудность, возникающую из-за
необходимости сравнивать равнобедренный треугольник
*) Мост для ослов (лат.)
**) Английский математик и педагог Чарльз Доджсон более
известен как «Льюис Кэррол»; под этим псевдонимом он выпустил
замечательные сказки «Алиса в стране чудес» и «Алиса в
Зазеркалье», принесшие автору мировую известность.

S3]
PONS ASINORUM
21
с самим собой, иногда обходят, соединяя вершину А
с точкой D, серединой основания ВС. Медиану AD
можно рассматривать, как зеркало, отражение от
которого переводит точку В в точку С. Таким образом, мы
Рис. 2.
можем сказать, что равнобедренный треугольник
симметричен относительно оси AD или что он обладает
зеркальной или осевой симметрией. [Конечно,
идеализированное зеркало, употребляемое в геометрии,
не имеет толщины и посеребрено с обеих сторон, так что
не только точка В переходит при от- л
ражении в точку С, но точка С
также переходит в точку В.]
Из любой сколь угодно
неправильной фигуры можно получить
симметричную фигуру, если мы
поместим ее рядом с зеркалом и
будем рассматривать фигуру вместе
с ее образом. Осевая симметрия
характерна для внешнего вида
большинства животных.
Пусть дана точка Р, лежащая
по одну сторону от геометрического
зеркала. Для того чтобы построить ее зеркальный
образ Р' (т. е. точку, симметричную Р относительно
данной прямой — зеркала), нужно опустить перпендикуляр
из точки Р на зеркало и продолжить этот перпендику*
ляр на равное расстояние по другую сторону. Таким
образом, зеркало делит пополам отрезок РР\ Если на
плоскости (рис, 3) провести две окружности с центрами
В
Рис. 3.

22
ТРЕУГОЛЬНИКИ
[ГЛ.4
в точках А и В и радиусами АР и ВР, то точки, в
которых пересекутся эти окружности, симметричны
относительно прямой АВ.
Мы обнаружим, что многие геометрические
доказательства сокращаются и делаются более наглядными
при применении симметрии ((ср. Б о л тя не к и й и Яг-
лом [1])). Но нужно помнить, что эта операция —
только сокращение: всякое доказательство такого рода
можно заменить довольно многословными рассуждениями
с использованием цепочки равных треугольников.
Например, симметричность точек Р и Р' рис. 3 вытекает
из равенства треугольников АВР и АВР' *).
«Pons asinorum» имеет много полезных следствий;
например, отсюда вытекает пять следующих
предложений:
(III. 3) Диаметр круга, который делит пополам хорду, не
проходящую через центр, перпендикулярен к ней; обратно, если
диаметр перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам.
(III. 20) В круге центральный угол в два раза больше
вписанного угла, опирающегося на ту же самую дугу.
(III. 21) Вписанные углы, стягиваемые одной и той же хордой
и лежащие по одну сторону от этой хорды, равны между собой.
(III. 22) Сумма противоположных углов четырехугольника,
вписанного в окружность, равна двум прямым углам.
(III. 32) Угол, образованный касательной к окружности и
хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу,
стягиваемому хордой, с вершиной в точке, лежащей на внешней по
отношению к первому углу части окружности (например, на рис. 4
ZOTP'=ZTPP').
Нам понадобятся также две известные теоремы о
подобных треугольниках:
(VI. 2) Если прямая линия проведена параллельно одной
стороне треугольника, то она рассечет другие стороны
пропорционально; обратно, если две стороны треугольника рассечены пропорцио-
*) В нашей школьной практике в соответствии с традициями
Евклида долго считалось, что предпочтительнее обходиться без
использования соображений симметрии; это зачастую делало
доказательства весьма громоздкими. В качестве примера мы рекомендуем
читателю доказать с помощью рассмотрения ряда пар равных
треугольников, скажем, следующую очевидную из соображений
симметрии теорему: если треугольник ABC — равнобедренный и Е,
F — такие точки на равных сторонах АВ и АС, что AE — AF, то
отрезки СЕ и BF пересекаются на медиане AD,

S3
PONS ASINORUM
23
нально, то прямая, соединяющая точки деления, будет параллель*
на третьей стороне треугольника.
(VI. 4) Если соответствующие углы двух треугольников равны,
то соответствующие стороны пропорциональны.
Рис. 4.
Объединяя эти последние результаты с
предложениями (III.21) и (III.32), мы выведем два
замечательных свойства секущих круга (рис. 4):
- (III. 35) Если в круге две прямые пересекаются, то прямо*
игольник, построенный на отрезках одной из них, равен прямо*
дголвнику, построенному на отрезках
другой (т. е. OPxOP'=OQxOQ'). А
(HI.36) Если из точки вне круга г
проведены касательная и секущая, то
прямоугольник, построенный на всей
секущей и на ее части, находящейся
вне круга, равен квадрату касательной
(например, ОРхОР'^ОТ*).
Книга VI содержит также
важные свойства площадей:
(VI. 19) Подобные треугольники ^ис- 5.
находятся друг с другом в отношении
соответственных сторон в квадрате (например, если треугольники ABC
И А'В'С подобны, то их площади относятся как АВ2:А'В'2).
Этот результат дает следующее простое
доказательство теоремы Пифагора (см. Е в к л и д[Ц стр. 58):
(1.47) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов обоих катетов.

24
ТРЕУГОЛЬНИКИ
[ГЛ.1
В треугольнике ABC с прямым углом С опустим
перпендикуляр CF на гипотенузу АВ, как показано на
рис. 5. Тогда мы получим три подобных прямоугольных
треугольника ABC, ACF и CBF с гипотенузами АВУ АС
и СВ. В силу (VI. 19), их площади удовлетворяют
условию
ABC _ ACF _ CBF
АВ2 ~ АС2 — СВ2 #
*
Очевидно, ABC^ACF+CBF. Поэтому АВ2=АС2+СВК
УПРАЖНЕНИЯ
1. Применяя прямоугольные декартовы координаты, показать»
что симметрия относительно у оси (т. е. прямой *=0) изменяет
знак координаты х. Что произойдет при симметрии относительно
прямой *=*/?
2. Вывести (1.47) из (III.36) (применяя эту теорему к кругу
с центром А и радиусом АС).
3. Внутри квадрата ABDE взята точка С так, чтобы
треугольник CDE был равнобедренным с углами 15° при вершинах D и
Е. Треугольником какого вида является ABC? [Указание:
внутри треугольника BCD возьмите такую точку Ft что
треугольник FBD равен треугольнику CDE]
4. Доказать теорему Эрдеш а-М о р д е л л а: если О —
произвольная точка внутри треугольника ABC и Р, Q и R
—-основания перпендикуляров, опущенных из точки О на стороны ВС, СА
и АВ, то
ОА + ОВ + ОС^2(ОР+ OQ+ OR).
[Указание1): пусть Pi и Рг — основания перпендикуляров,
опущенных из точек R и Q на ВС. Определите аналогично Qi и
Q2, Ri и /?2 на других сторонах. Используя подобие треугольников
PRPi и OBR, выразите РХР через RPt OR и ОВ. После
подстановки этих выражений в
OA + OB+OC>OA(Pi + PP>) +
, OB(QiQ + QQ2) , OC(RlR + RR2)
^ PR ^ QP
соберите члены, содержащие соответственно OP, OQ и OR.]
l) Leon Bankoff, American Mathematical Monthly 65, 1958,
стр. 521. [Другие доказательства см.: G. R. Veldkamp and
Н. Bra 1 ant, Nieuw Tijdschrift vorWiskunde 45, 1958, стр. 193—196;
46, 1959, стр. 87; (3. А. Скопец, Мат. просвещениех вып. 5, I960,
стр. 151—152; Ф е й е ш Тот [1], стр. 32—35} ].

§4] МЕДИАНЫ И ЦЕНТРОИД 25
5. При каких условиях в упр. 4 знак !> можно заменить на
знак =?
в. В обозначениях упр. 4
OA-OB.OC^>(OQ-\-OR) (OR + OP) (OP + OQ).
[А. О п п e н г e й м (A. Oppenheim) J
§ 4. МЕДИАНЫ И ЦЕНТРОИД
Возможно, что восточная математика — это
интересная диковинка, но греческая математика — это
серьезная вещь. Греки, как выразился однажды
Литтлвуд, это не способные школьники или
хорошие студенты, но скорее «коллеги из другого
колледжа». Греческая математика «вечна», даже
более вечна, чем греческая литература. Архимеда
будут помнить, когда Эсхила забудут, так как
языки умирают, а математические идеи — нет.
Г. X. X а р д и (1877-1947) [2], стр. 21.
Прямая, соединяющая вершину треугольника с
серединой противоположной стороны, называется медианой.
Пусть две из трех медиан треугольника, например,
ВВ' и СС пересекаются в точке G (рис. 6), L и М —
середины отрезков GB и
ОС. В силу предложений
(VI. 2) и (VI. 4) Евклида
(приведенных на стр. 22—
23), С В' и LM
параллельны ВС и по длине
равны ее половине.
Поэтому B'C'LM —
параллелограмм. Так как
диагонали параллелограмма в
точке пересечения
делятся пополам, то
£'G = GL = LB,
C'G=zGM = MC.
Таким образом, медианы ВВГ и СС отсекают в G треть
одна от другой. Иными словами, точка G, лежащая на
одной из медиан на расстоянии двух третей от вершины,
лежит также на второй медиане на таком же
расстоянии от вершины, а следовательно и на третьей медиане!

2$
ТРЕУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. t
Таким образом мы доказали (тем же методом, какой
используется в книге Курт [2], стр. 65 (или в учебнике
Киселева [1])) следующую теорему:
1.41. Три медианы любого треугольника пересекаются
в одной точке.
Точка пересечения трех медиан треугольника
называется его центроидом (или центром тяжести). Архимед
(около 287—212 гг. до н.э.) пришел к понятию
центроида, рассматривая центр тяжести однородной
треугольной пластинки.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если две медианы треугольника равны, то этот треугольник
равнобедренный ]).
2. Сумма медиан треугольника заключена между -к Р н 2р,
где 2р — периметр треугольника.
S 5. ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ
Один по вечерам
Я больше библию читаю, чем Евклида.
Роберт Бьюкенен (R. Buchanan, 1841—1901).
История старого учителя
Евклид в предложении (III. 3) говорит, что круг
симметричен относительно каждого диаметра (в то
время как эллипс симметричен только относительно двух
определенных диаметров — большой и малой осей).
Отсюда следует, что угол между двумя пересекающимися
касательными делится пополам диаметром, проходящим
через их точку пересечения. Рассматривая
геометрические места точек, равноотстоящих от пар сторон
треугольника ABC, мы видим, что внутренние и внешние
биссектрисы трех углов треугольника пересекаются по
три в четырех точках /, /а, /& и /с, как показано на
рис. 7. Эти точки являются центрами четырех
окружностей, касающихся трех прямых ВС, СА и АВ. Та из этих
четырех точек, которая лежит внутри треугольника, —
1) Если формулировка упражнения имеет вид теоремы, то это
упражнение состоит в доказательстве сформулированной теоремы.
Для экономии места слова «Доказать, что» или «Показать, что»
в упражнениях опускаются.

$ 51 ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ 27
точка / — является центром вписанной окружности.
[Евклид (IV. 4).]. Три другие точки /а, /&, /с являются
центрами вневписанных окружностей. Радиусы вписанной
и вневписанных окружностей обозначаются через г, га,
Стороны треугольника ABC обычно обозначают
а = ВС, Ь = СА, с = АВУ
полупериметр
P = ~2(a-\-b-\-c\
углы —Л, В и С, а площадь — Л.
Из того, что Л + В + С=180°, нетрудно вывести:
1.51
£ BIC = 90° +4 Л;
мы воспользуемся этим в § 9.
Так как IBC — треугольник с основанием а и
высотой г, то его площадь равна -j^r. Складывая площади
трех таких треугольников, мы получаем

28 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ. I
Аналогично b = -j(b+c—a) га = (р — а)га. Поэтому
1.52
Д=рг = (/? — a)ra = (p~ b)r„ = (p — с)гс.
1)2 л. с2 а2
Из известной формулы собЛ = — 2fc мы нахо"
дим также, что
. А V— а4 — Ь4 — с4 + 2ЬЧ2 + 2с2а2 + 2а2Ь2
81ПЛ = Wc ,
откуда получим
1.53
A==.j6£Sin А=з
= 1 У— а* — Ь* — с4 + 2Ь2с2 + 2с2а2 + 2а2Ь2 =
= \У(а + Ь + с)(-а + Ь + с)(а — Ь + с)(а + Ь-с)=*
= Ур(Р — а){р — Ь)(р — с).
Эту замечательную формулу обычно приписывают Ге-
рону из Александрии (около 60 г. н. э.); однако на
самом деле она была открыта Архимедом (см. Б. Л. Ван
дер Варден, Пробуждающаяся наука, М., Физмат-
гиз, 1959, стр. 314).
Другим следствием симметрии круга является тот
факт, что перпендикуляры, восставленные к серединам
трех сторон треугольника, проходят через точку О,
которая является центром описанной окружности.
[Евклид (IV. 5).] Это — единственная окружность,
которая проходит через вершины Л, В и С. Ее радиус
обозначается через R. Так как центральный угол ВОС
(рис. 8) равен удвоенному углу Л, то у равных
прямоугольных треугольников ОВА\ ОСА' углы при вершине
О равны углу Л, откуда /?sin Л = 5Л' = ^-а и
1.54

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ
29
Проведем через точку А перпендикуляр AD к ВС и
диаметр АК описанной окружности, как показано на
Рис. 8.
Рис. 9.
рис. 9. В силу предложения Евклида (III. 21),
прямоугольные треугольники ABD и АКС подобны; следовательно,
AD
АС
AD =
be
АВ — АК ' '—— 2# •
Так как Д = -^ fiC. AD, то отсюда следует, что
1.55
4b-R=abc = p(p — b)(p-c) + p(p-c)(p-a)+
+ p(p — a)(p — b) — (p — a)(p — b)(p — c) =
А2 А2 А2 А2
■')•
Следовательно, пять радиусов /?, г, га, гъ и гс связаны
следующей зависимостью:
1.56
(Курт[1], стр. 73).
В отрезках р — а, р — b н р — с, которые
встречаются как в 1.52, так и в формуле Герона 1.53 для А, легко
узнать радиусы трех взаимно касающихся окружностей
с центрами в точках А, В и С. Фредерик Содди
(Frederick Soddy, 1877—1956), который знаменит своими ос«

30
треугольники
{ГЛ.?
новополагающими трудами об изотопах и своим
оригинальным подходом к экономике, начал изучать две
окружности, которые касаются этих трех окружностей
(рис. 10). Меньшая из этих окружностей окружена
тремя данными окружностями,
которые, как правило,
лежат внутри большей
окружности. [Эти окружности не
удается построить, если
треугольник «слишком
тупоугольный».] Пусть эти две
окружности имеют центры
5, S' и радиусы s, s\ так что
SA = s+p — а,
SB = s + p — b,
SC = s -\-p-~c.
Пусть Sa, Sb и Sc — углы
при вершине 5 в треуголь-
и SAB. Применяя к этим треуголь*
формулы cos2 [^ Л] = Р ^а) •
sin2 \j2 А\ = L ДЛЯ Угла ^ произвольного
треугольника ЛВС, мы получаем
iMc \ (s + a)s
\2°«;— (S + p-b)(s + p-c) '
Рис. 10.
никах SBC, SCA
никам известные
cosz
sin [2\)~ {s + p_b)i
(р-Ь)(р-~с)
(s + p — c)
и т. д.
В силу 1.54, в формуле a2—b2—c2 + 2bccos Л = 0
вместо а, Ь и с мы можем написать sin Л, sin 5, sin С.
Далее, мы можем заменить А, В и С любыми тремя
углами, сумма которых равна 180°, например углами
oSa> ost> ~9Sc- Тогда получаем
2 ~а» 2 ь> 2
(р-с)(р-а)
(р-а)(р-Ь)
{s + p-b)(s-r р-с) (s + p — c)(s-\-p — a) {s + p — a)(s + p — b)
+'2|/
(р-с)(р-а)
(р-а)(р-Ь)
s(s + a)
($ + р-с)(* + Р-«) ($+/7-a)U + p-&) (-s-fp-*)(.y-f-p-0

§ 5] ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ 31
откуда
s + p — а s + p — b s + p — c 2 fsls + p—b+p—с) _ Q
р — а р — b р — с V (р — Ь) (р — с)
Деля на s и вводя сокращенные обозначения
мы получаем
а —р —Y—64-2 VrpY-+-Y6 + 6P = 0,
откуда
(a-P~Y-6)2 = 4(pY + Y6 + 6p),
(a + p + Y + 6)2 = 4(ap + aV + a6 + PY + Y& + &p) =
= 2(a + p + Y + 6)?-2(a2 + p2 + Y2 + 62),
и, наконец,
1.57
2(a2+P2+Y2 + S2) = (a + P + Y + 6)2.
Мы нашли симметричную формулу, связывающую
четыре величины а, р, у и б, являющиеся обратными
величинами радиусов четырех взаимно касающихся
друг друга кругов. Величина, обратная радиусу круга,
называется его кривизной. Содди предпочитал более
простой термин изгиб, используемый в его поэме «The
Kiss Precise» («точный поцелуй») 1) ,где есть такие стихи:
Четыре круга встретились в поцелуе
И тот, который меньше, тот больше изогнут.
Изгиб — это обратная величина
Для расстояния от центра.
Хотя Евклид молчал об их интригах,
Правило большого пальца теперь не нужно.
Изгиб равен нулю у прямой линии
И отрицателен у вогнутой,
А сумма квадратов четырех изгибов
— Это половина квадрата их суммы.
Решая 1.57 как квадратное уравнение относительно б,
мы получаем два корня
fti,2 = « + P + Y±2VrPY + Ya + aP.
l) Nature 137, 1936, стр. 1021.

32 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ. I
Верхний знак дает больший изгиб, т. е. меньший
круг. Таким образом, искомые радиусы равны1)
1.58
1
и
5
a + P + Y + 2/PY + Ya + ctP
/_ 1
Это последнее выражение обычно отрицательно, что
указывает на «вогнутый изгиб»: круг с центром S'
заключает в себе круги с центрами Л, В и С,
Подставляя в формулы 1.58 р_а , • b , ■ с-
вместо a, р и y> мы находим
1.59
А
5 =
Л ' А ' Л *.2Ур(р-а+р-Ь + р-с)
р—а ' р—-b l р—с
~ ra + rb + re + 2p 4R + r + 2p *
Аналогично s' = 4р_. r_2р •
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что представляет собой множество образов некоторой
точки Р при отражениях от всевозможных прямых, проходящих
через фиксированную точку О?
2. Для любого треугольника
l.i.i 1 1 1 , 1 , L__,2
га^ гъ^ rc г s р — а 1 р — Ь р--с ' г
3. Длины касательных, проведенных из вершины А
треугольника к вписанной и к трем вневписанным окружностям,
соответственно равны
р — я, /?, р — с, р — Ь.
4. Если у треугольника две внутренние биссектрисы равны
(длину биссектрисы мы измеряем от вершины треугольника до
противоположной стороны), то он равнобедренный.
1) Гобсон ([1], стр. 216, упр. 29) приводит эти выражения
для s и s' с той лишь разницей, что у него а, Ь> с обратны на*
шим а, р, Y- См- также J. S а 11 е г 1 у, Mathematics Teacher 53,
1960, стр. 90—95.

§5J ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ 33
[Указание: если углы В и С не равны, то из них один
должен быть меньше, скажем В<С. Тогда, если равны биссектрисы
ВМ и CN, то существует такая точка Р на AN, что < PCN = -^В,
итгаиая точка Q на PN, что BQ = CP. Сравните углы Р и Q в
равных треугольниках BMQ и CWP*).].
5. Центр окружности, описанной около тупоугольного
треугольника, лежит вне треугольника.
6. Где лежит центр окружности, описанной около
прямоугольного треугольника?
7. Пусть I/, V и W — точки, лежащие соответственно на
сторонах ВС, СА и АВ треугольника ABC, Перпендикуляры,
восставленные к сторонам в этих точках, проходят через одну точку тогда
и только тогда, когда
AW* + BU2 + CV2 = WB* + U С2 + VAK
8. Дан треугольник ABC. При каком значении х существует
точка, расстояния от которой до вершин А, В и С равны х — а,
х — Ь,х-с? [Дж. Э. X. Хантер (J. А. Н. Hunter).]
9. Что произойдет с точкой S' рис. 10, если
2(a2 + P2 + Y2) = (« + P + Y)2?
Рассмотреть, случай, когда a—8, & = с=5, так что а=1 и р—у~Т#
10. Треугольник является прямоугольным тогда и только тогда,
когда 2#+г=*р.
11. Дана точка Р на окружности, описанной около
треугольника; основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на три
стороны треугольника, лежат на одной прямой. Эта прямая обычно
называется прямой Симеона точки Р по отношению к
треугольнику, хотя впервые она была указана В. Валлисом через
30 лет после смерти Симеона (см. Джонсон [1], стр. 138).
12. Дан треугольник ABC и точка Р в его плоскости (не
принадлежащая ни стороне, ни описанной около треугольника
окружности). Пусть А{ВХС\ — новый треугольник, вершинами которого
являются основания перпендикуляров, опущенных из Р на
стороны ВС, С А к АВ.
Пусть треугольник А2В2С2 получается аналогичным образом из
А\В\С\ (с той же точкой Р), а треугольник А3ВЪС3— из А2В2С2.
Тогда треугольник А3В$С3 собственно подобен **) треугольнику ABC
(Кэзи [1], стр. 253). [Указание: Z.PBA = £РАХСХ= ZPC2B2=
= ^РВзЛ3.] Этот результат был обобщен А. Оппенгеймом (А. Ор-
penheim) на случай л-угольника, когда описанную выше операцию
приходится повторять п раз.
•) Другие решения см.: Шклярский, Ченцов, Яглом
[1], решения задачи 111b).
**) То есть переводится в треугольник ABC с помощью
собственного подобия (см. § 1 гл. 3 и §§ 4—6 гл. 5).

34
ТРЕУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. I
§ 6. ПРЯМАЯ ЭЙЛЕРА И ОРТОЦЕНТР
Наряду с геометрией греки плодотворно
разрабатывали также и различнейшие другие области
математики, но в настоящее время мы всюду>
включая и геометрию, существенно перегнали их.
Феликс Клейн ({849—1925) [2], стр 312.
В дальнейшем мы будем в различных случаях
упоминать имя Леонарда Эйлера (1707—1783), швейцарца,
который большую часть своей жизни провел в России.
Эйлер внес значительный вклад буквально во все
области математики. Некоторые из его простейших
открытий таковы, что можно представить себе дух Евклида,
вопрошающий: «Почему при жизни на Земле я не
додумался до этого?».
Если центроид G и центр описанной окружности О
у некоторого треугольника совпадают, то каждая
медиана перпендикулярна к стороне, которую она делит
пополам, и треугольник «трижды равнобедренный», т. е.
равносторонний. Сле-
Jq довательно, если треуголь*
>/у|\ ник ABC не равносторонний,
у/ / \ то его центроид G и центр
у/ / \ описанной окружности О за-
у/ /^>?//\ дают единственную прямую
jr О Г/С! \ * РассмотРим такую точ-
у/ Т/ \ ку Н этой прямой, называе-
&— \L & ъ мой прямой Эйлера,
В А' Л С что Otf = 30G, т. е. GH =
Рис п. = 20G (рис. 11). Так как,
кроме того, GA = 2A'G, то из
второй половины предложения (VI. 2) Евклида следует,
что прямая АН параллельна прямой А'О, которая
представляет собой перпендикуляр, восставленный к отрезку ВС
в еТю середине. Таким образом, прямая АН
перпендикулярна к ВС. Точно так же можно показать, что
прямая ВН перпендикулярна к СЛ, а прямая
СН—прямой АВ.
Прямая, проходящая через вершину треугольника и
перпендикулярная к противоположной стороне,
называется высотой треугольника.

§ 7J ОКРУЖНОСТЬ девяти ТОЧЕК 35
Из сказанного выше следует, что
Три высоты треугольника пересекаются в некоторой
точке Н прямой Эйлера (Курт [2], стр. 101; (ср.
Болтянский и Яглом [1], стр. 139)). Эта общая точка Я
tpex высот называется ортоцентром треугольника.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Проведем через каждую вершину данного треугольника ABC
прямую, параллельную противоположной стороне. Восставив в
образовавшемся треугольнике перпендикуляры к сторонам в их
серединах, мы получим другое доказательство теоремы о том, что три
высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке. [К. Ф.
Гаусс]
2. Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне
треугольника.
3. Где лежит ортоцентр прямоугольного треугольника?
4. Треугольник, у которого две высоты равны, равнобедренный.
5. Построить равнобедренный треугольник ABC (с основанием
ВС) по данным высоте BE и медиане ВВ'. [Указание: центроид
находится в два раза ближе к точке В', чем к точке В.] [Г. Ф р е й-
денталь (Н. Freudenthal).]
6. Длина высоты AD треугольника ЛВС равна
2R sin В sin С.
7. Найти расстояние от центроида G до стороны ВС.
8. Если прямая Эйлера проходит через вершину, то
треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный (либо и то и
другое одновременно).
9. Если прямая Эйлера параллельна стороне ВС, то углы В
и С треугольника удовлетворяют соотношению
tgStgC = 3.
§ 7. ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК
Эта окружность —перво? действительно волную-
щее, с чем мы встречаемся в курсе элементарной
геометрии.
Даниель П и д о (род, 1910) [I]. стр. I.
Основания высот (т. е. точки пересечения высот с
противоположными сторонами, такие как точка D на
рис. 11) образуют ортоцентрический треуголь*
ник треугольника ABC.
Окружность, описанная около ортоцентрического
треугольника, называется окружностью девяти
точек первоначального треугольника, потому что она со-

36
ТРЕУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. 1
держит не только основания трех высот, но также шесть
других замечательных точек. А именно,
1.71. Середины трех сторон, середины отрезков, со-
единяющих ортоцентр с тремя вершинами и основания
трех высот треугольника, лежат на одной окружности.
Доказательство (Кокстер [2], 9.29)*). Пусть
точки А\ В', С, А", В", С" соответственно середины
отрезков ВС, СА, АВ, НА, НВ,
НС, а точки D, Е, F —
основания высот треугольника,
как показано на рис. 12.
В силу предложений
(VI. 2) и (VI. 4) Евклида,
отрезки С'В' и С"В"
параллельны ВС, а отрезки В'С"
и С В" параллельны АН. Так
как, кроме того, прямая АН
перпендикулярна к ВС, то
четырехугольник В* С В" С"
Рис. 12. —прямоугольник.
Аналогичные рассуждения
показывают что С А* С" А" — тоже прямоугольник.
Следовательно, отрезки А'А", В'В" и С'С" все равны между собой и
делятся в общей точке
пересечения пополам, т. е. это три
В В С
Рис. 13.
диаметра некоторой окружности. Так как эти диаметры
стягивают прямые углы с вершинами в точках D, Е, F,
то эта окружность проходит также через эти три точки.
*) См. также Перепелкин [1J, стр. 104—105. Другие
доказательства — в книгах: Шклярский, Ченцов, Яглом [1], ре*
шение задачи 120, Яглом [1], решение задачи 51а.

§7]
ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК
37
Если четыре точки на плоскости соединены попарно
шестью различными прямыми, то их называют
вершинами полного четырехугольника, а
прямые — шестью его сторонами. Две стороны называют
противолежащими, если у них нет общей вершины.
Точки пересечения противолежащих сторон называются
диагональными точками четырехугольника;
таких точек может существовать не более трех (рис. 13).
Если треугольник ABC не прямоугольный, то его
вершины и ортоцентр образуют специальный случай
полного четырехугольника, у которого противолежащие
стороны перпендикулярны. В этих терминах
конкурентность (пересечение в одной точке) трех высот
треугольника можно выразить так:
1.72. Если две (не противоположные!) стороны
полного четырехугольника перпендикулярны к
противоположным сторонам, то последние две стороны также
перпендикулярны.
Такой четырехугольник АВСН называется орто-
центрическим (полным)
четырехугольником. Шестью его сторонами служат стороны и высоты
треугольника ABC
ВС, СД АВ, НА, ИВ, НС,
а его диагональными точками являются основания
высот этого треугольника — точки D, Е, F. Среди четырех
вершин четырехугольника наши обозначения как будто
выделяют точку //. Однако ясно, что
1.73. Каждая вершина ортоцентрического четырех*
угольника является ортоцентром треугольника,
образованного остальными тремя вершинами.
Четыре треугольника (из которых ровно один
остроугольный) имеют общий ортоцентрический треугольник
и, следовательно, общую окружность девяти точек.
В книгах по аффинной геометрии доказано (см.,
например, Ко к стер [2], 8.71), что середины шести сторон
любого полного четырехугольника и три его
диагональные точки лежат на одном коническом сечении.
Предыдущие замечания показывают, что для
ортоцентрического четырехугольника это «коническое сечение девяти
точек» превращается в окружность.

38
ТРЕУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. !
УПРАЖНЕНИЯ
!. Сколько из девяти точек, упоминаемых в теореме I. 71,
совпадают, если треугольник а) равнобедренный, б) равносторонний?
2. Основания высот делят окружность девяти точек на три
дуги. Если треугольник неравносторонний, остальные шесть точек
распределяются по этим трем дугам следующим образом: одна
дуга содержит ровно одну из шести точек, другая содержит две
а третья — три.
3. На дуге A'D окружности девяти точек взлта точка X на
одной трети расстояния от А' до D. Аналогичным образом взяты
точки Y и Z на дугах В'Е и СТ. Доказать, что треугольник XYZ
равносторонний.
4. Центры вписанной и вневписанных окружностей
произвольного треугольника образуют ортоцентрический четырехугольник.
[Кэзи [1], стр. 274.]
5. Для треугольника с вершинами в центрах вневписанных
окружностей данного треугольника прямой Эйлера является
прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей
первоначального треугольника.
6. Радиусы описанных окружностей четырех треугольников,
образующихся в ортоцентрическом четырехугольнике (треугольников
АВН, АСН, ВСН, ABC), равны.
§ 8. ДВЕ ЗАДАЧИ О НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЯХ
Большинство людей получают определенное
удовольствие от математики, так же как
большинство людей могут наслаждаться прекрасной
мелодией; и, наверное, больше людей действительно
интересуются математикой, чем музыкой.
Г. X. X а р д и [2], стр 26.
Если бы только удалось преодолеть то недоверие,
с которым весьма многие под влиянием случай-
ных школьных впечатлений сторонятся всего,
связанного с математикой, то людей, склонных
«импровизировать» в области несложных
произведений математического искусства, оказалось бы не
меньше, чем активных любителей музыки.
Ганс Радемахер (род. 1892) — см. Радемахер
и Теплиц [I], стр. 7.
Мы уделим задачам Фаньяно и Ферма так много
внимания потому, что для нас представляют интерес
методы, применяемые при их решении. Первая из этих
задач была поставлена в 1775 году Джанфранческо де
Тоски ди Фаньяно (J. F. Toschi di Fagnano), который
разрешил ее средствами дифференциального исчисления.

§ 8] ДВЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 39
Приводимый здесь метод предложен Л. Фейером (L. Fe-
jer), нашедшим его еще в свои студенческие годы (Р а-
демахер и Теплиц [1], стр. 40—44).
Задача Фаньяно. В данный остроугольный
треугольник ABC вписать треугольник UVW наименьшего
возможного периметра.
Рассмотрим сначала произвольный треугольник UVW,
у которого вершина U лежит на стороне ВС, вершина
V— на САУ а вершина W— на АВ. Пусть U' и V" —
точки, симметричные точке U относительно прямых СА
и А В. Тогда
UV+VW+ WU=U'V+VW+ WU".
Правая часть этого равенства представляет собой
некоторый путь из точки V в точку U'\ который, вообще
говоря, является ломаной с вершинами в точках V и W.
Этот путь минимален, когда ломаная превращается в
прямолинейный отрезок, как показано на рис. 14.
А
Следовательно, среди всех вписанных треугольников
с данной вершиной U на стороне ВС треугольник
наименьшего периметра получается, когда вершины V и W
принадлежат прямой U'U". Таким образом, для каждого
положения U на стороне ВС мы получим определенный
треугольник UVW. Задача будет решена, когда мы
выберем точку U так, чтобы отрезок U'U'\ равный
периметру треугольника UU'U", имел наименьшую
возможную длину.
Так как отрезки AU' и AU" симметричны отрезку
AU относительно прямых АС и АВ, то они равны и
LU'AU"=*2A.

40
ТРЕУГОЛЬНИКИ
(ГЛ. г
Таким образом, AU'U" — равнобедренный треуголь*
ник, у которого угол при вершине А не зависит от
выбора точки U. Его основание U'U" минимально, когда
минимальны боковые стороны А1)' и AU'\ т. е. когда
минимален отрезок AU. Другими словами, отрезок AU
должен быть кратчайшим расстоянием от данной
точки А до данной прямой ВС. Так как гипотенуза
прямоугольного треугольника длиннее, чем каждый катет,
искомое положение точки U таково, что AU
перпендикулярна ВС. Таким образом, AU — высота, проведенная из
вершины А.
Это положение U определяет единственный
треугольник UVW, периметр которого меньше, чем у всех других
вписанных треугольников. Так как мы могли с таким же
успехом начать с точки В или С вместо Л, отрезки BV и
CW также должны быть высотами, проведенными из
точек В и С. Следовательно,
Наименьший периметр из всех треугольников,
вписанных в остроугольный треугольник ABC, имеет орто-
центрический треугольник треугольника ABC.
Тот же самый метод позволяет доказать аналогичное
предложение и для сферических треугольников
(Штейне р [2], стр. 45, № 7) *).
В другой задаче, предложенной Пьером Ферма
(P. Fermat, 1601 —1665), также требуется найти
минимум суммы трех расстояний. Решение, которое
приводится здесь, взято у И.Э. Гоф м а н a (J. Е. Hofmann) 1).
Задача Ферма. В данном остроугольном
треугольнике ABC найти точку Р, для которой сумма
расстояний до вершин А, В и С минимальна.
Выберем сначала некоторую точку Р внутри
треугольника. Соединим ее с точками Л, В, С и повернем
внутренний треугольник АРВ на 60° вокруг точки В. Он
*) См. также В. Г. Болтянский и И. М. Яглом,
Энциклопедия элементарной математики, кн. V, М., «Наука», 1966,
стр. 321—329; Яглом [1], решения задач 996, 101.
l) Elementare Losung einer Minimumsaufgabe, Zeitschrift fur
mathematischen and naturwissenschaftlichen Unterricht 60, 1929,
стр. 22—23. (См. также В. Г. Б о л т я н с к и й и И. М. Я г ля м.
Энциклопедия элементарной математики, кн. V, стр. 307—313 и
318—319; Яглом [1], решения задач 103, 104, 105.)

ДВЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
41
займет такое положение С'Р'В, что ABC и РВЯ'—
равносторонние треугольники, как это изображено на рис. 15.
Тогда
АР-\-РВ + СР = СР'+Р'Р+РС.
Правая часть этого равенства представляет собой путь
из точки С в точку С, который, вообще говоря, является
ломаной линией, с вершинами в точках Р' и Р. Длина
такой ломаной минимальна, когда она превращается в
прямолинейный отрезок. В этом случае
L ВРС = 180° —1_ ВРРГ = 120°
и
£ АРВ = £ СР'В = 180° — £ РРГВ = 120°.
Таким образом, искомая точка Р, для которой сумма
АР+ВР + СР минимальна, — это точка, из которой
каждая сторона ВС, СЛ,
Л В видна под углом 120°. "' - -"^
Эту «точку Ферма»
проще всего построить как
точку пересечения прямой
СС и окружности ABC
Рис. 15.
Рис. 16.
(т. е. окружности, описанной около равностороннего
треугольника ABC).
Было замечено (см., например, Пидо [1], стр. 11 —
12), что требование остроугольности треугольника ABC
слишком сильно. Приведенное выше решение остается
в силе, когда все углы треугольника не превосходят 120°.
Вместо равностороннего треугольника ABC,
построенного на стороне ABt мы могли бы с таким же
успехом построить равносторонний треугольник ВСА' на

42
ТРЕУГОЛЬНИКИ
[ГЛ г
стороне ВС или CAB' на стороне С А, как показано на
рис. 16. Таким образом, три прямых /ГЛ, В'В и С'С
проходят через точку Ферма Р и любые две из них дают
другое построение этой точки. Кроме того, отрезки АА\
ВВ' и СС равны АР + ВР + СР. Следовательно,
Если на стороне некоторого треугольника ABC во
внешнюю сторону построены равносторонние
треугольники ВСА\ САВ\ АВС\ то отрезки А А', ВВ\ СС
равны, пересекаются в одной точке и образуют попарно
углы в 60°*).
УПРАЖНЕНИЯ
1. На рис. 14 прямые UV и VW образуют одинаковые углы
с СЛ. Вывести отсюда, что ортоцентр треугольника является
центром окружности, вписанной в его ортоцентрический треугольник.
Другими словами, если ЛВС — треугольный биллиардный стол, то
шар, пущенный из точки V в направлении UV, будет двигаться по
треугольнику UVW неопределенно долго — пока его движение не
прекратится из-за трения.
2. Как изменится постановка задачи Фаньяно, если попытаться
распространить ее на случай треугольника, у которого угол А
тупой?
3. Доказать, что окружности, описанные около трех
равносторонних треугольников, изображенных на рис. 16, все проходят
через точку Р и что их центры образуют четвертый равносторонний
треугольник ').
4. В вершинах некоторого треугольника, нарисованного на
поверхности стола, просверлены три отверстия в поверхности стола.
Через каждое отверстие продета нить, к которой привязан груз,
находящийся под столом. Сверху все нити связали и отпустили.
Какое положение займет узел в случае равенства трех грузов?
5. Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со
стороной в одну милю. Жители хотят соединить деревни системой дорог,
но__имеющихся у них материалов достаточно для сооружения только
1^3+1 миль дорог. Как они должны поступить?
6. Решить задачу Ферма для треугольника ABC с углом
Л>120° и для выпуклого четырехугольника ABCD.
*) Ср. Шклярский, Ченцов, Я г л о м [1], решение
задачи 716).
х) Курт ([1], стр. 105—107). См. также журнал Mathesis, 1938,
стр. 293 (подстрочное примечание, где эта теорема приписывается
Наполеону), и Фор дер ([2], сгр. 40) с несколькими интересными
обобщениями. (Ср. также Шклярский, Ченцов, Яглом [1],
решение задачи 110а, Яглом [1], решение задачи 20а) >; Курант
и Роббинс [1], стр. 470; (Г. Ш т е й н г а у з, Сто задач, М.,
Физматгиз, 1959, решение задачи 75.).

§9J
ТЕОРЕМА МОРЛЕЯ
43
7. Если две точки Р и Р' находятся внутри треугольника ABC
и расположены так, что /.СВР= /.РВР'= ZP'BA, /.АСР'=
= ^P'CP=ZPCB, то ZBP'P=ZPP'C.
8. Если на сторонах некоторого параллелограмма во внешнюю
(или внутреннюю) сторону построены четыре квадрата, то их
центры являются вершинами еще одного квадрата (Я г л о м [1],
стр. 41, 161).
9. Пусть X, У, Z — центры квадратов, построенных во
внешнюю сторону на сторонах ВС, С А, А В треугольника ABC. Тогда
отрезок АХ равен и перпендикулярен к YZ (то же самое верно для
пар BY и ZX, CZ и XY). [В. А. И. Люксембург (W. A. I.
Luxemburg) .]
10. Пусть Z, X, I/, V — центры квадратов, построенных во
внешнюю сторону на сторонах АВ} ВС, CD, DA некоторого
четырехугольника (или «четырехсторонника») ABCD. Тогда отрезок ZU
(соединяющий центры «противоположных» квадратов) равен и
перпендикулярен к XV (Ф о р д е р [2], стр 40).
§ 9. ТЕОРЕМА МОРЛЕЯ
Многие доказательства в математике очень длин*
ны и запутаны. Другие же, хотя и не длинны,
построены в высшей степени остроумно.
Э. Ч. Титчмарш (1899—1963) [1], стр. 23.
Одна из самых неожиданных теорем элементарной
геометрии была открыта в 1899 году Ф. Морлеем
(Frank Morley; его сын Кристофер написал ряд
романов, например «Гроза слева»). Он упомянул о ней своим
друзьям, которые распространили ее по свету в виде
математической сплетни. Десять лет спустя были
опубликованы тригонометрическое доказательство М. Сатья-
нараяны (М. Satyanarayana) и элементарное
доказательство М. Т. Нараньенгара (М. Т. Naraniengar) *).
l) Mathematical Questions and their solutions from the
Educational Times (новая серия) 15, 1909, стр. 23—24, 47. См. также
С. Н. С hep те 11 and R. F. Davis, Mathematical Gazette 11,
1923, стр. 85—86; F. Morley, American Journal of Mathematics 51,
1929, стр. 465—472; H. D. Grossman, American Mathematical
Monthly 50, 1943, стр. 552, и L. В a n k о f f, Mathematics Magazine
35, 1962, стр. 223—224. Метод, излагаемый в этой книге, предложен
Раулем Брикаром: Raoul В г i с а г d, Nouvelles Annates de Mathe-
matiques (5), 1, 1922, стр. 254—258. Очень близкое доказательство
было независимо предложено Боттемой ([1], стр. 34). (См.
также Шклярский, Ченцов, Яглом [1], решения задачи 118.)

44
ТРЕУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. t
Вслед за тем появилось много других доказательств,
как элементарных, так и тригонометрических.
Теорема Морлея. Три точки пересечения
смежных трисектрис углов произвольного треугольника обра*
зуют равносторонний треугольник.
Другими словами, произвольный треугольник ABC
порождает равносторонний треугольник PQR, если углы
Л, В, С разделены на три равные части прямыми AQ и
AR, BR и ВР, СР и CQ, как показано на рис. 17. При
Рис. 17.
попытке непосредственного доказательства этой теоремы
возникают большие трудности, которые исчезают, если
действовать в обратном порядке: начать с
равностороннего треугольника и затем строить некоторый
треугольник общего вида, который впоследствии
отождествляется с данным треугольником ABC.
Построим на сторонах QR, RP, PQ данного
равностороннего треугольника PQR равнобедренные
треугольники P'QR, Q'RP> /?'PQ, у которых углы а, р, v при
основаниях удовлетворяют равенству а+Р+у=120° и
неравенствам ос<60°, р<60°, y<60°. Продолжим стороны
равнобедренных треугольников за их основания, пока

§9] ТЕОРЕМА МОРЛЕЯ 45
они не пересекутся в точках Л, В, С (рис. 17). Так как
a + p + Y + 60°=180°,' мы немедленно можем измерить не*
которые другие углы, указанные на рис. 17. Например,
треугольник AQR должен иметь при вершине Л угол
60° —а, так как его углы при вершинах Q и R равны
a+Р и Y+a-
Из формулы 1.51 мы знаем, что один из способов
определения центра / окружности, вписанной в
треугольник ЛВС, состоит в том, что он определяется как точка,
лежащая на биссектрисе угла А и такая, что
L В/С = 90°-f~ А.
Применяя это правило к точке Р и треугольнику
Р'ВС, мы устанавливаем, что прямая РР' (являющаяся
медианой одновременно в равностороннем треугольнике
PQR и в равнобедренном треугольнике P'QR) делит
пополам угол при точке Р. Поэтому половина угла при
точке Р равна 90° — а, а
£5ЯС=180° — а = 90° + (90° — а).
Точка Р — центр окружности, вписанной в
треугольник Р'ВС. Точно так же точка Q является центром
окружности, вписанной в треугольник Q'CA, а точка R —-
центром окружности, вписанной в треугольник R АВ.
Поэтому все три малых угла при точке С равны; то же
самое можно сказать и об углах при точках А и В.
Другими словами, углы треугольника ABC разделены на три
равные части.
Каждый из трех малых углов при точке А равен
~Л = 60° — а;
точно так же определяются углы при точках В и С.
Таким образом,
а = 60° — уЛ, р = 60° — ~£, y = 60° —^С.
Выбрав эти значения для углов при основаниях
равнобедренных треугольников, мы видим, что описанное

46
ТРЕУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. f
выше построение дает треугольник ABC, подобный
данному произвольно заданному треугольнику.
Это и завершает доказательство теоремы*).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Три прямые РР\ QQ\ RR' (рис. 17) пересекаются в одной
точке. Другими словами, трисектрисы углов Л, В, С, встречаясь
дальше, образуют другой треугольник P'Q'R\ перспективный**)
равностороннему треугольнику PQR. [Треугольник P'Q'R', вообше
гозоря, не равносторонний.]
2. При каких значениях а, р, у треугольник ABC будет а)
равносторонним, б) равнобедренным прямоугольным? Сделать
чертежи, отвечающие обоим случаям.
3. Пусть Pi и Р2 (на СА и АВ) —точки, симметричные точке Р
относительно прямых СР' и ВР\ Тогда четыре точки Рь Q, R, Р2
лежат на окружности, проходящей также через точку Л, причем
дуги PiQ, QR, RP2 равны. Если треугольник ABC равносторонний,
то эти четыре точки находятся среди вершин правильного девяти-
угольника, вершина А которого противолежит его стороне QR.
*) Если называть «трисектрисами треугольника лишь прямые,
делящие на три равные части его внутренние углы, то теорема
Морлея утверждает, что три из шести отличных от вершин
треугольника точек пересечения его шести трисектрис являются
вершинами равностороннего треугольника. В 1914 г. эта теорема была
обобщена следующим образом: если условиться называть также
«трисектрисами» прямые, делящие на три равные части внешние
углы треугольника, а также углы, дополняющие углы треугольника
до 360°, то мы получим еще 18 трисектрис; среди точек их
пересечения можно указать 78 точек, являющихся вершинами еще 26
равносторонних треугольников, стороны которых параллельны сторонам
«основного» равностороннего треугольника Морлея (сторонам
треугольника PQR на рис. 17). По этому поводу см., например,
М.—В. Gambier, Ann. ScL Ecole Norm. Sup. (3) 71, 1954,
стр. 191—212.
**) Этот термин означает лишь, что прямые РР', QQ\ RR'
сходятся в одной точке (конкуррентны). Ср. ниже, стр. 342 и след.

ГЛАВА 2
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Мы начнем эту главу с обсуждения (не
сопровождаемого полными доказательствами) возможности
построения некоторых правильных многоугольников с
помощью инструментов, которые допускались Евклидом.
Затем мы обсудим вопрос о таких многоугольниках с
точки зрения их симметрии, не обращая внимания на
возможность их построения. Наконец, мы расширим
понятие правильного многоугольника таким образом,
чтобы оно включало также и звездчатые многоугольники.
§ 1. ЗАДАЧА ДЕЛЕНИЯ КРУГА
Раз и два! Раз и два1... Окровилась трава.
Он пронзил Верлиоку мечом.
Льюис Кэррол [2], гл 1, стр, 16.
Постулаты Евклида налагают ограничения на
инструменты, которые допускаются при выполнении
геометрических построений, а именно ограничивают эти
инструменты линейкой и циркулем. Евклид строит с помощью
этих инструментов равносторонний треугольник (I. 1),
квадрат (IV. 6), правильный пятиугольник (IV. 11),
правильный шестиугольник (IV. 15) и правильный пятнад-»
цатиугольник (IV. 16). Число сторон можно
неограниченно удваивать путем последовательного деления углов
пополам. Естественно спросить, какие еще правильные
многоугольники могут быть построены теми же
инструментами. Этот вопрос был полностью разрешен Гауссом
(1777—1855) в возрасте девятнадцати лет (см. Смит
[2], стр. 301—302; (Клейн [5], стр. 54)). Гаусс показал,

48
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. 2
что правильный л-угольник — обозначим его {п} —
может быть построен тогда и только тогда, когда в
разложении числа п на простые множители все нечетные
множители различны и являются простыми числами Ферма,
Только о следующих числах такого вида известно, что
они простые:
/?з = 28+ 1=257, /^ = 216 +1=65 537.
Так как 7 не является простым числом Ферма, то ин*
струментов Евклида недостаточно для построения
правильного семиугольника {7}. Так как простые множители
девятки одинаковы, то же самое можно сказать и о
правильном девятиугольнике {9}.
Построения правильного пятиугольника, вписанного
в данную окружность, более простые, чем построение
1р>
О /V;
Рис. IS.
N5FOE N3
Рис. 19.
Евклида, были указаны Птолемеем и Ричмондом.
Первое из этих построений приведено во многих учебниках.
Построение Ричмонда1) выглядит так (рис. 18).
Чтобы вписать правильный пятиугольник Р0ЛР2Р3Р4
в окружность с центром О, проведем радиус ОВ,
перпендикулярный к 0РО; соединим точку Р0 с серединой D
l) Н. W. Richmond, Quaterly Journal of Mathematics 26,
1893, стр. 296—297; см. также Н. 8. D u d е п с у, Amysements in
Mathematics, London, 1917, стр. 38.

§n
ЗАДАЧА ДЕЛЕНИЯ КРУГА
49
отрезка 0В\ разделив пополам угол ODP0, получим
точку Ni на ОР0\ восставив в точке Ni перпендикуляр к ОР0,
получим точку Р4 окружности. Тогда P0Pi — сторона
искомого пятиугольника.
Ричмонд дал также простое построение семнадцати-
угольника {17} P0Pi... Pie (рис. 19):
Соединим точку Р0 с точкой /, лежащей на радиусе
ОВ на расстоянии *Д ОВ от центра. На диаметре,
проходящем через точку Ро, выберем точки Е и F так,
чтобы ZOJE был равен четверти угла О/Ро, a ZFJE был
равен 45°. Пусть окружность, построенная на FP0, как
на диаметре, пересекает ОВ в точке К и пусть
окружность с центром Е и радиусом ЕК пересекает ОР0 в
точках N3 (между О и Ро) и N5. Восставим
перпендикуляры к ОР0 в этих двух точках до пересечения с
первоначальной окружностью в точках Рз и Ps. Тогда дуга
Р3Р5 (и равная ей дуга Р\Рз) равна 2/i7 окружности.
[В доказательстве несколько раз используется тот факт,
что корни уравнения x2 + 2xctg2C—1=0 равны tgC и
-ctgC]
Ришело (Richelot) и Швенденгейм (Schwendenheim)
около 1898 года построили правильный 257-угольник.
О. Гермес (О. Hermes) потратил десять лет жизни на
построение правильного 65 537-угольника; свою рукопись
он заключил в большой ящик, находящийся в Геттинген-
ском университете, где она покоится и поныне.
Следующее число вида Fk = 22* +1 — это Р5 =
=4 294 967 297. Ферма ошибочно предполагал, что оно
простое. Л. Эйлер доказал, что это число является
составным. Дж. Т. Беннет (G. Т. Bennett) дал следующее
изящное доказательство1) того, что число Р5
разлагается на множители (см. Харди и Райт [1] 1, стр. 14):
число
641 =54 + 24 = 5- 27+1,
является одновременно делителем двух чисел 54-228+232
и 54*228—1 и, следовательно, является также
делителем их разности, которая равна числу jF5. С помощью
*) Открыто снова Ре Kanagasabapathy, Mathematical
Gazette 42, 1958, стр. 310.

50
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. 2,
более сложных ухищрений было доказано, что числа F6,
F7l F8, F9 также составные*), а это означает, что
соответствующие /^-угольники нельзя построить циркулем и
линейкой!
УПРАЖНЕНИЯ
1. Проверить правильность ричмондовского построения
правильного пятиугольника {5} (рис. 18).
2. Считая, что в окружность уже вписан правильный 17-уголь-
ник {17}, вписать в ту же окружность правильный 51-угольник {51}.
3. Число 2"+ 1 составное, если п не является степенью 2.
§ 2. ТРИСЕКЦИЯ УГЛА
Для того чтобы произвести трисекцию данного
угла, мы можем первоначально найти его синус,
равный, скажем, а; и тогда, если х — синус угла,
равного одной трети данного угла, то мы имеем
уравнение 4х3=3х — а.
У. У. Рауз Болл (1350-1925) [1], стр. 327.
Задача о трисекции произвольного угла циркулем и
линейкой давала пищу для размышлений математикам
профессионалам и любителям на протяжении двух
тысячелетий (Болл [1], стр. 333—335). Конечно, трисекция
легко осуществима для некоторых частных углов,
например для прямого угла. Но любая конструкция для
трисекции произвольного угла естественно должна быть
применима и к углу в 60°, а в таком случае мы смогли
бы построить правильный девятиугольник **). Так как 9
имеет двойной нечетный простой множитель 3, то этот
многоугольник нельзя построить циркулем и линейкой.
*) Доказано также, что составными являются числа Fn, F12,
^18» ^23, ^36, ^38, ^39, ^55, ^63, ^73, ^117, F\2b, ^144, ^150, ^207, F22b
^228» ^268, ^284, ^316, ^452 (большинство этих результатов получено
с использованием современных электронных вычислительных
машин). Число /Ч52=22452+ 1 — это, по-видимому, наибольшее число,
которое когда-либо люди разлагали на множители; оно состоит не
менее чем из 10135 цифр.
**) Ибо центральный угол, отвечающий стороне всписанного в
окружность правильного девятиугольника, очевидно, равен
360° __ 40° — 9 . ^-
9 ~*U ~~Z 3 '

§3]
ДВИЖЕНИЕ
51
Принимая во внимание открытие Гаусса, мы можем
сказать, что в 1796 году было установлено, что классическая
задача о трисекции угла не может быть решена.
Это, вероятно, является причиной того, что теорема
Морлея (§ 9 гл. I) не была открыта до двадцатого
столетия: люди чувствовали известную неловкость при
упоминании о трисектрисах углов. Однако, хотя
трисектрисы нельзя построить циркулем и линейкой, их можно
построить другими средствами (Канди и Роллетт
[1], стр. 208—211). Но даже если бы эти более удобные
инструменты никогда не стали бы известны, теорема
Морлея все равно имела бы смысл. Большинство
математиков принимают существование вещей, которые они
не могут построить. Так, например, в 1909 году было
доказано, что числа Ферма F7 и F8 составные, но их наи-»
меньшие простые множители до сих пор не вычислены.
§ 3. ДВИЖЕНИЕ
Один путь описания структуры пространства,
который предпочитали Ньютон и Гельмгольц,
состоит в использовании понятия конгруэнтности.
Конгруэнтными называются такие части про-
странства V, V, которые можно заполнить одним
и тем же твердым телом в двух положениях.
Когда мы передвигаем тело из одного положения
в другое, частица тела, которая занимала
некоторую точку Р в V, попадет затем в некоторую
точку Р' в V и, таким образом, результатом
движения будет отображение Р -> Р', переводящее
V в V. Мы можем расширить твердое тело
фактически или в нашем воображении так, чтобы оно
покрывало произвольно заданную точку Р
пространства; следовательно, конгруэнтное
отображение Р -> Р' можно распространить на все
пространство.
Герман В е й л ь (1833—1955) [1], стр. 43.
Мы будем употреблять слово преобразование в
специальном смысле — как термин, означающий взаимно
однозначное соответствие Р —* Р' между всеми точками
плоскости (или пространства), т. е. правило, таким
образом составляющее пары точек, что каждая точка Р
плоскости ровно в одной паре стоит на первом месте и
ровно в одной паре — на втором. Может случиться, что

52
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. 2
обе точки пары окажутся одинаковыми, т. е. что точка
Р' совпадает с Р\ в этом случае точка* Р называется
неподвижной (или «двойной») точкой преобразования.
В частности, движение (или «конгруэнтное
преобразование») — это преобразование, которое сохраняет
длины. Таким образом, если (Р, Р') и (Q,Q')—пары
соответствующих точек, то PQ=P'Q\ т. е. отрезки PQ и
P'Q' равны. Например, вращение плоскости вокруг
точки Р (или вокруг прямой, проходящей через точку Р
перпендикулярно к плоскости) является движением,
имеющим, (если угол поворота не кратен 360°), одну
неподвижную точку Р, а параллельный перенос
(или «параллельное перемещение») не имеет
неподвижных точек: при этом преобразовании сдвигается
каждая точка плоскости.
(Симметрия — это специальный вид движения,
характеризующийся тем, что распределение точек на пары
симметрично: другими словами, из существования
пары (Р, Р') в этом случае вытекает, что и {Р\Р) —это
тоже одна из пар точек. Неподвижные точки
симметрии — это одна точка, или целая прямая, или
целая плоскость. А именно,движение,сопоставляющее
точке Р (плоскости или пространства) такую точку Р',
что отрезок РР' делится фиксированной точкой О
пополам (рис. 20, а), называется центральной симметрией
6
Р'
а) б) в)
Рис. 20.
с центром О (или симметрией относительно точки О, или
отражением от точки О); движение, сопоставляющее
точке Р (плоскости или пространства!) такую точку Р',
что РР'±.о и отрезок РР' делится фиксированной
прямой о пополам (рис. 20,6), называется осевой симмет-
О ч
р'

5 3]
ДВИЖЕНИЕ
53
рией с осью о (или симметрией относительно прямой о,
или отражением от прямой о); наконец, движение,
сопоставляющее точке Р пространства такую точку Р', что
РР'±со и отрезок РР' делится фиксированной плоскостью
^'пополам (рис. 20,в), называется симметрией относи-
тельно плоскости со (или отражением от плоскости со).
При этом считают, что рассматриваемая симметрия
переводит точку О, или все точки прямой о, или все точки
плоскости о, в себя. [Слово «симметрия» имеет также и
иной смысл; см. § 4 этой главы.]) Еще более простой вид
движения (настолько простой, что сначала он может
показаться слишком тривиальным, чтобы заслуживать
упоминания)—это тождественное преобразование,
которое оставляет каждую точку неподвижной (т. е.
характеризуется парами (Р, Р), где Р — любая точка).
Результат последовательного выполнения нескольких
преобразований называется их произведением. Если про-»
изведение двух преобразований является
тождественным преобразованием, то каждое из них называется
обратным к другому; при этом произведение этих преоб^
разований, взятых в обратном порядке, тоже является
тождественным преобразованием.
2.31, Если движение плоскости имеет более одной
неподвижной точки, то оно является или тождественным
преобразованием, или осевой симметрией.
Пусть А и В — две неподвижные точки, а Р — неко<
торая точка, не лежащая на прямой АВ (см. рис. 3 на
стр. 21). Соответствующая Р точка Р' удовлетворяет
условиям АР'=АР, ВР'=ВР, и поэтому должна лежать
на окружности с центром А и радиусом АР и
одновременно на окружности с центром В и радиусом ВР. Так
как точка Р не принадлежит АВ, эти окружности не
касаются друг друга, а имеют две точки пересечения, одна
из которых есть Р. Следовательно, точка Р' или
совпадает с Р или является образом точки Р или отражении
от прямой АВ *).
*) Предоставляем читателю самостоятельно доказать, что рас*
сматриваемое движение не может перевести часть точек Р
плоскости, не принадлежащих прямой АВ, в симметричные им
относительно А В точки, в другие точки Р перевести в себя.

54
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. 2
§ 4. СИММЕТРИЯ
Тигр! О тигр! Светло горящий
В глубине полночной чащи
Кем задуман огневой,
Симметричный облик твой?
Вильям Б л е й к (1757—1827)
(перев С. Маршака *)).
Когда мы говорим, что фигура «симметрична», мы
имеем в виду, что существуют некоторые движения,
оставляющие на месте фигуру в целом, но меняющие
местами отдельные ее части. Например, прописные
буквы £ и Л (рис. 21) обладают осевой симметрией, т. е.
переводятся в себя симметрией относительно некоторой
-Б А N
Рис. 21. Рис. 22
оси — горизонтальной в первом случае и вертикальной
во втором. Буква N (рис. 22) обладает центральной
симметрией, т. е. переводится в себя центральной
симметрией (которую, кстати сказать, можно
рассматривать как результат последовательного отражения —
причем з любом порядке — от горизонтальной и от
вертикальной прямых). Изображенная на рис. 23 фигура
обладает симметрией четвертого порядка—это означает,
что она переводится в себя вращением на угол 90°= —j-
или на любой угол, кратный прямому.
К числу движений, переводящих фигуру в себя,
естественно отнести и тождественное преобразование; любая
фигура имеет такую тривиальную «симметрию». Таким
образом, фигура рис. 23 допускает четыре существенно
*) В соответствии со смыслом этого параграфа английское
слово «symmetry», выражающее соразмерность частей, мы
передаем прилагательным «симметричный», имеющим, в частности, и
этот смысл, а не прилагательным «соразмерный», употребленным
С. Я. Маршаком.

§4]
СИММЕТРИЯ
55
разных движения, переводящих ее в себя, а именно,
вращения на 1, 2, 3 и 4 прямых угла. Последнее из них —
тождественное преобразование. Первое и третье
движения взаимно обратны, так как их произведение является
тождественным преобразованием; второе движение
обратно само себе.
Использование слова «произведение» наводит на
мысль о применении алгебраической символики; при
<>
Рис. 23.
i
Рис. 24.
этом преобразования обозначаются прописными
буквами, а тождественное преобразование обозначается
символом 1 (часто также вместо 1 пишут Е или /).
Обозначим через S поворот на прямой угол в направлении,
обратном направлению вращения часовой стрелки; тогда
четыре движения, переводящие в себя фигуру рис. 23,
можно записать следующим образом:
5,
S\
s3 = s-
S4=l.
Наименьшая степень, в которую нужно возвести
данное преобразование, чтобы получить тождественное
преобразование, называется порядком данного
преобразования. Так, например, преобразование S имеет порядок
4, а центральная симметрия S2 имеет порядок 2.
Единственным преобразованием порядка 1 является
тождественное преобразование. Параллельный перенос вообще
не имеет конечного порядка; иногда оказывается
удобным говорить, что он имеет бесконечный порядок.
Некоторые фигуры переводятся в себя одновременно
и центральной, и осевой симметрией. Так, например,
буква Н (рис. 24) имеет горизонтальную ось симметрии

56
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. 2
(подобно букве Е), вертикальную ось симметрии (подоб*
но букве Л), а также центр симметрии (подобно букве N);
при этом центр симметрии совпадает с точкой
пересечения осей симметрии. Таким образом, эта буква
допускает четыре различных движения, переводящих ее в
себя: тождественное преобразование 1, отражение i?i от
горизонтальной прямой, отражение R2 от вертикальной
прямой и центральную симметрию /?i/?2=/?2#i.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Каждое движение второго порядка является либо
симметрией относительно прямой, либо симметрией относительно точки
(Б ахм а н [1], стр. 2—3).
2. Записать а) вращение на 180° (центральную симметрию),
б) вращение на 90° в 1) декартовых координатах, 2) полярных
координатах. [Принять за начало координат центр вращения.]
§ 5. ГРУППЫ
Симметрия, как бы широко или узко мы ни
понимали это слово, есть идея, с помощью которой
человек в течение веков пытался объяснить и
создать порядок, красоту и совершенство.
Герман В е й л ь [I], стр. 5.
Множество преобразований (Биркгоф и Мак
Л е й н [1], стр. 119—122; (Александров [1]))
образует группу, если оно вместе с каждым преобразованием
содержит обратное к нему и вместе с каждыми двумя
преобразованиями — их произведение (включая
произведение любого преобразования на себя и на обратное ему).
Число различных преобразований, входящих в группу,
называется порядком группы. (Порядок группы может
быть конечным или бесконечным.) Движения,
переводящие в себя любую фигуру, очевидно, образуют группу.
Это так называемая группа симметрии фигуры. В том
крайнем случае, когда фигура не обладает никакой
симметрией (как, например, цифра 6), ее группа
симметрии имеет порядок один, т. е. состоит из одного только
тождественного преобразования.
Группа симметрии букв Е или А (рис. 21)
называется диэдрической группой; порядок ее равен двум*
Эта группа порождается единственной осевой симме-»

§51
ГРУППЫ
57
трией и обозначается £>ь Группа симметрии буквы N
(рис. 22) тоже имеет порядок два; однако в этом случае
образующей является не осевая, а центральная
симметрия. Эта группа называется циклической группой
второго порядка и обозначается символом С2. Две группы
Di и С2 с абстрактной алгебраической точки зрения
тождественны или изоморфны; они являются различными
геометрическими интерпретациями единственно
возможной абстрактной группы порядка 2, определяемой
соотношением
2.51
R2=l
или
(Кокстер и Мозер [1], стр. 1).
Группа симметрии фигуры рис. 23 порождается
поворотом на прямой угол и абстрактно определяется
соотношением 54=1. Эту группу называют циклической
группой порядка 4 и обозначают символом С4. Группа
симметрии буквы Н (рис. 24) порождается двумя
осевыми симметриями i?i и ^ и абстрактно определяется
соотношениями
2.52
$=1, #!=ь r1r2=r2r1.
Это так называемая диэдрическая группа порядка 4; она
обозначается символом D2.
Хотя обе группы С4 и D2 имеют порядок 4, они не
изоморфны; они имеют различную структуру, различные
«таблицы умножения». Чтобы увидеть это, достаточно
заметить, что группа С4 содержит два элемента порядка
4, тогда как все элементы группы D2 (кроме
тождественного преобразования) имеют порядок 2; для
образующих Ri и /?2 это ясно, а для их произведения следует из
простой выкладки:
(R{R2f = /u/fc/fc/u = RlR2R2Ri = RiRlRi = RiRi = /??=1.
Это последнее замечание поясняет, что мы имеем в
виду, говоря, что соотношения 2.52 являются
абстрактным определением группы D2. Точнее это означает, что

58
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. 2
каждое верное соотношение между образующими /?i и
R2 является алгебраическим следствием этих простых
соотношений. Другое абстрактное определение этой же
группы таково:
2.53
/tf=l, /?22=1, (/?,/?2)2=1;
из него легко вывести, что RiR2 = R2Ri.
Общая циклическая группа Сп порядка п абстрактно
определяется следующим единственным соотношением:
2.54
S"=l.
Ее единственную образующую 5, имеющую порядок
360°
я, удобно представлять себе как вращение на угол •
Тогда Sk есть вращение на k таких углов и п элементов
группы Сп соответствуют вращениям на углы,
отвечающие значениям &, меняющимися от 1 до пу или от 0 до
п — 1. В частности, группа С5 встречается в природе как
группа симметрии пятилепестковых цветов (например,
у цветов из рода барвинок).
УПРАЖНЕНИЕ
Записать вращение вокруг начала координат на угол а, а) в
полярных координатах, б) в декартовых координатах. Если /(г, 0)=О —
уравнение кривой в полярных координатах, то каково будет
уравнение повернутой кривой?
§ 6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОСЕВЫХ СИММЕТРИИ
Ты в озере своем свой созерцаешь лик.
Ж М Л е г а р е (J М. Legare, 1823-1859), К лилии.
В произвольной группе преобразований
ассоциативный закон умножения
(RS)T=R(ST)
выполняется автоматически, но коммутативный закон
RS = SR
может и не иметь места и в произведении всегда надо
помнить о порядке элементов; так, например,
(RSyl = S-lR~\

§ 6] ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОСЕВЫХ СИММЕТРИИ 59
а не R~lS~l. (Это становится ясным, если мы представим
себе R и S как операции одевания носков и ботинок.)
Произведение симметрии относительно двух
пересекающихся прямых (или плоскостей) представляет собой
вращение на угол, равный удвоенному углу между
прямыми (или плоскостями). В самом деле, пусть точки Л, В,
С, D, ... расположены на равных расстояниях друг от
друга на окружности с центром О, и пусть /?4 и
/^—симметрии относительно прямых ОВ и ОС (рис. 25). Ясно,
О
Рис. 25.
что симметрия Ri переводит треугольник ОАВ в
треугольник ОСВ, а симметрия R2 — треугольник ОСВ в
OCD\ поэтому преобразование R\R2 представляет собой
вращение на Z.AOC или ZBOD, который вдвое больше,
чем /.ВОС. Так как вращение полностью определяется
центром и углом поворота, произведение RiR2 совпадает
с произведением симметрии относительно любых двух
прямых, пересекающихся в точке О и образующих такой
же угол, как ОВ и ОС (например, симметрии
относительно прямых ОА и ОВ можно записать в виде RiR2Ri
и Ri и их произведение равно RiR2Rtiz=R[R2). В
частности, симметрия относительно точки О представляет со*
бой произведение симметрии относительно любых двух
взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через
точку О.
Так как RiR2— вращение против часовой стрелки,
RiR2 является вращением на такой же угол, но в
направлении, совпадающем с направлением вращения
часовой стрелки; в самом деле,
/?2/?1 = /?2"1/?Г1=(/?1/?2)"\

60
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
ГГЛ. 2
Это выражение совпадет с /?i/?2, если две прямые
(плоскости) образуют прямой угол. В этом случае
преобразование /?i/?2 является центральной симметрией и
(#i/?2)2=l.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Произведение вращений на прямой угол (в одну и ту же
сторону) вокруг точек В и С есть симметрия относительно центра
квадрата со стороной ВС.
2. Пусть ACPQ и BARS — квадраты, построенные на сторонах
АС и В А треугольника ABC. Если точки В и С фиксированы, то
при всех положениях точки А прямая PS проходит через фиксиро-
ванную точку.
§7. КАЛЕЙДОСКОП
Группа D2 является частным случаем общей диэдри-
ческой группы Dny которая при п>2 является группой
симметрии правильного n-угольника {п} (рис. 26
иллюстрирует случаи п = 3, 4, 5). Эта группа, очевидно, имеет
Рис. 26.
порядок 2л и состоит из п вращений (на углы, кратные
360°
) и п осевых симметрии. Если п нечетно, то каждая
из п осей симметрии проходит через вершину
многоугольника и середину противоположной стороны; если п
четно, то -J п осей проходят через пары
противоположных вершин, а остальные -% п осей — через пары середин
противолежащих сторон (см. Биркгоф и Мак
Лейн [1], стр. 117—118, 135; (Александров [1],
стр. 56—57), п вращений диэдрической группы являются

§71
КАЛЕЙДОСКОП
61
элементами циклической группы Сп. Таким образом,
в число элементов группы Dn входят все элементы
группы Сп; говорят, что группа Сп является подгруппой груп-
360°
пы Dn. Вращение на угол —j—, порождающее группу Сп,
представляет собой произведение S=R[R2 отражений от
двух соседних осей симметрии (например, осей ОВ и ОС
180°
на рис. 26), которые образуют угол —^~.
Пусть через Ru R2, ..., Rn обозначены п входящих
в группу Dn осевых симметрии, взятых в их
естественном порядке. Тогда преобразование RiRk+i является
произведением симметрии относительно двух осей, образую-
щих угол k —^—>т. е. совпадает с вращением на угол
к Зб0° •
R\Rk+\ — S •
Таким образом, Rk+i=RiSk и, следовательно, п
симметрии можно записать так:
Другими словами, группа Dn порождается осевой
симметрией Ri и вращением 5. Заменяя 5 на RiR2, мы
видим, что эта группа порождается также симметриями
/?i и /?2; эти две осевые симметрии удовлетворяют
соотношениям
2.71
/tf=l, /$=1, (Rxlb)* = l.
(Первые два равенства взяты из 2.51, а третье — из
2.54.) Можно показать, что этих соотношений
достаточно для абстрактного определения группы Dn (см. К о к -
стер и Мозер [1], стр. 6, 36).
Практические модели групп Dn можно получить
следующим образом. Два обыкновенных зеркала соединяют
шарниром и устанавливают их по прямым ОВу ОС, как
на рис. 26, так чтобы они составляли угол —— • Любой
предмет, помещенный между зеркалами, порождает 2п

62
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
[ГЛ. 2
видимых изображений (включая себя самого). Если этот
предмет — ваша правая рука, п изображений будут иметь
вид левых рук. Это иллюстрирует следующий принцип:
так как осевая симметрия изменяет ориентацию на
плоскости, произведение четного числа симметрии сохраняет
ориентацию, а произведение нечетного числа симметрии
ее изменяет ((ср. ниже, § 1 гл. 3)).
Первое описание этого инструмента опубликовано,
по-видимому, Атанасиусом Кирхером (A. Kircher) в
1646 году. Название калейдоскоп (от xaXog — красивый,
еТбод — вид и axonetv — смотреть) придумал сэр Дэвид
Брюстер, написавший трактат о его теории и истории. Он
критикует Кирхера за то, что тот допускает в качестве
360°
углов между зеркалами любые углы вида ——, вместо
180°
того чтобы ограничиться углами вида —— (Брюстер
[1], стр. 147).
Случай я = 2, конечно, общеизвестен. Став между
двумя перпендикулярными зеркалами (как в углу
комнаты), вы видите ваши отражения в каждом из зеркал и
отражение отражений в том виде, в котором вас видят
другие люди.
Решив применять символ Dn для диэдрической
группы, порождаемой симметриями относительно двух пло-
« * „ 180°
скостеи, образующих двугранный угол ——, мы, есте*
ственно, расширим это понятие так, чтобы оно включало
и крайний случай /г=1. Таким образом, D{ — это группа
порядка 2, порождаемая единственной симметрией
относительно прямой или плоскости, т. е. группа букв Е и А.
Изоморфная ей группа С2, порождаемая центральной
симметрией, является группой симметрии буквы N.
Согласно Вейлю ([1], стр. 66, 99), Леонардо да Винчи
открыл, что все конечные группы движений плоскости исчерпываются
группами
Си С2, С3, ...;
Dlt D2t D3, ...
Этот вопрос интересовал его с точки зрения архитектурных
планов. Конечно, преобладающими в архитектуре всегда были
группы D\ и D2. Но египетские пирамиды дают пример группы £)4,
а в новое время идеи Леонардо были развиты в нескольких напра-

§8]
ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
63
влениях. Здание Пентагона в Вашингтоне*) имеет группу
симметрии D$, а бехаистский храм под Чикаго имеет группу симметрии D9.
В природе многие цветы имеют диэдрические группы симметрии,
например D6. Снежинки, как правило, имеют группы симметрии £>6, но
иногда только />з (Кеплер [1], т. 4, стр. 259—260),
Если вы разрежете яблоко таким способом, как обычно
разрезают апельсин, вы увидите, что сердцевина яблока имеет группу
симметрии D5. Если провести через вершины пятиконечной звезды
во внешнюю сторону прямые разрезы, делящие углы пополам, то
яблоко будет разрезано на десять ломтей и из каждого из них
можно будет вынуть сердцевину в виде двух тонких хлопьев.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти группы симметрии:
а) разностороннего треугольника,
б) равнобедренного треугольника,
в) параболы,
г) параллелограмма,
д) ромба,
е) прямоугольника,
ж) эллипса.
2. Опираясь на существование обратного элемента и на
ассоциативный закон умножения, докажите «правило сокращения»,
которое гласит, что из соотношения
RT = ST
следует R—S.
3. Показать, что обычные соотношения, определяющие группу
D3, т. е. соотношения 2.71 для п = 3, можно вывести с помощью
алгебраических преобразований из соотношений
/\] = I, /vj/^/vi ==: ^2^1 2*
4. Циклическая группа Ст является подгруппой группы Сп
тогда и только тогда, когда число т является делителем п. В
частности, если п простое число, подгруппами Сп являются только она
сама и Сп.
§ 8. ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Вместо того чтобы образовывать диэдрические
группы Dn при помощи правильных многоугольников {п}, мы
могли бы действовать наоборот: получать
многоугольники из групп. В самом деле, вершины многоугольника
{п} — это в точности п образов точки Р0 (точки С на
*) И здание Центрального театра Советской Армии в Москве.

64
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
[ГЛ.2
рис. 26), лежащей на одном из зеркал калейдоскопа*
В действительности для такого построения нет
необходимости использовать всю группу Dn, вполне
достаточно ее подгруппы Сп. Вершина Р& многоугольника
P0Pi ... Pn_i получается из исходной вершины Р0 пово-
и 360°
ротом на угол k
Более общим образом, вращения вокруг заданной
точки О на углы 8, 28, 38, ... переводят точку Р0
(отличную от О) в другие точки Р4, Р2, Рз, ..., лежащие на
окружности с центром О и радиусом OPQ. Вообще
говоря, эти точки располагаются всюду плотно на
окружности; но если угол 8 соизмерим с прямым углом, то
среди этих точек будет только конечное число различных.
В частности, если 0 = —тр» где п — натуральное число,
большее 2, то эти точки будут точками Р&, причем
отрезки, соединяющие соседние точки,
являются сторонами обычного правильного я-угольника.
Расширим теперь понятие правильного
многоугольника, приняв, что п может быть любым большим 2 ра-
циональным числом, другими словами, дробью p/d, где
числа р и d взаимно просты. Мы назовем {обобщенным)
правильным многоугольником {/г}, где п == -~ , фигуру
с р вершинами, которые получаются из точки Р0 с по-*
360°
мощью последовательных поворотов на угол , и р
сторонами (обходящими центр d раз)
Так как луч, выходящий из центра и не проходящий
через вершину многоугольника, пересекает d из р сто-»
рон многоугольника, этот знаменатель d называется
плотностью многоугольника (К о к с т е р [1], стр. 93—■
94). Если d=l, так что я=р, мы имеем обыкновенный
правильный р-угольник {р}. Если d>l, стороны Пересе-»
каются, но точки пересечения не считаются вершинами.
Так как d может быть любым натуральным числом,

*8]
ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
65
взаимно простым ери меньшим чем -j рУ существуют
правильные многоугольники {п} для любого
рационального числа /г>2. Иногда желательно включать в их
число также двуугольник {2}, хотя две его стороны
совпадают.
Если я = 5, мы получаем пятиугольник {5} с
плотностью 1 и пентаграмму (пятиугольную звезду) < у | с
плотностью 2 — символ, пользовавшийся большим
почтением у вавилонян и пифагорейцев. Аналогично окта-
грамма < -^ > и декаграмма < -w- [ имеют плотность 3, а
додекаграмма j-g-| имеет плотность 5 (рис. 27). Эти
*&#
m
ш
Рис. 27.
частные виды многоугольников имеют наряду с
символами специальные названия, так как с ними приходится
встречаться как с гранями интересных многогранников и
в мозаиках 1).
Многоугольники, для которых d>l, называются
звездчатыми многоугольниками. В форме таких
многоугольников часто изготовляют ордена. Самое раннее
математическое рассмотрение звездчатых многоугольников
восходит к Томасу Брадвардину (Т. Bradwardine, 1290—
1349), который в последний месяц своей жизни стал
архиепископом Кентерберийским. Они изучались также
великим немецким ученым Кеплером (1571 —1630) (см.
Кокете р [1], стр. 114). Швейцарский математик
]) Н. S. М. Coxeter, М. S. L о n gu е t-H i g g i n s and
J. C. P. M \ 11 e r, Uniform polyhedra, Philosophical Transactions of
the Royal Society A246, 1954, стр. 401—450.

66 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ [ГЛ. 2
Шлефли (L. Schlafli, 1814—1895) первым применил
числовые символы l-j [. Это обозначение оправдывается
тем, что числовые формулы, относящиеся к символу {я},
будут верны независимо от того, будет ли п целым или
дробным. Например, произвольная сторона
многоугольника {п} и его центр О образуют равнобедренный
треугольник OP0Pi (рис. 28) с углом при вершине О,
равным —. (Так как мы будем использовать аппарат
тригонометрии, то нам естественно пользоваться радианной
Рис. 28.
мерой углов и писать 2я вместо 360°.) Основание
равнобедренного треугольника, являющееся стороной
многоугольника, удобно обозначать через 2/. Другие стороны
треугольника равны радиусу R описанной вокруг
многоугольника окружности. Высота или медиана, опущенная
из точки О, равна апофеме г многоугольника.
Следовательно,
2.81
R = I cosec ~, г = Z ctg ~-.
г- Р
Если n = -j» площадь многоугольника естественно
определить как сумму площадей р равнобедренных
треугольников, а именно,
2.82
Если rf=l, эта величина равна просто /?/2 ctg —-, в
других случаях при нашем определении площади каждая

§8]
ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
67
внутренняя часть считается столько раз, какова ее
«локальная плотность». Например, пятиугольная область в
середине пентаграммы \-^> считается дважды.
Угол PqP\P2 между двумя смежными сторонами
многоугольника {я}, равный сумме углов при основаниях
равнобедренных треугольников, является дополнитель-
2л
ным к углу — , т. е.
2.83
Отрезок, соединяющий середины соседних сторон,
называется вершинной фигурой многоугольника {п}. Его
длина равна, очевидно,
2.84
2/cos —.
п
(Ко к ст е р [1], стр. 16, 94.)
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если стороны многоугольника, вписанного в окружность,
равны между собой, то многоугольник правильный.
2. Если многоугольник может быть вписан в окружность, имеет
нечетное число вершин и все его углы равны между собой, то он
правильный. [Марсель Рисе (М. Riesz).]
3. Найти углы многоугольников
.... {!). т. {!}. {!}•
4. Найти радиусы, апофемы и вершинные фигуры
многоугольников
«••• {!}• <■*>• т-
5. Определить полярные координаты &-й вершины Ръ.
многоугольника {п} с радиусом описанной окружности 1, центром в
полюсе и вершиной Р0 в точке (1,0).
в. Квадратный пирог украшен по краям сахарной глазурью.
Можно ли разрезать его на девять ломтиков так, чтобы каждый
ломтик содержал одинаковое количество пирога и одинаковое
количество глазури?

ГЛАВА 3
ДВИЖЕНИЯ В ЕВКЛИДОВОЙ плоскости
При рассмотрении осевых симметрии, вращений и
параллельных переносов, естественно возникает вопрос о
том, почему вращение или параллельный перенос можно
осуществить непрерывным перемещением плоскости, а
осевую симметрию — нельзя. Также резонно спросить,
существуют ли другие виды движений, сходные в этом
отношении с осевой симметрией. Ответив на эти вопросы
с использованием нового понятия «ориентации», мы
применим затем полученные сведения для доказательства
одной замечательной теоремы (§ 6) и для описания семи
возможных видов повторяющихся узоров на бесконечной
полосе (§ 7).
§ 1. СОБСТВЕННЫЕ И ЗЕРКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
«Позаботьтесь о смысле (sense), а звуки
позаботятся сами о себе».
Льюис К э р р о л [1], гл. 9, стр. 104.
Применяя несколько раз аксиому I. 26, можно
доказать, что произвольной точке Р, лежащей в плоскости
двух равных треугольников ЛВС, А'В'С, соответствует
такая точка Р\ что АР=А'Р\ ВР = В'Р\ СР = С'Р'.
Точно так же другой точке Q соответствует точка Q',
причем PQ = P'Q'. Следовательно,
3.11. Любую пару равных треугольников можно со-
вместить единственным движением.
В § 3 гл. 1 мы видели, что папповское доказательство
теоремы Pons asinorum запутано из-за сравнения двух
совпадающих треугольников ABC, АСВ. Мы интуитивно
чувствуем, что эти треугольники различаются ориента-

$ 1] СОБСТВЕННЫЕ И ЗЕРКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
69
щей (по англ. — sense): один ориентирован против
часовой стрелки, а другой — по часовой стрелке. Это
различие может быть распространено с совпадающих
треугольников на различные: любые два «направленных»
треугольника ABC и А'В'С могут иметь одинаковую или
противоположную ориентацию. Возможность такого
распространения является «топологическим» свойством
евклидовой плоскости. (По поводу более глубокого
развития этой интуитивно ясной идеи см. Веблен и Юнг
[2], стр. 61—62, или Денк и Гофман [1], стр. 56; (ср.
также Болтянский и Ефремович [1], ч. 1 стр. 23
и след.).)
Если треугольники ABC и А'В'С равны, движение,
совмещающее первый из них со вторым, называется
собственным или зеркальным, смотря по тому, сохраняет ли
оно ориентацию, или меняет ее. Другими словами,
движение является собственным, если треугольники ABC и
А'В'С ориентированы одинаково, и зеркальным — в
противном случае. Легко видеть, что это свойство движения
не зависит от выбора треугольника ABC: если то же
самое движение переводит треугольник DEF в D'E'F', где
треугольник DEF ориентирован так же, как ЛВС, то и
треугольник D'E'F' ориентирован так же, как А'В'С*).
*) В основу доказательства этого фундаментального факта,
определяющего возможность разбиения множества всех движений
на два класса: собственных и зеркальных движений, можно
положить то обстоятельство, что ориентация треугольников ЛВС и DBC
А А
Ф
Рис. 29.
является различной или одинаковой в зависимости от того,
пересекает ли отрезок AD прямую ВС или нет (см. рис. 29,а, б). Но
если движение переводит треугольники ЛВС и DBC в
треугольники А'В'С и D'B'C\ то отрезок A'D' пересекает прямую В'С
(т. е. A'D'>A'M\ где ЛГ—-точка пересечения A'D' и В'С) в том

70 движения в ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ 3
Ясно, что собственные и зеркальные движения
перемножаются так же, как положительные и отрицательные
числа (т. е. произведение двух зеркальных движений
является собственным движением). Так как осевая
симметрия является зеркальным движением, то вращение,
А <$>
ВС В>
Рис. 30.
т. е. произведение осевых симметрии, является
собственным движением; в частности, собственным движением
является тождественное преобразование. (Некоторые ав*
торы называют собственные и зеркальные движения
«движениями» и «отражениями» или «движениями 1-го
рода» и «движениями 2-го рода».)
и только в том случае, когда отрезок AD пересекает прямую ВС
(т. е. когда AD>AM, где М — точка пересечения AD и ВС);
поэтому если треугольники ABC и А'В'С ориентированы одинаково
(различно), то и треугольники ВВС и D'B'C ориентированы
одинаково (различно). Но в таком случае ориентированы одинаково
(различно) и треугольники DEC и D'E'C и треугольники DEF и D.'E'F\
где Е' и F' — точки, в которые то же движение переводит точки Е
и F. [Это доказательство требует лишь незначительных
усовершенствований, если, скажем, точка D принадлежит прямой ВС]
Проведенное здесь рассуждение полностью сохраняет силу и
в том случае, если треугольники ABC и DEF переводятся в
треугольники А'В'С и D'E'F' преобразованием подобия (см. ниже
гл. 5) или аффинным преобразованием (см. гл. 12, в частности,
стр. 292), что позволяет также говорить о собственных и
зеркальных преобразованиях подобия или аффинных преобразованиях.
Однако если треугольники (точнее, тройки точек) ABC и DEF
переводятся в А'В'С' и D'E'F' проективным преобразованием (см. гл. 14),
то рассуждение теряет силу (ибо проективное преобразование не
обязано переводить отрезок AD в отрезок A'D'). И в самом
деле, деление проективных преобразований на собственные и
зеркальные является невозможным.

§ 1] СОБСТВЕННЫЕ И ЗЕРКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 71
Теорему 2.31 можно обобщить следующим образом:
3.12. Любой данный отрезок {пару точек) АВ можно
совместить с любым равным ему отрезком А'В' в
точности двумя движениями: одним собственным и одним
зеркальным.
Чтобы доказать это, возьмем произвольную точку С
вне прямой АВ и построим точку С так, чтобы
треугольник А'В'С был равен треугольнику ABC. Два
возможных положения точки С (обозначенные С и С" на
рис. 30) и дают требуемые два движения. Так как одно
из них равно произведению другого на симметрию
относительно прямой А'В', то одно из движений является
собственным, а другое— зеркальным.
Для завершения наших рассмотрений воспользуемся
следующей теоремой (Б а х м а н [1], стр. 3; (ср. Я г л о м
[1], стр. 65—66)):
3.13. Каждое движение плоскости может быть
представлено в виде произведения не более чем трех осевых
симметрии. Если это движение ^имеет неподвижную
точку, то максимальное число симметрии сокращается до
двух.
Мы докажем эту теорему в четыре этапа, используя
теорему 3.11. Если треугольники ABC и А'В'С
совпадают, то соответствующее движение, очевидно,
представляет собой тождественное преобразование (которое
является произведением произвольной осевой симметрии
на себя; (можно также в этом случае говорить о
произведении «0» симметрии)). Если точка А совпадает с А',
а точка В с В\ но точки С и С различны, то
треугольники симметричны относительно прямой АВ. Случай,
когда точка А совпадает с Л', можно свести к одному
из предыдущих случаев, отразив треугольник ABC от
перпендикуляра т, восставленного в середине отрезка
ВВ' (см. рис. 31). Наконец, общий случай может быть
сведен к одному из трех рассмотренных ранее
отражением треугольника ABC от перпендикуляра,
восставленного в середине отрезка АА' (Ко к стер [1], стр. 35).
Так как осевая симметрия изменяет ориентацию,
движение будет собственным или зеркальным в зависимости
от того, является ли оно произведением четного или
нечетного числа осевых симметрии.

72
движения в ЕВКЛИДОВОЙ плоскости
[ГЛ. 3
Так как тождественное преобразование является
произведением двух осевых симметрии (а именно,
произвольной симметрии на себя), мы можем сказать короче,
Рис. 31.
что любое движение является произведением двух или
трех симметрии, в зависимости от того, собственное ли
это движение или зеркальное. В частности,
3.14. Любое собственное движение, имеющее
неподвижную точку, представляет собой вращение, а любое
зеркальное движение — осевую симметрию.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Назовите два типа собственных движений.
2. Назовите одно зеркальное движение. Существуют ли какие-
нибудь другие типы зеркальных движений?
3. Пусть отрезок АВ переводится в А'В' вращением. Как
♦построить центр этого вращения? [Указание; перпендикуляры
к серединам отрезков АА' и ВВ' не обязательно различны.]
4. Произведение симметрии относительно трех прямых,
проходящих через некоторую точку, является симметрией относительно
некоторой прямой, проходящей через эту точку (Б а х м а н [1],
стр. 5).
§ 2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ перенос
И ходил Енох пред богом; и не стало его,
потому что бог взял его.
Книга Бытия •) V, 24.
Частные виды движений, которые рассматривались до
сих пор, а именно, осевая симметрия (зеркальное
движение) и вращение (собственное движение) имеют по
*) Первая из пяти основных книг Ветхого Завета.

§2]
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
73
крайней мере одну неподвижную точку. Общеизвестно
также одно движение, которое не оставляет на месте ни
одной точки, а именно, параллельный перенос (Бах-
ман [1], стр. 7; (Яглом [1], стр. 19)), который можно
определить как произведение двух симметрии
относительно различных точек О и О' (см. левую часть рис. 32).
1*<ЕЖ^
р
О
/^
рн
т
О'
РТ\
Рис. 32.
Первая симметрия переводит произвольную точку Р в
точку Рн, а вторая переводит Рн в Рг, причем
окончательно получается, что отрезок РРТ параллелен отрезку
00' и в два раза длиннее его (Болтянский и
Яглом [1], стр. 164). Таким образом, длина и направление
отрезка РРТ постоянны, т. е. не зависят от положения
точки Р. Так как параллельный перенос полностью
определяется длиной и направлением отрезка РРТ,
произведение симметрии относительно точек О и О' совпадает
с произведением симметрии относительно точек Q и Q\
если только отрезок QQ' равен и параллелен отрезку
00'. [Это означает, что OO'Q'Q — параллелограмм,
возможно вырождающийся в четверку точек одной прямой,
как это показано на рис. 32.] Таким образом, если мы
хотим представить данный параллельный перенос в виде
произведения двух центральных симметрии, центр
одной из симметрии можно выбрать произвольно.
3.21. Произведение двух параллельных переносов
само является параллельным переносом.
Учитывая предыдущее замечание, представим первый
параллельный перенос в виде произведения симметрии
относительно точек 04 и 02, а второй — симметрии
относительно точек 02 и 03. При последовательном
выполнении параллельных переносов произведение двух
симметрии относительно точки 02 даст тождественное преобра-

74 движения В ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ 3
зование и останется произведение симметрии
относительно точек Oi и 03.
Пусть шит7 (см. правую часть рис. 32) —две
прямые, проходящие через точки О и О' и
перпендикулярные к прямой 00'. Симметрии относительно точек О и
О' можно заменить произведениями симметрии
относительно прямых т и 00', соответственно ООг и гп'. При
последовательном выполнении центральных симметрии
произведение двух симметрии относительно прямой 00'
даст тождественное преобразование и останется
произведение симметрии относительно прямых т и т'.
Следовательно,
3.22. Произведение симметрии относительно двух
параллельных прямых представляет собой параллельный
перенос в направлении, перпендикулярном к этим
прямым, на расстояние, равное удвоенному расстоянию
между прямыми.
Если параллельный перенос Т переводит точку Р в
Рг, а точку Q в Qr, то отрезок QQT равен и параллелен
РРТ\ следовательно, PQQTPT — параллелограмм.
Подобно этому, если другой перенос U переводит точку Р в
Q, то он переводит также Рт в Qr. Поэтому
TU = UT.
[Подробнее: если Q = PU, то QT = PUT. Но параллельный
перенос U переводит точку Рт в Рти. Значит, точки Рти-
и Рит совпадают при всех положениях точки Р.]
Другими словами,
3.23. Произведение параллельных переносов
подчиняется коммутативному закону.
Произведение центральной симметрии Н и
параллельного переноса Т представляет собой некоторую
другую центральную симметрию; в самом деле, мы можем
представить параллельный перенос в виде произведения
двух центральных симметрии, одной из которых
является Я. Пусть Т=НН'. Тогда
НТ = Н2Н' = Н'.
3.24. Произведение центральной симметрии и
параллельного переноса представляет собой центральную
симметрию.

§3]
СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ
7о
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть Т — произведение симметрии относительно точек О и
О'. Чему равно произведение симметрии относительно точек О'
и О?
2. Насколько произвольно можно выбирать одну из двух осей
симметрии при представлении параллельного переноса в виде
произведения двух осевых симметрии?
3. Чему равно произведение вращений на противоположные
углы (а и —а) вокруг двух различных точек?
4. Произведение симметрии относительно трех параллельных
прямых является симметрией относительно прямой, параллельной
этим прямым.
5. Произведение трех центральных симметрии является
центральной симметрией (Бахман [1], стр. 7).
6. Если #ь //2, #з — центральные симметрии, то Н{Н2НЪ—
= #3#2//j.
7. Представить параллельный перенос на расстояние а вдоль
оси х как преобразование декартовых координат. Если уравнение
кривой имеет вид /(*,*/) =0, то каково будет уравнение сдвинутой
кривой? Рассмотреть для примера окружность х2-\-у2— 1=0.
§ 3. СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ
Мы достаточно близко познакомились с тремя
типами движений: осевой симметрией, вращением (в
частности, центральной симметрией) и параллельным
переносом. Однако пока мы еще не выяснили, что представляет
собой произведение отражений от трех сторон
треугольника. Мы покажем, что это преобразование
является скользящей симметрией, т. е. произведением
симметрии относительно прямой а и параллельного переноса
вдоль этой прямой *). Ясно, что скользящая симметрия
определяется своей осью а и величиной переноса. Так
как осевая симметрия является зеркальным движением,
а параллельный перенос — собственным движением, то
их произведение будет зеркальным движением. Таким
образом, скользящая симметрия — это зеркальное
движение, не имеющее неподвижных точек (Ко к стер
[1], стр. 36).
Пусть скользящая симметрия G переводит некоторую
точку Р в точку PG (рис. 33). Тогда точки Р и PG лежат
*) Заметим, что скользящая симметрия не является
симметрией в смысле приведенного на стр. 52 определения.

76
движения в ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 3
с разных сторон оси а на равных расстояниях от нее.
Следовательно,
При любом положении точки Р середина отрезка PPG
принадлежит оси скользящей симметрии.
Пусть /?i и Т обозначают составляющие осевую
симметрию и параллельный перенос. Они, очевидно,
перестановочны, так что
G^RJ^TR,.
Мы видели (рис. 32), что перенос Т можно представ-
вить в виде произведения двух центральных симметрии
или двух осевых симметрии (отражений от двух
параллельных прямых). Отождествим прямую а рис. 33 с
а
Рис. 33.
р
\ °
р"
р"
гл
Рис.
р^г
1/77'
34.
Р7\
PG
прямой 00' на рис. 34, и пусть R и /?' обозначают
симметрии относительно прямых m и пг'. Тогда
произведение двух центральных симметрии Н и #', равных
Н = /?/?! = ад Н' = R'RX = RXR\
имеет вид
T = HH' = RRXRXR'^RR',
а скользящая симметрия может быть представлена
следующим образом:
G^RJ^^RR'^HR'
или же
Qz==zTRx = RR'Rx = RH'.
Таким образом, скользящую симметрию можно
представить в виде произведения трех осевых симметрии
(причем оси двух симметрии перпендикулярны к оси
третьей) или произведения центральной и осевой
симметрии (или осевой и центральной симметрии). Обрат-

§3]
СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ
77
но, произведение произвольной центральной симметрии
и произвольной осевой симметрии (взятых в любом
порядке) является скользящей симметрией, если только
центр центральной симметрии не принадлежит оси
осевой симметрии (Бахман [1], стр. 6).
В 3.13 было показано, что любое собственное
движение плоскости есть произведение двух осевых
симметрии, причем параллельный перенос и вращение
соответствуют случаям параллельных и пересекающихся осей.
Кроме того, всякое зеркальное движение, имеющее
неподвижную точку, является осевой симметрией.
Единственная остающаяся возможность для пополнения спи-»
ска движений — зеркальное движение без неподвижных
точек. Пусть такое движение S переводит некоторую
данную точку А в точку А'. Рассмотрим центральную
симметрию Я, меняющую эти точки местами. Произвел
дение HS является зеркальным движением и оставляет
на месте точку А\ следовательно, оно может быть только
осевой симметрией R. Поэтому данное зеркальное
движение является скользящей симметрией
S = H~lR = ///?,
т. е. любое зеркальное движение, не имеющее
неподвижных точек, является скользящей симметрией.
Другими словами,
3.31. Любое произведение трех осевых симметрии
является либо осевой симметрией, либо скользящей
симметрией.
В частности, произведение RT произвольного
параллельного переноса и произвольной осевой симметрии
является скользящей симметрией, которая вырождается в
осевую симметрию, если ось симметрии R
перпендикулярна к направлению параллельного переноса Т. (В этом
случае осевые симметрии R и RT можно использовать
для представления переноса Т в виде произведения двух
симметрии.) Но так как данная скользящая симметрия G
имеет вполне определенную ось (геометрическое место
середин отрезков PPG)y разложение ее в произведение
осевой симметрии и переноса в направлении оси симме*
трии единственно (в отличие от разложения в произве-»
дение осевой и центральной симметрии, где можно

78 движения в ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 3
выбирать в качестве оси симметрии любую прямую, пер-
рендикулярную к оси скользящей симметрии, или
выбрать за центр центральной симметрии любую точку оси).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть точка В— середина отрезка АС. Какие движения
преобразуют
а) отрезок ЛВ в СВ, б) отрезок ЛВ в ВС?
2. Любое собственное движение является произведением двух
осевых симметрии, а любое зеркальное движение — произведением
осевой и центральной симметрии.
3. Что представляет собой произведение симметрии
относительно прямой 00' и симметрии относительно точки О?
4. Что представляет собой произведение двух скользящих
симметрии, оси которых перпендикулярны?
5. Любое произведение трех скользящих симметрии является
скользящей симметрией.
6. Произведение трех осевых симметрии является осевой
симметрией тогда и только тогда, когда три оси симметрии
пересекаются в одной точке или параллельны.
7. Если /?ь /?2, Rz — осевые симметрии, то (/?1#2#з)2 —
параллельный перенос (Радемахер и Теплиц [1], стр. 39).
8. Описать преобразование
(х, у) -> (х 4- а, — у).
Обосновать утверждение, что это преобразование переводит
кривую /(*,*/)= О в кривую f(x — а, —*/)=0.
§ 4. ОСЕВЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Томсен х) построил очень красивую теорию, в которой
геометрические свойства точек О, Ои 02, ... и прямых
m, ntu т2, ... выражаются соотношениями между
соответствующими центральными симметриями Я, Ни #2, ...
и осевыми симметриями /?, /?ь /?2, ... Читатель может
легко убедиться сам, что следующие пары утверждений
логически эквивалентны:
RRx = RiR «-> прямые т и т4 перпендикулярны;
HR = RH «-> точка О лежит на прямой т;
RiRo.Rz="RzR2Ri*-> прямые т4, т2, т3 либо
пересекаются в одной точке, либо параллельны;
l) G. Thomsen, The treatment of elementary geometry by a
group-calculus, Mathematical Gazette 17, 1933, стр. 232. Бахман
посвятил развитию этой идеи целую книгу [1J.

§ 5] СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ, относящихся к движениям 79
UJi = #//2<->точка О — середина отрезка 0\02\
HiR = RH2 <-> прямая т — перпендикуляр к середине
отрезка Oi02.
УПРАЖНЕНИЕ
Дайте геометрическую интерпретацию соотношений
а) Я1Я2Я3Я4=1, б) R{R = RR2.
§ 5. СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ, ОТНОСЯЩИХСЯ К ДВИЖЕНИЯМ
Еще спеша, едва дыша
Из моря появлялись.
Ль оис К э р р о л [2], гл. 4, стр 46.
Некоторых читателей может смутить обилие
специальных терминов, многие из которых являются
общеизвестными словами, которым придан необычный для
них точный смысл. Поэтому мы позволим себе повторить
некоторые определения, подчеркивая одновременно
аналогии и различия между ними.
В нашей книге во всех случаях слово
преобразование означает взаимно однозначное отображение всей
плоскости (или пространства) на себя. Движение — спе«
циальный тип преобразования, а именно, преобразовав
ние, сохраняющее длины отрезков (расстояние между
точками). Понятие группы симметрии относится скорее
к данной фигуре, чем ко всей плоскости: группу
симметрии образуют движения, переводящие фигуру в себя.
На плоскости собственное (сохраняющее
ориентацию) движение представляется в виде произведения двух
осевых симметрии. Это движение является вращением,
если оно имеет неподвижную точку, т. е. если оси
симметрии пересекаются, и параллельным переносом, если
оси параллельны. В последнем случае направление пере-
носа перпендикулярно к осям симметрии, а его величина
равна удвоенному расстоянию между осями; в первом
случае угол вращения равен удвоенному углу между
осями симметрии. В частности, произведение симметрии
относительно двух взаимно перпендикулярных осей
представляет собой центральную симметрию, т. е. вращение
на угол я (180°). Произведение двух центральных
симметрии является параллельным переносом.

80 движения В ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 3
Зеркальное (изменяющее ориентацию) движение,
представляющее собой произведение трех осевых
симметрии, является, вообще говоря, скользящей симметрией,
т. е. произведением осевой симметрии и параллельного
переноса в направлении оси симметрии. В частном
случае, когда перенос вырождается в тождественное
преобразование (т. е. перенос на нулевое расстояние),
скользящая симметрия сводится к осевой симметрии,
обладающей целой прямой инвариантных точек — эта прямая
является осью преобразования.
Подведем итог:
3.51. Каждое собственное движение есть либо
параллельный перенос, либо вращение. Каждое зеркальное
движение есть либо осевая симметрия, либо
скользящая симметрия.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если 5 — зеркальное движение, то S2 — параллельный
перенос.
2. Если Ru /?2, #з — осевые симметрии, то (/?2#з#1#2#з)2—
перенос вдоль оси первой симметрии. [Указание: так как RiR2Rs и
R2RzRi — скользящие симметрии, их квадраты перестановочны
согласно 3.23; таким образом,
(Я1#2#з)2 (#2#3#l)2 = (#2#3#l)2 (#1#2#3)2,
т. е. R\ и (/?2#3#i/?2#3)2 перестановочны (ср. Бахман [1], стр. 13).]
§ 6. ТЕОРЕМА ХЬЕЛЬМСЛЕВА
...Очень высокая степень неожиданности, в
сочетании с неизбежностью и целесообразностью.
X а р д и [2], стр. 53.
В 3.12 мы видели, что два равных прямолинейных
отрезка ЛВ, А'В' можно совместить в точности двумя
движениями— одним собственным и одним зеркальным.
Эти движения одинаково преобразуют точки, коллинеар-
ные с Л и В, т. е. все точки бесконечной прямой АВ (это
значит, например, что середина отрезка АВ в обоих
случаях переходит в середину отрезка А'В'). Зеркальное
движение представляет собой осевую симметрию или
скользящую симметрию, причем в обоих случаях ось

§7]
УЗОРЫ НА ПОЛОСЕ
81
преобразования содержит все середины отрезков,
соединяющих точки с их образами. Если середины двух таких
отрезков совпадают, собственное движение является
центральной симметрией и середины всех отрезков
совпадают (К о к с т е р [3], стр. 267). Отсюда вытекает
Теорема Хьельмслева. Если все точки Р
некоторой прямой переходят при некотором движении во
все точки Р' другой прямой, то середины отрезков РР/
либо различны и коллинеарны, либо совпадают.
С
Рис. 35.
В частности, если точки Л, 5, С лежат на одной
прямой, а точки А\ В', С—на другой, причем
3.61
АВ = А'В\ ВС=В'С\ АС=А'С
(рис. 35), то середины отрезков АА\ ВВ\ СС или
коллинеарны, или совпадают. [И. Т. Хьельмслев
(I. Т. Hjelmslev), 1873—1950.]
§ 7. УЗОРЫ НА ПОЛОСЕ
Для того чтобы перевести одну окружность в другую,
равную ей, можно использовать любой вид движения.
Например, точку Р первой окружности на рис. 36 можно
перевести в точку Рт параллельным переносом, в точку
Рн — осевой симметрией, в точку Рн — центральной
симметрией и в точку PG — скользящей симметрией.
[Стрелки изображены для того, чтобы показать, что происходит
с положительным направлением обхода первой
окружности.] Эти четыре движения имеют одно важное общее

82 движения в ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ 3
свойство: они оставляют на месте (как целое) прямую,
соединяющую центры двух окружностей. [В четвертом
случае это есть единственная неподвижная прямая.]
Рис 36
Мы видели (рис. 32), что произведение симметрии
относительно двух параллельных прямых т, т' является
параллельным переносом. Эту ситуацию можно
рассматривать, как предельный случай вращения с очень
удаленным центром; две параллельные прямые являются
предельным случаем прямых, пересекающихся под очень
малым углом. В соответствии с этим бесконечную
группу, порождаемую единственным переносом, обозначают
т гг/'
Rff'R
R'R
R
1
R'
RR'
Рис. 37
Ceo, а бесконечная группа, порождаемая двумя симмет-
риями относительно параллельных прямых (или
плоскостей), обозначается через £>оо. С абстрактной точки
зрения группа Ссо представляет собой «свободную группу с
одной образующей». Если Т — образующий перенос,
группа Ссо состоит из переносов
т-\ Т\ I, т, г2,...
Аналогично Д» порождается симметриями R, R'
относительно параллельных осей т, т' (рис. 37) и состоит из

§7]
УЗОРЫ НА ПОЛОСЕ
83
осевых симметрии и параллельных переносов
... /?/?'/?, /?'/?, /?, 1, /?'. /?/?', /?'/?/?',...
(Ко кет ер [1], стр. 76); абстрактное определение этой
группы чрезвычайно просто:
/? = #*={.
Эту группу можно наблюдать, если сидеть на стуле в
парикмахерской между двумя параллельными зеркалами
(ср. журнал New Yorker от 23 февраля 1957, стр. 39, где
отражение RR'RR'R порождало злого духа).
Другую геометрическую интерпретацию той же
абстрактной группы А» можно получить, выбирая в
качестве образующих R и R' центральные симметрии.
Существует также смешанная интерпретация, в которой R
представляется осевой, a R' центральной симметрией;
однако в этом случае произведение RR' будет уже не
параллельным переносом, а скользящей симметрией.
Продолжая такие рассмотрения, мы можем вскоре
получить полный список семи бесконечных «одномерных»
групп симметрии: семи существенно различных
способов образований повторяющегося узора на полосе или
ленте (Шпейзер [1], стр. 81—82).
Типичный узор
a) L L L L
б) L Г L Г
1 в) V V V V
г) N NN N
д) у Л V Л
е) D D D D
ж) Н Н Н Н
Образующие
1 параллельный перенос
1 скользящая симметрия
2 осевые симметрии
2 центральные симметрии
1 осевая симметрия и
1 центральная симметрия
1 параллельный перенос и
1 осевая симметрия
3 осевые симметрии
Абстрактная
группа
1 с~
]
\ D
I
C00XD1
DmXD,
В случае в) обе оси симметрии вертикальны, одна
рассекает пополам букву V — соответствующая
симметрия переводит эту букву в себя; вторая симметрия
переводит эту букву V в одну из соседних букв. Таким

84 движения в ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 3
образом, уже половина буквы V > расположенная между
осями симметрии, порождает целый узор. В случаях е)
и ж) имеется горизонтальная ось симметрии, а косой
крест в последнем столбце означает «прямое
произведение» (см. Ко кете р [1], стр. 42). Для всех этих групп,
кроме а) и б), имеется некоторая свобода в выборе
образующих; например, в случаях в) и г) одну из двух
образующих можно заменить переносом.
Строго говоря, эти семь групп не «одномерные»,
а «1 у мерные»; точнее говоря, это 2-мерные группы
симметрии, включающие переносы в одном направлении.
В чисто одномерном мире существуют только две
бесконечные группы симметрии: группа С^, порождаемая
одним переносом, и группа Д», порождаемая двумя
отражениями от точечных зеркал, т. е. двумя центральные
ми симметриями.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Определить группы симметрии следующих узоров:
... b b b b...
... b p b p ...
... b d b d ...
... b q b q ...
...b d p q b d p q...
2. Каковы группы симметрии а) циклоиды, б) синусоиды?

ГЛАВА 4
ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Математическая кристаллография составляет одно из
наиболее важных применений элементарной геометрии
к физике. Трехмерная теория весьма сложна, но ее
двумерный аналог, не будучи тривиальным, поддается
изучению гораздо легче. Узоры, полностью покрывающие
плоскость, естественно возникают как расширение
узоров на полосе, рассмотренных в § 7 гл. III. Однако
полное описание всех групп симметрии даже и в
двумерном случае ((см., например, Мальцев [1])) выходит
за рамки этой книги.
§ 1. РЕШЕТКИ И ИХ ОБЛАСТИ ДИРИХЛЕ
Несколько минут Алиса стояла, не говоря ни
слова, обозревая расстилающуюся у ее ног
страну...
— Это совсем как большая шахматная доска!
... на всем свете — если только это свет.
Льюис К э р р о л [2], гл. 2, стр. 24.
Бесконечные дискретные двумерные группы
движений (группы симметрии повторяющихся узоров такого
типа, как те, которые встречаются на обоях или на
покрытых керамическими плитками полах) отличаются от
бесконечных «одномерных» групп тем, чтб содержат два
независимых параллельных переноса, т. е. переноса в
неколлинеарных направлениях. Русский кристаллограф
Е С. Федоров показал, что существует в точности
семнадцать таких двумерных групп. Они были вновь открыты

86
ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
[ГЛ. 4
в нашем столетии Пойя и Ниггли1). Символы,
которыми мы будем обозначать эти группы (см. таблицу I),
взяты из Международных таблиц рентгенокристалло-
графии.
Таблица I
17 двумерных кристаллографических групп
Обозначение
Образующие
Pi
Р2
рт
Pg
cm
ртт
pmg
Pgg
стт
Р4
р4т
p4g
рЗ
p3ml
р31т
Рб
рбт
Два параллельных переноса
Три центральные симметрии
Две осевые симметрии и параллельный перенос
Две скользящие симметрии с параллельными осями
Осевая и скользящая симметрии с параллельными
осями
Симметрии относительно четырех сторон
прямоугольника
Одна осевая и две центральные симметрии
Две скользящие симметрии с перпендикулярными
осями
Две осевые симметрии с перпендикулярными
осями и одна центральная симметрия
Центральная симметрия и вращение на 90°
Симметрии относительно трех сторон
прямоугольного равнобедренного треугольника
Осевая симметрия и вращение на 90°
Два вращения на 120°
Осевая симметрия и вращение на 120°
Симметрии относительно трех сторон
равностороннего треугольника
Центральная симметрия и вращение на 120°
Симметрии относительно трех сторон
прямоугольного треугольника с углом 30°
*) Е. С. Федоров, Записки императорского С.-Петербург-
ского минералогического общества (2) 28, 1891, стр. 345—390;
G. Р б 1 у a und Р. N i g g I i, Zeitschrift fur Kristallographie und
Mineralogie 60, 1924, стр. 278—298. (См. также Фрикке и Клейн
[1], стр. 227—233.) Таблица Федорова показывает, что 16 из 17
групп были описаны К. Жорданом (С. Jordsn) в 1869 г. Последняя
была открыта Л. Зонке (L. Sohncke) в 1874 г., но он пропустил
три других.

§ 1]
РЕШЕТКИ И ИХ ОБЛАСТИ ДИРИХЛЕ
87
Простейшей двумерной группой является группа pi,
порождаемая двумя независимыми переносами X, Y. Так
как преобразование, обратное параллельному переносу,
и произведение двух переносов также являются
переносами (3.21), эта группа состоит только из переносов.
Так как XY=YXy все эти переносы могут быть
представлены как ХхУу со всевозможными целыми х, у.
Абстрактно эта группа является «прямым произведением»
СооХСоо, которое определяется единственным
соотношением
XY = YX
(Кокстер иМозер [1], стр. 40). Любая фигура,
например цифра 6 на рис. 38, переводится группой pi в
бесконечное множество таких же фигур, образующих
6 6 В 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6
6 о 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6
Рис. 38.
узор. Обратно pi есть полная группа симметрии такого
узора при условии, что сама фигура «полностью
несимметрична», т. е. ее группа симметрии состоит из одного
лишь тождественного преобразования.
Если фигура представляет собой простую точку, узор
называется двумерной решеткой, которую можно
представить как план бесконечного фруктового сада. Каждой
точке решетки естественно сопоставить символ
преобразования, с помощью которого исходная точка /
переводится в эту точку (рис. 39).
Тот, кто стоит в таком саду, заметит, что деревья
выстраиваются в ряды по многим направлениям. Это
указывает на характеристическое свойство решетки:
прямая, соединяющая любые две точки решетки,
содержит бесконечное множество других точек,
расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга, т. е.

88 ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4
«одномерную решетку». В самом деле, прямая,
соединяющая точки / и ХхУу, проходит также через точки
пх пу / х_ у\п
X d У d =\X*Y*) ,
где d—наибольший общий делитель чисел х и у, а п
пробегает любые целые значения. В частности, все
степени параллельного переноса X лежат на одной прямой,
о
X'1
о
г
X
о
Х~1У
г
о
у-7
7
о
-Ту 2
о
У
о
;
о
ХУ'7
О
о
у?
о
X
о
о
ХУ
о
О
ХУ2
о
ХгУ
о
хг
о
О
х*уу
о
Рис. 39.
степени переноса Y—на другой, а прямые,
параллельные этим двум прямым и проходящие через остальные
точки решетки, образуют мозаику из равных между
собой параллелограммов, заполняющих всю плоскость без
/ /
/ / /
/ / /
/У /ХУ А
/, л /
/ / /
/УТ /ХУТ
А Ат /
/ /
/ /
Рис. 40.
просветов и двойных покрытий (рис. 40). [Мы
применяем термин мозаика для обозначения любого
расположения многоугольников, полностью покрывающих всю
плоскость и не перекрывающихся между собой.]
Типичный параллелограмм образован четырьмя
точками /, X, XY, Y. Параллельный перенос Т=ХхУу
переводит этот параллелограмм в некоторый другой парал-

§1}
РЕШЕТКИ И ИХ ОБЛАСТИ ДИРИХЛЕ
89
лелограмм, у которого «первой» вершиной является
точка Т (вместо точки /). Таким образом, устанавливается
взаимно однозначное соответствие между ячейками
мозаики и преобразованиями группы, обладающее тем
свойством, что каждое преобразование группы переводит
любую внутреннюю точку первоначального
параллелограмма в точку, аналогичным образом расположенную
относительно сторон нового параллелограмма. По этой
причине типичный параллелограмм называют
фундаментальной областью.
Выбор фундаментальной области весьма
неоднозначен. Фундаментальной областью может служить любой
параллелограмм с вершинами с точках решетки, не
содержащий других точек решетки внутри или на контуре
(Харди и Райт [1], стр. 28). Это утверждение
составляет геометрический эквивалент алгебраической
теоремы, гласящей, что группа, порождаемая элементами
X, У, порождается также элементами XaY , XCY , если
только
ad — be = ± 1.
Чтобы выразить старые образующие через новые,
заметим, что
(xavb)d(xcrd)~* = xad-be,
ayb\~c (Xcyd\a yad-bc
Фундаментальная область также вовсе не
обязательно должна быть параллелограммом. Например, мы
можем заменить пары противоположных сторон
параллелограмма парами кривых, совмещающихся
параллельным переносом, как это изображено на рис. 41.
Любая возможная фундаментальная область,
независимо от того является ли она параллелограммом или
любой другой фигурой, имеет ту же площадь, что
единичный параллелограмм рис. 40. В самом деле, внутри
достаточно большого круга находится столько же точек
решетки, сколько повторений фундаментальной области
(с незначительной ошибкой, вызванной тем, что
окружность «разрезает» некоторые области); таким образом,
любая допустимая фундаментальная область имеет
площадь, равную одной и той же части площади этого
(х

90
ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
[ГЛ 4
круга1). Весьма интересно, что любая выпуклая
фундаментальная область группы параллельных переносов
является центрально-симметричным многоугольником
(точнее, параллелограммом или
центрально-симметричным шестиугольником) 2).
Мы можем выделить среди всех параллелограммов,
являющихся фундаментальными областями, стандартный
Рис. 41.
или приведенный параллелограмм, взяв за образующую
X самый короткий (или один из самых коротких, если
их несколько) перенос группы, а за образующую У
равный ему или следующий по длине перенос, имеющий
другое направление. Если угол между переносами X и У
окажется тупым, мы изменим направление У. Таким
образом, мы выделили из всех параллелограммов,
могущих служить фундаментальной областью, приведенный
параллелограмм, имеющий самые короткие стороны.
Переносы вдоль этих сторон естественно называть
приведенными образующими группы.
Соединив вершины X, У приведенного
параллелограмма и пары соответствующих вершин
параллелограммов, получаемых из приведенного параллельными пере-
1) Гаусс использовал эту идею для оценки числа я (см.
Гильберт и Ко н-Ф о с с е н [1], стр. 42—44).
2) А. М. М а с b е a t h, Canadian Journal of Mathematics 13,
1961, стр. 177.

§ 1]
РЕШЕТКИ И ИХ ОБЛАСТИ ДИРИХЛЕ
91
носами группы, мы придем к мозаике конгруэнтных
нетупоугольных треугольников с вершинами в точках ре*
шетки. Каждая точка решетки принадлежит шести таким
треугольникам; например, другими вершинами
треугольников, прилегающих к точке /, служат пары соседних
точек следующей циклической последовательности:
X, v, х~1г, х-\ у-\ ХУ~\ X
(рис. 42). Соединив центры окружностей, описанных
около этих шести треугольников, мы получим область
ГГУ У Х~'У У
у-7 Ху-7 у-7 Ху-Т
Рис. 42.
Дирихле (или «многоугольник Вороного») данной
решетки: многоугольник, внутренность которого состоит из
точек, находящихся ближе к данной точке решетки
(к точке / на рис. 42), чем ко всем остальным точкам
решетки1)- Такие области, каждая из которых окружает
определенную точку решетки, в совокупности заполнят
всю плоскость; более того, область Дирихле является
специальным видом фундаментальной области.
Решетка симметрична относительно точки / (или
любой другой своей точки). При такой симметрии
пары точек ХХУУ, Аг~'гК~уменяются местами. [Используя
специальный жаргон, можно сказать, что группа pi
имеет автоморфизм второго порядка, который заменяет
X и Y обратными им элементами.] Следовательно,
область Дирихле центрально-симметрична. Ее точная фор-
l) G. L. D i г i с h 1 е t, Journal fur reine und angewandte Ma-
thematik 40, 1850, стр. 216—219,
/
X

92
ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
[ГЛ. 4
ма зависит от отношения длин образующих
параллельных переносов A", Y и угла между ними. Если этот угол —
прямой, то область Дирихле — прямоугольник (или
квадрат), так как центр окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, совпадает с серединой
гипотенузы. Во всех остальных случаях область Дирихле —
шестиугольник (необязательно правильный, но
имеющий, в силу центральной симметрии, равные и
параллельные противоположные стороны).
Изменяя решетку таким образом, чтобы угол между
переносами X и Y непрерывно увеличивался, стремясь
к 90°, мы увидим, что две противоположные стороны
шестиугольника стягиваются и стремятся выродиться в
точки, а остальные четыре образовывают прямоугольник.
Отражения от четырех или шести сторон области
Дирихле переводят центральную точку / в четыре или
шесть других точек, которые мы, естественно, назовем
соседями точки 1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Любые две противоположные стороны области Дирихле
перпендикулярны к прямой, соединяющей их середины.
2. Начертите различные типы решеток, которые могут
возникнуть, если X и У подчиняются следующим ограничениям: они
имеют одинаковую длину, а угол между ними может быть равен
60 или 90°. Указать области Дирихле в каждом случае и выяснить,
будут ли группы симметр-ий этих областей группами С2, D2y D*
или £>£.
§ 2. ГРУППА СИММЕТРИИ ОБЩЕЙ РЕШЕТКИ
Исследование симметрии данной математической
структуры всегда приносило самые сильные
результаты
Э. Артин (1898-1962) fl], стр. 54.
Любая данная решетка, как легко видеть,
симметрична относительно середины отрезка, соединяющего любые
две точки решетки (Гильберт и Кон-Фоссен [1],
стр. 77). Середины таких отрезков образуют решетку с
более мелкими клетками, у которой образующие
переносы вдвое короче, чем переносы X и У (смотри «белые»
точки на рис. 43).

§2]
ГРУППА СИММЕТРИИ ОБЩЕЙ РЕШЕТКИ
93
Решетка является общей (т. е. не имеющей
дополнительных симметрии), если длины приведенных
образующих различны и угол между ними не равен ни 90°, ни 60°.
о о о о о
•У о »ху о *хгУ
О о о
•/Г о .х2
Рис. 43.
В этом случае симметрии решетки исчерпываются
переносами ХХУУ и только что указанными центральными
симметриями. Другими словами, группа симметрии
общей решетки образуется из группы pi добавлением
центральной симметрии
Н (с центром /). Эта
группа обозначается р2
(Кокстер и Мозер
[1], стр. 41—42). Она
порождается центральной
симметрией Н и
параллельными переносами X и
Y. Центральная
симметрия, меняющая местами
точки / и Т= ХХУУ, равна
НТ. (Заметим, что сам
перенос равен произведе- Рис. 44.
нию центральных
симметрии Н и НТ.) Эта группа порождается также тремя
центральными симметриями НХ, Я, HY или этими
тремя преобразованиями и их произведением
НХ.Н-НУ = НХУ,
представляющим собой симметрию относительно
четвертой вершины изображенного на рис. 43
параллелограмма.
Замечательно, что любой треугольник или любой не-
самопересекающийся четырехугольник (не обязательно
£7

94
ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
[ГЛ. 4
выпуклый) может служить фундаментальной областью
группы р2. Центральные симметрии с центрами в
серединах сторон треугольника или четырехугольника
можно отождествить в случае треугольника с центральными
Рис. 45.
симметриями НХ, Я, HY (рис. 44), а в случае
четырехугольника— с центральными симметриями НХ, Я, ЯУ,
HXY (рис. 45).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Почему вершины четырехугольников на рис. 44 образуют две
налагающиеся решетки?
2. Начертить мозаику областей Дирихле для данной решетки.
Разделить каждую область диагональю на две части.
Получившаяся мозаика является частным случаем мозаики неравносторонних
треугольников (рис. 44) или неправильных четырехугольников
(рис. 45), смотря по тому, будут ли области Дирихле
прямоугольными или шестиугольными.
§ 3. ИСКУССТВО М. К. ЭШЕРА
Группы pi и р2 являются двумя простейшими из
семнадцати дискретных групп изометрий, содержащих
два независимых параллельных переноса. Некоторые
другие из них будут упомянуты в этом и следующем
параграфе. Наиболее удобные образующие всех групп
перечислены в таблице I на стр. 86.

§3]
ИСКУССТВО М. К ЭШЕРА
95
Искусство заполнения плоскости повторяющимися
узорами достигло своего наивысшего расцвета в
тринадцатом веке в Испании» где мавры использовали все
Рис 46. Группа pq, порожденная двумя скользящими
симметриями с параллельными осями
семнадцать групп в затейливых украшениях
Альгамбры*) (Джонс [1]). Предпочтение, которое они
оказывали абстрактным узорам, было обусловлено строгим
соблюдением второй заповеди**). Голландский художник
*) Знаменитый дворец арабских султанов в Гренаде
(Испания).
**) «Не сотвори себе кумира». В силу этой библейской
заповеди (соответствующее высказывание есть и в Коране)
древнееврейское и арабское искусство не знало изображений птиц и зверей,
а тем более человека.

96
ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
[ГЛ. 4
М. К. Эшер*), свободный от таких запретов, находит
остроумные применения этих групп, используя в
качестве их фундаментальных областей очертания
животных. Например, группа симметрии его узора, состоящего
Рис. 47. Группа cm, порожденная симметрией и
скользящей симметрией с параллельными осями.
из рыцарей на конях (рис. 46), с первого взгляда
кажется группой pi, порождаемой горизонтальным и
вертикальным переносами. Однако, пренебрегая различием
между темными и светлыми фигурами, мы
обнаруживаем более интересную группу pq, которая порождается
двумя скользящими симметриями G и G' с вертикаль-
*) См. альбом М. С. Е s с h е г, Grafiek en tekeningen, Zwolle
(Голландия), 1959 и след. (альбом многократно переиздавался),
содержащий много интереснейших орнаментов чисто
геометрического содержания.

I 4]
ШЕСТЬ УЗОРОВ ИЗ КИРПИЧЕЙ
97
ными осями. Мы замечаем, что параллельный перенос
в вертикальном направлении можно представить как G2
или G'2. Замечательно, что единственное соотношение
G2=G' дает полное абстрактное определение этой
группы (Кокстер и Мозер [1], стр. 43). Ясно, что рыцарь
и лошадь (любого цвета) образуют фундаментальную
область для группы pg, но фундаментальную область для
группы pi образуют лишь темная и светлая фигуры
вместе. Подобно этому создается впечатление, что эше-
ровский узор из жуков (рис. 47) имеет группу
симметрии рт, которая порождается отражениями от
вертикальных осей и параллельным переносом в вертикальном
направлении. Но приглядевшись повнимательнее, мы
видим, что светлые и темные жуки совершенно одинаковы
и что один из них можно совместить с другими с
помощью скользящей симметрии. Полная группа симметрии
узора —группа cm; фундаментальная область
представляет собой правую или левую половину жука любого
цвета. Она порождается скользящей симметрией и осевой
симметрией с вертикальными осями. Чтобы получить
фундаментальную область для «меньшей» группы рт,
надо соединить правую половину жука одного цвета с
левой половиной смежного жука другого цвета.
Целый жук (любого цвета) является
фундаментальной областью для группы pi (причем один из
порождающих переносов — наклонный) или для группы pg.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти оси скользящих симметрии, которые порождают
группу pg на рис. 46 и 47.
2. Любые два параллелограмма с одинаковыми направлениями
сторин могут в совокупности с помощью повторенных параллельных
переносов покрыть всю плоскость без просветов и двойных
покрытий.
$ 4. ШЕСТЬ УЗОРОВ ИЗ КИРПИЧЕЙ
На рис. 48 показано, как шесть из семнадцати
двумерных групп возникают в виде групп симметрии
общеизвестных узоров из прямоугольников, которые мы
можем представлять себе в виде кирпичей или кафельных

ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
[ГЛ. 4
плиток. Образующие групп обозначены на чертеже
следующим образом: пунктирная линия обозначает ось
M=d
1 ^П^ |
р2
Т==7р=Эр|
1 1 1
ртдг
Щ-
стт
PSTff
Рис. 48.
Ill у
1 ' '
1 ' • I
1 1
III 1
pmm
i 1
,.j 1
Р*9
симметрии, «линза» обозначает центр симметрии,
маленький квадрат — центр вращения на 90°, а
«полустрелка» — пару соответственных точек скользящей
симметрии.
В каждом случае удобная фундаментальная область
заштрихована. Эта область может быть выбрана до
некоторой степени произвольно, за исключением группы
pmm, где она полностью определяется осями симметрии.
Процесс исследования таких узоров состоит в
следующем. Мы замечаем, что группа симметрии одного
кирпича есть D2 (группа порядка 4); она имеет
подгруппы С2 и Di. Если все симметрии кирпича
являются в то же время симметриями всего узора, как в случае
групп cmm и pmm, фундаментальная область
представляет собой четверть кирпича, а две из образующих
группы — отражения, порождающие группу Ь2. Все
остальные образующие группы переводят первоначальный
кирпич в соседние кирпичи. Если же только подгруппы С2
или Di принадлежат к группе симметрии всего узора (С2

§5]
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ
99
принадлежит группам р2 или pgg, a Dt — группам pmg
или p4g), фундаментальная область представляет собой
половину кирпича и образующие не вполне определены.
УПРАЖНЕНИЕ
Понятно, что во всех этих узорах под «кирпичом»
подразумевается прямоугольник, у которого одна сторона вдвое длиннее
другой. В каждом из этих случаев любой кирпич так же расположен
относительно всего узора, как и все остальные. [Пользуясь
специальными терминами, говорят, что группа симметрии транзитивна на
кирпичах.] Являются ли эти шесть узоров единственными
транзитивными узорами из кирпичей?
§ 5. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ
Математик, так же как художник или поэт,
создает узоры. И если его узоры более
устойчивы, то лишь потому, что они составлены из
идей.
Г. X. X а р д и [2], стр. ?1.
Полное описание семнадцати двумерных групп
заняло бы слишком много места. Но представляется
целесообразным дать предложенное Барлоу элегантное
доказательство1) того, что единственно возможными
циклическими подгруппами этих
групп являются группы С2, 0\
Сг, Сь и Се. Другими ело- \
вами, \
Единственно возможные \
порядки вращений, входя- \&l
щих в группу симметрии ре- У2
тетки равны 2, 3, 4 или 6.
Пусть точка Р — произ- Рис. 49.
вольный центр вращения
порядка п. Остальные симметрии решетки переводят Р
в бесконечное множество центров вращения с тем же
порядком. Пусть точка Q будет самым близким к Р из
этих центров (рис. 49). Третий центр Р' есть образ Р
2jt
при вращении вокруг Q на угол — а четвертый, Q', -—
]) W. Barlow, Philosophical Magazine (6) 1, 1901, стр. 17.
ж/

100 ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4
образ Q при вращении вокруг Р' на угол —. Отрезки PQ,
QP\ P'Q\ конечно, равны между собой. Может
случиться, что точки Р и Q' совпадут; тогда л = 6. В
остальных случаях, так как точка Q выбрана на наименьшем
возможном расстоянии от точки Р, должно быть PQ'^
> PQ\ следовательно, я<4. [Если п = 4, PQP'Q'—
квадрат. Если п = 5, PQ\ очевидно, короче, чем PQ. Если
дг>6, PQ пересечет P'Q', но в этом случае нет
необходимости использовать точку Q': мы имеем PP'<PQ, что
уже является противоречием.]
УПРАЖНЕНИЯ
2я
1. Пусть 5 и Т — вращения на угол вокруг точек Р и Q.
Что представляет собой преобразование T~lST}
2. Если дискретная группа движений включает два вращения
вокруг различных центров, то она включает также два вращения
с разными центрами и одинаковыми порядками, а следовательно,
также и параллельный перенос. Если порядок вращений
превосходит 2, то группа включает два независимых параллельных переноса.
§ 6. ПРАВИЛЬНЫЕ МОЗАИКИ
Узоры математика, так же как узоры художника
или поэта, должны быть прекрасны; идеи, так
же как цвета или слова, должны гармонически
соответствовать друг другу. Красота есть первое
требование, в мире нет места для некрасивой
математики.
Г X. X а р д и [2], стр 25.
Первым, кто исследовал возможность заполнения
плоскости равными правильными многоугольниками,
был, по всей вероятности, Кеплер (1571 —1630). Нам
будет удобно использовать символ Шлефли {/?, q} для
обозначения мозаики из правильных /^-угольников,
расположенных по q штук вокруг каждой вершины
(Шлефли [1], стр. 213). Случаи
{6,3}; {4,4}; {3,6}
иллюстрирует рис. 50, на котором многоугольники,
начерченные жирными линиями, представляют собой
вершинные фигуры, т. е. <7-Угольники с вершинами в
середине ребер, выходящих из данной вершины мозаики.

§61
ПРАВИЛЬНЫЕ МОЗАИКИ
101
[Так как мозаики до некоторой степени аналогичны
правильным многогранникам, естественно применять слово
ребро для обозначения общей стороны двух смежных
16,3} {4,4} {3,6}
Рис. 50.
многоугольников и слово грань для обозначения самих
многоугольников.]
Формальное определение правильной мозаики таково:
мозаика называется правильной, если она имеет пра*
вильные грани и правильные вершинные фигуры при
каждой вершине.
Мозаику {6,3} часто можно встретить в качестве
узора плиток на полу ванной комнаты; другой ее пример
доставляет любой улей (соты). Мозаика {4,4} широко
распространена в виде бумаги в клетку; ее вершины —
точки, у которых декартовы координаты х и у — целые
Рис. 51.
числа. Мозаика {3,6} двойственна мозаике {6,3} в
следующем смысле. Двойственной к мозаике {р, q) называется
мозаика, ребра которой являются перпендикулярами,
восставленными в серединах ребер мозаики \р, q)
(см. рис, 51). Таким образом, двойственной к мозаике
{Р> Я] будет {q, р) и наоборот; вершины одной являются

102
ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
[ГЛ. 4
центрами граней другой. В частности, двойственной
мозаике {4,4} будет равная ей мозаика {4,4}.
Допустимые значения р и q легко получить из
условия, что q углов правильного р-угольника, равных
V j)n' пРимыкают ДРУГ к Другу в вершине мозаики:
Р^ q 2'
(/>-2)(?-2) = 4.
Возможны три способа разложения 4 на целые
положительные множители, а именно,
4-1, 2-2, 1 -4.
Эти решения нашего уравнения дают три уже описанных
вида мозаик. Однако, прежде чем заявлять, что это
единственные виды
правильных мозаик, мы изучим
дробные решения нашего
уравнения, потому что им могут
соответствовать «звездчатые»
мозаики {/?, q], у которых
грани {р} и вершинные фигуры
{q} являются звездчатыми
правильными многоугольниками,
вроде тех, которые были
рассмотрены в §8 гл. 2. Например,
на рис. 52 показаны десять пра-
Рис £>2 вильных пятиугольников,
расположенных вокруг одной
общей вершины. Хотя они и пересекаются, мы, может быть,
смогли бы прибавлять последующие пятиугольники так,
чтобы они образовали мозаику < 5, -j- J- (у которой
вершинная фигура является десятиугольником),
покрывающую плоскость некоторое число раз. Но в
действительности, как мы сейчас увидим, это число оказывается
бесконечным.

§61
ПРАВИЛЬНЫЕ МОЗАИКИ
101
Рассмотрим обобщенную правильную мозаику {р, q}y
где Т7""^- Если она покрывает плоскость только
конечное число раз, должно существовать наименьшее
расстояние между центрами двух граней. Пусть Р, Q — два
таких центра, расположенных на наименьшем
расстоянии друг от друга. Так как они являются центрами
вращений порядка /г, переводящих мозаику в себя, то
соображения, использованные в § 5 гл. 4, доказывают, что
единственно возможными значениями п являются
значения 3, 4, 6. Таким образом, d=l, и эти три числа
являются также единственно возможными значениями р.
Следовательно, правильных звездчатых мозаик не
существует (Кокстер [1], стр. 112). Однако сферу можно
покрыть три раза двенадцатью «пятиугольниками»,
сторонами которых являются дуги больших кругов
(Кокстер [1], стр. 111).
Чтобы найти группу симметрии правильной мозаики,
мы исследуем ее грань так же, как мы исследовали один
кирпич в § 4 этой главы. Ясно, что группа симметрии
мозаики {р, q} порождается группой симметрии Dp одной
грани и отражениями от сторон этой грани. Таким
образом, эта группа порождается отражениями от сторон
треугольника с углами л/р (при центре грани), я/2 (при
середине ребра), n/q (при вершине). Этот треугольник
является фундаментальной областью, так как он
преобразуется в соседние треугольники тремя образующими
осевыми симметриями. Так как каждое из образующих
преобразований оставляет на месте все точки одной из
сторон, фундаментальная область единственна и ее
нельзя изменить прибавлением и вычитанием каких-либо
частей, подобно тому, как Эшер изменил
фундаментальные области некоторых других групп.
Сеть таких треугольников, покрывающих плоскость,
образована всеми осями симметрии правильной
мозаики. В число осей симметрии входят прямые, на которых
лежат ребра мозаики {р, q] и двойственной ей мозаики
{<7, р}. В случае мозаик {6,3} и {3,6} (рис. 51) этими
прямыми исчерпываются все оси симметрии. В случае двух
двойственных мозаик {4,4} необходимы, кроме того, еще
и диагонали квадратов. На рис. 53 и 54 области попере-

104
ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
[ГЛ. 4
менно оставлены белыми и заштрихованы так, чтобы
показать одновременно полные группы симметрии рбт,
р4т и «прямые» подгруппы рб, р4 (состоящие из
вращений и параллельных переносов), которые
сохраняют цвета (Брюстер [1], стр. 94; Бернсайд [1],
стр. 416, 417).
Вместо того чтобы строить сеть треугольников по
данной правильной мозаике, можно, наоборот, строить
рб и рбт р4 и р4т
Рис. 53. Рис. 54.
мозаику по данной сети. Для этой цели мы выберем
точку на сетке, углы при которой равны зг/ду т. е. точку,
где сходятся р заштрихованных и р белых
треугольников. Объединение этих 2р треугольников образует грань
мозаики {/?, q),
УПРАЖНЕНИЯ
1. Обосновать формальное определение «правильности», данное
на стр. 101. Это понятие подразумевает, что все грани мозаики
одинаковы и что окрестности всех вершин устроены одинаковым
образом.
2. Дать общий способ доказательства того, что середины ребер
правильной мозаики принадлежат некоторой решетке.
[Указание: рассмотреть группу р2, порождаемую симметриями
относительно середин трех ребер.]
3. Выделить середины ребер мозаики {6,3}. Проверить, что они
принадлежат некоторой решетке. Образуют ли они целую решетку?
4. Начертить части решеток с группами симметрии р2, pmm,
cmm, p4m, рбт.

§7J ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТЕРА О КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧКАХ 105
§ 7. ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТЕРА О КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧКАХ
Reductio ad absurdum*), которое jclk любил
Евклид, является едва ли не самым изящным
оружием математика. Это намного более красивый
прием, чем любой шахматный гамбит: шахматист,
чтобы добиться успеха, может пожертвовать
пешку или даже фигуру; математик же идет на
риск проигрыша всей партии
Г. X. X а р д и [2], стр. 34.
Как мы видели в § 1 этой главы, решетка
представляет собой дискретное множество точек, обладающих
тем свойством, что прямая, соединяющая любые две из
них, содержит не только эти две
точки, но также бесконечно много
других точек решетки. На рис. 55
изображен конечный «фруктовый
сад», в котором девять точек
расположены в десять рядов, по три
точки в каждом (Б о л л [1], стр. 105).
Вполне вероятно, что именно
рассмотрение такой конфигурации
привело в 1893 году Сильвестера*)
к постановке следующей задачи:
Доказать, что никакое конечное число точек нельзя
расположить на плоскости так, чтобы прямая,
проходящая через любые две из них, проходила бы также через
третью, если только эти точки не лежат все на одной
прямой.
Ни Сильвестер, ни кто-либо из его современников не
могли дать удовлетворительного доказательства этого
утверждения. Затем об этой задаче забыли до 1933 года,
*) Приведение к абсурду (лат.) — математический прием
«доказательство от противного»
*) J. J. Sylvester, Mathematical Question and solutions from
the Educational Times 59, 1893, стр. 98 (вопрос 11851). См. также:
R. Steinberg, American Mathematical Monthly 51, 1944, стр. 170;
L. M. Kelly, там же 55, 1948, стр. 28; Т. М о t z k i n, Transactions
of the American Mathematical Society 70, 1951, стр. 452; L. M. Kelly
and W. O. J. Moser, Canadian Journal of Mathematics 10, 1958,
стр. 213; (Хадвигер и Дебруннер [1], § 1; Яглом и
Я г лом [1], задача 106; Шклярский, Ченцов и Яглом [1],
задача 39).

106 ДЯУМГРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4
когда Карамата и Эрдеш (Karamata, Erdos) вновь
поставили ее, а Т. Галлай (-Грюнвальд, Т. Gallai или
Grunwald) полностью разрешил с помощью несколько
усложненных рассуждений. Сильвестеровское
«отрицательное» утверждение было переформулировано в
«положительной форме» Моцкиным:
Если п точек плоскости не лежат на одной прямой,
то существует прямая, проходящая в точности через две
из этих точек.
Приводимое ниже доказательство, которое до
некоторой степени похоже на доказательство Барлоу теоремы
о кристаллографических ограничениях (§ 5 этой главы),
предложено Л. М. Келли.
Данные п точек Ри .. ., Рп можно попарно соединить
не более чем -^п{п—\) прямымиPiP2, PiPs, . • •
Рассмотрим пары Ри PjPk, состоящие из точки Р{ и прямой,
соединяющей точки Pj и Р&, не проходящей через точку
Pi. Так как таких пар не больше, чему/г^—1)(#—2),
должна существовать такая пара, скажем Ри Р2 Рз, для
которой расстояние PiQ от точки до прямой
наименьшее (или одно из
наименьших) из всех
таких же расстояний,
определенных для всех пар.
Покажем, что прямая
Р2Рз не содержит других
точек множества.
Предположим противное, пусть
Р4 О Рг ?з эта прямая содержит
также точку Р4. Тогда по
Рис- 56- крайней мере две из
трех точек Р2, Рз, Pk
лежат по одну сторону от перпендикуляра PiQ (или,
возможно, одна из этих точек совпадает сточкой Q). Пусть
точки обозначены таким образом, что эти две точки —
Р2 и Р3, причем точка Р2 расположена ближе к точке Q,
чем Р3 (или совпадает с Q*). Тогда расстояние от точки
Р2 до прямой P3Pi меньше, чем PQ (рис. 56), что
противоречит предположению минимальности расстояния PiQ.

$ Ч ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТЕРА О КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧКАХ Ю7
Этим завершается доказательство того, что всегда
существует прямая, содержащая ровно две точки
множества. Конечно, таких прямых может быть больше одной;
в самом деле, Келли и Мозер доказали, что число таких
прямых не меньше чем -у-
УПРАЖНЕНИЯ
1. Приведенное выше доказательство указывает прямую Р2Рз>
содержащую только две точки из точек Р. Показать, что точка Q
лежит между Р2 и Р3.
2. Если п точек не лежат на одной прямой, то, соединяя
прямыми каждые две из них, мы получим по меньшей мере п
различных прямых, (К о кете р [2], стр. 52).
3. Построить конфигурацию п точек, в которой существует
ровно —=— прямых, проходящих через две точки. [Указание;
n=7J

ГЛАВА 5
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
В ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ
В последующих главах книги мы увидим, что
евклидова геометрия отнюдь не является единственно
возможной геометрией.
В знаменитой Эрлангенской программе (речь,
произнесенная Ф. Клейном при вступлении в должность
профессора математики Эрлангенского университета в
1872 году) утверждается, что критерием, отличающим
одну геометрию от другой, является группа
преобразований, при которых предложения этой геометрии
остаются в силе. В случае евклидовой геометрии мы могли
сначала ожидать, что такой группой окажется группа всех
движений плоскости. Но так как все предложения
евклидовой геометрии сохраняют силу при изменении
масштаба измерения, как, например, при увеличении
чертежей подобно фотоснимкам, то «основная группа»
евклидовой геометрии (Клейн [2], стр. 224) включает
также «преобразования подобия» (т. е. преобразования,
которые могут изменять расстояния, хотя, конечно,
сохраняют углы; (ср. Яглом [1], ведение к второй части
книги)). В настоящей главе мы дадим классификацию
таких преобразований евклидовой плоскости.
В частности, центрально-подобные преобразования
играют важную роль в теории окружности девяти точек
треугольника. Эти и другие собственные преобразования
подобия рассматриваются в большинстве школьных
учебников, но о зеркальных преобразованиях подобия
(§ 6 этой главы) при этом часто незаслуженно
забывают.

§1]
ГОМОТЕТИЯ
109
§ 1. ГОМОТЕТИЯ
«Если я съем один из этих пирожков», —
подумала она, — «наверное произойдет некоторое
изменение в моем росте». Тут она проглотила один
из пирожков и с радостью заметила, что
немедленно начала уменьшаться.
Льюис К э р р о л [I], гл. 4, стр 57.
Удобно расширить обычное определение
параллельности, считая параллельными также и совпадающие
прямые. Мы скажем, что две прямые параллельны, если
они не имеют ни одной общей точки, либо имеют две
A9 Q' В'
Рис. 57.
такие точки. При таком понимании понятия
параллельности можно утверждать, что во всех без исключений
случаях
5.11. Для каждой точки А и прямой г существует в
точности одна прямая, проходящая через А и
параллельная г.
Две фигуры называются гомотетичными, если они
подобны и подобно расположены, т. е. если одну из них
можно перевести в другую «гомотетией»*). Последнее
преобразование можно определить следующим образом
(Арти н [1], стр. 54):
Гомотетией называется преобразование, которое
сохраняет (или изменяет на противоположное) каждое
направление; г. е. переводит каждую прямую в
параллельную ей прямую.
*) В этой книге термин «гомотетия» понимается в смысле,
несколько отличном от принятого в русской литературе (см. ниже
стр. 111).

по
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
[ГЛ. 5
5.12. Любую пару параллельных отрезков АВ и А'В'
можно совместить единственной гомотетией АВ-+А'В'.
Действительно, произвольная точка Р, не лежащая
на прямой АВУ переводится в точку Р', которая лежит
на пересечении прямой, проходящей через точку А'
параллельно ЛР, и прямой, проходящей через точку В'
параллельно ВР (рис. 57), а произвольная точка Q
прямой АВ переводится в точку Q', лежащую на пересечен
кии А'В' и прямой, проходящей через точку Р' и
параллельной прямой PQ*).
Другими словами, гомотетия полностью определяется
указанием образов двух произвольно заданных точек
(Кокстер [2], 8.51).
Ясно, что преобразованием, обратным для АВ-+А'В\
является гомотетия А'В'-+АВ. Также ясно, что
гомотетия АВ-+АВ представляет собой тождественное
преобразование, гомотетия АВ-+ВА — центральную
симметрию (с центром в середине отрезка АВ), и если
ABB'А' — параллелограмм, то гомотетия АВ —► А'В'
представляет собой параллельный перенос.
Для любой гомотетии, за исключением
тождественного преобразования, можно выбрать две точки Л, В
о В В' В А' В В'
Рис. 58.
так, чтобы точка А не являлась неподвижной точкой, а
прямая АВ — неподвижной прямой. Такая гомотетия
АВ-*А'В' (рис. 58) переводит произвольную точку Р
прямой АА' в точку Р', лежащую на параллельной АА*
прямой, проходящей через точку А\ т. е. на той же пря-
*) Эта конструкция определяет некоторое преобразование
плоскости, ибо образ Q' точки Q рис. 57, как легко видеть, не зависит
от выбора точки Р. Далее, нетрудно убедиться, что определенное
таким образом преобразование действительно является гомотетией,
т. е. любую прямую (PQ или PR на рис. 57) оно переводит в
параллельную исходной прямую {P'Q\ соответственно P'R'),.

<П]
ГОМОТЕТИЯ
111
мой АА'. Точно так же эта гомотетия переводит
произвольную точку Q прямой ВВ/ в другую точку Q' той же
прямой ВВ'. Если прямые АА/ и ВВ' не параллельны,
то их точка пересечения — неподвижная точка (так как
эти прямые — неподвижные). Следовательно*),
5.13. Каждая гомотетия, отличная от параллельного
переноса, имеет неподвижную точку.
Эта неподвижная точка О единственна. Гомотетия,
имеющая две неподвижные точки 0\ и 02 (т. е.
гомотетия 0[02—►OiC^), может быть только тождественным
преобразованием, которое разумно рассматривать как
частный вид переноса, а именно как перенос на нулевое
расстояние.
Ясно, что произвольная точка Р преобразуется в
точку Р' прямой ОР. Пусть
условимся еще считать число \х положительным или
отрицательным, в зависимости от того, лежат ли точки Р
иР'с одной стороны или с разных сторон от точки О.
Рассмотрев несколько подобных треугольников (как на
первых двух из рис. 58), можно убедиться, что число \х
постоянно, т. е. не зависит от положения точки Р.
Больше того, произвольный отрезок PQ преобразуется в
отрезок P'Q', длина которого в ji раз больше.
Точка О называется центром гомотетии, а
положительное или отрицательное число \х — ее коэффициентом.
Мы будем употреблять символ О (jli) для обозначения
гомотетии с центром О и коэффициентом \х. Гомотетию
0(\х) мы будем называть «центральной гомотетией»**)
или центрально-подобным преобразованием.
В частности, гомотетия 0(1) представляет собой
тождественное преобразование, а гомотетия 0(—1) —
центральную симметрию. Ясно, что единственные
гомотетии, являющиеся также движениями, — это
центральные симметрии и параллельные переносы (включая
*) Ясно, что если АА'\\ВВ' и АВ\\А'В' (см. третий из рис. 58),
то ABB'А' — параллелограмм и гомотетия АВ-*А'В' есть
параллельный перенос.
**) В нашей литературе термин «гомотетия» обычно
понимается как «центральная гомотетия».

112
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
[TJf. 5
сюда и «нулевой» параллельный перенос —
тождественное преобразование). Единственные гомотетии, не
являющиеся центральными, — это параллельные переносы,
так что каждая гомотетия. представляет собой
центрально-подобное преобразование (центральную
гомотетию) или параллельный перенос.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Какое преобразование будет обратным к гомотетии 0(\х)?
2. Произведение гомотетий 0$\i$ и 02(м<2) представляет собой
гомотетию 0(fii|i2). Где находится точка О?
3. Записать гомотетию 0(\i) а) в полярных координатах,
б) в декартовых координатах.
4. Объяснить действие пантографа (рис. 59). Этот инструмент
был изобретен в 1630 году Кристофором Шейнером. Он
предназначен для получения уменьшенных или увеличенных копий произ-
, вольных фигур и состоит из
J четырех стержней, которые со-
У5^^,^ единены шарнирно в вершинах
/ ^S4s\4^ « параллелограмма АА'ВС, углы
м / ^^^L которого могут изменяться.
./^^ / ^\. Три коллинеарные точки О, Р,
др> -^Жч^——-+■ --^х/7' Р\ лежащие соответственно на
/ Р ^ч*чф стержнях АА\ АС, А'В, ос-
/ С таются коллинсарными при из-
' менении формы параллело-
Рис. 59. грамма. Инструмент
закрепляется на оси в точке О. Если
поместить острие карандаша в точку Р\ а острие иголки в точку
Р (или наоборот) и вести иголку по данной фигуре, конец
карандаша будет чертить гомотетичную копию фигуры. Точки О и Р
можно передвигать вдоль стержней, что дает возможность
изменять отношение О А : О А''. [Мы должны, конечно, заботиться о том,
чтобы точки О и Р оставались коллинеарными с точкой Р'.]
5. Как можно видоизменить пантограф, чтобы он мог
производить гомотетию 0(\х) также и с отрицательным коэффициентом \i>
§ 2. ЦЕНТРЫ ПОДОБИЯ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ
Гомотетия 0(|и), преобразующая точку С в точку С,
очевидно, переводит окружность с центром С и
радиусом г в окружность с центром С и радиусом fir (или
—fir, если ji отрицательно). Обратно (рис. 60), если две
окружности имеют раличные центры С и С и неравные
радиусы а, а', то первую из них можно перевести во
вторую любой из двух гомотетий О ( -^-j или Ох ( -J, с

§21 ЦЕНТРЫ ПОДОБИЯ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ ИЗ
центрами О и Ои которые делят отрезок СС внутренним
и внешним образом в отношении а\а' ((Болтянский
и Яглом [1], § 43)). Точки О и Ot называют центрами
подобия двух данных окружностей. Чтобы построить их,
нужно начертить произвольный диаметр первой
окружности PCPi и параллельный ему радиус второй
окружности СР' (причем точка Pf лежит с той же стороны от
Рис. 60.
прямой СС, что и точка Р); тогда точка О лежит на
пересечении прямых СС и РР\ а точка 0{ — на
пересечении прямых СС и Р\Р'.
Две равные или две концентрические окружности
тоже можно перевести друг в друга двумя гомотетиями,
но в этих случаях существует только один центр
подобия. В случае концентрических окружностей это связано
с тем, что две гомотетии имеют один и тот же центр.
В случае равных окружностей одна гомотетия
представляет собой параллельный перенос, который не имеет
центра (другая гомотетия в этом случае — симметрия
относительно точки О, совпадающей с серединой
отрезка СС).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если две равные окружности не имеют общих точек, они
имеют две параллельные общие касательные и две другие, которые
пересекаются в точке 0\ (середине отрезка, соединяющего центры
окружностей). Если окружности касаются, то существуют только
три общие касательные. Если они пересекаются, то существуют
только две параллельные общие касательные.

114
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
(ГЛ. 5
2. Любая общая касательная двух неравных окружностей
проходит через центр подобия. Нарисуйте расположение центров
подобия и найдите число общих касательных для пяти существенно
различных случаев расположений двух неравных окружностей. [Два из
этих пяти случаев изображены на рис. 60.]
3. Найти для данных двух гомотетий О(ц), Oi(|Xi), где \i ф\*и
единственную точку Си которую они переводят в одну и ту же
точку плоскости.
§ 3. ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ДЕВЯТИ ТОЧЕК
Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть
центр его описанной окружности лежит в точке О,
центроид — в точке G и ортоцентр — в точке Н. Пусть
А\ Вг, С —середины его сторон, а Л" В", С"
—середины отрезков НА, НВ, НС (как это изображено на
рис. 12, стр. 36). Ясно, что оба треугольника А'В'С и
А"В"С" подобны треугольнику ABC и получаются из
него гомотетиями G( — -^j и^му)- Первый из этих
фактов дает новое доказательство того, что медианы
треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой
точке в отношении 2:1, считая от вершины.
Так как гомотетии 0( — -Л и //(-?>) переводят
описанную окружность в окружность девяти точек (Яглом
[1], задача 51а>, точки G и Я представляют собой центры
тодобия этих окружностей, п прямая Эйлера проходит
через центры обеих окружностей, т. е. не только через
о о о о
О G N Н
Рис. 61.
центр описанной окружности О, что мы уже знаем, но
также и через центр окружности девяти точек N. Так как
значения \х для этих гомотетий равны ± у, радиус
окружности девяти точек равен половине радиуса
описанной окружности и центры подобия Я, 6 делят
отрезок ON внешним и внутренним образом в отношении
2: 1 (рис. 61). Таким образом, точка N является
серединой отрезка ОН.

§41 ЦЕНТРАЛЬНО ПОДОБНОЕ ВРАЩЕНИЕ И СИММЕТРИЯ 115
А. Вандеген (A. Wandegen) заметил, что центр
вписанной окружности / является центром подобия двух
окружностей Содди с центрами S, S' и радиусами s, s'
(стр. 30). Более того, прямая SS\ которая таким
образом проходит через точку О, либо совпадает с прямой
Эйлера, либо пересекает ее в такой точке Z, что OZ = OH.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Используя декартовы координаты, найти ординаты у центров
О, G, N, Н равнобедренного треугольника с вершинами (0, 10),
(±6, -8).
2. Если АВСН— ортоцентрический четырехугольник (см. 1.72),
то четыре прямые Эйлера треугольников ВСН, САН, ABH, ABC
пересекаются в одной точке.
§ 4. ЦЕНТРАЛЬНО-ПОДОБНОЕ ВРАЩЕНИЕ
И ЦЕНТРАЛЬНО-ПОДОБНАЯ СИММЕТРИЯ
Когда фигура увеличивается так, что она
сохраняет свою форму, каждая прямая, принадлежа-
щая ей, остается прямой и каждый угол остается
равным самому себе. Все части фигуры
увеличиваются одинаково. Если одна фигура является
увеличенной копией другой, говорят, что эти
фигуры подобны. Степень расширения, необходимая
для того, чтобы сделать одну фигуру равной
другой, называется коэффициентом подобия фигур.
Отношение длин двух отрезков, принадлежащих
одной из фигур, равно отношению двух
соответствующих отрезков другой фигуры.
У. К. Клиффорд (W. К- Clifford, 1845-1879),
Mathematical Papers, стр. 631.
Подобием (или преобразованием подобия) называют
преобразование, которое сохраняет отношение длин
отрезков. Другими словами, отрезок АВ переходит в
отрезок А'В\ такой, что
где \i — постоянное положительное число (одно и тоже
для всех отрезков), которое называют коэффициентом
подобия. Из этого определения следует, что треугольник
переводится в подобный треугольник, а произвольный

116
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОВИЯ
(ГЛ. 5
угол в равный (быть может, противоположно
ориентированный) угол. Частным случаем подобия,
соответствующим ц=1, является движение. Другим частным
случаем является гомотетия 0(±\i).
Менее известно центрально-подобное вращение (или
поворотное расширение, рис. 62), представляющее собой
произведение центральной гомотетии
(центрально-подобного преобразования) 0{\л) и вращения вокруг точки О.
А*
Рис. 62. Рис. 6J.
Еще один вид подобия — это центрально-подобная
симметрия (рис. 63)—произведение гомотетии 0(\х) и
симметрии относительно прямой, проходящей через точку О.
В обоих случаях неподвижная точка О называется
центром преобразования подобия. При этом без
ограничения общности можно использовать лишь только
гомотетию с положительным коэффициентом \х. В самом
деле, произведение гомотетии O(ji) и вращения вокруг
точки О на угол 0 совпадает с произведением гомотетии
0(—|i) и вращения вокруг точки О на угол 8 + я;
произведение гомотетии 0((i) и симметрии относительно
прямой т, проходящей через О, совпадает с
произведением гомотетии 0(—\х) и симметрии относительно
прямой, проходящей через точку О перпендикулярно к
прямой т. Центрально-подобная симметрия имеет две
взаимно перпендикулярные неподвижные прямые,
которые естественно называть ее осями.
Ясно, что (ср. 3.11):
5.41. Произвольный треугольник ABC переводится в
любой подобный ему треугольник А'В'С единственным
преобразованием подобия, которое будет собственным

f 51 СОБСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ 117
или зеркальным в зависимости от того, совпадают или
не совпадают ориентации треугольников ABC и А'В'С\
Другими словами, преобразование подобия полностью
определяется заданием образов любых трех данных не-
коллинеарных точек. Например, треугольник СВР,
используемый при доказательстве теоремы Пифагора
(рис. 5, стр. 23), переводится в треугольник ACF
центрально-подобным вращением, а именно, произведением
(АС\
-Qg\ и вращения на 90° вокруг точки С;
треугольник ABC переводится в треугольник ACF (на
том же чертеже) центрально-подобной симметрией,
осями которой являются биссектрисы внешнего и
внутреннего углов в треугольнике при вершине А.
Ту же мысль можно сформулировать по-другому:
Произвольный отрезок А В переводится в любой
другой отрезок А'В' в точности двумя преобразованиями по-
добия: одним собственным и одним зеркальным.
В §§ 5 и 6 этой главы мы докажем следующее
утверждение, аналогичное 3.51:
5.42. Любое собственное преобразование подобия
является либо параллельным переносом, либо центрально-
подобным вращением. Любое зеркальное
преобразование подобия является либо скользящей симметрией,
либо центрально-подобной симметрией.
§ 5. СОБСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ
Мы приступаем к доказательству того, что любое
собственное преобразование подобия, не являющееся
параллельным переносом, имеет неподвижную точку.
Случай гомотетии (которая во всех случаях, в
частности при любом по знаку коэффициенте, является
собственным подобием) рассмотрен в теореме 5.13. Если
же собственное преобразование подобия отлично от
гомотетии, то должна существовать по крайней мере одна
прямая, которая преобразуется в непараллельную ей
прямую. Пусть С — точка пересечения такой прямой АБ
и ее образа А*В* (рис. 64), Пусть, далее, второй точкой
пересечения окружностей А А'С и ВВГС является
точка О (если С является точкой касания, то мы считаем

118
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
[ГЛ. 5
точку О совпадающей с С). Треугольники А ВО и А'В'О
(которые могут вырождаться в тройки коллинеарных
точек), как легко видеть, собственно подобны. Так как
они имеют общую вершину О, их можно совместить с
Рис. 64.
помощью центрально-подобного вращения с центром в
точке О (Кэзи [1], стр. 180; Ф ордер [3], стр. 16;
(ср. Перепелкин [1], стр. 241; Я г л ом [1], стр. 111)).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что представляет собой произведение двух
центрально-подобных вращений?
2. Рассмотрим снова собственное подобие, которое переводит
отрезок АВ в А'В'. Пусть D —-точка пересечения прямых АА' и
ВВ'. Пусть второй точкой пересечения окружностей ABD. и A'B'D
является точка О. Тогда треугольники АВО, А'В'О собственно
подобны. Следовательно, все четыре окружности АА'С, ВВ'С, ABD и
A'B'D, проходят через одну точку (Б экер [1], стр. 110). Как нужно
видоизменить чертеж, если прямые АА' и ВВ' окажутся
параллельными?
§ 6. ЗЕРКАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ
Прежде чем доказывать вторую половину теоремы
5.42, мы покажем, что
Любое зеркальное преобразование подобия, отличное
от скользящей симметрии, имеет неподвижную точку.
Рассмотрим данное зеркальное подобие, имеющее
отличный от единицы коэффициент \х. Это преобразование
представляет собой произведение гомотетии P{\i) с
центром в произвольной точке Р и некоторого зеркального
движения. Согласно теореме 3.51, такое движение мож-

§6] ЗЕРКАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ 119
но представить в виде произведения осевой симметрии и
параллельного переноса. Но, в силу теоремы 5.13,
произведение гомотетии Р(\х) и параллельного переноса
представляет собой некоторую новую гомотетию Q(m-).
Таким образом, данное преобразование подобияпредста-
вляет собой произведение гомотетии Q(fi) и симметрии
Рис. 65.
относительно некоторой прямой, скажем, относительно
прямой га (рис. 65). Пусть О — некоторая точка
перпендикуляра QN к прямой га; пусть, далее,
QO = x и QN = c.
Наше преобразование подобия переводит точку О в
точку прямой QN, удаленную от точки Q на расстояние
2с — \хх. Приравнивая это выражение х, мы получаем,
что при
точка О будет неподвижной.
Отсюда сразу следует, что данное преобразование
подобия является центрально-подобной симметрией, так
как его можно представить в виде произведения
гомотетии О (pi) и симметрии относительно прямой,
проходящей через точку О и параллельной прямой га, или в
виде произведения гомотетии 0(—(л) и симметрии
относительно прямой, проходящей через точку О и
перпендикулярной к прямой га.

120
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
[ГЛ. 5
Этим завершается доказательство теоремы 5.42 (ср.
Кэзи [1], стр. 186; Л а клан [1], стр. 134; Джонсон
[1], стр. 27; (Перепел кин [1], стр. 243; Яглом [1],
стр. 112)). Однако нам представляется интересным
упомянуть об одном свойстве осей центрально-подобной
симметрии. Пусть некоторая точка Л переводится этим
преобразованием в точку Л', а точка А'—в точку А"
(рис. 65). Прямая АА\ которая пересекает оси в точках
At и Л2, преобразуется в прямую А'А", которая
пересекает оси в точках А[ и А2. Из теоремы, обратной
теореме pons asinorum (§ 3, гл. 1), следует, что
A'Ai = A'Al = [iAAu А'А2 = А'А'2 = \аАА2.
Так как первая ось пересекает прямую АА' между
точками А и А\ мы можем сказать, что точка Л4 делит
отрезок АА' внутренним образом, а точка Л2 — внешним
Рис. 66.
образом в отношении 1 : \i. Проделав такие же
рассуждения для точки В, мы приходим к следующему
простому построению (рис. 66):
Пусть АВ, А'В' — два данных неравных отрезка, и
пусть точки А{ и Л 2 делят отрезок А А' внутренним и
внешним образом в отношении АВ : А'В\ а точки В4
\\ В2 делят таким же образом отрезок ВВ'. Тогда
прямые AiBi и А2В2— оси центрально-подобной симметрии,
которая переводит отрезок АВ в отрезок А'В'.

§ 61 ЗЕРКАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ 121
[Между прочим из этого следует, что прямые A{Bi
и А2В2 перпендикулярны.]
Объединяя теоремы 5.41 и 5.42, мы видим, что
Произвольный треугольник ABC преобразуется в
произвольный подобный, но не равный ему треугольник
А'В'С единственным центрально-подобным вращением
или центрально-подобной симметрией.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть две карты одной и той же страны в разных масштабах
начерчены на кальке и наложены друг на друга. Тогда существует
в точности один пункт страны, который на обеих картах
изображается одной и той же точкой. [Конечно, одну из карт могли повернуть,
прежде чем наложить на вторую.] (Лаклан [1], стр. 137, 139.)
2. Если все точки Р прямой АВ переходят при подобии во
все точки Р' прямой А'В\ то точки, делящие отрезки РР' в
отношении АВ : А'В' (внутренним или внешним образом), либо все
различны и коллинеарны, либо все совпадают друг с другом.
3. Если S — зеркальное подобие, то S2 — гомотетия.
4. Что представляет собой произведение а) двух центрально-
подобных симметрии, б) центрально-подобного вращения и
центрально-подобной симметрии?
5. Описать преобразование, записываемое в полярных
координатах следующим образом:
(r,e)->0ir,e + a),
и преобразование, записываемое в декартовых координатах так:

ГЛАВА 6
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
Эта глава показывает, как евклидову геометрию, в
которой основную роль играют прямые и плоскости,
можно расширить до круговой геометрии, в которой эта
роль переходит к окружностям и сферам. Мы увидим,
как достаточно понятное утверждение о том, что прямые
и плоскости представляют собой «окружности и сферы
бесконечного радиуса», можно заменить искусственным
утверждением, утверждающим, что прямые и
плоскости— это окружности и сферы, проходящие через
некоторую «идеальную» точку, называемую «бесконечно
удаленной точкой». В § 9 этой главы мы кратко
рассмотрим еще более необычную эллиптическую
геометрию, которая является одной из знаменитых
«неевклидовых» геометрий.
§ 1. ИНВЕРСИЯ (СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ)
Возможно ли, что все великие ученые прошлого
в действительности лишь играли — играли в игру,
правила которой составлены не людьми, а
богом? ... Когда мы играем, мы не задаемся
вопросом — почему мы играем? — мы просто играем.
Игра не подчиняется никакому моральному
кодексу, за исключением того странного кодекса,
который составляют правила цгры... Бесполезно
искать в научной литературе каких-либо намеков
на мотивировку. А что касается странного
морального кодекса, которого придерживаются
ученые, то что может быть более странным, чем
абстрактное представление об истине в мире,
полном тайн, лжи и запретов... Предлагая вашему
вниманию мысль о том, что человеческий ум
достигает наибольших высот тогда, когда он
играет — я сам играю, и это дает мне сознание
того, что в моих словах есть доля истины.
Дж. Л. Сайндж (J. L. Syndge, род. 1897), Hermathcna
19, 1958, стр. 40.
Все рассмотренные нами преобразования являются
подобиями, которые переводят прямые в прямые и углы

§ I] ИНВЕРСИЯ (СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ) 123
в равные им углы. Преобразование, называемое
инверсией, которое впервые рассматривал Л. Дж Магнус в
1831 году*), в одном отношении сходно с
преобразованиями подобия, по отличается от них в другом: оно
переводит углы в равные им углы, но некоторые прямые
преобразуются в окружности. Подобно симметриям
относительно прямой или точки инверсия также
является симметрией (т. е. имеет порядок 2). Подобно
симметрии относительно прямой, инверсия имеет
бесконечно много неподвижных точек, но эти точки заполняют
не прямую, а окружность; поэтому инверсию часто
называют «симметрией относительно окружности». Центр
окружности неподвижных точек является особой точкой
преобразования инверсии — он вовсе не имеет образа!
Пусть Р — некоторая точка, не совпадающая с
центром О данной окружности радиуса k. Инверсную Р
точку Р' (т. е. образ точки Р при инверсии) мы определим
следующим образом. Эта точка лежит на луче ОР,
причем ее расстояние от центра О удовлетворяет
соотношению
OP-OP' = k2.
Точку О называют центром инверсии, а данную окруж-
-ность — окружноетью инверсии; квадрат k2 радиуса
окружности инверсии называется степенью инверсии.
Ясно, что инверсия полиостью определяется заданием
окружности инверсии, или центра и степени инверсии.
Из этого определения следует, что инверсной к
точке Р' будет сама точка Р. Далее, всякая точка,
лежащая вне окружности инверсии, преобразуется в точку,
лежащую внутри окружности, а каждая внутренняя
точка (за исключением ее центра О) — во внешнюю
точку. Сама окружность инверсии неподвижна, причем
даже точечно-неподвижна; последнее означает, что
каждая ее точка неподвижна. Любая прямая, проходящая
через точку О, неподвижна, но не точечно-неподвижна
(Я г лом [2], стр. 177).
*) Инверсия встречается еще в трактате Аполлония Пергского
(Ш в. до н. э.) «О плоских геометрических местах» (см. Pappi
Alexandrini Collectionis quae supersunt, изд. F. Hultsch, т. II, Berlin,
1878, стр. 663—665),

124
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
[I7L 6
Построим инверсную точку к данной точке Р
(отличной от О), лежащей внутри окружности инверсии.
Пусть Т — один конец хорды окружности инверсии,
проходящей через точку Р перпендикулярно к ОР, как это
показано на рис. 67. Тогда касательная к окружности
инверсии, проведенная в точке Г, пересекает прямую ОР
вне окружности, в искомой
т точке Р'. В самом деле, так
как прямоугольные
треугольники ОРТ, ОТР' подобны и
ОГ=/г, то
ОР к
Рис. 67.
k ~ ОР' '
Построим инверсную
точку к данной точке Р',
лежащей вне окружности
инверсии. Пусть Т — одна из
точек пересечения окружности инверсии с окружностью,
построенной на ОРу как на диаметре (рис. 67). Тогда
искомая точка Р является основанием перпендикуляра,
опущенного из точки Т на ОР'.
Если OP > y k, инверсную точку к точке Р легко
построить одним циркулем, без использования линейки.
Пусть окружность с центром Р и радиусом РО
пересекает окружность инверсии в точках Q и Q'. Тогда Р' —
вторая точка пересечения окружностей с центрами Q
и Q\ проходящих через точку О. [Это легко увидеть из
рассмотрения подобных треугольников POQ и QOP'.]
6.11*). Произведение инверсий с общим центром О
и радиусами k и k' окружностей инверсии представляет
I k' \2
собой гомотетию О (ji), где jli = 1-^-1 .
Чтобы доказать это, заметим, что если применить
данное произведение инверсий к точке Р, то она перейдет
*) Для того чтобы сделать это утверждение точным, надо
дополнительно еще условиться считать, что произведение инверсий
переводит в себя центр инверсий (не имеющий образа ни при
одной из инверсий); см. также § 4 этой главы

§2] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОКРУЖНОСТИ J25
в точку Р" (на луче ОР), причем
ОР X ОР' = £2, ОР' X ОЯ" = k'2
и, следовательно,
OP" / k' \2
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пользуясь одним циркулем, построить вершины правильного
шестиугольника.
2. Пользуясь одним циркулем, построить такую точку В, что
отрезок ОБ в два раза длиннее данного отрезка ОЛ.
3. Пользуясь одним циркулем, построить точку, инверсную
точке, расположенной на расстоянии -тг k от центра О окружности
инверсии. Как построить одним циркулем точку, инверсную точке,
расположенной сколь угодно близко к точке О?
4. Пользуясь одним циркулем, разделить пополам данный
отрезок.
5. Пользуясь одним циркулем, разделить данный отрезок на три
равные части Как одним циркулем разделить отрезок на данное
число равных частей?
Замечание. Эти задачи относятся к геометрии циркуля,
которую независимо друг от друга развивали Г. Мор в Дании (1672)
и Л. Маскерони в Италии (1797). Более подробную историю этой
геометрии см. у П и д о ([1], стр. 23—25) или у Куранта и
Робби нса ([1], стр. 214—220).
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОКРУЖНОСТИ
Сколь счастлива окружности судьба,
Когда, минуя перпендикуляр,
Касательной лобзаньем пробужденный,
Касается в восторженном порыве
Центральной точки, воплощенья сути
Моей, — о счастье! О сладкий миг!
И чтобы определить меня, всего
Трех точек хватит, сколь я ни прекрасна.
Кристофер М о р л е й (род. 1890).
Две окружности называют ортогональными, если они
пересекаются под прямым углом, т. е. если в точках
пересечения радиус одной окружности является
касательной к другой (рис. 68).
Из предложения Евклида (III. 36) (см. стр. 23)
следует, что произвольная окружность, проходящая через

125
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
[ГЛ. в
пару инверсных точек относительно некоторой
окружности, является неподвижной: окружность инверсии делит
ее на две дуги, которые при инверсии переходят друг в
друга. Более того, такая окружность ортогональна к
окружности инверсии и каждая окружность,
ортогональная к окружности инверсии, неподвижна в этом смысле.
Через пару инверсных точек можно провести целый
пучок окружностей (бесконечно много), и все они
ортогональны к окружности инверсии. Следовательно,
Рис. 68.
6.21. Точка, инверсная к данной точке Р, — это
вторая точка пересечения любых двух окружностей,
проходящих через точку Р и ортогональных к окружности
инверсии.
Из предыдущих замечаний вытекает простое решение
задачи о проведении через данную точку Р окружности
(или прямой), ортогональной к двум данным
окружностям. Пусть Л и ?2 — точки, получаемые из точки Р
инверсиями, порождаемыми двумя данными
окружностями. Тогда окружность РР\Рг (или прямая,
проходящая через эти три точки, если они окажутся коллинеар-
ными) ортогональна к двум данным окружностям.
Если точки О и С — центры двух ортогональных
окружностей со и у»как на Рис- 68, то окружность,
построенная на ОС, как на диаметре, проходит через точки
пересечения окружностей со и у. Обозначим эти точки Т
и U. Любая другая точка этой окружности лежит внутри
одной из окружностей и вне другой. Из этого следует*
что если а и b — две перпендикулярные прямые, прохо-

$ Щ ОБРАЗЫ ПРЯМЫХ II ОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ ИНВЕРСИИ 127
дящие соответственно через точки О и С, то либо
прямая а касается окружности у, а прямая Ь касается
окружности со, либо а пересекает у, а Ь лежит вне со,
либо а лежит вне уу а Ь пересекает со.
§ 3. ОБРАЗЫ ПРЯМЫХ И ОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ ИНВЕРСИИ
Мы видели, что инверсия переводит прямую,
проходящую через точку О, в себя. А что происходит с
другими прямыми? Пусть А — основание перпендикуляра,
опущенного из точки О на прямую, не проходящую
через О. Пусть, далее, А' — точка, инверсная к точке Л,
Рис. 69.
а Р' — точка, инверсная некоторой другой точке Ру
лежащей на рассматриваемой прямой (см. рис. 69, на
котором для простоты не изображена окружность
инверсии). Так как
ОРX OP'^W-^OA X ОА\
то треугольники ОАРу OPfAr подобны и прямая АР
переводится в окружность с диаметром ОА\ поскольку
эта окружность представляет собой множество точек, из
которых отрезок ОАг виден под прямым углом. Таким
образом, любая прямая, не проходящая через точку О,
переводится в окружность, проходящую через точку О,
и наоборот.
Наконец, выясним, что происходит с окружностями,
не проходящими через точку О. Пусть Р —
произвольная точка такой окружности с центром С, и пусть
прямая ОР пересекает эту окружность также в точке Q.

128
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
[ГЛ.4
Согласно предложению Евклида (111.35), произведение
P^OPXOQ
не зависит от положения точки Р на окружности.
Следуя Якобу Штейнеру (1796—1862), это произведение
называют степенью точки О относительно окружности. Она
положительна, когда точка О лежит вне окружности,
равна нулю, когда точка О лежит на окружности, и ее
естественно считать отрицательной, когда точка О
лежит внутри окружности (так как отрезки ОР и OQ в
«этом случае направлены в разные стороны). Пусть
гомотетия О (—) преобразует данную окружность и ее
радиус CQ в другую окружность (или может быть в ту
Рис. 70.
же самую) и ее радиус DP', который параллелен CQ
(рис. 70; ср. с рис. 60 на стр. 113), так что
OPf __ OP __ k2
OQ ~~ ОС ~ р #
Поскольку OPxOQ = p, то мы получаем после
перемножения
OPXOP' = k\
Таким образом, точка Р' является инверсной к точке
Р и данная окружность с центром С переходит при
инверсии в окружность с центром D. [Точка D, вообще
говоря, не является инверсной к точке С]
Таким образом, мы доказали, что окружность, не
проходящая через точку О, переходит при инверсии в
другую окружность, также не проходящую через точ-

I 31 ОБРАЗЫ ПРЯМЫХ И ОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ ИНВЕРСИИ 129
ку О, или, быть может, в ту же самую окружность. По*
следняя возможность осуществляется в двух случаях:
1) когда данная окружность ортогональна к
окружности инверсии, так что p = k2 и гомотетия является
тождественным преобразованием; 2) когда данная
окружность совпадает с окружностью инверсии, так что
р = —k2 и гомотетия является центральной симметрией.
Если число р положительно (см. левую половину
рис. 70), т. е. точка О лежит вне окружности с
центром С, эта окружность ортогональна к окружности с
центром О и радиусом Yf> т- е- первая окружность
остается неподвижной при инверсии, задаваемой второй
окружностью. В итоге мы представим данную инверсию
в виде произведения этой новой инверсии, которая
переводит точку Р в точку Q и гомотетии Of—], которая
переводит точку Q в точку Р'. Если число р
отрицательно (см. правую половину рис. 70), точки Р и Q
переводятся друг в друга при помощи «антиинверсии»,
т. е. произведения инверсии и симметрии относительно
центра инверсии (Фордер [3], стр. 20) *).
При рассмотрении движений и других
преобразований подобия мы различали собственные и зеркальные
преобразования по действию их на треугольники. Так
как нас интересует только ориентация, треугольники
можно заменить описанными вокруг них окружностями.
В этом случае деление на собственные и зеркальные
преобразования удастся распространить также и на
инверсии (и произведения инверсий), которые переводят
окружности в окружности. Вместо треугольников мы
используем здесь окружности, причем не произвольные, а
«малые», т. е. не содержащие внутри себя точки О,
которые переходят при инверсии также в «малые»
окружности. Обращаясь снова к левой половине рис. 70, мы
замечаем, что точки Р и Q описывают окружности с
центром С в противоположных направлениях, тогда как
Q и Р' описывают две окружности в одном и том же
*) «Антиинверсию» — произведение инверсии с центром О и
степенью k2 и симметрии относительно О — чаще называют также
инверсией с центром О и отрицательной степенью —k2\
окружности инверсии инверсия с отрицательной степенью не имеет*

130
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
[ГЛ.'6
направлении. Таким образом, точка Р и инверсная к ней
точка Р' движутся в противоположных направлениях, т. е.
Инверсия является зеркальным преобразованием.
Из этого следует, что произведение четного числа
инверсий будет собственным преобразованием. Один
пример такого рода нам уже известен: произведение
инверсий с общим центром является гомотетией.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть даны две неравные непересекающиеся окружности.
Эти окружности переходят друг в друга при некоторой инверсии
с центром в одном из их центров подобия (§ 2 гл. 5). В случае
двух неравных пересекающихся окружностей существуют две
инверсии с центрами в обеих центрах подобия. Как обстоит дело в случае
двух равных пересекающихся окружностей?
2. Объяснить действие инверсора Поселье (рис.71). Этот
инструмент, изобретенный А. Поселье (A. Peaucellier) в 1864 году,
предназначен для получения инверсного образа данной фигуры. Он
состоит из четырех равных стержней, соединенных шарнирно в углах
ромба АРВР' и двух равных (более длинных) стержней,
соединяющих две противоположные вершины ромба А и В с закрепленной
Рис. 71.
Рис. 72.
точкой О. Если поместить острие карандаша в точку Р\ а острие
иголки в точку Р (или наоборот) и вести последнюю точку по
данной фигуре, острие карандаша начертит ее инверсный образ1. В
частности, если седьмое ребро и второй центр вращения соединены с
инструментом так, что точка Р остается на окружности, проходящей
через точку О, траектория точки Р' будет прямой линией. Это
устройство дает точное решение важной механической задачи о
преобразовании вращательного движения в поступательное (Л э м б [21,
стр. 314; КурантиРоббинс [1], стр. 223—225).
3. Объяснить действие инверсора Гарта (рис. 72). Этот
инструмент, изобретенный в 1874 году Г. Гартом (Н. Hart),
преследует те же самые цели, что и инверсор Поселье. Для него требуется
только четыре стержня, которые соединяются шарнирно в вершинах

§41
КРУГОВАЯ ПЛОСКОСТЬ
131
«самопересекающегося параллелограмма» ABCD (у которого
AB=CD, BC=*DA). Три коллинеарные точки О, Р, Р\ лежащие
соответственно на ребрах АВ, AD, ВС, остаются коллинеарными при
изменении формы этого самопересекающегося параллелограмма.
Этот инструмент, так же как и предыдущий, закреплен в точке О
(Лэмб [2], стр. 315; Курант и Роббинс [1], стр. 225—226).
4. В любом треугольнике вписанная и три вневписанные окруж*
ности касаются окружности девяти точек. [Эта теорема
принадлежит Фейербаху (Feuerbach) *). Одно из многих известных
доказательств приведено в книге Пидо [1], стр. 9—10.]
§ 4. КРУГОВАЯ ПЛОСКОСТЬ
После этого Паяльщик сказал недовольным
тоном: «Я предлагаю приступить прямо к
бесконечности»
Дж. Л. С а й н д ж [2], стр. 131.
Мы видели, что образ данной точки Р при
симметрии относительно прямой (см. рис. 3 на стр. 21)
представляет собой вторую точку пересечения любых двух
окружностей, проходящих через точку Р и
ортогональных к оси симметрии. Мы видели также, что точка,
инверсная данной точке Р, представляет собой вторую
точку пересечения любых двух окружностей,
проходящих через Р и ортогональных к окружности инверсии.
Из-за этой аналогии инверсию иногда называют
«симметрией относительно окружности», а именно,
относительно окружности инверсии (Бляшке [1], стр. 47;
(Яглом [2], стр. 172)). При этом оказывается удобным
расширительно трактовать понятие окружности с тем,
чтобы оно включало также и прямую в качестве
частного (или предельного) случая «как окружность
бесконечного радиуса». В таком случае мы можем сказать,
что любые три точки принадлежат единственной
окружности и что инверсия переводит любую
окружность снова в окружность**).
*) Карл Вильгельм Фейербах (1800—1834) — брат известного
философа Людвига Фейербаха.
**) При таком расширительном понимании слова «окружность»
осевая симметрия (симметрия относительно прямой) обратится в
частный случай инверсии (симметрии относительно окружности);
эта точка зрения целесообразна и в силу большой близости свойств
осевой симметрии, и инверсии.

132
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
[ГЛ. в
В соответствии с новым определением окружности
естественно расширить евклидову плоскость, добавив
к ней «идеальную» бесконечно удаленную точку О',
которая одновременно является общей точкой и общим
центром всех прямых, рассматриваемых как окружности
бесконечного радиуса. Две окружности, имеющие
общую точку, либо касаются, либо имеют еще одну точку
пересечения. Это остается верным, если одну из
окружностей заменить прямой. Если две прямые параллельны,
мы считаем, что они касаются в точке О'. Если же
прямые пересекаются, то их второй точкой пересечения
снова является точка О' (Гильберт и Кон-Фос-
сен [1], стр. 255; (см. также Яглом и Атанасян
[1], стр. 57)).
Теперь мы можем утверждать, что для каждой точки
существует единственная инверсная ей точка. Все
прямые, проходящие через точку О, являются
«окружностями», ортогональными к окружности инверсии. Второй
точкой пересечения этих окружностей является точка (У,
которую таким образом естественно считать
инверсной к точке О. Когда центр О находится в самой точ«
ке О', «окружность» инверсии превращается в
прямую, а инверсия — в симметрию относительно этой
прямой.
Евклидова плоскость, дополненная точкой О',
называется круговой (или «конформной») плоскостью1). На
ней инверсия становится полноправным
«преобразованием» (см. § 3, гл. 2), т. е. взаимно однозначным
отображением множества всех точек (круговой!) плоскости
на себя.
Угол между двумя кривыми в точке их пересечения
естественно определить как угол между касательными
к кривым в этой точке. В этом смысле две
пересекающиеся окружности в обоих точках пересечения
образуют равные углы, так как обе окружности симметричны
относительно их линии центров. Этот факт дает нам
возможность доказать следующее.
1) М. В 6с he г, Bulletin of American Mathematical Society 20,
1914, стр. 194,

Ml
круговая плоскость
133
6.41. Любой угол переводится инверсией в равный
ему угол (или точнее, в равный и противоположно
направленный угол *)).
Мы рассмотрим сначала угол с вершиной в точке Я,
не принадлежащей окружности инверсии. Через такую
точку Р и инверсную ей точку Р' можно провести
окружность так, чтобы направление касательной к этой
окружности в точке Р было данным. Так как угол
определяется двумя направлениями, проведем две
окружности, отвечающие этим направлениям. Эти окружности
являются неподвижными окружностями при инверсии,
поэтому угол между направлениями касательных в
точке Р перейдет при инверсии в угол между
направлениями касательных в точке Р\ Если точка Р принадлежит
окружности инверсии, используем теорему 6.11 и
представим данную инверсию в виде произведения
гомотетии и инверсии с окружностью инверсии,
концентрической исходной и проходящей через точку Р. Так как оба
эти преобразования сохраняют углы, то произведение их
тоже обладает этим свойством.
В частности, прямые углы преобразуются при
инверсии в прямые углы, и, следовательно,
6.42. Ортогональные окружности (иу в частности,
прямые) переходят при инверсии в ортогональные
окружности.
Согласно теореме 6.21, инверсию можно определить
с помощью ортогональных окружностей.
Следовательно, окружность инверсии и пара инверсных точек
переходят при инверсии (с какой угодно другой
окружностью инверсии) снова в окружность инверсии и пару
инверсных точек. Точнее, если инверсия с окружностью
инверсии у переводит точку Р в точку Q, а инверсия
*) Все конформные преобразования (преобразования,
сохраняющие величиьы углов) можно делить на собственные и
зеркальные в зависимости от того, сохраняют ли они направления
(направленных, т. е. рассматриваемых со знаком как в
тригонометрии) углов или нет. Так как направление угла с вершиной в точке
О задается направлением обхода окружающей О малой
окружности, то все собственные движения и преобразования подобия
будут в этом смысле собственными преобразованиями, а
зеркальные движения и преобразования подобия, так же как и
инверсия — зеркальными преобразованиями.

134
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
[ГЛ. 6
с какой угодно окружностью инверсии со переводит у,
Р, Q в у\ Р', Q', то инверсия с окружностью инверсии у'
переводит точку Р' в точку Q'. Важный частный случай
(рис. 73) мы получаем, когда точка Q совпадает с
центром О окружности со, так что точка Q' совпадает с
бесконечно удаленной точкой О'. Тогда Р симметрична
точке О относительно окружности у, а точка Р' является
центром окружности у'.
Другими словами, ес-
^ли инверсия с
окружностью инверсии у пе*
реводит точку О в Р,
а инверсия с
окружностью инверсии со
переводит у и Р в у' и Р\
V то точка Р' — центр
окружности у'.
Рис. 73. Две окружности
либо касаются, либо
пересекают друг друга в двух точках, либо вовсе не имеют
общих точек. В этом последнем случае (когда каждая
из окружностей лежит полностью вне другой, или же
одна находится внутри другой) удобно говорить, что
окружности пропускают друг друга.
Если окружности ai и аг ортогональны к
окружностям Pi и 02, мы можем произвести инверсию с центром
в одной из точек пересечения окружностей ai и р4 и
получить две ортогональные окружности и два
перпендикулярных диаметра, подобно тому, как было отмечено
в конце § 2. Следовательно, либо ai касается о&2 и Pi
касается р2, либо оц пересекается с «2, а Pi пропускает
р2, либо ai пропускает аг, a Pi пересекается с Рг.
§ 5. ПУЧКИ ОКРУЖНОСТЕЙ *)
В этом параграфе мы покинем круговую плоскость и
вновь возвратимся к евклидовой плоскости, что
позволит нам говорить о расстояниях между точками**).
*) Ср. Яглом [2], § 3, гл. II, или Яглом [3], §§ 2—3.
**) На круговой плоскости нельзя определить расстояние
между точками — ведь никакого (конечного) расстояния между
бесконечно удаленной точкой О' и любой другой точкой О не существует.

§5]
пучки окружностей
135
Пусть Р и Р' — точки, симметричные относительно
окружности со с центром О (рис. 74). При инверсии с
окружности инверсии со (при симметрии
относительно со) прямые, проходящие через точку Р\ переходят в
окружности, проходящие через точки О и Р. Множество
таких окружностей называется пучком пересекающихся
Рис. 74.
окружностей или «эллиптическим пучком». В состав
этого пучка входит также прямая ОРР',
рассматриваемая как «вырожденная» окружность или «окружность
бесконечного радиуса». Семейство концентрических
окружностей с центром в точке Р, состоящее из
окружностей, ортогональных к проходящим через точку Р
прямым, переходит при инверсии в пучок
непересекающихся окружностей или гиперболический пучок (на рис. 74
принадлежащие этому пучку окружности обозначены
пунктиром). Эти окружности пропускают друг друга и
ортогональны ко всем окружностям описанного выше пучка
пересекающихся окружностей. Одна из них
вырождается в (вертикальную) прямую, которая является образом
окружности с центром Р, проходящей через точку О.
Своего рода предельным случаем является
положение, когда точки О и Р совпадают (рис. 75). В этом

136
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
[ГЛ. 6
случае мы получаем пучок касающихся окружностей или
параболический пучок, который состоит из окружностей,
касающихся некоторой фиксированной прямой в
фиксированной точке О. Инверсия с центром в точке О
переводит эти окружности в пучок прямых, параллельных
общей касательной пучка. Множество прямых,
ортогональных им, образует .другой пучок такого же типа,
Рис. 75.
который переходит при инверсии в ортогональный
первому пучок касающихся окружностей; при этом снова
каждая окружность первого пучка ортогональна к
каждой окружности второго пучка (Яглом {21, сто,
215—220).
Любые две данные окружности принадлежат к
некоторому пучку окружностей одного из трех описанных
типов. Этот пучок состоит из всех окружностей,
ортогональных к произвольным двум окружностям, к которым
ортогональны две данные окружности. (Другими
словами, соответствующий пучок окружностей состоит из
всех окружностей, ортогональных ко всем окружностям,
к которым ортогональны данные окружности.) Две
пересекающиеся окружности принадлежат к пучку
пересекающихся окружностей (и могут быть переведены ин-

§6]
ПУЧКИ ОКРУЖНОСТЕЙ
137
версией в пересекающиеся прямые); две касающиеся
окружности принадлежат к пучку касающихся
окружностей (и могут быть переведены инверсией в
параллельные прямые); две окружности, пропускающие друг
друга, принадлежат к пучку непересекающихся
окружностей (см. замечание в конце § 4).
Пучок каждого из трех типов содержит одну прямую
(окружность бесконечного радиуса), которая называется
радикальной осью пучка (или любых двух его
окружностей) *). В случае пучка пересекающихся окружностей
эта прямая соединяет две точки, общие всем
окружностям пучка (прямая ОР для окружностей,
изображенных сплошными линиями на рис. 74); в случае пучка
касающихся окружностей эта прямая совпадает с
общей касательной всех окружностей; наконец, в случае
пучка непересекающихся окружностей эта прямая
обращается в перпендикуляр к середине отрезка,
соединяющего две предельные точки пучка (окружности пучка,
имеющие нулевой радиус), являющиеся общими
точками всех окружностей ортогонального к исходному
пучку пересекающихся окружностей.
Прямая центров каждого пучка является
радикальной осью ортогонального ему пучка. Отсюда следует, что
6.51. Если из точки радикальной оси пучка
окружностей можно провести касательные к окружностям
пучка, то все такие касательные имеют одинаковую
длину.
Радикальную ось двух окружностей можно
определить как множество точек, имеющих одинаковую
степень (см. § 3) относительно этих окружностей. Эта
степень равна квадрату касательной, проведенной из точки
оси к любой из окружностей, за исключением того
случая, когда окружности пересекаются< в точках О, Р и
мы рассматриваем точку Л, принадлежащую отрезку
ОР\ в этом случае степень есть отрицательное число,
равное произведению (направленных) отрезков АОхАР.
Из этого следует, что если центры трех
окружностей образуют треугольник, три радикальных оси пар
!) Louis Gaul tier, Journal de VEcole Poly technique 16, 1813,
стр. 147.

138
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
[ГЛ. в
окружностей пересекаются в одной точке. Эту точку
называют радикальным центром трех окружностей; она
имеет одинаковые степени относительно всех трех
окружностей. Если эта степень положительна, то
квадратный корень из нее равен длине касательной,
проведенной из радикального центра к любой из трех
окружностей. В этом случае радикальный центр ^является
центром окружности (с радиусом, равным Yp),
ортогональной ко всем данным окружностям. Но если степень
отрицательна, такой ортогональной окружности не
существует.
На возможность перевода с помощью инверсии двух
произвольных непересекающихся окружностей в
концентрические окружности (за точку О при этом берется
одна из предельных точек
определенного нашими двумя
окружностями пучка) опирается
замечательно простое
доказательство поризма Штейнера1)*
Пусть даны две
(неконцентрические) окружности, одна из
которых расположена внутри
другой. Мы последовательно
чертим окружности,
касающиеся этих окружностей и друг
друга, как на рис. 76. Может
случиться, что кольцо касаю-
Рис. 76. щихся окружностей
замкнется, т. е. последняя из
построенных окружностей коснется первой. Утверждение
Штейнера состоит в том, что, независимо от положения
первой окружности, кольцо либо всегда замыкается,
либо не замыкается никогда. Для того чтобы доказать
это, нужно только произвести инверсию, переводящую
две данные окружности в концентрические, для которых
утверждение Штейнера очевидно.
1) Фор дер [3], стр. 53. См. также Н. S. М. С о х е t е г,
Interlocked rings of spheres, Scrlpta Mathematica 18, 1952, стр. 113—121.
или Я г л о м [2], стр. 199,

§6]
ОКРУЖНОСТЬ АПОЛЛОНИЯ
ш
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если окружность инверсии принадлежит некоторому пучку,
то соответствующая инверсия переводит каждую из остальных
окружностей пучка в другую окружность того же пучка, а каждую
окружность ортогонального пучка в себя.
2. Если окружность инверсии принадлежит пучку
непересекающихся окружностей, то предельные точки этого пучка переходят
друг в друга.
3. Если две окружности имеют две или четыре общие
касательные, то радикальная ось этих окружностей делит пополам все
касательные. Как построить радикальную ось двух окружностей,
которые не имеют общих касательных (т. е. таких, что одна из
окружностей целиком лежит внутри другой)?
4. В какие точки переходят предельные точки пучка
непересекающихся окружностей при инверсии, которая переводит этот пучок
в пучок концентрических окружностей?
5. В поризме Штейнера точки касания соседних окружностей
кольца принадлежат одной окружности, причем симметрия
относительно этой окружности переводит две первоначальные окружности
друг в друга. Будут ли центры окружностей кольца принадлежать
одной окружности?
§ 6. ОКРУЖНОСТЬ АПОЛЛОНИЯ
Аналогия между осевой симметрией и инверсией
подчеркивается решением следующей задачи:
Задача. Найти множество всех таких точек, что
расстояния от каждой из этих точек до двух
фиксированных точек А, А' относятся как 1 : ji, т. е. таких то*
чек Р, что
A'P^iiAP.
Если |я=1, это множество точек, очевидно,
представляет собой перпендикуляр, восставленный к отрезку АА'
в его середине. Симметрия относительно этой прямой
переводит точку А в точку А'. Мы увидим, что для
других значений jn искомое множество точек будет
представлять собой некоторую окружность, причем
окажется, что инверсия, для которой эта окружность является
окружностью инверсии, также переводит точку А в
точку А' (Аполлоний Пергский, 260—190 гг. до н. э.).
Положим \хф\. Пусть Р — n-роизвольная точка, для
которой А'Р = \ьАР, и пусть биссектрисы внутреннего и
внешнего угла треугольника АРА' при вершине Р
пересекают прямую АА' в точках ЛА и Л2 (как это показано

140
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
[ГЛ. 6
на рис. 77, где принято |i = 72). Выберем на прямой АР
точки Е и F так, чтобы прямая А'Е была параллельна
А\Р, а прямая A'F была параллельна Л2Р, т. е.
перпендикулярна к AiP. Так как ЕР>=РА' = РЕ, то мы имеем
AAi _ АР _ АР АА2 _ АР _ АР
АХА' ~ РЕ ~~ РА' ' А'А2 — FP ~ РА' *
[Первый результат представляет собой предложение
(VI. 3) Евклида.] Таким образом, точки Ах и Л2 делят
Рис. 77.
отрезок А А' в отношении 1 : \х внутренним и внешним
образом и положение этих точек не зависит от выбора
точки Р. Так как ZA{PA2 — прямой, точка Р
принадлежит окружности с диаметром /4И2.
Обратно, пусть Ах и А2 — точки, делящие отрезок
АА' в отношении 1 : \i, и Р — произвольная точка
окружности с диаметром АхА%- Тогда мы имеем
АР _ АА{ _ 1 _ АА2 АР
РЕ — АХА' — \х ~ А'А2 ~~~ FP *
Таким образом, FP — PE и точка Р является цент-
тром окружности, описанной около прямоугольного

§6]
ОКРУЖНОСТЬ АПОЛЛОНИЯ
141
треугольника EFA'. Следовательно, РА' — РЕ и
АР _ АР _\
РА' ~~ РЕ ~ \i
(Курт [2], стр. 15; (совсем другое доказательство, тесно
связанное с инверсией — Я гл о м [2], задача 257)).
Покажем, наконец, что симметрия относительно
окружности Аполлония AiA2P переводит точку А в
точку А\ Действительно, если О — центр этой окружности
и k — ее радиус, расстояния а=АО и а'=А'0
удовлетворяют соотношению
а — k АА\ АА2 a~\-k
k — a'~~ ~ЩГ ~~~ "А/А^ ~ а' + k *
откуда
УПРАЖНЕНИЯ
1. Окружности Аполлония одних и тех же точек Л и Л' с
различными значениями \i образуют пучок непересекающихся
окружностей с предельными точками
А и А'.
2. Дана прямая / и две
точки Л и Л', не лежащие на ней.
Найти на / точки Р, для которых
А'Р
отношение -jp- принимает
наименьшее и наибольшее значения.
[Указание: рассмотреть
окружность, проходящую через
точки Л и Л' с центром на прямой
/. Эта задача предложена Н. С.
Мендельсоном (N. S.
Mendelsohn), а указание — Ричардом
Блюмом (R. Blum).]
3. Выразить отношение k/AA'
через ц.
4. Пусть на рис. 77 Е'—
точка пересечения прямых А'Р и
А2Е. Тогда прямая АЕ' параллельна прямым А'Е и Л1Р.
[Указание: симметрия относительно прямой РА2 переводит ЕА в А'Е\
а А2А — в А2Е')
5. В обозначениях рис. 66 (который является частью рис. 78)
окружности, построенные на отрезках А\А2 и В\В2 как на
диаметрах, пересекаются в точках О и О, так что_треугольники ОАВ и
ОА'В' подобны, так же как и треугольники ОАВ и ОА'В\ Из двух
Рис. 78.

142
ОКРУЖНОСТИ И СФСРЫ
[ГЛ. в
преобразований подобия
ОАВ->ОА'В' и ОАВ->ОА'В'
одно является собственным, а другое —зеркальным. В самом деле,
точкз О совпадает с точкой пересечения А\В\ и А2В2> а точка О
принадлежит четырем окружностям АА'С, ВВ'С, ABDt A'B'D (ср.
с упр. 2 в конце § 5 гл. 5; Кэзи [1], стр. 185). Если точка Л'
совпадает с В, то точка О принадлежит прямой АВ' (см. рис. 78).
6. Любую окружность можно перевести # в любую другую не
равную ей окружность бесконечным множеством
центрально-подобных вращений и бесконечным множеством центрально-подобных
симметрии. Множество неподвижных точек (в первом случае)
представляет собой окружность, диаметром которой является отрезок,
соединяющий центры подобия окружностей. [Это множество точек
называется окружностью подобия двух данных окружностей.] Как
обстоит дело в случае двух равных окружностей?
7. Точка, принадлежащая окружности подобия двух данных
окружностей при симметриях относительно этих окружностей,
переходит в две точки, которые симметричны относительно
радикальной оси этих окружностей (Курт [1], стр. 190),
§ 7. КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Заметив, что инверсия является круговым (т. е.
переводящим окружности в окружности) преобразованием
круговой плоскости (включающей бесконечно
удаленную точку), мы естественно задаемся вопросом, как
будет выглядеть самое общее преобразование такого
типа. Мы будем различать два случая, соответственно
тому, является ли бесконечно удаленная точка
неподвижной точкой рассматриваемого преобразования или нет.
В первом случае не только окружности переходят в
окружности, но также прямые переходят в прямые.
Потому из предложения Евклида (III. 21) (см. стр. 22)
можно вывести, что наше преобразование сохраняет
равенство углов, и, следовательно, сохраняет величины
углов, так что треугольник преобразуется в подобный ему
треугольник. Таким образом, преобразование является
подобием (§ 4 гл. 5).
Пусть теперь данное преобразование Т переводит
в бесконечно удаленную точку О7 обыкновенную точку О.
Рассмотрим произведение АГ, где ]\ — инверсия с
центром в точке О (и, скажем, степенью 1). Это
произведение JiT оставляет точку & неподвижной, а
следовательно, является преобразованием подобия. Пусть k2—*

§7]
КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
143
коэффициент подобия, и пусть Л — инверсия с
центром О и степенью k2. Так как, согласно 6.11, произведем
ние JJk представляет собой гомотетию 0(k2)y то
подобие J {Г можно представить в виде /i/^S, где S — уже
движение. Таким образом,
T = JkS,
т. е. преобразование Т можно представить в виде
произведения инверсии и движения.
Объединяя полученные результаты, мы получаем, что
6.71. Любое круговое преобразование круговой
плоскости является либо преобразованием подобия, либо
произведением инверсии и движения.
(Так как всякое движение представляет собой
произведение не более чем трех осевых симметрии (см,
§ 2 гл. 3), а всякое преобразование подобия —
произведение гомотетии (т. е. произведения двух инверсий) и
одной или двух осевых симметрии (см. § 4 гл. 5)), то из
этого следует, что всякое круговое преобразование
представляет собой произведение не более чем четырех
инверсий (при условии, что мы считаем осевую симметрию
частным случаем инверсии; ср. Форд [1], стр. 23).
Произведение двух инверсий (или инверсии и осевой
симметрии) называют эллиптическим, параболическим или
гиперболическим круговым преобразованием, если две
окружности инверсии пересекаются, соответственно
касаются или не имеют общих точек (т. е. в соответствии
с тем, является ли пучок окружностей, ортогональных
данным двум окружностям, пучком непересекающихся
окружностей, пучком касающихся окружностей или же
пучком пересекающихся окружностей). Частными
случаями таких преобразований являются вращение,
параллельный перенос и гомотетия. Самым важным видом
эллиптического преобразования является симметрия
(или инволюция) Мёбиуса, которая в круговой геометрии
играет роль центральной симметрии — это
преобразование представляет собой произведение симметрии
относительно двух ортогональных окружностей (в частности,
произведение симметрии относительно окружности и
симметрии относительно ее диаметра). Любое произведение
четырех инверсий, которое нельзя свести к произведению

144
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
[ГЛ. S
двух инверсий, называется локсодромическим круговым
преобразованием (Форд [1], стр. 20). Согласно
теоремам 5.42 и 3.31, это преобразование представляет собой
либо центрально-подобное вращение, либо произведение
инверсии и скользящей симметрии.
УПРАЖНЕНИЕ
Представление данного кругового преобразования в виде /5
(где J — инверсия, а 5 — движение) единственно. Существует
также единственное представление этого преобразования в виде SJ\
где движение предшествует инверсии. Почему это измененное
произведение содержит то же самое движение S? При каких условиях
будет также /'=/?
§ 8. ИНВЕРСИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Теория инверсии легко переносится с окружностей
на плоскости на сферы в пространстве; в этом нетрудно
убедиться, если рассмотреть пространственные тела,
получающиеся в результате вращения изображенных на
рис. 67, 68, 69, 70 и 73 фигур вокруг линии центров
[ОР или ОЛ, или ОС). Пусть дана сфера с центром О
и радиусом k\ точку, инверсную к данной точке Р
(отличной от О), мы определим как точку Р',
принадлежащую лучу ОР и такую-, что расстояние ОР'
удовлетворяет соотношению
OPxOPr=^k\
Иначе говоря, Р' — вторая точка пересечения трех сфер,
проходящих через точку Р и ортогональных к заданной
сфере, называемой сферой инверсии; ее центр
называется центром инверсии, а квадрат радиуса — степенью
инверсии. Каждая сфера переходит при инверсии в
сферу, если только условиться считать плоскости
«сферами бесконечно большого радиуса» (в плоскости
преобразуются сферы, проходящие через центр инверсии О).
Таким образом, инверсия представляет собой
преобразование кругового (или «конформного») пространства,
которое образуется из евклидова пространства
добавлением к нему одной бесконечно удаленной точки,
принадлежащей всем прямым и плоскостям.
Вращая окружность Аполлония (рис. 77) вокруг
прямой ЛЛ', мы получим сферу Аполлония, которую можно
описать следующим образом:

§<Я
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ
145
6.81. Даны две точки Л, А' и положительное
число \х. Пусть точки Ai и А2 делят отрезок АА' внутренним
и внешним образом в отношении 1 : \х. Тогда сфера с
диаметром А{А2 представляет собой множество всех
точек Я, расстояния от которых до точек А и А'
относятся как 1 : \i.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если инверсия в пространстве с центром О переводит
точку Л в А\ а точку В в В\ то треугольники ОАВ и О В'А' подобны.
2. Пусть в обозначениях упр. 1 О А —а и ОВ~Ь. Тогда
A'Br = ^- АВ.
аЪ
3. При инверсии сохраняется «двойное отношение» четырех
точек
АВ . АС _ A'Br m А'С
BD Г CD "" B'D' : C'Dr
(К э з и [1], стр. 100; (Я г л о м [2], стр. 236)).
4. Две сферы, касающиеся в центре инверсии О,
преобразуются этой инверсией в параллельные плоскости.
5. Пусть а, р, у— три сферы, касающиеся друг друга. Пусть
Oi, о~2, ... — множество сфер, которые касаются последовательно
друг друга и все касаются а, р и у. Тогда сфера о~б касается
сферы ai, так что мы получаем кольцо из шести сфер, окружающее
первоначальное кольцо из трех сфер 1). [Указание: произвести
инверсию с центром в точке касания сфер а и р.]
§ 9. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ
Каким-то непонятным образом, покуда он
(Дэвидсон) передвигался по Лондону, его взор в
точном соответствии с этим передвигался по
поверхности отдаленного острова... Когда я
говорил..., что как-никак, а место видений Дэвидсона
(остров Антиподов) отстоит от нас на восемь
тысяч миль отсюда, он отвечал, что на
бумажном листе две точки могут отстоять одна от
другой на ярд и все-таки могут быть слиты в одну,
если мы сложим лист вдвое.
Г. Дж. Уэллс, Замечательный случай с глазами
Дэвидсона. Фантастика, М., Гослитиздат, 1936, стр. 498.
Пусть точка S — основание перпендикуляра,
опущенного из точки N на плоскость а, как показано на рис. 79.
М Frederick Soddy, The Hexlet, Nature, 138, 1936; стр. 958;
139, 1937, стр. 77.

146
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
[ГЛ. 6
Инверсия (в пространстве) с центром N и степенью
(NS)2 преобразует плоскость о в сферу а', построенную
на NS как на диаметре. Мы видели, что при инверсии
сферы переходят в сферы (или в плоскости);
следовательно, окружности, которые являются линиями
пересечения двух сфер, переходят при инверсии в окружности
Рис. 79. Рис. 80.
(или в прямые). В частности, окружности,
принадлежащие плоскости а, перейдут в окружности,
принадлежащие сфере а', а прямые плоскости а перейдут в
окружности, проходящие через точку N. Каждой точке Р
плоскости а соответствует некоторая точка Pf сферы g', а
именно, вторая точка пересечения прямой NP со
сферой о'. Обратно, каждой точке Р' сферы а\ за
исключением точки N, соответствует точка Р, в которой прямая
NP' пересекает плоскость а. [Исключение можно
устранить, если считать плоскость о круговой плоскостью,
бесконечно удаленная точка которой является инверсной
к точке N.]
Описанная конструкция, позволяющая с помощью
инверсии установить взаимно однозначное соответствие
между точками круговой плоскости и точками сферы,
называется стереографической проекцией. Она служит
одним из самых простых способов отображения
изображающего земной шар глобуса на плоскость. Так как
углы при этом сохраняются, малые острова переводятся
на плоскость с сохранением формы, хотя масштаб
изменяется в зависимости от широты.

§9]
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ
147
Другой способ состоит в использовании гномониче-
ской (или центральной) проекции, в которой центр
проектирования находится не в точке IV, а в точке О —
центре сферы, как на рис. 80. Каждая точка Р плоскости а
определяет прямую ОР, соединяющую ее с точкой О.
Этот диаметр пересекает сферу в двух противоположных
точках Pi и Р2, которые проектируются, таким образом,
в одну и ту же точку Р.
Каждая прямая m на плоскости а аналогичным
образом определяет плоскость От. Эта диаметральная
плоскость пересекает сферу по большому кругу.
Обратно, каждому большому кругу на сфере (за исключением
«экватора», плоскость которого параллельна а)
соответствует прямая на плоскости а. Исключегие можно
устранить, добавив к евклидовой плоскости бесконечно
удаленную прямую (являющуюся образом экватора); все
точки этой прямой называются бесконечно удаленными
точками и представляют собой образы пар
диаметрально противоположных точек экватора. Таким образом, все
прямые, параллельные некоторой данной прямой,
проходят через одну и ту же бесконечно удаленную точку,
а прямые различных направлений проходят через
различные бесконечно удаленные точки, лежащие на
бесконечно удаленной прямой. [Эта идея принадлежит
Кеплеру (Kepler) и Дезаргу (Desargues).]
Если считать бесконечно удаленную прямую
равноправной со всеми другими прямыми плоскости, то
полученная при этом (расширенная добавлением одной
бесконечно удаленной прямой) плоскость называется
проективной плоскостью (Ко кете р [2]; (см. также Я г-
лом [2], стр. 56; Яглом и Атанасян [1], стр. 112)).
Две параллельные прямые на такой плоскости
пересекаются в бесконечно удаленной точке и обычная прямая
пересекается с бесконечно удаленной прямой в
бесконечно удаленной точке. Следовательно,
6.91. Любые две прямые на проективной плоскости
пересекаются в одной точке.
Вместо того чтобы рассматривать сечения прямых и
плоскостей,, проходящих через центр сферы, мы можем
более симметрично (хотя и более абстрактно)
определить точки и прямые проективной плоскости как сами

148
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
[ГЛ. а
прямые и плоскости трехмерного евклидова
пространства, проходящие через точку О. Тогда предложение
6.91 перестает казаться удивительным: оно просто
утверждает, что любые две плоскости, проходящие через
точку О, пересекаются по прямой, проходящей через О.
Равносильным образом мы можем сказать, что, по
определению, прямые проективной плоскости — это
большие круги сферы, которые пересекаются в паре
диаметрально противоположных точек. Тогда точки
проективной плоскости представляют собой пары диаметрально
Рис. 81.
противоположных точек сферы, которые абстрактно
отождествляются. Это абстрактное отождествление ярко
описано Г. Дж. Уэллсом в его коротком рассказе
«Замечательный случай с глазами Дэвидсона» (внезапная
катастрофа исказила поле зрения Дэвидсона так, что
вместо окружающих его предметов он видел вещи,
находящиеся в диаметрально противоположном месте Земли).
Если круговая плоскость получается из сферы с
помощью стереографической проекции, расстояния
неизбежно искажаются; но углы, под которыми пересекаются
окружности, сохраняются. В этом смысле круговая
плоскость обладает «частичной» метрикой: углы на ней
измеряются обычным способом, но о расстояниях мы
говорить не можем (Грауштейн [1], стр. 377, 388, 395).
С другой стороны, гномоническая проекция дает
возможность, если мы пожелаем, определить на
проективной плоскости полную метрику: расстояние между
точками Р и Q на плоскости а определяется как угол POQ
(в радианной мере), а угол между прямыми тип

ьп
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ плоскость
149
определяется как угол между плоскостями От и On.
[Это соответствует обычному измерению расстояний и
углов на сфере, которое применяется в сферической
тригонометрии.] Мы получим, таким образом,
эллиптическую плоскость1), или, точнее, проективную плоскость
с эллиптической метрикой (Ко к с тер [3], глава IV;
Э. Т. Бэлл [2], стр. 302—311; Бахман [1], стр. 21;
(ср. также Яглом [2], стр. 337)).
Так как точки эллиптической плоскости
сопоставлены парам точек сферы единичного радиуса, общая
площадь которой равна 4я, общая площадь
эллиптической плоскости (в соответствии с наиболее естественным
определением «площади») равна 2я. Также общая длина
прямой (представляемой «большим полукругом»)
равна я. Упрощение, которое получается в результате
использования эллиптической плоскости вместо сферы,
хорошо иллюстрируется задачей о вычислении площади
сферического треугольника, стороны которого являются
дугами больших кругов. Рис. 81 изображает эти круги,
сначала в стереографической проекции, а затем в гно-
монической проекции. Три прямые ВС, АС, АВ
разбивают эллиптическую плоскость на четыре треугольные
области. Одна из них представляет собой данный
треугольник Д с углами Л, В, С; остальные три обозначены
на рис. 81 буквами а, р, у. На сфере мы имеем,
конечно, восемь областей. Две прямые СЛ, АВ разбивают
плоскость на две лунки, площади которых
пропорциональны смежным углам А и я — А и, следовательно, равны
в точности 2Л и 2(я — А). Лунка с углом А разбивается
третьей прямой на две области Д и а. Следовательно,
Д+а=2А
') Название «эллиптическая» может ввести читателя в
заблуждение. Оно не подразумевает никакой прямой связи с кривой,
называемой эллипсом, а основано на некоторой отдаленной
аналогии. Центральное коническое сечение называется гиперболой или
эллипсом в соответствии с тем, имеет ли оно две «бесконечно
удаленные точки» (отвечающие двум асимптотам) или не имеет таких
«точек» (не имеет асимптот). Аналогично этому неевклидову
плоскость называют гиперболической (гл. 16) или эллиптической,
смотря по тому, содержат ли ее прямые по две бесконечно
удаленные точки, или не содержат ни одной такой точки.

150 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ 11 Л. 6
Аналогично Д+р = 2В и А + у = 2С. Складывая эти три
равенства и вычитая из них тождество
Д-f-a-f- P + y = 2h,
мы получим формулу «сферического избытка» Жира-
р а (Girard) *):
6.92
д = Л + £ + С — л,
которая в равной мере справедлива для сферы и для
эллиптической плоскости.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Две окружности на эллиптической плоскости могут иметь
не более четырех точек пересечения.
2. Площадь р-угольника на эллиптической плоскости равна
избытку суммы его углов над суммой углов р-угольника на евклидо*
вой плоскости.
*) Albert Girard, Invention nonvelle en I'algebre, Amsler*
dami, 1629,

ГЛАВА 7
ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ
В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Эта глава является повторением глав 3 и 5 для
трехмерного случая ((ср. Перепелкин [2], гл. XVI и XVII,
где, впрочем, терминология отличается от принятой
здесь)).
Предварительно мы должны были рассмотреть
окружности и сферы, поскольку мы воспользуемся
сферой Аполлония (6.81) для построения неподвижных
точек произвольного подобия. В § 5 мы получим простое
доказательство хорошо известной кинематической
теоремы о том, что любое движение представляет собой
винтовое перемещение. В § 6 мы увидим, что любое
преобразование подобия (за исключением винтового
перемещения и скользящей симметрии, которые не имеют
неподвижных точек) можно рассматривать как
частный случай центрально-подобного вращения в
пространстве.
Большинство пространственных движений хорошо
нам известно из повседневной жизни. Когда Вы идете
по прямой, Вы подвергаетесь параллельному переносу.
Когда Вы поворачиваете за угол, Вы совершаете
вращение, а когда Вы поднимаетесь по винтовой лестнице —
бинтовое перемещение. Преобразование, которое
сопоставляет Вам Ваше отражение в обычном зеркале,
представляет собой симметрию относительно плоскости;
соединяя его с вращением или с параллельным переносом,
можно получить вращательную симметрию и
скользящую симметрию.

152
ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ
[гл. г
§ 1. СОБСТВЕННЫЕ И ЗЕРКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Конгруэнтность бывает либо собственной — она
переводит левый винт в левый и правый в
правый, либо несобственной или рефлексивной —
такая конгруэнтность переводит левый винт в
правый и наоборот. Собственные
конгруэнтности — это такие преобразования, которые...
связывают положения точек твердого тела до и
после движения.
Г. В ей ль [1], стр. 43—44.
Аксиомы конгруэнтности, образец которых дает 1.26,
могут быть естественным образом перенесены из
планиметрии в стереометрию. В пространстве движение
(«конгруэнтность» Вейля) по-прежнему определяется как
произвольное преобразование, сохраняющее длину, так
что отрезок PQ преобразуется в равный ему отрезок
P'Q\ Наиболее известными примерами движений
являются вращение вокруг данной прямой на данный угол
и параллельный перенос в данном направлении на
данное расстояние. В первом случае все точки оси остаются
неподвижными, а во втором неподвижных точек вовсе
не существует, если отбросить случай параллельного
переноса на нулевое расстояние, представляющего
собой тождественное преобразование. Симметрия
относительно плоскости (или отражение от плоскости)
представляет собой специальный вид движения, который
имеет целую плоскость неподвижных точек. Можно
легко доказать следующий аналог теоремы 2.31; нам надо
лишь вместо двух окружностей рассмотреть три сферы:
7.11. Если движение имеет три неколлинеарные
неподвижные точки, то оно является либо тождественным
преобразованием, либо симметрией относительно
плоскости.
Если два тетраэдра АВСР и АВСР' симметричны
относительно их общей грани, мы можем «ломаную»,
образованную тремя ребрами АВ, ВС, СР, рассматривать
как род простейшего винта, а ее образ, образованный
ребрами АВ, ВС, СР', — как противоположно
ориентированный винт: если один из них правый, то другой
левый. Модель легко изготовить из двух кусков твердой
проволоки с прямоугольными изгибами в точках В и С.
Таким образом, идею «ориентации» можно перенести

§ 1] СОБСТВЕННЫЕ И ЗЕРКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ШЗ
из двумерного пространства в трехмерное: мы можем
сказать, имеют ли два данных равных тетраэдра
одинаковую или противоположную ориентацию. В
дальнейшем мы увидим, что в первом случае один из
тетраэдров может быть передвинут (наподобие винта в
гайке) в положение, которое до этого занимал второй
тетраэдр.
Это различие возникает в аналитической геометрии,
когда мы производим преобразование координат. Если
О —начало координат, а точки Ху У, Z лежат на
единичных расстояниях от него в положительных направлениях
координатных осей, ориентация тетраэдра OXYZ
определяет, будет ли система координат правой или левой.
[Преобразование координат определяет движение,
которое преобразует каждую точку (х, уу г) в точку с теми
же координатами в новой системе.]
Так как движение в пространстве полностью
определяется образами четырех вершин произвольно
заданного тетраэдра, то
7.12. Произвольный тетраэдр ABCD переводится в
произвольный равный ему тетраэдр A'B'C'D'
единственным движением ABCD -+A'B'C'D', которое будет
собственным или зеркальным в зависимости от того,
совпадают или нет ориентации тетраэдров ABCD и A'B'C'D'.
[Некоторые авторы, например Вейль, говорят
«собственное или несобственное» движение вместо
«собственного и зеркального»; (другие предпочитают
говорить о движениях «первого» и «второго» рода).]
Трехмерным аналогом теоремы 3.12, как легко
видеть, является следующее предложение:
7.13. В пространстве любой данный треугольник
можно совместить с любым равным ему треугольником в
точности двумя движениями — одним собственным и
одним зеркальным.
Аналогом теоремы 3.13 будет следующая теорема
(Кокетер [1], стр. 36):
7.14. Каждое движение представляется в виде
произведения не более чем четырех симметрии
относительно плоскостей; если же движение имеет неподвижную
точку, то максимальное число симметрии можно
сократить до трех,

154
ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ
[ГЛ. 7
Так как симметрия относительно плоскости изменяет
ориентацию тетраэдра, то движение будет собственным
или зеркальным в соответствии с тем, является ли оно
произведением четного или нечетного числа симметрии:
2 или 4 в первом случае, 1 или 3 — во втором. В
частности, собственное движение, имеющее неподвижную
точку, является произведением в точности двух симметрии
относительно плоскостей, а так как две плоскости
симметрии в этом случае должны иметь общую точку, то
они имеют целую общую прямую. Следовательно,
7.15. Любое собственное движение, имеющее непод*
важную точку, представляет собой вращение.
Как показал Эйлер в 1776 году, имеет место также
следующая теорема (очевидно, следующая из теоремы
7.15):
7.16. Произведение вращений вокруг двух прямых,
проходящих через точку О, представляет собой
вращение вокруг третьей прямой, проходящей через эту же
точку.
УПРАЖНЕНИЕ
Произведение вращений на угол я вокруг двух прямых,
пересекающихся под углом а, представляет собой вращение на угол 2а*
§ 2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Одним из самых важных зеркальных движений
является центральная симметрия (или отражение от
точки), которая переводит точку Р в такую точку Р\ что
середина отрезка РР' совпадает с фиксированной
точкой О. Это движение можно представить в виде
произведения симметрии относительно трех взаимно
перпендикулярных плоскостей, проходящих через точку О.,
Приняв эти плоскости за координатные, т. е. за
плоскости х = 0, у = 0, z=0, мы видим, что центральная
симметрия (с центром в начале координат) переводит точку
(х, у, z) в точку (—х, —у, —z).
(В кристаллографической литературе центральную
симметрию принято называть «центральной инверсией»,
однако это название является довольно неудачным: все
время приходится следить за тем, чтобы не спутать это

§ 3] ВРАЩЕНИЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС 155
преобразование с инверсией в пространстве в смысле
§ 8 гл. 6.)
Центральная симметрия в пространстве во многом
аналогична движению плоскости, имеющему то же
название. Но мы должны помнить, что так как 3 —
нечетное число, центральная симметрия в пространстве
является зеркальным движением, а на плоскости —
собственным движением. В некоторых отношениях
в пространстве роль центральной симметрии на
плоскости играет осевая симметрия или симметрия
относительно прямой, т. е. вращение вокруг прямой на угол я
{«отражение от прямой»), которое является собственным
движением (Л э м б [1], стр. 9).
УПРАЖНЕНИЕ
Что представляет собой произведение симметрии относительно
трех взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через одну
точку?
§ 3. ВРАЩЕНИЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Теорию параллельного переноса, построенную в § 2
гл. 3, нетрудно перенести на трехмерный случай, если
определить параллельный перенос как произведение
двух центральных симметрии. Мы видим далее, что один
из двух центров симметрии можно выбирать
произвольно и что вместо центральных симметрии можно брать
осевые симметрии с параллельными осями или
симметрии относительно параллельных плоскостей.
Таким образом, произведение двух симметрии
относительно плоскостей есть либо параллельный перенос,
либо вращение. Последний случай осуществляется
тогда, когда плоскости симметрии пересекаются по
прямой, которая и является осью вращения. В частности,
произведение симметрии относительно двух взаимно
перпендикулярных плоскостей представляет собой
осевую симметрию. Произведение симметрии относительно
двух плоскостей, проходящих через прямую /, совпадает
с произведением симметрии относительно любых двух
других плоскостей, пересекающихся по той же прямой /
и образующих такой же (по величине и направлению!)

156
ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ
[ГЛ. 7
двугранный угол, что и исходные плоскости. Аналогично
произведение симметрии относительно двух
параллельных плоскостей совпадает с произведением симметрии
относительно двух других плоскостей, параллельных
данным и находящихся на таком же расстоянии друг от
друга.
УПРАЖНЕНИЕ
Что представляет собой произведение симметрии относительно
трех параллельных плоскостей?
§ 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ СИММЕТРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ
Три простейших вида движений, а именно, вращение,
параллельный перенос и симметрия относительно
плоскости, объединенные в коммутирующие пары
движений, образуют винтовое перемещение, скользящую
симметрию и вращательную симметрию. Винтовое
перемещение представляет собой произведение вращения и
параллельного переноса вдоль оси вращения. Скользя-
щая симметрия — это произведение симметрии
относительно плоскости и параллельного переноса вдоль
прямой, принадлежащей плоскости симметрии, т. е.
произведение симметрии относительно трех плоскостей, две
из которых параллельны, а третья им перпендикулярна.
Наконец, вращательная симметрия представляет собой
произведение симметрии относительно плоскости и
вращения вокруг прямой, перпендикулярной плоскости
симметрии. Если вращение представляет собой осевую
симметрию, то вращательная симметрия обращается в
центральную симметрию.
Произвольную вращательную симметрию можно
также представить в виде произведения центральной
симметрии и вращения вокруг прямой, проходящей через
центр симметрии. В самом деле, если в состав
вращательной симметрии входит вращение на угол 9, то его
можно рассматривать как произведение вращения на
угол 0 + д (или 0 — я) и осевой симметрии.
Произведение же осевой симметрии и симметрии относительно

*4J
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ СИММЕТРИИ
157
плоскости, перпендикулярной к оси первой симметрии,
представляет собой центральную симметрию. Поэтому
вращательная симметрия является не только
произведением симметрии относительно плоскости и вращения
вокруг перпендикулярной к этой плоскости прямой, но
и произведением центральной симметрии и вращения
вокруг проходящей через центр симметрии прямой. Центр
входящей в состав вращательной симметрии
центральной симметрии называется центром вращательной
симметрии, а ось вращения — осью вращательной
симметрии.
Произвольное зеркальное движение 7\ имеющее
неподвижную точку О, есть либо симметрия относительно
проходящей через точку О плоскости, либо
произведение трех симметрии относительно проходящих через
точку О плоскостей. Произведение 77 этого движения
и центральной симметрии / с центром О является
собственным движением с неподвижной точкой О, т. е.
просто вращением 5 вокруг некоторой проходящей через
точку О прямой. Следовательно, данное зеркальное
движение представляет собой вращательную симметрию:
Г = 5Гг = 5/.
Таким образом,
7.41. Любое зеркальное движение, обладающее не-
подвижной точкой, представляет собой вращательную
симметрию.
Так как три плоскости, не имеющие общей точки,
будут обязательно перпендикулярны к одной плоскости
а, то все плоскости, параллельные а, будут
неподвижными плоскостями для произведения симметрии
относительно наших трех плоскостей и в каждой такой
плоскости произведение симметрии относительно наших трех
плоскостей совпадет с произведением симметрии
относительно прямых, по которым наши плоскости пересекаются
с данной плоскостью. Таким образом, мы можем
применить теорему 3.31 и заключить, что
7.42. Любое зеркальное движение, не имеющее
неподвижных точек, представляет собой скользящую
симметрию.

о
ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ
[ГЛ. 7
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что представляет собой произведение симметрии
относительно трех плоскостей, проходящих через прямую?
2. Пусть ABC и А'В'С— два равных треугольника, лежащих
в различных плоскостях. Рассмотрим плоскости, проходящие через
середины отрезков AA't ВВ\ СС и перпендикулярные к этим
отрезкам. Если эти три плоскости имеют в точности одну общую
точку О, то треугольник ABC переводится в А'В'С
вращательной симметрией с центром в точке О. [Указание: если ABC
переводится в А'В'С, то три плоскости должны иметь общую
прямую.]
3. Каждое зеркальное движение можно представить в виде
произведения двух симметрии — относительно плоскости и
относительно прямой.
§ 5. ВИНТОВОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
Единственным не рассмотренным пока случаем
является собственное движение без неподвижных точек.
Пусть S — любое собственное движение (имеющее
неподвижные точки или не имеющее их), которое
переводит произвольную точку А в точку А'\ пусть, далее,
/?i — симметрия относительно плоскости, переводящая
точку А в точку А/ и наоборот. Тогда произведение
RiS — это зеркальное движение, для которого точка А'
является неподвижной. Согласно 7.41, это есть
вращательная симметрия 7?2#з#4, т. е. произведение вращения
R2R3 и симметрии 7?4 относительно плоскости, причем
плоскость симметрии /?4 перпендикулярна к оси
вращения 7?2#з. Так как вращение можно представить в виде
произведения двух симметрии относительно плоскостей
многими различными способами (§ 3), мы можем
выбрать плоскости симметрии R2 и R3 так, чтобы
первая из них была перпендикулярна к плоскости
симметрии /?i.
Так как плоскости симметрии R2 и R3 обе
перпендикулярны к плоскости симметрии Ru то имеем
S ==: /?l^?2АЗА4»
т. е. движение S — произведение двух вращений RiR2 и
#з#4, каждое из которых является осевой симметрией
(Веблен и Юнг [2], стр. 318):

§5]
ВИНТОВОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
159
7.51. Любое собственное движение представимо в
виде произведения двух осевых симметрии.
Если собственное движение имеет неподвижную
точку, то оно является вращением, которое можно
различными способами представить в виде произведения
симметрии относительно двух пересекающихся прямых. Если
же неподвижных точек нет, то либо оси симметрии
параллельны и в этом случае произведение симметрии
представляет собой параллельный перенос, либо оси
скрещиваются наподобие двух
противоположных ребер тетраэдра. Две
скрещивающиеся прямые всегда
принадлежат паре параллельных
плоскостей, а именно, плоскостей,
проходящих через одну из прямых
параллельно другой.
Так как осевая симметрия
является произведением симметрии
относительно произвольных двух
взаимно перпендикулярных плоско- рИс. 82.
стей, пересекающихся по ее оси,
две осевые симметрии RiR2 и R3Rt со
скрещивающимися осями можно заменить осевыми симметриями
R[R'2 и R'3R'r где плоскости симметрии R'2 и R'A
параллельны, а остальные две плоскости симметрии
перпендикулярны к ним (рис. 82).
Следовательно,
R{R2R,R4 = R[R'2RsRl = R[RsR2RI
причем перестановка двух средних симметрии возможна
потому, что осевую симметрию ^^з можно также,
представить в виде R'ZR2. Таким образом, мы записали
произвольное собственное движение в виде винтового
перемещения, а именно, выразили его как произведение
вращения Rffi и параллельного переноса R'2RA в
направлении оси вращения. [Эта ось пересекает обе
скрещивающиеся прямые под прямым углом, и
следовательно, по ней измеряется кратчайшее расстояние между
прямыми.]

160
ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ
[ГЛ. 7
Другими словами,
7.52. Каждое перемещение (т. е. собственное
движение) представляет собой вращение, или параллельный
перенос, или винтовое перемещение.
Другую трактовку этого вопроса см.: Том сон и
Тэт [1], § 102.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Какое движение переводит каждую точку (х> уу г)
пространства в точку
а) (х, у, —z), б) (—у, х, г), в) (х, у, г-Н), г) (■—(/, ху г+1),
д) (—*, у, z+1), е) (—у, х, —z)?
2. Произведение осевых симметрии со скрещивающимися
осями, образующими прямой угол, является винтовым перемещением, а
именно произведением симметрии относительно линии кратчайшего
расстояния двух прямых и параллельного переноса вдоль этой
линии на расстояние, в два раза больше кратчайшего расстояния
между скрещивающимися прямыми (Л э м б [I], стр. 11, упр. 6).
§ 6. ЦЕНТРАЛЬНО-ПОДОБНОЕ ВРАЩЕНИЕ
Можно очень просто доказать, что всякое
евклидово преобразование подобия, отличное от дви-
о/сения, имеет неподвижную точку.
Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен [I], стр. 336.
Гомотетия в евклидовом пространстве определяется
точно так же, как и на плоскости. В самом деле,
результаты § 1 гл. 5 можно дословно перенести на случай
трехмерного пространства. Также и результаты §2 гл. 5
применимы к сферам в такой же степени, как и к
окружностям: рис. 60 можно рассматривать как плоское
сечение двух неравных сфер с центрами С, С и центрами
подобия О, Oi. Произвольная сфера переводится в
равную ей сферу параллельным переносом и центральной
симметрией.
Однако при рассмотрении вопроса об ориентации
появляется существенное различие между плоским и
пространственным случаем. На плоскости любая гомотетия
является собственным преобразованием подобия, а в
пространстве (центральная) гомотетия О(ц) будет
собственным или зеркальным преобразованием в
зависимости от знака \х: если \i положительно, то гомотетия 0(\i)
является собственным, а если \i отрицательно —
зеркальным преобразованием подобия. [Например, центральная

§6]
ЦЕНТРАЛЬНО-ПОДОБНОЕ ВРАЩЕНИЕ
161
симметрия О (—1), как мы уже отмечали, является
зеркальным преобразованием.] Таким образом, в
пространстве знак \х играет весьма существенную роль, а не
является просто вопросом соглашения.
В пространстве, так же как и на плоскости, любая
фигура переводится в подобную ей фигуру
преобразованием подобия, частными случаями которого являются
движение и гомотетия. Перенося естественным образом
планиметрическую терминологию на случай геометрии в
пространстве, мы можем теперь говорить о центрально-
подобном вращении, понимая под этим произведение
вращения вокруг прямой / (оси преобразования) и
гомотетии с центром в точке О оси / (центре
преобразования). Плоскость, проходящая через точку О
перпендикулярно к прямой /, является неподвижной
плоскостью центрально-подобного вращения, которое
действует на ней как плоское «центрально-подобное
вращение» § 4 гл. 5. В том частном случае, когда вращение
представляет собой осевую симметрию, существует
бесконечно много других неподвижных плоскостей, а
именно, все плоскости, проходящие через прямую 1\ в любой
такой плоскости наше преобразование действует как
центрально-подобная симметрия (§ 4 гл. 5).
Пусть центрально-подобное вращение представляет
собой произведение вращения на угол а и гомотетии
0(jx), где точка О принадлежит оси вращения.
Придавая аиц следующие значения, мы получим известные
частные случаи центрально-подобного вращения:
а
0
я
а
я
0
а
0
и
Ц
Подобие
1
Тождественное преобразование
Симметрия относительно прямой
Вращение
Симметрия относительно плоскости
Симметрия относительно точки
Вращательная симметрия
Гомотетия (центральная)
Мы замечаем, что эта таблица включает все виды
движений, как собственных, так и зеркальных, за

162
ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ
[ГЛ. 7
исключением винтового перемещения и скользящей
симметрии (не имеющих неподвижных точек). Но еще более
неожиданным оказывается то, что за этими двумя
исключениями любое преобразование подобия является
центрально-подобным вращением.
Роль подобных треугольников играют теперь
подобные тетраэдры. Очевидно, что
7.61. Произвольный тетраэдр ABCD переводится в
любой подобный ему тетраэдр А'В*CD' единственным
подобием ABCD-+A'B'C'D', которое будет собственным
или зеркальным в зависимости от того, совпадают или
не совпадают ориентации тетраэдров A BCD и А'В'CD'.
Другими словами, преобразование подобия полностью
определяется образами четырех произвольно заданных
некомпланарных точек, и мы имеем следующее
обобщение теоремы 7.13:
7.62. Произвольный треугольник ABC переводится в
подобный ему треугольник A'B'Cf в точности двумя
подобиями — одним собственным и одним зеркальным.
Важным шагом в доказательстве того, что любое
преобразование подобия, не являющееся движением,
представляет собой центрально-подобное вращение,
является следующая теорема:
7.63. Любое преобразование подобия, не являющееся
движением, имеет в точности одну неподвижную точку.
В двумерном случае мы сумели найти эту
единственную неподвижную точку с помощью простого
построения. Однако в трехмерном случае, по-видимому, легче
всего воспользоваться соображениями непрерывности
(которые можно применить и в случае плоскости).
Так как неподвижная точка любого преобразования
является также неподвижной точкой обратного
преобразования, мы можем без ограничения общности
рассматривать подобие
ABCD-* A'B'C'D',
где ABCD —-бол ьший из двух данных тетраэдров
(если бы он был меньшим, мы изменили бы обозначения
и рассматривали вместо данного обратное
преобразование). Если точки А к А' совпадают, то мы уже имеем
неподвижную точку. Если же они не совпадают, то пусть

§6]
ЦЕНТРАЛЬНО-ПОДОБНОЕ ВРАЩЕНИЕ
163
наше подобие переводит точку Л' в точку А", А" в А"'
и т. д.; пусть, далее, \л есть коэффициент подобия, так
что A'B' = iiAB, где 0<|я<1. Тогда так как
А'А' = \iAA', АГАШ = цА'А',
то
ЛЛ' + Л'Л"+Л'7Г + ... =
и последовательность точек Л, Л', Л'', А'",... сходится
к пределу О — предельной точке, обладающей тем
свойством, что внутри любой сферы с центром О (и сколь
угодно малым радиусом) содержится бесконечно
много членов нашей последовательности точек. Так как
рассматриваемое подобие преобразует
последовательность Л, А', А",... в последовательность Л', А", А'",...
с тем же самым пределом, оно переводит предел О в
себя; следовательно, О — искомая неподвижная точка.
Наконец, не может существовать более одной
неподвижной точки, так как если бы их было две, отрезок
между ними оставался бы неподвижным, в то время как
он должен перейти в отрезок, длина которого
получается из длины исходного отрезка умножением на меньшее
единицы число \х.
Установив существование неподвижной точки, мы
можем построить ее как одну из двух точек пересечения
трех сфер. Но если бы мы не доказали ее
существование, то была бы не исключена возможность того, что
эти сферы не пересекаются. Построение состоит в
следующем.
Рассмотрим два подобия, собственное и зеркальное,
которые преобразуют данный треугольник ABC в
подобный ему (но не равный) треугольник А'В'С. Пусть
А'В'—)хАВ, где \х — положительное число, отличное от1.
Пусть точки Ах и Л2 делят отрезок ААГ внутренним и
энешним образом в отношении 1 : \ху а точки fli, В2 и
Си С2 делят таким же образом отрезки ВВ' и СС
Рассмотрим теперь три сферы с диаметрами AxAlyBJ$2 и CiC2.
Это будут «сферы Аполлония» (теорема 6.81); напри-*
мер, первая из них представляет собой множество

164
ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ
[ГЛ. 7
точек, расстояния от которых до точек А и А' находятся
в отношении 1 : |л. Любая точка О, для которой
OA' = ixOA, OB' = ixOB, OC' = \iOC,
должна принадлежать всем трем сферам. Мы уже
установили существование двух таких точек. Следовательно,
сферы действительно пересекаются, что дает нам
возможность определить неподвижные точки (центры) двух
преобразований подобия.
Рис. 83.
Теперь мы подготовлены к доказательству нашей
основной теоремы:
7.64. Любое преобразование подобия представляет
собой либо винтовое перемещение, либо скользящую
симметрию, либо центрально-подобное вращение.
Случай движения уже рассмотрен; поэтому нам
достаточна ограничиться преобразованиями подобия,
отличными от движений. Пусть снова заданное
преобразование подобия умножает все расстояния на
положительное число ц, отличное от 1. Если О —
неподвижная точка рассматриваемого преобразования, то
подобие, очевидно, может быть представлено в виде
произведения гомотетии 0(±\i) и движения, для которого

§ 71 КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 165
точка О также является неподвижной. Выбрав для ц
знак + или — в соответствии с тем, является ли данное
подобие собственным или зеркальным, мы можем быть
уверены, что оставшееся движение будет собственным.
По теореме 7.15 это должно быть вращение. Таким
образом, наше подобие является произведением гомотетии
с центром О и вращения вокруг прямой, проходящей
через О, т. е. центрально-подобным вращением, что и
требовалось доказать.
В § 7 гл. 3 мы использовали параллельный перенос
в качестве образующейся в геометрическом
представлении циклической группы С*, (которая представляет
собой свободную группу с одной образующей). Мы видим
теперь, что та же самая абстрактная группа имеет более
интересное представление, в котором образующей служит
центрально-подобное вращение. Тридцать элементов этой
группы можно увидеть в раковине моллюска Nautilus
((см. рис. 83, заимствованный из книги Томсо-
на [2])).
УПРАЖНЕНИЯ
1. В какую точку переходит точка (ху уу г) под действием
общего центрально-подобного вращения, центр которого совпадает с
началом координат, а ось — с осью г?
2. Найти ось и угол поворота для подобия
(л\ //, z) -> (fi-г, \ixy jlu/).
§ 7. КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Соображения, использованные в § 7 гл. 6, легко
переносятся на трехмерный случай и дают следующий
аналог1) теоремы 6.71:
7.71. Любое круговое преобразование в
пространстве*) является либо преобразованием подобия, либо
произведением инверсии (в пространстве) и движения.
l) Rene Lagrange, Produits d'inversions et metrique confor-
me, Cahiers scientifiques, 23, Gauthiers — Villars, Paris, 1957, стр.7.
*) To есть преобразование кругового пространства,
переводящее каждую окружность (к числу которых причислены также и
прямые) снова в окружность, а сферу — в сферу.

166
ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ
[ГЛ. 7
(Имеет место также и следующая более сильная
теорема.
7.72. Любое конформное преобразование в
пространстве (т. е. преобразование, сохраняющее углы) является
либо преобразованием подобия, либо произведением
инверсии и движения (ср. ниже стр. 56).
Теорема 7.72 следует из того неожиданного
обстоятельства, что любое конформное преобразование в
пространстве является круговым преобразованием (то,
что любое круговое преобразование в пространстве
является конформным, вытекает, например, из
теоремы 7.71) *).)
УПРАЖНЕНИЕ
Любое круговое преобразование в пространстве
представляется в виде произведения г симметрии относительно плоскости и s
инверсий, где
r<4, s<2, r + s<5.
*) Теорема, аналогичная 7.72, имеет место также и в геометрии
на плоскости (см. ниже стр. 220). Однако существует весьма
примечательное различие между теоремой 7.72 и ее планиметрическим
аналогом. В то время как в родственной 7.72 планиметрической
теореме речь может идти лишь о конформных преобразованиях
всей (круговой) плоскости, теорема 7.72 вытекает из того, что
конформное преобразование любой (сколь угодно малой!)
области трехмерного пространства, переводящее ее в другую область
трехмерного пространства, обязательно является круговым (см.
теорему Лиувилля на стр. 516 и ее доказательство).

ЧАСТЬ
ГЛАВА 8
КООРДИНАТЫ
Несколько фигурирующих в предыдущих главах
упражнений использовали метод координат; они были
предназначены для читателей, знакомых с
аналитической геометрией. Другие читатели могли пропустить эти
упражнения с тем, чтобы вернуться к ним после
изучения настоящей главы. Помимо прямоугольных
декартовых координат, мы рассмотрим здесь косоугольные и
полярные координаты. (Полярное уравнение эллипса
используется, в частности, в теории планетных орбит.)
После краткого упоминания о некоторых специальных
видах кривых мы изложим в общих чертах идущие еще
от Ньютона приложения дифференциального и
интегрального исчислений к задачам о вычислении длины
дуги и о нахождении площади плоской фигуры.
Наиболее интересным в параграфе, посвященном трехмерному
пространству, является неожиданное свойство
поверхности, имеющей форму баранки, — тора.
§ 1. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
Хотя идеи, на которых основан метод аналитиче^
ской геометрии, детски просты, тем не менее
этот метод настолько мощен, что, применяя его,
рядовые семнадцатилетние мальчики могут
решать задачи, которые поставили бы в тупик
величайших из греческих геометров — Евклида,
Архимеда и Аполлония.
Э. Т. Бэл л (1883—1960) [11, стр. 2L
Аналитическую геометрию можно охарактеризовать
как представление точек я-мерного пространства
упорядоченными системами п (или более) чисел — координатами
2

168
КООРДИНАТЫ
[ГЛ. 8
этих точек. Например, любую точку Земли можно
полностью охарактеризовать широтой, долготой и высотой
над уровнем моря.
Хорошей иллюстрацией этой ситуации в одномерном
случае является термометр. Пусть некоторой точке
прямой ставится в соответствие число 0; положительные
целые числа 1, 2, 3,... располагаются на равных рас-
стояних друг от друга с одной стороны от 0,
отрицательные целые числа —1, —2, —3,... — с противоположной
стороны, а дробные числа вставляются между ними
естественным образом. Смещение точки х' относительно
другой точки х есть положительное или отрицательное
число хг — х.
В двумерном случае положение точки на плоскости
может быть определено ее расстояниями до двух
фиксированных перпендикулярных прямых — осей. Это
понятие можно усмотреть уже у Архимеда Сиракузского и
Аполлония Пергского, живших более двух тысяч лет
назад, и даже у древних египтян; но впервые эта идея
была систематически развита двумя французами:
Пьером Ферма (его задачу о треугольниках мы решили в
§ 8 гл. 1) и Рене Декартом (1596—1650). В их
формулировках расстояния могли быть только положительными
числами или нулем. Важная идея о том, что одно или
оба эти расстояния можно также считать и
отрицательными, принадлежит сэру Исааку Ньютону (1642—1727).
Г. В. Лейбниц (1646—1716) первым назвал эти
расстояния «координатами».
У У [Англичане пишут
coordinates, немцы — Коог-
(Х>У) dinaten, а французы —
coordonnees]
Для некоторых
целей с таким же успехом
можно использовать не-
перпеидикулярные оси,
наподобие тех,
которые изображены на правой половине рис. 84. Мы
можем получить произвольную точку (л:, у), исходя от
начала координат О, где пересекаются оси, и
откладывая расстояние х на оси ОХ, а затем откладывая рас-

§11
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
169
стояние у на прямой, параллельной оси OY. Говорят,
что ось х выражается уравнением у=0, потому что
каждая точка (х, 0) оси х удовлетворяет этому уравнению;
аналогично л; = 0 — уравнение оси у. Что касается любой
другой прямой, проходящей через начало координат, то
рассмотрение гомотетичных треугольников показывает,
что отношение — постоянно для всех точек такой
прямой; таким образом, любая прямая, проходящая через
начало координат (0, 0), может быть выражена
уравнением ax + by = 0.
Чтобы получить уравнения прямой, не проходящей
через начало координат, возьмем на ней точку (хи У\)-
В новых координатах х', у\ полученных перенесением
начала координат из точки (0, 0) в точку (хи */i),
прямую можно представить уравнением ax'-\-by' = 0. Так
как х'=х— х^ и у' = у — Уи то любая прямая в
первоначальных координатах выражается уравнением а(х—х{) +
+ b(y—yi) =0 или
8.11
ax-\-by -f-£ = 0.
Таким образом, каждая прямая определяется линейным
уравнением и каждое линейное уравнение определяет
прямую линию. В частности, прямая, которая отсекает
на осях отрезки р к q, имеет уравнение.
8.12
в самом деле, это уравнение линейное, и ему
удовлетворяют обе точки (р, 0) и (0, q). Две прямые,
представленные в форме 8.11, параллельны, если они имеют одно
и то же отношение а/b (включая случай, когда 6 = 0
для обеих прямых; в этом случае они параллельны оси
у). Точка пересечения двух непараллельных прямых
получается как решение системы двух уравнений
относительно х и у. Если ЬфО, уравнение 8.11 можно разре-
ДЛГ + С т?
шить относительно у и получить у — т—. Более
общо, точки, координаты которых удовлетворяют
уравнению F(x,y) =0 или #=/(*)» можно построить, придавая

170
КООРДИНАТЫ
[ГЛ. 8
некоторые удобные для нас значения абсциссе х и
вычисляя соответствующие значения ординаты у. Этот
процесс дает особенно хорошие результаты, если уравнение
кривой записано в форме y=f(x). В других случаях мы
предпочитаем использовать параметрические уравнения,
выражая х и у как функции одного переменного (или
параметра) /. Например, если точка Pi имеет
координаты (хи у{), то любая прямая, проходящая через Pi,
имеет параметрические уравнения
8.13
x = xx + Xt; y = yx-\-Ytt
где числа X r Y зависят от направления прямой.
Иногда ради симметрии один параметр заменяют
двумя, ti и /2, связанными вспомогательным уравнением.
Например, произвольная точка Р= (*,*/) на прямой,
проходящей через точки Р4 и Р%, задается системой
X=tiXl + t2X2, # = *i«/i +/202» tl + t2—\.
Эта точка Р, делящая Р\Р% в отношении /2: /t —
центроид (или центр тяжести) системы, состоящей из
массы ti, находящейся в точке Рь и массы /2, находящейся
в точке Р2. Эта точка может находиться также вне
интервала с концами Pi(/2 = 0) и P2(/i = 0). В этом случае
одно из чисел /2 или /i будет отрицательно, но они по-
прежнему удовлетворяют условию /4-/2=1; при этом
естественнее называть их «электрическими зарядами», а
не «массами».
Для задач, включающих в себя расстояние между
двумя точками или угол между двумя прямыми, как
правило, рекомендуется использовать прямоугольные
оси, в которых расстояние от начала координат до
точки (л:, у) выражается квадратным корнем из х2+у2, а
расстояние PiP2 равно квадратному корню из
(х1—х2)2 + (у1—у2)2.
Умножив выражение l=ax+by + c на соответствующее
число, мы можем нормировать общее уравнение прямой
/=0 так, чтобы было a2 + b2=l.
Записывая равенство /=0 в виде
(x-xl + 2atl)2+(y-yl + 2bll)2 = (x-xl)2 + (y-ylf,

§п
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАГЫ
171
где li = axi + byi + cy мы видим, что оно выражает
геометрическое место точек, равноотстоящих от точек
(х1 — 2alv уг — 2W0 и (хи ух)\
другими словами, прямая / = 0 служит осью симметрии
этих двух точек. Отсюда следует, что основание
перпендикуляра, опущенного из точки Pi на прямую / = 0,
совпадает с точкой (*i — alu #i — bl\) и что расстояние от
Р\ до прямой равно ±U (при условии, что а2+62=1),
В частности, расстояние от начала координат до прямой
/=0 равно ±с.
Геометрическим местом точек, отстоящих от начала
координат на расстояние единица, является окружность
которая имеет параметрические уравнения
jt = cos 0, t/ = sin0
или, если заменить 0 на / = tg-^ 0,
х — 1 + *2 ' У— \+t2%
УПРАЖНЕНИЯ
1. Используя общие декартовы координаты, точку (лг, у) мож«
но перевести в точки
(— х, — */) —центральной симметрией (§ 1 гл. 5),
(fjur, \iy) — центральной гомотетией,
(х-\-а, у) — параллельным переносом вдоль оси х.
2. Используя прямоугольные декартовы координаты, точку
(х, у) можно перевести в точки
(х, —У) — симметрией относительно оси х,
(У* х) — симметрией относительно прямой х=у,
(— У> х) — вращением на 90° вокруг начала координат,
(лг + а, —у) — скользящей симметрией (осью которой служит
ось х),
([хх, — \iy) — центрально-подобной симметрией (§ 6 гл. 5).
3. Пусть Mij — середина отрезка PiPj. Для любых четырех
точек Pi, Рг, Рз, Pi середины отрезков М12М34, Mi3M24 и МцМ2г
совпадают.

172
КООРДИНАТЫ
[ГЛ. 8
§ 2. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
Выведение кратчайших путей из основных
принципов охватывает некоторые из красивейших
достижений величайших математиков.
М. Г. А. Н ь ю м 9 н (М. Н. A. Newman, род. 1897).
Mathematical Gazette 43, 1959, стр 170.
В задачах, в которых фигурируют направления,
выходящие из фиксированного начала координат (или
«полюса») О, часто бывает удобным определять точку Рее
полярными координатами (г, 0), где г — расстояние ОР и
в — угол, который составляет ОР с начальной прямой
ОХ, которую можно отождествить с осью х
прямоугольных декартовых координат. Точка (л 6), конечно,
совпадает с точкой (г, 0 + 2ял) для любого целого п.
Иногда оказывается удобным использовать также
отрицательные значения г, считая, что точка (г, В) совпадает
с точкой (-—г, 0 + я).
Если дано декартово уравнение кривой, мы можем
вывести ее полярное уравнение, подставив
8.21
x = rcos8, t/=rsin0.
Например, единичная окружность х2+*/2=1 имеет
полярное уравнение
(rcos0)2 + (rsin0)2=l,
которое приводится к виду
г=1.
(Положительных значений г достаточно, если мы
допускаем, что 0 принимает все значения от —я до я или от
0 до 2л.) Эта процедура используется в элементарной
тригонометрии, где учащиеся часто испытывают
некоторые трудности в нахождении (и запоминании)
тригонометрических функций тупых и сверхтупых углов.
Рассматривая угол ХОР и полагая ОР=1, мы можем
просто определить его синус и косинус как абсциссу и
ординату точки Я.
Полярные координаты особенно удобны для
описания тех движений и преобразований подобия, которые
имеют неподвижную точку; начало координат в этом

§ 2] ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 173
случае выбирают именно в этой точке. Таким образом,
точку (г, 6) можно перевести в точки
(г, 0 + а) —вращением на угол а,
(г, 0 + я)—центральной симметрией,
(г,—0) —симметрией относительно прямой 0 = 0,
(г, 2а—0) — симметрией относительно прямой 0 = а,
(jir, 0) — центральной гомотетией O(jm),
(\iry 0 + а) — центрально-подобным вращением с
центром в точке О,
(|ir, 2а—0) — центрально-подобной симметрией с
центром О и осью 0 = а.
Кроме того, инверсия с окружностью инверсии r = k (см.
§ 1 гл. 6) переводит точку (г, 0) в точку
(* ■ •)•
Выражения этих преобразований в декартовых
координатах легко получить из выражений их в полярных
координатах, используя формулы 8.21. Например,
вращение на угол а вокруг точки О переводит точку (х, у) в
(х/,(//), где, согласно 8.21,
х' = г cos (0 + а) = г (cos 0 cos а — sin 0 sin а) =
= л: cos а — i/sina,
у' = г sin (0 -f- а) = г (cos 0 sin a -f- sin 0 cos a) =
— x sin a -+- у cos a.
В частности, вращение на 90° переводит точку (лг, у)
в точку (—у,х) откуда следует, что необходимым и
достаточным условием для того, чтобы две точки (#, у) и
(х\ уг) лежали на перпендикулярных прямых,
проходящих через начало координат, является соотношение
8.22
хх' +- уу' — 0.
Преобразование вида
8.23
х' — х cos a — у sin a,
у' =Arsina + t/cosa

174
КООРДИНАТЫ
[ГЛ. 8
можно рассматривать с двух различных точек зрения —
«активной» и «пассивной». При первом подходе мы
считаем, что точка {х, у) сдвигается в новое
положение (л/, */')» т- е- что наши равенства выражают
преобразование плоскости; при втором — что точка, которую
прежде называли (х, у), переименовывается в
(*', */')» т- е- чт0 те же равенства выражают
преобразование координат. Второй подход часто используют для
упрощения уравнений кривых. Например, уравнение
кривой ax2 + 2hxy + by2=l преобразуется в следующее
выражение
а (х cos а — у sin а)2 -f- 2h (х cos а — у sin а) (х sin а +
+ у cos а) + b (х sin a + #cosa)2 = 1,
в котором коэффициент при ху уже равен не 2й, но
2А (cos2 а — sin2 а) — 2 (а — b) cos а sin а =
= 2А cos 2а — (а — b) sin 2а.
Так как это выражение обращается в нуль, когда tg2a =
= ___ b , то первоначальное уравнение может быть
упрощено поворотом осей на некоторый угол се, а именно,
на угол
Площадь треугольника OPiP2, где точка Рг- имеет
полярные координаты (гг-, 9г), мы будем считать
положительной, если 0i<02, и отрицательной, если 8i>82.
Приняв это соглашение, можно найти следующее выражение
для площади треугольника:
у rxr2 sin (Э2 — 6i) == J r\r2 (s*n ^2 cos ^1 — cos ^2 $m 0i)
или, используя декартовы координаты
8.24
"2 (*i</2 — *2</l) = 2" I *2 #2 Г
Для нахождения площади произвольного
треугольника Р^Рз выберем новые оси, параллельные ОХ и OY
и проходящие через точку Р3. Так как новые координаты

S3]
ОКРУЖНОСТЬ
175
ТОЧКИ Pi (/=1 ИЛИ 2) — (Xi — X3l i)i—yz)>
такого треугольника Р1Р2Р3 равна
8.25
' хх ух
то площадь
х\ — хг У\ — Уз
х2 — хз У 2 — У г
Х2
Уч
Уъ
Следовательно, необходимым и достаточным условием
того, чтобы точки Рь Р2 и Рз принадлежали одной
прямой, является равенство нулю этого определителя
третьего порядка. Уравнение прямой РАР2 можно также
получить из этого условия, если вместо (x3, уг) написать (х, у).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Используя известные тригонометрические формулы, получить
выражение квадрата расстояния между двумя точками, имеющими
полярные координаты (rb 0i), (гг, 62).
2. Найти полярные координаты середины отрезка, зная
полярные координаты его концов.
3. Найти полярное уравнение прямой y=xiga. [Указание]
ввести отрицательные значения г.]
4. Используя 8.22, получить условие aa'+bb'=0
перпендикулярности прямых ax+by+c=0 и а'х+Ь'у+с'=0. Показать, что прямые
ах + Ьу + с = 0, Ъх—ау-\-с'~0
перпендикулярны при всех значениях я, Ъ, с, с'.
5. С помощью соответствующего поворота осей упростить
уравнение кривой
4х* + 24ху+\\у2 = 5.
§ 3. ОКРУЖНОСТЬ
Фигура универсальной привлекательности,
д. п и д о [I], стр. VII.
Окружность с центром (х',у') и радиусом &,
являющаяся множеством точек (ху у), отстоящих от точки
(*', у') на расстояние &, имеет уравнение
(x-x'Y+{y-y'y = k\
Таким образом, уравнение
8 31

176
КООРДИНАТЫ
[ГЛ. 8
определяет окружность с центром в точке (— g, —/),
если только g2+f2>c. Касательная к окружности в
точке Л= (хи */i) задается уравнением
XiX + y{y+g{x+Xi) +f(y + yi) + с = 0
или
(Xi+g)x+ (yi+f)y+ (gxi+fyi + c) =0.
Для этой прямой, проходящей через точку Рх и
перпендикулярной к диаметру окружности, верно соотношение
x+g_ У+f
Xl+g У1+1 '
Окружность 8.31 ортогональна другой окружности
х2+у2 + 2g'x + 2f'y 4- с' = 0,
если для подходящей точки Pi центр каждой из этих
окружностей лежит на касательной в точке Pi к другой.
Прибавляя равенство (xi+g)g,+ (*/i-f/)/' = g*i+f*/i-K
к аналогичному соотношению, в котором переставлены
штрихованные и нештрихованные буквы, мы видим, что
из ортогональности двух окружностей следует, что
2gg' + 2ff' = c + c'.
Обратно, любые две окружности, которые
удовлетворяют этому соотношению, ортогональны. В частности,
ортогональны окружности
8.32
x* + y*-+2gx + c = 0,
8.33
x2 + y2 + 2fy-c^0,
центры которых лежат соответственно на осях хну.
Если мы зафиксируем с и будем придавать g и /
различные значения, мы получим два ортогональных пучка
окружностей. Радикальными осями этих пучков будут
соответственно прямые х=0, */ = 0. Если положить с=0,
то мы получим два ортогональных пучка, касающихся
окружностей, причем каждая из окружностей касается
одной из осей в начале координат. Если с>0, то
окружности вида 8.32, с различными значениями g", образуют
пучок непересекающихся окружностей, содержащий две

§3)
ОКРУЖНОСТЬ
177
окружности нулевого радиуса
(x + g)2 + y2 = 0, g=±V~c>
являющиеся предельными точками пучка. Окружности
вида 8.33, которые проходят через эти две точки,
образуют ортогональный первому пучку пучок
пересекающихся окружностей.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Точка (х, у) переводится инверсией с окружностью
инверсии x2+y2 — k2 в точку
/ k*x k*y \
U2 + </2' х2 + У2)'
Применить эту инверсию к прямой 8.11 и к окружности 8 31.
2. Найти множество точек (х, у), расстояния от которых до
точек I —, О J и (\ik, 0) находятся в отношении 1 : \х (ср. с
§ 6 гл. 6).
3. Найти уравнение в декартовых координатах множества
точек, произведение расстоянии от которых до точек (а, 0) и (—а, 0)
равно а2. Вывести полярное уравнение этой «восьмерки», которая
называется лемнискатой Якоба Бернулли.
4. Даны две равные касающиеся окружности. Найти
геометрическое место вершин треугольников, для которых первая является
окружностью девяти точек (см. § 7 гл. 1), а вторая — вневписан-
ной окружностью (§ 5 гл. 1) (Ответ: лемниската) ').
б. Окружность'радиуса b катится без скольжения по внешней
стороне окружности радиуса nb. Траектория фиксированной точки
катящейся окружности называется эпициклоидой (когда п — целое
число, эпициклоида имеет п вершин). Вывести параметрические
уравнения эпициклоиды
8.34
х = (л-f-1) Ь cost— Ь cos (п-\- \)t,
у » (п -f-1) Ь sin t — b sin (n + 1) t\
начертить график для случаев п=\ (кардиоида), л = 2 (нефроида),
я=3 и п— -к- (См. Робсон [1], стр. 368.)
6. Перемещая начало координат в вершину (6, 0), получить
полярное уравнение
г = 26 (1 — cos 0)
кардиоиды (8.34 при я=1). Показать, что хорда, проходящая через
вершину, имеет постоянную длину.
') Richard Blum, Canadian Mathematical Bulletin 1, 1958,
стр. 1—3.

178
КООРДИНАТЫ
[ГЛ. 8
7. Окружность радиуса Ь катится без скольжения по
внутренней стороне окружности радиуса nb, где п> 1. Траектория
фиксированной точки катящейся окружности называется гипоциклоидой
(когда п целое, гипоциклоида имеет п вершин). Найти
параметрические уравнения гипоциклоиды. Начертить график для случаев
п = 2 (в этом случае получается весьма неожиданный результат),
л=-3 (дельтоида) и п=4 (астроида). В последних двух случаях
исключить параметр; для астроиды получить уравнение
1 1 JL
хг+уг=аг (а = 4Ь)
(Л э м б [2], стр. 297—303.)
Ш т е й н е р обнаружил, что все прямые Симеона ((см.
упр. 11 на стр. 33)) для произвольного треугольника касаются
некоторой дельтоиды. Три из них, а именно, те, которые параллельны
сторонам равностороннего треугольника Морлея (§ 9 гл. 1),
являются «апсидальными» касательными, общими для дельтоиды и
окружности девяти точек. Их точки касания служат вершинами
равностороннего треугольника XYZ, описанного в упр. 3 на стр. 38.
Подробнее см. Б эк ер [1], стр. 330—349; особенно стр. 347.
(Дельтоиду, подробно изученную Я. Штейнером, иногда
называют гипоциклоидой Штейнера или даже кривой Штейнера. Самое
замечательное свойство этой кривой состоит в том, что
заключенные внутри кривой отрезки всех касательных дельтоиды имеют
одну и ту же величину. Аналогично этому заключенные между
осями симметрии астроиды (их удобно принять за оси координат)
отрезки всех касательных астроиды имеют одну и ту же величину.
Оба эти утверждения нетрудно доказать с помощью элементарного
дифференциального исчисления (см. ниже § 5).)
§ 4. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
Кроме прямых, окружностей, плоскостей и сфер,
с которыми знаком каждый изучавший Евклида,
греки знали свойства кривых, которые
получаются при сечении конуса плоскостью — эллипса,
параболы и гиперболы. Кеплер открыл,
анализируя астрономические наблюдения, а Ньютон до-
казал математически, на основе закона
всемирного тяготения, что планеты движутся по
эллипсам. Таким образом, геометрия древних греков
стала краеугольным камнем новой астрономии.
Дж. Л. С а й н д ж [2], стр. 32.
Имеется несколько различных способов определения
конических сечений. Один из наиболее
непосредственных— следующий (ср. с § 6 гл. 6): коническим сечением
называется геометрическое место точек /\ расстояние РО

§4]
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
179
от которых до фиксированной точки О в е раз больше
расстояния РК до прямой НХ (рис. 85), где е —
постоянное положительное число.
Эквивалентность этому определению других
определений конического сечения, предложенных Менехмом
Рис. 85
около 340 года до н. э., была доказана Паппом
Александрийским (IV в. н. э.) или, возможно, Евклидом (см.
Кулидж [1], стр. 9—13).
Коническое сечение называется эллипсом, если е<1,
параболой, если е=1, гиперболой, если е>1. [Эти
термины введены Аполлонием.]
Точка О называется фокусом, а прямая
НХ—директрисой конического сечения. Число е, называемое
эксцентриситетом, иногда обозначается через е (но при
этом приходится добавлять: «где е не есть основание
системы натуральных логарифмов». Хорда LU,
проходящая через фокус параллельно директрисе, называется
фокальной хордой (latus rectum древних геометров); ее
длина обозначается 21, так что
В полярных координатах с полюсом О и начальной
прямой ОХ, перпендикулярной к директрисе, мы имеем
8.41
г = ОР = гРК = е {LH — г cos 9) = I — ег cos 0,
так что
8.42
l = l + ecos9.

180 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8
(Это уравнение той части конического сечения,
которая лежит по ту же сторону от директрисы, что и
фокус. В случае e^Cl мы получаем, очевидно, все
коническое сечение. Если же е>1, то уравнение 8.42 является
уравнением ветви гиперболы.)
Так как это уравнение не изменяется при замене 0 на
—6, то коническое сечение симметрично относительно
начальной прямой. Ясно, чтрг==г--г~£ при 0 = 0 и г = у~^
при 6 = я; поэтому, если е<1, коническое сечение
пересекает начальную прямую дважды.
Если е<1, из 8.42 следует, что г—конечное
положительное число при всех значениях 0; поэтому эллипс—
замкнутая (овальная) кривая. Если е=1, г конечно и
положительно при всех 0 кроме 0 = я; поэтому
парабола — незамкнутая кривая, неограниченная в одном
направлении. Если е>1, г—положительно или
отрицательно, в зависимости от того, что болыце cos0 или
— 1/е; поэтому ветвь гиперболы лежит в угле—<х<0<а,
где а = arc sec (—е).
Возводя в квадрат выражение 8.41, мы получаем
уравнение конического сечения в декартовых
прямоугольных координатах (причем оказывается, что при е>1 это
уравнение задает всю гиперболу)
8.43
х2 + у2 = (1 — ех)2
(оно показывает, что окружность можно рассматривать,
как эллипс с эксцентриситетом, равным нулю). Если
еф\, мы можем разделить уравнение 8.43 на 1 — е2, а
затем обозначить 1__£2 через а и получить
х2 + \!L& = /а — 2еах,
или
(х -+- еа)2 4- у у2 = (/ -+- г2а) а = а2,
или
(х + ва)* , у2 _,
а2 "Т" 1а~1ш
Перенося начало координат в точку (—еа, 0), мы можем
привести это выражение к виду

$4]
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
181
8.44
а2 - Л2 — Ь
где 62=|/а| = |1—е21а2, так что /а=±62, причем знак
« + » ставится при е<1, а знак «—» при е>1. В
последнем случае а оказывается отрицательным, но мы можем
поменять его знак, сохраняя уравнение 8.44. Более
важно то, что уравнение не изменяется, когда мы меняем
знак у х или у. Эта инвариантность показывает, что
эллипс и гипербола симметричны относительно каждой
оси и поэтому симметричны относительно начала
координат: они имеют группу симметрии D2 в обозначениях
§ 5 гл. 2. По этой причине начало координат
называется центром, а эллипс и гипербола — центральными
коническими сечениями.
Геометрический смысл величин а и Ь
проиллюстрирован рис. 86. Для эллипса 2а и 26 равны большой и
(Эллипс)
Рис. 86.
малой осям; для гиперболы они равны действительной
и мнимой осям. Две ветви гиперболы
8.441
а2
"2 J>L- 1
Ь2 — к
лежат в противоположных углах, образованных двумя
прямыми
£-£=о, „л„ (i_f)fi+{)_a

182
КООРДИНАТЫ
[ГЛ. 8
Эти прямые называются асимптотами гиперболы. Если
а = 6, они перпендикулярны, и гипербола называется
прямоугольной (или равнобочной).
Если 6=1, то выражение 8.43 приводится к виду
:ле отражен
8.45
1 ,
или, после отражения от прямой х — -т1,
у2 = 21х.
Это — стандартное уравнение параболы (рис. 87).
Наиболее удобными параметрическими уравнениями
конических сечений являются следующие: для эллипса
8.46
х = a cos/, y = bsmt\
для параболы
8.47
x = 2lt2, y = 2lt
и для гиперболы
8.48
x = acht, y = bsht,
где
Р«с «7. sh t = *^r± f ch / e j^' в
[Эти функции будут изучены в § 6 настоящей главы.]
УПРАЖНЕНИЯ
1. К какому типу относится кривая, уравнение которой в
полярных координатах имеет вид
r«i-/sec2~G?
2. К какому типу относится кривая, уравнение которой в
декартовых координатах имеет вид
4лг2 + 24лг</ +11*/2 = 5
(см. упр. 5 в конце § 2)?
3. Сумма (соответственно разность) расстояний от точки эл«
липса (соответственно гиперболы) до двух фокусов постоянна.

§4]
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
183
4. Выразить эксцентриситет центрального конического сечения
через его полуоси а и Ъ. Чему равен эксцентриситет равнобочной
гиперболы?
5. Даны точки В и С. Доказать, что геометрическим местом
третьих вершин А треугольника ABC, прямая Эйлера которого
параллельна ВС (как в упр. 9 в конце § 6 гл. 1), является эллипс
с малой осью, равной ВС, и большой осью, равной удвоенной
высоте равностороннего треугольника со стороной ВС. [Указание:
пусть координаты точек А, В и С — соответственно (х, у) и
(+1,0). Тогда координаты центра окружности, описанной около
ABC, равны (О, -о"#), причем эта точка равноудалена от точек
А и С]
6. Выражение вида
F = ах2 -f- 2hxy -f- by2
называется бинарной квадратичной формой. Говорят, что она зна-
коопределенная, если аЬ > h2, так что F имеет один и тот же знак
при всех х и у, за исключением х = у = 0. Говорят, что она
положительно-определенная, если этот знак положительный. Говорят,
что она полуопределенная, если ab = h2, так что F равно а,
умноженному на полный квадрат; положительно-полуопределенная, если
при этом а >0, так что выражение F само является полным
квадратом; знаконеопределенная, если аЬ < /г2, так что при некоторых
значениях х и у число F положительно, при других — отрицательно.
Уравнение F={ определяет эллипс, если форма F положительно-
определенная, пару параллельных прямых, если F — положительно-
полуопределенная, и гиперболу, если F — знаконеопределенная.
7. Как преобразуется уравнение равнобочной гиперболы
*2— у2—а2 при повороте осей координат на угол -j- ?
8. Дайте геометрическую интерпретацию параметра / в
уравнения 8.46. [Указание: выясните, как связаны между собой точки
(a cos /, b sin /) и (a cos /, a sin t).]
9. В каком смысле гиперболу 8.44 лучше представлять
уравнениями
х = a sec и, у = b tg и,
чем уравнениями 8.48?
10. При инверсии с окружностью инверсии г=/ коническое
сечение 4.42 переходит в улитку Паскаля
г = / (1 + е cos 9).
Изобразить эту кривую для различных значений е. Когда £=1 (так
что коническое сечение — парабола), эта кривая — кардиоида.
11. При инверсии с окружностью инверсии г=а равнобочная
гипербола г2—a2 sec 20 переходит в лемнискату Бернулли
г2 = a2 cos 29
(см. упр. 3 в конце § 3),

184
КОРДИНАТЫ
[ГЛ 8
§ 5. КАСАТЕЛЬНАЯ, ДЛИНА ДУГИ И ПЛОЩАДЬ
Я не знаю, кем я представляюсь миру, но са~
мому себе я представляюсь мальчиком, который
играет на берегу моря и время от времени
находит более гладкий камень или более красивую
раковину, чем обычно, в то время как огромный
океан истины лежит передо мною непознанный.
Сэр Исаак Ньютон, Brewster's Memoirs of Newton,
т. 2, гл. 27.
Кривые, которые мы будем рассматривать, являются
«спрямляемыми», т. е. для них определена длина s дуги,
ограниченной любыми двумя точками Р и Q этой
кривой. Обозначим временно Яо = Л Pn"=Q и разделим дугу
PQ на п частей п — 1 точками Ри ^2, . • •, Pn-i-
Рассмотрим точную верхнюю грань
s = sup 2Л-А
длин ломаных линии
РР1 + Р1Р2+ ...+P«-,Q
для всевозможных подразделений (т. е. всевозможных
выборов точек Я?); ее называют длиной дуги.
Рис. 88.
Кривую часто полезно рассматривать как траекторию
«движущейся» точки. Любые две точки Р и Р' кривой
соединяются прямой, которую, называют секущей. Если
точка Р фиксирована, а точка Р' приближается к ней,
секущая обычно стремится к предельному положению,
которое называют касательной. При использовании
прямоугольных декартовых координат проводят Р'ЬЛ
параллельно оси t/, как на рис. 88, а затем PN, где точка N —

§ 5] КАСАТЕЛЬНАЯ, ДЛИНА ДУГИ И ПЛОЩАДЬ 185
основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на
Р'М. Касательная имеет угол наклона if>, который равен
пределу угла NPP'. (Чертеж очевидным образом
видоизменяется в том случае, когда рассматриваемый угол —
тупой или отрицательный.) Для того чтобы подсчитать
угол г|), мы рассмотрим прямоугольный треугольник
PP'N, стороны которого являются «приращениями» х, у
и s (все они стремятся к нулю):
Hx = PN, bj = NP', As = PP'.
Таким образом,
,. PN *. kx dx
cos« = hm15pr = lim^r = -3F,
. . t. NP' t. /by dy
. . t. NP' t. ^y dy
Так как PP'2 = PN2 + NP'2 (или cos2^ + sin2i|) = 1),
элемент длины дуги ds задается формулой
8.51
ds2 = dx2 -f- dy2,
а длина дуги s от точки (xu У\) до точки (х2, #2), или от
t=tx до t = t2, равна
- j—fVTw**=i'vm+№«-
Л", tx
Если кривая задана полярным уравнением,
направление касательной в точке Р определяется либо углом ф,
который касательная составляет с «радиусом» ОР, либо
углом г|) = 6 + ф, который она составляет с начальной
прямой ОХ (рис. 89). Пусть, как и прежде, Р и Р' —
две близкие точки кривой, так что касательная в
точке Р есть предельное положение секущей РР\ Прове*
дем PN перпендикулярно к ОР' (Лэмб [2], стр. 254),

185
КООРДИНАТЫ
[ГЛ.8
Тогда
8.52
8.53
t. NP' t. Ar dr
ds
,. NP t. rA9 dQ
PP'
NP
PP'
Так как PP'2=NP'2 + NP2 (или cos2 <p + sin2(p=l), эле.
мент длины дуги ds задается формулой
8.54
ds2 = dr2+r2dQ2.
Так как площадь треугольника ОРР' отличается на
бесконечно малую второго порядка от равной —у7"2^
площади кругового сектора с радиусом г и углом А0,
то площадь области, ограниченной замкнутой кривой,
окружающей начало координат, равна
8.55
2Л
I/
Г2^0.

§ 5] КАСАТЕЛЬНАЯ. ДЛИНА ДУГИ И ПЛОЩАДЬ 187
Эту формулу можно записать в декартовых координатах,
для чего достаточно воспользоваться
соотношениями 8.21, из которых следует
8.56
dx = dr cos 0 — г sin 0 dQ, dy = dr sin 0 + r cos 0 rf0,
так что xdy — у dx = r cos Qdy — r sin 0 d^ = r2(cos20 +
+ sin20)d0 = r2d0 и
8.57
\\ r*dQ = ±j(xdy — ydx).
В случае параметрического задания кривой эта
формула примет вид
8.58
7 J (**-»#)*•
где х и у представлены как функции параметра t, и
интегрирование производится по значениям
^соответствующим обходу всей кривой.
Ту же формулу можно использовать для подсчета
площади «сектора» (рис. 90), ограниченного участком
Рис. 90.
кривой и прямыми 0 = 9i и 0 = 02. В полярных
координатах дуге, начинающейся в точке 6 = 0i и кончающейся
при 6 = 02, отвечает сектор, площадь которого равна
6i

188 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8
Переводя это выражение в декартовы координаты, мы
будем рассматривать границу сектора как замкнутую
«кривую», состоящую из дуги и двух радиусов. Так как
• х х dy — у dx
У X2 '
то на радиусах (вдоль которых -~- остается постоянным)
соответственные части интеграла, стоящего в правой
части выражения 8.57, обращаются в нуль. Следовательно,
если дуга выходит из точки, где t — tu и кончается в
точке, где t—t2, то площадь сектора равна
8.59
т/(*3-»т)«
(ср. Курант [1], стр. 232).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Прямая х — (/-И')*/-Ь2/#'=0— секущая параболы 8.47 —
пересекает ее в точках, отвечающих значениям параметра t и t\
Устремив /' к /, вывести уравнение
х — 2ty -f 2lt2 = О
касательной к параболе в точке с параметром /, т. е. доказать, что
касательная в точке (х\9 у\), принадлежащей параболе 8.45, имеет
уравнение
УхУ^1(х-\-хх).
2. Прямая
■* 1 У , о
— cos а 4- -г- sin а = cos р
а о
является секущей эллипса 8 46, пересекающей его в точках,
отвечающих значениям параметра /=а=Рр. Устремляя р к О, вывести
уравнение
— cos t 4- -— sin t = 1
a ' b
касательной в точке со значением параметра / (Робсон [\]х
стр. 274). Получить аналогичный результат для гиперболы 8.48.
Показать, что касательная в точке (хи ух)у принадлежащей цен^
тральному коническому сечению 8 44, имеет уравнение
*\х- ± УМ =1.
22 - Ь2

§ 61 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 189
3. Нормаль, проведенная в точке эллипса, отвечающей
значению параметра t, перпендикулярно к касательной» определяется
уравнением
ах by
cos t sin t
: a2 — b2.
Находя частную производную no ty а затем исключая t, получить
уравнение огибающей нормалей в виде
(Ф о р д е р [3], стр. 36—37; Л э м б [2], стр. 350). [У к а з а н и ез
cos3/ = —5 гг> sin3b
аг — ог
by 1
a2 — b2'\
4. Используя 8.56, дать новый вывод формул 8.51 и 8.54.
§ 6. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Гиперболические синус и косинус обладают по
отношению к прямоугольной гиперболе в
точности теми же свойствами, которыми обладают
обыкновенные синус и косинус по отношению
к окружности. В связи с этим первые функции
называются гиперболическими по тем же причиг
нам, по, которым последние называются
круговыми.
Э. У Гобсон (1856—1933) [1], стр. 329-330.
В качестве очень простого приложения формулы 8.59
рассмотрим единичную окружность х2 + у2=1 или
#=cos t, y = sm t
(левый рис. 90). Так как
dx . . dy .
-jj- = — sin/ = — у и -^-= cos tf = л;,
то площадь сектора, соответствующего дуге,
начинающейся в точке /=0 и кончающейся в точке с любым
другим значением параметра, равна
Н(**-»*)*-т/«*ч-",>*-т/*-т'-
0 0 0
что мы, конечно, уже знаем. Более интересно то, что

190
КООРДИНАТЫ
[ГЛ. 8
для равнобочной гиперболы х2 — #2=1 или
x=cht, y = sht
(правая часть рис. 90), для которой
H(**-»#)*-H'^-«*-tJ*-i'-
и и и
t
т. е. площадь сектора снова равна -j.
Сравнивая полученные выше результаты, мы ясно
видим аналогию, существующую между круговыми и
гиперболическими функциями. На рис. 90 изображены
секторы АОР окружности и равнобочной гиперболы. В обоих
случаях ОЛ = 1 и параметр t в два раза больше
площади сектора. В первом случае OM = cos/ и PM = sin/; во
втором случае OM=^oht и PM = sht*).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти площадь эллипса
х—a cost, y~bsint.
2. Найти площадь сектора гиперболы общего вида, х—а ch/,
y = bsht, отвечающей дуге, концы которой отвечают значениям t=0
и произвольному /.
§ 7. РАВНОУГОЛЬНАЯ СПИРАЛЬ
Завитки равноугольной спирали Наутилуса,
раковины улитки или Глобигерины непрерывно
расширяются, причем их радиусы находятся в
одинаковом отношении друг к другу. Из этого
следует, что секторы спирали, имеющие равные
центральные углы, подобны во всех отношениях, и
что, таким образом, эта фигура может постоянно
расширяться, не меняя своей формы.
Сэр Д'Арси У. Том сон (1860—1948) [2], стр. 753—754«
Окружность г = а можно рассматривать как
траекторию точки (а, 0) при непрерывном вращении, которое
переводит каждую точку (г, 8) в точку (г, 8 + 0» где t —
непрерывный параметр вращения. Подобно этому, луч
*) Ср. В. Г. Ш е р в а т о в, Гиперболические функции, М, Физ-
матгиз, 1958.

§7]
РАВНОУГОЛЬНАЯ СПИРАЛЬ
191
(или полупрямая) 6 = 0 является траекторией точки
(а, 0) при непрерывной (центральной) гомотетии,
переводящей эту точку в точку (г, 0) со всевозможными
положительными значениями г. При разумном сочетании
этих двух преобразований мы получим непрерывное
центрально-подобное вращение. Пусть \х обозначает
коэффициент гомотетии, соответствующий вращению на
1 радиан. Тогда \х2 — коэффициент гомотетии для
вращения на 2 радиана, р,3— для 3 радианов,..., \хл для
я радианов,..., \хг для t радианов. Таким образом,
центрально-подобное вращение переводит точку (г, 6)
в (jli'a*, 6 + 0» гДе t изменяется непрерывно. Траектория
точки (а, 0) называется в этом случае равноугольной
спиралью (или «логарифмической спиралью»). Она
имеет параметрические уравнения
г = \л*аУ Q = t,
из которых без труда выводится одно уравнение кривой
в полярных координатах:
8.71
r = ajte.
Эта кривая была впервые открыта Декартом, который писал
о ней в 1638 году Мерсенну (Mersenne). Якоб Бернулли (Jacob Вег<
noulli, 1654—1705) нашел ее такой
очаровательной, что велел
выгравировать эту спираль на своем
надгробном камне (в Мюнстере около
Базеля в Швейцарии) с надписью
Eadem muiata resurgo*).
Эти слова (которые Э. Т. Бэлл
перевел, как «though changed, I shall
arise the same» *) выражают
замечательное следствие из
существования способа, которым кривая может
быть переведена в себя посредством
центрально-подобного вращения, —
всякая центральная гомотетия
оказывает на спираль такое же
действие, что и вращение, и наоборот.
Действительно, вращение 6->6 + а,
переводящее кривую г=а|л° в кривую яи.е+а = |Ааг, эквивалентно
гомотетии 0(\\а). Штейнга у з ([1], стр. 97) описывает это свой-
*) Измененная, я воскресаю той же самой (лат., англ.).
(19

192
КООРДИНАТЫ
I ГЛ. 8
ство как оптическую иллюзию. Нарисовав равноугольную спираль
(рис. 91), он замечает: «Если мы повернем ее (вместе с книгой),
нам кажется, что она увеличивается или уменьшается».
Так как
dr ,
формула 8.53 показывает, что угол ф между положением
вектора ОР и касательной к спирали в точке Р задается
следующим уравнением:
i \ dr х
т. е. этот угол постоянен: результат, который можно
было предвидеть, так как преобразования подобия
сохраняют углы. Пользуясь выражением этого постоянного
угла ф, который на рис. 91 равен приблизительно 80°, мы
можем записать
jj,0 = ев ,02 & = ед ctg ф
и получаем таким образом уравнение спирали в
классической форме
8,72
г = aeQctsф(аиф~ постоянные).
Согласно 8.52,
dr
так что разность г—s cos ф постоянна. Это показывает,
что длина дуги от r = ri до г=г2 равна
fo — rj)secq>
и что длина дуги спирали от начала координат (г=0)
до точки общего вида (заметим, что эта дуга содержит
бесконечно много витков) равна
г Бесф.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Спираль г=а|л переходит в себя при гомотетии 0(ц2я). Во
что она переходит при инверсии с окружностью инверсии г—а?
2. Найти все точки пересечения спиралей (если они существуют):
ъ)г = ау? и г = а\к~е, б)г = а/ и г = в|гв+я.

§8]
ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
193
Нарисовать кривые в обоих случаях. [Для удобства взять |А =
я
= 1,1 или [I6 =1,05 и использовать таблицу сложных процентов.]
§ 8. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Аналист Кестнер полагал, что приложение
алгебры к геометрии освободит учащихся от
строгой дисциплины Евклида и даст им возможность
думать самостоятельно вместо того, чтобы
глядеть в рот учителю. Одно изречение Кестнера
следовало бы начертать на дверях каждой со-
временной школы: «Величайшее удовлетворение,
которое только может получить человек, дается
самостоятельным познанием истины».
Дж Л Сайндж [2], стр. 174.
Для построения системы декартовых координат в
пространстве мы используем три плоскости,
пересекающиеся попарно по трем осям OX, OY, OZ. Чтобы
попасть из начала координат О в точку (х, у, г), нужно
отложить отрезок х на оси ОХ, из его конца отрезок у
в направлении оси OY и, наконец, отрезок г в
направлении оси OZ. Три основные плоскости задаются
уравнениями * = 0, у = 0 и z = 0. Каждая пара этих уравнений
задает координатную ось. Например, ось z, состоящая
из точек вида (0, 0, z), задается двумя уравнениями
х=у=0. Любая прямая, проходящая через начало
координат (0, 0, 0), задается параметрическими уравнениями
8.81
x = XU y = Yt9 z = Zt.
Отношения коэффициентов X, У, Z определяют
направление прямой. Перенося начало координат в точку
(хи уи 2i), мы получаем уравнения параллельной
прямой, проходящей через точку (х\, У\, Zi):
8.82
х = хг-+- Xt, y = y\+Yt, z = zx-\-Zt.
Исключая t, мы получаем два уравнения
8.83
х — хх У — У\ z—zx
X ~~ У ~ Z '

194 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8
если XYZ=Oy необходимо принять специальное
соглашение о смысле, приписываемом этим уравнениям. Центр
тяжести или центроид массы tu помещенной в точку (хи
Ли £i), и массы /2, помещенной в точку (х2у у2, г2) при
ti + t2=l, находится в точке
\t\Xi -f- t2x2* t\D\ -f ^чУъ t\z\ ~Ь ^2)»
Начало координат и точка (xiy уи zx) являются
противоположными вершинами параллелепипеда,
образованного тремя парами параллельных плоскостей
х = 0, х = хх\ */ = 0, у = ух\ г = 0, z — zx\
как показано на рис. 92.
В последующей части настоящего параграфа мы
будем считать оси взаимно ортогональными, так что этот
(<zr,t/j,zr)
(4Q0) х7
Рис. 92.
наш параллелепипед будет прямоугольным «ящиком».
Трехмерный вариант теоремы Пифагора показывает, что
длина диагонали прямоугольного параллелепипеда
(0,0, ОН*!, yx,zx)
2 2 2
равна корню квадратному из Xi+yi+Zi. Из этой же
теоремы следует, что расстояние между двумя точками
(х, у, z) и (#', у', г') равно корню квадратному из
(x-xy+(y-yy + (z-zy.
Если параметр t в 8.81 подобран так, что
8.84

18] ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 195
то он измеряет расстояние от начала координат до
точки общего вида (*,у, z), лежащей на прямой.
Коэффициенты X, У и Z, удовлетворяющие соотношению 8.84,
называются направляющими косинусами прямой, потому
что они являются косинусами углов, которые прямая
составляет с координатными осями. Точнее, эти числа
являются направляющими косинусами одного из двух
лучей, на которые начало координат разбивает прямую;
противоположный луч имеет направляющие косинусы
—X, —У, —Z. Два луча, образующие некоторый угол,
пересекают единичную сферу
в двух точках (X, У, Z) и (X', У, Z'), координаты
которых равны направляющим косинусам этих лучей.
«Решив» равнобедренный треугольник, который образуют
эти точки и начало координат, мы получим для косинуса
угла, образованного лучами, выражение
XX' + YY' + ZZ'.
В частности, лучи (а следовательно и прямые)
перпендикулярны, если
XX' + YY' + ZZf = 0\
отсюда следует, что плоскость, проходящая через начало
координат и перпендикулярная к прямой 8.81, задается
уравнением
Xx + Yy + Zz = 0.
Перенося начало координат, мы получаем уравнение
параллельной плоскости, проходящей через точку (#i,{/i,2i):
8.85
Xx + Yy + Zz = Tt
где T=Xxt + Yyi+Zzi. Полагая, что
мы выводим, что косинусы двух смежных углов между
плоскостями
Xx + Yy + Zz=Tf X'x + Y'y + Z'z=:T'
равны
±{XX' + YY' + ZZ').

196
КООРДИНАТЫ
[ГЛ. 8
Мы видим теперь, что каждая плоскость имеет
линейное уравнение и каждое линейное уравнение определяет
плоскость. В частности, плоскость, которая отсекает на
осях координат отрезки р, q и г, имеет уравнение
Две плоскости, представленные в форме 8.85,
параллельны, если они отличаются только свободными членами 7\
Прямую, по которой пересекаются две непараллельные
плоскости, можно привести к стандартному виду 8.82,
исключая из уравнений этих плоскостей сначала г, а
затем х.
Уравнение, связывающее ху у, z (не обязательно
линейное), обычно определяет поверхность; система двух
таких уравнений определяет кривую, по которой
пересекаются две поверхности. В частности, уравнение
F(x,y) = 0,
содержащее только х и у, определяет
цилиндр—-геометрическое место прямых, проходящих через точку,
перемещающуюся по кривой F(x, у) =<г=0, и
параллельных оси z. Однородное уравнение
f(x, у, z) = 0
(где f(xy уу z) умножается на некоторую степень
числа [I при замене ху у, z на \ix, \ху, \xz) определяет конус—
геометрическое место прямых, соединяющих начало
координат с точкой, перемещающейся по кривой
f(x,y, 1) = 0, г = 1.
Важными примерами цилиндров и конусов являются
цилиндры второго порядка
^r + !iF = l и у2 = 21х,
частным случаем которых является обычный цилиндр
вращения (или «прямой круговой цилиндр») x2+y2 = k29
и конусы второго порядка
ах2 -f- by2 + cz2 = О,

§ й] ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 197
в том числе конус вращения (или «прямой круговой
конус»)
x2-\-y2 = cz2.
Уравнение x2 + y2 + z2=0, которому удовлетворяет
только одна точка (0,0,0), можно рассматривать как
некоторый вид конуса или как «сферу радиуса нуль». Сфера
общего вида, имеющая центр в точке \х\ у\ zr) и
радиус k, имеет уравнение
(х - х')2 + (у- у J + (z — zj = k2.
Заметим, что это уравнение второго порядка, не
содержащее членов с yz, zxy ху и имеющее равные
коэффициенты при х2, у2, z2.
Точка (X, У, Z) переходит при инверсии с центром
инверсии в начале координат и степенью инверсии k2
(инверсии со сферой инверсии x2+y2 + z2 = k2) в точку
/ k2X k2Y k2Z \
\X2 + Y2 + Z2 ' X2 + Y2 + Z2 ' X2+Y2 + Z2)'
Плоскость, проходящая через эту инверсную точку и
перпендикулярная к прямой 8.81, а именно, плоскость
Xx + Yy + Zz = k\
называется полярной плоскостью точки (X, У, Z)
относительно сферы x2 + y2-\-z2 = k2. Если точка (X, У, Z)
лежит на сфере, то полярная плоскость является просто
касательной плоскостью в этой точке.
Трехмерными аналогами конических сечений
являются поверхности второго порядка или квадрики, плоские
сечения которых — конические сечения (или иногда пары
прямых, которые можно рассматривать как
вырожденные конические сечения). Эти поверхности задаются
уравнениями второго порядка; они включают не только
эллиптический и гиперболический цилиндры, конус
второго порядка и сферу, но также и эллипсоид
у2 ,,2 ?2
а2 "Г Ь2-Г С2 — Ь
однополостный гиперболоид
8-86

198
КООРДИНАТЫ
[ГЛ, 8
двуполостный гиперболоид
*L — lL — i:—i
а2 Ъ2 с2~ ь
эллиптический параболоид
■£ + -£ = 2г
а2-Г Ь2 — **
и гиперболический параболоид
8.861
(рисунки этих поверхностей есть в любом курсе
аналитической геометрии; см., например, Делоне и
Райков [2]). Строение квадрик можно изучить,
рассматривая их сечения плоскостями, параллельными
координатным плоскостям. Названия квадрик были введены
Г. Монжем в 1805 году (см. Бляшке [1], стр. 131).
Важными частными случаями квадрик являются
квадрики вращения, образованные вращением
конического сечения вокруг одной из его осей. Например, при
вращении эллипса вокруг его большой и малой осей
получаются соответственно вытянутый сфероид и сплю-
щенный сфероид.
Для исследования поверхностей вращения часто
бывает удобно использовать цилиндрические координаты
(г, 0, г), в которых первые две из трех декартовых
координат заменяются полярными координатами
r = yx* + y*t 9 = arctg-£,
а координата г сохраняет свой обычный смысл. Чтобы
получить уравнение поверхности вращения плоской
кривой
F(x, z)=0, у=0
вокруг оси г, мы просто заменяем в этом уравнении х
на /*; таким образом, поверхность вращения имеет
уравнение
F(r, z)=0

§8)
ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
199
или в декартовых координатах
Р(У*2 + У2> *) = 0.
Например, вращая гиперболу 8.441 вокруг мнимой
оси, мы получим (однополостный гиперболоид
вращения
г2 z2 t *2 + У2 z2 л
Заменяя *2+*/2 на (* cosa + ysina)2-f (у cos a—a: sin a)2,
мы можем представить это уравнение в виде
(л: cos a -\-у sin a)2 — (~) = — (у cos a — x sin a)2 + a2,
откуда следует, что при каждом значении а каждая
точка прямой
, . az
х cos a -f- у sin a = -т- , у cos a — x sin a = a
принадлежит гиперболоиду. Изменяя a от 0 до 2я, мы
получим непрерывное семейство образующих: прямых,
целиком лежащих на поверхности. Производя
симметрию относительно плоскости (х, у) и тем самым изменяя
знак 2, мы получаем второе семейство образующих того
же самого гиперболоида. Плоскость
8.87
х cos a -)- г/ sin a = -т- ,
проходящая через центр, касается асимптотического
конуса
по прямой
и. пересекает гиперболоид по двум параллельным
прямым: по одной в каждой из плоскостей
у cos a — х sin a = ± a.
* + y*
a2
X
a cos a
a
?2
— = 0
b2 u
У *
sin a b

200 КООРДИНАТЫ 1ТЛ. 8
Другой интересной поверхностью вращения является
кольцеобразный тор
(r — a)2 + z2 = b2 (a>b),
который получается вращением окружности с радиусом
ft вокруг прямой, находящейся в ее плоскости, но не
пересекающей ее и отстоящей на расстояние а от центра.
Эта поверхность, очевидно, содержит два семейства
окружностей: «меридианы» радиуса ft и «параллели»
(в плоскостях, параллельных «г=0), радиусы которых
изменяются между а — Ь и а + b. Менее очевидно, что
тор содержит также два «косых» семейства окружностей
радиуса а, таких, что две окружности разных семейств
пересекаются в двух точках, а две окружности одного
семейства не пересекаются !). Действительно,
представим уравнение
8.88
{V^+y2 — a)2 + z2 = b2
в виде
(x2 + y2 + z2 — a2+b2)2+4(a2 — b2)z2 = Ab2{x2 + у2) =
= 4ft2 {(х cos a -f- у sin а)2 -f- (у cos а — х sin а)2}
или
(х2 + y2 + z2 — а2 -+ Ь2)2 — 4ft2 (у cos а — х sin а)2 =
= 4ft2 (х cos а -f- у sin а)2 — 4 (а2 — ft2) z
Мы видим, что для любых значений а тор содержит
пересечение сферы
x2+y2 + z2 — a2 + b2 = 2b(ycosa — xs\na)
с плоскостью
8.89
ft (х cos a + #sina) = ]/а2 —b2z.
1) Чертежи торов, на которых указаны четыре семейства
окружностей, см. в книге: Hermann Schmidt, Die Inversion und ihre
Anwendungen (Oldenbourg, Munchen, 1950), стр. 82. См. также:
Martin Gardner, Scientific American 203, 1960, стр. 194, 196. Эти
окружности были открыты А. Ивоном-Вилларсо (A. Y v о п - V i 11 а г-
се ах, Nonvelles Annates de Mathematiques (1) 7, 1848, стр. 345—
347.

§81
ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
201
Так как уравнение сферы можно представить в виде
(х + b sin a)2 -f- (у — b cos а)2 -\-z2 = a2
и плоскость проходит через ее центр (—b sin а, b cos а, 0),
сечение является большим кругом с радиусом а.
Изменяя а от 0 до 2я, мы получаем непрерывное семейство
таких окружностей и второе семейство с
противоположным знаком е.
Плоскость 8.89 пересекает тор по двум
окружностям— по одной из каждого семейства (во втором
семействе а заменяется на а + я). Так эти две окружности
являются сечениями двух сфер
х2 -\-y2-\-z2— а2 — b2— ± 2Ь (у cos а — xsina),
их точки пересечения являются «противоположными»
точками
/ I а2— Ь2 , а2 — Ь2 . , b лг~~5~~\—тъ\
± cos а, ± sin а, ±—уа2-\-Ь2)
(с соответствующими знаками). Так как каждая из
них — точка касания, то плоскость 8.89 — дважды
касательная плоскость (Бэлл [1], стр. 267). Сравнивая
плоскости 8.89 и 8.87, мы видим, что «косые» окружности
на торе лежат в тех же самых плоскостях (проходящих
через центр), что и пары параллельных образующих
гиперболоида вращения
Х2 + У2 _£*_ .
a2 — b2 b2 ~
[Это впервые заметил А. В. Т а ккер (A. W. Tucker).]
УПРАЖНЕНИЯ
1. Плоскость, проходящая через три данные точки (*i, уи z{)%
где 1=1, 2, 3, имеет уравнение
I *\ У\ *\ 1 I
\х2 уг zз 1 I
■*а Уз *з И
I х у z 1

202 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8
Если условие прохождения плоскости через точку заменить (в
одном или двух случаях) условием ее параллельности прямой с
направляющими косинусами Xit Yit Zi, соответствующая строка
определителя заменится на
Xi Yi Zt 0.
2. При использовании общих декартовых координат точку
(х, у, г) можно перевести в точки
(— х, — у, — z) — центральной симметрией О (— 1),
(\хх, усу, \xz)— гомотетией О(ц) (§ 6 гл. 7),
(ху у, z-\-c)— параллельным переносом вдоль оси г.
3. При использовании прямоугольных координат точку (х, г/, г)
можно перевести в точки
(-*> У у —z)—симметрией относительно плоскости (х, у),
(у} х, z)— симметрией относительно плоскости х = у,
(—У, -х, z)—вращением на 90° вокруг оси г,
(х, —уу z-\~ с) — скользящей симметрией (§ 4 гл. 7).
4. При использовании цилиндрических координат точку (г, 0, г)
можно перевести в точки
(г, 0 + а, z+c) — винтовым перемещением,
(jir, 0 + а, |дг)~ общим центрально-подобным вращением (§ 6,
гл. 7).
5. Вывести условие
2ии' + 2W + 2ww' = d + d'
ортогональности двух сфер
x2 + y2 + z2 + 2их + 2vy + Ъаг + d = 0,
х<2 + у'2 + z'2 + 2и'х + 2v'y + Ъъ'г + d' = 0.
6. Если точка (X, К, Z) находится вне сферы x2+y2+z2=k2,
то ее полярная плоскость содержит точки касания всех
касательных плоскостей, проходящих через точку (X, К, Z).
7. Представив 8.86 в виде
(Tcosa+Tsina)2 + (icosa-¥sina)2 = 1 + (7)2'
найти два семейства образующих общего однополостного
гиперболоида. Две образующие из различных семейств пересекаются (или,
может быть, параллельны), но две различные образующие из
одного семейства скрещиваются. То же самое справедливо для двух
семейств образующих гиперболического параболоида 8.861.

ГЛАВА 9
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Дополнение евклидовой плоскости до круговой (§ 4
гл. 6) или эллиптической плоскости (§ 9 гл. 6) является
геометрическим аналогом хорошо известной из алгебры
процедуры расширения понятия числа. Начав с
натуральных чисел, таких, как 1 и 2, мы переходим к целым,
затем к рациональным, действительным и комплексным
числам (а если бы мы имели время, то познакомились
бы также и с гиперкомплексными числами1)). Каждый
новый класс чисел появляется из-за отсутствия в
предыдущем классе решений уравнений определенного
вида. Древние греки замечательно понимали идею
действительного числа. За много лет до того, как была
построена строгая теория комплексных чисел, Р. Бомбел-
ли (R. Bombelli, в книге «Алгебра», изданной в 1572 году
в Болонье) и в особенности Эйлер свободно ими
пользовались. Чтобы поставить на твердую основу понятие
«корень квадратный из минус единицы», удобно (но вовсе не
обязательно) воспользоваться геометрическим
представлением комплексных чисел. Такая интерпретация была
предложена Дж. Валлисом (J. Wallis, 1685), полностью
сформулирована К. Весселем (С. Wessel, 1797), вновь
открыта Ж. Р. Арганом (J. R. Argand, 1806) и еще раз
открыта К. Ф. Гауссом2).
Настоящая глава не предусматривает полного строго
формального изложения всей теории; мы хотим лишь
*) См., например, Н. S. М. Coxeter, Quaternious and
reflections, American Mathematical Monthly 53, 1946, стр. 136—146.
2) См. превосходную статью о комплексных числах (Complex
numbers) С. С. MacDuffee в Британской энциклопедии (Enciclo-
paedia Britannica^ Чикагское издание).

204
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. 9
подчеркнуть роль геометрии в относящихся к нашей теме
рассмотрениях. Более подробное изложение этого
вопроса имеется в книге Робинсона [1], стр. 73—84 *).
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
«Северный океан прекрасен, — сказал Орк, — и
прекрасна нежная путаница снежных хлопьев,
покуда они не растают и не исчезнут. Но что до
этих красот тому, кто наслаждается числами,
равным образом отвергая и безумную
иррациональность жизни, и непреодолимую сложность за-
конов природы».
Дж. Л. С а й н д ж [2], стр. 101.
Первыми числами, которые мы рассматриваем в
арифметике, являются натуральные числа, образующие
последовательность от 1 до бесконечности. Решение
уравнения вида
приводит к открытию целых чисел, куда включаются не
только натуральные (или «положительные целые»)
числа, но также нуль и отрицательные целые числа.
Последовательность целых чисел
..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
бесконечная в обе стороны, удобно представляется
точками, расположенными на равном расстоянии друг от
друга вдоль бесконечной прямой, которую можно
рассматривать как ось х аналитической геометрии на
плоскости. В этом представлении сложение и вычитание
выступают как параллельные переносы: преобразование
х—>х+а сдвигает каждую точку на расстояние а
вправо, если а положительно, и на расстояние а влево,
если а отрицательно; другими словами, операция
прибавления числа а является движением, которое
переводит точку 0 в точку а.
Решение уравнений вида
2х=\
*) См. также книгу: И. М. Я г лом, Комплексные числа и их
применение в геометрии, М., Физматгиз, 1963.

in
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
205
приводит к открытию рациональных чисел |i = -y, где
а — целое, а b — целое положительное число, куда
включаются не только целые числа а = у, но также и дро*
би, как, например, у и —-g-. Рациональные числа нельзя
записать в естественном порядке, потому что между
любыми двумя из них есть еще одно, а следовательно, и
бесконечно много других рациональных чисел;
например, между числами -у и -~ расположено число \\d •
Соответствующие им точки расположены всюду
плотно на оси х, и с первого взгляда может показаться, что
они покрывают ее целиком. Умножение и деление
выступают как (центральные) гомотетии: преобразование
x-+\ix — это гомотетия 0(\х), где О — начало координат,
соответствующее нулю; иными словами, умножение на
ja — это гомотетия с центром О, переводящая точку / в
JUX JU
Рис. 93.
точку fx. Разумеется, \х может быть как положительным
(левая часть рис. 93), так и отрицательным (правая часть
рис. 93) числом. В частности, умножение на —1
представляет собой симметрию относительно точки О.
(Точка / соединена на рис. 93 с произвольной точкой оси у.)
Рациональное число -у можно получить из целого
числа а, применяя к нему гомотетию О (у),
переводящую Ь в 1. (Рис. 94 иллюстрирует получение рациональ-

206
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ.9
ных чисел «2 и —2*. 1 Из этой конструкции ясно, почему
знаменатель Ь не может быть нулем. Число Ь
может быть отрицательным, но при этом мы, естественно,
отождествляем числа —-г и ^т—• Точно так же мы
О 7 # b a a R о / b
а о
Рис. 94
обычно записываем каждую дробь в ее «простейшей
форме», при которой числитель и знаменатель не имеют
общих множителей.
УПРАЖНЕНИЕ
Используя метод рис. 94, построить число -~-.
§ 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
«Чему же вас учили?» — спросила Алиса.
«Сначала чихать и плясать, конечно, — ответил Мок-
Тартль, — затем четырем действиям арифметики:
Служению, Почитанию, Угождению и Давлению».
Льюис Кэррол [1], гл. 9, стр. ПО,
Решение уравнения вида
х2 = 2
приводит к открытию действительных чисел, куда
включаются не только рациональные ^исла, но и иррацио*
нальные числа (как, HanpnMept )/2 и д), которые не мо«

$2]
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
207
гут быть представлены в виде дробей. (На самом деле
число я нельзя представить даже в виде корня
алгебраического уравнения.) Пифагорово доказательство
иррациональности V 2 рассмотренное X а р д и ([2], стр. 32—
36), являющееся одним из наиболее популярных
образцов математики древних, «так же свежо и выразительно
в наши дни, как и тогда, когда оно было открыто».
По Кантору (Робинсон [1], стр. 79)*),
иррациональное число можно определить, как предел
сходящейся последовательности рациональных чисел, или, более
точно, множества всех последовательностей
«эквивалентных» (в определенном смысле) данной
последовательности; например, действительное число является
пределом последовательности
3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ,.#
или «эквивалентной» последовательности
4; 3,2; 3,15; 3,142; 3,1416; ...
Соответствующая точка на оси х является пределом
сходящейся последовательности «рациональных» точек.
Действительные числа, кроме того, можно
подразделить на алгебраические числа (как, например, Y2 и
F 2), каждое из которых можно представить в виде
корня уравнения
9.21
а0хп + а{хп-1+ ••• +ап = 0
с целыми коэффициентами, и трансцендентные числа
(как, например, к и е), которые нельзя представить
таким образом. Среди алгебраических чисел иногда
различают квадратичные иррациональности, как,
например, У2 и У2 —"1/2, которые можно построить
циркулем **).
*) См. также, например, В. В. Н е м ы ц к и й, М. И.
Слуцкая, А. Н. Черкасов, Курс математического анализа, т. I, II,
М., Гостехиздат, 1957.
**) См., например, Курант и Роббинс [1], гл. II или
А. Н и в е н, Числа — рациональные и иррациональные, M.t «Мир»,
1966.

208
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. 9
§ 3. ДИАГРАММА АРГАНА
Я недавно встретил человека, который сказал
мне, что он не верит даже в существование
минус единицы, так как из этого следует
существование квадратного корня из нее. Это в некотором
смысле последовательная позиция. Существует
несколько болыиее число людей, которые
рассматривают У 2 как нечто совершенно очевидное,
но останавливаются перед V — /. Это
происходит потому, что они думают, что первое из этих
понятий можно изобразить в физическом
пространстве, а второе нет. В действительности же
V—1 представляет собой значительно более
простое понятие.
Э. Ч. Титчмарш (род. 1899) [1]. стр. 99).
Задача о решении уравнения
9.31
jc*+1=0
привела к открытию комплексных чисел (названных так
Гауссом), куда включаются не только действительные
числа, но также и «мнимые» числа, как, например,
квадратный корень из —1. Поскольку действительные числа
представляются точками оси х, естественно попытаться
представить комплексные числа точками плоскости
(л:, у), т. е. представить их произвольными парами
действительных чисел, для которых определены операции
сложения и умножения (Сайндж[2], глава 9)*).
В этих так называемых диаграммах Аргана (введенных
Каспаром Весселем в 1797 г. несколькими годами
раньше самого Аргана) точки складываются так же, как
соответствующие им векторы, выходящие из начала
координат О (которое изображает число 0):
9.32
(х, у) + (а, Ь) = (х + а, у + Ь)
(рис. 95). Иными словами, для сложения с (а, Ь) мы
применяем параллельный перенос, переводящий (0, 0)
в (а, Ь).
*) См. также любой курс высшей алгебры.

§8]
ДИАГРАММА АРГАНА
209
Умножение на целое число по-прежнему выступает
как гомотетия; так, например,
2 (х, у) = (х, у) + (х, у) = (2*. 2у)
(рис. 96). В частности, умножение на —1—это
симметрия относительно точки О. Что же представляет собой
умножение на «квадратный корень из —1»? Это должно
(х,у)+(а, Ь)
(ЪУ)
Рис. 95.
(ZO)
быть такое преобразование, «квадратом» которого
является симметрия относительно О. Этому требованию,
очевидно, удовлетворяет вращение на 90° (Харди [1],
стр.83) *).
Умножение на произвольное комплексное число
должно быть преобразованием, для которого точка О
является неподвижной; частными случаями этого
преобразования должны быть вращение и центрально-подобное
преобразование (центральная гомотетия). Таким
преобразованием, очевидно, является центрально-подобное
вращение (§ 4 гл. 5). Таким образом, операцию
умножения точки общего вида (л:, у) на некоторую точку (а, Ь)
можно определить как центрально-подобное вращение
(с центром О), переводящее точку (1, 0) в (а, Ь)
(Клейн [1], стр. 88). Рассмотрим подробнее, как
действует это центрально-подобное вращение. Пусть точки
(а, 6), (ху у) имеют полярные координаты (с, а), (г, Э),
так что a = ccosa, b = c sin a, x = r cos Э, y = rs\n 0. Тогда
центрально-подобное вращение (рис. 97) перемножает г
*) Ср. И. В. Арнольд, Теоретическая арифметика, М., Уч.-
педгиз, 1939, стр. 328, или Г. М. Шапиро, Высшая алгебра, М.,
Учпедгиз, 1938, стр. 38.

210 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 9
и с и складывает а и в, т. е. преобразует
г cos 6 = л: и г sin 6 = */
в
cr cos (6 -f-а) = £/■ (cos в cos а — sin 8 sin а) =
= {с cos а) (г cos Э) — (csin а) (г sin в) = ах — by
и
cr sin (9 + а) = cr (sin 0 cos а + cos 0 sin а) =
= (с cos а) (rsin0) + (с sin а) (г cos 0) = ay+bx.
Следовательно, правило умножения (в декартовых
координатах) таково:
9.33
(а, Ь)(х, у) = (ах — by, ay + bx).
Так как {ху у) + (а, 0) = (х + а, у) и (а, 0) (*, у) =
*= (ах, а//), то естественно отождествить комплексное
Прямоугольные координаты Лолярше коор&ияат/
Рис. 97.
число (а, 0) с действительным числом а, так что
fl(*. У) = (<**. АУ), (*• #) = (*, 0) + (0, */)=*+J/(0, 1).
Вводя специальный символ Эйлера i, обозначающий
комплексное число (0, 1), мы можем записать
(*, y)=x + yi=x+iy

Ml
МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ
211
и *2=(0, 1)(0, 1) = (—1, 0)==— 1. В этих обозначениях
правила 9.32 и 9.33 приобретают вид
(x + yi)-\-(a + bi) = (x + a) + (y + b)if
(а + Ы) (х + yi) = (ах — by) 4- (ay + **) i,
которые можно рассматривать как обычные правила
сложения и умножения выражений, содержащих
некоторый объект U такой, что i2=—1 (Биркгоф и Мак
Лейн[1], стр. 102).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решить уравнение г2 — 4г+5 = 0.
2. Из уравнения u+iv = Q следует, что « = 0 и у = 0.
3. Представить nr^ в виДе •* + У*.
а + 01
4. Проделать изображенное на рис. 97 построение для случаев
а) Ь=0 и б) а2+&2=1.
§ 4. МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ
Абрагам Демуавр (правильнее его фамилия
пишется де Муавр) умер в Лондоне 27 ноября
1754 года. Незадолго до своей смерти он заявил,
что ему необходимо каждый день спать на
десять — пятнадцать минут больше, чем в предыду*
щий. На следующий день после того, как он
достиг в сумме двадцати трех с лишним часов, он
проспал все двадцать четыре часа — и умер во сне.
У. У. Руз Бол л [2], стр. 383-384,
Заменяя декартовы координаты полярными, мы
представляем комплексное число z=x + yi в виде
r(cos 6 + fsin 0)«
Расстояние г от начала координат до данной точки
называют модулем (или «абсолютной величиной») числа z и
обозначают |г|. Угол 0 называют аргументом (или
«амплитудой») числа z и обозначают argz. Таким образом,
\x+yi\ = V^T?. arg(*4-y0 = arctg^*).
*) Или Jt+arctg—, в зависимости от знаков х и у.

212 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 9
Так как умножение на с = а + Ы изображается
центрально-подобным вращением, которое является
произведением центрально-подобного преобразования (гомотетии)
с коэффициентом \с\ и вращения на угол arg с, мы
имеем
\cz\ = |c||z|, arg кг| =argc + arg£.
Если |c|=l, то умножение на с изображается
обыкновенным вращением. Такое число с представляется в
виде
cos a + i sin а,
где а = arg с — угол вращения. Повторив это вращением
раз, мы получим теорему де Муавра:
(cos а + / sin а)п = cos па + * sin па.
В частности, умножение на
2я . . . 2я
со == cos h i sin —
n ' n
2jt
изображается вращением на угол —. Применяя это
вращение и его последовательные степени к точке /, мы
получим вершины правильного я-угольника, {я},
вписанного в единичную окружность |г| = 1. Эти п точек
изображают корни
1, со, со2, со3, ..., con_I
уравнения деления круга гп = 1 (см. § 1 гл. 2). Из
теории уравнений можно вывести тождество
zn — 1 = (г _ 1) (г — о)) (г — со2)... (г — со71-1).
В частности, четыре корня четвертой степени из 1
таковы:
1, /, /2 = — 1, i3 = —i.
Так как /4=1, более высокие степени образуют такие же
циклы, например
Каждому комплексному числу z=x + yi соответствует
сопряженное число z=x — yi, полученное отражением
числа z от оси х. Таким образом,
zz=x2+y2=\z\*

§41 МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ 213
и число, обратное z, таково:
1 1 -
•г.
z 1*1»
В частности, имеет место равенство
1
cos a-\-i sin а
:Cosa — i sin a,
которое представляет собой теорему де Муавра для
л=—1.
Инверсия с окружностью инверсии |г| = 1
преобразует число r(cos 0 + /sin0) в —(cos 8 + / sin 6), т. е.
преобразует Z в
1 1
■=■ = Z.
г |**|
Теорему де Муавра легко распространить с целых
значений п на рациональные значения, а затем ка любые
действительные значения. В частности, если точка
непрерывно перемещается по окружности |z|=l, то ее
можно представить в виде
9.41
cos:в + / sin 0 = (cos 1 -f- /sin l)e,
где 9 изменяется непрерывно от 0 до 2л.
Применяя такую же идею к комплексному числу
г = ji(cos 1 -(-/sin 1)
с модулем \лф\, мы видим, что его степени
ze = |ie(cos0 -f-/sin6)
заполняют равноугольную (логарифмическую) спираль
г=^е(§6гл. 8).
УПРАЖНЕНИЕ
Используя формулу де Муавра, найти:
а) два квадратных корня из 3+4/;
б) три кубических корня из 1, т. е. 1, со, со2,
в) шесть корней шестой степени из 1 (через со);
г) двенадцать корней двенадцатой степени из 1.

214
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ.9
§ 5. ФОРМУЛА ет+\=0
Эта знаменитая формула — возможно, самая
компактная и знаменитая из всех формул — была
обнаружена Эйлером еще до открытия ее де Му-
авром: ея*'-М=0... Она обращена к мистику,
равно как и к естествоиспытателю, философу и
математику. Но для каждого из них она имеет
особое значение. Хотя эта формула де Муавра
была к тому времени известна более столетия,
для Бенджамина Пирса она явилась чем-то вроде
откровения. Обнаружив ее, он обратился к своим
студентам с такими словами: «Джентльмены,—
это, наверно, правда, но она абсолютно
парадоксальна; мы не можем понять ее, и мы не знаем,
что она значит, но мы доказали ее, и поэтому мы
знаем, что она должна быть достоверной».
Э. Кезнер и Дж. Ньюмен [1], стр. 103—104.
После введения действительных степеней
комплексных чисел z® = |ie (cos 9 + i sin 9) мы, естественно,
задаемся вопросом, существуют ли степени с произвольным
комплексным показателем. Частичный ответ на этот
вопрос дает теория бесконечных рядов. Рассмотрим,
например, ряды
**-1+*+£ + -5Г + ?Г + -5Г+--"
X3 , Xs
81пл: = х-зГ + -5Г- ...
Первый ряд, который дает известное разложение
функции ех в случае действительного х, является
определением функции е* в других случаях. Так, например,
. /2 /3 /4 /5
•'-l + ' + i- + A- + :ir + ir+-e
— {^~1 2Г ЗГ"1" 4Г+* 5Г~ ••" ~
_1_
2!
+ 1г----)+'(1-1г+^- •••) =
= cos 1 -f/sin 1.

$ 6] КОРНИ УРАВНЕНИЙ 215
Эти ряды дают нам возможность представить формулы
9.41 в краткой форме Эйлера:
9.51
cos9-H'sin9 = £eS
являющейся более удобной формой тождества
0/ = loge (cos 0 -f- / sin 0),
открытого P. Котсом1) (1682—1716), после
безвременной смерти которого Ньютон сказал: «Если Коте
жил, мы должны кое-что знать!». Положив 8 = я в 9.51,
мы получим «знаменитую формулу»
^ = — 1,
которая связывает таким неожиданным образом три
замечательных числа
<? = 2,71828 ..., л = 3,14159 ...и Л
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислить е2 . Является ли i* действительным числом?
ет . е-ы
2. Вывести из 9.51 формулы cos 0 = U » sin 0 =
eBi—e-ei
— f обычные формулы для cos (9 + а), sin (0 + а) и
формулы производных от cos 0 и sin 0.
§ 6. КОРНИ УРАВНЕНИЙ
Гаусс ... был первым математиком, который
обращался с комплексными числами действительно
уверенно и умело.
Г. X. X a р д и (см. Харди и Райт [1], стр. 188).
В поле комплексных чисел мы можем решать любые
квадратные уравнения с действительными
коэффициентами, например, уравнение 9.31 имеет два корня i и —/.
Еще более замечательно то, что мы можем решить
не только любое квадратное уравнение, но также и
') R. Cotes, Harmonia mensurarum, Cambridge, 1722, стр. 28,

216
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ.9
любое квадратное уравнение с комплексными
коэффициентами и даже любое уравнение 3 и 4 степени.
Когда мы говорим, что мы можем «решить» уравнение,
это значит, что мы можем найти определенные
выражения для его корней через коэффициенты. Э. Галуа
(Е. Galois; он был убит в 1832 году в возрасте 20 лет)
доказал, что алгебраическое уравнение общего вида 9.21
с /г>4 не может быть решено в этом смысле (Ин-
фельд [1]). Тем не менее основная теорема алгебры
(доказанная Гауссом в 1799 году) утверждает
существование корней для всех значений п, даже когда точные
выражения для корней не могут быть навдены.
[Доказательство см. у Биркгофа и Мак Лейна [1],
стр. 107—109 (или в любом другом курсе алгебры).]
Действительно, числовые значения корней можно найти,
если поочередно исправлять десятичные знаки
некоторого произвольно взятого «приближения».
УПРАЖНЕНИЕ
Лестница длиной в 24 фута прислонена к стене, причем она
опирается на дополнительную подпорку, имеющую форму куба
с ребром 7 футов. Эта подпорка одной своей гранью прилегает
к стене, а одним горизонтальным ребром поддерживает лестницу.
На каком расстоянии от стены находится основание лестницы.
[Указание: обозначьте высоту той части лестницы, которая
выступает над кубом через 7х и получите уравнение, которое будет
иметь корень 7х = 9 + К2.]
§ 7. КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В § 3 мы видели, что преобразование
z' = z + b
(которое переводит каждое комплексное число z в
сумму этого числа и постоянного числа Ь) представляет
собой параллельный перенос, а преобразование
г' = az
(которое переводит каждое комплексное число z в
произведение этого числа на постоянное число а)
представляет собой центрально-подобное вращение с центром в
точке О, включающее в качестве частных случаев
центрально-подобное преобразование (когда а —
действительно) и вращение (когда [aj=l). Следовательно,

§7]
КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
217
центрально-подобное вращение с центром в
произвольной точке с выражается формулой
zr — c = a(z — с)
или
z'z=zaz-\-(l —а) с,
А значит, самое общее собственное преобразование
подобия, описанное в § 5 гл. 5, является общим линейным
преобразованием
z' — az-\-b
(Форд [1], стр. 11), причем оно является параллельным
переносом или центрально-подобным вращением, в
зависимости от того, выполняется или нет равенство я = 1.
[В последнем случае c — yzi—•
Так как произведение зеркального преобразования
подобия и симметрии относительно прямой является
собственным преобразованием подобия, то произвольно
заданное зеркальное преобразование подобия можно
представить как произведение данной симметрии
относительно прямой и соответствующего собственного
преобразования подобия. Используя симметрию
относительно оси х, а именно, _
z =z
(§ 4), мы видим, что зеркальное преобразование
подобия общего вида является «сопряженным» линейным
преобразованием
z'=:az-{-b.
Так как в этом случае коэффициент подобия снова
равен \а\, это преобразование является скользящей
симметрией (которое может вырождаться в осевую
симметрию), если |я|=1, или центрально-подобной
симметрией, если \а\Ф \.
В § 4 мы видели, что преобразование z' = —
представляет инверсию, где окружность инверсии —
единичная, т. е. |г| = 1. Точно так же, преобразование
г

218 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 9
является инверсией с центром О и степенью k.
Далее, инверсия с произвольной окружностью инверсии
k2
\z — а| =k запишется как zl — а = ■=—=- или
z— а
9.71
z —а
Согласно 6.71, произвольное круговое
преобразование, отличное от преобразования подобия,
представляется в виде произведения инверсии и движения
z' = pz-\-q или z'' = pz + q,
где |р| = 1. Для того чтобы аналитически выразить эти
произведения, заменим z в правой части формулы 9.71
на pz + q или pz-\- q и соответственно получим
г , k2 az-\-b
z =а-\ i = —r~r
1 pz-\-q — a z-f-d
ИЛИ
г> = а + -=£ = ££±*,
pz-\-q — a z-\-d
где b и d — некоторые выражения, зависящие от k2y р,
q и а. Следовательно,
Каждое круговое преобразование — собственное или
зеркальное—является дробно-линейным преобразованием
9.72
, az-\-b , az-\-b , , , , ч
г =—Л— или z ==—=rJ—- (айфЬс),
cz + d cz + d у ;
где с можно считать принимающим лишь значения О
или 1 (в зависимости от того, будет ли преобразование
подобием или нет).
Обратно, произвольное дробно-линейное
преобразование 9.72 переводит окружности в окружности. Легче
всего убедиться в этом, подставляя 9.72 в уравнение
произвольной окружности \z—u\=k или (г—и) (г—й)=62.
Ясно, что полученное уравнение будет такого же вида.
Вместо этого можно привести рассуждение,
предложенное Н. С. Мендельсоном 1).
*)N. S. Mendelsohn, American Mathematical Monthly 51,
1944, стр. 171.

§7] КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 219
Если с=0, то преобразование, как мы видели,
является подобием. Если сФО, то мы можем положить с=1,
как и прежде; но нам будет удобнее использовать
другую нормировку, а именно, умножить а, Ь, с и d (если
это необходимо) на такое число, чтобы коэффициенты
удовлетворяли равенству ad— 6с= 1 (Форд [1], стр. 9).
Тогда мы имеем следующее тождество, в котором
фигурируют непрерывные дроби:
аг-\-Ь я, 1 .
cz+d~ с"1 ; Г •
С ^ 1
с +
d I
С '
это тождество, разумеется, остается справедливым, если
мы в обеих его частях заменим z на z. Таким образом,
«гомография»
может быть представлена в виде произведения девяти
простых преобразований
а . 1 ,
Z9 — — -f- Z8, Z8 — — , Z7 — С -J- Zq,
_ 1 _ 1 ,
z*-"Tb' гь — — 7~^г*у
1 . 1 d .
z4 = — > z3 = c + z2, z2 — — y zx = -+zt
каждое из которых представляет собой либо
параллельный перенос z' = b + z или специальную инволюцию Мё-
бяуса вида z" — — : произведение инверсии 2"= —
г Z
симметрии z'=z. (Число шагов может быть уменьшено
с девяти до четырех, если использовать
центрально-подобные вращения zf = -^-z\ интересно заметить, что
это более сложное преобразование само является
произведением переносов и «горизонтальных» инволюций

220
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. 9
Мёбиуса.) Для «антигомографии»
z' — а~* + ь
cz + d
мы поступим таким же образом, добавляя еще одно
отражение z' — z. Так как этим исчерпываются все
круговые преобразования, мы получили искомый результат.
С помощью более сильных методов теории функций
комплексной переменной удается доказать (Форд [1],
стр. 10), что каждое сохраняющее углы преобразование
всей конформной (или круговой) плоскости на себя
может быть представлено в виде 9.72. Это показывает, что
классы круговых и сохраняющих углы (конформных)
преобразований (всей!) круговой плоскости совпадают.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если |а| = 1 и а ф\, преобразование zr—az-\-b является
вращением. Найти угол этого вращения.
2. Если \а \Ф\, преобразование z'=az+b является центрально-
подобной симметрией. Какой угол составляет его ось с осью х?

ГЛАВА 10
ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ
В § 6 гл. 4 мы видели, что евклидову плоскость
можно покрыть квадратами таким образом, чтобы к каждой
вершине прилегали четыре квадрата. Если мы
попытаемся объединить квадраты таким образом, чтобы к
каждой вершине прилегали только три квадрата, то мы
увидим, что фигура замкнется как только мы используем
шесть квадратов, и мы получим куб {4, 3}. Подобно
этому мы можем покрыть плоскость равносторонними
треугольниками таким образом, чтобы к каждой
вершине прилегали шесть треугольников, и интересно
посмотреть, что получится, если мы используем три,
четыре или пять треугольников вместо шести. С другой
стороны, можно использовать пятиугольники таким
образом, чтобы к каждой вершине прилегали три
пятиугольника, как это указывается символом {5, 3}. Такие
многогранники будут простейшими среди всех
трехмерных фигур, за исключением, быть может, сфер. С их
помощью можно получить представление о предмете
топологии. При их изучении возникают интересные
тригонометрические упражнения; их можно определять и
обобщать многими различными способами (см.,
например, Гильберт и Кон-Фоссен[1] стр. 298).
§ 1. ПИРАМИДЫ, ПРИЗМЫ И АНТИПРИЗМЫ
Хотя изучение пространственных тел является
мало распространенной и пренебрегаемой ветвью
геометрии, но весьма важное и значительное
продвижение вперед в этой науке будет (без сомнения)
сделано тем, чей гений сумеет одинаково хорошо
проникнуть в ее теоретические и практические
аспекты, для коих оно действительно предназначено.
Абрахам Шарп (Abraham Sharp, 1651—1742),
Geometry Improv'd, London, 1717, стр. 65.
Выпуклый многоугольник (например, такой, как {п}у
где п — целое) можно определить как конечную часть

222
ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 10
плоскости, «ограниченную» некоторым числом прямых
таким образом, что внутренность многоугольника лежит
по одну сторону от каждой прямой. Аналогично
выпуклым многогранником называется конечная замкнутая
область пространства, ограниченная некоторым числом
плоскостей*) (Ко кете р [1], стр. 4; (Болтянский и
Яглом [2], стр. 211—212).) Часть каждой из
плоскостей, вырезанная другими плоскостями, представляет
собой многоугольник, который называется гранью
многогранника. Общая сторона двух граней называется
ребром многогранника. Наиболее известными
многогранниками являются пирамиды и призмы.
Мы будем рассматривать только «прямые
правильные» пирамиды, гранями которых являются один
правильный я-угольник и п равнобедренных треугольников
и «прямые правильные» призмы, гранями которых
являются два правильных я-угольника и п
прямоугольников (так что в каждой вершине призмы сходятся два
прямоугольника и один я-угольник). Высоту можно
подобрать таким образом, чтобы прямоугольники стали
квадратами, и тогда мы получим пример однородного
(«полуправильного») многогранника: все его грани —
правильные многоугольники и все вершины устроены
одинаковым образом (Бэл л [1], стр. 135; (Перепелкин
[2], стр. 289).) При я = 4 такая призма становится кубом,
который является уже не только однородным
(полуправильным) многогранником, но и правильным
многогранником: все его вершины, ребра и грани одинаковы.
[Слово «одинаковый» можно уточнить с помощью теории
групп. Имеется в виду, что группа симметрии куба
содержит преобразование, переводящее любую грань, ребро
или вершину в любую другую грань, ребро или вершину.]
Высоту я-угольной пирамиды иногда можно
подобрать таким образом, что равнобедренные треугольники
станут равносторонними. При п<6 это можно сделать,
однако шесть равносторонних треугольников уже
заполнят плоскость шестиугольника и не образуют
телесного угла. Треугольная пирамида называется тетраэд-
*) С аналогичным дополнительным требованием, чтобы
внутренность многогранника лежала по одну сторону от каждой плоскости.

§11
ПИРАМИДЫ, ПРИЗМЫ и АНТИПРИЗМЫ
223
ром. Если три, а следовательно, и все четыре грани
тетраэдра являются равносторонними треугольниками,
тетраэдр называется правильным.
Несколько скосив я-угольную призму, мы получим
я-угольную антипризму (или «призматоид», или «приз-
моид»), гранями которой являются два правильных
л-угольника, соединенных 2/г равнобедренными
треугольниками. Высоту такой антипризмы всегда можно
подобрать таким образом, чтобы равнобедренные
треугольники стали равносторонними, и тогда мы получим
полуправильный многогранник, у которого в каждой
вершине сходятся три треугольника и один я-угольник.
При п = 3 антипризма представляет собой правильный
октаэдр. При п = 5 мы можем приставить к каждому
основанию антипризмы по пятиугольной пирамиде и
получить правильный икосаэдр (Ко кет ер [1], стр. 5). Две
игральные кости династии Птоломеев, имеющие форму
икосаэдра, хранятся в Египетских залах Британского
музея в Лондоне.
Таким образом, мы построили четыре из пяти
правильных выпуклых многогранников, а именно, те,
которые Платон считал символами четырех элементов:
земли, огня, воздуха и воды. Различие между четырьмя
элементами и пятью телами не нарушало Платонову схему.
Он считал пятый многогранник фигурой, охватывающей
всю вселенную. Этот многогранник стал
квинтэссенцией*) средневековых алхимиков. Модель этого
правильного додекаэдра может быть получена объединением
двух «чаш», состоящих из пятиугольника, окруженного
пятью другими пятиугольниками. Две чаши
действительно сомкнутся, потому что их свободные ребра образуют
пространственный десятиугольник, похожий на тот,
который образуют боковые ребра пятиугольной
антипризмы (с равнобедренными боковыми гранями). Штейн-
гауз ([2], стр. 161 — 163) дает очень изящный метод
построения такой модели. Из листа картона нужно
вырезать две развертки, как изображено на рис. 98, по
одной для каждой части, затем провести тупым ножом
вдоль пяти сторон центрального пятиугольника, для
*) Quinta essentia — пятая сущность (лаг.).

224
ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ
[ГЛ. ю
того чтобы обозначить на нем дополнительные ребра.
Положите полученные развертки одну на другую накрест
(т. е. так, чтобы центральные пятиугольники были
повернуты один относительно другого на угол 36°), а
затем склейте эластичным шнуром углы полученной
двойной звезды, чередуя грани верхней и нижней разверток
и удерживая одной рукой всю модель в горизонтальном
Рис. 98. Рис. 99.
состоянии. После того как вы отнимете руку,
центральные пятиугольники отойдут друг от друга, а вся фигура
поднимется и образует готовую модель додекаэдра
(рис. 99).
Таблица II
Пять Платоновых тел
Название
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Символ
Шлефли
{3,3}
{4,3}
{3,4}
{5,3}
{3,5}
V
4
8
6
20
12
Е
6
12
12
30
30
F
4
6
8
12
20
Двугранный
угол
70°32—
90° !
109°28+
116°34— 1
138°11 +
Основные характеристики пяти правильных
многогранников (Платоновых тел) собраны в таблице II.
Каждый многогранник характеризуется символом
Шлефли {р, q}y обозначающим, что многогранник имеет р-
угольные грани, а в каждой его вершине сходятся q гра-

§2]
ЧЕРТЕЖИ И МОДЕЛИ
225
ней. Числа вершин, ребер и граней обозначаются через V,
Е и F соответственно. Их можно сосчитать в каждом
отдельном случае, но их значение станет яснее, когда
мы выразим их как функции от р и q. В дальнейшем
мы получим также выражение для двугранного угла,
т. е. угла между плоскостями двух соседних граней.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Дать другое описание октаэдра (как бипирамиды).
2. Описать многогранник, имеющий пять вершин и шесть
треугольных граней.
3. Описать сечения: а) правильного тетраэдра плоскостью,
параллельной двум противоположным ребрам и находящейся на
равных расстояниях от них, б) куба плоскостью, равноудаленной от
двух противоположных вершин и перпендикулярной диагонали
куба, в) додекаэдра плоскостью, равноудаленной от двух
противоположных граней.
4. Шесть равных ромбов с углами 60° и 120° служат гранями
ромбоэдра (скошенного куба). От двух противоположных «острых»
углов этого многогранника можно отрезать тетраэдры таким
образом, чтобы оставшаяся фигура была октаэдром. Другими словами,
два тетраэдра и октаэдр можно объединить в ромбоэдр. Показать,
что тетраэдр и октаэдр имеют дополнительные двугранные углы и
что бесконечным множеством многогранников этих двух видов
можно заполнить все евклидово пространство (Бол л [1], стр. 147),
§ 2. ЧЕРТЕЖИ И МОДЕЛИ
«Учителем Верчения был старый Морской Угорь,
который обыкновенно приходил раз в неделю:
он учил нас Верчению, Выпрямлению и
Свертыванию в Кольца».
Льюис Кэррол [I], гл. 9, стр. 111.
Леонардо да Винчи делал каркасные модели
многогранников, изготовляя ребра из дерева и оставляя грани
воображаемыми (Пачоли [1]. Если смотреть на такую
модель из точки, лежащей в точности напротив центра
одной из его граней вблизи этого центра, то эта грань
будет представляться большим многоугольником, внутри
которого лежат все остальные грани. Такой рисунок
многогранника называется диаграммой Шлегеля
(Гильберт и Кон-Фоссен [1], стр. 152—153).
На рис. 100 изображены перспективный чертеж,
развертка, из которой можно сложить картонную модель,

А
Те/праэф {3,3}
W <i3}
Ф
Ошаэ8р {3,4}
До0маэ0р (4 3}
ШасаэЯр {3,5}
Рис. 100.

$31 ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА 227
и диаграмма Шлегеля каждого из пяти Платоновых тел.
На них видны устройство граней и их расположение
около вершин.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Нарисовать диаграмму Шлегеля для пятиугольной
антипризмы.
2. На какое наименьшее число остроугольных треугольников
можно разбить тупоугольный треугольник? [F. W. Levi,
Mathematics student 14, 1946.1
3. На какое наименьшее число остроугольных треугольников
можно разбить квадрат? [Martin Gardner, Scientific American
202, 1960, стр. 178.]
§ 3. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
Эйлер ... не проглядел ничего в современной ему
математике, хотя последние семнадцать лет своей
жизни он был совершенно слепым.
Э. Т. Б э л л [2], стр. 330.
Диаграмма Шлегеля для многогранников очень
хорошо показывает, какие вершины принадлежат тем или
иным ребрам и граням. Каждая грань представляет
собой область, ограниченную ребрами, исключая
«начальную» грань, которая заключает в себе все
остальные. Чтобы установить взаимооднозначное соответствие
между гранями и областями на плоскости, мы должны
сопоставить начальной грани бесконечную внешнюю
область.
Многогранник, который можно изобразить
диаграммой Шлегеля, называется односвязным или эйлеровым,
потому что его числовые характеристики удовлетворяют
формуле Эйлера
V—E+F=2
(Гильберт и Кон-Фоссен [1], стр. 296), которая
верна не только для диаграммы Шлегеля таких
многогранников, но и для произвольной связной «карты»,
образованной конечным числом точек и отрезков
прямых, разбивающих плоскость на непересекающиеся
области; единственным ограничением является следующее:
вершин карты должно быть не меньше одной!

228
ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ
[ГЛ, 10
Доказательство, подобное доказательству Эйлера,
может быть следующим. Любую связную карту можно
построить из простейшей карты, состоящей из одной
изолированной точки, последовательно добавляя ребра.
На каждом шаге новое ребро либо соединяет старую
вершину с новой, как на левой половине рис. 101, либо
соединяет две старые вершины, как на правой половине
рис. 101. В первом случае
|\^ у\ и V, и Е увеличиваются на
1, a F остается постоянным;
во втором случае V
остается постоянным, а Е и F уве-
Рис. 101. личиваются на 1 каждое.
В обоих случаях выражение
V—E + F остается постоянным. Вначале, когда у нас
была только одна вершина и одна область (а именно,
вся плоскость), мы имели
V-E + F=\-0 + \=2.
Это значение 2 остается постоянным в течение всего
процесса. Таким образом, формула Эйлера справедлива
для любой плоской карты. В частности, она справедлива
для любой диаграммы Шлегеля, а значит, и для любого
односвязного многогранника. [Другое доказательство,
принадлежащее фон Штаудту, см.: Радемахер и
Теплиц [1], стр. 97—99.]
В случае правильного многогранника {/?, q] числовые
характеристики удовлетворяют следующим
соотношениям:
10.31
qV = 2E = pF.
Действительно, если считать ребра, учитывая, что д
ребер сходятся в каждой из V вершин, то каждое ребро
будет учтено дважды: по одному разу для каждого
конца этого ребра.
Аналогичная ситуация возникает, когда мы считаем
р сторон каждой из F граней, так как каждое ребро
принадлежит двум граням.
Теперь мы можем вывести выражения для 1/, £, ft
через ряд.

13]
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
229
Действительно,
V _ Е __ F __ V — E + F _ 2 _ 4рд
q 2 p q 2+ p q + p 2
откуда
10.32
V — __J£__ F— 2/?<y /7— 4?
2/7 + 2^ —/7^ ' *"— 2p + 2q-pq> r ~ 2p + 2q -pq*
Так как эти числа должны быть положительными,
допустимые значения р к q должны удовлетворять
неравенству
2/?-f-2? — pq>0
или
10.33
(р-2)(д-2)<4.
Таким образом, р — 2 и q — 2 — это два положительных
числа, произведение которых меньше чем 4, а именно,
1 ■ 1, или 2- 1, или 1 -2, или 3- 1, или 1-3.
Эти пять возможностей обеспечивают простое
доказательство утверждения Евклида (Радемахер и
Теплиц [1], стр. 108—110):
Существуют только пять правильных выпуклых
многогранников: {3, 3}, (4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.
Неравенство 10.33 является не только необходимым,
но и достаточным условием существования {р, q). В § 1
мы видели, какие многогранники соответствуют
каждому его решению. Это неравенство выводится более
просто, если строить модель многогранника из его
развертки. К каждой вершине сходятся q р-угольников,
которые имеют углы
Но для того чтобы при вершине образовался телесный
угол, сумма углов всех многоугольников при этой
вершине должна быть меньше 2я. Таким образом,
q[\ — — )я <2я,
откуда, как и выше, получаем (р — 2) (q — 2) <4.

23D
ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 10
Те, кто делает модели, сразу замечают, что с
увеличением разности между 2л и суммой углов граней при
вершине многогранник превращается из такого
сложного, как додекаэдр, в такой простой, как тетраэдр.
Декарт доказал, что если эта разность б одна и та же для
всех вершин какого-либо многогранника, то она равна
2n/V (Брюкнер [1], стр. 60). Для случая правильного
многогранника {р, q] — это непосредственное следствие
формулы 10.32 для V:
Q = {2p+2q-pq)^=2n-q(l-j)n.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Число ребер многогранника {р, q) определяется формулой
Е "" р + q 2 #
2. Рассмотреть произвольные многогранники, имеющие р-уголь-
ные грани и q граней, сходящиеся в каждой вершине, где р и q
различны для различных граней и вершин. Обобщить равенство
10.31 следующим образом:
где первое суммирование ведется по всем вершинам, а второе по
всем граням. Доказать, что любой многогранник имеет или грань
с р=3, или вершину с <7=3 (или и то, и другое). [Указание:
если это не так, то 2<7>4V и 2/7 > 4FJ
3. Если все грани, ребра и вершины «одинаковы», то грани
правильные. Показать на примере, что этот результат,
справедливый для многогранника, теряет силу для мозаик.
§ 4. РАДИУСЫ И УГЛЫ
Модель многогранника {р, q) можно, очевидно,
построить из F р-угольных пирамид соответствующей
высоты, уложенных вокруг их общей вершины, которая
является центром 03 многогранника. Эта точка 03 —
общий центр трех сфер: описанной сферы, которая
проходит через все вершины, полувписанной сферы, которая
касается всех ребер в их серединах, и вписанной сферы,
которая касается всех граней в их центрах. Внешний
радиус (радиус описанной сферы) 0R равен боковой
стороне любой пирамиды (рис. 102), средний радиус (ра-

§*}
РАДИУСЫ И УГЛЫ
231
диус полувписанной сферы) 4/? — высоте боковой грани
(рис. 103), а внутренний радиус (радиус вписанной
сферы) Л — высоте всей пирамиды.
Такая р-угольная пирамида имеет р плоскостей
симметрии, которые соединяют ее вершину 03 с р осями
Рис. 102.
симметрии ее основания. Этими р плоскостями
пирамиду можно рассечь на 2р равных (неправильных)
тетраэдров специального вида. Пусть OoOi0203 (рис. 104) —
Рис.
такой тетраэдр, причем О0 — вершина многогранника,
Oi —середина ребра О00о, Ог — центр грани и 03 —
центр всего многогранника. [Развертка нарисована для
случая куба {4, 3}, у которого О0О1=О1О2=О2Оз.] Так
как плоскость Oi0203 перпендикулярна к ребру OqOq ц

232
ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 10
проходит через его середину, то O0Oi — перпендикуляр
и к 0402 и к 0\03. Так как OqOiOo — плоскость грани,
то внутренний радиус 0302 перпендикулярен к О0О2 и
Oi02. Таким образом, три прямые О0Ои Oi02 и 0203
взаимно перпендикулярны и тетраэдр «прямоугольный»:
все четыре грани его — прямоугольные треугольники.
Шлефли называл такой тетраэдр ортосхемой (К о к с т е р
[1], стр. 137). Многие соотношения между радиусами
0/?=О0О3, xR = Ox039 2R=o2o3
могут быть получены из четырех прямоугольных
треугольников, в которых O0Oi = / и ZO0O2Oi==—. Но для
этого необходимо прежде всего найти угол
который равен половине угла, под которым видны ребра
из центра (Кокетер [1], стр. 21—22).
Весьма важен также угол
— половина дополнительного угла к двугранному углу
многогранника. Иными словами, двугранный угол равен
я—2ф.
Для отыскания этих углов полезно определить
вершинную фигуру многогранника, {р, q)— многоугольник,
образованный серединами q ребер, сходящихся в
вершине О0. Этот многоугольник плоский, так как его
вершины принадлежат окружности, по которой
пересекаются две сферы — полувписанная сфера с центром 03 и
радиусом iR^OzOi и сфера с центром О0 и радиусом
l^OoOi. Из 2.84 следует, что вершинная фигура
многогранника {р, q) — это многоугольник {q} со стороной
2/cos~.
Р
Так как плоскость этого многоугольника
перпендикулярна к прямой О3О0, то его центр Q — основание
перпендикуляра, опущенного из точки Oj на О3О0 (рис. 103),
и радиус окружности, описанной около многоугольника,
равен
QOi = /cos ф.

Sfl
РАДИУСЫ И УГЛЫ
233
я
Но, согласно 2.81 (с /cos—вместо /), этот внешний ра-
диус равен
Отсюда
10.41
cosq):
, я я
/cos — cosec —.
Р я
я я
_ ллр __ РЛСОР __
— LOS — LUbcL —
Р я
я
COS —
= р_
. я
sin —•
я
(Кокстер [1], стр. 21).
Прямоугольные треугольники на рис. 104 теперь дают
0/? = / cosec ф, iR = l ctg ф,
2/? = 1/?a-(Zctgi)2f С08ф = -*|.
Для того чтобы исключить ф, удобно временно
обозначить
# ^ sin2 Л — cos2 — = sin2 — — cos2 —,
Я P P Я
так что sir^ = £cosec —. Затем имеем
10.42
10.43
я
cos —
cos \|? = — q
. я
sin —
Этот последний результат дает нам возможность
подсчитать двугранный угол
я
COS
я — 2ф = 2 arcsin [ —-
sin —
Р

234
ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ
[ГЛ. га
УПРАЖНЕНИЯ
jt
1. Проверить, что & = sin-~- и что E=c(c+\)t где
2 + р + д
W-p-q
(К о к стер [4], стр. 753).
2. Вычислить значения двугранных углов, данных в таблице II
На стр. 224. [В этих вычислениях надо учесть, что двугранные углы
тетраэдра и октаэдра дополнительные. См. упр. 4 в конце § 1.]
3. Многогранник, у которого вписанная, полувписанная и
описанная сферы — концентрические, правильный.
§ 5. ВЗАИМНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Каждый правильный многогранник {р, q] обладает
взаимным, который можно определить как
многогранник, ограниченный некоторыми V плоскостями, а
именно, плоскостями вершинных фигур, построенных при V,
вершинах многогранника {р, q). Очевидно, что его ребра
А В9
/7V, г £*—
ХУ--Ж1 ЯГ/v
кЖ> Ы^
щу£\1
Рис. 105.
7 с
в
УГ~
>_.--
ы.
Рис.
т
"^
делят пополам ребра многогранника {р, q) и
перпендикулярны к ним. Те из этих Е ребер, которые
пересекают р сторон грани многогранника {р, q], проходят
через вершину взаимного, а те, которые пересекают q
ребер, сходящихся в вершине многогранника {р, q),
образуют грань взаимного многогранника. Таким образом,
Взаимным многогранником к многограннику (р, q)
является многогранник {q, р} и наоборот.
Вершины одного из них отвечают граням другого;
действительно, центры граней многогранника {р, q)
являются вершинами уменьшенного взаимного
многогранника {<7, р} (Штейнгауз [1], стр. 88—93).
Рис. 105 показывает, что октаэдр {3,4} представляет
собой многогранник, взаимный для куба {4, 3} (и наобо-

14
ВЗАИМНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
235
рот), и что взаимным для правильного тетраэдра {3,3}
является равный ему тетраэдр. Фигура, составленная из
двух двойственных тетраэдров ABCD и A'B'C'D',
встречается в природе в виде двойного кристалла. Па ноли
([1], таблицы XIX, XX) называл ее octaedronelevatum*);
Кеплер, обнаруживший ее сто лет спустя, называл ее
Stella octangula**). Двенадцать ребер двух тетраэдров
служат диагоналями шести граней куба (рис. 106).
Поменяв местами р и q в формуле 10.32 для V (или
F), мы получаем формулу для F (или V). Подобно
этому, так как точка Q, лежащая на О0О3 (рис. 103) —
центр грани многогранника {q, р}, угол ф для
многогранника {р, q) равен углу ф для многогранника {q, р}, и
поэтому выражение 10.43 для угла ф многогранника {р, q)
можно вывести из формулы 10.41 простой заменой р
на q.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Куб с ребром 1, одна из вершин которого совпадает с
началом координат, а три ребра направлены по осям, имеет 8
вершин (*, у, г), где *, г/, г независимо друг от друга принимают
значения 0 или 1.
2. Куб с ребром 2, с центром в начале координат и сторонами,
параллельными осям, имеет 8 вершин
(±1, ±1, ±1).
3. Где находится центр гомотетии, переводящей куб упр. 1 в
куб упр. 2?
4. Найти координаты вершин правильного тетраэдра, которые
совпадают с четырьмя вершинами куба. Найти уравнения его
граней и вычислить угол между двумя из них.
5. Найти координаты вершин правильного октаэдра, лежащих
в центрах граней куба, описанного в упр. 2. Найти уравнения его
граней и вычислить угол между двумя гранями, имеющими общее
ребро
6. Точки (х, у, г), принадлежащие октаэдру упр. 5,
удовлетворяют неравенству
1*1 + Ы + М<1.
7. Пусть ребра правильного тетраэдра проектируются в дуги
больших окружностей описанной сферы. Под какими углами
пересекаются эти дуги?. Найти уравнения плоскостей этих шести
больших окружностей.
*) «Поднятый октаэдр» (лат.).
**) «Восьмиугольная звезда» (лаг.).

ГЛАВА 11
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ФИЛЛОТАКСИС
Евклидово построение правильного пятиугольника
опирается на деление отрезка в отношении т:1, где
* = 2~' Этому алгебраическому числу посвящена,
опубликованная в 1509 году, книга Луки Пачоли, где он
описывает свойства или «эффекты» этого числа,
останавливаясь на тринадцати из них «ради нашего
спасения». Мы увидим дальше, что при представлении этого
числа в виде непрерывной дроби (Бэлл [1], стр. 55—
56) все последовательные частные равны, 1, т. е. т
оказывается простейшей (и медленнее всего сходящейся) из
бесконечных непрерывных дробей. Это число является
также пределом последовательности, составленной из
отношений соседних членов последовательности
Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., начало которой может
написать любой ребенок, несмотря на то, что формула для
п-го ее члена была найдена лишь в 1843 году. Наконец,
эта «божественная пропорция» в скрытом виде
проявляется в структуре растений, и этим объясняется
явление филлотаксиса, которое наиболее четко проявляется
в расположении ячеек на поверхности ананаса.
§ 1. ДЕЛЕНИЕ В КРАЙНЕМ И СРЕДНЕМ ОТНОШЕНИИ
Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из
них — это теорема Пифагора, а другое —
деление отрезка в среднем и крайнем отношении...
Первое можно сравнить с мерой золота; второе
же больше напоминает драгоценный камень.
И. Кеплер (1571—1630) [1], стр. 44.
Как мы видели, на рис. 28 (стр. 66) вершинной
фигурой правильного пятиугольника со стороной 2/
является отрезок длины т/, где

S 1] ДЕЛЕНИЕ В КРАЙНЕМ И СРЕДНЕМ ОТНОШЕНИИ 237
11.11
2 .lb
COS -g-.
Другими словами, у пятиугольника PQRST со стороной 1
(рис. 107) диагонали равны т. Пусть диагонали QS и
RT пересекаются в точке V. Говорят, что они делят друг
Рис. 109.
друга «в среднем и крайнем отношении» (образуют
«золотое сечение»). Заметим, что равнобедренные
треугольники QTU и SRU подобны, откуда
QU___Q]l_ __QS __ QS
US ~ RS — T — pt ~ Q[/
(так как PT и QU — противоположные стороны ромба
PQUT). Следовательно, диагональ QS делится в точке
U таким образом, что отношение большей части к
меньшей равно отношению всего отрезка к большей части.
Если QU = PT=\, то QS = t, US = ± и 1 -|~^ = х.
Поэтому т — положительный корень квадратного
уравнения
1.12
Х2—Т— 1=0,
а именно,
т=^5+1 = 1,618033989 ..
На рис. 108 изображен удобный способ построения
по данному отрезку QU отрезка QS такого, что QS —
= tQU. [Здесь М —-середина стороны QU квадрата

238 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ФИЛЛОТАКСИС [ГЛ. II
AQUH и MS = MH = Y5MU] Евклид (IV. 10)
использует такой способ «для построения равнобедренного
треугольника, имеющего каждый из углов при основании
вдвое большим остающегося» (QST или PRS на
рис. 107).
Фигуру пятиугольника с диагоналями можно
получить таким изящным способом: завязать простым узлом
длинную полоску бумаги и осторожно распрямить ее
(рис. 109) *),
УПРАЖНЕНИЯ
1. Обозначая через т отношение диагонали правильного
пятиугольника к его стороне, обосновать 11.11, применяя формулу 1.54
к равнобедренному треугольнику PRS.
2. С помощью одного добавочного построения циркулем найти
на рис. 108 точку, делящую отрезок QU в отношении т: 1,
§ 2. DE DIVINA PROPORTIONE**)
О его втором существенном свойстве ... О его
третьем исключительном свойстве... О его четверо
том несказанном свойстве ... О его десятом
превосходнейшем свойстве... О его одиннадцатом
замечательнейшем свойстве... О его двенадцатом
почти сверхъестественном свойстве.
Лука П а ч о л и (около^ 1445—1509) [1], стр. 6—7,
Под благотворным влиянием художника Пьеро дел-
ла Франческа (около 1416—1492), Фра Лука Пачоли
(или Паччоли — Fra Luca Pacioli или Paccioli) написал
книгу об отношении т, названную De divina proportione,
которую он иллюстрировал рисунками моделей,
сделанных его другом Леонардо да Винчи. Его энтузиазм к
этому предмету хорошо виден в названиях, выбранных
им для каждой главы. [Интересно наблюдать,
насколько его староитальянский язык местами напоминает
английский.] «Седьмое замечательное свойство»
заключается в том, что т равно радиусу окружности, описанной
около правильного десятиугольника со стороной 1.
[Поэтому мы можем вписать в данную окружность пяти-
*) См. Шклярский, Ченцов, Яглом [1], задача 2.
**) О божественной пропорции (лаг.),

f 2)
DE DIVINA PROPORTIONE
239
угольник: для этого нужно сначала вписать в нее
десятиугольник, а затем соединить его вершины через одну.]
«Девятое наилучшее свойство» состоит в том, что
диагонали правильного пятиугольника делятся в среднем и
Рис. ПО. Рис. 111.
крайнем отношении. «Двенадцатое, почти
сверхъестественное свойство» — это следующее свойство
правильного икосаэдра {3, 5}.
Грани, окружающие вершину икосаэдра,
принадлежат пирамиде, в основании которой лежит правильный
пятиугольник (подобный
вершинной фигуре). Любые два
противоположных ребра икосаэдра
принадлежат прямоугольнику,
большая сторона которого является
диагональю такого
пятиугольника. Так как диагональ
пятиугольника в т раз больше его стороны,
этот прямоугольник (стороны
которого относятся, как т: 1)
называется золотым прямоугольником.
Действительно, двенадцать
вершин икосаэдра (рис. ПО) являются двенадцатью
вершинами трех золотых прямоугольников, лежащих во
взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 111).
Модель легко сделать из трех обыкновенных открыток
(отношение сторон которых почти такое же, как у .золотых
прямоугольников). В середине каждой открытки надо
сделать разрез, параллельный ее большей стороне и

240
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ФИЛЛОТАКСИС
[ГЛ. II
равный по длине меньшей стороне. Для удобства нужно
продолжить разрез на одной открытке до ребра. Тогда
открытии можно легко соединить так, чтобы каждая
проходила через середину следующей, в циклическом порядке.
Из рис. 112 видно, что золотой прямоугольник можно
вписать в квадрат так, чтобы каждая его вершина
делила сторону квадрата в отношении т:1. Отождествив
этот квадрат с одним из трех «экваториальных»
квадратов правильного октаэдра, мы устанавливаем, что
икосаэдр можно вписать в октаэдр так, чтобы каждая
вершина икосаэдра делила ребро октаэдра в
отношении т: 1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пользуясь декартовыми координатами, отнесенными к
плоскостям трех золотых прямоугольников, записать 12 вершин
икосаэдра в виде
(0, ±т, ±1), (±1,0, ±т), (±т, ±1, 0).
2. Эти 12 точек делят ребра октаэдра с вершинами
(± т2, 0, 0), (0, ± т2, 0), (0, 0, ± т2)
в отношении т: 1.
3. Найти координаты 20 вершин правильного додекаэдра
(Кокстер [1], стр. 53).
§ 3. ЗОЛОТАЯ СПИРАЛЬ
Архимед, Леонардо, Ньютон — все они очень
практичные люди, но и нечто большее. Может
быть, ощущение чуда... Весьма, весьма
таинственно. И весьма волнующе. Что это за вещь —
волнение! Вы испытываете его, становясь Богом,
созидая и постигая Бога, наблюдая вещи такими,
как они есть.
Дж. Л. С а й н д ж 12], стр. 163.
Соотношение т=1-|— показывает, что золотой
прямоугольник ABDF (рис. 113) можно разделить на
две части: квадрат АВСН и меньший золотой
прямоугольник. [Точки В, С, D соответствуют точкам Q, U, S
рис. 108.] От маленького прямоугольника CDFH можно
отрезать другой квадрат, оставляя еще меньший
прямоугольник, и продолжать этот процесс до бесконечности.

§3]
ЗОЛОТАЯ СПИРАЛЬ
241
Так как прямоугольник HJEF гомотетичен
прямоугольнику ABDF, вершина / первого принадлежит
диагонали BF последнего. Таким образом, прямые АЕ, BF,
CG и DH содержат все вершины всех прямоугольников.
Прямоугольник CDFH можно получить из
прямоугольника ABDF с помощью центрально-подобного вращения
с центром О, лежащим в точке пересечения прямых BF
Рис. ИЗ.
и DH. Это центрально-подобное вращение, переводящее
каждую из точек Л, С, Е, G, /, ... в следующую и
каждую из точек В, D, F, Н, У, ... в следующую, является
произведением вращения на 90° в отрицательном
направлении вокруг точки О и центрально-подобного
преобразования (гомотетии) CMy)- Поэтому прямая DH
перпендикулярна к BF. Преобразование подобия,
переводящее каждый прямоугольник в предыдущий, является
произведением вращения на 90° вокруг точки О в
положительном направлении и гомотетии О(т).
Так как
ОБ _ _ ВС
OD — т— CD '
то прямая ОС делит пополам (прямой) угол BOD.
Поэтому прямые CG, АЕ пересекаются в точке О и делят
пополам углы между BF и DH.

242 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ Ч ФИЛЛОТАКСИС [ГЛ. 1Г
В полярных координатах с полюсом О
центрально-подобное вращение, которое переводит отрезок ОЕ в ОС,
переводит всякую точку (г, 0) в точку(тг, Э+2"я)#
Выбирая ОЕ за начальную прямую, а длину отрезка ОЕ
за единицу измерения, так что точка Е имеет
координаты (1, 0), мы получим, что координаты точки С
равны (*• 2"яг точки ^ равны (т2, я), противоположной
точке А вершины квадрата со стороной AF равны
it3, у я) и т. д. Аналогично координаты точки G равны
I y , — "2 я)» точки / равны (-^ * — я) или f-^г, я)и т. д.
Таким образом, мы получаем бесконечную
последовательность точек
•. ., /, С/, Jb, С, л, . ..
с полярными координатами
удовлетворяющими уравнению г = тя . Поэтому все эти
точки лежат на равноугольной (логарифмической)
спирали
где ц, = тя. Истинную спираль (Канди и Роллетт
[1], стр. 64) можно приблизить спиралью, образованной
четвертями окружностей, вписанными в
последовательные квадраты, изображенные на рис. 113. [Но истинная
спираль пересекает стороны квадратов под очень малыми
углами, а не касается их.]
УПРАЖНЕНИЕ
Найти полярные координаты точек /, Я, F, D, В. Они лежат
на другой равноугольной спирали, которая равна (найти угол
вращения!) и гомотетична (найти коэффициент подобия!) спирали
IGECA.

§ 41
ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ
2*3
§ 4. ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ
Пусть самые меньшие 1 и 1, которые мы будем
рассматривать как неравные. Сложи их,
получится 2. Прибавь это к большей 1, получится 3.
Прибавь это к 2, получится 5. Прибавь это к 3,
получится 8. Прибавь это к 5, получится 13. При-
бавь это к 8t получится 21.
И. Кеплер [3], стр. 270.
В 1202 году Леонардо Пизанский, прозванный
Фибоначчи (Fibonacci — «сын добродушного»),
рассматривая задачу о размножении кроликов1), натолкнулся на
свою знаменитую последовательность целых чисел* Он
предположил, что кролики живут вечно и что каждый
месяц каждая пара производит новую пару, которая
может давать потомство после того, как она достигнет двух
месяцев. В первый месяц эксперимент начинается с но-»
ворожденной парой кроликов. Во второй месяц
оставалась все еще одна пара. В третий месяц их становится
2, в четвертый —3, в пятый — 5 и т. д. Пусть fn
обозначает число пар кроликов в п-й месяц. Несколько первых
значений (и их последовательные отношения) можно
записать в виде следующей таблицы:
п
fn
fn+l
1 fn
0
0
со
1
1
1
2
1
2
3
2
1,5
4
3
1,6
5
5
1,6
6
8
1,625
7
13
1,6154
8
21
1,6190
9
31
1,6176
10
55
1,6182
Четыре века спустя, Кеплер ясно сформулировал то,
что Фибоначчи наверное должен был заметить: сумма
двух соседних членов этой последовательности равна
следующему члену, так что последовательность fn за*
дается рекуррентной формулой
11.41
/о = 0» fl=b f*+ /*{-! = /* 1-2-
*) R. С. Archibald, Colden section, American Mathematical
Monthly 25, 1918, стр. 232—238.

244
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ФИЛЛОТАКСИС
[ГЛ. II
Кеплер заметил также, что отношение fn:fn+i все
больше приближается к 1 : т при возрастании п (см. третью
строку приведенной выше таблицы). Еще через сто лет
Р. Симеон (R. Simson, 1687—1768; в действительности
он не открыл «прямой Симеона») установил, что
отношение -j^ является я-й подходящей дробью для
непрерывной дроби
14— !
1 +
1
1 +
1+ ...
[Эти подходящие дроби равны
1, 1 + 1=2, 1+1=Л, Ц
з •
т+т
f
и т. д.] Для доказательства того, что Um-^~ = xt Сим-
Ал
сон многократно использовал соотношение
!+Т:
т=1+7=1+
1
!+т
•=!+•
1
1 +
1 +
1
Наряду с числами /„, Э. Люка (Е. Lucas, 1842—1891)
рассматривал также тесно связанные с ними числа gn,
которые определяются равенствами
Первые несколько членов этой последовательности
таковы:
л
*?п
0
2
1
1
2
3
3
4
4
7
5
11
6
18
7
29
8
47
9
76
10
123
• • •
. . .
Легко доказывается по индукции, что (при п>0)
11.42
gri =//2-1 + //I + 1*

§ 4] ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ 245
Предоставляя доказать это читателю, мы перейдем к
установлению тождеств Люка
11.43
I2n = fngn>
11.44
hn + l = In ' In+V
которые очевидны при п = 0 или 1.
Докажем эти формулы методом математической
индукции. Пусть
l2k-\ = lk-\*h И l2k~lk£k*
Сложим и получим
/Wl = /*-l \lk\jk-\ "I lk + \) ilk ~
=== ('Л — 1 ' /л)/* 4-1 ' '# ===/л+/Л4-1-
Затем сложим равенства
hk~ikek и i2k+i = h*lk+i
и получим
l2k+2 = lk ' lk\lk-\ ' /*4-l) i /Л4-1 ==
= /*/*+l "+" fk + lfk + 2 = fk + lgk + l*
Аналогично для доказательства тождества
11.45
*" = /„*+/„-i,
которое очевидно при я = 1 или 2, мы складываем
и получаем
tfc+2 = /*+2x4-f*+i.
Тождество 11.45 остается справедливо при
отрицательном п, если мы определим f_k = f_k ь2 — /_*+i
(для £>0), так что f_k = (—1)*+1 /л. Поэтому
11.46

2^6 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ФИЛЛОТАКСИС [ГЛ. 11
11.47
' ik+i /fcT~/£_i fk ^
Складывая выражения 11.45 (при n = k) и 11.47, мы
получаем
11.48
* . 1
Вычитая равенство 11.47 из 11.45 (для n = k), получаем
11.49
1 ь 1
f (_т)й _ (-Т)»
'*"" т + ± " ^
1 т
—явную формулу, которая была открыта Ж. П. М. Бине
(J. P. М. Binet) в 1843 году.
Из формул 11.48 и 11.49 мы немедленно получаем
т - 2 ' <-т)* 2
например,
тб = 9-Ь4/5; .1. = 9-4/51
УПРАЖНЕНИЯ
1. Выразить сумму конечного ряда
1 + 1+2 + 3+ ... +fn
через /п+2.
2. Доказать тождество Симеона fn-\fni-1 ~~ fn = (~"*)"• ^а
этом основана любопытная головоломка Бол л а ([1], стр. 85) ').
1) См. также С о х е t е г, The golden section, Phyllotaxis and
Wythoff's game, Scripta mathematica 19, 1963, стр. 139. Имеет место
более общее утверждение
fn + hfn+ k — fnfn + h + k = (—1)" Ihfk*
см. A. E. Danes e, American Mathematical Monthly 67, I960,
стр. 81.

§ 51 ФИЛЛОТАКСИС 217
3. Проверить утверждение Лагранжа о том, что последние
цифры чисел Фибоначчи периодически повторяются с периодом
шестьдесят
1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, ... ; 7, 2, 9, 1, 0.
4. С помощью тождества
(1_,__,2)(1+, + 2*2+з;з+ ... +fn+lt»+ ...) = 1,
из которого следует, что
чх> оо
j W = jz^-p =]£(<+ t2)k =
о о
оо со k
= V/*(14-0* = 2SC*V+/'
о k=o у «о
вывести формулу Люка, выражающую числа Фибоначчи через
биномиальные коэффициенты
f/m = £« + £л-1 + С/г-2+ ••♦
5. Полагая ^=0,01 в тождестве Zjf/i+i^— t ^ 42 »
получить простой способ вычисления первых 19 знаков в десятичном
. 10 000
разложении дроби
6. Расположить в виде таблицы значения отношения и
найти их предел при неограниченном возрастании п.
§ 5. ФИЛЛОТАКСИС
В учении о превращениях и в теории спиралш
имеются... два замечательных обобщения; будучи
порождены живым воображением Гёте и пройдя
сквозь хаос натурфилософии, они образовала
фундамент наших нынешних взглядов на
морфологию растений.
А. X. Черч (1865—1937) [1], стр. 1.
Числа Фибоначчи связаны с одним ботаническим
явлением, так называемым филлотаксисом (буквально
«устроение листа»). У некоторых деревьев, например у
вяза и американской ивы, листья вдоль ветки
чередуются с двух противоположных сторон, и мы называем это

248 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ФИЛЛОТАКСИС [ГЛ. М
«у-филлотаксис». У других, например у бука и
орешника, расстояние между двумя соседними листьями
задается винтовым перемещением, включающим в себя
вращение на одну треть полного оборота, и мы называем
это «-трфиллотаксис». У дуба и абрикоса можно наблю-
2 3
дать -g-филлотаксис, у тополя и груши —■ g-• У ивы и
миндаля —то- и т. д. Все эги дроби являются частными
чисел Фибоначчи, взятых через одно, но их можно
свести к частным соседних чисел Фибоначчи; например,
вращение на g- полного угла —
это то же самое, что поворот на
g, оборота в
противоположном направлении (Вейль [1],
стр. 72).
Другим проявлением филло-
таксиса является устройство
соцветия подсолнечника или чешуи
еловой шишки, в которых
чешуйки расположены в виде спиралей
или винтовых линий (или «па-
растихий»). Такое расположение
особенно четко видно у ананаса
(рис. 114), имеющего более или
менее шестиугольные ячейки,
которые образуют ряды,
идущие в различных направлениях.
рис. 114. Каждая ячейка входит в три
ряда (так как она имеет три
пары противоположных сторон): в медленно
поднимающийся слева направо ряд с номерами ячеек,
возрастающими через 5, в несколько круче поднимающийся
справа налево ряд с номерами ячеек, возрастающими через
8, и в круто поднимающийся слева направо ряд с
номерами ячеек, возрастающими через 13. В некоторых
случаях значения последовательно меняются. Рхли
рассматривать поверхность ананаса как цилиндр, то, разре-

§5}
ФИЛЛОТАКСИС
249
зав его по вертикальной прямой (образующей) и
развернув на плоскость, мы получим полоску, заключенную
между двумя параллельными прямыми, которые обра-»
зовались вдоль вертикального разреза. На рис. 115 в ка-*
честве этих прямых взяты прямые л: = 0 и х=1, а
шестиугольные ячейки, занумерованные последовательно в по-»
рядке возрастания ординат их центров, представляют
собой области Дирихле решетки, образованной центрами
Рис. 115.
ячеек (§ 1 гл. 4). Точка решетки, обозначенная 0,
является началом координат и совпадает с точкой (1,0),
если свернуть цилиндр. Точка решетки, обозначенная 1,
имеет координаты ( —, А] где высоту h можно выбрать
произвольно, а п-я точка решетки для всех значений п
имеет координаты (х, у), где y = nhy а х — дробная часть
числа пт (или я—), т. е.
х = пх — [ят],
где [лт]-— целая часть числа пт.
Если заполнить плоскость такими полосками, то
числами будут занумерованы точки
(/гх-fm, nh)t

250 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ФИЛЛОТАКСИС [ГЛ. XX
а числа, написанные в ячейках, центры которых лежат
на одной прямой, образуют арифметическую прогрессию.
Если плоскость обернуть вокруг цилиндра, то прямая
превратится в винтовую линию, очертание которой
похоже на перила «винтовой» лестницы.
Так как отношения »+ соседних чисел Фибоначчи
ik
стремятся к т, то число /&т мало отличается от целого
(а именно, /a+i), т. е. дробная часть его очень мала.
Поэтому одна из точек, обозначенных /&, лежит очень
близко к оси у (особенно при больших &), и у путей
наиболее близких к вертикальным разностью арифметической
прогрессии являются числа Фибоначчи.
Такое устройство годится для любых значений h. На
рис. 115 выбрано значение -]3б"' вскоре мы покажем, что
рядом с 0 стоят действительно числа Фибоначчи 5, 13,
8 и соответствующие им отрицательные, как на ананасе
(рис. 115). Яснее всего видны ряды (так как в них
соседние ячейки имеют общую наибольшую сторону) с
разностью арифметической прогрессии /в = 8. С увеличением
h тупой угол между направлениями 05 и 08
уменьшается, обращаясь в конце концов в прямой, причем область
Дирихле превратится из шестиугольника в
прямоугольник. Подобно этому, с уменьшением h угол между
направлениями 8 и 13 будет увеличиваться и станет в
какой-то момент прямым, и затем появится общая
граница у ячеек 0 и 21.
Для определения критических значений h, при
которых происходят такие изменения, мы найдем условие
того, чтобы направления прямых, соединяющих 0 с точ--
ками fk и fk+t были перпендикулярны, т. е. условие того,
чтобы точки
(fkt — fk+v fkh)Qk+\* — fk+* fk+\h)
лежали на перпендикулярных прямых, проходящих
через точку (0, 0). В силу формулы 8.22 это условие имеет
вид:
(/^-/.-fi)(/*+it-^+2) + /^+iA2 = 0.

§ Ъ\ ФИЛЛОТАКСИС 251
Используя 11.12, 11.41, 11.42, затем 11.43, 11.44 и,
наконец, 11.46, мы получаем
2£+2 т2£ + 1 '
откуда
11.51
. 1
Мы заключаем отсюда, что при
1
— <А<
соседями точки 0 в различных направлениях являются
точки с номерами fk-t, /ft, /Wi (в случае ананаса 5, 8 и
13).
В качестве удобного «стандартного» значения Л,
находящегося между этими критическими значениями,
естественно выбрать
Например, значение, выбранное на рис. 115,
приближенно равно
^= 0,055727 ^ ==0,006966..,
Такой случай расположения листьев вокруг стебля
естественно называть -^-филлотаксисом или, в общем
случае, т^-филлотаксисом. Черч ([1], стр. 5) заме-
чает: «Бонне ... видел весьма ясно, в случае абрикоса,
2
что последовательность -^ циклов действительно верти-»
кально не накладывается друг на друга». Согласно
покойному А. М. Тьюрингу (А. М. Turing), постепенный
переход от одной пары «парастихийных чисел» к другой,
соответствующий непрерывному уменьшению h,
происходит в процессе роста растения. [Для удобства мы
принимаем окружность цилиндра за единицу измерения;
поэтому h уменьшается, если цилиндр растет быстрее в
толщину, чем в длину.]

252 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ФИЛЛОТАКСИС [ГЛ. II
Еслп цилиндр заменить конусом и проводить
аналогичные рассуждения для еловой шишки, то прямая на
плоскости будет представлять не цилиндрическую
винтовую линию, а конхо-спираль (М о з л и [1]). Если
допустить, что образующие конуса стремятся к
перпендикуляру к его оси, то в пределе конхо-спирали перейдут в
плоские равноугольные спирали, которые пересекаются
под теми же углами, что винтовые линии на цилиндре,
io-есть под теми же углами, что прямые на плоскости
решетки (Ч е р ч [1], стр. 58). Довольно большие числа
Фибоначчи, например /ю = 55, /u = 89, /i2= 144,
соответствуют числам спиралей, составленных из соседних ячеек
некоторых видов подсолнечника (см. Черч [1],
иллюстрации V, VII, XIII и в особенности VI). Однако у
некоторых растений соответствующие числа принадлежат
не последовательности /п, а последовательности gn
(Черч [1], иллюстрация XXV) или даже еще более
сложным последовательностям
3, 1, 4, 5, 9, ... ; 5, 2, 7, 9, 16, ...
(Черч [1], иллюстрация IX); таким образом, нужно
констатировать, что филлотаксис — это не
универсальный закон природы, а лишь преобладающая тенденция.
УПРАЖНЕНИЕ
Начертите расположение ячеек рис. 115 при /2=-~. Близко ли
это к значению, даваемому формулой 11.51 при k=l?

ЧАСТЬ
ГЛАВА12
ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
В течение последних 2000 лет самыми читаемыми
книгами на Земле бесспорно были Библия и «Начала»
Евклида. Школьники считают интересным занятием
отделять друг от друга различные версии сотворения мира,
которые переплетаются друг с другом в книге Бытия.
Точно так же и Евклид черпал материал для своих книг
из различных источников; поэтому не удивительно, что
мы можем извлечь из его «Начал» две самостоятельные
геометрии, различающиеся как своей логической
основой, так и своими первоначальными понятиями и
аксиомами. Они известны как( абсолютная геометрия и аф+
финная геометрия. В § 1 этой главы мы дадим краткое
описание этих геометрий; остальную часть настоящей
главы мы посвятим рассмотрению тех предложений,
которые принадлежат обеим геометриям: предложений
столь простых и «очевидных», что Евклид никогда не
упоминал их.
§ 1. ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ЕВКЛИДА ДВУХ РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИЯ
Погоня за идеей — занятие столь же
захватывающее, как и погоня за китом.
Генри Норрис Рассел (Н. N. Russell, 1877—1957).
Абсолютная геометрия, которую впервые выделил
Бойяи (1802—1860)—это та часть евклидовой
геометрии, которая опирается на четыре первые постулата и
не зависит то пятого. Поэтому она включает предложения
(1.1-28), (III. 1 — 19), (Ш.25)у (111.28—30) и (IV.4—9)
[с соответственно измененным определением «квадрата»].
3

254
ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
[ГЛ.
Изучение абсолютной геометрии представляет интерес
в силу того, что ее теоремы сохраняют силу не только
в евклидовой геометрии, но также и в гиперболической
геометрии, которую мы будем рассматривать в гл. 16.
Коротко говоря, абсолютная геометрия — это геометрия,
не опирающаяся на единственность прямой,
параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.
С другой стороны, в аффинной геометрии, которую
впервые выделил Эйлер (1707—1783), эта
единственность параллельной играет ведущую роль. Третий и
четвертый постулаты Евклида теряют в ней смысл, так как
окружности в этой геометрии не рассматриваются, а
углы не измеряются. Поэтому единственными допустимыми
движениями являются параллельный перенос и
центральная симметрия. Аффинные предложения Евклида—
это те предложения, которые сохраняют силу при
параллельном проектировании с одной плоскости на другую
(см. Яглом [2], стр. 17), например (1.30), (1.33—45)
и (VI. 1, 2, 4, 9, 10, 24—26). Значение аффинной
геометрии сильно возросло благодаря тому, что
обнаружилось, что ее теоремы сохраняют силу не только в
геометрии Евклида, но и в геометрии
пространства-времени Минковского, которой пользовался Эйнштейн в
специальной теории относительности.
Так как каждое предложение Евклида принадлежит
либо аффинной, либо абсолютной геометрии, либо не
принадлежит ни той ни другой, то с первого взгляда
может показаться, что эти две геометрии (которые будут
рассмотрены нами соответственно в гл. 13 и 15) не
имеют ничего общего, за исключением первого и второго
постулатов. Однако, как мы увидим в этой главе,
существует группа весьма важных предложений,
принадлежащих обеим геометриям. Основной идеей в этих
предложениях является идея о расположении «между» (или
«промежуточности»), которую Евклид использует в своем
знаменитом определении «концы линии — точки», где
линия, под которой имеется в виду прямолинейный отрезок,
определяется как то, что находится между ее концами.
Это наводит на мысль о возможности принять
понятие «лежать между» в качестве первоначального и
определять прямолинейный отрезок как множество

§ 1] ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ЕВКЛИДА ДВУХ ГЕОМЕТРИЙ 255
всех точек, лежащих между двумя данными точками.
В том же духе мы можем дополнить отрезок до всей
(бесконечной) прямой. Тогда, если точка В лежит
между точками Л и С, мы можем сказать, что три точки
Л, В, С расположены в определенном порядке на
прямой. Это отношение — отношение порядка — может быть
распространено с трех точек на четыре и более.
Сам Евклид рассматривает понятие порядка как
производное от понятия «измерения», т. е. связывает его с
тем, что одна величина (отрезок) больше или меньше
другой. Первым, кто показал, что геометрию порядка
можно построить без связи с измерениями, был Паш
(М. Pasch, 1882). Его система аксиом постепенно
улучшалась Пеано (G. Реапо, 1889), Гильбертом (1899) и
Вебленом (О. Veblen, 1904).
Этимологически термин «геометрия без измерения» —
понятие внутренне противоречивое. Однако оказывается,
что переход от аксиом и простых теорем геометрии
порядка к «интересным» (или «геометрически
содержательным») теоремам не меняет духа предложений, хотя
и многое меняет в деталях.
Простая «геометрия», о которой здесь идет речь и
которая составляет общий фундамент аффинной и
абсолютной геометрий, достаточно важна, чтобы иметь свое
название. Название «дескриптивная геометрия», которое
применяет Бертран Рассел ([1], стр. 362), кажется
мне не очень удачным, так как оно уже употребляется в
другом смысле [означает начертательную геометрию].
Мы будем, следуя Артину ([1], стр. 73), называть ее
геометрией порядка.
Мы постараемся со всей возможной строгостью
развить эту геометрию настолько далеко, насколько это
требуется, чтобы дать читателю почувствовать ее дух, не
утомляя его. Довольно пространное полное изложение
соответствующих теорий лучше всего проведено у В е б -
лена [1]иФордера ([1], глава II).
Необходимо помнить, что мы должны определять все
примейяемые нами понятия (за исключением
первоначальных понятий) и доказывать все утверждения (за
исключением аксиом), какими бы «очевидными» они ни
казались.

256
ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
[ГЛ. !2
УПРАЖНЕНИЯ
1. В какой геометрии можно ввести понятие отношения ллип
параллельных отрезков — в абсолютной, в аффинной или в обеих
сразу. [Указание: в «одномерной геометрии», рассматривающей
только точки, принадлежащие единственной прямой, различие
между абсолютной и аффинной геометриями исчезает.]
2. Укажите теорему евклидовой геометрии, которая не
принадлежит ни абсолютной, ни аффинной геометрии.
3. Теорема о том, что медианы треугольника 1.41
пересекаются в одной точке, принадлежит и абсолютной и аффинной
геометриям. К какой геометрии принадлежит остальная часть § 4
гл. 1?
4. В какой геометрии рассматриваются: а) параллелограммы,
б) правильные многоугольники, в) задача Фаньяно (§ 8 гл. 1)?
§ 2. ПРОМЕЖУТОЧНОСТЬ
Без рассмотрения порядка невозможно никакое
понимание основ математики.
Бертран Рассел (род. 1872) [1], стр 199.
В том построении геометрии порядка, которое
предложено Пашем и упрощено Вебленом, за первоначаль-
ные понятия принимаются только точки Л, В ..., а за
первоначальное отношение — отношение
промежуточности [ABC], которое означает, что В лежит между Л и
С. Если В не лежит между Л и С, мы говорим просто
«не [ABC]». Геометрия порядка опирается на десять
аксиом (12.21—21.27, 12.42, 12.43 и 12.51), которые мы
будем формулировать последовательно по мере
необходимости.
Аксиома 12.21. Существуют по крайней мере две
точки.
Аксиома 12.22. Если А и В — две различные
точки, то существует по крайней мере одна такая точка С,
что [ABC].
Аксиома 12.23. Если [АВС\ то А и С различны:
АФС.
Аксиома 12.24. Если [ABC], то [СВА], но не [ВСА].
Теорема 12.241. Если [ABC], то не [CAB].
Доказательство. В силу аксиомы 12.24 из
[CAB] следовало бы не [ABC].
Теорема 12.242. Если [ЛВС], то АфВфС (т. е. в
условиях аксиомы 12.23 все три точки различны).

§2]
ПРОМЕЖУТОЧНОСТЬ
257
Доказательство. Если В = С, то два
утверждения аксиомы 12.24 противоречат друг другу. Точно так
же мы можем получить, что АфВ.
Определение. Если А и В — две различные
точки, то интервалом АВ называется множество точек Р,
для которых [АРВ]. Если [АРВ], то мы скажем, что
точка Р принадлежит интервалу АВ. В дальнейшем мы
будем говорить об элементах других множеств, например
«прямой».
Теорема 12.243. Ни А, ни В не принадлежат
интервалу АВ.
Доказательство. Если бы точка А или В
принадлежала интервалу АВУ мы имели бы [ЛЛВ] или[ЛВ5],
что противоречит теореме 12.242.
Теорема 12.244. Интервал АВ совпадает с
интервалом В А.
Доказательство. В силу аксиомы 12.24, [АРВ]
влечет за собой [ВРА].
Определения. Отрезком АВ называется
интервал АВ вместе с его концами А и В:
АВ = А + АВ + В.
Луч А/В («исходящий из точки А в сторону,
противоположную точке В») — это множество таких точек Р,
что [РА В].
Прямой АВ называется отрезок АВ с добавленными
лучами А /В и В/А:
прямая АВ=А/В+АВ + В/А.
Следствие 12.2441. Отрезок АВ совпадает с
отрезком ВА. Прямая АВ совпадает с прямой ВА.
Аксиома 12.25. Если С и D — различные точки
прямой АВ, то А принадлежит прямой CD.
Теорема 12.251. Если С и D — различные точки
прямой АВ, то прямая АВ совпадает с прямой CD.
Доказательство. Пусть некоторые из точек Л,
В, С, D совпадают; например D = B. Тогда нам нужно
доказать, что прямая АВ совпадает с прямой ВС. Пусть
X — произвольная точка прямой ВС, отличная от Л и В.
Согласно 12.25, точка Л, как и X, принадлежит ВС.
Следовательно, В принадлежит АХ и X принадлежит АВ.

258
ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
[ГЛ% 12
Таким образом, любая точка, принадлежащая ВС,
принадлежит также и АВ. Поменяв ролями точки Л и С, мы
видим, что точно так же каждая точка, принадлежащая
АВ, принадлежит и ВС. Таким образом, ЛВ = ВС. Если
же все точки Л, В, С, D различны, мы имеем АВ—ВС—
= CD.
Следствие 12.2511. Через две различные точки
проходит в точности одна прямая. Две различные
прямые (если они существуют) имеют не более одной
общей точки. (Эта общая точка F называется точкой
пересечения, а про прямые говорят, что они пересекаются
в точке F.)
Следствие 12.2512. Три произвольные различные
точки Л, В, С, принадлежащие одной прямой,
удовлетворяют одному из трех соотношений [ABC], [ВСА], [CAB].
Аксиома 12.26. Какова бы ни была прямая АВ,
существует точка С, не принадлежащая этой прямой.
Теорема 12.261. Если точка С не принадлежи!
прямой А В, то точка А не принадлежит ВС и точка В
не принадлежит прямой АС, т. е. все три прямые ВС,
СА, АВ различны.
Доказательство. Согласно 12.25, если бы точка
Л принадлежала ВС, то точка С принадлежала бы АВ.
Определение. Точки, принадлежащие одной
прямой, называются коллинеарными. Три неколлинеарные
точки Л, В, С определяют треугольник ABC, который
состоит из этих трех точек, называемых вершинами, и трех
отрезков ВСУ С А, АВ, называемых сторонами
треугольника.
Аксиома 12.27. Если ABC — треугольник и [BCD]
и [СЕА], то на прямой DE существует такая точка F, что
[AFB] (см. рис. 116).
Теорема 12.271. Для любых двух различных
точек существует точка, лежащая между ними.
Доказательство. Пусть Л и В — различные
точки. Согласно 12.26, существует точка Е, не
принадлежащая прямой АВ. Согласно 12.22, существует точка С,
для которой [ЛВС]. Согласно 12.251, прямая АС
совпадает с прямой АЕ. Из теоремы 12.261 следует, что точка
В не принадлежит этой прямой. Снова применяя 12.22,
мы видим, что существует точка D, для которой [BCD].

§2]
ПРОМЕЖУТОЧНОСТЬ
259
И наконец, в силу аксиомы 12.27 существует точка F,
лежащая между А и В.
Теорема 12.272. В обозначениях аксиомы 12.27
[DEF].
Доказательство. Так как точка F принадлежит
прямой DE, то имеются (согласно 12.2512) пять
возможностей: F = D, F=E, [EFD], [FDE], [DEF]. Если бы осуще*
ствилась одна из первых двух возможностей, точки А,
Й, С были бы коллинеарными.
Если [EFD], мы можем, применяя аксиому 12.27 к
треугольнику DCE, у которого [СЕА] и [EFD] (рис. 117),
/ Л £
/_к Z_k Zjk,
В CDC £ A A F В
Рис. 116. Рис. 117. Рис. 118.
получить точку X на AFt для которой [DXC]. Так как
прямые AF и СР не могут пересекаться более чем в
одной точке, мы имеем Х = В, так что [DBC]. Так как [BCD],
то приходим в противоречие с аксиомой 12.24.
Точно так же (рис. 118) не может получиться [FDE].
Единственной остающейся возможностью является [DEF],
Это доказательство является стандартным, поэтому
мы приведем остальные теоремы без доказательств
(Веб лен [1], стр. 9—15; Ф ордер [1], стр. 49—55);
(Ефимов [1], стр. 45—52)).
12.273. Прямая не может пересекать все три
стороны треугольника. [Заметьте, что под «стороной»
понимается всегда отрезок, но не интервал или вся
прямая.]
12.274. Если [ABC] и [BCD], то [ABD].
12.275. Если [ABC] и [ABD], причем СфО, то [BCD]
или [BDC] и [ACD] или [ADC].
12.276. Если [ABD] и [ACD]y причем ВфС, то [ABC]
или [АСВ].
12.277. Если [ABC] и [ACD], то [BCD] и [ABD].

260
ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
[ГЛ. 12
Определение. Если [ABC] и [ACD], мы пишем
[ABCD].
Порядок четырех точек, как легко видеть, обладает
всеми «наглядными» свойствами: например, если [ABCD],
то [DCBA], но никакой другой порядок не имеет места.
Произвольная точка О, принадлежащая интервалу
ЛВ, разбивает его на два интервала: АО и ОВ. [Мы
применяем слово разбивает (Веб лен [1], стр. 21), имея в
виду, что каждая точка интервала ЛВ, за исключением
самой точки О, принадлежит только одному из двух
«меньших» интервалов.] Произвольная точка О
выходящего из А луча разбивает этот луч на интервал и луч:
АО и О/Л. Наконец, произвольная точка О прямой
разбивает ее на два «противоположных» луча: если [АОВ],
этими лучами будут О/А и О/В. Луч О/А, содержащий
точку В, иногда удобней называть лучом ОВ.
п различных коллинеарных точек, где п>\—любое
натуральное число, разбивают прямую, которой они при<
надлежит, на два луча и п—1 интервалов. Пусть точки
занумерованы Ри Рг, -.., Рп, так что получаются лучи
PJPn и Pn/Pi и п—1 интервалов
каждый из которых не содержит ни одной из наших
точек. В этом случае мы говорим, что эти точки
расположены в порядке Р\Р2 •. • Рпл и пишем [Р\Р2 •.. Рп]. Для
того чтобы такое соотношение имело место, необходимо
и достаточно, чтобы было
[Р^Рг], [^УУМ [Pn-iPn-xPn]-
Естественно, что наилучшим логическим построением
любой математической теории будет такое построение,
которое использует наиболее простые и «наиболее
слабые» аксиомы. (Хуже всего получается, когда мы
впадаем в другую крайность и постулируем все, так что
развития как такового нет!). В первоначальной
формулировке (Паш и Ден [1], стр. 2; «IV. Kernsatz») Паш
вместо аксиомы 12.27 высказывает значительно более
сильное утверждение: если прямая, лежащая в
плоскости данного треугольника, пересекает одну из его сто-»

§2]
ПРОМЕЖУТОЧНОСТЬ
261
рон, она пересекает также другую его сторону (или же
проходит через вершину). Приведенная нами аксиома
предложена Пеано. Она имеет преимущества перед
аксиомой Паша: во-первых, в ней не используется термин
«плоскость» (который мы определим лишь в § 4 этой
главы); во-вторых, прямая DE входит внутрь
треугольника ABC некоторым специальным образом, а именно,
прежде чем пересечь сторону СЛ, она пересекает луч
С/В в точке D. Она может также выйти из точки луча
А/В (это получается из нашего случая, если поменять
С и А местами) или из точки луча В/А, или из точки
луча В/С (что дает уже совсем другое расположение).
Последняя возможность (с незначительным изменением
обозначений) исчерпывается нижеследующей теоремой
(12.278). Аксиома 12.27 «минимально необходима»; в
самом деле, хотя она позволяет нам вывести теорему
12.278, как будто
равносильную ей, мы не можем поменять
их ролями (если бы мы
попытались использовать 12.278 в
качестве аксиомы, мы не
смогли бы вывести из нее как
теорему 12.271).
Теорема 12.278. Если
ABC — треугольник, а точки F
и D таковы, что [AFB] и [BCD],
то на прямой DF существует Рис. 119.
такая точка Е, что [СЕА].
Д оказательство. Пусть Н — точка луча B/F
(рис. 119); рассмотрим треугольник DFB, где [FBH] и
[BCD]. Согласно аксиоме 12.27 и теореме 12.272,
существует точка Ry для которой [DRF] и [HCR]. Согласно
теореме 12.274, [AFB] и [FBH] влекут за собой [AFH].
Таким образом, мы имеем треугольник DAF, для которого
[AFH] и [FRD]. Снова воспользуемся 12.27 и 12:272 и
получим, что существует точка L, для которой [DLA] и
[HRL]. Согласно теореме 12.277, [HCR] и [HRL] влекут
за собой [CRL]. Таким образом, мы имеем треугольник
CAL, для которого [ALD] и [LRC]. Третий раз применяя
аксиому 12.27, получаем, что на прямой DR (которая
совпадает с DF) существует точка £, такая, что [С£Л].

262
ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
[ГЛ. 12
УПРАЖНЕНИЯ
1. Прямая содержит бесконечно много точек.
2. Мы определили интервал как множество точек. Начиная
с какого места в нашем построении мы можем утверждать, что
это множество никогда не будет пустым?
3. В доказательстве теоремы 12.272 мы показали, что
предположение [FDE] приводит к противоречию. Сделайте это, применив
аксиому 12.27 к треугольнику BFD (вместо EAF).
4. Существует бесконечно много точек, не принадлежащих ни
одной из прямых из данного конечного множества прямых.
5. Если дан треугольник ABC и точки L, М, N таковы, что
[СМЛ], [AN В], [BLC], то существует точка Е, для которой [AEL] и
[MEN] (Фор дер [1], стр. 56).
6. Если ABC — треугольник, то три луча В/С, А/С, А/В имеют
трансверсаль (т. е. прямую, которая пересекает их всех).
[К. Б. Л е й з е р и н г (К. В. Leisering).]
7. Если ABC — треугольник, то три луча В/С, С/А, А/В не
имеют трансверсали.
§ 3. ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТЕРА О КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧКАХ
Для Сильвестера почти любая область
математики является чарующим миром, жаждущим
открытий.
Э. Т. Бэл л [11, стр. 433.
Некоторым читателям могло показаться, что мы
занимаемся тем, что выводим из самоочевидных аксиом
тривиальные результаты. Чувство раздражения, которое
может появиться у этих читателей, безусловно
улетучится, когда мы укажем, что наш аппарат достаточно
далеко развит, чтобы успешно применить его к изучению
гипотезы Сильвестера (см. § 7 гл. 4), которая ставила
в тупик многих крупнейших математиков мира на
протяжении сорока лет. Понятно, что этот случай
расположения коллинеарных точек принадлежит к геометрии
порядка. Келли в своем евклидовом доказательстве
привлекает не относящееся к геометрии порядка понятие
расстояния: это примерно то же самое, что
раскалывать миндаль кузнечным молотом. Более подходящие
щипцы для орехов дает нам доказательство, которое
будет сейчас приведено.
Теорема. Если п точек неколлинеарны, то
существует по крайней мере одна прямая, проходящая в
точности через две из этих точек.

§3] ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТЕРА О КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧКАХ 263
Доказательство. Пусть наши точки
занумерованы Ри Рг> Рз, .. •, Рп так, что первые три из них не-
коллинеарны (рис. 120). Прямые, соединяющие точку Pi
с остальными точками нашего множества точек,
пересекают прямую Р2Рз самое большее в п — 1 точке
(включая Р2 и Р3). Пусть Q — любая другая точка на этой
прямой. Тогда прямая PiQ содержит точку Р, но не
содержит других точек Рг\
Прямые, соединяющие пары точек нашего множества,
пересекают прямую PiQ не более чем в Сп-\+\ точках
(включая Pi и Q). Пусть Р\А — один из интервалов,
получающихся при разбиении прямой PiQ на части всеми
такими точками (возможно, что A = Q). Тогда ни одна
из прямых PiPj не может пересечь «пустой» интервал
Рис. 120. Рис. 121.
Р{А. Точка Л, по определению, принадлежит по крайней
мере одной из таких прямых, скажем Р4Р5. Если кроме
точек Р4 и Ръ на этой прямой нет других точек
множества (как изображено на рис. 120), то теорема доказана.
Если это не так, то существует прямая, проходящая
через точку А и содержащая по крайней мере три точки
множества, которые мы назовем Р4, Рб, Рб так, чтобы
отрезок ЛР5 содержал Р4, но не содержал Ре. [Так как
точка А делит прямую Р4Р5 на два противоположно
направленных луча, один из которых содержит не меньше
двух из трех точек Р4, Ps, Рб, такой способ нумерации
точек всегда возможен (см. рис. 121).] Теперь мы
докажем, что прямая PiP5 не содержит больше никаких
точек нашего множества.
Мы проведем доказательство методом «от
противного». Если прямая PiP5 содержит еще одну точку

264 ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА [ГЛ. 12
(скажем Я7), мы можем, применив 12.27 и 12.278,
показать, что интервал Р\А пересекается с одной из двух
прямых PQP7 и Pt.Pi. В самом деле, если [P\PiP*\, он
пересекается с прямой PqP7 (см. рис. 122 (на котором
показаны два возможных случая расположения точки Я6))
Р*?
Рис. 122. Рис 123. Рис. 124
если же [PiP5P7] (рис 123) или [P5PiP7] (рис. 124), он
пересекается с прямой /VV И то и другое противоречит
утверждению о «пустоте» отрезка РИ.
Таким образом, мы обнаружили, что во всех случаях
существует прямая (Р4Р5 или ЛЛ>), которая содержит
в точности две точки нашего множества.
УПРАЖНЕНИЕ
Обосновать утверждение о том, что прямые, соединяющие
точки множества, пересекают P{Q не более чем в С%~1-\-\
точках. В примере, показанном на рис. 121, это число (оно должно
быть не больше И) равно 5. Почему? [Символ С\ обозначает
число сочетаний из i элементов по /; например, С? — это число пар
элементов, равное
■•]
§ 4. ПЛОСКОСТИ И ГИПЕРПЛОСКОСТИ
Если i гиперплоскостей в n-мерном пространстве
расположены таким образом, что каждые п из
них имеют общую точку, а каждые п+1 такой
точки не имеют, то число областей, на которые
они разбивают пространство, равно
с?+с} + с»+с?+ ... + С?-./<«,/)•
Людвиг Шлефли (1814—1895), [I]. стр. 209.
Весьма замечательно, что мы смогли так далеко про-»
двинуть плоскую геометрию, не определяя самого поня-

§4]
плоскости и гиперплоскости
265
тия плоскости. Но теперь, как сказал Тюлень, «Пришла
пора...» *).
Определения. Если А, В, С — три неколлинеар-
ные точки, то плоскостью ABC называется множество
точек, коллинеарных парам точек, принадлежащих
одной или двум сторонам треугольника ABC. Говорят, что
отрезок, интервал, луч или прямая лежат в плоскости,
если все их точки принадлежат плоскости.
Аксиомы 12.21—12.27 позволят нам вывести
известные свойства инцидентности в плоскости, включая
следующие два предложения, которые Гильберт ([1],
стр. 57—58) принимал за аксиомы:
Любые три неколлинеарные точки плоскости а
полностью определяют эту плоскость.
Если две различные точки прямой а принадлежат
плоскости а, то все остальные точки этой прямой также
принадлежат плоскости а.
Определения. Углом называется фигура, состоя-*
щая из точки О и двух неколлинеарных лучей,
выходящих из нее. Точка О называется вершиной, а лучи —■
сторонами угла (Веб лен [1], стр. 21; Форд ер [1],
стр. 69). Если стороны угла — лучи О А и ОВ или а^ и
&i, угол обозначается ZAOB или аф{ (или ZBOA или
&i0i). Произвольная пара точек Л и В на
соответствующих сторонах определяет один и тот же угол аф\. Если
точка С лежит между Л и В, говорят, что луч ОС лежит
внутри угла (или между лучами ОА и ОВ).
Вплоть до введения аксиомы 12.41 мы будем
полагать, что все рассматриваемые точки и прямые
принадлежат одной плоскости.
Выпуклой областью называется множество точек,
любые две из которых можно соединить отрезком,
состоящим целиком из точек множества с тем дополнительным
условием, что каждая точка принадлежит по крайней
мере двум неколлинеарным отрезкам, состоящим
целиком из точек множества. В частности, угловая область —
это множество точек лучей, лежащих внутри угла, а
*) Имеются в виду следующие слова из «Алисы в Зазеркальи»
[Льюис К э р р о л [2], гл. 4, стр. 46]:
Тюлень сказал: «Пришла пора поговорить нам с вами»,

266
ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
[ГЛ. 12
треугольная область — множество точек, лежащих
между парами точек, принадлежащих различным сторонам
треугольника. Говорят, что угол (или треугольник)
ограничивает угловую (или треугольную) область.
Можно доказать (Веблен [1], стр. 21), что любая
прямая, содержащая точки некоторой выпуклой
области, «разбивает» ее на две выпуклые области. В
частности, прямая а разбивает плоскость (которой она
принадлежит) на две полуплоскости. Говорят, что две точки
Находятся по одну сторону от прямой а, если они
принадлежат одной полуплоскости; говорят, что они
находятся по разные стороны от прямой а, если они
принадлежат дополнительным полуплоскостям, т. е. если
отрезок, соединяющий их, пересекает прямую а. В
последнем случае мы говорим также, что прямая а
разделяет две точки. [К сожалению, слово «сторона»
применяется в двух различных значениях, прочно
установившихся в литературе. Однако из контекста всегда ясно,
рассматриваем ли мы две стороны угла,
представляющие собой лучи, или две стороны прямой,
представляющие собой полуплоскости.]
Как мы заметили в § 2, произвольная точка О,
принадлежащая прямой, разбивает ее на два луча, скажем
at и а2. Любая другая прямая 6, проходящая через О,
также разбивается этой точкой на два луча &i и Ь2 по
одному в каждой из полуплоскостей, определяемых
прямой а. Каждый из этих лучей разбивает полуплоскость,
в которой он лежит, на две угловые области. Таким
образом, две пересекающиеся прямые а и Ь разбивают
плоскость на четыре угловые области, ограниченные углами
(i\b\y b\a<i* a2b2i b2ax
(рис. 125). Говорят, что противоположные лучи #i и а2
разделяют лучи Ь{ и Ь2\ они также разделяют все лучи,
лежащие внутри одного из углов афи Ь&2, и лучи,
лежащие внутри одного из углов а2Ь2, Ь2а^ Мы говорим
также, что лучи at и bt отделяют лучи, лежащие между
ними, от лучей а2, Ь2 и от всех лучей, лежащих внутри
углов 64a2, a2b2 или b2aim
Из определения прямой следует, что две различные
точки А и В разбивают прямую АВ на три части: интер-

§4]
ПЛОСКОСТИ И ГИПЕРПЛОСКОСТИ
267
вал АВ и лучи А/В и В/А. Этому до некоторой степени
соответствует тот факт, что две непересекающиеся
(компланарные) прямые а и Ь разбивают плоскость, в
которой они лежат, на три области. Одна из этих областей
лежит между двумя другими в том смысле, что она
состоит из отрезков АВ, где А — произвольная точка
прямой а, а В — произвольная точка прямой Ъ ((рис. 126)).
А
*> а
Т' с
<£- Ь
8
Рис. 125. Рис. 126
Мы говорим, что третья прямая с лежит между а и 6,
если она пересекает такие отрезки АВ, но не nepeceKaet
прямые а и Ь.В этом случае мы естественно пишем [acb].
12.401. Если ABC и А'В'С — две тройки коллинеар-
ных точек, такие, что три прямые АА', ВВ', СС не
пересекаются, то из [АСВ] следует [А'С'В'].
Аналогичное рассмотрение угловых областей дает
следующую теорему:
12.402. Если ABC и А'В'С— две тройки коллинеар-
ных точек, такие, что три прямые АА', ВВ', СС' имеют
общую точку О, которая не лежит между А и А', или
между В и В', или между С и С, то из [АСВ] следует
[А'С'В*].
Для того чтобы определить размерность
рассматриваемого пространства, необходимо дополнительно ввести
одну или несколько аксиом. Если нас удовлетворяют два
измерения, мы полагаем:
Аксиома 12.41. Все точки лежат в одной
плоскости.
В противном случае (Фордер [1], стр. 60) мы
заменяем эту аксиому такой:
Аксиома 12.42. Если ABC — плоскость, то
существует точка D, не принадлежащая этой плоскости.
В этом случае мы определяем тетраэдр ABCD как
фигуру, состоящую из четырех точек А, В, С, D,
называемых вершинами, шести отрезков AD, BD, CD, ВС, СА,
АВУ называемых ребрами, и четырех треугольных обла-

268
ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
[ГЛ. 12
стей BCD, CDA, DAB, АВСУ называемых гранями.
Пространство (или трехмерное пространство) ABCD
представляет собой множество точек, коллинеарных с парами
точек, принадлежащих одной или двум граням
тетраэдра ABCD.
Мы можем теперь вывести известные свойства
инцидентности прямых и плоскостей в пространстве (Ф о р-
дер [1], стр. 61—65). В частности, любые четыре
некомпланарные точки пространства определяют его и
прямая, соединяющая две произвольные точки
пространства, полностью принадлежит ему. Если точка Q
принадлежит пространству ABCD, а точка Р — грани
тетраэдра ABCD, то прямая PQ встречает тетраэдр еще
водной точке, отличной от точки Р.
Если мы х'отим ограничиться тремя измерениями, то
полагаем:
Аксиома 12.43. Все точки принадлежат одному
пространству.
Тогда:
Теорема 12.431. Две плоскости, имеющие общую
точку, обязательно имеют другую общую точку, а
следовательно, общую прямую.
Доказательство: Пусть Р — общая точка и а—
одна из плоскостей. Выберем точки А, В, С на
плоскости а так, чтобы точка Р
находилась внутри
треугольника ABC. Пусть
DPQ—треугольник на другой
плоскости р (рис. 127). Если £)или
Q принадлежат плоскости а,
то а и р имеют две общие
точки. Если же это не так, то
прямая PQ пересекает
тетраэдр ABCD в точке R,
отличной от Р, и прямая DR,
принадлежащая плоскости р,
пересекает треугольник ABC в точке, которая
принадлежит одновременно плоскостям аир.
Если, с другой стороны, мы хотим рассмотреть
пространство большего числа измерений, то заменяем
аксиому 12.43 следующей:
Рис. 127.

§ 41 плоскости И ГИПЕРПЛОСКОСТИ 269
Аксиома 12.44. Если А0А{А2Аг — трехмерное про*
странство, то существует точка Л4, не принадлежащая
ему.
В этом случае мы можем определить симплекс
AoAiA2A3AAi который имеет 5 вершин Аи 10 ребер А{А)
(*</), 10 граней AiAjAk (/</<&) и 5 ячеек АхА^АкАх
(представляющих собой тетраэдральные области). Че«
тырехмерное пространство Л0ЛИ2Л3Л4 — это множество
точек, коллинеарных с парами точек, принадлежащих
одной или двум ячейкам симплекса.
Теперь ясна возможность распространения наших
построений на случай пространства п измерений (с
помощью математической индукции), n-мерное
пространство AoAi ... Ап разбивается на две выпуклые области
(полупространства) (п— 1)-мерным подпространством
(например, А0А{ ... Лп_4), называемым гиперплоскостью
(или «(я— 1)-плоскостью»).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Из любых пяти компланарных точек, никакие три из
которых не коллинеарны, можно выделить четыре, которые являются
вершинами выпуклого четырехугольника.
2. Луч ОС, лежащий внутри ZAOB, разбивает угловую
область на две угловые области, ограниченные углами АОС и СОВ
(Веблен [1], стр. 24).
3. m различных компланарных прямых пересекающихся в
точке О, делят плоскость, в которой они лежат, на 2т угловых
областей (Веблен [1], стр. 26).
4. Если ЛВС — треугольник, то прямые ВС, СА, АВ делят
плоскость на семь выпуклых областей, из которых только одна
треугольная.
5. Если m компланарных прямых расположены таким образом,
что любые две из них имеют общую точку, а любые три ее не
имеют, то они разбивают их плоскость на некоторое число
выпуклых областей Обозначим это число через /(2, т). При этом
/(2, т) = Ц% m-l) + iw.
Но /(2,0)-1. Следовательно, /(2,1) =2, /(2,2) =4, /(2,3) =7 и
/(2,т) = 1+тН-С2т.
6. Если т плоскостей трехмерного пространства расположены
так, что каждые три из них имеют общую точку, а каждые четыре
ее не имеют, то они делят пространство на некоторое число
/(3,т) выпуклых областей. При этом
/(3, m)-/(3, m-l)-H(2, « - 1).

270
ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
[ГЛ. 12
Но /(3,0)-1. Следовательно, /(3,1) =2, /(3,2) -4, /(3,3) =8, /(3,4) =
= 15 и f(3, m) = l + clm + Cl + (*m.
7. Получить аналогичный результат для т гиперплоскостей
«-мерного пространства.
§ 5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Ничто, кроме геометрии, не может дать
путеводной нити в лабиринте построений, связанных с
непрерывностью, и только тот, кто прошел через
этот лабиринт, может прийти к действительно
основательной метафизике.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1640—1716) (Рассел
[2], стр. 108-109).
Между двумя рациональными числами (§ 1 гл. 9)
всегда найдется еще одно рациональное число и,
следовательно, бесконечно много рациональных чисел; но это
вовсе не означает, что любое действительное число (§ 2
гл. 9) рационально. Точно так же между любыми двумя
точками (12.271) найдется еще одна точка и,
следовательно, бесконечно много точек; но это не означает, что
аксиомы § 2 этой главы делают прямую «непрерывной».
Для этого необходима еще по крайней мере одна
дополнительная аксиома. Существуют два общепризнанных
подхода к этому тонкому вопросу. Один из них
предложен Кантором (G. Cantor) и Вейерштрассом (К. Weier-
strass). В нем определяются монотонные
последовательности точек и аксиома утверждает, что любая
ограниченная монотонная последовательность имеет предел
(К о кете р [2], стр. 208, аксиома 10.11). При другом
подходе, предложенном Дедекиндом (R. Dedekind),
произвольная точка прямой получается как общее начало
двух противоположно направленных лучей (Кокете р
[3], стр. 62). Арифметический вариант этого подхода
хорошо иллюстрируется описанием У"2, как «сечения», от-*
деляющего рациональные числа, квадраты которых
меньше чем 2, от рациональных чисел, квадраты которых
больше чем 2. Аксиома Дедекинда громоздка с виду, но
ею значительно удобнее пользоваться, поэтому мы
предпочтем ее аксиоме Вейерштрасса.
Аксиома 12.51. При любом разбиении всех точек
прямой на два непустых множества, обладающих тем

§6]
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
271
свойством, что точка одного множества не может
лежать между двумя точками другого, в одном из мно*
жесте существует точка, лежащая между всеми
остальными точками этого множества и всеми точками другого
множества.
Как легко видеть, из этой аксиомы следуют несколько
аналогичных утверждений. Вместо «точек прямой» мы
можем говорить о «точках луча», или «точках
интервала», или «точках отрезка». [Например, в последнем
случае остальная часть прямой состоит из двух лучей,
которые очевидным образом можно прибавить к двум
множествам.] Более интересно (Фордер [1], стр 299)
следующее утверждение:
Теорема 12.52. При любом разбиении множества
всех лежащих внутри угла лучей на два непересекаю*
щихся множества, таком, что ни один луч одного измно*
жесте не лежит между двумя лучами другого множе*
ства, в одном из множеств существует луч, который ле«
жит между всеми остальными лучами этого множества
и всеми лучами другого множества.
Чтобы доказать это предложение для угла АОВ,
достаточно рассмотреть пересечение всех лучей с
отрезком АВ и воспользоваться относящейся к случаю
отрезка аксиомой 12.51.
§ 6. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
Вот уже несколько недель как я начал излагать
письменно результаты моих собственных
размышлений об этом предмете, занимавшем меня
еще 40 лет тому назад и никогда мною не
записанных, вследствие чего я должен был три или
четыре раза возобновлять весь труд в моей голове,
Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) [21, стр 106-107.
(Письмо к Г. К. Шумахеру 17 мая 1831 г.)
Идею о существовании проходящих через данную
точку двух лучей, параллельных данной прямой (в
противоположных направлениях), независимо друг от друга
развили Гаусс, Больяи и Лобачевский. Наше изложение
будет ближе всего к идеям Гаусса.
Теорема 12.61. Для любой точки А и любой
прямой г, не проходящей через Л, существуют ровно два

272
ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
[ГЛ. 12
луча (на плоскости Аг), которые выходят из точки А, не
пересекают прямую г и при этом отделяют лучи,
которые выходят из А и пересекают г, от лучей, которые не
пересекают г.
Доказательство. Выберем две произвольные
точки В и С прямой г, проведем прямые АВ и АС и
прим-еним теорему 12.52 к углу между лучами АС и
А/В (этот угол отмечен на рис. 128). Мы рассмотрим
разбиение множества
всех лучей, лежащих
внутри этого угла, на
два подмножества,
определяемое тем,
пересекают ли или не
пересекают эти лучи луч С/В.
Ясно, что эти
множества лучей непусты и
что никакой из лучей
одного множества не может лежать между двумя
лучами другого. Из этого мы заключаем, что в одном из
множеств содержится луч ри который лежит между
остальными лучами этого множества и всеми лучами дру*
гого множества.
Этот луч р{ принадлежит ко второму множеству.
В самом деле, если бы он пересекал луч С/В, скажем в
точке D, мы имели бы [BCD]. Но в этом случае в силу
аксиомы 12.22 существовала бы такая точка Е, что
[CDE]; тем самым мы приходим к абсурдному выводу
о том, что луч АЕ принадлежит обеим множествам
сразу: к первому он относится потому, что пересекает луч
С/В в точке Е, а ко второму — потому что AD лежит
между АС и АЕ.
Таким образом, мы нашли луч р^ внутри выбранного
угла, который представляет собой «первый» луч, не
пересекающий луч С/В — это означает, что все лучи,
лежащие в углу между АС и ри пересекают С/В. Поменяв
ролями точки В и С, мы получим другой луч qu который
можно охарактеризовать как «последний» луч (при
вращении против часовой стрелки), который еще не
пересекает луча В/С. Так как прямая г состоит из двух
лучей В/С, С/В и отрезка ВС, мы нашли теперь два лу-

§6]
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
273
ча ри <7ь которые отделяют все лучи, выходящие из
точки А и пересекающие г, от лучей, выходящих из А
и не пересекающих прямой г (Фордер [1], стр. 300;
<Н орден [1], стр. 53».
Эти выходящие из точки А лучи р\ и <7i называют
параллельными прямой г в двух направлениях: луч р\
параллелен лучу С/В, а луч q{ — лучу В/С. [Говорят, что
два луча имеют одинаковое направление, если они
лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их
начальные точки.]
Для полноты мы определим лучи, параллельные
прямой г, выходящие из принадлежащей самой этой
прямой точки А, как лучи, на которые точка А разбивает
прямую г. Различие между аффинной и гиперболической
геометриями заключается в различных ответах на
вопрос о том, будут ли для других положений точки А (не
на прямой г) лучи pi и <7i принадлежать одной прямой.
Если этот ответ положителен, то прямая, состоящая из
лучей pi и qu разбивает плоскость на две полуплоскости,
в одной из которых полностью лежит прямая г. Если
ответ отрицателен, то прямые р и q (которые содержат
лучи pi и <7i) разбивают плоскость на четыре угловые
области
Р\Я\* Я\Ръ РМг* Й2р\-
В этом случае, согласно 12.61, прямая г целиком лежит
в области pi*7i.
Следствие 12.62. Через произвольную точку А, не
принадлежащую прямой г, проходит по крайней мере
одна прямая, которая лежит в плоскости А г и не
пересекает прямую г.
Другим известным свойством параллельности
является «независимость от выбора начала луча»:
Теорема 12.63. Прямая и луч остаются
параллельными, если перенести начало луча в другую точку той
же прямой (т. е. отнять от луча или прибавить к нему
отрезок).
Доказательство (Гаусс [2], стр. 108—109).
Пусть pi—-луч, выходящий из точки А, который
параллелен прямой г, проходящей через точку В, и пусть Л7 —
произвольная точка этого луча, отличная от точки А

274
ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
[ГЛ. 12
(рис 129) или противоположного луча р2 (рис. 130).
Измененный луч р[ с началом в точке Л' есть луч А'\А,
соответственно луч А'А; он, очевидно, не пересекает
прямую г. Остается доказать, что любой луч, выходящий
из точки А и лежащий внутри угла, образованного
лучами А'В и р!, пересекает прямую г. Пусть D —
произвольная точка такого луча (рис. 129) или
противоположного ему (рис. 130). Так как луч pi (выходящий из
В г с В г с
Рис. 129. Рис. 130.
точки А) параллелен прямой г, прямая AD
(содержащая луч, который лежит внутри угла между АВ и р0
пересекает прямую гу скажем, в точке С. Прямая А В,
которая отделяет точку А от D, пересекает отрезок AD,
скажем, в точке Е. Применив аксиому 12.27 к
треугольнику СВЕУ для которого [BEAf] и [EDC] (рис. 129), или
к треугольнику ВСЕ, для которого [CED] и [ЕА'В]
(рис. 130), мы получим, что прямая ArD пересекает ВС.
Это свойство позволяет говорить, что прямая р=ЛЛ'
параллельна прямой г = ВС; однако при этом надо
помнить, что понятие «параллелизма» связано с выбором
определенного «направления» на каждой из
рассматриваемых прямых.
Буземан ([1], стр. 179 (23.5)) доказал, что
невозможно средствами одной двумерной геометрии порядка
установить «симметричность» понятия параллельности,
т. е. доказать, что из того, что прямая р параллельна
прямой г, следует, что прямая г параллельна прямой р.
Чтобы сделать этот важный шаг, необходимо ввести либо
аксиому 12.42 (как в книге Кокете р [3], стр. 165—177),

§6}
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
275
либо аффинную аксиому параллельности (13.11), либо
аксиомы конгруэнтности абсолютной геометрии (§ 15,
гл. 1).
Мы не можем также установить «транзитивность»
понятия параллельности, т. е. доказать теорему: если
прямые р и s параллельны прямой г в одном
направлении, то они параллельны между собой. Однако К. Б. Лей-
зенринг (К. В. Leisenring) доказал теорему, которая
является важным шагом на пути к доказательству
транзитивности:
Теорема 12.64. Если две прямые р иг параллель*
ны третьей прямой s в одном направлении, то
существует прямая, пересекающая все три прямые.
В аффинной геометрии эта теорема очевидна, так
что остается рассмотреть случай гиперболической
геометрии.
Проведем через точку А прямой р вторую прямую,
параллельную прямой г. Обозначим эту прямую q.
Занумеруем лучи прямых р и q так, чтобы прямая г
лежала в угловой области pi^i. Таким образом, лучи р%
и qx параллельны прямой г в разных направлениях, а
прямая s параллельна ей в том же направлении, что и
луч Pi. Пусть В и D — произвольные точки прямых г
и s соответственно.
Если точка D лежит в области р^и то условию
теоремы удовлетворяет прямая AD. Если D лежит в
области /?i<72, то условию теоремы удовлетворяет прямая BD.
Если D лежит в р2#2, то обе прямые — как AD, так и
BD — удовлетворяют условию теоремы. Наконец, если
точка D лежит в области /?2#i, то условию теоремы
удовлетворяет прямая АВ.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если прямая р параллельна прямой s и [prs], то р
параллельна г (см. рис. 186, где следует заменить q на s).
2. Рассмотрим все точки, лежащие строго внутри данной
окружности на евклидовой плоскости. Остальные точки будем
считать несуществующими. Назовем хорды окружности прямыми.
Тогда выполняются все аксиомы 12.21—12.27, 12.41 и 12.51, что
соответствует в этой модели двум лучам, проходящим через данную
точку и параллельным данной прямой. Показать, что они образуют
угол (как на рис. 201).

ГЛАВА 13
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Первые три параграфа этой главы посвящены
систематическому изложению основ аффинной геометрии.
В частности, мы показываем здесь, как можно измерять
длину вдоль данной прямой, хотя единицы измерения,
отвечающие различным направлениям, могут быть не
согласованы.
В §§ 4—7 мы рассматриваем ряд более специальных
вопросов, например аффинные преобразования,
решетки, векторы, барицентрические координаты и теоремы
Чевы и Менелая.
Наконец, в §§ 8 и 9 мы распространим некоторые из
полученных результатов на случай пространства трех
измерений.
Согласно Бляшке (Бляшке [1], стр. 31; [2], стр. 12),
слово «аффинный» (латинское affinis) введено еще
Эйлером. Но только после появления Эрлангенской
программы Клейна (см. гл. 5) эта геометрия была признана
самостоятельной наукой. Многие из ее предложений,
вероятно, покажутся читателям известными:
большинство читателей обнаружат, что они часто имели
дело с аффинной плоскостью, не обращая на это
внимания.
Наше изложение носит более геометрический и
менее алгебраический характер, чем у Артина в его
«Геометрической алгебре» (Артин [1]; см. в особенности
стр. 58, 63, 71). Между прочим мы обнаружили, что
наша аксиома 13.12 (которую Артин называет DP)
влечет теорему 13.122 (Da у Артина). Это,
по-видимому, означает, что его аксиома 4Ь влечет за собой
аксиому 4а.

§ 1] АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И АКСИОМА ДЕЗАРГА 277
§ 1. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И АКСИОМА ДЕЗАРГА
Математический язык труден, но неразрушим.
Я не верю, что любой греческий школьник
наших дней может понять идиоматические оттенки
в платоновских диалогах или шутки Аристофана
так же полно, как математики^ могут понять
каждый оттенок смысла в работах Архимеда.
М. А. Ньюмен (Mathematical Gazette 43, 1959,
стр. 167).
При аксиоматическом изложении мы рассматриваем
аффинную плоскость как плоскость геометрии порядка,
обладающую некоторыми дополнительными свойствами,
В соответствии с этими первоначальными понятиями
здесь также будут точка и порядок («между»), которые
удовлетворяют аксиомам 12.21 —12.27, 12.41 и 12.51.
Если к этим аксиомам добавить еще две, то геометрия
порядка превратится в аффинную геометрию:
Аксиома 13.11. Через произвольную точку А, не
принадлежащую данной прямой г, проходит в плоскости
А г не более одной прямой, не пересекающей прямую г.
Аксиома 13.12. Если А, А', В, В', С, С — пары
точек, принадлежащие трем различным прямым,
проходящим через точку О и расположенным так, что прямая
АВ параллельна А'В' и ВС параллельна В'С, то СА
также параллельна С А'.
(Ср. Яглом и Ашкинузе [1], п. 9 из § 2 гл. 1.)
Из аффинной аксиомы параллельности (13.11) и
теоремы 12.62 следует, что через произвольную точку А, не
принадлежащую произвольной данной прямой г, в
плоскости Аг проходит ровно одна прямая, не
пересекающая прямую г. Следовательно, два луча, выходящие
из точки А и параллельные прямой г, всегда колли-
неарны, любые две прямые, которые лежат в одной
плоскости и не пересекаются, параллельны и
параллельность является отношением эквивалентности.
Последнее утверждение означает, что свойство
параллельности удовлетворяет трем условиям:
Параллельность рефлексивна (каждая прямая
параллельна самой себе) *).
*) Это — условное соглашение, несколько расширяющее смысл
термина «параллельный».

278
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
Параллельность симметрична (если р параллельна г,
то г параллельна р).
Параллельность транзитивна (еслир и q параллельны
г, то р параллельна q — предложение (1.30) Евклида).
Это соотношение эквивалентности разбивает все
множество прямых на пучки, каждый из которых
состоит из прямых, параллельных между собой.
Большинство читателей, возможно, встречало аксиому
13.12 (рис. 131) либо как следствие из предложения
(VI.6) Евклида, либо как аффинную форму теоремы Де-
зарга. Как мы сейчас увидим, из этой аксиомы следует
Теорема 13.121. Если два треугольника ABC и
А'В'С с различными вершинами расположены таким
образом, что ВС параллельна В'С\ СА параллельна СА*
Рис. 131. Рис. 132.
и АВ параллельна А'В\ то три прямые АА\ ВВ', СС
или параллельны или пересекаются в одной точке.
Доказательство. Если три прямые АА', ВВ',
СС/ непараллельны, то какие-то две из них должны
пересечься. Без ограничения общности можно положить,
что этими прямыми являются АА' и ВВ' и пересекаются
они в точке О как показано на рис. 132. Пусть
прямая ОС пересекает В'С в точке d. Применив аксиому
13.12 к АА', ВВ', ССЬ получим, что прямая АС
параллельна А'Си так же как и А'С. Согласно аксиоме 13.11,
Ci принадлежит А'С и ВС. Так как А'В'С —
треугольник, Ci совпадает с С. Таким образом, если прямые
АА', ВВ', СС непараллельны, то они пересекаются в
одной точке (Форде р [1], стр. 158).

S2]
ГОМОТЕТИИ
279
Грубо говоря, аксиома 13.12 представляет собой
обращение второй половины теоремы 13.121. Обращение
первой половины этой теоремы выглядит так:
Теорема 13.122. Если А, А', В, В\ С, С — шесть
различных точек, принадлежащих трем параллельным
прямым АА\ ВВ\ СС и расположенных таким образом,
что прямая АВ параллельна
А'В', а ВС параллельна В'С\
то СА параллельна СА'.
Доказательство. Через
точку Л7 проведем прямую
А'С, параллельную АС и
пересекающую В'С в точке С\
(рис. 133). Применим теорему
13.121 к треугольникам ABC и
А'В'С,. Так как АА' и ВВ' па- В* С С,
раллельны, то CCi параллель- Рис. 133.
на им обоим, а следовательно,
параллельна СС. Таким образом, точка С\
принадлежит и СС и В'С7/Так как параллельные прямые ВВ' и
СС различны, то точка В' не может принадлежать СС.
Следовательно, точка С\ совпадает с С' и прямая А'С
параллельна АС.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если прямая, лежащая в плоскости двух параллельных
прямых, пересекает одну из них, то она пересекает и другую.
2. Всегда ли о трех параллельных прямых можно сказать, что
одна из них лежит между двумя другими?
§ 2. ГОМОТЕТИИ
Расширения (гомотетии) представляют собой
взаимно-однозначные отображения плоскости на
себя, которые переводят точки любой прямой в
точки параллельной ей прямой.
Э. Артин [1], стр. 51.
Говорят, что четыре неколлинеарные точки А, В, С, D
образуют параллелограмм, если прямая АВ
параллельна прямой DC, а ВС параллельна AD. Эти четыре точки
называют вершинами, отрезки АВ, ВС, CD, DA — сторо-

280
АФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
(ГЛ. 13
нами, а отрезки АС и BD — диагоналями
параллелограмма. Так как точки В и D лежат по разные стороны
от прямой АС, то диагонали пересекаются в точке,
которую называют центром параллелограмма (Фордер
[1], стр. 14).
Так же, как и в § 1 гл. 5, мы определим гомотетию
как преобразование, которое переводит каждую прямую
в параллельную ей прямую. Но теперь мы должны более
тщательно рассмотреть важную теорему 5.12, гласящую,
что два данных отрезка АВ и А В', принадлежащие па*
раллельным прямым, определяют единственную
гомотетию АВ-+А'В'.
Образ Р' произвольной точки Р, не
принадлежащей АВ, можно найти как точку пересечения прямой
А'Р\ параллельной АР, и В'Р', параллельной ВР, как
показано на рис. 57, стр. 109. [Прямые А'Р' и В'Р' не
могут быть параллельными, так как в этом случае были
бы параллельными прямые АР и ВР] Точно так же
получается точка С, отвечающая точке С, как это
показано на рис. 134. Согласно 13.121, три прямые АА', ВВ\
А В А' В'
Рис. 134.
СС либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.
То же самое относится и к прямым АА', ВВ', РР'.
Если две параллельные прямые АВ и А/В/ не
совпадают, то четыре прямые АА', ВВ', СС, РР' либо пере-*
секаются в одной точке, либо параллельны. Тогда, в
силу аксиомы 13.12, соответственно теоремы 13.122
прямые СР и С'Р' параллельны, так что преобразование
действительно является гомотетией. Если прямые АВ и
А'В' совпадают, то мы можем сделать тот же вывод,

§2]
ГОМОТЕТИИ
281
считая, что наше преобразование имеет вид АС->А'С
вместо АВ->А'В'.
Мы видим, что заданная гомотетия полностью
определяется тем, в какой отрезок переводит она
произвольный данный отрезок. Обратной к гомотетии АВ-*А'В*
будет гомотетия А'В''-> АВ. Произведение двух
гомотетий АВ-*А'В' и А'В'-*> А"В" представляет собой
гомотетия АВ -*А"В". В частности, произведение данной
гомотетии и обратной к ней есть тождественное
преобразование АВ-+АВ. Таким образом, множество всех
гомотетий является группой.
Те же соображения, которые были использованы при
доказательстве теоремы 5.13, показывают, что прямые
РР\ соединяющие пары соответствующих точек,
являются неподвижными прямыми преобразования. Из
теоремы 5.12 следует, что либо все эти прямые
пересекаются в одной точке, либо все они параллельны друг другу.
Если прямые РР' пересекаются в одной точке О, то
эта точка является неподвижной точкой преобразования.
Такое преобразование называется центрально-подобным
преобразованием или цен- г г,
тральной гомотетией
ОА-+ОА'
(где точка А'
принадлежит прямой О А).
Неподвижная точка О
единственна: действительно, ее- В В'
ли бы существовали две Рис 135.
такие точки О и Оь то
гомотетию можно было бы записать в виде 00^ -> ООи
т. е. она была бы тождественным преобразованием.
Если все прямые РР' параллельны, то неподвижных
точек преобразование не имеет, и гомотетия
представляет собой параллельный перенос АВ -> А'В', где не
только АВ параллельно А'В\ но также и АА'
параллельно ВВ'. Если эти две параллельные прямые
различны, то АА'В'В — параллелограмм. Если они
совпадают, мы можем использовать вспомогательные
параллелограммы АА'С'С и ССВВ' (или AA'D'D и D'DBB'),
как это показано на рис. 135. Применив дважды

282
АФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
теорему 13.122, можно доказать, что для фиксированных
точек Л, £, А' положение точки В' не зависит от выбора
точки С (или D). Следовательно:
13.21. Произвольная пара точек А и А' определяет
единственный параллельный перенос А -* А'.
Тождественное преобразование А-+А естественно
считать предельным случаем параллельного переноса.
Таким образом, гомотетия, отличная от тождественного
преобразования, является параллельным переносом
тогда и только тогда, когда она не имеет неподвижных
точек. Данный параллельный перенос можно
охарактеризовать его действием на любую точку: действительно,
параллельный перенос А->А' совпадает с В->В\ если
АА'В'В — параллелограмм; при этом из того, что
АА'С'С — параллелограмм, при любом С следует
также, что С'СВВ' — тоже параллелограмм.
Теорема 13.22 показывает, что гомотетии являются
преобразованиями, «сохраняющими порядок».
13.22. Гомотетия АВ-+А'В' преобразует любую
точку, лежащую между точками А и В, в точку, лежащую
между А' и В'.
Доказательство. Если прямые АВ и А'В'
различны, то утверждение теоремы сразу следует из
предложения 12.401 (для параллельного переноса) или
12.402 (для центральной гомотетии). Чтобы получить
аналогичный результат для двух соответствующих троек
точек неподвижной прямой СС\ мы проведем через эти
шесть точек шесть параллельных прямых, как это
показано на рис. 136, и используем тот факт, что из [acb]
следует [а'Ь'с'].
Чтобы доказать теорему 3.21, которая утверждает,
что произведение двух параллельных переносов снова
является параллельным переносом, мы можем
рассуждать так: поскольку параллельные переносы являются
гомотетиями, то их произведение — тоже гомотетия. Если
она не является параллельным переносом, должна иметь
единственную неподвижную точку О. Если первый из
двух данных параллельных переносов переводит эту
точку О в О', то второй должен переводить О' обратно
в О. Но параллельный перенос О' -* О является
обратным по отношению к переносу 0-+0\ Таким образом,

§2]
ГОМОТЕТИИ
283
произведение двух параллельных переносов имеет не*
подвижную точку только тогда, когда эти переносы об-
ратны друг к другу. [Для удобства мы назовем это
произведение параллельным переносом даже в этом
случае.] Следовательно,
Рис. 136.
13.23. Произведение двух параллельных переносов
А -* В и В —* С представляет собой параллельный пере*
нос А —► С.
При доказательстве того, что умножение
параллельных переносов коммутативно (см. 3.23), мы рассмотрим
сначала простой случай, когда эти переносы
производятся в разных направлениях (в направлениях
непараллельных прямых). Дополнив отрезки А В и ВС до
параллелограмма ABCD, мы заметим, что параллельные
переносы Л-^Ви В~>С совпадают соответственно с
переносами D-+C и A->D. Следовательно, произведение
этих переносов, взятых в любом порядке, представляет
собой параллельный перенос А —► С:
(A->B)(B-+C) = (A->D)(D->C) = (B-*C)(A-*B).
Теперь рассмотрим произведение двух параллельных
переносов Т и X вдоль одной и той же прямой.
Пусть У —перенос вдоль какой-нибудь непараллельной
данной прямой, так что X коммутирует и с У и с 7Y.
В таком случае имеем
TXY = TYX = XTY

284
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
и, следовательно,
ТХ = ХТ
(Веблен и Юнг [2], стр. 76).
Частным случаем теоремы 5.12 является
утверждение о том, что существует единственная гомотетия,
которая меняет местами две данные различные точки А и В.,
Эта гомотетия обозначается АВ —► ВА или, короче,
А+-+В
и называется центральной симметрией (конечно, символ
Лч->5 обозначает то же самое, что и
В«->Л).Центральная симметрия переводит
С о^- ~Z?*ts произвольную точку С, не
/^\^ ^^^/ принадлежащую прямой
/ ^^><Г^^ / ^' в Т0ЧКУ ^» К0Т0Рая со"
/ ^^t^^^ / впадает с точкой пересече-
1^^_ _^</ ния прямой, проходящей
^ U через В и параллельной АС,
и прямой, проходящей че-
Рис. 137. рез А и параллельной ВС
(рис. 137). Следовательно,
ADBC — параллелограмм и ту же центральную
симметрию можно представить в виде C^^D. Диагонали
параллелограмма АВ и CD пересекаются в точке О,
которая является неподвижной точкой центральной
симметрии. Из этого следует, что каждый отрезок АВ имеет
середину, которую можно определить как неподвижную
точку центральной симметрии А+-+В. Мы доказали, что
центр параллелограмма совпадает с серединами обеих
диагоналей, т. е. что диагонали параллелограмма делят
друг друга пополам. Чтобы увидеть, каким образом
центральная симметрия преобразует произвольную точку,
лежащую на прямой АВ, мы соединим эту точку с
точкой С (или D) и затем проведем параллельную прямую
через D (или С).
Рассмотрев действие двух центральных симметрии
на некоторую произвольно выбранную точку В, мы
можем представить их в виде А<->В и В<->С. Если
произведение этих центральных симметрии имеет неподвижную
точку О, то каждая из них должна иметь вид 0*-*0\

$2]
ГОМОТЕТИИ
285
т. е. они должны совпадать. В противном случае это
произведение не имеет неподвижной точки. Таким
образом,
13.24. Произведение двух центральных симметрии
А«г-+В и В<-+С представляет собой параллельный
перенос А -> С.
Мы видим (рис. 137), что если ADBC —-
параллелограмм, то центральная симметрия А <г->В совпадает с
центральной симметрией С <->£), а параллельный
перенос A-+D — с параллельным переносом С -> В. Эти связи
между центральными сим- 0 0 0 0
метриями и параллельными А С Л В
переносами остаются в силе
л в том случае, когда вер- Рис. 138.
шины параллелограмма
вырождаются в четверку симметрично расположенных
коллинеарных точек, как показано на рис. 138.
13.25. Центральные симметрии А^^В и C<-+D
совпадают тогда и только тогда, когда совпадают
параллельные переносы A ->D и С -> В.
Действительно, соотношение
(A<->5) = (C<->D)
влечет за собой
(A-+D) = (A*-+B)(B+~+D) = (C+->D)(B+->D) = (C-*B)
и, обратно, соотношение
(A^D) = (C-*B)
влечет за собой
(A*r+B) = (A-+D)(D++B) = (C-+B)(B++D)==(C<ir+D).
Если точки С и D совпадают, мы обозначим их
через С и получим следующий частный случай теоремы
13.26: точка С' является серединой отрезка А В тогда и
только тогда, когда параллельные переносы А —> С и
С -+ В совпадают. Из совпадения этих параллельных
переносов следует существование такого отрезка А'В\
что АС'А'В' и А'ВС'В — параллелограммы, как
показано на рис. 139. Дополнив треугольник В'С А' до
параллелограмма В СА'С, мы. получим треугольник ABC,

286
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ; 13
для которого точки Л', В' и С являются серединами
сторон. Следовательно,
13.26. Прямая, соединяющая середины двух сторон
треугольника, параллельна третьей стороне, и, обратно,
прямая, проходящая через середину одной из сторон и
параллельная другой стороне,
проходит через середину третьей
стороны.
Говорят, что две фигуры
гомотетичны, если их можно
перевести друг в друга гомотетией, и
что они конгруэнтны, если они
переводятся друг в друга
параллельным переносом или централь-
Рис. 139. ной симметрией. В частности,
каждый отрезок АВ конгруэнтен
«обратному» отрезку ВА, так как он переводится в
него центральной симметрией Л«->В. Таким образом
на рис. 139 четыре малых треугольника АС'В\ СВА',
В'А'С, А'В'С конгруэнтны между собой и каждый
из них гомотетичен большому треугольнику ABC.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если в равенствах, подобных тем, которые были
использованы при доказательстве теоремы 13.25, в левой части стоит
параллельный перенос, то правая часть должна включать четное число
двусторонних стрелок (центральных симметрии). Объясните это
правило.
2. Параллельные переносы А -> С и D -> В совпадают, если
совпадают переносы A~>D и С~>В. (Это очевидно, когда ЛО£С —
параллелограмм, но весьма замечательно, когда все точки колли»
пеарны.)
3. Подставив Л = Св равенство
(А «-► В) (В -> С) = (А 4-+ С),
получим, что произвольно заданная точка С является неподвижной
точкой центральной симметрии (С<-*В) (В ->С), которую
естественно записывать как С<-*С.
4. Если три диагонали шестиугольника (не обязательно
выпуклого) имеют общую середину, то любые две его противоположные
стороны параллельны (как на рис. 42, стр. 91).
5. Из произвольной точки А\ на стороне ВС треугольника ABC
проведем прямую А\Ви параллельную В А до пересечения с СА в
Точке В\\ затем проведем В\С\ параллельно С В до пересечения

§ 3] АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ 287
с АВ в точке Ci и, наконец, С\А2 — параллельно АС до
пересечения с ВС в точке А2. Если Ai — середина стороны ВС, то точки
А\ и А2 совпадут. В противном случае продолжим процесс, т. е.
проведем А2В2 параллельно ВА, В2С2 — параллельно СВ и С2А2 —
параллельно АС. Теперь путь
замкнется: точка Аг совпадает с А\.
[Это так называемая
фигура Томсена (Thomsen). См.
N. R. Mind, Geometrical Magic,
Scripta Mathematica 19, 1953,
стр. 198—200.]
б.4 Середины четырех сторон
простого четырехугольника
образуют параллелограмм (рис. 140),
Эта теорема была открыта
Пьером Вариньоном (P. Varignon, 1654—1722). Он показал, что
бимедианы, которые соединяют середины противоположных сторон
четырехугольника, делят друг друга пополам. Таким образом,
следствие из теоремы Хьельмслева (§ 6 гл. 3) становится теоремой
аффинной геометрии, когда мы заменяем предположения 3.61 более
сильными
АВ = ВС; А'В'^В'С.
7. Середины шести сторон полного четырехугольника являются
вершинами центрально-симметричного шестиугольника (т. е.
шестиугольника такого вида, который был рассмотрен в упр. 4).
§ 3. АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ
<гО да, разумеется» — сказал Единорог... — «Что
мы можем измерить? Мы знатоки теории
измерения, но не практики».
Дж. Л. С а й н д ж [2], стр. 51.
Результаты § 2 можно резюмировать в виде
утверждения о том, что все параллельные переносы аффинной
плоскости образуют (непрерывную) абелеву группу,
являющуюся подгруппой индекса 2 группы переносов и
центральных симметрии, а эта последняя группа
является в свою очередь подгруппой (бесконечного
индекса) группы гомотетий (Веблен и Юнг [2],
стр.79, 93).
Более того, группа параллельных переносов является
нормальным делителем (или «самосопряженной»
подгруппой) 1) группы гомотетий, т. е. если Т—параллельный
') Биркгоф и Мак Лейн [1], стр. 148; Ко кет ер [1J,
стр. 42; (Курош [1]),

288
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ 13
перенос, а 5 — гомотетия, то S~lTS — также
параллельный перенос (Артин [1], стр. 57). Докажем это
утверждение от противного. Пусть гомотетия S~lTS
имеет неподвижную точку. Так как эту неподвижную точку
можно получить из подходящей точки О применением:
гомотетии S, то мы можем обозначить ее через 0s.
Таким образом, преобразование S~lTS оставляет точку О3
неподвижной. Но в то же время S~{TS переводит 0s в
0TS. Следовательно, 0TS=0S. Проделав
преобразование 5"1, получим От = 0, чего не может быть (так как
параллельный перенос Т не имеет неподвижных точек).
Если Г=Л->Б, a S=AB-+AsBsy то S~]TS=AS-+В3.
В соответствии с этим иногда оказывается удобным
писать Ts вместо S~lTS (см., например, Ко кете р [1],
стр. 39) и говорить, что гомотетия S переводит
параллельный перенос Т в перенос Ts. (Так как ASBS
параллельно АВ, то направление переноса Ts совпадает с
направлением переноса Т.) Другими словами, гомотетия 5
осуществляет автоморфизм группы параллельных
переносов, т. е. если она переводит Г в Р, а другой
параллельный перенос U в Us, то она переводит TV в (TU)S =
= TSUS и любую степень Т в такую же степень Т8.
Мы будем использовать ту же самую курсивную
букву Т для обозначения точки, в которую перенос Т
преобразует начальную точку (или начало координат) /.
Тогда, если точка / является неподвижной точкой
центральной гомотетии S, то это преобразование не только
преобразует Т в Ts, но также и точку Т — в точку Ts.
Применяя к произвольной точке 1 всевозможные
целые степени данного параллельного переноса X, мы
получим одномерную решетку, состоящую из бесконечного
множества точек, «равномерно расположенных» вдоль
• •• ——О О I .. о о о о о - •••
X"3 X"2 X'1 1 X X2 Xs
Рис. HI.
прямой, как это изображено на рис. 141. Мы можем
рассматривать каждую такую точку X* как образ точки X
при гомотетии IX-+1X11 (которая оставляет точку /
на месте). Сначала мы полагаем \i целым числом, но

§3]
АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ
289
так как та же самая гомотетия переводит точку Хп в
{х»)п=х»\
мы можем последовательно расширять область
значений [х, допуская произвольные рациональные
значения и, наконец, по непрерывности, произвольные
действительные значения.
Другими словами, мы можем вставить новые точки
между точками одномерной решетки и затем определить
Ац при любом действительном \i как параллельный
перенос / -> X*.
Подробно этот процесс может быть описан так:
Для каждого рационального М- = т- (где а —
целое, a b — натуральное число) мы определяем X* как
образ точки X при гомотетии 1Хь->1Ха. Более удобный
путь построения точки X11 состоит в использовании
решетки, определяемой степенями произвольного
параллельного переноса У вдоль другой прямой, проходящей
через начальную точку /. Точка Xм* лежит на прямой,
,ь Yb Y
7 Xa*b X
X ха/ь xb
Рис. 142.
Xй XaXa/b7
проходящей через точку У параллельно прямой,
соединяющей точки Yb и Ха, как это показано на рис. 142
(ср. рис. 94 на стр. 206).
Проверим, что порядок точек X* согласуется с
порядком рациональных чисел \х. Рассмотрим три такие
точки и приведем их показатели \i к общему
знаменателю, так что эти точки примут вид Хах,ь% Ха2,ь, Ха%1Ь.

290
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
Если ai<a2<a3, так что [Ха\ Ха\ Ха% то, применив
теорему 13.22 к гомотетии 1ХЬ->1Х, мы заключим, что
[х> > X b , X ъ J.
Если \х иррационально, то мы определим X? как де-
декиндово сечение, разделяющее рациональные точки
ХшЬ % у которых -у < \х, от точек, для которых -у > М-
Поясним это точнее. Положив для определенности, что \х
положительно, мы применим относящийся к лучу вариант
аксиомы 12.51 к двум множествам точек, одно из
которых состоит из всех точек, показатели степеней
которых есть положительные рациональные числа,
меньшие [х, и точек, лежащих между парами таких точек, а
второе — из остальных точек «положительного» луча 1Х«
[Если \л отрицательно, мы произведем подобное
разбиение отрицательного луча 1/Х.] Наконец, Xм"» по
определению, представляет собой параллельный перенос
Теперь мы можем придать смысл символу Xм",
каково бы ни было действительное число ц (включая
значения 0 и У, для которых имеем Х° = 1 и Х1=Х).
Обратно, любую точку прямой IX можно представить в ей-
Это очевидно для любой точки, принадлежащей
интервалу между X'1 и X. Для любой другой точки Г имеет
место одно из двух соотношений [1ХТ] или [1Х~1Т\. Если
[1ХТ], гомотетия 1Т-+1Х переводит точку X в точку,,
лежащую между 1 и X, скажем в ХК Обратная гомотетия
IXх-* IX переводит X в Xl^t следовательно, Т=Х1^<
Если [1Х'ХТ\ мы можем аналогичным образом
рассмотреть гомотетию /Г-^/Х"1. В обоих случаях мы получим
выражение для Т в виде степени X.
Таким образом, приняв аксиому Дедекинда, мы
доказали «аксиому Архимеда»:
13.31. Для любой точки Т (за исключением /), при-
надлежащей неподвижной прямой параллельного пере*
носа X, существует такое целое число п, что Т лежит
между 1 и ХпЛ

§ 3] АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ 291
Показатель степени \х дает возможность измерять
расстояния вдоль прямой IX. Говорят, что отрезок
XVX^ (v<\i) имеет длину jli — v, если отрезок IX
принять за единицу измерения длин:
xvx»
Единица измерения расстояний вдоль другой
прямой 1Y (см. рис. 143) не зависит от IX. Так как
гомотетия IX -> IX* преобразует
точку У в точку Уй, такую, что
прямая Х^Y* параллельна XY9
мы имеем
IX» __ 1Y»
IX — 1Y '
что соответствует
предложению (VI. 2) Евклида (см. § 3
гл. 1). Таким образом, мы Рис. 143.
можем определить отношение
длин отрезков на одной прямой или на
параллельных прямых и можем сравнивать такие отношения для
различных прямых. Но аффинная геометрия не
располагает аппаратом для сравнения длин отрезков
различного направления, так что вопрос о том, будет ли ве->
личина параллельного переноса У больше или меньше
величины переноса X, лишен здесь смысла.
Данное выше определение длины отрезка XVX*
(v<[x) наводит на мысль приписать противоположно
направленному отрезку X^XV отрицательную длину
IX*
v — \х. Такое соглашение позволяет нам писать (x = -w
не только для положительных, но и для отрицательных
значений \х и складывать длины коллинеарных отрезков
по формулам
АВ + ВС = АС, £С + СЛ + Л£ = 0,
не обращая внимания на порядок точек Л, 5, С.
Теперь, определяя систему аффинных координат на
плоскости, мы обозначим через (ху у) точку, в которую

292
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
переходит начальная точка (или начало координат) 1
при параллельном переносе ХЛУУ. Это простое правило
устанавливает взаимно однозначное соответствие между
точками плоскости и упорядоченными парами
действительных чисел. В частности, точке Xх соответствует пара
чисел (х, 0), точке Yy — пара (0, у), а началу
координат—пара чисел (0, 0). Точки (л:, у), для которых х
и у — целые числа, образуют двумерную решетку (ср.
рис. 39 на стр. 88). Остальные точки обычным образом
располагаются между точками решетки.
В аффинных координатах (так же, как и в
декартовых) прямая записывается линейным уравнением.
Степени преобразования X'bYa преобразуют начало
координат в точки (—\ib\ [ia)y заполняющие прямую
ах + Ьу = 0. Те же степени преобразуют точку (хи у\) в
точки вида
{х{ — \ib, r/i + ца),
которые заполняют прямую
a(x — xx) + b(y — yi) = 0.
Мы можем, таким образом, представить уравнение
прямой в любой из форм 8.11, 8.12, 8.13.
В 1872 году Клейн предложил характеризовать
различные геометрии по группам преобразований, при
которых сохраняются свойства, рассматриваемые в этих
геометриях. [Это предложение известно под названием
Эрлангенской программы, см. гл. 5.] Таким образом,
евклидову геометрию характеризует группа подобий,
круговую геометрию — группа круговых (или
конформных) преобразований (см. § 7, гл. 6). Группа,
характеризующая аффинную геометрию, состоит из аффинных
или линейных преобразований (х, у) -> (х\ у'), где
13.32 х'— ax + by+j,
у' — cx + dy-\- k, ad Ф be.
[Неравенство айФЬс необходимо для того, чтобы мы
могли решить эти уравнения относительно х и у и
получить обратное преобразование.] Легко убедиться в том,
Нто такие преобразования сохраняют параллельность.

§4]
ПЛОЩАДЬ
293
Более того, их можно определить как преобразования,
которые переводят параллельные прямые в
параллельные прямые*). Эти преобразования не исчерпываются
гомотетиями, так как они не обязательно сохраняют
направления. Аффинный аналог теоремы 5.41 (Веблен и
Юнг [2], стр. 72) таков:
13.33. Существует единственное аффинное (линейное)
преобразование, которое переводит произвольно
заданный треугольник в другой произвольно заданный
треугольник.
Чтобы доказать это, поместим вершины первого
треугольника в точку (0, 0), (1, 0), (0, 1). Вершины
(У\ k\ (а+у, c + k), (b+j, d + k)
второго треугольника можно отождествить с любыми
тремя данными неколлинеарными точками (их
неколлинеарность следует из условия айфЬс).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Записать гомотетию O(ji) в аффинных координатах с
началом в точке 0.
2. Описать преобразования
а) х' = х + J, у' = у + k\
б) х' = j — х, у' = k — у.
3. Какое аффинное преобразование переводит треугольник
(0,0) (1,0) (0,1)
в треугольник (0,0) (1,0) (&,1)? В какую точку переводит это
преобразование точку (0, —1)?
§ 4. ПЛОЩАДЬ
Коль геометрию в расчет принять, он с кружку-
эля может стать.
Сэмуэль Б а т л е р (Samuel Butler, 1600—1680), Hudibras,
часть 1, песнь 1.
Теперь мы покажем, как сравнение длин
параллельных отрезков позволяет сравнивать площади
произвольно расположенных фигур (ср. Фордер [1], стр. 259—
*) Более того, аффинные преобразования можно даже
определить просто, как такие преобразования обычной плоскости,
которые сохраняют понятие прямой (т. е. переводят каждую прямую
снова в прямую; см. Делоне и Райков [1], стр. 118 и след.,
или Яглом и Ашкинузе [1], стр. 40 и след.).

294
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
265; Ко к с тер [2], стр. 125—128). Для простоты мы
ограничимся рассмотрением многоугольных областей
(области другой формы можно получить с помощью
подходящего предельного перехода). Ясно, что любую
многоугольную область можно разбить на конечное число
треугольников1). Следуя Гильберту, мы назовем две
многоугольные области эквивалентными, если их можно
разбить на конечное число попарно конгруэнтных (т. е.
переводящихся друг в друга параллельным переносом
О
"Я
или центральной симметрией) частей или можно
присоединить к каждой из них один или несколько
конгруэнтных кусков так, чтобы получить фигуры,
эквивалентные в первом смысле*). Другими словами, два
многоугольника эквивалентны, если каждый из них можно
получить из другого, разрезав этот другой
многоугольник и сложив его части по-новому и при этом мы можем
«позаимствовать» дополнительные куски. Введенное
таким образом отношение эквивалентности, очевидно,
рефлексивно и симметрично. Наложив два различных
разбиения друг на друга, мы видим, что оно обладает
также свойством транзитивности: два многоугольника,
эквивалентные третьему, эквивалентны друг другу.
*) N. I. Lennes, American Journal of Mathematics 33, 1911,
стр. 46.
*) Другими словами, эквивалентные многоугольники — равно-
составленные, или равнодополнительные, или, так сказать, «равно*
составленнодополнительные» (т. е. они дополняются равными
частями до равносоставленных). При этом существенно иметь в виду,
что из всех движений аффинная геометрия признает лишь
параллельные переносы и центральные симметрии (ср., например,
Болтянский [1]).

§41
ПЛОЩАДЬ
295
Изображенные слева на рис. 144 параллелограммы
OPQR и OP'Q'R эквивалентны, так как присоединяя
к одному из них треугольник RQQ', а к другому —
треугольник ОРР\ можно получить одну и ту же
трапецию OPQ'R. Таким образом,
13.41. Два параллелограмма эквивалентны, если у
них имеется по паре противоположных сторон
одинаковой длины, лежащих на одних и тех же параллельных
прямых.
Так как диагональ делит параллелограмм на два
треугольника, которые переводятся друг в -друга
центральной симметрией, то два треугольника с общей
вершиной эквивалентны, если стороны, противолежащие
этой вершине, являются конгруэнтными отрезками
одной и той же прямой. Таковы треугольники OPQ и OP'Q'
на рис. 144 справа. В частности, если точки Я0, ^ь • •.
%.. , Рп расположены на прямой, не проходящей через
Рис. 145. Рис. 146.
точку О так, что отрезки PQPU P\Pi, ..., Рп-\Рп
конгруэнтны, как это изображено на рис. 145, то
треугольники OPqPu OPiP2, ... , OPn-iPn эквивалентны, и мы
можем сказать, что площадь треугольника ОР0Рп .в
п раз больше площади треугольника OP0Pi. Вставляя
между точками Pi другие точки той же прямой, мы
можем распространить это утверждение на произвольные
действительные значения п и заключить, что если
точка Q лежит на стороне PQ' треугольника OPQ', как
показано на рис. 146, то прямая OQ делит площадь
треугольника в таком же отношении, в каком точка Q
делит сторону PQ'i

296
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ 13
13.42
OPQ _ PQ
OPQ' ~~ PQ' '
Естественно считать это отношение отрицательным, если
точка Р лежит между Q и Q', т. е. если треугольники
OPQ и OPQ' противоположно ориентированы.
Эти соображения позволяют нам определить
площадь произвольного многоугольника таким образом, что
эквивалентные многоугольники будут иметь равные
площади и что площадь многоугольника, сложенного из
двух данных, будет равна сумме их площадей. Если
некоторый треугольник ОАВ принят за единицу измерения,
то площадь данного многоугольника можно вычислить,
разбив его на треугольники, а потом сложив площади
этих треугольников*). Площади же треугольников мы
будем вычислять следующим образом.
Подобрав подходящий параллельный перенос, мы
можем сдвинуть произвольно заданный треугольник так,
чтобы одна из его вершин совпадала с вершиной О
единичного треугольника ОАВ. Поэтому нам достаточно
определить площадь треугольника OPQ. Пусть прямая
PQ пересекает прямую О А в точке Р', а прямую ОВ-~
в точке Q', как это изображено на рис. 146. Перемножая
три отношения
OPQ _ PQ OP'Q' __ OP' . OAQ __ OQ'
OP'Q' ~~ P'Q ' OAQ' ™ OA ' OAB ~~~ OB
мы получаем искомое отношение площадей:
13.43
OPQ _ PQ OP' OQf
OAB ~ P'Q' OA OB '
Найдем аналитическое выражение для площади
треугольника OPQ в системе координат с началом в
точке О. Пусть координаты точек О, Л, Ву Я, Q, Р\ Q'
*) Разумеется, намеченные здесь построения не заменяют
полной теории измерения площадей многоугольников, самым сложным
пунктом которой является доказательство независимости
определенной таким образом площади многоугольника от способа
разбиения этого многоугольника на треугольники (ср., например, П е р е-
п е л к и н [1], стр. 195 и след., или Рохлин [l])t

§4]
ПЛОЩАДЬ
297
будут соответственно
(О, 0), (1, 0), (0, 1), (хи yi), (х2, у2), (р, 0), (0, q).
Так как точки (xi9 yi) и (х2у у<ь) удовлетворяют уравнению
р ' я
прямой PQ, мы имеем
1_J£l l i_J!l
хх р х2 '
откуда
~ -*1*/2 -*2J/l
А"| —лг2
Образовав произведение трех отношений
PQ jti —лг2 ОР' ш OQ' х{у2
P'Q' — р ' О А ~Ру ОВ ~~ хх
мы получим
13.44
~*2У\
— X<i
OPQ_ |jc, ух\
ШВ—Х*У*~Х2У1—\х2 у2\-
Как и в § 2 гл. 8, мы видим, что треугольник с
вершинами (*i, tji) (х2, y-z) (хз, Уз) имеет площадь PQR, где
13.45
Х\ Ух 1
х2 у2 1
*з Уз 1
Так как однородное линейное преобразование
х' = ах + &#; у' = сх + tf#
переводит треугольник ОЛВ в треугольник
(0, 0)(а, с) (6, tf),
мы заключаем, что аффинное преобразование сохраняет
площади треугольников (а значит, и площади любых
фигур) тогда и только тогда, когда
ad — bc= 1.

298
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
Такие преобразования называют эквиаффинными
преобразованиями (Веблен и Юнг [2], стр. 105, 106).
Группа эквиаффинных преобразований (так же, как и
группа гомотетий) содержит в качестве нормального
делителя группу параллельных переносов и центральных
симметрии и в свою очередь сама является нормальным
делителем группы всех аффинных преобразований.
Любой ориентированный треугольник ABC
переводится в противоположно ориентированный треугольник АСВ
косой симметрией
\А\ В++С].
Это аффинное преобразование меняет местами точки
В и С и оставляет на месте все точки медианы AD
(рис. 147; ср. рис. 2 на стр. 21). Так как аффинные
преобразования переводят параллельные прямые в
параллельные прямые, мы можем построить образ Р' данной
точки Р следующим образом. Найдем точку
пересечения прямой AD с РВ (или PC) и соединим ее с
точкой С (или В). Прямая, построенная таким образом,
пересекает прямую, проведенную через точку Я,
параллельно ВС в искомой точке Р'. (Ясно, что AD делит
отрезок РР' пополам.)
Косые симметрии не относятся к числу
эквиаффинных преобразований, так как они изменяют ориентацию
Рис. 147.
треугольника и тем самым изменяют знак площади.
Другими словами, они входят в число тех аффинных
преобразований типа 13.32, для которых ad—bc=—1.
Из этого следует, что:
Любое эквиаффинное преобразование может быть
представлено в виде произведения четного числа косых
симметрии.

$4]
ПЛОЩАДЬ
299
Более того, любое аффинное преобразование может
быть представлено в виде произведения двух или трех
косых симметрии и гомотетии.
(Для доказательства этой теоремы заметим сначала,
что любое аффинное преобразование представляет со«
бой произведение преобразования, для которого ad—bc=
= ± 1 и гомотетии, а затем повторим доказательство
теоремы 3.13, пользуясь теоремой 13.33 вместо 3.11.)
УПРАЖНЕНИЯ
1. Два треугольника имеют равные площади, если они имеют
конгруэнтные стороны, лежащие на одной прямой, а
противоположные вершины лежат на параллельной прямой. [Это
соответствует общеизвестному понятию «равных оснований и равных
высот», за исключением того, что слово «высота» подразумевает
существование перпендикулярного направления, которое в
аффинной геометрии отсутствует.]
2. Если треугольники ОЛВ и О А'В' гомотетичны, то
треугольники ОАВ' и О А'В имеют одинаковую площадь.
3. Треугольник OPQ (рис. 144, справа) переводится в эквива*
лентный ему треугольник OP'Q' сдвигом 1) — эквиаффинным
преобразованием специального типа, которое переводит точку Р в Р' и
оставляет на месте все точки прямой, проходящей через О и
параллельной РР'. Как действует это преобразование на остальные
точки плоскости?
4. Если эквиаффинное преобразование имеет неподвижную
прямую, проходящую через любую точку, то она представляет собой
либо центральную симметрию, либо параллельный перенос, либо сдвиг.
5. Представить в виде произведения двух косых симметрии;
а) центральную симметрию, б) параллельный перенос.
6. Параллельный перенос Р -> Рг представляет собой
произведение сдвигов \Р\ Q~>Q'][Q\ Я->Я'], где PP'Q'Q — параллелограмм.
7. Сдвиг [О; Р~^Р'\ представляет собой произведение двух
косых симметрии
[О; Рч->С] [О; Я'ч->С],
где С — некоторая точка. Описать множество точек С.
8. Каждое эквиаффинное преобразование можно представить
в виде произведения двух косых симметрии.
9. Описать преобразования
а) (*, у)->1х + \ху,у), б) (*, у)->(—х,у).
10. Любое аффинное преобразование порядка 2 представляет
собой либо центральную симметрию, либо косую симметрию.
1) Веблен и Юнг [2», стр. 112; Н. S. М. Coxeter, The
affine plane, Scripta Mathematica 21, 1955, стр. 11.

300
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
§ 5. ДВУМЕРНЫЕ РЕШЕТКИ
Ферею отведено двадцать строк в словаре
Dictionary of National Biography... Его биограф
не упомянул об одном его достижении, которое
пережило его.
Г. X. Харди (ХардииРайт [1], стр. 37).
Свойства решеток, которые мы изучали в § 1 гл. 4
(вплоть до описания рис. 41) относятся к аффинной
геометрии. Действительно, решетку можно определить как
множество точек плоскости с.целочисленными
аффинными координатами. Любую из этих точек можно
принять за начало координат О.
Пусть А' — произвольная точка решетки и Л —
первая из точек решетки, лежащих на луче ОА\ Следуя
Харди и Райту ([1], стр. 29), мы будем называть
точку А видимой точкой, потому что между точками О
и А нет точек решетки, которые бы заслонили точку А
от наблюдателя, находящегося в О. Используя
аффинные координаты, можно сказать, что необходимое и
достаточное условие того, что точка (л:, у) является
видимой, состоит во взаимной простоте чисел х и у. Три
видимые точки
(1, 0), (1, 1), (0, 1)
вместе с началом координат образуют параллелограмм.
Он называется единичной ячейкой (или «типичным
параллелограммом») решетки, потому что параллельные
переносы преобразуют его в бесконечное множество таких
же ячеек, которые покрывают плоскость без пробелов и
двойных покрытий. Этот параллелограмм является
удобным эталоном при вычислении площади области.
Согласно Штейнгаузу ([2], стр. 76—77, 260),
Г. Пик (G. Pick) в 1899 г. открыл следующую теорему 1):
13.51. Площадь любого простого многоугольника с
вершинами в точках решетки определяется по формуле
b 1
где Ь — число точек решетки, лежащих на контуре мно-
l) Перенесение на трехмерный случай имеется в статье: J. Е.
Reeve, On the volume of lattice polyhedra, Proceedings of the
London Mathematical Society (3) 7, 1957, стр. 378—395.

§5]
ДВУМЕРНЫЕ РЕШЕТКИ
301
гоугольника, а с — число точек решетки, попавших
внутрь многоугольника.
[Под «простым» многоугольником понимается
многоугольник, контур которого не имеет точек
самопересечения. На рис. 148 изображен простой многоугольник, для
которого 6=11, £ = 3.]
Доказательство. Прежде всего покажем, что
если приложить два многоугольника друг к другу, то
выражение -к +- с — 1 для полученного многоугольника
будет равно сумме тех же выражений, составленных для
О £L О О О О
О /о XI О JQ О
о / о ^Ч ^ат 6 о о
о/ ^хт о \ о 6 о -о
<Т^ О о о- ■ -о о о
Рис. 148.
складываемых многоугольников. В самом деле, пусть
два многоугольника содержат соответственно 6i + Ci и
62 + с2 точек решетки; их общая сторона (точнее, часть
контура, которая может состоять из нескольких сторон)
содержит я(>0) точек решетки, куда не включены две
точки, отвечающие концам этой стороны или части
контура. В таком случае значения бис для полученного
многоугольника будут таковы:
6 = Ьх + 62 — 2/г — 2; c — Ci + c2-\-n.
Таким образом,
- -+ с — 1 = ' J 2 —и — 1 +^1 + ^ + л- 1 =
что и требовалось доказать.
Далее, теорема 13.51 выполняется для
параллелограмма, на сторонах которого нет точек решетки (для
этого параллелограмма 6 = 4 и наше выражение для
площади обращается в с+1). В самом деле, если N таких

302
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ ТЗ
параллелограммов сложить вместе, по четыре при
каждой вершине, с тем, чтобы они заполнили большую
область, то число точек решетки, находящихся в этой
области, будет близко к N(c+l) (незначительная ошибка
связана с приблизительностью подсчета числа
граничных точек) и, следовательно, таким же должно быть
число единичных ячеек, необходимых для заполнения
этой области *).
Разбивая параллелограмм диагональю на два
равных треугольника, мы установим, что наша формула
справедлива также,для треугольника, на сторонах
которого нет точек решетки. Если на какой-либо стороне
треугольника имеются точки решетки, мы соединим ях
с противоположной вершиной. Повторив этот процесс,
мы разобьем любой треугольник на меньшие
треугольники, стороны которых не содержат точек решетки;
таким образом мы убеждаемся, что выписанная формула
годится для вычисления площади любого треугольника с
вершинами в узлах сетки. А так как любой
многоугольник можно разбить на треугольники (ср. Шклярский,
Ченцов, Яглом [1], решение задачи 108), то наша
формула оказывается истинной и для каждого
многоугольника.
В частности, любой параллелограмм, у которого 6 = 4
и с = 0, имеет площадь 1 и может служить единичной
ячейкой. Если вершины такого параллелограмма (мы
перечисляем их в порядке обхода контура
параллелограмма против часовой стрелки) имеют координаты
(0,0), (х,у), (х + хи У + yi), (xuyih из 13-44 следует, что
13.52
*У\ — ухх = \.
Другими словами, равенство 13.52 является условием
того, что точки
13.53
(0, 0), (х, у), (xv уг)
образуют положительно ориентированный «пустой»
треугольник площади о-, который можно использовать для
*) Это рассуждение можно сделать строгим, используя понятие
предела.

§5]
ДВУМЕРНЫЕ РЕШЕТКИ
303
образования решетки с таким же успехом, как
треугольник (0,0) (1, 0)(0, 1).
Таким образом, решетка, с точностью до
расположения, полностью определяется площадью единичной
ячейки. Больше того, хотя данная решетка содержит
бесконечное множество видимых точек, все они играют
одинаковую роль. (Эти свойства аффинной геометрии
резко отличают ее от евклидовой геометрии, где форму
решетки можно неограниченно изменять и где каждая
решетка содержит бесконечно много видимых точек на
различных расстояниях от начала координат.)
Дьердь Пойя1) с помощью 13.52 получил важный
результат, относящийся к теории чисел. Рядом Ферея Fn
порядка п называется возрастающая
последовательность правильных дробей, знаменатель которых не
превосходит п. Таким образом, дробь ~- принадлежит к
Fn, если х и у взаимно просты и
13.54
Например, ряд F5 выглядит так:
1 ' 5 ' 4' 3 ' 5 ' 2 * 5 ' 3 ' 4 ' 5 ' 1*
Основным свойством таких последовательностей, из
которого остальные свойства получаются с помощью
простых алгебраических преобразований, является то, что
соотношение 13.52 верно для любых двух соседних дробей
любого ряда Fn. Чтобы доказать это, ставим в
соответствие каждому члену ~ последовательности Fn
точку (*» У) решетки; так, членам последовательности F5
отвечают темные точки рис. 149 (на котором угол
между осями для удобства сделан острым). Так как дроби
несократимые, то соответствующие им точки (х, у) —
l) G. Poly a, Aria Litterarum ас Scientiarum Regia Universi-
tatis Hungaricae Francisco — Josephinae, Sectio scientiarum Mathe*
maticarum 2, 1925, стр. 129—133.

304
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ 13
видимые. В силу 13.54 все они лежат внутри или па
границе треугольника (0, 0) (/г, 0) (/г, п). Луч, исходящий
из начала координат, вращаясь против часовой стрелки,
проходит через точки последовательности в порядке их
возрастания. При этом если у/х й yjxi — соседние
члены последовательности, то внутри треугольника
Рис. 149.
(0, 0) (ху у) (хи (/i) не содержится точек решетки,
откуда вытекает, что треугольник (0, 0) (ху у) (хи у^)
представляет собой половину единичной ячейки и для него
верно соотношение 13.52, но это нам и требовалось
доказать.
Укажем здесь еще один результат, относящийся к
аффинной геометрии:
13.55. Если точки L, М и N делят стороны ВС, С А
и АВ треугольника ABC в отношениях Я: I, \х : 1 и v : 1,
то прямые AL, ВМ, CN образуют треугольник, площадь
которого относится к площади треугольника ABC как
(^у-1)2
(A(A + * + l)(|iv + |i+l)(vA, + v + l) •
Этот факт был обнаружен Раузом ([1], стр. 82; см.
также Дорри [1], стр. 41—42). Доказательство, спра-

§5)
ДВУМЕРНЫЕ РЕШЕТКИ
305
ведливое в общем случае, мы приведем в § 7; однако
любопытно отметить, что в случае Я = |я = г, когда отно-
(к— I)3
шение площадей имеет вид \3i » требуемый
результат можно вывести из теоремы 13.51. Пусть, например,
A, = |a = v=2, так что каждая сторона делится на три
равные части (Штейн га уз [2], стр. 8); при этом площадь
центрального треугольника будет равна одной седьмой
общей площади. Но это можно сразу усмотреть, если
расположить соответствующий чертеж, как это показано
С
Рис. 150.
на рис. 150, на плоскости, где задана целочисленная
решетка. Так как для центрального треугольника 6 = 3,
с = 0, а для треугольника ABC 6 = 3, с=3, то отношение
1 /7 1
площадей равно "2/'2" = 7"'
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если — и —- — два соседних члена ряда Ферея, то х и Х\
У У\
взаимно просты.
2.
рея, то
2. Если —-, —, три последовательных члена ряда Фе-
JCq JC Х\
Уо + j/i =-£- (К. Харош, 1802).
JCq I JC | JC
3. Точки Л, В, С на рис. 150 принадлежат решетке, единичная
ячейка которой имеет в семь раз большую площадь, чем ячейка
первоначальной решетки. [Теорию таких составных решеток в
евклидовой геометрии см. Н. S. М. Coxeter, Configurations and

306
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
maps, Reports of Mathematical Colloquium (2) 8, 1948, стр. 13—38,
в особенности черт. I, V, VII.]
4. Используя решетки, показать справедливость формулы 13.55
для случаев (а) X=n = v = 3, (б) X = \x = v= -^ •
5; Соединим вершины А, В, С, D параллелограмма ABCD с
серединами сторон ВС, CD, DA, АВ так, что в середине
образуется меньший параллелограмм. Его площадь равна одной пятой
площади параллелограмма ABCD. Другой такой параллелограмм
получится, если соединить точки А, В, С, D с серединами сторон
CD, DA, АВ, ВС. Общая часть этих двух малых параллелограммов
является центрально-симметричным восьмиугольником и имеет
площадь, равную одной шестой площади параллелограмма ABCD.
(Дорри [1], стр. 40.)
6. В обозначениях 13.55 площадь треугольника LMN
относится к площади ABC, как
Л|ыу -{- 1
(A+l)0x+l)(v+l)*
[Указание: применить 13.42 для вычисления относительной
площади треугольника CLM и т. д.]
7. Если точки L, М, N не являются серединами сторон ВС,
АС, АВ, то площадь треугольника LMN больше площади по крайней
мере одного из треугольников AMN, BLN, С ML. (П. Эр дет1).)
§ 6. ВЕКТОРЫ И ЦЕНТРОИДЫ
На самом деле векторы и переносы —это одно
и то же, хотя их и называют по-разному. Вместо
того чтобы говорить о переносе А->А', который
переводит точку А в А', говорят о векторе АА'...
Тот же самый вектор, начало которого
перенесено в точку В, кончается в В'', если перенос,
переводящий А в А', переводит В в В'.
Герман В е ft л ь [I], стр 45,
Как уже было сказано в § 5 гл. 2 группой
называется ассоциативная система, содержащая тождественный
элемент и вместе с каждым элементом — обратный к
нему. Арифметическими примерами являются
положительные рациональные числа, положительные
действительные числа, комплексные числа, по модулю равные
единице, и, наконец, все комплексные числа кроме 0«
В качестве операции каждый раз берется обычное
умножение. Эти примеры показывают, что естественно рас-
l) P. Е г d 6 st American Mathematical Monthly 67, I960,
стр. 479, задача 4908»

§6]
ВЕКТОРЫ И ЦЕНТРрИДЫ
307
пространить мультипликативные обозначения на все
группы, т. е. обозначать результат действия,
примененного к элементам S и Г, через ST, обратный к S элемент
через S~\ а тождественный элемент — через 1. Однако
часто бывает удобным, в особенности если группа абе-
лева (т. е. коммутативная), применять аддитивные
обозначения, т. е. результат действия, примененного к S
и Г, обозначать через S + 71, обратный к S элемент —
через —S, а тождественный элемент — через 0. Чтобы
доказать, что эти обозначения имеют столь же простые
арифметические основания, достаточно рассмотреть
целые числа, рациональные числа, действительные числа
и комплексные числа, вводя каждый раз в качестве
операции обычное сложение.
Переход от мультипликативной группы к
соответствующей аддитивной группе лежит в основе теории
логарифмов (И нфел ьд [1], стр. 97—100).
Когда мы выходим за пределы арифметики, выбор
между умножением и сложением становится
исключительно вопросом обозначений. В частности, абелевой
группе параллельных переносов, которой выше мы
придавали мультипликативную форму, соответствует
аддитивная группа векторов.
Переведем на язык векторов некоторые определения
и теоремы, установленные нами для параллельных
переносов. Теорема 13.21 утверждает, что любая
упорядоченная пара точек Л и /Г определяет единственный
вектор АА\ направленный от Л к А'\ рис. 135 иллюстрирует
ситуацию, при которой
АА' = ОС' = ВВ',
теорема 13.23 утверждает, что
АВ + ВС--=АС,
а 3.23 означает, что для любых двух векторов а и Ь
a-\~b = b-{-a.
«Начало координат» мы будем теперь называть О
вместо /, а нулевой вектор будем обозначать 0.
Произведения любого вектора, выходящего из начала коорди-

308 АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ 13
нат, на целые числа образуют одномерную решетку. Два
вектора ей/ называются независимыми, если никакое
произведение одного из них на вещественное число tie
равно другому вектору, т. е. если единственным
решением векторного уравнения
xe+yf=0
будут числа х = 0 и t/=0. Два независимых вектора
(соответствующие параллельным переносам X и Y на
рис. 40) образуют базис аффинной системы координат:
они позволяют нам определить координаты
произвольной точки как коэффициенты в выражении
xe+yf
для радиуса-вектора, выходящего из начала координат
и оканчивающегося в данной точке. Другими словами,
аффинные координаты точки Р относительно
треугольника ОАВ представляют собой коэффициенты в
выражении
ОР = хОЛ + у6В.
Весьма плодотворным оказалось в теории векторов
позаимствованное из статики понятие центроида (или
«центра тяжести») множества «взвешенных» точек, т.е.
точек, которым каким-то образом поставлены в
соответствие действительные числа. Для удобства мы будем
называть эти числа массами, хотя в случае, когда
некоторые из них отрицательны, более подходящей
интерпретацией были бы электрические заряды.
Пусть массы /ь ..., tk помещены в k различных
точках Аи ..., Aky и пусть О — произвольная точка (может
быть совпадающая с одной из точек Лг). Рассмотрим
вектор
tx6Ax+ ... + thOAh.
Если ti+ ... +//t = 0, этот вектор не зависит от
выбора точки О, В самом деле, если мы вычтем из
полученного вектора соответствующий вектор, в котором
точка О заменена на О', мы получим
ЩОА, - OAi) +...+th {OAk - (TAk) =
= (/i+...+k)OO'=0.

§6]
ВЕКТОРЫ И ЦЕНТРОИДЫ
309
Более интересен случай, когда
П+ ... +ЬФ0.
В этом случае
/i04i+ ...+ /*СЙЛ = (/i + .. . + tk)OP.
Покажем, что положение точки Р не зависит от
выбора точки О. В самом деле, пусть замена точки О на
точку О' в левой части выражения повлечет за собой
замену точки Р на Р'. Вычитая одно выражение из
другого, получим
d+ ••• +tk)60f = {tl+ ... +tk)(OP-67P%
откуда ОР'=00' + 0'Р', т. е. точка Р/ совпадает с Р.
Эта точка Р определяется соотношением
I>tioP=%tioAi.
Ее называют центроидом (или «центром тяжести») k
масс /г-, помещенных в точки Лг\
Так как точку О можно поместить в Р, имеем
Если множество Лг- состоит из двух точек А{ и Л2, то
txpXx = — t2PA2,
так что точка Р лежит на прямой AiA2 и делит отрезок
ЛИ2 в отношении /2 : fi. В частности, если t\ = t2, то
точка Р — середина отрезка ЛИ2.
Для трех точек Ль Л2, Л3 имеем
Ci + h + *3) ОЯ = hOA, + /2042 + /3^з =
= /i0^1 + (/2 + /3)OQ.
где точка Q — центроид масс /2 в точке Л2 и /3 в точке
Л3. Таким образом, при нахождении центроида трех масс
мы можем заменить две из них их суммой, помещенной
в их центроид. [Этот прием, очевидно, обобщается на
большее число масс] В частности, когда /i = /2=/3 (и все они
равны, скажем, 1), точка Q — это середина стороны Л2Л3,

310
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
а точка Р делит отрезок AiQ в отношении 2: 1. Таким
образом, «центроид» G треугольника (§ 4 гл. 1)
совпадает с центроидом равных масс, помещенных в его
вершины.
Точка G, в которой пересекаются медианы
треугольника, является также центром тяжести однородной
треугольной пластинки. [Строго говоря, понятие центроида
фигуры можно определить
"1 только с помощью
интегрального исчисления.]
Чтобы показать это,
разделим треугольник
прямыми, параллельными
стороне ЛИз, на тонкие
полосы, как это указано на
рис. 151. Центры тяжести
этих полос, очевидно,
принадлежат медиане
AiQ. Следовательно, центр
тяжести эсей пластинки
"г Q "з также принадлежит этой
рис. 151. медиане. Но
аналогичное рассуждение можно
провести и для других медиан. Поэтому центр тяжести
треугольника должен совпадать с точкой пересечения
медиан. [Это соображение использовал Архимед в III в.
до н. э.]
УПРАЖНЕНИЯ
1. Проверить, что
а) положительные рациональные числа,
б) положительные действительные числа,
в) комплексные числа, по модулю равные 1,
г) все комплексные числа, за исключением 0,
образуют группу по умножению и что
д) целые числа,
е) рациональные числа,
ж) действительные числа,
з) комплексные числа
образуют группу по сложению. Объяснить, почему первые четыре
множества не образуют группу по сложению, а последние
четыре— группу по умножению,

§7]
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
311
2. Если точки Л, В, С принадлежат одной прямой, а точки
А\В\ С — другой и
АВ _ ВС
А'В' ~~ В'С '
то точки, которые делят отрезки АА\ ВВ\ СС в одинаковом
отношении, коллинеарны или совпадают. [Указание: рассмотреть
центроид подходящих масс,
сосредоточенных в точках А, С,
А\ С]
3. Центроид равных масс,
помещенных в вершинах
четырехугольника, совпадает с
центром параллелограмма Ва-
риньона (см. рис. 140 на
стр. 287).
4. Центр тяжести
однородной четырехугольной
пластинки совпадает с центром
параллелограмма Виттенбауера,
стороны которого проходят
через соседние точки, которые
делят на три равные части стороны данного четырехугольника, как
это изображено на рис. 152. Эта теорема, принадлежащая Виттен-
бауеру (F. Wittenbauer, 1857—1922) (Бляшке [2], стр. 13), была
вновь открыта Дж. Дж. Уэлчем и Ф. У. Фоссом *).
5. Для каких четырехугольников центры тяжести, описанные в
упр. 3 и 4, совпадают?
§ 7. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Если ti + t2=£0, массы /4 и /г, расположенные в
точках At и Л2, определяют единственный центроид Р, как
—о. о о—
А7 t2 Р tt *2
Рис. 153.
показано на рис. 153. Точка Р совпадает с Ль если
/2=0, и с Л2, если ti = 0. Если обе массы положительны
(или обе отрицательны), то она принадлежит отрезку
А Иг; если
l) J. J. Welch, V. W. Foss, Mathematical Gazette 42, 1958,
стр. 55; 43, 1959, стр. 46.

312
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
то она принадлежит лучу Ai/A2, и если
h > —1\ > о
— лучу /42/Ль
Обратно, если на прямой ЛИ2 дана точка Р, то
всегда можно найти такие числа t\ и /2, что
t2 АХР tx РА2
тх—тх; или T2~==z~A\T;
при этом точка Р будет центроидом масс t{ в Л4 и tz
в Л2. Так как центроид масс \iti и ji/2 (при \хфО) совпа*
дает с центроидом масс t{ и t2, сосредоточенных в тех же
точках, то введенные таким образом барицентрические
координаты однородны:
(tu t2) = (\itv \it2) (ili^O).
Как заметил Мёбиус (A. F. Mobius) в 1827 году,
таким же образом можно ввести барицентрические
координаты на плоскости, выбрав треугольник отнесения
Л4, Л2, Л3. Если tt + t2+ts=^=0y массы tit t2, tZy помещенные
в трех вершинах треугольника, определяют
единственную точку Р (центроид), которой приписываются
координаты (tit t2, t3). В частности, точка А\ имеет коорди*
наты (1, 0, 0), точка А2 — координаты (0, 1, 0), а
точка Л3 — (0,0, 1).
Точка прямой А2А3 с одномерными
барицентрическими координатами относительно Л2 и Л3, равными (/2, /3),
имеет плоские барицентрические координаты (0, /2, t3).
А,
Рис. 155.
Чтобы найти координаты данной произвольно
расположенной точки Р, найдем сначала t2 и /3 так, чтобы точка
Q(0, t2y ts) лежала на прямой Л4Р, как это указано на
рис. 154, а затем определим t± как массу, которую нужно
поместить в точку Ль чтобы центроидом этой массы и

§ 71 БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 313
массы 4 + <з, приложенной в точке Q, была точка Р.
Как и в одномерном случае, барицентрические
координаты однородны:
Соединяя точку Р с точками Аи Л2, A3f мы разобьем
треугольник ЛИг^з на три треугольника с общей
вершиной Р. Площади этих треугольников
пропорциональны барицентрическим координатам точки Р (рис. 155).
Это утверждение сразу следует из 13.42, так как
t3 _ A2Q __ AXA2Q __ PA2Q _ A{A2Q — PA2Q _ PA{A2
t2 ~ QA* — AXQA3 — PQA3 — A{QA3-PQA3 ~" PA3A, *
и точно такие же равенства можно написать для
отношений -~» ~т • Случай, когда точка Р находится вне
треугольника, охватывается посредством соглашения о
знаке площади ориентированного треугольника.
В силу неравенства
13.71
мы можем нормировать координаты так, чтобы было
[Для этого нужно просто разделить каждую
координату на сумму всех трех.] Такие нормированные
барицентрические координаты называют ареальными
координатами*), потому что они в точности равны
площадям треугольников РА2А3, РА^Аи PAtA29 если принять
площадь всего треугольника А{А2А3 за единицу
измерения. Ареальные координаты уже неоднородны, но
«избыточны»: положение точки полностью определяется
двумя из них, а третья сохранена для симметрии.
Однако любое выражение, содержащее такие координаты,
можно сделать однородным, если на соответствующие
места вставить подходящие степени выражения
h + h+t3.
Как мы видели, в аффинных координатах прямая
имеет линейное уравнение. Сейчас мы покажем, что в
*) От латинского слова area — площадь.

314 АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ ТЗ
барицентрических координатах прямая имеет
однородное линейное уравнение. Рассмотрим аффинную систему
координат с осями А3А{ и А3А2, как показано на рис. 156.
Тогда точки Р, Аи Л2, А3,
которые имели барицентрические
координаты
{tv t2, Ь), (1, 0, 0),
(0, 1, 0), (0, 0, 1),
/j А получат координаты
Рис. 156. (х, у), (1, 0), (0, 1), (0, 0).
Согласно 13.44, отношения площадей треугольников
РА2А3 и PA3At к площади единичного треугольника
AiA2A3 равны
1 О I
Вычтя их из площади Л1Л2Л3, получим, что площадь
РА\А2 равна 1—х — у. Следовательно, ареальные
координаты точки Р связаны с ее аффинными координатами
очень простыми формулами:
tx = x, t2 — y9 t3=l—x — y.
Прямая, имеющая в аффинных координатах
уравнение 8.11, в ареальных координатах имеет уравнение
atx-\-bt2-{-c — 0.
Умножив это уравнение на tt + t2+t3, мы получим
однородное уравнение прямой в барицентрических
координатах
atl + bt2 + c{tl + t2 + t3) = 0
или
(a + c)tx + (b + c)t2 + ch = 0>
или, в более симметричных обозначениях,
13,72
7\'1 + 7У2+7Уз = 0.
А
х у
0 1
= х и

§7]
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
315
Таким образом, каждая прямая записывается в
барицентрических координатах линейным однородным
уравнением. В частности, прямые А2А3, A3AU AtA2 имеют
уравнения
13.73
/,=0, /2 = о, и
:0.
имеет уравнение
13.74
Г\
S\
tx
Г'1
So
h
Ti
s3
h
Прямая, проходящая через две данные точки
(0 = (г1. Г2> 'з) и (s) = (sv s2, s3),
= 0.
Действительно, это уравнение линейно и значения
ti = ri и ti = st удовлетворяют ему. Другой путь для
получения этого результата состоит в следующем: заметим,
что фиксированные точки (г) и (s) вместе с переменной
точкой (/) образуют «треугольник» нулевой площади.
Если считать площадь треугольника отнесения
единичной, площадь треугольника (г) (s) (t) в ареальных
координатах выразится следующей формулой (это следует
из 13.45 и 13.71):
гх г2 1
Si Si 1
tx t2 1
=
Г\ Г> ГХ + Го -f- г3
sx s2 Si -\-s2-\- s3
t\ ?2 t\ ~\~ tl + ^3
n=r
Г\ Г2 Гг
si s2 s3
t\ t2 r3
Следовательно, в общих барицентрических
координатах площадь треугольника равна тому же самому
определителю, деленному на
(Г1 + Г2 + Г3) (Si + S2 + S3) (ti + t2 + t3).
Теперь мы можем доказать теорему Рауза 13.55 в
наиболее общей форме. Отождествим треугольник ABC
с А^А2А3у так что точки L, ЛТ, N получат координаты
(0, 1, Я), ((1,0,1), (1, v, 0).
Прямые AL, ВМ, CN выразятся уравнениями

316 АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. 13
Они попарно пересекаются в точках
Ох, [XV, 1), (1, v, vl), (k\i, 1, Я),
образующих треугольник площади
\l \iV 1
1 v vA
Ajx 1 А
Ox + nv+l)(l + v + vA)(A^+l+A) —
(K\iv — l)2
(ji + jiv + lXl+v + vAXAfx+l+A)
(мы считаем площадь треугольника ЛИгЛз равной 1).
Но именно это и утверждает теорема 13.55.
Важным частным случаем теоремы Рауза является
Теорема Чевы. Если тонки L, М, N делят
стороны треугольника ABC соответственно в отношениях
%: 1, \1: 1, v: 1, то три прямые AL, ВМ, CN пересекаются
в одной точке тогда и только тогда, когда Ajiv=1 *).
Произвольная прямая 13.72 пересекает стороны 13.73
треугольника отнесения в точках
(О, 7*3, -Т2)9 (-'А, 0, Тг), (Г2, -Г„ 0),
которые делят эти стороны в отношениях
__?JL _Zl _Zl-
Тя9 ТГ Т2'
произведение этих отношений, очевидно, равно —1.
Обратно, любые три числа, произведение которых равно
т т т
— 1, можно представить в виде—^Л, ~-, ^-,
для чего надо лишь подобрать подходящие значения Ти
Г2, Т3. Следовательно, имеет место
Теорема Менелая. Точки L, М, N, делящие
стороны треугольника соответственно в отношениях Я: 1,
jx: 1, v:l, коллинеарны тогда и только тогда, когда
Xpiv = —1.
*) Здесь подразумевается, что прямые ALy ВМ и CN попарно
пересекаются. Предоставляем читателю самостоятельно убедиться,
что в общем случае соотношение X|nv=l необходимо и достаточно
для того, чтобы три прямые AL, ВМ, CN пересекались в одной
точке или были все параллельны одна другой.

§7]
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
317
Коэффициенты Ти 7*2, 7^ уравнения 13.72 иногда
называют тангенциальными координатами прямой. Эти
однородные «координаты» имеют простую геометрическую
интерпретацию (С альм он [1], стр. 11): их можно
рассматривать как расстояния от точек Аи A2t А3 до
прямой, измеренные по произвольному направлению
(одному и тому же для всех трех точек). Докажем это. Пусть
Рис. 157.
эти расстояния будут AiFit A^Fz, A3F3y как это показано
на рис. 157. Так как
лхы У,
ЛМ2 ~ Т2 '
то из рассмотрения гомотетичных треугольников NAiFi
и NA\F2 следует
Af{ A{N Т{
A2F2 A2N Т2 '
Поэтому
A\F\ __ A2F2
Тх — Т2 •
и аналогичным путем доказывается, что каждое из этих
A F
отношений равно I 3 .
* з
Выдвинутая Мёбиусом идея однородных координат
является одной из самых плодотворных идей в истории
математики: ее можно сравнить с открытием Лейбницем
дифференциалов, позволившим представить уравнение
я&- ш

318 АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. 13
в однородной форме
df(x) = f'(x)dx
(например, dsinx = cosx dx).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Изобразить семь областей, на которые разбивают плоскость
прямые А2АЪ> АгА\, А\А2, и отметить знаки, которые имеют ареаль-
ные координаты в каждой из семи областей.
2. Исходя из формулы 13.45, показать, что площадь
треугольника РА\А2 на рис. 156 равна 1 —х— у.
3. Ареальные координаты середины отрезка (si,s2, s3) (t\,t2Jz)
равны
s\+tx s2 + t2 s3 +13 \
2 ' 2 ' 2 )'
4. Центроидом масс о и т, помещенных в точки с ареальными
координатами (su s2t s3) и (tu t2> t3) будет точка с
барицентрическими координатами
(<?$! +Tib a52-f^2, as3 + T*8).
5. Барицентрические координаты произвольной точки прямой
(s) (t) можно записать в виде
(os{ + rtu as2 + xt2, as3 +т*3).
6. Применить барицентрические координаты для решения упр. 6
в конце § 5. Что означает полученный результат, если точки L, М%
N коллинеарны?
7. Как зависят знаки коэффициентов Гь Т2у Г3 от взаимного
расположения прямой 13.72 и треугольника отнесения. В случае,
если Т2 и Г3 положительны, разобрать следующие возможности:
*2 < *Ъу * 2 == * 3> *2 > *Ъ*
§ 8. АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Дайте мне возможность созидать, и я на время
стану богом, преодолевая все препятствия,
постигая всю премудрость, которая мне
необходима..., продвигаясь, подобно богу, к своей цели!
Дж. Л. С а й н д ж [2], стр. 162.
Аффинную геометрию можно распространить на
случай трех измерений, если заменить аксиому 12.41
аксиомами 12.42 и 12.43. В действительности общее число
аксиом остается неизменным, так как аксиома 13.12
Становится теоремой, которую удается доказать (Фор-

18]
АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО
319
дер, [1], стр. 155—157). Говорят, что прямая и плоскость
или две плоскости параллельны, если они не имеют
общих точек (или если прямая лежит в плоскости, или
если две плоскости совпадают). Таким образом, любая
плоскость, пересекающая две параллельные плоскости,
пересекает их по параллельным прямым; если две
плоскости параллельны, то любая прямая, лежащая на
одной плоскости, параллельна другой плоскости; если две
прямые параллельны, любая плоскость, проходящая
через одну из них, параллельна другой прямой.
Существование параллельных плоскостей
устанавливает следующая теорема (ср. с аксиомой 13.11):
13.81. Через любую данную точку А, не лежащую
в данной плоскости у, проходит в точности одна
плоскость, параллельная у *).
Доказательство. Пусть q и г — две
пересекающиеся прямые плоскости у> a q' и г'— прямые,
параллельные q и г и проходящие через точку Л. Покажем,
что плоскость q'r' параллельна плоскости у. Пусть это
не так. Тогда, согласно 12.431, плоскости у и qrrr
пересекутся по прямой /. Так как qr и г' параллельны у> они
не могут пересечь /. Таким образом, q' и г' проходят
через точку А и параллельны /, что противоречит
аксиоме 13.11. Это доказывает, что q'r' параллельна у.
Больше того, q'r' — единственная плоскость, проходящая
через точку А и параллельная плоскости у.
Действительно, если бы существовали две такие плоскости, то они
пересеклись бы по прямой s'y проходящей через Л, и мы
пришли бы к противоречию, рассмотрев пересечения этих
плоскостей с плоскостью As, где 5 — прямая, лежащая
в плоскости у и не параллельная s'.
Параллельность прямых в пространстве, так же как
и на плоскости, обладает свойством транзитивности:
13.82. Если прямые р и q параллельны прямой г, то
они параллельны друг другу.
Доказательство (Фордер [1], стр. 140). Если
все три прямые принадлежат одной плоскости, то дока-
*) Если точка А принадлежит плоскости yt то справедливость
теоремы 13.81 при нашем определении параллелизма становится
тривиальной.

320
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
{ГЛ. ТЗ
зываемое утверждение сразу следует из аксиомы 13.11,
Допустим теперь, что они не принадлежат одной
плоскости. Для любой точки Q прямой q плоскости Qp и Qr
пересекаются по некоторой прямой q' (рис. 158). Любая
общая точка прямых (/'иг должна была бы
одновременно принадлежать плоскостям Qp, рг, а следовательно —
и прямой р, по которой они
пересекаются; но это
невозможно, так как прямая р
параллельна г. Следовательно,
прямая qr также
параллельна /\ Но единственной
прямой, проходящей через
точку Q и параллельной /\
является q. Следовательно,
прямая q совпадает с q/ и
лежит в одной плоскости с р.
Любая общая точка прямых
р и q должна также принадлежать плоскостям рг и qr,
а значит и прямой г. Так как это невозможно, то
прямые р и q параллельны.
Транзитивность параллельности позволяет дать
другое доказательство теоремы 13.81. Чтобы доказать, что
точка О не может лежать одновременно в плоскостях y
и q'rr, мы проведем через О прямые, параллельные
q(n q'), г (и г'). Плоскости у и q'r', каждая из которых
проходит через обе эти прямые, должны совпадать, что
противоречит нашему предположению о том, что точка
А не принадлежит плоскости у.
Три плоские грани ОВС, ОСА, ОАВ тетраэдра
ОАВС вместе с плоскостями, проходящими через точки
Л, В, Си параллельными противоположным граням,
образуют параллелепипед, грани которого представляют
собой шесть параллелограммов, как это изображено на
рис. 159 (Фордер [1], стр. 155).
Теперь легко построить трехмерную теорию
гомотетий, параллельных переносов и векторов. Три вектора
d, е, f называются линейно-зависимыми, если они
компланарны, так как в этом случае каждый из них можно
представить в виде линейной комбинации двух других
(если, конечно, эти два вектора неколлинеарные). Три

§ 8] АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО 321
вектора е, /, g называются линейно независимыми, если
единственное решение векторного уравнения
xe + yf+zg = Q
имеет вид x = y = z=0. Три таких вектора образуют
базис системы трехмерных аффинных координат.
Действительно, если
е = ОА, f=OB, g = OC
(рис. 160), то вектор ОР можно представить как диаго*
наль параллелепипеда, образованного плоскостями ОВС,
(jr,y,zj
(?,W
О
Рис. 160.
ОСА, ОБА и тремя плоскостями, проведенными через
точку Р параллельно этим плоскостям. Тогда
6& = xe + yf-\-zg,
причем слагаемые суммы, стоящей в правой части
равенства, представляют собой векторы, направленные
вдоль ребер параллелепипеда.
Так же как и в случае плоскости, центроид Р
системы масс U, помещенных в точках Лг- пространства,
определяется таким вектором ОР, что
Если OAi = xie-{'yif-{--zlg, то мы получаем

322
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. гз
Следовательно,
13.83. Центроид k масс tiy сосредоточенных в точках
(*и Уи z%) (i— 1» 2, ..., k)y совпадает с точкой
В частности, если ti + t2+h=\, центроидом масс tu
fe, U, расположенных в точках
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),
будет точка (tiy /2, /з). Следовательно,
13.84. Трехмерные аффинные координаты точки
плоскости x+y+z=l совпадают с ее ареальными
координатами относительно треугольника, который вырезают
на этой плоскости координатные плоскости х = 0, */ = 0,
2 = 0.
Из этого следует, что существует прямая
_£ у_ £
*i "~ U~ *•'
проходящая через начало координат, каждая точка
которой имеет барицентрические координаты (f4, £2, *з)«
Но прямые, лежащие в плоскости x+y + z = 0, не
порождают соответствующих то^ек на параллельной плоскости
x + y + z=ly если не расширить аффинную плоскость,
до проективной плоскости, присоединив к ней
«бесконечно удаленную» прямую
Об этой возможности мы уже упомянули в § 9 гл. 6;
более подробно мы исследуем ее в гл. 14.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если прямая а параллельна плоскости а, а плоскость,
проходящая через а, пересекает плоскость а по прямой Ь, то а и Ь
параллельны. Если другая плоскость, проходящая через а,
пересекает а по прямой су то Ь и с параллельны.
2. Если плоскости а, р, у пересекаются по прямым pY=a,
уа=6, <хр = с и а параллельна Ь, то а, Ь и с параллельны.
3. Все прямые, проходящие через точку А и параллельные
плоскости а, лежат в плоскости, параллельной а (Фордер [I],
стр. 155),

$9)
ТРЕХМЕРНЫЕ РЕШЕТКИ
323
4. Шесть плоскостей, проведенных через ребра тетраэдра и
середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке —
центроиде равных масс, помещенных в вершинах тетраэдра.
5. Построить теорию трехмерных барицентрических координат
относительно тетраэдра А\А2ЛзАА.
§ 9. ТРЕХМЕРНЫЕ РЕШЕТКИ
Маленький параллелепипед, задаваемый тремя
переносами, принятыми за единичные, ... назы«
вается единичной ячейкой... Полная
кристаллическая структура получается периодическим
повторением внутренности единичной ячейки с по*
мощью трех единичных параллельных переносов.
М. Дне. Бюргер (род. 1903) [1], стр. 5,
Теория объемов в аффинном пространстве намного
сложнее, чем теория площадей на аффинной плоскости*
Как заметил М. Ден (М. Dehn), трудность состоит в
том, что два многогранника равного объема не всегда
можно получить один из другого, разрезав один из них
и сложив по-другому части. Строгое построение теории
объемов, предложенное Салли Рут Стройк (Sally Ruth
Struik) очень кратко может быть описано следующим
образом. Произвольный тетраэдр можно перевести в
другой тетраэдр единственным аффинным
преобразованием, которое переводит параллельные прямые в
параллельные прямые. В частности, тетраэдр ABCD
переводится в тетраэдр ABDC косой симметрией
[АВ; C*-*D],
которая меняет местами точки С и D и оставляет на
месте все точки плоскости, проходящей через ребро АВ
и середину ребра CD. Говорят, что два тетраэдра имеют
одинаковый объем, если один из них можно перевести
в другой эквиаффинным преобразованием, т. е.
произведением четного числа косых симметрии. Такое сравнение
легко распространить с тетраэдров на параллелепипеды,
так как параллелепипед можно разбить на шесть
тетраэдров равного объема.
Как и дли случая двух измерений, решетку в
трехмерном пространстве можно определить как множество
точек с целочисленными аффинными координатами. Это
определение можно заменить другим, которое не зависит

324 АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. 13
от выбора системы координат. А именно, назовем
решеткой дискретное множество точек, которые являются
концами системы векторов, замкнутой относительно
вычитания, т. е. системы, которая вместе с любыми двумя
векторами содержит их р аз ноеть. Вычитая
произвольный вектор из самого себя, мы получим нулевой вектор
с — с = 0,
который, следовательно, должен принадлежать нашей
системе. Далее, одновременно с векторами а и Ь
система содержит векторы 0—& = — Ъ, а — (—&) = а +
+ &, а + а = 2а и т. д.: множество векторов,
содержащее вместе с любыми двумя векторами их разность,
содержит также их сумму и произведение любого вектора
системы на произвольное целое число.
Решетка может быть одно-, двух-или трехмерной,
соответственно максимальному числу линейно независимых
векторов. В трехмерном случае тройка линейно
независимых векторов в, /, g называется базисом решетки,
если все векторы решетки можно представить в форме
13.91
xe + yf+zg,
где х, у, г —целые числа. Если три из таких векторов,
скажем гг, г2, г3, образуют другой базис этой же
самой решетки, то должны существовать 18 целых чисел
aaf Ьа, са, Аа, Ва, Са (а=1, 2, 3),
таких, что
и, следовательно,
откуда
Л I и п , г> ( *' еСЛИ а = $>
а р i а р 1- а р ^ Q, еСЛИ а + р.
Так как элементы произведения двух определителей
получаются почленным перемножением соответствующих

§9]
ТРЕХМЕРНЫЕ РЕШЕТКИ
325
ах bx сх 1
а2 Ь2 с2
о-з h сг \
1 А
\Вх
Id
^2 ^3
&2 ^3
^2 С3
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
элементов строк первого определителя и столбцов
второго и суммированием полученных выражений, то имеем
= 1.
Но поскольку два определителя, записанные в левой
части, суть целые числа, то их произведение может быть
равно 1 лишь в том случае, когда каждый из них равен
±1. Обратно, если числа аа, Ьа, са таковы, что
составленный из них определитель равен ±1, мы можем
получить Ла, 5а, Са, взяв обратную матрицу, и данный
базис е, f, g породит эквивалентный базис га.
Следовательно:
Необходимым и достаточным условием того, чтобы
две тройки линейно независимых векторов
е> f> g ti аае + Ь^+с£ (а = 1, 2, 3)
той же решетки, служит
± 1
(ср. Харди и Райт [1], стр. 28; Невиль [1], стр. 5),
Другими словами, решетка порождается любой из
ее точек, если применить к этой точке дискретную
группу параллельных переносов. Решетка будет одно-, двух-
или трехмерной, смотря по тому, будут ли переносы
коллинеарными, компланарными, но не коллинеарными,
или не компланарными. В одномерном случае
образующий перенос единствен с точностью до замены на
противоположный, но в других случаях, две или три
образующие, т. е. базисные векторы, можно выбрать
бесконечным множеством способов. Если они выбраны, мы
можем использовать их для введения системы
аффинных координат, так что вектор 13.91 идет из начала
координат (0, 0, 0) в точку (а:, у, г) и решетка состоит из
являлись базисами
одной и
соотношение
13.92
ах Ъх d
#2 ^2 ^2
а3 Ь3 с3

326
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
точек с целочисленными координатами. Восемь точек
(О, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1),
(1,0, 1), (1, 1,0), (1, 1, 1),
определяемые восемью векторами
0, е, /, g, f+g, e±g, e+f, e+f+g,
очевидно, образуют параллелепипед, являющийся еди*
ничной ячейкой решетки. Соображения, аналогичные
тем, которые были высказаны в § 1 гл. 4 для двумерной
решетки, показывают, что любые две единичные ячейки
данной решетки имеют один и тот же объем.
Любая прямая, соединяющая две точки решетки,
содержит бесконечно много точек решетки, которые
образуют одномерную подрешетку трехмерной решетки. В
самом деле, прямая, проходящая через точки (0, 0, 0) и
(*, у, z), проходит также через точки (пх, пу, nz) при
любом п. Если ху у, z имеют общий наибольший
делитель d, точка решетки
\d ' d ' d)
лежит на той же прямой, и соответствующий
параллельный перенос порождает группу одномерной решетки.
Точка решетки будет видимой тогда и только тогда, когда
координаты точки не имеют большего 1 общего
делителя.
Любой треугольник с вершинами в точках решетки
определяет плоскость, содержащую двумерную
подрешетку нашей решетки. Действительно, если векторы
rl=xle+yxf-\- zxg и r2 = х2е + f/2/+ *£
имеют целочисленные координаты, то то же самое верно
для векторов <iri + tf2r2 ПРИ любых целых ti, h.
Параллельная плоскость, проходящая через любую точку
решетки, будет содержать подрешетку, равную исходной.
Таким образом, мы видим, что все точки решетки
принадлежат бесконечному множеству параллельных
плоскостей, называемых рациональными плоскостями
(Бюргер [1], стр. 7).

§9}
ТРЕХМЕРНЫЕ РЕШЕТКИ
327
Любая такая плоскость содержит три точки решетки
(координаты которых суть целые числа) и имеет
уравнение вида
13.93
Xx + Vy + Zz^N,
где коэффициенты X, У, Z, N— целые числа, так что
плоскость отсекает на координатных осях рациональные
отрезки ~y у —, -£ • [Это обстоятельство и доставляет
основание для названия «рациональная плоскость».] Мы
можем допустить, что наибольший делитель чисел X, У,
Z равен 1; действительно, любой общий делитель чисел
X, У, Z должен быть также делителем N, и мы сможем
в таком случае разделить обе части уравнения на это
число и получить эквивалентное уравнение той же самой
плоскости.
Обратно, любое такое уравнение (при условии, что
наибольший общий делитель чисел X, У, Z равен I)
определяет плоскость, содержащую двумерную подре-
шетку. Это очевидно, если Х=1, так как в этом случае
мы можем придать У и Z произвольные целые значения
и разрешить уравнение 13.93 относительно х. Если все
коэффициенты Ху У, Z больше 1, рассмотрим множество
чисел
xX + yV + zZ,
где х, у, z принимают различные целые значения, а X,
У, Z остаются постоянными. Это множество (так же как
и множество векторов решетки) является идеалом:
вместе с любыми двумя элементами оно содержит их
разность и, следовательно, все произведения любого
элемента на целые числа. Пусть d — наименьший
положительный элемент этого множества, а N — любой другой
элемент. Тогда N делится на d, так как в противном
случае мы бы поделили N на d и получили бы разность
N — qd, которая положительна, принадлежит нашему
множеству и меньше чем d. Но числа X, У, Z
принадлежат нашему идеалу. Следовательно, d, будучи их
общим делителем, должно быть равно 1, и наш идеал
просто состоит из всех целых чисел. Другими словами,

328
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 13
уравнение 13.93 имеет одно целочисленное решение (и,
следовательно, бесконечно много таких решений) (ср.
Успенский иХасле [1], стр. 54).
Для любой тройки взаимно простых (но не
обязательно попарно взаимно простых) целых чисел X, F, Z
мы имеем последовательность равномерно
расположенных параллельных плоскостей 13.93, по одной плоскости
для каждого целого числа N. Так как каждая точка
решетки лежит на одной из этих плоскостей,
неограниченные области между любыми двумя плоскостями пусты.
Одна из плоскостей, а именно та, для которой N = 0,
проходит через начало координат. Ближайшие к ней
плоскости, задаваемые N=±1, называются первыми
рациональными плоскостями (Бюргер [1], стр. 9). Мы
вновь встретимся с этими плоскостями в § 3 гл. 18.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Разбить параллелепипед на шесть тетраэдров, имеющих
одинаковый объем.
2. Преобразование (*, у, z)-> (ху у, —г) представляет собой
косую симметрию, которая оставляет неподвижной плоскость 2=0 и
меняет местами точки (0, 0, ±1).
3. Центральная симметрия относительно любой из точек
решетки переводит решетку в себя.
4. Каждая точка решетки, принадлежащая первой
рациональной плоскости, видима.
5. Будет ли каждая рациональная плоскость, проходящая
через видимую точку, первой рациональной плоскостью?
6. Найти треугольник с вершинами в точках решетки,
принадлежащих первой рациональной плоскости
б* + Юу + 15г=1.
7. Выписать формулу, дающую все точки решетки,
принадлежащие этой плоскости.
8. Единственная точка решетки, принадлежащая плоскости
х + У2у + }ГЗг = 0,
— начало координат.

ГЛАВА 14
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В аффинной геометрии понятие параллелизма играет
главенствующую роль. В противовес этому, в
проективной геометрии вовсе не существует параллелизма:
любые две компланарные прямые пересекаются.
Противоречие с теоремой 12.61 показывает, что в проективной
ллоскости не будет выполняться геометрия порядка.
Множество точек прямой замкнуто, так же как и множество
прямых, проходящих через данную точку: если даны
три такие точки или прямые, мы не можем выбрать из
них одну, которая лежала бы «между» двумя другими,
С первого взгляда может показаться, что геометрия, в
которой нет ни окружностей, ни расстояний, ни углов,
ни понятия «между», ни параллелизма, будет весьма
бедной. Но в действительности она содержит очень
красивые и сложные предложения, о которых Евклид не
мог даже мечтать, поскольку доминирующий в его
исследованиях интерес к метрическим вопросам направлял
его внимание по другому пути. Несколько таких
«неметрических» теорем были открыты Паппом
Александрийским в IV веке н.э. Другие связаны с именами
двух французов: архитектора Жерара Дезарга (G. De-
sargues, 1593—1661) и философа Блеза Паскаля
(B.Pascal, 1623—1662). Еще раньше те же вопросы изучались
с точки зрения теории перспективы (ср. Яглом [2],
стр. 31) некоторыми художниками, например
Альбрехтом Дюрером (1471 —1528) и Леонардо да Винчи
(1452—1519).
Кеплер ввел бесконечно удаленные точки в
«Комментариях к Вителлию» (Paralipomena ad Vitellionem) ([2],
стр. 22). Это дало возможность рассматривать
проективную плоскость как аффинную плоскость, дополненную

330
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
бесконечно удаленной прямой. Обратный переход идет
от «Трактата о проективных свойствах фигур» (Traite
des proprieteis projectives des figures) Понселе (V. Pon-
celet, 1822) и «Геометрии положения» (Geometrie der
Lage) фон Штаудта (R. G. C. von Staudt, 1847). В этих
капитальных работах проективная геометрия впервые
выступает как самостоятельная наука, в результате чего
становится возможным рассматривать аффинную
плоскость как проективную плоскость, из которой удалена
произвольная прямая о, а евклидову плоскость — как
аффинную плоскость, в которой введено специальное
правило, ставящее в соответствие каждой точке
прямой о другую точку той же прямой (отвечающую
«перпендикулярному направлению»). Эта точка зрения
получила окончательную трактовку в 1899 году, когда
Марио Пиери (М. Pieri) дал проективной геометрии
аксиоматическое обоснование. Последующими авторами
были предложены другие системы аксиом, несколько
отличающиеся от аксиом Пиери. В § 1 мы излагаем одну
из этих систем, принадлежащую Б а х м а н у ([1], стр. 76—
77). Чтобы проверить непротиворечивость какой-либо
системы аксиом, мы проверяем эти аксиомы на некоторой
«модели», заменяющей первоначальные понятия
проективной геометрии известными понятиями, свойства
которых мы считаем непротиворечивыми (Ко к с тер [2],
стр. 236—238). Одной из удобных моделей проективной
плоскости является аффинная плоскость, дополненная
бесконечно удаленной прямой (см. § 9 гл. 6).
Мы обобщим понятие барицентрических координат
(§ 7 гл. 13) и получим общие проективные координаты,
в которых бесконечно удаленная прямая будет
равноправна со всеми другими. Таким образом мы построим
чисто алгебраическую модель, в которой точкой
называется упорядоченная тройка чисел (xiy х2, х3), из
которых хотя бы одно не равно нулю, а, точнее, класс троек
(jjuri, \хх2г цлгз), где \хф0, а прямой — линейное
однородное уравнение. Одним из преимуществ этой модели
является то, что числа ха и \л не обязаны быть
вещественными. Системе аксиом удовлетворяет такая
алгебраическая модель, в которой координаты принадлежат
произвольному полю: вместо действительных чисел можно

§ 1] АКСИОМЫ ОБЩЕЙ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ 331
использовать рациональные числа, комплексные числа
и даже элементы конечных полей типа поля вычетов по
простому модулю. В соответствии с выбором поля мы
говорим о вещественной проективной плоскости,
рациональной проективной плоскости, комплексной
проективной плоскости или конечной проективной плоскости.
§ 1. АКСИОМЫ ОБЩЕЙ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
Наиболее систематический ход изложения в
настоящем мемуаре, вводящем в геометрическую
часть теории форм, должен полностью
игнорировать понятия расстояния и метрической
геометрии... Метрическая геометрия является, таким
образом, частью дескриптивной геометрии, а
дескриптивная геометрия — представляет собой всю
геометрию.
Артур К эли1) (1821—1895).
Мы уже упоминали о проективной плоскости в § 9
гл. 6. Первоначальными понятиями в ней мы будем
считать точку, прямую и отношение инцидентности. Если
точка и прямая инцидентны, мы говорим, что точка
лежит на прямой, а прямая проходит через точку. Слова
«соединяет», «пересекает»
(или«встречает»),«конкурентны» (или «пересекаются в одной точке») и «коллинеар-
ны» сохраняют свой обычный смысл, Три неколлинеар-
ные точки являются вершинами треугольника, причем его
сторонами будут полные прямые (понятие «отрезка» в
проективной геометрии отсутствует). Четыре вершины,
шесть сторон и три диагональные точки полного
четырехугольника определяются так же, как в § 7, гл. 1.
У шестиугольника А^С^В^ шесть вершин Аи ..., С2
и шесть сторон АХВЪ В2Си СИ2, А2Ви ВХСЪ С2А{.
1) А. К э л и, Шестой мемуар о формах. Сборник «Об
основаниях геометрии», М., Гостехиздат, 1956, стр. 245—246. (В
соответствии с оригиналом здесь слово descriptive передано словом
«дескриптивная», а не словом «проективнмя», как в указанном
сборнике.) Кэли в 1859 году применял слово «дескриптивный» в том
смысле, в каком мы сейчас применяем слово «проективный». Его
идея об универсальности проективной геометрии не вполне верна.
Проективная геометрия действительно включает аффинную,
евклидову и неевклидову геометрии, но она не включает ни общую ри-
манову геометрию, ни топологию.

332
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
Противоположные стороны определяются
естественным образом: например, сторона A2Bi противоположна
стороне AiB2.
После этих предварительных определений мы можем
сформулировать последующие пять аксиом:
Аксиома 14.11. Любые две различные точки
инцидентны одной и только одной прямой.
Обозначение. Прямая, инцидентная точкам А и
В, обозначается через А В.
Аксиома 14.12. Любые две прямые инцидентны
хотя бы одной точке.
Теорема 14.121. Любые две различные прямые
инцидентны в точности одной точке.
Обозначения. Точка пересечения прямых а и Ъ
обозначается через а - Ь; так, прямые АВ и CD
пересекаются в точке AB-CD. Прямая, соединяющая точки
а • Ь и с • d, обозначается {a -b){c*d).
Аксиома 14.13. Существуют четыре точки, из
которых никакие три неколлинеарны.
Аксиома 14.14 (аксиома Фан о). Три
диагональные точки полного четырехугольника
неколлинеарны.
Аксиома 14.15 (теорема Паппа). Если шесть
вершин шестиугольника последовательно принадлежат
двум прямым, то точки пересечения пар
противоположных сторон коллинеарны.
Одним из самых изящных фактов проективной
геометрии является принцип двойственности, который
утверждает, что (на проективной плоскости) каждое
определение будет по-прежнему иметь смысл и каждая
теорема останется справедливой, если мы всюду поменяем
местами слова точка и прямая (и, следовательно,
поменяем местами выражения лежит на и проходит через,
соединение и пересечение, коллинеарны и конкурентны
и т. д.). Чтобы установить этот принцип, достаточно
убедиться в том, что из аксиом следуют двойственные им
аксиомы. Тогда, доказав некоторую теорему
проективной геометрии, мы сможем утверждать, что верна и
двойственная ей теорема: для доказательства этой
последней теоремы нужно просто переписать доказатель-

§ 1] АКСИОМЫ ОБЩЕЙ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ 333
ство первоначальной теоремы, заменяя все понятия и
утверждения на двойственные им.
Двойственным утверждением к аксиоме 14.11
является теорема 14.121, доказательство которой (с
помощью аксиомы 14.12) не представит для читателя
трудности. Двойственным утверждением к аксиоме 14.12
является половина аксиомы 14.11 (требование
существования прямой, проходящей через две точки).
Двойственным
утверждением к аксиоме 14.13 будет
теорема о существовании
полного четырехсторонника,
который состоит из четырех
прямых, называемых
сторонами, и попарно
пересекающихся в шести точках —
вершинах четырехсторонника.
Две вершины называются Q s U R
противоположными, если они рис \§\%
не принадлежат одной и той
же стороне. Три прямые, соединяющие пары
противоположных сторон, называются диагоналями. Если PQRS—
четырехугольник со сторонами
p^PQ, q = PS, r = RS, s = QR, w = PR, u = QS,
как это изображено на рис. 161, то pqrs — четырехсто*
ронник с вершинами
P = p-q, Q=p.s, R=r-s, S=q-r,
W = p.r, U = q-s.
Аксиома 14.14 утверждает, что три диагональные
точки четырехугольника PQRS
U — q-s, V = w-ut W = p-r
неколлинеарны. Двойственная ей теорема утверждает,
что три диагонали полного четырехсторонника
неконкурентны. Если это не так, должен существовать такой
четырехсторонник, диагонали которого конкурентны*
Пусть это будет четырехсторонник pqrs с диагоналями
u = QS, v=WU, w = PR.

334
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14.
Так как они конкурентны, точка w-u=V должна
принадлежать прямой v, что противоречит утверждению о
неколлинеарности точек U, V и W.
В формулировке аксиомы 14.15 фигурируют девять
точек и девять прямых, которые можно начертить
многими способами. Эти способы кажутся различными, но
А, В7 С7
Рис. 162.
с точки зрения проективной геометрии все они
эквивалентны.- Два из этих способов показаны на рис. 162. Вер"
шины шестиугольника A\B2CiA2B^C2 принадлежат двум
прямым А\В\С\ и А2В2С2. Пары противоположных
сторон пересекаются в точках
А^== В\С2 • В2С\, В^ = CiA2 * C2A1J С3 = А\В2 • A2Bi.
Аксиома 14.15 утверждает, что эти три точки коллинеар-
ны. Наши обозначения подобраны таким образом, что
три точки Af, Bj, Ch коллинеарны тогда и только тогда,
когда 1)
i+j+k==0 (mod3).
Для того чтобы получить другую формулировку этой
аксиомы, расположим наши 9 точек в виде матрицы
14.151
А
А
А3
Вг
В2
Вг
с,
с2
Сг
l) Н. S.М. Coxeter, Self-dual configurations and regular graphs,
Bulletin of American Mathematical Society 56, 1950, стр. 432.

§ 1] АКСИОМЫ ОБЩЕЙ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ 335
Если бы мы вычисляли определитель этой матрицы,
мы бы перемножили некоторые тройки элементов. Эти
«диагональные» тройки, так же как и первые две строки
матрицы, представляют собой тройки коллинеарных
точек. Аксиома утверждает, что точки последней строки
также коллинеарны. Чтобы установить, что эта аксиома
двойственна самой себе, рассмотрим аналогичную
матрицу из прямых
II d\ b\ С\ ||
#2 ^2 ^2 •
II #3 h 4з II
Эти прямые можно представить многими способами,
одним из которых будет такой:
#i = АгВ\С2% Ъ\ = AiB^C2i С\ = А2В2С2,
а2 = Л 253Ci, Ь2 = А$В2С\, с2 = А\ Bi Q,
#з== А\В2Съ, #з == А2ВхС%, С3 == A^B^Cs»
Это завершает доказательство принципа двойственности.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Каждая прямая инцидентна по крайней мере с тремя
точками. [Это утверждение и утверждение о существовании
неинцидентных точки и прямой иногда принимают за аксиомы вместо
14.13 (Робинсон [1], стр. 10; Кок стер [2], стр. 13).]
2. Множество, состоящее из т точек и п прямых, называется
конфигурацией (mc, па), если через каждую точку проходят с из
п прямых, а на каждой прямой лежат d из т точек. Числа т, п,
с, d связаны соотношением cm=dn. Двойственной к конфигурации
(гас, па) является конфигурация (па, тс).
Если конфигурация двойственна самой себе, то т=п, c—d и
символ (па, rid) можно заменить более простым символом rid.
Простыми примерами конфигураций являются треугольник Зг,
полный четырехугольник (43, 62) и полный четырехсторонник (6г, 4з).
Аксиома 14.14 устанавливает невозможность конфигурации
Фано 731)* Точки и прямые, которые фигурируют в аксиоме 14.15,
образуют конфигурацию Паппа 9з, которую можно рассматривать
(сколькими способами?) как циклическую систему, состоящую из
трех треугольников, например
А1В1С2, А2В2Сг, A^B^Ci,
l) Н. S. М. Coxeler, Bulletin of American Mathematical So*
ciety 56, 1950, стр. 423—425.

336
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
каждый из которых вписан в следующий (ср. с рис. 14 на стр. 39,
где треугольник UVW вписан в ЛВС). Ее двойственность самой
себе очевидна.
Изменив соответствующим образом обозначения, аксиому 14.15
можно сформулировать так: Если прямые АВ, CD, EF
конкурентны и D£, FA, ВС тоже конкурентны, то AD, BE, CF конкурентны.
3. Частный случай конечной проективной плоскости, на
которой имеется только 13 «точек» и 13 «прямых», можно абстрактно
определить следующим образом: пусть элементы плоскости —
точки Pi и прямые pi (i=0, 1, ..., 12). Назовем Pi и pj
«инцидентными», если
i + JzsQ, 1, 3, 9 (mod 13).
Найти четыре точки, лежащие на каждой прямой, и четыре
прямые, проходящие через каждую точку (Веблен и Юнг [1],
стр. 6). Проверить выполнение всех аксиом: например Ро, Ри Р%
Ръ — полный четырехугольник со сторонами
P0Pi = Po, РоР* = Ри PiPb = Ps,
РоР* = Р9, P*Pb = Pll> PlP2 = Pl2
и диагональными точками Рз=РоРи, P*=p9pi2, Р&=Р\Р&.
Одной из возможных матриц для аксиомы 14.15 является
матрица
II Ро Р2 Ръ ||
\Рг Ра РА.
II ^9 Р\Ь Ръ II
Первой строкой матрицы может быть любая тройка коллинеарных
точек. Точки второй строки должны лежать на прямой,
неинцидентной ни одной из трех точек первой строки; последняя строка
определяется однозначно: например, в написанной выше матрице эта
строка состоит из точек
Р2Рб-Р4Р* = Р9, Р*Р*-РоРб = Рю, РоР*'Р2Рз = Р5.
Этот случай отличается от общей «матрицы Паппа» тем, что
тройки коллинеарных точек стоят не только в строках и
«обобщенных диагоналях», но и в столбцах матрицы. Другими словами,
9 точек образуют не только конфигурацию 93, но также
конфигурацию (94, 12з). Если удалить одну из точек, то оставшиеся 8 точек
образуют двойственную самой себе конфигурацию 83, которую
можно рассматривать как пару вписанных друг в друга
четырехугольников (таких как Р0Р9Р5Р8 и ^Лз^кЛ) (Гильберт и К о н-
Фоссен [1], стр. ПО).
4. Геометрию, описанную в упр. 3, обозначают PG (2, 3).
Вообще PG (2, р) обозначает конечную плоскость, на которой
каждая прямая содержит р+1 точку (а, следовательно, каждая
точка принадлежит р+\ прямой). Всего на такой плоскости имеется
р2+р+1 точек (и столько же прямых). Другими словами, такая
геометрия представляет собой конфигурацию nd, где я=р2+р+1, а
d=p+\ (число р не может быть произвольным; хотя оно может

§ 2] ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ 337
быть равным любой степени нечетного простого числа, например,
допустимо считать, что р=5, 7 или 9, но р не может быть
равным 6) ]). Существование таких конечных проективных плоскостей
говорит о том, что проективная геометрия, определяемая
аксиомами 14.11—14.15, неоднозначна, существует не одна, а бесконечно
много таких геометрий.
5. В любой конечной проективной геометрии теорема
Сильвестра (см. § 7 гл. 4) неверна.
§ 2. ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ
Современная алгебра перестает казаться
устрашающей, когда ее облекают в эту геометрическую
форму!
Г. де Б. Робинсон (род. 1906) [1], стр. 94.
В § 7 гл. 13 было показано, что три вещественных
числа tu t2, U могут служить барицентрическими
координатами точки аффинной плоскости (с произвольным
треугольником отнесения) тогда и только тогда, когда
/i + 4 + ^O.
Однородное линейное уравнение 13.72 определяет
прямую тогда и только тогда, когда не все коэффициенты
Ти Ть Тг равны друг другу. Замечания, сделанные после
доказательства теоремы 13.84, показывают, что эти
искусственные ограничения можно устранить, если
дополнить вещественную аффинную плоскость бесконечно
удаленной прямой
14.21
и получить таким образом вещественную проективную
плоскость. Точки этой прямой будут «бесконечно
удаленными» точками, отвечающими различным направлениям.
Если интерпретировать Ти Тг, Т3 как расстояния от
точек Аи Л2, Аз до прямой
7У1 + 7У2+7Уз = 0,
*) Если не требовать выполнения аксиомы 14.14, можно
построить «геометрию характеристики 2», в которой p=2k. Если не
требовать выполнения аксиомы 14.15, можно построить «недезар-
гову геометрию». Пример такой конечной проективной плоскости
дают взаимно ортогональные латинские квадраты, о которых см.,
например: Робинсон [1], стр. 161, Appendix II (и Г. Дж. Рай-
зер. Комбинаторная математика, М., 1966, стр. 84—100),

838
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. И
то очевидно, что все коэффициенты в уравнениях
параллельных прямых отличаются на одно и то же число;
следовательно, точка пересечения двух параллельных
прямых удовлетворяет уравнению 14.21, т. е.
принадлежит бесконечно удаленной прямой.
Чтобы подчеркнуть тот факт, что в проективной
геометрии бесконечно удаленная прямая перестает играть
особую роль, мы перейдем от барицентрических
координат (tit t2, t3) к общим проективным координатам
(хи л'2, *з), которые связаны с барицентрическими
координатами следующими соотношениями:
где числа \iu |^2, |х3 постоянны и \ц\Х2\1зФ0. Таким
образом, точка (хи х2, х3) представляет собой центроид масс
jAa*a, сосредоточенных в точках Аа (а=1, 2, 3), а
бесконечно удаленная прямая имеет ничем не примечательное
уравнение
^1 + ^2*2+^3*3 = 0.
Разница между этими двумя видами координат
видна из следующего. Системе барицентрических координат
можно поставить в соответствие произвольный
треугольник; его вершинами являются «простейшие» точки
(1,0,0), (0, 1,0), (0,0, 1),
а центроидом — единичная точка (1, 1, 1). Проективным
же координатам можно поставить в соответствие
произвольный четырехугольник! В самом деле, пусть три из
его вершин, определяют систему барицентрических
координат, и пусть четвертая вершина имеет в этой
системе координаты (fxi, \х2, цз). Взяв эти |х в качестве
коэффициентов перехода к проективным координатам,
получим, что четвертая вершина имеет новые координаты
(1, 1, 1). Итак, если в аффинной геометрии все
треугольники одинаковы, то в проективной геометрии все
четырехугольники одинаковы.
Чтобы доказать, что с помощью проективных
координат построена модель (на расширенной аффинной
плоскости) абстрактной проективной плоскости, описан*
ной в § 1, мы должны аналитически проверить
выполнение перечисленных в § 1 аксиом.

*Ъ
ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ
Для доказательства 14.11 мы просто заметим, что
через точки (уи уг, ув) и (zu г2, г3) проходит прямая
14.22
У2 Уз
*1 +
Уг Уг
г3 zx
х2 +
Ух Уг |
ZX г2 1
*з = 0
(ср. с 13.74). Точно так же 14.12 (и даже 14.121)
следует из того, что прямые 2#ал:а=0 и 2гаха=0
пересекаются в точке
|{/2 У г
\ %2 ^3
»
Уг Ух
г3 г!
»
</i
*1
«/2
z?
Требованиям аксиомы 14.13 удовлетворяют четыре
точки
14.23
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)«
Диагональными точками этого четырехугольника
являются точки
(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
Если бы эти точки лежали на прямой ИХаха, то мы
бы имели
14.24
х2+хг=о, х3+хг = о, хг + х2=о,
откуда ^1=^2=^3=0, чего не может быть. Это доказы--
вает 14.14.
Наконец, проверим аксиому 14.15. Обозначим точки
с координатами 14.23 через Аи А2, Л3, Сь Прямые СхАи
С\А2, С\Аг имеют уравнения
Х2 ==: л3» «£3 = Х\, Х\ === Х2,
Выберем на этих прямых три точки Ви В2у В3 с коорди*
натами
(р, 1, 1), (1, q, 1), (1, 1, г).
Три прямые А3Ви А\В3, А2В2у задаваемые уравнениями
Х\ = рХ2, Х2 = qX3, Х3 = ГХ\у
пересекаются в точке С2, если
14.25
pqr = l.

340
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
Прямые А3В2, A2BU AiB3y задаваемые уравнениями
пересекаются в одной точке С3, если
qpr = \.
Так как это соотношение следует из 14.25,
доказательство закончено. Однако важно отметить, что это
рассуждение можно провести и в более общем случае,
когда координаты принадлежат не полю, а произвольному
кольцу с делением или телу (Биркгоф и Мак Лейн
[1], стр. 126; (Курош [2], стр. 45)). Мы по-прежнему
можем говорить о точках и прямых, но если тело
координат содержит элементы р и qy для которых
РЯ Ф ЯР*
то аксиома 14.15 заменится более слабым утверждением.
Например, мы можем положить p = k, </=/; в «кватер-
нионной геометрии» координаты принадлежат телу
кватернионов, порожденному комплексными единицами /,
/, ky удовлетворяющими соотношениям
i2z==j2 = k2 = ijk==^l.
В этом случае для выбранных указанным выше
способом точек А{ и Bi (/=1, 2, 3) аксиома 14.15 неверна.
Мы установили, таким образом, важную связь между
алгеброй и геометрией (открытую Гильбертом): если на
плоскости, удовлетворяющей первым четырем аксиомам
§ 1, вводятся проективные координаты, то теорема Пап-
па эквивалентна коммутативности умножения в теле, за-
дающем координаты точек.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть даны пять точек, никакие три из которых неколли-
неарны. Пусть координаты каких-нибудь четырех из них будут
14.23, а координаты пятой (хи х2, х3) (с точностью до умножения
на одно и то же число). Если отношения этих х рациональны, мы
можем умножить их на «общий знаменатель», так что они станут
целыми. В этом случае пятую точку можно получить из первых
четырех с помощью линейного построения, состоящего из
конечной последовательности операций соединения двух известных точек
и пересечения двух известных прямых. Провести такое построение
для точки (1, 2, 3),

§2J
ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ
341
2. Четыре точки (1, ±1, ±1) образуют полный
четырехугольник, диагональным треугольником которого является треугольник
отнесения.
3. Конфигурация 83, состоящая из двух вписанных друг в дру«
га четырехугольников, возможна в комплексной проективной пло-«
скости, но не возможна в вещественной проективной плоскости*
Если она имеет место, то восемь ее точек распадаются на четыре
пары таким образом, что прямые, соединяющие точки пар, все
пересекаются в одной точке. Полной фигурой является
конфигурация (94, 123).
[Указание: пусть имеются четырехугольники PqP2P^P& и
P\PzPbPit причем коллинеарны тройки точек
Р<ЛР3, PiWi. Р2Р3Р5, РзР*Рб, РаРъРъ
РьРеРо, PePjPu /W*
Возьмем в качестве треугольника отнесения треугольник PqP\P2* и
пусть координаты точек Р3, Р*, Pi будут ^ответственно (1, 1, 0),
(0, 1, 1), (1, 0, х). Вывести из этого, что координаты точек Р5, Ре
будут (1, 1, *+1) и (1, дг+1, дг). Исходя из коллинеарности точек
Яо, Рь, Рб, получить уравнение, связывающее *.]
4. Если р — нечетное простое число, то можно получить
конечную проективную плоскость PG(2,p), в которой координаты
принадлежат полю GF(p) вычетов по модулю р (Б о л л [1], стр. 60,
61). Например, «конечная арифметика» GF (2, 3) состоит из
символов 0, 1, 2, которые складываются и перемножаются так же, как
обычные целые числа, за исключением того, чго
1+2=0 и 2X2=1.
В обозначениях упр. 3 в конце § 1 примем треугольник PqP\P%
за треугольник отнесения и точку Р5 за единичную точку (1, 1, I),
Найти координаты остальных точек и уравнения прямых.
Такие конечные плоскости и аналогичные конечные я-мерные
пространства были открыты Джино Фано1). О Веблен и У. X. Бус*
сей обобщили эту идею на случай PG (п, ph) 2).
5. Если координаты принадлежат полю GF(2), состоящему из
двух «чисел» 0 и 1 с правилом сложения
1 + 1=0,
то диагональные точки полного четырехугольника соответствующей
конечной «геометрии» коллинеарны! Наше доказательство аксиомы
14.14 не проходит, потому что в этом случае уравнения 14.24 имеют
не только тривиальное решение ХХ = Х2 = X3=*0t но также решение
Xi=A2=A3=l, которому соответствует прямая*
*\ + Х2 + хъ = 0-
') Gino Fa no, Giornale di Mat hematic he 30, 1892, стр. 114—124.
2) O. Veblen, W. H. В u s s e y, Transactions of the American
Mathematical Society 7, 1906, стр. 241—259,

342
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
Геометрию PG (2.2) можно описать абстрактно, указав семь
точек Pi и семь прямых р* (/=0, 1, ..., 6) и приняв, что Pj и pi
инцидентны тогда и только тогда, когда /+j===0, 1 или 3(mod 7)*
§ 3. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Основная идея этой чистой геометрии родилась
из желания художников Возрождения создать
«зрительную» геометрию. Как выглядят предметы
в действительности и как их можно изобразить
в плоскости чертежа? Например, там нет парал*
лельных прямых, так как глазу такие прямые
кажутся сходящимися.
С. Г. Гульд (род. 1909) [1], стр. 298.
Пусть вершины двух треугольников занумерованы в
определенном порядке. Если при этом три прямые,
соединяющие пары соответственных вершин, конкурентны,
т. е. сходятся в одной точке О, то треугольники
называются перспективными с центром перспективы О (или,
короче, просто «перспективными»). Например, на рис. 162
треугольники ЛИ2Л3 и В\ВгВ2 перспективны с центром
перспективы Cit Циклически переставив вершины
треугольника В1В3В2, мы увидим, что эти же треугольники
перспективны относительно точек С2 и С3. Следующее
утверждение сразу вытекает из аксиомы 14.15 (см. Веб-
лени Юнг [1], стр. 100):
Если два треугольника дважды перспективны, то они
трижды перспективны.
Двойственным свойством к перспективности с
центром перспективы О будет свойство перспективности с
осью перспективы о. Два треугольника называются
перспективными с осью перспективы о, если точки
пересечения пар соответственных сторон коллинеарны, а
именно, все принадлежат прямой о. Как заметил Г. Гессен-
берг1), наших аксиом достаточно для доказательства
того, что справедлива
Теорема Дезарга. Если два треугольника имеют
центр перспективы, то они имеют и ось перспективы, и
обратно, из наличия оси перспективы двух
треугольников вытекает наличие у них центра перспективы.
1 G. Hessenberg, Mathematische Annalen 61, 1905»
стр. 161—172.

• Я
ТЕОРЕМА ДЕЗ АР ГА
343
Пусть треугольники PQR и P'Q'R' перспективны с
центром перспективы О, как показано на рис, 163, и
пусть пары соответствующих сторон этих треугольников
пересекаются в точках
D = QR-Q'R't E = RP.R'P', F = PQ-P'Q'.
Мы хотим доказать, что точки D, £, F коллинеарны.
Определим еще четыре точки:
U = PQ.OS, V = P'Q'. OS.
Теперь у нас достаточно троек коллинеарных точек,
чтобы трижды применить аксиому 14. 15. «Матричные»
обозначения позволяют сразу написать
О Q Q'\
Р S R
D Т U
О Р Р'
Q' R' S
Е V Т
Р Q' Т
V U S
D Е F
Последняя строка дает искомую коллинеарность.
Здесь мы молчаливо предполагаем, что точка Р не
принадлежит прямой Q'R', а точка Q'— прямой RP,
Если изменить соответствующим образом обозначения

344
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
точек Р, Q, R (и Р', Q', R'), то этого можно добиться
всегда, за исключением того случая, когда все вершины
треугольника PQR лежат на соответствующих сторонах
треугольника P'Q'R' или наоборот. На этот
затруднительный случай впервые обратил внимание А. Крон-
хейм1), который устранил дефект в доказательстве
теоремы Дезарга, указав следующее рассуждение,
относящееся к случаю, когда точка Р' принадлежит прямой
QR, точка Q' — прямой RP и точка R' — прямой PQ.
Определив еще две точки
V = DP.OQ и Z = DP.OR
(рис. 164), он рассматривает матрицы
О Р Р'\
D Q' R'\
F R Y\
*
\0 Р Р' \
\D R' Q'\
\е q z\
'
\Q у Q'
\R R' Z
\D E F
и заключает, что точки Д £, F коллинеарны.
Обратное утверждение вытекает из принципа
двойственности.
1) А. К г о n h е i m, Proceedings of the American Mathematical
Society 4, 1953, стр. 219—221.

§ 4] ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 345
УПРАЖНЕНИЯ
1. Треугольник (р, 1, 1)(1, q, 1)(1, 1, г) перспективен с
треугольником отнесения с центром перспективы в точке (1, 1, 1).
Пары соответствующих сторон этих двух треугольников
пересекаются в трех коллинеарных точках
(0,tf-l, 1-г), (1-а 0, г-1), (р-1, l-q, 0).
2. В теореме Дезарга фигурируют 10 точек и 10 прямых,
которые образуют конфигурацию Юз. Чтобы получить симметричные
обозначения, рассмотрим треугольники Р\\Р^Ръ\ и Р15Р25Р35,
центром перспективы которых служит точка Р45, а осью перспективы
прямая Р23Р31Р12. Тогда три точки Рц коллинеарны, если в их
индексах встречаются только три из пяти чисел 1, 2, 3, 4, 5. Пусть
оставшиеся два числа ky I. Обозначим такую прямую Phi. Тогда те
же самые два треугольника можно описать как треугольники Р\ъР2ъРъ%
и Р14Р24Р34, осью перспективы которых является прямая р&.
3. На конечной проективной плоскости PG (2, 3)
треугольники Р1Р2Р7 и PzPsP* перспективны с центром перспективы Ро и
осью перспективы Р9Р12Р10. Какие точки в этом случае
соответствуют остальным точкам рис. 163? В этой геометрии обе точки U
и V совпадают с F; поэтому не удивительно, что на рис. 163
фигурируют 14 точек, в то время как наша плоскость содержит всего
13 точек.
§ 4. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА
Теорема Дезарга позволяет доказать важное
свойство четырехугольного множества точек, т. е. системы
точек, которая получается в пересечении шести сторон
полного четырехугольника с произвольной прямой, не
проходящей через его вершины:
14.41. Если заданы пять точек четырехугольного
множества, то его шестая точка определяется ими
однозначно.
Доказательство. Пусть прямая g пересекает
полный четырехугольник PQRS со сторонами PS, QS,
RS, QR, RP, PQ в точках Л, В, С, D, Е, F, причем
некоторые пары этих точек могут совпадать (если прямая
g проходит через диагональную точку). Чтобы показать,
что точка F однозначно определяется остальными пятью
точками, построим такой четырехугольник P'Q'R'S', что
пять его первых сторон проходят через точки Л, В, С,
D, £, как это показано на рис. 165. Так как
треугольники PRS и P'R'S' перспективны с осью перспективы
g, то по обратной теореме Дезарга они имеют также и

346
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
центр перспективы; поэтому прямая РР' проходит через
точку 0 = RR' 'SS'. Точно так же из перспективности
треугольников QRS и Q'R'S' следует, что прямая QQ'
проходит через ту же точку О. Таким образом, все четыре
прямые РР\ QQ\ RR\ SS' проходят через точку О, т. е..
PQRS и P'Q'R'S' представляют собой «перспективные
четырехугольники». По теореме Дезарга, треугольники
PQR и P'Q'i?', перспективные с центром перспективы О,
S'
Рис. 165.
имеют своей осью перспективы прямую DE, т. е. g;
другими словами, обе стороны PQ и P'Q' пересекают
прямую g в одной и той же точке F.
Следуя Веблену и Юнгу ([1], стр. 49), мы будем
обозначать то обстоятельство, что шесть точек Л, В, С;
D, £, F образуют четырехугольное множество символом
Q(ABC, DEF).
Относящееся к нашим шести точкам утверждение,
очевидно, остается в силе, если мы применим к тройкам
ABC и DEF одну и ту же перестановку. Кроме того, это
утверждение, очевидно, эквивалентно любому из
следующих:
Q(AEF, DBC), Q(DBF, АЕС), Q(DEC, ABF).
Чтобы получить другие перестановки, нам
потребуется новый четырехугольник. Например, оставим вершины
Q и 5 на месте и определим точки R' и Р' так:
X> = Q$.SF9 P' = PS-QC

$4] ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 347
(см. рис. 166). Применив к шестиугольнику PRQCFS
аксиому 14.15 в соответствии со схемой
II Я F Q ||
С R S,
II #' Я7 £ ||
увидим, что прямая R'P' проходит через точку Е. Теперь,
так же как четырехугольник PQRS порождает
A D С В £ F
Рис. 166.
Q (ABCt DEF), четырехугольник P'QR'S порождает
Q (ABF, DEC). Другими словами, из утверждения
R р
А С В F A F В С
Рис. 167.
Q (ЛВС, DEF) следует Q(ABF, DEC) и, следовательно,
также
14.42. Из Q(ABC, DEF) следует Q{DEF, ABC).
Весьма большое значение имеет частный случай
Q (ABC, ABF) четырехугольного множества, наличие
которого более коротко записывают так:
Н(АВ, CF).

348
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
В этом случае говорят, что точки Л, В, С, F образуют
гармоническое множество, или, более точно, что точка F
гармонически сопряжена точке С по отношению к Л и В.
Это означает, что А и В — две диагональные точки
четырехугольника, а точки С и F лежат на тех его
сторонах, которые пересекаются в третьей диагональной
точке (рис. 167). Из аксиомы 14.14 следует, что
гармонически сопряженные точки С и F различны (за
исключением того вырожденного случая, когда они совпадают
с А или В).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Утверждение Н (АВ, CF) эквивалентно Н(ВА, CF), или
H(AB9FC), или М (ВA, FC).
2. Опишите подробно построение точки, гармонически сопря*
женной точке С по отношению к точкам А и В.
3. Точка (0, 1, —Я) гармонически сопряжена точке (0,1, к) по
отношению к точкам (0, 1,0) и (0, 0, 1).
4. В геометрии PG (2, 3) (см. упр. 3 в конце § 1) любое
множество четырех коллинеарных точек, взятых в любом порядке,
будет гармоническим множеством; например,
H(P»PbP,P9)y Н (P0PZt Р9Рг), Я(РА. Л/Ч).
5. На рис. 77 Н (АА\ AiA2). Вывести отсюда метрическое
определение гармонического множества
ААХ _ АА2
АХА' ~~ А2А' '
[Указание: определить точку Е' так, как в упр. 4 в конце
§ 6 гл. 6, и рассмотреть четырехугольник, образованный точками Р,
Еу £'. и бесконечно удаленной точкой прямой А\Р]
§ 5. ПРОЕКТИВНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ
Множество всех точек одной прямой называется
прямолинейным рядом точек. Двойственным объектом будет
множество прямых, проходящих через одну точку; оно
называется пучком прямых. Прямолинейные ряды точек
и пучки прямых называются формами первой ступени
на проективной плоскости. Мы будем часто
рассматривать взаимно однозначные соответствия между двумя
формами первой ступени. Простейшее из таких
соответствий возникает, когда прямые пучка соединяют точки

§5]
ПРОЕКТИВНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ
349
црямолинейного ряда с некоторой фиксированной
точкой, так что прямолинейный ряд точек представляет
собой сечение пучка прямых. Соответствие между двумя
прямолинейными рядами точек, являющимися сечениями
одного пучка двумя различными прямыми, называется
перспективным-, в этом случае пишут
Х~Х' или x2=xf.
А Л
Последняя запись означает, что прямые ХХ\
соединяющие соответственные друг другу точки X и X' двух
прямолинейных рядов, проходят через фиксированную
точку О, которую называют центром перспективного
соответствия. Естественно, существует и двойственный
вид перспективных соответствий — соответствие между
двумя пучками, при котором точки пересечения
соответственных прямых принадлежат одной прямой.
Соответствие, которое можно получить как
произведения некоторого числа перспективных соответствий,
называется проективным соответствием. Если два
прямолинейных ряда или пучка находятся в проективном
соответствии, пишут
Х-Х>.
Например, в случае рис. 168 имеем
ABCd£a0B0C0D02=1 A'B'CD', ABCD-A'B'C'D'.
Аналогично можно определить проективное соответствие
между прямолинейным рядом точек и пучком прямых
или наоборот; так на том же рис. 168 пучок
проходящих через точку О прямых находится в проективном
соответствии с рядом A'B'C'D'.
Пусть даны три точки Л, В, С прямой и три точки
А\ В\ С другой прямой. На рис. 169 показано, как
можно установить проективное соответствие между
этими точками. Прямая, соединяющая точки
В0 = АВГ • В А', С0 = АС • С А',
так что
ABc£AoBqC0 = A'B'C',

350 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. 14
называется осью проективного соответствия. Точка Х'у
соответствующая точке X прямой АВ, определяется
однозначно. Это будет точка АХ0*А'В', где Xo=A'X'BqCq.
Поэтому
АВСХ £ АВоСоХо j А'В'С'Х'.
Согласно аксиоме 14.15, ось В0С0 — «прямая Пап-
па» для шестиугольника АВ'СА'ВС* — содержит точку
ВС • СВ\ Точно так же она содержит точки пересечения
Рис. 168. Рис. 169,
прямых, соединяющих крест-накрест любые две пары
соответственных точек. В частности, мы можем
получить точку X', применяя перспективные соответствия с
центрами в точках В' и В (или в любой другой паре
соответственных точек) вместо точек Аг и Л.
Можно доказать (Бэкер [1], стр. 62—64;
Робинсон [1], стр. 24—36), что произведение любого числа
перспективных соответствий можно свести к
произведению двух таких соответствий при условии, что
начальный и конечный прямолинейные ряды принадлежат
различным прямым. Другими словами,
14.51. Любое проективное соответствие между
прямолинейными рядами точек, принадлежащими двум
различным прямым, представляется в виде произведения
двух перспективных соответствий с центрами в
некоторых точках этих прямолинейных рядов, причем центр
первого перспективного соответствия находится в точке
второго прямолинейного ряда, а центр второго — в точке
первого прямолинейного ряда.

§51
ПРОЕКТИВНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ
351
Чтобы установить проективное соответствие между
двумя различными тройками ABC и А'В'С точек
одной прямой, мы применим сначала произвольно
перспективное соответствие АВС~А\В\С^ и получим тройку
точек на другой прямой, а затем поставим в
проективное соответствие тройки A^B^Ci и А'В'С\ Следовательно,
14.52. С помощью не более чем трех
последовательных перспективных соответствий можно перевести
произвольную тройку коллинеарных точек в любую другую
тройку коллинеарных точек.
Проективное соответствие X — X' между точками
одной и той же прямой может иметь одну или больше
неподвижных точек (т. е. таких, что Х'=Х). Если таких
точек больше двух, то проективное соответствие
представляет собой просто тождественное преобразование
X -j- X. Действительно, в приведенном
выше построении проективного
соответствия
ABC Х-ABC X'
Л
участвуют четыре точки другой
прямой, причем
АВСХ-ТА1В1С1Х1ТАВСХ\
Л l L L 1 Л
Согласно 14.51, существует только одно проективное
соответствие AiBiCi -—ABC. Таким образом, нами
доказана
Основная теорема проективной
геометрии. Проективное соответствие однозначно
определяется заданием трех точек одного прямолинейного ряда
и соответствующих им точек другого ряда.
Если проективное соответствие между
прямолинейными рядами точек различных прямых имеет
неподвижную точку, эта точка, естественно, является точкой
пересечения двух прямых, как показано на рис. 170. Пусть
В и С — произвольные, отличные от А точки первого
прямолинейного ряда, а В' и С— соответствующие им
точки второго прямолинейного ряда. Из основной

352
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 1*
теоремы следует, что наше проективное соответствие
ABC — А'В'С совпадает с перспективным соответствием
ABCjA'B'C,
где 0 = ВВ'« СС. Следовательно,
14.53. Проективное соответствие между
прямолинейными рядами точек, принадлежащими двум различным
прямым, является перспективным соответствием тогда и
только тогда, когда точка пересечения прямых является
неподвижной точкой соответствия.
Возвратимся теперь к проективным соответствиям
между прямолинейными рядами точек одной прямой
(т. е. к взаимно однозначным отображениям прямой на
себя). Вспомним, что если это преобразование отлично
от тождественного, то оно имеет не больше двух
неподвижных точек. Если число неподвижных точек равно
соответственно 0, 1 или 2, проективное соответствие
называют эллиптическим, параболическим или
гиперболическим. Если ввести проективные координаты, то
неподвижные точки окажутся корнями некоторых
квадратных уравнений; таким образом, в комплексной
проективной геометрии не существует эллиптических
проективных соответствий, но в вещественной геометрии
соответствие
ABC-ВС А
А
будет эллиптическим (Кокетер [2], стр. 74).
На рис. 171 (ср. с рис. 165) показано простое
построение гиперболического проективного соответствия

§ 5] ПРОЕКТИВНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ 353
ABF — АСЕ, у которого задана одна неподвижная точка
ABF %ASP^ACE.
Л л
Здесь точки S и Р — это любые две точки, колли-
неарные с точкой Л, а две другие вершины
четырехугольника PQRS получаются следующим образом:
Q = BS.FP, R = CS-EP.
Второй неподвижной точкой, очевидно, будет точка
D=AB • QR. Если то же самое проективное соответствие
задано в виде ADB — ADC (т. е. заданы обе
неподвижные точки), мы получаем аналогичное построение
adbQ AUS^ADC,
Л Л
где U=AS • QD. Это построение можно выполнить и в
том случае, если точки А и D совпадают (т. е. если
Рис. 172.
прямая g проходит через диагональную точку U = PS • QR
четырехугольника PQRS). В этом случае мы получаем
параболическое проективное соответствие
ААВ - ААС
Л
(К о к с т е р [2], стр. 76).
Инволюцией называют проективное соответствие
второго порядка, т. е. проективное соответствие, при
котором соответственные точки меняются местами. Рис. 172
получен из рис. 171 добавлением точек 71, W, Z.
Соответствующую фигуру можно построить, исходя из четырех

354 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. 14
произвольных коллинеарных точек А, С, D, F, если
взять вне прямой точку R, соединить ее с точками Л,
D и С, обозначить точки пересечения произвольной
прямой, проходящей через точку F, с прямыми RA, RD и
RC через Т, Q и W и, наконец, положить Z=.4Q«/?S.
Так как
Л£С/^ Z/?C№ = QTFW^DAFC,
то мы имеем
14,54
ADCF-DAFC.
А
Но по основной теореме проективной геометрии
существует только одно проективное соответствие ADC--
•j-DAF. Следовательно, если при проективном
соответствии точки А и D меняются местами, а точка С
переходит в F, то точки С и F также меняются местами.
Другими словами,
14.55. Любое проективное соответствие, которое
меняет местами какие-нибудь две точки, является
инволюцией.
Применив те же три перспективных соответствия к
другой точке В, получим
Л А Л
Так как Q(ABC, DEF), то мы доказали следующую
теорему о четырехугольных множествах:
14.56. Произвольная прямая (не проходящая через
вершину полного четырехугольника) пересекает стороны
четырехугольника в шести точках, которые разбиваются
на три пары точек, отвечающих друг другу в некоторой
инволюции.
Из 14.55 и 14.56 вытекает другое доказательство
утверждения 14.42 (Веблен и Юнг [1], стр. 101).
Так как инволюция ACD — DFA определяется
парами точек AD и CF (или любыми другими двумя
парами), ее можно записать так:
(AD){CF)

§51 ПРОЕКТИВНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ 355
или (DA){CF)> или (CF) (AD) и т. д. Из соотношения
Q (ABC, DEF) следует, что инволюция (AD) (CF)
меняет местами точки В и £, а инволюция (AD) (В£)
меняет местами точки С и F. Точки в парах не
обязательно различны. Если A=D и В=ЕУ так что Я (АВ, CF), то
полученная инволюция является гиперболической, ее
можно записать в виде (АА)(ВВ). Эта инволюция
меняет местами точки, гармонически сопряженные по
отношению к точкам А и В. Так как эту инволюцию
можно представить в виде (AA) (CF), то
14.57. Если инволюция имеет одну неподвижную точ*
ку, то она всегда имеет и вторую, и меняет местами
точки, гармонически сопряженные по отношению к этим
двум точкам.
Отсюда следует, что параболических инволюций не
существует.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Обозначим прямые ОА, ОВ, ..., 0\А', 0{В\ ... и А0В0 рис 168
через а, Ьу ..., а', Ь\ ... и о. С помощью принципа двойственности
обосновать обозначение
abcd^a'b'c'dr.
А
2. Гармоническое свойство инвариантно по отношению к про*
ективному соответствию: если fl(AB, CF) и ABCF-rAfB'CfF\ то
Н (А'В', CF') (К о к с т е р [2], стр. 23).
3. Из Н (АВ, CF) следует Й (CFyAB). [Указание: согласно
14.54, ACBF j^CAFB.]
4. Построить четырехугольник и пересекающую его прямую,
как это показано на рис. 171. Построить точку Х\ в которую
перейдет произвольная точка X прямой g при гиперболическом
проективном соответствии
ABF - АСЕ.
Сделать то же самое, если проективное соответствие задано в
виде ADB ~гADC. Изменить чертеж таким образом, чтобы он соот<
ветствовал параболическому проективному соответствию ААВ-тААС,
5. Эллиптическое проективное соответствие нельзя представить
в виде произведения меньше чем трех перспективных соответствий*
в. В обозначениях рис. 166
ADCF 2. AUP'P =f DUR'R 4 DAFC.
ДАЛ

356
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
7. Любое проективное соответствие можно представить в виде
произведения двух инволюций (К о кет ер [2], стр. 54).
8. Проективное отображение прямой *з=0 на себя
представляет собой линейное преобразование
Н"*1 — с\\х\ "Ь с12-*2»
Н"*2 == с21-*1 ""Ь c22-^2»
где сис22 фс\гс2\. При каких условиях это проективное
соответствие будет а) параболическим, б) инволюцией?
§ 6. КОЛЛИНЕАЦИИ И КОРРЕЛЯЦИИ
Коллинеацией называется преобразование плоскости,
которое переводит коллинеарные точки в коллинеарные
точки. Таким образом, при коллинеации прямые
переходят в прямые, прямолинейные ряды точек — в
прямолинейные ряды, пучки прямых —в пучки,
четырехугольники — в четырехугольники и т. д. Проективной
коллинеацией называется коллинеация, при которой все
формы первого порядка преобразуются проективно.
14.61. Любая коллинеация, при которой хотя бы один
прямолинейный ряд точек преобразуется проективно,
является проективной коллинеацией.
Доказательство (Бахман [1], стр. 85). Пусть
данная коллинеация проективно преобразует
прямолинейный ряд точек X некоторой прямой а в
прямолинейный ряд точек X' прямой а', и пусть она преобразует
прямолинейный ряд точек Y другой прямой b в
прямолинейный ряд У прямой Ь'. Два прямолинейных ряда
X и К, между точками которых установлено
перспективное соответствие, перейдут при коллинеации в ряды X'
и У, между точками которых также установлено
перспективное соответствие. Следовательно,
так что коллинеация преобразует прямолинейный ряд
точек У проективно, т. е. Y = У, что и требовалось
доказать.
Отсюда следует, что проективная коллинеация
определяется заданием образа произвольного
четырехугольника (или четырехсторонника) (Кокете р [2], стр. 87).

§6]
КОЛЛИНЕАЦИИ И КОРРЕЛЯЦИИ
357
Перспективной коллинеацией с центром О и осью о
называется коллинеация, которая оставляет
инвариантными все прямые, проходящие через точку О, и все
точки прямой о. (Из 14.61 следует, что любая
перспективная коллинеация является проективной коллинеацией.)
Следуя Софусу Ли (1842—1899) перспективную колли-
неацию называют гомологией, если точка О не лежит
на прямой о, и особой гомологией (или элацией)—в
противном случае. Частным случаем гомологии является
гармоническая гомология, при которой точка А
переходит в точку Л', гармонически сопряженную к точке А
по отношению к точкам О и о * АА'. Любая проективная
коллинеация порядка 2 является гармонической
гомологией (К о к с т е р [2], стр. 92).
Мы назвали коллинеацией преобразование,
переводящее точки в точки, прямые в прямые и сохраняющее
инцидентность. Преобразование, которое переводит
точки в прямые, а прямые в точки и сохраняет
инцидентность, называется корреляцией. Сохранение
инцидентности в этом случае означает, что прямая а',
соответствующая точке Л, будет проходить через точку В\
соответствующую прямой 6, тогда и только тогда, когда
точка А лежит на прямой Ь. Таким образом, корреляция
переводит коллинеарные точки в конкурентные прямые
(и наоборот), прямолинейные ряды точек в пучки
прямых, четырехугольники в четырехсторонники и вообще —
любые образы в двойственные. Проективной
корреляцией называется корреляция, при которой все формы
первой ступени преобразуются проективно. Следующее
предложение доказывается точно так же, как 14.61:
14.62. Любая корреляция, при которой хотя бы один
прямолинейный ряд точек преобразуется в пучок
прямых проективно, является проективной корреляцией.
Отсюда следует, что проективная корреляция
определяется заданием произвольного четырехугольника и
соответствующего ему четырехсторонника (Ко кете р [2],
стр. 94—95).
Проективная корреляция порядка 2 называется
полярным соответствием. Вообще говоря, корреляция
преобразует точку А в прямую а', а эту прямую — в неко-*
торую новую точку А". Если корреляция имеет порядок

358
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
2, то точки А и А" всегда совпадают, и мы можем
упростить обозначения, опустив знак '. Таким образом,
полярное соответствие относит точке А прямую а и
наоборот. Следуя Ж. Д. Жергону (1771 — 1859), прямую а
называют полярой точки Л, а точку А — полюсом
прямой а. Ясно, что поляры точек прямой а образуют
пучок прямых, проходящих через Л, который находится в
проективном соответствии с прямолинейным рядом
точек прямой а.
Если точка А принадлежит прямой 6, то прямая а
проходит через точку В. В этом случае А и В
называют сопряженными точками, а а и Ь — сопряженными
прямыми. Может случиться, что точка А принадлежит
своей поляре а. В этом случае точка А и прямая а
называются самосопряженными. Легко доказать, что не все
точки и прямые будут самосопряженными, например,
прямая, соединяющая две самосопряженные точки,
никогда не будет самосопряженной. Немногим труднее
доказать, что никакая прямая не может содержать больше
двух самосопряженных тйчек
Л (Кокстер [2], стр. 97). Сейчас
мы докажем теорему, которая
будет использована в § 7:
14.63. На любой не
самосопряженной прямой полярное
соответствие индуцирует инволюцию.
Доказательство. Пусть
а — несамосопряженная прямая.
рис> 173. Проективное соответствие X-r а> х
(рис. 173) переводит
произвольную несамосопряженную точку В в точку С = а»Ь,
полярой которой будет прямая АВ. Это же проективное
соответствие переводит точку С в В. Так как точки В и С
меняются местами, наше проективное соответствие
представляет собой инволюцию.
Треугольник ЛВС, у которого каждая вершина
является полюсом противоположной стороны (так что
любые две вершины будут сопряженными точками, а
любые две стороны — сопряженными прямыми),
называется автополярным. Если точка Р не принадлежит сто-

§6]
КОЛЛИНЕАЦИИ И КОРРЕЛЯЦИИ
359
роне такого треугольника, ее поляра р не проходит
через вершину. Тогда наше полярное соответствие можно
охарактеризовать как единственную проективную
корреляцию, которая переводит четырехугольник АВСР и
четырехсторонник abcp. Аналогично записи (АВ) (PQ)
для инволюции мы запишем
(АВСНРр).
Таким образом, произвольный треугольник ABC,
произвольная точка Я, не принадлежащая ни одной из его
сторон, и прямая р, не проходящая через вершину
треугольника, определяют единственное полярное
соответствие (ABC) (Рр). Как мы увидим, при таком задании
полярного соответствия поляру х произвольной точки X
можно построить весьма просто. Чтобы провести это
построение, нам понадобится следующая лемма1):
14.64. Если треугольник не автополярен, то поляры
его вершин пересекаются с противоположными
сторонами в трех коллинеарных точках.
Доказательство. Пусть стороны РХ9 ХА, АР
треугольника АРХ пересекаются с полярами вершин в
точках Аи Ри Хи как это показано на рис. 174. Полярой
точки Х\ — х-АР будет прямая Xi=X(a*p). Рассмотрим
точки Р'=а»АРу Х' = а*АХ и их поляры Р'=А(а*р),
Х'=А(а'Х). Из 14.54 следует, что
АР'РХХ - Р'АХХР - р'аххр = АХ'ХРХ.
Согласно 14,53, АР'РХХ== АХ'ХРи. так как центром
этого перспективного соответствия будет точка Р'ХГ • РХ=Аи
1) Эта лемма известна под названием теоремы Шаля. То
доказательство, которое приведено в книге Ко к стер [2], стр. 101*
годится для вещественной проективной геометрии, но не проходит
в общей проективной плоскости. Лемма 5.54 этой книги неверна в ко*
нечной геометрии PG (2.3). В этой геометрии существует четырех*
сторонник, у которого пары противоположных вершин РЛ, РзРб»
Р5Рд попарно сопряжены в полярном соответствии Pi->Pi, хотя
на четырех сторонах Р1Р3Р9, РгРеРэ, Р2Р3Р5, PiPsPe лежат их
полюсы Р0, Pi Ре, Р\\. [Остальные три точки этой конечной
плоскости—диагональные точки четырехугольника PoPzPePn; прямые,
соединяющие их, являются диагоналями четырехсторонника
PoP7psPnl См. также W. G, Brown, Canadian Mathematical Bulle*
tin 3, I960, стр. 221—223.

360 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. 14
а значит, точки Аи Р4, Xi коллинеарны, что и
требовалось доказать.
Теперь несложно указать построение поляры
(рис. 175):
14.65. В полярном соответствии (ABC) (Рр) полярой
точки X (не принадлежащей прямым АР, ВР или р)
Рис. 174. Рис. 175.
является прямая x=XiX2y определяемая следующим
образом:
Ах=а.РХ, Рг=р.АХ, ХХ^АР'АХРЪ
В2 = Ь-РХ, Р2 = р.ВХ, Х2==ВР.В2Р2.
Доказательство. Согласно 14.64, поляры а, р, х
пересекают прямые РХ, АХ, АР в трех коллинеарных
точках. Первые две из них — это точки А{ и /\.
Значит, прямая х проходит через точку Xi=AP • AiPim
Аналогично х проходит через точку Х2=ВР • ВгР2.
В координатах проективная коллинеация
записывается в виде однородного линейного преобразования
14.66
К = 2*Л det(raP)^°-
Благодаря тому, что определитель этой системы
уравнений отличен от нуля, мы можем разрешить ее
относительно х§ и получить уравнения обратной коллинеа-
ции. Подобрав соответствующим образом
коэффициенты са0, мы можем перевести четырехугольник 14.23 в
любой данный четырехугольник (Кокетер [2], стр. 249).

§6]
КОЛЛИНЕАЦИИ И КОРРЕЛЯЦИИ
361
Так как произведение двух корреляций (например,
полярного соответствия и другой корреляции)
представляет собой коллинеацию, любую данную
проективную корреляцию можно представить в виде
произведения произвольного полярного соответствия и
соответствующей коллинеации. Для этой цели удобнее всего
выбрать полярное соответствие, в котором полярой
точки (Хи Х2, Х3) является прямая
Комбинируя это полярное соответствие с проективной
коллинеацией 14.66, мы получим корреляцию, которая
переводит точку (у) в прямую
14.661
где снова det (са$)ФО. Таким образом, корреляция
задается билинейным уравнением
(ср. К о к с т е р [2], стр. 252).
Если корреляция является полярным соответствием,
то она совпадает с обратной корреляцией. Уравнение
обратной корреляции получается из уравнения прямой
корреляции, если поменять местами (х) и (у):
Таким образом, полярное соответствие получится,
если с$а = Хса$, где X одно и то же для всех аир, так
что са$ = Хс$а = Х2са$у Х2=1, Х= ±1. Но Хф—1, так
как в противном случае мы имели бы
О сп — ^31 I
- с12 О с23 = 0.
<?3i —с23 0 I
Следовательно, Х=1 и са$ = с$а. Другими словами,
14.67. Проективная корреляция является полярным
соответствием тогда и только тогда, когда она задается
системой билинейных уравнений с симметрической
матрицей коэффициентов.

362
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
Таким образом, в общем случае полярное
соответствие задается системой уравнений
14.68
SSVa^ = 0' £pa = V det(cap)=£0,
которая означает, что полярой точки (уи Уг, Уз)
является прямая 14.661 или что точки (xit #2, Х3) и (Уи Уъ Уз)
сопряжены. Положив #р=л:0, мы получим условие
самосопряженности точки (х)
или
Следовательно,
14.69. Множество самосопряженных точек полярного
соответствия, если они существуют, описывается
уравнением второй степени.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть даны ось и центр перспективной коллинеации и пара
соответствующих точек (коллинеарных с центром). Построить
образ X' произвольной точки X (К о к с т е р [2], стр. 90).
2. Если два треугольника перспективны, то существует
перспективная коллинеация, переводящая один из них в другой (это
оправдывает термин «перспективная коллинеация»).
3. Любая коллинеация, множество неподвижных точек
которой представляет собой прямую,—особая гомология.
4. Особую гомологию с осью о можно представить в виде
произведения двух гармонических гомологии с той же осью (К о к-
стер [2], стр. 92).
5. В геометрии PG (2, 3) преобразование Р*->Рг+1 (сложение
индексов производится по модулю 13), очевидно, является колли-
неацией порядка 13. Будет ли эта коллинеация проективной?
А преобразование Р*->Рзг?
6. Какие коллинеации задаются уравнениями
2l) Х\ == X-i, Хп == «^2> Х% ~~ ^"^3*
б) Х1= Xi~\- Cj.*^, *2 == х2 ~Г ^2*3» х3 == **з'
7. С помощью предложения 14.64 доказать теорему
Гессе: если две вершины полного четырехсторонника сопряжены (в
данном полярном соответствии) с противоположными вершинами,
то остальные две вершины также сопряжены друг с другом,

$7]
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
363
8. Доказать теорему Гессе аналитически. [Указание:
применить условия 14.68 к парам вершин
(О, 1 ±1), (±1, 0, 1), (1, ±1, 0)
четырехсторонника X\±X2±Xz—0.]
9. Билинейное уравнение
Х1У1+х2у2 + х3Уз=^0
выражает условие сопряженности точек (х) и (у) в полярном
соответствии (ABC) (Рр), где ABC — треугольник отнесения,
точка Р—(1, 1, 1,). а прямая р имеет уравнение х{+х2+Хз=0.
Существуют ли в этом полярном соответствии другие самосопряженные
точки? Рассмотреть, в частности, случай, когда роль координат
играют элементы поля вычетов по модулю 3.
§ 7. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
Три известные кривые, которые мы называем
«коническими сечениями», имеют богатую
историю. Считается, что они были открыты Менех*
мом, который работал около 350 года до н. э.
... Они привлекали к себе внимание лучших из
греческих геометров вплоть до Паппа Алексан~
дрийского ... Интерес к ним вновь возник в сем-
надцатом столетии. Кажется несомненным, что
они всегда будут занимать почетное место в
математических исследованиях.
Дж. Л. Кулидж (1873—1954) [I], предисловие.
На проективной плоскости существует только один
вид конических сечений. Все различия между
гиперболой, параболой и эллипсом носят аффинный характер;
точнее, эти различия зависят от взаимного
расположения кривой и бесконечно удаленной прямой. Случаи,
когда кривая пересекает, касается или не пересекает
бесконечно удаленную прямую, соответствуют гиперболе,
параболе или эллипсу (Кок стер [2], стр. 169).
Если полярное соответствие имеет самосопряженную
точку, оно называется гиперболическим, в противном
случае — эллиптическим. [В первом случае существует
также самосопряженная прямая — поляра
самосопряженной точки.] Для того чтобы полярное соответствие
было гиперболическим, достаточно существования
одной самосопряженной точки Pt Однако эта точка вовсе

364
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
не будет единственной: каждая прямая, проходящая
через точку Р, за исключением ее поляры р, содержит еще
и другую самосопряженную точку.
Согласно 14.63, полярное соответствие индуцирует
на любой несамосопряженной прямой инволюцию,
которая меняет местами сопряженные точки. Согласно 14.57,
такая инволюция должна иметь две неподвижные точки.
Первая из них — это наша точка Р, а вторая, скажем,
точка Q — это и есть искомая самосопряженная точка
полярной системы. Таким образом, из существования
одной самосопряженной точки следует существование
многих таких точек. [Этих точек столько же, сколько
прямых, проходящих через точку Р; например, в
вещественной и комплексной проективных геометриях таких
прямых бесконечно много.] Множество
самосопряженных точек гиперболического полярного соответствия
называется коническим сечением, а поляры этих точек —
касательными конического сечения. Из этого простого
определения, которое было предложено фон Штаудтом,
следует, что коническое сечение является
самодвойственной фигурой: его можно одновременно понимать
как множество самосопряженных точек и как
огибающую семейства самосопряженных прямых.
Читатель должен иметь в виду, что существует
только два вида полярных соответствий и только один вид
конических сечений. Терминология выбрана не очень
удачно: гиперболическое полярное соответствие имеет
много самосопряженных точек, которые образуют
коническое сечение; эллиптическое полярное соответствие
не имеет самосопряженных точек, но каждая точка
имеет поляру, а каждая прямая — полюс;
«параболических полярных соответствий» вообще не существует.
Название «касательная» оправдывается тем, что эта
прямая имеет с коническим сечением только одну
общую точку — точку касания. Прямая, имеющая с
коническим сечением две общие точки, называется
секущей. Инволюция сопряженных точек на секущей —
гиперболическая, причем две сопряженные точки на
секущей гармонически сопряжены по отношению к точкам Р
и Q пересечения секущей и конического сечения. Любая
прямая, отличная от касательной и секущей, не имеет

§7]
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
365
с коническим сечением общих точек. Инволюция
сопряженных точек на такой прямой — эллиптическая.
Пусть треугольник PQR вписан в коническое сечение,
как это показано на рис. 176. Любая прямая с,
сопряженная с PQ, является полярой некоторой точки С,
Рис. 176.
принадлежащей PQ. Пусть 5 — вторая точка
пересечения прямой RC с коническим сечением. Тогда С — одна
из трех диагональных точек четырехугольника PQRS,
вписанного в коническое сечение. Найдем другие
диагональные точки этого четырехугольника. Ими будут точки
A = PS-QR и B = QS-RP.
Прямая, соединяющая эти точки, пересекает стороны
PQ и RS четырехугольника в точках Ct и С2, причем
Н (PQy CCi) и If (RS, СС2). Так как точки С4 и С2 со«
пряжены с точкой С, то поляра точки С должна
проходить через каждую из этих точек. Следовательно, АВ —
поляра точки С. Аналогично, ВС — поляра точки А.
Значит, точки А и В — также сопряженные. Но эти
сопряженные точки представляют собой просто точки
пересечения прямой с со сторонами OR и RP треугольника
PQR. Следовательно, имеет место
Теорема Зейдевича. Если треугольник вписан
в коническое сечение, то любая прямая, сопряженная
одной из его сторон, пересекает две другие стороны в со*
пряженных точках.
Из этой теоремы вытекает, что имеет также место
следующая

866 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ГЛ. Г4
Теорема Штейн ер а. Если прямые х и у соеди*
няют произвольную точку конического сечения с двумя
его фиксированными точками, то х —у *).
Доказательство. Пусть р и q — касательные к
коническому сечению в фиксированных его точках Р и
Q. Тогда точка D~p*q является полюсом прямой PQ.
Далее, если с — некоторая прямая, проходящая через
точку D, но не проходящая через Р и Q, и если с пере*
секает прямые х и у в точках В и Л, как показано на
Рис. 177.
рис. 177, то, в силу теоремы Зейдевича, точки А и В
меняются местами при инволюции сопряженных точек на
прямой с. Следовательно, какова бы ни была точка х • у
конического сечения,
х — В — А — у.
АЛЛ*
Если даны пять точек, из которых никакие три не-
коллинеарны, то через них можно провести
единственное коническое сечение. Это построение, которое
независимо друг от друга открыли Брейкенридж и Маклорен
(Braikenridge, Maclarin) около 1733 года, состоит в сле^
дующем (Ко к стер [2], стр. 125). Обозначим наши точ«
ки через Аи В2у Си А2, Ви при этом искомое коническое
сечение будет представлять собой множество точек
С2 = Д (г. СгА2). Вх (г . СгВ2),
*) Штейнер предлагал положить эту теорему в основу
определения конических сечений (ср. ниже упр, 3),

§7]
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
367
где г —произвольная прямая, проходящая через точку
i4iB2-#H2 (рис. 178). Обращением этого свойства
является
Теорема Паскаля. Если шестиугольник
AiB2CiA2BiC2 вписан в коническое сечение, то точки
ВХС2 • В2С\, С\А2 • C2Ai, АХВ2 • A2BX
пересечения его противоположных сторон коллинеарньи
Паскаль открыл эту знаменитую теорему в возрасте
16 лет. Спустя 150 с лишним лет была открыта
двойственная теорема:
Рис. 178. Рис. 179.
Теорема Бриан шона. Если шестиугольник
описан около конического сечения, три его диагонали кон*
куренты (рис. 179).
В § 4 гл. 8 мы видели, что в евклидовой геометрии
конические сечения записываются уравнениями второго
порядка в прямоугольных декартовых координатах. Это
утверждение сохраняет силу и в аффинной геометрии,
если заменить прямоугольные декартовы координаты
аффинными. При переходе к барицентрическим (§ 7
гл. 11) и проективным (§ 2 этой главы) координатам,
такие уравнения переходят в однородные уравнения
второго порядка. Таким образом, теорема 14.69 показывает
эквивалентность классического определения конического
сечения и определения фон Штаудта. Рассмотрим, в
частности, коническое сечение, задаваемое уравнением
•^1^3 — *"Г

868
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
Оно касается прямых х3 = 0 и Xi = 0 в точках (1, 0, 0) и
(0, 0, 1). Уравнение этого конического сечения можно
записать в параметрической форме:
Х\ *, X<i \ Х% === t '. t '. 1 •
Из этого представления видно, что наше коническое
сечение представляет собой множество точек
пересечения соответственных элементов пучков прямых
Х\ == tX<i И X<i:===- 1Х%,
находящихся в проективном соответствии.
Если det (са$) =0, то квадратичную форму
22сархал;0 можно представить в виде произведения двух
линейных форм 2ааха и ЪЬаха. Поэтому пару прямых
иногда рассматривают как вырожденное коническое
сечение. В этом смысле аксиома 14.15 представляет собой
частный случай теоремы Паскаля.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если четырехугольник вписан в коническое сечение, то его
диагональные точки служат вершинами автополярного треугольника.
Касательные в вершинах четырехугольника образуют
четырехсторонник, диагонали которого служат сторонами того же треугольника
(К о к стер [2], стр. 120).
2. Как выглядит проективное соответствие, о котором идет
речь в теореме Штейнера, если точка А или В совпадает с D?
3. Если проективное соответствие между пучками прямых х
и у, проходящих через точки Р и Q, имеет вид xpd-rydq, где d—
= PQ, то множество точек х-у представляет собой коническое
сечение, проходящее через точки Р и Q и имеющее в этих точках
касательные р и q. [Это построение часто принимают за
определение конического сечения (см., например, Робинсон [1],
стр. 38).]
4. Рассмотрим всевозможные конические сечения, которые
касаются двух данных прямых в двух данных точках. Точки
пересечения этих кривых с некоторой третьей прямой, не проходящей
ни через одну из двух данных точек, отвечают друг другу в
некоторой инволюции (К о к стер [2], стр. 124).
5. Вершины двух автополярных треугольников (относительно
данного полярного соответствия) либо принадлежат одному
коническому сечению, либо двух прямым (К о к стер [2], стр. 187).
6. Если шесть вершин двух треугольников различны и
принадлежат одному коническому сечению, то эти треугольники автопо-
лярны для некоторого полярного соответствия.

§ 8] ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 369
7. В геометрии PG (2,3) (см. упр. 3 в конце § 1) полярное
соответствие Pi ->р% или (Р+РюРм) (Роро) определяет коническое
сечение, состоящее из четырех точек Р0, Рт, Ре, Р\\ и четырех
прямых ро. ръ Ре, Ри. [Указание: P0P2PsPi2 ^= Р\Р7РьРа "д P0P2P8P12J
8. Уравнение *i + *2— -^з — О определяет коническое сечение,
причем в соответствующем полярном соответствии треугольник
отнесения автополярен. Проверить теорему Паскаля для вписанного
в это коническое сечение шестиугольника
(О, 1, 1), (0, -1, 1) (1, 0, 1) (-1, 0, 1) (3, 4, 5) (4, 3, 5).
§ 8. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Наша геометрия — это абстрактная геометрия.
Наш разум может следовать за бестелесным
духом, не связанным с идеей физической точки,
так же как слепой от рождения человек может
понять электромагнитную теорию света.
X. Г. Ф о р д е р [1], стр. 43.
Аксиома 14.12 ограничивает все наши рассмотрения
единственной плоскостью. Для того чтобы отказаться от
этого ограничения, необходимо предварительно
выяснить, что мы будем понимать под плоскостью. Введем
сначала понятие плоского пучка. Назовем плоским
пучком множество прямых, соединяющих точки
прямолинейного ряда точек, принадлежащего некоторой прямой,
с точкой, не лежащей на этой прямой. Назовем
плоскостью (или плоским полем) множество точек,
принадлежащих прямым плоского пучка, и множество прямых,
соединяющих пары таких точед. Теперь мы можем за-
менить аксиому 14.12 тремя другими аксиомами. Первая
из них (которую можно рассматривать как проективный
вариант аксиомы Паша 12.27) позволяет забыть о
специальной роли частного плоского пучка в определении
плоскости, вторая дает возможность говорить более чем
об одной плоскости, а третья устанавливает
трехмерность рассматриваемого проективного пространства.
Аксиома 14.81. Если А, В, С — три неколлинеар-
ные точки, D — точка прямой ВС, отличная от точек В
и С, Е — точка прямой С А, отличная от точек С и А, то
на прямой АВ существует такая точка F, что точки D,
Е и F коллинеарны.

370
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
Аксиома 14.82. Существует по крайней мере одна
точка, не принадлежащая плоскости ABC.
Аксиома 14.83. Любые две плоскости пересекаются
по прямой.
В проективном пространстве также имеет место
принцип двойственности, но он отличается от принципа
двойственности на проективной плоскости: точкам, прямым
и плоскостям теперь соответствуют плоскости, прямые
и точки (ср. с § 5 гл. 10). Две пересекающиеся прямые
а и Ь определяют точку а*Ь и плоскость ab\ эти образы
двойственны. Две непересекающиеся прямые
называются скрещивающимися. Теория коллинеаций и корреляций
в проективном пространстве (Кокетер [3], стр. 63—70)
аналогична теории, развитой выше для случая
плоскости, за исключением классификации полярных
соответствий. Число самосопряженных точек прямой уже не
ограничено 0, 1 или 2. В связи с этим в пространстве
существует не два, а четыре вида полярных
соответствий: один «эллиптический», когда самосопряженных
точек не существует, два «гиперболических», когда
самосопряженные точки образуют квадрику
(нелинейчатую или линейчатую), и, наконец, нулевое полярное
соответствие (или «нуль-система»), когда все точки
пространства самосопряженные.
Идея определения квадрики как множества
сопряженных точек полярного соответствия второго или
третьего вида принадлежит фон Штаудту.
Ф. Зейдевич1) предложил другой подход к
определению квадрики, при котором рассматривается полярное
соответствие в произвольной плоскости со. Квадрика
определяется как множество точек
РА • Qa,
где Р и Q — две фиксированные точки квадрики, А —
переменная точка плоскости со и а — ее поляра. Это
определение включает в себя и вырожденные квадрики —
конус и пару плоскостей.
Чтобы получить некоторое представление о
геометрии проективного пространства, рассмотрим несколько
l) F, Seydewitz, Archiv fur Mathematik und Physik 9, 1948,
Sip, 158,

$8]
ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
371
характерных теорем. Рассмотрим полный
четырехугольник PQRS, стороны которого пересечены прямой g, на
которой возникает четырехугольное множество точек
Рис. 180.
Q(ABC, DEF), как это показано на рис. 180. Пусть
треугольник P'Q'R' лежит в другой плоскости,
проходящей через прямую g, и пусть стороны этого треугольника
пересекают прямую g в точках
Л, В, С. Обозначим точку
DP'-EQ' через S'. Из
теоремы 14.42 следует, что точка 5'
принадлежит прямой R'F. Из
этого замечания следует
существование двух интересных
конфигураций, одна из которых
состоит из восьми прямых
(рис. 181), а другая — из двух
вписанных друг в друга те- Рис j81
траэдров.
Теорема Галлуччи. Если три попарно скрещи*
вающиеся прямые пересекаются с тремя другими попар*
но скрещивающимися прямыми, то любая прямая пере*,
секающая первую тройку прямых, будет одновременна
пересекать и вторую тройку прямых.

372
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
Доказательство. Пусть первая тройка прямых
PQ\ P'Q, RS, а вторая тройка — PQ, P'Q\ R'S. Эти
обозначения соответствуют рис. 180. Действительно, так
как прямые PS и Q'R' проходят через точку Л, то
прямые PQ' и R'S пересекаются, и так как прямые QS и
R'P' проходят через точку В, то пересекаются и прямые
P'Q и R'S. Через точку R проходит единственная
прямая, пересекающая прямые PQ' и P'Q, а именно,
RPQ' • RP'Q = REQ' - RQP' = RS'.
Через точку R' проходит единственная прямая,
пересекающая прямые PQ и P'Q\ а именно,
R'PQ . R'P'Q' = R'FQ • R'FQ' = R'F.
Так как точка Sf лежит на прямой R'F, то две последние
прямые пересекаются, но точки R и R' выбраны на
прямых RS и R'S произвольно, что и доказывает теорему.
Теорема Мёбиуса. Если четыре вершины одного
тетраэдра принадлежат четырем граням другого, а три
вершины второго — трем граням первого, то четвертая
вершина второго тетраэдра принадлежит четвертой
грани первого.
Доказательство. Пусть PQRS' и P'Q'R'S —&ва
тетраэдра, причем вершины
Я, Q, R, S'9 P'f Q', S
принадлежат граням
Q'R'S, P'R'S, P'Q'St P'Q'R', QRS', PRS', PQR,
как это показано на рис. 180. Так как прямая R'S'
проходит через точку F прямой PQ, то вершина R'
принадлежит плоскости PQS', что и требовалось доказать.
Изменив обозначения
5, Р, Q, R, Р\ Q', R'f S'
соответственно на
S, *>i4, *->24> 5з4> «5>23» *->13» *^12» *^1234»

Ml
ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
373
мы получим первую из «цепи» замечательных теорем,
принадлежащих Хомершему Коксу1):
Первая теорема Кокс а. Пусть четыре
плоскости общего положения ои оъ, а3, 04 проходят через
точку S. Пусть на каждой из прямых OiOj (i> /=1, 2, 3, 4)
выбрана точка S^-. Обозначим плоскость SijSikSjh
через Oijh. Тогда плоскости G234, <Ji34, <*iu, (Тш проходят
через одну точку S1234.
Ясно, что ои 0*2, аз, от — это четыре грани тетраэдра
P'Q'R'S, а о2з4, (Тш, oto, 04 — грани вписанно-описанного
тетраэдра PQRS'. Пусть а5 — пятая плоскость,
проходящая через точку S. Тогда точки Si5, 525, S35, 545
принадлежат плоскости а5; оц5 — плоскость, проходящая через
прямую Si5Sj5, и, наконец, Sijh5 — точка Оф • Gik5 • о/аб.
По теореме, двойственной первой теореме Кокса, четыре
точки S2345, S1345, S1245, S1235 принадлежат одЦой
плоскости. Поменяв ролями плоскости а4 и as, мы увидим, что
точка S1234 принадлежит той же самой плоскости
S2345S1345S1245, К0Т0РУЮ мы> естественно, назовем G12345.
Следовательно, имеет место
Вторая теорема Кокса. Пусть ai, ..., a5 —
пять плоскостей общего положения, проходящих через
одну точку S. Тогда пять точек S2345> ^1345, S1245, ^1235,
51234 лежат в одной плоскости Отм.
Добавив шестую плоскость а6 и проведя
аналогичные рассмотрения, мы убедимся, что справедлива
Третья теорема Кокса. Шесть плоскостей
a23456, ai3456, amse, аш5б, ai2346, ai2345 проходят через одну
ТОЧКУ Si23456.
Дальнейший процесс теперь ясен: «(d— 3)-я теорема
Кокса» утверждает существование конфигурации,
состоящей из 2d~1 точек и 2d~l плоскостей, где каждые d
точек принадлежат одной плоскости и каждые d
плоскостей проходят через одну точку.
*) Н. Сох, Quarterly Journal of Mathematics 25, 1891, стр. 67.
См. также Н. W. Richmond, Journal of the London
Mathematical Society 16, 1941, стр. 105—112, иН-S.M. Coxeter Bulletin of
the American Mathematical Society 56, 1950, стр. 446. [Когда мы
говорим, что четыре плоскости, проходящие через точку, находятся
«в общем положении», это означает, что все шесть прямых, по ко-*
торым пересекаются эти плоскости, различны.]

374
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
Для получения следующей теоремы удобно
использовать координаты. Так как уравнение общей квадрики
СПХ\+ ••• +*44*4 + 2*12*Л+ •'• +2^4'*VC4 = 0
содержит 4 + 6=10 членов, то через девять точек,
находящихся в общем положении, можно провести
единственную квадрику 2=0; действительно, если подставить
в уравнение 2=0 девять четверок координат наших
точек, то мы получим девять линейных уравнений, из
которых определятся отношения коэффициентов с. Через
весемь точек, находящихся в общем положении, можно
провести «пучок» (или однопараметрическое семейство)
квадрик
2 + |iZ' = 0f
а через семь точек, находящихся в общем положении,
можно провести «связку» (или двухпараметрическое
семейство) квадрик. Но, решая совместно квадратные
уравнения
2 = 0, 2' = 0, 2" = 0
относительно отношений коэффициентов с, мы получим
восемь точек пересечения этих трех квадрик. Разумеется,
эти восемь точек принадлежат каждой квадрике связки.
Следовательно,
Семь точек, находящихся в общем положении,
определяют восьмую точку, обладающую тем свойством, что
любая квадрика, которая проходит через семь точек,
проходит и через восьмую.
На этой идее о восьмой присоединенной точке
основано другое доказательство первой теоремы Кокса (и,
следовательно, теорем Мёбиуса и Галлуччи). Пусть
Si234 — общая точка трех плоскостей а2з4, 0ш, <*ш\
первая теорема Кокса утверждает, что точка S1234
принадлежит также и плоскости о^. Пары плоскостей 01(Т234>
020134, cr3ai24 образуют три вырожденные квадрики,
проходящие через восемь точек
О, Оц, *^24» *^34» *^23» *^13» *-*12> *-*1234"
Первые семь точек принадлежат также вырожденной
квадрике 040123. Так как точка 5ш4 является восьмой

§81
ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
375
точкой, присоединенной к первым семи, она тоже
принадлежит этой квадрике. Но точка S1234 не может
принадлежать плоскости а4, значит, она принадлежит
плоскости ai23, что и требовалось доказать.
Множество прямых, пересекающих три данные
скрещивающиеся прямые, называется полуквадрикой.
Теорема Галлуччи показывает, что прямые, пересекающие
три образующие полуквадрики (в том числе и три
первоначальные прямые), образуют «присоединенную»
а2 Ь2 с2 d2 аг Ь2 с$
Рис. 182. Рис. 183.
полуквадрику, такую, что каждая образующая одной
полуквадрики пересекает каждую образующую другой.
Эти две полуквадрики служат двумя семействами
образующих линейчатой квадрики.
Пусть аи Ьи си d\ — четыре образующие первой
полуквадрики, а а2, b2, c2l d2— четыре образующие второй,
как показано на рис. 182. Три прямые
а3 = Ьхс2- Ь2сх, Ь3 = сха2 • ахс2, сг = axb2- а2Ьх,
очевидно, принадлежат одной плоскости и образуют?
треугольник с вершинами ах • а2, Ьх • Ь2 и сх • с2. Ж. П. Дан-
делен (С. P. Dandelin, 1824) назвал косой
шестиугольник ауЬ2сха2Ьхс2 мистической гексаграммой. Рассмотрим
сечение сторон этого шестиугольника плоскостью б
общего положения. Мы получим плоский шестиугольник
AiB2CtA2BiC2y стороны AtB2, В2Си ,,. которогопринад-

376
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
лежат плоскостям афъ Ь2си ... (рис. 183). Точки
пересечения противоположных сторон этого шестиугольника
Л3 = ВХС2 • B2Cit Вг = С\А2 • С2Ах, С3 = А\В2 • А2ВХ
принадлежат одновременно плоскостям 6 и a3b3c3i
следовательно, они коллинеарны. Зафиксируем теперь
прямые аи Ьи си о>ь $2 и будем изменять положения
прямой с2. Тогда из построения Брейкенриджа — Маклорена
(являющегося просто обращением теоремы Паскаля,
рис. 178) следует, что
Плоскость общего положения пересекает линейчатую
квадрику по коническому сечению.
Если в качестве б вместо плоскости общего
положения взять плоскость did2, то вершины шестиугольника
AiB2CiA2BiC2 будут принадлежать двум прямым d{ и d2i
как в формулировке аксиомы 14.15. Таким образом,
теорему Паппа можно рассматривать, как «вырожденный»
случай теоремы Паскаля. Вместо того чтобы принимать
за аксиому теорему Паппа и доказывать теорему Гал-
луччи, можно, наоборот, принять за аксиому теорему
Галлуччи и вывести из нее теорему Паппа. Б а хм а н
([1], стр. 254) иллюстрирует этот вывод довольно
красивым чертежом.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если а и Ъ — две скрещивающиеся прямые, a R— точка, не
принадлежащая ни одной из них, то прямая Ra- Rb —
единственная прямая, пересекающая а и Ь, проходящая через точку R.
2. Любая плоскость, проходящая через одну образующую
линейчатой квадрики, проходит через еще одну ее образующую.
[Такая плоскость называется касательной.] Любая другая плоскость
пересекает линейчатую квадрику по коническому сечению.
3. Если два тетраэдра трижды перспективны, то они
четырежды перспективны (ср. с § 3). Точнее, если тетраэдр ЛИ2Л3Л4
перспективен с каждым из тетраэдров В2В{ВАВг, ВгВАВ\В2у
В4В3В1В2, то он перспективен также с тетраэдром В[В2В5В4.
[Указание: так как прямая AiBj пересекается с Аф1у то Л,/?,
должна пересекаться с AjBj.]
4. Четыре центра перспективы двух тетраэдров упр. 3 служат
вершинами третьего тетраэдра, перспективного с каждым из двух
тетраэдров с центром перспективы в любой вершине второго из
этих тетраэдров.
5. В конечном проективном пространстве PG (3,3) (где
каждая прямая содержит только четыре точки) имеется 40 точек и
40 плоскостей. Сколько прямых содержит это пространство?

§9]
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
377
§ 9. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
Совокупность прямых, проведенных из глаза
художника к различным точкам изображаемого
предмета..., образует проекцию этого предмета и
называется евклидовым конусом. Рисунок
предмета — это сечение конуса, изображенное на
холсте... Прямые, которые в предмете были
параллельными, на рисунке стремятся к точке, в
которой прямая, выходящая из глаза художника
параллельно этим прямым, пересекает плоскость
холста.
С. Г. Г у л ь д [1], стр. 299.
Лишив евклидово пространство метрики, мы
получили аффинное пространство. Затем мы добавили к
аффинному пространству бесконечно удаленную
плоскость и стали рассматривать ее наравне со всеми
другими плоскостями. Таким образом, мы получили
проективное пространство. Но столь же успешным
оказывается обратный подход. Начав с проективного
пространства, выделим в нем одну плоскость, которую мы
назовем бесконечно удаленной плоскостью (эта
плоскость по-прежнему будет проективной). При этом ка-<
ждое аффинное понятие можно будет определить в
терминах проективной геометрии. Например, середина
отрезка АВ— это точка, гармонически сопряженная
бесконечно удаленной точке прямой АВ относительно точек Л
и В (Кокстер [2], стр. 157). Затем мы выделим на
бесконечно удаленной плоскости некоторое эллиптическое
полярное соответствие и назовем его абсолютным
полярным соответствием. Таким образом, мы получим
евклидово пространство. Прямая и плоскость называются
перпендикулярными, если бесконечно удаленная точка
прямой является полюсом бесконечно удаленной прямой
плоскости в абсолютном полярном соответствии.
Сфера — это множество точек пересечения прямых,
проходящих через некоторую точку, и перпендикулярных к ним
плоскостей, проходящих через другую точку; таким
образом, в соответствии с определением Зейдевича сфера
является частным случаем квадрики. Два отрезка с
общим концом равны, если они являются радиусами
одной и той же сферы (Кокстер [2], стр. 190) и т. д.

378
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 14
Если выбрать произвольный тераэдр в качестве
тетраэдра отнесения
(1,0,0,0) (0, 1,0,0) (0,0, 1,0) (0,0,0, 1)
и ввести проективные координаты, то удобно принять за
бесконечно удаленную плоскость плоскость #4=0. Тогда
в остальных уравнениях можно положить *4=1, и эти
уравнения станут уравнениями в аффинных
координатах хи *2, х3. С аффинной точки зрения вершинами
тетраэдра отнесения служат начало координат и
бесконечно удаленные точки трех осей. Наконец, можно перейти
от аффинного пространства к евклидовому, если положить,
что перпендикулярность прямых, выходящих из начала
координат и проходящих через точки (хи х2, х3) и
(Уи У2у Уз) у равносильна условию
т. е. что бесконечно удаленные точки
(хх, х2, xz, 0) и (у19 у2, у3, 0)
сопряжены в абсолютном полярном соответствии.
Все теоремы § 8 этой главы остаются справедливыми
и в евклидовом пространстве. Интересный частный
случай цепи теорем Кокса получается, если вместо того,
чтобы брать в качестве Sij произвольную точку на пря«
мой GiGjy считать S^ второй точкой пересечения этой
прямой с фиксированной сферой, проходящей через
точку 5. Так как эта сфера проходит через первые семь из
восьми точек
*bl» *bl4> О24» *->34» ^23» *^13» *~>12» ^1234»
она проходит и через восьмую присоединенную точку
5ш4 и также через точку S1235 и вообще через все
оставшиеся точки из 2d-1 точек. 2d~l плоскостей пересекают
сферу по 2d~l окружностям, которые переходят в
окружности при произвольной стереографической проекции
(см. § 9 глв 6). Таким образом, мы получаем цепь тео«*

§9)
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
379
рем Клиффорда !) для круговой (или евклидовой)
плоскости.
Первая теорема Клиффорда. Пусть четыре
окружности общего положения ои стг, аз, о^ проходят
через точку S; обозначим через S{j вторые точки
пересечения окружностей d и gj, через оць, — окружность
SijSikSjk. Тогда четыре окружности ош, (Тш, ffi24> ffi23
проходят через одну точку S^-
Вторая теорема Клиффорда. Пусть о$ —
пятая окружность, проходящая через точку S. Тогда
точки S2345, Si345, S1245, Sm4 принадлежат одной окружности.
Третья теорема Клиффорда. Шесть
окружностей (Т23456, СТ13456, ^12456, <*12356, СТ12346, <Xl2345 ПрОХОдяТ Че-
рез одну точку 5ш45б.
И так далее!
УПРАЖНЕНИЯ
1. Почему абсолютное полярное соответствие эллиптическое?
2. Сделайте чертеж, иллюстрирующий первую теорему
Клиффорда.
3. Если четыре прямые находятся в общем положении, то
четыре окружности, описанные около четырех образованных этими
прямыми треугольников, имеют общую точку (ср. с упр. 2 в конце
§ 5 гл. 5).
4. Центры окружностей, описанных около четырех
треугольников упр. 3, принадлежат одной окружности, которая, кроме того,
проходит через точку пересечения четырех описанных окружностей
(Фор дер [3], стр. 16—22; Б экер [1], стр. 328).
l) W. К. Clifford, Mathematical papers, London, 1882, стр. 51.
Клиффорд не высказал эти теоремы в полной общности. Вместо
окружностей, проходящих через точку 5, он рассматривал прямые;
другими словами, он принимал за точку 5 бесконечно удаленную
точку круговой плоскости. Эту специальную форму теорем
Клиффорда можно получить, если принять за центр стереографической
проекции точку 5 сферы (Б экер [1], стр. 133). (Относительно
цепи теорем Клиффорда см. также Яглом [2], задача 218а.).

ГЛАВА 15
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В настоящей главе мы возвратимся к материалу
некоторых из предыдущих глав в свете аксиоматического
подхода, который в общих чертах был намечен в гл. 12.
Мы будем рассматривать классическую геометрию как
геометрию порядка, дополненную аксиомами равенства
(конгруэнтности) 15.11—15.15, последняя из которых
представляет собой переформулировку аксиомы 1.26. За
исключением §§ 6 и 8 мы будем оставаться в области
абсолютной геометрии, т. е. не будем принимать
никакого предложения, эквивалентного пятому постулату
Евклида. Благодаря этому наши результаты будут
справедливы не только в геометрии Евклида, но и в
неевклидовой геометрии Гаусса, Лобачевского и Бойяи.
В § 4 мы с помощью простого метода получим
полную классификацию конечных групп движений
трехмерного пространства. Как сказал В ей ль ([1], стр. 79),
«это современный эквивалент греческих таблиц
правильных многогранников». Применение этих кинематических
результатов к кристаллографии в § 6 потребует
введения аппарата евклидовой геометрии. Но в § 7 мы снова
вернемся к абсолютной геометрии, когда будем
рассматривать конечные группы, порождаемые симметриями.
§ 1. РАВЕНСТВО (КОНГРУЭНТНОСТЬ)
Каждый преподаватель обязательно должен быть
хотя бы немного знаком с неевклидовой
геометрией... Она принадлежит в настоящее время к
тем немногим частям математики, которые стали
известны в широких кругах..., поэтому каждого
учителя могут в любую минуту спросить о ней.
Ф. Клейн [2], стр. 305.
При строгом построении абсолютной геометрии
начинают с геометрии порядка и затем вводят третье первое

§1]
РАВЕНСТВО (КОНГРУЭНТНОСТЬ)
ЗВ1
начальное, неопределяемое понятие — равенство или
конгруэнтность — некоторое отношение эквивалентности,
связывающее пары точек (или отрезки, или
интервалы). Обозначение ABeeeCD означает: «отрезок Л В
равен (или конгруэнтен) отрезку CD». Приводимые ниже
аксиомы принадлежат Пашу; некоторые
усовершенствования внесены в них Д. Гильбертом и Р. Л. Муром (см.
Керекьярто [1], стр. 90—101).
Аксиомы равенства (конгруэнтности)
15.11. Если А и В— различные точки, то на любом
луче, исходящем из точки С, существует в точности одна
точка D, такая, что AB=CD.
15.12. Если AB^eCD и CD=EF, то AB=EF.
15.13. АВеееВА.
15.14. Если [ABC], [А'В'С% АВ=А'В' и ВС=В'С,
то АС=А'С.
15.15. Если ABC и А'В'С — два треугольника, у
которых ВС=В'С\ СА—С'А\ АВ=А'В', a D и D' — dee
точки, для которых [BCD] и [B'C'D'] и BD=B'D\ то
AD-A'Df.
Применив дважды аксиому 15.13, получаем АВ=АВ,
т. е. равенство (конгруэнтность) отрезков рефлексивно.
Из аксиом 15.11 и 15.12 сразу получается, что
соотношение AB—CD влечет CD—AB, т. е. равенство отрезков
симметрично. Аксиома 15.12 гласит, что равенство
отрезков транзитивнр. Следовательно, равенство
(конгруэнтность) отрезков является отношением
эквивалентности. На этом факте и на свойстве аддитивности 15.14
основывается теория расстояний {длин) (Фордер [1],
стр. 95). Аксиома 15.15 дает возможность перенести
отношение равенства или конгруэнтности также и на углы
(Фордер [1], стр. 132).
Следуя Евклиду, мы определим прямой угол как
угол, равный своему смежному; при этом единицу
измерения углов выберем так, чтобы величина прямого
угла была равна -j я.
Утверждение AB=CD для отрезков, очевидно,
эквивалентно утверждению AB = CD для их длин, так что
использование одного и того же символа АВ для обо*

382
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 15
значения самого отрезка и его длины не может вызвать
недоразумений. Аналогичное замечание справедливо и
для углов.
Окружность с центром в точке О и радиусом г
определяется как множество точек Р, лля которых ОР=г.
Если точка Q такова, что OQ>r, то говорят, что она
находится вне окружности. Если же точка не лежит ни
на самой окружности, ни вне ее, то говорят, что эта
точка находится внутри окружности. Можно доказать
(Фордер [1], стр. 131), что если окружность с центром
А содержит точки, лежащие как внутри, так и вне
другой окружности с центром С, то эти две окружности
пересекаются в точности в двух точках, расположенных
по разные стороны от прямой АС. Первые четыре
постулата Евклида мы можем теперь рассматривать как
теоремы и можем доказать все первые предложения
Евклида вплоть до (1.26); предложения (1.27) и (1.28) также
остаются в силе, если мы заменим в них слово
«параллельные» на слово «непересекающиеся». Мы можем
определить осевую симметрию так же, как в § 3 гл. 1,
и вывести из этого определения простые следствия,
например, pons asinorum (1.5), симметричность
окружности относительно всех ее диаметров ((III. 3), см. § 5
гл. 1). Но мы должны быть осторожны и избегать
применения обычного представления о сумме углов тре«
угольника; например, мы не можем утверждать, что
вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу
окружности, равны (Евклид (III. 21)). Отбрасывая
такие теоремы, как (VI. 2—4), которые опираются на
аффинные свойства параллельности, мы ищем совсем
другие пути для доказательства того, что медианы
треугольника пересекаются в одной точке*). С другой стороны,
то обстоятельство, что высоты остроугольного
треугольника пересекаются в одной точке, получается как по-
*) Заметим, что теорема о точке пересечения медиан
треугольника легко доказывается как в геометрии Евклида, так и в
геометрии Лобачевского, а следовательно, в абсолютной геометрии
она бесспорно верна. Однако достаточно удовлетворительное
доказательство ее средствами абсолютной геометрии (не
использующее, например, не имеющих прямого отношения к существу дела
стереометрических соображений; ср. на стр. 625 указание к упр. 4
из § 3) до сих пор не найдено.

§2]
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
383
бочный продукт при решении задачи Фаньяно, так как
все соображения, использованные в § 8 гл. 1, остаются
в силе*). [Однако для задачи Ферма требуется другое
решение, так как мы не можем больше утверждать, что
каждый угол равностороннего треугольника равен я/3.]
УПРАЖНЕНИЯ
1. Провести полное доказательство того, что отношение
равенства отрезков симметрично: если АВ = CD, то CD = АВ.
2. Какие предложения § 5 гл. 1 сохраняют силу в абсолютной
геометрии (Керекьярто [1], стр. 161—163, в особенности
упр. 1,3,4).
3. У любого вписанного в окружность четырехугольника
суммы противоположных углов равны (Соммервиль [1], стр.84).
§ 2. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
Я решил опубликовать работу по теории
параллельных, как только я приведу в порядок свои
материалы... Цель пока еще не достигнута, но я
сделал такое удивительное открытие, что почти
подавлен им... Я создал новую вселенную из
ничего.
Янош Б о й я и (1802—1860).
(Из письма к отцу, 1823 год.).
Следуя Гауссу, Бойяи и Лобачевскому, мы говорим,
что две прямые параллельны, если они «почти
пересекаются». Точный смысл этого выражения разъяснен в
§ 6 гл. 12 (мы пользуемся обозначением pi для одного
из двух лучей, на которые делит прямую р лежащая на
ней точка).
Понятие центра вписанной окружности (§ 5 гл. 1)
можно распространить с треугольников на фигуры,
образованные двумя параллельными прямыми и пересекаю^
щей их прямой. Использование этого понятия дает нам
возможность доказать, что отношение параллельности
симметрично:
15.21. Если луч pi параллелен лучу qu то луч qx
параллелен р^
*) Следует предупредить читателя, что оговорка о том, что
треугольник является остроугольным, здесь весьма существенна —
в противном случае теорема (в абсолютной геометрии!) будет
просто неверной,

384
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГГЛ t*
А
S
J
\
\
•
L
/
\
\
\
ь ъ
D
Рис.
184
Z7/
</
Я
Доказательство (Соммервиль [1], стр. 32),
Пусть луч pi, проходящий через точку Л, параллелен
лучу qu проходящему через точку В, как это изображено
на рис. 184. Внутренняя биссектриса AD угла Л служит
третьей стороной
треугольника ABD. Пусть
внутренняя биссектриса угла
/f£—\| / В пересекает AD в точке
/. Опустим из
точки/перпендикуляры //, /К, IL на
ри АВ, q{. Так как
отрезки // и IK симметричны
относительно прямой /Л,
а отрезки IK и IL —
относительно прямой IB, то // = //(=//,. Пусть ^ —
внутренняя биссектриса угла LIJ. Симметрия относительно
прямой г меняет местами точки / и L и, следовательно,
переводит прямые р и q друг в друга. Так как р
параллельна q, то q параллельна р в том же направлении,
т. е. луч qi параллелен р4. [По терминологии Гаусса /
и / — соответственные точки на двух параллельных
лучах.]
Теперь мы можем, применяя методы геометрии
порядка, доказать, что отношение параллельности транзитивно:
15.22. Если луч pi параллелен qu a q\ параллелен ги
то рх параллелен rit
Доказательство (Гаусс [1], стр. ПО). Прежде
всего ясно, что лучи pi и г4 не могут пересечься: в
самом деле, если бы они пересеклись, то две
пересекающиеся прямые риг были бы параллельны прямой q в
одном в том же направлении, что невозможно.
В силу теоремы 12.64 без ограничения общности
можно допустить, что лучи ри qu *Ч исходят из коллинеар-
ных точек Л, В, С. Для того чтобы закончить
доказательство, нам придется рассмотреть два случая: когда
точка В лежит между точками Л и С и когда это не так.
Если [АВС\ как это показано на рис. 185, то любой
луч, выходящий из точки Л и лежащий внутри угла,
образованного АС и pi, пересекает ^i (так как лучи pt и qi
параллельны) и затем пересекает г4 (так как q\ и г\
параллельны). Следовательно, лучи pi и Г\ параллельны.

§2}
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
385
Пусть теперь точка В не лежит между Л и С,
например [АСВ], как это показано на рис. 186.
Произвольный луч, выходящий из точки А и лежащий внутри угла,
el ^—jr— si У-<г~
Рис. 185. Рис. 186.
образованного АС и pi, пересекает луч qiy скажем, в
точке D. Так как прямая г разделяет точки А и D, она
пересекает отрезок AD. Следовательно, лучи р4 и г4
параллельны.
При рассмотрении второго случая мы не
пользовались параллельностью лучей qi и г\. Поэтому
справедливо следующее утверждение:
15.23. Если луч /*i лежит между двумя
параллельными лучами, то он параллелен им обоим.
Доказав, что параллельность является соотношением
эквивалентности, мы можем рассмотреть множество всех
прямых, параллельных данному лучу. Естественно
называть это множество пучком параллельных, так как он
содержит в точности одну прямую, проходящую через про-*
извольно заданную точку (Ко кет ер [2], стр. 20).
Развивая аналогию с обычным пучком, состоящим из всех
прямых, проходящих через данную точку, мы можем
также сопоставить ему бесконечно удаленную точку или,
следуя Гильберту, конец (т. е. попросту назвать такой
пучок «бесконечно удаленной точкой» или «концом»).
Вместо того чтобы говорить, что два луча (или прямых)
параллельны или что они принадлежат некоторому
пучку параллельных Af, мы говорим, что у этих лучей об-*
щий конец М. Далее, мы обозначаем луч,
принадлежащий данному пучку параллельных и проходящий через
точку Л, символом AM, подчеркивая, что луч является
отрезком, один из концов которого находится в «точке»

386 АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. *$
М. Этот же символ AM можно использовать для
обозначения всей прямой.
Пусть AM и ВМ— параллельные лучи и е —
произвольно малый угол. Возьмем внутри угла ВАМ (рис. 187)
луч, выходящий из точки А и образующий с лучом AM
угол, меньший чем е. Этот луч пересечет луч ВМ в
некоторой точке С. На луче СМ (который совпадает с С/В)
возьмем такую точку D, что
CD=(M. Из рассмотрения
равнобедренного
треугольника CAD мы видим, что
LADC^LCADK
<^САМ<г.
Следовательно, когда
длина отрезка BD стремится
к бесконечности (т. е. луч AD стремится к положению
AM), ZADB стремится к нулю. Этот факт объясняет
следующее допущение Б ой я и [1]:
15.24. Если рассматривать две параллельные прямые
как пересекающиеся в бесконечности, угол между ними
нужно считать равным нулю.
Если AM и ВМ — параллельные лучи, то фигуру АВМ
мы называем асимптотическим треугольником. Такие
треугольники имеют много общего с конечными
треугольниками. В частности, два асимптотических
треугольника равны, если они имеют равные конечные стороны и
по одному равному углу (Карслоу [1], стр. 49), т. е.:
15.25. Если у двух асимптотических треугольников
АВМ и А'В'М', АВ = А/В/ и А=А', то В = В'.
Из аксиомы 15.11 следует (см. упр. 2 к настоящему
параграфу), что если две прямые имеют общий
перпендикуляр, то они не пересекаются. Следующая теорема
в некотором смысле является обращением этого
утверждения.
15.26. Если две прямые не пересекаются и не
параллельны, то они имеют общий перпендикуляр.
Доказательство. Проведем из точки А первой
прямой AL перпендикуляр АВ ко второй прямой ВМУ
как изображено на рис. 188. Если прямая АВ
перпендикулярна к AL, то теорема доказана. Если нет, то пусть

f 2]
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
387
точка L лежит с той стороны от АВ, с
острый. Так как две наши прямые не
параллельны, то существует меньший
что луч AM параллелен ВМ. Если на
точки С и D, так что [BCD\
то, применив к треугольнику
ACD предложение (1.6) Ев-»
клида, мы получим, что
внешний угол этого треугольника
при вершине С больше, чем
внутренний угол при
вершине D. Следовательно,
если BD возрастает от 0 до с»,
так что ZDAL убывает от ZBAL ло
убывает от прямого угла до нулл. В
цесса имеем
LDAKLADB
которой Z BAL —
пересекаются и не
угол ВАМ, такой,
луче ВМ выбрать
ZMAL, то ZADB
начале этого про-
(так как ZBAL острый), но в конце знак неравенства
меняется на обратный (так как ZMAL положителен).
Следовательно, должно существовать некоторое
промежуточное положение, для которого
LDAL^^ADB.
[Существование такого положения можно строго
доказать, если применить аксиому Дедекинда 12.51 к точкам
луча ВМ, которые удовлетворяют противоположным
неравенствам.] Проведем через середину отрезка ADy
точку О (рис. 189),
перпендикуляр EF к прямой BD. Так
как треугольники ОАЕ и
ODF равны, прямая EF пер-
-м пендикулярна не только к
BD, но и к AL.
Непересекающиеся и
непараллельные прямые
называют сверхпараллельными (или расходящимися). Мы не
утверждаем существования таких прямых, а показываем,
какими свойствами они должны обладать, если они
существуют.
Рис. 189.

388
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 15
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать теорему 15.25, не ссылаясь на Карслоу [1].
2. Дать полное доказательство того, что две прямые, имеющие
общий перпендикуляр, не пересекаются.
3. Упр. 4 к § 1.5 (стр. 32) сохраняет силу, когда точка А
становится концом, т. е. когда треугольник обращается в асимптотический.
§ 3. ДВИЖЕНИЕ
Кроме существующей вселенной, я могу
создавать в моем воображении другие вселенные,
управляемые другими законами.
Дж. Л. С а й н д ж [2], стр 21.
Теория конечных групп движений (§ 3 гл. 2 —§ 1
гл. 3) целиком принадлежит абсолютной геометрии
потому, что все движения, входящие в состав таких групп,
имеют хотя бы одну неподвижную точку (см. ниже,
стр. 395). Первое отклонение от предыдущего
изложения возникает при рассмотрении движений, не
имеющих неподвижных точек (§ 2 гл. 3). Теперь мы должны
отличать (параллельный) перенос, представляющей
собой произведение симметрии относительно двух
различных точек, от параллельного перемещения —
произведения симметрии относительно двух параллельных прямых.
Произведение симметрии относительно двух
различных точек О, О' представляет собой перенос вдоль
данной прямой (оси переноса) в данном направлении на
данное расстояние, а именно, вдоль прямой 00' в
направлении луча 070 и на расстояние 200'. Так как
перенос определяется осью и величиной, взятой с
соответствующим знаком, то произведение симметрии
относительно точек О, О' совпадает с произведением
симметрии относительно точек Q, Q', если направленный
отрезок QQ' равен отрезку 00' той же самой
прямой (рис. 32, стр. 73). Если точка Р тоже принадлежит
этой прямой, то расстояние РРТ в точности равно
удвоенному расстоянию 00'. [В противном случае это
расстояние может быть больше!]
Соображения, приведенные при доказательстве
теоремы 3.21, показывают, что произведение переносов с
одной и той же осью или с пересекающимися осями тоже
будет переносом. [Однако коммутативный закон для

§3]
ДВИЖЕНИЕ
389
умножения переносов всегда имеет место только в
первом случае!]. Точнее, справедлива следующая
15.31. Теорема Донкина1). Произведение
переносов вдоль направленных сторон треугольника на
расстояния, в два раза большие длин сторон, представляет
собой тождественное преобразование.
Впоследствии мы увидим, что произведение
переносов с непересекающимися осями может быть вращением.
Соображения, приведенные при доказательстве
теоремы 3.22, показывают, что произведение симметрии
относительно прямых, имеющих общий перпендикуляр,
представляет собой перенос вдоль этого перпендикуляра
на расстояние, в два раза большее, чем расстояние
между прямыми. [Эти прямые будут параллельными или
сверхпараллельными в зависимости от природы
рассматриваемой геометрии.]
Как и в 3.13, можно утверждать, что любое движение
можно представить в виде произведения не более чем
трех осевых симметрии. Если это движение —
собственное, то число симметрии четно, и, значит, равно двум.
Из теоремы 15.26 следует, что
15.32. Каждое собственное движение {плоскости), не
имеющее неподвижных точек, представляет собой или
параллельное перемещение или перенос.
Замечательно, что в рамки абсолютной геометрии
может быть включена вся теория скользящих симметрии.
Изменения, которые необходимо внести в
предшествующее изложение (§ 3 гл. 3), касаются только двух
пунктов, в которых фигурирует термин «параллельный»
(так, прямые m, т' рис. 34, стр. 76 теперь следует
определить как перпендикуляры к прямой 00'\ при этом
они не обязательно будут параллельны друг другу).
Из этого следует, что теорема Хьельмслева
принадлежит абсолютной геометрии. Все содержание § 6
l) W. F. D о n k i n, On the geometrical theory of rotations,
Philosophical Magazine (4), 1, 1851. Лэмб ([1], стр. 6) использует
симметрии относительно вершин Л, В, С данного треугольника для
построения трех новых треугольников, которые, как он говорит,
«собственно равны друг другу и зеркально равны треугольнику
ABC». Это замечание ошибочно: все четыре треугольника
собственно равны друг другу.

390
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГГЛ. 15
гл. 3 остается в силе, без каких бы то ни было
изменений!
Теория дискретных одномерных групп, изложенная
в § 7 гл. 3, также относится к абсолютной геометрии с
тем единственным изменением, что оси симметрии т, т'
(рис. 37, стр. 82) теперь следует считать не
параллельными, а перпендикулярными к одной и той же
(горизонтальной) прямой. Однако теории решеток (гл. 4) и
преобразований подобия (гл. 5), целиком относятся к
евклидовой (а не к абсолютной!) геометрии.
Распространение абсолютной геометрии на случай
трехмерного пространства не представляет затруднений.
В частности, многие пункты евклидовой теории
движений (§ 1 гл. 7) остаются справедливыми в абсолютной
геометрии. По-прежнему верно, что любое собственное
движение представимо в виде произведения двух
центральных симметрии и что любое зеркальное движение,
имеющее неподвижную точку, представляет собой
симметрию (которая может свестись к симметрии
относительно плоскости или относительно точки). Далее,
классическая теория пяти правильных многогранников
(Платоновых тел; см. §§1—3 гл. 10) является частью
абсолютной геометрии. Несколько необходимых изменений
внести очень легко: например, под прямоугольником
надо теперь понимать четырехугольник, у которого все
углы равны между собой (но не обязательно прямые),
а под квадратом — такой прямоугольник, у которого,
кроме того, равны все стороны.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что можно сказать о трех прямых, по которым
пересекаются плоскости Л/, В/, С/, если прямая / лежит вне плоскости
треугольника ABC? [Если две из этих прямых пересекаются, или*
параллельны, или имеют общий перпендикуляр, то то же самое
можно сказать о всех трех прямых. Это свойство трех прямых ти ть
Шг в обозначениях § 4 гл. 3 эквивалентно соотношению R1R2R3—
^RzRzRi-]
2. Произведение симметрии относительно прямых риг рис. 184
представляет собой параллельное перемещение, которое переводит
точку / в L.
3. Прямая, соединяющая середины двух сторон треугольника,
перпендикулярна к перпендикуляру, восставленному к третьей
стороне из ее середины.
4. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

14]
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ВРАЩЕНИИ
391
§ 4. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
Эти группы, в особенности последние три из них,
представляют собой чрезвычайно
привлекательный предмет для геометрических исследований.
Г. В е й л ь [1], стр. 79.
Одним из простейших видов преобразований
являются подстановки конечного числа элементов. Например,
одной из возможных подстановок шести букв а, 6, с, d,
е, / будет такая: поменяем местами а и 6, поставим с ка
место d, d на место et е на место с, а / оставим на месте.
Эта подстановка обозначается (ab)(cde). Две
«независимые» части (ab) и (cde) называются циклами
порядков 2 и 3. Подстановки, состоящие из одного цикла,
называются циклическими. Ясно, что элементы
циклической группы Сп можно представить как степени
образующей циклической подстановки (#1 а2... ап) (сами эти
подстановки уже не обязательно будут циклическими);
например, четырьмя элементами группы С4 будут
подстановки
1, (abed), (ac)(bd)t (adeb).
Циклические подстановки второго порядка
называются транспозициями. Так как
(аха2 ... ап) = (ахап)(а2ап)... (ап_хап),
то любую подстановку можно представить в виде
произведения транспозиций. Подстановку называют четной
или нечетной в соответствии с четностью или
нечетностью числа циклов четного порядка, например,
подстановка (ас)(bd) четна, а подстановка (ab)(cde) нечетна.
Тождественная подстановка 1 совсем не имеет циклов и
поэтому считается четной. Легко доказать (Кокстер
[1], стр. 40—41), что произведение транспозиций будет
четной или нечетной подстановкой в соответствии с
четностью числа транспозиций. Из этого следует, что четные
и нечетные подстановки ведут себя по отношению к
умножению так же, как четные и нечетные числа по
отношению к сложению; например, произведение двух
нечетных подстановок четно.
Из этого также следует, что любая группа
подстановок либо целиком состоит из четных подстановок, либо

392
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 15
содержит одинаковое число четных и нечетных
подстановок. Группа всех подстановок п элементов называется
симметрической группой порядка п\ (или степени п) и
обозначается Sn. Ее подгруппа, состоящая из всех
четных подстановок, называется знакопеременной группой
порядка /г!/2 (или степени п) и обозначается Ап. В
частности, группа S2 совпадает с С2, а ^з — с С3, так что
мы пишем
*Ь29ёС2, Аз = Сз.
Более интересно, что S3^D3 (см. рис. 26 на стр. 60).
Действительно, шесть элементов диэдрической группы
£>з> образующие группу симметрии равностороннего
треугольника, можно рассматривать как подстановки
трех сторон треугольника. Четные подстановки
1, (abc), (acb)
— это вращения, а нечетные подстановки
(be), (са), (ab)
— симметрии относительно медиан равностороннего
треугольника. Если мы поместим треугольник в трехмерное
(абсолютное) пространство, то ось вращения будет
проходить через центр треугольника перпендикулярно к его
плоскости. Симметрии (плоские) можно представить
двумя различными способами и получить при этом две
группы, которые геометрически различны (т. е. состоят
из разных преобразований), но абстрактно
тождественны или изоморфны: мы можем представить их как
симметрии относительно плоскостей, проходящих через
медианы и ось вращения, либо как симметрии
относительно самих медиан. При последней интерпретации все
шесть элементов группы D3 представляются в виде
вращений. Мы можем описать эту группу как подгруппу
собственных движений группы симметрии правильной
треугольной призмы. Вообще 2я собственных движений
группы симметрии правильной /г-угольной призмы
образуют диэдрическую группу Dnt а п собственных
движений группы симметрии правильной /г-угольной
пирамиды образуют циклическую группу Сп. Все вращения

§4]
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
393
группы Сп имеют одну и ту же ось, а группа Dn
получается из группы Сп добавлением к ней симметрии
относительно п (симметрично расположенных) прямых,
лежащих в плоскости, перпендикулярной к этой оси.
Таким образом, мы нашли два бесконечных
семейства конечных групп вращений. Другими такими
группами будут подгруппы собственных движений групп
симметрии пяти Платоновых тел {/?, q}\ таких групп
имеется не пять, а только три, потому что любое
вращение, переводящее в себя многогранник {/?, q), перевод
дит в себя и взаимный ему многогранник \q, р}: октаэдр
имеет ту же группу, что и куб, а икосаэдр — ту же, что
додекаэдр.
Правильный тетраэдр, очевидно, переводится в себя
симметриями относительно плоскостей, соединяющих
произвольное ребро с серединой противоположного
ребра. Рассматриваемые как подстановки четырех граней
я, Ъ, с, d (рис. 190), эти
симметрии соответствуют у*.
транспозициям. Таким об- /Г\
разом, полная группа / \ &
симметрии тетраэдра, ко- г/' 1 >
торая порождается эти- ^"^--J/
ми симметриями,
изоморфна симметрической
группе 54, порождаемой
транспозициями, а группа вращений тетраэдра,
порождаемая попарными произведениями симметрии
относительно плоскостей, изоморфна знакопеременной
группе Л4, порождаемой попарными произведениями
транспозиций. 12 вращений, входящих в эту группу, можно
перечислить следующим образом. Перпендикуляры,
опущенные из вершин на противоположные грани, служат
осями вращений порядка 3; четырем вершинам
соответствуют 8 вращений. Прямые, соединяющие
середины противоположных ребер, служат осями симметрии
относительно прямых (вращений порядка 2); трем
парам противоположных ребер соответствуют три
такие симметрии. Добавив тождественное преобразование,
получим 8 + 3+1 = 12 вращений, С точки зрения
А-

394
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. !5
подстановок граней восемь вращений порядка 3
имеют вид
(bed), (bde), (acd), (add), (abd), (adb), (abc), (acb),
а три осевые симметрии (в пространстве!) запишутся
в виде
(be) (ad), (ca\(bd), (ab)(cd).
Октаэдр {3,4} можно получить из тетраэдра при
помощи усечения: при этом четырьмя из восьми его
граней будут вершинные фигуры тетраэдра, а остальными
четырьмя—усеченные грани тетраэдра. Любое
движение, переводящее в себя тетраэдр, переводит в себя и
октаэдр, но, кроме того, существуют движения октаэдра,
меняющие местами описанные выше четверки граней.
Например, прямые, соединяющие две противоположные
вершины октаэдра, служат осями вращений порядка 4,
а прямые, соединяющие середины противоположных
ребер, служат осями симметрии относительно прямой.
Если обозначить четыре пары противоположных граней
октаэдра через а, 6, с, dy как показано на рис. 191, то
такие осевые симметрии оказываются транспозициями,
т. е. некоторыми подстановками, принадлежащими
Рис. 191.
группе 54, но не принадлежащими группе Л4. Так как
транспозиции порождают группу 54, то группа
вращений октаэдра (или куба) изоморфна симметрической
группе 54.
На рис. 192 двадцать граней икосаэдра {3,5}
обозначены пятью буквами а, 6, с, d, е таким образом, что че«
тыре грани, обозначенные одинаковыми буквами, не
имеют никаких общих элементов, в том числе и вершин.

§4)
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ВРАЩЕНИИ
895
Четыре грани а лежат в плоскостях четырех граней пра-»
вильного тетраэдра, а четыре грани, противоположные
граням а (они обозначены буквами Ъ, су d, е), образуют
взаимный тетраэдр. Двенадцать вращений, переводящих
каждый из тетраэдров в себя, будут также операциями
симметрии всего икосаэдра. Но эти вращения
представляют собой четные подстановки элементов b, ct d, е.
Четверки граней 6, су d, е ведут себя так же, как
грани я, так что в совокупности мы получаем все четные
Рис. 192.
подстановки пяти букв: группа вращений икосаэдра
изоморфна знакопеременной группе Л5. Эти 60
вращений можно описать так: по 4 вращения порядка 5
вокруг каждой из 6 осей, по 2 вращения порядка 3 вокруг
каждой из 10 осей, по одной осевой симметрии,
отвечающей каждой из 15 осей, и тождественное
преобразование (Кокстер [1], стр. 50).
Мы покажем, что рассмотренными выше группами
.исчерпываются все конечные группы вращений. В
качестве первого шага в доказательстве этого утверждения
докажем, что все оси вращений должны проходить
через одну и ту же точку. Действительно, мы можем
сразу доказать даже более сильный результат:
15.41. Любая конечная группа движений имеет по
меньшей мере одну неподвижную точку (т. е. все
движения этой группы имеют однуитуже неподвижную
точку).
Доказательство. Конечная группа движений
переводит произвольную данную точку в конечное
множество точек, причем все полученное таким путем множество

396
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 15
точек она переводит в себя. Покажем, что всякое
конечное (или даже лишь ограниченное) точечное
множество определяет единственный шар наименьшего
радиуса, которому принадлежат все точки множества.
В самом деле, если бы существовали два равных
наименьших шара, то точки множества принадлежали
бы общей части этих шаров, которая имеет вид линзы;
и шар, для которого обод линзы служил бы большим
кругом, имел бы меньший радиус, чем каждый из двух
равных шаров, что противоречит
предположению о
минимальности этих шаров (на рис. 193
заштриховано сечение линзы).
Группа переводит этот
единственный шар в себя. Поверхность
шара содержит некоторые из
точек нашего множества (в против-
Рис 193. ном случае, так как наше
множество конечно, шар можно было
бы уменьшить*)), и, следовательно, она содержит все
такие точки. Центр полученной таким путем сферы и
является искомой неподвижной точкой, так как любое
движение, переводящее некоторую сферу в себя,
очевидно, оставляет ее центр на месте.
Из этого следует, что любую конечную группу
движений можно рассматривать как группу, действующую
на поверхности сферы. В такой группе G каждое
вращение, отличное от тождественного преобразования,
оставляет неподвижными ровно две точки сферы, а
именно, полюсы, т. е. точки пересечения сферы с осью
вращения. Говорят, что полюс Р р-угольный (р>2),
если он лежит на оси вращения поряка р. Те вращения
из группы G, которые оставляют точку Р неподвижной,
исчерпываются р вращениями вокруг полюса Р на углы,
кратные углу 2я/р. Любое другое вращение из
группы G переводит полюс Р в «эквивалентный» полюс,
который также является р-угольным. Таким образом, все
полюсы распадаются на классы эквивалентных полюсов.
*) Здесь предполагается, что рассматриваемое точечное
множество является замкнутым.

§4]
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
397
Все полюсы одного класса имеюг один и тот же
порядок р, но два полюса одного порядка не обязательно
принадлежат к одному классу; они принадлежат одному
классу только тогда, когда группа G содержит
вращение, переводящее один из полюсов в другой.
Любой класс эквивалентных р-угольных полюсов
содержит в точности п/р полюсов, где п —порядок
группы G. Чтобы доказать это, возьмем на сфере точку Q,
сколь угодно близкую к полюсу Р, принадлежащему
данному классу, р вращений вокруг точки Р переводят
эту точку в вершины маленького правильного р-уголь-
ника. Другие вращения группы G переводят этот
р-угольник в равные ему р-угольники, расположенные
вокруг полюсов, эквивалентных Р. Но п вращений
группы G преобразуют точку Q в точности в п точек
(включая самое точку Q). Так как эти п точек распределены
по р-угольиикам, расположенным вокруг полюсов,
число полюсов должно быть равно п/р.
Группа G включает п—1 вращений, отличных от
тождественного преобразования, по р—1 вращению
вокруг каждой р-угольной оси, т. е. на каждый р-уголь-
ный полюс приходится по (р—1)/2 вращений или по
2Р
вращений, отвечающих каждому классу эквивалентных
полюсов. Следовательно,
где суммирование производится по классам
эквивалентных полюсов. Последнее равенство можно также
записать так:
»-f-20-±)-
Если п=1, т. е. если группа G состоит из одного
тождественного преобразования, то полюсов не существует
и сумма справа вообще не имеет членов. В других
случаях п>2и, следовательно,
1<2—1<2.

398 АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. 15
Отсюда следует, что число классов полюсов может быть
равно только 2 или 3; действительно, один член суммы
1 — ■— должен быть не меньше у, а сумма четырех или
большего числа членов была бы
>4(1-|)-2.
Если существует 2 класса полюсов, то
т. е.
п р{ р2
Pi ^ Р2
Но два положительных целых числа могут в сумме
давать 2 только в том случае, когда каждое из них
равно 1; таким образом,
Р1 = Р2 = Л,
каждый из двух классов полюсов состоит из одного п-
угольного полюса, и мы получаем циклическую группу
Сп с полюсами на концах единственной оси вращения.
Наконец, в случае 3 классов полюсов имеем
2_JL = i_-L+i_JL+i — -L,
п Рх ' р2 ' Ръ
откуда
15.42
Pi Р2 Рг п
1 ' 1 1
Так как справа стоит выражение, большее-^- -f- -j-f- -g = 1,
все три порядка pi не могут одновременно быть больше
2. Следовательно, по крайней мере один из них, скажем,
/7з, равен 2 и мы получаем
JLj-J—-JL.L.L
Рх "+" р2 — 2 "г п •
откуда
<A-2)(A-2) = 4(l-^fe:)<4

§4]
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ВРАЩЕНИИ
399
(ср. 10.33, стр. 229), так что все возможности (для
удобства мы полагаем р^рг) таковы:
Р\ =2, р2 = Р> п = 2р; л = 3, р2 = 3, /г = 12;
р1==3, р2 = 4, я = 24; Рх — 3, р2 = 5> /г = 60.
Мы получаем таким образом диэдрическую, тетраэдри-
ческую, октаэдрическую и икосаэдрическую группы.
Этим завершается наше доказательство того, что
(Клейн [3], стр. 129)
15.43. Все конечные группы вращений
исчерпываются следующими: циклические группы Ср (р=1, 2, ...),
диэдрические группы Dp (р = 2,
3, ...), тетраэдрическая группа Л4,
октаэдрическая группа S4 и икоса-
эдрическая группа Л5.
[Чтобы избежать повторения, мы
исключили группу Du так как,
рассматриваемая как группа
вращений, она оказывается не только
абстрактно, но и геометрически
тождественной группе С2.]
Любое тело, имеющее одну из рИс. 194.
этих группе качестве полной группы
симметрии (например, изображенный на рис. 194
усеченный куб1) Архимеда с группой симметрии S4),
может встречаться в двух противоположно
ориентированных разновидностях — правой и левой. Эти
разновидности зеркально симметричны и их нельзя совместить
непрерывным движением.
х) Вершинами усеченного куба являются 24 точки сферы,
расположенные таким образом, что наибольшее расстояние между
двумя точками максимально среди всевозможных расположений.
Это утверждение было высказано К. Шютте и Б. Л. ван дер Вар-
деном (К. S с h й 11 е, В. L. van der W а е г d е n, Mathematische An-
nalen 123, 1951, стр. 108, 123) и доказано Р. М. Робинсоном в
1959 году. Аналогичные конструкции для 6 и 12 точек приводят
к вершинам октаэдра и икосаэдра. Для восьми точек такой
фигурой будет не куб, как может показаться с первого взгляда1 а квад*
ратная антипризма (Фейеш Тот [1], стр. 251—254).

400
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 15
УПРАЖНЕНИЯ
1. Какие вращения октаэдра соответствуют следующим под*
становкам (в обозначениях рис. 191):
(abed), (abc), (ab)y (ab) (cd)7
Подсчитайте число вращений каждого типа и сравните с известным
порядком группы «S4.
2. Применим символ (рь р2, Рз) для обозначения группы,
имеющей три класса полюсов с периодами рь рг, Рз- Обобщите эти
обозначения так, чтобы имел место изоморфизм (1, р, p)^sCp,
аналогичный изоморфизмам
(2,2, p)szDpj (2, 3, 3)з* Д.
(2,3, 4)s*S4, (2, 3, 5)д*А5.
§ 5. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ДВИЖЕНИИ
Получив классификацию конечных групп вращений,
мы легко можем решить более широкую задачу
классификации всех конечных групп движений (ср. § 7 гл. 2).
Так как любая такая группа имеет хотя бы одну
неподвижную точку, то ясно, что эти группы могут состоять
только из движений с неподвижной точкой. Как
известно (7.15, 7. 41), любое собственное движение, имеющее
неподвижную точку, является вращением, а
зеркальное — вращательной симметрией.
Если конечная группа движений состоит из одних
вращений, то она представляет собой одну из групп G,
рассмотренных в § 4. Если это не так, то наша группа
включает такую группу G в качестве подгруппы
индекса 2, т. е. группа порядка 2п состоит из п вращений
Si, ..., Sn и такого же числа вращательных симметрии
Ти Т2у ..., Тп. Действительно, пусть наша группа
состоит из п вращений S{ и, скажем, m вращательных
симметрии Ту Умножив все элементы группы на Ти мы
представим п + т элементов в виде SiT\ и TjTi.
Движения S{Ti (их число равно п) являются вращательными
симметриями и, значит, совпадают с движениями Tj
(соответствующим образом переставленными), а т
вращений TjTi совпадают с вращениями Si-
Следовательно, пг — п.
Если в группу входит центральная симметрия /, п
вращательных симметрии можно представить в виде
5/ = /^ (/=1, 2, ...,/г);

§5]
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ
401
при этом группа представляет собой прямое
произведение Gx{I}y где G — подгруппа, состоящая из вращений
S, а {/} — группа порядка 2, порождаемая центральной
симметрией 1. [Как абстрактная группа {/}, конечно,
изоморфна группам С2 и /)1#]
Если / не принадлежит группе, 2п преобразований
Si и TJ образуют группу вращений порядка 2га,
которая имеет ту же таблицу умножения, что и данная
группа, состоящая из S* и Tit Действительно, если
SJj^Th, то
S,7y=7y,
и если TiTj=Sk, то
TJTjI = TtPTj = TtTj = sk.
Другими словами, группа, состоящая из п вращений
и п вращательных симметрии и не включающая /,
изоморфна группе вращений G' порядка 2/г, имеющей
подгруппу G порядка п. Чтобы закончить нашу
классификацию, нам остается только разыскать все такие пары
групп вращений. Каждая пара образует «смешанную»
группу, скажем G'Gy состоящую из всех вращений
меньшей группы G и произведений остальных вращений
группы G' на центральную симметрию /. Возвращаясь
к § 4, мы видим, что все допустимые пары таковы:
DnCn, DnDni2 (п четно), 54Л4.
Окончательные результаты собраны в
нижеследующей таблице III.
Таблица III
Конечные группы движений
1 Группы вращений
название
Циклическая
Диэдр ическая
Тетраэдрическая
Октаэдрическая
Икосаэдрическая

обозначение
с»
D„
А»

порядок
п
2/г
12
24
60
Прямые
произведения

обозначение
C„XU)
D„X{>)
s<xii)
А,Х{1)

порядок
2/2
4/2
24
48
120
«Смешанные» 1
группы

обозначение
^2п^п
Ra<k
DinDn

порядок
2/г
2/г
4л
24

402
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ, 15
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти группы симметрии следующих фигур: а) ортосхемы
O0OiO2Os (рис. 104, стр. 231), где O0Oi = O2O3; б) n-угольной
антипризмы (рассмотреть случаи четного и нечетного п).
2. Представить в обозначениях типа G'G прямое произведение
группы порядка 3, порожденной вращением вокруг вертикальной
оси, и группы порядка 2, порожденной симметрией относительно
горизонтальной плоскости.
§ 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Направление, в котором вьются раковины улитки,
является наследственной характеристикой улитки,
основанной на ее генетической структуре
подобно... виткам кишечного тракта человека... Более
глубокий анализ химического строения нашего
человеческого тела показывает, что у нас есть
винт, винт с одинаковым направлением в каждом
из нас1). Ужасным проявлением асимметрии
генотипа является болезнь обмена веществ,
называемая фенилкетонурией, приводящая к
умопомешательству и возникающая при попадании в
пищу человека небольшого количества левого
фенилаланина, в то время как его правая форма
не вызывает таких скверных результатов.
Г. В е й л ь [1], стр. 30.
Наши рассмотрения групп симметрии были
построены таким образом, что они справедливы не
только для евклидова пространства, но и для абсолютного
пространства. Теперь, однако, нам представляется инте-,
ресным упомянуть о применении этих идей в
кристаллографической практике. Разумеется, все эти рассмотрев
ния мы будем проводить в евклидовом пространстве.
Кристаллографов интересуют те конечные группы
движений, которые являются подгруппами (или
факторгруппами) групп симметрии трехмерных решеток.
Согласно § 5 гл. 4, это будут группы, которые содержат
лишь вращения, имеющие порядки 2, 3, 4, 6. Эти кри-
1) Молекула ДНК? (Хромосомы живого организма, играющие
основную роль в явлениях наследственности, представляют собой
длинные молекулы дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК),
скрученные в виде спиралей (см., например, статью Ф. Крик,
Строение вещества наследственности, в сборнике «Физика и химия
жизни», М, ИЛ, 1959, стр. 113—128).)

*6]
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
403
сталлографические ограничения сводят допустимые
группы вращений к следующим:
Ср L>2* ^3» ^М» ^6»
D29 Dz, DA, Z>6. A49 S4,
допустимые прямые произведения — к произведениям
этих одиннадцати групп на группу {/} и допустимые
смешанные группы — к группам
v*2^l» ^4^2» ^6^3» ^2^2> ^3^3» ^4рА9
£>бСе, £>4D2, DsD3, S4A4.
[Конечно, прямое произведение CtxU} совпадает с
группой {/}.]
Эти 32 группы называются кристаллографическими
точечными группами или «кристаллическими классами».
Каждый кристалл имеет одну из этих групп в качестве
группы симметрии и каждая группа, за исключением
CqCz, встречается по крайней мере в одном известном,
минерале. В более известных обозначениях Шёнфлиса
(A. Schonflies; см., например, Биркхардт [1], стр. 71)
эти группы записываются соответственно в виде
С»1» С2» Сзэ С»4> V>Q, D2, D* D*> А>. Т. О,
Q» ^2а» ^з/» CAh% Сел, D2A, D3d, DAh, D6fl, / A, 0A,
Cs, o4, C3A, C2vt CZv, C4v, C6pt D2d, DZhf Td.
Чтобы избежать недоразумений, надо отметить, что
наши группы С4С2 и54(5 — от слова «симметрическая»)
Шёнфлис обозначает 54 и О (от слова «октаэдриче-
екая»). 32 группы обычно разделяют на семь следующих
кристаллических систем:
Триклинная Clt {1\
Моноклинная С2, С2 X U)> QCi
Орторомбическая Z>2, D2X^{f}t D2C2
Ромбическая С3, С3Х{/}> D*> DsXin, D3CZ
Тетрагональная С4, С4Х{'}. С*С2* £>4. £>аХУ)* ^4С4, D4D2
Гексагональная Сб, CeX|/, С6С8, D6, £>бХнЬ ^e^e» £>*&*
Кубическая Ait А, X {/}, S4, s* X W» s^4
Таблица I (на стр. 86) содержит полный перечень
17 дискретных групп движений плоскости, включающих
два независимых параллельных переноса.
Аналогичными группами в трехмерном случае будут дискретные
группы, содержащие три независимых параллельных пе-

404
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 15
реноса. Классификация таких пространственных групп
является центральной задачей математической
кристаллографии. Полный список содержит 65+165 = 230 групп*
Первые 65 групп состоят только из собственных
движений. Хотя их классификация была получена не
позднее 1869 года К. Жорданом (С. Jordan; см.
Хилтон [1], стр. 258), ее обычно приписывают Л. Зонке
(L. Sohncke), который в 1879 году применил эту
классификацию к кристаллографии. Самая простая группа
состоит из одних переносов. Остальные 64 и 65 групп
содержат также вращения и винтовые перемещения;
среди них существует 11 противоположно ориентирован-*
ных пар групп, каждая из которых является
«зеркальным образом» другой (т. е. одна группа содержит
правые винтовые движения, а другая — левые). Этим
объясняется явление оптической активности (С а й е р с и
Юктес [1], стр. 238—241, 248—252). С точки зрения
чистой геометрии и чистой теории групп было бы
весьма естественным не обращать внимание на это
различие ориентации и таким образом уменьшить число
групп собственных движений до 54, а общее число
групп — до 219 (Буркхардт [1], стр. 161).
Остальные 165 групп содержат не только
собственные, но и зеркальные движения: симметрии
относительно плоскости или точки, вращательные симметрии и
скользящие симметрии. Полная классификация этих
групп, которую дали Федоров в России (1890), Шён-
флис в Германии (1891) и Барлоу (W. Barlow) в
Англии (1894), представляет собой один из самых
поразительных примеров открытия, сделанного независимо в
различных местах и с использованием различных
методов. Федоров, который получил число 230 как 73 + 54 +
+ 103, вместо 65+165, возможно, не знал о
предварительных работах Жордана и Зонке, и несомненно, что
Шёнфлис ничего не знал о работе Федорова, а
Барлоу— о них обоих.
УПРАЖНЕНИЕ
Определить группы симметрии следующих фигур: а)
прямоугольного параллелепипеда (например, кирпича), б) ромбоэдра,
в) правильного додекаэдра с вписанным кубом (8 вершин которого
лежат в вершинах додекаэдра}.

§7]
ТРЕХМЕРНЫЙ КАЛЕЙДОСКОП
405
§ 7. ТРЕХМЕРНЫЙ КАЛЕЙДОСКОП
В соединении трех отражений... весьма приятный
результат.
Сэр Дэвид Б р ю с т е р (178Г—1848) [1], стрг 93.
Таблица III (на стр. 401) содержит полный
перечень конечных групп движений. В предыдущем
параграфе мы выделили из них те группы, которые
удовлетворяют кристаллографическим ограничениям. Другой
важный класс (частично перекрывающийся с предыдущим)
составляет группы, порождаемые симметриями
относительно плоскостей, а именно,
AAj(#>1), D2nDn (п нечетно) Dn X {/} (п четно)
S4A4, 54Х{/}, Л5Х(/).
[Мы вновь возвращаемся в область абсолютной
геометрии!]
Группа DiCi (Cs по Шёнфлису и С2СХ в наших
первоначальных обозначениях) представляет собой группу
порядка 2, порождаемую единственной симметрией.
Группа D2C2 или D2Di (C2v по Шёнфлису) —это группа
порядка 4, порождаемая двумя симметриями
относительно взаимно перпендикулярных плоскостей.
Остальные группы DnCn — это просто группы симметрии я-
угольных пирамид. Другими словами/это просто
по-новому обозначенные группы Dn § 7 гл. 2. [Теперь мы
обозначаем символом Dn диэдрическую группу вращений,
которая, конечно, изоморфна группе DnCn- В ей ль ([1],
стр. 80) отличает эти группы от плоской диэдрической
группы, обозначая группу вращений Drn> а смешанную
группу — D'nCn.]
Группа D2X{I} (абстрактно С2ХС2ХС2) имеет
порядок 8 и порождается тремя симметриями относительно
попарно перпендикулярных плоскостей. Остальные
группы D2nDn (п нечетно) и DnX{I) (п четно) представляют
собой группы симметрии я-угольных призм и взаимных
им бипирамид.
5И4— это группа симметрии правильного
тетраэдра, которая получается из группы вращений Л4 доба-

406
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 15
влением симметрии относительно плоскостей, например,
симметрии относительно плоскости АВА'В\ проходящей
через ребро АВ тетраэдра и середину противоположного
ребра CD (ср. с рис. 105, стр. 234). [Произведение
этой симметрии и центральной симметрии приводит к
симметрии относительно прямой, соединяющей
середины противоположных ребер куба CD\ CD. Эта осевая
симметрия, меняющая местами двойственные тетраэдры
A BCD и A'B'C'D', является одним из двенадцати
вращений группы S4, которые не принадлежат группе Л4,
что служит иллюстрацией особого смысла «смешанного»
символа S4A4.] Так как остальные Платоновы тела
центрально симметричны, их группами симметрии являются
группы 54Х{/} и Л5Х{/}.
Выясним, как можно практически продемонстрировать эти
группы в евклидовом пространстве. Если поставить два
вертикальных зеркала под углом друг к другу, мы получим «модель*
группы DnCn. Добавив к этим зеркалам горизонтальное зеркало,
мы продемонстрируем группу симметрии л-гранной призмы, т. е.
прямое произведение группы DnCn и группы порядка 2,
порождаемой симметрией относительно горизонтальной плоскости. Для того
чтобы продемонстрировать остальные три группы, сначала ,уберем
третье зеркало и поставим первые два вертикально на стол под
углом в 60°, как при демонстрации группы D$Cz. Затем установим
третье зеркало наклонно таким образом, чтобы его горизонтальное
ребро / было перпендикулярно к одному из первых зеркал и
заканчивалось в переднем нижнем углу второго зеркала. Будем
постепенно вращать третье зеркало вокруг ребра /, начиная от почти?
горизонтального положения. В некоторый момент мы увидим две
грани правильного тетраэдра {3, 3}» причем каждая грань будет
разбита на шесть прямоугольных треугольников, один из которых
будет в действительности частью крышки стола. Через некоторое-
время мы увидим три грани октаэдра {3, 4}, а затем четыре грани
икосаэдра {3, 5}. Наконец, когда третье зеркало станет
вертикальным, мы теоретически должны будем увидеть бесконечное
множество граней правильной мозаики {3, 6}, которые будут разбиты
наподобие рис. 53, стр. 104. Описанное устройство, в котором
используются прямоугольные зеркала, является упрощенным вариантом
трехгранного калейдоскопа Мёбиуса, в котором три зеркала имели
формы определенным образом подобранных круговых секторов
(Ко к стер [1], стр. 83).
Если спроектировать Е ребер правильного
многогранника {/?, q) из центра на концентрическую сферу,
они перейдут в Е дуг больших кругов, которые разобьют

*7]
ТРЕХМЕРНЫЙ КАЛЕЙДОСКОП
407
поверхность сферы на F областей, «сферических
^-угольников». Таким образом, многогранники порождают
«сферические мозаики», аналогичные плоским мозаикам,
которые были рассмотрены в § 6 гл. 4. Группа
симметрии правильного многогранника {р, q) образуется из
группы симметрии грани добавлением симметрии
относительно сторон этой грани. Таким образом, ее
порождают симметрии относительно трех сторон
сферического треугольника с углами nip (при центре грани),
я/2 (при середине
ребра) и n/q (при
вершине). Этот сферический
треугольник является
фундаментальной
областью группы, так как
три образующие
симметрии переводят его
в соседние области.
Все плоскости
симметрии многогранника,
а именно, плоскости,
соединяющие середины
противоположных
ребер многогранника
{р, q] и взаимного
многогранника {q, р), раз- Рис. 195.
бивают сферу на сеть
таких треугольников, заполняющую всю поверхность
сферы. На рис. 195 (где р и q приняты равными 3 и 5)
области поочередно закрашены черным и белым
цветом, так что мы видим и группу Л5Х{/}, которая пере
водит любой треугольник во все остальные, и подгруппу
вращений Л5, которая переводит треугольник только в
треугольники того же цвета.
Вместо того чтобы получать сеть сферических
треугольников из правильного многогранника, мы можем
получить многогранник из соответствующей сети.
Десять треугольников в центре рис. 195, очевидно,
образуют грань «раздутого» додекаэдра, а шесть
треугольников, окружающих вершину, углы при которой равны 60°,
образуют грань «раздутого» икосаэдра.

408
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 15
УПРАЖНЕНИЯ
1. Интерпретируйте символ {pt 2} так, чтобы он обозначал
сферическую мозаику (двугранник), гранями которой являются две
полусферы, а символ {2, р) — двойственную мозаику, областями ко*
торой будут р сферических луночек.
2. Сколько плоскостей симметрии имеет каждое из Платоновых
тел? Оказывается, что при условии, что р и q больше двух, это
число всегда делится на 3, а именно, оно равно Зс в обозначениях
упр. 1 в конце § 4 гл. 10.
3. Разделив 4л на площадь фундаментальной области, мы
получим порядок группы симметрии многогранника {/?, q). Как эта
формула связана с формулой 10.32 для Е (числа ребер
правильного многогранника)?
§ 8. ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНВЕРСИЯМИ
В этом параграфе мы еще раз вернемся в евклидово
пространство, чтобы рассмотреть наряду с движениями
также и инверсии. [Построение теории инверсий в
рамках абсолютной геометрии наталкивается на трудности,
которые завели бы нас слишком далеко; см. Соммер-
виль [1], гл. VIII; (Яглом [2], задача 300).]
На рис. 195, являющемся ортогональной проекцией
пространственной фигуры, 10 из 15 больших
окружностей сферы изображаются эллипсами. [Весьма сложная
работа по вычерчиванию этой фигуры была выполнена
Дж. Ф. Петри (J. F. Petrie) около 1932 года.]
Значительно легче, а возможно и важнее (так как при этом
сохраняются некоторые существенные свойства),
представлять подобные фигуры в стереографической
проекции (см. § 9 гл. 6), в которой большие окружности
остаются окружностями (или прямыми) (Бернсайд
[1], стр. 406—407; (Яглом [2], § 3, гл. 1>). Читатель
может сам провести такое построение, пользуясь
следующими несложными правилами.
На рис. 196 изображен квадрат PQRS с центром О и
правильный пятиугольник VWXYZ с продолженными
сторонами, которые, пересекаясь, образуют пятиконечную
звезду V'X'Z'WY'. Построим окружности с центрами в
точках Р, Q, /?, S и радиусами, равными PQ. Эти
окружности и две прямые, проходящие через точку О
параллельно сторонам квадрата, являются образами шести
больших окружностей, лежащих в шести плоскостях

§ 8] ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ. ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНВЕРСИЯМИ 409
симметрии тетраэдра {3,3}, т. е. в плоскостях,
проходящих через пары противоположных ребер куба. Добавив к
ним окружность, описанную около квадрата, и диагонали
квадрата, мы получим изображения уже 9 больших
окружностей, лежащих в 9 плоскостях симметрии куба
{4, 3}, последние 3 из которых параллельны граням куба.
Рис 196.
Построим теперь пять окружностей с центрами в
точках V, Wy Ху У, Z и радиусами, равными VX', и пять
окружностей с центрами в точках V\ W, Х'7 У, Z' и
радиусами, равными VW. Эти 10 окружностей и прямые
W\ WW\ XX', YY' и ZZ' являются изображениями
15 больших окружностей (ср. с рис. 195), лежащих в
15 плоскостях симметрии икосаэдра {3,5} или
додекаэдра {5,3} (эти плоскости проходят через пары
противоположных ребер каждого многогранника).
Чтобы проверить это утверждение, мы рассмотрим
криволинейные треугольники]) и обнаружим, что
каждый из них имеет углы я/р, nlq, я/2.
Так как стереографическая проекция представляет
собой инверсию (см. рис. 79, стр. 146) и так как
инверсия преобразует осевую симметрию в инверсию, по«
строенные таким образом фигуры представляют
абстрактные группы S4, S4XC2 и Л5хС2 в виде групп,
порождаемых инверсиями. Точнее, эти фигуры представляют
1) О результатах проектирования в различных направлениях
см.: Н. S. М. Coxeter, American Mathematical Monthly 45, 1938,
стр. 523—-525, рис. 4 и 5.

416
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1ГЛ. 15
собой такие конфигурации из окружностей, что вся
фигура переходит в себя при каждой инверсии, для
которой окружность инверсии совпадает с какой-либо из
этих окружностей. [Конечно, любую прямую можно
рассматривать как окружность бескнечного радиуса;
инверсия, для которой окружностью инверсии является
такая «окружность», как мы уже отмечали в § 4 гл. 6, —
это просто симметрия относительно прямой.] Любая из
областей, на которые наша конфигурация разбивает
плоскость, может служить фундаментальной областью,
а в качестве образующих преобразований группы
можно взять инверсии, задаваемые окружностями,
являющимися сторонами этой области.
Если группа порождается одной инверсией, мы
можем с помощью некоторой инверсии перевести
окружность в прямую и получить таким образом группу Dt
порядка 2, порождаемую одной симметрией (§ 5 гл. 2).
Группы, порождаемые двумя инверсиями, для которых
180°
окружности инверсии пересекаются под углом -£—•
изоморфны группам Dn порядка 2л, порождаемым симме-
триями относительно двух пересекающихся прямых (§7
гл. 2). Если окружности двух инверсий, порождающих
группу, касаются, то существует инверсия, переводящая
их в пару» параллельных прямых, и мы получаем
предельный случай Doo (см. рис. 37, стр. 82). Две
непересекающиеся окружности можно с помощью инверсии
перевести в концентрические окружности. Инверсии,
задаваемые этими окружностями, порождают бесконечную
последовательность концентрических окружностей,
радиусы которых образуют геометрическую прогрессию*
Получаемая группа абстрактно изоморфна той же
группе £>оо, но центр будет являться предельной точкой (см.
§ 6 гл. 7). Предельной точкой будет и точка касания в
случае группы, порождаемой инверсиями, задаваемыми
касающимися окружностями. Группа называется
дискретной, если она не имеет предельных точек, или,
точнее, если множество, состоящее из образов
произвольной точки при всех преобразованиях группы, не имеет
предельных точек. Таким образом, при описании
дискретных групп, порождаемых инверсиями, мы можем

$8]. ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНВЕРСИЯМИ 411
считать, что любые две окружности инверсии
пересекаются.
Фундаментальной областью дискретной группы,
порождаемой тремя инверсиями, является криволинейный
треугольник, углы которого являются частными от
деления я на целые числа: п/ри я//?2, я//?з. Так, если угол
между радиусами окружности равен я/р, то сектор,
образованный этими радиусами и дугой окружности, является
фундаментальной областью группы DpXDi порядка 4р,
порождаемой симметриями относительно радиусов, и
инверсией, задаваемой нашей окружностью. В этом случае
15.81
Pi Г Р2 Г Pb ^
(так как Pi=p, Р2=Рз=2), так что сумма углов
треугольника больше я; это является очевидным
следствием того факта, что сектор получается из сферического
треугольника (см. § 9 гл. 6) с помощью
стереографической проекции, которая сохраняет углы. Каждому
решению неравенства 15.81 соответствует сферический
треугольник, образованный дугами больших кругов.
Таким путем мы вновь получим группы симметрии плато-
новых тел
Если
-l+_L+JLei.
Pi Pi Х Ръ
т. е. сумма углов треугольника в точности равна я, мы
получим бесконечные «евклидовы» группы рбт, р4т,
р31т (см. таблицу I на стр. 86 и рис. 53—54, стр. 104).
Мы могли бы перевести все прямые в окружности с
помощью произвольной инверсии, но так как узоры,
соответствующие этим группам, не ограничены, то центр
инверсии был бы предельной точкой.
Если
Р\ х Рг ' Ръ
т. е. сумма углов фундаментальной области меньше я,

412
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 15
мы по-прежнему можем брать в качестве двух ее сторон
прямые, но теперь точка пересечения этих прямых
лежит вне окружности q, которой принадлежит третья
сторона. Из этого следует, что существует окружность Q,
ортогональная ко всем трем сторонам треугольника
(рис. 197); радиусами этой окружности будут
касательные, проведенные из точки А к окружности q.
Так как окружность Q является неподвижной
окружностью для каждой из порождающих инверсий, то она
является неподвижной
окружностью и для всех
преобразований группы. Окружность q
делит внутренность
окружности Q на две неравные части,
которые переходят друг в
друга при симметрии
относительно окружности q (т. е. при
инверсии); следовательно,
число треугольников в обеих
областях одинаково. Но
большая область содержит точную
рис jgy копию меньшей*). Поэтому,
следуя данному Больцано
определению бесконечного множества (бесконечным
множеством называется множество, которое можно
поставить во взаимно однозначное соответствие с некоторым
его собственным подмножеством), мы заключаем, что
число треугольников бесконечно, т. е. что группа
бесконечна.
Случай, когда ри /?2, Рз равны соответственно 6, 4, 2,
изображен на рис. 198. В отличие от рис. 195, он не
является изображением пространственной фигуры.
Благодаря наличию у нас пространственных представлений
нам не кажется странным, что все треугольники,
изображенные на рис. 195, имеют одинаковую величину,
хотя периферийные треугольники представляются мень-
*) При четном р\ эта копия получается отражением от
точки Л, при нечетном рх — симметрией относительно внешней бис-
п
сектрисы угла —.

$8] ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНВЕРСИЯМИ 413
шими вследствие перспективных сокращений. В случае
рис. 198 меньшие периферийные треугольники имеют ту
же форму, что и треугольники, находящиеся в центре,
так как они имеют одинаковые углы, но теперь нам
довольно трудно представить, что в некотором смысле все
треугольники имеют одинаковую величину. Уяснив себе
это, мы сделаем первый шаг к пониманию
гиперболической геометрии, которая
будет рассмотрена в
следующей главе.
Читатель может
удивиться тому, что мы
рассматриваем такую группу,
несмотря на то, что
предельные точки этой
группы заполняют окружность
Q, т. е. при евклидовом
определении расстояния
эта группа не будет
дискретной. Однако если мы
станем на неевклидову
точку зрения и будем рас- рис \^
сматривать окружности
и инверсии как прямые и осевые симметрии, то в
смысле принятого в неевклидовой геометрии определения
расстояний окружность Q окажется бесконечно
удаленной, так что предельные точки исчезнут.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если система концентрических окружностей переходит в себя
при инверсии, задаваемой любой из этих окружностей, то радиусы
окружностей образуют геометрическую прогрессию.
2. Если три окружности образуют «треугольник» с углами
—» —, —> то инверсии /?ь /?2, Яз, задаваемые его сторонами,
Pi Р2 Рг
удовлетворяют соотношениям
я? = #2 = *з = (W = (W* = (Wip = 1.
Эти соотношения полностью определяют абстрактную группу,
порождаемую инверсиями Ru R2, R3 (К о к стер и Мозер [1],
стр. 37—55).

414
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. \Ъ
& Дан угол — при центре Л единичной окружности Q, как
показано на рис. 197. Найти выражения (через pi и р2> для
радиуса окружности q и для расстояния от точки А до центра этой
окружности в случае, когда рз=2.
4. Произведем инверсию рис. 198, приняв, что центр
окружности инверсии лежит ня окружности &, т. е. заменим
окружность Q прямой таким образом, что центры всех преобразованных
окружностей будут лежать на этой прямой. [Такое расположение
дает другой способ доказательства бесконечности группы.
Действительно, если бы ее порядок был равен g, бесконечная полуплоскость
была бы покрыта g криволинейными треугольниками, каждый из
которых имеет конечную площадь!]
5. На рис. 198 два маленьких треугольника (белый и черный)
с общей гипотенузой образуют криволинейный четырехугольник,
имеющий три прямых угла и один угол 60°. Скопируйте часть
чертежа так, чтобы получить сеть таких четырехугольников,
закрашенных поочередно в черный и белый цвет.
Мы получили пример группы, порождаемой четырьмя
инверсиями. Существует ли дискретная группа, порождаемая более чем
четырьмя инверсиями (точнее, группа, порождаемая инверсиями, но
не порождаемая четырьмя инверсиями) ?

ГЛАВА 16
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Абсолютная геометрия неоднозначна*): она
заключает в себе две геометрии. Говоря точнее, вопрос о
существовании расходящихся (сверхпараллельных)
прямых (см. конец § 2 гл. 15) не допускает однозначного
ответа в рамках абсолютной геометрии. В § 1 мы
сравним два разных ответа на этот вопрос, считая
положительный ответ в такой же степени допустимым, как и
отрицательный. В § 2 мы докажем относительную
непротиворечивость геометрии, в которой существуют
расходящиеся прямые. И затем, уже не сомневаясь в
законности наших построений, мы углубимся в «новую
вселенную», которую Бойяи «создал из ничего».
§ 1. ЕВКЛИДОВА И ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ
АКСИОМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
Автор совершенно искренне убежден (и он
надеется, что это его убеждение разделит любой
мыслящий читатель), что благодаря выяснению
этого вопроса был сделан один из самых
важных и блестящих шагов к победе знания,
совершенствованию нашего разума и, следовательно,
к возвеличению человека.
Я- Бойяи (1802—1850); Карслоу Ц], стр. 31.
В § 6 гл. 12 мы упомянули о возможности двух
ответов на вопрос о том, будут ли коллинеарны лучи,
выходящие из точки А и параллельные прямой г. Так как
*) Или, как у нас чаще говорят, не полна. [Аксиоматическая
система называется полной, если в рамках этой системы каждая
теорема является либо верной, либо неверной; в абсолютной же
геометрии вопрос о правильности или ложности теоремы «суще*
ствуют расходящиеся прямые» вообще не может быть решен.]

416
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 16
с помощью подходящего движения можно перевести
прямую в любую другую прямую, ясно, что ответ на
этот вопрос не зависит от расположения прямой г.
Несколько менее очевидно то, что при
фиксированном положении прямой г ответ не зависит и от
расположения точки Л. Пусть это не так. Тогда лучи,
выходящие из некоторой точки А и параллельные прямой /\
принадлежат одной прямой qt а такие лучи, выходящие
из некоторой другой точ-
^^^__^^>т---____^^ ки Л', не принадлежат од-
А """"" ной прямой, как это по-
казано на рис. 199. Так
как свойство параллельно-
й сти транзитивно, эти
последние лучи параллель-
ны также прямой qt а так-
г же бесконечному множе-
Рис. 199. ству прямых, которые
получаются из прямых qwr
применением группы D*,, порождаемой симметриями
относительно q и г (рис. 37, стр. 82). Среди этих
прямых имеются прямые, лежащие с противоположной
стороны от лучей (т. е. такие прямые, что точка Л' лежит
между такой прямой и прямой г). [Строго говоря,
существование подобных прямых следует из так называемой
аксиомы Архимеда, вытекающей из 12.51.] (Применяя
определение параллельности и теорему 12.52, нетрудно
доказать, что существует прямая, проходящая через
точку А' и пересекающая полученную прямую в двух
точках, что противоречит 12.2511.)
Таким образом, лучи, параллельные прямой г, либо
всегда коллинеарны, либо всегда неколлинеарны. Этим
случаям соответствуют две самостоятельные геометрии.
Их называют соответственно евклидовой и
гиперболической геометриями; они отличаются от абсолютной
геометрии принятием одной из двух следующих
альтернативных аксиом:
Евклидова аксиома. Существуют прямая г и
не принадлежащая ей точка А такие, что в плоскости
Аг через точку А проходит не больше чем одна прямая,
не пересекающая прямую г.

I 2] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 417
Гиперболическая аксиома. Существуют
прямая г и не принадлежащая ей точка А такие, что в
плоскости Аг через точку А проходит больше чем одна
прямая, не пересекающая прямую г.
УПРАЖНЕНИЕ
Каждая из этих аксиом влечет за собой более сильное
утверждение, в котором слово «существуют» заменено словами «каковы
бы не были» и опущены слова «такие, что». Усиленная таким
образом евклидова аксиома эквивалентна знаменитому V постулату
(наше предложение 1.25). Каким предложением заменится V
постулат в гиперболической геометрии?
§ 2. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Как же теперь отнесемся мы, после всего сказан-
ново, к вопросу: истинна ли евклидова
геометрия? Вопрос этот является бессмысленным.
С равным успехом можно было бы задать во-
прос...: верны ли декартовские координаты и
ложны ли полярные? Одна геометрическая
система не может быть вернее другой; она может
быть лишь более удобной.
А.Пуанкаре (1854—1912),
Наука и гипотеза, СПб, 1906, стр. 58.
Евклидова и гиперболическая аксиомы
параллельности отличаются друг от друга только одним словом:
роковой частицей «не». Бессмысленно спрашивать, какая
из этих двух геометрий верна, и практически
невозможно решить, какая из них более удобна для описания
того реального пространства, с которым имеют дело
астрономы. С точки зрения чистой математики гораздо
большее значение имеет вопрос о том, будут ли эти
аксиомы непротиворечивы по отношению к остальным
аксиомам абсолютной геометрии. Даже на этот вопрос
ответить очень трудно. Как показал философ Гёдель, не
существует внутреннего доказательства
непротиворечивости систем, содержащих бесконечные множества. Мы
удовлетворимся относительной непротиворечивостью, т. е.
докажем, что из непротиворечивости евклидовой
геометрии следует непротиворечивость гиперболической
геометрии и наоборот. Относительная непротиворечивость
устанавливается с помощью построения в каждой из
геометрий модели другой геометрии.

418
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
(ГЛ. 1С
Об одной евклидовой модели гиперболической
плоскости (принадлежащей Пуанкаре) мы уже упоминали
в § 8 гл. 15. В этой модели точка гиперболической
плоскости представляется парой точек, получаемых одна из
другой инверсией относительно окружности Q
(рис. 200)*), а прямая — окружностью, ортогональной
к окружности Й. Две прямые, проходящие через точку
А и параллельные прямой г, — это просто две
окружности, проходящие через А и касающиеся г в точках
пересечения г с Й. [Эти точки являются «концами»
прямой г.] Эта модель называется конформной, так как
гиперболические углы сохраняют свои значения, в то
время как расстояния искажаются.
Рис. 200. Рис. 201.
В другой евклидовой модели, предложенной Бель*
трами (Е. Beltrami, 1835—1900), точки гиперболической
плоскости изображаются точками, лежащими внутри
некоторой окружности о, а прямые — хордами этой
окружности (рис. 201). Две прямые, проходящие через точку Л
и параллельные прямой г — это хорды, соединяющие
точки А с концами хорды г. [Хорды, лежащие на
прямых, пересекающихся вне окружности, изображают
расходящиеся прямые.] Эту модель называют проективной,
•) С некоторой точки зрения оказывается удобным различать
между собой две точки, отмеченные на рис. 200 одной и той же
буквой А. По этому поводу см. И. М. Яглом [2], стр. 602—603,
или § 11 книги того же автора, указанной в подстрочном
примечании на стр. 204

§ 2] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 419
так как прямые гиперболической плоскости
изображаются на ней прямыми. Мы ничего не потеряем, если
заменим окружность евклидовой плоскости коническим
сечением проективной плоскости*). На самом деле мы
много выиграем; благодаря этому можно расширить
гиперболическую плоскость до проективной плоскости с
помощью понятий, определяемых в
рамках'гиперболической геометрии (К о к стер [3], стр. 196). На этом
пути можно доказать, что гиперболическая геометрия
однозначна или полна (Борсук и Ш мел ев[1], стр.345),
в отличие от абсолютной геометрии, которая включает
две взаимно исключающие возможности.
Рассматривая модели, лучше иметь их две, чем одну,
так как это устраняет соблазн придавать какой-нибудь
из них чрезмерное значение. Наши геометрические
рассуждения опираются только на аксиомы. Модели,
которые служат для установления относительной
непротиворечивости (Пидо [1], стр. 61; Соммервиль [1],
стр. 154—159), сами по себе не более существенны, чем
диаграммы.
Клейн ([4], стр. 322), установил связь между
проективной и конформной моделями с помощью
построения, показанного на рис. 202. Сфера, имеющая тот же
радиус, что и окружность ю, касается (горизонтальной)
плоскости в точке 5, общем центре окружностей © и й.
Спроектируем ортогонально проективную модель на
сферу, так что окружность со перейдет в «экватор» сферы
г], а каждая внутренняя точка круга перейдет в две
точки: одну на южной полусфере, а другую (не
показанную на чертеже) на северной полусфере. Каждая хорда
окружности о перейдет в окружность на сфере,
лежащую в вертикальной плоскости. Затем с помощью
стереографической проекции с центром в точке N
спроектируем сферу обратно на плоскость. При этом экватор
г| перейдет в больший круг Q с центром в точке S. Так
как при стереографической проекции сохраняются углы
*) Этот вариант модели Бельтрами был независимо от Бель-
трами (но несколько позже) предложен Ф. Клейном, почему
рассматриваемую здесь модель гиперболической плоскости часто
называют «моделью Бельтрами — Клейна» (или даже просто «моделью
Клейна»).

420
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 16
и окружности переходят в окружности, вертикальные
окружности на сфере перейдут в горизонтальные
окружности, ортогональные к окружности Q, т. е. мы получим
конформную модель гиперболической плоскости.
Вместо стереографической проекции на плоскость,
касающуюся сферы в «южном полюсе» 5 (т. е.
инверсии со сферой инверсии радиуса MS), можно применить
Рис. 202.
стереографическую проекцию (с тем же центром N) на
экваториальную плоскость (т. е. инверсию со сферой
инверсии с центром N, проходящей через т]), так что
окружности со и Q совпадут с экватором г\ (Кокстер
[3], стр. 260). Как видно, проективная и конформная
модели почти совпадают в непосредственной окрестности
точки 5. Это должно было казаться Клейну более
важным, чем то, что они совпадают «в бесконечности».
Необходимо иметь в виду, что обе модели могут
породить одно заблуждение: может создаться иллюзия,
что центр S играет какую-то особую роль, в то время
как все точки «абстрактной» гиперболической плоскости
равноправны.
Для полноты упомянем еще о том, как обитатели
гиперболической вселенной могли бы представить себе
евклидову плоскость. Один из способов (Кокстер
[3], стр. 197—198) состоит в следующем: точки и прямые
евклидовой плоскости представляются прямыми и пло-

§3]
УГОЛ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
421
скостями, параллельными данному лучу в
гиперболическом пространстве*).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Симметриям относительно прямых в гиперболической *плоско-
сти соответствуют в конформной модели инверсии, а в проективной
модели — гармонические гомологии. Что соответствует этим
преобразованиям на сфере Клейна?
2. Окружностям на гиперболической плоскости соответствуют
в конформной модели окружности, не пересекающие окружность Q,
и, следовательно, окружности на сфере Клейна (скажем, на южной
полусфере) и эллипсы на проективной модели.
§ 3. УГОЛ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
Он не исчезнет, будет он
Лишь в дивной форме воплощен.
У. Шекспир (1364—1616),
Буря, акт I, сцена 2, Сочинения, М„ 1960, т. 8, стр. 140.
Вплоть до конца этой главы все наши рассмотрения
будут происходить в гиперболической плоскости, т. е.
мы примем гиперболическую аксиому о параллельных,
из которой следует, что
через любую точку Л, не ^-~<с>^^
лежащую на данной пря- ^^-^^^ I ^^^-^^^
мой г, можно провести N I #
две прямые, параллель- ^Р ;; -
ные г, образующие угол
NAM, как показано на Р"с 203.
рис. 203. Опустим из
точки А перпендикуляр АВ на прямую г. Из симметричности
нашего чертежа относительно прямой АВ вытекает, что
ZBAM^ZNAB, причем ZBAM<90°. Следуя
Лобачевскому, мы будем называть каждый из этих углов углом
параллельности, соответствующим данному
расстоянию АВ, и обозначать /.ВАМ^П(АВ).
*) Эта модель тесно связана с той, которой посвящен § 8:
достаточно рассмотреть орисферу пространства Лобачевского,
«центром» которой служит «конец» луча; при этом прямые и
плоскости, параллельные лучу, будут высекать на орисфере точки и
орициклы. По поводу модели евклидовой плоскости на
гиперболической плоскости см., например, Я. С. Дубнов, Модель
евклидовой геометрии на гиперболической плоскости, сборник
«Математическое просвещение», вып. 6, 1961, стр. 181—190.

422
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 16
Для того чтобы доказать, что этот угол является
монотонной функцией от расстояния, нам нужно
установить несколько дополнительных свойств
асимптотических треугольников. При доказательстве предложения
15.26 мы обнаружили, что если секущая прямая (прямая
AD на рис. 189) пересекает две прямые таким образом,
что накрест лежащие углы равны, то эти прямые —
расходящиеся. Следовательно (Карел о у [1], стр. 48),
16.31. В асимптотическом треугольнике EFM внешний
угол при точке Е {или F) больше, чем внутренний угол
при точке F (или Е).
Пусть S — звезда, а £ и Т7 — положение Земли в
некоторый момент времени и шесть месяцев спустя.
Параллаксом звезды называют разность между внешним
углом при точке Е (или F) и внутренним углом при
точке F (или Е) в треугольнике EFS. Если бы
астрономическое пространство было гиперболическим, то, как
заметил Лобачевский, параллаксы всех звезд имели бы
положительную нижнюю грань: из предложения 16.31
следует, что должен существовать некоторый малый
фиксированный угол, меньший параллакса любой звезды.
Из предложения 16.31 следует также, что сумма
углов асимптотического треугольника меньше я. Этот
факт позволит нам доказать следующую теорему, в
некотором смысле обратную теореме 15.25.
16.32. Если два асимптотических треугольника АЕМ
и A'E'M' таковы, что А=А' и Е=Е', то АЕ^А'Е' (т. е.
асимптотический треугольник определяется двумя
своими положительными углами).
А
Рис 204.
Доказательство (Карслоу [1], стр. 50). Если
отрезки АЕ и А'Е' не равны, один из них должен быть
больше другого: пусть А'Е'>АЕ, как показано на

$3]
УГОЛ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
423
рис. 204. Выберем на луче Е/А такую точку F, что
AF=A/E\ и проведем FM параллельно AM. Из 16.31 и
15.25 следует ZMEA>ZMFA=ZM'E'A'=ZMEA.
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Эти результаты позволяют установить существование
общей параллельной к двум данным лучам,
образующим угол NOM, т. е. прямой MN, которая в одном
направлении параллельна лучу ОМ, а в другом—лучуОЛЛ
Отложим на лучах ОМ, ON равные отрезки ОА, ОА\
как показано на рис. 205. Проведем А'М параллельно
L
Рис. 205.
ОМ и AN параллельно ON. Разделим углы NAM и
NAfM пополам прямыми а и а'. Мы докажем сейчас, что
эти прямые расходящиеся и что искомая общая
параллель MN представляет собой общий перпендикуляр к
этим прямым.
Пусть прямая А'М пересекает прямую AN в точке
С, а прямую а —в точке £. Так как вся фигура
симметрична относительно прямой ОС, то углы при точке А
равны углам при точке А'.
Предположим, что прямые а' и а имеют общую точку
L, которая, конечно, равноудалена от точек А и А'.
Применяя теорему 15.25 к равным асимптотическим
треугольникам ALM и A'LM, получим противоречие:
ZMLA = ZMLA'.
Пусть теперь прямые а к а' параллельны, т. е. имеют
общий «конец» L. Применив 16.32 к асимптотическим
треугольникам АЕМ и A'EL, получим, что АЕ—А'Е,
откуда следует, что точки Е и С должны совпадать, что
также представляет собой противоречие.

424
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 16
Таким образом, прямые ana' сверхпараллельны.
Согласно теореме 15.26, они иадеют общий
перпендикуляр EF'. Применяя теорему 15.25 к равным
асимптотическим треугольникам AFM и A'F'M, получим
/_MFA = LMF'A'.
Если бы прямая FF' не была параллельна лучу ОМ,
то мы получили бы асимптотический треугольник FF'M,
сумма углов которого равна я, что противоречит
предложению 16.31. Следовательно, луч F F параллелен
прямой ОМ и аналогично луч FF' — прямой ON, т. е.
прямая FF' является искомой общей параллельной к двум
данным лучам.
Больше того, общая параллельная — единственная,
так как две такие параллельные должны быть
параллельны друг другу с обеих сторон, что противоречит
основным свойствам параллельности в гиперболической
геометрии (рис. 199). Из этого следует, что
16.33. Любые две расходящиеся (сверхпараллельные)
прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
Действительно, по данным прямым ana' можно
восстановить рис. 205 следующим образом: проведем
произвольный общий перпендикуляр FF'y возьмем точку О на
перпендикуляре, восставленном к отрезку FFf в его
середине, и положим, что одна из прямых, проходящая
через О и параллельная FF', пересекает а в точке Л,
а другая пересекает а' в точке А'.
Для краткости мы опускаем доказательство
существования прямой, проходящей через данную точку и
параллельной данному лучу. Явное построение этой
прямой «циркулем и линейкой» было дано Бойяи и
Гильбертом (см. Кокстеф [3], стр. 191; (ср. Каган [1],
стр.402)). Гильберт, по-видимому, не обратил внимание
на то, что его построение общей параллельной к прямым
AM и A'N справедливо и тогда, когда прямые
пересекаются в точке, не равноудаленной от точек Л и /Г, и
даже тогда, когда эти прямые вообще не пересекаются.
Итак (Карслоу [1], стр. 76):
16.34. Любые два непараллельных луча имеют
единственную общую параллельную%

§3]
УГОЛ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
425
Этот результат обосновывает использование концов
на подобие обычных точек: любые два конца М и N
определяют единственную прямую MN.
Прямая, проходящая через точку А и параллельная
прямой ВМ, определяет угол параллельности П(АВ)
(рис. 203 и 206). Обратно, мы можем найти расстояние
х, которому соответствует угол параллельности П(х),
равный любому
данному острому углу
(Карслоу [1], стр.
77; (Каган [1],
стр. 402)). Другими
словами, мы можем
по данному острому
углу САМ найти
прямую ВМ, которая
перпендикулярна к АС и параллельна AM. Для этого мы
построим прямую AN, симметричную прямой AM
относительно, прямой АС, и затем построим общую
параллельную MN к прямой AM и к полученной прямой AN.
Прямая MN пересечет АС в искомой точке В. Кстати, из того,
что мы можем провести через данную точку луч,
параллельный данному лучу, следует,
16.35. Для любых двух неперпендикулярных прямых
можно найти прямую, перпендикулярную к одной из
прямых и параллельную другой.
Если точка А' лежит на луче А/В, так что А/В>АВ
(как это изображено на рис. 206), то П(А'В) < П(АВ).
(Это простое следствие теоремы 16.31.) Таким образом,
при возрастании х от 0 до оо П(х) монотонна убывает
от я/2 до 0.
Естественно называть фигуру AMN дважды
асимптотическим треугольником (К о к с т е р [3], стр. 188). Мы
видели, что такой треугольник полностью определяется
своим единственным положительным углом; другими словами,
16.36. Два дважды асимптотических треугольника
равны, если они имеют равные площади.
Применяя предложение 16.34 к непараллельным
лучам параллельных прямых LM, LN, построим прямую
MN, параллельную этим лучам. Три полученные прямые
образуют трижды асимптотический треугольник LMN9

426
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 16
Учитывая замечание Бойяи 15.24, мы рассматриваем
трижды асимптотический треугольник как дважды
асимптотический треугольник с нулевым углом. Поэтому
не удивительно, что
16.37. Любые два трижды асимптотических
треугольника равны.
Доказательство [предложено Д. У. Кроу
(D. W. Crowe)]. Разобьем каждый из двух данных
трижды асимптотических треугольников на два
прямоугольных дважды асимптотических треугольника. Для этого
проведем в каждом из них высоту, т. е. прямую,
перпендикулярную к одной стороне треугольника и
параллельную остальным (см. 16.35). Согласно 16.36, все
четыре получившихся дважды асимптотических
треугольника равны. Следовательно, два трижды
асимптотических треугольника также равны.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Начертите на конформной и проективной моделях чертежи
теорем 16.33—16.35.
2. Если в четырехугольнике ABED углы при точках D и Е
прямые и AD=BE, то углы при точках А и В — равные и острые.
[Указание: провести AM и ВМ параллельно лучу D/£;
применить теорему 16.31 к асимптотическому треугольнику АВМ]
3. Сумма углов треугольника меньше двух прямых углов,
[Указание: провести в данном треугольнике ABC прямые ADt
BE, CF, перпендикулярные к прямой, соединяющей середины
сторон ВС и С А.]
4. Дан асимптотический треугольник АВМ с острыми углами
А и В. Проведем прямую AD перпендикулярно к ВМ и BE
перпендикулярно к AM до их пересечения в точке И* Проведем HF
перпендикулярно к АВ. Тогда FH параллельно AM (Б оно л а [1],
стр. 89).
Что произойдет, если вместо параллельных лучей AM и ВМ
рассматривать сверхпараллельные лучи?
5. Даны два трижды асимптотических треугольника с общей
стороной. Какое движение надо применить, чтобы перевести один
из этих треугольников в другой? Конечно, два трижды
асимптотических треугольника могут иметь общую сторону и не иметь
общей высоты.
6. Радиус окружности, вписанной в трижды асимптотический
треугольник, равен расстоянию, которое соответствует углу
параллельности в 60°.
7. Перпендикуляры, проведенные из любой точки на стороне
трижды асимптотического треугольника к двум другим сторонам
этого треугольника, перпендикулярны друг к другу (Б а х м а н [1],
стр. 222).

§4]
КОНЕЧНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
427
§ 4. КОНЕЧНОСТЬ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Я бы мог замкнуться в ореховой скорлупе и
считать себя царем бесконечного пространства.
У. Шекспир, Гамлет, акт 1, сцена 2,
Сочинения, М., I960, т. 6, стр. 56.
Одним из самых изящных результатов, появившихся
в литературе по гиперболической геометрии со времени
Лобачевского, было доказательство Либмана ([1],
стр. 43) того, что треугольник с бесконечными
сторонами имеет конечную площадь. Ч. Л. Доджсон (Льюис
Кэррол) не мог заставить себя принять эту теорему; он
считал, что она показывает противоречивость
неевклидовой геометрии.
Не вдаваясь в философскую дискуссию о понятии
площади (см. Карел о у [1], стр. 84—90),
удовлетворимся тем, что будем рассматривать площадь как
числовую функцию, заданную на множестве простых (не-
самопересекающихся) многоугольников, инвариантную
относительно движений и аддитивную относительно
сложения неперекрывающихся многоугольников*).
Пусть АВМ — асимптотический треугольник, AAiN —
треугольник, симметричный ему относительно
биссектрисы AF угла А (см. рис. 207, где F — точка пересечения
прямой AF с общей параллельной MN к лучам AM и
AN). Пусть, далее, прямая A2N симметрична прямой ВМ
относительно биссектрисы A\Fi угла NAiM (точка Л2
принадлежит АМ)\ построим также прямую,
симметричную этой последней прямой относительно AF.
Продолжая этот процесс, мы получим «сеть» треугольников,
вертикальные стороны которых являются биссектрисами
углов В, Л, Ль Л2, Л3, ... и перпендикулярами к прямой
MN в точках G, F, Fu FZl FSi... Эти точки образуют на
прямой MN равномерную шкалу, так как они
получаются из точек F и Fi применением бесконечной группы
£>«>, порожденной симметриями относительно прямых AF
и AiFi\ например, точка G является образом точки Ft
при симметрии относительно прямой AF. Каждый из
занумерованных треугольников, которые в совокупности
*) См., например, Перепелкин [1], § 58, или Рохлин [1].

428
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 16
заполняют асимптотический треугольник АВМУ равен
занумерованному тем же номером треугольнику из числа
тех, которые заполняют конечный пятиугольник ABGFiAu
В самом деле, любой из занумерованных треугольников
можно перевести в другой треугольник с тем же
номером, применив к нему некоторую степень переноса GFi
(или, что то же, FF2). Следовательно, площадь
асимптотического треугольника АВМ равна площади
пятиугольника GBAAiFt:
16.41. Площадь любого асимптотического
треугольника конечна.
Так как любой дважды асимптотический треугольник
(рис. 203) можно разбить на два асимптотических
треугольника, то
16.42. Площадь любого дважды асимптотического
треугольника конечна.
Согласно 16.36, площадь дважды асимптотического
треугольника является функцией от его угла. Сравнивая
треугольники AMN и A'MN на рис. 206, мы приходим к
выводу, что это убывающая функция: больший
треугольник имеет меньший угол.
Так как любой трижды асимптотический треугольник
можно разбить на два дважды асимптотических
треугольника (см. доказательство предложения 16.37), го
из 16.42 следует, что

§5]
ПЛОЩАДЬ И УГЛОВОЙ ДЕФЕКТ
429
16.43. Площадь любого трижды асимптотического
треугольника конечна.
Из 16.37 следует, что эта площадь постоянна, т. е.
зависит только от выбора единицы измерения.
§ 5. ПЛОЩАДЬ И УГЛОВОЙ ДЕФЕКТ
Гаусс... открыл существование логически
неопровержимой неевклидовой геометрии не при помощи
гениальной интуиции..., напротив того, прежде
чем удалось победить старый предрассудок, ему
пришлось вынести долгую и утомительную
работу!... Гаусс, однако, не позволял себе
оглашения этих идей, так как был уверен, что его не
поймут... Только немногим испытанным друзьям
доверяет он кое-что из своих исследований.
Р. Б о н о л а ([1], стр. 56—57),
Янош Бойяи (или Бойяи Янош, как пишут в
Венгрии) опубликовал свое открытие абсолютной геометрии
в приложении к книге своего отца Бойяи Фаркаша,
который был другом Гаусса. Когда Гаусс увидел эту
книгу и прочел приложение, он написал замечательное
письмо своему старому другу, в котором поздравлял Яно-
ша и признавался, что он сам думал в этом
направлении, но не публиковал свои результаты*). Оригинал
письма (помеченного 6 марта 1832 года) утерян, но
сохранилась копия с него, сделанная молодым Бойяи, и
оно было в конце концов опубликовано в собрании
сочинений Гаусса (Гаусс [2], стр. 112—117).
В этом письме содержится замечательное
доказательство того, что площадь треугольника пропорциональна
его угловому дефекту я—А—В—С. Мы перескажем это
доказательство, восполняя некоторые пробелы, но
сохраняя деление на семь шагов, которые мы будем
обозначать римскими цифрами.
I. Все трижды асимптотические треугольники равны
(это совпадает с нашим предложением 16.37).
*) К сожалению, в этом письме Гаусс никак не отметил
заслуг Бойяи, не тускневших даже при сравнении с собственными
результатами Гаусса, и не поддержал молодого гениального
ученого. Отказ Гаусса помочь Яношу Бойяи был одной из причин,
приведших к гибели этого выдающегося математика, оцененного
по достоинству только через много лет после его смерти,

430
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 16
II. Площадь трижды асимптотического треугольника
конечна, ее можно обозначить через t (это совпадает
с нашим предложением 16.43).
III. Площадь дважды асимптотического треугольника
AMN является функцией его угла NAM, которую можно
записать в виде /(ф), где ф— угол, дополнительный к
углу NAM.
По данному углу ф мы можем единственным
способом построить треугольник (рис. 208; ср. рис. 205). Гаусс
предпочитает использовать дополнительный угол вместо
А
Рис. 208. Рис. 209.
самого угла NAM, чтобы показать, что
/(ф)—возрастающая функция ф. [См. замечание после 16.42.]
IV. /(ф) + /(я-Ф) = *.
Это легко установить, приложив друг к другу два
дважды асимптотических треугольника с
дополнительными углами ф и я — ф, как это показано на рис. 209.
Здесь 0<ф<я. При ф->0 дважды асимптотический
треугольник вырождается в прямую, а при ф -> я дважды
асимптотический треугольник стремится к трижды
асимптотическому треугольнику. Следовательно,
16.51
/(0) = о. № = t
и утверждение IV верно для 0 -< ф < я.
V. /(ф) + /(Ф) + /(я-Ф-« = /.
Эту формулу при ф>0, г|)>0, ф + г|)<я можно
получить, приложив друг к другу три дважды
асимптотических треугольника с суммой углов 2я, как это показано
на рис. 210. Она, очевидно, справедлива и когда ф или ij)
обращаются в нуль, или ф+гр = я.

SSI
ПЛОЩАДЬ И УГЛОВОЙ ДЕФЕКТ
431
VI. /(Ф) + /(Ф) = /(Ф + Ф).
Эта формула при ф>0, -фХ), ф+г|)^я получается,
если подставить в формулу IV вместо ф угол ф + г|> и
учесть формулу V. Из формулы VI
следует, что /(ф)
пропорционально ф:
16.52 /(ф) = щ>,
где, согласно 16.51, ^i = —.
Дж. X. Линдсей (J. Н. Lindsay)
заметил, что вывести формулу 16.52
из формулы VI можно, даже не
пользуясь предположением, что
Рис. 210.
/(ф) —непрерывная
функция, а лишь опираясь на ее монотонность. Из
формулы VI следует, что при ф=г|)
/(Ф) = 1/(2Ф).
Таким образом, формула 16.52 справедлива при ф = -у,
я
а следовательно, при ф = -^-и т. д., т. е. она
справедлива при ф=-™т. Обращаясь снова к формуле VI,
видим, что 16.52 верно при ф = яя, где п —
двоично-рациональное число.
Предположим теперь, что для некоторого угла ф мы
имеем /(ф)=£Мр. Выберем двоично-рациональное
число п, заключающееся между различными вещественны*
ми числами — и ^—. Если /(q>)>fiq>, так что
f(q>)
ф < пп <
то, в силу монотонности /(ф), приходим к противоречию
f (Ф)< / (пп) = ИЛ* < / (ф)«
Если f (ф) <1Хф, то мы получим аналогичное
противоречие, поменяв всюду знаки неравенств на обратные.
Следовательно, действительно /(ф) = цф для всех без
исключения значений угла ф (от 0 до я).

432
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. Ш
VII. Площадь Д треугольника ABC (с конечными
сторонами) прямо пропорциональна его угловому
дефекту:
Д=ф(л —Л--£—С).
Этот последний шаг своего доказательства Гаусс
проводит следующим образом: он помещает треугольник
ABC внутрь трижды асимптотического треугольника
LMN как это показано на рис. 211. Треугольник
LMN содержит, кроме треугольника
JK ABC, три дважды асимптотических
/\\ треугольника с площадями \iAy [iB,
/^у\\ И-С. Следовательно,
L L. —М откуда немедленно следует
доказываемая формула.
Рис 211. Мы можем, следуя
Лобачевскому, выбрать такую единицу
измерения площадей1), чтобы площадь трижды
асимптотического треугольника была равна я. Тогда ^=1 и
формула VII принимает вид
16.53
Д = я— А — В — С.
Эта формула поразительно похожа на формулу 6.92,
которая утверждает, что площадь сферического
треугольника на сфере радиуса R равна
{А + В + С — я)/?.
Действительно, положив /?2 = — 1, мы получим, что
результат Гаусса формально определяет площадь
треугольника на сфере радиуса /. Задолго до Гаусса
И. Г. Ламберт (J. Н. Lambert, 1728—1777) заметил, что
если бы неевклидова плоскость существовала, то она бы
напоминала сферу радиуса и Эта аналогия позволила
*) Н. S. М. Coxeter, Hyperbolic triangles, Scripta mathematica
22, 1956, стр. 9.

15]
ПЛОЩАДЬ И УГЛОВОЙ ДЕФЕКТ
433
ему получить формулы гиперболической тригонометрии
(которая позднее была строго разработана
Лобачевским) из классических формул сферической
тригонометрии. Истинное значение этой аналогии стало ясным лишь
тогда, когда Минковский (Н. Minkowski, 1864—1909)
создал геометрию пространства-времени, которая
является геометрической основой специальной теории
относительности Эйнштейна. Теперь мы знаем, что в
(2 +1) -мерном пространстве-времени гиперболическую
плоскость можно изометрично представить как одну из
двух полостей сферы временноподобного (т. е. мнимого)
радиуса*). В аффинном пространстве, из которого
пространство-время получается с помощью введения зна-
коопределенной метрики, такой сфере соответствует
двуполостный гиперболоид1).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Формула Гаусса 16.53 остается в силе, если один или более
углов треугольника обращаются в нуль.
2. Площадь простого р-угольника равна его угловому дефекту,
т. е. абсолютной величине разности между его суммой углов и
суммой углов евклидова р-уголъника. Отсюда следует, что сумма углов
гиперболического р-угольника меньше чем 2л(р — 2). [Указание:
разбить многоугольник на треугольники. Мы, конечно, полагаем
IX-1.]
3. Произведение трех переносов в направлениях сторон
ориентированного треугольника (на величины, равные длинам этих
сторон) представляет собой вращение на угол, равный угловому
дефекту треугольника. [Эти переносы в два раза короче тех, которые
фигурируют в теореме Донкина 15.31.] (Л э м б [1], стр. 7.)
4. Произведение симметрии относительно середин четырех
сторон несамопересекающегося четырехугольника (взятых в
естественном порядке) представляет собой вращение на угол, равный
угловому дефекту четырехугольника.
5. Если сумма углов многоугольника равн: —, где я — нату-
п
ральное число, то с помощью симметрии относительно середин его
сторон и их всевозможных произведений можно заполнить всю
плоскость многоугольниками без пробелов и двойных покрытий
(ср. Соммервиль [1], стр. 86, упр. 15). [Указание: см. выше
рис. 44 и 45.]
*) См., например, Розенфельд и Яглом [1].
') Н. S. М. Coxeter, A geometrical back-ground for de
Sitter's world, American Mathematical Monthly 50, 1943, стр. 220.

434
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 1в
§ 6. ОКРУЖНОСТИ, ОРИЦИКЛЫ И ЭКВИДИСТАНТЫ
Окружность — это ортогональная траектория
пучка прямых с действительной вершиной... Ори
цикл — это ортогональная траектория пучка
параллельных прямых... Ортогональная траектория
пучка прямых с идеальной вершиной называется
эквидистантой.
Д. М. Ю. Соммервиль (1879—1934), [1], стр. 51—52.
Согласно 15.26, две прямые могут быть
пересекающимися, параллельными или сверхпараллельными
(расходящимися). Другими словами, они могут принадлежать
к пучку прямых одного из трех видов: к обыкновенному
пучку, состоящему из всех прямых, проходящих через
данную точку; к пучку параллельных прямых,
состоящему из всех прямых, параллельных данному лучу; к
пучку сверхпараллельных прямых, состоящему из всех
прямых, перпендикулярных к данной прямой. Согласно
15.32, в этих трех случаях произведение симметрии
относительно двух прямых представляет собой вращение,
параллельное перемещение или перенос. Зафиксируем
одну из прямых, вторую заставим непрерывно
изменяться, не покидая пучка; при этом мы убедимся, что
каждый из трех вышеуказанных видов движений можно
представить в виде непрерывного перемещения.
Окружность можно определить либо как в § 1 гл. 15,
либо как траекторию некоторой точки Q (отличной от
точки О) при непрерывном вращении вокруг точки О,
либо как множество образов точки Q при симметриях
относительно всевозможных прямых, проходящих через
точку О. Если радиус OQ обращается в бесконечность,
мы получаем орицикл (предельную линию) с центром М
(в бесконечности): траекторию точки Q при
непрерывном параллельном перемещении или множество точек,
симметричных точке Q относительно всевозможных
прямых, параллельных лучу QM (К о кете р [3], стр. 213).
Лучи с началом в точке орицикла, параллельные QM,
называются диаметрами орицикла.
Геометрическое место точек, находящихся на данном
расстоянии от некоторой прямой о, будет не парой
параллельных прямых, как в случае евклидовой плоскости,

§6] ОКРУЖНОСТИ, ОРИЦИКЛЫ И ЭКВИДИСТАНТЫ 435
а эквидистантой (или гиперциклом)—кривой, которая
состоит из двух ветвей, лежащих по разные стороны
от своей оси о. Каждую ветвь эквидистанты можно
определить как траекторию точки Q (не принадлежащей
прямой о) при непрерывном параллельном перенесении
вдоль прямой о или как множество образов точки Q при
симметриях относительно всевозможных прямых,
перпендикулярных к прямой о.
Ортогональными траекториями пучка прямых,
проходящих через точку О, будут окружности с центром в
точке О. При вращениях вокруг точки О одни прямые
пучка переходят в другие, а окружности скользят по
себе. Ортогональные траектории пучка параллельных
прямых с общим концом М образуют пучок
концентрических орициклов. При параллельном перемещении с
центром в конце М одни прямые пучка переходят в
другие, а орициклы скользят по себе. Наконец,
ортогональные траектории пучка сверхпараллельных прямых,
перпендикулярных прямой о, образуют пучок эквиди-
стант с общей осью. При переносе вдоль прямой о одни
прямые пучка переходят в другие, а эквидистанты
скользят по себе.
Теперь мы можем выполнить обещание, данное
после теоремы 15.31, и показать, что произведение
переносов вдоль непересекающихся осей может быть
вращением. Обращаясь к рис. 206, мы видим, что прямая,
проходящая через точку С и перпендикулярная к прямой
АВ, сверхпараллельна прямым AM и AN.
Следовательно, эта прямая и прямая AM имеют общий
перпендикуляр Gtf, а эта прямая и прямая AN — общий
перпендикуляр EF. Таким образом, мы получили пятиугольник
AEFGHy у которого углы £, F, G, Н прямые, как это
показано на рис. 212. Оставшийся угол А может быть
сделан сколь угодно малым; если он равен нулю,
пятиугольник становится «асимптотическим». Произведение
симметрии относительно прямых АЕ и FG представляет
собой перенос вдоль прямой EF (на величину 2EF), про-,
изведение симметрии относительно прямых FG и АН
представляет собой.перенос вдоль прямой GH (на
величину 2GH). Произведение этих двух переносов
совпадает с произведением симметрии относительно прямых

436
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ПЛ. 16
АЕ и АН, которое представляет собой вращение или,
если точка А является «концом», параллельное
перемещение. Так как оси этих переносов перпендикулярны к
FG, то мы доказали тем самым, что произведение
переносов вдоль сверхпараллельных прямых может быть
либо вращением, либо параллельным перемещением,
либо, конечно, переносом.
Произведение переносов вдоль параллельных прямых
AM и ВМ оставляет на месте их общий конец М.
Следовательно, оно не может быть вращением, а должно быть
либо переносом вдоль третьей прямой с концом Л1, либо
параллельным перемещением с центром М. Мы
покажем, что вторая возможность осуществляется в том
случае, когда переносы равны по длине и направлены в
противоположные стороны. В самом деле, перенос вдоль
прямой AM на величину АА' (рис. 213) преобразует
дугу АВ орицикла, проходящего через точку Л, в
равную дугу А'В' орицикла, проходящего через точку А'.
Пусть В0 — точка пересечения второго орицикла с
диаметром первого, проходящим через точку В.
Параллельный перенос вдоль этого диаметра на величину В0В
переводит дугу BqA' второго орицикла в равную ей
дугу ВА" первого орицикла. Таким образом, произведение
переносов A/F и В0В представляет собой параллельное
перемещение, которое переводит дугу А В в дугу А"В"\
при этом параллельном перемещении все орициклы
пучка, ортогонального к пучку параллельных прямых с
концом М, скользят по себе.

§ 7] МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ НА ПОЛУПЛОСКОСТИ 437
УПРАЖНЕНИЯ
1. Три вершины конечного треугольника лежат на эквидисган-
тах, оси которых соединяют середины пар сторон треугольника,
а также на четвертой кривой, которая может быть либо
окружностью, либо орициклом, либо ветвью эквидистанты (С о м м е р-
виль [1], стр. 54, 189).
2. Три стороны конечного треугольника касаются окружности
(вписанной) и трех других «циклов», каждый из которых может
быть окружностью, орициклом или эквидистантой.
3. На рис. 184 орицикл с диаметром рь проходящий через
точку У, проходит также через точку L.
4. Сколько орициклов может проходить через две данные
точки?
5. Эквидистанта может пересекаться с окружностью, орициклом
или другой эквидистантой не более чем в четырех точках.
6. Развить аналогию между коническими сечениями на
аффинной плоскости и обобщенными окружностями («циклами») на
гиперболической плоскости. Орицикл, так же как и парабола, уходит
в бесконечность в одном направлении. Если точка Q —
фиксированная, а Р — переменная точка орицикла, то предельным положением
прямой QP будет диаметр, проходящий через точку Q,
Эквидистанта, так же как и гипербола, состоит из двух ветвей.
7. В отличие от мнимой оси гиперболы, ось эквидистанты
лежит с вогнутой стороны кривой.
8. Если две вершины треугольника принадлежат одной ветви
эквидистанты, а третья вершина перемещается по другой ее ветви,
то площадь треугольника остается постоянной (L. F е j е s Т 6 t h,
Archiv der Math. 10, 1959, стр. 310).
% 7. МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ НА ПОЛУПЛОСКОСТИ
Мы получим выигрыш в простоте, если в
качестве фундаментальной кривой возьмем прямую
линию, скажем ось х. Мы можем избежать
отождествления пар точек, если рассматривать только
точки, лежащие выше оси х. В таком случае
обыкновенная окружность изобразится
окружностью, целиком лежащей над осью х; орицикл —
окружностью, касающейся оси х; а
эквидистанта—верхней частью окружности, пересекающей
ось х, и зеркальным образом ее нижней части.
Д. М. Ю. Соммервиль [1], стр. 188—189.
Из конформной модели гиперболической плоскости
(рис. 200), на которой прямые представляются
окружностями и прямыми, ортогональными к фиксированной
окружности Q, Пуанкаре получил другую конформную
модель с помощью инверсии с центром на окружности Q.

438
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 16
При такой инверсии окружность Q перейдет в прямую,
скажем в «горизонтальную» прямую, которую мы также
будем обозначать Q. В этой модели точки
гиперболической плоскости изображаются парами точек,
симметричных относительно прямой Q, а прямые — окружностями
и прямыми, ортогональными к прямой Q, т. е.
окружностями с центрами на прямой Q и вертикальными
прямыми (Бернсайд [1], стр. 387).
Через две точки, симметричные относительно прямой
Q, можно провести пучок пересекающихся окружностей
с общей осью (получившаяся картина будет напоминать
рис. 74, стр. 135, повернутый на прямой угол), который
изображает обычный пучок прямых. Ортогональный к
нему пучок непересекающихся окружностей с
радиальной осью Q изображает пучок концентрических
окружностей.
Другой пучок окружностей (расположенный так, как
показано на самом рис. 74) можно провести через две
точки прямой Q. Та из окружностей этого пучка, центр
которой лежит на прямой Q, изображает прямую о.
Остальные окружности (или, точнее, пары окружностей,
симметричных относительно Q) изображают эквидистан-
ты с осью о. Ортогональный пучок непересекающихся
окружностей изображает пучок сверхпараллельных
прямых.
Пучок касающихся окружностей, центры которых
лежат на прямой Q (рис. 75, стр. 136), изображает пучок
параллельных прямых, а ортогональный пучок
окружностей, касающихся прямой Й, изображает пучок
концентрических орициклов. Один пучок параллельных прямых
(отличающийся от других на модели, но, конечно, не
обладающий никакими специальными свойствами на
гиперболической плоскости) изображается пучком
вертикальных прямых (которые, как и сама прямая Q,
проходят через бесконечно удаленную точку круговой
плоскости). Орициклы, для которых эти прямые служат
диаметрами, изображаются горизонтальными прямыми,
за исключением Q (лли, точнее, парами таких прямых,
симметричных относительно Q). Так как симметрии
относительно этих вертикальных прямых изображают
симметрии относительно параллельных прямых, параллель-

§ 8] ОРИСФЕРА И ЕВКЛИДОВА плоскость 439
ные переносы в горизонтальном направлении изображают
параллельные перемещения. Следовательно,
горизонтальные прямые (отличные от Q) изображают орициклу,
причем равные отрезки прямых изображают равные
дуги орициклов.
УПРАЖНЕНИЕ
Какую фигуру изображает пара прямых, симметричных
относительно Q?
§ 8. ОРИСФЕРА И ЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ
Фридрих Людвиг Вахтер (1792—1817)... в
письме к Гауссу (в декабре 1816 г.) рассматривает
предел поверхности шара, радиус которого бес-
конечно возрастает ..., и утверждает, что на ней
даже в случае неверности V постулата могла бы
иметь место геометрия, тождественная с
геометрией на обыкновенной плоскости.
Р. Б о н о л а [1], стр. 52—53.
Идеи, развитые в §§ 6 и 7, очевидным образом
переносятся на случай трех измерений. Совокупность
образов точки Q при симметриях относительно всех
плоскостей, проходящих через точку О, будет сферой с
радиусом OQ. Предельным случаем будет орисфера с
центром М (в бесконечности): это есть совокупность образов
точки Q при симметриях относительно всех плоскостей,
параллельных лучу QM (Кокетер [3], стр.
218).Совокупность образов точки Q при симметрии относительно
всех плоскостей, перпендикулярных к фиксированной
плоскости со, представляет собой одну полость
эквидистантной поверхности, которая состоит из точек,
находящихся на данном расстоянии от плоскости со.
Имеется конформная модель гиперболического
пространства в сферическом пространстве, в которой точки
гиперболического пространства изображаются парами
точек, симметричных относительно некоторой
фиксированной «горизонтальной» плоскости Q, а плоскости —
сферами и плоскостями, ортогональными к Q, т. е.
сферами, центры которых лежат на Q, и вертикальными
плоскостями. Отсюда немедленно следует, как
изображаются прямые (являющиеся пересечениями плоско-

440
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 16
стей). В частности, связка вертикальных прямых
изображает связку прямых, параллельных данному лучу
QM (эта связка отличается от других на модели, но не
играет никакой специальной роли в гиперболическом
пространстве). Орисферы, для которых эти прямые
служат диаметрами, изображаются горизонтальными
плоскостями, отличными от плоскости Q. Так как каждая
вертикальная плоскость представляет собой модель
гиперболической плоскости, описанной в § 7, а каждая
горизонтальная плоскость изображает орисферу, то
каждая горизонтальная прямая изображает орицикл на этой
орисфере. Так как расстояния, измеряемые по таким
прямым, равны расстояниям, измеряемым по
соответствующим орициклам, ясно, что евклидова плоскость
представляет орисферу изометрично: для любой фигуры
на евклидовой плоскости существует равная ей фигура
на орисфере (причем прямые заменяются орициклами).
Эту удивительную теорему независимо друг от
друга открыли Бойяи и Лобачевский. Два других ее
доказательства см. у Кокстера ([3], стр. 197, 251) *). Она
означает, что кроме обычной сферической геометрии
обитатели гиперболического мира изучали бы орисфери-
ческую геометрию, которая совпадает с геометрией
евклидовой плоскости.
УПРАЖНЕНИЕ
Рассмотрим конформную модель гиперболического
пространства, в которой плоскость Я. заменена сферой. Касательные
плоскости к этой сфере изображают орисферы. Как изображаются
орициклы этой орисферы?
*) См. также, например, Ефимов [I], § 47; Каган [1], § 52.

ЧАСТЬ
ГЛАВА 17
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ
Дифференциальная геометрия изучает
геометрические образы — главным образом, кривые и
поверхности — методами анализа. Классическая
дифференциальная геометрия изучала трехмерное евклидово
пространство. Однако в двадцатом веке была создана
дифференциальная геометрия конформного, аффинного,
проективного и других пространств. Таким образом, наличие
понятия расстояния вовсе не необходимо для
дифференциальной геометрии. В тех случаях, когда существует
и расстояние между точками, и обладающая обычными
свойствами параллельность, фундаментальное значение
приобретает понятие вектора*).
Каждой кривой соответствует некоторый переменный
вектор, а именно, радиус-вектор
г = ОР,
начало которого совпадает с фиксированным началом
отсчета О, а конец перемещается по кривой. Для
простоты мы будем рассматривать только спрямляемые
кривые, у которых в каждой точке существует однозначно
определенная касательная (Крейсиг [1], стр. 29;
(Рашевский [2], стр. 82, 145)).
Эту главу мы начнем с предварительного изучения
векторов (§§ 1—2). Затем будут рассмотрены кривизна
*) Также и в аффинной геометрии, где понятие
расстояния между точками отсутствует, аппарат векторного
исчисления обычно весьма широко используется в
дифференциально-геометрических рассмотрениях (см., например, Яглом и Ашкинузе
II], § 6 гл. II).
4

442 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ [ГЛ. 17
плоских кривых, а также кривизна и кручение
пространственных кривых. Наконец, мы применим полученные
результаты к ряду важных конкретных кривых, в
частности, к спиралям и линиям откоса.
§ 1. ВЕКТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В § 6 гл. 13 мы рассматривали аффинные свойства
векторов, а именно, сложение и вычитание, умножение
на числа, линейную независимость, единственность
представления
17.11
c = xe + yf+-zg
произвольного вектора с в виде линейной комбинации
базисных векторов £, /, g. Теперь мы рассмотрим два
вида умножения векторов друг на друга.
В евклидовой геометрии мы можем говорить о длине
(или «абсолютной величине»-или «модуле») \а\ данного
вектора а. Пусть Э — угол между векторами а и Ь.
Определим скалярное (или «внутреннее») произведение
а-Ьи векторное (или «внешнее») произведение а X Ь*)
этих векторов следующим образом:
а • Ь = | а 11 b | cos 9, а X b = \ а 11Ь | sin 9 gt
где g—единичный вектор, перпендикулярный к
плоскости ab и расположенный в той части пространства,
из которой вращение вектора а на угол 9 до совмещения
с направлением вектораb представляется происходящим
в направлении, обратном направлению вращения
часовой стрелки. Введение вспомогательного вектора g
(ортогонального и к а и к Ь) оправдывается следующими
изящными алгебраическими свойствами определенных
таким образом произведений.
Пусть m и п — действительные числа. Тогда
та • nb — та (а • 6), max nb = тп (а X Ь),
b*a = a*b, ЬХа = — аХЬ.
*) В русской литературе скалярное произведение векторов
а и Ь часто обозначают через ab (без точки), векторное
произведение этих же векторов — через [ab].

§ 1) ВЕКТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 443
Таким образом, скалярное произведение
коммутативно (подобно произведению чисел), а векторное
произведение «антикоммутативно». Так как аХ# = 0, мы
можем считать, что запись а2обозначает а • а:
а
2 —
а
Векторы а и Ь ортогональны, если а*Ь = 0, и
параллельны, если а X b = 0.
Рассмотрим два вектора а = ОА, Ь = ОВ7 Пусть
BN — перпендикуляр, опущенный из точки В на
прямую ОА (как это изображено на
рис. 214). Алгебраическое
значение расстояния ON
(отрицательное, если /.АОВ—тупой)
называется проекцией вектора Ь на
вектора. Если |а| = 1, т. е. если а —
единичный вектор, эта проекция
равна а • Ь. В общем случае а • Ь
равно проекции Ь на а,
умноженной на \а\. С помощью этой гео^
метрической интерпретации легко проверить
дистрибутивный закон для скалярного произведения
а{Ь + Ь') = аЪ + аЬ',
который в силу коммутативности скалярного умножения
можно также записать в виде
Ь
а-\-Ь' • а.
мы получим соответствующий
(& + &') а
Заменив Ь' на —Ь',
результат для разности.
Дистрибутивность скалярного умножения дает
удобный метод для доказательства некоторых тождеств.
Пусть b и Ь' — выражения, равенство которых мы
хотим доказать. Для этого иногда бывает удобно скалярно
умножить оба эти выражения на произвольный вектор с
и сравнить b • с и Ь' с. Если мы докажем, что для
любого с (или даже для трех линейно независимых с)
b c — b' с,
то можно утверждать, что b = b'. Действительно, как как
(Ь — b')-c — 0t то вектор b — b' (если он ненулевой)

444 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ [ГЛ. 17
должен быть ортогонален к с; но так как вектор с
произволен, то это невозможно.
В качестве первого шага в доказательстве
дистрибутивности векторного умножения приравняем два
выражения для площади одного и того же параллелограмма:
\аХЬ\ = \а\Ь-/,
где /— единичный вектор, лежащий в плоскости ab
(см. рис. 215) и ортогональный к вектору а, так что
b-f—это высота параллелограмма с основанием \а\.
Аналогично параллелепипед, построенный на трех
независимых векторах а, 6, с, имеет
основание \аХЬ\% высоту с -g
и объем (при соответствующем
соглашении о знаке, который
зависит от ориентации тройки
векторов a, &, с)
\aXb\c-g^\aXb\g-c^
Рис. 215. =(аХ6)-с.
Так как в качестве основания можно выбрать любую
грань параллелепипеда, то тот же самый объем можно
записать в виде
(ЬХс)-а = а-фХс).
Таким образом, мы можем поменять местами
крестик и точку:
(а X Ь) с = а • (Ь X с)
(это напоминает своего рода «ассоциативный закон»
для произведений векторов). Так как знаки векторного и
скалярного произведений перестановочны, удобно ввести
для выражения (аХЬ) - с — а -{ЬХс) {«смешанного
произведения» векторов а, Ь и с) специальный символ
(аЬс)\ при этом объем параллелепипеда запишется так:
(abc) — (bed) — (cab) = — (cba).
Если (abc) = 0, параллелепипед вырождается и три
вектора лежат в одной плоскости, т. е. линейно зависимы.
Таким образом, необходимое и достаточное условие

§ I] ВЕКТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 445
линейной независимости векторов а, Ь, с имеет вид
(abc) ф 0.
Докажем теперь дистрибутивность векторного
умножения. Для этого введем произвольный вектор с. Тогда
имеем
{{a + a')Xb) •c = (fl+a/).(ftXc) =
-a.(ftXc) + fl,'(6Xc) = (flXft)'C+(a/Xft)«c =
= {(aX») + (a/Xft)}-c-
Так как вектор с произволен, то
(а + а')ХЬ = (аХ Ь) + (а' X Ь).
Так как векторное произведение двух векторов — это
снова вектор, можно было бы ожидать, что для
векторного умножения справедлив ассоциативный закон.
Однако это неверно. Чтобы убедиться в этом, вычислим
выражения (а X Ь) X с и а X (Ь X с) по способу Ко и
Райнича1). Рассмотрим в плоскости ab единичные
векторы е и /, соответственно ортогональные к векторам
b и а, как показано на рис. 215. Так как вектор аХЬ
перпендикулярен к плоскости ab (или е /), два вектора
(ахЬ)Хе и (aXb)Xf
лежат в этой плоскости и имеют одинаковую длину
\aXb\j которую можно представить любым из двух
способов
a.e\b\, b-f\a\.
Так как направления этих векторов совпадают
соответственно с направлениями векторов & и —а, получаем
(аХЬ)Хе = (а.е)Ь и (aXb)Xf= — {b-f)a.
Если вектор g перпендикулярен к плоскости ab, то,
кроме того,
(aXb)Xg = 0.
1) С. J. Сое and G. Y. R a i n i с h, American Mathematical
Monthly 56, 1949, стр. 175—176.

446 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ [ГЛ. 17
Разложим произвольный вектор с по базису е, f, g:
(а X b) X с = {а X Ъ) X (xe+yf + zg) =
= x(aXb)Xe + y(aXb)Xf+z(aXb)Xg =
= x(a*e)b — y(b-f)a = {a-xe)b — {b-yf)a =
= {а . (** +f// + egr)} & - {& . (xe+yf+zg)} a,
так как скалярные произведения a >f, а - g, b - е, b - g
равны нулю. Следовательно,
17.12
(а X Ь) X с = (а . г) b — (b . г) а.
Поменяв местами векторы а и с, получим
— {a-c)b — {a-b)c*
Рассмотрев скалярное произведение {(а X Ь) X с] d,
получим, что любые четыре вектора а, Ь, с, d
удовлетворяют тождеству Лагранжа
17.13
(а X*) • (с X d) = (a . с)(ft -d) — (bc)(a- d).
Иногда бывает удобно разлагать вектор на
составляющие, направленные по осям декартовой
прямоугольной системы координат. При этом символ (х, у, г)
обозначает как точку Р, так и вектор ОР, где О — начало
координат (0, 0, 0). Другими словами, запись Р =
= (х, У, z) —это просто сокращение записи
17.14
r = xi + yj + zk,
где /, /, k—единичные векторы трех осей (так что
разложение 17.14 — это частный случай разложения
17.11). Так как
17.15
/2=/2 = £2=1, /.* = *./=/. / = 0,
/=УХЛ, j=kXU k = iXf, (Щ) = Ь
мы получаем координатные выражения для
произведений векторов

§1)
ВЕКТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
447
17.151
17.16
г-г' = хх'+уу'-f-zz',
rXr' =
(rr'r") =
z
z'
/-H
X
AJ+\
',\k
x у
x' у'
x" у"
z
z"
Так как произведение определителей (так же как про*
изведение матриц) состоит из скалярных произведений
строк первой матрицы на соответствующие столбцы
второй матрицы, то, умножая (rr'r") на аналогичное
произведение трех других векторов {qq'q") вида q = ui-{-
-\-vj-\-wk, мы получим, что
17.17
(qq'q"){rr,r") =
а
v w
и v w
и" v" w"
х х' х"
У У
z' z'
qr q
q'r q'
q'r q"
r'
r'
r'
qr"
q'r"
q" • r"
Возвращаясь к 17.14, заметим, что
ri = x, r-j—y, rk = z.
Поэтому мы можем записать разложение вектора г ио
трем ортогональным единичным векторам в виде
17.18
r = (r-l)i + {r-j)j + {r-k)k.
Докажем, наконец, следующую теорему:
17.19. Если векторы а и b лежат в
перпендикулярных плоскостях, пересекающихся по прямой с
единичным вектором k, то
(a.k)(k-b)=fi-b.

448 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ [ГЛ. 17
Доказательство. Так как плоскости ак и kb
перпендикулярны, то из 17.13 следует, что
О = (а X к). (к X Ь) = (а • к)(к • b) — кЦа - 6) =
= (а-*)(*•*) —(а-*).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Каким условиям должны удовлетворять векторы a, ft, г,
чтобы выполнялся ассоциативный закон для векторного умножения:
2. Упростить двумя способами выражение (#Х&)Х(£Х<*)
и, приравняв результаты, получить тождество, связывающее четыре
вектора типа (abc)d.
3. Упростить выражение (а X Ь)«(а X Ь) и показать, что
результат представляет собой хорошо известное тригонометрическое
тождество.
§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Векторные функции можно дифференцировать так
же, как и числовые функции. Пусть вектор a — a(s)
зависит от числового переменного $. Пусть, далее, Да —
приращение вектора, соответствующее приращению As
переменного s, так что
a(s~f-As) = a+Aa.
Если при стремлении As к нулю, вектор -д^- стремится
к пределу, векторную функцию называют
дифференцируемой, а этот предел называют ее производной:
ds Л5-»од* д.->о As
Правила для дифференцирования произведений в
этом случае имеет такой же вид, как и в случае
обычных числовых функций. Действительно,
(а-\-Аа){Ь + АЬ) — а • Ь = а Аа + Аа Ь + Аа • АЬ
и, следовательно,
-~{а Ь)~а b + а Ь — lima • bAs — a b + a • b.
Аналогично
-!L(ma)^rnii + ma ^(aX6)«(eX*) + (eX*).

9 31 КРИВИЗНА, эволюты И ЭВОЛЬВЕНТЫ 449
(Поскольку векторное умножение антикоммутативно, мы
не можем записать второй член в ввде b X я.) Так как
— а2 = 2а • а,
ds
то переменный вектор постоянной длины всегда
ортогонален к своей производной.
Так как базисные векторы /, у, k постоянны, то их
производные равны нулю и
r = ^(xi + yj + zk)==xl + yj+zk = {x, у, г).
Таким образом, координаты производной вектора равны
производным от координат.
УПРАЖНЕНИЕ
Если частица движется по круговой орбите (подобно,
например, камню, вращающемуся на конце веревки), то радиус-вектор
частицы, выходящей из центра вращения, имеет постоянную
длину. Как направлена скорость частицы? Если движение
равномерное, то вектор скорости имеет постоянную длину. Как в этом
случае направлено ускорение частицы?
§ 3. КРИВИЗНА, ЭВОЛЮТЫ И ЭВОЛЬВЕНТЫ
Самым простым примером переменного вектора
является радиус-вектор г = ОР точки Р, движущейся по
кривой (или, в частности, по прямой). Чтобы определить
длину кривой, мы приближаем эту кривую
последовательностью вписанных ломаных линий (см. § 5 гл. 8).
Векторы, направленные вдоль звеньев этой ломаной,
можно рассматривать как приращения радиуса-вектора,
так что до перехода к пределу соответствующее
приращение дуги равно |Дг|.
Для большинства целей самым удобным параметром
для описания кривых служит направленная длина дуги
5, отсчитываемая от фиксированной точки А до
произвольной точки Р кривой. В этом случае вектор г = ОР
рассматривается как функция s. Так как

450 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ [ГЛ. 17
(Стройк [1], стр.7; (Рашевский [2], стр. 98)), то
предел отношения -^ равен единичному вектору
касательной
Если на кривой введен отличный от 5 параметр и,
то эти соотношения несколько изменятся. Однако вектор
производной -gjj- по-прежнему будет направлен по
касательной
dr dr ds ds j
du ds~ du du '
причем связь между параметрами s и и определяется
„ ds
длиной этого вектора, равной -^-.
Например, в случае окружности радиуса р
x = pcos и, f/ = psin и
имеем
r==p(cos и, sin и),
~t = ()(— sin и, cos и), -^- = р, t = (—smu, cos и).
Для произвольной кривой на плоскости (х, у)
касательный вектор равен
17.31
/ = (cosi|\ sin ф),
где ф — угол, который вектор t образует с единичным
вектором / оси х. Производная этого угла по длине дуги
называется кривизной плоской кривой
17.32
dty ;
Так как вектор t имеет постоянную длину (а именно,
длину 1), то его производная всегда перпендикулярна к
нему, т. е. направлена по нормали. Обозначим
единичный вектор нормали через п. Тогда п = (—sin *ф, cos я|>) и
17.33
/ = ф(—sinij?, cos\|)) = x#,

§3]
КРИВИЗНА, ЭВОЛЮТЫ И ЭВОЛЬВЕНТЫ
451
причем мы считаем кривизну и положительной или
отрицательной в зависимости от того, направлен ли
вектор п в сторону вогнутости или выпуклости кривой.
Производная вектора #, ортогональная к нему,
должна быть коллинеарна с вектором t. Дифференцируя
скалярное произведение п • t и приравнивая полученное
выражение нулю, мы получим выражение
17.34
П = — ytt.
Применив этот метод к окружности
r = p(cos#, sin#),
для которой t= (—sin и, cos и), мы найдем
ytn = i=u(— cos и,—sin и)У
откуда
и = # = — и п = — (cos и, sin и).
Это означает, что кривизна окружности постоянна и
является обратной величиной для ее радиуса, т. е.
«изгибом» Содди (стр. 31), а единичный вектор нормали
направлен по радиусу к центру окружности.
Будем называть соприкасающейся окружностью
данной плоской кривой в данной точке Р окружность,
теснее всего примыкающую к нашей кривой, т. е.
окружность, имеющую ту же нормаль и ту же кривизну, что и
наша кривая. Центр этой окружности Рс называется
центром кривизны данной кривой в данной точке.
Радиус соприкасающей окружности
17.35
>-±
(который, как и и, может быть положительным или
отрицательным) называется радиусом кривизны. Центр
кривизны удален от точки Р по нормали на расстояние
р. Поэтому радиус-вектор точки Рс равен
17.36
Гс = Г + рЯ.

452 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ [ГЛ. 17
Если точка Р описывает данную кривую (которую
мы считаем отличной от прямой и окружности), центр
кривизны Рс описывает некоторую кривую, которую
называют эволютой1). Эволюту можно параметризовать
длиной ее дуги sc. Единичный вектор tc касательной к
эволюте задается следующим образом:
sctc = -gj- (г + рл) = г + ря + pn = t — рх* -f рц = рп.
Так как ^ и п — единичные векторы, отсюда следует,
что
s\ = ± р и ^ = ± пс,
т. е. касательная к эволюте совпадает с нормалью к
исходной кривой (см. рис. 216). Таким образом, эволюту,
которую мы определили как геометрическое место
центров кривизны данной
кривой, можно
определить как огибающую
нормалей.
Интегрируя
дифференциальное уравнение dsc =
= ±dp, получим, что для
некоторой константы а
sc = a±p.
Если рассматривать
прямую РРС как твердый
стержень, катящийся без скольжения по эволюте, то
конец Р этого стержня описывает исходную кривую. Эта
кривая называется эвольвентой своей эволюты. Выбирая
на катящемся стержне различные точки, мы получим
семейство «параллельных» кривых, каждая из которой
будет эвольвентой.
Если изменить обозначения rc, sc, tc на г, s, t, то
мы можем сказать, что точка эвольвенты данной кривой
задается вектором
r-\-(a — s)t.
!) Более подробное рассмотрение этого вопроса см.: A. Ost-
г о w s k i, Uber die Evoluten von endlichen Ovalen, Journal fur die
reine und angewdndte Mathematik 198, 1957, стр. 14—27.
Рис. 216.

§3]
КРИВИЗНА, ЭВОЛЮТЫ И ЭВОЛЬВЕНТЫ
453
Метод нахождения t, п и к, который мы применили
в случае окружности (см. текст, следующий за
формулой 17.34), применим для любых кривых, у которых
декартовы координаты заданы параметрическими
уравнениями. Однако в случае центральных конических
сечений лучше всего получить эволюту как огибающую
нормалей (см. упр. 3 в конце § 5 гл. 8).
Для кривых, заданных полярными уравнениями,
предпочтителен более геометричный способ нахождения
Рис. 217.
t п и и. Найдем, например, центр кривизны Рс в
точке Р логарифмической спирали 8.71. Заметим, что
г|) = 0 + ф (рис. 217). Так как, кроме того,
dr dr .
^- = cos<p и w = /-ctg<P,
мы получим
dty dQ dQ dr sincp
ds ds dr ds r '
так что
PPC = p = r cosec ф.
Поэтому прямая OPc перпендикулярна к OP (Л э м б [2],
стр. 337) и координаты точки Рс можно записать в виде
rc = rctg9, 0, = 0 + ~.

454 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ [ГЛ. 17
Так как r — rctg(p и G = GC — -^-я, то уравнение
эволюты имеет вид
г tg ф = a\i 2.
Так как, далее,
In tg ф Intgcp
tg ф = \i ln I* = [A ct2 Ф r= (X*g Ф In *£ Ф,
то уравнение эволюты можно переписать так:
г = а\х2
Эта запись показывает, что эволюта получается из
исходной спирали некоторым вращением. [Этот результат
вытекает также из следующего геометрического
рассуждения: так как спираль переходит в себя при
центрально-подобном вращении, то это центрально-подобное
вращение должно переводить в себя и ее эволюту.]
Если вращение, переводящее спираль в эволюту,
состоит из целого числа полных оборотов, то
соответствующая спираль является своей собственной эволютой. Это
произойдет в том случае, если существует такое
натуральное число п, что
~ + tgq>lntgq> = 2/*n.
Это равенство можно переписать в виде
трансцендентного уравнения для х=4§ф:
х log х = (2п — -g-J я.
Для каждого натурального числа п существует в
точности одно решение такого уравнения. Значениям
п=1 и п = 2 приближенно соответствуют углы ф = 74°39'
(Канди и Роллетт [1], стр. 64) и ф = 80°4Г. При
возрастании п угол ф приближается к 90° и «шаг» спирали
становится все меньше и меньше,

§ 4J ЦЕПНАЯ линия 455
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти эволюту циклоиды
х —и-{-sin и, y — l-\-cosu.
[Указание: t = I cos -~ » — sin тН. Синтетическое доказательство
этого факта дано Л э м б о м ([2], стр. 351—352).]
2. Найти эвольвенту окружности
х — cos и, у = sin и,
начинающуюся в точке, где и=0.
3. Из «простых геометрических соображений» вывести, что
радиус кривизны логарифмической спирали пропорционален длине
дуги s, отсчитываемой от начала координат:
р = s ctg ф.
§ 4. ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Мы не пользуемся обозначением а: Ь: с так
свободно, как следовало бы. Например, мы
беспокоимся о том, будет ли «лучше» считать формулы
Гудермана выражениями круговых функций
через гиперболические или наоборот... Все, что нам
нужно — это лишь написать
sh и : ch и : 1 = sin г|э: 1 : cos ф.
Э. X. Невилль (1889—1961) (из последнего
письма к автору, присланного за несколько
недель до кончины)*
Цепная линия — это кривая, указывающая форму
идеальной однородной цепи, свободно висящей под дей*
ствием силы тяжести. Эта
кривая, очевидно, лежит в
плоскости, которую мы
можем принять за плоскость
(х, у), считая ось у
вертикальной (рис. 218). Пусть
вес участка цепи единичной
длины равен W. Рассмотрим
силы, действующие на дугу
АР цепной линии, где А —
нижняя точка кривой (5 = 0).
Единичный касательный Рис 218.
вектор t в точке Р образует
с единичным вектором / оси х некоторый угол г[>, а
единичный нормальный вектор п образует тот же

456 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ [ГЛ. 17
угол с единичным вектором j оси у. Таким образом,
/. t =j • п = cos ф, /. п = — sin ф.
Если оставить точку А неизменной, то угол наклона \|>
кривой можно рассматривать как функцию от длины
дуги 5 или наоборот. На участок цепи АР действуют три
силы: натяжение Т в точке Р, направленное по
касательной t, натяжение Wa (равное весу участка цепи
некоторой длины а), направленное по вектору — iy и вес
Ws самого участка АР, направленный по вектору —у.
Так как эти три силы находятся в равновесии, то
Tt—Wai—Wsj = 0.
Чтобы исключить неизвестное (и не интересующее нас)
натяжение Т, умножим это выражение скалярно на
единичный нормальный вектор
п. Получим
Wasinty — Ws cos ф = О,
sh а
откуда
17.41
/ 5 = a tg ф.
Рис. 219. Это уравнение,
выражающее длину дуги 5 в функции
угла наклона г[>, называется внутренним уравнением
цепной линии. Чтобы перейти к декартовому уравнению
(ср. Лэмб [2], стр. 290), заметим, что
dx=ds cos\|), dy=dssin\|)
(рис. 88, стр. 184), и произведем «подстановку Гудер-
мана»:
cha = sec\p, sha=tg\|)
(рис. 219). Мы получим
sh a da = sec ф tg ф dty, da = sec ф dty.
Далее, дифференцируя 17.41, получим ds2 = a sec2 г|э rftp,
откуда следует
dx=ds cos \|) = a secty dip = a da,
dy = ds sin ф = a sec ^ tg ф dip = ad (sec Ф) = ad (ch /г).

§5]
ТРАКТРИСА
457
Пусть декартовы координаты точки А (для которой
5 = 0, гр = 0 и и=0) будут (0, а). Тогда
х = аи, y = achu
или
17.42
и х
у = асп—.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Однородная цепь ОР закреплена в точке Р и перекинута
через гладкий колышек в точке А таким образом, что над точкой А
цепь горизонтальна, а колышек вызывает ее изгиб на 90°. Если
часть цепи АР расположена так, как показано на рис. 218, то где
находится свободный конец цепи О?
2. Для цепной линии s=ashu и p=ach2w.
3. Вывести уравнение 17.42 из дифференциальных уравнений
* ««.♦-/7Т®Г и -£_±.
4. Вывести внутренние уравнения а) циклоиды x=u+s\nu,
#=cos«, б) параболы у2=21х.
5. С помощью подстановки Гудермана вычислить sec \|э tfi|>.
§ 5. ТРАКТРИСА
Рассмотрим ту эвольвенту цепной линии, которая
проходит через ее «самую нижнюю» точку А (см.
рис. 220; ср. Штейнгауз [2], стр. 212—213). Радиус-
вектор точки Р цепной линии имеет вид
г = (аи, achu) — a (и, ch и),
где и связано с 5 соотношением s = ashu. Найдем теперь
единичный касательный вектор t:
<«<*«>'=ж-аН-£=в<ь»ь«). Н-апг* Ч-
Теперь мы можем записать радиус-вектор точки Q
эвольвенты в виде
rst = a(u, chи)~аshи(--^, thu\ = a(u—thu, -^j-j)*

458
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ
[ГЛ. 17
Таким образом, рассматриваемая эвольвента цепной
линии, называемая трактрисой, имеет параметрические
уравнения
17.51
а
x = a(u — thu), у =
chu
chu )~t~
(Лэмб [2], стр. 325). Из этих уравнений нетрудно
исключить и и получить явное уравнение трактрисы.
Так как единичный вектор нормали к цепной линии
в точке Р равен (—ihu, "jha),T0 еДиничный
касательный вектор к трактрисе в
точке Q равен (thu, — jjj-j)-
Найдем радиус-вектор точки
N, лежащей на этой
касательной на расстоянии а от
точки Q:
а (и — \hu,
+ a{\hu, —-chr)=(au> 0).
Поэтому длина отрезка QN
касательной к трактрисе от
точки касания до пересечения с осью х постоянна и
равна а. Это свойство дало трактрисе ее название*):
если в горизонтальной плоскости (х, у) идти вдоль оси л:
и тащить за собой на веревке камень, который
первоначально находился в точке Л, то траектория камня
будет трактрисой. Очевидно, что ось х является
асимптотой трактрисы.
Можно сформулировать это же свойство трактрисы
по-другому, сказав, что трактриса — ортогональная
траектория семейства равных окружностей, центры которых
принадлежат одной прямой. Э. X. Локвуд1) положил
эту идею в основу приближенного построения трактрисы
и цепной линии.
Д18.
*) Tractrix — тянущая (лат.).
l) Е. Н. Lock wood, Mathematical Gazette 43, 1959, стр. 117—•

§6]
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
459
УПРАЖНЕНИЕ
Вычислить р для трактрисы. Каково значение р в «вершине» А*
где и=0?
§ 6. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
Согласно теореме 7.52, любое пространственное
движение является либо вращением, либо параллельным
переносом, либо винтовым перемещением (т. е.
произведением вращения и параллельного переноса вдоль оси
вращения).
Как заметил Г. Моцци (G. Mozzi) в 1763 году, это
утверждение справедливо не только для конечных, но и
для мгновенных перемещений: при самом общем
перемещении твердого тела в каждый момент существует
ось винтового перемещения. В случае обычного
вращения или движения винта в гайке эта ось постоянна, но
в общем случае она непрерывно изменяется. Например,
когда колесо катится по дороге, мгновенной осью вин-
тоього движения будет не ось колеса (которая
движется так же, как экипаж), а прямая, параллельная оси и
лежащая в плоскости дороги.
Любое вращение определяется действием на
переменный ортогональный трехгранник единичных векторов,
который мы по причинам, которые выяснятся позже,
обозначим t, р, Ь, так что
17.61
р = р* = &=19 p.b = bt = tp = 0.
t = pXb, p = bXt, b = tXp, {tpb)=\
(cp. 17.15). Мы будем рассматривать эти векторы как
функции от параметра s. Так как производная вектора
постоянной длины перпендикулярна к этому вектору,
производные каждого из векторов t, р, b лежат в
плоскостях двух других векторов и, следовательно,
являются линейными комбинациями этих векторов. Продиффе^
ренцировав соотношение р-Ь — 0, мы видим, что
коэффициент при р в выражении для b отличается только
знаком от коэффициента при b в выражении для/*; то

460 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ [ГЛ. 17
же имеет место для остальных пар векторов.
Следовательно, имеются такие скалярные функции и, К т от s,
что
17.62
i = ytp — lb, р — тЬ— nt, b = li— г p.
Эти производные удобно записывать с помощью
вектора Дарбу
d = xt-\-'kp-\-Kb,
так как легко проверить, что
a = dXa,
где а совпадает с t, р или Ь или с любым вектором,
жестко связанным с перемещающимся трехгранником
(ср. К рей с иг [1], стр. 44; (Р ашевски й [2], стр. 173—
174)). Мы можем опустить переменный вектор а и
написать символически
17.63
Единичный касательный вектор t=r в произвольной
точке Р пространственной кривой определяется так же,
как и в плоском случае. Но вместо одной нормали мы
имеем теперь нормальную плоскость, состоящую из
целого плоского пучка нормалей. Из этих нормалей мы
выделим две: главную нормаль с единичным вектором р,
направленным вдоль t, и бинормаль с единичным вектором
b = tXp,
перпендикулярным к плоскости tp. Так как эта плоскость
содержит и вектор t и его производную, то порядок
касания кривой с этой плоскостью выше, чем с любой
другой плоскостью, проходящей через t. В связи с этим
плоскость tp называют соприкасающейся плоскостью
кривой в точке Р (в ней лежат векторы скорости и
ускорения точки, движущейся по кривой; Ф о р д е р [3],
стр. 131).
Формулы 17.62 применимы к производным векторов
t, р, Ь с тем упрощением, что здесь Я=0, так как мы

§6]
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
461
выбрали р направленным по вектору i. Таким образом,
мы получаем формулы Серре — Френе
17.64
t = npt p = rb— xf, b= — xp,
которые можно сокращенно записать в виде 17.63, если
положить
17.65
d = хй + xt.
Коэффициенты хит называются кривизной и
кручением кривой в точке Р.
Если кривизна х постоянна и равна нулю, то вектор t
не изменяется и «кривая» представляет собой прямую.
Кривизна х показывает, насколько кривая отклоняется
от своей касательной. Так же, как и в плоском
случае, пространственная кривая имеет соприкасающуюся
окружность с радиусом 1/х, лежащую в
соприкасающейся плоскости, причем ее центр находится на главной
нормали. Радиус-вектор центра соприкасающейся
окружности имеет вид r + р/?, где р = радиус кривизны.
Если кручение х постоянно и равно нулю, то
соприкасающаяся плоскость кривой не изменяется и мы
получаем плоскую кривую, для которой п=р. Кручение
[этот термин ввел Л. И. Балле (L. I. Vallee) в 1825 году]
показывает, насколько кривая отклоняется от своей
соприкасающейся плоскости.
Формулы (17.64) вывели Серре (J. A. Serret, 1851)
и Френе (F. Frenet, 1852), не пользуясь векторными
обозначениями, т. е. в виде формул для производных
направляющих косинусов касательной, главной нормали
и бинормали. Добавив к этим формулам соотношение
r = tf
получим
г = пр, г' = пр + х (xb — х/),
откуда
|г|=х, (ггг) = и2т.

462 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ [ГЛ. 17
УПРАЖНЕНИЯ
1. Центр кривизны в любой точке сферической кривой лежит
в основании перпендикуляра, опущенного из центра сферы на
соприкасающуюся плоскость кривой в данной точке.
2. Касательная к геометрическому месту центров кривизны
произвольной кривой перпендикулярна к касательной к кривой в
соответствующей точке.
3. Для любой пространственной кривой
<Ш) = *8(ХТ-ХТ) = К»^(-£),
(6 ЪЬ) = т3 (хт —хт) = т5 -jj- ^.
§ 7. ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ
Как мы видели в § 7 гл. 8, траектория точки,
перемещающейся в плоскости под действием непрерывного
центрально-подобного вращения, представляет собой
логарифмическую спираль. Аналогично траектория точки,
движущейся в пространстве под действием
непрерывного винтового перемещения, представляет собой
(цилиндрическую) винтовую линию (§ 5, гл. 11). В цилин*
дрических координатах (г, 9, г), которые определяются
соотношениями
x=rcos9, f/ = r sin 9, z— обычное,
винтовое перемещение вокруг оси z запишется в виде
(г, 9, г)->(г, 9 + и, z + uc),
т. е. является произведением вращения 9-* 9 +и и
параллельного переноса z-+z + uc. Применяя это
винтовое перемещение к точке (а, 0, 0), получим точки
(а, и, ис). Таким образом, винтовая линия задается
параметрическими уравнениями
r=a, 9 = w, z = uc
или
х=а cos и, у = а sin и, z=cu
(Везерборн [2], стр. 16; <Р ашев ский[2], стр. 183)).
Исключив из этих уравнений параметр и, получим
уравнения
r = a, z=cQ

§7]
ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ
463
ИЛИ
х2 + у2 = а2, -J=tgf.
Таким образом, винтовую линию, которая имеет
форму перил винтовой лестницы, можно представить в виде
пересечения двух поверхностей — прямого кругового
цилиндра
г=а или х2+у2 = а2
и геликоида — поверхности, которая имеет форму самой
винтовой лестницы (Штейнгауз [2], стр. 196):
z = cQ или !- = tgj.
Дифференцируя по 5 выражение
r=(acosw, a sin и, си),
получим
t= й (—a sin и, a cos и, с).
Так как вектор t — единичный, то
1
Мы временно сохраним для этой константы
сокращенное обозначение й. Формулы Серре — Френе дают
%p — i—u2(—acosiit —asinu, 0) =
== — и2а (cos и, sin#, 0),
к =r u2a = 2 , 2 ,
я2 + с2
p = — (cosu, sinu, 0) (перпендикулярен к оси г),
b = tX р = и (с sin и, —с cos uf а),
— тр = 6 = и2с (cos и, sin и, 0),
х = и2с— 2 . о .
а2 -\~с2
Таким образом, и кривизна х и кручение т винтовой
линии постоянны. Этот результат можно без труда
вывести из того, что винтовое перемещение, переводящее

464 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ (ГЛ. 17
винтовую линию в себя, сохраняет кривизну и кручение
кривой. Обратно, так как любое движение — это
винтовое перемещение, то любая кривая, у которой кривизна
и кручение постоянны, — это винтовая линия (сюда
нужно включить также и предельные случаи — прямую
% = 0, а = 0 и окружность т = 0, с = 0).
Если к и т постоянны, то вектор Дарбу 17.65 жестко
связан с движущимся трехгранником, и поэтому к нему
применима формула 17.63. Поэтому
d = dxd = 0,
т. е. вектор d постоянен. Если движение касательной к
плоской кривой в данной точке представляет собой, как
известно, вращение вокруг центра кривизны, то
движение трехгранника tpb пространственной кривой
представляет собой винтовое перемещение вдоль некоторой
прямой, параллельной вектору Дарбу. В случае плоской
кривой центр кривизны является центром окружности,
наиболее тесно прилегающей к данной кривой в данной
точке. Аналогично для пространственной кривой
винтовая ось — это ось винтовой линии, наиболее тесно
прилегающей к кривой, т. е. винтовой линии, имеющей в
этой точке тот же трехгранник tpb и те же кривизну и
кручение. Таким образом, винтовая ось имеет
направление кЬ-\-тЬ и проходит через конец вектора
г-\-ар,
где число а — это радиус кругового цилиндра, на
котором лежит винтовая линия. Это число можно получить,
исключив с из уравнений
а с
К~ а2 + с2 ' Т~ а2 + с2 '
откуда получим
к
а ~ X2 + т2 '
В случае плоской кривой имеем т = 0, я = р, вектор
г-{-ар превращается в т + ри, а вектор Дарбу —в
кЬ, т. е. вектор Дарбу перпендикулярен к плоскости
кривой.

§8]
ЛИНИЯ ОТКОСА
465
УПРАЖНЕНИЯ
1. Ортогональная проекция винтовой линии на плоскость,
проходящую через ее ось, — синусоида у = a sin —.
2. Описать поверхность, образованную серединами хорд
винтовой линии.
3. Геометрическое место центров соприкасающихся
окружностей винтовой линии Н совпадает с другой винтовой линией #',
а геометрическое место центров соприкасающихся окружностей
линии И' образует линию Я. Для какого значения отношения
— (или —| линии И и И' равны?
а \ к) F
§ 8. ЛИНИЯ ОТКОСА
Винтовая линия характеризуется постоянными
значениями кривизны и кручения. Она является частным
случаем так называемых линий откоса, которые можно
определить как кривые с постоянным отношением
кривизны и кручения, либо как кривые, у которых
касательная образует постоянный угол с некоторым
фиксированным вектором. Сейчас мы докажем
эквивалентность этих двух определений.
Пусть отношение кривизны и кручения кривой
постоянно (т. е. не зависит от s), например,
т = ск.
Тогда
/ = */?, 6 = — г/? = — скр,
ci + b = 0.
Это последнее выражение представляет собой
производную вектора ct-\-b, который, таким образом,
постоянен. Но этот вектор образует постоянный угол с
вектором t, так как
(ct-{-b)t = c.
Обратно, пусть вектор t образует постоянный угол |3
с некоторым единичным вектором k. Дифференцируя
уравнение
t. k = cos р,

466 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ [ГЛ. П
получим
хр. k = 0.
Предполагая, что кФО, получим р* k = 0, т. е.
постоянный вектор k лежит в плоскости Ы и образует с
векторами b и t два дополнительных угла. Так как
#.ft = cosp, то
b • Л = sin р.
Дифференцируя уравнение/* • k = 0, получим
(xb — nt) -k — 0, tsinp — xcosp = 0, Y = tgP-
Прямые, проходящие через все точки данной кривой
в постоянном направлении k, образуют цилиндр общего
вида. Таким образом, мы можем определить линию
откоса как кривую на цилиндре, которая пересекает его
образующие под постоянным углом. Другими словами,
если начертить на листе бумаги прямую, а затем
изогнуть этот лист в форме цилиндра, то прямая перейдет
в линию откоса.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Применяя оператор Дарбу 17.63 к постоянному вектору Л,
получить, что
Отсюда вытекает, что вектор Дарбу d~ub-\-xt параллелен век*
тору к: его направление постоянно (хотя его длина у к2 + *2
может изменяться).
2. Найти хит для кривой
х а. Зи — ы3, у=* 3u2, z = Зи + иг
и убедиться, что эта кривая — линия откоса.
§9. КОНХО-СПИРАЛЬ
Спирали, начерченные на раковинах, называются
конхо-спиралями. Их можно получить,
наматывая плоские логарифмические спирали на конусы.
Генри Мозли (1801-1872) [I], стр. 301.
Двумя наиболее интересными^ случаями линии
откоса являются: 1) винтовая линия, рассмотренная нами
в § 7, которую описывает точка, движущаяся под
действием непрерывного винтового перемещения, и 2) /соя-

§9]
KOHXO-СПИРАЛЬ
467
хо-спираль, которую описывает точка под действием
непрерывного центрально-подобного вращения.
Кривизна и кручение такой кривой обратно пропорциональны
длине 5 дуги, отсчитываемой от вершины О конуса,
на котором эта кривая, очевидно, лежит (и пересекает
его образующую под постоянным углом). Большую
дугу этой кривой можно наблюдать на раковине Тиг-
ritella duplicata (В ей ль [1], стр. 68; (см. выше рис. 83
на стр. 164),).
Применения этой кривой в архитектуре можно
усмотреть на шпилях в Копенгагене, наиболее выдающимся
из которых является шпиль фондовой биржи, где в
виде конхо-спирали скручены хвосты четырех
драконов.
В цилиндрических координатах центрально-подобное
вращение, ось которого совпадает с осью г,
записывается так:
(г, 0, z)->(\xur, Q + u, \xuz);
оно переводит точку (а, 0, с) в точки конхо-спирали
г = |я"а, 0 = и, z = \iac.
Покажем теперь, что винтовую линию можно рассма*
тривать как предельный случай конхо-спирали. Будем
перемещать начало координат по оси г, так что
координата z перейдет в z+c, и устремим с к бесконечности,
a ii — к 1 так, чтобы произведение (jli—\)с стремилось
к конечному числу Ь. Вместо г=\хиа и z=\iuc мы
получим г=а и
Таким образом, в пределе получится винтовая линия
r = a, Q — u, z = ub.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Записать параметрические уравнения конхо-спирали в
декартовых координатах.
2. С помощью'этих уравнений проверить, что касательный век-*
тор t к конхо-спирали образует постоянный угол с осью z.

468 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ [ГЛ. 17
3. Найти угол, под которым конхо-спираль пересекает
образующие конуса
г __ z
а ~~ с
4. Если вырезать из бумаги круговой сектор и склеить два
радиуса, то получится конус. Центральный угол а этого сектора и
угол раствора конуса р связаны соотношением
а = 2я sin Р;
например, если р = -^-, то сектор представляет собой полукруг.
Если р=—, где п — целое число, большее единицы, то прообраз
любой конхо-спирали на конусе состоит из дуг п логарифмических
спиралей.
5. Как и всякая линия откоса, конхо-спираль лежит на
некотором цилиндре и пересекает его образующие под постоянным уг-«
лом. Что это за цилиндр?

ГЛАВА 18
ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
В этой главе, разделяющей главы, посвященные
дифференциальной геометрии кривых (гл. 17) и
дифференциальной геометрии поверхностей (гл. 19), мы введем
знаменитые обозначения Риччи, столь же плодотворные,
сколь экономные (например, без их использования было
бы трудно сформулировать общую теорию
относительности). Одно из наиболее простых применений этих
обозначений не имеет прямой связи с дифференциальной
геометрией: это «взаимные решетки», применяемые в
рентгеновской кристаллографии (§3) и в геометрии чисел (§4).
§ 1. ВЗАИМНЫЕ БАЗИСЫ
Тензорный метод ... имеет огромное
преимущество, состоящее в том, что это не новые
обозначения, а сжатый способ записи обычных обозначений.
Гарольд Джефрейс (род. 189!) [I], предисловие.
Базис нашего векторного пространства (или репер,
задающий систему аффинных координат) более
систематично обозначать не через е, /, g (см. 17.11) или /, у, k
(см. 17.14), а через rlf r2, г3. Наряду с этой тройкой
независимых векторов можно использовать взаимный
базис г1, г2, г3, определяемый равенствами
18.11
г гр — V
где 6р — это символ Кронекера: $—1 при а = р, йа = 0
при а=£р. [«1, 2, 3» взаимного базиса — не показатели
степени, а «верхние индексы», аналогичные индексам
исходного базиса.] Вектор г1 перпендикулярен к плоскости
г2г3, а длина его выбрана так, что г1 • гх = 1; аналогичны-

470
ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
[ГЛ. 18
ми свойствами обладают и векторы г2, г3. Так как каждый
из векторов га перпендикулярен к двум векторам гр,его
можно представить в виде векторного произведения:
18.12
-1 _ Г2ХГз г2 _ ГзХП
Г —~1 ' Г —~1
Г —~1 '
где, так как га-га=1,
18.13
J = {rx г2 г3).
Так как векторы га независимы, то 1ф0. Согласно 17.17
имеем
1,
(ri г2 г*){гх г2 га
.
поэтому
18.14
) =
г1. гх г1 • г2 г1 • г3
г2-п г2-г2 Г2Г3
Г3 П Г3 • Г2 Г3 . Г3
>___
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(rV2r3) = y,
и следовательно, взаимные векторы также независимы.
Поменяв местами верхние и нижние индексы в
формулах 18.12, получим
18.15
гх =Jr> X г3, r2 = Jr* X r\ r3 = Jr* X г2.
УПРАЖНЕНИЕ
Вывести формулу 18.14 из 18.12, не используя 17.17.
[Указание: примените формулу 17.13 к векторам г2, г3, г2, г3.]
§ Z ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ТЕНЗОР
Произвольный вектор и можно представить в виде
S^V" (что означает ихг1 + и2г2 г^-иъгъ) или в виде
2квгв. Ко вариантные х) координаты иа и контравари-
!) По поводу истории тонкостей, лежащих в основе терминов
«ковариантный» и «контравариантный», см. К рей сиг [1], стр. 88.
Современная трактовка этих терминов была предложена Г. Гессен-
бергом: см. G. Н е s s е n b е г g, Vectorielle Begrundung der Diffe-
rentialgeometrie, Mathematische Annalen 78, 1917, стр. 187—217*

$2]
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ТЕНЗОР
471
антные координаты и<* — это просто скалярные
произведения и • га и и • г*. В самом деле,
[В выражениях типа 2#a/"a,rp суммирование
производится по индексу а, который встречается дважды, один
раз внизу и один раз наверху, а не по индексу р,
который встречается только один раз. Сумма 2бр#а состоит
из трех членов, соответствующих трем значениям
индекса а, одно из которых равно Р; поэтому «неполный
символ» 2 $[ можно рассматривать как оператор,
переводящий иа в и$.] Таким образом,
18.21
* = 2<*-Гр)/* = 2(*-гР)гэ.
Эти формулы, конечно, справедливы и тогда, когда
и = га или г°. В этом случае координаты и^ — u-r^ н
ifi = u-r$ обозначаются так:
18.22
так что
18.221
g*t = r*-rv ga* = ra-r*>
[В выражении Sg^r3 дважды встречается индекс р,
поэтому суммирование ведется по нему, так что
2igotf* = ga\rl ~+-ga2r2 + g<#r3.] Из коммутативности
скалярного произведения вытекает, что g"a3=g"|3a» ga&=g*a.
Ковариантный тензор ga$ и контравариаятный
тензор ga$ связаны следующим соотношением:
18.23
Таким образом, произведением симметрических
матриц ||gap|| и Hg^U является единичная матрица.
Определители этих матриц не могут обращаться в нуль, так

472 ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. 18
как их произведение равно 1. Если заданы
коэффициенты gay, то, согласно 18.23, для каждого значения р имеет
место система трех линейных уравнений
givg* + g2yg2* + g3yg3* = $ (Y=l. 2, 3),
из которых можно найти три неизвестные g"1^ g2$, g3&.
Согласно правилу Крамера (Биркгоф и Мак Лейн
[1], стр. 306; (Курош [1], стр. 27)), решения этой
системы запишутся так:
«в С°Р
где G=det(g"ap), a Gap — алгебраическое дополнение
g"a3 в этом определителе. В частности, если g2z=gsi=:
=gl2 = 0, ТО
£•«<* _ __L_ и g-23 = g-31 _ gl2 _ Q^
Выразим ковариантные координаты вектора и через
контравариантные:
18.24
Аналогично #a = 2ga|3#e- Скалярное произведение двух
векторов « = 2#a*'a = 2'Va и v — ^v^r^ = S^prP
можно различными способами представить в виде
билинейной формы от их координат:
а • V = 2 иага • V — 2 #at>a>
#. я=2 ^аг° •0=2 *v^a»
«. fF=2 «°re. 2 «ргэ=2 И*вЭ«вЛ
«.«f = 2 v" • 2 v*=22 ga4v
В частности, длина |и| вектора «дается формулой
18.25
lttP=«./, = 2^a = 22^B^p=S2^4v
Рассмотрим теперь векторы и uv как
радиусы-векторы точек с контравариантными координатами (г/1, и2, и3)

§2]
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ТЕНЗОР
473
и с ковариантными координатами (vu v2, v3). Пусть
вектор и фиксирован, а вектор v—переменный. Тогда
первое из двух уравнений
18.26
и . v = О, и • v = 1
определяет плоскость, проходящую через начало
координат и перпендикулярную к вектору я, второе —
плоскость, также перпендикулярную к вектору и и удален*
ную от начала координат на расстояние, равное длине
проекции вектора v на единичный вектор у^т» т. е.
на расстояние
V-
1
Вторая плоскость проходит через образ точки (и\и2,и3)
при инверсии с центром в начале координат и степенью
1, т. е. инверсии со сферой инверсии v • v=\ (см. выше,
стр. 144). Это плоскость называется полярной
плоскостью точки (и\ и2, и?) относительно единичной сферы
v-v=l (см. § 8 гл. 8, стр. 197).
Иногда бывает удобно представить базисные векторы
в декартовых координатах
Тогда, согласно 18.22 и 17.151,
18.27
18.28
I хх Уу zx
J = (ryr2r3) = \x2 у2 z2\
I хъ Уз z31
Определитель фундаментального тензора равен
18.29
G =
gll gl2 g\3
g2\ g22 #23
§31 c?32 §33
=
Xi
x%
x3
</l
Уг
Уз
Zl\\
zA\
z3\
Ху X2 X%
У\ Уг Уя
Z\ %2 Z3
= /2.

474
ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
[ГЛ. 13
УПРАЖНЕНИЯ
1. U • V=UlVi + U2V2 + U3Vz-
2. \U\2 = gU(u*)2 + g22(U2)2 + g33(u*)* + 2g23UW + 2g3lU*Ui+2gl2U*u\
Дать соответствующее выражение для и • v.
3. С помощью 1812, 18.221 и 18.15 доказать формулу 17.12,
записав последнюю так:
(/"1 X г2) X гг = gl3r2 — &23/V
4. 2гаХга = 0.
5. Выразить det(gaJ5) через G = det(gap).
§ 3. ВЗАИМНЫЕ РЕШЕТКИ
Я могу с уверенностью сказать, что взаимные
решетки дают нам одно из самых важных
орудий для исследования дифракции рентгеновских
лучей на кристаллах.
М. Дж. Бюргер [1], стр. 107,
Изучение дифракции рентгеновских лучей
показывает, что симметричная структура кристаллов является
следствием симметричного расположения атомов и
молекул. Другими словами, имеется бесконечная группа
симметрии, переводящая узор из атомов или молекул
(мы считаем, что этот узор распространен на все
пространство) в себя. Эта группа может включать или не
включать вращения, симметрии, скользящие симметрии,
вращательные симметрии или винтовые перемещения,
но она всегда содержит параллельные переносы,
которые образуют непустой нормальный делитель группы
симметрии. Эта подгруппа определяет решетку,
единичная ячейка которой может содержать один или
несколько атомов. Расположение атомов в одной из ячеек
определяет их расположение в остальных ячейках, которые
получаются из первой с помощью параллельных
переносов. Если единичная ячейка содержит один атом, мы
можем выбрать начало координат в центре одного из таких
атомов; тогда вместо одного атома внутри каждой
ячейки мы получим по одному атому в каждой
вершине, т. е. в каждой точке решетки. Но если единичная
ячейка содержит несколько атомов, то атомы
образуют несколько налагающихся друг на друга решеток.
Таким образом, каждый кристалл имеет однозначно

§3]
ВЗАИМНЫЕ РЕШЕТКИ
475
определенную группу параллельных переносов и
решетка задается выбором начала координат (в центре атома
или в другом месте). Теоретически имеется
неограниченный выбор единичных ячеек, но на практике мы
стремимся выбирать базисные векторы приблизительно
равной длины. Однако объем единичной ячейки вполне
определенный, так дак он зависит от числа точек
решетки в кристалле данной величины. В самом деле, три
произвольных независимых вектора порождают
параллелепипед, и он будет единичной ячейкой данной
решетки, если все его вершины лежат в точках решетки и нет
точек решетки на его ребрах, гранях и внутри него.
Аффинная теория показывает, что
последовательность «рациональных плоскостей» 13.93 можно выбрать
бесконечным множеством способов. В евклидовой гео-»
метрии эти последовательности перестают быть нераз*
личимыми: каждой из них соответствует свое
межплоскостное расстояние, которое можно измерить как
расстояние от начала координат до «первой» плоскости:
18.31
Xx + Vy + Zz = \.
Каждая последовательность рациональных
плоскостей содержит все точки решетки. Следовательно, если
мы сравним одну из таких последовательностей с
другой, межплоскостное расстояние будет пропорционально
плотности распределения точек решетки на одной
плоскости последовательности. Это очень важно с
физической точки зрения, так как плоскости граней и
плоскости расщепления кристаллов, естественно, встречаются
преимущественно среди рациональных плоскостей с
высокой плотностью точек решетки. В соответствии с этим
мы интересуемся главным образом
последовательностями рациональных плоскостей, отвечающими
относительно большим межплоскостным расстояниям. С другой
стороны, наиболее интересные видимые точки — те
точки, которые лежат ближе всего к началу координат.
Сейчас мы рассмотрим такие пары решеток, что отрезки,
соединяющие начало координат с видимыми точками од.
ной решетки, перпендикулярны рациональным
плоскостям второй, а длины этих отрезков обратны соответ-

476 ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. 18
ствующим межплоскостным расстояниям (Бюргер [1],
стр. 117). Таким образом, наиболее важным плоскостям
одной решетки будут соответствовать наиболее важные
точки другой.
Такие решетки весьма просто определить с помощью
взаимных базисов (Кокстер [1], стр. 181), причем, как
легко видеть, результат не зависит от выбора базиса.
Если данная решетка состоит из точек, которые имеют
в некотором базисе целочисленные контравариантные
координаты, то взаимной ей мы назовем решетку,
состоящую из точек с целочисленными ковариантными ко*
ординатами. Другими словами, точки взаимных
решеток— это соответственно концы векторов
и = 2 иага И V — 2 ^аг°,
где иа и va — целые числа и га • Гр = 6$. Соотношение
u-v—l или ulVi-^u2v2-\-u3vs= 1 (см. 18.26)
означает, что и\ и2, и3 взаимно просты, так же как
Vu 02, 0з- Для каждой видимой точки (и\ и2, и3)
данной решетки оно совпадает с уравнением 18.31;
таким образом, оно определяет первую рациональную
плоскость взаимной решетки, перпендикулярную к
вектору и и находящуюся на расстоянии -j—: от начала ко-
ординат. Так как базисы ги г2, г3 и г1, г2, г3 взаимны,
то слова «контравариантный» и «ковариантный» можно
поменять местами, т. е. соответствие между двумя
взаимными решетками симметрично. Первая рациональная
плоскость одной из них является полярной плоскостью
видимой точки другой (относительно единичной сферы).
Форма единичных ячеек двойственных решеток
определяется скалярными произведениями 18.22. Длины
ребер этих параллелепипедов удобно обозначить
18.32
ga = Vgaa = \ra\> ga = Vgaa = \ra\.
Тогда косинусы углов между парами соседних ребер
будут
#23 gai g\2 g23 g31 g12
g2g* ' g*gi ' gig? ' *V ' g3gl ' g]g2 '

§3]
ВЗАИМНЫЕ РЕШЕТКИ
477
В силу 18.13 и 18.14, объемы этих параллелепипедов
равны /и у, где (см. 18.29)
J = VG, G = detteap).
Простейшим частным случаем является кубическая
решетка, состоящая из точек с целочисленными
декартовыми координатами. В этом случае
rx = r\ = ly r2 = r2=J, r3 = r* = k,
т. е. различие между ковариантными и контравариант-
ными координатами исчезает и решетка оказывается
взаимной самой себе. Другими важными случаями
являются подрешетки этой простой кубической решетки,
т. е. решетки, получающиеся при наложении на
целочисленные координаты каких-либо ограничений. Так,
если потребовать, чтобы сумма трех координат точки
была четной, то получится решетка, точки которой
лежат в вершинах и в центрах граней кубов с ребром
длины 2; если потребовать, чтобы все три координаты
были одновременно либо четными, либо нечетными, то
получится решетка, точки которой лежат в вершинах
и в центрах кубов с ребром длины 2. Каждая из этих
двух решеток подобна взаимной для другой решетки; в
самом деле, базисы
18 33
г,=(0, 1, 1), г2 = (1,0,1), г3 = (1, 1, 0),
18.34
г» = (-1,1,1), /« = (1,-1, 1), г» = (1, 1,-1),
очевидно, удовлетворяют тривиально видоизмененному
условию 18.11, а именно,
r°-rp = 26^.
Это означает, что рассматриваемые решетки _взаимны,
если принять за единичную сферу радиуса |/2. Чтобы
сделать решетки взаимными, мы должны просто
разделить координаты всех точек одной решетки на 2 (или
все координаты точек обеих решеток на 1/2).

478 ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. 18
Для сравнения укажем, что обозначения Бюргера
([1], стр. 117—127) а, Ь, с, а\ b\ с\ a, b, с, а\ Ъ\ с\
d(hki), опт, V, V* соответствуют нашим обозначениям
Гц Г2, Г3, Г1, Г2, Г3, glt g2, gg, g1, g2, g3, -j-ip IF, /, -1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Рассмотрите две плоские решетки, которые получаются одна
из другой поворотом на 90°. Представьте их в виде «взаимных ре*
шеток»
M1ri+w2r2 и vlrl-\-v2r3.
[Указание: вектор г1 перпендикулярен к г2, а г2 — к гь так
что остается условие rlrx = r2r2.\
2. Напишите фундаментальные тензоры для кубической
решетки с центрами граней и кубической решетки с центрами ячеек с
базисами 18.33 и 18.34. Нарисуйте единичные ячейки этих решеток,
являющиеся ромбоэдрами. (Первый из них можно рассматривать
как октаэдр с правильным тетраэдром, примыкающим к каждой
из двух противоположных граней.)
3. Трехмерные решетки, так же как и двумерные (§ 1 гл. 4),
имеют область Дирихле (или многогранник Вороного). Эта область
состоит из точек, для которых начало координат является самой
близкой из точек решетки. Для простой кубической решетки об*
ласть Дирихле — куб; для кубической решетки с центрами граней —
ромбододекаэдр, гранями которого являются двенадцать равных
ромбов; для кубической решетки с центрами кубов — усеченный
октаэдр, гранями которого являются восемь квадратов и шесть
правильных шестиугольников (Ш т е й н г а у з [2], стр. 152, 157).
§ 4. КРИТИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ НА СФЕРЕ
Дана ограниченная область К..., для которой
начало координат О является внутренней точкой.
Рассмотрим решетки, не имеющие внутри об*
ласти К точек, отличных от О. Нижняя гоань
определителей таких решеток называется
критическим определителем области К..., а решетка,
для которой эта нижняя грань достигается,
называется критической решеткой области К.
Гарольд Дэвенпорт1) (род. 1907),
Для каждой решетки существует некоторый
минимум с расстояний между ее точками и некоторый
объем / ее единичной ячейки. Этот объем / называется
l) Н. Davenport, Recent progress in the geometry of
numbers, Proceedings of the International Congress of Mathematicians,
1950, т. 1, стр. 166.

§4]
КРИТИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ НА СФЕРЕ
479
определителем решетки, так как он равен определителю,
составленному из декартовых координат базисных
векторов га. Докажем, что при данном значении с
минимальным определителем обладает кубическая решетка
с центрами граней1).
Рассмотрим произвольную точку А данной решетки
с определителем /. Выберем точку В на минимальном
расстоянии с от точки А и точку С, не лежащую на
прямой АВ и находящуюся на минимальном из всех таких
точек расстоянии Ь(^-с) от точки А. Такие точки,
очевидно, всегда можно выбрать. Угол А и стороны а, Ь, с
треугольника ABC удовлетворяют неравенствам
и, следовательно,
62 + с2>а2
(рис. 221). Пусть Д — площадь этого треугольника, R—-
радиус окружности, описанной около него. Тогда, в силу
1.53 и 1.55,
16А2 = — a4 — bA — c* + 2b2c2 + 2c2a2 + 2a2b2,
16A2/?2 = 6W.
Плоскость ABC является, конечно, рациональной
плоскостью решетки. На одной из двух ближайших к ней
параллельных
рациональных плоскостей С /Г
имеется точка решетки
Д которая при
ортогональном
проектировании на плоскость ABC
переходит в точку Diy
лежащую внутри или Рис. 221.
на границе
параллелограмма АВА'С. Без ограничения общности можно
считать, что точка Di лежит внутри или на границе
треугольника ABC, так как в противном случае мы просто
l) А. P. Dempster, The minimum of a definite ternary
quadratic form, Canadian Journal of Mathematics 9, 1957,
стр. 232—234.
•MZU
А С Я

480
ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
[ГЛ. 18
заменили бы этот треугольник треугольником А'ВС.
Пусть DDi = d. Тогда
/ = 2АяГ.
Так как ни один из отрезков AD, BD, CD не
параллелен АВ, то все они не короче, чем Ь. Так как
треугольник ABC— не тупоугольный, круги радиуса R с
центрами в вершинах покрывают его таким образом, что
любая внутренняя точка треугольника, за исключением
центра описанной окружности, лежит внутри по крайней
мере одного круга. Следовательно, расстояние от точки
Di до одной из вершин треугольника наверняка меньше
/?, если точка D4 не является центром описанной
окружности, и равно R в этом последнем случае. Таким
образом, квадрат по крайней мере одного из отрезков AD,
BD, CD больше или равен R2 + d2 и, следовательно,
R2 + d2>b2t
где равенство может достигаться (но не обязательно
достигается!) только в том случае, когда Di — центр
окружности, описанной около треугольника ABC. Далее,
Р = (2 Ad)2 > 4Д2 (b2 — R2) =
= т *2 (— я4 — ь* -г- с4 + 2b2c2 -+- 2с2а2 +- 2а2Ь2) =
= Т + т °2 ^ -^ <3*2 + 2с*> +
+ \b2{a2 — b2)(b2 + c2-a2)^±c*,
причем равенство достигается тогда и только тогда,
когда
J^2 + d2 = b2t b==c
и либо а) а = 6, либо б) Ь2 + с2 = а2.
Таким образом, по-видимому, существуют две «кри-
J
тические решетки», для которых отношение -j достигает
своего минимального значения 1/ -к. Однако мы
сейчас увидим, что обе эти решетки являются просто двумя
вариантами одной и той же кубической решетки с
центрами граней.

§4]
КРИТИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ НА СФЕРЕ
481
В случае а) (рис. 222) тетраэдр ABCD —-
правильный, и мы можем выбрать систему декартовых
координат таким образом, чтобы его вершины имели
координаты
(0,0,0), (0, 1, 1), (1,0, 1), (1, 1,0),
что соответствует выражениям 18.33 для базисных
векторов кубической решетки с центрами граней. В
случае б) (рис. 223) ABA'С — квадрат, a ABA 'CD —
пирамида, боковые грани которой являются равносторонними
Рис. 222. Рис. 223.
треугольниками. Выбрав систему декартовых
координат, в которой точки Л, В и D имеют те же координаты,
что и в предыдущем случае, получим, что точка С имеет
координаты (0,1, —1). Векторы АВ, AC, AD образуют
другой базис:
18.41
Г1 = (0, 1, 1), г3-г2 = (0, 1, -1), г3 = (1, 1, 0)
той же решетки. Таким образом, мы доказали, что
кубическая решетка с центрами граней, состоящая из точек
с целочисленными декартовыми координатами и четной
суммой этих координат, действительно является
единственной «критической» решеткой.
Согласно 18.25, квадрат длины вектора решетки
и = 2 #а/"а равен
а с2 представляет минимальное значение этой
положительно-определенной квадратичной формы от трех пере*

482 ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. 18
менных при целых и1, и2, «3, не равных одновременно
нулю. Следовательно, среди всех таких форм с данным
минимальным значением с2 минимальный определитель
0 = У2 = ^6
получится, когда базисные векторы заданы формулами
18.33. Эта форма имеет вид
(21иага)2 = (и2 + и\ и* + &, и1 + и2)2 =
= (и2 + и3)2 + (и3 4- и1)2 + (и1 + и2)2 =
= 2 {(и1)2 + (и2)2 + (и3)2 + я V + и?и> + и>и2\.
Другими словами, любая «экстремальная» квадратичная
форма эквивалентна форме
(и1)2 + (и2)2 + (и3)2 + и2и3 + и*и> + и*и2.
Этот знаменитый результат впервые доказал Г а у с с [1]х).
УПРАЖНЕНИЕ
Применяя вместо базиса 18.33 базис 18.41, получите эквива*
лентную экстремальную форму («1)2+ (u2)2+(u*)2+u2u3+uzul.
§ 5. ОБЩИЕ КООРДИНАТЫ
Положение точки евклидова пространства можно
определить с помощью трех чисел (координат) многими
способами. Наиболее распространены прямоугольные
декартовы координаты (*, уу z)y однако мы видели (см.,
например, § 7, гл. 6), что иногда более удобны другие
системы координат, например цилиндрические
координаты. Условимся обозначать общие координаты через
(и1, и2, иъ). Основное требование к таким координатам
состоит в том, что х, у, z должны быть однозначными
дифференцируемыми функциями от и1, и2, и3, а и\ и2,
и3 —-однозначными дифференцируемыми функциями от
х, у, г. Например, если и1, и2, ы3 — цилиндрические коор-
1) Обзор истории экстремальных квадратичных форм до
1951 года см.: Н. S. М. Coxeler, Canadian Journal of Mathematics
3, 1951, стр. 303.

§5]
ОБЩИЕ КООРДИНАТЫ
483
динаты, то
x = uxcosii2, у = и1 sin и2, z — u*>
и* = У& + уГ a2 = arctg-J-*), u* = z.
Поверхности
18.51
и1 = а, и2 = Ь, и3 = с,
где а, 6, с — произвольные константы, называются
поверхностями уровня, а линии пересечения этих
поверхностей, например и2 = Ь,иг = с, называются линиями
уровня. Например, в случае цилиндрических координат по-*
верхностями уровня будут цилиндры и1 = а или х2 + у2=*
= а2, плоскости и2 = Ь или y^xtg b **), проходящие
через ось г, и плоскости z = c, ортогональные к оси г.
Сама ось z является исключением, так как ее точки
принадлежат всем плоскостям и2*=Ь.
В соответствии с обычным смыслом частных
производных частные производные радиуса-вектора
r = xi + yj-\-zk
представляют собой единичные векторы осей декартовой
системы координат
дг . дг_ . дг -
дх ~~1' ду ~~Ji dz —R-
Дифференциал вектора г, представляющего
элементарное перемещение вдоль произвольного направления,
равен
dr = idx-\-Jdy-\~kdz — (dx, dy, dz\
а элемент дуги произвольной кривой, имеющий это
направление, равен ds, причем
18.52
(dsf = \dr\2=:dr.dr = (dx)2 -j- (dy)2 + (dz)2.
Вектор г можно рассматривать не как функцию от
х, у, z, а как функцию общих координат и1, и2, и*.
*) Или arctg ~-+я (в зависимости от знаков х и у).
**) Точнее, полуплоскости, на которые делит такие плоскости
ось г.

484
ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
[ГЛ 18
Будем использовать нижний индекс а как символ част-
дх
ной производной по иа (так что ха = —-и т. д.). Тогда
18.53
и dr=rldul^-r2du2-\-rzdu3 = ^radua. Для
перемещения вдоль линии уровня и2 = Ь, иъ = с получим dw2 = 0,
da3 = 0 и dr=r\dul. Таким образом, г4 — это
касательный вектор к этой линии уровня. Аналогично г2 и
г3 —касательные векторы к линиям уровня и3 = су и1 = а
и ul = a1 и2 = Ь. Таким образом, каждой точке
пространства соответствует определенный трехгранник Т\Т2гъ
зависящий от системы координат. Эти векторы не
обязательно имеют единичную длину и не всегда
ортогональны (хотя они могут оказаться ортогональными, как в
случае цилиндрических координат). Производные от
декартовых координат точки легко выражаются через эти векторы:
18.54
ха = Га * *» Уа = Га' J> za — ra ' *•
Любые два из трех векторов га определяют
касательную плоскость к одной из трех поверхностей
уровня, проходящих через данную точку. Например,
плоскость г2г3 касается поверхности и] = а, так как в этой
плоскости лежат касательные к двум кривым, лежащим
на поверхности. Следовательно, базис 18.12, взаимный
базису Г\, г2, г3, состоит из векторов, ортогональных к
касательным плоскостям г2г3\ гъГ\, гхг2У т. е. из нормалей
к поверхностям уровня 18.51; эти векторы, вообще
говоря, не имеют единичной длины, но всегда
г°-га=1 (а---1,2,3).
С помощью обозначений 18.22 можно записать
элемент длины ds в направлении данного перемещения dr
следующим образом:
18.55
(ds)2 = dr'dr=^iradua .Srprf«p =
+ 2g-23 du2 du3 + 2g3i du? du> + 2g12 du1 du2.

ОБЩИЕ КООРДИНАТЫ
485
В случае когда ul=x, и2=у, u3 = zy формула 18.55
обращается в формулу 18.52. В общем случае коэффициенты
ga$ не постоянны, а являются функциями от координат
и их производных (см. 18.27).
Чтобы найти ga$ в произвольной системе координат,
надо подставить в выражение ga$ = ra' г$ выражение
18.53 для производных. Если после этого взять
алгебраические дополнения для ga$ в определителе G и
разделить их на G, мы получим выражения для ga&.
Мы применяем в формулах 18.13 и 18.28 букву / в
память немецкого математика К. Г. Якоби (С. G. Jaco-
Ы, 1804—1851). Действительно, при преобразовании
тройного интеграла от функции
f(x, у, z) = F(ux, и1, и3)
от декартовых к другим координатам мы пользуемся
формулой
/(•*> У> z)dxdydz =
= j j J F(u\ u\ и3) /(£'£%) du>dtfdu\
в которую входит якобиан
д (-*. У. г)
д(и\ и2, и3)
*\
X<i
х3
Ух *i
Уч 22
Уз г3
= (rir2r3) = J.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если и\ и2, м3 —аффинные координаты, то существуют такие
три независимых фиксированных вектора гь г2, г3, что для любого
вектора г
18.56
Координаты вектора г в базисе /, у, k равны
В этом случае га = xai -\-yaj-\-zak—постоянные векторы для
всех а и все ga$ — константы.
2. Косоугольные декартовы координаты — это аффинные
координаты с одинаковой единицей измерения длины вдоль всех осей, так
что |га| = 1. В этом случае gaa — *> а ga$ равно косинусу угла между

486 ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ (ГЛ. 18
векторами га и Гр (эти векторы принадлежат осям координат иа
3. Прямоугольные декартовы координаты (с прежним началом
координат и повернутыми осями) получаются в том случае, когда
Ги г2, г3— ортогональный трехгранник, состоящий из единичных
векторов, такой же как и i> / k, так что
18.57
£ар = ^ар-
Согласно 18.54, ха равно косинусу угла между новой осью га и
старой осью /, а уа и za — косинусы углов между осью га и осями
j и к.
Разрешив уравнения га = xai -{- yaJr+ za.b относительно
векторов i, J, k, получим
18.58
[Так как в этом случае ra = ra, различие между ковариантными и
контравариантными координатами исчезает.] Из 18.56 следует, что
и° = Га • Г = *а* + УаУ + *а*>
так что (парадоксально)
J^l— — ^
Из 18.27 и 18.57 получите хах$ -f- уау^ -f- г^р = 6ар. Пользуясь
18.58, вычислите 2^aHSVa (выведенные нами свойства
означают, что матрица
||*| У\
\ х2 у%
Us 08
*i 1
*2\
*в|1
•—«ортогональная матрица»).
4. Найти gap для цилиндрических координат. Проверить, что
G=P.
5. Найти gap Для сферических координат: Jt=w3sin их cos a2,
!/=w3 sin и1 sin w2, z=w3 cos ux. Описать поверхности уровня.
6. Найти gafi для конфокальных координат:
_ (Л-ц')(Л-ц»)(Л-ц») (Д-ц')(Д-ц»)(Д-ц»)
(Л — £)(Л —С) ' * ~ (5 — С)(Д — Л)
_ (С-ц')(С-ц»)(С-ц») ^
~ (С — А)(С — В) >*
*) Конечно, эти формулы задают координаты и\ и2, и3 не во
всем пространстве, а, например, в области *> 0, у>0, г>0.

§61
АЛЬТЕРНИРУЮЩИЕ СИМВОЛЫ
487
где и1<С<и2<В<и3<А (а х2 означает просто «х в квадрате»).
В этом случае поверхности уровня представляют собой центральные
поверхности второго порядка
18.59
Л —Л
+
В-
с — х
причем при их — Ху Х<С поверхности уровня — эллипсоиды, при
и2=%, С<Х<В эти поверхности — однополостные гиперболоиды, при
и3=Х, В<Х<А эти поверхности — двуполостные гиперболоиды. Если
рассматривать 18.59 как кубическое уравнение относительно X, то и1,
и2, и3 будут его корнями (Везерборн [2], стр. 211).
§ 6. АЛЬТЕРНИРУЮЩИЕ СИМВОЛЫ
Наряду с символом б Кронекера мы будем
пользоваться аналогичным «альтернирующим символом» е.
Положим
eaPY = 4y = Т ^ - Y) (Y _ a) (a - P)'
где a, p, у могут принимать значения 1, 2, 3. Таким
образом, eapY=l, если a, р, y — четная перестановка
чисел 1, 2, 3; ea0Y = —-1, если a, р, y — нечетная
перестановка чисел 1, 2, 3 и eapY = 0 в остальных случаях. С
помощью этих символов очень удобно записывать опреде*
лители третьего порядка (Джефрейс [1], стр. 13):
18.61
|*i Ух zi\
! = 2S2^YWY,
X\ У\ Z\
•%2 \J2 %2
xz Уз ZZ
g\l g\2 gl3
g2\ g22 g23
\g
31 #32 #33
= 2SSea^lag2.fe
рбзу
apv
Из 18.12—18.15 следует
-Г r« X гр = D emry> yr"XrP = 2 eaPv/V
Так как S S e°Pvg-ap == 0, то

488 ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ РГЛ 18
Аналогичный «двумерный» символ, имеющий вид
elJ = etj = j — / (/=1 или 2, /=1 или 2),
позволяет записать
|#И #12 I
#21 #22
= 22в"*1|Л,
[Латинские индексы пробегают значения 1 и 2, а
греческие индексы —значения 1, 2 или 3.]
УПРАЖНЕНИЯ
1. С помощью 18.61 получите формулу для алгебраического
дополнения элемента ха. Вычислите это дополнение при а = 3.
2. Если с*} = с>1, то 2 S е'/с'; = ^ Используйте ту же идею
для проверки формулы 2 2 ^ ^сф= ^» К0Т0РУЮ мы применяли
выше при вычислении 2 г(Х X **а-

ГЛАВА 19
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
В этой главе понятие кривизны, установленное
ранее для кривых, будет распространено и на
поверхности.
Этого удается достичь, рассматривая плоские
сечения данной поверхности, в особенности нормальные
сечения.
Через нормаль к поверхности в данной точке можно
провести бесконечно много плоскостей; мы можем
получить все такие плоскости, вращая какую-нибудь из них
вокруг нормали.
В общем случае кривизна плоских сечений,
получаемых при таком вращении, непрерывно изменяется.
Существует плоскость, для которой эта кривизна
достигает максимального значения, а также плоскость,
для которой эта кривизна минимальна. Мы увидим, что
эти плоскости всегда образуют прямой угол и что
произведение соответствующих им кривизн («главных
кривизн») определяет существенные свойства поверхности.
Это произведение, называемое «гауссовой
кривизной», положительно во всех точках овальных
поверхностей, таких как эллипсоид; равно нулю для
развертывающихся поверхностей, таких как цилиндр и конус, и
отрицательно для седлообразных поверхностей, таких
как гиперболический параболоид.

490 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 19
§ 1. ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ
Чтобы задать точку на земной поверхности, мы
можем указать ее широту и долготу... Проведем
через точки экватора меридианы, а через точки
Гринвичского меридиана — параллели. Тогда по-
ложение точки будет задано двумя кривыми,
проходящими через нее, по одной из каждого
семейства... Каждая точка, за исключением
полюсов, получает две определенные координаты. Мы
можем обобщить этот метод на произвольную
поверхность, или, лучше, на кусок поверхности;
мы возьмем на поверхности два семейства таких
кривых, что через каждую точку проходит в
точности одна кривая каждого семейства...
наподобие тонкой рыболовной сети, наброшенной на
поверхность.
X. Дж. Ф о р д е р [3], стр. 133.
Часто оказывается удобным представлять
поверхность f (х, у, z) = 0 тремя параметрическими уравнениями
х = х(и1, и2), у = у(и1, и2), z = z(u\ и?),
из которых можно получить первоначальное уравнение
/=0, исключив параметры и1, и2. Как и раньше, мы
будем предполагать, что все фигурирующие в уравнениях
функции непрерывны и имеют столько непрерывных
производных, сколько нам потребуется.
Простой пример мы получим, рассматривая в
качестве параметров х и у. В этом случае
х = иг, у —и2, z = F(u\ и2),
причем выражение для z получается из уравнения
f(x, (/, z)=0 разрешением его относительно г. Такое
уравнение
z=F(x, у)
называется уравнением поверхности в форме Монжа.
Например, уравнение сферы x2+y2+z2=l в такой форме
имеет вид ' i
г=± Vl— х2 — у2.
Наличие квадратного корня делает это уравнение
неудобным для исследования сферы. Значительно удобнее

§ 1] ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ 491
взять в качестве параметров и2 и и1 долготу «ф и допол*
нение широты ф, равное о—ф. В этих параметрах имеем
19.11
х — sin и> cos и2, у = sin и1 sin и2, z = cos и1.
Векторное уравнение поверхности имеет вид
19.12
г = г(и\ и2),
аналогичный векторному уравнению г=г(и) кривой.
Существенное различие этих уравнений состоит в том,
что уравнение кривой содержит только один параметр,
а уравнение поверхности — два независимых параметра.
Один из методов изучения поверхностей состоит в
исследовании семейств кривых, лежащих на этой
поверхности. Среди них существуют два семейства
параметрических линий
их = а и и2 = Ь,
где а и Ь — произвольные постоянные. Через каждую
точку обычно проходит одна параметрическая линия
каждого семейства, но допускаются исключения.
Например, если на единичной сфере выбрать в качестве
параметров дополнение широты и долготу, кривыми и1 = а
являются окружности, называемые параллелями, а
кривыми и2 = Ь — половины больших окружностей, называемые
меридианами. Любая точка сферы, кроме полюсов,
лежит на одной параллели и одном меридиане, но
северный и южный полюсы принадлежат всем меридианам.
Радиус-вектор г точки поверхности является
векторной функцией от и1 и и2. Обозначив нижним
индексом i частную производную по и\ получим
dr = rx dul -f- г2 du2 = 2 ri du1,
где
г—£-
Дифференциал dr можно рассматривать как бесконечно
малое перемещение вдоль данной кривой по
поверхности, или, точнее, вдоль касательной к этой кривой. Для

492 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 19
параметрической линии и2 = Ь имеем du2 = 0, так что
dr=rxdul. Таким образом, г4 представляет собой
касательный вектор к параметрической линии и2=Ь и
аналогично г2 — касательный вектор к параметрической
линии и1 = а. Отсюда следует, что плоскость гхгъ
натянутая на ковариантные базисные векторы гх и г2, является
касательной плоскостью к поверхности в данной точке
(и1, и2) = (ау Ь). В этой же самой плоскости можно
определить два контравариантных базисных вектора
г1 и г2, направленных по нормалям к параметрическим
ЛИНИЯМ И уДОВЛеТВОряЮЩИХ УСЛОВИЯМ Г • Г/ = 6у.
В касательной плоскости имеются касательные
векторы, выходящие из точки касания по всем
направлениям. Говорят, что такой вектор
19.13
t = 2 <*У = 2 д'г^
имеет ковариантные координаты ах и контравариантные
координаты а{. Нетрудно проверить (ср. § 2 гл. 18), что
19.14
aj = t • гj, aJ — t • rJ.
В частности, координаты самих базисных векторов
соответственно равны gij и gV, так что
19.15
г, = 2 gur>. г* = 2 *% ft/ = г, • Г/. glJ = г1 ■ К
Функции giu gu^gzi, g22 называются
фундаментальными величинами первого рода. Элемент длины ds (для
произвольной кривой на поверхности) выражается через
эти величины следующим образом:
19.16
ds2 = dr • dr = 2 Г/ d#' • 2 О ^У =
= 22 gtj da1 duj = ftl (du*Y 4- 2ft2 rfai A*' + £22 (A*2)2.
Фундаментальные величины первого рода
(являющиеся функциями от параметров и*) составляют ко-
вариантный тензор. Соответствующий контравариант-
ный тензор состоит из величин, определяемых последней
частью 19,15, из которой следует ^gikgli = 6*-

§ I] ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ 493
Таким образом, для каждого значения / имеется
система двух уравнений, из которых можно определить
два неизвестных g*i (/=1,2). Решения этой системы
имеют вид
\gn gu\
gJ = — > где g =
g2l g22
= gng22 — (gn)2>
a G{i — алгебраическое дополнение элемента gij в
определителе g.
Так как число строк и столбцов в этом определителе
равно 2, то алгебраические дополнения его элементов
состоят из одного элемента и мы получаем явные
выражения
19.17
*п=^. gl2 = g2l = ~~^ g22 = Jf.
Теперь легко выразить ковариантные координаты
касательного вектора t через контравариантные и наоборот:
а; = *. гу = 2а'г/ • гу = Е £//*'.
Мы, конечно, можем поменять местами индексы i и /;
тогда получим
19.18
di = 2 gifl1* а1 = 2 £%••
Так как g-12 = гх • г2, аг! иг2~ касательные векторы
к параметрическим линиям, то условие того, что два
семейства параметрических линий пересекаются под
прямым углом, имеет вид
£12 = 0.
Поэтому в случае ортогональных параметрических линий
g = gllg22. g-,2 = 0, gU=~
и, следовательно, в силу 19.15,
6 ' Sit

494 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. I*
УПРАЖНЕНИЯ
1. Базисный вектор rj имеет ковариантные координаты gu и
контравариантные координаты б/.
2. 2 rJ X f/ = 0. Интерпретируйте геометрически этот
результат с использованием площадей треугольников.
3. Найти г1 и г2 для поверхности вращения
г = (и1 cos и2, и1 sin и2, z),
где z зависит только от и1.
4. Выразить ga и g*J для единичной сферы через дополнение
широты и долготу.
§ 2. НАПРАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Подобно тому, как кривая на плоскости (х, у)
задается уравнением, связывающим х и у, кривая на
поверхности 19.12 задается уравнением, связывающим и1
и и2. Дифференциальное уравнение определяет
семейство кривых. В частности линейное дифференциальное
уравнение первого порядка
определяет однопараметрическое семейство кривых:
через каждую точку поверхности проходит одна кривая
семейства, причем направление этой кривой
определяется условием -~ = — ~-. Например, уравнение
du2 = 0
определяет «первое» семейство параметрических линий.
Квадратное уравнение первого порядка
19.21
%%cudulduJ = 0t
где ci2=c2i и сцС22<сг2у определяет сеть кривых: через
каждую точку поверхности проходят две кривые сети.
Так, например, уравнение
du*du2 = 0
определяет сеть, состоящую из двух семейств
параметрических линий.

§2] НАПРАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ 495
Мы видели, что векторы г< направлены по
касательным к параметрическим линиям. Так как
то длины этих векторов равны Yen- В связи с тем, что
эта величина встречается очень часто, целесообразно
ввести для нее сокращенное обозначение gf, таким
образом, gt =У^1 — \П\ и аналогично gi=Vgii = \ri\*
В этих обозначениях единичные касательные векторы
параметрических линий запишутся в виде
— и —.
g\ g2
Угол ф, под которым пересекаются параметрические
линии, определяется из равенства
19.22
С08ф = -^ .£*. = -£»-.
gl g2 gig2
Из 19.17 видно, что gl = -£L-> g-2 = -^L-. Поэтому
V g У g
sin ф = J--£- = г = г t
^ g\g2 g\gl g2g2
т. e. gxgl = g2g2 — cosecq>.
Из определения векторного произведения следует,
что длина вектора гг X г2 равна
19.23
\ггХ r2\ = gig2sin <p = Vg>
а элемент площади поверхности (который естественно
определить как элемент площади касательной
плоскости) равен
19.24
dS а | rx dul X r2 du21 = Yg da1 da2
(Крейсиг [1J, стр. 111—117; (Рашевский [2],
стр. 222)). Уравнение 19.23 в форме
g = (riXr2)2

496
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ 19
иногда оказывается полезно для непосредственного
вычисления g без обращения к величинам gijt
Смещение вдоль кривой на поверхности
определяется формулой
dr = ^ridui.
Если 5 — длина дуги этой кривой, единичный
касательный вектор ее имеет вид
19.25
dr
'^«Sa'r^a'n + a*
где
19.251
/ dul
Рис. 224.
Таким образом, производные
параметров по длине дуги равны кон-
травариантным координатам
касательного вектора t. Мы не будем
пытаться искать соответствующую
интерпретацию для ковариантных
координат a,i этого вектора,
определяемых формулами 19.14 или
19.18. Однако легко дать
геометрическую интерпретацию для
координат обоих типов. Пусть PQi и PQ2—
касательные векторы параметрических линий,
выбранные таким образом, что PQ{TQ2 (где РТ — вектор/) —
параллелограмм (рис. 224); вектор t делит угол
cp=ZQiPQ2 на две части Э и <р — Э. Пусть, далее,
PR\TR2— параллелограмм со сторонами, перпендику-*
лярными к PQ2 и PQi. Так как
pf = t=a1r1-\-a2r2 = PQ1+PQ2 =
то
/><?, = &*', PXt = gla„ AS^i^jL,
cos Q = PSX, cos((p — e) = AS2.

§ 2] НАПРАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ 497
Умножая 19.13 скалярно на себя различными
способами, мы можем представить очевидное соотношение
*2=1 в эквивалентных формах
19.26
2 2 g%aj = S */*' = 22 giflla! = 1.
В силу 19.251, последнее из этих равенств является
следствием 19.16.
Аналогично, умножая друг на друга два единичных
касательных вектора
2^ = 2^ и 2V = 2!ft>ry,
мы получим различные выражения для косинуса угла
между ними:
19.27
2 2 g%h=2 а,*' =22 *„aV=2 а%
Исключая ds' из двух уравнений 19.251, мы получим
дифференциальное уравнение
аЧи> — aldu2 = 0
для семейства кривых, касательные векторы которых
определяются уравнением 19.25. Другое семейство,
состоящее из кривых, которые пересекают все кривые первого
семейства под прямым углом, определяется
дифференциальным уравнением
19.28
Pdu} — bldu? = 0,
где, в силу 19.27,
2 2^'=о.
Переписав это соотношение в виде 2а/*у=0 или
где a;==2g7y#'> мы получим, что уравнение 19.28
эквивалентно уравнению aidul + a2du2 = 0.
Другими словами,
Ортогональными траекториями кривых a2dul —
— aldu2 = Q являются кривые
2a,Ai' = 0.

498 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 19
Из этого также следует, что два семейства кривых
2 сц da1 = О и 2 bj duJ = 0
ортогональны тогда и только тогда, когда
19.29
2 2 *"**,-о.
Сеть кривых, определяемых дифференциальным
уравнением 19.21, является ортогональной сетью тогда
и только тогда, когда
19.291
22g%=o.
В самом деле, если разложить квадратное выражение
19.21 на линейные множители
2 2 Oij dul duj = 2 <*>1 da12 bj duJ\
то условие 19.291 превратится в условие 19.29, так что
Cij + Cji^Qibj + ajbi.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пользуясь 17.13, доказать, что (rL X г2)2 = g (ср. с 19.23).
2. Выразите tgcp через фундаментальные величины Цц и
определитель g.
3. На рис. 224 TS{ = ~t TS2 = ^-.
4. Покажите, что формулы
COse = -^-, cos (q> —9) = -£?-, 8ln9 = 4. sln(q> — 6) = -^-
не противоречат формуле 19.22.
5. Сеть кривых, делящих пополам углы между
параметрическими линиями (dul du2=0)t задается дифференциальным уравнением
gutda1)2 —fe(tf"2)2«0.
[Указание: найти условие, при выполнении которого
параллелограмм PQ1TQ2 становится ромбом.]
6. Истолковать уравнение 19.21 при Сп=с22=0. Что означает в
этом случае условие 19.291? Что означает это условие для кривых,
описанных в предыдущем упражнении?
7. Докажите с помощью 19.24, что площадь единичной сферы
19,11 равна 4л.

§3]
НОРМАЛЬНАЯ КРИВИЗНА
499
§ 3. НОРМАЛЬНАЯ КРИВИЗНА
Единичный нормальный вектор п в точке Р
поверхности естественно определить как единичный вектор*
перпендикулярный к касательной плоскости и направо
ленный таким образом, что векторы rv r^ п образуют
правую тройку. В силу 19.23, rxX r2 = Ven> так что
19.31
19.32
П X гj = еи Vg п (ги = j— i).
Отождествим трехгранник rv г2, п с трехгранником гг
г2, г3, рассмотренным в § 1 гл. 18. Из 18.12 следует, что*
Поэтому
19.33
nXr^ZeijVgrK
Касательная плоскость в точке Р содержит плоский
пучок касательных
каждая из которых определяет нормальную плоскость
t, п. Сечение поверхности такой плоскостью
называется нормальным сечением; это сечение представляет
собой плоскую кривую с кривизной и, которая называется
нормальной кривизной поверхности в точке Р в
направлении t. Дифференцируя вектор t по длине дуги 5
нормального сечения, получим
Согласно формуле 17.33, это выражение равно хя. Так
как вектор п перпендикулярен к гх и г2, при скалярном

500 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 19
умножении на п первая сумма в правой части обратится
в нуль. Поэтому
% = %п • n = i- п — 2(а'"^ГГ/) п'
Для дифференцирования векторов rt мы применяем
оператор
ds Д duJ
где ау = -^-. Поэтому
Введя важное обозначение
19.34
мы получим простую формулу для нормальной
кривизны в направлении 2#'*V
19.35
х = 2 2 6//*V.
Так как г/;-—вторые производные вектора г, то &^ = ^г-.
Функции 6ц, Й12, 622 называются фундаментальными
величинами второго рода. Так же как и фундаментальные
величины первого рода, они являются коэффициентами
некоторой дифференциальной квадратичной формы:
19.36
= bu (du1)2 + 2bl2 du> du2 + b22 (du2)2.
[Нужно помнить, что нормальная кривизна к зависит от
du1 ]
направления касательной, т. е. от отношения -^-у.

§ 3] НОРМАЛЬНАЯ КРИВИЗНА 501
Дифференцируя тождество rt • п = 0, получим
ги-п + ггП) = 0,
откуда
b,j = —rrnj=— nrrj.
Наряду с «ковариантным тензором» Ъ^ иногда бывает
удобно рассматривать «смешанный тензор»
19.37
bkj=Zgi%j=-I>gikrrnJ = -rk.nJ
и «контравариантный тензор»
19,371
Производная it\ перпендикулярна к нормали п и,
следовательно, представляет собой касательный вектор,
который можно выразить в виде линейной комбинации
базисных векторов rj или г,-. Так как ковариантные и
контравариантные координаты вектора #г соответствен-»
но равны
rii- rj = — bij и tii-rJ = — b{,
то искомое представление имеет вид
19.38
Таким образом, мы получили «формулы Вейнгартена»:
ni = — b\ri — b\rv Щ = ~ b\rY — b\rv
выражающие производные от вектора нормали п через
производные от вектора г.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислить г1 X г2.
2. Выразить Ьц для единичной сферы через дополнение
широты и долготу. Проверить, что нормальная кривизна одинакова
во всех направлениях во всех точках сферы. (Указание: так как
я = г, то Ьц— —gal

302 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 19.
§ 4. ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ
Возьмем единичную сферу и проведем в ней
радиус, параллельный нормали к данной поверх-
ности в точке Р. Этот радиус пересечет сферу в
точке, называемой сферическим
изображением точки Р. Мы, естественно, должны раз»
яичать две стороны поверхности и выбирать
нормали все время с одной стороны. При таком
изображении кривой на поверхности, вообще говоря,
соответствует кривая на сфере, а куску
поверхности—кусок сферы. Но так как нормали к
поверхности в различных точках могут быть
параллельны, то изображения неперекрывающихся
кусков поверхности могут пересекаться. Однако,
если мы возьмем не слишком большой кусок
поверхности, этого не произойдет... Малому куску
поверхности, окружающему точку Р,
соответствует малый кусок сферы; отношение площади
второго куска к площади первого при стремлении
этих площадей к нулю стремится к полной
кривизне поверхности в точке Р.
X. Дж. Ф о р д е р [3], стр. 139—140.
Рассмотрим переменную плоскость, проходящую
через нормаль к данной поверхности в точке Р. Для
каждого положения этой плоскости нормальное сечение
имеет кривизну и, определяемую по формуле 19.35. В
исключительных случаях (например, для северного и
южного полюсов эллипсоида вращения) может оказаться,
что и не зависит от положения плоскости: такие точки Р
называются омбилическими. Если точка Р не является
омбилической, то при вращении нормальной плоскости
п, t кривизна к изменяется таким образом, что при
полуобороте она всегда возвращается к прежнему
значению. С помощью формулы 19.26 мы можем представить
19.35 в однородной форме
ИЛИ
19.41
2 2 (fy->Viy) *'*' = <>.
Это выражение показывает, что % — непрерывная
функция отношения
a2 du2
а1 — du1 •

$4]
ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ
503
определяющего направление касательной
/ = 2а'г,.
При непрерывном изменении t нормальная кривизна и
должна иметь по крайней мере один максимум и один
минимум. Мы вскоре докажем, что имеется в точности
один максимум и в точности один минимум и что они
отвечают взаимно перпендикулярным направлениям
касательной. Максимальное и минимальное значения х
называются главными кривизнами; соответствующие им
направления касательной t называются главными
направлениями, а кривые на поверхностей, касательные к ко«
торым во всех точках имеют главное направление, назы«
ваются (впрочем, не совсем удачно) линиями кривизны.
Для краткости обозначим
с а== "и %§i?j
так что Cij = Cji. Для того, чтобы найти главные кривизны
и главные направления, мы можем
продифференцировать 19.41 по а\ а затем положить dx = 0 или же, что
оказывается более удобным, продифференцировать
выражение 19.41 по ak, считая х постоянным. Так как Ьц
и gij зависят только от положения точки Р, это
означает, что мы дифференцируем выражение
22^/^=0,
считая коэффициенты Сц постоянными. Найдем частные
производные по ak
£22v-224Se,+e'£)-
~ 2 2 Cii (6*a'"+"а'6*) ~ 2 Ск>а* + 2 Cika,i ~
= 2 (сы + с») а' = 2 2 4а1.
Подставляя сюда выражение для с^, имеем
19.42
2(*«—«cg»)a' = 0 (А = 1,2).

504
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕН \ГЛ. 19
Умножая на gik (и суммируя по £), мы исключим
коэффициенты gik:
19.43
2(*/—WV = o,
т. е.
19.44
%Ь{а1 — ка] = 0 (у = 1, 2).
мы
Исключив из двух уравнений 19.44 отношение
найдем х, а исключив х, найдем главные направления.
Запишем уравнения 19.44 в развернутом виде:
(Ь\ — х) а1 + bW = 0, b\a + (b\ —к)а= 0.
~2
= 0,
х2 —2ftfrt + det(ft/) = 0.
Поэтому главные кривизны x<i) и х<2) являются корнями
этого квадратного уравнения (из чего следует, что их
не больше двух). Произведение и среднее
арифметическое главных кривизн называются гауссовой
кривизной К и средней кривизной Н поверхности в данной
точке. Учитывая это, можно переписать уравнение 19.45
в виде
Исключая —г
а1
т. е.
19.45
получим
Ы-
ь\
— V.
ь\
ь\-
X
где
19.46
19.47
Так как
х2 — 2Нк-\-К=0,
2Н = кт -+• идо =2*' = ь\-\- ь\,
К = х(1)х(Я) = det (b{) = b\bl — b\b\.
ё\\ ё\2
#21 #22 1
1 ь\ ь\
\ь\ ъ\
ь„ ь,
'21
'22
= 6,

§4)
ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ
505
то для К получается выражение в виде отношения двух
фундаментальных определителей
19.471
Если К положительно, то нормальная кривизна
(которая всегда заключена между щ\) и к(2)), имеет
одинаковый знак по всем направлениям. В этом случае
касательная плоскость в некоторой окрестности точки Р не
имеет с поверхностью общих точек, отличных от Р.
Такая поверхность называется синкластической или
овальной. Эллипсоиды, эллиптические параболоиды,
двуполостные гиперболоиды являются всюду синкластически-
ми поверхностями.
Если К отрицательно, нормальная кривизна дважды
изменяет знак при вращении нормальной плоскости
вокруг нормали; следовательно, существуют два
направления, по которым нормальная кривизна равна нулю.
Касательные, имеющие эти направления, называются ин-
флекционными касательными в точке Р. В этом случае
поверхность пересекает касательную плоскость по двум
кривым, пересекающимся в точке Р, причем
касательные к этим кривым в «узле» представляют собой
инспекционные касательные. Практическим примером
такой поверхности служит форма земной поверхности около
горного перевала. Касательная плоскость на вершине
перевала горизонтальна и пересекает поверхность
земли с обеих сторон от дороги. На географической карте
с горизонталями можно обнаружить, что на перевале
касательная плоскость пересекает поверхность Земли
по кривой с узлом (X а р д и [1], стр. 69).
Поверхности с отрицательной гауссовой кривизной
называются антикластическими или седлообразными.
Невырожденные линейчатые поверхности второго
порядка (т. е. гиперболические параболоиды и однопо-
лостные гиперболоиды) являются всюду
антикластическими поверхностями. Поверхности более сложные, чем
поверхности второго порядка, могут состоять из синкла-
стических и антикластических областей.

506 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ \ГЛ. 19"
Границы этих областей состоят из параболических
точек, т. е. точек, для которых /С=0. У Гильберта и Кон-
Фоссена ([1], стр. 203, рис. 204 ) изображен бюст
Аполлона, на котором нанесены кривые, состоящие из
параболических точек. Эти кривые устроены весьма сложно,
особенно в районе носа и рта.
Поверхности, у которых /(=0 во всех точках,
называются развертывающимися. К таким поверхностям
относятся цилиндр, конус, а также все поверхности,
описываемые касательной к пространственной кривой.
С помощью формул Вейнгартена 19.38 получается
простое выражение для К в виде смешанного
произведения
19.48
is (ПП{П2)
Д~ VI '
В самом деле,
(»Л1я2) = (я 2 b{tj 2 ь\гк) = 22 ь{ь\ («r/s)=
= 22 b(b\zjk Vg = det (b{) Vg = к VI-
Другое выражение, содержащее произвольный
единичный касательный вектор /, было открыто А. Дж. Коль-
маном (A. J. Colemann):
19.49
где последний индекс означает дифференцирование по
иК Эта формула получается из тождества Лагранжа
17.13, если ввести еще один касательный вектор /я —
= nXt, так что n = tX m и
(nnln2)=(tXm)-(nlXn2) = (t-ni)(m-n2)—(t-n2)(m-nl) =
= S2e/y (t.nAim.nj).
Дифференцируя тождества *-я = 0и/я*# = 0 и ис*
пользуя теорему 17.19, мы получим
(t • ni)(m • nj) = ft • n)(ntj • n) = (tt -n)(n- mj) —
=ti • ntj = (ti • ni)j — tij • in»

«4]
ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ
507
Так как 22U%-=0, то
Vgtf = 22e''№-«)>=22e"(«./|),=
= 22e';(«tf;);.
(Мы изменили обозначения Крейсига [1], стр. 146.)
Так как векторное произведение пх X п2
параллельно вектору п, формулу 19.48 можно представить в виде
|HiXi*2| = |*IV7-
Эту формулу удобно использовать для получения гаус-
совскс!й геометрической интерпретации величины /С Для
получения сферического изображения поверхности Гаусс
рассматривает множество концов Q векторов
OQ = n,
где О — фиксированная точка пространства, an —
единичный вектор нормали к данной поверхности в
различных точках Р (Гильберт и Кон-Фоссен [1],
стр. 198—201). Если точка Р пробегает достаточно
маленькую область F, ограниченную простой замкнутой
кривой, точка Q пробегает соответствующую область G
на единичной сфере с центром в точке О. Гаусс
определяет полную кривизну поверхности как предел
отношения площадей областей G и F при стремлении
диаметров этих областей к нулю. Согласно 19.24, площадь
области F равна
J j | rx du> X r2 du2\ = J J Ygdu> du2.
Аналогично площадь области G равна
j j\nldu*Xn2du2\= j j\K\Vgduldu2.
Следовательно, предел отношения площадей равен |/С|.
Характеристическим свойством развертывающейся
поверхности является наличие у нее не двухпараметри-
ческого, а только однопараметрического семейства
касательных плоскостей и однопараметрического семейства
нормалей. В этом случае область вырождается в дугу
кривой и, следовательно, К—О.

508 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГГЛ 19
Если параметрические линии ортогональны, так что
#12 = 0, то
g gll • g U> g g22 '
Подставляя эти выражения в 19.37, получим
В этом случае получается очень простое выражение для
средней кривизны Н:
Д J g\\ g22
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти среднюю кривизну в данной точке геликоида у = ^tg—-,
параметризованного следующим образом:
х— и1 cos и2, у=и* sin и2, z=cu2.
2. Найти среднюю кривизну Н в данной точке общей
поверхности вращения
r=(ul cosu2, и1 sin и2, z),
где z зависит только от и\ Показать, что средняя кривизна равна
нулю, если z задается уравнением
и] = асп ,
а
т. е когда поверхность является катеноидом.
3. Найти множество параболических точек на торе
х- (a-\-b cos w1) cos и2, у = (a~\-b cos и1) sin w2, 2 = 6 sin и1.
4. Касательные t = г к пространственной кривой г = г ($)
образуют поверхность
г (s, u) = r (s) + м* (s).
Считая параметрами 5 и и, получить фундаментальные величины
второго рода
Ьп — кхи, Ь\2 = b22 = 0.
Показать, что во всех точках К=0.
5. Средняя кривизна и гауссова кривизна удовлетворяют
неравенству
Я2>АГ.
Для каких точек Я2=/(? [У к аз а н и е://2—К= x(H(i)~X(2))2J

$ п] ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ и линии кривизны 509
6. Вывести формулу 18.48, применив тождество Лагранжа к
выражению (гх X г2) • (пх X я2).
7. Вывести формулу 18.49, применив формулы 17.62 в виде
tt = \tm — щп, m-t = \iti — \tt, tii ~ Pit — Я./1»
(где Ku М-ь v* — функции от и1 и и2).
Из этих формул получить, что
(/Ш1Л2) ~ A-lM-2 — Я2Ц1 = fn2 * t\ 1tl\ • tfr
§ 5. ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ЛИНИИ КРИВИЗНЫ
Возвратимся к уравнениям 19.44, которые можно
представить в виде
Наиболее простой способ исключения х из этих
уравнений состоит в их умножении на Se^a1" и суммировании
по k, в результате чего мы получим
2 S S е«6*уа V = х 2 S e**a'a* = 0.
[Эта сумма равна нулю, так как содержит только два
ненулевых члена е^а1^2 и ег^а1, которые взаимно
уничтожаются.] Таким образом, главные направления ^alrt
а1
определяются квадратным уравнением для —g-:
Другими словами, линии кривизны задаются
дифференциальным уравнением
19.51
222e**6ydaW = 0
или
19.52
— ftj (яГи1)2 + {Ь\ — bl) du> du2 + Ь\ (du2)2 = 0.
Чтобы доказать, что линии кривизны образуют орто*
гональную сеть, применим критерий 19.291 к уравнению
19.51 или 19.52, положив

510 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 19
В обозначениях 19.371 мы получим
22*"*y=»222W*5 = 22e«6"-o.
Отсюда следует, что в любой точке Р поверхности два
главных направления перпендикулярны.
Другим следствием уравнений 19.44 является
формула Родрига (Olinde Rodrigues, 1794—1851):
19.53
dn + х dr = 0,
которая показывает, как изменяется нормаль п при
смещении вектора г вдоль главного направления.
[Коэффициент х обозначает соответствующую главную кривизну.]
Для доказательства формулы Родрига подставим в
выражение для dn формулы Вейнгартена
пь = — 2>/о
(19.38) и уравнения 19.44 в виде
19.54
%bidul = KduJ.
Получим
dn = ^tii da1 = —22 b{rj da1 = — x 2 О duJ=—>tdr.
Из формулы Родрига следует, что для главного
направления dr и dn имеют одинаковые (или
противоположные) направления. Обратно, главные направления
являются единственными, для которых dr и dn
параллельны, Действительно, если вектор dn
параллелен dr, то из проведенных выше рассуждений следует,
что существует число X, для которого
22*/о^ = ^2о^-
Перепишем это равенство в виде
2(2 ^/^ — hduJ)rj = 0,
откуда следует, что
^bida'—Xdu'^O (7=1, 2).
Исключив из этих уравнений X тем же способом,
которым мы исключали х, мы снова певучим дифферен-

$5] ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ЛИНИИ КРИВИЗНЫ 511
циальное уравнение 19.51, определяющее линии
кривизны.
Если параметрические линии ортогональны, т. е.
Ы = —~, уравнение 19.52 принимает вид
19.55
- -^ (dtff + (^ - %*-) du> du? + -^ (du?f = 0.
^22 V ' ' \g\\ gll) gll^ '
В качестве параметрических линий можно
использовать любую сеть кривых на поверхности. Линии
кривизны образуют стандартную сеть, всегда имеющуюся
в нашем распоряжении. Сопоставляя уравнения 19.52 и
duldu2 = 0, мы видим, что
19.56
Следовательно,
Параметрические линии являются линиями кривизны
тогда и только тогда, когда Ь\ и fe тождественно
равны нулю.
В этом случае уравнение 19.45 обращается в
уравнение
(х — Ь\)(к — $ = 0;
поэтому главные кривизны равны Ь\ и fe. Чтобы
выяснить, каким параметрическим линиям соответствуют эти
кривизны, применим формулу Родрига к смещению
вдоль параметрической линии. «Первым» главным
направлением естественно считать направление, в котором
изменяется только и1, т. е. направление вектора rv
Таким образом,
19.57
л*+-*</)>•/= 0.
Скалярно умножив эти равенства на rJ и гр получим
— */ + *(i) */ = °* - ьи + *</) Sij = °-
Следовательно, главные кривизны равны
19.58

512 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. Т9
и, кроме того,
*12 = *<l)gl2 = 0
(так как линии кривизны ортогональны). Обратно, если
параметры поверхности выбраны так, что
19.59
то параметрические кривые являются линиями
кривизны; действительно, так как
^21 __.£ii_ о
6 g
то
и аналогично Ь\ — 0, так что условия 19.59 равносильны
условиям 19.56.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Применив критерий 19.291 к уравнению 19.52, доказать
ортогональность главных направлений без использования символов егл.
2. Дифференциальное уравнение для линий кривизны может
быть записано в виде
£п gn £22 I
bn bl2 b22 =0.
(du2)2 — du]du2 (du])2 I
3. Найти линии кривизны гиперболического параболоида
х2 — y2 = 2z, параметризованного следующим образом:
х — sh и1 -\- sh и2, y — shul—sh w2, z — 2sh и1 sh и2.
4. Найти линии кривизны геликоида (см. § 4, упр. 1).
5. Выполнение условий 19.56 или 19.59 в некоторой точке
означает, что в этой точке направления параметрических кривых
совпадают с главными направлениями. В этой точке имеют место
также формулы 19.58.
§ 6. ОМБИЛИЧЕСКИЕ ТОЧКИ
Омбилическими точками называются точки, в
которых нормальная кривизна х одна и та же во всех на*
правлениях. В таких точках любые отношения -^
удовлетворяют уравнениям 19.42 и 19.43. Следовательно,
*/* = *£*• */ = **/■

§6]
ОМБИЛИЧЕСКИЕ ТОЧКИ
513
Для того чтобы точка была омбилической, для нее
должны выполняться условия
Ь\\ ' Ь12: b22 — g\\ '- gl2- g22
или
19.61
Ь] = ь\ = 0, Ь\ = Ь\.
Если поверхность симметрична относительно
плоскости, то сечение поверхности плоскостью симметрии
является линией кривизны. Чтобы доказать это,
рассмотрим точку Р на сечении. Если одно из главных
направлений в точке Р перпендикулярно к сечению, то второе
направлено по сечению и в силу произвольности
точки Р сечение—•*линия кривизны. Если в точке Р
имеется главное направление, наклонное к плоскости
симметрии, то при отражении оно переходит в другое главное
направление с той же главной кривизной. Но такое
большое количество главных направлений означает, что
точка Р омбилическая, а кривая, состоящая целиком из
омбилических точек, очевидно, будет линией кривизны.
Из этого факта, в частности, следует, что на любой
поверхности вращения параллели и меридианы
являются линиями кривизны (меридианы — так как они
являются сечениями поверхности плоскостями симметрии,
а параллели — как ортогональные траектории
меридианов). Интересный частный случай получится, если
вращать плоскую кривую вокруг одной из нормалей к ее
эволюте; если С — центр кривизны в соответствующей
точке Р плоской кривой, то мы вращаем кривую вокруг
прямой, проходящей через точку С и параллельной
касательной в точке Р. В этом случае траектория точки Р
представляет собой «экватор», который, так же как и
меридианы, является одновременно нормальным
сечением и линией кривизны. Радиус экватора равен
радиусу кривизны меридианов в точках экватора. Так как
в точках экватора две главные кривизны равны, то все
точки экватора — омбилические.
В омбилической точке формула Родрига 19.53 верна
для смещения по любому направлению. В частности,
применим ее к смещению вдоль параметрической линич:

514 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 19
19.62
Лу + хгу==0 (/=1, 2).
Отсюда вытекает, что
19.63. Поверхность, все точки которой омбилические,
либо плоскость, либо сфера.
В самом деле, для плоскости и сферы 19.62
выполняется во всех точках. Дифференцируя 19.62, получим
«/y + Kriy + tyry = 0, н1г2 = х2г1
и xi = X2 = 0. Поэтому х постоянно, и так как из 19.62 еле*
дует, что (# + иг)у = 0, то и вектор я + xr постоянен.
Если х = 0, то вектор л постоянный, и мы получаем
плоскость; если кфО, то, выбрав соответствующим образом
1 ii1
начало координат, получим, чтог = —~п, |г| = -г^у,
т. е. поверхность — сфера.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Как с помощью уравнения 19.52 получить условия bl=b2~0<
1 2
b\ ~ ^2 Аля омбилической точки?
2. Во что превращается уравнение 19.45 в омбилической точке?
3. Антикластические поверхности не могут иметь омбилических
точек. __
4. Поверхность х — ]/2 cos и1, у = V~2 cos и2, z — sin и1 cos и1
имеет кривую, состоящую из омбилических точек, лежащую на
сфере *2+*/2+z2=4.
5. Всякая ли омбилическая точка принадлежит бесконечному
множеству линий кривизны?
§ 7. ТЕОРЕМА ДЮПЕНА И ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ
Дюпен исследовал трижды ортогональные
семейства поверхностей не в качестве
бессодержательного упражнения в дифференциальном
исчислении, а потому, что некоторые такие семейства
имеют первостепенное значение... для
математической физики. [Они] послужили Дарбу поводом
для издания одной из его знаменитых работ,
занимающей 567 страниц.
Э. Т. Б э л л [2], стр. 33f«
В упражнениях в конце § 5 гл. 18 мы рассмотрели
несколько систем координат в трехмерном пространстве,
для которых
#23 = &а = #12 = О»

$ 7] ТЕОРЕМА ДЮПЕНА И ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ 515
так что поверхности уровня пересекаются под прямыми
углами. В этом случае три системы поверхностей
уровня называются трижды ортогональными.
Продифференцировав тождество г1*г2 = 0 по
координате и3, получим
Ггз-Ъ + ъ -Г2з = 0.
Из этого и двух аналогичных равенств (получающихся
циклическими перестановками индексов 1, 2, 3) следует,
что
Гх . Г23 = Г2 • Г31 = Г3 • Г\ч — 0.
Так как вектор г3 нормален к поверхности и3— о
третьей системы, то для этой поверхности не только
£12 = 0, НО И
bX2 = n- г12 = г3 • г12 = 0.
Таким образом, в силу 19.59 параметрические линии
и1=а и и2 = Ь на этой поверхности являются линиями
кривизны. Так как то же самое верно для поверхностей
двух других систем, то нами доказана
Теорема Дюпена. Линии кривизны на любой
поверхности из трех взаимно ортогональных систем
поверхностей являются линиями пересечения поверхности
с поверхностями двух других систем.
С другой стороны, любую поверхность можно
включить в одну из трех взаимно ортогональных систем. Это
можно сделать многими способами. Один из них состоит
в использовании системы параллельных поверхностей,
которые определяются как геометрические места точек,
находящихся на постоянном расстоянии от данной
поверхности по нормалям. Если считать линии кривизны
параметрическими линиями, радиус-вектор точки парал-
лельной поверхности запишется в виде
г=г-\-и3п.
Из 19.57 следует, что направления параметрических
линий на новой поверхности определяются из условий
П = (г + иЩ = г, + u3nt = rt — и\п rt = (1 — x(/) и3) ri9

516 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 19
т. е. они параллельны соответствующим направлениям на
первоначальной поверхности. Следовательно, обе
поверхности имеют общую нормаль: п~п. Так как
1и = гх • г2 = О
пх • Г2=— П\ • г2 = и(1) /*i • г2 =О,
то на новой поверхности параметрические линии также
являются линиями кривизны (Везерборн [2],
стр. 159). Придавая параметру и3 различные значения,
мы получим целую систему параллельных поверхностей.
Две другие ортогональные системы образуются
нормалями к поверхностям первой системы,
перемещающимися вдоль линий кривизны (Валле-Пуссен [2],
стр. 456).
В § 7 гл. 6 и § 7 гл. 7 мы исследовали круговые й
сферические преобразования. В § 7 гл. 9 мы упомянули,
что с помощью теории функций комплексного
переменного можно доказать, что единственными
отображениями всей конформной плоскости на себя, не
изменяющими углов, являются круговые преобразования. Весьма
замечательно, что аналогичная теорема в случае трех
,(и более) измерений оказывается элементарной! Для
доказательства заметим, что преобразование
пространства, не изменяющее углов, под которыми пересекаются
поверхности, переводит взаимно ортогональные системы
поверхностей во взаимно ортогональные системы
поверхностей. Следовательно, если это преобразование
переводит поверхность а в поверхность а', то линии
кривизны переходят в линии кривизны. Так как
характеристическим свойством сферы (и, в частности, плоскости)
является то, что по ней все направления во всех точках —
главные, мы немедленно получаем, что справедлива
Теорема Лиувилля. Любое преобразование
пространства, не изменяющее углов — сферическое.
Из этой теоремы и теоремы 7.71 следует, что любое
преобразование пространства, не изменяющее углов,
представляет собой либо подобие, либо произведение
инверсии и движения (Ф ордер [3], стр. 137—138).
*12 =

§8]
ИНДИКАТРИСА ДЮПЕНА
517
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если поверхности и1=а и и2=Ь образованы нормалями,
перемещающимися вдоль линий кривизны «параллельных»
поверхностей ы3=с, естественно обозначить фундаментальные величины для
поверхности и1=а через #22, &2з, £зз, &22, &2з, &зз- Теорема Дюпена
утверждает, что ^23=^23=0. Вычислите 63з и покажите, что для
этой поверхности К=0.
2. Центральные поверхности второго порядка
х2 , У2 , z2
А — Х "t" В — X "*" С — Х
(представляющие собой эллипсоиды при X < С, однополостные
гиперболоиды при С <Х < В и двуполостные гиперболоиды при
В<Х<Л) называются софокусными. Нормаль в точке (х} у, г)
такой поверхности имеет направление
/_£_ У z \
[А — Х ' В — Х ' С — Х)'
При фиксированных х, у, z 19 59 представляет собой
кубическое уравнение относительно X. Корни этого уравнения (обозначим
их в порядке возрастания и1, «2, а3) удовлетворяют неравенствам
и] < С < и2 < В < w3 < А.
Показать, что при хугфО каждая точка лежит на трех
поверхностях (по одной каждого вида), ортогональных друг к другу (Вал-
ле-Пуссен [2], стр. 456).
3. Найти линии кривизны эллипсоида (Гильберт и К о н -
Ф о ссен [1], стр. 194).
§ 8. ИНДИКАТРИСА ДЮПЕНА
Хотя индикатриса была открыта не Дюпеном, но
он более успешно, чем его предшественники,
использовал это замечательное коническое сечение,
по которому параллельная плоскость,
«бесконечно близкая» к касательной плоскости в
произвольной точке поверхности, пересекает
поверхность.
Э. Т. Бэл л [21, стр 33f.
Если уравнение поверхности задано в форме Монжа
z=*F(x,y), часто оказывается удобным использовать в
качестве параметров сами координаты х, у. Введем
сокращенные обозначения для производных функций г по
этим параметрам:
dz dz d2z
Zl~~d7' z<1~~dj* Zxx~li#%
_ d2z _ ^£
*ia~ дхду • ZV dy2 •

518 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 19
Продифференцировав вектор r=(x, уу z), получим
гх = (1, 0, zx), г2 = (О, 1, z2), Гц = (0, 0, zu),
откуда
8 = ^11^22 — S\2 = 1 + 2? + 4
У^л^пХ г2 = (— ^— г2, 1),
Vgbu = Vgn^rij = ziJ.
Поместим начало координат в рассматриваемую
точку поверхности, а ось z направим по нормали к
поверхности в этой точке. Тогда в этой точке
л =(0,0, 1),
откуда г! = г2 = 0, gn=l, g"i2 = 0, #22= 1, g"=l, 6г; = ег>
Так как z — функция от л: и у, мы можем разложить
ее в ряд Маклорена:
z = z (0, 0) + zxx -f z2y + у (гпл:2 + 2zl2xy + г22у2) +
Ч-5(^ш^3+ •■•)+ ••• = у(6п*24-2612ху + 622у2) +
+ (члены высших степеней).
«Члены высших степеней» играют существенную роль
только в случае, когда 611 = 612 = 622=0, т. е. когда начало
координат является параболической омбилической
точкой. В остальных случаях сечение поверхности
плоскостью 2=е, параллельной касательной плоскости г = 0
при малых е, мало отличается от конического сечения
Ьпх2 + 2Ь12ху + Ь22у2 — 2е,
подобного индикатрисе Дюпена (F. P. Ch. Dupin,
1784—1873)
19.81
bnx2 + 2bl2xy-{-b22y2= ± 1.
Мы покажем, что с помощью этого конического
сечения чрезвычайно просто определить нормальную
кривизну в каждом направлении.' Заметим сначала, что
синкластической, антикластической и параболической
поверхностям соответствуют случаи
6>0 6<0 или 6 = 0,

$ 8] ИНДИКАТРИСА ДЮПЕНА 519
т. е. для этих поверхностей индикатриса является
соответственно эллипсом, двумя сопряженными
гиперболами или парой параллельных прямых. [В случае синкла-
стической поверхности неопределенный знак в правой
части уравнения 19.81 должен совпадать со знаком Ьц\
это соответствует тому, что плоскости z=e, лежащие по
одну сторону от касательной плоскости, не пересекают
поверхности. В случае антикластической поверхности
необходимы оба знака, соответствующие двум сопряжен*
ным гиперболам.]
Пусть касательный вектор
pf==t = ^iairl = {a\ а2, 0),
лежащий в плоскости <г==0, являющейся касательной
плоскостью поверхности в начале координат, образует
с осью х (1, 0, 0) угол 0 и поэтому имеет координаты
(cos 9, sin 9, 0), как показано на рис. 224. Тогда контра-
вариантные координаты вектора t равны a! = cos9,
a2 = sin9 и, согласно 19.35, нормальная кривизна в этом
направлении равна
19.82
х = 22bijalaJ = bn cos20 + 2b12cos 9 sin 9 + b22sin29.
Представив уравнение индикатрисы 19.81 в полярных
координатах, получим
6nr2cos29-f 2£12'2cos9sin9 + 622/-2sin29= ± 1,
т. е. xr2= ± 1 или
1
Другими словами (Валле-Пуссен [2], стр. 444):
Радиус индикатрисы в произвольном направлении
равен квадратному корню из радиуса нормальной
кривизны в этом направлении.
Можно выразить эту же мысль иначе. Для этого
заметим, что поверхность аппроксимируется параболоидом
или параболическим цилиндром
2г = Ьих2 + 2Ь12ху + Ь22у2.

520 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 19
Эта поверхность второго порядка и данная поверхность
имеют равные нормальные кривизны во всех
направлениях в начале координат.
Если выбрать в качестве направлений осей х и у
главные направления в начале координат, как показано
Рис. 225.
на рис. 225, то bi2 = 0 и, в силу 19.58, К(г) = &н, так что
уравнение индикатрисы 19.81 примет простой вид
*(l)*2-fX(2){/2=± Ь
а формула 19.82 перейдет в формулу Эйлера
и = х(1) cos2 0 -f- Н(2) s'in2 б
для нормальной кривизны в направлении, образующем
угол 8 с первым главным направлением.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для каких направлений нормальная кривизна равна
среднему арифметическому главных кривизн?
2. Для поверхности z=F(x,y)
оЯ_ £"22*11 — 2^12*12 + ^11*22^ Р+*2)*11 ~2*1*2*12 +ft + *?)*22
g Vft+*?+*22)3
3. Омбилические точки поверхности xyz=\ лежат в вершинах
правильного тетраэдра (С а л ь м о н [2], стр. 300).
4. Начало координат является параболической омбилической
точкой для поверхности z—x(x2— 3*/2). Нарисуйте сечение этой
поверхности плоскостью z=e, где е — малое число, положительное или
отрицательное.
Эта поверхность называется обезьяньим седлом, так как она
может служить велосипедным седлом для обезьяны: по одному
спуску для каждой задней ноги и для хвоста. У Гильберта и
Кон-Фоссена ([1], стр. 208, рис. 213) приведен хороший чертеж
этой поверхности, но чертеж обобщенной индикатрисы (там же,
стр. 198, рис. 200) дан неверно; правильный чертеж см. во втором
издании книги: С т р о й к [1], стр. 85.

ГЛАВА 20
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
Представим себе двумерное живое существо,
обладающее достаточным интеллектом для того, чтобы
производить точные измерения на поверхности, где оно
обитает, но лишенное возможности представить себе третье
измерение. Его мир может быть плоскостью или
параболическим цилиндром; он не смог бы отличить их своими
средствами. Если этот мир будет круговым цилиндром,
локальные измерения дадут те же результаты, что и в
предыдущих случаях, хотя экспедиция «вокруг света»
показала бы топологические различия. Во всех этих
случаях он заключил бы, что его поверхность имеет
нулевую кривизну /С = 0. С другой стороны, если бы его
вселенная была сферой, он мог бы обнаружить ее
положительную кривизну не выходя из своего дома, даже если
бы радиус сферы был относительно велик. Возможность
такого обнаружения следует из формулы Гаусса 20.16,
которая выражает К через фундаментальные величины
первого рода. В § 3 мы увидим, как можно заменить это
сложное выражение Гаусса его же простым
выражением, содержащим углы треугольника (наподобие
формулы 6.92 для площади сферического треугольника).
В § 4 мы распространим эти локальные измерения до
измерений в целом, которые дадут возможность нашему
разумному существу определить топологическую
природу своей вселенной. Эти идеи мы более
систематически изложим в гл. 21.
В остальных параграфах этой главы мы наметим
дифференциально-геометрический подход к геометрии
неевклидовой плоскости, которую можно рассматривать
как поверхность постоянной отрицательной кривизны.

522
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 2U
§ 1. THEOREMA EGREGIUM *)
Символы Кристоффеля названы так в честь Эр-
вина Бруно Кристоффеля (1829—1901), который
ввел [их] в 1869 году... Вместо нашего
обозначения Yljk он пользовался обозначением {^}-
Переход к нашим современным обозначениям
произошел под влиянием теории тензоров.
Д. Дж. С т р о й к (род. 1894) [1]. стр 108.
Прежде чем приступить к рассмотрению
«геодезических линий», являющихся самыми важными кривыми на
поверхности, мы введем еще одно символическое
обозначение: символы Кристоффеля первого и второго рода
20.11
ij, k ij k' i j ij
В силу 19.15, эти символы связаны между собой
следующим образом:
20.12
Очевидно, что Г21,ь = Г12, к и Г*1 = Г?2. Так как
производные от фундаментальных величин первого рода равны
20.13
(gij)k = -j^ (rr rj) = rik . rs + n • rjk = Tlkt j + Tjk> l9
то символы Кристоффеля первого рода можно вычислить
по формуле
20.14
г/у, k — 2 i(Sjk)i + (gik)j — (gij)k) >
а затем вычислить символы Кристоффеля второго рода
с помощью второго равенства 20.12. Подставив в
равенство 18.21 и — ги и г3 = г3—п, получим
20.15
г ij = (г ij • г1) гг + (ги. г2) г2 + (г и • г3) г3 =
= r)jrl + T2ijr2 + (rij.n)n = %r'!jrk + bun.
*) Выдающаяся теорема (лат.)<

§1]
THEOREMA EGREGIUM
523
Эти выражения для вторых производных вектора г
обычно называют «формулами Гаусса».
Другим открытием Гаусса, которое привело его в
такой восторг, что он назвал полученный результат Theo-
rema egregium, является формула, выражающая К
через фундаментальные величины первого порядка и их
производные. Это означает, что гауссову кривизну
можно вычислить с помощью измерений, производимых на
самой поверхности безотносительно к трехмерному
пространству, в котором может лежать эта поверхность.
Другими словами, кривизна К «инвариантна при
изгибаниях», т. е. при преобразованиях, сохраняющих
расстояния на поверхности (например, при скручивании
плоского листа бумаги в цилиндр или конус). Это
выражение встречается в литературе в различных формах,
некоторые из которых не кажутся с первого взгляда
эквивалентными. Одна из наиболее изящных форм,
предложенная Лиувиллем !), имеет вид
20.16
Это выражение можно получить, применив формулу
19.49 к единичному касательному вектору £== —. Так
как {пгхгх) = 0 и (согласно 19.33) «Xr^/gr2, то
(attain -*- ^-) = (пхгх) • -^ = VIг2. -^ = ¥L г?,.
V " \ g\ g\ ) V U g\\ У S gu gu
Следовательно,
Theorema egregium принимает более симметричную
форму в случае ортогональных параметрических линий:
l) J. Liouville, Sur la theorie generate des surfaces,
Journal de Mathematiques 16, 1851, стр. 130—132.

524 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ.
если ftl = 0, gH—L^jlf, то
Vg Y2U— ^2 ^22^ _ ^2 2g2(g2)l _ (g2)l
gn Six 2#22 g\ 2*1 g\
Vg Y2U — Slg2 I (g\lh\ _ _ g2_ Zg\ (gl>2 _ _ (gl)2
Sn H gxx V #22 / #1 g\ g2
Подставив в 20.16, получим
20.17
(Везерборн [2], стр. 98; Стройк [1], стр. 113).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Получить другой вариант выражения 20.16, положив
g2
2. Для случая, когда gi2=0, выразить все символы Кристоффеля
через gn, g22 и их производные.
3. Вычислить символы Кристоффеля для плоскости, отнесенной
к полярным координатам.
4. Для поверхности, заданной уравнением в форме Монжа
vk zHzb
ij i+*?+*T
*.%T\j = №Vg)r
6. Вычислить К поверхности, для которой ')
_ (и2)2 + а-
g" ~~ J/„U2_J_ /t,2\2 l_/>2\2 > £"12
№)* + (и*)2 + а2}2 ' Sl2 {(и*)2 + (и2)2 + а2
(и*)2 + а2
g22~~ {(и1)2 + (и2)2 + а2)2'
l) Е. Beltrami, Annali di Matematica (1) 7, 186b, стр. 197—
198,

§ 2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВН. ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЙ 525
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЯ
Всякая достаточно малая дуга геодезической
линии представляет кратчайшую линию на по-
верхности среди всех линий, соединяющих концы
этой дуги... При помощи вычерчивания геодези-
ческих линий и измерения их длины можно
определить все внутренние свойства поверхности (на*
пример, гауссову кривизну)... Можно приблизь
тельно построить геодезическую линию таким
способом: пусть по поверхности катится воз*
можно малая двухколесная коляска, колеса
которой жестко связаны с их общей осью и, слв'
довательно, имеют одинаковую скорость
вращения... Это свойство определяет геодезическую
линию на всем ее протяжении, если задать одну
из ее точек и ее направление в этой точке...
Можно также определить прямейшие линии и
таким геометрическим требованием, чтобы
соприкасающаяся плоскость кривой всегда проходила через
нормаль к поверхности во всякой точке кривой.
Гильберт и Кон'Фоссен [I], стр. 225—226.
Рассмотрим, каким условиям должна удовлетворять
кривая на поверхности, чтобы все ее главные нормали
были нормалями к поверхности. Как мы видели в § 3
гл. 19, для любой кривой на поверхности
*Р = *=~а7% *'ri= S *'г' + 2 S а1й'ги.
Так как в нашем случае р = п, т. е. этот вектор
перпендикулярен к rk:
(S^ + SSa'aV^-r^O.
Так как Г/ • г* = 6? и nj • г* = Г//, то последние
равенства принимают вид
20.21
т. е.
d2uk
ds2
uk^^^Tkijhiti, = 0 (k=\, 2),
V V г* dul duj n
(Строй к [1], стр. 132; (Рашевский [2], стр. 370}).
Теоретически мы можем исключить из этих уравнений 5

526 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 20
и получить одно дифференциальное уравнение, но
обычно удобнее пользоваться обоими этими уравнениями или
одним из них вместе с уравнением 19.16.
Кривые, определяемые этими дифференциальными
уравнениями, называются геодезическими линиями.Так
как эти уравнения выражают вторые производные от
параметров uh через их первые производные, то через
любую данную точку А поверхности в любом заданном
направлении проходит геодезическая линия; поэтому,
вообще говоря, существует также единственная
геодезическая, проходящая через две данные точки Л и В.
В этом отношении геодезические линии на поверхности
напоминают прямые на плоскости; действительно, в
случае плоскости уравнения 20.21 определяют прямые.
В случае, когда параметрические кривые
ортогональные, т. е. при gi2=0, дифференциальные уравнения
геодезических линий принимают вид
20.22
gnU1 + \ (gn)i (я1)2 + (Ы2 ^ ~ \ (Ы1 (*2)2 = 0,
20.23
g^2 - \ (Ы2 (и1)2+(ал i1*2+ite*h№ - °-
Последнее из этих уравнений показывает, что
параметрические линии и2 = 0 являются геодезическими
линиями тогда и только тогда, когда gu зависит только от и\
т- е- (gu)2=0. В этом случае линии и2=0 образуют од-
нопараметрическое семейство геодезических линий, а
линии й1 = 0 являются их ортогональными траекториями.
Так как gu зависит только от и\ то дифференциальную
форму
ds^gniduy + gnidu*)*
можно упростить, изменив обозначения и приняв J gidu1
за параметр и1. Тогда g"n=l, £=£22 и
20.24
ds2 = {dul)* + g{du2)2.

S 2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВН. ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИИ 527
После изменения обозначений параметр и1 становится
мерой длины дуги геодезической линии «2=const.
Дифференциальные уравнения геодезических примут вид
20.25
20.26
Мы получим, в частности, геодезические полярные
координаты (аналогичные обычным полярным
координатам на плоскости), если положим и1 равным
расстоянию по геодезической, соединяющей фиксированную
точку Л с данной точкой, а и2 — равным углу между этой
геодезической и «начальной» геодезической и2 = 0.
Длину дуги произвольной кривой между точками А
и В можно получить, интегрируя ds вдоль кривой.
Уравнение 20.24 показывает, что \ ds^ J dul, причем
равенство имеет место только в случае du2 = 0.
Следовательно, геодезическая линия АВ служит кратчайшим
путем из точки А в точку В. Если натянуть растяжимую
невесомую нить, лежащую на выпуклой стороне
материальной поверхности, то эта нить примет форму
геодезической линии. На «элемент» нити действуют
натяжения в его концах и нормальная реакция поверхности.
Эти три силы должны быть в равновесии.
Следовательно, нормальная реакция должна лежать в плоскости
натяжений, которая является соприкасающейся плоскостью
поверхности. Таким образом, мы получили статическое
истолкование уравнения р = п, с которого мы начали
изучение геодезических линий.
Возвратимся к рассмотрению геодезических
полярных координат. Кривые w1 = const (которые, конечно, не
являются геодезическими линиями) называются
«геодезическими окружностями». Длину такой «окружности»
можно найти, интегрируя ds, задаваемый формулой
20.24 при dul = 0. Эта длина равна
2я
J Yg du2.
о

628 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 20
Если радиус и1 мал, эта длина приближенно равна
2я]/g и одновременно 2тш1. Следовательно, первый
член ряда Маклорена для Ys просто равен и\ т. е.
20.27
(Yg)i = l при ^=0.
Так как геодезические линии являются кратчайшими
линиями на поверхности, на сфере геодезическими
линиями служат большие окружности, а на плоскости —
прямые. Мы можем использовать рис. 89 (стр. 186) дли
случая геодезических полярных координат, заменив в
нем г и 0 на и1 и и2. Тогда формула 20.24 будет
выражать теорему Пифагора для бесконечно малого
треугольника PP'N, а для угла ф между геодезическими
линиями ОР/ и РР' будем иметь
NP' • NP г— •
coscp —lim-ppr = и1 или sin<p = lim-ppr — V g и2-
Дифференцируя coscp и учитывая 20.25, получим
:и2)и2 =
= (/g)i(sin(p)^2.
(_ sin Ф) ф = |? = 1 (g)x (i*f = J#L (Vg и?) & =
Таким образом,
20.28
УПРАЖНЕНИЯ
1. В случае общей поверхности вращения
r=(«1cos«2, и> sin и2, г),
где z зависит только от и1, дифференциальное уравнение 20.23 для
геодезических линий принимает вид
-^-[(«■)'«Ч = о.
Одним из решений этого уравнения является du2=0, т. е. меридианы
являются геодезическими линиями* В остальных случаях постоянное
значение величины (и])2и2 можно обозначить через -г*, так что
ds=h(u*)2du2.

§ 3] ПОЛНАЯ КРИВИЗНА ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА 629
Сравнивая эту формулу с формулой 19.16, получим полный интеграл
и,-с± f/_!±£i_^
U ~С± J У Л2(ы')2—1 и*
(Везерборн [2], стр. 102).
2. Показать, что геодезические линии на цилиндре—
(цилиндрические) винтовые линии.
3. Геодезические линии на конусе
г = (и1 cos и2, a1 sin а2, и1 cos а}
задаются уравнением
аи>— sec (P + w2sin а),
где а и Р — постоянные. Являются ли эти кривые конхо-спиралями?
§ 3. ПОЛНАЯ КРИВИЗНА ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Полная кривизна области на поверхности равна
площади ее сферического изображения... Это
свойство полной кривизны было известно уже
французской школе Монжа задолго до того, как
Гаусс обратил внимание на его значение для
внутренней геометрии поверхности.
Д. Дж. С т р о й к [1], стр. 156.
Формулы 6.92 и 16.53, выражающие площади
сферического и гиперболического треугольников,
представляют собой частные случаи открытой Гауссом красивой
формулы для полной
кривизны треугольника,
образованного дугами
геодезических линий на произвольной
гладкой поверхности.
Перейдем к установлению этой
формулы:
20.31
j J Kds = A + B + C — я.
ABC
Рис. 226.
Положив в формуле 20.17 gi=l и g2 = Vg> мы
видим, что в случае геодезических полярных координате
выражается весьма просто:
20.32 V7K = -(/g)n.

530 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 20
Рассмотрим геодезический треугольник ABC со
стороной А5, принадлежащей начальной геодезической и2 = 0
(рис. 226), Проинтегрируем К по площади этого
треугольника, для чего воспользуемся формулой 19.24. По-*
лучим
J J KdS= J j К Vgdu* du2 = - J J (VDn ate1 aftf2 =
Из формулы 20.27 следует, что при ul = 0 uMeeM(Yg)\=l*
из формулы 20.28 видно, что для произвольной точки на
геодезической линии ВС имеем —(Yg)ida2=d(p.
Следовательно,
а ас
J J* KdS= j* {1 -{у-£)у)с111>= J du?+ f d<p =
о о п-в
= А + С — (л — В) = А + В + С — л
(Везерборн [2], стр. 117; (Рашевский [2],
стр. 413)).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Выведите 20.32 непосредственно из 19.49, положив в этой
формуле t = Г\.
2. На единичной сфере дополнение широты и долгота служат
геодезическими полярными координатами, причем g^sin2^1. Какой
вид примет в этом случае формула 20.32? Для удобства будем
обозначать и1 и и2 через г и 0. Дифференциальное уравнение 20.26 при
(£h=0 имеет первый интеграл
(sinV)e=i-
(h — произвольная постоянная). С помощью этой формулы для
0 = -т— и формулы
ds2 = dr2 + sin2 г dW
можно показать, что dr = sin г У h2 sin2 г — \ dQ,
л Г cosec2 г dr п , ,, 4 .
0 = — =s 0О + arccos (k ctg r)t
j у h2 — cosec2 r
где & = - и k ctg r = cos (0 — 0O).
К/г2 — 1

§ 4J ХАРАКТЕРИСТИКА ЭЙЛЕРА-ПУАНКАРЕ 531
Выразив это решение в декартовых координатах
х= sin г cos 9, */ = sinrsin9, z=cosr,
проверить, что геодезическими линиями на сфере являются большие
окружности.
§ 4. ХАРАКТЕРИСТИКА ЭЙЛЕРА—ПУАНКАРЕ
Как мы видели (см. стр. 406—407), произвольный
многогранник, вписанный в сферу, можно спроектировать
.из центра сферы на ее поверхность в виде карты. При
этом V вершин многоугольника соединяются Е
геодезическими дугами (которые мы по-прежнему можем
называть ребрами), разбивающими поверхность сферы на
F многоугольных областей (которые мы по-прежнему
можем называть гранями). Вообще, если соединить
достаточное число точек на любой замкнутой
поверхности геодезическими дугами, то получится карта.
Единственное требование, которое мы предъявляем к
карте, состоит в том, что каждая грань должна быть од-
носвязной, т. е. границу каждой грани можно
непрерывно по поверхности стянуть в точку.
В § 3 гл. 10 мы доказывали формулу Эйлера с
помощью диаграммы Шлегеля. Ее можно применить и для
соответственной карты на сфере. Оказывается, что и для
произвольной поверхности характеристика Эйлера —
Пуанкаре
1=V-E+F
имеет одно и то же значение для всех карт на этой
поверхности.
Замечательно, что эта характеристика поверхности
очень просто выражается через полную кривизну
поверхности (получаемую интегрированием К по всей
поверхности).
Рассмотрим сначала сферу и на ней карту,
вершинами которой служат три точки большого круга. Для
этой карты V=*E = 3 и /г=2. Каждая полусфера
ограничена тремя дугами большого круга, которые образуют
сферический «треугольник» с углами я, я, я. В силу 20.31

532 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ..20
полная кривизна полусферы равна
л —|—jt -f-jt — л = 2л.
Следовательно, полная кривизна сферы равна 4я. [Как
это, очевидно, и должно быть: ведь «сферическим
изображением» любой сферы является единичная сфера,
площадь которой равна 4л;.] Полученный результат
является весьма частным случаем общей формулы
20.41
J J KdS = 2w,
где интегрирование производится по всей поверхности
характеристики %.
Чтобы доказать формулу 20.41, рассмотрим карту
на данной поверхности, образованную Е геодезическими
дугами, причем все углы граней не превосходят я. Пусть
число вершин этой карты равно V. Эту карту можно
«триангулировать», выбрав по точке внутри каждой
грани и соединив эти точки с вершинами соответствующих
граней. Таким образом, мы получим новую карту с
V+F вершинами и 2Е треугольными гранями. Так как
сумма углов этих треугольников равна 2n(V+F), то
полная кривизна поверхности равна
j f KdS = ^(A + B + C — n) = 2n(V + F) — 2En =
= 2я(У + /7 —£) = 2лх.
Отсюда следует, что полная кривизна поверхности
не изменяется при топологических преобразованиях.
Например, она сохраняет значение 4я для эллипсоида и
любой другой овальной поверхности. Более того, сферу
можно деформировать таким образом, что полученная
поверхность будет иметь антикластические области.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Тор 8.88 (а > Ь) можно получить вращением окружности
радиуса b вокруг прямой, лежащей в той же плоскости и
удаленной на а от центра окружности. На этой поверхности можно
провести геодезические окружности радиусов Ь и а+6,
пересекающиеся в одной точке. Они образуют карту, для которой 1^=/7=1, £=2.
Следовательно, полная кривизна тора равна нулю. [Положительная

§ 5] ПОВЕРХНОСТИ постоянной кривизны 633
полная кривизна «внешней» синкластической части тора в точности
компенсируется отрицательной полной кривизной его «внутренней»
антикластической части.]
2. Добавьте к карте, описанной в предыдущем упражнении,
еще две геодезические линии, чтобы получилась карта, для
которой V=F=4, £=8,
§ 5. ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
Когда Гауссу было девятнадцать лет, его мать
спросила его университетского товарища
Вольфганга Бойяи, может ли из Гаусса что-нибудь
получиться. Когда Бойяи воскликнул «величай*
ший математик Европы!» — она расплакалась.
Э. Т. Б э л л [1], стр. 252,
Все рассмотрения поверхностей, в которых фигури^
руют только фундаментальные величины первого рода
и выражающиеся через них символы Кристоффеля,
являются «внутренними». Такие рассмотрения могло бы
проводить гипотетическое двумерное существо, которое
не может представить себе никаких направлений вне
поверхности. Такое существо могло бы измерять
расстояния на поверхности по формуле 19.16, различать
геодезические линии как кратчайшие из линий, соединяющих
две данные точки, и вычислять гауссову кривизну К в
любой точке поверхности.
Один из самых изящных подходов к неевклидовой
геометрии заключается в том, что эллиптическая и
гиперболическая плоскости рассматриваются как однород-*
ные (одинаковые во всех точках) и изотропные
(одинаковые по всем направлениям) неразвертывающиеся
поверхности. Так как поверхности однородны, то гауссова
кривизна на них постоянна. Выбирая подходящую
единицу измерения, мы можем считать это постоянное
значение К равным 1 или —1. При рассмотрении таких
поверхностей удобно пользоваться геодезическими
полярными координатами. Так как поверхность однородна
и изотропна, выражения 20.24 не зависят от положения
полюса и1 = 0 и начальной геодезической линии «2 = 0, а
g является функцией только от и2. Геодезические линии
на поверхности будут «прямыми» соответствующей
геометрии, а поверхность не обязательно считать вложен*
ной в трехмерное евклидово пространство.

534 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 20
Положив в формуле 20.32 /С=±1, получим
дифференциальное уравнение
(Vg)n = + VI.
которое дает
Y g = A$mtix + Bcostix или Ashul-{-Bchul.
В полюсе ds (равное du1) не зависит от и2,
следовательно, при и1 = 0 получаем g=0, т. е. В=0. В силу
20.27 Л = 1 и, значит,
Yg = sin и{ или shu1
и
ds2 = (du1)2 + sin2 и1 {da2)2 или (du1)2 -f sh2 u> {du2)2.
УПРАЖНЕНИЕ
Вычислить длину геодезической окружности их—г а) на
эллиптической плоскости, б) на гиперболической плоскости.
§ 6. УГОЛ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
В эллиптическом случае мы можем считать и1 и и2
дополнением широты и долготой на единичной сфере
(как в упр. 2 в конце § 3). В связи с этим мы
ограничимся рассмотрением гиперболического случая, для ко*
торого
g = sh2ul.
Для удобства вместо и1 и и2 будем писать гиб, так
что *)
ds2 = dr2 + sh2rd№.
Для нахождения прямых гиперболической плоскости
воспользуемся дифференциальным уравнением 20.26,
положив в нем g = sh2r. Получим
'(8sh*r) = 0.
J) Е.. Beltrami, Giornale di Matematiche 6, 1868, стр.298(12).

УГОЛ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
535
Проинтегрировав один раз, получим Qsh2r=j-
(постоянная), откуда вытекает
dr2 + (sh2 г) d№ = ds2 = (h sh2 rdQ)2,
так что dr2 = sh2 r (h2sh2r— l)rf62 и
л Г dr С d cth г
~~ J sh r Vh2sh2r — l ~ J
где £ =
Vh* + \
внениями
)/7*2 + l —cth2r
== 0O + arccos (k cth r),
Следовательно, прямые задаются ура-
&cth/-=cos (0 — во).
Если h стремится к бесконечности, то k стремится к
нулю, и в пределе мы получаем радиальные прямые, для
которых значение в постоянно. Прямая, проходящая
через точку (а, 0) и перпендикулярная к прямой 0 = 0,
будет задаваться уравнением
th a cth r=cos0.
Мы воспользуемся этим результатом для
установления соотношений между углами и сторонами
прямоугольного треугольника ЛВС, вершина В которого
лежит в полюсе, а сторона ВС находится на начальной
прямой 9 = 0 (рис. 227). Уравнения прямых ВС, АВ и
СА имеют вид
в = 0, 0 = Б и tha = thrcosO,

536 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЫРИЯ ПОВЕРХНОСТИ (ГЛ. 20
Поэтому длины сторон ВС —а и АВ = с связаны
уравнением
th a = thc cos В
(К ар ел о у [1], стр. 109; Ко кет ер [3], стр. 238, 282).
[Другую формулу такого типа можно получить,
заменив а на Ьу а В на А]
Угол параллельности 11(a) равен значению угла В,
при котором с обращается в бесконечность, т. е.
Ща)=В,
если
cos B = \ha, smB — —-?—,
en а
cosec В = ch a, ctg В = sh а,
cosec В — ctg В = ch а —- sh a, tg у = £~а.
Таким образом, мы установили формулу Лобачевского
n(a)=2arctg<ra
(К о к с т е р [3], стр. 208). Эта формула дает точное
выражение для функции, некоторые свойства которой
были установлены нами в § 3 гл. 16.
УПРАЖНЕНИЕ
Вычислите значения 11(a) для нескольких значений а и
нарисуйте эскиз кривой */=П(х). В каком виде функция И (и)
фигурирует на рис. 219?
§ 7. ПСЕВДОСФЕРА
После того как мы показали, что гиперболическая
плоскость представляет собой поверхность постоянной
отрицательной кривизны, естественно возникает вопрос,
можно ли погрузить такую поверхность в евклидово
пространство. Другими словами, спрашивается, можно
ли гиперболическую плоскость или ее конечную часть
изометрично отобразить на поверхность в обычном
пространстве, наподобие того, как эллиптическая плоскость
отображается на сферу. Ответ будет одновременно и
положителен, и отрицателен; такого отображения не суще-

§7]
ПСЕВДОСФЕРА
537
ствует для всей гиперболической плоскости1), но часть
гиперболической плоскости, имеющую конечную
площадь, можно изометрически отобразить на некоторые
поверхности (Клейн [4],
стр. 312). Простейшей из /\^
таких поверхностей являет- >/7
ся половина «трактроида»— ~—— I
поверхности вращения трак- "^ ^^ Т
трисы 17.51 вокруг асимпто- ^S4ss\
ты; Лиувилль назвал эту \/
поверхность псевдосферой
<рис. 228; ср. с рис. 220 на Рис- m
стр. 458).
Заменив в уравнении 17.51 х на г, у на х и положив
а = 1, мы получим уравнения трактрисы
х= . . , z = ul— thu1,
chu1
лежащей в плоскости у = 0. Вращая ее вокруг оси г, по*
лучим трактроид
cos и2 sin и2 , .« !
У^ТйТТ* z = u} — ihu\
chw1 ' и chw1
имеющий ребро возврата uI=0. Псевдосфера имеет
форму рупора и задается условием и1 > 0. Дифференцируя
радиус-вектор г=(л;, у, z), получим
Положив в формуле 20.17 gi = thu\ g2~ сЬц1 , получим
спи1 д ~\ chw1 /i ~ chw1 '
откуда
K=-l.
!) G. Lutkemeyer, Uber der analytischen Charakter der In-
tegrale von partiellen Differentialgleichungen, Gottingen, 1902;
(Гильберт il], добавление V. В 1955 г. югославский математик
Д. Блануша показал, что полную плоскость Лобачевского можно
вложить в шестимерное евклидово пространство (вопросо
возможности вложения плоскости Лобачевского в четырехмерное или
пятимерное евклидово пространство до сих пор остается открыв
тым)),

538
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 20
Так как псевдосфера имеет ту же гауссову кривизну,
что и гиперболическая плоскость, прямые
гиперболической плоскости изометрически отображаются на
геодезические линии псевдосферы. В частности, меридианы (для
которых u2=const) изображают пучок параллельных
прямых. Ортогонально к меридианам проходят
окружности a1=const, которые представляют дуги
концентрических орициклов (§ 6 гл. 16). Самая длинная из этих дуг
имеет длину 2я, так как ее представляет окружность^
х = cos u2t у —sin и2
в плоскости и1 = 0. Таким образом, псевдосфера
представляет сектор орицикла на гиперболической плоскости,
ограниченной дугой длины 2я и диаметрами,
проведенными из концов этой дуги. Этот сектор обернут вокруг
псевдосферы таким образом, что ограничивающие его
диаметры совпадают и образуют один меридиан.
Из-за ограничения сектором орицикла псевдосфера
совершенно непригодна для изображения важнейших
фигур гиперболической плоскости. Псевдосфера дает
примерно такое же представление о гиперболической
плоскости, как половина цилиндра — об евклидовой
плоскости. Так же как винтовая линия на цилиндре
представляет не одну прямую, а бесконечное множество
отрезков различных прямых, геодезическая линия на
псевдосфере, отличная от меридиана, представляет
бесконечное множество отрезков гиперболических прямых.
Таким образом, на псевдосфере нельзя изобразить даже
такое простое расположение прямых, как то, которое
показано на рис. 203 (стр. 421)! Эти замечания
вынуждают нас отказаться от широко распространенной, но
ошибочной идеи о том, что гиперболическую геометрию
можно отождествить с внутренней геометрией
псевдосферы.
УПРАЖНЕНИЕ
Используя формулы 20.23, получить уравнения геодезических
линий на псевдосфере»

ГЛАВА 21
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В гл. 4 мы рассматривали различные мозаики на
евклидовой плоскости (так в § 6 гл. 4 мы рассматривали
правильные мозаики). Эти мозаики можно
рассматривать как бесконечные карты. В § 7 гл. 15 мы
рассматривали аналогичные мозаики на сфере,
представляющие собой конечные карты. В § 3 гл. 10 мы доказали
формулу Эйлера
V-E+F=%
связывающую число вершин, ребер (или дуг) и граней
(или областей) произвольной сферической карты. В § 4
предшествующей главы мы показали, что для карты на
произвольной замкнутой поверхности имеет место
соотношение V—E + F = %^.2f где х — характеристика
Эйлера— Пуанкаре, постоянная для всех карт на данной
поверхности. В § 9 гл. 6 мы получили проективную
плоскость, отождествив диаметрально противоположные
точки сферы; если центрально-симметричную карту на
сфере рассматривать как карту на проективной
плоскости, то при этом отождествлении V, Е и F делятся
пополам и х уменьшается с 2 до 1. На рис. 105
изображены взаимные многогранники, которые, если
рассматривать их как сферические карты, являются
специальным случаем двойственных карт. В § 1 гл. 10 мы ввели
символ Шлефли {/?, q] для карты из /7-угольников,
расположенных по q при каждой вершине, а в § 3 той же
главы получили равенство 10.31:
qV=2E=pF.
В § 4 гл. 15 мы рассматривали группы перестановок
граней карты; в § 3 той же главы мы обнаружили, что
теория параллельных переносов и скользящих симме-

540 ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 21
трий принадлежит абсолютной геометрии, т. е. что она
относится не только к евклидовой, но и к
гиперболической геометрии.
В настоящей главе все эти идеи используются при
рассмотрении топологических свойств поверхностей.
В частности, мы рассмотрим предположение П. Дж. Хи-
вуда о том, что для закраски любой карты на
поверхности характеристики % достаточно
Лх = [-2~+4/49-24*]
красок*). Замечательно, что хотя для случая %<2
справедливость этой формулы была доказана еще в 1890
году, до сих пор эта формула не доказана для карт на
обычной сфере или на плоскости. Другое предположение
состоит в том, что формула Хивуда — «наилучшая
возможная» в том смысле, что для каждого/имеется карта,
для закраски которой требуется в точности А% красок.
§ 1. ОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Группа преобразований, наиболее важная для
современной математики, а именно группа
топологических преобразований, намного
шире проективной группы. Здесь мы имеем дело
с топологическим пространством, т. е. с
множеством элементов, называемых точками, для ко-
торых определено понятие окрестности. Всякое
преобразование, сохраняющее окрестности,
называется топологическим. Топологию
можно наглядно представлять как геометрию
резиновых пленок, так как при топологических
преобразованиях допускаются всевозможные
комбинации сжатий и растяжений (без
разрывов).
С. Г. Г у л ь д [I], стр. 304.
В гл. 5 мы упомянули о предложенной Клейном
знаменитой классификации геометрий по группам
преобразований, при которых их теоремы остаются
справедливыми. С этой точки зрения проективная геометрия
характеризуется группой коллинеаций и корреляций, а
гиперболическая геометрия — подгруппой группы колли-
*) Здесь квадратные скобки обозначают целую часть
числа.

*1]
ОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
541
неаций, переводящих в себя некоторое коническое
сечение (множество «бесконечно-удаленных точек»).
Топология, которую иногда называют «самой общей из всех
геометрий», характеризуется группой непрерывных
преобразований. Например, так как многогранник можно
непрерывно преобразовать в соответствующую
сферическую мозаику, топология не делает различия между
многогранником и мозаикой. Как и в § 4 гл. 20, мы
определим характеристику поверхности
21.11
%=V-E+F
в терминах карт, образованных дугами геодезических
линий; однако значение % не изменится, если заменять
геодезические линии произвольными непрерывными
непересекающимися дугами, соединяющими те же точки.
Другими словами, ребра карты не обязательно должны
быть геодезическими линиями, как граница штатов
Колорадо и Юта, но могут быть извилистыми, как границы
штатов Индиана и Кентукки*).
Тор 8.88 топологически эквивалентен сфере с ручкой
(наподобие ручки чайника). Увеличивая число таких
ручек, можно получать
другие, более
сложные поверхности.
Присоединение к данной
поверхности ручки
уменьшает характеристику %
на 2. Действительно,
можно выбрать ручку в
виде изогнутой
трехгранной призмы,
соединяющей две треугольные грани подходящей карты, как
показано на рис. 229. При присоединении такой ручки V
остается неизменным, Е увеличивается на 3, a F — на
3—2. Так как для сферы х = 2, то для сферы ср ручками
21.12
% = 2-2р.
*) Условная граница между штатами Колорадо и Юта в США
совпадает с меридианом (отвечающим 109° зап. долготы); границей
между штатами Индиана и Кентукки служит река Огайо,
с£3>

542
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. 2!
Поверхность с такой характеристикой называется
поверхностью рода р. В частности, сфера — поверхность
рода 0, а тор — рода 1.
Из прямоугольной резиновой пленки можно
изготовить модель тора, если склеить пары противоположных
сторон прямоугольника. При склеивании одной пары
противоположных сторон получится трубка, при
склеивании второй пары — тор. Обратно, разрезав тор по
двум окружностям, имеющим одну общую точку, мы
О превратим его (после
некоторой деформации) в
прямоугольник, причем
разрезы перейдут в пары
противоположных
сторон прямоугольника. Во-
(P-V (Р=2) обще поверхность рода р
рис 230. можно превратить в
4р-угольник 2р разрезами,
начинающимися и кончающимися в одной точке, причем
разрезам будут соответствовать пары противоположных
сторон (Кокстер и Мозер [1], стр. 25), как
показано на рис. 230.
Если рассматривать 2р разрезов на поверхности как
2р ребер карты, мы найдем, что эта карта имеет одну
вершину и одну грань и, в силу 21.12,
% = V — E + F= \—2р+\ =2 —2р.
В случае р=\ удобно считать прямоугольник
квадратом и рассматривать этот квадрат как одну из
граней правильной мозаики {4, 4} (рис. 50 на стр. 101)
или"" как единичную ячейку решетки, порожденной
двумя перпендикулярными переносами. Склеивание
противоположных сторон квадрата можно заменить ото-5
ждествлением точек, имеющих соответственные
положения во всех квадратах, т. е. тех точек, которые можно
перевести друг в друга преобразованиями группы.
Говорят, что евклидова плоскость является универсальной
накрывающей поверхностью для тора. Аналогично при
р>1 удобно считать 4р-угольник правильным 4/?-уголь-
ником с углом п/2р на гиперболической плоскости и
рассматривать этот 4/?-угольник {4/?} как грань правиль-

I 2]
НЕОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
543
ной гиперболической мозаики {4/?, 4р}, Пары
противоположных сторон {Ар} соответствуют 2р сдвигам,
порождающим группу с фундаментальной областью {Ар}.
Бесконечная гиперболическая плоскость (являющаяся
универсальной накрывающей поверхностью) превратится в
данную конечную поверхность, если отождествить
каждую точку фундаментальной области с
соответственными точками других фундаментальных областей. Группа
параллельных переносов называется фундаментальной
группой поверхности (Кокстер и Мозер [1], стр. 24—
27, 58-60).
УПРАЖНЕНИЕ
Графом называется множество точек (называемых
вершинами), некоторые из которых соединены дугами (ребрами). В
частности, вершины и ребра карты образуют граф. Обратно, любой
связный граф можно начертить на некоторой поверхности так, что
он образует карту, покрывающую поверхность1). Граф называют
плоским, если его можно начертить на сфере, так что его ребра
не будут пересекаться. В этом случае граф можно начертить на
плоскости, но одна из граней будет бесконечной. Говорят, что
вершина имеет порядок (или «степень») q, если из нее исходят q
ребер; граф называют графом порядка три, если каждая его
вершина имеет третий порядок. В этом случае 3V=2£; следовательно,
V четно. Граф Томсена 2) состоит из шести вершин ри .•> Рб и
девяти ребер piPj, где i+j нечетно. Это простейший неплоский граф
порядка три.
Можно ли начертить его на торе?
§ 2. НЕОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Поверхность тогда и только тогда неориентируе-
ма, если на ней имеется такая замкнутая
кривая s, что малая ориентированная окружность,
центр которой непрерывно движется по кривой s,
приходит в начальную точку ориентированной
в противоположном направлении.
Гильберт и Кон-Фоссен [I], стр. 312.
Все поверхности, рассмотренные в § 1, были
ориентируемыми, т. е. на них можно было согласованно опре«
делить положительное направление вращения. Более
*) J. Н. Lindsay, Jr. Elementary treatment of the imbedding of
a graph in a surface, American Mathematical Monthly 66, 1959, стр.
117—118; (ср. также О. О p e, Графы и их применение, М., «Мир», 1965) *
2) W. Blaschke und G. В о 1, Geometrie der Gewebe, Berlin,
1938, стр. 33.

544
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. 21
точно это означает, что грани любой карты можно ори-*
ентировать таким образом, что каждому ребру будут
соответствовать два различных направления.
Поверхность называется неориентируемой, если на ней имеется
карта, которую нельзя ориентировать таким образом.
Самой известной из таких поверхностей является лист
Мёбиуса, который можно изготовить, склеив две
противоположные стороны узкого и длинного
прямоугольного листа бумаги АВАВ, длина которого в несколько
раз больше, чем ширина, таким образом, что концы его
склеиваются после закручивания на полуоборот. В
неориентированности листа Мёбиуса можно убедиться,
если рассмотреть карту, состоящую из цепочки квадратов.
Лист Мёбиуса — односторонняя поверхность в том
смысле, что муравей может ползти вдоль границы листа по
несамопересекающейся кривой и вернуться в начальную
точку «с другой стороны». Если два колеса машины
соединены ремнем такой формы, то (например, в случае,
когда эти колеса горячие или из шлифовального
материала) ремень будет равномерно снашиваться с обеих
сторон. Патент на практическое использование листа
Мёбиуса получила Компания Гудрича1).
В отличие от замкнутых поверхностей,
рассмотренных в § 1, лист Мёбиуса обладает границей. Эта
граница, являющаяся простой замкнутой кривой,
топологически эквивалентна окружности, но в физической модели
границу нельзя заклеить пленкой, так как она завязана
узлом. Это практическое затруднение возникает в связи
с тем, что модель находится в евклидовом пространстве.
Теоретически в таком ограничении нет необходимости.
Если заклеить границу листа Мёбиуса пленкой,
получится замкнутая поверхность, топологически эквивалент*
ная проективной плоскости! Другими словами, лист
Мёбиуса — это проективная плоскость с вырезанным
отверстием. В самом деле, проективную плоскость можно
рассматривать как сферу с отождествленными
диаметрально противоположными точками. Когда мы вырезаем
из сферы круглое отверстие вокруг северного полюса,
мы должны, очевидно, вырезать равное отверстие во*
l) U. S. Patent, 2, 784, 834 (12 марта 1957 года).

$2]
НЕОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
545
Рис. 231.
круг южного полюса. От сферы останется пояс,
ограниченный двумя параллелями широты, наподобие
тропиков Рака и Козерога. Но так как мы отождествляем
диаметрально противоположные точки сферы, можно
заменить этот пояс одной его
половиной, например
«видимой» половиной (рис. 231).
Эта половина, у которой
отождествлены концы АВ,
очевидно, и есть лист Мёбиуса.
Вместо целой сферы с
отождествленными диаметрально
противоположными точками
проективную плоскость
можно рассматривать как
полусферу, например «южную»
полусферу, с отождествленными диаметрально
противоположными точками экватора. Полусферу можно
топологически преобразовать так, что она покроет почти всю
сферу, а граница превратится в очень малую
окружность вокруг северного полюса. Другими словами,
проективная плоскость топологически эквивалентна сфере со
скрещенным колпаком, представляющим собой малень-*
кое круглое отверстие, обладающее тем волшебным
свойством, что как только муравей, ползущий по
сфере с наружной стороны,
попадет на границу этого
отверстия, он переносит-^
ся в диаметрально
противоположную точку
границы, притом на
внутреннюю сторону сферы.
Мы можем получать
более сложные
поверхности, добавляя к сфере новые скрещенные колпаки.
Прибавление каждого колпака уменьшает характеристику %
на 1. Действительно, пусть некоторая карта на данной
поверхности содержит вершину Л, принадлежащую трем
граням. Заменим вершину А скрещенным колпаком
АВСАВС как показано на рис. 232. Так как при этом
возникают две новые вершины В, С и три новых ребра
Рис. 232.

546
топология ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. 21
ВС, СЛ, ЛА, добавл-ение скрещенного колпака
увеличивает V на 2, Е на 3 и не меняет F. [Грани,
расположенные на чертеже слева и справа, теперь примыкают по
двум ребрам: по старому ребру, начинающемуся в точке
Л, и по новому ребру ВС] Так как для сферы % = 2, то
для сферы с q скрещенными колпаками
21.21
% = 2-q.
При <7=1, как мы видели, получается проективная
плоскость. При q = 2 получается бутылка Клейна (или
«неориентируемый тор»; см. Гильберт и Кон-
Фоссен [1], стр. 313—315).
С помощью начинающихся и кончающихся в одной
точке q разрезов, каждый из которых проходит через
один скрещенный колпак, можно превратить поверхность
в 2^-угольник, у которого q пар соседних сторон
соответствуют q разрезам (Кокстер и Мозер [1],
(?=7) «Г=2) С<Г=3)
Рис. 233.
стр. 25—28, 56—58), как показано на рис. 233. Эти
разрезы представляют собой q ребер карты, имеющей
одну грань и одну вершину, в соответствии с формулой
% = V — E + F=\—q+\=2 — q.
При q=l 2^-угольник представляет собой
двуугольник, который можно рассматривать как одну из граней
сферической мозаики {2,2} (см. упр. 1 в конце § 7 гл. 15)«
Универсальной накрывающей поверхностью для
проективной плоскости оказывается сфера, а
фундаментальной группой — группа порядка 2, порождаемая
центральной симметрией,
При q=2 2<7-угольник можно считать гранью
евклидовой мозаики {4,4}, так что универсальная
накрывающая поверхность представляет собой евклидову пло-

§3]
ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
547
скость. В отличие от тора, имеющего фундаментальную
группу pi, бутылка Клейна имеет фундаментальную
группу pg, порождаемую двумя скользящими симмет-
риями (см. § 3 гл. 4, в частности таблицу I на стр. 86).
При q>2 универсальная накрывающая поверхность
представляет собой гиперболическую плоскость, 2q-
угольник является гранью гиперболической мозаики
{2<7,2<7), а фундаментальная группа порождается q
скользящими симметриями (Кокстер и Мозер
[1], стр. 56—58).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Проективная плоскость топологически эквивалентна кругу 1)
с отождествленными диаметрально противоположными точками
окружности.
2. Как начертить граф Томсена (см. конец § 1) на сфере со
скрещенным колпаком или на круге с отождествленными
диаметрально противоположными точками?
3. Что произойдет с графом из вершин и ребер правильной
шестигранной призмы, если спроектировать его на описанную сферу
и отождествить диаметрально противоположные точки?
4. Является ли сфера с р ручками и q скрещенными
колпаками поверхностью, топологически эквивалентной сфере с 2p + q
скрещенными колпаками при <7>0?
§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
Мы впервые предложили метод сведения всякого
двумерного многообразия к одной из известных
многоугольных нормальных форм. Применяемый
нами метод состоит в том, что многоугольник,
которым представляется многообразие,
подвергается ряду преобразований — разрезам на от-
дельные части и склеиванию их для получения
нового многоугольника, представляющего то же
многообразие.
X. Р. Б р а х а н а (Н. R. Brahana, род, 1895), Annals
of Mathematics 23, 1921, стр. 144
Можно доказать2), что любая замкнутая поверхность
топологически эквивалентна либо сфере с р (>0) руч*
1У О других топологических свойствах круга и сферы см,
A. W. Tucker, Proceedings of the First Canadian Mathematical
Congress, University of Toronto Press, 1946.
2) Первоначальное доказательство, данное Браханой, упрощено
Лефшецом ([1], стр. 72—85) и другими. Одно из лучших
изложений этого вопроса см.: R. С. James, Combinatorial topology

548
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. 21
ками (если эта поверхность ориентируема), либо сфере
с q (>0) скрещенными колпаками. Принимая во
внимание 21.12 и 21.21, находим, что с точки зрения топологии
для каждого значения характеристики
х = 2, 0, —2, -4, ...
имеется в точности одна ориентируемая замкнутая по-
верхность, а именно, сфера с 1 1 ручками, и для
каждого значения характеристики
Х = 1, 0, -1, -2, ...
— в точности одна неориентируемая замкнутая
поверхность, а именно, сфера с 2 — % скрещенными колпаками.
Мы уже описывали простейшие карты всех этих
поверхностей, имеющие одну вершину, 2—% ребер и одну
грань. В случае ориентируемых поверхностей эти карты
являются «правильными» в определяемом ниже смысле.
Вершины, ребра и грани карты (на любой
ориентируемой или неориентируемой поверхности) удобно
называть элементами карты. Те перестановки элементов, при
которых сохраняются все соотношения инцидентности,
называются автоморфизмами карты. Автоморфизмы
образуют группу, называемую группой карты. Это
естественное обобщение понятия группы симметрии
многогранника или мозаики (§ 7 гл. 15), но здесь полностью
игнорируются метрические соотношения. Карта
называется правильной, если среди ее автоморфизмов
имеются циклические перестановки ребер (и
вершин),принадлежащих любой грани, и циклические перестановки
ребер (и граней), прилегающих к любой вершине.
Говорят, что такая карта имеет «тип {р, q}»> если каждая
грань имеет р ребер, а к каждой вершине примыкает
q ребер. Двойственная карта, ребра которой пересекают
ребра исходной карты, имеет тип {q, р). [Буквы р и q
применяются здесь без какой бы то ни было связи с их
of surfaces, Mathematics Magazine 29, 1955, стр. 1—39. (См. также
П. С. Александров и В. А. Ефремович, Очерк основных
понятий топологии, М.—Л., ОНТИ, 1936 и В. А. Ефремович,
Основные топологические понятия, Энциклопедия элементарной
математики, кн. V, М., «Наука», 1966.)

§3]
ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
549
предыдущим использованием для обозначения числа
ручек и скрещенных колпаков.]
Равенство 10.31 остается в силе. Из него и из 21.11
следует обобщение формул 10.32:
21.31
V = 2prt E = pqr, F = 2qr,
где, если %Ф0,
21.32
г~ 2p + 2q-pq-
Если % = 0у так что 2p + 2q=pqy как в § 6 гл. 4, то
мы вскоре убедимся, что существует бесконечно много
допустимых значений для г.
При %=1 или 2 допустимые значения р и q
определяются из условия 10.33 без ограничения /?>2, q>2.
Таким образом, правильные карты на сфере (х = 2)—это
сферические мозаики
{р, 2}, (2, р], {3, 3},
21.33
{4, 3}, {3, 4}, {5, 3), {3, 5},
а именно: диэдр, имеющий р вершин, расположенных по
экватору, осоэдр1), ребрами которого служат р
меридианов, а гранями—р луночек, и «раздутые» варианты
пяти Платоновых тел. Эти мозаики
центрально-симметричны, за исключением диэдра и осоэдра при
нечетном р и тетраэдра {3,3}. В случае
центрально-симметричных мозаик мы можем отождествить диаметрально
противоположные элементы и получить правильные
мозаики на эллиптической плоскости (х=1):
■А ■ и * 'р* (р — четно),
21.34
{4, 3} {3, 4} {5,3} {3, 5}
2 * 2 ' 2 * 2
(Кокстер и Мозер [1], стр. 111). Например,
отождествив противоположные элементы куба (рис. 106,
J) Этот термин (буквально «любое число граней») был введен
Вито Кар а вел л и (V. Caravelli, 1724—1800) в трактате Traite des
hosoedres; этот трактат опубликован в 1959 г. (Paris, Librairie
Scientifique et Technique).

550
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. 21
стр. 234), мы получим мозаику ^ • представляющую
собой разбиение эллиптической плоскости (или
проективной плоскости) на три «квадрата», например ABCD,
ACDB, ADBC. [Такими квадратами были три платка,
которые леди Муриэл начала сшивать вместе, пытаясь
сшить кошелек Фортунатуса (Льюис К э р о л л [4],
стр. 100—104). Первые два из них, сшитые по общему
ребру CD, образовывали лист Мёбиуса с границей
(5 3)
ADBC] Мозаика l \ ' представляет собой разбиение
эллиптической плоскости на шесть пятиугольников,
каждый из которых окружен остальными пятью.
Правильные карты на торе образуются из
бесконечных правильных карт на его универсальной
накрывающей поверхности, т. е. на евклидовой плоскости. Как мы
видели в § 6 гл. 4, таких бесконечных правильных карт
имеется три:
21.35
{6,3}, {4,4}, {3,6}.
Необходимые отождествления определяются
подгруппами группы параллельных переносов этих мозаик.
Вершины мозаики {4,4} можно поместить в точки с
целочисленными декартовыми координатами (хуу). Тор
получается при отождествлении противоположных
сторон квадрата, одна из сторон которого соединяет точки
(0,0) и (be), где Ъ и с — натуральные числа или нуль
(но не нули одновременно). Так как площадь такого
квадрата равна Ь2 + с2, внутрь него попадет часть
исходной мозаики {4,4}, состоящая из Ь2 + с2 единичных
квадратов. Таким образом, мы построили на торе карту
{4,4Ь,е,
для которой
V = b* + c2, E = 2Vf F = V
(К о к стер и Мозер [1], стр. 103). В частности,
{4,4}i,0 — простейшая карта, имеющая одну вершину и
одну грань, которая рассматривалась в § 1. [Может
показаться парадоксальным, что карта типа {4,4} имеет
только одну вершину; однако надо заметить, что грань

§3]
ПРАВИЛЬНЫЕ КАРТЫ
551
этой карты остается четырехугольником, несмотря на то,
что все четыре его вершины совпадают с единственной
вершиной карты.] Карта {4,4}2,i, имеющая пять граней,
каждая из которых окружена остальными, изображена
на рис. 234.
Вершины мозаики {3,6} можно поместить в точки с
целочисленными косоугольными координатами в системе
координат, оси которой образуют угол в 60°. Тор
получится приv отождествлении противоположных сторон
ромба с углом в 60°, одна из сторон которого соединяет
точки (0,0) и (6, с). Так как площадь такого ромба в
А
Рис. 234. Рис. 235.
b2 + bc + c2 раз больше площади единичной ячейки
целочисленной решетки (состоящей из двух соседних граней
мозаики {3,6}), то внутрь ромба попадет часть мозаики,
состоящая из 2{b2+bc-\-c2) равносторонних
треугольников. Таким образом, мы построили на торе карту
{3, 6}^,
для которой
V = b2 + bc + c2, £-=31/, F = 2V
(Кокстер и Мозер [1], стр. 107). [На рис. 150,
стр. 305 изображена фигура, аффинно эквивалентная
половине карты {3,6}2д.] Двойственная карта {6, 3}ь,с
имеет b2 + bc + c2 шестиугольных граней. В частности,
карта {6,3J2,i (рис. 235) !) — это предложенное Хивудом
!) О других способах получения карты Хивуда см.: Н. S. М.
Coxeter, Map-coloring problems, Scripta mathematica 23, 1957,
стр. 19—21, и The four-color map problem, 1840—1890, Mathematics
Teacher 52, 1959, стр. 288—289.

552
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. 21
(Heawood) разбиение тора на семь шестиугольников,
каждый из которых граничит с остальными шестью.
Таким образом, на торе имеется бесконечно много
правильных карт каждого из трех типов 21.35. В
противоположность этому на бутылке Клейна правильных карт
не существует (Кокстер и Мозер [1], стр. 116).
Если карта имеет больше одной вершины и больше
одной грани, то каждое ребро соединяет две вершины и
разделяет две грани. Если имеется автоморфизм
карты, меняющий местами эти две вершины и
оставляющий на месте грани (в этом случае всегда имеется
другой автоморфизм, меняющий местами грани и
оставляющий на месте вершины), то карту называют отражаемой
(Бол л [1], стр. 129; Кокстер и Мозер [1],
стр. 101). Очевидно, что все правильные карты на
сфере и на всех неориентируемых поверхностях —
отражаемые, однако карты на торе являются отражаемыми
только в случае, когда bc(b — с) = 0. Кокстер и Мозер
([1], стр. 102) высказали предположение, что все
правильные карты на более сложных поверхностях (т. е.
на поверхностях с отрицательной характеристикой) —
отражаемые. Однако это предположение было
опровергнуто Дж. Р. Эдмондсом (J. P. Edmonds), построившим
ыеотражаемую правильную карту1) типа {7,7} на
поверхности рода 7, имеющую 8 вершин, 28 ребер и 8
семиугольных граней
FDCGBEH, GEDACFH, AFEBDGH, BGFCEAH,
CAGDFBH, DBAEGCH, ECBFADH, ABCDEFG.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Описать карты {2,1} и {1,2} на сфере (в первом случае
имеется одна грань — двуугольник {2}, во втором случае — две грани —
одноугольники {I}).
2. Эллиптическая мозаика —Ц—- имеет q вершин и q ребер,
лежащих на одной прямой, и одну грань. Взаимная ей мозаика
{2, 2?}
~—9 имеет одну вершину, q ребер, являющихся полными пря-
1) Ср. Robert Frucht, Canadian Journal of Machematics 4,
1952, стр. 247,

$ 4] ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ КРАСОК 553
мыми, и q граней, являющихся угловыми областями. Описать
остальные правильные мозаики на эллиптической плоскости.
3. Как мы видели, стандартное разбиение тора определяется
картой {4,4}i, о имеющей одну грань. Стандартное разбиение
бутылки Клейна определяется уже другой неправильной картой типа {4,4},
также имеющей одну грань (см. вторую часть рис. 233). В обоих
случаях вершина и два ребра карты образуют очень простой граф,
который можно грубо представить в виде восьмерки. Тот же граф
на пооективной плоскости соответствует правильной карте —^—L»
а на сфере — некоторой неправильной карте, гранями которой
являются двуугольник и два одноугольника.
4. Стандартное разбиение сферы с тремя скрещенными
колпаками (см. третью часть рис. 233) определяется неправильной
каргой типа {6,6}, имеющей одну вершину и одну грань. Вершина и
три ребра этого графа образуют «клеверный лист» с тремя лепест-
.ками. Этот же граф определяет на бутылке Клейна неправильную
карту типа {3,6}, на торе карту {3,6}i,0, на проективной плоскости —
карту о ' а на сФеРе неправильную карту, имеющую одну
треугольную грань и три одноугольные грани.
5. Описать отражаемые карты
{4,4},,,, {4,4}2,0, {3,6}||Ь {6,3},,ь {6,3}2(0.
6. Вершины и ребра карты {6,3}i,i образуют граф Томсена.
Вершины и ребра карты {4,4}2,2 образуют аналогичный граф,
имеющий восемь вершин.
7. Граф называется полным V-вершинником, если любые две
из его V вершин соединены ребром. Для каких значений V
вершины и ребра следующих карт образуют полные V-вершинники:
{3,2}, {3,3}, i^b, {4,4b,,, "%^-> {3, 6}2il?
8. Вершины и ребра карты Эдмонда образуют полный 8-вер-
шинник.
9. Не существует карты типа {1,1}. [Указание: положить в
формулах 21.31 и 21.32 р=1 и ?=1.]
§ 4. ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ КРАСОК
Но Плотник проронил слезу
И отвечал «Едва ли!»
Льюис К э р р о л [2], гл. 4, стр. 43,
Можно считать, что теория карт на поверхностях
начала развиваться с 1840 года, когда Мёбиус предложил
своим студентам задачу о разделении страны на пять
округов таким образом, чтобы каждые два из них
граничили друг с другом (не по одной точке, а по неко*
торой кривой). Из невозможности такого разбиения

554
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. 21
естественно вытекал вопрос о том, достаточно ли четырех
красок для раскраски карты, если потребовать, чтобы
граничащие друг с другом округа или, на
математическом языке, две грани, имеющие общее ребро, были
окрашены в различные цвета. При этом нужно
подчеркнуть, что каждая грань карты предполагается односвяз-*
ной (т. е. топологически эквивалентной кругу). Таким
образом, эта географическая задача ставится в
применении к карте одного острова или континента; океан
вместе с остальными островами и континентами нужно
рассматривать как одну большую грань, причем цвет,
которым закрашена эта грань (например, голубой)
можно использовать также для раскраски некоторых
других граней. Например, на карте Европы, нужны три раз-,
личных цвета (например, зеленый, красный и желтый)
для Бельгии, Франции и Германии. Голландию можно
раскрасить тем же цветом, что и Францию, а
Люксембург может быть голубым, как море.
На рис. 190—192, стр. 393—395 показана окраска
четырьмя красками граней тетраэдра и октаэдра и пятью
красками — граней икосаэдра. Для тетраэдра четыре
является единственным возможным числом красок, так
как все его грани граничат друг с другом. За
исключением этого простейшего случая, любую карту,
состоящую из треугольников, можно закрасить тремя краска-
ми1). Более того, любую карту, у которой к каждой
вершине прилегает четное число граней (например,
октаэдр), можно раскрасить двумя красками, наподобие
полей шахматной доски.
Задачу о том, достаточно ли четырех красок для
закраски любой карты на плоскости или сферы, иногда
называют задачей Газри по имени Френсиса Газри
(F. Guthrie), ставшего бакалавром в Лондоне в 1850г. и
доктором в 1852 г. Между этими датами он встретился
с этой задачей при закрашивании карты Англии. Он
тщетно пытался доказать, что для этого всегда
достаточно четырех красок. 23 октября 1852 г. его младший
брат Фредерик сообщил об этом предположении Аугус-
*) R. L. Brooks, On coloring the nodes of a network,
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 37, 1941, стр. 194—197.

*5]
ТЕОРЕМА ШЕСТИ КРАСОК
555
тусу де Моргану (A. de Morgan, автор «Бюджета
парадоксов»). В 1878 году Кэли (A. Cayley) возобновил
интерес к этой задаче на собрании Лондонского
математического общества, спросив, не может ли кто-нибудь
доказать это предположение. В 1880 году Кэли ответили
А. Б. Кемпе и П. Дж. Тэт (А. В. Kempe, P. G.Tait). Они
опубликовали весьма правдоподобные рассуждения,
которые в течение десяти лет принимались (даже
Клейном) за доказательство того, что четырех красок всегда
достаточно для закрашивания карты. В 1890 году Хи-
вуд нашел ошибку в рассуждениях Тэта, использовав в
качестве опровергающего примера карту с 18 гранями.
Число граней можно свести к девяти, тогда
обнаружение ошибки"становится более быстрым1).
В §§ 5—7 мы изложим те результаты Кемпе,
которые не содержат ошибки, а также данное Хивудом
обобщение на случай карт на торе и других неодносвяз-
ных поверхностях.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Сколькими существенно различными способами можно
окрасить грани куба тремя данными красками, а грани додекаэдра —
четырьмя красками?
2. На рис. 192 икосаэдр закрашен пятью различными
красками таким образом, что каждая грань и три соседних с ней грани
окрашены в различные цвета. Заменив каждое «е» одной из
остальных красок, мы уменьшим число красок до четырех. Закрасить
икосаэдр с самого начала тремя красками (Бол л [1], стр. 238—241)«
3. Попытайтесь нарисовать карту, которую трудно раскрасить
четырьмя красками.
§ 5. ТЕОРЕМА ШЕСТИ КРАСОК
Даже дорога, освещенная луной, не
существовала для него, так как ему пришла в голову
одна теорема; она могла быть верной, могла
быть и ложной, и его мысль металась туда и
сюда, отыскивая доказательства ее истинности и
опровергающие примеры, которые доказали бы,
что она не может быть верной.
Дж. Л. С а й н д ж [2], стр. 165-
Соотношение 10.31 для правильных карт типа {/?, q)
остается в силе и для произвольных карт, у которых
>) Н. S. М. Coxeter, Mathematics Teacher 52, 1959, стр. 283—
286. [Об ошибке в рассуждениях Тэта см. Б э л л [!}, стр. 224—226.]

556
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. 21
грани различны и к разным вершинам прилегает
различное число ребер. В этом случае можно
интерпретировать р как среднее число вершин (или ребер) у
грани, a q — как среднее число граней (или ребер),
прилегающих к вершине. Если вершина принадлежит
только двум ребрам, ее можно отбросить, считая эти
два ребра за одно. Поэтому без ограничения общности
в вопросах, касающихся раскраски, можно считать, что
каждая вершина принадлежит по крайней мере трем
ребрам. Таким образом ?>3и
2E = qV>3V,
откуда, согласно 21.11, Е <3(£ — V) =3(F — %) и
21.51 ^ = ^<б(1-^).
Отсюда видно, что р<6 при %>0У т. е. для сферы
(% = 2) и проективной плоскости (х=0- Следовательно,
21.52. Любая карта на сфере или на проективной
плоскости обладает по крайней мере одной гранью,
число ребер которой меньше 6.
С помощью индукции по числу граней может быть
доказана
Теорема шести красок. Всякую карту на
сфере или на проективной плоскости можно закрасить не
более чем шестью красками.
Мы говорим «всякая карта» в смысле «всякая
карта, имеющая F граней» для каждого конкретного
значения F. Если F^6, то нет никакой проблемы: мы
можем указать различные краски для всех граней. Теорема
будет доказана, если мы сможем вывести случай 7 граней
из случая 6 граней, случай 8 граней — из случая 7
граней и т. д. Поэтому мы делаем индуктивное
предположение о том, что доказываемая теорема верна для
каждой карты с F—1 гранями, и будем исследовать карту
с F гранями, выделив на ней грань (или одну из
граней), имеющую 5 или меньше ребер (см. 21.52). Для
определенности будем считать эту грань
пятиугольником, как заштрихованная грань на рис. 236. [Те же
рассуждения с тривиальными изменениями остаются спра-

§5]
ТЕОРЕМА ШЕСТИ КРАСОК
557
ведливыми для четырехугольника, треугольника или
двуугольника.] На рис. 237 показана карта,
отличающаяся от предыдущей тем, что территория пятиугольника
Рис. 236. Рис. 237.
разделена между пятью соседними гранями. По
предположению индукции эту карту можно раскрасить
шестью красками, так как она имеет только F—1
грань. Пусть это сделано, и пусть теми же цветами
раскрашены соответствующие
Z7-— 1 граней первоначальной
карты. Тогда, даже если пять
соседних граней раскрашены
в различные цвета, остается
еше один цвет, которым мох-
но раскрасить пятиугольную
грань.
Так как эти рассуждения
можно применить для случая
/7=7, затем ^=8 и так далее,
теорема шести красок
доказана для всех значений F.
Можно ли число 6
заменить на 5? Как мы вскоре
увидим, для проективной плоскости этого сделать нельзя.
Для сферы это можно сделать с помощью весьма
тонких рассуждений, опирающихся на топологическую
теорему о том, что окружность разделяет сферу на две

558
топология ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. 21
области (Болл [1], стр. 229). Но между пятью
красками, которых всёг\да достаточно, и четырьмя красками,
которые обычно необходимы, остается пробел. Сам Хи-
вуд продолжал заниматься этой проблемой до конца
жизни и свел ее к чистой алгебре. Другие
исследователи постепенно увеличивали минимально возможное
число граней у карты, для раскраски которой может не
хватить четырех красок1).
С другой стороны, в случае проективной плоскости
нет никакого разрыва: шесть красок необходимы и
достаточны. Простейшая карта, для раскраски которой
нужно шесть красок — это карта 2 (см- СТР- 550),
изображенная на рис. 238 на круге с отождествленными
диаметрально противоположными точками окружности.
Если вырезать вокруг вершины А небольшое
отверстие, получится карта Г. Титце (Н. Tietze) на листе
Мёбиуса, для раскраски которой, естественно, требуется
Рис. 239.
шесть красок (рис. 239). Таким образом, на этой
поверхности, так же как и на полной проективной
плоскости, шесть красок необходимы и достаточны.
УПРАЖНЕНИЕ
Изготовьте модель листа Мёбиуса и закрасьте ее, как
показано на рис. 239 (так как поверхность односторонняя, бумага
должна быть окрашена с обеих сторон одинаковой краской).
1) Почти несомненно, что аналогичная роль, которую числа 4 и
5 играют в арифметике, является простым совпадением. Согласно
Мор дел у ([1], стр. 19), «чрезвычайно легко доказать, что любое
целое число можно представить в виде суммы не более чем пяти
кубов, но предположение о том, что для этого достаточно четырех
кубов, пока никем не доказано»,

§ б] ЧИСЛО КРАСОК ДЛЯ РАСКРАСКИ ПОВЕРХНОСТИ 559
§ 6. ДОСТАТОЧНОЕ ЧИСЛО КРАСОК ДЛЯ РАСКРАСКИ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
(Гек Финн — Тому Сойеру в воздушном шаре)—
Мы все еще находимся над Иллинойсом. Сам
можешь убедиться, что Индианы пока не видно...
Иллинойс зеленый, а Индиана розовая. Ну-ка
покажи мне внизу что-нибудь розовое, если
можешь. Нет, сэр, тут все зеленое.
— Индиана розовая? Что за чушь!
— Вовсе не чушь, я сам видел на карте, что
она розовая.
Марк Твен (= С. Л. К л е м е н с, 1835—1910), Том Сойер
за границей, гл. 3, Избранное. М., 1961, стр. 494—495*
В отличие от сферы, задача о раскраске карт на
более сложных поверхностях не представляет трудности.
Действительно, теперь может быть доказана
Теорема Хивуда. Для раскраски любой карты
на поверхности с характеристикой %<2 требуется не
более [N] красок *), где
у_7 + УЧ9-24х
jv — 2
Так как для случая %=1 теорема уже доказана в
§ 5, мы можем положить % •< 0.
Так как теорема, очевидно, верна при F<N (из чего
следует также F^[jV]), мы положим, что
F>N,
и применим индукцию по числу граней. Итак, пусть [N]
красок достаточно для раскраски любой карты,
имеющей F—1 грань. Так как число N удовлетворяет
квадратному уравнению
ЛР — 7#+6х = 0
или
то неравенство 21.51 дает
,<6(i-f)<6(i-£)=;v-i.
*) См. подстрочное примечание на стр. 540.

560
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. 21
Следовательно, на карте найдется по крайней мере одна
грань, имеющая не более чем [N]— 1 ребро (ср. с 21.52).
Дальнейшие рассуждения проводятся так же, как в §5,
но вместо числа 6 здесь используется число [N]. Эти
рассуждения показывают, что [N] красок достаточно для
раскраски данной карты.
Хотя это доказательство не проходит в случае
положительной характеристики х, отметим, что формула Хи-
вуда не только дает правильное значение N=6 при
%=1, но также дает предположительное значение N = 4
при .х = 2.
УПРАЖНЕНИЕ
Составьте таблицу [Щ для значений % от 2 до —9.
§ 7. ПОВЕРХНОСТИ, ДЛЯ РАСКРАСКИ КОТОРЫХ НЕОБХОДИМО
ПОЛНОЕ ЧИСЛО КРАСОК
«Предположим, художник рисует рыжего
теленка и большого рыжего пса... Он должен
нарисовать их так, чтобы ты мог сразу же отличить
их друг от друга, стоит тебе взглянуть.
Понимаешь? Теперь скажи, нужно ли ему красить их
обоих в рыжий цвет? Ясно, что нет. Вот он и
покрасит одного из них в синий цвет, и уж
тогда-то ты их не перепутаешь. То же самое с
картой. Вот почему все штаты раскрашивают
разными цветами..».
Марк Твен, там же, стр. 496—497.
Теорема Хивуда (при %=Ъ) утверждает, что любую
картину на торе можно раскрасить не более чем семью
красками. Семь граней правильной карты {6, 3}2, i
граничат друг с другом, поэтому для раскраски этой карты
необходимы в точности семь красок. Так как выражение
для N зависит только от х, оно дает то же значение 7 для
бутылки Клейна. Однако Филипп Франклин (P. Franklin)
доказал теорему шести красок для бутылки Клейна1).
Рингель ([1], стр. 124) доказал, что бутылка Клей*
на — единственная неориентируемая поверхность, для
l) Н, S. М. Coxeter, Scripta mathematica 22, 1957, стр. 21—23.

§ 7] ПОВЕРХНОСТИ С ПОЛНЫМ ЧИСЛОМ КРАСОК 561
раскраски которой требуется меньше чем [N] красок.
Например, если вставить скрещенный колпак около одной
из вершин карты Хивуда с семью гранями на торе, как
изображено на рис. 232, то мы получим карту на
поверхности с характеристикой —1. Для раскраски этой карты
по-прежнему необходимо семь красок, так как все ее
семь граней граничат друг с другом (некоторые пары
граней подходят друг к другу дважды).
Для раскраски ориентируемых поверхностей
необходимо [N] цветов при % = 2, 0, —2, —4, ..., —16 и для
бесконечно многих других значений % (Рингель[1],
стр. 64—78). Необходимое число k красок никогда не
может отличаться от [N] больше чем на два:
(Рингель [1], стр. 102).
В случае ориентируемой поверхности рода р= 1 — -тг%
число Хивуда [N] дается формулой
Jyf ~ 2
и уместно присвоить наименование «гипотеза Хивуда»
предложению о том, что каждая ориентируемая
поверхность рода р допускает карту из |7V] «стран», каждые две
из которых имеют общую границу. Такие карты
обнаружены для всех р^9 и для бесконечно многих других
значений р [Рингель [1], стр. 64—78, 102]. Число
красок никогда не может отличаться (быть меньше) [N]
более чем на два. Недавно В. Густин и Дж. В. Г. Юнге
(J. W. Т. Joungs) 1) показали даже, что «два» можно в
этом утверждении заменить на «один». Далее, если п
есть число ориентируемых поверхностей рода р-*СР> для
которых гипотеза Хивуда оказывается ложной (так, что
п=0 для всех Р, если эта гипотеза верна), то п/Р
стремится к нулю при возрастании Р. Другими словами,
') W. G u s t i n, Bulletin of the American Mathematical Society
69, 1963, стр. 272—275.

562 ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. 21
среди всех ориентируемых поверхностей такие, для ко-
торых гипотеза Хивуда ложна (если только они
существуют), образуют множество плотности нуль.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если заменить отверстие на рис. 238 скрещенным колпаком,
получится карта на бутылке Клейна (состоящая из 3
пятиугольников и 3 семиугольников), для раскраски которой нужно шесть
красок.
2. Начертите карту на поверхности рода 2, для раскраски
которой необходимо восемь красок (Болл [1], стр. 237),

ГЛАВА 22
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Идея четырехмерного пространства долгое время была
окружена привлекательным ореолом таинственности.
Аксиоматический подход (12.44) рассеивает
таинственность, не уменьшая очарования самой идеи. После
знакомства с неевклидовой геометрией мы не удивляемся
тому, что две плоскости могут иметь общую точку, не
имея в то же время общей прямой. Намного проще
можно представить точки четырехмерного евклидова
пространства, как имеющие четыре декартовы
координаты вместо обычных двух или трех. Каждые две
несовпадающие точки определяют прямую, три вершины
треугольника определяют плоскость и, наконец, четыре
вершины тетраэдра определяют гиперплоскость, которая
задается одним линейным уравнением, связывающим
четыре координаты.
В §§ 1—3 мы опишем четырехмерные аналоги плато-
новых тел. Мы увидим, что существует шесть таких
правильных политопов. Каждый из них состоит из конечного
числа трехмерных многогранников, лежащих в
различных гиперплоскостях, расположенных таким образом,
что каждая грань каждого многогранника
принадлежит также какому-либо другому многограннику. Все
эти правильные политопы были открыты Шлефли до
1855 года.
Подобно тому как мы можем получить плоские
изображения трехмерных тел, ортогонально проектируя их
на плоскость, можно получить и плоские или
трехмерные «изображения» четырехмерных гипертел,
проектируя их на плоскость или гиперплоскость. Примеры
первой из этих двух операций показаны на рис. 240, 241 и
243; пример второй дан на рис. 244.

564 ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ 22
В § 4 мы рассмотрим некоторые виды сот
(«трехмерных мозаик» или «вырожденных политопов»),
состоящих из бесконечного множества трехмерных
многогранников, расположенных в одном и том же трехмерном
пространстве. В § 5 мы увидим, как эти идеи помогают
объяснить некоторые экспериментальные результаты,
получающиеся при заполнении пространства равными
сферами.
Геометрия, рассматриваемая в этой главе, евклидова.
Но и другие виды геометрий могут быть обобщены на
пространства любого числа измерений. Как замечает
Л. Фейеш Тот в одной из своих книг, мы должны
«создавать бесконечное множество новых миров, законы
которых мы сможем постигнуть, хотя нога человека
никогда не ступит туда».
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ФИГУРЫ
Чтобы вы... могли постигнуть вместе со всеми
святыми, что широта и долгота, и глубина и высота.
Послание к Ефесянам *) III, 17—18.
Духи имеют четыре измерения.
Генри Mop (Henry More, 1614—1687).
Если бы обитатель плоского мира был способен
двигаться в трехмерном пространстве, те, кто не
способен двигаться таким образом, стали бы
приписывать ему сверхъестественные силы, так как
он мог бы появляться и исчезать где угодно и
мог бы (как сказали бы они) создавать
вещество или уничтожать его... Мы можем спуститься
еще на одну ступень ниже и оказаться в мире
одного измерения, похожем на длинную трубку, оби-
татели которой могут двигаться только вперед
или назад. Жизнь в линейном мире показалась бы
довольно скучной... Обитатель его мог бы знать
только двух других индивидуумов, а именно его
соседей — по одному с каждой стороны.
У. У. Роуз Бол л (W. W. Rouse Ball), Mathematical
Recreations and Essays, 9-е изд., 1920, стр. 426.
Когда мы пытаемся осознать идею четырехмерного
евклидова пространства, нам помогает представление о
трудностях, с которыми сталкиваются гипотетические
*) Послание к Ефесянам апостола Павла включается в состав
«Нового завета» или Евангелия.

§ !] ПРОСТЕЙШИЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ФИГУРЫ 565
двумерные существа, если бы они попытались увидеть
трехмерный мир1). В трехмерной геометрии мы можем
указать прямую («третье измерение»),
перпендикулярную к двум пересекающимся прямым и, следовательно,
перпендикулярную к любой прямой, лежащей в
плоскости этих двух прямых. Аналогично в четырехмерном
пространстве можно указать прямую («четвертое
измерение»), перпендикулярную ко всем трем ребрам
трехгранного угла, например угла куба, и, следовательно,
перпендикулярную к любой прямой трехмерного
пространства, содержащего этот угол. Отсюда следует, что два
трехмерных пространства, имеющие общую точку, имеют
общую плоскость, и произведение симметрии
относительно этих пространств будет вращением вокруг их общей
плоскости подобно известным вращениям вокруг прямой
в трехмерном пространстве или вокруг точки на
плоскости.
Приняв идею четвертого измерения, мы легко можем
представить себе пирамиду или призму, основание
которой является трехмерным телом. Например, правильный
тетраэдр ABCD может служить основанием пирамиды
ABCDE (рис. 240), верхняя вершина Е которой
находится на прямой, проведенной в четвертом измерении
через центр тетраэдра ABCD. Если точка Е выбрана
так, что расстояния от нее до точек Л, В, С, D равны
ребру АВ, то полученная фигура называется
правильным симплексом, который можно рассматривать пятью
способами как пирамиду, у которой любая вершина
играет роль верхней вершины, в то время как
остальные четыре вершины определяют основание.
Рис. 241, представляющий собой восьмиугольник, на
каждой стороне которого во внутреннюю сторону
построен квадрат, или восьмиугольник и восьмиконечную
звезду, соответственные стороны которых соединены
квадратами, можно рассматривать как изображение
l) A. Square (Е. A. Abbott), Flatland: A Romance of Many
Dimensions, Boston, 1885 и 1928. (Отрывки из романа «Плоский
мир» А, Сквара (изданного автором под псевдонимом Е. А. Эб-
ботт) включены также в 4-й том замечательного «Мира
математики» Дж. Р. Ньюмена (J. R. Newmann, The World of
Mathematics, т. IV, N. Y., 1956, стр. 2385—2396; комментарии, стр. 2383—2384).)

566
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 22
гиперкуба («8-ячейки», «тессаракта» или
«измерительного политопа»), т. е. призмы, основание которой — куб, а
высота равна ребру куба. Подобно тому как куб может
быть образован движением квадрата вдоль третьего
измерения, гиперкуб может быть образован движением
куба вдоль четвертого измерения. На рис. 241 начальное
и конечное положения куба обозначены жирными
линиями. Всего здесь восемь кубов: эти два куба и шесть
Рис. 240. Рис. 241.
кубов, образованных движением шести граней исходного
куба. Каждый из 24 квадратов (изображенных на
чертеже квадратами или ромбами) принадлежит двум
кубам, которые не лежат в одном трехмерном
пространстве, но могут быть переведены один в другой
вращением вокруг плоскости квадрата на прямой угол.
Правильный симплекс и гиперкуб являются двумя
простейшими случаями
{3, 3, 3}, {4, 3, 3}
правильных политопов {р, q, г), составленных из равных
Платоновых тел {р, q), называемых ячейками, и
соединенных таким образом, что каждая грань {р}
принадлежит двум ячейкам, а каждое ребро — г ячейкам.
Отсюда следует, что расположение ячеек при вершине
соответствует расположению граней многогранника {q, г},
вершины которого — середины ребер, выходящих
изданной вершины. Этот многогранник называется вершинной
фигурой политопа. Трехзначные символы Шлефли

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ФИГУРЫ 567
{/?, q, г) получаются объединением двузначных символов
[ру Я] и {#» г}> обозначающих ячейки и вершинные
фигуры политопа.
Теперь мы можем заполнить первые две строчки
таблицы IV из § 3, в которых числа вершин, ребер, граней
и ячеек обозначены N0y Niy N2j N3. Хотя формулы,
выражающие эти числа в функции чисел р, q, г, не просты,
мы можем найти связь между ними при помощи
величин, аналогичных тем, которые были введены в 10.31.
В самом деле, если V, Еу F относятся к ячейке {р, q},
a V\ Е\ F' — к вершинной фигуре {#, г}, то
/W3 = 2yV2, VN3 = F'N0, V'NQ = 2Nlt
ENz = rNx=pN2 = E'Nb.
Первое равенство вытекает из того, что, сложир F граней
каждой из iV3 ячеек, мы посчитаем дважды каждую из
А'2 граней, так как любая грань принадлежит двум
ячейкам. Остальные равенства выводятся из
аналогичных соображений.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Числа No: Ni : N2: N3 пропорциональны числам
±4-1 — — •!• — --L4--L — I
q^~ г 2 : г '' p '' p + q 2 *
Поэтому политоп {p, qt г) удовлетворяет четырехмерному аналогу
теоремы Эйлера
2. Гиперкуб с ребром, равным 1, у которого одна* вершина —
начало координат и 4 ребра направлены по координатным осям,
имеет 16 вершин (хи х2у х3, х4), где все четыре числа х равны О
или 1 независимо друг от друга.
3. Гиперкуб с ребром, равным 2, центр которого находится в
начале координат, а оси параллельны координатным оеям, имеет
16 вершин
(±1, ±1, ±1, ±1).
4. Где находится центр гомотетии, переводящей куб,
описанный в упр. 2, в куб упр. 3?

568
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 22
§ 2. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ПОЛИТОПА {/?, ?, г}
«Считается, что пространство ... имеет три
измерения, которые называются длиной, шириной и
высотой... Однако некоторые философски
настроенные умы задавали себе вопрос, почему же
могут существовать исключительно три измерения,
почему не может существовать еще одно
измерение — под прямым углом к трем остальным?..
Я вовсе не собираюсь рассказывать вам, как я
одно время изучал геометрию четырех измерений...».
Г. Дж. Уэллс, Машина времени, Фантастика, М ,
1936, стр. 37.
По-видимому, Кеплер был первым, кто рассматривал
правильные мозаики (§ 6 гл. 4) как бесконечные
многогранники; аналогично трехмерные соты, состоящие из
кубов (за вершины которых могут быть взяты точки
(х, у, z) где все х, у, z— целые числа), являются
бесконечным политопом {4, 3, 4}, их ячейка —куб {4, 3},
а вершинная фигура — октаэдр {3, 4}, восемь граней
которого являются вершинными фигурами восьми кубов,
окружающих вершину по одному в каждом «октанте».
Последняя цифра 4 в символе {4, 3, 4} означает, что
к каждому ребру примыкает четыре ячейки. Эти четыре
куба примыкают друг к другу без просветов, так как
двугранный угол куба — в точности прямой угол. С
другой стороны гиперкуб {4, 3, 3} является конечным
политопом, так как полный угол при ребре составляет только
три прямых угла, что позволяет ячейкам поворачиваться
из трехмерного пространства таким же образом, как
многогранник складывается из своей развертки (только
теперь угловой недостаток не связан таким простым
образом с числом вершин).
Точно так же, так как двугранный угол тетраэдра
{3, 3} немного меньше 71° (см. табл. II на стр. 224), мы
можем расположить при одном общем ребре три,
четыре или пять (но не больше) тетраэдров, начав таким
образом строить политопы {3, 3, 3}, {3, 3, 4} и (3, 3, 5}.
Далее, так как двугранные углы октаэдра и додекаэдра
заключены между 90° и 120°, мы можем расположить
при одном ребре только три таких многогранника и
получить политопы {3, 4, 3} и {5, 3, 3},

§ 2] НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВ ПОЛИТОПА 569
Икосаэдр таким образом использовать нельзя, так
как его двугранный угол больше 120°. Таким образом,
мы доказали, что может существовать только конечное
число правильных четырехмерных политопов, а именно:
{3, 3, 3}, {3, 3, 4}, (3, 3, 5}, (4, 3, 3}, (3, 4, 3}, {5, 3, 3}.
Условие того, что {р, q, г} — конечный политоп, может
быть выражено в общем виде, если вспомнить (из
10.43), что двугранный угол Платонова тела {р, q] равен
я
COS —
2arcsin ~ .
. я
sin —
р
Если сумма г таких углов меньше 2я, то каждый из них
должен быть меньше —. Следовательно,
я
cos —
а . я
arcsin — < —
. я г
sin
р
или, что то же,
22.21
я - . я я
COS— < sin—sin— .
ЯР г
Аналогично, условие того, что {р, q, г) — бесконечные
соты, заполняющие трехмерное пространство,
выражается уравнением
22.22
я я . я
cos — = sin — sin — ,
q p Г
имеющим только одно решение в целых числах,
больших 2 — {4, 3,4}.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Условие 22.21 предполагает одновременно выполнение 10.33
и аналогичного неравенства, где р заменено на г. [Указание:
я , я я 1
sin — sin — < sin — .
Р г р \

570
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 22
2. Найти символы Шлефли правильного политопа с восемью
вершинами
(±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1)
или, что то же, политопа
l*ll + l*2l + |*8| + l*«l<l.
§ 3. ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ПОЛИТОПОВ
Хотя аналогия часто вводит в заблуждение, это
наименьшее из того, что вводит нас в
заблуждение.
Сэмюэль Б а т л е р (Samuel Butler, 1835—1902)»
Music, Pictures and Books.
Мы видим, что неравенство 22.21 дает необходимое
условие существования конечного политопа {р, q, г). Для
доказательства достаточности этого условия требуется
эффективное построение каждого из этих шести
политопов.
Мы знаем, что г ячеек могут примыкать друг к другу
по одному ребру, но не очевидно, что добавление
дальнейших ячеек в конечном счете приведет к замкнутой
конфигурации, в которой каждая грань каждой ячейки
принадлежит еще к одной ячейке. Так как полное
изложение этих построений весьма длинно (Кокетер, [1],
стр. 145—153), мы должны ограничиваться кратким
очерком, базирующимся на аналогии с трехмерным случаем.
Вспомним, что вершины куба {4, 3}, если брать их
через одну, образуют вписанный тетраэдр {3, 3}, четыре
грани которого естественным образом соответствуют
четырем опущенным вершинам куба, причем шесть ребер
тетраэдра являются диагоналями шести граней куба (по
одной диагонали на каждой грани). Кроме того,
середины этих шести ребер, являющиеся центрами граней
куба, представляют собой вершины октаэдра {3, 4}.
Аналогично, выбирая вершины гиперкуба {4, 3, 3}
через одну, мы получим политоп с 8 вершинами (черные
точки на рис. 242) и 16 ячейками, являющимися
тетраэдрами одного типа (таких, как BCPQ),
соответствующими каждой из 8 опущенных вершин, и тетраэдрами
другого типа (таких, как ABPQ), вписанными в каждую
из 8 кубических ячеек. Эта «16-ячейка» имеет 24 ребра,

§ 3] ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ политопов 571
являющихся диагоналями 24 квадратных граней
гиперкуба (по одной на каждой грани). Каждое из этих 24
ребер принадлежит 4 тетраэдрам (2 каждого типа,
через один), например, ребро PQ принадлежит 4
тетраэдрам
ABPQ, BCPQ, CDPQ, DAPQ,
первый и третий из которых вписаны в два соседних
куба, общая грань которых имеет одной из своих
диагоналей PQ. Таким образом, мы доказали, что 16-ячейка —
это {3, 3, 4}.
Заполняя третью строку нижеследующей таблицы IV,
мы видим, что числовые характеристики политопа
{3, 3, 4} совпадают с числовыми характеристиками
политопа {4, 3, 3}, взятыми в обратном порядке. Вместо того,
чтобы получать вершины 16-ячейки как вершины гипер*
куба, взятые через одну, мы могли бы получить
вершины другой (подобной) 16-ячейки как центры ячеек
гиперкуба. Другими словами, гиперкуб и 16-ячейка —
взаимные политопы (Ко к с тер [1], стр. 127), подобно кубу
и октаэдру. Вообще взаимным политопом для политопа
{р, q, г} является политоп {г, q, р).
Середины 24 ребер политопа {3, 3, 4} являются 24
вершинами политопа, ячейки которого являются 24
октаэдрами: вершинные фигуры при 8 вершинах политопа
{3, 3, 4}, а 16 — вписаны в 16 тетраэдров. Так как все
ячейки этого политопа являются октаэдрами {3, 4}, эта
«24-ячейка» есть политоп {3, 4, 3} (Гильберт и Кон-
Фоссен[1], стр. 159, рис. 172).

572
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 22
Надлежащим делением 12 ребер октаэдра в
отношении т:1 мы получаем 12 вершин икосаэдра (см. § 2
гл. И). Деля 96 ребер 24-ячейки в том же отношении,
мы получим 96 вершин полуправильного политопа
Рис 243.
s{3, 4, 3} («усеченной 24-ячейки»), ячейками которого
являются 24 икосаэдра и 120 тетраэдров: а именно, при
каждой вершине 24-ячейки имеется 5 тетраэдров, из
которых один окружен четырьмя другими (подобно
неполностью сложенной развертке правильного симплекса
{3, 3, 3}). Если на каждой икосаэдрической ячейке
политопа s{3, 4, 3} построить икосаэдрическую пирамиду
(подобно тому, как икосаэдр может быть получен из
пятиугольной антипризмы добавлением к ней двух
пятиугольных пирамид), мы получим новый политоп, в кото-

§ 3] ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ политопов 573
ром каждый из 24 икосаэдров заменен гроздью из 20
тетраэдров, так что всего он состоит из 24 • 20+120 = 600
тетраэдров. 120 вершин этого политопа состоят из
96 вершин политопа s{3, 4, 3} и 24 верхних вершин
Рис. 244. Проволочная модель правильного 120-ячееч-
ника {5, 3, 3}.
24 икосаэдральных пирамид. [Эти 24 точки,
соответствующие ячейкам исходного политопа {3, 4, 3}, являются
вершинами взаимного политопа {3, 4, 3}.] При тщательном
исследовании (Кокстер [1], стр. 152—153) мы найдем,
что каждое ребро принадлежит 5 из 600 тетраэдров.
Поэтому эта 600-ячейка есть политоп {3, 3, 5} (К о к с т е р
[1], фронтиспис).
Наконец, 120-ячейка {5, 3 ,3} (рис. 243 и 244) может
быть построена как взаимный политоп для политопа
{3, 3, 5}: его 600 вершин являются центрами 600
тетраэдров.
Эта информация позволяет нам закончить
заполнение нижеследующей таблицы.

574 ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. 22
Таблица IV
Правильные политопы
Название
Правильный симплекс
Гиперкуб
16-ячейка
24-ячейка
120-ячейка
600-ячейка
Кубические соты
Символ
Шлефли
[3, 3, 3
4, 3, 3
3, 3, 4
3, 4, 3
L5, 3, 3
3, 3, 5
[4, 3, 4
\
\
Л^о
5
16
8
24
600
120
оо
N{
10
32
24
96
1200
720
00
Л'2
10
24
32
96
720
1200
оо
ЛГз
5
8
16
24
120
600
оо
Интересно отметить, что усеченная 24-ячейка
s{3, 4, 3}, играющая такую важную роль в приведенном
выше построении политопа {3, 3, 5}, была открыта То-
рольдом Госсетом в 1897 году1). Рис. 243 начерчен
Б. Л. Чилтоном (В. L- Chilton). Рис. 244 — фотография
проволочной модели, выполненной П. С. Дончианом
(P. S. Donchian).
Хартли ([1], №№ 56, 60) дал инструкции для
выполнения моделей тетраэдра с икосаэдром, помещенным
на каждой его грани, и додекаэдра с додекаэдром,
помещенным на каждой его грани. Если выполнить их, эти
модели показывают, каким образом мы можем начать
строить пространственные развертки соответственно для
политопов s{3, 4, 3} и {5, 3, 3}.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти центры восьми кубических ячеек гиперкуба
(±1, ±1, ±1, ±1).
2. Найти середины 24 ребер 16-ячейки (±2,0,0,0) (0 ±2,0,0),
(0,0, ±2,0), (0,0,0, ±2).
3. Показать, что 96 вершин политопа s{3,4,3}, находящихся
в точках с координатами ( ± т, ± 1, ± —, 0), а также во всех
точках, которые можно получить из них четными перестановками
координат, делят 96 ребер 24-ячейки, вершинами которого
являются точка (±т, ±т, 0, 0) и точки, получаемые из нее
перестановками координат, в отношении т: 1.
1) Госсет (Thorold Gosset) родился в 1869 году и умер
в 1962 году (см. Ко кет ер [1], стр.. 162—164),

§4)
ПЛОТНАЯ УПАКОВКА РАВНЫЕ СФЕР
575
4. 120 вершин 600-ячейки {3,3,5} можно построить следующим
образом: взять 96 вершин политопа s {3, 4, 3}, описанного в упр. 3,
и добавить к ним еще 24 точки — 8 вершин 16-ячейки, описанной
в упр. 2, и 16 вершин гиперкуба (±1, ±1, ±1, ±1).
5. 600 вершин 120-ячейки {5,3,3} можно построить следующим
образом: нужно взять все точки, получающиеся перестановками
координат из точек _
(±2, ±2, 0, 0), (±/5, ±1, ±1, ±1),
(±т, ±т, ±т, ±-^-), (±тЛ ±1, ±1, ±1).
и добавить к ним точки, получающиеся четными перестановками
координат из точек
(±т2, ± JL, ±1, о), (±/5, ±1, ±т,о), (±2, ±1, ±т, ±1)
(здесь исправлена ошибка книги: Ко кете р [1], стр. 157).
§ 4. ПЛОТНАЯ УПАКОВКА РАВНЫХ СФЕР *)
Когда нога надавливает на песок, плотный после
ушедшего прилива, участок, находящийся вокруг
ноги, тотчас же становится сухим...
Надавливание ноги расплющивает песок, и чем сильнее оно,
тем больше воды выдавливается через щели в
окружающем песке... Оно делает песок сухим до
тех пор, пока снизу не прибудет достаточное
количество воды; тогда песок снова станет
влажным. Поднимая ногу, мы видим, что песок под
ней и вокруг этого места через некоторое время
снова становится влажным Это происходит
потому, что песок снова сокращается после
удаления надавливающих сил и избыток воды
выступает на поверхности.
Осборн Рейнольде (О. Reynolds, 1842—1913),
British Association Report, Aberdeen, 1885, стр. 897.
Изо всех двухсот миллиардов мужчин, женщин
и детей, которые когда-либо прошли по влаоюно-
му песку с сотворения мира до собрания
британской Ассоциации в Абердине в 1885 году,
сколько найдется таких, которые на вопрос «Сжался
ли песок под вашей ногой»?, ответили бы иначе,
чем «да»/ (в противоположность с хождением
по подстилке из влажной морской травы).
Лорд Кельвин (Lord Kelvin, 1824—1907), Baltimore
Lectures, 1904, стр. 625.
Рис. 245 и 246 показывают два возможных -способа
упаковки равных кругов на плоскости: кругов, вписанных
в ячейки правильных мозаик {4, 4} и {6, 3} (см. § 6 гл.4),
*) Ср. К о к с т е р [5].

576
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 22
Интуитивно ясно, что второй способ упаковки
более «экономичен», чем первый. Чтобы более точно
сформулировать эту идею, мы рассмотрим круги, вписанные
в ячейки правильной мозаики общего вида {р, q), и
найдем плотность упаковки, т. е. отношение площади круга
к площади многоугольника {/?}, в который он вписан.
Плотность, найденная таким образом, очевидно, меньше
1, и самая плотная упаковка будет иметь наибольшую
4
НФФ<|
Рис. 245.
Рис. 246.
плотность, т. е. плотность, ближайшую к 1. Если ячейка
является р-угольником со стороной 2/, его радиус
я
r=/ctg—, а его площадь равна plr (см. 2.91, 2.92);
поэтому плотность равна
яг2 я
plr ~~ р
г я . я
. —— РТО" ■ ■ —
/ ~ рctg р -
я
, я
tg7
Это — убывающая функция от р при стремлении р к
бесконечности. Но только три р-угольника могут быть
ячейками правильных мозаик, а именно, при значениях
р = 3, 4 и 6. Поэтому «наилучшее» значение р — это 6
и самой плотной правильной упаковкой является
упаковка кругами, вписанными в ячейки мозаики {6, 3};
плотность в этом случае равна
-5.ctg—= ~ 1/3"= -4=- = 0,9069 ...
6 Б 6 6 v 2/3
(Гильберт и Кон-Фоссен [1], стр. 56).

§4]
ПЛОТНАЯ УПАКОВКА РАВНЫХ СФЕР
577
Легко доказать, что такая упаковка остается самой
плотной, если отказаться от правильности, требуя вместо
этого, чтобы центры кругов образовывали решетку
(Гильберт и Кон-Фоссен [1], стр. 41—43). На
Рис, 247. Плотная упаковка кругов на евклидовой
плоскости.
самом деле можно отказаться даже от этого
ограничения (Дарвин [1], стр. 272—274; Фейеш Тот [1],
стр. 101), как это открыли пчелы миллионы лет назад
(рис. 247).
Чтобы осуществить аналогичную упаковку сфер в
трехмерном пространстве, можно укладывать сферы,
вписанные в ячейки сот, являющиеся равными
многогранниками.
Плотность естественно находить как отношение
объема сферы к объему ячейки,, в которую она вписана.

578
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 22
В случае сот {4, 3, 4}, состоящих из кубов с ребром 2/,
плотность равна
(2/)3 — Т — °'5236 • • •
Наибольшую плотность, как мы вскоре увидим,
можно получить, пользуясь средними сферами (§ 4 гл. 10)
попеременных ячеек.
Представим себе ячейки кубических сот
окрашенными попеременно черной и белой краской, подобно
трехмерной шахматной доске;
разделим каждый белый куб
на шесть квадратных пирамид
(плоскостями, проходящими
через пары противоположных
ребер) и присоединим каждую
пирамиду к примыкающему
к лей черному кубу. Каждая
из шести граней черного куба
теперь закрыта белой
пирамидой, которые вместе с черным
кубом образуют
ромбододекаэдр (рис. 248),—многогранник,
Рис 248. ограниченный двенадцатью
ромбическими гранями,
меньшими диагоналями которых являются двенадцать
ребер черного куба (Штейнгауз [2], стр. 152). Таким
образом, вписанная сфера ромбододекаэдра является
средней сферой куба с радиусом У 2 /, а объем
ромбододекаэдра в два раза больше объема куба, т. е.
равен 2(2/)3=16/3. Вписанные сферы каждой ячейки сот,"
составленных из ромбододекаэдров, являются средними
сферами черных кубов, но такие сферы касаются друг
друга в центрах ромбических граней, т. е. в серединах
ребер исходных сот, составленных из кубов. Таким
образом, каждая сфера касается двенадцати других, а
точки касания оказываются серединами двенадцати
ребер куба. Плотность этой кубической плотной упаковки,

§4]
ПЛОТНАЯ УПАКОВКА РАВНЫХ СФЕР
579
очевидно, равна
-2— = -4^ = 0,74048 ...
16/3 3/2
(Гильберт и Кон-Фоссен [1], стр. 56).
Ромбододекаэдр встречается в природе в виде
кристаллов граната, а трехмерная шахматная доска
представляет собой расположение атомов в кристаллах
поваренной соли, где каждый черный куб — атом натрия,
а каждый белый куб — атом хлора (или наоборот).
Центры черных кубов, являющиеся также центрами
сфер кубической плотной упаковки, как легко видеть,
образуют решетку кубов с центрами граней. Из § 4
гл. 18 следует, что это — наиболее плотная упаковка
сфер, центры которых образуют решетку.
На старых военных памятниках мы видим
пирамидальные груды пушечных ядер: ядро на вершине
пирамиды лежит на четырех других, которые в свою очередь
лежат на девяти и т. д. Каждое внутреннее ядро
касается 12 других: 4 в своем слое, 4 внизу и 4 наверху.
Фактически эти пирамиды пушечных ядер устроены в
виде кубической плотной упаковки (Кеплер [2],
стр. 268—269). Пусть основание квадратной пирамиды
состоит из п2 ядер, расположенных как на рис. 245.
Если п велико, форма всей пирамиды напоминает, по
существу, «верхушку» половины правильного октаэдра
(рассматриваемого как квадратная бипирамида),
каждая наклонная грань которого является равносторонним
треугольником, образованным 1+2+ ... +п ядрами.
Если повернуть пирамиду таким образом, чтобы ее
наклонная грань стала горизонтальной, мы получим
другой способ этой же самой упаковки. В этом случае мы
начинаем с горизонтального пласта сфер, «экваторы»
которых являются окружностями, вписанными в
шестиугольники мозаики {6, 3}, как это изображено на рис. 246.
Следующий слой устроен также, но только слегка
сдвинут, например, вправо так, чтобы каждая сфера лежала
на трех и их центры лежали на перпендикулярах,
восставленных только из тех вершин мозаики {6, 3}, из
которых выходит ребро, идущее направо. Так как все центры

580
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 22
образуют трехмерную решетку, сферы третьего слоя
(лежащего на втором) опять сдвинуты вправо так, чтобы
их центры лежали на перпендикулярах, восставленных
только из тех вершин мозаики {6, 3}, из которых выходит
ребро, идущее налево. Четвертый ряд лежит
вертикально над первым, и поэтому последовательность
повторяется.
В 1883 году кристаллограф Барлоу описал такую же
плотную упаковку сфер, центры которых не образуют
решетку. Это можно получить, взяв те же самые
горизонтальные ряды в другом порядке. Более точно: мы
отказываемся от только что описанного «третьего слоя»
и заменяем его новым третьим слоем, расположенным
вертикально над первым, затем прибавляем четвертый
слой вертикально над вторым и т. д., любой слой
получается из предыдущего зигзагообразным сдвигом вправо
и влево. Такая упаковка называется шестиугольной
плотной упаковкой (Б элл [1], стр. 150; Гильберт и Кон-
Фоссен [1], стр. 56; Штейнгауз [2], стр. 170; Ф е й-
е ш Тот [1], стр. 267).
Для того чтобы сделать модели, которые могут помочь
иллюстрировать эти идеи, нужны четырнадцать шаров для гольфа и
два мелких подноса размерами соответственно 5 дюймовХб
дюймов и 4,6 дюймаХ5,8 дюйма. На каждый поднос нужно положить
по девять шаров, три ряда по три. На квадратном подносе
пирамиду «пушечных ядер» можно закончить так: положить на эти
девять шаров еще четыре и сверху оставшийся один. На
продолговатом подносе четыре шара во втором слое будут расположены
так, чтобы их центры лежали в вершинах ромба, а не в вершинах
прямоугольника. Третий слой будет опять состоять из одного шара,
но теперь для него будет два возможных положения, одно из
которых принадлежит кубической плотной упаковке, а другое
принадлежит шестиугольной плотной упаковке.
Так как шестиугольная плотная упаковка имеет ту
же плотность, что и кубическая плотная упаковка, т. е.
0,74048..., естественно возникает вопрос, имеются ли
менее систематические упаковки (без прямых рядов сфер)
с большей плотностью. Этот вопрос остается открытым.
Наиболее близко подошел к ответу Роджерс1), доказав-
1) С. A. Rogers, The packing of equal spheres, Proceedings of
the London Mathematical Society (3) 8, 1958, стр. 609—620; (см
также книгу: С. A. Rogers, Packing and covering, Cambridge, 1964).

§*)
ПЛОТНАЯ УПАКОВКА РАВНЫХ СФЕР
5S1
ший, что плотность любой упаковки должна быть мень*
ше 0,7797...
Эксперименты в этом направлении начались уже
давно — в 1727 году, когда Стефен Хейлс (S. Hales) в
своей «Статике растений» писал:
«Я сдавливал свежий горох в одном и том же котле с
силой в 1600, 800 и 400 фунтов; при этих опытах горох
расплющивался, но его уровень не повышался, так как под действием
большого веса масса гороха заполняла промежутки между горошинами,
которые превращались в прелестные правильные додекаэдры».
Хейлс, вероятно, пришел к этому выводу, увидев
несколько пятиугольных граней расплющенных горошин.
Но все они не могли быть правильными додекаэдрами.
Так как двугранные углы правильного додекаэдра
меньше 120° (см. таблицу II на стр. 224), три таких тела с
общим ребром оставят угловой зазор около 10°19'. На
самом деле додекаэдры {5, 3} являются ячейками
конфигурации {5, 3, 3}, представляющей собой не бесконечные
трехмерные соты, а конечный четырехмерный политоп.
В 1939 г. ботаники Дж. В. Марвин (J. W. Marvin) и
Э. Б. Мацке повторили опыт Хейлса в стальном
цилиндре, заменив горошины свинцовыми пулями,
«тщательно отобранными под микроскопом для обеспечения
единообразия размеров и формы», сжимая их стальным
поршнем под давлением в 40 000 фунтов, достаточным
для исключения возможности каких бы то ни было
промежутков ]).
Если пули были уложены по способу пушечных ядер
и подвергнуты сжатию, они принимали форму, близкую
к точным ромбододекаэдрам. Но «если пули были
насыпаны в цилиндр так, как, по-видимому, насыпал Хейлс
свои горошины в железный котел, получались
неправильные 14-гранные тела». Почти все грани были
четырехугольниками, пятиугольниками и шестиугольниками,
но преобладали пятиугольники.
Другой ботаник, изучая клетки
недифференцированных растительных тканей, пришел к выводу, что
внутренние клетки имеют в среднем 14 граней, хотя наиболее
!) Е. В. Matzke, In the twinkling of an eye, Bulletin of the
Torrey Botanical Club. 77, 1950, стр. 222—227.

582
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 22
часто встречающаяся форма (встретившаяся 32 раза из
€50 испытанных клеток) имела 13 граней, из которых
3 четырехугольника, 6 пятиугольников и 4
шестиугольника. Небольшое число клеток, имевших только 12
граней, не были ни ромбододекаэдрами, ни правильными
додекаэдрами.
Мацке производил также микроскопическое
исследование пены, состоящей из 1900 измеренных пузырьков.
«Из 600 изучавшихся пузырьков в середине среднее
число контактов было 13,7». Наиболее часто встречавшаяся
форма имела 13 граней: 1 четырехугольник, 10
пятиугольников и 2 шестиугольника.
В 1959 году профессор Бернал1) установил
преимущественное распространение пятиугольных граней с
помощью исключительно простого эксперимента, в
котором равные шарики из пластилина, вывалянные в
меловой пудре, были беспорядочно сложены и спрессованы
в сплошной ком. Получившиеся при этом многогранники
в среднем имели 13,3-граней.
Для того чтобы убедиться, что при случайной
упаковке равных сфер можно достичь плотности от 0,7405
до 0,7797, Г. Д. Скотт (G. D. Scott) насыпал тысячи
шариков из шарикоподшипников в сферические бутыли
различных размеров, тихонько потряхивая каждую
бутыль по мере ее наполнения. Принимая, что особое
положение шариков, находящихся около поверхности
сосуда, сделает плотность равной
9~JW'
где N — число шариков, а р и 8 постоянны, он получил
в этих экспериментах, что наиболее плотная упаковка
соответствует
р = 0,64, е = 0,33.
Осторожно наполняя бутыли без потряхивания, он
получил, что наиболее неплотная несжимаемая
случайная упаковка соответствует
р = 0,60, е = 0,37.
*) J. D. Bernal, A geometrical approach to the structure of
liquids, Nature 183, 1959, стр< 141—147.

И]
ПЛОТНАЯ УПАКОВКА РАВНЫХ СФЕР
583
Так как при наиболее плотной упаковке р падает
значительно меньше 0,7405, кажется невероятным, что-
бы можно было поддержать большую плотность на
всем протяжении области, простирающейся в
бесконечность по всем направлениям.
Если бы мы наполнили сферическую бутыль N
шариками с кубической плотной упаковкой, мы получили
бы, что плотность выражается рядом, первые два члена
которого имеют вид
Но этот эксперимент, кажется, неосуществим.
Книга, написанная специалистом по теории целых
точек в сферах1), не проливает света на значение г
в этом трехмерном случае, хотя существенный прогресс
имеет место в аналогичной проблеме для пространств
с другим числом измерений, например 2 или 4.
То, что любая наиболее плотная случайная упаковка
осуществима, ясно из эксперимента Осборна Рейнольдса
на морском берегу, из которого видно, что всякое малое
волнение увеличивает размер промежутков. Тот же
принцип позволяет объяснить магический трюк
индийского факира, описанный Мартином Гарднером.
Цилиндрический кувшин с узким отверстием наверху
наполняют невареным рисом, тихонько потряхивая, пока
он не будет наполнен. Столовый нож несколько раз
погружается в кувшин, каждый раз как можно глубже.
После примерно дюжины погружений нож внезапно
застревает в кувшине так, что если поднять его за ручку,
на нем будет держаться весь кувшин с рисом.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Образуют ли круги, вписанные во все грани мозаики {4,4}
(рис. 245), менее плотную упаковку, чем круги, описанные около
граней этой мозаики, взятых через одну, т. е. круги, описанные
около четырех квадратов шахматной доски?
2. Можно ли расположить семь равных неперекрывающихся
сфер таким образом, чтобы две из них касались друг друга и обе
*) А. 3, Вальфиш, Целые точки в многомерных шарах,
Тбилиси, 1962*

584
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ, 22
касались остальных пяти, в то время как эти пять сфер а) обра*
зуют кольцо, в котором каждая сфера касается двух других, б)
вообще не касаются друг друга?
3. Можно ли расположить тринадцать равных
неперекрывающихся сфер таким образом, чтобы одна из них касалась остальных
двенадцати сфер, а эти двенадцать сфер вообще не касались друг
друга?
4. Пирамидальная куча пушечных ядер с п слоями содержит
п (п + 1) (2л 4-1)
!—^ •—— ядер (Болл [1], стр. 59); тетраэдальная куча
содержит —а ядер. В обоих случаях расположение
ядер представляет собой плотную кубическую упаковку.
§ 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОТЫ
Скорость жидкости является результатом ее
молекулярной неоднородности.
Дж. Д. Берн ал (род. 1901).
Три равных круга на плоскости размещены самым
плотным из всех возможных способов, если каждый из
них касается двух других. Двумерная задача о наиплот-
нейшей упаковке легка по той причине, что к этим
кругам можно добавить любое число кругов так, чтобы узор
был продолжен систематически на всю плоскость. Это,
как мы видели, узор, образованный кругами,
вписанными в грани правильной шестиугольной мозаики {6, 3}
(рис. 246).
Аналогично в пространстве четыре равных шара
размещаются самым плотным из всех возможных способов,
если каждый из них касается трех других и к ним
можно добавить шары таким образом, чтобы они
образовали начало узора, который, казалось бы, должен
состоять из шаров, вписанных в ячейки правильных сот
{/?, 3, 3}, Хотя уравнение 22.22 не имеет целых решений
при q = r = 3, мы, естественно, приходим к выводу, что
и спрессованная случайная упаковка равных свинцовых
пуль, и приблизительно однородная ткань, состоящая
из растительных клеток, и пена, состоящая из равных
пузырьков, как бы стремятся приблизиться к сотам
{/?, 3, 3}, где р находится между 5 и 6. Дробное
значение р означает, что эти «соты» могут существовать
только в статистическом смысле, что поразительно
соответствует эксперименту,

§5]
СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОТЫ
585
Если q — г^Ъ, то из уравнения 22.22 вытекает
22.51 _
. Л .Я -- /" 1
siny=ctgT = y з-
180°
Отсюда следует, что угол ——равен 35°15'52"... Это
составляет половину двугранного угла правильного
тетраэдра {3, 3} (см. таблицу II на стр. 224). [В самом
деле, мы можем рассматривать р как число правильных
тетраэдров {3, 3}, которые можно было бы расположить
вокруг общего ребра, если бы мы начали строить
двойственные соты, вершинами которых служат центры
шаров.] Таким образом,
180 - ЛГкЛЛ
в соответствии с наблюдением Мацке, заметившего, что
пятиугольники встречаются чаще всего (в особенности
в случае пуль), а шестиугольники встречаются чаще,
чем четырехугольники. Ячейка {/?, 3} имеет в среднем F
граней и V вершин, причем в силу 10.32 при д = 3
F = 1¥— = 13,398 ..., V = -tA— = 22,796 ...,
Р
что близко к полученному Мацке значению 13,7 и к
значению Бернала 13,3, а также к одной из двух
теоретических моделей, предложенных Мейерингом *), который,
используя сложные статистические методы, получил
V=22,56... Четвертая теоретическая модель
(Кокете р [4], стр. 756) дает
F= ~(23 + /313)= 13,564 ...,
V = 1(17 + /313) = 23,128 ...
l) J. L. М е i j е г i n g, Philips Research Reports 8, 1953, стр. 282.
Значение V—22,79... впервые было получено Смитом (С. S. Smith,
Acta Metailurgica 1, 1953, стр. 299). См. также Е. N. Gilbert,
Annals of Mathematical Statistics 33, 1962, стр. 958—972.

586
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ГЛ. 22
УПРАЖНЕНИЕ
В «закрученной призме», образованной 28 правильными
тетраэдрами
A0A{A2A3l A{A2AZA,
ломаная ЛоЛзЛбЛэ... Л3о состоит из 10 равных хорд
цилиндрической винтовой линии. Если ось винта вертикальна, окажется ли
вершина Л за в точности над Л0? (Модель можно легко изготовить,
скрепив 87 равных стержней из набора деталей «D-stix Pre-enginee-
ring Kit 701», изготовляемого в Ярдли, штат Вашингтон.) Для
полноты картины можно рассмотреть тетраэдры как 28 ячеек «сот»
(3,3, /?}, где р определяется соотношением 22.51. [Ломаная ЛИИг...
является «многоугольником Петри» этих сот.] Полагая
и q=r — 3 в уравнении 12.35 книги Ко кете р [1], стр. 221, мы
получим gi = 0 и |2 = о* Угол между плоскостями, проходящими
через ось и соответственно точки Л0 и Л3о, равен
30 (£2 —120°) = 354° 20'.
Это значение £г, приблизительно равное 131°49', замечательно близ*
ко к соответствующему значению для четырехмерного политопа
{3,3,5}, точное значение которого равно 132° (Ко кет ер [1],
стр. 247).

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
ГЛАВА 1
§3
1. При симметрии относительно прямой х—у значения
координат х и у меняются друг с другом.
2. Если прямая ВЛ пересекает окружность в точках Р
(принадлежащей лучу А/В) и Р' (принадлежащей отрезку АВ), то
ВС*=ВР.ВР'=(ВА+АС)'(ВА — АС).
3. Треугольник CDF—равносторонний, треугольник ABC—
тоже.
4. Эта теорема была высказана Паулем Эрдешом и впервые
доказана Л. Дж. Морделлом (см. L. J. М о г d е 11, American
Mathematical Monthly 44, 1937, стр. 252, решение задачи 3740 или
Фейеш Тот [1], стр. 32—35). В 1960 году Морделл обнаружил
следующее простое доказательство той же теоремы. Обозначим
для удобства О A, OB, OCt OP, OQ, OR через х, у, z, р, q, г, так
что неравенство, которое требуется доказать, запишется следующим
образом:
* + 0 + *>2(р-М + г).
Пусть р', а', г' обозначают длины биссектрис углов
2а = ^ЯОС, 2$ = £СОА, 2у = £АОВ.
Приравнивая площадь треугольника ОВС к сумме площадей
треугольников, на которые разбивает его биссектриса Р\ и
используя хорошо известное^неравенство у -f- z^2Y~yz,tкоторое
следует из того, что (У у — >^г)2>0, мы находим, что
уг sin 2а = р' {у + z) sin а > 2р' У yz sin а.
Это неравенство обращается в равенство только, когда y_^z.
Следовательно, У yz cos а > р' и аналогично J^xcos Р > q', Уху cos у >
^г'. Так как
х + У + z "-2 V~yz cos а — 2У~гх cos Р — 2 Уху cos у =
= (Ух — VI cos Y — У^ cos Р)2 + (Уу sin у — У~г sin р)2 > О,
то

688 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Неравенство x+y+z^>2(p'+q'+z'), которое можно
рассматривать как усиление неравенства Эрдеша—Морделла, впервые
установлено Барроу (см. его решение той же задачи 3740).
5. Равенство имеет место, если x=y = z иУ^г/sinу — V^^sinP = О
и т. д., так что a=p=Y- В этом случае треугольник ЛВС —
равносторонний и точка О — его центр.
6. Пусть ha обозначает высоту треугольника ЛВС, опущенную
из точки Л, а А — площадь треугольника ЛВС. Так как *+р> ha,
мы имеем
а(х+р) ^aha=2k = ap+bq+cr,
откуда
ax^bq+cr.
Рассмотрение подобных треугольников показывает, что это
неравенство остается справедливым, если продолжить ЛО (даже если
точка О лежит по другую сторону основания ВС). Применяя это
неравенство к образу точки О при симметрии относительно
внутренней биссектрисы ZBAC, мы получим
ах ^br-\-cq.
Складывая два неравенства, получим
2a* > (b + c){q+r).
Перемножим это неравенство и два других неравенства такого
же вида:
Sabcxyz > (b+c) (с+а) (a + b) (q + r) (г+ р) (p+q).
Так как Ь-{-с^2УТс и т. д., мы имеем
(6+c)(c+a)(a+&)> 8abc.
Следовательно,
xyz>{q+r){r+p){p + q).
§4
1. Примените теорему (1.5) к равнобедренному треугольнику
BCG, затем к треугольникам В'ВС и С'СВ.
2. Оценку снизу получим, сложив три неравенства вида
-|вд' + .|сс'>яс.
Чтобы получить оценку сверху, дополним треугольник ЛВС до
параллелограмма АВСК и заметим, что диагональ ЛК равна
удвоенной медиане треугольника ABC и АК < АС+СК—Ь + с.
§5
1. Окружность с центром в точке О и радиусом О Р.
2. Для доказательства первого тождества примените формулу
1.22. Для доказательства второго — формулу 1.58 или 1.59.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
589
3. Пусть длины касательных к вписанной окружности,
проведенных из точек А, В и С, равны соответственно ta, tb и tc. Тогда
*а + *с — я; *<?+*а = ^; ** + **== ^;
следовательно,
^а = 2* (^ + с — а) = 5 — а.
4. Эта теорема была высказана в 1840 году К. Л. Лемусом
(С. L. Lehmus) и впервые доказана Якобом Штейнером.
Дальнейшую ее историю вплоть до 1940 года см: J. А. М с В г i d е,
Edinburgh Mathematical Notes 33, 1943, стр. 1—13. Макбрайд насчитал
более шестидесяти доказательств этой теоремы. Доказательство
Л. М. Келли, намеченное в нашем указании, проще большинства из
них и, кроме того, является «абсолютным» в смысле § 1 гл. 12 (т.е.
оно опирается только на аксиомы абсолютной геометрии).
Приводимое ниже доказательство, принадлежащее Д. Гильберту и Д. Мак-
Доннелу (D. McDonnele), по-видимому, еще проще (хотя и не
является абсолютным).
Пусть ВМ и CW —две равные биссектрисы. Предположим, что
углы В и С не равны; пусть, например, В < С. Выберем на ВМ
точку L такую, чтобы Z. LCN — -^ В. Так как этот угол равен
углу LBN, то четыре точки Z,, N, В, С принадлежат одной
окружности. Но
B<±(B + C)<j(A + B + С),
т. е. Z.CBN < ZLCB < 90°. А так как меньшая хорда окружности
стягивает меньший вписанный острый угол, то имеем
/ LCB < / CBN.
Полученное противоречие и доказывает теорему.
5. Согласно предложению (III. 20) Евклида, если вписанный
угол больше 90°, то центральный угол, опирающийся на ту же
дугу, больше 180°.
6. На середине гипотенузы.
7. Примените несколько раз теорему Пифагора.
8. В обозначениях 1.59 x=s + o.
9. Точка S" исчезнет, так как окружность с центром в этой
точке превратится в прямую.
10. С помощью формул 1.52, 1.53, 1.55 сведите данное
равенство к следующему:
(_ а2 + Ь2 + с2) (а2 — Ь2 + с2) (а2 + Ь2 — с2) = 0.
11. Пусть Аи Bit С\ — основания перпендикуляров, опущенных
из точки Р на прямые ВС, СА, АВ. Применяя предложение (111.21)
или (III. 22) Евклида к каждому из четырехугольников РА\В\С,
РАВС, РА[ВС\У покажите, что /.РАХВХ и ZPAXC\ либо равны,либо
в сумме составляют 180°.
12. ^С3ВИз=СзВзР+РВ3Лз= ZCBP+ ZPBA - ZC&4.

590 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
§6
1. Центр окружности, описанной около нового треугольника,
совпадает с ортоцентром треугольника ABC.
3. В вершине прямого угла треугольника.
4. У треугольника с двумя равными высотами sin В = sin С.
5. На прямой В'Е построим точку С такую, что GC = GBt и
точку Л такую, что АВ'^В'С.
6. Высота равна Ь sin С, a b = 2R sin В.
7. Одна треть высоты.
8. Если прямая Эйлера проходит через вершину А и угол при
вершине А — не прямой, то высота АН является медианой.
9. R cos А = -о- R sin В sin С.
§7
1. а) Одна пара, б) три пары.
2. Если А > В > С, то порядок точек следующий:
EA"FC'B"DA'C"B'.
3. Угловые меры соответствующих дуг окружности девяти
точек (при условии А>В>СУ как это изображено на рис. 12) равны
Л'£=ЛТ=2Л, B'F=B'D=2B, C'D = C'E=2Ct
откуда
DA'=2(n — 2C — A), Л'5'=2(л — Л — В),
Я'£=2(2Л + 5 — я), EF=2(n — 2Л), FC'=2(2A + C — я).
4. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника
перпендикулярны.
5. Центр окружности девяти точек треугольника IJbh
совпадает с центром окружности, описанной около треугольника ABC.
6. Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса
окружности девяти точек.
§ 8
1. Прямая U'V, которая проходит через точку W, является об*
разом прямой UV при симметрии относительно прямой АС.
2. Если угол при вершине А прямой, точки V и W совпадут
с А. Если угол при вершине А тупой, вырожденный треугольник
UAA также имеет меньший периметр, чем любой собственный тре«
угольник, вписанный в_треугольник ABC.
3. Пусть Л, В,_С — центры треугольников ВСА', САВ\ АВС\
Но треугольник АСВ подобен треугольнику ABB' (ибо /LCAB**
«^5ЛВ'и-^4 = —= —V Но ВВ'=СС'=АА'\ следовательно,
_ЛС АС АВ'1
СВ=АС=ВА.
4. В точке Ферма (Фордер с помощью аналогичного
рассмотрения доказывает, что для тетраэдра ABCD сумма РА + РВ + РС+]

ОТВЕТЫ к упражнениям 591
+ PD минимальна тогда, когда углы АРВ и CPD равны и
биссектрисы этих углов лежат на одной прямой.)
5. Они должны соединить кратчайшим путем две пары
деревень с центром.
6. Искомой точкой для треугольника с углом, большим 120%
является вершина этого угла, для выпуклого четырехугольника —
точка пересечения диагоналей.
7. Точка Р является центром окружности, вписанной в
треугольник Р'ВС.
8. Пусть Z, X, U — центры квадратов, построенных на сторонах
АВ, ВС, CD параллелограмма Л BCD. Треугольник XBZ получается
из треугольника XCU с помощью вращения на 90° вокруг точки X*
9. Пусть точка М — середина отрезка С А. Согласно упр. 8,
отрезки MZ и MX равны и перпендикулярны. То же самое,
очевидно, можно сказать и об отрезках MY и МА. Следовательно,
треугольник МАХ получается из треугольника MZU с помощью
вращения на 90° вокруг точки М.
10. Так же, как в упр. 9, отрезки MZ и MX равны и
перпендикулярны. Проведя аналогичное рассмотрение для треугольника
CDA вместо ABC, мы видим, что отрезки MU и MV также равны
и перпендикулярны. Следовательно, треугольник MXV получается
из треугольника MZU с помощью вращения на 90° вокруг точки М,
§9
1. Эти прямые являются медианами равностороннего
треугольника PQR.
2. а) а=р = у = 40°, б) а=30°, p=Y=45°.
3. Так как ZCPiQ= ZCPQ=y+a= ZQRA, окружность,
описанная около треугольника AQR, проходит через точку Pi.
Аналогично показывается, что эта окружность проходит через точку Р2. Так
как PlQ = PQ = QR=RP=RP2l дуги PiQ, QR, RP2 равны между
собой. Если треугольник ABC равносторонний, каждый из вписанных
углов P\AQy QAR, RAP\ содержит по 20°, причем треугольник
AQR — равнобедренный.
ГЛАВА 2
§ 1
t т CW, OD 1
1. Так как = = г- * то
N{P0 DP» }/5v
ONl== CW, = 1 /5-1 £72o
OP{ ON\+N{P0 \+Vb 4
9 J> JL l *\
*' 17 3 ~ 51 '•
*) Если вписать в круг треугольник {3} и семнадцатиугольник
{17} с обшей вершиной, то дуга между седьмой вершиной {17} и
второй вершиной {3} будет равна -гг окружности.

592
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
§2
Если число S нечетно, то х* + \ делится на *+1, а
следовательно, 2Г5+1 делится на 2г+1.
§4
1. Пусть данное движение порядка 2 меняет местами точки А
и А\ а также В и В', причем точка В не принадлежит прямой АА\
Середины отрезков АА' и ВВ' являются неподвижными точками
движения. Если эти точки различны, то наше движение является
осевой симметрией (согласно 2.31), если совпадают — центральной
симметрией.
2. а) 1) (*, у) -> (- х, - у), 2) (г, 6) -> (г, 9 +180°);
б) 1) <*. у) -> (-1/, х), 2) (г, 6) -> (г, 6 + 90°).
§ 5
а) (г,е)->(г,е + а);
б) (х, у) -> (* cos а — t/ sin а, х sin а + у cos а).
§6
1. Первое вращение на 90° можно представить в виде
произведения симметрии относительно прямых СО и СВ (где О — центр
одного из двух квадратов, построенных на ВС, как на стороне),
а второе — в виде произведения симметрии относительно прямых
ВС и ВО.
2. При вращении на 90° вокруг точки С точка Р переходит в
Л, а эта точка переходит в 5 при вращении на 90° вокруг точки Б.
Следовательно, точка 5 является образом точки Р при
фиксированной центральной симметрии.
§7
1. а) Си б) Dlt в) Db г) С2, д) D2, е) D2, ж) D2.
2. RTT~l = STT~l.
3. /^ = RxR2Rl = R2RlR2Rl = #2#i#2- Следовательно, /^ = 1
и
(Д^з = #,#,>#,. Я,/?,/?, = (RiRzRt)2 = 1.
4. Порядки всех элементов группы Сп являются делителями
числа л.
§8
2. Если все углы вписанного многоугольника равны, то либо
все стороны равны, либо стороны двух различных длин чередуются,
Но если число сторон нечетно, вторая возможность отпадает.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
593
3. 108°, 36°, 140°, 100°, 20°.
4. Радиусы / yJTFFf, /У2(УГ3± 1), апофемы /(/2 ± 1),
/ (2 ± |^3 ), вершинные фигуры j=z .
5. cos , sin 1.
\ a n j
ГЛАВА 3
§ 1
1. Вращение, параллельный перенос.
2. Осевая симметрия. Да.
3. Если перпендикуляры, восставленные из середин отрезков
АА' и ВВ\ различны, искомая точка — точка пересечения этих
перпендикуляров. [Если они параллельны, отрезки нельзя совместить
вращением.] Если они совпадают, центр вращения — точки
пересечения прямых А В и А'В'. Если и эти прямые совпадают, центр
вращения — середина отрезка АА'.
4. Поверните две первые оси симметрии так, чтобы вторая из
них совпала с третьей.
§2
1. т-к
2. Это может быть любая прямая, перпендикулярная к
направлению параллельного переноса.
3. Параллельный перенос.
4. Перенесите две первые оси симметрии так, чтобы вторая из
них совпала с третьей.
5. Любой параллельный перенос можно представить в виде
произведения двух центральных симметрии, одну из которых
можно выбрать произвольно. Следовательно, если Ни Н2, Я3
—центральные симметрии, то
Н2Н$ = Н\НА
для некоторого Я4; при этом Н{Н2Нг=:Н^
6. Из Н2Нг—Н\НА следует также
НЪН2Н{ = Н4.
7. (х,у) -> (х+a,у). Преобразованная кривая имеет уравнение
f(x — a, t/)=0; например, единичная окружность с центром в
точке {а, 0) имеет уравнение
(х — а)2 + у2 — 1=0.
§3
1. а) Симметрия относительно точки В или симметрия
относительно прямой, перпендикулярной к АС и проходящей через
точку В.

594
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
б) Параллельный перенос на вектор АВ или скользящая
симметрия.
2. Два — единственное четное число, не превосходящее трех.
Осевую симметрию, очевидно, можно представить в виде
произведения другой осевой симметрии и симметрии относительно точки,
принадлежащей оси симметрии. Произвольную скользящую
симметрию можно представить в виде произведения симметрии
относительно трех прямых общего положения. Так как произведение
симметрии относительно первых двух прямых представляет собой
вращение, эти прямые можно повернуть вокруг точки пересечения
так, чтобы вторая прямая стала перпендикулярна третьей.
3. Симметрия относительно прямой, перпендикулярной к 00*
и проходящей через точку О.
4. Центральная симметрия.
5. Это движение будет зеркальным.
6. Соотношение R\R2Rs=*R эквивалентно соотношению R1R2-RR3,
которое означает, что RiR2 и RR3 — суть либо одинаковые
параллельные переносы, либо одинаковые вращения.
7. G2=TRXRXT=T2.
8. Скользящая симметрия.
§4
а) Oi02Oz04 — параллелограмм (в частности, он может
вырождаться в четверку коллинеарных точек наподобие
«параллелограмма» OO'Q'Q на рис. 32).
б) Если прямые т\ и т2 пересекаются, прямая т является
биссектрисой одной пары вертикальных углов с вершиной в точке
пересечения т\ и т2. Если т\ и т2 параллельны, прямая т
параллельна им и находится на равном расстоянии от них.
§5
1. Скользящая симметрия (5=77?; S2=TR-TR=T2).
2. Если параллельный перенос перестановочен с осевой
симметрией, то его направление совпадает с направлением оси симметрии.
§7
1. (I), (И), (III), (IV), (V),
2. (Ш), (V).
ГЛАВА 4
§ 1
1. Каждая сторона области Дирихле соединяет центры
окружностей, описанных около двух равных треугольников с общей сто*
роной.
§2
1. Потому, что пары противоположных вершин каждого из
изображенных на рис» 44 четырехугольников задают параллельный
перенос*

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
595
§3
1. Приложите два параллелограмма друг к другу таким
образом, чтобы сторона одного из них была частью стороны другого
(и чтобы они имели при этом общую вершину).
§4
Да.
§5
L Вращение на тот же угол вокруг точки Р'.
2. Если Т — параллельный перенос, a S — вращение порядка,
большего двух, то S~lTS представляет собой параллельный перенос
в другом направлении,
§6
1. Так как вершинные фигуры — правильные многоугольники,
две соседние грани одинаковы; следовательно, любые две грани
одинаковы. Так как грани — правильные многоугольники, две сосед*
ние вершины окружены одинаково; следовательно, любые две
вершины окружены одинаково.
3. Нет. В эту решетку входят также центры шестиугольников.
§ 7
1. Если бы точка Q не лежала между Р2 и Р3, мы бы
получили пару точек, расстояние между которыми меньше чем P\Q.
2. Применим индукцию по числу п. Пусть дано множество п
точек. В силу результата Сильвестра существуют две такие точки,
что на соединяющей их прямой нет больше точек множества. Если
мы удалим одну из этих точек, то число соединяющих прямых
уменьшится по крайней мере на одну, а в силу предположения
индукции для п — 1 точки существует не меньше п — 1 соединяющей
прямой. [Надо проследить за тем, чтобы оставшиеся после
удаления точки не лежали на одной прямой. Так как при удалении у нас
есть выбор по крайней мере из двух точек, мы всегда можем
обеспечить выполнение этого условия.]
3. Полный четырехугольник. [Искомые точки — вершины и диа*
тональные точки четырехугольника.]
ГЛАВА 5
§ 1
2. Точка О делит отрезок 0{02 в отношении -(—-—гт—.
3. а) (г, 9) -> (\ir, 9); б) (дг, у) -> (цдг, Ц*/),

596 ОТВЕТЫ к упражнениям
OP' ОА'
4. Из подобия треугольников получаем ~р = ^ . >
5. Надо взять точку О между точками А и А'.
§2
2. Если общая касательная ТТ' пересекает линию центров в
точке О, то гомотетия О 1 ~т ■ 1 переводит первую окружность во
вторую.
3. Эта точка делит отрезок 00{ в отношении -у .
1 ц
§3
1. 0; —2; —3; —6.
2. Все эти треугольники имеют общий центр девяти точек!
§5
1. Центрально-подобное вращение или параллельный перенос.
2. Сравнить углы аналогично тому, как это было сделано с
окружностями Ая'С% ВВ'С* Если" прямые АА' и ВВ' параллельны,
то окружности ABDy AB'D' вырождаются в прямые, которые
пересекаются в точке О.
§6
1. Эта точка — неподвижная, точка преобразования подобия,
переводящего одну карту в другую.
2. Отрезок А В можно перевести в отрезок А 'В' собственным
преобразованием подобия и зеркальным преобразованием подобия.
Последнее представляет собой центрально-подобную симметрию, оси
которого представляют собой множества точек, делящих отрезки
АВ
РР' в отношении ,/„/ (внутренним и внешним образом; см,
рис. 66). Если точка А\ совпадает с JBi или А2 совпадает с
^.собственное преобразование подобия обращается в гомотетию, причем
все точки вида Pi или Рг (соответственно) совпадают.
3. Центрально-подобная симметрия S = 0{\i)R (в частности,
возможно ц=1).
4. а) Центрально-подобное вращение; б) центрально-подобная
симметрия.
5. а) Центрально-подобное вращение; б) центрально-подобная
симметрия.
ГЛАВА 6
§ 1
1. Проведите окружность произвольного радиуса, затем
проведите окружность того же радиуса с центром в произвольной точке
первой окружности. Центр второй окружности и точки пересечения

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
597
окружностей будут тремя последовательными вершинами
правильного шестиугольника, вписанного в первую окружность.
2. Проведите две окружности с радиусом ОЛ и центрами в
точках О и А. Они пересекутся в точках С и С. Окружность с
центром в точке С и радиусом СС пересекается с окружностью
ОСС в искомой точке В.
2
3. Найдите образ Q' точки, находящейся на расстоянии-^ k от
точки О и лежащей на том же радиусе, а затем в соответствии с
упр. 2 возьмите на отрезке OQ' точку Р' такую, что OP'=2GQ't
k k
В общем случае, если ■*— < OP < ~ -, надо применить
гомотетию О (/г), затем инверсию и затем снова гомотетию О(п).
4. Постройте точку В, как в упр. 2 (обозначения упр. 2), а
затем произведите инверсию с окружностью инверсии АСС'.
5. Постройте такую точку R, что ОВ—пОА, а затем
произведите инверсию с центром О и степенью О А2.
§3
1. Сравните рис. 70 с рис. 60. В случае равных пересекающих*
ся окружностей одна из инверсий заменяется осевой симметрией.
2. Пусть точка Q — центр ромба АРВР'. Тогда ОР-ОР'~
= (OQ—PQ)(OQ + PQ)=OQ2 — PQ2=OQ2+AQ2—(AQ2+PQ2) =
= ОА2 — РА2.
3. Пусть N — середина отрезка BD, а Н — основание
перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую BD. Положим ЛО=*
= \иАВ\ тогда OP=\iBD и ОР'= (1 — \i)AC. Имеем
BD . ЛС= (HD — НВ) (HD+HB) =HD2 — HB2=AD2 — АВ2
и
ОР • ОР'=цВй . (1 — fi)^C=fi(l — |i) (ЛЯ2 — ЛЯ*).
§5
1. При инверсии ортогональные окружности переходят в
ортогональные окружности, а окружности, ортогональные окружности
инверсии, переходят сами в себя.
2. Предельные точки пучка непересекающихся окружностей
являются общими точками окружностей ортогонального ему пучка
пересекающихся окружностей.
3. Пусть ai и о&2 — данные окружности, a Pi и р2 —
произвольные окружности, которые пересекают окружности а{ и а2.
Обозначим радикальную ось окружностей а* и f$j через 1цу а точку пере-*
сечения прямых 1ц и hj— через Pj. Прямая Р\Р2 будет радикала
ной осью окружностей а{ и ос2.
4. Одна из предельных точек переходит в центр окружностей
пучка, а другая — в бесконечно удаленную точку.
6. Преобразуем чертеж с помощью инверсии с центром инвер^
сии в точке касания двух окружностей кольца. Эти две окружное
сти перейдут в две параллельные прямые, скажем а и Ь. Точки
касания и центры образов остальных^ окружностей кольца будут

598
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
лежать на прямой /, перпендикулярной к прямым а и Ь.
Первоначальные окружности перейдут в две равные окружности,
касающиеся прямых а и Ь и симметричные относительно прямой /.
Симметрия относительно прямой / при инверсии переходит в инверсию,
причем точки касания окружностей кольца лежат на окружности
инверсии.
Центры окружностей кольца принадлежат одному эллипсу.
§6
1. Каждая окружность Аполлония ортогональна ко всем
окружностям, проходящим через точки Л и Л'.
2. Построим окружность с центром на прямой /, проходящую
через точки А и А', Пусть эта окружность пересекает прямую I в
точках Pj (со стороны точки А) и Р% (со стороны точки А). Рас-
А' Р
смотрим отношение \х = .р для различных положений точки Р.
Так как Р\Р2 — диаметр окружности, проходящей через точки А
и А', то две окружности Аполлония касаются прямой / в точках Р\
и Р2. Пусть значения [л для этих окружностей равны
соответственно fXi и \i2. В таком случае р, > \i\ для всех окружностей
Аполлония, лежащих внутри той, которая проходит через точку Рь а для
всех остальных окружностей Аполлония р, < н-i- Так как
окружности, лежащие внутри окружности, проходящей через точку Pi, не
пересекают прямую /, максимальное значение |л=р,1 соответствует
точке Рь Точно так же р, < р,2 для всех окружностей, лежащих
внутри окружности, проходящей через Р2, а для всех остальных
окружностей Аполлония р, > р2; следовательно, минимальное
значение [л==Ц2 соответствует точке Р2.
4. Прямые АЕ', А'Е и А\Р перпендикулярны к РА2.
5. Так как О и О — точки пересечения двух окружностей
Аполлония, то именем
ОА' _ ОВ' _ А'Б'
ОА ~~ OB ~~ АВ
и аналогичные равенства, где О заменяется на О. Если Л'=В,
примените результат упр. 3 § б гл. 5.
6. Окружность подобия является окружностью Аполлония; она
совпадает с множеством точек, для которых отношение расстояний
до центров данных окружностей равно отношению радиусов этих
окружностей. Собственное или зеркальное преобразование подобия,
которое переводит отрезок О А в отрезок О А', переводит также
любую окружность с центром в точке А в окружность с центром в
точке А'. Отсюда следует, что множество точек, из которых данные
окружности видны под равными углами, в случае
непересекающихся окружностей совпадает со всей окружностью подобия, а в
случае пересекающихся окружностей — с той ее частью, которая
лежит вне этих окружностей.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 599
В случае двух равных окружностей, окружность подобия
обращается в радикальную ось.
7. Пусть центры данных окружностей совпадают с точками А
и В, а их радиусы равны а и Ь. Пусть, далее, точка W, лежащая
на окружности подобия, переводится задаваемыми данными
окружностями инверсиями в точки Р и Q. Тогда
АР-AW _а?__ (±\2 _ ( AW У»
BQ-BW ~~ b2 ~~ U ) ~ \ BW ) 9
т. е.
АР _ AW
BQ ~ BW
и значит, прямая PQ параллельна АВ. Радикальная ось двух дан*
ных окружностей является диаметром окружности WPQt так как
эта окружность ортогональна к первым двум. И, наконец, из того,
что этот диаметр перпендикулярен к PQ, следует, что точки Р и
Q симметричны относительно него.
§7
T=jk.S = S'S-lJkS=SJb, где 7^—инверсия с центром О8 и
степенью №. /==/' тогда и только тогда, когда движение 5
оставляет точку О на месте. Другими словами, /=/' тогда и только
тогда, когда Т меняет местами точку О и бесконечно удаленную
точку О'.
§8
1. ОА>ОА'=ОВ-ОВ' и ЛАОВ=£А'ОВ'.
2. Коэффициент гомотетии равен
ОА' ОА . ОА' __ k2
OB ОА • OB ~~ ab '
3. Пусть а = ОА, Ь = ОВ, с=ОС, d=OD. Тогда
А'В'. CD' __ (k2/ab) АВ■ (£2/crf) CD _ АВ- CD
А'С • B'D' — (£2/яс) ЛС • (£2/fo*) BD ~ AC-BD'
4. Сферы, проходящие через точку О, преобразуются в
плоскости. Две сферы, которые касаются в точке О, не имеют других
общих точек; следовательно, их образы не имеют общих
(обыкновенных) точек. Но две плоскости, не имеющие общих обыкновенных
точек, параллельны.
б. После инверсии (см. указание) сфера у окажется
заключенной между двумя параллельными плоскостями аир. Сферы <Хи
аг, ... станут равными сфере у (так как они также касаются
плоскостей аир). Сечение полученной фигуры плоскостью,
параллельной а и р и равноудаленной от а и р, представляет собой
окружность, окруженную кольцом из шести касающихся ее равных
окружностей.

600
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
§9
1. Окружность на эллиптической плоскости представляется на
сфере парой^ непересекающихся окружностей или большой
окружностью. Четыре окружности на сфере, которые представляют две
окружности на эллиптической плоскости, имеют не более восьми
точек пересечения. Но так как каждая точка эллиптической
плоскости изображается парой точек сферы, эти точки изображают не
более четырех точек эллиптической плоскости.
2. Разобьем р-угольник на треугольники и применим к
каждому из них формулу 6.92.
ГЛАВА 7
§ 1
Обозначим через R симметрию относительно плоскости двух
прямых, а через Ri и R2 — симметрии относительно плоскостей,
проходящих через данные прямые и перпендикулярных к первой
плоскости. Тогда осевые симметрии (в пространстве) можно
представить в виде RiR и RR2, так что их произведение равно /?i/?2-
§2
Тождественное преобразование.
§3
Симметрия относительно некоторой плоскости, параллельной
трем данным.
§4
1. Симметрия относительно некоторой плоскости, проходящей
через ту же прямую.
2. Тетраэдр ОА'В'С равен тетраэдру ОАВС и может быть
совмещен с ним с помощью вращения или вращательной
симметрии. В первом случае любая точка оси вращения будет, так же
как и точка О, равноудалена от точек А и А', В и В\ С и С.
(3. Вытекает из определений скользящей симметрии и
вращательной симметрии и предложений 7.41 и 7.42.)
§5.
1. а) Симметрия относительно плоскости; б) вращение на 90°;
в) параллельный перенос; г) винтовое перемещение; д) скользящая
симметрия; е) вращательная симметрия.
2. В обозначениях рис. 82 осевые симметрии запишутся как
/?j/?2 и R^R4, а их произведение представляет собой винтовое
перемещение R[Ry R^^

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 601
§6
1. В точку (цх cos а — \лу sin а, juusin а+jju/cosa, уя).
2. Ось x—y=z. Угол вращения 120°.
§7
Любое движение представимо в виде произведения не более
чем четырех симметрии относительно плоскостей; любое отличное
от движения преобразование подобия представляет собой
произведение вращения и гомотетии. Если коэффициент гомотетии
окажется отрицательным, мы будем представлять преобразование
подобия в виде произведения собственной гомотетии и вращательной
симметрии. Так как собственная гомотетия представляет собой
произведение двух инверсий, сферы инверсии которых концентрич-
ны, мы получаем в совокупности две или три симметрии
относительно плоскости и две инверсии.
Наконец, произведение инверсии и движения представляет
собой произведение не более чем четырех симметрии относительно
плоскостей и одной инверсии.
ГЛАВА 8
§ 1
3. Если точка Pi имеет координаты (xi, */*), то точка Мц
имеет координаты! ^——, ~—— J; поэтому координаты
середины отрезка М^Мм равны
(Х\+Х2 + Хг + хА У\+У2 + Уз + Уа\
\ 4 ' 4 ]
и совпадают, очевидно, с координатами середин отрезков М\$Ми
и МнМ2г-
§2
1. Теорема косинусов сразу дает
Р2 = г] + г\ — 2гхг2 cos (92 — Gj).
2. Пусть полярные координаты концов отрезка равны (гь 0i)
и (г2,9г). Тогда декартовы координаты середины отрезка равны
( rx cos61-|-r2COsG2 rx sln81-r-r2 sin62 \
\ 2 ; 2 J
и полярные координаты этой точки будут (л 8), где
iyVj+41-2 wosfe ,-вл tge,r""n;'+r»s"1««.
2 г * ' l' 1 * \ l W ь r\ cos 92 + r2 cos 92

602
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
3. Так как tg9 = —, то имеем tg9=tga. Отсюда 9 = a+fot,
что эквивалентно двум равенствам 9 = а и 9 = а+я. Но, допуская
отрицательные г, мы объединяем эти два равенства в одно равен-*
ство 9=а.
4. Прямые, проходящие через начало координат и
параллельные данным прямым, имеют уравнения ax+by=Q и a'x=b'y=Q или
У — а У — а'
"х ~~ b "~х V*
Перепишем условие 8.22 в виде
УУ __ г
хх'
Оно сразу дает искомое условие
_-- =—1 или аа' 4-ЬУ = 0.
bb' '
5. Перепишем уравнение кривой в виде
4(4х+3у)2+24(4х + 3у) {—Зл: + 4г/) +11 (—Злг + 4г/)2= 125.
Заменив х на х cosa —-у sin а и у на х sin a + # cos а, где a=»
= у arctg (— -i-j = arctg (— ^J, получим
—лг2+4г/2= 1.
§3
1. Уравнение образа прямой: c(x2+y2) +k2(ax+by) =0.
Уравнение образа окружности: c(x2+y2)+2k2(gx+fy) +kA—0.
(л: — ц£)2 -}- у* ц* ^ *
3. Уравнение в декартовых координатах:
V[(x — я)2 + у2] [(х + а)2 + у2] = л4 или
(х2+у2)2=2а2(х2—*/2). Уравнение в полярных координатах:
г4=2а2 cos 29.
5. Пусть центр неподвижной окружности находится в начале
координат, и при *=0 координаты нашей фиксированной точки
равны (О; nb). Пусть, далее, t — угол, образуемый линией центров
двух окружностей с положительным направлением оси абсцисс.
Координата центра движущейся окружности зависит от t
следующим образом:
x0=(n-{-\)bcos tt уо = (n + \}b sin t>

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 603
Поскольку круг радиуса Ь катится по неподвижной окружности
без скольжения, разность г—г0 изменяется
*—лг0=— b cos (п + 1)/, у—уо=—Ь sm(n + 1)/.
Отсюда следуют искомые формулы
х = (п 4- 1) 6 cos t — b cos (n -f- 1) t,
y = (n + l)bslnt — bs\n(n + l)t.
6. Из уравнений
r cos 0 + 6=26 cost — b cos 2/ = 26 cos t (1 — cos *) +6
и
rsin 0 = 26 sin t ~b sin 2/=26 sin ?(l — cos/)
получаем
r2-(rcos0)2-b(rsin0)2=462(l-cosO2 и tg9 = tg/.
Отсюда r=26(l—cos0). Если заменить 0 на —0, то г станет
равным 26(l-fcos0). Сумма этих величин равна 46 при любом 0.
(7. Параметрические уравнения имеют вид
*=(/!— l)6cosf+6cos(rt— 1)/;
r/= (п— 1)6 sin t — b sin (я— 1)/.)
§4
1. Парабола.
2. Гипербола.
3. Дополним рис. 85 следующими точками: О'— второй фокус
данного центрального конического сечения; К' — основание
перпендикуляра, опущенного из точки Р на вторую директрису. Фокусы
и директрисы центрального конического сечения, очевидно,
симметричны относительно центра. У эллипса оба фокуса лежат между
директрисами, у гиперболы они расположены вне директрис. Так
как
ОР=гРК и 0'Р=гРК\
то для эллипса
ОР+0'Р=е(РК+РК')=еКК',
а для гиперболы
О'Р— ОР=е(РК' — РК) =еКК'*
4. e-j/IIJ. /2.
5. Так как центр окружности, описанной около треугольника
ABC, должен быть равноудален от точек А и С, имеем

604 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
в. Из теории квадратных уравнений известно, что
ах2 + 2hxy + by2 = x2\a + 2h-^ + b (i-)*] =
= ах2 \^L — ахJ ^ — <х2 j = а {у — а{х) (у — а2х).
Если форма F — положительно-определенная, то а>0 и ai—p+qlt
а2—р — qi и
F = a(y — px + qix) (у ■— рх — qix) =а(у — px)2+a(qx)2,
т. е. уравнение F= 1 приняло вид
a(y-px)2+a(gx)2=\.
Если форма F — положительно-полуопределенная, то а > О, ai = 0C2.
Уравнение F=\ распадается на пару уравнений
у — ах= ±1.
Если форма F — неопределенная, то а\ и а% действительны, и мы
получаем
(у — ai*)Q/ — a2*) = l,
т. е. уравнение гиперболы.
7. 2ху=а2.
8. Каждой точке Р эллипса соответствует точка Р' на
дополнительной окружности, диаметром которой служит большая ось
эллипса. Точка Р' такова, что РР' перпендикулярна к этой оси.
Радиус дополнительной окружности, проходящий через точку Р',
образует угол t с большой осью эллипса.
9. Эти уравнения включают обе ветви гиперболы.
10. Это уравнение получится, если в уравнении 8.42 заменить г
на /2/г.
§5
1. Значения параметра t в точках пересечения параболы х—
= 2//2, y=2lt с прямой Xx+Yy+Z=0 являются корнями
квадратного уравнения X -2lt2+Y-2//+Z=0. Сумма и произведение этих
корней, которые мы обозначим / и /', равны соответственно
Y 7
— — = t + t't -£- = *?.
х ' 21х
Отсюда при Х=\
Y (/+/')» Z-2/tt'.
2. Для того чтобы точки (х,у)у (acos(a-fp), 6sin(a+P)),
(a cos (a —Р), b sin (a —-P)) лежали на одной прямой, в силу 8.25,
необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство
\* У 1 I
a cos (а + Р) b sin (a + Р) 1=0.
I a cos (a — P) b sin (a — P) 11

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 605
Аналогичную формулу можно написать для гиперболы. Уровень
касательной к гиперболе в точке x=acht, y=bsht имеет вид
JLchf — -|-sh*=l.
a b
3. Огибающая семейства прямых Xx+Yy+Z=0, где
коэффициенты Ху К, Z зависят от параметра /, — это множество точек
пересечения этих прямых с прямыми
(X+dX)x+ (Y+dY)y+ (Z+dZ) =0
или с прямыми X'x+Y'y+Z' = 0, где X' = -^т- и т. д.
Дифференцируя уравнение
ах sec t — by cosec t=a2 — b2
и деля на sin / cos t, получим
ax by
cos31 sin3*
Решая систему двух уравнений, находим
ах , . by . , .
— cos3 tt * = — sin31.
a* — b2 ~~ " ' a2 — b2
§6
1. По формуле 8.59
2я
cos t • b cos t — b sin t (— a sin t)\ = nab.
H'«
2. S = -I*a&.
§7
1. Спираль переходит в равную ей спираль
г = ац~е.
Действие этой инверсии на спираль не отличается от действия
симметрии относительно начальной прямой.
2. а) Точки, соответствующие 9=яя (при всех целых п), на
первой спирали совпадают с точками, соответствующими 0= —лп
на второй спирали.
б) Спирали не имеют общих точек.
§8
5. Условие того, чтобы радиусы обеих сфер, проведенные в
любую точку их пересечения, были ортогональны, имеет вид
(* + «) (х+и') + (y+v) (y+v') + (г+w) (z+w') =0.

606 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Если сложить уравнения сфер и вычесть эту сумму из удвоен*
ного полученного уравнения, то получится искомое условие.
6. Точка (Х\ У, Z') лежит на полярной плоскости точки (X,
У, Z) в том случае, если
XX'<+YY'+ZZ'=K\
Из симметрии этого условия относительно обеих точек следует,
что полярная плоскость точки (Х\ У, Z') проходит через точку
(X, У, Z). [Такие точки называются сопряженными относительно
сферы.] В частности, если точка (Х\ У, Z') принадлежит сфере, то
точка (X, У, Z) принадлежит касательной плоскости к сфере, про-*
ходящей через точку (Х\ У, Z').
7. Разлагая на множители обе части уравнения
(тСоза+Тsin«)2-(j)2 = -(f cosa-^sinaj'+l.
мы получим, что при любом а прямые
X и z и X
— cos а 4- -т- sin а = —, 4- cos а sina=l
а ' b с Ь а
и
х i У , z У х * 1
— cosa4--f- sina = , ~-cos а sina = l
a l b с b а
целиком принадлежат гиперболоиду. Мы получили, таким образом,
два семейства образующих.
Произвольная образующая первого семейства пересекает неко*
торую образующую второго семейства, а именно прямую
— = — L X = i
а с ' b
В самом деле, подставив эти равенства в уравнение
образующей первого семейства, получим
Z Z
sina = — (1 -f- cos a), —sina=l— cos a.
Совместность этой системы уравнений показывает, что
образующие пересекаются (или параллельны при а=*я).
Так как вращением вокруг оси z любую образующую второго
семейства можно перевести в образующую
-£—_-.£ Х — 1
а" с' b ~~ '
то первая часть нашего утверждения доказана. С другой стороны,
точка пересечения образующей первого семейства

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
607
и любой другой образующей того же семейства должна
удовлетворять системе уравнений
sina = — (1 — cos a], sina=l—cos a,
из которой следует sina = 0, cosa=l, т. е. обе образующие
совпадают.
ГЛАВА 9
§3
1. г=2±/.
2. Равенство «-{-ш=0 означает, что точка (и, v) совпадает с
началом координат (0,0).
3-7Т« =* + ^ где Xm"^TW' У = -!?Т¥'
4. а) Центрально-подобное вращение вырождается в
гомотетию, а заштрихованные треугольники становятся гомотетичными.
б) Центрально-подобное вращение вырождается во вращение,
а заштрихованные треугольники становятся равными.
а sin-^- = Т/ —. Следовательно, первый из искомых квадратных
корней равен
/3T5/ = )/'5(cos| + /sin|)=2 + /,
а второй корень равен
-(2 + /) = -2-/.
б) 1 — cos 0 -f- / sin 0 = cos 2я -\- i sin 2я = cos 4я -f* / sin 4я.
Следовательно, три кубических корня из единицы равны
Cos0-|-/ sinO = 1,
о 2 1
со = cos -g- л + i sin j я = -g- (— 1 + //з),
©2==cos-|rt + /sin-| я = ^(—1 —1>/"3).
в) ±1, ±©, ±ю2.
Те же корни, что в упражнении в), и, кроме того,
±/, ±/а>, ±/<Л

608 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
§ 5
я/ я .2 Я
1. £ = cos-~- + * sin тс- = г; г — е = £ .
(2. cos (9 + а) + / sin (9 + а) = е1 (е+а) = е1е1а =
= (cos 9 -f-1 sin 9) (cos a -\- i sin a) = cos 9 cos a — sin 9 sin a -f*
+ / (cos 9 sin a + sin 9 cos a).)
§ 6
По теореме Пифагора
(^)2 = (,+i)2+(i+±)2 = (, + i+I)2_i> ,+i_JL.
§7
1. Угол равен arg a.
2. Угол равен arg a.
ГЛАВА 10
1. Октаэдр представляет собой квадратную дипирамиду с
равносторонними гранями.
2. Треугольная бипирамида.
3. а) квадрат; б) правильный шестиугольник; в) правильный
десятиугольник.
4. Из двух тетраэдров и октаэдра можно сложить ромбоэдр,
а параллельно расположенными ромбоэдрами, так же как и
любыми параллелепипедами, можно заполнить евклидово пространство
без пробелов и двойных покрытий.
§2
1. Правильный пятиугольник и вписанная в него пятиконечная
звезда.
2. Семь.
3. Восемь.
§3
1. Использовать формулу 10.32.
2. Обобщение формулы 10.31 очевидно, так как при обоих
суммированиях каждое ребро считается ровно два раза (оно
прилегает к двум вершинам и служит границей двух граней).
Если у многогранника для каждой грани р>4 и для каждой
вершины q !> 4, то
4(V — f + fXS^- 4£ + 2/> = 2£-4£ + 2Е-0.
3. Простейшим примером является мозаика из ромбов,
вершины которых образуют решетку.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
609
§4
(3. Все грани такого многогранника, очевидно, центрально-
симметричные многоугольники. Для него можно произвести
разбиение на ортосхемы, описанное в этом параграфе. У всех этих орто-
схем равны ребра о#=Оо03, lfl—OiOs, 2#=020з. Из этого следует
равенство всех ортосхем. Таким образом, все грани многогранник
ка — правильные многоугольники, причем, так как стороны и
радиусы окружностей этих многоугольников равны, эти многоугольники
имеют равное число сторон. Далее, стороны всех вершинных фигур
многогранника равны. Так как около каждой вершинной фигуры
можно описать окружность (сечение средней сферы плоскостью
вершинной фигуры), то вершинные фигуры — также равные
правильные многоугольники.)
§5
1. Ребра, выходящие из каждой вершины, взаимно
ортогональны и имеют равную длину.
2. В каждом октанте лежит по одной вершине куба.
3. В точке (1, 1, 1).
4. Из куба, описанного в упр. 1, можно получить тетраэдр с
вершинами (0, 0, 0) (0, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0). Уравнения граней
тетраэдра x+y+z=2, x=y+z, y=z+x. Чтобы нормировать эти
уравнения, нужно разделить их на 1^3. Косинус угла между двумя
плоскостями равен -~-.
5. Координаты вершин (±1, 0, 0) (0, ±1, 0) (0, 0, ±1).
Уравнения граней ±x±y±z=\. Плоскости x+y±z=\ пересекаются по
ребру, соединяющему вершины (1, 0, 0) и (0, 1, 0), и образуют
угол с косинусом — -S-.
6. Точки, лежащие между параллельными плоскостями x+y+z=
«±1, удовлетворяют неравенствам —1 <! x+y + z^.\. Аналогичные
неравенства можно написать для остальных пар плоскостей.
7. Угол равен 120°. Центр правильного тетраэдра с вершинами
в точках
(-1, -1. -О (-1, 1. 1) О. -1, 1) О. 1. -1)
находится в начале координат. Плоскости, проходящие через
начало координат, и пары вершин этого тетраэдра имеют уравнения
# ± г = 0, г±* = 0, х ± # = 0.
ГЛАВА 11
§ *
1. г sin -£- — sin -g- = 2 cos -F- sin -f- .
2. Провести окружность радиуса QU с центром в точке St

610 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
§2
1. Четыре точки (±т, ±1, 0), очевидно, служат вершинами
«золотого» прямоугольника, лежащего в плоскости 2=0.
2. Точка (0, т, 1) делит отрезок с концами в точках (0, 0, г2)
и (0, т2, 0) в отношении т: 1.
3. Координаты вершин додекаэдра (О, ± --, ± т), ( ±т,0, ±-~ ),
(±—. ±т, 0), (±1, ±1, ±1). Таким образом, эти 20 точек
служат вершинами куба и трех «дважды золотых»
прямоугольников (т. е. прямоугольников с отношением сторон т2:1).
§ 3
Точки /, <7, С, А имеют полярные координаты I—j, —я),
I — , —-л), п,-?))* (*2> Л) и, следовательно, декартовы
координаты (— -^-, о), (о, —-1), (0, т), (-т2, 0). Прямые 1С и GA
определяются уравнениями
тЛ* — у + т = 0, х + xzy + т2 = 0,
а Я, их точка пересечения, имеет декартовы координаты 1 — тр — -?Н
и полярные координаты (1/ -^-, —"Тп)щ Таким образом, для
точек Г, //, F, D, В
г = -^тЛ, 0 = 1(2/г — 3)я (л ——1, 0, 1, 2, 3).
у 2 4
Эти точки принадлежат спирали 8.71, где я в —==• ]/*т*. Она
У а
получается из спирали г=ц,9 гомотетией О(а) или вращением на
log а
угол , * .
§4
1- /л+2 — !•
2, Доказательство проведем по индукции. Пусть f п^п — /я-Iе
-(-l)"-1. Тогда
fn-\fn + \—*/л==/л-1(/я-1+/л)~~/л(/л-2 + /я-1)==
= /л-1-/л-2Л~(-1Л

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 611
3. Это легко сделать, рассматривая сложение по модулю 10,
где 5+8 азЗ, 8+3 st 1 и т. д.
4. Положив £+/=л, получим, что коэффициент при tn равен
где k=n — /, и так как 2/</+£=л, то O^j^^. Приравняв
коэффициенты при tnt получим формулу Люка*
5. ^^ = 1,010203050813213455...
6. Из 11.48 следует
•— — -j —- ——————————-г——— ,
^л t«_L._-— 1-М—IV*—-
+ (— т)л т2Л
Л->00 £"/!
§5
При k=\ формула 11.51 дает h = -7=- = 0,48587...
Ут3
ГЛАВА 12
1. Это понятие можно ввести в обеих геометриях.
2. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна двум
прямым углам.
3. К аффинной геометрии.
4. а) в аффинной; б) в абсолютной; в) в абсолютной.
§2
1. Согласно аксиоме 12.22, существует точка С, для которой
[ABC], а также точка Д для которой [BCD], и так далее до
бесконечности.
2. После теоремы 12.271.
3. Если [FDE], мы применим аксиому 12.27 к треугольнику
BFD, у которого [DCВ], и получим на прямой ЕС точку Л, для
которой [BZF]. Так как Z—A, то это противоречит соотношению
[AFB].
4. Любая прямая, не принадлежащая этому множеству,
содержит бесконечно много точек, среди которых лишь конечное число
может принадлежать прямым множества (не больше одной точки
на каждой прямой).

612
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
б. Используйте теорему 12.278 (и рис. 119), заменив точки 0,
Л, В, F, С, L соответственно на Л, В, С, L, М, N.
6. Выбрав точку Л' на луче Л/В и точку В' на луче В/С, при*
меним аксиому 12.27 к треугольнику А'В'В, для которого ГВ'ВС] и
[В А А'}.
7. Для любых точек Л' и В', выбранных, как в упр. 6, пря*
мая А'В' пересекает луч А/С; следовательно, она не может
пересекать луч С/А.
§3
Соединяя попарно п—1 точку Р;, можно получить не более
Сп-\ прямых, все или часть из которых могут пересекать
прямую PiQ. На рис, 121 шесть прямых Р2Р*, РАР\9 Р&, /Уе, Р*Р\<
Р\Ръ пересекают прямую P\Q в той же точке, что и прямая Р\Ръ-
§4
1. Так как пять точек не коллинеарны, они образуют либо
выпуклый пятиугольник, либо выпуклый четырехугольник с одной
точкой внутри, либо треугольник с двумя точками внутри. В
первых двух случаях утверждение очевидно. Рассмотрим третий
случай. Две внутренние точки в этом случае лежат на некоторой
прямой, пересекающей две стороны треугольника. Два конца третьей
стороны и две внутренние точки образуют искомый выпуклый
четырехугольник.
4. Первые две прямые ВС и СА разбивают плоскость на
четыре угловые области. Прямая АВ не пересекает область,
ограниченную лучами С/А и С/В, но разбивает каждую из остальных
областей на две. Область, ограниченная треугольником ABC,
единственная конечная из семи областей, так как каждую из оставшихся
областей ограничивает хотя бы один луч.
5. Рассмотрим т — 1 прямую, которая разбивает плоскость на
/(2, т — 1) областей. Эти прямые разбивают т-ю прямую на т
частей (а именно, на два луча и т — 2 интервала), которые
лежат в т областях. Каждая из этих областей разбивается на две,
а остальные не разбиваются. Следовательно,
/(2, ш)=/(2, т — 1) + /и.
Подставляя в это уравнение /(2, т—1)=/(2, т — 2)+т —1 и т.д.,
мы получим
/(2, /и) = /(2, т-\) + т =
в / (2, т — 2) + (т — 1) + ** =
= /(2,0) + 1 + 2+ ... +т =
-i + c^-C+cjL + c»,.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
613
6. Рассмотрим т — 1 плоскости, которые разбивают т-ю
плоскость на f(2, т— 1) областей, лежащих в /(2, т—1)
пространственных областях. Эти f(2,m—1) пространственные области
разбиваются m-й плоскостью на две области каждая, а остальные
области остаются прежними. Следовательно,
/(3, т) = /(3, т - 1) + / (2, т -1) =
= /(3, т -2) + /(2, т -2) + /(2, т - 1) =
= /(3,0) +/(2,0) +/(2, 1)+ ... +/(2,111-1)=»
т
7. f(n, m)=f(n, m— \)+f(n— l,m — 1), причем f(n,0) = l. Сле-
Г77-1
довательно, /(/г, m) = /(/г, 0) + 2 f(n ~~ 1. Г)- Докажем формулу
r = 0
/(n, «) = С^ + С,1Л+ ..• +^
индукцией по размерности n пространства. Пусть эта формула
верна для размерности п— 1.
Тогда
т-\
f(nt /г) = /(л,0)+2 [с°г + с1+ ♦•• +сгЧ =
= с°« + с» + ... +с».
Последнее равенство следует из того, что
т — 1 т —1
2 с?-1 = 2 [cnr+{-c?-c"m-c:_, = ci\.
§6
1. Из отношения [prs] следует, что прямые р, г и s попарно не
пересекаются и что они соответственно содержат такие точки Л,
С, Б, что [АСВ]. Пусть луч pi параллелен s. Тогда любой луч,
выходящий из точки А и лежащий внутри угла, образованного АВ
и ри пересекает s, а следовательно и г. Поэтому луч р\
параллелен г.
2. Лучи, выходящие из данной точки параллельно данной
прямой, изображаются полуинтервалами, соединяющими точку с
концами хорды, изображающей прямую.

614
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
ГЛАВА 13
§ 1
1. Пусть q и г — две параллельные прямые. Если бы прямая р
пересекала qy но не пересекала г, то прямые р и q были бы двумя
прямыми, параллельными прямой г и проходящими через точку р • q,
что противоречит аксиоме 13.11.
2. Да, если все три прямые принадлежат одной плоскости.
§2
1. Это одномерный вариант принципа, утверждающего, что
любое собственное движение (в том числе и тождественное
преобразование) представляет собой произведение четного числа
зеркальных движений. Параллельный перенос сохраняет направления на
прямой, а центральная симметрия изменяет их на обратные.
2. Согласно 13.25, из (A->D) = (С->В) следует (Л*->В) =
e(C<->- D), т. е. (Л <-+ £) = (£> ч-* С), откуда вытекает, что
(Л -> С) = (£>-> В).
3. Это — симметрия относительно точки С.
4. Симметрия относительно точки пересечения диагоналей
переводит две противоположные стороны шестиугольника друг в друга.
5. Используя символ = для обозначения конгруэнтности
отрезков, имеем
BAl=zClBl=*A2C,
#Л2е=еС2В2^вЛ3С.
Согласно результату упр. 2, из того, что ВА{^А2С, следует ВА2^а
225Л1С. Поэтому Л3=ЛЬ
6. Разбейте четырехугольник диагональю на два треугольника
и примените теорему 13.26.
7. Три прямые, соединяющие середины сторон полного
четырехугольника, пересекаются в одной точке.
§3
1. x'**\ix, y'*=\iy.
2. а) параллельный перенос, б) центральная симметрия.
3. х*=х+Ьу, у'=у. (О, -1)-»(-&, -1).
§4
1. Это следует из замечания, следующего за теоремой 13.41.
2. Если [ОЛЛ'], то прибавим треугольник ОАВ к каждому из
треугольников ВАА', ВАВ\ которые равновелики согласно упр. 1.
Если [ЛОЛ'], вычтем из этих треугольников треугольник ОАВ.
3. Любая точка прямой OR, параллельной РР', остается на
месте. Пусть точка X не принадлежит прямым OR и РР'. Прямая
РХ пересекает прямую OR в некоторой неподвижной точке К;
прямая YP' пересекает прямую XS, параллельную РР\ в искомой
точке X' — образе точки X. Наконец, на прямой РР' сдвиг действует
как параллельный перенос Р -> Р'л

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
615
4. Рассмотрим случай, когда эквиаффинное преобразование
имеет более одной неподвижной точки. Пусть О и R— две такие
точки и Р — произвольная точка, не принадлежащая прямой OR.
Так как треугольник ROP переходит в равновеликий ему
треугольник ROP\ прямая РР' параллельна OR и наше преобразование
представляет собой сдвиг [О; Р->Р']. Во всех остальных случаях
преобразование имеет не более одной неподвижной точки;
следовательно, так как каждая точка принадлежит неподвижной прямой,
все такие прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной
точке. Пусть АА' и ВВ'— две неподвижные прямые (причем точка
А переходит в Л', а В —в В'). Докажем, что прямые АВ и А'В'
параллельны. В самом деле, предположим, что прямые АВ и А'В'
пересекаются в точке О. Точка О' (образ точки О) должна
принадлежать прямой А'В\ а так как точка О принадлежит некоторой
неподвижной прямой, отличной от А'В\ то точка О неподвижная,
и мы пришли к случаю сдвига. Но так как мы предположили, что
преобразование имеет не более одной неподвижной точки, то
прямая АВ параллельна А'В'. Следовательно, наше эквиаффинное
преобразование — гомотетия. Но среди гомотетий эквиаффинными
преобразованиями являются только центральные симметрии и
параллельные переносы.
5. Если ABCD — параллелограмм, как это изображено на
рис. 137, то центральная симметрия А <-** В представляется в виде
[Л; C-<->Z)][C; А*-+В], а параллельный перенос А -> D в виде
[А; В«->С][В; Л «->£>].
6. Все прямые, параллельные РР', — неподвижные прямые обоих
сдвигов, а прямую PQ произведение сдвигов переводит в
прямую P'Q'.
7. Точка С может быть любой точкой прямой РР' (кроме
точек Р и Р') и любой точкой прямой QQ\ в которую переводит
прямую РР' симметрия относительно точки О (кроме точек QhQ').
8. Из результатов упр. 5 и 7 следует, что доказываемое
утверждение справедливо для центральных симметрии, параллельных
переносов и сдвигов. Из упр. 4 следует, что любое другое
эквиаффинное преобразование имеет по крайней мере одну точку, не
принадлежащую неподвижной прямой. Пусть Л — одна из таких точек.
Пусть преобразование переводит точку Л в Л', А' в Л", А" в А'".
Так как прямая АА' не неподвижна, то АА'А" — треугольник. Так
как преобразование эквиаффинное, то треугольники АА'А" и
А А"А'" равновелики. Следовательно, либо прямые АА"' т А'А"
параллельны, либо А'"—А. Пусть М — середина отрезка АА'" (или
если А=А"', пусть М — эта же точка). Тогда преобразование
А А'А" -> А'А" А'" представляется в виде
[Л'; Л чг-> А"\ [М\ А' «-> А")
(ср. ВеблениЮнг [2], стр. 103—111).
9. а) Сдвиг [О; Р-»Р'], где точка О— (0, 0), точка Р— (0, I),
точка Р — (jx, 1).
б) Косая симметрия (AtB<r^C)t где точка Л—(0.1). а
точки Б и С- (±1,0).

616 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
10. Пусть РР' и QQ' — пары соответствующих точек двух
различных прямых. Если эти прямые пересекаются в точке О, то
аффинное преобразование, меняющее местами треугольники OPQ и
OP'Q\ представляет собой просто симметрию относительно точки О,
Если же прямые РР' и QQ' параллельны, середины отрезков РР'
и QQ' принадлежат прямой, все точки которой являются
неподвижными, и мы приходим к косой симметрии.
§ 5
1. Любой общий делитель чисел х и Х\ должен быть делителем
числа ху\ — ухх. Но это противоречит формуле 13.52.
2. Согласно формуле 13.52, х0у — y0x=\=xyi—ух\ и,
следовательно,
3. Занумеруем точки базисной решетки цифрами 0, 1, ..., 6
следующим образом: точки Л, В, С занумеруем цифрой 0, затем,
двигаясь от каждой из этих точек по горизонтальной прямой
вправо, будем нумеровать последовательные точки цифрами 1, 2, 3, 4,
5, 6. Получим семь треугольников, занумерованных одинаковыми
цифрами. Занумеруем все точки «подрешетки», получающейся из
каждого треугольника той же цифрой, что и вершины
треугольника. Так как базисная решетка состоит из семи таких подрешеток, то
единичная ячейка подрешетки в семь раз больше единичной ячейки
подрешетки.
Другое доказательство. Пусть базисная решетка состоит из
точек с целочисленными аффинными координатами. Тогда можно
положить В—(0,0), С—(2,1), Л—(—1,3). Таким образом,
внутри треугольника ЛВС лежат три точки решетки — точки (1,1),
(0,2) и (0,1), которые образуют треугольник площади -к
(половина площади единичной ячейки). По теореме Пика, площадь тре-
3 7
угольника ЛВС равна -к -f~ 3 — 1 = ~п* •
4. а) Площадь треугольника (0, 0) (3,1) (—1,4) равна -^ -f-6 —
— I——, а внутренний треугольник имеет площадь тг+О—^=^*
4
Отношение площадей равно -y^".
3
б) Площадь треугольника (0,0) (3,2) (—2,5) равна ^-+9 —
19 1
— 1 = -у, а внутренний треугольник имеет площадь -к •
5. Площадь параллелограмма (0,0) (2,—1) (3,1) (1,2) рав-
на -к- + 4—1=5, а площадь малого внутреннего параллелограмма
равна 1.
Площадь параллелограмма (±6, ±6) равна 144, а площадь
внутреннего восьмиугольника (±3,0) (±2, ±3) (0, ±3), имеющего

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 617
21 точку внутри, равна 24.
_ Mv + i) + v№ + i) + Mn + i) 1 Яцу + 1
(A + l)(,u + l)(v + l) (^ + l)(^ + l)(v + l) •
7. Утверждение очевидно, за исключением тех случаев, когда
Я, |г и v одновременно ;> 1 или <1. Рассмотрим эти случаи и
допустим, что треугольник LMN — наименьший из четырех
треугольников. Это значит, что число Xjxv + l меньше каждого из
чисел (Л,+1)v, (|Л+1)Я, (v+l)p,. Сложив три неравенства, получим
==iliV + x) + {vx + lx) + {xll + v)t
т. е. (Я — 1) (|*v_ 1) + (|л_1) (vX — 1) + (v — 1) (Я|* —1)<;0.
Но так как к, \i, v!>l, то все слагаемые должны обратиться в
нуль, так что Я = |х = v = 1.
§6
1. Множества а), б), г) не содержат аддитивного
тождественного элемента (нуля); множество в) содержит 1 и i, но не
содержит числа 1+/; четыре оставшихся множества содержат нуль,
который не имеет мультипликативного обратного элемента.
2. Если точка В — центроид масс а и с, помещенных в
точках Л и С, то В'— центроид тех же масс, помещенных в
точках Л' и С. Точки, делящие отрезки ЛЛ\ ВВ\ СС в отношении
\i:\, служат центроидами соответственно масс 1, помещенных в
точках Л, В, С, и масс ц, помещенных в точках А', В', С. Вторая
из этих трех точек служит центроидом массы а, помещенной в
первую точку, и массы с, помещенной в последнюю точку.
В сокращенных обозначениях барицентрического исчисления
Мёбиуса эти рассуждения запишутся следующим образом:
В^аЛ + сС, В' = аА' + сС,
В + \лВ' = а (А + цА') + с (С + цС')-
3. В обозначениях Мёбиуса центроид равных масс,
помещенных в вершины четырехугольника ABCD, записывается в виде
A+B + C+D. Вершинами параллелограмма Вариньона будут
точки А+В, 5+С, С+Д D+A, а его центром — точки (Л + £) +
+ (C + D) = (S+C) + (D-M).
4. Проведя одну диагональ, разобьем четырехугольник на два
треугольника, центроиды которых совпадают с серединами двух
параллельных пунктирных отрезков рис. 152.
5. Для центрально-симметричных четырехугольников, т. е.
параллелограммов.
(6. В обозначениях Мёбиуса
Ak=*(n — k)A0 + kBb Bk = (n — k)B0 + kC0,
Ck = (n-k)C0 + kA0.

618
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Центр треугольника AkBkCh имеет вид
Ak + Bk + Ck = A0 + B0 + C0.)
§ 7
1. Внутри треугольника А\А2А$— знаки + + +; в области,
прилегающей снаружи к стороне Л2Л3,— знаки И+; во
внешней области, прилегающей к вершине Ai, — знаки -\ .
1 0 1
2. 6:
О 1 1
х у 1
= 1 — х — у.
3. I (0§ + ОТ) = I Щ SiOZt + ]£ *,<Й,) = I (st + td 6Х,.
О 1 Л
6.
= Afxv-f- 1.
\i О 1
1 v О
В случае, когда точки L, М и N коллинеарны, это выражение
в соответствии с теоремой Менелая обращается в 0.
7. Если прямая целиком лежит вне треугольника отнесения,
знаки чисел Т\, Т2, Т3 совпадают (например, все эти числа
положительны). Если прямая пересекает стороны А2Аг и А5А[у знак Тъ
противоположен знаку 7^ и Т2. (Если Т2 меньше Г3, прямая 13.72
пересекает прямую Л3Л2 в точке В, для которой [Л3Л2В]. Если
T2 = TZ, то прямая параллельна прямой АЪА2. Если Т2>Т3, то
[ВАЪА2])
1. Любая общая точка прямых а и Ь должна быть общей точ*
кой прямой а и плоскости а. Примените теорему 13.82 к прямым
Ьу с и а.
2. Так как прямая а параллельна 6, то она параллельна
плоскости а, проходящей через прямую 6, и мы можем применить
результат упр. 1.
3. Из нашего доказательства теоремы 13.81 видно, что все
прямые, проходящие через точку А и лежащие в плоскости q'r\ па«
раллелыш прямым плоскости qr.
4. Центроид равных масс, помещенных в вершины тетраэдра,
совпадает с центроидом масс 1, помещенных в вершинах А{ и А2%
и массы 2, помещенной в середине ребра Л3Л4.
5. Точка (t\y t2t h, t4)—центроид масс ti, помещенных в
точках Ai (i=l, 2, 3, 4).
§ 9
1. Пусть в обозначениях рис. 159. через А', В\ С, О'
обозначены вершины параллелепипеда, соответственно противоположные
Л, В, С, О. Соединив каждую из сторон пространственного
шестиугольника AB'QA'BC с обоими концами диагонали 00'\ получим

Ответы к упражнениям
619
разбиение параллелепипеда на шесть тетраэдров. Любые два тетра*
эдра, построенные на соседних сторонах шестиугольника, можно
перевести друг в друга косой симметрией; например, косая
симметрия [00'; А<-*С], оставляющая на месте плоскость 00'В' и
меняющая местами точки А и С, переводит друг в друга тетраэдры
00'АВ' и ОО'В'С.
2. Косая симметрия — это преобразование, которое меняет ме«
стами точки Р и Р' таким образом, что все прямые РР' парал«
лельны и все отрезки РР' делятся пополам осью или (в
трехмерном случае) плоскостью симметрии. Преобразование (*,*/, г) ->
*->(х,у,—г), очевидно, обладает всеми этими свойствами.
3. Точки (а, Ь, с) и (а\ Ь\ с') меняются местами при
центральной симметрии (х, у, г)->{а-\-а' — ху Ь-\-Ь' — у, с-\-с' — г),
4. Если точка решетки (х, у, z) принадлежит первой
рациональной плоскости Xx + Yy-\-Zz — ±1, то любой общий делитель чи^
сел х, у, z должен быть делителем ±1.
5. Нет. Например, видимая точка (1,1,0) принадлежит
«второй» рациональной плоскости х+у = 2.
6. Положив *=1, получим 2*/+Зг = — 1. Этому уравнению,
очевидно, удовлетворяют пары у=\, z——1 и у=—2, 2=1. Шложив
х— —4, получим уравнение 2#+Зг=5, которое, очевидно,
удовлетворяется при «/=2=1. Таким образом, мы получили треугольник
(1,1,-1) (1,~2,1) (-4,1,1).
7. Определитель, составленный из координат вершин
треугольника (1,1,-1) (1,-2,1) (—4,1,1), равен —1; следовательно, этот
треугольник составляет половину единичной ячейки решетки в
плоскости 6x+\0y+\5z=l.
Координаты произвольной точки решетки равны
(1, 1, — 1) + т (О, —3, 2) + п (—5, 0, 2) =
= (1—5/2, 1—3/и, — 1+2/и -2/2),
где т и п — произвольные целые числа. _
8. Из уравнения плоскости следует, что x2+2V2ху + 2y2=3z2.
Вследствие иррациональности 1^2 для любого целочисленного
решения должно бытъ__ху=0 и *2+2#2=322, что невозможно в силу
иррациональности Уз.
ГЛАВА 14
§ 1
1. Согласно аксиоме 14.11, четыре точки, описанные в аксиоме
14.13, можно соединить попарно шестью прямыми. Каждая из этих
прямых, согласно аксиоме 14.12, пересекается с другими прямыми,
по крайней мере в трех различных точках.
2. Через каждую из m точек проходит с прямых, так что
всего таким образом мы насчитаем cm прямых; но каждая из п пря«
мых считается d раз, так как на ней лежит d точек. Следователь"
но, cm=dn. Конфигурацию Паппа 93 можно рассматривать как си-
стему трех «треугольников Гессенберга» шестью способами,

620
ОТВЕТЫ К. УПРАЖНЕНИЯМ
3. В приводимой ниже таблице числа, стоящие в столбце, над
которым стоит число k, означают номера точек, принадлежащих
прямой ph.
12
1
2
4
10
и
2
3
5
11
10
3
4
6
12
9
4
5
7
0
8
5
6
8
1
7
6
7
9
2
6
7
8
10
3
5
8
9
11
4
4
9
10
12
5
3
10
11
0
6
2
И
12
1
7
1
12
0
2
8
0
0
1
з
9
В столбцах следующей таблицы выписаны тройки коллинеар-
ных точек конфигурации 8з, образованной точками Ро, Ло, Ро, Ре*
Ре, Pt. Рь Рг'
Ро Pi о Р% Рб Ръ Pi Р&
Р\о Pq Pq Ръ Ръ Ръ Рз Ро
Рб Ръ Pi Ръ Ръ Pq Р\0 Р$
Вписанные друг в друга четырехугольники получаются, если брать
точки, входящие в конфигурацию через одну в записи Р0 ... Ръ
(см. выше).
4. Через любую точку в такой геометрии проходит р+1
прямая, каждая из которых содержит р различных точек. В
совокупности это дает 1 + (р+1)р точек.
5. Конфигурация, состоящая из всех точек и прямых конечной
геометрии, доставляет нам пример, опровергающий утверждение
теоремы Сильвестера. Любая прямая, соединяющая две точки этой
геометрии, принадлежит к ней и, следовательно, содержит не
только эти две точки.
§ 2
1. Обозначим четыре точки 14.23 через А, В, С, D. Тогда
Е = AD • ВС = (0, 1, 1), F = BDCA = (1, 0, 1),
G = AB-EF = (—1, 1, 0), H = BCDG = (0, 2, 1),
/ = AD . GH = (1, 2, 2), J = EF-CI = (1, 2, 3).
2. Пары противоположных сторон четырехугольника имеют
уравнения х2±*з = 0, хъ±хх—0, лг1±х2 = 0.
3. Р5 = Я2Р3. р*р7, р6 = я,я7 • /W
Из коллинеарности точек Я0, ^5, Pq следует, что л:2+л:+1=0
(это уравнение не имеет действительных корней).
4. Р4 = Р0Р5. PtP2 = (0, 1, 1), Р8 = Р,РЪ • Р2Р0 = (1, 0, 1),
Рз = Р^Рь • ЛЛ = (1,1, 0), Рб = PtP5 • Р3Р4 = О, 2, 1),
Р7 = Р0Р1Ь • Р3Р8 - (2, 1, 1), Р9 = Р0Р{. Р4Р8 = 0,2 0),
р10 = рхр2 . Р0Рб = (0, 1, 2), Рп = Р2РЪ • Р0Ре = О, 1, 2),
Р12 = Р0Р2.Р1Р7 = (2,0, 1).

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
621
Уравнения прямых:
р0: хъ = 0, р{: х2 = 0, р2: х{ + х3 = О,
/?3: -*г2 + *з = О, /?4 = *i+*2 +-*з^0, /?5 = хх + х2 — хъ ■= О,
Рб: —*1+*2 + *з = О, /?7: xj + дг2 = О, /?8 = хх — *3 = О,
р9: дг2 — х3 = О, Ао: *i —*2 + *з =0. /?jj: дс, — л-2 = О,
Р\2: л:! == 0.
5. В качестве точек Ро, Pi, Рг, Рз, Я4, Ps, Ре можно взять
точки (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (1,1,1), (1,0,1).
§3
1. Точки (1,0,0), (1,1,1), (р, 1, 1) принадлежат одной прямой.
Аналогично для других пар соответствующих вершин.
Коллинеарность точек (0,1,0), (0,0,1) и (0, ^ — 1, 1 — г) очевидна, но точка
(О, q—\y 1—г) коллинеарна также и точкам (1, q, 1) и (I, 1, г),
так как ее координаты равны разностям соответственных
координат этих двух точек.
3. 5 = РП, 7, = Р5, (J=V=F=Pi0. [Точка Рб не включается в
конфигурацию.]
§4
1. В определение гармонического множества точки А и В, С п
F входят симметричным образом.
2. Построим треугольник RSP таким образом, чтобы его
стороны 5Р, PR, RS проходили соответственно через точки Л, В, С.
Пусть прямые AR и BS пересекаются в точке Q. Тогда прямые
PQ и АВ пересекаются в искомой точке, гармонически
сопряженной точке С по отношению к точкам А и В.
3. Обозначим треугольник отнесения через RAB, а точки
(0, 1, к) и (1, 1, к) — через С и S. Тогда точка Q—(1, 1, 0),
точка Р — (1, 0, к), а точка F — (1, 1, 0) —(1, 0, к) = (0, 1, — к).
4. На любой прямой в PG (2, 3) лежат ровно четыре точки.
Поэтому точка, гармонически сопряженная к одной по отношению
к двум другим, всегда совпадает с четвертой точкой этой прямой.
5. Одно и то же гармоническое множество определяется проек-
тивно с помощью полных четырехугольников и аффинно с помощью
деления отрезка ААГ внутренним и внешним образом в одинаковом
отношении.
§5
1. Если х и х' — соответственные прямые перспективных
пучков, то точка их пересечения х • х' лежит по оси о.
2. Любое сечение гармонического множества прямых является
гармоническим множеством точек, и любое гармоническое
множество точек лежит на гармоническом множестве прямых, проходящих
через одну точку.
7. Если данное проективное соответствие является инволюцией,
например, (АА')(ВВ')У то его можно представить в виде произве-

622
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
дения инволюций (АВ) (А'В') и (АВ')(ВА'). Если же проективное
соответствие не инволюция и А — произвольная не инвариантная
точка, то проективное соответствие имеет вид АА'А"-±А'А А'"
(где, возможно, А'" совпадает с Л) и представляется в виде
произведения инволюций (АА")(А'А') и (АА"') (А'А").
8. а) (сп — c22)2+4ci2C2i = 0; б) сц + с22=0.
§6
1. Пусть А и А' — данная пара соответствующих точек, кол-
линеарных с центром О, С — точка пересечения оси коллинеации с
прямой АХ. Тогда коллинеация оставляет на месте прямую ОХ и
переводит прямую АС в А'С. Следовательно, искомая точка X'
совпадает с точкой пересечения прямых А'С и ОХ.
2. Рассмотрим в обозначениях рис. 163 гомологию с центром О
и осью DE, переводящую точку Р в Рг. Применив описанное в
упр. 1 построение к точкам Q и /?, мы получим точки Q' и R'.
3. Пусть точки А и X, не принадлежащие прямой о,
состоящей из неподвижных точек, переводятся гомологией в точки А' и
X'. Так как прямые АА' и XX' неподвижны, их точка пересечения О
должна быть неподвижной точкой и, следовательно, принадлежать
прямой о. Следовательно, все прямые, соединяющие точки с их
образами, пересекают прямую о в одной и той же точке О.
4. Пусть в обозначениях упр. 3 точка 0\ будет гармонически
сопряжена к точке О относительно точек А и А'. Тогда
произведение гармонических гомологии с центрами в точках А и 0\ даст
искомую особую гомологию, так как первая из них оставляет
точку А на месте, а вторая переводит точку А в точку А'.
5. Да. В самом деле, существует единственное проективное
преобразование PqP\P$ Л Р1Р2Р4- Оно должно перевести оставшую*
ся точку прямой P0Pi в оставшуюся точку прямой Pi/V Нет
необходимости явно выписывать подходящие перспективные еоответ*
ствия, но при желании это нетрудно сделать. Один вариант таковз
РоР^зРд -^ /WW>i2 Or PiP2PaP\0' Преобразование Pt -> Я8«
Л Л
является проективным преобразованием порядка 3.
6. а) Гомология с центром (0,0, 1) и осью *з=0.
б) Особая гомология с центром (c\t с2, 0) и осью *з=0.
7. Рассмотрим четырехсторонник APXA{P{XU изображенный на
рис. 166, полагая, что точка А сопряжена с» точкой Ль а точка Р—■
с точкой Р\. Поляры аир проходят соответственно через точки А\
и Р[. Согласно 14.64, полярные треугольники АРХ и арх перепек*
тивны относительно прямой А\РХ. Следовательно, прямая х прохо*
дит через точку Х\ и точка X сопряжена с точкой Х{.
8. Условие сопряженности точек (0, 1, ±1) имеет вид с22—Сзз*53
= 0; для точек (±1,0,1) условие сопряженности имеет вид
£зз — Сц — 0; вычтя второе из этих равенств из первого, получим
равенство сц — с22=0, выражающее условие сопряженности точек
(1,±1.0).
9. Из данного билинейного соотношения следует, что прямая
*1 = 0 — поляра точки (1,0,0), а прямая х{ +лг2+*з=0 — поляра

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
623
точки (1,1,1). Любая самосопряженная точка (х) должна
удовлетворять условию ATj -J- х2 + х3 = О- Это невозможно в
действительной проективной плоскости, но выполняется для четырех точек (1,
±1, ±1) в геометрии PG (2,3).
§7
2. Если £ = D, то *=р, y=*PQ=d и х-у = Р. Если 4=D, то
y=q, x—d и Х'у — Q.
3. См. Ко к стер [2], стр. 122.
7. Указание показывает, что корреляция P%-±Pi является
проективным соответствием. Так как она, очевидно, имеет
порядок 2, то она является также полярным соответствием.
Треугольник РаР\оР\2 со сторонами р4, Рю, Р\2 автополярен. Наконец, так
как вычеты 0, 7, 8, 11 (mod 13) равны половинам вычетов 0, 1,3,
9, точки Ро, Pit Ре, Р\\ (и только эти точки) принадлежат своим
полярам.
Таким образом, четыре прямые р0, Рт, Р&, Рп— касательные
к коническому сечению, шесть прямых pi, р2, Рз, Ps, Рв, Рэ —
секущие, а три прямые р4, рю, Pi2 не пересекают конического
сечения. Эти три непересекающиеся прямые служат сторонами
автополярного треугольника Р4Р10Р12, участвовавшего в описании
полярного соответствия. Так как каждая прямая, не пересекающая
коническое сечение, является общей стороной двух автополярных
треугольников, существуют еще три автополярных треугольника
Р4Р5Р9, РюРзРе, Р12Р1Р2.
Сторонами каждого из этих треугольников служат одна
прямая, не пересекающая коническое сечение, и две секущие (как у
треугольника ЕНН\ см. Кокстер [2], стр. 82). Так как каждая
секущая содержит одну пару различных сопряженных точек, она
служит стороной ровно одного автополярного треугольника.
Следовательно, не существует автополярных треугольников, отличных
от четырех уже упомянутых.
В других конечных геометриях, например в PG (2,5),
существуют также автополярные треугольники, образованные тремя
секущими или одной секущей и двумя прямыми, не пересекающими
коническое сечение.
8. Стороны шестиугольника имеют уравнения
хх = О, хх = х2 + х3, х2 = 0,
7 х
х1-\-х3=*2х2, хх + х2 = у хъ, -у +*2 = *з.
Противоположные стороны шестиугольника пересекаются в трех
точках (0, 1, 2), (6, 1, 5), (2, 0, 1), принадлежащих прямой
Х\+4*2=2*з.
§8
1. Если бы существовали две трансверсали, проходящие через
точку R, то в плоскости этих трансверсалей лежали бы
одновременно прямые а и Ъ.

624
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
2. Пусть а, Ьу с — три попарно скрещивающиеся образующие.
Пусть произвольная плоскость, проходящая через прямую а,
пересекает прямую с в точке R. Тогда эта плоскость содержит также
образующую Ra • Rb.
3. Четыре прямые AiBi попарно пересекаются. Так как они
некомпланарны, они пересекаются в одной точке.
4. Обозначив центры перспективы через Си С2, Сз, С4, мы
видим, что тетраэдр CiC2C^CA перспективен с тетраэдром В2В^ВАВ\
относительно точки Аи с тетраэдром В\ВАВ$В2 относительно Л2, с
тетраэдром Вф{В2Вг относительно Л3, с тетраэдром BZB2B{BA
относительно Л4, с тетраэдром A2ASAAA{ относительно В{ и т. д.
(с заменой Л,- на Bt).
5. Каждая точка пространства PG(3tp) принадлежит р2+р+\
прямым, каждая из которых содержит р других точек.
Следовательно, всего пространство содержит 1+р(р24-р+1) точек и, в силу
принципа двойственности, столько же плоскостей. Каждая из р34-
+р2+р+1 плоскостей содержит р2+р+1 прямых, а каждая прямая
принадлежит р+\ плоскости; следовательно, общее число прямых
равно
{p3+p,+p+w+p+l)={pi+iHp2+p+i)
Это выражение получили независимо друг от друга Дж. Фано
(см. первую сноску на стр. 341) и П. X. Схоуте (в его книге
«Многомерная геометрия» (Mehrdimensionale Geometrie т. 1, Leipzig,
1902, стр. 5). При р=3 число прямых равно 130.
§9
1. Потому, что в евклидовой геометрии прямая не может быть
перпендикулярна к самой себе.
3. Это первая теорема Клиффорда в первоначальной форме.
Ее легко получить из того варианта, который приведен в тексте,
произведя инверсию с центром в точке 5.
ГЛАВА 15
§ 1
1. Согласно аксиоме 15.11, на луче АВ существует такая
точка В', что CDzezAB'. Мы имеем, таким образом, AB==CD и
CD^AB'. Согласно аксиоме 15.12, АВ^АВ\ но АВ ез АВ и обе
точки В и В' лежат на луче АВ. Следовательно, согласно аксиоме
15.11, В'=В.
2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем
длины касательных, проведенных к ней из точек А, В, С,
соответственно равны s — ау s — b> s — с, как утверждает упр. 3 в конце
§ 5 гл. 1. Мы должны отказаться от всех формул, содержащих
тригонометрические функции, но результат упр. 1 остается тем же
самым, так же как и результат упр. 4 (причем проходит его
доказательство, намеченное в указании). Даже около остроугольного
треугольника не всегда можно описать окружность.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
625
§2
(1. Совместим наши асимптотические треугольники так, чтобы
точка А совпала с А\ а точка В с В', Так как Л=Л', то лучи AM
и Л'М также совпадут. Если бы лучи ВМ и В'М не совпали, мы
бы получили, что через точку В проходит два луча, параллельных
лучу AM, что противоречит теореме 12.61). (См. Кок стер [3],
стр. 189.)
2. Если две прямые имеют общий перпендикуляр т, то они
симметричны относительно него. Если бы с одной стороны от т
имелась точка пересечения двух данных прямых, то с другой
стороны от т должна была бы существовать другая такая точка, что
противоречит 12.2511.
§3
1. Плоскость, проходящая через прямую / и перпендикулярная
к плоскости АВСУ пересекает последнюю по прямой га, которая мо
жет пересекаться с прямой /, быть параллельной прямой /,
наконец, прямые т и / могут быть расходящимися. В первом случав
все три плоскости Л/, В1, С/ проходят через точку пересечения
прямых / и га. Во втором случае эти плоскости проходят через общий
конец прямых / и га. В третьем случае прямые / и т, в силу
теоремы 15.26, имеют общий перпендикуляр EF, а плоскости Л/, Bly С1
перпендикулярны к плоскости, проходящей через прямую EF и
перпендикулярной к /.
2. Согласно 15.23, прямые риг параллельны. Следовательно,
произведение симметрии относительно этих прямых представляет
собой параллельное перемещение. Первое отражение оставляет
точку / на месте, второе переводит / в L.
3. Примем обозначения, данные в указании к упр. 3 в § 3,
гл. 16. Четырехугольник ABED симметричен относительно прямой,
соединяющей середины сторон А В и DE.
4. В некоторой плоскости, проходящей через сторону А В
данного треугольника ABC и отличной от плоскости этого
треугольника, построим равносторонний треугольник ABC\ медианы кото*
рого очевидным образом пересекаются. Обозначим через у пло«
скость, проходящую через середину отрезка СС и перпендикуляра
ную к этому отрезку. Плоскости, проходящие через пары
соответственных сторон двух треугольников, перпендикулярны к
плоскости у. Из результата предыдущего упражнения следует, что тем же
свойством обладают и плоскости, проходящие через пары
соответственных медиан. (F. В u s и 1 i n i, Una dimonstrazione del teorema
delle mediane in geometria assoluta, Ann. Univ, Ferrara, Ser. VII
(N. S.) 8, 1958/59, стр, 17—20.)
§4
1. Вращение на 90° вокруг оси, проходящей через левую
переднюю вершину, вращение на 120° вокруг оси, проходящей через
центр грани d, симметрия относительно прямой, соединяющей
середины двух противоположных ребер, симметрия относительно
прямой, соединяющей две противоположные вершины: (ab)(cd)=*

626 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
= {abcd)2. Не считая тождественного преобразования, мы имеем
6 + 8 + 6+3 = 23 вращения.
2. Циклическая группа имеет два «класса полюсов», каждый из
которых состоит из одного полюса. Добавив к ним вырожденный
полюс с порядком рз— 1, мы получим возможность считать эту
группу «тривиальным» решением уравнения 15.42,
§ 5
1. а) С2. б) D2nDn (если п четно), D„X{/} (если п нечетно).
2. СбС3.
§6
a) D2XU)\ б) D3X{/}; в) Л4Х{/}.
§ 7
1. Вершины мозаики {р, 2} лежат на равном расстоянии друг
от друга на некоторой большой окружности (скажем, на экваторе
сферы), а ребрами являются р дуг, соединяющих соседние вершины*
Вершинами мозаики {2, р} служат две диаметрально
противоположные точки сферы (скажем, северный и южный полюсы), а
ребрами— р полуокружностей (меридианов), образующих равные углы*
2. (Правильный) тетраэдр имеет шесть плоскостей симметрии,
каждая из которых проходит через одно ребро тетраэдра и через
середину противоположного ребра. Куб и (правильный) октаэдр
имеют девять плоскостей симметрии, по одной плоскости,
параллельной каждой паре противоположных граней куба, и шесть пло«
скостей, содержащих пары противоположных ребер. (Правильные)
додекаэдр и икосаэдр имеют по пятнадцать плоскостей симметрии,
содержащих пары противоположных ребер.
т-г о 4я
3. Порядок группы симметрии равен •
J L * JL j l
Соответственные ребра раздутых многогранников {р, q} и {q, р] пер*
пендикулярны и делятся в точках пересечения пополам. При этом к
двум сторонам каждого из четырех образовавшихся прямых углов
прилегает одна фундаментальная область. Естественно поэтому, что
порядок группы симметрии равен 4£.
§8
1. Пусть радиус n-й окружности равен Кп- Тогда Kn-iKn+i**
3. Обозначая
k2 = cos2 sin2 — = cos2 sin2 —
P\ Pi P2 Pi
(ср. с 10.42), мы найдем следующие выражения для радиуса и
расстояния:
1 , я 1 я
— sin— и — cos—.
k pi k р2

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
627
ГЛ АВ А 16
§ 1
Пусть прямая АВ перпендикулярна, а прямая AM
параллельна прямой г, как это изображено на рис. 203. Тогда угол при
точке А — прямой, а при точке В— острый, хотя прямые г и AM не
пересекаются.
§2
1. В проективной модели точки и прямые изображаются
точками и прямыми. Следовательно, движения изображаются
проективными преобразованиями. Так как движение переводит парал*
лельные прямые в параллельные прямые, соответствующие
проективные преобразования должны оставлять окружность со на месте*
Так как в случае осевой симметрии существует прямая, целиком
состоящая^ из неподвижных точек, такая прямая должна
существовать и у соответствующего проективного преобразования, которое,
следовательно, должно быть либо обыкновенной, либо особенной
гомологией (§ 6 гл. 16). Так как это преобразование имеет
порядок 2, то оно может быть только гармонической гомологией. Так
как окружность со остается на месте, центр гомологии совпадает с
полюсом оси симметрии, т. е. с точкой пересечения касательных,
проведенных через концы хорды, изображающей эту ось.
Если плоскость симметрии изображается на сфере Клейна
вертикальной окружностью, симметрии соответствует инверсия, сфера
которой ортогональна к сфере Клейна и проходит через эту окруж*
ность.
2. Пучок окружностей можно описать как пучок траекторий,
ортогональных к пучку прямых, проходящих через одну точку.
В конформной модели этим прямым соответствуют окружности,
проходящие через пару точек, отвечающих друг другу в инверсии
(задаваемой Q). Следовательно, окружности изображаются
ортогональным пучком непересекающихся окружностей с общей осью.
[В него входит окружность Q, а предельными точками для него
является упомянутая выше пара соответствующих друг другу при
инверсии точек.]
§3
1. На проективной модели общий перпендикуляр к двум рас*
ходящимся прямым изображается лежащей внутри со частью пря«
мой, соединяющей полюса этих прямых относительно окружности со?
прямая, параллельная к двум лучам, изображается интервалом,
соединяющим концы образов этих лучей.
2. Для любой точки G, принадлежащей лучу А/В, имеем
ZMAG> /.MBA. Но ZDAM^ZEBM. Следовательно, ZDAG>
> ZEBA = ZBAD.
3. Из рассмотрения равных прямоугольных треугольников еле-»
дует, что AD = CF~BE. Так как угол С в треугольнике ABC равеи

628
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
ZCAD+ ZEBC, сумма всех трех углов треугольника равна
/ BAD + / ЕВА,
т. е. сумме двух (равных) острых углов.
4. Этот результат является обобщением теоремы о том, что
высоты треугольника пересекаются в одной точке (которая следует
из задачи Фаньяно). Для / доказательства проще всего рассмотреть
проективную модель и применить теорему Шаля (14.64). Любые
два полярных треугольника перспективны.
5. Осевая или центральная симметрия.
6. Проведем к окружности такого радиуса касательные в кон*
цах радиусов, образующих друг с другом углы в 120°. Эти
касательные образуют трижды асимптотический треугольник.
§5
(1. Для дважды и трижды асимптотических треугольников это
утверждение уже доказано выше. Для асимптотического
треугольника оно следует из такого построения: продолжим неограниченно
конечную сторону треугольника, а затем проведем прямую,
параллельную к двум полученным лучам. Тогда площадь нашего
треугольника можно представить в виде разности площадей двух два*
жды асимптотических треугольников.)
3. Рассмотрим, как преобразуют сторону СА заданные
переносы вдоль сторон САУ АВ, ВС треугольника ABC при их
последовательном выполнении. Первый перенос переводит отрезок СА в
отрезок АХ той же прямой. Второй перенос (вдоль АВ)
переводит отрезок АХ в В Y, где ZABY^A. Третий перенос (вдоль ВС)
переводит отрезок BY в CZ, где ZZCB=n — ZCBY=tl — (А+В),
так что ZZCA = n — А — В — С. [Этот результат можно очевидным
образом перенести с треугольников на многоугольники с большим
числом сторон.]
4. Рассмотрим, как преобразуют сторону DA заданные
симметрии относительно середин сторон DA, АВ, ВС, CD
четырехугольника A BCD при их последовательном выполнении. Первая
центральная симметрия изменяет направление на прямой, переводя
DA в AD. Вторая симметрия (относительно середины стороны АВ)
переводит AD в ВХ, где ZABX=A. Третья симметрия
(относительно середины стороны ВС) переводит ВХ в CY, где ZBCY=*
= А+В. Наконец, четвертая центральная симметрия переводит
отрезок CY в DZ, где ZCDZ=A+B + C, так что ZZD4 = 2n — А —
— B — C — D.
5. При каждой вершине можно найти по одному из каждого
вида углов многоугольника, расположенных в естественном
порядке. Этот цикл повторяется п раз при каждой вершине.
§6
1. Сравните с упр. 3 § 3. Перпендикуляры, проведенные к
серединам сторон треугольника, могут пересекаться, быть
параллельными или сверхпараллельными прямыми.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
629
2. Биссектрисы внутренних углов треугольника всегда
пересекаются в одной точке. Биссектрисы двух внешних углов
треугольника могут пересекаться, быть параллельными или расходящимися
прямыми.
3. Орицикл симметричен относительно своего диаметра. Точка /
при симметрии относительно диаметра г переходит в точку L.
4. Два. Их центры находятся в двух концах перпендикуляра,
проведенного к середине отрезка, соединяющего данные точки.
5. Эквидистанта состоит из двух ветвей. (На конформной
модели окружности предельные линии и эквидистанты изображаются
парами окружностей, переходящих друг в друга при инверсии,
задаваемой окружностью Q. Две такие пары могут пересекаться друг
с другом не более чем в восьми точках, которые изображают не
более четырех точек гиперболической плоскости.)
7. Используйте упр. 2 из § 3,
§ 7
Эквидистанту.
§8
Орициклы изображаются окружностями, проходящими через
точку касания.
ГЛАВА 17
§ 1
1. Либо векторы а и с параллельны, либо вектор Ъ
перпендикулярен к ним обоим.
2. (а X Ь) X (с X d) = (acd) b — (bed) a = (abd) с — (abc) d.
3. (a X &) • (я X &) = (a • a) (bb) — (b- a) (a • b) =
= I a |21 b\2 — | a |2 \ b |2 cos2 9 = | a |21 b |2 sin2 8,
§2
Вектор скорости направлен по касательной. В случае, если
скорость постоянна по модулю, ускорение направлено по радиусу в
сторону центра.
§3
1. * = и — sin и, у= — 1 — cos и. Эти уравнения определяют
равную циклоиду.
2. *=cos и + и sin ы, # = sin и — и cosh. Эта кривая имеет вид
спирали (но, конечно, это не логарифмическая спираль),
3. Так как r=s cos ф,

630 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
§4
1. В начале координат*
4. a) s = у sin ф; б) s » —- (cosec г|? ctg г|? -f- log tg -~ J.
5. Так как и » log (ch a -f- sh u) = log (sec г|? + tg ^), то
Г sec ф dt|) = log (sec Ф + tg ф) -f- С
§5
p=asha; в вершине радиус равен нулю; кривизна бесконечна,
§6
1. Последовательно дифференцируя соотношение г2=1, мы
получим г• * = 0 и г • р -f" р = О, откуда
(г + РР)* = (г + р/>)/> = 0.
2. Это утверждение следует из равенства
*^(г + Р/»-0.
§7
(1. Из параметрических уравнений винтовой линии получаем
для ортогональной проекции
х = 0, # = л sin w, г = са
или
jc = 0, */ = tfsin— Л
2. Геликоид — = tg—-.
3. При — =1.
§8
1
2. х = т =
3(1+и2)2 *
§9
1. х = лцм cos и, t/ в а\ки sin a, /* = с\\и.
3, Угол равен arcctg I log ц 1/ V-).
5, Направляющей цилиндра служит логарифмическая спираль.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 631
ГЛАВА 18
§1
у (rirV3) = J г' ■ (г1 X г3) = (г, X г,) • (г2 X г3) 1-
= (г, • г2) (г, • г3) - (г, • г2) (г, • г') - 1.
§2
2. Это следует из того, что
u-v = glluW+g22u2v2 + g33uW + gl2(u'v2 + u*vt) +
+ g23 (uW + uW)+gl2 (»»»' -fa1»3),
(4. Используйте результат упр. 3.)
5. del^°P = i-.
§3
2-ь"„р = *„р+1, £аР=45«Р-1, где 5а3 = 5«Р = В^.
§5
4.^11 = ^33 = 1. ^22 = (И1)2. ^ар = ° пр" <*=И=Р.
5. £н = («3)2, ^22 = ("3 sin «')2 g-зз = 1, £а|5 = 0 при «=£Р-
8а* ~ 4 [ (А - и") (Л - нг) + ( Д - н°) (В - «*) +
' (С-«а)(С— и )/
§6
1. 22te3Vr
(2. Так как gap^pa» каждый коэффициент gap встречается
в сумме дважды: в членах Ba^gaa и &^aygaa Так как из двух
перестановок аРу и Pay одна всегда четная, а другая нечетная, то
сумма этих двух членов равна нулю.)
ГЛАВА 19
Треугольник, натянутый на векторы г1 и гь имеет ту же
площадь (с обратным знаком), что и треугольник, натянутый на
векторы г2 и г2.

632
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
3. г1= Гх
4- £п = £'11 = 1> ^22 = sin2 а1, £22 = cosec2w1,
gij = gij = 0 при 1ф1
§2
2.tgq> = -^.
#12
4. cos ф = cos 0 cos (ф — 0) — sin 0 sin (ф — 0) =
a{a2 a2al ax
gig2 g2gl glg2
(gi2al+g22<i2) —
У2^Г (gu*i + gl2*2) = "/^- С*!*1 + a*a2) +
gdgl ^ ~ gig2
\gl g2 J g\g2
5. Условие имеет вид gial=g2a2.
6. Сеть параметрических линий, которые ортогональны, если
g12=0. Тождество gugn — g22#22=0 соответствует тому, что вну*
тренняя и внешняя биссектрисы угла ортогональны.
л 2л
7. 5 = f f sin a» du*du2.
о о
§3
1. Г1 X Г» = -£=■.
Vg
2. Ь\! = — 1, Ь22 = — sin2 а1, Ъц = 0 при i Ф J.
§4
1. // = 0.
2 я_К0+4) + ^11]
2*^(1+г?)3
„ . я . Зя
3. В1=т, «' = -2-.
5. Я2=/( в омбилических точках,
§5
3. ^±а2=^.
4. m*= ± csh(a2— &)•

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
633
§6
1. В омбилической точке равенство 19.52 выполняется
тождественно.
2. Выражение 19.45 обращается в полный квадрат.
3. В омбилической точке /(=х2 > 0.
4. Условия bn : bl2: b22z=gu '- &12: £22 для нашей поверхности
запишутся в виде
— sin2 и2: sin и1 cos и1 sin и2 cos и2: —sin2 и1 =
= 2sin2uIH-cos2H1 sin2 и2: sin и1 cos и1 sin и2 cos и2:
: 2sin2 M2H-sin2 их cos2 и2щ
5. Нет. Если поверхность содержит кривую омбилических точек,
эта кривая сама является линией кривизны и все пересекающие ее
линии кривизны ортогональны к ней.
§7
1. &зз = 0.
3. Линии кривизны эллипсоида представляют собой
пересечения эллипсоида с софокусными поверхностями второго порядка.
§8
1. е-т, е--^.
ГЛАВА 20
"^«-;зМ£'Ь)-£(£4
2. TUl i = у (ga)h Г/,, у = — ~ (^7)у,
3-Г12,2==гг» Г22,1="~а» Г12=="^Г» Г22 = —WJ
все остальные равны 0.
5. Из равенств, выписанных перед 19.33, следует ffg г1 =»
^ 2 г{у = п ц г* ■ г|у=2 SеЛ/ Iя wi -
= я. 2 S е7,/гл X г,у = п • (г, X г2)у = /г • {Vg n)j = (/£)/.
6. /(=1,
§ 2
3. Геодезические линии не будут конхо-спиралями, так как
касательная к такой линии не образует постоянного угла с осью гг

634
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
§з
2. Формула 20.32 запишется так: {Vghi** — Vg-
§4
2. Надо добавить еще одну окружность радиуса Ь и одну
окружность радиуса а — Ь.
§5
a) 2Jtsinr; б) 2jishr.
§ 7
ch*ul + (u* + c)*=*k*.
ГЛАВА 21
§ 1
Да. Он образует на торе карту из трех шестиугольников.
§ 2
2. Пусть Р1Р2Р3Р4Р5Р6— правильный шестиугольник с центром
в центре круга. Соединив вершины Pi и Р4, Рг и Ps, Рз и Р6 через
отождествленные точки границы круга, получим граф Томсена.
3. Он обратится в граф Томсена.
4. Да, если q>0. Обе эти поверхности неориентируемы и для
обеих %=2— 2р — q.
§ з
1. Карту {2, 1} можно изобразить в виде двух половин
большого круга, соединяющих две противоположные вершины. Карту
{1,2} можно изобразить в виде одного большого круга с
отмеченной на нем точкой — вершиной.
13 5\
2. Мозаика ' имеет 6 вершин, каждая из которых соеди-
45 31
нена со всеми остальными. Вершины и ребра мозаики —тр
образуют граф Петерсена (см. Бэл л [1], стр. 225).
5. Карта {4,4)1,1 имеет 2 четырехугольные грани, 4 ребра и
2 вершины, каждая вершина принадлежит ко всем четырем ребрам.
Карта {4,4}2,о имеет 4 четырехугольные грани, 8 ребер и 4
вершины; каждая вершина принадлежит всем четырем граням.
Карта {3,6}i,i имеет 6 треугольных граней, 9 ребер и 3
вершины; каждая вершина принадлежит всем шести граням.
Карта {6,3}i,i имеет 3 шестиугольные грани, 9 ребер и 6
вершин; каждая вершина принадлежит всем трем граням.
Карта {6,3}г(о имеет 4 шестиугольные грани, 12 ребер и 8 вершин.
Все 5 карт имеют род К
7. У=3, 4, 4, 5, 6, 7,

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
635
§4
1. Грани куба можно раскрасить тремя цветами единственным
способом; грани додекаэдра можно раскрасить четырьмя цветами
тремя различными способами.
§6
Х = 2, 1, 0, — 1, —2, —3, —4, —5, —6, —7, —8, —9;
[ЛГ]=4, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10, 10, И, 11.
ГЛАВА 22
§ 1
1. rNi = E'N0t где -р? = 1 -к (см. упр. 1 в конце § 3
гл. 10).
2. Этот гиперкуб можно получить, если перенести аналогичный
куб в пространстве ^4=0 вдоль четвертой оси координат на
расстояние 1.
3. Гиперкуб получается перенесением куба (±1, ±1, ±1, —1)
вдоль четвертой оси координат на расстоянии 2.
4. В точке (1,1,1,1).
§2
. _, я . я я , я я
1. Из cos— < sin— следует > тг* Аналогично
q р у р ^ q 2
я , я
cos — < sin —.
Q г
2. {3,3,4}.
§3
1. (±1,0,0,0), (0, ±1,0,0), (0,0, ±1,0), (0,0,0, ±1),
2. Точки, получающиеся перестановками координат из точек
(±1, ±1,0,0).
3. (т, 1, I, О) » ±- (т, 0, т, 0) + I (т, т, 0, 0).
4. 24 дополнительные точки являются центрами 24 икосаэдров.
§4
1. Нет.
2. а) Нет; б) да,
3. Да. Центры двенадцати сфер должны лежать в вершинах
правильного икосаэдра.
4. 1* + 2'+ ... +п'=п(п + 11(2п + 1),
^2 + ^3+ ••• +^/1+1 — Сл+2«
§5
Нет.

ЛИТЕРАТУРА
Александров П. С.
[1]* Введение в теорию групп, М., Учпедгиз, 1939.
Артин Э. (Artin Е.)
[1] Geometric Algebra, N. Y., 1957.
Бахман Ф. (Bachmann F.)
[1] Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Berlin,
1959.
Бернсайд У. (Burnside W.)
[1] Theory of Groups of Finite Order, London, 1911.
Биркгоф Г. и Мак Лейн С. (Birkhoff G. and McLane S.)
[1] A Survey of Modern Algebra, N. Y., 1953.
Бляшке В. (Blaschke W.)
1] Analytische Geometrie, Basel, 1954.
2] Projective Geometrie, Basel, 1954.
Болл У.У.Р. (Ball W. W. R.)
[1] Mathematical Recreations and Essays (11-е изд.), London,
1959.
[2] A Short Account of the History of Mathematics, London,
1927.
Болтянский В. Г.
[1]* Равносоставленность многоугольников и многогранников.
Энциклопедия элементарной математики, кн. V, М., «Наука»,
1966, стр. 142—181.
Болтянский В. Г. и Ефремович В. А.
[1]* Очерк основных идей топологии, ч. 1, Матем. просвещение,
вып. 2, 1957, стр. 3—34.
Болтянский В. Г. и Яглом И. М.
[1]* Преобразования. Векторы, М., «Просвещение», 1964.
[2]* Выпуклые фигуры и тела. Энциклопедия элементарной
математики, кн. V, М., «Наука», 1966, стр. 182—269.
Бойяи Я. (Bolijai J.)
[I] Appendix. Приложение, содержащее науку о пространстве,
абсолютно истинную, не зависящую от истинности или
ложности XI аксиомы Евклида, что a priori никогда решено
быть не может, с прибавлением, к случаю ложности,
геометрической квадратуры круга. Перевод с латинского,
вступительные статьи и примечания В. Ф. Кагана, ГИТТЛ, М. —
Л., 1950.
Борсук К. и Шмелев В. (Borsuk К. and Szmielev W.)
[1] Foundations of Geometry, Amsterdam, 1960.
Бонолa P. (Bonola R.)
[1] Неевклидова геометрия. Перевод с итальянского А. Р, Ку-
лишера| СПб., Общественная польза, 1910,

ЛИТЕРАТУРА
637
Боттема О. (Bottema О.)
[1] Hoofdstukken uit de Elementare Meetkunde, Haag, 1944.
Брюкнер M. (Bruckner M.)
[1] Vielecke und Vielflache, Leipzig, 1900.
Брюстер Д. (Brewster D.)
[1] A Treatise on the Kaleidoscope, Edinburgh, 1819.
Буземан Г.
[1] Геометрия геодезических. Перевод с английского М. 3. Кай-
нера под ред. И. М. Яглома, М., Физматгиз, 1962,
Буркхардт И. (Burckhard J. J.)
[1] Die Bewegungsgruppen der Kristallographie, Basel, 1957.
Бэкep Г. Ф. (Baker H. F.)
[1] An Introduction to Plane Geometry, Cambridge —London,
1943.
Бэлл Р.Дж. Т. (Bell R. J. T.)
[1] An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three
Dimensions, London, 1926.
Бэлл Э.Т. (Bell E. T.)
[1] Men of Mathematics, N. Y., 1937.
[2] The Development of Mathematics, N. Y., 1940.
Бюргер M. Дж. (Buerger M. J.)
[1] X-Ray Crystallography, Wiley, N. Y., 1942.
де ла Валле-Пуссен Ш. Ж. (de la Vallie-Pussin Ch. J.)
[1], [2] Курс анализа бесконечно малых, т. 1, 2. Перевод с
французского под ред. Г. М. Фихтенгольца, М. — Л., ГТТИ,
1933.
Веблен О. (Veblen О.)
[1] The Foundations of Geometry. Глава 1 книги: J. W. Young,
Monographs on Topics of Modern Mathematics, N. Y., 1911.
Веблен О. и Юнг Дж. У. (Veblen О. and Young J. W.)
[1], [2] Projective Geometry, т. 1, 2, Boston, 1910, 1918.
Везерборн К. E. (Weatherburn С. E.)
[1] Elementary Vector Analysis, London, 1931.
[2] Differential Geometry of Three Dimensions, Cambridge —
London, 1931.
ВейльГ. (Weyl H.)
[1] Symmetry, Princeton, 1952 (готовится русский перевод)*
Гаусс К. Ф. (Gauss G. F.)
[1] Арифметические исследования. Перевод с латинского
Б. А. Демьянова, ГИТТЛ, М., 1959.
[2] Отрывки из писем и черновые наброски, относящиеся к
неевклидовой геометрии. Перевод с немецкого В. Ф. Кагана и
А. П. Нордена, в сборнике «Об основаниях геометрии»,
ГИТТЛ, М., 1956, стр. 101—120.
Гильберт Д. (Hilbert D.)
[1] Основания геометрии. Перевод с немецкого И. С. Град-
штейна под ред. П. К. Рашевского, М.—Л., Гостехиздат, 1948.
Гильберт Д. и Кон-Фоссен С. (Hilbert D. und Cohn-Vos-
sen S.)
[1] Наглядная геометрия. Перевод с немецкого С. А. Каменец-
кого, М,— Л., Гостехиздат, 1951,

638
ЛИТЕРАТУРА
Гобсон Е. У. (Hobson Е. W.)
[1] A Treatise on Plane Trigonometry, Cambridge — London, 1925.
Гульд СГ (Gould S. H.)
[I] Origins and Development of Concepts of Geometry, Twenty-
third Year Book of the National Council of Teachers -of
Mathematics, 1957, гл. IX.
ГрауштейнУ. K. (Graustein W. C.)
[1] Introduction to Higher Geometry, N. Y., 1930.
Дapвин Ч.
[1] Происхождение видов. Перевод с английского К. А.
Тимирязева, М., Сельхозгиз, 1952.
Денк Ф. и Гофман И. Е. (Denk F. und Hofmann J. E.)
[1J Ebene Geometrie, Munchen, 1957,
Делоне Б. H. и Райков Д. А.
[1]*, [2]* Аналитическая геометрия, ч. 1, 2, М. — Л., Гостехиздат,
1948, 1949.
Джефрейс Г. (Jeffreys Н.)
[1] Cartesian Tensors, Cambridge — London, 1931.
Джонс О. (Jones О.)
[1] Grammar of Ornament, London, 1868.
Джонсон P. (Johnson R.)
[1] Modern Geometry, Boston, 1929.
Доджсон К- Л.=Кэррол Льюис (Dodgson С. L.—Carroll Lewis)
[1] Алиса в стране чудес. Перевод с английского А. Оленича —
Гнененко, М., Детгиз, 1958.
[2] Алиса в Зазеркалье. Перевод с английского В. А Азова,
стихи Т. Л. Щепкиной-Куперник, М. — Л., Изд-во
Л. Д. Френкеля, 1924.
[3] Euclid and his Modern Rivals, London, 1885.
[4] Sylvie and Bruno Concluded, London, 1893.
Дорри Г. (Dorrie H.)
[1] Mathematische Miniaturen, Breslau, 1943.
Евклид
[1]—[3] Начала. Перевод с греческого Д. Д. Мордухай-Болтов-
ского, М. — Л., Гостехиздат, 1948—50.
Ефимов Н. В.
[1]* Высшая геометрия, М., Физматгиз, 1961.
Инфельд Л.
[1] Эварист Галуа (избранник богов)\ Перевод с английского
М. Кан, М., «Молодая гвардия», I960.
Каган В. Ф.
[1]* Основания геометрии, ч. 1, М. — Л., Гостехиздат, 1949.
Канди Г. М. и Ролетт А. П. (Cundy Н. М. and Rollett А. Р.)
[1] Mathematical Models, Oxford — London, 1952.
Карслоу Г. С. (Carslaw Н. S.)
[1] The Elements of Non-Euclidean Plane Geometry and
Trigonometry, London, 1916.
Кезнер E. и Ньюмен Дж. (Kasner E. and Newman J.)
[1] Mathematics and the Imagination, N. Y., 1940.
Кеплер И. (Kepler J.)
[1]—PJ Gesammelte Werke, т. 1, 2, 4, Munchen, 1938. 1939, 1941.

ЛИТЕРАТУРА
639
Керекьярто Б. (Kerekjarto В.)
[1] Les Fondements de la Geometrie, Budapest, 1955.
Киселев А. П.
[1]* Геометрия, ч. I (планиметрия), M., Учпедгиз.
Клейн Ф. (Klein F.)
[1], [2] Элементарная математика с точки зрения высшей, т. 1,2.
Перевод с немецкого Д. А. Крыжановского, М. — Л.,
ОНТИ, 1933, 1934.
[3] Lectures on the Icosahedron, N. Y., 1956.
[4] Неевклидова геометрия. Перевод с немецкого Н. К. Бруш-
линского, М — Л., ГТТИ, 1936.
[5]* Лекции о развитии математики в XIX столетии, ч. 1, М. —
Л., ОНТИ, 1937.
Кокстер Г. С. М. (Coxeter Н. S. М )
[1] Regular Polytopes, London — N. Y., 1963.
[2] Действительная проективная плоскость. Перевод с
английского Т. В. Солнцевой под ред. А. А. Глаголева, М, Физ-
матгиз, 1959.
[31 Non-Euclidean Geometry, Toronto, 1957.
[4] Close-packing and froth, Illinois Journal of Mathematics, 2,
1958, стр. 746—758.
[5]* An upper bound for the number of equal nonoverlapping
spheres that can touch another of the same size, сборник
Convexity (под ред. V. L. Klee), Providence, R. I., 1963, стр. 53—71.
Кокстер Г. С. М. и Мозер У. О. Дж. (Coxeter Н. S. М. and
Moser W. О. J.)
{1] Generators and Relations for Discrete Groups, Berlin — Got-
tingen — Heidelberg — N. Y., 1965.
Крейсиг Э. (Kreyszig E.)
[1] Differential Geometry, Toronto, 1959.
Кулидж Дж. Л. (Coolidge J. L.)
[1] A History of the Conic Sections and Quadric Surfaces,
Oxford, 1945.
Курант P. (Courant R.)
[1] Курс дифференциального и интегрального исчисления, ч. 1.
Перевод с немецкого 10. Рабиновича и Б. Лившица, М. — Л.,
ГОНТИ, 1931.
Курант Р. и Роббинс Г. (Courant R. and Robbins Н. Е.)
[I] Что такое математика. Перевод с английского В. Л.
Гончарова, М. — Л., Гостехиздат, 1947.
Курт Н. A. (Court N. А.)
[1] College Geometry, Richmond, Va, 1925, N. Y., 1952
Куpош А. Г.
1]* Курс высшей алгебры, М., «Наука», 1965.
2] Лекции по общей алгебре, М., Физматгиз, 1962.
Кэзи Дж. (Casey J.)
[1] A Sequel to the First six Books of the Elements of EuclH
Dublin, 1892.
Кэppол Льюис — см. Доджсон К. Л,
Лаклан P. (Lachlan R.)
[1] In Elementary Treatise on Modern Pure Geometry, London, 1927.

640
ЛИТЕРАТУРА
Лефшец С. (Lefschetz S.)
[1] Introduction to Topology, Princeton, 1949.
Либман Г. (Liebmann Н.)
[1] Nichteuklidische Geometrie, Berlin, 1923.
Лэмб Г. (Lamb Н.)
[1] Higher Mechanics, Cambridge — London, 1920.
[2] Infinitesimal Calculus, Cambridge — London, 1924.
Мальцев А. И.
[1]* Группы и другие алгебраические системы. В книге:
Математика, ее содержание, методы и значение, т. Ill, М., изд. АН
СССР, 1956, стр. 248-331.
Мозли М. (Moseley М.)
[1] On conchiyometry, Philosophical Magazine (3), 21, 1842,
стр. 300—305.
Moрдел Дж. (Mordell L. J.)
[1] Reflections of a Mathematician, Canadian Mathematical
Congress, Montreal, 1958.
Невиль E. (Neville E. H.)
[1] Jacobian Elliptic Funktions, Oxford, 1944
Hоpдeн А. П.
[1]* Элементарное введение в геометрию Лобачевского, М, Гос-
техиздат, 1953.
Пачоли Лука (Pacioli L.)
[1] De Divina Proportione, Venezia, 1509, Milano, 1956
Паш М. и Ден М. (Pasch M. und Dehn M.)
[1] Vorlesungen uber neuere Geometrie, Berlin, 1926.
Перепелкин Д. И.
[1]*, И* Курс элементарной геометрии, ч. 1, 2, М. — Л, Гостех-
издат, 1948, 1949.
Пидо Д. (Pedoe D.)
[1] Circles, N. Y., 1957.
Радемахер Г. и Теплиц О. (Rademacher Н. und Toeplitz О.)
[1] Числа и фигуры. Опыты математического мышления.
Перевод с немецкого Б. И. Контовта под ред. И. М. Яглома, М.,
«Наука», 1966.
Рассел Б. (Russell В.)
[1} The Principles of Mathematics, Cambridge — London, 1903.
[2] A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz,^ London,
1937.
РаузЕ. Дж. (Routh E. J.)
[1] A Treatise on Analytical Statics, with Numerous Examples,
т. I, Cambridge, 1896.
Рашевский П. К.
[1]* Геометрия и ее аксиоматика, Матем. проев., вып. 5, 1960,
стр. 73—98.
[2]* Курс дифференциальной геометрии, М^, Гостехиздат, 1956.
Рингель Г. (Ringel G.)
[1] Farbungsprobleme auf Flachen und Graphen, Berlin, 1959.
Робинсон Г. (Robinson G. de B.)
[1] The Foundations of Geometry, Toronto, 1959.

ЛИТЕРАТУРА
641
Робсон A. (Robson А.)
[1], [2] An Introduction to Analytical Geometry, т. 1, 2,
Cambridge—London, 1940, 1947.
Розенфельд Б. А. и Яглом И. М.
[1]* Неевклидовы геометрии. Энциклопедия элементарной
математики, кн. V, М., «Наука», 1966, стр. 394—476.
Рохлин В. А.
[1]* Площадь и объем. Энциклопедия элементарной математики,
кн. V, Мм «Наука», 1966, стр. 7—87.
Сайндж Дж. Л. (Synge J. L.)
[1] Science: Sense and Nonsense, N. Y., 1951.
[2] Kandelman's Krim, London, 1957.
Сальмон Г. (Salmon G.)
[1] A Treatise on the Higher Plane Curves, Dublin, 1879.
[2] A Treatise on the Analytic Geometry of Three Dimensions,
т. 1, London, 1914.
Сайерс Д. Л. и Юктес P. (Sayers Dorothy L. and Euctace R.)
[1] The Documents in the Case, London, 1937.
Смит Д. E. (D. E. Smith)
[1], [2] History of Mathematics, т. 1, 2, Boston, 1910, N. Y., 1958.
Соммервиль Д.М.И. (Sommerville D. M. Y.)
[1] The Elements of Non-Euclidean Geometry, London, 1914.
[2] An Introduction to the Geometry of n Dimensions, London, 1929.
Стpойк Д. Я. (Struik D. J.)
[1] Classical Differential Geometry, Cambridge, Mass., 1950.
Титчмарш E. (Titchmarsh E. C.)
[1] Mathematics for the General Reader, London, 1943.
д'Арси Tомсон В. (D'Arcy Thompson W.)
[1], [2] On Growth and Form, т. 1, 2, Cambridge —London, 1952.
Томсон В. (лорд Кельвин) и Тэт П. Г. (Thomson W. ( = Lord
Kelvin) and Tait P. G.)
[1] Treatise on Natural Philosophy, т. 1, 1, Cambridge—London, 1888,
Успенский Я. В. и Хислет М. A. (Uspensky J. V. and Heas-
let M. A.)
[1] Elementary Number Theory, N. Y., 1939.
Фейеш Тот Л. (Fejes Toth L.)
[1] Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве.
Перевод с немецкого Н. М. Макаровой под ред. И. М. Яглома,
М., Физматгиз, 1958.
Форд Л. P. (Ford L. R.)
[1] Автоморфные функции. Перевод с английского М. М. Грин-
блюма и В. С. Рабинович, М. — Л., ГТТИ, 1936.
Фордер Г. Г. (Forder Н. G.)
[1] The Foundations of Fuclidean Geometry, Cambridge —
London, 1927, N. Y, 1958.
[2] The Calculus of Extension, Cambridge — London, 1941, N. Y.,
1960.
[3] Geometry, London, 1960.
Фрикке Р. и Клейн Ф. (Fricke R. and Klein F.)
[1] Vorlesungen uber die Theorie der automorphen Funktionen,
т. 1, Leipzig, 1897.

642
ЛИТЕРАТУРА
Хадвигер Г. и Дебруннер Г. (Hadwiger Н. and Debrunner Н.)
(1]* Комбинаторная геометрия на плоскости. Перевод с
немецкого С. С. Рыжкова под ред. И. М. Яглома, М., «Наука».
1966.
Харди Г. X. (Hardy G. Н.)
[1] Курс чистой математики. Перевод с английского В. И.
Левина, М., ИЛ, 1949.
[2] A Mathematician's Apology, Cambridge—London, 1940.
Харди Г. X. и Райт Е. М. (Hardy G. Н. and Wright Е. М.)
[1] An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford, 1945.
Xapтли M. К. (Hartley М. С.)
[1] Patterns of Polyhedrons, Ann. Arbor, Mich., 1951.
Xизс Т. Л. (Heath Т. L.)
[1]—[3] The Thirteen Books of Euclid's Elements, т. 1, 2, 3,
Cambridge—London, 1908; N. Y., 1956.
Хилтон Г. (Hilton H.)
[1] Mathematical Crystallography and the Theory of Groups of
Movements, Oxford, 1903.
Черч А. Г. (Church A. H.)
[1] The Relation of Phyllotaxis to Mechanical Laws, London, 1904.
Шкляpский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М.
[1]* Избранные задачи и теоремы планиметрии, М., «Наука»,
1966.
Шлефли Л. (Schlafli L.)
[1] Gesammete mathematische Abhandlungen, т. 1, Basel, 1950.
Шпейзер A. (Speiser A.)
[1] Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, Basel, 1956.
Штейнгауз Г. (Steinhaus H.)
[1] Математический калейдоскоп. Авторизованный перевод с
польского, М. — Л., Гостехиздат, 1949.
[2] Mathematical Snapshots (2-е изд), Oxford — London, 1950.
Штейнер Я. (Steiner J.)
[1], [2] Gesammelte Werke, т. 1,2, Berlin, 1882.
Яглом А. М. и Яглом И. М.
[1]* Неэлементарные задачи в элементарном изложении, М.,
Гостехиздат, 1954.
Яглом И. М.
[1], [2] Геометрические преобразования, т. 1, 2, М., Гостехиздат,
J1955—56.
[3]* Окружности. Энциклопедия элементарной математики, кн. IV,
М., Гостехиздат, 1963, стр. 448—517.
Яглом И. М. и Атанасян Л. С.
[1]* Геометрические преобразования. Энциклопедия элементарной
математики, кн. IV, М., Гостехиздат, 1963, стр. 49—158.
Яглом И. М. и Ашкинузе В. Г.
[1]* Идеи и методы аффинной и проективной геометрии; ч. 1»
М., Учпедгиз, 1962,

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов русского перевода 3
Предисловие автора 9
ЧАСТЬ 1
Глава 1
ТРЕУГОЛЬНИКИ
§ 1. Евклид 15
§ 2 Первоначальные понятия и аксиомы . 17
§ 3. Pons asinorum 20
§ 4. Медианы и центроид 25
§ 5. Вписанная и описанная окружности . 26
§ 6. Прямая Эйлера и ортоцентр .... 34
§ 7. Окружность девяти точек 35
§ 8. Две задачи о наименьших значениях . 38
§ 9. Теорема Морлея 43
Глава 2
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 1. Задача деления круга 47
§ 2. Трисекция угла 50
§ 3. Движение 51
§ 4. Симметрия 54
§ 5. Группы 56
§ 6.* Произведение двух осевых симметрии . 58
§ 7. Калейдоскоп 60
§ 8. Звездчатые многоугольники 63
Глава 3
ДВИЖЕНИЯ В ЕВКЛИДОВОЙ плоскости
§ 1. Собственные и зеркальные движения . 68
§ 2. Параллельный перенос 72
§ 3. Скользящая симметрия 75
§ 4. Осевые и центральные симметрии . . 78
§ 5. Сводка результатов, относящихся к
движениям 79
§ 6. Теорема Хьельмслева 80
§ 7. Узоры на полосе 81

644 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 4
ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
§ 1. Решетки и их области Дирихле ... 85
§ 2. Группа симметрии общей решетки . . 92
§ 3. Искусство М. К. Эшера 94
§ 4, Шесть узоров из кирпичей 97
§ 5. Кристаллографические ограничения . . 99
§ 6. Правильные мозаики 100
§ 7. Задача Сильвестера о коллинеарных
точках 105
Глава 5
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
В ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ
§ 1. Гомотетия 109
§ 2. Центры подобия двух окружностей . . 112
§ 3. Центр окружности девяти точек . . . 114
§ 4. Центрально-подобное вращение и
центрально-подобная симметрия . . . . 115
§ 5. Собственное преобразование подобия . 117
§ 6. Зеркальное преобразование подобия . . 118
Г л а в аб
ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
§ 1. Инверсия (симметрия относительно
окружности) . . . ... 122
§ 2. Ортогональные окружности 125
§ 3. Образы прямых и окружностей при
инверсии . .... ...... 127
§ 4. Круговая плоскость 131
§ 5. Пучки окружностей 134
§ 6. Окружность Аполлония 139
§ 7. Круговые преобразования 142
§ 8. Инверсия в пространстве 144
§ 9. Эллиптическая плоскость 145
Глава 7
ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ В ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Собственные и зеркальные движения . 152
§ 2. Центральная симметрия .... 154
§ 3. Вращение и параллельный перенос . . 155
§ 4. Произведение трех симметрии
относительно плоскостей ... .... 156
§ 5. Винтовое перемещение 158
§ 6, Центрально-подобное вращение . . . 160
§ 7. Круговые преобразования в пространстве 165

ОГЛАВЛЕНИЕ 645
ЧАСТЬ 2
Глава 8
КООРДИНАТЫ
§ 1. Декартовы координаты 167
§ 2. Полярные координаты 172
§ 3. Окружность 175
§ 4. Конические сечения 178
§ 5. Касательная, длина дуги и площадь . . 184
§ 6. Гиперболические функции 189
§ 7. Равноугольная спираль 190
§ 8. Трехмерное пространство 193
Глава 9
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Рациональные числа 204
§ 2. Действительные числа 206
§ 3. Диаграмма Аргана 208
§ 4. Модуль и аргумент 211
§ 5. Формула еп1 +1=0 214
§ 6. Корни уравнений 215
§ 7. Конформные преобразования . . . 216
Глава 10
ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ
§ 1. Пирамиды, призмы и антипризмы . . 221
§ 2. Чертежи и модели 225
§ 3. Формула Эйлера 227
§ 4. Радиусы и углы 230
§ 5. Взаимные многогранники 234
Глава 11
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ФИЛЛОТАКСИС
§ 1. Деление в крайнем и среднем отношении 236
§ 2. De divina proportione 238
§ 3. Золотая спираль' 240
§ 4. Числа Фибоначчи 243
§ 5. Филлотаксис 247
ЧАСТЬ 3
Глава 12
ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
§ 1. Извлечение из Евклида двух различных
геометрий 253
§ 2. Промежуточность 256

646 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Задача Сильвестера о коллинеарных
точках 262
§ 4. Плоскости и гиперплоскости 264
§ 5. Непрерывность 270
§ 6. Параллельность 271
Глава 13
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ h Аксиома параллельности и аксиома Де-
зарга 277
§ 2. Гомотетии 279
§ 3, Аффинные координаты 287
§ 4, Площадь 293
§ 5. Двумерные решетки 300
§ 6. Векторы и центроиды 306
§ 7. Барицентрические координаты . . . . 311
§ 8, Аффинное пространство 318
§ 9. Трехмерные решетки 323
Глава 14
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1« Аксиомы общей проективной плоскости 331
§ 2.: Проективные координаты 337
§ 3* Теорема Дезарга 342
§ 4. Четырехугольные и гармонические
множества . 345
§ 5. Проективные соответствия 348
§ 6& Коллинеации и корреляции 356
§ 7* Конические сечения 363
§ 8. Проективное пространство 369
§ 9. Евклидово пространство 377
Глава 15
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Равенство (конгруэнтность) .... 380
§ 2. Параллельность 383
§ 3* Движение 388
§ 4. Конечные группы вращений 391
§ 5. Конечные группы движений 400
§ 6\ Геометрическая кристаллография . . 402
§ 7* Трехмерный калейдоскоп 405
§ 8, Дискретные группы, порождаемые
инверсиями 408
Глава 16
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Евклидова и гиперболическая аксиомы
параллельности * . . 415

ОГЛАВЛЕНИЕ
647
§ 2. Непротиворечивость гиперболической
геометрии 417
§ 3. Угол параллельности 421
§ 4. Конечность площади треугольников . 427
§ 5. Площадь и угловой дефект .... 429
§ 6. Окружности, орициклы и эквидистанты 434
§ 7. Модель Пуанкаре на полуплоскости . 437
§ 8. Орисфера и евклидова плоскость . . 439
ЧАСТЬ 4
Глава 17
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
КРИВЫХ
§ 1. Векторы в евклидовом пространстве . . 442
§ 2. Векторные функции и их
дифференцирование 448
§ 3. Кривизна, эволюты и эвольвенты . . . 449
§ 4. Цепная линия 455
§ 5. Трактриса 457
§ 6. Пространственные кривые 459
§ 7. Винтовая линия 462
§ 8. Линия откоса 465
§ 9. Конхо-спираль 466
Глава 18
ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
§ 1. Взаимные базисы 469
§ 2. Фундаментальный тензор 470
§ 3. Взаимные решетки 474
§ 4. Критические решетки на сфере . . . 478
§ 5. Общие координаты 482
§ 6. Альтернирующие символы 487
Глава 19
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 1. Задание поверхности двумя
параметрами 490
§ 2, Направления на поверхности .... 494
§ 3. Нормальная кривизна 499
§ 4. Главные кривизны 502
§ 5. Главные направления и линии кривизны 509
§ 6. Омбилические точки 512
§ 7« Теорема Дюпена и теорема Лиувилля 514
§ 8. Индикатриса Дюпена 517

648
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 20
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Theorema egregium 522
§ 2. Дифференциальные уравнения
геодезических линий 525
§ 3. Полная кривизна геодезического
треугольника 529
§ 4. Характеристика Эйлера—Пуанкаре . . 531
§ 5. Поверхности постоянной кривизны . . 533
§ 6. Угол параллельности 534
§ 7. Псевдосфера 536
Глава 21
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 1. Ориентируемые поверхности 540
§ 2. Неориентируемые поверхности .... 543
§ 3. Правильные карты 547
§ 4. Проблема четырех красок 553
§ 5. Теорема шести красок 555
§ 6. Достаточное число красок для
раскраски произвольной поверхности .... 559
§ 7. Поверхности, для раскраски которых
необходимо полное число красок . . . 560
Глава 22
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Простейшие четырехмерные фигуры . . 564
§ 2. Необходимое условие существования
политопа {р, q, г} 568
§ 3. Построение правильных политопов . . 570
§ 4. Плотная упаковка равных сфер . . . 575
§ 5. Статистические соты 584
Ответы к упражнениям 587
Литература 636